Integrale Integrale nedefinitenedefinite şi şi definite definite

*Proprietăţi*Metode de calcul

b

a

dxxf )(

PrimitivaPrimitivaDefiniţie:

Ex.2( ) 3 2F x x

( ) 6f x x

( ) ( ).F x f x

Formula Leibniz-Newton (1675). Fie f : [a,b] R o funcţie continuă, iar F : [a,b] R o primitivă a lui f pe [a,b]. Atunci:

b

a

aFbFdxxf )()()(

Teoremă. Fie f,g : [a,b] R, f continuă pe [a,b] şi f(x)=g(x), x Є [a,b] – A, unde A [a,b] este o mulţime finită. Atunci:

b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

Proprietăţile integralei definite

P1. Proprietatea de liniaritate Dacă f,g : [a,b] R sunt două funcţii continue pe [a,b] şi λ є R, atunci

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([)1

b

a

b

a

dxxfdxxf )()()2

b

a

c

a

c

b

dxxfdxxfdxxf )()()(

P2. Proprietatea de aditivitate la interval Fie f : [a,b] R şi c є [a,b], atunci

P3. Fie f : [a,b] R continuă şi f(x)≥0, x є [a,b]. Atunci:

P5. Dacă f: [a,b] R este continuă, atunci |f| este continuă

b

a

dxxf 0)(

b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

b

a

abMdxxfabm )()()(

P4. Dacă f: [a,b] R este continuă şi dacă m ≤ f(x) ≤ M, x є [a,b], atunci

P6. Dacă f: [a,b] R este o funcţie continuă atunci prin definiţie:

a

a

dxxf 0)( b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

Metode de calcul ale integralei definite

Dacă f,g: [a,b] R sunt două funcţii derivabile, cu derivate continue, atunci

b

a

b

a

dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')(

Teoremă. Fie [a,b] J R (J interval din R) două funcţii cu proprietăţile: 1) f este continuă pe J

2) φ este derivabilă, cu derivata continuă pe [a,b]

Atunci: b

a

b

a

dxxfdtttf)(

)(

)()('))((

f

Metoda de integrare prin parti

Metoda substituţiei

a

a

a

dxxfdxxf0

)(2)(0

, dacă f este funcţie pară

, dacă f este impară

Teorema de medie. Dacă f: [a,b] R este o funcţie continuă, atunci există ξ є [a,b] astfel încât

b

a

fabdxxf )()()(

Aria Aria subgraficuluisubgraficului unei unei functiifunctii

b

af f(x) )( Aria dxxdxf

xfybxaRyxb

af

ff

)()(

:aria are multimea Atunci )}.(0 ,|),{(iar b],[a, x0,f(x) şi continuă R, b][a,:f Fie

b

agf, f(x)]dx-[g(x) )( Aria

Exemplu nr. 1

5

1

12 1x dxx

55 2

1 1

12 1 lnx dx x x xx

2 25 ln 5 5 1 ln1 1

28 ln 5 26.39056

Exemplu nr. 2Exemplu nr. 2

1 1/ 22

02 3x x dx

2let 3u x x

then 2du dxx

1 41/ 22 1/ 2

0 02 3x x x dx u du

43/ 2

0

23u

163

Exemplu nr. 3Exemplu nr. 3

fie

atunci

Ex. Find the area enclosed by the x-axis, the vertical lines x = 0, x = 2 and the graph of

2 3

02x dx

2x3 [0, 2].

22 3 4

0 0

122

x dx x 4 41 12 02 2

8

22 .y x