Capitolul �
Generaliz�ari ale not�iunii
de integral�a
�Tot ce va servi la ceva� e bun��W� Shakespeare�
P�an�a acum s�a considerat c�a
bZa
f�x�dx reprezint�a o inte�
gral�a Riemann� dac�a sunt ��ndeplinite condit�iile� a �� �� �sib �� �� f funct�ie m�arginit�a pe �a� b� �si f funct�ie real�a de osingur�a variabil�a real�a�
Dac�a una din aceste condit�ii nu este ��ndeplinit�a� atunci
expresia
Z b
a
f�x�dx constituie o extindere a not�iunii de inte�
gral�a��In acest capitol vom preciza sensul acestei not�iuni pentru
c�ateva dintre aceste extinderi�
��� Integrale improprii
�In multe situat�ii practice apar integrale care au intervalul de
���
integrare de lungime in nit�a �si integrale pentru care funct�iade integrat nu este m�arginit�a�
Astfel de integrale se numesc improprii sau generalizate�Dac�a lungimea intervalului este in nit�a� adic�a avem una dinsituat�iile
I �
��Za
f�x�dx � I �
bZ��
f�x�dx � I �
��Z��
f�x�dx �
ZR
f�x�dx�
atunci spunem c�a avem integrale improprii de spet�a �n�ai�Dac�a funct�ia de integrat este nem�arginit�a pe �a� b�� atuncispunem c�a avem integrale improprii de spet�a a doua�Dac�a at�at intervalul de integrare este de lungime in nit�a� c�at�si f este nem�arginit�a ��n acest interval� atunci spunem c�a avemintegrale improprii mixte�
De�nit�ia ����� Fie f � �a��� � R o funct�ie integrabil�a pe
orice interval �a� b�� b � R� b � a Dac�a exist�a limb��
bZa
f�x�dx�
atunci prin denit�ie
�Za
f�x�dx � limb��
bZa
f�x�dx�
c�and limita este nit�a spunem c�a integrala este convergent aiar ��n caz contrar� adic�a dac�a limita nu exist�a sau este in�nit�a� spunem c�a integrala improprie este divergent a
�In mod analog de nim
bZ��
f�x�dx � lima���
f�x�dx
���
�si�Z
��
f�x�dx � lima���b��
bZa
f�x�dx�
Imediat se observ�a c�a avem relat�iile
bZ��
f�x�dx �
�Z�b
f��t�dt
�si
��Z��
f�x�dx �
Z C
��f�x�dx �
��ZC
f�x�dx � C � R�
care ne arat�a c�a este su cient s�a studiem cazul intervalului�a����Exemplul ������ S�a consider�am integrala
�Za
dx
x�� a � �si � � R�
Pentru b � a �si � �� � avem
bZa
dx
x��
�
�� ��b��� � a�����
Limita
limb��
�
�� ��b��� � a����
este nit�a� ind egal�a cua���
�� �� pentru ��� � � adic�a � � ��
���
�In cazul � � � avem
�Za
dx
x� lim
b��
bZa
dx
x� lim
b���ln b� ln a� ���
integrala ind divergent�a�
�In concluzie� avem c�a
�Za
dx
x��
a���
�� �pentru � � �� adic�a
este convergent�a� iar pentru � � � integrala improprie estedivergent�a�Exemplul ������ Fie de calculat integrala improprie
��Z��
dx
x� � �
Avem��Z��
dx
x� � � lim
a���b��
bZa
dx
x� � �
� lima���b��
�
�
�arctg
b
�� arctg
a
�
��
�
�
������
���
��
Observat�ia ����� Putem scrie
�Za
f�x�dx �
kZa
f�x�dx�
k��Zk
f�x�dx� ����
k�nZk�n��
f�x�dx� ����
k � N� k � a
Dac�a not�am un �
k�nZk�n��
f�x�dx� n � �� �� ���� u� �
kZa
f�x�dx�
���
atunci�Zk
f�x�dx ��Xn �
un�
adic�a integralei
�Za
f�x�dx��i corespunde seria numeric�a�Xn �
un�
Integrala improprie �si seria asociat�a au aceea�si natur�a�Aceast�a observat�ie ne permite s�a adapt�am criteriile de
convergent��a de la seriile numerice la integralele improprii despet�a ��nt�ai�
Teorema ����� �Criteriul lui Cauchy� Integrala impro�
prie
�Za
f�x�dx� este convergent�a dac�a �si numai dac�a pentru
orice � � exist�a M��� � R� a�sa ��nc�at pentru orice �� � � R�� � � � M��� s�a avem������
Z�
f�x�dx
������ � ��
Demonstrat�ia rezult�a imediat din Criteriul lui Cauchy scris
pentru seria numeric�aXn��
un�
De�nit�ia ����� Integrala improprie
Z �
a
f�x�dx se nume�ste
absolut convergent a dac�a integrala improprie
�Za
jf�x�jdx
este convergent�a
���
Teorema ����� Dac�a
�Za
f�x�dx este absolut convergent�a�
atunci ea este convergent�a
Pentru demonstrat�ie se folose�ste Teorema ����� �si inegali�tatea ������
bZa
f�x�dx
������ �bZ
a
jf�x�jdx�
S�i criteriile de comparat�ie de la serii cu termeni pozitivi seextind imediat la integrale improprii�
Teorema ����� �primul criteriu de comparat�ie� Fie f� gfunct�ii denite �si integrabile pentru x � a Dac�a � f�x� �g�x� pentru x � a� atunci�
�� dac�a
�Za
g�x�dx este convergent�a� atunci �si
�Za
f�x�dx este
convergent�a�
�� dac�a
�Za
f�x�dx este divergent�a� atunci �si
�Za
g�x�dx este
divergent�a
Teorema ����� �Al doilea criteriu de comparat�ie� Fie
funct�iile f� g � �a��� � ���� dac�a limx��
f�x�
g�x�� k� k �
����� atunci integralele improprii
�Za
f�x�dx �si
�Za
g�x�dx
su aceea�si natur�a� adic�a ambele sunt convergente sau ambelesunt divergente Dac�a k � � atunci convergent�a integralei�Za
g�x�dx implic�a convergent�a integralei
�Za
f�x�dx
���
Corolarul ����� Fie f � �a��� � ����� a � Dac�aexist�a lim
x��x�f�x� � k� k constant�a real�a nit�a� pentru � � ��
atunci integrala
�Za
f�x�dx este convergent�a Dac�a � � � �si
k � � atunci integrala este divergent�a
Valabilitatea Corolarului rezult�a din Teorema ����� �si Ex�emplul ���
Exemplul ������ Integralele improprii
�Za
x�e�xdx� a � �
sunt convergente pentru orice � real��Intr�adev�ar� pentru x � putem scrie
ex � � �x
�!� ����
xn
n!� ��� �
xn
n!� n � N �
De aici� avem � e�x �n!
xn� adic�a � x�e�x �
n!
xn���
Aleg�and n � N a�sa ��nc�at n�� � � � � �si aplic�and primul cri�
teriu de comparat�ie pentru f�x� � x�e�x� g�x� �n!
x�� � � ��
pe baza Exemplului ��� obt�inem a rmat�ia din enunt�ul exem�plului�
Exemplul ������ Integralele improprii
�Za
Pm�x�
Qn�x�dx� Pm �si
Qn ind funct�ii polinomiale cu coe cient�i reali� cu gradele m�si respectiv n� Qn �� pentru x � a� sunt convergente pentrun�m � ��
Avem
limx��
x�Pm�x�
Qn�x�� lim
x��x�amx
m � am��xm�� � ���� a�
bnxn � bn��xn�� � ���� b��
��
� limx��
x��m�n am �
am��
x� ����
a�xm
bn �bn��
x� ��� �
b�xn
�ambn
dac�a � � n � m� Conform Corolarului ������ integrala dat�aeste convergent�a dac�a n�m � ��
�In mod analog se studiaz�a �si integralele improprii de spet�aa doua�
De�nit�ia ����� Fie funct�ia f � �a� b�� R� nem�arginit�a ��n b�dar m�arginit�a �si integrabil�a pe orice subinterval ��nchis �a� �� �
�a� b� dac�a exist�a lim��b��b
Za
f�x�dx� atunci prin denit�ie
bZa
f�x�dx � lim��b��b
Za
f�x�dx�
Dac�a limita este nit�a� atunci spunem c�a integrala impro�prie este convergent a iar ��n caz contrar spunem c�a integralaeste divergent a�
Dac�a f este nem�arginit�a ��n a atunci
bZa
f�x�dx � lim��a��a
bZ�
f�x�dx�
iar dac�a f este nem�arginit�a ��ntr�un punct c� a � c � b� atunci
bZa
f�x�dx �
cZa
f�x�dx�
bZc
f�x�dx�
Pe baza acestor considerente� ne putem limita numai la
cazul
bZa
f�x�dx� cu limx�bx�b
jf�x�j ���
��
Exemplul ������ Integrala
bZa
dx
�b� x��este convergent�a pen�
tru � � � �si divergent�a pentru � � ��Avem
Za
dx
�b� x���
�
�� �
�
�b� x����
����a
�
��
�� �
��
�b� ������ �
�b� a����
�
cu
lim��b��b
�
�� �
��
�b� ������ �
�b� a����
�
�
�� � �
�b� a����
pentru � � � �si �� pentru � � �� Deci � � � valoareaintegralei este � ln jb� xj ja�� c�and � � b� � � b� decieste divergent�a�
Dac�a b� a � �� atunci putem scrie
bZa
f�x�dx �
b��Za
f�x�dx �
b� ��Z
b��
f�x�dx�
b� ��Z
b� ��
f�x�dx� ����
�
b� �n��Z
b� �n
f�x�dx� ����
iar dac�a punem u� �
b��Za
f�x�dx �si un �
b� �n��Z
b� �n
f�x�dx� n �
���
�� �� ���� atunci obt�inem
bZa
f�x�dx ��Xn �
un�
care exprim�a integrala improprie de spet�a a doua printr�o serienumeric�a�
Ca �si la integralele improprii de spet�a ��nt�ai� putem trans�forma criteriile de convergent��a de la seriile de numere reale ��ncriterii de convergent��a pentru integrale improprii de spet�a adoua�
Teorema ����� �Criteriul lui Cauchy�� Integrala impro�
prie
bZa
f�x�dx� cu limx�bx�b
jf�x�j ��� este convergent�a dac�a �si
numai dac�a pentru orice � � exist�a un num�ar M��� � a�sa ��nc�at pentru orice � �si � cu b �M��� � � � � � b s�a
avem
������bZ
a
f�x�dx
������ � �
De nit�ia ����� �si Teoremele ����� �si ����� se p�astreaz�a f�ar�amodi c�ari �si pentru integralele improprii de spet�a a doua�
Teorema ���� �Al doilea criteriu de comparat�ie�� Fie
funct�iile f� g � �a� b� � ���� Dac�a limx�bx�b
f�x�
g�x�� k� k �
����� atunci integralele improprii
bZa
f�x�dx �si
bZa
g�x�dx au
aceea�si natur�a Dac�a k � � atunci convergent�a integralei
improprii
bZa
g�x�dx implic�a convergent�a integralei improprii
���
bZa
f�x�dx
Corolarul ����� Fie f � �a� b� � ���� cu limx�bx�b
f�x� ��
Dac�a limx�bx�b
�b� x��f�x�dx � k� k constant�a real�a nit�a� pentru
� � �� atunci integrala improprie
bZa
f�x�dx este convergent�a
Dac�a � � � �si k �� � atunci integrala este divergent�a
Exemplul ����� S�a studiem convergent�a integralei�Z
�
dx p�� x
�
Funct�ia f � �� ��� ����� f�x� ��
p�� x
divine in nit�a
c�and x� �� x � �� deci avem o integral�a improprie de spet�aa doua� Cum
f�x� ��
p�� x p� � x � x� � x� � x� � x�
� � p�� x
�
x � �� �� �si
Z�
p�� x
dx �
Z�
��� x���dx este convergent
�v� Exemplul ��� � � ��� � ��� deducem c�a integrala dat�aeste converget�a�Exemplul ������ S�a studiem natura integralei
bZa
dxp�x� a��b� x�
�
Se observ�a c�a funct�ia f � �a� b� � �����
f�x� ��p
�x� a��b� x�devine �� at�at ��n a c�at �si ��n b�
���
Pentru studierea naturii integralei utiliz�am Corolarul ������Avem
limx�bx�b
�b� x��f�x� � limx�bx�b
�b� x����� �p
x� a�
�pb� a
pentru � ��
�� � �si
limx�ax�a
�x� a��f�x� � limx�ax�a
�x� a����� �p
b� x�
�pb� a
pentru � ��
�� �� deci integrala dat�a este convergent�a�
Observat�ia ����� Din considerat�iile anterioare� deducem c�apropriet�at�ile principale ale integralei Riemann se p�astreaz�a �si��n cazul integralelor improprii convergente Astfel� de exem�plu� pentru o integral�a improprie de spet�a ��nt�ai are loc formulalui Leibniz � Newton
Teorema ����� Fie f � �a��� � R� integrabil�a �si e F oprimitiv�a a funct�iei f pe intervalul �a��� Atunci integrala
improprie
�Za
f�x�dx este convergent�a dac�a �si numai dac�a ex�
ist�a limx��
F �x� �si ��n plus este valabil�a formula Leibniz � Newton
�Za
f�x�dx � F ���� F �a� � F ��� � limx��
F �x��
Demonstrat�ie� Pentru orice b � a avembRa
f�x�dx � F �b��F �a� �si prin trecere la limit�a se obt�in a rmat�iile din enunt��
�In mod analog se extind schimbarea de variabil�a �si inte�grarea prin p�art�i�
���
Exemplul ������ S�a calcul�am
�Z�
�x� ��e�xdx�
Avem�Z�
�x� ��e�xdx � �xe�x�������
�
� �
Observat�ia ����� �In cazul unor integrale improprii diver�gente se ata�seaz�a o valoare printr�un procedeu datorat luiCauchy
Acesta este aplicabil integralelor improprii de spet�a ��nt�aide forma
��Z��
f�x�dx
�si integralelor improprii de spet�a a doua
bZa
f�x�dx
��n care f devine in nit�a ��ntr�un punct c� a � c � b�
De�nit�ia ����� Integrala improprie
��Z��
f�x�dx se nume�ste
convergent a �n sensul valorii principale Cauchy� dac�alimita
lima��
aZ�a
f�x�dx � v p C��Z��
f�x�dx
exist�a �si este nit�a
���
Exemplul ������ Pentru integrala improprie divergent�a�Z
��
dx
xavem
v p C�Z
��
dx
x� lim
���
%& �Z��
dx
x�
�Z�
dx
x
'( � ln ��
��� Integrale cu parametri
S�a trecem la extinderea not�iunii de integral�a��n cazul funct�iilorde mai multe variabile� Dac�a funct�ia de integrat este de maimulte variabile �si ea este integrat�a Riemann ��n raport cu unadin variabile� atunci spunem c�a avem o integral a cu para�mentri� Acestea au forma general�a
I���� ��� ���� �p� �
bZa
f�x� ��� ��� ���� �p�dx�
unde ��� ��� ���� �p sunt parametrii reali cu valori din anumitemult�imi de numere� Se observ�a imediat c�a o integral�a de acestfel de ni�ste o funct�ie de p variabile ��� ��� ���� �p�
�In leg�atur�a cu astfel de funct�ii se pune problema studieriipropriet�at�ilor de baz�a �trecerea la limit�a� continuitatea� deriv�abilitatea �si integrabilitatea� f�ar�a a calcula efectiv integralacare de ne�ste funct�ia�
�In continuare� ne vom limita numai la cazul p � �� adic�ala funct�iile de forma�
I��� �
bZa
f�x� ��dx � � � Y � R� �����
���
Teorema ����� �Teorema trecerii la limit a� Fie f ��a� b��Y � R o funct�ie de dou�a variabile� integrabil�a ��n raportcu x pe �a� b� �si �� un punct de acumulare pentru Y Dac�aexist�a lim
����f�x� ��� atunci
lim����
I��� � lim����
bZa
f�x� ��dx �
bZa
�lim����
f�x� ��
�dx�
Demonstrat�ie� Fie � � �si not�am lim����
f�x� �� � g����
atunci exist�a ���� � astfel ca pentru j� � ��j � ���� s�aavem jf�x� ��� g���j � ���b� a�� Atunci putem scrie�������
bZa
f�x� ��dx�bZ
a
g���dx
������ �
�
������bZ
a
�f�x� ��� g���dx�
������ �bZ
a
jf�x� ��� g���jbadx � ��
ceea ce demonstreaz�a Teorema ������
Observat�ia ����� Teorema ��� ne arat�a c�a ��ntr�o inte�gral�a cu parametru putem interventi operat�ia de integrare cuoperat�ia de trecere la limit�a
Pentru a putea aprofunda studiul propriet�at�ilor funct�ieiI��� vom considera Y � �c� d��
Teorema ����� Dac�a funct�ia f � �a� b� � �c� d� � R estecontinu�a ��n raport cu ansamblul variabilelor pe dreptunghiul�a� b� � �c� d�� atunci funct�ia I denit�a de ���� este continu�ape intervalul �c� d�
���
Demonstrat�ie Fie �� un punct din intervalul �c� d��Form�am diferent�a
I���� I���� �
bZa
�f�x� ��� f�c� ����dx�
Funct�ia de dou�a variabile f � ind continu�a ��n dreptunghiul�a� b� � �c� d�� este �si uniform continu�a ��n acest domeniu�Atunci� pentru orice � � � exist�a un ���� � � a�sa ��nc�ats�a avem
jf�x� ��� f�x� ���j � �
b� a
dac�a j�� ��j � �����Acum� putem scrie
jI���� I����j �bZ
a
jf�x� ��� f�x� ���jdx � �
b� a�b� a� � ��
dac�a j�� ��j � �����Deci� avem lim
����I��� � I����� ceea ce ne arat�a c�a funct�ia I
este continu�a ��n ��� Cum �� a fost ales arbitrar din intervalul�c� d�� rezult�a c�a funct�ia I este continu�a pe �c� d��
Teorema ����� �De derivare sub semnul integral a�Dac�a f � �a� b� � �c� d� � R este continu�a ��n dreptunghiul�a� b� � �c� d� �si exist�a derivata part�ial�a f �� continu�a ��n raportcu ansamblul variabilelor ��n acela�si dreptunghi� atunci funct�ia
I��� �
bZa
f�x� ��dx este derivabil�a pe �c� d� �si are loc formula
I ���� �
bZa
f ���x� ��dx�
���
Demonstrat�ie Fie �� un punct xat din �c� d�� Din egali�tatea
I���� I����
�� ��
�
bZa
f�x� ��� f�x� ���
�� ��
dx�
prin trecere la limit�a sub integral�a� avem
limx�x�
I���� I����
�� ��
�
bZa
f ���x� ���dx�
care ne arat�a c�a funct�ia I este derivabil�a ��n �� �si are loc for�mula din enunt�ul teoremei�Exemplul ������ S�a calcul�am derivata funct�iei I de nit�aprin
I��� �
�Z�
sin�x
xdx � � � R�
Integrala nu este improprie deoarece limx��
sin�x
x� ��
Avem
I ���� �
�Z�
x cos�xx
dx �
�Z�
cos�xdx �
�sin�x
�
������
�sin�
��
Observat�ia ����� �In unele situat�ii se consider�a integrale cuparametru ��n care �si limitele de integrare depind de parametru�adic�a avem
I��� �
b���Za���
f�x� ��dx � � � �c� d��
��
Dac�a� pe l�ang�a condit�iile din Teorema ������ mai adaug�amfaptul c�a funct�iile a �si b sunt derivabile ��n raport cu � pe �c� d��atunci are loc formula
I ���� �
b���Za���
f ���x� ��dx� b����f�b���� ��� a����f�a���� ���
Teorema ����� �de integrare� Dac�a funct�ia f � �a� b� ��c� d� � R este continu�a ��n raport cu ansamblul variabilelor��n dreptunghiul �a� b� � �c� d�� atunci oricare ar intervalul��� �� � �c� d� are loc egalitatea
Z�
I���d� �
Z�
"# bZa
f�x� ��dx
$A dx �
bZa
"# Z�
f�x� ��dx
$A dx�
Cu alte cuvinte� ��n condit�iile teoremei se poate integra subsemnul integralei� sau se poate schimba ordinea de integrare�
Demonstrat�ie Fie z � �c� d�� vom demonstra egalitateamai general�a
zZ�
"# bZa
f�x� ��dx
$A d� �
bZa
"# zZ�
f�x� ��d�
$A dx�
Facem notat�iile
��z� �
zZ�
"# bZa
f�x� ��dx
$A d�
�si
��z� �
bZa
"# zZ�
f�x� ��d�
$A dx�
��
Avem
���z� �
bZa
f�x� ��dx�
�si
���z� �
bZa
f�x� ��dx�
oricare ar z � �c� d�� De aici� rezult�a c�a ��z� � ��z� � C� constant�a� Cum ���� � ���� � � obt�inem C � � ceea cene arat�a c�a ��z� � ��z�� oricare ar z � �c� d�� Teorema estedemonstrat�a�Exemplul ������ S�a consider�am integrala cu parametru
I��� �
�Z�
x�dx�
Integr�am funct�ia I pe intervalul �a� b�� � a � b� �si avem
bZa
I���d� �
bZa
"# �Z�
x�dx
$A d� �
�Z�
"# bZa
x�d�
$A dx
de undebZ
a
x���
�� �
�������
�
d� �
�Z�
x�
lnx
����ba
dx
saubZ
a
d�
�� ��
�Z�
xb � xa
lnxdx�
ceea ce conduce la�Z
�
xb � xa
lnxdx � ln��� ��jba � ln
b � �
a � ��
���
Se observ�a c�a� utiliz�and proprietatea de intervertire a or�dinii de integrare ��ntr�o integral�a cu parametru� am reu�sit s�acalcul�am o integral�a greu de calculat pe alt�a cale�
De fapt� aceasta este una dintre aplicat�iile importante aleintegralelor cu parametrii� calculul unor integrale greu deevaluat pe alt�a cale�
Deseori� integrale f�ar�a parametru sunt transformate ��n in�tegrale cu parametru la care� apoi� se aplic�a derivarea sau inte�grarea sub semnul integralei �si se obt�ine o valoare mai general�apentru integrala dat�a� Prin particularizarea parametrului seobt�ine valoarea integralei date�Exemplul ������ S�a calcul�am integrala
I �
�Z�
arctgx
xp�� x�
dx�
Se observ�a c�a integrala nu este improprie deoarece
limx��
arctgx
xp�� x�
� �� Consider�am integrala mai general�a
I��� �
�Z�
arctg�x
xp�� x�
dx � � � �����
Deriv�am ��n raport cu parametrul � �si avem
I ���� �
�Z�
x
� � ��x� �
xp�� x�
dx �
�Z�
dx
�� � ��x��p�� x�
�
F�ac�and schimbarea de variabil�a x � cos t� g�asim
I ���� �
��Z
�
dt
� � �� cos� t�
�p� � ��
arctgtgtp� � ��
���������
�
�
���
�
� �p
� � ���
De aici� integr�and ��n raport cu �� g�asim
I��� �
�ln���
p� � ��� � C�
Cum I�� � � rezult�a C � �si
I��� �
�ln���
p� � ����
Pentru � � � avem
I��� � I �
�ln�� �
p���
Observat�ia ����� �In cazul c�and integrala ce depinde de unparametru este improprie� cele expuse ��n acest paragraf r�am�anvalabile cu condit�ia ca integralele improprii cu care se lucreaz�as�a e convergente
Exemplul ������ S�a consider�am integrala
I��� �
�Z�
e��xsin x
xdx � � � �����
Scriem
I��� �
�Z�
e��xsin x
xdx�
�Z�
e��xsinx
xdx�
Cum limx��x��
e��xsin x
x� �� rezult�a c�a prima integral�a este
convergent�a�Deoarece� pentru x � � avem����e��x sinxx
���� � e��x
���
�si�Z�
e��xdx � �e��x
�
�������
�
�e��
��
deducem c�a
�Z�
e��xsin x
xdx este convergent�a� Prin urmare�
I��� este bine de nit�a�Aplic�and teorema de derivare a integralelor cu parametru�
avem�
I ���� �
�Z�
e��x��x�sin xx
dx � ��Z�
e��x sinxdx�
care este o integral�a improprie convergent�a� Integr�and prinp�art�i� obt�inem
I ���� � ��� ��I �����
de unde
I ���� � � �
� � ���
din care rezult�a
I��� � �arctg� � C�
Pentru determinarea constantei C calcul�am
lim���
I��� � ��� C�
pe de o parte� �si din
jI���j ��Z�
����e��x sinxx���� dx �
�Z�
e��xdx ��
�
lim���
I��� � �
���
Avem deci C �
�� � de unde C �
�� Rezult�a c�a
I��� �
�� arctg�� din acest rezultat� prin trecere la limit�a
c�and �� � � � � g�asim
�Z�
sinx
xdx �
��
��� Integrale euleriene� Funct�ia Gamma�Funct�ia Beta
�In orice activitate exist�a anumite rezultate care trebuiesc stu�diate mai aprofundat �si chiar ret�inute� Aceast�a situat�ie se��nt�alne�ste �si ��n clasa integralelor cu parametri �si improprii�Exist�a anumite funct�ii� numite uneori �si funct�ii speciale�de nite prin integrale cu parametrii la care apel�am deseori ��ncalculele matematice�
Dou�a dintre aceste funct�ii speciale sunt funct�iile Gamma�si Beta� numite sub un generic comun integrale euleriene�
De�nit�ia ����� Funct�ia ( � ����� R denit�a prin
(�p� �
�Z�
e�xxp��dx
se nume�ste funct�ia Gamma sau funct�ia lui Euler de spet�a adoua� iar funct�ia B � ����� ����� R denit�a prin
B�p� q� �
�Z�
xp����� x�q��dx
se nume�ste funct�ia Beta sau funct�ia lui Euler de spet�a�nt�ai
���
Teorema ����� Funct�iile ( �si B sunt bine denite� adic�a in�tegralele improprii care le denesc sunt convergente
Demonstrat�ie S�a ar�at�am c�a funct�ia ( este bine de nit�a�Scriem ( ca sum�a de dou�a integrale� anume�
(�p� �
�Z�
e�xxp��dx �
�Z�
e�xxp��dx�
Prima integral�a I� �
�Z�
e�xxp��dx pentru p � � nu este
improprie� pentru p � �� �� avem
limx��x��
x�e�xxp�� � limx��x��
x��p��e�x � �
dac�a � � � � p � �� de unde� conform cu Corolarul ������deducem c�a integrala I� este convergent�a�
Convergent�a integralei I� �
�Z�
e�xxp��dx rezult�a din Ex�
emplul ���Din I� �si I� convergente �si faptul c�a (�p� � I� � I�� rezult�a
c�a integrala improprie ce de ne�ste funct�ia Gamma este con�vergent�a�
Utiliz�and acela�si Corolar ����� se arat�a imediat c�a �si funct�iaB este bine de nit�a�
�In continuare� vom prezenta c�ateva din propriet�at�ile maiuzuale ale funct�iilor ( �si B�
Teorema ����� Pentru funct�ia ( sunt adev�arate urm�atoarelearmat�ii�
�� (��� � ��
�� (�p� �� � p(�p��
���
�� (�n� �� � n! � n � N�
�� (�p� � �
�Z�
e�t� t�p��dt�
�� (�p�(��� p� �
sin p� p � �� �� �numit�a formula com�
plementelor�
� (
��
�
��p
Demonstrat�ie
�� (��� �
�Z�
e�xdx � �e�xj�� � �
�� Aplic�am integrarea prin p�art�i succesiv �si avem
(�p� �� �
�Z�
e�xxpdx � ��e�xxp�j�� �
�p
�Z�
e�xxp��dx � p(�p��
�� Se aplic�a ��n mod repetat formula se recurent��a de la ���
(�n� �� � n(�n� � n�n� ��(�n� �� � ��� �
� n�n� ������ � (��� � n!�
� Efectu�am schimbarea de variabil�a x � t� �si avem
(�p� � �
�Z�
e�t�
�t��p��tdt � �
�Z�
e�t�
t�p��dt�
ceea ce trebuia demonstrat�
���
�� Demonstrat�ia formulei complementelor este mai compli�cat�a �si de aceea renunt��am la prezentarea ei�
�� Dac�a lu�am ��n formula complementelor p ��
�� atunci
avem
(
��
�
� (
��
�
�� �
de unde (
��
�
��p�
Teorema ����� Pentru funct�ia B sunt adev�arateurm�atoarele relat�ii�
�� B�p� q� �
�Z�
yp��
�� � y�p�qdy�
�� B�p� q� �
�Z�
tp�� � tq��
�� � t�p�qdt�
�� B�p� q� �(�p� (�q�(�p� q�
�formula de leg�atur�a dintre
funct�iile B �si ( sau formula lui Dirichlet��
�� B�p� q� � B�q� p� �proprietatea de simetrie��
�� B�p� q� �p� �
p� q � �B�p� �� q�� p � �� q � �
B�p� q� �q � �
p� q � �B�p� q � ��� p � � q � �
Demonstrat�ie
�� Facem schimbarea de variabil�a x �y
y � ��si avem
B�p� q� �
�Z�
�y
y � �
�p����� y
y � �
�q��dy
�y � ����
���
�
�Z�
yp��
�� � y�p�qdy�
�� Utiliz�and formula de la ��� putem scrie
B�p� q� �
�Z�
yp��
�� � y�p�qdy �
�Z�
yp��
�� � y�p�qdy�
�In integrala a doua facem schimbarea de variabil�a y � ��t�si obt�inem formula de la ���
�� �In (�p� �
�Z�
e�xxp��dx facem schimbarea de variabil�a
x � ty� t parametru real pozitiv �si obt�inem
(�p� � tp�Z�
e�tyyp��dy� �����
�In acest rezultat ��nlocuim pe t prin � � t �si p prin p � q�si obt�inem
(�p� q�
�� � t�p�q�
�Z�
e����t�yyp�q��dy
Multiplic�am ambii membri ai formulei precedente cu tp��
�si egalitatea obt�inut�a o integr�am��n raport cu t de la la� �si avem�
(�p� q�
�Z�
tp��
�� � t�p�qdt �
�Z�
"#tp��
�Z�
e����t�yyp�q��dy
$A dt �
��
�
�Z�
e�yyq��
"#yp�Z�
e�yttp��dt
$A dy�
Acum� conform cu �� �si cu ������ ��n care schimb�am pe tcu y� obt�inem�
(�p� q� B�p� q� �
�Z�
e�yyq��(�p�dy �
� (�p�
�Z�
e�yyq��dy � (�p� (�q��
de unde g�asim
B�p� q� �(�p� (�q�(�p� q�
�
adic�a ceea ce trebuia demonstrat�
� Rezult�a imediat din ���
�� Aceste formule rezult�a din formula de leg�atur�a de la ���si utiliz�and formula de recurent��a pentru (�
Observat�ia ����� Integralele euleriene sunt utile ��n studiulmultor funct�ii neelementare De aceea� valorile lor au fosttabelateCalculul multor integrale se reduce prin diferite trans�
form�ari� la evaluarea funct�iilor B �si (
Exemplul ������ S�a ar�at�am c�a
�Z�
e�x�
dx �
p
�Q �integrala lui Poisson��
��
Facem schimbarea de variabil�a x� � t �si avem
�Z�
e�x�
dx ��
�
�Z�
e�tt���dt�
�In integrala din membrul doi se recunoa�ste expresia funct�iei
( pentru p� � � ��
�� adic�a p �
�
�� Atunci� putem scrie
�Z�
e�x�
dx ��
�(
��
�
��
p
��
Exemplul ������ S�a calcul�am
I �
�Z�
�px
�� � x��dx�
Putem scrie
I �
�Z�
x��
�� � x��dx�
care comparat�a cu exprimarea lui B dat�a de �� din Teorema
������ conduce la p� � ��
�si p � q � �� de unde p �
�
�si
q ��
�
Rezult�a c�a
I � B
��
��
��
de unde� utiliz�and formula de leg�atur�a dintre B �si (� obt�inem
I �
(
��
�(
��
�(
��
�
�
� �
�
(
��
�(
��
�(���
�
���
��
(
��
�(
��
��
Acum� utiliz�and formula complementelor avem
I ��
sin
�p�
�
�In general� integralele de forma
I �
�Z�
xm
�� � xn�pdx � np � m � �
se calculeaz�a prin funct�iile B �si (� f�ac�and schimbarea de vari�abil�a xn � t�Exemplul ������ S�a se reduc�a la funct�iile B �si ( calcululintegralelor de forma
Im�n �
bZa
�x� a�m�b� x�ndx�
m �si n numere reale a�sa alese��nc�at integrala s�a e convergent�a�Facem schimbarea de variabil�a
x � ��� t�a � bt � t � �� ��
�si avem
Im�n � �b� a�m�n��
�Z�
tm��� t�ndt �
� �b� a�m�n��B�m � �� n� �� �
� �b� a�m�n��(�m � ��(�n� ��
(�m� n � ���
���
Exemplul ������ S�a calcul�am I �
�Z�
lnp��
x
�dx� p � R�
p � ��Facem schimbarea de variabil�a x � e�t �si avem
I �
�Z�
tpe�tdt � (�p� ���
��� Integrale duble
La integralele cu parametrii funct�ia de integrat era de maimulte variabile� ��ns�a calculul integralei se aplic�a numai la unadin variabile� celelalte le consider�am parametrii� Ne prop�unem s�a extindem not�iunea de integral�a pentru funct�iile demai multe variabile a�sa��nc�at ��n evaluarea lor s�a utiliz�am toatevariabilele� Astfel de integrale le vom numi multiple� Dac�af � D � R
n � R z � f�x�� ���� xn�� atunci o integral�a m�multipl�a o not�am prinZ
���
ZD
f�x�� ���� xn�dx�dx����dxn�
Dac�a n � �� atunci spunem c�a avem o integral a dubl a�iar dac�a n � �� atunci spunem c�a avem o integral�a tripl�a�
Pentru comoditatea trat�arii consider�am numai cazul inte�gralelor duble�
Fie f � D � R� � R� z � f�x� y� o funct�ie de dou�a
variabile� Mai presupunem c�a D este un domeniu m�arginit�S�a consider�am o partit�ie �descompunere� arbitrar�a a dome�
niului D ��n n subdomenii D�� D�� ���� Dn cu Di �� �� i � �� n�si Di � Dj � �� i �� j� i� j � �� n� O astfel de partit�ie a luiD se nume�ste diviziune a lui D �si o not�am prin �)n�� Not�amcu ai aria sub domeniului Di� i � �� n �si cu di diametrul
���
lui Di �cea mai mare dintre distant�ele dintre dou�a puncte dinDi�� i � �� n� Num�arul k)nk � max
i ��ndi se nume�ste norma
diviziunii �partit�ia� )n��In ecare subdomeniu Di al diviziunii �)n� alegem un
punct arbitrar de coordonate ��i� �i�� i � �� n� numite puncteintermediare�
Cu aceste preciz�ari� introducem suma integral a
��)n� �� �� f� �nXi �
f��i� �i�ai�
Evident c�a suma ��)n� �� �� t� depinde de diviziunea )n�de punctele intermediare ��i� �i� �si de funct�ia f �
De�nit�ia ����� Spunem c�a funct�ia f este integrabil a pedomeniul D dac�a oricare ar �sirul de diviziuni �)n�n�� cu�sirul normelor �k)nk�n�� tinde la zero �si oricare ar puncteleintermediare ��i� �i� � Di� i � �� �� ���� n �sirul sumelor integrale���Dn� �� �� f��n�� are o limit�a nit�a
Not�am aceast�a limit�a prinZZD
f�x� y�dxdy sau
ZZD
f�x� y�da�
�si o numim integrala dub a a funct�iei f pe domeniul D�A�sadar� putem scrieZZ
Df�x� y�dxdy � lim
n��k�nk��
nXk �
f��k� �k�ak�
Ca �si la funct�iile de o variabil�a real�a se arat�a c�a orice funct�iecontinu�a pe domeniul D este integrabil�a�
S�i propriet�at�ile integralei duble sunt analoage cu cele aleintegralei Riemann�
���
Teorema ����� �de liniaritate� Dac�a f� g � D � R� � R
sunt funct�ii integrabile pe D� atunci oricare ar �� � � R
funct�ia �f � �g este integrabil�a pe D �si avemZZD
��f�x� y� � �g�x� y��dxdy �
� �
ZZD
f�x� y�dxdy � �
ZZD
g�x� y�dxdy�
Aceast�a proprietate ne spune c�a integrala dubl�a pe dome�niul D este o funct�ional�a liniar�a�
Demonstrat�ia teoremei este imediat�a�
Teorema ����� �de aditivitate fat� a de domeniu� Dac�afunct�ia f � D � R
� � R este integrabil�a pe D� iar D �D� �D�� D� �D� � �� atunci f este integrabil�a pe D� �si peD� �si avemZZD
f�x� y�dxdy �
ZZD�
f�x� y�dxdy �
ZZD�
f�x� y�dxdy�
A rmat�ia din aceast�a teorem�a se demonstreaz�a cu ajutorulde nit�iei�
Teorema ����� �de interpretare geometric a� Dac�a f �D � R
� � ���� este integrabil�a� atunci avemZZD
f�x� y�dxdy � V �f��
unde V �f� este volumul barei cilindrice m�arginit�a de dome�niul D �si suprafat��a dat�a de z � f�x� y�� av�and generatoareleparalele cu axa Oz
���
Pentru cazul particular f � �� avemZZD
dy � aria�D��
Teorema ����� �de semn� Dac�a f � D � R� � �����
atunci ZZD
f�x� y�dxdy � �
Proprietatea din enunt� rezult�a imediat din nenegativitateasumelor integrale�
Teorema ����� �de monotonie� Dac�a f� g � D � R� � R
sunt integrabile pe D �si f � g pe D� atunciZZD
f�x� y�dxdy �ZZD
g�x� y�dxdy�
Pentru demonstrat�ie se aplic�a funct�iei g � f � propri�etatea de semn�
Teorema ���� �modulului� Dac�a funct�ia f � D � R� � R
este integrabil�a pe D �si atunci jf j este integrabil�a pe D �si avem������ZZD
f�x� y�dxdy
������ �ZZD
jf�x� y�jdxdy�
Formula din teorem�a rezult�a imediat din inegalitatea�jf j � f � jf j�Teorema ����� �de medie� Dac�a f� g � D � R
� � R suntintegrabile pe D� m � inf
�x�y��Df�x� y�� M � sup
�x�y��Df�x� y� �si g
���
are semn constant pe D� atunci exist�a un num�ar real � ��m�M � a�sa ��nc�at
ZZD
f�x� y�d�x� y�dxdy � �
ZZD
g�x� y�dxdy�
numit�a formula de medie generalizat a pentru integraladubl a
Demonstrat�ie Consider�am g � pe D� Atunci din m �f�x� y� � M rezult�a mg�x� y� � f�x� y�g�x� y� � Mg�x� y��Utiliz�and proprietatea de monotonie a integralei duble� putemscrie�
m
ZZD
g�x� y�dxdy �ZZD
f�x� y�g�x� y�dxdy �
�M
ZZD
g�x� y�dxdy � �
�����
Dac�a
ZZD
g�x� y�dxdy � � atunciZZD
f�x� y�g�x� y�dxdy � �si putem alege orice � � �m�M �
ca s�a avem formula din Teorema de medie�
Dac�a
ZZD
g�x� y�dxdy �� � atunci prin ��mp�art�ire cu acest
���
num�ar ��n ����� avem
m �
ZZD
f�x� y�g�x� y�dxdyZZD
g�x� y�dxdy
�M�
de unde rezult�a c�a putem lua
� �
ZZD
f�x� y�g�x� y�dxdyZZD
g�x� y�dxdy
�
Cazuri particulare����� Dac�a f este continu�a pe D� atunci exist�a un punct
��� �� � D a�sa ��nc�at � � f��� �������� Dac�a g � � pe D� atunci formula de medie ia formaZZ
Df�x� y�dxdy � � aria�D��
numit�a formula de medie pentru integrala dubl a�Calculul integralelor duble se reduce la calculul a dou�a in�
tegrale de nite �Riemann�� succesive� pentru ��nceput s�a con�sider�am cazul unui domeniu dreptunghiular�
Teorema ����� Dac�a f � �a� b�� �c� d�� R este integrabil�a pedreptunghiul D � �a� b�� �c� d� �si dac�a pentru orice x constantdin intervalul �a� b�� funct�ia f este integrabil�a ��n raport cu y�adic�a exist�a
F �x� �
dZc
f�x� y�dy � x � �a� b��
���
atunci avemZZD
f�x� y�dxdy �
bZa
dx
dZc
f�x� y�dy�
Demonstrat�ie Vom considera diviziunile Dx �si Dy� re�spectiv pentru intervalele �a� b� �si �c� d�� de nite prin
Dx � a � x� � x� � ��� � xm � bDy � c � y� � y� � ��� � yn � d
�si av�and normele
kDxk � maxi i�m
�xi � xi���
respectivkDyk � max
j ��n�yj � yj����
Cele dou�a diviziuni Dx �si Dy determin�a pe D diviziunea Ddat�a de subdreptunghiurile
Di�j � f�x� y� � Dj xi�� � x � xi� yj�� � y � yjg �i � �� m� j � �� n �si av�and norma kDk dat�a de max
i���mj�a�n
di�j� de
unde dij este diametrul dreptunghiului Dij�Se observ�a imediat c�a dac�a kDxk � �si kDyk � � atunci
kDk � �si reciproc�Alegem punctele intermediare ��i� �j� � Dij� �i � �xi��� xi��
�j � �yj��� yj�� i � �� m� j � �� n�Deoarece f este integrabil�a pe D� iar funct�ia F exist�a �si
este integrabil�a pe �a� b�� avem succesivZZD
f�x� y�dxdy � limkDk��
mXi �
nXj �
f��i� �j�ariaDij �
��
� limkDxk��kDyk��
mXi �
nXj �
f��i� �j��xi � xi����yj � yj��� �
� limkDxk��
mXi �
�xi � xi���
�lim
kDyk��
nXj �
f��i� �j��yj � yj���
��
� limkDxk��
mXi �
�xi � xi���
dZc
f��i� y�dy �
� limkDxk��
mXi �
F ��i��xi � xi��� �
Z b
a
F �x�dx �
�
bZa
dx
dZc
f�x� y�dy�
ceea ce trebuia demonstrat�Deseori� integrala pe dreptunghiul D � �a� b� � �c� d� se
noteaz�a prinbZ
a
dZc
f�x� y�dxdy�
A�sadar� formula din enunt�ul Teoremei ia forma
bZa
dZc
f�x� y�dxdy �
bZa
dx
dZc
f�x� y�dy�
�In mod analog� se arat�a c�a avem �si formula
bZa
dZc
f�x� y� �
dZc
dy
bZa
f�x� y�dx�
��
Exemplul ������ S�a calcul�am
I �
�Z�
�Z�
dxdy
�x � y � ����
Avem
I �
�Z�
dx
�Z�
dy
�x � y � ����
�Z�
dx
�� �
x � y � �
��������
�
�
�
�Z�
�� �
x � ��
�
x� �
�dx �
� � ln�x� ��j�� � ln�x� ��j�� �
� � ln � ln � � ln �� ln � � ln�
��
S�a trecem acum la calculul integralelor duble pe un dome�niu D regulat �n raport cu una din axele de coordonate�
De�nit�ia ����� Spunem c�a un domeniu D este regulat ��n ra�port cu una din axele de coordonate dac�a orice paralel�a launa din axele de coordonate ��nt�alne�ste curba care m�argine�stedomeniul ��n cel mult dou�a puncte
S�a consider�am c�a domeniul D este regulat ��n raport cu axaOy � g ������ Un astfel de domeniu se descrie astfel�
D � f�x� y�j a � x � b� ��x� � y � ��x�g�
���
d
c
a
y= (x)�
y= (x)�
0 b x
y
Fig� ����
Teorema ����� Dac�a funct�ia f este denit�a �si integrabil�a pedomeniul D � f�x� y�j a � x � b� ��x� � y � ��x�g �si pentruecare x � �a� b� exist�a integrala
F �x� �
��x�Z��x�
f�x� y�dy�
atunci are loc formulaZZD
f�x� y�dxdy �
bZa
dx
��x�Z��x�
f�x� y�dy�
Demonstrat�ie Folosim Teorema ����� Consider�amdreptele paralele cu Ox� y � c �si y � d� astfel ca c � ��x� �sid � ��x�� x � �a� b� �Fig� ����� �si not�am cu ) dreptunghiul�a� b�� �c� d�� Introducem funct�ia auxiliar�a
g � )� R � g�x� y� �
�f�x� y� � dac�a �x� y� � D � dac�a �x� y� � )�D�
Funct�ia g este integrabil�a pe dreptunghiul ) ind integra�bil�a at�at pe D� c�at �si pe domeniul )�D� unde este nul�a�
���
Folosind proprietatea de aditivitate a integralei duble fat��ade domeniu �Teorema ������ putem scrieZZ
Dg�x� y�dxdy �ZZ
Dg�x� y�dxdy �
ZZ)�D
g�x� y�dxdy �
�
ZZD
f�x� y�dxdy�
����
deoarece
ZZ)�D
g�x� y�dxdy � �
Dar� integrala
ZZD
g�x� y�dxdy se poate calcula folosind
�si formula din Teorema ����� AvemZZD
g�x� y�dxdy �bRa
dRc
g�x� y�dxdy �
�
bZa
dx
dZc
g�x� y�dy �
bZa
dx
"# ��x�Zc
g�x� y�dy�
�
��x�Z��x�
g�x� y� �
dZ��x�
g�x� y�dy
$CA �
�
bZa
dx
��x�Z��x�
f�x� y�dy
�����
���
deoarece
��x�Zc
g�x� y�dy � �si
dZ��x�
g�x� y�dy � �
Din ���� �si ����� rezult�a formula din enunt�ul Teoremei�����
Dac�a domeniulD este regulat ��n raport cu axa Ox� adic�a elare forma D � f�x� y�k c � y � d� ��y� � x � ��y�g atunciavem formulaZZ
Df�x� y�dxdy �
dZc
dy
��y�Z��y�
f�x� y�dx�
Exemplul ������ S�a calcul�am integrala dubl�a
I �
ZZD
��x� y � ��dxdy
dac�a D este domeniul m�arginit de curbele y � x �si y � x��Examin�am domeniul D �Fig� ����� �si observ�am c�a el este
situat ��ntre dreapta y � x �si parabola y � x� �si puncteleO��� �� �si A��� ���
1
1 A(1, 1)
y=x
y=x
2
0 x
y
Fig� ����
���
D este regulat ��n raport cu axa Oy �si avem
D � f�x� y�j � x � �� x� � y � xg�
Atunci putem scrie succesiv�
I �
�Z�
dx
xZx�
��x� y � ��dy �
�
�Z�
��xy � y�
�� �y
�������x
x�
dx �
�
�Z�
��x� � x�
�� �x� �x� �
x�
�� �x�
�dx �
�
�Z�
�x�
�� �x� �
x�
�� �x
�dx �
��
��
Observat�ia ����� Dac�a avem de calculat o integral�a dubl�a peun domeniu arbitrar� atunci ��ncerc�am s�a g�asim o partit�ie a sa��n domenii regulate �si apoi aplic�am proprietatea de aditivitatefat��a de domeniu
Ca �si ��n cazul integralelor Riemann� calculul unor integraleduble se poate face cu o schimbare de variabile�
Se demonstreaz�a ������ ����� c�a are loc urm�atoarea teorem�ade schimbare de variabile�
Teorema ������ Fie f � D � R� � R o funct�ie integrabil�a
pe D �si e transformare x � ��u� v�� y � ��u� v� a domeniu�lui ) � R
� ��n domeniul D Dac�a funct�iile � �si � au derivate
���
part�iale de ordinul ��nt�ai continue pe domeniul )� iar deter�minantul funct�ional �jacobianul transform�arii�
J �D�x� y�
D�u� v��
�������� ��u� v�
u
��u� v�
v
��u� v�
u
��u� v�
v
�������� �� �
atunci are loc formula de schimbare de variabile ��n integraladubl�aZZ
Df�x� y�dxdy �
ZZ)
f���u� v�� ��u� v��jJ jdudv�
O schimbare de variabile des utilizat�a este cea polar�a�
x � r cos � � y � r sin ��
prin care se trece de la coordonatele carteziene �x� y� la celepolare �r� ���
Geometric �Fig� ������ dac�a avem punctul A�x� y� dinplanul xOy� atunci coordonatele polare ale lui A sunt datede distant�a de la origine la A� adic�a r �
px� � y�� �si de
unghiul pe care ��l face axa Ox cu direct�ia OA� adic�a tg� �y
x�
A(x, y)
0 x
�
y
r
Fig� ����
���
Jacobianul transform�arii polare este
J �D�x� y�
D�r� ���
�������� x
r
x
�
y
r
y
�
�������� ������ cos � �r sin �sin � r cos �
����� � r�
Exemplul ������ S�a calcul�am integrala dubl�a
I �
ZZD
dxdyp� � x� � y�
�
unde D � f�x� y� � Rj x� � y� � a�� a � � x � � y � g�Se observ�a c�aD este m�arginit de sfertul de cerc x��y� � r�
din primul cadran �si de axele Ox �si Oy �Fig� �����
0 xa�
y
r
Fig� ���
Utiliz�am coordonatele polare� prin care domeniul D estetransformat ��n dreptunghiul
) �n�r� ��j � r � a� � � �
�
o�
���
�si avem
I �
ZZ)
�p� � r�
rdrd� �
aZ�
��Z
�
rdrd�p� � r�
�
�
aZ�
rdrp� � r�
dr
��Z
�
d� �
�
p� � r�
�������a
�
�
�
��p� � a� � ���
Observat�ia ����� Prin analogie cu integralele improprii dinfunct�iile de o variabil�a real�a� se pot introduce �si integrale duble���n general� multiple � improprii
Observat�ia ����� �In domeniul economic integralele dubleapar deseori ��n studiul modelelor matematico � economice des�crise prin variabile aleatoare bidimensionale
��� Integrale triple
extinderea not�iunii de integral�a Riemann la funct�ii de dou�avariabile se poate continua pentru funct�ii care depind de unnum�ar oarecare de variabile� Dac�a avem funct�ia f � T �Rm � R� atunci putem introduce integralele de formaZZ
T
� � �
Zf�x�� ���� xm�dx�dx� � � � dxm�
numite integrale m�multiple��In acest paragraf vom schit�a cazul a trei variabile �m� ���Fie f � T � R
� � R� u � f�x� y� z� o funct�ie de treivariabile� T ind un domeniu �corp�m�arginit �si ��nchis�
���
Descompunem corpul T ��n n subdomenii �subcorpuri� el�ementare T�� T�� ���� Tn de diametre d�� d�� ���� dn �si de volumev�� v�� ���� vn� �In ecare domeniu elementar Ti alegem un punctarbitrar Pi��i� �i� �i� �si form�am sumele
��f� P � �nXi �
f��i� �i� �i�vi �nXi �
f�Pi�vi
numite sume integrale�Not�am cu d cel mai mare dintre diametrele d�� d�� ���� dn
De�nit�ia ����� Spunem c�a f este integrabil�a pe corpul Tdac�a exist�a lim
d����f� P �
Aceast�a limit�a se noteaz�a prinZZT
Zf�x� y� z�dxdydz sau
ZZT
Zf�P �dv
�si se nume�ste integrala tripl a pe T a funct�iei f
A�sadar� avemZZT
Zf�x� y� z�dxdydz � lim
d��
nXi �
f��i� �i� �i�vi�
Ca �si la integralele duble este valabil rezultatul�
Teorema ����� Dac�a funct�ia f este continu�a pe corpul T�atunci ea este integrabil�a pe acest corp
Observat�ia ����� Dac�a f�x� y� z� � pe corpul T� atunciRRT
Rf�x� y� z�dxdydz reprezint�a masa corpului T de densi�
tate variabil�a � � f�x� y� z� �interpretarea zic�a a integraleitriple�
��
Observat�ia ����� Dac�a f�x� y� z� � � pe T� atunciZZT
Zdxdydz � v�T ��
unde v�T� este volumul corpului T �interpretarea geometric�aa integralei triple�Propriet�at�ile integralei triple sunt similare cu cele ale inte�
gralelor duble
�In continuare prezent�am calculul integralelor triple�
Teorema ����� Dac�a funct�ia f � �a�� b��� �a�� b��� �a�� b�� �T � R este m�arginit�a �si integrabil�a pe paralelipipedul drep�
tunghic de denit�ie� exist�a integrala F �x� y� �b�Ra�
f�x� y� z�dz
pentru orice �x� y� � �a�� b��� �a�� b�� � D �si F este integrabil�ape D� atunci
ZZT
Zf�x� y� z�dxdydz �
ZD
Z "# b�Za�
f�x� y� z�dz
$A dxdy�
Demonstrat�ia este analoag�a cu cea de la integrale duble�v��Teorema ������
Corolarul ����� Utiliz�and calculul integralei duble pe drep�tunghiul D� obt�inem
ZZT
Zf�x� y� z�dxdydz �
b�Za�
b�Za�
b�Za�
f�x� y� z�dxdydz �
�
b�Za�
dx
b�Za�
dy
b�Za�
f�x� y� z�dz�
��
Exemplul ������ S�a calcul�am
I �
�Z�
�Z�
�Z�
dxdydz
�x� y � z � ����
Avem succesiv
I �
�Z�
dx
�Z�
dy
�Z�
dz
�x � y � z � ����
� ��
�
�Z�
dx
�Z�
dy �
�x � y � z � ���j���
� ��
�
�Z�
dx
�Z�
��
�x � y � ���� �
�x� y � ���
dy �
��
�
�Z�
dx
��
x � y � �� �
x � y � �
�j�� �
��
�
�Z�
��
x � �� �
x � � �
x � �
�
x� �
�dx �
��
��ln�x � ��� � ln�x � � � ln�x� ��� j�� �
��
�ln
�x � ���x� ��
�x� ��j�� �
�
�
�ln
�
��� ln
��
��
��
�
�ln
��
����
Acum� s�a consider�am cazul unui corp T regulat ��n raport cuOz� adic�a un corp ��n care orice paralel�a la Oz intersecteaz�asuprafat�a corpului ��n cel mult dou�a puncte �v� Fig��������
���
Fig�������
Are loc urm�atoarea formul�a de calculZZT
Zf�x� y� z�dxdydz �
ZD
Zdxdy
��x�y�Z��x�y�
f�x� y� z�dz�
Dac�a D este dat de a � x � b �si u�x� � y � v�x�� atunciobt�inem formula de calcul
ZZT
Zf�x� y� z�dxdydz �
bZa
dx
v�x�Zu�x�
dy
��x�y�Z��x�y�
f�x� y� z�dz�
Exemplul ������ S�a se calculeze
I �
ZZT
Zdxdydz
�� � x � y � z���
unde T este corpul m�arginit de planele de coordonate �si deplanul x� y � z � �� Corpul T este cel din g�������
���
Fig�������
Avem
I �
�Z�
dx
��xZ�
dy
��x�yZ�
dz
�� � x� y � z���
� ��
�
�Z�
dx
��xZ�
dy�
�� � x� y � z��j��x�y� �
� ��
�
�Z�
dx
��xZ�
��
�� �
�� � x � y��
dy �
� ��
�
�Z�
dx
��
�y �
�
� � x� y
j��x� �
���
� ��
�
�Z�
��� x
��
�
�� �
� � x
�dx �
��
�
�ln�x� ��� x
��
�x� ���
��
�j�� �
��
�
�ln
�
�� �
��
��
Ca �si la integrala dubl�a� schimbarea de variabile la integralatripl�a are drept scop simpli carea calcului acestei integrale�care rezult�a prin modi carea funct�iei de integrat sau a dome�niului de integrare�
Presupunem c�a avem de calculat
I �
ZZT
Zf�x� y� z�dxdydz
�si c�a efectu�am schimbarea de variabile
x � g��u� v� w�y � g��u� v� w�z � g��u� v� w�� �u� v� w� � T� � R
� �care transform�a domeniul T� � R
� ��n T � R� � Mai
presupunem c�a funct�iile g�� g�� g� sunt continue� cu derivatepart�iale de ordinul ��nt�ai continue ��n T�� iar determinantulfunct�ional
J �D�x� y� z�
D�u� v� w��
�������g�x
g�y
g�z
g�x
g�y
g�z
g�x
g�y
g�z
������� �� ��n T�
Are loc formula ZZT
Zf�x� y� z�dxdydz �
���
�
ZZT�
Zf�g��u� v� w��� g��u� v� w�� g��u� v� w�jJ jdudvdw�
numit�a formula schimb arii de variabil a ��n integrala tripl�a�v� ����������
Aplicat�ia ������ Coordonate cilindrice� Trecerea dela coordonate carteziene la cele cilindrice � g� ������� estedat�a de
x � � cos �
y � � sin �
z � z�
cu � � � R�
� � � �� � z � h
�si J � ��
Fig�������
Aplicat�ia ������ Coordonatele sferice �coordonatepolare �n spat�iu�� Trecerea de la coordonatele carteziene lacele sferice �v� g������� este dat�a de
���
Fig������
x � � cos � sin�y � � sin � sin�z � � cos� �
cu � � ��� � � � �� � � � �si J � �� sin� �Exemplul ������ S�a calcul�am
I �
ZZT
Zzpx� � y�dxdydz
dac�a domeniul T este m�arginit de cilindrul x� � y� � �x �siplanele y � � z � �si z � a�
Utiliz�am coordonatele cilindrice �si avem
I �
ZZT�
Zz��d�d�dz�
���
unde T� este dat de � � � � ��� o � � � � cos �� o � z � a�
Utiliz�am coordonatele cilindrice �si avem
I � I �
ZZT�
Zz��d�d�dz�
unde T� este dat de � � � � ��� � � � � cos �� � z � a�
�In continuare rezult�a succesiv
I �
��Z
�
d�
� cos �Z�
��d�
aZ�
zdz ��
�a�
��Z
�
d�
� cos �Z�
��d� �
�
�a�
��Z
�
cos� �d� �
�a�
��Z
�
��� sin� ��d�sin �� �
�
�a��sin � � sin� �
�
�j��� �
�
�a��
Exemplul ������ Calculat�i
I �
ZZT
Zz�dxdydz
unde T este corpul m�arginit de sfera � � y� � z� � a�� a � �Efectu�and schimbarea de variabil�a dat�a de coordonatele
sferice� obt�inem
I �
ZZT
Z�� cos� � �� sin�d�d�d� �
�
��Z�
d� �Z
�
cos� � sin �d� aZ
�
��d� �a�
���
���
�� Probleme
�� Prin calculul direct� stabilit�i natura urm�atoarelor inte�grale improprii�
a�
��Z�
sinxdx�
b�
�Z�
dx
x� � ��
c�
�Z�
arctgx
� � x�dx�
d�
�Z��
dx
� � x��
e�
�Z�
xe�x�
dx�
f�
�Z�
xne�xdx� n � N �
g�
�Z�
x�dxp� x�
�
h�
�Z�
dxpx��� x�
�
i�
�Z�
dx
�x� ����
���
j�
�Z�
x ln� xdx�
k�
�Z�
�x� �
x� � x � �dx�
l�
�Z�
xdx
x� � ��
�� Precizat�i natura urm�atoarelor integrale improprii�
a�
�Z�
dx
� � x� � x���
b�
�Z�
dxp� � x� �
p � x�
�
c�
��Z�
�p� � x�px� � �
dx�
d�
�Z�
e�ax sin bxdx� a� b � R� a � �
e�
�Z�
e�ax cos bxdx� a� b � R� a � �
f�
��Z�
x�
x� � �x� � �dx�
g�
�Z�
dx
x �px� � �
�
��
h�
�Z�
dxp�� x
�
i�
�Z�
x�dx�p
��� x����
j�
�Z�
dx
e�px � �
�
k�
�Z�
dx
tgx� x�
�� A�at�i v� p� C pentru integralele�
a�
��Z��
sinxdx�
b�
��Z��
� � x
� � x�dx�
c�
�Z��
dx
x lnx�
d�
�Z�
dx
�� x��
e�
�Z�
dx
x� � �x � ��
�� A�at�i�
��
a� lim���
�Z�
��x� �� cos��x�dx�
b� lim���
�Z�
�px � x� � ��dx�
�� A�at�i derivatele I ���� pentru urm�atoarele funct�ii�
a� I��� �
�Z�
dx
x� � ��� � � R �
b� I��� �
�Z��
cos�x� � ���dx� x � R �
c� I��� �
�Z�
xpx� � ��
dx� � � �
� Calculat�i integralele cu parametrii�
a� I��� �
�Z�
�� e��
xexdx� � � ���
b� I��� �
��Z
�
ln�cos� x � �� sin� x�dx� � � �
c� I��� �
�Z�
ln��� �x��p�� x�
dx� j�j � ��
�� Calculat�i
�Z�
e��xdx� � � � Plec�and de la rezultatul
���
g�asit� ar�atat�i c�a�Z�
e�xxndx � n! � n � N �
�� Plec�and de la
�Z�
dx
x� � a� a � � g�asit�i
�Z�
dx
�x� � ��n��� n � N�
�� Ar�atat�i c�a funct�ia ( este o funct�ie convex�a�
��� Utiliz�and integralele euleriene� calculat�i integralele�
a�
�Z�
px� x�dx�
b�
�Za
x�pa� � x�dx� a � �
c�
�Z�
�px
�� � x���dx�
d�
�Z�
x�dx
� � x��
e�
�Z�
�px
�� � x���dx�
f�
�Z�
x�dx
�� � x���
���
g�
�Z�
x�p�� x�dx�
h�
�Z�
�x� ������ x���dx�
i�
�Z�
dx
�� � x��n� n � N �
j�
��Z
�
sin� x cos� xdx�
k�
�Z�
x�ne�x�
dx� n � N �
��� Calculat�i integralele duble�
a�
�Z�
�Z�
dx
��x� y � ����
b�
�Z�
�Z��
��x�y � �xy � �x� �y � ��dxdy�
c�
�Z�
�Z�
ex�ydxdy�
d�
ZZD
xydxdy dac�a
D � f�x� y� � R� j x � � y � � x � y � �g�
���
e�
ZZD
xydxdy� unde D este interiorul triunghiului de
v�arfuri �� �� �� �� �si ��� ���
f�
ZZD
��x� y�dxdy� unde D este domeniul m�arginit
de curbele y � �� x� �si y � �x� ��
g�
ZZD
y lnxdxdy� dac�a D este domeniul m�arginit de
curbele xy � �� y �px� x � ��
h�
ZZD
px� � y�dxdy� dac�a D este domeniul m�arginit
de cercul x� � y� � a�� a � �
i�
ZZD
ln�x� � y��dxdy� dac�a D este domeniul
m�arginit de cercurile x� � y� � e� �si x� � y� � e��
j�
ZZD
�x� y���x� y��dxdy� dac�a D este domeniul
m�arginit de dreptele x� y � �� x� y � �� x� y � ��si x� y � ���
��� Calculat�i aria domeniului D limitat de curbele xy � ��xy � �� y � x �si y � �x�
��� Calculat�i aria domeniului plan D limitat la curbele x �y � y� �si x� y � ��
��� Calculat�i aria domeniului plan limitat de curbele y ��� x �si y� � x � �
���
��� Calculat�i volumul corpului limitat de suprafet�ele y � ��x�� z � �x� y � � �si z � �si situat ��n primul octant�
�� Calculat�i volumul corpului limitat de suprafet�ele z � �z � xy� x� � y� � �
��� Calculat�i integrala I �RRV
Rzdxdydz� unde V este dome�
niul de nit prin���� � x � �
�x � y � �x
� z �p�� x� � y�
��� S�a se calculezeRRV
Rzdxdydz� unde �V� este jum�atatea su�
perioar�a a elisoiduluix�
a��y�
b��z�
c�� ��
��� Calculat�i integrala I �RRV
Rz�dxdydz� unde corpul �V�
este m�arginit de suprafat�a conic�a R�z� � h��x� � y�� �side planul z � h�
��� S�a se calculeze integrala I �RRV
Rzpx� � y� dxdydz� unde
V este m�arginit de suprafat�a cilindric�a x� � y� � �bx�b � �si planele y � � z � � z � a �y � � a � ��
���
��� Test de vericare a cuno�stint�elor nr� �
�� De nit�i urm�atoarele not�iuni�
a� Integral�a improprie de prima spet��a�
b� Funct�iile Beta �si Gamma ale lui Euler�
c� Integral�a dubl�a�
�� a� Studiat�i convergent�a integralei
��Z
�
dx
x ln� x �
b� Studiat�i convergent�a integralei
�Z�
dx
� � x��
c� Studiat�i convergent�a integralei I �
�Z�
dx�p�� x�
�
d� Studiat�i convergent�a integralei
I�
�Z�
j sinxjxw
dx � w���
�� S�a se calculeze integrala I�a� �
�Z�
�� e�ax
x ex dx care de�
pinde de parametrul real a � ���� Calculat�i integrala
I�b� �
��Z
�
�
sin xln
� � b sin x
�� b sin xdx cu b � R�
���
�� a� Calculat�i integrala�
I�b� �
��Z
�
ln�cos� x� b� sin� x�dx
care depinde de parametrul real � b ���
b� Calculat�i I�y� k� �
�Z�
�� cos yx
x e�kxdx cu y � �
k � �
�� Calculat�i cu ajutorul integralelor euleriene�
a� I �
�Z�
px� x�dx�
b� I �
�Z�
x��
�� � x��dx�
c� I �
�Z�
x
� � x�dx�
d� I �
�Z�
x�
�� � x����
�� Calculat�i�
a� I �
ZZD
dxdy
�x � y��� undeD este dreptunghiul ��� ��
��� ���
b� I �
�Z�
�Z�
ydxdy
�� � x� � y����
�
���
c� I �
�Z�
�Z��
x exydxdy�
�� a� Calculat�i I �
ZZD
�x� � y�dxdy unde D este dome�
niul m�arginit de parabolele y � x� �si y� � x�
b� Calculat�i I �
ZZD
x�
y�dxdy unde D este m�arginit de
dreptele x � �� y � x �si hiperbola xy � ��
�� Calculat�i I �
ZZD
xydxdy� unde D este sfertul de cerc
x� � y� � R� situat ��n primul cadran�
�� Calculat�i I �
ZZD
x� sin�xy�
ydxdy� unde D este dome�
niul m�arginit de parabolele x� � y� x� � �y� y� �
�x�
y� � x�
���
Top Related