Download - I.D.D. Psihologie Curs Logica Cap. 1 Logica Traditionala

Transcript

An universitar 2005-2006

LOGIC(Curs opional, I.D.D. Psihologie) Conf. Dr. Virgil Drghici

Capitolul 1. Logica tradiionalPreliminar 1. TEORIA TERMENILOR LOGICI 1.1. Structura termenilor logici 1.2. Raporturile dintre termenii logici 2. TEORIA PROPOZIIILOR CATEGORICE 2.1. Propoziii categorice 2.2. Clasificarea propoziiilor categorice 2.3. Raporturile logice dintre propoziiile categorice 3. TEORIA INFERENEI 3.1. Inferene imediate 3.2. Inferene mediate (silogismul) 3.2.1. Figuri i moduri silogistice 3.2.2. Metode de testare a validitii silogismelor I. Metoda aplicrii regulilor generale II. Metoda reducerii 3.2.3. Moduri silogistice indirecte 3.2.4. Silogistica cu termeni negativi 3.2.5. Silogistic modern (modelul predicativ Brentano) BIBLIOGRAFIE

Capitolul 2. Logica simbolic(Logica propoziiilor ( L p ); Teoria funciilor de adevr) NOT. Paragrafele 3.2.4 i 3.2.5 din Capitolul 1 i Capitolul 2 (n ntregime) sunt facultative. BIBLIOGRAFIE Virgil Drghici, Logic matematic, Editura Casa Crii de tiin, Cluj-Napoca, 2002, Cap. 1.

1

Capitolul 1 Logica tradiionalPreliminar Considerat n sensul cel mai general, logica tradiional este teoria inferenei. nceputurile ei notabile trebuie cutate n opera gnditorului grec Aristotel 1. O dat cu Organon-ul su se pun bazele a ceea ce astzi numim silogistic clasic (asertoric i modal). Aceast lucrare aristotelic a exercitat o considerabil influen asupra generaiilor urmtoare, pn n epoca modern. O dat cu rafinarea conceptualizrii, determinat de crearea logicii simbolice, n secolul al XIX-lea, s-a deschis posibilitatea re-lecturii silogisticii clasice care, n noua ipostaz, favorizat de formalizare i axiomatizare, devine silogistic modern 2. Capitolul de fa nu are n vedere o analiz istoric a silogisticii3, ci o elaborare sistematic a logicii tradiionale, nglobnd astfel perfecionrile instrumentarului logicii, pstrndu-i ns determinaiile care o fac s rmn o logic tradiional. ntruct teoria inferenei presupune teoria propoziiei, iar teoria propoziiei presupune teoria termenilor logici, vom trata succesiv, n ordinea complexitii lor, aceste forme logice4. ns logica nu este interesat de orice fel de inferene, ci doar de inferenele valide, adic de acele inferene care conserv n concluzia lor adevrul premiselor. Iar ca o inferen s fie valid, ea trebuie s respecte anumite exigene, ntre care exist anumite raporturi de dependen (derivare). Cutnd s explicitm exigenele fundamentale, cele care le ntemeiaz pe toate celelalte, ajungem la ceea ce logica numete principii logice. S ne oprim mai nti la o analiz succint a acestor principii. Principiile logice Investigarea statutului principiilor logice este una foarte complex. Chiar dac formularea lor este veche (Aristotel, Leibniz), disputele pe aceast tem continu i n zilele noastre. Ca principii logice ele nu pot, firete, s fie ntemeiate n logic, pentru c n acest caz ar avea un caracter derivat, fiind deduse din alte principii mai generale. Putem, atunci, conchide c sunt construcii arbitrare, convenii lingvistice? Modul n care ele funcioneaz ca principii ne arat mai curnd contrariul. Iar dac au un temei, care este acesta?5 Ne limitm, n consideraiile de fa, la a meniona c principiile logice pot fi formulate att ontologic (cu referire la obiecte i proprietile lor), ct i epistemologic (cu referire la propoziii i valorile lor de adevr), fr a le reduce, ca principii logice, la aceste formulri. a) Principiul identitii Principiul identitii a fost formulat mai nti de Leibniz, astfel: Fiecare lucru este ceea ce este. i n attea exemple cte vrei, A este A, B este B6. A este A este formularea ontologic a ideii de identitate: prin proprietile sale constante, un lucru este el nsui i nu1 2

Aristotel, Organon I (Analitica prim). Comp. J. Lukasiewicz, Aristotles Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic, 1951. 3 Pentru o prezentare istoric a temei, vezi Bibliografie. 4 Prin forme logice vom nelege: termenii logici, propoziiile logice i inferenele. 5 Rspunsurile la aceast ntrebare sunt foarte diferite: comp. B. Russell, Probleme der Philosophie, F.a.M. , 1969, 78-79; M. Heidegger, Der Satz vom Grund, Pfullingen 1957. 6 G. Leibniz, Nouveaux essais sur lentendement humain (1708), Flammarion, Paris 1935, IV, II, 1.

2

altul. Desigur, chiar dac realitatea este ntr-o continu transformare, ea nu poate fi gndit dect prin ceea ce confer individualitate (i deci constan) entitilor ei. Ca principiu al identitii, acesta rmne un principiu logic, nu ontologic. Iar ca principiu logic, el pretinde, oricrui demers raional, precizie. Altfel spus, n orice raionalizare pe care o efectum termenii logici trebuie s-i conserve nelesul. n caz contrar, din premise adevrate putem obine concluzii false sau absurde. De exemplu, din propoziiile Creionul este verde i "Verde" are cinci litere derivm, n mod eronat, Creionul are cinci litere. Nevaliditatea acestei inferene rezid n faptul c termenul mediu (i.e. verde) nu i-a pstrat nelesul: n prima propoziie el se refer la o proprietate a unui obiect iar n cea de-a doua la o entitate lingvistic. Aadar, a fost nesocotit principiul identitii. b) Principiul noncontradiciei Acest principiu a fost formulat pentru prima dat de Aristotel: este peste putin ca unuia i aceluiai subiect s i se potriveasc i totodat s nu i se potriveasc sub acelai raport unul i acelai predicat 7. Ca principiu logic, acesta reclam exigena consistenei: n acelai timp i sub acelai raport o propoziie nu poate fi adevrat mpreun cu contradicia ei 8. n orice demers pe care-l ntreprindem, nu putem include n acelai timp i sub acelai raport, att propoziia 2 + 2 = 4 ct i propoziia 2 + 2 4 . c) Principiul terului exclus (tertium non datur) Tot lui Aristotel i revine meritul de a fi formulat pentru prima dat principiul logic al terului exclus: Dar nu e cu putin nici ca s existe un termen mijlociu ntre cele dou membre extreme ale unei contradicii, ci despre un obiect trebuie neaparat sau s fie afirmat sau negat fiecare predicat 9. Dac principiul noncontradiciei respinge posibilitatea ca o propoziie i contradictoria ei s fie simultan adevrate, principiul terului exclus respinge posibilitatea ca o propoziie i contradictoria ei s fie simultan false. Iat un fragment din Leibniz care lmurete relaia dintre aceste dou principii, n forma relaiei dintre urmtoarele dou formulri: una, c adevrul i falsul nu sunt compatibile n aceeai propoziie sau c o propoziie nu ar putea s fie adevrat i fals n acelai timp; cealalt, c opusul sau negaia adevrului i falsului nu sunt compatibile, sau c nu exist mijlociu ntre adevrat i fals, sau c nu se poate ca o propoziie s nu fie nici adevrat nici fals 10. Exemple intuitive, elementare, ne arat totui c acest principiu nu are extensiunea primelor dou, deoarece exist situaii n care ntre cele dou valori de adevr ale propoziiilor (adevrat i fals) trebuie admis o a treia (nedeterminatul). Chiar Aristotel d un exemplu de acest gen. De ori cte ori ne referim la evenimente viitor-contingente, cea de-a treia valoare trebuie admis 11. Pentru propoziii de genul Mine va avea loc o btlie naval i Mine nu va avea loc o btlie naval, cea de-a treia posibilitate este admis: indecizia 12. Este uor de constatat c valabilitatea principiului terului exclus este sincron acceptrii ideii semantice a bivalenei: orice propoziie admite strict una din cele dou valori de adevr: adevrat sau fals.Aristotel, Metafizica, Editura Academiei R.S.R., Bucureti, 1965, IV, 3, 1005 b, 19. Pentru o analiz a diferitelor expresii ale principiilor logice, comp. N. Rescher, Many-valued logics, McGrawHill, 1969. 9 Aristotel, Metafizica, IV, 7, 1011b. 10 Leibniz, Nouveaux..., IV, II, 1. 11 Cf. Aristotel, Organon. 12 Respingerea validitii terului exclus va face carier n logica intuiionist, pentru acele cazuri n care operm cu mulimi infinite. Comp. C. Calude, Matematici constructive, Ed. tiinific, Bucureti, 1995.8 7

3

Exigena reclamat de principiul terului exclus este coerena: n acelai timp i sub acelai raport o propoziie logic este adevrat sau fals, cea de-a treia posibilitate este exclus. d) Principiul raiunii suficiente Ca principiul logic, acesta ne cere s nu acceptm sau respingem vreo propoziie fr a dispune de vreun temei suficient, n demersul pe care-l ntreprindem13. El exprim o relaie de condiionare ntre propoziii. Lingvistic, condiionrile pot fi redate astfel: dac p, atunci q (condiionarea suficient), unde p i q denot propoziii, dac nu p, atunci nu q (condiionarea necesar) sau p dac i numai dac q (condiionarea necesar i suficient). Teoriile tiinifice sunt interesate nainte de toate de condiiile suficiente ale adevrului propoziiilor lor i, de aici, exigena coninut n principiul raiunii suficiente. 1. TEORIA TERMENILOR LOGICI Atunci cnd atribuim o valoare de adevr unei propoziii, n raionrile noastre curente, o facem innd seam de modul n care prile lor constitutive se mbin. Propoziia Cerul este albastru, de exemplu, este adevrat dac albastru poate fi spus (i.e. predicat) despre cer. n caz contrar, propoziia este fals. Elementele constitutive ale propoziiilor sunt termenii. ns nu toi termenii unui limbaj au acelai rol n limbajul respectiv. Unii au att neles de sine stttor, desemnnd clase de obiecte, ct i neles contextual, fiind pri ale propoziiilor. Aceti termeni se numesc categorematici. Alii, n schimb, ajut la construcia propoziiilor, cuantificnd, modaliznd, conectnd etc (unii, toi, e posibil, e necesar, i, fr, sau, este, . a.). Aceti termeni se numesc sincategorematici. n continuare, n acest paragraf dedicat teoriei termenilor, vom avea n vedere strict teoria termenilor categorematici, adic teoria acelor termeni care pot deveni subiect logic i predicat logic ntr-o propoziie14. O remarc trebuie s facem ns de-ndat. Termenii categorematici nu sunt ntotdeauna expresii formate dintr-un singur cuvnt, ci i construcii mai complexe, uneori chiar fraze: radiaie remanent, orchestr de camer, numr prim ntre 6 i 9, compozitorul lucrrii "Ruslan i Ludmila", etc. n cele ce urmeaz ne intereseaz, firete, termenii categorematici ca termeni logici, ca o form logic distinct, cu o structur proprie ireductibil la exprimarea ei lingvistic15. Definiia 1. Termenul logic este forma logic elementar care denot clase de obiecte. 1.1. Structura termenilor logici n structura oricrui termen logic pot fi puse n eviden dou componente: extensiunea i intensiunea. Un exemplu simplu ne arat n ce constau ele. Carte, de exemplu, este un termen logic a crui extensiune (sfer) este totalitatea crilor existente. Totodat, carte nseamn totalitatea trsturilor pe care le posed orice obiect care poate fi numit carte. Aceste trsturi se constituie n ceea ce numim intensiunea (coninutul) termenului carte.Principiul raiunii suficiente este mai curnd un principiu metalogic: nu introduce vreo exigen fr de care gndirea nu s-ar putea manifesta, ci exprim un principiu cuprinztor, valabil n orice demers cognitiv. 14 n logica tradiional aceast categorie de termeni se constituie noiunile. 15 Unitatea dintre termenul logic i unitatea lingvistic se numete expresie. Orice expresie, care poate fi subiectul sau predicatul unei propoziii, are aadar o dubl dimensiune, logic i lingvistic.13

4

Definiia 1.1. Extensiunea unui termen logic este componenta structural care const n totalitatea obiectelor ale cror proprieti formeaz intensiunea termenului logic. Definiia 1.2. Intensiunea unui termen logic este componenta structural care const n totalitatea nsuirilor obiectelor care formeaz extensiunea termenului logic. Corespondena structural dintre cele dou definiii (i.e. faptul s una se obine din cealalt permutnd termenii extensiune, obiect, intensiune cu intensiune, nsuire, extensiune) se numete dualitate. ntre extensiunea i intensiunea unui termen putem pune n eviden raportul variaiei inverse a extensiunii i intensiunii (construii un exemplu). 1.2. Raporturile dintre termenii logici Distincia logic dintre extensiune i intensiune fundamenteaz distincia dintre cele dou tipuri de raporturi logice: extensionale i intensionale. Raporturile extensionale dintre doi termeni logici sunt raporturile dintre clasele la care se refer, raporturi formulate n termenii incluziune-excluziune. Aceste raporturi extensionale pot fi exhaustive sau neexhaustive, dup cum raportul respectiv epuizeaz sau nu universul de discurs16. 1. Subordonare neexhaustiv. n acest caz, extensiunea unui termen S este inclus n extensiunea celuilalt (P), fr exhaustivarea universului de discurs (U). (Exemplu: S = aur, P = metal, U = element chimic). 2. Supraordonare neexhaustiv (Raportul convers lui 1). 3. Intersecie neexhaustiv. Extensiunile celor doi termeni au elemente comune, dar i elemente diferite i nu epuizeaz universul de discurs. (Exemplu: S = numr par, P = numr prim, U = numr natural). 4. Identitate neexhaustiv. Extensiunile celor doi termeni coincid, fr a epuiza universul de discurs (Exemplu: S = 2, P = numr par i prim, U = numr natural). 5. Intersecie exhaustiv. Cele dou extensiuni au elemente comune dar acoper ntreg universul de discurs: S = Z + {0}, P = Z {0} , U = Z . 6. Excluziune neexhaustiv. Cele dou extensiuni nu au nici un element n comun i nici nu exhaustiveaz universul de discurs (construii un exemplu). 7. Excluziune exhaustiv. Nici n acest caz extensiunile nu au elemente comune, dar epuizeaz U (Exemplu: organic neorganic, rou nonrou, etc).

Raporturile intensionale sunt raporturile dintre termeni considerate din perspectiva nsuirilor, respectiv dac termenii respectivi pot figura sau nu simultan ca nsuiri ntr-un alt termen. Dac da, atunci raporturile care se stabilesc sunt de concordan, n caz contrar sunt de opoziie. Deja specificarea fcut mai sus a raporturilor extensionale ne permite s deosebim cele dou clase de raporturi intensionale (de concordan: primele 5, de opoziie: ultimele dou). Cele dou tipuri de raporturi de excluziune (exhaustiv, neexhaustiv) fundamenteaz dou raporturi logice distincte dintre propoziiile logice: contradicie i contrarietate. De aceea raportul de excluziune exhaustiv dintre termenii logici se mai numete i raport de16 Universul de discurs pentru dou clase S, P este clasa supraordonat (includent) claselor n discuie. Mamifer i vertebrat pot avea ca univers de discurs animal etc.

5

contradicie, iar cel de excluziune neexhaustiv se mai numete i raport de contrarietate. S vedem mai ndeaproape n ce const distincia. Raportul de contrarietate se stabilete ntre extensiunile a doi termeni astfel nct clasele respective nu acoper ntreg universul de discurs. Aadar, universul de discurs conine cel puin trei clase reciproc exclusive. Rou i galben nu epuizeaz unversul culoare. Termenii contrari nu pot fi n acelai timp predicai despre acelai obiect (un obiect nu poate fi n acelai timp i rou i galben), dar pot fi negai (din faptul c un obiect nu este rou, nu rezult c este galben, cci poate fi verde, albastru, etc). Neputnd fi asertai simultan despre acelai obiect, raportul dintre termenii contrari este fundamentat de principiul logic al noncontradiciei. Raportul de contradicie se stabilete ntre dou extensiuni care exhaustiveaz universul de discurs: rou nonrou, par impar, organic anorganic etc. n acest caz, fiecare termen este negaia celuilalt. ntruct divid universul de discurs strict n dou clase, ei nu pot fi nici asertai simultan, nici negai simultan despre acelai obiect. Motiv pentru care acest raport dintre termenii logici este fundamentat simultan de principiul noncontradiciei i de principiul terului exclus. Remarc. Teoria termenilor logici include i tema clasificrii termenilor logici, cea a diferitelor reprezentri diagramatice dintre ei sau tema operaiilor logice cu termeni (diviziune, clasificare, definire etc). Capitolul de fa nu include i aceste abordri17.2. TEORIA PROPOZIIILOR CATEGORICE 2.1. Propoziii categorice

Termenii logici pot figura, n multele lor posibiliti de conectare, drept componente n structuri mai complexe, numite propoziii. n acest paragraf nu vom face un inventar al tuturor propoziiilor, ci vom selecta o clas de astfel de propoziii i o explicitm n determinaiile ei eseniale. Clasa avut n vedere este cea a propoziiilor categorice. Definiia 2.1. O propoziie categoric este o structur logico-lingvistic n care se enun ceva despre elementele unei clase de obiecte. Exemple de propoziii categorice: 1. Toi studenii au obinut rezultate bune. 2. Nici un participant la manifestaie n-a fost chestionat. 3. Unele cri sunt interesante. 4. Unii concureni n-au luat premiu. 5. Nigel Kennedy este cel mai strlucit interpret Vivaldi. 6. John Fogerty n-a cntat cu Rolling Stones. Structura propoziiilor categorice este simpl: doi termeni logici sunt corelai n aa fel nct ceva se spune despre ceva. Un termen logic este subiectul logic al propoziiei, cellalt este predicatul logic. Legtura dintre ei se poate face n varii feluri: cu verbele a fi, a avea, cu alte verbe sau pur i simplu poate fi sublimat (n forma gramatical a predicatului). ns, dac din punct de vedre gramatical n structura unei propoziii categorice pot intra i alte elemente (adjective, complemente, adverbe etc), sub aspect logic (singurul relevant aici!) o propoziie categoric conine strict dou elemente: subiectul logic (S) i predicatul logic (P).2.2. Clasificarea propoziiilor categorice

Fie i numai enumerarea de mai sus, putem constata unele deosebiri, logic relevante, ntre propoziiile categorice. Att n propoziia 1 ct i n propoziia 2 subiectul logic a fost17

Pentru o tratare clar, sistematic a lor, comp. Marga, Stoianovici, Dima, Logica general, pp. 81-123.

6

luat n considerare (chiar dac n moduri diferite!) n totalitatea sa. Altfel spus, predicatul logic revine ntregii clase denotate de subiect. n ambele cazuri vom vorbi despre propoziii universale. n propoziiile 3 i 4, n schimb, predicatul se refer (revine) unei pri a clasei denotate de subiectul logic , motiv pentru care aceste propoziii se numesc particulare. n fine, n cazurile 5 i 6 clasa denotat de subiectul logic are un singur element; aceste propoziii se numesc individuale. Aceast clasificare s-a fcut dup criteriul cantitii, respectiv dac predicatul revine sau nu ntregii extensiuni a subiectului logic. Putem uor constata c, aplicnd acest criteriu, propoziiile individuale au forma propoziiilor universale i deci, n cele ce urmeaz vor fi incluse n aceast clas. Dup cantitate deosebim aadar: propoziii universale i particulare. Acum, dac lum propoziiile 1, 3 i 5, pe de-o parte, i 2, 4 i 6, pe de alta, vom observa c cele dou clase de propoziii se deosebesc prin urmtorul fapt: n prima clas predicatul logic este afirmat despre subiect (i.e. nota respectiv aparine subiectului logic, indiferent de extensiunea considerat), n cea de-a doua ns, predicatul logic este negat despre subiect. Aadar, propoziiile categorice pot fi clasificate i dup criteriul calitii, n afirmative i negative. n cele ce urmeaz nu vom opera distinct cu cele dou clasificri, ci cu una singur, fcut simultan dup cele dou criterii (cantitate i calitate), astfel: 1. SaP: propoziii universal afirmative 2. SeP: propoziii universal negative 3. SiP: propoziii particular afirmative 4. SoP: propoziii particular negative Notaiile din frontul fiecrei clase au urmtoarea surs: S i P sunt elementele structurale ale oricrei propoziii categorice. a i i, puse ntre S i P (n cazurile 1 i 3) sunt primele vocale din cuvntul latin affirmo i ne arat c n ambele cazuri avem propoziii afirmative (prima universal, a doua particular). Vocalele e i o din SeP i SoP sunt vocalele coninute n nego i ne indic faptul c propoziiile respective sunt negative. Aceast abreviere notaional are un avantaj operaional n analiza raporturilor logice dintre propoziiile respective 18. Remarc. Nu ntotdeauna n limbajul natural cele patru tipuri de propoziii categorice au forma de mai sus. Unii S sunt P (SiP) nu exclude, n clasificarea fcut, posibilitatea ca Toi S s fie P (SaP). ns, dac o propoziie particular este formulat Numai unii S sunt P, atunci aceast posibilitate este exclus. n primul caz avem o propoziie particular inclusiv, n cel de-al doilea exclusiv. Adus la forma uzual din clasificarea fcut, propoziia Numai unii S sunt P devine Unii S nu sunt P. Aa cum propoziia Numai unii S nu sunt P devine Unii S sunt P. Alteori propoziiile particulare au forma: Numai S sunt P, respectiv Numai S nu sunt P. Asemenea propoziii particulare exclusive se pot transforma, echivalent, n propoziii universale, de aceeai calitate, dar n care S i P i schimb reciproc locul. Ele devin Toi P sunt S, respectiv Nici un P nu este S.2.3. Raporturile logice dintre propoziiile categorice

Aa cum ntre termenii logici exist o serie de raporturi logice, tot astfel ntre propoziiile categorice putem pune n eviden nite raporturi specifice. Dac, de exemplu,18

Alteori apar doar majusculele corespunztoare: A, E, I, O, cu semnificaia SaP, SeP, SiP, SoP.

7

propoziia Toi studenii sunt prezeni este adevrat, atunci propoziiile Unii studeni nu sunt prezeni i Nici un student nu este prezent sunt false. Aa cum, dac propoziia Unii studeni nu sunt prezeni este fals, propoziia Unii studeni sunt prezeni este adevrat etc. Raporturile logice dintre propoziiile categorice pot fi redate schematic prin ptratul lui Boethius 19. SaP contrarietate SeP s s u u b b a a l l t t e contradicie e r r n n a a r r e eSiP

subcontrarietate

SoP

Aa cum vom vedea, aceast reprezentare simpl ne pune n eviden o particularitate logic relevant a acestor raporturi: sub asumpia adevrului sau falsitii unei propoziii (din cele patru) putem conchide asupra valorii de adevr a celorlalte propoziii. Dac SaP = 1 20, atunci SoP = 0 , SeP = 0 iar SiP = 1 . Dac SiP = 0 , atunci SeP = 1 , SoP = 1 i SaP = 0 (construii exemple n limbajul natural, care ilustreaz aceste cazuri). S caracterizm succint cele 4 tipuri de raporturi logice.Raportul de contradicie. Se stabilete ntre propoziiile SaP SoP i SeP SiP (diagonalele ptratului). S lum, ca exemplu, propoziiile SaP i SoP. 1. Dac SaP = 1 , atunci SoP = 0 . 1 . SaP SoP 2 . SaP SoP 2. Dac SaP = 0 , atunci SoP = 1 . 3 . SoP SaP 3. Dac SoP = 1 , atunci SaP = 0 . 4 . SoP SaP 4. Dac SoP = 0 , atunci SaP = 1 . Altfel spus, raportul de contradicie se stabilete ntre dou propoziii cantitativ i calitativ opuse, astfel c ele nu pot fi nici adevrate simultan i nici false simultan. n coloana din dreapta sunt redate simbolic aceste raporturi, unde este implicaia iar este negaia21. Din expresiile simbolice 1 - 4 deducem c n raportul de contradicie o propoziie este echivalent (i.e. are aceeai valoare logic) cu negaia celeilalte. Putem scrie aadar: SaP SoP echivalent (SaP SoP ) (SoP SaP ) 22, sau SaP SoP echivalent (SaP SoP ) (SoP SaP ) .

Boethius (480-524). 1 i 0 denot valorile de adevr adevrat i fals. 21 Pus n faa unei expresii, simbolul denot negaia expresiei respective: SoP nseamn: propoziia SoP este fals (i nicidecum negaia lui S!); P ( x ) nseamn P ( x ) este fals etc. 22 n logica propoziiilor aceste derivri succesive se numesc transformri echiveridice. Pentru detalii trimitem la Cap. 2 ( 3.1).20

19

8

Remarc. A doua formul s-a obinut din prima transformnd formula (SaP SoP ) n formula SaP SoP , pe baza Legilor lui De Morgan iar apoi, prin eliminarea negaiilor duble, am obinut cea de-a treia formul, care ne arat urmtorul fapt: relaiile logice dintre propoziiile contradictorii sunt fundamentate att de principiul logic al noncontradiciei (primul conjunct: (SaP SoP ) ) ct i de principiul logic al terului exclus (al doilea conjunct: SaP SoP ).Raportul de contrarietate. Se stabilete ntre propoziiile universale de calitate opus: SaP SeP. Pe baza unor exemple simple din limbajul natural putem constata c acest raport poate fi caracterizat astfel: 5 . SaP SeP 5. Dac SaP = 1 , atunci SeP = 0 . 6. Dac SaP = 0 , atunci SeP = ? . 6 . SaP ? 7. Dac SeP = 1 , atunci SaP = 0 . 7 . SeP SaP 8. Dac SeP = 0 , atunci SaP = ? . 8 . SeP ? n formulrile de mai sus simbolul ? exprim faptul c valoarea de adevr a propoziiei respective nu poate fi asertat, sub asumpia condiiei din enun. Adic, din faptul c propoziia SaP este fals, nu putem spune ce valoare de adevr are propoziia SeP (ea poate fi fals sau adevrat). Aadar, dou propoziii aflate n raport de contrarietate nu pot fi adevrate simultan dar pot fi false simultan. n redare simbolic: (SaP SeP ) , echivalent SaP SeP , echivalent SaP SeP sau SeP SaP . Cum nu pot fi adevrate simultan, rezult c raportul de contrarietate este fundamentat pe principiul logic al noncontradiciei. Raportul de subcontrarietate. Se stabilete ntre propoziiile particulare de calitate opus: SiP i SoP. Aici vom avea, corespunztor: 9 . SiP ? . 9. Dac SiP = 1 , atunci SoP = ? . 10. Dac SiP = 0 , atunci SoP = 1 . 10 . SiP SoP . 11 . SoP ? . 11. Dac SoP = 1 , atunci SiP = ? . 12. Dac SoP = 0 , atunci SiP = 1 . 12 . SoP SiP . Dou propoziii subcontrare nu pot fi false simultan, dar pot fi adevrate. Adic, (SiP SoP ) , echivalent SiP SoP , echivalent SiP SoP . Sau, echivalent SiP SoP sau SoP SiP . Raportul de subcontrarietate este fundamentat de principiul logic al terului exclus. Raportul de subalternare. Acest raport are loc ntre o propoziie universal i particulara de aceeai calitate. Adic ntre SaP i SiP, respectiv SeP i SoP. Urmtoarele expresii expliciteaz acest raport (considerm doar SaP i SiP): 13 . SaP SiP . 13. Dac SaP = 1 , atunci SiP = 1 . 14. Dac SaP = 0 , atunci SiP = ? . 14 . SaP ? . 15. Dac SiP = 1 , atunci SaP = ? . 15 . SiP ? . 16. Dac SiP = 0 , atunci SaP = 0 . 16 . SiP SaP . Propoziiile SiP i SoP sunt subalterne propoziiilor SaP i, respectiv, SeP: aa cum SaP i SeP sunt supraalterne propoziiilor SiP i SoP. Aadar, raportul de subalternare nseamn: adevrul supraalternei implic adevrul subalternei, respectiv, falsitatea subalternei implic falsitatea supraalternei.

9

Remarc. Dou propoziii contrare pot fi false simultan, aa cum dou propoziii subcontrare pot fi adevrate simultan. Dac vrem s vedem n ce caz se ntmpl acest lucru, atunci vom proceda dup cum urmeaz. Din cele 7 tipuri de raporturi extensionale dintre termenii logici, dac renunm la distincia exhaustiv-neexhaustiv (irelevant aici), rmn doar 5: identitate, subordonare, supraordonare, intersecie i opoziie. Considerm acum c cei doi termeni logici avui n vedere sunt subiectul (S) i predicatul (P) unei propoziii. Desigur, valoarea ei logic depinde de raportul dintre termenii logici S i P. Dac inem seam de toate aceste 5 raporturi dintre termenii S i P, atunci raporturile logice dintre propoziiile categorice, din ptratul lui Boethius, pot fi redate, mai nuanat, prin urmtorul tabel:Identitate Subordonare Supraordonare Intersecie Opoziie 0 0 1 1 0 1 0 1

SaP SeP SiP SoP

1 0 1 0

1 0 1 0

0 0 1 1

Deci, dac S i P se afl n raport de identitate, atunci SaP (adic Toi S sunt P) este o propoziie adevrat, SeP este fals, SiP este adevrat SoP = 0 , etc. E uor de vzut c toate raporturile mai sus discutate pot fi citite pe acest tabel. Mai mult chiar, putem constata c dou propoziii subcontrare pot fi false simultan dac S i P se afl n raport de supraordonare i de intersecie. Caz n care dou propoziii subcontrare pot fi adevrate simultan.

Exerciii. 1. Argumentai c date fiind raporturile de contradicie i contrarietate raportul de subalternare poate fi dedus. 2. Argumentai c date fiind raporturile de contradicie i subcontrarietate raportul de subalternare poate fi dedus. 3. Comparnd raporturile logice din ptratul lui Boethius cu funciile de adevr din Cap. Logica propoziiilor, 2 Semantica Lp , determinai, n fiecare caz n parte,ce funcii de adevr corespund acestor raporturi. Exemplu: Raportul de subalternare SaP-SiP este redat de funcia implicaie: SaP SiP (la fel, SeP SoP ) etc.

3. TEORIA INFERENEI

Aa cum termenii logici intr n construcia propoziiilor, tot astfel propoziiile particip la constituirea celei mai complexe forme logice: cea a inferenei. Inferarea ine de nsui modul de a fi al fiinelor umane ca fiine raionale. Facem inferene mereu, de la cele curente, cotidiene, pn la cele mai complexe, realizate n domeniile excepionale ale cercetrii tiinifice.

Definiia 3. Inferena este operaia logic prin care din una sau mai multe propoziii asumate ca premise obinem o alt propoziie numit concluzie. Inferenele sunt de o mare diversitate. Dac lum drept criteriu gradul de generalitate al concluziei n raport cu premisele, vom deosebi: inferene deductive i inferene inductive. O alt clasificare o putem face avnd n vedere dac inferenele respective sunt valide (i.e. conserv n concluzie adevrul premisei/premiselor) sau nevalide (i.e. adevrul10

premisei/premiselor nu garanteaz adevrul concluziei). Logica se intereseaz exclusiv de inferenele valide. Iar dac numrul premiselor este cel avut n vedere, atunci deosebim: inferene imediate (i.e. inferene cu o singur premis) i inferene mediate (i.e. inferene cu dou sau mai multe premise). La aceste din urm inferene ne vom opri n cele ce urmeaz, cu meniunea c propoziiile lor constitutive sunt propoziii categorice.3.1. Inferene imediate

Dac tim, de exemplu, c propoziia Toi studenii sunt prezeni este adevrat, atunci, fr a face investigaii empirice, tim c i propoziia Unii dintre cei prezeni sunt studeni este la fel. Adevrul primeia garanteaz adevrul celei de-a doua. Aceast operaie prin care din prima propoziie (SaP) am obinut-o pe cea de-a doua (PiS) nu este o simpl transformare lingvistic, ci o operaie logic, cea a conversiunii. Definiie 3.1.1. Conversiunea este inferena imediat prin care dintr-o propoziie S-P derivm o alt propoziie de forma P-S (i.e. termenii logici i schimb locul i deci i funciile). S vedem acum n ce fel se convertesc cele 4 tipuri de propoziii categorice. indic operaia logic a conversiunii. Chiar i din SaP C PiS ; aici C exemplul de mai sus ne putem da seama c din propoziia SaP prin conversiune n-am fi putut obine propoziia PaS, adic Toi cei prezeni sunt studeni, pentru c aceast propoziie nu este ntotdeauna adevrat. i deci inferena fcut ar fi nevalid. ns dac SaP este adevrat, atunci i PiS este adevrat. Premisa SaP se numete convertend iar PiS se numete convers. ntruct n acest caz cantitatea premisei s-a alterat (i.e. din universal am obinut o particular), conversiunea se numete prin accident. SeP C PeS (conversiune simpl) SiP C PiS (conversiune simpl) SoP C ? (nu se convertesc) Pe baza unor exemple simple putem s vedem c propoziiile particular negative nu se convertesc. Aadar, adevrul unei propoziii SoP nu poate garanta ntotdeauna adevrul conversei ei PoS. Din adevrul propoziiei Unii oameni nu sunt ingineri nu putem conchide Unii ingineri nu sunt oameni. n schimb, din propoziia Unii studeni nu sunt logicieni putem conchide c Unii logicieni nu sunt studeni. ntruct nu ntotdeauna concluzia este o propoziie adevrat, vom spune c propoziiile SoP nu se convertesc. Dup cum se vede, prin conversiune obinem ntotdeauna o propoziie de aceeai calitate. Propoziiile SeP i SiP se convertesc simplu (n aceste cazuri i cantitatea se conserv), SaP se convertete prin accident iar SoP nu se convertesc. Aa cum din propoziii SoP adevrate uneori obinem propoziii PoS adevrate, tot astfel din propoziii SaP adevrate uneori obinem propoziii PaS adevrate. n logic este relevant i cunoaterea acestor situaii. Aa cum relevant a fost i rspunsul din paragraful precedent cu privire la situaiile n care dou propoziii contrare/subcontrare pot fi false/adevrate simultan. i n acest caz rspunsul poate fi dat innd seam de raportul dintre termenii logici S i P. Pentru aceasta considerm din nou cele cinci raporturi extensionale i determinm, n fiecare caz n parte, adevrul propoziiilor SaP, PaS, SeP, PeS, SiP, PiS, SoP, PoS. Exemplu. Dac S i P sunt n raport de identitate, atunci att SaP ct i PaS sunt adevrate. n acest caz din propoziia SaP, prin conversiune, obinem PaS etc. Tot astfel putem determina cazul n care SoP se convertete (exerciiu). Gama inferenelor imediate nu se reduce ns la conversiune. Dac, de exemplu, propoziia Toi studenii sunt bursieri este adevrat, atunci va fi adevrat i propoziia Nici

11

un student nu este nebursier. n acest caz vorbim despre o alt operaie logic, cea a obversiunii. Definiia 3.1.2. Obversiunea este inferena imediat prin care dintr-o propoziie S-P derivm o alt propoziie de forma S P . Premisa se numete obvertend iar concluzia obvers. Notaia S P are urmtoarea semnificaie: n concluzie termenii logici i pstreaz locul, predicatul este negat23 iar bara de deasupra ntregii expresii nseamn nlocuirea reciproc a operatorilor intrapropoziionali a cu e i i cu o. Adic: SaP O Se P (locul barei de deasupra ntregii expresii este preluat de transformarea lui a n e). SeP O Sa P (explicaie similar). SiP O So P SoP O Si P Simbolul O indic operaia logic a obversiunii (construii exemple pentru fiecare caz n parte). n cazul obversiunii cantitatea premisei se conserv n concluzie, n toate cele patru cazuri. Cele dou inferene imediate, aplicate succesiv (i alternativ) asupra unei propoziii categorice permit derivarea unor propoziii de alte tipuri dect cele menionate mai sus. S lum, de exemplu, propoziia SaP i s aplicm alternativ cele dou operaii, ncepnd cu obversiunea. Vom obine: SoP O Se P C PeS O Pa S C Si P O SoP Propoziiile obinute n paii 3 i 4, respectiv PeS i Pa S se numesc contrapuse, iar ultimele dou propoziii Si P i SoP se numesc inverse. S le considerm pe rnd.

Definiia 3.1.3. Contrapoziia este inferena imediat prin care dintr-o propoziie S-P derivm o alt propoziie de forma P S / S (i.e. obinem o concluzie al crei subiect este contradictoriul predicatului premisei). Premisa se numete contraponend iar concluzia contrapus. Notaia S / S simbolizeaz urmtorul fapt: predicatul concluziei este fie subiectul premisei, fie subiectul negat al premisei. n primul caz, cnd concluzia are forma P S vorbim despre contrapus parial, n cel de-al doilea, P S , de contrapus total.

(

)

Definiia 3.1.4. Inversa este inferena imediat prin care dintr-o propoziie S-P derivm o alt propoziie de forma S P / P (i.e. obinem o concluzie al crei subiect este contradictoriul subiectului premisei). i n acest caz notaia P / P simbolizeaz faptul c o invers poate s fie parial (de forma S P ) sau total (de forma S P ) (Construii exemple). Aadar, prin aplicarea repetat i alternativ a conversiunii i obversiunii putem obine toate propoziiile adevrate dintr-o propoziie dat ca adevrat. SaP C PiS O Po S

(

)

23

De cte ori ne vom referi la termenii logici strict extensional (i.e. termeni care denot clase de obiecte) vom

utiliza, pentru clasa complementar, o baz deasupra simbolului respectiv ( S , M , P ). Aadar nseamn: clasa complementar lui P (adic non P).

P (P negat)

12

SaP O Se P C PeS O Pa S C Si P O SoP C O C O SeP PeS Pa S SiP So P O C O SeP Sa P PiS Po S C O SiP PiS Po S O SoP SiP SoP C ? SoP O Si P C PiS O Po S

Remarci. 1. Lanul derivrilor se oprete atunci cnd ajungem la o propoziie SoP care urmeaz s fie convertit. 2. n cazul conversiunii simple (SeP i SiP) propoziiile obinute (PeS i PiS) sunt echivalente cu premisele lor. n cazul conversiunii prin accident avem doar un raport de implicaie SaP PiS . 3. n cazul obversiunii, obvertendele i obversele sunt propoziii echivalente. n fine, ncheiem acest paragraf cu cteva explicaii privitoare la valabilitatea inferenelor imediate.Distribuirea termenilor logici

S considerm, de exemplu, propoziia Unii studeni sunt melomani. Din aceast propoziie nu putem deriva propoziia Toi studenii sunt melomani. n caz contrar derivarea ar fi nevalid, deoarece ncalc urmtoarea cerin privitoare la inferenele deductive: concluzia unei inferene deductive nu trebuie s depeasc gradul de generalitate al premisei (premiselor)ei. Gradul de generalitate al concluziei se refer att la propoziia ca atare ct i la termenii logici din care se compune. Derivarea de mai sus ar fi nevalid att pentru faptul c dintr-o premis particular deducem o concluzie universal, ct i pentru motivul c termenul logic studeni este considerat parial n premis pe cnd n concluzie el este luat extensional n ntreaga lui sfer. Acest din urm aspect ne intereseaz n cele ce urmeaz. n premisa din exemplul de mai sus, despre termenul logic studeni vom spune c este nedistribuit, pe cnd n concluzie este distribuit. Definiia 3.1.5. Un termen logic este distribuit dac ntr-o propoziie este considerat n maxima lui extensiune; n caz contrar el este nedistribuit. Trebuie s remarcm de la bun nceput c aceast proprietate a unui termen logic se poate afirma sau nega doar n raport cu propoziia din care termenul logic respectiv face parte ca subiect sau predicat. Dac prin + nelegem distribuit iar prin nelegem nedistribuit, atunci distribuirea termenilor logici S i P n proppoziiile categorice arat astfel: S + aP , S + eP + , S iP , S oP + . ntr-o propoziie universal afirmativ S este distribuit, fapt care rezult chiar din lectura expresiei Toi S sunt P. ns de aici nu deducem nimic cu privire la extensiunea lui P, motiv pentru care P este considerat nedistribuit. Explicaii similare putem gsi i pentru celelalte 3 cazuri (exerciiu). Rezumativ, distributivitatea termenilor logici poate fi redat astfel: 1. Subiectul (S) este distributiv n propoziii universale. 2. Predicatul (P) este distributiv n propoziii negative.

13

Echivalent, un termen logic este distributiv dac este subiectul unei propoziii universale sau predicatul unei propoziii negative. Validitatea inferenelor (imediate i mediate) presupune respectarea unei reguli cu privire la distribuirea termenilor logici: un termen logic poate s apar distribuit n concluzie doar dac a fost distribuit i n premisa corespunztoare. O dat formulat aceast regul, putem argumenta de ce, de exemplu, conversiunea simpl a propoziiilor SaP i SoP nu este o inferen valid. Dac am face astfel de conversiuni, atunci am avea: S + aP C P + aS i S oP + C P oS + n ambele cazuri se ncalc regula distribuirii termenilor. n primul caz, n concluzie, P apare distribuit, fr a fi distribuit n premis, n al doilea, S este distribuit n concluzie i nu este distribuit n premis. Remarc. Un termen logic poate fi distribuit n premis fr a fi distribuit n concluzie (dai exemple).Propoziii cu termeni negativi

Aa cum am vzut din derivrile de mai sus, prin aplicarea repetat a conversiunii i obversiunii, obinem propoziii n care apar termeni negai. Unele din acestea sunt echivalente cu propoziia iniial, altele sunt implicate de propoziia iniial. Cu toate acestea, dat fiind o propoziie categoric, anumite propoziii nu pot fi obinute din aceasta. Din propoziia SaP, de exemplu, nu putem obine inversa Sa P (nici reciproc). Motiv pentru care cele dou propoziii sunt considerate independente. Aadar, dac vom considera i propoziiile cu termeni negai, vom constata c la cele patru tipuri de propoziii categorice, SaP, SeP, SiP, SoP, se adaug nc patru tipuri diferite de propoziii, inversele celor dinti: Sa P , Se P , Si P , So P . Fiecare dintre aceste opt tipuri are cte trei propoziii echivalente. Acestea pot fi gsite exact n modul n care am procedat mai sus: prin aplicarea repetat a conversiunii i obversiunii. Din SaP, de exemplu, am obinut propoziiile echivalente: Se P , PeS , Pa S . Din SeP am obinut: PeS, Pa S i Sa P etc. La fel putem proceda acum cu propoziia S a P , astfel: S a P O SeP C Pe S O PaS , obinnd trei propoziii echivalente cu S a P . Apoi lum propoziia Se P i procedm similar, etc (exerciiu). Deosebim, aadar, n total 32 de propoziii categorice: SaP Se P PeS Pa S SeP Sa P PeS Pa S SiP So P Po S PiS SoP Si P PiS Po SSa P SeP Pe S PaS Se P Pe S PaS S aP Si P Pi S PoS SoP So P SiP Pi S PoS

Prima linie a tabelului o reprezint cele 8 tipuri de propoziii categorice, iar fiecare coloan conine propoziii echivalente. Aa cum ntre cele patru tipuri de propoziii categorice cu termeni pozitivi exist raporturile desemnate de ptratul lui Boethius, tot astfel putem reprezenta prin acelai ptrat logic raporturile dintre propoziiile cu termeni negai. Numai c, de data aceasta, n colurile ptratului vom pune aceleai propoziii A, E, I, O dar n care termenii logici sunt negai.

14

Iar dac vrem s reprezentm raporturile logice din toate cele 8 tipuri de propoziii categorice, atunci reprezentarea va fi un octogon, n vrfurile cruia vom aeza cele 8 tipuri de propoziii categorice (plus echivalentele lor) i vom decupa raporturile corespunztoare 24. Raporturi de contradicie: ntre propoziiile SaP SoP, SeP SiP, S a P So P , Se P Si P (i echivalentele lor). Raporturi de contrarietate: SaP SeP, S a P Se P , SaP Se P , S a P SeP. Raporturi de subcontrarietate: SiP SoP, Si P So P , SiP So P , Si P SoP. Raporturi de subalternare: SaP SiP, SeP SoP, S a P Si P , Se P So P , SaP Si P , Se P SoP. Pentru fiecare propoziie menionat n aceast enumerare se consider toate propoziiile echivalente cu ea (i.e. ntreaga coloan din care face parte).Exerciii

De ce propoziiile SiP nu admit contrapuse? Cte contrapuse admit propoziiile SaP, SeP i SoP? De ce propoziiile particulare nu admit inverse? Derivai toate propoziiile categorice adevrate ce decurg din urmtoarele propoziii: Numai S sunt P, Numai unii S sunt P, Numai unii S nu sunt P. 5. Care sunt propoziiile categorice al cror adevr decurge din adevrul propoziiei Sa P ? 6. Este dubla obversiune a unei propoziii identic cu propoziia iniial? Dar dubla conversiune? (Argumentai). 7. Este adevrat propoziia de mai jos? Un termen logic este distribuit ntr-o propoziie ddac 25 el este nedistribuit n contradictoria propoziiei respective.3.2. Inferene mediate (silogismul)

1. 2. 3. 4.

Dac n cazul inferenelor imediate concluzia rezlut nemijlocit dintr-o singur premis, ntr-o inferen mediat concluzia este formulat pe baza a dou sau mai multe premise. Forma fundamental a inferenelor deductive mediate o reprezint silogismul 26. Definiia 3.2.1. Silogismul este inferena deductiv mediat prin care din dou propoziii asumate ca premise se deduce o alt propoziie numit concluzie. Exemplu. Toate plantele au o structur celular. MaP Teiul este o plant. SaM Teiul are o structur celular. SaP n structura unui silogism intr, aadar, trei propoziii. ns, nu oricare trei propoziii formeaz un silogism. Primele dou propoziii, premisele silogismului, au un element comun, care le leag: plant. Acest element comun se numete termen mediu (M) i nu apare n concluzia silogismului. Ceilali doi termeni, predicatul primei premise i subiectul celei de-aDin motive tipografice, acest octogon n-a putut fi redat aici. Cititorul poate gsi aceast reprezentare n E.A. Hacker, The octogon of opposition, in Notre Dame Journal of Formal Logic, XVI, 3, 1975. 25 Abreviere pentru dac i numai dac. 26 Corespunztor, silogistica este teoria silogismului. Aceasta reprezint nucleul logicii tradiionale.24

15

doua apar i n concluzie, ca predicat (P), respectiv subiect (S) al concluziei. Aceti termeni, S i P, se numesc termen minor (S) i termen major (P). Corespunztor, premisa care conine subiectul concluziei se numete premis minor (a doua propoziie din exemplul de mai sus) iar cea care conine predicatul concluziei (prima premis) se numete premis major. Termenul minor i cel major se numesc, laolalt, termeni extremi. Aadar, ntr-un silogism ntlnim trei termeni: S, M i P, fiecare avnd strict dou ocurene (apariii). Remarc. Ordinea standard n care sunt redate silogismele n logic este: premis major, premis minor, concluzie. Aceasta nu nseamn c n argumentarea curent ea este obligatorie. La fel de bine puteam schimba ordinea premiselor pstrnd concluzia. Obineam astfel un silogism echivalent, uneori mai firesc dect primul.3.2.1. Figuri i moduri silogistice

Dac vrem s redm schematic silogismul de mai sus, adic s renunm la formularea lui n limbajul natural i s-i explicitm structura abstract, atunci schema din dreapta reprezint exact acest lucru. ns aceast schem silogistic nu acoper nicidecum toate posibilitile de construire a silogismelor. i aceasta din dou motive: n structura unui silogism pot s apar i alte propoziii dect cele universal aformative; n al doilea rnd, felurile n care termenii logici se ordoneaz pot fi altele dect cele din exemplul de mai sus. Exemplu. Nici un student n-a fost anchetat. MeP Toi studenii sunt promovai. MaS Unii dintre cei promovai n-au fost anchetai. SoP

Dac avem mai nti n vedere ordinea termenilor logici ntr-un silogism, indiferent de tipul propoziiilor care-l compun, atunci, schematic, putem pune n eviden urmtoarele 4 structuri, numite figuri silogistice: MP PM MP PM SM SM MS MS SP SP SP SP (I) (II) (III) (IV) n toate aceste cazuri concluzia este aceeai, S P. Deosebirea rezid n ordinea termenilor din premise, ordine care depinde de poziia pe care termenul mediu o ocup n premise. O figur silogistic este deci o structur determinat de funcia pe care termenul mediu o ocup n premise. n cadrul fiecrei figuri silogistice deosebim moduri silogistice, deosebite ntre ele prin felul propoziiilor din care se compun (i.e. cantitatea i calitatea acestor propoziii). Iar dac lum n considerare i acest aspect, adic tipul propoziiilor care pot fi premise i concluzie n fiecare mod din cele 4 figuri silogistice, atunci vom constata c, teoretic, numrul silogismelor care pot fi construite este destul de mare. Respectiv, 4 (cele 4 tipuri de propoziii care pot fi o premis) nmulit cu 4 (cele 4 tipuri care pot fi cealalt premis) nmulit cu 4 (propoziiile posibile din concluzie) nmulit cu 4 (cele patru figuri silogistice). Adic 4 4 4 4 = 256 . Firete, nu toate aceste posibiliti de construcie a silogismelor genereaz silogisme valide, adic silogisme n care din adevrul premiselor rezult n mod necesar adevrul concluziei. Logica este interesat nainte de toate de fundamentarea riguroas a distinciei dintre silogismele valide i cele nevalide, prin formularea unor criterii sau metode de testare i, aferent, de inventarierea silogismelor valide.

16

3.2.2. Metode de testare a validitii silogismelor

Pentru testarea validitii silogismelor avem la ndemn mai multe metode. Ne vom opri, aici, la dou dintre ele: una care se bazeaz pe formularea i aplicarea regulilor generale ale validitii silogismelor, iar cealalt pe reducerea (direct sau indirect) a silogismelor la silogisme din figura I, asumate ca valide. S le considerm pe rnd.I. Metoda aplicrii regulilor generale S vedem mai nti care sunt regulile generale ale validitii silogismelor i cum se justific ele. 1. Orice silogism valid conine strict trei termeni logici: S, M, P. n reprezentarea schematic acest lucru este evident, din moment ce o astfel de schem conine doar cele trei simboluri. Ca silogisme (i.e. formulate n limbajul natural) pot exista situaii n care aceast regul este nclcat. Date fiind propoziiile Creionul este negru, Negru este un cuvnt, am putea conchide: Creionul este un cuvnt. Evident, concluzia nu poate fi acceptat i deci silogismul este nevalid. Aceasta se datoreaz faptului c termenul mediu, negru, are, n cele dou premise, sensuri diferite. n prima exprim o proprietate a creionului, iar n a doua o entitate lingvistic. Acest silogism nu conine trei termeni, ci patru (neavnd, de fapt, termen mediu). i deci aici s-a nclcat principiul logic al identitii.

2. Termenul mediu trebuie s fie distribuit n cel puin una dintre premise. S considerm urmtoarea schem silogistic: MiP SaM SiP Termenul mediu este nedistribuit n ambele premise (n cea major este subiect de particular, n cea minor este predicat de afirmativ). Vrem ca pe baza celor dou premise s formulm o concluzie. Este posibil oricare din urmtoarele situaii contradctorii: SiP, SeP. a) Concluzia SiP poate fi derivat din cele dou premise, n urmtorul caz: M i P se afl n raport de intersecie (premisa major) iar S este subordonat lui M (premisa minor) i, simultan, S se afl n raport de intersecie cu P. b) Concluzia SeP se poate obine astfel: considerm, ca mai sus, cele dou raporturi coninute n premise, i, simultan S se afl n raport de opoziie cu P. ntruct aceleai premise permit obinerea unor concluzii contradictorii, modul n cauz nu poate fi valid. Sursa nevaliditii lui este nedistribuirea termenului mediu n cel puin una din premise (i.e. termenul mediu M nu coreleaz n nici un fel extensiunile termenilor extremi, S i P, lsnd deschis posibilitatea ca ntre acetia s existe mai multe raporturi27. 3. Un termen logic extrem nu poate s apar distribuit n concluzie dac n-a fost distribuit n premisa corespunztoare. S lum acum urmtoarea schem silogistic: MaP MaS SaP

27

Cititorii pot vizualiza aceste raporturi, dac recurg la o reprezentare prin diagrame Euler (exerciiu).

17

Dup cum vedem, n concluzie S este distribuit, fr a fi distribuit n premisa minor (fiind predicat de afirmativ). i n acest caz putem deriva, pe baza adevrului premiselor, dou concluzii contradictorii: SaP i SoP. a) Concluzia SaP rezult din raporturile dintre termeni, coninute n premise (respectiv, M este subordonat lui P i lui S), plus S este subordonat lui P. b) Concluzia SoP rezult, ca mai sus, din raporturile coninute n premise plus S i P se afl n raport de intersecie. La fel, pentru a arta nevaliditatea unui silogism n care P este distribuit n concluzie i nedistribuit n premisa major (Exerciiu). 4. Cel puin una din premise trebuie s fie afirmativ (Echivalent: din dou premise negative nu se poate deriva n mod valid o concluzie). Dac ambele premise sunt negative, cei trei termeni logici S, M i P se afl n raport de opoziie (n-au nici un element comun) i deci M nu coreleaz n nici un fel termenii S i P n premise. i astfel premisele nu pot constitui o raiune suficient pentru concluzie. 5. Din premise afirmative rezult o concluzie afirmativ. Premisele fiind afirmative, raportul dintre cei trei termeni logici coninui n premise este unul de concordan (intensional). Respectiv, extensiunile lor sunt explicitate n forma elementelor comune acestor trei termeni. Iar din faptul c S i P au elemente comune cu M nu putem spune nimic cu privire la elementele lor deosebitoare, dar putem spune cu necesitate ceva cu privire la notele comune ale lui S i P. i deci concluzia trebuie s fie afirmativ. i astfel, n virtutea principiului noncontradiciei, o concluzie negativ nu se poate nicidecum obine. 6. Din premise calitativ diferite rezult o concluzie negativ. Premisele fiind calitativ diferite (una afirmativ i una negativ), fiecare conine un raport diferit cu termenul mediu. Cea afirmativ exprim faptul c termenul extrem pe care-l conine are o parte comun cu termenul mediu, iar cea negativ c termenul extrem pe care-l conine se afl n raport de opoziie cu termenul mediu. Iar din faptul c raporturile termenilor extremi cu termenul mediu sunt diferite putem conchide doar asupra opoziiei dintre S i P (deoarece acel termen logic care apare n premisa negativ este separat n totalitatea extensiunii sale de ntreaga extensiune comun celuilalt termen i termenului mediu). i astfel putem doar conchide asupra opoziiei dintre extremi, fapt redat prin concluzia negativ a silogismului. 7. Cel puin una dintre premise trebuie s fie universal (Echivalent: din dou premise particulare nu se poate deriva n mod valid o concluzie). S presupunem c ambele premise sunt particulare. Avem astfel urmtoarele trei posibiliti: a) Ambele premise sunt particular afirmative. n acest caz silogismul nu poate fi valid, deoarece termenul mediu nu este distribuit n cel puin una dintre premise (aa cum cere regula 2). b) Ambele premise sunt negative. Silogismul este nevalid, deoarece ncalc regula 4. c) O premis este nagativ, cealalt afirmativ. n acest caz concluzia este negativ (pe baza regulii 6) i deci predicatul concluziei este un termen distribuit. Ca silogismul s fie valid, predicatul concluziei ar trebui s fie distribuit i n premisa major. ns numrul total al termenilor distribuii n premise este 1 (i.e. predicatul propoziiei negative). i deci silogismul este nevalid, cci n premise ar trebui s avem doi termeni logici distribuii (predicatul concluziei i termenul mediu).

18

8. Din premise cantitativ diferite rezult o concluzie particular. Dac lum n considerare i calitatea premiselor, atunci deosebim urmtoarele trei cazuri: a) Ambele premise sunt afirmative. Cum una din premise este universal afirmativ iar cealalt particular afirmativ rezult c n premise avem un singur termen logic distribuit: subiectul propoziiei universal afirmative. n virtutea regulii 2, acesta trebuie s fie termenul mediu. n acest caz n concluzie S nu poate fi distribuit i deci concluzia este o propoziie particular. b) Ambele propoziii sunt negative. Nici o concluzie nu poate fi derivat n virtutea regulii 4. c) O premis este afirmativ i una negativ. i cum o premis este universal iar una particular (cf. enunului regulii) rezult c numrul total al termenilor distribuii n premise este 2 (subiectul premisei universale i predicatul premisei negative). Dintre aceti doi termeni unul trebuie s fie predicatul concluziei (pentru c premisele fiind diferite calitativ, concluzia este negativ, n virtutea regulii 6, i deci P este distribuit). Aadar, subiectul (S) nu poate s fie distribuit n concluzie (cf. regulii 3). Remarc. n logic propoziiile negative i cele particulare sunt considerate mai slabe dect cele afirmative i, respectiv, universale. Pentru acest motiv regulile 6 i 8 pot fi sintetic exprimate astfel: concluzia urmeaz partea mai slab. O dat formulate i justificate regulile generale ale validitii silogismelor, inventarierea modurilor valide, proprii fiecrei figuri silogistice, se simplific. Tot ceea ce trebuie s facem este s testm, n fiecare caz n parte, dac modul respectiv respect sau nu toate cele 8 reguli. Dac da, atunci este un mod valid. Pentru aceasta considerm mai nti toate combinaiile posibile de propoziii categorice, care pot fi premisele unui mod, redndule simbolic (A, E, I, O) n ordinea standard (i.e. premis major premis minor). Obinem astfel: AA AE AI AO EA EE EI EO IA IE II IO OA OE OI OO n fiecare dublet, primul simbol denot premisa major iar al doilea premisa minor. Acum, considerm pe rnd cele patru figuri silogistice.Modurile valide ale figurii I

MP SM SP Vom lua prima combinaie de premise, AA, i vom construi un mod din figura I iar apoi verificm dac respect toate cele 8 reguli. Avem, aadar, MaP SaM SaP Formularea concluziei, SaP, s-a fcut pe baza faptului c premisele sunt universal afirmative. Am presupus c i concluzia este universal afirmativ28 iar acum vom verifica28 Este o presupunere al crei adevr trebuie testat. Nu ntotdeauna din propoziii universal afirmative se obine o concluzie universal afirmativ (comp. figura a III-a).

19

dac modul astfel obinut este ntr-adevr valid. Prima regul este respectat (fapt evident n toate cazurile, dat fiind c operm doar cu scheme silogistice). M este distribuit cel puin o dat (i.e. n major). S este distribuit n concluzie, dar este distribuit i n premisa minor. Cel puin o premis este universal i cel puin una este afirmativ. Avem aadar un mod valid din figura I: AA / A (i.e. din dou premise universal afirmative s-a obinut o concluzie universal afirmativ). Trecem acum la urmtoarea combinaie de premise: MaP SeM SeP ntruct o premis este negativ, concluzia formulat este negativ. Am presupus c este SeP. Verifind respectarea celor 8 reguli, constatm c una din acestea nu este respectat: P apare distribuit n concluzie, dar este nedistribuit n premisa major. i deci modul este nevalid. n acest fel vom proceda n fiecare caz n parte. Dup excluderea modurilor nevalide din figura I rmn (ca valide!) urmtoarele patru (exerciiu): AA / A: BARBARA EA / E: CELARENT AI / I: DARII EI / O: FERIO AA / I: BARBARI EA / O: CELARONT Cuvintele corespunztoare fiecrui mod valid sunt denumirile mnemotehnice ale acestora 29. Fiecare cuvnt mnemotehnic conine trei vocale. Succesiunea acestora n cuvnt denot succesiunea: premis major premis minor concluzie. Modurile de mai sus sunt modurile valide principale ale figurii I. ns, dac un astfel de mod are concluzie universal, atunci va fi valid i modul subaltern, a crui concluzie este particulara (subalterna) concluziei modului principal. Aadar, fiindc AA / A este un mod valid, i modul AA / I (BARBARI) este un mod valid. Similar, din validitatea lui CELARENT conchidem asupra validitii lui CELARONT.Modurile valide ale figurii a II-a

Procedm similar figurii I, numai c, de data aceasta, vom avea n vedere structura specific figurii a II-a: PM SM SP Dac lum prima combinaie de premise, AA, vom putea construi modul PaM SaM SaP

29

Date de Petrus Hispanus (1205-1277).

20

i vom constata c este un mod nevalid, deoarece M nu este distribuit n cel puin una din premise. Testnd fiecare mod posibil al acestei figuri i eliminnd modurile nevalide, obinem, n final, urmtoarele moduri valide ale acestei figuri silogistice (exerciiu). EA / E: CESARE EI / O: FESTINO AE / E: CAMESTRES AO / O: BAROCO EA / O: CESARO AE / O: CAMESTROPModurile valide ale figurii a III-a

Procednd similar, obinem urmtoarele moduri valide: AA / I: DARAPTI IA / I: DISAMIS AI / I: DATISI EA / O: FELAPTON OA / O: BOCARDO EI / O: FERISONModurile valide ale figurii a IV-a

AA / I: BRAMANTIP AE / E: CAMENES IA /I: DIMARIS EA / O: FESAPO EI / O: FRESISON AE / O: CAMENOP Aadar, din cele 256 de moduri teoretic posibile doar 24 de moduri sunt valide, cte 6 n fiecare figur. Din cele 24, 19 sunt moduri principale iar 5 subalterne. Fiind moduri valide, toate respect regulile generale ale validitii silogismelor. De altfel, aplicarea regulilor generale a constituit metoda prin care aceste moduri au fost explicitate. ns, gsirea modurilor valide din fiecare figur silogistic o putem face i altfel: prin aplicarea regulilor specifice figurii respective. Aceste reguli specifice nu se adaug celor 8 reguli generale, mai sus formulate, ci pot fi deduse i demonstrate pe baza celor 8.Reguli specifice modurilor valide din figura I

Formularea acestor reguli o putem face, simplu, examinnd ordinea n care se succed vocalele n cuvintele mnemotehnice. Pentru figura I aceste reguli sunt: R1. Premisa minor este afirmativ. R2. Premisa major este universal. Demonstraie a regulii R1 (reductio ad absurdum)

21

Presupunem c premisa minor este negativ. Rezult, prin regula general 6, c n mod necesar concluzia este negativ. i deci predicatul concluziei (P) este un termen logic distribuit. n acord cu regula general 3, ca modul s fie valid P trebuie s fie distribuit i n premisa major, unde ocup locul i funcia predicatului logic. Iar pentru a fi distribuit n major, majora trebuie s fie negativ. ns din dou premise negative, n acord cu regula general 4, nu putem deriva n mod valid o concluzie. Aadar, premisa minor a unui mod valid din figura I nu poate fi negativ; echivalent, este o propoziie afirmativ. Demonstraie a regulii R2. Din faptul c premisa minor este afirmativ rezult c termenul mediu este nedistribuit n aceast premis (deoarece M este predicat de afirmativ). Pentru ca modul s fie valid M trebuie neaparat s fie distribuit n premisa major (n acord cu regula general 2). Aadar, n premisa major M trebuie s fie subiectul unei propoziii universale. Acum, dac aplicm aceste reguli specifice, obinerea modurilor valide este simpl. Premisa major este universal (Cf. R2), adic A sau E. Din posibilitile de combinare ale acestor propoziii cu toate celelalte 4 tipuri (pentru premisa minor), adic AA, AE, AI, AO; EA, EE, EI, EO, eliminm acele combinaii care nu respect R1, adic AE, AO, EE i Eo. Rmn, aadar, 4: AA, AI, EA, EO, adic premisele modurilor BARBARA, DARII, CELARENT i FERIO. Pe baza acestor premise formulm concluziile i obinem mai nti cele 4 moduri valide principale. Apoi adugm subalternele lor: BARBARI i CELARONT.Reguli specifice modurilor valide din figura a II-a

R1. Una din premise este negativ (echivalent: premisele sunt neomogene calitativ). R2. Premisa major este universal. Demonstraie a regulii R1. Cum termenul mediu (M) este predicat n ambele premise, pentru a fi distribuit una din premise trebuie s fie negativ. Demonstraie a regulii R2. O premis fiind negativ, concluzia este negativ i deci predicatul (P) este un termen logic distribuit. n acord cu regula general 3, predicatul (P) trebuie s fie distribuit i n premisa major unde are locul i funcia subiectului logic al premisei. i deci premisa major trebuie s fie universal. Aplicnd aceste reguli putem afla cu uurin care sunt modurile valide ale acestei figuri.Reguli specifice modurilor valide din figura a III-a

R1. Premisa minor este afirmativ. R2. Concluzia este particular. Demonstraia regulii R1. (Similar demonstraie R1 de la figura I) (Exerciiu). Demonstraia regulii R2. Premisa minor fiind afirmativ, termenul logic S, care este predicatul premisei minore, este nedistribuit i deci nu poate s apar ca distribuit n concluzie (cf. regulii generale 3).

22

Reguli specifice modurilor din figura a IV-a

Aceste reguli au o formulare condiional, fiind restricii relaionate de urmtorul fel: R1. Dac premisa major este afirmativ, atunci premisa minor este universal. R2. Dac premisa minor este afirmativ, atunci concluzia este particular. R3. Dac o premis este negativ, atunci premisa major este universal. Demonstraia regulii R1. Dac premisa major este afirmativ, atunci termenul mediu este nedistribuit (pentru c M este predicat de afirmativ). i deci M trebuie s fie distribuit n premisa minor. Aadar, premisa minor trebuie s fie universal (pentru c M este subiect n aceast premis, iar subiectul este distribuit doar n propoziii universale). Demonstraia regulii R2 (Similar demonstraie R1 de la figura I i III) (Exerciiu). Demonstraia regulii R3 Dac o premis este negativ, atunci concluzia va fi negativ i deci P este un termen logic distribuit n concluzie. El trebuie s fie distribuit i n premisa major (n acord cu regula general R3), unde ocup locul i funcia subiectului logic. Aadar, premisa major trebuie s fie universal.II. Metoda reducerii

Dac n inventarierea modurilor valide n paragraful precedent am apelat la regulile generale ale validitii silogismelor, de data aceasta vom avea n vedere relaiile dintre modurile diferitelor figuri silogistice. Aa cum am constatat n paragraful dedicat inferenelor imediate, prin conversiunea unei propoziii SeP vom obine o propoziie PeS, echivalent primeia. Iar dac un mod care conine n concluzie propoziia SeP este unul valid, atunci va fi valid i modul care se obine din primul nlocuind SeP cu PeS. La fel putem spune i despre premise. Aceste corelaii care se pot stabili ntre moduri ngduie justificarea validitii unor moduri asumnd ca valide alte moduri. Aristotel a presupus ca valide modurile figurii I, pe care le-a numit moduri perfecte30, date fiind urmtoarele particulariti: au concluzii de toate cele patru tipuri (A, E, I, O), termenii extremi (S, P) au n concluzie aceleai funcii pe care le au n premise, structura figurii I este, n esen, structura unei demonstraii. Demonstrarea validitii unor moduri prin reducerea lor la alte moduri considerate valide se poate face fie ca reducere direct, fie ca reducere indirect. S le considerm pe rnd.II. A. Metoda reducerii directe

Reducerea direct asum ca valide cele ase moduri din figura I (BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO, BARBARI i CELARONT). Demonstrarea validitii unui mod presupus nevalid (fig. II-IV) nseamn: a) din premisele modului nevalid deducem premisele unui mod valid din fig. I. b) concluziile celor dou moduri sunt identice sau concluzia modului nevalid este deductibil din concluzia celui valid. Exemplu. S demonstrm validitatea modului nevalid FELAPTON (fig. a III-a)30

Aristotel, Analitica prim, I, 1, 24 b.

23

MeP MaS SoP FELAPTON

C

MeP SiM SoP FERIO

Reducerea lui FELAPTON o facem la FERIO (fig. I), deoarece premisele majore ale celor dou moduri coincid, iar din premisa minor a lui FELAPTON, prin conversiune prin accident, obinem premisa minor a modului FERIO. Cum concluziile celor dou moduri coincid, n acord cu exigenele a) i b) ale reducerii directe, rezult c modul FELAPTON este un mod valid. Alteori, pentru a face reducerea direct sunt necesare mai multe operaii. S demonstrm acum validitatea modului CAMESTRES (fig. a II-a). PaM PaM MeS C SeM MeS PaM SeP SeP PeS Observm, mai nti, c pentru a obine structura figurii I trebuie s convertim (simplu) premisa minor, apoi schimbm reciproc locul premiselor: premisa major devine premis minor (i deci conine subiectul concluziei) iar premisa minor devine premis major (i deci conine predicatul concluziei). Modul astfel obinut este modul valid CELARENT, din figura I. n fine, n acord cu b) de mai sus, din concluzia modului CELARENT, SeP, obinem, prin conversiune (simpl) concluzia modului CAMESTRES. n esen, reducerea direct este o argumentare de urmtorul gen. Modul a crui validitate trebuie demonstrat este un mod cu premise adevrate i trebuie artat c concluzia sa rezult n mod necesar din premise. Pentru aceasta, din premisele acestui mod (considerate adevrate) se obin, prin inferene imediate valide, premisele unui mod valid din figura I (i care vor fi de asemenea adevrate). Cum modul din figura I este asumat ca valid, deducem, n acord cu conceptul validitii, c din premisele lui adevrate obinem o concluzie n mod necesar adevrat. Din aceast concluzie a modului valid din figura I prin inferene imediate vom obine concluzia modului presupus nevalid (n cazul n care cele dou concluzii nu sunt identice). i deci i concluzia modului de demonstrat este n mod necesar adevrat. Felul n care, dat fiind un mod din figurile II IV, construim un mod valid din figura I este sugerat de unele consoane din cuvintele mnemotehnice, astfel: a) Consoana iniial din denumirea unui mod din fig II IV, a crui validitate trebuie demonstrat, coincide cu consoana iniial a modului respectiv din figura I la care facem reducerea. Exemple: pe CAMESTRES l-am redus la CELARENT, pe FELAPTON la FERIO, pe DARAPTI l vom reduce la DARII etc. b) S din denumirea unui mod din fig. II IV indic o conversiune simpl a premisei denotate de vocala imediat precedent. n demonstrarea validitii lui CAMESTRES am fcut o conversiune simpl a premisei minore. n demonstrarea validitii lui CESARE vom face o conversiune simpl a premisei majore etc. c) P din denumirea unui mod din fig. II IV indic o conversiune prin accident (per accidens) a propoziiei denotate de vocala imediat precedent. n DARAPTI (fig a II-a) vom nlocui premisa minor MaS cu SiM, obinut prin conversiune prin accident din MaS. n FESAPO (fig. a IV-a) la fel. d) M ne indic o perMutare a premiselor (mutatio praemissarum) (CAMESTRES, CAMENES, DISAMIS, BRAMANTIP, DIMARIS). Aceast cale de demonstrare a validitii unui mod poate fi ns integral transpus simbolic. Pentru a prezenta simbolic reducerea lui FELAPTON (fig. a III-a) la FERIO (fig. I), 24

din exemplul nostru de mai sus, procedm n felul urmtor. Redm mai nti implicativ modul FERIO: (MeP SiM ) SoP . Apoi, n locul propoziiilor MeP, SiM, SoP vom pune variabilele propoziionale31 p, q i r. Conversiunea premisei minore MaS, a lui FELAPTON, n SiM o vom reda n forma implicaiei s q . Iar modul FELAPTON (implicativ: (MeP MaS ) SoP ) l vom reda corespunztor, prin ( p s ) r . Reducerea direct a lui FELAPTON la FERIO nseamn: Dac FERIO este un mod valid, (atunci dac implicaia MaS SiM este adevrat), atunci FELAPTON este un mod valid. Redat n simbolismul logicii propoziionale aceast idee este: [( p q ) r ] {(s q ) [( p s ) r ]}. Aceasta este o formul valid32 a logicii propoziiilor. ns ( p q ) r este adevrat (deoarece exprim, prin asumpie, validitatea modului FERIO) i deci, prin modus ponens, vom obine: (s q ) [( p s ) r ] . Acum, cum s q este adevrat (pentru c exprim conversiunea MaS C SiM), printr-o nou aplicarea a regulii modus ponens, obinem ( p s ) r ; formul care exprim validitatea modului FELAPTON. La fel putem proceda cu orice alt reducere direct a vreunui mod din figurile II IV la un mod din figura I. Reducerea lui DARAPTI (fig. a III-a) la DARII (fig. I), de exemplu, o vom reda prin aceai formul, iar cea a lui BRAMANTIP (fig. a IV-a) la BARBARA (fig. I) prin: [( p q ) r ] {(r s ) [( p q ) s ]} (exerciiu).II. B. Metoda reducerii indirecte (reductio ad absurdum)

A demonstra prin reducere la absurd validitatea unui mod silogistic nseamn: a presupune c modul respectiv este nevalid, iar dac din aceast presupunere rezult o contradicie (sau o contrarietate), atunci presupunerea ca atare trebuie respins, aceasta echivalnd cu o demonstraie de validitate a modului respectiv. Demonstraia prin reducere la absurd este reclamat de faptul c anumite moduri nu pot fi reduse direct la un mod valid de figura I. BOCARDO (fig. a III-a), de exemplu, nu poate fi reconstruit n forma unui mod din figura I, pentru c premisa minor, MaS, prin conversiune (pentru ca M s fie predicat n minor) devine SiM, care mpreun cu MoP nu poate forma un mod valid (fiind dou premise particulare). Nici dac schimbm locul premiselor lui BOCARDO nu putem construi un mod din fig. I, deoarece, n acest caz, premisa (acum) minor MoP ar trebui convertit, iar aceste propoziii nu se convertesc. i n cazul reducerii la absurd sunt presupuse ca valide toate cele ase moduri ale figurii I. S demonstrm acum, de exemplu, validitatea modului BOCARDO: MoP MaS SoP Presupunem c modul BOCARDO este nevalid. Aceasta nseamn c premisele acestui mod sunt adevrate iar concluzia fals. ns din falsitatea propoziiei SoP conchidem asupra adevrului contradictoriei sale, SaP. Cu propoziia SaP i cu una din premisele modului BOCARDO construim un mod din fig. I. Este uor de vzut c mpreun cu premisa minor obinem modulnaintea parcurgerii expunerii care urmeaz cititorul este invitat s parcurg paragrafele 1, 2 i 4 din Cap. Teoria funciilor de adevr. 32 Pentru verificarea validitii ei cititorul poate apela la oricare din procedeele descrise n paragraful 4, Cap. Teoria funciilor de adevr. Prin operativitatea sa, se recomand Reductio test.31

25

SaP MaS MaP, Adic BARBARA din fig. I, unde S este acum termen mediu. Cum SaP este adevrat (fiind contradictoria unei propoziii false); MaS este adevrat (prin presupoziie) iar modul BARBARA este valid (prin presupoziie) deducem c propoziia din concluzie, MaP, este, de asemenea, adevrat. ns propoziiile MaP (concluzia modului BARBARA de mai sus) i MoP (premisa major a modului BAROCO) nu pot fi simultan adevrate, deoarece sunt n raport de contradicie. Cum MoP este adevrat prin presupoziie, rezult c MaP este fals. De aici deducem c modul (valid!) BARBARA are concluzie fals, ceea ce nseamn c cel puin una din premise este fals. Cum MaS este adevrat (prin presupoziie) rezult c fals este premisa major a acestui mod, SaP. ns din falsitatea lui SaP conchidem asupra adevrului contradictoriei ei, SoP, adic tocmai asupra adevrului modului a crui validitate trebuie demonstrat (BOCARDO). Aadar, dac premisele modului BOCARDO sunt adevrate, atunci i concluzia lui este n mod necesar adevrat. i deci modul este valid. Remarci. 1. n mod similar demonstrm validitatea modului BAROCO (fig. a II-a). Consoana C din cuvintele BOCARDO i BAROCO indic faptul c n cursul demonstraiei prin reducere la absurd contradictoria concluziei ia locul premisei denotate de vocala imediat precedent. 2. Prin reducere la absurd se poate demonstra validitatea oricrui mod (valid!) din figurile II IV, nu doar a celor dou moduri mai sus menionate. ns, unele demonstraii prin reducere la absurd se bazeaz nu pe raportul de contradicie, ci pe cel de contrarietate, dintre propoziii, fr ca prin aceasta demonstraia s fie alterat. De exemplu, n demonstrarea validitii lui FELAPTON, propoziia SaP (contradictoria concluziei, SoP) formeaz mpreun cu premisa minor a modului FELAPTON (MaS) modul BARBARA (cu concluzia MaP). ns MaP i MeP (premisa major a lui FELAPTON) se afl n raport de contrarietate (detaliai demonstraia). Aa cum n demonstraia prin reducere direct ntreaga demonstraie a putut fi redat cu simbolismul logicii formale a propoziiilor, tot astfel reducerea indirect poate fi exprimat prin formule valide ale logicii propoziiilor. n demonstraia de mai sus, de exemplu, validitatea lui BOCARDO a fost demonstrat asumnd validitatea modului nou construit, BARBARA. n expresia lui implicativ, am obinut (SaP MaS ) MaP . Dac redm aceast formul cu ajutorul variabilelor propoziionale p, q i r, obinem ( p q ) r . ns, n logica propoziiilor aceast formul este echivalent cu (r q ) p , adic adic (MoP MaS ) SoP (expresia implicativ a modului BOCARDO). Aadar, dat fiind validitatea modului BARBARA, validitatea modului BOCARDO poate fi justificat pe baza urmtoarei echivalene a logicii propoziiilor: [( p q ) r ] [(r q ) p ] , expresie care red simbolic structura demonstraiei prin reducere la absurd. Remarc. Pentru demonstrarea validitii lui BAROCO vom folosi o echivalen similar: [( p q ) r ] [( p r ) q ] . Echivalenele care intervin n acest tip de demonstraii sunt, aadar: [( p q ) r ] [( p r ) q ] [(r q ) p]

(MaP MaS ) SaP ,

26

Exerciii

1. Este adevrat urmtoarea propoziie? Numrul termenilor distribuii n premise este strict mai mare dect numrul termenilor distribuii n concluzie. (Argumentai). 2. S se demonstreze c doar un mod valid din figura I admite o concluzie SaP. 3. S se demonstreze c dac concluzia unui mod valid este o propoziie universal, termenul mediu (M) nu poate fi distribuit n premise dect o dat. 4. Ce not distinctiv are un silogism valid n care doar M este distribuit? 5. S se demonstreze c modul EI / O este valid n orice figur. 6. S se demonstreze c modul IE / O nu este valid n nici o figur. 7. Ce putem spune despre premisa major a unui mod valid n care premisa minor este negativ? (Argument) 8. De ce ntr-un mod valid din figurile I i IV, propoziiile particular negative nu pot fi premise? 9. Care este modul valid care are urmtoarea determinaie: P este distribuit n premis i nedistribuit n concluzie? 10. Ce putem spune despre premisa minor a unui silogism valid n care P ocup locul i funcia predicatului logic n premisa major? 11. Ce putem spune despre concluzia unui silogism valid n care termenul S este predicat n premisa minor? (Argument) 12. S se demonstreze c dac dou silogisme au o premis comun iar celelalte premise sunt n raport de contradicie, atunci concluziile lor sunt propoziii particulare. 13. Determinai toate modurile valide care satisfac urmtoarea condiie: conin numai doi termeni distribuii fiecare de dou ori. 14. Determinai modurile valide care satisfac urmtoarea condiie: sunt moduri ale aceleiai figuri iar premisele lor majore sunt subcontrare. 15. Determinai modul valid care corespunde urmtoarei descrieri: premisa major este afirmativ, P este distribuit n concluzie, S este nedistribuit n premisa minor. 16. De ce nu este valid un mod n care premisele admit conversiuni simple iar premisa major este afirmativ? 17. S se demonstreze prin reducere direct validitatea urmtoarelor moduri: CESARE (II), FESTINO (II), DARAPTI (III), FERISON (III), FESAPO (IV), DIMARIS (IV). 18. Detreminai acele formule valide ale logicii propoziiilor care exprim reducerea direct a modurilor din exerciiul 17. 19. S se demonstreze prin reducere indirect (reductio ad absurdum) validitatea modurilor din figurile III i IV. 20. S se arate, pe baza echivalenelor L p , c modurile DARII i FERIO (fig. I) pot fi reduse indirect la modurile CAMESTRES, respectiv CESARE (fig. a II-a). 21. S se arate c modurile CAMESTRES i CESARE pot fi reduse direct la modul CELARENT (fig. I). Indicaie. (20 i 21). (MaP SiM ) SiP (DARII) l redm prin ( p q ) r . De unde, pe baza echivalenei [( p q ) r ] [( p r ) q ] obinem CAMESTRES, din care obinem apoi, direct, CELARENT. Prin substituii adecvate de termeni obinem modul n forma lui standard.

27

3.2.3. Moduri silogistice indirecte

Un mod silogistic se numete indirect dac ordinea termenilor n concluzie este inversat. n unele cazuri, anumite combinaii de premise pot figura doar n moduri indirecte. Dac, de exemplu, premisa minor a unui mod silogistic din figura I este universal negativ, atunci, indirect, nu ptem construi un mod valid. De altfel, acest lucru este respins chiar de una din regulile specifice acestei figuri: premisa minor trebuie s fie afirmativ. Dar dac vom schimba reciproc ordinea termenilor din concluzie, atunci construcia unui mod valid este posibil. Din premisele MaP i SeM putem obine concluzia PoS. Aadar, vom obine modul (MaP SeM ) PoS , mod valid al fig. I. Tot n fig I premisa major poate fi MiP (de ce?) i astfel obinem modul valid (MiP SeM ) PoS . Avem aadar urmtoarele dou moduri valide indirecte ale fig. I: MaP MiP SeM (FAPESMO) SeM (FRISESOMORUM) PoS PoS

Similar putem obine i alte moduri indirecte valide n figura I, prin conversiunea concluziei unui mod direct: Din MaP SaM (BARBARA) SaP Din MeM SaM (CELARENT) obinem SeP Din MaP SiM (DARII) obinem SiP obinem MaP SaM (BARALIPTON) PiS MeP SaM (CELANTES) PeS MaP SiM (DABITIS) PiS

Remarc. Exist o deosebire ntre ultimele trei moduri indirecte i primele dou. BARALIPTON,CELANTES i DABITIS sunt valide i ca moduri directe. n schimb, FAPESMO i FRISESOMORUM nu. Similar putem obine modurile valide indirecte ale figurii a II-a. i aici avem un mod indirect care nu este valid ca mod direct: FIRESMO (de ce?). Corespunztor, n figura a III-a, cele dou moduri indirecte, nevalide ca moduri directe, sunt FAPEMO i FRISEMO.33 Remarc. Modurile indirecte ale fig. I pot fi transformate n moduri valide directe ale fig. a IV-a (coresponden indicat de prima consoan din cuvntul mnemotehnic: BARALIPTON devine BRAMANTIP etc). (Exerciiu).

33

Chiar Aristotel menioneaz existena modurilor indirecte valide n situaiile n care ca moduri directe nu sunt valide (An. Pr., I, 7 29a), dei le menioneaz doar pe cele din fig. I. Celelalte moduri (FIRESMO, FAPEMO, FRISEMO) sunt specificate mult mai trziu, de ctre Iulius Pacius (1550-1635).

28

3.2.4. Silogistica cu termeni negativi

Aa cum am vzut n cazul inferenelor imediate, prin aplicarea repetat a conversiunii i obversiunii putem obine i propoziii care conin termeni negai. i astfel, dac propoziia iniial era adevrat, atunci i propoziiile derivate sunt adevrate. i n cazul inferenelor mediate ntlnim cazuri similare. S dm cteva exemple. a) MaP Me P b) MaP Pa M c) MaP M aP SaM SaM SaM SaM SaM Sa M SaP Se P SaP SaP SaP SaP

Cum modul BARBARA este un mod valid al figurii I, i modul obinut din el prin obvertirea premisei majore i a concluziei este tot un mod valid (cazul a). Cci dac nici un M nu este non P i toi S sunt M, atunci nici un S nu este non P. n cazul b) premisa major a modului BARBARA a fost nlocuit cu contrapusa ei total (echivalent), obinnd astfel tot un mod valid. ns, din modul valid BARBARA, prin substituirea termenului mediu cu negatul su, M , putem obine, de asemenea, un mod valid (cazul c). Substituirea termenilor logici n silogistic nu se restrnge ns la substituirea unui termen arbitrar cu negatul su (sau invers), ci un termen logic se poate substitui cu un alt termen logic. S lum dou exemple. Fie modul valid FELAPTON (fig. a III-a). d) MeP P eM (M/ P ) e) Pe M (M/ P ) MaS P aS (P/M) P aS (P/ M ) SoP SoM So M n cazul d) din FELAPTON am obinut un alt mod, tot din figura a III-a, prin substituirea lui M cu P (M/ P ) i a lui P cu M (P/M). Similar, n e) am fcut urmtoarele substituii: M/ P i P/ M , obinnd, de asemenea, un mod valid. n felul acesta, prin substituii corecte, din moduri valide obinem alte moduri valide. Remarc 1. Substituia trebuie s fie corect, n urmtorul sens: a) Dac substituim un termen logic (negat sau nenegat) cu un alt termen logic (negat sau nenegat), atunci substituia trebuie s o facem n toate ocurenele (apariiile) termenului respectiv. Cum n orice mod silogistic valid fiecare termen are dou ocurene distincte, tot de dou ori l vom substitui cu noul termen ales. b) Dac ntr-un mod silogistic termenul pe care vrem s-l substituim apare o dat negat i o dat nenegat, atunci n substituie vom ine seam de jocul negaiilor logice. Exemplu: Pa M Ma P ( P /M) SoP So M (M/P) SoM SoP Din primul mod l-am obinut pe al doilea prin substituiile indicate n dreapta. Cum n modul iniial termenul P apare o dat negat i o dat nenegat, prin substituirea lui P cu M, n premisa minor, n loc de P vom pune M . Similar, cum n loc de M punem P (a doua substituie), n concluzie, rezult c n premisa major n loc de M vom pune P . c) Orice termen logic se poate substitui cu orice termen logic, operaie care poate fi executat simultan pentru toi cei trei termeni logici, cu condiia c modul care rezult s aibe

29

tot trei termeni logici (Nu putem substitui ntr-un mod pe S cu P i att. n acest caz modul ar avea doar doi termeni logici). Remarc 2. Termenii logici, prin definiie, denot clase de obiecte. ntruct n cele ce urmeaz operm cu termeni logici i negaiile lor, pentru ca toate derivrile de moduri valide s fie logic corecte va trebui s introducem urmtoarea asumpie: att clasele de obiecte desemnate de S, M, P ct i complementarele lor, S , M , P trebuie s fie nevide.34 Echivalent: o dat specificat universul de discurs, excludem posibilitatea ca un termen logic s denote clasa universal (i.e. ntreg universul de discurs) sau clasa vid. Pe baza operaiei substituiei termenilor logici i avnd n vedere asumpia menionat, s vedem acum cteva cazuri de moduri silogistice valide care conin termeni negai.35 S presupunem n cele ce urmeaz c modurile analizate sunt redate n form implicativ.Figura I

1. (MaP SaM ) SaP ; BARBARA 2. (MeP SaM ) SeP ; CELARENT

Acest mod se obine din BARBARA prin substituia P/ P : Ma P SaM Sa P , echivalent (MeP SaM ) SeP (prin obvertirea premisei majore i a concluziei i eliminarea dublei negaii, pe baza: complementara complementariei unei clase este clasa nsi). 3. (MaP SiM ) SiP ; DARII Modul DARII se poate obine tot din BARBARA, prin utilizarea echivalenelor menionate la reducerea indirect i prin substituii adecvate de termeni logici. Fie urmtoarea echivalen a L p : [( p q ) r ] [( p r ) q ] . S presupunem acum c echivalentul stng,

(

)

( p q ) r , reprezint modul BARBARA. Corespunztor, vom avea [(MaP SaM ) SaP ] [ (MaP SaP ) SaM ]. Membrul drept al echivalenei este echivalent, mai departe, cu (MaP SoP ) SoM . ns premisa major a acestui mod, MaP,

este echivalent cu contrapusa ei total Pa M . nlocuind-o n modul astfel obinut avem:

(Pa M SoP ) SoM .

echivalent Ma P Si M Si P , echivalent (MaP SiM ) SiP . 4. (MeP SiM ) SoP ; FERIO

(

)

Prin substituiile P /M i M/ P obinem

(Ma P SoM ) SoP ,

FERIO se obine din DARII prin substituia P/ P . 5. (MaP SaM ) SiP ; BARBARI 6. (MeP SaM ) SoP ; CELARONT Aceste dou moduri sunt subalternele modurilor BARBARA i CELARENT. 7. (MaP SaM ) Si P (SP)36; BARBARIJ

34 35

Cazurile de viditate a unor termeni i problema validitii vor fi tratate n paragraful urmtor. Expunerea de fa procedeaz deductiv, n sensul derivrii tuturor modurilor (cu termeni negai sau nu) din modul valid BARBARA.

36

A se remarca deosebirea dintre o propoziie cu termeni negai i negaia unei propoziii. Si P , de exemplu, este o particular afirmativ cu termeni negai, pe cnd negaia unei propoziii particulare afirmative este o propoziie universal negativ.

30

Acest mod poate fi derivat din modul BARBARA n felul urmtor: din concluzia SaP a modului BARBARA obinem, prin derivri succesive, inversa Si P . i deci, cum SaP este adevrat, rezult c i Si P este adevrat. Am obinut astfel un mod valid din figura I n care n concluzie ambii termeni sunt negai, respectiv modul BARBARIJ. Remarc. Denumirile acestor moduri aparin lui A. Menne.37 ntruct ele sunt legate de notaia autorului, n cele ce urmeaz vom prelua aceast notaie. Respectiv, de ori cte ori operatorii intrapropoziionali a, e, i i o apar cu treme (i.e. , , , ) vom avea n vedere propoziiile corespunztoare: A, E, I, O n care ambii termeni sunt negai. 8. (MeP SaM ) S P ; CELARNT Acest mod este derivat din CELARENT. Cci SeP, concluzia lui CELARENT, fiind adevrat rezult c i So P (i.e. SP) este adevrat, deoarece se poate obine, prin derivri succesive, din SeP. 9. (MaP SeM ) SP; GARDERNT Demonstrarea validitii acestui mod o facem pe baza validitii modului CELARONT i a urmtoarei echivalene a L p : [( p q ) r ] [(r q ) p ] , unde membrul stng al echivalenei formalizeaz modul CELARONT. Avem, aadar, [(MeP SaM ) SoP ] [ (SoP SaM ) MeP ]. Iar membrul drept este echivalent cu (SaP SaM ) MiP . ns premisa minor, SaM, este echivalent cu contrapusa ei totalM a S . i deci avem SaP M a S MiP , echivalent SaP M eS Mo P . De unde, prin

substituiile S/M i M /S obinem (MaP SeM ) So P , adic (MaP SeM ) SP. 10. (MeP SeM ) SP; HELENIJ Acest mod poate fi obinut din GARDERNT prin substituia P/ P . 11. (MiP SeM ) SP; LIBER Modul LIBER se obine din FERIO astfel: convertim ambele premise, le schimbm reciproc locul, nlocuim concluzia SoP a lui FERIO cu contrapusa ei total Po S i executm substituiile: S/P, P/S. 12. (MoP SeM ) SP; NOVERIJ Acest mod se obine din modul precedent, LIBER, prin substituia P/ P . Constatm aadar c dac avem n vedere i moduri silogistice n care apar termeni negai, atunci numrul acestora crete. Mai exact, am constatat c numai n figura I, la cele 6 moduri valide cu termeni pozitivi, se mai adaug nc 6 moduri valide, n care concluziile au termeni negai. n total, aadar, am obinut deja, doar n figura I, 12 moduri valide. Apoi, validitatea unui mod se conserv dac n locul propoziiilor care-l compun vom pune inversele lor. Procednd astfel obinem nc 12 moduri valide 38; n total 24. La acestea se mai adaug 12 moduri valide n care o premis este inversa premisei iniiale i nc 12 moduri valide n care cealalt premis este inversa premisei iniiale. Aadar, numrul total al modurilor valide din figura I este 48. Toate aceste moduri pot fi derivate, aa cum am procedat mai sus, din urmtoarele 8: BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO, GARDERNT, HELENIJ, LIBER, NOVERIJ. Cu toate c numrul modurilor valide este detul de mare, anumite combinaii de premise nu dau moduri valide: ao, eo, ia, oa 39 i inversele lor.

(

)

(

)

Albert Menne, Logik und Existenz, Meisenheim, 1954; comp. i A. Menne, Einfhrung in die Logik, 5. Aufl, Francke Verlag, Tbingen u. Basel, 1993. 38 BRBR, CLRNT etc. 39 DAvOn jEdOch nIemAls fOlgt wAs.

37

31

Figura a II-a

n silogistica cu termeni pozitivi, n figura a II-a, am gsit 6 moduri valide: CESARE, FESTINO, CAMESTRES, BAROCO, CESARO i CAMESTROP. Aa cum am artat n paragraful precedent, validitatea acestor moduri poate fi demonstrat prin redcerea direct sau indirect la un mod valid din figura I. S vedem acum celelalte 6 moduri valide, care au concluzia cu termeni negai, i cum pot fi ele deduse. 1. (PeM SaM ) SP; CESAR Validitatea acestui mod rezult din validitatea modului CESARE, deoarece concluzia SeP admite inversa So P (exerciiu). 2. (PaM SeM ) SP; CAMESTRP (similar) 3. (PeM SeM ) SP; HESELIJ Acest mod se obine din HELENIJ (fig I) prin conversiunea premisei majore. 4. (PiM SeM ) SP; LISTER Se obine din LIBER (fig. I) prin conversiunea premisei majore. 5. (PaM SaM ) SP; GASANIJN Demonstrarea validitii acestui mod o putem face reducndu-l la un mod valid din fig. I. Mai exact, GASANIJN se reduce la HELENIJ n felul urmtor: obvertim premisele, convertim premisa major i substituim M /M. 6. (PoM SaM ) SP; MOSALN Acest mod poate fi redus la LIBER (fig. I), astfel: prin contrapoziie premisa major, PoM, devine M iP, iar SaM, prin obversiune, devine Se M . Aplicm apoi substituia M /M. Similar figurii I, numrul total al modurilor valide din figura a II-a este 48.Figura a III-a

n silogistica cu termeni pozitivi, n figura a III-a, am descoperit 6 moduri valide: DARAPTI, DISAMIS, DATISI, FELAPTON, BOCARDO, FERISON. Acestor moduri li se adaug altele 6, n care concluzia are termenii negai. 1. (MaP MeS ) SP; GALEST 2. (MeP MeS ) SP; HELESTIJ 3. (MiP MeS ) SP; LIRES 4. (MoP MeS ) SP; NOVESTIJ 5. (MaP MoS ) SP; DALOSN 6. (MeP MoS ) SP; DENOSIJ Justificarea validitii lor o putem face, ca mai sus, deducnd aceste moduri din moduri anterior demonstrate sau reducndu-le la moduri anterior demonstrate (exerciiu). i n acest figur silogistic vom avea, n total, 48 de moduri.Figura a IV-a

Cele 6 moduri valide din silogistica cu termeni pozitivi erau: BRAMANTIP, CAMENES, DIMARIS, FESAPO, FRESISON i CAMENOP. Acestora li se adaug urmtoarele 6 moduri valide, n care concluzia are termenii negai. 1. (PaM MaS ) SP; BRAMANTIJP

32

2. (PaM MeS ) SP; CAMENP 3. (PaM MaS ) SP; BAMALS 4. (PeM MeS ) SP; HESESIJ 5. (PiM MeS ) SP; LISTES 6. (PeM MoS ) SP; DESTOSNIJA Similar celorlalte figuri, n figura a IV-a vom gsi 48 de moduri silogistice valide. (Verificarea validitii lor: exerciiu). n total, n cele 4 figuri silogistice vom avea aadar 4 48 = 192 moduri valide.Remarc 1. Dup cum s-a putut constata, dac lum n considerare cele 192 de moduri valide (i nu doar pe cele 24 din silogistica cu termeni pozitivi), atunci regulile specifice fiecrei figuri, menionate n paragraful anterior, nu sunt valabile pentru toate cele 48 de moduri din figura respectiv. Remarc 2. Prin substituirea termenilor logici, prin aplicarea inferenelor imediate i prin considerarea inverselor propoziiilor, putem proceda deductiv, reducnd (sau deducnd) unele moduri la (din) altele. Am luat mai sus, ca punct de plecare, doar modul valid BARBARA (fig. I). Justificarea validitii unui mod arbitrar este ns greoaie, dat fiind faptul c exist 192 de moduri valide. i mai dificil ar fi operarea cu cuvinte mnemotehnice. De aceea e mult mai indicat s considerm cteva moduri valide i, corespunztor, s indicm regulile de derivare ale t