DANIEL C. IOANUniversitatea \Politehnia" BuurestiCIRCUITE ELECTRICEREZISTIVEBreviare teoretie si probleme

Editura2000

DANIEL C. IOANCIRCUITE ELECTRICE REZISTIVEBreviare teoretie si problemeReferenti stiintii: Conf.dr.ing. Irina MunteanuS.l. dr. ing. Gabriela Ciuprina

Editura, 2000Buuresti

2

PrefataLurarea Ciruite eletrie rezistive se adreseaza n primul rand studentilorde la faultatile de prol eletri: eletrotehnia, eletronia, automatia si al-ulatoare, eletroenergetia sau instalatii eletrie, dar ea este de un real folos naprofundarea unostintelor pentru orie student din nvatamantul superior tehnisi stiinti, inginerilor, tehniienilor sau ziienilor. Multe apitole pot folositede elevii ultimelor lase din lieele teoretie sau de speialitate, mai ales pentrupregatirea examenului de baalaureat sau a admiterii la faultate, la disiplinaFizia.Volumul reprezinta rezultatul unei experiente didatie ndelungate n atedrade Eletrotehnia a Universitatii Politehnia din Buuresti. El a fost elaborat nperioada 1970-1980 si a fost mbunatatit ulterior, prin direta interatiune u zeide generatii de studenti are au urmat ursul de Bazele eletrotehniii, semestrulntai din anul al II-lea de studiu.Deizia de a pune lurarea la dispozitia publiului larg se datoreaza pe deo parte reatiei extrem de pozitive din partea elor are au folosit ontinutulei n pregatirea lor stiintia si tehnia fundamentala, iar pe de alta parte so-liitarilor din partea noilor generatii de studenti, preparatori si asistenti, de aavea la dispozitie un material didati are sa permita studiul individual, ntr-omaniera eienta.Lurarea trateaza ntr-o maniera originala teoria iruitelor eletrie rezistiveliniare si neliniare, din puntul de vedere al apliatiilor pratie. Continutullurarii este struturat n patru apitole.Primul apitol este dediat fundamentelor teoriei iruitelor eletrie: eua-tiile lui Kirhho, puterea transferata de elementele de iruit, formularea matri-eal-topologia a euatiilor fundamentale si o treere n revista a prinipaleloreuatii onstitutive ale elementelor ideale de iruit eletri.Al doilea apitol al lurarii se refera la iruitele eletrie rezistive lini-are, insistandu-se asupra metodelor de analiza a aestor iruite: metode bazatepe transgurari, metoda euatiilor lui Kirhho atat n urenti at si n ten-siuni, metoda urentilor ilii, metoda potentialelor nodurilor preum si meto-dele Thevenin-Norton. Un paragraf speial este dediat iruitelor nereiproe,u surse omandate liniar sau ampliatoare operationale u reatie negativa.Capitolul se nheie u un paragraf dediat teoremelor generale ale iruitelorrezistive neliniare, um sunt teorema superpozitiei si ea a reiproitatii.Capitolul al treilea este dediat analizei iruitelor rezistive neliniare. Suntprezentate: metoda dreptei de sarina, analiza iruitelor u arateristii liniarepe portiuni, metoda miilor variatii dar si metodele iterative pentru analiza aes-tor iruite. Capitolul se nheie u un paragraf dediat teoremelor generale aleiruitelor rezistive neliniare.In ultimul apitol se trateaza ateva probleme si tehnii speiale utilizaten studiul iruitelor rezistive, um sunt metoda grafurilor de uenta si analizai

senzitivitatilor.Prinipalele trasaturi arateristie si de originalitate ale lurarii on-stau n: eare paragraf este alatuit dintr-un breviar teoreti n are sunt sinte-tizate prinipalele unostinte neesare abordarii apliatiilor, denitii, for-mule, metode si tehnii, fara a inlude demonstratii omplete, urmat de oserie de probleme ilustrative propuse, a aror rezolvare se poate fae u unefort de alul numeri redus; spre deosebire de alte ulegeri similare, a

entul este pus pe ntelegereaoneptelor fundamentale, are din experienta noastra didatia ridia di-ultati, hiar daa sunt aparent simple: sensuri de referinta pentru urentisi tensiuni, onventii de semn, reguli de asoiere a sensurilor, deosebireadintre elementele reale si ele ideale de iruit eletri, formularea oretaa iruitelor u elemente ideale, oneptul de ehivalenta n teoria iruite-lor, modelarea aproximativa, alegerea metodelor optime de analiza, analizatopologia a iruitelor, et; hiar daa autorul nu este adeptul retetelor de rezolvare a problemelor, nlurare sunt prezentate mai multi algoritmi de rezolvare, asoiati hiar unormetode simple, n vederea dezvoltarii gandirii algoritmie a studentilor,abordare foarte apreiata de aestia; problemele propuse au fost alese u grija dintre aelea are au o maximarelevanta pentru apliatiile pratie, ntalnite n viata de zi u zi a ingine-rilor, motiv pentru are a

entul a fost pus pe iruite eletronie, eletrierezistive, atat liniare at si neliniare; prin parurgerea sistematia a lurarii, ititorul nvata sa-si formuleze singurprobleme interesante, are nu presupun alule numerie ompliate si ausolutii exprimabile prin numere ntregi; a

entul este pus pe iruitele rezistive, n vederea apatarii deprinderiloresentiale neesare analizei iruitelor, urmand a ulterior aestea sa e usorextensibile la azul iruitelor n regim variabil; un alt a

ent este pus pe rezolvarea manuala rapida, hiar si prin metodeaproximative, a o alternativa la analiza automata u programe de al-ul de tip SPICE, n vederea apatarii deprinderilor neesare ntelegeriifuntionarii si depanarii unor iruite eletronie omplexe, usurand astfelparurgerea ursului de Dispozitive si iruite eletronie.Aparitia aestei lurari nu ar fost posibila fara olaborarea unor studenti,tehniieni si tinere adre didatie. Dorim sa aduem pe aeasta alemultumiri-le noastre domnului Matei Dorian, are a realizat partea graa n primul ma-nusris al lurarii si studentilor: ii

Merode Costin-Catalin; Radulesu Marius-Cristian; Blujdea Gabriel; Sabareanu Robert-Petru,are au realizat tehnoredatarea nala a manusrisului, folosind instrumenteleXg si LATEX sub Linux, n Laboratorul de Metode Numerie (LMN) din atedrade Eletrotehnia a Universitatii Politehnia din Buuresti.Multumim deasemenea referentilor stiintie Conf. Dr. ing. Irina Munteanusi sefei de lurari Dr. ing. Gabriela Ciuprina, pentru atenta itire a lurarii.

iii

iv

CuprinsPrefata iii1 Fundamentele teoriei iruitelor eletrie 11.1 Euatiile lui Kirhho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Puteri transferate de elementele de iruit . . . . . . . . . . . . . 141.3 Matrie de inidenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Elemente ideale de iruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Ciruite eletrie rezistive liniare 432.1 Teoreme de ehivalenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2 Metoda euatiilor lui Kirhho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3 Metoda urentilor ilii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.4 Metoda potentialelor nodurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.5 Metodele Thevenin si Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.6 Ciruite eletrie liniare nereiproe . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.7 Teoremele iruitelor rezistive liniare . . . . . . . . . . . . . . . . 1053 Ciruite eletrie rezistive neliniare 1153.1 Ciruite liniare u un dipol neliniar . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.2 Elemente u arateristii liniare pe portiuni . . . . . . . . . . . . 1263.3 Metoda miilor variatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.4 Metode iterative pentru analiza iruitelor rezistive neliniare . . . 1433.5 Teoremele iruitelor rezistive neliniare . . . . . . . . . . . . . . . 1544 Probleme speiale ale analizei iruitelor rezistive 1734.1 Metoda grafurilor de uenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.2 Calulul senzitivitatilor iruitelor rezistive . . . . . . . . . . . . . 184Bibliograe 195v

CUPRINS

vi

Capitolul 1Fundamentele teoriei iruiteloreletrie1.1 Euatiile lui KirhhoBREVIARElementul dipolar de iruit reprezinta un domeniu spatial a arui interatiuneeletria u exteriorul se realizeaza prin intermediul a doua parti disjunte alesuprafatei sale, numite borne (g. 1.1).borna2borna1

E.D.C.Fig. 1.1.Prin iruit eletri (sau retea eletria) vom ntelege o multime de elementedipolare onetate pe la borne (g. 1.2).Intr-un iruit nu are importanta asezarea elementelor, i doar modul de o-nexiune dintre ele; astfel iruitul din gura 1.2 este ehivalent u el din -gura 1.3. Din aest motiv, se spune a n teoria iruitelor eletrie spatiul estenzestrat u o strutura topologia si nu u una metria (distantele, unghiurile,lungimile nu au importanta).T inand ont de observatia anterioara, strutura unui iruit este araterizataomplet de graful G al iruitului.Graful unui iruit este alatuit dintr-o multime de punte, numite noduriare reprezinta bornele elementelor de iruit, unite prin are de urba numitelaturi, aestea reprezentand elementele dipolare.Numarul laturilor se va nota n ontinuare u L iar numarul nodurilor unuigraf se va nota u N.Graful din gura 1.4 este asoiat iruitului din gura 1.2 si are L=5, N=4.1

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE(1)

(2) (4)

(3)

E 1 E 3 E 5

E 2

E 4

Fig. 1.2. E 1 3EE 2 (3)E 4

(2)

(4)

(1)

E5Fig. 1.3.Pentru a reprezenta onexiunile unui element avand bornele polarizate (nee-hivalente) se utilizeaza grafurile orientate, la are eare latura este marata uo sageata. Doua grafuri sunt ehivalente daa au aelasi numar de laturi, iar la-turile sunt onetate similar. Daa ele doua grafuri sunt orientate atuni laturileorespondente trebuie sa e orientate similar. Pentru araterizarea antitativaa interatiunii eletrie a unui element dipolar u exteriorul se utilizeaza douamarimi zie: urentul si tensiunea eletria.1. Intensitatea urentului eletri este o marime1 2

(4)

(3)

(2)

4 5

(1) 3Fig. 1.4.zia salara (pozitiva sau negativa) asoiata unui sensde referinta marat de-a lungul elementului (g. 1.5).Ea se noteaza u i (sau I, daa este onstanta n timp)si se masoara n amperi [A.Sagetile marate n gura 1.5 nu reprezinta sensulreal al urentului i sensul de referinta al aestuia.La shimbarea sensului de referinta se shimba semnulintensitatii urentului; astfel, pentru intensitatile i1 si i2marate n gura 1.6 se poate srie:k

k k

latura k

iE

iE

iE

i Fig. 1.5.i1 = i2:Curentul se masoara u un aparat dipolar numit ampermetru, are se one-teaza n iruit asfel nat sa e strabatut de urentul masurat. Ampermetrulmasoara urentul e-l parurge de la borna sa "plus" la borna "minus". Se poateonsidera a eare sens de referinta pentru urent reprezinta un simbol pentru2

1.1. ECUATIILE LUI KIRCHHOFFampermetru, indiand si felul n are aesta este montat n iruit. Pentru re-prezentarea urentilor e strabat elementele dipolare ale unui iruit eletri seutilizeaza graful de urent GI (g. 1.7) are este un graf orientat, u laturileorientate onform sensurilor de referinta ale intensitatilor urentilor.Se va evita utilizarea expresiilor: "urentul dintr-un ir-i 1 i 2E.D.C.Fig. 1.6. uit", "urentul pe un element de iruit", a

eptate indexpresiile: "urentii dintr-un iruit"; "urentul e strabateun element de iruit". Este obligatoriu a orie referire laintensitatea unui urent sa e preedata de alegerea sensu-lui de referinta al aestuia. Curentii oriarui iruit eletrisunt supusi unor restritii. Aeste restritii sunt generate deprima teorema a lui Kirhho are arma a: suma algebria a intensitatilorurentilor din laturile e onura la un nod al iruitului este egala u zero:alg:Xk2(j) ik = 0: (1.1)In aeasta suma se tre u plus urentii e para-

G i

i 3 (4)(1)

(2)

(3)

i

i i1 2

4i 5

Fig. 1.7.ses nodul si u minus urentii e intra n nod.Se spune a un graf de urent GI este onsistentdaa valorile intensitatilor din laturile sale satis-fa prima euatie a lui Kirhho (1.1). Conseintaprinipala a primei euatii a lui Kirhho onstan faptul a suma aritmetia a urentilor e intrantr-un nod este egala u suma aritmetia a urenti-lor e parases nodul. Pentru gura 1.7 se poatearma a:{ pentru nodul (1): i4 = i1 + i3;{ pentru nodul (3): i4 + i5 = 0.Prin saderea aestor relatii rezulta:i5 = i1 + i3 sau i1 + i3 + i5 = 0:Se onstata a suma algebria a urentilor e parases o suprafata nhisa este nula. Aeasta armatie este o alta onseinta a primei euatii a lui Kirhho:alg:Xk2fjg ik = 0: (1.2)S-a notat u fjg setiunea j, are reprezinta o multime de laturi prin elimina-rea arora graful iruitului (initial onex) sa devina neonex, iar reintroduereaoriarei laturi n graf sa restabileasa onexiunea grafului. Setiunea reprezinta,3

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEdin puntul de vedere al teoriei grafurilor o suprafata nhisa, urmand a laturileunei setiuni sa e laturile grafului intersetate de aea suprafata nhisa.Suprafata nhisa se onsidera orientata n sensul normalei exterioare, urmanda pe laturile unei setiuni sa oexiste sensul de referinta al urentului din gra-ful GI si sensul de orientare al suprafetei (din interior spre exterior). In sumaalgebria (1.2) se tre u plus urentii din laturile setiunii, la are sensul dereferinta al urentului oinide u sensul de orientare al setiunii (urentii eparases setiunea) si se tre u minus urentii din laturile setiunii la are sensulde referinta al urentului este opus sensului de orientare al setiunii (urentii eintra n setiune).E ku

u AB

A BFig. 1.8.2. Tensiunea eletria este o marime zia salara(pozitiva sau negativa) asoiata unei perehi ordonate deborne. Ea se noteaza u u (sau U, daa este onstanta ntimp) si se masoara n volti [V. Pentru ordonarea pere-hii de borne se utilizeaza "sensul de referinta al ten-siunii" (g. 1.8), are reprezinta o urba orientata avanda extremitati bornele ntre are se aluleaza tensiunea.Shimbarea sensului de referinta al tensiunii determinashimbarea semnului tensiunii; astfel, pentru gura 1.9se poate srie: u1 = u2:Tensiunea se masoara u un aparat dipolar numitu 1u 2

A BFig. 1.9. voltmetru, are se oneteaza n iruit astfel nat bor-nele sale sa e puse n ontat u puntele ntre are sedoreste a se determina tensiunea. Voltmetrul masoaratensiunea orientata de la borna "plus" la borna sa "mi-nus".Se poate onsidera a eare sens de referinta pen-u 5

u 2

u 3

u 4

u 1

(4)

(3)

(2)

(1) Fig. 1.10. tru tensiune reprezinta un simbol pentru voltmetru, in-diand felul n are aesta este montat n iruit.Pentru reprezentarea tensiunilor la bornele elemen-telor dipolare ale unui iruit eletri se utilizeaza grafulde tensiune GU (g. 1.10), are este un graf orientat ulaturile orientate onform sensurilor de referinta ale ten-siunilor eletrie.Tensiunea eletria ind o marime zia asoiata uneiperehi de borne, are sens sa se vorbeasa despre tensiu-nea ntre doua noduri ntre are nu exista onetat niiun element dipolar. De exemplu, u32 este tensiunea ntre nodurile (3) si (2) dingura 1.10. 4

1.1. ECUATIILE LUI KIRCHHOFFGraful de tensiune GU poate extins pana la un graf omplet e ontine olatura ntre oriare perehe de noduri.Se va evita utilizarea expresiilor: "tensiunea dintr-un iruit", "tensiuneadintr-un element de iruit", a

eptate ind expresiile: "tensiunile unui iruit","tensiunea la bornele unui element de iruit". Se reomanda evitarea dubleisageti pentru mararea unei tensiuni (g. 1.11.a), preferandu-se nlouirea usimpla sageata (g. 1.11.b). Tensiunile unui iruit sunt supuse restritiilor gu-vernate de a doua euatie a lui Kirhho. Aeasta euatie se refera la oneptula. b.

u u

+ -Fig. 1.11.de bula, e reprezinta o multime de laturi are alatuies o urba nhisa orien-tata u un sens de parurs.Portiunea de bula uprinsa ntre doua no-,

)

Sensul de par-curs al buclei [j]

referinta al tensiunii u k

u m

u k

u 2u 1

Sensul de Fig. 1.12.duri su

esive se identia u latura orespunza-toare din graful de tensiune GU , urmand ape aea latura sa oexiste sensul de referintaal tensiunii si sensul de parurs al bulei (eledoua sensuri putand identie sau nu).A doua teorema a lui Kirhho armaa:suma algebria a tensiunilor laturilor uneibule este egala u zero:alg:Xk2[juk = 0: (1.3)In aeasta suma, se tre u plus tensiunile e au sen-

AB

u

u

uu

u

u 1

5

32

4

6Fig. 1.13.sul de referinta identi u sensul de parurs al bulei (u1,uk n gura 1.12), si u minus tensiunile e au sensul dereferinta opus sensului de parurs al bulei (u2, um ngura 1.12).Se spune a un graf de tensiune GU este onsistentdaa valorile tensiunilor laturilor satisfa a doua euatiea lui Kirhho (1.3). O onseinta a elei de-a douaeuatii a lui Kirhho (1.3) este faptul a tensiunea ntreele doua noduri este egala u suma algebria a tensiunilor de pe o ale orientatae leaga ele doua noduri, indiferent are este aeasta ale. De exemplu, n gura5

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE1.13: u1 = u2 + u3 u4;u1 = u5 + u6:O alta onseinta onsta n faptul a earui nod al unei retele i se poateasoia o marime zia, numita potential eletri are este denita a tensiuneade la nodul respetiv la un nod de referinta marat a n gura 1.14.vi = ui0 ; vj = uj0:Potentialul se masoara, a si tensiunea, u voltmetrul, onetand borna sa"minus" la nodul de referinta. Potentialul nodului de referinta este prin denitienul. Tensiunea ntre doua noduri uij se exprima, on-i0u j0u

nodul dereferinta

u ij

(j)(i)

(0)

i jv v

Fig. 1.14. form primei onseinte a teoremei a doua Kirhho,a diferenta dintre potentialul nodului de pleare vi sipotentialul nodului de sosire vj.uij = vi vj: (1.4)La shimbarea nodului de referinta se modia toatepotentialele (printr-o translatie) dar tensiunile ramaninvariante la aeasta transformare. Din aest motiv sespune a potentialele sunt denite pana la o onstantaaditiva.In ontinuare sunt prezentate o serie de denitii utile apliarii euatiilorKirhho.Se numeste arbore al unui graf G, un subgraf GA u N noduri ale arui laturinu formeaza bule (g. 1.15).ramura

Graf Arbore Coarbore

G GA CG

coarda

)

)

Fig. 1.15. Fig. 1.16.Se numeste oarbore al grafului G, subgraful GC e se obtine prin eliminarealaturilor unui arbore. Laturile arborelui se numes ramuri iar laturile oarboreluise numes oarde. Un graf G u L laturi si N noduri ontine N-1 ramuri si L-N+1oarde. Un graf poate avea mai multi arbori si oarbori(g. 1.16).6

1.1. ECUATIILE LUI KIRCHHOFFTensiunile din ramuri sunt independente din puntul de vedere al elei de-adoua euatii Kirhho (pot alese arbitrar fara sa ontrazia euatia, deoareearborele nu ontine nii o bula).Tensiunile din oarde pot alulate n mod univo, apliand a doua euatieKirhho, n funtie de tensiunile din arbore, deoaree eare oarda nhide ateo bula.Aeste observatii permit sa se arme a pentru o retea se pot srie (L-N+1)euatii Kirhho II independente, pe un sistem de bule fundamentale, ge-nerate eare de ate o oarda si n rest de ramuri.Curentii din laturile unui oarbore sunt independenti din puntul de vedere alprimei euatii Kirhho (pot alesi arbitrar fara sa ontrazia euatia KirhhoI, deoaree nu se pot forma setiuni doar din oarde).Curentii din arbore pot alulati n mod univo n funtie de urentii dinoarbore, apliand prima euatie Kirhho, deoaree eare ramura genereaza osetiune alatuita din aea ramura si n rest din oarde.Aeste observatii permit sa se arme a pentru o retea se pot srieN-1 euatiiKirhho I independente pe un sistem de setiuni fundamentale, generateeare de ate o ramura si n rest de oarde. Euatiile Kirhho pentru urenti,srise n N-1 noduri distinte, indiferent are sunt aestea, alatuies un sistemde euatii liniar independente.

7

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEPROBLEME1.1.1. Sa se reprezinte grafurile iruitelor din gura 1.1.1 si sa se determineparametrii topologii L si N.b. c.a.

d. f.e.Fig. 1.1.1.1.1.2. Sa se determine lasele de ehivalenta n multimea de grafuri din gura1.1.2.G 1 G 3G 2 G 4

G 5 G 6 G 7Fig. 1.1.2.1.1.3. Sa se determine lasele de ehivalenta ale multimii de grafuri orientatedin gura 1.1.3.1.1.4. Sa se aluleze intensitatile urentilor din grafurile de urent GI repre-zentate n gura 1.1.4, presupunand a ele sunt asoiate aeluiasi iruit eletri.8

1.1. ECUATIILE LUI KIRCHHOFFG

1 G 3G 2

G 4 G 5 G 6Fig. 1.1.3.a. b. c.

I II

4I

I =-1A5 I =1A1

I =-2A4 I =4A3

I =-4A2

I =6-2A

II

5I 16

4

I2

I 3

I5 16I

I

32Fig. 1.1.4.1.1.5. Sa se ompleteze grafurile de urent din gura 1.1.5 apliand primaeuatie Kirhho si sa se verie apoi euatiile pentru diferite setiuni.

-5A 3A

1A -2A

2A

-1A-3A-1A

d. e. f.

2A

1A

5A3A -1A

2A

1A

4A

1A -3A

4A

2A

c.a. b.Fig. 1.1.5.1.1.6. Sa se aluleze tensiunile eletrie din grafurile GU prezentate n gura1.1.6, presupunand a grafurile sunt asoiate aeluiasi iruit eletri.1.1.7. Sa se ompleteze grafurile de tensiune din gura 1.1.7 si sa se verierezultatul apliand a doua euatie Kirhho pe alte bule ale iruitului.1.1.8. Sa se aluleze tensiunile din grafurile prezentate n gura 1.1.8 nfuntie de potentialele nodurilor. 9

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEU 5U 4

U 2

3U

U 1

U 2U 1 U 5

U 4 3U3V

6V

2V

(4)

(2)

(1)

(3)

5V1V

c.b.

(1)

(2)

(4)

(3)

(1) (3)(2)

(4)

a. Fig. 1.1.6.5V

3V

2V

-2V 2V

3V

3V 2V 2V

2V3V

3V

-5V

-1V 2V

3V

a. b. c.

f.e.d. Fig. 1.1.7.-5V0V 0V 2V

-3V

0V

2V

5V

3V2V -3V 3V

a. b. c.Fig. 1.1.8.1.1.9. Sa se aluleze potentialele nodurilor la grafurile de tensiune prezen-tate n gura 1.1.9 si sa se ompleteze aeste grafuri.1.1.10. Sa se aluleze potentialele nodurilor la grafurile de tensiune din -gura 1.1.10, presupunand, pe rand, eare nod a nod de referinta.1.1.11. Sa se determine toti arborii grafurilor din gura 1.1.11.10

1.1. ECUATIILE LUI KIRCHHOFF3V 3V2V

-5V

2V2V

5V3V

a. b. c.Fig. 1.1.9.3V

5V

2V

-1V

a. b. c.

5V2V

5V

3V

2VFig. 1.1.10.a. b. c. d.

e. f.Fig. 1.1.11.11

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE1.1.12. Considerand a grafurile din gura 1.1.12, sunt grafuri de urent, sase aleaga pe oardele unui oarbore urenti arbitrari si sa se aluleze urentiidin ramuri.a. b. c. d. e.Fig. 1.1.12.1.1.13. Presupunand a grafurile din gura 1.1.13, sunt grafuri de tensiune,sa se aleaga pe ramurile unui arbore tensiuni arbitrare si sa se aluleze tensiuniledin oarde. Sa se verie rezultatele apliand euatia Kirhho II pe alte buledeat ele fundamentale.

a. b. c.

d. e.Fig. 1.1.13.1.1.14. Sa se determine are din grafurile reprezentate n gura 1.1.14 suntgrafuri de urent onsistente (la are euatiile Kirhho I sunt veriate).2A

7A

4A2A

5A3A

2A

3A4A 5A

a. b. c.

-3A-3A2A

-1A1A

0AFig. 1.1.14.12

1.1. ECUATIILE LUI KIRCHHOFF1.1.15. Sa se determine are din grafurile reprezentate n gura 1.1.15 suntgrafuri de tensiune onsistente (la are euatiile Kirhho II sunt veriate).a. b. c.

2V

3V -1V7V

3V

3V

5V 4V3V

2V2V

-2V

-2V5V-2VFig. 1.1.15.

13

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE1.2 Puteri transferate de elementele de iruitBREVIARElementele dipolare de iruit eletri sunt apabile sa absoarba, de la reteauadin are fa parte, energie eletria pe are o pot nmagazina sau disipa sub alteforme de energie; deasemenea ele pot livra energie eletria iruitului. Transferulde energie eletria se realizeaza pe la borne iar puterea transferata de unelement dipolar (masurabil n Wati) satisfae relatia:p = ui: (1.5)Pentru a unoaste sensul transferului energeti (de la element spre retea sauinvers) este neesara unoasterea semnului produsului ui si a modului n are aufost alese sensurile de referinta ale tensiunii u si ale urentului i.Cele patru moduri n are se pot asoia sensurile de referinta ale tensiunii siurentului la un element dipolar se mpart n doua ategorii numite reguli deasoiere a sensurilor.Regula de asoiere a sensurilor de la reeptoare (g. 1.17) orespunde azuluin are tensiunea si intensitatea urentului au aelasi sens de referinta fata deborne. In aest az sensul onventional al puterii p este de la iruit spre element.p p

u

iA B

u

iA BFig. 1.17.Regula de asoiere a sensurilor de la generatoare (g. 1.18) orespunde azuluin are tensiunea si intensitatea urentului au sensuri de referinta opuse fata deborne. In aest az sensul onventional al puterii p este de la element atre iruit.

p p

u

iA B

u

iA BFig. 1.18.Determinarea sensului real al transferului de energie se fae dupa urmatoarele14

1.2. PUTERI TRANSFERATE DE ELEMENTELE DE CIRCUITreguli, reprezentate n gura 1.19.semnul lui p=ui regula de asoiere sensul real de transfer alputerii+ reeptoare absorbita de element+ generatoare produsa de element- reeptoare produsa de element- generatoare absorbita de element|p|=|ui| |p|=|ui| |p|=|ui| |p|=|ui|

iu

ui>0 ui

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEprodusul ukik se masoara tot n Wati dar nu reprezinta o putere transferata i o"pseudoputere". In onluzie se poate spune a teorema lui Tellegen garanteazanu numai bilantul puterilor, i si pe el al pseudoputerilor.PROBLEME1.2.1. Sa se determine regulile de asoiere a sensurilor la dipolii din gura1.2.1 si sa se aluleze puterile transferate si sensul aestora.1A

3V

2A

-5V

-4A

-6V

-2A

4V

3A

6V

2A

10V

-1A

-2V

-2A

-4V

a. b. c. d.

e. f. g. h.Fig. 1.2.1.1.2.2. Sa se aluleze intensitatile urentilor la dipolii din gura 1.2.2.V=8V

B

AV=-3V

20W10W 30W10W

5V 2V-4V

a. b. c. d.Fig. 1.2.2.1.2.3. Sa se aluleze tensiunile la bornele dipolilor din gura 1.2.3.1.2.4. Sa se ompleteze grafurile de urent GI si grafurile de tensiune GUdin gura 1.2.4 si sa se indie regulile de asoiere a sensurilor pentru laturilegrafurilor. Sa se ompare suma puterilor absorbite de elemente u suma puterilor16

1.2. PUTERI TRANSFERATE DE ELEMENTELE DE CIRCUIT10W

d.

-2A10A

3W

c.

5W

-1A

b.

20W

2A

a. Fig. 1.2.3.generate de elemente, pentru eare perehe de grafuri.10V

2A4A

2V

-5V

10V-1A2A

5A

10V

-20V

3V2A 1A

3A

5A

-2A

3A

a. b.

2V 3V

c. d.Fig. 1.2.4.1.2.5. Sa se genereze un graf G u L laturi si N noduri. Pe un arbore al aestuigraf sa se aleaga tensiuni arbitrare si sa se ompleteze graful Gv. Sa se aleagaurenti arbitrari n laturile unui oarbore si sa se ompleteze graful de urent GI ,astfel nat sensurile de referinta sa e asoiate dupa regula de la generatoare.Sa se verie teorema Tellegen determinandu-se pentru eare latura sensul realal puterii.Apliatie:a) N=3, L=6;b) N=4, L=7;) N=5, L=8.17

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE1.3 Matrie de inidentaBREVIARPentru reprezentarea numeria a struturii iruitelor eletrie se utilizeazamatriele de inidenta (sau apartenenta). Aestea se numes si matrie topo-logie deaoree desriu topologia iruitelor si au valori ale elementelor 0, +1sau 1. In ontinuare, se adopta urmatoarea onventie de numerotare a laturi-lor: primele (N-1) laturi apartin unui arbore, iar elelalte (L-N+1) laturi apartinunui oarbore.Matriea de inidenta a laturilor la noduri A0 este o matrie u Loloane si N linii avand elementele:aij = 1, daa latura j iese din nodul (i);aij = 1, daa latura j intra n nodul (i);aij = 0, daa latura j nu este inidenta la nodul (i).Matriea A0 se desompune n doua submatrii:A0 = [A0a; A0;n are A0a ontine primele (N-1) oloane, asoiate laturilor din arbore, iar A0

ontine ultimele (L-N+1) oloane, asoiate laturilor din oarbore. Daa din ma-triea A0 se elimina o linie, se obtine o matrie A numita matrie redusa deapartenenta a laturilor la noduri.Matriea de inidenta a laturilor la bulele fundamentale B este omatrie u L oloane si (L-N+1) linii avand elementele:bij = 1, daa latura j apartine bulei [i si are sensul de referinta identi usensul de parurs al bulei;bij = 1, daa latura j nu apartine bulei [i si are sensul de referinta opussensului de parurs al bulei;bij = 0, daa latura j nu apartine bulei [i.Matriea B se desompune n doua submatrii:B = [Ba; B;n are Ba ontine primele (N-1) oloane, asoiate laturilor din arbore, iar B

ontine (L-N+1) oloane asoiate oarborelui. Daa bulele fundamentale, gene-rate eare de atre o oarda, sunt numerotate n ordinea data de oardele arele genereaza, atuni: B = [Ba; U (1.8)unde U este matriea unitate de ordinul (L-N+1).Matriea de inidenta a laturilor la setiunile fundamentale D esteo matrie u L oloane si (N-1) linii avand elementele:dij = 1, daa latura j apartine setiunii fig si are sensul de referinta identi

u sensul de orientare a setiunii; 18

1.3. MATRICE DE INCIDENT Adij = 1, daa latura j apartine setiunii fig si are sensul de referinta opussensului de orientare a setiunii;dij = 0, daa latura j nu apartine setiunii fig.Matriea D se desompune n doua submatrii:D = [Da...D;n are Da ontine (N-1) oloane, orespunzatoare laturilor din arbore, iar Dare (L-N+1) oloane, orespunzatoare laturilor din oarbore. Daa setiunilefundamentale, generate eare de ate o ramura, sunt numerotate u numereleramurilor e le genereaza, atuni: D = [U ...D; (1.9)n are U este matriea unitate de ordinul (N-1).Matriele A, B si D au liniile independente, rangul matriilor A si D este(N-1) iar rangul matriei B este (L-N+1).Matriea B este ortogonala fata de matriele A si D:BAT = 0; BDT = 0; (1.10)n are s-a notat u MT transpusa matriei M.Daa B = U si Da = U atuni:Ba = DT = F: (1.11)Submatriea F = Ba u (L-N+1) linii si (N-1) oloane este matriea deapartenenta a ramurilor arborelui la bulele fundamentale, egala si de semn opusu transpusa matriei de apartenenta a orzilor la setiunile fundamentale si senumestematrie redusa de onexiune (sau matriea apartenentelor esentiale).Prima euatie a lui Kirhho se srie matrieal, pentru noduri, sub forma:Ai = 0; (1.12)iar pentru setiunile fundamentale ale unui iruit sub forma:Di = 0; (1.13)n are matriele A si D sunt matriele de apartenenta ale grafului de urent iari = [i1; i2; :::; iLT este vetorul urentilor din laturile iruitului.A doua euatie a lui Kirhho se srie matrieal, pentru bulele fun-damentale ale unui iruit, sub forma:Bu = 0; (1.14)19

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEn are matriea B este matriea de apartenenta pentru graful de tensiune iaru = [u1; u2; :::; uLT este vetorul tensiunilor din laturile iruitului.Matriele oloana, u L elemente, ale urentilor i si tensiunilor u se pot des-ompune: i = " iai # ; u = " uau # ;n are ia si ua reprezinta urentii, respetiv tensiunile din ramuri, iar i si ureprezinta urentii, respetiv tensiunile din oarde.Intr-un graf onsistent de urent, urentii din arbore se exprima, n bazarelatilor (1.13) si (1.9), n funtie de ei din oarbore, u relatia (valabila pentruDa = U): ia = Di sau i = BT i: (1.15)Ultima relatie este valabila daa graful de urent este ehivalent u graful detensiune (asoierea sensurilor de referinta este fauta dupa regula de la reeptoarepentru toti dipolii).Intr-un graf onsistent de tensiune, tensiunile din oarbore se exprima, n bazarelatilor (1.14) si (1.8) n funtie de ele din arbore, u relatia (valabila pentruB = U): u = Baua sau u = DTua: (1.16)Ultima relatie este valabila doar daa graful de tensiune este ehivalent u elde urent.Tensiunile laturilor se exprima n funtie de potentialele nodurilor u relatia(1.4), are pentru ntreg iruitul are urmatoarea forma matrieala, valabilaatuni and GU si GI sunt ordonate similar:u = ATv; (1.17)n are v = [v1; v2; :::; vN1T este vetorul potentialelor nodurilor, presupunandnodul N a nod de referinta.Se poate arma a oriare din relatiile (1.12), (1.13), (1.15) reprezinta formematrieale ehivalente al euatiilor Kirhho I, iar relatile (1.14), (1.16), (1.17)reprezinta forme matrieale ale euatilor Kirhho II.Teorema lui Tellegen (1.6) apata urmatoarea forma matrieala:uT i = 0: (1.18)20

1.3. MATRICE DE INCIDENT APROBLEME1.3.1. Sa se srie matriele de apartenenta A, B, D pentru grafurile repre-zentate n gura 1.3.1.a. b. c. d.

f.e. Fig. 1.3.1.1.3.2. Sa se stabileasa matriele reduse de onexiune pentru grafurile pre-zentate n gura 1.3.1.1.3.3. Sa se reprezinte grafurile e au urmatoarele matrie de apartenenta:A = 26664 1 1 0 1 0 01 0 1 0 0 10 1 1 0 0 00 0 0 1 1 0 37775B = 264 1 0 1 1 0 1 0 00 1 1 0 1 0 0 10 0 0 1 1 0 1 0 375D = 26666664 1 0 0 0 0 1 1 0 00 1 0 0 0 1 1 0 00 0 1 0 0 1 0 1 00 0 0 1 0 1 0 1 10 0 0 0 1 1 0 1 1 37777775F = 26664 0 0 0 0 0 10 1 0 0 1 11 0 1 0 1 01 0 0 1 0 0 377751.3.4. Sa se aluleze intensitatile urentilor din grafurile de urent reprezen-tate n gura 1.1.5, utilizand matriele D si B.21

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE1.3.5. Sa se aluleze tensiunile din grafurile de tensiune reprezentate n -gura 1.1.7 utilizand matriele Ba si D.1.3.6. Sa se aluleze tensiunile din grafurile de tensiune reprezentate n -gura 1.3.2 n funtie de potentialele nodurilor, utilizand matriea de apartenentaA.2V 3V 5V 2V 3V -3V

5V

2V-4V

a. b. c.Fig. 1.3.2.1.3.7. Pornind de la matriea A sa se aluleze matriile de apartenenta A',B si D. A = 26664 1 0 1 0 0 1 00 1 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 00 0 0 1 0 0 1 37775A = 264 1 0 1 1 00 1 0 1 00 0 1 0 1 375A = " 1 1 1 0 00 1 0 0 1 #22

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUIT1.4 Elemente ideale de iruitBREVIARElementele ideale de iruit reprezinta onepte fundamentale ale teoriei iru-itelor eletrie, ele ind denite a elementedipolare e impun o anumita restritietensiunii si intensitatii urentului, restritie e poarta numele de euatia on-stitutiva arateristia sau de funtionare a elementului ideal. Elementeleideale, prin faptul a au euatiile arateristie extrem de simpliate, nu tre-buie onfundate u elementele reale de iruit, n shimb sunt utile n modelareaaestora.1. Rezistorul ideal este un element dipolar la are tensiunea la borneeste funtie univoa de intensitatea urentului e-l strabate (rezistorul ontrolatn urent) sau la are intensitatea urentului este funtie univoa de tensiune(rezistorul ontrolat n tensiune). Daa relatia dintre tensiune si urent este orelatie liniara, atuni elementul se numeste rezistor liniar. In gura 1.20.a esteprezentat simbolul rezistorului neliniar, iar n gura 1.20.b este prezentat simbolulrezistorului liniar.i

u

i

u

a. b.Fig. 1.20.Euatia onstitutiva a rezistorului neliniar, invariant n timp este:u = f(i); (1.19)pentru azul rezistorului ontrolat n urent, si respetivi = g(u); (1.20)pentru azul rezistorului ontrolat n tensiune. In azul rezistorului liniar:u = Ri;i = Gu: (1.21)Marimile R si G = 1=R se numes rezistenta, respetiv ondutanta rezistoruluisi sunt parametrii arateristii ai elementului. Relatiile (1.19) si (1.21) suntvalabile pentru sensurile de referinta prezentate n gura 1.20. In azul shimbarii23

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEi

u u

i

a. b.Fig. 1.21.sensurilor de referinta se modia n mod orespunzator euatiile. De exemplu,n azul prezentat n gura 1.21: Euatiile de funtionare au forma :u = f(i); (1.22)pentru rezistorul neliniar ontrolat n urent,i = f(u); (1.23)pentru rezistorul neliniar ontrolat n tensiune si:u = Ri;i = Gu; (1.24)pentru rezistorul liniar.Cazuri partiulare:a) rezistorul u rezistenta nula R = 0, are are euatia de funtionare:u = 0; (1.25)se numeste ondutor perfet si are simbolul din gura 1.22.a;b) rezistorul u ondutanta nula G = 0, are are euatia de funtionare:i = 0; (1.26)se numeste izolator perfet si are simbolul prezentat n gura 1.22.b.a. b.Fig. 1.22.Puterea absorbita de un rezistor liniar este:p = ui = Ri2 = Gu2 (1.27)24

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITsi este pozitiva daa rezistenta rezistorului este pozitiva. Rezistoarele u rezisten-ta pozitiva R > 0 sunt elemente pasive disipative.2. Bobina ideala este un element dipolar la are tensiunea la borne esteegala u derivata n raport u timpul a unei funtii. Valoarea ' a aestei funtiise numeste ux de intensitatea urentului eletri prin element. Daa uxuldepinde liniar de intensitatea urentului, atuni bobina se numeste liniara, azn are tensiunea la borne este proportionala u viteza de variatie n timp aurentului. Simbolul bobinei neliniare este prezentat n gura 1.23.a, iar el albobinei liniare n gura 1.23.b.i

u

i

u

a. b.Fig. 1.23.Euatia onstitutiva a bobinei neliniare invariante n timp este:u = d'(i)dt ; (1.28)iar n azul partiular al bobinei liniare ' = Li, dei:u = Ldidt; (1.29)n are L este parametrul arateristi al bobinei, numit indutivitate. Euatiile(1.28) si (1.29) sunt asoiate sensurilor de referinta din gura 1.23 si trebuiesmodiate o data u modiarea sensurilor de referinta. De exemplu, pentrugura 1.24 ele au forma:i

u

i

u

a. b.Fig. 1.24.u = d'(i)dt ; (1.30)25

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEn azul bobinei neliniare si: u = Ldidt; (1.31)n azul bobinei liniare.In azul n are urentul este onstant n timp, bobina ideala se omporta aun ondutor perfet (u = 0), situatie e are lo si atuni and indutivitateaeste nula.Puterea absorbita de o bobina ideala este:p = ui = Lididt = ddt Li22 ! = dWdt ; (1.32)pozitiva (bobina absoabe energie) sau negativa (bobina genereaza energie), dupaum energia indutorului W = Li2=2 reste sau sade n timp. Din aest motivse spune a bobina este element pasiv, aumulator de energie, avand a marimede stare intensitatea urentului.3. Condensatorul ideal este un element dipolar la are intensitatea uren-tului este egala u derivata fata de timp a unei funtii. Valoarea aestei funtiiq se numeste sarina de tensiunea eletria la bornele elementului. Daa sarinadepinde liniar de tensiune, atuni ondensatorul se numeste liniar, az n areurentul este proportional u viteza de variatie a tensiunii la borne. Simbolulondensatorulului neliniar este prezentat n gura 1.25.a, iar el al ondensato-rului liniar n gura 1.25.b.i

u

i

u

a. b.Fig. 1.25.Euatia onstitutiva a ondensatorului neliniar invariant n timp este:i = dq(u)dt ; (1.33)iar a ondensatorului liniar invariant n timp este:i = Cdudt ; (1.34)n are C este parametrul arateristi al ondensatorului numit apaitate. Eua-tiile de funtionare sunt valabile n azul sensurilor de referinta prezentate n26

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITi

u

i

u

a. b.Fig. 1.26.gura 1.25 si trebuies modiate orespunzator, n azul shimbarii sensurilorde referinta. De exemplu, pentru gura 1.26 euatiile sunt:i = dq(u)dt ; (1.35)pentru ondensatorul neliniar si: i = Cdudt ; (1.36)n azul ondensatorului liniar.Daa tensiunea la bornele ondensatorului este onstanta n timp, atuniaesta se omporta a un izolator perfet (i = 0), situatie e are lo si atuniand apaitatea ondensatorului este nula.Puterea absorbita de un ondensator ideal este:p = ui = Cududt = ddt Cu22 ! = dWdt ; (1.37)pozitiva (ondensatorul absoarbe energie) sau negativa (ondensatorul debiteazaenergie), dupa um energia ondensatoruluiW = Cu2=2 reste sau sade n timp.Condensatorul este un element pasiv aumulator de energie, avand a marime destare tensiunea la borne.4. Generatorul ideal de tensiune este un element pasiv dipolar la aretensiunea la borne nu depinde de intensitatea urentului prin element (putand n shimb funtie de timp). Simbolurile utilizate pentru generatorul ideal detensiune sunt prezentate n gura 1.27; borna din dreapta se numeste borna"plus", iar ea din stanga borna "minus".u

e

ua. b.

eFig. 1.27.27

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEEuatia onstitutiva a generatorului ideal de tensiune, pentru sensul tensiuniiadoptat n gura 1.27, este: u = e(t); (1.38)n are marimea e este parametrul arateristi al generatorului ideal de tensiunesi se numeste tensiune eletromotoare. Daa tensiunea la borne are sensul dereferinta de la borna minus la borna plus a generatorului a n gura 1.28, atunieuatia de funtionare devine: u = e(t): (1.39)u

eFig. 1.28.Generatorul de tensiune eletromotoare nula are euatia de funtionare u = 0si n onseinta se omporta a un ondutor perfet.Puterea transferata pe la bornele unui generator ideal de tensiune este:p = ui = ei; (1.40)putand pozitiva sau negativa, n funtie de sensul urentului. Deoaree aestelement poate produe energie se spune a generatorul ideal de tensiune este unelement ativ.5. Generatorul ideal de urent este un element dipolar la are intensitateaurentului e-l strabate nu depinde de tensiunea la bornele elementului. Simbolulutilizat pentru generatorul ideal de urent este prezentat n gura 1.29 (borna dindreapta se numeste borna "plus", iar borna din stanga se numeste borna "minus"a generatorului).j iFig. 1.29.Euatia onstitutiva a generatorului ideal de urent, pentru sensul de referintaadoptat n gura 1.29, este: i = j(t); (1.41)n are marimea j este parametrul arateristi al generatorului ideal de urentsi se numeste urent eletromotor. Daa intensitatea urentului are sensul dereferinta opus dublei sageti a n gura 1.30, atuni euatia de funtionare devine:i = j(t): (1.42)28

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITi

jFig. 1.30.Generatorul ideal de urent e are urentul eletromotor nul are euatia defuntionare i = 0 si n onseinta se omporta a un izolator perfet.Puterea transferata pe la borne de un generator ideal de urent este:p = ui = uj; (1.43)putand negativa sau pozitiva, n funtie de tensiunea apliata la borne. Ge-neratorul ideal de urent este dei un element ativ din punt de vedere energeti.6. Generatoarele omandate sunt generatoare ideale de urent sau ten-siune al aror urent eletromotor respetiv tensiune eletromotoare sunt funtiide intensitatea urentului sau de tensiunea eletria dintr-o latura a iruitului,alta deat aeea n are se aa elementul omandat. Se deosebes patru tipuride surse omandate liniar (u simbolurile din gura 1.31), ale aror euatii defuntionare sunt: u2 = i1; (1.44)pentru sursa de tensiune omandata n urent (g 1.31.a),u2 = u1; (1.45)pentru sursa de tensiune omandata n tensiune (g 1.31.b),i2 = i1; (1.46)pentru sursa de urent omandata n urent (g 1.31.), sii2 = i1: (1.47)pentru sursa de urent omandata n tensiune (g 1.31.d).Pentru ele patru tipuri de surse omandate, parametrii arateristii sunt:[ rezistenta de transfer; oeientul de transfer al tensiunii; oeientulde transfer al urentului si [S ondutanta de transfer. Coeientii de transfer si sunt adimensionali.7. Bobinele uplate reprezinta un sistem de bobine u proprietatea auxul din eare depinde de urentii prin toate bobinele sistemului. Euatia defuntionare a bobinei k dintr-un sistem de m bobine uplate este:uk = ddt'(i1; i2; :::; im): (1.48)29

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEj

i

d.

e

i

a.

e u

b.

i i

j

c.

u u2

1

2

21 2

1

u 1Fig. 1.31.In azul bobinelor uplate liniar, uxul este o ombinatie liniara a urentilor,iar euatia de funtionare devine:uk = mXj=1Lkj dijdt ; (1.49)n are suma este aritmetia pentru orientarile prezentate n gura 1.32, si anumedaa asoierea sensurilor se fae dupa regula de la reeptoare si daa toti urentiiau sensurile de referinta intrand n borna polarizata. Parametrii unui sistem debobine liniare uplate sunt indutivitatile Lkj e alatuies o matrie patratade ordin m numita matriea indutivitatilor. Termenii diagonali ai matriii Lse numes indutivitati proprii, iar termenii nediagonali se numes indutivitatimutuale.*

u

i1 ikij i

k

* * *

i2

*

mFig. 1.32.Daa sensurile de referinta nu sunt onform elor din gura 1.32, atunieuatia de funtionare se modia n mod orespunzator, suma devenind o sumaalgebria. 30

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITRegula de determinare a semnului termenului j din aeasta suma, sebazeaza pe observatia a, orie urent ij are intra intr-o borna polarizata indue,prin uplaj, n bobina k o tensiune la borne Lkj(dij=dt), u sensul de referintaorientat de la borna polarizata atre ealalta borna (prin abuz de limbaj se spunea ea intra n borna polarizata). Daa intensitatea ij iese din borna polarizata,atuni ea indue n bobina k o tensiune la borne Lkj(dij=dt) u sensul de referintaorientat de la ealalta borna spre borna polarizata (prin abuz de limbaj se spunea iese din borna polarizata). Aeasta regula de semn este exempliata n gura1.33 n are se onstata a semnul tensiunii induse depinde de sensul de referintaal urentului indutor (i1) dar nu depinde de sensul de referinta al urentuluiindus (i2).U12

L12i1U12

L12i1

*

*

*

*

a. b.Fig. 1.33.Marajele pentru bornele polarizate nu au semniatie zia dar ele sunt ne-esare n azul sistemelor de bobine uplate, deoaree ele denes valoarea (maiexat semnul) indutivitatilor mutuale, urmand a shimbarea unei borne po-larizate la bobina k sa determine modiarea semnului tuturor indutivitatilormutuale (de uplaj) ale bobinei k (sunt afetate linia k si oloana k din matriea[Lij, a indutivitatilor u exeptia termenului diagonal).Formularea oreta a iruitelor u elemente ideale. Cu ajutorul ele-mentelor ideale de iruit prin onexiuni pe la borne se alatuies iruite ele-trie. Nu orie mod de onexiune a elementelor ideale este permis n teoria iru-itelor; trebuie avut grija a euatiile de funtionare sa e ompatibile u euatiileKirhho. Daa ele sunt inompatibile, analiza iruitului este fara sens, nee-xistand o solutie are sa verie euatiile iruitului. Daa un iruit eletri

ontine generatoare ideale de tensiune e alatuies bule, atuni, pentru valoriarbitrare ale tensiunilor eletromotoare, aestea pot n ontraditie u euatiaa doua a lui Kirhho. Daa un iruit ontine setiuni alatuite din generatoareideale de urent, atuni, pentru valori arbitrare ale urentilor eletromotori, aes-tea pot n ontraditie u prima euatie a lui Kirhho. Ciruitele e ontinbule de generatoare ideale de tensiune sau setiuni de generatoare ideale de u-rent se numes iruite u generatoare n exes. Atuni and generatoarele nexes ontravin euatiilor lui Kirhho iruitul este inompatibil. Chiar daa31

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEgeneratoarele n exes nu ontravin euatiilor lui Kirhho, totusi analiza unuiastfel de iruit nu poate ompleta deoaree el nu are solutie unia: urentii dingeneratoarele ideale de tensiune n exes si tensiunile din generatoarele ideale deurent n exes sunt marimi arbitrare (nu pot determinate din euatiile irui-tului). In aest az se spune a iruitul este nedeterminat. Conditia a ntr-uniruit sa nu existe generatoare n exes este a iruitul sa aiba un arbore nramurile aruia sa se ae toate generatoarele ideale de tensiune, iar generatoareleideale de urent sa se ae n oarbore. La analiza unui iruit n vederea deter-minarii generatoarelor n exes nu trebuie uitat faptul a izolatorul perfet este ungenerator ideal de urent (j = 0), iar ondutorul perfet este un generator idealde tensiune (e = 0). Analiza iruitelor u generatoare ompatibile n exes seredue la analiza iruitelor fara generatoare n exes, prin nlouirea generatoa-relor ideale de tensiune n exes (ate unul pentru eare bula) u generatoareideale de urent, avand urenti eletromotori nedeterminati si prin nlouireageneratoarelor ideale de urent n exes (ate unul pentru eare setiune) ugeneratoare ideale de tensiune avand tensiuni eletromotoare nedeterminate.Bilantul puterilor n retelele eletrie este o onseinta direta a teoremeilui Tellegen si a euatiilor onstitutive ale elementelor si reprezinta euatia deegalitate ntre suma puterilor debitate de generatoarele retelei Pg si puterile ab-sorbite de elementele pasive P. Pentru retelele liniare euatia de bilant este: Pg = P; (1.50)unde: Pg = ngtPk=1 ekik + ngPk=1 ukjk;P = nRPk=1Rki2k + ddt nCPk=1 Cku2k2 + nLPk=1 nLPm=1 Lkmikim2 ; (1.51)n are ngt este numarul generatoarelor ideale de tensiune, ng este numarul ge-neratoarelor de urent, nR este numarul rezistoarelor, nC este numarul ondensa-toarelor, iar nL este numarul bobinelor din retea. Primele doua sume sunt sumealgebrie, onventia de semn ind prezentata n gura 1.34. In azul a. termeniise onsidera u semnul plus, iar in azul b. ei se onsidera u semnul minus.Sumele orespunzatoare rezistoarelor, ondensatoarelor si indutivitatilor pro-prii sunt sume aritmetie dar termenii orespunzatori indutivitatilor mutuale seonsidera n suma algebria, onventia de semn ind semnul plus atuni and eidoi urenti au aeeasi pozitie fata de bornele polarizate (ambii intra sau ambii iesa n gura 1.35.a, 1.35.b) si semnul minus atuni and ei doi urenti au pozitiiinverse fata de bornele polarizate (unul intra si altul iese a n gura 1.35.) .32

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITke

ik

uk

e

ku

ki

k

j k

a. b.

kj Fig. 1.34.*

kmk

k

*

i

L m

m

L

i

LLkm L

*k

k

i*

m

mi

L

*

i

L

*k

k km m

m

LL

i

a. b. c.Fig. 1.35.PROBLEME1.4.1. Sa se reprezinte gra variatia intensitatii i n funtie de tensiunea ula bornele rezistorului neliniar, pentru diverse sensuri de referinta, pornind de lafaptul a graul din gura 1.4.1.a orespunde sensurilor din gura 1.4.1.b.1.4.2. Sa se determine marimile neunosute orespunzatoare rezistoarelorliniare din gura 1.4.2.1.4.3. Sa se aluleze tensiunea u(t) la bornele unei bobine ideale presu-punand a ea este parursa de unul din urentii:a) i(t) = I0sin(!t);b) i(t) = I0et= ;) i(t) = I0;daa uxul bobinei '(i) este dat de una din funtiile:a) ' = a1 artga2i+ L0isin(!0t);b) ' = ia+ bjij;) ' = a th(bi);d) ' = L0i1 + sin(!0t);e) ' = Li: 33

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEu

id.

i

u

u

i

u

i

u

ie.

b. c.

a. Fig. 1.4.1.I=2A

U=?

R=10

a.

U=?

R=5 I=3A

b.U=10V

R=2 I=?

c.

V2

=?

I=3AR=10

V=2V1

V=2V

I=?R=5

V =3V V=-3V21

I=?R=3

1g. h. i.

U=10V

I=2AR=?

e.

R=5

U=20V

I=?

d.U=10V

R=? I=1A

f.Fig. 1.4.2.34

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITSa se exprime tensiunea la bornele bobinei pentru ele patru modalitati deasoiere a sensurilor de referinta ale tensiunii si urentului. Sa se aluleze pute-rea transferata pe la bornele bobinei.1.4.4. Sa se aluleze intensitatea urentului eletri e strabate o bobinaideala, daa aeasta are la borne tensiunea:a) u(t) = U0sin(!t);b) u(t) = U0et= ;) u(t) = U0;d) u(t) = 0;atuni and uxul bobinei '(i) este dat de una din funtiile:a) ' = a artg(bi);b) ' = Li:Sa se aluleze puterea transferata pe la bornele bobinei. Sa se disute rezul-tatul n funtie de onstanta de integrare.1.4.5. Sa se aluleze intensitatea urentului e strabate un ondensator idealalimentat la tensiunea:a) u(t) = U0sin(!t);b) u(t) = U0et= ;) u(t) = U0;atuni and sarina ondensatorului q(u) depinde de tensiunea u onform relatii-lor:a) q = a1 artg(a2u);b) q = au1 + sin(!0t) ;) q = Cu:Sa se aluleze puterea transferata pe la bornele ondensatorului.1.4.6. Sa se aluleze tensiunea la bornele unui ondensator strabatut deurentul:a) i(t) = I0sin(!t);b) i(t) = I0et= ;) i(t) = I0;d) i(t) = 0;presupunand a sarina ondensatorului q(u) depinde de tensiune onformrelatiilor:a) q = a1 artg(a2u);b) q = Cu:Sa se aluleze puterea transferata pe la borne, disutandu-se n funtie deonstanta de integrare. 35

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE1.4.7. Sa se aluleze marimile neunosute la generatoarele ideale prezentaten gura 1.4.3.V=?

E=2V J=2A

I=?

J=1A

I=?

J=?

I=2A

E=?

U=20V

E=?

V=3VV=2V

E=5V

U=?

E=10V

U=?a. b. c. d.

h.g.f.e.

1 2

Fig. 1.4.3.1.4.8. Sa se aluleze puterile transferate pe la bornele generatoarelor dingura 1.4.4 si sa se indie sensul aestora.E=2V

I=1A

U=2V

J=3A

E=5V

I=2A I=5A

E=-10V

J=-1A

U=5V

J=2A

U=3V

a. b. c.

d. e. f.Fig. 1.4.4.1.4.9. Sa se aluleze tensiunile la bornele bobinelor liniare uplate magnetiprezentate n gura 1.4.5.1.4.10. Sa se studieze inuenta pe are o are asupra euatiilor modiareapozitiei unei borne polarizate la bobinele din gura 1.4.5.1.4.11. Sa se aluleze puterea absorbita de perehile de bobine uplate pre-zentate n gura 1.4.5. 36

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITL2

i1 i2

L12*

1

u1

u i2

1 2

u

1 1i*

*12

LL

u

2

i2

2

1 1i

*

LL

uu2

*L12

a. b. c.

2

L 1L

* Fig. 1.4.5.1.4.12. Sa se determine onditiile are trebuie ndeplinita de indutivitatileproprii si mutuale ale unui sistem de bobine, astfel nat energia asoiata siste-mului sa e pozitiva, oriare ar semnele urentilor.1.4.13. Sa se aluleze tensiunile la bornele bobinelor liniare uplate prezen-tate n gura 1.4.6, pentru:i1 = I01sin(!t); i2 = I02os(!t);L1 = L2 = 0:1H; L12 = L1=2.*

2

1 u

*

L1 L

12L

a.

*

1 2

1 u

*

L1 L

12L

u

b.

1i i i i

22u

2 2Fig. 1.4.6.1.4.14. Sa se aluleze intensitatile urentilor prin bobinele liniare uplatedin gura 1.4.6, pentru:u1 = U01sin(!t); u2 = U02os(!t);L1 = L2 = 0:1H; L12 = L1=2.Problema va rezolvata in doua variante:a) i1(0) = 0; i2(0) = 0;b) i1(0) = I10; i2(0) = I20.Sa se aluleze puterea absorbita de sistemul de bobine.1.4.15. Sa se determine parametrii elementelor ideale ale retelelor din gura1.4.7, stiind a aeste retele admit drept grafuri de tensiune si urent grafurile37

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEreprezentate n aeeasi gura. Sa se verie bilantul puterilor.

1

R2

RE

E

R

10V

20V -10V

2A

1A-2A -1A

2J1 3

J

2

1

G Gu id.

-6V

4V2V

G G

2A

-5A

3A

J1

E1

E2

J21R 2R

u i

11R R2

J

E2

E 10V-20V

Gu

-2A

4A 5A

Gi

RJE

10V

Gu

1A 2A

Gi

c.

b.

a.

Fig. 1.4.7.1.4.16. Sa se determine generatoarele n exes din retelele prezentate n -gura 1.4.8. Care sunt onditiile pe are trebuie sa le ndeplineasa parametriigeneratoarelor pentru a retelele sa e ompatibile ?1.4.17. Se onsidera retelele prezentate n gura 1.4.9. Pentru eare reteasa se determine un arbore n ramurile aruia se aa doar generatoare ideale detensiune. Apliand a doua teorema a lui Kirhho, sa se determine tensiuniledin oarde. Prin apliarea euatiilor de funtionare ale elementelor din oarde,sa se determine urentii din oarbore si apoi urentii din ramuri. Sa se veriebilantul puterilor. 38

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITa. b. c.Fig. 1.4.8.1.4.18. Se onsidera retelele prezentate n gura 1.4.11. Pentru eare reteasa se determine un oarbore n oardele aruia se aa doar generatoare ideale deurent. Prin apliarea primei teoreme a lui Kirhho, sa se determine urentii dinarbore. Apliand euatiile arateristie ale elementelor din ramuri sa se alu-leze tensiunile din arbore. Sa se determine tensiunile din oarbore. Sa se veriebilantul puterilor.1.4.19. Sa se reprezinte grafurile omplete de tensiune si urent ale retelelorreprezentate n gura 1.4.10. Sa se verie bilantul puterilor. Pentru rezolvare seva folosi algoritmul onvenabil dintre ei prezentati n problemele 1.4.9 si 1.4.11.

39

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICEG=0

10

R=0

10

20

-20V

10V

20 V

10V

2

4V4

-2V1

2

0

c. d.

5V

40V

10V

10V

10

20V

20

g.

R2=1

220

R =E1=2V 3

=10

5 =

E2=4V

R1

E2

E =-5V3

=5V

J=10A=10V1E

1=1

R =13 R

R

a. b.

10V

20

40V

5V

1010

10

10V

10V

20

10

3 5V

e. f.

Fig. 1.4.9.40

1.4. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUITG=0

R=0

4A

6A

2V4V 2A

a.

4A

2A6A2V10

b.

420V

2

610V

c.Fig. 1.4.10.

3V

2V

4A 10

20

2A

20V

10

10 5A

10V

e.3A

5

4A

G=010 10

6A

2V

2A

G=0

20

10

5A

-2A3A

10

10V

c.

J=2A

G=0 J=4A

1

2

R=21 R=42

4A

2A

6A

-8A

2V10

20

d.

b.a.

Fig. 1.4.11.41

1. FUNDAMENTELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE

42

Capitolul 2Ciruite eletrie rezistive liniare2.1 Teoreme de ehivalentaBREVIARDoua elemente dipolare de iruit eletri sunt ehivalente daa au euatiiarateristie identie, respetiv daa elementele impun aeeasi relatie ntre ten-siunea la borne si urentul prin element.U 0

1I 0

UG.R.

B

AI

23

I

U

Fig. 2.1.Un element dipolar de iruit eletri se numeste generator real daa repre-zentarea graa a euatiei arateristie n planul U, I este o dreapta e interse-teaza ambele axe (dreapta gura 2.1).Elementele rezistor liniar ideal, generator ideal de tensiune si generator idealde urent sunt azuri limita ale generatorului real si anume: dreapta 1 treeprin origine; dreapta 2 este paralela u axa urentului, respetiv dreapta 3paralela u axa tensiunii. In azul izolatorului perfet dreapta se identia uaxa tensiunii, iar n azul ondutorului perfet ea se identia u axa urentului.Intersetia dreptei arateristie a unui generator real u axele determinaei doi parametri arateristii ai generatorului. Tensiunea de mers n gol estetensiunea U0 = U(0) pentru un urent nul prin generator. Curentul de surtiruit43

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREeste urentul I0 e strabate generatorul real atuni and tensiunea la bornele saleeste nula.Generatorul real admite shemele ehivalente alatuite din elemente idealeprezentate n gura 2.2.UU 2

U 1

a. b. c.

I

UG.R.

B

A

I 1

I 2

IE

R

A

B

U

I

JR

B

A

Fig. 2.2.Ciruitul dipolar realizat dintr-un generator ideal de tensiune nseriat u unrezistor (g. 2.2.b) se numeste generator real de tensiune. Un generator realde tensiune araterizat de parametrii (E,R), n are E se numeste tensiune ele-tromotoare a generatorului real de tensiune, iar R se numeste rezistenta internaa generatorului real de tensiune.Ciruitul dipolar realizat dintr-un generator ideal de urent n paralel u unrezistor (g. 2.2.) se numeste generator real de urent. Un generator realde urent este araterizat de parametrii (J,R) n are J se numeste urentuleletromotor al generatorului, iar R se numeste rezistenta sa interna.Urmatoarele armatii permit evidentierea ehivalentei ntre elementele intro-duse. Un generator real este ehivalent u un generator real de tensiune daa ten-siunea de mers n gol a generatorului real este egala u tensiunea eletromotoarea generatorului real de tensiune U0 = E iar rezistenta interna a generatoruluireal de tensiune este egala u raportul dintre tensiunea de mers n gol si urentulde surtiruit R = U0=I0. Pentru demonstrarea aestei armatii, este suientsa se aplie a doua teorema a lui Kirhho n gura 2.2.b:U = U1 + U2 = E RI; (2.1)obtinandu-se euatia de funtionare a generatorului real de tensiune are esteo funtie ana al arei gra este o dreapta e interseteaza axele n punteleU0 = E si I0 = U0=R.Analizand euatia de funtionare (2.1) rezulta a un generator real de tensiunedegenereaza ntr-un generator ideal de tensiune daa rezistenta interna R = 0,sau poate degenera ntr-un rezistor daa tensiunea eletromotoare E se anuleaza.Din aest motiv se spune a generatorul ideal de tensiune are rezistenta internanula. 44

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT AUn generator real este ehivalent u un generator real de urent avand urentuleletromotor egal u urentul de surtiruit al generatorului real si rezistentainterna egala u raportul dintre tensiunea de mers n gol si urentul de surtiruitR = U0=I0. Pentru demonstratie, se aplia prima teorema a lui Kirhho n gura2.2.: I = I1 + I2 = J UR; (2.2)obtinandu-se euatia de funtionare a generatorului real de urent, a o funtieana al arei gra este o dreapta avand taieturile : I0 = J si U0 = RJ .Analizand relatia (2.2) rezulta a un generator real de urent poate degenerantr-un generator ideal de urent daa rezistenta interna R ! 1 (ondutantainterna G = 1=R se anuleaza), sau poate degenera ntr-un rezistor atuni andse anuleaza urentul eletromotor J = 0. Din aest motiv se spune a rezistentainterna a unui generator ideal de urent este innita.Ca o onseinta a aestor armatii rezulta teorema de ehivalenta dintreun generator real de tensiune si un generator real de urent are armaa iruitele din gura 2.2.b si 2.2. sunt ehivalente daa au aeeasi rezistentainterna si daa: J = E=R;E = RJ: (2.3)Conditia de ehivalenta dintre ele doua generatoare este o onseinta a tranzi-tivitatii relatiei de ehivalenta sau poate obtinuta prin identiarea relatiilorde funtionare (2.1) si (2.2).Importanta pratia a teoremelor de ehivalenta onsta n faptul a, daa senlouieste ntr-o retea un element dipolar (sau o subretea dipolara) u un elementehivalent, atuni urentii si tensiunile din restul retelei nu se modia. Aeastaobservatie permite simpliarea retelelor eletrie prin transgurari su

esive.Generatoare reale de tensiune onetate n serie. Un grup de n genera-toare reale de tensiune u parametrii (Ek; Rk) k=1...n, onetate n serie (g. 2.3)este ehivalent u un generator real de tensiune avand tensiunea eletromotoare:E = nXk=1Ek (2.4)si rezistenta interna: R = nXk=1Rk: (2.5)Suma (2.4) este algebria, n sensul a se tre u plus termenii Ek daa auaelasi sens u tensiunea eletromotoare ehivalenta E si se tre u minus tensiu-nile eletromotoare are au sens opus.T inand ont a un generator real de tensiune degenereaza ntr-un rezistor idealsau ntr-un generator ideal daa E=0 sau respetiv daa R=0, rezulta a relatia45

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREE 2E 1 E n R nR 2R 1

A Ba.

E R

A Bb.Fig. 2.3.(2.4) permite alulul tensiunii eletromotoare ehivalente n azul generatoarelorideale onetate n serie, iar relatia (2.5) permite alulul rezistentei ehivalenten azul rezistoarelor onetate n serie.Generatoare reale de tensiune onetate n paralel. Un grup de n gene-ratoare reale de tensiune u parametrii (Ek; Rk), k=1...n, onetate n paralel (g.2.4) este ehivalent u un generator de tensiune avand tensiunea eletromotoare:E = nXk=1 EkRknXk=1 1Rk (2.6)si rezistenta interna: R = 1nXk=1 1Rk : (2.7)Suma de la numaratorul relatiei (2.6) este algebria, n sensul a se tre uplus tensiunile eletromotoareEk daa au aelasi sens u tensiunea eletromotoareehivalenta E si se tre u minus tensiunile eletromotoare are au sensuri opusetensiunii eletromotoare ehivalente.

A A

B B

R 1 R 2

E 2E 1

R n

E n

a. b.

R

EFig. 2.4.Relatia (2.6) exprima faptul a tensiunea eletromotoare ehivalenta E este46

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT Amedia ponderata a tensiunilor Ek u ponderile Gk = 1=Rk:E = nXk=1EkGknXk=1Gk : (2.8)Cu notatia G = 1=R, rezulta pentru ondutanta interna expresia:G = nXk=1Gk; (2.9)1R = nXk=1 1Rk : (2.10)Prezinta interes prati urmatoarele azuri partiulare:a) rezistoare onetate n paralel (Ek=0):G = nXk=1Gk; E = 0; (2.11)b) rezistente interne egale (Rk = R0):E = 1n nXk=1Ek; R = R0n ; (2.12)situatie n are tensiunea eletromotoare ehivalenta este media aritmetia a ten-siunilor eletromotoare Ek, iar rezistenta interna este de n ori mai mia deat eaa earui rezistor;) una din rezistentele interne nula (R1 = 0; G1 !1):E = E1; R = 0; (2.13)d) mai multe rezistente interne nule genereaza o nedeterminare e se expliaprin faptul a reteaua este inompatibila daa tensiunile eletromotoare suntdiferite;e) azul a doua surse onetate n paralel (n=2):E = E1R2 + E2R1R1 +R2 ; R = R1R2R1 +R2 : (2.14)Din azul partiular rezulta a un generator ideal de tensiune eletromotoareE, onetat n paralel u un generator real, este ehivalent u generatorul ideal detensiune eletromotoare E. Armatia este valabila si pentru ondutorul perfetdeoaree aesta este un az partiular de generator ideal de tensiune (g. 2.7.a).47

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREGeneratoare reale de urent onetate n paralel. Un grup de n gene-ratoare reale de urent u parametrii (Jk; Rk), k=1...n, onetate n paralel (g.2.5) este ehivalent u un generator real de urent avand urentul eletromotor:J = nXk=1 Jk (2.15)si ondutanta interna: G = nXk=1Gk; (2.16)sau ehivalent 1R = nXk=1 1Rk : (2.17)Suma (2.15) este o suma algebria, n are termenii Jk se tre u plus daa auaelasi sens fata de urentul eletromotor ehivalent J si u minus n az ontrar.R 1 R 2

J 1 J 2

R n

J nR

B

A

b.

J

A

B a. Fig. 2.5.T inand ont a un generator real de urent degenereaza ntr-un generatorideal de urent atuni and Gk = 0 (Rk ! 1), rezulta a relatia (2.15) poate utilizata la alulul urentului eletromotor ehivalent generatoarelor ideale deurent onetate n paralel.Generatoare reale de urent onetate n serie. Un grup de n genera-toare reale de urent u parametrii (Jk; Rk), k=1...n, onetate n serie (g. 2.6),este ehivalent u un generator real de urent avand urentul eletromotor:J = nXk=1 JkRknXk=1Rk (2.18)si rezistenta interna: R = nXk=1Rk: (2.19)48

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT ASuma de la numaratorul relatiei (2.18) este o suma algebria n sensul a setre u plus urentii Jk daa sunt n sensul urentului ehivalent J si u minusn az ontrar.J 2J 1

R 2R 1

J n

R nA B

R

J

b.a.

A BFig. 2.6.Relatia (2.18) exprima faptul a, pentru generatorul ehivalent, urentul ele-tromotor este media ponderata a urentilor eletromotori Jk, avand drept ponderirezistentele Rk.Se onstata a, atuni and se onsidera n generatoare ideale de urent nserie (Rk !1), relatia (2.18) genereaza o nedeterminare are poate expliataprin faptul a aest iruit este inompatibil pentru urenti eletromotori diferiti.Daa un singur generator are rezistenta interna innita (este generator ideal),atuni urentul eletromotor ehivalent este egal u urentul eletromotor al aes-tui generator iar rezistenta interna ehivalenta este innita. Rezulta a un ge-nerator ideal de urent J onetat n serie u un generator real este ehivalentu generatorul ideal de urent J (g. 2.7.b). Armatia este valabila si pentruizolatorul perfet are este un az limita al generatorului ideal de urent.E

A

B

a.

G.R.

A

B

E

JA Bb.

G.R.BA

JFig. 2.7.In anumite situatii, oneptul de element dipolar de iruit nu este suient sieste neesara utilizarea elementului multipolar de iruit eletri, denit a un do-meniu spatial e interationeaza eletri u exteriorul prin intermediul a n borne.Caraterizarea starii unui multipol se fae u ajutorul elor n urenti I1, I2,...,In,unde k=1...n, injetati n borne si a elor (n-1) tensiuni U1n, U2n,...,Un1;n.Ehivalenta ntre doi multipoli trebuie nteleasa n sensul a ei impun aeeasirelatie ntre urentii si tensiunile la borne.49

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREEhivalenta stea-poligon omplet. Conditia a un multipol u n borne,u o strutura interna n stea (g. 2.8.a), sa e ehivalent la borne u un multipolavand strutura interna de tip poligon omplet (g. 2.8.b) este:Gkj = GkGjnXi=1Gi ; (2.20)Ekj = Ek Ej: (2.21)j nE

R j n

E k jR k j

1jR

E j 1

R k n

E k n

E 1k

R 1k

E n1

I j

I n

I k

R n1I 1

(k)

(1)

(n)

(j)b.

R 1

I 1

R n

E nE 1

I k

I n

E j

R j

R k

E k

U k j

(1)

(j)a.

(n)

I j

(k)Fig. 2.8.Relatiile (2.20), (2.21) permit transgurarea unei stele ntr-un poligon ompletprin eliminarea nodului entral. In azul n are steaua este pasiva (nu ontinegeneratoare) atuni si poligonul va pasiv si va avea ntre nodurile k si j unrezistor de ondutanta Gkj = 1=Rkj , a arei valoare se aluleaza u relatia(2.20).Valorile date de relatia (2.21) pentru tensiunile eletromotoare ale poligo-nului nu sunt singurele posibile, problema transgurarii din stea ativa n poligonomplet ativ neavand solutie unia.In azul partiular n=3 transgurarea stea-triunghi se fae u relatiile:G12 = G1G2G1 +G2 +G3 ; E12 = E1 E2;G23 = G2G3G1 +G2 +G3 ; E23 = E2 E3; (2.22)G31 = G3G1G1 +G2 +G3 ; E31 = E3 E1;50

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT Asau n funtie de rezistente:R12 = R1R2 +R2R3 +R3R1R3 ;R23 = R1R2 +R2R3 +R3R1R2 ; (2.23)R31 = R1R2 +R2R3 +R3R1R1 :Daa rezistentele din bratele stelei sunt egale atuni R = 3RY .Problema transgurarii stea-poligon omplet are totdeauna solutie pe andproblema inversa a transgurarii poligon-stea are solutie doar n azul partiularn=3.Pentru transgurarea triunghi-stea (g. 2.9) se aplia relatiile:R1 = R31R12R12 +R23 +R31 ; J1 = J12 J31;R2 = R12R23R12 +R23 +R31 ; J2 = J23 J12; (2.24)R3 = R23R31R12 +R23 +R31 ; J3 = J31 J23:12J

3 1J

32J

32R 3 1R12R

(1)

(2) (3)

a.

R2

R1J 2 J 1

J 3

R3

(2) (3)

(1)

b.Fig. 2.9.Faptul a orie stea poate transgurata n poligon omplet are importantadeoaree n aest fel orie nod al unei retele poate eliminat si, prin transgurarirepetate, orie retea eletria poate redusa, fata de doua borne, la un generatorehivalent. Aeasta metoda are permite alulul urentului e strabate o la-tura a unui iruit prin reduerea restului iruitului la generatorul ehivalent ealimenteaza aea latura se numestemetoda generatoarelor ehivalente. Pen-tru alulul urentilor si tensiunilor din elelalte laturi ale iruitului se parurgedrumul invers, aluland din aproape n aproape tensiunile si urentii.51

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREMetoda generatoarelor ehivalente este eienta, mai ales atuni and laturilesunt onetate serie, paralel si intereseaza urentul printr-o singura latura.Pentru exploatarea rezultatelor obtinute n aesta metoda sunt utilizate rela-tiile prezentate n ontinuare.Relatia divizorului de tensiune permite alulul tensiunilor la bornele adoua rezistoare R1 si R2, onetate n serie, n funtie de tensiunea totala apliata(g. 2.10a). U1 = U R1R1 +R2 ;U2 = U R2R1 +R2 : (2.25)R 1

R 1R 2

R 2U 2

U 1 I 1 I 2

U

I

a. b.Fig. 2.10.Relatia divizorului de urent permite alulul urentilor e strabat douarezistoareR1 siR2, onetate n paralel, n funtie de urentul total I (g. 2.10.b).I1 = I R2R1 +R2 ;I2 = I R1R1 +R2 : (2.26)Observatii asupra relatiilor de ehivalenta:Relatiile de ehivalenta ntre retelele eletrie pot de mai multe feluri, ntreaeste relatii putandu-se stabili hiar o ordine, unele ind mai ne, altele maigrosiere.Relatia de ehivalenta ea mai na este exempliata de iruitele din gura2.11.a si 2.11.b. Cele doua iruite au aeeasi matrie de apartenenta a laturilorla noduri si au aeleasi elemente pe laturile orespondente. Cele doua retele nupot deosebite una de ealalta n teoria iruitelor, aeasta relatie de ehivalentaind o relatie de identitate. 52

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT ACiruitul reprezentat n gura 2.11. se deosebeste de el din gura 2.11.aprin faptul a numerotarea laturilor este fauta n alt mod, fara a sensurilede referinta, onexiunea sau elementele din laturi sa e shimbate. Ciruitul dingura 2.11. este ehivalent u el din gura 2.11.a, dar u o relatie de ehivalentamai slaba deat identitatea denita anterior. In aest nou az, doua iruite seonsidera ehivalente daa matriea de inidenta a unuia se obtine din matrieade inidenta a eluilalt prin permutarea oloanelor.Un al treilea tip de ehivalenta, mai slab deat ele anterioare, este evidentiatn iruitul din gura 2.11.d, are se deosebeste de iruitul din gura 2.11.a prinordinea adoptata la numerotarea laturilor, dar mai ales prin faptul a sensurilede referinta ale laturilor nu oinid la laturile orespondente. In aest az matri-ile de inidenta pentru grafurile neorientate (obtinute prin eliminarea semnelorelementelor matriilor de inidenta) sunt e egale, e se obtin una din alta prinpermutarile oloanelor.R c

R a R b+

R a R b+E

J

R a

R b R c

E E

EE

J

d. e. f.

R a

R b-U c JE

j.

a. b. c.

J

R a

R b2

ER b2

R a

R c

I 1

I 2 I 3R b

E

JU c

I 1 I 2

R a

R c

R b

I 3

I 2

R cR aR b

I 3E J

E

J

1I

R bR a+

R cE JR a

R c

R b

-E J

R b

R a

R c

I 3

I 2I 1 E

J

h.

i.

g. Fig. 2.11.Din puntul de vedere al generatoarelor, se poate deni o noua relatie de53

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREehivalenta pornind de la observatia a sageata tensiunii eletromotoare si dublasageata a urentului eletromotor si pot shimba sensurile, u onditia sa seshimbe semnul parametrului E sau J iar urentii si tensiunile iruitului nu semodia. Din aest punt de vedere iruitul din gura 2.11.a si el din gura2.11.e sunt ehivalente.O alta relatie de ehivalenta ntre iruite se poate obtine daa se onsi-dera a o lasa de ehivalenta ontine toate iruitele e difera unul de elalalt,doar printr-o subretea (eventual dipolara), iar toate iruitele dintr-o lasa deehivalenta au aeleasi tensiuni si aeiasi urenti n exteriorul subretelei trans-gurate.Daa o lasa de ehivalenta se desparte n sublase la are onditia de ehiva-lenta este a suma puterilor onsumate de rezistoare sa e aeeasi, atuni seobtine o relatie de ehivalenta mai na.De exemplu, iruitele din gurile 2.11.a, f, g si h sunt ehivalente n sensuldenit anterior, subreteaua transgurata ind latura din stanga iruitului. Daan onditia de ehivalenta se impune a puterea onsumata sa nu se modie,atuni iruitele a, f, g sunt ehivalente, n shimb iruitul h fae parte din altalasa de ehivalenta.Dintre ehivalentele pe la borne evidentiate de teoremele prezentate anterior,numai ehivalentele denite de generatoarele de tensiune serie si generatoarelede urent paralel satisfa onditia a elementul ehivalent disipa aeeasi puteren rezistoare a elementele initiale. Aeasta onditie nu este ndeplinita n azulehivalentei generator de tensiune - generator de urent, sau al ehivalentelordenite de generatoarele de tensiune paralel - generatoarele de urent serie.Din aeeasi ategorie de relatii de ehivalenta fae parte si ehivalenta indusade teorema lui Vashy (enuntata n paragraful 3.5). Ciruitul din gura 2.11.ieste ehivalent u iruitul din gura 2.11.a, nodul superior ind ehivalent usteaua elor trei generatoare.Un ultim fel de relatie de ehivalenta este generat de teorema substitutiei(g. 2.11.j). Spre deosebire de ehivalentele anterioare, ele generate de teoremasubstitutiei sunt mai slabe, deoaree urentii din ele doua iruite, initial ehi-valente, nu se mai pastreaza egali daa parametrul unui element de iruit semodia simultan la ele doua iruite (g. 2.11.a, j).54

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT APROBLEME2.1.1. Sa se determine generatorul real de tensiune ehivalent generatoruluidin gura 2.1.1 si sa se reprezinte gra euatia sa de funtionare.2.1.2. Sa se determine generatorul real de urent ehivalent generatorului dingura 2.1.2 si sa se se reprezinte gra euatia sa de funtionare.2.1.3. Sa se demonstreze a euatia de funtionare a elementului dipolarreprezentat n gura 2.1.3 nu depinde de pozitia omutatorului K.20

B

A

5A Fig. 2.1.1. AB20V5Fig. 2.1.2. ERJ baK BAFig. 2.1.3.2.1.4. Sa se determine generatoarele ehivalente dipolului din gura 2.1.4.a,a arui euatie de funtionare este reprezentata gra n gurile 2.1.4.b-h.h.g.f.e.

a. b. c. d.

U

I5V

U

I2A

U

I-5V

U

I

-0,1A

-10V

I

A

B

U

U10V

I5A

-2A

5V

U

I

I10mV

100nAU

Fig. 2.1.4.2.1.5. Sa se determine generatoarele ehivalente dipolului din gura 2.1.5 aarui euatie de funtionare se onsidera reprezentata gra n gurile 2.1.4.b-h.2.1.6. Sa se demonstreze relatiile (2.5) - (2.10).55

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREUI

A

BFig. 2.1.5.2.1.7. Sa se demonstreze relatiile (2.18) si (2.19).2.1.8. Sa se demonstreze relatiile (2.20) si (2.21.2.1.9. Sa se demonstreze relatiile (2.24).2.1.10. Sa se determine generatoarele reale de urent si de tensiune ehiva-lente elementelor dipolare reprezentate n gura 2.1.6.R

a.

J

E

A

B

R 1R 2

J

c.

EA

B

R 1R 2

EJ

b.

A BFig. 2.1.6.2.1.11. Se onsidera pe rand toate ombinatiile de ate doua elemente dinlista prezentata n gura 2.1.7. Sa se determine euatia de funtionare si shemaehivalenta a perehii de elemente onsiderate, onetate n serie.R

a.

E

b.

J

c. d.

e.

R 1E 1

f.

R 2

J 2

g.Fig. 2.1.7.56

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT A2.1.12. Sa se rezolve problema 2.1.11 onsiderand elementele onetate nparalel.2.1.13. Sa se aluleze rezistenta ehivalenta ntre bornele A si B pentruretelele rezistive din gura 2.1.10.2.1.14. Sa se determine rezistentele ehivalente ntre perehile de borne A-B,B-C, A-C pentru iruitele reprezentate n gurile 2.1.8.a-f.R 2R 2

R 1

C

BA

R R R

A B C

b.

e.

c.

f.

a.

d.

R 3

4RR 2

R 1R

B

A

R R

R

C

R

R

BA RR

RR

R BA

RR

R

RR R

RR

C

BAFig. 2.1.8.2.1.15. Sa se aluleze rezistenta RAB pentru diferite pozitii ale omutatoa-relor din iruitul reprezentat n gura 2.1.9.K

KA

B

12

3KR

RR

RR

R

R

RFig. 2.1.9.2.1.16. Sa se determine generatoarele ehivalente fata de bornele A si B aleretelelor din gurile 2.1.11 si 2.1.12. 57

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE30 30 30

A

B

10 10 10

A B

R RR

2R RR

Bn

A1 2 m

R RR 1

1

3

2

1

A

B

1

32

R R RA B

R R R

R

R

RR R

R

RR

BA

j.

b.

d.

f.

i.

l.

h.

e.

a.

c.

g.

k.

3 3 3

BA

20,2S

A B

0,3S

1G =0,2S R=4

A B

G =2S1 G =3S2

A B

3

10

A

B

6

2 R R R

RR

A

BFig. 2.1.10.58

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT A510V 20V

A A BB

10 105V

10

10

A B

20V

40V20

30 60VBA

10

10

4A

A B2A

510 BA

20V2A

10

10 A B

20V

20020

1A

A

Bi.

g.

e.

c.

a.

A B

40V

20V

20

20

10

5 5

50V

10VBA

100V

10

20

A

10A

B

10 0,1SA B

2A

40 20A B

50V2A

20

203A

10V

BA

j.

h.

f.

d.

b.

A 5 10

B

10V

20V

2A

A B

1A

o. p.

5A

m.

k.

n.

l.

Fig. 2.1.11.59

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE5 A B

2A

10

10

5V

1

BA2A

10V

1010

1010

10

102A

5V

BA

e.

c.

a.

d.

b.

10VA B

2A

A B10V 5A

2V BA

2A

BA

1V

10Af.

g. h.Fig. 2.1.12.2.1.17. Sa se aluleze rezistentele ehivalente ntre bornele A si B pentruiruitele innite din gura 2.1.13.A

B2

n-1R4R2RR

A

B

A

B

b.a.

c.

R 1R 2 R 2 R 2

R 1 R 1R 2 R 2 R 2

R 1 R 1 R 1

Fig. 2.1.13.60

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT A2.1.18. Sa se determine generatoarele ehivalente de urent fata de perehilede borne A-B, B-C, A-C pentru iruitele din gura 2.1.14.C

A

E R

JB

A B

C20V

10V

201A

2010

20V

10

b. c.

a.

B2A

10

C

A

1A

10V

!0

Fig. 2.1.14.2.1.19. Sa se determine generatoarele ehivalente de tensiune fata de pere-hile de borne A-B, B-C, A-C pentru iruitele din gura 2.1.14.2.1.20. Sa se aluleze rezistenta ehivalenta ntre bornele A si B apliandongurarea stea-poligon n iruitele din gurile 2.1.15.a-.A

B

20

30

5010

10

20 10

10

10

3010

20

10

C

BA

10

20

10

A B10

10 20

20

20

a. b. c.Fig. 2.1.15.2.1.21. Sa se determine generatorul ehivalent ntre bornele A si B apliand61

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIAREtransgurarea stea-poligon n iruitele din gurile 2.1.16.a-.10V

10

10

10

10 20

20 1A

10V

20 50 20

10V20V60

10V 20

60

10V

A B

10

1A 10 10V

10

BA10

10 10

10V

b.a.

c.Fig. 2.1.16.2.1.22. Sa se transgureze iruitele triunghi reprezentate n gura 2.1.17 niruite stea.2.1.23. Sa se determine generatoarele ehivalente de urent si tensiune fatade bornele A si B pentru iruitele din gura 2.1.18.2.1.24. Sa se determine intensitatile urentilor si tensiunile la iruitele dingura 2.1.19, prin alulul rezistentei ehivalente la bornele generatorului si apoiu ajutorul relatiilor divizorului de urent si de tensiune.2.1.25. Fie grafurile prezentate n gura 2.1.20. Sa se prezinte lista trans-gurarilor serie, paralel sau stea-poligon e trebuie efetuate pentru a redue grafulla o latura ntre doua noduri. Se vor onsidera pe rand diferite perehi de noduri.2.1.26. Apliand metoda generatoarelor ehivalente, sa se aluleze intensi-tatea urentului I pentru iruitele din gura 2.1.21. Pornind de la urentul I sase determine apoi eilalti urenti.2.1.27. Fie doua rezistoare avand rezistentele R1 si R2 onetate n serie. Sase aluleze si sa se reprezinte gra eroarea relativa "r(R1) = (RaRe)=Re e se62

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT AR R

R

R

RR

J

J

R

R

E

R

10V20

10

RR

R

E2A

10

10

a. b.

d. e. f.

c.

Fig. 2.1.17.fae asupra rezistentei ehivalente Re atuni and se presupune n iruit numairezistenta Ra=R2.2.1.28. Fie doua rezistoare avand rezistentele R1 si R2, onetate n paralel.Sa se aluleze si sa se reprezinte gra eroarea relativa "r(R1) = (Ra Re)=Ree se fae asupra rezistentei ehivalente Re atuni and se presupune n iruitnumai rezistenta Ra=R2.2.1.29. T inand seama de solutia problemelor 2.1.27 si 2.1.28, sa se alulezevaloarea aproximativa a rezistentei ehivalente ntre bornele A si B n iruiteledin gura 2.1.22.2.1.30. Fie un generator real de tensiune u parametrii (E,r) la bornele aruiaeste onetata o rezistenta de sarina R. Sa se aluleze eroarea relativa e se faeasupra urentului de sarina "I = (I Ia)=I si asupra tensiunii "U = (U Ua)=Usi sa se reprezinte gra aeste erori n funtie de rezistenta R, atuni and senlouieste generatorul real u un generator ideal u tensiune eletromotoare E(se neglijeaza rezistenta interna r a n gura 2.1.23.b).2.1.31. Fie un generator real de urent u parametrii (J,r), la bornele aruiaeste onetata o rezistenta de sarina R. Sa se aluleze eroarea relativa e se faeasupra urentului de sarina "I = (I Ia)=I si asupra tensiunii "U = (U Ua)=Usi sa se reprezinte gra aeste erori n funtie de ondutanta de sarina G=1/R,atuni and se nlouieste generatorul real de urent u un generator ideal de u-rent (se neglijaza ondutanta interna a n gura 2.1.24.b).2.1.32. Fie un generator real avand tensiunea de mers n gol U0=10V si u-rentul de surtiruit I0=10mA. Sa se determine valorile rezistentelor de sarina63

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE10

10

10V

10V

1A 1010V

A

B

20VA

B

10

40V

10

5A

10

20

1A

10V

1A

A

B10V

1010

10

10

10A

B

10

1A

10V10

10 10

10V

5V

10

10 10

10

10

A

B

1010V

10

B

A

10

5V

10

10V

60

10V60

30

10V

60

30

10

30

10B

A

b.a.

c. d.

e. f.

g. Fig. 2.1.18.64

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT A10

10V

1020

10

2A

10 20 40

10 10

50V1520 30

10 5A

57

3

5

10

30

20 10V

10

20

20 10V

40

20

20

30

10

50

10

10 20

1A

a. b. c.

d.

f. g.

e.

Fig. 2.1.19.(1)

(2)

12

3 (1)

12

(2)

(3)

3

54(1) (2)

(3)

4 53

1

6

2

(1) (2)

(4)(3)

6

25

1

4

3

(2)

(3) (4)

(1) 1

32

6

4

5

5

(1) (2)

(3) (4)

73

6

4

2

1(1) (2)

(3) (4)

45 76

8

1

32

(1) (2)

(3) (4)

81

3

2 4

(5)5

6 7

9

a. b. c. d.

e. f. g. h.Fig. 2.1.20.65

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE

I

20V

2010

60VI

2010V

5

5 I

1A10

20V

30I 10V

10

15

20V

10

5

10

20 1A

10

10V

c.

e.

10V

1A

I

2010

1010

10

10V

a.

d.

1V

10

I2 10V

5

b.

f. Fig. 2.1.21.1

1

11K 1K

1M

1M

A

B

A

B

1K

1M

1 1M

1KA

B

1K

1 1M

a. b. c.Fig. 2.1.22.66

2.1. TEOREME DE ECHIVALENT AE

r

U R

I

U R

I

E a

a

a. b.Fig. 2.1.23.J

U R

I

rJ

U R

I

a

a. b.Fig. 2.1.24.R e pot onetate la bornele aestui generator pentru a eroarea de aproximarentre aest dipol si un generator ideal de tensiune sa e mai mia deat 1%.2.1.33. In e onditii referitoare la rezistenta R generatorul din problema2.1.32 poate aproximat u un generator ideal de urent, astfel nat eroarearelativa sa e mai mia deat 1% ?2.1.34. Sa se determine relatiile aproximative ale divizorului de tensiunesi de urent apliabile n azul n are ele doua rezistente satisfa inegalitateaR1 R2. Care este eroarea de alul e apare atuni and se opereaza u aesterelatii ?2.1.35. Sa se determine generatoarele ideale e pot aproxima funtionareageneratoarelor reale din gura 2.1.25.2.1.36. Sa se aluleze valorile aproximative ale urentilor si tensiunilor diniruitele reprezentate n gura 2.1.26. 67

2. CIRCUITE ELECTRICE REZISTIVE LINIARE5V

5

1K 1mA

10K

1A

5V

10

10V

11K

e.

1001M10mA

100V

100K

100

10V 1V

1K 1

10K

1K

1K

1

10V

1 1M

a.

1A10 10K

b. c.

d.f.

g.h.Fig. 2.1.25.

10V

1K

2

11M

10V

1K

1M 1

1K 1M10mA 1 1M10

1K

1A

1

110V

1K

1M 1A

1

1K 1

a. b. c.

d. e. f.Fig. 2.1.26.68

2.2. METODA ECUATIILOR LUI KIRCHHOFF2.2 Metoda euatiilor lui KirhhoBREVIARProblema fundamentala a analizei unui iruit eletri rezistiv onsta ndeterminarea intensitatii urentilor Ik, pentru k=1,...,L si a tensiunilor Uk, pentruk=1,...,L n toate laturile, onsiderand unosuta topologia iruitului (shemaeletria) si parametrii elementelor Rk; Ek; Jk, pentru k=1,...,L.Pentru determinarea parametrilor topologii L si N este neesara denireaoneptului de latura si a elui de nod. Intr-o prima a

eptiune se va ntelegeprin latura un element ideal de iruit, iar prin nod se ntelege o borna la areonura el putin doua laturi. In aeasta a

eptiune pentru iruitul din gura2.11.a parametrii topologii sunt L0 = 5; N0 = 4:O alta a

eptiune este aeea n are latura este onsiderata a o multime deelemente ideale onetate n serie, iar prin nod se ntelege o borna la are onurael putin trei laturi. In aeasta a

eptiune, iruitul din gura 2.11.a areL1 = 3 laturi si N1 = 2 noduri.Un alt mod n are este posibila denirea aestor onepte onsta n a

eptareaa latura, e a generatorului real de tensiune (g. 2.12.a), are poate degeneran generator ideal de tensiune atuni and R = 0 sau n rezistor and E = 0,e latura de tip generator real de urent (g. 2.12.b), are poate degenera ngenerator ideal de urent atuni and G = 0. In aeasta a

eptiune iruitul dingura 2.11.a are L2 = 3 laturi siN2 = 3 noduri. O modalitate eienta de denirea laturii standard este ea din gura 2.12., n are rezistorul este araterizatprin rezistenta R sau ondutanta G.R K

G K

EK

J K

IK

KU

I

K

J K

GK

U K

R IKK

KE

U K

a. b. c.Fig. 2.12.Se onstata a