K. CILINDRUL CIRCULAR DREPT ­ PROBLEME REZOLVATE

1) Un cilindru circular drept cu raza bazei mai mica decit generatoarea se desfasoara dupa un dreptunghi cu diagonala de 8cm si unghiul dintre diagonale de 60°. Se cere: a) aria laterala, aria totala si volumul cilindrului; b) aria sectiunii axiale ; c) distanta de la centrul unei baze la un punct de pe circumferinta bazei opuse; d) volumul prismei hexagonale regulate inscrise in cilindru

REZOLVARE

A' O' B' C'

4 4 G H

4 60° D 4

4 R

A O B 2πR C

a) Al = 2πRG ; At = Al + 2∙Ab ; Ab = πR 2 ⇒ At = 2πR(R + G) ; V = Ab∙H ⇒ V = πR 2 H

In ∆B'DB , B'D = BD = 4 cm , ∠(B'DB) = 60° ⇒ ∆B'DB este echilateral⇒ B'B = 4cm ⇒ G = H = 4cm

In ∆B'BC,∠B = 90°⇒ BC 2 = B'C 2 ­ B'B 2 = 64 ­ 16 = 48 ⇒ BC = 4√3cm

2√3

Latura BC = cu lungimea cercului bazei cilindrului ⇒ BC = 2πR ⇒ 2πR = 4√3 ⇒ R= ­­­­­­­ cm π

2√3 12 12 24 12 48

Al=2π∙­­­­­­ ∙4 =16√3cm 2 ; Ab=π∙­­­­­ = ­­­­­ ⇒ At=(16√3+­­­­ ) cm 2 ; V = ­­­­­∙4 =­­­­­­ cm 3

π π 2 π π π π

2√3 16√3 b) Sectiunea axiala este dreptunghiul ABB'A'⇒ Aria SECTIUNII = 2RG=2∙­­­­­∙4 = ­­­­­­­­ cm 2

π π

12 √12+16π 2

c) d(O; B' )=OB' ⇒ In ∆B'O'O, ∠O=90°⇒ B'O 2 =O'B' 2 +O'O 2 = ­­­­­­ + 16 ⇒ B'O=­­­­­­­­­­­ π 2 π

R 2 √3 12 √3 18√3 d) Volumul prismei = Aria bazei ∙ Inaltimea ; Aria bazei = 6∙­­­­­­­­ = 6 ⋅ ­­­­­ ⋅ ­­­­­ = ­­­­­­­­ cm 2

4 π 2 4 π 2

18√3 72√3 Volumul prismei = ­­­­­­­­­­­­ ⋅ 4 = ­­­­­­­­­ cm 3

π 2 π 2

http:/

/epro

fu.ro

/mate

matica

2) Aria laterala a unui cilindru circular drept este egala cu suma ariilor bazelor, iar volumul este

1000πcm 3 . Se cere:

a) Aria sectiunii axiale b) Aria suprafetei obtinute prin desfasurarea cilindrului

c) Volumul prismei triunghiulare regulate inscrise in cilindru

REZOLVARE

A' O' B' C'

G H

A R O B C

Al = 2πRG Ab = πR 2 ⇒ 2πRG = 2πR 2 ⇒ G = R

V = πR 2 H = πR 2 G = πR 3 ⇒ πR 3 = 1000π ⇒ R = 10cm ⇒ G = H = 10cm

a) Aria ABB'A' = 2RG = 2R 2 = 200 cm 2

b)Aria BCC'B' = BB'∙BC = G∙2πR = 2πR 2 = 200π cm 2

c) Volumul prismei = Aria bazei∙Inaltimea

Latura bazei este latura ∆ echilateral inscris in cercul bazei cilindrului l=R√3

l 2 √3 3R 2 √3 3 ⋅ 100 ⋅ √3

⇒Aria bazei =­­­­­­­ =­­­­­­­­ = ­­­­­­­­­­­­­­­­­­ = 75√3cm 2 ⇒ V PRISMA = 75√3 ⋅ 10 = 750√3 cm 3 . 4 4 4

http:/

/epro

fu.ro

/mate

matica

3) Intr­un cilindru circular drept raza si generatoarea sunt direct proportionale cu numerele 2 si 3, iar

aria laterala este 432π cm 2 . Se cere:

a) Raza si generatoarea cilindrului b) Aria totala si volumul cilindrului

c) Raza conului care este echivalent cu cilindrul si are inaltimea egala cu inaltimea clindrului. REZOLVARE

A' O' B'

H G

R A O B

a) R, G direct proportionale cu 2, 3 ⇒ R = 2k si G = 3k

Aria laterala = 2πRG ⇒ 2⋅ π⋅2k⋅3k = 432π ⇒ 12k 2 = 432 ⇒ k 2 = 36 ⇒ k = 6 ⇒

⇒ R = 2⋅6 = 12 si G= 3⋅6 = 18 ⇒ R = 12 cm ; G = 18 cm.

b) Aria totala = Aria laterala + 2⋅Aria bazei ; Aria bazei = πR 2 = π⋅12 2 ⇒ Aria bazei = 144π cm 2 ⇒

Aria totala = 432π + 288π = 720π ⇒ Aria totala = 720π cm 2

Volumul = Aria bazei ⋅ inaltimea ⇒ Volumul = 144π⋅18 ⇒ Volumul = 2592π cm 3 .

c) Daca conul este echivalent cu cilindrul ⇒ Volumul conului = Volumul cilindrului

Aria bazei ⋅inaltimea π⋅R 2 con ⋅ Hcon π⋅R 2 con ⋅ 18 Volumul conului = ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ = ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ⇒ ­­­­­­­­­­­­­­­­­ = 2592π ⇒

3 3 3

⇒ π⋅R 2 con⋅6 = 2592π ⇒ R 2 con = 432 ⇒ Rcon = √432 ⇒ Rcon = 12√3 cm .

http:/

/epro

fu.ro

/mate

matica