Limbile
Pagini
Legal
Mircea FIANU Marius PERIANU loan BALICA Dumitru SA VULESCU
Matematica clasa a VIII -a
II
Mircea FIANU Marius PERIANU loan BALICA Dumitru SAVULESCU
C l u b u l m a t e m a t i c i e n i l o r e s t e u n p r o i e c t d e z v o l t a t d e G r u p u l E d i t o r i a l A r t .
C o p y r i g h t 2 0 1 2
T o a t e d r e p t u r i l e a s u p r a a c e s t e i l u c r a r i a p a r t i n e d i t u r i i .
R e p r o d u c e r e a i n t e g r a l a s a u p a r t i a l a a c o n t i n u t u l u i l u c r a r i i
e s t e p o s i b i l a n u m a i c u a c o r d u l p r e a l a b i l s c r i s a l e d i t u r i i .
R e f e r e n f i ~tiinfifici:
p r o f . d r d . L i v i a H a r a b a g i u
p r o f . g r . I M i r c e a P o p e s c u
p r o f . g r . I L i v i u A d r i a n S t r o i e
T e h n o r e d a c t a r e :
C o r n e l D r a g h i a
C o p e r t a :
A l e x a n d r u Da~
T i p a r i t l a C . N . L , C o r e s i " S . A .
D e s c r i e r e a C I P e s t e d i s p o n i b i l a ! a B i b l i o t e c a n a t i o n a l a a R o m a n i e i
I S B N 9 7 8 - 9 7 3 - 1 2 4 - 7 1 6 - 8
P e n t r u c o m e n z i v i i p u t e t i a d r e s a :
D e p a r t a m e n t u l u i D i f u z a r e
C . P . 2 2 , O . P . 8 4 , c o d 0 6 2 6 5 0 , s e c t o r 6 , Bucure~ti
t e l e f o n
0 2 1 . 2 2 4 . 1 7 . 6 5
0 7 2 1 . 2 1 3 . 5 7 6
0 7 4 4 . 3 0 0 . 8 7 0
S e a c o r d a i m p o r t a n t e r e d u c e r i .
~-- =
Cuprins
Cap. 1 - Func,ii 1.1. No~iunea de func~ii .............. .. .... ....... .. .................................................. ......... .. .. 7 1.2. Func~ii definite pe mul~im i fin ite ................................................................. 13 1.3. Func~ia f : lR ~ JR, f(x) = ax +b, a, b E lR ................................................. 17
Teste de evaluare.................................................. ............ ...................................... 25 1.4. Probleme cu caracter aplicativ ............................... ............. ........ .................. 30 1.5. Probleme pentru performan~a ~colara ~i olimpiade ............................ 34
Cap. 2 - Ecua,ii, inecua'ii Ji sisteme de ecua,ii 2.1. Ecua~ii echivalente cu ecua~ia de forma ax + b = 0, a, b E lR .............. 41 2.2. Ecua~ia de gradul intilii cu doua necunoscute ......................................... 45 2.3. Sisteme de doua ecua~ii de gradull cu doua necunoscute ................ 48 2.4. Ecua~ia de gradul al doilea cu o necunoscuta........................................... 51 2.5. lnecua~ii de gradul intai cu o necunoscuta ....... ............ ........................... 56 2.6. Probleme care se rezolva cu ajutorul ecua~iilor, inecua~iilor ~i al
sistemelor de ecua~ii .. ......... . .......... .... ...... ... . . ..... .. . . . .. .. . ... .. .. ... .. .. ... .. ...... . .. ... ... ... . 59 2.7. Probleme pentru performan~a ~colara ~i olimpiade ............................ 62
Cap. 3 - Poliedre 3.1. Prisma dreapta. Paralelipipedul dreptunghic ............ .. ........ ................ . . 67 3.2. Cubul ......................... .... ....................................... ............................................... ... . 70 3.3. Prisma regulata ...................................................... ..... .................. ........... .......... . 73
Teste de evaluare ............................................... .................................................... . 76 3.4. Piramida regulata .................................................. .. ............................ .............. . 77
= 3.5. Trunchiul de pi ram ida regulata ...................... ............................................. . Teste de evaluare ........................................... ........................................................ .
83 87 1
3.6. Probleme cu caracter aplicativ ..................................................................... . 88 > "' 3.7. Probleme pentru performan~a ~colara ~i olimpiade ........................... . 91 "' Vl "' u
C:C v
Cap. 4 - Corpuri rotunde 4.1 . Cilindrul ................................. ................................................................. ............... .
i= c:c
91 :!!: w ...
4.2. Conul circular drept ........ .................................................................................. . 101 c:c :!!:
3
4 . 3 . T r u n c h i u l d e c o n c i r c u l a r d r e p t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 O S
4 . 4 . S f e r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 9
T e s t e d e e v a l u a r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2
4 . 5 . P r o b l e m e c u c a r a c t e r a p l i c a t i v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4
4 . 6 . P r o b l e m e p e n t r u p e r f o r m a n t a ~colara ~i o l i m p i a d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6
C a p . 5 - S u b i e c t e p e n t r u e v a l u r a r i l e f i n a l e
5 . 1 . V a r i a n t e d e s u b i e c t e p e n t r u t e z a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1
5 . 2 . V a r i a n t e d e s u b i e c t e p e n t r u e v a l u a r e a f i n a l a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4
5 . 3 . V a r i a n t e d e s u b i e c t e p e n t r u e x a m e n u l d e E v a l u a r e N a t i o n a l a . . . . . . . . 1 2 9
Solu~ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 1
CAPITOLUL
Func[ii 1.1. Notiunea de functie 1.2. Functii definite pe multimi finite 1.3. Functia de gradull 1.4. Functia f: lR ~ JR, f(x) = ax+ b, a,be lR
Teste de evaluare 1.5. Probleme cu caracter aplicativ 1.6. Probleme pentru performanta ~colara ~i olimpiade
CAPITOLUL 1
Functii Notiunea de functie
Defini~ie. Fie A ~i B doua multimi nevide. Prinfuncfie f definita pe multimea A cu valori in mulfimea B se intelege orice lege (regula, procedeu, conventie) prin care fiecarui element x E A i se asociaza un singur element y = f ( x) E B .
Prin f: A ~ B vom nota o functie definita peA cu valori in B. Multimea A se nume~te domeniul de definifie al functiei J, multimea B se nume~te domeniul de valori sau codomeniul functieif, iar procedeul (regula) y = f(x) se nume~te legea de corespondenfa a functiei f Daca x E A , elementul f(x) E B se nume~te imagine a lui x prin functia f sau valoarea funcfiei f in punctul x.
lmaginea funqiei. Fie f: A ~ B o funcpe. Imaginea (sau multimea valorilor) funcpei f este multimea: lm/ = {J(x) I XE A}. In mod evident, lm/ c B.
Putem scrie ~i astfel: Imf = {y E B l ::l xE A a.l. y = /(x)} . Graficul funqiei. Fie f: A~ B o funcpe. Multimea G1 = {(x,J(x)) i x E A} se nume~te graficulfuncfieif Avem ~i G1 = {(x,y) l XE A,y = f(x)} c AxE.
Funqia numerica este o funcpe al carei domeniu de definitie ~i domeniu de valori ale unei functii sunt submultimi ale lui lR (multimi de numere ).
Reprezentarea geometrica a graficului. Daca f : A ~ B este o funcpe numerica, fiecarui element (x,y) E G1 ii putem asocia un punct M(x,y) mtr-un reper cartezian. Submultimea planului fermata din toate punctele M ( x, y) , cu ( x, y) E G 1 se nume~te reprezentarea geometrica a graficului functiei f
Funqii egale. Doua functii f : A ~ B ~i g : C ~ D sunt egale daca A = C , B = D ~i f(x) = g(x),oricarearfi x E A .Notiirn: J = g.
Moduri de definire a unei funqii. Funqiile pot fi descrise in diverse moduri: 1. Printr-o diagramii. 2. Printr-un tabel.
f {-~; 5; 10). g f;:x~:T ~ rn 5 3. Prin una sau mai multe formule analitice:
h:{0,2,4}~{0,4,16},h(x) = x2 ; u:JR~JR,u(x) = . {3x - 5, daca x ::::; 1 2x + 3, daca x > 1
=
7
: : 1
u
1 1 ' 1
L l . l
. . . I
: : 1
>
c : C
1 1 ' 1
2
. . . .
. E
: : l
0
.
c C
u
: : : : : i
c C
C i a
c
" '
S ; ?
: : 1
z
c C
i i :
L l . l
C l .
V >
: : l
; : :
" '
: : : ! :
.
: : 1
z
c C
i i :
" '
Q )
l : :
~
8
*
1 . P r e c i z a t i c a r e d i n t r e u r m i i t o a r e l e d i a g r a m e d e f i n e s c f u n c t i i :
Q ) = { J
H
l o o a Q = = C ) o " 1
2 2 2 1 2 2
3 3 3 b 2 2 3 3
a ) b ) c ) d ) e )
2 . E x p l i c a t i d e c e t a b e l u l a l i i t u r a t n u
d e s c r i e o f u n q i e .
X I - 1 I 0 I 1 I 2 I 1
3 . P r e c i z a t i d a c i " i s c r i e r e a f : {- 1 ; 0 ; 1 ; 2 } ~ { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 } , f ( x ) = x + 1 , r e p r e z i n t i i o
f u n c t i e .
4 . I n i m a g i n e a a l i i t u r a t i i e s t e d e s c r i s i i f u n q i a
f:A~B .
a ) P r e c i z a t i e l e m e n t e l e m u l t i m i l o r A ~;>i B .
b ) S c r i e t i e l e m e n t e l e m u l t i m i i 1 m f .
c ) S c r i e t i e l e m e n t e l e m u l t i m i i G
1
.
5 . T a b l o u l a l i i t u r a t d e s c r i e o f u n q i e
f:A~B.
X
- 1 I o
1
1 I 2 I 3
- 4 0 4 8 1 2 j ( x )
a ) D e t e r m i n a t i m u l t i m e a A .
b ) S c r i e t i m u l t i m e a I m f
c ) D e s c r i e t i c o r e s p o n d e n t a x ~ f ( x ) p r i n t r - o f o r m u l a .
6 . E x p l i c a t i d a c i i m u l t i m e a i n d i c a t i i r e p r e z i n t i i g r a f i c u l u n e i f u n c t i i d e f i n i t e p e
m u l t i m e a { - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 } c u v a l o r i i n l R . I n c a z a f i r m a t i v , d e s c r i e t i f u n q i a
p r i n t r - o d i a g r a m i i .
a ) G
1
= { ( - 2 ; 0 ) ; ( - 1 ; 0 ) ; ( 0 ; 1 ) ; ( 1 ; 1 ) ; ( 2 ; 2 ) } ;
b ) G g = { ( - 2 ; - 1 ) ; ( - 2 ; 0 ) ; ( - 1 ; - 1 ) ; ( 0 ; - 1 ) ; ( 1 ; 2 ) } ;
c ) G h = { ( - 2 ; 1 ) ; ( - 1 ; - 1 ) ; ( 0 ; - 1 ) ; ( 1 ; 1 ) ; ( 1 ; 2 ) ; ( 2 ; 1 ) } .
7 . a ) D e s c r i e t i t r e i f u n c t i i d e f i n i t e p e m u l t i m e a E a e l e v i l o r d i n c l a s a v o a s t r i i c u
v a l o r i i n m u l t i m e a S = { f ; b } .
b ) D e s c r i e t i t r e i f u n q i i d e f i n i t e p e m u l t i m e a E a e l e v i l o r d i n c l a s a v o a s t r i i c u
v a l o r i i n m u l t i m e a N .
l n d i c a 1 i e : f : E - - 7 N , f ( e ) = n w n f u u l c u r e n t d i n c a t a l o g a ! e l e v u l u i e .
8 . D e s c r i e t i t r e i f u n c t i i d e f i n i t e p e m u l t i m e a N = { 2 3 ; 1 5 7 ; 4 ; 2 0 0 0 ; 1 4 5 } c u v a l o r i
i n m u l t i m e a C = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 } ;
l n d i c a 1 i e : U l t i m a c i f r i i a n w n i i r u l u i 2 3 e s t e 3 . D e f m i m u ( 2 3 ) = 3 .
9. Descrieti trei funqii s definita pe multimea N = {157;59;1002;8} cu valori In multimea S = {3;4;8;9;13;14}. lndica1ie: Suma cifrelor numarului 157 este egala cu 13. Defrnim s (157) = 13.
10. Descrieti, In mod natural, o functie f definita pe multimea F = - - - - cu valon m mulbmea I = - - - - . {
15 34108 225 } ., . { 9 2 5 27} 24'51' 56 '125 ' 5'3'8'14
15 (3 5 lndicatie: - =-
24 8
11. Stabiliti pentru care din urmatoarele functii are loc relatia - 2 E hn f : a) f:N~JR,f(x) = x2 - 11; b) f:{-2, -1,0,1}~1R,f(x) = 2x+3.
c) f: [-3,2) ~ JR, f(x) = 4x - 3; d) f :( - %, +00 ) ~ JR, f(x) = 4x +3. lndica1ie: a) Daca - 2 E lmf, atunci exista xEN astfel !neat f(x) =-2, adica x2 -1 1 = - 2, de unde x = 3 . A~adar, deoarece /(3) = - 2, rezulta - 2 E Imf.
** 12. Fie multimile R = {3,14; ~;4; - 1; - 2 1~ ;M} ~i I= {- 3; - 1;1;2;3;4}.
a) Descrieti prin tabel ~i precizati imaginea funqiei i: R ~ I , i(x) = [ x] . b) Scrieti elementele multimii G; .
13. Fie multimile R = { 7 , 2;3~;5; - 1,4; -~} ~i F = {0; 0, 2; 0,5; 0,6; 0,(6)}. a) Descrieti prin tabel ~i precizati imaginea functiei z: R ~ F, z(x) = {x}. b) Scrieti elementele multimii Gz .
14. Se considera multimile M = {28;55;27;39} ~i N = {9;17;13;4;5} . Verificati dacii asocierea: "oricare x E M, x ~ y = f(x) E N, unde f(x) este divizor al lui x", reprezinta o functie definita pe multimea M cu valori In multimea N.
15. Seconsideramultimile A ={-2;~;-n;O;vG} ~i S = {-1;0;1}.
{-1, pentru x < 0
a) Descrieti printr-un tabel functia cr: A~ S, cr(x) = O,pentru x = 0 . 1, pentru x > 0
b) Precizati imaginea functiei 0" ~i scrieti elementele multimii Gcr . 16. Se considera mu1timile A = {- 3; - 2; - 1;0;1;2;3} ~i M = {0;1;2;3;4}.
a) Descrieti prin tabel ~i precizati imaginea functiei m: A~ M, m(x) =I x 1.
-I
9
: : : ; )
v
I l l
w
b ) S c r i e t i e l e m e n t e l e m u l t i m i i G m .
c ) R e p r e z e n t a t i g e o m e t r i c m u l t i m e a G m .
1 7 . S e c o n s i d e r a m u l t i m e a A = { 0 ; 1;~;1 ;
5
; 1 0 , 2 4 ; 1 1 } ~i f u n c t i a r : A~ l R ,
r ( x ) = . .
a ) S c r i e t i e l e m e n t e l e m u l t i m i i I m r ~i e f e c t u a t i ! Q n l m r .
b ) D e s c r i e t i p r i n t r - o f o r m u l a o f u n c t i e p : 1 m r ~ A .
1 8 . S e c o n s i d e r a m u l t i m e a U = { 3 0 , 4 5 , 6 0 } . D e t e r m i n a t i i m a g i n i l e f u n c t i i l o r :
a ) s:U~JR, s ( x ) = s i n x ; b ) t:U~JR. t ( x ) = t g x .
1 9 . F i e 1={~ l a E N * , b E N * , ( a ; b ) = 1 } ~ifunctia f:l~N. f(~) = x + y.
~
D
. . . . l . . . A { 1 9 9 1 5 3 }
a e t e r m m a t l 1 m a g m e a m u t l m u = - ; - ; - .
' ' 9 1 1 5 2
b ) A r a t a t i c a , o r i c a r e a r f i n E N , n > 1 , e x i s t a t E I a s t f e l i n c a t f ( t ) = n .
2 0 . S e c o n s i d e r a f u n c t i a s : J R x l R ~ J R , s ( x ; y ) = x + y . C a l c u l a t i :
a ) s ( 0 ; - 3 ) ; b ) s ( 3 ; - 3 ) ; c ) s ( - 8 ; - 7 ) ;
d ) s ( 0 , 5 ; ~} e ) s ( 1 - F 3 ; - 2 + F 3 ) ; f ) s [ ~;-~}
5 2 1 . S e c o n s i d e r a f u n c t i a p : J R x l R ~ l R ~ J R , p ( x ; y ) = x y . C a l c u l a t i :
~ ( 1 3 )
~ a ) p ( 7 ; - 1 ) ; b ) p ( - 2 ; - 2 ) ; c ) P 1 2 ; - 2 ;
~ d ) p ( J ? ; - / 2 8 ) ; e ) p ( . f i - F 3 ; . f i + F 3 ) ; f ) p ( 2 F 3 ; - F 3 ) .
0
2 2 . A r a t a t i c a u r m a t o a r e l e f u n c t i i s u n t e g a l e : c C
v
: : : : i
c C
a : l
c
a ) j , g : Z ~ J R , f ( x ) = { x } ~i g ( x ) = ( x - 1 x l ) ( x + I x I ) , u n d e { a } r e p r e z i n t a
" '
. Q
: : : ; )
z
c C
a :
l l o l
a .
V I
~
" '
~
: : : ; )
z
c C
i : i :
p a r t e a f r a c t i o n a r a a n u m i i r u l u i r e a l a ;
l x l - x
b)j,g:(-1,0)u(O,l)~JR, f ( x ) = [ x ] ~i g ( x ) = - - , u n d e [ a ]
2 x
p a r t e a i n t r e a g a a n u m a r u l u i r e a l a ;
c ) j , g : [ - 1 , 1 ) ~ J R , f ( x ) = j 1 - x j + j l + x j ~i g ( x ) = m a x ( 2 , x + 1 ) ;
d ) j , g : [ - 2 , 2 ) ~ J R , f ( x ) = j 2 - x j - j 2 + x j ~i g ( x ) = m i n ( - 2 x , 4 ) .
e ) j,g:(0, 1 ) ~ R, f ( x ) = m i n ( x , x
2
) ~i g ( x ) = m a x ( x
2
, x
3
) .
f ) f, g:~~3.. f ( x ) = 2 j x j ~i g ( x ) = ( N + 1 f -~(x
2
+d ;
~ 2 3 . F i e f u n c p a f : N ~ N , f ( x ) = u l t i m a c i f r a a n u m a r u l u i n a t u r a l x .
~
1 0
r e p r e z i n t a
a) Determinati 1m f . b) Calculati suma S = f(O)+ /(1)+ /(2)+ ... + /(105).
24. Fie functia f: N ~ N, f(n) =ultima cifra a numarului natural 2". a) Determinati Im f. b) Calculati suma S = f(O) + f(l) + f(2) + f(3) + ... + !(2012).
25. a) Descrieti trei functii definite pe multimea T a triunghiurilor din planul a cu valori in multimea C a cercurilor din planul a . b) Descrieti trei functii definite pe multimea triunghiurilor T din planul a cu valori in multimea P a punctelor din planul a . c) Fie A un punct dat in planul a . Se considera multimea C A a cercurilor din planul a care contin punctul A ~i multimea T a triunghiurilor din platiul a . Descrieti trei functii definite pe multimea C A cu valori in multimea T. Exemple: a) o : T --7 C , o(t) = cercul circumscris triunghiului t, oricare ar fi t E T .
b) h: T --7 P, h(t) = ortocentrul triunghiului t, oricare ar fi t E T . c) e : C A --7 T , unde e (c) = triunghiul echilateral AXY mscris in cercul c.
*** 26. a) Descrieti prin diagrame toate funqiile care pot fi definite pe multimea
A= {a;b;c} cu valori in multimea B = {0;1}. b) Descrieti prin diagrame toate funqiile care pot fi definite pe multimea A = {a;b} cu valori in multimea B = {-1;0;1}.
27. a) Se considera multimile A= {0;1;2; ... ;12} ~i B = {-1;0;1} . Determinati numarul de functii ce pot fi definite pe multimea A cu valori in multimea B. b) Aratati ca, daca multimea A are n elemente, n :2: 1, iar multimea B are m elemente, m :2: 1 , atunci numarul de functii care se pot defini pe multimea A cu valori in multimea B este ega! cu mn . c) Se considera multimile finite ~i nevide A ~i B. Daca numarul de functii care pot fi definite pe multimea A cu valori in multimea B este 45 , determinati card A ~i card B . Analizati variantele posibile.
28. Pentru fiecare functie f: {0;1;2; ... ;12} ~ {- 1;0;1}, notam: s1 = f(O) + f(l)+ /(2) + ... + /(12).
a) Descrieti o functie o: {0;1;2; ... ;12} ~ {- 1;0;1} pentru care S0 = 0; b) Descrieti o functie m: {0;1;2; ... ;12} --7 {- 1;0;1} pentru care Sm are valoarea maxima. c) Aratati ca, daca o functie f: {0;1;2; ... ;12} ~ {-1;0;1} are proprietatea ca f(O) f(l) /(2) ... /(12) ::1:- 0, atunci S 1 ::1:- 0 .
=
11
~
u
I l l
w
_ .
~
~
I l l
2
. . .
2 9 . D e t e r m i n a p . i m a g i n e a f u n c p . e i f : l R ~ J R , f ( x ) = ( - 1 ) [ x l , u n d e [ a ] r e p r e z i n t i i
p a r t e a 1 n t r e a g i i a n u m i i r u l u i r e a l a .
3 0 . D a c i i f u n c ! i a f : l R ~ l R v e r i f i c a r e l a t i a f ( 2 x + 1 ) = - 2 x + 5 , p e n t r u o r i c e x E l R ,
d e t e r m i n a p . v a l o a r e a n u m i i r u l u i / ( 2 0 1 1 ) .
3 1 . F u n q i a f:(O,oo) ~ JR v e r i f i c i i r e l a p . a f ( x
2
) = 2 x + 5 , p e n t r u o r i c e x > O .
D e t e r m i n a t i v a l o a r e a n u m i i r u l u i f ( l ) + / ( 2 ) + / ( 4 ) + / ( 8 ) .
3 2 . S t a b i l i ! i c a r e d i n t r e u r m a t o a r e l e f u n c ! i i s u n t e g a l e :
a ) f,g:JR~JR, f ( x ) = x
3
- 3 x
2
+ 2 x + 1 ~i g ( x ) = x ( x - 1 ) ( x - 2 ) + 1 ;
b ) f,g:N*~N, f ( n ) = u ( 4 n ) ~i g ( n ) = 5 + ( - 1 t , u n d e u ( a ) r e p r e z i n t i i
u l t i m a c i f r i i a n u m i i r u l u i n a t u r a l a .
c ) f,g:N*~N, f ( n ) = u ( 9 n ) ~i g ( n ) = 5 + 4 ( - 1 t + l , u n d e u ( a ) r e p r e z i n t i i
u l t i m a c i f r a a n u m i i r u l u i n a t u r a l a .
d ) f,g : N* ~ N, f ( n ) = u ( 6 n ) - u ( 5 n ) ~i g ( n ) = l , u n d e u ( a ) r e p r e z i n t i i
u l t i m a c i f r a a n u m i i r u l u i n a t u r a l a .
3 3 . D e t e r m i n a ! i n u m e r e l e a , b , c , d , p e n t r u c a r e f u n c ! i i l e f ~i g s a f i e e g a l e , u n d e :
a ) f : [ - 3 ; a ] ~ J R , f ( x ) = ( 3 c - 2 ) x - 5 ,
g:[b;11]~JR, g ( x ) = 7 x + d - 4 ;
b ) f : [ 2 a - 5 ; 1 3 ] ~ J R , f ( x ) = 5 x - 4 c - l 7 ,
g:[3;2b+l] ~ JR, g ( x ) = d x - l ;
c ) f : [a-1,3]~JR, f ( x ) = b x - 1 ,
g:[c - 3,2a + l]~JR, g ( x ) = 2 x + d - 5 .
~ 3 4 . D e m o n s t r a t i c i i , p e n t r u o r i c e f u n c p . e f:7L ~ 7L, f ( x ) = a x + b , u n d e a , b E 7 L ,
e s t e a d e v a r a t a r e l a ! i a a - b I f ( a ) - f ( b ) .
.
~
~ 3 5 . F u n c p . a f : N ~ N a r e p r o p r i e t i i p . l e :
C I C I
c a ) f ( O ) = 1 ;
" '
~
~
z
c s :
i i 2
w
a .
V l
: : : l
; : : : :
" '
~
~
z
c s :
u : : :
" '
Q l
~
~
1 2
b ) f ( / ( n ) ) = f ( n ) + 1 , p e n t r u o r i c e n E N .
D e t e r m i n a p . / ( 2 0 1 1 ) .
@ Func1ii definite pe mul1imi finite
* 1. Determinati multimea valorilor funqiei f(notaHi Im f):
a)f:{- 2, - 1,0,3}----)JR, f(x) =-2x +1; b) f : {0, 1, 4, 5, 11} ...--.) JR, f(x) = 4x + 7; c) f: {- 1, 0, 3, 5, 8} ...--.) Z, f(x) =- x + 6; d) f: {0, 1, 2, 3, 4, 5} ...--.) JR, f(x) =lOx- 13; e) f : { 1, 5, 4, 3, 6} ...--.) N, f(x) = x2; f) f: {4, 8, 12, 16, 20} ...--.) JR, f(x) = x: 4 - 5. g)f:{-l, 1,3}----)JR, f(x)=x+2 . Rezolvare.g) Avem: f(-1) = 1, f(2) = 4 ~i f(3) = 5. Rezulta lmf = {1, 4, 5}.
2. Fie multimea A = {- 2; - 1;0;1;2}. Scrie!i multimea Imf ~i reprezenta!i in plan G1 daca: a) f: A...--.) JR, f(x) = x; c) f: A...--.) JR, f(x) =I xI ; e) f:A----)JR, f(x) =x 2 ;
3. Reprezentati grafic func!iile: a)f:{0;1;2}----){3;4;5}, f(x) = x + 3; b)f: {3; 4; 5} ...--.) {0; 1; 2}, j{x) = x - 3; c) f: {1; 3; 5; 7} ...--.) JR, f(x) = 2x- 8; d) f: {- 2; - 1; 0; 4} ...--.) JR, f(x) =- 2x + 1;
b) f: A...--.) JR, f(x) = - x; d) f:A----)JR,f(x)=-lxl; f) f :A----)JR,f(x) =- x 2
e) h : {- 4; - 2; 0; 2; 4} ...--.) {0; 2; 4}, h(x) =I xI; f) f:{- 3; - 2;0;1;4}...--.)JR, f(x)=2.
4. Stabili!i pentru care din urmatoarele functii are loc rela!ia - 2 E 1m f : a) f :{- 2, -1,0,1} ...--.) lR, f(x) = 2x+2;
1 b) f:{- 4 - 2,0,2,4,6}----)JR, f(x) =- x - l;
2 c) f :{-3.J2, - ../8 ,0, .J2} ...--.) Z, f(x) = - x.J2;
{1 3 5 7 9} d) f: - ,2345 ----)Z, f(x) = 32x-ll; 2 2 2 2 2
-I
> ttl ttl Vl ttl u c:C u
~ 5. Reprezenta!i grafic, in acel~i sistem de coordonate x9Ji, graficele func!iilor :::iE f,g: {- 3;0;3} ...--.) lR , daca: ~
cC :::iE
13
a ) f ( x ) = x ~i g ( x ) = x + 1 ;
c ) f ( x ) = 2 x ~i g ( x ) = 2 x + 2 ;
e ) f ( x ) = l x l ~i g ( x ) = l x l + 1 ;
h ) f ( x ) = - x ~i g ( x ) = - x + 1 ;
d ) f ( x ) = - 2 x ~i g ( x ) = - 2 x - 1 ;
f ) f ( x ) = l x l - 1 ~i g ( x ) = l x - 1 1 .
6 . V e r i f i c a t i d a c a u r m a t o a r e l e f u n c t i i s u n t e g a l e :
a ) f , g : { - 1 , 1 } ~ l R , f ( x ) = l x l ~i g ( x ) = x
2
;
h ) f , g : { - 2 , 0 , 2 } ~ l R , f ( x ) = x
3
- 4 x ~i g ( x ) = x ( 2 - l x l ) ;
c ) f,g:{- 1,0,1} ~ lR, f ( x ) = x
2 0 1 1
- x + 1 ~i g ( x ) = x
2
- l x l + 1 ;
d ) f,g:{0,1} ~ JR, f ( x ) = ~+
1
~i g ( x ) = x
2 0 1 1
- x + 1 ;
X + 1
7 . S e c o n s i d e r a f u n c t i a f : { - 2 ; 0 ; 4 } ~ l R , f ( x ) = a x . A r a t a t i c a r e p r e z e n t a r e a
g r a f i c a a f u n c t i e i f e s t e f o r m a t a d i n p u n c t e c o l i n i a r e d a c a :
a ) a = 3 ; b ) a = 1 ;
c ) a = - . f i ;
1
d ) a = 2
8 . S e c o n s i d e r a f u n c t i i l e f , g : { - 4 ; 0 ; 2 } ~ l R , f ( x ) = 2 x ~i g ( x ) = 2 x + 3 .
a ) R e p r e z e n t a t i , i n acela~i s i s t e m d e c o o r d o n a t e , g r a f i c e l e f u n c t i i l o r f ~i g ;
b ) D e m o n s t r a t i c a p u n c t e l e c a r e f o r m e a z a r e p r e z e n t a r e a g r a f i c a a f u n c t i e i g s u n t
c o l i n i a r e .
G 9 . R e p r e z e n t a t i g r a f i c f u n c t i a f : { -% ; - J 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ~; J : 3 " } d a c a :
I l l
~ { - 1 , p e n t r u x < 0 { 1 , p e n t r u x E Q
~ a ) f ( x ) = [ x ] ; h ) f ( x ) = ; c ) f ( x ) = .
, : ; ( 1 , p e n t r u x : 2 : 0 0 , p e n t r u x ~ Q
I l l
: : I
-~ . ~ . . _ {. J x + 1 , d a c a x E { - 1 , 0 }
: : I 1 0 . S e c o n s t d e r a f u n c t t a f . {- 1 , 0 , 1 , 2 , 3 } ~ l R , f ( x ) - .
C ? 2 x , d a c a x E { 1 , 2 , 3 }
c (
~ C a l c u l a t i s u m a S = f ( - 1 ) + 2 / ( 0 ) + 3 / ( 1 ) + 4 / ( 2 ) + 5 / ( 3 ) .
c (
C C I
~ 1 1 . D i a g r a m a a l a t u r a t a d e s c r i e o f u n c t i e f : A ~ B .
~ a ) S c r i e t i e l e m e n t e l e d o m e n i u l u i d e d e f i n i t i e ;
~
z
c (
i i 2
w
D .
h ) S c r i e t i e l e m e n t e l e c o d o m e n i u l u i f u n c t i e i ;
c ) R e p r e z e n t a t i aceea~i f u n c t i e p r i n t r - u n t a b e l ;
d ) C a l c u l a t i : f ( O ) + f ( 1 ) f ( 7 ) - f ( 2 ) : 2 + f ( 4 ) : 3 .
-~ 1 2 . F i g u r a a l a t u r a t a e s t e r e p r e z e n t a r e a g r a f i c a a u n e i
~ f u n c t i i n u m e r i c e f : X ~ Y .
~
z
c (
i i :
r a
( ] )
~
~
1 4
a ) S c r i e t i e l e m e n t e l e m u l t i m i i X .
b ) S c r i e t i e l e m e n t e l e m u l t i m i i 1 m f .
c ) D e s c r i e t i aceea~i f u n c p e p r i n t r - u n t a b e l .
d ) D e s c r i e t i aceea~i f u n c t i e p r i n t r - o f o r m u l a .
0
- - - - - - - - - - X . D
** 13. Aratati ca, oricare ar fi n E N*, functiile f, g: {- 1; 0; 1} ~ lR'. sunt egale, unde:
a) f(x) = x ~i g(x) = x2"+1 ; b) f(x) =I X I ~i g(x) = X2".
14. Determinati multimile A ~i B ~i numerele m ~in astfel incat functiile urmatoare sa fie egale: a) f:A ~ lR'.,f(x) = 2x+m - 3,
g:{-1, 3, 7,10}~1R'., g(x) = (l - n)x + 11; b) f:{O, 1, 2, 3}~1R'., f(x)=(3m -5)x - 7,
g :A~ B, g(x) = 10x - n; c) f:A~B,f(x) = 2mx - 4+n,
g: {2,4,6,8} ~ {1,5,9,13}, g(x) = 2x - 3 . 15. Se considera a E lR'., a > 0 , ~i functiile f, g : {- a; 0; a} ~ lR'. . Determinati
valoarea lui a astfel indit f = g , daca: a) f(x) = l2x I ~i g(x) = x2 ; b) f(x) =3x ~i g(x) = x3
16. Determinati numarul real m ~i reprezentati grafic functia f: {0;1;2;3} ~ lR'., f ( x) = x - m , ~tiind ca punctul A( 1, 5) apartine graficului functiei f
17. Determinati numarul real m ~i reprezentati grafic functia f : {1; 3; 5; 7} ~ lR'. , f(x) = 2mx+ 5, ~tiind ca punctul A(m + 1,2m + 13) apartine graficului functiei.
18. Determinati numerele reale a ~i b ~i apoi reprezentati grafic functia f: {0;1;2;3;4} ~ lR'., f(x) = ax +b, ~tiind ca punctele A(O, -3) ~i B(3, 3) apartin graficului functieif
19. a) Descrieti, printr-o formula, o functie definita pe multimea {- 1,1} cu valori in multimea { 1} . b) Descrieti, printr-o formula, o functie definita pe multimea {-1,0,1} cu valori in multimea { 0} .
20. a) Dati exemplu de o functie f : { -1, 0, 1} ~ lR'. , care sa aiba proprietatea f( x2 ) = f(x), pentru orice x E { -1, 0, 1} .
b) Aratati ca orice functie f:{-1,0,1}~1R'. verifica relatia f(x3 ) = f(x), pentru orice x E { - 1, 0, 1} . c) Aratati ca exista o singura functie f :{-1,0,1} ~ lR'., cu proprietatea ca f(x3 ) =- f(x), pentru orice x E { -1,0,1}.
=
15
: : : ; )
I J
I I \
w
. . . .
: : : ; )
* * *
2 1 . P e n t r u f i e c a r e d i n f u n c t i i l e u r m a t o a r e , d e t e n n i n a t i d o m e n i u l m i n i m d e v a l o r i :
a ) f:{-2;0;2;5} ~ B. f ( x ) = 2 x - 1 ;
b ) f : { - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 } ~ B , f ( x ) = 3 x
2
- 2 ;
2 x + 1
c ) f : A ~ B , f ( x ) = - - , u n d e A = [ - 2 , 3 ] n Z .
3 x + 4
d ) f:{nENI3" 5 .
2 5 . S e c o n s i d e r a a E l R , a > 0 ,
c (
I J
: : : i
c (
c o
~1 f u n c t i i l e f,g:{-a;a}~JR, f ( x ) = 5 x ~i
g ( x ) = m x , u n d e m E l R .
a ) D e t e n n i n a t i v a l o r i l e l u i m a s t f e l i n c a t I m f = I m g ;
c
_ Q b ) F i e A ~i B d o u a m u l t i m i n e v i d e . D a c a f u n c t i i l e h , j : A~ B a u p r o p r i e t a t e a
: : : ; )
z
c a I m h = I m j , r e z u l t a c a h = j ?
~ 2 6 . S t a b i l i t i c a r e d i n t r e u n n a t o a r e l e f u n c t i i s u n t e g a l e :
~ a)f:{nENI2"
@ Functia f: lR ~ JR, f(x) =ax+ b, a, be lR Definitie. Functia de tipul f : lR ~ lR , f ( x) = ax+ b , unde a, bE lR , se nume~te
fimcfie liniarii. Dadi a -:1- 0 , fimctia f : lR ~ lR , f ( x) = ax + b , se nume~te foncfie de gradul I. Reprezentarea geometrica a graficului unei fimctii liniare este o dreaptii.
1. Daca a -:1- 0 ~i b = 0 , fimctia liniara f ( x) = ax are ca reprezentare geometrica o dreapta care contifle originea sistemului de coordonate.
2. Daca a = b = 0 , fimctia liniara f(x) = 0 este fonc{ia constantii nulii, a carei reprezentare geometrica este axa Ox.
3. Daca a = 0 ~i b -:1- 0, fimctia liniara f(x) = b este ofonc{ie constantii nenulii, a carei reprezentare geometrica este o dreapta paralela cu axa Ox.
Funqiiliniareegale. Funqiile f,g:IR~ IR, f(x) = ax+b, g(x) = cx+d sunt egale daca ~i numai daca a = c ~i b = d .
lnterseqiile graficului unei funqii de gradul intai cu axele de coordonate Fie funqia f: lR ~ IR, f(x) =ax+ b, a E IR*, bE JR. Atunci :
g1 nOx = A(-~ , o) ~i Q1 nOy = B(O,b).
* 1. Urmatoarele funqii sunt de forma f: lR ~ IR, f(x) = ax +b, unde a, bE lR.
Precizati coeficientii a ~i b daca: a) f(x) = 2x + 3; b) f(x) = 3x-2;
d) f(x) = - 5x; e) f(x) =-2;
c) f(x) = x - 1; f) f(x) = 3x - 2.
2 2. Se considera functia f: lR ~ IR, f(x) = -x + 1. Stabi1iti daca punctul indicat
apartine reprezentarii grafice a functieif a) A(- 1;2); b) B(2;3); c) C(5; - 1); d) D(4; - 3).
3. Se considera funqia f: lR ~ IR, f(x) = - 2x+6. Stabiliti daca punctul indicat apartine reprezentarii grafice a funqiei f a) A(3;0); b) B(1; - 4); c) C( -2 ;10); d) D(- 1;4).
4. Reprezentati grafic funqiile: a) f: JR ~ JR, f(x) = x+1; c) f: lR ~ JR, f(x) = 2x; e) f:JR~ JR,f(x) = 2x-4;
b) f: JR ~ JR,f(x)= -x + 3; d) f: lR ~ IR, f(x) = - 3x+5; f) f: lR ~ IR, f(x) = - 2x - 4;
=
17
: : : 1
u
1 1 ' 1
w
. . . .
: : : 1
>
c C
1 1 ' 1
: : I
S . R e p r e z e n t a t i g e o m e t r i c , i n acela~i s i s t e m d e c o o r d o n a t e , g r a f i c e l e f u n c t i i l o r
f , g : f f i . - - - ; f f i . , u n d e :
a ) f ( x ) = x ~i g ( x ) = - x ; b ) f ( x ) = 2 x - 1 ~i g ( x ) = 2 x + 1 ;
c ) f ( x ) = x ~i g ( x ) = x + 2 ;
e ) f ( x ) = 1 ~i g ( x ) = - 1 ;
d ) f ( x ) = 2 x ~i g ( x ) = 2 x - 1 ;
f ) f ( x ) = 0 , 5 x + 1 ~i g ( x ) = - 2 x + 3 .
6 . R e p r e z e n t a t i g e o m e t r i c , i n s i s t e m e d e c o o r d o n a t e s e p a r a t e , g r a f i c e l e f u n c t i i l o r
f : f f i . - - - ; f f i . , g : { - 1 ; 0 ; 2 } - - - ; f f i . , u n d e :
a ) f ( x ) = g ( x ) = x ;
c ) f ( x ) = g ( x ) = 2 x - 2 ;
b ) f ( x ) = g ( x ) = - 3 x + 2 ;
d ) f ( x ) = g ( x ) = - 2 .
7 . R e p r e z e n t a t i g e o m e t r i c , i n s i s t e m e d e c o o r d o n a t e s e p a r a t e , g r a f i c e l e f u n c t i i l o r
f : f f i . - - - ; f f i . , g : [ - 1 ; 3 ] - - - ; f f i . , u n d e :
a ) f ( x ) = g ( x ) = 3 x - 1 ;
c ) f ( x ) = g ( x ) = - 2 ;
b ) f ( x ) = g ( x ) = - 2 x + 3 ;
d ) f ( x ) = g ( x ) = 3 x - 4 .
8 . R e p r e z e n t a t i g e o m e t r i c , i n s i s t e m e d e c o o r d o n a t e s e p a r a t e , g r a f i c e l e f u n c t i i l o r
f : f f i . - - - ; f f i . , g : [ - 1 ; + o o ) - - - ; f f i . ~i h : ( - o o ; 2 ] - - - ; f f i . , u n d e :
a ) f ( x ) = g ( x ) = h ( x ) = 2 , 5 ; b ) f ( x ) = g ( x ) = h ( x ) = 3 x + 2 ;
c ) f ( x ) = g ( x ) = h ( x ) = - 2 x + 2 ; d ) f ( x ) = g ( x ) = h ( x ) = 4 x .
9 . R e p r e z e n t a r e a g r a f i c a a f u n q i e i j : f f i . - ; f f i . , j ( x ) = a x + b , a , b E f f i . , c o n t i n e
p u n c t e l e A ( - 1 ; 2 ) ~i B ( 2 ; - 1 ) .
a ) R e p r e z e n t a t i i n p l a n p u n c t e l e A ~i B .
b ) T r a s a t i g r a f i c u l f u n q i e i f .
c ) D e t e r m i n a t i n u m e r e l e a ~i b .
~ 1 0 . R e p r e z e n t a r e a g r a f i c a a f u n c t i e i f : f f i . - - - ; f f i . , f ( x ) = a x + b , a , b E f f i . , c o n t i n e
6 p u n c t e l e A ( O ; l ) ~i B ( - 1 ; 0 ) .
6 a ) R e p r e z e n t a t i i n p l a n p u n c t e l e A ~i B ~i t r a s a t i g r a f i c u l f u n c t i e i f .
: : : : ; b ) D e t e r m i n a t i n u m e r e l e a ~i b .
~ 1 1 . F i e f u n c t i a f : ( - 2 ; + o o ) - ; f f i . , f ( x ) = ( a - 2 ) x + 6 - 2 a , u n d e a E f f i . .
: g a ) D e t e r m i n a t i v a l o a r e a l u i a p e n t r u c a r e r e p r e z e n t a r e a g e o m e t r i c a a g r a f i c u l u i
; ; f u n c t i e i conti~e o r i g i n e a s i s t e m u l u i d e a x e .
~ b ) R e p r e z e n t a t i g r a f i c f u n c t i a f p e n t r u a = 3 .
~ 1 2 . C a l c u l a t i s u m a S = f ( l ) + / ( 2 ) + . . . + / ( 1 0 ) , u n d e f u n c t i a f : f f i . - - - ; f f i . e s t e d a t a
d e l e g e a d e c o r e s p o n d e n t a i n d i c a t a :
V l
: : I
; : :
" '
~
a ) f ( x ) = 7 ; b ) f ( x ) = x - 2 ; c ) f ( x ) = - 2 x + 1 ; d ) f ( x ) = 4 x .
: : : 1 1 3 . D e t e r m i n a t i v a l o r i l e p a r a m e t r u l u i a E f f i . * , p e n t r u c a r e p u n c t u l M ( a ; 1 ) a p a r p n e
z
~ g r a f i c u l u i f u n c p e i f : R - - - ; R d e f i n i t a p r i n :
" '
Q )
~
~
1 8
a ) f ( x ) = 2 x - 5 ; b ) f ( x ) = - 4 x + 5 ;
d ) f ( x ) = a x - 3 ; e ) f ( x ) = ( a - 4 ) x + 5 ;
c ) f ( x ) = 2 0 1 1 x - 2 0 1 0 ;
f ) f ( x ) = a x - 3 a + 3 .
** 14. a) Determinati numarul real m pentru care punctul A ( 2; - 3) apaf!ine
graficului functiei f: lR ~ lR, f(x) = (m - 5)x+ 11 . h) Determinati numarul real a pentru care punctul A ( 3a; a - 5) apartine graficului functiei . f : lR ~ lR , f ( x) = 2x - 9 . c) Determinati numarul m E lR pentru care punctul M ( m; 2m - 11) apartine graficului functiei f : lR ~ lR , f ( x) = 6x - 1 . d) Determinati numarul m E lR pentru care punctul M (2m; 2m - 9) apaf!ine graficului functiei f : lR ~ lR , f ( x) = 3x- 2m + 7 .
1 5. Determinati coordonatele punctului de intersectie a reprezentarii grafice a functiei f : lR ~ lR cu axa ordonatelor, unde: a) f(x) = -6x; d) f(x) = 5;
h) f(x) = 4x - 1; e) f(x) = (x + 1)2 -x2 ;
c) f(x) = - x..fi + 2; f) f(x) = ax - 3,a E lR
16. Determinati coordonatele punctului de intersectie a reprezentarii grafice a functiei f: lR ~ lR cu axa absciselor, unde: a) f(x) = xJ3 - 6; h) f(x) = 4x - 8; c) f(x) = 6x +2; d) f(x) = - xJ3 +..fi; e) f(x) = nx,n ::f. 0; f) f(x) = ax +a,aE IR*.
17. Determinati coordonatele punctelor de intersectie ale reprezentarii grafice a functiei f : lR ~ lR cu axele de coordonate, unde: a) f(x) =-2x - 2; d) f(x) =-2x + J8;
h) f(x) = 2x - 2; e) f(x) = - xJ6 + J3;
c) f(x) = 2x + 2; f) f(x) = 1,5x - 2,25;
18. Determinati coordonatele punctului de interseqie a reprezentarilor grafice ale funqiilor f: lR ~ lR, f(x) = - 2x ~i g: lR ~ lR , unde: a) g(x) =-2; h) g(x) = 2x; c) g(x) = x +2;
1 1 d) g(x) = 2-x; e) g(x) = - x - 1; f) g(x) = --x - 3 . 2 2
19. Determinati coordonatele punctului de interseqie a reprezentarilor grafice ale functiilor f: lR ~ lR ~i g: lR ~ lR, unde: a) f(x) = x - 3 ~i g(x) = 2x +1; h) f(x) = 5x - 4 ~i g(x) = 3x + 14; c) f(x) = -2x - 1 ~i g(x) = 5x + 20; d) f(x) =-6x - 3 ~i g(x) = 6x +3.
-I
"'
"' Vl
"' u 20. Aratati Ca reprezentarea grafica a functiei h: JR ~ JR, h(x) = X COntine punctul <
v de intersectie a reprezentarilor grafice ale functi ilor f,g: lR ~ lR urmatoare:
a) f(x) = 5x ~i g(x) = .!_x; 5
h) f(x) = x +l ~i g(x) = l - x; ~ :::!: 1&.1 1-C( :::!: 19
; : : )
u
I l l
w
. . . I
; : : )
>
. ( ) x + 1
c ) f ( x ) = - 2 x - 1 ~1 g x = - - ;
2
d
f (
)
2 x + 1 . ( ) 3 x - 1
~ X = - - ~1 g X = - - .
3 2
2 1 . S t a b i l i t i d a d i e x i s t a m E I R a s t f e l i n c i i t p u n c t u l M ( - 1 , 3 ) s a r e p r e z i n t e
i n t e r s e c t i a r e p r e z e n t a r i l o r g r a f i c e a f u n c t i i l o r f , g : I R - - - 7 I R u r m a t o a r e :
a ) f ( x ) = m x - m - 1
g ( x ) = ( 2 m + 1 ) x
c ) f ( x ) = ( - 3 m + 4 ) x + m - 1
g ( x ) = ( m - 3 ) x + m
b ) f ( x ) = ( m - 1 ) x - 2 m + 5 .
g ( x ) = ( 2 m - 1 ) x + m + 3 '
d ) f ( x ) = - ( 6 m + 1 ) x - m - 3
g ( x ) = - m x + 3 m + 2
2 2 . V e r i f i c a t i d a c a r e p r e z e n t l i r i l e g r a f i c e a l e f u n c t i i l o r u r m a t o a r e f , g , h : I R - - - 7 I R s u n t
t r e i d r e p t e c o n c u r e n t e :
a ) f ( x ) = x - 2 , g ( x ) = - 3 x + 2 ~i h ( x ) = S x - 6 ;
b ) f ( x ) = - 4 x + 1 , g ( x ) = 2 x + 1 ~i h ( x ) = 7 x + 1 ;
c ) f ( x ) = 4 x - 3 , g ( x ) = - 3 x + 4 ~i h ( x ) = 2 x - 3 ;
d ) f ( x ) = 4 x 3 - 1 ' g ( x ) = - 6 : + 5 ~i h ( x ) = 2 x 9+ 6 ;
e ) f ( x ) = x . J 6 - . J 3 , g ( x ) = x J 1 8 + 1 - . J 3 ~i h ( x ) = - x . J 3 + . J 6 + . J 3 .
2 3 . D e t e r m i n a t i v a l o r i l e n u m e r e l o r r e a l e m ~i n p e n t r u c a r e r e p r e z e n t l i r i l e g r a f i c e a l e
f u n c t i i l o r f , g : I R - - - 7 I R u r m a t o a r e s e i n t e r s e c t e a z l i i n p u n c t u l A ( m + 1 , - 3 n + 2 ) :
a ) f ( x ) = x - 3 ~i g ( x ) = - x + 1 ; b ) f ( x ) = - 2 x + 2 ~i g ( x ) = x - 7 ;
c ) f ( x ) = 3 x + 5 ~i g ( x ) = - 3 x + 5 ;
d ) f ( x ) = - 3 x + 4 ~i g ( x ) = 2 x - 1 5 .
~ 2 4 . A r a t a t i e l i , o r i c a r e a r f i m E I R , r e p r e z e n t a r i l e g r a f i c e a l e u r m a t o a r e l o r f u n c t i i
2
. . . . .
. E
: : : l
0
c C
u
: : : : i
f m : I R - - - 7 I R c o n t i n u n p u n c t f i x M ( a l t f e l s p u s , c o o r d o n a t e l e p u n c t u l u i M n u
d e p i n d d e v a l o a r e a p a r a m e t r u l u i r e a l m ) :
a ) f m ( x ) = ( m - 2 ) x - m + 2 ; b ) f m ( x ) = ( 3 m - 1 ) x - 6 m - 3 ;
c ) f m ( x ) = ( 2 m - 1 ) x - 4 m + 2 ;
d ) f m ( x ) = - ( 5 m - l ) x + 5 m - 3 .
: : i 2 5 . A f l a t i n u m e r e l e m , n E I R p e n t r u c a r e f u n c t i i l e f ~i g s u n t e g a l e , u n d e :
c :
( ' 5 a ) f : I R - - - 7 ! R , f ( x ) = - 5 x - 9 ; g : A - - - 7 B , g ( x ) = ( l - m ) x + n - 3 ;
; : : )
z
b ) f : I R - - - 7 I R , f ( x ) = 3 n x + 2 m + n ;
g : A - - - 7 B , g ( x ) = ( m + 2 n - 1 ) x + 5 n .
~ 2 6 . D e t e r m i n a t i v a l o r i l e n u m e r e l o r r e a l e m ~i n p e n t r u c a r e r e p r e z e n t l i r i l e g r a f i c e a l e
~ f u n c t i i l o r u r m a t o a r e a u e e l p u t i n d o u a p u n c t e c o m u n e :
.~ a ) f , g : I R - - - 7 I R , f ( x ) = m x + 4 m - 6 ~i g ( x ) = ( 2 n - 3 ) x + 3 n - 8 ;
r o
~
b ) f , g : I R - - - 7 I R , f ( x ) = - ( m + n ) x + 2 m - n + 1 ~i g ( x ) = - 2 m x + n + l .
~ 2 7 . D e t e r m i n a t i f u n q i a f : I R - - - 7 I R , f ( x ) = a x + b , a , b E I R , a c l i r e i r e p r e z e n t a r e
c C
u : : :
r o
~
l : :
~
2 0
g r a f i c a c o n t i n e p u n c t e l e A ~i B , u n d e :
a ) A ( 0 ; 5 ) ~iB( - 3 ; 0 ) ; b ) A ( 0 ; 2 ) ~iB( - 3 ; 2 ) ;
c ) A ( 1 ; 4 ) ~i B ( 2 ; 6 ) ;
d) A(2;5) ~iB(3;0); e) A(5;7) ~i B( -1 ;1); f) A ( 1; 1) ~i B ( - 1; -1) .
hl A(2_ 5) B(-_!_ -8) / 3 ' ' 2' ' 28. Graficu1 functiei f: JR ~ JR, f(x) = ax+b, a,bE lR, contine puncte1e
A (1; - 2) ~i B ( 4; 10). Stabiliti daca: a) C(0; - 6)EAB; b) D(3;4)EAB; c) E( - 1; -10)EAB.
29. Fie punctele A ( 0;- 5) ~i B ( 2; 1) . Stabiliti valoarea de adevar a propozitiei: a) C( - 2;4)E AB; b) D(3;4)E AB; c) E(5;5)E AB.
30. Studiati daca exista functii liniare a! dlror grafic sa treaca prin punctele indicate: a) A(1,1), B(2,2), C(3,3) b) A(-1,1) , B(1,3) , C(0,4);
c) A(~ , 4). B(~ , 3). c( i,2} d) A(J2,2J3), B(J3,3J2), C(1,J6); e) A(m,m -1), B(-2m,-2m-1), C(3m - 1,3m-2), unde mE lR; f) A(n, - 2n+1), B(n - 2,-2n + 5), C(3n+2,-6n-1), unde nE lR.
31. Se considera punctele A( - 2;5) ~i B(3;2). Determinati numarul real m astfelincat C(m;3m-4)E AB.
32. In sistemul de coordonate xOy, determinati distanta de Ia origine Ia dreapta AB ~i aria triunghiului AOB, daca: a) A( - 2;2) ~i B(3;2); b) A(3;1) ~i B(1;3); c) A(3;1) ~i B( - 1;3); d) A(3;1) ~i B( - 1; - 3); e) A(3;1) ~i B(1;-3); f) A(3;0) ~i B(0;-4).
33. Calculati aria triunghiului determinat de axa Ox ~i reprezentarile grafice ale funqiilor f, g: lR ~ lR urmatoare: a) f(x) = 2x+1 ~i g(x)= - x+1; b) f(x)=x +3 ~i g(x) =-2x+2; c) f(x) =-2x-5 ~i g(x) = x - 3; d) f(x) =-3x+1 ~i g(x) = 2x-7.
34. Aratati eli reprezentarile grafice ale functiilor f,g,h: lR ~ JR, date prin f(x) = 0, g(x) = xJ3 + J3 ~i h(x) = -xJ3 + J3 formeaza un triunghi echilateral.
35. Demonstrati eli reprezentarile grafice ale functiilor f, g, h, k : lR ~ JR, definite prin f(x) = x + 1, g(x) = - x + 1, h(x) = x -1 ~i k(x) = - x - 1 formeaza un patrat.
36. Demonstrati eli reprezentarile grafice ale urmatoarelor functii f,g: lR ~ lR sunt doua drepte perpendiculare:
a) f(x) = x+1 ~i g(x)= - x+1; b) f(x)=_!_x-2 ~i g(x) =-2x+3; 2
c) f(x) = - xh + 1 ~i g(x) = xh -1 ; d) f(x) = -~x+4 ~i g(x) = ~x - 1. 2 2 3
-I
21
: : >
u
I l l
1 1 . 1
. . . I
: : >
>
> C C
I l l
2
. . . .
. E
: : : 1
C l
.
c C
u
: : : : i
c C
C C I
c
" '
~
: : >
z
c C
i i 2
1 1 . 1
a .
V l
: : : 1
; ; ;
~
.
: : >
z
c C
u : : :
.. . .
2 2
R e z o l v a r e . a ) G r a f i c e l e functiilorf~i g s e i n t e r s e c t e a z a I n p u n c t u l A ( O , l ) . A l e g e m c a t e u n
p u n c t p e g r a f i c e l e f u n c t i i l o r h i g ; d e e x e m p l u B ( 1 , 2 ) E G
1
~i C ( l , O ) E G g . F o l o s i n d f o r m u l a
d i s t a n t e i d i n t r e d o u a p u n c t e , r e z u l t i i A B = J 2 , A C = J 2 ~i B C = 2 . D i n r e c i p r o c a
t e o r e m e i l u i P i t a g o r a , r e z u l t i i c a t r i u n g h l u l A B C e s t e d r e p t u n g h i c I n A , d e c i r e p r e z e n t i i r i l e
g r a f i c e a l e f u n q i i l o r f ~i g s u n t d r e p t e p e r p e n d i c u l a r e .
* * *
3 7 . D e t e r m i n a t i o f u n c t i e l i n i a r a f : JR. ~ J R . , a ! c a r e i g r a f i c i n t e r s e c t e a z a a x e l e d e
c o o r d o n a t e i n d o u a p u n c t e d i s t i n c t e , s i t u a t e I a aceea~i d i s t a n t a f a t a d e o r i g i n e .
3 8 . D e t e r m i n a t i p u n c t e l e d e i n t e r s e c t i e a g r a f i c e l o r f u n q i i l o r f , g : J R . ~ J R . , u n d e :
a ) f ( x ) = ( 2 m - 1 ) x + 4 m - 1 , g ( x ) = m x + 2 m + 1 , c u m E J R . ;
b ) f ( x ) = ( 3 a + 2 ) x - 3 a - 4 , g ( x ) = x - 3 , u n d e a E J R . ;
{
- 2 x + 3 , x < 1
c ) f ( x ) = ~i g ( x ) = 5 x + 4 ;
3 x - 2 , x ~ 1
{
x + 1 ,
d ) f ( x ) = - 3 x + 8 ~i g ( x ) =
- x - 2 ,
x < 3
x~3
3 9 . R e p r e z e n t a t i g r a f i c f u n c t i a f : JR. ~ J R . , f ( x ) = a x - 3 ( x - a ) , ~tiind c a g r a f i c u l
s a u n u i n t e r s e c t e a z a a x a a b s c i s e l o r .
4 0 . F i e f u n c t i a f : J R . ~ J R . , f ( x ) = 4 x + 1 . D e t e r m i n a t i m e d i a a r i t m e t i c a ~i m e d i a
g e o m e t r i c a a n u m e r e l o r a = ~ f ( 3 + . J 3 ) ~i b = ~ f ( 3 - . J 3 ) .
4 1 . D e t e r m i n a t i f u n c t i a f: IR. ~ IR., f ( x ) = a x + b , c u a , b E I R . , a ; e O , a c a r e i
r e p r e z e n t a r e g r a f i c a c o n t i n e p u n c t e l e A ~i B , u n d e :
a ) A ( a , a + 2 ) , B ( - a , - a + 2 ) ;
(
1 a - 1 )
b ) A ( a , a - 1 ) , B - - ; ; - - - ; ; - .
4 2 . F i e f u n q i a f : J R . ~JR. , c u p r o p r i e t a t e a c a f ( x ) = 3 x - 2 / ( 1 ) , p e n t r u o r i c e
x E J R . . C a l c u l a t i / ( 1 ) ~i a p o i d e t e r m i n a t i l e g e a d e c o r e s p o n d e n t a a f u n q i e i f
4 3 . S e c o n s i d e r a f u n c t i a f:IR.~IR. c u p r o p r i e t a t e a c a f ( x ) = - 4 x + 5 + 3 f ( 2 ) ,
o r i c a r e a r f i x E J R . .
a ) C a l c u l a t i / ( 2 ) .
b ) D e t e r m i n a t i l e g e a d e c o r e s p o n d e n t a a f u n c t i e i f
4 4 . S e c o n s i d e r a f u n q i a f : J R . ~ J R . c u p r o p r i e t a t e a c a f ( x + 1 ) = 3 x + 4 , o r i c a r e a r
f i X E J R . .
a ) C a l c u l a ! i f ( O) .
b) Calculati f(a-l), unde aE lR. c) Deduceti legea de corespondenta a functieif
45. Determinati legea de corespondenta a functiei f : lR ~ lR ~tiind ca: a) f(x - 1) = x, oricare ar fixE lR; b) f(2x-l) = 4x, oricare ar fix E lR; c) f(2x-3) = 1, oricare ar fix E lR; d) f(2x +3) = 3x - 2, oricare ar fixE lR.
46. Se considera funqia f : lR ~ lR, f(x) = mx - 3, unde mE lR . Determinati valoarea lui m ~tiind ca exista a E JR* astfel incat f(-a) = j(a).
47. Se considera functia f: lR ~ lR , f(x) = 2x + n , unde n E lR . Determinati valoarea lui n ~tiind ca f( - a) =-f( a), oricare ar fi a E lR .
48. Se considera functia f : lR ~ lR , f ( x) = 3x - 2 . a) Determinati coordonatele punctului de intersectie a reprezentarii grafice a functieif cu axa absciselor.
b) Aratati ca 1(%-a) =-1(%+ a). oricare ar fi aE lR .
1 49. S e considera funqia f : lR ~ lR , f ( x) = l x - 1. Aratati ca exista r E lR astfel
incat f(r- a)= - f(r + a), oricare ar fi a E lR . SO. Se considera functia f: lR ~ lR, f(x) = ax + b, a, bE lR ~i numerele reale x1
~i x2 , unde x1 < x2 Aratati ca: a) f(x1):::; f(x2 ) daca ~i numai daca a :2::0; b) f(x1) > f(x2 ) daca ~i numai daca a< 0;
51. Se da functia f: lR ~ lR ,J(x) = (3.J3 -2J7)x-.J5. Comparati numerele: a) J(.fi) cu f(l); b) j(- .fi) cu f(-1); c) j(- .fi - 1) cu j(I-.fi); d) j(7 - s.fi) cu j(4.J3-7).
52. Se considera functia f: lR ~ lR, f(x) = ax+b, a, bE lR ~i numerele reale x1 . ~ . ~ f(xz)- f(xl) ~1 x2 , unde x1 < x2 . Aratatt ca: = a . Xz - xl
53. Se considera punctele A(3;4) ~i B(7;10). a) Reprezentati dreapta AB intr-un sistem de coordonate xOy; b) Aratati ca valoarea tangentei unghiului format de dreapta AB cu
10 - 4 semidreapta Ox este egala cu t, unde t = -- .
7- 3 c) Determinati functia f:JR~JR, f(x)=ax+b,a,bElR al carei grafic contine perechile (3;4) ~i (7;10). d) Aratati ca a = t .
=
> ro ro "' ro u CC u i= cc ::::!!: w I-cc ::::!!:
23
: : I
u
I I \
U l
. . . I
: : I
>
C C
I I \
2
. . . . .
. E
: : l
0
~
: : : i
c c
C D
c :
" '
~
: : I
z
c c
C 2
U l
C l . .
" '
~
" '
~
.
: : I
z
c c
u : :
2 4
5 4 . D e t e r m i n a t i f u n c t i a l i n i a r a a l c a r e i g r a f i c t r e c e p r i n o r i g i n e ~i f a c e c u a x a O x
u n u n g h i c u m a s u r a e g a l a c u : a ) 3 0 ; b ) 4 5 ; c ) 6 0 .
5 5 . S e c o n s i d e r a f u n c t i a f : ~ ~ ~, f ( x ) = ~ x - l .
a ) D e t e r m i n a t i m a s u r a u n g h i u l u i f o r m a t d e a x a O x c u r e p r e z e n t a r e a
g e o m e t r i c a a g r a f i c u l u i f u n c t i e i j
b ) D e d u c e t i m a s u r a u n g h i u l u i f o r m a t d e a x a O x c u r e p r e z e n t a r e a g e o m e t r i c a a
g r a f i c u l u i f u n c t i e i g : ~ ~ ~ , g ( x ) = - f ( x ) .
5 6 . S e c o n s i d e r a f u n c t i a f : ~ ~ ~, f ( x ) = a x + b , a , bE ~ ~i n u m e r e l e r e a l e x
1
d - - . f ( x l ) + f ( x 2 ) - j ( X
1
+ X
2
J
~1 x
2
, u n e x
1
< x
2
. A r a t a t 1 c a .
2
- - -
2
- ) "
5 7 . S e c o n s i d e r a p u n c t e l e A ( 1 ; 6 ) ~i B ( 5 ; 2 ) .
a ) R e p r e z e n t a t i s e g m e n t u l [ A B ] i n t r - u n s i s t e m d e c o o r d o n a t e x O y ;
b ) D e t e r m i n a t i f u n c t i a f: ~ ~ ~ , f(x) = ax+b,a,bE ~ a l c a r e i g r a f i c
c o n t i n e p e r e c h i l e ( 1 ; 6 ) ~i ( 5 ; 2 ) .
c ) A r a t a t i c a m i j l o c u l s e g m e n t u l u i [ A B ] e s t e p u n c t u l Me~
5
J O ) ~ / (
5
) }
5 8 . S e c o n s i d e r a f u n c t i a f : ~ ~ ~, f ( x ) = a x + b , a , bE ~ ~i p u n n u m a r r e a l
n e n u l . A r a t a t i c a , o r i c a r e a r f i n u m e r e l e r e a l e m ~i n , v a l o a r e a e x p r e s i e i
(
n - m )
f ( m ) - j ( n ) + p f p e s t e c o n s t a n t a .
E TESTE DE EVALUARE Testul 1
1. Enumerati cele trei elemente ale unei functii. 2. Determinati elementele multimilor A ~i B ~tiind ca:
Ax B = {(0, 1); (0, 5); (2, 1); (2, 5); (3, 1); (3, 5)}. 3. Fie f: {1, 2, 3} ~ {- 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, f(1) = 0, f(2) = 4 ~i f(3) = a. Ce
valori poate lua a pentru ca f sa fie o functie? 4. Pentru ce valori m E lR punctul M(m,ll) nu apaf!ine graficului functiei
f: JR~ JR , f(x) = 12x + 8? S. Determinati numerele a, b, c, d pentru care sunt egale functiile f : [1, a] ~ JR,
f(x) = cx+8 ~i g: [b,10) ~ JR , g(x)=6x+9 - d. 6. Reprezentati grafic functia f: lR ~ lR, f(x) = 2x- 5. 7. Graficul funqieif: lR ~ lR trece prin punctele A(O,- 2) ~i B(3, 0). Reprezentati
punctele in plan ~i trasati graficul functiei f. 8. Fie functia f: lR ~ JR, f(x) = 2x + 3. Calculati suma:
S= f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(lOO).
9. Fie functia g : lR ~ JR, g( x) = x ~ 20 . Determinati punctele de pe grafic care au coordonatele egale.
NOTA: Timp de Iucru 50 minute. Se acordii 10 puncte din oficiu.
Testul 2 1. Din reperul ortogonal de axe xOy alaturat,
Scrieti coordonatele punctelor A ~i B.
2. Explicati de ce prin tabelul alaturat nu este dat un exemplu de functie .
YL __ !A B r---t : I b I I I I ~
X ~ -1 0 4
2 j(x) 0 2 3
3. Aflati numiirul real m pentru care punctul A(m,5) apaf!ine graficului functiei f: JR~ JR , f(x) = 2x + 3 .
4. Reprezentati grafic functia f : [- 2, 5) ~ JR, f(x) = 2x + 1. s. Determinati coordonatele punctului de intersectie al graficelor functiilor
f: lR ~ JR, f(x) = 9x + 13 ~i g: lR ~ JR, g(x) =- 7x + 45 .
=
> ro ro V\ ro u
>C:C v i= c:c ::iE w .....
c:c ::iE
25
: : : ; )
u
I l l
w
. . . 1
: : : ; )
>
> C (
I l l
2
. . . . .
. E
: : : : 1
0
.
c C
u
: : : : i
c C
C D
c
" '
0
: : : ; )
z
c C
a :
w
a .
I l l
: : : : 1
; : :
" '
~
.
: : : ; )
z
c C
u : : :
" '
Q )
: : : : : '
~
6 . D e t e r m i n a t i f o r m u l a f u n c f i . e i g : l R ~ l R a l c i i r e i g r a f i c c o n f i n e p u n c t e l e
A ( O , 5 ) ~i B ( 1 , - 1 ) .
7 . D e t e r m i n a f i c o o r d o n a t e l e p u n c t u l u i d e i n t e r s e c f i e a l r e p r e z e n t a r i i g r a f i c u l u i
f u n c t i e i g : l R ~ J R , g ( x ) = - x + 4 c u a x a a b s c i s e l o r .
8 . F i e f u n c f i . a f : JR~ J R , f ( x ) =
5
-
3
4
x . R e z o l v a f i i n e c u a f i a f ( x ) + 2 < 1(~).
9 . F i e f u n c t i a g : l R ~ J R , g ( x ) = x :
1 5
. D e t e r m i n a f i p u n c t e l e d e p e g r a f i c c a r e a u
c o o r d o n a t e l e d o u i i n u r n e r e o p u s e .
N O T A : T i m p d e l u c r u 5 0 m i n u t e . S e a c o r d i i 1 0 p u n c t e d i n o f i c i u .
T e s t u l 3
1 . F i e m u l f i m i l e : A = { - 2 , 0 , 3 } ~i B = { - 1 , 0 , 2 } . S c r i e t i A x B .
2 . F i e s c r i e r e a f : { - 1 , 0 , 2 , 4 } ~ { 0 , 1 , 3 } , f ( x ) = x + 1 . E x p l i c a t i d e c e a c e a s t a n u
r e p r e z i n t i i o f u n c f i . e ( c o r e c t d e f i n i t a ) . F a c e t i o m o d i f i c a r e p e n t r u c a s a o b t i n e t i o
f u n c f i . e .
3 . D e t e r m i n a t i n u r n i i r u l m E J R . p e n t r u c a r e p u n c t u l M ( 4 , 2 m + 1 ) n u a p a r f i n e
g r a f i c u l u i f u n c f i . e i f : JR. ~ J R . , f ( x ) = 4 x - 1 .
4 . G i i s i t i c o o r d o n a t e l e p u n c t u l u i d e i n t e r s e c f i e a l g r a f i c e l o r f u n c f i . i l o r f : l R ~ J R ,
f ( x ) = 7 x + 2 1 ~i g : l R ~ JR. , g ( x ) = - 5 x - 3 .
S . G r a f i c u l f u n c t i e i f : J R . ~ J R . t r e c e p r i n p u n c t e l e A ( O , 3 ) ~i B ( 4 , 0 ) . R e p r e z e n t a t i
a c e s t e p u n c t e i n p l a n ~i t r a s a t i g r a f i c u l f u n c t i e i f .
6 . F i e f u n c t i a f : JR~ J R , f ( x ) =
3
-
2
x . R e z o l v a f i e c u a t i a f ( x ) + 1 1 = x + ( - 1 )
2 0 1 1
5
7 . R e p r e z e n t a t i g r a f i c f u n c t i a f : l R ~ J R , f ( x ) = - 3 x + 5 .
8 . F i e f u n c f i a f : l R ~ J R , f ( x ) = - x + 3 . C a l c u l a t i s u r n a :
s = f ( l ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + . . . + f ( 5 0 ) .
9 . C a l c u l a f i d i s t a n t a d e l a o r i g i n e a s i s t e m u l u i d e a x e 0 ( 0 , 0 ) l a i m a g i n e a g e o m e t r i c a
a g r a f i c u l u i f u n c t i e i f : l R ~ J R , f ( x ) = x + 3 .
N O T A : T i m p d e l u c r u 5 0 m i n u t e . S e a c o r d i i 1 0 p u n c t e d i n o f i c i u .
T e s t u l 4
1 . P o a t e a v e a o f u n c f i e 3 e l e m e n t e i n d o m e n i u l d e d e f i n i t i e ~i 4 e l e m e n t e i n
c o d o m e n i u ? J u s t i f i c a f i r i i s p u n s u l .
2. Aflati imaginea elementului x = 2 prin func!ia f : lR ~ JR, f(x) = - 2x - 5 . 3. Se considera functia f: JR ~ JR , f(x) = 3x - 7. Determinatia E lR ~tiind ca
imaginea lui a prin intermediul functiei f este egala cu - 10 .
4. Daca f: lR ~ JR, f(x) = - 2x - 5, calculati 1( -~) - 2 f( - 3). 5. Aflati punctele de intersec!ie cu axele de coordonate a graficului functiei
f: lR ~ JR, f(x) = - x.J3 + .J75 . 6. Fie functia f: lR ~ JR, f: lR ~ JR, f(x) = { 2x - 1, x::;; 1
- 3x+8, x > 1 Exista puncte situate pe graficul func!iei care au coordonate1e egale? Justificati!
7. Fie functia f: lR ~ JR, f(x) = mx - m + 1. Aflati valoarea de adevar a propozitiei: ,existii m E Z astfel fncdt A(m - 3,2m - 7) E g1 " .
8. Determinati functia liniara al carei grafic con tine punctele A( - 1, 0) ~i B(1, 2) . 9. Se considera func!ia f: N* ~ N, f(n) = u(7") , unde u(a) reprezinta ultima
cifra a numarului natural a . Demonstra!i ca pentru orice numar natural nenul n are loc relatia: f(n) + f(n +1)+ f(n + 2)+ f(n +3): 10 .
NOTA: Timp de lucru 50 minute. Se acorda 10 puncte din oficiu.
Testul 5 1. Desena!i un reper ortogonal de axe ~i reprezentati punctele M(- 2, 3) ~i N(5,1).
ce.
~ v"\V
3. Determinati numarul real m pentru care punctul M (7, m - 3) apartine graficului functiei f: lR ~ JR, f(x) = 3x - 5 ?
4. Determinati numerele a, b, c, d pentru care sunt egale functiile: f: [a, 7] ~ lR , f(x) = (b - 1)x+4 ~i g:[-2,c]~ JR , g(x) = 6x - d+8 .
5. Determina!i formula functiei f : lR ~ JR, ~1 carei grafic con!ine punctele A(- 1, 0) ~i B(2,2).
6. Reprezentati grafic functia f : lR ~ JR, f(x) = 3x - 4. 7, Determina!i coordonatele punctului de intersectie al reprezentarii graficului
func!iei f : lR ~ JR, f(x) = 7x- 14 cu axa absciselor.
-I
27
: : I
u
I l l
w
. . . .
: : I
>
> C (
I l l
2
+ - '
. E
: : : : 1
0
.
c c
u
: : : : i
c c
=
c
" '
_ Q
: : I
z
c c
i i :
w
D .
V I
~
" '
: : : 2 :
.
: : I
z
c c
i i :
2 8
8 . R e z o l v a f i i n l R i n e c u a f i a f ( x ) + 2 x - 5 ~ f ( 4 ) , u n d e f : l R ~ J R , f ( x ) = - x + 6 .
9 . S t a b i l i t i p r i n c a l c u l d a c a p u n c t e l e A ( - 2 , - 5 ) , B ( O , - 1 ) ~i C ( 3 , 4 ) s u n t c o l i n i a r e .
N O T A : T i m p d e l u c r u 5 0 m i n u t e . S e a c o r d a 1 0 p u n c t e d i n o f i c i u .
T e s t u l 6
1 . D a t i e x e m p l u d e o f o r m u l a p e n t r u f u n c t i a f : { - 1 , 1 } ~ { 2 } .
2 . D e t e r m i n a t i a b s c i s a p u n c t u l u i d e i n t e r s e c t i e c u a x a O x a g r a f i c u l u i f u n c t i e i
f : lR~ l R , f ( x ) = 3 x - 6 .
3 . A f l a t i n u m a r u l e l e m e n t e l o r i m a g i n i i f u n c f i e i f : { - 2 , - 1 , 0 , 1, 2 } ~ J R ,
f ( x ) = l x l - 1 .
{
2 x - 1 , x ~ 1
4 . S e c o n s i d e r a f u n c t i a f : l R ~ J R , f ( x ) =
- 3 x + 2 , x > 1
C o m p a r a t i n u m e r e l e f ( ~) ~i f ( ~) .
5 . R e z o l v a t i e c u a t i a j
2
( x ) - f ( x
2
) = 1 2 , u n d e f : JR~ l R , f ( x ) = x + 3 .
6 . F i e f u n c t i a f : l R ~ J R , f ( x ) = - m x + 2 m - 1 , u n d e m E l R . E x i s t a p u n c t e s i t u a t e
p e g r a f i c u l f u n c t i e i a l e c a r o r c o o r d o n a t e s u n t i n d e p e n d e n t e d e m ? J u s t i f i c a t i
r a s p u n s u l .
7 . S e c o n s i d e r a f u n c t i a f : Z ~ J R , f ( x ) = 2 x . f i - . J l 8 . A f l a t i v a l o a r e a d e a d e v a r
a p r o p o z i f i e i : , e x i s t a x E Z a s t f e l i n d i t f ( x ) E Z " .
8 . D e t e r m i n a t i p u n c t e l e d e i n t e r s e c t i e a g r a f i c e l o r f u n q i i l o r f , g : l R ~ J R ,
f ( x ) = 3 x - 1 ~i g ( x ) = - x - 9 .
9 . C a l c u l a t i a r i a t r i u n g h i u l u i d e t e r m i n a t d e a x a O x ~i r e p r e z e n t a r e a g r a f i c a a f u n c t i e i
{
X + 1, X E [ - 1 , 0 ]
f : [ - 1 , 1 ] ~ J R , f ( x ) =
- x + 3 , X E ( 0 , 1 ]
N O T A : T i m p d e l u c r u 5 0 m i n u t e . S e a c o r d a 1 0 p u n c t e d i n o f i c i u .
T e s t u l 7
1 . A f l a t i n u m a r u l f u n c t i i l o r f : { 0 , 1 } ~ { - 1 , 1 } .
2 . D a c a 2 4 f : JR~ J R , f ( x ) =
5
x _ . ! _ , c a l c u l a t i 2 / ( 1 ) + / ( 3 ) .
6 2
3 . S e c o n s i d e r a f u n c t i a f:JR~JR, f ( x ) = - 4 x + 5 . D e t e r m i n a t i a E J R , ~tiind c a
p u n c t u l A ( 2 a - 1 , - 3 a + 4 ) a p a r p . n e g r a f i c u l u i f u n c f i e i f
4. Rezolvati 'in N inecuatia f ( x) ~ 3x + 1, unde f : lR ~ JR, f ( x) = - 2x + 7 . 5. Ariitati cii punctul de intersectie cu axa Ox a graficului functiei f : lR ~ JR,
f(x) = - 2xJ3 + .J48 are coordonatele numere naturale. 6. Ariitati cii graficul functiei f ( x) = { 4x - 5' x::::; 1 nu intersecteazii axa Ox.
- 5x + 4, x > 1
7. Demonstrati cii, pentru orice mE lR , punctul A ( m - 2, m 2 ) apaftine graficului funqiei f: lR ~ JR, f(x) = mx + 2m.
8. Verificatidaciipunctele A(- 2, - 1), B(0,3) ~i c(~,4) suntcoliniare. 9. Determinati functiile f : lR ~ lR care verificii, relatia
f(x + 2)::::: 2x+3::::: f(x) +4, pentru orice xE lR . NOTA: Timp de lucru 50 minute. Se acordii 10 puncte din oficiu.
Testul 8 1. Dacii /:{0,1,2} ~{3}, calculati f(O) + /(1) + /(2). 2. Determinati imagine a elementului x = 0, ( 6) prin intermediul functiei
f: JR ~JR, f(x) =-3x+2. 3. Fie functia f: lR ~ JR, f(x) = 4x + 1 . Rezolvati ecuatia /(1) - f(x) = - 4, 4. Ariitati cii originea este singurul punct de intersectie cu axele de coordonate a
graficului functiei f: lR ~ JR, f(x) = x2010 + x2 5. Determinati a E lR , ~tiind cii punctul de intersectie a graficelor functiilor
f,g: JR ~ JR, f(x) =-x+5 ~i g(x) = 2x+a este A(a + 3,3).
6. Se considerii functia f: lR ~ JR, f(x) = { x - 2' x < 0 . Determinati punctele -5x + 8, x ~ O '
situate pe graficul functiei f care au coordonatele opuse. 7. Dacii m E lR ~i punctul de intersectie a graficului functiei f : lR ~ JR,
f(x) = mx - 3m+5 cu axa Oy are ordonata egalii cu - 1, atunci demonstrati cii f(x)::::: x2 , pentru orice xE lR .
8. Fie a E Z ~i functia f: N* ~ Z, f(n) = an - 1. Determinati valoarea lui a E Z, pentru care 1m f = N .
9. Se considerii functia f: N* ~ N, f(n) = u(2") , unde u(a) reprezintii ultima cifrii a numiirului natural a. Calculati suma S = /(1) + /(2) + ... + /(2011).
NOTA: Timp de lucru 50 minute. Se acordii 10 puncte din oficiu.
=
29
; : : : ,
u
I l l
1 1 . 1
. . . .
; : : : ,
>
> C C
I l l
2
. ' ! :
E
: : l
0
.
c : C
u
: : : : i
c : C
C D
c
r a
~
; : : : ,
z
c : C
i i 2
1 1 . 1
a .
" '
: : l
; : :
r a
~
.
; : : : ,
z
c : C
u :
r a
< 1 . 1
~
~
. . . . .
. '
3 0
8 P r o b l e m e c u c a r a c t e r a p l i c a t i v
F u n c t i i l e , ~i i n d e o s e b i c e l e l i n i a r e , a u m u l t e u t i l i z a r i ~i a p l i c a t i i i n p r a c t i c a , p e n t r u r e -
z o l v a r e a u n o r p r o b l e m e c e d e s c r i u p r o c e s e d e mi~care r e c t i l i n i i ~i u n i f o r r n e , p r e c u m : d e p l a -
s a r e a a u t o v e h i c u l e l o r I f i i n t e l o r , c u v i t e z a c o n s t a n t a , v a r i a t i a u n o r m a r i m i ~i n o t i u n i f i z i c e ,
c h i m i c e , b i o l o g i c e (cre~terea I descre~terea t e m p e r a t u r i i , a p r e s i u n i i , a v o l u m u l u i , a m a s e i ,
a d e n s i t a t i i u n o r c o r p u r i a f l a t e i n s t a r e l i c h i d a , s o ! i d a , g a z o a s a ) , e t c .
D e m u l t e o r i cunoa~terea i n i p o t e z a a g r a f i c u l u i v a r i a t i e i f u n c t i o n a l e ( i n c a r e d e s e o r i
a b s c i s a e s t e t i m p u l ) a n o t i u n i l o r ~i m a r i m i l o r a n t e r i o a r e e s t e s u f i c i e n t a p e n t r u a p u t e a d e s -
e r i e c o m p o r t a r e a e x a c t a a p r o c e s e l o r f i z i c e , c h i m i c e , b i o l o g i c e , p e p o r t i u n i m a r g i n i t e d e
t i m p , l o c , e t c .
S a r c i n a r e z o l v i t o r u l u i , i n a s t f e l d e s i t u a t i i , c o n s t a i n a n a l i z a f e n o m e n e l o r , t r a n s p u n e r e a
d a t e l o r p r o b l e m e i i n m o d e l e m a t e m a t i c e ( p r o b l e m a t i z a r e a , a l g o r i t m i z a r e a ) ~i a f l a r e a
n e c u n o s c u t e l o r u t i l i z a n d a l g o r i t m i m a t e m a t i c i s p e c i f i c i . E l t r e b u i e s a f i e c a p a b i l c a ,
a s o c i i n d v a r i a b i l e n e c u n o s c u t e l o r p r o b l e m e i , s a t r a n s p u n a i n e c u a t i i I i n e c u a t i i I s i s t e m e d e
e c u a t i i ~i i n e c u a t i i d a t e l e p r o b l e m e i , i a r r e z o l v a r e a m a t e m a t i c a a a c e s t o r a s a - l c o n d u c a , i n
f i n a l , I a s o l u t i o n a r e a p r o b l e m e i . D e a s e m e n e a , r e z o l v i t o r u l t r e b u i e s a t i n a s e a m a ~i d e
s i t u a t i i l e p a r t i c u l a r e c e p o t a p a r e a ~i c a r e p o t d a a l t e c a r a c t e r i z a r i f e n o m e n u l u i r e s p e c t i v .
1 . U n m e l c s e d e p l a s e a z a p e d i s t a n t a d e 2 4 d e m e t r i I n 6 o r e . D u p a p r i m e l e d o u a
o r e m e l c u l a p a r c u r s , a v a n d v i t e z a c o n s t a n t a , 6 m e t r i . O b o s i t f i i n d , s e
odihne~te o j u m a t a t e d e o r a , i a r a p o i p a r c u r g e , t o t c u v i t e z a c o n s t a n t a , r e s t u l
d i s t a n t e i .
a ) D e s c r i e t i , p r i n i n t e r m e d i u l u n e i f u n c t i i , d e p l a s a r e a m e l c u l u i I n i n t e r v a l u l d e
6 o r e .
b ) C u c e v i t e z a t r e b u i e s a s e d e p l a s e z e m e l c u l , I n u r m a t o a r e l e 3 o r e ~i
j u m a t a t e , p e n t r u a t e r m i n a d e p a r c u r s l n t r e a g a d i s t a n t a d e 2 4 d e m e t r i ?
R e z o l v a r e . F i e d
1
, d
2
, d
3
d i s t a n t e l e p a r c u r s e d e m e l c i n f i e c a r e d i n c e l e t r e i e t a p e ,
c u v i t e z e l e v
1
, v
2
, v
3
~i i n t i m p i i c o r e s p u n z a t o r i t
1
, t
2
, t
3
.
T i n a n d s e a m a c a , i n c a z u l mi~carilor r e c t i l i n i i ~i u n i f o r r n e , d = v t , o b t i n e m
u r r n a t o a r e l e v i t e z e a l e m e l c u l u i p e c e l e t r e i p o r t i u n i d e d r u m : v
1
= d
1
= ~ = 3 m I h
t , 2
~i v
3
= d
3
= d - ( d
1
+ d
2
) _ ! ! = 3 6 m / h .
t
1
t - ( t
1
+ t
2
)
3
. ! . 7
d 0
v , = _ 1 _ = - = 0 m I h
- t 1
2 -
2 2
D a c i i [ 0 , 6 ] e s t e i n t e r v a l u l d e t i m p ( m a s u r a t i n o r e ) , [ 0 , 2 4 ] e s t e v a r i a t i a d e d i s t a n t a
( m a s u r a t a i n m e t r i ) , a t u n c i c a l c u l u l d i s t a n t e l o r p a r c u r s e i n c e l e t r e i e t a p e v a f i d e s c r i s p r i n
a s o c i e r e a f u n c t i e i t ~ d = v t , d e f i n i t a a s t f e l :
!
V I t
1
, t
1
E [ 0 , 2 ] j 3 ! , ! E [ 0 , 2 ]
f : [ 0 , 6 ] - 7 [ 0 , 2 4 ] , f ( t ) = v
2
t
2
, t
2
e ( 2 , % J = 0 , t e ( 2 , % J
v 3 t
3
, t
3
e [ 0 , 2 ] 3 6 [ 5 ]
- t ( E - 6
7 ' 2 '
2. 0 mangusta iese din vizuina ~i pleaca in cautarea hranei, alergiind timp de 30 de secunde pe distanta de 120 de metri, dupa care, observand o acvila, ~i, infrico~ata fiind, se ghemuie~te ~i sta nemi~cata timp de 1 0 secunde; apoi o zbughe~te inapoi spre vizuina, unde ajunge dupa alte 20 de secunde. Descrieti, printr-o formula, functia ce reprezinta variatia distantei parcursa de mangusta din momentul parasirii vizuinii pana la reintoarcerea ei in vizuina.
Rezolvare. Se va tine seama ca, in cazul mi~carilor rectilinii ~i uniforme, are Joe relatia d = v t . Daca d reprezinta variatia distantei ( exprimata in metri), iar t reprezinta variatia de timp (masurat in secunde), atunci functia ce descrie mi~carea mangustei poate fi definita, in baza datelor din ipoteza, astfel:
de:
l4t, tE [0,30] t ~d= vt, /:[0,60]---7[0,240), f(t) = 0, tE(30,40). 6t, (E [ 40,60] S-a tinut cont, in scrierea functiei f , ca viteza mangustei, pe cele trei poqiuni, a fost
d 120 d 0 . d 120 v1 = _l_ = - = 4 m I s , v2 = 2 =-= 0 m Is ~~ v3 = __l =-= 6 m Is .
t] 30 t2 10 t] 20
3. La o statie meteorologica se constata ca mercurul termometrelor scade con-stant, in primele 10 zile ale lunii ianuarie, de la 3 (temperatura inregistrata pe data de 31 decembrie a anului anterior) la - 17 . in urmatoarele doua saptamani temperatura ramane COnstanta, iar in ultimele 7 zile ale aceleia~i luni, se remarca o cre~tere constanta a temperaturii cu 24 o , in raport cu temperatura perioadei anterioare. Descrieti functia ce caracterizeaza evolutia valorilor temperaturii in luna ianuarie la statia meteorologica, ~i stabiliti in ce perioada a lunii, variatia de temperatura a fost cea mai accentuata.
Rezolvare. Este evident faptul ca, in intre 1 ianuarie ~i 10 ianuarie, s-a inregistrat o variatie de temperatura de 3- (-17) = 20, adica a sciizut constant cu cate 2 pe zi, ajungiind Ia sfiir~itu l zilei de 10 ianuarie Ia -17. in perioada 11-24 ianuarie temperatura a riimas aceea~i, ~i anume - 17, iar in ultimele 7 zile din luna (intre 25 ianuarie ~i 31 ianuarie) s-a inregistrat o variatie de temperatura de ( -17) + 24 = 7, , adica a crescut constant cu cate 1 pe zi, ajungand Ia sfiir~itul zilei de 31 ianuarie Ia -10.
A~adar functia ce descrie procesul anterior de variatie a temperaturii in intreaga luna
ianuarie va fi z ~ t ' , unde zE {1,2, . .. ,31} ': Z reprezinta variabila, adica fiecare din cele 31 de zile ale lunii ianuarie, iar
t' E {~,-17',-17', .. . ,- 17' ,-17', - 16' , ... ,-10'}: T 10 zile 14 zile 7 zile
semnifica temperatura inregistrata in fiecare zi a lunii ianuarie. Prin urmare
l 3' -z 2' , f:Z---7T, f(z)= - 17', -1 T + ( z - 24) . r, ZE {1,2, ... ,10} ZE {11,12, ... ,24} ZE {25,26, .. . ,31} =
31
; : : )
u
1 1 ' 1
L U
. . . I
; : : )
>
<
1 1 ' 1
2
. . . . .
. E
; j
0
.
<
u
: : : : i
<
C C I
c
r o
~
; : : )
z
<
~
L U
C l .
V \
; j
; : :
r o
: : 2 :
.
; : : )
z
<
u : :
r o
Q )
~
~
. .
- .
4 . O a n a ~i M i h a i a u a d u n a t , i n u r m a c o l i n d e l o r d e C r a c i u n ~ide A n u l N o u , 1 4 6 0
d e l e i ~i r e s p e c t i v 1 0 9 5 d e l e i . E i i~i p r o p u n s a c h e l t u i a s c a i n m o d c o n s t a n t
aceea~i s u m a d e b a n i i n f i e c a r e z i d i n a n u l c e u r m e a z a ( a n u l a r e 3 6 5 d e z i l e ) .
a ) D e s c r i e t i , p r i n c a t e o f o r m u l a , f u n q i i l e c e c a l c u l e a z a s u m e l e d e b a n i p e
c a r e l e a r e f i e c a r e c o p i l i n a n u l r e s p e c t i v .
b ) D e t e r m i n a t i c e s u m a d e b a n i v a a v e a f i e c a r e d i n c e i d o i c o p i i l a i n c e p u t u l
a n u l u i ~colar u r m a t o r ( 1 5 s e p t e m b r i e ) .
5 . A d r i a n a r e d e r e z o l v a t i n v a c a n t a d e v a r a , c a r e d u r e a z a 9 0 d e z i l e , 3 6 0 d e
p r o b l e m e l a m a t e m a t i c a ~i d e c i t i t 8 c a r t i c e i n s u m e a z a i n t o t a l 1 8 0 0 d e p a g i n i .
E l i~i p r o p u n e sa-~i r e a l i z e z e t e m a d e v a c a n t a , l u c r a n d i n f i e c a r e z i acela~i
n u m a r d e p r o b l e m e ~i c i t i n d z i l n i c acela~i n u m a r d e p a g i n i .
a ) D e t e r m i n a t i c e l e d o u a f u n c t i i ( d e s c r i s e f i e c a r e p r i n c a t e o f o r m u l a ) , c a r e
c a l c u l e a z a n u m a r u l d e p r o b l e m e r a m a s e d e r e z o l v a t ~i r e s p e c t i v n u m a r u l d e
p a g i n i c a r e m a i s u n t d e c i t i t , i n f i e c a r e z i a v a c a n t e i d e v a r a .
b ) C a l c u l a t i c a t e p r o b l e m e m a i a r e d e r e z o l v a t A d r i a n ~i c a t e p a g i n i m a i a r e d e
c i t i t p e c u 1 5 z i l e i n a i n t e d e a s e t e r m i n a v a c a n t a ?
c ) D a d i , d u p i l , p r i m e l e 2 0 d e z i l e a l e v a c a n t e i , A d r i a n p l e a d i i n t r - o t a b i i r a d e
1 0 z i l e , t i m p i n c a r e n u r e a l i z e a z a n i c i o t e m a , d e t e r m i n a t i n o i l e f u n c t i i c e
d e s c r i u n u m a r u l d e p r o b l e m e I n u m a r u l d e p a g i n i r a m a s e d e r e z o l v a t , a s t f e l
i n c a t l a f i n a l u l v a c a n t e i e l e v u l s a a i b i i t e m a t e r m i n a t a .
6 . D i n t r - u n b u t o i p l i n c u 2 0 0 l i t r i d e a p a s e v a r s a , i n m o d c o n s t a n t , c a t e 1 l i t r u l a
f i e c a r e 1 0 s e c u n d e . D u p a o j u m a t a t e d e o r a n u s e m a i v a r s a a p a d i n b u t o i t i m p
d e 1 5 m i n u t e , i a r a p o i s e a d a u g a c u a j u t o r u l u n u i f u r t u n c a t e 1 l i t r u d e a p a l a
f i e c a r e 5 s e c u n d e .
a ) D e s c r i e t i , p r i n t r - o f o r m u l a , f u n c t i a c e c a l c u l e a z a v o l u m u l d e l i c h i d d i n
b u t o i , d i n m o m e n t u l i n c e p e r i i g o l i r i i a c e s t u i a , p a n a c a n d e s t e u m p l u t l a l o c .
b ) D e t e r m i n a t i t i m p u l n e c e s a r u m p l e r i i b u t o i u l u i .
7 . P e n t r u c o n s t r u i r e a u n u i b l o c d e l o c u i n t e s u n t n e c e s a r e 6 0 d e z i l e , i n f i e c a r e z i ,
f i i n d n e v o i e d e c a t e 3 0 d e s a c i d e c i m e n t ~i c a t e 6 0 0 d e c a r a m i z i . D u p a 1 2 z i l e
d e l a i n c e p u t u l l u c r a r i l o r , d i n c a u z a v r e m i i n e f a v o r a b i l e , e c h i p a d e m u n c i t o r i
e s t e o b l i g a t a sa-~i i n t r e r u p a l u c r u l t i m p d e 8 z i l e .
a ) D e t e r m i n a t i n u m a r u l s a c i l o r d e c i m e n t ~i n u m a r u l c a r a m i z i l o r c e t r e b u i e
u t i l i z a t e i n c o n t i n u a r e , z i l n i c , d u p a c e m u n c i t o r i i i~i r e i a u l u c r u l , a s t f e l i n c a t
c o n s t r u q i a b l o c u l u i s a f i e t e r m i n a t a l a t e r m e n u l s t a b i l i t .
b ) D e s c r i e t i , p r i n c a t e o f o r m u l a , c e l e d o u a f u n c t i i c a r e c a l c u l e a z a n u m a r u l d e
s a c i d e c i m e n t ~i r e s p e c t i v n u m a r u l d e c i i r a m i z i r a m a s e d e u t i l i z a t z i l n i c , p e
p a r c u r s u l c e l o r 6 0 d e z i l e a l e c o n s t r u c t i e i b l o c u l u i .
8 . U n t e h n i c i a n a g r o n o m m a s o a r a l a o r a 9 d i m i n e a t a v o l u m u l a p e i d i n s o l u l u n e i
g r a d i n i ~i c o n s t a t a c a a c e s t a e s t e d e 2 l i t r i i n f i e c a r e m e t r u c u b d e p a m a n t . D i n
c a u z a c a n i c u l e i d i n t i m p u l z i l e i , t e h n i c i a n u l c o n s t a t a c a , i n f i e c a r e o r a , s e
e v a p o r a d i n s o l , c a t e 2 0 0 m i l i l i t r i d e a p a d i n f i e c a r e m e t r u c u b . L a o r a 1 4 c e r u l
s e i n n o r e a z a ~i, t i m p d e d o u a o r e , v o l u m u l a p e i d i n s o l s e c o n s e r v a , i a r a p o i ,
i n u r m a u n e i p l o i t o r e n t i a l e d e 3 o r e , t e h n i c i a n u l c o n s t a t a c a v o l u m u l a p e i d i n
s o l cre~te, i n f i e c a r e m e t r u c u b d e p a m a n t , c u 3 l i t r i p e o r a .
a) Descrieti, printr-o formula, functia care determina volumul apei din fiecare metru cub de pamant al gradinii pe perioada eel or 10 ore in care tehnicianul agronom realizeaza masuratori. b) Determinati ce volum de apa va fi in solla ora 19, ~tiind ca mtreaga supra-fata a gradinii este de 1200 de metri patrati.
9. Intr-o tabara de vara sunt elevi ~i profesori, in total 220 de persoane, astfel !neat pentru fiecare grup de 10 elevi din tabara este necesara prezenta unui profesor insotitor. a) Descrieti, printr-o formula, functia ce calculeaza numarul profesorilor inso-titori in functie de numarul elevilor prezenti in tabara. b) Determinati numarul elevilor ~i al profesorilor din tabara.
10. Intr-un butoi cu capacitatea de 150 de 1itri se afla 30 de litri de must. Un fermier care tocmai a cules via, zdrobe~te strugurii ~i adauga must in vas la fiecare 10 minute, folosind o cana cu volumul de 3 litri. a) Descrie!i printr-o formula functia ce determina volumul mustului din butoi. b) Dupa cat timp va umple fermierul intregul butoi?
11. 0 cultura de cereale este invadata de un grup de 1000 de insecte parazite, care, datorita hranei pe care au gasit-o, se inmultesc ~i, in fiecare ora, numarul lor
cre~te cu 100 de noi indivizi. Dupa 4 ore proprietarul culturii intervine, im-pra~tiind insecticide asupra terenului, care au ca efect stoparea procesului de inmultire a daunatorilor in primele 2 ore, iar apoi decimarea populatiei de insecte cu cate 350 in fiecare ora. a) Dupa cat timp de la invazia daunatorilor reu~e~te proprietarul sa extermine intreaga populatie de insecte, protejandu-~i astfel cultura? b) Descrieti, printr-o formula, functia ce determina numarul insectelor dauna-toare din momentul invaziei lor, pana la exterminarea intregii populatii a acestora.
12. Un po~ta~ are de impaf!it intr-o zi 120 de scrisori astfel: 80 dintre ele au ca destinatari locuitorii unui bloc, iar restul de scrisori trebuie sa ajunga la per-soane ce locuiesc intr-un alt bloc. ~tiind ca po~ta~ul distribuie cate 8 scrisori la fiecare 10 minute, iar distanta dintre cele doua blocuri o parcurge in 20 de minute, determinati: a) timpul necesar po~ta~ului pentru a imparti toate scrisorile. b) Descrieti, printr-o formula, functia ce reprezinta numarul de scrisori pe care le mai are de distribuit po~ta~ul, din momentul in care incepe impiif!irea scrisorilor pana la terminarea distribuirii tuturor celor 120 de scrisori.
13. Un autoturism are de parcurs distanta de 450 km dintre doua localitati. Dupa ce pleaca, se deplaseaza timp de 3 ore ~i jumatate, avand viteza medie de 90 km/h ~i apoi face un popas de 45 de minute. La plecare, ~oferul autoturismului constata ca are o defectiune tehnica la motor, motiv pentru care parcurge dru-mul pana la destinatie cu o viteza medie inferioadi celei avute anterior opririi, de doar 60 km/h. a) Determinati timpul in care autoturismul a parcurs intreaga distanta. b) Descrieti, printr-o formula, func!ia ce reprezinta variatia distantei ramase de parcurs pana la destinatie, din momentul plecarii la drum.
=
33
: : I
u
I l l
w
. . . . .
: : I
>
o c : r :
I l l
2
. . . .
. E
: : : l
0
.
c : C
u
: : i
c : C
a : l l
1 : :
r o
! ? -
: : I
z
c : C
a :
w
a .
V I
: : : l
; ; :
r o
: : E
.
: : I
z
c : C
i i :
r o
Q )
~
~
@ P r o b l e m e p e n t r u p e r f o r m a n t a ~colara ~i o l i m p i a d e
1 . S e c o n s i d e r a f u n c t i a f : { 0 ; 1 ; 2 ; . . . ; 2 0 1 1 } - H 0 ; 1 ; 2 ; . . . ; 2 0 1 1} c u p r o p r i e t a t e a c a
f ( x ) = 1 - f ( y ) p e n t r u o r i c e x , y E J R , c u x = 1 - y .
a ) D e t e n n i n a t i v a 1 o a r e a s u m e i f ( O ) + f ( l ) + . . . + / ( 2 0 1 1 ) .
b ) D e t e n n i n a t i v a l o a r e a p r o d u s u l u i f ( O ) f ( l ) . . . / ( 2 0 1 1 ) .
2 . S e c o n s i d e r a m u l t i m e a A = { 1 , 2 , 3 , . . . , 2 0 0 3 } ~i f : A~A, f ( x ) = a x + b , o
f u n c t i e n e c o n s t a n t a . A r a t a t i c a / ( 1 0 0 2 ) = 1 0 0 2 .
3 . S e c o n s i d e r a a , j 3 E l R , a = 1 - j 3 ~i f u n c t i a f : { 1 , 2 , 3 , . . . , 1 9 9 7 } - 7 { a , / 3 }
C a l c u l a t i : N = ( / ( 1 ) - / ( 2 ) ) ( / ( 2 ) - / ( 3 ) ) . . . ( / ( 1 9 9 7 ) - / ( 1 ) ) .
4 . C o n s i d e r a m o f u n c t i e f : J R - 7 J R a s t f e l i n c a t f ( a ) f ( b ) = f ( a - b + a b ) ,
o r i c a r e a r f i n u m e r e l e r e a l e a ~i b ~i f ( O ) = F - 0 . C a l c u l a t i f ( O ) .
S . S e c o n s i d e r a m u l t i m e a A = {- 1 9 9 4 , - 1 9 9 3 , . . . , 1 9 9 3 , 1 9 9 4 } ~i f u n c t i a
f : A - 7 N * c u p r o p r i e t a t e a c a e x i s t a a E A a s t f e l i n c a t I f ( a ) + f ( - a ) I = 3 .
A r a t a t i c a e x i s t a b E A , b = 1 - a , p e n t r u c a r e I f ( b ) - f ( - b ) I= 1 .
6 . S e c o n s i d e r a f u n c t i a f : JR ~ JR, f ( x ) = a x + b , a = F - 0 . D a c a f ( l ) ~i ! ( . J 2 )
s u n t n u m e r e r a t i o n a l e , a r a t a t i c a f ( . J 2 - 1 ) E l R \ t Q .
7 . S e d a f u n c t i a f : l R - 7 l R : f ( x ) = a ( . J 3 + 1 ) x + b ( . J 3 - 1 ) , a , b E Z . ~tiind c a
p u n c t u l M ( . J 3 + 1 ; 6 ) a p a q i n e g r a f i c u l u i f u n c t i e i , d e t e n n i n a t i p u n c t u l d e p e
g r a f i c c u a m b e l e c o o r d o n a t e r a t i o n a l e
8 . S e c o n s i d e r a f u n c t i a f : l R - 7 l R , f ( x ) = 5 x + p , u n d e p E A .
a ) D a c a e x i s t a a , b E J R , a s t f e l i n c a t I f ( a ) - f ( b ) I: S : 1 , a r a t a t i c a I b - a I: S : 0 , 2 .
b ) D a c a M e s t e o m u l t i m e f m i t a c u 6 e l e m e n t e ~i M c [ 0 ; 1 ] , a r a t a t i c a e x i s t a
m , n E M , m = F - n , a s t f e l i n c a t I f ( m ) - f ( n ) I: S : 1 .