Download - Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

Transcript
Page 1: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

Contract POSDRU/86/1.2/S/62485

Geometrie Analitica si Diferentiala

POSDRU Bucuresti * 23 octombrie 2012

Page 2: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

Prefata

Continutul acestui text se adreseaza studentilor si profesorilor de la universitatile ce au ın programa analiticaelemente de ”Geometrie Analitica si Diferentiala”. Actualul mod de prezentare a materialului ınglobeazaexperienta noastra si a autorilor mentionati ın bibliografie privind predarea matematicii ın universitatile deprofil tehnic. Pe baza experientiei dobandite ın mai multi ani de predare, cursul a suferit modificari care i-auımbunatatit continutul si au permis aducerea lui la o forma didactico-stiintifica cat mai adecvata.

Notiunile sunt expuse gradual pornind de la ideea de liniarizare, specifica modelelor ideale si folosind peRn ca model standard de spatiu euclidian. Aceste notiuni au fost selectate atat dupa cerintele planurilor deınvatamant, cat si dupa capacitatea de ınsusire a cunostintelor la nivelul anilor de studii I si II, insistand caminimul de cunostinte necesar viitorilor absolventi de facultate sa fie acoperit.

Capitolele si paragrafele acestei carti se refera la:- elemente fundamentale de geometrie analitica plana si ın spatiu;- aspecte locale si globale ale teoriei curbelor si suprafetelor, elemente intrinseci ale unei curbe sau ale unei

suprafete, formule de calcul;- bazele teoriei tensorilor, a derivarii covariante si a operatorilor diferentiali (gradient, hessiana, divergenta,

rotor si laplacian);Exemplele si problemele care ınsotesc textul de baza asigura functionalitatea manualului oferindu-i un grad

avansat de independenta ın raport cu bibliografia existenta.

Page 3: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

Cuprins

MB.1.Vectori liberi 71.1 Vectori liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Adunarea vectorilor liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Inmultirea unui vector liber cu un scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Coliniaritate si coplanaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Proiectie ortogonala pe o dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Produs scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Produs vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8 Produs mixt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9.1 Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9.2 Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.10 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

MB.2.Reper cartezian 232.1 Reper cartezian. Sistem de coordonate carteziene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Trecerea de la reperul cartezian la reperul cilindric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Trecerea de la reperul cartezian la reperul sferic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.1 Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4.2 Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

MB.3.Dreapta in spatiu 293.1 Ecuatiile dreptei ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Dreapta determinata de un punct si un vector nenul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Dreapta determinata de doua puncte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Dreapta orientata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5.1 Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5.2 Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.6 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

MB.4.Planul ın spatiu 334.1 Ecuatia planului ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.1 Planul determinat de un punct si un vector normal nenul . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.2 Plane particulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.3 Planul determinat de trei puncte necoliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.4 Planul determinat de un punct si doi vectori necoliniari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1.5 Ecuatia normala a planului (Hesse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Plan orientat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Semispatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4 Reuniunea si intersectia a doua plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.5 Fascicule de plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3

Page 4: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

4.6 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.6.1 Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.6.2 Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.7 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

MB.5.Unghiuri si distante ın spatiu 435.1 Unghiuri ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.1 Unghiul dintre doua drepte orientate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.2 Unghiul dintre doua plane orientate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.3 Unghiul dintre o dreapta orientata si un plan orientat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2 Distante ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2.1 Distanta de la un punct la o dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.2 Distanta de la un punct la un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.3 Perpendiculara comuna a doua drepte oarecare din spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2.4 Distanta dintre doua drepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.4 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4.1 Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.4.2 Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.5 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

MB.6.Schimbari de repere ın spatiu 556.1 Translatia reperului cartezian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2 Rotatia reperului cartezian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.3 Problema rezolvata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.4 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

MB.7.Conice 597.1 Tipuri de conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2 Reducerea la forma canonica a ecuatiei unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.2.1 Metoda valorilor proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.2.2 Metoda roto-translatiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.3 Intersectia dintre o dreapta si o conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.4 Pol si polara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5 Diametru conjugat cu o directie data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.6 Axele unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.7 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.8 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.8.1 Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.8.2 Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.9 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

MB.8.Cuadrice 858.1 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.2 Elipsoidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.3 Hiperboloizii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.4 Paraboloizii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.5 Cilindri, perechi de plane etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.6 Generatoare rectilinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.7 Cuadrice descrise prin ecuatia generala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.8 Reducerea la forma canonica a ecuatiei unei cuadrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.9 Intersectia unei cuadrice cu o dreapta sau cu un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.10 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.10.1 Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.10.2 Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.11 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

- 4-

Page 5: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

MB.9.Curbe in Rn 1119.1 Notiuni introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.1.1 Functii diferentiabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.1.2 Vectori tangenti. Campuri vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.1.3 Derivata covarianta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.2 Curbe ın Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.2.1 Definitii si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.2.2 Tangenta si hiperplanul normal la o curba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.2.3 Campuri vectoriale pe o curba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.2.4 Ramuri infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.2.5 Abscisa curbilinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.3 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.3.1 Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.3.2 Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.4 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

MB.10.Curbe plane 13910.1 Tangenta si normala unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13910.2 Curbe definite prin ecuatii carteziene implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14010.3 Forma unei curbe in vecinatatea unui punct al sau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14210.4 Trasarea curbelor plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14510.5 Formule Frenet ın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14810.6 Notiuni de teoria contactului a doua curbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14910.7 Curbe plane ın coordonate polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.8 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

10.8.1 Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.8.2 Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

10.9 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

MB.11.Curbe ın spatiu 16911.1 Tangenta si planul normal al unei curbe ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.2 Curbe definite prin ecuatii carteziene implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17011.3 Planul osculator si binormala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17211.4 Normala principala si planul rectificator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17311.5 Triedrul lui Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17411.6 Formule Frenet pentru curbe cu viteza unu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17511.7 Formulele Frenet pentru curbe cu viteza arbitrara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17711.8 Aplicatii ale formulelor Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18111.9 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

11.9.1 Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18511.9.2 Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

11.10 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

MB.12.Suprafete 18912.1 Notiunea de suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18912.2 Curbe coordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19312.3 Suprafete riglate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19412.4 Suprafete de rotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19912.5 Vectori tangenti la o suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20012.6 Normala si planul tangent la o suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20312.7 Aplicatia Weingarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20912.8 Curbura normala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21112.9 Curbura Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21712.10 Formele fundamentale ale unei suprafete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22112.11 Formule de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22212.12 Curbe speciale pe o suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

- 5-

Page 6: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

12.13 Aria unei portiuni de suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23112.14 Subvarietati ale lui Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23212.15Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

12.15.1Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23412.15.2Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

12.16 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

MB.13.Algebra si analiza tensoriala 24713.1 Vectori contravarianti si vectori covarianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24713.2 Tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24813.3 Ridicarea si coborarea indicilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25013.4 Campuri vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25113.5 Campuri tensoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25413.6 Conexiune liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25613.7 Metrici riemanniene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25713.8 Operatori diferentiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25913.9 Forme alternate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26113.10 Forme diferentiale alternate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26213.11Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

13.11.1Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26313.11.2Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

13.12 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

MB.14.Aplicatii cu soft dedicat 26714.1 Exemple ilustrative. Programe MAPLE

r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

14.2 Cod MAPLEr

pe Internet (selectie orientativa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

MB.15.Autoevaluare 27315.1 Modele de subiecte de examen (algebra liniara si geometrie analitica) . . . . . . . . . . . . . . . . 27315.2 Intrebari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28015.3 Modele de subiecte de examen

(algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Bibliografie 291

Index de notiuni 293

- 6-

Page 7: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MB.1.Vectori liberi

Cuvinte cheie: vector legat, origine, varf, lungime, dreapta suport, sens,clasa de echipolenta, vector liber, operatii cu vectori liberi: adunare,ınmultire cu scalari; proiectii; operatii cu vectori liberi ın V3: produs scalar,produs vectorial, produs mixt, dublu produs vectorial; volumul unui par-alelipiped ın V3; aria paralelogramului ın V3.

1.1 Vectori liberi

Fie E3 spatiul punctual tridimensional al geometriei elementare si→AB un segment orientat (vector legat, vezi

fig. 1).

Fig. 1

Punctul A se numeste originea, iar punctul B se numeste extremitatea segmentului (vqrf). In cazul candoriginea si extremitatea coincid, se obtine segmentul orientat nul. Dreapta determinata de punctele A si B se

numeste dreapta suport a lui→AB si se noteaza cu AB. Aceasta dreapta este unic determinata numai daca

A 6= B. Dreapta suport a segmentului orientat nul este nedeterminata. Doua segmente orientate se numesccoliniare, daca dreptele suport sunt identice; respectiv paralele, daca dreptele suport sunt paralele.

Lungimea (norma sau modulul) unui segment orientat→AB se defineste ca fiind lungimea segmentului

neorientat [AB], adica distanta de la punctul A la punctul B. Un segment orientat are lungimea 0 daca sinumai daca el este segmentul nul. Doua segmente neorientate care au aceeasi lungime se numesc segmentecongruente.

Definitia 1. Doua segmente orientate nenule se numesc echipolente daca au aceeasi directie, acelasi sens siaceeasi lungime.

Daca→AB este echipolent cu

→CD, atunci vom scrie

→AB∼

→CD. Se dovedeste usor ca

→AB∼

→CD implica

→AC∼

→BD

(vezi fig. 2).

7

Page 8: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 2

Intrucat relatia ”acelasi sens” implica relatia ”aceeasi directie”, echipolenta este sinonima cu ”acelasi sens siaceeasi lungime”. Exista ınsa suficiente probleme concrete care impun explicitarea unei directii fara a interesasensul. De aceea am preferat definitia clasica pentru echipolenta, desi contine si elemente superflue.

Teorema 2. Relatia de echipolenta pentru segmente orientate nenule este o relatie de echivalenta.

Demonstratie. Relatia specificata este reflexiva, simetrica si tranzitiva.

Prelungim relatia de echipolenta si la segmentele orientate nule: admitem ca toate segmentele orientate nulesunt echipolente ıntre ele. Astfel obtinem o relatie de echipolenta pe multimea tuturor segmentelor orientatedin spatiu, care este o relatie de echivalenta.

Definitia 3. Clasele de echivalenta ale segmentelor orientate relativ la relatia de echipolenta se numesc vectoriliberi. Directia, sensul si lungimea care sunt comune segmentelor orientate care definesc un vector liber senumesc directia, sensul si lungimea vectorului liber.

Vectorii liberi vor fi notati cu litere mici cu bara deasupra a, b, c, . . . , iar ın desen vor fi reprezentati printr-unul dintre segmentele orientate echipolente care definesc clasa numita vector liber. In acest context vectorii

liberi se mai noteaza si prin AB, CD, . . . ; evident→AB∈AB si fiecare segment orientat din clasa numita vector

liber este un reprezentant al clasei. Corespunzator, pentru lungimea (norma) unui vector liber a sau AB, vomıntrebuinta notatiile ||a||, || AB || sau d(A,B).

Un vector liber de lungime 1 se numeste versor sau vector unitate si ın general se noteaza cu e.Vectorul liber care are lungimea 0 se numeste vector nul si se noteaza cu 0. Acest vector este reprezentat de

segmentul orientat→AA (ın acest caz, directia si sensul sunt nedeterminate).

Doi vectori liberi a si b sunt egali si se scrie a = b, daca reprezentantii lor sunt echipolenti sau, echivalent,daca au aceeasi directie, acelasi sens si aceeasi lungime.

Vectorii liberi care au aceeasi directie se numesc vectori coliniari. Doi vectori coliniari care au aceeasi lungimeınsa au sensuri opuse se numesc vectori opusi. Daca unul dintre ei este notat cu a, atunci opusul sau este notatcu −a (vezi fig. 3).

Fig. 3 Fig. 4

Trei vectori liberi se numesc coplanari daca segmentele orientate reprezentative sunt paralele cu un plan dat(figura 4).

Fie V multimea tuturor vectorilor liberi din spatiul E3. Fixam ın E3 un punct O, numit origine. La orice

alt punct M din E3 ıi corespunde un vector si numai unul r ∈ V , al carei reprezentant este→OM .

Reciproc, la orice vector r corespunde un punct si numai unul M , astfel ıncat→OM sa reprezinte pe r. Rezulta

ca multimile E3 si V sunt ın corespondenta biunivoca, bijectia fiind unic determinata prin fixarea originii O.Vectorul liber r =OM se numeste vectorul de pozitie al punctului M fata de originea O.

- 8-

Page 9: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

1.2 Adunarea vectorilor liberi

Multimea V a vectorilor liberi din spatiu se poate organiza ca un grup aditiv comutativ, definind adunareaprin regula triunghiului (regula paralelogramului).

Definitia 4. Fie a si b doi vectori liberi. Fie→OA un reprezentant al vectorului a si

→AB un reprezentant al

vectorului b. Vectorul liber c reprezentat de segmentul orientat→OB se numeste suma vectorilor a si b, care se

noteaza c = a+ b sau OB=OA + AB (vezi fig. 5).

Fig. 5

Evident, a, b si c = a+ b sunt vectori coplanari. De asemenea, mentionam ca regula cuprinsa ın definitia 4se numeste regula triunghiului.

Adunarea vectorilor liberi +: V × V → V , (a, b) → a + b este o lege de compozitie interna bine definitadeoarece vectorul liber c = a+ b nu depinde de alegerea punctului O (Tema!).

Teorema 5. Adunarea vectorilor liberi are urmatoarele proprietati:

1) asociativitatea: ∀a, b, c ∈ V , a+ (b+ c) = (a+ b) + c;

2) 0 este element neutru: ∀a ∈ V , a+ 0 = 0 + a = a;

3) opusul lui a este simetricul lui a: ∀a ∈ V , a+ (−a) = (−a) + a = 0;

4) comutativitatea: ∀a, b ∈ V , a+ b = b+ a.

Demonstratie. Cazurile specifice coliniaritatii sunt lasate drept teme.1) Tinem seama de definitie (vezi fig. 6):

Fig. 6 Fig. 7

→OB este reprezentantul sumei a + b, iar

→OC este reprezentantul sumei (a + b) + c;

→AC este reprezentantul

sumei b+ c, iar→OC este reprezentantul sumei a+ (b+ c). Rezulta (a+ b) + c = a+ (b+ c). 2)-4) Tema.

Comutativitatea adunarii conduce la o noua regula pentru determinarea sumei a doi vectori necoliniari,

numita regula paralelogramului. Se deseneaza→AB∈ a,

→AD∈ b si se fixeaza punctul C ca intersectia dintre

paralela la AB dusa prin D si paralela la AD dusa prin B. Segmentul orientat→AC este reprezentantul lui a+ b.

- 9-

Page 10: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Asociativitatea adunarii permite generalizarea regulii triunghiului la regula poligonului plan sau stramb,utilizata cand se aduna cel putin trei vectori.

Proprietatile 1), 2) si 3) arata ca adunarea defineste pe V o structura de grup, iar proprietatea 4) arata caacest grup este comutativ. In grupul V ecuatia b + x = a are o solutie unica x = a + (−b) pe care o notam

x = a − b si pe care o numim diferenta dintre vectorul a si vectorul b. Daca→AB este reprezentantul lui a, iar

→AD este reprezentantul lui b, atunci reprezentantul lui a− b este

→DB (vezi fig. 7).

1.3 Inmultirea unui vector liber cu un scalar

Fie R campul numerelor reale (campul scalarilor) si V grupul aditiv comutativ al vectorilor liberi. Vomintroduce o lege de compozitie externa, adica o functie definita pe R × V cu valori ın V , numita ınmultireaunui vector liber cu un scalar.

Definitia 6. Fie t ∈ R si a ∈ V . Prin ta ıntelegem vectorul liber definit astfel:1) daca a 6= 0 si t 6= 0, atunci ta este vectorul care are aceeasi directie cu a, acelasi sens cu a daca t > 0,

sens contrar lui a daca t < 0 si lungimea |t|||a||;2) daca t = 0 sau a = 0, atunci ta = 0.

Evident, ta este coliniar cu a (vezi fig. 8).

Fig. 8

Teorema 7. Inmultirea vectorilor liberi cu scalari are urmatoarele proprietati:

1) 1 · a = a, ∀a ∈ V ;

2) s(ta) = (st)a, ∀s, t ∈ R, ∀a ∈ V ;

3) distributivitatea fata de adunarea scalarilor:

(s+ t)a = sa+ ta, ∀s, t ∈ R, ∀a ∈ V ;

4) distributivitatea fata de adunarea vectorilor:

t(a+ b) = ta+ tb, ∀t ∈ R, ∀a, b ∈ V.

Demonstratie. 1)-3) Tema. 4) Fie→OA reprezentantul vectorului a si

→AB reprezentantul vectorului b. Atunci

→OB este reprezentantul vectorului a+ b (vezi fig. 9).

- 10-

Page 11: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 9

Presupunem t > 0 si notam cu→OA′ reprezentantul vectorului ta si cu

→OB′ reprezentantul vectorului t(a+ b).

Se observa ca ∆OAB ∼ ∆OA′B′, avand un unghi comun si laturile (care determina acest unghi) de lungimi

proportionale. Rezulta→AB ||

→A′B′ si

→A′B′= t

→AB, adica

→A′B′ este reprezentantul vectorului tb. Deci

→OB′ este

reprezentantul sumei ta+ tb, adica t(a+ b) = ta+ tb. Analog, se trateaza cazul t < 0.

Proprietatile adunarii vectorilor liberi si proprietatile ınmultirii vectorilor liberi cu scalari arata ca V esteun spatiu vectorial peste campul numerelor reale.

1.4 Coliniaritate si coplanaritate

Fie V spatiul vectorial real al vectorilor liberi. Notiunile algebrice de subspatiu vectorial, dependenta siindependenta liniara, baza si dimensiune, coordonate, izomorfism de spatii vectoriale, le presupunem cunoscutede la partea de algebra liniara.

Pentru ınceput, observam ca oricarui vector a de lungime ||a|| > 0 i se asociaza un vector a0 = ||a||−1a delungime 1, numit versorul lui a. Intr-adevar,

||a0|| =∣∣∣∣||a||−1a

∣∣∣∣ = ||a||−1||a|| = 1.

Deoarece a0 este un vector unitate de acelasi sens ca a, putem scrie a = ||a||a0. In plus, pentru orice versor a0,avem 0 = 0 · a0.

Reamintim ca doi vectori din V se numesc coliniari daca au aceeasi directie.

Teorema 8. Daca a si b sunt coliniari si a 6= 0, atunci exista un numar real t unic astfel ıncat b = ta.

Demonstratie. Presupunem ca a si b sunt diferiti. Putem scrie a = ||a||a0, b = ||b||b0 si evident versorii a0 si b0sunt sau egali sau opusi. Pentru b0 = a0, gasim

b = ||b||b0 = ||b||a0 = ||b|| ||a||−1a,

deci t = ||b|| ||a||−1.

Corolarul 9. Multimea V1 =b ∈ V | ∃t ∈ R, b = ta, a 6= 0

, a tuturor vectorilor coliniari cu un vector nenul

a, este un spatiu vectorial unidimensional.

Demonstratie. V1 este un subspatiu vectorial al lui V , iar a este un vector liniar independent care genereaza peV1.

Coliniaritatea a doi vectori liberi este echivalenta cu dependenta liniara a acestora. De aceea, doi vectoriliberi necoliniari sunt liniar independenti.

Reamintim ca trei vectori din V se numesc coplanari daca reprezentantii lor sunt paraleli cu un plan dat.Care este traducerea algebrica a coplanaritatii?

- 11-

Page 12: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Teorema 10. Vectorii a, b si c sunt coplanari daca si numai daca ei sunt liniar dependenti.

Demonstratie. Presupunem ca a, b si c sunt liniar dependenti, adica ∃r, s, t ∈ V , cu r2 + s2 + t2 6= 0, astfelıncat ra + sb + tc = 0. Pentru t 6= 0, relatia se transcrie c = αa + βb, unde α = −r

tsi β = −s

t. Rezulta ca

reprezentantii→OA,

→OB si

→OC ai vectorilor a, b, respectiv c, satisfac relatia

→OC=

→OE +

→OF= α

→OA +β

→OB,

adica→OC se afla ın planul determinat de

→OA si

→OB (vezi fig. 10).

Rationamentul reciproc este evident.

Fig. 10 Fig. 11

Corolarul 11. MultimeaV2 =

c ∈ V | ∃r, s ∈ R, c = ra+ sb

,

a tuturor vectorilor coplanari cu doi vectori necoliniari a si b este un spatiu vectorial bidimensional.

Demonstratie. V2 este un subspatiu vectorial al lui V , iar a, b este o multime liniar independenta care genereazape V2.

Deoarece dependenta liniara a trei vectori liberi este echivalenta cu coplanaritatea, rezulta ca orice treivectori liberi necoplanari sunt liniar independenti.

Teorema 12. Spatiul vectorial al vectorilor liberi din E3 are dimensiunea 3.

Demonstratie. In V exista trei vectori liniar independenti si anume oricare trei vectori necoplanari a, b si c. Sa

aratam ca acestia genereaza pe V . Pentru aceasta, fie d un al patrulea vector si→OA,

→OB,

→OC,

→OD reprezen-

tantii vectorilor a, b, c, respectiv d (figura 11). Observam ca→OD=

→OD1 +

→OD2 +

→OD3= r

→OA +s

→OB +t

→OC,

deci d = ra+ sb+ tc.Daca a, b, c este o baza fixata ın V3 si r, s, t sunt coordonatele lui d ın raport cu aceasta baza, atunci se

prefera scrierea d(r, s, t) sau identificarea d = (r, s, t). In acest context, pentru di = (ri, si, ti) ∈ V3, i = 1, 3,

- 12-

Page 13: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

avem:1) d1 = d2 ⇔ r1 = r2, s1 = s2, t1 = t2;

2) d1 + d2 = (r1 + r2, s1 + s2, t1 + t2);

3) kd1 = (kr1, ks1, kt1);

4) d1 este coliniar cu d2 daca si numai daca coordonatele lor sunt proportionale;5) vectorii d1, d2 si d3 sunt coplanari daca si numai daca coordonatele unuia suntcombinatii liniare de coordonatele celorlalti doi, de exemplu:

r3 = αr1 + βr2, s3 = αs1 + βs2, t3 = αt1 + βt2.

1.5 Proiectie ortogonala pe o dreapta

Fie D o dreapta si a 3→AB un vector liber. Prin A si B ducem planele P si respectiv Q, perpendiculare pe

D. Notand A′ = D ∩ P si B′ = D ∩Q, obtinem proiectia→

A′B′.

Teorema 13. Vectorul liber A′B′ nu depinde de segmentul orientat→AB, care reprezinta pe a.

Demonstratie. Die→CD un alt reprezentant al lui a si

→C ′D′ proiectia sa pe dreapta D. Trebuie sa aratam

ca→

A′B′∼→

C ′D′ (vezi fig. 12). Pentru aceasta utilizam paralelogramele AA′B′′B, CC ′D′′D si triunghiuriledreptunghice A′B′B′′, C ′D′D′′.

Fig. 12

Segmentele→

A′B′ si→

C ′D′ au:1) aceeasi directie, deoarece sunt situate pe D;2) acelasi sens, deoarece punctele B′ si D′ se gasesc pe aceeasi semidreapta determinata de A′ pe D;3) aceeasi lungime, deoarece triunghiurile dreptunghice ∆A′B′B′′ si ∆C ′D′D′′ sunt congruente.

Teorema 13 justifica urmatoarea:

Definitia 14. Vectorul liber A′B′ se numeste proiectie ortogonala a vectorului a pe dreapta D si se noteazaπD(a).

Teorema 15. Daca D1 si D2 sunt drepte paralele, atunci πD1(a) = πD2(a).

Demonstratie. Tema.

- 13-

Page 14: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Rezulta ca proiectia ortogonala a unui vector liber pe o dreapta D depinde numai de directia lui D. Deaceea, daca u este un vector nenul care da directia lui D, atunci putem vorbi de proiectia ortogonala a lui a peu, pe care o notam cu πu(a). Teorema care urmeaza arata ca π este o transformare liniara.

Teorema 16. Fie u ∈ V3 \ 0. Pentru orice a, b ∈ V3 si orice scalar t ∈ R, avem:

πu(a+ b) = πu(a) + πu(b); πu(ta) = tπu(a).

Demonstratie. Tema.

Notam cu u un vector liber si u0 versorul sau, adica u = ||u||u0, cu ||u0|| = 1. Pentru orice a, vectorul πu(a)este coliniar cu u0, deci exista un numar real ~prua astfel ıncat πu(a) = 〈 ~prua, u0〉 (vezi fig. 13).

Fig. 13 Fig. 14 Fig. 15

Definitia 17. Numarul real ~prua definit prin relatia πu(a) = 〈 ~prua, u0〉 se numeste marimea algebrica aproiectiei ortogonale πu(a).

Proprietatile lui π implica:

~pru(a+ b) = ~prua+ ~prub; ~pru(ta) = t ~prua.

Fie a, b ∈ V3 \ 0 si→OA,

→OB segmentele orientate reprezentative. Unghiul ϕ ∈ [0, π] determinat de

→OA si

→OB se numeste unghiul dintre vectorii a si b (figura 14). Evident, definitia unghiului nu depinde de punctul O.Daca cel putin unul dintre vectorii liberi a si b este 0, atunci unghiul ϕ ∈ [0, π] dintre a si b este nedeterminat.

Vectorii a si b se numesc ortogonali daca unghiul dintre ei esteπ

2. Acceptam ca 0 este ortogonal pe orice

vector.Notiunea de unghi permite sa explicitam numarul ~prua ın functie de ||a|| si de unghiul ϕ dintre a si u, anume

~prua = ||a|| cosϕ (figura 15).

Fie P un plan si a 3→AB un vector liber. Prin A si B ducem drepte perpendiculare pe planul P si notam

cu A′ si B′ punctele ın care aceste perpendiculare ınteapa planul P . Se arata usor ca vectorul liber A′B′ nu

depinde de segmentul→AB, ci numai de a. Din acest motiv, vectorul liber A′B′ se numeste proiectia ortogonala

a vectorului a pe planul P si se noteaza πP (a).Un vector liber are aceeasi proiectie pe doua plane paralele, adica πP (a) depinde doar de a si de spatiul

vectorial bidimensional atasat lui P . Mai mult, se dovedeste ca proiectia ortogonala a vectorilor liberi pe unplan este o transformare liniara.

1.6 Produs scalar

- 14-

Page 15: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Definitia 18. Fie V un spatiu vectorial real. O aplicatie 〈 , 〉 : V × V −→ R se numeste produs scalar pe Vdaca satisface urmatoarele proprietati:

1) 〈x, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ V si 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0; (nenegativitate)2) 〈x, y〉 = 〈y, x〉, ∀x, y ∈ V ; (comutativitate)3) 〈λx, y〉 = λ〈x, y〉, ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ V ; (omogenitate)4) 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉, ∀x, y, z ∈ V. (aditivitate)

Fie V3 spatiul vectorilor liberi si a, b ∈ V3. Pentru a 6= 0 si b 6= 0, notam cu ϕ ∈ [0, π] unghiul dintre a si b.

Teorema 19. Functia

〈 , 〉 : V3 × V3 → R, 〈a, b〉 =||a|| ||b|| cosϕ, a 6= 0, b 6= 0

0, a = 0 sau b = 0

este un produs scalar pe V3.

Demonstratie. Dovedim numai aditivitatea, 〈a, b+ c〉 = 〈a, b〉+ 〈a, c〉, ıntrucat celelalte proprietati sunt aproapeevidente. Cazul a = 0 este imediat. Pentru a verifica proprietatea ın ipoteza a 6= 0, ne folosim de notiunea demarime algebrica a unei proiectii ortogonale.

Fie e un versor si b un vector oarecare. Se observa ca ~preb = 〈e, b〉. Scriem a 6= 0 ın forma a = ||a||e, cu||e|| = 1. Relatia ~pre(b + c) = ~preb + ~prec este echivalenta cu 〈e, b + c〉 = 〈e, b〉 + 〈e, c〉. Inmultind cu ||a|| sitinand seama de omogenitate, deducem 〈||a||e, b+ c〉 = 〈||a||e, b〉+ 〈||a||e, c〉, ceea ce trebuia demonstrat.

Observatii:1) Teorema 19 arata ca V3 este un spatiu vectorial euclidian.2) Relatia 〈a, a〉 = ||a||2 ≥ 0 este echivalenta cu ||a|| =

√〈a, a〉, ultima permitand calculul lungimii vectorului

liber a daca se cunoaste produsul scalar 〈a, a〉.3) Relatia | cosϕ| ≤ 1 implica inegalitatea Cauchy-Schwarz, |〈a, b〉| ≤ ||a|| ||b||.4) Doi vectori liberi sunt ortogonali daca si numai daca produsul lor scalar este nul.

Fie a, b, c o baza ın V3 si

u = r1a+ s1b+ t1c, v = r2a+ s2b+ t2c.

Proprietatile produsului scalar implica

〈u, v〉 = 〈r1a+ s1b+ t1c, r2a+ s2b+ t2c〉 = · · · = r1r2〈a, a〉+ r1s2〈a, b〉+ r1t2〈a, c〉+s1r2〈b, a〉+ s1s2〈b, b〉+ s1t2〈b, c〉+ t1r2〈c, a〉+ t1s2〈c, b〉+ t1t2〈c, c〉.

Deci produsul scalar 〈u, v〉 este cunoscut daca se da tabelul de ınmultire scalara a vectorilor din baza a, b, c,adica

〈 , 〉 a b c

a 〈a, a〉 〈a, b〉 〈a, c〉

b 〈b, a〉 〈b, b〉 〈b, c〉

c 〈c, a〉 〈c, b〉 〈c, c〉

Pentru calcule este avantajos sa alegem baze pentru care tabelul precedent sa fie cat mai simplu posibil. Unexemplu ıl constituie baza ortonormata a carei existenta ın V3 este evidenta.

O baza ın V3 formata din versori reciproc ortogonali se numeste baza ortonormata si se noteaza cu ı, , k.Coordonatele unui vector ın raport cu baza ortonormata se numesc coordonate euclidiene. Baza ortonormata

- 15-

Page 16: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

ı, , k este caracterizata prin relatiile:

〈ı, ı〉 = 1, 〈ı, 〉 = 0, 〈ı, k〉 = 0,〈, ı〉 = 0, 〈, 〉 = 1, 〈, k〉 = 0,〈k, ı〉 = 0, 〈k, 〉 = 0, 〈k, k〉 = 1,

sintetizate ın urmatorul tabel:〈 , 〉 ı kı 1 0 0 0 1 0k 0 0 1

Acest tabel conduce la expresia canonica a produsului scalar. Intr-adevar, pentru a = r1 ı + s1 + t1k sib = r2 ı+ s2+ t2k gasim

〈a, b〉 = r1r2 + s1s2 + t1t2.

Evident 〈a, ı〉 = r1, 〈a, 〉 = s1, 〈a, k〉 = t1 si astfel coordonatele euclidiene ale vectorului a sunt de faptproiectiile ortogonale ale lui a pe cele trei axe de coordonate.

Din produsul scalar obtinem norma vectorului a si anume

a = ||a|| =√〈a, a〉 =

√r21 + s21 + t21.

In consecinta, unghiul dintre vectorii nenuli a = r1 ı+ s1+ t1k si b = r2 ı+ s2+ t2k este dat de formula

cosϕ =〈a, b〉||a|| ||b||

=r1r2 + s1s2 + t1t2√

r21 + s21 + t21√r22 + s22 + t22

, ϕ ∈ [0, π].

In particular, vectorii a si b sunt perpendiculari (ortogonali) daca si numai daca r1r2 + s1s2 + t1t2 = 0.

1.7 Produs vectorial

Fie V3 spatiul vectorilor liberi si a, b ∈ V3. Pentru a 6= 0 si b 6= 0, notam cu ϕ ∈ [0, π] unghiul dintre a si b.

Definitia 20. Vectorul

a× b =

||a|| ||b|| sinϕ e, a, b necoliniari

0, a, b coliniari,

unde e este un versor perpendicular pe a si b si cu sensul dat de regula mainii drepte pentru tripletul (a, b, e),se numeste produsul vectorial dintre a si b (vezi fig. 16).

Fig. 16 Fig. 17

Produsul vectorial dintre doi vectori liberi genereaza o aplicatie biliniara definita pe V3× V3 cu valori ın V3.Pornind de la definitie, se deduc urmatoarele proprietati:1) a× b = −b× a (anticomutativitate);2) t(a× b) = (ta)× b = a× (tb), t ∈ R (omogenitate);3) a× (b+ c) = a× b+ a× c (distributivitate);4) a× 0 = 0, a× a = 0;

- 16-

Page 17: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

5) ||a× b||2 = ||a||2||b||2 − 〈a, b〉2 (identitatea Lagrange);6) produsul vectorial a doi vectori nenuli este nul daca si numai daca vectorii sunt coliniari; daca a si b nu

sunt coliniari, atunci norma ||a× b|| reprezinta aria paralelogramului construit pe reprezentantii→OA si

→OB

ai vectorilor a si b (figura 16).

Demonstratie. Proprietatile 1), 2), 4) si 6) se demonstreaza fara dificultate. Pentru a demonstra proprietatea3) ne folosim de 2), de proprietatile ınmultirii unui vector cu un numar si de proiectia unui vector pe un plan.Fara a restrange generalitatea, presupunem ca a este un versor. Notam cu P un plan perpendicular pe a si cub′, c′ proiectiile lui b, respectiv c pe planul P . Atunci a× b = a× b′, a× c = a× c′, iar a× b′, a× c′ si a× (b′+ c′)sunt obtinute din b′, c′ si respectiv b′+ c′ prin rotatia de unghi

π

2ın jurul axei de versor a (figura 17). Deoarece

rotatia sumei este suma rotatiilor, adica

a× (b′ + c′) = a× b′ + a× c′,

rezulta automata× (b+ c) = a× b+ a× c.

Pentru a obtine identitatea Lagrange, pornim de la identitatea trigonometrica

sin2 ϕ = 1− cos2 ϕ,

pe care o ınmultim cu ||a||2||b||2.

In raport cu baza ortonormata ı, , k, vectorii a si b admit respectiv descompunerilea = r1 ı+ s1+ t1k si b = r2 ı + s2 + t2k. Folosind definitia produsului vectorial si proprietatile 1), 2), 3)si 6), obtinem tabelul

× ı kı 0 k − −k 0 ık −ı 0

care conduce la expresia canonica a produsului vectorial,

a× b = (s1t2 − s2t1)ı+ (r2t1 − r1t2)+ (r1s2 − r2s1)k

sau simbolic

a× b =

∣∣∣∣∣∣ı kr1 s1 t1r2 s2 t2

∣∣∣∣∣∣ .

Definitia 21. Vectorul w = a× (b× c) se numeste dublu produs vectorial al vectorilor a, b si c.

Exprimand pe a, b si c ın baza ortonormata ı, , k si folosind expresiile canonice ale produsului scalar sivectorial, se poate arata ca

a× (b× c) = 〈a, c〉b− 〈a, b〉c.Aceasta relatie pune ın evidenta coplanaritatea vectorilor w, b si c (vezi fig. 18), unde d = b × c si w ⊥ a,w ⊥ d.

- 17-

Page 18: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 18

Observatii:1) Avem a× (b× c) 6= (a× b)× c.2) Expresia dublului produs vectorial se retine mai usor daca este scrisa sub forma determinantului simbolic

a× (b× c) =∣∣∣∣ b c〈a, b〉 〈a, c〉

∣∣∣∣ .Aplicatii:1. Dandu-se punctele Mi(ri), i = 1, 3, sa se stabileasca conditia ca aceste trei puncte sa fie coliniare.

Solutie. Impunem anularea produsului vectorial→

M1M2 ×→

M1M3. Folosind vectorii de pozitie ai punctelorsi proprietatile produsului vectorial, obtinem

(r2 − r1)× (r3 − r1) = 0

saur1 × r2 + r2 × r3 + r3 × r1 = 0.

2. Fiind dati vectorii OA= − 3k, AC= 4ı + 7, BC= 4ı + 8 − 8k, sa se gaseasca vectorul de pozitie alpunctului B, respectiv C si sa se calculeze lungimea ınaltimii [AA′] a triunghiului ABC.

Solutie. Se constata ca punctele A, B si C nu sunt coliniare, deoarece coordonatele vectorilor AC si BC nusunt proportionale. Mai mult, OC=OA + AC= 4ı+ 8− 3k si OB=OC − BC= 5k.

Inaltimea [AA′] a triunghiului ABC coincide cu ınaltimea paralelogramului construit pe reprezentantii vec-

torilor→BA si

→BC. Gasim:

BA × BC=

∣∣∣∣∣∣ı k0 1 −84 8 −8

∣∣∣∣∣∣ = 4(14ı− 8− k),∣∣∣∣ BA × BC

∣∣∣∣ = 4√

261,

AA′ =

∣∣∣∣ BA × BC∣∣∣∣

|| BC ||=√

29.

1.8 Produs mixt

Definitia 22. Fiind dati vectorii liberi a, b si c, numarul 〈a, b, c〉 = 〈a, b × c〉 se numeste produsul mixt alacestor vectori.

Daca vectorii a, b si c sunt necoplanari, atunci modulul produsului mixt reprezinta volumul paralelipipeduluicare se poate construi pe reprezentantii cu originea comuna a celor trei vectori (figura 19). Intr-adevar, fie θunghiul dintre vectorii b si c si fie ϕ unghiul dintre vectorii a si d = b× c, atunci

〈a, b, c〉 = 〈a, d〉 = ||a|| ||d|| cosϕ = ||b× c|| ||a|| cosϕ =(||b|| ||c|| sin θ

)||a|| cosϕ = ±V.

- 18-

Page 19: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 19

Pornind de la definitie, se deduc urmatoarele proprietati:

1) 〈a, b, c〉 = 〈c, a, b〉 = 〈b, c, a〉;

2) 〈a, b, c〉 = −〈a, c, b〉;

3) 〈ta, b, c〉 = 〈a, tb, c〉 = 〈a, b, tc〉 = t〈a, b, c〉, t ∈ R;

4) 〈a1 + a2, b, c〉 = 〈a1, b, c〉+ 〈a2, b, c〉;

5) 〈a× b, c× d〉 =∣∣∣∣ 〈a, c〉 〈a, d〉〈b, c〉 〈b, d〉

∣∣∣∣ (identitatea lui Lagrange);

6) 〈a, b, c〉 = 0 daca si numai daca vectorii a, b, c sunt coplanari.

Demonstratie. Se demonstreaza proprietatea 5), iar restul le lasam ca exercitiu pentru cititor. Notand m = c×d,obtinem

〈a× b, c× d〉 = 〈a× b, m〉 = 〈a, b× m〉 = 〈a, b× 〈c× d〉〉 = 〈a, 〈b, d〉c− 〈b, c〉d〉

= 〈a, c〉〈b, d〉 − 〈a, d〉〈b, c〉 =∣∣∣∣ 〈a, c〉 〈a, d〉〈b, c〉 〈b, d〉

∣∣∣∣ .

Fie ı, , k o baza ortonormata. Daca a = r1 ı+ s1+ t1k, b = r2 ı+ s2+ t2k si c = r3 ı+ s3+ t3k, atunciprodusul mixt capata expresia canonica

〈a, b, c〉 =

∣∣∣∣∣∣r1 s1 t1r2 s2 t2r3 s3 t3

∣∣∣∣∣∣ .In consecinta, proprietatile produsului mixt se pot justifica cu ajutorul proprietatilor determinantilor de

ordinul 3.Baza vectoriala a, b, c se numeste orientata pozitiv (negativ) daca produsul mixt 〈a, b, c〉 este pozitiv (ne-

gativ). Prin urmare, baza ortonormata ı, , k, cu ı = (1, 0, 0), = (0, 1, 0) si k = (0, 0, 1) este orientata pozitivıntrucat 〈ı, , k〉 = 1.

Aplicatie. Sa se arate ca vectorii a, b si c sunt coplanari daca si numai daca determinantul lor Gram estenul.

Solutie. Prin determinant Gram al vectorilor a, b si c ıntelegem numarul

G =

∣∣∣∣∣∣〈a, a〉 〈a, b〉 〈a, c〉〈b, a〉 〈b, b〉 〈b, c〉〈c, c〉 〈c, b〉 〈c, c〉

∣∣∣∣∣∣ .Vectorii a, b si c sunt coplanari daca si numai daca V = 〈a, b, c〉 = 0 sau daca si numai daca V2 = 〈a, b, c〉2 = 0.Pe de alta parte, relatia detA = det tA conduce la

V2 =

∣∣∣∣∣∣r1 s1 t1r2 s2 t2r3 s3 t3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣r1 r2 r3s1 s2 s3t1 t2 t3

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣r21 + s21 + t21 r1r2 + s1s2 + t1t2 r1r3 + s1s3 + t1t3

r2r1 + s2s1 + t2t1 r22 + s22 + t22 r2r3 + s2s3 + t2t3r3r1 + s3s1 + t3t1 r3r2 + s3s2 + t3t2 r23 + s23 + t23

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣〈a, a〉 〈a, b〉 〈a, c〉〈b, a〉 〈b, b〉 〈b, c〉〈c, a〉 〈c, b〉 〈c, c〉

∣∣∣∣∣∣ = G.

- 19-

Page 20: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

1.9 Exercitii/probleme rezolvate

1.9.1 Enunturi

1. Se dau vectorii a = i+ 2j + µk, b = i+ j + 2k ∈ V3, unde µ ∈ R.

a) Aflati produsul vectorial a× b.b) Este S = a, b familie de vectori liniar independenta ? Sunt cei doi vectori necoliniari ? Daca da, completatiS la o baza a spatiului V3.c) Pentru µ = 2 aflati ariile paralelogramului si triunghiului determinate de a si b ca muchii adiacente.

2. Se dau vectorii a = i+ j + k, b = µk + j, c = k + j ∈ V3, unde µ ∈ R.

a) Calculati produsul mixt 〈a, b× c〉.b) Sunt cei trei vectori liniar independenti ? Dar necoplanari ? In cazul independentei liniare, determina acestivectori o baza pozitiv orientata ın V3?c) Pentru µ = 0 aflati volumele tetraedrului, prismei triunghiulare si paralelipipedului determinate de a, b si cca muchii adiacente.

3. Se dau vectorii a = i− j + k, b = i+ 2j + 3k, c = k + j.

a) Aflati dublul produs vectorial w = a× (b× c).

b) Recalculati w folosind formula de calcul prescurtat w = 〈a, c〉b− 〈a, b〉c =∣∣∣∣ b c〈a, b〉 〈a, c〉

∣∣∣∣.c) Aratati ca w este perpendicular pe a si coplanar cu b si c.

1.9.2 Solutii

1. a) Identificam vectorii liberi cu tripletele coordonatelor lor relativ la baza canonica ortonormatai, j, k

,

a ≡ (1, 2, µ), b ≡ (1, 1, 2). Prin calcul direct obtinem:

a× b =

∣∣∣∣∣∣i j k1 2 µ1 1 2

∣∣∣∣∣∣ = (4− µ)i+ (−2 + µ)j − k.

b) Avem inda, b⇔ a× b 6= 0. In cazul nostru a× b = (4− µ)i+ (−2 + µ)j − k 6= 0 (coeficientul lui k este

totdeauna nenul), deci inda, b. Dar a × b 6= 0, (a × b)⊥a, (a × b)⊥b, deci a × b /∈ L(a, b); deci o baza ın V3

este data dea, b, a× b

.

c) Fie O(0, 0, 0) originea sistemului de coordonate iari, j, k

baza acestuia. Atunci triunghiul determinat de

reprezentantii−→OA si

−−→OB de origine O ai vectorilor liberi a si respectiv b ca muchii adiacente are cele trei varfuri

O(0, 0, 0), A(1, 2, 2) si B(1, 1, 2). Aria triunghiului OAB este data de formula:

A[∆OAB] =12

∥∥a× b∥∥ =

12‖(1, 2, 2)× (1, 1, 2)‖ =

12‖(2, 0,−1)‖ =

12

√5.

Evident aria paralelogramului determinat de a si b ca muchii adiacente este egala cu dublul ariei triunghiuluiOAB, deci egala cu

√5.

2. a) Identificam vectorii liberi cu tripletele coordonatelor relativ la baza canonica ortonormata i, j, k,a ≡ (1, 1, 1), b ≡ (0, 1, µ), c ≡ (0, 1, 1). Obtinem:

〈a, b× c〉 =

∣∣∣∣∣∣1 1 10 1 µ0 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 1− µ.

b) Pentru µ = 1, cei trei vectori sunt coplanari (liniar dependenti). Deoarece pentru µ 6= 1 avem⟨a, b× c

⟩6= 0,

rezulta ca ın acest caz cei trei vectori sunt liniar independenti, deci sunt necoplanari. Vectorii a, b, c determinaın V3 o baza pozitiv orientata daca si numai daca

⟨a, b× c

⟩> 0, conditie echivalenta cu µ < 1.

c) Volumul tetraedrului determinat de vectorii a, b, c ca muchii adiacente este dat de formula Vt = 16 |〈a, (b× c)〉|.

Deoarece o prisma triunghiulara poate fi descompusa natural ın trei tetraedre de volume egale, iar paralelipipedul

- 20-

Page 21: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

ın doua prisme de volume egale, avem Vpr = 3Vt, Vpp = 2Vpr = 6Vt, deci pentru µ = 0 obtinem Vt = 16 |1− 0| =

16 , Vpr = 1

2 , Vpp = 1.

3. Din oficiu: 1pt. a) Identificam vectorii liberi cu tripletele coordonatelor lor relativ la baza canonica

otronormatai, j, k

, a ≡ (1,−1, 1), b ≡ (1, 2, 3), c ≡ (0, 1, 1) (1 pt.) . Prin calcul direct, obtinem: b × c =∣∣∣∣∣∣

i j k1 2 30 1 1

∣∣∣∣∣∣ = −i− j + k ≡ (−1,−1, 1) si apoi dublul produs vectorial:

a× (b× c) =

∣∣∣∣∣∣i j k1 −1 1−1 −1 1

∣∣∣∣∣∣ = −2j − 2k ≡ (0,−2,−2) (2 pt.) .

b) Aplicand formula a× (b× c) = 〈a, c〉 b−⟨a, b⟩c, avem a× (b× c) ≡ 0 · (1, 2, 3)− 2 · (0, 1, 1) = (0,−2,−2) ≡

−2j − 2k (3 pt.) .

c) Se observa ca dublul produs vectorial w = a× (b× c) este ortogonal atat pe a cat si pe b× c (fiind produsulvectorial al acestor vectori) (1 pt.) . Din relatia w = 〈a, c〉 b −

⟨a, b⟩c se observa ca vectorul w apartine

subspatiului L(b, c), fiind combinatie liniara de generatorii subspatiului, deci w este coplanar cu b si c (2 pt.)

Total: 10pt. .

1.10 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare

1. Fie trapezul dreptunghic ABCD ın care avem AD||BC, AD= a, AB= b si m(ABC) =5π6

. Sa se descompuna

vectorii BC, DC, AC si BD dupa vectorii a si b.

2. Se dau vectorii:d1 = a− αb+ 3c, d2 = αa− b+ c, d3 = 3a+ b− c,

unde a, b, c este o baza din V3. Sa se determine α ∈ R astfel ıncat vectorii di, i = 1, 3, sa fie coplanari.Pentru α astfel gasit, sa se descompuna vectorul d2 dupa vectorii d1 si d3.

3. Se dau vectorii a = ı+ 2+ µk, b = ı+ + 2k ∈ V3, unde µ ∈ R.a) Aflati produsul vectorial a× b.b) Este S = a, b familie de vectori liniar independenta? Sunt cei doi vectori necoliniari? Daca da, completatiS la o baza a spatiului V3.c) Pentru µ = 2 aflati ariile paralelogramului si triunghiului determinate de a si b ca muchii adiacente.

4. Se dau vectorii a = ı+ + k, b = µk + , c = k + ∈ V3, unde µ ∈ R.a) Calculati produsul mixt 〈a, b, c〉.b) Sunt cei trei vectori liniar independenti? Dar necoplanari? In cazul independentei liniare, determina acestivectori o baza pozitiv orientata ın V3?c) Pentru µ = 0 aflati volumele tetraedrului, prismei triunghiulare si paralelipipedului determinate de a, b si cca muchii adiacente.

5. Se dau punctele A, B si C prin vectorii lor de pozitie:

OA= 14ı− 7+ 2k, OB= 2ı+ 2− 7k, OC= −2ı+ 7+ 2k.

Sa se arate ca triunghiul AOB este dreptunghic si triunghiul BOC este isoscel. Sa se calculeze perimetrul tri-unghiului ABC si masura unghiului BAC si sa se scrie expresia analitica (ın coordonate) a versorului bisectoareiunghiului BAC.

6. Se dau vectorii:a = ı+ 2λ− (λ− 1)k, b = (3− λ)ı+ + 3k, λ ∈ R,

si se cere valoarea lui λ pentru care a si b sunt ortogonali. Pentru λ astfel gasit, sa se calculeze marimeaalgebrica a proiectiei vectorului a pe vectorul a+ b.

- 21-

Page 22: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

7. Sa se calculeze aria paralelogramului construit pe reprezentantii cu originea comuna ai vectorilor

r1 =1 + cos vcos2 u

+sinu sin v

cos2 uk si r2 = − sin vı− sin v tgu+

cos vcosu

k,

folosind identitatea Lagrange.

8. Fiind dati vectorii:

a = ı− 5− 7k, b = 2ı− 3+ 6k, c = −ı+ 2− 2k,

sa se calculeze w = a× (b× c) si sa se verifice liniar dependenta vectorilor w, b si c.

9. Se dau vectorii a = ı− + k, b = ı+ 2+ 3k, c = k + .a) Aflati dublul produs vectorial w = a× (b× c).

b) Recalculati w folosind formula de calcul prescurtat w = 〈a, c〉b− 〈a, b〉c =∣∣∣∣ b c〈a, b〉 〈a, c〉

∣∣∣∣.c) Aratati ca w este perpendicular pe a si coplanar cu b si c.

10. Fie triedrul O; a, b, c. Vectorii definiti prin:

a′ =b× c

〈a, b, c〉, b′ =

c× a

〈a, b, c〉, c′ =

a× b

〈a, b, c〉

se numesc reciprocii vectorilor a, b si c, iar triedrul O; a′, b′, c′ se numeste triedrul reciproc. Sa se arate ca:a) a · a′ = δij , i, j = 1, 2, 3.b) (a+ b+ c)(a′ + b′ + c′) = 3.

c) 〈a′ × b′, b′ × c′, c′ × a′〉 =1

〈a, b, c〉2.

11. Demonstrati urmatoarele identitati:a) 〈a× b, a× (b× c)〉 = −〈a, b〉〈a, b, c〉;b) a× (b× c) + b× (c× a) + c× (a× b) = 0;c) 〈a× b, b× c, c× a〉 = 〈a, b, c〉2;

d) a× [b× (c× d)] =∣∣∣∣ a× c a× d〈b, c〉 〈b, d〉

∣∣∣∣ .12. Se dau vectorii:

a = ı− α+ 3k, b = αı− + k, c = 3ı+ − k.

Sa se gaseasca valoarea lui α astfel ıncat vectorii a, b si c sa fie coplanari. Pentru α = 2, sa se afle ınaltimeaparalelipipedului construit pe reprezentantii vectorilor a, b si c, stiind ca ea corespunde bazei formate de repre-zentantii vectorilor a si b.

13. Sa se arate ca punctele A(1, 1, 1), B(3,−1, 4), C(0, 7,−3) si D(5, 7, 2) sunt coplanare.

- 22-

Page 23: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MB.2.Reper cartezian

Cuvinte cheie: reper cartezian; originea reperului cartezian, baza reperuluicartezian; axele de coordonate, plane de coordonate, coordonatele eucli-diene ale unui punct, vector de pozitie, coordonate cilindrice, coordonatesferice.

2.1 Reper cartezian. Sistem de coordonate carteziene

Este cunoscut faptul ca spatiile E3 si V3 sunt ın corespondenta biunivoca, bijectia fiind unic determinataprin fixarea originii, iar spatiile vectoriale V3 si R3 sunt izomorfe, izomorfismul fiind unic determinat prinfixarea bazelor ın cele doua spatii. Intr-adevar, ın ipoteza ca am fixat un punct O, numit origine ın E3 si obaza ortonormata ı, , k ın V3, fiecarui punct M din E3 ıi corespunde ın mod unic un vector r =OM , numitvector de pozitie al punctului M . Acestui vector ıi corespunde ın mod unic tripletul ordonat de numerereale (x, y, z) ∈ R3, numite coordonatele euclidiene ale vectorului OM ın raport cu baza ı, , k; scriemOM= xı+ y+ zk.

Ansamblul O; ı, , k se numeste reper cartezian ın E3. Punctul O se numeste originea reperului, iarı, , k se numeste baza reperului. Coordonatele euclidiene (x, y, z) ale vectorului de pozitie r =OM se numesccoordonatele carteziene ale punctului M fata de reperul ortonormat O; ı, , k, cu x = 〈ı, r〉 = ~prı r=abscisa,y = 〈, r〉 = ~pr r=ordonata si z = 〈k, r〉 = ~prk r=cota.

Bijectia dintre E3 si R3, determinata prin fixarea reperului cartezian, se numeste sistem de coordonatecartezian si se noteaza prin M(x, y, z). Aceste bijectii permit deseori identificarea spatiilor E3, V3 si R3.

Versorilor ı, si k le atasam axele de coordonate Ox, Oy, respectiv Oz care au acelasi sens cu sensulpozitiv al acestor versori. Coordonatele carteziene ale punctului M reprezinta marimile algebrice ale proiectiilorortogonale ale vectorului OM pe cele trei axe de coordonate (vezi fig. 20).

Fig. 20

Axele sunt caracterizate respectiv prin ecuatiile:

Ox :

y = 0z = 0; Oy :

z = 0x = 0; Oz :

x = 0y = 0.

23

Page 24: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Cele trei axe determina planele xOy, yOz si zOx, numite plane de coordonate. Ele sunt caracterizaterespectiv prin ecuatiile xOy : z = 0, yOz : x = 0, xOz : y = 0. Cele trei plane de coordonate ımpart spatiul ınopt regiuni numite octante (sau octanti).

Uneori reperul cartezian este indicat prin notatia Oxyz, prin aceasta ıntelegandu-se ca s-au fixat originea Osi axele reciproc ortogonale Ox, Oy si Oz. Evident, versorii reciproc ortogonali ı, si k rezulta din context.

In cele ce urmeaza, presupunem cunoscute notiunile elementare din geometria euclidiana ca punct, dreapta,plan, perpendiculara etc. De asemenea, presupunem ca V3 este raportat la baza ortonormata ı, , k, iar E3 lareperul cartezian O; ı, , k.

2.2 Trecerea de la reperul cartezian la reperul cilindric

Presupunem ca spatiul E3 este raportat la un reper cartezian Oxyz. Orice punct M ∈ E3 este unicdeterminat de coordonatele sale carteziene (x, y, z).

Fie E∗3 = E3 \Oz. Pozitia unui punct M ∈ E∗3 poate fi caracterizata si prin tripletul ordonat (ρ, θ, z), undeρ este distanta de la origine la proiectia M ′ a punctului M ın planul xOy, iar θ este masura unghiului dintresemidreptele Ox si OM ′ (vezi fig. 21).

Numerele reale ρ, θ si z se numesc coordonate cilindrice ale punctului M ın spatiu. Intre coordonatelecilindrice si coordonatele carteziene exista relatiile: x = ρ cos θ

y = ρ sin θz = z.

Daca impunem ρ > 0, θ ∈ [0, 2π), z ∈ R, atunci relatiile precedente asigura corespondenta biunivoca ıntremultimea R3 \Oz si multimea (0,∞)× [0, 2π)× R.

Fig. 21 Fig. 22

Suprafete de coordonate

ρ = ρ0: cilindru circular cu generatoarele paralele cu Oz.θ = θ0: semiplan a carui prelungire trece prin Oz.z = z0: plan paralel cu xOy din care s-a scos punctul (0, 0, z0).

Curbe de coordonate

θ = θ0, z = z0: semidreapta paralela cu xOy a carei prelungire trece prin Oz.z = z0, ρ = ρ0: cerc cu centrul pe Oz si situat ıntr-un plan paralel cu xOy.ρ = ρ0, θ = θ0: dreapta perpendiculara pe planul xOy.

Curbele de coordonate sunt reciproc ortogonale, deci suprafetele de coordonate sunt reciproc ortogonale.Consideram punctul M(ρ, θ, z). Versorii eρ, eθ si ez tangenti la liniile de coordonate care trec prin punctul M

sunt reciproc ortogonali. De aceea,M(ρ, θ, z); eρ, eθ, ez

este un reper ortonormat mobil, numit reper cilindric

(vezi fig. 22).Trecerea de la reperul cartezian O; ı, , k la reperul cilindric

M(ρ, θ, z); eρ, eθ, ez

este

descrisa de formulele eρ = cos θ ı+ sin θ eθ = − sin θ ı+ cos θ ez = k.

- 24-

Page 25: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Aceste formule au la baza regula prin care componentele unui vector fata de o baza ortonormata sunt proiectiiale vectorului respectiv pe versorii bazei. De exemplu,

eρ = 〈eρ, ı〉ı+ 〈eρ, 〉+ 〈eρ, k〉k = cos θ ı+ sin θ .

2.3 Trecerea de la reperul cartezian la reperul sferic

Uneori, pozitia unui punct M ∈ E∗3 = E3 \ Oz este caracterizata cu ajutorul unui alt triplet ordonat denumere reale (r, ϕ, θ), unde r reprezinta distanta d(O,M), θ este unghiul dintre semidreptele Ox si OM ′, iar ϕeste unghiul dintre semidreptele Oz si OM (vezi fig. 23).

Numerele r, ϕ si θ se numesc coordonate sferice ale lui M ın spatiu. Intre coordonatele sferice si coordo-natele carteziene ale punctului M exista relatiile x = r sinϕ cos θ

y = r sinϕ sin θz = z cosϕ.

Daca impunem restrictiile r > 0, ϕ ∈ (0, π), θ ∈ [0, 2π), atunci formulele anterioare asigura corespondentabiunivoca ıntre multimile R3 \Oz si (0,∞)× (0, π)× [0, 2π).

Fig. 23

Observatie. In navigatia maritima sau aeriana, radarele determina pozitia unei nave (aeronave) ıntr-un repersferic, avand originea ın locul de amplasare a statiei radar. Marcarea pozitiei gasite pe o harta corespunde treceriiıntr-un reper ortonormat, avand latitudine, longitudine (tinand cont si de ınaltime pentru traficul aerian).

Suprafete de coordonate

r = r0: sfera cu centrul ın origine din care au fost scosi polii.θ = θ0: semiplan a carui prelungire trece prin Oz.ϕ = ϕ0: semicon fara varf (origine).

Curbe de coordonate

θ = θ0, ϕ = ϕ0: semidreapta a carei prelungire trece prin origine.ϕ = ϕ0, r = r0: cerc cu centrul pe Oz, situat ıntr-un plan paralel cu xOy (cerc paralel).r = r0, θ = θ0: semicerc (mare, deschis; meridian).

Curbele de coordonate sunt reciproc ortogonale, deci suprafetele de coordonate sunt reciproc ortogonale.Consideram punctul M(r, ϕ, θ). Versorii er, eϕ si eθ tangenti la liniile de coordonate care trec prin punctul

M sunt reciproc ortogonali. De aceea,M(r, ϕ, θ); er, eϕ, eθ

este un reper ortonormat mobil, numit reper sferic

(vezi fig. 24).

- 25-

Page 26: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 24

Tinand seama de figura 9, de formulele de trecere de la o baza ortonormata la o alta baza ortonormata side proprietatile proiectiei, gasim legatura ıntre reperul cartezian si cel sferic er = sinϕ cos θ ı+ sinϕ sin θ + cosϕ k

eϕ = cosϕ cos θ ı+ cosϕ sin θ − sinϕ keθ = − sin θ ı+ cos θ .

2.4 Exercitii/probleme rezolvate

2.4.1 Enunturi

1. a) Aflati coordonatele polare (ρ, θ) pentru punctul A ale carui coordonate carteziene sunt (x, y) = (1,−2);b) Aflati coordonatele carteziene (x, y) pentru punctul B ale carui coordonate polare sunt (ρ, θ) = (2, 3π

4 ).

2. a) Aflati coordonatele cilindrice (ρ, θ, z) pentru punctul C ale carui coordonate carteziene sunt (x, y, z) =(1,−2,−3);b) Aflati coordonatele carteziene pentru punctul D ale carui coordonate cilindrice sunt (ρ, θ, z) = (1, 4π

3 , 2).

3. a) Aflati coordonatele sferice pentru punctul E ale carui coordonate carteziene sunt (x, y, z) = (1,−2,−3);b) Aflati coordonatele carteziene pentru punctul F ale carui coordonate sferice sunt (r, ϕ, θ) = (1, 2π

3 ,5π3 ).

2.4.2 Solutii

1. a) Folosim formulele

ρ =√x2 + y2

θ =

kπ + arctg y

x , pentru x 6= 0

π/2, pentru x = 0, y > 0

3π/2, pentru x = 0, y < 0,

(2.1)

unde k = 0, 1, 2, dupa cum punctul (x, y) se afla respectiv ın cadranele I, II & III, sau IV. Avem x = 1, y = −2.Atunci rezulta ρ =

√x2 + y2 =

√5 si deoarece punctul se afla ın cadranul IV, θ = 2π+ arctg (−2) = 2π− arctg 2.

b) Folosim formulele x = ρ cos θy = ρ sin θ , (ρ, θ) ∈ [0,∞)× [0, 2π].

Coordonatele carteziene pentru ρ = 2 si θ = 3π4 sunt

x = 2 cos 3π4 = 2cos

(π − π

4

)= −2cosπ

4 = −√

2y = 2 sin 3π

4 = 2 sin(π − π

4

)= 2 sin π

4 =√

2.

- 26-

Page 27: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

2. a) Folosim formulele (2.1). Avem x = 1, y = −2, z = −3. Deci ρ =√x2 + y2 =

√5; proiectia punctului pe

planul x0y aflandu-se ın cadranul IV, rezulta θ = 2π + arctg yx = 2π− arctg 2, iar z = −3.

b) Folosim formulele x = ρ cos θy = ρ sin θz = z

, (ρ, θ, z) ∈ [0,∞)× [0, 2π]× R.

Avem ρ = 1, θ = 4π3 , z = 2. Atunci rezulta:

x = 1 · cos 4π3 = cos

(π + π

3

)= −cosπ

3 = − 12

y = 1 · sin 4π3 = sin

(π + π

3

)= − sinπ

3 = −√

32

z = 2.

3. Din oficiu: 1pt. a) Folosim formulele

r =√x2 + y2 + z2

ϕ = arccos(z/r)

θ =

kπ + arctg yx , pentru x 6= 0

π/2, pentru x = 0, y > 03π/2, pentru x = 0, y < 0.

unde k = 0, 1, 2, dupa cum punctul (x, y, 0) se afla respectiv ın cadranele I, II & III, sau IV ale planuluixOy ≡ R2 (1 pt.) . Avem x = 1, y = −2, z = −3, de unde obtinem r =

√x2 + y2 + z2 =

√14 si ϕ =

arccos(

zr

)= arccos

(− 3√

14

)= π − arccos

(3√14

)(2 pt.) . Rezolvam sistemul

x = r · sinϕ · cos θ

y = r · sinϕ · sin θ⇔

1 =

√14 ·

√x2+y2√

14· cos θ

−2 =√

14 ·√

x2+y2√

14· sin θ

cos θ = 1√5

sin θ = − 2√5⇒ tg θ = −2

si deoarece ne aflam ın cadranul IV, rezulta θ = 2π+ arctg (−2) = 2π− arctg 2 ∈ [0, 2π) (2 pt.) . Se observaca de asemenea, putem scrie θ = 2π − arcsin 2√

5= 2π − arccos 1√

5.

b) Folosim formulele x = r sinϕ cos θy = r sinϕ sin θz = r cosϕ

, (r, ϕ, θ) ∈ [0,∞)× [0, π]× [0, 2π], (1 pt.) .

Avem r = 1, ϕ = 2π3 , θ = 5π

3 si obtinem

cosϕ = cos(π − π3 ) = − cos π

3 = − 12 , sinϕ = sin(π − π

3 ) = sin π3 =

√3

2 ,

cos θ = cos(2π − π3 ) = cos π

3 = 12 , sin θ = sin(2π − π

3 ) = sin(−π3 ) = − sin π

3 = −√

32 , (1 pt.)

deci x = r sinϕ cos θ = 1 ·

√3

2 · 12 =

√3

4 ,

y = r sinϕ sin θ = 1 ·√

32 (−

√3

2 ) = − 34 ,

z = r cosϕ = 1 · (− 12 ) = − 1

2 .

(1 pt.)

In concluzie coordonatele carteziene ale punctului sunt (x, y, z) = (√

34 ,−

34 ,−

12 ) (1 pt.) Total: 10pt. .

- 27-

Page 28: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

2.5 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare

1. Sa se figureze punctele:

A(5, 0, 0); B(0,−2, 0); C(0, 0, 3); D(−3, 2, 0); E(0,−1,−4); F (2, 0, 4); G(3,−5, 8)

si sa se scrie expresia vectorului de pozitie al punctului G fata de reperul cartezian O; ı, , k.

2. a) Aflati coordonatele polare (ρ, θ) pentru punctul A ale carui coordonate carteziene sunt (x, y) = (1,−2);b) Aflati coordonatele carteziene (x, y) pentru punctul B ale carui coordonate polare sunt (ρ, θ) = (2, 3π

4 ).

3. a) Aflati coordonatele cilindrice (ρ, θ, z) pentru punctul C ale carui coordonate carteziene sunt (x, y, z) =(1,−2,−3);

b) Aflati coordonatele carteziene pentru punctul D ale carui coordonate cilindrice sunt (ρ, θ, z) = (1, 4π3 , 2).

4. a) Aflati coordonatele sferice pentru punctul E ale carui coordonate carteziene sunt (x, y, z) = (1,−2,−3);b) Aflati coordonatele carteziene pentru punctul F ale carui coordonate sferice sunt (r, ϕ, θ) = (1, 2π

3 ,5π3 ).

5. Se dau punctele A(5,π

3, 4), B

(7,

4π3,−2

)si C

(2,

5π6,−1

)ın coordonate cilindrice. Sa se arate ca A si

B apartin unui plan care trece prin Oz si sa se afle coordonatele carteziene ale punctelor A si C, precum sidistanta dintre ele.

6. Sa se transcrie urmatoarele ecuatii ın coordonate sferice:

(x2 + y2 + z2)2 = a2(x2 + y2); (x2 + y2 + z2)2(x2 + y2) = 4a2x2y2.

7. Sa se verifice ca reperul cilindric si reperul sferic sunt orientate pozitiv.

- 28-

Page 29: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MB.3.Dreapta in spatiu

Cuvinte cheie: vector director, versor director, dreapta orientata, cosi-nusurile directoare.

3.1 Ecuatiile dreptei ın spatiu

O dreapta ın spatiu poate fi determinata de:a) un punct si un vector nenul;b) doua puncte;c) intersectia a doua plane.Ne propunem sa transformam aceste conditii din E3 ın ecuatii ın V3 sau ın R3.

3.2 Dreapta determinata de un punct si un vector nenul

Punctul M0(x0, y0, z0), r0 = x0 ı + y0 + z0k si un vector nenul a(`,m, n) din V3 fixeaza o dreapta D caretrece prin M0 si are directia lui a (vezi fig. 25).

Fig. 25

Punctul generic M(x, y, z) apartine dreptei D daca si numai daca vectorii M0M si a sunt coliniari, adica(r− r0)× a = 0. Aceasta ecuatie ın V3 se numeste ecuatia vectoriala a dreptei definita de un punct si o directie.Vectorul a(`,m, n) 6= 0, care da directia dreptei D, se numeste vector director, iar vectorul ka, k 6= 0, joacaacelasi rol ca a.

Coliniaritatea vectorilor r − r0 si a se pune ın evidenta si prin ecuatia vectoriala

r = r0 + ta, t ∈ R.

Aceasta ecuatie vectoriala este echivalenta cu trei ecuatii ın R3,

x = x0 + t`, y = y0 + tm, z = z0 + tn, t ∈ R,

numite ecuatii parametrice ale dreptei D. Aceste ecuatii se pot ınlocui cu doua ecuatii carteziene ın R3,

x− x0

`=y − y0m

=z − z0n

,

cu conventia ca daca un numitor este nul, atunci numaratorul respectiv trebuie egalat cu 0.

29

Page 30: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Observatie. Deoarece a(`,m, n) 6= 0(0, 0, 0), cel mult doua dintre numerele `, m si n se pot anula.1) Daca ` = 0 si mn 6= 0, atunci ecuatiile carteziene precedente sunt echivalente cu

x = x0,y − y0m

=z − z0n

si reprezinta o dreapta paralela cu planul yOz.2) Daca ` = m = 0 si n 6= 0, atunci ecuatiile carteziene precedente se reduc la

x = x0, y = y0

si reprezinta o dreapta paralela cu Oz.

3.3 Dreapta determinata de doua puncte

Doua puncte distincte M1(x1, y1, z1) si M2(x2, y2, z2) determina o dreapta D si numai una. Pentru a scrieecuatiile acestei drepte ne folosim de explicatiile anterioare si anume, vom considera dreapta ca fiind determinatade punctul M1 si de vectorul director a (vezi fig. 26).

Fig. 26

Astfel, ecuatiile carteziene ale dreptei D sunt

x− x1

x2 − x1=

y − y1y2 − y1

=z − z1z2 − z1

.

3.4 Dreapta orientata

Fie D o dreapta ın spatiu. Pe D se pot stabili doua sensuri de parcurs, corespondente relatiilor de ordine pemultimea punctelor dreptei, pe care convenim sa le notam cu (+) si (−). O dreapta D ımpreuna cu o alegerea unui sens de parcurs se numeste dreapta orientata.

Daca a este un vector director al dreptei D, atunci se accepta ca sens pozitiv pe D sensul vectorului directora si vom nota acest sens cu +. De aceea, dreapta orientata este de fapt perechea (D, a). Acest lucru va fi admisın continuare.

Fie dreapta orientata (D, a) si punctul M0 ∈ D. Multimea

D′ =M | M0M= sa, s ≥ 0

se numeste partea pozitiva a lui D, iar multimea

D′′ =M | M0M= sa, s ≤ 0

se numeste partea negativa a lui D.

Axele de coordonate Ox, Oy si Oz sunt exemple de drepte orientate. Daca O este originea, atunci multimeaM | OM= tı, t ≥ 0

este semiaxa pozitiva Ox.

- 30-

Page 31: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Vectorului director a 6= 0 al dreptei D i se poate atasa versorul e = ||a||−1a, numit versor director saudirectie orientata. Prin urmare, dreapta D poate fi gandita ca fiind multimea

D =M | M0M= te, t ∈ R

.

Versorul director e formeaza cu axele de coordonate unghiurile α, β, respectiv γ, numite unghiurile directoareale dreptei D (figura 4).

Fig. 27

Coordonatele lui e fata de baza ortonormata ı, , k se numesc cosinusurile directoare ale dreptei D.Putem scrie

e = 〈e, ı〉ı+ 〈e, 〉)+ 〈e, k〉k

saue = (cosα) ı+ (cosβ) + (cos γ) k.

Relatia ||e|| = 1 este echivalenta cucos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1.

Observatie. Relatia dintre cosinusurile directoare de mai sus este generalizarea relatiei fundamentale atrigonometriei cos2 α + sin2 α = 1. In plan, ın raport cu baza ortonormata ı, versorul director e formeazacu axele de coordonate unghiurile α si β, acestea fiind unghiuri complementare, β = π

2 − α. De aici, cosβ =cos(π

2 − α) = sinα.Daca a = `ı+m+ nk, atunci

cosα =`√

`2 +m2 + n2, cosβ =

m√`2 +m2 + n2

, cos γ =n√

`2 +m2 + n2.

3.5 Exercitii/probleme rezolvate

3.5.1 Enunturi

1. Aflati dreapta ∆ ın fiecare din urmatoarele cazuri:a) ∆ ⊃ A(1, 2, 3), B(4, 2, 1);b) ∆ 3 C(2, 6, 1) si ∆ admite vectorul director v = 2k − i.

2. Aflati ecuatiile parametrice, doua puncte distincte si un vector director ale dreptei ∆ :

2x+ y − 5z = 124x+ 7y − 33z = 1.

3.5.2 Solutii

1. Din oficiu: 1pt. a) Dreapta ∆ ce trece prin punctele A(1, 2, 3) si B(4, 2, 1) este data de ecuatiile carteziene:

∆ :x− 14− 1

=y − 22− 2

=z − 31− 3

⇔ x− 13

=y − 2

0=z − 3−2

, (2 pt.) .

Egaland sirul de rapoarte cu t, obtinem ecuatiile parametrice ale dreptei, ∆ : (x, y, z) = (1+3t, 2, 3− 2t), t ∈ R(2 pt.) .

- 31-

Page 32: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

b) Identificam vectorul director v cu tripletul coordonatelor lui relativ la baza canonica ortonormatai, j, k

, v ≡

(−1, 0, 2) (1 pt.) . Dreapta ∆ determinata de directia v si punctul C(2, 6, 1) are ecuatiile carteziene x−2−1 =

y−60 = z−1

2 (1 pt.) ; egaland sirul de rapoarte cu t, obtinem ecuatiile parametrice ale dreptei ∆ : (x, y, z) =

(2− t, 6, 1 + 2t), t ∈ R (3 pt.) Total: 10pt. .

2. Rezolvand sistemul de ecuatii

2x+ y − 5z = 124x+ 7y − 33z = 1 si considerand ca necunoscuta secundara y = t, obtinem

ecuatiile parametrice ale dreptei ∆ : (x, y, z) = ( 172 + 1

23 t, t, 1 + 523 t), t ∈ R. Extragand t din fiecare egalitate,

obtinem t = x− 172

123

= y−01 = z−1

523

, deci vectorul director este v ≡(

123 , 1,

523

)≡ 1

23 i + j + 523 k. Dand valori lui

t ∈ R ın ecuatiile parametrice ale dreptei ∆, obtinem puncte ale dreptei. De exemplu, pentru t = 0 si t = 1obtinem respectiv punctele A0( 17

2 , 0, 1), A1( 39346 , 1,

2823 ) ∈ ∆.

3.6 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare

1. Fie D1 si D2 doua drepte paralele cu vectorii (1, 0, 1), respectiv (−1, 1, 2). Sa se scrie ecuatiile parametriceale dreptei perpendiculare simultan pe D1, D2 si care trece prin punctul (2, 3, 0).

2. Se considera dreaptaD :

x

1=

y

−2=z

2.

Fie ı ′ versorul director al dreptei D, ′ un versor perpendicular pe D care apartine planului yOz si k′ versorulales astfel ıncat ı ′, ′, k′ sa fie o baza ortonormata.

Sa se stabileasca formulele de trecere de la baza ı, , k la baza ı′, ′, k′ si sa se compare orientarile celordoua baze.

- 32-

Page 33: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MB.4.Planul ın spatiu

Cuvinte cheie: vector normal, planul orientat, ecuatia normala a planului,fascicul de plane.

4.1 Ecuatia planului ın spatiu

Un plan ın spatiu este determinat de conditii geometrice ca: trei puncte necoliniare, doua drepte concurente,doua drepte paralele, o dreapta si un punct exterior dreptei, un punct si un vector normal la plan, precum sidistanta de la origine la plan ımpreuna cu versorul normal la plan. Impunand conditii de acest tip, ne propunemsa stabilim ecuatia planului sub forma vectoriala, carteziana sau normala.

4.1.1 Planul determinat de un punct si un vector normal nenul

Fiind data dreapta D care trece prin punctul M0(x0, y0, z0) si care are directia vectorului n(a, b, c), existaun singur plan P perpendicular pe D ın M0 (vezi fig. 28).

Fig. 28

Dreapta D se numeste normala la planul P , iar vectorul nenul n se numeste vector normal al planului P .Ecuatiile normalei sunt

x− x0

a=y − y0b

=z − z0c

.

Apartenenta M ∈ P este echivalenta cu M0M⊥ n. De aceea, planul P este multimea

P =M | 〈M0M, n〉 = 0

.

Folosind notatia generica M(x, y, z) si

M0M= (x− x0)ı+ (y − y0)+ (z − z0)k,

ecuatia vectoriala 〈M0M, n〉 = 0 se transcrie ca o ecuatie ın R3,

a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0,

numita ecuatia carteziana a planului care trece prin M0, perpendicular pe n.

33

Page 34: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Prelucrand membrul stang al ecuatiei precedente si notand

ax0 + by0 + cz0 = −d,

obtinem transcriereaax+ by + cz + d = 0.

Reciproc, sa aratam ca orice ecuatie de forma

ax+ by + cz + d = 0, cu a2 + b2 + c2 > 0,

reprezinta un plan. Intr-adevar, o solutie (x0, y0, z0) a acestei ecuatii ne da d = −ax0− by0− cz0 si reınlocuindobtinem

a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0,

care reprezinta ecuatia planului care contine punctul M0(x0, y0, z0) si este perpendicular pe vectorul nenuln ≡ (a, b, c).

Ecuatia ax+ by+ cz+ d = 0 ın R3, cu a2 + b2 + c2 6= 0, se numeste ecuatia carteziana generala a unui plan.Evident, aceasta ecuatie este atasata functiei liniar afine

f : R3 → R, f(x, y, z) = ax+ by + cz + d.

4.1.2 Plane particulare

1) Planul xOy are ecuatia z = 0 si vectorul normal k = (0, 0, 1). Orice plan paralel cu xOy are ecuatia z = c(vezi fig. 29).

Analog, x = 0 reprezinta ecuatia planului yOz al carui vector normal este ı = (1, 0, 0). Un plan paralel cuyOz are ecuatia x = a. Ecuatia planului xOz este y = 0, a carei normala are directia = (0, 1, 0). Un planparalel cu yOz are ecuatia y = b.

2) Ecuatiile planelor perpendiculare pe planele de coordonate xOy, yOz si xOz sunt de forma ax+by+d = 0,by + cz + d = 0, respectiv ax+ cz + d = 0.

3) Ecuatiile planelor care trec prin axele de coordonate Ox, Oy si Oz sunt de forma by+cz = 0, ax+cz = 0,respectiv ax+ by = 0.

4) Ecuatia unui plan care trece prin origine este de forma ax + by + cz = 0. Un astfel de plan este unsubspatiu vectorial bidimensional al lui R3.

Fig. 29 Fig. 30

4.1.3 Planul determinat de trei puncte necoliniare

Pentru a stabili ecuatia planului determinat de punctele necoliniare Mi(xi, yi, zi), i = 1, 3 (vezi fig. 30),procedam dupa cum urmeaza:

1) Folosim ecuatia generala a planului si ecuatiile obtinute prin ınlocuirea coordonatelor punctelor Mi ınecuatia generala, ca ecuatii ın necunoscutele a, b, c si d. Rezulta sistemul liniar omogen

ax+ by + cz + d = 0ax1 + by1 + cz1 + d = 0ax2 + by2 + cz2 + d = 0ax3 + by3 + cz3 + d = 0,

- 34-

Page 35: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

cu solutii nebanale (a, b, c, d), deoarece a, b si c nu se pot anula simultan. Conditia de solutii nebanale,∣∣∣∣∣∣∣∣x y z 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,

este chiar ecuatia carteziana a planului (M1M2M3). Intr-adevar, ecuatia de mai sus este o ecuatie de gradulıntai ın x, y, z si oricare dintre punctele (xi, yi, zi), i = 1, 3, o satisface. De asemenea, aceasta ecuatie reprezintaconditia de coplanaritate a punctelor M1, M2, M3 si M .

Ca un caz particular, gasim ecuatia planului prin taieturi (vezi fig. 31). Daca taieturile sunt A(a, 0, 0),B(0, b, 0) si C(0, 0, c), atunci ecuatia planului (ABC) este

x

a+y

b+z

c− 1 = 0.

2) Fie M un punct care genereaza planul. Conditia de coplanaritate a vectorilor M1M , M1M2 si M1M3 estechiar ecuatia vectoriala a planului si anume

〈M1M,M1M2 ×M1M3〉 = 0.

Daca introducem vectorii de pozitie r = xı+ y+ zk, ri = xi ı+ yi+ zik, i = 1, 3, atunci obtinem transcrierea

〈r − r1, (r2 − r1)× (r3 − r1)〉 = 0

sau, sub forma de determinant, ∣∣∣∣∣∣x− x1 y − y1 z − z1x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Fig. 31 Fig. 32

4.1.4 Planul determinat de un punct si doi vectori necoliniari

Doi vectori necoliniari u = (`1,m1, n1), v = (`2,m2, n2) si un punct M0 determina un plan unic P (vezi fig.32). Ne propunem sa gasim ecuatiile parametrice sau ecuatia carteziana ale acestui plan.

Fie→

M0M1 si→

M0M2 reprezentantii vectorilor u, respectiv v. Un punct M ∈ E3 apartine planului P daca sinumai daca vectorii M0M , M0M1 si M0M2 sunt coplanari. Exprimam coplanaritatea acestor vectori astfel:

a) M0M= su+ tv, adica x = x0 + s`1 + t`2y = y0 + sm1 + tm2

z = z0 + sn1 + tn2, s, t ∈ R.Aceste relatii sunt numite ecuatiile parametrice ale planului P , iar numerele arbitrare s si t se numesc parametri.

b) 〈M0M, u× v〉 = 0, adica ∣∣∣∣∣∣x− x0 y − y0 z − z0`1 m1 n1

`2 m2 n2

∣∣∣∣∣∣ = 0.

- 35-

Page 36: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Precizam ca toate ecuatiile carteziene obtinute pentru plan sunt echivalente cu ecuatia generala a planuluiax + by + cz + d = 0. Se observa ca aceasta ecuatie depinde de patru parametri neesentiali a, b, c, d si trei

parametri esentiali. Daca a 6= 0, atunci cei trei parametri esentiali suntb

a,c

asid

a.

De asemenea, precizam ca numerele a, b si c, adica coeficientii lui x, y si z din ecuatia generala, reprezintacoordonatele vectorului normal n.

4.1.5 Ecuatia normala a planului (Hesse)

Putem determina ecuatia planului atunci cand cunoastem versorul normalei la planul P si distanta de la originela planul P. Aceasta ecuatie ne va conduce la o formula de calcul a distantei de la un punct la un plan.

Daca distanta de la origine la planul P este p > 0 si versorul normalei este exprimat cu ajutorul cosinusurilordirectoare, n = cosα ı+ cosβ + cos γ k, atunci ecuatia normala a planului (ecuatia lui Hesse) se scrie

x cosα + y cosβ + z cos γ − p = 0.

Notand cu M0 punctul de intersectie al directiei versorului normalei din origine cu planul P si cu M(x, y, z)un punct generic din planul P atunci M0(p cosα, p cosβ, p cos γ) iar ecuatia planului ce trece prin M0 si arenormala n este chiar ecuatia cautata.

Ne intereseaza ın continuare legatura dintre ecuatia generala a planului ax + by + cz + d = 0 si cea nor-mala. Spunem ca normalizam ecuatia generala a planului atunci ca aceasta o transformam ın ecuatie normala.Normalizata ecuatiei generale a planului (forma normala dedusa din ecuatia generala) este

ax+ by + cz + d

±√a2 + b2 + c2

= 0.

Din punct de vedere practic, obtinem normalizata ecuatiei generale a planului prin ınmultirea cu 1±√

a2+b2+c2 ,

semnul fiind semnul opus lui d.

4.2 Plan orientat

Referitor la reprezentarea intuitiva a unui plan ın spatiu, sunt evidente urmatoarele afirmatii:1) planul are doua fete;2) elementul de baza ın studiul planului ın raport cu spatiul este normala;3) alegerea unui sens pe normala este echivalenta cu alegerea unei fete a planului;4) alegerea unui sens de rotatie ın plan este echivalenta cu alegerea unui sens pe normala.Un plan P ımpreuna cu o alegere a sensului pe normala se numeste plan orientat (vezi fig. 33). Daca

sensul pe normala este fixat prin vectorul n, atunci perechea (P, n) este un plan orientat.Evident, este natural sa alegem acel sens pe normala care sa ne conduca la o orientare a planului coerenta

cu orientarea spatiului. In continuare vom subıntelege o asemenea orientare (acceptam regula mainii drepte).In aplicatii, fata care corespunde sensului ales pe normala se noteaza cu (+), iar fata opusa cu (−).Evident, planele de coordonate xOy, yOz si zOx sunt orientate.

Fig. 33 Fig. 34

- 36-

Page 37: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

4.3 Semispatii

Fie planul P : f(x, y, z) = ax + by + cz + d = 0. Acest plan separa spatiul ın doua submultimi convexe (vezifig. 34):

P− =(x, y, z) | f(x, y, z) ≤ 0

; P+ =

(x, y, z) | f(x, y, z) ≥ 0

;

P− ∩ P+ = P ; P− ∪ P+ = R3.

Pentru a dovedi aceasta afirmatie, fie M0(x0, y0, z0) ∈ P si

D

x = x0 + at,

y = y0 + bt,

z = z0 + ct

, t ∈ R,

normala la planul P ın punctul M0. Punctele lui D pot fi ımpartite ın trei submultimi caracterizate prin t < 0,t = 0, respectiv t > 0. Sa ne ınchipuim ca punctul M0 descrie planul P . Regiunea din spatiu maturata desemidreapta t ≤ 0 este caracterizata prin

f(x, y, z) = (a2 + b2 + c2)t ≤ 0

si o notam cu P−. Regiunea din spatiu descrisa de semidreapta t ≥ 0 o notam prin P+ si este caracterizataprin

f(x, y, z) = (a2 + b2 + c2)t ≥ 0.

Problema convexitatii o lasam drept tema pentru cititor.Submultimile P− si P+ se numesc semispatii ınchise. Avand ın vedere ca functia f pastreaza semn constant

pentru punctele unui semispatiu, pentru aflarea acestui semn este suficient sa alegem un punct particular(x1, y1, z1) si sa vedem ce semn are numarul f(x1, y1, z1).

4.4 Reuniunea si intersectia a doua plane

Consideram P1 si P2 doua plane de ecuatii a1x+ b1y + c1z + d1 = 0, respectiv a2x+ b2y + c2z + d2 = 0.Reuniunea celor doua plane este multimea (cuadrica degenerata)

Q =(x, y, z) | (a1x+ b1y + c1z + d1)(a2x+ b2y + c2z + d2) = 0

.

Presupunem ca planele P1 si P2 nu sunt paralele sau confundate. Intersectia P1 ∩P2 este dreapta de ecuatii(vezi fig. 35):

a1x+ b1y + c1z + d1 = 0a2x+ b2y + c2z + d2 = 0, rang

(a1 b1 c1a2 b2 c2

)= 2.

Fig. 35

Sistemul de ecuatii liniare prin care este reprezentata dreapta D este simplu nedeterminat. Sistemul admiteo infinitate simpla de solutii care sunt tocmai punctele dreptei. Un punct M0 al dreptei D se obtine fixandvaloarea uneia dintre variabile si calculandu-le pe celelalte doua. Directia dreptei D este data de vectoruln1 × n2, unde n1(a1, b1, c1) si n2(a2, b2, c2) sunt vectorii normali la planele P1 si P2. Deoarece

n1 × n2 =

∣∣∣∣∣∣ı ka1 b1 c1a2 b2 c2

∣∣∣∣∣∣ ,- 37-

Page 38: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

parametrii directori `, m si n ai dreptei D sunt:

` =∣∣∣∣ b1 c1b2 c2

∣∣∣∣ ; m =∣∣∣∣ c1 a1

c2 a2

∣∣∣∣ ; n =∣∣∣∣ a1 b1a2 b2

∣∣∣∣ .Daca presupunem ca

∣∣∣∣ a1 b1a2 b2

∣∣∣∣ 6= 0, atunci sistemul precedent este echivalent cu

x = az + py = bz + q

(ecuatii explicite ale dreptei D).Constatam ca o dreapta ın spatiu este exprimata cu ajutorul a doua ecuatii de gradul unu ın (x, y, z), care

depind de patru parametri esentiali, a, b, p si q. Prin urmare, pentru determinarea unei drepte sunt suficientedoua conditii, care vor produce patru ecuatii liniare ın necunoscutele a, b, p si q.

Pentru a determina pozitia relativa a unor drepte sau plane se alcatuieste sistemul format de ecuatiile lor, sediscuta si se rezolva algebric acest sistem si apoi se interpreteaza geometric rezultatul. De asemenea, precizamca din punct de vedere topologic, dreptele si planele sunt submultimi ınchise ın spatiu.

4.5 Fascicule de plane

Printr-o dreapta data trec o infinitate de plane. Multimea tuturor planelor care trec printr-o dreapta dataD se numeste fascicul de plane determinat de acea derapta. Dreapta D se numeste axa fasciculului.

Consideram planele de ecuatii

P1 : a1x+ b1y + c1z + d1 = 0 si P2 : a2x+ b2y + c2z + d2 = 0

care determina dreapta D = P1 ∩ P2 (figura 12). Deoarece orice vector nenul n perpendicular pe D se scrie ınforma n = rn1 + sn2, r2 + s2 6= 0, rezulta ca ecuatia unui plan oarecare din fasciculul de axa D are ecuatia

F : r(a1x+ b1y + c1z + d1) + s(a2x+ b2y + c2z + d2) = 0, r2 + s2 6= 0.

Cum cel putin unul din coeficientii r si s sunt nenuli putem presupune r 6= 0 si ecuatia fasciculului se poatescrie:

Fλ : a1x+ b1y + c1z + d1 + λ(a2x+ b2y + c2z + d2) = 0, λ ∈ R, (formal : (P1) + λ(P2) = 0).

Multimea planelor de forma F|| : a1x+b1y+c1z+λ = 0, unde λ ∈ R este un parametru variabil, se numestefascicul de plane paralele.

Folosind fasciculele de plane, putem justifica si pe aceasta cale ecuatiile planelor particulare din subsectiunea2.3.2. Astfel, stiind ca axa absciselor este Ox : y = 0, z = 0, ecuatia unui plan care trece prin Ox este by+cz = 0,iar ecuatia unui plan paralel cu acesta este by + cz + d = 0 etc.

4.6 Exercitii/probleme rezolvate

4.6.1 Enunturi

1. Sa se determine ecuatia planului P ce trece prin punctele A(2, 0, 0), B(0, 0, 3) si face un unghi de 60 cuplanul orizontal xOy.

2. Sa se determine ecuatia planului P ce trece prin dreapta de intersectie a planelor

P1 : x+ 5y + z = 0, P2 : x− z + 4 = 0,

stiind ca face un unghi de 45 cu planul

P3 : x− 4y − 8z + 14 = 0.

- 38-

Page 39: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

3. Aflati planul π ın fiecare din urmatoarele cazuri:a) π ⊃ A(1,−2, 1), B(2,−5, 1), C(3,−3, 1). Verificati ın prealabil ca A,B,C nu sunt coliniare.b) π 3 D(1, 5, 0) si π are directia normala data de n = 3j + 2k;c) π 3 E(2, 1, 2) si π este paralel cu directiile u = 2i, v = 3k − i.

4. Aflati ecuatiile parametrice, trei puncte necoliniare si un vector normal, ale planului x+ 2y − 3z = 4.

5. Aflati planul π ın fiecare din urmatoarele cazuri:a) π determina pe cele trei axe de coordonate Ox,Oy,Oz segmente de marime algebrica respectiv 1,−3, 2;b) π ⊃ ∆ : x = 1− y = z−1

0 , π 3 F (1, 2, 3);c) π||π∗ : x− 3z + 1 = 0, π 3 G(2, 0,−1).

4.6.2 Solutii

1. Consideram planul P dat prin ecuatia sa normala

x cosα + y cosβ + z cos γ − p = 0.

Din faptul ca planul P trece prin puncteleA(2, 0, 0), B(0, 0, 3) rezulta

2 cosα− p = 03 cos γ − p = 0. . Unghiul dintre planul

P si planul orizontal este unghiul dintre vectorul normal np si versorul k, adica γ = 60. Obtinem cos γ = 12 .

Prin urmare p = 32 , cosα = 3

4 . Mai ramane sa-l determinam pe cosβ din relatia cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.Obtinem cos2 β = 3

16 ⇔ cosβ = ±√

34 . In concluzie, avem doua solutii:

3x±√

3y + 2z − 6 = 0.

Observatie O alta solutie ar fi sa scriem ecuatia dreptei AB, iar din fasciculul planelor ce trec prin axa AB,Fλ, sa determinam planul ce formeaza unghi de 60 cu planul orizontal, adica sa folosim functia cos a unghiuluidintre plane si sa-l determinam pe λ.

2. Vom alege din fasciculul de drepte ce trec prin dreapta comuna a planelor P1 si P2 acel plan care face ununghi de 45 cu planul P3. Fasciculul de drepte ce trec prin dreapta comuna a planelor P1 si P2 este

Fλ : x+ 5y + z + λ(x− z + 4) = 0 ⇔ (λ+ 1)x+ 5y + (1− λ)z + 4λ = 0.

Vectorul normal al unui plan din fascicul este nλ = (λ+1)ı+5+(1−λ)k. Conditia ca planul P sa faca unghide 45 cu planul P3, a carui normala este n3 = ı− 4− 8k, este data de

(P, P3) = (nλ, n3) =π

4⇔ cos (nλ, n3) = cos

π

4=√

22.

Din

cos (nλ, n3) =〈nλ, n3〉

||nλ|| · ||n3||=

λ− 3√2λ2 + 27

rezultaλ− 3√2λ2 + 27

=√

22⇒√

2λ2 + 27 =√

2(λ− 3) ⇒ λ = −34.

In concluzie, planul cautat esteFλ=− 3

4: x+ 20y + 7z − 12 = 0.

3. Avem A,B,C necoliniare doar daca ind AB,AC ⇔ AB × AC 6= 0. Dar AB = i − 3j, AC = 2i − j iar

AB × AC =

∣∣∣∣∣∣i j k1 −3 02 −1 0

∣∣∣∣∣∣ = 5k 6= 0, deci punctele A,B si C nu sunt coliniare. Ecuatia planului π determinat

de punctele A,B,C este data de:

π :

∣∣∣∣∣∣∣∣x y z 11 −2 1 12 −5 1 13 −3 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ z = 1.

- 39-

Page 40: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

b) Identificam vectorul n cu tripletul coordonatelor lui relativ la baza canonica ortonormatai, j, k

, n ≡

(0, 3, 2). Planul ce trece prin punctul D(1, 5, 0) si are directia normala n ≡ (0, 3, 2) este

π : 0(x− 1) + 3(y − 5) + 2(z − 0) = 0 ⇔ 3y + 2z − 15 = 0.

Altfel. π face parte din fasciculul paralel de plane de directii normale comune n ≡ (0, 3, 2), de ecuatie πλ :0x+3y+2z+λ = 0, λ ∈ R. Planul cerut contine punctul D(1, 5, 0). Conditia D ∈ πλ conduce la 3 ·5+2 ·0+λ =0 ⇒ λ = −15, deci planul cautat este π = πλ=−15 : 3y + 2z − 15 = 0.c) Avem vectorii u ≡ (2, 0, 0) si v ≡ (−1, 0, 3). Atunci planul π ce trece prin punctul E(2, 1, 2) si este paralel

cu directiile u si v este dat de π :

∣∣∣∣∣∣x− 2 y − 1 z − 2

2 0 0−1 0 3

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ 6y − 6 = 0 ⇔ y = 1.

4. Se observa ca un vector normal al planului x+2y−3z = 4 este u = (1, 2,−3), iar trei puncte ce apartin planuluisunt A(1, 0,−1),B(2, 1, 0) si C(0, 2, 0). Deoarece punctul C, de exemplu, nu apartine dreptei determinate depunctele A si B (care are ecuatiile x− 1 = y = z+1) rezulta ca A,B si C sunt necoliniare (echivalent, verificatica AB ×AC 6= 0).Pentru a afla ecuatiile parametrice ale planului, avem nevoie de un punct apartinand planului si de doi vectorinecoliniari u = a1i + b1j + c1k si v = a2i + b2j + c2k ce admit reprezentanti continuti ın planul π. Deoarecestim ca segmentele orientate

−−→AB si

−→AC sunt continute ın plan, alegem u si v astfel ıncat

−−→AB ∈ u si

−→AC ∈ v.

Atunci avem: −−→AB ≡ (a1, b1, c1) = (2− 1, 1− 0, 0− (−1)) = (1, 1, 1),−→AC ≡ (a2, b2, c2) = (0− 1, 2− 0, 0− (−1)) = (−1, 2, 1).

In concluzie, planul π ce contine punctul A(1, 0,−1) si are directiile u = i+ j + k si v = −i+ 2j + k se poaterescrie sub forma parametrica:

π :

x = 1 + s− ty = 0 + s+ 2tz = −1 + s+ t

, s, t ∈ R,

sau carteziana:

π :

∣∣∣∣∣∣x− 1 y − 0 z + 1

1 1 1−1 2 1

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ −1(x− 1)− 2y + 3(z + 1) = 0 ⇔ x+ 2y − 3z = 4.

Tema. Verificati A,B,C ⊂ π.

5. Din oficiu: 1pt. a) Daca marimile algebrice ale segmentelor determinate de π pe axele Ox,Oy si Oz suntrespectiv 1,−3 si 2, rezulta ca planul π intersecteaza axele de coordonate ın punctele M1(1, 0, 0), M2(0,−3, 0)si M3(0, 0, 2) (1 pt.) . Scriem ecuatia planului prin taieturi:

π :x

1+

y

−3+z

2− 1 = 0 ⇔ 6x− 2y + 3z − 6 = 0, (2 pt.) .

b) Avem un punct F (1, 2, 3) apartinand planului, un vector continut ın plan u ≡ (1,−1, 0) - dat de vectoruldirector al dreptei ∆ : x

1 = y−1−1 = z−1

0 (1 pt.) . Consideram v = FM al doilea vector continut ın plan, unde

M ∈ ∆ este un punct oarecare al dreptei ∆. Fie M(0, 1, 1) (1 pt.) . Rezulta v = FM ≡ (0− 1, 1− 2, 1− 3) =

(−1,−1,−2) (1 pt.) . Obtinem:

π :

∣∣∣∣∣∣x− 1 y − 2 z − 3

1 −1 0−1 −1 −2

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ x+ y − z = 0 (1 pt.) .

Altfel. Consideram ∆ : x = 1− y = z−10 ca fiind dreapta aflata la intersectia planelorx = 1− yx = z−1

0

⇔x+ y − 1 = 0z − 1 = 0,

- 40-

Page 41: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

deci ecuatia fasciculului redus de plane ce trec prin dreapta ∆ este:

(x+ y − 1) + r(z − 1) = 0, r ∈ R, (2,5 pt.) .

Dar π apartine acestui fascicul si deoarece F (1, 2, 3) ∈ π, avem

(1 + 2− 1) + r(3− 1) = 0 ⇔ 2 + 2r = 0 ⇔ r = −1,

si deci: π : (x+ y − 1)− 1(z − 1) = 0 ⇔ π : x+ y − z = 0 (1,5 pt.) .

c) Planul π trece prin punctul G(2, 0,−1) si are vectorul normal n = (1, 0,−3) (acelasi cu al planului π∗ :x− 3z + 1 = 0) (1 pt.) . Avem

π : 1(x− 2) + 0(y − 0) + (−3)(z + 1) = 0 ⇔ x− 3z − 5 = 0 (1 pt.) Total: 10pt. .

Altfel. Fasciculul redus de plane paralele ce au vectorul normal n = (1, 0,−3) are ecuatia de forma

πλ : 1 · x+ 0 · y − 3 · z + λ = 0, λ ∈ R, (1,5 pt.) .

Planul π apartine acestui fascicul si contine punctul G(2, 0,−1), deci conditia G ∈ πλ se rescrie 1 · 2 + 0 · 0−3 · (−1) + λ = 0 ⇔ λ = −5; deci π : x− 3z − 5 = 0 (0,5 pt.) Total: 10pt. .

4.7 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare

1. Se considera punctele A(1, 3, 0), B(3,−2, 1), C(α, 1,−3) si D(7,−2, 3). Sa se determine α astfel ıncatpunctele sa fie coplanare. Pentru α astfel gasit, sa se scrie ecuatia carteziana a planului determinat de ele.

2. Sa se scrie ecuatia planului care trece prin punctul M0(−1, 3, 3) si contine dreapta D, unde:

a)D :x+ 2y + 3z − 1 = 02x− y − z − 3 = 0;

b)D :x− 4

1=y + 2

0=z + 1

2;

c)D : x = 1 + 2t, y = −1 + t, z = 1 + 3t, t ∈ R.

Indicatie. Se utilizeaza ecuatia fasciculului determinat de doua plane a caror intersectie este dreapta D.

- 41-

Page 42: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

- 42-

Page 43: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MB.5.Unghiuri si distante ın spatiu

Cuvinte cheie: unghiul format de doua drepte orientate, unghiul dintre odreapta si un plan, unghiul format de doua plane, distanta de la un punctla o dreapta, distanta de la un punct la un plan, proiectia unui punct pe odreapta, proiectia unui punct pe un plan, perpendiculara comuna a douadrepte, distanta dintre doua drepte.

5.1 Unghiuri ın spatiu

In acest paragraf ne propunem sa gasim formule pentru determinarea urmatoarelor unghiuri: unghiul dintredoua drepte orientate, unghiul dintre doua plane orientate si unghiul dintre o dreapta orientata si un planorientat.

5.1.1 Unghiul dintre doua drepte orientate

Fie D1 si D2 doua drepte orientate prin vectorii directori a = `1 ı+m1+ n1k si b = `2 ı+m2+ n2k (vezi fig.36).

Fig. 36

Prin unghiul dintre dreptele orientate (D1, a) si (D2, b) vom ıntelege unghiul dintre a si b, adica unghiulϕ definit prin formula

cosϕ =〈a, b〉||a|| ||b||

=`1`2 +m1m2 + n1n2√

`21 +m21 + n2

1

√`22 +m2

2 + n22

, ϕ ∈ [0, π].

Constatam echivalentele:a) D1 ⊥ D2 daca si numai daca 〈a, b〉 = 0 sau `1`2 +m1m2 + n1n2 = 0;

b) D1||D2 daca si numai daca a× b = 0 sau`1`2

=m1

m2=n1

n2.

5.1.2 Unghiul dintre doua plane orientate

Consideram planele P1 si P2 avand ecuatiile a1x+ b1y + c1z + d1 = 0, respectiv a2x+ b2y + c2z + d2 = 0.Planele P1 si P2 sunt paralele sau confundate daca si numai daca vectorii normali n(a1, b1, c1) si n2(a2, b2, c2)

sunt coliniari, adica n1 × n2 = 0. Paralelismul P1||P2 este caracterizat prin relatiile

(a1, b1, c1) = k(a2, b2, c2) si d1 6= kd2, k ∈ R \ 0,

43

Page 44: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

iar coincidenta P1 = P2 este descrisa de

(a1, b1, c1, d1) = k(a2, b2, c2, d2), k ∈ R\0.

Doua plane neparalele si neconfundate se intersecteaza dupa o dreapta D si determina un unghi diedru (vezifig. 37).

Dupa definitia data ın manualele de geometrie de liceu, unghiul diedru format de cele doua plane este masuratprin unghiul plan θ, care se obtine sectionand planele P1 si P2 cu un plan P3 perpendicular pe D. Unghiul θ estecongruent sau suplementar cu unghiul ϕ dintre vectorii normali n1 si n2, ca unghiuri cu laturile perpendiculare.Pentru comoditatea exprimarii algebrice, acum acceptam ca unghiul diedru determinat de planele orientate(P1, n1) si (P2, n2) este masurat prin unghiul ϕ dintre n1 si n2. Acest unghi se determina prin formula

cosϕ =〈n1, n2〉||n1|| ||n2||

=a1a2 + b1b2 + c1c2√

a21 + b21 + c21

√a22 + b22 + c22

, ϕ ∈ [0, π].

In particular, planele P1 si P2 sunt perpendiculare daca si numai daca 〈n1, n2〉 = 0 sau ın coordonate,a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0.

Fig. 37 Fig. 38

5.1.3 Unghiul dintre o dreapta orientata si un plan orientat

Fie dreapta orientata (D, a), a = `ı+m+nk si planul orientat (P, n), n = aı+b+ck. Presupunem ca dreaptaD intersecteaza planul P (vezi fig. 38) si notam cu D′ proiectia lui D pe planul P . Dupa definitia din manualelede liceu, unghiul dintre planul P si dreapta D este unghiul ϕ dintre D si D′.

Unghiul θ dintre vectorii a si n este legat de unghiul ϕ prin relatia θ+ϕ = 90 sau prin relatia θ = 90+ϕ.Unghiul dintre dreapta orientata (D, a) si planul orientat (P, n) este unghiul ϕ ∈

[−π

2 ,π2

], definit prin

formula

sinϕ =〈n, a〉||n|| ||a||

=a`+ bm+ cn√

a2 + b2 + c2√`2 +m2 + n2

.

Dreapta D este paralela cu planul P (caz particular, D ⊂ P ) daca si numai daca 〈n, a〉 = 0 sau a`+bm+cn =0.

Dreapta D este perpendiculara pe planul P daca si numai daca vectorii n si a sunt coliniari, adica n× a = 0

saua

`=

b

m=c

n.

5.2 Distante ın spatiu

In acest paragraf ne propunem sa gasim formule pentru determinarea urmatoarelor distante: distanta de laun punct la o dreapta, distanta de la un punct la un plan si distanta dintre doua drepte.

- 44-

Page 45: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

5.2.1 Distanta de la un punct la o dreapta

Fie dreapta D de ecuatii canonicex− x0

`=y − y0m

=z − z0n

.

Aceasta dreapta contine punctul M0(x0, y0, z0) si are vectorul director a(`,m, n). Fie A un punct din E3 si A′

proiectia sa pe dreapta D (vezi fig. 39).Lungimea segmentului [AA′] este distanta de la punctul A la dreapta D si se noteaza d(A,D). Din formula

care da aria paralelogramului construit pe reprezentantii vectorilor a si M0A obtinem distanta de la punctulA la dreapta D:

d(A;D) =

∣∣∣∣a×M0A∣∣∣∣

||a||.

Evident, d(A,D) = infM∈D

(A,M).

Fig. 39 Fig. 40

5.2.2 Distanta de la un punct la un plan

Consideram planul P de ecuatie ax + by + cz + d = 0 si un punct M0(x0, y0, z0), exterior planului. Notam cuM1(x1, y1, z1) proiectia lui M0 pe planul P (figura 17). Distanta de la punctul M0 la planul P este ||M1M0 ||si se noteaza cu d(M0, P ).

Folosind produsul scalar dintre vectorul normal la plan n(a, b, c) si vectorul

M1M0= (x0 − x1)ı+ (y0 − y1)+ (z0 − z1)k,

efectuat ın cele doua moduri posibile (algebric si sintetic), gasim

a(x0 − x1) + b(y0 − y1) + c(z0 − z1) = ±√a2 + b2 + c2 d(M0, P ).

Pe de alta parte, apartenenta M1 ∈ P implica ax1 + by1 + cz1 + d = 0. Inlocuind pe −ax1 − by1 − cz1 = dsi luand modulul ın ambele parti, deducem formula

d(M0, P ) =|ax0 + by0 + cz0 + d|√

a2 + b2 + c2.

Evident, d(M0, P ) = infM∈P

d(M0,M).

Cum formula distantei de mai sus este chiar ecuatia normalizata a planului P calculata ın punctulM0(x0, y0, z0),deducem ca ın cazul ın care planul este dat prin ecuatia sa normala, x cosα ı + y cosβ + z cos γ k − p = 0,distanta de la punctul M0 la planul P este data de

d(M0, P ) = | x0 cosα+ y0 cosβ + z0 cos γ − p |.

- 45-

Page 46: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

5.2.3 Perpendiculara comuna a doua drepte oarecare din spatiu

Doua drepte din spatiu pot fi confundate, paralele, concurente sau oarecare. Pentru doua drepte D1 si D2 careadmit pe a1, respectiv a2 ca vectori directori, exista o directie normala comuna unica n = a1× a2 daca si numaidaca dreptele D1 si D2 sunt oarecare sau concurente. In acest caz exista o dreapta si numai una care se sprijinasimultan pe cele doua drepte si avand directia n (vezi fig. 41), numita perpendiculara comuna a dreptelorD1 si D2.

Pentru a stabili ecuatiile perpendicularei comune D, observam ca aceasta dreapta apare ca intersectia adoua plane: planul P1 care contine dreapta D1 si vectorul n si planul P2 care contine dreapta D2 si vectoruln. Presupunand ca D1 si D2 contin punctele M1, respectiv M2 si ca N este punctul curent ın P1, iar M estepunctul curent ın P2, ecuatiile perpendicularei comune sunt

D :〈M1N, a1 × n

⟩= 0

〈M2M, a2 × n⟩

= 0.

Ecuatiile ın R3 ale perpendicularei comune se obtin exprimand vectorii M1N , a1, M2M , a2 si n ın raportcu baza ortonormata ı, , k si utilizand expresia canonica a produsului mixt.

Fig. 41 Fig. 42

5.2.4 Distanta dintre doua drepte

Fie doua drepte D1 si D2 descrise de punctele M , respectiv N . Numarul inf d(M,N) se numeste distantadintre dreptele D1 si D2 si se noteaza cu d(D1, D2). Din considerente geometrice rezulta ca d(D1, D2) se aflaastfel:

1) daca dreptele D1 si D2 sunt concurente, atunci d(D1, D2) = 0;2) daca D1||D2, atunci prin M0 ∈ D1 se duce un plan perpendicular pe D1 care taie pe D2 ın N0 si avem

d(D1, D2) = d(M0, N0);3) daca D1 si D2 sunt oarecare, atunci d(D1, D2) = ||AB||, unde punctele A si B reprezinta intersectia

dintre perpendiculara comuna D si dreptele D1, respectiv D2 (vezi fig. 42).Distanta dintre dreptele oarecare D1 si D2 se mai poate afla astfel:- prin dreapta D1 ducem un plan P paralel cu dreapta D2;- pe dreapta D2 selectam un punct M2;- calculam d(M2, P ) = d(D1, D2).Figura 42 arata ca distanta dintre dreptele D1 si D2 este lungimea ınaltimii paralelipipedului construit pe

vectorii M1M2, a1 si a2. Din semnificatia produsului mixt rezulta

d(D1, D2) =|〈M1M2, a1 × a2〉|

||a1 × a2||.

In termeni de analiza matematica putem scrie

d(D1, D2) = infM1∈D1M2∈D2

d(M1,M2).

Exemple:1) Rotatia ın jurul lui Oz (figura 3). In reperul cartezian O, ı, , k consideram rotatia R de axa Oz si de

unghi θ.

- 46-

Page 47: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 43

Din figura rezulta:ı ′ = R(ı) = ı cos θ + sin θ;

′ = R() = −ı sin θ + cos θ;

k′ = R(k) = k.

Astfel, din relatia x′ ı ′ + y′ ′ + z′k′ = xı+ y+ zk, gasim ecuatiile

R :

x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θz = z′.

Evident, determinantul matricei lui R este de 1, deci R este o izometrie pozitiva. In particular, o rotatie ınplanul xOy, de unghi θ, ın jurul originii este caracterizata prin ecuatiile

x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ.

Dintre izometriile ın plan retinem roto-translatia (vezi fig. 44), caracterizata prin ecuatiilex = x′ cos θ − y′ sin θ + ay = x′ sin θ + y′ cos θ + b.

Fig. 44 Fig. 45

2) Simetria fata de un plan (vezi fig. 45). Fie reperul ortonormat O; ı, , k si S simetria ın raport cu planul(O; ı, ). Avem relatiile:

ı ′ = S (ı)ı; ′ = S() = ; k′ = S(k) = −k.

Astfel, din xı+ y+ zk = x′ ı ′ + y′ ′ + z′k′, gasim ecuatiile

S : x = x′, y = y′, z = −z′

sau scris matriceal, xyz

=

1 0 00 1 00 0 −1

x′

y′

z′

.

Determinantul matricei S este −1, deci S este o izometrie negativa.

- 47-

Page 48: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

5.3 Exercitii/probleme rezolvate

1. Aflati perpendiculara comuna a dreptelor ∆1 :x− y = 2x+ z = 3 si ∆2 : 2x−1

3 = y+10 = 1− z.

Solutie. Metoda I. Ecuatiile carteziene ale celor doua drepte sunt: ∆1: x−01 = y+2

1 = z−3−1 si respectiv

∆2 : x− 12

32

= y+10 = z−1

−1 , deci vectorii lor directori sunt v1 ≡ (1, 1,−1), respectiv v2 ≡(

32 , 0,−1

).

Perpendiculara comuna a celor doua drepte are directia data de vectorul liber

u = v1 × v2 =

∣∣∣∣∣∣ı k1 1 −132 0 −1

∣∣∣∣∣∣ ≡(−1,−1

2,−3

2

).

Fie π∗ planul ce trece prin ∆1 (deci contine un punct al dreptei ∆1, de exemplu A(0,−2, 3) ∈ ∆1 si directialui ∆1, data de v1 ≡ (1, 1,−1)) si care contine directia perpendicularei comune celor doua drepte, data den ≡

(−1,− 1

2 ,−32

). Atunci:

π∗ :

∣∣∣∣∣∣x− 0 y + 2 z − 3

1 1 −1−1 − 1

2 − 32

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ −4x+ 5y + z + 17 = 0.

Un punct A′ al perpendicularei comune se afla la intersectia lui π∗ cu ∆2,

A′ = ∆2 ∩ π∗ :

2x−13 = y+1

0 = 1− z−4x+ 5y + z + 3 = 0

y = −12x+ 3z = 4−4x+ 5y + z = −3

x = − 17

y = −1z = 10

7 ,

deci A′(− 1

7 ,−1, 107

).

Perpendiculara comuna ∆⊥ contine punctul A′(− 1

7 ,−1, 107

)si are directia n ≡

(−1,− 1

2 ,−32

). Atunci:

∆⊥ :x+ 1

7

−1=y + 1− 1

2

=z − 10

7

− 32

⇔ 7x+ 1−7

=2y + 2−1

=14z − 20−21

.

Metoda II. Fie v⊥ = v1 × v2 vectorul liber care da directia perpendicularei comune. Perpendiculara comunaa dreptelor ∆1 si ∆2 se afla la intersectia dintre planul π1 = π∗ ce trece prin ∆1 si este paralel cu v⊥ (veziMetoda I) si planul π2 ce trece prin ∆2 si este paralel cu v⊥.

Planul π2 va contine un punct al dreptei ∆2 (consideram B( 12 ,−1, 1) ∈ ∆2), directia lui ∆2 data de

v2 ≡ ( 32 , 0,−1) si directia data de perpendiculara comuna a lui ∆1 si ∆2, deci de v⊥ = (−1,− 1

2 ,−32 ).

Atunci

π2 :

∣∣∣∣∣∣x− 1/2 y + 1 z − 1

32 0 −1−1 − 1

2 − 32

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ π2 : −2x+ 13y − 3z + 17 = 0.

In concluzie, avem

∆⊥ = π1 ∩ π2 :−4x+ 5y + z + 7 = 0−2x+ 13y − 3z + 17 = 0.

Metoda III. Folosind ecuatiile parametrice ale celor doua drepte, consideram punctele

C1(t) = (t, t− 2,−t+ 3) ∈ ∆1, t ∈ R, C2(s) = (3/2s+ 1/2,−1,−s+ 1) ∈ ∆2, s ∈ R.

Segmentul [C1(t)C2(s)] este inclus ın perpendiculara comuna ∆1 a celor doua drepte doar ın situatia ın carevectorul w = C1(t)C2(s) ≡ ( 3s+1

2 − t,−t+ 1,−s+ t− 2) este ortogonal pe cei doi vectori directori v1 si v2.Aceasta conditie se rescrie

w⊥v1w⊥v2

⇔〈w, v1〉 = 0〈w, v2〉 = 0 ⇔

−6t+ 5s+ 7 = 0−10t+ 13s+ 11 = 0 ⇔

t = 9/7s = 1/7.

Punctele corespunzatoare celor doua valori obtinute pentru s si t sunt respectiv

B1 = C1

(97

)=(

97,−5

7,127

)∈ ∆1, B2 = C2

(17

)=(

57,−1,

67

)∈ ∆2.

- 48-

Page 49: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Acestea sunt picioarele perpendicularei comune ∆⊥, iar dreapta B1B2 este exact perpendiculara comuna.Obtinem

∆⊥ :x− 5/7

4/7=y + 12/7

=z − 6/7

6/7⇔ 7x− 5

4=

7y + 72

=7z − 6

6.

Se observa ca prin aceasta metoda putem calcula usor si distanta dintre cele doua drepte. Deoarece B1 ∈ ∆1

si B2 ∈ ∆2 sunt picioarele perpendicularei comune, avem

d(∆1,∆2) = d(B1, B2) =

√(97− 5

7

)2

+(−5

7+ 1)2

+(

127− 6

7

)2

=2√

147

.

Metoda IV. Consideram doua puncte C1(t) ∈ ∆1 si C2(s) ∈ ∆2 si functia f(s, t) = ||−−−−−−−→C1(t)C2(s)||2, s, t ∈ R.

Distanta dintre cele doua drepte este data de valoarea minima a functiei f cand s, t ∈ R. Avem

f(s, t) = (3s+12 − t)2 + (−t+ 1)2 + (−s+ t− 2)2 =

= 134 · s2 − 3t2 − 5st+ 11

2 · s− 7t+ 214 .

Punctele critice (s, t) ∈ R2 ale functiei f (care contin punctul de minim) se afla rezolvand sistemul∂f

∂s= 0

∂f

∂t= 0

132 s− 5t+ 11

2 = 06t− 5s− z = 0 ⇔

s = 1/7t = 9/7,

solutie unica (v. valorile obtinute prin metoda III). In continuare, pentru a determina perpendiculara comunaa dreptelor ∆1 si ∆2 se procedeaza analog cu Metoda III.

5.4 Exercitii/probleme rezolvate

5.4.1 Enunturi

1. Se dau planele π1 : x− 3y = 1, π2 : 2y + z = 2 si dreptele

∆1 :x− y = 2x+ z = 3 , ∆2 : 2x−1

3 = y+10 = 1− z.

a) Sunt dreptele ∆1 si ∆2 paralele ? Dar concurente ? Dar perpendiculare ?b) Sunt planele π1 si π2 paralele ? Dar concurente ? Dar perpendiculare ?

2. Se dau planele π1 : x− 3y = 1, π2 : 2y + z = 2, π : y − z = 1 si dreptele

∆1 :x− y = 2x+ z = 3 , ∆2 : 2x−1

3 = y+10 = 1− z, ∆ : x−1

−1 = y2 = z+1

5 .

Aflati unghiurile:a) dintre dreptele ∆1 si ∆2;b) dintre dreapta ∆ si planul π;c) dintre planele π1 si π2.

3. Se dau punctele A(1, 2, 3), B(−1, 0, 1), planul π : y − z = 1 si dreapta ∆ : x−1−1 = y

2 = z+15 . Aflati distantele:

a) dintre punctele A si B;b) dintre punctul A si dreapta ∆;c) dintre punctul A si planul π.

4. Se dau: punctul A(1, 2, 3), planul π : y − z = 1 si dreapta ∆ : x−1−1 = y

2 = z+15 . Aflati proiectiile:

a) proiectia punctului A pe planul π;b) proiectia punctului A pe dreapta ∆;c) proiectia dreptei ∆ pe planul π (tema).

5. Se dau punctele A(1, 2, 3), B(−1, 0, 1), planul π : y−z = 1, si dreapta ∆ : x−1−1 = y

2 = z+15 . Aflati simetricele:

a) simetricul punctului A fata de punctul B;

- 49-

Page 50: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

b) simetricul punctului A fata de dreapta ∆;c) simetricul punctului A fata de planul π;d) simetrica dreptei ∆ fata de planul π.

6. Aflati perpendiculara comuna a dreptelor ∆1 :x− y = 2x+ z = 3 si ∆2 : 2x−1

3 = y+10 = 1− z.

7. Aflati distanta dintre dreptele ∆1 :x− y = 2x+ z = 3 si ∆2 : 2x−1

3 = y+10 = 1− z.

5.4.2 Solutii

1. a) Pentru a determina pozitia relativa a dreptelor ∆1 si ∆2, rezolvam sistemul determinat de cele 2 + 2ecuatii ale acestora:

x− y = 2, x+ z = 3

2x+ 3z = 4, y = −1.

Se observa ca sistemul este incompatibil, deci intersectia lor este multimea vida. Vectorii directori ai dreptelor∆1 : x

1 = y+21 = z−3

−1 si ∆2 : x− 12

32

= y+10 = z−1

−1 sunt respectiv v1 = (1, 1,−1) si v2 =(

32 , 0,−1

). In

urma calculelor rezulta v1 × v2 =(−1,− 1

2 ,−32

)6= 0E3 , deci dreptele ∆1 si ∆2 nu sunt paralele. Deoarece

〈v1, v2〉 = 52 6= 0, rezulta ca dreptele ∆1 si ∆2 nu sunt perpendiculare.

b) Planele π1 : x − 3y = 1 si π2 : 2y + z = 2 au vectorii normali n1 = (1,−3, 0), respectiv n2 = (0, 2, 1).Deoarece n1 × n2 = (−3,−1, 2) 6= 0, cele doua plane nu sunt nici paralele, nici confundate, deci intersectia loreste o dreapta ∆∗ ale carei puncte satisfac sistemul de ecuatii:

x− 3y − 1 = 02y + z − 2 = 0.

Se observa ca sistemul este compatibil simplu nedeterminat, deci π1 si π2 se intersecteaza dupa o dreapta.Deoarece 〈n1, n2〉 = −6 6= 0, rezulta ca cele doua plane nu sunt perpendiculare.

2. a) Considerand x necunoscuta secundara ın sistemulx− y = 2x+ z = 3 , obtinem solutiile:

x = ty = −2 + tz = 3− t

, t ∈ R,

de unde, explicitand t ın fiecare din cele trei relatii, rezulta ecuatiile carteziene ale dreptei ∆1 : x−01 = y+2

1 =z−3−1 = t, deci un vector director al dreptei ∆1 este v1 = i+ j − k ≡ (1, 1,−1).

Ecuatiile carteziene ale dreptei ∆2 sunt ∆2 :x− 1

232

=y + 1

0=z − 1−1

, deci aceasta admite drept vector director

v2 ≡(

32 , 0,−1

). Avem

cos(∆1,∆2) = cos(v1, v2) =〈v1, v2〉‖v1‖ ‖v2‖

=32 + 0 + 1√

3 ·√

134

=5√

3939

,

si deci (∆1,∆2) = arccos 5√

3939 ∈

(0, π

2

).

b) Se observa ca un vector director al dreptei ∆ : x−1−1 = y

2 = z+15 este v1 ≡ (−1, 2, 5), iar un vector normal la

planul π : y − z = 1 este n ≡ (0, 1,−1). Fie α unghiul dintre dreapta ∆ si planul π. Avem

sinα =〈v, n〉‖v‖ ‖n‖

=−3√

30 ·√

2= −

√15

10,

deci α = arcsin −√

1510 = − arcsin

√15

10 ∈(−π

2 , 0).

c) Se observa ca doi vectori normali la planele π1 : x− 3y = 1 si π2 : 2y + z = 2 sunt respectiv n1 = (1,−3, 0)si n2 = (0, 2, 1). Fie θ unghiul dintre cele doua plane. Atunci:

cos θ = cos(n1, n2) =〈n1, n2〉‖n1‖ ‖n2‖

=−6√

10 ·√

5= − 6

5√

2,

- 50-

Page 51: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

deci θ = π − arccos 65√

2∈(

π2 , π

).

3. a) Avem d(A,B) =√

(−1− 1)2 + (0− 2)2 + (1− 3)2 =√

12 = 2√

3.b) Dreapta ∆ : x−1

−1 = y2 = z+1

5 admite drept vector director v ≡ (−1, 2, 5) si contine punctul C(1, 0,−1)

obtinut anuland numaratorii fractiilor. Atunci d(A,∆) = ‖AC×v‖‖v‖ . Dar AC ≡ (0,−2,−4), deci AC × v =∣∣∣∣∣∣

i j k0 −2 −4−1 2 5

∣∣∣∣∣∣ ≡ (2,−4, 2). Rezulta∥∥AC × v

∥∥ =√

24 = 2√

6; ‖v‖ =√

30, deci d(A,∆) = 2√

6√30

= 2√

55 .

c) Planul π are ecuatia y − z − 1 = 0. Distanta de la punctul A(1, 2, 3) la π este d (A, π) = |0·1+1·2+(−1)·3−1|√02+12+(−1)2

=2√2

=√

2.

4. Din oficiu: 1pt. a) Planul π este dat de ecuatia π : y − z = 1, deci un vector normal la plan este

n ≡ (0, 1,−1) (1 pt.) . Proiectia punctului A pe planul π este punctul B de intersectie al perpendiculareid dusa din A pe π. Dreapta ∆ ce trece prin A(1, 2, 3) si are vectorul director n ≡ (0, 1,−1) are ecuatiile

∆ :x− 1

0=y − 2

1=z − 3−1

(1 pt.) .

Coordonatele punctului B le aflam rezolvand sistemul:

B = π ∩ ∆ :

x−10 = y−2

1 = z−3−1

y − z = 1⇔

x = 1y + z = 5y − z = 1

x = 1y = 3z = 2.

Rezulta B(1, 3, 2) (1 pt.) .

b) Se observa ca dreapta ∆ :x− 1−1

=y

2=z + 1

5are vectorul director v ≡ (−1, 2, 5) (0,5 pt.) . Planul ce

trece prin punctul A si este perpendicular pe dreapta ∆ are ecuatia:

π0 : −1(x− 1) + 2(y − 2) + 5(z − 3) = 0 ⇔ x− 2y − 5z + 18 = 0 (1 pt.) .

Proiectia A′ a punctului A pe dreapta ∆ se afla rezolvand sistemul:

A′ = π0 ∩ d :x− 2y − 5z + 18 = 0x−1−1 = y

2 = z+15 ,

de unde rezulta A′(

15 ,

85 , 3)

(1 pt.) .

c) Determinam planul π∗ ce trece prin ∆ : x−1−1 = y

2 = z+15 si este perpendicular pe π : y − z = 1. Acesta

va contine punctul C(1, 0,−1) ∈ ∆ (0,5 pt.) , vectorul director v ≡ (−1, 2, 5) al dreptei ∆ (0,5 pt.) si

vectorul n ≡ (0, 1,−1) normal la π (0,5 pt.) , deci

π∗ :

∣∣∣∣∣∣x− 1 y z + 1−1 2 50 1 −1

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ 7x+ y + z = 6, (1 pt.) .

Astfel gasim proiectia ∆′ = π ∩ π∗:y − z = 17x+ y + z = 6 (1 pt.) Total: 10pt. .

5. a) Fie A′(x0, y0, z0) simetricul punctului A(1, 2, 3) fata de B. Deoarece B este mijlocul segmentului [AA′],avem

xB =xA + xA′

2, yB =

yA + yA′

2, zB =

zA + zA′

2,

deci x0+12 = −1, y0+2

2 = 0, z0+32 = 1, de unde rezulta A′(−3,−2,−1).

b) Fie A′ proiectia punctului A(1, 2, 3) pe dreapta ∆, deci A′ este piciorul perpendicularei dusa din punctulA(1, 2, 3) pe dreapta ∆ : x−1

−1 = y2 = z+1

5 . Planul π∗ ce trece prin A si este perpendicular pe ∆ are ecuatia

π∗ : −1(x− 1) + 2(y − 2) + 5(z − 3) = 0 ⇔ x− 2y − 5z + 18 = 0

- 51-

Page 52: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Coordonatele punctului A′ = π∗∩∆ le aflam rezolvand sistemul A′ :x− 2y − 5z + 18 = 0x−1−1 = y

2 = z+15 ,

de unde rezulta

A′(

15 ,

85 , 3). Simetricul punctului A fata de dreapta ∆ este simetricul lui A fata de A′, deci are coordonatele

A′′(− 3

5 ,65 , 3).

c) Fie A′′ simetricul lui A fata de planul π. Pentru a gasi pe A′, scriem mai ıntai ecuatiile dreptei ∆∗ ce treceprin A′ si este perpendiculara pe π,

∆∗ :x− 1

0=y − 2

1=z − 3−1

.

Intersectia A′ = ∆∗ ∩ π :

x = 1y + z = 5y − z = 1

conduce la prπA = A′(1, 3, 2). Coordonatele lui A′′ se gasesc

observand ca A′ este mijlocul lui AA′′. Astfel, din relatiile 1+xA′′2 = 1, 2+yA′′

2 = 3, 3+zA′′2 = 2, rezulta A′′(1, 4, 1).

d) Ecuatiile parametrice ale dreptei ∆ : x−1−1 = y

2 = z+15 = t sunt ∆ : (x, y, z) =

(1− t, 2t,−1 + 5t), t ∈ R. Pentru t = 0 si t = 1 obtinem punctele E(1, 0,−1), respectiv F (0, 2, 4) ale dreptei ∆.Analog cu punctul c), gasim simetricele E′′ si F ′′ ale punctelor E, respectiv F fata de planul π : y − z = 1.Observam ca E ∈ π, deci E′′ = E(1, 0,−1). Dupa calcule, obtinem F ′′(0, 5, 1). Simetrica dreptei ∆ fata deplanul π este dreapta ∆∗ ce trece prin E′′(1, 0,−1) si F ′′(0, 5, 1).

∆∗ :x− 10− 1

=y − 05− 0

=z + 11 + 1

⇔ ∆∗ :x− 1−1

=y

5=z + 1

2.

6. Metoda I. Ecuatiile carteziene ale celor doua drepte sunt: ∆1: x−01 = y+2

1 = z−3−1 (vezi ex. 8a), respectiv

∆2 : x− 12

32

= y+10 = z−1

−1 , deci vectorii lor directori sunt v1 ≡ (1, 1,−1), respectiv v2 ≡(

32 , 0,−1

).

Perpendiculara comuna a celor doua drepte are directia data de vectorul liber

u = v1 × v2 =

∣∣∣∣∣∣i j k1 1 −132 0 −1

∣∣∣∣∣∣ ≡(−1,−1

2,−3

2

).

Fie π∗ planul ce trece prin ∆1 (deci contine un punct al dreptei ∆1, de exemplu A(0,−2, 3) ∈ ∆1 si directialui ∆1, data de v1 ≡ (1, 1,−1)) si care contine directia perpendicularei comune celor doua drepte, data den ≡

(−1,− 1

2 ,−32

). Atunci:

π∗ :

∣∣∣∣∣∣x− 0 y + 2 z − 3

1 1 −1−1 − 1

2 − 32

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ −4x+ 5y + z + 17 = 0.

Un punct A′ al perpendicularei comune se afla la intersectia lui π∗ cu ∆2,

A′ = ∆2 ∩ π∗ :

2x−1

3 = y+10 = 1− z

−4x+ 5y + z + 3 = 0⇔

y = −12x+ 3z = 4−4x+ 5y + z = −3

x = − 17

y = −1z = 10

7 ,

deci A′(− 1

7 ,−1, 107

).

Perpendiculara comuna ∆⊥ contine punctul A′(− 1

7 ,−1, 107

)si are directia n ≡

(−1,− 1

2 ,−32

). Atunci:

∆⊥ :x+ 1

7

−1=y + 1− 1

2

=z − 10

7

− 32

⇔ 7x+ 1−7

=2y + 2−1

=14z − 20−21

.

Metoda II. Fie v⊥ = v1 × v2 vectorul liber care da directia perpendicularei comune. Perpendiculara comunaa dreptelor ∆1 si ∆2 se afla la intersectia dintre planul π1 = π∗ ce trece prin ∆1 si este paralel cu v⊥ (veziMetoda I) si planul π2 ce trece prin ∆2 si este paralel cu v⊥.

Planul π2 va contine un punct al dreptei ∆2 (consideram B( 12 ,−1, 1) ∈ ∆2), directia lui ∆2 data de v2 ≡

( 32 , 0,−1) si directia data de perpendiculara comuna a lui ∆1 si ∆2, deci de v⊥ = (−1,− 1

2 ,−32 ).

- 52-

Page 53: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Atunci

π2 :

∣∣∣∣∣∣x− 1/2 y + 1 z − 1

3/2 0 −1−1 −1/2 −3/2

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ π2 : −2x+ 13y − 3z + 17 = 0.

In concluzie, avem

∆⊥ = π1 ∩ π2 :

−4x+ 5y + z + 7 = 0

−2x+ 13y − 3z + 17 = 0.

Metoda III. Folosind ecuatiile parametrice ale celor doua drepte, consideram punctele

C1(t) = (t, t− 2,−t+ 3) ∈ ∆1, t ∈ R, C2(s) = (3/2s+ 1/2,−1,−s+ 1) ∈ ∆2, s ∈ R.

Segmentul C1(t)C2(s) este inclus ın perpendiculara comuna ∆1 a celor doua drepte doar ın situatia ın carevectorul w = C1(t)C2(s) ≡ ( 3s+1

2 − t,−t+ 1,−s+ t− 2) este ortogonal pe cei doi vectori directori v1 si v2.Aceasta conditie se rescrie

w⊥v1w⊥v2

⇔〈w, v1〉 = 0〈w, v2〉 = 0 ⇔

−6t+ 5s+ 7 = 0−10t+ 13s+ 11 = 0 ⇔

t = 9/7s = 1/7.

Punctele corespunzatoare celor doua valori obtinute pentru s si t sunt respectiv

B1 = C1

(97

)=(

97,−5

7,127

)∈ ∆1, B2 = C2

(17

)=(

57,−1,

67

)∈ ∆2.

Acestea sunt picioarele perpendicularei comune ∆⊥, iar dreapta B1B2 este exact perpendiculara comuna.Obtinem

∆⊥ :x− 5/7

4/7=y + 12/7

=z − 6/7

6/7⇔ 7x− 5

4=

7y + 72

=7z − 6

6.

Se observa ca prin aceasta metoda putem calcula usor si distanta dintre cele doua drepte. Deoarece B1 ∈ ∆1

si B2 ∈ ∆2 sunt picioarele perpendicularei comune, avem

d(∆1,∆2) = d(B1, B2) =

√(97− 5

7

)2

+(−5

7+ 1)2

+(

127− 6

7

)2

=2√

147

.

Metoda IV. Consideram doua puncte C1(t) ∈ ∆1 si C2(s) ∈ ∆2 si functia f(s, t) = ||−−−−−−−→C1(t)C2(s)||2, s, t ∈ R.

Distanta dintre cele doua drepte este data de valoarea minima a functiei f cand s, t ∈ R. Avem

f(s, t) = (3s+12 − t)2 + (−t+ 1)2 + (−s+ t− 2)2 =

= 134 · s2 − 3t2 − 5st+ 11

2 · s− 7t+ 214 .

Punctele critice (s, t) ∈ R2 ale functiei f (care contin punctul de minim) se afla rezolvand sistemul∂f∂s = 0∂f∂t = 0

132 s− 5t+ 11

2 = 0

6t− 5s− z = 0⇔

s = 1/7

t = 9/7,

solutie unica (v. valorile obtinute prin metoda III). In continuare, pentru a determina perpendiculara comunaa dreptelor ∆1 si ∆2 se procedeaza analog cu Metoda III.

7. Vectorii directori ai dreptelor ∆1: x−01 = y+2

1 = z−3−1 si ∆2 : x− 1

232

= y+10 = z−1

−1 sunt v1 ≡ (1, 1,−1), respectiv

v2 ≡(

32 , 0,−1

), iar doua puncte de pe aceste drepte sunt A1(0,−2, 3), respectiv A2

(12 ,−1, 1

). Atunci:

d(∆1,∆2) =|〈A1A2, v1 × v2〉|

||v1 × v2||=

∣∣⟨( 12 , 1,−2

),(−1,− 1

2 ,−32

)⟩∣∣∥∥(−1,− 12 ,−

32

)∥∥ =

=| 12 · (−1) + 1 ·

(− 1

2

)+ (−2) ·

(− 3

2

)|

√14/2

= 2√

147 .

- 53-

Page 54: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

5.5 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare

1. Sa se calculeze unghiul dintre dreptele:

D1 :x− 1

1=y + 2

4=z

1; D2 :

x

−1=y

8=z

1

si sa se scrie ecuatia planului determinat de aceste drepte. Indicatie. D1 ∩D2 =(

12,−4,−1

2

).

2. Se dau punctele A(1, 3, 2), B(−1, 2, 1), C(0, 1,−2), D(2, 0,−1) si planul de ecuatie P : 2x+ y − z − 1 = 0.Sa se afle care dintre puncte se gasesc de aceeasi parte cu originea axelor de coordonate fata de planul dat.

3. Sa se scrie ecuatiile perpendicularei comune dreptelor:

D1 :x− 1−1

=y + 2

4=z

1; D2 :

x

3=y

1=z − 1

1

si sa se calculeze distanta dintre D1 si D2.

4. Fie dreptele:

D1 :x− 1

2=y + 1

3=z

α; D2 :

x− 22

=y

2=z + 1α

.

a) Sa se determine α astfel ıncat dreptele D1 si D2 sa fie concurente si sa se scrie ecuatia planului P ın care seafla aceste drepte.b) Sa se calculeze d(M0, P ), unde M0(5,−4, 1).Indicatie. a) Sistemul format din cele patru ecuatii are solutie unica sau lungimea perpendicularei comune este0.

- 54-

Page 55: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MB.6.Schimbari de repere ın spatiu

Cuvinte cheie: translatia reperului cartezian, rotatia reperului cartezian,rotatie, simetrie

Multimea izometriilor formeaza un grup. Cu ajutorul acestui grup, se introduce notiunea de congruenta afigurilor din spatiul punctual E3. Izometriile de baza sunt rotatia, simetria ın raport cu un plan, simetria ınraport cu un punct si translatia.

Rotatia si simetriile se mai numesc transformari ortogonale. Pe V3 ele sunt aplicatii liniare date prin matriceortogonale.

Orice izometrie este de forma I = T R, unde T este o translatie, iar R este o transformare ortogonala.Fie I = T R izometria care muta reperul R = O; ı, , k ın reperul R′ = O′, ı′, ′, k′. Izometria I se

numeste pozitiva (deplasare) daca baza ı′, ′, k′ este orientata pozitiv si negativa (antideplasare) ın caz contrar.Principalele izometrii pozitive sunt translatiile si rotatiile, iar principalele izometrii negative sunt simetria

ın raport cu un plan si simetria ın raport cu un punct (ın V3).

6.1 Translatia reperului cartezian

Translatia unui reper cartezian Oxyz este deplasarea reperului astfel ıncat axele noului reper O′x′y′z′ saramana paralele si de acelasi sens cu axele vechi (vezi fig. 46).

Fig. 46

Prin urmare, reperul O; ı, , k supus translatiei T devine O′; ı′, ′, k′, unde O′(a, b, c) si

O′ = T (O), ı ′ = T (ı) = ı, ′ = T () = , k′ = T (k) = k.

Ne propunem sa stabilim relatiile ıntre coordonatele x, y si z ale punctului M raportat la reperul Oxyz sicoordonatele x′, y′ si z′ ale aceluiasi punct raportat la reperul translatat O′x′y′z′.

55

Page 56: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Se observa ca OM=OO′ + O′M . Raportand la baza ı, , k, aceasta relatie vectoriala devine

xı+ y+ zk = aı+ b+ ck + x′ ı+ y′+ z′k,

de unde obtinem ecuatiile carteziene ale translatiei T

T :

x′ = x− a

y′ = y − b

z′ = z − c.

.

Scrierea matriceala a acestor ecuatii este x′

y′

z′

=

xyz

abc

xyz

=

x′

y′

z′

+

abc

.

Evident, translatia este o izometrie pozitiva.

Caz particular. Translatia ın planul xOy este descrisa de ecuatiile

T :

x′ = x− a

y′ = y − b.

6.2 Rotatia reperului cartezian

Analizam trecerea de la reperul cartezian O; ı, , k la reperul cartezian O; ı ′, ′, k′, care au originea comunaO (figura 2). Cunoscand coordonatele versorilor ı ′, ′ si k′ ın raport cu baza ı, , k si coordonatele (x, y, z)ale punctului M ın raport cu primul reper, ne propunem sa gasim coordonatele x′, y′, z′ ale lui M ın raport cual doilea reper.

Fig. 47

Observam ca o asemenea schimbare de reper ın E3 este echivalenta cu trecerea de la baza ortonormataı, , k la baza ortonormata ı ′, ′, k′ din V3. De aceea, ın baza rationamentelor anterioare avem:

ı ′ = R(ı) = 〈ı ′, ı〉ı+ 〈ı ′, 〉+ 〈ı ′, k〉k

′ = R() = 〈 ′, ı〉ı+ 〈 ′, 〉+ 〈 ′, k〉k

k′ = R(k) = 〈k′, ı〉ı+ 〈k′, 〉+ 〈k′, k〉k.

Notam a11 = 〈ı ′, ı〉, a21 = 〈ı ′, 〉, a31 = 〈ı ′, k〉, a12 = 〈 ′, ı〉, a22 = 〈 ′, 〉, a32 = 〈 ′, k〉, a13 = 〈k′, ı〉,a23 = 〈k′, 〉, a33 = 〈k′, k〉 si

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

.

- 56-

Page 57: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Matricea A este matricea de trecere de la baza ı, , k la baza ı ′, ′, k′ si este o matrice ortogonala.Intr-adevar, ı ′, ′ si k′ fiind versori (coordonatele lor sunt cosinusuri directoare) reciproc ortogonali, deducemA tA = tAA = I, adica tA = A−1.

Rezulta ca trecerea de la baza ortonormata ı, , k la baza ortonormata ı ′, ′, k′ se face cu ajutorulmatricei ortogonale A, iar trecerea inversa se face cu tA.

Pentru a stabili relatia de legatura ıntre coordonatele x, y, z ale punctului M raportat la sistemul Oxyz sicoordonatele x′, y′, z′ ale aceluiasi punct raportat la sistemul rotitOx′y′z′, observam caOM |Oxyz =OM |Ox′y′z′

sau echivalent,

xı+ y+ zk = x′ ı ′ + y′ ′ + z′k′.

Inlocuind pe ı ′, ′, k′ si identificand dupa ı, si k, gasim ecuatia matriceala xyz

= A

x′

y′

z′

, (6.1)

sau, echivalent x′

y′

z′

= tA

xyz

.

Pe de alta parte, aceste ecuatii caracterizeaza o izometrie care pastreaza originea. O astfel de izometrie este otransformare ortogonala R. Deoarece 〈ı ′, ′, k′〉 = detA, rezulta ca izometria R este pozitiva daca detA = 1(rotatie, deci ecuatiile (6.1) descriu o rotatie a reperului cartezian) si negativa daca detA = −1 (rotatie sisimetrie).

6.3 Problema rezolvata

Aflati ecuatiile roto-translatiei de reper cartezian ın R3, cu translatia de vector v = k− 3i urmata de rotatia deaxa Oz si unghiul θ = −3π/4.

Solutie. Din oficiu: 1pt. Identificam vectorul translatiei cu tripletul componentelor sale relativ la baza

i, j, k, v ≡ (−3, 0, 1) (1 pt.) . Calculam cos θ = −√

2/2 si sin θ = −√

2/2 (2 pt.) . Formulele roto-translatiei cerute au forma generica

X → X ′ : X = X ′ + v

X ′ → X ′′ : X ′ = CX ′′, (3 pt.) (6.2)

unde matricea de rotatie C este data de

C =

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

=

−√

2/2√

2/2 0−√

2/2 −√

2/2 00 0 1

. (1 pt.)

Prin urmare, relatia (6.2) se rescrie X = CX ′′ + v (1 pt.) , avand ın cooronate forma explicita:

xyz

=

−√

2/2√

2/2 0−√

2/2 −√

2/2 00 0 1

x′′

y′′

z′′

+

−301

x =

√2/2(y′′ − x′′)− 3

y = −√

2/2(y′′ + x′′)

z = z′′ + 1.

, (1 pt.) Total: 10pt.

- 57-

Page 58: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

6.4 Probleme propuse

1. Fie reperul cartezian Oxyz, fata de care consideram punctele A(3, 0, 0), B(0, 2, 0) si C(0, 0, 6). Construimsistemul rotit Ox′y′z′ astfel: Oz′ are directia si sensul ınaltimii OO′ a tetraedului OABC, Oy′ este paralela cuO′A′, unde A′ este piciorul ınaltimii dusa din A ın triunghiul ABC, iar axa Ox′ este aleasa astfel ıncat sistemulOx′y′z′ sa fie orientat pozitiv.

Sa se scrie matricea rotatiei si sa se determine directia invarianta (subspatiul propriu real unidimensional)fata de aceasta rotatie.

2. Aflati ecuatia unei roto-translatii de sistem de coordonate xOy → x′′Oy′′, astfel ıncat relativ la noul sistem,dreapta ∆ : x − 2y = 4 sa aiba ecuatia y′′ = 0 iar punctul acesteia A(6, 1) sa devina originea noului sistem decoordonate. Cate solutii distincte admite problema?

- 58-

Page 59: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MB.7.Conice

Cuvinte cheie: cerc, punct, elipsa, parabola, hiperbola; ecuatie generalaa unei conice, centrul de simetrie al unei conice, invariantii metrici aiunei conice, asimptotele unei hiperbole, axele unei conice, reper canonic,ecuatia redusa a unei conice.

Conicele constituie unul dintre subiectele matematice care au fost studiate sistematic si temeinic ınca dincele mai vechi timpuri. Inceputurile studierii conicelor se pierde ın negura vremurilor. Se pare ca prima data,conicele sunt mentionate de catre Menaechmus (375-325 ı.Hr.), tutorele lui Alexandru cel Mare. Acesta a ajunsla conice ın ıncercarea de rezolva cele 3 probleme celebre ale antichitatii: trisectia unghiului, dedublarea cubuluisi cuadratura cercului. La ınceput, conicele au fost definite ca intersectie a conului circular drept cu un plan.

Aristaios si Euclid se mai ocupa de studiul conicelor dar Appollonius din Perga (262-190 ı.Hr.) este celcare consolideaza si extinde rezultatele anterioare ıntr-o monografie ”Konika”, constand din opt carti cu 487rezultate. Appollonius a fost primul care numeste conicele elipsa, parabola si hiperbola.

In perioada Renasterii, conicele capata o importanta majora datorita aplicatiilor ın fizica (legea miscariiplanetare a lui Kepler, studiul traiectoriilor, Galileo Galilei) dar si dezvoltarii geometriei analitice (Descartes,Fermat) si geometriei proiective (Desargues, La Hire, Pascal).

Conicele transcend secolelor si ajungem ca ın prezent sa gasim noi si noi aplicatii ale acestora: telescoape,reflectoare, sisteme de captare a energiei solare, antene parabolice, sisteme de navigatie, dispozitive medicalede ınlaturare a pietrelor de la rinichi, aplicatii ın arhitectura etc.

Interesant este si faptul ca aceste curbe se pot defini ın mai multe moduri: ca loc geometric (asa cum au foststudiate ın liceu), ca intersectie a unui con cu un plan si, asa cum vom vedea ın cele ce urmeaza, ca multime denivel constant zero a unei forme patratice afine.

7.1 Tipuri de conice

Conicele sunt figuri (curbe) plane. Pentru a introduce aceste figuri, consideram un plan (spatiu punctualbidimensional) E2 raportat la un reper cartezian O; ı, prin care planul E2 se identifica cu R2. Modelul R2

permite descrierea figurilor cu ajutorul ecuatiilor si inecuatiilor asociate unor functii.Fie forma patratica afina (polinom de gradul 2 ın necunoscutele x si y)

g : R2 → R, g(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a10x+ 2a20y + a00, a211 + a2

12 + a222 6= 0. (7.1)

Definitia 23. Multimea de nivel constant zero

Γ =M(x, y) | (x, y) ∈ R2, g(x, y) = 0

se numeste conica sau curba algebrica de ordinul al doilea. Se noteaza Γ: g(x, y) = 0.

Din punct de vedere topologic, conicele sunt multimi ınchise ın R2 deoarece 0 este o multime ınchisa ınR, Γ = g−1(0) si g : R2 → R este o functie continua (teorema de analiza matematica).

59

Page 60: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Una dintre problemele importante ale geometriei analitice este de a dovedi ca orice conica este congruenta cuuna dintre urmatoarele multimi: cerc, elipsa, hiperbola, parabola, pereche de drepte (concurente, paralele,confundate), punct, multimea vida.

Pentru aceasta se utilizeaza rototranslatia, care realizeaza trecerea de la reperul cartezian O; ı, la unreper adecvat orientat pozitiv (numit reper canonic sau natural) fata de care ecuatia g(x, y) = 0 sa aiba formacanonica.

Dupa cum vom vedea ulterior, ın discutie intervin urmatoarele numere atasate polinomului g(x, y):

∆ =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a10

a12 a22 a20

a10 a20 a00

∣∣∣∣∣∣ ,

δ =∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ ,I = a11 + a22

K = δ +∣∣∣∣ a11 a10

a10 a00

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a22 a20

a20 a00

∣∣∣∣ .Prin trecerea de la reperul initial O; ı, la reperul canonic O′, ı′, ′, k′, polinomul g(x, y) se schimba ıng′(x′, y′). Se poate arata ca numerele ∆′, δ′ si I ′ atasate polinomului g′ sunt respectiv egale cu numerele ∆,δ si I. De aceea, ∆, δ si I se numesc invariatii metrici ai conicei. Ultimul numar atasat, K, este invariantdoar la rotatii si se va numi semi-invariant metric al conicei.

Clasificarea conicelor este data ın tabelul urmator:

δ ∆ I ∆ K CONICA GENUL

6= 0 < 0 ELIPSA> 0 6= 0 > 0 Conica vida GEN

= 0 Punct (dublu) ELIPTIC< 0 6= 0 HIPERBOLA GEN

=0 Pereche de drepte concurente HIPERBOLIC

6= 0 PARABOLA= 0 < 0 Pereche de drepte paralele GEN

= 0 = 0 Pereche de drepte confundate PARABOLIC> 0 Conica vida

Invariantul δ ne da genul conicei (δ > 0 - gen eliptic, δ < 0 - gen hiperbolic, δ = 0 - gen parabolic), ın timpce invariantul ∆ ne da degenerarea (∆ 6= 0 - conica nedegenerata, ∆ = 0 - conica degenerata).

In cazul hiperbolic, anularea invariantului I conduce la o hiberbola echilatera (asimptotele sunt perpendi-culare) sau ın cazul degenerat (∆ = 0), la pereche de drepte perpendiculare.

Daca δ 6= 0, atunci prezentul sistem liniar are solutie unica, deci functia g are un singur punct critic. Restulsituatiilor le lasam pentru cititor.

Teorema 24. Punctul M0(x0, y0) este centru de simetrie al conicei Γ: g(x, y) = 0 daca si numai dacaM0(x0, y0) este un punct critic al functiei g.

- 60-

Page 61: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Cerc Elipsa Hiperbola

x2 + y2 = r2x2

a2+y2

b2− 1 = 0

x2

a2− y2

b2− 1 = 0

Parabola Pereche de drepte concurente Pereche de drepte paralele

y2 = 2pxx2

a2− y2

b2= 0 x2 − a2 = 0

Pereche de drepteconfundate Punct Multime vida

x2 = 0x2

a2+y2

b2= 0

x2

a2+y2

b2+ 1 = 0 sau x2 + a2 = 0

Un punct critic al functiei g este descris de sistemul liniar

12∂g

∂x= a11x+ a12y + a10 = 0,

12∂g

∂y= a12x+ a22y + a20 = 0.

Determinantul acestui sistem liniar este

δ =∣∣∣∣ a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣ .

Demonstratie. Efectuand translatia x = x0 + x′ si y = y0 + y′ (figura 1), ecuatia conicei devine

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + x′gx0 + y′gy0 + g(x0, y0) = 0,

unde gx0 =∂g

∂x(x0, y0) si gy0 =

∂g

∂y(x0, y0).

Fig. 48

- 61-

Page 62: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Originea M0(x0, y0) a reperului translatat este centru de simetrie al conicei Γ daca si numai daca odata cupunctul arbitrar (x′, y′), conica Γ contine si punctul (−x′,−y′), adica

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 − x′gx0 − y′gy0 + g(x0, y0) = 0.

Prin scadere rezulta x′gx0 + y′gy0 = 0, deci M0(x0, y0) satisface gx0 = 0 si gy0 = 0, ıntrucat (x′, y′) este unpunct arbitrar pe Γ.

Concluzii:1) Daca δ 6= 0, atunci conica Γ: g(x, y) = 0 are un centru de simetrie (punctul critic al functiei g, originea

reperului canonic). Conicele cu centru sunt: cercul, elipsa, hiperbola, perechea de drepte concurente, unpunct si multimea vida. Ecuatia lui Γ redusa la centru este

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + g(x0, y0) = 0.

De asemenea, se poate demonstra ca

g(x0, y0) =∆δ.

2) Daca δ = 0 si ∆ 6= 0, atunci functia g nu are punct critic, deci conica Γ nu are centru. Conica fara centrueste parabola.

3) Daca δ = 0 si ∆ = 0, atunci functia g are o dreapta de puncte critice, deci conica Γ are o dreapta decentre. Conicele cu o dreapta de centre sunt perechile de drepte paralele sau confundate si multimea vida.

Observatii:1) Conica pentru care δ > 0 (elipsa, conica vida, punct) se numeste conica de gen eliptic. Conica pentru

care δ < 0 (hiperbola, pereche de drepte concurente) se numeste conica de gen hiperbolic. Conica pentru careδ = 0 (parabola, drepte paralele sau confundate, multime vida) se numeste conica de gen parabolic.

2) Ecuatia generala a unei conice, g(x, y) = 0 (cu g de forma (7.1)), contine sase coeficienti a11, a12,a22, a10, a20 si a00, care se numesc parametri neesentiali. Prin ımpartire cu unul diferit de 0 se obtin cincicoeficienti care se numesc parametri esentiali. De aceea, pentru determinarea unei conice sunt suficiente cinciconditii (de exemplu, conica sa treaca prin cinci puncte).

3) Fie a12 = 0, a11 = a22 = a 6= 0 si ρ =(a10

a

)2

+(a20

a

)2

− a00

a. Daca ρ < 0, atunci Γ = ∅. Daca ρ > 0,

atunci Γ este un cerc cu centrul ın C(−a10

a,−a20

a

)si de raza

√ρ. Daca ρ = 0, atunci Γ se reduce la punctul

C.

7.2 Reducerea la forma canonica a ecuatiei unei conice

Fie conica Γ descrisa de ecuatia generala

g(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a10x+ 2a20y + a00 = 0.

Pentru stabilirea ecuatiei canonice avem ın vedere urmatoarele situatii:a) daca a12 = 0, atunci se face o translatie;b) daca a12 6= 0, atunci se face mai ıntai o rotatie. In acest caz se poate proceda fie ca ın subsectiunea 4.2.1,

fie ca ın 4.2.2.

7.2.1 Metoda valorilor proprii

Tipul conicei de ecuatie generala

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a10x+ 2a20y + a00 = 0

- 62-

Page 63: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

este determinat de forma patraticaa11x

2 + 2a12xy + a22y2.

Matriceal, aceasta forma patratica se scrie(x y

)( a11 a12

a21 a22

)(xy

), a12 = a21.

Matricei simetrice(a11 a12

a21 a22

)ıi atasam ecuatia caracteristica∣∣∣∣ a11 − λ a12

a21 a22 − λ

∣∣∣∣ = 0 sau λ2 − I · λ+ δ = 0,

ale carei radacini λ1 si λ2 sunt reale si distincte. Pot aparea urmatoarele situatii:i) λ1 si λ2 au semne contrare, adica δ < 0, conica fiind de gen hiperbolic;ii) λ1 si λ2 au acelasi semn, adica δ > 0, conica fiind de gen eliptic;iii) una dintre radacinii este 0, adica δ = 0, conica fiind de gen parabolic.Sistemele

(a11 − λi)ui + a12vi = 0a21ui + (a22 − λi)vi = 0, i = 1, 2

dau coordonatele vectorilor proprii (u1, v1), respectiv (u2, v2), care sunt automat ortogonali. Prin normaregasim versorii e1 si e2.

Fie R matricea formata cu coordonatele versorilor e1 si e2 asezate pe coloane. Avand ın vedere posibilitateaınlocuirii unuia dintre versorii e1 si e2 prin opusul sau sau posibilitatea renumerotarii valorilor proprii, putempresupune detR = 1. Rotatia (

xy

)= R

(x′

y′

)reduce forma patratica a11x

2 + 2a12xy+ a22y2 la expresia canonica λ1x

′2 + λ2y′2. Versorii proprii e1 si e2 dau

directiile noilor axe Ox′, respectiv Oy′.Prin rotatia efectuata, ecuatia conicei devine

λ1x′2 + λ2y

′2 + 2a10′x′ + 2a20

′y′ + a00′ = 0.

Restrangand patratele, fortand factorii comuni λ1 si λ2, gasim

λ1(x′ + · · · )2 + λ2(y′ + · · · )2 + a = 0.

Efectuand translatia x′′ = x′ + · · · si y′′ = y′ + · · · , obtinem ecuatia canonica

λ1x′′2 + λ2y

′′2 + a = 0.

Cel putin una dintre axele reperului canonic x′′O′′y′′ este axa de simetrie a conicei Γ.

7.2.2 Metoda roto-translatiei

Matricea de trecere R, fiind o matrice ortogonala cu detR = 1, este matricea atasata unei rotatii R ın raportcu o baza ortonormata. Rotatia R poate fi fixata prin unghiul de rotatie θ.

Teorema 25. Fie conica Γ: g(x, y) = 0. Daca a12 6= 0, atunci unghiul θ dat de ecuatia

(a11 − a22) sin 2θ = 2a12 cos 2θ

determina o rotatie R ın plan, x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ,

care produce anularea coeficientului produsului x′y′ din ecuatia g R(x′, y′) = 0.

- 63-

Page 64: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Demonstratie. Observam ca dupa efectuarea rotatiei, ecuatia g(x, y) = 0 trece ın g R(x′, y′) = 0. Coeficientullui x′y′ din ultima ecuatie este

2a12′ = (a22 − a11) sin 2θ + 2a12 cos 2θ.

Astfel teorema devine evidenta.Intrucat noua ecuatie a conicei Γ nu contine termenul ın x′y′, urmeaza sa completam patratele daca este

cazul si ın urma unei translatii sa obtinem ecuatia canonica.

Teoremele care se pot formula relativ la reducerea la forma canonica a ecuatiei unei conice se rezuma printabelul urmator:

Conditii CurbaCe transformare se face

pentru a gasiecuatia canonica

δ > 0 Γ = (x0, y0)

∆ = 0 δ = 0

Γ = D1 ∩D2,unde D1 si D2 suntdrepte paralele sau

confundate, sau Γ = ∅

Daca a12 = 0, atuncise face o translatie

δ < 0

Γ = D1 ∪D2,unde D1 si D2 suntdrepte concurente;

I = 0 implica D1 ⊥ D2

Daca a12 6= 0, atuncise face mai ıntai rotatiax = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ

I∆ < 0δ > 0 elipsa

unde θ este unghiuldeterminat de ecuatia

(a11 − a22) sin 2θ = 2a12 cos 2θ∆ 6= 0 I∆ > 0 Γ = ∅

δ = 0 parabolaDupa aceea, daca este

cazul, se face o translatie

δ < 0hiperbola

I = 0 implicahiperbola echilatera

Observatii:1) Conicele sunt reuniuni de grafice de functii implicite (definite prin ecuatii).2) Conicele pot fi trasate utilizand programe de manipulare simbolica: MathematicaR©, MapleR©etc.

7.3 Intersectia dintre o dreapta si o conica

Fie D o dreapta de ecuatii parametrice x = x0 + `t, y = y0 +mt, t ∈ R si Γ o conica de ecuatie cartezianaimplicita, g(x, y) = 0. Intersectia D ∩ Γ este descrisa de sistemul x = x0 + `t

y = y0 +mtg(x, y) = 0, t ∈ R.

Eliminand pe x si y, intersectia D ∩ Γ corespunde radacinilor t1 si t2 ın R ale ecuatiei

t2ϕ(`,m) + t

(`∂g

∂x0+m

∂g

∂y0

)+ g(x0, y0) = 0, (7.2)

unde ϕ(`,m) = a11`2 + 2a12`m+ a22m

2.In cele ce urmeaza notam

∂g

∂x0=∂g

∂x(x0, y0) = gx0 si

∂g

∂y0=∂g

∂y(x0, y0) = gy0 .

- 64-

Page 65: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Discutie:1) Fie ϕ(`,m) 6= 0. Atunci ecuatia (7.2) este de gradul doi.Daca

q = (`gx0 +mgy0)2 − 4ϕ(`,m)g(x0, y0) > 0,

atunci ecuatia are doua radacini reale si distincte, t1 si t2. In acest caz, D taie pe Γ ın doua puncte distincte,P1 si P2.

Daca q = 0, atunci ecuatia are doua radacini reale confundate, t1 = t2. In acest caz, D taie pe Γ ın douapuncte confundate, P1 = P2 si se numeste tangenta la Γ ın punctul P1. Evident, din orice punct P0 6∈ Γ se potduce cel mult doua tangente la Γ.

In particular, cand P0 ∈ Γ si gx0 , gy0 nu se anuleaza simultan, observam ca tangenta la Γ ın punctul P0 areecuatia

(x− x0)gx0 + (y − y0)gy0 = 0,

obtinuta din conditia de tangenta `gx0 + mgy0 = 0 si ecuatiile lui D, prin eliminarea parametrilor t` si tm(figura 2).

Conica Γ se numeste neteda daca ın fiecare punct al sau exista tangenta. Netezirea conicei Γ elimina punctelecritice, adica punctele ın care gx, gy si g se anuleaza simultan.

Fig. 49 Fig. 50

Dreapta care trece prin P0(x0, y0) ∈ Γ si este perpendiculara pe tangenta se numeste normala (figura 3). Eaare ecuatia

x− x0

gy0

=y − y0gx0

.

Daca q < 0, atunci ecuatia (7.2) nu are solutii ın R, deci D nu taie pe Γ.

2) Fie ϕ(`,m) = 0. Ecuatia (7.2) este de gradul ıntai. Daca `gx0 +mgy0 6= 0, atunci avem o solutie unicat1, deci D taie pe Γ ıntr-un singur punct P1. Daca `gx0 +mgy0 = 0 si g(x0, y0) 6= 0, atunci ecuatia (7.2) este oimposibilitate, deci D nu taie pe Γ. Daca `gx0 +mgy0 = 0 si g(x0, y0) = 0, ecuatia este identic satisfacuta, deciD ⊆ Γ, adica Γ este o pereche de drepte.

Fie o conica nedegenerata Γ si o directie ın planul conicei descrisa de vectorul nenul d(`,m).

Definitia 26. Directia d(`,m) se numeste directie asimptotica pentru Γ daca

ϕ(`,m) = a11`2 + 2a12`m+ a22m

2 = 0.

Evident, o dreapta care are o asemenea directie taie conica nedegenerata ıntr-un singur punct sau nu taiepe Γ.

Discutie:1) Daca δ < 0 si ∆ 6= 0 (hiperbola), atunci ecuatia ϕ(`,m) = 0 determina doua directii asimptotice distincte

(`1,m1) si (`2,m2).

2) Daca δ > 0 si ∆ 6= 0 (elipsa), atunci ecuatia ϕ(`,m) = 0 nu admite solutii reale nebanale. De aceea elipsanu admite directii asimptotice.

3) Daca δ = 0 si ∆ 6= 0 (parabola), atunci ecuatia ϕ(`,m) = 0 da o directie asimptotica dubla (`,m), careeste de fapt directia axei conicei.

- 65-

Page 66: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Definitia 27. O dreapta D se numeste asimptota a unei conice nedegenerate Γ, daca directia ei este asimptoticasi D ∩ Γ = ∅.

Discutia precedenta justifica urmatoarea

Teorema 28. O asimptota a conicei nedegenerate Γ este caracterizata analitic prin ecuatia `gx + mgy = 0,unde (`,m) este o directie asimptotica.

Discutie:1) Hiperbola are doua asimptote care trec prin centrul conicei. Asimptotele aproximeaza ramurile infinite

ale hiperbolei.

2) Elipsa nu are directie asimptotica si ın consecinta nu are asimptota.

3) Parabola admite o directie asimptotica pentru care ecuatia `gx +mgy = 0 reprezinta multimea vida, deciparabola nu are asimptota.

7.4 Pol si polara

Fie conica Γ: g(x, y) = a11x2 +2a12xy+a22y

2 +2a10x+2a20y+a00 = 0 si punctul M0(x0, y0). Substituirile

x2 → xx0, y2 → yy0, xy → 12(xy0 + x0y), x→ 1

2(x+ x0), y → 1

2(y + y0)

se numesc dedublari. Prin dedublata ecuatiei de gradul doi g(x, y) = 0 ın punctul M0(x0, y0), ıntelegem ecuatia

a11xx0 + a12(xy0 + x0y) + a22yy0 + a10(x+ x0) + a20(y + y0) + a00 = 0,

care se transcrie(x− x0)gx0 + (y − y0)gy0 + 2g(x0, y0) = 0.

Astfel, dedublata este o ecuatie de gradul unu, deci reprezinta o dreapta D daca si numai daca g2x0

+ g2y0> 0.

Definitia 29. Dreapta D se numeste polara lui ın raport cu conica Γ. Punctul M0 se numeste polul drepteiD.

La prima vedere, definitia polarei depinde de sistemul cartezian de coordonate folosit. Acest neajuns esteınlaturat de observatia ca rototranslatiile nu modifica gradul ecuatiilor utilizate pentru descrierea unei drepte(ecuatii de gradul unu) sau unei conice (ecuatii de gradul doi).

Teorema 30. Polara D a punctului M0 ın raport cu conica Γ nu depinde de sistemul cartezian de coordonateutilizat.

Teorema 31. Fie conica Γ: g(x, y) = 0 si punctul M0(x0, y0), care determina polara D.1) Daca M1(x1, y1) ∈ D si D1 este polara lui M1 fata de Γ, atunci M0 ∈ D1.2) M0 ∈ Γ daca si numai daca M0 ∈ D. In acest caz, polara lui M0 este tangenta la Γ ın punctul M0.

- 66-

Page 67: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Demonstratie. 1) Polara D are ecuatia

a11xx0 + a12(xy0 + x0y) + a22yy0 + a10(x+ x0) + a20(y + y0) + a00 = 0.

Simetria acestei ecuatii ın raport cu M0(x0, y0) si M(x, y) probeaza afirmatia facuta.2) Daca M0 ∈ Γ, adica g(x0, y0) = 0, atunci ecuatia polarei ın M0 se reduce la ecuatia tangentei

(x− x0)gx0 + (y − y0)gy0 = 0.

Teorema 32. Fie Γ o conica nedegenerata, M0 un punct din planul conicei si D polara lui M0 ın raport cu Γ.1) Corespondenta M0 → D este biunivoca ın urmatoarele conditii: daca δ 6= 0, atunci se exclude centrul

conicei si multimea dreptelor care trec prin centru; daca δ = 0, atunci se exclude axa parabolei.2) Fie M1(x1, y1) si M2(x2, y2) doua puncte astfel ıncat dreapta M1M2 nu contine centrul conicei, daca

δ 6= 0, sau nu are directia axei parabolei, daca δ = 0. Polarele D1 si D2 ale punctelor M1 si M2 se intersecteazaın polul M al dreptei M1M2.

3) Daca trei puncte, M1, M2 si M3, apartin unei drepte D si sunt satisfacute conditiile din 2), atunci polareleD1, D2 si D3 sunt concurente ın polul dreptei D.

Demonstratie. 1) Fie M0(x0, y0) si Γ : g(x, y) = 0 o conica nedegenerata, adica ∆ 6= 0. Polara lui M0 ın raportcu Γ este

D : x(a11x0 + a12y0 + a10) + y(a12x0 + a22y0 + a20) + a10x0 + a20y0 + a00 = 0.

Reciproc, fiind data polara (dreapta) D : ax+ by + c = 0, polul M0(x0, y0) se gaseste din sistemul

a11x0 + a12y0 + a10

a=a12x0 + a22y0 + a20

b=a10x0 + a20y0 + a00

c.

Corolarul 33. Fie Γ o conica nedegenerata (figura 4). Fie Q1, Q2 ∈ Γ astfel ıncat dreapta Q1Q2 nu continecentrul lui Γ (daca δ 6= 0) sau nu este axa parabolei (daca δ = 0). Tangentele la Γ ın punctele Q1 si Q2 seintersecteaza ın polul P al dreptei Q1Q2.

Reciproc, daca dintr-un punct P putem duce doua tangente la Γ, atunci dreapta determinata de punctele detangenta este polara lui P ın raport cu Γ.

Fig. 51

Demonstratie. Se aplica teorema 32, punctul 2), cu observatia ca polara unui punct de pe conica este tangentala conica ın acel punct.

- 67-

Page 68: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Teorema 34. Fie Γ o conica degenerata, adica ∆ = 0.1) Daca δ 6= 0, atunci polara oricarui punct trece prin centrul conicei.2) Daca δ = 0, atunci toate polarele sunt paralele.

Teorema 35. Fie Γ o conica nedegenerata, P0(x0, y0) un punct fixat si

D′ : x = x0 + `t, y = y0 +mt, t ∈ R,

o dreapta variabila prin P0 care taie pe Γ ın punctele P1(x1, y1) si P2(x2, y2). Locul geometric al punctuluiP ∈ D′ descris prin conditiile

PP1

PP2=P0P1

P0P2,

(`,m) directie variabila, este o parte din polara D a punctului P0 ın raport cu conica Γ (vezi fig. 52).

Fig. 52

7.5 Diametru conjugat cu o directie data

Fie conica Γ: g(x, y) = 0 si gx, gy derivatele partiale ale functiei g. Daca δ 6= 0, atunci solutia sistemuluigx = 0, gy = 0 este centrul conicei Γ. Daca δ = 0 si ∆ 6= 0 (parabola), atunci exista numerele α si β cuproprietatea βgy = gx + α.

Fie o directie ın plan, descrisa prin vectorul nenul d(`,m).

Definitia 36. Dreapta D : `gx +mgy = 0 se numeste diametrul conicei Γ conjugat directiei (`,m).

Teorema 37. Locul geometric al mijloacelor corzilor conicei Γ avand directia neasimptotica d(`,m) este o partea diametrului

D : `gx +mgy = 0.

Demonstratie. Deoarece d(`,m) este o directie neasimptotica, locul geometric are sens, existand drepte cuaceasta directie care intersecteaza pe Γ ın doua puncte. Dreapta care trece printr-un punct P0(x0, y0) si aredirectia d, este descrisa de ecuatiile

x = x0 + `t, y = y0 +mt, t ∈ R.

- 68-

Page 69: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Prin ipoteza, aceasta dreapta taie Γ ın doua puncte, P1(x1 = x0 + `t1, y1 = y0 +mt1) si P2(x2 = x0 + `t2, y2 =y0 +mt2), unde t1 si t2 sunt solutiile ecuatiei

t2ϕ(`,m) + t(`gx0 +mgy0) + g(x0, y0) = 0.

Mijlocul segmentului [P1P2] (figura 6) are coordonatele

x1 + x2

2= x0 + `

t1 + t22

,y1 + y2

2= y0 +m

t1 + t22

si acest punct coincide cu P0 daca si numai daca t1 + t2 = 0, adica `gx0 + mgy0 = 0. Deoarece P0 este unmijlocul unui segment [P1P2] arbitrar, rezulta ca teorema este adevarata.

Fig. 53

Observatii:1) In ipoteza δ 6= 0 (conice cu centru), diametrii conjugati cu directii arbitrare determina un fascicul de

drepte cu varful ın centrul conicei.2) Daca δ = 0 si ∆ 6= 0 (parabola), atunci diametrii conjugati cu directii arbitrare determina un fascicul de

drepte paralelegx + µ = 0.

Directia acestui fascicul de drepte paralele este (a12,−a11) sau (a22,−a12). Evident, axa de simetrie a paraboleieste un diametru, deci are directia (a12,−a11) sau (a22,−a12). Directia axei nu-i corespunde nici un diametruconjugat deoarece ecuatia a12gx − a11gy = 0 reprezinta multimea vida.

Fie Γ: g(x, y) = 0 o conica cu centru. DiametrulD : `gx+mgy = 0 are directia(`a12+ma22,−(`a11+ma12)

).

Orice alta pereche de numere reale (`0,m0) reprezinta aceeasi directie daca si numai daca

`0`a12 +ma22

=m0

−(`a11 +ma12)

saua11``0 + a12(`m0 + `0m) + a22mm0 = 0.

Aceasta relatie este simetrica ın (`,m) si (`0,m0). De aceea, diametrul conjugat directiei (`0,m0) are directia(`,m).

Definitia 38. Doi diametri ale caror directii (`,m) si (`0,m0) satisfac relatia precedenta se numesc diametriconjugati unul altuia.

Observatie. Ecuatia care leaga directiile a doi diametri conjugati este dedublata ecuatiei

ϕ(`,m) = a11`2 + 2a12`m+ a22m

2 = 0,

care determina directiile asimptotice. De aceea, o asimptota poate fi privita ca un diametru autoconjugat.

- 69-

Page 70: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

7.6 Axele unei conice

O dreapta D se numeste axa de simetrie a conicei Γ daca simetricul ın raport cu D al fiecarui punct din Γapartine tot lui Γ. Ne propunem sa determinam axele de simetrie ale unei conice Γ data prin ecuatia generalag(x, y) = 0 (vezi fig. 54).

Fig. 54

Presupunem ca d(`,m) reprezinta o directie ortogonala pe axa de simetrie. Pe de alta parte, axa de simetrieeste diametrul conjugat directiei d(`,m), deoarece contine mijloacele corzilor de directie d(`,m), deci axa desimetrie are ecuatia `gx +mgy = 0, daca vectorul normal la ea de componente (`a12 +ma22, `a11 +ma12) estecoliniar cu d, adica

a11`+ a12m

`=a12`+ a22m

m.

Prelucrand ultima ecuatie, gasim ecuatia care determina directiile axelor

(a11 − a22)m`+ a12(m2 − `2) = 0.

Discutie:1) Daca δ 6= 0, atunci conica Γ are un centru de simetrie M0(x0, y0), care este solutia sistemului linar gx = 0,

gy = 0 si doua axe de simetrie de directii (`i,mi), i = 1, 2. Ecuatia unei axe este fie de forma `igx +migy = 0,

fie de formax− x0

`i=y − y0mi

. In fapt, axele sunt diametri conjugati ıntre ei.

Intersectiile dintre axe si conica Γ se numesc varfuri.

2) Fie δ = 0 si ∆ 6= 0, deci conica Γ este o parabola. Anterior am vazut ca directia axei parabolei Γ este(a12,−a11) sau (a22,−a12). Directia parpendiculara pe axa este (a11, a12) sau (a21, a22). De aici rezulta caecuatia axei parabolei este

a11gx + a12gy = 0 sau a21gx + a22gy = 0

(diamtru conjugat cu directia (a11, a12) sau (a21, a22)).Intersectia dintre axa si parabola se numeste varf.

7.7 Exercitii/probleme rezolvate

1. Sa se reduca ecuatia 3x2−4xy−2x+4y−3 = 0 la forma canonica si sa se construiasca conica corespunzatoare.

Solutie. Matricea formei patratice 3x2 − 4xy este(

3 −2−2 0

). Ecuatia caracteristica a acestei matrice,∣∣∣∣ 3− λ −2

−2 −λ

∣∣∣∣ = 0 sau λ2 − 3λ− 4 = 0, are radacinile λ1 = −1 si λ2 = 4.

Coordonatele (u1, v1) ale unui vector propriu corespunzator lui λ1 = −1 constituie solutia sistemului4u1 − 2v1 = 0−2u1 + v1 = 0,

adica (k, 2k), k ∈ R\0. Prin normalizare obtinem versorul propriu e1 =(

1√5,

2√5

). Analog, pentru λ2 = 4,

gasim e2 =(

2√5,− 1√

5

).

- 70-

Page 71: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Matricea R =

1√5

2√5

2√5

− 1√5

reprezinta o simetrie deoarece detR = −1. Pentru a ınlocui matricea R cu

matricea unei rotatii, folosim unul dintre urmatoarele procedee:1) Renumerotam λ1

′ = λ2, λ2′ = λ1 si corespunzator, e1′ = e2, e2′ = e1. Rotatia

(xy

)=

2√5

1√5

− 1√5

2√5

( x′

y′

)sau

x =

1√5(2x′ + y′)

y =1√5(−x′ + 2y′)

conduce la 4x′2 − y′2 − 8√

5x′ +

6√5y′ − 3 = 0. Realizand patrate perfecte, fortand factorii comuni 4 si −1,

transcriem ecuatia ın forma echivalenta

4(x′ − 1√

5

)2

−(y′ − 3√

5

)2

− 2 = 0.

Efectuand translatia sistemului x′Oy′ ın punctul C1

(1√5,

3√5

), data de

x′ = x′′ +1√5

si y′ = y′′ +3√5,

obtinem ecuatia canonica a hiperboleix′′2

1/2− y′′2

2− 1 = 0. Varfurile acestei hiperbole se afla pe axa C1x

′′.

Fig. 55

Pentru constructie efectuam o rotatie a sistemului de axe xOy. Noile axe de coordonate Ox′ si Oy′ audirectiile versorilor e1′, respectiv e2′. Reperul x′Oy′ este translatat ın punctul C1 (fig. 8).

2) Convenim sa utilizam versorii e1∗ = −e1 si e2∗ = e2. Rotatia

(xy

)=

− 1√

52√5

− 2√5

− 1√5

( x1

y1

)

conduce la ecuatia

−x21 + 4y2

1 −6√5x1 −

8√5y1 − 3 = 0.

- 71-

Page 72: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Directiile axelor de coordonate Ox1 si Oy1 sunt determinate de versorii e1∗, respectiv e2∗. Sistemul rotit este

translatat ın C2

(− 3√

5,

1√5

), folosind formulele

x1 = x2 +3√5

si y1 = y2 −1√5.

Hiperbola are varfurile pe axa C2y2, iar ecuatia canonica a hiperbolei raportata la sistemul canonic x2C2y2(fig. 9) este:

x22

2− y2

2

1/2+ 1 = 0.

Fig. 56

2. Sa se stabileasca natura si genul conicei

Γ: 9x2 − 6xy + y2 + 20x = 0.

Sa se reduca ecuatia lui Γ la forma canonica folosind metoda roto-translatiei si sa se construiasca conica Γ.Solutie. Calculam invariantii:

∆ =

∣∣∣∣∣∣9 −3 10

−3 1 010 0 0

∣∣∣∣∣∣ = −100, δ =∣∣∣∣ 9 −3−3 1

∣∣∣∣ = 0,

de unde rezulta ca Γ este o parabola. Avand a12 6= 0, efectuam o rotatie al carei unghi θ este solutia ecuatiei

(a11 − a22) sin 2θ − 2a12 cos 2θ = 0,

adica 4 sin 2θ + 3 cos 2θ = 0. Aceasta ecuatie devine 3 tg 2θ − 8 tg θ − 3 = 0, deci tg θ ∈ 3, 13.

Alegem tg θ = 3 (aceasta valoare se obtine si folosind formula tg θ = −a11

a12= 3). Nu ne intereseaza solutia

θ, ci valorile sin θ =3√10

si cos θ =1√10

. Formulele care descriu rotatia sistemului xOy sunt

x =1√10

(x′ − 3y′) si y =1√10

(3x′ + y′).

Fata de sistemul rotit x′Oy′, ecuatia conicei Γ este

y′2 +

2√10x′ − 6√

10y′ = 0.

- 72-

Page 73: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Completam patratele si obtinem(y′ − 3√

10

)2

=910− 2√

10x′. Efectuam translatia x′ = x′′, y′ = y′′+

3√10

si

gasim ecuatia canonica a parabolei y′′2 = − 2√10x′′ +

910

(vezi fig. 57).

Fig. 57 Fig. 58

Pentru tg θ = −13

obtinem

sin θ =1√10

si cos θ = − 3√10.

Utilizand rotatia

x =1√10

(−3x′ − y′), y =1√10

(x′ − 3y′),

ecuatia conicei devine

x′2 − 6√

10x′ +

2√10y′ = 0.

Completam patratele, efectuam translatia

x′ = x′′ +3√10, y′ = y′′

si gasim ecuatia canonica a parabolei (vezi fig. 58),

x′′2 =

2√10y′′ +

9√10.

3. Se da conica Γ : x2 − 2xy + 3y2 − 4x+ 6y − 4 = 0. Aflati:a) polara relativa la A(1, 2) si tangentele duse din A la conica.b) diametrul conjugat cu v = i− 2j si tangentele de directie v la conica.c) tangenta dusa ın punctul B(1, 1) la conica.

Solutie. a) Ecuatia polarei punctului A ın raport cu conica se deduce prin dedublarea ecuatiei conicei cucoordonatele punctului A(1, 2); obtinem

∆pol,A : 1 · x− 2 · 12(x · 2 + 1 · y) + 3 · 2y − 4 · 1

2· (x+ 1) + 6 · 1

2(y + 2)− 4 = 0 ⇔ y =

38x.

Intersectia dintre polara ∆ si conica este data dex2 − 2xy + 3y2 − 4x+ 6y − 4 = 0y = 3x/8 ⇔

43x2 − 112x− 256 = 0y = 3x/8,

deci de punctele T1,2( 56±8√

22143 , 21±3

√221

43 ). Atunci cele doua tangente au ecuatiile

∆1,2 : y − 2 = (x− 1) · −65± 3√

22113± 8

√221

.

b) Diametrul conicei Γ conjugat cu directia v = i− 2j ≡ (1,−2) este dat de ecuatia

∆conj,v : 1 · (2x− 2y − 4) + (−2)(−2x+ 6y + 6) = 0 ⇔ 3x− 7y − 8 = 0.

- 73-

Page 74: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Daca ducem tangentele de directie v ≡ (1,−2) la conica, atunci punctele de tangenta A,B le aflam rezolvandsistemul

A,B = Γ ∩∆conj :x2 − 2xy + 3y2 − 4x+ 6y − 4 = 03x− 7y − 8 = 0 ⇔

x = (7y + 8)/3y2 + y − 2 = 0 ,

de unde rezulta A(−2,−2) si B(5, 1). In concluzie, ecuatiile tangentelor de directie v la conica sunt respectiv

∆1 :x+ 2

1=y + 2−2

⇔ 2x+ y + 6 = 0

∆2 :x− 5

1=y − 1−2

⇔ 2x+ y − 11 = 0.

c) Tangenta dusa prin punctul B(1, 1) ∈ Γ la conica Γ are ecuatia obtinuta prin dedublare cu coordonatelepunctului B,

∆tg,B : 1 · x− (x+ y) + 3 · y − 2(x+ 1) + 3(y + 1)− 4 = 0

sau echivalent 2x− 5y + 3 = 0.

7.8 Exercitii/probleme rezolvate

7.8.1 Enunturi

1. Aflati conica al carei grafic trece prin punctele A(1, 1), B(1,−1), C(−1, 1), D(−1,−1), E( 12 , 0), genul si natura

acesteia.

2. Aflati conicele ale caror grafice trec prin punctele A(0, 1), B(−1, 0), C(0,−1), D(1, 0).

3. Aflati conicele ale caror grafice trec prin punctele A(1, 0), B(0, 0), C(0, 1).

4. Se da conica Γ : 4xy − 3y2 + 4x− 14y − 7 = 0.

a) Aratati ca Γ este o hiperbola.b) Aflati centrul hiperbolei Γ.c) Aflati axele, asimptotele si varfurile.d) Reprezentati grafic hiperbola.

5. Se da conica Γ : 9x2 + 6xy + y2 − 4x− 8y − 4 = 0.

a) Aratati ca Γ este o parabola.b) Aflati axa de simetrie si varful conicei.c) Eventual folosind intersectiile cu axele Ox si Oy, reprezentati grafic conica.

6. Se da conica Γ : 16x2 + 4xy + 19y2 + 80x+ 10y + 40 = 0.

a) Aratati ca Γ este o elipsa.b) Aflati centrul elipsei Γ.c) Aflati axele si varfurile elipsei.d) Reprezentati grafic.

7. Se da conica Γ : x2 − 2xy + 3y2 − 4x+ 6y − 4 = 0. Aflati:

a) polara relativa la A(1, 2) si tangentele duse din A la conica.b) diametrul conjugat cu v = i− 2j si tangentele de directie v la conica.c) tangenta dusa ın punctul B(1, 1) la conica.

8. Se da conica Γ : 4xy − 3y2 + 4x− 14y − 7 = 0. Folosind metodele rototranslatiei si a valorilor proprii, aflatiecuatia canonica si reprezentati grafic.

9. Se da parabola Γ : 9x2 + 6xy + y2 − 4x− 8y − 4 = 0. Folosind metodele rototranslatiei si a valorilor proprii,aflati ecuatia canonica si reprezentati grafic.

10. Folosind metodele rototranslatiei si a valorilor proprii, aflati ecuatia canonica si reprezentati grafic conica16x2 + 4xy + 19y2 + 80x+ 10y + 40 = 0.

- 74-

Page 75: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

7.8.2 Solutii

1. Metoda 1. Punctele conicei satisfac o ecuatie de tipul

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a10x+ 2a20y + a00 = 0, (7.3)

unde coeficientii a11, a12, a22, a10, a20, a00 ıi aflam rezolvand sistemul:a11 + 2a12 + a22 + 2a10 + 2a20 + a00 = 0a11 − 2a12 + a22 + 2a10 − 2a20 + a00 = 0a11 − 2a12 + a22 − 2a10 + 2a20 + a00 = 0a11 + 2a12 + a22 − 2a10 − 2a20 + a00 = 014a11 + a10 + a00 = 0

a11 = −4αa12 = a10 = a20 = 0a22 = 3αa00 = α

, unde α ∈ R∗.

In concluzie, ınlocuind coeficientii ın (7.3) si simplificand prin α 6= 0, obtinem ecuatia conicei Γ : −4x2+3y2+1 =

0. Se observa ca δ =∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ −4 0

0 3

∣∣∣∣ = −12 < 0, deci avem conica de gen hiperbolic. Mai mult,

deoarece ∆ =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a10

a12 a22 a20

a10 a20 a00

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣−4 0 00 3 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = −12 6= 0, conica este nedegenerata, deci o hiperbola.

Metoda 2. Se dezvolta determinantul

Γ :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x2 xy y2 x y 11 1 1 1 1 11 −1 1 1 −1 11 −1 1 −1 1 11 1 1 −1 −1 114 0 0 1

2 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 ⇔ −x2 +

14

+34y2 = 0.

Se obtine ecuatia conicei cerute (hiperbola)

Γ : −4x2 + 3y2 + 1 = 0 ⇔ x2

1/4− y2

1/3= 1.

2. Metoda I. Conicele cerute satisfac ecuatii de forma (7.3). Conditia A,B,C,D ∈ Γ se rescriea22 + 2a20 + a00 = 0a11 − 2a10 + a00 = 0a22 − 2a20 + a00 = 0a11 + 2a10 + a00 = 0

a11 = −α, a12 = βa22 = −αa10 = a20 = 0, a00 = α,

unde α, β ∈ R nu sunt ambele nule. In concluzie, conicele ce trec prin punctele A,B,C si D satisfac ecuatia

Γ : αx2 − 2βxy + αy2 − α = 0, α, β ∈ R, α2 + β2 > 0.

Metoda II. Se aplica formula

Γ : α(AB)(CD) + β(AC)(BD) = 0, α, β ∈ R.

Ecuatiile generale ale dreptelor (AB), (CD), (AC), (BD) sunt respectiv

x− y + 1 = 0, x− y − 1 = 0, x = 0, y = 0.

Rezulta ecuatia conicei

Γ : α(x− y + 1)(x− y − 1) + γxy = 0 ⇔ αx2 − (2α− γ)xy + αy2 − α = 0,

unde α, γ ∈ R, α2 + β2 > 0. Notand β = 2α− γ, rezulta ecuatia obtinuta la metoda 1.

- 75-

Page 76: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

3. Metoda I. Conica Γ este descrisa de o ecuatie de forma (7.3). Coeficientii se obtin din conditiile A,B,C ∈ Γ,care se rescriu a11 + 2a10 + a00 = 0

a00 = 0a22 + 2a20 + a00 = 0

⇔a11 = −2α, a12 = γ, a22 = −2βa10 = α, a20 = β, a00 = 0

unde α, β ∈ R nu sunt ambele nule. Inlocuind ın ecuatia generala (7.3) si ımpartind prin −2, rezulta ecuatiaconicelor ce trec prin punctele A,B si C,

Γ : αx2 − γxy + βy2 − αx− βy = 0.

Metoda II. Se aplica formula

a(AB)(AC) + a(BC)(BA) + c(CA)(CB) = 0, a, b, c ∈ R.

Ecuatiile generale ale dreptelor (AB), (AC), (BC), (BA), (CA) si (CB) sunt respectiv

(AB) ≡ (BA) : y = 0, (AC) ≡ (CA) : x+ y − 1 = 0, (BC) ≡ (CB) : x = 0.

Rezulta ecuatia coniceiΓ : ay(x+ y − 1) + bxy + c(x+ y − 1) · x = 0 ⇔

⇔ cx2 + (a+ b+ c)xy + ay2 − cx− ay = 0,

unde a, b, c ∈ R, a2 + b2 + c2 > 0. Renotand α = c, β = a, γ = −(a+ b+ c), rezulta ecuatia obtinuta la metodaI.

4. a) Se observa ca δ =∣∣∣∣ 0 2

2 −3

∣∣∣∣ = −4 < 0, deci conica este de gen hiperbolic. Deoarece ∆ =

∣∣∣∣∣∣0 2 22 −3 −72 −7 −7

∣∣∣∣∣∣ =−16 6= 0, conica este o hiperbola.b) Centrul hiperbolei este C(2,−1). Acesta se determina rezolvand sistemul

4y + 4 = 04x− 6y − 14 = 0 ⇔

x = 2y = −1.

c) Pantele axelor de simetrie ale conicei Γ satisfac relatia (a11 − a22)k+ a12(k2 − 1) = 0. In cazul nostru avem2k2 + 3k − 2 = 0 ⇒ k ∈ −2, 1

2 si deci k1 = −2 si k2 = 12 sunt respectiv pantele axelor.

’Tinand cont ca axele trebuie sa treaca prin centrul conicei C0(2,−1), rezulta ca ecuatiile celor doua axesunt respectiv

∆1 : y + 1 = −2(x− 2) ⇔ 2x+ y − 3 = 0, ∆2 : y + 1 =12(x− 2) ⇔ x− 2y − 4 = 0.

Directiile celor doua asimptote sunt date de vectorii liberi v = li+mj care satisfac relatia

a11l2 + 2a12lm+ a22m

2 = 0 ⇔ 4lm− 3m2 = 0 ⇔ m(4l − 3m) = 0,

deci avem (l,m) ∈ (1, 0), (3, 4). In concluzie ecuatiile carteziene ale asimptotelor asociate celor doua directiiasimptotice date de vectorii v1 ≡ (1, 0) si v2 ≡ (3, 4) sunt

∆1 : x−21 = y+1

0 ⇔ y = −1

∆2 : x−23 = y+1

4 ⇔ 4x− 3y − 11 = 0.

Aflam varfurile conicei intersectand Γ cu axele de simetrie ∆1 si ∆2. Obtinem

V1,2 = Γ ∩∆1 :

4xy − 3y2 + 4x− 14y − 7 = 0y = −2x+ 3 ⇔

y = −2x+ 35x2 − 20x+ 19 = 0,

decix = 2± 1/

√5

y = −1∓ 2/√

5. Prin urmare varfurile sunt V1(2 + 1√

5,−1 − 2√

5), V2(2 − 1√

5,−1 + 2√

5); acestea se

afla la intersectia conicei cu prima axa de simetrie. De asemenea, Γ ∩ ∆2 = , deci ∆2 este axa de simetrienetransversa a conicei.

- 76-

Page 77: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 59 Fig. 60

5. a) Se observa ca δ =∣∣∣∣ 9 3

3 1

∣∣∣∣ = 0, deci conica este de gen parabolic. Deoarece ∆ =

∣∣∣∣∣∣9 3 −23 1 −4−2 −4 −4

∣∣∣∣∣∣ =

−100 6= 0, conica este o parabola.

b) Deoarece conica Γ este o parabola, ecuatia axei de simetrie a acesteia este de forma ∆ : a11gx + a12gy = 0.In cazul nostru avem

∆ : 9(18x+ 6y − 4) + 3(6x+ 2y − 8) = 0 ⇔ y = −3x+ 1.

Varful V al parabolei ıl gasim intersectand parabola Γ cu axa de simetrie ∆.

V :

9x2 + 6xy + y2 − 4x− 8y − 4 = 0y = −3x+ 1 ⇔

(3x+ y)2 = 4(x+ 2y + 1)3x+ y = 1 ⇔

⇔x+ 2y + 1 = 1/43x+ y = 1 ⇔

x = 11/20y = −13/20,

deci am gasit varful V ( 1120 ,−

1320 ).

c) Obtinem

Γ ∩Ox :

9x2 + 6xy + y2 − 4x− 8y − 4 = 0y = 0 ⇔

9x2 − 4x− 4 = 0y = 0,

deci Γ ∩Ox =A1,2

(2(1±

√10)

9 , 0)

, iar

Γ ∩Oy :

9x2 + 6xy + y2 − 4x− 8y − 4 = 0x = 0 ⇔

x = 0y2 − 8y − 4 = 0,

deci Γ ∩Oy = B1,2(0, 4± 2√

5) (vezi fig. 002).

6. a) Se observa ca δ =∣∣∣∣ 16 2

2 19

∣∣∣∣ = 300 > 0, deci conica este de gen eliptic. Cum ∆ =

∣∣∣∣∣∣16 2 402 19 540 5 40

∣∣∣∣∣∣ =

18000 6= 0, conica este o elipsa.

b) Centrul C al elipsei Γ ıl aflam rezolvand sistemul32x+ 4y + 80 = 04x+ 38y + 10 = 0 ⇒

x = −5/2y = 0,

deci C(− 52 , 0).

c) Pantele k1,2 ale axelor de simetrie sunt date de ecuatia (16 − 19)k + 2(k2 − 1) = 0 ⇔ 2k2 − 3k − 2 = 0 sideci avem k1 = 2 si k2 = − 1

2 . ’Tinand cont ca axele trebuie sa treaca prin centrul conicei C(− 52 , 0), rezulta

ca ecuatiile celor doua axe sunt respectiv ∆1 : y = 2(x+ 52 ) si ∆2 : y = − 1

2 (x+ 52 ). Varfurile conicei Γ sunt

punctele de intersectie dintre Γ si axele de simetrie ∆1,∆2. Rezolvand sistemul

Γ ∩∆1 :

16x2 + 4xy + 19y2 + 80x+ 10y + 40 = 0y = 2x+ 5 ⇔

20x2 + 100x+ 113 = 0y = 2x+ 5,

- 77-

Page 78: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

obtinem varfurile Γ ∩∆1 =V1,2

(−25±2

√15

10 ,± 2√

155

). De asemenea,

Γ ∩∆2 :

16x2 + 4xy + 19y2 + 80x+ 10y + 40 = 0y = −x

2 −54

20x2 + 100x+ 61 = 0y = −x

2 −54 ,

de unde rezulta Γ ∩∆2 =V3,4(−25±8

√5

10 ,∓ 2√

55 )

.

7. a) Ecuatia polarei punctului A ın raport cu conica se deduce prin dedublarea ecuatiei conicei cu coordonatelepunctului A(1, 2); obtinem

∆pol,A : 1 · x− 2 · 12(x · 2 + 1 · y) + 3 · 2y − 4 · 1

2· (x+ 1) + 6 · 1

2(y + 2)− 4 = 0 ⇔ y =

38x.

Intersectia dintre polara ∆ si conica este data dex2 − 2xy + 3y2 − 4x+ 6y − 4 = 0y = 3x/8 ⇔

43x2 − 112x− 256 = 0y = 3x/8,

deci de punctele T1,2( 56±8√

22143 , 21±3

√221

43 ). Atunci cele doua tangente au ecuatiile

∆1,2 : y − 2 = (x− 1) · −65± 3√

22113± 8

√221

.

b) Diametrul conicei Γ conjugat cu directia v = i− 2j ≡ (1,−2) este dat de ecuatia

∆conj,v : 1 · (2x− 2y − 4) + (−2)(−2x+ 6y + 6) = 0 ⇔ 3x− 7y − 8 = 0.

Daca ducem tangentele de directie v ≡ (1,−2) la conica, atunci punctele de tangenta A,B le aflam rezolvandsistemul

A,B = Γ ∩∆conj :x2 − 2xy + 3y2 − 4x+ 6y − 4 = 03x− 7y − 8 = 0 ⇔

x = (7y + 8)/3y2 + y − 2 = 0 ,

de unde rezulta A(−2,−2) si B(5, 1). In concluzie, ecuatiile tangentelor de directie v la conica sunt respectiv

∆1 : x+21 = y+2

−2 ⇔ 2x+ y + 6 = 0

∆2 : x−51 = y−1

−2 ⇔ 2x+ y − 11 = 0.

c) Tangenta dusa prin punctul B(1, 1) ∈ Γ la conica Γ are ecuatia obtinuta prin dedublare cu coordonatelepunctului B,

∆tg,B : 1 · x− (x+ y) + 3 · y − 2(x+ 1) + 3(y + 1)− 4 = 0

sau echivalent 2x− 5y + 3 = 0.

8. Se observa ca δ =∣∣∣∣ 0 2

2 −3

∣∣∣∣ = −4 < 0, deci avem conica de gen hiperbolic. Cum ∆ =

∣∣∣∣∣∣0 2 22 −3 −72 −7 −7

∣∣∣∣∣∣ =

−16 6= 0, conica este hiperbola. Notand k = tgα, unghiul de rotatie α se obtine din ecuatia

2k1− k2

=4

0 + 3⇔ 4k2 + 6k − 4 = 0 ⇒ k1,2 ∈

−2,

12

.

Pentru k = −2, rezulta

cosα = 1±√

1+k2 = 1±√

5

sinα = k±√

1+k2 = 2±√

5

. Alegand cosα = 1√5

si sinα = − 2√5, obtinem matricea de

rotatie C =

(1√5

2√5

− 2√5

1√5

), deci ecuatiile rotatiei de reper xOy → x′Oy′ devin

(xy

)= C

(x′

y′

)⇔x = (x′ + 2y′)/

√5

y = (−2x′ + y′)/√

5.

- 78-

Page 79: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Inlocuind x, y ın ecuatia conicei Γ : 4xy − 3y2 + 4x− 14y − 7 = 0, rezulta noua ecuatie a acesteia, relativ lasistemul de coordonate rotit x′Oy′:

Γ :45(x′ + 2y′)(−2x′ + y′)− 3

5(−2x′ + y′)2 +

4√5(x′ + 2y′)− 14√

5(−2x′ + y′)− 7 = 0,

care dupa restrangerea patratelor ın x′ si y′ se rescrie

−4(x′ − 4√

5

)︸ ︷︷ ︸

x′′

2

+(y′ − 3√

5

)︸ ︷︷ ︸

y′′

2

+ 4 = 0,

deci efectuam translatia X ′ = X ′′ + V ′ data de relatiile(x′

y′

)→(x′′

y′′

)=

(x′ − 4√

5

y′ − 3√5

)⇔(x′

y′

)=(x′′

y′′

)+

(4√5

3√5

).

Relativ la noile coordonate, Γ are ecuatia canonica (hiperbola) Γ : −4x′′2 + y′′2 + 4 = 0 ⇔ x′′2 − y′′2

4 = 1.Observatia 1. Matricea rotatiei se poate obtine si prin metoda valorilor proprii, dupa cum urmeaza. Matriceaasociata formei patratice atasate conicei este:

A =(a11 a12

a21 a22

)=(

0 22 −3

).

Avem PA(λ) = det (A−λI) =∣∣∣∣ −λ 2

2 −3− λ

∣∣∣∣ = λ2 +3λ−4. Radacinile ecuatiei caracteristice λ2 +3λ−4 = 0

sunt λ1 = −4 < 0 si λ2 = 1 > 0, deci conica este de gen hiperbolic.Pentru λ = 1, vectorii proprii asociati v = (a, b) satisfac sistemul

(A− I)v = 0 ⇔(

−1 22 −4

)(ab

)=(

00

)⇔−a+ 2b = 02a− 4b = 0 ,

ce are solutiile v = (2t, t) = t(2, 1), t ∈ R. Pentru t = 1 obtinem vectorul propriu asociat v1 = (2, 1). Analog,pentru λ = −4, obtinem vectorul propriu v2 = (1,−2). Normand cei doi vectori obtinem baza ortonormata:

f1 =(

2√5,

1√5

), f2 =

(1√5,− 2√

5

).

Deoarece det [f1, f2] < 0, permutand coloanele matricii si notand e1 = f2, e2 = f1, rezulta matricea C a rotatiei:

C = [e1, e2] =(

1/√

5 2/√

5

−2/√

5 1/√

5

),

iar ecuatiile rotatiei xOy → x′Oy′ devin

x = (x′ + 2y′)/

√5

y = (−2x′ + y′)/√

5. Pe baza valorilor proprii si a invariantilor

se poate anticipa ecuatia canonica a conicei. Avem λ1 = −4, λ2 = 1 si ∆δ = −16

−4 = 4, deci

Γ′′ : λ1x′′2 + λ2y

′′2 +∆δ

= 0 ⇔ −4x′′2 + y′′2 + 4 = 0 ⇔ x′′2 − y′′2

4= 1.

Observatia 2. Coordonatele centrului de simetrie al hiperbolei C0(x, y) satisfac sistemul:2y + 2 = 02x− 3y − 7 = 0 ⇔

x = 2y = −1

deci putem efectua ın prealabil o translatie de sistem de coordonate xOy → x′C0y′, de vector OC0 ≡ t(2,−1):(

xy

)=(x′

y′

)+(

2−1

)⇔x = x′ + 2y = y′ − 1 ,

- 79-

Page 80: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

de unde rezulta Γ : 4x′y′ − 3y′2 + 4 = 0. Se observa ca este necesara o rotatie de sistem x′C0y′ → x′′C0y

′′ dematrice C, data de relatiile: X ′ = CX ′′. Matricea C se poate determina fie aplicand formula

tg 2θ =2a12

a11 − a22, C =

(cos θ − sinθsin θ cos θ

), (7.4)

fie folosind metoda valorilor proprii (vezi Obs. 1). Se obtine ecuatia redusa a conicei (vezi fig. 001),

Γ : x′′2 − y′′2

4= 1.

9. Invariantii conicei sunt:

∆ =

∣∣∣∣∣∣9 3 −23 1 −4−2 −4 −4

∣∣∣∣∣∣ = −100 6= 0, δ =∣∣∣∣ 9 3

3 1

∣∣∣∣ = 0,

deci conica este o parabola (conica fara centru). Deoarece a12 6= 0, efectuam o rotatie al carei unghi θ estesolutia ecuatiei

tg θ = −a11

a12⇔ tg θ = −3.

Rezulta ca posibila alegere cos θ = 1√10, sinθ = − 3√

10(o alegere echivalenta fiind cos θ = − 1√

10, sin θ = 3√

10),

deci matricea de rotatie este R =(

1/√

10 3/√

10

−3/√

10 1/√

10

), iar formulele rotatiei sunt:

(xy

)= R

(x′

y′

)⇔

x = (x′ + 3y′)/

√10

y = (−3x′ + y′)/√

10.

Ecuatia conicei relativ la sistemul rotit x′Oy′ este (dupa restrangerea unui patrat si gruparea termenului liniarcomplementar de gradul I):

10(y′− 1√

10

)2

= −2√

10(x′− 5

2√

10

).

Deci coordonatele noi ale sistemului translatat x′′Oy′′ sunt date de relatiile y′′ = y′ − 1√10, x′′ = x′− 5

2√

10iar

relatiile ce definesc translatia sunt

(x′

y′

)=(x′′

y′′

)+

52√

10

1√10

.

Originea O′′este exact varful parabolei, care are coordonatele (x′′, y′′) = (0, 0) si (x′, y′) = ( 52√

10, 1√

10). Relativ

la reperul x′′Oy′′ conica are ecuatia canonica Γ : y′′2 = − 2√10x′′.

Observatie. Matricea rotatiei se poate obtine si prin metoda valorilor proprii, dupa cum urmeaza. Matricea

asociata formei patratice atasate conicei este A =(

9 33 1

). Avem PA(λ) = det(A− λI) =

∣∣∣∣ 9− λ 33 1− λ

∣∣∣∣ =λ2−10λ. Radacinile ecuatiei caracteristice λ2−10λ = 0 sunt λ1 = 0, λ2 = 10, deci conica este de gen parabolic.

Pentru λ = 0, vectorii proprii asociati v = (a, b) satisfac sistemul

(A− λI)v = 0 ⇔(

9 33 1

)(ab

)=(

00

)⇔

9a+ 3b = 03a+ b = 0

care are solutiile v = (t,−3t) = t(1,−3), t ∈ R. Pentru t = 1, obtinem vectorul propriu asociat v1 = (1,−3).Analog, pentru λ = 10, obtinem vectorul propriu v2 = (3, 1). Normand vectorii v1 si v2, obtinem bazaortonormata

B′ =e1 =

(1√10,− 3√

10

), e2 =

(3√10,

1√10

),

- 80-

Page 81: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

deci matricea de rotatie este: R = [e1, e2] =

(1√10

3√10

− 3√10

1√10

); trecerea de la sistemul de coordonate xOy la cel

nou, rotit x′Oy′ este descrisa de relatiile x = (x′ + 3y′)/

√10

y = (−3x′ + y′)/√

10.

Inlocuind ın ecuatia conicei relativ la reperul xOy, obtinem ecuatia relativ la noul reper:

Γ : 10(y′ − 1√

10

)2

= −2√

10(x′ − 5

2√

10

)Cele doua paranteze sunt expresiile noilor coordonate, respectiv y′′ = y′− 1√

10, x′′ = x′− 5

2√

10, de unde rezulta

ecuatiile translatiei x′Oy′ → x′′Oy′′: x′′ = x′ − 52√

10

y′′ = y′ − 1√10

⇔(x′

y′

)=(x′′

y′′

)+

52√

10

1√10

,

de vector OO′′ =(

52√

10, 1√

10

). In final, ecuatia canonica a conicei (relativ la reperul x′′O′′y′′) este Γ : y′′2 =

− 2√10x′′ (vezi fig. 002).

Verificare. Avem ∆ = −100, δ = 0, I = 10 ⇒ p =√−∆I3 = 1√

10deci ecuatia redusa a conicei este de forma

y2 = ±2px⇔ y′′2 = ± 2√10x′′ (s-a obtinut varianta cu semnul minus).

10. Din oficiu: 1pt. Invariantii conicei sunt:

∆ =

∣∣∣∣∣∣16 2 402 19 540 5 40

∣∣∣∣∣∣ = −18.000 6= 0, δ =∣∣∣∣ 16 2

2 19

∣∣∣∣ = 300 > 0, (1 pt.)

deci conica este o elipsa (conica cu centru). Deoarece a12 6= 0, efectuam o rotatie al carei unghi θ, care sedetermina aplicand formula

tg 2θ =2a12

a11 − a22⇔ tg 2θ = −4

3; (1 pt.)

rezulta tg θ ∈2,− 1

2

(1 pt.) . Pentru tg θ = 2, rezulta ca posibila alegere cos θ = 1√

5, sin θ = 2√

5,

(0,5 pt.) deci matricea de rotatie este C =

(1√5

− 2√5

2√5

1√5

), (1 pt.) iar formulele rotatiei sunt:

(xy

)= C

(x′

y′

)⇔x = (x′ − 2y′)/

√5

y = (2x′ + y′)/√

5, (1 pt.) .

Inlocuind x, y ın ecuatia conicei Γ : 16x2 + 4xy + 19y2 + 80x + 10y + 40 = 0, rezulta noua ecuatie a acesteia,relativ la sistemul de coordonate rotit x′Oy′ :

Γ : 20x′2 + 15y′2 + 20√

5 · x′ − 30√

5 · y′ + 40 = 0 ⇔

⇔ 20

(x′ +

√5

2

)︸ ︷︷ ︸

x′′

2

+ 15(y′ −

√5)

︸ ︷︷ ︸y′′

2

= 60, (1 pt.)

deci coordonatele noi ale sistemului translatat x′′Oy′′ sunt date de relatiile x′′ = x′+√

52 , y′′ = y′−

√5, (1 pt.)

iar relatiile ce definesc translatia sunt(x′

y′

)=(x′′

y′′

)+(−√

5/2√5

). (0,5 pt.)

- 81-

Page 82: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Se obtine ecuatia canonica a elipsei Γ : 20x′′2 + 15y′′2 = 60 ⇔ x′′2

3 + y′′2

4 = 1 (1 pt.) Total: 10pt. .

Observatia 1. Matricea rotatiei se poate obtine si prin metoda valorilor proprii, dupa cum urmeaza. Matricea

asociata formei patratice atasate conicei este A =(

16 22 19

). Avem PA(λ) =

∣∣∣∣ 16− λ 22 19− λ

∣∣∣∣ = λ2 −

35λ + 300. Radacinile ecuatiei caracteristice λ2 − 35λ + 300 = 0 sunt λ1 = 15 si λ2 = 20, iar vectorii propriiortonormati sunt

B′ =e1 =

(− 2√

5,

1√5

), e2 =

(1√5,

2√5

).

Deoarece det [e1, e2] < 0, permutand coloanele matricii, rezulta matricea R a rotatiei: R = [e2, e1] =(1/√

5 −2/√

5

2/√

5 1/√

5

), iar ecuatiile rotatiei xOy → x′Oy′ devin

x = (x′ − 2y′)/

√5

y = (2x′ + y′)/√

5. Pe baza valorilor pro-

prii si a invariantilor se poate anticipa ecuatia canonica a conicei. Avem λ1 = 15,λ2 = 20, ∆δ = −60, deci

Γ′′ : λ1x′′2 + λ2y

′′2 +∆δ

= 0 ⇔ 15x′′2 + 20y′′2 − 60 = 0 ⇔ x′′2

4+y′′2

3= 1.

Observatia 2. Coordonatele centrului de simetrie al elipsei C0(x, y) satisfac sistemul8x+ y + 20 = 02x+ 19y + 5 = 0 ⇔

x = − 5

2y = 0 ,

deci putem efectua ın prealabil o translatie de sistem de coordonate xOy → x′C0y′, de vector OC ≡ t

(− 5

2 , 0),

descrisa de relatiile: (xy

)=(x′

y′

)+(−5/2

0

)⇔x = x′ − 5/2y = y′.

Fig. 61

Relativ la noul sistem ecuatia conicei este: Γ : 16x′2 + 4x′y′ + 19y′2 − 60 = 0. Prezenta termenului x′y′

ın ecuatie arata ca este necesara o rotatie de sistem x′C0y′ → x′′C0y

′′ de matrice C: X ′ = CX ′′. Matricea

C se poate determina fie aplicand formula tg 2θ =2a12

a11 − a22, C =

(cos θ − sinθsin θ cos θ

), fie folosind metoda

valorilor proprii (vezi Obs. 1 si rezolvarea prin metoda ın care rotatia precede translatiei). In final se obtineΓ : x′′2

3 + y′′2

4 = 1 (vezi fig. 323).

7.9 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare

1. Sub influenta unei forte, punctul material M se misca pe cercul

x2 + y2 − 6x+ 4y + 9 = 0.

Actiunea fortei se ıntrerupe ın momentul ın care M a ajuns ın pozitia (1,−2). Sa se determine traiectoria pecare o va urma mai departe punctul material.

2. Se dau conicele:Γ1 : x2 − 2xy + 2y2 − 4x− 6y + 3 = 0;

Γ2 : x2 − 2xy − y2 − 4x− 6y + 3 = 0;

Γ3 : x2 + 2xy + y2 + 2x+ 2y − 4 = 0.

- 82-

Page 83: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Pentru fiecare conica, sa se calculeze invariantii metrici si coordonatele centrului de simetrie. Sa se gaseascaecuatia conicei redusa la centru.

3. Sa se reduca ecuatiile:5x2 − 4xy + 2y2 − 16x+ 4y − 22 = 0;

11x2 − 24xy + 4y2 + 2x+ 16y + 11 = 0;

x2 − 2xy + y2 − 4y + 6 = 0

la forma canonica si sa se construiasca conicele corespunzatoare.

4. Sa se stabileasca pozitia dreptei D fata de conica Γ ın cazurile:

a) D : 5x− y − 5 = 0; Γ: x2 − 2xy − 3y2 − 4x− 6y + 3 = 0;

b) D : x = 3 + t, y = −1 + 2t; Γ : x2 − 2xy − 2y2 + 7x+ 6y + 132 = 0;

c) D : x = 1 + 8t, y = 1 + 7t; Γ : x2 + 2xy − 4y2 + 3x− 2y = 0.

5. Sa se scrie coordonatele polului axei Ox fata de conica

Γ: x2 − 2y2 − 3x− 7y + 1 = 0.

6. Sa se scrie ecuatia diametrului conjugat:

a) axei Ox; b) axei Oy; c) directiei d(1,−3)

pentru conica 9x2 + 6xy + y2 − 5x− 7y − 4 = 0. Sa se scrie ecuatia axei de simetrie a acestei conice.

7. Sa se determine centrul, axele si varfurile conicei

Γ: 16x2 + 4xy + 19y2 + 4x− 22y − 5 = 0.

- 83-

Page 84: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

- 84-

Page 85: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MB.8.Cuadrice

Cuvinte cheie: sfera, elipsoid, hiperboloid cu o panza, hiperboloid cu douapanze, paraboloid eliptic, paraboloid hiperbolic, con asimptot, cilindri,cuadrica riglata, generatoare rectilinie, centrul de simetrie al unei cuadrice,invariantii unei cuadrice, determinarea reperului canonic.

8.1 Sfera

Fie E3 un spatiu punctual euclidian real tridimensional raportat la un reper cartezian O; ı, , k si puncteleMi(xi, yi, zi), i = 1, 2. Reamintim expresia distantei,

d(M1,M2) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.

Pe de alta parte, functia radical nu este diferentiabila peste tot. Acest defect se elimina prin ridicarea lapatrat si utilizarea functiei polinomiale.

Fie C(x0, y0, z0) un punct fixat si r un numar real strict pozitiv fixat. Sfera S de centru C si raza reste multimea punctelor M(x, y, z) cu proprietatea d(C,M) = r (vezi fig. 62).

Fig. 62

Teorema 39. Punctul M(x, y, z) apartine sferei S de centru C(x0, y0, z0) si raza r daca si numai daca

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2.

Demonstratie. M ∈ S daca si numai daca d(C,M) = r. Echivalent,

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2.

85

Page 86: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Astfel avemS =

M(x, y, z) | (x, y, z) ∈ R3, (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2

sau mai scurt,

S : (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2.

Ecuatia(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2, (x, y, z) ∈ R3,

se numeste ecuatia carteziana implicita a sferei S de centru (x0, y0, z0) si raza r. Aceasta ecuatie este echivalentacu trei ecuatii parametrice ın R3 (vezi fig. 63):

x = x0 + r sinu cos vy = y0 + r sinu sin vz = z0 + r cosu, u ∈ [0, π], v ∈ [0, 2π]− parametri,

sau cu ecuatia vectoriala ın V3,

r = r0 + r(sinu cos v ı+ sinu sin v + cosu k).

Fig. 63

Se observa ca (x−x0)2 +(y− y0)2 +(z− z0)2 este un polinom de gradul doi ın x, y si z, termenul de gradul2 fiind x2 +y2 +z2. Aceasta observatie sugereaza sa cercetam multimea Σ din R3 descrisa de o ecuatie de forma

x2 + y2 + z2 + 2ax+ 2by + 2cz + d = 0.

Cum ecuatia lui Σ se transcrie

(x+ a)2 + (y + b)2 + (z + c)2 = ρ, ρ = a2 + b2 + c2 − d,

rezulta:1) daca ρ > 0, atunci Σ este o sfera cu centrul ın x0 = −a, y0 = −b, z0 = −c si de raza r =

√ρ;

2) daca ρ = 0, atunci Σ = (−a,−b,−c);3) daca ρ < 0, atunci Σ = ∅.Ecuatia

x2 + y2 + z2 + 2ax+ 2by + 2cz + d = 0, a2 + b2 + c2 − d > 0, (x, y, z) ∈ R3,

se numeste ecuatia carteziana generala a sferei.Sfera este o suprafata particulara. Ca submultime a lui R3, sfera este o multime marginita si ınchisa, deci

compacta. Ea are proprietatea ca separa spatiul ın doua submultimi disjuncte: interiorul lui S, notat intSsi exteriorul lui S, notat extS (vezi fig. 64).

- 86-

Page 87: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 64

Acestea pot fi descrise cu ajutorul functiei polinom

f : R3 → R, f(x, y, z) = (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 − r2,

unde (x0, y0, z0) este un punct fixat, iar r > 0 este fixat. Intr-adevar,

intS =(x, y, z) | f(x, y, z) < 0

si extS =

(x, y, z) | f(x, y, z) > 0

.

Teorema 40. 1) Multimea intS este convexa.2) ∀M1 ∈ intS si ∀M2 ∈ extS, segmentul [M1M2] intersecteaza pe S.

Demonstratie. Fara a scadea generalitatea, putem presupune x0 = y0 = z0 = 0. Fie Mi(xi, yi, zi), i = 1, 2,doua puncte din spatiu. Segmentul [M1M2] este caracterizat prin ecuatiile parametrice

x = (1− t)x1 + tx2, y = (1− t)y1 + ty2, z = (1− t)z1 + tz2, t ∈ [0, 1].

1) Daca M1,M2 ∈ intS, adica f(xi, yi, zi) = x2i + y2

i + z2i − r2 < 0, i = 1, 2, atunci

f(x, y, z) = f [(1− t)x1 + tx2, (1− t)y1 + ty2, (1− t)z1 + tz2]

= [(1− t)x1 + tx2]2 + [(1− t)y1 + ty2]2 + [(1− t)z1 + tz2]2 − r2

≤ (1− t)f(x1, y1, z1) + tf(x2, y2, z2) < 0, ∀t ∈ [0, 1].

Cu alte cuvinte, [M1M2] ⊂ intS.

2) Fie M1 ∈ intS, adica f(x1, y1, z1) < 0 si M2 ∈ extS, adica f(x2, y2, z2) > 0. Rezulta functia definita prin

ϕ(t) = f [(1− t)x1 + tx2, (1− t)y1 + ty2, (1− t)z1 + tz2]= [(1− t)x1 + tx2]2 + [(1− t)y1 + ty2]2 + [(1− t)z1 + tz2]2 − r2, t ∈ [0, 1],

cu proprietatileϕ(0) = f(x1, y1, z1) < 0 si ϕ(1) = f(x2, y2, z2) > 0.

Deoarece ϕ este o functie continua, exista o valoare t0 ∈ [0, 1] astfel ıncat

0 = ϕ(t0) = [(1− t0)x1 + t0x2]2 + [(1− t0)y1 + t0y2]2 + [(1− t0)z1 + t0z2]2,

deci ((1− t0)x1 + t0x2, (1− t0)y1 + t0y2, (1− t0)z1 + t0z2

)∈ S.

- 87-

Page 88: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Numim plan tangent la sfera ın punctul M1(x1, y1, z1) locul geometric al tuturor dreptelor tangente la sferaın punctul M1 (vezi fig. 65). Sfera este o suprafata neteda ın sensul ca ın fiecare punct al sau exista planultangent.

Fig. 65

Ecuatia planului tangent ın punctul M1 ∈ S se obtine prin dedublarea ecuatiei sferei, adica

(x− x0)(x1 − x0) + (y − y0)(y1 − y0) + (z − z0)(z1 − z0)− r2 = 0

sauxx1 + yy1 + zz1 + a(x+ x1) + b(y + y1) + c(z + z1) + d = 0.

8.2 Elipsoidul

O suprafata ın R3 este o submultime a lui R3, neteda si cu doua dimensiuni. Intrucat la acest nivel deexplicatii nu dispunem ınca de aparatul matematic care descrie netezimea si bidimensionalitatea, ın sectiunile2-7 ne multumim cu descrierea unor suprafete particulare folosind ecuatii de gradul doi ın necunoscutele (x, y, z).Asemenea suprafete au denumirea generica de cuadrice.

Definitia 41. Suprafata Σ ⊂ R3 de ecuatie

x2

a2+y2

b2+z2

c2− 1 = 0, a, b, c > 0,

se numeste elipsoid.

Forma elipsoidului se obtine analizandu-i simetriile si intersectiile cu axele de coordonate si cu plane paralelecu planele de coordonate.

Se observa ca schimband pe rand pe x ın −x, pe y ın −y si pe z ın −z, ecuatia elipsoidului nu se schimba.Prin urmare elipsoidul este simetric fata de planele de coordonate, numite din acest motiv plane principaleale elipsoidului. Suprafata este simetrica si ın raport cu axele de coordonate care se numesc axele suprafetei,deoarece schimbarile tripletului (x, y, z) ın (x,−y,−z), (−x, y,−z), respectiv (−x,−y, z), nu modifica ecuatiaelipsoidului. Rezulta ca originea este centru de simetrie. Originea se numeste centrul elipsoidului. Punctele ıncare axele ınteapa suprafata se numesc varfuri.

Numerele a, b si c se numesc semiaxe. Intersectiile dintre planele de coordonate si elipsoid sunt urmatoareleelipse:

(1)

x2

a2+y2

b2− 1 = 0

z = 0;(2)

x2

a2+z2

c2− 1 = 0

y = 0;(3)

y2

b2+z2

c2− 1 = 0

x = 0.

- 88-

Page 89: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 66 Fig. 67

Intersectand elipsoidul cu plane paralele cu xOy, obtinem elipsele (vezi fig. 66)

(4)

x2

a2

c2(c2 − k2)

+y2

b2

c2(c2 − k2)

− 1 = 0

z = k, k ∈ [−c, c],

care sunt asemenea cu elipsa (1). Rezulta ca elipsoidul are alura din cele doua figuri de mai sus.

Teorema 42. Elipsoidul este o multime marginita si ınchisa (deci compacta) ın spatiu.

Demonstratie. Din ecuatia elipsoidului rezulta

x2

a2≤ 1,

y2

b2≤ 1,

z2

c2≤ 1

sau−a ≤ x ≤ a, −b ≤ y ≤ b, −c ≤ z ≤ c.

Astfel, toate punctele elipsoidului sunt cuprinse ın interiorul unui paralelipiped cu laturile de lungimi finite.Se observa ca ın cazul cand a = b sau b = c sau c = a, se obtine elipsoidul de rotatie (generat prin rotirea uneielipse ın jurul unei axe).

Elipsoidul Σ este o multime ınchisa ın spatiu deoarece 1 este o multime ınchisa ın R, Σ = g−1(1), iar

g : R3 → R, g(x, y, z) =x2

a2+y2

b2+z2

c2

este o functie continua (teorema de analiza matematica).

Teorema 43. Intersectia dintre un elipsoid si un plan arbitrar este o elipsa, un punct sau multimea vida.

Demonstratie. Intersectia dintre un elipsoid si un plan este o curba de ordinul al doilea (conica). Deoareceelipsoidul este o multime compacta (ınchisa si marginita), intersectia trebuie sa fie marginita. Singurele conicemarginite sunt elipsa, un punct si multimea vida.

Elipsoidul este utilizat ca suprafata de referinta ın mecanica (elipsoidul de inertie), geodezie, topografie(pentru masuratori) si medicina (dispozitivul de distrus calculii renali, unde semnalul de ınalta frecventa emisdintr-un focar converge ın celalalt focar, unde se afla piatra), etc.

8.3 Hiperboloizii

- 89-

Page 90: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Definitia 44. Suprafata Σ ⊂ R3 de ecuatie

x2

a2+y2

b2− z2

c2− 1 = 0, a, b, c > 0,

se numeste hiperboloid cu o panza.

Aceasta suprafata particulara are aceleasi simetrii cu elipsoidul. Intersectiile hiperboloidului cu o panza cuplanele x = 0 si y = 0 sunt hiperbolele

y2

b2− z2

c2− 1 = 0

x = 0si

x2

a2− z2

c2− 1 = 0

y = 0.

Intersectiile acestei suprafete cu planele z = k sunt elipse reale asemenea, oricare ar fi k ∈ R. Rezulta aluradin figura de mai jos.

Fig. 68

Se observa ca hiperbolodiul cu o panza este o multime nemarginita (contine o hiperbola) si ınchisa ın R3

(vezi teoria submultimilor din R3).Hiperboloidul cu o panza este folosit ın constructii industriale ca model pentru turnuri de racire, cosuri de

fum etc., deoarece poate fi realizat din elemente rectilinii ımbinate convenabil unei eficiente maxime, fiind osuprafata dublu riglata (vezi sectiunea 6). Tot datorita acestei proprietati, exista modele pentru transmisiarotatiilor ıntre doi arbori necoliniari realizati cu ajutorul a doi hiperboloizi de rotatie cu o panza (roti dintatehiperbolice).

Suprafata Σ ⊂ R3 de ecuatie

conasx2

a2+y2

b2− z2

c2= 0 (8.1)

se numeste conul asimptot al hiperboloidului cu o panza, denumire care decurge din forma acestei suprafeteın raport cu forma hiperboloidului cu o panza (figura 7). Conul este des folosit ın tehnica. De exemplu, pentrutransmiterea miscarii de rotatie ıntre doi arbori (axe) necoliniari se pot folosi doua conuri de rotatie, realizandroti dintate conice.

Definitia 45. Suprafata Σ ⊂ R3 de ecuatie

x2

a2+y2

b2− z2

c2+ 1 = 0, a, b, c > 0,

se numeste hiperboloid cu doua panze.

- 90-

Page 91: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Aceasta suprafata are aceleasi simetrii ca si hiperboloidul cu o panza. Are numai doua varfuri situate peaxa Oz. Intersectiile hiperboloidului cu doua panze cu planele x = 0 si y = 0 sunt hiperbolele

y2

b2− z2

c2+ 1 = 0

x = 0si

x2

a2− z2

c2+ 1 = 0

y = 0.

Observam ca ın regiunea −c < z < c nu avem puncte ale hiperboloidului cu doua panze. Intersectiasuprafetei cu planele z = k, |k| ≥ c, da elipsele asemenea

x2

a2

c2(k2 − c2)

+y2

b2

c2(k2 − c2)

− 1 = 0

z = k.

Hiperboloidul cu doua panze este schitat ın figura de mai jos. Hiperboloidul cu doua panze este o multimenemarginita si ınchisa ın R3.

Fig. 69

Suprafata Σ ⊂ R3 de ecuatiex2

a2+y2

b2− z2

c2= 0, descrisa de ecuatia (??) se mai numeste si conul asimptot

al hiperboloidului cu doua panze (vezi fig. 69).

8.4 Paraboloizii

Definitia 46. Suprafata Σ ⊂ R3 de ecuatie

z =x2

a2+y2

b2, a, b > 0,

se numeste paraboloid eliptic.

Planele de simetrie x = 0 si y = 0 se numesc plane principale. Oz este axa de simetrie (axa principala) siınteapa suprafata ın origine. Acest punct se numeste varf. Intersectiile paraboloidului eliptic cu planele x = 0

- 91-

Page 92: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

si y = 0 sunt parabolele z =y2

b2

x = 0si

z =x2

a2

y = 0,

ceea ce denota ca paraboloidul eliptic este o suprafata nemarginita. Evident, suprafata exista numai pentruz ≥ 0. Daca taiem cu planele z = k > 0, atunci se obtin elipsele

x2

a2+y2

b2= k

z = k.

Folosind rezultatele de mai sus, obtinem alura din figura de mai jos.

Fig. 70

Pentru a = b obtinem paraboloidul de rotatie (generat prin rotatia unei parabole ın jurul axei sale).Paraboloidul eliptic este o multime nemarginita si ınchisa ın R3. Paraboloidul eliptic este folosit ın indus-tria de confectii drept model pentru calapoade de caciuli de iarna, dat fiind faptul ca acest model asiguramularea caciulii pe cap. De asemenea, paraboloidul de rotatie este utilizat ın proiectarea antenelor parabolice,reflectoarelor si statiilor de captare a energiei solare.

Definitia 47. Suprafata Σ de ecuatie

z =x2

a2− y2

b2

se numeste paraboloid hiperbolic sau sa.

Aceasta suprafata are aceleasi simetrii ca si paraboloidul eliptic. Originea este varf al suprafetei. Intersectiasuprafetei cu planul x = 0 da parabola z = −y

2

b2

x = 0,

care are concavitatea ınspre sensul negativ al axei Oz, ıntrucat ın mod necesar z ≤ 0. Intersectia suprafetei cuplanul y = 0 da parabola z =

x2

a2

y = 0,

care are axa de simetrie Oz si este dirijata ın sensul pozitiv al acestei axe.Intersectand saua cu planele z = k > 0, se obtin hiperbolele

x2

a2− y2

b2= k

z = k,

- 92-

Page 93: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

care au axa transversa paralela cu Ox.Intersectand saua cu planele z = k < 0, se obtin hiperbolele

x2

a2− y2

b2= k

z = k.

Rezulta ca saua are forma din figura de mai jos. Ca multime, ın R3, saua este nemarginita si ınchisa. Saua(paraboloidul hiperbolic) este folosita ın constructii industriale ca model pentru acoperisuri ıntrucat aceastasuprafata se poate realiza din elemente rectilinii asezate convenabil unei eficiente maxime, fiind o suprafatadublu riglata.

Fig. 71

8.5 Cilindri, perechi de plane etc.

In acest paragraf completam lista cuadricelor definite prin ecuatii canonice, lasand ca exercitiu studiul fiecareisuprafete ın parte.

Cuadrica de ecuatiex2 + y2 − a2 = 0

se numeste cilindru circular.Cuadrica de ecuatie

x2

a2+y2

b2− 1 = 0

se numeste cilindru eliptic (vezi fig. 72).

Fig. 72 Fig. 73 Fig. 74

Cuadrica de ecuatiex2

a2− y2

b2− 1 = 0

se numeste cilindru hiperbolic (vezi fig. 73).Cuadrica de ecuatie

y2 = 2px

- 93-

Page 94: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

se numeste cilindru parabolic (vezi fig. 74).

Alte tipuri de cuadrice:

• pereche de plane concurente,x2

a2− y2

b2= 0;

• pereche de plane paralele, x2 − a2 = 0;

• pereche de plane confundate, x2 = 0;

• dreapta,x2

a2+y2

b2= 0;

• punct,x2

a2+y2

b2+z2

c2= 0;

• multime vida,x2

a2+y2

b2+z2

c2+ 1 = 0 sau

x2

a2+y2

b2+ 1 = 0 sau x2 + a2 = 0, (a 6= 0).

8.6 Generatoare rectilinii

Exista mai multe moduri de a genera o cuadrica. De exemplu cilindrul circular, cilindrul eliptic, cilindrulhiperbolic, cilindrul parabolic, conul, hiperboloidul cu o panza si paraboloidul hiperbolic pot fi generate prinmiscarea unei drepte. Elipsoidul si hiperboloizii pot fi generati prin familii de elipse. Paraboloizii sunt generatide o familie de parabole paralele, cu varfurile pe o parabola fixa situata ıntr-un plan perpendicular pe planulparabolei mobile etc.

Definitia 48. O cuadrica Σ care poate fi generata prin miscarea unei drepte D care se sprijina pe o curba Cse numeste cuadrica riglata.

Dreapta D se numeste generatoarea rectilinie a cuadricei riglate, iar curba C se numeste curba directoare.

Curba directoare poate fi eliminata din definitia cuadricei riglate. Intr-adevar, o cuadrica este riglata dacasi numai daca prin fiecare punct al sau trece cel putin o dreapta continuta ın cuadrica. O cuadrica se numestedublu riglata daca prin fiecare punct al sau trec doua drepte distincte continute ın cuadrica.

Teorema 49. Hiperboloidul cu o panza si paraboloidul hiperbolic sunt cuadrice dublu riglate.

Demonstratie. Hiperboloidul cu o panza Σ1 are ecuatia

x2

a2+y2

b2− z2

c2− 1 = 0.

Deoarece aceasta ecuatie se transcrie(xa− z

c

)(xa

+z

c

)=(1− y

b

)(1 +

y

b

),

familiile de drepte:

Dλ :

x

a+z

c= λ

(1 +

y

b

)λ(xa− z

c

)= 1− y

b;

D∞ :

x

a− z

c= 0

1 +y

b= 0;

Dµ :

x

a+z

c= µ

(1− y

b

)µ(xa− z

c

)= 1 +

y

b;

D∞ :

x

a− z

c= 0

1− y

b= 0

- 94-

Page 95: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

sunt incluse ın hiperboloidul cu o panza si

Σ1 =⋃

λ∈R

Dλ =⋃

µ∈R

Dµ.

Cu alte cuvinte, familiile precedente de drepte sunt generatoare rectilinii ale hiperboloidului cu o panza (vezifig. 75).

Fig. 75

Daca generatoarele rectilinii ale hiperboloidului cu o panza sunt translatate paralel ın origine, atunci obtinemgeneratoarele rectilinii ale conului

Σ:x2

a2+y2

b2− z2

c2= 0.

Evident, conul este o suprafata simplu riglata.Analog, paraboloidul hiperbolic

Σ2 : z =x2

a2− y2

b2

poate fi generat de doua familii de drepte. Pentru a gasi aceste familii de drepte, transcriem ecuatia paraboloidu-lui hiperbolic ın forma

z =(xa− y

b

)(xa

+y

b

).

De aici rezulta ca familiile de drepte:

Dλ :

x

a+y

b= λz

λ(xa− y

b

)= 1;

D∞ :

x

a− y

b= 0

z = 0;

Dµ :

x

a− y

b= µz

µ(xa

+y

b

)= 1;

D∞ :

x

a+y

b= 0

z = 0

sunt incluse ın paraboloidul hiperbolic si

Σ2 =⋃

λ∈R\0

Dλ =⋃

µ∈R\0

Dµ.

Teorema 50. Cele doua familii de generatoare rectilinii ale hiperboloidului cu o panza sau ale paraboloiduluihiperbolic au urmatoarele proprietati:

Hiperboloidul cu o panza

- 95-

Page 96: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

1) orice doua drepte din aceeasi familie sunt necoplanare;2) o dreapta din familia Dλ si o dreapta din familia Dµ sunt coplanare;3) oricare trei drepte din aceeasi familie nu sunt paralele cu acelasi plan;Paraboloidul hiperbolic1) orice doua drepte din aceeasi familie sunt necoplanare;2) o dreapta din familia Dλ si o dreapta din familia Dµ sunt concurente;3) oricare trei drepte din aceeasi familie sunt paralele cu acelasi plan.

In general, o suprafata generata prin miscarea unei drepte D care se sprijina pe o curba C se numestesuprafata riglata. Daca generatoarea D are ecuatiile parametrice x = x0 + v`

y = y0 + vmz = z0 + vn, v ∈ R,

atunci suprafata riglata are ecuatii parametrice de gradul 1 ın v, adica x = x0(u) + v`(u)y = y0(u) + vm(u)z = z0(u) + vn(u), (u, v) ∈ I × R,

unde I este un interval din R.

Teorema 51. Orice suprafata dublu riglata este un plan, un hiperboloid cu o panza sau un paraboloid hiperbolic.

Demonstratie. O suprafata riglata este dublu riglata daca si numai daca ecuatiile ei parametrice sunt ecuatiide gradul 1 ın v si de gradul 1 ın u, adica x = a0 + a1u+ v(`0 + `1u)

y = b0 + b1u+ v(m0 +m1u)z = c0 + c1u+ v(n0 + n1u), (u, v) ∈ R2.

Notam

∆ =

∣∣∣∣∣∣a1 `0 `1b1 m0 m1

c1 n0 n1

∣∣∣∣∣∣ .Daca ∆ = 0, atunci exista numerele reale α, β si γ astfel ıncat

α(x− a0) + β(y − b0) + γ(z − c0) = 0

si astfel suprafata dublu riglata este un plan (suprafata riglata ıntr-o infinitate de feluri).Daca ∆ 6= 0, atunci prin eliminarea lui u si v obtinem o ecuatie de gradul doi ın (x, y, z). In acest caz,

suprafata dublu riglata este o cuadrica si singurele cuadrice dublu riglate sunt cele mentionate ın teorema.

8.7 Cuadrice descrise prin ecuatia generala

Cuadricele sunt figuri (suprafete) ın spatiu. Descrierea analitica a acestor figuri reclama identificarea spatiuluipunctual tridimensional E3 cu multimea R3, utilizand reperul cartezian O; ı, , k. Modelul R3 permite descri-erea figurilor cu ajutorul ecuatiilor si inecuatiilor asociate unor functii.

Fie forma patratica afina g : R3 → R

g(x, y, z) = a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz

+2a10x+ 2a20y + 2a30z + a00,

- 96-

Page 97: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

cu a211 + a2

22 + a233 + a2

12 + a213 + a2

23 6= 0.

Definitia 52. Multimea de nivel constant zero

Σ =M(x, y, z) | (x, y, z) ∈ R3, g(x, y, z) = 0

,

se numeste cuadrica sau suprafata algebrica de ordinul al doilea. Se noteaza

Σ: g(x, y, z) = 0.

Din punct de vedere topologic, cuadricele sunt multimi ınchise ın spatiu deoarece 0 este o multime ınchisaın R, Σ = g−1(0) si g : R3 → R este o functie continua (teorema de analiza matematica).

Prin trecerea de la reperul cartezian O; ı, , k la un reper cartezian adecvat orientat pozitiv O′; ı′, ′, k′(numit reper canonic sau natural) fata de care ecuatia g(x, y, z) = 0 sa aiba forma cea mai simpla posibila(numita ecuatia redusa sau canonica), se dovedeste ca Σ este congruenta cu una dintre multimile: sfera,elipsoid, hiperboloid cu o panza, hiperboloid cu doua panze, paraboloid hiperbolic, con, cilindru circular, cilindrueliptic, cilindru hiperbolic, cilindru parabolic, pereche de plane secante, pereche de plane paralele, pereche deplane confundate, dreapta, multime care contine un singur punct, multime vida.

Fata de roto-translatii, ecuatia g(x, y, z) = 0 are urmatorii invarianti:

∆ = det A, δ = detA, J =∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a11 a13

a31 a33

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ , I = trA,

unde

A =

a11 a12 a13 a10

a21 a22 a23 a20

a31 a32 a33 a30

a01 a02 a03 a00

si A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

,

cu aij = aji, i 6= j, i, j = 0, 3.Acesti invarianti sunt folositi pentru clasificarea cuadricelor. De exemplu, determinantul ∆ descrie natura

cuadricei:• daca ∆ = 0, atunci cuadrica se numeste degenerata (reuniune de doua plane);• daca ∆ 6= 0, atunci cuadrica se numeste nedegenerata.Dintre cuadricele nevide, sfera, elipsoidul, hiperboloizii si paraboloizii sunt cuadrice nedegenerate, iar conul,

cilindrii si perechile de plane sunt cuadrice degenerate.Sfera este o cuadrica pentru care a11 = a22 = a33 = m 6= 0, a12 = a13 = a23 = 0 si

ρ =(a10

m

)2

+(a20

m

)2

+(a30

m

)2

− a00

m> 0.

Centru sferei este punctul(−a10

m,−a20

m,−a30

m

)si raza sferei este numarul r =

√ρ.

Centrul de simetrie al unei cuadrice

Analog cu conicele, centrul de simetrie al unei cuadrice este punct critic al functiei g, adica solutiasistemului liniar

12∂g

∂x= a11x+ a12y + a13z + a10 = 0

12∂g

∂y= a12x+ a22y + a23z + a20 = 0

12∂g

∂z= a13x+ a23y + a33z + a30 = 0.

Pot interveni urmatoarele situatii:

- 97-

Page 98: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

1) Daca detA = δ 6= 0, atunci sistemul liniar precedent este compatibil unic determinat. Prin urmare,cuadrica admite un singur centru de simetrie la distanta finita. Este cazul sferei, elipsoidului, hiperboloiduluicu o panza, hiperboloidului cu doua panze si conului.

2) Daca

δ = 0,∣∣∣∣ a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣ 6= 0

si unicul determinant caracteristic al sistemului este nenul, atunci sistemul este incompatibil. Cele trei planereprezentate de cele trei ecuatii formeaza o prisma triunghiulara. Este cazul paraboloidului eliptic si paraboloidu-lui hiperbolic.

3) Daca

δ = 0,∣∣∣∣ a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣ 6= 0

si unicul determinant caracteristic este nul, sistemul linar este compatibil simplu nedeterminat.Cele trei plane reprezentate de cele trei ecuatii din sistem se intersecteaza dupa o dreapta numita dreapta

de centre. Este cazul cilindrilor circulari, eliptici si hiperbolici.

4) Daca δ = 0 si rangul sistemului este 1, iar cei doi determinanti caracteristici nu sunt nuli, sistemul esteincompatibil. Planele sunt paralele. Este cazul cilindrului parabolic.

5) Daca δ = 0, rangul sistemului este 1 si cei doi determinanti caracteristici sunt nuli, atunci sistemul estecompatibil dublu nedeterminat. Cele trei plane sunt confundate. Cuadrica are un plan de centre. Este cazulplanelor paralele distincte sau confundate.

Exemplu. Fie cuadrica Σ, care contine punctele A(−1, 2, 3), B(1, 1,−1), axa Oy si cercul Γ care are centrulın C(0, 0, 3) si este tangent axei Ox ın origine.

Sa se scrie ecuatia cuadricei Σ, sa se calculeze invariantii ei si coordonatele centrului.Solutie. Cercul Γ se afla ın planul xOz si are ecuatiile x2 + z2 − 6z = 0, y = 0. Ecuatia cuadricei este de

formax2 + z2 − 6z + y(αx+ βy + γz + δ) = 0,

ıntrucat intersectia acestei suprafete cu planul xOz este cercul Γ.Deoarece cuadrica Σ contine axa Oy, ecuatia ei devine identitate pentru x = 0 si z = 0, de unde rezulta

β = δ = 0.

Conditiile A ∈ Σ si B ∈ Σ sunt echivalente cu sistemulα− 3γ = 4α+ γ = 8, deci α = 7 si γ = 1. In concluzie,

Σ: x2 + z2 + 7xy + yz − 6z = 0.

Invariantii cuadricei sunt

∆ = det

172

0 0

72

012

0

012

1 −3

0 0 −3 0

=

4414

(cuadrica nedegenerata),

δ = −252

(cuadrica cu centru), J = −232

si I = 2.

Centrul de coordonate(−21

50,

325,14750

)reprezinta solutia sistemului

2x+ 7y = 07x+ z = 02z + y − 6 = 0.

- 98-

Page 99: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

8.8 Reducerea la forma canonica a ecuatiei unei cuadrice

Pentru stabilirea ecuatiei canonice a unei cuadrice se poate proceda astfel:a) daca a12 = a13 = a23 = 0, se face o translatie si eventual o rotatie;b) daca cel putin unul dintre numerele a12, a13 si a23 este nenul, atunci tipul cuadricei de ecuatie

a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a10x+ 2a20y + 2a30z + a00 = 0

este determinat de forma patratica

a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz.

Matricea simetrica atasata acestei forme patratice este a11 a12 a13

a13 a22 a23

a13 a23 a33

.

Pentru matricea A se determina valorile proprii λ1, λ2 si λ3 care sunt reale si vectorii proprii corespunzatoricare sunt sau se aranjeaza a fi ortogonali. Prin normare obtinem versorii e1, e2 si e3. Se noteaza cu R matriceaformata cu coordonatele versorilor e1, e2 si e3, asezate pe coloane. Avand ın vedere posibilitatea ınlocuirii unuiadintre versorii e1, e2 si e3 prin opusul sau sau posibilitatea renumerotarii valorilor proprii, putem presupunedetR = 1.

Rotatia xyz

= R

x′

y′

z′

reduce forma patratica la expresia canonica

λ1x′2 + λ2y

′2 + λ3z′2.

Directiile noilor axe de coordonate sunt date de directiile versorilor proprii e1, e2, respectiv e3. In final, dacaeste cazul, se face o translatie.

Exemplu. Sa se reduca ecuatia

z2 + y2 + 5z2 − 6xy + 2xz − 2yz − 4x+ 8y − 12z + 14 = 0

la forma canonica si sa se construiasca cuadrica corespunzatoare.Solutie. Matricea formei patratice x2 + y2 + 5z2 − 6xy + 2xz − 2yz este

A =

1 −3 1−3 1 −1

1 −1 5

.

Valorile proprii ale matricei A sunt solutiile ecuatiei caracteristice∣∣∣∣∣∣1− λ −3 1−3 1− λ −11 −1 5− λ

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Obtinem valorile proprii reale si distincte λ1 = −2, λ = 3 si λ3 = 6. Vectorii proprii corespunzatori vor fiautomat ortogonali, deoarece matricea A este simetrica si are valori proprii distincte.

Coordonatele (u, v, w), ale vectorului propriu corespunzator valorii proprii λ, satisfac sistemul (1− λ)u− 3v + w = 0−3u+ (1− λ)v − w = 0u− v + (5− λ)w = 0.

- 99-

Page 100: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Pentru λ1 = −2, gasim vectorul propriu u = 1, v = 1 si w = 0. Normalizand, obtinem versorul propriu

e1 =(

1√2,

1√2, 0). Pentru λ2 = 3, deducem vectorul propriu (−1, 1, 1) si prin normalizare obtinem versorul

e2 =(− 1√

3,

1√3,

1√3

). Procedam analog pentru λ3 = 6 si obtinem e3 =

(1√6,− 1√

6,

2√6

).

Matricea ortogonala R ale carei coloane sunt formate din componentele versorilor proprii are determinantul1. Prin rotatia

xyz

= R

x′

y′

z′

sau explicit

x =1√2x′ − 1√

3y′ +

1√6z′

y =1√2x′ +

1√3y′ − 1√

6z′

z =1√3y′ +

2√6z′,

ecuatia carteziana generala devine

−2x′2 + 3y′2 + 6z′2 +4√2x′ − 36√

6z′ + 14 = 0.

Completam patratele perfecte ın x′, y′ si z′ fortand factorii comuni −2, 3, 6 si obtinem

−2(x′ − 1√

2

)2

+ 3y′2 + 6(z′ − 3√

6

)2

+ 6 = 0.

Efectuam translatia

x′ =1√2

+ x′′, y′ = y′′, z′ =3√6

+ z′′

si gasim ecuatia canonica a hiperboloidului cu doua panze ale carei varfuri se afla pe axa absciselor Cx′′ (vezifig. 76),

−x′′2

3+y′′

2

2+z′′

2

1+ 1 = 0.

Fig. 76

Observatie. Cuadricele pot fi reprezentate grafic utilizand pachete software care contin module de calculsimbolic, precum MathematicaR©sau MapleR©.

8.9 Intersectia unei cuadrice cu o dreapta sau cu un plan

Fie D o dreapta de ecuatii x = x0 + `ty = y0 +mtz = z0 + nt, t ∈ R

- 100-

Page 101: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

si Σ o cuadrica de ecuatie g(x, y, z) = 0. Intersectia D ∩ Σ corespunde radacinilor t1 si t2 ale ecuatiei ın R,

t2ϕ(`,m, n) + t(`gx0 +mgy0 + ngz0) + g(x0, y0, z0) = 0, (8.2)

undeϕ(`,m, n) = a11`

2 + a22m2 + a33n

2 + 2a12`m+ 2a13`n+ 2a23mn,

iar gx0 = gx(x0, y0, z0) etc.

Discutie:1) Fie ϕ(`,m, n) 6= 0. In acest caz, ecuatia (8.2) este o ecuatie de gradul 2.Daca q = (`gx0 +mgy0 +ngz0)

2−4ϕ(`,m, n)g(x0, y0, z0) > 0, atunci ecuatia are doua radacini reale distincte,t1 si t2. Astfel, dreapta D intersecteaza cuadrica Σ ın doua puncte, M1 si M2.

Daca q = 0, atunci t1 = t2. Corespunzator, D va intersecta pe Σ ın doua puncte confundate. In acest caz,dreapta D se numeste tangenta la Σ.

Daca q < 0, rezulta ca ecuatia (8.2) nu are radacini, deci D nu intersecteaza pe Σ (vezi fig. 77).

Fig. 77

2) Fie ϕ(`,m, n) = 0. Ecuatia (8.2) devine o ecuatie de gradul ıntai.Daca `gx0 +mgy0 + ngz0 6= 0, atunci exista o solutie unica, deci D intersecteaza cuadrica Σ ıntr-un singur

punct.Daca `gx0 +mgy0 + ngz0 = 0 si g(x0, y0, z0) 6= 0, atunci ecuatia (8.2) nu are solutii. In aceste conditii D nu

intersecteaza cuadrica Σ.Daca `gx0 +mgy0 + ngz0 = 0 si g(x0, y0, z0) = 0, atunci (8.2) este o identitate si astfel D ⊂ Σ.Fie M0(x0, y0, z0) ∈ Σ un punct pentru care cel putin unul dintre numerele gx0 , gy0 si gz0 este diferit de 0.

Aceasta ipoteza este folosita implicit ın teoremele care urmeaza.

Teorema 53. Dreapta D de parametri directori (`,m, n) este tangenta la cuadrica Σ ın punctul M0(x0, y0, z0) ∈Σ daca si numai daca `gx0 +mgy0 + ngz0 = 0.

Demonstratie. Intersectia dintre dreapta

D :

x = x0 + `ty = y0 +mtz = z0 + nt, t ∈ R

si cuadrica Σ corespunde la radacinile t1 si t2 ale ecuatiei (8.2).Deoarece M0 ∈ Σ, avem g(x0, y0, z0) = 0. Ecuatia (8.2) va avea radacina dubla t = 0 daca si numai daca

`gx0 +mgy0 + ngz0 = 0.

Teorema 54. Locul geometric al tuturor tangentelor la cuadrica Σ ın punctul M0 ∈ Σ este planul de ecuatie

(x− x0)gx0 + (y − y0)gy0 + (z − z0)gz0 = 0.

- 101-

Page 102: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Acest plan se numeste planul tangent la cuadrica Σ ın punctul M0.

Demonstratie. Dreapta D este tangenta la Σ ın M0 ∈ Σ daca si numai daca `gx0 +mgy0 + ngz0 = 0. Eliminandparametrii `, m, n si t, gasim

(x− x0)gx0 + (y − y0)gy0 + (z − z0)gz0 = 0.

Mentionam ca ecuatia planului tangent ıntr-un punct M0 ∈ Σ se poate obtine si prin dedublarea ecuatieig(x, y, z) = 0 ın punctul M0. Deci ecuatia planului tangent se transcrie

a11xx0 + a22yy0 + a33zz0 + a12(x0y + xy0) + a13(x0z + xz0) + a23(y0z + yz0)+a10(x+ x0) + a20(y + y0) + a30(z + z0) + a00 = 0.

Cuadrica Σ se numeste neteda daca ın fiecare punct al sau exista planul tangent. Netezimea cuadricei Σ eliminapunctele critice, adica punctele ın care gx, gy, gz si g se anuleaza simultan (de exemplu varful unui con).

Dreapta care trece prin M0 ∈ Σ si este perpendiculara pe planul tangent se numeste normala la Σ ın punctulM0 si are ecuatiile (vezi fig. 78)

x− x0

gx0

=y − y0gy0

=z − z0gz0

.

Intersectia dintre un plan P : ax+ by + cz + d = 0 si o cuadrica Σ: g(x, y, z) = 0 este descrisa de sistemulax+ by + cz + d = 0g(x, y, z) = 0.

In ipoteza c 6= 0, din ecuatia planului obtinem z = αx+βy+γ si ınlocuim ın g(x, y, z) = 0. Astfel, intersectiaP ∩ Σ se reduce la intersectia dintre planul P si cilindrul de gradul doi, de ecuatie g(x, y, αx + βy + γ) = 0 sicu generatoarele paralele cu Oz, deci P ∩ Σ este o conica Γ.

Proiectia conicei Γ = P ∩ Σ pe planul xOy : z = 0 este conica Γ′ descrisa de sistemul (vezi fig. 79)z = 0g(x, y, αx+ βy + γ) = 0.

Fig. 78 Fig. 79

8.10 Exercitii/probleme rezolvate

8.10.1 Enunturi

1. Fie sfera Σ : x2 + y2 + z2 + 2x− 6y + 4z + 10 = 0.

- 102-

Page 103: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

a) Aflati centrul C si raza r a sferei.b) Aratati ca Σ intersecteaza planul π : 4x+ y + 3z + 13 = 0 dupa un cerc.c) Aflati centrul C si raza r a cercului de intersectie a sferei cu planul π.

2. Se dau cuadricele:

Σ1 : x2 − y2 + z2 − 2xy − 2yz − 2zx− 5x− 1 = 0;

Σ2 : −2√

3xy + 2y2 − 7z2 + 112x− 16y − 14z − 87 = 0;

Σ3 : x2 + y2 + 5z2 − 6xy + 2xz − 2yz − 4x+ 8y − 12z + 14 = 0.

Pentru fiecare din cele trei cuadrice:

a) calculati invariantii ∆, δ, J, I;b) aflati centrul Cs de simetrie al cuadricii;c) aduceti la forma canonica folosind metoda rototranslatiei: obtineti matricea de rotatie folosind metodavalorilor proprii;d) reprezentati grafic cuadrica.

3. Aflati planul π tangent la cuadrica x2

9 + y2 = 2z, care trece prin punctul acesteia A(−3,−1, 1).

4. Aflati unghiul format de generatoarele continute ın cuadrica x2

9 − z2

4 = y, care trec prin punctul acesteiaM(3, 1, 0); determinati planul tangent la cuadrica si dreapta normala la cuadrica ın M .

5. Se da cuadrica:Σ1 : x2 − y2 + z2 − 2xy − 2yz − 2zx− 5x− 1 = 0.

a) Calculati invariantii ∆, δ, J, I;b) Aflati centrul Cs de simetrie al cuadricii;c) Aduceti la forma canonica folosind metoda rototranslatiei: obtineti matricea de rotatie folosind metodavalorilor proprii;d) reprezentati grafic cuadrica.

8.10.2 Solutii

1. a) Se observa ca prin restrangerea patratelor, ecuatia sferei Σ se rescrie sub forma

Σ : (x+ 1)2 + (y − 3)2 + (z + 2)2 = 4 ⇔ [x− (−1)]2 + (y − 3)2 + [z − (−2)]2 = 4.

Rezulta centrul sferei, punctul C(−1, 3,−2) si raza sferei r = 2.

b) Distanta de la centrul C(−1, 3,−2) al sferei la planul π este

d = d(C, π) =| − 4 + 3− 6 + 13|√

42 + 12 + 32=

6√26

< 2,

deci planul π este secant sferei.

c) Notand cu C ′ centrul cercului Γ de intersectie al sferei Σ cu planul π, cu A un punct oarecare al cerculuiΓ si cu r′ raza acestuia, aplicand teorema lui Pitagora ın triunghiul CC ′A, rezulta raza cercului de sectiune

r′ =√r2 − d2 =

√3413 . Centrul C ′ al cercului se afla la intersectia planului π cu dreapta prin C care este

perpendiculara pe π. Avem 4x+ y + 3z + 13 = 0

x+ 14

=y − 3

1=z + 2

3

x = −25/13y = 36/13z = −35/13

deci s-a obtinut centrul C ′(− 2513 ,

3613 ,−

3513 ).

- 103-

Page 104: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

2. I. a) Pentru cuadrica Σ1, obtinem g (x, y, z) = x2 − y2 + z2 − 2xy − 2yz − 2zx. Matricea formei patratice

asociate este: A =

1 −1 −1−1 −1 −1−1 −1 1

, deci σ(A) = 1,−2, 2. Invariantii cuadricei sunt:

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 −1 −5/2−1 −1 −1 0−1 −1 1 0−5/2 0 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣ =332, δ = detA =

∣∣∣∣∣∣1 −1 −1−1 −1 −1−1 −1 1

∣∣∣∣∣∣ = −4

J =∣∣∣∣ 1 −1−1 −1

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 1 −1−1 1

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ −1 −1−1 1

∣∣∣∣ = −2 + 0− 2 = −4,

I = Tr A = 1− 1 + 1 = 1.

In concluzie, cuadrica este nedegenerata (∆ 6= 0) si admite centru de simetrie (deoarece δ 6= 0).b) Centrul de simetrie al cuadricei este solutia sistemului: gx = 0

gy = 0gz = 0

2x− 2y − 2z = 5−2y − 2x− 2z = 02z − 2y − 2x = 0

x = 5/4y = −5/4z = 0,

deci Cs (5/4,−5/4, 0).c) Valorile proprii ale matricei sunt λ1 = 1, λ2 = −2 si λ3 = 2. Vectorii proprii v = (a, b, c) atasati valorii

proprii λ1 = 1 ıi aflam rezolvand sistemul:

(A− λ1I) · v = 0 ⇔

0 −1 −1−1 −2 −1−1 −1 0

abc

=

000

−b− c = 0−a− 2b− c = 0−a− b = 0,

cu solutia v = (t,−t, t) = t (1,−1, 1) , t ∈ R, deci un generator al spatiului propriu este v1 = (1,−1, 1).Analog gasim vectorii proprii v2 = (1, 2, 1) si v3 = (−1, 0, 1). Normand, obtinem baza ortonormata

B′ =e′1 =

(1√3,− 1√

3,

1√3

), e′2 =

(1√6,

2√6,

1√6

), e′3 =

(− 1√

2, 0,

1√2,

).

Relatiile de trecere la noul sistem de coordonate sunt:

xyz

= C

x′

y′

z′

x = 1√

3x′ + 1√

6y′ − 1√

2z′

y = − 1√3x′ + 2√

6y′

z = 1√3x′ + 1√

6y′ + 1√

2z′.

Inlocuind expresiile obtinute ale coordonatelor x, y, z ın ecuatia cuadricei, rezulta ecuatia cuadricei relativ lanoul sistem de coordonate:

Σ′ : x′2 − 2y′2 + 2z′2 − 5√3x′ − 5√

6y′ + 5√

2z′ − 1 = 0 ⇔

⇔(x′ − 5

2√

3

)2

− 2(y′ − 5

4√

6

)2

+ 2(z′ + 5

4√

2

)2

− 338 = 0.

’Tinand cont de expresiile din paranteze, efectuam translatia Ox′y′z′ → O′′x′′y′′z′′ data de formulele:x′′ = x′ − 5

/2√

3y′′ = y′ − 5

/4√

6z′′ = z′ + 5

/4√

2⇔

x′

y′

z′

=

x′′

y′′

z′′

+

5/2√

35/4√

6−5/4√

2

.

Prin ınlocuirea coordonatelor (x′, y′, z′) ın ecuatia cuadricei rezulta ecuatia relativ la reperul O′′x′′y′′z′′,

x′′2 − 2y′′2 + 2z′′2 − 338

= 0,

- 104-

Page 105: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

de unde rezulta ecuatia canonicax′′

33/8− y′′

33/16+

z′′

33/16− 1 = 0, (8.3)

deci cuadrica este un hiperboloid cu o panza.Altfel. Deoarece δ = −4 6= 0, avem o cuadrica cu centru de simetrie Cs(5/4,−5/4, 0) si putem efectua ın prealabilo translatie de sistem de coordonate Oxyz → O′x′y′z′, (O′ = Cs) de vector OO′ = (5/4,−5/4, 0), descrisa derelatiile: x

yz

=

x′

y′

z′

+

5/4−5/4

0

x = x′ + 5/4y = y′ − 5/4z = z′.

Rezulta ecuatia cuadricei relativ la Ox′y′z′,

Σ : x′2 − y′2 + z′2 − 2x′y′ − 2x′z′ − 2y′z′ − 1 = 0.

Efectuam o rotatie de sistem Ox′y′z′ → O′x′′y′′z′′ de matrice C, data de relatiile X ′ = CX ′′; determinammatricea C folosind metoda valorilor proprii, ca mai sus. Se obtine ın final ecuatia canonica (redusa) a cuadriceiΣ, data de (8.3).

II. a) Consideram cuadrica Σ2.

a) Avem A =

0 −√

3 0−√

3 2 00 0 −7

, deci σ (A) = −1, 3,−7. Invariantii cuadricei sunt:

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 −

√3 0 56

−√

3 2 0 −80 0 −7 −756 −8 −7 −87

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 112(377− 56

√3), δ =

∣∣∣∣∣∣0 −

√3 0

−√

3 2 00 0 −7

∣∣∣∣∣∣ = 21,

J =∣∣∣∣ 0 −

√3

−√

3 2

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 0 00 −7

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 2 00 −7

∣∣∣∣ = −17, I = TrA = −5.

In concluzie, Σ2 este nedegenerata (∆ 6= 0) si are centru de simetrie (deoarece δ 6= 0).b) Coordonatele centrului de simetrie al cuadricei satisfac sistemul: −2

√3y + 112 = 0

−2√

3x+ 4y − 16 = 0−14z − 14 = 0

x = 112/3− 8/√

3y = 56/

√3

z = −1⇒ Cs

(1123− 8√

3,

56√3,−1

).

c) Matricea formei patratice g (x, y, z) = −2√

3xy + 2y2 − 7z2 este A =

0 −√

3 0

−√

3 2 00 0 −7

, iar valorile

proprii ale acesteia sunt λ1 = −1, λ2 = 3 si λ−3 = −7. Vectorii proprii v = (a, b, c) atasati valorii propriiλ1 = −1 ıi aflam rezolvand sistemul:

(A− λ1I) v = 0 ⇔

1 −√

3 0−√

3 3 00 0 −6

abc

=

000

a−√

3b = 0−√

3a+ 3b = 0−6c = 0

cu solutiile v = t(√

3, 1, 0), t ∈ R. Pentru t = 1 obtinem generatorul v1 = (

√3, 1, 0). Analog, gasim vectorii

proprii v2 = (1,−√

3, 0) si v3 = (0, 0, 1). Normand, obtinem baza ortonormata

B′ =

e′1 =

(√3

2,12, 0

), e′2 =

(12,−√

32, 0

), e′3 = (0, 0, 1)

,

a carei matrice asociata relativ la vechea baza este:

C0 = [e′1, e′2, e′3] =

√3/2 1/2 0

1/2 −√

3/2 0

0 0 1

.

- 105-

Page 106: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Deoarece detC0 < 0, obtinem matricea de rotatie C schimband ıntre ele primele doua coloane,

C =

1/2√

3/2 0−√

3/2 1/2 00 0 1

.

Relatiile de trecere la noul sistem de coordonate sunt: xyz

= C

x′

y′

z′

x = 1

2x′ +

√3

2 y′

y = −√

32 x′ + 1

2y′

z = z′.

Ecuatia cuadricei relativ la noul sistem de coordonate rotit Ox′y′z′ va fi:

Σ2 : 3x′2 − y′2 − 7z′2 + 8(7 +

√3)x′ + 8

(7√

3− 1)y′ − 14z′ − 87 = 0 ⇔

⇔ 3(x′ +

4(7+√

3)3

)2

−(y′ − 4

(7√

3− 1))2 − 7 (z′ + 1)2 + a = 0,

unde a =16(377−56

√3)

3 > 0. ’Tinand cont de expresiile din paranteze, efectuam translatia Ox′y′z′ → O′′x′′y′′z′′

data de formulele:x′′ = x′ +

4(7+√

3)3

y′′ = y′ − 4(7√

3− 1)

z′′ = z′ + 1

x′

y′

z′

=

x′′

y′′

z′′

+

−4(7 +

√3)/

34(7 +

√3)

−1

.

Inlocuind (x′, y′, z′) ın ecuatia cuadricei, rezulta un hiperboloid cu o panza de ecuatie redusa −x′′2

a/3 + y′′2

a + z′′2

a/7 =1.

III. a) Avem A =

1 −3 1−3 1 −11 −1 5

, deci σ(A) = −2, 3, 6. Invariantii cuadricei sunt:

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −3 1 −2−3 1 −1 41 −1 5 −6−2 4 −6 14

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −216, δ =

∣∣∣∣∣∣1 −3 1−3 1 −11 −1 5

∣∣∣∣∣∣ = −36

J =∣∣∣∣ 1 −3−3 1

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 1 11 5

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 1 −1−1 5

∣∣∣∣ = −8 + 4 + 4 = 0, I = TrA = 1 + 1 + 5 = 7.

b) Coordonatele centrului de simetrie al cuadricei sunt solutiile sistemului: 2x− 6y + 2z − 4 = 02y − 6x− 2z + 8 = 010z + 2x− 2y − 12 = 0

x− 3y + z = 2−3x+ y − z = −4x− y + 5z = 6

⇒ Cs(1, 0, 1).

c) Matricea atasata a formei patratice

g(x, y, z) = x2 + y2 + 5z2 − 6xy + 2xz − 2yz

asociate cuadricei date este A =

1 −3 1−3 1 −11 −1 5

. O baza formata din vectori proprii asociati valorilor

proprii λ1 = −2, λ2 = 3 si λ3 = 6 este v1 = (1, 1, 0), v2 = (−1, 1, 1), v3 = (1,−1, 2). Normand, obtinem bazaortonormata

B′ =e′1 =

(1√2,

1√2, 0), e′2 =

(− 1√

3,

1√3,

1√3

), e′3 =

(1√6,− 1√

6,

2√6

),

- 106-

Page 107: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

a carei matrice asociata relativ la vechea baza este

C0 = [e′1, e′2, e′3] =

1/√

2 −1/√

3 1/√

6

1/√

2 1/√

3 −1/√

6

0 1/√

3 2/√

6

.Deoarece detC0 > 0, rezulta matricea de rotatie C = C0. Relatiile de trecere la noul sistem de coordonate

sunt: xyz

= C

x′

y′

z′

x = 1√

2x′ − 1√

3y′ + 1√

6z′

y = 1√2x′ + 1√

3y′ − 1√

6z′

z = 1√3y′ + 2√

6z′.

Ecuatia cuadricei relativ la noul sistem de coordonate va fi

Σ2 : −2x′2 + 3y′2 + 6z′2 + 2√

2√2x′ − 6

√6√6z′ + 14 = 0 ⇔

⇔ −2(x′ − 1√

2

)2

+ 3y′2 + 6(z′ −

√6

2

)2

+ 1 = 0.(8.4)

’Tinand cont de expresiile din paranteze, efectuam translatia Ox′y′z′ → O′′x′′y′′z′′ data de formulele:x′′ = x′ − 1√

2

y′′ = y′

z′′ = z′ −√

62

x′

y′

z′

=

x′′

y′′

z′′

+

1/√

20√6/2

.

Prin ınlocuirea ın ecuatia (8.4) a cuadricei relativ la sistemul de coordonate Ox′y′z′, rezulta ecuatia relativ lareperul O′′x′′y′′z′′:

−2x′′2 + 3y′′2 + 6z′′2 = −1,

de unde rezulta ecuatia canonica

Σ3 : −x′′2

1/2+y′′2

1/3+z′′2

1/6= −1, (8.5)

deci cuadrica este un hiperboloid cu doua panze.

Altfel. Deoarece avem o cuadrica cu centru de simetrie Cs (1, 0, 1) (δ = −36 6= 0), putem efectua ın prealabilo translatie de sistem de coordonate Oxyz → O′x′y′z′, unde O′ = Cs, de vector OO′ ≡ (1, 0, 1). x

yz

=

x′

y′

z′

+

101

x = x′ + 1y = y′

z = z′ + 1

deci ecuatia cuadricei devine Σ : x′2 + y′2 + 5z′2 − 6x′y′ + 2x′z′ − 2y′z′ + 5 = 0. Prezenta termenilor micstiindica necesitatea unei rotatii de reper O′x′y′z′ → O′x′′y′′z′′ de matrice C : X ′ = C ·X ′′, pe care o determinamfolosind metoda valorilor proprii, urmand calea prezentata mai sus. In final se obtine ecuatia canonica (8.5).

3. Notand g (x, y, z) = x2

9 + y2 − 2z si (a, b, c) =(

∂g∂x ,

∂g∂y ,

∂g∂z

)=(

2xA

9 , 2yA,−2), ecuatia planului tangent este

de forma π : a (x− xA) + b (y − yA) + c(z − zA) = 0, deci

π : (x− xA) · 2xA

9+ (y − yA) · 2yA + (z − zA) · (−2) = 0,

unde xA = −3, yA = −1 si zA = 1. Inlocuind (xA, yA, zA) = (−3,−1, 1), obtinem π : x+ 3y + 3z + 3 = 0.

4. Cuadrica este o sa (paraboloid hiperbolic), deci admite doua familii de generatoare. Generatoarele suntdrepte si au ecuatiile de forma

∆ :x− 3a

=y − 1b

=z

c= t, t ∈ R ⇔ (x, y, z) = (at+ 3, bt+ 1, ct), t ∈ R.

- 107-

Page 108: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Conditia ∆ ⊂ Σ impune ca punctul curent al dreptei ∆ sa satisfaca ecuatia cuadricei Σ, pentru orice t ∈ R.Prin ınlocuire obtinem

(at+ 3)2

9− (ct)2

4= bt+ 1 ⇔

(a2

9− c2

4

)t2 +

(2a3− b

)t = 0,∀t ∈ R,

deci din sistemul obtinut prin anularea coeficientilor polinomului ın t, rezulta b = 2a/3; c = ±2a/3, solutiilev ≡

(a, 2a

3 ,±2a3

)= a

3 (3, 2,±2). Corespunzator celor doua directii distincte date de vectorii (3, 2,±2), rezultageneratoarele ∆ : x−3

3 = y−12 = z

±2 = t, t ∈ R.Unghiul θ dintre cele doua generatoare este cel format de vectorii directori ai acestora, deci

θ = arccos〈(3, 2, 2) , (3, 2,−2)〉‖(3, 2, 2)‖ · ‖(3, 2,−2)‖

= arccos (9/17) .

Planul π tangent la cuadrica ın punctul M(3, 1, 0) se obtine prin dedublarea ecuatiei cuadricei cu coordonatelepunctului M , deci

π :x · 39

− z · 04

=12

(y + 1) ⇔ 2x− 3y − 3 = 0.

Directia normalei ∆′ 3 M(3, 1, 0) este data de vectorul u ≡ (2,−3, 0) normal la planul tangent; rezulta∆′ : x−3

2 = y−1−3 = z

0 .

5. Din oficiu: 1pt. a) Pentru cuadrica data, obtinem forma patratica asociata g(x, y, z) = x2 − y2 + z2 −

2xy − 2yz − 2zx (0,5 pt.) . Matricea acesteia este: A =

1 −1 −1−1 −1 −1−1 −1 1

(0,5 pt.) , deci spectrul

acesteia este σ(A) = 1,−2, 2 (1 pt.) . Invariantii cuadricei sunt:

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 −1 −5/2−1 −1 −1 0−1 −1 1 0−5/2 0 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣ =332, δ = detA =

∣∣∣∣∣∣1 −1 −1−1 −1 −1−1 −1 1

∣∣∣∣∣∣ = −4

J =∣∣∣∣ 1 −1−1 −1

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 1 −1−1 1

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ −1 −1−1 1

∣∣∣∣ = −2 + 0− 2 = −4,

I = Tr A = 1− 1 + 1 = 1

(0,5 pt.) .

In concluzie, cuadrica este nedegenerata (∆ 6= 0) si admite centru de simetrie, deoarece δ 6= 0 (0,5 pt.) .

b) Centrul de simetrie al cuadricei este solutia sistemului: gx = 0gy = 0gz = 0

2x− 2y − 2z = 5−2y − 2x− 2z = 02z − 2y − 2x = 0

x = 5/4y = −5/4z = 0

(0,5 pt.) ,

deci Cs(5/4,−5/4, 0) (0,5 pt.) .

c) Valorile proprii ale matricei sunt λ1 = 1, λ2 = −2 si λ3 = 2. Vectorii proprii v = (a, b, c) atasati valoriiproprii λ1 = 1 ıi aflam rezolvand sistemul:

(A− λ1I) · v = 0 ⇔

0 −1 −1−1 −2 −1−1 −1 0

abc

=

000

−b− c = 0−a− 2b− c = 0−a− b = 0,

cu solutia v = (t,−t, t) = t (1,−1, 1) , t ∈ R, deci un generator al spatiului propriu este v1 = (1,−1, 1)(0,5 pt.) . Analog, gasim vectorii proprii v2 = (1, 2, 1) si v3 = (−1, 0, 1) (0,5 pt.) . Normand, obtinembaza ortonormata

B′ =e′1 =

(1√3,− 1√

3,

1√3

), e′2 =

(1√6,

2√6,

1√6

), e′3 =

(− 1√

2, 0,

1√2,

)(0,5 pt.) .

- 108-

Page 109: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Relatiile de trecere la noul sistem de coordonate sunt:

xyz

= C

x′

y′

z′

x =

1√3x′ +

1√6y′ − 1√

2z′

y = − 1√3x′ +

2√6y′

z =1√3x′ +

1√6y′ +

1√2z

(0,5 pt.) .

Inlocuind expresiile obtinute ale coordonatelor x, y, z ın ecuatia cuadricei, rezulta ecuatia cuadricei relativ lanoul sistem de coordonate:

Σ′ : x′2 − 2y′2 + 2z′2 − 5√3x′ − 5√

6y′ +

5√2z′ − 1 = 0 ⇔

⇔(x′ − 5

2√

3

)2

− 2(y′ − 5

4√

6

)2

+ 2(z′ + 5

4√

2

)2

− 338

= 0(0,5 pt.) .

Tinand cont de expresiile din paranteze, efectuam translatia Ox′y′z′ → O′′x′′y′′z′′ data de formulele:x′′ = x′ − 5

/2√

3y′′ = y′ − 5

/4√

6z′′ = z′ + 5

/4√

2⇔

x′

y′

z′

=

x′′

y′′

z′′

+

5/2√

35/4√

6−5/4√

2

(0,5 pt.) .

Prin ınlocuirea coordonatelor (x′, y′, z′) ın ecuatia cuadricei rezulta ecuatia relativ la reperul O′′x′′y′′z′′,

x′′2 − 2y′′2 + 2z′′2 − 338

= 0, (0,5 pt.)

de unde rezulta ecuatia canonica

x′′2

33/8− y′′2

33/16+

z′′2

33/16− 1 = 0, (1 pt.) (8.6)

deci cuadrica este un hiperboloid cu o panza (0,5 pt.) Total: 10pt. .

Altfel. Deoarece δ = −4 6= 0, avem o cuadrica cu centru de simetrie Cs(5/4,−5/4, 0) si putem efectua ın prealabilo translatie de sistem de coordonate Oxyz → O′x′y′z′, (O′ = Cs) de vector OO′ = (5/4,−5/4, 0), descrisa derelatiile: x

yz

=

x′

y′

z′

+

5/4−5/4

0

x = x′ + 5/4y = y′ − 5/4z = z′.

Rezulta ecuatia cuadricei relativ la Ox′y′z′,

Σ : x′2 − y′2 + z′2 − 2x′y′ − 2x′z′ − 2y′z′ − 1 = 0.

Efectuam o rotatie de sistem Ox′y′z′ → O′x′′y′′z′′ de matrice C, data de relatiile X ′ = CX ′′; determinammatricea C folosind metoda valorilor proprii, ca mai sus. Se obtine ın final ecuatia canonica (redusa) a cuadriceiΣ.

8.11 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare

1. Sa se gaseasca ecuatia fiecareia dintre urmatoarele sfere:a) sfera care are centrul ın C(2, 0, 3) si este tangenta planului

3x+ 2y + 4z − 45 = 0;

b) sfera care trece prin punctele A(−1, 0, 0), B(0, 2, 1), C(0,−1,−1) si D(3, 1,−1);c) sfera care are centrul ın C(1, 1, 0) si este tangenta interior sferei

Σ: x2 + y2 + z2 − x− 3y + 3z − 2 = 0.

- 109-

Page 110: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

2. Sa se determine coordonatele centrului cuadricei

x2 + y2 + 5z2 − 6xy + 2xz − 2yz − 4x+ 8y − 12z + 14 = 0.

Sa se efectueze o translatie a reperului cartezian ın centrul cuadricei si sa se scrie ecuatia cuadricei raportatala sistemul translatat O′x′y′z′.

3. Sa se reduca la forma canonica urmatoarele cuadrice:

a) 2y2 + 4xy − 8xz − 4yz + 6x− 5 = 0;

b) 2y2 − 7z2 + 112x− 16y − 14z − 87 = 0;

c) xy + z2 − 2 = 0.

4. Sa se calculeze distanta dintre punctele de intersectie ale dreptei

D :

x = ty = 2− tz = −3 + 2t, t ∈ R

cu cuadricax2 − y2 + z2 − 4y + 6z + 9 = 0.

5. Fiind dat hiperboloidul cu o panza

Σ:x2

9+y2

4− z2 − 1 = 0

si planul P : 4x− 3y − 12z − 6 = 0, sa se studieze curba P ∩ Σ folosind proiectiile acestei curbe pe planele decoordonate.

6. Fiind dat paraboloidul hiperbolic

Σ:x2

9− y2

4= z

si punctul M0(0, 2,−1), sa se scrie ecuatiile generatoarelor rectilinii care trec prin M0 si sa se calculeze masuraunghiului dintre aceste generatoare.

7. Sa se arate ca planul 6x+ 3y− 2z+ 6 = 0 intersecteaza hiperboloidul cu o panza x2− y2

4+z2

9− 1 = 0 dupa

doua generatoare ale caror ecuatii se cer.

- 110-

Page 111: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MB.9.Curbe in Rn

Cuvinte cheie: drum parametrizat, vector tangent, derivata covarianta,abscisa curbilinie, elementul de arc, punct asimptotic, directie asimptotica,asimptote, parametrizare normala; tangenta, hiperplan normal, lungimeaunui arc de curba.

9.1 Notiuni introductive

9.1.1 Functii diferentiabile

1.1. In acest material, prin functie diferentiabila vom ıntelege o functie de clasa C∞. Clasa de indice minimimpusa de context va poatea fi usor recunoscuta.

1.2. Fie f : Rn → Rm. Functiile fi = yi f : Rn → R, unde yi sunt functiile coordonate ale lui Rm, senumesc componentele euclidiene ale lui f ; se scrie f = (f1, . . . , fm).

Multimea

G(f) = (x1, . . . , xn, f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)) | (x1, . . . , xn) ∈ Rn ⊂

⊂ Rn × Rm ≡ Rn+m

se numeste graficul functiei f = (f1, . . . , fm). Evident G(f) coincide cu multimea valorilor functiei

(x1, . . . , xn) → (x1, . . . , xn, f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)).

Functia f = (f1, . . . , fm) este diferentiabila daca si numai daca fi sunt functii diferentiabile. Unei functiidiferentiabile f i se asociaza matricea Jacobiana

J(f) =

∂f1∂x1

∂f1∂x2

. . .∂f1∂xn

. . . . . . . . . . . .∂fm

∂x1

∂fm

∂x2. . .

∂fm

∂xn

.

Daca n = m, atunci determinantul |J(f)| se numeste Jacobianul lui f si se noteaza cu

D(f1, . . . , fn)D(x1, . . . , xn)

.

1.3. Functia f = (f1, . . . , fm) se numeste:1) injectiva daca relatiile P,Q ∈ Rn, f(P ) = f(Q) ∈ Rm implica P = Q;2) surjectiva daca ∀Q ∈ Rm, ∃P ∈ Rn astfel ıncat f(P ) = Q;3) bijectiva daca este injectiva si surjectiva;4) imersie daca J(f) are rangul n, ∀P ∈ Rn(n ≤ m);

111

Page 112: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

5) submersie daca J(f) are rangul m, ∀P ∈ Rn(m ≤ n);6) regulata daca este imersie sau submersie;7) difeomorfism daca n = m, daca este diferentiabila si daca poseda inversa diferentiabila.

1.4. Daca functia f = (f1, . . . , fm) nu este regulata ıntr-un punct P , atunci P se numeste punct singularsau punct critic, iar f(P ) se numeste valoare singulara sau valoare critica .

1.5. Fie f : Rn → R o functie diferentiabila; vom nota prin

d2f(P )(dx) =n∑

i,j=1

∂2f

∂xi∂xj(P )dxidxj

hessiana sa (diferentiala de ordinul doi).Fie P un punct critic al lui f . Daca forma patratica d2f(P ) este nedegenerata, adica

det(

∂2f

∂xi∂xj(P ))6= 0,

atunci P se numeste punct critic nedegenerat. In caz contrar P se numeste punct critic degenerat.Punctele critice nedegenerate ale unei functii diferentiabile f : Rn → R sunt izolate.

1.6. Teorema functiei inverse. Fie f : Rn → Rn o functie diferentiabila. Daca P ∈ Rn este un punctın care det J(f) 6= 0, atunci exista o vecinatate deschisa D a lui P astfel ıncat restrictia lui f la D sa fie undifeomorfism.

1.7. Teorema functiei implicite. Fie f = (f1, . . . , fm) : Rn+m → Rm o functie diferentiabila. Daca ın(A,B) ∈ Rn+m avem f(A,B) = 0 si

D(f1, . . . , fm)D(y1, . . . , ym)

(A,B) 6= 0,

atunci exista o vecinatate D a lui A si o functie diferentiabila (unica) g : D → Rm astfel ıncat g(A) = B sif(P, g(P )) = 0,∀P ∈ D, unde prin y1, . . . , ym s-au notat coordonatele ultime din Rn+m.

1.8. Pentru definitia diferentiabilitatii nu este necesar ca domeniul de definitie al functiei sa fie toatamultimea Rn, dar este necesar ca acest domeniu sa fie o multime deschisa ın Rn.

Fie S o multime oarecare din Rn. O functie f : S → Rm se numeste diferentiabila pe S daca poate fieextinsa diferentiabil la un interval deschis din Rn care contine pe S.

1.9. Fie I un interval din R si f : I → Rm. In acest caz notiunea de derivata partiala se reduce la notiuneade derivata de la functiile de o singura variabila. De asemenea, au sens si notiunile de derivata la stanga si ladreapta.

Exemplu. Fie functia F : D → R3, unde F (u, v) = (u2, uv, v2), iarD : u > 0, v > 0. Deoarece, ∀(u, v) ∈ D,matricea

J(F ) =

2u 0v u0 2v

are rangul doi, aplicatia F este o imersie.

Din (u21, u1v1, v

21) = (u2

2, u2v2, v22) rezulta u1 = u2 si v1 = v2, adica (u1, v1) = (u2, v2). Deci F este

injectiva.Notand x = u2, y = uv, z = v2, observam ca F (D) este portiunea din cuadrica de ecuatie y2 = xz cuprinsa

ın primul octant. Rotatia x =

√2

2(z′ − x′)

y = y′

z =√

22

(x′ + z′)

ne conduce la ecuatia canonicax′2

2+ y′2 − z′2

2= 0

- 112-

Page 113: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

si deci cuadrica y2 = xz este un con.Daca ne restrangem la F (D) ⊂ R3, atunci F : D → F (D) este o bijectie. Expresia inversei F−1 : F (D) → D

se obtine dinu2 = x, uv = y, v2 = z.

Gasim u =√x, v =

√z si deci

F−1 : F (D) → D, F−1(x, y, z) = (√x,√z),

care este o functie diferentiabila.

9.1.2 Vectori tangenti. Campuri vectoriale

Fie Rn spatiul vectorial (real) euclidian canonic cu dimensiunea n, produsul scalar fiind notat 〈 · , · 〉. Ca oricespatiu vectorial euclidian, Rn este implicit un spatiu punctual euclidian, adica orice punct P al sau poate fiidentificat cu vectorul sau de pozitie OP , unde O este un punct arbitrar fixat (originea spatiului).

Fie P si Q doua puncte oarecare din Rn. Perechea ordonata (P,Q) se numeste vector tangent la Rn ınpunctul P si se noteaza cu

−−→PQ. In spatiile R, R2, R3 acesta se reprezinta grafic printr-o sageata care ıncepe din

punctul P si se termina ın punctul Q (fig.80).Vectorul ~v = Q−P se numeste partea vectoriala a vectorului tangent PQ si ın loc de (P,Q) putem nota ~vP

sau chiar ~v daca punctul de aplicatie P se subıntelege.Doi vectori tangenti ~vP si ~wQ se numesc egali daca au acceasi parte vectoriala, ~v = ~w, si acelasi punct de

aplicatie, P = Q. Doi vectori ~vP si ~wQ care au aceeasi parte vectoriala, ~v = ~w, dar care au puncte de aplicatiediferite se numesc paraleli (fig.81).

Fig. 80 Fig. 81Fixam un punct P ∈ Rn si consideram toti vectorii tangenti la Rn ın P . Multimea tuturor vectorilor tangentila Rn ın P se numeste spatiul tangent la Rn ın P si se noteaza cu TP Rn (fig.82). Spatiul tangent se organizeazaca spatiu vectorial cu operatiile

~vP + ~wP = (~v + ~w)P

r~vP = (r~v)P .

Fig. 82 Fig. 83Astfel, ca spatiu vectorial, TP Rn este izomorf cu Rn, izomorfismul fiind dat de corespondenta ~v ↔ ~vP . Deseorivom identifica cele doua spatii prin intermediul acestui izomorfism.

Produsul scalar ın TP Rn se defineste prin produsul scalar din Rn,

〈~vP , ~wP 〉 = 〈~v, ~w〉.

In particular, norma (lungimea) vectorului ~vP este numarul ‖~vP ‖ = ‖~v‖, obtinut din norma euclidiana pe Rn.Un vector de lungime unu se numeste vector unitate sau versor. Daca (~v, ~w) = 0, atunci vectorii tangenti ~vP , ~wP

se numesc ortogonali.Din inegalitatea Cauchy-Schwarz rezulta

−1 ≤ 〈~v, ~w〉‖~v‖‖~w‖

≤ 1.

- 113-

Page 114: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

De aceea putem defini unghiul ϕ dintre doi vectori tangenti nenuli ~vP si ~wP prin (fig.83)

cosϕ =〈~v, ~w〉|~v||~w|

, ϕ ∈ [0, π].

Un sistem ordonat de n vectori unitate, reciproc ortogonali, tangenti la Rn ın P , se numeste reper ın punctulP . Daca ~e1, ~e2, . . . , ~en este un reper ın punctul P ∈ Rn - adica o baza ortonormata ın TP Rn, atunci ∀~v ∈ TP Rn

putem scrie~v = 〈~v, ~e1〉~e1 + 〈~v, ~e2〉~e2 + . . .+ 〈~v, ~en〉~en.

Numerele reale ri = 〈~v, ~ei〉, i = 1, 2, . . . , n, se numesc componentele (coordonatele) lui ~v ın raport cu reperulfixat si sunt marimi algebrice ale unor proiectii.

Reperul (1, 0, . . . , 0)P , (0, 1, . . . , 0)P , . . . , (0, 0, . . . , 1)P se numeste reper natural, iar coordonatele unui vectorın raport cu acest reper se numesc coordonate euclidiene.

Fie~v2 = r21~e1 + r22~e2 + . . .+ r2n~en,...

......

...~vn = rn1~e1 + rn2~e2 + . . .+ rnn~en,

n− 1 vectori din TP Rn.

2.1. Definitie. Vectorul

~v2 × . . .× ~vn =

∣∣∣∣∣∣∣∣~e1 ~e2 . . . ~en

r21 r22 . . . r2n

. . . . . . . . . . . .rn1 rn2 . . . rnn

∣∣∣∣∣∣∣∣ ∈ TP Rn,

unde membrul doi este un determinant simbolic ce se dezvolta dupa prima linie, se numeste produsul vectorialdintre ~v2, . . . , ~vn.

Evident, ~v2 × . . .× ~vn este perpendicular pe fiecare dintre vectorii ~v2, . . . , ~vn.

2.2. Definitie. Consideram acum n vectori ~vi ∈ TP Rn. Numarul

〈~v1, ~v2 × . . .× ~vn〉

se numeste produsul mixt al celor n vectori.Daca

~v1 = r11~e1 + . . . r1n~en ≡ (r11, r12, . . . , r1n),

~v2 ≡ (r21, r22, . . . , r2n), . . . , ~vn ≡ (rn1, rn2, . . . , rnn),

atunci

〈~v1, ~v2 × . . .× ~vn〉 =

∣∣∣∣∣∣∣∣r11 r12 . . . r1n

r21 r22 . . . r2n

. . . . . . . . . . . .rn1 rn2 . . . rnn

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Modulul acestui numar reprezinta volumul n-paralelipipedului construit pe vectorii de mai sus.

Reperul natural din R3 (fig.84) este ~ıP = (1, 0, 0)P , ~P = (0, 1, 0)P , ~kP = (0, 0, 1)P . In acest caz se poatevorbi despre produsul vectorial a doi vectori tangenti (fig.85)

~vP = v1~ıP + v2~P + v3~kP si ~wP = w1~ıP + w2~P + w3~kP ,

~vP × ~wP =

∣∣∣∣∣∣~ıP ~P ~kP

v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ .

- 114-

Page 115: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 84 Fig. 85

2.3. Definitie. O functie ~V care asociaza fiecarui punct P al lui Rn un vector ~V (P ) tangent la Rn ın P senumeste camp vectorial.

Multimea ın care ia valori un camp vectorial ~V este spatiul tangent

TRn =⋃

P∈Rn

TP Rn.

Cu alte cuvinte, avem~V : Rn → TRn, ~V (P ) ∈ TP Rn.

Daca functia ~V este constanta, atunci campul se numeste paralel. Multimea valorilor unui camp paralelconsta dintr-un singur element si se identifica cu un vector liber.

Campurile paralele ~U1, ~U2, . . . , ~Un definite prin

~U1(P ) = (1, 0, . . . , 0)P , ~U2(P ) = (0, 1, . . . , 0)P , . . . , ~Un(P ) = (0, 0, . . . , 1)P ,

se numesc campuri fundamentale, iar ansamblul lor se numeste campul reperului natural.2.4. Teorema. Daca ~V este un camp vectorial pe Rn, atunci exista n functii reale vi : Rn → R, i =

1, 2, . . . , n, astfel ıncat~V = v1~U1 + v2~U2 + . . .+ vn

~Un.

Functiile vi se numesc coordonatele (componentele) euclidiene ale campului ~V .

Demonstratie. Prin definitie ~V asociaza lui P un vector ~V (P ) tangent la Rn ın P . Deoarece parteavectoriala a lui ~V (P ) depinde de P , ea poate fi scrisa ın forma (v1(P ), v2(P ), . . . , vn(P )) si astfel obtinemfunctiile vi : Rn → R, i = 1, 2, . . . , n.

In plus, ∀P ∈ Rn, avem

~V (P ) = (v1(P ), v2(P ), . . . , vn(P ))P = v1(P )(1, 0, . . . , 0)P +

+v2(P )(0, 1, . . . , 0)P + . . .+ vn(P )(0, 0, . . . , 1)P =

= v1(P )~U1(P ) + v2(P )~U2(P ) + . . .+ vn(P )~Un(P ).

Deci ~V =n∑

i=1

vi~Ui. Evident functiile vi sunt unic determinate.

In particular, orice vector tangent ~vP se reprezinta ın forma

~vP =n∑

i=1

ri~Ui(P ).

Algebra campurilor vectoriale se construieste pe baza urmatoarelor operatii definite ca la functii:

(~V + ~W )(P ) = ~V (P ) + ~W (P ),

(f ~V )(P ) = f(P )~V (P ).

- 115-

Page 116: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

De asemenea produsul scalar al campurilor vectoriale ~V si ~W se defineste prin

〈~V , ~W 〉(P ) = 〈~V (P ), ~W (P )〉.

Produsul vectorial al campurilor ~V2, . . . , ~Vn se defineste prin

(~V2 × . . .× ~Vn)(P ) = ~V2(P )× . . .× ~Vn(P ).

Produsul mixt al campurilor ~V1, ~V2, . . . , ~Vn se defineste prin

〈~V1, ~V2 × . . .× ~Vn〉(P ) = 〈~V1(P ), ~V2(P )× . . .× ~Vn(P )〉.

Operatiile asupra campurilor vectoriale se pot exprima prin operatii asupra functiilor coordonate ale campurilorrespective. De asemenea facem observatia ca ın baza teoremei 2.4, orice camp vectorial ~V din Rn este echivalentcu o aplicatie de tipul F : Rn → Rn. De aceea apare naturala urmatoarea

Definitie. Campul ~V se numeste camp vectorial diferentiabil daca coordonatele sale sunt diferentiabile. Incontinuare presupunem ca folosim numai campuri vectoriale diferentiabile.

Sa presupunem ca ne situam ın R3. In acest caz campul reperului natural (~ı,~,~k) este definit prin (fig.84)

~ı(P ) =~ıP = (1, 0, 0)P , ~(P ) = ~P = (0, 1, 0)P , ~k(P ) = ~kP = (0, 0, 1)P .

Orice camp vectorial pe R3 are ın punctul (x, y, z) ∈ R3 forma (fig.86)

~V = v1(x, y, z)~ı+ v2(x, y, z)~+ v3(x, y, z)~k.

Fig. 86

In spatiul R3 se poate defini produsul vectorial a doua campuri ~V si ~W si anume

(~V × ~W )(P ) = ~V (P )× ~W (P ).

2.5. Exemplu (fig.87). Fie q0 o sarcina electrica situata ın punctul O. Forta ~E cu care sarcina q0 actioneazaasupra sarcinii q = +1 (unitate de sarcina electrica ın SI, 1 Coulomb = 1A · s) situata ın punctul arbitrar Peste (legea Coulomb)

~E(P ) =1

4πεq0‖~r‖3

~r,

unde ~r este vectorul de pozitie al punctului P ın raport cu O, iar ε este permitivitatea mediului ın care suntplasate sarcinile.

- 116-

Page 117: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 87Functia P → ~E(P ) se numeste camp electrostatic produs de sarcina q0. Domeniul de definitie al acestui camp

este R3\O.

9.1.3 Derivata covarianta

Presupunem ca toate functiile utilizate sunt diferentiabile de clasa C∞.I. Fie D o multime deschisa din Rn si f : D → R o functie reala. Fie P ∈ D si ~v un vector tangent la D ın

punctul P . Fixam intervalul I astfel ıncat P + tV ∈ D, ∀t ∈ I, unde V este punctul corespunzator vectorului~v. Evident t → P + tV reprezinta restrictia unei drepte si daca f este diferentiabila, atunci functia compusat→ f(P + tV ) este tot diferentiabila.

3.1. Definitie. Numarul

D~vf(P ) =d

dtf(P + tV )

∣∣∣∣t=0

se numeste derivata lui f ın raport cu ~v. Numarul D~vf(P ) indica cantitativ schimbarea valorii f(P ) cand Pse misca ın sensul si directia lui ~v. Daca ~v este un versor, atunci D~vf poarta numele de derivata lui f dupadirectia ~v.

3.2. Lema. Daca ~vP = (v1, . . . , vn)P , atunci

D~vf(P ) = v1∂f

∂x1(P ) + . . .+ vn

∂f

∂xn(P ) = 〈~v,∇f(P )〉 = df(P )(~v),

unde ∇f este gradientul lui f , iar df este diferentiala lui f .Demonstratia este imediata ca urmare a teoremei de derivare a unei functii compuse.Utilizand inegalitatea Cauchy-Schwarz

|D~vf(P )| = |(~v, ∇f(P ))| ≤ ‖~v‖‖∇f(P )‖,

ın care egalitatea are loc daca si numai daca ~v si ∇f(P ) sunt coliniari, rezulta ca ~v → D~vf(P ) are un minim(maxim) egal cu −‖~v‖‖∇f(P )‖ (respectiv ‖~v‖‖∇f(P )‖) daca ~v are sensul si directia lui −∇f(P ) (respectiv∇f(P )). Astfel, −∇f(P ) (respectiv ∇f(P )) indica local directia si sensul ın care f descreste (creste) cel mairepede.

3.3. Teorema. Fie f, g : D → R, ~v, ~w ∈ TPD si a, b ∈ R. Avem

Da~v+b~wf(P ) = aD~vf(P ) + bD~wf(P )D~v(af + bg)(P ) = aD~vf(P ) + bD~vg(P )D~v(fg)(P ) = g(P )D~vf(P ) + f(P )D~vg(P ).

Demonstratia se bazeaza pe lema 3.2 si pe proprietatile gradientului.Folosind notiunea precedenta putem defini actiunea unui camp vectorial ~V asupra unei functii f (ambele

definite pe D) ca fiind functia cu valori reale notata cu D~V f si a carei valoare ın fiecare punct P ∈ D estenumarul D~V (P )f(P ). Functia D~V f se numeste derivata functiei f ın raport cu campul ~V . In particular, pentrucazul n = 3, avem

D~ıf =∂f

∂x, D~f =

∂f

∂y, D~kf =

∂f

∂z.

In baza teoremei 3.3 deducem ca derivata D~V f are urmatoarele proprietati

Df ~V +g ~Wh = fD~V h+ gD ~Wh

D~V (af + bg) = aD~V f + bD~V g

D~V (fg) = fD~V g + gD~V f.

- 117-

Page 118: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

II. Notiunea pe care o introducem acum generalizeaza derivata D~V f(P ) si reprezinta o operatie asupracampurilor vectoriale. Fie ~W un camp vectorial definit pe multimea deschisa D din Rn si ~v un vector tangentla D ın punctul x. Consideram functia compusa t → ~W (P + tV ), t ∈ I, unde I este determinat de conditiaP + tV ∈ D.

3.4. Definitie. Vectorul

D~v~W (P ) =

d

dt~W (P + tV )

∣∣∣∣t=0

tangent la D ın punctul P se numeste derivata covarianta a lui ~W ın raport cu ~v.Derivata covarianta D~v

~W (P ) masoara rata initiala a schimbarii lui ~W (P ) cand P se misca ın sensul lui ~v(fig.88).

Fig. 88

3.5. Lema. Daca ~W = w1~U1 + . . .+ wn

~Un si ~v este un vector tangent la D ın punctul P , atunci

D~v~W (P ) = D~vw1(P )~U1(P ) + . . .+D~vwn(P )~Un(P ).

Demonstratie. Se observa ca

~W (P + tV ) = w1(P + tV )~U1(P + tV ) + . . .+ wn(P + tV )~Un(P + tV ).

Pentru a deriva un astfel de camp ın t = 0, se deriveaza coordonatele sale ın t = 0. Tinand seama de definitia3.1, lema devine evidenta.

Proprietatile derivatei covariante rezulta din lema 3.5 si din proprietatile derivatei D~vf(P ) date ın teorema3.3.

3.6. Teorema. Fie ~W si ~W doua campuri vectoriale pe D, fie ~v, ~w ∈ TPD si a, b ∈ R. Avem

Da~v+b~w~W = aD~v

~W + bD~w~W

D~v(a~V + b ~W ) = aD~v~V + bD~v

~W

D~v(f ~W ) = (D~vf) ~W + fD~v~W

D~v〈~V , ~W 〉 = 〈D~v~V , ~W 〉+ 〈~V ,D~v

~W 〉.

Notiunea de mai sus se poate extinde considerand derivata covarianta a unui camp vectorial ~W ın raportcu campul vectorial ~V . Rezultatul este un camp vectorial care se noteaza cu D~V

~W si a carui valoare ın P esteD~V (P )

~W (P ). Daca ~W = w1~U1 + . . .+ wn

~Un, atunci

D~V~W = (D~V w1)~U1 + . . .+ (D~V wn)~Un.

In baza celor precedente rezulta ca D~V are urmatoarele proprietati

Df ~V +g ~W~Y = fD~V

~Y + gD ~W~Y

D~V (a~Y + b~Z) = aD~V~Y + bD~V

~Z

D~V (f ~Y ) = (D~V f)~Y + fD~V~Y

D~V 〈~Y , ~Z〉 = 〈D~V~Y , ~Z〉+ 〈~Y ,D~V

~Z〉.

- 118-

Page 119: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Observatii. 1) In derivata covarianta D~V~W , rolul lui ~V este algebric, iar ~W se deriveaza.

2) Derivatele covariante ale campurilor fundamentale ~Ui, i = 1, . . . , n, sunt nule.

9.2 Curbe ın Rn

9.2.1 Definitii si exemple

Fie En ≡ Rn spatiul euclidian canonic cu n dimensiuni, TORn spatiul tangent ın punctul O (origine) la Rn

si JO : Rn → TORn izomorfismul canonic. Notam cu I un interval deschis (alteori ınchis, semiınchis) sau oreuniune de intervale din R.

Fig. 89 Fig. 90

1.1. Definitie. O functie diferentiabila α : I → Rn se numeste curba si se noteaza cu α. Uneori numaiimaginea α(I) este numita curba. In acest caz α se numeste parametrizare (sau drum parametrizat), iar t ∈ Ise numeste parametru. Noi vom folosi ambele acceptiuni ale cuvantului ”curba”, semnificatia decurgand dincontext. De asemenea mentionam ca desi consideratiile teoretice se fac ın Rn imaginile grafice se realizeaza ınR,R2 sau R3.

Observam compunerea marcata prin fig.89. Rezulta ca lui α putem sa-i atasam o functie si numai una detipul ~α : I → TORn, ceea ce permite sa privim multimea α(I) ca fiind descrisa de extremitatea unui vectorvariabil ~α cu originea fixata ın originea O a lui Rn (fig.90).

Din definitia lui α(I) rezulta echivalenta:

P ∈ α(I) ⇔ ∃t ∈ I, P = α(t).

Daca raportam pe Rn la baza canonica, atunci functiile α si ~α sunt caracterizate prin coordonatele lor euclidiene:

α(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)), t ∈ I~α(t) = x1(t)~e1 + x2(t)~e2 + . . .+ xn(t)~en, t ∈ I.

Curba α(I) poate fi descrisa prin ecuatiile parametrice

x1 = x1(t), x2 = x2(t), . . . , xn = xn(t)

sau prin ecuatia vectoriala parametrica

~α = ~α(t).

1.2. Definitie. Un punct P al lui α(I) se numeste simplu daca exista o singura valoare t ∈ I asa caα(t) = P . Daca exista mai multe valori distincte t astfel ıncat α(t) = P , atunci punctul P se numeste multiplu.

De exemplu, daca exista numerele t1 6= t2 si numai acestea (din I) pentru care α(t1) = α(t2) = Q, atuncipunctul Q se numeste dublu (fig.91).

Daca exista trei numere distincte t1, t2, t3 si numai acestea (din I) pentru care α(t1) = α(t2) = α(t3) = Q,atunci punctul Q se numeste triplu (fig.91).

- 119-

Page 120: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 91In general, cardinalul multimii α−1(P ) se numeste multiplicitatea punctului P .

Functia α poate fi injectiva sau surjectiva.Daca toate punctele unei curbe α(I) sunt simple, atunci dupa definitiile anterioare, aplicatia α este injectiva.

Daca o componenta a functiei α este injectiva, atunci functia α este injectiva.1.3. Definitie. O functie diferentiabila si injectiva α : I → Rn se numeste curba simpla. Sa presupunem

acum ca avem o functie de tipul α : [a, b] → Rn. Aceasta functie se numeste diferentiabila daca poate fi extinsadiferentiabil la un interval deschis ce contine pe [a, b].

Sa analizam semnificatia geometrica a neinjectivitatii functiei α.1.4. Definitie. O functie diferentiabila α : [a, b] → Rn pentru care α(a) = α(b) se numeste curba ınchisa

(fig.92). Aceasta definitie nu are acelasi continut cu definitia topologica a unei multimi ınchise. Intr-adevar,pentru orice curba α : [a, b] → Rn, imaginea α([a, b]) este ınchisa ın Rn in sens topologic, deoarece α esteautomat o functie continua, dar aceasta nu are nici o legatura cu conditia α(a) = α(b).

Fig. 92O curba ınchisa pentru care restrictia la [a, b) este injectiva se numeste curba simpla si ınchisa.

O curba α : I → Rn se numeste periodica daca exista un numar T > 0 astfel ıncat

t+ T ∈ I, α(t+ T ) = α(t), ∀t ∈ I.

Cel mai mic numar T care se bucura de aceasta proprietate se numeste perioada lui α. Se observa ca o curbaperiodica este ınchisa. De asemenea se poate demonstra ca imaginea unei curbe inchise admite o reprezentareparametrica periodica.

Evident, din faptul ca α(t) = (x1(t), . . . , xn(t)), t ∈ R este o curba periodica rezulta ca fiecare componentaxi(t) este periodica avand eventual alta perioada principala. Reciproc, daca fiecare componenta xi(t) esteperiodica si are perioada Ti, iar pjTi = piTj , i 6= j, pi, pj ∈ Z, atunci α este periodica si are perioada T = pT1,unde p = c.m.m.m.c. pi|i ≥ 1.

1.5. Exemple.1) Fie P = (p1, . . . , pn) ∈ Rn un punct fixat si v ≡= (q1, . . . , qn) 6= (0, . . . , 0) un vector nenul. Curba

α : R → Rn,α(t) = P + tv = (p1 + tq1, . . . , pn + tqn),

se numeste dreapta determinata de punctul P = α(0) si directia data de vectorul v.Cele n ecuatii parametrice xi = pi + tqi, i = 1, 2, . . . , n, sunt echivalente cu n− 1 ecuatii carteziene ın Rn,

x1 − p1

q1= . . . =

xn − pn

qn,

cu conventia ca daca un numitor este nul, atunci numaratorul respectiv este nul.Submultimea lui Rn caracterizata prin ecuatia carteziana implicita

n∑i=1

qi(xi − pi) = 0

- 120-

Page 121: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

este hiperplanul ce trece prin punctul P si pentru care v este o directie normala.

2) Graficul unei functii diferentiabile de tipul f : I → R este o curba ın plan (fig.93-fig.96) deoarece acestgrafic poate fi privit ca imaginea functiei α : I → R2, α(t) = (t, f(t)). O curba de acest tip nu poate avea punctemultiple, nu poate fi ınchisa si deci nici periodica, deoarece t1 6= t2 implica existenta punctelor (t1, f(t1)) si(t2, f(t2)) care nu pot fi identice (au abscise diferite).

Ecuatia y = f(x) se numeste ecuatia carteziana explicita a curbei

α : I → R2, α(t) = (t, f(t)), t ∈ I.

Fig. 93 Fig. 94

Fig. 95 Fig. 96

In practica se ıntalnesc si curbe de tipul α : I → R2, α(t) = (g(t), t), t ∈ I, carora le corespund ecuatiicarteziene explicite de forma x = g(y) (vezi §7).

3) Fie curba α : [0, 2π] → R2, α(t) = (cos t, sin t). Deoarece α(0) = α(2π) = (1, 0), curba este ınchisa.Imaginea α([0, 2π]) este cercul cu centrul ın origine si de raza unu (fig.97). Restrictia lui α la [0, 2π) este

injectiva si deci cercul este o curba simpla si ınchisa.Sa consideram acum functia α : R → R2, α(t) = (cos t, sin t). Evident, imaginea α(R) este tot cercul de raza

unu si cu centrul ın origine. Observam ınsa ca ın acest caz, α(t) = α(t+ 2π) si de aceea, cercul poate fi privitca o curba periodica cu perioada T = 2π. In acest sens toate punctele cercului sunt puncte multiple.

Fig. 97

4) Ne situam ın spatiul cu trei dimensiuni si consideram curbe pentru care cel putin una dintre coordonateeste functia identitate (grafice ale functiilor de tipul f : I → R2) sau functia liniara. Ne oprim la cazulα : I → I × R3, α(t) = (x(t), y(t), bt) unde b 6= 0, deoarece celelalte situatii sunt analoage. O curba de acesttip nu poate avea puncte multiple, nu poate fi ınchisa si nici periodica deoarece t1 6= t2 implica α(t1) 6= α(t2),acestea fiind puncte cu cote diferite.

- 121-

Page 122: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Pentru concretizare sa consideram curba descrisa de un punct situat pe o suprafata cilindrica de rotatie siavand o miscare compusa dintr-o rotatie ın jurul axei cilindrului si o translatie de-a lungul acestei axe, celedoua miscari fiind proportionale ıntre ele, curba ce se numeste elice circulara (fig.98).

Fig. 98Presupunand ca mobilul pleaca din A(a, 0, 0) gasim ecuatiile parametrice ale curbei, x = a cos t, y = a sin t, z =bt, t ∈ R, unde z reprezinta translatia, t rotatia, iar b=const. Curba ıntalneste fiecare generatoare a suprafeteicilindrice x2 + y2 = a2 ıntr-o infinitate de puncte. De exemplu, generatoarea ce trece prin punctul A esteıntalnita ın punctele de cota z = 2nbπ, unde n este ıntreg.

Arcul de curba ıntre doua puncte ”consecutive” A(a, 0, 0) si A′(a, 0, 2bπ) se numeste spira a elicei, iarlungimea AA′ se numeste pasul elicei.

9.2.2 Tangenta si hiperplanul normal la o curba

Fie α : I → Rn o curba. Notam cu t variabila din I a.ı. t + h ∈ I, α(t) = P, α(t + h) = Q. Folosind vectoriiliberi α(t+ h), α(t) , PQ, construim derivata

limh→0

α(t+ h)− α(t)h

= limh→0

PQ

h= α′(t)

al carei reprezentant ~α′(t) cu originea ın α(t) = P apare ca limita vectorului−−→PQ, cand Q ∈ α(I) se apropie

de P . Vectorul ~α′(t) legat in α(t) = P se numeste vector viteza sau vector tangent la curba α ın punctul P .Evident ~α′(t) ∈ Tα(t)Rn (fig.99).

Fig. 99Daca raportam pe Rn la baza canonica ~e1, . . . ~en, atunci

~α′(t) = x′1(t)~e1 + x′2(t)~e2 + . . .+ x′n(t)~en.

2.1. Definitie. Un punct P = α(t) al curbei α ın care ~α′(t) 6= ~0 se numeste punct regulat. Daca~α′(t) 6= ~0, ∀t ∈ I, atunci curba α se numeste regulata, iar functia t ∈ I → ||~α′(t)|| ∈ [0,∞) se numeste vitezacurbei.

Daca P este un punct regulat, atunci punctul P si vectorul ~α′(t) determina o dreapta care apare ca limitadreptei PQ cand P = α(t) este fix, iar Q tinde catre P de-a lungul curbei.

2.2. Definitie. Fie P un punct regulat al curbei α. Dreapta care trece prin P si are ca vector director pe~α′(t) se numeste tangenta la curba α ın P .

Hiperplanul care trece prin P si are drept vector normal pe ~α′(t) se numeste hiperplan normal la curba αın P (fig.100 si fig.101).

- 122-

Page 123: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 100 Fig. 101Pentru elementele descrise anterior avem urmatoarele ecuatii:

- pentru tangenta la curba ın punctul α(t):

x1 − x1(t)x′1(t)

=x2 − x2(t)x′2(t)

= . . . =xn − xn(t)x′n(t)

.

- pentru hiperplanul normal la curba ın punctul α(t):

(x1 − x1(t))x′1(t) + (x2 − x2(t))x′2(t) + . . .+ (xn − xn(t))x′n(t) = 0.

Un punct al unei curbe poate sa nu fie regulat. De aceea admitem urmatoarea2.3. Definitie. Un punct α(t) = P ∈ α(I) corespunzator unei valori a lui t pentru care ~α′(t) = 0 se numeste

punct singular. Observam ca daca ~α′(t) = ~0, ∀t ∈ J ⊂ I, atunci ~α(t) = ~c, ∀t ∈ J , si astfel restrictia lui α la Jse reduce la un punct. In consecinta, daca α admite puncte singulare si nu se reduce la constante pe portiuni,atunci aceste puncte sunt ın general izolate. Daca ∃m > 1 astfel ıncat ~α′(t) = ~α′′(t) = . . . = ~α(m−1)(t) = ~0,~α(m)(t) 6= 0, atunci punctul P = α(t) se numeste punct singular de ordinul m. In vecinatatea unui punctsingular de ordinul m se ıntrebuinteaza formula Taylor

α(t+ h) = α(t) +hm

m![α(m)(t) + ε(h)],

culimh→0

ε(h) = 0,

adunarea avand sens doar ın contextul vectorilor liberi si nu ın contextul vectorilor legati ın puncte diferite.Notand P = α(t) si Q = α(t+ h) avem

limh→0

m!α(t+ h)− α(t)

hm= lim

h→0m!PQ

hm= α(m)(t).

Vectorul ~α(m)(t) se numeste vector tangent la curba α ın punctul singular P = α(t). Punctul P si vectorul~α(m)(t) definesc o dreapta care este limita dreptei PQ cand P = α(t) este fix, iar Q tinde catre P de-a lungulcurbei.

2.4. Definitie. Fie P un punct singular de ordinul m. Dreapta determinata de punctul P si vectorul~α(m)(t) se numeste tangenta curbei ın punctul P .

Hiperplanul care trece prin P si are drept vector normal pe ~α(m)(t) se numeste hiperplan normal la curba αın P (fig.102).

Fig. 102 Fig. 103Ecuatiile tangentei ın P = α(t) sunt:

x1 − x1(t)

x(m)1 (t)

=x2 − x2(t)

x(m)2 (t)

= . . . =xn − xn(t)

x(m)n (t)

,

- 123-

Page 124: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

iar ecuatia hiperplanului normal ın P = α(t) este:

(x1 − x1(t))x(m)1 (t) + (x2 − x2(t))x

(m)2 (t) + . . .+ (xn − xn(t))x(m)

n (t) = 0.

Fie α1, α2 : I → Rn doua curbe care au punct regulat comun P corespunzator valorii t din interiorulintervalului I, adica α1(t) = α2(t) = P . Acestor doua curbe le asociem curba α = α1 −α2. Daca α(t) = P esteun punct singular de ordinul m+ 1 pentru curba α, adica

α(k)(t) = 0, k = 0, 1, . . . ,m; α(m+1)(t) 6= 0,

atunci spunem ca α1 si α2 au ın punctul P un contact de ordinul m. Denumirea provine din faptul ca relatiileanterioare descriu un zerou multiplu de ordinul m+ 1 pentru curba α ceea ce este echivalent cu m+ 1 puncteconfundate comune ın P pentru curbele α1 si α2.

2.5. Teorema. Fie Q1 = α1(t+h), Q2 = α2(t+h). Contactul ın P dintre curbele α1 si α2 este de ordinulm daca si numai daca (fig.103)

limh→0

Q1Q2

hi

= 0, pentru i = 1, . . . ,m6= 0, pentru i = m+ 1.

Demonstratie. Se folosesc formulele Taylor pentru α1 si α2:

αi(t+ h) = αi(t) +h

1!α′i(t) + . . .+

hm

m!α

(m)i (t) +

hm+1

(m+ 1)![α(m+1)

i (t) + εi(h)],

limh→0

εi(h) = 0, i = 1, 2.

2.6. Observatii.1) Daca α(t) = P este un punct regulat, rezulta ca pe o vecinatate a lui t functia α : I → Rn este injectiva.2) Un punct al unei curbe poate fi simplu si regulat sau simplu si singular sau multiplu si regulat sau

multiplu si singular.3) Fie α : I → Rn, β : J → Rn doua curbe astfel ıncat α(I) ∩ β(J) 6= ∅ si fie P ∈ α(I) ∩ β(J) un punct

regulat sau singular de ordinul m. Unghiul dintre vectorii tangenti al cele doua curbe in P se numeste unghiulcelor doua curbe. Daca cei doi vectori sunt perpendiculari curbele se numesc ortogonale. Daca unghiul dintrecei doi vectori este zero sau π, atunci curbele se numesc tangente.

4) In cinematica o curba α : I → Rn este privita ca fiind drumul descris de un punct material ın miscare. Inacest caz variabila t se numeste timp, α(I) se numeste traiectorie, ~α′(t) se numeste viteza curbei la momentul t,iar ~α′′(t) se numeste acceleratia curbei la momentul t.

5) Derivatele ~α(3)(t), ~α(iv)(t), . . . se numesc acceleratii de ordin superior la momentul t. In general acceleratiilepot fi tangente la curba doar ın puncte izolate.

6) Doua curbe au un contact de ordinul 1 ıntr-un punct regulat comun daca si numai daca au aceeasitangenta.

2.7. Orientare.Pe o curba data α(I), presupusa multime conexa, se pot stabili numai doua sensuri de parcurs (ordine a

punctelor curbei care corespunde ordinei din I) pe care convenim sa le notam cu + si −. O curba α ımpreunacu o alegere a unui sens de parcurs pe α(I) se numeste curba orientata.

Fig. 104 Fig. 105

- 124-

Page 125: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fie α o curba regulata. Daca ~α′(t) este vectorul tangent la α ın α(t), atunci este natural sa consideramdrept pozitiv acel sens de parcurs pe α(I) care sa fie coerent cu sensul lui ~α′(t) si deci cu sensul pozitiv petangenta (vezi orientarea unei drepte).

Convenim sa precizam orientarea unei curbe si a tangentei sale prin sageti (fig.104).Daca curba α poseda puncte singulare, atunci exista situatii cand nu este posibil sa alegem pe curba un sens

de parcurs coerent cu cel de pe tangenta (fig.105).

2.8. Exemple.

1) Curbele din R2 care se pot reprezenta printr-o ecuatie carteziana explicita y = f(x) sunt regulate.Intr-adevar, din egalitatea α(t) = (t, f(t)) construim ~α = t~ı+ f(t)~ si deci ~α′ =~ı+ f ′(t)~ nu se anuleaza, ∀t ∈ I.

2) Fie curba plana (fig.106)

α(t) =

(0, exp 1

t ) t < 0(0, 0) t = 0(exp −1

t , 0) t > 0.

Observam ca ın t = 0, functia α(t) nu este o imersie. De aceea punctul O(0, 0) este un punct singular. Maimult, observam ca ın acest punct singular avem

~α′(0) = ~α′′(0) = . . . = ~α(m)(0) = . . . = (0, 0).

Pentru fiecare m ıntreg, putem considera curba (fig.107 pentru m = 1)

αm(t) =

(tm, exp 1

t ) t < 0

(0, 0) t = 0(tm + exp −1

t , 0) t > 0.

Observam ca ın acest caz avem

~α′m(0) = ~α′′m(0) = . . . = ~α(m−1)m (0) = ~α(m+1)

m (0) = . . . = (0, 0),

si ~α(m)m (0) = (m!, 0).

Pentru m = 1, originea este un punct regulat (fig.107). Pentru m > 1, originea este un punct singular deordinul m.

Fig. 106 Fig. 107

3) Aplicatia α : R → R2 definita prin

α(t) =

(exp −1

t , exp −1t sin exp 1

t ) t > 0(0, 0) t = 0(− exp −1

t , exp 1t sin exp −1

t ) t < 0

are o imagine cuprinsa ıntre dreptele y = ±x, avand o infinitate de tangente ın (0, 0). De asemenea, observamca α este diferentiabila si

~α′(0) = ~α′′(0) = . . . = ~α(m)(0) = . . . = (0, 0).

De aceea originea este un punct singular (fig.108). Punctele (−1, sin 1), (1, sin 1) sunt puncte asimptotice.

- 125-

Page 126: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 108

4) Uneori ın R3 consideram curbe de tipul α : I → R3, α(t) = (x(t), y(t), t). Aceste curbe sunt regulate.Intr-adevar, avem ~α = x(t)~ı+ y(t)~+ t~k si deci ~α′(t) = x′(t)~ı+ y′(t)~+ ~k, care nu se anuleaza, ∀t ∈ I.

Aceeasi proprietate o au si curbele α : I → R3, α(t) = (x(t), t, z(t)) sau α(t) = (t, y(t), z(t)).Pentru exemplificare fie curba data prin

α(t) =

(t, 0, exp 1

t ) t < 0(0, 0, 0) t = 0(t, exp −1

t , 0) t > 0.

Fig. 109

Arcul t ≤ 0 este situat ın planul xOz, iar arcul t ≥ 0 este situat ın planul xOy (fig.109). Observam ca α esteo curba regulata pentru care

~α′(0) = (1, 0, 0), ~α′′(0) = . . . = ~α(m)(0) = . . . = (0, 0, 0).

9.2.3 Campuri vectoriale pe o curba

Notiunea de camp vectorial pe o curba este o varianta a notiunii generale de camp vectorial. Fie α : I → Rn ocurba si P = α(t), t ∈ I, un punct arbitrar al sau.

3.1. Definitie. O functie Y care asociaza fiecarui t ∈ I un vector ~Y (t) tangent la Rn ın punctul α(t) senumeste camp vectorial pe curba α (fig.110).

Fig. 110

Functiile reale si campurile vectoriale pe curbe apar deseori ca restrictii. De exemplu, daca ~X este un campvectorial pe Rn si α : I → Rn este o curba, atunci ~X α este un camp vectorial pe curba α. Orice camp vectorialpe o curba se poate identifica cu o alta curba.

Evident, viteza ~α′ este un camp vectorial pe curba α. Acest camp se mai numeste si camp tangent la curbaα (fig.111).

- 126-

Page 127: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 111Precizam ınsa ca spre deosebire de ~α′, campurile vectoriale arbitrare pe α pot sa contina sau nu vectori ale

caror suporturi sa fie tangente la curba (fig.110).In general ~α′ nu poate fi privit ca o functie pe α(I) ıntrucat ar urma ca punctului dublu P = α(t1) =

α(t2), t1 6= t2, i se ataseaza simultan doi vectori diferiti ~α′(t1) si ~α′(t2). Aceasta remarca impune ın modnecesar definitia 3.1.

Proprietatile campurilor vectoriale definite pe curbe sunt analoage cu cele ale campurilor vectoriale pe Rn.Astfel, ın raport cu reperul ortonormat e1, . . . , en, avem

~Y (t) = y1(t) ~e1(α(t)) + y2(t) ~e2(α(t)) + . . .+ yn(t) ~en(α(t)),

functiile yi : I → R numindu-se coordonatele (componentele) euclidiene ale lui ~Y .Functiile compuse ~e1(α(t)), . . . , ~en(α(t)) sunt campuri vectoriale pe α. Aceste campuri vor fi notate pe scurt

cu ~e1, ~e2, . . . , ~en.Pentru campurile vectoriale pe o curba introducem operatiile

(~Y + ~Z)(t) = ~Y (t) + ~Z(t)

(f ~Y )(t) = f(t)~Y (t)

〈~Y , ~Z〉(t) = 〈~Y (t), ~Z(t)〉(~Y × ~Z)(t) = ~Y (t)× ~Z(t) pe R3.

Evident aceste operatii se traduc prin operatii asupra coordonatelor campurilor.3.2. Definitie. Fie α o curba regulata si ~Y un camp vectorial pe α. Daca 〈~Y , ~α′〉 = 0, atunci ~Y se numeste

camp normal la α. Daca ~Y (t) = λ(t)~α′(t), atunci ~Y se numeste camp tangent la α.Deoarece ~Y (t) = y1(t)~e1 + y2(t)~e2 + . . .+ yn(t)~en, deducem ca orice camp ~Y este echivalent cu o functie de

tipul F : I → Rn. De aceea apare naturala definitia: ~Y se numeste camp diferentiabil daca coordonatele salesunt diferentiabile. De asemenea precizam ca derivata unui camp ~Y ,

~Y ′ =dy1dt~e1 +

dy2dt~e2 + . . .+

dyn

dt~en,

este tot un camp vectorial pe curba α. In particular, derivata ~α′′ a campului viteza ~α′ asociat lui α da campulacceleratie. In general acceleratia nu este dirijata dupa tangenta la curba. Avem

(a~Y + b~Z)′ = a~Y ′ + b~Z ′, a, b ∈ R(f ~Y )′ = f ′~Y + f ~Y ′

〈~Y , ~Z〉′ = 〈~Y ′, ~Z〉+ 〈~Y , ~Z ′〉(~Y × ~Z)′ = ~Y ′ × ~Z + ~Y × ~Z ′ peR3.

Penultima formula arata ca daca 〈~Y , ~Z〉 = constant, atunci

〈~Y ′, ~Z〉+ 〈~Y , ~Z ′〉 = 0.

In particular, daca ~Y are lungimea constanta, atunci ~Y si ~Y ′ sunt ortogonali ın orice punct (fig.112). Intr-adevarrelatia ‖~Y ‖2 = 〈~Y , ~Y 〉 = constant, implica 〈~Y , ~Y ′〉 = 0.

De aceea daca ne imaginam ca α este traiectoria unui punct material ce se deplaseaza cu o viteza de modulconstant, atunci acceleratia este un camp vectorial normal la α (dirijata dupa normala la curba).

- 127-

Page 128: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 112

3.3. Definitie. Un camp ~Y se numeste paralel daca coordonatele sale sunt constante (fig.113).

Fig. 113

3.4. Teorema. Fie curba α : I → Rn, unde I este un interval deschis din R.

1) Curba α este constanta (se reduce la un punct) daca si numai daca campul viteza ~α′ este identic nul.

2) Curba neconstanta α este o dreapta daca si numai daca campul acceleratie este identic nul (campul vitezaeste paralel).

3) Un camp ~Y pe α este paralel daca si numai daca ~Y ′ = ~0.

Demonstratie. 1) Fie curba ~α(t) = x1(t)~e1+x2(t)~e2+. . .+xn(t)~en. Daca x1(t) = a1, x2(t) = a2, . . . , xn(t) =an, ∀t ∈ I, atunci ~α(t) = a1~e1 + a2~e2 + . . . + an~en si ~α′(t) = (0, 0, . . . , 0), ∀t. Reciproc, din ~α′(t) = ~0, ∀t ∈ I,rezulta x′1(t) = 0, x′2(t) = 0, . . . , x′n(t) = 0, ∀t ∈ I si deci x1(t) = a1, x2(t) = a2, . . . , xn(t) = an.

2) Fie ~α′(t) = (x01+l1t)~e2+. . .+(x0

n+lnt)~en. Gasim ~α′(t) = l1~e1+. . .+ln~en si ~α′′(t) = (0, 0, . . . , 0). Reciproc,din x′′1(t) = 0, x′′2(t) = 0, . . . , x′′n(t) = 0, ∀t ∈ I, obtinem x1 = x0

1 + l1t, x2 = x02 + l2t, . . . , xn = x0

n + lnt.3) Fie ~Y = b1~e1 + b2~e2 + . . .+ bn~en. Rezulta ~Y ′ = (0, . . . , 0). Reciproc, din ~Y ′ = ~0, rezulta

dy1dt

= 0,dy2dt

= 0, . . . ,dyn

dt= 0,∀t ∈ I,

sau y1 = b1, y2 = b2, . . . , yn = bn (fig.113).

9.2.4 Ramuri infinite

Fie I un interval deschis (a, b), unde a poate fi si −∞, iar b poate fi si +∞ si α : I → Rn o curba. Multimea α(I)poate fi marginita sau nu ın Rn, dar ın acest paragraf ne ocupam numai de cazul ın care α(I) este o multimenemarginita.

4.1. Definitie. Daca ıntr-o extremitate t0 a intervalului deschis I avem limt→t0 ‖~α(t)‖ = ∞, atunci spunemca α poseda o ramura infinita. Este evident ca α poseda o ramura infinita ın extremitatea t0 daca si numai dacacel putin una dintre coordonatele lui α tinde catre ±∞ pentru t→ t0 (adica multimea α(I) nu este marginitaın Rn).

4.2. Definitie. Fie α o curba care poseda o ramura infinita pentru o extremitate t0 a lui I si P = α(t).Dreapta D se numeste asimptota la ramura infinita daca (fig.114)

limt→t0

d(P ;D) = 0,

unde d(P ;D) este distanta de la punctul P la dreapta D.Uneori se spune ca ramura infinita se apropie asimptotic de D. De asemenea, observam ca proprietatea

limt→t0 d(P ;D) = 0 care defineste asimptota D este echivalenta cu a spune ca paralela dusa prin P = α(t) laD tinde catre D pentru t→ t0 (fig.114).

- 128-

Page 129: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 114

4.4. Teorema. Daca D este o asimptota a unei ramuri infinite, atunci directia lui D este data de versorul

limt→t0

~α(t)‖~α(t)‖

.

Demonstratie. Fie α o curba care poseda o ramura infinita ıntr-o extremitate t0 a lui I. Presupunem caaceasta ramura poseda o asimptota D (fig.114). Notam cu Q proiectia lui P pe D si punem PQ = ε(t). Prinipoteza avem

limt→t0

‖ε(t)‖ = 0 ⇒ limt→t0

ε(t) = 0.

De asemenea notam cu R proiectia originii O a spatiului Rn pe D si punem−−→RO = ~a. Segmentul orientat

−−→RQ

reprezinta pe β(t) = a+ α(t) + ε(t) si

‖β(t)‖ − ‖a+ ε(t)‖ ≤ ‖α(t)‖ ≤ ‖β(t)‖+ ‖a+ ε(t)‖.

Astfel din limt→t0

‖α(t)‖ = ∞ rezulta limt→t0

‖β(t)‖ = ∞. Aceasta ınseamna ca ın vecinatatea lui t0 avem

‖β(t)‖ > 0 si deci putem construi versorulβ(t)‖β(t)‖

.

Daca ın inegalitatile anterioare ımpartim cu ‖β(t)‖ si trecem la limita, atunci gasim

limt→t0

‖α(t)‖β(t)‖

= 1.

Versorul asimptotei D este

limt→t0

β(t)‖β(t)‖

= limt→t0

β(t)‖α(t)‖

= limt→t0

α(t) + a+ ε(t)‖α(t)‖

= limt→t0

α(t)‖α(t)‖

.

Din unicitatea limitei rezulta ca daca asimptota exista, atunci ea este unica.4.5. Definitie. Versorul

~u = limt→t0

~α(t)‖~α(t)‖

,

(ın caz ca limita exista se numeste directia asimptotica a ramurii infinite a lui α.4.6. Observatii.1) Studiul anterior arata ca pentru a decide daca o ramura infinita poseda o asimptota trebuie mai ıntai sa

vedem daca ea admite o directie asimptotica.Daca ramura nu admite o directie asimptotica, atunci ea nu admite nici asimptota.Daca ramura admite o directie asimptotica ~u, atunci prin P = α(t), se duce o dreapta DP care are directia

~u. Daca DP are o limita D pentru t → t0, atunci dreapta D este asimptota ramurii considerate. Daca DP nuare o limita pentru t→ t0, atunci ramura infinita studiata nu are asimptota.

Daca α este o curba regulata avand o ramura infinita ce admite asimptota, atunci asimptota este limitatangentei.

2) Pentru studiul ramurilor infinite ale curbelor plane C : f(x, y) = a recomandam lucrarea [20].

- 129-

Page 130: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

3) Fie α : I → Rn o curba si t0 o extremitate a intervalului deschis I. Daca

limt→t0

α(t) = A,

atunci A se numeste punct asimptotic al curbei α. Punctele asimptotice pot sa apartina sau nu imaginiiα(I).

4.7. Exemple.

1) Sa cercetam ramurile infinite ale foliului lui Descartes,

α = (x, y) : (−∞,−1) ∪ (−1,∞) → R2, x =3at

1 + t3, y =

3at2

1 + t3,

unde a > 0 este fixat. Pentru aceasta calculam limitele:

limt→±∞

x(t) = 0, limt−1

x(t) = ∞, limt−1

x(t) = −∞.

limt→±∞

y(t) = 0, limt−1

y(t) = −∞, limt−1

y(t) = ∞.

De aici rezulta ca O(0, 0) este un punct asimptotic al curbei care este efectiv atins pentru t = 0. De asemeneapentru t→ −1 se obtin doua ramuri infinite. Deoarece

limt→−1

y(t)x(t)

= −1,

deducem ca ambele ramuri infinite admit aceeasi directie asimptotica (1,−1). Pe de alta parte

limt←−1

(y(t)− x(t)) = limt→−1

3att2 − t+ 1

= −a

si astfel avem asimptota oblica y + x+ a = 0 (fig.115).

Fig. 115

2) Sa cercetam ramurile infinite ale elicei (fig.98), α = (x, y, z) : R → R3, x = a cos t, y = a sin t, z = bt.Deoarece lim

t→±∞z(t) = ∓∞, rezulta ca elicea admite doua ramuri infinite. Ambele ramuri au directia asimptotica

(0, 0, 1), directia axei Oz, ıntrucat

limt→±∞

x(t)z(t)

= limt→±∞

y(t)z(t)

= 0.

Evident, dreapta ce trece prin punctul (a cos t, a sin t, bt) si este paralela cu Oz nu admite o pozitie limitapentru t→ ±∞. De aceea cele doua ramuri infinite ale elicei nu admit asimptote.

9.2.5 Abscisa curbilinie

Fiind data o curba α : I → Rn putem construi alte curbe care au aceeasi imagine cu α dar care parcurg aceastaimagine cu viteze diferite.

5.1. Definitie. Fie I, J doua intervale deschise ale dreptei reale, α : I → Rn o curba si h : J → I o functiediferentiabila. Functia compusa β = α h : J → Rn este o curba care se numeste reparametrizarea lui α prin h(fig.116).

- 130-

Page 131: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 116In orice moment u din intervalul J , curba β este localizata ın punctul β(u) = α(h(u)), care este atins de curbaα la momentul h(u) din intervalul I. Astfel β si α urmeaza aceeasi traiectorie dar, ın general, cu viteze diferite.Practic, pentru a obtine coordonatele lui β se substituie t = h(u) in coordonatele lui α.

Observam ca trecerea de la α la β pastreaza multiplicitatea punctelor lui α(I) daca si numai daca h este obijectie.

5.2. Exemple

1) Fie arcul de cerc α(t) = (r cos t, r sin t), t ∈ (0, 2π). Punand u = ctgt

2gasim reparametrizarea

β(u) =(ru2 − 1u2 + 1

, r2u

u2 + 1

), u ∈ R.

2) Fie curbaα(t) = (2 cos2 t, sin 2t, 2 sin t), t ∈

(0,π

2

).

Observam ca α se obtine intersectand cilindrul (x− 1)2 + y2 = 1 cu sfera x2 + y2 + z2 = 4 (fig.117).

Fig. 117Punem u = sin t. Reparametrizarea lui α prin u este

β(u) = (2(1− u2), 2u√

1− u2, 2u), u ∈ (0, 1).

5.3. Lema . Daca β este reparametrizarea lui α prin h, atunci

d~β

du(u) =

d~α

dh(h(u))

dh

du(u).

Pe scurt, ~β′ = (~α′ h)h′. Astfel observam ca daca h′ nu se anuleaza, atunci punctele regulate ale lui αsunt puncte regulate pentru β, iar punctele singulare ale lui α sunt puncte singulare de acelasi fel pentru β .De asemenea rezulta ca definitia tangentei ıntr-un punct regulat ca si ıntr-un punct singular de ordinul m nudepinde de parametrul ales (directia ei ramane invarianta, iar punctul prin care trece este fix).

Pentru ca bijectia h : J → I sa fie un difeomorfism este necesar si suficient ca derivata h′ sa nu se anuleze;

acest lucru rezulta din proprietatile de existenta si de diferentiabilitate ale functiilor inverse, (h−1)′ =1

h′ h−1.

Daca h este un difeomorfism, atunci curbele α si β se numesc echivalente.Precizam ca daca h′ > 0, atunci h pastreaza orientarea.

Fie α : I → Rn o curba regulata data prin ecuatia vectoriala ~α = ~α(t), t ∈ I,_

AB un arc regulat al curbei,corespunzator lui t ∈ [a, b] ⊆ I si ~α′(t) vectorul viteza la momentul t. Lungimea v(t) = ‖~α′(t)‖ se numesteviteza curbei la momentul t. Se considera o diviziune a intervalului [a, b]:

d : a = t0 < t1 < · · · < ti−1 < ti < · · · < tn = b.

- 131-

Page 132: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Punctele M0 = A,M1, · · · ,Mi−1,Mi, · · · ,Mn = B corespunzatoare acestei diviziuni determina o linie poligo-

nala cu varfurile pe acest arc, care se numeste linie poligonala ınscrisa ın arcul_

AB.Inlocuind diviziunea d cu una mai fina se va obtine o linie poligonala cu o lungime mai mare.

5.4. Arcul de curba_

AB se numeste rectificabil daca multimea lungimilor liniilor poligonale ınscrise ın acestarc este marginita superior, iar marginea sa superioaa se numeste lungimea arcului.

In fizica, distanta parcursa de un mobil este determinata prin integrarea vitezei sale ın raport cu timpul.Geometric, definim lungimea arcului curbei regulate α de la t = a la t = b ca fiind numarul

` =∫ b

a

v(t) dt, a < b,

iar elementul de arc prin ds = v(t) dt.Exista probleme ın care ne intereseaza numai imaginea curbei si nu ne intereseaza viteza cu care punctul

curent parcurge aceasta imagine. Cu alte cuvinte ne intereseaza imaginea din spatiul Rn si nu parametrizareaparticulara t→ α(t) care reprezinta aceasta imagine. In asemenea probleme se obisnuieste ca α sa se ınlocuiascaprintr-o parametrizare echivalenta β pentru care viteza sa fie egala cu unitatea.

5.5. Teorema. Daca α : I → Rn este o curba regulata, atunci exista o reparametrizare β echivalenta cu αastfel ıncat β sa aiba viteza unu.

Curba β din teorema se numeste reprezentare normala (parametrizare normala) a lui α.

Demonstratie. Fie α : I → Rn o curba regulata, adica ~α′(t) 6= ~0, ∀t ∈ I. Fixam t0 ∈ I si consideramfunctia care da lungimea arcului

s : I → J = s(I), s(t) =∫ t

t0

‖~α′(t)‖dt.

Acesta functie se numeste abscisa curbilinie sau parametru natural (fig.118).

Fig. 118

Observam cads

dt= ‖~α′(t)‖ > 0, adica s este strict crescatoare si deci bijectiva; teorema functiei inverse asigura

ca functia inversa s−1 : J → I definita prin t = t(s) are derivata

dt

ds(s) =

1ds

dt(t(s))

> 0.

Mai mult, inversa t = t(s) este un difeomorfism. De aceea, functia compusa β = α s−1 : J → Rn sauβ(s) = α(t(s)) este o reparametrizare a lui α, prin functia t = t(s), echivalenta cu α (vezi fig.116 pentru u = s).Sa aratam ca viteza lui β este unu. Avem∥∥∥∥∥d~βds

∥∥∥∥∥ =∥∥∥∥d~αdt dt

ds

∥∥∥∥ = ‖~α′(s)‖ 1ds

dt

= 1.

Astfel abscisa curbilinie a unei curbe regulate se utilizeaza pentru obtinerea unei reparametrizari de vitezaunu. Precizam ca daca α este o curba orientata, atunci prin trecerea la reprezentarea normala orientarea nu se

schimba deoarecedt

ds> 0.

- 132-

Page 133: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 119

5.6. Exemple.

1) Fie spirala logaritmica (fig.119)

α : R → R2, α(t) = (ae−t(cos t− sin t), ae−t(cos t+ sin t)), a > 0.

Din ~α′(t) = −2ae−t cos t~ı− 2ae−t sin t~, rezulta ca α este o curba regulata cu viteza v(t) = 2ae−t. Daca fixamt = 0, atunci abscisa curbilinie este data de

s =∫ t

0

v(t)dt = −2ae−t|t0 = 2a(1− e−t).

De aici gasim t = ln2a

2a− s, s ∈ (−∞, 2a) si astfel reprezentarea normala a lui α este

β : (−∞, 2a) → R2, β(s) = (x(s), y(s)),

unde x(s) = 2a−s2

(cos ln 2a

2a−s − sin ln 2a2a−s

),

y(s) = 2a−s2

(cos ln 2a

2a−s + sin ln 2a2a−s

).

2) Sa consideram acum elicea α : R → R3, α(t) = (a cos t, a sin t, bt). Deoarece ecuatia vectoriala acurbei este ~α(t) = a cos t~ı+asin t~+ bt~k, gasim ~α′(t) = −a sin t~ı+a cos t~+ b~k si deci ‖~α′(t)‖ =

√a2 + b2 = c.

Daca masuram lungimea arcului de la t = 0, atunci

s =∫ t

0

c dt = ct.

Astfel t =s

csi reprezentarea normala a elicei este

β : R → R3, β(s) = α(sc

)=(a cos

s

c, a sin

s

c,bs

c

).

9.3 Exercitii/probleme rezolvate

9.3.1 Enunturi

1. Se da functia f : R → R2, f(s) = (s2, s3). Studiati daca f este:

a) injectiva/surjectiva/bijectiva; ın ultimul caz determinati inversa acesteia;b) imersie/submersie/difeomorfism; calculati ın prealabil matricea jacobiana a functiei.

2. Acelasi enunt pentru f : R → R3, f(t) = (2 cos2 t, sin 2t, 2 sin t), t ∈ (0, π2 ).

3. Acelasi enunt pentru f : R2 → R2, f(u, v) = (u+ v, uv), (u, v) ∈ R2. Calculati f−1((0, 1)) si Im (f).

- 133-

Page 134: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

4. Verificati ca urmatoarea aplicatie este difeomorfism si calculati inversa acesteia:

f : (0,∞)× [0, 2π) → R2\(0, 0), f(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ).

5. Aflati hiperplanul normal si dreapta tangenta la curba α : R → R4, α(t) = (t4,−1, t5, t6 + 2) ın punctulA(1,−1, 1, 3).

6. Aceeasi problema pentru curba de la problema 1 si ın punctul B(0,−1, 0, 2). Este α curba regulata ? Aflatisingularitatile curbei si ordinul acestora.

7. Aflati unghiul curbelor

α(t) = (t2 + 1, ln t, t), t > 0, β(s) = (2 + s, s, s+ 1), s ∈ R

ın punctul comun al acestora.

8. Studiati comportarea asimptotica a curbei α(t) =(t− 1, t2

t−1

), α : R\1 → R2.

9. Se da cicloida α(t) = (a(t− sin t), a(1− cos t)), t ∈ R, (a > 0).a) Aflati lungimea arcului de curba Γ = α([0, 2π]).b) Determinati abscisa curbilinie a curbei si parametrizarea normala a acesteia pentru t ∈ (0, 2π).

9.3.2 Solutii

1. a) Fie s, t ∈ R. Atunci

f(s) = f(t) ⇔ (s2, s3) = (t2, t3) ⇔s2 = t2

s3 = t3⇔ s = t,

si deci f este injectiva. Fie (x, y) ∈ R2 un punct oarecare din domeniul valorilor. Deoarece

f(s) = (x, y) ⇔ (s2, s3) = (x, y) ⇔s2 = xs3 = y,

iar pentru x < 0 sistemul nu are solutii, rezulta ca functia f nu este surjectiva. Nefiind surjectiva, f nu estebijectiva.b) Matricea Jacobiana a functiei f = (f1, f2) este

[J(f)] =

( df1ds

df2ds

)=

(2s

3s2

).

Deoarece pentru s = 0 avem rang[J(f)] = 0 < 1, f nu este nici imersie, nici submersie. Deoarece J(f) nu estematrice patratica, f nu poate fi difeomorfism.

2. a) Relatia f(s) = f(t) se rescrie 2 cos2 s = 2 cos2 tsin 2s = sin 2t2 sin s = 2 sin t

sin s = sin tcos s = ± cos t

si deoarece s, t ∈(0, π

2

), rezulta s = t, deci f este injectiva. Fie (x, y, z) ∈ R3 un punct oarecare din

domeniul valorilor. Deoarece f(t) = (x, y, z) ⇔

2 cos2 t = xsin 2t = y2 sin t = z

si deoarece pentru x ∈ (−∞,−2) ∪ (2,+∞)

sau y ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞) sau z ∈ (−∞,−2) ∪ (2,+∞), sistemul nu are solutii, rezulta ca functia f nu estesurjectiva si deci nici bijectiva.b) Matricea Jacobiana a functiei f este

[J(f)] =

4 cos t · (− sin t)2 cos 2t2 cos t

=

−2 sin 2t2 cos 2t2 cos t

.- 134-

Page 135: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Deoarece pentru ∀t ∈ R, avem (−2 sin 2t)2 + (2 cos 2t)2 = 4 6= 0, rezulta rang[J(f)] = 1, deci f este imersie.Evident, f nu este nici submersie (rang[J(f)] = 1 6= 3), nici difeomorfism.

3. a) Pentru (u, v), (s, t) ∈ R2, avem f(u, v) = f(s, t) ⇔v = s+ t− uu2 − u(s+ t) + st = 0 , ın care a doua ecuatie a

sistemului are solutiile posibile (u, v) = (s, t) sau (u, v) = (t, s), ceea ce indica simetria functiei f ın variabileleu, v. Deoarece ∀(u, v) ∈ R2, f(u, v) = f(v, u), rezulta ca f nu este injectiva (de exemplu, f(0, 1) = f(1, 0) =(1, 0)); f nu este nici bijectiva. Pe de alta parte, avem

f(u, v) = (x, y) ⇔v = x− uu2 − ux+ y = 0,

iar a doua ecuatie admite solutii reale doar daca avem y ≤ x2/4. Deci exista perechi (x, y) ∈ R2 care nu aupreimagine prin f ; prin urmare f nu este surjectiva. Pentru (x, y) = (0, 1) obtinem

f(u, v) = (0, 1) ⇔u+ v = 0uv = 1 ⇒ u2 = −1,

deci f−1(0, 1) = . De asemenea, conditia (x, y) ∈ Im f conduce la inegalitatea de mai sus, y ≤ x2/4. Prinurmare, Im f = (x, y) ∈ R2 | y ≤ x2/4.

b) Matricea Jacobiana a functiei f este [J(f)] =(

−1 2v3u2 −1

). Avem det[J(f)] = 1−6vu2, deci rang [J(f)] = 2

pentru ∀(u, v) ∈ R2\D, unde D = (u, v)|u2v = 16, deci f este si imersie si submersie pe R2\D. Folosind

teorema functiilor implicite rezulta ca functia f este difeomorfism local, dar fiind bijectiva, rezulta f difeomorfismglobal pe R2\D.

4. Notand f1(ρ, θ) = ρ cos θ si f2(ρ, θ) = ρ sin θ, obtinem matricea Jacobiana a functiei f :

J(f) =

∂f1∂ρ

∂f1∂θ

∂f2∂ρ

∂f2∂θ

=

(cos θ −ρ sin θ

sin θ ρ cos θ

).

Deoarece det[J(f)] = ρ cos2 θ + ρ sin2 θ = ρ > 0, ∀(ρ, θ) ∈ (0,∞) × [0, 2π), folosind teorema functiei inverse,rezulta f difeomorfism. Pentru a afla inversa lui f , rezolvam urmatorul sistem ın ρ si θ:

ρ cos θ = xρ sin θ = y

⇒ ρ2(cos2 θ + sin2 θ) = x2 + y2 ⇒ ρ =√x2 + y2.

Distingem cazurile:1o. x = 0, y > 0 ⇒ θ = π/2; 2o. x = 0, y < 0 ⇒ θ = 3π/2; 3o. x > 0, y ≥ 0 ⇒ θ = arctg y

x ; 4o.x < 0 ⇒ θ = π + arctg y

x ; 5o. x > 0, y < 0 ⇒ θ = 2π + arctg yx , deci f−1(x, y) = (

√x2 + y2, θ), unde

θ =

kπ + arctg yx , pentru x 6= 0,

π/2, pentru x = 0, y > 03π/2, pentru x = 0, y < 0,

(9.1)

unde k ia valorile 0, 1 si 2 dupa cum (x, y) se afla respectiv ın cadranul I, cadranele II sau III, sau ın cadranulIV. In concluzie,

f−1(x, y) = (√x2 + y2, θ), f−1 : R2\(0, 0) → (0,∞)× [0, 2π),

cu valorile unghiului θ date de egalitatea (9.1).

5. Aflam valoarea parametrului t0 ∈ R pentru care α(t0) = (1,−1, 1, 3); din aceasta egalitate obtinem

t40 = 1,−1 = −1, t50 = 1, t60 + 2 = 3,

de unde rezulta t0 = 1. Vectorul α′(t0) tangent ın punctul A la curba are coordonatele (4t30, 0, 5t40, 6t

50) =

(4, 0, 5, 6), deci tangenta si hiperplanul normal ın punctul A au respectiv ecuatiile

∆tg,A : x1−14 = x2+1

0 = x3−15 = x4−3

6

Hnor,A : 4(x1 − 1) + 0(x2 + 1) + 5(x3 − 1) + 6(x4 − 3) = 0 ⇔

⇔ 4x1 + 5x3 + 6x4 − 27 = 0.

- 135-

Page 136: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

6. Observam ca α(t0) = (0,−1, 0, 2) implica t0 = 0. Avemα′(0) = (4t30, 0, 5t

40, 6t

50) = (0, 0, 0, 0)

α′′(0) = (12t20, 0, 20t30, 30t40) = (0, 0, 0, 0)α′′′(0) = (24t0, 0, 60t20, 120t30) = (0, 0, 0, 0)α(iv)(0) = (24, 0, 120t0, 360t20) = (24, 0, 0, 0) 6= (0, 0, 0, 0),

deci rezulta B punct singular de ordinul 4. In concluzie, tangenta si hiperplanul normal la curba α ın punctulB au respectiv ecuatiile

∆tg,B : x1−024 = x2+1

0 = x3−00 = x4−2

0 ⇔

x2 = −1x3 = 0x4 = 2

Hnor,B : 24 · (x1 − 0) + 0 · (x2 + 1) + 0 · (x3 − 0) + 0 · (x4 − 2) = 0 ⇔ x1 = 0.

Din relatia α′(t) = 0 rezulta unica solutie t = 0, deci B este unicul punct singular al curbei.

7. Gasim punctul comun al curbelor rezolvand sistemul α(t) = β(s), care se rescriet2 + 1 = 2 + sln t = s, t = s+ 1 ⇔

s2 + s = 0ln t = s, t = s+ 1 ⇔

s = 0t = 1,

deci punctul comun al curbelor are coordonatele α(1) = β(0) = (2, 0, 1). Vectorii tangenti ın punctul comun lacele doua curbe sunt α′(1) = (2, 1, 1), respectiv β′(0) = (1, 1, 1), deci avem

(α′(1), β′(0)) = arccos〈α′(1), β′(0)〉

‖α′(1)‖ · ‖β′(0)‖= arccos

43√

2.

8. Notand x(t) = t− 1, y(t) = t2

t−1 , obtinem

limt→−∞

x(t) = −∞, limt→−∞

y(t) = −∞,

limt→+∞

x(t) = ∞, limt→+∞

y(t) = ∞,

si deoarece limt→±∞

y(t)x(t)

= limt→±∞

t2

(t− 1)2= 1 = m, rezulta v ≡ (1, 1) directie asimptotica a curbei pentru

t→ ±∞. Deoarece n = limt→±∞

(y(t)−m · x(t)) = limt→±∞

2t− 1t− 1

= 2 rezulta y = x+ 2 asimptota a curbei pentrut→ ±∞.

In punctul de acumulare t = 1 avem

limt→1

x(t) = 0, limt1

y(t) = −∞, limt1

y(t) = +∞,

deci curba admite pentru t→ 1 asimptota bilaterala x = 0 (axa Oy).

9. Din oficiu: 1pt. a) Conform definitiei, lungimea arcului de curba este

l = α([0, 2π]) =∫ 2π

0

‖α′(t)‖dt (0,5 pt.) .

Avem α′(t) = (a(1− cos t), a · sin t), deci

‖α′(t)‖ =√a2(1− cos t)2 + a2 · sin2 t = a

√2− 2 cos t (0,5 pt.) .

Folosind relatia cos t = 1− 2 sin2 t2 , rezulta

l = a

∫ 2π

0

√2− 2 cos tdt = a

∫ 2π

0

√2− 2

(1− 2 sin2 t

2

)dt (1 pt.) .

- 136-

Page 137: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Dar t ∈ [0, 2π] ⇔ t2 ∈ [0, π] ⇒ sin t ≥ 0, deci

l = 2a∫ 2π

0

sint

2dt = −4a cos · t

2|2π0 = −4a(−1− 1) = 8a (1 pt.) .

b) Originea α(0) = (0, 0) nu este un punct regulat al curbei α deoarece α′(0) = 0. Prin urmare vom calculaabscisa curbilinie corespunzatoare lui t = π (1 pt.) . Avem

s(t) =∫ t

π

‖α′(u)‖du = a

∫ t

π

√2− 2 cosu du = 2a

∫ t

π

sinu

2du =

= −4a · cos .u2 |tπ= −4a cos t

2 , s : [0, 2π] → [−4a, 4a](1 pt.) .

Se observa ca inversa acestei functii, t : [−4a, 4a] → [a, 2π] este data de t(s) = 2 arccos(− s4a ) (2 pt.) . In

concluzie, parametrizarea normala a curbei α este β : [−4a, 4a] → R2,

β(s) = (α s−1)(s) = α(s−1(s)) = α(2 arccos(− s4a )) =

= (a(2 arccos(− s4a )− sin(2 arccos(− s

4a ))), a(1− cos(2 arccos(− s4a ))))

(2 pt.) Total: 10pt. .

9.4 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare

1. Fie P = (x1, . . . , xn) ∈ Rn. Sa se arate ca

max|xi|, i = 1, . . . , n ≤ ‖P‖2 ≤√n max|xi|, i = 1, . . . , n.

2. Sa se arate ca pe Rn nu exista nici o distanta diferentiabila.

3. FieP = (x1, . . . , xn), f(P ) = a1x

α11 + . . .+ anx

αnn ,

unde αi > 0, iar α1, . . . , αn este o progresie geometrica cu ratia r. Sa se calculeze D~vf(Q) pentru ~v =(1α1, . . . ,

1αn

)si Q = (1, . . . , 1).

4. Fie campurile vectoriale ~X = x1~U1 + . . .+ xn

~Un si ~Y =~X

‖ ~X‖. Sa se determine D ~X

~Y pe domeniul maxim

de definitie.

5. Fie curba α : [0, π] → R4, α(t) = (sin t, cos2 t, 5 sin t, 1−3 cos2 t). Sa se arate ca α este ınchisa, iar prelungireaei α : R → R4 este periodica.

6. Fie curba α : R → R4, α(t) = (sin t, 1 + cos2 t, sin t+ cos2 t, sin2 t). Sa se arate ca punctul α(

π4

)este regulat,

iar tangenta la curba ın acest punct este perpendiculara pe dreapta de directie ~d = (1, 1,−√

2 − 2,−1). Sa sedetermine hiperplanul normal la α ın punctul α

(π4

).

7. Fie ~Y un camp vectorial pe curba α(t) = (sin t, 1 + cos t, sin t + cos2 t, sin2 t). In fiecare dintre cazurileurmatoare, sa se exprime ~Y ın forma ~Y = y1~e1 + y2~e2 + y3~e3 + y4~e4.

1) ~Y (t) este vectorul de origine ın α(t) si cu extremitatea ın originea lui R4.

2) ~Y (t) = ~α′(t)− ~α′′(t).

3) ~Y (t) are lungimea unu si este perpendicular pe ~α′(t), ~α′′(t) si pe ~α′′′(t).

4) ~Y este vectorul cu originea ın α(t) si cu extremitatea ın α(t+ π).

8. Sa se cerceteze ramurile infinite si sa se determine asimptotele curbelor (daca exista)

1) α = (x, y) : (R\1) → R2, x(t) =t3 + 2t3 − 1

y(t) =3t

t3 − 1;

- 137-

Page 138: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

2) α = (x, y) : R → R2, x(t) =2 + t2

1 + t2, y(t) =

t3

1 + t2.

9. Consideram curba

α = (R\−1, 1 → R5, α(t) =(

1t− 1

,2t

t2 − 1,t2 + 1t2 − 1

,2

t+ 1,

t

t+ 1

).

a) Sa se arate ca punctul (−1, 0,−1, 2, 0) se afla pe curba si sa se determine tangenta si hiperplanul normal lacurba ın acest punct.

b) Sa se cerceteze ramurile infinite ale curbei si sa se determine asimptotele (daca acestea exista).

- 138-

Page 139: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MB.10.Curbe plane

Cuvinte cheie: drum parametrizat, tangenta, normala, curbura, cerc os-culator, versor tangent, reperul si formulele Frenet, versorul tangent, ver-sorul normal, evoluta unei curbe plane, ınfasuratoarea, curbe date prinecuatie carteziana, curbe date prin ecuatie polara, reperul polar, raza decurbura, punct de inflexiune, punct de ıntoarcere de speta a doua, punctdublu.

10.1 Tangenta si normala unei curbe plane

Raportam planul la reperul natural si consideram curba (drumul parametrizat)

α : I → R2, α(t) = (x(t), y(t)).

Fie P = α(t) un punct regulat al curbei. Se stie (§2) ca dreapta care trece prin P si are ca vector director pe~α′(t) se numeste tangenta la curba α ın P . Deoarece suntem ın plan, hiperplanul normal se reduce la o dreapta,numita normala curbei.

1.1. Definitie. Dreapta care trece prin punctul regulat P = α(t) si este perpendiculara pe ~α′(t) se numestenormala curbei ın punctul P . Intr-un punct regulat fixat, P = α(t), tangenta si normala la curba aurespectiv ecuatiile:

x− x(t)x′(t)

=y − y(t)y′(t)

,

(x− x(t))x′(t) + (y − y(t))y′(t) = 0.

Daca P = α(t) este un punct singular de ordinul m, atunci dreapta care trece prin P si are ca vector directorpe ~α(m)(t) se numeste tangenta curbei ın punctul P .

2.2. Definitie. Fie P = α(t) un punct singular de ordinul m pentru curba α. Dreapta care trece prinpunctul P si este perpendiculara pe ~α(m)(t) se numeste normala curbei ın punctul P .

Intr-un punct singular de ordinul m, P = α(t), tangenta si normala la curba au respectiv ecuatiile

x− x(t)x(m)(t)

=y − y(t)y(m)(t)

,

(x− x(t))x(m)(t) + (y − y(t))y(m)(t) = 0.

3.3. Observatie. Segmentul de pe tangenta (normala) determinat de punctul de pe curba si de intersectiaacestei tangente (normale) cu Ox, se numeste segment tangenta (normala). Proiectia acestui segment pe Ox

139

Page 140: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

se numeste subtangenta (subnormala) (fig. 120, PT -segment tangenta, PN -segment normala, ST -subtangenta,SN -subnormala).

Fig. 120

10.2 Curbe definite prin ecuatii carteziene implicite

Curbele plane pot fi introduse pornind de la functii diferentiabile de tipul f : R2 → R, (x, y) → f(x, y).Deoarece

J(f) =(∂f

∂x,∂f

∂y

),

punctele critice ale functiei f (daca exista!) se afla rezolvand sistemul:

∂f

∂x(x, y) = 0,

∂f

∂y(x, y) = 0.

Punctele ın care cel putin una dintre aceste derivate nu se anuleaza sunt puncte regulate.Multimea

C = f−1(c) = (x, y) | (x, y) ∈ R2, f(x, y) = c, c = fixat

se numeste multime de nivel constant c sau multime de ecuatie carteziana implicita f(x, y) = c. Pe scurt sescrie

C : f(x, y) = c.

Precizam ca ın general C contine atat puncte regulate cat si puncte critice ale lui f .Fie (x0, y0) ∈ C. Multimea tuturor punctelor din C a caror distanta fata de (x0, y0) este mai mica decat un

numar ε > 0 se numeste vecinatate a lui (x0, y0) in C.4.1. Teorema. Daca o solutie (x0, y0) a ecuatiei f(x, y) = c este un punct regulat al functiei f , atunci

exista o vecinatate a acestui punct ın care ecuatia f(x, y) = c defineste o curba simpla si regulata (vezi fig. 121).

Fig. 121

Demonstratie. Se subıntelege ca C nu este vida. Ipoteza ca P (x0, y0) este un punct regulat asigura ca ın

P , cel putin una dintre derivatele∂f

∂x,∂f

∂ynu se anuleaza. Fie

∂f

∂y(P ) 6= 0. Teorema functiei implicite definita

de o ecuatie de forma f(x, y) = c arata ca exista o vecinatate I a lui x0 ın R si o functie diferentiabila x→ y(x)astfel ıncat pentru orice x ∈ I sa avem

f(x, y(x)) = c,dy

dx= −

∂f∂x∂f∂y

.

- 140-

Page 141: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Rezulta ca portiunea din C din vecinatatea punctului P este reprezentata de graficul functiei x→ y(x) sau deimaginea aplicatiei α : I → C, α(t) = (t, y(t)) si deci aceasta portiune este o curba simpla si regulata.

In general, multimea C\punctele critice ale lui f consta din arce simple si regulate. Daca multimeapunctelor critice ale lui f care sunt incluse ın C nu este prea ciudata, atunci C : f(x, y) = c se numeste curbade ecuatie carteziana implicita f(x, y) = c.

Daca f(x, y) este un polinom de gradul n, atunci curba C se numeste curba algebrica de gradul n. Inparticular avem urmatoarele denumiri: curbe algebrice de gradul unu (drepte), curbe algebrice de gradul doi(conice), curbe algebrice de gradul trei (cubice), curbe algebrice de gradul patru (cuartice) etc.

Reprezentarea analitica explicita a unei curbe plane este:

C : y = y(x), x ∈ J ⊆ R (10.1)

2.2. Tangenta. Fie P (x0, y0) un punct regulat al curbei C. Tangenta la curba C ın punctul P are ecuatia

(x− x0)∂f

∂x(x0, y0) + (y − y0)

∂f

∂y(x0, y0) = 0,

iar normala la curba C ın punctul P are ecuatia

x− x0

∂f∂x

(x0, y0)=

y − y0∂f∂y

(x0, y0).

Pentru o curba plana reprezentata explicit prin C : y = y(x) tangenta ın punctul regulat P (x0, y0) are ecuatia

y − yo = y′(x0)(x− x0),

iar normala ın P este:y − y0 =

−1y′(x0)

(x− x0).

3.3. Observatii

1) In situatii concrete curba C poate fi data printr-o ecuatie si prin inecuatii ın x, y care precizeaza o anumitaportiune din plan.

2) Reprezentarea curbei C (sau a unei portiuni din C) ın forma α(t) = (x(t), y(t)), se poate face prinintermediul teoremei 2.1 sau prin artificii de calcul.

Fie α(I) ⊂ R2 traiectoria unui punct material ın miscare si f(x, y) = c ecuatia carteziana implicita a luiα(I). Aceasta ecuatie nu descrie faptul ca α(I) poate fi parcursa de mai multe ori. De aceea ın problemele ıncare drumul parcurs este esential se prefera informatia mai bogata data de functiaα : I → R2.

3) Fie curba α : I → R2, α(t) = (x(t), y(t)). In general trecerea de la reprezentarea parametrica lareprezentarea carteziana explicita se poate face numai local. Intr-adevar, daca x′(t0) 6= 0 atunci teoremafunctiei inverse arata ca ın vecinatatea punctului x0 = x(t0) restrictia lui x = x(t) admite inversa t = t(x).Astfel restrictia lui y = y(t) apare ca o functie compusa de tipul

y = y(t(x)).

4) In general daca exista o functie f astfel ıncat

f(x(t), y(t)) = c, ∀t ∈ I,

atunci f(x, y) = c este ecuatia carteziana implicita a curbei

α(t) = (x(t), y(t)), t ∈ I.

- 141-

Page 142: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

5) Fie C : f(x, y) = c o curba regulata. Gradientul ∇f = ∂f∂x~i+ ∂f

∂y~j, definit pe C, este un camp vectorial

normal la C.

2.4. Exemple.

1) Dreapta. Ecuatia cartezina implicita a unei drepte din plan este ax+by+c = 0, iar ecuatiile parametriceale unei drepte sunt x = x0 + lt, y = y0 +mt, t ∈ R.

2) Cercul. Cercul de raza r si cu centrul in (x0, y0) are ecuatia carteziana implicita (x−x0)2+(y−y0)2 = r2.Obisnuit cercul se reprezinta prin ecuatiile parametrice y = x0 + r cos t, y = y0 + r sin t, t ∈ [0, 2π).

3) Elipsa are ecuatia carteziana implicita (canonica) x2

a2 + y2

b2− 1 = 0. Ea se poate parametriza ın forma

x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π).

4) Hiperbola are ecuatia carteziana implicita (canonica) x2

a2 −y2

b2−1 = 0. Ramura din dreapta a hiperbolei

se poate reprezenta prinx = acht, y = bsht, t ∈ R.

5) Parabola are ecuatia carteziana (canonica) x = y2

2p . De aceea ea se poate parametriza in forma

x =t2

2p, y = t, t ∈ R.

10.3 Forma unei curbe in vecinatatea unui punct al sau

Fie curba α : I → Rn si P un punct din α(I). Multimea tuturor punctelor din α(I) a caror distanta fata de Peste mai mica decat un numar ε > 0 se numeste vecinatate a lui P in α(I).

Fie α : I → R2 o curba din plan, ipoteza care va fi subınteleasa ın cele ce urmeaza. Consideram un punctparticular P ∈ α(I) asa ca α(t) = P si cercetam care este aspectul curbei ın vecinatatea lui P . In particularcercetam care este pozitia curbei ın raport cu tangenta ın acest punct.

Pentru un h din vecinatatea lui zero, punctul Q = α(t+ h), t+ h ∈ I, este ın vecinatatea punctului P . Deaceea putem folosi formula Taylor

α(t+ h) = α(t) +h

1!α′(t) +

h2

2!α′′(t) + . . .+

hn

n![α(n)(t) + ε(h)]

cu limh→0

ε(h) = 0. Evident, avem

PQ = α(t+ h)− α(t).

Vom face studiul urmarind doua cazuri: cazul ın care P este un punct regulat si cazul ın care P este singular.a) P este un punct regulat.Prin ipoteza ın P avem ~α′(t) 6= ~0 si tangenta ın P este definita de punctul P si de vectorul ~α′(t).

3.1. Presupunem ca ~α′(t) si ~α′′(t) determina o baza ın TP R2. Formula Taylor de ordinul doi da

−−→PQ = h~α′(t) +

h2

2~α′′(t) +

h2

2~ε(h), lim

h→0~ε(h) = ~0.

Astfel pentru |h| suficient de mic, perechea(h,

h2

2

)constituie cu aproximatie coordonatele vectorului

−−→PQ

fata de baza ~α′(t), ~α′′(t). Daca h trece prin zero, atunci prima coordonata isi schimba semnul, iar a doua si-lpastreaza. De aceea arcul se afla ın semiplanul ce contine pe ~α′′(t) si traverseaza ın P dreapta determinata deP si de ~α′′(t). Tinand cont ca dreapta determinata de P si ~α′(t) este tangenta la α ın P , deducem ca arcul areaspectul din fig.122.

- 142-

Page 143: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 122

3.2. Presupunem ca ~α′′(t) este coliniar cu ~α′(t) si ca ~α′(t) ımpreuna cu ~α′′′(t) constituie o baza ın TP R2.Prin ipoteza ∃r ∈ R asa ca ~α′′(t) = r~α′(t). Astfel formula Taylor de ordinul trei da

−−→PQ =

(h+ r

h2

2

)~α′(t) +

h3

6~α′′′(t) +

h3

6~ε(h), lim

h→0~ε(h) = ~0.

Pentru | h | suficient de mic h + rh2

2 ∼ h, iar(h, h

3

6

)constituie cu aproximatie coordonatele lui

−−→PQ ın

baza ~α′(t), ~α′′′(t). Daca h trece prin zero, atunci ambele coordonate ısi schimba semnul. De aceea, la trecereaprin P , punctul Q traverseaza si tangenta si dreapta definita de P si ~α′′′(t). Astfel, ın vecinatatea lui P , curbaare aspectul din fig.123, iar P se numeste punct de inflexiune.

Fig. 123

3.3. Sa generalizam situatiile anterioare. Presupunem ca derivatele de ordinele 2, 3, . . . , n−1, sunt coliniarecu ~α′(t), iar ~α′(t) si ~α(n)(t) determina o baza ın TP R2.

Deoarece ∀k, 1 < k < n, ∃rk ∈ R astfel ıncat ~α(k)(t) = rk~α′(t), formula Taylor de ordinul n da

−−→PQ =

(h+ r2

h2

2+ . . .+ rn−1

hn−1

(n− 1)!

)~α′(t) +

hn

n!~α(n)(t) +

hn

n!~ε(h),

limh→0

~ε(h) = ~0.

De aceea pentru | h | suficient de mic, perechea(h, h

n

n!

)realizeaza cu aproximatie coordonatele lui

−−→PQ ın

raport cu baza ~α′(t), ~α(n)(t).Rezulta ca ın vecinatatea lui P avem: daca n este par, atunci curba are aspectul din fig.124; daca n impar,

atunci curba are aspectul din fig.123.3.4. Observatii.1) Fie P = α(t) un punct regulat al unei curbe α. Daca toate derivatele de ordinul 2, 3, . . . , n sunt coliniare

cu ~α′(t), ın particular daca toate sunt nule, atunci nu putem preciza pozitia curbei ın raport cu tangenta ın Pcu ajutorul acestor derivate. Tot ce putem spune este ca ın vecinatatea lui P abaterea curbei de la tangentaeste mica.

2) Forma unei curbe C : f(x, y) = c ın vecinatatea unui punct regulat (x0, y0) este data de forma graficuluifunctiei x→ y(x) ın vecinatatea lui x0.

b) P este un punct singularPrin ipoteza, ın P = α(t) avem ~α′(t) = ~0.3.5. Presupunem ca ~α′′(t) si ~α′′′(t) determina o baza in TP R2. In acest caz tangenta este determinata de

P si de ~α′′(t). Formula Taylor de ordinul trei arata ca

−−→PQ =

h2

2~α′′(t) +

h3

6~α′′′(t) +

h3

6~ε(h), lim

h→0~ε(h) = ~0.

- 143-

Page 144: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

In vecinatatea lui h = 0, cuplul(h2

2 ,h3

6

)constituie cu aproximatie coordonatele vectorului

−−→PQ. Prima

coordonata h2

2 fiind pozitiva, arcul apartine semiplanului marginit de dreapta definita de P si ~α′′′(t) si care

contine pe ~α′′(t). A doua coordonata h3

6 isi schimba semnul cand h trece prin zero. Astfel, ın P , arcultraverseaza tangenta. Se zice ca P este un punct de ıntoarcere de prima speta (fig.124).

Fig. 124

3.6. Presupunem ca ~α′′′(t) este coliniar cu ~α′′(t) si ca ~α′′(t) si ~α(4)(t) formeaza o baza in TP R2. In acestcaz tangenta ın P este definita de P si de ~α′′(t). Deoarece prin ipoteza ∃r ∈ R asa ca ~α′′′(t) = r~α′′(t), formulaTaylor de ordinul patru da

−−→PQ =

(h2

2+ r

h3

6

)~α′′′(t) +

h4

24~α(4)(t) +

h4

24~ε(h), lim

h→0~ε(h) = ~0.

Astfel pentru | h | suficient de mic, perechea(h2

2 ,h4

24

)reprezinta cu aproxi-matie coordonatele lui

−−→PQ ın

raport cu baza ~α′′(t), ~α(4)(t). Deoarece ambele coordonate sunt pozitive, curba trebuie sa arate ca ın fig.125 (oramura pentru h negativ, o ramura pentru h pozitiv). In acest caz se spune ca P este un punct de ıntoarcerede speta a doua.

Fig. 125

3.7. Generalizand situatiile anterioare presupunem

~α′(t) = . . . = ~α(m−1)(t) = ~0, ~α(m)(t) 6= ~0.

De asemenea presupunem ca derivatele de ordinul m+ 1, m+ 2, . . . , n− 1 sunt coliniare cu ~α(m)(t) iar ~α(m)(t)ımpreuna cu ~α(n)(t) determina o baza ın TP R2. Deoarece prin ipoteza, ∀k,m < k < n, ∃rk ∈ R asa ca

~α(k)(t) = rk−m~α(m)(t),

formula Taylor de ordinul n da

−−→PQ =

(hm

m!+ r1

hm+1

(m+ 1)!+ . . .+ rn−1

hn−1

(n− 1)!

)~α(m)(t) +

hn

n![~α(n)(t) + ~ε(h)],

limh→0

~ε(h) = ~0.

Pentru | h | suficient de mic,(hm

m! ,hn

n!

)constituie cu aproximatie coordonatele lui

−−→PQ ın baza aleasa de

noi. De aceea situatiile din punctul singular P se pot rezuma ın tabelul

- 144-

Page 145: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

m n Forma curbeiimpar par figura 122

impar figura 123par impar figura 124

par figura 125

3.8. Observatii

1) Daca ın punctul singular P nu sunt ındeplinite conditiile din 3.7, atunci nu putem preciza care este formacurbei ın vecinatatea acestui punct cu ajutorul acceleratiilor.

2) Fie multimea de nivel constant C : f(x, y) = c si (x0, y0) ∈ C un punct critic al lui f ın care hessiana luif nu este identic nula. Daca detd2f(x0, y0) > 0, atunci (x0, y0) este un punct izolat ın C (vezi fig. 126, a); dacadet d2f(x0, y0) < 0, atunci (x0, y0) este un punct dublu pentru C (fig.126. b); daca det d2f(x0, y0) = 0, atunci(x0, y0) este un punct de ıntoarcere pentru C (fig.126, c). Intr-un punct dublu sau de ıntoarcere directiile (l,m)ale tangentelor la C sunt date de

l2∂2f

∂x2(x0, y0) + 2lm

∂2f

∂x∂y(x0, y0) +m2 ∂

2f

∂y2(x0, y0) = 0.

Fig. 126

Punctul izolat si punctul dublu ın C sunt puncte critice izolate pentru f .

10.4 Trasarea curbelor plane

Fie α : I → R2, α(t) = (x(t), y(t)) o curba plana. Pentru a desena imaginea α(I) ⊂ R2 ın raport cu reperulcartezian xOy este necesar sa se urmareasca urmatorii pasi:

4.1. Stabilirea domeniului de definitie I, precizarea punctelor de acumulare ce nu apartin lui I si calculullimitelor functiilor t→ x(t), t→ y(t) ın aceste puncte. Precizarea punctelor asimptotice (daca exista!).

4.2. Intersectii cu axele.

4.3. Se cerceteaza simetriile lui α(I). Daca ∀t ∈ I, ∃t′ ∈ I astfel ıncat (1) x(t′) = x(t), y(t′) = −y(t), (2)x(t′) = −x(t), y(t′) = y(t), (3) x(t′) = −x(t), y(t′) = −y(t), (4) x(t′) = y(t), y(t′) = x(t) etc, atunci curbaeste respectiv simetrica fata de (1) axa Ox, (2) axa Oy, (3) origine, (4) prima bisectoare etc. Se observa casistemele (1), (2), si (3) contin ca un caz particular studiul paritatii si imparitatii functiilor t→ x(t), t→ y(t).

Daca ∃r ∈ R astfel ıncat, ∀t ∈ I, punctul α(r− t) se deduce din α(t) printr-o simetrie (ın raport cu un punct

sau o dreapta), atunci rezulta t′ = r − t ceea ce este echivalent cu t+ t′

2 = r2 . Astfel t si t′ sunt simetrice ın R

fata de r2 . In acest caz trasam portiunea din α(I) corespunzatoare lui I ∩ [r/2,∞), iar restul se completeaza

prin simetrie.Daca α

(1t

)se duce din α(t) printr-o simetrie, atunci rezulta t′ = 1

t sau tt′ = 1. In acest caz trasamportiunea din α(I) corespunzatoare lui I ∩ ([−1, 0) ∪ (0, 1]), iar restul se completeaza prin simetrie.

4.4. Stabilirea punctelor regulate. Dintre punctele regulate trebuie precizate punctele de inflexiune sipunctele ın care ~α(n), n = 2, 3, . . . sunt coliniari cu ~α′.

Stabilirea punctelor singulare (cand exista!) si a tangentelor ın aceste puncte. Dintre acestea trebuieprecizate punctele de inflexiune, punctele de ıntoarcere, punctele singulare de ordinul n ın care ~α(m), m =n+ 1, n+ 2, . . . sunt coliniari cu ~α(n) 6= ~0 si punctele singulare ın care ~α(k) = ~0, k = 1, 2, . . .

- 145-

Page 146: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

4.5. Determinarea punctelor multiple si a tangentelor ın aceste puncte. Daca sistemul t1 6= t2, x(t1) =x(t2), y(t1) = y(t2) este compatibil (determinat sau nedeterminat), atunci solutiile sale dau punctele multiple.Daca sistemul este incompatibil, atunci curba are numai puncte simple. Daca cel putin una dintre componentelefunctiei α este injectiva, atunci α este injectiva.

4.6. Se cerceteaza daca α este o curba periodica, adica ∃T > 0, α(t + T ) = α(t), ∀t ∈ I. Daca α esteperiodica, de perioada T , atunci este suficient sa consideram restrictia α : [0, T ] → R2.

Din faptul ca α este o curba periodica rezulta ca t → x(t), t → y(t) sunt periodice avand eventual alteperioade decat α. Daca t → x(t) este periodica si are perioada T1, t → y(t) este periodica si are perioada T2,iar T1

T2=p

q∈ Q, p, q ∈ N∗, atunci α este periodica si are perioada T = qT1 = pT2.

4.7. Alcatuirea tabelului de variatie pentru functiile t→ x(t), t→ y(t).

4.8. Stabilirea ramurilor infinite si a asimptotelor (daca exista!). Putem ıntalni situatiile:

1) limt→t0

x(t) = ±∞, limt→t0

y(t) = b. In acest caz asimptota are ecuatia y = b. Pentru a decide pozitia ramurii

fata de asimptota, din tabel se citeste semnul lui y(t)− b ın vecinatatea lui t0.

2) limt→t0

x(t) = a, limt→t0

y(t) = ±∞. In acest caz asimptota are ecuatia x = a.

3) limt→t0

x(t) = ±∞, limt→t0

y(t) = ±∞.

Daca limt→t0

y(t)x(t)

= 0, atunci (1, 0) este directie asimptotica. Curba nu admite asimptota (ramura parabolica).

Daca limt→t0

x(t)y(t)

= 0, atunci (0, 1) este directie asimptotica. Curba nu admite asimptota (ramura parabolica).

Daca limt→t0

y(t)x(t)

= m, atunci (1,m) este directie asimptotica. Daca, limt→t0

(y(t) − mx(t)) = n, atunci curba

admite asimptota y = mx + n. Daca limt→t0

(y(t) − mx(t)) = ±∞, atunci curba nu admite asimptota (ramura

parabolica).

4.9. ExempluCurba de ecuatie x3 + y3 − 3axy = 0, a > 0, se numeste foliul lui Descartes.a) Sa se gaseasca o reprezentare parametrica a curbei.b) Sa se construiasca aceasta curba.

Solutie.a) Axa Oy taie curba ın origine. Intersectam cu dreapta y = tx. Inlocuind ın ecuatia curbei obtinem

x2(x+ t3x− 3at) = 0. Mai ıntai avem x2 = 0, ceea ce corespunde punctului dublu (0, 0). Apoi, pentru t 6= −1,gasim

x =3at

1 + t3, y =

3at2

1 + t3.

b) Pentru a construi curba, parcurgem urmatorii pasi:

1) Domeniul de definitie. Simetrii. Se vede ca t ∈ (−∞,−1)∪ (−1,∞). In punctele de acumulare carenu fac parte din domeniul de definitie trebuie sa calculam limite. Astfel avem:

limt→±∞

x(t) = 0, limt−1

x(t) = ∞, limt−1

x(t) = −∞

limt→±∞

y(t) = 0, limt−1

y(t) = −∞, limt−1

y(t) = ∞.

Observam ca O(0, 0) este punct asimptotic atat pentru t → ∞ cat si pentru t → −∞. Acest punct seconfunda cu punctul obisnuit t = 0.

Sistemul 3at′

1 + t′3=

3at2

1 + t3

3at′2

1 + t′3=

3at1 + t3

- 146-

Page 147: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

este compatibil nedeterminat deoarece este satisfacut pentru orice t si t′ din relatia tt′ = 1. Astfel curba estesimetrica fata de prima bisectoare. De aceea este suficient sa construim portiunea t ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1], iar restulsa completam prin simetrie.

2) Puncte regulate. Puncte singulare. Avem

x′ =3a− 6at3

(1 + t3)2, y′ =

6at− 3at4

(1 + t3)2.

Din x′ = 0 gasim t = 13√2

. Din y′ = 0 deducem t1 = 0, t2 = 3√

2. Aceasta ınseamna ca foliul lui Descartes esteo curba regulata.

3) Puncte multiple.Avand ın vedere semnificatia lui t (panta unei drepte), t→ −∞ si t→∞ dau acelasi punct (0, 0) pe curba

(punct asimptotic) care corespunde intersectiei curbei cu axa Oy(x = 0). Pe de alta parte t = 0 da punctul(0, 0). Astfel originea este punct dublu.

Sistemul

t1 6= t2

3at11 + t31

=3at2

1 + t32

3at211 + t31

=3at22

1 + t32

arata ca nu mai avem si alte puncte multiple.Tangentele ın O(0, 0) sunt axele Ox si Oy.

4) Tabelul de variatie pentru x(t) si y(t)

−∞ −1 0 1/ 3√

2 3√

2 +∞x′ + | + 0 − −x 0 ∞ | −∞ 0 a 3

√4 a 3

√2 0

y′ − | − 0 + + 0 −y 0 −∞ | ∞ 0 a 3

√2 a 3

√4 0

5) Ramuri infinite. Asimptote.Pentru t −1 si t −1 avem ramuri infinite. Deoarece

limt→−1

y(t)x(t)

= −1,

rezulta ca ambele ramuri infinite admit directia asimptotica (1,−1). Pe de alta parte

limt→−1

(y(t) + x(t)) = limt→−1

3at1 + t2 − t

= −a

si astfel avem asimptota oblica y + x+ a = 0.

6) Trasarea curbei (fig.127).

Fig. 127

- 147-

Page 148: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

10.5 Formule Frenet ın plan

Fie β : J → R2, β(s) = (x(s), y(s)) o curba cu viteza unu. Versorul tangent este ~T (s) = ~β′(s) = (x′(s), y′(s)),iar versorul normal ~N(s) este definit prin rotirea lui ~T (s) cu π/2 (fig.128). Astfel, ~N(s) = (−y′(s), x′(s)) siapare reperul ortonormat mobil ~T , ~N numit reper Frenet.

Fig. 128Deoarece 〈~T , ~T 〉 = 1, rezulta 〈~T ′, ~T 〉 = 0 si deci ~T ′ = (x′′, y′′) este perpendicular pe ~T . Cum avem si ~N⊥~T

rezulta ca ~T ′ si ~N sunt coliniari. Functia s→ k(s) definita prin ecuatia Frenet (conditie de coliniaritate)

~T ′ = k ~N

se numeste curbura lui β. Pentru curbele din plan, k(s) poate fi negativ, nul sau pozitiv si semnul sau aratacum se ıncovoaie β(J).

5.1. Teorema. Daca β : J → R2 este o curba cu viteza unu care are curbura k, atuncia) sunt satisfacute formulele Frenet: ~T ′ = k ~N, ~N ′ = −k~T ;

b) expresia curburii este k =dϕ

ds, unde ϕ este unghiul care da panta tangentei lui β ın punctul curent.

Demonstratie. a) Exprimam vectorul ~N ′ ın raport cu reperul ortonormat ~T , ~N, adica

~N ′ = ( ~N ′, ~T )~T + 〈 ~N ′, ~N〉 ~N.

Derivand ın 〈 ~N, ~N〉 = 1 gasim 〈 ~N ′, ~N〉 = 0 si derivand ın 〈 ~N, ~T 〉 = 0 deducem 〈 ~N ′, ~T 〉 = −〈 ~N, ~T ′〉 = −k.

b) Folosim fig.129 si observatia ca ~T =~ı cosϕ+~ sinϕ si deci ~N = − sinϕ~i+cosϕ~j. Prin urmare ~T ′ =dϕ

ds~N ,

adica k =dϕ

ds.

5.2. Teorema. Curbura k determina pe β abstractie facand de pozitia sa ın plan (de o izometrie).

Fig. 129

Demonstratie. Tinand cont de teorema 5.1 avem

ds= k(s) si deci ϕ = ϕ0 +

∫ s

s0

k(s)ds,

unde ϕ0 este unghiul pe care-l face tangenta la curba cautata ın punctul s = s0 cu axa Ox. Pe de alta parte

dx

ds= cosϕ,

dy

ds= sinϕ

si astfel

x = x0 +∫ s

s0

cosϕds, y = y0 +∫ s

s0

sinϕds,

unde (x0, y0) este punctul corespunzator lui s = s0.

- 148-

Page 149: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Constantele ϕ0, x0, y0 depind de alegerea axelor de coordonate. Notand

x′ =∫ s

s0

cosψds, y′ =∫ s

s0

sinψds, ψ =∫ s

s0

k(s)ds

observam ca x = x0 + x′ cosϕ0 − y′ sinϕ0

y = y0 + x′ sinϕ0 + y′ cosϕ0

si deci ϕ0 determina o rotatie, iar (x0, y0) determina o translatie.Daca ϕ0 = 0, x0 = y0 = 0, atunci punctul de la care se masoara abscisele curbilinii coincide cu originea

coordonatelor, iar sensul tangentei ın acest punct coincide cu sensul lui Ox.5.3. Teorema. Daca ~α(t) = (x(t), y(t)), t ∈ I este o curba regulata din plan, atunci curbura are expresia

k =〈~α′′,R(~α′)〉||~α′||3

=x′y′′ − x′′y′

(x′2 + y′2)3/2,

unde am notat ||w|| =√〈w,w〉 si R este operatorul rotatiei de unghi

π

2, adica R(t1, t2) = (−t2, t1), iar ” ′”

ınseamna derivata ın raport cu t.

Functia1| k |

: I\t | t ∈ I, k(t) = 0 → (0,∞) se numeste raza de curbura.

Demonstratie. Avem ~α′ = v ~T , R (~α′) = vR(~T ) = v ~N, ~α′′ = dvdt~T + kv2 ~N si deci 〈~α′′, R(~α′)〉 = kv3.

Evident am tinut seama ca rotatia este o functie liniara.Pentru o curba plana C : y = y(x), reprezentata explicit, curbura are expresia

k =y′′

(1 + y′2)3/2.

10.6 Notiuni de teoria contactului a doua curbe

6.1. Teorema. Curbele α1 : y = f1(x), α2 : y = f2(x) au ın punctul comun M0(x0, y0) un contact de ordinulm daca si numai daca

f(k)1 (x0) = f

(k)2 (x0), k = 0, 1, . . . ,m,

f(m+1)1 (x0) 6= f

(m+1)2 (x0).

Demonstratie. Curbele α1 si α2 au ın M0 un contact de ordinul m daca si numai daca ecuatia f1(x) −f2(x) = 0 admite pe x0 drept radacina multipla de ordinul m+ 1, adica daca si numai daca

f(k)1 (x0)− f

(k)2 (x0) = 0, k = 0, 1, . . . ,m,

f(m+1)1 (x0)− f

(m+1)2 (x0) 6= 0.

6.2. Teorema. Curbele α1 : x = x(t), y = y(t), C : f(x, y) = 0 au ın punctul comun regulat t0 ↔M0(x0, y0) un contact de ordinul m daca si numai daca functia compusa t→ Φ(t) = f(x(t), y(t)) satisface

Φ(k)(t0) = 0, k = 0, 1, . . . ,m; Φ(m+1)(t0) 6= 0.

Demonstratie. Putem presupune∂f

∂y(x0, y0) 6= 0. Atunci C este reprezentata ıntr-o vecinatate a lui

(x0, y0) de arcul simplu si regulat α : x = x, y = y(x), x ∈ I. Restrangand eventual pe I reparametrizam pe αprin x = x(t) si gasim α2 : x = x(t), y = y(x(t)) = u(t).

- 149-

Page 150: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Deoarece f(x(t), u(t)) = 0 este o identitate ıntr-o vecinatate a lui t0, prin derivare deducem identitatile:

(∗)(∂

∂x

dx

dt+

∂u

du

dt

)(k)

f(x(t), u(t)) = 0, ∀k ≥ 1.

In particular acestea sunt adevarate pentru t = t0.Presupunem ca α1 si α2 au ın t0 ↔M0(x0, y0) un contact de ordinul m, adica

(∗∗) dky(t)dtk

∣∣∣∣t=t0

=dku(t)dtk

∣∣∣∣t=t0

, k = 0, 1, . . . ,m,

dm+1y(t)dtm+1

∣∣∣∣t=t0

6= dm+1u(t)dtm+1

∣∣∣∣t=t0

.

Din (**) si (*) rezulta ca functia t→ Φ(t) = f(x(t), y(t)) satisface

(∗ ∗ ∗) Φ(k)(t0) =(∂

∂x

dx

dt+

∂y

dy

dt

)(k)

f(x(t), y(t))|t=t0= 0

Φ(m+1)(t0) =(∂

∂x

dx

dt+

∂y

dy

dt

)(m+1)

f(x(t), y(t))|t=t06= 0

Reciproc, relatiile (***) si (*) implica pe (**), adica α1 si α2 au ın t0 ↔M0(x0, y0) un contact de ordinul m.

6.3. Curbe osculatoare. Fie α1 : x = x(t), y = y(t), t ∈ I o curba fixata si fie Ca : f(x, y; a1, a2, . . . , am+1) =0 o familie de curbe care depind de m+ 1 parametri sau de parametrul vector a = (a1, . . . , am+1), unde f esteo functie diferentiabila de m+ 3 variabile.

Se pune problema sa determinam din familia Ca o curba care sa aiba cu α1, ıntr-un punct regulat dat, uncontact de ordinul m, adica m+ 1 puncte confundate. Aceasta curba se numeste curba osculatoare a curbei α1.

Problema gasirii curbei osculatore se rezolva prin ınlocuirea lui x(t) si y(t) ın f , aplicarea teoremei 11.2 sigasirea celor m+ 1 necunoscute ai ce determina curba osculatoare. Daca ın punctul considerat curba obtinutaare cel putin un contact de ordinul m+ 1 cu α1, atunci ea se numeste supraosculatoare.

Deoarece curba osculatoare a unei curbe α1 este de fapt pozitia limita a unei curbe din familia Ca care treceprin m+ 1 puncte ale lui α1, atunci cand aceste puncte tind de-a lungul lui α1 catre punctul dat initial, putemafirma ca:

a) daca m = 2k + 1, atunci curba osculatoare nu traverseaza pe α1 ın punctul regulat M0 (fig.130),

Fig. 130

b) daca m = 2k, atunci curba osculatoare traverseaza pe α1 ın punctul regulat M0 (fig.131).

Fig. 131

- 150-

Page 151: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

6.4. Exemple.1) Dreapta osculatoare. Dreptele din plan ax+ by + c = 0 formeaza o familie de curbe cu doi parametri

esentiali. De aceea, fiind data o curba α : I → R2 se poate determina, ıntr-unul din punctele sale regulate,fie o dreapta osculatoare (contact de ordinul ıntai ∼ 2 puncte confundate) fie o dreapta supraosculatoare (deexemplu contact de ordinul al doilea ∼ 3 puncte confundate) care este de fapt tangenta la curba (fig.132).Pentru determinarea acestei drepte ne folosim de teorema 6.2, adica impunem conditiile

ax(t) + by(t) + c = 0

ax′(t) + by′(t) + c = 0.

Rezulta solutia (a, b, c). In punctele singulare de ordin m ale lui α se gasesc drepte supraosculatoare. Inpunctele singulare de ordinul ∞ se gaseste o dreapta supraosculatoare pe care o putem numi tangenta la curba.

Fig. 132

2) Cerc osculator. Cercurile din plan, (x−x0)2 +(y−y0)2 = R2 sau ||~r−~c||2−R2 = 0, formeaza o familiede curbe cu trei parametri esentiali (coordonatele centrului si raza). Fiind data o curba α(t) = (x(t), y(t)) si unpunct regulat pe ea se poate determina un cerc osculator (contact de ordinul al doilea ∼ 3 puncte confundate) sauun cerc supraosculator (de exemplu contact de ordinul al treilea ∼ 4 puncte confundate). Pentru determinareaacestui cerc ne folosim de teorema 11.2 adica impunem conditiile:

||~α− ~c||2 −R2 = 0〈~α′, ~α− ~c〉 = 0〈~α′′, ~α− ~c〉+ ~α′2 = 0.

Ecuatia a doua da ~c = ~α+ λ ~N , unde ~N este campul normal unitar, iar ultima ecuatie implica λ =1k

, unde k

este curbura lui α. Ultimele doua ecuatii arata ca ın punctul α(t) ın care lucram, acceleratia ~α′′(t) nu poate ficoliniara cu viteza α′(t) caci daca ar fi asa, atunci α(t) ar trebui sa fie punct singular. Deci k(t) 6= 0. Centrul

cercului osculator ~c = ~α+1k~N se afla pe ~N si se numeste centrul de curbura. Raza cercului osculator R =

1| k |

se obtine din prima ecuatie si se numeste raza de curbura a lui α. Cercul osculator se mai numeste si cerc decurbura (vezi fig. 133).

Fig. 133Explicit, centrul cercului osculator este dat de formulele

x0 = x− y′x′2 + y′2

x′y′′ − x′′y′, y0 = y + x′

x′2 + y′2

x′y′′ − x′′y′,

iar raza cercului osculator este

R =(x′2 + y′2)3/2

| x′y′′ − x′′y′ |.

- 151-

Page 152: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Curba γ = ~α+1k~N , care este de fapt locul geometric al centrelor de curbura ale lui α, se numeste evoluta

sau desfasurata lui α.3) Fie o curba α si un punct regulat pe aceasta curba. In acest punct se poate determina o parabola

osculatoare care sa aiba cu α un contact de ordinul trei; o elipsa sau hiperbola osculatoare care sa aiba cu α uncontact de ordinul patru etc. Curbele osculatoare se folosesc ın teoria aproximarii.

Fie Ca o familie de curbe din plan reprezentata prin ecuatia f(x, y; a) = 0, unde f este o functie diferentiabilaın raport cu cele trei argumente.

6.5. Definitie. O curba α : I → R2, α(a) = (x(a), y(a)) se numeste ınfasuratoarea familiei Ca dacasatisface conditiile:

1) ∀P ∈ α(I) se poate indica o curba unica a familiei care sa contina punctul P ca un punct regulat si caresa aiba ın P un contact de ordinul n ≥ 1 cu α(I).

2) ∀ curba din familia Ca, exista un punct regulat P al sau, care sa apartina si lui α(I) si ın care cele douacurbe sa aiba un contact de ordinul n ≥ 1.

3) Nici o curba a familiei Ca sa nu aiba un arc comun cu α(I).Cu alte cuvinte, ınfasuratoarea este curba la care sunt tangente curbele din familia Ca (fig.134).

Fig. 134

6.6. Teorema. Infasuratoarea familiei Ca este inclusa ın curba Γ definita prin sistemulf(x, y; a) = 0

∂f

∂a(x, y; a) = 0.

Demonstratie. Fie ecuatia (1) f(x, y; a) = 0 ın necunoscuta a si parametrul M(x, y). Locul geometric alpunctelor M(x, y) cu proprietatea ca ecuatia (1) are o radacina cel putin dubla este curba Γ descrisa de sistemul

f(x, y; a) = 0,∂f

∂a(x, y; a) = 0.

Fiecare curba Ca este tangenta la curba Γ ıntrucat intersectia Ca ∩ Γ corespunde la radacina dubla a. Deaceea curba Γ contine ınfasuratoarea familiei de curbe Ca.

Curba Γ mai contine si punctele critice ale lui f . Intr-adevar daca x = x(a), y = y(a) sunt ecuatiileparametrice ale lui Γ, atunci f(x(a), y(a)) = 0, ∀a.

Derivand rezulta identitatea∂f

∂x

dx

da+∂f

∂y

dy

da+∂f

∂a= 0.

6.7. Exemplu. Sa se determine ınfasuratoarea curbelor

Ca : f(x, y; a) = (y − a)2 − (x− a2)3 = 0.

Solutie. Alcatuim sistemul

f(x, y; a) = (y − a)2 − (x− a2)3 = 0∂f∂a (x, y; a) = −2(y − a) + 6a(x− a2)2 = 0,

- 152-

Page 153: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

care conduce la y2 − x = 0, de unde rezulta

α(a) =(

9a4 + 19a2

,27a4 + 1

27a3

).

Observam ınsa ca punctele pentru care y2 − x = 0 sunt puncte critice pentru familia Ca adica puncte ıncare avem

f(x, y; a) = 0,∂f

∂x(x, y; a) = 0,

∂f

∂y(x, y; a) = 0.

De aceea numai curba α este ınfasuratoarea familiei Ca.6.8. Definitie. Infasuratoarea normalelor unei curbe plane se numeste evoluta curbei.Fie o curba C data prin ecuatiile ei parametrice

C :

x = x(t)y = y(t), t ∈ I ⊆ R.

Normala ın punctul curent, M , al curbei C are ecuatia:

(x− x(t))x′(t) + (y − y(t))y′(t) = 0.

Atunci cand punctul M parcurge curba, normalele la curba formeaza o familie de drepte ce depinde deparametrul t. Sistemul de ecuatii care determina ınfasuratoarea normalelor curbei plane C este:

(x− x(t))x′(t) + (y − y(t))y′(t) = 0

(x− x(t))x′′(t) + (y − y(t))y′′(t) = x′2(t) + y′2(t).(10.2)

Din acest sistem se obtin ecuatiile parametrice ale evolutei curbei C:x = x(t)− y′(t)

x′2(t) + y′2(t)x′(t)y′′(t)− y′(t)x′′(t)

y = y(t) + x′(t)x′2(t) + y′2(t)

x′(t)y′′(t)− y′(t)x′′(t).

(10.3)

6.9 Exemplu. Fie elipsax2

a2+y2

b2= 1, cu ecuatiile parametrice: x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π).

Evoluta ei este astroida, reprezentata parametric prin ecuatiile:

C :

x =

a2 − b2

acos3 t

y = −a2 − b2

bsin3 t

6.10. Definitie. Fie o curba plana data C. Curba Γ a carei evoluta este curba C se numeste evolventacurbei C.

Fie curba C, parametrizata normal, prin ecuatiile:

C :x = x(s)y = y(s)

si P ∈ Γ punctul corespunzator punctului curent al curbei C, M ∈ C.Tangenta ın punctul M la curba C are ecuatia:

x− x(s)x′(s)

=y − y(s)y′(s)

= ρ(s)

echivalente cu: x = x(s) + ρ(s)x′(s)y = y(s) + ρ(s)y′(s). (10.4)

- 153-

Page 154: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Impunem conditia ca tangenta la curba C ın punctul M sa fie normala curbei Γ ın punctul P , ceea ce implica

y′(s)x′(s)

= − (x(s) + ρ(s)x′(s))′

(y(s) + ρ(s)y′(s))′⇔ (1 + ρ′)(x′2 + y′2) + ρ(x′x′′ + y′y′′) = 0.

Dar~T 2 = 1 ⇒ x′2 + y′2 = 1, x′x′′ + y′y′′ = 0.

Vom obtine:1 + ρ′ = 0 ⇒ ρ′ = −1 ⇒ ρ = −s+ c, c = const.

Ecuatiile parametrice ale evolventei sunt:x = x(s) + (c− s)x′(s)y = y(s) + (c− s)y′(s). (10.5)

Constanta arbitrara c din ecuatiile evolventei indica faptul ca unei curbe C ıi corespund o infinitate de evolvente.6.11. Exemplu. Fie cercul x2 + y2 = a2, care are reprezentarea parametrica x = a cos t, y = a sin t, t ∈

[0, 2π). Evolventele acestui cerc au reprezentarea parametrica

~α(t) = a cos t~i+ a sin t~j + (c− at)(− sin t~i+ cos t~j).

10.7 Curbe plane ın coordonate polare

7.1. Presupunem ca planul xOy a fost raportat la un reper polar si ca perechii (x, y) ıi corespunde perechea(ρ, θ). In aceasta ipoteza, o curba plana Γ mai poate fi data si prin ecuatia polara, ρ = f(θ).

7.2. Fie (ρ, θ) un punct al unei curbe date, diferit de pol. Unghiul V dintre tangenta ın acest punct si razavectoare corespunzatoare este dat de tgV =

ρ

ρ′. Daca consideram un reper cartezian adecvat XOY , unde OX

este pe raza vectoare corespunzatoare punctului (ρ, θ), iar OY este perpendiculara pe OX astfel ıncat XOY safie un reper orientat pozitiv, atunci tangenta si normala ın (ρ, θ) au respectiv ecuatiile (fig.135)

Y =ρ

ρ′(X − ρ) si

ρ

ρ′Y +X − ρ = 0.

Subtangenta polara OT si subnormala polara ON au respectiv lungimileρ2

|ρ′|si |ρ′| (fig.135).

Fig. 135Daca curba considerata trece prin pol, atunci tangenta ın pol face cu Ox unghiul θ1 care anuleaza pe ρ = f(θ).

7.3. Punctele multiple ale unei curbe date prin ecuatia polara ρ = f(θ) se gasesc rezolvand ecuatiile

f(θ1) = f(θ2 + 2kπ), f(θ1) = −f(θ2 + π + 2kπ), k ∈ Z.

- 154-

Page 155: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

7.4. Alura curbei se stabileste cu ajutorul semnului curburii

k =ρ2 + 2ρ′2 − ρρ′′

(ρ2 + ρ′2)3/2.

Pentru k < 0 corespund punctele ın vecinatatea carora curba se ıncovoaie ın sens opus polului, pentru k > 0corespund puncte ın vecinatatea carora curba se ıncovoaie catre pol, iar pentru k = 0 obtinem de obicei punctede inflexiune.

7.5. Punctele de acumulare θ0 pentru care limita lui ρ = f(θ) este infinita, dau directiile asimptotice.Fie θ0 o directie asimptotica. Notam d = lim

θ→θ0f(θ) sin(θ − θ0). Daca d este finit, atunci curba admite o

asimptota D a carei ordonata la origine este d (fig.136). Daca d = ∞, atunci curba are o ramura parabolica.

Fig. 136

7.6. Cerc asimptot, punct asimptotDaca exista lim

θ→∞ρ(θ) = a atunci cercul ρ = a se numeste cerc asimptot pentru curba data.

Cand a = 0 cercul asimptot se reduce la un punct si anume polul si ın acest caz polul se numeste punctasimptot.

7.7. Trasarea curbelor plane ın coordonate polarePentru trasarea curbei C : ρ = ρ(θ) se urmaresc etapele:1. Determinarea domeniului natural de definitie al functiei ρ = ρ(θ), daca nu a fost precizat2. Cercetarea periodicitatii functiei ρ = ρ(θ) si restrangerea domeniului la un interval de lungime egala cu

perioada. In coordonate polare, dupa reprezentarea grafica pe o perioada, se roteste graficul cu un multiplu deperioada pana se suprapune cu el ınsusi.

3. Cercetarea unor simetrii. Daca ρ(−θ) = ρ(θ) sau ρ(π − θ) = −ρ(θ) simetria este fata de axa polara,ρ(−θ) = −ρ(θ) sau ρ(π − θ) = ρ(θ) simetrie fata de perpendiculara ın pol pe axa polara, daca ρ(π + θ) = ρ(θ)simetrie fata de pol. Dupa depistarea simetriilor se reduce corespunzator domeniul pe care trebuie facut graficul.

4. Cercetarea functiei ρ. Studiul semnului primei derivate.5. Studiul concavitatii cu ajutorul functiei E = ρ2 + 2ρ′2 − ρρ′′.6. Depistarea arcelor infinite si cercetarea existentei asimptotelor. Pozitia fata de asimptote; cercuri asimp-

tote7. Tabelul de variatie al functiei ρ si semnul expresiei E si valorile functiei tgv =

ρ

ρ′

8. Trasarea asimptotelor si a graficului curbei.

10.8 Exercitii/probleme rezolvate

10.8.1 Enunturi

1. Se da curba α(t) = (t2, 3t), t ∈ R. Aflati tangenta, normala, subtangenta si subnormala curbei ın punctulA(1,−3).

2. Se da curba Γ : x2 − y3 − 3 = 0.a) Aflati tangenta si normala la curba ın punctul A(−2, 1).b) Parametrizati curba α.

- 155-

Page 156: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

3. Se da parabola α(t) = (t, t2), t ∈ R. Aflati:

a) elementele Frenet ale curbei (versorii si curbura curbei) si verificati ecuatia Frenet;b) elementele Frenet ale curbei ın punctul A(−2, 4);c) ecuatia cercului osculator ın punctul A al curbei;d) evoluta curbei;e) ecuatia carteziana a curbei.

4. Aflati ınfasuratoarea familiei de curbe, ın fiecare din cazurile urmatoare:

a) Γa : (x− a)2 + y2 − a2

2 = 0, a ∈ R;b) Γα : x · cosα+ y · sinα = 2, α ∈ [0, 2π];c) Γλ : x2 + y2 − 2λx+ λ2 − 4λ = 0, λ ∈ R.

5. Se da curba Γ : x3 − 2y2 = 0.a) aflati tangenta si normala la curba ın punctul A(2,−1) ∈ Γ;b) aflati punctele singulare, tipul acestora si tangenta si normala ın aceste puncte. Este Γ curba regulata ?

6. Trasati graficul curbei α(t) = (2− t+ 1t , 2 + t+ 1

t ), t ∈ R∗.

7. Se dau urmatoarele curbe:

a) Γ1 : y2(a− x)− x3 = 0 (cisoida lui Diocles);b) Γ2 : x3 + y3 − 3axy = 0 (foliumul lui Descartes);c) Γ3 : x(x2 + y2) + a(y2 − x2) = 0 (strofoida).

In fiecare din cele trei cazuri, determinati o parametrizare a curbei folosind substitutia y = tx (unde t =parametru); aflati ecuatia polara; folosind aceasta ecuatie, aflati directia asimptotica si asimptotele curbei.

8. Se dau curbele:

a) spirala lui Arhimede Γ1 : ρ = aθ (a > 0);b) spirala exponentiala Γ2 : ρ = eθ, θ ∈ R.

In fiecare din cele doua cazuri determinati ecuatiile tangentei si normalei relativ la reperul mobil si calculaticurbura.

9. Sa se traseze curba ρ =√

sin 3θcos θ .

10.8.2 Solutii

1. Din relatia α(t) = A rezulta t = −1. Dar α′(−1) ≡ (−2, 3) 6= 0, iar ecuatiile tangentei si normalei ın A suntrespectiv

∆tg : x−1−2 = y+3

3 ⇔ 3x+ 2y + 3 = 0

∆nor : −2(x− 1) + 3(y + 3) = 0 ⇔ −2x+ 3y + 11 = 0.

Punctul de intersectie T al tangentei cu axa Ox este solutia sistemului

∆tg ∩Ox :

3x+ 2y + 3 = 0y = 0 ⇔

x = −1y = 0 ⇒ T (−1, 0).

Notand cu C proiectia punctului A(1,−3) pe axa Ox, subtangenta este St =√AT 2 −AC2 =

√13− 9 = 2.

Aflam punctul de intersectie N al normalei cu axa Ox, dat de

∆nor ∩Ox :−2x+ 3y + 11 = 0y = 0 ⇔

x = 11/2y = 0 ⇒ N(11/2, 0).

In concluzie, subnormala este

Sn =√AN2 −AC2 =

√1174− 9 =

92.

- 156-

Page 157: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

2. a) Notam F (x, y) = x2 − y3 − 3 si (xA, yA) = (−2, 1). Folosind formulele tangentei si normalei la o curbaplana data prin ecuatie carteziana implicita,

∆tg : (x− xA) ·(

∂F∂x

)(xA,yA)

+ (y − yA) ·(

∂F∂y

)(xA,yA)

= 0,

∆nor :x− xA

(∂F∂x )(xA,yA)

=y − yA

(∂F∂y )(xA,yA)

.

Obtinem ∆tg : 4x+ 3y + 5 = 0, respectiv ∆nor : x+2−4 = y−1

−3 .

b) Avem x2 − y3 − 3 = 0 ⇒ y = 3√x2 − 3, deci o parametrizare a curbei α este

x = t

y = 3√t2 − 3

, t ∈ R.

3. a) Baza reperului Frenet RF = α(t); T (t), N(t) al curbei α este data de perechea de campuri vectoriale~T , ~N, unde:

~T (t) ≡ α′(t)‖α′(t)‖ =

(x′(t)√

x′2(t)+y′2(t), y′(t)√

x′2(t)+y′2(t)

)~N(t) = Rπ/2(~T (t)) ≡

(−y′(t)√

x′2(t)+y′2(t), x′(t)√

x′2(t)+y′2(t)

).

In cazul nostru x(t) = t, y(t) = t2, deci x′(t) = 1, y′(t) = 2t. Rezulta

T (t) =(

1√1 + 4t2

,2t√

1 + 4t2

), N(t) =

(− 2t√

1 + 4t2,

1√1 + 4t2

).

Deoarece α′(t) = (1, 2t) 6= OR2 , rezulta α curba regulata si deci valoarea curburii curbei este data de egalitatea

k(t) =x′(t)y′′(t)− x′′(t)y′(t)

(x′2(t) + y′2(t))3/2=

1 · 2− 0 · 2t(1 + 4t2)3/2

=2

(1 + 4t2)3/2. (10.6)

b) Reperul Frenet asociat curbei α ın punctul curent α(t) este RF = α(t); T (t), N(t), unde T (t) = α′(t)‖α′(t)‖ si

N(t) = Rπ2T (t) sunt versorul tangent si respectiv normal la curba α ın punctul α(t). Acesti versori, considerati

ın punctul A ∈ Imα ıi vom nota cu TA, NA. Cum α(t) = (t, t2) rezulta α′(t) = (1, 2t). Avem A ∈ Imα,deoarece A(−2, 4) = α(−2). Deoarece α′(−2) = (1,−4) are norma ‖α′(−2)‖ =

√17 6= 0, punctul A este un

punct regulat al curbei α. Versorii cautati sunt:TA = α′(−2)

‖α′(−2)‖ = ( 1√17,− 4√

17)

NA = Rπ2TA ≡

(cos π

2− sin π

2

sin π2

cos π2

)( 1√17

− 4√17

)=

(4√171√17

),

deci reperul Frenet asociat curbei α ın punctul A(−2, 4) este

RF,A =A(−2, 4);

TA =

(1√17,− 4√

17

), NA =

(4√17,

1√17

).

Folosind relatia (10.6), pentru t = tA = −2, obtinem valoarea curburii ın punctul A(−2, 4) = α(−2), k(−2) =2

17√

17.

c) Ecuatia cercului osculator ın punctul A = α(−2) o aflam folosind formula (x− x0)2 + (y − y0)2 = R20, unde

x0 = xC(−2), y0 = yC(−2), R0 = R(−2) =1

|k(−2)|,

iar coordonatele centrului cercului osculator la curba corespunzator punctului curent α(t) = (x(t), y(t)) suntdate de xC(t) = x(t)− y′(t) · x′2(t)+y′2(t)

x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t) = −4t3

yC(t) = y(t) + x′(t) · x′2(t)+y′2(t)x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t) = 1+6t2

2 .(10.7)

- 157-

Page 158: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Functia de curbura k(t) ın α(t) este data de relatia (10.6), deci raza cercului osculator este

R(t) =1

|k(t)|=

(1 + 4t2)3/2

2.

In punctul α(−2), obtinem, ınlocuind t = −2:

x0 = −4 · (−2)3 = 32, y0 =1 + 6 · (−2)2

2=

252, R0 =

17√

172

.

In concluzie, ecuatia cercului osculator la curba α ın punctul A = α(−2) este (x− 32)2 + (y − 252 )2 = 4913

4 .d) Folosind formulele (10.7) obtinem parametrizarea evolutei:

αev(t) =(−4t3,

6t2 + 12

), t ∈ R.

e) Ecuatia carteziana a curbei α se obtine prin eliminarea parametrului t din sistemulx = ty = t2

. Inlocuind t

obtinut din prima relatie ın cea de-a doua, obtinem Γ = Imα : x2 − y = 0 ⇒ y = x2, o parabola.

4. a) Notand F (x, y, a) = (x− a)2 + y2 − a2

2 , ınfasuratoarea familiei de curbe plane Γa : F (x, y, a) = 0 (dacaexista) este continuta ın curba Γ∗ definita de sistemul

F (x, y, a) = 0∂F∂a (x, y, a) = 0, a ∈ R,

care ın cazul nostru devine(x− a)2 + y2 − a2

2 = 0−2(x− a)− a = 0

⇔a = 2x(x− a)2 + y2 − a2

2 = 0

din care, eliminand pe a, obtinem Γ∗ : x2− y2 = 0 sau x = ±y, deci curba Γ∗ este reuniunea celor 2 bisectoarey = x si y = −x.b) Procedand analog punctului a), ınfasuratoarea familiei de curbe Γα : x · cosα + y · sinα = 2 este continutaın curba Γ∗ definita prin sistemul

x · cosα+ y · sinα = 2−x · sinα+ y · cosα = 2, α ∈ R.

Inmultind cu cosα prima relatie si cu − sinα a doua relatie, iar apoi cu sinα prima relatie si cu cosα a douasi sumandu-le, obtinem

x = 2(cosα− sinα)y = 2(cosα+ sinα)

din care, eliminand prin sumarea patratelor variabila α, obtinem Γ∗ : x2 + y2 = 4, deci curba Γ∗ este cercul cucentrul ın origine si de raza 2.c) Infasuratoarea familiei de curbe Γλ : x2 + y2 − 2λx + λ2 − 4λ = 0 este continuta ın curba Γ∗ definita prinsistemul:

x2 + y2 − 2λx+ λ2 − 4λ = 0−2x+ 2λ− 4 = 0 ⇔

λ = x+ 2x2 + y2− 2λx+ λ2 − 4λ = 0,

din care, eliminand variabila λ, obtinem Γ∗ : y2 − 4x = 4 ⇔ y2 = 4(x+ 1), deci o parabola cu varful pe axaOx, care admite Ox ca axa de simetrie.

5. a) Folosim formulele tangentei, respectiv normalei la curba Γ : F (x, y) = 0 ın punctul (x0, y0) ∈ Γ,

∆tg : (x− x0) ·∂f

∂x(x0, y0) + (y − y0) ·

∂f

∂y(x0, y0) = 0

∆nor :x− x0

∂f∂x (x0, y0)

=y − y0

∂f∂y (x0, y0)

.

- 158-

Page 159: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Pentru (x0, y0) = (2,−1) si f(x, y) = x3 − 2y2 obtinem ecuatiile tangentei, respectiv normalei

∆tg : 3x+ y − 5 = 0, ∆nor :x− 2

3=y + 1

1⇔ x− 3y − 5 = 0.

b) Punctele singulare ale curbei Γ sunt solutiile sistemuluif(x, y) = 0∂f∂x (x, y) = 0∂f∂y (x, y) = 0

x3 − 2y2 = 03x2 = 0−4y = 0

⇒x = 0y = 0,

deci O(0, 0) este unicul punct singular al curbei. Deoarece

det[Hess(f)]O =

∣∣∣∣∣∣∂2f∂x2 (0, 0) ∂2f

∂x∂y(0, 0)

∂2f∂x∂y

(0, 0) ∂2f∂y2 (0, 0)

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣ 0 0

0 −4

∣∣∣∣ = 0,

unde f(x, y) = x3 − 2y2, rezulta ca O(0, 0) este punct singular de ıntoarcere al curbei Γ. Directia v = (l,m) atangentei ın O(0, 0) la curba este data de relatia

l2 · ∂2f

∂x2(0, 0) + 2l ·m · ∂

2f

∂x∂y(0, 0) +m2 · ∂

2f

∂y2(0, 0) = 0 ⇔ m2 · (−4) = 0 ⇔ m = 0,

deci v = l(1, 0). In concluzie, ecuatiile tangentei, respectiv normalei la curba Γ ın punctul O(0, 0) ∈ Γ sunt

∆tg : x−01 = y−0

0 ⇔ y = 0, (axa Ox)

∆nor : 1 · x− 0 + 0 · (y − 0) = 0 ⇔ x = 0, (axa Oy).

Deoarece are puncte singulare, Γ nu este curba regulata.

6. Urmam o serie de pasi preliminari.

i) Domeniul de definitie este Dα = (−∞, 0) ∪ (0,∞). Se observa ca 0 /∈ Dα, iar

Γ ∩Ox : 2 + t+1t

= 0 ⇔ t2 + 2t+ 1 = 0 ⇔ t = −1,

deci Γ ∩Ox = α(−1) = (2, 0). De asemenea,

Γ ∩Oy : 2− t+1t

= 0 ⇔ t2 − 2t− 1 = 0 ⇔ t = 1±√

2,

deci Γ ∩Oy = α(1±√

2) = (0, 2± 2√

2).ii) Studiem daca α este o curba periodica, deci daca ∃T > 0, α(t) = α(t+ T ), ∀t ∈ Dα a.ı. t+ T ∈ Dα. Avem 1

t = −T + 1t+T

1t = T + 1

t+T ,∀t ∈ R∗⇔ T = 0.

Rezulta ca α nu este o curba periodica.iii) Determinam comportarea asimptotica a curbei Γ = Imα (puncte asimptotice; asimptote orizontale, oblicesau verticale). CumDα = (−∞, 0)∪(0,+∞), studiul se face pentru t0 = ±∞, 0 (deci ın punctele de acumularece nu apartin domeniului de definitie).

Calculam limitele ın punctele de acumulare din R ce nu apartin domeniului de definitie al curbei, t0 ∈ Dα =±∞, 0−, 0+. Avem

limt→−∞

α(t) = (+∞,−∞), limt→+∞

α(t) = (−∞,+∞),

limt0

α(t) = (−∞,−∞), limt0

α(t) = (+∞,+∞),

- 159-

Page 160: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

deci α nu admite asimptote orizontale sau verticale. Pentru t → ±∞, t 0 si t 0 exista ramuri infinite.Studiem existenta asimptotelor oblice. Avem:

m = limt→±∞

y(t)x(t)

= limt→±∞

t(1 + 2t + 1

t2 )t(−1 + 2

t + 1t2 )

= −1

n = limt→±∞

(y(t) + x(t)) = limt→±∞

(4 +2t) = 4.

Rezulta ca dreapta ∆as,±∞ : y = −x+ 4 este asimptota oblica a curbei pentru t→ ±∞. De asemenea,m = lim

t→0

y(t)x(t)

= limt→0

t2 + 2t+ 1t2 − 2t+ 1

= 1

n = limt→0

(y(t)− x(t)) = limt→0

2t = 0,

deci dreapta ∆as,0 : y = x este asimptota oblica a curbei pentru t→ 0− si pentru t→ 0+.iv) Studiem existenta punctelor singulare si de extrem pentru functiile coordonate ale curbei. Avem x′(t) =− t2+1

t2 , y′(t) = − t2−1t2 . Se observa ca deoarece x′(t) < 0,∀x 6= 0, avem α′(t) 6= (0, 0), ∀t 6= 0, deci curba α este

o curba regulata.Ecuatia x′(t) = 0 nu are solutii, iar ecuatia y′(t) = 0 implica t2 − 1 = 0 ⇔ t = ±1, deci α(−1) = (2, 0) siα(1) = (2, 4) sunt puncte de extrem local pentru y(t).v) Studiem existenta punctelor multiple α(t1) = α(t2), t1 6= t2; t1, t2 ∈ Dα = R∗. Aceasta relatie conduce lasistemul

x(t1) = x(t2)

y(t1) = y(t2)⇒

−t1 + 1

t1+ t2 − 1

t2= 0

t1 + 1t1− t2 − 1

t2= 0

ın necunoscuta t2, parametru t1. Scazand cele doua relatii, obtinem t2 = t1, deci curba α nu are punctemultiple.vi) Studiem existenta punctelor de inflexiune. Prin calcul direct, rezulta ca ecuatia α′(t) = λ · α′′(t) este

echivalenta cu sistemul

− t2−1

t2 = λ · 2t3

t2−1t2 = λ · 2

t3

, care are necunoscutele t ∈ Dα, λ ∈ R. Acesta nu are solutii (t, λ) ∈

Dα × R (spre exemplu, scazand ecuatiile obtinem −2 = 0), deci curba nu are puncte de inflexiune.vii) Tabelul de variatie al curbei α este (vezi fig. 137):

t −∞ −1 1 −√

2 0 1 1 +√

2 +∞x(t) +∞ 2 0 −∞|∞ 2 0 −∞y(t) −∞ 0 2 − 2

√2 −∞|∞ 4 2 + 2

√2 +∞

x′(t) − − −1 − − − −|− − −1 − − − −y′(t) + + 0 − − − −|− − 0 + + + +Obs. y = −x + 4 My A y = x|y = −x my B y = −x + 4

Fig. 137 Fig. 138

7. a) Pentru curba Γ1 : y2(a− x) − x3 = 0, ecuatia curbei este echivalenta cu Γ1 : y2a − x(x2 + y2) = 0.Notam y = t · x si ınlocuind ın ecuatia curbei, obtinem

at2x2 − t2x3 − x3 = 0 ⇔ x2(x+ xt2 − at2) = 0.

Distingem cazurile:

- 160-

Page 161: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

i) pentru x = 0 avem y = 0, deci se obtine punctul A(0, 0) ∈ Γ;

ii) pentru x 6= 0 avem x + xt2 − at2 = 0, deci x = at2

1+t2 si y = at3

1+t2 . Rezulta pentru curba Γ1 parametrizarea(vezi fig. 2):

α1 : R → R2, α1(t) = (x(t), y(t)) =(

at2

1 + t2,at3

1 + t2

), t ∈ R.

Ecuatia curbei se rescrie Γ1 : y2a− x(x2 + y2) = 0. Consideram relatiilex = ρ cos θy = ρ sin θ , care definesc trecerea

de la coordonatele carteziene la coordonatele polare (ρ ≥ 0, θ ∈ [0, 2π)). Inlocuind ın ecuatia curbei, aceastadevine

aρ2 sin2 θ − ρ cos θ(ρ2 cos2 θ + ρ2 sin2 θ) = 0,

de unde pentru ρ > 0 avem ρ2(a sin2 θ − ρ cos θ) = 0, deci ρ cos θ = a sin2 θ, iar pentru θ ∈ Dρ : [0, 2π)\π2 ,

3π2

obtinem ecuatia polara a curbei,

ρ =a sin2 θ

cos θ, θ ∈ Dρ.

Punctele de acumulare ale domeniului Dρ care nu fac parte din Dα sunt θ0 ∈ Dρ = π2 ,

3π2 .

Calculam distanta de la origine la asimptota folosind formula

d = limθ→θ0

ρ(θ) · sin(θ − θ0) = limθ→θ0

a sin2 θ

cos θ· (− sin θ0 · cos θ) = ±a.

Ecuatiile polare ale celor doua asimptote sunt deci

ρ∆(θ) =d

sin(θ − θ0)⇒ ρ∆1,2(θ) =

±asin(θ − π

2 ), θ ∈ Dρ.

b) Ecuatia carteziana a curbei fiind Γ2 : x3 + y3 − 3axy = 0 observam ca ecuatia este de forma Γ : Q3(x, y)−P2(x, y) = 0, unde P2(x, y) = 3axy si Q3(x, y) = x3 + y3 sunt polinoame omogene de gradul II, respectiv III ınx si y; pentru a obtine o parametrizare a curbei se foloseste substitutia y = tx. Inlocuind ın ecuatia carteziana,obtinem (vezi fig. 139):

Fig. 139 Fig. 140

x3 + t3x3 − 3atx2 = 0 ⇔ x2(x+ t3x)− 3at = 0.

Distingem cazurile:i) pentru x = 0 rezulta y = 0, deci obtinem punctul A(0, 0) ∈ Γ;

ii) pentru x 6= 0 avem x(1 + t3) = 3at, deci x = 3at1+t3 si y = 3at2

1+t3 , t ∈ R\−1.Rezulta ca o parametrizare a curbei Γ2 este α2 : Dα2 = R\−1 → R2,

α2(t) = (x(t), y(t)) =(

3at1 + t3

,3at2

1 + t3

), t ∈ Dα.

Procedand analog cu punctul a), ecuatia curbei devine

ρ3 cos3 θ + ρ3 sin3 θ − 3aρ2 cos θ · sin θ = 0 ⇔ ρ2(ρ cos3 θ + ρ sin3 θ − 3a cos θ · sin θ) = 0.

- 161-

Page 162: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Pentru ρ = 0 se obtine punctul A(0, 0) = α(0) al curbei; pentru ρ 6= 0 (deci ρ > 0), rezulta ρ(cos3 θ + sin3 θ) =3a cos θ sin θ.

Pentru θ ∈ Dρ : [0, 2π)\θ| cos3 θ + sin3 θ = 0 = [0, 2π)\ 3π4 ,

7π4 obtinem ecuatia polara a curbei,

ρ =3a cos θ sin θ

cos3 θ + sin3 θ, θ ∈ Dρ.

Punctele de acumulare ale domeniului Dρ care nu-i apartin sunt θ0 ∈ Dρ = 3π4 ,

7π4 . Calculam distanta de la

origine la asimptota; ın ambele cazuri limθ→θ0

ρ(θ) sin(θ − 3π4

) =a√2. Ecuatiile polare ale celor doua asimptote

sunt∆1 : ρ∆1(θ) = a/

√2

sin(θ− 3π4 ), θ ∈ Dρ,

∆2 : ρ∆2(θ) = a/√

2

sin(θ− 7π4 ), θ ∈ Dρ.

c) Inlocuind y = tx ın ecuatia curbei Γ3 : x(x2 + y2) + a(y2 − x2) = 0, obtinem (vezi fig. 4)

x3 + t2x3 + at2x2 − ax2 = 0 ⇔ x2(x+ t2x+ at2 − a) = 0.

Distingem cazurile:

i) pentru x = 0 rezulta y = 0, deci obtinem punctul A(0, 0) ∈ Γ;

ii) pentru x 6= 0 avem x(1 + t2) = a− at2, deci x = a(1−t2)1+t2 si y = at(1−t2)

1+t2 , t ∈ R. Rezulta ca o parametrizare acurbei Γ3 este α3 : Dα3 = R → R2,

α3(t) = (x(t), y(t)) =(a(1− t2)1 + t2

,at(1− t2)

1 + t2

), t ∈ Dα3 .

Procedand analog cu punctele a) si b), ecuatia curbei devine

ρ3 cos θ + aρ2(sin2 θ − cos2 θ) = 0.

Pentru ρ > 0 rezulta ρ cos θ = a(cos2 θ − sin2 θ), iar pentru θ ∈ Dρ : [0, 2π)\π2 ,

3π2 obtinem ecuatia polara a

curbei,

ρ =a(cos2 θ − sin2 θ)

cos θ, θ ∈ Dρ.

Punctele de acumulare ale domeniului Dρ sunt θ0 ∈ Dρ = π2 ,

3π2 . Distanta de la origine la asimptota este

limθ→θ0

ρ(θ) sin(θ − θ0) = limθ→θ0

a · sin3 θ0 = ±a.

Ecuatiile polare ale celor doua asimptote sunt

∆1 : ρ∆1(θ) = asin(θ−π

2 ) , θ ∈ Dρ,

∆2 : ρ∆2(θ) = −asin(θ− 3π

2 ), θ ∈ Dρ.

8. a) Folosim formulele

∆t : y =ρ

ρ′(x− ρ), ∆n :

ρ

ρ′y + x− ρ = 0,

care dau respectiv ecuatiile tangentei si normalei la curba ın sistemul mobil XOY si formula curburii,

k =ρ2 + 2ρ′2 − ρρ′′

(ρ2 + ρ′2)3/2.

Reprezentarea grafica a curbei pentru t ∈ R si t ≥ 0 este data ın figurile 141 si 142, respectiv.

- 162-

Page 163: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 141 Fig. 142

Pentru curba Γ1 : ρ = aθ, obtinem

∆t : y = aθa (x− aθ) ⇔ y = θ(x− aθ),

∆n : aθa y + x− aθ = 0 ⇔ θy + x− aθ = 0.

Folosind formula de mai sus, obtinem curbura spiralei lui Arhimede:

k1 =a2θ2 + 2a2

(a2θ2 + a2)3/2=

a2(θ2 + 2)a3(θ2 + 1)3/2

=θ2 + 2

a(θ2 + 1)3/2.

b) Pentru curba Γ2 : ρ = eaθ (vezi fig. 143), obtinem

Fig. 143

∆t : y = eaθ

aeaθ (x− eaθ) ⇔ y = 1a (x− eaθ),

∆n : eaθ

aeaθ y + x− eaθ = 0 ⇔ y + ax− aeaθ = 0,

iar curbura spiralei exponentiale este:

k2 =e2aθ + 2a2e2aθ − a2e2aθ

(e2aθ + a2e2aθ)3/2=

e2aθ(1 + a2)e3aθ(1 + a2)3/2

=1

eaθ√

1 + a2.

9. Din oficiu: 1pt. Vom urma pasii indicati ın expunerea teoretica.

1. Functia ρ este definita pe multimeasin3θcos θ

≥ 0, mai putin punctele de tipul (2k+1)π2 , k ∈ Z, unde se

anuleaza numitorul (1 pt.) .

2. Numaratorul este periodic cu perioada 2π3 , iar numitorul cu perioada 2π, deci fractia este periodica cu

perioada 2π. Este suficient sa se cerceteze domeniul pe [0, 2π) (1 pt.) .

θ 0 π3

π2

2π3 π 5π

33π2

4π3 2π

sin3θ 0 + 0 − - - 0 + 0 - 0 + + + 0 − Ocos θ 1 + + + 0 - - - - - - - 0 + + + +sin3θcos θ

0 + 0 - | + 0 - 0 + 0 - | + 0 − 0

- 163-

Page 164: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Din tabel

θ ∈[0,π

3

]∪(π

2,2π3

]∪[π,

4π3

]∪(

3π2,5π3

](1 pt.) .

3. Se observa ρ(θ+ π) = ρ(θ), prin urmare curba are o simetrie fata de pol. Este suficient sa facem graficulpentru θ ∈

[0, π

3

]∪(

π2 ,

2π3

]si apoi sa-l simetrizam fata de pol (1 pt.) .

4. Pe domeniul considerat ρ este de clasa C∞

ρ =2 cos 3θ cos θ + cos 2θ

2√

cos3 θ sin 3θ

ρ′ = 0 ⇔ cos 4θ + 2 cos 2θ = 02 ⇔ cos2 2θ + 2 cos 2θ − 1 = 0.

Aceasta ecuatie conduce la cos 2θ =−1±

√5

4(0,5 pt.) . In domeniul considerat este doar solutia cos 2θ =

−1 +√

54

, adica θ ' 34 (0,5 pt.) .

5. Datorita calculelor laborioase renuntam la semnul functiei E.

6. Observam ca limρπ2ρ(θ) = ∞, deci θ = π

2 este directie asimptotica (0,5 pt.) .

d = limρπ

2

ρ(θ) sin(θ − π

2) = lim

ρπ2

√sin3θcos θ

cos θ = 0.

Deci semidreapta θ = π2 este asimptota (0,5 pt.) .

7. Cu datele obtinute ıntocmim tabelul (1 pt.)

θ 0 π6 34 π

4π3

π2

2π3

ρ′ + + + + 0 - - - | | - -

ρ 0 √

2√

33 1,116 1 0| |∞ 0

tgv =ρ

ρ′0 ∞ 0| | 0

Graficul este ın figura de mai jos (2 pt.) .

Fig. 144

- 164-

Page 165: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

10.9 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare

1. Sa se arate ca

α : R → R2, α(t) =(

2 + t2

1 + t2,

t3

1 + t2

)este o curba simpla. Sa se determine punctele singulare ale curbei, tangentele si normalele ın aceste puncte.

2. Curba descrisa de un punctM aflat pe un cerc de raza r ce se rostogoleste (fara alunecare) de-a lungul uneidrepte se numeste cicloida. Sa se gaseasca ecuatiile parametrice ale cicloidei (fig.145). Sa se determine abscisacurbilinie si lungimea primei arcade a curbei. Sa se calculeze lungimile segmentelor tangenta, subtangenta,normala si subnormala ıntr-un punct oarecare al cicloidei.

R :x = r(t− sin t)y = r(1− cos t) , t ∈ R.

Fig. 145

3. Sa se gaseasca o parametrizare globala pentru fiecare dintre urmatoarele curbe, orientate prin∇f‖∇f‖

,

unde f este functia definita de membrul stang al fiecarei ecuatii:1) ax+ by = c, c 6= 0.

2)x2

a2+y2

b2= 1, a 6= 0, b 6= 0.

3) y − ax2 = c, a 6= 0.4) x2 − y2 = 1, x > 0.

4. Fie curbaα : [0, 2π) → R2, α(t) = (2 cos t− cos 2t, 2 sin t− sin 2t).

Sa se determine abscisa curbilinie corespunzatoare originii t = 0 si reprezentarea normala.

5. Sa se arate ca astroida α : [0, 2π] → R2, α(t) = (4r cos3 t, 4r sin3 t), (fig.146), are puncte de ıntoarcere sisa se determine tangentele ın aceste puncte.

Fig. 146

6. Fie astroida C = f−1(0) unde f(x, y) = y2x+ ay2 +x2− ax2 (fig.147). Sa se arate ca originea este punctdublu pentru curba. Sa se determine tangentele la curba ın acest punct.

Fig. 147

- 165-

Page 166: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

7. Fie curba C = f−1(0), f(x, y) = x3−x2− y2 (fig.148). Sa se arate ca originea este punct izolat al curbeiC.

Fig. 148

8. Sa se arate ca originea este punct de ıntoarcere pentru curba cisoida lui Diocles C = f−1(0), f(x, y) =x3 + xy2 − 2ay2 (fig.149).

Fig. 149

9. Sa se traseze urmatoarele curbe

1) Curba Gauss: y = e−x2(fig.150).

Fig. 150 Fig. 151 Fig. 152

2) Lantisorul: y =a

2(ex/a + e−x/a (fig.151).

3) Parabola cubica: y = ax3 (fig.152).

4) Curba Agnesi: x2y = 4a2(2a− y) (fig.153).

Fig. 153

5) Lemniscata Bernoulli: (x2 + y2)2 + 2a2(y2 − x2) = 0 (fig.154).

Fig. 154

6) Curba Lissajous: x = cos 2t, y = sin 3t (fig.155).

- 166-

Page 167: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 155

7) x = chtt , y = sht

t , t 6= 0 (fig.156).

Fig. 156

8) x = t− t3, y = t2 − t4 (fig.157).

Fig. 157

10. Sa se determine ınfasuratoarea urmatoarelor familii de curbe:

1) (x− a)2 + y2 − a2

2= 0.

2)x

α+y

β− 1 = 0, cand αm − βm − am = 0 (a = const.).

3) x cos a+ y sin a− 1 = 0.4) y = ax+

p

2a.

11. Sa se determine evoluta pentru fiecare curba:

1)x2

a2+y2

b2− 1 = 0,

2) x = a(t− sin t), y = a(1− cos t).

12. Sa se construiasca curbele (rozete cu trei foi),

ρ = a sin 3θ, ρ = a cos 3θ

Fig. 158

- 167-

Page 168: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

- 168-

Page 169: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MB.11.Curbe ın spatiu

Cuvinte cheie: tangenta, planul normal, curbe definite prin ecuatii cartezieneimplicite, planul osculator si binormala, plan rectificator, camp binormal,torsionare, curbura si torsiunea, raza de torsiune, reperul Frenet, formuleleFrenet, aproximarea Frenet, curbe date prin ecuatii carteziene.

11.1 Tangenta si planul normal al unei curbe ın spatiu

Raportam spatiul la reperul natural O; i, j, k ≡ Oxyz si consideram curba

α : I → R3, α(t) = (x(t), y(t), z(t)).

Curbele din spatiu se pot ımparti ın doua categorii: curbe strambe si curbe plane.O curba din spatiu se numeste curba plana daca ∀t ∈ I, ∃a, b, c, d ∈ R nu toti nuli, astfel ıncat ax(t) +

by(t) + cz(t) + d = 0.Fie P = α(t) un punct regulat al curbei. Se stie ca dreapta care trece prin P si are ca vector director pe

~α′(t) este tangenta la curba α ın P .Ecuatia vectoriala a tangentei ın punctul regulat, fixat, P , al curbei α, este:

∆t : (~r − ~α(t))× ~α′(t) = ~0, (11.1)

iar ecuatiile carteziene ale tangentei ın punctul P , sunt de forma:

∆t :x− x(t)x′(t)

=y − y(t)y′(t)

=z − z(t)z′(t)

.

1.1. Definitie. Planul care trece prin P si are drept vector normal pe ~α′(t) se numeste plan normal lacurba α ın P .

Toate dreptele care trec prin punctul P si sunt continute ın planul normal al curbei C construit ın punctulP se numesc normale la curba C ın punctul P .

Folosind faptul ca vectorul director al tangentei la curba α ın punctul regulat, fixat P , este vectorul normalal planului normal la curba α ın P , se obtine ecuatia vectoriala a planului normal la curba α:

〈~r − ~α(t), ~α′(t)〉 = 0,

sau ecuatia carteziana:(x− x(t))x′(t) + (y − y(t))y′(t) + (z − z(t))z′(t) = 0.

Daca P = α(t) este un punct singular de ordinul m, se stie ca dreapta care trece prin P si are ca vectordirector pe ~α(m)(t) este tagenta curbei ın punctul P .

Ecuatia vectoriala a tangentei ın punctul singular de ordinul m, fixat, P , al curbei α, este:

∆t : (~r − ~α(t))× ~α(m)(t) = ~0, (11.2)

169

Page 170: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

iar ecuatiile carteziene ale tangentei ın punctul P , sunt de forma:

∆t :x− x(t)x(m)(t)

=y − y(t)y(m)(t)

=z − z(t)z(m)(t)

1.2. Definitie. Planul care trece prin P si are drept vector normal pe ~α(m)(t) se numeste plan normal lacurba α ın P . Intr-un punct singular de ordinul m, P = α(t), planul normal la curba are ecuatia vectoriala:

〈~r − ~α(t), ~α(m)(t)〉 = 0

si ecuatia carteziana:

(x− x(t))x(m)(t) + (y − y(t))y(m)(t) + (z − z(t))z(m)(t) = 0.

11.2 Curbe definite prin ecuatii carteziene implicite

Curbele din R3 mai pot fi introduse si pornind de la functii diferentiabile de tipul

F = (f, g) : R3 → R2, F (x, y, z) = (f(x, y, z), g(x, y, z)).

Deoarece

J(F ) =

∂f

∂x

∂f

∂y

∂f

∂z

∂g

∂x

∂g

∂y

∂g

∂z

punctele critice ale lui F se afla rezolvand sistemul de ecuatii

D(f, g)D(y, z)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∂f

∂y

∂f

∂z

∂g

∂y

∂g

∂z

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,D(f, g)D(z, x)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∂f

∂z

∂f

∂x

∂g

∂z

∂g

∂x

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,D(f, g)D(x, y)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∂f

∂x

∂f

∂y

∂g

∂x

∂g

∂y

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

Punctele ın care cel putin unul din acesti determinanti este diferit de zero sunt puncte regulate.Multimea

C = F−1(a, b) = (x, y, z) | (x, y, z) ∈ R3, f(x, y, z) = a, g(x, y, z) = b,

se numeste multimea solutiilor ecuatiilor carteziene implicite f(x, y, z) = a, g(x, y, z) = b.Multimea C este de fapt intersectia a doua multimi de nivel constant. Ea poate sa contina atat puncte

regulate cat si puncte critice ale lui F .Fie P (x0, y0, z0) ∈ C. Multimea tuturor punctelor din C a caror distanta fata de P (x0, y0, z0) este mai mica

decat un numar ε > 0 se numeste vecinatate a lui P (x0, y0, z0) ın C.2.1. Teorema. Daca P (x0, y0, z0) este un punct regulat din C, atunci exista o vecinatate a acestui punct

ın care ecuatiilef(x, y, z) = a, g(x, y, z) = b

definesc o curba simpla si regulata.Demonstratie. Prin ipoteza multimea C nu este vida.

In ipotezaD(f, g)D(y, z)

(P ) 6= 0, teorema functiilor implicite asigura ca sistemul f(x, y, z) = a, g(x, y, z) = b

defineste doua functii x→ y(x), x→ z(x), ıntr-o vecinatate I a punctului x0, pentru care

dy

dx=

D(f, g)D(z, x)D(f, g)D(y, z)

,dz

dx=

D(f, g)D(x, y)D(f, g)D(y, z)

.

- 170-

Page 171: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Astfel portiunea din C din jurul punctului P (x0, y0, z0) poate fi gandita ın mai multe moduri (fig.159):

Fig. 159

- ca intersectie a doua suprafete cilindrice,- ca grafic al unei functii h : I → R2, h(x) = (y(x), z(x)),- ca imagine a lui I printr-o functie cu valorile α(t) = (x(t) = t, y(t), z(t)).De aceea acesta portiune este o curba simpla si regulata.In ipotezele teoremei 2.1, multimea C este reuniunea imaginilor unor curbe simple si regulate, numindu-se

curba de ecuatii carteziene implicite f(x, y, z) = a, g(x, y, z) = b. Aceasta denumire se pastreaza uneorichiar daca C contine si puncte critice, cu conditia ca multimea punctelor critice ale lui F sa nu fie ”prea ciudata”.

Daca f si g sunt polinoame, atunci C se numeste curba algebrica.2.2. Tangenta. Fie P (x0, y0, z0) un punct regulat al lui C.Tangenta la C ın P are ecuatiile carteziene

∆t :x− x0

D(f, g)D(y, z)

(P )=

y − y0D(f, g)D(z, x)

(P )=

z − z0D(f, g)D(x, y)

(P ),

iar planul normal corespunzator are ecuatia carteziana

(x− x0)D(f, g)D(y, z)

(P ) + (y − y0)D(f, g)D(z, x)

(P ) + (z − z0)D(f, g)D(x, y)

(P ) = 0.

2.3. Observatii1) In situatii concrete curba C poate fi data prin doua ecuatii si prin mai multe inecuatii ın x, y, z (inecuatiile

precizeaza o anumita portiune din spatiu).2) Reprezentarea curbei C (sau a unei portiuni din C) ın forma α(t) = (x(t), y(t), z(t)) se poate face prin

intermediul teoremei 15.1 sau prin artificii de calcul.3) Fie o curba din spatiu data ın forma α(t) = (x(t), y(t), z(t)). Daca pentru t = t0 avem x′(t0) 6= 0, atunci

teorema functiei inverse permite sa spunem ca functia x = x(t) are inversa t = t(x) ın vecinatatea lui t0. Astfely = y(t), z = z(t) apar ca functii compuse sau pe scurt ca functii de tipul

y = y(x)z = z(x)

si deci, ın vecinatatea punctului ales, curba apare ca intersectie a doua suprafete cilindrice. Aceasta reprezentarea curbei se numeste explicita.

- 171-

Page 172: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

4) In general, daca exista o functie F = (f, g) : R3 → R2 astfel ıncat

f(x(t), y(t), z(t)) = a, g(x(t), y(t), z(t)) = b, ∀t ∈ I,

atunci f(x, y, z) = a, g(x, y, z) = b sunt ecuatiile carteziene implicite ale curbei α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ I.5) Fie C : f(x, y, z) = a, g(x, y, z) = b o curba regulata . Gradientii

∇f =∂f

∂x~ı+

∂f

∂y~+

∂f

∂z~k, ∇g =

∂g

∂x~ı+

∂g

∂y~+

∂g

∂z~k,

definiti pe C, sunt campuri normale la C (exercitiu!).

2.4. Exemple

1) Dreapta. Ecuatiile carteziene implicite ale unei drepte din spatiu (intersectie de plane) sunt

D :

a1x+ b1y + c1z + d1 = 0

a2x+ b2y + c2z + d2 = 0, unde rang

(a1 b1 c1

a2 b2 c2

)= 2,

iar ecuatiile parametrice sunt

α : x = x0 + lt, y = y0 +mt, z = z0 + nt, t ∈ R,

unde rang (l,m, n) = 1.

2) Cercul. De obicei un cerc din spatiu este privit ca fiind intersectia dintre o sfera de centru C(x0, y0, z0)si raza r si un plan avand ecuatiile carteziene implicite:

C :

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2

ax+ by + cz + d = 0, unde

| ax0 + by0 + cz0 + d |√a2 + b2 + c2

< r.

3) Conicele. In general, intersectia dintre un plan si o cuadrica este o conica ın spatiu; astfel daca f esteun polinom de gradul doi pe R3, atunci o conica C din spatiu are ecuatiile carteziene implicite:

C :

f(x, y, z) = 0

ax+ by + cz + d = 0.

11.3 Planul osculator si binormala

Initial vom face cateva observatii ın legatura cu studiul formei unei curbe din spatiu ın vecinatatea unui punctal sau, studiu care se face ın acelasi mod si la curbele plane. Precizam ca ın acest caz, figurile 44-47 ne dauforma proiectiei curbei (ın general proiectie oblica) pe planul determinat de cele doua derivate necoliniare.

O mai buna aproximare a formei unei curbe din spatiu se poate obtine utilizand trei derivate liniar inde-pendente. De exemplu, presupunem ca P este un punct regulat si ca ~α′(t), ~α′′(t), ~α′′′(t) determina o baza ınTpR3. Utilizand formula Taylor de ordinul trei,

−−→PQ =

h

1!~α′(t) +

h2

2!~α′′(t) +

h3

3!~α′′′(t) +

h3

3!~ε(h), lim

h→0~ε(h) = ~0,

ajungem la concluzia ca pentru | h | suficient de mic, tripletul(h,

h2

2,h3

6

)da cu aproximatie coordonatele lui

−−→PQ ın baza aleasa. Cand h trece prin zero prima si ultima coordonata ısi schimba semnul, iar cea din mijloc si-lpastreaza. Astfel, ın vecinatatea lui P , arcul se afla ın acelasi semispatiu cu ~α′′(t), traverseaza pe ~α′′(t), ~α′′′(t)si planul determinat de P , ~α′(t) si ~α′′(t) (fig.160).

- 172-

Page 173: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 160Planul determinat de P, ~α′(t) si ~α′′(t) se numeste plan osculator. Ecuatia vectoriala a planului osculator ın

punctul P este:PO : 〈~r − ~α(t), ~α′(t)× ~α′′(t)〉 = 0, (11.3)

iar ecuatia carteziana a lui

PO :

∣∣∣∣∣∣x− x(t) y − y(t) z − z(t)x′(t) y′(t) z′(t)x′′(t) y′′(t) z′′(t)

∣∣∣∣∣∣ = 0. (11.4)

Normala la curba C ın punctul P , perpendiculara pe planul osculator al curbei ın P se numeste binormalala curba C ın punctul P . Vectorul director al binormalei curbei C ın punctul P = α(t), este

~α′(t)× ~α′′(t) = Ai+Bj + Ck.

Ecuatia vectoriala a binormalei este:

∆bn : (r − ~α(t))× (~α′(t)× ~α′′(t)) = ~0. (11.5)

Ecuatiile carteziene ale binormalei la curba C ın punctul P = α(t), sunt:

∆bn :x− x(t)

A=y − y(t)

B=z − z(t)C

. (11.6)

Astfel, ın vecinatatea lui P , curba considerata are o abatere de la tangenta (curbare) si o abatere de la planulosculator (torsionare).

Se observa ca daca toate punctele curbei regulate C se afla ın acelasi plan, adica este o curba plana, atunciplanul osculator este acelasi ın toate punctele curbei si coincide cu planul curbei.

11.4 Normala principala si planul rectificator

Fie o curba C din spatiu R3, reprezentata analitic prin ecuatia sa vectoriala:

α : I → R3, α(t) = (x(t), y(t), z(t)),

si P = α(t) un punct regulat, ın vecinatatea caruia curba este de clasa C2 si ~α′(t)× ~α′′(t) 6= ~0.Normala la curba C ın punctul P , continuta ın planul osculator corespunzator punctului P se numeste

normala principala la curba C ın punctul P . Normala principala se afla la intersectia dintre planul normal sicel osculator construite ın punctul P , deci va avea ecuatiile:

∆np :

〈~r − ~α(t), ~α′(t)〉 = 0〈~r − ~α(t), α′(t)× ~α′′(t)〉 = 0,

sau echivalent∆np : (~r − ~α(t))× [(~α′(t)× ~α′′(t))× ~α′(t))] = ~0.

Planul care trece prin punctul P si este perpendicular pe normala principala la curba C ın punctul P se numesteplan rectificator al curbei C ın punctul M . Ecuatia vectoriala a planului rectificator este:

Pr : 〈~r − ~α(t), (~α′(t)× ~α′′(t))× ~α′(t)〉 = 0, (11.7)

echivalenta cuPr : 〈~r − ~α(t), ~α′(t)× (~α′(t)× ~α′′(t))〉 = 0. (11.8)

- 173-

Page 174: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

11.5 Triedrul lui Frenet

Fie curba C din spatiu R3, reprezentata analitic prin ecuatia vectoriala:

C : ~α = ~α(t), t ∈ I

si P = ~α(t) ∈ C un punct regulat, ın vecinatatea caruia curba este de clasa C2 si ~α′(t)× ~α′′(t) 6= ~0.In punctul P se pot construi cele trei drepte perpendiculare: tangenta, binormala, normala principala si cele

trei plane perpendiculare: planul normal, planul osculator si planul rectificator. Fixand pe fiecare dreapta unsens pozitiv se obtine un triedru drept de referinta cu aplicatii ın cinematica si ın teoria diferentiala a curbelor.Acesta este un triedru mobil, atasat ın fiecare punct regulat al curbei, care se numeste triedrul lui Frenet.

Versorul tangentei la curba C ın punctul P se va nota cu ~T si este:

~T =~α′(t)‖~α′(t)‖

.

Dar ds = ‖~α′(t)‖ dt, de unde rezulta:

~T =d~α

dt

dt

ds⇒ ~T =

d~α

ds.

Vectoruld2~α

ds2⊥~T , adica

d2~α

ds2este continut ın planul normal.

Deoarece~T 2 = 1 ⇔

(d~α

ds

)2

= 1,

derivand ın raport cu s obtinemd~α

ds· d2~α

ds2 = 0. De asemenea, are loc:

d2~α

ds2=

d

ds

(d~α

dt

dt

ds

)=d2~α

dt2

(dt

ds

)2

+d~α

dt

d2t

ds2= ~α′′(t)

(dt

ds

)2

+ ~α′(t)d2t

ds2

de unde rezulta cad2~α

ds2este ın planul osculator.

Vectoruld2~α

ds2este coliniar cu normala principala. Vom alege versorul normalei principale ~N

~N =d2~αds2

‖ d2~αds2 ‖

.

Versorul binormalei ~B se alege astfel ıncat triedrul~T , ~N, ~B

sa fie orientat pozitiv, adica:

~B = ~T × ~N.

Versorii ~T , ~N, ~B se numesc versorii triedrului Frenet ın punctul P la curba C.Calculam

d~α

ds× d2~α

ds2=

~α′(t)‖~α′(t)‖

×

(~α′′(t)‖~α′‖2

+ ~α′(t)d2t

ds2

)=

1‖~α′‖3

(~α′ × ~α′′) ,

de unde rezulta ca ~B are acelasi sens si aceeasi directie cu ~α′ × ~α′′.Versorul ~B se va calcula cu formula:

~B =~α′ × ~α′′

‖~α′ × ~α′′‖. (11.9)

Versorul normalei principale se va calcula prin:

~N = ~B × ~T . (11.10)

- 174-

Page 175: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

11.6 Formule Frenet pentru curbe cu viteza unu

Ne propunem sa gasim elementele matematice care masoara curbarea si torsionarea unei curbe regulate din R3.3.1. Fie β : J → R3 o curba cu viteza unu, adica ‖~β′(s)‖ = 1, ∀s ∈ J . Campul ~T = ~β′ se numeste

camp tangent unitar al lui β. Derivand pe 〈~β′, ~β′〉 = 1 deducem 〈~β′′, ~β′〉 = 0 si deci ~T ′ = ~β′′, ~β′′ ⊥ ~β′. Duparationamentul facut ın sectiunea anterioara, curba β se ınconvoaie ın acelasi sens cu ~T ′ = ~β′′. Pe masura ce ‖~β′′‖creste, ınconvoierea lui β creste. In acest fel ~T ′ = ~β′′ controleaza curbura lui β, iar lungimea lui ~T ′ da o masuranumerica a cestei curburi. De aceea ~T ′ se numeste camp curbura, iar functia k : J → [0,∞), k(s) = ‖~T ′(s)‖, senumeste curbura lui β (fig.161).

Fig. 161

Presupunem k > 0. In aceasta ipoteza campul vectorial ~N =1k~T ′ se numeste campul normal principal al lui β.

Campul ~N indica ın fiecare punct sensul ın care se curbeaza β. Evident ~T (s) si ~N(s) determina planul osculatoral curbei β. Pentru controlul abaterii curbei de la planul osculator (torsionare) ın vecinatatea punctului β(s)se utilizeaza unul dintre versorii normali ai acestui plan. De aceea se introduce campul unitar ~B = ~T × ~N care senumeste camp binormal pe β. Evident campurile vectoriale ~T , ~N, ~B definite pe β sunt ortonormate. Ansamblul~T , ~N, ~B poarta numele de campul reperului Frenet pe β, iar ansamblul ~T (s), ~N(s), ~B(s) se numeste reperFrenet atasat punctului β(s) de pe curba.

Fig. 162

Folosirea campului reperului Frenet ın studiul unei curbe regulate β da mai multe informatii despre curbadecat ar da folosirea oricarui alt camp de repere. Ideea de baza care pune ın evidenta utilitatea acestui campde repere consta ın posibilitatea exprimarii derivatelor ~T ′, ~N ′, ~B′ cu ajutorul lui ~T , ~N, ~B. Stim ca ~T ′ = k ~N .Apoi ~B′ = 〈 ~B′, ~T 〉~T + 〈 ~B′, ~N〉 ~N + 〈 ~B′, ~B〉 ~B. Sa aratam ca ~B′ este coliniar cu ~N . Pentru aceasta este suficientsa dovedim ca 〈 ~B′, ~B〉 = 0 si 〈 ~B′, ~T 〉 = 0. Prima relatie este adevarata deoarece ~B(s) este un versor. Pentru ademonstra a doua relatie derivam pe 〈 ~B, ~T 〉 = 0 si gasim

〈 ~B′, ~T 〉+ 〈 ~B, ~T ′〉 = 0 sau 〈 ~B′, ~T 〉 = −〈 ~B, k ~N〉 = 0.

Ramane ~B′ = 〈 ~B′, ~N〉 ~N . Functia reala τ : J → R definita prin

~B′ = −τ ~N

se numeste torsiunea curbei (semnul minus este pus prin conventie si corespunde altor justificari ale formulelorFrenet). τ(s) poate fi un numar negativ, nul sau pozitiv. Ulterior vom arata modul ın care τ masoara abatereacurbei β de la planul sau osculator.

Sa exprimam acum pe ~N ′, ın raport cu ~T , ~N, ~B. Avem

~N ′ = 〈 ~N ′, ~T 〉~T + 〈 ~N ′, ~N〉 ~N + 〈 ~N ′, ~B〉 ~B.

- 175-

Page 176: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Deoarece ~N(s) este un versor rezulta ca 〈 ~N ′, ~N〉 = 0. Pentru evaluarea lui 〈 ~N ′, ~T 〉 si 〈 ~N ′, ~B〉 pornim de la〈 ~N, ~T 〉 = 0 si 〈 ~N, ~B〉 = 0 pe care le derivam ın raport cu s. Gasim

〈 ~N ′, ~T 〉 = −〈 ~N, ~T ′〉 = −〈 ~N, k ~N〉 = −k,〈 ~N ′, ~B〉 = −〈 ~N, ~B′〉 = −〈 ~N,−τ ~N〉 = τ.

Astfel am demonstrat urmatoarea3.2. Teorema (formulele Frenet). Daca β : J → R3 este o curba cu viteza unu, curbura k > 0 si

torsiunea τ , atunci~T ′ = k ~N~N ′ = −k~T + τ ~B~B′ = −τ ~N.

3.3. Aproximarea Frenet. Ne propunem sa gasim o aproximare a unei curbe β ın vecinatatea unui punctal sau cu ajutorul elementelor lui Frenet. Utilizand aceasta aproximare, aratam ın ce mod curbura si torsiuneainfluenteaza forma curbei. Pentru aceasta pornim de la aproximarea Taylor

β(s) ' β(0) +s

1!β′(0) +

s2

2!β′′(0) +

s3

3!β′′′(0)

pe care o exprimam cu ajutorul reperului Frenet ın punctul considerat. Avem

~β′(0) = ~T0, ~B′′(0) = k0~N0.

Pe de alta parte,~β′′′ = (k ~N)′ =

dk

ds~N + k ~N ′

si folosind formula lui Frenet pentru ~N ′ gasim

~β′′′(0) = −k20~T0 +

dk

ds(0) ~N0 + k0τ0 ~B0.

Inlocuind ın aproximarea Taylor si retinand numai partea principala ın fiecare componenta (puterile cele maimici ale lui s) obtinem

β(s) ∼ β(0) + sT0 + k0s2

2N0 + k0τ0

s3

6B0.

Notand partea dreapta cu γ(s) obtinem o curba γ : J → R3 numita aproximarea Frenet a lui β ın vecinatatealui s = 0 (fig.163). Precizam ca β are aproximari Frenet diferite ın puncte diferite. Daca ınlocuim s = 0 cu unpunct arbitrar s = s0, atunci ın expresiile anterioare ınlocuim s cu s− s0.

Fig. 163Sa examinam aproximarea Frenet data anterior. Primul termen ın expresia lui ~γ(s) este chiar punctul β(0).

Primii doi termeni dau tangenta lui β ın β(0),

s→ ~β(0) + s~T0.

Aceasta este cea mai buna aproximare liniara a lui β ın vecinatatea lui β(0). Primii trei termeni dau parabola

s→ ~β(0) + s~T0 + k0s2

2~N0,

- 176-

Page 177: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

care este cea mai buna aproximare patratica a lui β ın vecinatatea lui β(0). Observam ca aceasta parabola se

afla ın planul osculator al lui β ın punctul β(0), are aceeasi forma ca si parabola y = k0x2

2din planul xOy si

este complet determinata prin curbura k0. Astfel k0 masoara abaterea curbei de la tangenta ın β(0) ın sensullui ~N0.

In final, torsiunea τ0, care apare ın ultimul si cel mai mic termen al lui ~γ, controleaza abarea lui β de lapunctul sau osculator, ın β(0), ın directia lui ~B0.

11.7 Formulele Frenet pentru curbe cu viteza arbitrara

Elementele Frenet pentru o curba regulata cu viteza arbitrara se definesc prin elementele Frenet atasatereprezentarii normale a curbei respective.

4.1. Fie α : I → R3, t → α(t), o curba regulata care nu are viteza unu si β : J → R3, s → β(s),reprezentarea sa normala. Daca s : I → J este abscisa curbilinie, atunci

∀t ∈ I, α(t) = β(s(t)).

Formulele lui Frenet dau reprezentarea derivatelor versorilor triedrului Frenet ın raport cu s, functie de acesti

versori, adica exprimad~T

ds, d ~N

ds ,d ~Bds functie de ~T , ~N, ~B. Fie P (s) ∈ β un punct nesingular al curbei si reperul

Frenet ın punctul P ,P ; ~T , ~N, ~B

.

Exprimamd~T

ds, d ~N

ds ,d ~Bds ın raport cu baza reperului, adica:

d~T

ds= a11

~T + a12~N + a13

~B; (11.11)

d ~N

ds= a21

~T + a22~N + a23

~B; (11.12)

d ~B

ds= a31

~T + a32~N + a33

~B. (11.13)

Stim ca ~T este versor, ~T 2 = 1. Derivam aceasta relatie ın raport cu s si obtinem 〈2~T , d~T

ds〉 = 0.

Inmultim scalar relatia (11.11) cu ~T :⟨~T ,d~T

ds

⟩= a11

~T 2 + a12~N · ~T + a13

~B · ~T = a11.

Folosind ortogonalitatea vectorilor bazei triedrului Frenet, se obtine a11 = 0.Analog, din (11.12) si (11.13) se obtine a22 = a33 = 0.Vom ınmulti scalar (11.11) cu ~N si (11.12) cu ~T , vom aduna cele doua relatii si se obtine

a12 + a21 = 0.

Analog, se obtin:a13 + a31 = 0; a23 + a32 = 0.

Astfel:d~T

ds= a12

~N + a13~B; (11.14)

d ~N

ds= −a12

~T + a23~B; (11.15)

- 177-

Page 178: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

d ~B

ds= −a13

~T − a23~N. (11.16)

Dard~T

ds= d2~β

ds2 =∥∥∥d2~β

ds2

∥∥∥ ~N si din (11.14) va rezulta a13 = 0.

Se noteaza a12 = k =

∥∥∥∥∥d2~β

ds2

∥∥∥∥∥ ≥ 0, a23 = τ si se obtin formulele lui Frenet:

d~Tds = k ~N

d ~Nds = −k~T + τ ~B

d ~Bds = −τ ~N.

Scalarii k, τ care apar ın relatiile lui Frenet au o semnificatie geometrica deosebita. Scalarul k se numeste curburaın punctul P a curbei, iar τ se numeste torsiunea curbei ın punctul P . Inversul curburii se numeste raza decurbura si inversul modulului torsiunii se numeste raza de torsiune ın punctul P . Daca kβ > 0, τβ , ~Tβ , ~Nβ

si ~Bβ sunt elementele Frenet pentru β, atunci pentru α definim:- functia curbura: k = kβ s,- functia torsiune: τ = τβ s,- campul tangent unitar: ~T = ~Tβ s,- campul normal principal: ~N = ~Nβ s,- campul binormal: ~B = ~Bβ s (fig.164).

Fig. 164

4.2. Lema. (Formulele Frenet pentru o curba cu viteza arbitrara). Daca α : I → R3 este o curba regulatacu viteza scalara v si curbura k > 0, atunci

~T ′ = kv ~N~N ′ = −kv ~T + τv ~B~B′ = −τv ~N,

unde ” ′ ” ınseamna derivata ın raport cu t.Demonstratie. Fie β reprezentarea normala a lui α. Prin definitie ~T (t) = ~Tβ(s(t)), t ∈ I, si prin derivare

gasimd~T

dt(t) =

d~Tβ

ds(s(t))

ds

dt(t).

Pe de alta parte, teorema 3.2 dad

ds~Tβ(s) = kβ(s) ~Nβ(s).

Inlocuind pe s cu s(t) si revenind la ~T ′(t), deducem

~T ′(t) = s′(t)kβ(s(t)) ~N(s(t)) = v(t)k(t) ~N(t).

Celelalte formule se demonstreaza analog.

- 178-

Page 179: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Sa exprimam acum campul viteza ~α′ si campul acceleratie ~α′′ ın raport cu reperul ortonormat ~T , ~N, ~B.7.3. Lema. Daca α este o curba regulata cu viteza v, atunci campurile viteza si acceleratie ale lui α sunt

date de~α′ = v ~T , ~α′′ =

dv

dt~T + kv2 ~N.

Demonstratie. Deoarece ~α(t) = ~β(s(t)) gasim

~α′(t) = s′(t)~β′(s(t)) = v(t)~Tβ(s(t)) = v(t)~T (t).

O noua derivare da (fig.165)

~α′′ =dv

dt~T + v ~T ′ =

dv

dt~T + kv2 ~N.

Fig. 165Formula care da acceleratia este mai complicata decat formula care da viteza. Prin definitie ~α′′ este variatia

vitezei ~α′ ın unitatea de timp si ın general se schimba atat lungimea cat si directia lui ~α′.

Componenta tangentialadv

dt~T indica variatia lungimii lui ~α′, iar componenta normala kv2 ~N indica variatia

directiei lui ~α′.Ne propunem acum sa dam formulele explicite pentru determinarea elementelor Frenet ale unei curbe regulate

arbitrare.7.4. Teorema. Daca α : I → R3 este o curba regulata, atunci

~T = ~α′

‖~α′‖ ,~N = ~B × ~T , ~B = ~α′×~α′′

‖~α′×~α′′‖ ,

k = ‖~α′×~α′′‖‖~α′‖3 , τ = 〈~α′×~α′′,~α′′′〉

‖~α′×~α′′‖2 ,

unde ”′” ınseamna derivata ın raport cu t.

Demonstratie. Deoarece v = ‖~α′‖ > 0, formula ~T =~α′

‖~α′‖este echivalenta cu ~α′ = v ~T .

Folosind lema anterioara gasim~α′ × ~α′′ = kv3 ~B.

Deoarece ‖ ~B‖ = 1, k ≥ 0 si v > 0, obtinem

kv3 = ‖~α′ × ~α′′‖.

Aceasta relatie arata ca pentru curbele regulate conditia k > 0 este echivalenta cu ‖~α′ × ~α′′‖ > 0. De aceea,pentru k > 0, vectorii ~α′ si ~α′′ sunt liniar independenti si determina planul osculator ın fiecare punct, ca si ~Tsi ~N . Rezulta

~B =~α′ × ~α′′

kv3=

~α′ × ~α′′

‖~α′ × ~α′′‖.

Pentru obtinerea produsului 〈~α′ × ~α′′, ~α′′′〉 este suficient sa exprimam pe ~α′′′ cu ajutorul lui ~T , ~N, ~B.Avem

~α′′′ =(dv

dt~T + kv2 ~N

)′ = kv3τ ~B + . . .

- 179-

Page 180: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Ceilalti termeni nu ne intereseaza deoarece 〈 ~B, ~T 〉 = 0, 〈 ~B, ~N〉 = 0.Rezulta

〈~α′ × ~α′′, ~α′′′〉 = k2v6τ

si tinand seama ca ‖~α′ × ~α′′‖ = kv3, gasim formula pentru τ .

4.6. Exemplu. Sa se determine versorii, muchiile si fetele triedrului lui Frenet pentru curba α :

y2 = xx2 = z.

ın punctul M0(1, 1, 1) ∈ C.Parametrizam curba alegand functia y(t) = t. Din ecuatiile implicite ale curbei rezulta x(t) = t2, z(t) = t4.

Parametrul t ın punctul M0 are valoarea t0 = 1.Asadar, ~α(t) = t2i + tj + t4k, ~α′(1) = 2t~i + ~j + 4t3~k, ~α′′(t) = 2~i + 12t2~k, iar ın t0 obtinem ~α′(1) =

2i+ j + 4k, ~α′′(t) = 2~i+ 12~k.Scriem versorii triedrului Frenet ın punctul M0:

~T0 =α′(1)

‖ ~α′(1) ‖=

2~i+~j + 4~k√21

; ~B0 =~α′(1)× ~α′′(1)

‖ ~α′(1)× ~α′′(1) ‖=

6i− 8j − k√101

;

~N0 = B0 × T0 =−31i− 26j + 22k√

21 · 101.

Putem scrie acum ecuatiile muchiilor triedrului Frenet ın M0:

- tangentax− 1

2=y − 1

1=z − 1

4;

- binormalax− 1

6=y − 1−8

=z − 1

1;

- normala principalax− 1−31

=y − 1−26

=z − 122

.

Ecuatia planului normal ın M0 este

2(x− 1) + (y − 1) + 4(z − 1) = 0 ⇔ 2x+ y + 4z − 7 = 0;

ecuatia planului osculator

6(x− 1)− 8(y − 1)− (z − 1) = 0 ⇔ 6x− 8y − z + 3 = 0;

si ecuatia planului rectificator

: −31(x− 1)− 26(y − 1) + 22(z − 1) = 0 ⇔ −31x− 26y + 22z + 35 = 0.

4.6. Observatie. Din punct de vedere al calculului este suficient sa folosim aceeasi litera α atat pentrucurba data initial cat si pentru reprezentarea ei normala si analog aceleasi notatii pentru elementele Frenet.

4.7. Interpretarea geometrica a curburiiVom considera curba α reprezentata normal, de clasa C2 ın vecinatatea unui punct regulat P (s) ∈ α. Fie

P ′(s+∆s) ∈ α un punct vecin cu punctul P si versorii tangentelor ~T (s) si ~T (s+∆s) ın punctele P respectiv P ′.Unghiul dintre cei doi versori se numeste unghi de contigenta al tangentelor la curba ın punctele P si P ′, notatcu ∆ω. Construind cu reprezentantii acestor versori un triunghi se obtine ∆~T = ~T (s+ ∆s)− ~T (s) = 2 sin ∆ω

2Din prima formula a lui Frenet se obtine:

k =

∥∥∥∥∥d~Tds∥∥∥∥∥ = lim

∆s→0

∥∥∥∥∥∆~T

∆s

∥∥∥∥∥ .

- 180-

Page 181: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Avand ın vedere definitia derivatei se obtine

k = lim∆s→0

∣∣∣∣∣2 sin ∆ω2

∆ω∆ω∆s

∣∣∣∣∣ = lim∆s→0

∣∣∣∣∆ω∆s

∣∣∣∣ .Curbura unei curbe ıntr-un punct regulat al curbei P este limita modulului raportului dintre unghiul de

contigenta al tangentelor ın punctul P si P ′ si arcul_

PP ′ cand P ′ tinde catre P pe curba. Acest raport se numestecurbura medie a arcului MM ′. Pentru curbele plane ∆ω reprezinta variatia unghiului ω dintre tangenta si axaOx.

Curbura unei curbe indica gradul de abatere de la tangenta al curbei.

4.8.Interpretarea geometrica a torsiuniiUnghiul dintre versorii binormalelor construite ın punctele P si P ′ la curba, adica versorii ~B(s) si ~B(s+∆s)

se numeste unghi de contigenta al binormalelor si se va nota cu ∆θ.Facand un rationament analog cu cel din cazul curburii si folosind a treia formula a lui Frenet rezulta:

|τ | =

∥∥∥∥∥d ~Bds∥∥∥∥∥ = lim

∆s→0

∥∥∥∥∥∆ ~B

∆s

∥∥∥∥∥ = lim∆s→0

∣∣∣∣∣2 sin ∆θ2

∆θ∆θ∆s

∣∣∣∣∣ = lim∆s→0

∣∣∣∣∆θ∆s

∣∣∣∣ .Modulul torsiunii unei curbe ıntr-un punct regulat P este limita modulului raportului dintre unghiul de

contigenta al binormalelor ın punctul P si P ′ si lungimea arcului_

PP ′ cand P ′ tinde catre P pe curba.Torsiunea unei curbe indica gradul de abatere de la planul osculator al curbei (gradul de rasucire al curbei).

11.8 Aplicatii ale formulelor Frenet

In baza rezultatelor din sectiunile anterioare, este suficient sa facem rationamente numai pentru curbele cuviteza unu (ın loc de curbe regulate) si preferam aceste rationamente deoarece sunt mai simple.

5.1. Teorema. O curba cu viteza unu β : J → R3 este o parte a unei drepte daca si numai daca k = 0.Demonstratie. Deoarece k(s) = ‖~β′′(s)‖, relatia k = 0 este echivalenta cu ~β′′(s) = ~0, ∀s ∈ J .

5.2. Teorema. Fie β : J → R3 o curba cu viteza unu pentru care k > 0. β este o curba plana daca sinumai daca τ = 0.

Demonstratie. Fie planul 〈~r−~r0,~a〉 = 0. Daca β se afla ın acest plan, atunci 〈β(s)−~r0,~a〉 = 0. Derivand,obtinem

〈~β′,~a〉 = 〈β′′,~a〉 = 0.

Rezulta ca ~a este perpendicular pe T = β′ si ~N =~β′′

k. Astfel ~B = ± ~a

‖~a‖ , adica ~B′ = ~0 si deci τ = 0.

Invers, presupunem τ = 0. Din teorema 3.2 rezulta ~B′ = ~0 si deci ~B = ~a0. Vom arata ca β se afla ın planulcare trece prin β(0) si este perpendicular pe β (vezi fig. 166). Pentru aceasta consideram functia

f : J → R, f(s) = 〈~β(s)− ~β(0), ~B〉.

Fig. 166

- 181-

Page 182: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Avemdf

ds= 〈~β′, ~B〉 = 0 si deci f(s)=const. Cum f(0) = 0, gasim f(s) = 0. Astfel

〈~β(s)− ~β(0), ~B〉 = 0, ∀s.

5.3. Teorema. Fie β : J → R3 o curba cu viteza unu care are curbura k > 0 si torsiunea τ . Curba β esteo parte a unui cerc (de raza r) atunci si numai atunci cand k=const si τ = 0. In acest caz raza cercului este

r =1k.

Demonstratie. Presupunem τ = 0, adica β este o curba plana. Consideram curba ~δ = ~β +1k~N . Gasim

~δ′ = ~β′ +1k~N ′ = ~T +

1k

(−k~T ) = ~0.

Astfel curba δ se reduce la un punct, adica

∀s ∈ J, ~β(s) +1k~N(s) = ~C si deci ‖~β(s)− ~C‖ =

∥∥∥∥−1k~N

∥∥∥∥ =1k.

Rezulta ca β se afla pe cercul cu centrul ın C si de raza1k

(vezi fig. 167).

Fig. 167

Invers, fie β o parte a unui cerc de raza r. Deoarece cercul este o curba plana, avem ~β(s) = ~c − r ~N(s) si

τ = 0. De aici si din teorema 3.2 rezulta ~β′(s) = −rk ~T (s), adica rk = 1 sau k =1r.

In continuare ne vom ocupa de elice cilindrice.5.4. Definitie. O curba regulata α : I → R3, t→ α(t) al carui vector tangent unitar ~T (t) face ın fiecare

punct un unghi constant cu un versor dat ~u, adica 〈~T (t), ~u〉 = cos θ, ∀t ∈ I, se numeste elice cilidrica.Conditia impusa nu este afectata de reparametrizare. De aceea ne vom ocupa de elicea cilindrica β : J → R3

care are viteza unu.Fie o curba cu viteza unu pentru care 〈~T , ~u〉 = cos θ. Luand pe β(0) drept origine, functia h(s) = 〈~β(s) −

~β(0), ~u〉 arata cum se ridica β(s) ın directia lui ~u (fig.168). Pe de alta parte, avem

dh

ds= 〈~β′, ~u〉 = 〈~T , ~u〉 = cos θ

si astfel h(s) = s cos θ.

Fig. 168

- 182-

Page 183: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Daca prin fiecare punct al lui β ducem o dreapta paralela cu ~u, atunci obtinem o suprafata cilindrica pe carese afla β. Considerentele de mai sus arata ca pentru orice elice cilindrica β exista o curba γ astfel ıncat

~β(s) = ~γ(s) + s cos θ~u,

unde abcisa curbilinie s este masurata, de exemplu, de la zero. Curba γ se numeste curba sectiunii transversalea suprafetei cilindrice pe care se afla β. Ea se afla ın planul determinat de punctul β(0) si de vectorul normal ~u(vezi fig. 169). De asemenea, daca curbura lui β este k, atunci un calcul simplu arata ca functia curbura a lui

γ estek

sin2 θ.

Fig. 169

5.5. Observatie. Pentru o parametrizare arbitrara, avem

α(t) = ~γ(t) + s(t) cos θ~u,

unde s = s(t) este abscisa curbilinie.5.6. Teorema. Fie β : J → R3 o curba cu viteza unu care are curbura k > 0 si torsiunea τ . Curba β este

o elice cilindrica daca si numai dacaτ

k=const.

Demonstratie. Daca β este o elice cilindrica cu 〈~T , ~u〉 = cos θ, atunci

0 = 〈~T , ~u〉′ = 〈~T ′, ~u〉 = 〈k ~N, ~u〉 ⇒ 〈 ~N, ~u〉 = 0.

Astfel ∀s ∈ J, ~u se afla ın planul lui ~T (s) si ~B(s). Deoarece ~u este un versor, avem ~u = ~T cos θ+ ~B sin θ si prinderivare gasim

0 = (k cos θ − τ sin θ) ~N ⇒ τ

k= ctgθ = const.

Invers, fieτ

k=const. Alegem pe θ astfel ıncat

τ

k= ctgθ si construim campul ~U = ~T cos θ + ~B sin θ. Deoarece

~U ′ = (k cos θ− τ sin θ) ~N = ~0, rezulta ca ~U este un camp de vectori paraleli si deci el se reprezinta prin vectorul~u, deci 〈~T , ~u〉 = cos θ. De aceea β este o elice cilindrica.

Un caz particular al elicei cilindrice este elicea circulara. In acest caz, suprafata cilindrica este un cilindru

circular drept, iar sectiunea transversala este un cerc de razasin2 θ

k.

5.7. Exemplu. Fie β : R → R3 o curba cu viteza unu care are curbura k > 0 si torsiunea τ 6= 0. Sa searate ca β este o (parte dintr-o) elice circulara daca si numai daca k=const si τ=const.

Solutie. Pentru implicatia directa vom da o demonstratie care poate servi ca model pentru determinareaelementelor Frenet pentru o curba cu viteza unu.

Fie elicea circulara ~β(s) =(a cos

s

c, a sin

s

c,bs

c

), unde c =

√a2 + b2, a > 0, b 6= 0. Avem

~T (s) = ~β′(s) =(−a

c sin sc ,

ac cos s

c ,bc

),

~T ′(s) = ~β′′(s) =(− a

c2 cos sc , −

ac2 sin s

c , 0)

si decik(s) = ‖~T ′(s)‖ =

a

c2=

a

a2 + b2> 0.

- 183-

Page 184: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Deoarece ~T ′ = k ~N , gasim~N(s) =

(− cos

s

c, − sin

s

c, 0).

Astfel, sensul lui ~N este spre axa cilindrului (fig.170). Din ~B = ~T × ~N , rezulta

~B(s) =(b

csin

s

c, −b

ccos

s

c,a

c

)si deci

~B′(s) =(b

c2cos

s

c,b

c2sin

s

c, 0).

Din B′ = −τ ~N rezulta

τ(s) =b

c2=

b

a2 + b26= 0.

Fig. 170

Invers, fie β o curba cu viteza unu pentru care k=const > 0 si τ = const 6= 0. Deoareceτ

k= ctgθ=const, β

este o elice cilindrica. Deoarece k=const, rezulta ca sectiunea transversala γ este un cerc de razasin2 θ

k. De

aceea β este o elice circulara. Luand

~u = ~k, k =a

a2 + b2, τ =

b

a2 + b2,

gasim reprezentarea

~β(s) =(a cos

s

c, a sin

s

c,bs

c

).

5.8. Observatii.

1) Curbura si torsiunea determina o curba din spatiu abstractie facand de pozitie (adica de o izometrie)Ipoteza esentiala care permite demonstratia acestei afirmatii este k > 0.

Chiar daca curbura k se anuleaza ıntr-un singur punct, caracterul geometric al curbei se poate schimbaradical ın acest punct. Pentru a pune ın evidenta acest lucru fie f : R → R o functie diferentiabila care satisfaceconditiile f(t) = 0 pentru t ≤ 0, f(t) > 0, f ′′(t) > 0 pentru t > 0 si curbele

α1(t) =

(t, 0, f(−t)), t < 0(0, 0, 0), t = 0(t, f(t), 0), t > 0;

α2(t) =

(t, f(−t), 0), t < 0(0, 0, 0), t = 0(t, f(t), 0), t > 0.

Observam ca ambele curbe au aceeasi curbura care se anuleaza numai ın t = 0. In t = 0 nu putem definitorsiunea, dar pentru t 6= 0 ambele curbe au torsiunea nula. Intr-adevar, arcul t < 0 al lui α1 se afla ın planulxOz, iar arcul t > 0 se afla ın planul xOy (vezi fig. 171). Curba α2 este ın ıntregime situata ın planul xOy(vezi fig. 172). Evident cele doua curbe nu pot fi suprapuse printr–o izometrie.

- 184-

Page 185: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 171 Fig. 172

2) Curbele din plan pot fi privite ca niste curbe particulare din spatiu. Mai restrictiv, orice curba regulatadin spatiu pentru care k > 0 este curba plana daca si numai daca τ = 0. De aceea am putea obtine elementeFrenet pentru curbele regulate din plan doar prin particularizarea notiunilor introduse ın paragrafele precedente.Acest punct de vedere este ınsa prea restrictiv si nu ofera libertatea de care dispunem ın plan.

11.9 Exercitii/probleme rezolvate

11.9.1 Enunturi

1. Se da curba α(t) = (2 cos t, 2 sin t, t), t ∈ R.a) aflati elementele Frenet ıntr-un punct arbitrar al curbei si verificati ecuatiile Frenet;b) aflati elementele Frenet ın punctul A(−2, 0, π);c) aratati ca α este o elice;d) aflati ecuatiile carteziene ale curbei;e) aflati muchiile si fetele reperului Frenet.

2. Se da curba α(t) = (t+ t2, t2 − t, t2 − t), t ∈ R. Aratati ca α:

a) are planul osculator independent de t; acesta contine imaginea curbei;b) are torsiunea identic nula;c) are vectorul binormal independent de t.

3. Se da curba Γ :x2 + y2 + z2 = 2z = 1.

a) aflati dreapta tangenta si planul normal la curba ın A(−1, 0, 1);b) determinati o parametrizare a curbei.

11.9.2 Solutii

1. Din oficiu: 1pt. a) Observam ca α : I → R3 este curba regulata, caci vectorul tangentei la curba ın

punctul curent este α′(t) = (−2 sin t, 2 cos t, 1), de norma ‖α′(t)‖ =√

5 6= 0 (0,5 pt.) . Versorul tangent estedeci

T =α′(t)‖α′(t)‖

=(− 2√

5sin t,

2√5

cos t,1√5

), (0,5 pt.) .

Calculam vectorul normal la planul osculator al curbei, α′×α′′ = (2 sin t,−2 cos t, 4), de norma ‖α′ × α′′‖ = 2√

5(1 pt.) ; obtinem versorul binormal

B(t) =α′(t)× α′′(t)‖α′(t)× α′′(t)‖

=(

1√5

sin t,− 1√5

cos t,2√5

). (1 pt.)

Versorul normalei principale la curba ın punctul curent este N = B × T , deci

N(t) =15

∣∣∣∣∣∣i j k

sin t − cos t 2−2 sin t 2 cos t 1

∣∣∣∣∣∣ = (− cos t)i+ (− sin t)j ≡ (− cos t,− sin t, 0). (1 pt.)

- 185-

Page 186: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Deci obtinem reperul mobil Frenet al curbei ıntr-un punct mobil al sau,

Rα(t) = α(t); T (t), N(t), B(t),

cu campurile de versori descrise mai sus. Folosind formulele curburii si torsiunii:

k(t) =‖α′(t)× α′′(t)‖

‖α′(t)‖3, τ(t) =

〈α′(t)× α′′(t), α′′′(t)〉‖α′(t)× α′′(t)‖2

,

obtinem

k(t) =2√

55√

5=

25> 0, (0,5 pt.) τ(t) =

4 sin2 t+ 4 cos2 t20

=15> 0. (0,5 pt.)

b) Avem A(−2, 0, π) = α(π) si calculand elementele Frenet pentru t0 = π, obtinem:

T (t0) = (0, −2√5, 1√

5) ≡ (0,−2, 1)

N(t0) = (1, 0, 0)

B(t0) = (0, 1√5, 2√

5) ≡ (0, 1, 2). (1 pt.)

c) Curba α este elice daca raportul dintre curbura si torsiune este constant (0,5 pt.) ; ın cazul nostru avem

k(t)/τ(t) = 2/51/5 = 2 = const. (0,5 pt.) . In concluzie, curba α este o elice.

d) Ecuatiile carteziene ale curbei α se obtin prin eliminarea parametrului t din sistemul

x = 2 cos ty = 2 sin tz = t

.

Adunand patratele primelor doua relatii obtinem x2 + y2 = 4 si ınlocuind t din ultimele ecuatii ın prima,rezulta x = 2 cos z, deci

T = =α :x = 2 cos zx2 + y2 = 4. (1 pt.)

e) Muchiile reperului Frenet ıntr-un punct curent al curbei sunt dreptele tangenta, normala principala sibinormala. Acestea au respectiv versorii directori T (t), N(t), B(t). Ecuatiile carteziene ale acestora sunt

∆tg :x− 2 cos t− 2√

5sin t

=y − 2 sin t

2√5

cos t=z − t

1√5

∆nor.pr. :x− 2 cos t− cos t

=y − 2 sin t− sin t

=z − t

0

∆bin :x− 2 cos t

1√5

sin t=y − 2 sin t− 1√

5cos t

=z − t

2√5

.

(1 pt.) Total: 10pt.

2. a) Ecuatia planului osculator (determinat de punctul curent α(t) si de vectorii α′(t) si α′′(t) este

πosc,α(t) :

∣∣∣∣∣∣x− x(t) y − y(t) z − z(t)

x′(t) y′(t) z′(t)x′′(t) y′′(t) z′′(t)

∣∣∣∣∣∣ = 0⇔

∣∣∣∣∣∣x− (t2 + t) y − (t2 − t) z − (t2 − t)

2t + 1 2t− 1 2t− 12 2 2

∣∣∣∣∣∣ = 0⇔

⇔ −4(y − (t2 − t)) + 4(z − (t2 − t)) = 0⇔ y − z = 0.

Deci ecuatia planului osculator nu depinde de parametrul t si deci α este o curba plana. Aflam planul π ⊃ Imα.Fie π : ax + by + cz + d = 0, a2 + b2 + c2 6= 0; presupunem ca α este inclusa ın planul π. Cum α(t) =

(t2 + t, t2 − t, t2 − t), t ∈ R, ınlocuind ın ecuatia planului avem

a(t2 + t) + b(t2 − t) + c(t2 − t) + d = 0,∀t ∈ R ⇔

⇔ t2(a+ b+ c) + t(a− b− c) + d = 0,∀t ∈ R ⇔

a+ b+ c = 0a− b− c = 0d = 0

a = 0, b = λ,

c = −λ, d = 0λ ∈ R.

- 186-

Page 187: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Solutiile sistemului sunt deci (a, b, c, d) = λ(0, 1,−1, 0), λ ∈ R. Alegand λ = 1, obtinem ecuatia planului cautatın care este continuta curba, π : y − z = 0. Se observa ca planul obtinut este exact planul osculator, deci

Γ = Imα ⊂ π = πosc,α(t).

b) Avem

α′(t) = (2t+ 1, 2t− 1, 2t− 1)α′′(t) = (2, 2, 2)α′′′(t) = (0, 0, 0)

, deci 〈α′, α′′ × α′′′〉 = 0 si torsiunea curbei α ın punctul curent

devine:

τ =〈α′, α′′ × α′′′〉‖α′ × α′′‖2

= 0,∀t ∈ R.

c) Avem

α′(t)× α′′(t) =

∣∣∣∣∣∣i j k

2t + 1 2t− 1 2t− 12 2 2

∣∣∣∣∣∣ = 0 · i− 4 · j + 4 · k ≡ (0,−4, 4),

deci campul de versori ai binormalei este

B(t) =α′(t)× α′′(t)‖α′(t)× α′′(t)‖

=1

4√

2(0,−4, 4) =

(0,−

√2

2,

√2

2

).

care ın mod evident este independent de t.

3. a) Pentru o curba ın spatiu data prin ecuatii carteziene implicite, Γ :F (x, y, z) = 0G(x, y, z) = 0 , ecuatiile dreptei

tangente si ecuatia planului normal sunt respectiv

∆tg,A :x− x0

a=y − y0b

=z − z0c

πnor,A : a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0.

unde n = ai+ bj + ck = ( gradF × gradG)|A. In cazul nostru, F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 2, G(x, y, z) = z − 1si

n = ( gradF × gradG)|A =

∣∣∣∣∣∣i j k

2x 2y 2z0 0 1

∣∣∣∣∣∣ |A(−1,0,1)=

=

∣∣∣∣∣∣i j k−2 0 20 0 1

∣∣∣∣∣∣ ≡ (0, 2, 0) = (a, b, c).

Deci

∆tg,A : x+10 = y−0

2 = z−10 ⇔

x = −1z = 1

πnor,A : (x+ 1) · 0 + (y − 0) · 2 + (z + 1) · 0 = 0 ⇔ y = 0 (planul xOz).

b) In sistemul Γ :x2 + y2 + z2 = 2z = 1 ınlocuind z din a doua ecuatie ın prima, obtinem x2 + y2 = 1, deci o

parametrizare a curbei este

Γ :

x = cos ty = sin tz = 1

, t ∈ [0, 2π).

11.10 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare

1. Fie curba α : (0, 4) → R4, α(t) = (√t, t√t, 1− t). Sa se reparametrizeze prin

h : (0, 2) → R, h(u) = u2.

- 187-

Page 188: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

2. Fie curba~β(s) =

((1 + s)3/2

3,

(1− s)3/2

3,s√2

), s ∈ (−1, 1).

Sa se determine ~T , ~N, ~B, k, τ .3. Sa se determine abscisa curbilinie a fiecarei curbe1) α : R → R3, α(t) = (cos t, sin t, t2/2),2) α : R → R3, α(t) = (acht, asht, at),3) α : R → R3, α(t) = (t cos t, t sin t, t2/2),

luand ca origine punctul ın care curba intersecteaza planul xOy. Sa se gaseasca elementele Frenet ~T , ~N, ~B, k, τsi sa se scrie ecuatiile muchiilor si fetelor triedrului Frenet ın acest punct.

4. Se numeste curba Titeica, curba pentru care1τd2 = const, unde τ este torsiunea ıntr-un punct arbitrar

al curbei, iar d distanta de la un punct fix la planul osculator al curbei.Sa se arate ca C : xyz = 1, y2 = x este o curba Titeica.5. Se considera curba α : ~α(t) = 2ti+ t2j + ln tk, t ∈ (0,+∞).a) Sa se verifice ca P (2, 1, 0) si Q(4, 4, ln 2) apartin curbei si sa se calculeze lungimea arcului PQ;b) Sa se scrie triedrul lui Frenet ın punctul P si sa se calculeze curbura si torsiunea.

- 188-

Page 189: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MB.12.Suprafete

Cuvinte cheie: suprafata, parametrizare, ecuatii parametrice, curbe coor-donate, camp normal, dreapta normala si plan tangent ale unei suprafete,viteze partiale, camp de versori normali la suprafata, curbura Gauss, cur-bura medie, curburi principale, vectori principali, aproximarea patraticaa unei suprafete, geodezice, curbe principale, linii de curbura, subvari-etate, suprafete simplu conexe, curbe asimptotice, linii asimptotice; puncteplanare, puncte eliptice, puncte parabolice, puncte hiperbolice, formelefundamentale; elementul de arie, aria, unghiul format de doua curbe pesuprafata.

12.1 Notiunea de suprafata

Fie spatiul R3 si TOR3 spatiul tangent ın origine la spatiul R3. Spatiile R3 si TOR3 sunt izomorfe si de aceeade cele mai multe ori le vom identifica.

Fig. 173

O suprafata din spatiu este o submultime M a lui R3, neteda si cu doua dimensiuni. Descrierea matematica aunei suprafete este data ın definitiile care urmeaza.

Fie D o multime deschisa din R2. De exemplu interiorul unui dreptunghi, al unui cerc etc.

1.1. Definitie. O functie diferentiabila, regulata si injectiva r : D → R3 se numeste harta (de coordonate).Imaginea r(D) a unei harti r este o submultime neteda si cu doua dimensiuni a lui R3 (fig.174). Pe baza

diagramei 173, unde JO este izomorfismul canonic dintre R3 si TOR3, hartii r putem sa-i atasam o functie sinumai una de tipul ~r : D → TOR3, ceea ce ne permite sa privim multimea r(D) ca fiind descrisa de extremitateaunui vector variabil ~r cu originea fixata ın O (fig.174).

Fig. 174

189

Page 190: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Din definitia lui r(D) rezulta echivalenta

P ∈ r(D) ⇔ ∃(u, v) ∈ D, P = r(u, v).

Evident, functiile anterioare sunt caracterizate prin coordonatele lor euclidiene

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D,

~r = ~r(u, v) = x(u, v)~ı+ y(u, v)~+ z(u, v)~k, (u, v) ∈ D.

Ipoteza de regularitate se face pentru a asigura netezimea lui r(D), iar ipoteza ca aplicatia r este injectivaasigura ca r(D) nu se intersecteaza cu ea ınsasi.

Pentru a defini suprafata plecam de la ideea ca orice regiune suficient de mica dintr-o suprafata M trebuiesa semene cu o regiune din plan. In particular, la multimi deschise din plan trebuie sa corespunda multimideschise din suprafata M si invers. Acest lucru este asigurat daca presupunem ca ın vecinatatea oricarui punctal sau, M se poate exprima ca imaginea unei harti proprii. O harta r : D → R se numeste proprie daca functiainversa r−1 : r(D) → D este continua (imaginea concreta pentru D poate fi aceea a unei fısii de cauciuc; ın acestcaz r(D) se obtine prin ıntinderea si ındoirea lui D). Pentru precizare, definim vecinatatea U ın M a punctuluiP ∈M ca fiind multimea tuturor punctelor lui M a caror distanta euclidiana fata de P este mai mica decat unnumar ε > 0. O parte a lui M se numeste deschisa daca odata cu fiecare punct al sau contine si o vecinatateU din M a acestui punct.

Hartile ale caror imagini sunt continute ın M se numesc harti ın M .1.2. Definitie. O submultime M a lui R3, care se bucura de proprietatea ca ∀P ∈M exista o harta proprie

ın M a carei imagine sa contina o vecinatate a lui P din M , se numeste suprafata (fig.175).Observam ca imaginea M = r(D) a unei harti proprii satisface definitia 1.2 si deci este o suprafata. O

asemenea suprafata se numeste simpla. Definitia 1.2 arata ca orice suprafata din R3 poate fi conceputa careuniunea unor suprafete simple.

Fig. 175

1.3. Exemple.1) Sfera este o suprafata ın sensul definitiei 1.2. Pentru a pune ın evidenta acest lucru este suficient sa

dovedim afirmatia pentru sfera cu centrul ın origine si de raza unu (fig.176)

M : x2 + y2 + z2 = 1.

Fig. 176

- 190-

Page 191: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Ne propunem sa gasim o harta proprie ın M care sa acopere o vecinatate a polului nord (0, 0, 1). Prinproiectia fiecarui punct (x, y, z) al emisferei nordice a lui M pe planul xOy ın (x, y, 0) gasim o corespondentabiunivoca a acestei emisfere cu un disc D de raza unu din planul xOy. Daca identificam planul xOy cu R2

prin (x, y, 0) ↔ (x, y), atunci D devine un disc din R2 care consta din punctele (u, v) pentru care u2 + v2 < 1.Exprimand corespondenta dintre D si emisfera nordica ca o functie pe D gasim

r : D → R3, r(u, v) = (u, v,√

1− u2 − v2).

Sa aratam ca r este o harta proprie. Mai ıntai observam ca r este o functie diferentiabila si injectiva. Deasemenea r este si regulata deoarece transpusa matricii Jacobian, 1 0

∂f

∂u

0 1∂f

∂v

, unde f =√

1− u2 − v2,

are rangul doi, ∀(u, v) ∈ D. Functia inversa r−1 : r(D) → D, r−1(x, y, z) = (x, y), este continua. Deci r esteo harta proprie. Facem observatia ca harta r acopera o vecinatate a lui P (0, 0, 1) din M . In mod necesar eaacopera o vecinatate a oricarui alt punct Q din emisfera nordica.

Analog, putem gasi alte cinci harti proprii, care sa acopere celelalte cinci emisfere ale sferei si astfel verificamca sfera este o suprafata ın sensul definitiei 1.2.

Sfera este o multime compacta ın R3. De aceea, din orice acoperire a sa se poate extrage o acoperire finita.Numarul minim de harti care acopera sfera este 2, de exemplu hartile stereografice.

2) Suprafata M : z = f(x, y). Fie f : D → R o functie diferentiabila. Graficul sau M = (x, y, z) | z =f(x, y), (x, y) ∈ D este o suprafata a simpla (fig.177) deoarece poate fi acoperit de imaginea lui D prin hartaproprie r : D → R3, r(u, v) = (u, v, f(u, v)).

Fig. 177

O harta de acest tip se numeste harta Monge, iar despre M se spune ca este data prin ecuatia carteziana explicitaz = f(x, y).

3) Dam acum un exemplu din care sa rezulte necesitatea ca o harta sa fie proprie.Presupunem ca avem o fasie dreptunghiulara de cauciuc cu ajutorul careia construim configuratia M din

fig.178. Configuratia M nu este o suprafata ın sensul descris anterior deoarece nu satisface cerinta ca ınvecinatatea oricarui punct sa semene cu o portiune din plan. Intr-adevar, de-a lungul lui Oz ea seamana cuintersectia a doua plane. Mai mult, trecerea de la fasia plana la M este continua ın timp ce trecerea inversa nueste continua deoarece M trebuie rupta de-a lungul lui Oz.

Fig. 178Matematic, constructia anterioara se prezinta astfel: fie D dreptunghiul deschis −π < u < π, 0 < v < 1 din

R2 si r : D → R3 aplicatia definita prin r(u, v) = (sinu, sin 2u, v). Se verifica usor ca r este o harta (aplicatiediferentiabila, injectiva si regulata). Notam M = r(D). Observam ca D = D1 ∪D2 ∪D3, unde

D1 =(−π,−π

2

)× (0, 1), D2 =

(−π

2,π

2

)× (0, 1), D3 =

(π2, π)× (0, 1)

- 191-

Page 192: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

si deci M = M1 ∪M2 ∪M3, unde Mi = r(Di), i = 1, 2, 3. Gasim

r−1(x, y, z) =

(−π − arcsinx, z) pentru (x, y, z) ∈M1

(arcsinx, z) pentru (x, y, z) ∈M2

(π − arcsinx, z) pentru (x, y, z) ∈M3.

Functia r−1 nu este continua ın punctele (0, 0, z), 0 < z < 1. Astfel r nu este o harta proprie si deci M = r(D)nu este o suprafata ın sensul definitiei 2.1.

4) Suprafete definite prin ecuatii carteziene implicite.Consideram o functie diferentiabila de tipul f : R3 → R. Deoarece

J(f) =(∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

),

punctele critice ale acestei functii f (daca exista) se afla rezolvand sistemul

∂f

∂x(x, y, z) = 0,

∂f

∂y(x, y, z) = 0,

∂f

∂z(x, y, z) = 0.

Punctele ın care cel putin una dintre aceste derivate nu se anuleaza sunt puncte regulate.Cu ajutorul lui f construim multimea

M = f−1(c) = (x, y, z) | (x, y, z) ∈ R3, f(x, y, z) = c, c ∈ R,

care se numeste multime de nivel constant c sau multime de ecuatie carteziana implicita f(x, y, z) = c. Pescurt, se scrie M : f(x, y, z) = c. Presupunem ca M nu este vida si precizam ca, ın general, M contine atatpuncte regulate cat si puncte critice ale lui f .

1.4. Teorema. Daca M = f−1(c) este nevida si daca functia f este regulata (submersie) ın punctele luiM = f−1(c), atunci M este o suprafata.

Demonstratie. Pentru fiecare P (x, y, z) ∈M , trebuie sa gasim o harta proprie care sa acopere o vecinatatea lui P din M (fig.179). Ipoteza ca f este regulata ın punctele lui M este echivalenta cu presupunerea ca cel

putin una dintre derivatele partiale∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂znu este zero ın P ; fie, de exemplu,

∂f

∂z(P ) 6= 0. In acest caz,

teorema functiei implicite spune ca ın vecinatatea lui P ecuatia f(x, y, z) = c defineste pe z ca functie de x siy. Mai precis, exista o functie diferentiabila g definita pe o vecinatate D a lui (x, y) astfel ıncat (fig.179)

Fig. 179(1) ∀(u, v) ∈ D, (u, v, g(u, v)) ∈M , adica f(u, v, g(u, v)) = c,

(2) punctele de forma (u, v, g(u, v)) cu (u, v) ∈ D constituie o vecinatate a lui P ın M .Rezulta ca harta Monge r : D → R3, r(u, v) = (u, v, g(u, v)) satisface cerintele din definitia 1.2. Deoarece

P este arbitrar ın M , tragem concluzia ca M este o suprafata.Daca M : f(x, y, z) = c este o suprafata, atunci spunem ca M este definita prin ecuatia carteziana implicita

f(x, y, z) = c (denumirea de suprafata pentru M : f(x, y, z) = c se pastreaza uneori chiar daca M contine sipuncte critice ale lui f).

Daca f este un polinom de gradul n, atunci M se numeste suprafata algebrica de ordinul n. In particu-lar, avem urmatoarele denumiri: suprafete algebrice de ordinul unu (plane), suprafete algebrice de ordinul doi(cuadrice) etc.

- 192-

Page 193: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

1.5. Observatii.1) In situatii concrete M poate fi data printr–o ecuatie si prin mai multe inecuatii ın x, y, z (inecuatiile

precizeaza o anumita portiune din spatiu).2) Reprezentarea lui M (sau a unei portiuni din M) ın forma

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)

se poate face prin intermediul teoremei 1.4 sau prin artificii de calcul.3) Fie suprafata simpla

M : x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ D.

In general, trecerea de la aceasta reprezentare la reprezentarea carteziana explicita se poate face numai local. De

exemplu, dacaD(x, y)D(u, v)

(u0, v0) 6= 0, atunci teorema functiei inverse arata ca ın vecinatatea lui (u0, v0) restrictia

lui x = x(u, v), y = y(u, v), admite inversa u = u(x, y), v = v(x, y), . Astfel, restrictia lui z = z(u, v) apare cao functie compusa de tipul z = z(u(x, y), v(x, y)).

4) In general, daca exista o functie f(x, y, z) astfel ıncat

f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = c, ∀(u, v) ∈ D,

atunci f(x, y, z) = c este o ecuatie carteziana implicita a suprafetei M : x = x(u, v), y = y(u, v), z =z(u, v), (u, v) ∈ D.

12.2 Curbe coordonate

In acest paragraf, vor fi prezentate unele proprietati ale hartilor care sunt necesare la studiul unei suprafetedate.

Fie r : D → R3, (u, v) → r(u, v), o harta. Functiile partiale u → r(u, v) si v → r(u, v) sunt curbe cuimaginea ın r(D). Explicit, ∀(u0, v0) ∈ D, curba u → r(u, v0) se numeste curba de parametru u sau curbav = v0; curba v → r(u0, v) se numeste curba de parametru v sau curba u = u0 (fig.180). Astfel imaginea r(D)este acoperita de aceste doua familii de curbe, care sunt imaginile prin r ale liniilor orizontale si verticale dinD. Prin orice punct al lui r(D) trece o curba din familia (u) si una din familia (v). De aceea uneori pentruaceste curbe se ıntrebuinteaza denumirea de curbe coordonate.

Fig. 180Daca r : D → R3 este o harta si (u0, v0) ∈ D, atunci

(1) vectorul viteza, ın u0, al curbei de parametru u se noteaza ~ru(u0, v0);(2) vectorul viteza, ın v0, al curbei de parametru v se noteaza ~rv(u0, v0).Vectorii ~ru(u0, v0), ~rv(u0, v0) se numesc vitezele partiale ale lui r ın (u0, v0) (fig.180).Astfel ~ru si ~rv, sunt functii definite pe D ale caror valori ın fiecare punct (u0, v0) ∈ D sunt vectori tangenti

la R3 ın r(u0, v0). Indicii u si v sunt scrisi pentru a sugera derivarea partiala. Daca harta este data cu ajutorulcoordonatelor sale,

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),

atunci vitezele partiale sunt date de

~ru = (xu, yu, zu), ~rv = (xv, yv, zv),

- 193-

Page 194: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

cu precizarea ca punctul de aplicatie al lui ~ru si ~rv este prin conventie r(u, v).Pentru a testa daca o submultime M a lui R3 este o suprafata, definitia 1.2 cere harti proprii. Dar deındata

ce stim ca M este o suprafata aceasta conditie este de la sine ındeplinita. Intr–adevar, daca M este o suprafatasi daca r : D →M este o harta ın M , atunci se demonstreaza ca r este o harta proprie.

In unele probleme restrictia ca r sa fie injectiva poate fi lasata deoparte. De aceea admitem

2.1. Definitie. O functie diferentiabila si regulata r : D → R3 a carei imagine se afla ıntr–o suprafata Mse numeste parametrizare a regiunii r(D) din M (astfel o harta este o parametrizare injectiva).

In acest context u si v se numesc parametri, relatiile

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)

se numesc ecuatiile parametrice ale lui r(D) ⊂ M , iar ~r = ~r(u, v) se numeste ecuatia vectoriala a luir(D) ⊂M . In unele cazuri r(D) poate fi ıntreaga suprafata M .

Deoarece parametrizarile au o mare importanta ın aplicatii, vom pune ın evidenta un mod prin care putemstabili daca o functie diferentiabila r : D → R3 este o parametrizare a unei regiuni din suprafata M . In primulrand imaginea lui D prin r trebuie sa fie ın M . Daca suprafata M este data implicit prin f(x, y, z) = c, atuncifunctia compusa f(r) trebuie sa aiba valoarea constanta ”c”.

Pentru a proba ca r este regulata, consideram vitezele partiale ~ru si ~rv si produsul vectorial

~ru × ~rv =

∣∣∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k

xu yu zu

xv yv zv

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Se observa ca ultimele doua linii dau transpusa matricei Jacobian a lui r. Astfel regularitatea lui r este

echivalenta cu ~ru × ~rv 6= ~0, ∀(u, v) ∈ D, adica cu faptul ca vectorii viteze partiale sunt liniar independenti∀(u, v) ∈ D.

12.3 Suprafete riglate

Exista mai multe moduri de a genera o suprafata. In acest paragraf ne vom referi la unul dintre aceste modurice este convenabil pentru anumite suprafete. Mai ıntai reamintim ca o dreapta D ce trece printr-un punct P0

si are directia β0 poate fi reprezentata prin ecuatia vectoriala r = α0 + vβ0, v ∈ R (fig.181).

Fig. 181

3.1. Definitie. O suprafata care poate fi generata prin miscarea unei drepte D care se sprijina pe o curbaα : I → R3 se numeste suprafata riglata.

Dreapta D se numeste generatoarea suprafetei riglate (fig.182).

Fig. 182

- 194-

Page 195: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Avand ın vedere ecuatia vectoriala a unei drepte, rezulta ca o suprafata riglata poate fi parametrizataıntotdeauna sub forma

r(u, v) = α(u) + vβ(u), (u, v) ∈ D = I × R,

cu precizarea ca punctele ın care ru × rv = 0 sunt excluse prin definitia parametrizarii.In cazurile concrete v se poate restrange la un anumit interval si de aceea ın aceste cazuri generatoarele sunt

segmente de dreapta. De asemenea, uneori se convine ca ~β sa fie privit ca un camp vectorial definit pe curba α.1) Suprafete cilindrice. Daca generatoarea D se misca pastrand aceeasi directie, atunci suprafata riglata

se numeste suprafata cilindrica. Curba α pe care se sprijina D se numeste curba directoare (fig.183).O suprafata cilindrica admite o parametrizare de forma

r(u, v) = α(u) + vβ,

unde ~β este un vector cu coordonatele constante.In continuare, prin P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) vom ıntelege polinoame de gradul unu ın trei variabile.

Fig. 183

3.2. Teorema. O suprafata cilindrica cu generatoarea paralela cu dreapta D : P (x, y, z) = 0, Q(x, y, z) = 0este caracterizata printr–o ecuatie de forma f(P,Q) = 0.

Demonstratie. Multimea dreptelor paralele cu dreapta D este reprezentata analitic prinP = u

Q = w,(u,w) ∈ R2. (12.1)

Conditia ca dreptele (1) sa se sprijine pe curba

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ I (12.2)

se obtine eliminand pe x, y, z, t ıntre cele cinci ecuatii (12.1) si (12.2). Se deduce

f(u,w) = 0. (12.3)

Regandim suprafata cilindrica ca fiind locul geometric al dreptelor (12.1) supuse la conditia (3). Ecuatia acestuiloc geometric se obtine eliminand pe parametrii u si v ıntre (12.1) si (12.3). Gasim

f(P,Q) = 0. (12.4)

Reciproc, fie M submultimea punctelor din spatiu caracterizate printr–o ecuatie de tipul (12.4). Daca planeleP = 0 si Q = 0 determina o dreapta si daca M nu contine puncte critice ale lui f , atunci M este o suprafatacilindrica. Intr–adevar, pentru orice solutie reala (x, y, z) a lui (4) exista doua numere reale u si w asa caP (x, y, z) = u, Q(x, y, z) = w. Aceasta intersectie reprezinta o dreapta paralela cu D : P = 0, Q = 0, iar u si wverifica conditia f(u,w) = 0. Deoarece w este functie de u (teorema functiilor implicite!), rezulta ca M admiteparametrizarea

r(u, v) = α(u) + vβ,

unde ~β da directia lui D.3.3. Observatie. Suprafetele cilindrice cu generatoarele paralele cu axele Oz,Ox,Oy se pot caracteriza,

respectiv, astfelM : f(x, y) = 0, M : f(y, z) = 0, M : f(z, x) = 0.

- 195-

Page 196: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

3.4 ExempluSa se scrie ecuatia suprafetei cilindrice care are ca directoare curba

Γ :

2x2 + y2 − 2z = 0,y − 2z = 0 ,

stiind ca generatoarele sunt perpendiculare pe planul curbei directoare.Generatoarele suprafetei cilindrice fiind perpendiculare pe planul curbei y − 2z = 0, ele vor avea vectorul

director ~a = ~N(0, 1,−2). Ecuatiile generatoarelor vor fi D : x−u0 = y−w

1 = z−2 , u, w ∈ R. Punem conditia

ca generatoarele sa se sprijine pe curba Γ. Sistemul format din ecuatiile generatoarei si curbei trebuie sa fiecompatibil, obtinandu-se astfel legatura dintre cei doi parametrii u,w sub forma:

25u2 + 8w2 − 10w = 0.

Inlocuind expresiile lui u = x si w = y + z2 , obtinute din ecuatiile generatoarei, ın conditia de compatibilitate

va apare ecuatia suprafetei cilindrice

M : 25x2 + 2(2y + z)2 − 5(2y + z) = 0.

2) Suprafete conice. Daca generatoarea D se misca trecand printr-un punct fix V , atunci suprafata riglatase numeste suprafata conica. Curba pe care se sprijina D se numeste curba directoare, iar punctul V se numestevarf (fig.184).

Fig. 184O suprafata conica admite o parametrizare de forma

r(u, v) = α+ vβ(u),

unde ~α este un vector cu coordonatele constante a carui extremitate este varful V (varful nu apartine multimiipe care o numim suprafata conica, fiind exclus de definitia parametrizarii).

3.5. Teorema. Fie M o suprafata conica cu varful

V : P (x, y, z) = 0, Q(x, y, z) = 0, R(x, y, z) = 0.

Multimea M − (x, y, z) | R(x, y, z) = 0, este caracterizata analitic printr–o ecuatie de forma

f

(P

R,Q

R

)= 0.

Demonstratie. Multimea dreptelor ce trec prin punctul fix V si care nu apartin planului R(x, y, z) = 0este reprezentata prin

(5) P − uR = 0, Q− wR = 0, (u,w) ∈ R2.

Conditia ca aceste drepte sa se sprijine pe o curba de ecuatii (2) se obtine eliminand pe x, y, z, t ıntre celecinci ecuatii (2) si (5). Se deduce

(6) f(u,w) = 0.

- 196-

Page 197: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Regandim suprafata conica ca fiind locul geometric al dreptelor (5), supuse la conditia (6). Ecuatia loculuigeometric se obtine eliminand parametrii u,w ıntre (5) si (6). Gasim

(7) f

(P

R,Q

R

)= 0.

Reciproc, fie M multimea punctelor din spatiu caracterizate printr–o ecuatie de tipul (7). Daca planeleP = 0, Q = 0, R = 0 determina un punct si daca M nu contine puncte critice ale lui f , atunci M este osuprafata conica. Intr–adevar, pentru orice solutie reala (x, y, z) a lui (7) exista doua numere reale u si w asa caP (x, y, z)−uR(x, y, z) = 0, Q(x, y, z)−wR(x, y, z) = 0, iar u si w sunt legati prin relatia f(u,w) = 0. Deoarecew se exprima local prin u, rezulta ca suprafata admite parametrizarea

r(u, v) = α+ vβ(u),

unde ~α este un vector constant a carui extremitate indica varful.

3.6. Observatie. Din ecuatia (5) se poate deduce o ecuatie omogena ın trei variabile g(P,Q,R) = 0.Reciproc, o ecuatie omogena de tipul g(P,Q,R) = 0, unde P = 0, Q = 0, R = 0 determina un punct,reprezinta o suprafata conica.

3.7. ExempluSa se scrie ecuatia suprafetei conice, care are varful dat de intersectia planelor P : x − y + z = 1, Q :

x+ y − z = 0, R : x− z = 0, iar curba directoare are ecuatiile C :x2 + y2 − 2x− 2y − 2 = 0

z = 0.Multimea dreptelor ce trec prin punctul fix V este reprezentata prin

D : x− y + z − 1− u(x− z) = 0, x+ y − z − w(x− z) = 0, (u,w) ∈ R2.

Conditia ca aceste drepte sa se sprijine pe curba C se obtine eliminand x, y, z ıntre cele patru ecuatii alesistemului format cu ecuatiile dreptelor D si ale curbei C. Se obtine

(w + 1)2 − 2(u− 2)2 − 2uw + 1.

Eliminam the parametrii u,w ıntre aceasta relatie si ecuatiile dreptelor D se obtine ecuatia suprafetei conice

M : (2x+ y − 2z)2 − 2(−x− y + 3z − 1)2 − 2x2 + 2(y − z)2 + 2y − 2z + 1 = 0.

3) Suprafete conoide. O suprafata riglata generata de o dreapta D care se sprijina pe o dreapta fixa ∆(axa) si pe o curba α (curba directoare), se numeste conoid (fig.185).

Fig. 185

Daca ∆ este luata drept axa Oz, atunci conoidul admite parametrizarea

r(u, v) = (u cos θ(v), u sin θ(v), h(v)).

- 197-

Page 198: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Un conoid a carui generatoare ramane paralela cu un plan fix P se numeste conoid cu plan director. Acestconoid admite o parametrizare de forma

r(u, v) = α(u) + vβ(u),

unde β ‖ P si (α− β) ‖∆.

3.8. Teorema. Fie M conoidul cu planul director P = 0 si cu axa ∆ : Q = 0, R = 0. MultimeaM\(x, y, z) | P (x, y, z) = u, R(x, y, z) = 0 este caracterizata analitic printr–o ecuatie de forma

f

(P,

Q

R

)= 0.

Demonstratie. Abstractie facand de dreptele D : P = u, R = 0, multimea dreptelor paralele cu P sicare ıntalnesc pe ∆ este reprezentata analitic prin

(8)

P = u

Q− wR = 0.

Conditia ca aceste drepte sa se sprijine pe o curba α de ecuatii (2) se obtine eliminand pe x, y, z, t ıntre celecinci ecuatii (2) si (8). Se deduce f(u,w) = 0, si deci conoidul cu plan director are ecuatia

(9) f

(P,

Q

R

)= 0.

Reciproc, fie N submultimea punctelor din spatiu caracterizate printr-o ecuatie de tipul (9). Daca P = 0 esteecuatia unui plan care taie dreapta ∆ : Q = 0, R = 0 si daca N nu contine puncte critice ale lui f , atunci Neste un conoid. Intr–adevar, pentru orice solutie reala (x, y, z) a lui (9) exista doua numere reale u,w asa caP = u, Q− wR = 0 cu f(u,w) = 0.

3.9. ExempluSa se scrie ecuatia suprafetei conoid generata de o dreapta care se sprijina pe axa Oz, ramane paralela cu

planul xOy si se sprijina pe dreapta

d :

x− z = 0x+ 2y − 3 = 0

Multimea dreptelor D, paralele cu planul xOy si care se sprijina pe dreapta d, este determinata de intersectiaa doua fascicule de plane: unul format din plane paralele cu xOy si celalalt determinat de axa Oz. Deci

D :

z = ux+ wy = 0

Din conditia ca dreptele D sa se sprijina pe dreapta d, se obtine sistemulz = u

x+ wy = 0x− z = 0

x+ 2y − 3 = 0

Eliminam x, y si z din sistem vom obtine conditia de compatibilitate

2u+ w(3− u) = 0.

Eliminand u si v din aceasta ecuatie si ecuatiile generatoarei se deduce ecuatia suprafetei conoid

M : 2x− x

y(3− z) = 0.

- 198-

Page 199: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

12.4 Suprafete de rotatie

4.1. Definitie. O suprafata care poate fi generata prin rotatia unei curbe C ın jurul unei drepte fixe D, numitaaxa de rotatie, se numeste suprafata de rotatie.

Fie P (x, y, z) = 0 un plan perpendicular pe axa D si∑

(x, y, z) = 0 o sfera cu centrul pe D. Avem

4.2. Teorema. O suprafata de rotatie cu axa D este caracterizata printr–o ecuatie carteziana implicita deforma f(P,

∑) = 0.

Demonstratie. Orice punct de pe curba C se va deplasa ıntr–un plan perpendicular pe axa, P = u si vadescrie un cerc cu centrul pe axa de rotatie (fig.186, unde axa de rotatie este Ox). De aceea suprafata de rotatiepoate fi privita ca fiind locul geometric al cercurilor cu centrele pe D, care trec prin C si ale caror plane suntperpendiculare pe D. Astfel sistemul

∑(x, y, z) = w, w > 0

P (x, y, z) = u

x = x(t), y = y(t), z = z(t)

trebuie sa fie compatibil. Eliminand pe x, y, z, t rezulta

(10) f(u,w) = 0.

Regandim suprafata de rotatie ca fiind locul geometric al cercurilor∑

(x, y, z) = w, P (x, y, z) = u supuse laconditia (10). Eliminand parametrii w si u gasim

M : f(P,Σ) = 0.

Fig. 186

Reciproca este evidenta.

Cazul cel mai simplu este acela ın care C este o curba plana cu axa D continuta ın planul curbei. In acestcaz, cercurile din M generate prin rotatia fiecarui punct al lui C ın jurul axei D se numesc paralele, iar diverselepozitii ale lui C se numesc meridiane. Pentru simplificare sa presupunem ca C este ın planul xOy, iar D esteOx (fig.186).

1) Daca C : f(x, y) = 0, z = 0, y > 0, atunci M : f(x, y2 + z2) = 0.

2) Daca C este data prin parametrizarea

α(u) = (g(u), h(u), 0), h(u) > 0, u ∈ I,

atunci M admite parametrizarea

r(u, v) = (g(u), h(u) cos v, h(u) sin v), u ∈ I, v ∈ R.

4.2. ExempluSa se scrie ecuatia suprafetei ce se obtine prin rotirea dreptei Ox ın jurul dreptei D : x = y = zCercurile generatoare al suprafetei au centrul pe axa de rotatie D, raza variabila si planul fiecarui cerc este

perpendicular pe D. Familia cercurilor Γ se va scrie ca intersectia dintre o sfera cu raza variabila, cu centrul pe

- 199-

Page 200: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

axa de rotatie cu un fascicul de plane perpendicular pe axa de rotatie. Luand originea ca un punct al drepteiD, rezulta

Γ :x2 + y2 + z2 = w, w > 0x+ y + z = u.

Din conditia ca Γ sa se sprijine pe axa Ox, obtinem sistemul:x2 + y2 + z2 = w2

x+ y + z = uy = 0z = 0,

care trebuie sa fie compatibil.Eliminam x, y si z din sistem vom obtine conditia de compatibilitate:

u2 = w2.

Eliminand parametrii w si u din aceasta ecuatie si ecuatiile cercurilor generatoare se obtine ecuatia suprafeteide rotatie

M : xy + xz + yz = 0.

12.5 Vectori tangenti la o suprafata

Ne propunem sa aratam ca pe orice suprafata M se poate introduce un calcul diferential asemanator calcululuidiferential obisnuit din R2. Elementele acestui calcul: functii, campuri vectoriale tangente etc, apartin suprafeteisi nu spatiului euclidian R3 ın care este scufundata suprafata.

Presupunem ca f este o functie reala definita numai pe suprafata M , adica f : M → R. Daca r : D → Meste o harta, atunci f r : D → R se numeste expresia lui f ın coordonate. Daca f r este diferentiabila ınsens obisnuit, oricare ar fi r, atunci f se numeste diferentiabila; mai general, f : M ⊂ R3 → R se numestediferentiabila daca se poate extinde diferentiabil la o multime deschisa ın R3 care contine pe M .

Fie acum functia F : Rn →M . Orice harta r ın M da o expresie ın coordonate r−1 F pentru F . Evidentaceasta functie compusa este definita numai pe multimea (deschisa) U ⊂ Rn pentru care F (U) ⊂ r(D). Dacar−1 F este diferentiabila ın sens obisnuit, oricare ar fi r, atunci functia F se numeste diferentiabila.

Fie M si N doua suprafete, r1 o harta ın M si r2 o harta ın N . O functie F : M → N se numestediferentiabila daca functia compusa r−1

2 F r1 este diferentiabila ın sens obisnuit, oricare ar fi r1 si r2.In particular, o functie diferentiabila de tipul α : I →M , unde I este un interval deschis al dreptei reale, se

numeste curba ın M .

5.1. Teorema. Fie curba α : I → M si harta r : D → M . Daca α(I) ⊂ r(D), atunci exista o pereche defunctii diferentiabile u, v definite pe I astfel ıncat

α(t) = r(u(t), v(t)), t ∈ I sau α = r(u, v).

Demonstratie. Prin ipoteza, expresia ın coordonate r−1 α : I → D este diferentiabila. Ea este o curbaplana a carei imagine se afla ın domeniul de definitie D al lui r (fig.187). Daca (u, v) sunt coordonate euclidieneale lui r−1 α adica r−1(α(t)) = (u(t), v(t)), atunci α = r (r−1 α) = r(u, v). Functiile u si v sunt unicdeterminate. Intr–adevar, din presupunerea α = r(u1, v1), rezulta

(u, v) = r−1 α = r−1(r(u1, v1)) = (u1, v1).

- 200-

Page 201: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 187

Functiile u, v sunt numite coordonatele curbei α ın raport cu harta r.Dam fara demonstratie

5.2. Teorema. Fie M o suprafata. Daca F : Rn → R3 este o functie diferentiabila a carei imagine se aflaın M , atunci functia F : Rn →M este diferentiabila ın sensul dat ın acest paragraf.

Aceasta teorema arata legatura stransa ıntre calculele din R3 si calculele de pe suprafata M . De exemplu,ea implica faptul ca o curba din R3 care se afla ın M este o curba a lui M .

Fie M o suprafata si r o harta ın M . Deoarece harta r este o functie diferentiabila definita pe D ⊂ R2 si cuvalori ın R3, rezulta ca r este diferentiabila si ca functie ın M .

5.3. Consecinta. Daca r1 si r2 sunt harti ıntr-o suprafata M ale caror imagini se suprapun, atuncifunctiile compuse r−1

1 r2 si r−12 r1 sunt aplicatii diferentiabile definite pe multimi deschise din plan (fig.188).

Fig. 188

De exemplu, functia r−12 r1 este definita numai pentru acele puncte (u, v) din D1 pentru care r1(u, v) se afla

ın imaginea r2(D2) a lui r2 (fig.188).Dupa un rationament analog celui folosit pentru demonstratia teoremei 5.1, consecinta 5.3 poate fi retran-

scrisa astfel

5.4. Consecinta. Daca r1 si r2 sunt harti ale caror imagini se suprapun ın M , atunci exista o perecheunica de functii diferentiabile f si g astfel ıncat r2(u, v) = r1(f(u, v), g(u, v)), ∀(u, v) din domeniul de definitieal lui r−1

1 r2.Analog se poate exprima r1 ın functie de r2.Consecinta 5.3 sugereaza o metoda concreta de a stabili daca o functie este sau nu diferentiabila pe M .

Daca f : M → R, atunci ın loc sa verificam ca toate expresiile sale ın coordonate f r sunt diferentiabile ın senseuclidian, este suficient sa facem aceasta pentru un anumit numar de harti care sa acopere pe M . Adesea estesuficienta o singura harta. Demonstratia este un exercitiu din calculul cu functii compuse. Intr–adevar, fie r2 oharta arbitrara; din faptul ca f r1 si r−1

1 r2 sunt diferentiabile rezulta ca f r1 r−11 r2 este diferentiabila. In

general ultima functie este o restrictie a lui f r2. Daca ınsa imaginea lui r1 acopera pe M , atunci f r1r−11 r2

reprezinta pe f r2 si astfel diferentiabilitatea este demonstrata.Din punct de vedere intuitiv este clar ce ınseamna un vector tangent la o suprafata M . Definitia formala se

bazeaza pe ideea ca o curba din M trebuie sa aiba toti vectorii viteza tangenti la M .

5.5. Definitie. Fie M o suprafata si P un punct oarecare din ea. Un vector ~w tangent la R3 ın P senumeste tangent la M ın P daca este vectorul viteza al unei curbe din M ce trece prin P .

Multimea tuturor vectorilor tangenti la M ın P se numeste planul tangent al lui M ın P si se noteaza cuTPM (fig.189). Imaginea concreta a lui TPM ın R3 poarta aceeasi denumire.

- 201-

Page 202: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 189Teorema urmatoare arata ca TPM este un subspatiu vectorial bidimensional al spatiului tangent TP R3.

5.6. Teorema. Fie P un punct al unei suprafete M si r o harta ın M astfel ıncat r(u0, v0) = P . Unvector ~w tangent la R3 ın P este tangent la M daca si numai daca ~w poate fi scris ca o combinatie liniara alui ~ru(u0, v0) si ~rv(u0, v0).

Demonstratie. Vitezele partiale ~ru si ~rv sunt vectori tangenti la M ın orice punct al lui r(D) deoarececurbele coordonate ale lui r sunt curbe ın M (fig.190).

Fig. 190Sa presupunem ca ~w este tangent la M ın P , daca exista o curba α pe M pentru care α(0) = 0 si α′(0) = ~w.

Dupa teorema 5.1, curba α poate fi scrisa ın forma α = r(u, v) sau ~α(t) = ~r(u(t), v(t)). Regula de derivare afunctiilor compuse da

~α′ = ~ru(u, v)du

dt+ ~rv(u, v)

dv

dt.

Deoarece α(0) = P = r(u0, v0), avem u(0) = u0, v(0) = v0 si deci, pentru t = 0, gasim

~w = ~α′(0) =du

dt(0)~ru(u0, v0) +

dv

dt(0)~rv(u0, v0).

Observatie. ~0P ∈ TPM , deoarece punctul P poate fi gandit ca fiind curba constanta γ(t) = P, ∀t ∈ I si~γ′(t) = ~0.

Invers sa presupunem ca vectorul ~w ∈ TP R3 poate fi scris ın forma ~w = c1~ru(u0, v0) + c2~rv(u0, v0). Calcululanterior arata ca ~w este vectorul viteza al curbei α(t) = r(u0 + tc1, v0 + tc2) din M la momentul t = 0. Astfel~w este tangent la M ın P .

Deoarece vitezele partiale sunt vectori liniari independenti, teorema anterioara arata ca, ∀P ∈ r(D) ⊂ M ,vitezele partiale formeaza o baza a planului tangent TPM .

5.7. Definitie. O functie ~X care asociaza fiecarui punct P ∈ M un vector ~X(P ) tangent la R3 ın P senumeste camp vectorial euclidian pe suprafata M .

Fie ~X = f(x, y, z)~ı + g(x, y, z)~ + h(x, y, z)~k un camp vectorial euclidian pe suprafata M . Daca functiilecoordonate f, g, h sunt diferentiabile pe M , atunci campul ~X se numeste diferentiabil.

Un camp vectorial euclidian ~Y pentru care, ∀P ∈M, ~Y (P ) este tangent la M ın P se numeste camp vectorialtangent la M . Daca ~Y este un camp vectorial tangent la M , atunci oricare ar fi harta r : D →M , avem

~Y (r(u, v)) = F (u, v)~ru +G(u, v)~rv.

De aceea ~Y este diferentiabil daca si numai daca functiile F si G sunt diferentiabile pe D.In continuare presupunem ca lucram numai cu campuri diferentiabile si precizam ca de cele mai multe ori

campurile pe M sunt definite local (numai ın anumite regiuni ale lui M).5.8. Observatie. Campurile vectoriale tangente la M apartin calculului din M , deoarece conform definitiei

5.5 ele dau ın fiecare punct vitezele unor curbe din M .

- 202-

Page 203: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

12.6 Normala si planul tangent la o suprafata

Fie M o suprafata si P un punct al sau. Un vector ~z cu originea ın P care este ortogonal planului tangentTPM , adica ortogonal oricarui vector tangent la M ın P , se numeste vector normal la M . Un camp vectorialeuclidian ~Z definit pe M se numeste camp normal pe M daca fiecare vector ~Z(P ) este normal la M .

Deoarece TPM este un subspatiu bidimensional al lui TP R3, exista numai o directie normala la M ın P ,adica toti vectorii ~z normali ın P sunt coliniari. Astfel, daca ~z nu este zero, rezulta ca TPM consta numai dinvectorii lui TP R3 care sunt ortogonali lui ~z. Dreapta ce trece prin P si este perpendiculara pe planul tangentTPM se numeste normala suprafetei ın punctul P . Fie r(D) regiunea din M acoperita de harta r : D → M .Functia vectoriala

~Z(u, v) = ~ru × ~rv

ataseaza fiecarui punct din D un vector normal la M ın r(u, v) (fig.190). De aceea ~Z(u, v) poate fi privit caun camp normal definit local pe M .

Daca gandim TPM ca fiind determinat de punctul P (x0, y0, z0) si de vectorul normal ~Z(u0, v0), atunci planultangent la suprafata M ın punctul P are ecuatia

∣∣∣∣∣∣∣∣x− x0 y − y0 z − z0

xu0 yu0 zu0

xv0 yv0 zv0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,

undex0 = x(u0, v0), xu0 = xu(u0, v0) etc.

Normala la M ın P are ecuatiile

x− x0

D(y, z)D(u0, v0)

=y − y0D(z, x)D(u0, v0)

=z − z0D(x, y)D(u0, v0)

.

Daca suprafata M este data prin ecuatia carteziana implicita, atunci este usor sa punem ın evidenta campulnormal si campurile tangente.

6.1. Teorema. Daca M : f(x, y, z) = c este o suprafata, atunci gradientul

∇f =∂f

∂x~ı+

∂f

∂y~+

∂f

∂z~k,

definit pe M , este un camp vectorial normal care nu se anuleaza ın nici un punct al lui M (fig.191).Demonstratie. Gradientul nu se anuleaza pe M deoarece prin ipoteza derivatele partiale fx, fy, fz nu se

pot anula simultan ın nici un punct al lui M (§1).Sa aratam acum ca 〈∇f(P ), ~w〉 = 0, ∀~w ∈ TPM . Pentru aceasta observam ca daca α este o curba pe M ,

atunci f(α) = f(x(t), y(t), z(t)) ≡ 0. Deci

∂f

∂x(α)

dx

dt+∂f

∂y(α)

dy

dt+∂f

∂z(α)

dz

dt= 0.

Alegand pe α astfel ıncat sa aiba viteza initiala

~α′(0) = ~w = w1~ı+ w2~+ w3~k,

ın α(0) = P , gasim

0 = fx(α(0))dx

dt(0) + fy(α(0))

dy

dt+ fz(α(0))

dz

dt(0) =

= fx(P )w1 + fy(P )w2 + fz(P )w3 = 〈∇f(P ), ~w〉.

- 203-

Page 204: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 191Din punct de vedere analitic, ecuatia planului tangent la M ın P (x0, y0, z0) este

(x− x0)fx0 + (y − y0)fy0 + (z − z0)fz0 = 0,

iar ecuatiile normalei suntx− x0

fx0

=y − y0fy0

=z − z0fz0

.

In particular, pentru reprezentarea carteziana explicita z = f(x, y) avem: planul tangent,

z − z0 = p(x− x0) + q(y − y0),

si normala,x− x0

p0=y − y0q0

=z − z0−1

.

6.2. Observatii. 1) Planul tangent TPM este aproximatia liniara a suprafetei M ın vecinatatea lui P .2) Campurile vectoriale normale apartin calculului din R3. Ele sunt folosite ın studiul lui M din punctul de

vedere al unui observator din R3.6.3. Exemplu Sa se scrie ecuatia planului tangent si ecuatiile normalei ın punctul P (1, 1

2 , 2) la suprafata

M : z =1xy

Se poate scrie reprezentarea implicita a suprafetei M : xyz = 1. Vectorul perpendicular pe planul tangentpentru aceasta reprezentare a suprafetei este gradf(P ) = fx(P )i+ fy(P )j + fz(P )k.

Se obtine gradf(x, y, z) = yzi+ xzj + xyk.Planul tangent la suprafata ın punctul P va fi:

(x− 1) + 2(y − 12) +

12(z − 2) = 0

iar normala la suprafata ın punctul P va avea ecuatiile:

x− 11

=y − 1

2

2=z − 2

12

.

Suprafete conexe. Fie α : I → M o curba de pe suprafata M si [a, b] ⊂ I. Restrictia α : [a, b] → M senumeste segment de curba sau 1-segment pe suprafata M .

Fig. 192

- 204-

Page 205: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

7.1. Definitie. O suprafata M se numeste conexa (dintr-o bucata) daca ∀P,Q ∈ M exista un segment decurba α : [a, b] →M , cel putin continua, astfel ıncat α(a) = P si α(b) = Q, adica imaginea α([a, b]) ⊂M unestepunctele P si Q (fig.192).

O suprafata conexa M este ”dintr-o singura bucata”. De exemplu, exceptand hiperboloidul cu doua panzecare nu este conex, toate cuadricele nedegenerate sunt conexe.

7.2. Teorema. Fie M1 si M2 doua suprafete. Daca M1 este conexa iar F : M1 → M2 este o aplicatiesurjectiva si diferentiabila, atunci M2 este conexa.

Demonstratie. Fir R,S doua puncte arbitrare din M2. Deoarece F este surjectiva exista P,Q ∈M astfelıncat F (P ) = R, F (Q) = S. Dar, prin ipoteza M1 este conexa si deci exista un segment de curba α care unestepe P cu Q. Imaginea lui α prin functia continua F este un segment de curba ce uneste pe R cu S, adica M2

este conexa.7.3. Consecinta. Daca D este o multime deschisa si conexa din plan, iar r : D →M este o parametrizare,

atunci regiunea r(D) ⊂M este conexa.7.4. Exemplu. Hiperboloidul cu o panza este conex deoarece el este multimea valorilor functiei diferentiabile

r : R2 → R3, r(u, v) = (x, y, z),

x = a chu cos v, y = b chu sin v, z = c shu (a, b, c > 0),

definita pe multimea conexa R2.Analog putem stabili ca fiecare dintre panzele hiperboloidului cu doua panze este conexa. Deoarece aceste

doua panze sunt multimi disjuncte, rezulta ca hiperboloidul cu doua panze nu este conex.7.5. Teorema. Fie M o suprafata conexa si f : M → R o aplicatie diferentiabila.a) Daca df = 0, atunci f=const.b) Daca f nu se anuleaza pe M , atunci f > 0 sau f < 0 peste tot.Demonstratie. Fie P,Q ∈ M doua puncte arbitrare. Prin ipoteza acestea pot fi unite printr-un segment

de curba α : [a, b] →M . Utilizand functia diferentiabila f α : [a, b] → [f(α(c)), f(α(d))], c, d ∈ [a, b], careia ıiaplicam teorema cresterilor finite si proprietatea lui Darboux, deducem f=const, si respectiv f > 0 sau f < 0peste tot.

7.6. Observatie. O suprafata M poate fi privita ca un spatiu topologic. In acest sens, M este conexa dacaverifica una din conditiile:

a) M nu este reuniunea a doua multimi nevide, disjuncte si deschise;b) singurele submultimi ınchise si deschise ale lui M sunt ∅ ⊂M si M .Suprafete simplu conexe. Suprafata M se numeste simplu conexa (fara gauri) daca orice curba ınchisa

de pe M poate fi deformata prin continuitate (fara a parasi punctele suprafetei) astfel ıncat sa se reduca la unpunct (fig.193). De exemplu, sfera este (conexa si) simplu conexa; cilindrul circular drept (este conex dar) nueste simplu conex, deoarece cercurile situate ın plane perpendiculare pe axa cilindrului nu se pot reduce la unpunct fara a iesi din cilindru; hiperboloidul cu doua panze (nu este conex dar) este simplu conex etc.

Fig. 193

Suprafete compacte. Fie (u, v) ∈ R2 si intervalul bidimensional ınchis (dreptunghi ınchis) D0 : a ≤ u ≤b, c ≤ v ≤ d.

Fie M o suprafata. O functie diferentiabila de tipul r : D0 →M se numeste 2–segment (placa) ın M , fig.194.(Atributul diferentiabila este folosit ın sensul ca r se poate extinde diferentiabil la un interval bidimensionaldeschis ce contine pe D0).

- 205-

Page 206: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 194

7.7. Definitie. Suprafata M se numeste compacta daca poate fi acoperita prin imaginile unui numar finitde 2–segmente.

De exemplu sfera este o suprafata compacta deoarece este acoperita de imaginea 2–segmentului r(u, v) =(x0 + a cosu sin v, y0 + a sinu sin v, z0 + a cos v), (u, v) ∈ D0 = [0, 2π]× [0, π]. De asemenea torul de rotatieeste o suprafata compacta.

Se stie ca orice functie (reala) continua pe un dreptunghi ınchis D0 ısi atinge maximul (minimul) ıntr–unpunct din D0. Acest rezultat ıl folosim pentru a demonstra teorema urmatoare.

7.8. Teorema. Daca f este o functie continua definita pe o suprafata compacta M , atunci f ısi atingemaximul (minimum) ıntr–un punct din M .

Demonstratie. Fie ri : D0i → M, 1 ≤ i ≤ k, 2–segmentele ale caror imagini acopera pe M . Deoareceaplicatiile ri sunt diferentiabile, iar f este continua rezulta ca f ri : D0i → R sunt functii continue. Deaceea, pentru fiecare i, exista punctul (ui, vi) ∈ D0i ın care f ri ia valoarea maxima. Fie f(r1(u1, v1)) cel maimare dintre numerele f(ri(ui, vi)). Sa aratam ca P = r1(u1, v1) este punctul ın care f are valoarea maxima.Intr–adevar, deoarece ri sunt ın numar finit, ∀Q ∈M , exista un indice i asa ca Q = ri(u, v) si avem

f(P ) = f(r1(u1, v1)) ≥ f(ri(ui, vi)) ≥ f(ri(u, v)) = f(Q),

ceea ce trebuia demonstrat.Teorema anterioara poate fi folosita pentru a proba ca o suprafata nu este compacta. De exemplu, cilindrulM

cu generatoarele paralele cu Oz nu este o suprafata compacta deoarece functia coordonata z da cota z(P ), ∀P ∈M , si astfel ea nu are valoare maxima pe M .

O submultime M din R3 se numeste ınchisa ın R3 daca complementara sa R3\M este deschisa ın R3.O submultime M din R3 se numeste marginita daca distanta euclidiana dintre doua puncte oarecare ale

sale este mai mica decat un numar real dat. Cu alte cuvinte, M este marginita daca poate fi inclusa ıntr–osfera de raza finita. Astfel problema marginirii lui M se reduce la cercetarea existentei maximului functieif(x, y, z) = x2 + y2 + z2 pe M sau la existenta minimelor si maximelor functiilor f(z, y, z) = x, y, z pe M .

7.9. Teorema Heine–Borel. O submultime din R3 este compacta daca si numai daca ea este ınchisa simarginita.

Fie f : R3 → R o functie diferentiabila. O suprafata de tipul M : f(x, y, z) = c este ınchisa deoarece eaconsta din punctele f−1(c), multimea c este o submultime ınchisa din R, iar f este o functie continua.Astfel, o suprafata M : f(x, y, z) = c este compacta daca si numai daca ea este marginita ın R3. De exempluelipsoidul este compact, dar hiperboloizii nu sunt compacti.

7.10. Teorema. Daca f(x, y, z) este un polinom omogen de gradul n ≥ 1 care are cel putin o valoarestrict pozitiva, atunci M : f(x, y, z) = 1 este o suprafata. Daca f(P ) > 0 exceptand P (0, 0, 0), atunci M estecompacta si reciproc.

Demonstratie. Prin ipoteza exista un punct P (x, y, z) ∈ R3 asa ca f(x, y, z) = a > 0. Astfel M contine

punctul1

n√a(x, y, z) si deci M nu este vida. Din formula lui Euler pentru functiile omogene rezulta ca orice

punct Q care satisface fx(Q) = 0, fy(Q) = 0, fz(Q) = 0 satisface si f(Q) = 0. De aceea Q /∈ M si astfel Meste o suprafata regulata.

Sa presupunem f > 0 exceptand originea. Fie sfera S si i : S → R3 injectia naturala. Functia compusaf i : S → R este continua. Deoarece S este compacta functia f i are o valoare minima b si b > 0. DacaQ ∈ R3, avem

f(Q) = ‖Q‖nf

(Q

‖Q‖

)≥ ‖Q‖nb.

- 206-

Page 207: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

De aceea pentru f(Q) = 1 gasim ‖Q‖ ≤ 1n√b. Rezulta ca M = f−1(1) este continuta ın sfera ınchisa cu

centrul ın O si de raza1

n√b. Astfel M este marginita si deci M este compacta.

Reciproc, presupunem ca M este o suprafata compacta. Rezulta ca M este marginita si deci f(Q) ≥ ‖Q‖nb.De aceea f > 0, exceptand originea.

Suprafete orientabile. In aceasta sectiune ne propunem sa aratam ca suprafetele pot avea doua fete saunumai o fata.

7.11. Definitie. O suprafata M se numeste orientabila daca poseda un camp vectorial normal ~Z care nuse anuleaza ın nici un punct al lui M .

Din sectiunea 6 rezulta ca:- orice suprafata simpla este orientabila;- orice suprafata M : f(x, y, z) = c (care nu poseda puncte critice ale lui f) este orientabila. De exemplu

planul, sfera, cuadricele nedegenerate etc sunt suprafete orientabile. In particular, orice suprafata data cartezianexplicit este orientabila.

Dam fara demonstratie urmatoarea teorema.7.12. Teorema. Orice suprafata simplu conexa si conexa este orientabila.Pe de alta parte, are loc urmatorul rezultat:7.13. Teorema. Orice suprafata conexa si compacta M este orientabila.Intr-adevar, daca M este o suprafata conexa si compacta, atunci R3 se descompune ın doua parti conexe,

una marginita si alta nemarginita. Suprafata M admite doua campuri vectoriale normale unitare opuse dintrecare unul indica regiunea nemarginita. Prin urmare M este orientabila.

7.14. Teorema. Daca M2 este o suprafata orientabila, iar F : M1 → M2 este o aplicatie regulata, atuncisuprafata M1 este orientabila.

Demonstratie. Presupunem ca M2 admite campul normal nenul

µ(~v, ~w) = 〈~Y (Q), ~v × ~w〉, ~v, ~w ∈ TQM2, Q = F (P ), P ∈M1.

Fie F? aplicatia liniara asociata matricei Jacobian a reprezentarii ın coordonate a lui F . Daca ~a,~b sunt doivectori liniari independenti din TPM1, atunci F?~a, F?

~b sunt doi vectori liniari independenti din TQM2 deoareceF este regulata. Definim

(F ?µ)(~a,~b) = µ(F?~a, F?~b).

Deoarece F este regulata rezulta F ?µ 6= 0. Construim

~Z(P ) =~a×~b

(F ?µ)(~a,~b).

Aceasta expresie este independenta de alegerea lui ~a si ~b si da ın fiecare punct un vector normal nenul. Deaceea P → ~Z(P ) este un camp normal cu valori nenule pe M1, adica M1 este orientabila.

Un camp vectorial normal unitar pe o suprafata orientabila M se numeste orientare pe M .7.15. Teorema. Orice suprafata conexa si orientabila admite exact doua orientari.Demonstratie. Fie ~Z un camp normal (global) definit pe M cu valori nenule. Cu ajutorul lui putem

construi pe ±~U = ±~Z

‖~Z‖care sunt campuri normale unitare. Sa aratam acum ca orice alt camp normal unitar

trebuie sa fie +~U sau −~U . Fie ~V un camp normal unitar arbitrar definit pe M . Evident avem ~V = 〈~V , ~U〉~U ,unde f = 〈~V , ~U〉 are ın fiecare punct valorile −1 sau +1. Rezulta ca f are peste tot fie valoarea −1 fie valoarea+1, c.c.t.d.

Intuitiv, teorema 7.15 arata ca, suprafetele conexe si orientabile au doua fete. O suprafata orientabilaımpreuna cu o alegere a unei orientari(alegerea unei fete) se numeste suprafata orientata. Conventional fatacare corespunde alegerii sensului dat de +~U se noteaza cu + (fata pozitiva), iar fata opusa se noteaza cu − (fatanegativa); fig.195; orientare ın concordanta cu regula burghiului drept.

- 207-

Page 208: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 195Pentru suprafetele orientabile ce marginesc un volum finit sensul pozitiv pe normala se ia prin conventie din

interior catre exterior (fig.196).Daca M nu este conexa, dar se compune din portiuni conexe si orientabile (de exemplu hiperboloidul cu

doua panze), atunci orientarea componentelor determina o orientare a lui M .

Fig. 196Sa ne referim acum la suprafetele neorientabile, adica la suprafetele care au o singura fata. Cel mai simplu

exemplu este banda lui Mobius. Un model al ei se poate obtine daca rasucind o data bucatica dreptunghiularade hartie ABCD, se lipesc capetele ei ın asa fel ıncat punctul A sa coincida cu C, iar B cu D.

Banda lui Mobius (fig.197) nu este global orientabila deoarece orice camp normal ~Z definit pe M trebuiesa se anuleze ıntr–un punct al lui M si sa–si schimbe sensul la trecerea prin acest punct. Pentru a vedea acestlucru fie α : [0, 1] →M o curba ınchisa pe M cu α(0) = α(1) ca ın fig.197.

Fig. 197

Daca presupunem ca ~Z nu se anuleaza ın nici un punct, atunci rasucirea ın M da contradictia ~Z(α(0)) =−~Z(α(1)), deoarece functia ~Z(α(t)) este prin ipoteza diferentiabila (continua).

7.16. Teorema. Orice punct P al unei suprafete neorientabile M este cuprins ıntr–o regiune conexa siorientabila.

Demonstratie. Fie D o multime deschisa si conexa din plan si r : D → M o harta ın M . Dupa teorema7.3, r(D) este conexa. Mai mult, imaginea r(D) este orientabila deoarece ~Z = ~ru × ~rv este un camp normalnenul.

Teorema anterioara arata ca pe suprafetele neorientabile exista numai campuri normale locale cu valorinenule. In sprijinul acestei informatii vom da un exemplu folosind modelul riglat al benzii Mobius. Fie α(u) =(cosu, sinu, 0) un cerc de raza unu situat ın planul xOy si [PQ] un segment de lungime unu asezat radial cumijlocul pe cercul α. Presupunem ca mijlocul segmentului descrie cercul α si simultan segmentul se roteste ınjurul mijlocului sau (momentan ın planul normal al cercului), astfel ıncat ın momentul cand mijlocul segmentuluiıncheie o rotatie de 360o, segmentul ıncheie o rotatie de 180o. Suprafata riglata care ia nastere este o bandaMobius particulara de ecuatie vectoriala

~r(u, v) = ~α(u) + v~β(u), v ∈[−1

2,12

),

- 208-

Page 209: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

unde~β(u) =

(cos

u

2

)~α+

(sin

u

2

)~k.

Deoarece ~Z = ~ru ×~rv 6= ~0 da local un camp vectorial normal cu valori nenule, rezulta ca banda Mobius riglataeste local orientabila.

12.7 Aplicatia Weingarten

In acest paragraf si ın paragrafele urmatoare introducem elementele matematice ce caracterizeaza forma suprafeteiıntr–o vecinatate a unui punct al sau. Toate aceste elemente au la baza o transformare liniara definita pe planultangent si cu valori ın planul tangent numita aplicatia Weingarten.

Fie M o suprafata, ~X un camp vectorial euclidian definit pe M si ~w un vector tangent la M ın punctul P .Vectorul D~w

~X se numeste derivata covarianta a lui ~X pe suprafata M . Aceasta derivata se poate calcula ındoua moduri: (1) luam o curba α de pe suprafata M astfel ıncat α(0) = P si ~α′(0) = ~w. Explicitam compunerea~X α si

D~wX =d

dt~X(α(t))

∣∣∣∣t=0

.

(2) exprimam pe ~X ın forma ~X = f~ı+ g~+ h~k si atunci

D~w~X = D~wf~ı+D~wg~+D~wh~k.

Chiar daca ~X este un camp tangent la M , derivata covarianta D~w~X nu este ın general tangenta la M

(fig.198).

Fig. 198Presupunem acum ca M este o portiune orientabila dintr–o suprafata conexa si ca ea a fost orientata prin

alegerea campului normal unitar ~U .8.1. Definitie. Fie P un punct din M si TPM spatiul tangent la M ın P . Functia definita prin

SP (~w) = −D~w~U, ~w ∈ TPM,

se numeste aplicatia lui Weingarten a lui M ın punctul P .Deoarece TPM consta din vectorii ortogonali lui ~U , derivata D~w

~U indica variatia planelor tangente ın sensullui ~w si aceasta da o descriere infinitezimala a modulului ın care se curbeaza M .

8.2. Teorema. Aplicatia Weingarten este o transformare liniara a spatiului tangent ın el ınsusi (fig.199).

Fig. 199

- 209-

Page 210: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Demonstratie. Pentru a arata ca SP are valorile ın TPM trebuie sa demonstram ca SP (~w) ⊥ ~U(P ).Pornim de la relatia 1 = 〈~U, ~U〉 pe care o derivam ın raport cu ~w. In baza proprietatilor derivatei covarianteavem

0 = D~w(1) = D~w〈~U, ~U〉 = 2〈D~w~U, ~U〉 = −2〈SP (~w〉, ~U(P )〉,

c.c.t.d.Liniaritatea lui SP este o consecinta a liniaritatii derivatei covariante

SP (a~v + b~w) = −Da~v+b~w~U = −aD~v

~U − bD~w~U = aSP (~v) + bSP (~w).

Functia P → SP va fi numita aplicatia Weingarten a suprafetei M si va fi notata cu S.Sa presupunem acum ca t→ α(t) este o curba din M , iar ~U este restrictia campului normal unitar la α. In

acest caz, observam caS(~α′) = −~U ′.

8.3. Teorema. Aplicatia Weingraten este simetrica, adica

〈SP (~v), ~w〉 = 〈~v, SP (~w)〉, ∀~v, ~w ∈ TPM.

O demonstratie simpla a acestei teoreme este data ın §12.Teorema 8.3 este echivalenta cu faptul ca matricea atasata transformarii liniare SP ın raport cu o baza

ortonormata a lui TPM este simetrica.Elementele intriseci ale transformarii liniare simetrice SP si anume determinantul, urma, valorile proprii

(care sunt reale deoarece SP este simetrica) si vectorii proprii au semnificatii geometrice pe care le vom pune ınevidenta ın paragrafele urmatoare. Pentru explicitarea acestor elemente este suficient sa alegem o baza ~v, ~wın planul tangent, sa explicitam matricea atasata lui SP ın raport cu aceasta baza,

SP (~v) = a~v + b~w,

SP (~w) = c~v + d~w,⇒ [S]v,w =

(a cb d

)si sa determinam determinantul, urma, valorile proprii si vectorii proprii ai acestei matrice.

8.4. Exemple1) Fie M : ax + by + cz + d = 0 un plan din R3. Evident, aceasta este o suprafata conexa si orientabila.

Orientam pe M alegand

~U =a~ı+ b~+ c~k√a2 + b2 + c2

.

Deoarece campul ~U este paralel avem S(~w) = −D~w~U = 0, ∀~w ∈ TPM = M . Operatorul Weingarten este

identic zero ceea ce corespunde faptului intuitiv ca planele nu se ındoaie (fig.200).

Fig. 200

2) Fie M : x2 + y2 = r2 un cilindru circular drept din R3. Aceasta este o suprafata conexa si orientabila.Orientam pe M alegand

~U =x~ı+ y~+ 0~k

r.

- 210-

Page 211: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fie P un punct din M , fie ~e1 un versor tangent la generatoarea ce trece prin P si ~e2 un versor tangent la cerculde sectiune ce trece prin P . Alegand ~e1 = (0, 0,−1)P , gasim SP (~e1) = 0, ∀P , adica de–a lungul generatoarei,~U ramane paralel cu el ınsusi. Analog ~e2 = (−y, x, 0)P si gasim

SP (~e2) = −D~e2x~ı+D~e2y

~r = −−y~ı+ x~

r= −~e2

r, ∀P ∈M.

Aceasta arata ca de–a lungul cercului de sectiune cilindrul se curbeaza uniform (fig.201).

Fig. 201

3) Fie sfera M : x2 + y2 + z2 = r2. Orientam pe M alegand

~U =x~ı+ y~+ z~k

r.

Gasim

S(~w) = −D~w~U = −1

r(D~wx~ı+D~wy~+D~wz~k) = − ~w

r, ∀~w ∈ TPM ; ∀P ∈M.

Astfel ın acest caz aplicatia Weingarten se reduce la multiplicarea cu −1r. Aceasta uniformitate a lui S reflecta

rotunjirea sferelor, adica faptul ca ın fiecare punct al sau P , sfera se curbeaza ın acelasi mod ın toate directiile(fig.202).

Fig. 202

12.8 Curbura normala

Forma unei suprafete influenteaza forma oricarei curbe de pe suprafata respectiva. Reciproc, folosind formacurbelor de pe o suprafata ce trec printr-un punct fixat putem determina forma suprafetei ın jurul acestui punct.Presupunem ca lucram ıntr-o regiune a unei suprafete conexe M orientata prin alegerea campului normal unitar~U .

9.1. Lema. Daca α este o curba din M , iar ~U este restrictia campului normal unitar la α, atunci

〈S(~α′), ~α′〉 = 〈~α′′, ~U〉.

Demonstratie. Deoarece ~α′ este tangent la M avem 〈~α′, ~U〉 = 0. Prin derivare gasim 〈~α′′, ~U〉+〈~α′, ~U ′〉 = 0.Stim ınsa ca S(~α′) = −~U ′ si astfel formula din lema este adevarata.

- 211-

Page 212: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Formula din lema precedenta arata ca componenta normala a acceleratiei lui α, componenta care apare dincauza ındoirii suprafetei, depinde numai de ~α′ si S(~α′). Cu alte cuvinte componenta normala a acceleratiei ınpunctul P este aceeasi pentru toate curbele de pe suprafata ce trec prin P cu aceeasi viteza ~w (fig.203).

Fig. 203

Aceasta observatie ne sugereaza sa caracterizam ıncovoierea suprafetei dupa o directie prin functia din definitiaurmatoare.

9.2. Definitie. Fie ~e un versor tangent la M ın P . Numarul kn(~e) = 〈S(~e), ~e〉 se numeste curbura normalaa lui M ın directia lui ~e.

Deoarece avem

kn(−~e) = 〈S(−~e),−~e〉 = 〈−S(~e),−~e〉 = 〈S(~e), ~e〉 = kn(~e),

numarul kn(~e) este definit pe directia tangenta la M ın P generata de versorul ~e. Astfel, desi evaluam pe kn

pe versori, avem totusi de–a face cu o functie reala pe multimea directiilor tangente la M ın punctul P .Fie ~e un versor tangent la M ın P . Consideram o curba α de viteza unu pe M astfel ıncat α(0) = P si

~α′(0) = ~e. Utilizand lema 9.1 si formulele lui Frenet pentru curba α, gasim

kn(~e) = 〈S(~e), ~e〉 = 〈S(~α′(0)), ~α′(0)〉 = 〈~α′′(0), ~U(P )〉 =

= kα(0)〈 ~N(0), ~U(P )〉 = kα(0) cosϕ,

unde kα(0) ≥ 0 este curbura lui α ın punctul P , iar ϕ este unghiul dintre normala principala a curbei si normalasuprafetei (fig.204).

Fig. 204

Aceasta formula arata ca: (1) daca vectorul ~N(0) este coliniar cu vectorul ~U(P ), atunci kn(~e) = ±kα(0); (2)dintre toate curbele lui M tangente la versorul ~e ın punctul P , cea mai mica curbura o are intersectia dintre Msi planul determinat de P, ~U(P ), ~e, curba ce se numeste sectiunea normala a lui M ın directia lui ~e.

Pentru sectiunea normala σ, de viteza unu, avem (fig.205): ~σ′(0) = ~e, acceleratia ~σ′′(0) = kσ(0) ~N(0) apartineplanului de sectiune si este perpendiculara pe ~σ′(0) = ~e, ~N(0) = ±~U(P ), kn(~e) = ±kσ(0).

Astfel, am demonstrat teorema lui Meusnier:Centrul de curbura al unei curbe de pe o suprafata Σ este proiectia pe planul sau osculator a centrului de

curbura a sectiunii normale.

- 212-

Page 213: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 205

Fie P un punct din suprafata M , fie ~e un versor tangent la M ın P si kn(~e) curbura normala corespunzatoare.Utilizand sectiunea normala a lui M ın directia lui ~e si tinand cont ca normala principala ~N a unei curbe dinspatiu arata sensul ın care aceasta se curbeaza, putem da urmatoarele interpretari geometrice ale semnului luikn(~e) relativ la alegerea campului normal unitar ~U .

1) Presupunem kn(~e) > 0. Rezulta ca ~U(P ) si ~N(0) au acelasi sens. De aceea ın vecinatatea lui P si ındirectia lui ~e suprafata se ıncovoaie ın sensul indicat de ~U(P ) (fig.206).

Fig. 206

2) Presupunem kn(~e) < 0. Rezulta ca ~U(P ) si ~N(0) au sensuri opuse. De aceea ın vecinatatea lui P si ındirectia lui ~e suprafata se curbeaza contrar sensului lui ~U(P ) (fig.207).

Fig. 207

3) Fie kn(~e) = 0. Rezulta kσ(0) = 0 si ~N(0) nu este definit. Nu putem spune precis care este forma suprafeteiın vecinatatea punctului considerat pe directia ~e. Putem ınsa afirma ca ıntr–o vecinatate a lui P pe directia ~esuprafata se curbeaza foarte putin.

Presupunem acum ca fixam punctul P si ca extremitatea lui ~e descrie un cerc ın planul tangent. Diverselesectiuni normale ce se pot face ne dau informatii despre forma suprafetei ın vecinatatea lui P ın diferite directii(fig.208).

Fiek1 = min

‖~e‖=1kn(~e) si k2 = max

‖~e‖=1kn(~e).

Aceste numere exista deoarece multimea determinata de relatia ‖~e‖ = 1 este compacta (cerc), iar functia~e→ kn(~e) este continua.

Fig. 208

- 213-

Page 214: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

9.3. Definitie. Numerele k1 si k2 se numesc curburile principale ale lui M ın punctul P . Directiilepentru care se gasesc aceste valori extreme se numesc directii principale ale lui M ın P . Versorii acestor directiise numesc vectori principali ai lui M ın punctul P .

Daca ın punctul P avem k1 = k2, atunci rezulta kn(~e) = const, adica M se curbeaza la fel ın toate directiilesi toate directiile ce trec prin P sunt principale.

9.4. Definitie. Daca kn(~e) = const, ∀~e ∈ TPM, ‖~e‖ = 1, atunci punctul P se numeste punct ombilical.

9.5. Teorema.(1) Daca P este un punct ombilical, atunci operatorul Weingarten ın P se reduce la multiplicarea cu k1 = k2.

(2) Daca P nu este un punct ombilical (k1 6= k2), atunci exista doua (si numai doua) directii principaleortogonale. Daca ~e1 si ~e2 sunt vectorii principali, atunci

S(~e1) = k1~e1, S(~e2) = k2~e2.

Formulare alternativa: curburile principale ale lui M ın P sunt valorile proprii ale lui S. Vectorii principaliai lui M ın P sunt vectori proprii ai lui S.

Demonstratie. Varianta 1.Fixam o baza ortonormata ~f1, ~f2 ın planul tangent TPM (fig.209). Avem

Fig. 209

S(~f1) = S11~f1 + S21

~f2, S(~f2) = S12~f1 + S22

~f2,

undeSij = 〈S(~fi), ~fj〉 = 〈~fi, S(~fj)〉 = Sji.

Determinam valorile proprii si vectorii proprii ai lui S. Deoarece [Sij ] este simetrica valorile proprii sunt reale:∣∣∣∣ S11 − k S12

S21 S22 − k

∣∣∣∣ = 0, k2 − (S11 + S22)k + S11S22 − S212 = 0

∆ = (S11 + S22)2 − 4(S11S22 − S212) = (S11 − S22)2 + 4S2

12 ≥ 0.

k1 = k2 ⇔ S11 = S22, S12 = 0 ın acest caz versorii proprii sunt nedeterminati (orice versori sunt versori proprii).Aplicatia S se reduce la multiplicarea cu S11.

Presupunem k1 < k2. Sa verificam relatiile k1 = min||e||=1

kn(~e), k2 = max||e||=1

kn(~e). Avem

S(~e1) = k1~e1, S(~e2) = k2~e2, ~e = cos θ~e1 + sin θ~e2,

kn(~e) = (S(~e), ~e) = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ.

Decik1 ≤ kn(e) = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ ≤ k2, ∀θ ∈ [0, 2π].

Valoaarea k1 se atinge pentru θ = 0; θ = π (minim), k2 se atinge pentru θ =π

2; θ =

3π2

(maxim). Deci valorile

proprii ale lui S sunt extremele (globale) ale curburii normale.

- 214-

Page 215: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Varianta II. (extreme cu legaturi). Fie ~f1, ~f2 baza ortonormata si (Sij) matrice simetrica. Atunci avem

~e = η1 ~f1 + η2 ~f2, ‖~e‖ = 1,2∑

i=1

η2i = 1.

Dar kn(~e) =∑

i,j Sijηiηj este o forma patratica si avem

φ =∑i,j

Sijηiηj − k(∑

i

η2i − 1).

Rezulta sistemul ∂φ∂ηi

= 2(∑Sijηj − kηi) = 0∑

η2i = 1

Acesta este compatibil nedeterminat (deci admite solutii nebanale d.n.d.∣∣∣∣ S11 − k S12

S12 S22 − k

∣∣∣∣ = 0,

adicak2 − (S11 + S22)k + S11S22 − S2

12 = 0,

ecuatie de gradul doi al carei discriminant este

∆ = (S11 − S22)2 + 4S212 ≥ 0.

In cazul k1 6= k2 (deci ∆ > 0), rezulta vectori proprii ortogonali; ıi normam si ıi notam ~e1, ~e2. Atunic

k =∑i,j

Sijηiηj ;∂2φ

∂η2i

= 2(Sii − λ),∂2φ

∂ηi∂ηj= 2Sij , i 6= j

12d2φ = (S11 − k)dη2

1 + 2S12dη1dη2 + (S22 − k)dη22

si η1dη1 + η2dη2 = 0. Fie η1 6= 0 ⇒ dη1 = −η2η1dη2. Atunci

12d

2φ = (S11−k)η22−2S12η1η2+(S22−k)η2

1η21

dη22 =

= S11(1−η21)−2S12η1η2+S22(1−η2

2)−k

η21

dη22 =

= S11+S22−(S11η21+2S12η1η2+S22η2

2)−k

η21

dη22 = S11+S22−2k

η21

dη22 .

Dar

k1,2 =S11 + S22 ±

√tr(S)2 − 4∆

2si deci S11 + S22 − 2k este sau pozitiv sau negativ. Ca o consecinta avem

9.6. Formula Euler. Fie k1, k2 curburile principale si ~e1, ~e2 vectorii principali ai lui M ın P . Daca~e = cos θ~e1 + sin θ~e2, atunci (fig.209)

kn(~e) = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ.

Vom utiliza acum curburile principale k1(P ) si k2(P ) pentru a construi o aproximatie patratica a suprafeteiM ın vecinatatea punctului P . Pentru aceasta presupunem ca:

(1) P este originea lui R3,(2) TPM ≡ xOy,(3) ~ıP = (1, 0, 0)P si ~P = (0, 1, 0)P sunt vectori principali.

- 215-

Page 216: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

In vecinatatea lui P suprafata M poate fi reprezentata ın forma z = f(x, y) pe care o orientam cu ajutorulcampului normal unitar (fig.210)

~U =−fx~ı− fy~+ ~k√

1 + f2x + f2

y

.

Fig. 210

Din (1) si (2) rezulta f(0, 0) = fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0. De aceea avem urmatoarea aproximare Taylor

z ∼ 12(x2fx2(0, 0) + 2xyfxy(0, 0) + y2fy2(0, 0)).

Prin calcul direct gasimS(~ı) = fx2(0, 0)~ı+ fxy(0, 0)~,S(~) = fxy(0, 0)~ı+ fy2(0, 0)~.

Din (3) si din teorema 9.5 deducem fxy(0, 0) = 0, fx2(0, 0) = k1 si fy2(0, 0) = k2. Aceste rationamete arata caın vecinatatea punctului P suprafata M are aproximativ aceeasi forma cu suprafata

z =12(k1x

2 + k2y2),

pe care o vom numi aproximarea patratica a lui M ın vecinatatea lui P .

Definitiile 9.3, 9.4 si teoremele 9.5, 9.6 au fost formulate pentru punctul P . Ele sunt valabile ın toate puncteledin regiunea orientata a lui M , unde este definit campul vectorial normal unitar ~U . De aceea

P → ki(P ), i = 1, 2,

vor fi doua functii reale k1, k2 definite pe aceeasi regiune cu ~U . Aceste functii se numesc curburile principaleale lui M .

9.7. Exemplu. Fie elicoidul drept M : x = u cos v, y = u sin v, z = v, (u, v) ∈ R2. Ne propunem sa gasimcurbura normala si curburile principale ın punctul curent al lui M . Pentru aceasta reprezentam pe M ın forma~r = u cos v~ı+ u sin v~+ v~k. Vitezele partiale sunt

~ru = cos v~ı+ sin v~, ~rv = −u sin v~ı+ u cos v~+ ~k.

Deoarece ~ru ⊥ ~rv, o baza ortonormata a planului tangent ın punctul curent al suprafetei este formata din

~e1 = 1‖~ru‖~ru = cos v~ı+ sin v~,

~e2 = 1‖~rv‖~rv = −u sin v~ı+u cos v~+~k√

1+u2 .

Orientam pe M prin campul normal unitar

~U =~ru × ~rv‖~ru × ~rv‖

=sin v√1 + u2

~ı− cos v√1 + u2

~+u√

1 + u2~k.

- 216-

Page 217: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

AvemS(~e1) = − d

du~U = u sin v

(1+u2)3/2~ı− u cos v(1+u2)3/2~− 1

(1+u2)3/2~k.

S(~e2) = − 1‖~rv‖

ddv~U = − 1√

1+u2

(cos v√1+u2~ı+

sin v√1+u2~

).

De aceea gasimS11 = 〈S(~e1), ~e1〉 = 0, S22 = 〈S(~e2), ~e2〉 = 0,S12 = 〈S(~e1), ~e2〉 = 〈~e1, S(~e2)〉 = − 1

1+u2 .

Fie~e = cos θ~e1 + sin θ~e2.

Obtinem

f(θ) = kn(~e(θ)) = − sin 2θ1 + u2

si deci

− 11 + u2

≤ kn(~e(θ)) ≤ 11 + u2

,

adicak1 = kn

(√2

2 (~e1 − ~e2))

= 11+u2 ,

k2 = kn

(√2

2 (~e1 + ~e2))

= − 11+u2 .

12.9 Curbura Gauss

Fie M o suprafata si S aplicatia Weingarten. In acest paragraf vom da semnificatiile geometrice ale determi-nantului si urmei operatorului S.

10.1. Definitie. Functia K = detS : M → R se numeste curbura Gauss a suprafetei M . Functia H = 12

urma S : M → R se numeste curbura medie a suprafetei M .Curbura Gauss K si curbura medie H se exprima cu ajutorul curburilor principale k1 si k2.

10.2. Lema. Curbura Gauss si curbura medie au respectiv expresiile

K = k1k2, H =k1 + k2

2.

Demonstratie. Fie P un punct din M . Toate matricele ce se pot atasa aplicatiei SP au acelasi determinantsi aceeasi urma. De aceea pentru gasirea determinantului si urmei lui SP este suficient sa alegem ın planultangent TPM o baza convenabila ın raport cu care aplicatia SP sa fie reprezentata de o matrice simpla. Aleganddrept baza vectorii principali ~e1, ~e2 din teorema 9.5 rezulta ca lui SP ıi corespunde matricea(

k1(P ) 00 k2(P )

)si astfel lema este evidenta.

Observatie. Daca ~U se schimba ın −~U , atunci k1 si k2 se schimba respectiv ın −k1,−k2, curbura medie Hse schimba ın −H, iar curbura Gauss K ramane neschimbata.

In continuare vom da interpretarea geometrica a semnului curburii Gauss.

10.3. Interpretarea semnului lui K(P )

1) Presupunem ca ın punctul P ∈ M avem K(P ) > 0. Din K = k1k2 rezulta ca k1(P ) si k2(P ) au acelasisemn. Din formula Euler rezulta kn(~e) > 0 sau kn(~e) < 0. Aceasta ınseamna ca ın vecinatatea lui P suprafatase ınconvoaie fie ın sensul lui ~U , fie ın sens contrar. Aproximarea patratica a lui M ın vecinatatea lui P esteparaboloidul eliptic 2z = k1(P )x2 + k2(P )y2 (fig.211).

- 217-

Page 218: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 211

2) Presupunem K(P ) < 0. Din K = k1k2 rezulta ca k1(P ) si k2(P ) au semne opuse. Aproximarea patraticaa lui M , ın vecinatatea lui P este paraboloidul hiperbolic 2z = k1(P )x2 + k2(P )y2. De aceea ın vecinatatea luiP suprafata arata ca o sa (fig.212).

Fig. 212

3) Presupunem K(P ) = 0. Deoarece K = k1k2, consideram urmatoarele doua cazuri:(a) numai una dintre curburile principale este zero, de exemplu k1(P ) 6= 0, k2(P ) = 0. In acest caz,

aproximarea patratica este cilindrul parabolic

2z = k1(P )x2

si deci, ın vecinatatea lui P , suprafata M arata ca o albie (fig.213);

Fig. 213

(b) ambele curburi principale sunt zero

k1(P ) = k2(P ) = 0.

Aproximarea patratica se reduce la planul z = 0 si nu putem obtine nici o informatie cu privire la forma lui Mın vecinatatea lui P . Un punct P ∈M pentru care k1(P ) = 0, k2(P ) = 0 se numeste punct planar.

10.4. Exemple

1) Torul de rotatie este un exemplu de suprafata pe care avem de–a face cu cazurile 1), 2) si 3) (a).In punctele regiunii A (fig.214) avem K > 0 deorece ın aceste puncte torul se ındeparteaza fata de planul

tangent. In punctele regiunii B avem K < 0 deoarece ın vecinatatea oricarui punct din aceasta regiune torulsemana cu o sa. Pe cele doua cercuri care separa regiunile A si B avem K = 0 deoarece de–a lungul acestorcercuri torul seamana (local) cu o albie.

- 218-

Page 219: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 214

2) Punctul O(0, 0, 0) de pe suprafata (fig.215)

z = x3 − 3xy2 = Re(x+ iy)3

este un punct planar.Punctul de ıntalnire a trei vai separate de trei dealuri este un punct planar.

Fig. 215

In continuare vom da formule pentru calculul functiilor K si H.

10.5. Lema. Daca ~v1 si ~v2 sunt doi vectori liniar independenti tangenti la suprafata M ın punctul P ,atunci

S(~v1)× S(~v2) = K(P )~v1 × ~v2,S(~v1)× ~v2 + ~v1 × S(~v2) = 2H(P )~v1 × ~v2.

Demonstratie. Deoarece ~v1 si ~v2 formeaza o baza a planului tangent TPM putem scrie

S(~v1) = a~v1 + b~v2

S(~v2) = c~v1 + d~v2.

Astfel (a cb d

)este matricea lui S ın raport cu baza ~v1, ~v2. Gasim

K(P ) = detS = ad− bc, H(P ) =12

urma S =12(a+ d).

Folosind proprietatile produsului vectorial deducem

S(~v1)× S(~v2) = (a~v1 + b~v2)× (c~v1 + d~v2) = (ad− bc)~v1 × ~v2 = K(P )~v1 × ~v2.

Analog se gaseste relatia ın care intra H(P ).Fie acum ~V1 si ~V2 doua campuri vectoriale liniar independente definite pe o regiune orientata a lui M si

tangente la M . In baza lemei precedente avem

S(~V1)× S(~V2) = K~V1 × ~V2,

S(~V1)× ~V2 + ~V1 × S(~V2) = 2H~V1 × ~V2.

- 219-

Page 220: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Deoarece campurile ~V1 si ~V2 sunt liniar independente, adica ‖~V1 × ~V2‖2 > 0, ınmultind scalar ambii membri aiacestor ecuatii cu campul normal ~V1 × ~V2 si utilizand identitatea Lagrange

〈~a×~b,~c× ~d〉 =∣∣∣∣ 〈a, c〉 〈a, d〉〈b, c〉 〈b, d〉

∣∣∣∣ ,gasim

K =

∣∣∣∣∣ 〈S(~V1), ~V1〉 〈S(~V1), ~V2〉

〈S(~V2), ~V1〉 〈S(~V2), ~V2〉

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 〈~V1, ~V1〉 〈~V1, ~V2〉

〈~V2, ~V1〉 〈~V2, ~V2〉

∣∣∣∣∣

H =

∣∣∣∣∣ 〈S(~V1), ~V1〉 〈S(~V1), ~V2〉

〈~V2, ~V1〉) 〈~V2, ~V2〉

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣ 〈~V1, ~V1〉 〈~V1, ~V2〉

〈S(~V2), ~V1〉 〈S(~V2), ~V2〉

∣∣∣∣∣2

∣∣∣∣∣ 〈~V1, ~V1〉 〈~V1, ~V2〉

〈~V2, ~V1〉 〈~V2, ~V2〉

∣∣∣∣∣.

Evident functiile K si H astfel obtinute sunt diferentiabile. Daca functiile K si H sunt cunoscute, atuncicurburile principale sunt date de formulele din consecinta urmatoare.

10.6. Consecinta. Pe o regiune orientata Σ din M curburile principale sunt date de

k1, k2 = H ±√H2 −K.

Demonstratie. Relatiile rezulta din faptul ca

K = k1k2, H =k1 + k2

2

si deci

H2 −K =(k1 − k2)2

4.

Formulele precedente arata ca functiile k1 si k2 sunt continue pe Σ. Aceste functii nu sunt diferentiabile ınpunctele ın care H2−K = 0, adica ın punctele ombilicale. Daca Σ nu poseda puncte ombilicale, atunci functiilek1 si k2 sunt diferentiabile.

Sa prezentam acum unele tipuri de suprafete.10.7. Definitie. O suprafata pentru care K = const se numeste suprafata cu curbura constanta. In

particular suprafetele pentru care K = 0 se mai numesc si local euclidiene.10.8. Exemple.

1) Suprafata de rotatiez = −

√1− x2 − y2 + sech−1

√x2 + y2, z > 0

numita pseudosfera (fig.216) are curbura K = −1.

Fig. 216

- 220-

Page 221: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

2) Planul, cilindrul circular drept, conul fara varf, banda riglata Mobius etc sunt exemple de suprafete localeuclidiene.

Suprafetele desfasurabile (adica suprafetele riglate pentru care campul normal este paralel ın R3 de–a lungulfiecarei generatoare) sunt local euclidiene.

Reciproc, suprafetele conexe, ınchise (ca submultime ın R3) si local euclidiene sunt desfasurabile. De aseme-nea ele sunt local izometrice cu planul, adica exista o aplicatie definita pe suprafata respectiva si cu valori ınplan care pastreaza produsul scalar al vectorilor tangenti (izometrie locala).

3) Sfera x2 + y2 + z2 = 1 are curbura K = 1.10.9. Definitie. O suprafata pentru care H = 0 se numeste suprafata minimala.Facem observatia ca suprafetele minimale au curbura Gauss K cel mult zero, deoarece din

H =k1 + k2

2= 0 rezulta k1 = −k2.

Exemplu. Elicoidul cu plan director (fig.217) este o suprafata minimala.Denumirea de suprafata minimala provine din aceea ca, dintre toate suprafetele ce trec printr–o curba

ınchisa, suprafata de arie minima are curbura medie nula.

Fig. 217

12.10 Formele fundamentale ale unei suprafete

Fie V un spatiu vectorial euclidian real si T : V → V o transformare liniara simetrica.Functiei T i se poate atasa forma biliniara simetrica

A : V × V → R, A (v, w) = 〈T (v), w〉

si deci implicit forma patratica

Q : V → R, Q(v) = A(v, v) = 〈T (v), v〉.

Forma biliniara simetrica A (implicit forma patratica Q) atasata unei transformari liniare simetrice T contineexact aceeasi informatie ca si T deoarece T poate fi recuperata din formula

〈T (v), w〉 =12[Q(v + w)−Q(v)−Q(w)],

care este adevarata pentru orice vector v, w din V .Fie M o suprafata, P un punct din M si TPM spatiul tangent la M ın punctul P . Forma biliniara simetrica

Ip asociata identitatii pe TPM , adica functia reala definita prin

IP (~v, ~w) = 〈~v, ~w〉, ~v, ~w ∈ TPM,

se numeste prima forma fundamentala a suprafetei M ın punctul P . Se observa ca IP nu este altcevadecat un produs scalar fiind restrictia produsului scalar din R3 la subspatiul bidimensional TPM . FunctiaP → IP se numeste prima forma fundamentala a suprafetei M si se noteaza cu I. Geometria pe Mderivata din prima forma fundamentala se numeste geometrie intrinseca. Continutul acesteia rezulta din faptulca functia I, si deci cunoasterea produsului scalar pe fiecare TPM , permite calcularea lungimii unui arc de curba

- 221-

Page 222: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

de pe suprafata M , a unghiului dintre doi vectori tangenti la suprafata M , a ariei unei portiuni din suprafataM etc. De exemplu, daca α : [a, b] →M este o curba regulata, atunci lungimea lui α este data prin

l(α) =∫ b

a

∥∥∥∥d~αdt∥∥∥∥ dt.

Presupunem ca M este o suprafata conexa si notam cu Ω multimea curbelor regulate α : [a, b] →M care unescpunctul P = α(a) cu punctul Q = α(b). Distanta de la P la Q se defineste prin

d(P,Q) = infα∈Ω

l(α).

Aceasta expresie defineste o distanta (metrica) d pe M si deci o suprafata conexa este un exemplu de spatiumetric. Mai mult, topologia lui M determinata de metrica d coincide cu topologia originala a lui M (casubvarietate).

Fie M o suprafata orientata, P un punct din M si TPM spatiul tangent la M ın punctul P . Forma biliniarasimetrica ΠP asociata aplicatiei Weingarten SP , adica functia reala definita prin

IIP (~v, ~w) = 〈Sp(~v), ~w〉, ~v, ~w ∈ TPM,

se numeste a doua forma fundamentala a suprafetei M ın punctul P . Forma patratica corespunzatoarese poate exprima prin

IIP (~v,~v) = 〈SP (~v), ~v〉 = 〈~α′′(t0), ~U(P )〉,

unde α : I → M este o curba din M pentru care α(t0) = P, ~α′(t0) = ~v, iar ~U este campul vectorial unitarnormal la M . In particular, pentru ‖~v‖ = 1, numarul IIP (~v,~v) este egal cu curbura normala a lui M ın punctulP , ın directia ~v. Functia P → IIP se numeste a doua forma fundamentala a suprafetei M si se noteazacu II. Cunoasterea acesteia este echivalenta cu cunoasterea aplicatiei Weingarten. De aceea geometria pe Mprodusa de a doua forma fundamentala contine elemente matematice ce permit descrierea formei suprafetei localsau global: curbura normala, curburi principale, curbura Gauss, curbura medie etc. Desi toate acestea suntintroduse pornind de la campul vectorial unitar normal pe suprafata M , adica de la un element care apartinecalculului din R3, totusi Gauss a demonstrat ca curbura care azi ıi poarta numele este un element intrinsec (sepoate exprima cu coeficientii primei forme fundamentale). Proprietatile suprafetei M care nu depinde numaide prima forma fundamentala se numesc proprietati rigide.

Primele doua forme fundamentale ımpreuna cu anumite relatii ıntre coeficientii lor fixeaza suprafata M panala o izometrie ın R3.

Forma biliniara simetrica IIIP asociata patratului aplicatiei lui Weingarten SP , adica functia reala definitaprin

IIIP (~v, ~w) = 〈S2P (~v), ~w〉 = 〈SP (~v), SP (~w)〉, ~v, ~w ∈ TPM

se numeste a treia forma fundamentala a suprafetei M ın punctul P . Aceasta determina functiaP → IIIP , notata cu III si numita a treia forma fundamentala a suprafetei M .

Formele fundamentale I, II, III, curbura medie H si curbura Gauss K sunt legate prin relatia

III − 2H · II +K · I = 0.

12.11 Formule de calcul

Fie M o suprafata. Ne propunem sa exprimam curbura Gauss K, curbura medie H si curburile principale k1, k2

cu ajutorul unei harti ın M . Fie r : D → M o harta cu ajutorul careia reprezentam o portiune r(D) din M .Acestei harti ıi atasam trei functii reale

E = 〈~ru, ~ru〉, F = 〈~ru, ~rv〉, G = 〈~rv, ~rv〉

definite pe D. Functiile E si G sunt strict pozitive deoarece reprezinta patratele lungimilor vitezelor partiale.Unghiul θ dintre ~ru si ~rv depinde de F (fig.218) deoarece

F = ‖~ru‖ ‖~rv‖ cos θ =√EG cos θ.

- 222-

Page 223: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 218

Functiile E,F si G masoara modul ın care r ındoaie regiunea plana D pentru a realiza din ea regiunea curbar(D) din M . Aceste functii determina complet prima forma fundamentala a suprafetei. Intr–adevar, daca ~a si~b sunt doi vectori tangenti la M ın punctul r(u, v), atunci avem

(∗) ~a = a1~ru + a2~rv, ~b = b1~ru + b2~rv

si deciI(~a,~b) = 〈~a,~b〉 = Ea1b1 + F (a1b2 + a2b1) +Ga2b2.

In particular, vectorul d~r = ~rudu+~rvdv este tangent la r(D) si deci patratul elementului de arc (al unei curbede pe r(D)) este

ds2 = 〈d~r, d~r〉 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2.

Acesta este indus de patratul elementului de arc din R3, ds2 = dx2 + dy2 + dz2, via dx = xudu+ xvdv, etc.Fie o curba Γ de pe suprafata M , data prin ecuatiile:

Γ : u = u(t), v = v(t), t ∈ I

cu u si v functii derivabile.Ecuatia curbei Γ ın spatiu va fi:

Γ : r = r(u(t), v(t)), t ∈ I.

Abscisa curbilinie pe curba Γ este:

s(t) =

t∫t0

||ru(u(t), v(t))u′(t) + rv(u(t), v(t))v′(t)||dt,

unde am notat ||w|| =√〈w,w〉.

Elementul de arc al curbei va fi:

ds =√E(u(t), v(t))u′2(t) + 2F (u(t), v(t))u′(t)v′(t) +G(u(t), v(t))v′2(t)dt.

Lungimea unui arc de curba de pe curba Γ, corespunzator lui t ∈ [a, b] este:

l _AB

=

b∫a

√E(u(t), v(t))u′2(t) + 2F (u(t), v(t))u′(t)v′(t) +G(u(t), v(t))v′2(t)dt.

Pentru o curba coordonata Γv si arcul ei_

A1A2, cu v ∈ [v1, v2], se obtine:

l _A1A2

=

v2∫v1

√Gdv,

deoarece din ecuatia curbei Γv : u = u0 rezulta du = 0.

- 223-

Page 224: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Analog, pentru un arc de curba al curbei Γu, cu u ∈ [u1, u2], se obtine:

l _A1A2

=

u2∫u1

√Edu.

Sa aratam ca si unghiul dintre doua curbe se poate exprima prin prima forma fundamentala.Fie doua curbe oarecare de pe suprafata M , notate cu Γ1 si Γ2, date prin ecuatiile:

Γ1 :u = u1(t)v = v1(t)

, Γ2 :u = u2(t)v = v2(t)

care se intersecteaza ın punctul P (t0), cu u0 = u1(t0) = u2(t0), v0 = v1(t0) = v2(t0).Unghiul dintre vectorii tangenti la cele doua curbe ın punctul lor comun de intersectie se numeste unghiul

dintre cele doua curbe.Vectorul tangent la curba Γ1 ın punctul P este

dr1dt

(t0) = r′u0

du1

dt(t0) + r′v0

dv1dt

(t0).

Insa vectorul dr(t0) = r′u0du+ r′v0dv, cu du = u′1(t)dt, dv = v′1(t)dt este colinear cu r′1(t0).Vectorul tangent la curba Γ2 ın punctul P este

dr2dt

(t0) = r′u0

du2

dt(t0) + r′v0

dv2dt

(t0).

Pe curba Γ2 vom nota simbolul diferentialei cu δ, deci δr(t0) = r′u0δu+ r′v0δv, cu δu = u′2(t)δt, dv = v′2(t)δteste colinear cu r′2(t0).

Notam unghiul dintre curbe cu θ si vom obtine:

cos θ =〈dr(t0), δr(t0)〉

‖ dr(t0) ‖‖ δr(t0) ‖⇔ (12.5)

cos θ =〈r′u0du+ r′v0dv, r

′u0δu+ r′v0δv〉√

ds√δs

cos θ =E0duδu+ F0(duδv + dvδu) +G0dvδv√

E0du2 + 2F0dudv +G0dv2√E0δu2 + 2F0δuδv +G0δv2

, (12.6)

unde E0 = E(u0, v0), F0 = F (u0, v0), G0 = G(u0, v0).Conditia ca doua curbe de pe aceasta suprafata sa fie ortogonale este:

Eduδu+ F (duδv + dvδu) +Gdvδv = 0. (12.7)

In particular, unghiul ϕ format de curbele de coordonate ale suprafetei este

cosϕ =F√EG

. (12.8)

Curbele de coordonate ale unei suprafete reprezentata parametric sunt ortogonale daca si numai dacaF (u, v) = 0,∀(u, v) ∈ D. O parametrizare a suprafetei cu aceasta proprietate se numeste ortogonala.

12.1. Traiectorii ortogonale. Fie Cα : ϕ(u, v, α) = 0 o familie de curbe pe suprafata considerata. Vomdetermina o alta familie de curbe de pe aceasta suprafata, Γβ , astfel ıncat orice curba a familiei Cα sa fieortogonala pe orice curba din familia Γβ . Folosim ecuatia familiei de curbe data si o vom deriva ın raport cu u.Se obtine sistemul de ecuatii:

ϕ(u, v, α) = 0ϕu + ϕvv

′ = 0,

- 224-

Page 225: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

din care se elimina parametrul α si se obtine ecuatia diferentiala F (u, v, v′) = 0 care se poate scrie sub formaexplicita v′ = dv

du = f(u, v). Conditia de ortogonalitate a familiilor de curbe, (12.7) se poate scrie sub forma:

Gdv

du

δv

δu+ F

(δv

δu+G

dv

du

)+ E = 0

si folosind ecuatia diferentiala verificata de curbele Cα putem scrie:

Gf(u, v)δv

δu+ F

(δv

δu+ f(u, v)

)+ E = 0

adica ecuatia diferentiala:δv

δu= −Ff + E

Gf + F. (12.9)

Solutiile acestei ecuatii diferentiale este familia de curbe Γβ : χ(u, v;β) = 0.Cu ajutorul vitezelor partiale ~ru si ~rv se construieste functia vectoriala

~Z = ~ru×~rv care ataseaza fiecarui punct (u, v) ∈ D un vector perpendicular pe ~ru, ~rv ın punctul r(u, v) ∈ r(D).Avem

‖~Z‖ = ‖~ru × ~rv‖ =√EG− F 2 > 0 (identitatea Lagrange).

Din punct de vedere local, functia ~Z poate fi privita ca un camp vectorial normal pe r(D) ⊂M si cu ajutorulei construim campul normal unitar

~U =~ru × ~rv‖~ru × ~rv‖

.

Conform observatiile anterioare, calculul derivatelor covariante ale campurilor vectoriale definite pe M ınpunctele curbelor parametrice ale hartii r se reduce la calculul derivatelor partiale ın raport cu u si v. Daca

~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),

atunci~ru = (xu, yu, zu), ~rv = (xv, yv, zv)

si~ru2 = (xu2 , yu2 , zu2) = D~ru

~ru,

~ruv = (xuv, yuv, zuv) = D~ru~rv = D~rv

~ru,

~rv2 = (xv2 , yv2 , zv2) = D~rv~rv

sunt vectori legati ın r(u, v).

Fie S aplicatia Weingarten atasata lui ~U . Cu ajutorul ei definim pe D alte trei functii reale

l = 〈S(~ru), ~ru〉,m = 〈S(~ru), ~rv〉 = 〈~ru, S(~rv)〉,n = 〈S(~rv), ~rv〉.

Deoarece ~ru, ~rv constituie o baza a lui TPM, ∀P ∈ r(D) ⊂ M , aceste functii determina unic a doua formafundamentala. Intr–adevar, daca ~a si~b sunt doi vectori tangenti la M ın punctul r(u, v), atunci avem exprimarile(*) si deci

II(~a,~b) = 〈S(~a),~b〉 = la1b1 +m(a1b2 + a2b1) + na2b2.

In particular〈S(d~r), d~r〉 = ldu2 + 2mdudv + ndv2.

Coordonatele lui S(~ru) si S(~rv) ın raport cu ~ru, ~rv nu sunt simple din cauza faptului ca baza ~ru si ~rv nueste ın general ortonormata. Avem ınsa avantajul ca obtinem expresii simple pentru curbura Gauss si curburamedie.

- 225-

Page 226: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

12.1. Teorema. Daca r este o harta ın M , atunci

K(r) = ln−m2

EG−F 2 ,

H(r) = Gl−2Fm+En2(EG−F 2) .

Demonstratie. Expresiile lui K(P ) si H(P ) ın functie de vectorii ~V1(P ) si ~V2(P ) tangenti la M ın P suntdate ın §10, lema 10.5. Daca vectorii ~V1(P ) si ~V2(P ) sunt ınlocuiti cu vectorii ~ru(u, v), ~rv(u, v) tangenti la Mın r(u, v), atunci gasim pe K(r(u, v)) si H(r(u, v)).

Daca harta r reiese din context, atunci functiile compuse K(r) si H(r) vor fi scrise pe scurt K si H.Determinarea functiilor l,m si n pornind de la definitie este complicata. De aceea, urmand ideea din lema

9.1, vom stabili niste formule mai avantajoase din punctul de vedere al calculelor. Deoarece

〈~U,~ru〉 = 0

derivarea partiala ın raport cu v (derivarea obisnuita de-a lungul curbei de parametru v) ne da

0 =∂

∂v〈~U,~ru〉 = 〈~Uv, ~ru〉+ 〈~U,~ruv〉.

Pe de alta parte stim ca ~Uv = −S(~rv) si astfel gasim

m = 〈S(~rv), ~ru〉 = 〈~U,~ruv〉 = 〈~U,~rvu〉 = 〈~rv, S(~ru)〉.

Astfel am pus ın evidenta o noua formula pentru calculul lui m (fig.219) si am demonstrat ca operatorul S estesimetric.

Fig. 219

12.2. Teorema. Daca r este o harta ın M , atunci

l = 〈S(~ru), ~ru〉 = 〈~U,~ru2〉,m = 〈S(~ru), ~rv〉 = 〈~ru, S(~rv)〉 = 〈~U,~ruv〉,n = 〈S(~rv), ~rv〉 = 〈~U,~rv2〉,

adicaldu2 + 2mdudv + ndv2 = 〈~U, d2~r〉.

Demonstratie. Pentru l se deriveaza 0 = 〈~U,~ru〉 ın raport cu u, iar pentru n se deriveaza 0 = 〈~U,~rv〉 ınraport cu v.

Nota. Daca M : z = f(x, y), atunci

~U =−fx

~i− fy~j + ~k√

1 + f2x + f2

y

, SP (~v) = −D~v~U, 〈SP (~v), ~v〉 =

1√1 + f2

x + f2y

d2f(~v,~v),

~v fiind un vector tangent la M .

- 226-

Page 227: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Daca M : f(x, y, z) = 0, atunci

~U =fx~i+ fy

~j + fz~k√

f2x + f2

y + f2z

, SP (~v) = −D~v~U, 〈SP (~v), ~v〉 = − 1√

f2x + f2

y + f2z

d2f(~v,~v),

~v fiind un vector tangent la M .

12.12 Curbe speciale pe o suprafata

Curbe principale

13.1. Definitie. O curba regulata α de pe suprafata M se numeste curba principala sau linie de curburadaca viteza sa ~α′ determina ın fiecare punct al curbei o directie principala.

Astfel curbele principale sunt traiectorii ın directiile ın care curbura normala a lui M devine maxima sauminima.

13.2. Teorema. Directiile principale ale unei suprafete netede, ıntr-un punct nesingular P al suprafeteisunt definite de ecuatia diferentiala: ∣∣∣∣∣∣

E F Gl m ndv2 −dudv du2

∣∣∣∣∣∣ = 0 (12.10)

Demonstratie. Curbura normala ın punctul P , cu exceptia semnului, are expresia:

kn =ldu2 + 2mdudv + ndv2

Edu2 + 2Fdudv +Gdv2.

Notam panta tangentelor la curbele care trec pe suprafata prin punctul P , cu w =dv

dusi atunci putem scrie:

kn =l + 2mw + nw2

E + 2Fw +Gw2.

Curbura normala variaza ın functie de w, este deci o functie cu variabila w, functie continua pe un compact siısi atinge marginile.

Vom determina punctele critice ale functiei kn; vom calcula derivata ei ın raport cu variabila sa w si o vomegala cu 0:

kn′(w) = 0 ⇔ kn

′(w) =m+ nw

F +Gw=

l +mw

E + Fw. (12.11)

Vom obtine ecuatia:Em− Fl + (En−Gl)w + (Fn−Gm)w2 = 0. (12.12)

Aceasta ecuatie are doua solutii reale ın toate punctele care nu sunt ombilicale si se poate scrie sub forma:∣∣∣∣∣∣E F Gl m nw2 −w 1

∣∣∣∣∣∣ = 0,

echivalenta cu cea din enuntul teoremei.

13.3.Directiile principale ale unei suprafete, cu exceptia sferei si planului, sunt ortogonale.

Demonstratie. Conditia de ortogonalitate a doua curbe ale unei suprafete este:

Eduδu+ F (duδv + dvδu) +Gdvδv = 0,

care se poate scrie sub forma:

E + F

(δv

δu+dv

du

)+G

δv

δu

dv

du= 0 (12.13)

- 227-

Page 228: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Din ecuatia (12.12):

w1 + w2 =δv

δu+dv

du= − En−Gl

Fn−Gm,

w1w2 =δv

δu

dv

du=

Em− Fl

Fn−Gm

care verifica conditia de ortogonalitate (12.13).Prin orice punct al unei suprafete, cu exceptia sferei si planului trec cate doa linii de curbura, reale si

ortogonale.13.4. Liniile de curbura sunt curbe coordonate pe o suprafata daca si numai daca F = 0 si m = 0.13.5. Teorema. Fie α o curba regulata din M si ~U restrictia campului normal unitar la α.1) Curba α este principala daca si numai daca U ′ si ~α′ sunt coliniari ın fiecare punct.2) Daca α este o curba principala, atunci

kn

(~α′

‖~α′‖

)=〈~α′′, ~U〉〈~α′, ~α′〉

.

Demonstratie.1) Curba α este principala daca si numai daca S(~α′) si ~α′ sunt coliniari. Pe de alta parte S(~α′) = −~U ′ si

astfel afirmatia devine evidenta.

2) Deoarece~α′

‖~α′‖este un vector principal avem

k1 sau k2 = kn

(~α′

‖~α′‖

)=⟨S

(~α′

‖~α′‖

),~α′

‖~α′‖

⟩=〈S(~α′), ~α′〉‖~α′‖2

=〈~α′′, ~U〉〈~α′, ~α′〉

(vezi si lema 9.1).Curbe asimptoticeDirectiile tangente la suprafata M pe care curbura normala este zero se numesc directii asimptotice. Cu

alte cuvinte un vector ~v tangent la M este asimptotic daca si numai daca k(~v) = 0, adica 〈S(~v), ~v〉 = 0.Se mai poate spune ca directiile tangente ıntr-un punct al suprafata M , care anuleaza a doua forma patratica

a suprafetei sunt directii asimptotice ale suprafetei ın acel punct.13.6. Teorema. Fie P un punct din suprafata M .1) Daca K(P ) > 0, atunci ın P nu exista directii asimptotice.2) Daca K(P ) < 0, atunci exista exact doua directii asimptotice ın P . Bisectoarele acestor directii sunt

directiile principale. Unghiul dintre o directie principala si o directie asimptotica este dat de (fig.220)

tg2θ = −k1(P )k2(P )

.

Fig. 220

3) Fie K(P ) = 0. Daca P este un planar, atunci orice directie care trece prin P este asimptotica. Daca Pnu este planar, atunci exista o singura directie asimptotica care este si directie principala.

- 228-

Page 229: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Demonstratie. Totul rezulta din formula Euler

kn(~u) = k1(P ) cos2 θ + k2(P ) sin2 θ, θ ∈ [0, 2π).

(1) Deoarece k1, k2 au acelasi semn rezulta kn(~u) 6= 0.(2) Deoarece k1 si k2 au semne contrare, din ecuatia

k1 cos2 θ + k2 sin2 θ = 0

obtinem doua directii asimptotice.(3) Daca P este planar, adica k1(P ) = k2(P ) = 0, atunci rezulta kn(~u) = 0 si deci directiile asimptotice

sunt nedeterminate.Daca k1(P ) 6= 0, k2(P ) = 0, atunci kn(~u) = k1(P ) cos2 θ se anuleaza numai pentru θ =

π

2,3π2

si deci ~u = ~e2.

13.7. Definitie. O curba regulata α din M se numeste curba asimptotica daca viteza sa ~α′ da ın fiecarepunct o directie asimptotica.

13.8. Teorema. Fie α o curba regulata din M si ~U restrictia campului normal unitar la α.(1) Curba α este asimptotica daca si numai daca ~U ′ si ~α′ sunt ortogonali ın orice punct.(2) Curba α este asimptotica daca si numai daca acceleratia sa ~α′′ este tangenta la M .Demonstratie.(1) Curba α este asimptotica⇔ kn(~α′) = 0 ⇔ 〈S(~α′), ~α′〉 = 0, si tinand cont ca S(~α′) = −~U ′ ⇔ 〈~U ′, ~α′〉 =

0.(2) Derivand pe 〈~U, ~α′〉 = 0 gasim

〈~U ′, ~α′〉+ 〈~U, ~α′′〉 = 0

si deci 〈~U ′, ~α′〉 = 0 ⇔ 〈~U, ~α′′〉 = 0.Ecuatia diferentiala a curbelor asimptotice este:

ldu2 + 2mdudv + ndv2 = 0

sau echivalent:

n

(dv

du

)2

+mdv

du+ l = 0,

unde l,m, n sunt coeficientii celei de a doua forme fundamentale a suprafetei.Vom rezolva aceasta ecuatie de gradul al doilea ın dv

du , notam cu f1(u, v), f2(u, v) solutiile ei si prin integrareaecuatiilor diferentiale dv

du = f1(u, v) si dvdu = f2(u, v) se vor obtine doua familii de curbe asimptotice.

- Daca discriminantul ecuatiei de gradul al doilea m2 − ln > 0, atunci liniile asimptotice sunt reale.

- Daca m2 − ln = 0, atunci liniile asimptotice sunt reale confundate.

- Daca m2 − ln < 0, atunci liniile asimptotice sunt imaginare.

Folosind coeficientii celei de a doua forme patratica fundamentala a suprafetei, putem clasifica punctele acesteiaastfel:

1. Daca m2 − ln > 0 ın punctul P al unei suprafete, atunci prin P trec doua directii asimptotice distincte siP se numeste punct hiperbolic.

2. Daca m2 − ln > 0 ın punctul P al unei suprafete, atunci directiile asimptotice sunt confundate ın acestpunct. Punctul P se numeste punct parabolic.

3. Daca m2− ln > 0, directiile asimptotice nu sunt reale ın acest punct, sunt imaginare conjugate si punctulse numeste punct eliptic.

4. DacaE

l= F

m = Gn , atunci punctul se numeste ombilical.

- 229-

Page 230: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

5. Daca l = m = n = 0, atunci punctul se numeste punct planar.

13.9.Observatie Daca o suprafata neteda are puncte eliptice si hiperbolice, atunci ele vor fi despartiteprintr-o linie de puncte parabolice, numita linia parabolica a suprafetei, de ecuatie m2 − ln = 0.

13.10. Propozitie Orice punct ombilical al unei suprafete netede este punct elipticDemonstratie. Pentru un punct ombilical al suprafetei, conform definitiei are loc egalitatea:

E

l=F

m=G

n=

1a

adica se obtine ln −m2 = a2(EG− F 2). Cum suprafata nu are puncte singulare, rezulta ln −m2 > 0 si decipunctul este eliptic.

13.11. Teorema. O suprafata M este minimala daca si numai daca ın fiecare punct al sau exista douadirectii asimptotice ortogonale.

Demonstratie. H(P ) = 0 ⇔ k1(P ) = −k2(P ) ⇔ (1)P este planar (si criteriul este banal) sau (2) K(P ) < 0cu θ =

π

4,π

4+π

2ceea ce ınsemna ca cele doua directii asimptotice sunt ortogonale.

13.12. Teorema. Daca M este o suprafata riglata, atunci K ≤ 0. Suprafata riglata M este local euclidiana(K = 0) daca si numai daca ~U este paralel de–a lungul fiecarei generatoare a lui M (de–a lungul generatoareiavem si acelasi plan tangent).

Demonstratie. O dreapta ~α = ~a + t~b situata pe o suprafata este o curba asimptotica deoarece ~α′′ = ~0este un vector tangent la M . Prin definitie, prin fiecare punct al unei suprafete riglate trece o dreapta care estecontinuta ın suprafata. Astfel ın fiecare punct avem cel putin o directie asimptotica si ın baza teoremei 13.3rezulta K ≤ 0.

Fie α o generatoare oarecare a lui M . Daca ~U este paralel de–a lungul lui α, atunci S(~α′) = −~U ′ = ~0. Astfelα este o curba principala cu curbura normala kn(~α′) = 0 si deci K = k1k2 = 0. Invers, pentru K = 0, dincazul (3) al teoremei 13.3 rezulta ca directiile asimptotice (si curbele) din M sunt si principale. Astfel fiecaregeneratoare α este atat o curba principala, adica

S(~α′) = kn(~α′)~α′,

cat si o curba asimptotica, adica kn(~α′) = 0. Rezulta

~U ′ = −S(~α′) = ~0.

Geodezice13.13. Definitie. O curba regulata α din M se numeste geodezica a lui M daca acceleratia sa ~α′′ este

normala la M .Deoarece ~α′′ este normala lui M , un observator din M nu sesizeaza nici o acceleratie de–a lungul lui α,

adica pentru un astfel de observator geodezica α este ca linia dreapta pentru un observator din spatiu. Se poatedemonstra ca arcul de curba care da minimul distantei ıntre doua puncte pe o suprafata este o geodezica (sireciproc).

Fie α o geodezica a lui M . Deoarece ~α′′ este normala la M , ın particular avem

〈~α′′, ~α′〉 = 0 ⇒ 〈~α′, ~α′〉 = const.

si deci viteza unei geodezice este constanta.Desi definitia geodezicei unei suprafate este independenta de aplicatia Weingarten, totusi ıntre elementele

Frenet atasate unei geodezice si aplicatia Weingraten exista o stransa legatura. Pentru a pune ın evidenta acestlucru, fie α o geodezica cu viteza unu. Deoarece ~N = ~α′′

k este un vector normal la M , avem

− ~N ′ = S(~α′) = S(~T )

si ın baza formulelor Frenet, gasimS(~T ) = k~T − τ ~B.

- 230-

Page 231: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

12.13 Aria unei portiuni de suprafata

Fie σ o portiune dintr–o suprafata M ⊂ R3 reprezentata de imaginea functiei r : D0 → M , adica σ = r(D0),unde D0 este un dreptunghi ınchis, iar r : D → M , D = intD0 este o harta. Dorim sa definim aria luiσ = r(D0). Fie ~r = ~r(u, v), (u, v) ∈ D0 ecuatia vectoriala a lui r(D0) = σ. Liniile de coordonate ımpart pe σ ınpatrulatere curbilinii. Dintre acestea alegem pe cel marginit de curbele (u), (v), (u+ ∆u), (v + ∆v) (fig.221).

Fig. 221Aria patrulaterului curbiliniu PQRS se aproximeaza cu aria paralelogramului rectiliniu construit ın planul

tangent TPM pe vectorii ~ru∆u si ~rv∆v. Astfel

Aria PQRS = ‖~ru∆u× ~rv∆v‖ = ‖~ru × ~rv‖∆u∆v

siAria σ =

∑Aria PQRS =

∑‖~ru × ~rv‖∆u∆v.

Aceste observatii ne permit sa spunem ca simbolul

dσ = ‖~ru × ~rv‖dudv =√~r2u~r

2v − (~ru, ~rv)2dudv =

√EG− F 2dudv

este elementul de arie al portiunii σ. Aria lui σ se defineste ca fiind integrala

A =∫∫

σ

dσ =∫∫

D0

√EG− F 2dudv.

Daca σ este data cartezian explicit prin z = f(x, y), atunci

dσ =√

1 + p2 + q2dxdy

si

A =∫∫

D0

√1 + p2 + q2dxdy.

Fie M o suprafata si σi ⊂M un numar finit de imagini de tipul ri(D0i) care nu au ın comun decat frontierele∂σi.

Prin definitie, avem

Aria (σ1 ∪ σ2 . . . ∪ σk) =∑

k

∫∫σk

dσ.

14.1. Exemple.

1) Fie σ sfera de raza R. Ea poate fi privita ca fiind imaginea luiD : 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π prin x = R sinϕ cos θ

y = R sinϕ sin θz = R cosϕ

- 231-

Page 232: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

si√EG− F 2 = R2. Astfel

A =∫ π

0

∫ 2π

0

R2 sinϕdϕdθ = 4πR2.

2) Fie torul de raze R > r > 0: x = (R+ r cosu) sin vy = (R+ r cosu) sin vz = r sinu, (u, v) ∈ [−π, π]× [−π, π].

Sa se arate caA = 4π2Rr.

12.14 Subvarietati ale lui Rn

Fie Rn spatiul euclidian canonic cu n dimensiuni.15.1. Fiem ≤ n doua numere naturale. Incluziunea canonica Rm ⊂ Rn este (x1, . . . , xm) → (x1, . . . , xm, 0, . . . , 0).

Uneori se scrie Rn = Rm × Rn−m.O submultime M a lui Rn se numeste subvarietate de dimensiune m daca satisface una dintre urmatoarele

conditii (echivalente):(1) pentru ∀x ∈ M exista o multime deschisa D din Rn care contine pe x si un difeomorfism f : D →

f(D) ⊂ Rn astfel ıncat f(D ∩M) = f(D) ∩ Rm;(2) pentru ∀x ∈ M exista o multime deschisa D din Rn care contine pe x si n −m functii diferentiabile

fi : D → R, i = 1, 2, . . . , n−m astfel ıncat vectorii gradfi(x) sa fie liniar independenti si

M ∩D = x | x ∈ D, f1(x) = 0, .., fn−m(x) = 0;

(3) pentru ∀x ∈ M exista o multime deschisa D din Rn care contine pe x si o submersie f : D → Rn−m

astfel ıncat M ∩D = x | x ∈ D, f(x) = 0;(4) pentru ∀x ∈M exista o multime deschisa D din Rn care contine pe x = (x1, . . . , xn), o multime deschisa

E din Rm care contine pe x = (x1, . . . , xm) si n−m functii diferentiabile hi : E → R, i = 1, 2, . . . , n−m, astfelıncat, abstractie facand eventual de o permutare a coordonatelor, M∩D sa fie graficul aplicatiei (h1, . . . , hn−m) :E → Rn−m;

(5) pentru ∀x ∈M exista o multime deschisa D din Rn care contine pe x, o multime deschisa E din Rm sio imersie injectiva g : E → Rn cu imaginea M ∩D si cu inversa g−1 : M ∩D → E continua.

Daca ın fiecare dintre aceste definitii utilizam functii de clasa Cp, atunci M se numeste subvarietate de clasaCp.

Numarul natural n−m se numeste codimensiunea subvarietatii M .15.2. Subvarietatile de dimensiune 0 sunt multimile de puncte izolate din Rn. Subvarietatile de dimensiune

1 se numesc curbe, iar subvarietatile de dimensiune 2 se numesc suprafete.Subvarietatile de codimensiune 0 sunt multimile deschise din Rn. Subvarietatile de codimensiune 1 se numesc

hipersuprafete.15.3. Fie M o subvarietate a lui Rn de dimensiune m. O functie diferentiabila h : D → Rn cu proprietatile1) D este o submultime deschisa din Rm,2) h(D) ⊂M ,3) h este o imersie injectiva,se numeste harta ın M .Daca h este numai imersie, atunci h se numeste parametrizare a regiunii h(D) din M . Conform lui 15.1 (5)

orice punct x ∈M admite harti h : D →M astfel ıncat x ∈ h(D).15.4. FieM o subvarietate a lui Rn. Un vector v din Rn se numeste tangent ın x laM daca exista o curba din

M (o aplicatie diferentiabila α : I →M, I = interval deschis din R) pentru care α(t0) = x, α′(t0) = v, t0 ∈ I.

- 232-

Page 233: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Multimea vectorilor din Rn tangenti la M ın x este un subspatiu vectorial al lui Rn de dimensiune m, numitspatiul tangent la M ın x si notat cu TxM .

Multimea TM = ∪x∈MTxM se numeste fibrarea tangenta a lui M . Aceasta este o subvarietate a lui R2n dedimensiune 2m.

15.5. Fie M o subvarietate a lui Rn si α : I → M o curba din M . Restrictia α : [a, b] → M, [a, b] ⊂ I, senumeste segment de curba ın M .

O subvarietate M de clasa Cp, p ≥ 1, se numeste conexa daca ∀x, y ∈M exista un segment de curba ın Mcare uneste pe x cu y.

15.6. O submultimeM a lui Rn se numeste subvarietate de dimensiune m, cu frontiera, daca pentru ∀x ∈Mexista o multime deschisa D din Rn care contine pe x si un difeomorfism f : D → f(D) ⊂ Rn astfel ıncat

f(D ∩M) = f(D) ∩ (Hm × c),

unde

Hm = (x1, . . . , xm) ∈ Rm, xm ≥ a si c ∈ Rn−m.

Multimea ∂M = x | x ∈ M, f(x) ∈ Rm−1 × a × c, numita frontiera lui M , este o subvarietate dedimensiune m− 1. Multimea M − ∂M , numita interiorul lui M , este o subvarietate de dimensiune m.

Spatiul tangent TxM se defineste ca si pentru o varietate fara frontiera.

15.7. Hipersuprafete cu frontiera. Fie M o hipersuprafata ın Rn. O hipersuprafata cu frontiera ın Rn

poate fi definita astfel

M = x ∈ M | g1(x) ≤ c1, . . . , gk(x) ≤ ck, unde g1, . . . , gk : M → R

sunt functii diferentiabile cu proprietatile g−1i (ci) ∩ g−1

j (cj) = ∅, ∀i 6= j si gradgi(x) 6= 0,∀x ∈ g−1i (ci).

Frontiera lui M este

∂M =k⋃

i=1

g−1i (ci)

⋂M.

Daca hipersuprafata M este caracterizata prin ecuatia

f(x) = 0 (grad f(x) 6= 0, ∀x ∈ M),

atunci

M = f−1(c)k⋂

i=1

g−1i (−∞, ci]

si

TxM = v ∈ TxRn | (v,∇f(x)) = 0.

Un vector v ∈ TxM, x ∈ ∂M ⊂M (adica x ∈ g−1i (ci) pentru anumiti i) se numeste

1) orientat catre exterior daca 〈v,∇gi(x)〉 > 0,

2) orientat catre interior daca 〈v,∇gi(x)〉 < 0,

3) tangent la frontiera daca 〈v,∇gi(x)〉 = 0,

4) normal la frontiera daca 〈v, w〉 = 0, ∀w ∈ TxM ∩ Tx∂M .

15.8. Fie M o hipersuprafata a lui Rn cu sau fara frontiera. Un camp vectorial normal unitate U pe M senumeste orientare a lui M .

Notiunea generala de orientare va fi data ın capitolul 4, §10.

- 233-

Page 234: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

12.15 Exercitii/probleme rezolvate

12.15.1 Enunturi

1. Se da aplicatia r(u, v) = (u cos v, u sin v, u2), unde (u, v) ∈ D = (0,∞)× [0, 2π).

a) Calculati vitezele partiale ale suprafetei. Este r o harta ?b) Aflati dreapta normala si planul tangent la Σ = r(D) ⊂ R3 ın punctul acesteia A(−2, 0, 4);c) care este campul de versori normali n la suprafata Σ ? Care este reperul Gauss al suprafetei ?d) Aflati ecuatia carteziana a suprafetei Σ. Ce reprezinta aceasta ?

e) Ce reprezinta curbele coordonate ale suprafetei ? Aflati ecuatiile carteziene ale acestora;f) aflati unghiul format de curbele coordonate ın punctul A.

2. Se da multimea de nivel constant Σ : x3 − z + 1 = 0

a) Este Σ o suprafata ?b) Determinati campul n de versori normali la Σ.c) Aflati dreapta normala si planul tangent la Σ ın A(1, 0, 2).

3. Folosind ecuatiile parametrice si ecuatiile carteziene ale urmatoarei suprafete simple, aratati ca:

a) r(u, v) = (u cos v, u sin v, v), (u, v) ∈ R2 este un elicoid cu plan director;

b) r(u, v) = (cosu, sinu, v), (u, v) ∈ (0, 2π)× R este o suprafata cilindrica;

c) r(u, v) = (v cosu, v sinu, v), (u, v) ∈ (0, 2π)× R este o suprafata conica.

4. Se da suprafata parametrizata r(u, v) = (u cos v, u sin v, v), (u, v) ∈ R2.

a) Este reperul Gauss al suprafetei, un reper ortonormat ? Ce unghi formeaza curbele coordonate ale suprafetei?Aflati matricele celor cele trei forme fundamentale [I], [II], [III] ale suprafetei.

b) Determinati curbura totala (curbura Gauss) K si curbura medie H ale suprafetei.

c) Este suprafata data desfasurabila ? Dar minimala ?

Ce fel de puncte are suprafata data (eliptice/parabolice/hiperbolice) ?

d) Testati formula Beltrami-Enneper [III]− 2H[II] +K[I] = [0].

5. Pentru suprafata parametrizata r(u, v) = (u cos v, u sin v, v), (u, v) ∈ R2:

a) determinati matricea operatorului Weingarten;b) aflati curburile principale k1 si k2 si directiile principale ale suprafetei ıntr-un punct oarecare al acesteia,folosind matricea operatorului Weingarten. Aflati aceleasi curburi folosind K si H;c) determinati curbura normala a suprafetei ın directia tangenta data de vectorul w = 2ru − rv ın punctulA(−1, 0, π) al suprafetei;d) aflati aproximarea patratica a suprafetei ın punctul A.

6. Pentru suprafata parametrizata r(u, v) = (u cos v, u sin v, v), (u, v) ∈ R2:

a) determinati lungimea curbei Γv=2u, u ∈ [1, 2].

b) aflati aria zonei de suprafata care corespunde domeniului (u, v) ∈ [0, 1]× [0, π].

7. Pentru cilindrul r(u, v) = (cosu, sinu, v), (u, v) ∈ [0, 2π)× R, sa se determine:

a) liniile de curbura (curbele principale);b) curbele asimptotice;c) geodezicele.

12.15.2 Solutii

1. a) Vitezele partiale sunt derivatele partiale ale functiei r,ru = ∂r

∂u = (cos v, sin v, 2u)

rv = ∂r∂v = (−u sin v, u cos v, 0).

- 234-

Page 235: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Aplicatia r este o parametrizare daca este imersie injectiva. Verificam injectivitatea. Pentru (u1, v1), (u2, v2) ∈D, folosind faptul ca u > 0, obtinem

r(u1, v1) = r(u2, v2) ⇔

u1 cos v1 = u2 cos v2u1 sin v1 = u2 sin v2u2

1 = u22

⇔u1 = u2

v1 = v2⇔ (u1, v1) = (u2, v2), (12.14)

deci r este injectiva. Verificam ca r este imersie. Avem

dr = ru · du+ rv · dv = [ru, rv]r(u,v) ·(dudv

).

Construim matricea Jacobiana [J(r)] = [ru, rv]r(u,v) a aplicatiei r si verificam daca rang [J(r)] = 2. Obtinem

[J(r)] =

cos v −u sin vsin v u cos v2u 0

,

deci ∣∣∣∣ cos v −u sin vsin v u cos v

∣∣∣∣ = u > 0 ⇒ rang [J(r)] = 2,

deci r este imersie; fiind si injectiva, rezulta ca r este o parametrizare. Astfel, Σ = r(D) este o suprafatasimpla.b) Determinam parametrii u si v asociati punctului A ∈ Σ. Rezolvam sistemul

r(u, v) = A⇔ (u cos v, u sin v, u2) = (−2, 0, 4) ⇔

u cos v = −2u sin v = 0u2 = 4

⇒u = 2v = π

⇒ A = r(2, π).

Calculam vitezele partiale ın punctul A.ru|A = (cosπ, sinπ, 22) = (−1, 0, 4)rv|A = (−2 sinπ, 2 cosπ, 0) = (0,−2, 0).

Atunci avem

πtg,A :

∣∣∣∣∣∣x+ 2 y z − 4−1 0 40 −2 0

∣∣∣∣∣∣⇔ 4x+ z + 4 = 0.

Prin urmare, un vector normal la plan este n = vnor ≡ (4, 0, 1), iar ∆nor,A : x+24 = y

0 = z−41 . Altfel. Aflam

vectorul director n al dreptei ∆nor,A.

n = ru × rv =

∣∣∣∣∣∣i j k

cos v sin v 2u−u sin v u cos v 0

∣∣∣∣∣∣ |A=r(2,π)= (−2u2 cos v,−2u2 sin v, u)u=2,v=π = (8, 0, 2),

de unde rezulta∆nor,A : x+2

8 = y0 = z−4

2

πtg,A : 8(x+ 2) + 0 · y + 2(z − 4) = 0 ⇔ 4x+ z + 4 = 0.

c) Avem n = ru×rv

||ru×rv|| si folosind u > 0,

||ru × rv|| =√

4u4 cos2 v + 4u4 sin2 v + u2 =√

4u4 + u2 = u√

4u2 + 1,

deci

n =(−2u cos v√

4u2 + 1,−2u sin v√

4u2 + 1,

1√4u2 + 1

).

Atunci reperul mobil Gauss va fiRG = r(u, v); ru, rv, n.

- 235-

Page 236: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Reperul este format din punctul P = r(u, v) ∈ Σ si baza ru, rv, n a spatiului vectorial TP R3 ≡ V3.d) Pentru a afla ecuatia carteziana a suprafetei, eliminam parametrii u si v din ecuatiile parametrice ale acesteia, x = u cos v

y = u sin vz = u2

⇒ x2 + y2 = z ⇔ x2 + y2 − z = 0,

deci Σ este o cuadrica (paraboloid eliptic).e) Prima familie de curbe coordonate este

Γu=u0,v=t : α(t) = r(u0, t) = (u0 cos t, u0 sin t, u20), t ∈ [0, 2π].

Pentru a vedea ce reprezinta curba, pentru diferite valori ale lui u0, obtinem ecuatiile carteziene ale acesteia x = u0 cos ty = u0 sin tz = u2

0

x2 + y2 = u2

0 (cilindru)

z − u20 = 0 (plan),

deci un cerc; rezulta ca prima familie de curbe coordonate este formata din cercuri. A doua familie de curbecoordonate este data de

Γv=v0,u=s : β(s) = r(s, v0) = (s cos v0, s sin v0, s2), s > 0.

Pentru a afla ce reprezinta familia a doua de curbe coordonate, aflam ecuatiile carteziene ale acestora, x = s cos v0y = s sin v0z = s2

y sin v0 − x cos v0 = 0 (plan)

z = 1cos2 v0

· x2 (cilindru parabolic),

deci o parabola; prin urmare a doua familie de curbe coordonate este formata din parabole.f) Unghiul format de curbele coordonate este dat de

θ = arccos〈ru, rv〉

||ru|| · ||rv|||A= arccos 0 =

π

2.

Deci curbele coordonate se intersecteaza ın A sub un unghi de 90o. Se observa ca pentru suprafata data avemın general

〈ru, rv〉 = −u cos v sin v + u sin v cos v + 0 = 0 ⇔ ru ⊥ rv,

deci ın oricare punct al suprafetei curbele coordonate sunt ortogonale. De asemenea remarcam ca cei doi vectoriortogonali tangenti la curbele coordonate nu sunt ın general versori, deoarece

||ru|| =√

1 + 4u2 ≥ 1, ||rv|| =√u2 = |u| = u > 0.

2. a) Notam Σ : f(x, y, z) ≡ x3−z+1 = 0 si examinam daca Σ contine sau nu puncte critice ale lui f . Acestease obtin prin anularea gradientului functiei f ,

grad f ≡ (3x2, 0,−1) = (0, 0, 0) ⇔

3x2 = 00 = 0−1 = 0,

fara solutii, deci f nu are puncte critice; prin urmare nici suprafata Σ : f = 0 nu are puncte singulare, decieste o suprafata regulata.b) Campul de versori normali la suprafata este

n =grad f

|| grad f ||=(

3x2

√1 + 9x4

, 0,−1√

1 + 9x4

).

- 236-

Page 237: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

c) Vectorul normal la suprafata ın A este vnor,A = grad f |A = (3x2, 0,−1)|A(1,0,2) = (3, 0,−1), deci∆nor,A : x−1

3 = y0 = z−2

−1

πtg,A : 3(x− 1) + 0 · y + (−1)(z − 2) = 0 ⇔ 3x− z − 1 = 0.

3. a) Ecuatiile parametrice ale suprafetei se rescriu

r(u, v) = u(cos v, sin v, 0) + (0, 0, v) = (0, 0, v)︸ ︷︷ ︸≡α(v)

+u (cos v, sin v, 0)︸ ︷︷ ︸≡β(v)

,

deci suprafata Σ = r(R2) este un elicoid (vezi fig. 1a) cu axa directoare ∆ax = =(α) = Oz :

x = 0y = 0z = v = t ∈ R

(pe care se sprijina generatoarele elicoidului) si plan director πdir = xOy ⊃ =(β) (plan fata de care suntparalele generatoarele elicoidului de directie β(v)). Eliminand cei doi parametri u si v din ecuatiile parametriceale suprafetei, rezulta ecuatia carteziana a acesteia x = u · cos v

y = u · sin vz = v

⇒ x = tg v = tg z ⇒ tg z − y

x= 0 ⇔ x sin z − y cos z = 0,

deci s-a obtinut o ecuatie de forma φ( yx , z) = 0; deci suprafata este un conoid cu plan director z = 0 si axa

directoare ∆ :x = 0y = 0 , axa Oz (vezi fig. 222).

Fig. 222 Fig. 223

b) Ecuatiile parametrice ale suprafetei se rescriu

r(u, v) = (cosu, sinu, 0) + v(0, 0, 1) = (cosu, sinu, 0)︸ ︷︷ ︸≡α(u)

+v (0, 0, 1)︸ ︷︷ ︸≡β0

,

deci suprafata data este de tip cilindric (vezi fig. 223), cu generatoarele paralele cu directia β0; eliminand ceidoi parametri din ecuatiile parametrice ale suprafetei, rezulta ecuatia carteziana a acesteia, x2 + y2 − 1 = 0, o

ecuatie de forma φ(x, y) = 0; deci suprafata este cilindrica, cu generatoarele paralele cu dreapta ∆ :x = 0y = 0 ,

axa Oz.c) Ecuatiile parametrice ale suprafetei se rescriu

r(u, v) = (0, 0, 0)︸ ︷︷ ︸≡α0

+v · (cosu, sinu, 1)︸ ︷︷ ︸≡β(u)

,

- 237-

Page 238: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fig. 224

deci suprafata data este o suprafata conica (vezi fig. 224, cu varful ın punctul O(0, 0, 0); eliminand cei doiparametri din ecuatiile parametrice ale suprafetei, rezulta ecuatia carteziana a acesteia, x2 + y2 − z2 = 0 ⇔(

xz

)2+(

yz

)2−1 = 0, o ecuatie de forma φ(

xz

),(

yz

)= 0; deci suprafata este o suprafata conica, cu varful localizat

ın punctul O :

x = 0y = 0z = 0

, deci ın origine.

4. Din oficiu: 1pt. a) Obtinem vitezele partiale pe suprafata,ru = (cos v, sin v, 0)rv = (−u · sin v, u · cos v, 1).

Matricea primei forme fundamentale are forma generica [I] =(〈ru, ru〉 〈ru, rv〉〈rv, ru〉 〈rv, rv〉

)≡(E FF G

), iar

coeficientii primei forme fundamentale sunt, E = 1F = 0G = u2 + 1

⇒ [I] =(

1 00 u2 + 1

)=(

1 00 ρ2

),

unde am notat ρ =√u2 + 1 > 0. S-a obtinut astfel prima forma fundamentala a suprafetei,

ds2 = (du, dv)(E FF G

)(dudv

)= E · du2 + 2F · du dv +G · dv2 = du2 + (1 + u2)dv2,

unde E,F,G sunt coeficientii determinati anterior (2 pt.) . Matricea celei de-a doua forme fundamentale areforma generica

[II] =(〈ruu, n〉 〈ruv, n〉〈rvu, n〉 〈rvv, n〉

)≡(

L MM N

),

unde n =ru × rv||ru × rv||

. Obtinem

ru × rv =

∣∣∣∣∣∣i j k

cos v sin v 0−u · sin v u · cos v 1

∣∣∣∣∣∣ = sin vi− cos vj + uk ≡ (sin v,− cos v, u),

deci

||ru × rv|| =√u2 + 1 ⇒ n =

(sin vρ

,− cos vρ

,u

ρ

). (0,5 pt.)

Se observa ca ruu = (0, 0, 0)ruv = (− sin v, cos v, 0)rvv = (−u · cos v,−u · sin v, 0)

L = 0M = −1/ρN = 0

⇒ [II] =(

0 −1/ρ−1/ρ 0

),

deci a doua forma fundamentala este

dσ2 = (du, dv)(

L MM N

)(dudv

)=

−2√u2 + 1

du dv. (1 pt.)

Matricea celei de-a treia forme fundamentale este

[III] = [II] · [I]−1 · [II] =(

1/ρ4 00 1/ρ2

). (0,5 pt.)

Deoarece F ≡ 〈ru, rv〉 = 0, reperul Gauss ru, rv, n este ortogonal, unde am notat n = ||ru × rv||−1 · ru × rv(0,5 pt.) . Deci curbele coordonate ale suprafetei se taie sub un unghi de 90 (0,5 pt.) .

- 238-

Page 239: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Din coeficientii matricei primei forme fundamentale se observa ca• ||ru||2 = 〈ru, ru〉 = E = 1, deci ||ru|| = 1 (ru este versor);• ||rv||2 = 〈rv, rv〉 = G = ρ2 6= 0, deci ||ru|| ≥ 1 iar rv nu este ın general versor, iar• F = 〈ru, rv〉 = 0, deci ru ⊥ rv. In concluzie, rv nefiind versor ın fiecare punct al suprafetei, baza reperuluiGauss BG = ru, rv, n nu este ortonormata (0,5 pt.) .

b) Curburile Gauss si medie ale suprafetei sunt date de

K =det[II]det[I]

, H =12· EN + LG− 2FM

det[I],

iar pentru suprafata data obtinem,

K =−1/ρ2

ρ2= − 1

ρ4< 0, H =

12· 0 + 0 · 2

ρ2= 0. (2 pt.)

c) Deoarece K 6≡ 0, suprafata nu este desfasurabila, dar este minimala, deoarece H ≡ 0. Deoarece K < 0,rezulta ca toate punctele suprafetei sunt de tip hiperbolic (1 pt.) .

e) Verificam formula Beltrami-Enneper, [III]− 2H[II] +K[I] = [0]. Intr-adevar, are loc identitatea(1/ρ4 0

0 1/ρ2

)− 2 · 0 ·

(0 − 1

ρ

− 1ρ 0

)+(− 1ρ4

)(1 00 ρ2

)=(

0 00 0

). (0,5 pt.) Total: 10pt.

5. a) Matricea operatorului Weingarten este data de relatia

[S] = [I]−1 · [II] =(

1 00 1/ρ2

)·(

0 −1/ρ−1/ρ 0

)=(

0 −1/ρ−1/ρ3 0

).

b) Conform teoremei Rodriguez, curburile principale k1,2 sunt exact valorile proprii ale matricii [S], iar directiileprincipale sunt date de o pereche de vectori proprii w1,2 asociati acestora. Pentru a afla valorile proprii alematricii [S], calculam polinomul caracteristic,

P (λ) = det([S]− λI2) =∣∣∣∣ −λ −1/ρ−1/ρ3 −λ

∣∣∣∣ = λ2 − 1ρ4.

Ecuatia caracteristica P (λ) = 0 are deci radacinileλ1 = k1 = − 1

ρ2

λ2 = k2 = 1ρ2 .

Aflam vectorii proprii corespunzatori celor doua valori proprii.Pentru λ1 = − 1

ρ2 , sistemul caracteristic ([S]− λ1I2)w = 0 se rescrie, pentru w = t(a, b),(1ρ2 −1

ρ

− 1ρ3

1ρ2

)(ab

)=(

00

)⇔b = s1ρ2 · a− 1

ρ · s = 0 ⇔a = ρsb = s

⇒ (a, b) = s(ρ, 1);

Prima directie principala este data deci de vectorul tangent w1 = (ρ, 1),

w1 = (ρ, 1) ≡ ρru + rv ∈ Tr(u,v)Σ,

ale carui componente ın spatiul cu trei dimensiuni sunt

w1 ≡√

1 + u2(cos v, sin v, 0) + 1 · (−u sin v, u cos v, 1).

Pentru λ2 = 1ρ2 , sistemul caracteristic ([S]− λ1I2)w = 0 se rescrie, pentru w = t(a, b),(

−1/ρ2 −1/ρ−1/ρ3 −1/ρ2

)(ab

)=(

00

)⇔b = s− 1

ρ2 · a− 1ρ · s = 0 ⇔

a = −ρsb = s,

- 239-

Page 240: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

deci (a, b) = (−ρs, s) = s(−ρ, 1). A doua directie principala este data deci de vectorul

w2 = (−ρ, 1) ≡ −ρru + rv ∈ Tr(u,v)Σ,

ale carui componente in spatiul cu trei dimensiuni sunt

w2 ≡ −√

1 + u2(cos v, sin v, 0) + 1 · (−u sin v, u cos v, 1).

Putem determina cele doua curburi principale k1,2 si folosind curburile K si H ale suprafetei. Acestea satisfacecuatia

λ2 − 2Hλ+K = 0 ⇔ λ2 − 1ρ4

= 0 ⇒k1 = − 1

ρ2

k2 = 1ρ2 .

c) Vectorul tangent w = 2ru − rv ≡ (2,−1) are curbura normala asociata

kn(w) =[II](w,w)[I](w,w)

=(2,−1)

(0 − 1

ρ

− 1ρ 0

)(2−1

)(2,−1)

(1 00 ρ2

)(2−1

) =4ρ

4 + ρ2=

4ρ(4 + ρ2)

.

Aflam valorile parametrilor u si v corespunzatori punctului A(−1, 0, π), rezolvand sistemul u · cos v = −1u · sin v = 0v = π

⇒u = 1v = π

⇔ (u, v) = (1, π),

de unde ρ|A =√

2, iar

kn(w) =4√

2(4 + 2)=

23√

2=√

23.

In plus, directia efectiva (ın 3D) determinata de w este data de

w = (2ru − rv)|A ≡ 2(−1, 0, 0)− (0,−1, 1) = (−2, 1,−1).

d) Se observa ca ın punctul A avem ρ =√

2, deci k1 = − 12 , k2 = 1

2 . Atunci, fata de un sistem de coordonateconvenabil ales, suprafata are o forma asemanatoare cu cea de ecuatie carteziana

Σaprox : z =12

(−1

2x2 +

12y2

)⇔ y2

4− x2

4= z,

Fig. 225

deci local suprafata are forma unui paraboloid hiperbolic (vezi fig. 225.

6. a) Parametrizam curba notand u = t; rezulta v = 2t, deci

α(t) = r(t, 2t) = (t cos 2t, t sin 2t, 2t), t ∈ [1, 2],

- 240-

Page 241: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

iarα′(t) = (cos 2t− 2t sin 2t, sin 2t+ 2t cos 2t, 2) ⇒ ||α′(t)|| =

√4t2 + 1 + 4.

Atunci, folosind o substitutie de tip Euler pentru calculul integralei definite, lungimea arcului de curba este

l =∫ 2

1

||α′(t)||dt =∫ 2

1

√4t2 + 5dt =

√21− 15

8· ln 5 +

54· ln(4

√5 +

√21√

5)− 32.

b) Aplicam formula de calcul a ariei

A =∫∫

D

√det[I] du dv =

∫∫D

√EG− F 2 du dv =

=∫∫

D

√1(1 + u2)− 02du dv =

∫ 1

0

du

∫ π

0

√1 + u2dv =

=∫ 1

0

√1 + u2du ·

∫ π

0dv = π ·

∫ 1

0

√1 + u2du.

Folosind substitutia√u2 + 1 = u+ t rezulta

u2 + 1 = u2 + 2tu+ t2 ⇒ u = 1−t2

2t

du = 12 ·−2t2−(1−t2)

t2 dt = −1+t2

2t2 dt√u2 + 1 = u+ t = 1−t2

2t + t = 1+t2

2t .

De asemenea, avem u = 0 ⇒ t = 1 si u = 1 ⇒ t =√

2− 1, deci

A = π

∫ √2−1

1

1 + t2

2t· (−1 + t2

2t2)dt =

π

4

∫ 1

√2−1

(1 + t2)2

t3dt =

π

4

∫ 1

√2−1

(t2 +2t

+1t3

)dt =

= π4 · (

t2

2 + 2 ln |t|+ t−2

−2 )|1√2−1

= π4

[( 12 + 2 ln 1− 1

2 )− ( 3−2√

22 + 2 ln(

√2− 1) + 1

2(3−2√

2))]

= π4 ·

12

[3− 2

√2 + 4 ln(

√2− 1) + 1

2(3−2√

2

]= π

8 (3− 2√

2 + 4 ln(√

2− 1) + 3 + 2√

2) =

= π8 · 6 + π

8 · 4 ln(√

2− 1) = 3π4 + π

2 ln(√

2− 1).

7. a) Ecuatia diferentiala a liniilor de curbura α(t) = r(u(t), v(t)) este∣∣∣∣∣∣v′2 −u′v′ u′2

E F GL M N

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Calculam coeficientii de pe liniile inferioare ale determinantului,ru = (− sinu, cosu, 0)rv = (0, 0, 1) ⇒

E = 〈ru, ru〉 = 1F = 〈ru, rv〉 = 0G = 〈rv, rv〉 = 1.

Obtinem ruu = (− cosu,− sinu, 0)ruv = (0, 0, 0)rvv = (0, 0, 0)

L = 〈ruu, n〉 = −1M = 〈ruv, n〉 = 0N = 〈rvv, n〉 = 0.

Determinam campul n de versori normal la suprafata,

ru × rv =

∣∣∣∣∣∣i j k

− sinu cosu 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ ≡ (cosu, sinu, 0) ⇒ ||ru × rv|| =√

1 = 1,

deci n = (cosu, sinu, 0). Atunci ecuatia diferentiala a liniilor de curbura (ecuatia curbelor principale) devine∣∣∣∣∣∣v′2 −u′v′ u′2

1 0 1−1 0 0

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ u′v′ = 0.

- 241-

Page 242: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Distingem urmatoarele cazuri:Cazul I. u′ = 0 ⇔ u(t) = a = const.. Notam v(t) = t si obtinem curbele

α(t) = r(a, t) = (cos a, sin a, t), t ∈ R.

Ecuatiile carteziene ale acestora se obtin prin eliminarea parametrului t din ecuatiile parametrice, x = cos ay = sin az = t

x− cos a = 0 (plan)y − sin a = 0 (plan),

deci fiecare din curbe este o dreapta. Acest lucru se poate vedea si observand ca ecuatiile parametrice ale

acestor curbe sunt de forma

x = 0t+ cos ay = 0t+ sin az = 1t+ 0, t ∈ R

din care, prin eliminarea parametrului t, rezulta ecuatiile

carteziene canonice ale unor drepte

(t =)x− cos a

0=y − sin a

0=z − 0

1

de directie v = (0, 0, 1) ≡ k, deci drepte paralele cu axa Oz. Acestea sunt exact generatoarele cilindrului dinenunt. Se observa ca, ıntr-adevar, suprafata parametrizata data este un cilindru, deoarece ecuatia carteziana aacestuia, obtinuta din ecuatiile parametrice, x = cosu

y = sinuz = v

⇒ x2 + y2 = 1,

este ecuatia unui cilindru circular drept de raza 1 si axa de simetrie Oz. In concluzie, prima familie de curbeprincipale ale cilindrului dat este formata din generatoarele acestuia.Cazul II. v′ = 0 ⇒ v(t) = b = const.. Notand u = t, obtinem ecuatiile parametrice si apoi carteziene ale celeide-a doua familii de curbe principale,

β(t) = r(t, b) = (cos t, sin t, b) ⇔

x = cos ty = sin tz = b

⇒x2 + y2 = 1 (cilindrul dat)z − b = 0 (plan perp. pe axa cilindrului)

deci curbele principale ale celei de-a doua familii sunt cercuri de sectiune transversala a cilindrului. In concluzie,curbele principale ale cilindrului constau din generatoare si cercuri.b) Curbele (”liniile”) asimptotice satisfac ecuatia diferentiala

(u′, v′)[II](u′

v′

)= 0.

Inlocuind L,M,N determinate la punctul a), obtinem matricea [II] =(−1 00 0

), deci ecuatia liniilor asimp-

totice se rescrie

(u′, v′)(−1 00 0

)(u′

v′

)= 0 ⇔ −u′2 = 0 ⇔ u′ = 0.

Dar u′ = 0 ⇒ u(t) = a = const. si v(t) = t, deci se obtin generatoarele cilindrului considerate la punctulanterior. In concluzie, liniile asimptotice ale cilindrului sunt generatoarele acestuia.c) Determinam geodezicele cilindrului. Pentru a obtine ecuatiile geodezicelor α(t) = r(u(t), v(t)), punemconditiile ca acestea sa fie de viteza unu (||α′(t)|| = 1) si sa satisfaca relatia α′′(t) ⊥ Tα(t)Σ. In ansamblu acesteconditii se rescriu 〈α′′, ru|α(t)〉 = 0

〈α′′, rv|α(t)〉 = 0〈α′, α′〉 = 1,

- 242-

Page 243: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Obtinem succesiv α′ = u′ru + v′rvα′′ = u′′ru + v′′rv + u′2ruu + 2u′v′ruv + v′2rvv.

La noi, r(u, v) = (cosu, sinu, v) si obtinem

α′ = u′(− sinu, cosu, 0) + v′(0, 0, 1).

Inlocuind ın cele trei relatii ale sistemului precedent, obtinemu′′E + v′′F + u′2〈ruu, ru〉+ 2u′v′〈ruv, ru〉+ v′2〈rvv, ru〉 = 0

u′′F + v′′G+ u′2〈ruu, rv〉+ 2u′v′〈ruv, rv〉+ v′2〈rvv, rv〉 = 0

Eu′2 + 2Fu′v′ +Gv′2 = 1.

Inlocuind derivatele partiale rezultau′′ · 1 + v′′ · 0 + u′2 · 0 + 2u′v′ · 0 + v′2 · 0 = 0

u′′ · 0 + v′′ · 1 + u′2 · 0 + 2u′v′ · 0 + v′2 · 0 = 0

1 · u′2 + 2 · 0 · u′v′ + 1 · v′2 = 1,

de unde rezulta u′′ = 0 ⇒ u′ = a ⇒ u = at+ b

v′′ = 0 ⇒ v′ = c ⇒ v = ct+ d

u′2 + v′2 = 1 ⇒ a2 + c2 = 1.

(12.15)

Determinam curba α prin substituirea functiilor u si v obtinute ın ecuatia parametrica a suprafetei,

α(t) = r(u(t), v(t)) = (cos(at+ b), sin(at+ b), ct+ d).

Examinam curba α; distingem trei cazuri:i) a = 0; din a treia relatie (12.15) rezulta c = ±1, deci obtinem curbele

α1(t) = (cos b, sin b,±t+ d);

eliminand parametrul t din ecuatiile parametrice obtinute, rezulta ca acestea sunt generatoarele cilindruluiparalele cu axa Oz si aflate la distanta 1 de aceasta axa,

∆ :x− cos b

0=y − sin b

a=z − d

±1(= t).

ii) c = 0; dintr-a treia relatie (12.15) rezulta a = ±1, deci obtinem

α2(t) = (cos(±t+ b), sin(±t+ b), d).

Eliminand parametrul t, se constata ca s-a obtinut o familie de cercuri de ecuatii cartezienex2 + y2 = 1

z = d.

In concluzie, a doua familie de godezice ale cilindrului este formata din cercuri de sectiune transversala.iii) Daca a 6= 0, c 6= 0 si a2 + c2 = 1, atunci

α3(t) = (cos(at+ b), sin(at+ b), ct+ d).

Efectuand schimbarea de parametru θ = at + b rezulta t = θ−ba si ct + d = cθ

a − bca + d = mθ + n, unde am

notat m = ca , n = − bc

a + d. Atunci, reparametrizand curba α3, obtinem noua expresie

α3(θ) = (cos θ, sin θ,mθ + n).

Se observa ca s-a obtinut o familie de elice. In concluzie, geodezicele cilindrului sunt• drepte (generatoarele cilindrului),• cercuri (obtinute prin sectionarea cilindrului cu plane transversale pe axa sa de simetrie),• elice.

- 243-

Page 244: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

12.16 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare

1. Fie functia r : D → R3, r(u, v) = (cos 2πu, sin 2πu, v). Sa se arate ca r este o harta proprie si ca r(D) estesuprafata

M : x2 + y2 = 1, −1 < x < 1, y > 0, z ∈ R.

2. Fie imersia

r : x = u cos v, y = sin v, z = a ln(u+√u2 − a2, a > 0, u ∈ [a,∞), v ∈ R.

Sa se determine curbele de pe suprafata r([a,∞)×R) care intersecteaza curbele v = v0 sub un unghi constant.

3. Se considera functia

r : R2 → R3, r(u, v) = (1 + uv, u+ u2v, u2 + u3v).

1) Sa se arate ca r(R2) este o suprafata conica;2) Sa se gaseasca ecuatia carteziana a lui r(R2).

4. O suprafata care admite simultan parametrizarile

~r(u, v) = ~α(u) + v~β(u) si ~r(u, v) = ~γ(v) + u~ε(v)

se numeste dublu riglata.1) Sa se arate ca orice suprafata dublu riglata este o cuadrica;2) Se considera harta r definita prin

x = a

(u+

1v

), y = b

(u− 1

v

), z =

2uv, u ∈ R, v ∈ R\0.

Sa se arate ca imaginea r(R× (R\0)) este o suprafata dublu riglata. Sa se determine curbele coordonate alesuprafetei si ecuatia carteziana a suprafetei.

5. Sa se construiasca multimile de nivel M = f−1(c), pentru f(x, y, z) = x2 + y2 − z2 si c1 = −1, c2 =0, c3 = 1. Pentru fiecare dintre ele sa se cerceteze ın care puncte P spatiul tangent este [∇f(P )]⊥.

6. Fie suprafata M : xαyβzγ = 1, α, β, γ ∈ R. Planul tangent la M ın punctul (x0, y0, z0) intersecteazaaxele de coordonate respectiv ın punctele A,B,C. Sa se arate ca punctul (x0, y0, z0) este centrul de greutate al”maselor” α, β, γ aplicate respectiv ın A,B,C.

7. Fie D ⊂ R2 multime deschisa si conexa, iar r : D → R3 o parametrizare. Sa se arate ca daca normala lasuprafata r(D) are directia fixa, atunci suprafata este o parte a unui plan. Sa se verifice acest rezultat pentru

1) r : R2\(0, 0) → R3, r(u, v) = (u2 + v2, uv, (u+ v)2),2) r : R2\(u, v)/u > 0, v > 0, u− v > 0, u− 3v > 0 → R3,

r(u, v) =((u− v)2, u2 − 3v2,

v

2(u− 2v)

).

8. Suprafata generata prin rotirea unui cerc ın jurul unei axe continuta ın planul cercului (care nu inter-secteaza cercul) se numeste tor.

Fie a > b > 0 si functia r : R2 → R3 definita prin

r(u, v) = ((a+ b cos v) cosu, (a+ b cos v) sinu, b sin v).

1) Sa se arate ca r este o parametrizare a torului, dublu periodica si sa se determine ecuatia cartezianaimplicita..

2) Sa se arate ca torul este o suprafata conexa si compacta.

- 244-

Page 245: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

9. Fie suprafata M : z = f(x, y) orientata prin alegerea campului normal unitar

~U =−fx~ı− fy~+ ~k√

1 + f2x + f2

y

.

Presupunem ca f(0, 0) = fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0.1) Sa se arate ca ~ı si ~ sunt vectori tangenti la M ın (0, 0, 0).2) Sa se arate ca

S(~ı) = fx2(0, 0)~ı+ fxy(0, 0)~

S(~ı) = fxy(0, 0)~ı+ fy2(0, 0)~.

10. Fie M = f−1(1) unde f(x, y, z) = −x2 + y2 + z2. Sa se orienteze suprafata M . Sa se determinecurbura normala a suprafetei ın punctul P (0, 0, 1), ın directia ~v, unde ~v este un vector unitar, ~v ∈ TPM . Cazuriparticulare:

1) ~v =~ı = (1, 0, 0);2) ~v = ~ = (0, 1, 0);

3) ~v =(

1√2,

1√2, 0)

.

11. Fie k1, k2, curburile principale ale suprafetei S de separatie a unui lichid. Presiunea normala p, peelementul de suprafata, ıntr–un punct oarecare, este data de ecuatia Laplace σ(k1 + k2) = p, unde σ estetensiunea superficiala, considerata constanta. Sa se afle presiunea p cand S este:

1) Suprafata Enneper

x = Re∫

(1− t2)dt, y = Im∫

(1 + t2)dt, z = Re∫

2tdt, (t = u+ iv, i2 = −1).

2) Saua: z = xy.12. Fie suprafetele1) M : z = ex+y−1, 2) M : z = ln cosx− ln cos y, 3) M : z = (x+3y)3. Sa se determine curburile principale

si aproximarea patratica a suprafetei M ın jurul lui (0, 0, 0).13. Fie harta Monge r : x = u, y = v, z = f(u, v). Sa se arate ca

E = 1 + f2u , F = fufv, G = 1 + f2

v ,

l =fuu

W, m =

fuv

W, n =

fvv

W,

unde W =√

1 + f2u + f2

v .

14. Sa se arate ca lungimea imersiei (suprafata Enneper)

r : R2 → R3, r(u, v) =(u− u3

3+ uv2, v − v3

3+ u2v, u2 − v2

),

este o suprafata minimala.15. Pseudosfera. Fie α(u) = (x(u), y(u)), unde

x(u) =

u∫0

√1− e−2t, y(u) = e−u, u > 0

si fie M suprafata de rotatie obtinuta prin rotirea lui α ın jurul lui Ox. Sa se arate ca M are curbura GaussK = −1.

- 245-

Page 246: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

16. O suprafata pentru care K/d4 = const, unde K este curbura Gauss pe suprafata, iar d este distanta dela un punct fix la planul tangent ıntr–un punct oarecare al suprafetei, se numeste suprafata Titeica. Sa se arateca M : xyz − 1 = 0 este o suprafata Titeica si ca este conexa.

17. Se considera imersia definita prin

x = cosu cos v, y = cosu sin v, z = sinu− ln tg(π

4+u

2

), u ∈

(0,π

2

), v ∈ R.

Sa se determine liniile de curbura si liniile asimptotice al suprafetei

r((

0,π

2

)× R

).

18. Fie P centrul masei punctiforme m, care se misca pe o suprafata cu acceleratia ~a si fie ~N reactiunea(normala ın P la suprafata). Daca asupra particulei P nu actioneaza forte exterioare, atunci sa se arate ca Pdescrie o curba α, care este o geodezica a suprafetei.

19. Sa se gaseasca aria benzii Mobius riglate:

x = cosu+ v cosu cosu

2, y = sinu+ v sinu cos

u

2, z = v sin

u

2,

u ∈ [0, 2π], v ∈[−1

2,12

].

20. (Fibrarea tangenta). Fie M o hipersuprafata a lui Rn orientata prin campul normal unitar U . Sa searate ca

TM = (x, v) | x ∈M, (v, U) = 0

este o subvarietate de dimensiune 2n− 2 ın R2n.21. (Fibrarea sferica). Fie M o hipersuprafata a lui Rn orientata prin campul normal unitar U . Sa se arate

caTM = (x, v) | x ∈M, (v, U) = 0, (v, v) = 1

este o varietate cu 2n− 3 dimensiuni ın R2n.22. Sa se verifice ca semisfera

S = (x1, x2, x3) | (x1, x2, x3) ∈ R3, x21 + x2

2 + x23 = 1, x3 ≥ 0

este o suprafata cu frontiera ın R3. Fie(

1√2,

1√2, 0)

un punct de pe frontiera. Sa se scrie ecuatia planului

tangent la S ın acest punct si apoi sa se expliciteze un vector tangent la S orientat catre exterior, unul orientatcatre interior, unul tangent si unul normal la frontiera.

- 246-

Page 247: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MB.13.Algebra si analiza tensoriala

Cuvinte cheie: vectori contravarianti, vectori covarianti, baza, baza duala,paranteza Lie, crosetul a doua campuri de vectori, coordonate ortogonale,produs tensorial, tensori, campuri tensoriale, forme alternate, diferentiala,diferentiala exterioara, coeficientii Lame, simbolurile Christoffel, conexi-unea Levi-Civita, metrica Riemann, varietate Riemann, hessiana, gradient,divergenta, laplacian, rotor.

13.1 Vectori contravarianti si vectori covarianti

Fie V un spatiu vectorial real de dimensiune n. Elementele lui V se numesc vectori contravarianti si senoteaza cu v1, v2, . . . In raport cu o baza B = ei, i = 1, . . . , n orice vector v ∈ V se scrie unic ın formav = viei (regula Einstein de ınsumare). Numerele reale vi se numesc componentele contravariante ale luiv. Izomorfismul, sistem de coordonate liniar, f : V → Rn, f(v) = (v1, . . . , vn) da nastere la o structuradiferentiabila tipica pe V .

Trecerea de la baza B = ei la baza B′ = ei′ este descrisa de relatiile

ei′ = Aii′ei, i′ = 1, . . . , n.

Daca vi sunt componentele vectorului contravariant v ın raport cu baza B si vi′ sunt componentele lui v ınraport cu baza B′, atunci

vi′ = Ai′

i vi,

undeAi

i′Ai′

j = δij , Ai

i′Aj′

i = δj′

i′ , δij = simbolul Kronecker,

adica matricele [Aii′ ] si [Ai′

i ] sunt inverse una alteia. O transformare liniara ω : V → R se numeste 1-forma sauvector covariant. Reamintim ca liniaritatea functiei ω ınsemna

ω(u+ v) = ω(u) + ω(v), ω(ku) = kω(u), ∀u, v ∈ V, ∀k ∈ R.

Spatiul vectorial L(V,R) al tuturor 1-formelor definite pe V si cu valori ın R se numeste dualul lui V si senoteaza cu V ∗. Elementele lui V ∗ se noteaza cu ω1, ω2, . . ..

Fie B = ei o baza a lui V . Orice transformare liniara ω ∈ V ∗ este unic determinata unic de n numerereale ωi = ω(ei). De fapt v = viei si ω(v) = ω(viei) = viω(ei) = viωi. Mai mult, cele n 1-forme ei definite prin

ei(ej) = δij ,

constituie o baza B∗ = ei a lui V ∗ si ω = ωiei. Prin urmare spatiul vectorial V∗ are dimensiunea n. Multimea

B∗ ⊂ V ∗ se numeste baza duala bazei B ⊂ V . Numerele reale ωi se numesc componentele covariante ale luiω. Trecerea de la baza B∗ = ei la baza B′∗ = ei′ este descrisa de formulele

ei′ = Ai′

i ei, i, i′ = 1, . . . , n.

Daca ωi sunt componentele vectorului covariant ω ın raport cu baza B∗, iar ωi′ sunt componentele lui ω ınraport cu baza B′∗, atunci

ωi′ = Aii′ωi.

247

Page 248: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fie v un vector din V si ω un vector din V ∗. Daca fixam pe v, atunci functia fv : V ∗ → R, fv(ω) = ω(v)este o 1–forma pe V ∗ si deci un element din V ∗∗. Intr–adevar, ∀k1, k2 ∈ R, ∀ω1, ω2 ∈ V ∗, gasim

fv(k1ω1 + k2ω

2) = (k1ω1 + k2ω

2)(v) == k1ω

1(v) + k2ω2(v) = k1fv(ω1) + k2fv(ω2).

Fiecarui vector v ∈ V i se poate atasa 1–forma fv din V ∗∗. Sa aratam ca functia v → fv este un izomorfism dela V la V ∗∗. Mai ıntai observam ca este o transformare liniara,

fk1v1+k2v2(ω) = ω(k1v1 + k2v2) = k1ω(v1) + k2ω(v2) == k1fv1(ω) + k2fv2(ω) ⇒ fk1v1+k2v2 = k1fv1 + k2fv2 .

De asemenea se observa ca fv = 0 ⇔ v = 0, iar dim V = dim V ∗ = dim V ∗∗. Astfel functia, v → fv esteo bijectie si deci un izomorfism de la V la V ∗∗. In consecinta, daca f este o 1–forma pe V ∗, atunci exista unvector unic v ∈ V astfel ıncat f(ω) = ω(v), ∀ω ∈ V ∗.

Deoarece v → fv este un izomorfism canonic de la V la V ∗∗ se obisnuieste ca fv sa se identifice cu v si deciV ∗∗ sa se identifice cu V . In acest sens spunem ca V este dualul lui V ∗ sau ca V si V ∗ sunt duale unul altuia.

Avand ın vedere identificarea lui V ∗∗ cu V , bazele B = ei si B∗ = ei sunt duale una alteia.

13.2 Tensori

Fie V un spatiu vectorial real de dimensiune n si V ∗ dualul sau. Elementele lui V le notam cu v1, v2, . . . , iarelementele lui V ∗ le notam, cu ω1, ω2, . . .. Ne propunem sa extindem notiunile de vector contravariant si vectorcovariant. Pentru aceasta notam

V ∗ × . . .× V ∗ (p factori) = V ∗p, V × . . .× V (q factori) = V q.

2.1. Definitie. Un tensor de tipul (p, q) pe V , unde p, q ∈ N , este o functie

T : V p∗ × V q → R,

(ω1, . . . , ωp, v1, . . . , vq) → T (ω1, . . . , ωp, v1, . . . , vq)

liniara ın fiecare argument (multiliniara). Numarul p se numeste ordin de contravarianta, q se numeste ordinde covarianta, iar p+ q se numeste ordinul tensorului.

Multimea tuturor tensorilor de tipul (p, q) pe V se noteaza cu T pq (V ) si este un spatiu vectorial real de

dimensiune np+q (pentru dimensiune vezi teorema 2.3). Tensorul zero din T pq (V ) se defineste prin

0(ω1, . . . , ωp, v1, . . . , vq) = 0, ∀ω1, . . . , ωp ∈ V ∗, ∀v1, . . . , vq ∈ V.

Evident T 01 (V ) = V ∗ si se accepta identificarile T 0

0 (V ) = R, T 10 (V ) = V , adica tensorii de ordinul zero sunt

numere reale, iar tensorii de ordinul unu sunt vectori contravarianti (elementele lui V ) sau vectorii covarianti(1–forme, elementele lui V ∗). Spatiul vectorial al tuturor formelor biliniare se identifica cu T 0

2 (V ).Identificarea T 1

0 (V ) = V impune definitia v(ω) = ω(v), v ∈ V, ω ∈ V ∗.2.2. Definitie. Fie T p

q (V ), T rs (V ), T p+r

q+s (V ). Functia

⊗ : T pq (V )× T r

s (V ) → T p+rq+s (V )

definita prinS ⊗ T (ω1, . . . , ωp+r, v1, . . . , vq+s) =

= S(ω1, . . . , ωp, v1, . . . , vq)T (ωp+1, . . . , ωp+r, vq+1, . . . , vq+s)

se numeste produs tensorial.

- 248-

Page 249: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Se observa ca produsul tensorial este o aplicatie biliniara si asociativa, adica

(k1S1 + k2S2)⊗ T = k1S1 ⊗ T + k2S2 ⊗ T,

S ⊗ (k1T1 + k2T2) = k1S ⊗ T1 + k2S ⊗ T2, k1, k2 ∈ R,

S ⊗ (T ⊗ R) = (S ⊗ T )⊗ R.

Asociativitatea permite extinderea definitiei produsului tensorial la un numar finit de factori.In continuare determinam dimensiunea spatiului vectorial utilizand baza obtinuta prin produs tensorial din

bazele B ⊂ V si B∗ ⊂ V ∗.2.3. Teorema. Daca ei, i = 1, . . . , n este o baza a lui V , iar ej , j = 1, . . . , n este baza duala ın V ∗,

atunci multimeaei1 ⊗ . . .⊗ eip

⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejq , i1, . . . , ip, j1, . . . , jq = 1, . . . , n

este o baza a lui T pq (V ), numita baza produs. Deci dimT p

q (V ) = np+q.

Demonstratie. Multimea din teorema este liniar independenta. Intr–adevar, relatia

Ti1...ip

j1...jqei1 ⊗ . . .⊗ eip

⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejq = 0 (tensorul zero)

scrisa cu conventia Einstein de ınsumare, implica

0 = Ti1...ip

j1...jqei1 ⊗ . . .⊗ eip ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejq (ek1 , . . . , ekp , el1 , . . . , elq ) =

= Ti1...ip

j1...jqei1(e

k1) . . . eip(ekp)ej1(el1) . . . e

jq (elq ) =

= Ti1...ip

j1...jqδk1i1. . . δ

kp

ipδj1l1. . . δ

jq

lq= T

k1...kp

l1...lq, k1, . . . , kp, l1, . . . , lq = 1, . . . , n.

Sa aratam ca multimea din teorema genereaza pe T pq (V ). Pentru aceasta fie T ∈ T p

q (V ) si numerele realeT

i1...ip

j1...jq= T (ei1 , . . . , eip , ej1 , . . . , ejq ). Gasim T

i1...ip

j1...jqei1 ⊗ . . . ⊗ eip ⊗ ej1 ⊗ . . . ⊗ ejq (ek1 , . . . , ekp , el1 , . . . , elq ) =

T (ek1 , . . . , ekp , el1 , . . . , elq ). Deoarece T este multiliniar, iar ei, ej sunt baze duale, ultima relatie implica

Ti1...ip

j1...jqei1 ⊗ . . .⊗ eip

⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejq (ω1, . . . , ωp, v1, . . . , vq) =

= T (ω1, . . . , ωp, v1, . . . , vq), ∀ω1, . . . , ωp ∈ V ∗, ∀v1, . . . , vq ∈ V.

DeciT = T

i1...ip

j1...jqei1 ⊗ . . .⊗ eip ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejq ,

unde numerele realeT

i1...ip

j1...jq= T (ei1 , . . . , eip , ej1 , . . . , ejq

)

sunt componentele (coordonatele) tensorului T ın raport cu baza produs.

Fie Si1...ip

j1...jqcomponentele lui S, fie T i1...ip

j1...jqcomponentele lui T si fie k ∈ R. Componentele tensorilor kS, S+T

si S ⊗ T sunt respectivkS

i1...ip

j1...jq, S

i1...ip

j1...jq+ T

i1...ip

j1...jq, S

i1...ip

j1...jqT

k1...kp

l1...lq.

Fie ei, i = 1, . . . , n si ei′ , i′ = 1, . . . , n doua baze ın V si respectiv bazele duale ei si ei′ ın V ∗.

Schimbarea bazelor este descrisa de relatiile

ei′ = Aii′ ei, ei′ = Ai′

i ei,

undeAi′

i Aij′ = δi′

j′ , Aii′A

i′

j = δij .

Corespunzator,ei′1 ⊗ . . .⊗ ei′p ⊗ ej′1 ⊗ . . .⊗ ej′q =

Ai1i′1. . . A

ip

i′pAj′1

j1. . . A

j′qjq

ei1 ⊗ . . .⊗ eip⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejq .

- 249-

Page 250: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Aceasta implicavi′ = Ai′

i vi, ωj′ = Aj

j′ωj

si ın generalT

i′1...i′pj′1...j′q

= Ai′1i1. . . A

i′pipAj1

j′1. . . A

jq

j′qT

i1...ip

j1...jq.

Aceasta din urma poarta numele de regula de schimbare a componentelor unui tensor la o schimbare a bazei.Se observa ca schimbarea pentru indicii de covarianta se face cu ajutorul elementelor matricei A = [Ai

i′ ] ın timpce schimbarea pentru indicii de contravarianta se face cu ajutorul matricei A−1 = [Ai′

i ].Fie ω : V × . . .× V → R, (v1, . . . , vq) → ω(v1, . . . , vq), un tensor de tipul (0, q). Acesta se numeste1) simetric daca valoarea sa ramane aceeasi pentru toate permutarile posibile ale argumentelor,2) antisimetric daca valoarea sa dupa orice permutare a argumentelor este produsul dintre valoarea ınainte

de permutare si semnul permutarii.2.4. Definitie. Fie p > 0, q > 0, s = 1, . . . , p; t = 1, . . . , q. Aplicatia

trij : T p

q (V ) → T p−1q−1 (V )

definita prin

(trijT )(ω1, . . . , ωp−1, v1, . . . , vq−1) =

n∑k=1

T (ω1, . . . , ωs−1, ek, ωs, . . . , ωp−1,

v1, . . . , vt−1, ek, vt, . . . , vq−1),

unde ei este baza lui V , iar ej este baza duala din V ∗, se numeste contractie.Pe componente contractia actioneaza astfel

(trijT )i1...ip−1

j1...jq−1=

n∑k=1

Ti1...is−1kis...ip−1j1...jt−1kjt...jq−1

.

Exemple. 1) Daca T ij sunt componentele unui tensor mixt de ordinul doi, atunci T i

i = T 11 + . . .+ Tn

n esteun tensor de ordinul zero (numar real). Evident T i

i este urma matricei ale carei elemente sunt componenteleT i

j .

2) Fie T ijk un tensor de tipul (1, 2). Contractand pe i cu j obtinem vectorul covariant T i

ik; contractand pe icu k obtinem vectorul covariant T i

ji.

13.3 Ridicarea si coborarea indicilor

Presupunem ca V este un spatiu euclidian. Produsul scalar (, ) pe V este un tensor covariant de ordinul doi(forma biliniara), simetric si pozitiv definit. Aceasta se numeste metrica riemanniana pe V . Metrica inducetransformarea liniara nesingulara (izomorfism) G : V → V ∗, G(u)(v) = (u, v), ∀v ∈ V . Fie G−1 inversa lui G;daca ω ∈ V ∗, atunci (G−1w, v) = ω(v).

Fie ei o baza ortonormata ın V . Daca notam G(ei) = ei, i = 1, . . . , n, atunci G(ei)(ej) = 〈ei, ej〉 = δij ,adica ei(ej) = δij = (δi

j). Rezulta ca multimea ei este baza duala ın V ∗.Fie ek ⊗ el baza ın T 0

2 (V ). Metrica riemanniana si transformarea liniara nesingulara asociata G suntcaracterizate prin matricea [gkl] simetrica si pozitiv definita. Inversa lui (gkl) este o matrice simetrica, pozitivdefinita, si se noteaza cu (gkl); deci gklg

kj = δjl . Daca vk este un vector din V , atunci gklv

k este un vector dinV ∗; daca ωk este un vector din V ∗, atunci gklωk este un vector din V . Acestea se extind prin definitiile careurmeaza.

3.1. Definitie. Fie s = 1, . . . , p; t = 1, . . . , q si T ∈ T pq (V ). Functia definita prin

Gs,t : T pq (V ) → T p−1

q+1 (V ),

(Gs,tT )(ω1, . . . , ωp−1, v1, . . . , vq+1) = T (ω1, . . . , ωs−1,G(vt), ωs, . . . , ωp−1,

- 250-

Page 251: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

v1, . . . , vt, . . . , vq+1),

unde semnul ˆ ınseamna ca argumentul respectiv lipseste, se numeste coborarea indicilor.Pe componente,

(Gs,tT )i1...ip−1j1...jt−1sjt+1...jq+1

= gstTi1...is−1tis...ip−1j1...jt−1jt+1...jq+1

.

Analog, utilizand pe G−1, se defineste ridicarea indicilor.Izomorfismul G permite identificarea lui V cu V ∗. De asemenea prin intermediul coborarii si ridicarii indicilor

el induce un izomorfism ıntre T pq (V ) si T q

p (V ). In acest context vorbim despre componentele contravariante,mixte sau covariante (dupa caz) ale aceluiasi tensor. De exemplu,

gligmkTik, gliTik, Tik

sunt respectiv componentele contravariante, mixte si covariante ale tensorului de ordinul doi T = Tikei ⊗ ek.

13.4 Campuri vectoriale

Fie M o multime deschisa din Rn. Multimea F(M) a tuturor functiilor reale (campurilor scalare) diferentiabilede clasa C∞ definite pe M este un spatiu vectorial real. Deoarece ınmultirea functiilor reale este o operatieR–biliniara, comutativa, multimea F(M) este o algebra comutativa.

Fie x = (x1, . . . , xn) ∈M si f ∈ F(M). Unui vector Xx tangent la M ın punctul x i se asociaza numarul

Xx(f) =d

dtf(x+ tX)

∣∣∣∣t=0

numit derivata lui f ın raport cu Xx sau derivata lui f dupa directia Xx. Derivata dupa o directie areurmatoarele proprietati

Xx(af + bg) = aXx(f) + bXx(g)Xx(fg) = (Xx(f))g(x) + f(x)Xx(g)(aXx + bYx)(f) = aXx(f) + bYx(f),

unde Xx, Yx sunt vectorii tangenti la M ın punctul x, a si b ∈ R, f, g ∈ F(M).

Sa privim acum lucrurile dintr–un alt punct de vedere. Se observa ca daca dam regula f → Xx(f), atunci Xx

este bine determinat. Astfel suntem condusi la urmatoarea definitie care este potrivita pentru teoria campurilorvectoriale.

4.1. Definitie. O functie Xx : F(M) → R cu proprietatile

Xx(af + bg) = aXx(f) + bXx(g)Xx(fg) = (Xx(f))g(x) + f(x)Xx(g),

unde a, b ∈ R, f, g ∈ F(M), se numeste vector tangent la M ın punctul x.

In acest context se observa ca functia definita prin Ox(f) = 0, ∀f ∈ F(M) deci vectorul zero, ca si operatorii

de derivare partiala∂

∂x1

∣∣∣∣x

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣x

sunt vectori tangenti la M ın punctul x. De asemenea, daca f = g = 1,

atunci Xx(1) = 2Xx(1) si deci Xx(1) = 0. In plus Xx(c) = cXx(1) = 0, pentru orice functie constanta c.Identificand functiile constante cu valorile lor putem spune ca valorile oricarui vector tangent pe scalari suntnule.

Fie TxM multimea tuturor vectorilor tangenti la M ın punctul x. Elementele lui TxM sunt functii realedefinite pe F(M) si deci are sens suma a doi vectori tangenti si produsul dintre un numar real si un vectortangent. Mai mult, pentru fiecare x ∈M , multimea TxM este un spatiu vectorial real.

4.2. Teorema. Multimea

∂xi, i = 1, . . . , n

x0

este o baza a spatiului vectorial Tx0M (reper ın punctul

x0).

- 251-

Page 252: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Demonstratie. Evident∂

∂xi

∣∣∣∣x0

, i = 1, . . . , n, fac parte din Tx0M . Sa aratam ca ei sunt liniar independenti.

Pentru aceasta pornim de la relatia ai ∂

∂xi

∣∣∣∣x0

= 0 si folosim functiile coordonate xj : M → R, j = 1, . . . , n.

In baza definitiei 4.1, a faptului ca Tx0M este un spatiu vectorial si a observatiei∂xj

∂xi= δj

i rezulta

0 = ai ∂

∂xi

∣∣∣∣x0

(xj) = ai ∂xj

∂xi

∣∣∣∣x0

= aiδji = aj , j = 1, . . . , n.

A ramas sa demonstram ca

∂xi, i = 1, . . . , n

x0

genereaza pe Tx0M . Pentru aceasta observam ca pe o

vecinatate convexa a lui x0 si pentru orice f ∈ F(M) avem

f(x) = f(x0) +∫ 1

0ddtf(x0 + t(x− x0))dt =

= f(x0) +∫ 1

0

∑ni=1

∂f∂xi

∣∣∣(x0+t(x−x0))

(xi − xi0)dt

= f(x0) +∑n

i=1(xi − xi

0)gi(x),

undegi(x0) =

∂f

∂xi(x0).

Conform definitiei 4.1 si a observatiei ca valorile lui Xx pe constante sunt nule, gasim

Xx(f) =∑n

i=1Xx(xi − xi0)gi(x) +

∑ni=1(x

i − xi0)Xx(gi) =

=∑n

i=1Xx(xi)gi(x) +∑n

i=1(xi − xi

0)Xx(gi).

Inlocuirea x = x0, implica

Xx0(f) =n∑

i=1

Xx0(xi)∂f

∂xi(x0).

Tinand seama ca f ∈ F(M) este arbitrara si notand Xx0(xi) = ai, deducem

Xx0 = ai ∂

∂xi

∣∣∣∣x0

.

Numerele Xx0(xi) = ai se numesc componentele lui Xx0 , iar reperul

∂xi, i = 1, . . . , n

x0

se numeste reper

natural.Daca raportam pe Tx0M la reperul natural, atunci adunarea a doi vectori se reduce la adunarea compo-

nentelor corespunzatoare, iar ınmultirea unui vector cu un numar real se reduce la ınmultirea componentelorvectorului cu acel numar.

Exemplu. Pentru

X = 2∂

∂x− ∂

∂y, Y =

∂x+ 7

∂ysi k ∈ R

gasim

X + Y = 3∂

∂x+ 6

∂y, kX = 2k

∂x− k

∂y.

4.3. Definitie. Reuniunea TM = ∪x∈MTxM se numeste spatiul tangent al lui M . O functie

X : M → ∪x∈MTxM, X(x) ∈ TxM,

se numeste camp vectorial pe M .Adunarea dintre doua campuri vectoriale si produsul dintre o functie reala si un camp vectorial se definesc

punctual.

- 252-

Page 253: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Campurile vectoriale definite prin

x→ ∂

∂xi

∣∣∣∣x

, i = 1, . . . , n

si notate cu∂

∂xi, i = 1, . . . , n, se numesc campuri fundamentale (operatori de derivare partiala). Ansamblul

lor se numeste campul reperului natural.4.4. Teorema. Daca X este un camp vectorial pe M , atunci exista n functii reale Xi : M → R, i = 1, . . . , n

astfel ıncatX = Xi ∂

∂xi.

Demonstratie. Prin definitie X asociaza lui x ∈ M un vector X(x) tangent la M ın punctul x. Dar

X(x) = Xi(x)∂

∂xi

∣∣∣∣x

si regulile x→ Xi(x), x ∈M definesc (unic) functiile Xi : M → R.

Functiile reale Xi se numesc componentele (coordonatele) campului vectorial X. Campul vectorial X =

Xi ∂

∂xise numeste diferentiabil (de clasa C∞) daca componentele sale sunt diferentiabile (de clasa C∞).

Exemplu. X(x, y) = 2x∂

∂x+ ey ∂

∂yeste un camp vectorial de clasa C∞.

Alternativ, campul vectorial X poate fi privit ca fiind aplicatia X : F(M) → F(M) cu proprietatile

X(af + bg) = aX(f) + bX(g)X(fg) = (X(f))g + fX(g),

unde a, b ∈ R, iar f, g ∈ F(M).4.5. Definitie. Fie X si Y doua campuri vectoriale diferentiabile de clasa C∞ pe M . Campul vectorial

[X,Y ] definit prin f → [X,Y ](f) = X(Y (f))− Y (X(f)) se numeste crosetul (paranteza Lie) campurilor Xsi Y .

Evident [X,Y ] = −[Y,X]. De asemenea pentru oricare trei campuri vectoriale diferentiabile X,Y, Z sesatisface identitatea Jacobi

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0.

Multimea X (M) a tuturor campurilor vectoriale diferentiabile de clasa C∞ pe M este un spatiu vectorialreal infinit dimensional. Deoarece crosetul [, ] : X (M) × X (M) → X (M) este biliniar peste campul numerelorreale, multimea X (M) este ceea ce se cheama o algebra; crosetul fiind anticomutativ si verificand identitateaJacobi, algebra X (M) se numeste algebra Lie.

Fie TxM spatiul tangent la M ın punctul x si ωx o 1–forma ın x, adica o transformare liniara ωx : TxM → R.Multimea tuturor 1–formelor ın x este un spatiu vectorial real de dimensiune n, dualul lui TxM . Acest spatiuvectorial se numeste spatiul cotangent la M ın x si se noteaza cu T ∗xM .

4.6. Definitie. Fie f ∈ F(M). Functia dfx : TxM → R definita prin dfx(Xx) = Xx(f) se numestediferentiala lui f ın punctul x.

Aceasta definitie ımpreuna cu definitia vectorilor tangenti arata ca dfx este o 1–forma ın x.4.7. Teorema. Fie xj : M → R, j = 1, . . . , n, functiile coordonate pe M . Multimea dxj , j = 1, . . . , nx0

este o baza a lui T ∗x0M (reper ın punctul x0).

Demonstratie. Evident dxj |x0 , j = 1, . . . , n, apartin lui T ∗x0M . Fie

∂xi, i = 1, . . . , n

x0

reperul natural ın Tx0M . Tinand seama de definitia 4.6 deducem

dxj |x0

(∂

∂xi

)x0

=∂

∂xi

∣∣∣∣x0

(xj) =∂xj

∂xi

∣∣∣∣x0

= δji , i, j = 1, . . . , n,

si deci dxj , j = 1, . . . , nx0 este baza duala.

- 253-

Page 254: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Reperul dxj , j = 1, . . . , nx0 se numeste coreper natural ın x0.

Fie Xx = ai ∂

∂xi

∣∣∣∣x

. Rezulta dxj |x(Xx) = aidxj |x(

∂xi

)x

= aj . De asemenea orice 1–forma ωx ∈ T ∗xM se

scrie ωx = ωjdxj |x, ωj fiind componentele lui ωx ın raport cu coreperul natural. Rezulta ωx

(∂

∂xi

)x

= ωi,

adica componentele 1-formei ωx sunt valorile lui ωx pentru vectorii reperului natural ın x.Fie F(M) algebra functiilor reale diferentiabile peM si X (M) algebra Lie a campurilor vectoriale diferentiabile

pe M .

4.8. Definitie. O functie ω : X (M) → F(M), F(M)–liniara, ω(X)–diferentiabila ∀X ∈ X (M), se numeste1–forma diferentiala pe M .

Adunarea a doua 1–forme si produsul dintre o functie reala si o 1–forma se definesc punctual.Fie ω o 1–forma diferentiala. Valorile ωx sunt 1–forme ın punctele x. De aceea expresia locala a unei

1–forme diferentiale este ωx = ωj(x)dxj |x. Mai scurt, putem scrie ω = ωjdxj deoarece 1–formele diferentiale

dx1, . . . , dxn sunt duale campurilor fundamentale∂

∂x1, . . . ,

∂xn. Ansamblul dxj , j = 1, . . . , n se numeste

campul coreperului natural. Multimea tuturor 1–formelor diferentiale pe M va fi notata cu X ∗(M).

Precizare. Xx este un vector contravariant, X este un camp vectorial contravariant; ωx este un vectorcovariant, ω este un camp vectorial covariant.

O multime ordonata X1, . . . , Xn de campuri vectoriale se numeste camp de repere peM daca X1(x), . . . , Xn(x)este o baza ın TxM, ∀x ∈ M . Analog se defineste campul de corepere ω1, . . . , ωn. Acestea se numesc dualeunul altuia daca ωb(Xa) = δb

a. In general, campurile de repere (sau de corepere) nu exista decat pe o vecinatatea punctului x din M .

Daca Xa, a = 1, . . . , n este un camp de repere pe M , atunci orice alt camp vectorial V se exprima ın formaV = V aXa. Analog, daca ωb | b = 1, . . . , n este un camp de corepere, atunci orice alta 1–forma diferentiala ηse exprima ın forma η = ηbω

b.Fie x un punct din M caracterizat de doua randuri de coordonate (xi) = (x1, . . . , xn) si (xi′) = (x1′ , . . . , xn′).

Schimbarea de coordonate, definita pe o vecinatate din M a lui x, se scrie xi′ = xi′(xi) si admite inversa

xi = xi(xi′). Bazele

∂xi

x

, dxix se schimba ın

∂xi′

x

, dxi′x cu legaturile

∂xi

∣∣∣∣x

=∂xi′

∂xi(xi)

∂xi′

∣∣∣∣∣x

, dxj |x =∂xj

∂xj′(xj′)dxj′

∣∣∣∣x

.

si∂xi′

∂xi

∂xi

∂xj′= δi′

j′ ,∂xi

∂xi′∂xi′

∂xj= δi

j .

Daca

X = Xi ∂

∂xi= Xi′ ∂

∂xi′, ω = ωidx

i = ωi′dxi′ ,

atunci regulile de schimbare a componentelor campurilor vectoriale la o schimbare de coordonate sunt respectiv

Xi′ =∂xi′

∂xiXi, ωj′ =

∂xj

∂xj′ωj .

13.5 Campuri tensoriale

Notiunea de tensor de tipul (p, q) pe spatiul vectorial TxM este cunoscuta. Utilizand aceasta notiune introducemcampurile tensoriale.

5.1. Definitie. Fie T pq (TxM) multimea tuturor tensorilor de tipul (p, q) pe spatiul tangent TxM . O functie

T : M →⋃

x∈M

T pq (TxM), T (x) ∈ T p

q (TxM),

- 254-

Page 255: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

se numeste camp tensorial de tipul (p, q) pe M .Fie T p

q (M) multimea tuturor campurilor tensoriale pe M de tipul (p, q). Adunarea a doua elemente dinaceasta multime ca si produsul dintre o functie reala si un camp vectorial se definesc punctual. Multimea T p

q (M)este un spatiu vectorial real infinit dimensional. Identificari: T 0

0 (M) = F(M), T 10 (M) = X (M), T 0

1 (M) =X ∗(M).

Deoarece baza canonica ın T pq (TxM) este

∂xi1⊗ . . .⊗ ∂

∂xip⊗ dxj1 ⊗ . . .⊗ dxjq

x

,

expresia ın coordonate a lui T este

T (x) = Ti1...ip

j1...jq(x)

∂xi1⊗ . . .⊗ ∂

∂xip⊗ dxj1 ⊗ . . .⊗ dxjq .

Campul T se numeste diferentiabil daca functiile componente (coordonate) T i1...ip

j1...jqsunt diferentiabile.

Echivalent, un camp tensorial de tipul (p, q) este o functie

T : X ∗(M)× ..×X ∗(M)︸ ︷︷ ︸p factori

×X (M)× ..×X (M)︸ ︷︷ ︸q factori

→ F(M),

(ω1, . . . , ωp, X1, . . . , Xq) → T (ω1, . . . , ωp, X1, . . . , Xq),

F(M)–liniara ın fiecare argument. Identificarea T 10 (M) = X (M) impune definitia X(ω) = ω(X), X ∈

X (M), ω ∈ X ∗(M).Definitiile campurilor tensoriale simetrice respectiv antisimetrice ca si definitiile produsului tensorial si

contractiei pentru campuri tensoriale sunt evidente.Fie Si1...ip

j1...jqcomponentele campului tensorial S, fie T i1...ip

j1...jqcomponentele campului tensorial T si fie f ∈ F(M).

Componentele campurilor fS, S + T si S ⊗ T sunt respectiv

fSi1...ip

j1...jq, S

i1...ip

j1...jq+ T

i1...ip

j1...jq, S

i1...ip

j1...jqT

k1...kp

l1...lq.

Fie x un punct din M caracterizat pe de o parte prin coordonatele (x1, . . . , xn), iar pe de alta parte princoordonatele (x1′ , . . . , xn′) = (xi′), schimbarea de coordonate fiind xi′ = xi′(xi) cu inversa xi = xi(xi′), pe o

vecinatate a lui x continuta ın M . Baza

∂xi

x

se schimba ın

∂xi′

x

cu legatura∂

∂xi

∣∣∣∣x

=∂xi′

∂xi(xi)

∂xi′

∣∣∣∣x

;

corespunzator baza duala se schimba ın dxj′x cu legatura

dxj |x =∂xj

∂xj′(xj′)dxj′ |x. Evident,

∂xi′

∂xi

∂xi

∂xj′= δi′

j′ ,∂xi

∂xi′∂xi′

∂xj= δi

j .

Corespunzator∂

∂xi′1⊗ · · · ⊗ ∂

∂xi′p⊗ dxj′1 ⊗ · · · ⊗ dxj′q =

∂xi1

∂xi′1· · · ∂x

ip

∂xi′p

∂xj′1

∂xj1. . .

. . .∂xj′q

∂xjq

∂xi1⊗ · · · ⊗ ∂

∂xip⊗ dxj1 ⊗ · · · ⊗ dxjq

Aceasta implica regula de schimbare a componentelor unui camp tensorial de tipul (p, q) la o schimbare decoordonate,

Ti′1...i′pj′1...j′q

=∂xi′1

∂xi1. . .

∂xi′p

∂xip

∂xj1

∂xj′1. . .

∂xjq

∂xj′qT

i1...ip

j1...jq.

Observatie. In acest paragraf, ca si ın §3, 4, 5, multimea deschisa M poate fi ınlocuita cu orice subvarietatede dimensiune m ≥ 1, cu sau fara frontiera, a lui Rn.

- 255-

Page 256: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

13.6 Conexiune liniara

Fie Y un camp vectorial diferentiabil definit pe multimea deschisa M din Rn si Xx un vector tangent la M ınpunctul x. Vectorul

DXxY =

d

dtY (x+ tX)

∣∣∣∣t=0

tangent la M ın punctul x se numeste derivata covarianta a lui Y ın raport cu Xx. Daca Y = Y i ∂

∂xi, atunci

DXxY = Xx(Y i)

∂xi

∣∣∣∣x

. Aceasta notiune se extinde la derivata covarianta a unui camp vectorial Y ın raport

cu un camp vectorial X. Rezultatul este un camp vectorial care se noteaza cu DXY si a carui valoare este

DX(x)Y ; pe coordonate, DXY = X(Y i)∂

∂xi. Aceasta derivata are urmatoarele proprietati

(1)DfX+gY Z = fDXZ + gDY Z

DX(aY + bZ) = aDXY + bDXZ

DX(fY ) = X(f)Y + fDXY.

6.1. Definitie. O functie D : X (M) × X (M) → X (M), (X,Y ) → DXY cu proprietatile (1) se numesteconexiune liniara sau derivare covarianta pe M .

Fie D o conexiune liniara pe M . Functiile reale Γhij : M → R, h, i, j = 1, . . . , n, definite prin

D ∂

∂xi

∂xj= Γh

ij

∂xh

se numesc componentele conexiunii D. Aceste n3 functii reale determina unic pe DXY . Intr–adevar, daca

X = Xi ∂

∂xi, Y = Y j ∂

∂xj, atunci

DXY = DXi ∂

∂xi

(Y j ∂

∂xj

)= XiD ∂

∂xi

(Y j ∂

∂xj

)=

= Xi(

∂Y j

∂xi∂

∂xj + Y jD ∂

∂xi

∂∂xj

)=(

∂Y j

∂xi∂

∂xj + Y jΓhij

∂∂xh

)Xi =

=(

∂Y j

∂xi + ΓjihY

h)Xi ∂

∂xj = Y j,iX

i ∂∂xj ,

unde s-a notat

Y j,i =

∂Y j

∂xi+ Γj

ihYh.

O conexiune D determina urmatoarele doua campuri tensoriale:1) unul de tipul (1,2),

T : X (M)×X (M) → X (M), T (X,Y ) = DXY −DY X − [X,Y ],

numit campul tensorial de torsiune;2) altul de tipul (1,3),

R : X (M)×X (M)×X (M) → X (M),

R(X,Y )Z = DX(DY Z)−DY (DXZ)−D[X,Y ]Z,

numit campul tensorial de curbura.Coordonatele lui T si R ın raport cu bazele canonice sunt respectiv

T ijk = Γi

jk − Γikj ,

Rhijk =

∂Γhki

∂xj−∂Γh

ji

∂xk+ Γr

kiΓhjr − Γr

jiΓhkr.

- 256-

Page 257: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Conexiunea liniara D se numeste simetrica daca T = 0 sau echivalent Γijk = Γi

kj .La o schimbare a bazei ın punctul x, componentele conexiunii se schimba dupa legea locala

∂2xi′

∂xj∂xk= −Γi′

j′k′∂xj′

∂xj

∂xk′

∂xk+ Γh

jk

∂xi′

∂xh.

Fie D o conexiune liniara pe M si X ∈ X (M). Conexiunea liniara D induce derivarea covarianta ın raportcu X, notata DX care aplica pe T p

q (M) ın el ınsusi. Operatorul DX se defineste prin DXf = X(f), pentruf ∈ F(M), iar DXT este produs de derivarea covarianta folosind conexiunea de pe M , mai exact

(DXω)(Y ) = X(ω(Y ))− ω(DXY ), ω ∈ T 01 (M),

iar(DXT )(ω1, . . . , ωp, Y1, . . . , Yq) = X(T (ω1, . . . , ωp, Y1, . . . , Yq))−−T (DXω

1, ω2, . . . , ωp, Y1, . . . , Yq)− . . .− T (ω1, . . . , ωp, Y1, . . . , DXYq), T ∈ T pq (M).

Se verifica relatiaDX(S ⊗ T ) = DXS ⊗ T + S ⊗DXT, ∀S, T.

Daca DXT = 0, ∀X ∈ X (M), atunci T se numeste camp tensorial paralel ın raport cu conexiunea liniara D.Operatorul DX induce un operator general de derivare covarianta care aplica pe T p

q (M) ın T pq+1. Acesta

comuta cu contractia.Iata cateva reguli de derivare covarianta pe componente:

Y j,i = ∂Y j

∂xi + ΓjihY

h, ωj,i = ∂ωj

∂xi − Γhijωh,

T ij,k = ∂T i

j

∂xk + ΓikhT

hj − Γh

kjTih, (Y iωj),k = Y i

,kωj + Y iωj,k.

13.7 Metrici riemanniene

Reamintim ca un produs scalar pe TxM se numeste metrica riemanniana pe TxM .7.1. Definitie. Un camp tensorial g de tipul (0, 2) pe M cu proprietatea ca pentru fiecare x ∈M tensorul

g(x) este o metrica riemanniana pe TxM se numeste camp tensorial metric sau metrica riemanniana pe M .Perechea (M, g) se numeste varietate Riemann. Fie X si Y doua campuri vectoriale pe M . Cu ajutorul luig putem defini produsul scalar g(X,Y ), norma ‖X‖2 = g(X,X), si unghiul (daca X si Y nu au zerouri pe M)

cos θ =g(X,Y )‖X‖ ‖Y ‖

, θ ∈ [0, π].

De asemenea metrica riemanniana g induce un produs scalar, o norma, un unghi pe T pq (M), precum si operatiile

de ridicare si coborare a indicilor pentru orice camp tensorial pe M . Un camp de repere local X1, . . . , Xnpe M se numeste ortonormat daca g(Xa, Xb) = δab, adica X1(x), . . . , Xn(x) este o baza ortonormata ınTxM, ∀x ∈M .

Local, avem exprimarea g = gijdxi ⊗ dxj , unde gij = g

(∂

∂xi,

∂xj

). De asemenea, reamintim ca daca

coordonatele (xi) ale punctului x se schimba ın (xi′), atunci functiile gij se schimba dupa legea (locala)

gi′j′ =∂xi

∂xi′∂xj

∂xj′gij .

7.2. Teorema. Pe spatiul riemannian (M, g) exista o singura conexiune liniara simetrica D cu proprietatea

DX(g(Y, Z)) = g(DXY,Z) + g(Y,DXZ), ∀X,Y, Z ∈ X (M),

numita conexiune riemanniana (conexiunea Levi-Civita).

- 257-

Page 258: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Demonstratie. Mai ıntai observam ca relatia din teorema este echivalenta cu DXg = 0, ∀X ∈ X (M),adica cu faptul ca g este un camp tensorial paralel ın raport cu D. Pentru simplificarea demonstratiei vom lucradirect pe componente; fie gij componentele lui g si Γh

ij componentele lui D. Prin ipoteza

Γhij = Γh

ji, gij,k =∂gij

∂xk− Γh

kighj − Γhkjghi = 0.

Rezulta∂gjk

∂xi+∂gik

∂xj− ∂gij

∂xk= 2ghkΓh

ij

si deci

Γhij =

12ghk

(∂gjk

∂xi+∂gik

∂xj− ∂gij

∂xk

).

Astfel conexiunea riemanniana este caracterizata prin simbolurile Christoffel.

Exemple de metrici riemanniene. 1) Metrica uzuala pe Rn, g(Xx, Yx) = 〈Xx, Yx〉 = produsul scalarcanonic; gij(x) = δij .

2) Metrica stereografica pe Rn,

g(Xx, Yx) =4

(1 + k‖x‖2)2〈Xx, Yx〉, k ≥ 0; gij(x) =

4(1 + k‖x‖2)2

δij .

3) Metrica pe o bila deschisa,

M =x ∈ Rn|‖x‖2 < 1

−k, k < 0

, g(Xx, Yx) =

4(1 + k‖x‖2)2

〈Xx, Yx〉;

gij(x) =4

(1 + k‖x‖2)2δij .

4) Metrica Poincare pe semiplanul superior,

M = (x, y) ∈ R2, y > 0; gij(x, y) =1y2δij .

Facem precizarea ca ın unele lucrari, metrica este data prin patratul elementului de arc, ds2 = gijdxidxj .

Fie gij = δij metrica uzuala peM = Rn si (xi) coordonatele euclidiene (sistem de coordonate ortonormat) alepunctului x ∈ Rn. In acest caz, pentru orice camp tensorial, coordonatele covariante, mixte sau contravariantecoincid. In particular pentru un camp vectorial coordonatele contravariante coincid cu cele covariante si cu celeobisnuite din geometria analitica elementara numite deseori coordonate fizice.

Presupunem ca de la coordonatele euclidiene (xi) trecem la alte coorodonate (xi′), tot ale punctului x.Rezulta

gi′j′ =∂xi

∂xi′∂xj

∂xj′δij =

n∑i=1

∂xi

∂xi′∂xi

∂xj′.

Sistemul de coordonate (xi′) se numeste ortogonal daca gi′j′ = 0 pentru i′ 6= j′. In acest caz gi′i′(x) > 0, ∀x ∈Rn si functiile hi′ =

√gi′i′ , i

′ = 1, . . . , n, se numesc coeficientii Lame.

Fixam un sistem de coordonate (xi′) ortogonal. Fie campul vectorial X = Xi′ ∂

∂xi′. Coordonatele covariante

ale lui X sunt

Xj′ =n′∑

i′=1

gi′j′Xi′ = h2

j′Xj′

(fara sumare dupa j′). Pe de alta parte observam ca ansamblul format din campurile vectoriale

ti′ =∂x1

∂xi′∂

∂x1+ . . .+

∂xn

∂xi′∂

∂xn, i′ = 1, . . . , n,

- 258-

Page 259: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

este un camp de repere pe Rn. Ortonormand acest camp de repere ın raport cu metrica uzuala, obtinem

e1′ =1h1′

t1′ , . . . , en′ =1hn′

tn′ .

Cu aceasta, obtinem exprimarea

X = Xi′ ∂∂xi′ = Xi′ ∂xj

∂xi′∂

∂xj = X1′t1′ , . . .+Xn′tn′

= (h1X1′)e1′ + . . .+ (hn′X

n′)en′ ,

coordonateleXx1′ = h1′X

1′ , . . . , Xxn′ = hn′Xn′

numindu-se componente (coordonate) fizice ale campului vectorial X.

13.8 Operatori diferentiali

Fie (M, g) o varietate riemaniana, fie F(M) algebra functiilor diferentiabile de clasa C∞ pe M si X (M) algebraLie a campurilor vectoriale diferentiabile de clasa C∞ pe M .

Gradient. Fie f ∈ F(M). Campul vectorial grad f definit prin

g(X, gradf) = X(f) = df(X), ∀X ∈ X (M)

se numeste gradientul lui f .In coordonate,

gradf = gij ∂f

∂xj

∂xi; (gradf)i = gij ∂f

∂xj.

Din definitie se observa ca grad f este ortogonal hipersuprafetelor de nivel constant atasate lui f.Se verifica urmatoarele relatii

grad(a1f1 + a2f2) = a1gradf1 + a2gradf2grad(f1f2) = f1gradf2 + f2gradf1

grad f1f2

= f2gradf1−f1gradf2

f22

.

Demonstratie. g(X, grad(f1f2)) = X(f1f2) = f1X(f2) + f2X(f1) = f1g(X, gradf2) + f2g(X, gradf1) =g(X, f1gradf2 + f2gradf1), ∀X ∈ X (M). Rezulta grad(f1f2) = f1gradf2 + f2gradf1.

Operatorul grad: F(M) → X (M) definit prin f → gradf se numeste gradient.Hessiana. Fie f ∈ F(M). A doua derivata covarianta a lui f ın raport cu conexiunea riemanniana se

numeste hessiana lui f si se noteaza prin Hess f . Alternativ, hessiana este campul tensorial de tipul (0,2)definit prin

Hessf(X,Y ) = DX(df)(Y ) = X(df(Y ))− df(DXY ), ∀X,Y ∈ X (M).

In coordonate,

Hessf =(

∂2f

∂xj∂xk− Γh

jk

∂f

∂xh

)dxj ⊗ dxk, (Hessf)jk =

∂2f

∂xj∂xk− Γh

jk

∂f

∂xh.

Operatorul Hess: F(M) → T 02 (M) definit prin f → Hessf se numeste hessiana.

Divergenta. Fie X ∈ X (M), X = Xi ∂

∂xisi derivata sa covarianta Xi

,j ın raport cu conexiunea rieman-niana. Campul scalar divX definit prin contractia

divX = Xi,i =

∂Xi

∂xi+ Γi

ijXj

se numeste divergenta lui X.

- 259-

Page 260: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Fie g = gijdxi ⊗ dxj . Daca notam G = det[gij ], atunci

divX =1√G

∂(√GXi)∂xi

cu suma dupa i.

Intr-adevar, se observa ca

Γiij =

12gik

(∂gjk

∂xi+∂gik

∂xj− ∂gij

∂xk

)=

12gik ∂gik

∂xj

si tinand seama de regula de derivare a unui determinant,

∂G

∂xj=

∂G

∂gik

∂gik

∂xj= Ggik ∂gik

∂xj,

deducem

Γiij =

12G

∂G

∂xi=

1√G

∂√G

∂xj.

Deci

divX =∂Xi

∂xi+

1√G

∂√G

∂xjXj =

1√G

∂(√GXi)∂xi

.

Aceasta expresie a divergentei este des utilizata si permite dovedirea imediata a relatiei

div(fX) = X(f) + fdivX, f ∈ F(M), ∀X ∈ X (M).

Operatorul div: X (M) → F(M) definit prin X = Xi ∂∂xi → Xi, i, se numeste divergenta.

Laplacian. Operatorul ∆ definit prin∆f = div(grad)f

se numeste laplacian. Explicit

∆f =1√G

∂xi

(√Ggkl ∂f

∂xk

)= gkl

(∂2f

∂xk∂xl− ∂f

∂xhΓh

kl

),

adica ∆ este urma hessianei.

Rotor. Fie campul vectorial X = Xi ∂∂xi si ω = gijX

idxj , ωj = gijXi, 1-forma diferentiala asociata.

Campul tensorial rot X de tipul (0,2) definit prin

rotX = (ωj,i − ωi,j)dxi ⊗ dxj =(∂(gh

hjX

)∂xi − ∂(ghhiX

)∂xj)dxi ⊗ dxj

se numeste rotorul lui X. Operatorul rot: X (M) → T 02 (M), X → rotX, se numeste rotor. Evident

rot(gradf) = 0,

Se dovedeste ca daca M ⊂ R3, atunci campul tensorial rot X este echivalent cu un camp vectorial contravariantdefinit prin componentele

(rotX)i =1√G

(∂(gh

hkX

)∂xj − ∂(ghhjX

)∂xk),

unde i, j, k este o permutare ciclica a multimii 1, 2, 3. Tot ın acest context se verifica si relatiile

rot(rotX) = grad(divX)−∆Xdiv(rotX) = 0.

- 260-

Page 261: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

13.9 Forme alternate

Fie V un spatiu vectorial real de dimensiune n.9.1. Definitie. O q-forma sau forma alternata de ordinul q pe V este o functie

ω : V ⊗ . . .⊗ V︸ ︷︷ ︸q factori

→ R, (v1, . . . , vq) → ω(v1, . . . , vq)

care satisface urmatoarele conditii.1) multiliniara: pentru fiecare i ∈ 1, . . . , q si v1, . . . vi−1, vi+1, . . . , vq ∈ V restrictia v → ω(v1, . . . , vi−1, v, vi+1, . . . , vq)

este liniara,2) antisimetrica: pentru fiecare v1, . . . , vq ∈ V si pentru fiecare permutare σ a multimii 1, . . . , q se satisface

ω(vσ(1), . . . , vσ(q)) = (signσ)ω(v1, . . . , vq).Cu alte cuvinte, o q-forma pe V nu este altceva decat un tensor antisimetric de tipul (0,q) pe V . Multimea

tuturor q-formelor pe V se noteaza cu Fq(V ) si este un spatiu vectorial real cu (vezi teorema 9.3)

dimFq(V ) =Cq

n daca 0 ≤ q ≤ n0 daca q > n

.

Evident, F0(V ) = R, F1(V ) = V ?.9.2. Definitie. Fie Fp(V ), Fq(V ) si Fp+q(V ). Functia

∧ : Fp(V )×Fq(V ) → Fp+q(V )

definita prin(ω1 ∧ ω2)(v1, . . . , vp+q) =

=1

(p+ q)!

∑σ

(signσ)ω1(vσ(1), . . . , vσ(p))ω2(vσ(p+1), . . . , vσ(p+q)),

suma fiind luata dupa toate permutarile σ ale lui 1, . . . , p+ q, se numeste produs exterior.Se observa ca produsul exterior este o aplicatie biliniara si asociativa. Asociativitatea permite extinderea

definitiei produsului exterior la un numar finit de factori.Evident,

ω1 ∧ ω2 = (−1)pqω2 ∧ ω1.

9.3. Teorema. Daca ej , j = 1, . . . , n este o baza a lui V si ei, i = 1, . . . , n este o baza duala ın V ?,atunci multimea

ei1 ∧ . . . ∧ eiq , 1 ≤ i1 < . . . < iq ≤ neste o baza a lui Fq(V ), numita baza produs.

Demonstratie. Multimea din teorema este liniar independenta. Intr–adevar, relatia∑i1<...<iq

ωi1...iqei1 ∧ . . . ∧ eiq = 0 (q − forma zero),

implica0 =

∑i1<...<iq

ωi1...iqei1 ∧ . . . ∧ eiq (ej1 , . . . , ejq

) =

=∑

i1<...<iqωi1...iq

∑σ(signσ)ei1(eσ(j1)) . . . e

iq (eσ(jq)) =

=∑

i1<...<iqωi1...iq

∑σ(signσ)δi1

σ(j1). . . δ

iq

σ(jq) = ωj1...jq,

unde j1 < . . . < jq.Sa aratam ca multimea din teorema sau mai general multimea ei∧. . .∧eiq , i1, . . . , iq = 1, . . . , n genereaza

pe Fq(V ). Pentru aceasta, fie ω ∈ Fq(V ) si numerele reale ωi1...iq= ω(ei1 , . . . , eiq

). Gasim

ωi1...iqei1 ∧ . . . ∧ eiq (ej1 , . . . , e

jq )= ωi1...iq

1q!

∑σ(signσ)ei1(eσ(j1)) . . . e

iq (eσ(jq))

= 1q!ωi1...iq

∑σ(signσ)δi1

σ(j1)) . . . δiq

σ(jq)) = ωj1...jq= ω(ej1 , .., ejq

).

- 261-

Page 262: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Deoarece ω este multiliniara, ultima relatie implica

ωi1...iqei1 ∧ . . . ∧ eiq (v1, . . . , vq) = ω(v1, . . . , vq).

Deciω = ωi1...iqe

i1 ∧ . . . ∧ eiq = q!∑

j1<...<jq

ωj1...jqej1 ∧ . . . ∧ ejq ,

unde numerele reale q!ωj1...jq, j1 < . . . < jq, sunt coordonatele stricte ale q-formei ω.

13.10 Forme diferentiale alternate

Fie M o multime deschisa din Rn, fie TxM spatiul tangent la M ın punctul x si Fq(TxM) multimea tuturorq-formelor pe TxM .

10.1. Definitie. O functie

ω : M → ∪x∈MFq(TxM), ω(x) ∈ Fq(TxM),

se numeste q-forma diferentiala sau forma diferentiala alternata de ordinul q pe M .Cu alte cuvinte, o q-forma diferentiala este un camp tensorial antisimetric de tipul (0,2) pe M . Fie Fq(M)

multimea tuturor q-formelor diferentiale pe M . Adunarea a doua elemente din aceasta multime ca si produsuldintre o functie reala si o q-forma se definesc punctual.

Fie T ?xM dualul spatiului tangent. Baza canonica ın TxM este

∂xi, i = 1, . . . , n

x

,

iar duala sa, baza ın T ?xM este dxi, i = 1, . . . , nx. Baza indusa ın Fq(M) este dxi1 ∧ . . . ∧ dxiq , 1 ≤ i1 <

. . . < iq ≤ nx. Folosind sistemul de generatori dxi1 ∧ . . . ∧ dxiq, expresia ın coordonate a lui ω este

ω(x) = ωi1...iq(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxiq .

Functiile x→ ωi1...iq(x) se presupun diferentiabile de clasa C∞ pe M .

Fie F(M) algebra functiilor reale si X (M) algebra Lie a campurilor vectoriale. O q-forma diferentiala peM poate fi privita ca fiind functia

ω : X (M)× . . .×X (M) → F(M), (X1, . . . , Xq) → ω(X1, . . . , Xq),

F(M)-liniara ın fiecare argument si cu proprietatea

ω(Xσ(1), . . . , Xσ(q)) = (signσ)ω(X1, . . . , Xq),

unde σ este o permutare a multimii 1, . . . , q.Definitia produsului exterior pentru q-forme diferentiale este evidenta.Fie X ∈ X (M) si ω ∈ Fq(M). Prin contractia dintre X si ω ıntelegem (q − 1)-forma diferentiala X ω

definita prin(X ω)(X1, . . . , Xq−1) = ω(X,X1, . . . , Xq−1), X1, . . . , Xq−1 ∈ X (M).

10.2. Definitie. Fie Fq(M) si Fq+1()M . O functie R-liniara d : Fq(M) → Fq+1(M) cu proprietatile

d2 = 0d(ω1 ∧ ω2) = dω1 ∧ ω2 + (−1)qω1 ∧ dω2

X(dω) = d(X(ω)), ∀X ∈ X (M)X(ω) = X dω + d(X ω)

se numeste diferentiala exterioara.

- 262-

Page 263: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Utilizand derivata covarianta si crosetul putem scrie

dω(X1, . . . , Xq+1) =∑

1≤i≤q+1

(−1)i−1DXiω(X1, . . . , Xi−1, . . . , Xq+1)+

+∑

1≤i≤j≤q+1

(−1)i+jω([Xi, Xj ], X1, . . . , Xi−1, Xi+1, . . . , Xj−1, Xj+1, . . . , Xq+1).

Pe F(M) = F0(M) diferentiala exterioara se reduce la diferentiala obisnuita. Mai mult,

dω(x) = dωi1...iq(x) ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxiq .

O q-forma diferentiala ω cu proprietatea dω = 0 se numeste forma ınchisa. O (q + 1)-forma diferentiala ηcu proprietatea ca exista o q-forma ω astfel ıncat η = dω se numeste forma exacta.

Observatii. 1) Multimea deschisa M poate fi ınlocuita cu orice subvarietate de dimensiune m ≥ 1, cu saufara frontiera, a lui Rn.

2) FieM o subvarietate a lui Rn, de dimensiunem, cu sau fara frontiera. O forma volum peM este om-formadiferentiala ω pe M cu proprietatea ω(v1, . . . , vm) = ±1 ori de cate ori v1, . . . , vm este o baza ortonormata a luiTxM . O alegere a unei forme volum ω pe M se numeste orientare a lui M ; despre M se zice ca este orientata.

Fie M o subvarietate de dimensiune m ≥ 2, cu frontiera. O orientare pe M induce o orientare pe ∂M .3) In (R3, δij), 1-formele si 2-formele pot fi convertite ın campuri vectoriale prin corespondentele∑

fidxi (1)↔

∑fiUi

(2)↔ f1dx2 ∧ dx3 + f2dx

3 ∧ dx1 + f3dx1 ∧ dx2

df(1)↔ gradf

ω(1)↔ V ⇒ dω

(2)↔ rotV,

η(2)↔ V ⇒ dη = (divV )dx1 ∧ dx2 ∧ dx3.

13.11 Exercitii/probleme rezolvate

13.11.1 Enunturi

1. Aflati componentele campului vectorial X = ∂x− yx∂y ∈ X (R2\Oy) ın coordonate polare.

2. Aflati coeficientii Lame pentru coordonate cilindrice, baza ortonormata asociata si expresia metricii canoniceın coordonate cilindrice.

13.11.2 Solutii

1. Din oficiu: 1pt. Componentele ın coordonate carteziene ale campului X sunt X1 = 1, X2 = −y/x, iarschimbarea de coordonate cartezian/polar

(x1, x2) = (x, y) ⇒ (x1′ , x2′) = (ρ, θ) (13.1)

este data de x = ρ cos θy = ρ sin θ ⇔

ρ =

√x2 + y2

θ = atan (y/x).(1 pt.) (13.2)

- 263-

Page 264: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Formulele de schimbare a componentelor au forma

Xi′ =∂xi′

∂xiXi

ın care intervine matricea Jacobi, ai carei coeficienti sunt(∂xi′

∂xi

)i′,i=1,2

=(∂xi

∂xi′

)−1

i,i′=1,2

=(

cos θ −ρ sin θsin θ ρ cos θ

)−1

=

cos θ sin θ

− sin θρ

cos θρ

. (2 pt.)

Vechile componente se rescriu ın noile coordonate polare astfelX1 = 1X2 = − tan θ, (2 pt.)

deci noile componente vor fiX1′ =

∂x1′

∂xiXi =

∂x1′

∂x1X1 +

∂x1′

∂x2X2 = cos θ · 1 + sin θ · (− tan θ)

X2′ =∂x2′

∂xiXi =

∂x2′

∂x1X1 +

∂x2′

∂x2X2 = − sin θ

ρ · 1 + cos θρ · (− tan θ),

(2 pt.)

si deci descompunerea campului vectorial X relativ la sistemul polar este

X = X1′∂x1′ +X2′∂x2′ =cos 2θcos θ

∂ρ− 2 sin θρ

∂θ. (2 pt.) Total: 10pt.

2. Utilizam formulele de trecere de la coordonate carteziene la coordonate cilindrice,

(x1, x2, x3) = (x, y, z) ⇒ (x1′ , x2′ , x3′) = (ρ, θ, z),

date de x = r cos θ, y = r sin θ, z = z. Atunci vectorul de pozitie ~r = x~i + y~j + z~k, care se rescrie sub forma~r = ρ cos θ~i+ ρ sin θ~j + z~k, are derivatele partiale

~ru = ~rρ = cos θ~i+ sin θ~j~rv = ~rθ = −ρ sin θ~i+ ρ cos θ~j~rw = ~rz = ~k.

Atunci coeficientii Lame vor fi Hu = ||~ru|| = 1Hv = ||~rv|| = ρHw = ||~rw|| = 1,

iar baza ortonormata asociata coordonatelor cilindrice este~eu = cos θ~i+ sin θ~j

~ev = − sin θ~i+ cos θ~j

~ew = ~k.

In noile coordonate (u, v, w), folosind coeficientii Lame, metrica canonica se rescrie

g = δijdxidxj = dx2 + dy2 + dz2 ⇔ H2udu2 +H2

vdv2 +H2wdw2,

deci ın final rezulta expresia acesteia ın coordonate cilindrice va fi:

g = ds2 = dρ2 + ρ2dθ2 + dz2.

- 264-

Page 265: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

13.12 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare

1. Sa se expliciteze sumeleωiv

i, T iij , ωiT

ij , T

ijv

j .

2. Sa se verifice ca (, ) : T 11 (V )× T 1

1 (V ) → R, (S, T ) = SijT

ji este un produs scalar pe T 1

1 (V ).3. Fie T ∈ T2(V ) si [Tij ] matricea coordonatelor sale. Sa se verifice ca la o schimbare a bazei, avem

det[Ti′j′ ] = (det[Aii′ ])

2 det[Tij ].

4. Se dau X = 2x∂

∂x+ y2 ∂

∂y, Y = sinx

∂x+ xy

∂y. Sa se gaseasca [X,Y ]. Apoi, luand ω = −xdx+ ydy,

sa se calculeze ω(X) si ω(Y ).5. Pe M : x > 0, y > 0, consideram campul tensorial

T = (x2 + y2)∂

∂x⊗ ∂

∂x+ arccos

x√x2 + y2

∂y⊗ ∂

∂y.

Sa se gaseasca componentele lui T ın coordonate polare.6. Pe R3\Oz se considera campul vectorial

X = x∂

∂x+ y

∂y+ z

∂z.

Sa se gaseasca componentele lui X ın coordonate sferice.7. Pe R2 se dau: conexiunea D de componente

Γijk(x) =

1 pentru i = j = 1, k = 2 sau i = k = 1, j = 20 ın rest

si

X = x∂

∂z− y

∂y, Y =

∂x− ex ∂

∂y, ω = xydx+ eydy.

Sa se calculeze DXY, DX(Y ⊗ ω).8. Se da varietatea riemanniana (R3\Oz, δij). Sa se expliciteze componentele metricii, coeficientii Lam

pr e si simbolurile Christoffel, ın coordonate cilindrice si sferice.9. Fie

M = (x, y) ∈ R2, y > 0, gij(x, y) =1y2

δij ,

f(x, y) =√x2 + y2, X = y

∂x+ x2y

∂y.

Sa se determine grad f , Hess f , div X, ∆f , rot X.10. Sa se calculeze dω pentru fiecare din formele diferentiale

ω = x2dx+ y2dy + z2dz, ω = exydx ∧ dz, ω =1

x+ y + z(dx+ dy + dz),

ω = (1 + 2xyz2)dy ∧ dz − y2z2dz ∧ dx+ xy2dx ∧ dy.

11. Sa se arate ca algebra operatorilor diferentiali partiali cu coeficienti constanti este izomorfa cu algebramultiplicativa a polinoamelor.

Indicatie.∂

∂xi→ xi este un izomorfism.

- 265-

Page 266: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

- 266-

Page 267: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MB.14.Aplicatii cu soft dedicat

Cuvinte cheie: bibliotecile Maple ”geometry”, ”geom3d” si ”plots”; comen-zile Maple ”plot”, ”plot3d”, ”spacecurve” si ”display”; comenzile Maple”implicitplot”, ”implicitplot3d”, ”animate” si ”animate3d”

14.1 Exemple ilustrative. Programe MAPLEr

1. Geometrie analitica: operatii cu vectori liberi# Input: vectorii liberi u,v,w;# Output: produs vectorial, scalar si mixt, unghi, norma, proiectie;> restart: with(linalg):> u:=vector(3,[1,2,3]); v:=vector(3,[2,3,4]); w:=vector(3,[1,4,2]); # u,v,w# produs vectorial, produs scalar> a:=crossprod(u,v); s:=innerprod(u,v); # a= uxv, s= <u,v># unghi> Theta:=In/U/V; angle(u,v); # unghiul dintre u si v> A:=norm(a)/2; # A=||a||/2> c:=crossprod(v,w); d:=crossprod(u,c); # c=vxw, d= <u,c># produs mixt> d2:=evalm(innerprod(u,w)*v-innerprod(u,v)*w); # d2=<u,w>v-<u,v>w> m1:=crossprod(u,v); # m1 = uxv> m:=crossprod(m1,w); # m = <m1,w>> e:=innerprod(v,v); # e = <v,v>> pro:=(evalm(s)/evalm(e))*evalm(v); evalm(pro); # proiectia lui u pe v> dif:=evalm(d)-evalm(d2); # verificare

2. Geometrie analitica: dreapta si planul# 2a.# Input: Punctele A1,A2,A3 si vectorii v1, v2;# Output: drepte, plane, vector normal la plan, distante, unghiuri,

proiectii, simetrii, intersectii> restart: with(geom3d): with(linalg):> point(A1,1,5,0); point(A2,2,3,4); point(A3,1,0,-2); # A1,A2,A3> v1:=[1,-2,1]; n1:=[0,-1,2]; # v1,n1# dreapta prin doua puncte, respectiv dreapta printr-un punct si o directie data> line(d1,[A1,A2]); Equation(d1,\c t’); # d1=dr(A1,A2)> line(d2,[A3,v1]); Equation(d2,\c t’); # d2=dr(A3,v1)# planul printr-un punct si cu vectorul normal dat, resp. planul prin trei puncte> plane(p1,[A3,n1]); Equation(p1,[x,y,z]); # p1=pl(A3,n1)> plane(p2,[A1,A2,A3]); Equation(p2,[x,y,z]); # p2=pl(A1,A2,A3)# distante> e1:=distance(A1,A2); e2:=distance(A1,d2); # e1=d(A1,A2), e2=d(A1,d2)

267

Page 268: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

> e3:=distance(A2,p1); e4:=distance(d1,d2); # e3=d(A2,p1), e4=d(d1,d2)# unghiuri> u1:=FindAngle(d1,d2); # u1=unghiul dintre d1 si d2> u2:=FindAngle(p1,p2); # u2=unghiul dintre p1 si p2> u3:=FindAngle(p2,d2); # u3=unghiul dintre p2 si d2# proiectii> projection(R1,d1,A3); coordinates(R1); # R1=proiectia lui A3 pe d1> projection(R2,p1,A1); coordinates(R2); # R2=proiectia lui A1 pe p1> projection(d3,d2,p2); Equation(d3,\c t’); # d3=proiectia lui d2 pe p2# simetrii> w1:=coordinates(A1); w2:=coordinates(A2); w3:=coordinates(A3);> point(S0,2*w2-w1); coordinates(S0); # S0=simetricul lui A1 fata de A2> tz1:=coordinates(R1); point(S1,2*tz1-w3); coordinates(S1);> # S1=simetricul lui A3 fata de R1> tz2:=coordinates(R2); point(S2,2*tz2-w1); coordinates(S2);> # S2=simetricul lui A1 fata de R2# verificari> evalf(distance(A3,d1)-distance(A3,R1));> evalf(distance(A1,p1)-distance(A1,R2));> point(A4,0,2,-3); qro:=coordinates(A4);> projection(B4,A4,p2); pro:=coordinates(B4); 2*pro-qro;

# 2b.# Input: Punctele A, B, C, E si vectorul v2;# Output: drepte, plane, vector normal la plan, distante, unghiuri,

proiectii, simetrii, intersectii> restart: with(linalg): with(geom3d):> point(A,2,3,-5); point(B,1,2,1); # A,B> point(C,1,5,3); point(E,1,1,1); # C,E> v2:=[3,1,-1]; # v2# ecuatiile dreptei prin doua puncte> line(d1,[A,B]); Equation(d1,\c t’); # d1=dr(A,B)> line(d3,[B,C]); Equation(d3,\c t’); # d3=dr(B,C)> line(d5,[A,E]); Equation(d5,\c t’); # d5=dr(A,E)# ecuatiile dreptei ce trece printr-un punct si are vector director dat> line(d2,[C,v2]); Equation(d2,\c t’); # d2=dr(C,v2)> line(d4,[B,v2]); Equation(d4,\c t’); # d4=dr(B,v2)# extragerea vectorului director> v1:=ParallelVector(d1); # v1||d1# proiectie (punct pe dreapta)> projection(D,A,d2); coordinates(D); # D=proi. lui A pe d2# ecuatia planului dat de punct si doua directii; extragerea vectorului normal> plane(p1,[A,d3,d4]); Equation(p1,[x,y,z]); # p1=pl(A,d3,d4)> n1:=NormalVector(p1); # n1||p1# proiectii (punct pe plan)> projection(F,E,p1); coordinates(F); # proi.pct.E pe p1# intersectia dintre o dreapta si un plan> intersection(V,d2,p2); detail(V); coordinates(V);# verificari (distante aflate cu ajutorul proiectiilor determinate anterior)> distance(E,p1); distance(E,F); # distanta de la un punct la un plan> distance(A,d2); distance(A,D); # distanta de la un punct la o dreapta> q:=crossprod(v1,v2); line(d8,[A,v1]);

3. Geometrie analitica: plotari de drepte si conice

- 268-

Page 269: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

# Input: 5 curbe in reprezentare parametrica;# Output: plotari simultane si plotarea punctelor de intersectie a doua curbe;> restart: with(linalg): with(plots): with(plottools):# curbe in reprezentare parametrica> x1:=3*cos(t1); y1:=2*sin(t1); # C1> x2:=3*cosh(t2); y2:=2*sinh(t2); # C2> x3:=t3^2; y3:=2*t3; # C3> x4:=t4+2; y4:=t4-1; # C4> x5:=3*t5; y5:=2*t5+1; # C5# plotarea curbelor C1,C2 si C3> d1:=plot([x1,y1,t1=-3..3],color=blue):> d2:=plot([x2,y2,t2=-3..3],color=red):> d3:=plot([x3,y3,t3=-3..3],color=green):> display(d1,d2,d3); # plot. simultana a curbelor C1,C2,C3# plotarea curbelor C4 si C5> d4:=plot([x4,y4,t4=-3..3],color=blue):> d5:=plot([x5,y5,t5=-3..3],color=red):> display(d4,d5); # plotarea simultana a curbelor C4,C5# aflarea punctelor de intersectie ale curbelor C4 si C5> w1:=solve(x4=x5,t4); # sol. t4 a ecuatiei x4=x5 fnc. de t5> t5_:=solve(subs(t4=w1,y5=y4)); t4_:=subs(t5=t5_,w1);> # t4_ si t5_ sunt param. in pct. de intersectie> xp1:=subs(t4=t4_,x4); yp1:=subs(t4=t4_,y4);> xp2:=subs(t5=t5_,x5); yp2:=subs(t5=t5_,y5);> # pct. de intersectie (xp1,yp1)=(xp2,yp2)# plotarea punctelor de intersectie ale curbelor C1 si C2> plot([[xp1,yp1],[xp2,yp2]],style=point,color=green);

4. Geometrie analitica: plotari simultane de drepte si conice# Input: doua drepte si trei conice;# Output: plotari simultane ale acestora

# 4a.> restart; with(plots): with(linalg): with(plottools):> # prima dr. in exprimare parametrica> d1:=[3*t+2,2*t-1]: # d1# prima dreapa in exprimare carteziana> a:=solve(x=d1[1],t): # a= sol. t a ecuatiei x=3t+2 fnc. de x> b:=subs(t=a,y=d1[2]): # b= d1 in expr. cartez. (ec. in x si y)# a doua dreapta in exprimare carteziana> d2:=3*x-5*y-4: # d2# punctul de intersectie al celor doua drepte> A:=solve(b,d2,x,y); # A= solutia in x si y a sistemului b=0, d2=0> p1:=point([rhs(A[1]),rhs(A[2])],color=blue): # plotarea punctului A# plotare drepte> p2:=implicitplot(d2,x=-25..65,y=-25..65,color=green):> p3:=plot([d1[1],d1[2],t=-25..25]):> display(p1,p2,p3); # plotarea simultana a dr. d1, d2 si d3# curbe in exprimare carteziana> c1:=x^2/4+y^2=1: c2:=x^2-y^2/9=1: c3:=y^2-2*x=0: # c1, c2 si c3# plotarea celor 3 curbe> f1:=implicitplot(c1,x=-10..10,y=-10..10,color=red):> f2:=implicitplot(c2,x=-10..10,y=-10..10,color=blue):> f3:=implicitplot(c3,x=-10..10,y=-10..10,color=green):> display(f1,f2,f3); # plot. simult. a conicelor c1,c2 si c3

- 269-

Page 270: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

# 4b.> restart: with(plots): with(plottools):# drepte in exprimare parametrica, respectiv carteziana>d1:=x=t+2,y=-2*t; d2:=y-2*x+4=0; # d1, d2# prima dreapta in exprimare carteziana>s:=solve(d1[1],t); # sol. t a ecuatiei x=t+2 functie de x>d1_:=subs(t=s,d1[2]); # d1_= ec. carteziana a dreptei d1# punctul de intersectie al celor 2 drepte>A:=solve(d1_,d2,x,y); # A= punctul de intersectie al dr. d1 si d2>x0:=rhs(A[1]); y0:=rhs(A[2]); # (x0, y0)= coordonatele punctului A# plotari>fig1:=implicitplot(d2,x=-10..10,y=-10..10): # plotarea dreptei d2>fig2:=plot([rhs(d1[1]),rhs(d1[2]),t=-10..10]): # plotarea dreptei d1>l:=point([x0,y0],color=green):>plots[display](l); # plotarea punctului A>plots[display](fig1,fig2,l); # plotarea simultana a dr. d1,d2 si a pct.A# curbe (in exprimare parametrica sau carteziana)>c1:=x=3*cos(s),y=2*sin(s); c2:=9*x^2-y^2=1; c3:=y^2-2*x; # c1, c2 si c3# plotari curbe>fig3:=plot([rhs(c1[1]),rhs(c1[2]),s=-10..10],color=red):>fig4:=implicitplot(c2,x=-10..10,y=-10..10,color=green,numpoints=5000):>fig5:=implicitplot(c3,x=-10..10,y=-10..10,color=blue,numpoints=3000):>plots[display](fig3,fig4,fig5); # plotarea simultana a curbelor c1,c2,c3

5. Geometrie analitica: transformari geometrice si reprezentari de conice

# 5a.# Input: ecuatii elipsa si hiperbola;# Output: plotari elipsa, hiperbola, translatie, rotatie,# reflectie (simetrie fata de o dreapta), omotetie;> restart: with(plottools): with(plots):# ecuatie elipsa> eq:= (x-x0)^2/a^2 + (y-y0)^2/b^2 = 1; a:= 3: b:= 2: x0:= 0; y0:=0;# plotare elipsa> elli:= ellipse([x0,y0], a, b, filled=true, color=gold): # elipsa> plots[display](elli, scaling=constrained,title=‘Elipsa‘,titlefont=[TIMES,BOLD,18]);# ecuatie hiperbola> eq:= (x-x0)^2/a^2 - (y-y0)^2/b^2 = 1; a:= 3: b:= 2: x0:= 0: y0:= 0:> h:= hyperbola([x0,y0], a, b, -2..2): # hiperbola# plotare hiperbola> display(h,title=‘Hiperbola‘,titlefont=[TIMES,BOLD,18]);# plotari dupa ce s-au operat transformari geometrice: translatie, rotatie,# oglindire (simetrie fata de o dreapta), omotetie (scalare izotropa),# scalare (scalare anizotropa)> display([elli,translate(elli,-2,-3)]); # translatie> display([h,translate(h,-2,-3)]); # translatie> display(rotate(elli, Pi/6)); # rotatie> display(rotate(h, Pi/6)); # rotatie> display(reflect(elli,[[-1,2],[2,1]])); # oglindire> display(reflect(h,[[-1,2],[2,1]])); # oglindire> display(plottools[homothety](elli,1/2)); # omotetie> display(plottools[homothety](h,1/2)); # omotetie> display(scale(elli,3,1/2,[0,0])); # scalare> display(scale(h,3,1/2,[0,0])); # scalare

- 270-

Page 271: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

# 5b.# Input: ecuatiile pentru tor si sa;# Output: plotari: tor, sa transformate (translatie, rotatie, scalare, omotetie);> restart: with(plots): with(plottools):> c:=torus([0,0,0],2,3): # c (tor)> plots[display](c,scaling=constrained,

title=‘Torus‘,titlefont=[TIMES,BOLD,18]); # plotare tor c> plot3d(x*y,x=-1..1,y=-1..1); # plotare sa> e1:=4*cos(u)*sin(v);e2:=2*sin(u)*sin(v);e3:=3*cos(v); # ec.par. sa> plot3d([e1,e2,e3],u=-Pi..Pi,v=-Pi..Pi,scaling=constrained, # plotare sa

title=‘Shea‘,titlefont=[TIMES,BOLD,18]);> display([c,translate(c,-,1,3)],scaling=constrained,title=‘Translate‘

titlefont=[TIMES,BOLD,18]); # translatie> plots[display](rotate(c,Pi/4,[[1,1,2],[-2,3,1]]),scaling=constrained,

title=‘Rotate‘,titlefont=[TIMES,BOLD,18]); # rotatie> q1:=reflect(c,[1,1,2],[-2,3,1]):> # torul simetrizat in relativ la o dreapta> plots[display]([c,q1],scaling=constrained,title=‘Reflect‘,

titlefont=[TIMES,BOLD,18]); # oglindire> o:= plottools[homothety](c,1/2):> plots[display]([c,o],scaling=constrained,title=‘Homothety‘,

titlefont=[TIMES,BOLD,18]); # omotetie> M:=scale(c,2,3,1/3):> plots[display]([c,M],scaling=constrained,title=‘Scaling‘,

titlefont=[TIMES,BOLD,18]); # scalare

6. Geometrie diferentiala: plotarea unui fascicul animat de suprafete# Input: patru suprafete (r1,r2,r3,r4) n reprezentare parametrica;# Output: plotarea fasciculului determinat de r1,r2 si a celui det. de r3,r4> restart: with(plots):> r1:=[cos(u)*cosh(v),sin(u)*cosh(v),sinh(v)]; # r1> r2:=[cos(u)*sinh(v),sin(u)*sinh(v),cosh(v)]; # r2> r3:=[u*cos(v),u*sin(v),u^2]; r4:=[u,v,u*v]; # r3,r4> f1:=evalm(t*r1+(1-t)*r2); # f1; fascicule de suprafete> f2:=evalm(s*r3+(1-s)*r4); # f2; plotarea animata a celor doua fascicule> animate3d(f1,u=-0..2*Pi,v=-2..2,t=0..1);> animate3d(f2,u=-2..2,v=0..2*Pi,s=0..1,frames=20);

7. Geometrie diferentiala: suprafete parametrizate - curburi si reprez. grafica# Input: suprafata r;# Output: prima si a 2-a forma fundamentala, curbura totala si curbura medie;> restart: with(plots): with(geom3d): with(linalg):> r:=[u,v,u^2-v^2]; # suprafata r, derivate partiale> r_u:=diff(r,u); r_v:=diff(r,v); # prima forma fundamentala> E:=innerprod(r_u,r_u); # E = <r_u, r_u>> F:=innerprod(r_u,r_v); # F = <r_u, r_v>> G:=innerprod(r_v,r_v); # G = <r_v, r_v>> i:=matrix(2,2,[E,F,F,G]); # i = matricea primei forme fundamentale> r_uu:=diff(r_u,u); # der. partiale de ordinul al doilea> r_uv:=diff(r_u,v); r_vv:=diff(r_v,v);> n:=evalm((crossprod(r_u,r_v))/norm((crossprod(r_u,r_v),2)));> # n= vectorul normal la suprafata r> L:=innerprod(r_uu,n); # a doua forma fundamentala; L= <r_uu, n>> M:=innerprod(r_uv,n); # M= <r_uv, n>

- 271-

Page 272: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

> N:=innerprod(r_vv,n); # N= <r_vv, n>> ii:=matrix(2,2,[L,M,M,N]); # II= matricea formei II fundamentale> k:=det(ii)/det(i); H:=(1/2)*((E*N+G*L-2*F*M)/det(i)); # curb.Gauss k si medie H> imag1:=plot3d(r,u=-2..2,v=-2..2,color=red): # plotari> imag2:=plot3d([u,v,k],u=-2..2,v=-2..2,color=blue):> imag3:=plot3d([u,v,H],u=-2..2,v=-2..2,color=green):> display(imag1,imag2,imag3); # plot. simultana: suprafata, k, si H

8. Geometrie diferentiala: rotatie animata# Input: curba in reprezentare parametrica si matricea de rotatie;# Output: plotarea curbei rotite (unghi variabil);> restart: with(plots): x:=2*cos(s); y:=sin(s); # ec.param.ale unei curbe> v:=array(1..2,[x,y]); d:=0..2*Pi; # R=matricea de rotatie> R:=matrix(2,2,[[cos(theta),-sin(theta)],[sin(theta),cos(theta)]]);> W:=evalm(R&*v); # W=R*v> animate([W[1],W[2],s=d],theta=0..8*Pi,frames=80); # plotare animata

14.2 Cod MAPLEr

pe Internet (selectie orientativa)

[ 1 ]***, http://www.maplesoft.com

[ 2 ]***, http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=tensor

[ 3 ]***, http://math.haifa.ac.il/ROVENSKI/rovenski/Birkhauser.html (Geometry of Curves and Surfaces withMaple, Vladimir Rovenski, Technion & University of Haifa, Israel)

[ 4 ]***, http://www41.homepage.villanova.edu/klaus.volpert/teaching/mat5600/math5600.htm (Differential Ge-ometry of Curves and Surfaces, Klaus Volpert, Villanova University, E-mail: [email protected])

[ 5 ]***, http://www.math.hmc.edu/ ajb/PCMI/maple.html (Some MAPLE Resources, Andrew J. Bernoff,PCMI, Harvey Mudd College)

[ 6 ]***, facultypages.ecc.edu/alsani/students/maplebyexample.pdf (Maple 10 by example, M. Alsani, E-mail:[email protected])

- 272-

Page 273: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MB.15.Autoevaluare

15.1 Modele de subiecte de examen (algebra liniara si geometrieanalitica)

I.1 1. Forme patratice.

2. Sa se verifice daca punctele A(1, 2, 3), B(1, 1, 0), C(2, 2, 2) si D(−1, 5,−1) sunt coplanare. Sa se calculezem(BAC)−m(BAD). Descompunerea vectorului v = ı+ + k dupa AB, AC si AD este unica?

3. Sa se cerceteze daca multimile

A =p ∈ Pn | p(0) = p(1)

; B =

p ∈ Pn | p2(0) = 1

;

C =p ∈ Pn | p(−1) + p(1) = 0

sunt subspatii vectoriale. Sa se determine intersectia si suma subspatiilor vectoriale gasite. Ce dimensiuni au

aceste subspatii?

II. 1. Metoda valorilor proprii de reducere la expresia canonica a formelor patratice.

2. Se dau D :x

−1=y

2=z

1si P : x− 2y + z = 0. Exista un plan echidistant fata de D si P? Considerand

D si P doua subspatii vectoriale ın R3, sa se determine suma, intersectia si baze ortonormate ın D, respectivP .

3. Fie V = C∞(−∞,∞) si∫ x

−∞f(t)dt, care exista pentru ∀x ∈ R. Definim

T : V → V, g = T (f) si g(x) =∫ x

−∞f(t)dt.

Analizati injectivitatea si surjectivitatea endomorfismului T . Determinati KerT , valorile proprii si vectoriiproprii.

III. 1. Polinoame de matrice.

2. Fie P : x+2y− z = 0 si Q : 2x− y+2z = 0. Sa se gaseasca ecuatiile planului echidistant fata de P si Q.Considerand P si Q doua subspatii ın R3, sa se gaseasca P ∩Q, P +Q si baze ortonormate ın P , Q si P ∩Q.

3. Fie Σ: z =x2

12+y2

4si P : x − y − z = 0. Sa se determine planele paralele cu P care sunt tangente la

Σ. Sa se gaseasca d(Σ, P ).

IV. 1. Forme biliniare.

2. Sa se gaseasca generatoarele rectilinii ale paraboloidului hiperbolic z =x2

16− y2

4care sunt paralele cu

planul x+ y + z = 0. Sa se determine masura unghiului determinat de aceste generatoare.1Avand ın vedere faptul ca ın institutiile de ınvatamant tehnic pe parcursul unui semestru se predau atat notiuni de algebra

liniara, cat si de geometrie analitica, subiectele propuse contin probleme mixte aferente ambelor discipline.

273

Page 274: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

3. Fie P4 spatiul vectorial al functiilor polinomiale de grad cel mult 3. Sa se gaseasca matricea transformariiliniare

T : P4 → P4, y = T x, y(t) =d

dt

((t2 − 1)

dx

dt

)ın raport cu baza

B =

1, t,32t2 − 1

2,52t3 − 3

2t

.

V. 1. Forma Jordan a unui endomorfism.

2. Fie u(t) = cos t, v(t) = sin t, w(t) = sin 2t si S = Lu, v ın C0[0, 2π]. Sa se gaseasca proiectia ortogonalax(t) a lui w pe S si vectorul x⊥. Vectorii u, v si x⊥ sunt liniar independenti?

3. Fie D :x

1=y − 1

2=

z

−1si P : x − y + z + 1 = 0. In P se considera cercul C de raza 1 cu centrul ın

A(1, 1,−1). Sa se determine ecuatiile simetricului cercului C ın raport cu dreapta D.

VI. 1. Forma diagonala a unui endomorfism.

2. Se considera sfera S : x2 + y2 + z2 − 2z = 0 si planul P : x + 2y + z = 1. Sa se calculeze raza cerculuiP ∩ S. Sa se determine ecuatia simetricei lui S fata de P .

3. FieA(x, y) = x1y2−x2y1+x2y3−x3y2. Sa se gaseasca matricea luiA ın raport cu baza(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)

.

Sa se determine x ∈ R3 |A(x, y) = 0, ∀y ∈ R3

.

VII. 1. Transformari liniare pe spatii euclidiene.

2. Fie Q : R3 → R, Q(x) = x1x2 + x2x3 + x3x1. Sa se determine signatura lui Q si imaginea dreptei

D :x1 − 1

1=

x2

−1=x3

2prin Q.

3. Fie V spatiul vectorial real al tuturor functiilor polinomiale de grad cel mult n. Sa se determine valorileproprii si vectorii proprii ai endomorfismului

T : V → V, T (p) = q, q(x) = p(x+ 1).

VIII. 1. Nucleu si imagine pentru o transformare liniara.

2. Se da Γ: x2 − 4xy + 4y2 − x = 0. Sa se reduca la forma canonica. Sa se traseze Γ.

3. Se dau dreapta D :x+ 2−1

=y − 1

1=z

2si planul P : x− y+ 2 + z = 0. Sa se gaseasca sferele cu centrele

pe D si tangente la P . Sa se gaseasca sferele cu centrele ın P si tangente la D.

IX. 1. Matricea unei transformari liniare.

2. Se da Γ: 4xy + 3y2 + 8x = 0. Sa se determine centrul, axele si asimptotele. Sa se deseneze curba Γ.

3. Fie V = L2[−π, π] si V1 = L(A1), V2 = L(A2), unde

A1 =1, cos t, cos 2t, . . .

si A2 =

1, sin t, sin 2t, . . .

.

Sa se arate ca A1 si A2 sunt liniar independente, iar V1 + V2 si V1 ⊕ V2 sunt izomorfe.

X. 1. Spatii vectoriale euclidiene.

2. Fie g : P3 × P3 → R, g(x, y) =(∫ 1

0

x(t)dt)(∫ 1

0

y(s)ds)

. Sa se arate ca g este o forma biliniara

simetrica, pozitiv semidefinita. Sa se determine matricea lui g ın raport cu baza 1, t, t2, t3.

- 274-

Page 275: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

3. Sa se determine punctele de pe cuadricax2

1+y2

4+z2

2− 1 = 0 pentru care normalele intersecteaza axa

Oy. Sa se scrie ecuatia planului tangent ıntr-unul dintre aceste puncte.

XI. 1. Ortogonalitate. Procedeul Gram-Schmidt.

2. Gasiti punctele de pe cuadrica Σ: x2 + 2y2 + z2 − 1 = 0 pentru care normalele la Σ sunt paralele cu

dreapta D :x+ 2

3=y + 1−1

=z

1sau cu planul P : x− y + z = 0.

3. FieA(x, y) = x1y2−x2y1+x1y3−x3y1. Sa se gaseasca matricea asociata ın raport cu baza (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1).Sa se determine transformarile liniare T : R3 → R3 cu proprietatea A(T x, T y) = A(x, y), ∀x, y ∈ R3.

XII. 1. Dependenta si independenta liniara.

2. Se da Γ: 4xy + 3y2 + x = 0. Sa se aduca ecuatia la expresia canonica si sa se traseze Γ. ConsiderandMn(xn, yn) ∈ Γ, exista Mn cu xn marginit si yn nemarginit?

3. Se da T : R3 → R3, T (x, y, z) = (6x+6y−15z, x+5y−5z, x+2y−2z). Sa se determine forma canonica.Sa se calculeze eT .

XIII. 1. Baza, dimensiune si coordonate.

2. Sa se gaseasca transformarea de coordonate care aduce pe

Q(x) =3∑

i=1

x2i +

12

∑i 6=j

xixj

la expresia canonica. Sa se stabileasca daca multimea Q−1(1) este compacta sau nu.

3. Sa se determine ecuatiile perpendicularei comune si distanta dintre dreptele

D1 :x− 1

1=y + 1−2

=z

2si D2 :

x+ 1−1

=y − 1

2=z − 3

1.

XIV. 1. Cuadrice: reducere la ecuatia canonica.

2. Sa se gaseasca volumul tetraedului construit pe reprezentantii vectorilor:

a = 2u− v + w; b = u− w; c = v + w,

cu ||u|| = 1, ||v|| = 2, ||w|| = 3 si µ(u, v) =π

2, µ(u, w) =

π

3, µ(v, w) =

π

4.

3. Fie T : Pn → Pn, T p(x) = xn

∫ 1

0

tp(t)dt, ∀x ∈ R. Sa se arate ca T este liniara, sa se cerceteze

bijectivitatea, sa se determine KerT si ImT . Calculati valorile proprii si vectorii proprii.

XV. 1. Conice: diametru conjugat cu o directie, axe.

2. Sa se arate ca multimea tuturor functiilor xn(t) = eint, n ∈ N este liniar independenta ın L2[0, 2π]. Sa seortonormeze cu procedeul Gram-Schmidt.

3. Se da transformarea liniara T (x) = (x1 + x2, x1 − x2, 2x1 + x2 − x3). Sa se determine baze ortonormateın KerT si ImT . Care sunt valorile proprii ale lui T ?

XVI. 1. Cuadrice: intersectia cu o dreapta, intersectia cu un plan, plan tangent, normala.

2. Fie V spatiul vectorial euclidian real al functiilor polinomiale pe [0, 1]. Cercetati simetria si antisimetriatransformarilor liniare:

T f(x) = f(−x); T f(x) = f(x) + f(−x); T f(x) = f(x)− f(−x).

- 275-

Page 276: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

3. Fie T : R3 → R3, T =

0 −1 00 0 1

−1 −3 3

. Sa se determine forma canonica si sa se calculeze sinT .

XVII. 1. Elipsoizi, hiperboloizi si paraboloizi.

2. Fie V spatiul vectorial al tuturor functiilor polinomiale xn(t) = tn, n ∈ N, ınzestrat cu produsul scalar

(x, y) =∫ 1

0

x(t)y(t).

Sa se arate ca functiile

y0(t) = 1; y1(t) =√

3(2t− 1); y2(t) =√

5(6t2 − 6t+ 1)

formeaza o multime ortonormata care genereaza acelasi subspatiu cu x0, x1, x2.

3. Fie T : R3 → R3, T =

7 4 14 7 −1

−4 −4 4

. Sa se determine forma canonica si sa se calculeze sinT .

XVIII. 1. Spatii vectoriale. Subspatii vectoriale.

2. Sa se determine o baza ortonormata fata de care Q(x) = 2x1x2− 6x2x3 + x23 sa aiba o expresie canonica.

Ce sunt multimile de nivel constant ale lui Q?

3. Se dau A(0,−1, 2) si D : x+y = 0, x−z−1 = 0. Sa se determine simetricul punctului A fata de dreaptaD si simetrica lui D fata de A.

XIX. 1. Spatiul vectorilor liberi: coliniaritate, coplanaritate.

2. Sa se determine generatoarele rectilinii ale paraboloidului hiperbolic z =x2

16− y2

4care sunt tangente

sferei x2 + y2 + z2 = 1.

3. Fie transformarea liniara

T : V → V, y = T (x), y(t) =∫ 2π

0

x(s) cos(t− s)ds,

cu V = L1, cos s, cos 2s, sin s, sin 2s

. Exprimati T printr-o matrice si sa se cerceteze daca T este injectiva si

surjectiva. Determinati valorile proprii si vectorii proprii.

XX. 1. Spatiul vectorilor liberi: proiectie ortogonala, produs scalar.

2. Fie A : R3 → R3, A =

4 6 0−3 −5 0−3 −6 1

. Sa se determine baza fata de care A are forma diagonala si sa

se calculeze sinA.

3. Se dau Γ: xy + 3y2 + 16x = 0, D : x− y + 1 = 0 si A(−1, 1). Sa se afle polara punctului A ın raport cuconica Γ si polul dreptei D ın raport cu Γ.

XXI. 1. Spatiul vectorilor liberi: produs scalar, produs mixt.

2. FieV = L2[−π, π], T : V → V, g = T (f) si g(x) =

∫ π

−π

(1 + cos(x− t)

)f(t)dt.

Sa se gaseasca o baza pentru ImT . Sa se determine KerT , valorile proprii si vectorii proprii.

3. Fie Q(x) = x1x2 + x2x3 + x3x1. Sa se determine expresia canonica. Multimea Q−11 este compactasau nu?

- 276-

Page 277: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

XXII. 1. Spatiul vectorilor liberi: produs vectorial, dublu produs vectorial.

2. Se da matricea A =

1 −1 −2−1 3 −1−1 −1 1

. Sa se determine expresia canonica a formei patratice tXAX,

precizand matricea de trecere.

3. Sa se gaseasca ecuatia sferei cu centrul C(−2, 6, 2) tangenta elipsoidului

Σ:x2

1+y2

2+z2

1= 1.

Care este ecuatia simetricului lui Σ fata de centrul sferei?

XXIII. 1. Dreapta ın spatiu.

2. Se da forma patratica Q(x) = x21 + x1x2 + x2x3. Sa se scrie matriceal si sa se determine rangul. Sa se

gaseasca expresia canonica si matricea de trecere.

3. Fie V =xn sir real cu Σx2

n convergenta. Sa se arate ca (x, y) = Σxnyn, cu x = xn si y = yn,

este un produs scalar pe V . Sa se calculeze (x, y), pentru xn =1n

si yn =1

n+ 1, ∀n ∈ N.

XXIV. 1. Conice: centru, intersectia cu o dreapta, asimptote.

2. Sa se determine numerele reale a1, a2 si a3 astfel ıncat V = Lea1x, ea2x, ea3x

sa aiba dimensiunea 2.

Sa se fixeze o baza ın V si sa se determine matricea lui D : V → V , D(f) = f ′.

3. Fie A : R3 → R3, A =

4 6 0−3 −5 0−3 −6 1

. Sa se determine forma canonica si sa se calculeze eA.

XXV. 1. Conice: reducere la ecuatia canonica.

2. Definim T : C3 → C3,(y1y2

)=(a bc d

)(x1

x2

), unde a, b, c si d sunt numere complexe. Sa se

gaseasca conditiile pe care le satisfac a, b, c si d daca T este autoadjuncta sau unitara.

3. Fie A : R4 × R4 → R, A(x, y) = x1y2 − x2y1 + x1y3 − x4y1 + x4y4. Sa se determine matricea lui A ınraport cu baza f1 = (1, 1, 0, 0), f2 = (0, 1, 1, 0), f3 = (0, 1, 0, 1), f4 = (1, 0, 0, 1).

XXVI. 1. Conice: pol, polara.

2. Se da T : R3 → R3, T (x, y, z) = (3x+ 2y, 2y+ z, x− 2y+ 3z). Sa se calculeze matricea lui T 3 si T −1. Sase explice rezultatele prin teorema Cayley-Hamilton.

3. Fie V spatiul vectorial real al functiilor definite pe R. Cercetati daca multimile 1, eax, xeax si1, cos 2x, sin2 x sunt liniar independente sau nu. Ce dimensiuni au subspatiile vectoriale generate de acestesubmultimi?

XXVII. 1. Izometrii.

2. Se dau Σ: z2 =x2

16− y2

4si P : x+ y + z = 0. Sa se gaseasca proiectia lui P ∩ Σ pe planul xOy. Exista

generatoare rectilinii ale lui Σ care sunt perpendiculare pe P? Sa se arate ca centrul lui Σ este un punct desimetrie pentru P ∩ Σ.

3. Fie V = L(1, 0, 1), (−1, 1,−1) si W = L(1, 2, 3), (3, 2, 1). Sa se gaseasca ecuatiile carteziene impliciteale lui V si W . Sa se determine baze ortonormate ın V ∩W si V +W .

XXVIII. 1. Dependenta si independenta liniara.

- 277-

Page 278: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

2. Se da matricea A =

1 −1 2−1 3 −1

2 −1 1

. Sa se determine expresia canonica a formei patratice tXAX,

precizand matricea de trecere. Ce sunt multimile de nivel constant atasate acestei forme patratice?

3. Fie C(−2, 6, 2) si Σ:x2

1+y2

2+z2

1= 1. Care este ecuatia simetricei cuadricei Σ fata de C? Sa se

gaseasca ecuatiile normalelor la Σ care trec prin C. Sa se determine ecuatiile sferelor cu centrul C si tangentela Σ.

XXIX. 1. Nucleu si imagine pentru o transformare liniara.

2. Se da conica Γ: 4x2 − 4xy + 4y2 − 6x = 0. Sa se reduca ecuatia la forma canonica si sa se traseze Γ.Cercetati daca exista subspatii vectoriale ın R2 tangente la Γ.

3. Se dau D :x+ 2

1=y − 1

1=z

2si P : x− 2y+ z = 0. Sa se determine ecuatiile simetricei dreptei D fata

de planul P . Sa se fixeze o baza ortonormata ın planul P . Exista sfere care ındeplinesc simultan conditiile: auraza 1, au centrul pe dreapta P ∩ xOz si sunt tangente la dreapta D?

XXX. 1. Matricea unei transformari liniare.

2. Se da conica Γ: 4xy + 3y2 + 16x = 0. Sa se determine centrul si asimptotele. Sa se reduca ecuatia laforma canonica.

3. Fie V spatiul vectorial al functiilor polinomiale reale de forma

x(t) = at+ bt2 + ct3

si

g : V × V → R, g(x, y) =(∫ 1

0

x(t)dt)(∫ 1

0

y(s)ds).

Sa se arate ca g este o forma biliniara, simetrica, pozitiv semidefinita. Sa se determine matricea lui g ın raportcu baza canonica a lui V .

XXXI. 1. Valori si vectori proprii.

2. Fie v = (1, 0,−1), a = (−1,−1, 0), b = (0, 1, 1) si S = La, b. Sa se scrie ecuatia planului determinat depunctul A(1, 1, 1) si de vectorii a si b. Sa se gaseasca proiectia ortogonala a lui v pe S.

3. Sa se determine ecuatiile dreptei D1 :x+ 2

1=y − 1

1=z

2ın raport cu dreapta D2 : x+y = 0, x−2z = 0.

Exista sfere cu centrul ın origine, tangente simultan la cele doua drepte?

XXXII. 1. Teorema Cayley-Hamilton.

2. Sa se arate ca ex, e2x, e3x este liniar independenta. Sa se ortonormeze ın C0[0, 1] cu procedeul Gram-Schmidt.

3. Sa se afle distanta dintre Σ: z =x2

12+y2

4si P : x− y − 2z = 4.

XXXIII. 1. Forme biliniare.

2. Sa se gaseasca generatoarele rectilinii ale paraboloidului hiperbolic

Σ: z =x2

12− y2

4

care sunt perpendiculare pe planul P : x+ y = 0. Ce masura are unghiul determinat de aceste generatoare?

3. FieT : R2[X] → R2[X], T (1) = X +X2, T (1 +X) = −1, T (1 +X2) = 1 +X −X2.

- 278-

Page 279: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

Sa se determine KerT , ImT si forma canonica a lui T .

XXXIV. 1. Spectrul endomorfismelor pe spatii euclidiene.

2. Sa se verifice daca punctele A(3, 2, 1), B(4, 4, 0), C(5, 5, 5) si D(−1, 5,−1) sunt coplanare. Sa se calculezeσ[ABCD]. Vectorul v = 9ı+ 5+ 9k se poate descompune dupa AB, AC si AD?

3. Fie Pn spatiul vectorial real al functiilor polinomiale reale care au cel mult gradul n. Sa se cerceteze dacamultimile:

A =p ∈ Pn | p(0) + p(1) = 0

; B =

p ∈ Pn | p2(0) + 1 = 0

;

C =p ∈ Pn | p(−1) · p(1) = 0

sunt subspatii vectoriale. Sa se determine intersectia si suma subspatiilor vectoriale gasite. Sa se precizeze

gradul minim al functiilor polinomiale din A ∩B ∩ C.

XXXV. 1. Dreapta ın spatiu.

2. Se da forma patratica Q(x) = x21 + x1x2 + x2

3. Sa se scrie expresia matriceala si sa se determine rangul.Sa se gaseasca expresia canonica si matricea de trecere. Ce sunt multimile de nivel constant al lui Q?

3. Fie V =(xn) sir real cu Σx2

n convergenta. Sa se arate ca (x, y) = Σxnyn, cu x = (xn) si y = (yn),

este un produs scalar pe V . Sa se scrie bila cu centrul x0 =(

1n

), de raza 1 si sa se dea exemple de siruri din

V continute ın aceasta bila.

XXXVI. 1. Planul ın spatiu.

2. Fie transformarea liniara T : R3 → R3, T =

6 6 −151 51 −51 2 −2

. Sa se determine forma canonica a lui T

si sa se calculeze cos T .

3. Sa se arate ca (f, g) =∫ e

1

(lnx)f(x)g(x) este un produs scalar pe C0[1, e]. Sa se calculeze ||f || pentru

f(x) =√x. Sa se scrie bila cu centrul ın f0(x) = 1, de raza 1 si sa se dea exemple de functii din aceasta bila.

XXXVII. 1. Conice: centru, intersectia cu o dreapta, asimptote.

2. Fie spatiul vectorial euclidian V = C0[0, 1] si submultimea W = ex, e2x, e3x. Sa se arate ca W esteliniar independenta. Sa se ortogonalizeze W cu procedeul Gram-Schmidt. Sa se proiecteze w(x) = e3x pesubspatiul generat de u(x) = ex si v(x) = e2x.

3. Fie transformarea liniara T : R3 → R3, T =

4 6 0−3 −5 0−3 −6 1

. Sa se determine KerT , ImT si forma

canonica a lui T .

XXXVIII. 1. Cuadrice: intersectia cu o dreapta, intersectia cu un plan, plan tangent, normala.

2. Fie endomorfismul

T : V → V, g = T (f), g(x) =∫ 2π

0

[1 + sin(x− t)]f(t)dt, x ∈ [0, 2π].

Cine este V ? Sa se determine KerT , ImT si o baza ortonormata ın ImT .

3. Sa se determine suma si intersectia subspatiilor vectoriale

V = L(−1, 1, 0), (0, 1, 1) si W = L(−1, 2, 1), (1, 0, 1).

Sa se determine ecuatiile carteziene ale subspatiilor V si W ın R3.

- 279-

Page 280: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

15.2 Intrebari

1. Ce diferentiaza nucleul unei transformari liniare de nucleul unei functii oarecare?

2. Ce motive impun introducerea notiunilor de valoare proprie si de vector propriu pentru un endomorfism?

3. La ce tipuri de functii se pot asocia matrice?

4. Puteti justifica faptul ca multimea planelor din R3 se poate identifica cu R4?

5. Puteti justifica faptul ca multimea planelor din R3 se poate identifica cu R3?

6. Care sunt cuadricele riglate? Exista cuadrice triplu riglate?

15.3 Modele de subiecte de examen(algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala)

1.2

1. a) Transformari unitare, transformari ortogonale.

b) Subspatii vectoriale: definitii, exemple.

2. a) Se da familia de vectori F = p1 = 1, p2 = X, p3 = X2, p4 = X3 ⊂ P3, unde P3 ≡ R3[X] = p ∈R[X]| grad p ≤ 3. Ortonormati F relativ la produsul scalar 〈p, q〉 =

∫ 1

−1p(t)q(t)dt,∀p, q ∈ P3.

b) Fie T : R3 → R2, T (x) = (0, x1 − x3),∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3. Aflati KerT. Aplicati teoremadimensiunii. Este T surjectiva ?

3. a) Aflati signatura formei patratice Q(x) = x1x2 − x23,∀x ∈ R3.

b) Aflati distanta dintre dreapta ∆ : x = y − 1 = z si planul 2x− y − z = 1. Care este unghiul dintre ∆si π ?

4. a) Se da punctul A(√

3; 5π/3; 4) ın coordonate cilindrice. Aflati coordonatele carteziene ale acestuia.b) Se da punctul B(−2, 3,−5) ın coordonate carteziene. Aflati coordonatele cilindrice ale acestuia.

2.

1. a) Transformari hermitice; transformari simetrice.

b) Inegalitatea Cauchy-Schwartz: enunt, exemplificare ın: R3, C0[−1, 1],C2.

2. a) Diagonalizati matricea A =

0 1 11 0 11 1 0

.

b) Aflati A−1 folosind teorema Cayley-Hamilton.

3. a) Aflati simetrica dreptei ∆ : x = y = z fata de planul π : x + y + z = 1. b) Calculati distanta de lapunctul A(1, 1, 1) la planul π si distanta de la A la ∆.

4. Aflati hiperplanul normal si tangenta la curba

α(t) = (√t, ln t, t2 + 1, arcsin t), t ∈ (0, 1]

ın punctul A(1, 0, 2, π/2).

3.

1. a) Transformari antihermitice; transformari antisimetrice.

b) Dreapta si planul: unghiuri; ecuatia planului prin taieturi.2Avand ın vedere faptul ca ın unele institutii de ınvatamant tehnic pe parcursul unui semestru se predau atat notiuni de algebra

liniara, cat si de geometrie analitica si diferentiala, subiectele propuse contin probleme mixte aferente celor trei discipline.

- 280-

Page 281: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

2. a) Se da familia F = p1 = a + x, p2 = 1 + ax2, p3 = 1 − ax + 2ax2 ⊂ P3 = R3[x], unde a ∈ R. Aflativaloarea lui a astfel ıncat F sa fie liniar dependenta. In acest caz aflati o baza B ın L(F ) si completati Bla o baza a lui P3.

b) Aflati o baza ın U ∩ V , unde U = L(v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, 1, 1)), V = (x, y, z) ∈ R3|x− y + z = 0.

3. a) Aflati expresia canonica a formei patraticeQ(x) = 4x2

1 − 2x1x3 + x1x2,∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3.

b) Calculati unghiul dintre planele π1 : x − y + z = 1 si π2, stiind ca π2||u, π2||v, π2 3 A(1, 0, 0), undeu = i+ k, v = k.

4. Aflati formele fundamentale ale suprafetei r(u, v) = (u, v, uv), (u, v) ∈ R2.

4.

1. a) Transformari niloptente; structura complexa; involutie.

b) Perpendiculara comuna a doua drepte.

2. a) Aflati cate o baza ın U, V, U+V,U∩V , unde U = L(v1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (1, 2, 1, 0)), V =(x, y, z, v) ∈ R4|x− y + z = 0 ⊂ R4.

b) Sunt U si V subspatii suplementare ın R4 ? Justificati raspunsul.

3. a) Este aplicabila metoda Jacobi formei patratice Q(x) = x21 + 2x1x2 + x2

2,∀x = (x1, x2) ∈ R2 ?

b) Aflati distanta dintre dreptele ∆1 : x = y−10 = z si ∆2 : x = y = z.

4. Aflati evoluta elipseiα(t) = (a cos t, b sin t), t ∈ [0, 2π), (a, b > 0).

5.

1. a) Forme patratice: metoda Gauss.

b) Dreapta ın spatiu.

2. a) Diagonalizati matricea A =(

1 22 1

).

b) Ortonormati familia de vectori F = v1 = (1, 1, 1), v2 = 0, 1, 1), v3 = (0, 0, 1) ⊂ R3.

3. a) Aflati planul π care trece prin punctul A(1, 1, 0) si contine dreapta ∆ : x = y + 2 = z − 1.

b) Determinati un vector a coplanar cu u = i− k si v = i+ j si ortogonal pe w = k − 2j.

4. Calculati torsiunea curbei α : R → R3, α(t) = (t, t2, t3), t ∈ R. Este sau nu curba plana ? Justificatiraspunsul.

6.

1. a) Forme patratice: metoda valorilor proprii.

b) Vectori liberi: produs scalar (definitii, proprietati).

2. Folosind Teorema Cayley-Hamilton sa se afle inversa matricii A =

3 1 11 3 11 1 3

.

3. Aflati perpendiculara comuna a dreptelor ∆1 : x− 1 = 2y = 1− z si ∆2 : x = y = z.

4. Sa se aduca la forma canonica si sa se reprezinte conica Γ : 5x2 + 6xy + 5y2 − 16x− 16y − 16 = 0. Dupacaz, determinati centrul, axe de simetrie, asimptote, varfuri si focare.

7.

1. a) Forme patratice: metoda Jacobi.

b) Planul ın spatiu.

- 281-

Page 282: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

2. a) Aflati complementul ortogonal al subspatiuluiU = (x, y, z) ∈ R3|x+ y = 0 ⊂ R3.

b) Determinati proiectia pe U a vectorului v = (1, 1, 1) ∈ R3.

3. a) Aflati un vector director al dreptei ∆ :x+ y + z = 1x− y − z = 3 si cosinusurile directoare ale acesteia.

b) Folosind metoda Gauss aflati expresia canonica a formei patratice Q(x) = x1x2 + x2x3 + x3x1,∀x =(x1, x2, x3) ∈ R3.

4. Determinati natura si genul coniceiΓ : x2 − 2xy + λy2 − 4x− 5y + 3 = 0, λ ∈ R (discutie dupa λ).

8.

1. a) Forme patratice: signatura; vectori izotropi; teorema lui Sylvester.

b) Vectori liberi: definitie, proprietati, adunare, ınmultire cu scalari reali.

2. a) Este transformarea lineara T (x) = x1+x3,∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3 surjectiva ? Dar injectiva ? Justificatiraspunsul.

b) Ortonormati familia de vectoriF = u1 = (1 + i, 1− i), u2 = (2− 5i, 4i) ⊂ C2.

3. a) Aflati planul π 3 A(1, 1, 0) astfel ıncat π ⊃ ∆ : x = y + 2 = z − 1.

b) Determinati un vector a de lungime 2, ortogonal pe vectorii u = 2i− j si v = 3j − k+ 5i. Cate solutiiexista ?

4. Aflati centrul de simetrie al cuadriceiΣ : x2 + y2 + z2 − 2x+ 4y − 6z = 0. Ce reprezinta Σ ?

9.

1. a) Produs scalar real: definitii, proprietati, exemple.

b) Unghiuri ın spatiu.

2. Se da T ∈ End (R3), T (x) = (x1+x22 , x1+x2

2 ),∀x = (x1, x2) ∈ R2. Calculati T 3−2T 2 +Id direct, si folosindteorema Cayley-Hamilton. Este T inversabila ? Justificati raspunsul.

3. a) Aflati proiectia punctului A(1, 2, 3) pe planul π : z = 3x− y − 2.

b) Calculati volumul tetraedrului construit cu ajutorul vectorilor u = i+ j, v = i+ k, w = i+ j + k ∈ V3.

4. Discutati natura conicelor din familia

Γa : x2 + axy + y2 − 2x− 2y = 0.

Contine Γa parabole ? Justificati raspunsul.

10.

1. a) Produs scalar complex: definitii, proprietati, exemple.

b) Produs vectorial, dublu produs vectorial (definitii, proprietati).

2. a) Aflati unghiul format de matricile A =(

3 12 0

), B =

(2 30 1

)relativ la produsul scalar 〈A,B〉 =

Tr(A · tB),∀A,B ∈M2×2(R).

b) Aflati planul π 3 A(1, 2, 3) paralel cu π∗ : x− 2y = 3z.

3. Folosind forma diagonala a matricii A =

0 1 01 1 10 1 0

, calculati eA, cosA.

- 282-

Page 283: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

4. Aflati suprafata conica ale carei generatoare trec prin punctul V (3, 5,−2) si care se sprijina pe curba

directoare Γ :x2 = yz = −1 .

11.

1. a) Distante ın spatiu. b) Subspatii ortogonale.

2. Aflati matricea asociata formei patraticeQ : R3 → R, Q(P ) = −x2 + 6xz + y2 + 4yz − 5z2,∀P = (x, y, z) ∈ R3

relativ la baza canonica; aflati expresia canonica a lui Q.

3. a) Calculati distanta d(A,∆), unde ∆ : x = 3y = z−10 , A(1, 0, 2).

b) Aflati simetricul punctului A fata de ∆.

4. Aflati planul tangent si dreapta normala la cuadrica Σ : x2 + y2 + z2 = z + 8 ın punctul A(2, 2, 0). In cazca Σ are centru de simetrie, aflati acest centru.

12.

1. a) Forma biliniara asociata unei forme patratice (forma polara).

b) Vectori liberi: produs mixt (definitii, proprietati).

2. Aduceti la expresia canonica forma patratica Q : R3 → R, a carei matrice este A =

3 −2 −4−2 6 −2−4 −2 3

.

Aflati signatura formei.

3. a) Aflati proiectia dreptei ∆ : x = y0 = 2z pe planul π : x = y + z − 3.

b) Determinati unghiul dintre ∆ si π.

4. Determinati campul de versori normali la suprafatar(u, v) = (cosu, sinu, v), (u, v) ∈ [0, 2π)× R.

13.

1. a) Ortogonalitate ıntr-un spatiu euclidian.

b) Matricea asociata unei transformari liniare; comportarea la o schimbare de baza.

2. a) Completati la o baza ortogonala familia u = i+ k, v = −i− 2j + k ⊂ V3 folosind produsul vectorial.

b) Fie T ∈ End (R3), [T ] = A =

1 −1 12 −2 23 −3 3

. Sunt subspatiile KerT si =T suplementare ? Justificati

raspunsul.

3. Aflati simetrica ∆∗ a dreptei ∆ ⊃ A(1, 0, 1), B(2, 1, 2) fata de planul π 3 A, stiind ca π admite ca vectornormal n = i− 2j + k.

4. Sa se aduca la forma canonica cuadricaΣ : 2y2 − 7z2 + 112x− 16y − 14z − 87 = 0.

14.

1. a) Matricea asociata unei forme biliniare relativ la o baza data.

b) Teorema Grassmann.

2. Aflati forma diagonala a transformarii liniare de matrice A =

3 1 11 3 11 1 3

. Admite A o baza diagonal-

izatoare ortonormata ? Justificati raspunsul.

- 283-

Page 284: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

3. Caracterizati analitic punctele echidistante fata de planele π1 : x+ y = 2 si π2 : x− z = −2.

4. Aflati sfera Σ tangenta la dreptele ∆1 si ∆2 ın punctele A1 respectiv A2; se dau ∆1 : x−13 = y+4

6 = z−64 ,

∆2 : x−42 = y+3

1 = z−2−6 , A1(1,−4, 6), A2(4,−3, 2).

15.

1. a) Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt.

b) Teorema dimensiunii pentru transformari liniare.

2. Este forma patratica Q(x) = x21 + ax2

2,∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3 (a ∈ R) pozitiv definita ? Discutie dupaparametrul a ∈ R. Admite Q vectori izotropi ?

3. Ce reprezinta intersectia planelor π1 : x+ ay + z = 1, π2 : ax+ y + z = 1,π3 : x+ y + az = 1. Discutie dupa a ∈ R.

4. Aflati curbura si torsiunea curbei α(t) = (cos 2t, sin 2t, 3t).

16.

1. a) Forma patratica asociata unei forme biliniare simetrice.

b) Baza si dimensiune a unui spatiu vectorial: definitie, exemple.

2. a) Aflati distanta de la A(1, 0, 1) la ∆ :x+ y = 2x− 2z = 1.

b) Ce coordonate are proiectia punctului A pe ∆ ?

3. Aflati valoarea scalarului b ∈ R astfel ıncat operatia〈x, y〉 = x1y1 + b(x1y2 + x2y1) + x2y2,∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 sa determine un produs scalar realpe R2.

4. Determinati sfera Σ, stiind ca Σ este tangenta la planul π : x+ z = 0 si are centrul C(2, 0,−3).

17.

1. a) Coordonatele unui vector relativ la o baza ıntr-un spatiu vectorial.

b) Polinom caracteristic al unui endomorfism: definitie, proprietati.

2. Aflati planul π∗ 3 A(1, 0, 2) paralel cu π : x− 3y + 2z = 4. Aflati proiectia punctului A pe π.

3. Determinati matricea transformarii liniareT ∈ End (R3), T (x) = (x1, 0, x3), ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3 relativ la baza B′ = u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 0, 1),u3 = (0, 1, 1) ⊂ R3.

4. Sa se aduca la forma canonica cuadricaΣ : 36x2 + y2 + 4z2 + 72x− 40z + 109 = 0.

18.

1. a) Forme patratice (pozitiv/negativ) definite: definitie, criterii.

b) Teorema de izomorfism pentru spatii vectoriale de aceeasi dimensiune: enunt, demonstratie.

2. Aflati unghiul si distanta dintre dreptele∆1 : 2x = y = z si ∆2 : x− 2 = y

0 = 1−z2 .

3. a) Aflati spectrul si o baza diagonalizatoare pentru A =

7 4 −14 7 −1−4 −4 4

.

4. Determinati daca dreapta ∆ : (x, y) = (1 + 2t, 1 − t) este tangenta, secanta sau exterioara conicei Γ :x2 + 2xy + y2 + x− 2y + 13 = 0.

- 284-

Page 285: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

19.

1. a) Grup abelian, corp: definitii, proprietati, exemple.

b) Spatii vectoriale normate; norma euclidiana.

2. Aflati unghiul dintre ∆ : 2x − 1 = y0 = 1 − z si planul π : x + y = 3 − z; determinati planul π∗ ⊃ ∆

perpendicular pe π.

3. Este 〈x, y〉 = 3x1y1 − ix1y2 + ix2y1 + x2y2,∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ C2 un produs scalar complex ?

4. Aflati planul tangent si dreapta normala la cuadrica Σ : x2 − y2 = z− 1 ın punctul A(1, 1, 1). In caz ca Σare centru de simetrie, aflati acest centru.

20.

1. a) Baze ortogonale, baze ortonormate.

b) Teorema de caracterizare a unei izometrii ıntr-un spatiu euclidian finit-dimensional.

2. Este forma patratica Q : R3 → R,Q(x) = 4x2

3 − 4x1x2 + 5x21 − 4x1x3 + 6x2

2,∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3 pozitiv definita ? Justificati raspunsul.

3. Aflati perpendiculara comuna a dreptelor∆1 : 2x = y = z si ∆2 : x− 2 = y

0 = 1−z2 .

4. Determinati ınfasuratoarea familiei de curbe

Γβ : x sinβ + y cosβ = r, (r > 0).

21.

1. a) Dreapta orientata, plan orientat.

b) Spatii metrice; metrica indusa de un produs scalar.

2. Aflati matricea transformarii T : C →M2×2(C), T (a) =(

2ia −ia3a 0

),

∀a ∈ C, relativ la bazele canonice ale domeniului si codomeniului.

3. Aflati pentru ce valori ale lui b ∈ R are loc ın R[x] egalitateaL(1, x, x2) = L(b− x, 1 + x+ x2, 2 + x2).

4. a) Se da punctul C(√

3; 2π/3; 7π/4) ın coordonate sferice. Aflati coordonatele carteziene ale acestuia.b) Se da punctul D(−3, 4,−5) ın coordonate carteziene. Aflati coordonatele sferice ale acestuia.

22.

1. a) Defectul si rangul unei forme biliniare.

b) Rotatii si simetrii.

2. a) Aratati ca nucleul transformarii de matrice A =

1 1 12 2 23 3 3

este format din vectori proprii ai lui A.

Aflati nucleul.

b) Aflati complementul ortogonal al spatiului U = L(v = (1, 2, 3)) ⊂ R3.

3. Ortonormati familia de vectori F = u = i+ j, v = 2i+ j − k, w = j + k.

4. Sa se aduca la forma canonica si sa se reprezinte Γ. Dupa caz, determinati centrul, axe de simetrie,asimptote, varfuri si focare. Se da Γ : x2 − 2xy + y2 − 6x− 2y + 9 = 0.

23.

1. a) Subspatii vectoriale suplementare.

b) Teorema Cayley-Hamilton.

- 285-

Page 286: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

2. Aflati spectrul matricii A =(

0 −11 0

)∈ M2×2(C) si spatiul propriu corespunzator valorii proprii

λ = −i.

3. a) Calculati aria triunghiului determinat de vectoriiu = i+ 2j + 3k, v = 3i+ 2j + k.

b) Aflati o baza ın subspatiul vectorialU = (x, y, z, v)|x+ y − z = 0, x+ z − v = 0, y + v = 2z ⊂ R4.

4. Sa se aduca la forma canonica si sa se reprezinteΓ : 3x2 − 10xy + 3y2 + 4x+ 4y + 4 = 0.Dupa caz, determinati centrul, axe de simetrie, asimptote, varfuri si focare.

24.

1. a) Vectorul director al unei drepte.

b) Teorema de diagonalizare.

2. Daca vectorii x, y, z ⊂ V3 sunt linear independenti, ce se poate spune despre F = ax−by, cy−az, bz−cz? Discutie dupa a, b, c ∈ R.

3. a) Matricea transformarii liniare T ∈ End (C3) relativ la baza canonica este A =

2 i 0−1 1 00 0 5

. Este

T transformare hermitica ?

b) Polinomul caracteristic al unei matrici este P (λ) = λ2 +λ. Ce ordin are matricea; este aceasta matriceinversabila ? Justificati raspunsul.

4. Determinati sfera Σ, stiind ca aceasta contine puncteleO(0, 0, 0), A(0, 0, 1), B(0, 1, 0), D(1, 0, 0).

25.

1. a) Vectori liberi colineari, vectori liberi coplanari: definitii, exemple.

b) Algoritmul de diagonalizare.

2. Completati familia de vectori F = p1 = 1+x2, p2 = x− 1 ⊂ R3[x] la o baza B′ a spatiului R3[x]. Aflaticoordonatele vectorului p = 1 + x+ x2 + x3 relativ la aceasta baza.

3. Aflati expresia canonica a formei patratice de matrice asociata A =

0 1 01 0 00 0 1

.

4. Determinati reperul Gauss al suprafeteir(u, v) = (u cos v, u sin v, u), (u, v) ∈ R∗ × [0, 2π).Ce reprezinta suprafata Σ = Imr.

26.

1. a) Suma si intersectia a doua subspatii vectoriale.

b) Translatii: definitie, proprietati.

2. Aflati matricea operatorului de transpunere T ∈ End (M2×2(R)),T (A) = tA, ∀A ∈M2×2(R). Este T transformare inversabila ?Care este inversa acesteia ? Este T involutie ? Justificati raspunsul.

3. Aflati matricea formei patraticeQ : R3 → R, Q(x) = x1x2 + x2x3 + 2x3x1,∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3

relativ la baza B′ = u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0) ⊂ R3.

- 286-

Page 287: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

4. Sa se aduca la forma canonica cuadrica Σ : 5x2 − 8y2 + 5z2 − 6xz + 8 = 0.

27.

1. a) Algoritmul de jordanizare.

b) Dependenta liniara: definitie, exemple.

2. Fie T ∈ End (R2[x]), T (p)(x) = xp′(x),∀p ∈ R2[x]. Sunt KerT si =T subspatii suplementare ın R2[x] ?

3. Calculati 〈u× (v × w), u〉. Care este rezultatul ın cazul particular u = i, v = j, w = k ?

4. Aflati planul tangent si dreapta normala la cuadrica Σ : xy − y2 = x2 − 3 ın punctul A(1, 2, 3). In caz caΣ are centru de simetrie, aflati acest centru.

28.

1. a) Izomorfismul ce asociaza unei transformari liniare matricea relativ la baze fixate.

b) Polinoame si functii de matrice (generalitati).

2. Aflati coordonatele vectorului v = (1, 2, 3) relativ la baza obtinuta prin ortonormarea familiei de vectoriF = v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3), v3 = (1, 1, 2) ⊂ R3.

3. Aflati vectorii u, v ∈ V3 pentru care ||u+ v|| = ||u− v||.

4. a) Se da punctul E(10; 3π/6) ın coordonate polare.Aflati coordonatele carteziene ale acestuia.b) Se da punctul F (−4,−3) ın coordonate carteziene.Aflati coordonatele polare ale acestuia.

29.

1. a) Matricea asociata unei familii de vectori relativ la o baza.

b) Caracterizarea injectivitatii/surjectivitatii/bijectivitatii unui endomorfism T ∈ End (V ), (dimV <∞).

2. Fie v ∈ V3 este un vector nenul fixat. Aflati KerT, unde T ∈ End (V3), T (u) = 〈u,v〉〈v,v〉 · v,∀u ∈ V3.

3. Pentru ce valori ale lui x ∈ R, este matricea A =(

cosx − sinxsinx cosx

)diagonalizabila ? Justificati

raspunsul.

4. Parametrizati Γ : y2(a−x)−x3 = 0 folosind substitutia y = tx (t=parametru). Este Γ curba regulata ?

30.

1. a) Polinom caracteristic al unei matrice; valori proprii asociate.

b) Este o familie ortonormata liniar independenta ? Justificati raspunsul.

2. Pentru ce valori ale lui a ∈ R este F = a, x− a, (x− a)2, (x− a)3 baza ın R3[x] ? Justificati raspunsul.

3. Pentru u = i+ j, v = j + k, w = k + i, calculati u × v + v × w + w × u. Sunt cei trei vectori coplanari ?Justificati raspunsul.

4. Sa se aduca la forma canonica si sa se reprezinte Γ. Dupa caz, determinati centrul, axe de simetrie,asimptote, varfuri si focare. Se daΓ : 9x2 − 6xy + y2 + 20x = 0.

31.

1. a) Functii de matrice: cazul matricelor diagonalizabile.

b) Teorema de jordanizare: enunt.

- 287-

Page 288: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

2. a) Aflati v〈v, w × u〉 − 3v, unde u = 3i+ j + k, v = j − k, w = i+ j.

b) Aflati proiectia vectorului v = (1, 2, 3) pe subspatiulU = (x, y, z)|x+ y = y + z = 0 ⊂ R3.

3. Calculati unghiul format de dreapta ∆ : x = y = z − 1 cu planul π : x+ y = z + 2. Aflati ∆ ∩ π.

4. Determinati natura si genul conicei Γ : λx2 + 2xy + y2 − 2λxy + λ = 0;λ ∈ R (discutie dupa λ).

32.

1. a) Este o familie ortogonala ın mod necesar liniar independenta ? Daca nu, de ce ? Justificati raspunsul..

b) Sume directe de subspatii vectoriale.

2. a) Aflati A−1 folosind teorema Cayley-Hamilton, pentru A =

2 1 00 2 10 0 2

.

b) Fie v ∈ V3 un vector fixat. Este T : V3 → V3, T (u) = u× v,∀u ∈ V3 o transformare liniara ? Justificatiraspunsul.

3. Aratati ca forma patratica de matrice A = I2+tB ·B este pozitiv definita, unde B =(a bc d

), a, b, c, d ∈

R este o matrice data.

4. Determinati sfera Σ, stiind ca Σ este tangenta la planul π1 : x + y + 1 = 0 ın punctul E(−1, 0, 0) si estetangenta la planul π2 : x+ y + z = 0.

33.

1. a) Vectori proprii ai unei matrice, sistem caracteristic.

b) Teorema de completare a unei familii liniar independente la o baza.

2. Fie I ⊂ R interval si x0 ∈ I. Pentru ce valori ale parametrului a ∈ R este multimea V = f : I →R|f(x0) = a un spatiu vectorial relativ la adunarea punctuala si ınmultirea cu scalari a functiilor.

3. Aflati o baza ın complementul ortogonal al subspatiului vectorial U = (a, b, c) ∈ R3 | a+ b = 0 ⊂ R3.

4. Aflati curburile Gauss si medie ale suprafeteir(u, v) = (u cos v, u sin v, v), (u, v) ∈ R2.Este suprafata Σ = Im r suprafata desfasurabila ? Dar minimala ?

34.

1. a) Transformari liniare: definitie, exemple, proprietati.

b) Vectori liberi: proiectii ortogonale.

2. Calculati P (A) si sinA, unde A =(

0 11 0

)iar P (t) = t5 + t3 + t+ 1.

3. Aflati simetrica dreptei ∆ : x = y = z fata de planul π : x+ y + z = 3.

4. a) Se da punctul E(10; 3π/6) ın coordonate polare.Aflati coordonatele carteziene ale acestuia.b) Se da punctul F (−4,−3) ın coordonate carteziene.Aflati coordonatele polare ale acestuia.

35.

1. a) Valori si vectori proprii pentru endomorfisme ın spatii euclidiene.

b) Nucleul unei transformari liniare.

- 288-

Page 289: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

2. Folosind metoda Jacobi, aflati expresia canonica a formei patratice de matrice A =

2 1 1 11 2 1 11 1 2 11 1 1 2

.

3. a) Poate fi C organizat ca spatiu vectorial real ? Justificati raspunsul.

b) Aflati planul π care contine axa Ox si punctul A(1, 2, 3).

4. Aflati reperul Frenet si functia de curbura pentru drumul parametrizat α(t) = (2 cos t, sin t), t ∈ [0, 2π) ınpunctul A(−2, 0). Ce reprezinta drumul α ? Justificati raspunsul.

36.

1. a) Transformari liniare particulare.

b) Ecuatiile parametrice ale unei drepte ın spatiu.

2. Se da T : R2 → R3, T (x) = (x1, x1 + x2, x1),∀x = (x1, x2) ∈ R2.Este T ∗ surjectiva ? Dar injectiva ? Justificati raspunsul.

3. a) Aflati planul π perpendicular pe Oy care contine punctul A(3, 2, 1).

b) Determinati distanta de la punctul A la axa Oy.

4. Aflati reperul Frenet, curbura si torsiunea curbei α(t) = (cos t, sin t, 2t), t ∈ R ın punctulA(√

3/2; 1/2;π/3).

37.

1. a) Proprietati ale vectorilor si valorilor proprii pentru un endomorfism simetric.

b) Reper cartezian. Axele si planele de coordonate.

2. Este T ∈ End (R3), T (v) = (x, y cosα− z sinα, y sinα+ z cosα), ∀v = (x, y, z) ∈ R3 (α ∈ R) un operatorortogonal ? Este T simetrie sau rotatie ? Justificati raspunsul.

3. Aflati dreapta ∆ 3 A(1, 0,−1) paralela cu planul π : x+ 2y + 3z = 4 care formeaza cu ∆∗ : x = y = z ununghi de marime π/6.

4. Aflati planul normal si dreapta tangenta la curba

Γ :xy − ln z = 02arctgx− arcsin y = 0 ın A(1, 1, e) ∈ Γ.

38.

1. a) Imaginea unei transformari liniare.

b) Expresiile analitice ale produselor: scalar, vectorial, mixt.

2. Aflati planul π care contine dreptele ∆1 : xa = y = z − 1 si

∆2 : x = y = z + b. Cate solutii exista (discutie dupa a, b ∈ R) ?

3. a) Se da T ∈ End (R2[x]), T (p)(x) = p′(x),∀p ∈ R2[x]. Aflati KerT.

b) Este T transformare nilpotenta ? Justificati raspunsul.

4. Aflati sfera Σ de centru C(2, 0, 3), tangenta la planul π : 3x+√

2y + 4z − 45 = 0.

39.

1. a) Exponentiala si sinusul unei matrice diagonalizabile.

b) Daca F ⊂ V este o familie ın spatiul vectorial V si L(F ) = V , este F baza ın V ? Justificati raspunsul.

2. Fie u = (a, b) ∈ R2 si T ∈ End (R2), T (v) = pruv , ∀v ∈ R2. Aflati matricea lui T relativ la baza canonica.Pentru ce valori ale parametrilor a, b ∈ R are loc egalitatea KerT = L(w = (1, 1)) ? Justificati raspunsul.

- 289-

Page 290: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

3. a) Aflati planul mediator al segmentului AB, unde A(1, 2, 3), B(2, 2, 2).

b) Aflati dreapta care contine punctele A si B.

4. Aflati ınfasuratoarea familiei de curbe:

Γλ : x2 + y2 − 2λx+ λ2 − 4λ = 0, λ ∈ R∗.

40.

1. a) Transformari liniare injective: teoreme de caracterizare.

b) Formula de calcul prescurtat pentru dublul produs vectorial.

2. Aflati expresia canonica si forma polara pentru forma patraticaQ : R2[x] → R, Q(p) =

∫ 1

−1(p(t))2dt,∀p ∈ R2[x].

3. Se dau dreptele ∆1 : x = y = z si ∆2 : x+ a = 2y = z + 1. Pentru ce valori ale parametrului a ∈ R ∆1 si∆2 se intersecteaza ? In acest caz, aflati bisectoarea celor doua drepte.

4. Aflati sfera Σ de diametru AB, unde A(0, 1, 0), B(1, 0, 1).

- 290-

Page 291: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

Bibliografie

[1] Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala, EdituraAll, Bucuresti, 1994.

[2] V. Balan, Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala, Universitatea Politehnica Bucuresti, 1998.

[3] R.M. Bowen, C.C. Wang, Introduction to vectors and tensors, vol. 1-2, Plenum Press, New York, 1976.

[4] V. Brınzanescu, O. Stanasila, Matematici speciale, Editura All, Bucuresti, 1994.

[5] M. Craioveanu, I.D. Albu, Geometrie afina si euclidiana, Editura Facla, Timisoara, 1982.

[6] V. Cruceanu, Elemente de algebra liniara si geometrie, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1973.

[7] J. Dieudonne, Linear algebra and geometry, Paris, Hermann, 1969.

[8] B. Dubrovin, S. Novikov, A. Fomenko, Geometria contemporanea, Editori Riuniti, Edizioni Mir, 1987.

[9] Gh. Galbura, F. Rado, Geometrie, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1979.

[10] Gh. Gheorghiev, V. Oproiu, Varietati diferentiale finit si infinit dimensionale, Editura Academiei, 1976.

[11] Gh.Th. Gheorghiu, Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala si programare, Editura Didactica siPedagogica, Bucuresti, 1977.

[12] E. Grecu, Geometrie diferentiala, Universitatea Politehnica Bucuresti, 1997.

[13] W. Klingenberg, Lineare algebra und geometrie, Springer-Verlag, Berlin, 1990.

[14] I.A. Kostrikin, I.Yu. Manin, Linear algebra and geometry, Gordon and Breach Science Publishers, 1989.

[15] L. Nicolescu, Lectii de geometrie, Universitatea Bucuresti, 1990.

[16] V. Obadeanu, Elemente de algebra liniara si geometrie analitica, Editura Facla, Timisoara, 1981.

[17] V. Oproiu, Geometrie, Universitatea Iasi, 1980.

[18] A.V. Pogorelev, Analytic geometry, Mir Publishers, Moscow, 1961.

[19] C. Radu, Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala, Editura All, Bucuresti, 1996.

[20] C. Radu, C. Dragusin, L. Dragusin, Aplicatii de algebra, geometrie si matematici speciale, Editura Didacticasi Pedagogica, Bucuresti, 1991.

[21] C. Radu, L. Dragusin, C. Dragusin, Algebra liniara, Analiza matematica, Geometrie analitica sidiferentiala, Culegere de probleme, Editura Fair Partners, Bucuresti, 2000.

[22] N. Soare, Curs de geometrie, Universitatea Bucuresti, 1996.

[23] L. Stoica, Elemente de varietati diferentiabile, Geometry Balkan Press, Bucuresti, Romania 1998.

[24] I. Teodorescu, St. Teodorescu, Probleme de geometrie superioara, Editura Didactica si Pedagogica, Bu-curesti, 1975.

291

Page 292: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

[25] A. Turtoi, Geometrie, Universitatea Bucuresti, 1985.

[26] C. Udriste, Probleme de algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala, Editura Didactica si Pedagogica,Bucuresti 1976.

[27] C. Udriste, Problems in algebra, geometry and differential equations I, II, University Politehnica ofBucharest, 1992.

[28] C. Udriste, Aplicatii de algebra, geometrie si ecuatii diferentiale, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti,1993.

[29] C. Udriste, Algebra liniara, Geometrie analitica, Geometry Balkan Press, Bucuresti, Ed. I - 1996, Ed. II -2000.

[30] C. Udriste, V. Balan, Analytic and differential geometry, Geometry Balkan Press, Bucuresti, Romania,1999.

[31] C. Udriste, O Dogaru, Algebra liniara, Geometrie analitica, Universitatea Politehnica Bucuresti, 1991.

[32] C. Udriste, C. Radu, C. Dicu, O. Malancioiu, Probleme de algebra, geometrie si ecuatii diferentiale,Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981.

[33] C. Udriste, C. Radu, C. Dicu, O. Malancioiu, Algebra, geometrie si ecuatii diferentiale, Editura Didacticasi Pedagogica, Bucuresti, 1982.

[34] Gh. Vranceanu, Geometrie analitica, proiectiva si diferentiala, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti,1962.

[35] Gh. Vranceanu, G. Margulescu, Geometrie analitica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1973.

[36] ***, http://www.youtube.com/watch?v=kAyAADExL9Q&feature=relmfu,http://www.youtube.com/watch?v=EB9HZbYoD5c&feature=relmfu,http://www.youtube.com/watch?v=6xgtMQ7WSzQ&feature=related,(MIT History of Mathematics: Analytic and Differential Geometry)

[37] ***, http://www.youtube.com/watch?v=QG6zpNL-vek&feature=relmfu,(MIT History of Mathematics: Mechanics and curves)

- 292-

Page 293: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

Index de notiuni

1-forma diferentiala, 254

a doua forma fundamentala a suprafetei, 222abscisa, 23abscisa curbilinie, 131, 132acceleratia curbei, 124acceleratii de ordin superior, 124algebra Lie, 253aplicatia Weingarten, 209aria unei portiuni de suprafata, 231asimptota, 66, 128, 129axa de simetrie, 69axa principala, 92axa unui fascicul, 38

baza duala, 253binormala, 173

camp normal la o curba, 127camp paralel, 128camp tangent la o curba, 127camp tensorial, 254camp vectorial, 115, 126, 252camp vectorial diferentiabil, 253camp vectorial diferentiabil, 116camp vectorial pe o curba, 126campul coreperului natural, 254campul reperului natural, 115, 253campuri fundamentale, 115, 253campuri scalare, 251cerc osculator, 151cilindru circular, 93cilindru eliptic, 93cilindru hiperbolic, 93cilindru parabolic, 94coborarea indicilor, 251componente contravariante, 247componente covariante, 247componentele unui vector, 114con asimptot, 90, 91conexiune liniara, 256conexiunea Levi-Civita, 257conica, 59conica de gen eliptic, 62conica de gen hiperbolic, 62conica de gen parabolic, 62conica neteda, 65contactul a doua curbe, 149

contractie, 250coordonate carteziene, 23coordonate cilindrice, 24coordonate euclidiene, 114coordonate sferice, 25coordonatele carteziene ale punctului, 23coordonatele euclidiene ale unui camp, 115coreper natural, 254cosinusuri directoare, 31cota, 23crosetul a doua campuri vectoriale, 253cuadrica, 97cuadrica degenerata, 97cuadrica dublu riglata, 94cuadrica nedegenerata, 97cuadrica neteda, 102cuadrica riglata, 90cuadrice, 94curba directoare, 94curba, 119curba algebrica, 171curba inchisa, 120curba periodica, 120curba regulata, 122curba simpla, 120curbe coordonate, 193curbe plane, 139curbura, 256curbura, 177curbura Gauss, 217curbura normala, 211

derivata covarianta, 256derivata covarianta, 118derivata covarianta, 117diametri conjugati, 69diametrul unei conice, 68difeomorfism, 112diferentiala unei functii, 253directie asimptotica, 65directie normala, 65divergenta, 259dreapta orientata, 30dreapta suport, 7drum parametrizat, 119dublu produs vectorial, 17

ecuatia normala a planului, 36

293

Page 294: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

ecuatia vectoriala a unei curbe, 119ecuatie vectoriala, 29ecuatii carteziene, 29ecuatii parametrice, 29ecuatii parametrice ale unei curbe, 119elipsoid, 88extremitate, 7

fascicul de plane, 38forma alternata, 261forme alternate, 261forme diferentiale alternate, 262formulele Frenet, 175functie diferentiabila, 200functie diferentiabila, 111, 112

generatoare rectilinie, 94gradient, 259graficul unei functii, 111

harta proprie, 190hessiana, 259hessiana unei functii, 112hiperboloid cu doua panze, 90hiperboloid cu o panza, 90hiperplan normal la curba, 122

identitatea Jacobi, 253imersie, 112inegalitatea Cauchy-Schwarz, 114, 117invarianti metrici, 60

Jacobianul unei functii, 111

laplacian, 260legea Coulomb, 116lungime, 7lungimea unui vector, 113

matricea Jacobiana, 111metrica Rieman, 257metrica Riemann, 250, 257Metrica Poincare, 258multime convexa, 87multiplicitatea unui punct multiplu, 120

normala principala, 173

octante, 24ordin de contravarianta, 248ordin de covarianta, 248ordinul unui tensor, 248ordonata, 23origine, 7originea spatiului, 113

paraboloid eliptic, 91

parametri esentiali, 62parametri neesentiali, 62parametrizare, 119parametru, 119perioada, 120plan normal, 170plan osculator, 173plan rectificator, 173plan tangent, 203plane de coordonate, 24plane principale, 92pol, 66polara, 66prima forma patratica a suprafetei, 222produs mixt, 18, 116produs mixt generalizat, 114produs scalar, 116produs tensorial, 248produs vectorial, 16, 116produs vectorial generalizat, 114produsul vectorial, 114proiectie ortogonala, 23punct critic, 112punct dublu, 119punct multiplu, 119punct regulat, 122punct singular, 112, 123punct singular de ordinul m, 123punct triplu, 119

ramura infinita, 128raza de torsiune, 178reper, 114reper cartezian, 23reper natural, 114, 252reprezentarea normala a unei curbe, 132ridicarea indicilor, 251rotatie, 56rotor, 260

segment orientat, 7segmente congruente, 7segmente echipolente, 7semispatiu, 37sfera, 85simbolul Kronecker, 247simbolurile Christoffel, 258simetria ın raport cu un plan, 47simetria ın raport cu un punct, 55spatiu dual, 248spatiul cotangent, 253spatiul tangent, 252spatiul tangent, 115spatiul tangent ıntr-un punct, 113suprafata de rotatie, 199suprafata riglata, 96

- 294-

Page 295: Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

suprafata conoid, 198suprafete, 189suprafete cilindrice, 195suprafete conice, 196suprafete de rotatie, 199suprafete riglate, 194

tangenta, 65tangenta la curba, 122tensor, 248tensor antisimetric, 250tensor simetric, 250teorema functiei implicite, 112torsiune, 178, 256traiectorii ortogonale, 224translatie, 55triedrul lui Frenet, 174

unghiul dintre doi vectori, 114unghiuri directoare, 31

varfuri, 70varietate Riemann, 257vector covariant, 247vector de pozitie, 23vector director, 29vector liber, 8vector normal, 33vector nul, 8vector tangent, 251vector unitate, 113vectori coliniari, 8vectori contravarianti, 247vectori coplanari, 8vectori opusi, 8vectori ortogonali, 113versor, 8, 113viteza curbei, 124viteza unei curbe parametrizate, 131viteza unei curbe regulate, 122

- 295-