Sisteme cu pierderi - continut
• Recapitulare: modelul simplu de trafic
• Modelul Poisson ( numar de clienti, numar de servere
• Aplicatii in modelarea la nivel de flux a traficului de date streaming
• Modelul Erlang ( numar de clienti , n servere unde )
• Aplicatii in modelarea traficului telefonic in trunchiul de retea
• Modelul binomial (clienti: , servere: )
• Modelul Engset (clienti: , servere )
• Aplicatii in modelarea traficului telefonic in retelele de acces
∞ ∞
n < ∞∞
k < ∞ n k=k < ∞ n k<
Modelul simplu de trafic
• Rata de sosire a clientilor in sistem (clienti pe unitatea de timp)
– = timpul mediu intersosiri
• Clientii sunt serviti de un numar n de servere paralele
• Cand un server e ocupat el serveste cu rata (clienti pe unitatea de timp)
– = timpul mediu de servire al unui client
• Exista pozitii pentru clienti in sistem
– Cel putin n pozitii de servire si cel mult m pozitii de asteptare
• Clientii blocati (care sosesc atunci cand sistemul este plin) sunt pierduti
1/ λλ
1/ μμ
n m+
Sistemul infinit
• Numar infinit de servere , fara pozitii de asteptare
– Nici un client nu e pierdut sau nici macar nu are de asteptat pentru a fi servit
• Uneori,
– Acest tip de sistem ipotetic poate fi utilizat pentru a obtine rezultateaproximative referitoare la comportamentul unui sistem real ( cu capacitate finita)
• Intotdeauna ,
– ofera limitele in ceea ce priveste performanta unui sistem real (cu capacitate finita a sistemului)
– Este mult mai usor de a analiza dupa aceea modelele de capacitate finita
n = ∞ 0m =
Sisteme pure cu pierderi
• Numar finit de servere , n pozitii de servire, fara pozitii de asteptare
( ).
– Cand sistemul e plin (cu toate cele n servere ocupate ) in momentul sosiriiunui client acesta e pierdut
• Din punctul de vedere al clientilor este important de stiu
– Care este probabilitatea ca sistemul sa fie plin cand el soseste?
0m =n < ∞
Modelul Poisson
• Definitie: Modelul Poisson reprezinta urmatorul model simplu de trafic:
– Infinit numar de clienti independenti:
– Timpii intersosiri sunt variabile IID si au o distributie exponentiala de medie:
• Deci clientii sosesc potrivit unui proces poisson de intensitate
– Numar infinit de servere:
– Timpii de servire sunt variabile IID distribuite exponential de medie
– Nu exista pozitii de asteptare:
• Modelul Poisson:
– Utilizand notatia Kendal acesta este o coada de asteptare de tipul
– Sistem infinit si deci fara pierderi
• Notatii:
– = intensitatea traficului
1/ μ
k = ∞
/ /M M ∞
1/ λ
n = ∞
λ
0m =
/ /M M ∞
/A = λ μ
Diagrama tanzitiilor de stare
• Fie numarul de clienti in sistem la momentul t
– Sa presupunem ca la un anumit moment de timp t si
sa consideram ce se intampla pe un interval scurt de timp
• Poate sosi un nou client cu probabilitatea ceea ce determinao tranzitie
• Daca , atunci cu probabilitatea un client poateparasi sistemul ceea ce determina o tranzitie:
• Procesul este in mod clar un proces Markov cu urmatoarea diagrama a tranzitiilor:
• Procesul este un proces de nastere si moarte ireductibil cu un spatiu al starilor infinit
1i i→ +
( )X t
{0,1,2, }S = …
( )h o hλ +( , ]t t h+
0i > ( )i h o hμ +
( )X t i=
1i i→ −
( )X t
( )X t
Probabilitatea de stare (1)
• Ecuatiile echilibrelor locale (LBE)
• Relatia de normare:
1
1
0
( 1)
( )( 1) 1
, 0,1,2,!
i i
i i i
i
i
i
ALBE
i i
Ai
i
+
+
π λ = π + μ
λπ = π = π
+ μ +
π = π = …
( )
00 0
1
1
00
1 ( )!
!
!
i
ii i
iA A
i
iA
i
AN
i
Ae e
i
Ae
i
∞ ∞
= =−∞
− −
=
−
π = π =
⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ π = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒ π =
∑ ∑
∑
Probabilitatea de stare (2)
• Probabilitatea de stare respecta o distributie de tip Poisson:
• Observatie: PROBABILITATEA DE STARE nu depinde de distributia timpul de servire
– inseamna ca e valida pentru orice distributie a timpilor de servire de medie
– Aceasta inseamna ca in locul modelului putem considera unul maigeneral / /M G ∞
2
( )
{ } , 0,1,2,!
[ ] , [ ]
iA
i
X Poisson A
AP X i e i
i
E X A D X A
−= = π = =
= =
∼
…
1/ μ/ /M M ∞
Aplicatie: modelarea traficului de date la nivel de flux
• Modelul Poisson poate fi aplicat pentru modelarea traficului de date la nivel de flux
– Clientul: fluxul UDP cu rata constanta a bitilor (CBR)
– = rata de sosire a fluxului(numarul de fluxuri pe unitatea de timp)
– = durata medie a fluxului (unitati de timp)
– = intensitatea traficului
– r = rata bitilor in cadrul unui flux (unitati de date pe unitati de timp)
- N = numarul de fluxuri din sistem• Cand rata totala de transmisie depaseste capacitatea liniei
se pierd biti
– Raportul de pierdere da raportul intre traficul pierdut si cel oferit:
/A = λ μ
λ
1
[( ) ] [( ) ] 1( )
[ ] [ ] !
iA
lossi n
E Nr C E N n Ai n e
E Nr E N A i
∞+ +−
= +
− −ρ = = = −∑
1/h = μ
lossρ
C nr=Nr
Multiplexing gain
• Se determina in cele ce urmeaza valoarea traficului A astfel incat
• Multiplexing gain este data de intensitatea traficului pe unitatea de capacitate
(trafic normalizat) ca functie de capacitatea n.
1%lossρ </A n
Modelul Erlang
• Definitie: Modelul ERLANG reprezinta urmatorul model simplu de trafic:
– Infinit numar de clienti independenti:
– Timpii intersosiri sunt variabile IID si au o distributie exponentiala de medie:
• Deci clientii sosesc potrivit unui proces Poisson de intensitate
– Numar finit de servere:
– Timpii de servire sunt variabile IID distribuite exponential de medie
– Nu exista pozitii de asteptare:
• Modelul Erlang:
– Utilizand notatia Kendall acesta este o coada de asteptare de tipul
– Sistem cu pierderi pur
• Notatii:
– = intensitatea traficului
1/ μ
k = ∞
/ / /M M n n
1/ λ
n < ∞
λ
0m =
/ / /M M n n
/A = λ μ
Diagrama tanzitiilor de stare
• Fie numarul de clienti in sistem la momentul t
– Sa presupunem ca la un anumit moment de timp t si
sa consideram ce se intampla pe un interval scurt de timp
• Poate sosi un nou client cu probabilitatea ceea ce determina o tranzitie
• Daca , atunci cu probabilitatea un client poate parasisistemul ceea ce determina o tranzitie:
• Procesul este in mod clar un proces Markov cu urmatoarea diagrama a tranzitiilor:
• Procesul este un proces de nastere si moarte ireductibil cu un spatiu al
starilor finit
1i i→ +
( )X t
{0,1,2, , }S n= …
( )h o hλ +( , ]t t h+
0i > ( )i h o hμ +
( )X t i=
1i i→ −
( )X t
( )X t
Probabilitatea de stare (1)
• Ecuatiile echilibrelor locale (LBE)
• Relatia de normare:
1
1
0
( 1)
( )( 1) 1
, 0,1,2, ,!
i i
i i i
i
i
i
ALBE
i i
Ai n
i
+
+
π λ = π + μ
λπ = π = π
+ μ +
π = π = …
00 0
1
00
1 ( )!
!
n ni
ii i
ni
i
AN
i
A
i
= =−
=
π = π =
⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ π =⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑
∑
Probabilitatea de stare (2)
• Probabilitatea de stare respecta o distributie de tip Poisson trunchiata:
• Observatie: PROBABILITATEA DE STARE nu depinde de distributia timpului de servire
– inseamna ca e valida pentru orice distributie a timpilor de servire de medie
– Aceasta inseamna ca in locul modelului putem considera unul
mai general / /M G ∞
0
2
!{ } , 0,1,2,
!
[ ] , [ ]
i
i nj
j
AiP X i iAj
E X A D X A
=
= = π = =
= =
∑
…
1/ μ
/ /M M ∞
Formula Erlang -A
Face posibila calcularea probabilitatii de ocupare succesiva a i resurse dintr-un grupde n resurse , caruia i se ofera traficul A de natura Poissoniana.
Formula Erlang-A
Aplicatie: Se calculeaza succesiv probabilitatea de a avea ocupate 0,1,2,……n elemente pastrand de fiecare data acelasi volum de trafic oferit A (=5)
0
!{ } , 0,1,2, ,
!
i
i nj
j
AiP X i i nAj=
= = π = =
∑
…
Formula Erlang –A- Modelul de trafic Erlang- sau PCT1(Pure chance traffic..)
iπ
0
!{ } , 0,1,2, ,
!
i
i nj
j
AiP X i i nAj=
= = π = =
∑
…
0,018384510
0,0567699
0,06618438
0,1058957
0,1482536
0,17790575
0,17790574
0,1423253
0,08539382
0,05415751
0,00683150
i
Formula Erlang -A
• Aplicatie: Acelasi volum de trafic (A=5) este oferit unor sisteme de numai 4 respectiv 5 resurse
• Situatiile de prelucrare cu A/n>1
• Duc la un volum important de trafic pierdut:
• 39,8% pt n=4 si 28,48% pt i=5
• In cazul n=10 traficul pierdut era de 1,8%
E(n,A)=
0,28483
5
0,28483E(n,A)=
0,39816
4
0,227850,318493
0,136730,191122
0,054690,076451
0,010930,015290
n=5n=4
Capac sistemului
Stareagrupului
de resurse
Blocarea de timp
• Blocarea de timp proabilitatea ca toate cele n servere sa fie ocupate la un moment de timp arbitrar = fractiunea de timp cat cele n servere sunt ocupate.
• Pentru un proces stationar Markov aceasta e data de probabilitatea starii n a sistemului ( probabilitatea ca sistemul sa se afle in starea n):
tB
0
!: { }
!
n
t n nj
j
AnB P X nAj=
= = = π =
∑
Blocarea de apel
• Blocarea de apel = este proabilitatea ca un nou client care soseste sa gaseascatoate cele n servere ocupate = fractiunea de clienti care sosesc si sunt pierduti.
• Totusi datorita sosirilor de tip Poisson si proprietatii PASTA probabilitatea ca un client care soseste sa gaseasca toate cele n servere ocupate este egala cu probabilitateaca toate cele n servere sa fie ocupate la un moment dat de timp,
• Altfel spus, blocarea de apel este egala cu blocarea de timp:
• Aceasta reprezinta formula de blocarea Erlang sau formula Erlang B.
cB
0
!
!
n
C t nj
j
AnB BAj=
= =
∑
Formula Erlang-B
Relatii de calcul iterativ:
• Unde 1( , )c nB E n A=
1
1 1
(0, ) 1
1 11
( , ) ( 1, )
E A
k
E k A A E k A
=
= +−
Formula Erlang-B
Numarul mediu de cereri prezente in sistem masoara de fapt traficul scursde sistemul de prelucrare si se calculeaza cu:
• Atat traficul scurs cat si cel pierdut nu mai au caracter Poissonian
00 0
1
1
!
(1 ( , ))
( , )
[...]
[...]
n nk
kk k
AB n k k
k
B A E n A
C AE n A
VarZ factor de iregularitate
E
= == = π = π
= −=
=
∑ ∑
2,180,6171Factor de iregularitate
2,085,279,5varianta
0,968,549,5medie
Trafic pierdutTrafic scursTrafic oferit
Aplicatie: modelarea traficului telefonic in trunchiul de retea
• Modelul Erlang poate fi aplicat pentru modelarea traficului telefonic intr-un trunchide retea unde numarul potentialilor utilizator este mare.
– Clientul: apelul
– = rata de sosire a apelului (apeluri pe unitatea de timp)
– = durata medie de mentinere a apelului (unitati de timp)
– = intensitatea traficului
– n = capacitatea liniei (numarul de canale)
• Un apel este pierdut cand toate cele n canale sunt ocupate cand soseste un nouapel.
– Blocarea de apel da probabilitatea unui astfel de eveniment
/A = λ μ
λ1/h = μ
0
!
!
n
c nj
j
AnBAj=
=
∑
Multiplexing gain
• Se determina in cele ce urmeaza valoarea traficului A astfel incat
• Multiplexing gain este data de intensitatea traficului pe unitatea de capacitate
(trafic normalizat) ca functie de capacitatea n.
1%cB </A n
Modelul Binomial
• Definitie: Modelul binomial reprezinta urmatorul model simplu de trafic:
– Numar finit de clienti independenti:
• Clienti de tip on-off( altermand intre activitate si inactivitate)
– Timpii de inactivitate sunt variabile IID si au o distributie exponentiala de medie:
– Numarul de servere este egal cu numarul de clienti :
– Timpii de servire sunt variabile IID distribuite exponential de medie
– Nu exista pozitii de asteptare:
• Modelul Binomial :
– Utilizand notatia Kendall acesta este o coada de asteptare de tipul:
– deasemena un sistem finit fara pierderi (lossless)
• Tipul de client on-off:
1/ μ
k < ∞
/ / / /M M k k k
n k=1/ υ
0m =
/ / / /M M k k k
• Un observator plasat la intrarea sistemului vede ca rata de sosire a cererilor de la grupul celor k surse scade pe masura ce creste numarul cererilor in curs de prelucrare. La limita daca sistemul este ocupat cu prelucrarea unui numar k de apeluri simultane inseamna ca toate sursele sunt in sarcina si nu mai soseste nici o cerere noua. Deci rata globala λ a grupului surselor este o functie de numarul de cereri de serviciu, adica de starea sistemului.
• Totusi fiecare sursa are o rata de emisie proprie, care este constanta siindependenta de starea mediului inconjurator. Acest parametru notat poate fidefinit si ca rata medie de emisie a unei cereri individuale de serviciu. Inseamna ca
reprezinta durata medie de stationare a unitatii cerere in sursa de cereri.
υ
1/ υ
( )n
n
k n
n
λ = − υ
μ = μ
Tipul de client on-off (1)
• Fie variabila care reprezinta starea clientului j ( ) la momentul t
– Starea 0 = inactiv, starea 1 = activ = in servire
– Consideram ceea ce se intampla pe un interval scurt de timp :
• Daca , atunci cu probabilitatea
clientul poate deveni activ ceea ce determina o tranzitie
• Daca , atunci cu probabilitatea
clientul devine inactiv ceea ce determina o tranzitie:
• Procesul este in mod clar un proces Markov cu urmatoarea diagrama a tranzitiilor:
• De notat ca procesul este un proces de nastere si moarte ireductibil cu un spatiu al starilor finit
1 0→
( )jX t {0,1,2, , }j k= …
( )h o hυ +( , ]t t h+
( ) 0jX t =
( )h o hμ +0 1→
( ) 1jX t =
( )jX t
( )jX t
{0,1}S =
Tipul de client on-off (2)
• Ecuatiile echilibrelor locale (LBE)
• Relatia de normare (N):
• Probabilitatea de stare a unui singur client respecta o distributie Bernoulli cu probabilitatea succesului
– Traficul oferit este
• Putem deduce de aici ca probabilitatea de stare a intregului sistem respecta o distributie binomiala
/ ( )υ υ+μ
( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 0
j j j jυπ υ = π μ ⇒ π = π
μ
0 1 0 0 1(1 ) 1 ,j j j j jυ μ υπ + π = π + = ⇒ π = π =
μ υ+μ υ+μ
/ ( )υ υ+ μ
( , / ( ))Bin k υ υ+μ
!( ) (1 ) ,
!( )!
1
i i n i in n
nP X i C p p C
i n i
p
p
−= = − =−
ν=ν + μ
μ− =
ν + μ
( , ); ( , / ( ))Bin n p Bin k υ υ+μ
Diagrama tanzitiilor de stare
• Fie numarul de clienti activi in sistem
– Sa presupunem ca la un anumit moment de timp t si
sa consideram ce se intampla pe un interval scurt de timp
• Daca atunci cu probabilitatea un client inactiv poate devine activ ceea ce determina o tranzitie
• Daca , atunci cu probabilitatea un client activ poatedeveni inactiv, ceea ce determina o tranzitie:
• Procesul este in mod clar un proces Markov cu urmatoarea diagrama a tranzitiilor:
• Procesul este un proces de nastere si moarte ireductibil cu un spatiu al starilor finit
•
1i i→ +
( )X t
{0,1,2, , }S k= …
( ) ( )k i h o h− υ +( , ]t t h+
0i > ( )i h o hμ +
( )X t i=
1i i→ −
( )X t
i k<
( )X t
Probabilitatea de stare (1)
• Ecuatiile echilibrelor locale (LBE)
• Relatia de normare:
1
1
0 0
( ) ( 1)
( )( )
( 1)
!0,1,2, ,
!( )!
i i
i i
i ii
i k
k i i
k iLBE
i
kC i k
i k i
+
+
π − υ = π + μ
− υπ = π
+ μ
υ υ⎛ ⎞ ⎛ ⎞π = π = π =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− μ μ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
…
00 0
1
00
1 ( )
1
k k ii
i ki i
k i k kik
i
C N
C
= =−
−
=
υ⎛ ⎞π = π =⎜ ⎟μ⎝ ⎠
⎛ ⎞υ υ μ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ π = = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟μ μ υ+μ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
∑ ∑
∑
Probabilitatea de stare (2)
• Probabilitatea de stare respecta o distributie de tip Binomiala:
• Observatie: PROBABILITATEA DE STARE nu depinde de distributia timpul de servire
– inseamna ca e valida pentru orice distributie a timpiloe de servire de medie
– Aceasta inseamna ca in locul modelului putem considera unulmai general / /M G ∞
( )22
( , ) ( , )
{ } ,
0,1, ,
[ ] ( ) , [ ] (1 )( )
i k i k ii i
i k k
X Bin k vezi Bin n p
P X i C C
i k
k kE X np D X np p k
−
υυ+μ
υ μ υ μ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = π = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ υ+μ υ+μ υ+μ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
υ υ μ υμ= = = − = =
υ+μ υ+μ υ+μ υ+μ
∼
…
1/ μ
/ /M M ∞
Modelul Engset
• Definitie: Modelul Engset reprezinta urmatorul model simplu de trafic:
– numar finit de clienti independenti:
• Clienti de tip on-off( altermand intre activitate si inactivitate)
– Timpii de inactivitate sunt variabile IID si au o distributie exponentiala de medie:
– Numarul de servere este mai mic decat numarul de clienti :
– Timpii de servire sunt variabile IID distribuite exponential de medie
– Nu exista pozitii de asteptare:
• Modelul Engset:
– Utilizand notatia Kendall acesta este un sistem de tipul
– Sistem cu pierderi pur
• Tipul de client on-off:
• Daca sist e plin cand un client inactiv incearca sa devina activ, starteaza o nouaperioada de inactivitate
1/ μ
k < ∞
/ / / /M M n n k
n k<1/ υ
0m =
/ / / /M M n n k
Diagrama tanzitiilor de stare
• Fie numarul de clienti activi in sistem
– Sa presupunem ca la un anumit moment de timp t si
sa consideram ce se intampla pe un interval scurt de timp
• Daca atunci cu probabilitatea un client inactiv poate devine activ ceea ce determina o tranzitie
• Daca , atunci cu probabilitatea un client activ poatedeveni inactiv ceea ce determina o tranzitie:
• Procesul este in mod clar un proces Markov cu urmatoarea diagrama a tranzitiilor:
• Procesul este un proces de nastere si moarte ireductibil cu un spatiu al starilor finit
1i i→ +
( )X t
{0,1,2, , }S n= …
( ) ( )k i h o h− υ +( , ]t t h+
0i > ( )i h o hμ +
( )X t i=
1i i→ −
( )X t
i n<
( )X t
Probabilitatea de stare (1)
• Ecuatiile echilibrelor locale (LBE)
• Relatia de normare:
1
1
0 0
( ) ( 1)
( )( )
( 1)
!0,1,2, ,
!( )!
i i
i i
i ii
i k
k i i
k iLBE
i
kC i n
i k i
+
+
π − υ = π + μ
− υπ = π
+ μ
υ υ⎛ ⎞ ⎛ ⎞π = π = π =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− μ μ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
…
00 0
1
00
1 ( )
n n ii
i ki i
n iik
i
C N
C
= =−
=
υ⎛ ⎞π = π =⎜ ⎟μ⎝ ⎠
⎛ ⎞υ⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ π = ⎜ ⎟⎜ ⎟μ⎝ ⎠
⎝ ⎠
∑ ∑
∑
Probabilitatea de stare (2)
• Probabilitatea de stare respecta o distributie de tip Binomiala trunchiata:
• Observatie: traficul oferit este
• PROBABILITATEA DE STARE nu depinde de distributia timpul de servire si a timpilor de inactivitate
– inseamna ca e valida pentru orice distributie a timpilor de servire de medie
– Si orice distributie a timpilor de inactivitate
– Aceasta inseamna ca in locul modelului putem considera unulmai general / / / /G G n n k
{ } , 0,1, ,
i i k iik
ii k n nj j k j
j jk k
j o j o
C
P X i C i n
C C
−
−
= =
υ υ μ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ υ+μ υ+μ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = π = = =
υ υ μ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ υ+μ υ+μ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑
…
/ ( )kυ υ+μ
/ / / /M M n n k
1/ μ1/ υ
Blocarea de timp
• Blocarea de timp = proabilitatea ca toate cele n servere sa fie ocupate la un moment de timp arbitrar = fractiunea de timp cat cele n servere sunt ocupate.
• Pentru un proces stationar Markov aceasta e data de probabilitatea starii n a sistemului ( probabilitatea ca sistemul sa se afle in starea n):
tB
0
: { }
nnk
t n n jj
kj
C
B P X n
C=
υ⎛ ⎞⎜ ⎟μ⎝ ⎠= = = π =
υ⎛ ⎞⎜ ⎟μ⎝ ⎠
∑
Blocarea de apel (1)
• Blocarea de apel este probabilitatea ca un nou client care soseste sa gaseasca toate cele n servere ocupate = fractiunea de clienti care sosesc si sunt pierduti.– In cadrul modelului Engset sosirile nu reprezinta un proces Poisson si
ca atare nu se poate aplica proprietatea PASTA .
– probabilitate de stare pe care un client care soseste o vede difera de cea de echilibru statistic. Altfel spus, blocarea de apel nu este egalacu blocarea de timp in cadrul modelului Engset.
cB
0
!
!
n
C t nj
j
AnB BAj=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
Blocarea de apel (2)
• Fie probabilitatea de a avea i clienti activi in sistem cand un client inactivdevine activ ( ceea ce numim o sosire)
• Consideram un interval lung de timp– Pe durata acestui interval timpul mediu petrecut in starea i este
– Pe durata acestui interval numarul mediu de clienti care sosesc ( care vad totisistemul in starea i ) este
– Pe durata intregului interval, numarul mediu de clienti care sosesc este
• Astfel:
*iπ
( ) jj k j T− υπ∑
i Tπ
( ) ik i T− υπ
(0, )T
*
0 0
( ) ( ), 0,1, ,
( ) ( )
i ii n n
j jj j
k i T k ii n
k j T k j= =
− υπ − ππ = = =
− υπ − π∑ ∑
…
Blocarea de apel (3)
• Se poate demonstra ca:
• Daca exprimam explicit dependenta acestor probabilitati de numarul total de consumatori gasim:
• Altfel spus un client care soseste vede un sistem in echilibru statistic in care exista cu un client mai putin.
*( ) ( 1), 0,1, ,i ik k i nπ = π − = …
1*
10
0,1, ,
iik
i n jj
kj
C
i n
C
−
−=
υ⎛ ⎞⎜ ⎟μ⎝ ⎠π = =
υ⎛ ⎞⎜ ⎟μ⎝ ⎠
∑
…
Blocarea de apel (2)
• Alegand obtinem urmatoarea formula pentru probabilitatea de apel:
• Astfel, pentru Modelul Engset blocarea de apel intr-un sistem cu k consumatoriegaleaza blocarea de timp dintr-un sistem cu consumatori:
• Aceasta este formula de blocare Engset
i n=
1k −
*( ) ( ) ( 1) ( 1)c n n tB k k k B k= π = π − = −
1
10
( )( ) ( 1)
( )
n nk
c t n
j jk
j
CB k B k
C
−
−=
υμ= − =υμ∑
Aplicatie: modelarea traficului telefonic in retelele de acces
• Modelul Engset poate fi aplicat pentru modelarea traficului telefonic in retelele de acces in care numarul de potentiali utilizatori ai unei legaturi este moderat
– Clientul: apelul
– = rata de sosire a apelului per utilizator inactiv (apeluri pe unitateade timp)
– = timpul mediu de mentinere a apelului (unitati de timp)
– = numarul de potentiali utilizatori
– n = capacitatea liniei ( canalele)
• Un apel este pierdut cand toate cele n canale sunt ocupate cand soseste apelul
– Blocarea de apel da probabilitatea unui astfel de eveniment
1/ μ
υ
1
10
nnk
c n jj
kj
C
B
C
−
−=
υ⎛ ⎞⎜ ⎟μ⎝ ⎠=
υ⎛ ⎞⎜ ⎟μ⎝ ⎠
∑
cB
k
Multiplexing gain
• Se presupune ca o linie de acces este incarcata de de potentialiutilizatori
• Se determina in cele ce urmeaza intensitatea traficului astfel incat
• Multiplexing gain este data de intensitatea traficului pe unitatea de capacitate
(trafic normalizat) ca functie de capacitatea n.
1%cB </ ( )kυ υ+μ
100k =
/ ( ( ))k nυ υ+μ