Post on 03-Mar-2020
MATEMATICĂ , clasa a XI – a ALGEBRĂ SUPERIOARĂ (simbol AL - XI)
AL - XI. 001 Se dau matricele ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=4,15,03,02
A ; ( )
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
53
21
6,01B
Să se calculeze matricea C = A + B.
a) ; b) c) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
3211
C ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
205,01
C ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1001
C
d) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=013,02
C e) ( )
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −=
211
16,0C f) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2011
C
AL - XI. 002 Se dau matricele pătratice de ordinul al doilea şi
.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
6435
E
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
7321
F
Să se calculeze matricea A = 2E – 3F
a) b) c) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=91
1213A ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−=
911213
A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−
=91
1213A
d) e) f) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
911213
A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=91
1213A ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=91
1213A
AL - XI. 003 Fie . ( )Z3
313112
201MA ∈
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
94 Culegere de probleme Dacă să se calculeze ( ) xxf 3= ( )Af .
a) b) c) ( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=313112
603Af ( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=319116
203Af ( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=939336
603Af
d) e) ( ) f) ( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=913132
203Af
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=319132
601Af ( ) 3IAf =
AL - XI. 004 Să se calculeze produsul de matrice A⋅B, unde
, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
210123
A⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
231
B
a) b) c) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛117
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛63711
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2132711
d) e) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛7
11 ( )3711 f) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3711
AL - XI. 005 Să se rezolve ecuaţia matriceală:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
7342
5221
X
a) b) c) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1102
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛0120
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛4311
Algebră XI 95
d) e) f) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2521
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1141
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1012
AL - XI. 006 Să se rezolve ecuaţia matriceală:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
521234311
111012111
X
a) b) c) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−
035254
023
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
031151023
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
031151123
d) e) f) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
035154013
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
235054023
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−
135254
023
AL - XI. 007 Să se rezolve ecuaţia matriceală
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅
610896
143432321
X
a) b) c) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=1111
X ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=101
110X
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
112211112
X
d) e) f) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
321213
X ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=111
111X ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
132321
X
AL - XI. 008 Aflaţi astfel ca matricea diagonală constantă R∈a
96 Culegere de probleme
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
aa
aX
000000
să fie soluţia comună a ecuaţiilor matriceale
( ) 1123
321 =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛X şi ( ) 1
321
123 =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛X
a) 103
=a b) 102
=a c) 101
=a
d) 3
10=a e)
210
=a f) 10=a
AL - XI. 009 Să se determine toate matricile X, cu proprietatea că XAAX = ,
unde A = . ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1321
a) ; α,β∈R b) c) ; α∈R αβ α
1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 00 1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
αα2
0⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
d) ; α∈R e) ; α,β∈R f) ; α,β∈R 1 23 1
αα
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
α ββ α
23⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
α ββ α⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
AL - XI. 010 Să se determine matricea X care verifică relaţia: . 23
2 2 43 3 6
⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =
−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟X
a) X = ( b) X = c) X = )1 1 2−1 1 20 0 0−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
1 12 2−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
d) X = e) X = f) X = ( )1 2 3−112−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 12 2
−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Algebră XI 97
AL - XI. 011 Care este valoarea parametrului a∈R pentru care există x,y,z,t ∈R , nu
toţi nuli, astfel încât ? x ya
z ta
1 21 2
2 11 1
1 31 2
1 31
0 00 0
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
− −−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
a) b) a c) aa = 1 = 0 = −1 d) a = 2 e) a = −2 f) a = 4 AL - XI. 012 Să se determine constantele reale p şi q pentru care matricea
A = satisface relaţia A1 0 10 1 01 0 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
3=pA2+qA .
a) b) p qp q= − =2 , 3 = = −3 , 2 c) p q= =1 4, d) p q= − = −2 , 3 e) p q= =2 , 1 f) p q= =1 3,
AL - XI. 013 Să se rezolve ecuaţia matriceală X . 2 2 31 1 01 2 1
1 2 31 3 2
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
−− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
a) X = b) X = c) X = 6 31 54 12 14− −− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
6 32 214 23 14− −− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2 4 61 3 21 2 2−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
d) X = e) X = f) X = 6 4
31 25 11
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
5 31 44 12 10−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
6 32 214 23 14−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
AL - XI. 014 Să se determine matricea X care verifică ecuaţia
. 1 20 13 1
1 2 23 0 3
12 6 9−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=− −
−− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
X
98 Culegere de probleme
a) X = b) X = c) X = 5 0 13 2 1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3 2 45 1 3−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
3 2 35 1 4−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
d) X = e) X = f) X = 5 0 3
3 2 4− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
5 2 43 0 3− −
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 1 10 1 1− −
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
AL – XI. 015 Să se rezolve ecuaţia matricială
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⋅
543112351
121210321
X
a) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−
−=162441169844
41X ; b)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
162441169844
41X
c) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−=
162441169844
41X ; d)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
087121431
21X
e) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−−=
162441169844
41X ; f)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=
087121431
21X
AL –XI. 016 Să se determine toate matricile formate cu elemente din codul binar
Algebră XI 99
B={ care să transforme prin înmulţire matricea coloană în matricea coloană
}1,0⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
321
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
4213
a) şi b)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
001100010001
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
001100010011
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
110001100010
c) şi d)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
101010001011
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
101010001100
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
001101110011
e) şi f)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
101001110100
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
001100010001
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
111100010001
AL - XI. 017 Să se rezolve ecuaţia: , X∈M⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=14
1212X 2(Z).
a) X = b) X = c) X = şi X = 2 31 2−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− −−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2 31 2
2 31 2−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− −−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2 31 2
100 Culegere de probleme
d) X = i i
i i
3 63
23
3
−⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
e) X = f) X = 2 31 2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− −− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2 31 2
AL - XI. 018 Să se determine toate matricile X ∈M2( Z ) astfel ca: X 2 = . 1 02 1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
a) b) şi c) −−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 01 1
1 01 1−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 01 1
1 01 1−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
d) şi e) şi f) şi −− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 01 1
1 01 1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 01 1−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 01 1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 01 1
1 01 1− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
AL - XI. 019 Se dau matricele A cu m∈R.. Să se
determine valorile lui m ∈R astfel încât să existe trei constante nu toate nule, a,b,c∈R cu condiţia aA+bB+cC = 0, 0 - matricea nulă.
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 22 0
0 11 0
32 0
, ,B Cm
a) b) c) orice m = 1 m = 0 m∈R d) m∈∅ e) 45
=m f) m = −54
AL - XI. 020 Să se calculeze suma: . ( )
11 2 3 1
2 3
1
k k kk kk
n
− +
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=∑
a)
( ) ( )( ) ( )
( )( )⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++++
32132
21
6121
21 2
nnnnnn
nnnnnnnn b) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− !332
!3!2!nnnnnnnn
c) ( ) ( )( ) ( )
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
++++
!3323
16
1212
1
nnnn
nnnnnnnn d) ( )⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+− 13211 32
nnnnn
Algebră XI 101
e) f) ( ) ( ) ( )
( ) ⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛− !6!3!2!
!4!3!2!nnnnnn
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
− !332!1 32
nnnnnnn
AL – XI. 021 Dacă ( )3121 i+−=ω iar , să se determine numărul ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
11
2ω
ωA
an∈ R astfel încât să avem ( ) ∈∀⋅=+++ nAaAAA n
n ,...32 N . a) b) 2222 +n 1 −−n c) 22 − n
d) e) 22 1 +−n 12 1 −−n f) . 12 1 +−n
AL - XI. 022 Dacă este o rădăcină a ecuaţiei xω 2+x+1 = 0 şi n = 3p, p∈N*, să se calculeze suma:
ω ω ω
ω ω ω
k k k
k k kk
n 2 3
3 21
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=∑ .
a) b) c) ω ω
ω ω
2
2
n
n
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
− −− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 11 1
nn
0 00 0
nn⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
d) e) f) ω ω ω
ω ω ω
2 3
2
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟2
ω ω ω
ω ω ω
2 3
3 2
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
nn
0 00 0⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
AL – XI. 023 Fie ; , unde ε este o rădăcină
cubică complexă a unităţii şi fie ecuaţia matriceală AX = B. Fie S suma modulelor elementelor matricei X. Atunci :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
εεεε
2
2
11
111A
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=11111
2
2
εεεε
B
a) S = 4; b) S = 16; c) S = 3; d) S = 31+ ; e) S = 31− ; f) S = 32 +
102 Culegere de probleme AL – XI. 024 Fie M mulţimea tuturor matricelor cu 4 linii şi 5 coloane în care toate elementele sunt numerele +1 şi - 1 şi astfel încât produsul numerelor din fiecare linie şi din fiecare coloană este -1 . Să se calculeze numărul elementelor mulţimii M. a) 2 b) 7 c) 6 d) 4 e) 0 f) 1
AL - XI. 025 Se consideră matricea M = , a,b,c,d∈R. Să se determine a bc d⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
condiţiile în care există p,q∈R , unici astfel ca M 2-pM-qI = 0, I fiind matricea unitate, 0 matricea nulă. Să se determine în acest caz valorile lui p şi q. a) b = c, a = d, p = a, q = b2-a2 b) b,c∈R, a = d, p = 2a, q = bc-a2
c) b = c, a,d∈R, p = a+d, q = b2-a2 d) b ≠ 0 sau c ≠ 0 sau a ≠ d, p=a+d, q = bc-ad
e) b = 0, c = 0, a = d, p = a+d, q = bc-ad f) b ≠ 0, a ≠ d, c∈R, p = a+d, q = -ad AL - XI. 026 Fie A,B,C ∈ Mn ( C ) cu proprietăţile A+B = AB, B+C = BC, C+A = CA. Pentru ce valoare m∈R are loc egalitatea A+B+C = mABC ?
a) b) m = 1 m =12
c) m =14
d) m = 3 e) m =34
f) m =13
AL - XI. 027 Fie A = o matrice nenulă cu ad = bc , a,b,c,d∈R. Să se
determine (în funcţie de elementele matricii A) numărul real r asfel încât să aibă loc egalitatea A
a bc d⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
n = rn-1A pentru orice n∈N, n ≥ 2. a) r = a-d b) r = a+d c) r = b+c
d) r = b-c e) r = a+c f) r = b+d
Algebră XI 103
AL - XI. 028 Să se determine puterea N∈n a matricei . ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
123012001
A
a) b) ,101001
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
nn
nn
abaA
nnb
na
n
n
+=
=22
2,
101001
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
nn
nn
abaA 2nb
na
n
n
=
=
c) d) ,101001
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
nn
nn
abaA 22
2
nb
na
n
n
=
=,
101001
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
nn
nn
abaA
nnb
na
n
n
+=
=2
2
e) f) ,101001
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
nn
nn
abaA
nnb
na
n
n
+=
=2
2
2,
101001
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
nn
nn
abaA
nnb
na
n
n
−=
=2
AL - XI. 029 Fie matricea A = . Calculaţi det P(A), unde P(x) = x1 20 3⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ 100 - 1.
a) 0 b) 1 c) -1 d) 99 e) 100 f) -100
AL - XI .030 Fie A = . Să se arate că A1 20 1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ n este de forma: An = şi să se
10 1
an⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
determine apoi an , n ∈ N. a) b) a a an n n+ = + =1 2, n2 a a an n n+ = =1 1, c) a a an n n+ n= + =1 1,
d) a a e) f) an n nn
+ = =1 2 , 2 2 na a an n nn
+ = + =1 2, a a an n n+ = =122 2,
AL - XI. 031 Să se determine An, n∈N*, unde A∈M3(Z) este o matrice care verifică
104 Culegere de probleme
α
α
α
relaţia: (1 1+x 1+x2) = (1 x x2)A pentru orice x∈R .
a) A b) A n c) A n n
n n=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
11 1 01 1 1
nn
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 0 01 00 1
n n=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
10 1 00 0 1
d) A e) A n f) A n n
n n=
− −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
10 1 00 0 1
n n=
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
10 1 00 0 1
nn
n=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 10 00 0
AL - XI. 032 Fie matricea A = . Să se calculeze A , (n ≥ 1). cos sinsin cos
α αα
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
n
a) A b) A n nn n
n n=
−⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
cos sin
sin cos
α α
α α
n nn n
=−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
cos sinsin cos
α αα α
c) A d) A n n n nn n
=−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
cos sinsin cos
α αα
n nn n
=−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
cos sinsin cos
α αα α
e) A f) An n n nn n n
=−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
cos sinsin cos
α αα
n n n
n n
=−⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1 1
1 1
cos sin
sin cos
α α
α α
AL - XI. 033 Să se calculeze
12
323
212
30
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
.
a) b) c) −
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 00 1
1 00 1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
0 11 0−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Algebră XI 105
d) e) f) 0 11 0−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
0 11 0
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 00 1−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
AL - XI. 034 Fiind dată matricea A = , să se calculeze matricea A⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
100110011
n,
n∈N*.
a) An =
( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
10010
411
2
n
nnn
b) An =
( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
10010
211
n
nnn
c) An = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
10010
31nnn
d) An = e) A⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
100310
31 2
nnn
n = f) A⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
10010
112
32
nnn
n =
( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ +
10010
211
n
nnn
AL - XI. 035 Fie matricea A =
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
100211031
211
. Să se arate că An, n ≥ 1 are forma
10 10 0 1
a ba
n n
n
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
şi să se determine an şi bn.
a) a nn =
2,
( )6
1+=
nnbn b) a nn =
2,
( )b
n nn =
+2 512
c) a nn =
+ 12
, ( )
bn n
n =+2 1
6 d) a n
n =2
, ( )
bn n
n =+3 5
24
106 Culegere de probleme
7e) , f) a nn = +2 3 b nn = +3 a nn =
+2 14
, ( )
bn n
n =+5 4
4
AL - XI. 036 Fie matricea A = . Să se calculeze A⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
100210321
n, n∈N, n ≥ 2.
a) b)⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
100210
2421 2
nnnn ( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ +
100210
1221n
nnn c)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
100010001
d)
( )
( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+
n
nnn
nnnn
002
10
33
1
e) f) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
nnnnnn
002032
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
100210321
AL - XI. 037 Să se calculeze An, n∈N* unde A = . ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
200010012
a) An = b) A⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
n
nn
2000100122
n = c) A⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ +
n
nn
2000100122
n = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
n
nn
2000100122
d) An = e) A⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
n
n
200010021
n = f) A⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
n
nn
200010212
n = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
n
n n
200010012 2
AL - XI. 038 Care sunt valorile parametrului a∈R pentru care matricea
Algebră XI 107
A =
12
12
12
12
12
12
a a
a a
a a
−
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
este inversabilă.
a) orice a∈R\{ b) orice a∈[-7,2] c) orice a∈R }1 2,
d) orice a∈ ( e) orice a∈] { }− ∞ ∪,1 9 { }1 2 3 4, , , f) orice a∈R\{ } 3 4,
AL - XI. 039 Să se calculeze inversa matricei ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
1694432111
A
a) b) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=−
110120
0111A
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−−
=−
21
253
168176
1A
c)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
−
=−
21
253
16821
276
1A d) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−=−
110021112
1A
e)
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=−
101
5321
3125
1A f) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=−
100010001
1A
108 Culegere de probleme
AL - XI. 040 Să se determine parametrul R∈α astfel încât matricea ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
211
αA
să fie inversabilă şi apoi să se afle inversa sa.
a) ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++−
++−≠
21
2
21
22
;2
ααα
ααα b) ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++−
++−=
21
2
21
22
;2
ααα
ααα
c) ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++−
++−≠
22
22
21
;1
αα
αα
ααα d) ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++−
−−−=
21
2
11
12
;1
ααα
ααα
e) ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++−
+−
+=
21
2
12
11
;1
ααα
ααα f) ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
+
++−≠
11
11
22
12
;1
αα
ααα
AL - XI. 041 Matricea are rangul doi pentru: ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
βα745
0215432
a) 5,2 −== βα b) 10,1 −=−= βα c) 2,3 =−= βα d) 10,1 −== βα e) 1,3 −== βα f) 10,1 =−= βα AL - XI. 042 Să se determine valorile parametrilor reali α şi β pentru care matricea:
A = are rangul 2. β
αα
1 2 41 2 31 2 2 4
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
a) b) α β= =1, 1 α β= =12
1, c) α β= =1 12
,
Algebră XI 109
d) α β= − =12
1, e) α β= − =1 12
, f) α β= − = −12
12
,
AL - XI. 043 Se dă matricea . Să se determine parametrul
1 1 1 21 1 1
1 1 3 34 2 0
−
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
a
a real a pentru care rangul matricei este egal cu 2. a) a = 4 b) a = -2 c) a = 3 d) a = 8 e) a = -1 f) a = 0 AL - XI. 044 Pentru ce valori ale parametrilor R∈ba, , matricele
şi au ambele rangul 2. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−=
11313
221aA
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−=
baB113
4134221
a) 5
19,744
== ba b) 1,31
−== ba c) 744,
519
== ba
d) e) 2,1 −=−= ba 1,2 −== ba f) 31,1 =−= ba
AL - XI. 045 Fie matricea , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
iiiA
ααα
αααR∈α ; dacă rangul matricii este 2,
atunci suma elementelor sale este soluţie a ecuaţiei: a) b) c) 012 =+x 092 =−x 013 =+xd) e) f) 0273 =− ix 014 =+x 0814 =−x AL - XI. 046 Să se determine valorile parametrilor R∈ba, pentru care matricea
110 Culegere de probleme
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−=112121
101
aa
bA
are rangul minim.
a) b) 1,1 == ba 1,1 −== ba c) 31,1 −== ba
d) 31,2 −== ba e) 2,2 == ba f)
31,1 −=−= ba
AL - XI. 047 Se dă matricea: . Să se determine parametrii reali
1 2 11 2 11 2 1 12 4 2 2
βα −
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
α β,
pentru care rangul matricei să fie doi. a) b) αα β≠ ≠ −1, 1 β= ≠ −1 1, c) α β= ≠ −1 1, ; α β≠ = −1 1,
d) α β e) ≠ = −1 1, α β= = −1 1, f) α β= ∈1, R AL - XI. 048 Pe care din următoarele mulţimi de variaţie ale parametrilor reali
şi β matricea are rangul 3? α
βαα
1 2 41 2 31 2 2 4
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
a) b) [ ] [α β∈ − ∈ −11 1 4, , , ] ( )α β∈ −⎛⎝⎜
⎤⎦⎥
∈7 23
0 2, , ,
c) α β∈⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
∈ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
0 34
1 32
, , , d) ( )α β∈ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
∈3 35
0 1, , ,
e) α β∈ −⎡⎣⎢
⎞⎠⎟
∈⎡⎣⎢
⎞⎠⎟
12
1 12
2, , , f) ( ]α β∈ −⎛⎝⎜
⎤⎦⎥
∈12
2 0, , ,7
Algebră XI 111
AL – XI. 049 Se consideră matricea
. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=
1121025214222
αα
A
Să se precizeze valoarea parametrului α, pentru care rangul matricei este doi.
a) α = 3; b) α = 1; c) α = -5; d) α = 5; e) α = -3; f) α = 4 .
AL – XI. 050 Fie matricea
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+++=
16941321
1 32
aaaaaaaaxxx
A
Pentru ce valori reale ale lui a şi x matricea A are rangul 2? a) a = 0; x = 1 b) x = 1; a ∈ R c) a = 0; x ∈ R d) a = 0; x ∈(-1,2) e) pentru nici o valoare reală a lui a şi x. f) a = 0; x = 0
AL - XI. 051 Să se rezolve sistemul unde A= , B= . 2 5
3X Y AX Y B− =
− + =⎧⎨⎩
1 20 1−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
2 13 0⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
a) b) X YX Y=−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
13 115 3
0 06 1
, =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
5 06 1
13 115 3
,
c) d) X YX Y=−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
13 115 3
5 06 1
, =−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ =
− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 12 3
0 11 1
,
e) f) X = Y X Y=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
13 015 1
5 12 1
,−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 32 1
, =− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
5 12 1
112 Culegere de probleme AL - XI. 052 Să se precizeze care dintre perechile de matrice (X,Y), date mai jos,
reprezintă o soluţie a sistemului: .
1 01 1
0 11 1
2 22 3
1 21 1
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
X Y
X Y
a) b) XX Y=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 00 1
1 00 1
, Y=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
0 11 1
1 00 1
,
c) Y X d) X Y =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
0 11 1
1 10 0
, =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 00 1
1 10 0
,
e) f) X Y X Y=−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
0 11 1
1 10 0
, =−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
0 11 1
1 00 1
,
AL - XI. 053 Să se calculeze determinantul:
214322021
a) 8 b) 6 c) 16 d) 17 e) 18 f) 0 AL - XI. 054 Să se calculeze determinantul:
11
112
aaaa
a
−−
−−=Δ
a) 0 b) 2a2 c) 4a2
d) 6a2 e) 1 f) -1
AL - XI. 055 Să se calculeze det ( )1−A dacă ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
102130041
A
Algebră XI 113
a) 1 b) 21
c) 111
− d) 71
e) 111
f) 51
AL - XI. 056 Fie matricea , ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1326
A ( )RMA 2∈
Să se determine mulţimea matricelor ( ){ }0det,0det =+== XAXXM
a) sau b) sau ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yyxx
33
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ykyyky 22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yyyx
33
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛kyyxyy 22
c) sau d) sau ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛kyykyx
222
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛kyy
yky 22⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛kxkykyk2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛kykyxk2
e) sau f) sau ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yky
kxkx⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ykyxx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− xy
yx⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −xyyx
AL - XI. 057 Calculaţi determinantul Δ = −
−
x x
y y
y xy x
2
2
2 2
1
1 .
a) ( )( )( )Δ = + − +x y xy x y2 1 2 b) ( )( )( )Δ = − − −x y xy x y2 21
c) ( )( )( )Δ = − − +x y xy x y2 1 2 d) ( )( )( )Δ = + + +x y xy x y2 21
e) ( )( )( )Δ = − + + −x y xy x y2 1 2 f) ( )( )( )Δ = − − + +x y xy x y2 21