Download - Esential. Matematica - Clasa 7. Partea II. Matematica - Clasa 7. Partea II... · CAPITOLUL 1 Calcul algebric Tema 1.1. Adunarea gi sciderea numerelor reale reprezentate prin litere

Transcript
Page 1: Esential. Matematica - Clasa 7. Partea II. Matematica - Clasa 7. Partea II... · CAPITOLUL 1 Calcul algebric Tema 1.1. Adunarea gi sciderea numerelor reale reprezentate prin litere

Marius PERIANUIoan BALICAPaula BALICA

ESENTIAL)

Matematiciclasa a Vll-a

II

%/ cLueul \/nrreumogtruon\

Page 2: Esential. Matematica - Clasa 7. Partea II. Matematica - Clasa 7. Partea II... · CAPITOLUL 1 Calcul algebric Tema 1.1. Adunarea gi sciderea numerelor reale reprezentate prin litere

CuprinsnLcesRACap. 1 - Calculu! algebric1.1. Adunarea gi sciderea numerelor reale reprezentate prin litere .................

1.2. lnmu llirea gi impS(i rea numerelor reale reprezentate prin litere .............

1.3. Ridicarea la putere cu exponent intreg a numerelor reale

reprezentate prin litere.

1.4. Formule de calcul prescurtat

1 .5. Metode de descompunere in factori........

Teste de eval uare ....................

1.6. Ecuafia de forma * = a, unde a eQ ................

Test de eval uare ..................1.7. Probleme cu caracter aplicativ.......

Cap. 2 - Ecuatii gi inecuatii

2.1. Rela[ia de egalitate in mul[imea numerelor reale. Proprieteti .................... 55

2.2. Ecua[ii de gradul I cu o necunoscutd.Ecua[ii reductibile la ecuatii de gradul I cu o necunoscuti.......................... 58

Teste de eval uare ...........,........... 64

67

7"1

75

Teste de eval uare ...........................

2.6. Probleme cu caracter aplicativ

Cap.3 - Elemente de organizare a datelor3.1. Produsul cartezian a doui mullimi nevide. Reprezentarea punctelor

in plan cu ajutorul sistemuluide axe ortogonale.Distanfa dintre doud puncte din plan

3.2. Reprezentarea 5i interpretarea unor dependente funclionaleprin tabele, diagrame 5i 9rafice.......Teste de eval uore ...............,,.

3.3. Probabilitatea realizdrii unor evenimente.

7lt

162"1

25

3242

45

4851

2.3. Relalia de inegalitate < pe mulfimea numerelor reale.

Proprietifi ale rela[iei de inegalitate. lnegalitd[i algebrice

2.4. lnecualii de forma ax+b> 0 (<,>,<) cu 4b elR. $i x e2..........

Teste de eval uare .........,........

2.5. Probleme care se rezolvi cu ajutorul ecuafiilor 5i inecua[ii1or....................

=I

tEI(oC,

sU

IF=utF

=

798285

89

9397

101

1041073.4. Probleme cu caracter aplicativ......

Page 3: Esential. Matematica - Clasa 7. Partea II. Matematica - Clasa 7. Partea II... · CAPITOLUL 1 Calcul algebric Tema 1.1. Adunarea gi sciderea numerelor reale reprezentate prin litere

Cap.4 - Rela[ii metrice in triunghiul dreptunghic4.1. Proiec[ii ortogonale pe o dreapti. Teorema indlfimii4.2. Teorema catetei..........4.3. Teorema lui Pitagora. Reciproca teoremei lui Pitagora..........................::.....

4.4. No[iuni de trigonometrie in triunghiul dreptunghic4.5. Ariile poligoanelor studiate........

Teste de eva I ua re ......................

4.6. Probleme cu caracter aplicativ.....

Cap.5 - Cercul

5.1. Elemente in cerc. CoardS, arg unghi la centru.......5.2. Unghi, triunghi gi patrulater inscris in cerc................5.3. Pozifiile relative ale unei drepte fa[5 de un cerc...

Teste de evaluare5.4. Poligoane regulate5.5. Lungimi 5i ariiin cerc..

5.6. Probleme cu caracter aplicativ.......

Cap.6 - Subiecte pentru evaluirile finale6.1. Variante de subiecte pentru tezi.....6.2. Variante de subiecte pentru evaluarea fina1i.............

So1utii.................

111

t't41't7122125130137141

1451491541s8"161

1U166169

't73

176

l,

=6sf(!o

IJ

Ec(!-9

t=OElttI6J'cc,

=

-

4

183

Page 4: Esential. Matematica - Clasa 7. Partea II. Matematica - Clasa 7. Partea II... · CAPITOLUL 1 Calcul algebric Tema 1.1. Adunarea gi sciderea numerelor reale reprezentate prin litere

CAPITOLUL TCalcul algebric

1.1. Adunarea gi sciderea numerelor reale reprezentate prin litere

1.2. inmul;irea gi impirfirea numerelor reale reprezentate prin litere

1.3. Ridicarea la putere cu exponent intreg a numerelor reale

reprezentate prin litere

Teste de evaluare

1,4. Formule de calcul prescurtat

1.5. Metode de descompunere in factori

1.5.1. Metoda factorului comun

L.5.2. Unlizarea formulelor de calcul prescurtat

1.5.3. Metode combinate de descompunere in factori

Teste de evaluare

1.6. Ecualia de forma x2 = a, a e Q

Teste de evaluare

1.7. Probleme cu caracter aplicativ

Page 5: Esential. Matematica - Clasa 7. Partea II. Matematica - Clasa 7. Partea II... · CAPITOLUL 1 Calcul algebric Tema 1.1. Adunarea gi sciderea numerelor reale reprezentate prin litere

CAPITOLUL 1

Calcul algebricTema 1.1.

Adunarea gi sciderea numerelor realereprezentate prin litere

gtim cI ZJi + I Ji = 1Z + l';Ji = g16 . in general, 2a + 7 a = (2 + 7\a= 9a unde

a este un numlr real. Numerele 2a Si 7a se numesc termenii sumei 2a * 7a, iarnumerele 2 gi7 poartnnumele de coeficienlii lui a. ln s:uma 3x+2y numerele reale 3

gi 2 se numes c coeficienli, iar .r gi y reprezintl partea literald.

O sumd algebricd este o suml in care unele numere reale sunt reprezentate prinlitere. Termenii asemenea ai unei sume algebrice sunt acei termeni in care aparaceleagi litere ridicate la aceleagi puteri.

Exemplu. in suma algebricl 7a-2ry2 -4a+Ji +0,9ry2 +ll$+54 sunt

asemenea urrntrtorii termeni:o '7a cu4a qi cu 5a, a cilror sumd este a(7 * 4 + 5) = 8a;. -+-rf cu 0,9xf , a ciror sumr este {l (1 + 0,9) = -l,lxf ;

. lE cr lh6,acirorsumreste r6(t+tl)=lzJi.Adunind temenii asemenea, se spune cd se re&tc termenii osemeneo, iar suma

inilial[ este egali cu 8a-1,1ry' +12J5 .

Exercifii. Reduceli termenii asemenea din urmitoarele sume algebrice:

a) 1x+1222 -6ry +92' +20x+6xy + z2 ;

b) l4x -l4y +1222 -l4x + 6y -82' +8y -322 ;

Rezolvare. Folosind proprietilile de asociativitate gi comutativitate, avem:

a) --7x+20x+1222 +922 +22 -6ry+6ry=e7 +20)x+(12+9+l)22 +(-6+6)xy=

--l3x+2222 .

b) l4x-l4y+1222 -l4x+6y-822 -l}x+8y-Zz' =L4 -fr+(-14+ 6+8)y +(12-8 -3\22 =22 .

Proprietitile adunirii numerelor reale1. Asociativitatga: (a + b) + c = q + (b t c), oricare ar fi a,b, c e R .

2. Comutativitatea: a + b = b I a, oicate ar fi a,6 e JR

3.0 (zero) este elementneutru: alO=0* a= a,oicare arfi a e IR .

4. Suma oricdror doul numere opuse 4 gi --a este egal6 cu 0: a + (--a) = -4 * 67 = S,

oricarearfi aelR..Observatie. Suma dinhe numdrul real a gi opusul numlrului real D se numegte

diferenya numerelor reale a gi b gi se noteazd cu a - b. Aqadar, a + (-b) = a - b .

I

l!t=tEr!lEoIJF

=lr|F

=

Page 6: Esential. Matematica - Clasa 7. Partea II. Matematica - Clasa 7. Partea II... · CAPITOLUL 1 Calcul algebric Tema 1.1. Adunarea gi sciderea numerelor reale reprezentate prin litere

cuNoA$TERE $r EXERSAREf . in urmltoarele sume algebrice, subliniati termenii asemenea, conform modelului:

'P H!2:k:!)-"?*!iat lsi* s-p: m"it w "." -1 " "rt * r-.

2. Completafi urrnltorul tabel:

Suma algebrici 2x+4y 7x- y 5.y+ x 17x 1,5y+0,(3)yCoeficientul lui x ICoeficientul luiy -l 0

3. Completa[i urmitorul tabel:

Termenul 6x 4a 3,5b3-v4"

7ry -3*y' -a'b' 3x3

Opusul termenului

4. Reduceti termenii asemenea:

9-3.:-6::, * ,b)-f:i:::.r*.' *j*: i^1ir*2::!*-,--.- **i4t"{t:t-t}*-.-i-.irl-.F**2drl9r-:=---i i---j-#11i:&-:J-qr-F--"i- -i "i- -i

5. Reduceti terrnenii asemenea:,a)7a-zi+la+l2a:=''" 1 ' b'st++t-:i+t*+i"1": 1 i ":

,c)!|c129+?or:J?"=.;"...,d)1'6-d,+!]!.yz5,d.t-t4-=.-.6. Efectuafi:

!o{|.vzy:u1r1:1; i , , ' , i:"j::-i::i::il-t--:,:i:J::r,III'q:,e?1tra\{e;:;;5H-l*-l-*]"^t-*, ; , ; "i "; ; 'i"*l*i:,c|.ly.+Gy_2y^)_.2|7:.-.-"",".,"":-_ :"'i I ' : : l' ,

,!)-!::9kb)-:-95b,-*90:i-i -i L i- .j-.,.-i-,-j - j- --:- --i--.i,--j--i" -: i

tJ

osaGo-

Iaocl!-9

D-sculo'=|!

=

Page 7: Esential. Matematica - Clasa 7. Partea II. Matematica - Clasa 7. Partea II... · CAPITOLUL 1 Calcul algebric Tema 1.1. Adunarea gi sciderea numerelor reale reprezentate prin litere

IIACUMULARE 5l CONSOLIDARE

Rezolvare. b) 4x - x + 5y + 3x - 4y = (4x - x + 3x) + (5y - afl = 6x I !.

10. Calculafi:

Rezolvare. b) (7 x + 2a) -(3c - -r) + (- x * a) = 7 x + 2a - 3a + x - x + a = 7 x'

1 1. Calculati:

9. Efectuafi:a) x+3y+4x-2y+x;c) 7a+3b+a-6b+b-Za;

a) (2x-y\+(3x+4y)-x;c) (a+2b\-(a-2b)-4b;

a) 3a+b+2c-2a+2b-c+a;c) 6a+5m-3n+5m-6a+3n;

12. Calculafi:

b) 4x-x+5y+3x-4y;d) l1a + 3c - 6c + 5a + 3c - 2a.

b) (7 x + 2a\ - (3a - x\ + (-x + a);

d) (lic -l4d\ + (t5d -r4c) - (c + d).

b) 4x -2a +2x +3b + x + 4a + 5b;

d) llx -32 + 4y +2x + z - y +22 -3y.

a) 4x2 -3a2 +6x2 +a'-2x'; b) 6x2 -4y'-*'+3yz +x2 +y2;

c) -3a2 +2b2 +o2 -b2 +4a2; d) m2 +2m2 +6n2 +m' -3n'.Rezolvare. a1 4x2 -3a2 +6x2 +a2 -2x2 =8x2 -2a2.

13. Efectuati:a) 2, 5 x + 3,7 y - l,6x + 0,3y + O,lx; b) 2,6a + 3b - 1,7 a - 0,3b + O,la;

c) l,2x-0,4b+b+0,8x-0,6b; d) 0,25x-1,1y+0,25x+ y +0,5x.

14. Efectuati:(x x x\ (t I I \ - : I 5 7 I

o l;.;.i)-lr-* ,'*A* ), b) Ax+ix--x+-x+rx;x 2x 4x 7x x ,.26 I 7 7 18q ;.;-i+:-x+l; tt) 7x--x +-x--x+r5x'

xlxllndicatie. a,) r= r*, i = i*,...

15. Calculafit -r

ot qL * + zL o + e! * +l! o - l- o -eL, - s

' 4 5 2 2 lO 3 '12*;

nt 21,-(-1r')-l! u*s**(-z!v*lr \ ( t 13 )'6 t5 ) 8' \ s"+'',J-[r'-oo')'

I

C'f

=IEIE

sUIJF

=ltl!--

Page 8: Esential. Matematica - Clasa 7. Partea II. Matematica - Clasa 7. Partea II... · CAPITOLUL 1 Calcul algebric Tema 1.1. Adunarea gi sciderea numerelor reale reprezentate prin litere

IJ

6g).E

CL

t,

Ec(o-9

:,=EaIE)'='!=

"t (. i.' ., l.').(r| o . r|,,).(i.,. i o

),

at r fr,, -l(#., - * -)-(*", - i*))- **16. Calculati:

0 3Jix + 4Jix - s"fzx + t J-zx;

D J so * + J-tz * - J-t z * + Jfr *;4 J-ax + J n x-.l[ + Ji oa, +.f+sr;a) J zo* + J-tzs *+ J+s, - Ji so, *./fr *.

17. Calculati:

0 3"f-6 x + 4.1-5 x - s ^fax

* ^l-s

x;

D J-zs * * J-ah - Jfr * + J-qs * ;

O eJ% + Jsqla -.1 ua + lzJe + Jx)" + Jsso;a) tJ aa + gJt so - #+ I a + 1J tm - zJE)t + t.J-tt - rc{a o.

18. Fie numerele: A = 2x-3, B = 4x -'7 gi C = 6x-5 .Calculali:a) A+B; b) A-B; c) A+B+C;d) A+(B-C); e) -A+B-C; 0 (A-B)+(B-C)+(C-A).

1 9. Considerlm numirul 7g = (3x' * y' ) - @' + l) + (l - yr ) .

c/ Calculafi iI, dacl x =2;i y = 4;b) fudtati cE y'f > 0, oricare ar fi x,y e IR .

20. F ie A = (5 + o,zsx' ) - {z,s r, + 2,7 s) - (2,25 - 3,25 x2 ). Ar;tali cd A este pdtrat

perfect, pentru orice valori ale numlrului natural x.

rrrAPROFUNDARE gt DEZVOLTARE

21. Dacd x +2y = 5 gi 2x + y = 3, calculali:a) 3x+3y; b) y-x; c) 4x+5y; d) 7x+5y .

22. Efectuafi:a) x + 2x + 3x +...+ fu;b) x + 2x + 3x +...+ 25x;c) i +zx2 +3i +...+ lool .

23. DacI x +2y - 5= 0, calculali (3x + 6y -t4)tM .

24. Scrie,ti numIrul N =(4a'+3b')-(za'+zb'+g)+(rz-b2) ca sumil de dou6pEtrate.

Page 9: Esential. Matematica - Clasa 7. Partea II. Matematica - Clasa 7. Partea II... · CAPITOLUL 1 Calcul algebric Tema 1.1. Adunarea gi sciderea numerelor reale reprezentate prin litere

Testul 1

(3p)l.Calculafi: a) x+2x-5x+8x; b) x3:xz +3x; c) (x+1)(x+3).

l2pl 2.Efectuafi, respectand ordinea efectulrii operaliilor:

(x + 1)(x2 - 2) - 2x2 (x -l) + x(x + l).(1p) 3. DacLx+ y = 3, calculali valoarea numIrului:

a = 2(x + y) + 3(x + y)2 + 4(x + y\3 .

(1p) 4. Aretaf cd a = 2, oricare ar fi numlrul real x, unde

a = 2(x' -3x +l) - (2x+ l)(x - l) + 5x -1.(1p) 5. Calculali o.b,tnde

a = 0,25x.2x +2x' .1,7 5 - 4x.1,25x gi

b = 2,4x3 : (2x) - 0,6x4 : (3x2) + 3x : (0, 5x).

(1p) 6. Aflafi aria unui pltat care are perimetrul egal cu 8r , unde x e N *

NOTA: Timp de lucru 50 minute. Se acord[ un punct din oficiu.

Testul 2(3p)l.Calculafi: a) 2x-x+8x-6x; b) 4xs:(2x3)-2x'x; c) (x+l)(x-2).(2p) 2. Efectuali, respectlind ordinea efectuirii operafiilor:

(x - 3)(x2 + 1) - r(x2 + 2x) + x2 (x - 2).

(1 p) 3. DacL x - y = 2, calculafi valoarea numirului:

a = 3(x - y) + 5(x - y)' - 2(* - y)' .

(1p) 4. Aret4i cL b = 3, oricare ar fi numlrul real x, unde

b =3(x3 -x2 +2x)-(x2 +l)(3x-1) +2x(x-l)-x+2.(1p) 5. Calculafi a. b,wde

a = 1,5x2 .2x -3x3 .1,25 + 6xa : (4x) + (0,5x)' ., gi

" b = (0,1x)2 .(10x) : x2 +0,3x.3.(1p) 6. Aflati aria unui pltrat care are perimetrul egal cu l2ry,wde r, y e N * .

NOTA: Timp de lucru 50 minute. Se acordi un punct din oficiu.

I

IEJ

t!r!tE

UIJl-

=IIF

=21