REZOLVAREA REZOLVAREA ECUAECUAŢŢIILOR ALGEBRICEIILOR ALGEBRICE

1) ECUA1) ECUAŢŢII ALGEBRICE CU II ALGEBRICE CU COEFICIENCOEFICIENŢŢI I ÎÎN N

2) ECUA2) ECUAŢŢII BINOME, II BINOME, BIPBIPĂĂTRATETRATE, RECIPROCE, RECIPROCE

, , ,

ECUAŢII ALGEBRICE CU ECUAŢII ALGEBRICE CU COEFICIENŢI ÎNCOEFICIENŢI ÎN

Forma generală:Forma generală:

Orice ecuaţie algebrică de gradul n cu Orice ecuaţie algebrică de gradul n cu coeficienţi în corpul numerelor complexe coeficienţi în corpul numerelor complexe are exact n rădăcini complexe. are exact n rădăcini complexe.

1 1 01 ... 0

, 0,

,

,

nn

nn

i

x x x

x

a a a a

a i n

ECUAŢII ALGEBRICE CU ECUAŢII ALGEBRICE CU COEFICIENŢI ÎNCOEFICIENŢI ÎN

Dacă o ecuaţie algebrică cu toţi Dacă o ecuaţie algebrică cu toţi coeficienţii în corpul numerelor coeficienţii în corpul numerelor reale , admite soluţia complexă reale , admite soluţia complexă dar nereală ,dar nereală ,

atunci admite şi soluţia conjugatăatunci admite şi soluţia conjugată

..

, \a ib

, \a ib

EXEMPLE ŞI EXEMPLE ŞI CONTRAEXEMPLECONTRAEXEMPLE

EcuaţiaEcuaţia are soluţiileare soluţiile

Ecuaţia are Ecuaţia are soluţiilesoluţiile

Ecuaţia are soluţiileEcuaţia are soluţiile

- Explicaţi!- Explicaţi!

3 2 1 0x x x ,1i

4 3 22 3 2 2 0x x x x ,1i i

3 2 0x ix x i , 1i

APLICAŢIEAPLICAŢIE

Rezolvaţi ecuaţia Rezolvaţi ecuaţia

ştiind că admite soluţia ştiind că admite soluţia

4 3 25 10 10 4 0x x x x

1 1x i

REZOLVAREREZOLVARE

Ecuaţia are coeficienţi reali, deci Ecuaţia are coeficienţi reali, deci admite şi soluţiaadmite şi soluţia

Împărţim ecuaţia prin Împărţim ecuaţia prin cu schema lui Horner sau prin cu schema lui Horner sau prin

împărţirea obişnuită;împărţirea obişnuită; Obţinem ecuaţia de gradul II:Obţinem ecuaţia de gradul II: Cele 4 soluţii sunt: Cele 4 soluţii sunt:

2 1x i

2 3 2 0x x

1 1x xi i

1 ,1 ,1,2i i

ECUAŢII ALGEBRICE CU ECUAŢII ALGEBRICE CU COEFICIENŢI ÎNCOEFICIENŢI ÎN

Dacă o ecuaţie algebrică cu Dacă o ecuaţie algebrică cu toţi coeficienţii în corpul toţi coeficienţii în corpul numerelor raţionale admite numerelor raţionale admite soluţia iraţională soluţia iraţională atunci admite şi soluţia atunci admite şi soluţia conjugatăconjugată

\a b c

a b c

EXEMPLE ŞI EXEMPLE ŞI CONTRAEXEMPLECONTRAEXEMPLE

Ecuaţia are soluţiileEcuaţia are soluţiile Ecuaţia are Ecuaţia are

soluţiilesoluţiile Ecuaţia are Ecuaţia are

soluţiilesoluţiile Ecuaţia are soluţiileEcuaţia are soluţiile

- Explicaţi! - Explicaţi!

3 2 3 3 0x x x 3,14 3 22 5 8 4 0x x x x 1 2, 2 3 23 3 0x x x 3, 13 2 0x

3 33 2 3 42,2 2

i

ECUAŢII ALGEBRICE CU ECUAŢII ALGEBRICE CU COEFICIENŢI ÎNCOEFICIENŢI ÎN

Dacă este o soluţie raţională a Dacă este o soluţie raţională a ecuaţiei ecuaţiei

cu coeficienţi întregicu coeficienţi întregi

atunci şiatunci şi

Dacă ecuaţia admite soluţii întregi, acestea Dacă ecuaţia admite soluţii întregi, acestea sunt printre divizorii termenului liber.sunt printre divizorii termenului liber.

p

q

11 1 0... 0, , 0,n n

n n ia x a x a x a a i n 0/p a / nq a

APLICAŢIEAPLICAŢIE

Determinaţi parametrul şi Determinaţi parametrul şi rezolvaţi ecuaţia rezolvaţi ecuaţia ştiind că are cel puţin o soluţie ştiind că are cel puţin o soluţie întreagă.întreagă.

Răspuns: şi Răspuns: şi

a3 23 1 0x x ax

1 2,31, 1, 1 2a x x

1 2,33, 1, 2 5a x x

REZOLVAREA ECUAŢIILOR REZOLVAREA ECUAŢIILOR BINOMEBINOME

Ecuaţii de forma:Ecuaţii de forma: Se scrie numărul complex sub formă Se scrie numărul complex sub formă

trigonometrică trigonometrică undeunde

Soluţiile ecuaţiei sunt rădăcinile de ordin ale Soluţiile ecuaţiei sunt rădăcinile de ordin ale numărului complex :numărului complex :

, ,nz a a a x iy a

cos sina r t i t

2 2 , cos ,sin , 0,2x y

r x y t t tr r

na

2 2cos sin , 0, 1n

k

t k t kz r i k n

n n

REZOLVAREA ECUAŢIILOR REZOLVAREA ECUAŢIILOR BIPĂTRATEBIPĂTRATE

Ecuaţii de forma:Ecuaţii de forma:

Generalizare:Generalizare:

Folosim substituţia: sau şi obţinemFolosim substituţia: sau şi obţinem

ecuaţia rezolventă cu soluţiile ecuaţia rezolventă cu soluţiile

Rezolvăm ecuaţiile Rezolvăm ecuaţiile şi şi

4 2 0, ,, ,xa c a bxb cx 2 0, , , ,n nx x xa b c a b c

2x y nx y2 0y ya b c 1,2y

1nx y 2

nx y

EXEMPLE ŞI EXEMPLE ŞI CONTRAEXEMPLECONTRAEXEMPLE

Care dintre următoarele ecuaţii sunt Care dintre următoarele ecuaţii sunt ecuaţii bipătrate?ecuaţii bipătrate?

4 22 5 7 0x x 6 34 3 2 0y y 6 48 3 0x x

APLICAŢIEAPLICAŢIE

Să se rezolve ecuaţia:Să se rezolve ecuaţia:

Răspuns corect: şi Răspuns corect: şi

4 24 13 9 0x x

1,2

3

2x 3,4 1x

ECUAŢIII RECIPROCEECUAŢIII RECIPROCE

Ecuaţii de forma:Ecuaţii de forma:

cu cu

4 25 3 0ca x cbx bxxx a

1 1 01 ... 0n

nn

n aa x a xx a

3 24 0cxbx bxax a 23 0bxax abx

1 1 2 20 ,, ...,nn na aa aa a

REZOLVAREA ECUAŢIILOR REZOLVAREA ECUAŢIILOR RECIPROCE DE GRADUL IIIRECIPROCE DE GRADUL III

Orice ecuaţie reciprocă de grad Orice ecuaţie reciprocă de grad impar admite soluţia ;impar admite soluţia ;

După împărţirea prin rămâne După împărţirea prin rămâne de rezolvat o ecuaţie de gradul II.de rezolvat o ecuaţie de gradul II.

1 1x

APLICAŢIEAPLICAŢIE

Să se rezolve ecuaţia:Să se rezolve ecuaţia:

Răspuns corect:Răspuns corect:

3 22 03 3 2xx x

1 2,3

1 151,

4 4x x i

REZOLVAREA ECUAŢIILOR REZOLVAREA ECUAŢIILOR RECIPROCE DE GRADUL IVRECIPROCE DE GRADUL IV

Ecuaţia se Ecuaţia se împarte prin şi după gruparea termenilor împarte prin şi după gruparea termenilor rezultă:rezultă:

Cu substituţia se obţine ecuaţia Cu substituţia se obţine ecuaţia rezolventărezolventă

de gradul II de gradul II

3 24 0cxbx bxax a 2x2

20

11ba x

xcx

x

1x yx

2 2 0by ca y

APLICAŢIEAPLICAŢIE

Să se rezolve Să se rezolve ecuaţia:ecuaţia:

Răspuns corect: Răspuns corect:

3 24 10 23 032 xx x x

1 2 3,4

7 331,

4x x x

24 3 04 143XX X X