Download - Cap. 5_Piete Financiare Si Ipotezele Pietelor Fractale

Transcript

CAPITOLUL 5PIEE FINANCIARE I FRACTALI

Introducere

Pieele financiare sunt sisteme dinamice complexe unice, care combin interaciunile a mii de persoane i instituii i genereaz fluxuri de trezorerie incerte. Momentul de acordare a dividendelor , cupoanelor i a altor recompense variaz foarte mult, iar evalurile sunt conduse de veti la fel de diverse ca previziunile meteo pe termen scurt ( Roll , 1984a ), sau descoperirile tehnologice care ar putea dura zeci de ani pentru a ajunge la rezultate ( Greenwood i Jovanovic (1999) , Pastor i Veronesi (2008)). Participanii la pia adopt o varietate de strategii de tranzacionare i orizonturi de investiii. Speculatorii de nalt frecven, arbitrii i comercianii ncearc s exploateze oportunitile pe termen foarte scurt, n timp ce companiile de asigurri, fondurile de pensii i participanii instituionali (municipaliti, stat ), au obiective de investiii care acoper mai multe decenii. Mai mult dect att, recenta difuzare a tehnicilor de tranzacionare algoritmic implic faptul c, chiar i investitorii pe termen lung se angajeaz n mod obinuit n tranzacii sofisticate de nalt frecven.Complexitatea pieelor financiare este compensat de proprietile dinamice bogate ale datelor pe care le produc i cuantificarea riscului a fost de peste un secol una dintre cele mai importante subiecte de investigaie n domeniul finanelor. Pentru unii cercettori, provocarea pur tiinific de a intelege acest mediu complicat este o motivaie suficient. n acelai timp, posibilele recompense bneti pentru modelarea mbuntit a datelor financiare sunt substaniale. Managementul de portofoliu i de stabilire a preurilor activelor necesit o imagine exact a proprietilor statistice ale veniturilor generate de active. Managerii de risc trebuie s cuantifice expunerea poziiilor de tranzacionare i portofoliilor de creane. Valorile opiunilor sunt determinate n mare msur de prognoze de pia de volatilitate viitoare .Ipoteza pieei eficiente (EMH) a reuit s fac mediul matematic mai uor, dar, din pcate, nu este justificat de datele reale. n schimb, exist o nevoie de a cuta o ipoteza de pia care se potrivete mai bine cu datele observate i s se ia n considerare de ce exist piee. n cazul EMH, ipoteza de pia fractal (FMH) a fost propus recent de Peters i ipoteza de pia eterogen (HMH), pentru pieele de schimb valutar, de Mller. Bazat pe evoluiile actuale din teoria haosului i utilizarea obiectelor fractale ale cror piese disparate sunt auto-similare, aceste ipoteze ofer un nou cadru pentru o modelare mai precis a turbulenelor, a discontinuitilor i a non-periodicitilor care caracterizeaz cu adevrat pieele financiare actuale. Acestea par a fi instrumente robuste pentru a nelege caracterul aleatoriu al pieei, aflat n conflict cu determinismul experimentat n fiecare zi de tranzacionare i de investiii .

5.1 Fractali n Finane: o istorie scurt Graficile pieei de capital, care reprezint modificrile preurilor valorilor mobiliare sau activelor, pe o perioad de timp, apar ca forme neregulate, care par s fie reproduse i repetate n toate scalele de analiz: perioade de cretere urmate de perioade de declin. Cu toate acestea, creterile sunt ntrerupte de faze intermediare, i cderile sunt intercalate cu creteri pariale, iar acest lucru continu pn cnd se atinge limita natural de scal a cotaiilor.Aceast reea de modele repetitive de cretere i descretere n valuri, n toate scalele, a fost descoperit n 1930 de ctre Ralph Elliott, cruia i-a venit aceast idee n timp ce obseva fluxul i refluxul mareelor pe nisipurile de pe litoral. Astfel, el a formulat o simbolizare financiar cunoscut sub numele de "valuri n piaa de valori" sau "valuri Elliott", pe care el le-a defalcat n: valuri uriae, valuri normale, wavelets, i "tsunami".Teoria numita "valurile lui Elliott" [vezi anexa 1], prezint o descriere fractal determinist a pieei de valori, prin figuri geometrice auto-similare, pe care le gsim pe toate scalele de observare i compileaz un set de instrumente n form de analiz grafic a fluctuaiilor pieei de valori, folosite de anumii profesioniti ai pieei: analiti tehnici.Cifrele lui Elliott propun o calibrare a variaiilor de la o numerologie pitagorician bazat pe utilizarea raportului de aur i a irului lui Fibonacci, care sunt previziuni puternic nuanate de subiectivitate, aa cum detectarea i poziionarea undelor depind de punctul de vedere al analistului de grafic n ceea ce privete piaa pe care el o examineaz. Pentru lipsa unui instrument matematic adecvat, aceast conceptualizare de variaii pe piaa de valori a fost confirmat, ca alchimia nainte de chimie, n domeniul pre-tiinific pn la apariia fractalilor.Fractalii descoperii de Benot Mandelbrot n 1960, dei dezvoltai ntr-o abordare radical diferit, se ncadreaz n aceast form de nelegere a variaiilor valorilor de pia, ca punct comun cu valurile lui Elliott, care doresc s desclceasc mpletirea inextricabil a fluctuaiilor pieei de valori n toate scalele. Folosind limbajul pieei de capital, ne aflm n corectarea unei faze de cretere, sau ntr-o perioad de scdere contrazis de o cretere temporar? Fractalii reprezint conceptualizarea adecvat care s permit traducerea intuiiilor analitilor grafici n reprezentri matematice riguroase.Cu toate acestea, aventura fractalilor n finane nu are o istorie calm. Se refer, mai degrab la o progresie plin de evenimente a ipotezelor lui Mandelbrot, prin evoluia teoriei financiare de peste 40 ani, din 1960 pn n prezent, care a strnit o controvers vehement asupra modelrii n variaii infinite sau cu memorie infinit.Firul de conectare a operelor lui Mandelbrot, urmat de altele, a fost cercetarea legilor de scalare cu privire la fluctuaiile pieei de valori, indiferent dac aceast cercetare a urmat direcia de scalare invariant, sau o pur abordare fractal a pieelor, aa cum a propus Mandelbrot, sau n funcie de cea a unui instrument de analiz multiscaling a pieelor, cum ar fi cea corespunztoare pentru procesele mixte sau de tip ARCH, care au aprut n anii 1980, sau sistemul de schimbare din anii 1990.Punctul de plecare al acestei controverse a fost existena distribuiilor leptokurtice (sau non-Gaussiane) n variaiile pieei de capital. Aceasta anomalie distributiv n raport cu ipoteza brownian de modelare financiar tradiional, l-a determinat pe Mandelbrot n 1962 s propun distribuii -stabile la variaia infinit a lui Paul Lvy, prin nlocuirea Gaussian pentru modelarea veniturilor periodice.Cu toate acestea, foarte curnd, aceast nou ipotez a provocat o controvers destul de acerb n ceea ce privete existena variaiei i a altor procese noi candidate aprute tot mai uor, n timp ce scalarea invariant a legilor- stabile, proprietatea cardinal a ipotezei fractale a lui Mandelbrot, nu a aprut, sau numai cu dificultate i a fost validat experimental. ncercarea de a rezolva problemele leptokurtice prin conservarea ipotezei i.i.d. i propunerea distribuiei- stabile a euat, deoarece au aprut un nou tip de anomalii, sau anomalii de scalare. Prin urmare, cercetarea teoretic este interesat de modelarea leptokurtic n alte moduri posibile i ne ndreptm spre al doilea pivot de modelare financiar: ipoteza de independen a veniturilor succesive, care a fost contestat n mod egal. Prin urmare, ne-am uitat n diferite forme de dependen ntre venituri (liniar i apoi non-liniar), pentru observarea cauzei de leptokurticitate. Aceasta este a doua rund de investigaii empirice. Dup ce a subliniat lipsa de memorie pe termen scurt privind datele, cercetarea este pornit spre detectarea memoriei de lung durat privind datele.Nici aceast ncercare nu a reuit. Accentul este deplasat acum la procesul de volatilitate, cu formalizarea de memorie pe termen scurt pe volatilitate, adic o abordare care a dus la tendina de modelare ARCH i apoi prin evidenierea memoriei de lung durat pe volatilitate (sau dependena pe termen lung), adic o tendin care a dus la redescoperirea unor legi de scalare n domeniul finanelor.n cele din urm, ipoteza fractal a fost validat privind procesul de volatilitate a pieei de valori. Astzi, memoria de lung durat a volatilitii (de exemplu, o lege hiperbolic pe corelaii ntre volatiliti), a devenit un fapt recunoscut pe pieele financiare i modelarea financiar urmrete s reconcilieze lipsa de memorie privind datele i prezena de memoriei pe termen lung a volatilitii.O trecere n revist a lucrrilor teoretice cu privire la rezultatele cercetrii privind legile de scalare pentru descrierea variaiilor pieei de valori, arat foarte clar diferitele perioade distincte i existena unei cronologii n cercetarea fractalilor i legile de scalare, adic o periodizare care ilustreaz transferuri conceptuale ale cror subiect a fost Finanele, pentru 40 de ani.Cronologia este urmtoarea:- n prima perioad, 1960-1970, propunerile lui Mandelbrot i primile descoperiri a inavrianei la scal pe piee, a lansat o dezbatere academic, prin introducerea unor modele i.i.d. stabile i H-corelate;- Aceast dezbatere s-a dezvoltat n perioada 1970-1990 i pare a fi completat cu respingerea experimental a fractalilor n finane, privind datele pe piaa de capital;- Cu toate acestea, n paralel cu fractalii, evoluia econometriei seriilor de timp n procesul de integrare a gradului de fracionalitate, de tip ARFIMA din anii 1980 i FIGARCH n anii 1990, a dus la o redescoperire a legilor de scalare privind procesul de volatilitate a pieei de valori ntre anii 1990-2000, folosind conceptele de memorie de lung durat;- n cele din urm, msurarea timpului n sine devine un obiect de cercetare, cu evoluiile modelrii fractalilor n deformarea timpului (Clark, 1973).

5.2. Ipotezele Pieei Fractale (FMH)

FMH subliniaz impactul informaiilor i a orizontului de investiii asupra comportamentului investitorilor. n teoria tradiional a finanelor, informaiile sunt tratate ca un element generic. Investitorul este de asemenea generic. Practic, un investitor este oricine care vrea s cumpere, s vnd, sau s dein o aciune, din cauza informaiilor disponibile. Investitorul este de asemenea considerat raional, de exemplu, cineva care vrea ntotdeauna s-i maximizeze rentabilitatea i tie cum s preuiasc informaiile actuale. Aceast abordare generic, n cazul n care informaiile i investitorii sunt cazuri generale, implic faptul c toate tipurile de informaii au impact asupra tuturor investitorilor in mod egal. Din aceast cauz abordarea eueaz.Urmtoarele cinci ipotezele de baz au fost propuse de Peters: FMH 1. Piaa este format din mai multe persoane, cu un numr mare de orizonturi de investiii. FMH 2. Informaiile au un impact diferit pe diferite orizonturi de investiii. FMH 3. Stabilitatea pieei este n mare msur o problem de lichiditate (de echilibrare a cererii i ofertei). Lichiditatea este disponibil atunci cnd piaa este compus din mai muli investitori, cu mai multe orizonturi de investiii diferite. FMH 4. Preurile reflect o combinaie de tranzacionare tehnic pe termen scurt i de evaluare fundamental pe termen lung. FMH 5. n cazul n care o aciune nu are nici o legtur cu ciclul economic, atunci nu va exista un trend pe termen lung. Tranzacionarea, lichiditatea i informaiile pe termen scurt vor domina.Scopul FMH este de a oferi un model pentru comportamentul investitorilor i pentru variaiile preurilor de pe pia, care se potrivesc observaiilor noastre. Atunci cnd pieele sunt considerate stabile, EMH i CAPM par s funcioneze bine. Cu toate acestea, n timpul panicii aceste modele nu mai funcioneaz, cum ar fi singularitile n fizic. Acest lucru nu este neateptat, deoarece EMH, APT i CAPM sunt modele de echilibru, ele nu sunt adecvate turbulenelor. Spre deosebire de EMH, FMH spune c informaiile sunt evaluate n acord cu orizontul de investiii a investitorului. Cheia este c n FMH piaa este stabil atunci cnd nu are nici un interval de timp caracteristic sau orizont de investiii. Instabilitatea apare atunci cnd piaa i pierde structura fractal i i asum un orizont investiii uniform.n tabelul de mai jos sunt prezentate comparativ principalele caracteristici ale EMH i FMH.

EMHFMH

Statistici Gaussiane Statistici Non-Gaussiane

Procese StaionareProcese Non-Staionare

Fr memorie sau corelaii istoriceMemorie sau corelaii istorice

Fr modele ce se repet la toate scaleleMulte modele ce se repet la toate scalele Valuri Elliot

Stabilitate continu la toate scaleleInstabilitate continu la toate scalele Zboruri Levy

5.3. Ipotezele Pieelor Heterogene

Un studiu statistic al seriilor de timp financiare din punct de vedere fractal, se bazeaz pe analiza intervalelor de timp t de diferite dimensiuni. Un exemplu elementar este legea de scalare, care se refer la valoarea medie a modificrii preului absolut logaritmic n pieele de schimb valutar.

unde bara de peste |x| denot media pe un eantion lung , c este o constant empiric i D este un exponent derivate empiric. Un comportament scalar empiric diferit n dinamica indexului Standard & Poor 500, a fost prezentat de ctre Mantegna i Stanley. n ciuda naturii sale elementare, un studiu al legilor de scalare este imediat capabil s resping ipoteza Gaussian i s dezvluie o proprietate important a seriilor de timp financiare. Pentru cazul Gaussian, formula de mai sus este adevrat cu un exponent derivat cu 0:5, n timp ce valorile empirice ale exponenilor derivai D pentru cursul de schimb USD-DEM sunt grupate n jurul unei valori semnificativ mai mari de 0:59. Pentru rata DEM-NLG, un exponent derivat de doar 0:24 a fost msurat. Acestea i alte proprieti recent gsite n seriile de timp empirice, duc la HMH, spre deosebire de ipoteza unei piee omogene n care toi participanii interpreteaz noutile i reacioneaz n acelai fel. HMH se caracterizeaz prin urmtoarele interpretri ale rezultatelor empirice:- HMH1. Diferii actori de pe piaa eterogen au diferite orizonturi de timp i frecvene. Piaa este eterogen, cu o structur fractal a orizonturilor de timp a participanilor, fiind format din componente pe termen scurt, mediu i lung.- HMH2. Diferii actori sunt susceptibili s fixeze pentru preuri diferite i s decid s execute tranzaciile n diferite situaii de pe pia. Cu alte cuvinte, ei creeaz volatilitate.- HMH3. Piaa este, de asemenea, eterogen n locaia geografic a participanilor.Participanii de pe piaa HMH, de asemenea, difer n alte aspecte dincolo de orizonturile de timp i locaiile geografice: ei pot avea diferite grade de aversiune fa de risc, constrngeri instituionale, costuri de tranzacionare. Dovezi suplimentare empirice n favoarea HMH sunt date n [13].

5.4 Cteva proprieti empirice ale pieei fractale

O proprietate bine-cunoscut a volatilitii financiare este persistena acesteia. Cnd rezultatele sunt substanial pozitive sau negative ntr-o anumit zi, micri mari sunt probabile s urmeze. n 1982, Robert Engle a modelat concis variaia volatilitii n timp, n lucrarea lui pe heteroscedasticitatea autoregressiv conditional (ARCH), care a fost baza pentru Premiul Nobel n tiine Economice din 2003 ctigat de acesta. Ulterior cercetrile au artat c clusterizarea volatilitii poate rmne substanial peste orizonturi foarte lungi (Ding, Granger i Engle, 1993), i c o reprezentare precis necesit posibilitatea de schimbri extreme, sau salturi n volatilitate (de exemplu, Duffie, Pan, i Singleton 2000). n condiiile n care volatilitatea este att foarte persistent, ct i foarte variabil, ar trebui s ne ateptm la fluctuaii n volatilitate cu evaluare substanial i implicaii n gestionarea riscurilor.Preurile activelor pot varia mult ntr-o perioad scurt de timp, un fenomen adesea descris ca tail risk. n setrile de timp continuu, astfel de evenimente extreme pot fi modelate ca salturi (Press, 1967, Merton, 1976), sau ca explozii brute de volatilitate (Mandelbrot i Taylor, 1967; Rosenberg, 1972, Clark, 1973). n timp discret, postulnd o distribuie condiional gros-tailed a rezultatelor, se poate obine un efect similar (Bollerslev, 1987). Rezultatele extreme au fost o caracteristic omniprezent a pieelor financiare de-a lungul istoriei i turbulenele recente (Greenspan, 2007) sugereaz c riscul tail va continua s fie important.O nelegere mai profund a ctigurilor financiare pot fi obinute prin investigarea caracteristicilor lor, la diferite frecvene. De exemplu, persistena i variabilitatea volatilitii financiare pot fi evideniate dac se observ rezultatele la intervale de zi cu zi, sptmnale, lunare, anuale, sau decenale. Astfel, exist zeci de ani volatili i zeci de ani de linite, i aa mai departe. Intuiia sugereaz c aceste caracteristici sunt importante pentru prognozarea volatilitii i filtrarea mbuntit poate fi folosit pentru a distinge ntre cicluri de durate diferite.Natura multifrecvent a volatilitii este n concordan cu intuiia c ocurile economice au grade foarte eterogene de persisten. De exemplu, ocurile de lichiditate tind s fie brute i tranzitorii, dar durata lor este destul de aleatorie. Criza de lichiditate care a nceput n toamna anului 2007, este nc n curs de desfurare n 2011. Volatilitatea variaz, de asemenea, pe orizonturi de civa ani, de exemplu, n legtur cu ctigurile i ciclurile de afaceri (Schwert, 1989; Hamilton i Lin, 1996). Pe termen lung, variaiile lente n volatilitatea macroeconomic, sau incertitudinea cu privire la rezervele de petrol, tehnologie i securitatea la nivel mondial poate afecta volatilitatea peste o generaie sau mai mult (Bansal i Yaron, 2004; Lettau, Ludvigson, Wachter, 2004).Aceast heterogenitate este nsoit de neliniariti importante. De exemplu, distribuia necondiionat a rezultatelor variaz neliniar, ca frecvena modificrilor de observare (Campbell, Lo i MacKinlay, 1997). La orizonturi scurte, rezultatele tind s fie mai aproape de medie, sau de a lua valori mari. Prin contrast, pentru orizonturi mai lungi, the bell and the tails a distribuiei rezultatelor devin mai subiri (Black Swan), n timp ce regiunile intermediare ctig teren. Aceste neliniariti sunt, de asemenea, evidente n comportamentul momentelor rezultatelor. n multe serii financiare, momentele de valoare absolut a rezultatelor variaz ca o funcie putere, la frecvena de observare. n plus, rata de cretere la momentul qth este o funcie a lui q neliniar i strict concav, o caracteristic n concordan cu variaiile neliniare ale distribuiei rezultatelor cu orizontul de eantionare (Calvet, Fisher, Mandelbrot, 1997).n pieele de capital, distribuia necondiionat a rezultatelor este nclinat n mod negativ, deoarece rezultatele negative sunt observate mai frecvent dect randamentele mari pozitive. Mai mult dect att, dup cum a artat Fischer Black (1976), volatilitatea este de obicei mai mare, dup o scdere a pieei de valori dect dup o cretere a pieei de valori, aa c rezultatele sunt corelate negativ cu volatilitile viitoare. Acesta a emis ipoteza c acest efect ar putea fi cauzat de efectul de levier financiar, care se ridic dup ce valoarea de pia a unei aciuni scade i tinde astfel s accentueze riscul. Canalul de levier financiar este n general considerat ca fiind prea mic, cu toate acestea, se ine seama pe deplin de asimetria rezultatelor pe indici de aciuni (Schwert, 1989; Aydemir, Gallmeyer, i Hollifield, 2006).O explicaie alternativ se concentreaz pe feedback-ul ntre tirile referitoare la volatilitile viitoare i preuri curente (Abel, 1988; Barsky, 1989, French, Schwert, i Stambaugh, 1987; Pindyck, 1984). Cnd participanii la pia i revizuie previziunile de volatilitate a dividendelor viitoare, ei tind s considere un pre mai mic, crend o corelaie negativ ntre venituri curente i volatilitate viitoare. Intuiia sugereaz c orizonturi eterogene pot juca roluri importante n acest context. Volatilitatea de nalt frecven poate captura dinamica de variaie tipic, n timp ce micrile de joas frecven pot genera rezultate extreme prin canalul de feedback. Prin urmare, socuri multifrecvente pot fi de ajutor pentru nelegerea skewness-ului i kurtosis-ului.

5.5 Modelarea Financiar utiliznd FMH i EMH 5.5.1 Modelul multifractal a rentabilitii aciunilor (MMAR)

n 1997, Mandelbrot, Fisher, i Calvet au introdus modelul multifractal al randamentelor activelor (MMAR), bazat pe cercetarea msurilor multifractale a lui Mandelbrot (1972, 1974). MMAR ncorporeaz regulariti importante observate n seriile de timp financiare, inclusiv long tails i memorie de lung durat. MMAR permite long tails, volatiliti corelate, sau imprevizibile, memorie de lung durat n randamente, i, astfel, combin proprietile mai multor modele anterioare.Mai jos este prezentat o explicaie concis a ipotezelor MMAR:HYP1: - long tails implic o variaie infinit a randamentelor peste intervale discrete de prelevare a probelor;HYP2: - dependena pe termen lung, care este o trstur caracteristic a micrii browniene fracionate, include memorie pe termen lung n valoarea absolut a creterilor de pre, n timp ce creterile preurilor nu pot fi corelate, n valoarea absolut a rentabilitilor i volatilitatea poate avea o caracteristic de memorie pe termen lung;HYP3: - consisten la scal (invariana n timp), nseamn c o regul de scalare definit se refer la randamentele pe intervale diferite de eantionare. Preul unui activ financiar este privit ca un proces multiscalar (neliniaritatea funciei la scal);HYP4: - timpul de tranzacionare este o denaturare aleatoare a timpului care reprezint schimbri n volatilitate.Unul din principalele caracteristici ale pieelor financiare este alternarea perioadelor de mari schimbri n pre, cu perioade de fluctuaii mai mici. Fluctuaiile n volatilitate nu au legtur cu predictibilitatea veniturilor viitoare. Aceast declaraie nseamn c exist o dependen de autocorelaie n structuri n valorile absolute ale rentabilitilor. MMAR combin proprietatile de procesului L-stabil (creteri stabile staionare i independente) cu micri browniene fractionare (modificrile preurilor tind s fie urmate de schimbri n aceeai (sau invers), direcie), pentru a permite long tails, volatilitate corelat, imprevizibilitate sau memorie de lung durat.Cele mai consacrate modelele financiare pentru a descrie fluctuaiile de pre se bazeaz pe presupunerea c fluctuaiile pieei urmeaz o micare brownian, care amintete de modul n care un grunte de polen s-ar deplasa prin spaiu. Prima persoan care a aplicat acest model pe pieele financiare a fost Louis Bachelier n secolul al 20-lea. n ultimii ani, au aprut modele alternative, dintre care unele sunt corecii i ajustri ale modelului original, cum ar fi Modelul Autoregresiv Condiionat Heteroscedastic (ARCH), n timp ce altele sunt construite pe premise cu totul diferite.MMAR a fost dezvoltat prin contribuiile mai multor cercettori. Cel mai important contribuitor este Benoit Mandelbrot, dar exist multe alte nume de remarcat, de pild Laurent Calvet i Adlai Fisher. Benoit Mandelbrot a fost activ n multe domenii de cercetare. El este, probabil, cel mai faimos i e considerat a fi tatl geometriei fractale. n anii 1960, implicarea sa n cercetarea domeniului finanelor cantitative a nceput cu studiul preurilor bumbacului. Unul dintre principalele descoperiri a acestor studii a fost c preurile nu urmeaz o distribuie Gaussian, ci mai degrab una Levy stabil, avnd o variaie teoretic infinit. De atunci, n cursul anilor 1960 i 1970, el a dezvoltat diferite teorii care descriu distribuiile i fluctuaiile de pre, care au fost tot mai precise.MMAR poate fi deconstruit n mai multe modele diferite. Scopul acestei seciuni este de a explica modul n care MMAR a evoluat treptat prin aceste modele diferite. Prezentarea urmtoare urmeaz aproximativ dezvoltarea istoric a teoriei, de la studiul iniial al preurilor de bumbac, pn la modelele mai recent dezvoltate.Un fractal este un set matematic cu un tip special de invarian sau simetrie, care refer un ntreg la prile sale. Fractalii afieaz de obicei auto-similaritate, adic arat exact sau aproape la fel la diferite scri. Exist dou caracteristici principale pe care se bazeaz abordarea fractal n finane: importana principiilor invarianei n economie, staionaritatea i scalarea i c aspecte ale teoriei probabilitatilor, care sunt de obicei doar teoretice, pot fi puse n aplicare n modelele care descriu date empirice.Cnd se aplic pe o variabil aleatoare pozitiv, scalarea este prescurtarea de scalare sub restricii. Presupunnd c variabila aleatoare U este specificat de o distribuie de tip coad P(u) = Pr(U> u), presupunem cunoscut c U este cel puin egal cu w. Aceasta altereaz variabila iniial necondiionat U la o variabil aleatoare condiionat W. Aceasta nseamn c distribuia coada a lui W este:

S presupunem c distribuia de tip coad P(u) urmeaz urmtoarea distribuie de tip lege-putere, P (u) =, rezultatele condiionate n PW(u)= . Rezultatul condiionrii este c scara se schimb de la. O constatare celebr stabilit empiric de legi-putere este "legea lui Pareto", care prevede c veniturile personale ale persoanelor fizice ntr-o populaie este scalar. Exponentul de scalare este de obicei obinut prin msurarea prii drepte a unui grafic log Pr (U> u) versus log u. Valori ridicate ale lui sunt rareori de importan n munca experimental, deoarece erorile n sunt mult mai mari atunci cnd este mare dect atunci cnd este mic.Scalarea s-a dovedit a fi o alternativ interesant la aleatoriul "moderat" brownian. Aceasta a fost dovedit a fi capabil de a genera dezordine "slbatic", adic dezordine vzut n lumea real a pieelor financiare. Micarea L-stabil - modelul M 1963

Unul din modelele mai vechi ale lui B. Mandelbrot referitor la datele financiare, a fost dezvoltat n 1963. Acesta reuete s in seama de variaia "tail-dominated" a preurilor spot de bumbac i va fi denumit n continuare "modelul M 1963". Acest model presupune c variaiile de pre succesive sunt independente i non-Gaussiane, dar staionare i scalare. Este capabil de modelare a nregistrrilor preurilor, n care long-tailedness a modificrilor este dominant, dar dependena de serie nu este inclus.Avnd n vedere o serie de pre Z(t), se poate scrie L (t, T)=ln Z (t+T) lnZ(t ). Modelul M 1963 presupune c L(t, T) urmeaz o distribuie a probabilitii numit L-stabil. LnZ(t) se spune c urmeaz un proces aleator numit micarea L-stabil (LSM), atunci cnd L(t, T) succesive sunt independente. Exponentul este aici parametrul semnificativ. Gama lui este [0,2], dar atunci cnd sunt evaluate modificrile de pre se ngusteaz pn la [1,2]. Modelul L-stabil presupune o variaie infinit.Figura 6.1 ofer dovezi empirice pentru distribuia de scalare a preurilor spot a bumbacului (preul pentru livrare imediata), notat Z(t), prin utilizarea graficelor Pareto log-log.

Figura. 6.1

Cubele (1a) i (2a) reprezint frecvenele Fr{L(t,T=o zi>u)} i Fr{L(t,T=o ziu)} i Fr{L(t,T=o ziu)} i Fr{L(t,T=o ziu}] - log u + log (T)Log[Fr{L(t,T)< -u}] - log u + log (T)Astfel, este evident c cozile sunt asimptotic guvernate de distribuia de scalare cu acelai exponent. Dependena i Memoria Lung

O limitare major a modelului M 1963 este c aceasta presupune c modificrile de pre sunt independente. Cele mai multe dintre modelele financiare standard presupun c preurile urmeaz un mers aleator, adic preurile de la nceputul unei zile de tranzacionare sunt independente de ultimele. Este, ns, evident c multe cantiti economice, de exemplu: producia, inflaia i omajul, afieaz un fel de dependen.Aceast problem a fost abordat de ctre un alt model conceput de Mandelbrot n 1965 (M 1965), care introduce o memorie infinit n modelarea statistic i n micarea brownian fractal (FBM). FBM este un proces care are un parametru important: Hurst, sau exponentul H, care satisface 0