Marius PERIANUC5t51iN M1INESCUCorina tr4inTgSCu

ESENTIAL)

Matematiciclasa a V-a

I

@1/ cruzul \/nrreurrrcrcxltonl

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

't.7.

Cuprins

Capitolul 1. Numere naturale

1.1. Scrierea 5i citirea numerelor naturale 7

1.2. Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor.

Compararea numerelor naturale. Aproximdri 12

Teste de evoluore ................. 16

Adunarea numerelor naturale........ "19

Sciderea numerelor naturale .. 24

inmullirea numerelor naturaleFactor comunOrdinea efectudrii operaliilor (l) ...................

impi4irea cu rest zero a numerelor naturale 43

impd(irea cu rest a numerelor naturale 46

Teste de eval uo re ........................... 4953Puterea cu exponent natural a unui numir natural

Compararea puterilor numerelor naturale 5861Sisteme de numeralie (extindere)

Ordinea efectudrii operaliilor (ll) .................. 64

Teste de evaluore ................. 69

1.14. Media aritmetici a doud numere naturale .. 73

1.15. Ecualii 5i inecualiiin mullimea numerelor naturale 75

1.16. Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecualiilor 5i inecualiilorgi probleme de organizare a datelorTeste de evoluare ........

1.1 7. Divizibilitatea numerelor naturale1.18. Criterii de divizibilitate ......................

Teste de evaluare .................

1.19. Probleme cu caracter aplicativ

Capitolul2. Multimi

2.'1. Mullimi ...i.....................

2.2. Relalii intre mullimi. Submullimi

28333639

1.8."t.9.

1.10.

1.11."t.12.'1.13.

79838792esloof

(!(o

sUlr,

103 E109 =ul112 E115 =o

3

2.3. Operaliicu mullimi

2.4. Mullimifinite gi mullimi infinite. Mullimea divizorilor gi

mullimea multiplilor unui numdr naturalTeste de eval uore ...............,.

2.5. Probleme cu caracter aplicativ

Capitolul 3. Variante de subiecte pentru tezi ............. ........ 131

Solulii

120123127

137

CAPITOLUL

IlJumere naturale1.1. Scrierea gi citirea numerelor naturale1.2. Reprezentalea pe axa numerelor.

Compararea numerelor naturale. AproximiriTeste de evaluare

1.3. Adunarea numerelor naturale1.4. Sciderea numerelor naturale

1.5. lnmullirea numerelor naturale

1.6. Factor comun

1.7. Ordinea efectuirii operaliilor (l)

Testedeevaluare1.8. impirlirea cu rest zero a numerelor naturale

1.9. impirlirea(u rest a numerelor naturale

Teste de evoluare1.1 0. Puterea cu exponent natural a unui numir natural

1.1 1. Compararea puterilor numerelor naturale

1.12. Sisteme de numeratie (extindere)

1.13. Ordinea efectuirii operaliilor (ll)

Testedeevaluare

1.14. Media aritmetici a doui numere naturale

1.15. Ecualii gi inecualii in mullimea numerelor naturale

1.16. Probleme care se rezolvi cu ajutoru! ecualiilor 9i inecuafiilorgi probleme de organizare a datelorTeste deevaluare

1.17. Divizibilitatea numerelor naturale

1 .18. Criterii de divizibilitateTeste deevaluare

1.19. Probleme (u caracter aplicativ

CAPITOLUL 1.

I'{umere naturalet.t. Scrierea gi citirea numerelor naturale

Scrierea. Pentru scrierea unui num5r natural, se folosesc unul sau mai multe din

urmdtoarele zece simboluri, numite cifre arabe:

01234s6789Fiecare numlr se scrie ca o succesiune de cifre, care se pot repeta, prima cifrfl a unui

numir natural de cel pulin doui cifre fiind diferite de 0. De asemenea, fiecare

succesiune de cifre reprezinti un numir. Acest mod de scriere a unui numlr natural se

numegte sistem zecimal, sau tn bazu zece, perrtnt cd zece unitili de un anumit ordin

formeazdo unitate de ordin imediat mai mare.

Citirea. Pentu a citi un numir natural, grupdm cifrele cdte trei de la dreapta spre

st6nga. Aceste grupe se numesc clase. Fiecare clasd se compune din unitSfi, zeci qi sute.

in ordine de la dreapta la stdnga avem; clasa unitifilor, clasa miilor, clasa milioanelor,

clasa miliardelor etc. Din acest motiv, scrierea numerelor inbaza zece este o scriere

pozilionald, deoarece fiecare cifrd are o anumitd valoare dupd locul uude este scris6.

Exemplu. in numirul 23 472 508 216, c1fra2 apare de trei ori, de la dreapta spre st6nga gi ea are

urmitoarele valori: sute, milioane gi respectiv zeci de miliarde'

'E,g'5,EAR.E

216clasa

unitdlilor

Descompunerea zecimali. Orice numdr natural de doud sau mai multe cifre se

scrie in mod unic sub forma unei sume de produse intre fiecare cifrI din scrierea

num6rului qi numirul ce indici ordinul cifrei respective (1, 10, 100, 1000 etc.).

ooE€.v.=otstr.9oo=€!tg'6ic)bN

23clasa

miliardelor

8866OOo

Hts.9oo=!!trg'6!r()AN

472clasa

milioanelor

oo:=Hg'6

5()@N

588clasamiilor

Exemple. t.37 =3'10+7 ;

2.275=2.100+7.10+5;

ab=10.a+biabc=100.a+10.0+c;

3.8086=8.1000t0'100+8'10+6; abcd:1000'a+100'b+10'c+d "

Cifre rdinane. Pentru scrierea numerelor naturale, romanii foloseau semnele:

r(l) v(5) x(10) L(s0) c(100) D(500) M(1000)

numite cifre romane, valoarea corespunzitoare fiecireia fiind cea scrisl in parantezd.

Sistemul de scriere folosit de romani nu este nici zecimal, nici pozilional. La scrie-

rea numerelor cu ajutorul cifrelor romane se line cont de urmltoarele reguli:

a. o cifr6 cu valoarea mai mici, scrisl la dreapta uneia cu o valoare mai mare indicd o

sum6:XV: l0+5, VIII:5+ 1 + 1 + 1, MC: 1000+ 100;

I

(E

9(El!s(JU

=ul

=a7

b. o cifrd cu valoare mai mic6, scrisd la stdnga uneia cu valoare mai mare indicd oscidere (nu se poate scddea mai mult de o cifr5!): IX: 10 - 1, CM: 1000 - 100;

c. cifrele I, X, C, M se pot scrie consecutiv de cel mult trei ori, iar cifrele V, L, D nu se

pot repeta consecutiv qi nici nu se pot scidea.

d. o cifr5 sau un grup de cifre se multiplicd de 1000 de ori trasAnd o linie deasupra

cifrei sau grupului respectiv: 7 = 10000 , XC =90000, Mrc =1099000 etc.

Observalie. Numdrul de numere naturale cuprinse trtre doud numere nanrrale date:

-dela I laz suntr?numerenaturale,iardela0lan sunt n +1 numerenaturale;

- in general, de la a la b (inchudndu-le pe a qi b) sunt b - a + | numere naturale.

ft,rautz

=(!coUft,l,IUIzEc

,(o}(oU

=zsOEuto.

.E(o

=O

8

1. Citili numerele:u) 839;d)xrx;g) 123456;

a) 650043;d) 2087321;g) 999040506;

c) 25057;

aMCM;i) s84s6999.

c) 2110443;

fl 452067;i) 202022.

CUNOASTERE 9I EXERSARE

b) 4170;e) M;h) 3040506;

Rezolvare. Se grupeazd num5rul in grupe de cdte trei cifre, de la dreapta spre

stdnga qi apoi citim.

|.b).:,4L7a:.-*patnimiior"tq,r$tezeci;1.l"-"'

iiiit:'.:)i;;;,j;.1

2. Scrieli cu litere qi citili numerele:b) 989001;e) 781005;h) 120;

3. Scrieli in cifre gi litere:a) anulnaqterii tale;c) vdrstata,

b) arnrJin care suntem;d) pimul an al mileniului al treilea.

4. Scrieli inbaza zece, aJ cifre arabe, numerele:

a) treizecigi qase; b) pattu sute cincizeci 9i doi c) o mie trei;

d) treirrllitrei; e) no]udmii cinci sute gase; J) notfimilioane cinci;

g) noui mii noul sute; h) trjeimli d<iu[ sute unu; fl doui sute dou[ zeci'

Rezolvare.

5. Scrieli inbazazece, cv cifre arabe, numerele:

a) Sapte mii noud sute optzeci qi doi; b) cinci mii doudzeci qi qapte;

c) trei milioane noui mii ungprgzece; d) p?\y sute de {i d99ryec! 9i trei..

Rezotvare.a '. ........,.1 b) ..,.,..',......-.-....; ,

6. Care dintre tastele telefonului sunt folosite pentru a forma numerele:

a) 0766393369; D) 080080081 1; c) 0249425559.

'Rezolvare.

,a)..'a,$,$::ti9;.t*i-*l-:.-i.*-i--:-*i-

c) :..-':::.-.'........'........... " ", "' :'7. a) Scietj cel mai mic numir natural de trei cifre.

b) Care este cel mai mare num[r natural de patru cifre identice?

c) Care este cel mai mic numdr natural de patru cifre diferite?

d) Scrieli cel mai mare numlr natural cu cinci cifre diferite dar cu cifra zecilor

egalS cu 8.

8. Se considerd urmitoarele numere naturale:

a = 123864 ; b : 6009 ; c = 1098 456 ; d = 510523 ; e : 983122

a) lndicatjcdordin are cifra 6 in scrierea fiec[ruia dintre numerele a, b, c.

b) Precizali cifra zecilor de mii din scrierea numerelor c qi d.

c) Ce ordin are cifra 5 din numdrul dd) Care dintre numere au aceeaqi cifrd a zecilor?

e) Ce ordinare ceamai mare cifri din numirul c?

fl Ce ordnare cea mai micd cifrd din num[ru] e?

I(o

J(E(5(!oI

=l!

=a

9

fTJrnulz

=lEC

o\J

3lr,IAutz

=.u,6,(gU

=zsGutof(!

=a

10

IIACUMULARE 9I CONSOLIDARE

9. a/ Scrieti trei numere impare cu suma cifrelor 3.D) Scriefi doud numere impare cu produsul cifrelor 5.c/ Scrieli patru numere pare cu suma cifrelor 8.

tO. a/ Scrieli toate numerele impare de forma nlo ;

D/ Scriefi numerele pare de forma 97 xx ;

c) Care sunt numerele impare de forma lx8x- ?

d/ Scrie{i toate numerele pare de forma 21x6.

11. Cdte numere cuprinse intre 20 qi 50 confn:a) citua3; D) cifrele identice; c) cifrele2sau3?

12. u) Deterntnaf; numerele de fomra abc Stiind ca atc = +.t00 + 2.10 + l.D) Determinali cifrele a, D, c Atiind cd 527 = a.100 + b.l0 + c .

c) Determinali cifrele a,b,c,dgtiind cd, alca=5.1000+0.100+7 .10+d .

13. a,) Aflafi numerele de forma *y, car;e se scriu *y, =t 100+2.10+3 ?

D/ Determinati cifrele a y gi z dacd, 805 = .r. 100 + y . 10 + z ;

c) Care sunt cifrele x, y, zSilrpentru "*" l*7y = 2.1000+6.100+w.10+9 ?

14. a/ Determinali numerele de forma 12ya glJrindcl produsul cifrelor sale este 24.D) Determinali numerele de forma 32a70- gtiind cd suma cifrelor sale este 17.

c) Care sunt numerele de forma 8wl I pentru care suma cifrelor este 19?

d) Determina{i numerele de forma 3al 13- gtiind cI produsul cifrelor sale este 8 I .

Rezolvare. a,) Observim ci produsul cifrelor numirului I2x4- este 1.2.x.4=8..x.Agadar, trebuie si cdutlmnumirulx astfel incdt 8.x =24 . Acestaeste x =3 .

15. c) Scrieli toate numerele azba gtiind ca a qi b sunt ilrmere consecutive gi cifrasutelor este mai mare dec6t cifra miilor.D) Scrief toate numerele de forma zalb gtiind c[ a gi b sunt cifre pareconsecutive, iar cifra zecilor este cu 3 mai mare decdt cifra sutelor.

c/ Scriefl toate numerele de forrna xyA Strind, cd x, y, z sunt numere imFare

consecutive qi cifra unitdlilor este mai micd decdt cea a miilor.

16. a) Scrieli primele 15 numere din girul numerelor naturale.b) Care este al 36-lea numdr natural din qirul numerelor naturale nenule?c) Care este al 20-lea termen numdr par din girul numerelor naturale?

17. a) Cdte mrmere naturale sunt de la I la29? Dar de laOla27?6) Cdte numere naturale sunt de la I la 35? Dar de la I 1 la 87? Dar de la lll b2A0?

18. a) Cdte numere impare se glsesc in qirul: 7,8,...,27,28?Q Clrte numere pare se gdsesc in qirul: 4, 6,8,..., 50?

t9. C6te numere naturale, cuprinse intre 100 9i 150, conlin:a) cifra 4; b) dofii cifre identice; c) cifrele I 9i 2?

2O. a) Cdte cifre se folosesc pentru a scrie numerele naturale pdnd la 27, inclusiv?

b) Cdte cifre se folosesc pentm a scrie numerele naturale pdnd la 100, inclusiv?

c) Cile cifre se folosesc pentru a scrie numerele naturale pdnd la 1000, inclusiv?

d) C6.te cifre se folosesc pentru a scrie numerele naturale de la l0l 9i pdnd la 500,

inclusiv?

Rezolvare. a)DeLa 0 la 9, inclusiv, sunt 9-0+1=10 numere formate dintr-o singurd

ci&d. De la l0la27 sgnt 27 - 10 + 1 , adicd l8 numere formate din doui cifre. Deci, pentru

scrierea numerelor naturale p6ni la 27 inclusiv am folosit I 0 . 1 + I 8 ' 2 = 46 de cifre.

21. De cdte ori seutilizeazdcifra 5 pentru a scrie toate numerele naturale de2 cifue?

22. a) Afla[inumerele naturale ry pentru "uri-

1*2 = y32

b) Afla+inumerele naturale ob" p"ntn "urt-

Tobo =*rb .

IIIAPROFUNDARE SI DEZVOLTARE

23. Scrieli urmdtorii 3 termeni pentru fiecare din girurile de mai jos:

a) 10,20,30, ..., ..., ... b) 12, 14, 16, ..., ..., ... c) 2, 5,8,d) 10,21, 32, ..., ..., ... e) 7 , 14, 21, ..., ..., ... J) 34, 45, 56,

24. a) Citte numere de doud cifre exist6?

b) AfTali cdte numere de dou[ cifre distincte existS.

c) Cdtenumere pare de forma x73y existd?

Rezolvare. a) Prima cifi6 a unui numdr de doud cifre ab poate fi oricare cifri de la I pdni

Iag,adicd se poate alege in 9 moduri. Pentru a doua cifr6 sunt 10 posibilitd,ti de alegere

pozilie, adicl oricare dintre cifrele de la 0 pind la 9. Pentru fiecare cifri a putem scrie

oricare din cele 10 cifre b, deci vor {i 9'10 = 90 numere naturale'

Metoda folositi mai sus se nume$te:

Regula plodusului. DacS un cuvdnt este format din r litere qi daci pentru Tlitera de pe locul fr (unde k=1,2,...,n ) existd au posibilitSli de alegere, g

independente de alegerile literelor anterioare, atunci numdrul cuvintelor formate E

din n litere este ?igal ct at'a2' ...' an. $25. a) Cdte numere naturale de patru cifre se pot forma cu cifrele 2, 5 qi 8? E

b) C6,te numere naturale de patru cifre se pot forma cu cifrele 0, 2,7? EEF

=o

11

TESTE DE EVALUAREa..aa:.:..:!3r.::::.1::.,;i.\::r::i:.\.4....:.)a:.,.:..i.t..;:l:j:..:tt:.a::).)t:.'t:..1ar:..',:;::.:t:::j;:.:1v.t...1::

Testul 1

(1p) t. Scrieli cu cifre urmltoarele numere naturale:a) trei sute treizeci qi qase; D) o mie cinci;c) un milion trei sute patruzeci gi cinci de mii doud sute doi;d) doud miliarde optzeci de milioane trei sute de mii cinci.

(1p) 2. Scrieli in cuvinte numerele naturale: u) 567 l; b) 20 003; c) 103 507.

(3p) 3. a) Scrieli cel mai mic numdr format din patru cifre distincte, cu cifra sutelor 8.

b) Determinali cel mai mare numir natural format din 4 cifre distincte.c/ Determinali cel mai mic qi cel mai mare numdr natural de 6 cifre diferite,qtiind cd suma acestor cifre este 17.

Qpl a. Ce num6r trmeazd in fiecare din urmdtoarele secvente:a)2 -+ 5 -+ 9 -+ 14 -+ ...?b) 132 -+ 374 -+ 5116 -+ ... ?

(1p) 5. Aflali cdte numere de trei cifre au exact doud cifre identice.

(1p) 6. Suma cifrelor numdrului abc este 25. Calcdati suma cifrelor numSrului

abc +1.

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordl I punct din oficiu.

fIrnulz

=(ocoU:)(,t^tltz

=.s)6)aoU

fzsOEUIo.

o

a

16

(2p)

(1p)

(2P)

(1p)

(2P)

Testul 21. a) Scriefi in ordine descrescdtoare numerele 3465,5634,6435 qi 4356.

b) Afla[i cel mai mare num6r natural de 5 cifre diferite, cu produsul cifrelor 0.

2. Dacd 237 = a. 100 + b.10 + c, atunci aflali valoarea produsului a.b . c.

3. Determinali cdte numere naturale de forma abc verificd relagia abc = ,bo .

4. Scrieli aproximarea prin lipsi pdnd la zeci a num[rufui 6453?

5. Pe axa numerelor se considerd punctele A qi B de coordonate 3 gi 14.

a) Afla\i coordonatele punctelor M, N, P situate intre A gi B astfel incdtAM =2, NB=6 9i PB=1.b) Determinali lungimile segmentelor OM, AN, PA Si MP.

(1p) 6. Determinali numerele naturale ob, cureverificd rela!ia abc = ,O + t" + * .

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acord[ 1 punct din oficiu.