8

CAPITOLUL 1

CONCEPTE DE BAZ N TEORIA CIRCUITELOR ELECTRICE

1.1. SEMNALE ELECTRICE Semnalele electrice sunt elemente de baz ale teoriei circuitelor electrice, purttoare de energie i informaie. O caracteristic important a unui semnal electric este modul de variaie a acestuia n timp. Notnd cu x ts( ) valoarea instantanee a unui semnal (valoarea semnalului la momentul t), vom face o clasificare a celor mai utilizate semnale electrice n aplicaiile tehnice, n funcie de modul cum variaz n timp aceast mrime. 1. Semnale continue (semnale de curent continuu) Semnalele continue se caracterizeaz prin faptul c valoarea lor rmne constant n timp (fig.1.1,a), deci:

x t Xs s( ) = , (1.1) unde Xs poate fi pozitiv sau negativ. Pentru a putea fi identificate cu uurin, mrimile electrice caracteristice acestor semnale se noteaz cu litere mari: U, V, I. 2. Funcia treapt Valoarea instantanee a acestui semnal satisface urmtoarele relaii:

==

0,pentru t ,)(0,

9

3. Impulsul Dac n cazul anterior, la momentul t Ti= semnalul se anuleaz, adic:

==

=

is

ims

s

t>Ttx,TtXtx

t

10

Fig. 1.2. Tipuri de semnale periodice.

6. Semnale analogice i digitale Un semnal care variaz continuu n timp ntr-o anumit plaj (fig.1.3) se numete semnal continuu sau analogic. Sistemele electrice care opereaz n domeniul generrii sau procesrii acestor semnale formeaz clasa circuitelor analogice.

Fig.1.3. Semnal analogic continuu.

Prin contrast, semnalele care pot lua numai un set limitat de valori se numesc semnale discrete sau digitale (numerice). Semnalele cu dou valori (0 sau Xm), de tipul trenului de impulsuri, se numesc semnale binare. Sistemele electrice care opereaz cu astfel de semnale se numesc circuite digitale. n cadrul acestei clase de circuite un rol de prim importan l au calculatoarele electronice.

Avantajul major al reprezentrii informaiei n form discret (n particular binar) const n faptul c semnalele digitale sunt mult mai uor de generat, procesat, transmis i stocat dect semnalele analogice.

11

1.2. ELEMENTE DE CIRCUIT 1.2.1. Aproximaiile teoriei circuitelor electrice cu parametri concentrai Regimurile circuitelor electrice se pot studia cu ajutorul ecuaiilor cu derivate pariale ale cmpului electromagnetic (ecuaiile lui Maxwell) n condiii date. Prin utilizarea elementelor de circuit cu parametri concentrai studiul circuitelor electrice se simplific; n locul ecuaiilor cu derivate pariale intervin ecuaii difereniale, mai simplu de rezolvat. Teoria circuitelor electrice cu parametri concentrai se elaboreaz prin particularizare din teoria cmpului electromagnetic, n urmtoarele condiii de aproximare: 1. Caracterul cvasistaionar al regimului, care presupune neglijarea curentului de deplasare i i t

qtD D (

dd

dd= =

) peste tot, cu excepia dielectricului condensatoarelor (asigurnd astfel nchiderea circuitului). Regimul cvasistaionar este astfel caracterizat prin existena curentului de conducie n conductoare i a celui de deplasare n condensatoarele cu dielectric perfect izolant. 2. Localizarea energiei cmpului magnetic numai n bobine i a energiei cmpului electric numai n condensatoare (dei iD stabilete cmp magnetic n dielectricul condensatoarelor i cmpul magnetic variabil n timp din bobine produce cmp electric, acestea se vor neglija). 3. Se admite c intensitatea curentului care iese dintr-o born a unui element de circuit este egal cu intensitatea curentului care intr prin cealalt born. Aceast condiie presupune c cea mai mare dintre dimensiunile l ale elementului de circuit este mult mai mic dect lungimea de und cea mai mic, , care intervine n semnalul electric. Astfel n circuitele electrice cu parametri concentrai curentul electric se stabilete instantaneu, efectul de propagare fiind neglijabil. Considernd un conductor de lungime l parcurs de curentul

=cxtfItxi m 2sin),( , (1.9)

unde x este variabila spaial, c este viteza de propagare a undei electromagnetice (egal cu viteza luminii), iar f - frecvena, dac

2 1f xc

12

af

13

- relaiile lui Maxwell referitoare la inductiviti k k k kj jj k

L i L i= + ;

- teorema energiei electrice W que C= 12 ;

- teorema energiei magnetice W im k kk

= 12 ; - legea transformrii energiei electromagnetice n procesul de conducie P u iJ f= . 1.2.3. Clasificarea elementelor de circuit Elementele de circuit sunt modele idealizate (prin selectarea numai a uneia dintre proprietile lor electrice sau magnetice, considerat esenial, i neglijarea celorlalte), precis definite, cu ajutorul crora putem reprezenta (modela) dispozitivele electrice i electronice, care sunt obiecte fizice reale. Dac notm cu x t( ) valoarea instantanee a semnalului de intrare aplicat elementului de circuit i cu y t( ) valoarea instantanee a semnalului de ieire, relaia dintre cele dou mrimi, care n cazul cel mai general se poate scrie sub forma

( )ttxyty ),()( = , (1.13) se numete ecuaie caracteristic a elementului de circuit. Dup tipul ecuaiei (1.13), elementele de circuit se clasific n: elemente liniare invariabile n timp:

y t Kx t( ) ( )= , (1.14) unde K este o constant. elemente liniare variabile n timp (parametrice):

y t K t x t( ) ( ) ( )= . (1.15) elemente neliniare invariabile n timp:

( ) 0)(),( =tytxf . (1.16) elemente neliniare variabile n timp:

( ) 0),(),( =ttytxg . (1.17) Un element de circuit este caracterizat printr-o relaie ntre curentul i tensiunea la bornele sale. Independent de natura perechii de mrimi ( , )x y , tensiunea u t( ) i intensitatea curentului i t( ) sunt univoc determinate la bornele elementului de circuit i produsul lor:

)()()( titutp = (1.18) se numete putere instantanee, iar integrala n raport cu timpul a puterii instantanee pe intervalul ( , )t t1 2 se numete energie electric

ttpWt

t

d)(2

1

= . (1.19)

14

Din punctul de vedere al valorilor puterii instantanee, elementele de circuit pot fi clasificate n dou categorii: elemente de circuit pasive, pentru care n orice punct al caracteristicii de funcionare p > 0, ceea ce nseamn c elementul de circuit primete putere pe la borne; elemente de circuit active (sau surse), pentru care cel puin ntr-un punct al caracteristicii de funcionare p < 0 , ceea ce nseamn c elementul de circuit cedeaz putere pe la borne. 1.2.4. Elemente de circuit pasive 1.2.4.1. Rezistorul Este un element de circuit a crui ecuaie de funcionare este de forma (1.20) i se numete caracteristic tensiune-curent, sau de forma (1.21) i se numete caracteristic curent-tensiune:

( )ttiutu ),(=)( , (1.20) sau

( )ttuiti ),(=)( . (1.21)

Fig.1.4. Un conductor filiform de lungime finit.

Ecuaia caracteristic a rezistorului se determin plecnd de la teoria cmpului electromagnetic, n urmtoarele ipoteze (care selecteaz proprietatea esenial): rezistorul este un fir conductor, care fiind parcurs de un curent electric de conducie degaj cldur datorit efectului electrocaloric (R 0), nu produce cmp magnetic ( = 0), nu acumuleaz sarcin electric (q = 0) i nu conine surse de cmp electric imprimat (ei = 0).

Aplicnd legea induciei electromagnetice pe curba (fig.1.4) i legea conduciei electrice, innd seama de ipotezele asumate, se obine succesiv:

0d

dd ==== tuusEe Sbf

, (1.22)

din care rezult u uf b= (1.23)

i u e u Rif i f+ = = . (1.24)

Din ecuaiile (1.23) i (1.24) rezult c u u Rib R= = . (1.25)

a) Rezistorul liniar invariabil n timp. Acest element de circuit, reprezentat simbolic n figura 1.5,a, are ecuaia caracteristic (numit i ecuaie constitutiv)

u t Ri t( ) ( )= (1.26) sau

i t Gu t( ) ( )= , (1.27)

15

unde R > 0 este rezistena elementului msurat n ohmi i G > 0 este conductana acestuia, msurat n siemens S .

Fig. 1.5. Simbolurile rezistoarelor.

Ecuaiile (1.25) i (1.26) reprezint n planul (u,i) o dreapt ce trece prin origine (fig.1.6,a); ca urmare, tensiunea i curentul au aceeai form de variaie n timp. nmulind ecuaia (1.25) cu i(t) sau (1.26) cu u(t) se obine puterea instantanee primit pe la borne de rezistor:

p t u t i t Ri t Gu t( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = =2 2 . (1.28) Indiferent de sensul de referin al tensiunii sau curentului, p > 0 i corespunde efectului electrocaloric de transformare ireversibil a energiei electrice n cldur. Dac R = 0 (G ) ecuaia (1.26) devine:

u t( ) = 0 (1.29) i elementul se numete scurtcircuit (fig. 1.6,b). Dac R (G = 0) ecuaia (1.27) devine:

i t( ) = 0 (1.30) i elementul se numete circuit deschis sau latur n gol (fig.1.6,c).

Fig.1.6. Caracteristicile (u,i) ale rezistoarelor liniare.

b) Rezistorul liniar variabil n timp (parametric), are ecuaia caracteristic

u t R t i t( ) ( ) ( )= , (1.31) unde R(t) se numete rezisten parametric. Simbolul lui este reprezentat n figura 1.5,b. Un exemplu de astfel de element de circuit este poteniometrul. Caracteristicile (1.31) reprezint n planul (u, i) o familie de drepte ce trec prin origine (fig.1.7), deci forma de variaie n timp a tensiunii este diferit de cea a curentului. Acest tip de element poate fi folosit la modelarea unui contactor real (fig.1.8), cu ajutorul unui contactor ideal i a dou rezistoare liniare i invariabile n timp,R1 de valoare foarte mare i R2 de valoare foarte mic.

16

c) Rezistorul neliniar Ecuaia caracteristic a rezistorului neliniar invariabil n timp este:

( ) ,0)(),( =tituf (1.32) iar a celui variabil n timp

( ) ,0),(),( =ttitug (1.33) simbolul fiind prezentat n figura 1.5,c.

Fig. 1.7. Caracteristica (u,i) a rezistorului parametric.

Fig. 1.8. Modelul contactorului real.

Dup forma ecuaiei caracteristice, aceste elemente pot fi simetrice sau nesimetrice n raport cu originea. Din punct de vedere al mrimii care fixeaz univoc poziia punctului de funcionare pe curba caracteristic, rezistoarele neliniare se clasific n: rezistoare neliniare controlate n tensiune, avnd ecuaia caracteristic (fig.1.9,a) de forma

( ))()( tuiti = sau )( uii = ; (1.34) rezistoare neliniare controlate n curent, avnd ecuaia caracteristic (fig.1.9,b) de forma

( ))()( tiutu = sau )( iuu = . (1.35) Un rezistor neliniar caracterizat de faptul c pentru orice tensiune u dat (curent i dat) curentul i (tensiunea u) este unic specificat (specificat) se numete rezistor neliniar controlat n tensiune (curent).

(a)

(b)

Fig. 1.9. Caracteristicile rezistoarelor neliniare: a) Rezistorul neliniar controlat n tensiune (c.u.); b) Rezistorul neliniar controlat n curent (c.i.).

17

Din categoria rezistoarelor neliniare simetrice fac parte: tubul cu fir incandescent i termistorul, a cror rezisten variaz cu temperatura, varistorul a crui caracteristic este controlat n tensiune i dioda cu gaz, avnd caracteristica controlat n curent. Dioda cu jonciune, dioda Zener i dioda tunel sunt rezistoare neliniare nesimetrice cu caracteristic controlat n tensiune. Un alt exemplu este arcul electric n curent continuu i n curent alternativ, care poate fi modelat printr-un rezistor neliniar variabil n timp. 1.2.4.2. Bobina Bobina necuplat magnetic are ecuaia de funcionare de forma

( )ttit ,)()( = , (1.36)

Fig. 1.10. Simbolul bobinei liniare.

numit caracteristic flux-curent. Ecuaia caracteristic explicit se obine pe baza relaiilor din teoria cmpului electromagnetic i a urmtoarelor ipoteze care selecteaz proprietatea esenial: bobina este realizat dintr-un fir conductor care, fiind parcurs de un curent electric produce cmp magnetic ( 0), dar n el nu se transform energie prin efect electrocaloric (R = 0), nu acumuleaz sarcin electric (q = 0) i nu are surse de cmp electric imprimat (ei = 0).

Aplicnd legea induciei electromagnetice i legea conduciei electrice elementului reprezentat n figura 1.10, n ipotezele enunate se obine:

tuusEe bf d

dd

=== , (1.37) respectiv

u e Ri uf i f+ = = 0 (1.38) Din ecuaiile (1.36) i (1.37) rezult

u utb L

= = dd

, (1.39)

numit ecuaia de evoluie a bobinei, din care, prin integrare pe intervalul (0, t) se obine

')d'()0( ;')d'()0()(0

0

ttuttutt

=+= ; (1.40)

Fig. 1.11. Circuitul echivalent al bobinei liniare reale.

Relaia (1.40) numit i ecuaie de ereditate a bobinei, arat c fluxul magnetic la momentul t depinde de valorile anterioare ale tensiunii, deci bobina este un element cu memorie. De asemenea rezult c n intervalul ( , ) fluxul magnetic n bobin este o funcie absolut continu n timp. Se spune c fluxul are un caracter conservativ.

18

Dac rezistena bobinei este nenul ( )R 0 , ecuaia (1.38) pentru bobina real (fig.1.11) capt forma:

u ut

Rit

u ub f R L= + = + = +dddd

, (1.41)

unde uR se numete cdere de tensiune rezistiv, iar uL- cdere de tensiune inductiv.

Fig. 1.12. Simbolurile bobinelor.

a) Bobina liniar, invariabil n timp i necuplat magnetic, cu simbolul din figura 1.12,a, are ecuaia caracteristic

( ) ( )tLit = , (1.42) unde L > 0 este inductivitatea msurat n henry [H], constant pentru o anumit bobin.

Fig. 1.13. Caracteristica (,i) a bobinei liniare.

n planul (,i) caracteristica (1.42) este o dreapt ce trece prin origine (fig.1.13); n consecin, fluxul magnetic i curentul au aceeai form de variaie n timp. innd seama de ecuaia (1.42), din (1.39) se obine ecuaia caracteristic : u t L it( ) =

dd , (1.43)

din care, prin integrare pe intervalul (0,t) rezult

.'d)'(1)0( ;'d)'(1)0()(0

0

=+= ttuL

ittuL

itit

(1.44)

Integrnd ecuaia (1.43) pe intervalul ( , )0 t t+ d i scznd apoi membru cu membru ecuaia (1.44), se obine:

.'d)'(1)()d(d+=+ ttt

ttuL

titti (1.45)

Dac tensiunea este mrginit, u t U( ) < n intervalul 0,T , atunci integrala din (1.45) tinde ctre zero cnd dt 0, i deci se anuleaz i membrul stng al acestei ecuaii. Altfel spus, n aceste circumstane curentul prin bobin este uniform continuu n intervalul (0,T). El nu poate avea un salt brusc de la o valoare finit la o alt valoare finit. Bobina liniar invariabil n timp i necuplat magnetic este complet caracterizat de inductivitatea proprie L i de intensitatea curentului n momentul iniial i( )0 . Proprietile de continuitate ale fluxului magnetic i curentului electric prin bobin vor fi utilizate n studiul regimului tranzitoriu.

19

nmulind ecuaia (1.43) cu i td ' i integrnd pe intervalul ( , )0 t n condiia i( )0 0= , se obine energia Wm acumulat n cmpul magnetic al bobinei:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L

ttittLiiiLttituWit

m

22

00 21

21'd''d'' ===== , (1.46)

a crei valoare este pozitiv. b) Bobina liniar, variabil n timp (parametric) i necuplat magnetic, are simbolul din figura 1.12,b i ecuaia caracteristic

( ) ( ) ( )titLt = , (1.47) unde L(t) se numete inductivitate parametric. innd seama de ecuaia (1.47), ecuaia (1.39) conduce la

u t L t it i tLt( ) ( ) ( )= +

dd

dd .

(1.48)

Primul termen din membrul drept se numete cdere de tensiune inductiv prin pulsaie, iar al doilea - cdere de tensiune inductiv parametric. n planul (,i) ecuaia (1.48) reprezint o familie de drepte ce trec prin origine; ca urmare, fluxul magnetic i curentul au forme diferite de variaie. Un exemplu de inductor parametric l constituie un solenoid n interiorul cruia miezul magnetic se deplaseaz alternativ. c) Bobina neliniar este o bobin cu miez feromagnetic ce intr n componena releelor, electromagneilor, transformatoarelor i mainilor electrice. Caracteristica ei flux-curent, numit caracteristic de magnetizare, este de forma:

( ) ( )( ) .0,, = ttitg (1.49) n funcie de materialul feromagnetic din care este confecionat miezul bobinei, caracteristica de magnetizare poate avea forma din figura 1.14,a (corespunztoare materialelor magnetice moi) sau din figura 1.14,b (corespunztoare materialelor magnetice dure).

(a)

(b) Fig. 1.14. Caracteristicile (,i) ale bobinelor neliniare:

a) Materiale magnetice moi; b) Materiale magnetice dure.

Pe poriunea 1-2 a caracteristicii din figura 1.14,a, bobina poate fi considerat liniar, iar fluxul magnetic i curentul au aceeai form de variaie n timp, spre deosebire de poriunea 2-3, care este neliniar i corespunde unor forme diferite de variaie n timp ale fluxului

20

magnetic i curentului. Peste punctul 3, fluxul rmne practic constant, iar bobina devine saturat magnetic. Caracteristica din figura 1.14,b se numete curb de histerezis. Bobinele cu miez de fier pot fi modelate ca elemente de circuit, aproximnd corespunztor forma caracteristicii, de exemplu prin segmente de dreapt. d) Bobine cuplate magnetic Se spune c o bobin s parcurs de curentul is este cuplat magnetic cu alte (l-1) bobine dac fluxul magnetic s este funcie i de intensitile curenilor ce parcurg aceste bobine, ecuaia caracteristic a bobinei s fiind

( ) ( ) ( ) ( )( )ttitititi lss ,,...,,...,, 21= . (1.50) Dac bobinele sunt liniare i invariabile n timp, innd seama de relaiile lui Maxwell pentru inductiviti, ecuaia caracteristic (1.50) devine

s sk kk

lL i=

=

1

(1.51)

n care mrimea

L Liss s

ds

si k sk= = =

0 , > 0,

(1.52)

se numete inductivitate proprie, iar mrimea

L Lisk ks

ds

ki s ks= = =

0 , ,

(1.53)

putnd fi pozitiv sau negativ, se numete inductivitate mutual. Pentru a stabili ce semn se ia n consideraie n calculele din teoria circuitelor pentru inductivitatea mutual, n schemele electrice se evideniaz cu * bornele polarizate ale bobinelor cuplate magnetic. Dac sensurile de referin ale curenilor is i ik fa de bornele polarizate sunt identice (ambii intr sau ies din aceste borne), inductivitatea mutual este pozitiv. n caz contrar, este negativ. Tensiunea us la bornele bobinei cuplate magnetic se calculeaz nlocuind relaia (1.51) n (1.39). Se obine astfel

u L it Lit L

its sk

k

lk

ss

skkk s

lk= = +

= =

1 1

dd

dd

dd ,

(1.54)

unde primul termen din membrul drept se numete cdere de tensiune inductiv proprie, iar al doilea - cdere de tensiune inductiv mutual. nmulind ecuaia (1.54) cu i tsd ' i integrnd pe intervalul (0, t) n ipoteza i(0) = 0, se obine expresia energiei magnetice nmagazinate n bobina s:

=

+==t l

skk

i

ksskssssms iiLiLtiuW0 1 0

''2 d 21'd .

(1.55)

Primul termen din membrul drept se numete energie magnetic proprie i este strict pozitiv, iar al doilea se numete energie magnetic mutual i poate fi pozitiv sau negativ. Energia magnetic total a sistemului de l bobine cuplate magnetic are expresia

21

=

=i

ks

l

skskm iiLW

0

''

1,d .

(1.56)

n cazul particular a dou bobine cuplate magnetic, se obine

W L i L i L i im = + +12121 1

22 2

212 1 2 , (1.57)

unde primul i al doilea termen reprezint energia magnetic nmagazinat n prima, respectiv a doua bobin, iar ultimul termen reprezint energia magnetic de interaciune. 1.2.4.3. Condensatorul Are ecuaia caracteristic sarcin-tensiune sau tensiune-sarcin

( )ttuqtq ),()( = , (1.58) respectiv

( )ttqutu ),()( = . (1.59) La fel ca i n cazul celor dou elemente de circuit, prezentate mai sus, condensatorul ideal poate fi studiat cu ajutorul legilor cmpului electromagnetic i al ipotezelor de idealizare potrivit crora condensatorul este un sistem de conductoare, care fiind parcurs de un curent electric de conducie poate acumula sarcin electric ( )q 0 , dar nu degaj cldur ( )R = 0 , nu produce cmp magnetic ( ) = 0 i nu conine surse de cmp electric imprimat ( )ei = 0 .

Fig. 1.15. Shema de principiu a unui condensator.

Aplicnd legea induciei electromagnetice pe curba (fig.1.15) n ipotezele asumate se obine

e u u utf C b

= + = =dd

0, (1.60)

iar legea conduciei electrice aplicat conductoarelor (fire i armturi) conduce la u e u Rif i f+ = = = 0. (1.61)

Din relaiile (1.60) i (1.61) rezult u ub C= . (1.62)

Considernd dielectricul condensatorului perfect izolant, legea conservrii sarcinii electrice conduce la i i = , i cum q q = , se obine relaia dintre intensitatea curentului electric de conducie i sarcina electric sub forma ecuaiei de evoluie

i qt=dd .

(1.63)

Integrat pe intervalul (0, t), ecuaia (1.63) conduce la

'.d)'()0( ;'d)'()0()(0

0

ttiqttiqtqt

=+= (1.64)

Relaia (1.64) numit ecuaia de ereditate a condensatorului, arat c sarcina electric la momentul t, depinde de valorile anterioare ale curentului; prin urmare, condensatorul este un element cu memorie.

22

Rezult de asemenea c n intervalul ( , ) sarcina electric este o funcie absolut continu n timp; altfel spus, sarcina electric nu variaz discontinuu (are caracter conservativ).

Fig. 1.16. Simbolurile condensatoarelor.

a) Condensatorul liniar invariabil n timp, al crui simbol este reprezentat n figura 1.16,a, are ecuaia caracteristic (constitutiv)

q t Cu t( ) ( )= , (1.65) sau

u t Sq t( ) ( )= , (1.66) unde C > 0 se numete capacitate i se msoar n farazi [F], iar S = 1/C se numete elastan i se msoar n [F]-1.

Fig. 1.17. Caracteristica (q,u) a unui condensator

liniar.

n planul (q, u) ecuaia (1.65) reprezint o dreapt ce trece prin origine (fig.1.17), deci sarcina electric i tensiunea au aceeai form de variaie n timp. innd seama de (1.65), ecuaia (1.63) devine i t C ut( ) =

dd , (1.67)

care prin integrare pe intervalul (0, t) conduce la

'.d)'(1=)0( ;'d)'(1)0()(0

0

ttiC

uttiC

utut

+= (1.68)

Condensatorul liniar i invariabil n timp este complet determinat de capacitatea C i de tensiunea iniial u(0). nmulind ecuaia (1.67) cu u td ' i integrnd pe intervalul (0, t) n ipoteza u(0) = 0, se obine energia acumulat n cmpul electric al condensatorului n acest interval

),()(21)(

21)(

21'd''d)'()'( 22

00

tutqtqC

tCuuuCttituWut

e ===== (1.69) a crei valoare este pozitiv. Printr-o demonstraie similar celei pentru curentul prin bobin, se poate arta c dac intensitatea curentului prin condensator este mrginit, i(t) < I n intervalul [0,T], atunci tensiunea electric la bornele condensatorului variaz continuu n intervalul (0,T). Altfel spus, tensiunea la bornele unui condensator liniar invariabil n timp nu poate varia brusc de la o valoare finit la o alt valoare finit.

23

Proprietatea de continuitate a sarcinii electrice i a tensiunii la bornele condensatorului va fi folosit n studiul regimului tranzitoriu. b) Condensatorul liniar variabil n timp (parametric) are ecuaia caracteristic

q t C t u t( ) ( ) ( )= , (1.70) unde C(t) se numete capacitate parametric. Simbolul grafic al acestui element de circuit este prezentat n figura 1.16,b. Din relaia (1.63), innd seama de (1.70), se obine

( ) ( ) ( )tCtu

tutCti

dd

dd += . (1.71)

Primul termen din membrul drept se numete component de pulsaie a curentului, iar al doilea - component parametric. n planul (q, u) ecuaia (1.69) definete o familie de drepte ce trec prin origine, deci curbele de variaie ale tensiunii i sarcinii electrice sunt diferite. Un exemplu de condensator liniar variabil n timp este condensatorul cu armtur vibrant. c) Condensatorul neliniar

Fig. 1.18. Caracteristica (q,u) a unui condensator

neliniar.

Condensatoarele reale au caracteristica q(u) neliniar (n general variabil n timp), de forma ( ) 0),(),( =ttutqf , (1.72) reprezentat printr-o curb de histerezis (fig. 1.18). Ca i la bobina cu miez feromagnetic, condensatorul neliniar poate fi modelat ca element de circuit, aproximnd caracteristica sarcin-tensiune prin segmente de dreapt.

1.2.5. Elemente de circuit active 1.2.5.1. Surse independente Sursele independente sunt elemente de circuit care modeleaz generatoarele de semnal. Ele se numesc independente pentru c mrimea care le caracterizeaz (t.e.m. sau intensitatea curentului electric) este independent de mrimile electrice din restul circuitului. n continuare vom introduce cele dou tipuri de surse independente din teoria circuitelor electrice: sursa independent de tensiune i sursa independent de curent. 1. Sursa ideal independent de tensiune este un element activ avnd simbolul din figura 1.19,a i urmtoarea ecuaie caracteristic (scris pentru sensurile de referin adoptate):

u t e t i( ) ( ), .= (1.73) Ecuaia (1.73) poate fi dedus pe baza teoriei cmpului electromagnetic. Astfel, n ipotezele de idealizare, sursa ideal de tensiune este un element care, fiind parcurs de un curent electric de conducie, transform energia electromagnetic n alte forme dect energie electric

24

Fig. 1.19. Simbolul i caracteristica (u,i) a unei surse ideale independente de tensiune.

sau magnetic ( )ei 0 , nu degaj cldur ( )R = 0 , nu produce cmp magnetic ( ) = 0 i nu acumuleaz sarcin electric ( )q = 0 . Aplicnd relaia de definiie a t.e.m. de contur (fig.1.20), se obine:

( ) ibfii euudsEdsEdsEEee ++=+=+==

.

(1.74)

Cum legea conduciei electrice n acest caz conduce la

u e Rif i+ = = 0, (1.75) nlocuind n relaia (1.73), se obine:

e u ub= = , (1.76) adic relaia (1.73). n planul (u, i) caracteristica de funcionare este o dreapt paralel cu axa curentului (fig.1.19,b). Din ecuaia (1.73) rezult c sursa independent de tensiune este un caz particular de rezistor neliniar controlat n curent, caracterizat de faptul c pentru orice curent dat, tensiunea este unic specificat.

Fig. 1.20. Schema de principiu a unei surse independente de tensiune.

Dac e t( ) = 0, caracteristica (1.73) ia forma (1.29) i sursa ideal independent de tensiune devine un scurtcircuit ( )R = 0 , proprietate important n cadrul teoriei circuitelor electrice, folosit pentru pasivizarea acestor surse. Semnificaia fizic a definiiei sursei ideale independente de tensiune este c circuitul conectat la bornele sursei nu influeneaz forma de und a tensiunii ei, ci numai curentul care circul prin surs.

Cu sensurile de referin din figura 1.19,a, puterea cedat de surs circuitului extern este:

p t u t i t e t i t( ) ( ) ( ) ( ) ( ).= = (1.77)

Dac elementul de circuit degaj cldur prin efect electrocaloric )0( r , reprezentarea lui este cea din figura 1.21,a, iar ecuaia de funcionare este:

25

Fig. 1.21. Simbolul i caracteristica (u,i) a unei surse reale independente de tensiune.

rieu = . (1.78)

Un astfel de element se numete surs real de tensiune. Caracteristica de funcionare (1.78) este o dreapt care nu trece prin origine (fig. 1.21,b). nmulind relaia (1.78) cu i t( ) , se obine puterea electric cedat la borne de surs

.)()()()()()( 2 trititetitutp == (1.79) Relaia (1.73) arat c nu putem conecta n paralel (ntre aceleai borne) surse ideale de tensiune cu valori diferite ale tensiunilor electromotoare. 2. Sursa ideal independent de curent O surs de energie electromagnetic avnd proprietatea de a debita un curent j t( ) independent de reeaua conectat la bornele ei, se numete generator ideal de curent. Semnificaia fizic a definiiei sursei ideale independente de curent este c, de data aceasta, este prescris curba de variaie a curentului sursei. Ea nu este influenat de tensiunea la borne determinat de circuitul extern, astfel nct ecuaia caracteristic a elementului este:

i t j t u( ) ( ), ,= (1.80) iar simbolul este cel din figura 1.22,a.

Fig.1.22. Simbolul i caracteristica (i,u) a unei surse ideale

independente de curent.

n planul (i,u) caracteristica este o dreapt paralel cu axa tensiunii (fig. 1.22,b). Sursa independent de curent este un caz particular de rezistor neliniar controlat n tensiune, deoarece, conform ecuaiei caracteristice, pentru orice tensiune curentul este unic specificat.

Dac j t( ) = 0, caracteristica se reprezint pe axa tensiunii i sursa ideal independent de curent devine o latur deschis ( )R , proprietate de asemenea important n cadrul teoriei circuitelor electrice, legat de pasivizarea acestor surse. Pentru sensurile de referin adoptate n figura 1.22,a, puterea cedat de surs circuitului extern este

p t u t i t u t j t( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = . (1.81)

26

Schema echivalent a unei surse reale de curent este prezentat n figura 1.23,a, iar ecuaia de funcionare este:

).()()( tgutjti = (1.82)

Fig. 1.23. Simbolul i caracteristica (i,u) a unei surse reale independente de curent.

Caracteristica de funcionare este o dreapt care nu trece prin origine (fig. 1.23,b). nmulind relaia (1.82) cu u(t) se obine puterea electric cedat la borne de surs:

).()()()()()( 2 tgutjtutitutp == (1.83) Relaia (1.80) arat c nu putem conecta n serie (pe aceeai latur) surse de curent cu valori diferite ale curenilor injectai. Celelalte tipuri de elemente de circuit (sursele comandate, transformatorul ideal, gyratorul, amplificatorul operaional, nulorul, noratorul, tranzistoarele etc) vor fi prezentate n urmtoarele capitole. 1.3. CLASIFICAREA CIRCUITELOR ELECTRICE Circuitele sau reelele electrice sunt ansambluri de elemente de circuit conectate n diverse moduri prin suprapunerea bornelor acestora. Se obine astfel o structur cu un numr n de borne (poli sau terminale) de acces. Fiecare born se caracterizeaz prin curentul ik i potenialul vk , iar diferena potenialelor a dou borne se numete tensiune la borne.

Fig. 1.24. Circuit n-pol.

Fig. 1.25. Circuit dipol (bipol).

Un circuit cu n borne de acces se numete multipol electric sau n-pol electric (fig. 1.24). n particular, dac n = 2, circuitul se numete dipol, dac n = 3 - tripol i dac n = 4 - cuadripol electric. ntlnit i n reprezentarea elementelor de circuit pasive, structura de tip dipol (bipol) a circuitelor electrice (fig. 1.25), se caracterizeaz prin intensitatea curentului absorbit printr-o born i prin tensiunea ntre cele dou borne. Relaia u f i= ( ) sau i g u= ( ) se

27

numete caracteristica dipolului. Pentru sensurile de referin ale curentului i tensiunii la borne din figur reprezentnd convenia de la receptoare, puterea absorbit pe la borne de dipol, p ui= > 0, iar dipolul se numete receptor. Pentru un sens invers al tensiunii la borne- convenia de la generatoare, puterea la bornele dipolului p ui= < 0, iar dipolul se numete generator. Prin definiie circuitele ideale n - pol satisfac urmtoarele condiii: - n fiecare moment suma algebric a intensitilor curenilor bornelor de acces este nul; - n fiecare moment puterea electromagnetic total primit din exterior de circuitul n - pol se exprim conform teoremei puterii electromagnetice prin relaia:

p v ikk

n

k==

1.

(1.84)

Fig. 1.26. Circuit n-port.

Fig. 1.27. Circuit diport (biport).

Asocierea a dou borne ai cror cureni sunt egali n valoare absolut i opui ca semn

constituie o poart. Un multipol ale crui borne sunt grupate astfel nct s constituie n pori se numete multiport sau n - port (fig.1.26). El se caracterizeaz prin tensiunile porilor i prin intensitile curenilor acestora. Cuadripolul, avnd bornele grupate n dou pori, este un diport (fig. 1.27). 1.4. REGIMURILE DE FUNCIONARE ALE CIRCUITELOR ELECTRICE Dup natura funciilor care exprim variaia n timp a intensitilor curenilor i tensiunilor, regimurile de funcionare ale circuitelor electrice se clasific n:

a) regim de curent continuu - n care mrimile de excitaie, intensitile curenilor, tensiunile i potenialele electrice sunt constante n timp;

b) regim variabil - n care mrimile de excitaie, intensitile curenilor, tensiunile i potenialele electrice sunt funcii oarecare de timp;

c) regim periodic - n care mrimile de excitaie, intensitile curenilor, tensiunile i potenialele electrice sunt funcii periodice de timp. Un regim periodic particular foarte important n practic este regimul sinusoidal. Regimurile variabile prin care se face trecerea de la unele regimuri de curent continuu sau regimuri periodice la alte regimuri de curent continuu sau periodice se numesc regimuri tranzitorii.

28

Rezolvarea sistemelor de ecuaii ce descriu funcionarea circuitelor electrice n unul din regimurile de mai sus prezint particulariti specifice fiecrui regim, ceea ce determin abordarea de tehnici de analiz specifice. Acestea se grupeaz n trei mari categorii:

1. Analiza regimurilor de curent continuu, cuprinznd metode de analiz ce conduc la rezolvarea unui sistem de ecuaii algebrice care descriu funcionarea circuitului. Efortul de calcul este determinat exclusiv de numrul de ecuaii ale sistemului. Cele mai utilizate metode matematice n acest caz sunt algebra matriceal i metodele numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaii algebrice;

2. Analiza regimurilor sinusoidale, cu ajutorul metodei simbolice a reprezentrii n complex. Prin intermediul acestei tehnici, numit i metoda simbolic, sistemul de ecuaii difereniale ce descriu funcionarea circuitului n regim sinusoidal se transform ntr-un sistem de ecuaii algebrice, satisfcute de valorile complexe ale necunoscutelor, a crui rezolvare este mult mai simpl. Analiza se ncheie prin revenirea din domeniul complex n domeniul real, obinndu-se astfel valorile instantanee ale mrimilor electrice calculate - cureni, tensiuni, poteniale electrice;

3. Analiza regimurilor variabile oarecare, prin metoda operaional. Tehnica cea mai utilizat de analiz folosit n acest caz se bazeaz pe transformata Laplace i permite transformarea ecuaiilor difereniale ale circuitului n ecuaii algebrice, satisfcute de transformatele Laplace ale necunoscutelor. Metoda este similar celei simbolice folosite n analiza regimurilor sinusoidale. Dup obinerea soluiilor sub forma transformatelor Laplace (numite funcii imagine), se aplic transformata Laplace invers pentru a se obine valorile instantanee ale necunoscutelor (numite funcii original). Pentru rezolvarea acestor regimuri exist ns i alte metode, care se bazeaz pe utilizarea altor transformate, sau pe alte principii. Evident, metoda operaional nu se aplic la circuitele neliniare.

1.5. TEOREMELE GENERALE ALE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE

1.5.1. Teoremele lui Kirchhoff a) n regim cvasistaionar legea conservrii sarcinii electrice pentru o suprafat nchis care nconjoar un nod oarecare ( )nj al circuitului, intersecteaz toate conductoarele laturilor l nk j( ) i nu trece prin dielectricii condensatoarelor (fig.1.28), conduce la

Fig. 1.28. O bucl de circuit.

i qt= =dd 0. (1.85)

Dac se atribuie semnul (+) curenilor care ies din nodul ( )nj (au sensul de referin acelai cu al normalei n) i semnul (-) celor care intr n nod, relaia (1.85) conduce la ( )

( )A k

l ni

k j

= 0. (1.86)

Relaia (1.86) reprezint prima teorem a lui Kirchhoff, care se enun astfel: suma algebric a intensitilor curenilor din laturile lk incidente n nodul ( )nj al unui circuit este nul.

29

b) Aplicnd legea induciei electromagnetice pe conturul , n ipoteza localizrii cmpului magnetic numai n bobine (avnd o valoare nul n afara elementelor de circuit) se obine

=== .0d

dt

dsEe S (1.87)

Descompunnd curba nchis ntr-o sum de curbe deschise ce urmresc liniile tensiunilor la bornele laturilor lk ce formeaz bucla ( )bh a circuitului, relaia (1.87) conduce la

( )( )

A kl b

uk h

= 0, (1.88)

relaie ce reprezint teorema a doua a lui Kirchhoff: suma algebric a tensiunilor la bornele laturilor lk aparinnd buclei ( )bh a unui circuit este nul. Din modul de deducere al ecuaiei (1.88) rezult c semnul (+) se atribuie tensiunilor la borne al cror sens de referin coincide cu cel al curbei i semnul (-) celorlalte. Observaie Teoremele lui Kirchhoff obinute sub formele (1.86) i (1.88) sunt independente de natura elementelor de circuit i de modul de variaie n timp a tensiunilor i curenilor. Ele sunt consecine ale structurii topologice (derivnd din modul de interconexiune a elementelor de circuit) a reelei.

1.5.2 Teorema lui Tellegen Aceasta este o teorem general, reprezentnd o consecin direct a teoremelor lui Kirchhoff. Fiind date dou regimuri oarecare de funcionare ale unui circuit electric, notate cu (') respectiv (''), curenii i tensiunile corespunztoare, care verific independent cele dou teoreme ale lui Kirchhoff, satisfac urmtoarele relaii:

( ) 0= ll iu t (1.89) i

( ) ( ) 0= llll iuiu tt , (1.90) unde ul este vectorul tensiunilor laturilor (porilor) circuitului, iar il este vectorul intensitilor curenilor laturilor (porilor) circuitului. Demonstrarea celor dou relaii [5] se bazeaz pe proprietatea de ortogonalitate a matricelor de inciden laturi-seciuni i laturi-bucle, ceea ce le confer valabilitate att pentru regimuri diferite, produse de excitaii sau condiii iniiale diferite, ntr-un acelai circuit, ct i pentru regimuri diferite ale unor circuite diferite, dar avnd aceeai structur topologic (acelai graf).

1.5.3. Teorema conservrii puterilor Pentru cazul particular cnd cele dou regimuri se confund, teorema lui Tellegen conduce la urmtoarea relaie ntre tensiunile i curenii porilor, corespunztoare unui regim oarecare al unui circuit:

.t 0= ll iu (1.91)

Relaia (1.91) reprezint teorema conservrii puterilor instantanee. Dac numrul total al porilor (elementelor) circuitului este np , relaia (1.91) poate fi exprimat n forma:

30

,1 1

t = =

==p pn

k

n

kkkkll piuiu

(1.92)

unde p u ik k k= , reprezint puterea instantanee primit prin poarta k a (elementului) circuitului, cnd sensurile curentului i tensiunii la bornele porii sunt asociate dup convenia de la receptoare. Din (1.91) i (1.92) rezult expresia

u i pk kk

n

kk

np p= =

= =

1 10,

(1.93)

cu enunul: suma algebric a puterilor instantanee primite la porile (bornele elementelor) unui circuit este n fiecare moment nul.

1.5.4. Teorema surselor ideale cu aciune nul (Vaschy)

a) Teorema surselor ideale de tensiune cu aciune nul: dac se introduc n serie cu fiecare element conectat ntr-un nod al unui circuit surse ideale de tensiune, avnd aceeai t.e.m. i orientate la fel fa de nod (fig.1.29), tensiunile i curenii prin elementele circuitului nu se modific. Demonstraia teoremei este evident, cci introducerea surselor de tensiune nu schimb ecuaiile lui Kirchhoff: prima nu se modific, iar n a doua termenii noi care apar (e), se anuleaz reciproc. Aplicaii ale teoremei: pasivizarea unei laturi (element) din circuit, anularea tensiunii iniiale a unui condensator (echivalent cu o surs de t.e.m.), anularea fluxului magnetic iniial, respectiv a curentului iniial al unei bobine (condiia iniial nenul fiind reprezentat printr-o surs echivalent de tensiune).

Fig. 1.29. Referitor la teorema surselor ideale

independente de tensiune cu aciune nul.

Fig. 1.30. Referitor la teorema surselor ideale independente de curent cu aciune nul.

b) Teorema surselor ideale de curent cu aciune nul: dac n paralel cu fiecare element (latur) de circuit ce formeaz un contur nchis (bucla bh) se conecteaz cte o surs ideal de curent, orientat n sensul buclei i avnd aceeai intensitate (fig.1.30), tensiunile i curenii prin elementele circuitului nu se modific. Validitatea teoremei este evident, cci introducerea surselor de curent nu schimb ecuaiile Kirchhoff : n prima termenii noi ( j ) care apar se anuleaz reciproc, iar a doua nu se modific. Aplicaii ale teoremei: pasivizarea unei laturi (element) din circuit, anularea sarcinii electrice iniiale, respectiv a tensiunii iniiale a unui condensator (condiia iniial nenul fiind

31

reprezentat printr-o surs echivalent de curent), anularea curentului iniial al unei bobine (echivalent cu o surs de curent). BIBLIOGRAFIE 1. L.O. Chua, P.M. Lin, ''Computer-aided analysis of electronic circuits'', Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1975. 2. L.O. Chua, C.A. Desoer, E.S. Kuh, ''Linear and nonlinear circuits'', McGraw-Hill Book Company, New York, 1987. 3. A.F. Schwarz, ''Computer-aided design of microelectronic circuits and systems. Fundamentals, Methods and Tools'', Academic Press, New York, 1987. 4. C.I. Mocanu, ''Teoria circuitelor electrice'', Editur Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1979. 5. M. Preda, P. Cristea, ''Bazele electrotehnicii'', vol. II. Circuite electrice, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1980. 6. M. Hasler, J. Neirynck, ''Circuits nonlinaires'', Presses Polytechniques Romandes, Lausanne, 1985. 7. N. Balabanian, T. Bickart, S. Seshu, ''Teoria modern a circuitelor'', Editura Tehnic, Bucureti, 1974. 8. W. J. McCalla, ''Fundamentals of Computer-Aided Circuit Simulation'', Kluwer Academic Publishers, Boston/Dordecht/Lancaster, 1988. 9. S. Franco, ''Electric Circuits Fundamentals'', Saunders College Publishing, New York, 1995. 10. A. Timotin, Viorica Hortopan, A. Ifrim, M. Preda, ''Lecii de Bazele Electrotehnicii'', Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1970. 11. A. Moraru, ''Bazele electrotehnicii'', vol. II. Teoria circuitelor, Tipografia Universitii Politehnica Bucureti, 1993. 12. D. Topan, ''Circuits lectriques'', Editura Universitaria, Craiova, 1996.

13. M. Iordache, M. Perpelea, "Analiza asistata de calculator a circuitelor electrice si electronice neliniare complexe de mari dimensiuni", Editura Didactica si Pedagogica, Bucureti, 1995. 14. Lucia Dumitriu, M., Iordache, Teoria modern a circuitelor electrice - Vol. I - Fundamentare teoretic, Aplicaii, Algoritmi i Programe de calcul, Editura All Educational S.A., Bucureti 1998. 15. M.Iordache, Lucia Dumitriu, Teoria modern a circuitelor electrice - Vol. II - Fundamentare teoretic, Aplicaii, Algoritmi i Programe de calcul, Editura All Educational S.A., Bucureti 2000. 16. M. Iordache, Lucia Dumitriu, Simularea asistat de calculator a circuitelor analogice, Editura POLITEHNICA Press, Bucureti 2002 (450). 17. M. Iordache, L. Mandache, Analiza asistat de calculator a circuitelor analogice neliniare, Editura POLITEHNICA Press, Bucureti 2004.

18. Lucia Dumitriu, M. Iordache, Simularea numeric a circuitelor analogice cu programul PSPICE, Editura MATRIX ROM, Bucureti, 2006.

19. M. Iordache, L. Mandache, M. Perpelea, Analyse numrique circuits analogiques non linaires, Groupe Genoyer, Marseille, 2006.

32

CAPITOLUL 2

CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU (C.C.) 2.1. INTRODUCERE Circuitele de c.c. sunt circuite care conin rezistoare dipol, multipol (n -pol), rezistoare multiport (n -port) i surse independente de tensiune i de current constante n timp. n categoria rezistoarelor multipol i multiport sunt incluse elemente ideale de circuit precum gyratoarele, sursele comandate, tranzistoarele i amplificatoarele operaionale modelate prin circuite de c.c. Un circuit de c.c. este liniar dac, dup pasivizarea surselor independente, el conine numai rezistoare dipol, multipol i/sau multiport liniare (avnd relaia ntre tensiunile i curenii bornelor sau porilor exprimat prin ecuaii liniare) i este neliniar dac, dup pasivizarea surselor independente, conine cel puin un rezistor neliniar. n teoria circuitelor electrice, circuitele de c.c. au un rol fundamental, deoarece: - sunt utilizate n modelarea multor probleme inginereti; - analiza circuitelor nerezistive - invariabile sau variabile n timp (parametrice) - n regim dinamic se reduce, dup substituirea tuturor bobinelor i condensatoarelor cu modele discrete de circuit asociate unui algoritm implicit de integrare, la analiza, la fiecare pas de timp, a unui ir de circuite rezistive (liniare sau neliniare) asociate algoritmului ales.

Observaii 1. Un circuit rezistiv (n care sursele independente pot fi variabile n timp) poate fi complet rezolvat, avnd soluie unic, dac teoremele lui Kirchhoff i ecuaiile constitutive ale laturilor sunt simultan satisfcute de un set unic de tensiuni la bornele laturilor ( ) ( )tutu l,...,1 i un set unic de cureni de laturi ( ) ( )titi l,...,1 , pentru orice t, cu condiia ca circuitul s nu conin bucle formate numai din surse ideal de tensiune i/sau seciuni alctuite numai din surse ideale de curent.

2. Circuitele electrice rezistive pot fi studiate att n regim de curent continuu, ct i n regimuri variabile (cazul particular sinusoidal). Un circuit care conine toate tipurile de elemente de circuit pasive, dar ale crui mrimi de excitaie (surse de tensiune i/sau surse de curent) sunt invariabile n timp, este un circuit rezistiv, deoarece bobinele i condensatoarele n curent continuu nu intervin prin parametrii lor caracteristici, avnd un comportament particular: - dac curentul ce parcurge bobina este continuu (constant) i IL = pentru < < t , ecuaia caracteristic a bobinei devine u L i tL L= =d d/ 0, deci bobina se comport n curent continuu ca un scurtcircuit ( );R = 0 - dac tensiunea la bornele condesatorului este continu (constant) u UC = pentru < < t , ecuaia caracteristic a condensatorului devine i C u tC C= =d d/ 0, deci condensatorul se comport ca o latur deschis ( ).R 3. n regim de curent continuu bobina i condensatorul acumuleaz ns energie: - din ecuaia i t I ctL ( ) .= = rezult c bobina parcurs de curentul I acumuleaz energia magnetic constant n timp W LIm = 2 2/ ; - din ecuaia u t U ctC ( ) .= = rezult c sub tensiune constant la borne condensatorul acumuleaz energie electric constant n timp W CUe = 2 2/ .

33

2.2. RELAII DE BAZ ALE CIRCUITELOR ELECTRICE REZISTIVE

O categorie important de circuite electrice sunt circuitele rezistive liniare care funcioneaz n regim de curent continuu. Ele sunt importante att pentru aplicaiile tehnice n care intervin ct i pentru facilitile pe care le ofer introducerii metodelor de analiz ale teoriei circuitelor electrice. Studiul circuitelor rezistive liniare n curent continuu ofer posibilitatea introducerii conceptelor de echivalen i modelare, care vor fi apoi utilizate pentru simplificarea analizei circuitelor complexe. Vom prezenta n continuare cele mai importante relaii i teoreme ale circuitelor de curent continuu.

2.2.1. Legea lui Ohm generalizat Legea conduciei electrice n form integral, aplicat unei poriuni neramificate de conductor care poate fi reprezentat simbolic prin latura activ din figura 2.1, conduce la ecuaia

Fig. 2.1. Structura unei laturi.

U E RI+ = , (2.1) unde U este tensiunea la bornele laturii, I curentul care o parcurge, R rezistena electric a laturii, iar E - t.e.m. a sursei independente de tensiune din latur.

Dup cum se observ, sensurile de referin ale tensiunii la borne i curentului sunt asociate dup convenia de la receptoare. Relaia (2.1) poate fi scris sub forma:

U RI E= , (2.2) sau

I GU GE= + , (2.3) cunoscute sub numele de ecuaiile caracteristice U I( ) respectiv I U( ) ale laturii.

2.2.2. Teoremele lui Kirchhoff Rezolvarea circuitelor electrice de curent continuu const n determinarea valorilor intensitilor curenilor din laturi i a tensiunilor la bornele acestora, cnd se cunosc rezistenele laturilor, parametrii surselor comandate i t.e.m. ale surselor independente de tensiune sau intensitile surselor independente de curent. Cum ntre tensiunea i curentul unei laturi exist relaia (2.2) - excepie fac laturile cu surs de curent - rezolvarea acestor circuite revine, n ultim instan, la determinarea curenilor din laturile circuitului, alei ca necunoscute fundamentale. Pentru un circuit cu l laturi, coninnd numai rezistoare, surse de tensiune independente i surse de tensiune comandate (ambele tipuri putnd fi ideale sau nu), deci un circuit de tipul (R, E, Ec), numrul de necunoscute cureni de laturi este egal cu l. Pentru circuite coninnd n plus fa de elementele de mai sus, surse independente i comandate de curent (care impun curentul n latur), deci n cazul general, pentru circuite de tipul (R, E, Ec, J, Jc), numrul minim de necunoscute reprezentnd cureni de laturi, este l l lJ Jc , unde lJ i lJc reprezint numrul laturilor cu surse independente, respectiv comandate de curent.

34

Prima teorem a lui Kirchhoff. Legea conservrii sarcinii electrice n curent continuu capt forma

.1-,1= ,0)(

)( njIjnkl

kA

= (2.4)

Pentru un circuit cu un numr total n de noduri, se pot scrie cu ajutorul relaiei (2.4) un numr de n 1 ecuaii independente, n tot attea noduri. A doua teorem a lui Kirchhoff are forma

( )( )

, ,A klk bh

U h b= 0 1 = , (2.5)

numit forma n tensiuni a teoremei a doua a lui Kirchhoff. Aceast relaie poate fi aplicat n b = ln+1 bucle independente ale circuitului. Cu ajutorul ecuaiei caracteristice a laturii sub forma (2.2), ecuaia (2.5) poate fi scris ca

( )( )

( )( )

, , ,A k klk bh

A klk bh

R I E h b = = 1 (2.6)

numit forma n cureni a teoremei a doua a lui Kirchhoff i avnd enunul: Suma algebric a cderilor de tensiune pe laturile lk aparinnd buclei bh a unui circuit este egal cu suma algebric a t.e.m. din laturile buclei. Se consider pozitivi termenii R Ik k i Ek n cazul cnd sensul curentului Ik , respectiv al t.e.m. Ek, coincide cu sensul convenional de parcurgere a buclei. Relaiile (2.4) i (2.6) conduc la un sistem de ecuaii n necunoscute cureni de laturi. Prelucrnd relaia (2.4) n funcie de relaia (2.3), se obine forma n tensiuni a primei teoreme a lui Kirchhoff

( )( )

( )( )

Alk n j

k k A k klk n j

G U G E = (2.7)

Termenii pozitivi din sumele algebrice corespund tensiunilor Uk respectiv surselor Ek ce ''ies'' din nodul (nj). Relaiile (2.5) mpreun cu relaiile (2.7), formeaz un sistem de ecuaii n care necunoscutele sunt tensiunile la bornele laturilor.

2.2.3. Teorema conservrii puterilor Teorema lui Telegen ( 1.5.2) pentru circuitele de c.c. are forma

U Ik kk

l=

= 0

1.

(2.8)

Folosind ecuaia caracteristic a laturii (2.2), relaia (2.8) devine

E I R Ik k k kk

l

k

l=

== 2

11,

(2.9)

numit ecuaia de bilan al puterilor. Semnificaia relaiei (2.9) este urmtoarea: Suma algebric a puterilor electromagnetice generate de sursele de tensiune este egal cu suma puterilor consumate n rezistoarele circuitului, prin efect Joule-Lenz. Dac circuitul este de tipul (R, E, Ec, J, Jc), ecuaia bilanului de puteri este:

35

E I E I U J U J R Ik kk

l

ck kk

l

Jk k Jck ckk

l

kk

l

kk

l

= = = == + + =

1 1 1 1

2

1+ .

(2.10)

Exemplul 2.1: S se rezolve, folosind teoremele lui Kirchhoff, circuitul din figura 2.2, pentru care se cunosc urmtoarele valori:

Fig. 2.2. Schema circuitului.

R1= 4, R2= 1, R4= 2,

R5= 5, R6= 4,

E1= 5 V, E2= 5 V, E4= 22 V,

E5= 10 V, J3= 3 A.

Numrul necunoscutelor cureni de laturi este l-lJ = 5. Pentru a obine un sistem cu 5 ecuaii n aceste necunoscute, se aplic prima teorem a lui Kirchhoff n n-1= 3 noduri teorema a doua n (l-lJ)-n+1 =2 bucle.

Se obin astfel urmtoarele ecuaii Kirchhoff n cureni: (n1): 0521 =++ III ; (n2): 342 JII =+ ; (n3): 0654 =+ III ;

( ) 5425544221 : EEEIRIRIRb +=+ ; ( ) 421664422112 : EEEIRIRIRIRb ++=+++ . Substituind valorile parametrilor i apoi rezolvnd sistemul de ecuaii astfel obinut, rezult:

A.4 A,1 A,5 A,2 A,1 65421 ===== IIIII Tensiunile laturilor se determin cu relaiile:

16V. 15V, V,12 V,4 V,3 V,1

66655554444

21322221111

=======+=====

IRUEIRUEIRUUUUEIRUEIRU

Tensiunea U3 s-a calculat folosind teorema a doua a lui Kirchhoff pe bucla b3. Sistemul de ecuaii Kirchhoff n tensiuni are forma:

( ) 5522115522111 : EGEGEGUGUGUGn =++ ; ( ) 4432244222 : EGJEGUGUGn +=+ ; ( ) 55446655443 : EGEGUGUGUGn +=+ ;

( ) 0 : 5421 =+ UUUb ; ( ) 0 : 64212 =+++ UUUUb . Dup nlocuirea valorilor numerice ale parametrilor se rezolv sistemul algebric astfel rezultat i se obin valorile necunoscutelor U1, U2, U4, U5 i U6:

16V. i 15V V,12 V,3 V,1 65421 ===== UUUUU

36

Tensiunea U3 se calculeaz cu teorema a doua a lui Kirchhoff: U3= U1+U2 = - 1 3 = - 4V sau U3= -U4- U6 = 12 - 16 = - 4V.

Puterile generate, respectiv consumate n circuit sunt:

P E I E I E I E I U J

P R I R I R I R I R I

g

c

= + + + = + + + == + + + + = + + + + =

1 1 2 2 4 4 5 5 3 3

1 12

2 22

4 42

5 52

6 62

5 10 110 10 12 127

4 4 50 5 64 127

W

W

,

.

2.2.4. Teorema superpoziiei ntr-un circuit electric liniar cu n surse independente, din care nE surse de tensiune i nJ surse de curent, intensitatea curentului electric din orice latur este suma algebric a intensitilor curenilor pe care i-ar stabili n acea latur fiecare dintre surse, dac s-ar afla singur n reea, celelalte surse independente fiind pasivizate. Demonstraia teoremei se bazeaz pe caracterul liniar al ecuaiilor obinute prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff. Fie matricele de inciden a laturilor la noduri, A, i a laturilor la bucle B, obinute din graful unui circuit avnd nE i nJ surse de tensiune, respectiv de curent. Curenii i tensiunile la bornele laturilor circuitului satisfac ecuaiile lui Kirchhoff:

0=lAI , 0=lBU . (2.11)Presupunnd c n circuit acioneaz o singur surs de tensiune, celelalte surse fiind

pasivizate - cele de tensiune, dac sunt ideale prin scurtcircuitare i dac sunt reale prin substituirea cu rezistena lor intern, iar cele de curent, dac sunt ideale prin deconectare i dac sunt reale prin nlocuirea cu conductana lor intern - ecuaiile lui Kirchhoff capt forma:

0=kEAI , 0=kEBU . (2.12)

Dac circuitul conine toate cele n surse, vectorii curenilor din laturi i ale tensiunilor la bornele acestora sunt

==

+= Jk

E

k

n

kJ

n

kEl

11

' III , ==

+= Jk

E

k

n

kJ

n

kEl

11

' UUU . (2.13)

Aceti vectori satisfac teoremele lui Kirchhoff. innd seama de ecuaiile (2.11) (2.13) se obine

0==

+=+

===='

1111l

n

kJ

n

kE

n

kJ

n

kE

J

k

E

k

J

k

E

kAIIIAAIAI ,

0==

+=+

===='

1111l

n

kJ

n

kE

n

kJ

n

kE

J

k

E

k

J

k

E

kBUUUBBUBU .

(2.14)

Ecuaiile (2.10) i (2.14) fiind identice, rezult ll II =' i ll UU =' . O demonstraie alternativ pleac de la cele dou teoreme ale lui Kirchhoff scrise sub forma (2.4), respectiv (2.6). Rezolvnd sistemul de ecuaii obinut prin regula lui Cramer, rezult pentru curentul din latura i o expresie de forma:

I G E G E G E G E Ii i ij j il l ij j ijj

l

j

l= + + + + = =

==1 1

11... ... ,

(2.15)

37

unde Gij se numete conductan de transfer de la latura j la latura i i, pentru circuitele reciproce (a se vedea paragraful 2.2.5), satisface condiia:

G Gij ji= , (2.16)

iar

I Iij i E Ej i= =0 0; cu i j (2.17) reprezint curentul din latura i cnd toate t.e.m. ale surselor de tensiune din circuit sunt nule n afar de E j .

2.2.5. Teorema reciprocitii Curentul dintr-o latur h a unui circuit liniar pasiv produs de o surs ideal independent de tensiune plasat n latura j este egal cu curentul pe care l-ar stabili n latura j aceeai surs conectat n latura h. Fie circuitul liniar pasiv din figura 2.3, la care se pun n eviden laturile j i h.

Fig. 2.3. Circuit asociat teoremei reciprocitii, cnd se folosesc surse ideale independente de tensiune.

Considerm dou regimuri distincte (') i (''), caracterizate prin prezena sursei de tensiune E n primul regim n latura j i n al doilea regim n latura h, adic: E E Ej h

' ', ,= = 0 respectiv E E Ej h

'' '', .= =0 Demonstraia se bazeaz pe teorema lui Tellegen ( 1.5.2) conform creia se poate scrie:

U I E Ik k j jk

l' '' ' '' , =

= 0

1

(2.18)

respectiv

U I E Ik k h hk

l'' ' '' ' , =

= 0

1

(2.19)

unde E E Ej h

' ''= = ; U R Ik k k' '= ; U R Ik k k'' ''= . (2.20)

innd seama de relaiile (2.20) din (2.18) i (2.19) rezult I Ih j

' ''= . (2.22)

O demonstraie alternativ se bazeaz pe relaiile (2.15) i (2.16). Notnd cu Ghj conductana de transfer ntre laturile j i h, deoarece

G Ghj jh= , (2.22)

38

nmulind ambii membri cu E E Ej h= = se obine, conform relaiei (2.15): I Ih j= . (2.23

) Dac n locul sursei ideale independente de tensiune se folosete o surs ideal independent de curent (fig.2.4) se poate demonstra similar c

U Uh j' '' ,= (2.24

) adic Tensiunea la bornele unei laturi h a unui circuit liniar pasiv, datorat unei surse de curent plasat n paralel cu latura j, este egal cu tensiunea la bornele laturii j, dac aceeai surs de curent este plasat n paralel cu latura h.

Fig. 2.4. Circuit asociat teoremei reciprocitii, cnd se folosesc surse ideale independente de curent. Un circuit care satisface proprietile exprimate prin relaiile (2.21) i (2.24) se numete circuit reciproc. Un astfel de circuit nu poate conine surse comandate i/sau gyratoare.

2.2.6. Teorema compensaiei nlocuirea unui rezistor Rp avnd tensiunea la borne U R Ip p p= , printr-o surs ideal de tensiune cu t.e.m. E R Ip p p= , corespunztoare aceleiai tensiuni la borne, nu modific intensitile curenilor din circuit. Demonstraia teoremei urmrete echivalena sistemelor de ecuaii ale celor dou circuite. Curenii circuitului din figura 2.5,a satisfac ecuaiile lui Kirchhoff:

Fig. 2.5. Circuite asociate teoremei compensaie.

I j nkl nk j = =

( ), , ,0 1 1 (2.25

)

( )( )

( )( )

, , ,A k kl b

A kl b

R I E h bk h k h = = 1 (2.26

) iar curenii circuitului din figura 2.5,b satisfac aceleai ecuaii, n care termenul R Ip p trece din membrul stng al ecuaiei (2.26) n membrul drept, cu semn schimbat, corespunztor sursei ideale de tensiune Ep . Pentru ca sursa s compenseze efectul rezistorului este deci necesar ca

39

E Up p= , (2.27)

adic sensul sursei s fie cel din figura 2.5,b, opus sensului de referin al curentului. O alt variant a teoremei const n nlocuirea rezistorului printr-o surs ideal de curent Jp (fig. 2.5,c), care satisface relaia

J Ip p= , (2.28)

i implicit nu modific tensiunile (i evident nici curenii) din circuit. Demonstraia este evident, curentul prin latura p fiind acelai cu cel prin rezistor, n timp ce tensiunea U p , impus de circuitul extern laturii p, se aplic sursei de curent fr nici o restricie.

2.2.7. Teorema lui Vratsano Derivata rezistenei de intrare Ri (rezistena echivalent a circuitului vzut la bornele sursei) n raport cu o rezisten oarecare Rj a circuitului (fig. 2.6,a) este egal cu ptratul raportului dintre intensitatea curentului prin latura j, Ij, i a curentului Ii de la intrare, adic

.dd

2

=

i

j

j

i

II

RR

(2.29)

Pentru demonstraie se folosesc teorema compensaiei i teorema superpoziiei. Variaia rezistenei Rj cu dRj determin variaii ale tuturor curenilor circuitului, deci i a curentului de intrare Ii cu dIi (fig. 2.6,b). Conform teoremei compensaiei, variaia rezistenei dRj poate fi nlocuit (fig. 2.6,c) cu o surs ideal de tensiune

d d d dE R I I I Rj j j j j j= + ( ) . (2.30)

Fig. 2.6. Circuite asociate teoremei Vratsano.

Aplicnd teorema superpoziiei n circuitul din figura 2.6,c, folosind relaia (2.15) i innd seama de (2.30), se obine:

I I I G E I G I Ri i i ij j i ij j j+ = = d d d . (2.31)

Din relaia (2.31) se obine variaia curentului la intrarea circuitului d dI G I Ri ij j j= . (2.32

) Pe de alt parte, la o variaie a rezistenei de intrare a circuitului, curentul de intrare, definit iniial (fig. 2.6,a) ca

40

I URii

i= , (2.33)

variaz dup relaia

I I UR Ri ii

i i+ = +d d ,

(2.34)

din care, innd seama de (2.31), se obine:

d d ddI RR R R U

RR

Ui ii i i

ii

ii= + ( ) .2

(2.35)

Egalnd expresiile (2.32) i (2.35) rezult: G U I R I Rij i j j i id d= 2 . (2.36

) Deoarece, conform relaiilor (2.15) i (2.16)

G U G U Iij i ji i j= = , (2.37)

relaia (2.37) poate fi pus sub forma (2.30).

2.2.8. Teoremele de transfigurare a circuitelor electrice 2.2.8.1. Echivalena circuitelor n analiza modelelor sistemelor fizice, conceptul de echivalen joac un rol foarte important, determinnd modificri topologice ale modelului, de natur s reduc gradul de complexitate al acestuia. Un sistem complet de relaii independente ntre curenii i tensiunile (sau potenialele) bornelor de acces ale unui multipol se numete sistem de ecuaii ale multipolului (circuitului). Doi multipoli descrii de sisteme echivalente de ecuaii se numesc multipoli echivaleni sau circuite electrice echivalente. n particular, doi dipoli care, sub aceeai tensiune la borne, absorb (sau injecteaz) acelai curent, se numesc dipoli echivaleni. Pentru ca dou sisteme de ecuaii s fie echivalente este necesar ca ele s conin aceleai variabile (necunoscute), prin urmare o condiie necesar pentru echivalena multipolilor (circuitelor) este s aibe acelai numr de borne. Substituirea unui multipol (circuit) dat printr-un multipol (circuit) echivalent se numete transfigurare electric. Transfigurarea electric conserv relaiile dintre curenii i tensiunile bornelor de acces i prin urmare curenii i tensiunile n circuitul exterior celui transfigurat nu se modific.

2.2.8.2. Echivalena surselor reale O surs real de energie electric admite dou scheme echivalente: una ca surs de tensiune i alta ca surs de curent (fig.2.7).

41

Fig. 2.7. Echivalena dintre o surs real independent de tensiune i o surs real independent de curent.

Caracteristica I(U) a laturii cu surs de tensiune este:

.GEGUI += (2.38)

Relaia (2.38) poate fi scris sub forma ,JII G += (2.39

) unde GUIG = i GEJ = i corespunde schemei derivaie cu surs de curent. Cele dou scheme sunt deci echivalente dac sunt satisfcute relaiile

J ER= i G R=1 (2.40

) Latura generalizat de circuit (fig. 2.8,a) admite dou scheme echivalente:

Fig. 2.8. Structura laturii generalizate de circuit.

una cu surs de tensiune (b) i alta cu surs de curent (c). Cele dou transfigurri se obin pe baza urmtoarelor relaii rezultate prin prelucrarea ecuaiilor caracteristice ale laturilor:

U RI E R I J E RI RJ E RI RJ EE= = = = +( ) ( ), (2.41)

42

respectiv I I J GU GE JE= + = + +( ). (2.42

)

2.2.8.3. Transfigurarea serie Fie n laturi active conectate n serie (astfel nct s fie parcurse de acelai curent), reprezentate n figura 2.9,a.

Fig. 2.9. Conectarea n serie a n dipoli activi ( kk RE , ).

Ecuaiile de funcionare ale circuitului serie sunt: IIII nk ===== ......1 , (2.43

)

.......1

1 =

=++++=n

kknk UUUUU

(2.44)

Folosind ecuaia caracteristic a laturii pentru a exprima tensiunea Uk , se obine:

.11111

=====

===

n

kk

n

kk

n

kk

n

kkk

n

kk EIREIRUU

(2.45)

Ecuaia (2.46) se poate exprima sub forma:

,eses EIRU = (2.46)

care corespunde circuitului echivalent din figura 2.9,b. Deci circuitele din figurile 2.9,a i b sunt echivalente dac sunt satisfcute relaiile:

R Res kk

n=

=

1 i .

1=

=n

kkes EE

(2.47)

Dac laturile din figura 2.9,a sunt reprezentate prin scheme echivalente cu surs de curent (fig. 2.10,a), se obine schema de conexiune serie din figura 2.10,a.

43

Fig. 2.10. Conectarea n serie a n dipoli activi ( kk GJ , ).

Pe baza ecuaiei (2.44) se obine:

.1

11 111 == ===

=

====

n

k es

es

esk

kn

k

n

k kk

kn

k k

Gn

kk G

JG

IGJI

GGJI

GI

UU k (2.48)

Relaia (2.49) corespunde schemei echivalente din figura 2.10,b. Condiiile de echivalen a celor dou scheme sunt, conform relaiei (2.48):

=

=n

k kes GG 1

11 i .11

1

1

==

===n

kn

k k

n

k k

k

k

keses

G

GJ

GJGJ

(2.49)

2.2.8.4. Transfigurarea paralel

Cnd n laturi active se conecteaz ntre aceleai dou noduri astfel nct s aib aceeai tensiune la borne, se obine o conexiune paralel (fig. 2.11,a).

Fig. 2.11. Conectarea n paralel a n dipoli activi ( kk RE , ).

Ecuaiile de funcionare ale circuitului sunt:

U U U Uk n1 = = = = =... ... , (2.50)

44

I I I I Ik n kk

n= + + + + =

=1

1... ... .

(2.51)

Folosind ecuaia caracteristic a laturii pentru a exprima curentul Ik , se obine:

.11111

=====

+

=+==

n

kkk

n

kk

n

kkk

n

kkk

n

kk EGUGEGUGII

(2.52)

Ecuaia (2.52) se poate pune sub forma: I G U G Eep ep ep= + , (2.53

) care corespunde circuitului echivalent din figura 2.11,b. Condiiile de echivalen a celor dou circuite sunt:

G Gep kk

n=

=

1, respectiv 1 1

1R Rep kk

n=

= i E

G E

G

G E

Gep

k kk

n

ep

k kk

n

kk

n= == =

=

1 1

1

.

(2.54)

Dac laturile din figura 2.11,a sunt reprezentate prin scheme cu surse de curent (fig. 2.12,a), din relaia (2.52) se obine:

.)(1111

UGJUGJUGJII epepn

kk

n

kk

n

kkkk

n

kk +=

+=+==

====

(2.55)

Relaia (2.54) corespunde schemei echivalente din figura 2.12,b. Condiiile de echivalen a celor dou scheme rezult din ultima ecuaie:

J Jep kk

n=

=

1 i G Gep k

k

n=

=

1.

(2.56)

45

Fig. 2.12. Conectarea n paralel a n dipoli activi ( kk GJ , ).

2.2.8.5. Transfigurarea stea-poligon complet

Conectarea a n laturi ntr-un nod comun (fig. 2.13,a) formeaz un circuit n stea. Nodul 0 se numete punct neutru. Curentul I j care intr n borna de acces j a circuitului stea, poate fi exprimat cu legea lui Ohm:

.,1= , njEGUGI jjjjj += (2.57)

Exprimnd tensiunea U j ca diferen de poteniale, se obine:

.0 jjjjjj EGVGVGI += (2.58)

Aplicnd prima teorem a lui Kirchhoff n nodul 0 rezult:

,011

011

=+= ====

j

n

jj

n

jjj

n

jj

n

jj EGGVVGI

(2.59)

din care se determin potenialul punctului neutru:

46

VG V G E

G

j jj

n

j jj

n

jj

n01 1

1

=+

= =

=

.

(2.60)

Fig. 2.13. Transfigurarea stea poligon complet.

Substituind relaia (2.60) n (2.58) i modificnd notaia indicelui n raport cu care se face nsumarea n (3.73), se obine:

I G VG V G E

GG G Ej j j

k kk

n

k kk

n

kk

n j j j= +

+ == =

=

1 1

1

( ===

n

kkk

n

kkjn

kk

j VGGVG

G

11

1

+

= =

n

k

n

kkjkk GEEG

1 1.,1= ,)(

11

1

njEEGUGG

G n

kkjk

n

kjkkn

kk

j

+= ==

=

(2.61)

Se poate gsi totdeauna un circuit n poligon complet (fig. 2.13,b) echivalent unui circuit n stea dat. Curentul din latura jk, Ijk, se determin cu ajutorul legii lui Ohm:

I G U G Ejk jk jk jk jk= + , (2.62)

iar curentul Ij care intr n borna de acces j, se determin cu ajutorul primei teoreme a lui Kirchhoff, n funcie de curenii laturilor poligonului:

.,1 ,11

njEGUGIn

jkk

jkjk

n

jkk

jkjkj =+= ==

(2.63)

Comparnd relaiile (2.61) i (2.63), se obine

47

GG G

Gjk

j k

kk

n==

1

, pentru j k n, ,= 1 i j k (2.64)

i

G EG G

GE Ejk jk

k

nj k

kk

nk

n

j k=

==

=

1

1

1( ), pentru j n= 1, i k j . (2.65)

Deoarece, pentru circuitele reciproce, G Gjk kj= , numrul relaiilor independente de forma (2.64) este

n n nG = ( ) .12 (2.66)

Aceste ecuaii permit calculul tuturor conductanelor poligonului complet. Numrul de ecuaii independente de tipul (2.65) este

n nE = 1. (2.67)

Fig. 2.14. Transfigurare stea triunghi cu laturi active.

Cum n cazul general numrul de surse de tensiune este egal cu cel al conductanelor i cum n nE G< , rezult c sistemul de ecuaii (2.65) este nedeterminat. Relaiile de tip (2.65) sunt satisfcute dac

E E Ejk j k= , pentru j k n, ,= 1 . (2.68)

n consecin, relaiile de transfigurare a unui circuit cu conexiune stea ntr-un circuit cu conexiune poligon complet sunt (2.64) i (2.68). n general, transfigurarea invers (din poligon complet n stea) nu este posibil deoarece numrul n al conductanelor necunoscute Gk este mai mic dect numrul ecuaiilor de tip (2.64), cu excepia cazului n = 3. Relaiile pentru transfigurarea n ambele sensuri (fig. 2. 14) sunt date mai jos. - transfigurarea stea-triunghi:

R R R R R R RR121 2 1 3 2 3

3= + + ; R R R R R R RR23 1 2 1 3 2 31=

+ + ; R R R R R R RR31 1 2 1 3 2 32=+ + ;

(2.69

48

E E E12 1 2= ; E E E23 2 3= ; E E E31 3 1= , ) - transfigurarea triunghi-stea:

R R RR R R131 12

12 23 31= + + ; R

R RR R R2

12 23

12 23 31= + + ; R

R RR R R3

23 31

12 23 31= + + ;

E G E G EG G G12 12 3 13

1 2 3= ++ + ; E

G E G EG G G2

3 23 1 21

1 2 3= ++ + ; E

G E G EG G G31 31 2 31

1 2 3= ++ + .

(2.70)

Din punctul de vedere al analizei circuitelor electrice, transfigurarea stea-poligon complet

prezint o mare importan, deoarece eliminarea punctului neutru reduce cu o unitate numrul nodurilor circuitului. Prin transfigurri succesive se pot elimina toate nodurile interioare ale unui multipol.

Exemplul 2.2: S se calculeze curentul I5 din circuitul reprezentat n figura 2.15,a, pentru care se dau:

Fig. 2.15,a. Schema circuitului.

R1= R2= R3= R4= R5= 10, R6= 5, E1= 135 V, E2= 25 V, E3= 85 V; E4= 75 V.

Se transfigureaz circuitul ca n figura 2.15,b, obinndu-se:

Fig. 2.15,b. Circuitul echivalent.

E E G E GG G12

1 1 2 2

1 2

135 110 251

101

101

10

1102 55

= + =

= +

= = V;

R G G12 1 21 10

2 5= + = = ,

E E G E GG G343 3 4 4

3 4

85 110 751

101

101

10

102 5=

++ =

++

= = V;

49

R G G34 3 41 10

2 5= + = = . Curentul I5 se calculeaz cu relaia:

I E ER R R R512 34

12 5 34 6

55 55 10 5 5

5025 2=

++ + + =

+ + + = = A.

2.2.9. Teoremele divizoarelor de tensiune i de curent

Teorema divizorului de tensiune stabilete modul n care se distribuie tensiunea

Fig. 2.16. Divzorul de tensiune.

aplicat unei conexiuni serie de rezistoare (fig. 2.16). Fiind date valorile rezistenelor Rj, j n= 1, i valoarea tensiunii aplicate, U, se cere tensiunea Uj. Aplicnd legea lui Ohm i innd seama de relaiile (2.47) pentru laturi pasive, se obine:

U R I R URR

RUj j j

es

j

kk

n= = ==

1

. (2.71)

Teorema divizorului de curent stabilete modul n care se distribuie curentul n

Fig. 2.17. Divizorul de curent.

rezistoarele unei conexiuni paralel (fig. 2.17). Se cunosc valorile rezistenelor Rj, j n= 1, i valoarea curentului total I i se cere curentul Ij. Aplicnd legea lui Ohm i innd seama de relaiile (2.54) pentru laturi pasive, se obine:

I URR IR

R R

Ijj

ep

jj

kk

n= = ==1

11

. (2.72)

2.2.10. Teoremele generatoarelor echivalente

Teorema generatorului echivalent de tensiune (teorema lui Thvenin)

Orice dipol liniar activ (fig. 2.18,a) admite, n raport cu oricare dou borne de acces A i B, o schem echivalent serie (fig. 2.18,b), format dintr-o surs ideal independent de tensiune cu t.e.m. Ee egal cu tensiunea la bornele circuitului n regim de mers n gol (fig. 2,19,a) i o

50

rezisten Re egal cu rezistena echivalent a circuitului pasivizat n raport cu bornele de acces (fig. 2.19,b).

Fig. 2.18. Referitor la teorema generatorului echivalent de tensiune.

Fig. 2.19. Semnificaia parametrilor din teorema lui

Thvenin.

Schema echivalent din figura 2.19,b, care poate fi obinut prin oricare din metodele de transfigurare a circuitelor electrice, permite calculul curentului din latura AB cu relaia:

I U ER RABAB AB

AB AB= ++00 , (2.73)

obinut prin aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff.

Teorema generatorului echivalent de curent (teorema lui Norton)

Orice dipol liniar activ (fig. 2.20,a) admite, n raport cu oricare dou borne de acces A i B, o schem echivalent derivaie (fig. 2.20,b), format dintr-o surs ideal independent de curent Je, al crei curent este egal cu intensitatea curentului debitat de circuit n regim de scurtcircuit la bornele A i B (fig. 2.21), i o conductan Ge egal cu conductana echivalent a circuitului pasivizat n raport cu bornele de acces (egal cu inversul lui RAB0).

51

Fig. 2.20. Referitor la teorema generatorului echivalent de curent.

Fig. 2.21. Semnificaia parametrilor din teorema lui Norton.

Schema echivalent din figura 2.20,b, care poate fi obinut prin metode de transfigurare, permite calculul tensiunii la bornele laturii AB. Pentru aceasta se aplic prima teorem a lui Kirchhoff i se obine: + + + =J G U J G Ue e AB AB AB AB 0, (2.74) din care rezult:

U I JG GABABsc AB

AB AB= +0 . (2.75)

2.2.11. Teorema transferului maxim de putere Fie un circuit dipolar liniar activ. S se determine condiiile pe care trebuie s le satisfac elementul de circuit care, conectat ntre bornele A i B, s permit un transfer maxim de putere pe la aceste borne. Se pot studia trei situaii: a) La bornele dipolului se conecteaz un rezistor de rezisten RAB (fig. 2.22).

Fig. 2.22. Referitor la transferul maxim de putere.

Puterea debitat de dipol la bornele A,B, egal cu cea absorbit de rezistor, este: P U I R I G Uc AB AB AB AB AB AB= = =2 2 . (2.76) Reprezentnd dipolul cu schema echivalent serie (fig.2.18,b) se exprim curentul cu relaia

I UR RABAB

AB AB= + 00 (2.77)

i nlocuind n (2.76) se obine:

P R I R UR Rc AB AB AB

AB

AB AB= = +

2 02

02( )

. (2.78)

52

Dac se reprezint dipolul cu schema echivalent paralel (fig. 2.20,b) se exprim tensiunea cu relaia

U IG GAB

ABsc

AB AB= +0

(2.79)

i nlocuind n (2.79), se obine

P G U G IG Gc AB AB AB

ABsc

AB AB= = +

22

02( )

. (2.80)

Relaiile (2.78) i (2.80) sunt echivalente. Din condiia de maxim a funciei P R P R Rc AB c AB AB( ), ( ) / ) , (d d = 0 rezult

R RAB AB= 0 , (2.81)

reprezentnd valoarea rezistenei rezistorului care, conectat ntre bornele A i B, permite un transfer maxim de putere pe la aceste borne. n cazul adoptrii schemei echivalente serie, puterea total debitat de surs este

P E I U UR RU

R Rg e AB ABAB

AB AB

AB

AB AB= = + = +0 00

02

0.

(2.82)

n figura 2.23,a sunt reprezentate funciile Pc(RAB) i Pg(RAB), corespunztoare relaiilor (2.78) i, respectiv, (2.82). Randamentul transferului de putere este

= = +PP

RR R

c

g

AB

AB AB0, (2.83)

cu valoarea = 0,5 la transfer maxim de putere (fig. 2.24,a).

Fig. 2.23. Caracteristicile Pc(RAB) i Pg(RAB).

53

Fig. 2.24. Caracteristicile randamentului.

Calculnd puterea total generat de surs n cazul schemei paralel se obine

P U J IG G II

G Gg AB eABsc

AB ABABsc

ABsc

AB AB= = + = +0

2

0.

(2.84)

Reprezentnd funciile Pc(RAB) i Pg(RAB) corespunztoare relaiilor (2.80) i, respectiv, (2.84), se obin caracteristicile din figura 2.23,b. Randamentul transferului de putere este n acest caz

= = + = +PP

GG G

RR R

c

g

AB

AB AB

AB

AB AB0

0

0, (2.85)

cu valoarea = 0,5 la transfer maxim de putere (fig. 2.24,b). b) La bornele dipolului se conecteaz o surs ideal independent de tensiune (fig.2.25,a).

Fig. 2.25. Teorema transferului maxim de putere cnd la bornele A, B se conecteaz o surs ideal independent

de tensiune.

Puterea debitat de dipol, egal cu cea absorbit de sursa E, este:

P U I EIc AB AB AB= = . (2.86)

Lund n considerare schema echivalent serie, se exprim curentul cu relaia

I U ERABAB

AB= 0

0 (2.87)

i, nlocuind n (2.87), se obine:

P EI E U ERc ABAB

AB= = 0

0. (2.88)

Aplicnd condiia de maxim funciei Pc(E), rezult: E U AB= 0 2/ . (2.89

) Deci, pentru ca pe la bornele A, B ale acestui circuit s aibe loc un transfer maxim de putere, este necesar ca sursa independent de tensiune s aibe valoarea t.e.m. dat de relaia (2.89) i sensul din figur. Reprezentarea funciei Pc(E) este dat n figura 2.25,b. c) La bornele dipolului se conecteaz o surs ideal de curent (fig.2.26,a).

54

Puterea debidat de dipol, egal cu cea absorbit de sursa de curent, este: JUIUP ABABABc == . (2.90

)

Considernd schema echivalent paralel (fig. 2.22,b), exprimnd tensiunea la borne cu relaia

U I JGABABsc

AB=

0 (2.91)

i nlocuind n (2.90), se obine:

P U J J I JGc ABABsc

AB= =

0. (2.92)

Maximul funciei Pc(J) se obine pentru

J I ABsc= / 2 . (2.93)

Fig. 2.26. Teorema transferului maxim de putere cnd la bornele A, B se conecteaz o surs ideal independent de curent.

Pentru a avea deci transfer maxim de putere pe la bornele circuitului din figura 2.26,a, este necesar ca sursa ideal independent de curent s aibe valoarea curentului dat de relaia (2.93) i sensul din figur. Variaia funciei Pc(J) este reprezentat n figura 2.26,b. Puterea maxim transferat de dipol pe la borne poate fi exprimat cu una din expresiile:

P UR

IG

U IABAB

ABsc

AB

AB ABscmax = = =0

2

0

2

0

0

4 4 4,

(2.94)

ntre mrimile din (2.95) existnd relaiile

I URABscAB

AB= 0

0 (2.95)

i G RAB AB0 01= / . (2.96

) O sarcin care satisface condiia de transfer maxim de putere se numete sarcin adaptat.

Exemplul 2.3: Pentru circuitul din figura 2.27,a, n care se cunosc:

55

Fig. 2.27,a. Schema iniial a circuitului.

R1= 3, R2=R3= 6, E1= 36 V, E2= 16 V, se cer: a) generatoarele echivalente Thvenin i Norton la bornele A, B; b) valoarea t.e.m. i sensul unei surse de tensiune care, conectat ntre bornele A i B, ar absorbi puterea maxim debitat de dipol.

a) Se transfigureaz circuitul ca n figurile 2.27,b,c,d, n care:

E E GG G121 1

1 2

36 1313

16

1236

24= + =+

= = V;

Fig. 2.27,b,c,d. Transfigurrile succesive ale circuitului din figura 2.27,a.

R G G12 1 21 6

3 2= + = = , apoi:

E E Ee' = + = + =12 2 24 16 40V; R Re' = =12 2

i n final:

E U G EG Ge ABe e

e= = + =

+

= =03

40 1212

16

2046

30' '' ,V

respectiv

R R G Ge AB e= = + = =0 3

1 64

32' .

Evident, parametrii circuitului echivalent Norton au valorile:

56

A.20 S;321

0

0

00 ======

AB

ABABsce

ABABe R

UIJR

GG

b) Puterea debitat de dipol se exprim cu relaia:

P U I E E ERg AB ABe

e= = 3 3- .

Condiia de transfer maxim de putere la bornele A,B, dPdE30= , conduce la relaia

Ee - 2E3= 0, de unde se obine valoarea t.e.m. a sursei de tensiune care satisface aceast condiie:

E E Ue AB3 02 2 15= = = V.

Sensul sursei este cel din figur.

2.2.12. Relaii ntre mrimile unui dipol

Fie dipolul activ reprezentat n figura 2.28. Ne intereseaz relaia existent ntre mrimile caracteristice ale unei laturi interioare i cele de la bornele A,B.

Fig. 2.28. Schema dipolului activ.

Fig. 2.29. Caracteristica dipolului activ.

Aplicnd teorema superpoziiei, curentul laturii interioare k se poate exprima ca suma dintre dou componente: una produs de sursele interne cnd sursa conectat la borne este pasivizat, i alta produs de sursa extern cnd sursele interne sunt pasivizate:

I I Ik kE

kEi= + . (2.97

) Notnd prima component cu Iksc, aceasta avnd semnificaia curentului laturii cnd bornele dipolului sunt scurtcircuitate, i exprimnd-o pe a doua n funcie de conductana de transfer Gke i sursa de la borne, se obine

I I G Uk ksc ke AB= + ( ). (2.98)

Pentru regimul de funcionare cu bornele A,B n gol, caracterizat prin valorile IAB = 0 i UAB = UAB0, ecuaia (2.98) devine

).( 0ABkeksckg UGII += (2.99)

Multiplicnd ecuaiile (2.98) cu UAB0 i, respectiv, (2.99) cu (-UAB) i apoi adunndu-le, se obine

U I U I U U IAB k AB kg AB AB ksc0 0 = ( ) . (2.100)

57

de unde se exprim curentul laturii k:

.100

kgAB

ABksc

AB

ABk IU

UI

UU

I +

= (2.101)

Caracteristica dipolului la borne este reprezentat n figura 2.29 i se exprim cu relaia UU

II

AB

AB

AB

ABsc01+ = , (2.102)

n funcie de care se prelucreaz ecuaia (2.101) la forma

I II IUU Ik

AB

ABscksc

AB

ABkg= +

0. (2.103)

Similar se obine

U II UUU Uk

AB

ABscksc

AB

ABkg= +

0. (2.104)

2.3. ANALIZA CIRCUITELOR DE C. C. LINIARE - METODE I ALGORITMI DE CALCUL

2.3.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff Pentru un circuit de c.c. liniar conex (ntre oricare dou noduri exist cel puin o cale) cu l laturi, coninnd rezistoare i surse independente de tensiune i n noduri, aplicarea celor dou teoreme ale lui Kirchhoff conduce la obinerea unui sistem complet de l ecuaii, din care n1 ecuaii de tipul (2.4) i ln+1 ecuaii de tipul (2.6), n l necunoscute cureni de laturi. Dac circuitul conine i surse de tensiune comandate, relaia (2.6) devine

1 ,,1 ,)()()(

)()()( +==+=

nlbbhEEIRhkhkhk bl

ckbl

kbl

kk AAA , (2.106)

iar t.e.m. ale surselor comandate (Eck) se exprim prin ecuaiile de comand prelucrate n funcie de necunoscutele cureni de laturi. n cazul circuitelor care conin i surse de curent independente i/sau comandate, numrul de necunoscute cureni de laturi este llJ. Acestea se obin prin rezolvarea unui sistem de ecuaii obinut prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff n n1noduri independente i a celei de-a doua ecuaii ntr-un numr de bucle independente redus la br= ln+1 (lJ+lJc), unde lJ reprezint numrul de laturi cu surse de curent independente, iar lJc reprezint numrul de laturi cu surse de curent comandate. Acestui sistem i se adaug ecuaiile de comand ale surselor comandate prelucrate n funcie de necunoscutele cureni de laturi.

Observaii 1. Pentru a se obine numrul de bucle br, deci pentru a se obine un numr redus de ecuaii ale sistemului, este necesar o alegere corespunztoare a buclelor independente, astfel nct nici una din ele s nu treac prin laturi cu surse independente i/sau comandate de curent. n caz contrar, numrul de necunoscute ale sistemului va fi l lJc+ , din care l lJ vor fi necunoscute cureni de laturi, iar restul de l lJ Jc+ vor fi necunoscutele tensiuni la bornele surselor independente i/sau comandate de curent, ecuaia general, corespunztoare celei de-a doua teoreme a lui Kirchhoff fiind exprimat cu relaia (2.106):

.,1= , + + )()()()()(

)()()()()( bhEEUUIR ckhbkl

k

hbklckJ

hbklkJ

hbklkk

hbklAAAAA

=+

(2.106)

58

2. Este evident c alegerea unui numr redus de bucle br prezint avantajul obinerii unui sistem redus de ecuaii, deci a reducerii efortului de calcul; pe de alt parte relaia (2.106) permite scrierea sistematic a sistemului de ecuaii; 3. Odat calculai curenii din laturi, tensiunile la bornele laturilor se pot determina n modul urmtor: - pentru laturile fr surse de curent se aplic ecuaia caracteristic (2.2) sau teorema a doua a lui Kirchhoff; - pentru laturile formate din surse independente sau comandate de curent, numai cu ajutorul teoremei a doua a lui Kirchhoff; 4. Dac circuitul conine i surse de curent, atunci ecuaia (2.7) devine:

( )( )

,A k k nl n

G U Jj

k j

= (2.107)

unde J I I G E Jn A

lk n jscE

Alk n j

scJ

Alk n j

k k Alk n j

kjk k= =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(2.108)

este curentul de scurtcircuit injectat n nodul nj .

Algoritmul de aplicare al metodei teoremelor lui Kirchhoff Pasul 1. Se determin numrul nodurilor i al laturilor circuitului; Pasul 2. Se aleg sensuri de referin i se ataeaz simboluri pentru intensitile curenilor din laturi; Pasul 3. Se calculeaz numrul redus de bucle ale circuitului i se aleg aceste bucle stabilindu-se un sens de parcurgere pentru fiecare; Pasul 4. Se scriu ecuaiile corespunztoare primei teoreme a lui Kirchhoff n (n1) noduri independente i ecuaiile corespunztoare celei de-a doua teoreme pe cele ( )JcJr llnlb ++= 1 bucle independente; Pasul 5. Se rezolv sistemul de ecuaii obinut prin completarea celui de la pasul 4 cu ecuaiile de comand ale surselor de curent i de tensiune comandate, prelucrate n funcie de curenii laturilor, determinndu-se intensitile curenilor din laturi; Pasul 6. Se valideaz rezultatul cu ajutorul bilanului puterilor. Analiza asistat de calculator a circuitelor electrice necesit formularea matriceal a ecuaiilor circuitului. Pentru circuite reciproce, lund n considerare structura laturii standard prezentat n figura 2.30, formularea matriceal a teoremelor lui Kirchho