2.1. Legile generale si de material. Regimuri electromagnetice. Medii electromagnetice O lege este o relatie analitica ntre marimi fizice, care descrie, sub forma cea mai generala, cunostintele despre fenomenele unui domeniu al naturii, la un moment dat. Legile sunt fundamentate pe experienta, constituind rezultatul generalizarii unui numar mare de ncercari. S-ar putea spune ca legile unui domeniu al stiintei constituie - facnd o paralela cu Matematica axiomele acestuia. Legile se pot clasifica n: - legi generale - care nu contin n expresiile lor marimi de material/mediu, deci sunt aplicabile n orice mediu; - legi de material care contin n expresiile lor si marimi de material/mediu si la aplicarea lor trebuie sa se tina seama de parametrii constitutivi( ) ai acestuia. Teorema este un enunt adevarat, care se poate deduce, prin demonstratie, din alte adev757e46h 59;ruri, presupuse cunoscute, cum ar fi legile. Regimuri electromagnetice Se defineste prin regim de functionare contextul n care variaza n timp marimile electrice si/sau magnetice. n electrotehnica se regasesc urmatoarele regimuri de functionare: Regimul static. Este regimul n care marimile electrice sunt invariabile n , nu au loc transformari energetice, conductoarele nu sunt parcurse de si sunt imobile .

timp

curent electric de conductie

Exemple: regimul electrostatic, regimul magnetostatic. Regimul stationar. n acest regim marimile de stare sunt invariabile n timp , au loc schimburi de energie cu mediul nconjurator, conductoarele sunt , fiind imobile sau mobile.

parcurse de curenti de conductie

Exemple: regimul electrocinetic stationar( regimul circuitelor de curent continuu). Regimul cvasistationar. Marimile de stare variaza suficient de lent n timp, astfel nct curentii de deplasare sunt neglijabili fata de cei de conductie , peste tot, cu exceptia dielectricului condensatoarelor electrice; conductoarele sunt imobile sau mobile.

Exemple: regimul de curent alternativ sinusoidal (monofazat sau trifazat). Regimul variabil. n acest regim marimile de stare variaza rapid n timp, au loc transformari energetice, conductoarele sunt parcurse de curenti de conductie, curentii de deplasare si cei de pierderi n dielectric nu mai pot fi neglijati, conductoarele putnd fi imobile sau mobile. Exemplu: regimul tranzitoriu. Din punct de vedere al modificarii n timp a formei marimilor de stare, se deosebesc: - regimuri permanente (exemplu: regimul electrocinetic stationar, regimul permanent sinusoidal); - regimuri variabile (exemplu: regimul tranzitoriu al circuitelor de curent continuu sau curent alternativ). Medii electromagnetice Notiunea de regim este strns legata de cea de mediu. Un mediu consta n totalitatea caracteristicilor fizico chimice ale spatiului n care au loc fenomenele studiate. Parametrii constitutivi ai unui mediu electromagnetic, respectiv parametrii ce caracterizeaza complet din punct de vedere electric si/sau magnetic un material sau un mediu, sunt - permitivitatea electrica, permeabilitatea magnetica si conductivitatea /rezistivitatea electrica. Mediile electromagnetice se pot clasifica , dupa directia de susceptibilitate la actiunea cmpului electromagnetic , n: a) medii izotrope au aceleasi proprietati n toate directiile. Astfel, un mediu dielectric, conductor sau magnetic este izotrop daca sub actiunea unui cmp (electric sau magnetic) se polarizeaza temporar n directia cmpului, oricare ar fi acesta directie; b) medii anizotrope - au proprietati diferite pe diferite directii. Astfel, polarizatia temporara si magnetizatia temporara depind de directia si sensul cmpului exterior, n sensul ca nu se produc dect pentru anumite directii (exemple: solide amorfe pentru pct. a si solide cristaline - pentru b). Dupa tipul polarizarii sau magnetizarii se deosebesc:

a) medii liniare la care polarizatia temporara sau magnetizatia temporara sunt proportionale cu , respectiv . Altfel spus, si respectiv nu depind de , respectiv de , fiind constante; b) medii neliniare la care nu se mai regaseste aceasta proportionalitate. ntre materialele neliniare pot fi exemplificate cele feroelectrice sau feromagnetice, caracterizate prin fenomenul de histerezis. Dupa uniformitatea structurii fizico-chimice se deosebesc: a) medii omogene: conductoare, elemente de circuit, izolatoare; b) medii neomogene : surse electrice ( se spune ca aceste surse de exemplu acumulatoarele - introduc neomogenitati n circuit). n continuare vor fi prezentate legile generale si cele de material specifice Electrotehnicii. 2.1.1. Legea fluxului electric

Este o lege generala cu urmatorul enunt: fluxul electric prin orice suprafata nchisa este proportional cu sarcina electrica localizata n interiorul acelei suprafete. Relatia de definitie a fluxului electric este: (2.1.1.a.) (2.1.1.b.) Aceasta relatie exprima forma integrala a legii fluxului electric. Fluxul electric este pozitiv cnd liniile de cmp ies din suprafata si invers. Acest sens este corelat cu sensul normalei exterioare la suprafata , respectiv cu sensul lui .

Daca sarcina aflata n interiorul suprafetei este data si sub forma densitatii de sarcina, atunci membrul doi este al relatiilor (2.1.1.) se mai poate scrie:

.

Pentru obtinerea formei locale se aplica teorema Gauss-Ostrogradski relatiei (2.1.1.b.): . (2.1.2.)

Considernd sarcina electrica din interiorul suprafetei cu o distributie volumetrica: (2.1.3.) si nlocuind aceasta expresie n (2.1.1.b.), se obtine: , respectiv forma locala a legii fluxului electric. Cum inductia electrica este un vector de forma sus se mai poate scrie n coordonate carteziene: relatia de mai (2.1.4.a.)

(2.1.4.b.) Asadar, n fiecare punct al domeniului considerat, divergenta vectorului inductie electrica este egala cu densitatea volumetrica de sarcina. Tub de linii de flux electric

Liniile inductiei electrice ncep din regiunile cu sarcini electrice pozitive si sfrsesc n cele cu sarcini electrice negative. Un mic volum nchis strabatut de liniile vectorului inductiei electrice poarta numele de tub de linii de flux electric ( fig. 2.1.1.).

Fig.2.1.1. Tub de linii de flux electric Daca se aplica legea fluxului electric la o suprafata de tub de flux electric, se obtine: = constant., unde este fluxul la intrare, iar - fluxul la iesire. care delimiteaza o portiune

Cu alte cuvinte, fluxul electric are aceeasi valoare n orice sectiune transversala a unui tub de flux electric, n interiorul caruia nu exista sarcini electrice. 2.1.2. Legea polarizatiei electrice temporare

Enuntul legii este urmatorul: sub actiunea unui cmp electric exterior un corp izolator omogen si izotrop se polarizeaza temporar n directia acestui cmp, astfel nct polarizatia lui este proportionala cu intensitatea cmpului electric. Sub forma cantitativa legea se scrie:

,

(2.1.5.)

unde: este permitivitatea electrica a vidului, iar este o marime de material adimensionala, numitasusceptibilitate/susceptivitate electrica , si are valoarea: Marimea F/m. nu depinde de , dar depinde de temperatura, presiune, structura

fizico - chimica a materialului.

Este o lege de material ce caracterizeaza materialele izolatoare/dielectrice liniare (metalele nu se polarizeaza electric). 2.1.3. Legea legaturii dintre si este

n orice moment si n orice punct al unui corp polarizat, inductia electrica suma dintre intensitatea cmpului electric multiplicata cu si polarizatia (2.1.6.) Este o lege generala. Marimile izolator. , si :

sunt definite n acelasi punct al corpului

innd seama de faptul ca polarizatia permanenta si, cunoscnd expresia lui

are o componenta temporara si una din (2.1.5.), rezulta:

Cu notatia:

, se obtine: , (2.1.7.)

unde

este permitivitatea relativa a materialului/mediului o marime adimensionala este permitivitatea absoluta .

care depinde de material, iar Daca =0 se obtine:

,

(2.1.8.)

relatie valabila n dielectricii (izolatorii) liniari. Aceasta relatie constituie legea polarizatiei temporare sub forma tehnica.

Scurt comentariu cu privire la cei trei vectori ai cmpului electric

,

si

Inductia electrica (densitate de flux electric, deplasare) este legata doar de sarcina electrica libera. Liniile de cmp ale lui ncep si se termina pe sarcinile electrice libere. Polarizatia este legata doar de sarcina de polarizatie si se poate reprezenta vectorial tot prin linii de cmp, care ncep si se sfrsesc pe sarcinile de polarizare. Intensitatea cmpului electric libere, fie de polarizare. Vectorul marimi derivate. este legata de totalitatea sarcinilor prezente, fie este o marime primitiva. Vectorii si sunt

O prezentare sugestiva a relatiei dintre cei trei vectori poate fi facuta n cazul unui condensator electric plan (fig. 2.1.2).

Fig. 2.1.2. Cei trei vectori ai cmpului electric

,

si

Se observa, din figura, ca se defineste numai de la sarcini libere de un semn la cele de semn opus, pe cnd se defineste si ntre sarcini libere si sarcini de polarizare (acesta este sensul expresiei este legat de). M si M sunt doua puncte n spatiul dintre armaturi (dielectric ), caracterizate prin si respectiv prin Observatie : Sensul vectorului de polarizatie din dielectric este acelasi cu sensul vectorului sub actiunea caruia s-a produs polarizarea dielectricului (vezi polarizarea dielectricilor).

2.1.4.

Legea fluxului magnetic este nul:

n orice moment fluxul magnetic prin orice suprafata nchisa

(2.1.9.) Este o lege generala. Legea fluxului magnetic exprima, ca sens fizic, inexistenta sarcinilor magnetice. Conform acesteia, fluxul magnetic ce intra printr-o parte a suprafetei este egal cu cel care iese prin alta parte, n acelasi moment, cu conditia ca n interiorul suprafetei sa nu existe alte surse de cmp magnetic. Relatia (2.1.9.) reprezinta forma generala (integrala) a legii. Ea este valabila si pentru o suprafata deschisa .

Pentru a obtine forma locala, se aplica teorema divergentei (Gauss - Ostrogradski) relatiei (2.1.9.) : , de unde rezulta: sau Ca urmare, inductia magnetica de forma sau . ; (2.1.10.)

este un vector cmp solenoidal (fara surse, rotational)

Marimea se numeste potential magnetic vector al cmpului magnetic, fara a avea o semnificatie fizica; este o marime de calcul. Fluxul magnetic devine: . Aplicnd teorema lui Stokes, relatia de mai sus capata forma: , (2.1.11.)

o alta expresie a legii fluxului magnetic, care arata ca fluxul magnetic are aceeasi valoare prin orice suprafata deschisa care se sprijina pe un contur nchis . Fluxul magnetic depinde numai de conturul si nu de forma suprafetei care se sprijina pe el.+)+)

La calculul lui cu punctele suprafetei .

, este necesar sa se cunoasca valorile inductiei

n toate

La calculul lui

cu

, este suficient sa se cunoasca valorile lui , deci rezolvarea problemei se simplifica. Legea magnetizatiei temporare

doar pe conturul

care limiteaza suprafata 2.1.5.

n fiecare punct dintr-un corp izotrop si omogen (corp metalic) si n fiecare moment, magnetizatia temporara este proportionala cu intensitatea cmpului magnetic: . (2.1.12.)

Este o lege de material ce caracterizeaza materialele liniare din punct de vedere magnetic( Cu, Al ). Marimea se numeste susceptivitate magnetica si este o marime adimensionala, care depinde de starea materialului (temperatura, presiune, deformare s.a.). Pentru materialele feromagnetice dependenta este neliniara, deci nu se mai poate aplica relatia (2.1.12.). Materialele feromagnetice sunt materiale neliniare din punct de vedere magnetic. n tehnica legea nu se utilizeaza sub acesta forma, ci combinata cu legea legaturii dintre si , astfel: ; dar deci: ;

Notnd obtine:

- permeabilitatea magnetica relativa a materialului, se

, sau: , unde: poarta numele de permeabilitate magnetica absoluta, iar permeabilitatea magnetica a vidului: H/m. este (2.1.13.)

Pentru materialele diamagnetice (de exemplu aluminiu): ; iar pentru cele paramagnetice (de exemplu cupru): ; , ,

diferentele n plus sau n minus fata de 1 si respectiv zero fiind practic nesemnificative. Se poate spune ca practic aceste materiale au ca n vid( aer ). n cazul materialelor feromagnetice si, n plus, de asemenea , deoarece . , si si ca urmare , iar ,

si atunci

, deci

,

(caracteristica magnetica este neliniara ). Pentru aer se poate scrie

2.1.6. Legea legaturii dintre

n fiecare punct din cmp (unde pot exista si corpuri magnetizabile) si n fiecare moment, inductia magnetica este suma dintre cmpul magnetic si magnetizatia , nmultite cu permeabilitatea vidului, : . (2.1.14.)

Este o lege generala. Marimile de punct/diferentiale).

,

si

sunt definite n acelasi punct (marimi

Daca se tine seama de faptul ca magnetizatia totala

este data de suma dintre

magnetizatia temporara si cea permanenta , , si se nlocuieste magnetizatia temporara cu expresia acesteia, relatia de mai sus se mai poate scrie:

Cu s-a notat permeabilitatea relativa a materialului, iar cu permeabilitatea sa absoluta. Daca vedere magnetic :

-

, se obtine relatia cunoscuta pentru materialele liniare din punct de

,

(2.1.15.)

care exprima o alta forma a legii magnetizatiei temporare, forma utilizata curent n tehnica(legea magnetizatiei temporare sub forma tehnica). n practica , pentru simplificarea calculelor, relatia (2.1.15) se utilizeaza si pentru materialele neliniare, alegnd punctul de functionare al aparatelor( a se ntelege al circuitelor magnetice respective) pe portiunea liniara a caracteristicii de magnetizare( de exemplu la proiectarea unui electromagnet). Desigur ca n cazul unei sensibilitati ridicate a aparatelor aceasta relatie liniara nu mai poate fi aplicata, fiind utilizata caracteristica de magnetizare a materialului feromagnetic, respectiv ciclul de histerezis( B=B(H) ). 2.1.7. Legea conductiei electrice (legea lui Ohm) Este o lege de material, ce poate fi exprimata sub forma locala sau integrala( G.H.Ohm, 1826). Forma locala: n orice punct dintr-un conductor aflat n stare de conductie electrica (caracterizata prin miscarea ordonata a purtatorilor de sarcina sub actiunea unui cmp electric exterior), suma dintre cmpul electric si cmpul electric imprimat este egala cu produsul dintre densitatea curentului electric de conductie si rezistivitatea materialului. Relatia corespunzatoare este : , (2.1.16.)

respectiv: (2.1.17.)

Cu

s-a notat conductivitatea materialului. Cmpul electric , la rndul sau, este dat de relatia ,

unde este intensitatea cmpului electric coulombian (de natura potentiala) produs de repartitia instantanee a sarcinii electrice n conductoare sub actiunea unui cmp electric( urmare a aplicarii la borne a unei diferente de potential, de exemplu, de la un acumulator ), iar - intensitatea cmpului electric indus (solenoidal) produs de un flux magnetic variabil n timp, n conformitate cu legea inductiei electromagnetice. Spre deosebire de cmpul coulombian, ale carui linii de cmp sunt deschise, de la sarcinile pozitive la cele negative (sensul conventional), cel solenoidal are liniile de cmp nchise (se mai numeste si rotational). Cu s-a notat intensitatea cmpului electric imprimat, un cmp de natura neelectrica (dependent de temperatura, concentratie, presiune etc.) si care se stabileste n conductoarele cu neomogenitati de structura (cu surse electrochimice, cum sunt acumulatoarele electrice), sau n conductoarele accelerate (cazul masinilor electrice , unde sau, mai corect, ).

Legea se refera, sub forma aratata, la conductoare liniare, izotrope si neomogene. Pentru conductoare omogene (fara surse electrice) legea devine: sau . (2.1.18.)

n teoria si practica circuitelor electrice legea se utilizeaza sub forma integrala. n acest scop se integreaza expresia locala a legii conductiei electromagnetice pentru o portiune oarecare de circuit neramificat, constituit dintr-un conductor liniar si izotrop, alimentat la borne cu o tensiune continua si continnd o sursa electrica (fig.2.1.3):

Fig. 2.1.3. Circuit simplu neramificat (2.1.19.)

unde , este densitatea curentului electric de conductie din circuit, i intensitatea curentului electric de conductie, A aria sectiunii transversale a conductorului. Cu R s-a notat expresia :

, ce reprezinta rezistenta electrica a portiunii de conductor 1 2. Cum si A practic nu variaza de-a lungul conductorului: (2.1.20.)

,

unde

este lungimea conductorului ntre punctele 1 si 2. Calculnd pe portiuni integrala din membrul stng, se obtine:

,

unde:

este tensiunea electrica n lungul firului, iar

este t.e.m. a sursei din circuit. Ca urmare: , (2.1.21.)

expresie care reprezinta forma integrala a legii conductiei electrice. n regim stationar (curent continuu) si se poate scrie:

, deoarece integrala lui nu depinde de drum( a se vedea teorema potentialului electric).

Ca urmare, legea conductiei electrice se poate scrie n regim stationar:

,

(2.1.22.)

cu semnul (+) pentru cazul cnd se aplica regula de la receptoare (sensurile lui si fata de borne coincid) si cu semnul (-) cnd se aplica regula de la generatoare (sensurile lui si fata de borne nu coincid). , se obtine: , (2.1.23.)

Daca

expresie ce reprezinta legea lui Ohm, lege valabila numai pentru laturi de circuit pasive, neramificate, parcurse de curent electric de conductie.

2.1.8. Legea transformarii energiei n conductoare parcurse de curent electric (legea Joule- Lenz)

Forma locala a legii: Puterea instantanee a cmpului electromagnetic transformata pe unitatea de volum a unui conductor parcurs de curent electric de conductie n caldura este data de produsul scalar dintre intensitatea cmpului electric ( ) si densitatea de curent ( ) ,n punctul( volumul infinitezimal ) n care se calculeaza: (2.1.24.) Este o lege generala. n cazul conductoarelor liniare, izotrope si omogene, vectorii omoparaleli si cum se obtine: si fiind

, conform legii conductiei electrice, pentru aceste conductoare

.

(2.1.25.)

Marimea se mai numeste densitatea de volum a puterii din circuit si reprezinta energia electromagnetica transformata ireversibil n caldura, prin efect Joule Lenz, n conductor. Daca conductorul este neomogen (contine surse de energie electrica de tipul acumulatorului electric), din legea conductiei electrice se determina

si nlocuind pe

n relatia lui

se obtine: (2.1.26.)

n aceasta relatie:

este partea din energia electromagnetica primita de conductor de la retea, n unitatea de timp si transformata ireversibil n caldura pe unitatea de volum a conductorului , independent de sensul curentului. Marimea:

este partea din energia electromagnetica schimbata ntre sursa din circuit ( cnd aceasta exista ) si cmpul electromagnetic din circuit. n cazul n care >0, vectorii este cedata de sursa si primita de cmp. si sunt omoparaleli (au acelasi sens) si

n cazul n care 0 si sursa cedeaza energie

Fig. 2.1.5. Latura generatoare - daca si au sensuri opuse, atunci