Download - CURS 9-10 B prez

Transcript

6. CALCULUL ÎN SECŢIUNI NORMALE LA STAREA LIMITĂ DE REZISTENTĂ

Mom. încov. Mx şi My, care acţ. într-o secţ. transv. a unui element aparţinând unei structuri spaţiale, sunt în majoritatea cazurilor însoţite de o forţă axială de compresiune sau de întindere N. Comportamentul secţiunii în diferite stadii de lucru, cu precădere în cel de rupere, depinde în mod substanţial de interdependenţa ce există între eforturile Mx, My şi N. Această legătură este redată de suprafaţa limită de interacţiune Mx - My - N (fig. 6.4),

Fig. 6.4 Interacţiunea eforturilor secţionale la starea limită de rezistenţă

care devine o curbă dacă unul din cele trei eforturi secţionale lipseşte (fig. 6.5).

Fig. 6.5 Curbe de interacţine - modul de atingere a capacităţii portante

Cazurile reprezentative ale elem. supuse la încov. cu forţă axială de compresiune sunt cele al stâlpilor sau diafragmelor, iar la încov. cu forţă axială de întindere sunt ale tiranţilor şi pereţilor rezervoarelor supraterane.

128

Convenţional, perechea M - N poate fi înlocuită cu o forţă excentrică N, plasată la distanţa e0 = M/N faţă de centrul de greutate al secţiunii, denumită excentricitate (fig. 6.1).

Cazul încov. cu forţă axială se mai numeşte solicitare excentrică (compresiune sau întindere excentrică).Atunci când în secţiunile monosimetrice ale stâlpilor există momente încovoietoare M x şi My după cele

două axe principale ale secţiunii, se spune că solicitarea este de compresiune excentrică oblică.

Fig. 6.1 Încovoierea cu forţă axială sau solicitarea excentrică

Zona întinsă a elementelor se armează cu o cantitate corespunzătoare de armătură întinsă A a.. Pe lângă

armătura din zona întinsă Aa se foloseşte şi armătură în zona comprimată (fig. 6.1c), având în vedere o serie

de motive, cum ar fi: posibila alternanţă a momentelor încovoietoare, mărirea capacităţii portante a zonei comprimate, ductilizarea secţiunilor/elementelor în cazul acţiunilor seismice etc. Dubla armare poate fi

nesimetrică sau simetrică . De asemenea, armătura poate fi dispusă şi pe conturul secţiunii,

nu numai în vecinătatea fibrelor cu deformaţii specifice extreme. Astfel de cazuri sunt cele ale stâlpilor cu secţiune dreptunghiulară supuşi la compresiune excentrică oblică (fig. 6.1d), ale elementelor cu secţiune circulară (fig. 6.1e) sau cu secţiune inelară (fig. 6.1f).

Pt. că elem. structurale prezintă imperfecţiuni de execuţie şi pt. că secţ. transv. nu sunt omogene, se produc modificări ale mărimii eforturilor secţionale determinate în raport cu axele teoretice ale structurii. Aceste efecte se introduc în calcul prin intermediul unei excentricităţi adiţionale ea, aleasă în aşa fel încât să conducă la creşterea valorii mom. încovoietor. Mărimea excentricităţii adiţionale în cazul elementelor comprimate este:

ea = h/30 dar minim 20 mm (6.1)unde h este dimensiunea secţiunii paralelă cu planul încovoierii.

În cazul elem. întinse, rigiditatea acestora este redusă şi din acest motiv influenţa imperfecţiunilor de execuţie şi a neomogenităţilor secţ. este mică, a.î. excentricitatea adiţională nu este luată în considerare (ea = 0).

129

Elem. supuse la încovoiere cu forţă axială de compresiune suferă şi deformaţii de ordinul II, care măresc val. eforturilor obţinute din calculul static de ordinul I. Măsura influenţei efectelor de ordinul II este coeficientul

. Influenţa efectelor de ordinul II se resimte în primul rând asupra mom. încovoietoare din stâlpii

cadrelor, dar şi asupra mom. încovoietoare din rigle. Astfel, în calculul elementelor supuse la încovoiere cu forţă axială se ia în considerarea valoarea corectată a momentului încovoietor, dată de relaţiile:

(6.2a,b)

unde excentricitatea de calcul este:

(6.3a, b)

130

6.1 STAREA DE DEFORMAŢII

Cedarea unei secţiuni supuse la încovoiere cu forţă axială este ilustrată de diagrama deformaţiilor specifice pe înălţimea secţiunii transversale, care trebuie să treacă în mod obligatoriu prin unul din cele trei puncte A, B sau C reprezentate în figura 6.2 - regula celor trei pivoţi. Din punct de vedere grafic, pivoţii reprezintă punctele definite prin deformaţiile specifice limită ale betonului şi armăturii. Se disting trei domenii în funcţie de modul cum se poate produce cedarea secţiunii.

ap = Ra / Ea

au = 10 0/00

bc = 2,0 0/00

bu = 3,5 0/00

Fig. 6.2 Diagrama deformaţiilor specifice sub efectul încovoierii cu forţă axială

DOMENIUL 1 – pivot AAcest domeniu este caracterizat de cedarea prin deformaţii excesive a celei mai întinse armăturii Aa, în

care s-a atins def. specifică ultimă . Efortul unitar în această armătură este . Dreapta A-A' reprezintă

întinderea centrică. Existenţa unui moment încovoietor produce rotirea secţiunii în jurul pivotului A. Subdomeniul 1a reprezintă întinderea centrică sau cea excentrică cu mică excentricitate. Secţiunea este fisurată în întregime, axa neutră fiind plasată în afara acesteia. Creşterea mom. încovoietor conduce la subdomeniul 1b, care reprezintă întinderea excentrică cu excentricitate mare, sau încovoierea în cazul elementelor cu procente reduse de armare. Deoarece axa neutră este plasată în secţiune, există beton activ, comprimat, care poate ajunge la limita capacităţii portante numai în situaţia limită când secţiunea deformată se suprapune peste linia AB.

131

DOMENIUL 2 – pivot BAcest domeniu este caracterizat prin zdrobirea betonului comprimat. Secţiunea se roteşte în jurul

pivotului B pe măsura reducerii excentricităţii forţei. Armătura Aa este întinsă, armătura a atins limita de

curgere. Subdomeniul 2a reprezintă încovoierea cu/fără forţă axială, adică încovoierea pură şi reprezintă solicitările excentrice cu excentricitate mare, denumite în continuare: cazul I de compresiune, respectiv întinderea excentrică cu mare excentricitate. Reducerea intensităţii forţei axiale de întindere produce rotirea secţiunii în jurul pivotului B, spre subdomeniul 2b. Creşterea intensităţii forţei axiale de compresiune conduce secţiunea spre dreapta B-B', care reprezintă o situaţie aparte: starea de balans. Această stare este caracterizată prin începerea curgerii armăturii întinse în paralel cu zdrobirea betonului comprimat.

ap = Ra / Ea

au = 10 0/00

bc = 2,0 0/00

bu = 3,5 0/00

Fig. 6.2 Diagrama deformaţiilor specifice sub efectul încovoierii cu forţă axială

Starea de balans reprezintă situaţia ideală de cedare a secţiunii din beton armat. Subdomeniul 2b se atinge după ce secţiunea a depăşit dreapta de balans B-B'. Armătura Aa este încă întinsă, dar nu curge. Axa neutră este plasată în secţiune şi înălţimea zonei comprimate devine tot mai mare pe măsura creşterii intensităţii forţei axiale de compresiune. În subdomeniul 2c toate armăturile sunt comprimate. Axa neutră atinge, la limită, marginea inferioară a secţiunii care devine comprimată în întregime. Subdomeniile 2b şi 2c reprezintă o parte a compresiunii excentrice cu excentricitate mică, denumită în continuare cazul II de compresiune, care se extinde şi în domeniul următor.

132

DOMENIUL 3 – pivot CAxa neutră este plasată în afara secţiunii, care este comprimată în întregime. Pe măsura creşterii

intensităţii forţei axiale de compresiune, rotirea secţiunii se produce în jurul pivotului C. Se produce zdrobirea

betonului comprimat, ceea ce înseamnă şi cedarea secţiunii. Armătura Aa este comprimată, iar armătura curge,

aşa cum s-a arătat la descrierea domeniului 2.Poziţia pivotului C se obţine din asemănarea triunghiurilor OBO’ şi DBC (fig. 6.2):

ap = Ra / Ea

au = 10 0/00

bc = 2,0 0/00

bu = 3,5 0/00

Fig. 6.2 Diagrama deformaţiilor specifice sub efectul încovoierii cu forţă axială

133

6.2 INTERACŢIUNEA EFORTURILOR SECŢIONALE ASOCIATE SLR

Atunci când vectorul moment încovoietor, ce însoţeşte forţa axială, nu se suprapune peste o axă principală a secţiunii, elementul este supus unei solicitări excentrice oblice. În acest caz, combinaţia de eforturi N,

Mx şi My (acestea din urmă fiind componentele momentului încovoietor oblic , asociate stării

limită de rezistenţă, este ilustrată de suprafaţa limită de interacţiune (denumită pe scurt suprafaţă de interacţiune), reprezentată în figura 6.4. Această reprezentare grafică redă variaţia mărimii momentului încovoietor oblic capabil şi a orientării sale în funcţie de forţa axială. Pentru o secţiune de beton armat, caracterizată prin dimensiunile sale şi aria de armătură corespunzătoare, precum şi prin calitatea celor două materiale, se poate trasa o singură suprafaţă de interacţiune.

Lipsa unuia din cele trei eforturi poate conduce la: compresiune exc. dreaptă cu N 0, Mx 0 şi My = 0, caz reprezentat de curba de interacţiune N - Mx; compresiune exc. dreaptă cu N 0, Mx = 0 şi My 0, caz reprezentat de curba de interacţiune N - My; încovoiere oblică cu N = 0, Mx 0 şi My 0, caz reprezentat de curba de interacţiune Mx - My.

Fig. 6.4 Interacţiunea eforturilor secţionale la starea limită de rezistenţă

Eforturile produse de încărcările exterioare determină un punct de coordonate N, Mx şi My. Dacă acest punct se găseşte în interiorul domeniului limitat de suprafaţa de interacţiune sau, la limită, chiar pe această suprafaţă, atunci secţiunea satisface starea limită de rezistenţă.

La verificarea unei secţiuni din beton armat se urmăreşte să se stabilească dacă punctul de coordonate N, Mx şi My se găseşte în interiorul domeniului delimitat de suprafaţa de interacţiune.

134

Această verificare se poate face prin una din următoarele două variante, în figura 6.5 prezentându-se în acest sens compresiunea excentrică dreaptă:

verificarea la încărcări gravitaţionale, când există o creştere proporţională a eforturilor exterioare M şi N, reprezentate prin punctul A, până la atingerea curbei de interacţiune în punctul B (fig.6.5a); aceasta înseamnă

; condiţia de verificare este N Ncap pentru e0 = const;

verificarea la încărcări orizontale, de genul acţiunii seismice, când pentru o forţă axială constantă există o creştere a momentului încovoietor, din punctul A până la atingerea curbei de interacţiune în punctul B (fig. 6.5b); condiţia de verificare este M Mcap pentru N=const.

Fig. 6.5 Curbe de interacţine - modul de atingere a capacităţii portante

La dimensionarea secţiunii din beton armat se urmăreşte stabilirea unei arii de armătură pentru care curba de interacţiune să se aştearnă peste punctul determinat de eforturile ce acţionează în secţiune.Pentru calculul la starea limită de rezistenţă există două metode şi anume:

metoda generală de calcul, care ia în considerare exprimarea explicită a condiţiilor statice (ecuaţiile de echilibru static), geometrice (utilizarea ipotezei secţiunilor plane) şi fizice (curbele ale materialelor); suprafaţa sau curba de interacţiune nu prezintă discontinuităţi pe tot domeniul de forţă axială cuprins între +N şi -N;

metoda simplificată de calcul, care implică introducerea unor aproximări în vederea rezolvării numai cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru static;

Este evident că, pentru o secţiune dată, suprafeţele sau curbele de interacţiune date de cele două metode nu coincid, însă diferenţele care apar nu sunt semnificative pentru calculul practic.

135

6.3 INFLUENŢA ZVELTEŢEI LA ELEMENTELE COMPRIMATE

Sensibilitatea la efectele de ordinul II este indicată de coeficientul de zvelteţe teoretic o = lf /i (lf - lungimea de flambaj; i - raza de inerţie, denumită şi rază de giraţie). Pentru stâlpii cu secţiune dreptunghiulară, această sensibilitate este exprimată prin coeficientul de zvelteţe convenţional = lf /h, unde h este latura secţ. după direcţia de acţiune a mom. încovoietor, în ipoteza de încărcare considerată. Pentru stâlpii cu secţiune circulară sau inelară, coeficientul de zvelteţe convenţional este = lf /d. Efectul zvelteţei elementelor comprimate este creşterea momentelor încovoietoare de ordinul I cu

valoarea M, ajungându-se la valoarea MII = M1 + M (fig. 6.6).

MII =MI

unde coeficientul supraunitar arată măsura în care cresc momentele încovoietoare în urma deformaţiilor de ordinul II.

Fig. 6.6 Creşterea momentelor încovoietoare datorită zvelteţii elementelor comprimate

Modul de cedare al unui element depinde de caracteristicile secţiunii (b; h; Rc; Ra; Aa; ), redate

prin curba de interacţiune M - N, precum şi de zvelteţea elementului. Pentru stâlpul consolă din figura 6.7a, mărirea progresivă a forţei excentrice N până la cedare conduce la

creşterea momentului încovoietor în secţiunea de încastrare, după cele trei variante prezentate în figura 6.7b.În cazul stâlpilor scurţi (nezvelţi), efectele de ordinul II sunt neglijabile. În cazul stâlpilor zvelţi, efectele de ordinul II nu pot fi neglijate.

a) stâlp consolă b) diagrama de interacţiune M-N

Fig. 6.7 Cedarea la compresiune excentrică în funcţie de zvelteţea elementului

În cazul stâlpilor foarte zvelţi, cedarea se produce prin pierderea stabilităţii la o forţă axială , înainte

de a se atinge starea limită de rezistenţă. După atingerea valorii , deformaţiile cresc indefinit sub o forţă axială

constantă, ceea ce corespunde fenomenului de flambaj. Capacitatea portantă este dată de forţa critică de pierdere

a stabilităţii, adică . Se recomandă evitarea acestei situaţii prin adoptarea unor dimensiuni

corespunzătoare ale elementelor.Forţa critică de pierdere a stabilităţii se calculează cu relaţia lui Euler:

136

(6.4)

Având în vedere faptul că efectele de ordinul II se accentuează pe măsură ce elementul se apropie de stadiul de cedare (curba b), modulul de rigiditate trebuie să reflecte caracteristicile de deformaţie din vecinătatea ruperii. Din acest motiv, modulul de rigiditate trebuie introdus în calcul cu mărimea corespunzătoare stadiului de cedare, pentru care se foloseşte relaţia empirică prevăzută în standardul românesc:

(6.5)

EbIb este modulul de rigiditate al secţiunii brute din beton;pt - procentul total de armare al secţiunii din beton;Mld - momentul încovoietor din încărcările de lungă durată, care produc stâlpului o deformată în acelaşi sens cu cea determinantă pentru efectele de ordinul II;M - momentul încovoietor total de ordinul I.Raportul Mld / M din relaţia (6.5) introduce influenţa deformaţiilor de curgere lentă ale betonului asupra

efectelor de ordinul II, influenţă care constă în mărirea deformaţiilor de ordinul II.În cazurile curente, se poate lua preliminar (EI)conv 0,3 EbIb

În cazul stâlpilor zvelţi, la care fenomenul de flambaj nu intervine înainte de atingerea stării limită de rezistenţă, forţa critică dată de relaţia lui Euler (6.4) reprezintă numai un parametru pentru trasarea curbei b în vederea determinării punctului , respectiv pentru calculul lui cu relaţia (6.6). Figura 6.8 redă corelaţia reală dintre Ncap şi zvelteţea elementelor comprimate din beton armat, comparativ cu corelaţia teoretică dintre Ncr şi zvelteţea dată de relaţia lui Euler.

Coeficientul poate fi determinat cu relaţia lui Perry - Timoshenko:

(6.6)

şi ea este riguros valabilă numai dacă diagramele de momente M I şi M sunt afine, ceea ce pentru un stâlp tip consolă se întâmplă dacă încărcarea orizontală este distribuită sinusoidal pe înălţimea stâlpului (fig. 6.9a).

Problema efectelor de ordinul II în structurile de rezistenţă reale este complicată şi de sensibilitatea la aceste efecte în funcţie de deplasările laterale. Din acest punct de vedere, intervine problema structurilor contravântuite şi a elementelor de contravântuire, de care depinde posibilitatea deplasărilor laterale ale nodurilor structurii.

O structură se consideră că este contravântuită dacă este capabilă să transmită la fundaţie cel puţin 90% din toate încărcările orizontale şi dacă are asigurată stabilitatea. Contravântuirea unei structuri din beton armat se poate realiza cu diafragme, adică pereţi din beton armat (fig. 6.9c) şi mai rar cu elemente metalice diagonale. Cadrele din beton armat cu noduri rigide sunt considerate, în general, ca structuri contravântuite (fig. 6.9b).

În funcţie de valoarea coeficientului obţinută din relaţia (6.6), există 3 metode de abordare a efectelor de ordinul II.

137

6.5.2 Cazuri de solicitare la încovoiere cu forţă axială

În funcţie de natura forţei axiale (compresiune sau întindere) şi poziţia axei neutre în raport cu valorile

limită şi , tabelul 6.2 prezintă cazurile de solicitare ale secţiunii şi modurile de rupere pe care se bazează

stabilirea relaţiilor de calcul în metoda simplificată.Se constată că există trei moduri majore de cedare a secţiunii: cedarea armăturii Aa când secţiunea este complet fisurată - MOD-ul A; zdrobirea betonului comprimat şi curgerea armăturii Aa - MOD-ul B;

zdrobirea betonului comprimat şi curgerea armăturii , în timp ce armătura Aa poate fi întinsă (a <

Ra) sau comprimată (a Ra) - MOD-ul C.

Fig. 6.19 Modurile de cedare ale secţiunii, reflectate în curba limită de interacţiune

Pe lângă punctele A, B şi C, pe curba limită de interacţiune mai sunt reprezentate următoarele cazuri: efort unitar normal nul în fibra inferioară a secţiunii - punctul D (linia întreruptă d din figura 6.18); această situaţie se numeşte decompresiunea fibrei inferioare; efort unitar normal nul în armătura Aa - punctul D0 (xr = h0); compresiunea centrică - punctul E (linia întreruptă e din figura 6.18), care este un caz convenţional datorită efectului excentricităţii adiţionale ea; din acest motiv punctul E este înlocuit cu E' care reprezintă situaţia reală; întinderea centrică - punctul F

138