Post on 25-Jan-2020
1 | P a g e
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com
*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate
**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică
Clasele VII-XI
INTRODUCERE ÎN INEGALITĂȚI. METODE
Manuela Prajea1)
Scopul lecției de față este acela de a familiariza elevii de clasele VII-IX care se pregătesc pentru concursuri cu
câteva din principalele metode de demonstrare a inegalitatilor simetrice și/sau nesimetrice , omogene și/sau
neomogene. Lecția poate fi parcursă și fără profesor, exercițiile fiind prezentate gradual, având în vedere (sau nu)
metodele specificate la acel paragraf. La final sunt prezentate indicații de rezolvare dar recomandabil este ca
acestea să fie consultate doar în cazul exercițiilor cu )* sau )** sau la primele aplicații din cadrul fiecărei metode.
A) INEGALITĂȚI UZUALE, SIMETRICE ȘI OMOGENE -CALCUL DIRECT, DESCOMPUNERI ÎN FACTORI, ÎNSUMAREA
UNOR INEGALITĂȚI ANALOAGE și/sau INEGALITATEA MEDIILOR
Inegalitatea mediilor pentru două numere:
2 22
1 1 2 2
a b a bab
a b
, , 0a b
Inegalitatea mediilor pentru trei numere:
2 2 2
33
1 1 1 3 3
a b c a b cabc
a b c
, , , 0a b c
Inegalitatea mediilor pentru n numere, , 2n n :
2 2 2
1 2 1 21 2
1 2
... ......
1 1 1...
n nnn
n
a a a a a ana a a
n n
a a a
, 1 2, ,..., 0na a a
1) , 04
a b aba b
a b
2) 3 3 , 0a b ab a b a b
3) 22 2 4 4 2 2 ,a b a b a b a b a b 4) , , 0a b c ab bc ca a b c
2 | P a g e
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com
*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate
**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică
5) 1 1 1
9, , ,a b c a b ca b c
6) 9 , , ,a b c ab bc ca abc a b c
7) 2 2 2
2 2 2, , , 0
a b c a b ca b c
b c a c a b 8) 2 2 2 9 , , ,a b c a b c abc a b c
9) . , , 0bc ca ab
a b c a b ca b c 10) 4 4 4 , , ,a b c abc a b c a b c
11)
4
4 4 , , 08
a ba b a b
12) , , , 0
2
ab bc ca a b ca b c
a b b c c a
13) 6, , , 0a b b c c a
a b cc a b
14)
2 2 3 3 6 6
, ,2 2 2 2
a b a b a b a ba b
15) , , , , 0a c b d ab cd a b c d 16) 8 , , , 0a b b c c a abc a b c
17) 2 2 2 2 2 2 6 , , , 0a b c b c a c a b abc a b c
18) 3 3 32 , , , 0a b c a b ab b c bc c a ca a b c
19) 2 2 2 2 2 2
1, , , 0xy yz zx
x y zx xy y y yz z z zx x
20)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
yz zx xy
x y x z y z y x z x z y
3, , , 0
2x y z
21)
3, , , 0
2
a b ca b c
a b a c b c c a c a c b
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro-Etapa finală, clasa a VII-a, 2010
22)
9, , , 0
4
aa b c
a b a c a b c
23)
3
, , , 04
bca b c
a b a c
24) 3 2 6 22 4 6 , , , 0a b b c abc a b c 25) 3 3 2 3 2 22 4 , , 0a b a b ab a b a b
26) 33
, , , 02
x y zx y z
y z x 27)
2 21 1 9, , 0
a ba b
b a
28) 3 52 3 5 , , 0a b ab a b 29) 3 3 3 3 3 3
1, , , 01 1 1
xy yz zxx y z
x y y z z x
3 | P a g e
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com
*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate
**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică
30) 2 2 2
1 1 12 , , , 0
a b b c c aa b c
c a b a b c
31) a)
33 3
22 2, , , , 0
a ba ba b x y
x y x y
b) 3 3 3
2 2 2, , , , , , 0,
a b ca b c a b c x y z a b c x y z
x y z
Olimpiada Națională de Matematică-Etapa județeană, clasa a IX-a, 2009
32) Dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, arătați că:
2 2 2 2 2 2 4 4 41
2a b b c c a a b c
B) INEGALITĂȚI OMOGENE- SUBSTITUȚII si/sau INEGALITATEA CAUCHY-BUNIAKOVSKI
Inegalitatea Cauchy-Buniakovski
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n nx y x y x y x x x y y y , , 2n n , , , 1,i ix y i n
Aplicație: Inegalitatea Panaitopol
1 2 *1 2
11 1 1
1 2 1 2
...... , ,
...
ppp pnn
pp p p
n n
x x xxx xn p
y y y y y y
1) 3
, , , 02
a b ca b c
b c c a a b
2)
3, , , 0
2 2 2 2 2 2 5
a b ca b c
a b c a b c a b c
3)
1 1 1 9, , , 0
2a b c
a b b c c a a b c
4) 1 4 9 36
, , , 0a b ca b c a b c
5) 1, , , , 03 3 3 3
a b c da b c d
b c c d d a a b
6) 221 , , , 0a b a b c a b c a b c
7) 6 , , , 0x y y z z x x y z x y z
4 | P a g e
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com
*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate
**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică
8) 2 2 2 3
, , , 02
x y zx y z
y z z x x y
, 1xyz
9) 2 2 2
1 1 1 3, , , 0
2a b c
a b c b c a c a b
10) Dacă , , 0a b c astfel încât 2 2 2 5
3a b c , arătați că 2 10a b c
11) , , , 0abc a b c a b c a b c a b c (Euler)
C) INEGALITĂȚI NEOMOGENE ȘI/SAU NESIMETRICE –SUBSTITUȚII ȘI/SAU SIMETRIZARE/ OMOGENIZARE
1) 1 1 1 3
, , , 0, 12
a b c abca ab b bc c ca
2) 3
, , , 0, 11 1 1 2
a b ca b c abc
ab bc ca
3) 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 21 ... 1 ... ... ... 1 ... ,
2n n n n n
nx x x x x x x x x x x x x x x
*
1 2, ,..., 1,nx x x n
4)* 3 3 3
2 2 2 2 2 2, , , 0
3
a b c a b ca b c
a ab b b bc c c ca a
5)* 33 3
2 2 21 21 2
1 2 2 3 1
1... ... ,
2
nn
n
aa aa a a
a a a a a a
1 2, ,..., 0, , 3na a a n n
6)* 2 2 2
0, , , 0, 81 1 1
a b ca b c abc
a b c
Test OBMJ, 2008
7) 3 3 3
1 1 1 3, , , 0, 1
2a b c abc
a b c b c a c a b
D) INEGALITĂȚI DE TIP CEBÂȘEV
Dacă , 2n n și avem două secvențe de aceeași monotonie, adică :
1 2 ... na a a și 1 2 ... nb b b , atunci:
1) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1... ... ( ... )n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b , unde 1 2, ,..., nb b b
reprezintă o permutare a numerelor 1 2, ,..., nb b b .
2) 1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n nn a b a b a b a a a b b b .
Dacă , 2n n și avem două secvențe de monotonie inversă, adică :
1 2 ... na a a și 1 2 ... nb b b , atunci:
5 | P a g e
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com
*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate
**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică
1) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1... ... ( ... )n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b
, unde 1 2, ,..., nb b b
reprezintă o permutare a numerelor 1 2, ,..., nb b b .
2) 1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n nn a b a b a b a a a b b b .
1) 3 3 2 2 , , 0a b a b ab a b
2) 3 3 3 2 2 2 , , , 0a b c a b b c c a a b c
3)
3, , , 0
2
a b ca b c
b c c a a b
(Nesbitt)
4)
2 2 2
4, , , 1, 4x y z
x y z x y zy z x
5)
2 2 2
, , , 02
a b c a b ca b c
b c c a a b
6)
3 3 3 3 1, , , , 1, 2
2x y z t x y z t x y z t
7)
* *321 1 22 2 2
1 1... 1 ... , , , ,..., ,
2 3 2
nn
a aaa n a a a distincte
n n
E) INEGALITATEA LUI HOLDER/ INEGALITATEA LUI JENSEN**
HOLDER) Dacă 1 1
, 0, 1r sr s
și *, 0, 0, 1,i in a b i n , atunci:
1 1
1 1 1
n n nr sr s
i i i i
i i i
a b a b
JENSEN)** Dacă :f I este o funcție convexă (concavă) pe ,I atunci
*
1
, , 0, 1, , 1n
i i i
i
n x I i n
, avem: 1 1
n n
i i i i
i i
f x f x
1)
33 3*1 2
1 2 1 2
1 2 2 3 1
1... , , , , , ,..., 0, ... 1n
n n
n
xx xn x x x x x x
x x x x x x n
Test selecție OIM, Moldova, 2002
2)
33 3 3
, , , , , , 03
a b ca b ca b c x y z
x y z x y z
6 | P a g e
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com
*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate
**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică
3)** *1 2 1 21 2
... ..., , , , ,..., 0
mm m m
n nn
x x x x x xn m x x x
n n
4)** 1 1 1 3
3 2, , , 0,4
a b ca b c
a b c
5)** 2 2 2
9, , , 0,1
1 1 1 8
x y zx y z
x y z
6)**
9, , , 0
(2 ) 2 2 8
x y zx y z
x y z y z y z x z x z x y x y x y z
F) INEGALITĂȚI CU DEMONSTRAȚII GEOMETRICE
1) 1 1 1 1, , , 0,1x y y z z x x y z
2) 1 1 1 1 2, , , , 0,1x y y z z t t x x y z t
3) 2 2 2 2 , , , 0a ab b b bc c a c a b c
4) 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 , , ,a b c ac a b c ac a b a b c
5) 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 4 2, , ,x y x y x y x y x y z
6) 2 2 2 2 2 2 2 , , ,x y y z z x x y z x y z
G) INEGALITĂȚI TRIGONOMETRICE
1) 2 21 1 1, , 1,1x y y x x y
2)
2
22
1 1,
41
x xx
x
3)
2 2
1 1, ,
21 1
x y xyx y
x y
H) INEGALITĂȚI CARE SE DEMONSTREAZĂ CU AJUTORUL PROPRIETĂȚILOR UNOR FUNCȚII
1) 1, , , 0,1x y z xy yz zx x y z
2) 2 2 2 2 2 2 2 23 2 , , , , 0a ab b c cd d a c abcd b d a b c d
3)** 1 1 1
9 10, , , 1,2a b c a b ca b c
7 | P a g e
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com
*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate
**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică
4)** 3
2, , , 02
x y zx y z
x y y z z x
5)** 2, , , 0,11 1 1
a b ca b c
bc ca ab
6) 2 2 2 2 2 2 1, , , 0,1a b c a b b c c a a b c
7)** 2
2 2 2 2 2 2a b b c c a abc a b c a b c , , ,a b c lungimile laturilor unui triunghi
8)* 2 2 2 2 2 2 , , ,b c a
a b c a b c a b cc a b lungimile laturilor unui triunghi Test OIM, Moldova, 2006
Bibliografie:
(1) A. Petrușel și alții Algebră pentru clasele IX-XII, Ed.Studia, 2010
(2) L.Panaitopol, M.Lascu, V.Băndilă Inegalități, Ed.Gil, 1996
(3) I.V.Maftei, M.Piticari, Cezar Lupu și alții Inegalități alese în matematică, Ed.Niculescu, 2005
(4) Vo Quoc Ba Can Old and New Inequalities, Ed.Gil, 2008