Miacarea in Camp Central de ForteProblema celor doua corpuri

Ne propunem determinarea ecuatiilor demiscare pentru doua corpuri de mase m1

si m2 care interactioneaza unul cu altulprin intermediul unui camp central de forta.

Camp central

2121

21 r-rrr-rr-rr;rrrF

;ˆˆˆ)(rr

rUf

21

21 rrRmmmm

21

Dorim deci , exprimarea vectorilor si ca functii de si 1r 2r r R

Informatii mai bune putem obtine exprimandpozitia centrului de masa (CM)

)()(

2

1

2

21

21

21

rrRr-rr

mm

mmm

2

21

21

2 )(m

mmmm

m Rrr1

rRr21

1

mmm

2rRr21

2

mmm

1

Functia Lagrange pentru sistem devine:Functia Lagrange pentru sistem devine:

21

212

221

21

);(22

)(21

21

mmMrUMmm

Mmm

rUmmL

rRrR

rr 22

21

notandnotand21

21

mmmm

masa redusamasa redusa a sistemuluia sistemului

)(21

21 rUML 22 rR

Aceleasi rezultatele obtinem alegand CM ca noua origine a sistemuluiAceleasi rezultatele obtinem alegand CM ca noua origine a sistemului

Rrr

Rrr

2'2

1'1 Teorema lui König

0'22

'11 rr mm

notand

'2

'1

21

rrrrr 21

mmM

rr 2'1 M

m rr 1'

2 Mm

)(21

21 rUML 22

CM rV

)(21

21 rUML 22 rR

a)a)

0

R

RRL

ML 0

RRLL

dtd

0R Mconst.M R

Total

212121

pR

pprrrrR

M

mmmmmmMM 21

21

21

21Total ppp Impulsul total se conserva

rrr

rr

ˆrU

rrUL

L

b)b)

0

rrLL

dtd

0rr

ˆrU

Observam ca a) si b) nu sunt cuplate si deci miscarea CM R(t) este decuplatade miscarea relativa r(t)

Miscarea a doua puncte materiale care interactioneaza intre ele , se reduce la problema miscarii unui punct de masa μ intr-un camp exterior

Putem ignora miscarea CM (R(t))

Sistemul campului central de forta are simetrie sferica

Se poare roti in jurul oricarei axe ce trece prin origine

Simetrie rotationala•Lagrangianul nu depinde de directie

)()( rUTL 2r

Momentul unghiular se conserva.prL const

0)( rprrL

Lr Traiectoria r(t) este continuta in intregime intr-un plan ortogonal cu L

Putem parametriza traiectoria r(t)In termenii coord. polare

eer ˆˆ rr r

Lagrangianul in coordonate polare va fi: )(21 222 rUrrL

Observam ca φ este coordonata ciclica, momentul sau conjugat pφ se conserva

lrLp

2 Marimea momentului unghiular

Introducem notiunea de” viteza areolara”

Legea a II a a lui Kepler:Vectorul de pozitie al unei planete matura arii egale in intervale de timp egale

drrdrdA 2

21)(

21

.21

21 2 constlr

dtdA

Miscarea planetei estemai rapida cand orbita estemai apropiata de origine

viteza areolara

Stabilim ecuatia Lagrange 00 2

rUrr

rL

rL

dtd

2rl

03

2

rU

rlr

Forta centrifuga

Forta centrala

)(2

)( 2

2

rUr

lrU ef

insa rdrrd

dtdr

drrd

dtrdr

rU

rlr

drrd

3

2

ErUr

lrdrrU

rlrdr

)(21

21

2

22

3

2

E= constanta de integrare)(

21

21

2

22 rU

rlrE

Conservarea energiei )(21)( 222 rUrrrUTE

03

2

rU

rlr

Din ecuatia Lagrange

2

2

21)(

rlrU

drdr

Inmultind cu r

2

2

21)(

rlrU

drdrrr

2

21 r

dtdrr deoarece

dtd

drd

dtdr

drdr

021)(

21

2

22

rlrUr

dtd

Astfel .

21)(

21

2

22 const

rlrUr

deoarece22

22

2

2

rr

l

.)(21)( 222 constrUrrrUTE

rrU

r ef

)(

)(21 2 rUrE ef

Ecuatia Lagrange devine:

Energia:

Miscarea unei particule intr-un potential efectiv

)(2 rUEdtdrr ef

)()(2

0

trconstrUE

drtr

ref

dtd

rl

2

00

2)]([)(

t

dttr

lt

Pentru valori date ale E si l (marimi care se conserva) cautam r(φ) :

efUErl

ddr

ddrr

2

2 )(

)(20

2rconstdr

UErlr

r ef

Ecuatia traiectoriei

drUEr

lr

r ef

max

min)(22

)1,(;2 mnmn

2nm

Conditia de”inchidere” a traiectoriei(raza vectoare a punctului, dupa ce a efectuat m rotaii complete, isi varegasi valoarea initiala)

2)(

krrk

rU

r are semnificatie fizica daca )(rUE ef

•valorile lui r pentru care )(rUE ef definesc limitele intervalului de valori permise in timpul miscarii•punctul in care 0r =punct de intoarcere•daca rmin este o radacina pozitiva a ec.

)(rUE ef si sunt permise pentru r toate radacinile cuprinse intre (rmin,∞) si daca r0>rmin misc. particulei este nelimitata

•daca ecuatia )(rUE ef are radacini distincte si pozitive,rmin< rmax si daca in intervalul

],[ maxmin rrr este verificata inegalitatea

)(rUE ef atunci miscarea estelimitata•Intreaga traiectorie este continutaintr-o coroana circulara

Ecuatia diferentiala a orbiteiAm gasit forma generala pentru r=r(φ) sau r r(t) si cateva constante E, l etc.si cautam r=r(φ) eliminand parametrul timp, ceea ce inseamna ecuatia orbitei.

lr 2 ldtdrldtdr 22

dd

rl

dtd

2

dd

rl

dd

rl

dtd

222

2

)(3

2

rfrU

rlr

Inlocuind in ecuatia Lagrange

)(13

2

22 rfr

lddr

rl

dd

r

Insa

rdd

ddr

r11

2 si introducand

ru 1

rezulta

ufu

dudul 12

222

deoarece drd

udrd

ddr

dud

2

1

uU

dud

lu

dud 1

22

2

rezulta

Ec.diferentiala a orbitei (ecuatia Binet) daca se cunosc f sau U

2

222

2)(2)(2

rlrUEr

ldr

rUEr

ldrd

ef

Pentru un potential oarecare

0

22220

122

r

r

rlU

lEr

dr Ecuatie ce da φ ca functie de r si constantele E, l, r0

u

u ul

Ul

Edu

0 222

0 22

Facand schimbarea de variabila ru 1

Ecuatia formala a orbitei

Problema lui Kepler

rkrU

rkrf )()( 2

2

2

2 rml

rkU ef

uf

ulmu

dud 1

222

2

uU

dud

lmu

dud 1

22

2

22

2

lmku

dud

Facem schimbarea de variabila 2lmkuy

02

2

yd

yd

)'cos( CyC,φ’ =const. de integrare

)'cos(112

lmk

rmklC2

notam

2

22

0 22 ulmU

lmE

du

insa

acb

cxbccxbxa

dx

42arccos1

22;2

2lmEa ;2

2lmkb 1c

22

24

22

2

222

222u

lmk

lkm

lmE

du

ulmku

lmE

dud

2

4

22

2

24

22

2

21

2

1

lkm

lmE

ulmk

du

lkm

lmE

cos

dlkm

lmEdu sin2

2

22

2

dsinsin

4

22

2

2

2)'cos(cos

lkm

lmE

ulmk

ru 1

deoarece

2

2

2

21

1arccos'

mkEl

mkul

)'cos(1)'cos(211122

2

2

lmk

mkEl

lmk

ru

Ecuatia generala a conicei (ε fiind excentricitatea)

cercl

mkE

elipsaEparabolaEhiperbolaE

:2

,0

:0,1:0,1:0,1

2

2

Energie si excentricitate E=0 separa orbitele nemarginite de cele marginite

Hiperbola

Parabola

Elipsa

Cerc

Emrl

rkrU ef 2

0

2

00 2)(

030

2

200

mrl

rk

drdU

r

ef2

2

2lmkE

Orbite nemarginite

Orbite marginite

E>0

E=0

E<0

Orbite nemarginite)( min1min1 rUErrEE ef

1

hiperbola

1

parabola

1-)'cos( limiteaza valoarea lui θ

Orbite marginitemaxmin2 rrrEE

2b

2a 11

2lmk

r

mElab

21

22

Ek

mkla

211

11

2

2

Lungimea axei mari

Lungimea axei mici

Aria orbitei 3

22

8mEklbaA

pericentru apocentru

apside

Viteza areolara mlr

dtdA

22

21

Perioada de rotatie 23

3

2

22

akm

Emk

dtdAATrot

Legea a treia a lui Kepler

daca22 r

MmGrkf

MmGaa

kTrot

12;2 2

323

este acelasi pentrutoate planetele daca M>>m

Orbita eliptica a unei comete

planeta

Soare

perihelion

aphelion