Www.referat.ro Matrici Ac6aa

31
Colegiul Naţional de Informatică Spiru-Haret Suceava Matrici Referat la Matematică

Transcript of Www.referat.ro Matrici Ac6aa

Page 1: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

Colegiul Naţional de Informatică „ Spiru-Haret ” Suceava

Matrici

Referat la Matematică

Page 2: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

Elev :

Profesor :

Anul şcolar: 2008 - 2009

CUPRINS

1. MATRICI ……………………………………………………………………pg. 3

1.1. Tabel matriceal. Mulţimi de matrice1.2. Operaţii cu matrice

1.2.1. Adunarea matricelor1.2.2. Înmulţirea matricelor cu scalari1.2.3. Înmulţirea matricelor1.2.4. Puterea unei matrice pătratice1.2.5 Transpusa unei matrice

2. APLICAŢII…………………………………………………………………pg. 10

3. BIBLIOGRAFIE …………………………………………………………...pg. 23

2

Page 3: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

MATRICI

Definiţie. Se numeşte matrice cu m linii şi n coloane (sau de tip ) un tablou cu m linii şi n coloane

ale cărui elemente sunt numere complexe.

1.1. Tabel matriceal. Mulţimi de matrice. Să considerăm următorul enunţ din domeniul economiei.„Un depozit de materiale se aprovizionează eşalonat pe o perioadă de 4 luni cu un anumit produs după urmatorul plan:

- în prima lună se aprovizionează cu 100 de bucăţi, la preţul unitar de 3 000 unităţi monetare (u.m.).

- În a doua lună se aprovizionează cu 120 bucăţi la preţul unitar de 3 500 u.m.- În luna a treia primeşte cu 10 bucăţi mai puţin decât în luna precedenentă, cu

preţul pe unitate de produs de 3 200 u.m., iar în luna a patra comandă o cantitate dublă faţă de prima lună plătind 3 200 u.m. pe unitatea de produs.”

Pentru ţinerea unei evidenţe cât mai clare, aceste date pot fi ordonate şi clasate în diverse moduri, astfel încât obţinerea unor informaţii legate de acest proces de aprovizionare să se realizeze cât mai eficient.

Astfel, datele de mai sus pot fi grupate într-un tabel de forma:

Luna 1 2 3 4Cantitate 100 120 110 200

Preţ unitar 3 000 3 500 3 200 3 200

Într-un mod mai simplificat, aceste date pot fi reorganizate într-un tabel de forma:

sau

Un astfel de tabel se numeşte tabel matriceal.

3

Page 4: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

Primul tabel matriceal este format din 3 linii şi 4 coloane (este de tipul 3 x 4), iar al doilea tabel matriceal este format din 2 linii şi 4 coloane (este de tipul 2 x 4). Daca se ia în considerare numai linia care conţine cantităţile achiyiţionate lunar, se obţine un tabel de forma (100 120 110 200) numit tabel matriceal linie.

Dacă se consideră numai datele care caracterizează fenomenul în luna a treia se

obţine un tabel de forma sau , numit tabel matriceal

coloană.Aşadar, prin organizarea unor date legate de un fenomen în asemenea tabele

matriceale, se stabileşte de fapt o corespondenţă între poziţia ocupată de un număr din tabel şi valoarea acestuia.

Poziţia numărului din tabelul matriceal este uşor de identificat printr-o pereche ordonată de numere naturale (i, j) care arată că numărul se aflp pe linia i şi pe coloana j a tabelului.

Generalizarea unei astfel de corespondenţe, făcându-se abstracţie de natura materială a datelor folosite, conduce la introducerea unei noi noţiuni matematice.

Cazuri particulare1) O matrice de tipul (deci cu o linie şi n coloane) se numeşte matrice linie şi are forma

.2) O matrice de tipul (cu m linii şi o coloană) se numeşte matrice coloană şi are forma

.

3) O matrice de tip se numeşte nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O

.

4) Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numeşte pătratică.

.

Sistemul de elemente reprezintă diagonala principală a

matricii A, iar suma acestor elemente se numeşte urma matricii A

notată Tr(A) . Sistemul de elemente reprezintă diagonala

secundară a matricii A.Suma elementelor de pe diagonala principală a matricei A se numeşte urma

matricei A şi se noteaya Tr (A).Mulţimea acestor matrici se notează . Printre aceste matrici una este foarte

importantă aceasta fiind

4

Page 5: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

şi se numeşte matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).

Egalitatea matricelor

Fie matricele A, B , A= ( ) , B= .Definiţie.

Matricele A şi B se numesc matrice egale, dacă = , pentru fiecare i {1,2,…,m}, j {1,2,...,n}.

Problemă rezolvatăSă se determine a,b,x,y,m R astfel încât să aibă loc egalitatea de matrice A=B,

pentru , .

SoluţieDin egalitatea a =b rezultă Aplicând egalitatea a două numere

complexe se obţine , deci a {-1,1}, m=5.Din egalitatea a =b , rezultă 2b+1=7 şi b=3 . Egalităţile a =b şi a =b

conduc la relaţiile Se obţine x=2 si y=3.

Observaţii1. Folosind proprietăţile relaţiei de egalitate pe mulţimea C, relaţia de egalitate pe

mulţimea are următoarele proprietăţi:

Dacă A=A, A (proprietatea de reflexivitate).

Dacă A=B, atunci B=A, A, B (proprietatea de simetrie).

Daca A=B şi B=c, atunci A=C, A,B,C (proprietatea de tranzitivitate).

2. Dacă matricele A,B snu sunt egale, se scrie A B.

1.2.1. Adunarea matricelor

Definiţie. Fie , , . Matricea C se numeşte suma

matricelor A, B dacă: = + , , .

Observaţii1) Două matrici se pot aduna dacă sunt de acelaşi tip, adică dacă au acelaşi număr de linii şi acelaşi număr de coloane, deci A, B .

5

Page 6: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

2) Explicit adunarea matricelor A, B înseamnă:

+

=

.

Exemplu: Să se calculeze A + B pentru:

1. ;

2.

R. 1. Avem

2. Avem

.

Proprietăţi ale adunării matricelor (Asociativitatea adunării). Adunarea matricilor este asociativă, adică:

, A, B, C . (Comutativitatea adunării). Adunarea matricelor este comutativă, adică:

, A, B . (Element neutru). Adunarea matricelor admite matricea nulă ca element

neutru, adică astfel încât A + = A, A .

(Elemente opuse). Orice matrice A are un opus, notat , astfel încât

.

1.2.2. Înmulţirea matricelor cu scalari

Definiţie.Fie C şi A = . Se numeşte produsul dintre scalarul

C şi matricea A, matricea notată definită prin = .Obs.: A înmulţi o matrice cu un scalar revine la a înmulţi toate elementele matricii cu acest scalar.

Deci =

.

6

Page 7: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

Exemplu Fie . Atunci 6A = .

Proprietăţi ale înmulţirii matricelor cu scalari , C, A ;

, C, A, B ;

, C, A ;

,1 C, A ;

1.2.3. Înmulţirea matricelor

Definiţie. Fie A = , B = . Produsul dintre matricele

A şi B (în aceasta ordine), notat AB este matricea C = definită prin

, , .

Observaţii1) Produsul AB a două matrici nu se poate efectua întotdeauna decât dacă A , B

, adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B,

când se obţine o matrice C = AB .

2) Dacă matricile sunt pătratice A, B atunci are sens întotdeauna atât AB cât şi BA, iar, în general, AB BA adică înmulţirea matricelor nu este comutativă.

Proprietăţi ale înmulţirii matricelor (Asociativitatea înmulţirii). Înmulţirea matricelor este asociativă, adică

, A , B , C . (Distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea). Înmulţirea matricelor

este distributivă în raport cu adunarea matricelor, adică A, B, C matrici

pentru care au sens operaţiile de adunare şi înmulţire. Dacă este matricea unitate, atunci

A .Se spune că este element neutru în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor.

1.2.4. Puterea unei matrice pătratice

7

Page 8: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

Proprietatea de asociativitate a înmulţirii matricelor pătratice permite definirea puterii cu exponent natural a unei matrice pătratice.

Fie A (C). Definim se defineşte puterea n a matricei A prin .

Exemplu:

Daca A= atunci :

* =

* =

* =

1.2.5 Transpusa unei matrice

Definiţii:

Fie matricea A= . Se numeşte transpusa matricei A, matricea

, unde , pentru oricare k Operaţia prin care fiecărei marice A i se asociază matricea transpusă

se numeşte operaţia de tramsăinere a matricelor.

Observaţii:

1. Matricea transpusă se obţine din matricea A prin schimbarea liniilor în coloane şi a coloanelor în linii.

2. Dacă unde Tr(A) este urma matricei A.

8

Page 9: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

APLICAŢII

1. Manual

Să se determine numerele reale x, y, z astfel încât să aibă loc egalitatea de matrici, în cazurile

a)

b)

c)

9

Page 10: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

I. dacă , atunci II. dacă , atunci

d)

2. Să se calculeze în cazurile:

1) , .

2) ,

3. Se consideră matricile

,

,

.

Să se determine m, n, p astfel încât .

. Deci

4. Se consideră matricile .

, .

Să se calculeze: , .

5. Calculaţi produsele de matrici , unde

10

Page 11: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

a) şi

b) şi

c) şi

d) şi

e) şi

6. Să se calculeze , dacă:

;

11

Page 12: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

7. Fie . Să se calculeze , .

Inducţie matematică

(A)

Deci .

8. Calculaţi determinanţii de ordinul doi:

1)

2)

3)

9. Calculaţi determinanţii de ordinul trei:

1)

2)

3)

10. Calculaţi determinanţii următori:

1)

2)

12

Page 13: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

11. Să se rezolve ecuaţiile:

1)

Deci .

12. Să se rezolve ecuaţiile:

1)

13. Fie pentru care . Să se arate că ,

.

Pentru x = 0 şi y = 1

Pentru x = 1 şi y = 0

Pentru x = 1 şi y = 1

Pentru x = 1 şi y

13

Page 14: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

Deci

2. Bacalaureat

1. Să se determine matricea X din ecuaţia

2. a) Găsiţi matricea X astfel încât

b) Să se determine m astfel încât sistemul următor să fie compatibil şi apoi rezolvaţi-l:

a)

Deci .

b)

3. a) Fie matricea A ; , . Să se calculeze

şi şi apoi să se determine , în funcţie de n. b) Să se afle numere reale astfel încât

14

Page 15: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

a)

Inducţie matematică

(A)

Deci .

b)

Deci .

4. a) Să se determine astfel încât:

b) Să se detrmine matricea A astfel încât:

a)

b)

.

5. Să se rezolve ecuaţia:

15

Page 16: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

6. Dacă sunt rădăcinile ecuaţiei să se

calculeze determinantul .

7). Să se calculeze

f( x ) = (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 7)

=

8). Să se calculeze

9). Să se calculeze

f( x ) =(x – 1)arcsin x.

=

3. Bacalaureat 2009

1).

16

Page 17: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

2).

3).

17

Page 18: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

4).

18

Page 19: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

5).

7).

19

Page 20: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

8).

9).

20

Page 21: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

10).

4). Olimpiada

O1). Să se rezolve sistemul:

Rezolvare:

Condiţii de existenţă: x,y R*+

21

Page 22: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

Ecuaţia ataşată:

1

- - - - - - - - 0 - - - - - -

Deci

O2) Să se găsească valorile lui x astfel încât:

Răspuns:

Se observă că x=0 este soluţie

=

Se consideră şi

f(x) este strict crescătoare pe Rg(x) este strict descrescătoare pe R

O3) Fie a R. Să se rezolve în R ecuaţia: Rezolvare:

O4) Să se rezolve sistemul:

Rezolvare:

22

x=0 este soluţie unică a ecuaţiei

Page 23: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

Condiţii de existenţă: x,y R*+

Observăm că este soluţie a sistemuluiVerificare:

33-22=27-4=23

Cazul 1 x (0;3)

Din relaţiile (1) şi (2)→contradicţie→nu există soluţii pentru x (0;3) (3)

Cazul 2 x (3;+∞)

Din relaţiile (1) şi (2)→contradicţie→nu există soluţii pentru x (3;+∞) (4)

Din relaţiile (3) şi (4)→ecuaţia are soluţie unică

O5) Să se rezolve ecuaţia:4x+9x+25x=6x+10x+15x

Răspuns:Observăm că x=0 verifică ecuaţia.Verificare: 1+1+1=1+1+1→3=3 (A)Soluţia 1: Notăm 2x=a

3x=b5x=c

ecuaţia 4x+9x+25x=6x+10x+15x se poate scrie a2+b2+c2=ab+ac+bc

a2+b2≥2aba2+c2≥2bcb2+c2≥2ac +2(a2+b2+c2) ≥2(ab+bc+ac)→ a2+b2+c2 ≥ab+bc+ac

Egalitatea are loc dacă a=b=c → 3x=2x=5x→x=0

Soluţia 2

4x+9x-6x =+10x+15x-25x ⁄ :10x

Definim următoarele funcţii:

23

Page 24: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

f(x)= este strict descrescătoare pe

R

g(x)= este strict crescătoare pe R

O6) Să se rezolve ecuaţia:

Rezolvare:Observăm că x=2 este soluţie a ecuaţiei.Verificare:

Definim următoarele funcţii:

f(x)= , →f(x) este strict descrescătoare pe

R

g(x)=(sin )x, →g(x) este strict crescătoare pe R

f(x)+g(x)= este strict descrescătoare pe R

Deci x=2 este soluţie unică.

24

Soluţia unică este x=0

Page 25: Www.referat.ro Matrici Ac6aa

BIBLIOGRAFIE

1. Marius Burtea şi Georgeta Burtea, Manual de Matematică, clasa a XI-a, Editura Carminis.

2. C. Niţă, C. Năstăsescu, M. Brandiburu, D. Joiţa, Culegere de probleme pentru liceu - algebra - clasele IX - XII (editie noua revizuita si adaugita), Editura Rotech Pro.

3. Carmen Angelescu, Nicolae Baciu, Cătălin Zîrnă, Ismet Omer, Nicolae Buzduga, Ghid de recapitulare pentru BACALAUREAT 2009 - MATEMATICA M1+M2 , Editura Sigma.

4. Materia predată la oră, de către profesorul Oanea Călin.

5. Caietul de notiţe, dar şi de teme acasă.

6. Internet.

Powered by http://www.referat.ro/cel mai tare site cu referate

25