Post on 15-Oct-2015
15
2 Divizibilitatea n mulimea numerelor naturale Dintre toate operaiile aritmetice, cea mai capricioas este mprirea. Ea dispune de proprieti speciale, de un caracter deosebit. Toate particularitile mpririi au favorizat apariia unor noiuni ca: numere prime, cel mai mare divizor comun, cel mai mic multiplu comun, criterii de divizibilitate. Dezvoltarea teoriei divizibilitii a dus treptat la o serioas extindere a ntregii teorii a numerelor. n multe probleme de determinare a unor numere naturale folosim noiunile studiate la divizibilitatea numerelor. Reamintim teorema mpririi cu rest i cele mai importante noiuni ale divizibilitii numerelor. 2.1. Teorema mpririi cu rest Pentru oricare dou numere naturale a i b cu b 0, exist i sunt unice dou numere naturale q i r astfel nct a = bq + r i r < b. a dempritul b mpritorul q ctul mpririi r restul mpririi Proprietatea 2.1.1. Dac adugm lui a un multiplu a lui b, restul mpririi nu se schimb. Fie a = bq + r | + mb a + mb = bq + r + mb = b(q + m) + r = b q1 + r Proprietatea 2.1.2. Dac nmulim dempritul i mpritorul cu un numr, restul se nmulete cu acel numr. Din a = bq + r | m, obinem am = bqm + rm, unde r m < mb Proprietatea 2.1.3. Dac numerele a i b se mpart cu un numr atunci i restul se mparte cu acel numr. Fie a = bq + r , r < b Dac a = m a1 i b = m b1, atunci avem a1 m = b1 m q + r | : m, a1 = b1 q + m
r
Proprietatea 2.1.4. Dac dou numere dau acelai rest la mprirea cu un numr m, diferena lor este divizibil cu m. Din a = m q1 + r i b = m q2 + r deducem a = m q1 + r - b = m q2 + r a b = m (q1-q2)
16
2.2. Divizibilitatea n N Definiia 2.2.1. Numrul natural a este divizibil cu numrul natural b dac exist numrul natural c astfel nct a = b c Notm: a M b ( a se divide cu b ) b | a ( b divide pe a ) b este divizorul lui a a este multiplul lui b Obs. Numrul natural a este divizibil cu numrul natural b dac restul mpririi lui a la b este zero. Proprieti Propoziia 2.2. 1. Dac a este divizor a lui b i c atunci este divizor i a lui b c. Din a | b b = m1 a a | c c = m2 a nsumnd cele dou egaliti membru cu membru obinem:
b + c = m1a +m2 a = a ( m1+m2 )= m3 a Scznd cele dou egaliti, rezult c :
b c = m1 a m2a = a( m1-m2 ) = a m3 ( b c) Propoziia 2.2.2. Dac a este divizor a lui b i c , oricare ar fi numerele naturale x i y, a va fi divizor i pentru bx + cy.
Din a | b b = m1a a | c c = m2a nmulim prima egalitate cu x i a doua cu y i obinem : bx = m1 a x cy = m2 a y Adunm membru cu membru i obinem : bx + cy = m1a x + m2 a y = a ( m1 x + m2 y ) = m a a | ( bx +cy ) Propoziia 2.2.3. Dac a este divizor a lui b i b divizor a lui c atunci a este divizor a lui c.
Din a | b b = m1a b | c c = m2b nlocuind n egalitatea a doua pe b obinem: c = m1m2a = m a a | c Proprietatea 2.2.4. Dac a | b i b | a atunci a = b .
Din a | b b = m1a b | a a = m2 b Substituind n prima egalitate pe a obinem : b = m1m 2 b | : b 1 = m1 m2 ; m1, m2 N m1 = m2 = 1 a = b Definiia 2.2.2. N umrul natural p , p 2 este prim dac se divide numai cu 1 i cu el nsui.
1 i p se numesc divizorii mpirii.
17
Obs : 10. Un numr care nu este prim se numete compus. 20. Numrul 2 este singurul numr natural prim i par. Propoziia 2.2.5.Cel mai mare divizor comun al numerelor naturale a i b este un numr natural d , care : divide pe a i b ; este divizibil cu orice divizor a lui a i b. Notm : c.m.m. d.c. sau ( a; b) Obs : 10 . Dac ( a; b) = 1 , atunci numerele a i b se numesc prime ntre ele . Propoziia 2.2.6. Cel mai mic multiplu comun al numerelor a i b este un numr natural m , care : este multiplu a lui a i b ; orice alt multiplu a lui a i b se divide cu el . Notaie : c.m.m.m. c. sau [a; b ] Propoziia 2.2.7. Dac a i b sunt numere naturale atunci avem :
a b = (a ; b)[a; b] 2.3. Determinarea unor numere prime n condiii date Probleme rezolvate R2.3.1. Determinai numerele prime a i b tiind c 28 a + 21b =2030. Soluie: 2030 M 2 21b M 2 ,dar 21 M 2 28a M 2
atunci, b M 2 i b este numr prim atunci b = 2. nlocuim n egalitatea dat i obinem :
28a+212 = 2030 28a = 2030 42 28a =1988 |: 28 a = 71
Numerele sunt : a = 71 , b = 2 . R2.3.2. S se gseasc numerele naturale p astfel nct numerele p , p2 + 4 , p2 + 6 s fie simultan prime . Soluie :
( ) p numr natural prim el are una din formele: 5k , 5k + 1 , 5k + 2 , 5k + 3 , 5k + 4. Vom demonstra c p are forma 5k i cum p este prim rezult c p = 5 .
Fie p = 5k + 1 p2 = (5k + 1 ) 2 =M5 + 1 P2 +4 =M5+1 + 4 =M5 + 5 = M5 (p2 + 4) M 5 b) p = 5k + 2 p2 = (5k +2 )2 =M5 + 4 p2 +6 = M5 + 10 = M5 ( p2 + 6 ) M 5 c) p = 5k + 3 p2 = ( 5k + 3 ) 2 = M5 + 9 p2 +6 = M5+ 9+ 6 = M5 + 15 = M5 (p2 + 6) M 5
d) p = 5k + 4 p2 = ( 5k + 4 ) 2 = M 5 + 16 p2 +4 =
18
= M5+ 16 + 4 = M5 + 20 =M5 (p2 + 4 ) M 5 Din a), b) , c), d) rezlt c p este de forma p =5k i p numr prim atunci p =5 i p2 + 4 = 29 , p2 + 6 =31, deci sunt numere prime. A doua soluie :
Ultima cifr a lui p poate fi 2 sau cifra impar : 1, 3, 5, 7, 9, atunci ptratul lui va avea ultima cifr 4, 1, 9, 5 u( p2 ) = 4 u ( p2 + 6 ) = 0 ( p2 + 6 )M5 ; u ( p2 ) =1 u ( p2 + 4 ) = 5 ( p2 + 4 ) M 5 , u ( p2 ) = 9 u ( p2 + 6 ) =5 ( p2 6 ) M 5 ; u ( p2 ) = 5 u ( p ) = 5 i p este prim p=5. R2.3.3. S se determine toate numerele naturale n i p pentru care numerele: p , p+ 3n , p+ 3n+1. p + 3n +2. p+3n +3 sunt prime. Soluie:
Dac p este numr impar atunci numerele p + 3n , p + 3n + 1 , p+ 3n + 2 , p + 3n +3 sunt numere pare , deci nu sunt prime rezult c p este numr par i prim deci p =2
Ultima cifr a puterilor consecutive a lui 3 poate fi : 1,3,7,9 atunci unul dintre numerele p + 3n, p + 3n+1, p + 3n +2 sau p+ 3n +3 va avea ultima cifr 5 deci va fi divizibil cu 5 i atunci nu va fi prim dect n cazul n care este egal cu 5. A tunci : p + 3n =5 2 + 3n = 5 3n =3 n =1 p =2 ; p + 3n =5 ; p + 3n+1= 11 ; p +3n+2 = 29 i p + 3n +3 = 83 sunt numere prime . Dac p+ 3n+1 = 5 3n+1 = 3 n =0 , atunci avem : p=2 p + 3n =3 p + 3n+1= 5 p + 3n+2= 11 p + 3n+3 = 29 sunt numere prime . Dac p + 3n+2 = 5 3n+2 = 3 imposibil. Soluiile sunt : 1) p = 2 i 2) p = 2 n = 0 n = 1 2.4.Probleme care se rezolv folosind teorema mpririi cu rest, cel mai mare divizor comun i cel mai mic multiplu comun Probleme rezolvate R2.4.1. Determinai cel mai mic numr natural care mprit la numerele naturale a, b, c d resturile a k ; b k ; c k , k N* i k < min(a,b,c). Soluie:
Fie n numrul cutat, atunci avem: n = ac1 + a k n + k = a ( c1 + 1 ) = Ma n = bc2 + b k + k n + k = b ( c2 + 1 ) = Mb n = cc3 + c k n + k = c ( c3 + 1 ) = Mc
19
n + k este multiplu comun al numerelor a, b, c, i pentru c este cel mai mic rezult c n + k =[a, b, c] n = [a,b,c] k.
n condiiile n care n1 n n2 vom determina multiplii comuni care ndeplinesc condiia dat , apoi calculm numrul n.
Exemplu: Aflai cel mai mic numr natural care mprit pe rnd la 5,6,7,8, d resturile 4,5,6,7.
Soluie : Fie n numrul , atunci: n = c15 + 4 n + 1 = 5 ( c1 + 1 ) = M5 n = c2 6 + 5 n + 1 = 6 ( c2 + 1 ) = M6 n = c37 + 6 +1 n + 1 = 7 ( c3 + 1 ) = M7 n = c48 + 7 n +1 = 8 ( c4 + 1 ) = M8 n + 1 multiplu comun al numerelor 5,6,7,8 i pentru c este cel mai mic rezult c n + 1 =[5,6,7,8] n + 1 = 840 n = 839 .
n cazul n care se impune condiia ca n s fie cuprins spre exemplu ntre 800 i 2003 atunci n + 1 { 840; 2840; 3840 } problema avnd trei soluii distincte. R2.4.2. Determinai cel mai mic numr natural care mprit la numerele naturale a, b, c obinem de fiecare dat restul r , r < min (a,b,c) . Soluie: Fie n numrul care trebuie determinat : n = a c1 + r n r = ac1 = Ma n = b c2 + r -r n r = bc2 = Mb n = c c3 + r n r =c c3 = Mc n r este multiplu comun al numerelor a, b, c i pentru c este cel mai mic n r = [a,b,c] n = [a, b,c] + r.
Dac asupra lui n se impune o condiie vom considera toi multiplii comuni care ndeplinesc condiia pentru a determina numrul n . Exemplu: Determinai numerele naturale cuprinse ntre 1200 i 5200 care
mprite la 20 ;28 ;36 s dea de fiecare dat restul 5. Soluie:
Fie n numrul, atunci avem : n = 20c1 + 5 n 5 = 20 c1 = M20 n = 28c2 + 5 -5 n 5 = 28 c2 = M28 n = 36c3 + 5 n 5 = 36 c3 = M36 n 5 este multiplu comun al numerelor 20;28; 36. Aflm c.m.m.m.c al numerelor [20;28;36] =1260 n 5 {1260;12602;12603;12604} n 5 = 1260 n = 1265 n 5 = 2520 n = 2525 n 5 = 3780 n = 3785 n 5 = 5040 n = 5045 Problema are patru soluii: 1265 ; 2525 ; 3785 i 5045
20
R2.4.3.Numerele a,b,c mprite la acelai numr natural dau resturile r1, r2 , r3 . S se afle numrul la care au fost mprite. Soluie:
Fie n mpritorul, n < min (a;b; c) a = nc1 + r1 | -r1 a - r1 = nc1 n | a-r1 b = nc2 + r2 | -r2 b r2 = nc2 n | b-r2 c = nc3 + r3 | -r3 c r3 = nc3 n | c-r3 n este divizor comun al numerelor a r1 , b r2 , c r3 , i n >max (r1;r2;r3) Aflm cc.m.m.d.c. al numerelor a- r1; b- r2 ; c- r3 ; i lum pentru n valorile celui mai mare divizor comun i divizorii si mai mari dect max (r1,r2 ,r3). Exemplu: Numerele 1333 i 351 dau resturile 13 i respectiv 15 la mprirea
cu acelai numr natural diferit de zero. Aflai acest numr. Soluie :
Fie n mpritorul , n > 15 1333 = n c1 13 |-13 1320 = nc1 351 = n c2 - 15 |-15 336 = nc2 n | 1320 i n | 336 n divizor comun al numerelor 1320 i 336. Aflm c.m.m.d.c a celor dou numere: (1320; 336) = 233 = 24. Singura soluie este n =24 pentru c divizorii ceilali alui 24 sunt mai mici dect 15. 2.5. Determinarea a dou numere naturale cnd cunoatem c.m.m.d.c. al lor i produsul sau suma numerelor Probleme rezolvate R2.5.1. Determinai numerele a i b naturale pentru care: (a, b) = 15 i ab = 6300 Soluie:
Din (a;b) =15 a = 15k i b = 15p unde k, p N* i (k; p) = 1 nlocuim pe a i b n relaia ab = 6300 i obinem : 15 k15p = 6300 | :225 kp = 12 1) k =1, p = 12 a= 15, b =180 2) k =12, p = 1 a = 180, b = 15 3) k = 3, p = 4 a = 45, b = 60 4) k = 4, p = 3 a = 60, b = 45 R2.5 2. S se afle numerele a i b naturale , tiind c cel mai mic multiplu comun al lor este m i produsul lor este p. Soluie:
Dac a, b N* atunci [ a;b](a;b) = ab Din aceast relaie rezult c (a;b) = c
mp
b][a;ba notam,
b][a;ab == (a;b) = c a
= ck , b = cp , k,p N* , (k;p) = 1.
21
Rezolvarea se face analog cu problema precedent. R2.5.3. Determinai numerele naturale a i b tiind c (a; b) = d i a + b = s. Soluie: (a; b) = d a = dk , b = dp , unde k,p N i (k;p) =1
nlocuim pe a i b n a + b = s i obinem : dk + dp = s | :d , k + p =
ds
N , pentru c d | s. Determinm perechile de numere (k;p) ce verific
egalitatea , apoi numerele a i b. 2.6. Fracii reductibile . Fracii ireductibile Pentru a demonstra c o fracie este ireductibil trebuie s artm c numrtorul i numitorul ei sunt numere prime ntre ele , numrtorul i numitorul fiind numere naturale . Fie a, b N*, a i b sunt prime ntre ele dac ( a; b ) = 1 unde ( a; b ) este c.m.m.d.c. al numerelor a i b. Probleme rezolvate
R2.6.1. Se consider fracia : ,23n35n
++
n N*. Artai c fracia este ireductibil. Soluie:
Presupunem c ( ) d astfel nct : d | 5n + 3 i d | 3n +2 d | 3(5n + 3) i d | 5( 3n + 2 ) d | 5(3n + 2 ) 3( 5n +3 ) d | 15n +10- 15n 9 d | 1 d =1 numrtorul i numitorul sunt
numere naturale prime ntre ele rezult c fracia este ireductibil.
R2.6.2.Artai c fracia : 415n 310n
++
, n N este ireductibil. Soluie:
Calculm c.m.m.m.c al numerelor 10 i15 [10 ; 15 ] = 30 , 30:10 =3; 30 : 15 = 2 . Fie d cel mai mare divizor comun al numerelor 10n +3 i 15n +4
d |10n + 3 i d | 15n+4 d | 3(10n + 3) i d | 2(15n +4) d | 30n + 9 - 30n 8 d |1 d =1 fracia este ireductibil.
Reductibilitatea fraciilor Pentru a arta c o fracie care depinde de o variabil natural este reductibil, procedm astfel:
22
Fie fracia: 32n13n
++
, n N. Determinai numerele naturale n pentru care fracia este reductibil.
Soluie: Fie d divizorul comun al numerelor 3n +1 i 2n + 3 d | 3n + 1 i d | 2n + 3 d | 2(3n + 1) i d | 3(2n + 3) d | 6n 9 6n 2 d | 7 d = 7 pentru c 7 este numr prim 7 |3n + 1 i 7 | 2n + 3 7 | (3n + 1) (2n + 3) 7 | 3n + 1 - 2n -3 7 | n 2 n 2 = 7k , k N n = 7k+ 2 n {2;9;16;23;;7k+2;}
Cel mai mic numr pentru care fracia este reductibil este n =2.
Bibliografie C. Nstsescu,C. Ni, C. Vraciu, Aritmetic i algebr, EDP 1993 D. Buneag, F. Boboc, D. Piciu, Aritmetic i teoria numerelor, Ed. Universitaria Craiova 1999 D. V. George, Cunotine vechi i noi despre divizibilitate, Ed. tiinific i enciclopedic 1990 I. Petric i colectivul, Manual pentru clasa a VI-a, Ed. Petrion 1998 C. Popovici, I. Ligor, V. Alexianu, Matematic-Aritmetic-Algebr, EDP Bucureti 1996 G. Turcitu, I. Rizea, C. Basarab, M. Duncea, Manual clasa a VI-a, Ed. Radical 1998 T. Udrea, D. Nuescu, Manual clasa a VI-a, EDP 1998 Gheorghe i Alina Drugan; Ion i Mihaela Ghica, Matematica n concursurile colare, Ed. Teora 1998, pag 34-38 A. Blaga, O.Pop, R. Pop. G. Buth, Matematica-Auxiliar la manualele de matematic, Ed. Gil Zalu 2001, pag 20-28 D. Brnzei, D. i M. Goleteanu, S. Ulmeanu, V. Gorgot, I. erdean: Matematica n concursurile colare, Ed. Paralela 45, 2000,2001,2002 D. Andrica, E. Jecan, D. Vlcan, I. Bogdan, Probleme calitative n matematica de gimnaziu,Ed. Gil Zalu 1998, pag 21-44 C. Moroti, M. Giurgiu, D. Radu, R. tefan, A. Ciupitu, G. Drugan, I. Ghica, Mate-matic-exerciii i probleme pentru clasa a VI-a, Ed. Meteor Press 2002, pag 12-17