Ecuatii diferential.Bond-graph
description
Transcript of Ecuatii diferential.Bond-graph
3. REZOLVAREA ECUA|IILOR CU DERIVATE PAR|IALE
Ecua\iile cu derivate par\iale (EDP) descriu diverse fenomene fizice.C`teva exemple sunt prezentate @n continuare.
1. Problema coardei vibrante. Presupunem o coard[ flexibil[,inextensibil[ care la @nceput coincide cu axa Ox. Ea este scoas[ dinechilibru ]i dup[ momentul ini\ial asupra ei nu mai ac\ioneaz[ nici ofor\[ Presupunem c[ mi]carea fiec[rui punct al coardei se face @n planul(x,u) unde u este devia\ia coardei de la pozi\ia de echilibru u = u(x,t). Easatisface EDP liniar[
(3.1)∂2u∂x2
= 1a2
∂2u∂t2
unde a este o constant[ ce depinde de propriet[\ile fizice ale coardei.Vibra\iile transversale ale unei membrane sub\iri, care @n pozi\ia deechilibru se afl[ @n planul x,y sunt descrise de EDP
(3.2)∂2u∂x2
+ ∂2u∂y2
= 1a2
∂2u∂t2
Aceste ecua\ii descriu precis doar micile oscila\ii ale coardei.2. Problema c`mpului nesta\ionar la temperatur[. Dac[ se
@nc[lze]te o por\iune a suprafe\ei unui corp omogen , atunci @n corp apareun c`mp de temperatur[. Temperatura se schimb[ de la un punct la altul]i de la un moment la altul. Temperatura u(x,y,z,t) satisface EDP
k = ct. (3.3)∂2u∂x2
+ ∂2u∂y2
+ ∂2u∂z2
= k∂u∂t
Aceast[ ecua\ie se nume]te ecua\ia propag[rii c[ldurii. Expresia
(3.4)∆u = ∂2u∂x2
+ ∂2u∂y2
+ ∂2u∂z2
se nume]te operatorul lui Laplace. 3. Problema c`mpului sta\ionar de temperatur[
Dac[ c`mpul de temperatur[ este constant @n timp adic[ u este func\ie decoordonate spa\iale u(x,y,z) ecua\ia c[ldurii devine
(3.5)∆u = 0Alt exemplu de EDP ce apare @n aplica\ii este ecua\ia biarmonic[
(3.6)∆2u = ∆(∆u) = f(x)unde x este un vector. Ecua\ia biarmonic[ @n 2 variabile este important[ @n diverse aplica\ii
(3.7)∂4u∂x4
+ ∂4u∂x2∂y2
+ ∂4u∂y4
= f(x, y)
3.1 Clasificarea EDP#n general o EDP cu m variabile independente se poate scrie su
forma
(3.8)F(x1, ..., xm, ∂u∂x1, ..., ∂u
∂xm, ∂
2u∂x1, ..., ∂ku
∂xm) = 0
Ordinul cel mai @nalt k al derivatei func\iei necunoscute u este ordinuecua\iei. #n aplica\ii apar @n principal EDP de ordinul 2 de forma
(3.9)Σf,k=1
mAjk
(x) ∂2u∂xj∂xk
= fx,u,Ak(x)∂u∂xk
unde Ak (x), Ajk (x) ]i f sunt func\ii date. Acest tip de EDP se nume]tcvasiliniar[. Pentru ecua\ia nu con\ine termeni diferi\i j ≠ k
]i ci suma lor Ajk(x) ∂2u∂xj∂xk
Akj(x) ∂2u∂xj∂xk (Ajk + Akj) ∂2u
∂xj∂xkNoi vom presupune c[ Ajk(x) = Akj(x)
EDP de ordin 2 se clasific[ dup[ propriet[\ile valorilor proprii almatricii coeficien\ilor termenilor Akj(x) ai ecua\iei date (matricecoeficien\ilor dominan\i)
(3.10)
A11.. .. A1m. .
Am1.. .. Amm
unde Ajk = Akj .Matricea este simetric[ ]i valorile proprii sunt reale.Fie - num[rul de valori proprii pozitive α
- num[rul de valori proprii negativeβ - num[rul de valori proprii nuleγ
Se va spune c[ EDP este de tipul @n punctul x. Dac[ se schimb(α,β, γ)semnele tuturor coeficien\ilor EDP, ]i @]i schimb[ locul, deci tipurilα β
]i sunt identice.(α,β, γ) (β,α, γ)
1
A) Tipul (m,0,0) sau (0,m,0) se nume]te eliptic. O EDP este detip eliptic @ntr-un punct x dac[ @n acest punct toate valorile proprii alematricii coeficien\ilor derivatelor de ordin 2 sunt diferite de 0 ]i auacela]i semn. De exemplu ecua\ia
(3.11)∆u = Σi=1
m ∂2u∂xi2
= f(x)
este de tip eliptic. Matricea coeficien\ilor dominan\i este matricea unitate.B) Tipul (m-1,0,1) = (0,m-1,1) se nume]te parabolic. Matricea
coeficien\ilor dominan\i are o valoare proprie nul[ ]i celelalte toate deacela]i semn. Exemplul cel mai important de EDP de tip parabolic esteecua\ia c[ldurii
(3.12)k ∂u∂xm
− Σi=1
m−1 ∂2u∂xi2
= f(x)
C) Tipul (m-1,1,0) = (1,m-1,0) se nume]te hiperbolic. Matriceacoeficien\ilor dominan\i are toate valorile proprii diferite de 0 ]i unadifer[ ca semn de toate celelalte. Exemplul cel mai important de EDP detip hiperbolic este ecua\ia undelor
(3.13)∂2u∂xm2
− Σi=1
m−1 ∂2u∂xi2
= f(x)
Exemplu. Fie EDP
(3.14)(1 + y2)∂2u∂x2
− 2xy ∂2u∂x∂y + (1 + x2)∂2u
∂y2= 0
Matricea coeficien\ilor dominan\i este
A =
1 + y2 xyxy 1 + x2
(3.15)λI − A =
λ − (1 + y2) −xy−xy λ − (1 + x2)
= 0
Ecua\ia caracteristic[ a matricii A este
(3.16)λ2 − (2 + x2 + y2)λ + (1 + x2)(1 + y2) − x2y2 = 0
cu valorile proprii λ1 = 1λ2 = 1 + x2 + y2
deci EDP este de tipul (2,0,0) @n orice punct. Exemplu Fie EDP
(3.17)y∂2u∂x2
+ ∂2u∂y2
= 0
Matricea coeficien\ilor dominan\i este
A =
y 00 1
cu valorile proprii ]i λ1 = 1 λ2 = yDeci pentru y > 0 EDP are tipul (2,0,0). Pentru y<0 EDP are tipu(1,1,0), iar pentru EDP are tipul (1,0,1).y = 0Exemplu Fie EDP
(3.18)A(x, y)∂2u∂x2
+ B(x, y) ∂2u∂x∂y +C(x, y)∂2u
∂y2= fx, y,u,
∂u∂x ,
∂u∂y
Matricea coeficien\ilor dominan\i este
]i det
A B
2B2 C
λ − 2 −B2−B2 λ −C
= λ2 − (A +C)λ + AC − B2
4R[d[cinile acestei ecua\ii sunt
λ1,2 =(A +C) ± (A +C)2 + (B2 − 4AC)
21) Pentru avem ]i , deci EDB2 − 4AC = 0 λ1 = 0 λ2 = A +C
este de tip parabolic.2) Pentru au semne contrare, deci EDB2 − 4AC > 0 λ1,λ2
este de tip hiperbolic.3) Pentru au acela]i semn, deci EDP estB2 − 4AC < 0 λ1,λ2
de tip eliptic.
3.2 Condi\ii la limit[Pentru descrierea complet[ a unei probleme sunt necesare
condi\ii la frontier[. Fie EDP oarecare
2
(3.19)L(u) = f(x)Consider[m c[ solu\ia acestei EDP este definit[ ]i are sens pe un anumitdomeniu din Rm ]i fie frontiera acestui domeniu. Pe frontieraΩ Γacestui domeniu sau pe o parte a ei se dau valorile unor expresiidiferen\iale ale solu\iei c[utate
k = 1,2, .., l (3.20)Gku Γ = ϕk(x)
Aceste rela\ii se numesc condi\ii la limit[.Exemplu. Dac[ se d[ avem problema lui Dirichlet.u Γ = ϕ(x)
Dac[ se d[ avem problema lui Neumann.∂u∂ν Γ
= ψ(x)
3.3 Diferen\e finiteSe consider[ o func\ie y(x) cu valorile y0, y1,.....yn ale acestei func\ii @npunctele echidistante x0, x1, ....xn. Distan\a @ntre puncte este egal[ cu h.
xx x
yy y
0 1 n
01 n
Fig. 3.1
Se define]te operatorul de transla\ie T astfel(3.21)Tyi = yi+1
iar(3.22)Tnyi = T(Tn−1yi) = yi+n
(3.23)T0yi = yi
deci(3.24)T0 = I
3.3.1 Diferen\e regresiveDiferen\a regresiv[ de ordin 1 se define]te cu rela\ia
(3.25)∇yi = yi − yi−1Diferen\a regresiv[ de ordin n se define]te ca
(3.26)∇nyi = ∇(∇n−1yi)Putem scrie
∇ = T0 − T−1 = I − T−1
∇nyi = (I − T−1)n = I −Cn1T−1 +Cn2T−2 + (−1)nT−n
Pentru n=2 avem
=∇2yi = ∇(∇yi) = ∇(yi − yi−1) = yi − yi−1 − yi−1 + yi−2
= yi − 2T−1yi + T−2yi
Coeficien\ii valorilor func\iei @n nodurile echidistante coinciyicu cei ai binomului lui Newton
∇n = (I − T−1)n
Se pot exprima derivatele unei func\ii cu ajutorul diferen\eloregresive ]i invers. Pentru aceasta se consider[ dezvoltarea @n serie Tayloa lui y(x+h) @n jurul punctului x
y(x + h) = y(x) + h1!y (x) + h2
2! y (x) + ....
Se noteaz[ operatorul de derivare cu D ]i rezult[
y(x + h) = y(x) + hD1! y(x) + h2D22! y(x) + .... = (1 + hD1! + h
2D22! + ....)y(x)
sau y(x + h) = ehDy(x)]i
y(x) = e−hDy(x + h)deci
∇yi = yi − yi−1 = yi − e−hDyi = (1 − e−hD)yiExist[ deci rela\iile
(3.27)∇ = 1 − e−hD e−hD = 1 − ∇
3
Exprimarea diferen\elor regresive @n func\ie de derivate diferen\a de ordin I
(3.28)∇ = 1 − e−hD = hD − h2D22! + h
3D33! − ...
diferen\a de ordin II
(3.29)∇2 = h2D2 − h3D3 + 712h
4D4 − ....
diferen\a de ordin III
(3.30)∇3 = (1 − e−hD)3 = h3D3 − 32h4D4 + 54h
5D5 − ...
Exprimarea derivatelor @n func\ie de diferen\eSe porne]te de la rela\ia care se logaritmeaz[e−hD = 1 − ∇
−hD = ln(1 − ∇) = −(∇ + ∇2
2 + ∇3
3 + ...)deci
(3.31)hD = ∇ + ∇2
2 + ∇3
3 + ...
derivata de ordin ILu`nd din dezvoltarea @n serie Taylor de mai sus doar primul
termen ob\inem
(3.32)Dyi = yi = 1h∇yi =yi − yi−1h
Eroarea de aproximare se deduce astfel
∇ = hD − h2D22! + ...
deci
D = ∇h + hD
2
2! − h2D33! + ...
Primul termen neglijat este deci eroarea de aproximare este e=O(h)=hD22!
.hy”2!
Lu`nd doi termeni din dezvoltarea @n serie Taylor avem
(3.33)D = 1h(∇ + ∇2
2 ) = 12h(3yi − 4yi−1 + yi−2)
Eroarea de aproximare se deduce astfel
∇ + ∇2
2 = hD − 13h3D3 + ...
deci
Dyi = 1h(∇ + ∇2
2 )yi + 13h2D3yi + ...
Primul termen neglijat este
deci eroarea de aproximare este 13h
2D3yi e = O(h2) = 13h2yi
derivata de ordin IISe ridic[ la p[trat expresia lui hD
(3.34)h2D2 = ∇2 + ∇3 + 1112∇4 + ...
Lu`nd un termen din aceast[ dezvoltare @n serie, ob\inem
(3.35)D2 = ∇2
h2= 1h2
(yi − 2yi−1 + yi−2)
Lu`nd doi termeni din dezvoltarea @n serie, ob\inem
(3.36)D2 = 1h2
(∇2 + ∇3) = 1h2
(2yi − 5yi−1 + 4yi−2 − yi−3)
Erorile de aproximare se deduc astfel. Pentru prima expresie
D2 = 1h2
∇2 + hD3 − ...
deci primul termen neglijat este ]i .hD3 e = O(h) = hyPentru a doua expresie avem
∇2 + ∇3 = h2D2 − 1112h4D4 + ...
deci
D2yi = 1h2
(∇2 + ∇3)yi + 1112h2D4yi + ...
]i primul termen neglijat este deci 1112h
2D4 e = O(h2) = 1112h2yIV
Se poate ar[ta c[ lu`nd primul termen din dezvoltarea @n seriTaylor , eroarea de aproximare a derivatelor cu diferen\e regresive estpropor\ional[ cu h, lu`nd doi termeni, eroarea este propor\ional[ cu hetc.
4
3.3.2 Diferen\e progresiveDiferen\a progresiv[ de ordin I se define]te ca
(3.37)∆yi = yi+1 − yi]i cea de ordinul n
(3.38)∆nyi = ∆(∆n−1yi)
Utiliz`nd operatorul de transla\ie diferen\ele progresive seexprim[ ca
∆ = T − T0 = T − I(3.39)
∆n = (T − I)n = Tn −Cn1Tn−1 + .... + (−1)nICoeficien\ii valorilor func\iei @n noduri sunt cei ai binomului lui Newton.#ntre diferen\ele progresive ]i regresive exist[ rela\ia
∆ + ∇ = T − T−1
La fel ca @n cazul diferen\elor regresive se poate demonstra rela\ia
∆yi = (ehD − 1)yideci
(3.40)∆ = ehD − 1 ehD = 1 + ∆
Exprimarea diferen\elor @n func\ie de derivateSe dezvolt[ @n serie Taylor expresia
∆ = ehD − 1]i se ob\ine
(3.41)∆ = hD + h2D22! + h
3D33! + ...
(3.42)∆2 = h2D2 + h3D3 + 712h
4D4 + .....
(3.43)∆3 = h3D3 + 32h4D4 + ....
Expresia derivatelor @n func\ie de diferen\eSe dezvolt[ @n serie Taylor ln ehD = ln(1 + ∆)
ln ehD = hD = ln(1 + ∆) = ∆ − ∆22 + ∆3
3 − ∆44 + ...
derivata de ordin I•Se ia un termen din dezvoltarea @n serie Taylor de mai sus
(3.44)D = ∆h
Din (3.41) avem
D = ∆h − hD
2
2 + .....
deci eroarea de aproximare este e = O(h) = −hy2
Pentru doi termeni din dezvoltarea @n serie avem aproximarea
(3.45)D = 1h(∆ − ∆22 )
sau
(3.46)yi = 12h(−yi+2 + 4yi−1 − 3yi)
Din (3.41) ]i (3.42) se deduce
D = 1h(∆ − ∆22 ) + 13h
3D3 + ...
deci eroarea de aproximare este e = O(h2) = 13h2y
derivata de ordin II•Se calculeaz[
h2D2 = ∆2 − ∆3 + 1112∆4 + .....
Lu`nd primul termen din dezvoltare, avem
(3.47)D2 = 1h2
∆2
deci
(3.48)D2yi = 1h2
(yi+2 − 2yi+1 + yi)
Din (3.42) se ob\ine
D2 = 1h2
∆2 − hD3 + ...
deci eroarea de aproximare este
e = O(h) = hy
Lu`nd primii doi termeni din dezvoltarea @n serie avem
5
(3.49)D2 = 1h2
(∆2 − ∆3)
Din (3.42) ]i (3.43) se ob\ine
∆2 − ∆3 = h2D2 − 1112h4D4 + ....
]i eroarea de aproximare este
e = O(h2) = 1112h2y(IV)
Se poate ar[ta c[ lu`nd primul termen din dezvoltare @n serieTaylor, eroarea de aproximare a derivatelor cu diferen\e regresive estepropor\ional[ cu h, lu`nd doi termeni, eroarea de aproximare estepropor\ional[ cu , etc.h2
3.3.3 Diferen\e centrateDiferen\a centrat[ de ordinul I se define]te @n felul urm[tor
(3.50)δyi = y(xi+ 12 ) − y(xi− 12 ) = yi+ 12 − yi− 12 = (ehD2 − e− hD2 )yi
iar diferen\a centrat[ de ordin n
(3.51)δnyi = δ(δn−1yi)
#n expresia acesor diferen\e intervin noduri dispuse simetric @nraport cu xi. Se poate scrie
(3.52)δ = ehD2 − e− hD2
sauδ = T
12 − T− 12
]i (3.53)δn = (T
12 − T− 12 )n
δ2 = T − 2I+T−1 = ∆ − ∇
#n diferen\ele centrate impare, apar valorile func\iei @n punctele
intermediare , etc., care nu se cunosc.i + 12, i − 12Pentru a le elimina, se utilizeaz[ opera\ia de mediere definit[µ
ca
(3.54)µyi = 12(y1+ 12 + y1− 12)
x
yy y
xi-1
i-1
i
i
i+1
i+1
xxi- 1
2xi+ 1
2
Fig. 3.2sau
(3.55)µ = 12(T12 + T− 12 )
Diferen\ele centrate impare se @nlocuiesc cu .δk µδk
Exemplu
µδ = 12(T12 + T− 12 )(T
12 − T− 12 ) = 12(T − T−1) = 12(∆ + ∇)
deci
(3.56)µδyi = 12(yi+1 − yi−1)Analog
(3.57)µδ3 = 12(∆ + ∇)(∆ − ∇) = 12(∆2 − ∇2)
Rela\ia @ntre ]i se deduce astfelµ δ
µ2 = 14(T+2I+T−1) = 14δ2+I
Expresiile diferen\elor @n func\ie de derivateSe deduc prin dezvoltare @n serie
(3.58)µδ = 12(ehD − e−hD) = hD + h3D33! + h
5D55! + ...
(3.59)δ2 = ehD − 2 + e−hD = 2(h2D22! + h
4D44! + .....)
(3.60)µδ3 = h3D3 + 14h5D5 + ...
6
Expresiile derivatelor @n func\ie de diferen\e derivata de ordin I•
(3.61)µδ = 12(ehD − e−hD) = sh(hD)
(3.62)hD = arg sh (µδ) = µδ −µ3δ3
3! +3µ5δ55! + .....
Lu`nd primul termen din aceast[ dezvoltare @n serie avem
(3.63)D = 1hµδ
deci
Dyi = yi = 12h(yi+1 − yi−1)
Eroarea de aproximare se deduce din (3.58)
D = µδ − h3D33! − ...
deci
e = O(h2) = −h2y3!
Lu`nd primii doi termeni din dezvoltare avem
(3.64)D = 1h(µδ −µ3δ3
6 ) =µδh (1 − (1 + δ2
4 )δ6)
Din (3.59) ]i (3.60) avem
D = 1h(µδ −µδ3
3! ) − h4D5 24120 + ....
deci eroarea de aproximare estee = O(h4)
derivata de ordin II•
(3.65)h2D2 = δ2 − δ412 + ...
Lu`nd primul termen din dezvoltarea @n serie (3.65) se ob\ineaproximarea
(3.66)D2 = δ2h2
=(yi+1 − 2yi + yi−1)
h2
cu eroarea de aproximare
e = 2h2D44! y = O(h2)
Lu`nd primii doi termeni din dezvoltare, avem
(3.67)D2 = 1h2
(δ2 − δ412)
Re\in`nd deci primul termen, din dezvolt[rile @n serie se ob\ierori de aproximare deordinul , re\in`nd doi termeni, din dezvolt[rilh2@n serie se ob\in erori de ordinul .h4
3.4 EDP de tip hiperbolic1) Problema cu condi\ii ini\iale.
Consider[m o EDP de ordinul I de forma
(3.68)∂u∂t + c∂u
∂t = 0
unde c>0 este o constant[ ]i condi\iile ini\iale sunt u(x,0)=f(x) pentr0<x<1. Ecua\ia apare la curgerea fluidelor printr-un tub.
Pentru rezolvarea numeric[ se contruie]te @n domeniul 0<x<1 t>0 o re\ea rectangular[.
l-1
l
l+1
0 x
D A
B
C
E
F
G
L
M
j j+1j-1
t
Fig.3.3 Re\ea rectangular[ unde ]i x = j∆x t = l ⋅ ∆t
Fie u(x,t) solu\ia EDP. Se dezvolt[ @n serie Taylor @n raport cu@n jurul punctului A.
(3.69)uA = uB + ∆t1!
∂uB∂t + ∆t2
2!∂2uB∂t2
+ ......
7
A) Se re\in din dezvoltarea @n serie doi termeni
uA = (1 + ∆t ∂∂t)uB
]i \in`nd cont de EDP
(3.70)uA = (1 + c∆t ∂∂x)uB
Se va aproxima derivata cu diferen\a progresiv[∂uB∂x
. Not`nd parametrul re\elei , se ob\ine∇ = 1∆x(uB − uE) α = ∆t
∆xuA = (1 − αc)uB + αcuE
Formula de calcul va fi deci
(3.71)ujl+1 = (1 − αc)ujl + αcuj−1l
cu condi\ia ini\ial[ ]i este o schem[ cu dou[ nivele.uj0 =f jB) Re\in`nd trei termeni din dezvoltarea @n serie, se ob\ine
uA = (1 + ∆t ∂∂t + ∆t2
2∂2
∂t2)uB
Din EDP se deduce
∂2u∂t2
= c2 ∂2u∂x2
]i ob\inem
(3.72)uA = (uB − c∆t∂uB∂x + (∆t)22 c2 ∂2uB
∂x2)
Se utilizeaz[ operatorul cu diferen\e centrate pentru a aproximaderivatele
∂u∂x = 1
2h(uj+1 − uj−1)
∂2u∂x2
= 1h2
(uj+1 − 2uj + uj−1)
deci
uA = uB − αc2 (uL − uE) + 12α2c2(uL − 2uB + uE)
sau
(3.73)ujl+1 = (1 − α2c2)ujl − 12αc(1 − αc)uj+1l + 12αc(1 + αc)uj−1l
, f=0,....,Nuj0 =f jSchema se nume]te Lax-Wendroff ]i este o schem[ cu dou[ nivele.Not`nd cu Ul
j solu\ia exact[ a ecua\iei @n punctul (j,l) eroarea dtrunchiere este
ε jl = ujl −Ujl
]i satisface ecua\ia cu diferen\e
ε jl+1 = (1 − α2c2)εjl − 12αc(1 − αc)ε j+1l + 12αc(1 + αc)εj−1l +O((∆t)3)
Pentru a ar[ta aceasta, dezvolt[m @n serie Taylor termenii din formul[ @jurul punctului uB
uA = uB + ∆t∂uB∂t + (∆t)22!
∂2u∂t2
+ 13!(∆t)3 ∂2u
∂t3+ ...
uE = uB − ∆x∂uB∂x + (∆x)2
2!∂2u∂x2
+ 13!(∆x)3 ∂3u∂x3
+ ...
uL = uB + ∆x∂u∂x + (∆x)2
2!∂2u∂x2
+ 13!(∆x)3 ∂2u
∂x3+ ...
Se ob\ine
uA = uB − αc∂uB∂x + α2c2
2!∂2u∂x2
+ 13![c∆t(∆x)2 ∂3u∂x2
+ (∆t)3 ∂3u∂t3
] + ...
Dac[ sc[dem expresia aproxim[rii, ob\inem
e = 13![c∆t(∆x)
2 ∂3u∂x3
+ (∆t)3 ∂3u∂t3
]
C) Se re\in trei termeni din dezvoltarea @n serie, ]i @nlocuind c∂2uB∂t2
diferen\a centrat[ , ob\inem1(∆t)2
(uA − 2uB + uC)
uA = uC − αc(uL − uE)sau
(3.74)ujl+1 = ujl−1 − αc(uj+1l − uj−1l )
.uj0 =f jdeci, este o schem[ cu trei nivele
8
Transformarea EDP de tip hiperbolic @n EDOFie ecua\ia undelor
∂2u∂t2
= c2 ∂2u∂x2
ce descrie vibra\iile unei coarde de lungime l fixat[ la ambele capete.Condi\iile la limit[ ]i ini\iale sunt
u(0,t)=0; u(l,t)=0 u(x, 0) = f(x)∂u∂t (x, 0) = 0
Se @mparte intervalul l @n N puncte echidistante ]i se utilizeaz[
diferen\ele centrate pentru a exprima derivata .∂2u∂x2
Se ob\ine sistemul de ecua\iid2undt2
= 1h2
(un+1 − 2un + un−1)
@n condi\iile ini\iale
un(0) = f(nh)
dun(0)dt = 0
pentru n=1,...,N-1 ]i
d2u0dt2
= 0
d2uNdt2
= 0
3.5 Rezolvarea ecua\iilor cu derivate par\iale de tipparabolic
Ecua\iile cu derivate par\iale (EDP) de tip parabolic secaracterizeaz[ prin faptul c[ matricea coeficien\ilor dominan\i are ovaloare proprie nul[. Func\ia necunoscut[ depinde de timp ]i de c`tevavariabile spa\iale. Pentru a determina solu\ia se cere precizat domeniul @ncare vrem s[ o determin[m ]i condi\iile ini\iale (pentru t=0) ]i la limit[.
Consider[m ecua\ia c[ldurii
(3.75)∂u∂t = ∂2u
∂x2
cu condi\ia ini\ial[ u(x,0)=f(x), ]i condi\iile la limit[ 0 ≤ x ≤ 1 ]i .u(0, t) = g1(t) u(1, t) = g2(t)
Vom c[uta solu\ia pentru . Pe domeniul de calcul se consider[ 0 ≤ t ≤ Tre\ea rectangular[ cu pa]ii pe axa x ]i pe axa t.∆x = h ∆t = kA) Vom @nlocui derivatele cu diferen\e (progresive pentru axa t, centratepentru axa x).
ujl+1 − ujl
k =uj+1l − 2ujl + uj+1l
h2
Not`nd , avem formulakh2
= α
(3.76)ujl+1 = (1 − 2α)ujl + α(uj+1l + uj−1l )
Pentru calculul erorilor de trunchiere se dezvolt[ termenii dinformul[ @n serie Taylor @n jurul punctului .uj
l
ujl+1 = ujl + k∂u∂t + k
2
2!∂2u∂t2
+ ...
uj+1l = ujl − h∂u∂x + h
2
2!∂2u∂x2
− ....
..uj−1l = ujl + h∂u∂x + h
2
2!∂2u∂x2
+ ..
Not`nd cu solu\ia real[ avemUjl+1
Ujl+1 = ujl + αh2 ∂2u∂x2
+ α k4
12∂4u∂x4
+ ....
Eroarea de trunchiere este deci
12k2[∂2u
∂t2− 16α
∂4u∂x4
] = O(k2)
Fie diferen\a @ntre solu\ia exact[ ]i cea @n nodul re\elei. Ea satisfacε jl
ecua\ia ε jl+1 = (1 − 2α)ε j
l + α(ε j+1l + ε j−1
l ) +O(k2) Algoritmul de calculFie EDP
9
, ∂u∂t = ∂2u
∂x20 ≤ x ≤ 1
u(0, t) = g1(t),u(1, t) = g2(t),u(x, 0) = f(x)
u1l+1 = (1 − 2α)u1l + α(u2l + u0l ); u0l = g1(lk)
u2l+1 = (1 − 2α)u2l + α(u3l + u1l )............................................uJ−1l = (1 − 2α)uJ−1l + α(uJl + uJ−2l ); uJl = g2(lk)
Acest sistem de J-1 ecua\ii se scrie astfel
u1l+1
.
.
.uJ−1l+1
=
1 − 2α α 0 −− 0α 1 − 2α α −− 0−− −− −− −−−− −− α 1 − 2α α−− −− −− α 1 − 2α
u1l
.
.
.uJ−1l
+ α
g1l
0.0g2l
sau sub forma matriceal[
ul+1 = Aul + αgl
Eroarea de propagare satisface rela\ia
ε l = ul −Ul
Aceast[ eroare r[m`ne m[rginit[ dac[ valorile proprii ζ i ≤ 1Aceste valori proprii au expresia
ζ i = 1 − 4α sin2 iπ2J
de unde rezult[ condi\ia de stabilitate 0 < α ≤ 12B) Pentru se folose]te o combina\ie liniar[ @ntre diferen\ele centrate∂2u
∂x2
]i ]i ob\inemδ2ujl+1 δ2ujl
(3.77)ujl+1 − ujl
k = 1h2
[ϑ(uj+1l+1 − 2ujl+1 + uj−1l+1) + (1 − ϑ)(uj+1l − 2ujl + uj−1l )]
unde 0 ≤ ϑ ≤ 1.
Pentru schema se nume]te Crank-Nicolson. Not`nd ϑ = 12kh2
= α
, formula are expresia
(3.78)(1 + α)ujl+1 − 12α(uj+1l+1 + uj−1l+1) = (1 − α)ujl + α2 (uj+1l + uj−1l )
Algoritmul de calcul
Exemplu. Fie ecua\ia ∂u∂t = ∂2u
∂x2, 0 ≤ x ≤ 1,
@n condi\iile ini\iale ]i la limit[ men\ionate.Membrul drept al formulei Crank-Nicolson este cunoscut
(1 − α)ujl + α2 (uj+1l + uj−1l ) = dj
Fie Avem deci de calculat ,j=0, ... .J∆x = h = 1J . ujl
Pentru un l oarecare avem
−αu0l+1 + 2(1 + α)u1l+1 − αu2l+1 = d1
−αu1l+1 + 2(1 + α)u2l+1 − αu3l+1 = d2...................................................−αuJ−2l+1 + 2(1 + α)uJ−1l+1 − αuJl+1 = dJ−1
Dar ]i sunt cunoscute din condi\iile la limit[u0l+1 uJl+1
u0l+1 = g1[(l + 1)∆t]uJl+1 = g2[(l + 1)∆t]
deci sistemul are J-1 ecua\ii ]i J-1 necunoscute. El se poate rezolva priorice metod[ direct[ sau iterativ[ (de exemplu metoda Gauss-Seidedeoarece matricea coeficien\ilor este cu diagonal[ dominant[.
EDP de tip parabolic cu dou[ variabile spa\ialeFie EDP
∂u∂t = ∂2u
∂x2+ ∂2u
∂y2
@n condi\ii ini\iale ]i la limit[ date. Vom presupune c[ pa]ii ddiscretizare pe cele dou[ axe x ]i y sunt egali . Schema de∆x = ∆y = h
10
aproximare a ecua\iei va fi
uj,kl+1 − uj,kl = α(δx2uj,kl + δy2uj,kl )
unde α = ∆t(∆x)2
δx2uj,kl = uj+1,kl − 2uj,kl + uj−1,kl
δy2uj,kl = uj,k+1l − 2uj,kl + uj,k−1l
Condi\ia de stabilitate este ]i schema este explicit[.0 ≤ α ≤ 12Dac[ se aproximeaz[
(3.79)∂2u∂x2
= 12h2
(δx2uj,kl + δx2uj,k
l+1)
se ob\ine schema implicit[ Crank-Nicolson. Se poate demonstra c[schema este necondi\ionat stabil[.
Transformarea EDP de tip parabolic @n EDOExemplu.Fie EDP
∂u∂t = c∂2u
∂x2, 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0
Condi\ia ini\ial[ este iar condi\iile la limit[ suntu(x, 0) = Tm,u(0,t)=0 , u(L,y)=0 . Ecua\ia descrie transmisia c[ldurii @ntr-un mediuoarecare . Mediul are ini\ial o temperatur[ ]i se afl[ @ntre dou[ bareTmmen\inute la temperatura 0. Pentru rezolvarea problemei se @mparteintervalul @n J p[r\i egale, .[0,L] ∆x = L
JSe utilizeaz[ diferen\e centrate de ordin II pentru aproximarea
derivatei . Se ob\ine sistemul de ecua\ii diferen\iale∂2u∂x2
i=1,...,J-1duidt = c
h2(ui+1 − 2ui + ui−1) ,
du0dt = 0
duJdt = 0
@n condi\iile ini\ialeu0 = 0
, i=1,...,J-1ui(0) = Tm
uJ(0) = 0
3.6 EDP de tip elipticEDP de tip eliptic se caracterizeaz[ prin faptul c[ matrice
coeficien\ilor dominan\i are toate valorile proprii de acela]i semnExemple importante de EDP de tip eliptic sunt ecua\iile Laplace ecua\ia Poisson. Se define]te operatorul Laplace
(3.80)∆u = Σi=1
m ∂2u∂xi2
Ecua\ia∆u = 0
poart[ numele de ecua\ia Laplace, iar ecua\ia∆u = f
este ecua\ia Poisson. Condi\ia la limit[ este u=g.Pentru rezolvarea problemei @n domeniul @n care se cere solu\ia s
alege o re\ea rectangular[ de puncte cu pa]ii h ]i k pe axele x ]i y, iaderivatele se @nlocuiesc cu diferen\e finite. Utiliz`nd diferen\ele centrateformulele de aproximare sunt (vezi fig. 3.4)
∂uB∂x = 1
2h(uL − uE)
∂2uB∂x2
= 1h2
(uL − 2uB + uE)
∂2uB∂y2
= 1k2
(uA − 2uB + uC)
Fig. 3.4 Re\ea rectangular[
Pentru h=k operatorul Laplace are expresia
(3.81)∆u = 1h2
(ui+1,j − 4ui,j + ui+1,j + ui,j+1 + ui,j−1)
Eroarea local[ de trunchiere este O(h4) +O(k4)
A
BE L
KD
j j+1j-1
l+1
C
11
Exemplu. Se d[ ecua\ia Laplace
∆u = ∂2u∂x2
+ ∂2u∂y2
= 0
care descrie distribu\ia sta\ionar[ a temperaturii u(x,y) @ntr-un corpbidimensional , cu temperatura pe conturul corpului dat[ (condi\ia lalimit[).
Fie o plac[ p[trat[ de dimensiune L izolat[ complet cutemperatura pe contorul pl[cii dat[ ca @n fig. 3.5. Se alege pasul de
discretizare ]i rezult[ sistemul de ecua\ii urm[torh = L4
0
0
0
0
0
0
0 0 0
100 100 100
121
343
565
Fig. 3.5 −4u1 + 100 + u2 + u3 = 0−4u2 + 2u1 + u4 + 100 = 0−4u3 + u4 + u5 = 0−4u4 + 2u3 + u2 + u6 = 0−4u5 + u3 + u6 = 0−4u6 + 2u5 + u4 = 0
Acest sistem de ecua\ii liniare are matrice band[.Dac[ domeniul are conturul format din drepte paralele cu axele
Ox, Oy, condi\iile la limit[ permit calculul solu\iei @n toate nodurileinterioare ale re\elei.
Dac[ frontiera este o curb[ oarecare, schema cu diferen\e sepoate aplica doar nodurilor interioare. Pentru punctele adiacentefrontierei , adic[ cele care sunt distan\ate la mai pu\in de h frontier[ peaxa Ox, sau la mai pu\in de k pe axa Oy derivatele se aproximeaz[ cuformule speciale.
4. MODELAREA SISTEMELOR FIZICE PRIN METODAGRAFULUI DE LEGTURI
Modelarea sistemelor complexe - a]a cum sunt majoritatesistemelor @nt`lnite @n practic[ - a ridicat probleme deosebite ]i a necesitadezvolt[ri teoretice bazate pe principii fundamentale din fizic[ (LagrangeMaxwell, Hamilton). Ca o direc\ie @n modelarea sistemelor a fost g[sireunei metode generale care s[ fie comun[ tuturor tipurilor de sisteme care s[ nu depind[ de natura sistemului. Modelarea prin graf de lag[turi (bond-graphs) const[ @n: localiza propriet[\ile unui sistem fizic, a le reprezenta prin elementideale de stocare, disipare sau transformare a energiei (cinetice, elasticegravita\ionale, electrice, magnetice, chimice, termice, hidraulicepneumatice) çi a exploata grafic cuplajele dintre aceste elemente.
Graful de lag[turi descrie explicit structura fizic[ a unui sistemçi structura de calcul asociat[. Graful de lag[turi se bazeaz[ preprezentarea grafic[ a schimburilor energetice @ntre elementele de bazale unui sistem fizic çi foloseçte @n acest scop variabilele generalizatefort çi flux. Utilizarea variabilelor energetice asigur[ o modelare unitara sistemelor @n care se vehiculeaz[ diferite forme de energie.Modelele matematice ob\inute pot fi liniare sau neliniare, iar proprietatede neliniaritate a modelului poate fi identificat[ ca legat[ de structur[ / sau de componente. Alegerea variabilelor de stare, totdeauna asociatunei componente a sistemului sau unui fenomen fizic dau modeluluastfel ob\inut o realitate fizic[. Consider`nd unice conexiunile cauzal@ntre elemente din graful de leg[turi se pot ob\ine
- ecua\iile de stare ale sistemului- informa\ii @n ceea ce priveçte domeniile de varia\ie
dinamicilor sistemului çi variabilelor corespunz[toare- informa\ii asupra propriet[\ilor structurale ale sistemului.Reprezentarea sistemelor const[ const[ @n general @n trecerea d
la sistemele inginere]ti la sistemele de ecua\ii printr-o cre]tere abstractiz[rii de la dreapta la st`nga (figura 4.1). Partea central[ diaceast[ figur[ face trecerea de la circuite la schemele bloc utilizate @teoria sistemelor automate. Graful de leg[turi se g[se]te la mijloc, ca combina\ie a circuitelor ]i a diagramelor bloc av`nd majoritateavantajelor oferite de acestea.
12
Sisteme deecua\ii
Diagram[bloc
Graf de CircuiteSisteme
inginere]ti
nivel abstractizare
leg[turi
Fig. 4.1 Reprezentarea sistemelor4.1 Reprezentarea transferului de putere. Variabile generalizate
Pentru a introduce no\iunile de baz[ ale metodei grafului deleg[turi çi pentru a scoate @n eviden\[ domeniul de aplicabilitate alacesteia vom considera trei sisteme: unul mecanic (a), unul electric (b) çiunul hidraulic (c)
F FA B
v v
a) sistem mecanic
A B
i
u
b) sistem electric
A BQ
c) sistem hidraulicp
Fig. 4.2 Sisteme fizice
Fluxul de energie schimbat @ntre subsistemele A çi B estereprezentat prin simbolul
sensul s[ge\ii corespunz`nd sensului pozitiv al puterii, iar pe semis[geat[se trec variabilele care dau puterea instantanee (P = @n mecanic[,F ⋅ v
@n electricitate, @n hidraulic[).P = u ⋅ i P = Q ⋅ p
A BFv
a) sistem mecanic
A Bu i
b) sistem electric
AQ
c) sistem hidraulicp B
Fig. 4.3 Transferul de putereVariabilele care definesc puterea schimbat[ @ntre subsisteme sunt
numite variabile generalizate de efort çi de flux notate cu e çi f (sauvariabile de putere) @nc`t - indiferent de domeniul de aplica\ie - avem
P = e ⋅ fConven\ional, se reprezint[ @ntotdeauna leg[tura cu semis[geata
@n jos çi spre dreapta
ef
Fig. 4.4 Reprezentarea transferului de putere
Energia schimbat[ este prin defini\ie
E(t) = ∫0t P(τ)dτ , E(0)=0
Vom defini @n continuare variabilele de energie prin urm[toarelrela\ii
- moment (generalizat) p(t) = ∫0
t
e(τ)dτ , cu p(0) = 0(4.1)
- deplasare (generalizat[) q(t) = ∫0
t
f(τ)dτ , cu q(0) = 0
Pentru sistemele mecanice avemP = Fv
q(t) = ∫0
t
v(τ)dτ
deci coresponden\a f ↔ vP = Mω
q(t) = ∫0
t
ω(τ)dτ
deci coresponden\a f ↔ ωPentru un circuit electric avem
P = uiΦ = Li
deci coresponden\a f ↔ iSemnifica\ia variabilelor generalizate pentru diferite domenii fizice estprezentat[ @n tabelul 4.1
Domeniul fizic e f p(t)
mecanic miçc.transla\iemiçc. rota\ie
for\a Fcuplul M
viteza vvit. ung. w
impuls pmoment cinetic L
electric tensiune u curent i flux magnetic F
hidraulic presiune p debit Q(volumic)
impuls de presiune pp
Tabelul 4.1
13
4.2 Elementele grafului de leg[turi4.2.1 Elemente pasive. Acestea transform[ energia care le este
furnizat[ @n energie disipat[ sau stocat[. Semis[geata se reprezint[@ntotdeauna intr`nd @n aceste elemente.
Elemente R - utilizate pentru modelarea tuturor fenomenelor celeag[ efortul de flux (rezisten\e electrice, rezisten\e hidraulice, diodele,amortizoare, fenomene de frecare). Elementele R sunt elemente disipative de energie. Legea (liniar[sau neliniar[) care le caracterizeaz[ este
(4.2)ΦR(e, f) = 0iar reprezentarea general[ este
ef R : R (.)
Fig. 4.5 Reprezantarea elementelor Runde R(.) indic[ parametrul care intervine @n lege (dac[ aceasta esteliniar[) sau indic[ dependen\a de un parametru (dac[ legea este neliniar[).
ui
PQ
Fig. 4.6 Exemple de elemente RExemple de elemente de tip R ]i variabilele de putere asociate
sunt prezentate @n fig. 4.6.u = R1i
ui R : R 1
F = kv
Fv
R : k
Elemente C - utilizate pentru modelarea fenomenelor fizice celeag[ efortul de deplasare (resorturi, acumulatoare, condensatoare,rezervoare de stocare, toate fenomenele de elasticitate saucompresibilitate). Elementele C sunt elemente de stocare a energiei.
Legea (liniar[ sau neliniar[) care le caracterizeaz[ este
(4.3)ΦC(e, q) = 0iar reprezentarea general[ este
e
f = dqdt
C : C (.)
unde C (.) indic[ parametrul care intervine @n lege (dac[ aceastesteliniar[) sau indic[ dependen\a de un parametru (dac[ aceasta estneliniar[).
Q
i uC
e f
o o o
o o o
F
x.
pFig. 4.7 Exemple de elemente C
Exemple de elemente de tip C ]i variabilele de putere asociate sunprezentate @n fig. 4.7.
Elemente I - utilizate pentru modelarea fenomenelor ce leagfluxul de moment (masa @n miçcare de transla\ie, momentul de iner\ie @miçcare de rota\ie, inductan\ele etc). Elementele I sunt elemente dstocare a energiei.
Legea (liniar[ sau neliniar[) care le caracterizeaz[ este(4.4)ΦI(p, f) = 0
iar reprezentarea general[ este
I : I (.) e = dp
dtf
unde I (.) indic[ parametrul care intervine @n lege (dac[ aceasta estliniar[) sau indic[ dependen\a de un parametru (dac[ aceasta estneliniar[).
e
fI u
i m F
x .
M
ω
Fig. 4.8 Exemple de elemente I
14
Exemple de elemente de tip C ]i variabilele de putere asociate suntprezentate @n fig. 4.8.
4.2.2 Elemente active. Acestea furnizeaz[ putere sistemului.Avem
- sursa de efort (for\a de greutate, generatoare de tensiune, pompehidraulice) reprezentate ca
Se - sursa de flux (viteza aplicat[, generatoare de curent)
reprezentate ca
Sf
Semis[geata iese @ntotdeuna din surs[.#n ambele cazuri, una din cele dou[ variabile (efort sau flux) este
presupus[ cunoscut[, çi independent[ de variabila complementar[ indus[,care depinde de sistem.
o
o
o
o
Se Sf
Fig. 4.9 Elemente active4.2.3 Elemente de jonc\iune - notate cu 0, 1, TF, GY servesc
cupl[rii elementelor R, C, I çi surselor çi compun structura de jonc\iune amodelului, corespunz[toare arhitecturii sistemului.
Jonc\iunea 0 - se asociaz[ elementelor supuse la acelaçi efort(no\iunea de efort comun corespunde de exemplu @n mecanic[elementelor @n serie - aceeaçi for\[ - @n electricitate sau @n hidraulic[elementelor @n paralel - aceeaçi tensiune sau aceeaçi presiune).
Rela\iile care caracterizeaz[ o jonc\iune 0 se pot pune sub forma- egalitatea eforturilor pentru toate leg[turile av`nd o extremitate
la jonc\iune- suma algebric[ a fluxurilor este egal[ cu zero.Ponderarea fluxurilor se face cu semnul (+) sau (-) dup[ cum
semis[geata intr[ sau iese @n jonc\iunea 0.
e1f1
e2 f2
e4 f4 e3f3
0
e1 = e2 = e3 = e4
f1 + f2 − f3 − f4 = 0Pentru jonc\iunea 0 din exemplul de mai sus, bilan\ul puterilo
este dat de rela\ia urm[toare:e1f1 + e2f2 − e3f3 − e4f4 = 0
Jonc\iunea 1 - se asociaz[ elementelor supuse la acelaçi flu(no\iunea de flux comun corespunde de exemplu @n mecanic[ asocierelementelor @n paralel - aceeaçi vitez[ - @n electricitate sau @n hidraulicasocierii elementelor @n serie - acelaçi curent sau acelaçi debit volumic).
Rela\iile care caracterizeaz[ o jonc\iune 1 se pot pune sub forma- egalitatea fluxurilor pentru toate leg[turile av`nd o extremitat
la jonc\iune- suma algebric[ a eforturilor este egal[ cu zero.Ponderarea eforturilor se face cu semnul (+) sau (-) dup[ cum
semis[geata intr[ @n jonc\iunea 1 sau iese.
e1f1
e2 f2
e4 f4 e3f3
1
f1 = f2 = f3 = f4
e1 + e2 − e3 − e4 = 0Pentru jonc\iunea 1 din exemplul de mai sus, bilan\ul puterilo
este dat de rela\ia urm[toare:e1f1 + e2f2 − e3f3 − e4f4 = 0
Transformator TF - este un element conservativ de putere çi arrol de convertor. Se reprezint[ astfel
15
TF
m. .
e 2
f 2
e 1
f1 çi este caracterizat prin rela\iile
e1 = m ⋅ e2
(4.5) f2 = m ⋅ f1
sau
e2 = 1m ⋅ e1
f1 = 1m ⋅ f2
unde m este modulul transformatorului. #n aceste rela\ii intr[rile sunt e2,f1, respectiv, e1, f2.
Exemple: transformatorul electric, un sistem de scripe\i, unsistem de angrenaje etc.
Aceast[ modelare presupune neglijabile fenomenele de iner\ie, defrecare, de @nc[lzire care antreneaz[ pierderi de putere.
M1
ω1
P2 Q2
+
F1 F2 x. 1 x
. 2
M1 ω1
ω2
M2
TFe1
f1 f2
e2 mi1 i2
u1 u2* *
Fig. 4.10 Exemple de elemente TFExemple de elemente de tip transformator ]i variabilele de putere asociatesunt prezentate @n fig. 4.10.
Giratorul GY - este un element conservativ de putere ]i are rol deconvertor, corespunz`nd unui cuadripol, reprezentat prin
. .e 2
f 2
e1
f1
GYr
çi caracterizat prin rela\iile
e1 = r ⋅ f2 (7.6)
e2 = r ⋅ f1
sau
f2 = 1r ⋅ e1
f1 = 1r ⋅ e2
cu r modulul giratorului. #n aceste rela\ii intr[rile sunt f2, f1, respectiv, ee2.
Exemple de elemente modelate prin girator: giroscoputraductorul Hall.
Observa\ie: Elementele TF çi GY sunt importante pentru reprezenta transform[rile de putere @ntre domenii. Pentru transformareputerii hidraulice @n putere mecanic[ de exemplu (un cilindru hidraulic
se va folosi un transformator TF (cu ; S sec\iunea pistonului) iam = 1S
pentru transformarea puterii electrice @n putere mecanic[ (@ntr-un motode curent continuu) se va folosi un girator GY (cu r = coeficientul dcuplu al motorului).
4.2.5 Construirea modelelor grafului de leg[turiSisteme mecanice unidimensionale Etape:1. Se fixeaz[ o direc\ie de referin\[ pentru orientarea pozitiv[
vitezelor;2. Se caut[ diferitele viteze ce intervin @n sistem çi li se asociaz
jonc\iuni 1;3. Se determin[ rela\iile @ntre viteze çi se reprezint[ prin jonc\iun
0 plasate @ntre jonc\iunile 1 asociate vitezelor ce intervin @n aceste rela\ii;4. Se unesc jonc\iunile @ntre ele prin leg[turi; orientare
semis[ge\ilor este cea fixat[ prin referin\[;5. Se introduc elementele corespunz[toare vitezelor çi sursele;6. Dac[ este posibil, graful se simplific[ (nodurile cu vitez[ nul
se elimin[ @mpreun[ cu toate leg[turile care-i sunt ataçate).Situa\iile urm[toare sunt echivalente
01
16
M1F(t)
v1
k1
k2
x
A
Fig. 4.11 Sistem mecanic
F(t):Se1
0
0
1
C:1
K 2
C:1
K 1
R:b1
I:M1
v1
mv
Fig. 4.12 Graful sistemului mecanic din fig. 4.11Sisteme electrice Etape:1. Se fixeaz[ sensurile de circula\ie ale curen\ilor;2. Pentru fiecare nod al circuitului se introduce o jonc\iune 0;3. Se introduc jonc\iuni 1 @ntre jonc\iunile 0 pentru a indica
diferen\ele de tensiune çi se plaseaz[ elementele corespunz[toare;4. Se ataçeaz[ semis[ge\ile, al c[ror sens corespunde sensului
curen\ilor;5. Se alege un nod particular ca nod de tensiune de referin\[ çi se
simplific[ graul. Nodul de tensiune de referin\[ se elimin[ precum çi toateleg[turile care-i sunt ataçate.
01
Urm[toarele situa\ii sunt echivalente
Dou[ exemple de grafuri de leg[turi pentru sisteme electrice sunprezentate @n fig. 4.13 - 4.18.
a b
E C
R
L
dFig. 4.13 Circuit electric
1
uaiR
0a
uaiR
1
ur iRubiR
0b ub
iL 1uLiL
1ub iC
0
iL ud
d
iCu d
uciC
udiR
EiR
S :Ee
iR b ubiL
ub iC
Fig. 4.14 Graful circuitului din fig. 4.13
EiR
S :Ee 1
ur iRubiR
0ubiL
ub iC
Fig. 4.15 Graful simplificat al circuitului din fig. 4.13
17
x x
x x
xE
x xa b c
d
e
f
g
R1 R2
R3
C L1L2
Fig. 4.16 Circuit electric
1
0 1 0
1
0
1
1 0
1 TF
10
1 0
10
a b c
d
e
f
g
RR
R1 23
E
CL1
Fig. 4.17 Graful de leg[turi al circuitului din fig. 4.16
1 0 1 TF 1E
R R R
C L
1 2 3
1L2
Fig. 4.18 Graful simplificat al circuitului din fig. 4.16
Sisteme hidraulice
Etapele sunt aceleaçi ca @n cazul sistemelor electrice, jonc\iunil0 fiind asociate nodurilor de presiune diferit[. Graful este apoi simplificaaleg`nd un nod de presiune particular, care corespunde @n generapresiunii atmosferice.
4.2.6. CauzalitateDeoarece modelul grafului reprezint[ arhitectura sistemului @
care apar schimburile de putere @ntre elemente, acesta ne permite sdefinim structura de calcul çi s[ punem @n eviden\[ rela\iile cauz[ - efec@n interiorul sistemului.
Dac[ dou[ subsisteme A çi B sunt cuplate çi schimb[ putere dou[ situa\ii sunt posibileP = e ⋅ f
- A aplic[ un efort e lui B, care reac\ioneaz[ trimi\`ndu-i lui A uflux f; - A @i trimite un flux f lui B, care-i r[spunde printr-un efort e.
Cele dou[ cazuri conduc la cele dou[ dou[ scheme diferite difig. 4.20.
A B A Bef
ef
a) b)Fig. 4.20 Dou[ situa\ii de cauzalitate
Pentru a lua @n calcul aceste rela\ii cauz[ - efect çi pentru a lreprezenta @n modelul grafului se introduce indicatorul cauzaIndicatorul cauzal este plasat prin conven\ie la elementul pentru carefortul este o m[rime de intrare, fluxul fiind atunci o m[rime de intrarpentru elementul opus çi se reprezint[ perpendicular pe leg[tur[. Pozi\iacestui indicator cauzal este @ntotdeauna independent[ de sensusemis[ge\ii ca @n fig. 4.21
A B sau Ae f
ef
Fig. 4.21 Orientarea cauzal[
18
S[geata corespunz[toare lui e este totdeauna @ndreptat[ c[tre indicatorulcauzal.
E
Rx xi S e
i
u = ESurs[ Receptor
i
uR
Fig. 4.22 Exemplu de afectare a cauzalit[\ii4.2.6.1 Cauzalit[\i obligatorii . Efortul impus printr-o surs[ de
efort çi fluxul impus printr-o surs[ de flux sunt totdeauna date cunoscutepentru sistem ceea ce impune pozi\ia indicatorului cauzal.
e
fSe Sf
a) b)
4.2.6.2 Cauzalit[\i pentru elementele R, C, IElement R#n cazul liniar, avem dou[ situa\ii
dac[ f este dat pentru Re = R ⋅ f
dac[ e este dat pentru Rf = 1R
⋅ e
cu urm[toarea reprezentaree
f
e
fR sau R
a) b)deci nu exist[ o cauzalitate preferen\ial[.
Dac[ R este neliniar (rezisten\e hidraulice, diode) cauzalitateaapare ca o constr`ngere obligatorie precum la surse.
Elemente C çi IDac[ rela\iile ce caracterizeaz[ elementele C çi I sunt scrise sub
forma
sau (4.9)eC = ΨC(∫ fCdt) eI = ddt
ΨI
−1(fI)
presupune c[ f este dat pentru elementele C çi I çi deci avem urm[toareapozi\ie a indicatorului cauzal
e
f
e
fC çi I
]i deci cauzalitate integral[ pentru elementul C
e = 1C ∫ fdt
]i cauzalitate derivat[ pentru elementul I
e = Ldfdt
Dac[ rela\iile ce caracterizeaz[ aceste elemente au forma
sau (4.10)fC = ddt
ΨC
−1(eC) fI = ΨI
∫ eIdt
presupune c[ e este dat pentru elementele C çi I çi avem
f
e
fC çi I
e
cauzalitate derivat[ derivat[ pentru elementul C
f = Cdedt
]i cauzalitate integral[ pentru elementul I
f = 1L ∫ edt
Din considerente de calcul numeric vom @ncerca s[ afect[m elementeloC çi I o cauzalitate integral[ asociat[ unei legi de tip integral ceea ccorespunde unei cauzalit[\i:
-flux ca intrare pentru C
e = 1C ∫ fdt
-efort ca intrare pentru I
f = 1L ∫ edt
Jonc\iunea 0 |in`nd cont de rela\iile ce caracterizeaz[ jonc\iunea 0
e1 = e2 = ... = en (4.11)
Σi=1
n
(±fi) = 0
trebuie s[ stabilim ce efort d[ valoarea sa altor eforturi çi @n consecin\[ cflux trebuie calculat @n func\ie de fluxuri ce au valoarea cunoscut[.
19
Exemplu Fie circuitul din fig. 4.23. Pentru acest circuit, tensiunea u1 estecunoscut[, deci u1=u2=u3=u4 ]i fluxurile i2, i3 ]i i4 sunt cunoscute, deci i1
este dat dei1= -i2+i3+i4
u1i1
u2 i2
u4 i4 u3i3
0u1
i1
i2i 4i3
Fig. 4.23 Circuit electricDeci la o jonc\iune 0, un singur efort d[ valoarea sa altora, ceea ceconduce la urm[toarea regul[: un singur indicator cauzal l`ng[ ojonc\iune 0. Fluxul de la acel indicator cauzal este flux de ie]ire.
Jonc\iunea 1|in`nd cont de rela\iile ce caracterizeaz[ aceast[ jonc\iune
f1 = f2 = ... = fn(4.12)
Σi=1
n
(±ei) = 0
çi din aceleaçi considerente ca la jonc\iunea 0, un singur flux d[ valoareasa celorlate. Regula de afectare a cauzalit[\ii este urm[toarea: o singur[leg[tur[ f[r[ indicator cauzal l`ng[ o jonc\iune 1. Efortul f[r[ indicatorcauzal este efort de ie]ire.
Transformatorul TFDac[ çi sunt cunoscute, rela\iile ce caracterizeaz[e2 f1
transformatorul sunte1 = m ⋅ e2
(4.13)f2 = m ⋅ f1
çi cauzalitatea se afecteaz[ astfel
. .e 2
f 1
TF
m
Dac[ çi sunt cunoscute, aveme1 f2
e2 = 1m ⋅ e1
(4.14)f1 = 1
m ⋅ f2
çi afectarea cauzalit[\ii se face astfel
. .e 1 TF
m f 2 Regula de afectare a cauzalit[\ii este urm[toarea: un singu
indicator cauzal l`ng[ un TF.Giratorul GYDac[ fluxurile sunt cunoscute, rela\iile ce caracterizeaz[ ace
element sunte1 = r ⋅ f2
(4.15)e2 = r ⋅ f1
çi cauzalitatea se afecteaz[ astfel
f 2 f1
. .GYr
Dac[, dimpotriv[, eforturile sunt cunoscute, avem
f2 = 1r ⋅ e1
(4.16)f1 = 1
r ⋅ e2
çi afectarea cauzalit[\ii se face astfel
. .GYr
e1 e2
Regula de stabilire a cauzalit[\ii este urm[toarea: nu avemindicator cauzal sau avem dou[ inidicatoare cauzale l`ng[ un GY.
Etape @n afectarea cauzalit[\ii:1. Se afecteaz[ cauzalitatea surselor, cu implica\ii asupra restulu
elementelor çi cu respectarea restric\iilor de cauzalitate;2. Se pun toate elementele I çi C @n cauzalitate integral[; s
afecteaz[ cauzalitatea obligatorie a elementelor R neliniare;3. Se afecteaz[ cauzalitatea jonc\iunilor 0, 1, TF, GY.
20
4. Se afecteaz[ cauzalitatea elementelor R liniare @n func\ie deposibilit[\ile r[mase;
5. Se caut[ conflicte de cauzalitate. #n caz de conflict, relu[m dela etapa a doua çi modific[m cauzalitatea elementelor I sau C aflate laoriginea conflictului.
Pentru circuitul din fig. 4.17, afectarea cauzalit[\ii este prezentat[@n fig. 4.24.
1 0 1 TF 1S :Ee
R:R1 R:R2
C R:R3
I:L1 I:L2
Fig. 4.24 Graf de leg[turiExemplu Fie circuitul electric din figura 4. 25 pentru care graful deleg[turi este prezentatb @n figura 4. 26 ]i graful simplificat @n figura 4. 27.
a
E
b
L
d
x
x
x xcR1
R2
C
Fig. 4. 25 Circuit electric
1
0a
1 0
d
S :Ee 11
0
1 0cb
R:R1
I:LR:R2
C
Fig. 4.26 Graful de leg[turi al circuitului electric din fig. 4.25
1 0S :Ee
R:R1 I:L
R:R2C
Fig. 4.27 Graful simplificat al circuitului electric din fig. 4.25
Avem dou[ situa\ii de afectare a cauzalit[\ii prezentate @n fig. 4.28 ]i fig4.29.
1 0S :Ee
R:R1 I:L
R:R2C
Fig. 4.28 O situa\ie de afectare a cauzalit[\ii
21
1 0
C
R:R1 I:L
R:R2
S :Ee
Fig. 4.29 O situa\ie de afectare a cauzalit[\ii
4.2.7 No\iunea de semnalReprezentarea unui semnal Atunci c`nd una din cele dou[ variabile de efort sau de flux este
foarte mic[, puterea transmis[ este neglijabil[, iar pentru reprezentareaclasic[ a unui semnal se pot utiliza simbolurile
e sauf
Aceasta este o leg[tur[ de informa\ie çi nu una de putere. Acesttip de leg[turi ne permite s[ facem s[ apar[ @n modelul grafului deleg[turi traductoarele çi instrumentele de m[sur[ (presupuse ideale),operatorii de calcul precum integratoarele, sumatoarele saucomparatoarele, çi toat[ re\eaua corectoare ce furnizeaz[ un semnal decomand[ provenit dintr-un calcul efectuat plec`nd de la o m[sur[.
Astfel, vom nota traductoarele de efort çi de flux afectate decauzalitate:
D : D çi D : De fe
Un sistem de reglare este reprezentat ca @n fig. 4.30.
Regulator EE Sistemcondus
Traductor
+ -
Fig. 4.30 Sistem de reglareSurse comandateAtunci c`nd sursa nu este idependent[, se poate utiliza no\iune
de surs[ comandat[. Avem astfel- surs[ de efort comandat[ @n efort cu se reprezint[e2 = k(e1)
. .f 2
e1
k
e2 Se
- surs[ de efort comandat[ @n flux cu se reprezint[e2 = k(f1)
. .f 2 f
1 k
e2 S e
- surs[ de flux comandat[ @n efort cu se reprezint[f2 = k(e1)
. .f 2
e1
k
e2 Sf
- surs[ de flux comandat[ @n flux cu se reprezint[f2 = k(f1)
. .f 2
f1 k
e2 Sf
4.3 Propriet[\ile cauzale ale unui graf de leg[turiModelul grafului de leg[turi al unui sistem fizic se situeaz[ @ntr
schema fizic[ a acestuia çi modelul matematic asociat. El arat[ arhitectursistemului çi organizarea sa cauzal[ prin punerea @n eviden\[ a rela\iilocauz[ - efect care intervin @ntre elementele sale.
4.3.1 Legile constitutive ale elementelor R, C, I
22
Legea constitutiv[ a unui element R, C, I corespunde legii careleag[ variabila de intrare a acestui element cu variabila de ieçire. Astfelavem
- pentru un element C @n cauzalitate integral[sau (4.17)eC = ΨC(∫ fCdt) eC = ΨC(qC)
sC
e
f
1
eC
fC
#n cazul liniar, utiliz`nd transformata Laplace , putem s[ definimtransmitan\a elementului C prin
EC(s)FC(s) = 1
Cs- pentru un element C @n cauzalitate derivat[
(4.18)fC = ddt
ΨC
−1(eC) sau qC = ΨC
−1(eC)
sC
e
f
eC
fC
definim @n cazul liniar tansmitan\aFC(s)EC(s)
= C ⋅ s
- pentru un element I @n cauzalitate integral[(4.19)fI = ΨI(∫ eIdt) sau fI = ΨI(pI)
e
f
1sI
eI
fI
I
definim @n cazul liniar transmitan\aFI(s)EI(s) = 1
I ⋅ s- pentru un element I @n cauzalitate derivat[
sau (4.20)eI = ddt
ΨI
−1(fI) pI = ΨI
−1(fI)
eI
fI
I sI
e
f
definim @n cazul liniar transmitan\aEI(s)FI(s)
= I ⋅ s
- pentru un element R cele dou[ situa\ii de cauzalitate dau doulegi constitutive
eR
f R
R
(4.21)eR = ΨR(fR) sau eR = R ⋅ fR
@n cazul @n care fR este intrare ]i e
R
f RR
23
(4.22)fR = ΨR−1(eR) sau fR = 1
R⋅ eR
@n cazul @n care eR este intrare4.3.2 Schema bloc asociat[ grafului de legaturiPlec`nd de la structura graphs-ului de legaturi, schema bloc se
poate deduce scriind succesiv legile structurale asociate jonc\iunilor çilegile constitutive ale elementelor.
Exemplu. Fie circuitul electric din figura 4.31. Grafulcorespunz[tor este reprezentat @in fig. 4.32, iar graful simplificat @n fig4..33.
a
E
bL
d
x
x
x xcR1
R2 C v(t)
Fig. 4.31 Circuit electric
1
0a
1 0
d
S :Ee 11
0
1 0cb
R:R1
R:R2
uaiS
uaiL
uL iL
I:L
ubiL
ubiR1
iR1uR1
uc
uc
u c
ic
ic
iR1
iR2
icud
udiRL
ciR2
ud
iS
Fig. 4.32 Graful de legaturi al circuitului din fig. 4.31
1 0S e
CR:R 1
I:L R:R 2
E
2
13
4
5
6
Fig. 4.33 Graful simplificat al circuitului din fig. 4.31Rela\iile structurale ale grafului sunt-pentru jonc\iunea 1
f1=f2=f3=f4
e2= e1 - e3 - e4
- pentru jonc\iunea 0e4= e5 = e6 f6=f4-f5
Ecua\iile elementelor suntf2 = ϕL(∫ e2edt)e3 = ϕ3(f3)e6 = ϕC(∫ i6dt)e5 = ϕ5(f5)
Rezult[ schema bloc din fig. 4.34.
ϕR1ϕR2
-1
ϕCϕ L+ -
- + -f2
f5
f6e1e2
e6=E
e3 f 3
Fig. 4.34 Schema bloc a circuitului din fig. 4.31sau scriind ecua\iile elementelor, schema bloc din fig. 4.35.
24
1sL1sL1sL
1R2
1sC
R1
+ -- + -
f2
f5
f6e1 e2e6=E
f 3e3
Fig. 4.35 Schema bloc a circuitului din fig. 4.314.3.3 Cale cauzal[ çi bucl[ cauzal[O cale cauzal[ @ntr-un graf de legaturi este o alternan\[ de
leg[turi çi elemente de baz[, numite noduri astfel @nc`t- pentru graful de legaturi acauzal, secven\a formeaz[ un lan\
simplu;- toate nodurile @n secven\[ au o cauzalitate complet[ çi corect[;- dou[ leg[turi ale c[ii cauzale au @ntr-un acelaçi nod orient[ri
cauzale opuse.O cale cauzal[ este simpl[ dac[ ea este parcurs[ urm`nd
@ntotdeauna aceeaçi variabil[.
1 0 1f f
0e
f f
e e e e
Fig. 4.36 Cale cauzal[ simpl[O cale cauzal[ este mixt[ dac[ trebuie s[ schimb[m variabila
atunci c`nd o parcurgem.
f fGY
e e1 1
Fig. 4.37 Cale cauzal[ mixt[
f1
R
efe
Fig. 4.38 Cale cauzal[ mixt[Dou[ elemente P1 çi P2 , ( ) sunt conectatR, C, I, Se, Sf,De, Df
cauzal dac[ variabila de intrare a unuia este influen\at[ de variabila dieçire a celuilalt.
Un lan\ de ac\iune este o cale cauzal[ @ntre o surs[ çi utraductor.
O bucl[ cauzal[ este o cale cauzal[ @nchis[ plec`nd din ieçireunui element R, C sau I çi revenind la intrarea aceluiaçi element f[r[ sparcurg[ aceeaçi leg[tur[ urm`nd aceeaçi variabil[ de mai multe ori.
f
e1
f1
e10
e2
f2
R
Fig. 4.39 Bucl[ cauzal[
1 0 TFm. .
11 2 3 4 5eSe1
e5e2 e3 e4
Fig. 4.40 Drum cauzalExemplu. Fie circuitul electric din fig. 4.41 pentru care graful simplificateste reprezentat in fig. 4.42.
25
E
L R1
R2 C
Fig. 4.41 Circuit electric
1 0S e
cR:R1
I:L R:R2
E1 4
e2
e3 e6
e5e4
f 2
f 3f 6
f 5
Fig. 4.42 Graful simplificat al circuitului din fig. 4.41
1sC
1R2
+ -f5f4
e5e4 e6
f6
sL R1
f3f2
e3
e4e2
e1
1
+ -
f1 = f2 = f3 = f4 e4 = e5 = e6
e2 = e1 − e3 − e4 f6 = f4 − f5
e(s)e(s) = −R1
Lsf5
f6= 1
R2Cs
e1
e2 e4
e3
11
2
34
e44
e5
e6
5
6
0
R:R2
CFig. 4.43 Bucle cauzale
4.4 Ecua\iile de stare asociate grafului de leg[turi4.4.1 Vectorul de stareVectorul de stare notat x este compus din variabilele de energie
çi q asociate elementelor I çi C.
(4.23)x =
PI
qC
Se impun urm[toarele observa\ii- vectorul de stare nu apare @n graf, ci numai derivata sa
(4.24).x=
eI
fC
- dac[ toate elementele I çi C sunt @n cauzalitate integral[ atuncdimensiunea lui x d[ ordinul modelului;
- dac[ printre cele n elemente I çi C, nd sunt @n cauzalitatderivat[, atunci vectorul x se descompune @n xi (de dimensiune ncomponente statice independente çi @n xd (de dimensiune nd) componentstatice dependente.
4.4.2 Ecua\ii de starePentru a ob\ine ecua\iile de stare sub forma
.x= f(x, u)
(4.25)y = h(x)se procedeaz[ astfel
- se scriu legile de structur[ asociate jonc\iunilor \in`nd cont dcauzalitate;
- se scriu legile constitutive ale elementelor;- se combin[ diferite legi dintre cele de mai sus pentru a explicit
derivatele variabilelor de stare.
26
Exemplu. Fie circuitul electric din fig. 4.41. Graful simplificat esteprezentat @n figura 4.44, iar ecua\iile de stare se deduc din figura 4.45.
1 0S e
R1
I:L R2
E
2
13
4
5
6
C
e2 p2.
f6q6.
=
=
Fig. 4.44 Graful simplificat al circuitului din figura 4.41
ϕR1ϕR2
-1
ϕCϕ L+ -
- + -e6dt
e6e5 =
q6f6f2 = f 4
dte 2 = p2
.p2
e3f2 = f 3 f5
e1=E
Fig. 4.45 Schema bloc4.4.3 Elemente I sau C @n cauzalitate derivat[Fie circuitul din fig. 4.46 pentru care graful simplificat este
prezentat @n fig. 4.48. Se afecteaz[ cauzalitatea obligatorie sursei E. Sepune elementul C2 @n cauzalitate integral[ ]i rezult[ celelalte cauzalit[\i.
a
E
bx
x
xR
C1 C2
cFig. 4.46 Circuit electric
Legile de structur[ sunt- pentru jonc\iunea 1
e2 = e1 − e3
f1 = f2 = f3
- pentru jonc\iunea 0
f5 = f3 − f4
e5 = e3 = e4
Legile elementelor sunte2 = Rf2
e4 =q4
C1
e5 =q5
C2
Ecua\iile de stare sunt⋅q4 = d
dt(
q5
C2)C1
⋅q5 =
E − q5
C2
R−
⋅q4
Modelul este de ordinul I, doar variabila q5 este independent[.
1
0a
E11
0
1 0
c
b
R
C:C1 C:C2
Fig. 4.47 Graful circuitului din fig. 4.46
1 0
C:C2
C:C1
E
2
1 3
4
5
R
f3
f5 =q5
.
f4=q4
.
Fig. 4.48 Graful simplificat al circuitului din fig. 4.46
27
Pentru a ilustra avantajele model[rii prin grafuri de leg[turi ]i aeviden\ia posibilit[\ile oferite de aceast[ metod[ pretabil[ @n moddeosebit pentru modelarea sistemelor fizice care au @n structura lor subsisteme de natur[ fizic[ diferit[, se prezint[ @n fig. 4.49 dou[ sisteme:unul electric ]i unul hidraulic.
1 TF 10
R C I RI R
Sf1
2 3
4 5
6 7
8
9
10
Motor
M
ω
P
Q
Fig. 4.49 Graful unui circuit electric ]i al unei ac\ion[ri hidrauliceSe constat[ c[ @n ciuda faptului c[ @n aceste structuri fizice au loc
fenomene fizice complet diferite, modelul bond-graphs este acela]i.
28