Referat.clopotel.ro-referat La a MATRICI SI Deter Min Anti

8/8/2019 Referat.clopotel.ro-referat La a MATRICI SI Deter Min Anti

1/65

Liceul de InformaticSpiru-Haret Suceava

Elev : Alexevici Ctlin

Profesor coordonator: Oanea Clin

referat.clopotel.ro 1


2/65

CUPRINS

1. MATRICI pg. 11.1. Despre matrici1.2. Operaii cu matrici

1.2.1.Egalitatea a dou matrici1.2.2.Adunarea matricilor1.2.3.nmulirea cu scalari a matricilor1.2.4.nmulirea matricilor

2. DETERMINANI .pg. 52.1. Definiia determinantului de ordinn42.2. Definiia determinantului de ordin n

2.3. Proprietile determinanilor2.4. Calculul inversei unei matrici2.5. Ecuaii matriciale

3. APLICAII pg. 12

Adres de e-mail: alexey @mail2grandpa.comCopyright C 2003 Alexey

mailto:[email protected]:[email protected]


3/65

MATRICI I DETERMINANI

MATRICI

1.1. Despre matrici

Acest concept l-am ntalnit nca din primul an de liceu, atunci cnd s-a pus problema

rexolvarii unui sistem de dou ecuaii cu dou necunoscutex,y, de forma

=+

=+''' cybxa

cb ya x.

Acestui sistem i-am asociat un teblou ptratic, care conine coeficienii necunoscutelor (nprima linie sunt coeficienii luix,y din prima ecuaie, iar in a doua linie figureaz coeficienii luix,

y din ecuaia a doua):

''ba

ba.

Am numit acest tablou matrice ptratic (sau matricea sistemului). Pe cele dou coloane alematricei figureaz coeficienii luix (pe prima coloan a, 'a ) i respectiv coeficienii luiy (pe a doua

coloan b,'

b ).

Definiie. Se numete matrice cu m linii i n coloane (sau de tip nm ) un tablou cu mlinii i n coloane



4/65

m nmm

n

n

aaa

aaa

aaa

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .

. . .

21

22 22 1

11 21 1

ale crui elemente ija sunt numere complexe.

Uneori aceast matrice se noteaz i ( jiaA = unde mi ,1= i nj ,1= . Pentru elementul ija, indicele i arat linia pe care se afl elementul, iar al doilea indicej indic pe ce coloan este situat.

Mulimea matricilor de tipnm

cu elemente numere reale se noteaz prin ( )Rnm,

.Aceleai semnificaii au i mulimile ( )Znm, , ( )Qnm, , ( )Cnm, .

Cazuri particulare1) O matrice de tipul n1 (deci cu o linie i n coloane) se numete matrice linie i are forma

( )naaaA ...21= .2) O matrice de tipul 1m (cu m linii i o coloan) se numete matrice coloan i are forma

=

ma

a

a

B. . .

2

1

.

3) O matrice de tip nm se numete nul (zero) dac toate elementele ei sunt zero. Se noteaz cuO

=

0. . .00

. . .. . .. . .. . .

0. . .00

0. . .00

O .

4) Dac numrul de linii este egal cu numrul de coloane, atunci matricea se numete ptratic.



5/65

=n nnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .

. . .

21

22 22 1

11 21 1

.

Sistemul de elemente ( )nnaaa ...2211 reprezint diagonala principal a matricii A,iar suma acestor elemente nnaaa ... 2211 +++ se numete urma matriciiA notat Tr(A)

=

=n

i

iia1

. Sistemul de elemente ( )1121 ... nnn aaa reprezint diagonala secundar a matricii

A.Mulimea acestor matrici se noteaz ( )Cn . Printre aceste matrici una este foarte

important aceasta fiind

=

1. . .00. .. . .. . .. . .

0. . .10

0. . .01

nI

i se numete matricea unitate (pe diagonala principal are toate elementele egale cu 1, iar n restsunt egale cu 0).

1.2. Operaii cu matrici

1.2.1.Egalitatea a dou matrici

Definiie. Fie jiaA = , jibB = ( )Cnm, . Spunem c matricile A, B sunt egale i

scriemA = B dac jia = jib , ( ) mi ,1= , ( ) nj ,1= .

Exemplu: S se determine numerele realex,y astfel nct s avem egalitatea de matrici



6/65

= ++ xx

yx

yxx

290

12

20

1.

R. Matricile sunt egale dac elementele corespunztoare sunt egale, adic:

=

=

=+

=+

.292

00

1

21

xyx

xyx

x

Rezolvnd acest sistem gsim soluiax = 1,y = -3.

1.2.2.Adunarea matricilor

Definiie. Fie jiaA = , jibB = , jicC = ( )Cnm, . Matricea C se numete sumamatricilorA,B dac: jic = jia + jib , ( ) mi ,1= , ( ) nj ,1= .

Observaii1) Dou matrici se pot aduna dac sunt de acelai tip, adic dac au acelai numr de linii i acelainumr de coloane, deciA,B ( )Cnm, .2) Explicit adunarea matricilorA,B nseamn:

m nmm

n

n

aaa

aaaaaa

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .

. . .

21

22 22 1

11 21 1

+

m nmm

n

n

bbb

bbbbbb

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .

. . .

21

22 22 1

11 21 1

=

+++

+++ +++

m nm nmmmm

nn

nn

bababa

babababababa

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .

. . .

2211

222 22 22 12 1

111 21 21 11 1

.

Exemplu: S se calculezeA + B pentru:



7/65

1.

= = 511350

,103

211BA

;

2. .01

10,

11

11

=

=BA

R. 1. Avem



8/65

611

141

511013

3-251-01

511 0

350

103

211

BA 2. Avem



9/65

1021

01111101

.0110

1111

BA

.

Proprieti ale adunrii matricilor

1A (Asociativitatea adunrii). Adunarea matricilor este asociativ, adic:

( ) ( )CBACBA ++=++ , ( )A,B, C ( )Cnm, .2

A (Comutativitatea adunrii). Adunarea matricilor este comutativ, adic:ABBA +=+ , ( )A,B ( )Cnm, .

3A (Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nul ca element neutru, adic

nmO , ( )Cnm, astfel nct A + nmO , =A, ( )A ( )Cnm, .4

A (Elemente opuse). Orice matriceA ( )Cnm, are un opus, notat A , astfel nct( ) nmOAA ,=+ .

1.2.3.nmulirea cu scalari a matricilor

Definiie.Fie CiA = jia ( )Cnm, . Se numete produsul dintre scalarul

Ci matriceaA, matricea notat A ( )Cnm, definit prin A = jia .Obs.: A nmuli o matrice cu un scalar revine la a nmuli toate elementele matricii cu acest scalar.



10/65

Deci A =

m nmm

n

n

aaa

aaa

aaa

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .

. . .

21

22 22 1

11 21 1

.

Exemplu Fie

=1

3

20

53

2

1

A . Atunci 6A = 64031 83

.

Proprieti ale nmulirii matricilor cu scalari

1S ( ) ( )AA = , ( ) , C, ( ) A ( )Cnm, ;

2S ( ) BABA +=+ , ( ) C, ( ) A,B ( )Cnm, ;

3S ( ) AAA +=+ , ( ) , C, ( ) A ( )Cnm, ;

4S AA =1 ,1 C, ( ) A ( )Cnm, ;

1.2.4. nmulirea matricilor

Definiie. FieA = ( )ika ( )Rnm, , B = jib ( )Rpn, . Produsul dintre matricileA iB (n aceasta ordine), notatAB este matricea C= jkc ( )Rpm, definit prin

=

=n

i

jiikjk bac1

, ( ) mk ,1= , ( ) nj ,1= .

Observaii

1) Produsul AB a dou matrici nu se poate efectua ntotdeauna dect dac A ( )Rnm, , B( )Rpn, , adic numrul de coloane ale lui A este egal cu numrul de linii ale lui B, cnd se

obine o matrice C = AB ( )Rpm, .2) Dac matricile sunt ptraticeA, B ( )Rn atunci are sens ntotdeauna attAB ct iBA, iar, ngeneral,AB BA adic nmulirea matricilornu este comutativ.

Proprieti ale nmulirii matricilor

1I (Asociativitatea nmulirii). nmulirea matricilor este asociativ, adic



11/65


12/65

dc

ba

dc

baIA

10

01

.

) =++==

= 0000d e t2

bdaa db cdadc

ba

IA

( ) 02 =++ bcadda polinom caracteristic

Generalizat.( ) ( ) 0detTr 1 =+ nnn IAAAA

1. DETERMINANI

2.1. Definiia determinantului de ordin n4

Fie A= jia ( )Cn o matrice ptratic. Vom asocia acestei matrici un numr notatdet(A) numit determinantul matricii A.

Definiie. DacA= ( )11a ( )Cn este o matrice ptratic de ordinul nti, atuncidet(A) = 11a .



13/65

Definiie. Determinantul matricii

=

22 1

11 1

aa

aaA este numrul

( ) 21122211det aaaaA =

22 1

11 1

aa

aa=

i se numete determinant de ordin 2. Termenii 2211aa , 2112aa se numesc termenii dezvoltriideterminantului de ordin 2.

Definiie. Determinantul matricii

=3 33 23 1

2 32 22 1

1 31 21 1

aaa

aaa

aaa

Aeste numrul

322311332112312213312312322113332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA ++=i se numete determinant de ordin 3. Termenii care apar n formul se numesc termeniidezvoltrii determinantului.

Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizeaz trei tehnici simple:

Regula lui SarrusFie determinantul de ordin 3, .3,1, == jijiad Pentru a calcula

un astfel de determinant se utilizeaz tabelul de mai jos.

(am scris sub determinantprimele dou linii)


2 32 22 1

1 31 21 1

3 33 23 1

2 32 22 1

1 31 21 1

aaa

aaaaaa

aaa

aaa


14/65

Se face produsul elementelor de pe diagonale. Produsul elementelor de pe o diagonaldescendent este cu semnul plus. Avem trei astfel de produse: 312312322113332211 ,, aaaaaaaaa .Produsul elementelor de pe o diagonal ascendent este cu semnul minus. Avem trei astfel de

produse: 322311332112312213 ,, aaaaaaaaa .Suma celor ase produse d valoarea determinantului dde ordin 3. Acest procedeu de calcul

se numete regula lui Sarrus.

Regula triunghiuluiAm vzut c determinantul de ordin trei are n dezvoltarea sa ase termeni, trei cu semnul

plus i ali trei cu semnul minus.Primul termen cu plus se gsete nmulind elementele de pe diagonala principal, iar ceilali

doi, nmulind elementele situate n vrfurile celor dou triunghiuri care au o latur paralel cu cudiagonala principal. Dup aceeai regul, referitoare la diagonala secundar, se obin termenii cuminus.Obs.: Att regula lui Sarrus ct i regula triunghiului se aplic numai determinanilor de ordin 3.

Exemplu. S se calculeze prin cele dou metode de mai sus determinantul

013

120

103

=d

R.Regula lui Sarrus.

[ ] ( ) 9036000000)1(1)3(123)1(03110023 =++++=++++=dRegula triunghiului[ ] ( ) 9036000000)1(1)3(1231103)1(0023 =++++=++++=d

Recurent (sau dezvoltare dup o linie sau o coloan)Determinantul de ordin 3 are 6 ( = 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul plus, iar ceilali

cu semnul minus.Are loc urmtoarea proprietate:



15/65

33

22

1

31

3 33 1

2 32 1

1 2

21

3 33 2

2 32 2

1 1

11 )1()1(

)1()d eaa

aaaaa

aaaaa

aaaA , (1)

=

22

11

3

13

3 33 2

1 31 2

2 1

12

3 33 2

2 32 2

1 1

11

)1()1()1( aa

aa

aaa

aa

aaa

aa

a. (2)

Observaii1) Egalitatea (1) se mai numete dezvoltarea determinantului dup elementele liniei nti, iaregalitatea (2) se numete dezvoltarea determinantului dup elementele coloanei nti.



16/65

2) Formulele (1) i (2) sunt relaii de recuren, deoarece determinantul de ordin 3 se exprim cuajutorul unor deteminani de ordin inferior (2).

2.2. Definiia determinantului de ordin n

Voi defini n continuare determinantul de ordin n prin recuren cu ajutorul determinanilorde ordin n 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizri.

FieA= jia ( )Cn .

Definiie1. Se numete minor asociat elementului jia determinantul matricii ptratice jiA de ordin n 1 obinut prin suprimarea liniei i i coloaneij din matricea A. Se noteaz acest minor

prin jiA det sau jiD .

Definiie2. Se numete complement algebric al elementului jia numrul ( ) ( )jiji A det1 + .Exponentul ji + al lui (1) este suma dintre numrul liniei i i coloaneij pe care se afl jia .

Definiie. Determinantul matricii A= jia de ordin n este suma produselor elementelor dinprima linie cu complemenii lor algebrici adic

( ) ( )nn

nDaDaDaDaA 11

1

131312121111 1...det++++= .

Observaii1) Elementelor, liniilor i coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele, liniile icoloanele determinantului

n nnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

. . .

. .. . .. . .. . .

. . .

. . .

)d e t (

21

22 22 1

11 21 1

= .

2) Formula din definiie spunem c reprezint dezvoltarea determinantului de ordin n dupelementele primei linii.3) Definiia determinantului de mai sus este nc puin eficient (o voi ilustra mai jos pentru n = 4).De aceea se impune stabilirea unor proprieti ale determinanilor care s fie comode att din punct

de vedere al teoriei i din punct de vedere calculatoriu. Aceste proprieti le prezint n paragrafulurmtor.4) Continund cu explicitarea determinanilor de ordin n 1 din definiie ( )nDDD 11211 ,...,, seobine pentru )det(A o sum de produse de elemente din determinant, fiecare produs coninndelemente situate pe linii i coloane diferite.5) Determinantul este o funcie ( ) CCn :det .

Exemplu S se calculeze determinantul de ordin 4:



17/65

00111110

0021

2101

=d .

R. Aplicm definiia dat mai sus pentru n = 4 i dezvoltm determinantul dup elementele linieinti. Avem:

011

110

021

2

011

110

021

1

001

110

001

0

001

111

002

1d=

= 12100 =+ ,unde determinanii de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate la determinanii deordin 3.

2.3. Proprietile determinanilor

.1

P Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse, adic dac A

( )Cn , atunci ( ) ( )AA tdetdet = .



18/65

Demonstraie. Fie

=dc

baA

i

=db

caAt

.

Atunci ( ) bcadA =det , iar ( ) bcadAt =det . Prin urmare ( ) ( )AA tdetdet = .

.2

P Dac toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atuncideterminantul matricii este nul.

Demonstraie. Avem 00000 == cddc

i 00000 == bddb .

.3

P Dac ntr-o matrice schimbm dou linii (sau dou coloane) ntre ele obinem omatrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii iniiale.

Demonstraie. Prin schimbarea liniilor s art c avem egalitatea

dc

ba

ba

dc

= . Avem

evident ( )bcadadbc = .

.4

P Dac o matrice are dou linii (sau coloane) identice, atunci determinantul su este nul.Demonstraie. Verific pentru linii (i tot odat pentru coloane). Avem:



19/65

0

== baba

ba

ba.

.5

P Dac toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt nmulite cu unnumr , obinem o matrice al crei determinant este egal cu nmulit cu determinantul matriciiiniiale.

Demonstraie. Verificm pentru linii proprietatea.

( dc

babacbdadc

ba

=== .

.6

P Dac elementele a dou linii (sau coloane) ale unei matrici sunt proporionale, atuncideterminantul este nul.

Demonstraie. Verificm pentru linii.

( 0 === aababa

ba

ba

.

.7P

Dac linia i a unei matriciA este suma a doi vectori, atunci determinantul ei este egalcu suma a doi determinani corespunztori matricelor care au aceleai linii caA, cu excepia liniei iunde au cte unul din cei doi vectori.



20/65

nn

ii

n

n nn

i ni

n

n nn

i ni nii

n

aa

bb

aa

aa

aa

aa

aa

baba

aa

. .

.. .. .

. .

.. .. .

. .

. ..

. . .. . .. . .

. . .

. . .. . .. . .

. . .

. . .

. . .. . .. . .

. . .

. . .. . .. . .

. . .

1

1

11 1

1

1

11 1

1

11

11 1

+=++ .

Demonstraie. Am de artat c:



21/65

dc

badcba

dc

bbaa

''''

+=++ .

ntr-adevr membrul stng este egal cu ( ) ( ) cbbcdaadbbcdaa '''' +=++ . Membrul drepteste cbdabcad '' + i egalitatea se verific.Obs.: O proprietate analog are loc i pentru coloane.

.8

P Dac o linie (o coloan) a unei matrici ptratice este o combinaie liniar de celelaltelinii (coloane), atunci determinantul matricii este zero.

.9

P Dac la o linie (o coloan) a matricii A adunm elementele altei linii (coloane)nmulite cu acelai numr, atunci aceast matrice are acelai determinant ca i matriceaA.

Demonstraie. Voi aduna la linia nti 1L linia a doua nmulit cu . Vom notaacest fapt prin 21 LL + . Avem:



22/65

111111

11

1111

11

0

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

bbaa67 PP

.

.10

P ( ) 1det =nI

.11

P ( ) ( ),detdet AA n = A ( )Cn .

.12

P Dac A= jia este o matrice triunghiular (sau diagonal), atunci( ) nnaaaA ...det 2211= . (Valoarea determinantului este egal cu produsul elementelor de pe

diagonala principal).

.13

P Dac A, B ( )Cn , atunci ( ) ( ) ( )BAAB detdetdet = (Determinantul produsului adou matrici ptratice este egal cu produsul determinanilor acelor matrici).

n particular ( ) ( )( ) ,detdetnn

AA = n*

N .



23/65

Teorem. Determinantul unei matrici A ( )Cn este egal cu suma produselor dintreelementele unei linii iL ( )ni ,1= i complemenii lor algebrici, adic

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) inni

ini

i

ii

i

ii

i

i DaDaDaDaA++++ +++= 1...111det 3

3

32

2

21

1

1 .(Formula lui ( )Adet d dezvoltarea determinantului dup elementele liniei i).

Aceast teorem permite s calculm determinantul unei matrici dup oricare linie. Se va

alege acea linie care are mai multe zerouri sau pe care se pot realiza (ct mai uor) mai multezerouri.

Observaie: innd seama de proprietatea 1P teorema precedent are loc i pentru coloanesub forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) njjn

njj

j

jj

j

jj

j

j DaDaDaDaA++++ +++= 1...111det 3

3

32

2

21

1

1 .

2.4. Calculul inversei unei matrici

Definiie. Fie A ( )Cn . Matricea A se numete inversabil dac exist matricea B( )Cn cu proprietatea c nIABBA == , nI fiind matricea unitate.

MatriceaB din definiie se numete inversa matriciiA i se noteaz 1= AB . DecinIAAAA ==

11 .

Teorem. MatriceaA ( )Cn este inversabil dac i numai dac ( ) .0det A O astfelde matrice se numete nesingular.

Construcia lui 1A presupune urmtorii pai:

Pasul 1. (Construcia transpusei)

Dac

=

n nnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .

. . .

21

22 22 1

11 21 1

,

atunci construim transpusa luiA

=

n nnn

n

n

t

aaa

aaa

aaa

A

. . .

. . .. . .. . .. . .

. . .

. . .

21

22 21 2

11 21 1

.



24/65

Pasul 2. (Construcia adjunctei)

Matricea

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

+++

+++

+++

n n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

DDD

DDD

DDD

A

1. . .11

. . .. . .. . .. . .1. . .11

1. . .11

2

2

1

1

2

2

2 2

22

2 1

12

1

1

1 2

21

1 1

11

*

obinut din At , inlocuin fiecare element cu complementul su algebric se numete adjunctamatriciiA.

Pasul 3. (Construcia inversei) Se ine cont de teorema precedent i se gsete c:

,

. . .000

. . .. . .. . .. . .. . .

0. . .00

0. . .00

**

==

d

d

d

AAAA iar de aici .11 **

nIAd

AAAd

=

=

Ultimele egaliti arat c

2.5. Ecuaii matriciale

Voi prezenta n continuare o tehnic de rezolvare a unor ecuaii de forma CAX = , CXA =

, CAXB = , unde A, B, Csunt matrici cunoscute, iarXeste matricea de aflat. Astfel de ecuaii senumesc ecuaii matriciale.Astfel de ecuaii se pot rezolva numai atunci cndA,B sunt matrici ptratice inversabile.

Pentru rezolvarea ecuaiei CAX = nmulim la stnga egalitatea cu 1A i avem:( ) ( ) CAXCAIXCAXAACAAXA 111111 ==== .

Deci soluia ecuaiei date este CAX 1= .

Pentru determinarea soluiei ecuaiei CXA = vom nmuli la dreapta cu 1A i analog vomgsi 1=CAX , soluia ecuaiei matriciale.

Pentru gsirea soluiei ecuaiei CAXB = nmulim egalitatea la stanga cu 1A i la dreaptacu 1B i obinem 11 = CBAX .

referat.clopotel.ro

( )*1

det

1A

AA =

24


25/65



26/65

APLICAII

1. Manual

pg. 67 S se determine numerele realex, y,z astfel nct s aib loc egalitatea de matrici, n

cazurile

1)

=

+

01 9

11

067

321 xy

yx

yx

=

===+=+

=+

===

=

00

22 01 05 71 82 87 71 963

1 1471 967

3

1 141 1431 132

11

yyyyyy

yx

yxyxxyyx

13

1 18

2d a r

3

1 14

=

=

=

=

xx

y

yx



27/65

2)

+= + yyy

xyx

yxx

45

83

27

32

==

=

=+==+=+=

yxyx

yx

yyx

yyyyyx

242

57

83

13332232

21d a r

2=

=

=x

y

yx

3)

+

=

+

63

11

3

13 2x

xy

xy

+==

=

=

=+=+++=+

xyxy

xxxxxxxy

66

33

11

05413613222



28/65

( ) ( ) ( ) ( ) 5015055055054 122 ==+=+=+= xxxxxxxxxxx12 =x

I. dac 5=x , atunci 11=yII. dac 1=x , atunci 5=y

4)

=

+ z

x

z xy xy z

x y

4

05

3

0

( )

( )

( )

yxy

yxzyxzz yz x

xyyx

yx

x yxy

yx

xyzxyy xy z

zyxx zx y

443

3033

43

43

044

00

055

22

2

+=+

+==+=

+=

+

++=

++=+=+

==++=

pg. 71 1. S se calculeze BA+ n cazurile:

1) = 4031

A, = 35

42B

.



29/65

=+ ++ ++=+ 1513

)3(4)5(0

4321BABA

2)

+

=ii

iiiA

10

31,

++

=iii

iiB

1

1231

+

=+

++++

+++++

=+ 00

1322

)(110

132)31(1

i

iiBA

iiiii

iiiiiBA

2. Se consider matricile



30/65

=

11 21 02

5214

222

m

m

A ,

=0651

3604

11mn

B ,

=

165

210

1141

p

mC .

S se determine m, n,p astfel nct CBA =+ .

== =+

===+

==+

112

62

2424

312

ppmm

mmmm

nn

.

Deci

=

=

=

1

2

3

p

m

n

pg. 75 1. Se consider matricile )(, 3,2 CBA .

=

i

iA

320

11,

+

=11

01

ii

iB .

S se calculeze: iBA 23 , BiA 2+ .



31/65


32/65

1242

1

2222

022

320

1

11

012

320

112

ii

ii

ii

i

i

ii

ii

i

i

iiBi A

pg. 87 1. Calculai produsele de matrici BA , unde

a)

=

103

112A i

=

01

12

13

B

=

++++++++

=310

39

003109

012126AB

b)

=

3

1

2

A i ( )321=B



33/65

=

963

321

642

AB

c)

=02

1

i

iA i

=

10

3iiB

( )

=

++++

=62

2

1032002

11301 ii

iiii

iiiiAB

d)

=725

643

124

A i

=5

4

2

B

=

33

52

5

AB

e)

=

535

615

943

A i

=

354

798

465

B

=263229

172722

13911

AB

2. S se calculeze ( )Af , dac:

=12

11A ; 22 75)( IXXXf +=



34/65

14

21

12

11

12

112AAA



35/65

07

36

70

07

51

55

14

21

10017

12115

1421)(Af



36/65

3. Fie

= 1011

A . S se calculeze nA , *Nn .

10

21

10

11

10

112AAA



37/65

10

31

10

11

10

2123AAA

=10

1

nA

n

Inducie matematic )1()( + kPkP

+

=+10

111

nA

n



38/65

10

11

10

11

10

11 nnAAAnn

(A)

Deci = 10

1 nAn .

pg. 120 1. Calculai determinanii de ordinul doi:

1) 5232)1(3132

11 =+==



39/65

2) 13231)2()1(

23

11===

3) 0331)3(3333

13=+==

2. Calculai determinanii de ordinul trei:

1)

[ ]

36)1(5124)1()2()2(5641)1(3)1(2

354

116

212

=++++=

70

]18108[6046

==+=

2) [ =++++=

65043203)5()5(45030632

640

335502

88

2464

]0240[100036

=

===+++=



40/65

3) [ =++++=

321321)3()2()1()3(33)2(221)1(1

132

213

321

42

636

]666[2781

===

=++=

3. Calculai determinanii urmtori:

1) 000

111

111

111

111

111

111

dcbadcba

cba

cba

ddd

cba

cba

cba

dcdbda



41/65

2)

0001

1

aaa

ccc

bbb

acc

cbb

baa

aaa

ccc

bbb

acc

cbb

baa

acaac

cbccb

babba

4. S se rezolve ecuaiile:

1) 0

1

1

1

=

xx

xx

xx



42/65

0

1

11

10

1)1(

1)1(

1

1)1(1 312111

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xxxxxxxx =+ 10)()(1 222 =+=++ 01320 2323322 xxxxxx

=+==+ 0)1)(1()1(20)1()1(20122 222223 xxxxxxxxxx

10)1(0)12)(1( 12

=== xxxxx

2

1

1981012

3

2

2

=

==+==

x

xxx

Deci

1,

21x .



43/65

5. S se rezolve ecuaiile:

1) 0

011

101

110

110

=

x

x

x

x

0

11

01

10

)1(

011

11

10

)1(1

01

101

11

)1(1

01

10

110

)1(0 41312111

x

x

x

xx

x

x

x

x

x



44/65

=+ 0

11

01

10

011

11

10

01

101

11

0

x

x

x

xx

x

x

x

[ ] [ ] +++++++++ )1001111(1111100)1101101()1111100(0 xxxxxxxx[ ] =++++ 0)010111()111100( xxxxxxx

=+++ 0)1()21()1( 32 xxxxxx

=++ 0121 242 xxxxxx=+=+ 042042 2424 xxxxx

042

00)42(

3

1

3

=+

==+

xx

xxxx

6. Fie )(, 3 RBA pentru care 0)det()det()det()det( ==+== BABABA .S se arate c 0)det( =+yBxA , Ryx ,)( .

0),()det( 442

3

2

2

3

1 =+++==+ yxyyxxyxPyBxA Pentrux = 0 iy = 1

00)det()1,0(4

=== BPPentrux = 1 iy = 0

00)det()0,1( 1 === APPentrux = 1 iy = 1

00)det()1,1( 32 =+=+= BAPPentrux = 1 iy 1=

00)det()1,1( 32 === BAP0

32==

Deci 0)det( =+yBxA

2. Bacalaureat

pg. 94 1. S se determine matriceaXdin ecuaia



45/65

03

3963

62

4731

2

32

2132

3X



46/65

32

2132

03

3963

14

8162

3X

+

=

32

21

32

1 21

1 15

1 21

3X



47/65

=

13

96

13

3X

=

51

32

51

X

2. a) Gsii matriceaX )(2 R astfel nct

13

21

33

12

10

21

Xb) S se determine m R astfel nct sistemul urmtor s fie compatibil i apoi

rezolvai-l:

=+

=

=+

myx

yx

yx

3

12

1



48/65

a)

13

21

33

12

10

21X



49/65

33

12

13

21

10

21

33

12

13

21

10

21XX



50/65

40

13

22

2

40

13

1202

1201

40

13

10

21

tzz

yxx

tztz

yxyx

tz

yxX

X



51/65

==+

==+=+

==

=

442

51612

002

3

ttz

yyyx

zz

x

Deci

=40

53X .

b)

=+

=

=+

myx

yx

yx

3

12

1

yxyx ==+ 11

3

22312112 ==== yyyyyx

3

1

3

211

===xyx

3

5

3

21

3

2

3

133 =+==+=+ mmmmyx

3. a) Fie matriceaA )(2 R ;

=10

1 aA , 0a . S se calculeze 2A i 3A i

apoi s se determine nA , *Nn n funcie de n.b) S se afle ,,,, vuyx numere reale astfel nct



52/65

11

01

10

11

vu

yx



53/65

a)

1021

011101011011

101

1012 a

a

aaaaa

AAA



54/65

10

31

0111010

1210211

10

1

10

2123 aaaaaaa

AAA

=

101

nAn

Inducie matematic )1()( + kPkP



55/65

+

=+10

)1(11

anA

n

10)1(1

011101011011

101

1011 an

a

nanan aAAAnn

(A)

Deci

=

10

1 naAn .



56/65

b)

1

1

10

01

11

01

11

01

10

11

v

u

yvy

xux

vu

vyux

vu

yx



57/65

Deci

= 1110

vu

yx.

4. a) S se determine ,,,, vuyx astfel nct:

28

13

213

1

uv

xy

vu

yx

b) S se detrmine matriceaA astfel nct:



58/65

.

424

251

111

117

316

5142A



59/65

a)

28

13

123

1

28

13

213

1

uv

xy

vu

yx

uv

xy

vu

yx



60/65

=+

=+=

=+=+

=

++

212

813

1

33)(

28

13

1231

vu

vu

xy

yxyx

uvvu

xyyx

1

2

3

42

13

3

1

3

xy

yxy

yyyx

xyyx

=

=

==+

=

=+

=+

0

3

273)93(2

93

212

813

u

v

vvv

vu

vu

vu



61/65

b)

424

251

111

117

316

5142A



62/65

316

514

121

148

2316

514

121

148

2 AA

=

= 155

932

2 21 01 0

8164

2 AA.

pg. 147 1. S se rezolve ecuaia:



63/65

0

=

xaaaaxaa

aaxa

aaax

=

=+

= 0

000

000

000

000

0

000

000

000

000

0

ax

ax

ax

ax

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

ax

ax

ax

ax

xaaa

axaa

aaxa

aaax



64/65

[ axaxaxaxax

ax

ax

ax ====

+ 4,3,2,14311 0)(00)()(0

00

00

00

)1()(

2. Dac 321 ,, xxx sunt rdcinile ecuaiei 01722 23 =++ xxx s se calculeze

determinantul

213

132

321

xxxxxx

xxx

d= .

=

=++=++

=++1 7

2

2

01 722

321

323121

321

23

xxx

xxxxxx

xxx

xxx

)(3

3

3

3

2

3

1321

213

132

321

xxxxxx

xxx

xxx

xxx

++=

=++

++++=++

++++=++

+=++

=++

=++

5 122)22(2

)(2)(

5 1)(2)(2

)(01 722

01 722

01 722

3

3

3

2

3

1

323121

2

321

2

3

2

2

2

1

321

2

3

2

2

2

1

3

3

3

2

3

1

3

2

3

3

3

2

2

2

3

2

1

2

1

3

1

xxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxx

xxx

xxx

553

3

3

2

3

1 =++ xxx



65/65

455)17(3)(33

3

3

2

3

1321 =+=++= dxxxxxxd

BIBLIOGRAFIE

1. Mircea Ganga, Manual de Matematic, Elemente de Algebr liniar, igeometrie analitic, clasa a XI-a, Editura Mathpress, 2003

2. Gh. Andrei, D. Brbosu, Gh. Boroica, Admiterea n nvmntul superior,Editura Gil, 2001

3. Dan Brnzei, Sorin Ulmeanu, Matematica n concursurile colare, EdituraParalela 45, 2000

4. C. Nstsescu, C. Ni, Culegere de probleme pentru liceu, Algebra, EdituraRotech Pro, 1999

5. Caiet de notie

Referat.clopotel.ro-referat La a MATRICI SI Deter Min Anti

Documents

Transcript of Referat.clopotel.ro-referat La a MATRICI SI Deter Min Anti