Post on 23-Feb-2018
3.TEORIA FILTRĂRII LI IARE OPTIMALE
3.1 CRITERIUL DE OPTIMIZARE
x(n) y(n) d(n)
e(n)
_ +
H(z)
e(n)
Se cunoaşte semnalul staţionar în sens larg, de medie nulă
+ , Semnal util Perturbaţie Dorim un filtru care să extragă semnalul util.
3.1 CRITERIUL DE OPTIMIZARE
x(n) y(n) d(n)
e(n)
_ +
H(z)
( ) 1,...,1,0,* −== �nwnh n
( ) ( )( ) ( ) ,....1,0,1
0
* =−=∗= ∑−
=nknxwnxhny
�
kk
şi
( ) ( ) ( )∑−
=
−−=1
0
*�
kk knxwndne
3.1 CRITERIUL DE OPTIMIZARE
x(n) y(n) d(n)
e(n)
_ +
H(z)
Cu notaţiile ( ) ( ) ( )[ ]T�nxnxn 1,..., +−=x ;
[ ] ;,...,, 110
T�www −=w
���� = ���� − ����
3.1 CRITERIUL DE OPTIMIZARE
Funcţie cost: eroarea medie pătratică
� = � ����� − �������∗��� − ������ � = � �����∗���� + �� �������� − �� ����∗���� −
−� ���������
� �����∗���� = ��2
( ){ } ( ) ( ){ }neneneJ *2 EE ==
� = � ����� ���� + � � ��� ����� − � � ���� ���� −
−� ���������
� �����∗���� = ��2 (puterea semnalului dorit)
� ������� = � (matricea de autocorelaţie)
� ����∗���� = � (vectorul corelaţiei între semnalul de
intrare şi semnalul dorit)
[ ] ;)1(),...,1(),0( Txdxdxd �rrr +−−=p
3.1 CRITERIUL DE OPTIMIZARE
Rwwwppw HHHdJ +−−= 2σ
3.2 ECUAŢIILE WIE ER-HOPF
J - funcţie de gradul doi de variabilele complexe wk=ak+jbk, k=0,...,�-1.
0=∇⇒ JJmin J∇ - gradientul complex,
0=
∂∂∂
=∇T
JJJJ ,...,, 0=
∂∂
∂∂
∂∂
=∇−�w
J
w
J
w
JJ
110,...,,
1 1-j ; +j
2 2i i i i i i
J J J J J J
w a b w a b∗
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
3.2 ECUAŢIILE WIE ER-HOPF
{ }
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1*
k k0 0
1j jb jb
2
H H
i
� �
k xd k xd
k ki i
xd
w
a r k a r ka b
r i
∗
− −
= =
∂+ =
∂
∂ ∂ = + − − + + − = ∂ ∂
= −
∑ ∑
w p p w
( )xdr i= −
{ }H H∇ + =w p p w p
3.2 ECUAŢIILE WIE ER-HOPF
{ }
( ) ( ) ( )1 1
k
1j jb j
2
i
H
� �
k l l xx
w
a a b r l ka b
∗
− −
= =
∂=
∂
∂ ∂ = + − + − = ∂ ∂
∑∑
w Rw
( )
k0 0
1
0
2 k l l xx
k li i
�
l xx
l
a b
w r l i
= =
−
=
∂ ∂
= −
∑∑
∑{ } ;H∇ =w Rw Rw
J∇ = − + =p R w 0
3.2 ECUAŢIILE WIE ER-HOPF
Hessianul transformării: RH 22 =∇= J pozitiv semidefinit, J(w) reprezintă o suprafaţă de forma unui paraboloid având un minim Jmin pentru w=wo care anulează gradientul
pRw =o
pRpwppwwppw
Rwwwppw1222
2min
−−=−=+−−=
=+−−=H
doH
dHoo
HHod
oHoo
HHodJ
σσσ
σ
( )∑−
=−=−=−
1
0, 1,...,0),(
�
lxdxxlo �iirilrw
3.3 PRI CIPIUL ORTOGO ALITĂŢII
Pentru filtrul optim: ( ) ( )nny H
oo xw=
( ) ( ) ( )nndne Hoo xw−=
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }* *E E E H
o o on e n n d n n n= −x x x x w
( ) ( ){ }*Eo o
n e n = − =x p Rw 0
� eroarea este ortogonală pe eşantioanele intrării.
( ) ( ){ } 0x =nen o*E
( ) ( ){ } 1,...,0,0E * −==− �kneknx o
3.3 PRI CIPIUL ORTOGO ALITĂŢII
� ieşirea yo(n) şi eroarea eo(n) corespunzătoare sunt ortogonale
x(n) x(n-1)
x(n-�-1)
( ) ( ){ } 0E * =neny oo
z-1
z-1
z-1
x(n) x(n-1) x(n-�-1)
∗1,ow
∗2,ow
∗−2,�ow
∗−1,�ow
( )nyo
∗0,ow
4. PREDICŢIA LI IARĂ
4.1 Predicţia înainte (directă)
x(n) y(n)
d(n)
e(n)
_ + H(z)
x(n-1)
x(n) un proces aleator staţionar cu valoare medie nulă. Se cunosc N eşantioane anterioare Se cunosc N eşantioane anterioare
( ) ( ) ( ) 1,...,2,1 −⇒−−− nX�nxnxnx Pe baza lor se doreşte o estimare a lui :
( ) ( ) ( ),1ˆ1
*1 ∑
=− −=−
�
k
Hkn nknxw=Xnx xw
( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]T�T
www�nxnxnxn ,...,,,,...,2,11 21=−−−=− wx
4.1 Predicţia înainte (directă)
eroarea de predicţie:
( ) ( ) ( )1ˆ −−= nf� Xnxnxne
Puterea erorii de predicţie: Puterea erorii de predicţie:
( ) .E2
= nePf��
4.1 Predicţia înainte (directă)
Analogii cu problema filtrării optimale: ( ) ( )nxnd ⇒
( ) ( )1−⇒ nn xx
( ) ( )nenef�⇒ ( ) ( )nene �⇒
�PJ ⇒min
( ) ( ){ } RxxR =−−⇒ 11E nn H
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )[ ]Txxxxxx �rrrnxn −−−=−=⇒ ,...,2,11E *xrp
( ){ } ( )0E 222xxxd rnx === σσ
4.1 Predicţia înainte (directă)
Se pot prelua direct următoarele rezultate: - ecuaţia Wiener-Hopf (ecuaţia normală)
rRwrRw 1sau −== oo - principiul ortogonalităţii
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } 0ˆE1E *1
* ==− − neXnxnenf�n
f� 0x
- Expresia puterii erorii de predicţie, în cazul coeficienţilor optimi,
( ) ( ) oH
oH
xxoH
x� rrP wrwrwr −=−=−= 002σ
4.1 Predicţia înainte (directă)
Filtrul predictor:
z-1
z-1
z-1
x(n) x(n-1) x(n-N)
∗1w
∗2w
∗−1�w
∗�w
( )1ˆ −nXnx
4.1 Predicţia înainte (directă)
Filtrul erorii de predicţie inainte
∑ ∑= =
−=−−=�
k
�
kk�ko
f� knxaknxwnxne
1 0,
*, )()()()(
unde
=−
==
�kw
ka k� ,...,1,
0,1*,
=−
=�kw
ako
k� ,...,1,*,
,
z-1
z-1
z-1
x(n) x(n-1) x(n-�)
1,�a 1, −��a
��a ,
)(nef�
10, =�a
4.1 Predicţia înainte (directă)
Ecuaţiile Wiener-Hopf extinse:
0o− =r Rw ( )0 H
o �r P− =r w
=
−
0wRr
r �
o
H Pr 1)0(
4.1 Predicţia înainte (directă)
=
−
0wRr
r �
o
H Pr 1)0(
Sau
=+ 0
*1
���
PaR
unde
−
= *1
o� w
a
şi RN+1 este matricea de autocorelaţie extinsă, de dimensiuni (�+1)x(�+1)
4.2. PREDICŢIA Î APOI (I VERSĂ)
Se cunosc:
( ) ( ) ( ) nX�nxnxnx ⇒+−− 1,,1, ⋯
Se doreşte un estimat al lui
x(n) y(n)
d(n)
_ + H(z)
x(n-N)
4.2. PREDICŢIA Î APOI (I VERSĂ)
( ) ( )∑=
+−=−�
kkn knxgX�nx
1
* 1ˆ
Eroarea de predicţie:
( ) ( ) ( )nb� X�nx�nxne −−−= ˆ
[ ]T= [ ]T�ggg ,...,, 21=g Puterea erorii de predicţie
( )
=
2E neP b
��
4.2. PREDICŢIA Î APOI (I VERSĂ)Analogii cu problema filtrării optimale:
( ) ( )
( ) ( )�
b�
oo
PJ
nene
�nxnd
⇒
⇒
⇒
−⇒
min
gw
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )[ ] .1...,,1,E ** Txxxxxx
B r�r�r�nxn −=−=⇒ xrp ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )[ ] .1...,,1,E xxxxxx r�r�r�nxn −=−=⇒ xrp
4.2. PREDICŢIA Î APOI (I VERSĂ)
Se preiau:
� Ecuaţia normală
� Puterea erorii de predicţie
*BrRg =
( ) grBT� rP −= 0
� Principiul ortogonalităţii ,
sau
( ) ( ){ } 0x =nen b�
*E
( ) ( ){ } 1,...,1,0,0E * −==− �kneknx b�
4.2. PREDICŢIA Î APOI (I VERSĂ)Filtrul ce realizează predicţia inversă
( ) ( )∑=
+−=−�
kkn knxgX�nx
1
* 1ˆ
z-1
z-1
z-1
x(n) x(n-1) x(n-�)
∗2g
∗�g
)(ˆ 1−− nX�nx
∗1g
4.2. PREDICŢIA Î APOI (I VERSĂ)Filtrul erorii de predicţie înapoi.
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= =
−=+−−−=�
k
�
kk�k
b� knxcknxg�nxne
1 0,
* 1
unde
=
−=−=
∗+
�k
�kgc k
k�,1
1,...,01,
z-1
z-1
z-1
x(n) x(n-1) x(n-�)
1,�c 1, −��c
)(neb�
0,�c 1, =��c
4.2. PREDICŢIA Î APOI (I VERSĂ)Ecuaţiile Wiener-Hopf extinse pentru predicţia inversă
*B− + =Rg r 0
( )0 BT�r P− =r g
( )
=
−
BT
B 0grR *
( )
=
�
BT Prr 10
sau
unde
=+
���
P
0cR *
1
−=
∗
1g
c�
4.2. PREDICŢIA Î APOI (I VERSĂ)Relaţie între coeficienţii filtrelor de predicţie directă şi inversă
rRgrgRrgRrRg =⇒=⇒=⇒= **** BBHBTB
gwwg =⇔= ** BB sau
�kwg k�k ,...,1,*1 == +−
*B
�� ac = sau
�kac k��k� ,...,0,*,, == −
( ) ⇒==== wrgrgrgrgr HBHBTBTBT **
puterile erorilor de predicţie sunt identice în cele două cazuri.
4.3 ALGORITMI EFICIE ŢI DE REZOLVARE A ECUAŢIEI ORMALE
A FILTRĂRII LI IARE OPTIMALE
Ecuaţia normală este un sistem Rezolvat prin metoda Gauss rezultă o complexitate de tip Algoritm rapid ar însemna Algoritm rapid ar însemna
4.3.1 Algoritmul Levinson-Durbin
Vom căuta o constantă km, astfel încât să fie posibilă o relaţie de forma:
1
1
00m
m m Bm
k−∗−
= +
aa
a
sau sau
+
=
−
−Bm
mm
m k1
**
1* 0
0 aa
a
mkakaa kmmmkmkm ,...,0,*,1,1, =+= −−−
0,1 ,10,1 == −− mmm aa
4.3.1 Algoritmul Levinson-Durbin
+
=
−
−Bm
mm
m k1
**
1* 0
0 aa
a
=+
m
mmm
P
0aR *
1
*BrR
( )
=+
0
*
1rBT
m
Bmm
mr
rRR
( )
=
=
−
−−−+ *
1
*1
*1
**1
1000 m
BTm
mmmBTm
Bmmm
mr ar
aRa
r
rRaR
4.3.1 Algoritmul Levinson-Durbin
**11
1 *10
m mmm BT
m m
−−+
−
=R aaRr a
Notăm
( )∑−
=−−− −==∆
1
0
*,1
*11
m
kkmm
BTmm mkraar
şi având în vedere forma extinsă a ecuaţiilor Wiener-Hopf pentru predictorul de ordin m-1,
∆
=
−
−
−−
+
1
1
1*1
10
m
m
m
mm
P
0a
R
4.3.1 Algoritmul Levinson-Durbin
+
=
−
−Bm
mm
m k1
**
1* 0
0 aa
a
( )
=
=
−
−
−−+ B
mm
Bm
Hm
Bmmm
Hm
Bm
mr
1
1
111
000
aR
araRr
ra
R −mmmm 1
==∆=
−
−−−−−
1
1*11
*11 ,
m
mmm
Bmmm
Bm
Hm
P
0cRaRar
∆
=
−
−
−
−+
1
1
*1
11
0
m
m
m
Bm
m
P
0a
R
4.3.1 Algoritmul Levinson-Durbin
∆
+
∆
=
−
−
−
−
1
*1
*1
1
m
m
mm
m
m
m
P
k
PP
000
∆
−− 11 mmm
P0
1*
1*
1*
1 0; −−−− +∆=∆+= mmmmmmm PkkPP
4.3.1 Algoritmul Levinson-Durbin
1*
1*
1*
1 0; −−−− +∆=∆+= mmmmmmm PkkPP ( )2−=
( )21 1 mmm kPP −= −
10 ≤⇒≥ mm kP
( ) ( ) ( ) ( )0; 000 rPnxnene bf ===
( )∏=
−=�
mm� kPP
1
20 1
4.3.1 Algoritmul Levinson-DurbinObservaţii
� Puterea erorii de predicţie scade o dată cu creşterea ordinului predictorului. � Coeficienţii km - coeficienţi de reflexie Pentru k=m,
mmm ak ,= � Se poate uşor arăta, folosind definiţiile şi principiul ortogonalităţii, că:
( ) ( ){ }nenefb *1E −=∆ ( ) ( ){ }nenef
mbmm
*111 1E −−− −=∆
unde ( )nef
m 1− - răspunsul filtrului erorii de predicţie directă de ordinul m-1, pentru secvenţa de intrare ( ) ( ) ( ),1,...,1, +−− mnxnxnx
( )11 −− nebm - răspunsul filtrului erorii de predicţie inversă, de ordinul
m-1, la secvenţa ( ) ( ) ( )mnxnxnx −−− ,...,2,1 .
4.3.1 Algoritmul Levinson-DurbinObservaţii
� Având în vedere că: ( ) ( ) ( )nxnene bf == 00
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )111E1E ***000 rrnxnxnenefb =−=−=−=∆
� Cunoscând ∆o şi Po se pot calcula, folosind relaţiile de recurenţă
( )( )
( ) ( )( )01
0;01
2
10
*0
1r
rrP
r
r
Pk −=−=
∆−=
4.3.1 Algoritmul Levinson-Durbin
( ) ( )�m
rrP
:1:1for
1;0 *00
=
=∆=
1
*1
−
−∆−=
m
mm
Pk
( )21 1 mmm kPP −= −
( )21 1 mmm kPP −= −
for mk :1:1=
*
,1,1, kmmmkmkm akaa −−− +=
end
( )∑=
−−=∆m
kkmm mkra
0
*, 1
end
4.3.1 Algoritmul Levinson-DurbinComplexitatea aritmetică a algoritmului
În pasul m al algoritmului trebuie efectuate: o împărţire; 2m+1 înmulţiri (două pentru calculul lui Pm, m-1 pentru
reactualizarea coeficienţilor am,k , şi m pentru calculul lui m∆ ). 2m adunări. Pentru efectuarea întregului algoritm, rezultă
∑�
2∑=
+=+�
m
��m1
2 3)22(
înmulţiri / împărţiri şi
∑=
+=�
m
��m1
2)2(
Dacă se utilizează o singură unitate aritmetică şi aceasta efectuează o operaţie aritmetică într-o unitate de timp, timpul total de calcul este O(�2) . Când se dispune de � unităţi aritmetice ce pot lucra în paralel timpul de calcul este ( )�� 2logO
4.3.2 Algoritmul Schur -definirea funcţiilor de tip ‘f’
Răspunsul filtrului erorii de predicţie de ordin m la secvenţa de autocorelaţie
∑=
∗=−=m
kxximxxkm
fm irakiraiy
0,, )()()(
=k 0 Conform ecuaţiei Wiener_Hopf pentru predictorul de ordin m
Elementele matricei de autocorelaţie sunt
4.3.2 Algoritmul Schur –
definirea funcţiilor de tip ‘f’
∑=
==−m
kxxkm mikira
0, ,...,1,0)(
miiy f ,...,1,0)( ==
miiy fm ,...,1,0)( ==
4.3.2 Algoritmul Schur –definirea funcţiilor de tip ‘f’
rezultă că rezultă că
( ) ,0
0 ( )fm
m
xx mm kk
y a r k P=
= − =∑
4.3.2 Algoritmul Schur –
definirea funcţiilor de tip ‘b’
Pornind de la predicţia inversă
∑=
∗=−=m
kxximxxkm
bm irckirciy
0,, )()()(
Dar *= *
,, kmmkm ac −= aşa încât
)()( * imyiy fm
bm −=
1,...,0,0)( −== miiybm
mbm Pmy =)(
4.3.2 Algoritmul Schur –
relaţii de recurenţă
Din relaţiile
1,1,1*
,1,1, −−−−−− +=+= kmmkmkmmmkmkm ckaakaa
1,1,1*
, −−− += kmkmmkm cakc se obţin nişte relaţii de recurenţă asemănătoare pentru aceste funcţii: se obţin nişte relaţii de recurenţă asemănătoare pentru aceste funcţii:
)1()()( 11 −+= −− iykiyiy bmm
fm
fm
)1()()( 11* −+= −− iyiykiy b
mf
mmbm
cu condiţiile iniţiale: )()()( 00 iriyiy xx
bf ==
4.3.2 Algoritmul Schur –coeficientul de reflexie
În particular 0)1()(0)( 11 =−+⇒= −− mykmymy b
mmf
mf
m de unde
)(− myf
)1(
)(
1
1
−−=
−
−
my
myk
bm
fm
m
4.3.2 Algoritmul Schur
�k :0for =
)()()( 00 krkyky xxbf ==
end �m :1for =
)1(
)(
1
1
−−=
−
−
my
myk
bm
fm
m
)1(1 −− mym
�mi :1for +=
)1()()( 11 −+= −− iykiyiy bmm
fm
fm
end �mi :for =
)1()()( 11* −+= −− iyiykiy b
mf
mmbm
end end
)(�yP b�� =
4.3.2 Algoritmul Schur –complexitate aritmetică
În pasul m se efectuează: o împărţire, pentru calculul lui mk ; �-m înmulţiri şi �-m adunări, în primul ciclu după i; �-m+1 înmulţiri şi �-m+1 adunări, în al doilea ciclu după i. Rezultă un număr de 2�-2m+2 înmulţiri / împărţiri şi 2�-2m+1 adunări, deci în total deci în total
∑=
+=+−�
m
��m�1
2)222(
înmulţiri / împărţiri şi
∑=
=+−�
m
�m�1
2)122(
adunări.
4.3.2 Algoritmul Schur –Modalitate practică de calcul
Iniţializarea algoritmului. Se constituie “matricea generatoare”
sau
=
)(...)2()1()0()(...)2()1(0
0�rrrr
�rrr
xxxxxxxx
xxxxxxG
4.3.2 Algoritmul Schur –Modalitate practică de calcul
Se constituie matricea
=
11
*1
11
k
kK
Se calculează
==
)(...)2()1(0)(...)2(00
'' 11011
�yyy
�yybbb
ff
GKG
)(...)2()1(0 111
011�yyy bbb
1K
11
*1
1
k
k
unde s-au avut în vedere relaţiile de recurenţă şi faptul că 0)1(1 =f
y .
4.3.2 Algoritmul Schur –Modalitate practică de calcul
Prin deplasarea spre dreapta cu o unitate a liniei a doua se obţine
sau
−
=)1(...)1()0(0
)(...)2()1(0'0
�rrr
�rrr
xxxxxx
xxxxxxG
Raportul elementelor coloanei a doua, cu semnul schimbat, determină primul coeficient de reflexie, k1 .
4.3.2 Algoritmul Schur –Modalitate practică de calcul
În continuare se repetă ultimele trei operaţii, deci în pasul m: • Se formează G’m din Gm prin deplasarea spre dreapta cu o
poziţie a liniei a doua. • Se calculează 1+mk ca raport cu semnul schimbat a 1+m
elementelor coloanei m+2 şi se formează matricea 1+mK . • Se calculează
mmm '11 GKG ++ = Procedeul se reia până se calculează toţi coeficienţii de reflexie.
4.3.2 Algoritmul Schur –Variantă paralel de implementare a algoritmului Schur
a a
r y a
r y k k
rxx(1) rxx(N-1)
F1 F2 F
rxx(N)
a
r
y
k
a
r
y
k
a
r
y
k
rxx(0) rxx(1) rxx(N-1)
F1 F2 F
B1 B2 B
4.3.2 Algoritmul Schur –
Variantă paralel de implementare a algoritmului Schur
F2,…,FN,B1,…,BN F1
D a
r
1 COM a k
D y
a
b
k
2 COM a
b
k*
-a/b
(.)*
a. b.
4.4 FILTRELE ERORII DE PREDICŢIE4.4.1 Proprietăţi ale filtrelor erorii de predicţie
Vom nota funcţiile de transfer ale filtrelor erorii de predicţie directă şi inversă de ordinul m cu:
( ) ( ) ∑ ∑∑= =
−−
−
=
− ===m
k
m
k
kkmm
kkm
bm
m
k
kkm
fm zazczHzazH
0 0
*,,
0, ;
1) Între funcţiile de transfer ale celor două filtre există relaţia
1( )
= −
** 1
zHzzH f
mmb
m
2) Caracteristicile amplitudine-frecvenţă ale celor două filtre sunt identice.
( ) ( ) ( ) ( )ωωωωω jfm
jbm
jfm
jmjbm HHHH eeeee * =⇒= −
4.4 FILTRELE ERORII DE PREDICŢIE4.4.1 Proprietăţi ale filtrelor erorii de predicţie
3) Relaţie de recurenţă. Având în vedere formulele mkakaa kmmmkmkm ,...,0,*
,1,1, =+= −−− rezultă:
( ) ( ) ( )zHzkzHzH bff 1−+= ( ) ( ) ( )zHzkzHzH bmm
fm
fm 1
11 −
−− +=
4.4 FILTRELE ERORII DE PREDICŢIE4.4.1 Proprietăţi ale filtrelor erorii de predicţie
4) Filtrul erorii de predicţie directă este de fază minimă. Pentru demonstraţie vom avea în vedere faptul că │km│<1, ceea ce, ţinând seama şi de proprietatea 2 conduce la:
( ) ( ) ( ) 1zpe1111 ==< −−−
− zHzHzHzk fm
bm
bmm
Teorema lui Rouché: Teorema lui Rouché: Dacă două funcţii F(z), G(z), sunt analitice pe conturul C din planul z şi în interiorul conturului, şi │G(z)│<│F(z)│ pe contur, atunci funcţia F(z)+G(z) are acelaşi număr de zerouri în interiorul conturului C ca şi F(z).
4.4 FILTRELE ERORII DE PREDICŢIE4.4.1 Proprietăţi ale filtrelor erorii de predicţie
Fie conturul C cercul │z│=1 şi vom aplica teorema aceasta pentru funcţiile: ( ) ( ) ( ) ( )zHzkzGzHzF b
mmf
m 11
1 , −−
− ==
C în sens direct trigonometric { } { }1int <=⇒ zC
C în sens invers trigonometric { } { }1int >=⇒ zC
( )fConform teoremei enunţate, dacă ( )zHf
m 1− nu are zerouri în │z│>1,
de aceeaşi proprietate se bucură şi ( )zH fm . Cum ( ) 10 =zH
f , rezultă
prin inducţie completă că ( )zH fm nu are zerouri în afara cercului │z│=1.
4.4 FILTRELE ERORII DE PREDICŢIE4.4.1 Proprietăţi ale filtrelor erorii de predicţie
5) Filtrul erorii de predicţie inversă este de fază maximă (are toate zerourile în exteriorul cercului │z│=1). Dacă se exprimă ( )zH f
m sub forma
( ) ( ) 1,11
1 <−=∏=
−i
m
ii
fm zzzzH
1=iavând în vedere proprietatea 1, rezultă
( ) ( ) ( )∏∏=
−
=
− −=−=m
ii
m
ii
mbm zzzzzzH
1
*1
1
*1
Nulurile acestei funcţii de transfer sunt de forma 1/zi*, i=1,...,m, şi sunt evident
situate în │z│>1, simetric faţă de zi în raport cu cercul │z│=1.
4.4 FILTRELE ERORII DE PREDICŢIE4.4.2 Forma "latice" de realizare a filtrului erorii de predicţie
( ) ( ) ( )
[ ] ( )( )
[ ] ( )( )1
,00,
00
11
1*1
11
=
−
+
−
=
=
+
==
−−
+−
−+
n
nxk
mnx
n
nknne
BHmm
mTm
m
T
Bm
mm
mTm
fm
xa
xa
xa
axa
Relaţii de recurenţă pentru eroarea de predicţie
[ ]( )
[ ]( )
( ) ( )1
1,00,
11
11
−+=
=
−
+
−
=
−−
−−
nkn
nk
mnx
mBHmmm
Tm
mmmm
xaxa
xaa
( ) ( ) ( )111 111 −=−=− −−− nenn b
mmTmm
BHm xcxa
( ) ( ) ( )111 −+= −− neknene b
mmf
mf
m
4.4 FILTRELE ERORII DE PREDICŢIE
4.4.2 Forma "latice" de realizare a filtrului erorii de predicţie
În mod asemănător se găseşte:
( ) ( ) ( )11 1*
1 −+−= −− neknenef
mmbm
bm
Cele două relaţii pot fi grupate
( )( )
( )( )
−
=
−
−
111
1
1*
ne
ne
k
k
ne
nebm
fm
m
m
bm
fm
4.4 FILTRELE ERORII DE PREDICŢIE
( )( )
( )( )
−
=
−
−
111
1
1*
ne
ne
k
k
ne
nebm
fm
m
m
bm
fm
z-1
km
*mk
)(1 nef
m−
)(1 nebm−
)(nebm
)(ne fm
4.4 FILTRELE ERORII DE PREDICŢIE
x(n)
)(0 nef
)(1 nef
)(2 nef
)(nef�
( ) ( ) ( )nxnene bf == 00 - intrarea filtrului
1k �k 2k
x(n)
)(0 neb )(1 neb
)(2 neb )(neb
�
4.4 FILTRELE ERORII DE PREDICŢIE
Se poate pune problema calculului coeficienţilor kk, cunoscând a�,1,...,a�,�. Pentru aceasta vom porni de la ecuaţia:
mkakaa kmmmkmkm ,...,1,0,*,1,1, =+= −−−
căreia îi vom alătura ecuaţia obţinută din aceasta prin conjugare complexă şi înlocuind k cu m-k. Rezultă sistemul: conjugare complexă şi înlocuind k cu m-k. Rezultă sistemul:
*,1,1
**,
*,1,1,
kmmkmmkmm
kmmmkmkm
aaka
akaa
−−−−
−−−
+=
+=
din care se calculează am-1,k,
2,
*,,,
2
*,,
,111
mm
kmmmmkm
m
kmmmkmkm
a
aaa
k
akaa
−
−=
−
−= −−
−
4.4 FILTRELE ERORII DE PREDICŢIE
Cunoscând setul de coeficienţi corespunzători predictorului de ordin �, {a�,k}, se trece, cu formula de mai sus, la cei corespunzători predictorului de ordin �-1, {a�-1,k} şi se determină km-1=am-1,m-1, şi aşa mai departe până la �=1. determină km-1=am-1,m-1, şi aşa mai departe până la �=1.
4.4 FILTRELE ERORII DE PREDICŢIE
4.4 FILTRELE ERORII DE PREDICŢIE
Cunoscând setul de coeficienţi corespunzători predictorului de ordin �, {a�,k}, se trece, cu formula de mai sus, la cei corespunzători predictorului de ordin �-1, {a�-1,k} şi se determină km-1=am-1,m-1, şi aşa mai departe până la �=1. determină km-1=am-1,m-1, şi aşa mai departe până la �=1. Problema inversă – se cunosc coeficienţii de reflexie ( de exemplu s-au determinat cu alggoritmul Schur) şi se doresc coeficienţii filtrului erorii de predicţie în forma tranversală. Se pormeşte în sens invers, de la filtrul de ordinul 1, pentru care se cunosc şi se măreşte succesiv ordinul.
4.4 FILTRELE ERORII DE PREDICŢIE
4.4 FILTRELE ERORII DE PREDICŢIE
O proprietate remarcabilă a structurii latice este aceea că se poate mări ordinul predictorului, adăugând pur şi simplu încă o celulă, fără a modifica în rest structura existentă. Faptul că toate celulele au aceeaşi structură este favorabil din punctul de vedere al posibilităţilor de integrare favorabil din punctul de vedere al posibilităţilor de integrare pe scară foarte largă.