1

Metoda Operaional de Rezolvare a Circuitelor n Regim Tranzitoriu

Metoda cuprinde urmtoarele etape: a. Se formeaz schema operaional echivalent a circuitului, cu sursele fictive corespunztoare

condiiilor iniiale i surselor date. n schem, mrimile se noteaz cu simbolurile operaionale.

b. Se aplic forma operaional a ecuaiei lui Kircchoff, obinndu-se ecuaii operaionale ale circuitului i se rezolv aceste ecuaii n raport cu imaginile funciunilor necunoscute.

c. Se calculeaz imaginile funciunilor de timp date (de obicei tensiunea electromotoare) cu transformare direct, utiliznd metodele de dezvoltare sau cu tabelele de transformri; se introduc aceste imagini n expresiile imaginilor funciilor necunoscute, obinndu-se astfel,

explicit, ca funciuni de variabil p aceste imagini.

d. Se determin funciunile de timp necunoscute cu metodele de inversiune, cutnd funciile original corespunztoare imaginilor determinate la sfritul etapei precedente.

Aplicaii:

I. Fie reeaua din figur la care la =< kt ,0 deschis se stabilete un regim permanent sub aciunea sursei de tensiune electromotoare constant 01 Ee = . Curenii din reea sunt

21

0021 RR

EIII+

=== 043 == II . Deoarece t=0 condensatorul C era ncrcat (n circuit deschis)

cu sarcina 0Q i la t=0 se nchide ntreruptorul k, s se scrie ecuaiile operaionale necesare determinrii imaginilor )();();();( 4321 pIpIpIpI ale curenilor din reea

R1 R2 L

R3 L2 L3

E0 k

I4=0

I3

I2= I4= I0 t0

1i * *

2

i3=0t

3

Se poate aplica teorema generatorului de tensiune echivalent sub forma:

( ) ( )( )pZRpUpIo

o

'

222

22

+= i ( ) ( ) ( )( )pZR

pURpIRpUo

o

'

222

22222

+==

unde ( )pU 20 este imaginea Laplace a tensiunii secundare de mers n gol, iar ( )pZ o'22 este impedana operaional echivalent a reelei cu bornele ( )2,2 pasivizat. Tensiunea secundar de mers n gol se deduce din ecuaia transformatorului n care punem:

1111 IZEU gg = i 02 =I

0211

21111220

=

+==

IZZ

ZEIZUg

g

Impedana echivalent de ieire este impedana echivalent, msurat pe la bornele de ieire

( )2,2 cnd primarul este pasivizat ( )01 =gE

Se scriu tensiunile la borne (ec.II): ( )( )

1 2 11 1 12

2 1 22 2 21

00

R j L I j L I UR j L I j L I U

= +

= + +

sau 121222

212111

IZIZUIZIZU

=

=

=== 122112 LjZZ impedana mutual; =1Z impedana proprie a primarului

Pentru =sZ impedana de sarcin 22 IZU s=

R1 1

R2 L1

L2 e1

2112 LLL =

1

U2

2 i2

2

*

*

I2(p)

1Lj 1I

1U *

I2

sZ 2U 2Lj *

r1 r2 12Lj

=2Z impedana proprie a secundarului

4

11

221

22g

e ZZZ

ZZ+

=

Ecuaia transformat devine: ( ) 12122212111

0 IZIZZIZIZU

s =

=

Impedana echivalent de intrare a transformatorului este 1

11 I

UZ e = .

Din ecuaia II 12

122 IZZ

ZIs

+=

Introducnd valoarea 2I n ecuaia 1 a sistemului de ecuaii, 2 2 21 2 12

1 1 12

e

s z s

Z LZ Z ZZ Z Z Z

= = +

+ +

Considerm un generator de tensiune electromotoare 1gE i impedan 1gZ ce alimenteaz o sarcin

printr-un transformator:

Considernd bornele de ieire ( )2,2 (A,B) se poate stabili o schem echivalent de tipul unui generator de tensiune pentru grupul generator-transformator, avnd:

200 UUE ABg == - (tensiunea secundar la mers n gol)

20 eABg ZZZ == (impedana echivalent la ieire) Tensiunea secundar de mers n gol se deduce din ecuaia transformatorului, n care:

11

211

212120

21111

0

0

ZZZE

IIZU

IsiIZEU

gg

gg

+=

=

=

==

Impedana echivalent de ieire este impedana echivalent, msurat pe la bornele de ieire

( )2,2 cnd primarul este pasivizat, deci 01 =gE Ecuaia este echivalent celei calculate la paragraful anterior, n care s-a

inversat rolul nfurrilor. Impedana de sarcin este acum 1gZ .

Dac ;;; 2221111212 LjRZLjRZLjZ +=+== elementele schemei echivalente sunt:

1U 1gZ

1gE

1 1R

12Lj

2Lj

2U Z

2R 2

20UE g =

2eg ZZ = Z

B2

A2 2I 1I 1 2

I1

5

111

221

2

2211

112 ;

gg

gg ZLjR

LLjRZ

LjRE

LjE++

++=+

=

Dac tranasformatorul este apropiat de un transformator ideal,

121

22

11

2112

2

21

2

12212121

~;~;~;;0~;0~ ggggg ZNNZE

NNEZL

NN

LLLLLRR >>=

Deci, transformatorul ideal multiplic tensiunea electromotoare a generatorului n raportul lui

de transformare 1

2

NN

, iar impedana cu ptratul raportului de transformare.

Aplicnd teorema generatorului echivalent, sub forma:

( ) ( )( )pZRpUpI

'

2022

202 +

= sau ( ) ( ) ( )( )pZRpURpIRpU

'

2022

202222 +

==

unde, ( )pU 20 este imaginea Laplace a tensiunii secundare de mers n gol, iar ( )pZ ' 202 este impedana operaional echivalent a reelei (cu bornele ( )2,2 pasivizate). Considernd relaia n complex:

( ) ( )11

212

2'

20211

12120 ; LjR

LjLjpZLjR

LjEU

++=

+=

rezult

( ) ( )11

221

2

2'

20211

12120 ;)( pLR

LppLpZ

pLRpLpEpU

+=

+=

i 21221 LLL =

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

1 2

1 1 2122 2 1 12

2 2 1 1 12

1 2

1

L Lp

RpLU p R E p E pR pL R pL p L p

+= =

+ + ++

unde 1 21 21 2

;L LR R

= = .

Cu aceasta, imaginea tensiunii electromotoare este ( ) ( )pTep

EpE = 101

i ( ) ( )1 2

2 01 1 2

1 2

11

pTL L eU p ER p

=

+ ++

6

( ) ( ) ( )1 2 1 21 2

2 01 1 2

t TtL L

u t t e h t T eR

+ +

= +

Funcia original este:

Efectund suma ( ) ( )tyty 21 + se obine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 01 2 1 2 1 20 0

10 0t t tt

y t y t y y e h t e h t x t x t e dt

+ = + + +

sau ( ) ( ) ( )1 2y t y t y t = + . Teorema derivrii

Dac ( )tye este rspunsul la excitaie ( )tx i stare iniial nul, rspunsul la excitaie dtdx

este

egal cu dtdye

.

Rspunsul la excitaie i stare iniial nul, este:

( ) ( ) ( ) 0/ /0 0

1o

tt t

ey t e h t x t e dt

a

=

Dac nmulim ambii termeni cu 0/te i derivndu-i n raport cu timpul, rezult:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 000

0'

0

/

0

/

0

/'

0

'/'

0

/

11

1

t

e

tte

ttt

e

etxtha

tyeety

dtetxtha

ety

=+

=

( )tV ( )ty

funcie

retardat

dtdx

dtdye

n

n

x

dtd

n

n

y

dtd

xdt ydt

7

( ) ( ) ( ) ( )txtha

tyty ee =+0

'

0

11

Considerm excitaia dtdx

i rspunsul ( )( )tye1

( )( ) ( ) ( ) dtetxthea

ty tt

te

00 /

0

/

1

1 1 =

nmulim ambii termini cu 0/te i derivm, obinnd o ecuaie similar: ( )( ) ( )( )

dtdx

atyty ee =+

0

111

0

11

Teorema integrrii

Analog

Teorema ntrzierii

Dac ( )tye este rspunsul la excitaia ( )tx i stare iniial nul, rspunsul la excitaia ( )0ttx este ( )0ttye .

0tF operatorul care aplicat unei funcii, 0 ntrzie cu 0t

( ){ } ( )00 ttytyFt = Dac considerm relaiile:

( ){ } ( ) ( )txtyadtdy

atyd =+= 101

cu soluia ( ) ( )txty d11= i aplicnd operatorul

0tF ultimei relaii, se obine:

( ) ( ){ } ( )[ ]{ }txFtyFtty dtt 110 00 == Operatorii

0tF i d1 fiind comutabili, rezult:

( )0ttx ( )0tty

( )ty ( ){ }tyFt0

t 0t

8

( ) ( )[ ]{ }txFtty td 0110 =

Teorema echivalenei ntre condiiile iniiale i excitaii delta

Rspunsul liber la starea iniial ( )0y i excitaie nul, este egal cu rspunsul la excitaie ( ) ( )tya 00 i stare iniial nul.

Dac se consider excitaia ( ) ( ) ( )tyatx 00= , rspunsul ( )tye se calculeaz astfel:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )theytdettheyty tt tte 000 /0

// 00 ==

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 100

01

0/===

===

etdtetdet

ftdtoftdttftdtt

o

t

o

t

Identificnd, rezult ( ) ( )tyty el = la o excitaie ( ) ( ) ( )toyatx 0= . Formula rspunsului complet este:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] tdetyatxea

ty tt

t+= 0

0

0 /

00

/

0

01

Circuitul R-L serie sub tensiune la borne

Rspunsul la excitaia treapt i stare iniial nul

Ecuaia circuitului este de forma:

( ) ( )tetRidtdiL =+ 101 adt

dad +=

Rspunsul circuitului este de forma :

( ) ( )thBety tsl 0/= ; RL

a

a==

1

00 ; ( )0lyB =

( ) =tye soluia particular a ecuaiei cu membrul doi.

( )tEhe = R

L

u

k i

9

( ) ( ) ( )=t

tte dtetxthe

aty

0

'/'/

0

0'

01

- rspuns la excitaie i stare iniial nul

i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +=+= t

ttteslt tdetxthe

athBetytyy

0

//

0

/ 000 1

Prin identificare, 0)0(0 === lyBLa

i ( )theL

y LtRt/1

= ( ) ( ) 10

/

0

/ 00==

tt

tt tdtetdet

Dac se aplic un semnal treapt, atunci :

( ) 00 /00

/ tt

tetdetx = i nlocuind, rezult:

( ) ( )RL

LthBety LtR += 1/ ( ) ( )the

Ree

LtRtt /// 1100 +=

( ) ( )theREi t 0/1 =

Rspunsul forat este:

( ) ( )thRE

ti f =

Rspunsul liber este:

( ) ( )theRE

ti tel 0/

=

( )theL

tLR

1

L1

t

( )theR

tLR

1

R1

t

10

( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ){ }

=

=

=

00/

0

0

0

0

ttxDe

a

thty

txDa

thty

tel

f

dac ( ) ( )tEhte = ( )

( ) ( ) EethLR

Lty

REE

dtd

LRL

ty

tel

f

=

=

=

0/

0

1

11