Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Algoritmi numerici pentru analiza circuitelorelectrice rezistive liniare

Conf.dr.ing. Gabriela Ciuprina

Universitatea "Politehnica" Bucuresti, Facultatea de Inginerie Electrica,Departamentul de Electrotehnica

Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, 2012

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Cuprins

1 Formularea problemei

2 Tehnica nodala

3 AlgoritmStructuri de datePreprocesareRezolvarePostprocesare

4 Cazul s.i.c.

5 Cazul s.i.t

6 Cazul s. c-date liniar

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Circuite rezistive liniare

Contin: rezistoare (R), surse ideale de tensiune (E) si curent(J), surse comandate liniar (SUCU, SUCI, SICU, SUCI).

Problema fundamentala a analizei acestor circuite

Date:

topologia circuitului;

valorile parametrilor (rezistentele, valorile surselor).

Se cer:

curentii si tensiunile din fiecare latura;

puteri.

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Metode de rezolvare sistematica

metoda ecuatiilor Kirchhoff :(

metoda potentialelor nodurilor :) (matrice simetrica,diagonal dominanta)

metoda curentilor ciclici :| (matrice simetrica, sistem debucle independente)

=⇒ metoda potentialelor nodurilor ("tehnica nodala")

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Tehnica nodala

Laturi standard:

Rk ik ek

uk

(ni )k (nf )k

Datele problemei

topologia: nr. noduri N, nr. L si graful circuitului,;

toate rezistentele Rk , k = 1, . . . , L, presupuse nenule,

toate t.e.m. ek , k = 1, . . . , L

Se cer:

uk k = 1, . . . , L

ik k = 1, . . . , L

puterea consumata si puterea generata în circuit.

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Ecuatii ce descriu fenomenele:

Rk ik ek

uk

(ni )k (nf )k

N − 1 ecuatii Kirchhoff I∑

k∈(n)

Aik = 0, n = 1, . . . ,N, (1)

L − N + 1 ecuatii Kirchoff II:∑

k∈[b]

Auk = 0, b = 1, . . . , L − N + 1, (2)

L relatii Joubert:

uk = Rk ik − ek , k = 1, . . . , L, (3)

2L ecuatii cu 2L necunoscute

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Necunoscutele principale: potentialelenodurilor

Rk ik ek

uk

(ni )k (nf )k

vk , k = 1, . . . ,NvN = 0 (prin conventie)Kirchhoff II:

∑

k∈[b]

Auk = 0, b = 1, . . . , L − N + 1, (4)

⇐⇒

uk = vnik − vnfk , k = 1, . . . , L. (5)

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Notatii utile

u = [ u1 u2 . . . uL ]T ∈ IRL×1

i = [ i1 i2 . . . iL ]T ∈ IRL×1

v = [ v1 v2 . . . vN ]T ∈ IRN×1

e = [ e1 e2 . . . eL ]T ∈ IRL×1

R = diag([ R1 R2 . . . RL ]) ∈ IRL×L

(6)

Kirchhoff I:Ai = 0, (7)

A = (aij)i=1,N−1;j=1,L este matricea incidentelor laturi-noduri- matrice topologica, (N − 1)× L

aij =

0 daca noduli nu apartine laturiij ;+1 daca noduli este nod initial pentru laturaj ;−1 daca noduli este nod final pentru laturaj .

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Ecuatii scrise compact

Kirchhoff I:Ai = 0, (8)

Kirchhoff II:u = AT v, (9)

Joubert:u = Ri − e. (10)

Daca R este inversabila (Rk 6= 0, ∀k = 1, L)

i = R−1(u + e). (11)

AR−1AT v = −AR−1e. (12)

Gv = t. (13)

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Matricea conductantelor nodale G si vectorulinjectiilor de curent t

Gv = t. (14)

G = AR−1AT ∈ IR(N−1)×(N−1) (15)

Gii =∑

k∈(i)

1Rk

, (16)

Gij = −∑

k∈(i);k∈(j)

1Rk

pentru i 6= j . (17)

t = −AR−1e ∈ IR(N−1)×1 (18)

tk =∑

m∈(k)

A em

Rm. (19)

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Proprietatile matricei G

G este simetrica, diagonal dominanta si pozitiv definita dacarezistentele sunt pozitive.A ∈ IRn×n este pozitiv definita daca ea este simetrica si daca xT Ax > 0 pentru orice vector real, nenul

x ∈ IRn×1.

R−1 = diag([ 1/R1 1/R2 . . . 1/RL ]). (20)

Simetria:

GT =(

AR−1AT)T

=(

AT)T (

R−1)T

(A)T = AR−1AT = G,

(21)Pozitiv definire: fie x vector coloana arbitrar, nenul.

xT Gx = xT AR−1AT x = yT R−1y =L

∑

k=1

y2k

Rk> 0, (22)

unde y = AT x este vector coloana de componente yk ,k = 1, . . . , L.

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Etapele algoritmului

etapa de preprocesare în care se descrie problema sise asambleaza sistemul de ecuatii de rezolvat;

etapa de rezolvare în care se apeleaza o procedurapropriu-zisa de rezolvare a sistemului de ecuatiirezultat ("solver");

etapa de postprocesare în care se calculeaza altemarimi de interes.

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Structuri de date

; declaratii date - varianta Aîntreg N ; numar de noduriîntreg L ; numar de laturitablou întreg ni[L] ; noduri initiale ale laturilortablou întreg nf[L] ; noduri finale ale laturilortablou real R[L] ; rezistentetablou real e[L] ; tensiuni electromotoare

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Structuri de date

Se recomanda agregarea datelor:

; declaratii date - varianta Bînregistrare circuit

întreg N ; numar de noduriîntreg L ; numar de laturitablou întreg ni[L] ; noduri initiale ale laturilortablou întreg nf[L] ; noduri finale ale laturilortablou real R[L] ; rezistentetablou real e[L] ; tensiuni electromotoare

•

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Matrice rare

G si t sunt rare.pp. 4 laturi care concura la un nod, d = 5n/n2 = 5/n,(pentru n ≈ 1000 rezulta d = 0.5 %).Pentru simplitate:

; declaratii variabile utiletablou real G[N,N] ; stocata rartablou real t [N] ; stocat rartablou real v [N] ; vectorul potentialelor

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Citire date

func¸tie citire_date_B (); declaratii...citeste circuit.N, circuit.Lpentru k = 1,circuit.L

citeste circuit.nik , circuit.nfk , circuit.Rk , circuit.ek

•

întoarce circuit

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Asamblarea sistemului de ecuatii

Orientata pe laturi:

Rk ik ek

uk

(ni )k (nf )k

nik nfk∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

nik ∗ +1/Rk ∗ ∗ −1/Rk ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

nfk ∗ −1/Rk ∗ ∗ +1/Rk ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗

nik −ek/Rk

∗

∗

nfk +ek/Rk

∗

∗

Contributia unei laturi k la matricea conductantelor nodale (stânga) si la vectorul injectiilor de curent

(dreapta).

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Algoritm - preprocesare

procedur a nodalRE_v1 (circuit, G, t); asambleaza sistemul de ecuatii pentru un circuit; cu laturi de tip R,E folosind tehnica nodala; parametri de intrare:; circuit - structura de date ce descrie circuitul; parametri de iesire:; G - matricea conductantelor nodale si; t - vectorul injectiilor de curent; declaratii....L = circuit.L ; pentru simplificarea scrierii algoritmuluiN = circuit.Nni = circuit.ninf = circuit.nfR = circuit.Re = circuit.e

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Algoritm - preprocesare

procedur a nodalRE_v1 (circuit, G, t)....G = 0t = 0; asambleaza sistempentru k = 1, L ; parcurge laturi

i = nik ; nodul initial al laturii kj = nfk ; nodul final al laturii kGii = Gii + 1/Rk

Gjj = Gjj + 1/Rk

Gij = Gij − 1/Rk

Gji = Gji − 1/Rk

ti = ti − ek/Rk

tj = tj + ek/Rk

•

retur

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Algoritm - preprocesare

Observatii:

am folosit pseudocod simplificat pentru a scrie anulareacomponentelorAtentie! varianta

pentru i = 1,Npentru j = 1,N

Gij = 0•

•

scrisa pentru "instructiunea" G = 0 va umple completmatricea G.

pentru a evita repetarea unor calcule, se pot memoravalorile 1/Rk si ek/Rk .

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Algoritm - preprocesare - varianta a II-a

procedur a nodalRE_v2 (circuit, G, t)....; anuleaza componentele:A = 0 ; matricei incidente laturi noduriGlat = 0 ; matricei diagonale R−1

; asambleaza sistempentru k = 1, L ; parcurge laturi

i = nik ; nodul initial al laturii kj = nfk ; nodul final al laturii kAik = −1Ajk = +1Glatkk = 1/Rk

•

G = A ∗ Glat ∗ AT ; apel proceduri speciale pentru matrice raret = −A ∗ Glat ∗ eretur

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Rezolvare

Sistemul asamblat are dimensiunea N × N, nodul dereferinta nefiind tratat special.Sistemul de rezolvat trebuie sa aiba dimensiunea N − 1.(vN = 0).Exemplu:

Gauss (N − 1,G,t ,v )vN = 0

Vom reveni asupra procedurilor posibile de rezolvare încursul urator.

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Algoritm - postprocesare

Rk ik ek

uk

(ni )k (nf )k

procedur a postprocesare_circuitRE (circuit, v ); declaratii...L = circuit.Lni = circuit.ninf = circuit.nfR = circuit.Re = circuit.e

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Algoritm - postprocesare

Rk ik ek

uk

(ni )k (nf )k

procedur a postprocesare_circuitRE (circuit, v )...Pc = 0 ; puterea consumataPg = 0 ; puterea generatapentru k = 1, L ; parcurge laturi

u = vnik − vnfk ; tensiunea laturiic = (u + ek )/Rk ; curentul prin laturascrie "Latura" k "are tensiunea" u "si curentul" cPc = Pc + Rkc2 ; adauga contributia laturii la PcPg = Pg + ekc ; adauga contributia laturii la Pg

•

scrie Pc, Pgretur

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Tratarea surselor ideale de curent - ecuatii

Latura standard:

(ni )k (nf )k

Jk

ekRk

ik

uk

Rk 6= 0Kirchhoff I si II:

Ai = 0, (23)

u = AT v. (24)

Daruk = Rk (ik − Jk )− ek , k = 1, . . . , L. (25)

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Tratarea surselor ideale de curent - ecuatii

Latura standard:

(ni )k (nf )k

Jk

ekRk

ik

uk

Ai = 0, (26)

u = AT v. (27)

u = R(i − J)− e (28)

i = R−1(u + e) + J, (29)

AR−1AT v = −AR−1e − AJ. (30)

t = −AR−1e − AJ ∈ IR(N−1)×1 (31)

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Algoritm - preprocesare

func¸tie citire_date_REJ ()...citeste circuit.N, circuit.Lpentru k = 1,circuit.L

citeste circuit.nik , circuit.nfk , circuit.Rk , circuit.ek ,circuit.Jk

•

întoarce circuit

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Algoritm - preprocesare

procedur a nodalREJ_v1 (circuit, G, t); asambleaza sistemul de ecuatii pentru un circuit cu laturi de tip; sursa reala de tensiune în paralel cu sursa ideala de curent,; folosind tehnica nodala; parametri de intrare:; circuit - structura de date ce descrie circuitul; parametri de iesire:; G - matricea conductantelor nodale si; t - vectorul injectiilor de curent; declaratii....L = circuit.L ; pentru simplificarea scrierii algoritmuluiN = circuit.Nni = circuit.ninf = circuit.nfR = circuit.R

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Algoritm - preprocesare

procedur a nodalREJ_v1 (circuit, G, t)....G = 0t = 0; asambleaza sistempentru k = 1, L ; parcurge laturi

i = nik ; nodul initial al laturii kj = nfk ; nodul final al laturii kGii = Gii + 1/Rk

Gjj = Gjj + 1/Rk

Gij = Gij − 1/Rk

Gji = Gji − 1/Rk

ti = ti − ek/Rk−Jk

tj = tj + ek/Rk+Jk

•

retur

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Algoritm - preprocesare

procedur a nodalREJ_v2 (circuit, G, t)....; anuleaza componentele:A = 0 ; matricei incidentelor laturi nodurGlat = 0 ; matricei diagonale R−1

; asambleaza sistempentru k = 1, L ; parcurge laturi

i = nik ; nodul initial al laturii kj = nfk ; nodul final al laturii kAik = −1Ajk = +1Glatkk = 1/Rk

•

G = A ∗ Glat ∗ AT ; apel proceduri speciale pentru matrice raret = −A ∗ Glat ∗ e−A ∗ Jretur

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Algoritm - postprocesare

(ni )k (nf )k

Jk

ekRk

ik

uk

procedur a postprocesare_circuitREJ (circuit, v )...J = circuit.JPc = 0 ; puterea consumataPg = 0 ; puterea generatapentru k = 1, L ; parcurge laturi

u = vnik − vnfk ; tensiunea laturiic = (u + ek )/Rk+Jk ; curentul prin laturascrie "Latura" k "are tensiunea" u "si curentul" cPc = Pc + Rk (c − Jk )

2 ; adauga contributia laturii laPg = Pg + ek (c − Jk )− uJk ; adauga contributia laturii la

•

Pc, Pg

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Tratarea surselor ideale de tensiune - ecuatii

Laturi standard:

(ni )k (nf )k

Jk

ekRk

ik

uk

(ni )k (nf )k

ik

ek

uk

L = LREJ + LE

Ai = 0, (32)

u = AT v. (33)

uk = Rk (ik − Jk )− ek , k = 1, . . . , LREJ , (34)

uk = −ek , k = LREJ + 1, . . . , LREJ + LE .(35)

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Tratarea surselor ideale de tensiune - ecuatii

Laturi standard:

(ni )k (nf )k

Jk

ekRk

ik

uk

(ni )k (nf )k

ik

ek

uk

Partitionarea vectorilor:

u =

[

uREJ

uE

]

, i =[

iREJ

iE

]

, e =

[

eREJ

eE

]

, (36)

unde vectorii cu indice REJ au dimensiunea LREJ , iarvectorii cu indice E au dimensiunea LE .

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Tratarea surselor ideale de tensiune - ecuatii

(ni )k (nf )k

Jk

ekRk

ik

uk

(ni )k (nf )k

ik

ek

uk

uREJ = R(iREJ − J)− eREJ , (37)

uE = −eE , (38)

Se partitioneaza si matricea de incidenta:

[

AREJ AE]

[

iREJ

iE

]

= 0, (39)

AREJ iREJ + AE iE = 0. (40)

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Tratarea surselor ideale de tensiune - ecuatii

(ni )k (nf )k

Jk

ekRk

ik

uk

(ni )k (nf )k

ik

ek

uk

[

uREJ

uE

]

=

[

ATREJ

ATE

]

v, (41)

de unde

uREJ = ATREJv, (42)

uE = ATEv. (43)

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Tratarea surselor ideale de tensiune - ecuatii

(ni )k (nf )k

Jk

ekRk

ik

uk

(ni )k (nf )k

ik

ek

uk

Recapitulând:

AREJ iREJ + AE iE = 0, (44)

uREJ = ATREJv, (45)

uE = ATEv, (46)

uREJ = R(iREJ − J)− eREJ , (47)

uE = −eE . (48)

iREJ = R−1(uREJ + eREJ) + J. (49)

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Tratarea surselor ideale de tensiune - sistemulde rezolvat

(ni )k (nf )k

Jk

ekRk

ik

uk

(ni )k (nf )k

ik

ek

uk

AREJR−1ATREJv + AE iE = −AREJR−1eREJ − AREJJ,(50)

ATEv = −eE . (51)

Dimensiune: N − 1 + LE .Necunoscutele: potentialele nodurilor si valorile curentilorprin sursele ideale de tensiune:

x =

[

viE

]

. (52)

Sistemul de rezolvatMx = p (53)

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Tratarea surselor ideale de tensiune - sistemulde rezolvat

Mx = p (54)

M =

[

AREJR−1ATREJ AE

ATE 0,

]

(55)

p =

[

−AREJR−1eREJ − AREJJ−eE

]

(56)

Matricea coeficientilor ramâne simetrica dar îsi pierdepozitiv definirea. O prelucrare suplimentara a acestuisistem poate conduce însa la un sistem mai mic si cuproprietati mai bune [a se vedea documentul în extenso].

Algoritmul este usor de conceput daca el este orientatpe asamblarea matricelor si partitionarea lor.

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Tratarea surselor comandate liniar

Tipuri de surse comandate:

SUCU

uj

uk

u = α u k k j

uj

SICU

i k

i = γ u k k j

i k

SICI

ij

i = β i k k j

uk

SUCIij

u = ρ i k k j

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Tratarea surselor comandate liniar - ecuatii

Kirchhoff I:

AREJ iREJ + AE iE + ASUCU iSUCU = 0, (57)

Kirchhoff II:

uREJ = ATREJv, (58)

uE = ATEv, (59)

uSUCU = ATSUCUv, (60)

relatii constitutive:

uREJ = R(iREJ − J)− eREJ , (61)

uE = −eE , (62)

uSUCU = αSSUCUv, (63)

α - diagonala, contine parametrii surselor comandate,SSUCU - topologica,selecteaza perechea de noduri caredetermina tensiunea de comanda.

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Tratarea surselor comandate liniar - sistemul derezolvat

N − 1 + LE + LSUCU necunoscute:

x =

viE

iSUCU

. (64)

Mx = p (65)

M =

AREJR−1ATREJ AE ASUCU

ATE 0 0

ATSUCU − αSSUCU 0 0

, (66)

p =

−AREJR−1eREJ − AREJJ−eE

0

. (67)

Algoritminumerici

pentru analizacircuitelorrezistive

GabrielaCiuprina

Formulareaproblemei

Tehnicanodala

AlgoritmStructuri de date

Preprocesare

Rezolvare

Postprocesare

Cazul s.i.c.

Cazul s.i.t

Cazul s.c-date liniar

Tratarea surselor comandate liniar - concluzii

Sursele comandate complica problema:

relatii matematice mai complicate, (crestecomplexitatea algoritmului);

sistemul de rezolvat are o matrice a coeficientilor carenu mai este simetrica.

Algoritmul

este usor de conceput daca el este orientat pe asamblareamatricelor si partitionarea lor.