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Clasa a X-a Algebra - 1
Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
Definitia llooggaarriittmmuulluuii :
- Fie 0a , 1a si 0x ;
- Se numeste logaritmul numarului x in baza a , si se noteaza xalog , numarul real y
definit prin :
xya
log xay
Observatii :
1). Nu se poate defini logaritmul unui numar real negativ x , deoarece 0ay
, Ry .
2). Definitia unui numar pozitiv implica trei chestiuni :
a). cele doua notatii xya
log si xay ;
b). numarul x trebuie sa fie strict pozitiv ;
c). daca 1 , 0 aa si 0x , atunci :
xa xa log
Aceasta identitate se numeste identitatea logaritmica fundamentala si afirma ca : logaritmul
unui numar pozitiv intr-o baza este exponentul la care se ridica baza pentru a obtine numarul .
Important :
In cazul in care in cadrul unui exercitiu intervin logaritmi , inainte de a rezolva exercitiul ,
trebuie sa punem conditii de existenta , lucrul valabil dealtfel in toate exercitiile indiferent de
expresiile care apar , conditii exprimate in cadrul observatiilor de mai sus .
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Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
Proprietatile llooggaarriittmmiilloorr :
Fie 0a , 1a .
Avem urmatoarele proprietati :
1). 01log a ( deoarece 1
0 a ) .
1log aa ( deoarece aa
1 ) .
2). Logaritmul produsului a doua numere este egal cu suma logaritmilor celor doua numere :
yxyxaaa
logloglog , 0, yx
3). Logaritmul unei puteri cu exponent natural este egal cu produsul dintre exponent si
logaritmul bazei puterii :
xkx a
k
aloglog , 0 x
4). Logaritmul catului este egal cu diferenta dintre logaritmul numaratorului si logaritmul
numitorului :
yxy
xaaa
logloglog
, 0, yx
xx
aalog
1log
, 0 x
5). Logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponentul puterii si
logaritmul numaratorului :
xx aaloglog
, Rx , 0
6). Formula de schimbare a bazei : formula da trecerea de la logaritmul unui numar in baza
a la logaritmul aceluiasi numar in noua baza b :
a
xx
b
b
alog
loglog , 0, ba , 1, ba , 0 x
Avem urmatoarele formule :
a
b
a
b
ab
b
aln
ln
lg
lg
log
1log , 0, ba , 1, ba
unde :
aa loglg10 , bb loglg
10 reprezinta logaritmul zecimal al numarului a , b
aa elogln , bb e
logln reprezinta logaritmul natural al numarului a , b
e = numar irational , numarul lui EULER
e = ...71821,2 .
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Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
Definitia ffuunnccttiieeii llooggaarriittmmiiccee :
- Fie 0a , 1a ;
- Functia Rf ;0: , definita prin xxfa
log se numeste functia logaritmica
de baza a .
Proprietatile ffuunnccttiieeii llooggaarriittmmiiccee :
1). 01 f ( logaritmul lui 1 in orice baza este egal cu 0 ) .
2). Functia logaritmica este monotona . Mai exact :
- daca 1a , f este strict crescatoare ;
- daca 10 a , f este strict descrescatoare .
3). Monotonia functiei logarithmice este utilizata la rezolvarea inecuatiilor ( inegalitatilor )
logaritmice :
- pentru 1a , xxxx aa 2121 loglog ;
- pentru 10 a , xxxx aa 2121 loglog .
4). Functia logaritmica Rf ,0: , xxfa
log este injectiva .
5). Functia logaritmica Rf ,0: , xxfa
log este surjectiva .
6). Functia logaritmica este inversabila , iar functia inversa este functia exponentiala avand
aceeasi baza :
fie functia logaritmica Rf ,0: , xxfa
log
inversa ei este
,0:1
Rf , axf x
1
- graficele sunt simetrice fata de dreapta de ecuatie xy .
7). Functia logaritmica este : - concava daca 1a ;
- convexa daca 10 a .
8). Din faptul ca f este bijectiva avem echivalenta :
yxyx aa loglog
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Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
Teorema sseemmnnuull ffuunnccttiieeii llooggaarriittmmiiccee :
- Fie functia logaritmica Rf ;0: , xxfa
log , unde 0a , 1a ;
- Are loc urmatoarea :
- daca 10 a , atunci
1pentru 0log
10pentru 0log
xx
xx
a
a ;
- daca 1a , atunci
10pentru 0log
1pentru 0log
xx
xx
a
a
.
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Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
Definitia eeccuuaattiieeii llooggaarriittmmiiccee :
- Prin ecuatie logaritmica vom intelege o ecuatie in care necunoscuta x figureaza in expresii
ce apar ca argumente ale logaritmilor sau baze ale acestora .
Definitia ssoolluuttiieeii eeccuuaattiieeii llooggaarriittmmiiccee :
- Se numeste solutie a unei ecuatii logaritmice de necunoscuta x un numar real x0 cu
proprietatea ca punand xx 0 in ecuatie , aceasta se verifica .
Definitia rreezzoollvvaarriiii eeccuuaattiieeii llooggaarriittmmiiccee :
- A rezolva o ecuatie logaritmica inseamna a-i determina toate solutiile .
- Rezolvarea ecuatiilor logaritmice se bazeaza pe proprietatea : doi logaritmi in aceeasi baza
sunt egali daca argumentele sunt egale .
Definitie eeccuuaattiiii llooggaarriittmmiiccee eecchhiivvaalleennttee :
- Doua ecuatii logaritmice se numesc echivalente daca multimile de solutii coincid .
Observatie :
- Conditiile de existenta pentru o ecuatie logaritmica se pun la inceputul rezolvarii ei si nu
dupa ce aceasta a fost transformata !!!
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Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
1 Ecuatii llooggaarriittmmiiccee ddee ffoorrmmaa :: Raaxfxg , log :
- Metoda de rezolvare : ecuatia este echivalenta cu sistemul
numar unui uilogaritmul definitia aplicata este
unu de diferita si pozitivastrict este uilogaritmul baza 1
0
pozitivestrict numeredin sens are logaritmul 0
xgxf
xg
xg
xf
a
- Se rezolva ecuatia din sistem si valorile gasite pentru x vor fi solutii daca se verifica :
0xf , 0xg , 1xg
- In nici un caz nu se rezolva mai intai inecuatiile si apoi ecuatia !!!
2 Ecuatii llooggaarriittmmiiccee ccee ccoonnttiinn llooggaarriittmmii iinn aacceeeeaassii bbaazzaa ::
- Daca ecuatia are forma simpla : xhxfxgxg
loglog , atunci aceasta este
echivalenta cu sistemul :
injectiva este alogaritmic functia
unu de diferita si pozitivastrict esteor logaritmil baza 1
0
drept membruldin logaritmul existe sa ca 0
stang membruldin logaritmul existe sa ca 0
xhxf
xg
xg
xh
xf
- Se rezolva ecuatia xhxf .
- Dintre valorile obtinute vor fi solutii ale ecuatiei date numai acelea care verifica si celelalte
conditii din sistem .
- Daca ecuatia este mai complexa atunci se pun mai intai conditiile de existenta asupra
logaritmilor pentru ecuatia data , dupa care utilizand proprietatile logaritmilor se aduce la tipul
precedent .
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Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
3 Ecuatii llooggaarriittmmiiccee ccee ccoonnttiinn llooggaarriittmmii iinn bbaazzee ddiiffeerriittee ::
Metoda de rezolvare :
- se impun conditiile de existenta asupra logaritmilor ;
- se aduc logaritmii in aceeasi baza utilizand formula :
a
xx
b
b
alog
loglog , 0, ba , 1, ba , 0 x
de trecere de la baza a la baza b pentru numarul 0x .
- se procedeaza apoi ca la tipul precedent .
4 Ecuatii eexxppoonneennttiiaall llooggaarriittmmiiccee ::
Metoda de rezolvare :
- se aplica metodele de la tipurile precedente urmate de tipurile de rezolvare ale ecuatiilor
exponentiale ;
- pentru rezolvarea acestora se mai aplica si metoda logaritmarii ambilor membrii intr-o baza
convenabila .
5 Ecuatii llooggaarriittmmiiccee ccuu ssoolluuttiiee uunniiccaa ::
Metodele de rezolvare ale acestui gen de probleme sunt diverse :
Cea mai uzitata , aplicabila la o ecuatie de forma cxf , Rc , constanta , si care
are o radacina Rx 0 , apeleaza la monotonia functiei f :
- Daca f este strict monotona ( este injectiva ) atunci solutia Rx 0 este unica .
- O alta metoda utilizeaza inegalitatile clasice ( a mediilor , Cauchy–Buniakovski–Schwartz )
si anume in cazul in care avem egalitate in aceste inegalitati .
- Alt procedeu consta in evidentierea unei solutii x0 si apoi sa demonstram ca daca xx 0
membrul stang al ecuatiei este diferit de membrul drept .
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Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
Definitie rreezzoollvvaarreeaa iinneeccuuaattiiiilloorr llooggaarriittmmiiccee ssiimmppllee :
- Rezolvarea inecuatiilor logaritmice simple reclama cunoasterea monotoniei functiei
logaritmice de baza 0a , 1a , Rf ;0: , definita prin xxfa
log .
- Aceasta functie este :
- strict crescatoare daca 1a ( daca baza este supraunitara ) ;
- strict descrescatoare daca 10 a ( daca baza este subunitara ) .
- Practic tehnicile de reducere a inecuatiilor logaritmice la altele mai simple sunt cele
prezentate la ecuatiile logaritmice .
Definitie iinneeccuuaattiiii llooggaarriittmmiiccee eecchhiivvaalleennttee :
- Doua inecuatii logaritmice se numesc echivalente daca au aceleasi multimi de solutii .
Definitie sscchheemmaa ddee rreezzoollvvaarree aa iinneeccuuaattiiiilloorr llooggaarriittmmiiccee ssiimmppllee :
Este data pentru cele patru situatii de mai jos :
1).
1
1
1
0log
a
xf
a
xfa
;
2).
10
10
10
0log
a
xf
a
xfa
;
3).
1
10
1
0log
a
xf
a
xfa
;
4).
10
1
10
0log
a
xf
a
xfa
.
Clasa a X-a Algebra - 9
Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
Definitie rreezzoollvvaarreeaa iinneeccuuaattiiiilloorr llooggaarriittmmiiccee ccoommpplliiccaattee :
In cazul inecuatiilor mai complicate 0 , 0 xg , unde in membrul stang figureaza
si logaritmi ce au in argument necunoscuta x , pentru rezolvarea ei se poate aplica tehnica
utilizata la inecuatii exponentiale :
- se rezolva ecuatia 0xg ;
- se realizeaza tabelul de semn al functiei g tinand seama de faptul ca aceasta functie daca nu
se anuleaza pe un interval , atunci are pe acest interval semn constant .
- pentru a vedea semnul lui g pe un astfel de interval se alege de aici o valoare x0 pentru
care calculul xg 0 sa fie cat mai simplu .
- semnul lui xg 0 se pastreaza pe tot intervalul analizat .
Aceasta metoda faciliteaza rezolvarea inecuatiilor logaritmice dat fiind faptul ca am studiat
in detaliu rezolvarea ecuatiilor logaritmice 0xg .
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Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
Definitia ssiisstteemmeelloorr ddee eeccuuaattiiii eexxppoonneennttiiaallee :
- Prin sistem de ecuatii exponentiale intelegem un sistem de ecuatii in care cel putin o
ecuatie este exponentiala .
Definitia ssiisstteemmeelloorr ddee eeccuuaattiiii llooggaarriittmmiiccee :
- Prin sistem de ecuatii logaritmice intelegem un sistem de ecuatii in care cel putin o
ecuatie este logaritmica .
Tehnici de rreezzoollvvaarree aa ssiisstteemmeelloorr ddee eeccuuaattiiii :
- Tehnicile de rezolvare a acestor siteme sunt cele cunoscute de la tipurile de sisteme studiate
( omogene , simetrice , irationale ) in urma unor substitutii combinate cu metodele de rezolvare ale
ecuatiilor exponentiale si (sau) logaritmice .
Definitia ssiisstteemmeelloorr ddee iinneeccuuaattiiii eexxppoonneennttiiaallee ssii llooggaarriittmmiiccee :
- Prin sistem de inecuatii exponentiale ( logaritmice ) de necunoscuta x se intelege un
sistem care contine cel putin o inecuatie exponentiala ( logaritmica ) de necunoscuta x .
- Domeniul de existenta al sistemului se obtine intersectand domeniile de existenta ale
inecuatiilor care compun sistemul .
Definitie ssoolluuttiiee aa ssiisstteemmeelloorr ddee iinneeccuuaattiiii :
- Un numar x0 din domeniul de existenta se numeste solutie a sistemului daca x0 este
solutie a fiecarei inecuatii care compune sistemul .
- Prin urmare solutia unui sistem de inecuatii se obtine intersectand solutiile inecuatiilor
care-l compun .
- Practic se rezolva fiecare inecuatie si se determina multimea de solutii , dupa care se
face intersectia acestor multimi .
- A rezolva un sistem de inecuatii inseamna a-i determina multimea solutiilor folosind
tehnicile specifice tipurilor de inecuatii exponentiale si logaritmice studiate .
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Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
Exercitiul nr. 1 :
Sa se determine domeniul de definitie al functiilor definite astfel :
a). f(x) = 15log2
x ; b). f(x) = 15log2
x ; c). f(x) = 12
3log x ; d). f(x) = 1
2
3log x ;
e). f(x) = 12log2
2
1 xx ; f). f(x) = 5log2
5 xx ; g). f(x) = 65
2
12
1log xx ;
h). f(x) = 14
32log2
2
x
xx ; I). f(x) = x34log5
1 ; j). 12log xx
; k). xx
x2
1
1 4log
.
Exercitiul nr. 2 :
Sa se determine valorile numerice pentru :
a). 8log2
= ? ; b). 5
1log
5 = ? ; c). 81log
3
1 = ? ; d). 64 log2
= ? ; e). 243 log27
= ? .
Exercitiul nr. 3 :
Sa se calculeze :
16 log6
in functie de a = 27 log12
.
Exercitiul nr. 4 :
Daca : yxaaa y-2x 2 logloglog , sa se calculeze
x
y .
Exercitiul nr. 5 :
Sa se ca daca : a , b R* si a2 +b2 = 7ab , atunci avem :
baba
2
1
3 logloglog
222
.
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Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
Exercitiul nr. 6 :
Daca x1 , x2 , … , xn ( 0 , 1) ( 1 , + ) , sa se dem. relatia :
xxxxx nxnxnxxx ...... logloglogloglog
11433221
.
Exercitiul nr. 7 :
Daca a , b , c ( 0 , + ) astfel incat ab bc ca 1 si log bc a = x ,
log ac b = y iar log ab c = z , sa se arate ca :
1
111
cba
yxzxzyzyx
Exercitiul nr. 8 :
Aplicand proprietatile logaritmilor sa se calculeze :
a). 7 42 loglog67
; b). 2
3 1 12 loglog
23
2
; c). 2 7 5 3 loglogloglog
7532 ;
d). 7
1 7 log
log
3
13
; e). acbcba logloglog , unde a , b , c ( 0 , 1 ) ( 1 , + ) ;
f). 15 125 - 25 logloglog3
133
; g). 3 - 8 6 logloglog444
.
Exercitiul nr. 9 :
Sa se arate ca daca :
11
log2
bnan
bnanan
atunci suma :
s = 11 ..... log221 bnanaaa n
este independenta de n .
Exercitiul nr. 10 :
Demonstrati ca daca a , b , c sunt trei numere positive in progresie
geometrica , iar r un numar pozitiv , atunci unul din numerele :
rrrcba , , logloglog este media armonica a celorlalte doua .
Clasa a X-a Algebra - 13
Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
Exercitiul nr. 11 :
Sa se rezolve ecuatiile :
1). 2lglg x ; 2). 2lglg x ;
3). 16log1log 2
22 xxx ; 4).
145lg
lg2
x
x ;
5). 0132log 2
3 xx ; 6). 31
1log2
x ;
7). 4128log 24
1 xxxx ; 8). 2432log 2
xxx ;
9). 2352log 2
7 xx ; 10). 1log2
2 xxx ;
11). 213log 2
1 xxx ; 12). 05loglog
55
1 x ;
13). 03
2loglog
2
82
1
x
xx ; 14). 0lglglg x ;
15). 2
112logloglog
324x ; 17). 262log 24
22 xxx
;
18). 26log xx
; 19). 2
195log 2
62 xxx
;
20). 46log 2 2
1 xxx .
Exercitiul nr. 12 :
Sa se rezolve ecuatiile :
1).
1
2log
10
2log
5
1
5
1
x
x ; 2). 4log
3
542log
10
1
2
10
1
x
x
x ;
3). 22log43log3
12
3
1 xxx ; 4). 142log13log44
xx ;
5). xxxx
623log92log22
; 6). 1log2log25
2
25 xx xx ;
7). 31log3log22 xx ; 8). 112log52log
55 xx ;
9). 4log113log225log333
xx ;
10). 8log327log113log555
xx ;
11). 72log12log2log777
xxx ;
Clasa a X-a Algebra - 14
Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
12). 2lg63lg2
12lg xx ;
13). 2lg121lg21lg xx ; 14). 04log2log22
33 xx ;
15). 252log2log32
5
24
5 xx ; 17). 175log 2
1 xxx ;
18). 23log2log xx
; 19). 1log3log 2 xx
xx ;
20). 4log234log2
2
2 xx ;
21). 111
1log
2
x ; 22). 2log
2 x .
Exercitiul nr. 13 :
Sa se rezolve ecuatiile :
1). 8loglog82 xx ; 2). 564log4log 2
xx ;
3). 7logloglog1642 xxx ; 4).
2
11logloglog
2793 xxx ;
5). xxxlog2log416log3
216 ; 6). 04log34log24log3164
xxx ;
7). 2log8loglog5 2
9
39
9
2 xxx xx
x ; 8). 1log3
log2
33
x
xx
;
9). 3log233log13log2
1
32 xx
;
10). 02log2log2log
2log
2
12
2
4 xx
x
x ;
11). 02log3log3 xxx
;
12). 1log5log2
5
2xxx
; 13). 1log5log55 xx ;
14).
82log
122log
32
2
2
x
x
; 15). xxx2
33
3
9log9log9log ;
16). xxx 27log53log3
2
3 ; 17). 1log1log5,0
2
2 xx ;
18). x
x
2
1lg24lg ; 19). xx log13log
2
2
2 ;
20). 34loglog1loglog3232
xx .
Clasa a X-a Algebra - 15
Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
Exercitiul nr. 14 :
Sa se rezolve ecuatiile :
1). 1100lg10lg10lg 2 xxx ;
2). 3
5log
2
11log1 3
2
9
x
xx ; 3). 04log17log4 33
2
xx ;
4). 103log9log29
xx ; 5). 0loglog 32
2
2 xx
x
x ;
6). 53log22log3 2
55 xx
x ; 7). 15lg4
12lg
4 xx ;
8). 61log1log2
2
2 xx ; 9). 25lg32lg
2
126lg xx ;
10). 1lg2lg6lglg2 xxx ; 11). 18loglog555 xx ;
12). 1loglog32 xx ;
13). 1log1log25log3log2
4
1
2
12
2 xxx ;
14). 54loglog24
xx ; 15). 019lg10lg2
xx ;
16). 4log41log29loglog323 xx ;
17). xx lg3lg4 ; 18). 013loglog3 33 xx ;
19). xxx xxx
3
2
2
42
log3log2log4 ; 20). 1log5
log5
2
5 xx
x ;
21). 06log3log12log26
65,04 x
x
22). 32log44log 1
22 xx
x ; 23). 0001,0lg5lg
3
xxx
;
24). 10001lg3lg
2
xxx
.
Exercitiul nr. 15 :
Sa se rezolve ecuatiile :
1). xx lg4
1
3
1lg
12
1 2 ; 2). 01lglg3 22
xx ;
3). 01lg3lg2 32 xx ; 4). 5335
1lg1lg1lglg
xxxx .
Clasa a X-a Algebra - 16
Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
Exercitiul nr. 16 :
Sa se rezolve ecuatiile :
1). 232log2 x
x ; 2). x
x 5212log
2 ;
3). 13log279log 1
2
1
2 xx
;
4). 12lg194lg2lg 22 xx
;
5). xxxx
; 6). 10lg xx
;
7). 256log2
2
xx
; 8).
93log
3 xx
;
9). 2435 log3 xx
; 10).
23log3log
44
xx
x ;
11). 482log21log
2
2
2
xxx
; 12). xxx
92log1
3
;
13). 1022lg
xx
; 14). 279log3log
3 xx
x ;
15). 12525log5log
5 xx
x ; 16). xxx
xx21 2log1log 33
;
17). 1413
2lg1lg xxxxx
.
Exercitiul nr. 17 :
Sa se rezolve ecuatiile :
1). xx log103 2
; 2). xx 4log3
;
3). 18log3 xx ; 4).
1
4log
3
x
x ;
5). xxxx log1log23 2
2
2
32 ; 6).
2571log1log
75 xx ;
7). 1ln2
2
xxee
xx
; 8). 13log
2 xx ;
9). 1622/2
xx
; 10). xx log1log32 ;
11). xxx loglg2
3 .
Exercitiul nr. 18 :
Sa se rezolve ecuatiile :
a). 15 53 loglog22
xx ; b). 2 41 1 1 logloglog333
xx ;
Clasa a X-a Algebra - 17
Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
c). 0 4 loglog2
1
2
1 xx ; d). 7 5 32 logloglog555
xx ;
e). 1 lg - 3 lg 2 lg 2
1 xxx ; f). 2 2 - 4 2 logloglog
3
1
3
1
3
1 xx ;
g). xxx 2
1 - 6 32 lglglg ; h). 32 96
2
1 1 logloglog
777 xxx ;
i). 3
11 2 lglg
x
xx ; j). 15 5 3 logloglog
5
1
5
1
5
1 xx ;
Exercitiul nr. 19 :
Sa se rezolve ecuatiile :
1). 0 4 - 3 - loglog2
3
2
3xx ; 2). 1 3 2 - 3 loglog
22 xx ;
3). 2 23log2
1
xxx; 4). 4 52 2log
2
1
xxx
;
5). 0 3- - 2
2
2
2loglog xx ; 6). 11 logloglog
2793 xxx ;
7). 1 2 2 loglog4
x
x ; 8). xx xx
x2
2
3
16x4 3 7 20 logloglog ;
9). 1 3
loglog2
33 x
xx ; 10). 1 3 3
27 logloglog
33
xxx ;
Exercitiul nr. 20 :
Sa se rezolve ecuatiile :
1). 0 3 10 - 3 loglog3
2
3xx ; 2). 0 8 6 - loglog
2
2
2xx ;
3). 2 logloglog432
x ; 4). 1 3 2log2
xxx;
5). 2 5 log3
xx
; 6). xx xxx
3 1 2
loglog 22 ;
7). 1 loglog2
1
3
1
x ; 8).
xx
x 3
6
27 1
2 -
logloglog
3
3
;
9). xx 5 12 2log2
; 10). 13logloglog4
933 12 1 xxx ;
11). 9 2 logloglog2
122
xxx ; 12). 0 2logloglog2
3xxx
;
13). xx 3 log2
; 14). 4
7 - 7
1
7
1 loglogloglog
22
7
117 x
x xx ;
15). xx 6 2 log7
; 16).
4 - 593 1 log9log5
xx ;
17). 18 log2 2 xx
; 18). 34 log2 2
2 xx
x ;
Clasa a X-a Algebra - 18
Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
19). 30 423 lg3 xx
; 20). 2 1 lg2
xx ;
21). 64 23 2 log5log5 x
x ; 22). n ....... logloglog2
2 xx
n
a anax .
Exercitiul nr. 21 :
Sa se rezolve ecuatiile :
1). 5 logloglog2
4
9 5 5
xx
xx ; 2). 0 1 - 3 - 2 lglg
32xx ;
3). 0 11 - 3 - 2 lglg22
xx ; 4). 2 3 - 2 loglog xx
;
5). 11 9 2 2lg4lglg 22 xx ; 6).
1 45
2
lg
lg
x
x ;
7). 0 4 3 4 2 4 3 logloglog164
xxx
; 8). 2 5 21 loglog52
xx
;
9). 5 2 6 3 lglglglg xx ; 10). 8 - 2 1 - 3 logloglog444
xx ;
11). 0 4 17 - 4 log log3
2
3xx ; 12). 2 28 9log
2
53
xxx
.
Exercitiul nr. 22 :
Sa se rezolve ecuatiile :
1). 1 43 - 1912 lg3lg2
xxx ; 2). 1 23 - 7 lg3lg2
xx ;
3). 1 2 7 3log9log1
2
1
2
xx ; 4).
5
16 5 loglog
22
xx
xx ;
5). 0 5 1 1 logloglog3
3
1
3
1 xxx ;
6). 8- 2
1 1 logx logloglog2log
2
4
4
32
22
2
2 xx xx .
Exercitiul nr. 23 :
Sa se rezolve si discute ecuatiile logaritmice dupa valorile parametrului real a :
1). 0log3loglog2 2 aaa xaaxx ; 2). 27logloglog 3 2 xxx aaa
;
3). xaxx
a 2log
; 4). 12
4loglog
2
2
xa
aa ax
;
5). 032log9log3
3
1 xx
a .
Clasa a X-a Algebra - 19
Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
Exercitiul nr. 24 :
Sa se rezolve inecuatiile :
1). 3lg3lg 2 xx ; 2). 08lg2lg
2 xx ;
3).
16
125,0
4
x
x ; 4). x
x 329log
2 ;
5). 12lg194lg2lg 22 xx
; 6). 042log7,0 x ;
7). 43log12log5,05,0 xx ; 8). 35log42log
22 xx .
Exercitiul nr. 25 :
Rezolvati inecuatiile :
1). 134log 2
3 xx ; 2). 2
1
3
3log
25,0
x
x ;
3). 14311log 2
5 xx ; 4). 11
23log
2
x
x ;
5). 11log3
1 xx ; 6). 041log 2
5,0 xx ;
7). 0logloglog5
3
12 x ; 8). 0
5
1logloglog
322,03
x
x .
Exercitiul nr. 26 :
Rezolvati inecuatiile :
1). 2 log3 2 x ; 2). 0 4
3log
5
x
x ;
3). 2
1
2
1
3
12log
25,0
x
x ; 4). 2 43log
3 x .
Exercitiul nr. 27 :
Rezolvati inecuatiile :
1). 4log83log 2
3,03,0 xx ; 2). xx 2log1log25,0
;
3).
1log12
96log
2
2
5,0
x
x
xx ; 4). 23loglog
1255 xx .
Clasa a X-a Algebra - 20
Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
Exercitiul nr. 28 :
Rezolvati inecuatiile :
1). 3 9loglog3
9
1 xx ; 2). 0 8lg2lg2
xx ;
3). 3 49loglog27
xx ; 4). 1 23log 2 xx .
Exercitiul nr. 29 :
Rezolvati inecuatiile :
1). 2 12log2 x ; 2). 1 21log
2
1 x ;
3). 1 13log5 x ; 4). 1 65log 2
2
1 xx ;
5). 075lg 2 xx ; 6). 02
82log
2
x
x ;
7). 132
log3
1
x
x ; 8).
2
1
3
3log
4
1
x
x ;
9). 11
log2
x
x ; 10).
0
4
1log2
1
x
x ;
11).
0 2log
5
3
x
x ; 12).
0
25
3log2
2
x
x ;
13). 0 7log15
1 xx ; 14). 0 4
loglog2
62
1
x
xx ;
15). 0 1
1loglog
32
1
x
x ; 16). 3log1log
55 xx ;
17). xx 21log37log77 ; 18). 32log4log 2
3
1
3
1 xxx ;
19). xx
x
5log
32
7log
5
1
5
1 ; 20). 1lg43lg 2 xxx .
Exercitiul nr. 30 :
Sa se rezolve inecuatiile :
1). 2log5log2log3
1
3
1
3
1 xx ; 1’). 2loglog2log42 xxx ;
Clasa a X-a Algebra - 21
Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
2). 14log2log2log333
xxx ;
3). 1log2log4log5
1
5
1
5
1 xx ; 3’). 1 2log xx
4). 2lg2lg1lg xxx ; 5). 1 16log52log 2
5
1
5
1 xx ;
6). xx log21 1log42
; 7). 6log 1log2log3
1
9
1
3
1 xx ;
8). 3log5loglog2
1
3
133
xxx ; 8’). 2 1log3
x
x
9).
8
1log22log214log
2
142
xx ;
10). 1 log22log2
34
32 xx ; 11). 2 log2log
93 xx ;
12). 3log3log23log2
1
2
12
xxx ;
13). 222log12log 1
2
12
xx ; 14). 633log13log 1
33 xx
;
15). 1 35log2 xx
; 16). 1 23log 2 xx
;
17). 1 1log 2
1 xx ; 18). 1
1
12log
x
xx
.
Exercitiul nr. 31 :
Sa se rezolve inecuatiile :
1). xxx
256 1log
4
; 2). 10 lgx
x ;
3). 23 log
2 xx
; 4). xxxx
10 lglg
;
5). 38 438log
2
2
xxx ; 6). 3025
loglog5
2
5 xxx
;
7). 17 16loglog
22
xxxx
; 8). 2-x6 52 2loglog3/13/1
xx xx ;
9). 8 1lg3 xx ; 10). 2 2log3
2 xxx ;
11).
0
12log
3log
2
1
2
x
x ; 12).
0
23log
12log
3
1
2
1
x
x ;
13). 2 log42 x ; 14). 1 4log 2
2 xx ;
Clasa a X-a Algebra - 22
Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
15). xx log
1
2log
1
33
; 16). 6log
2
2log
log
22
2
xx
x ;
17). 2lg1
1
lg1
1
xx ; 18). 1
2
13log
2
x
x ;
19). 2
1
53log
13log
2
1
2
1
x
x ; 20). 1
1log
281log
2
1
2
2
1
x
x
.
Exercitiul nr. 32 :
Sa se rezolve inecuatiile :
1). 1log2
1log
2
32
34 xx ; 2).
52
2log23log1 22
2
5,0
xx ;
3).
18lg
86lg 2
x
xx ; 4).
123log
73log
3
2
3
x
xx ;
5). 2 lglog22
100 xx ; 6). xxxx log36log12log3
2
3
2
3 ;
7).
11lg
3lg3lg2
x
xx ; 8). 0
5log
2log
x
x
a
a , 1 , 0 aa ;
9). 9log31log3 xx ; 10). 1 64log1log
12 x
x ;
11). 3 8
35log35log
24
x
x ; 12). 3 93log13log 2
33 xx
;
13).
1 log2log
24
xxx
; 14). xxx
2561log
4
;
15). 1 65log 2
2 xxx ; 16). 5,05,0log
1 x .
Exercitiul nr. 33 :
Sa se rezolve si sa se discute dupa valorile parametrului a , inecuatiile :
1). 4
3 logloglog 42 xxx aaa
;
2). 0 02,0log5loglog aaa xx .
Clasa a X-a Algebra - 23
Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
Exercitiul nr. 34 :
Sa se rezolve sistemele de ecuatii :
1).
3ln2ln2lnln
7
yx
yx ; 2).
1lnln3
5ln2ln
yx
yx ;
3).
15lnlnln
34 22
yx
yx ; 4).
323log2log
228
33
3
yxyx
yx-y
;
5).
4
40 lg
x
xyy
; 6).
2log
7log2loglog
4
333
yx
yx ;
7).
1 loglog
4
44
loglog 88
yx
yxxy
; 8).
4
log1
6
4
x
xy
y ;
9).
xy
xx
x
81
81 log
log
3
3
; 10).
13loglog
4
2
5log
xyx
xyx
y
xy
;
11).
4loglog2
5log
24
22
2
yx
yx ; 12).
yx
y
34
43 3lg4lg
lglgx
;
13).
2loglog
822
22yx
yx
; 14).
9232
ln
22
22
yxyx
x
yyx
;
15).
6
5
27
1
4
1
6
1loglog
27
1
4
1
yx
yx
; 16).
2lg2lg2
641 44
yx
yx ;
17).
3lglg
90
yx
yx ; 18).
2lg3lglg
13lg1lg 22
yxyx
yx ;
19).
2lg21lglg
2510 lg2
yxyx
yx
;
20).
2loglog
5122
33
1
12
yxyx
xy
; 21).
3lg2lglg
8193 2
xyx
xy
;
Clasa a X-a Algebra - 24
Cap. II : Functia logaritmica
Functia logarimica
22).
2lglg
15
yx
yx ; 23).
7log2loglog
2log
333
4
yx
yx ;
24).
0loglog
045
24
22
yx
yx ; 25).
12log2log
2
14
3
13
22
yxyx
yyx
26).
16
3
8loglog
xy
yx xy ; 27).
32
1log2log
22 yx
yx xy
;
28).
1000
100 lg
xy
xy
; 29).
40
4 lg
xy
xy
;
30).
3
1log
12
3
x
xy
y .
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