ELEMENTE DE STATISTICA MATEMATICA

ANALIZA MATEMATIC CLASA A XII-A Prof. Ioan Huma

I. INTEGRALA NEDEFINIT.1. Primitive. Proprieti.

Pe parcursul cursului, I este un interval;

Definiia 1. Fie f: I R. Se spune c f admite primitive pe I dac F : I R astfel nct

a) F este derivabil pe I;

b) F(x) =f(x), x I.

F se numete primitiva lui f. ( I poate fi i o reuniune finit disjunct de intervale).

Teorema 1.1 Fie f: I R. Dac sunt dou primitive ale funciei f, atunci exist o constant c R astfel nct xI.

Demonstraie:Dac sunt primitive atunci sunt derivabile x I

EMBED Equation.3 , x I. , c= constant

OBS1. Fiind dat o primitiv a unei funcii atunci orice primitiv F a lui f are forma F = + c , c= constant

f admite o infinitate de primitive.

OBS 2. Teorema nu mai rmne adevrat dac I este o reuniune disjunct de intervale Expl: f: R-, f(x) = x

F = , G= F, G sunt primitive ale lui f dar F-G nu e constant . Contradicie cu T 1.1

OBS 3. Orice funcie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux.

Se tie c derivata oricrei funcii are P. lui Darboux , rezult c f are P lui Darboux. F =f.

OBS 4. Dac I este interval i f(I) nu este interval atunci f nu admite primitive.

Dac presupunem c f admite primitive atunci din OBS 3 rezult c f are P lui Darboux, rezult f(I) este interval ceea ce este o contradicie.

OBS 5. Orice funcie continu definit pe un interval admite primitive.

Definiia 2. Fie f: I R o funcie care admite primitive. Mulimea tuturor primitivelor lui f se numete integrala nedefinit a funciei f i se noteaz prin simbolul dx. Operaia de calculare a primitivelor unei funcii(care admite primitive ) se numete integrare.

Simbolul a fost propus pentru prima dat de Leibniz, n 1675.

Fie F(I)= Pe aceast mulime se introduc operaiile :

(f+g)(x) =f(x)+ g(x) ,

(f)(x)=.f(x), constant

C==

dx =.

Teorema 1.2 Dac f,g:I R sunt funcii care admit primitive i R, 0, atunci funciile f+g, f admit de asemenea primitive i au loc relaiile:(f+g) =f +g, f=f, 0, f =f +C

2. PRIMITIVELE FUNCIILOR CONTINUE SIMPLE1. Ex

2. Ex.

3. Ex

4. Ex

5. 6. 7.

8. 9. 10.

11. Ex

12. Ex

13. Ex

14. Ex

15. Ex

16. 17.

18. Ex

19. Ex

20. Ex

21. Ex

22. Ex

23. Ex

I. S se calculeze primitivele urmtoarelor funcii.

1. (3x 2. x(x-1)(x-2)dx 3. 4. 5. 6.

7. x 8. 9. ( e 10. (x

11. 12. 13. 14.

15. 16*. 17*. 18*.

19*. 20*. 21*.

EMBED Equation.3 3. PRIMITIVELE FUNCIILOR CONTINUE COMPUSE

1. Ex

2. Ex

3. Ex

4. Ex

5. Ex

6. Ex

7. Ex

8. Ex

9. Ex

10. Ex

11. Ex

12. Ex

13. Ex

14. Ex

15. Ex

16. Ex

17. Ex

18. Ex

19. Ex

20. Ex

21. Ex

22.

23.

24.

II.S se calculeze primitivele urmtoarelor funcii compuse.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14.

III. S se arate c urmtoarele funcii nu admit primitive.

1. f: R R, f(x) = 2. f: R R , f(x) = [x] ( partea ntreag din x)

3. f: R R, f(x) = 4. f: R R , f(x) = [X] +X

5. . f: R R f(x) = 6. f: R R , f(x) =

IV. S se determine a,b numere reale astfel nct F s fie primitiva unei funcii f. 1*. F(x) = 2*. F(x) =

3*. F(x) = 4*. F(x) =

5*. F(x) = 6*. F(x) =

V. S se verifice dac urmtoarele funcii admit primitive i n caz afirmativ s se determine o primitiv.

1. f: R R, f(x) = 2. f: R R, f (x) =

3*.f:[0,)R, f(x) = 4*. f:[-2,)R, f(x) =

II. METODE DE CALCUL AL INTEGRALELOR.1. Formula de integrare prin pri.

Teorema 1.1 Dac f,g:RR sunt funcii derivabile cu derivatele continue, atunci funciile fg, fg, fg admit primitive i are loc relaia: f(x)g(x)dx =f(x)g(x)- f(x)g(x)dx

Demonstraie: f,g derivabile f,g continue fg,fg,fg continue i deci admit primitive.

Cum (fg)=fg+gf rezult prin integrare ceea ce trebuia de demonstrat.

S se calculeze integralele:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9*. 10. 11. 12.

13. 14. 15.

16*. 17. 18.

19. 20. 21.

22*. 23. 24*.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

31. 32. 33*.

34*. 35. 36.

37. 38. 39.

40. 41*. 42*.

43*. 44*. 45*.

46. 47*.

Rezolvri:

1.

2.

4. Observaie: La integralele care conin funcia logaritmic nu se umbl la ea ci se scriu celelalte funcii ca f

20.

25.

Notnd cu I integrala rezult:

Observaie: La integralele unde apare funcia exponenial , se va scrie aceasta ca f

29. 32. 37.

Observaie: La integralele care conin funcii polinomiale i funcii trigonometrice nu se va umbla la funciile polinomiale ci doar la funciile trigonometrice care se vor scrie ca f 41*. Se tie c: III. METODE DE CALCUL AL INTEGRALELOR2. FORMULA SCHIMBRII DE VARIABIL (SAU METODA SUBSTITUIEI).

Teorem: Fie I,J intervale din R i

1) este derivabil pe I;

2) f admite primitive. (Fie F o primitiv a sa.)

Atunci funcia (f o) admite primitive, iar funcia F o este o primitiv a lui (f o) adic:

S se calculeze integralele:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8.

EMBED Equation.3 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36 . 37. 38.

Rezolvri:

1. unde ax+b=t adx=dt dx=

2. unde 2x-1=t 2dx=dt

3.

4.

7.

8.

EMBED Equation.3 Notm:

15. Notm:

20. deoarece:

23.

28

INTEGRAREA FUNCIILOR TRIGONOMETRICE

Calculul integralelor trigonometrice se poate face fie folosind formula integrrii prin pri, fie metoda substituiei. n acest caz se pot face substituiile:

1. Dac funcia este impar n sin x, R(-sin x,cos x)=-R(sin x,cos x) atunci cos x=t.

2. Dac funcia este impar n cos x, R(sin x,-cos x)=-R(sin x,cos x) atunci sin x=t.

3. Dac funcia este par n raport cu ambele variabile R(-sin x,-cos x) atunci tg x=t.

4. Dac o funcie nu se ncadreaz n cazurile 1,2,3,atunci se utilizeaz substituiile universale:

5. Se mai pot folosi i alte formule trigonometrice:

sin 2x=2sin x .cos x,

S se calculeze:1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20.

Rezolvri:

1. Notm sin x=t cosx dx= dt

EMBED Equation.3 2. Notm cos x=t -sin x dx=dt

10. 12. Notm cu t pe arcsin x

IV. INTEGRAREA FUNCIILOR RAIONALE

Definiie: O funcie f:IR , I interval, se numete raional dac R(x)= unde f,g sunt funcii polinomiale.

Dac grad f grad g, atunci se efectueaz mprirea lui f la g f=gq+r, 0grad r