Download - Limite de funcţii 2003

Transcript

Capitolul I:Funcii. Limite. Integrarelor.1.1 Func i i..............................................................................................................61.2Funcii injective..................................................................................................71.3Funcii subjective...............................................................................................91.4Funcii bijective................................................................................................121.5Funcii infinit mici i funcii infinit mari..........................................................141.6Compararea funcilor........................................................................................141.7Funcii continu................................................................................................151.8 Funcie continu pe o mulime161.9Funcii derivabile..171.10 Limite de funcii.....................................................................................191.11 Calcularealimitelor unor funcii..201.12 Limite lateral211.13 Limit a unuiir22 1.14 Operaii cu funcii continue..231.15 Derivate laterale241.16 Integral.241.17 Integrala Riemann.261.18 Propriet i ale integralelor Liniaritatea..................................................281.19 Inegalitatea integralelor.291.20 Teorema fundamental a calculului integral....321.21 Integrarea numeric.321Capitolul II:Aplicaii din Analizei Matematicii prin intermediul sistemului Maple .2.1 Calculul limitelor n Maple362.2Calculul derivatelor n Maple..........................................................................372.3Calculul integralelor n Maple2.4 Studiul funcilor n MapleIntroducere2 Teza este consacrata studiuluianalizei matematic prin intermediul sistemului Maple. Lucrareadat conine dou capitole. Scopul acestei lucrrii este s prezint o serie de probleme din analiza matematic prin intermediul sistemului Maple.Calculareaelectronicpropriu-ziseaufost conceputecadispozitivedecalcule matematice pentru solu ionarea unor probleme concretei necesare din punct de vedere a evolu iei societ ii. 3Capitolul I:Funcii. Limite. Integrarelor.1.1 Func i i Multe fenomene reale din biologie,chimie,economieidinalte domenii opereaz cu mrimi, care, de cele mai multe ori, i schimbvaloarea. Se ntmpl ca varia ia unor mrimi depind de varia ia altor mrimi. No unea de func ie este cea care se potrive te cel mai bine acestor caracterizri, motiv pentru care func ia este cea mai important no iune n matematic. Defini ie. Fief o rela ie din XnYastfel nct( ) ( ) z y f z x f y x x , & ,Rela ia de mai sus se nume te func ie ( sau aplica ie ) din X n Yi se noteaz Y X f :ElementulY y corespunztor elementalX x ( sauncaretreceelementul x X) poart denumirea de imagine a elementului x prin aplica iafsau valoarea lui f n x ), iar nsu i elemental x preimagine a lui y prin f.Pentru f : X Y se mai folose tei forma prefix de reprezentare y= f(x),unde x este argumentul ( variabil independent ) func iei, iar y valoarea func iei (variabil depedent).Domeniul dedefini ieestedependent delegea fpecnddomeniul valorilor func iei estecalculat ndependen dedomeniul func iei. Deexemplu, pentru y = sinx domeniul de defini ie este (-1 ,0 ) Iar mul imea valorilor fun iei [ -1, 1 ]; pentru y = 21 x domeniile respective [ -1, 1]i[0, 1]. 1.2 Funcii injective4 Considerm funcia ( ) 0 , , , , : > + a R b a b ax x f R R f i R x x 2 1,. Studiind diferena valorilor funciei n2 1, x x,( ) ( ) ( )2 1 2 1x x a x f x f se observ c:- dac 2 1 2 1, x x xx atunci ( ) ( )2 1x f x f ,- dac ( ) ( )2 1x f x f atunci2 1x x.Aadar, funciafareurmatoareaproprietate:oricrorargumentediferitele corespund valori ale funciei diferite.Figura 1Aceast proprietate este specific unei clase importante de funcii.Definiie.Funcia B A f :se numete funcie injectiv (sau injecie) dac pentru oricare dou elementeA x x 2 1,cu proprietatea c 2 1x xrezult c ( ) ( )2 1x f x f .Revenind la funcia de gradul nti ( ) 0 , , , , : + a R b a b ax x f R R f putem spune c aceasta este injectiv.Funciadegradul al doilea ( ) 0 , , , , , :2 + + a R c b a c bx ax x f R R fnueste injectiv ntruct pentru orice { 0 \ R r avem

`

.|+

`

.| rabf rabf2 2.Definiia funciei injective este echivalent cu propoziia urmtoare.5 Propoziia I: Funcia B A f : este injectiv dac i numai dac oricare ar fi A x x 2 1,cu proprietatea c ( ) ( )2 1x f x f rezult c2 1x x. Demonstraie.Proprietatea de injectivitate a fost definit ca o implicaie de forma " " q p n care p i q sunt propoziiile urmtoare:2 1 2 1, , : x x A x x p i( ) ( )2 1: x f x f q . Propoziia II:rezult din echivalena logic dintre propoziia " " q p i contrara ei" " p q . O condiie suficient ca o funcie s fie injectiv este dat n propoziia urmtoare.Propoziia III:Dac funcia B A f :este strict monoton peAatunci feste funcie injectiv. Demonstraie. Fie A x x 2 1, cu proprietatea c2 1x x . Presupunem c2 1x x Diff (3 * x ^ 4, x); 3 12 x> Diff (sin (x) + cos (2 * x), x);cos (x) - 2 (2 x)> Diff (log (5 * x), x);351 / x> Diff (a * x ^ 2 + b * x + c, x); 2 a x + b> Diff (3 * x ^ 4 +4 * y ^ 5 +2 * z ^ 2, y); 4Diferena poate fi de asemenea folosite pentru a differiate o ecuaie orice numr de ori pe care o doriti. Acest lucru se face prin adugarea expresiei $ numrul de la al doilea argument. Numr reprezint numrul de cte ori dorii ecuaia care urmeaz s fie difereniate.Exemple:> Diff (x ^ 4, x $ 2); 2 12 x> Diff (a * x ^ 2 + b * x + c, x $ 2);2 aDin nou, unele dintre exemplele de mai sus au fost utilizate cu difereniere n Matematica.2.3 Calculul integralelor n Maple36 Cunoa tem maimulte procedeede integrare:direct, prinsubstitu ie, prin pr i, prin descompunerea func iei de sub semnul integra ei n serie. Exemplu:S se calculeze integrala.dx x x ) sin(3Indicnd toate etapele integrrii prin pr i: >I=intparts(Int(x^3*sin(x),x),x^3);dx x x x x I ) cos( 3 ) cos(2 3 >intparts( ,x^2); + + dx x x x x x x I ) sin( 6 ) sin( 3 ) cos(2 3> intparts( ,x); + + dx x x x x x x x x I ) sin( 6 ) cos( 6 ) sin( 3 ) cos(2 3>value() sin( 6 ) cos( 6 ) sin( 3 ) cos(2 3x x x x x x x I + + 372.4 Studiul funcilor n Maple Modalitile de prezentare a funciilor n maple.Sistemul Maple privede mai multe modaliti de prezentare a funcilor.Operatorul de atribuireFunciaestedefinitcuajutorul operatorului deatribuire,, :=careatribuie expresiei un nume.De exemplu:>f:=2*sgrt(x) + sin(x) x*cos(x); # in urma executrii acestei opera ii expresia 2 x+ sin (x) x cos (x) va fi identificat cu numele f.f : = 2 x + sin (x) x cos (x)Variabilei x I se poate indica o valoare cu ajutorul comenzii subs ( {x1 = a1, x2 = a2 ,} , f), unde ntre acoladele se indic variabilele xii valorile acestora, care se nlocuesc n f. De exemplu:>restart :g:=x*exp(-y)+sgrt(2*z);g:=xe) ( y +2*z>subs ({x=-2, y=1, z=2},g);-2e) 1 (+2 Stie c Maple este unsistemelectronicde calcule numerice i simbolice. Implicit sistemul efectueazopera ii simbolice. Dacsedore teob inereaunui rezultat aproximativ, sub form numeric n virgul mobil, se va apela la comanda eval f (),care poate avea doi parametri: primul reprezentnd expresia, iar cel de al doilea numrul de cifre cu care se dore te s fie reprezentat rezultatul. De exemplu, pentru exemplul de mai sus avem:>evalf (%) ; # semnul % are n vedere ultimul rezultat n calculele de mai 38sus, adica(-2e) 1 (+2)n sistemul Maple pentru determinarea derivatei funciei sunt prevzute comenzile i precumi operatorii i ,unde este expresia (funcia) , iar - un numr ntreg i pozitiv. Relaiile dintre operatorii i i comanda sunt urmtoarele:;i;Operatorul func ional n cazul acestui operator sistemul pune n coresponden mul imii ( x1, x2, ) una sau mai multe expresii ( f1, f2, ). De exemplu. Pentru o func ie de dou variabile avem:>f:= (x,y) sin (x+y) cos (x+y)f : = ( x, y ) sin (x + y) cos(x + y)Apelul e ct dse poate de simplu: astfel, dac dorim s calculm valoarea func iei pentru x = y = 2nloc de variabilele xi y ale func iei f se nscriu doar valorile acestora: > f ( Pi / 2, Pi / 2 );

39Concluzie:40 ncursulde Analiza Matematic studeniistudiaz problemeledeprogramarematematic. Importanaacestor probleme este subliniat de multitudinea problemelor reale formalizabile ca probleme de programare matematic, problemerealeceapar nvariateledomenii aleactivitii umane: tiin, tehnic, economie etc41Bibliografie1. Apostol, Tom M.(1967).Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (ed. 2nd). Wiley. ISBN 978-0-471-00005-12. Bourbaki, Nicolas (2004).Integration I.Springer Verlag.ISBN3-540-41129-1. n mod deosebit, capitolele IIIi IV 3. Burton, DavidM. (2005).TheHistoryof Mathematics: AnIntroduction (ed. 6th). McGraw-Hill. p. p. 359. ISBN 978-0-07-305189-54. Cajori, Florian (1929).AHistoryOf Mathematical NotationsVolumeII. Open Court Publishing. pp. 247252.ISBN978-0-486-67766-8. http://www.archive.org/details/historyofmathema027671mbp5. Dahlquist, Germund ; Bjrck, ke (forthcoming). Chapter5: NumericalIntegration.Numerical Methods in Scientific Computing. Philadelphia: SIAM. http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html6. Folland, GeraldB. (1984).Real Analysis: ModernTechniquesandTheir Applications (ed. 1st). Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-80958-67. Fourier, Jean Baptiste Joseph(1822). Thorie analytique de la chaleur. Chez Firmin Didot, pre et fils. p. 231.http://books.google.com/books?id=TDQJAAAAIAAJ8. Heath, T. L. , ed (2002). The Works of Archimedes. Dover. ISBN 978-0-486-42084-4.http://www.archive.org/details/worksofarchimede029517mbp(Publicat ini ial de Cambridge University Press, 1897, dup versiunea greceasc a lui J. L. Heiberg.)9. Hildebrandt, T. H. (1953).Integrationinabstract spaces.59. 111139. http://projecteuclid.org/euclid.bams/118351776110. Kahaner, David;Moler, Cleve; Nash, Stephen (1989). Chapter 5: Numerical Quadrature.Numerical MethodsandSoftware.Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-627258-811. Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899). Gerhardt, Karl Immanuel. ed.Der Briefwechsel von Gottfried WilhelmLeibniz mit Mathematikern. Erster 42Band. Berlin: Mayer & Mller. http://name.umdl.umich.edu/AAX2762.0001.001Miller, Jeff.Earliest Uses of Symbols of Calculus.http://members.aol.com/jeff570/calculus.html. Accesat la 2007-06-0212. OConnor, J. J.; Robertson, E. F. (1996).A history of the calculus. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus.html.Accesat la 2007-07-0913. Rudin, Walter(1987). Chapter 1: Abstract Integration. Real and Complex Analysis (ed. International). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-100276-914. Saks, Stanisaw (1964).Theory of the integral(ed. Traducere n englez de L. C. Young. CunotesuplimentaredeStefanBanach. Revizuit). New York: Dover15. Stoer, Josef; Bulirsch, Roland(2002). Chapter 3: TopicsinIntegration. IntroductiontoNumerical Analysis(ed. 3rd).Springer.ISBN978-0-387-95452-3.W3C (2006). Arabic mathematical notation43