Geometrie Raspunsuri

1.Fie punctele A(2,4,1), B(3,7,5) si C(4,10,9). Sa se calculeze .

2. Fie punctele A(1,-1,2), B(5,-6,2) si C(1,3,-1).

3. Determinati scalarii astfel incat punctele A(2, ,1), B(3,7,5), C( ,10,9) sa fie coliniare.

4. Fie punctele A(1,2,-1), B(0,1,5),C(-1,2,1), D(2,1,3). Sa se calculeze produsul mixt .

5. Fie punctele A(2,3,1), B(4,1,-2),C(6,3,7), D(-5,-4,8). Sa se calculeze produsul mixt .

6. Fie punctele A(2,3,1), B(4,1,-2),C(6,3,7). Sa se calculeze distanta de la C la AB, notata d(C,AB).

7. Fie punctele A(2,3,1), B(4,1,-2),C(6,3,7), D(-5,-4,8). Sa se calculeze distanta de la C la planul (ABC), notata d(C,(ABC)).

8. Fie punctele A(1,1,-3), B(2,-1,1),C(3,3,1), D(-1,4,2). Sa se calculeze produsul mixt .

9.Fie punctele A(1,1,-3), B(2,-1,1),C(3,3,1). Sa se calculeze aria triunghiului ABC

10. Fie punctele A(-1,1,2), B(2,3,-1),C(1,-2,0). Sa se calculeze aria triunghiului ABC

11. Fie punctele A(-1,1,2), B(2,3,-1),C(1,-2,0). Sa se calculeze cosinusul unghiului A.

12. Fie punctele A(2,-1,1), B(5,5,4),C(3,2,-1). Sa se calculeze aria triunghiului ABC

13. Fie punctele A(2,-1,1), B(5,5,4),C(3,2,-1).

Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC

14. Fie punctele A(2,-1,1), B(5,5,4),C(3,2,-1). Sa se calculeze cosinusul unghiului A.

15. Fie punctele A(2,-1,1), B(5,5,4),C(3,2,-1),D(4,1,3) Sa se calculeze distanta de la D la planul (ABC).

16. Fie punctele A(1,2,3), B(2,2,2),C(1,2,4), Sa se calculeze modulul produsului vectorial .

17. Fie punctele A(1,2,3), B(2,2,2),C(1,2,4), Sa se calculeze aria triunghiului ABC

18. Fie punctele A(1,2,3), B(2,2,2),C(1,2,4), Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC.

19. Fie punctele A(-1,2,0), B(3,1,-2),C(0,-3,4), Sa se calculeze aria triunghiului ABC.

=0=15i+12j+16k

= prima=4 , adoua=1

=0

=308

=1

20. Fie punctele A(-1,2,0), B(3,1,-2),C(0,-3,4), Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC.

21. Fie punctele A(-1,2,0), B(3,1,-2),C(0,-3,4), Sa se calculeze modulul produsului vectorial

22. Fie punctele A(1,-1,2), B(5,-6,2),C(1,3,-1), Sa se calculeze modulul produsului vectorial

23. Fie vectorii si , . Determinati . astfel incat vectorii si sa fie coliniari .

24.Fie vectorii

,

unde sunt necoplanari. Sa se precizeze care dintre afirmatiile de mai jos sunt adevarate:

25. Fie trei vectori . Notam prin

.Sa se calculeze

26. Vectorii formeaza intre ei un unghi de masura si au lungimile egale

respectiv cu . Caculati .


respectiv cu .Caculati .


respectiv cu .

.Caculati .

=25

29. Fie a.i. . Sa se calculeze .

30. Fie a.i. . Sa se calculeze .

=0=0

31. Se dau vectorii avand lungimile respectiv . Sa se

calculeze .


calculeze


calculeze


calculeze

=22

=24

=20

=22

35. Fie vectorii . Sa se calculeze proiectia vectorului pe axa Ox .

36. Fie vectorii . Sa se calculeze proiectia vectorului pe axa Ox .

37. Fie vectorii . Sa se calculeze proiectia vectorului pe planul yOz .

38. Fie vectorii . Sa se calculeze aria paralelogramului construit pe laturile vectorilor .

39. Sa se determine scalarii , pentru care vectorii sunt coliniari.

=1=5

40.Sa se determine scalarii , pentru care vectorii

sunt necoliniari.

41.Sa se determine scalarii , pentru care vectorii

coplanari. Atunci:

42. Sa se determine scalarii , , pentru care vectorii sa fie coplanari.

43. Fie vectorii .

Sa se determine relatia dintre , , astfel incat vectorii sa fie

necoplanari

44. Fie vectorii . Sa se descompuna vectorul dupa directiile vectorilor .

45. Fie vectorii . Sa se descompuna vectorul dupa directiile vectorilor .

46. Se da triunghiul ABC in care AB si AC si . Sa se calculeze AM.

47. Se da triunghiul ABC in care AB si AC si bisectoarea unghiului A unde . Sa se calculeze AD .

AD= b2

_____

a+b

48. Se da triunghiul ABC in care AB si AC si a.i .

Sa se calculeze AM.


Sa se calculeze AM

(1-k)a+kb->->

a+bkk+1

_________

->->


Sa calculeze AM.


Sa se calculeze AM

52. Se dau vectorii care fac intre ei doi cate doi un unghi de masura . Sa se determine modulul vectorului stiind ca .

53. Se dau vectorii care care satisfac conditia . Sa se calculeze stiind ca .

54. Se dau vectorii unitate care care satisfac conditia . Sa se calculeze .

55. Ce conditie trebuie sa indeplineasca vectorii din 3 diferiti de vectorul pentru ca sa existe egalitatea

56. Fie vectorii necoliniari. Sa se stabileasca pozitia vectorului fata

de vectorii si .

57. Fie vectorii necoplanari. Sa se stabileasca pozitia vectorului fata de vectorii

si .

58. Fie vectorii , Sa se determine determine proiectia vectorului pe dreapta suport a vectorului .

59. Fie punctele , , si . Sa se determine distanta h de la punctul D la planul utilizand doar operatiile cu vectori.

60. Fie punctele , , si . Sa se determine distanta h de la punctul D la planul utilizand doar operatiile cu vectori.

61. Sa se determine sinusul unghiului format de vectorii

si .

62. Sa se determine parametrul real pentru care vectorii

si sunt perpendiculari.

63. Sa se determine parametrii reali pentru care vectorii

si sunt perpendiculari.

64. Sa se gaseasca un vector coliniar cu vectorul astfel incat

AM= 2ak-bk+a_____k+1

=ka+(1-k)b

alfa=-13

alfa = -3/2Vectori independenti a,b,c aparitn V3

Coliniar cu a

Se vor intersecta

= 18/5Radical din 3 / 32 radical 3 / 3

sinx = (4 radical 26) / 21= - 6

beta = alfa ; beta = (x-6) /2 ; alfa apartine R

X=i + (1/2)j-(1/2)k

65. Se dau vectorii . Determinati vectorul stiind ca este ortogonal pe axa Oz si verifica relatiile:

66. Se dau vectorii . Determinati vectorul stiind ca verifica relatiile:

67. Sa se determine proiectia vectorului a i j k pe dreapta de ecuatie .

68. Sa se determine proiectia vectorului a i j k pe dreapta avand cosinusii directori .

69. Sa se determine proiectia vectorului a i j k pe dreapta care face cu axele Ox, Oz respectiv unghiurile iar, cu axa Oy un unghi ascutit.

70. Sa se determine proiectia vectorului a i j k pe dreapta care face cu axele Ox, Oz respectiv unghiurile iar, cu axa Oy un unghi ascutit .

71. Sa se determine proiectia vectorului determinat de punctele pe dreapta care face cu axele Ox, Oy respectiv unghiurile iar, cu axa Oz un unghi obtuz .

72. Calculati proiectia vectorului pe dreapta suport a vectorului .

73. Se dau vectorii . Calculati

74. Se dau vectorii . Calculati

75. Se dau punctele . Sa se calculeze proiectia vectorului AB pe directia vectorului CD.

76. Se dau vectorii care formeaza intre ei un unghi de masura . Sa se determine

stind ca .

77. Se dau si . Calculati

78. Se dau si . Calculati

79. Vectorii sunt ortogonali. Sa se calculeze

stiind ca .

80. Vectorii formeaza intre ei un unghi de masura . Calculati numerele:

stiind ca .

stiind ca .

x=2i-3jx=2i+3j-2k

=3

= 0

=-6/radical 7=(radical 2 + 8 ) / (radical 7 )

=(2 radical 82)/41=6

=(- 60) / 13

=5

ab = - 47 / 7

a x b = 15a x b = 16

a . b = 30

=radical 7081

p=3;q=39;r = 3999/4

81. Fie vectorii necoliniari a.i. . Sa se calculeze .

82. Fie vectorii si . Sa se calculeze p.

83. Fie vectorii a.i . Sa se stabileasca pozitia vectorului a fata de

vectorul b

.

84. Se dau vectorii oarecare . Sa se demonstreze ca vectorii

sunt coplanari.

85. Se dau vectorii oarecare care verifica egalitatea . Sa se demonstreze ca

86. Se dau vectorii oarecare care verifica egalitatile:

.

Sa se verifice daca vectorii sunt coliniari, respectiv coplanari.

87. Se dau vectorii oarecare care verifica egalitatile:

.

Sa se verifice daca vectorii sunt coliniari, respectiv coplanari.

88. Fie vectorii Sa se calculeze:

89. Se dau punctele Calculati:

90. Se dau punctele Calculati aria triunghiului .

91. Se dau punctele Calculati lungimea inaltimii duse din pe latura

92. Calculati sinusul unghiului format de vectorii si .

93. Vectorul este ortogonal pe vectorii si si formeaza cu axa un unghi obtuz. Determinati coordonatele vectorului stiind ca

94. Un vector , ortogonal pe axa si pe vectorul , formeaza cu axa un unghi ascutit. Determinati coordonatele vectorului stiind ca .

95. Determinati un vector , perpendicular pe vectorii si , care satisface conditia

.

96. Fie vectorii Sa se calculeze

97. Fie vectorii Sa se calculeze

=1

= | a . b | la puterea 2

a=|p| * |s| * sinf1 ;b=|g| * |s| * sinf2 c=|r| * |s| * sinf3

=Adevarat

=Colinari

=Colinari

p = si+j+7k ;q=(7i-5k) * b ; i = 20i +4j+28kp=6i-4j-6kq=12i+8j+12k

=28

h=(14 radical 13 )/ 13sinf =( 5 radical 17) / 21

x=6i-24j+8kx=45i-24j

x=7i+5j+k

p= -42 ; q = 42

p=-7i+14j-7kq=10i+13j+19k

98. Fie un triedru avand ca directii vectorii , ortogonali doi cate doi. Calculati produsul mixt stiind ca .

99. Vectorul este ortogonal pe vectorii care formeaza intre ei un unghi de masura .

Calculati produsul mixt stiind ca .

100. Fie trei vectori si produsul mixt al lor. Notam:

.

Sa se stabileasca semnul lui p.

101. Fie trei vectori iar, produsul scalar, respectiv produsul mixt al lor. Sa se calculeze

, .

102. Fie trei vectori iar . Stabiliti ce implica .

103. Sa se dea o conditie necesara si sufucienta ca vectorii sa fie fie coplanari .

104. Fie trei vectori arbitrari iar

.

Sa se arate ca =

105. Fie trei vectori . Sa se determine

106. Sa se verifice daca punctele sunt coplanare. 107. Fie vectorii

.

Stabiliti pozitiile vectorilor . 108.Fie vectorii

.

Stabiliti pozitiile vectorilor .

109.Fie vectorii .

Stabiliti pozitiile vectorilor .

111. Fie punctele . Sa se calculeze distanta de la punctul D la planul .

112. Se da un tetraedru de volum . Se dau coordonatele varfurilor , ,

Sa se determine coordonatele punctului D stiind ca este situat pe axa .

113. Sa se determine scrierea vectorului in functie de vectorii si .

114. Sa se determine descompunerea vectorului dupa directiile vectorilor

si .

115. Sa se determine descompunerea vectorului dupa directiile vectorilor

si .

=8

= (27 radical 7) / 2

p > 0

p=|a|*|b|*sinf*a+|a|*|b|*sinf*ub+|a|*|b|*sinfc

a || b || c => a,b,c coincida*b+b*c+a*c=0

=Fals

=-7=Adevarat

a || b || ca,b,c Necomplementarea || b || c

=11d=( (3 radical 5 ) / 2 , 0, 0 )

a=3b-2cc=(1/2)a+(3/4)b

v=a+2b+4c

1.Fie , spatiul euclidian real raportat la reperul cartezian { }1 2 3; , ,O e e e=R . Sa se scrie scrie ecuatia planului care trece prin originea reperului i are subspatiul director determinat de vectorii 1 1 2 3v e e e= + + i 2 1 2 3v e e e= + .

2. Fie , spatiul euclidian real raportat la reperul cartezian { }1 2 3; , ,O e e e=R .Sa se scrie ecuatia generala a planului ce trece prin punctul ( )0 2,1, 1P i are directia determinata de vectorii

1 1 2 33v e e e= + + i 2 1 2 32v e e e= +.

3. Fie , spatiul euclidian real raportat la reperul cartezian { }1 2 3; , ,O e e e=R .Sa se scrie ecuatia generala a planului ce trece prin punctul ( )0 5, 3, 2Q i este paralel cu planul

1 3x Ox .

4. In spatiul afin real , spatiul afin real raportat la reperul cartezian { }1 2 3; , ,O e e e=R , se considera dreptele afine:

( )1 2 3

1 1 2 3

2 4 0:

2 2 0x x x

dx x x

+ = + + =

i ( )1 2 3

22 3 1

:2 2 5

x x xd + += =

Sa se scrie ecuatiile generale ale dreptelor care se sprijina pe ( )1d i ( )2d i au subspatiul director, vectorul 1 2 32v e e e= + + .

5. In spatiul afin real , spatiul afin real raportat la reperul cartezian { }1 2 3; , ,O e e e=R , se considera dreptele de ecuatii:

( )1 2 31 2 1

: 1 1 2

x x xd += =

i ( )1 2 31 3 1

: 2 2 4

x x xd + + = =

Sa se determine distanta antre dreptele ( ) ( ) i d d

6. Ce reprezinta ecuatia in ?

7. In spatiul afin real raportat la reperul cartezian { }1 2 3; , ,O e e e=R , se considera dreptele de ecuatii:

( )1 2 31 2 1

: 1 1 2

x x xd += =

i

Sa se determine pozitia relativa a dreptelor ( ) ( ) i d d

8. Ce reprezinta ecuatia in ?

9. Ce reprezinta multimea punctelor care verifica:

?

10. Ce reprezinta multimea punctelor care verifica:

?

x prim - x la puterea 3 = 0

=x la puterea 3 - 2 =0

distanta = ( radical 103 ) / 4Ecuatia plonului paralel cu axa oz

d || d primEcuatia plonului paralel cu axa ozUn plan in R la puterea 3

Doua planeMultima punctelor comploane ce apratin planului

ax+by+cz+d=0 11. Este situat in plan punctul care verifica ecuatia

Adevarat Un punt ce apartine planului

12. Este situat in plan punctul care verifica ecuatia

13. Ce reprezinta multimea punctelor care verifica ecuatia

14. Care dintre ecuatiile urmatoare reprezinta ecuatiile parametrice ale planului ce trece prin punctul si are directiile :

(1) (2)

.

15. Sa se precizeze ecuatia planului sub forma de determinant ce trece prin prin punctele , si este paralel cu vectorul .

16. Sa se precizeze ecuatia planului sub forma de determinant ce trece prin prin punctul si are directiile

.

17. Sa se scrie ecuatia planului care trece prin punctul si este paralel cu planul

.

18. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin prin punctul si este paralel cu planul .

19. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin prin punctele si si este paralel cu vectorul .

20. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin prin punctele si si este perpendicular pe planul .

21. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin punctele .

22. Determinati versorul normalei la suprafata de ecuatie:

23. Determinati versorul normalei la suprafata de ecuatie:

24. Sa se stabileasca pozitia relativa a planelor:

si

25. Sa se stabileasca pozitia relativa a planelor:

si

26. Sa se determine intersectia planelor:

si

27. Sa se determine unghiul diedrul al planelor:

si

28. Sa se determine unghiul diedru al planelor:

si

29. Sa se determine unghiul diedrul al planelor: si

30. Sa se determine unghiul diedru al planelor: si

31. Determinati valorile parametrilor si a.i. planele:

si sa fie paralele.

32. Determinati valorile parametrilor si a.i. planele: si sa fie paralele.

Adevara Pct M aparteine planului

Multitudian pct. apartin planuluia(x-x0)+b(y-y0)+c(z+z0)=0

=1

z-2=0Y=Y0

-9x+y+7z-40=0

4x-y-2z-9=03x+3y+z-8=0

n=2i-j-2kn=2i-k

Sunt paraleleNu se intersecteaza

M=((-7)/4,1,5/2) = Multime vidaFals,Planele sunt paralele

sunt perpediculareSunt paraleleSunt perpendiculare

l=3 , m=-4

l=3 , m=-2/3


si

sa fie perpendiculare.


si

sa fie perpendiculare.

35. Sa se determine unghiul diedru ascutit al planelor:

si .

36. Sa se determine unghiul diedru ascutit al planelor:

si .

37. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este paralel cu planul:

.

38. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul si este paralel cu planul:

39. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul si este paralel cu planul .

40. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul si are normala data de directia dreaptei:

00

x

y=

=

.



43. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este perpendicular pe dreapta:

44. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este perpendicular pe dreapta:

.

45. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este perpendicular pe planele:

, .

46. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul si este perpendicular pe planele:

si .

47. Care este pozitia relativa a planelor: , ,

48. Care este pozitia relativa a planelor:

, ,

49. Care este pozitia relativa a planelor: , ,

50. Determinati valorile parametrilor reali si a.i. planele: , ,

m= -27-6 ; l= -2

l=1 ; l=2 ;m= -(1/2) ; m= -1alfa=2 pi / 3 = 60g

alfa=(radical 2) / 20 = 45 G5x-3x+2z=0

2x-3z-27=0z+1=0

z+1=0

x-2y-5=0

2x-2z=0

Y=0zx-y-5z=0

2x+2z=0

x-y-z=0

Au un punct comun

Au o dreapta comuna

a 7 ; b= -8sa aibe un punct comun.


sa aibe o dreapta comuna.


sa fie secante doua cate doua.

53. Sa se determine planul care taie axele de coordonate in punctele in care planele , intersecteaza respectiv, aceste axe.

54. Sa se scrie ecuatia planului perpendicular pe planul si taie axele si

in punctele respectiv, .

55. Sa se stabileasca pozitia punctului fata de planul .

56. Sa se stabileasca pozitia punctului fata de planul .

57.Sa se stabileasca pozitia dreptei

fata de planul

.

58. Sa se stabileasca pozitia dreptei

fata de planul

.

59. Sa se stabileasca pozitia dreptei

fata de planul

60. Sa se calculeze distanta de la punctul la planul

.

61. Sa se calculeze unghiurile formate de normala la planul

cu axele de coordonate si distanta de la origine la acelasi plan.





64. Sa se calculeze distanta d de la punctul la planul ce trece prin punctele , .

65. Sa se calculeze distanta d dintre planele:

, .

66. Sa se calculeze distanta d dintre planele:

,

67. Doua fete ale unui cub coincid cu planele

si .

Calculati volumul V al cubului.

Calculati volumul V al cubului.

68. Sa se determine un punct pe axa situat la distanta de planul

69. Sa se determine un punct pe axa echidistant cu punctul si cu planul

70. Sa se determine un punct pe axa echidistant cu planele si

a 7 ; b= -8

a=7 ; b3x+y+z-1=0

x=3y-2z+2=0M Nu apartine palnului

M apartine planului

Drepata nu este paralela cu planul

Dreapta este paralele

Drepata nu este paralela cu planul

d=16/(radical 14)

Alfa=60g;beta=45g;gama=60g;p=5

Alfa=60g;beta=120g;gama=135g;p=8

Alfa=45g;beta=90g;gama=45g;p=3rad2d=4 d=2

d= 7/2v=8

a= (0,7,0)

A(0,0,-2) ; B(0,0,-(82/13))x=640/3609

71.Sa se scrie ecuatiile dreptelor de intersectie ale planului

cu planele de coordonate.

72. Ce axa de coordonate contine dreapta

73. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor

,

si este paralela cu axa .

74. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor ,


75. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor ,


76. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor

,

si contine punctul .

77. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta de interesectie a planelor

,

,

una din directiile sale fiind vectorul

.


,

si este perpendiculara pe planul

.

79. Se da ecuatia unui plan 2 3 6 0x y z+ =

Sa se scrie ecuatia sa prin taieturi.

80. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta

si este perpendiculara vectorul , de extremitati

.


,

una din directiile sale fiind vectorul

.

83. Sa se scrie proiectiile dreptei

pe planul

.

84.Sa se scrie ecuatia planului care trece prin dreapta si este paralel

cu dreapta

85. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei

86. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale dreptei

87. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul si are ca directie vectorul .

A=(0,-2,0) => contine axa oyy-z-12=0

x+z-3=015z-45=0

23x-2y+21z-33=0

5x-5z-8-0

7x-14y+7z-23=0(x/6)+(y/3)-(z/2)-1=0

9y+7y+8z+7=0

x+3y-2z+5=0 82. Sa se scrie proiectiile dreptei

pe planele de coordonate.

(x-2)/(-1)=(y+2)/1=(z-2)/(-1)r =(i-(2/3)k)+2(i+k)

(x-2)/(-2)=Y/3=(z+3)/(-5)

88. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul si este paralela cu dreapta

89. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul si este paralela cu dreapta

.

90. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul si este paralela cu axa



93. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctele si .


.


.

96. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale planului

97. Fie triunghiul de varfuri sa se scrie ecuatiile parametrice ale medianei dusa din varful C.

98. Fie triunghiul de varfuri sa se scrie ecuatiile canonice ale bisectoarei interioare unghiului B.

99. Sa se determine cosinusul unghiului format de dreptele

si

100. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta

si este paralela cu dreapta

canonica a unei conice este prezentata in [ 1].

(x-1)/(-5)=y/(-2)=(z+3)/(+1)

(x-1)/(-3)=(y+1)/2=(z+3)/(-3)

(x-2)/(-1)=y/0=(z+3)/0(x-2)/0=y/(-1)=(z+3)/0(x-2)/0=y/0=(z+3)/(-1)

(x-1)/2=(y+2)/3=(z-1)/2r=(i+2t)i+(-2+3t)j+(i+2t)k

r=(0,0,1)+gama(0,0,1) ; r=K

x=5t+4 ;y=-11t-7 ;z=-2

(x-1)/(-1)=(y-2)/3=(z+3)/8

cosf=-+(4/21)

x-y+z+1=0

1. Fie conica

Sa se precizeze natura conicei, sa se reduca la forma canonica si sa se calculeze centrul ei.

2. Fie conica

Sa se precizeze natura conicei, sa se reduca la forma canonica si sa se calculeze centrul ei.

3. Fie conica

Sa se precizeze natura conicei si sa se reduca la forma canonica

4. Sa se reduca la forma canonica conica

.


.


.


.


.


.


.


.


.


.


.


.

16. Sa se precizeze natura conicei

si sa scrie ecuatiile tangentelor paralele cu dreapta

.

17. Sa se determine centrul conicei

daca exista si sa se determine punctele de intersectie cu axele de coordonate.

18. Determinati punctele de intersectie ale parabolelor

;

19. Sa se precizeze natura conicelor

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(5)

=> hiperbola ;(x la put. 2)/13/8-(y la put. 2)/13/2=1 ;C(0,0)

=> elipsa=> parabola

=> elipsa ;(x la put. 2 )+(y la put. 2)/1/9-1=0(x la put. 2)/248/9+(y la put 2)/248/27=1

(x lap ut. 2 )/4 + (y la put 2) /5 = 1Nu are solutie

(x la put 2 )/72 + y/8=1 (x la put 2)/248/9+(y la put. 2/248/24) = 1

(x lap ut. 2 )/4 + (y la put 2) /5 = 1Imposibil(x la put. 2)/14 +4/14/3-1=0

(x la put 2)/35+(y la put. 2/35/4) = 0

(x la put 2 )/4 + (y la put.2)/16=1 Imposibil

=> CercT=2x+y-1=0

=> Elipsac(-1,2) (+-5,0),(0,+-4)

(0,12),(-1,4)=> elipsa reala=> hiperbola nedecenerata

=>Elipsa imaginara=> hiperbola degenerata

20. Sa se precizeze centrul fiecareia dintre urmatoarele conice, daca acesta exista:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) .

21. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt cu centru

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) .


.


.


.

26. Sa se reduca conica la forma canonica

.


.


.

29. Sa se precizeze natura conicei .


.

Sa se reduca conica la forma canonica:

.

31.

32. Calculand eventual invariantul , corespunzator fiecarei conice, sa se precizeze natura conicelor:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

= c(5,-2)= c(3,-2)

= -c(-1,-1)c(0,0)

1 ,2 ,4,5(x la 2)/9-(y la 2 )/4 + 1 = 0( x la 2 ) / 16 - (y la 2)/9 = 0( x la 2 ) / 16 - (y la 2)/9 = 0

(x la 2 )/1/4-(y la 2)/1=12x la 2 + 3y la 2 = 1

25. Sa se reduca conica la forma canonica

.

hiperbola degenerata in doua drepte

elipsa degenerata intr-un punct

hiperbola reala

Elipsa reala (x la 2) /9 +(y la 2 ) /4 + 1 = 0

(x la 2) /9 +(y la 2 ) /4 = 1

=Hiperbola

=Elipsa

Parabola

Elipsa

parabola

(6) hiperbola

33. Calculand eventual invariantul , corespunzator fiecarei conice sa se precizeze care dintre urmatoarele conice este cu centru

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6) .

34. Calculand eventual invariantul , corespunzator fiecarei conice sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt fara centru

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

35. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt de tip parabolic:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

36. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt de tip eliptic:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1 , 2 ,4,6

3 , 5

1,2,3,4,5

niciuna

37. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt de tip hiperbolic:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

38. Sa se precizeze tipul conicei care poate fi scrisa sub forma:

.

39. Sa se precizeze ce defineste pentru o conica de tip parabola, numarul

40. Sa se determine parametrul fiecareia dintre urmatoarele parabole:

(1)

(2)

(3)

(4)

41. Matricea asociata unei conice este o matrice simetrica sau antisimetrica ?

42. Sa se calculeze invariantii conicei .

43. Sa se calculeze invariantii conicei

.

44. Sa se precizeze tipul conicei

.


.

1 ,2 ,5

parabolic

parabola parabolei

p=-3p=-3

p=(radical 3)/10p = Radical 2

simetricaD = -100 ; gama=0

D = 0 ; gama=-1

parabola

este degenerata prin doua drepte care trec prin centrul conicei

1.Sa se reduca la forma canonica cuadrica

si sa se specifice tipul ei.

2. Sa se reduca la forma canonica cuadrica


3. Sa se reduca la forma canonica cuadrica xy-yz-xz+2z=2






6. Sa se precizeze tipul cuadricei

.


.


.


.


.


.


.

13. Precizati natura conicei de intersectie dintre cuadrica

si planul

.

15. Precizati pozitia planului

fata de cuadrica

ecuatiua unui elipsoidun centru hiperboloid

elipsoid

hiperboloid

elipsoidun hipeboloid cu o panta

o sfera

un baraboloid eliptic

un hipeboloid cu o panta

un hipeboloid cu o panta

un parabolar hiperbolica

elipsa de centru c(-1,1,3)

un baraboloid eliptic

plan exterior

16. Pentru ce valori ale parametrului real planul

este tangent la elipsoidul

17. Sa se stabileasca pozitia relativa a planului

fata de elipsoidul

.

18. Sa se stabileasca pozitia relativa a planului

fata de cuadrica

.

19. Sa se determine o valoare a parametrului real pentru care planul

este tangent la elipsoidul

.

20. Sa se precizeze natura cuadricei


22. Sa se gaseasca punctele de intersectie dintre suprafata

si dreapta

23. Sa se gaseasca punctele de intersectie dintre suprafata

si dreapta

.

24. Sa se scrie ecuatia planului tangent la parabolidul

in punctul .

25. Fie cuadrica de ecuatie generala

.

Sa se calculeze invariantul corespunzator si sa decida natura cuadricei.


.

Sa se calculeze invariantul corespunzator si sa decida natura cuadricei.


.

Determinati invariantul si precizati daca cuadrica este cu centru.

m = +-15

9x - 12y-2z+9=0

d=441/4 couadrica nedegenerata

d=0 ; cuadrica generata

alfa = -(25/2) cuadrica de centru


.

Sa stabileasca pozitia punctelor si .


.

Sa stabileasca pozitia punctelor si .


.

Sa se calculeze centrul cuadricei, daca acesta exista.


.

Sa se calculeze invariantii , ,


.

Sa se scrie matricea formei patratice asociate.


.



.



.

Sa se scrie matricea corespunzatoare.


.

Sa se scrie matricea corespunzatoare.


.

Sa se calculeze invariantul corespunzator si sa stabileasca natura cuadricei.


.

Sa se calculeze centrul cuadricei, daca acesta exista.


.

Sa se scrie forma patratica asociata.


.

Sa se scrie forma patratica asociata.

41. Sa se precizeze daca cuadrica de ecuatie generala

.

este degenerata si daca are centru.

a= interior ; b= exterior

a= interior ; b= exterior

c ( 1 ,20)

alfa=-162;i=2,j=54

c=(-(21/50),3/25,147/50)

Cudrica degenerata fara centru


.

Sa se calculeze invariantii si corespunzatori.

43. Matricea asociata unei cuadrice este simetrica sau antisimetrica ?


.

45. Daca A si sunt matricele asociate unei cuadrice, sa se precizeze formulele dupa care se calculeaza invariantii , si corespunzatori in functie de aceste matrice.

J=0 , I=21Simetrica

Cuadrica degenerata in centru ( elipsoid )

Geometrie Raspunsuri

Documents

Transcript of Geometrie Raspunsuri