Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integrale cu parametru

1 Integrale proprii cu parametru

2 Integrale improprii cu parametru

3 Integralele lui Euler

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integrale proprii cu parametru

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Definiţia 1.1

Dacă f : [ a,b ]× E → R, E ⊆ R este o funcţie cu proprietateacă pentru orice y ∈ E, funcţia de variabilă x

x 7→ f (x , y)

este integrabilă pe intervalul [ a,b ], adică există integrala

F (y) =∫ b

af (x , y) dx (1.1)

atunci spunem că am definit o integrală cu parametru (funcţiaF : E → R).

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Trecerea la limită sub semnul integralei

Teorema 1.1

Fie f : [ a,b ]× E → R, E ⊆ R şi fie y0 ∈ R punct de acumulareal mulţimii E. Dacă există

limy→y0

f (x , y) = f0(x)

uniform ı̂n raport cu x ∈ [ a,b ] atunci funcţia x 7→ f0(x) esteintegrabilă pe [ a,b ] şi∫ b

af0(x) dx =

∫ ba

limy→y0

f (x , y) dx = limy→y0

∫ ba

f (x , y) dx . (1.2)

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Ipoteza existenţei limitei uniforme ı̂n raport cu x este esenţialăı̂n enunţul Teoremei 1.1.

Exemplul 1.1

Pentru f : [ 0,1 ]× (0,+∞)→ R,

f (x , y) =xy2

e− x

2

y2 ,

are loc limy→0

∫ 10

f (x , y) dx 6=∫ 1

0limy→0

f (x , y) dx .

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Avem

F (y) =∫ 1

0

xy2

e− x

2

y2 dx = −12

e− x

2

y2∣∣∣x=1x=0 = −12

(e− 1

y2 − 1)

deci

limy→0

∫ 10

f (x , y) dx = limy→0

F (y) = −12

limy→0

(e− 1

y2 − 1)

=12.

Pe de altă parte avem

limy→0

f (x , y) = limy→0

xy2

e− x

2

y2 = 0 deci∫ 1

0limy→0

f (x , y) dx = 0.

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Să observăm că limy→0

f (x , y) = 0 nu are loc ı̂n mod uniform ı̂n

raport cu x . Într-adevăr dacă, prin reducere la absurd, ampresupune acest lucru atunci

∀ ε > 0 ∃ δε > 0 astfel ca 0 < y < δε ⇒ |f (x , y)| < ε, ∀ x ∈ [ 0,1 ].

Dacă alegem ı̂n particular x = y ∈ (0, δε) avem

f (x , y) =1y

e−1 → +∞, pentru y → 0,

contradicţie.

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Continuitatea integralei cu parametru

Teorema 1.2

Dacă f : [ a,b ]× [ c,d ]→ R este continuă atunci funcţiaF : [ c,d ]→ R dată de (1.1) este continuă pe intervalul[ c,d ].

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Derivabilitatea integralei cu parametru

Teorema 1.3

Fie f : [ a,b ]× [ c,d ]→ R continuă astfel ı̂ncât :(i) pentru orice y ∈ [ c,d ] există integrala cu parametru

F (y) =∫ b

af (x , y) dx ,

(ii) f este derivabilă parţial ı̂n raport cu y şi funcţia∂f∂y

este

continuă pe [ a,b ]× [c,d ].Atunci F este derivabilă şi F ′ este continuă pe [ c,d ] iar

F ′(y) =∫ b

a

∂f∂y

(x , y)dx , ∀ y ∈ [ c,d ]. (1.3)

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Exemplul 1.2

Să calculăm integrala

In(y) =∫ 1

0

dx(x2 + y2)n

, n ∈ N, y 6= 0.

Derivăm integrala ı̂n raport cu y şi găsim astfel relaţia

In+1(y) =−12ny

I ′n(y).

Deoarece I1(y) =1y

arctg1y

, rezultă că

I2(y) = −1

2yI′1(y) =

12y3

(arctg

1y

+y

y2 + 1

).

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Formula lui Leibniz de derivare a integralelor cuparametru

Teorema 1.4

Fie integrala cu parametru

F (y) =∫ β(y)α(y)

f (x , y)dx , y ∈ [ c,d ] unde

(i) α, β : [ c,d ]→ [ a,b ] sunt funcţii derivabile,(ii) f : [ a,b ]× [ c,d ]→ R este funcţie continuă,

(iii) f este derivabilă parţial ı̂n raport cu y şi∂f∂y

este continuă.

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Atunci F este derivabilă pe [ c,d ] şi are loc formula lui Leibnizde derivare

F ′(y) =∫ β(y)α(y)

∂f∂y

(x , y) dx +f (β(y), y)·β ′(y)−f (α(y), y)·α ′(y).

(1.4)

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integrarea unei integrale cu parametru

Teorema 1.5

Fie f : [ a,b ]× [ c,d ]→ R o funcţie continuă. Atunci are locformula

∫ dc

(∫ ba

f (x , y) dx

)dy =

∫ ba

(∫ dc

f (x , y) dy

)dx . (1.5)

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Exemplul 1.3

Să calculăm

I =∫ 1

0

1ln x

(xb − xa) dx , x > 0, a > 0, b > 0.

Avem1

ln x(xb − xa) =

∫ ba

xy dy , x ∈ [ 0,1 ].

Deoarece funcţia (x , y) 7→ xy este continuă pe [ 0,1 ]× [ a,b ],putem schimba ordinea de integrare,

I =∫ 1

0

(∫ ba

xy dy

)dx =

∫ ba

(∫ 10

xydx

)dy =

∫ ba

(xy+1

y + 1

∣∣∣1x=0) dy = ∫ ba

dyy + 1

= ln(y + 1)∣∣∣ba = ln b + 1a + 1 .

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integrale improprii cu parametru

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Fie f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R şi fie integrala cu parametru

F (y) =∫ +∞

af (x , y) dx , y ∈ [ c,d ]. (2.1)

Integralai. converge simplu pe [ c,d ] dacă

limb→+∞

∫ ba

f (x , y) dx =∫ +∞

af (x , y) dx ;

ii. converge uniform pe [ c,d ] dacă limita este uniformă ı̂nraport cu y .

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integrala∫ +∞

af (x , y) dx este uniform convergentă pe [ c,d ]

dacă pentru orice şir (bn)n∈N care are limita +∞, şirul de funcţii

(Fn)n∈N, Fn(y) =∫ bn

af (x , y) dx

converge uniform la F pe [ c,d ].

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Criteriul lui Cauchy

Teorema 2.1

Integrala (2.1) este uniform convergentă dacă şi numai dacăpentru orice ε > 0 există b0(ε) > 0 astfel ca pentru oriceb′,b′′ > b0 şi pentru orice y ∈ [ c,d ] are loc∫ b′′

b′f (x , y) dx < ε.

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Criteriul de convergenţă uniformă Weierstrass

Teorema 2.2

Fie f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R. Admitem că existăg : [ a,+∞)→ R astfel ı̂ncât

(i) | f (x , y) |≤ g(x), ∀ x ∈ [ a,+∞),

(ii)∫ +∞

ag(x) dx este convergentă.

Atunci∫ +∞

af (x , y) dx este uniform şi absolut convergentă pe

[ c,d ].

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Continuitatea integralei improprii cu parametru

Teorema 2.3

Fie f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R o funcţie continuă astfel ı̂ncât∫ +∞a

f (x , y) dx este uniform convergentă pe [ c,d ]. Atunci

funcţia

F (y) =∫ +∞

af (x , y)dx

este continuă pe [ c,d ].

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Derivabilitatea integralei improprii cu parametru

Teorema 2.4

Fie funcţia f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R cu următoarele proprietăţi:

(i)∫ +∞

af (x , y) dx este convergentă

(ii) există derivata parţială∂f∂y

şi este continuă pe

[ a,+∞)× [ c,d ]

(iii)∫ +∞

a

∂f∂y

(x , y) dx este uniform convergentă pe [ c,d ].

Atunci y 7→ F (y) =∫ +∞

af (x , y) dx este derivabilă pe [ c,d ]

F ′(y) =ddy

(∫ +∞a

f (x , y) dx)

=

∫ +∞a

∂f∂y

(x , y) dx , ∀ y ∈ [ c,d ].

(2.2)Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integrabilitatea unei integrale improprii cuparametru

Teorema 2.5

Fie funcţia f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R continuă astfel ı̂ncât

(i) integrala∫ +∞

af (x , y) dx este uniform convergentă pe

[ c,d ],

(ii) integrala∫ +∞

a

(∫ dc

f (x , y) dy

)dx este convergentă.

Atunci are loc∫ +∞a

(∫ dc

f (x , y)dy

)dx =

∫ dc

(∫ +∞a

f (x , y) dx)

dy . (2.3)

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integralele lui Euler

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integralele lui Euler

Funcţia Gamma sau integrala lui Euler de al doilea tip

Γ(p) =∫ +∞

0xp−1e−x dx (3.1)

Funcţia Beta sau integrala lui Euler de primul tip

B(p,q) =∫ 1

0xp−1(1− x)q−1 dx . (3.2)

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Propoziţia 3.1

Au loc proprietăţileIntegrala Γ(p) este convergentă pentru orice p > 0 şidivergentă pentru orice p ≤ 0.Integrala Γ(p) este uniform convergentă pe orice intervalcompact [ a,b ] ⊂ (0,+∞).Funcţia Γ(p) este continuă pe (0,+∞).Funcţia Γ(p) este infinit derivabilă pe (0,+∞) şi

Γ(n)(p) =∫ +∞

0xp−1(ln x)ne−x dx , n ∈ N. (3.3)

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Propoziţia 3.2

B(p,q) este convergentă pentru orice p > 0, q > 0 şidivergentă ı̂n celelalte situaţii.

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Propoziţia 3.3

Au loc următoarele relaţii:formula de recurenţă pentru Γ

Γ(p + 1) = p Γ(p), p ∈ (0,+∞) (3.4)

Γ(1) = 1, Γ(n + 1) = n!, n ∈ N (3.5)

formulele de recurenţă pentru B

B(p,q) =q − 1

p + q − 1B(p,q − 1), p > 0,q > 1 (3.6)

B(p,q) =p − 1

p + q − 1B(p − 1,q), p > 1,q > 0 (3.7)

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

B(p,q) = B(q,p), p > 0,q > 0 (3.8)

B(p,q) =∫ +∞

0

tp−1

(1 + t)p+qdt (3.9)

B(p,q) =Γ(p) · Γ(q)Γ(p + q)

, p > 0,q > 0 (3.10)

B(

12,12

)=

∫ 10

1√x(1− x)

dx = π (3.11)

Γ

(12

)=√π,

∫ +∞0

e−x2

dx =√π

2(integrala lui Gauss).

(3.12)

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

formula lui Gauss

Γ(p) = limn→∞

np · n!p(p + 1)(p + 2) . . . (p + n)

(3.13)

formula argumentelor complementare

B(p,1−p) = Γ(p) ·Γ(1−p) = psin(pπ)

, p ∈ (0,1) (3.14)

Integrale cu parametru

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametruIntegralele lui Euler