RELAŢIILE LUI VIETE

1.Determinaţi rădăcinile polinomului ştiind că între ele avem relaţia

.

2.Determinaţi şi rădăcinile polinomului ştiind că admite

rădăcina .

Obs : ştim că rădăcinile multiple ale unui polinom au următoarea proprietate : dacă x0 e

rădăcină multiplă de ordinul k a polinomului P atunci are loc :

şi . Această proprietate ne arată că rădăcinile

multiple ale unui polinom P sunt rădăcinile c.m.m.d.c. al polinoamelor P şi P’.

Obs: în cazul în care P are grad mai mare se aplică algoritmul lui Euclid pt. aflarea

c.m.m.d.c. al lui P şi P’.

Propr. Fie P şi Q două polinoame de grad n din .Aceste polinoame au aceleaşi

rădăcini coeficienţii termenilor de acelaşi grad sunt proporţionali.

APLICAŢII.

1. Aflaţi rădăcinile multiple ale polinomului

2. Ecuaţia poate avea o rădăcină triplă ?

Soluţie :

Dacă x0 e rădăcină triplă avem : şi

Fie

Însă

1

Fie

Însă

Soluţii : şi

3. Să se determine m şi n astfel ca să aibă o rădăcină triplă.

Soluţie :

Dacă x0 e rădăcină triplă avem : şi

ultima ecuaţie fiind echivalentă cu

I. x0=0 nu verifică ecuaţia (**);

II. şi din (**)

Din (*) rezultă n=-1.

Deci m=2 , n=-1 şi rădăcina triplă x0=1.

4. Să se determine parametrul real m şi să se rezolve în R ecuaţia

ştiind că are o rădăcină dublă.

Soluţie :

Dacă x0 e rădăcină dublă avem : şi

Din (*) pt. x0=2 avem m=-7 şi ecuaţia

2

Se obţine rădăcina dublă x0=2 şi .

5. Să se afle condiţia ca ecuaţia să aibă o rădăcină triplă.

Soluţie :

Dacă x0 e rădăcină triplă avem : şi

ecuaţia (**) fiind echivalentă cu

I. Dacă x0=0 atunci n=p=0 şi ec. devine care are rădăcina cvadruplă x=0.

II. Dacă

Din (***) avem

Din (*) avem

Relaţiile căutate sunt :

5. Aflaţi rădăcinile multiple ale polinomului

6. Să se afle condiţiile ca ecuaţiile şi să aibă 2 rădăcini

comune.

7. Se cere condiţia pentru care ecuaţia să aibă o rădăcină dublă.Să se

deducă expresiile lui p şi q în funcţie raţională de un parametru.

8. Să se determine parametrii m, n, p astfel ca ecuaţia să aibă

o rădăcină cuadruplă.

şi

3

(***) şi din (****) 60=0 imposibil.

Rămâne

Rădăcina e complexă şi nu poate fi cvadruplă căci atunci polinomul din enunţ ar avea

ca rădăcină cvadruplă şi pe , deci P ar avea gradul minim 8 , contradicţie.

Rămâne x0=1 ca răd. cvadruplă.

, din (**) n=-6 , din(***) .

9.Să se determine parametrii m, n, p astfel ca ecuaţia să aibă o

rădăcină cuadruplă.

Soluţie : şi

(***)

(***)

10. Să se determine parametrii m, n, p astfel ca ecuaţia să aibă o

rădăcină triplă şi apoi să se rezolve.

Soluţie : şi .

4

Înlocuind în (**) înmulţită cu x0 , adică

Din (**)

Rezultă condiţiile

ECUAŢII DE GRAD SUPERIOR

1. Să se determine parametrul real a şi să se rezolve ecuaţia ştiind că are

o rădăcină întreagă .

Soluţie :

α – rădăcină a ecuaţiei (*)

Dacă α=0 atunci a=0

Dacă α≠0

şi înlocuind în (*) avem

i) m=1 rezultă α=7 , k=7 , a=49

ii) m=-1 , α=-5 , k=-3 , a=15

5

Deci .

2.Fie ecuaţia .

a) Determinaţi ştiind că ecuaţia admite o rădăcină întreagă.

b) Construiţi ecuaţia ce are ca rădăcini inversele rădăcinilor ecuaţiei date.

c) Rezolvaţi ecuaţia pt. m=-2.

Soluţie :

Dacă iar dacă

2. Fie .

a) să se arate că α este un număr iraţional

b) să se arate că nu există un polinom nenul cu coeficienţi raţionali de grad strict mai

mic decât trei care să aibă pe α ca rădăcină.

3. Fie f:R→R , . Demonstraţi că .

Soluţie : caut pe c printre valorile -2,1,0.

Avem

sau

Fie

Deci există q.e.d.

Relaţii între coeficienţi pentru ca o ecuaţie de grad 3 să aibă toate rădăcinile reale.

4.Fie ecuaţia .

a) O condiţie necesară ca ecuaţia să aibă toate rădăcinile reale este ca

6

b) O condiţie suficientă ca ecuaţia să aibă toate rădăcinile reale este ca

Dem :

a) scriem relaţiile lui Viete :

O condiţie suficientă ca ecuaţia să aibă toate rădăcinile reale se

obţine alcătuind şirul lui Rolle.

Dacă un polinom are toate rădăcinile reale atunci şi derivatele lui au toate rădăcinile

reale .

Se rezolvă ecuaţiile cu răd.

cu răd.

Punem condiţiile pt. să aibă toate rădăcinile reale:

Se găseşte şi se obţine condiţia necesară.

b) Punem condiţiile pt. să aibă toate rădăcinile reale:

Pentru simplitate notăm x1/=α şi apoi se elimină α din sistemul :

obţinîndu-se condiţia :

Notăm x2/=β şi apoi se elimină β din sistemul :

obţinîndu-se condiţia :

Cele 2 condiţii se pot scrie condensat .q.e.d.

Obs: dacă a=0 condiţia se scrie sau .

7

Generalizare : găsiţi o condiţie necesară ca ecuaţia

să aibă toate rădăcinile reale.

Soluţie : din inegalitatea lui Cauchy

aplicată pt. răd. ecuaţiei din enunţ şi folosind relaţiile lui Viete obţinem :

sau

q.e.d.

Generalizare : găsiţi condiţia necesară şi suficientă ca ecuaţia

, n impar să aibă toate rădăcinile reale.

Soluţie : fie

Avem cu răd. .

Observăm că este necesară condiţia .

Cum este necesar şi suficient să avem (1).

Pentru simplitate notăm şi .

(2)

(3).

Relaţiile (2) şi (3) se pot scrie condensat

sau

8

5.Fie un polinom cu toate rădăcinile reale .Să se arate că polinomul

are toate rădăcinile reale.

Soluţie : polinomul are toate rădăcinile reale şi deci

polinoamele derivate au toate rădăcinile reale.

Avem şi enunţul este justificat.

3.

Soluţie : .

a) evident;

b) evident;

c) fie 011

1 ...; axaxaxaxfMf nnnn .

Avem iar din relaţiile lui Viete deci

deoarece .

Nu putem avea deoarece rădăcinile sunt toate reale şi .

Rămâne .

d) evident;

e) Din

.

.

f) fie rădăcinile polinomului f din M.Avem şi voi arăta că .

9

Pentru aceasta formez ecuaţia de grad n în y care are rădăcinile cu ajutorul

substituţiei ( observăm că deci .

este ecuaţia cu rădăcinile .

Avem deci .

Observaţie , mai rezultă că în mod necesar trebuie să avem

Din aceleaşi motive ca mai sus rezultă .

g) dacă n=3 avem

6. Să se arate că urm. ecuaţii nu pot avea toate rădăcinile reale :

a)

b)

c)

Soluţie : fie α un număr real . Voi calcula sume de forma .

Dacă rezultatul este negativ ecuaţia va avea rădăcini complexe.Scriem relaţiile lui Viétè:

10

Căutăm valori ale lui α pt. care .

Alegem de exemplu şi obţinem că q.e.d.

Obs : se poate vedea că deci ec. nu poate avea toate răd. reale.

b)

Căutăm valori ale lui α pt. care .

Alegem de exemplu şi obţinem că q.e.d.

2. Să se rezolve ecuaţia ştiind că are toate rădăcinile reale şi

gradP=m-3.

Soluţie : avem x0=0 şi

Observ că dacă aleg avem şi cum toate rădăcinile sunt reale rezultă că

şi x0=1 .q.e.d.

Lemă 1.Fie x1,x2,x3 numere reale . Atunci are loc :

Soluţie :

evident datorită regulii semnelor.

11

notez

Atunci ecuaţia cu rădăcinile x1,x2,x3 va fi : .

Formând şirul lui Rolle se vede că pt. orice nr. pozitiv x=k (k≥0) avem

şi cum rezultă că în intervalul nu există variaţie de

semn , deci cele 3 rădăcini ale ecuaţiei sunt negative.

Lemă 2.Fie x1,x2,x3 numere reale . Atunci are loc :

Soluţie :

evident datorită regulii semnelor.

notez

Atunci ecuaţia cu rădăcinile x1,x2,x3 va fi : .

Formând şirul lui Rolle se vede că pt. orice nr. negativ x=-k (k≤0) avem

şi cum rezultă că în intervalul nu există

variaţie de semn , deci cele 3 rădăcini ale ecuaţiei sunt pozitive.

Obs: se poate face demonstraţia şi prin reducere la absurd .

Generalizare : Fie x1,x2,…xn numere reale . Atunci are loc :

i)

12

ii)

Lemă 3.Fie x1,x2,x3 numere reale pozitive care satisfac inegalităţile :

Să se arate că :

a) niciunul din numere nu este egal cu 1;

b) exact unul din ele este mai mic ca 1.

Soluţie :

a) notez şi (1).

Atunci ecuaţia cu rădăcinile x1,x2,x3 va fi : .Să presupunem că P(x)

ar avea o rădăcină egală cu 1. Atunci q-1=p-s

şi atunci condiţia (1) este echivalentă cu : p-s>qs-s=s(q-1)

Obtinem q-1>s(q-1) , de unde s<1.

Cum toţi xi>0 unul fiind egal cu 1 conchidem că de pildă x1+x2<0 , ceea ce este absurd.

Aşadar P(1)≠0.

Să arătăm că numai una din rădăcini este mai mică decât 1. Ori din consideraţiile de mai

înainte deducem :

P(1)=1-s+p-q>1-s+qs-q=(s-1)(q-1) ;

Dar s<1 nu poate avea loc , căci ar însemna că toţi xi<1 ceea ce contrazice condiţia q>1.

APLICAŢIE : Ecuaţia are rădăcinile cu partea reală negativă

.

Soluţie : distingem 2 cazuri :

13

i)

ii)

i) condiţia din enunţ este (1)

Din relaţiile lui Viete rezultă

Pe baza lui (1) avem :

Ultima relaţie este echivalentă cu

ii)

În acest caz condiţia ab>c nu este necesară.

APLICAŢIE 2: Ecuaţia are rădăcinile cu aceeaşi parte reală

.

Soluţie : ecuaţia are oricum o rădăcină reală , fie aceasta x1.

Fie

5. Să se determine valoarea lui a.î. ecuaţia să aibă toate rădăcinile

reale.

14

Soluţie : ,

Cu substituţia

Atunci ecuaţia în y : va trebui să aibă rădăcinile cuprinse în sau

.

I.

II.

III.

Rămâne cazul I cu soluţia .

6. Să se determine parametrul real m şi să se rezolve în R ecuaţia :

ştiind că are o rădăcină dublă.

15

COMPARAREA RĂDĂCINILOR REALE ALE ECUAŢIILOR DE GRAD 3 ŞI 4 CU

NUMERELE α ŞI β

ŞIRUL LUI ROLLE

- se foloseşte şirul lui Rolle, un procedeu de separare a rădăcinilor unui polinom.

Fie polinomul având ataşată funcţia polinomială . Pt. a separa

rădăcinile reale ale ecuaţiei în intervalul (a,b) se formează şirul lui Rolle :

x a b

f(x)

sgnf

unde , ,…, sunt rădăcinile reale situate în (a,b) ale ecuaţiei derivate ( unde

este funcţia polinomială asociată polinomului derivat ) . Dacă

, în intervalul avem o singură rădăcină reală a ecuaţiei iar dacă

în acelaşi interval nu avem nici o rădăcină a ecuaţiei date.

Consecinţă. Numărul de rădăcini reale ale polinomului este egal cu numărul de

variaţii de semn din şirul , , ,… , unde

Obs 1: dacă se întâmplă ca , este rădăcină atât pt. ecuaţie cât şi pt. ecuaţia

derivată , deci este rădăcină multiplă a ecuaţiei date.Dacă respectiv <0

ordinul de multiplicitate al rădăcinii este par resp. impar.

16

Obs 2: scrierea şirului lui Rolle impune cunoaşterea rădăcinilor derivatei lui P(x).În

general aceste rădăcini se află uşor numai pt. ecuaţiile de grad 3. Totuşi se poate face

separarea răd. ecuaţiei de grad 4 , în felul următor :

Fie ecuaţia

Se face substituţia

Ecuaţia iniţială devine : , adică dispare termenul de grad 3;

Se face substituţia şi ec. devine

Se calculează derivata ale cărei rădăcini

sunt .

Deci cu ajutorul acestor transformări se pot calcula rădăcinile derivatei

noii ecuaţii de gradul 4 în z dar trebuie ţinut cont când se întocmeşte şirul lui Rolle să se

transforme intervalele în raport cu transformările făcute.

Aplicaţie : să se separe răd. ecuaţiei .

Soluţie : facem ,

, fie

z - 1 2 +

f(z) + -1 -1 1 -1 +

sgnf(z) + - - + - +

- ecuaţia în z are rădăcinile

- ecuaţia în y are rădăcinile

- ecuaţia în x are rădăcinile

17

2. Să se discute rădăcinile ecuaţiei când m variază de la

la .

Soluţie :

x 2 discuţia

- +

- - - +

- 0 - +

- + - +

56 - + 0 +

18

+ - + + +

3.Să se discute cu ajutorul şirului Rolle ecuaţia :

Soluţie :

i) m>0

x -m m 2m Discuţia

m>0 f(x) + + m>0

0 + - - - +

13

17 + - 0 - +

+ - + - +

+ - + 0 +

+ - + + +

19

ii) m≤0

x 2m m -m Discuţia

m<0 f(x) + + m<0

+ + + - +

+ 0 + - +

+ - + - +

+ - 0 - +

+ - - - +

0 + 0 0 0 +

4. Să se afle intervalele în care se găsesc rădăcinile ecuaţiei :

Soluţie : facem substituţia ca să dispară termenul de grad trei :

Rezultă că unica soluţie a ecuaţiei h’(z)=0 este z=0.

20

h(0)=- 4

z

h(z) + -4 -4 +

sgn(h(z)) + - - +

ecuaţia în y are răd.

ecuaţia în x are răd. .

5.Să se examineze natura răd. ecuaţiei după valorile parametrului real

m.

Soluţie :

După cum se observă sunt greu de calculat rădăcinile lui f’.

Punem

Fie

i)

g(0)=-1

y

g(y) + -1 -1 +

sgn(g(y)) + - - +

21

ecuaţia în x are răd. .

ii)

y

g(y) + ⅓ -1 -1 +

sgn(g(y)) + + - - +

iii)

y

g(y) + -1 -1 ⅓ +

sgn(g(y)) + - - + +

iv)

600.Aflați numărul soluțiilor reale ale ecuației : .

Soluție :

După cum se observă sunt greu de calculat rădăcinile lui f’.

Punem

22

Avem

5.Să se examineze natura răd. ecuaţiei după valorile parametrului

real m.

Soluţie :

7. Să se discute cu ajutorul şirului lui Rolle ecuaţia :

Soluţie   :

x -2 5 Discuţia

m f(x) - m+68 m-275 + Locul rădăcinilor

- - - +

-68 - 0 - +

.

.

.

- + - +

275 - + 0 +

- + + +

23

y 2

f(y) + + -1 1 -83 +

sgn(f(y)) + + - + - +

8.Se consideră polinomul . Să se arate că polinomul are o

singură rădăcină reală cu propr. că .

Soluţie :

şi fie .

cu răd. x1=0 şi .

Alcătuim şirul lui Rolle pe :

x0 1

Q(x) 1 0 1

Deoarece este rădăcină a ecuaţiei avem

Apoi x3 e răd. a ecuaţiei

24

9. Să se separe rădăcinile reale ale ecuaţiei : .

10. Dacă atunci ecuaţia are cel

puţin o rădăcină reală în (0,1).

Dacă atunci ecuaţia are cel puţin o rădăcină reală în (-1,0).

Soluţie : consider funcţia f:R→R ,

Avem f(0)=0 şi , rezultă că 0 şi 1 sunt rădăcini ale ecuaţiei f(x)=0.Dar Ştim că intre 2 rădăcini ale funcţiei derivabile există cel puţin o rădăcină a derivatei , q.e.d.b) analog.

11. Să se arate că ecuaţia are toate rădăcinile reale .

Soluţie : fie având rădăcinile a1,a2,…,an.

.

Deoarece ecuaţia P(x)=0 are n rădăcini reale rezultă conform teoremei lui Rolle că ecuaţia P’(x)=0 are cel puţin n-1 rădăcini reale , dar P’ fiind un polinom de gradul n-1 , rezultă că are exact n-1 rădăcini reale.q.e.d.

25