Cezar Doca - Incovoierea barelor

8/14/2019 Cezar Doca - Incovoierea barelor

1/162

Cezar Marcel DOCA

NCOVOIEREA BARELOR

ESEUFALSIFICABIL

EdituraUniversitiidinPiteti2007


2/162

ISBN: 978-973-690-683-1


3/162

CUVNT NAINTE

Principiul falsificaionismului discutat formal pentru prima dat de KarlPopper n 1919-1920, reformulat apoi tot de ctre el n 1960 i dezvoltatulterior de Imre Lakatos afirm c o lucrare, pentru a fi util sau chiar inumai tiinific, trebuie s fie falsificabil, adic s poat fi verificat iinfirmat. Nu confirmarea acesteia este important ci infirmarea ei, adic

falsificarea ipotezelor pe cale experimental sau prin observaii.

n spiritul raionalismului critic, ipotezele i teoriile sunt considerateadevrate doar pn la prima lor infirmare.

Aceast carte nu se substituie vreunui tratat, manual sau curs de

specialitate: nici de rezistena materialelor, nici de analiz matematic, nicide programare.

Prezenta lucrarea este cu deosebire o culegere de formule i algoritmi decalcul cu aplicabilitate imediat n studiul ncovoierilor statice i vibratoriiale barelor continue, omogene i drepte.

Toate informaiile cuprinse n eseul de fa sunt oferite cititorului sub GNUFree Documentation Licence.

AUTORULInstitutul de Cercetri Nucleare Piteti


4/162

CUPRINS

INTRODUCERE . . . . . . . 7

NCOVOIEREA STATIC . . . . . . 9

ECUAII, ALGORITMI I SOLUII . . . .25

EVALURI NUMERICE . . . . . .51

VIBRAII DE NVOVOIERE . . . . .69

VIBRAII INDUSE DE CURGEREA PARALEL . . .85

CONCLUZII . . . . . . . .101BIBLIOGRAFIE . . . . . . .103

ANEXE . . . . . . . .105


5/162

INTRODUCERE

INTRODUCERE

Sub titlul de mai sus ar trebui s fie enumerate cel puin cteva idei iniialeprivind elaborarea, respectiv lecturarea celorlalte capitole.

Aadar:

dei nu este de specialitatea presupus, autorul s-a aflat de mai multeori n situaia de a rezolva probleme de ncovoiere static i n regimvibratoriu pentru diferite configuraii de bare (tuburi, grinzi etc.)montate n instalaii tehnologice;

paginile ce urmeaz reprezint, n ultim instan, un rezumat al

conspectului cuprinznd principalele ipoteze, ecuaii, soluii exacte,formule de evaluare i algoritmi de calcul, utilizate n studiileteoretice (i experimentale) n domeniu;

prin prezentul eseu se ofer cititorului avizat o relativ cuprinztoarecolecie de informaii, abordabil mcar i pentru faptul c toateacestea nu mai trebuie s fie redescoperite prin diferite lucrridispersate.

- 5 -


6/162

NCOVOIEREA STATIC

NCOVOIEREA STATIC

Literatura de specialitate dedicat Rezistenei materialelor este infinit mai bogat dect ar putea autorul s parcurg i s indice ca referinebibliografice.

Prezentul capitol cuprinde doar o sumar trecere n revist a principalelorrezultate teoretice privitoare la ncovoierea static a barelor continue,omogene i drepte, unele aspecte fiind reluate i n completrile din Anexelelucrrii.

Ipotezele mecanicii corpurilor deformabile

Studiul deformrii corpurilor solide este fundament pe urmtoarele ipotezede calcul:

Ipoteza corpurilor continue, omogene i izotrope modeleleteoretice se elaboreaz folosind: 1) funcii continue i 2) constantede material avnd aceleai valori n orice punct al corpului solid.

Ipotezaidentitiiproprietilormecanicealeelementuluiinfinitmic

cucelealecorpuluisolid ntreg n fapt, nu se iau n considerareforele intercristaline.

Ipoteza elasticitiiperfecte sub anumite valori ale eforturilorunitare, deformaiile se anuleaz odat cu dispariia sarcinilor carele-au generat.

- 6-


7/162

NCOVOIEREA STATIC

Ipoteza proporionalitii dintre eforturi i deformaii corpulelastic satisface legea lui Hooke, deformaiile supunndu-se

principiuluisuprapuneriiefectelor.

Ipoteza micilor deformaii, cunoscut i sub denumirea de ipotezameninerii dimensiunilor iniiale corpul sufer: 1) deformaiiabsolute foarte mici n raport cu dimensiunile sale geometrice,respectiv 2) deformaiispecifice neglijabile n raport cu unitatea.Funcie de complexitatea modelului teoretic, calculele se clasific n:deordinulIatunci cnd ecuaiile de echilibru se scriu pentru stareanedeformat, de ordinul II atunci cnd se utilizeaz o schem

deformat dar se accept c deformaiile sunt mici i deordinulIIIatunci cnd, renunndu-se la ipoteza micilor deformaii, se au nvedere deformaiile mari.

Principiul lui Saint-Vnant sisteme diferite de fore echivalentestatic produc efecte apreciabil diferite doar n punctele de aplicaie.

Ipoteza luiBernoulli: seciunile plane i normale pe axa unei barenainte de deformare rmn plane i normale pe aceasta ax i dupdeformare.

Ipotezastrii naturale a corpului sau ipoteza absenei tensiuniloriniiale.

Eforturi i solicitri

Corpul solid se poate deforma sub aciunea unei fore (totale) R sau / i aunui moment/ cuplul(total) M.

Mrimile R i M se numesc eforturi i pun n eviden aciunea reciprocdintre dou seciuni ale corpului solid.

Putnd avea direcii oarecare n spaiu, eforturile R i Mse descompun n:componente normale la planul seciunii i componenteconinute n planulacestei seciuni, cele dou tipuri de proiecii producnd, individual, solicitrisimple.

- 7-


8/162

NCOVOIEREA STATIC

n cazul concret al unei bare (continue, omogene i drepte) fora total Rare:

o component N, normal la planul seciunii, numit for axial(fiind aplicat pe axa barei) produce fie solicitarea de ntindere, fiesolicitarea de compresiune;

o component T, numit fortietoare, coninut n planul seciunii(perpendicular pe axa barei) produce solicitarea de tiere /

forfecare.

La rndul su, momentul / cuplul total Mse descompune n:

momentul de rsucire Mt, al crui vector este dirijat pe ax, deciperpendicular pe planul seciunii produce solicitarea de rsucire /torsiune;

momentul ncovoietorMi, cu vectorul coninut n planul seciunii produce solicitarea de ncovoiere.

Aciunea simultan a dou sau mai multe eforturi poate da natere uneisolicitricompuse.

Ecuaiile fibrei medii deformate pentru o bar supus la solicitareasimpl de ncovoiere

Sub aciunea (doar a) momentului ncovoietorM(x) (s-a renunat la indiceleinferiori), axa unei bare orizontale, paralel cu axa de coordonate x, devineo curb plan continu, denumitfibrmediedeformat.

Dac du, dv i dw reprezint deplasrile / deformrile pe cele trei axe

cartezienex,y iz, atunci, n planul (vertical)xOz, fibra deformat are razade curbur:

( )( )( )xEIxM

x=

1

unde prinEs-a indicat modulul de elasticitate al (materialului) barei, iarI(x)reprezint momentul ei de inerie. ProdusulEI(x) se numete rigiditate.

- 8 -


9/162

NCOVOIEREA STATIC

Convenindu-se c sensul pozitiv al rotirii d este cel orar (deci negativtrigonometric), atunci:

( )( )

( )( )xEIxM

xdx

xd=

=

1

Deformndu-se, bara sufer att deplasri n lungul su translaia u, cti perpendiculare pe ax sgeataw.

Neglijnd deplasarea u n raport cu sgeata w, tangenta unghiului se poatescrie:

( )( )

dx

xdwxtg =

n cazul micilor deformaii:

( ) ( ) ( )xxsinxtg

( )( )

dx

xdwx =

i:

( ) ( )2

2

dx

xwd

dx

xd=

rezultat care, introdus n (*) conduce la concluzia c fibrei medii deformate ise asociaz ecuaiadiferenialdeordinulII:

( ) ( )( )

02

2

=+xEI

xM

dx

xwd

Pentru barelestaticdeterminate, adic atunci cnd momentul M(x) poate fideterminat, n mod unic, direct din condiiile de echilibru, ecuaiadiferenial (1) se integreaz de dou ori i se obine funcia ce descriedeplasarea / sgeata perpendicular pe axa barei:

( )( )

( )

+=x

ddEI

MxCCxw

1

1

1

22

210

1

- 9 -

(*)

(1)


10/162

NCOVOIEREA STATIC

Constantele de integrare C0 i C1 se pot determina:

fie cunoscnd sgeata w(x) i rotirea (x) n acelai punctx =x* , saun dou puncte diferite ale barei:x =x1 ix =x2;

fie cunoscnd sgeile w(x1) w(x2) n dou puncte oarecare alebarei.

Formulele de calcul (ecuaiile) ce nglobeaz valorile w(x) i (x)corespunztoare capetelor barei, ale cror abscise se obinuiete a sedesemna prin:x = 0 ix =L, reprezint condiiilelalimit.

Egalitatea (1) mai este denumit i ecuaiadiferenialsimplificat. Ecuaiadiferenial exactare expresia:

( )

( )

( )( )

0

12

32

2

2

=+

+

xEI

xM

dx

xdw

dx

xwd

Totui, att timp ct, n orice punct al barei, ptratul tangentei unghiului derotire (x) are valori neglijabile n raport cu unitatea cerin specific, dealtfel, majoritii problemelor de rezisten din practica inginereasc nlocul ecuaiei exacte se poate folosi, cu rezultate de ncredere, direct ecuaiasimplificat.

Pe de alt parte, dac se ine cont i de efectele forei tietoare T(x) asupradeformrii fibrei medii, atunci ecuaia diferenial de ordinul II(simplificat) devine:

( ) ( )( )

( )( )x'GA

xT

xEI

xM

dx

xwd=

2

2

;( )+

=12

EG

unde G este modulul de forfecare, este coeficientul lui Poisson, iarA(x)este aria redus a seciunii transversale i se calculeaz cu formula:

( )( )

( )=

AdA

b

S

xIx'A

2

2

2

- 10 -


11/162

NCOVOIEREA STATIC

Mrimea S din ultima formul reprezint momentulstaticfa de axaneutr,corespunztorpriidinseciuneatransversalcaretindeslunece,iarb este o dimensiune geometric a seciunii.

De exemplu, n cazul unei seciunii dreptunghiulare de arie A, calculeleconduc la rezultatul A = 5A / 6, iar n cazul unei seciuni transversalecirculare de arieA se obineA= 9A / 10.

Pentru barelestatic nedeterminate momentul de ncovoiere M(x) nu maipoate fi exprimat din ecuaiile de echilibru, de aceast dat trebuind s fierezolvat ecuaiadiferenialdeordinulIVafibreimediideformate:

( )( )

( ) 02

2

2

2

=

xq

dx

xwdxEI

dx

d

unde q(x) estesarcinadistribuitpe lungimea barei.

Cunoscnd legile I(x) i q(x), ecuaia (2) se integreaz de patru ori i seobine funcia deplasrii / sgeii:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

+

+++=

x

o ddEI

dqdq

I

C

I

C

xCCxw1

1

1

2

2

1

333

1

332

2

23

2

2

1

1

22

Constantele de integrare C0, C1, C2 i C3 se determin i de aceast datimpunnd soluiei s respecte, de exemplu, condiiile de rezemare a barei,acestea din urm fiind exprimate prin ecuaii de caracterizare a deplasrilor(sgei i rotiri) i eforturilor (momente i fore tietoare).

Funcia ( )( )2

2

dx

xwdxEI are dimensiunea unui moment, iar funcia

( ) ( )3

3

dxxwdxEI are dimensiunea unei fore.

- 11 -

(2)


12/162

NCOVOIEREA STATIC

Rezemarea la capete

Generaliznd imaginea comun a unui corp solid sprijinindu-se (n cmpgravitaional) pe un al doilea, prin rezemare s-ar putea desemna starea deechilibru mecanic ntr-un anumit punct (reazem), caracterizat prin valoricunoscute pentru: sgei, unghiuri de rotaie, momente ncovoietoare saufore tietoare.

Astfel, captul liber al unei bare montat n consol este un reazemcaracterizat prin moment ncovoietor i for tietoare nule.

Renunnd la montajul n consol, captul nencastrat al barei din exemplulanterior s-ar putea rezema, eventual, pe o for extern, concentrat,acionnd de jos n sus.

Levitaia magnetic (la capetele unei bare) reprezint un caz de sprijinirefr contact mecanic; i exemplele ar putea continua.

Ecuaiile de caracterizare a reazemelor se numesc condiii omogene,

respectiv condiiineomogene, dup cum valorile indicate pentru: deplasare,rotire, moment ncovoietor, sau for de forfecare sunt nule, respectivdiferitedezero.

Condiiile ce se refer la modul de sprijinire n abscisele x* = 0, respectivx*= L caracterizeaz reazemele de capt. Reazemele ale cror abscisendeplinesc condiia 0


13/162

NCOVOIEREA STATIC

( )*

xx *dx

xdw ==

( ) ** wxw =

reprezint fie situaii crora trebuie s le fac fa bara studiat, fie restricii,eventual soluii prescrise / ateptate, n comportarea acesteia (pentru abscisa

x*).

Strilor de rezemareelastic le sunt caracteristice legi ce se stabilesc ntreeforturi i deplasri, anume:

for tietoare i sgeat: ( ) )x(kwdx

)x(wdxEI *

xx

*

*

==

3

3

i

moment ncovoietor i rotire: ( )**xxxx

*dx

)x(dwc

dx

)x(wdxEI

==

=2

2

mrimile ki c fiind constante (elastice) de material.

Valorile limit k= 0 i k , respectiv c = 0 i c , genereaz, ntr-ointerpretare intuitiv, condiiile omogene:

( ) 03

3

== *xx

* dx

)x(wdxEI i 0=)x(w *

respectiv:

( ) 02

2

== *xx

*

dx

)x(wdxEI i 0=

= *xxdx

)x(dw

ale cror combinaii intervin n definirea / caracterizarea urmtoarelorreazeme de capt:

- 13 -


14/162

NCOVOIEREA STATIC

captliber: moment i for nule

=

=

=

=

0

0

3

3

2

2

*

*

xx

xx

dx

)x(wd

dx)x(wd

reazemalunector: rotire i for nule

=

=

=

=

0

0

3

3

*

*

xx

xx

dx

)x(wd

dx

)x(dw

reazemsimplurigid: sgeat i moment nule

=

=

=

0

0

2

2

*xx

*

dx

)x(wd

)x(w

ncastrarerigid: sgeat i rotire nule

=

=

=

0

0

*xx

*

dx

)x(dw

)x(w

Valori finite nenule ale constantelor elastice ki c se ntlnesc n ecuaiile decaracterizare a reazemelor de capt:

reazemelastic:

( )

=

=

=

=

)x(kwdx

)x(wdxEI

dx

)x(wd

*

xx

*

xx

*

*

3

3

2

2

0

ncastrareaelastic: ( )

=

=

== ** xxxx*

*

dx

)x(dwc

dx

)x(wdxEI

)x(w

2

2

0

- 14-


15/162

NCOVOIEREA STATIC

rezemaregeneral:

( )

( )

=

=

=

==

)x(kwdx

)x(wdxEI

dx)x(dwc

dx)x(wdxEI

*

xx

*

xxxx

*

*

**

3

3

2

2

Revenind la condiiile (ecuaiile) neomogene, este evident faptul c ncaptul nencastrat al unei barei pot aciona oricnd, din exterior, un moment(ncovoietor) M* i / sau o for (tietoare) concentratF* .

Spre exemplificare, reazemul elastic (de capt) supus aciunii externeconcomitente a unui moment M* i a unei fore F* va fi caracterizat prinsistemul de ecuaii:

( )

( ) ( )

=

=

=

=

**

xx

*

*

xx

*

Fxkwdx

)x(wdxEI

Mdx

)x(wdxEI

*

*

3

3

2

2

Din (3) se pot particulariza cinci situaii caracterizate prin ecuaii (condiii)neomogene i anume cele n care am avea numai aciunea momentuluiexteriorM* (F* = 0), sau numai pe cea a forei concentrate F* (M* = 0),ambele fiind aplicate, eventual, direct n capt liber (k= 0).

Dei nu epuizeaz toate cazurile posibile, exemplele de mai sus permitdesprinderea urmtoarelor concluzii imediate:

un reazem de capt este caracterizat de (cel puin) dou ecuaiiomogene i / sau neomogene,

dar

nu orice combinaie de (cte dou) ecuaii omogene / neomogeneamintite mai sus definete un reazem fizic.

- 15 -

(3)


16/162

NCOVOIEREA STATIC

Reazeme intermediare ncovoierea barei cu mai multe deschideri

Prin deschidere se nelege segmentul de bar cuprins ntre dou reazemeconsecutive.

Din motive innd exclusiv de generalitatea algoritmului de calcul, vominclude aici i tipurile aparte de reazeme definite: n punctele de aciune aforelor concentrate i / sau a momentelor de ncovoiere externe, respectiv la

limita de variaie brusc a proprietilor elastice i / sau geometrice, sau avalorilor sarcinii distribuite.

Dou bare se pot sprijini reciproc i prin mijlocirea unei articulaiiintermediare (moment ncovoietor nul).

O bar cu NR reazeme (dou reazeme de capt i NR 2 reazemeintermediare) areNR1 deschideri.

Problema ncovoierii barei cu mai multe deschideri se poate rezolva, deexemplu, parcurgnd urmtorul algoritm:

Se identific cele NR reazeme dispuse pe lungimea barei, mpreuncu ecuaiile lor de caracterizare.

Se stabilesc funciile M(x), I(x), q(x) etc. specifice celorNR1deschideri.

Fiecrei deschideri i (i = 1 ...NR1), i se ataeaz ecuaia diferenialde ordinul IV a fibrei medii deformate, corespunztoare situaiei

prezente ntre reazemele adiacente.

Se integreaz ecuaiile pe fiecare deschidere n parte i se obine un

numr deN 1 soluii pentru deplasri / sgei, cuprinznd 4(NR1)constante de integrare necunoscute: Ci0, Ci1, Ci2 i Ci3.

Constantele de integrare Ci0, Ci1, Ci2 i Ci3 se obin ca soluii alesistemului (compatibil determinat) format din cele 4(NR1) ecuaii(liniare) de caracterizare a reazemelor.

- 16-


17/162

NCOVOIEREA STATIC

innd cont de soluiile wi(x) i wi+1(x) specifice celor dou deschideriadiacente, i i i + 1, pentru cazurile mai des ntlnite de reazem intermediar

poziionat n abscisaxi avem ecuaiile de caracterizare:

reazemsimplurigid:

=

=

==

=

+

=

=

+

=

+

ii

ii

xx

i

xx

i

xx

i

xx

i

ii

ii

dx

)x(wd

dx

)x(wd

dx

)x(dw

dx

)x(dw

)x(w

)x(w

2

1

2

2

2

1

10

0

reazemsimpluelastic:( )

( )

=

=

=

=

+

=

+

=

=

+

=

=

+

=

)x(kwdx

)x(wdxEI

)x(kwdx

)x(wdxEI

dx

)x(wd

dx

)x(wd

dx

)x(dw

dx

)x(dw

ii

xx

ii

ii

xx

ii

xx

i

xx

i

xx

i

xx

i

i

i

ii

ii

13

1

3

3

3

2

1

2

2

2

1

articulaieintermediar:

=

=

=

=

=

+

=

=

+

=

+

ii

i

i

xx

i

xx

i

xx

i

xx

i

iiii

dx

)x(wd

dx

)x(wd

dx

)x(wd

dx

)x(wd

)x(w)x(w

3

1

3

3

3

2

1

2

2

2

1

0

0

Lista reazemelor intermediare poate fi completat cu situaiile n careintervin, din exterior, momente i / sau fore concentrate, contribuia acestoreforturi la fenomenul ncovoierii fiind surprins att prin saltulfunciei

- 17-


18/162

NCOVOIEREA STATIC

corespunztoare (derivatele de ordinul doi i / sau trei), ct i prin ecuaiidecontinuitate.

Cele dou legiti amintite n rndurile de mai sus se aplic, evident, nabscisa respectivului reazem intermediar.

Un exemplu (edificator) pur teoretic ar fi cazul aciunilor concomitente alemomentului i forei exterioare ntr-un reazem (intermediar) elastic:

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

+=

=

=

=

+

=

+

=

=

+

=

=

+

=

+

iii

xx

ii

xx

ii

*

xx

ii

xx

ii

xx

i

xx

i

iiii

Fxkwdx

xwdxEI

dx

xwdxEI

Mdx

xwdxEI

dx

xwdxEI

dx

xdw

dx

xdw

xwxw

ii

ii

ii

13

1

3

3

3

2

1

2

2

2

1

1

Dintre diferitele cazuri particulare ce se pot deduce plecnd de la acest ultimsistem de ecuaii amintind condiia k = 0 caracteristic situaiei cnd

eforturile M* i F* acioneaz ntr-un punct (intermediar) liber; altfel spus,bara studiat nu prezint, n abscisaxi, alte restricii mecanice.

Evitnd complicarea expunerii prin descrieri intuitive, subliniem faptul cvariaiilor brute ale rigiditii i / sau ale sarcinii distribuite, n abscisaxi aunui punct liber (= fr alte restricii mecanice) de pe lungimea barei, li seasociaz condiiile de continuitate:

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

=

=

=

=

=

+++

=

=

+++

=

=

+

=

+

ii

ii

ii

xx

iiii

xx

iiii

xx

iiii

xx

iiii

xx

i

xx

i

iiii

dx

xwdxIE

dx

xwdxIE

dx

xwdxIE

dx

xwdxIE

dx

xdw

dx

xdw

xwxw

31

3

113

3

21

2

112

2

1

1

- 18 -


19/162

NCOVOIEREA STATIC

Dac n abscisaxi acioneaz i un reazem elastic, atunci vom avea sistemulde ecuaii:

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )

=

=

=

=

+

=

+++

=

=

+++

=

=

+

=

1131

3

11

13

3

21

2

112

2

1

xkwdx

xwdxIE

xkwdx

xwdxIE

dx

xwdxIE

dx

xwdxIE

dx

xdw

dx

xdw

i

xx

iiii

i

xx

iiii

xx

iiii

xx

iiii

xx

i

xx

i

i

i

ii

ii

ce poate fi completat (i complicat), n continuare, cu aportul unor eventualeeforturi externe M* i / sauF* concentrate nxi.

ncovoierea barei aflat pe pat elastic

Un caz aparte de rezemare a unei bare este aa-numitul pat elastic,caracterizat prin constanta elastic pe unitatea de lungime kp, situaiemodelat prin ecuaia diferenial de ordinul IV a fibrei medii deformate:

( )( )

( ) ( ) 02

2

2

2

=+

xqxwk

dx

xwdxEI

dx

dp

ncovoierea barei solicitat axial

Dac asupra unei bare solicitat la ncovoiere acioneaz, suplimentar, i ofor N axial, atunci ecuaia diferenial de ordinul IV a fibrei mediideformate devine:

- 19 -


20/162

NCOVOIEREA STATIC

( ) ( ) ( ) ( ) 02

2

2

2

2

2=

xq

dxxwdN

dxxwdxEI

dxd

unde N se nlocuiete cu +N n cazul comprimrii i cu N n cazulntinderii, valoareaNfiind considerat ntotdeauna pozitiv.

Trebuie reinut faptul c n cazul aciunii forelor axiale, condiiile de captreferitoare la fora tietoare capt forma:

( ) ( )( )*

xx

xT

dx

xdwN

dx

xwdEI

*

==

3

3

Fora de comprimare poate determina apariia strii de flambaj.

- 20 -


21/162

ECUAII, ALGORITMI I SOLUII


Combinnd situaiile prezentate n capitolul anterior se obine ecuaiadiferenial de ordinul IV a fibrei medii deformate pentru o bar care,sprijinindu-se pe pat elastic, este solicitat att la ncovoiere ct i axial:

( )( ) ( )

( ) ( ) 02

2

2

2

2

2

=+

xqxwk

dx

xwdN

dx

xwdxEI

dx

dp

Prezentnd un recunoscut nivel de generalitate, ecuaia (4) permiteindividualizarea unui numr relativ generos de exemple de ncovoiere a

barelor omogene i drepte, i anume:

cu sau fr pat elastic (2 tipuri),

cu sau fr for axial (3 tipuri),

cu moment de inerie constant sau variabil (2 tipuri),

cu sarcin distribuit constant sau variabil (3 tipuri dac secontorizeaz i cazul sarcinii distribuite nule).

Ar rezulta cel puin 2 3 2 3 = 36 de probleme (teoretice) de solicitarela ncovoiere, dup cum urmeaz:

- 21 -

(4)


22/162


Bar fr pat elastic, fr for axial, cu moment de inerie constant isarcin distribuit constant

Fiind date condiiile:

kp = 0 N= 0 I(x) =I0 q(x) = q0

ecuaia (4) devine:

( )

004

4

0 = qdx

xwd

EI

i are soluia:

( ) 4

0

03

3

2

210

24x

EI

qxCxCxCCxw ++++=

Dac q0 = 0, atunci:

( ) 332

210 xCxCxCCxw +++=

Bar fr pat elastic, fr for axial, cu moment de inerie constant isarcin distribuit variabil


kp = 0 N= 0 I(x) =I0 q(x)

ecuaia (4) devine:

( )( ) 0

4

4

0 = xqdxxwd

EI

i are soluia asigurat de algoritmul:

- 22 -


23/162


( )( )

++++= x

ddddEI

qxCxCxCCxw

1

1

1

2

1

3

1

4

0

43

3

2

210

1 2 3

n cazul particular:

( ) xqqxq 10 +=

avem:

( ) 5

0

14

0

033

2210

12024

x

EI

qx

EI

qxCxCxCCxw +++++=

Dac q0 = 0, atunci:

( ) 5

0

13

3

2

210

120x

EI

qxCxCxCCxw ++++=

Bar fr pat elastic, fr for axial, cu moment de inerie variabil isarcin distribuit constant


kp = 0 N= 0 I(x) q(x) = q0

ecuaia (4) devine:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

02 02

2

2

2

3

3

4

4

=++ qdx

xwd

dx

xIdE

dx

xwd

dx

xdIE

dx

xwdxEI


( )( ) ( ) ( )

+

+

++=x

ddEI

q

I

C

I

CxCCxw

1

1

1

22

220

2

23

2

210

1

2

n cazul particular:

( ) xeIxI = 1- 23 -


24/162


avem:

( )( ) ( )[ ] xe

EI

EIxCCCqxxxCCxw

++++

++=1

413230

22

10 2

2246

Dac q0 = 0, atunci:

( )( ) xe

xCCCxCCxw

++

++=3

32310

2

Bar fr pat elastic, fr for axial, cu moment de inerie variabil isarcin distribuit variabil


kp = 0 N= 0 I(x) q(x)

ecuaia (4) devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02 22

2

2

3

3

4

4

=++ xqdx xwddxxIdEdx xwddxxdIEdx xwdxEI


( )( ) ( )

( ) ( )

( )

+

+

++=

x

ddEI

dqdq

I

C

I

CxCCxw

1

1

1

2

2

1

333

1

332

2

23

2

2

10

1

22

n cazul particular:( ) xeIxI = 1

avem:

- 24-


25/162


( ) [

( ) ( )12

1

3

1

33

2

1

3

1

33

1 1

23210

22

1

2

+

+

++++=

dddEI

pd

EI

p

CCexCCxwx

Particulariznd, n continuare, cu:

( ) xqqxq 10 +=

avem:( ) ( ){ ( )

( )[ ] }1

53

1323

12

0

231

21010110

663

2261824

EI

eEIxCCxqxq

CEIxqxqxqqqxCCxwx

++++

+++++++=

Dac q0 = 0, atunci:

( ) ( ){

( )[ ] }1

51

2

323

1

3322

10

626

61824

EI

eEIxCCC

qxxxxCCxw

x

+++

+++++=

Bar fr pat elastic, for axial de compresie, cu moment de inerieconstant i sarcin distribuit constant


kp = 0 N> 0 I(x) =I0 q(x) = q0

ecuaia (4) devine:

( ) ( )002

2

4

4

0 =+ qdxxwd

Ndx

xwdEI

i are soluia general:

- 25 -


26/162


( ) ( ) ( )[ ]xsinCxcosCxNqxCCxw +

++= 322

2010

12

unde:

0EI

N=

Dac q0 = 0, atunci:

( ) ( ) ( )[ ]xsinCxcosCxCCxw ++= 322101

Bar fr pat elastic, for axial de compresie, cu moment de inerieconstant i sarcin distribuit variabil


kp = 0 N> 0 I(x) =I0 q(x)

ecuaia (4) devine:

( ) ( )( ) 0

2

2

4

4

0 =+ xqdxxwd

Ndx

xwdEI


( ) ( ) ( )[

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

12

1

333

2

1

333

2

1 1

232210

2

2

1

+

+

+++=

dddcosqN

sin

dsinqN

cos

sinCcosCxCCxw

x

unde:

- 26-


27/162


0EIN=

n cazul particular:

( ) xqqxq 10 +=

avem:

( ) ( ) ( )[ ]xsinCxcosCxN

qx

N

qxCCxw +

+++= 3223120

10

1

62

Dac q0 = 0, atunci:

( ) ( ) ( )[ ]xsinCxcosCxN

qxCCxw +

++= 322

3110

16

Bar fr pat elastic, for axial de compresie, cu moment de inerievariabil i sarcin distribuit constant


kp = 0 N> 0 I(x) q(x) = q0

ecuaia (4) devine:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0202

2

2

2

2

2

3

3

4

4

=+++ qdx

xwdN

dx

xwd

dx

xdIE

dx

xwd

dx

xdIE

dx

xwdxEI

creia autorul nu a reuit s-i gseasc o soluie general sau un algoritm de

calcul asociat.Totui, n cazul particular:

( ) xeIxI = 1

avem soluia asigurat de algoritmul:

- 27-


28/162


( )

12

1

3

2

0

2

0

1

3

2

0

2

0

1

0

1 1

3

2

02

2

010

2 32

2 322

1 2

2

2

2

22

22

22

2

+

+

+

++=

dddeYeJ

deJeYEI

eq

CeYeCeJexCCxwx

unde:

1EI

N=

PrinJ0(z) i Y0(z) s-au desemnat funciile Bessel de primul i al doilea ordin.

Amintim faptul c funciile Bessel Jn(z) i Yn(z) sunt soluii ale ecuaieidifereniale:

( ) 0222 =++ ynz'zy''yz

Dac q0 = 0, atunci:

( )

+

++=

x

ddCeYeCeJexCCxw1

12

1

3

2

02

2

010

1 2

2

2

22

22

Bar fr pat elastic, for axial de compresie, cu moment de inerievariabil i sarcin distribuit variabil


kp = 0 N> 0 I(x) q(x)

ecuaia (4) devine:

- 28 -


29/162


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 022

2

2

2

2

2

3

3

4

4

=+++ xqdx

xwdN

dx

xwd

dx

xdIE

dx

xwd

dx

xdIE

dx

xwdxEI

creia autorul nu a putut s-i gseasc o soluia general sau un algoritm decalcul asociat.

Totui, n cazul particular:

( ) xeIxI = 1


( )

( )

( )12

1

3

2

03

2

0

1

3

2

03

2

0

1

1 1

3

2

02

2

010

2 32

2 322

1 2

2

2

2

22

22

22

2

+

+

+

++=

dddeYqeJ

deJqeYEI

e

CeYeCeJexCCxw

x

unde:

1EI

N=


( ) xqqxq 10 +=

avem:

- 29 -


30/162


( )

( )

( )12

1

3

2

0310

2

0

1

3

2

0310

2

0

1

1 1

3

2

02

2

010

2 32

2 322

1 2

2

2

2

22

22

22

2

+

+

+

+

+

++=

dddeYqqeJ

deJqqeYEI

e

CeYeCeJexCCxwx

Dac q0 = 0, atunci:

( )

12

1

3

2

03

2

0

1

3

2

03

2

0

1

1

1 1

3

2

02

2

010

2 32

2 322

1 2

2

2

2

22

22

22

2

+

+

+

++=

dddeYeJ

deJeYEI

eq

CeYeCeJexCCxw

x

Bar fr pat elastic, for axial de ntindere, cu moment de inerieconstant i sarcin distribuit constant


kp = 0 N< 0 I(x) =I0 q(x) = q0

ecuaia (4) devine:( ) ( )

002

2

4

4

0 = qdxxwd

Ndx

xwdEI


- 30 -


31/162


( ) ( )xx eCeCxNqxCCxw +

++= 322

2010

12

unde:

0EI

N=

Dac q0 = 0, atunci:

( ) ( )xx

eCeCxCCxw

+++= 322101

Evident, soluiile anterioare pot fi rescrise nlocuind funciile exponenialeexp(x) i exp(-x) prin intermediul funciilor hiperbolice:sh(x) i ch(x)

Bar fr pat elastic, for axial de ntindere, cu moment de inerieconstant i sarcin distribuit variabil


kp = 0 N< 0 I(x) =I0 q(x)

ecuaia (4) devine:

( ) ( )( ) 0

2

2

4

4

0 = xqdxxwd

Ndx

xwdEI


( ) [

( ) ( )12

1

33

1

33

1 1

3210

2

32

2

32

1

22

2

+

++++=

dddeqedeqeN

eCeCxCCxw

x

unde:

- 31 -


32/162


0EIN=

n cazul particular:

( ) xqqxq 10 +=

avem:

( ) ( )xx eCeCxN

qx

N

qxCCxw +

++=322

3120

10

1

62

Daca q0 = 0, atunci:

( ) ( )xx eCeCxN

qxCCxw +

++= 322

3110

16


Bar fr pat elastic, for axial de ntindere, cu moment de inerievariabil i sarcin distribuit constant


kp = 0 N< 0 I(x) q(x) = q0

ecuaia (4) devine:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0202

2

2

2

2

2

3

3

4

4

=++ qdx

xwdN

dx

xwd

dx

xdIE

dx

xwd

dx

xdIE

dx

xwdxEI

creia autorul nu a putut s-i gseasc o soluia general.


( ) xeIxI = 1


- 32 -


33/162


( )

12

1

3

2

0

2

0

1

3

2

0

2

0

1

0

1 1

2

03

2

0210

2 32

2 322

1 2

2

2

2

22

222

22

2

+

++=

dddeKeI

deIeKEI

eq

eKeCeIeCxCCxwx

unde:

1EI

N=

PrinI0 iK0 s-au desemnat funciile Bessel de ordin nti.

Reamintim faptul c funciile Bessel In(z) i Kn(z) sunt soluii ale ecuaieidifereniale:

( 0222 =++ ynz'zy"yz

Dac q0 = 0, atunci:

( )

+

++=

x

ddeKeCeIeCxCCxw1

1

1

2

2

03

2

0210

1 2

2

2

22

22

Bar fr pat elastic, for axial de ntindere, cu moment de inerievariabil i sarcin distribuit variabil


kp = 0 N< 0 I(x) q(x)

ecuaia (4) devine:

- 33 -


34/162


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 022

2

2

2

2

2

3

3

4

4

=++ xqdx

xwdN

dx

xwd

dx

xdIE

dx

xwd

dx

xdIE

dx

xwdxEI



( ) xeIxI = 1


( )

( )

( )12

1

3030

1

3030

1

1 1

302010

2

32

2

32

2

1

2222

222

22

22

2

+

+

+

++=

dddeIqeK

deKqeIEI

e

CeKeCeIexCCxw

x

unde:

1EI

N=


( ) xqqxq 10 +=

avem:

- 34-


35/162


( )

( )

( )12

1

303100

1

303100

1

1 1

302010

2

32

2

32

2

1

2222

222

22

22

2

+

+

+

+

+

++=

dddeIqqeK

deKqqeIEI

e

CeKeCeIexCCxwx

Dac q0 = 0, atunci:

( )

12

1

3030

1

3030

1

1

1 1

302010

2

32

2

32

2

1

2222

222

22

22

2

+

+

+

++=

dddeIeK

deKeIEI

eq

CeKeCeIexCCxwx

Bar pe pat elastic, fr for axial, cu moment de inerie constant isarcin distribuit constant


kp> 0 N= 0 I(x) =I0 q(x) = q0

ecuaia (4) devine:

( )( ) 004

4

0 = qxwkdxxwd

EI p


( ) ( ) ( )p

xx

k

qeCeCxcosCxsinCxw 0

3210+++=

- 35 -


36/162


unde:

4

0EI

kp=

Dac q0 = 0, atunci:

( ) ( ) ( ) xx eCeCxcosCxsinCxw +++=3210


Bar pe pat elastic, fr for axial, cu moment de inerie constant isarcin distribuit variabil


kp> 0 N= 0 I(x) =I0 q(x)

ecuaia (4) devine:

( )( ) ( ) 0

2

2

0 = xqxwkdxxwd

EI p


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

+

+

++++=

xx

xxxx

p

xx

dcosqxsindsinqxcos

dqee

dqee

k

eCeCxcosCxsinCxw

11

11

3210

222

unde:

- 36-


37/162


4

0EIkp=

n cazul particular:

( ) xqqxq 10 +=

avem:

( ) ( ) ( ) x

k

q

k

qeCeCxcosCxsinCxw

pp

xx 103210

+++=

Dac q0 = 0, atunci:

( ) ( ) ( ) xk

qeCeCxcosCxsinCxw

p

xx 13210

+++=


Bar pe pat elastic, fr for axial, cu moment de inerie variabil isarcin distribuit constant


kp> 0 N= 0 I(x) q(x) = q0

ecuaia (4) devine:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 02 02

2

2

2

3

3

4

4

=++ qxwkdxxwd

dx

xdI

Edx

xwd

dx

xdI

Edx

xwd

xEI p



( ) xeIxI = 1 i 00 =q

- 37-


38/162



( ) { } { } { } { }{ } { } { }{ }

{ } { }{ } { } { }{ } { } { }{ } { } { }{ }

+

+

=

1

43

1

42

1

41

1

40

011000110

0011221

EI

ke,,,,,,,GC

EI

ke,,,,,,GC

EI

ke,,,,,,GC

EI

ke,,,,pFqCkexw

p

x

p

x

p

x

p

x

p

x

undepFq este funcia hipergeometric generalizat:

{ } { }( )

( )

( ) ( )

= = 0 1

1

11

1

k kpk

kpk

pp b...b

a...a

!kz,b,...,b,a,...,apFq

iarG este funcia Meijer, definit, pentru un umr real oarecare, r:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ++ ++++

=

ds

zrsb...rsbrsa...rsa

rsb...rsbrsa...rsa

i

r

b,...,b

a,...,azG

s

qmpn

mn

q

pmn

pq11

11

211

11

1

1

Reamintim c funcia(z) este definit:

( )

=

0

1 dtetz tz

i, pentru valori n ntregi, poate fi privit ca o generalizare a funcieifactorial pentru argumentulz complex:

( ) ( ) ( )z!nn = 1

Bar pe pat elastic, fr for axial, cu moment de inerie variabil isarcin distribuit variabil


kp> 0 N= 0 I(x) q(x)

ecuaia (4) devine:

- 38 -


39/162


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 022

2

2

2

3

3

4

4=++ xqxwk

dxxwd

dxxdIE

dxxwd

dxxdIE

dxxwdxEI p

creia autorul nu a reuit s-i gseasc o soluie general sau un algoritm decalcul asociat. A se vedea i cazul analizat anterior.

Bar pe pat elastic, for axial de compresie, cu moment de inerieconstant i sarcin distribuit constant


kp> 0 N> 0 I(x) =I0 q(x) = q0

ecuaia (4) devine:

( ) ( )( ) 0

02

2

4

4

0=+ qxwk

dx

xwdN

dx

xwdEI p


( )

xkEINNEI

xkEINNEI

xkEINNEI

xkEINNEI

p

pp

pp

eCeC

eCeCk

qxw

++

++

+

+

++

+++=

02

00

2

0

02

00

2

0

42

1

3

42

1

2

42

1

1

42

1

00

Dac q0 = 0, atunci:

( )

xkEINNEI

xkEINNEI

xkEINNEI

xkEINNEI

pp

pp

eCeC

eCeCxw

++ ++

+

+

++

++=

02

002

0

02

00

2

0

42

1

3

42

1

2

42

1

1

42

1

0

- 39 -


40/162


Bar pe pat elastic, for axial de compresie, cu moment de inerieconstant i sarcin distribuit variabil


kp> 0 N> 0 I(x) =I0 q(x)

ecuaia (4) devine:

( ) ( )

( ) ( ) 02

2

4

4

0 =+ xqxwkdx

xwd

Ndx

xwd

EI p


( )

( ) ( )

( ) ( )

+

+

+

+

+

+

++++=

xx

xx

pp

xx

xx

pp

xxxx

dqeedqee

kEIN

N

k

dqeedqeekEIN

N

k

eCeCeCeCxw

1102

1102

3210

4

1

4

41

4

unde:

( )pkEINNEI

0

2

0

42

1++=

i

( )pkEINNEI

02

0

4

2

1+=

n cazul particular:

( ) xqqxq 10 +=

avem:

- 40 -


41/162


( )

xkEINNEI

xkEINNEI

xkEINNEI

xkEINNEI

pp

pp

pp

eCeC

eCeCxk

q

k

qxw

++

++

+

+

++

+++=

02

00

2

0

02

00

2

0

42

1

3

42

1

2

42

1

1

42

1

010

Dac q0 = 0, atunci:

( )

xkEINNEI

xkEINNEI

xkEINNEI

xkEINNEI

p

pp

pp

eCeC

eCeCxk

qxw

++

++

+

+

++

+++=

02

00

2

0

02

00

2

0

42

1

3

42

1

2

42

1

1

42

1

01

Bar pe pat elastic, for axial de compresie, cu moment de inerievariabil i sarcin distribuit constant


kp> 0 N> 0 I(x) q(x) = q0

ecuaia (4) devine:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0202

2

2

2

2

2

3

3

4

4

=+++ qxwkdx

xwdN

dx

xwd

dx

xdIE

dx

xwd

dx

xdIE

dx

xwdxEI p

creia autorul nu a reuit s-i gseasc o soluie general sau un algoritm decalcul asociat.

- 41 -


42/162


Bar pe pat elastic, for axial de compresie, cu moment de inerievariabil i sarcin distribuit variabil


kp> 0 N> 0 I(x) q(x)

ecuaia (4) devine:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 022

2

2

2

2

2

3

3

4

4

=+++ xqxwkdx

xwdN

dx

xwd

dx

xdIE

dx

xwd

dx

xdIE

dx

xwdxEI p


Bar pe pat elastic, for axial de ntindere, cu moment de inerieconstant i sarcin distribuit constant

Fiind date condiiile:kp> 0 N< 0 I(x) =I0 q(x) = q0

ecuaia (4) devine:

( ) ( )( ) 002

2

4

4

0 = qxwkdxxwd

Ndx

xwdEI p


( )

xkEINNEI

xkEINNEI

xkEINN

EI

xkEINN

EI

p

pp

pp

eCeC

eCeCk

qxw

++

++

+

+

++

+++=

02

00

2

0

02

0

02

0

42

1

3

42

1

2

4

2

1

1

4

2

1

00

Dac q0 = 0, atunci:

- 42 -


43/162


( )

xkEINNEI

xkEINNEI

xkEINNEI

xkEINNEI

pp

pp

eCeC

eCeCxw

++

++

+

+

++

++=

02

00

2

0

02

00

2

0

42

1

3

42

1

2

42

1

1

42

1

0

Bar pe pat elastic, for axial de ntindere, cu moment de inerieconstant i sarcin distribuit variabil


kp> 0 N< 0 I(x) =I0 q(x)

ecuaia (4) devine:

( ) ( )( ) ( ) 0

2

2

4

4

0 = xqxwkdxxwd

Ndx

xwdEI p


( )

( ) ( )

( ) ( )

+

+

+

+

+

++++=

xx

xx

pp

xx

xx

pp

xxxx

dqeedqeekEIN

N

k

dqeedqeekEIN

N

k

eCeCeCeCxw

1102

1102

3210

41

4

41

4

unde:

( )pkEINNEI

0

2

0

42

1+=

i

( )pkEINNEI 02

0

42

1++=

- 43 -


44/162


n cazul particular:

( ) xqqxq 10 +=

avem:

( )

xkEINNEIxkEINNEI

xkEINNEI

xkEINNEI

pp

pp

pp

eCeC

eCeCxk

q

k

qxw

++ ++

+

+

++

+++=

02

00

2

0

02

00

2

0

42

1

342

1

2

42

1

1

42

1

010

Dac q0 = 0, atunci:

( )

xkEINNEI

xkEINNEI

xkEINNEI

xkEINNEI

p

pp

pp

eCeC

eCeCxk

qxw

++

++

+

+

++

+++=

02

00

2

0

02

00

2

0

42

1

3

42

1

2

42

1

1

42

1

01

Bar pe pat elastic, for axial de ntindere, cu moment de inerievariabil i sarcin distribuit constant


kp> 0 N< 0 I(x); q(x) = q0

ecuaia (4) devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0202

2

2

2

2

2

3

3

4

4

=++ qxwkdx

xwdN

dx

xwd

dx

xdIE

dx

xwd

dx

xdIE

dx

xwdxEI p


- 44-


45/162


Bar pe pat elastic, for axial de ntindere, cu moment de inerievariabil i sarcin distribuit variabil


kp> 0 N< 0 I(x) q(x)

ecuaia (4) devine:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 022

2

2

2

2

2

3

3

4

4

=++ xqxwkdx

xwdN

dx

xwd

dx

xdIE

dx

xwd

dx

xdIE

dx

xwdxEI p


- 45 -


46/162

EVALURI NUMERICE

EVALURI NUMERICE

Aa cum s-a vzut n capitolul anterior, din cele 36 de situaii teoretice desolicitare a unei bare omogene i drepte, s-a reuit indicarea unei soluiigenerale, sau a uneia particulare, sau numai a unui algoritm de rezolvare

pentru 31 de ecuaii.

Pentru fiecare exemplu n parte, cele patru constante de integrare: C0, C1, C2i C3 urmeaz s fie determinate funcie condiiile de sprijinire la capetele

barei, i / sau n reazeme intermediare.

Rezult c obinerea, n final, a unor formule analitice complete rmnedezideratul oricrui cercettor n domeniu. Mcar i pentru frumuseea lor

intrinsec.General vorbind, n cazul ncovoierii unei bare cu N reazeme, evaluareacelor 4(N 1) constante de integrare: Ci0, Ci1, Ci2 i Ci3 (discutate i ncapitolul precedent) reclam, cu deosebire pentru valori mari ale lui N,folosirea tehnicii de calcul electronic i a unor produse software adecvate.

Mai mult, dac programele de calcul utilizate au fost gndite i dezvoltate srspund unor cerine aplicative imediate, rezultatele obinute vor fi, cusiguran, mai alessubformnumerici / saugrafic.

Metoda parametrilor n origine

Totui, atunci cnd bara studiat nu are reazeme intermediare consacrate(reazem simplu rigid, reazem simplu elastic, sau articulaie intermediar),dar este supus aciunii unor eforturi externe concentrate i / sau prezint

- 46-


47/162

EVALURI NUMERICE

variaii brute ale sarcinii distribuite, fibra deformat poate fi descris i cuajutorulformuleianalitice:

( )

+

+

+

+=

k

kkk

j

ij

i

ii

!

dx

!

cx

EI

q

!

bx

EI

F

!

ax

EI

M

!

x

EI

T

!

x

EI

Mxwxw

443

232

443

23

0

2

0

00

unde:

rigiditateaEIeste constant pe toat lungimea barei;

parametrii w0, 0, M0 i T0 reprezint valorilecunoscute ale sgeii,rotirii, momentului ncovoietor i forei de forfecare n captul(barei) de abscisx = 0;

prindefiniie, parantezele x sunt ntotdeauna nule dac x < ,ele evalundu-se cu formula de calcul:

2

+=

xxx

valorile ai i bj sunt abscisele punctelor de aplicaie ale eforturilorexterne Mi iFj, n timp ce dubletul de ordonate (ck, dk) desemneazsegmentul de bar pe care acioneaz sarcina distribuit qkconstant.

Evaluri numerice

n vederea evalurii numerice a constantelor de integrare C (necunoscute),se rezolv sistemul de ecuaii liniare:

{ } { }bCa =

matricea ||a|| i vectorul {b} construindu-se cu ajutorul parametrilorcunoscui: E = modul de elasticitate, I = moment de inerie, N = for axial,

- 47-


48/162

EVALURI NUMERICE

q = sarcin distribuit, Nr = numr reazeme, tr = tip reazem, ke =constant reazem elastic, ce = constant ncastrare elastic.

Un posibil algoritm ar fi cel implementat n corpul urmtoarei proceduri decalcul, scris n limbaj de programare Borland Pascal (Delphi):

procedure matrici;

var i,j,k:integer;

begin

kb:=sqrt(abs(N)/E/I);

for i:=1 to 4*(nr-1) do for j:=1 to 4*(nr-1) do a[i,j]:=0;

for i:=1 to 4*(nr-1) do b[i]:=0;

j:=0;k:=0;

if N1 then k:=1;

case tr[i] of

0:begin {capat liber}

a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+3]:=0;

a[j+2*k+1,j+4]:=0;

b[j+2*k+1]:=q/N;

a[j+2*k+2,j+1]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+3]:=0;

a[j+2*k+2,j+4]:=0;

b[j+2*k+2]:=0;

end;

1:begin {simplu rigid}

a[j+2*k+1,j+1]:=sinh(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+2]:=cosh(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];

a[j+2*k+1,j+4]:=1;

b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;


a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);a[j+2*k+2,j+3]:=0;

a[j+2*k+2,j+4]:=0;

b[j+2*k+2]:=q/N;

end;

2:begin {simplu elastic}



a[j+2*k+1,j+3]:=0;

- 48 -


49/162

EVALURI NUMERICE

a[j+2*k+1,j+4]:=0;b[j+2*k+1]:=q/N;

a[j+2*k+2,j+1]:=power(kb,3)*E*I*cosh(kb*x[i])

+ke[i]*sinh(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*E*I*sinh(kb*x[i])

+ke[i]*cosh(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];

a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];

b[j+2*k+2]:=-ke[i]*q*power(x[i],2)/2/N;

end;

3:begin {incastrare rigida}



a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];a[j+2*k+1,j+4]:=1;

b[j+2*k+1]:=-q*x[i]*x[i]/2/N;

a[j+2*k+2,j+1]:=kb*cosh(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+2]:=kb*sinh(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+3]:=1;

a[j+2*k+2,j+4]:=0;

b[j+2*k+2]:=-q*x[i]/N;

end;

4:begin {incastrare elastica}



a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];

a[j+2*k+1,j+4]:=1;b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;


-ce[i]*kb*cosh(kb*x[i]);


-ce[i]*kb*sinh(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+3]:=-ce[i];

a[j+2*k+2,j+4]:=0;

b[j+2*k+2]:=q*ce[i]*x[i]/N-E*I*q/N;

end;

5:begin {rezemare generala}


-ce[i]*kb*cosh(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,3)*E*I*cosh(kb*x[i])-ce[i]*kb*sinh(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+3]:=-ce[i];

a[j+2*k+1,j+4]:=0;



+ke[i]*sinh(kb*x[i]);


+ke[i]*cosh(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];

- 49 -


50/162

EVALURI NUMERICE

a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];b[j+2*k+2]:=-ke[i]*q*power(x[i],2)/2/N;

end;

6:begin {forta in capat liber}



a[j+2*k+1,j+3]:=0;

a[j+2*k+1,j+4]:=0;

b[j+2*k+1]:=-q/N;



a[j+2*k+2,j+3]:=0;

a[j+2*k+2,j+4]:=0;

b[j+2*k+2]:=-fc[i]/E/I;end;

7:begin {forta in resort elastic}



a[j+2*k+1,j+3]:=0;

a[j+2*k+1,j+4]:=0;

b[j+2*k+1]:=-q/N;

a[j+2*k+2,j+1]:=ke[i]/E/I*sinh(kb*x[i])

+power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+2]:=ke[i]/E/I*cosh(kb*x[i])

+power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i]/E/I;

a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i]/E/I;b[j+2*k+2]:=fc[i]/E/I

-q*ke[i]*power(x[i],2)/2/E/I/N;

end;

8:begin {simplu rigid intermediar}



a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];

a[j+2*k+1,j+4]:=1;

b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;



a[j+2*k+2,j+7]:=x[i];




a[j+2*k+3,j+3]:=1;

a[j+2*k+3,j+4]:=0;

a[j+2*k+3,j+5]:=-kb*cosh(kb*x[i]);

a[j+2*k+3,j+6]:=-kb*sinh(kb*x[i]);

a[j+2*k+3,j+7]:=-1;

a[j+2*k+3,j+8]:=0;

- 50 -


51/162


52/162

EVALURI NUMERICE

a[j+2*k+1,j+2]:=cosh(kb*x[i]);a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];

a[j+2*k+1,j+4]:=1;

a[j+2*k+1,j+5]:=-sinh(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+6]:=-cosh(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+7]:=-x[i];

a[j+2*k+1,j+8]:=-1;

b[j+2*k+1]:=0;



a[j+2*k+2,j+3]:=1;

a[j+2*k+2,j+4]:=0;

a[j+2*k+2,j+5]:=-kb*cosh(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+6]:=-kb*sinh(kb*x[i]);a[j+2*k+2,j+7]:=-1;

a[j+2*k+2,j+8]:=0;

b[j+2*k+2]:=0;



a[j+2*k+3,j+3]:=0;

a[j+2*k+3,j+4]:=0;

a[j+2*k+3,j+5]:=-power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);

a[j+2*k+3,j+6]:=-power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);

a[j+2*k+3,j+7]:=-0;

a[j+2*k+3,j+8]:=0;

b[j+2*k+3]:=0;

a[j+2*k+4,j+1]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);a[j+2*k+4,j+2]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);

a[j+2*k+4,j+3]:=0;

a[j+2*k+4,j+4]:=0;



a[j+2*k+4,j+7]:=0;

a[j+2*k+4,j+8]:=0;

b[j+2*k+4]:=-fc[i]/E/I;

j:=4*(i-1);

end;

end;

end;

if N=0 thenfor i:=1 to Nr do

begin

if i>1 then k:=1;

case tr[i] of


a[j+2*k+1,j+1]:=x[i];

a[j+2*k+1,j+2]:=1;

a[j+2*k+1,j+3]:=0;

a[j+2*k+1,j+4]:=0;

- 52 -


53/162

EVALURI NUMERICE

b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/E/I;a[j+2*k+2,j+1]:=1;

a[j+2*k+2,j+2]:=0;

a[j+2*k+2,j+3]:=0;

a[j+2*k+2,j+4]:=0;

b[j+2*k+2]:=-q*x[i]/E/I;

end;


a[j+2*k+1,j+1]:=power(x[i],3)/6;

a[j+2*k+1,j+2]:=x[i]*x[i]/2;

a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];

a[j+2*k+1,j+4]:=1;

b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],4)/24/E/I;

a[j+2*k+2,j+1]:=x[i];a[j+2*k+2,j+2]:=1;

a[j+2*k+2,j+3]:=0;

a[j+2*k+2,j+4]:=0;

b[j+2*k+2]:=-q*power(x[i],2)/2/E/I;

end;


a[j+2*k+1,j+1]:=x[i];

a[j+2*k+1,j+2]:=1;

a[j+2*k+1,j+3]:=0;

a[j+2*k+1,j+4]:=0;

b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/E/I;

a[j+2*k+2,j+1]:=ke[i]*power(x[i],3)/6+E*I;

a[j+2*k+2,j+2]:=ke[i]*power(x[i],2)/2;a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];

a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];

b[j+2*k+2]:=-q*x[i]-ke[i]*q*power(x[i],4)/24/E/I;

end;


a[j+2*k+1,j+1]:=power(x[i],3)/6;

a[j+2*k+1,j+2]:=power(x[i],2)/2;

a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];

a[j+2*k+1,j+4]:=1;

b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],4)/24/E/I;

a[j+2*k+2,j+1]:=power(x[i],2)/2;

a[j+2*k+2,j+2]:=x[i];

a[j+2*k+2,j+3]:=1;a[j+2*k+2,j+4]:=0;

b[j+2*k+2]:=-q*power(x[i],3)/6/E/I;

end;

4:begin {inacstrare elastica}

a[j+2*k+1,j+1]:=power(x[i],3)/6;

a[j+2*k+1,j+2]:=power(x[i],2)/2;

a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];

a[j+2*k+1,j+4]:=1;

b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],4)/24/E/I;

- 53 -


54/162

EVALURI NUMERICE

a[j+2*k+2,j+1]:=E*I*x[i]-ce[i]*power(x[i],2)/2;a[j+2*k+2,j+2]:=E*I-ce[i]*x[i];

a[j+2*k+2,j+3]:=-ce[i];

a[j+2*k+2,j+4]:=0;

b[j+2*k+2]:=q*ce[i]*power(x[i],3)/6/E/I

-q*power(x[i],2)/2;

end;


a[j+2*k+1,j+1]:=E*I*x[i]-ce[i]*power(x[i],2)/2;

a[j+2*k+1,j+2]:=E*I-ce[i]*x[i];

a[j+2*k+1,j+3]:=-ce[i];

a[j+2*k+1,j+4]:=0;

b[j+2*k+1]:=q*ce[i]*power(x[i],3)/6/E/I

-q*power(x[i],2)/2;a[j+2*k+2,j+1]:=ke[i]*power(x[i],3)/6+E*I;

a[j+2*k+2,j+2]:=ke[i]*power(x[i],2)/2;

a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];

a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];

b[j+2*k+2]:=q*x[i]-q*ke[i]*power(x[i],4)/24/E/I;

end;


a[j+2*k+1,j+1]:=1;

a[j+2*k+1,j+2]:=0;

a[j+2*k+1,j+3]:=0;

a[j+2*k+1,j+4]:=0;

b[j+2*k+1]:=-fc[i]/E/I-q*x[i]/E/I;

a[j+2*k+2,j+1]:=x[i];a[j+2*k+2,j+2]:=1;

a[j+2*k+2,j+3]:=0;

a[j+2*k+2,j+4]:=0;

b[j+2*k+2]:=-q*power(x[i],2)/2/E/I;

end;

7:begin {forta in resort elastic}

a[j+2*k+1,j+1]:=x[i];

a[j+2*k+1,j+2]:=1;

a[j+2*k+1,j+3]:=0;

a[j+2*k+1,j+4]:=0;

b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/E/I;

a[j+2*k+2,j+1]:=1+ke[i]*power(x[i],3)/6/E/I;

a[j+2*k+2,j+2]:=ke[i]*power(x[i],2)/2/E/I;a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i]/E/I;

a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i]/E/I;

b[j+2*k+2]:=fc[i]/E/I

-q*ke[i]*power(x[i],4)/24/E/E/I/I

-q*x[i]/E/I;

end;


a[j+2*k+1,j+1]:=power(x[i],3)/6;

a[j+2*k+1,j+2]:=power(x[i],2)/2;

- 54-


55/162

EVALURI NUMERICE

a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];a[j+2*k+1,j+4]:=1;

b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],4)/24/E/I;

a[j+2*k+2,j+5]:=power(x[i],3)/6;

a[j+2*k+2,j+6]:=power(x[i],2)/2;

a[j+2*k+2,j+7]:=x[i];

a[j+2*k+2,j+8]:=1;

b[j+2*k+2]:=-q*power(x[i],4)/24/E/I;

a[j+2*k+3,j+1]:=power(x[i],2)/2;

a[j+2*k+3,j+2]:=x[i];

a[j+2*k+3,j+3]:=1;

a[j+2*k+3,j+4]:=0;

a[j+2*k+3,j+5]:=-power(x[i],2)/2;

a[j+2*k+3,j+6]:=-x[i];a[j+2*k+3,j+7]:=-1;

a[j+2*k+3,j+8]:=0;

b[j+2*k+3]:=0;

a[j+2*k+4,j+1]:=x[i];

a[j+2*k+4,j+2]:=1;

a[j+2*k+4,j+3]:=0;

a[j+2*k+4,j+4]:=0;

a[j+2*k+4,j+5]:=-x[i];

a[j+2*k+4,j+6]:=-1;

a[j+2*k+4,j+7]:=0;

a[j+2*k+4,j+8]:=0;

b[j+2*k+4]:=0;

j:=4*(i-1);end;

9:begin {simplu elastic intermediar}

a[j+2*k+1,j+1]:=E*I+ke[i]*power(x[i],3)/6;

a[j+2*k+1,j+2]:=ke[i]*power(x[i],2)/2;

a[j+2*k+1,j+3]:=ke[i]*x[i];

a[j+2*k+1,j+4]:=ke[i];

b[j+2*k+1]:=-ke[i]*q*power(x[i],4)/24/E/I-q*x[i];

a[j+2*k+2,j+5]:=E*I+ke[i]*power(x[i],3)/6;

a[j+2*k+2,j+6]:=ke[i]*power(x[i],2)/2;

a[j+2*k+2,j+7]:=ke[i]*x[i];

a[j+2*k+2,j+8]:=ke[i];

b[j+2*k+2]:=-ke[i]*q*power(x[i],4)/24/E/I-q*x[i];

a[j+2*k+3,j+1]:=power(x[i],2)/2;a[j+2*k+3,j+2]:=x[i];

a[j+2*k+3,j+3]:=1;

a[j+2*k+3,j+4]:=0;

a[j+2*k+3,j+5]:=-power(x[i],2)/2;

a[j+2*k+3,j+6]:=-x[i];

a[j+2*k+3,j+7]:=-1;

a[j+2*k+3,j+8]:=0;

b[j+2*k+3]:=0;

a[j+2*k+4,j+1]:=x[i];

- 55 -


56/162

EVALURI NUMERICE

a[j+2*k+4,j+2]:=1;a[j+2*k+4,j+3]:=0;

a[j+2*k+4,j+4]:=0;

a[j+2*k+4,j+5]:=-x[i];

a[j+2*k+4,j+6]:=-1;

a[j+2*k+4,j+7]:=0;

a[j+2*k+4,j+8]:=0;

b[j+2*k+4]:=0;

j:=4*(i-1);

end;

10:begin {forta concentrata intermediar}

a[j+2*k+1,j+1]:=power(x[i],3)/6;

a[j+2*k+1,j+2]:=power(x[i],2)/2;

a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];a[j+2*k+1,j+4]:=1;

a[j+2*k+1,j+5]:=-power(x[i],3)/6;

a[j+2*k+1,j+6]:=-power(x[i],2)/2;

a[j+2*k+1,j+7]:=-x[i];

a[j+2*k+1,j+8]:=-1;

b[j+2*k+1]:=0;

a[j+2*k+2,j+1]:=power(x[i],2)/2;

a[j+2*k+2,j+2]:=x[i];

a[j+2*k+2,j+3]:=1;

a[j+2*k+2,j+4]:=0;

a[j+2*k+2,j+5]:=-power(x[i],2)/2;

a[j+2*k+2,j+6]:=-x[i];

a[j+2*k+2,j+7]:=-1;a[j+2*k+2,j+8]:=0;

b[j+2*k+2]:=0;

a[j+2*k+3,j+1]:=x[i];

a[j+2*k+3,j+2]:=1;

a[j+2*k+3,j+3]:=0;

a[j+2*k+3,j+4]:=0;

a[j+2*k+3,j+5]:=-x[i];

a[j+2*k+3,j+6]:=-1;

a[j+2*k+3,j+7]:=0;

a[j+2*k+3,j+8]:=0;

b[j+2*k+3]:=0;

a[j+2*k+4,j+1]:=1;

a[j+2*k+4,j+2]:=0;a[j+2*k+4,j+3]:=0;

a[j+2*k+4,j+4]:=0;

a[j+2*k+4,j+5]:=-1;

a[j+2*k+4,j+6]:=0;

a[j+2*k+4,j+7]:=0;

a[j+2*k+4,j+8]:=0;

b[j+2*k+4]:=-fc[i]/E/I;

j:=4*(i-1);

end;

- 56-


57/162

EVALURI NUMERICE

end;end;

if N>0 then

for i:=1 to Nr do

begin

if i>1 then k:=1;

case t[i] of


a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,3)*cos(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+3]:=0;

a[j+2*k+1,j+4]:=0;

b[j+2*k+1]:=q/N;

a[j+2*k+2,j+1]:=-power(kb,3)*cos(kb*x[i]);a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+3]:=0;

a[j+2*k+2,j+4]:=0;

b[j+2*k+2]:=0;

end;


a[j+2*k+1,j+1]:=sin(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+2]:=cos(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];

a[j+2*k+1,j+4]:=1;

b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;


a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*cos(kb*x[i]);a[j+2*k+2,j+3]:=0;

a[j+2*k+2,j+4]:=0;

b[j+2*k+2]:=q/N;

end;




a[j+2*k+1,j+3]:=0;

a[j+2*k+1,j+4]:=0;

b[j+2*k+1]:=q/N;

a[j+2*k+2,j+1]:=-power(kb,3)*E*I*cos(kb*x[i])

+ke[i]*sin(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*E*I*sin(kb*x[i])+ke[i]*cos(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];

a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];


end;


a[j+2*k+1,j+1]:=sin(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+2]:=cos(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];

- 57-


58/162

EVALURI NUMERICE


a[j+2*k+2,j+1]:=kb*cos(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+2]:=-kb*sin(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+3]:=1;

a[j+2*k+2,j+4]:=0;

b[j+2*k+2]:=-q*x[i]/N;

end;

4:begin {inacstrare elastica}

a[j+2*k+1,j+1]:=sin(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+2]:=cos(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];

a[j+2*k+1,j+4]:=1;

b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;a[j+2*k+2,j+1]:=-power(kb,3)*E*I*sin(kb*x[i])

-ce[i]*kb*cos(kb*x[i]);


+ce[i]*kb*sin(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+3]:=-ce[i];

a[j+2*k+2,j+4]:=0;


end;


a[j+2*k+1,j+1]:=-power(kb,3)*E*I*sin(kb*x[i])

-ce[i]*kb*cos(kb*x[i]);


+ce[i]*kb*sin(kb*x[i]);a[j+2*k+1,j+3]:=-ce[i];

a[j+2*k+1,j+4]:=0;




a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*E*I*sin(kb*x[i])

+ke[i]*cos(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];

a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];

b[j+2*k+2]:=-ke[i]*q*x[i]*x[i]/2/N;

end;


a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,2)*sin(kb*x[i]);a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,2)*cos(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+3]:=0;

a[j+2*k+1,j+4]:=0;

b[j+2*k+1]:=q/N;

a[j+2*k+2,j+1]:=-power(kb,3)*cos(kb*x[i]);


a[j+2*k+2,j+3]:=0;

a[j+2*k+2,j+4]:=0;

b[j+2*k+2]:=-fc[i]/E/I;

- 58 -


59/162

EVALURI NUMERICE

end;7:begin {forta in resort elastic}



a[j+2*k+1,j+3]:=0;

a[j+2*k+1,j+4]:=0;

b[j+2*k+1]:=q/N;

a[j+2*k+2,j+1]:=ke[i]/E/I*sin(kb*x[i])

-power(kb,3)*cos(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+2]:=ke[i]/E/I*cos(kb*x[i])

+power(kb,3)*sin(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i]/E/I;

a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i]/E/I;

b[j+2*k+2]:=fc[i]/E/I-q*ke[i]*power(x[i],2)/2/E/I/N;

end;


a[j+2*k+1,j+1]:=sin(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+2]:=cos(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];

a[j+2*k+1,j+4]:=1;

b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;

a[j+2*k+2,j+5]:=sin(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+6]:=cos(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+7]:=x[i];

a[j+2*k+2,j+8]:=1;

b[j+2*k+2]:=-q*power(x[i],2)/2/N;a[j+2*k+3,j+1]:=kb*cos(kb*x[i]);

a[j+2*k+3,j+2]:=-kb*sin(kb*x[i]);

a[j+2*k+3,j+3]:=1;

a[j+2*k+3,j+4]:=0;

a[j+2*k+3,j+5]:=-kb*cos(kb*x[i]);

a[j+2*k+3,j+6]:=kb*sin(kb*x[i]);

a[j+2*k+3,j+7]:=-1;

a[j+2*k+3,j+8]:=0;

b[j+2*k+3]:=0;

a[j+2*k+4,j+1]:=-power(kb,3)*sin(kb*x[i]);


a[j+2*k+4,j+3]:=0;

a[j+2*k+4,j+4]:=0;a[j+2*k+4,j+5]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);


a[j+2*k+4,j+7]:=0;

a[j+2*k+4,j+8]:=0;

b[j+2*k+4]:=0;

j:=4*(i-1);

end;

9:begin {simplu elastic intermediar}

a[j+2*k+1,j+1]:=-E*I*power(kb,3)*cos(kb*x[i])

- 59 -


60/162

EVALURI NUMERICE

+ke[i]*sin(kb*x[i]);a[j+2*k+1,j+2]:=E*I*power(kb,3)*sin(kb*x[i])


a[j+2*k+1,j+3]:=ke[i]*x[i];

a[j+2*k+1,j+4]:=ke[i];


a[j+2*k+2,j+5]:=-E*I*power(kb,3)*cos(kb*x[i])


a[j+2*k+2,j+6]:=E*I*power(kb,3)*sin(kb*x[i])


a[j+2*k+2,j+7]:=ke[i]*x[i];

a[j+2*k+2,j+8]:=ke[i];


a[j+2*k+3,j+1]:=kb*cos(kb*x[i]);a[j+2*k+3,j+2]:=-kb*sin(kb*x[i]);

a[j+2*k+3,j+3]:=1;

a[j+2*k+3,j+4]:=0;

a[j+2*k+3,j+5]:=-kb*cos(kb*x[i]);


a[j+2*k+3,j+7]:=-1;

a[j+2*k+3,j+8]:=0;

b[j+2*k+3]:=0;



a[j+2*k+4,j+3]:=0;

a[j+2*k+4,j+4]:=0;

a[j+2*k+4,j+5]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);a[j+2*k+4,j+6]:=power(kb,3)*cos(kb*x[i]);

a[j+2*k+4,j+7]:=0;

a[j+2*k+4,j+8]:=0;

b[j+2*k+4]:=0;

j:=4*(i-1);

end;

10:begin {forta concentrata intermediar}

a[j+2*k+1,j+1]:=sin(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+2]:=cos(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];

a[j+2*k+1,j+4]:=1;

a[j+2*k+1,j+5]:=-sin(kb*x[i]);

a[j+2*k+1,j+6]:=-cos(kb*x[i]);a[j+2*k+1,j+7]:=-x[i];

a[j+2*k+1,j+8]:=-1;

b[j+2*k+1]:=0;

a[j+2*k+2,j+1]:=kb*cos(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+2]:=-kb*sin(kb*x[i]);

a[j+2*k+2,j+3]:=1;

a[j+2*k+2,j+4]:=0;

a[j+2*k+2,j+5]:=-kb*cos(kb*x[i]);


- 60 -


61/162

EVALURI NUMERICE

a[j+2*k+2,j+7]:=-1;a[j+2*k+2,j+8]:=0;

b[j+2*k+2]:=0;



a[j+2*k+3,j+3]:=0;

a[j+2*k+3,j+4]:=0;



a[j+2*k+3,j+7]:=0;

a[j+2*k+3,j+8]:=0;

b[j+2*k+3]:=0;


a[j+2*k+4,j+2]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);a[j+2*k+4,j+3]:=0;

a[j+2*k+4,j+4]:=0;



a[j+2*k+4,j+7]:=0;

a[j+2*k+4,j+8]:=0;

b[j+2*k+4]:=-fc[i]/E/I;

j:=4*(i-1);

end;

end;

end;

end;

Evident, aceast procedur poate fi completat oricnd cu instruciuni deatribuire specifice i altor tipuri de rezeme discutate n capitolul precedent.

Valoarea determinantului asociat matricei ||a|| se poate calcula, de exemplu,folosind metoda lui Gauss, implementat n corpul funciei mai jos listate:

function gauss(n:integer):extended;

label 1,2;

var i,j,k:integer;

p,g:extended;

begin

p:=1;

for i:=1 to n-1 do

begin

if a[i,i]=0 then

begin

- 61 -


62/162

EVALURI NUMERICE

for j:=i+1 to n dobegin

if a[j,i]0 then

begin

for k:=1 to n do

begin

g:=a[i,k];

a[i,k]:=a[j,k];

a[j,k]:=g;

end;

p:=-p;

goto 1;

end;

end;g:=0;

goto 2;

end;

1:

for j:=i+1 to n do

begin

if a[j,i]0 then

for k:=1 to n do a[j,k]:=a[j,k]-a[j,i]*a[i,k]/a[i,i]

end;

end;

g:=1;

for i:=1 to n do g:=g*a[i,i];

g:=g*p;2:

gauss:=g;

end;

- 62 -


63/162

VIBRAII DE NCOVOIERE


Dac eforturile externe ce acioneaz asupra unei bare se modific n timp,atunci i deformaiile suferite de aceasta vor depinde de o a doua variabilindependent, t, exprimnd faptul c deplasrile du, dv i dw nu rmnconstante.

n aceste condiii, pentru aceeai ipotez du = 0, ecuaia (4), de exemplu, seva rescrie sub forma ecuaieidemicare:

( )( )

( )( )

( ) ( ) 02

2

2

2

2

2

=+

t,xqt,xwkx

t,xwtN

x

t,xwxEI

x p

ce s-ar mai putea completa cu forele de frecare: extern, ( )t

t,xwcv i

intern, ( )( )

tx

t,xwxI

4

5

, ambele presupuse a fi de natur vscoas i

caracterizate prin coeficienii asociai cv, respectiv .

Sarcina distribuit q(x,t) va cuprinde, de aceast dat, att forele externe

excitatoarep(x,t) ct i fora de inerie( )

2

2

t

t,xwA

; prin s-a desemnat

densitatea barei iarA este aria seciunii sale transversale.

n cazul ideal al unei bare de rigiditate EI constant, fr frecri interne(adic = 0) i n lipsa unor fore de frecare externe (cv = 0, n vid), ecuaiade micare se simplific i devine:

( ) ( ) ( )

EI

t,xp

t

t,xw

EI

A

x

t,xw=

+

2

2

4

4

- 63 -


64/162


iar funcia w(x,t) trebuie s satisfac, pe lng condiiile la limit cu care ne-am obinuit deja, i condiiileiniiale, precizate pentru t= 0:

( ) ( )( )

( )

=

=

=

xgt

t,xw

xf,xw

t 0

0

Moduri proprii de vibraii

Din motive ce in exclusiv de pstrarea formalismului consacrat al lucrrilorde specialitate, n cele ce urmeaz ne vom referi la deformri / deplasri /ncovoieri dv(x,t) ce au loc pe direciay.

Conform definiiilor, modurile proprii (sau naturale) de vibraii ale unei bareideale sunt caracterizate prin soluiile ecuaiei de micare n vid, obinute nlipsa forelor excitatoare, adic:

( ) ( )0

2

2

4

4

=

+

t

t,xv

EI

A

x

t,xv

Utiliznd metoda separrii variabilelor, pentru ecuaia (5) se caut o soluiede forma:

( ) ( ) ( )tTxYt,xv =

i avem:

( )( )

( )( ) 0

2

2

4

4

=

+ xYdt

t,xTd

EI

AtT

dx

t,xYd

rezultat ce presupune rezolvarea simultan a egalitilor independente:

( )( )

( )( ) 42

2

4

4 11=

=

dt

tTd

tTEI

A

dx

xYd

xY

Concret, plecnd de la ecuaia:

- 64-

(5)


65/162


( )( ) 42

21 =dt

tTdtTEI

A

rescris:

( )( ) 04

2

2

=

+ xTA

EI

dt

tTd

se caut soluia general:

( ) tretT =

care conduce la:

042 =

+ treA

EIr

de unde rezult

042 =

+A

EIr

Cu ajutorul soluiilor imaginare:

A

EIir, = 221 ; 1=i

funcia T(t) devine:

( ) titi eTeTtT += 21

sau, exprimnd exponenialele exp(it) i exp(-it) prin intermediul

funciilor trigonometricesin

(t) i

cos(

t):

( ) ( )+= tsinTtT0

ceea ce nseamn c bara studiat execut oscilaii armonice cu pulsaiaproprie:

- 65 -


66/162


AEI

= 20

n mod similar, plecnd de la ecuaia:

( )( ) 04

4

4

= xYdx

xYd

avem, consecutiv:

( ) xrexY =

( 044 = xrer

044 =r

=1r ; =2r ; = ir2 ; = ir2

astfel nctfuncia proprieY(x) capt forma:

( ) xixixx DeCeBeAexY +++=

Exprimnd, acum, exponenialele exp(it) i exp(-it) prin intermediulfunciilor trigonometricesin(t) i cos(t), respectiv exponenialele exp(t)i exp(-t) prin intermediul funciilor hiperbolice sh(t) i ch(t), seregsete expresia consacrat:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xchCxshCxcosCxsinCxY +++=4321

Funciaproprie mpreun cu pulsaiaproprie definesc ceea ce se numeteun modpropriu i fac obiectul studiilor de analizmodal.

Necunoscutele reprezentnd constantele de integrare C1, C2, C3 i C4,

respectiv parametrul modal se determin, i de aceast dat, din condiiilela limit, iarT0 i din condiiile iniiale.

De exemplu, dac bara de lungimeL este ncastrat rigid la ambele capete inu are alte reazeme intermediare, atunci din condiiile la limit se obinesistemul compatibil nedeterminat de patru ecuaii liniare:

- 66-


67/162


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=++=+++

=+=+

0

0

00

4321

4321

31

42

LshCLchCLsinCLcosC

LchCLshCLcosCLsinC

CCCC

ce va admite soluii nebanale dac i numai dac determinantul su seanuleaz, adic:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

00101

1010

=

LshLchLsinLcos

LchLshLcosLsin

Ultima egalitate reprezint ecuaiapulsaiilorproprii i, adus la formasimplificat:

( ) ( ) 1= LcosLch

are soluiile:

L,730041 = ; L,853272 = ; += Lnn2

12

(n > 2)

crora le corespundfrecveneleproprii:

A

EI

L

,,

=

2

10

73004

2

1;

A

EI

L

,,

=

2

20

85327

2

1

A

EI

L

nn,

+

=2

0 212

21

(n > 2)

Se observ c exist un numr infinit de moduri de vibraie, desemnate prinvalorile naturale ale indicelui n.

Alegnd acum valorile C1n drept variabile independente, atunci pentrucelelalte necunoscute C2n,C3n i C4n se obin soluiile:

- 67-


68/162


( ) ( )( ) ( )LshLsin

LchLcosCCnn

nnnn +

= 12

nn CC 13 =

( ) ( )

( ) ( )LshLsin

LchLcosCC

nn

nnnn +

=

14

i forma fibrei deformate n modul n de vibraie va fi descris de funciaproprie:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

+

+

+=

xchLshLsin

LchLcosxsh

xcosLshLsin

LchLcosxsinCxY

n

nn

nnn

n

nn

nnnnn 1

Evident, pentru oscilaiile armonice vom avea:

( ) ( )nn,n tsinTtT += 00 ; n,n, 00 2=

i modul n de vibraie va fi caracterizat, n final, prin:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )nn,n

nn

nnn

n

nn

nnnnn

tsinxchLshLsin

LchLcosxsh

xcosLshLsin

LchLcosxsinAt,xv

+

+

+

+=

0

cu constanteleAn i n determinate din condiiile iniiale (t= 0).

n mod similar se poate demonstra c dac aceeai bar s-ar sprijini lacapete pe reazeme simplu rigide, atunci modurile sale proprii de vibraii ar ficaracterizate cu ajutorul relaiilor:

( ) ( )( )

( )( ) ( )nn,n

n

nnnn tsinxshLsh

LsinxsinAt,xv +

+= 0

- 68 -


69/162


n,n, 00 2= ;A

EILn

n,

=

2

0 21

Comparnd cele dou exemple de ncovoiere la vibraii se poate remarcaexistena unei dependene directe, explicite, att a formei fibrei deformatect i a frecvenelor proprii de natura reazemelor (de capt).

Vibraiile unei bare reale n mediu fluid vscos

Aa cum am subliniat deja, modurile proprii caracterizeaz situaia ideal avibraiilor libere (fr for excitatoare) n vid, ale unei bare fr frecriinterne.

n vederea studierii vibraiilor libere ntr-un mediu fluid oarecare (vscos)va trebui s se in seama, pe lng fora de frecare extern, i de faptul c,oscilnd, bara va trebui s deplaseze (s disloce) o mas adiional de fluid,ma (pe unitatea de lungime).

Dac se iau n calcul i forele de frecare intern i extern amintite lanceputul acestui capitol, ecuaia de micare capt expresia:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )0

2

2

2

2

4

5

4

4

=

++

+

+

t

t,xvmA

t

t,xvc

x

t,xvN

tx

t,xvI

x

t,xvEI av

a crei rezolvare permite obinerea formulei de calcul pentru coeficientultotaldeamortizare,n:

( )a

v

mA

cIn

++

=2

4

respectiv obinerea formulei de calcul pentrupulsaiileliberenfluid:

+

=

+=

EI

N

mA

A

EI

N

mA

EI

aa202

2 11

Prezenei forelor de frecare determin executarea de ctre bara studiat aunei micri periodice amortizate, caracterizat prin raportuldeamortizare:

- 69 -


70/162


( )

+

+=

=

EI

NmAEI

cIn

a

v

22

4

12

i, n cazul amortizrii subcritice (2 < 1), prinpseudopulsaia:

2221 1 == n ;

Cu ajutorul acestor mrimi, soluia ecuaiei de micare se va scrie:

( ) ( ) ( )+=

tsinTexYt,xvt

10

unde funcia fibrei deformate Y(x) se determin din condiiile de rezemare,iar constantele de integrare To i din condiiile iniiale (t= 0). Avem, prinurmare, o oscilaie liber amortizat.

Masa adiional

Prin mas adiional (sau mas hidrodinamic) se nelege, n general, masade fluid deplasatde bar atunci cnd aceasta din urm execut o micarevibratorie de ncovoiere.

Definiia de mai sus se poate folosi ca atare numai atunci cnd avem osingurbarimersat ntr-unvoluminfinitde fluid.

n cazul unui numr oarecare de bare (paralele) imersate ntr-un fluid (ap)cu volum limitat, masa adiional este afectat att de micarea celorlalte

bare precum i de poziia acestora fa de frontiera fluidului.

Determinri minuioase ale masei adiionale ma pentru o bar cilindric demas mc se pot face msurnd frecvenele de rezonan n aerfaer i n ap

fap, prin prelucrarea crora obine formula de calcul:

= 12

aap

aerca mm

- 70 -


71/162


Plecnd de la aceste rezultate i innd cont de definiia dat anterior, sepoate considera c masa de fluid deplasat este proporional cu volumulcilindrului, adic :

4

2dcm fma =

unde f este densitatea fluidului, d diametrul cilindrului (barei) i cm unfactor, numit adesea i coeficientdemasadiional.

Coeficientul de mas adiional ine cont de condiiile de frontier. n cazul

unui singur cilindru de diametru d, aflat n interiorul unui tub de diametruD,n urma rezolvrii ecuaiilor Navier-Stokes pentru micareaunidimensional (cei doi cilindri se consider ca avnd lungimi infinite), seobine:

22

22

dD

dDcm

+=

Rezolvnd aceleai ecuaii de micare Navier-Stokes dar de data aceasta ncazul micrii bidimensionale a unui singur cilindru poziionat concentric ininteriorul unui tub ncrcat cu fluid, avem:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]aYaaYbJbbJaJaaJbYbbY

aJbYbbYaYbJbbJcm

10101010

110110

=

cu:

cd

a2

= ; cD

b2

=

unde Jm i Ym sunt funciile Bessel de ordinul I i II, = 2 pulsaia bareicilindrice iarc este viteza sunetului n fluidul respectiv.

Formula de calcul se complic semnificativ dac cei doi cilindrii suntexcentrici, i nc i mai mult dac se iau n considerare lungimilelorfinite.

- 71 -


72/162

VIBRAII DE NCOVOIE

Cezar Doca - Incovoierea barelor

Documents

Transcript of Cezar Doca - Incovoierea barelor