Limbile
Pagini
Legal
ACADEMIA NAVALĂ „MIRCEA CEL BĂTRÂN” CONSTANŢA
SINTEZE DE CURS ŞI BATERII DE TESTE PENTRU INSTRUIRE
ASISTATĂ DE CALCULATOR LA BAZELE ELECTROTEHNICII
ŞI MĂSURĂRI ELECTRICE
Prof. univ. dr. ing. Alexandru SOTIR
As. univ. drd. ing. Ion BUCIU
CONSTANŢA 2005
CUPRINS
Partea I BAZELE ELECTROTEHNICII
Prefaţă Capitolul 1. Mărimi de stare ale corpurilor şi ale câmpului electromagnetic 5 1.1. Mărimi primitive de stare ale corpului folosite în electromagnetism 5 1.2. Mărimi derivate folosite în electromagnetism 5 Capitolul 2. Legile şi teoremele electromagnetismului 6 2.1. Legea fluxului electric 6 2.2. Legea polarizaţiei electrice temporare 6 2.3. Legea legăturii dintre , E şi PD 6 2.4. Legea magnetizaţiei temporare 6 2.5. Legea fluxului magnetic 6 2.6. Legea legăturii dintre , H şi MB 6 2.7. Legea conducţiei electrice 6 2.8. Legea transformării energiei în conductoare 6 2.9. Legea electrolizei 6 2.10. Legea conservării sarcinii electrice 6 2.11. Legea inducţiei electromagnetice 7 2.12. Legea circuitului magnetic 7 2.13. Teoreme specifice regimului electrostatic 8 2.13.1. Teorema lui Coulomb 8 2.13.2. Teorema lui Gauss 8 2.13.3. Teorema potenţialului electrostatic 8 2.13.4. Potenţialul electrostatic coulombian 8 2.13.5. Tensiunea electrică între două puncte de câmp 9 2.13.6. Polarizarea dielectricilor 9 2.13.7. Conductoare electrice 10 2.13.8. Teoremele lui Kirchhoff pentru electrostatică 10 Capitolul 3. Regimul circuitelor de curent continuu 11 3.1. Circuite electrice de curent continuu (regim staţionar) 11 3.2. Metode şi teoreme pentru rezolvarea circuitelor de curent continuu 11 3.2.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff 11 3.2.2. Teoremele de transfigurare stea-triunghi şi triunghi-stea 12 3.2.3. Teorema suprapunerii efectelor 12
3.2.4. Teorema generatoarelor echivalente de tensiune şi curent 12 3.2.5. Teorema reciprocităţii 12 3.2.6. Teorema compensaţiei 12 3.2.7. Metoda curenţilor ciclici 12 3.2.8. Metoda potenţialelor de noduri 13 3.3. Elemente neliniare de circuit în c.c. 13 Capitolul 4. Câmpul magnetic staţionar şi cvasistaţionar 13 4.1. Câmpul magnetic staţionar. Elemente de electrotehnică 13 4.2. Magnetizarea corpurilor. Feromagnetizarea 14 4.3. Circuite magnetice (regim staţionar) 14 4.4. Teoremele lui Kirchhoff pentru circuitele magnetice 14 4.5. Inductivităţi 14 4.6. Energie şi forţe magnetice 16 4.7. Teoremele forţelor generalizate în câmp magnetic 16 4.8. Ecuaţiile lui Maxwell (medii imobile) 16 4.9. Propagarea câmpului electromagnetic. Unda plană 17 Capitolul 5. Regimul permanent sinusoidal (RPS) 5.1. Circuite electrice liniare în RPS (regim cvasistaţionar) 17 5.2. Studiul circuitelor liniare prin metoda directă 18 5.3. Caracterizarea circuitelor liniare în RPS 18 5.4. Metode de reprezentare simbolică a mărimilor sinusoidale 19 5.5. Caracterizarea în complex a circuitelor liniare 21 5.6. Elemente ideale de circuit în complex (R, L, C) 22 5.7. Ecuaţia laturii de circuit în curent alternativ sinusoidal 23 5.8. Metode şi teoreme pentru rezolvarea reţetelor de curent alternativ sinusoidal 24 5.8.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff 24 5.8.2. Teorema conservării puterilor 25 5.8.3. Teorema transferului maxim de putere pe la borne 25 5.8.4. Metoda suprapunerii efectelor 25 5.8.5. Teoremele de transfigurare stea-triunghi şi triunghi-stea 25 5.8.6. Teorema generatoarelor echivalente de tensiune şi curent 26 5.8.7. Teorema compensaţiei 26 5.8.8. Metoda curenţilor de ochiuri 26 5.8.9. Metoda petenţialelor de noduri 27 Capitolul 6. Reţele de curent alternativ trifazat 28 6.1. Sisteme electrice trifazate 28 6.2. Rezolvarea reţelelor trifazate simetrice echivalente 30
6.3. Reţele trifazate dezechivalente 31 6.4. Puteri în reţele trifazate dezechilibrate 34 Capitolul 7. Cuadripoli şi filtre electrice 35 7.1. Cuadripoli electrici 35 7.2. Filtre electrice 38 Capitolul 8. Regimul permanent nesinusoidal al circuitelor electrice liniare 40 8.1. Regimul permanent nesinusoidal (RPNS) 40 8.1.1. Elemente de circuit neliniare 40 8.2. Puteri în regim permanent nesinusoidal 41 8.3. Elemente ideale de circuit în RPNS 41 Capitolul 9. Circuite neliniare în regim permanent sinusoidal (RPS) 43 9.1. Elemente neliniare de circuit în RPS 43 9.2. Bobina cu miez de fier 43 9.3. Condensatorul cu pierderi (condensatorul real) 44 Capitolul 10. Circuite electrice în regim tranzistoriu (RT) 46 10.1. Regimul tranzitoriu al circuitelor liniare 46 10.2. Metode de rezolvare a circuitelor liniare în RT 47 Capitolul 11. Câmpul electromagnetic în conductoarele masive 49 11.1. Ipotezele analizei 49 11.2. Ecuaţiile lui Maxwell 49 11.3. Pătrunderea câmpului într-un conductor masiv 49 11.4. Adâncimea de pătrundere 50 11.5. Efectul pelicular (skin effect) 51 11.6. Pierderile de putere prin efect pelicular 52 11.7. Calculul rezistenţei conductorului în curent alternativ 52
Partea a II-a
Bateria de teste B.E. 1 53 Bateria de teste 1 54 Bateria de teste 2 55 Bateria de teste 3 57 Bateria de teste 4 59 Bateria de teste 5 61 Bateria de teste 6 63 Bateria de teste 7 65 Bateria de teste 8 67 Bateria de teste 9 69 Bateria de teste 10 71 Bateria de teste 11 73 Bateria de teste 12 75 Bateria de teste 13 77
Bateria de teste 14 79 Bateria de teste 15 81 Bateria de teste 16 83 Răspunsuri la bateria de teste B.E. 1 85 Comentarii şi explicaţii la unele teste din B.E. 1 86
Partea a III-a
Bateria de teste B.E. 2 126 Răspunsuri la bateria de teste B.E. 2 141
Partea a IV-a
MĂSURI ELECTRICE Capitolul 12. Procesul de măsurare 143 12.1. Noţiunile de aparat de măsurat şi de traductor 144 12.2. Etaloane 147 12.3. Metode de măsurare 148 12.3.1. Metode directe de măsurare 148 12.3.2. Metode indirecte de măsurare 150 12.3.3. Categorii de măsurări 152 12.3.4. Măsurări statice 152 12.3.5. Măsurări dinamice 153 12.3.6. Măsurări statistice 153 12.3.7. Măsurări analogice 154 12.3.8. Măsurări numerice 155 12.3.9. Măsurări de laborator 155 12.3.10. Măsurări industriale 156 Capitolul 13. Măsurări statice 157 13.1. Aparate electrice indicatoare pentru măsurări statice 157 13.1.1. Elemente componente comune ale aparatelor electrice de măsurat analogice 157 13.1.2. Aparate magnetoelectrice 161 13.1.2.1. Construcţia dispozitivului motor 161 13.1.2.2. Principiul de funcţionare 162 13.1.2.3. Logometre magnetoelectrice 165 13.1.2.4. Erorile aparatelor magnetoelectrice 166 13.1.3. Aparate feromagnetice 167 13.1.3.1. Construcţia aparatelor feromagnetice de repulsie 167 13.1.3.2. Relaţii de funcţionare 168 13.1.3.3. Aparate feromagnetice cu rezonanţă 170 13.1.3.4. Erorile aparatelor feromagnetice 171 13.1.4. Aparate electrodinamice 173
13.1.4.1. Construcţia aparatelor electrodinamice 175 13.1.4.2. Relaţii de funcţionare 175 13.1.4.3. Aparate ferodinamice 178 13.1.4.4. Erorile aparatelor electrodinamice 179 13.1.5. Aparate cu inducţie 180 13.1.5.1. Dispozitivul de inducţie cu două fluxuri 180 13.2. Măsurarea curenţilor şi tensiunilor electrice 183 13.2.1. Măsurarea industrială a curenţilor electrici 183 13.2.1.1. Măsurarea industrială a curentului continuu 183 13.2.1.2. Măsurarea industrială a curentului alternativ 186 13.2.2. Măsurarea industrială a tensiunii electrice 188 13.2.2.1. Măsurarea industrială a tensiunii continue 188 13.2.2.2. Măsurarea industrială a tensiunii alternative 191 13.3. Măsurarea parametrilor R, X, Z 193 13.3.1. Metoda ohmmetrului 193 13.3.2. Măsurarea şi verificarea rezistenţei de izolaţie a instalaţiilor electrice 197 13.4. Măsurarea puterii electrice 198 13.4.1. Măsurarea puterii electrice în circuite de curent continuu 198 13.4.2. Măsurarea puterii electrice în circuite de curent alternativ monofazat 200 13.4.2.1. Măsurarea puterii reactive 200 13.4.2.1. Metoda directă de măsurare a puterii reactive 201 13.4.3. Măsurarea puterilor active şi reactive în circuitele trifazate 202 13.4.3.1. Teorema Blondel 202 13.4.3.2. Măsurarea puterii active într-un circuit trifazat fără conductor neutru 205 13.4.3.3. Măsurarea puterii active într-un circuit trifazat cu conductor neutru 209 13.5. Măsurarea energiei electrice 212 13.5.1. Măsurarea energiei electrice active în circuitele de curent alternativ 212 13.5.1.1. Contorul monofazat de inducţie 212 13.5.1.2. Contoare trifazate 221 Tabelul 1. Simbolurile aparatelor electrice de măsurat 224 Baterie de teste pentru măsurări electrice 229
PREFAŢĂ
Manualul de faţă este constituit din patru părţi şi anume: - o sinteză de curs de Bazele Electrotehnicii (B.E.), care cuprinde, într-o
formă concentrată, dar explicită, cunoştinţele necesare stundenţilor din anii II şi III de studiu pentru asigurarea fundamentelor necesare întelegerii şi însuşirii ulterioare a noţiunilor de inginerie electrică predate la disciplinele tehnice, cum sunt: Maşini Electrice, Măsurări Electrice, Aparate Electrice Navale, Acţionări Electrice, Automatizări, Instalaţii Electrice Navale şi Portuare, Centrale Electrice Navale, Dispozitive şi Circuite Electronice şi altele.
- o baterie de teste de B.E. numită Bateria B.E. 1, care cuprinde 160 de teste şi este dedicată celor care vor să aprofundeze studiul Bazelor Electrotehnicii, urmărind o specializare în domeniul Ingineriei Electrice (incluzând Electronica şi Automatizările Electrice).
Această baterie de teste este însoţită de o pagină de răspunsuri corecte, precum şi de un fişier-anexă, cuprinzând răspunsuri însoţite de explicaţii, la testele considerate a avea o dificultate mai mare.
- o baterie de teste B.E. numită Bateria B.E. 2, care cuprinde un număr de54 de teste şi care acoperă în principal subiectele date la examenele de Bazele Electrotehnicii pentru specializările: „Navigaţie”, „Electromecanică” şi „Exploatări Portuare”.
- o sinteză de curs la Măsurări Electrice, care cuprinde într-o manieră concentrată, principalele cunoştinţe necesare unui viitor specialist electromecanic sau de exploatări portuare.
Manualul este depus şi pe suport magnetic pentru accesarea uşoară de către studenţi şi instruirea asistată de calculator.
El este dedicat studenţilor de la învăţământul cu frecvenţă redusă, oferindu-le acestora principalele cunoştinţe care le sunt necesare pentru abordarea în continuare a altor discipline cu profil electric şi electronic.
Capitolul 1
1. Mărimi primitive de stare ale corpurilor folosite în electromagnetism
q - sarcina electrică adevărată (starea de încărcare electrică); - momentul electric (starea de polarizare electrică);
i - starea electrocinetică; pr
mr - momentul magnetic (starea de magnetizare).
1.1. Mărimi primitive de stare ale câmpului electromagnetic
vEr
- intensitatea câmpului electric în vid; - intensitatea câmpului electric şi inducţia electrică în corpuri; ),( DE
rr
vBr
- inducţia magnetică în vid; - inducţia magnetică şi intensitatea câmpului magnetic în corpuri.
1.2. Mărimi derivate folosite în electromagnetism
),( HBrr
esvv vq ρρρ ;;lim
0 ΔΔ
=→Δ
- densităţi de sarcină electrică;
Pr
- polarizaţia electrică (corpuri de dimensiuni mari);
- tensiunea electrică;
∫=B
AAB sdEu rr
∫Γ
Γ = sdEe rr- tensiunea electromotoare;
∫∫∫∫Σ
Σ =Ψ−=ΨΓ
ΓAdDelectricfluxulAdD
SS
rrrr; ;
- densitatea curentului electric de conducţie; Mr
- magnetizaţia corpurilor de dimensiuni mari; [A/m];
vmM
v ΔΔ
=→Δ
rr
0lim ;
∫∫Γ
==Γ
sdHusdHu mm
B
AmmAB
rrrr; ;
∫∫ ∫∫Γ
Γ
ΣΣ =Φ=Φ
SS AdBAdB
rrrr; - fluxul magnetic
uqC = - capacitate electrică
L, M - inductivităţi:dtdiL
dtde
IL −=
Φ−=
Φ= ;
iuR = - rezistenţa electrică ;
RG 1= - conductanţa electrică.
• Parametrii constitutivi ai unui mediu electromagnetic: ρμεσμε ,,,, sau
Capitolul 2
Legile şi teoremele electromagnetismului
2.1. Legea fluxului electric
vDdivqAdD ρ===Ψ ∫∫Σ ΣΣ
rrr;
2.2. Legea polarizaţiei electrice temporare
EDEDmFEP ret
rrrrrr00900 ;;;/
10941; εεεεε
πεχε ===
⋅⋅== în vid (aer)
2.3. Legea legăturii dintre PşiED
rrr,
2.4. Legea magnetizaţiei temporare
pt PPPPEDrrrrrr
+=+= ;0ε
rmt HBHM μμμμχ 0;; ===rrrr
2.5. Legea fluxului magnetic
∫∫ΣΣ ====Φ ABrotBdivAdBrrrrr
;0;0
2.6. Legea legăturii dintre MşiHBrrr
,
pt MMMMHBrrrrrr
+=+= ;)(0μ
2.7. Legea conducţiei electrice
[ ] [ ] [ ] ( ) 11;1;;;
;)(;−Ω=Ω=Ω==+=
++=+==+
mmAlRRieuRiu
EEEEEEJJEE
SIbb
iSCii
σρρ
σρrrrrrrrrrr
2.8. Legea transformării energiei în conductoare
⎪⎩
⎪⎨⎧
⟨⟩⟩
−=−==+==
⎪⎩
⎪⎨⎧
⟨⟩⟩
−=−=
=+⟩===
∫∫∫ 0
0;;
0
0
;;0
2
2
22
G
R
GRjv
ffjj
G
R
GRij
ij
P
PPPeiRiPRieuiudvpP
p
pppJEJp
JEEEJJEp
rr
rrrrr
ρ
ρσρ
2.9. Legea electrolizei
chimiculechivalentA
gramechivCFvalenţa
atomicămasaAidtA
FqA
Fm
t
micelectrochiulechivalentK
−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=⋅⋅= ∫−
ν
ννν
.96490
11
0000 321
2.10. Legea conservării sarcinii electrice
∫∫∫∫∫Σ
−=−=Σ
ΣΣ V V dv
dtdAdJ
dtdqi ρ
rr;
În materiale izolatoare: qΣ = ct
dtdJdiv Vρ−=
r
σετρρ τ ==
−
r
t
VVrett ;)()( 0 Observaţie: teorema relaxaţiei:
Consecinţe: - Teorema continuităţii liniilor de curent în regim staţionar:
0
)(0
=
Σ=Σ
Jdiv
econductoarprinnumaidusăesteir
- Consecinţele teoremei continuităţii: a) 0=nJr
r
figura 1
b) Intensitatea curentului staţionar este aceeaşi în lungul unui tub de curent şi în particular în lungul unui conductor parcurs de curent; c)
21 nn JJ =
figura 2
Observaţie: teorema continuităţii este valabilă şi în regim cvasistaţionar pentru orice suprafaţă Σ care nu trece prin dielectricul unui condensator (viteza de variaţie a sarcinii electrice este neglijabilă peste tot, cu excepţia dielectricului condensatorului); şi consecinţele a), b) şi c) rămân valabile.
2.11. Legea inducţiei electromagnetice
),(
)(
)(
;
0
metaliccadruunpevvitezacudeplasatrectiliniuconductorunpentruBlve
sdBvAdtB
dtdsdE
AdvBrotAdBdivvAdtB
dtdsdE
AdBdtdsdE
dtd
e
m
mtee
S
S SS
S
S
r
43421
rrr
4434421
rr
rr
rrr43421rrrr
rrr
rrrr
−=
×+∂∂
−=
×−−∂∂
−=
−=Φ
−=
Γ
ΓΓ
Γ =
ΓΓ
ΓΓ
Γ
Γ ΓΓ
Γ
Γ
∫∫ ∫∫
∫ ∫∫ ∫∫∫∫
∫ ∫∫
tBErot∂∂
−=r
ra doua ecuaţie a lui Maxwell pentru medii imobile
2.12. Legea circuitului magnetic
44444 344444 21
43421
rrr
43421
rr
321
rr
321
rrrr
44 344 21
rrrrrrrr
rrrr
rrrrrr
rrr
H
RVD
i
ii
SV
i
S
iN
S
sdvD
SSSS
SS
SSmm
sdvDAdvAdJAdJsdH
AdvDrotAdDdivvAdtDAdJsdH
AdDdtdAdJsdH
dtd
u
∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
Γ
⋅=
Γ
×=
Γ
Γ
×+++=
∫
×++∂∂
+=
+=Ψ
+Θ=
ΓΓΓ
Γ
ΓΓΓΓ
ΓΓ
Γ
ΓΓ
)(
)(
;
)(
ρ
θ
pentru medii imobile DSmm iu +Θ=ΓΓ
tDJHrot∂∂
+=r
rr prima ecuaţie a lui Maxwell pentru medii imobile
2.13. Teoreme specifice regimului electrostatic
2.13.1. Teorema lui Coulomb
[ ]
[ ]NRRqF
respingeredeFqqqq
RRuNu
RqqF
rr
r
rrrr
3
2
012
1221
21
1212221
012
41
0;00;0
;4
1
⋅=
⎩⎨⎧
⟨⟨⟩⟩
=⋅=
πε
πε
2.13.2. Teorema lui Gauss
∫∫Σ Σ==Ψ qAdEVE0
1ε
rr
2.13.3. Teorema potenţialului electrostatic
gradVEsdE −==∫Γ
rrr;0
Consecinţe: a) în regim electrostatic, tensiunea electrică între două puncte nu depinde de
drum: uf = ubb) UAB =VA - VB- Teorema conservării componentelor tangenţiale ale inducţiei electrice D1r = D2r ; D1cosα1 = D2cos α2- Teorema conservării componentelor tangenţiale ale intensităţii câmpului
electric E1t = E2t ; E1sin α1 = E2sin α2- Teorema refracţiei liniilor de câmp electric
2
1
2
1
εε
αα
=tgtg
- Teorema energiei în câmpul electrostatic
( )3
1 21;;
21
mJEDwdvwWVqW e
Vee
n
KKKe
rr=== ∫∫∫∑
Σ=
2.13.4. Potenţialul electrostatic coulombian
• Forţa cu care un câmp electrostatic acţionează asupra unei sarcini punctiforme
gradVEdivsdEVVP
PPP −=−= ∫
rrr;
0
0
[ ] 00;00 ⟨⟩=⟨⟩= sauEFqNsauEqF
v
eve
rr
• Densităţi de sarcină electrică
[ ] [ ] [ ]mCmCmCdvdq
vq
esV /;/;/lim 23 ρρρ =ΔΔ
=
• Conservarea sarcinii electrice ctq
KK =∑ sistem de corpuri izolate faţă de
mediul exterior; Consecinţe: a) dacă două corpuri electrizate vin în contact (având sarcini diferite),
sarcina se redistribuie astfel încât sarcina totală rămâne constantă; b) dacă se freacă două corpuri izolatoare iniţial neîncărcate, ele se încarcă
cu sarcini egale dar de semne contrare. • Câmpul electric (coulombian) al unui corp punctual electrizat în vid
[ ] RRqEmV
RquE vEv
rrrr3
02
0 41;/
41
⋅=⋅=πεπε
cazul general:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+++= ∫∫ ∫ ∑∫∫∫
Σ S l i
ilV
V
Vv R
RqR
RdsR
RdAR
RdvE
rrrrr3333
041 ρρρπε
• Suprafeţe echipotenţiale 0; == sdEctV rr
2.13.5. Tensiunea electrică între două puncte în câmp
• Potenţialul electric în interiorul conductoarelor (omogene), în regim electrostatic
[ ]VVVdVsdEu ∫∫ −=−==2
121
2
112 )(rr
00;0;0:;
=Δ=−===+=
VgradVEEEEdinctV i
rrrr
• Condiţia de echilibru electrostatic în conductoare omogene
00;;0 =→=−==+ EEEEEE iii
rrrrrr
• Influenţa (inducţia) electrostatică Într-un conductor introdus în câmp: 0int =+= indusext EEE
rrr
• Efectul de ecran 0=E
r în interiorul conductoarelor
(pline/goale) • Rigiditatea dielectrică cmkVsuteEd /10÷=
2.13.6. Polarizarea dielectricilor
Caracterizare: pr - momentul electric [C·m] P
r- polarizaţia [C ]
Momentul dipolului:Acţiuni ponderomotoare în câmp electric exterior:
/ 2m
ctqlpd
d ==r
vdp EpCrrr
×= ( )vp EpgradF
rrr⋅=
Potenţialul şi câmpul corpurilor polarizate: ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== 3
2 1;/1R
fERfV pp
r
2.13.7. Condensatoare electrice
uqCqq
uq
uq
VVqC =−=⟩==−
= ;;0 2121
2
12
1
21
1
- Calculul capacităţii electrice: Condensator plan: [ ]F
dAC ε=
Condensator cilindric: ab
ab
lC ⟩= ;ln
2πε
∑∑ ==i iesi
iep CCCC 11; - Teoremele capacităţilor echivalente:
2.13.8. Teoremele lui Kirchhoff pentru electrostatică
a) pentru (N-1) noduri electrostatice
b)
∑∈
=bK
Kq 0
∑ ∑∈ ∈
=pK pK K
KK C
qE pentru O ochiuri independente
- Interpretarea permitivităţii electrice relative rε
dAC 00 ε= dielectric aer (vid);
dAC ε=
dielectric oarecare;
( )0
00
CCCC
r ⟩== εεε
figura 3 0Er
- câmpul în absenţa dielectricului (vid);
pEr
- câmpul de polarizare al dielectricului; Er
- câmpul în prezenţa dielectricului (rezultant) pEEErrr
−= 0 Er
La calculul capacităţii se utilizează câmpul (rezultant).
Capitolul 3
Regimul circuitelor de curent continuu
3.1. Circuite electrice de curent continuu (regim staţionar) JEE i
rrrρ=+
- Ecuaţia circuitului simplu: ; - Topologia circuitului de c.c.: L, N, (N-1), O=L-(N-1); - Ecuaţiile laturilor circuitului de c.c.. Convenţiile de la generatoare şi
receptoare ; - Câmpuri imprimate: de acceleraţie, termoelectrice, galvanice
(electrolitice), de contact (voltaice), fotoelectrice: - termoelectrice (efect Seebeck);
- electrolitice (galvanice) - pila galvanică Cu-Zn; - voltaice (de contact) - tabelul lui L. Pauling. - Generatoare ideale de tensiune:
- Generatoare ideale de curent:
IRTE )(0 +=
: RIUE b =±±
)(; 00 realrIEUEU bb −==
)(; realr
UIIII bscsc −==
- Echivalenţa generatoarelor de tensiune şi curent:
figura 4 figura 5
- Sensuri convenţionale pentru curenţi, tensiuni, tensiuni electromotoare.
3.2. Metode şi teoreme pentru rezolvarea circuitelor de c.c.
3.2.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff a) b=1, 2, …, (N-1)
b) Forma duală
- Teorema conservării puterilor: ;
Forma de bilanţ
;0∑∈
=bK
KI
)1(;,...,2,1;0 −−===∑ NLpUKb σσ
: σ,...,2,1; == ∑∑∈∈
pIREpK
KKpK
K
∑∑==
==L
Kb
L
KKb KK
PIU11
0;0
: CG
L
K
L
KKKKK PPIRIE ==∑ ∑
= =
;1 1
2
- Teorema transferului maxim de putere pe la
borne: 5,0;max
maxmax ===
= gs RRg
sgs P
PRR η
- Teoremele rezistenţelor echivalente 1) Rezistenţa echivalentă a unui dipol pasiv ∑∑ ===
K KepKKes
bd
e RRRRbornela
IUR 11;);(
figura 6
2) Divizoarele de tensiune şi de curent
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
;
;
2122
2111
RRURU
RRURU
b
b
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
;
;
21
12
21
21
RRRII
RRRII
3.2.2. Teoremele de transfigurare YşiY −ΔΔ−
312312
31121
3
13322112 ;
RRRRRR
RRRRRRRR
++=
++=
312312
12232
1
13322123 ;
RRRRRR
RRRRRRRR
++=
++=
312312
23313
2
13322131 ;
RRRRRR
RRRRRRRR
++=
++=
3.2.3. Teorema suprapunerii efectelor
3.2.4. Teoremele generatoarelor echivalente
a) Teorema generatorului echivalent de tensiune:
LjIIL
Kjj K
,...,2,1;1
==∑=
0ABAB
ABAB RR
UI+
=
0ABAB
ABAB GG
IU sc
+= b) Teorema generatorului echivalent de curent:
3.2.5. Teorema reciprocităţii(o singură sursă în reţea)
EEEII KjEEKjEEjK jK
=== == ;)()(
3.2.6. Teorema compensaţiei
E=RI
figura 7 figura 8
3.2.7. Metoda curenţilor ciclici (de ochiuri, Maxwell)
;
(Transformare liniară
opEIRo
qpqpq ,...,2,1;
1=′=′′∑
=
: oqIIqK
qK ,...,2,1; =′= ∑∈
).
3.2.8. Metoda potenţialelor de (la) noduri
;
(Transformare liniară
)1(,...,2,1;1
1
−=′=′′∑−
=
NbIVG bsc
N
ccbc
: cbb VVUK
′−′= ). Curenţii de laturi se calculează astfel: cbb VVU
K′−′= pentru toate laturile K;
KKscbK
I
KKK
bKK EGIUGEG
RUE
IKK
Ksc
K ±=±=±
=321
3.3. Elemente neliniare de circuit în c.c.
- Caracteristica tensiune-curent: U=f(I);
- Rezistenţa statică: 0⟩=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= αktg
IUR
Mst
- Rezistenţa dinamică: 0lim0 ⟨
⟩=ΔΔ
=→Δ
βktgdIdU
IUR
Id , după cum caracteristica
U=f(I) este ascendentă sau descendentă.
Capitolul 4
Câmpul magnetic staţionar şi cvasistaţionar
4.1. Câmpul magnetic staţionar. Elemente de electrodinamică. Manifestare: )( vm BvqF
rrr×= - forţa magnetică Lorentz;
)( vBliFrrr
×Δ=Δ - forţa magnetoelectrică Laplace. Acţiuni ponderomotoare asupra buclei de curent: Aimb
rr= ;
[ ]⎪⎩
⎪⎨⎧
=
⋅×=
)(0 omogenecâmpuriF
mNBmC
m
vbmr
rrr
Câmpul magnetic se caracterizează prin: a) vid )( vB în
r: vv HB
rr0μ= ;
b) în corpuri ),( HBrr
: HBrr
μ= (materiale liniare). Forţa electrodinamică (Ampere):
[ ]NlRiiuF Δ⋅−12
2101212 2πμrr
12Fr
de atracţie
Calculul câmpului magnetic staţionar a) produs de un conductor rectiliniu, filiform, de lungime infinită:
21 ii
[ ]
[ ] Laplacev
v
vv
FFdinmAdiBH
diBT
RiB
Ampere
rrΔ===
==
120
0
12
0
/21
2;
2
πμ
πμ
πμ
b) produs de circuite închise; formula lui Biot-Savart-Laplace:
∫Γ
×= 3
0
4 RRdiHv
rrr
π
- cazul spirei circulare:( )2
322
2
3
2
2;
2 za
iaHR
iaH vv
+==
∞→=−= lpentrul
NiHl
NiH vv ,);cos(cos2 21 θθ- cazul unui solenoid: .
4.2. Magnetizarea corpurilor. Feromagnetismul
Ciclul de histerezis (B=B(H)). (Fe, Co, Ni, aliaje cu Fe, Co, Ni, ferite) Clasificarea materialelor magnetice: a) moi (ciclu îngust mic mică, cH , rB , rμ mare);
b) dure (ciclu lat, mare marecH , rB , rμ mică). Ferite: mare, ciclu îngust mic mică, cH , rB , ρrμ mare - pierderi în fier mai
mici datorită curenţilor turbionari.
4.3. Circuite magnetice (regim staţionar)
- Teorema lui Ampere (regim staţionar):⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=ΘΘ=≡ ∫Γ
ΓΓ
JHrot
NisdHu Smm
rr
rr;
sau: ∑ ∑=≡Γ
K KKKKmm lHu θ (pe tronsoane de circuit).
Utilizare: calculul cimpului magnetic al circuitelor in regim stationar - Reluctanta (permeanta) magnetica:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=Λ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
μ=
μ= ∫ Asp
WbR1;
WbAsp
Al
AdsR
m
2
1m
)C(
- „Legea lui Ohm“ pentru o latura de circuit magnetic:
AlR;RU mfmm μ
=Φ=
4.4. Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice
b=1,2,…,(N-1)
p=1,2,…,o
Se presupune absenta fluxului de dispersie! - Reluctante echivalente:
;0bK
fK=Φ∑
∈
;RpK
u
mmpK
K
mK
KK∑∑∈∈
Φ=Θ43421
∑∑ ==K mKmpK
mKms R1
R1;RR
4.5. Inductivitati
;I
NL;
IL;
IN
L;I
L
;I
NL;
IL;
IN
L;I
L
2
f112
2
1212
1
f221
1
2121
2
f222
2
2222
1
f111
1
1111
1221
2211
Φ=
Φ=
Φ=
Φ=
Φ=
Φ=
Φ=
Φ=
L12 = L21 = M (in absenta dispersiei) - Asocierea sensurilor dintre Φ11, Φ22 , Φ12 , Φ21 si curenti Φ11 > 0 ; Φ22 > 0 ; Φ12 , Φ21 ⟨
⟩ 0
L11 > 0 ; L22 > 0 ; L12 = L21 ⟨⟩ 0
- Relatia dintre inductivitatile proprii si mutuale: M2 = L12 ⋅ L22
coeficient de cuplaj 12211
≤=LL
Mk
- Calculul inductivităţilor: - se presupune circuitul parcurs de curent; - se calculează inducţia produsă în jurul său; - se calculeaz ; - se determină inductanţa circuitului. Exemple: a) pentru inelul circular cu o spiră
ă tf ΦΦ ;
: [ ]HaI
L t πμ021
=Φ
=
pentru N spire: 202
1 aNL πμ=
b) pentru un solenoid: [H ]lANL
20μ=
c) pentru două spire concentrice: 211
22
01
2121 ;
21 RR
RR
ILM ⟩=
Φ== πμ
în cazul a spire21, NN :1
2221
021 21
RRNNLM πμ==
- Calculul inductivităţii cu ajutorul reluctanţei unui circuit magnetic:
( )Km
ff
m
TRI
NLdin
RNL 2
2
;:; Θ=Φ
Φ==
- Convenţia referitoare la semnul inductivităţilor mutuale în circuite cuplate magnetic:
figura 9 figura 10
- Inductivitate de dispersie:
22212111; ffff idem
dΦΦ+Φ=Φ
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
+=
1212
2121
22
11
du
du
LLL
LLL
2112 dd LL ≠
:dtdiL
dtde −=Φ
−= - Exprimarea t.e.m. induse cu ajutorul inductivităţii
- Autoinducţia: - rezistenţă protecţie T.e.m. de autoinducţie
Lp RR = ; pR
indusfluxinductorflux
i
I
−Φ−Φ figura 11
dtd
dtde
dtd
dtde
dtd Φ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Φ−−=⟨
ΦΦ−=⟩
Φ ;0;;0
4.6. Energie şi forţe magnetice
- Calculul energiei magnetice a sistemului de circuite (imobile: dx=0):
∑∑∑===
+∂+=−Φ=n
KmKK
n
KKK
n
KKKm dWLdtiRdtiedinXdxdidW
1
2
11
:;
[ ] ∑∑∑= ==
=Φ
=n
K
n
J
KjKjm
n
K
KKm
iiLWJiW
1 11 2;
2
4.7. Teoremele forţelor generalizate în câmp magnetic
a) teorema întâ :
∑=
−Φ=n
KKKm XdxdidW
1
i ( )ctK =ΦΦ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−=x
WX m
b) teorema a doua : )( ctiK =i
m
xWX ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−=
- Calculul forţei portante a unui electromagnet:
a) ∑=Φ
==Φ
=Φ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−=n
K
KKm
m xLLLiiiWx
WX1
2
)(;222
;
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
Φ−=
xL
LX 2
2 12
L2
2Φ=
xLi
xWX
i
m
∂∂⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=2
2
b)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′−′=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=∂∂
+=
+== 22
02
02
00
0
22
;
2
2;2 v
vuvuvud
xl
ANxL
xl
AN
Al
Al
NRNL
r
f
r
f
ff
fm
f μ
μ
μ
μ
μμ
:AN
LiXAN
X ctict0
2
22
02
2
;μμ
−=Φ
−= ==Φ Rezultă
4.8. Ecuaţiile lui Maxwell (medii imobile)
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=∂∂
−=
∂∂
+=
⋅∇
×∇
0Bdiv
DdivtBErot
tDJHrot
vD
H
r
r
rr
rrr
r
r
ρ
:⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
=
JEE
HB
ED
i
rrr
rr
rr
ρ
μ
ε
Se completează cu relaţiile de material (medii
liniare) .
Soluţiile sistemului sunt univoc determinate dacă se dau sau J, precum şi condiţiile la limită: - condiţii de frontieră; - condiţii iniţiale.
4.9. Propagarea câmpului electromagnetic. Unda plană.
iv E,,,, ρρμε
0;0 2
2
2
2
2
2
2
2
=∂∂
−∂∂
=∂∂
−∂∂
tH
xE
tH
xH yyzz εμεμ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +′+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −′=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎩⎨⎧
+′+−′=
++−=
vxtf
vxtfH
vxtf
vxtfE
sauvtxfvtxfHvtxfvtxfE
z
y
z
y
21
21
21
21
)()()()(
- Impedanţa de undă:
Ω≅=== 377;
0
00 ε
μεμ
uz
yu Z
HE
Z
- Lungimea de undă vT=λλ : . - Numărul de undă
λπωβ 2:)( ==
vKsauK .
Capitolul 5
Regimul permanent sinusoidal (RPS)
5.1. Circuite electrice liniare în RPS (regim cvasistaţionar) - regimul variabil permanent şi periodic cel mai răspândit - Caracterizare; definiţia regimului cvasistaţionar: a) caracterul filiform al circuitelor; b) JJ D
rr⟨⟨
c) λ⟨⟨l d) pierderile de curent de conductor prin izolaţie se
neglijează (i se conservă în lungul conductorului).
5.2. Studiul circuitelor ideale simple în RPS a) rezistorul ideal:
b) bobina ideală
0; 2 ⟩=== iRiupRiu bbb
: 02
;2
⟨⟩
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛===
Lidtdiup
dtdiLu bbb
∫=== idtCC
quu cb1 c) condensatorul ideal:
02
;2
⟨⟩
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=== c
bbc Cu
dtdiup
dtduCi
- Generatoare ideale de tensiune şi curent
a) generatorul ideal de tensiune
b) generatorul ideal de curent- Mărimi sinusoidale. Caracterizare
- valoare medie:
0;; =∞=== gbgb rPcteu : ∞=== bgg Piii );(
∫+
=+=nTt
tmed tI
nTI
1
1
0)sin(1max γω
- valoare efectivă: m
Tt
t
IIdtiT
I 707,02
1 max21
1
≅== ∫+
- factor de formă al mărimii sinusoidale: 11,122
2 21
1
===
∫+
πTt
t
f
idtT
IK
)(0 1
21
2
III
IIKd ==
−= - factor de distorsiune al mărimii sinusoidale:
- defazaj: πϕπϕϕϕγβϕ ±=±==⟨⟩
⟨⟩−= ;
2;0;0;0
d
- operaţii cu mărimi sinusoidale (de aceeaşi frecvenţă); - impedanţa circuitului: [ ]Ω⟩= 0
IUZ
d
- Studiul circuitelor liniare prin metoda directă: - scrierea ecuaţiei (integro-diferenţiale) a circuitului; - căutarea unei soluţii particulare pentru curent de forma tensiunii la borne; - se introduc defazajul )(ϕ şi impedanţa (Z);
- se scrie expresia curentului: )sin(2)sin(2)( ϕβωγω −+=+= tZUtIti .
a) rezistorul ideal: )(;0;; βγϕ ==== RZRUI
b) bobina ideală: 02
;; ⟩===πϕω
ωLZ
LUI L
02
;1; ⟨−===πϕ
ωω
CZCUI C c) condensatorul ideal:
5.3. Caracterizarea circuitelor liniare în RPS
a) Impedanţa şi defazajul: 0;0 ⟨⟩−=⟩= γβϕ
IUZ -
curentul este univoc determinat; b) Rezistenţa şi reactanţa [ ]Ω⟨
⟩=⟩= 0sin;0cos ϕϕ ZXZR
se calculează 0;22
⟨⟩=+=
RXtgXRZ ϕ
- triunghiul impedanţelor; c) Admitanţa şi defazajul: [ ] [ ]101 −Ω⟩== sauS
UI
ZY
Y
XY
RundeRXtg ϕϕϕ sin;cos:0 ==⟨
⟩=
d) Conductanţa şi susceptanţa [ ] 0;sin;0cos ⟨
⟩−=⟩= BYBSYG ϕϕ
Puteri în RPS - putere activă: [ ] 0;0cos 22 ⟩==⟩= GURIPWUIP ϕ
- putere reactivă: [ ] 0;0sin 22
⟨⟩−==⟨
⟩= BUXIQVARUIQ ϕ
Convenţii pentru Q la generatoare şi receptoare:
generatoare
receptoare
⎩⎨⎧
−⟨−⟩
absorbităQcedatăQ
00
⎩⎨⎧
−⟨−⟩
cedatăQabsorbităQ
00
- putere aparentă : [ ] 0;0 22 ⟩==⟩= YUZISVAUIS
- factor de putere: 1cos0;cos ≤≤= ϕϕSP
5.4. Metode de reprezentare simbolică a mărimilor sinusoidale
1. Reprezentări geometrice
2. Reprezentări analitice (în complex
⎩⎨⎧
)()(
ficşivectoricupolarerotitorivectoricucinematice
)⎩⎨⎧
tăsimplificacatănesimplifi
)sin(22Im)(;
)sin(2Im)(;2 )(
γω
γωωγ
γω
+===
+=== +
tIIetiIeI
tIitieIitjj
tj
Defazajul: ZI
UIUd
argargargarg =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=−=−= γβϕ
ZZeZ j arg; == ϕϕ - Corespondenţa operaţiilor elementare: a) adunarea : 2121 )()( IItiti +⇔+ b) amplificarea: Iti λλ ⇔)(
c) derivarea : IjIjdtdi ωω ;⇔ este defazat cu
2π
+ faţă de
fazorul I; d) integrarea: ;1)( I
jdtti
ω⇔∫ defazat cu
2π
− faţă de
fazorul I. Exemplu: circuitul serie R,L,C. a) reprezentarea polară:
figura 12
)sin(2
1)(
βω +=
++= ∫tUu
idtCdt
diLRitu
)
2sin(21)
2sin()sin(2)sin(2 πγω
ωπγωωγωβω −++++++=+ tI
CtLItRItU
OAB:Δ2
2 1⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
=
CLR
UI
ωω
RC
Larctg
CLRZ
ωω
ϕ
ωω
1
1 22
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
figura 13
b) reprezentarea în complex simplificat:
∫++= idtCdt
diLRitu 1)(
R
CL
jarctg
j
eC
LR
UeI
ZU
CLjR
UIICj
ILjIRU
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
=→++=
ωω
β
ωω
ωωω
ω
12
2 1
11
γ
ωω
β
ωω
jR
CL
jarctgj
Iee
CLR
UI =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
=⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−
1
22 1
unde:
ZarctgR
CL
arctgZUI =
−=−== ω
ωϕϕβγ
1
;;
)sin(2
1
sin1
2)(
2Im)(
22
γωωω
βω
ωω
ω
+=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
=
=
tIR
CL
arctgt
CLR
Uti
Ieti tj
Notă:abarctgCejCjbaC j ==+=+= ϕϕϕ ϕ ;)sin(cos
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
+==−=+=
−
−
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕππ
sincossincos
;;; 2222
jeje
ejejbaCj
jjj
figura 14
5.5. Caracterizarea în complex a circuitelor liniare Dipol pasiv-receptor:
figura 15
a) Impedanta complexa Z ; triunghiul impedantelor
[ ]
0sinZZImX;0cosZZReR
XRZ;0;0IUZ
jXR)sinj(cosZZeIUZ
22
j
⟨⟩ϕ==⟩ϕ==
Ω+=⟨⟩ϕ=γ−β⟩=
+=ϕ+ϕ=== ϕ
b) Admitanta complexa Y ; triunghiul admitantelor
GBtg;0sinYB;]S[0cosYG
jBG)sinj(cosYYeeZI
Z1
UIY jj
−=ϕ⟨⟩ϕ−=⟩ϕ=
+=ϕ−ϕ===== ϕ−ϕ−
Impedanta Z si respectiv, admitanta Y sunt suficiente pentru calculul curentului:
Ie2Im)t(i;YUeUYI
Ie2Im)t(i;eZU
ZUI
tj)(j
tj)(j
ωϕ−β
ωϕ−β
===
====
Putere complexa ; triunghiul puterilor
active)dipoli(receptoarela0Q;0P
pasive)dipoli(receptoarela0Q;0P
sinUIQ;cosUIP;UISjQPUIeUIeS;]VA[IUS j)(j
−⟨⟩
⟨⟩
−⟨⟩≥
ϕ=ϕ==+==== ϕϕ−β∗
S > 0
P = RI = GU ≥ 0 [W] Q = XI2 = -BU
⎩⎨⎧
generatordecedatareceptordeprimita
2 2
2⟨⟩ 0 [VAR]
Conventii
Relatii intre puteri (in triunghiul puterilor) S2 = P2 + Q2 ; P = Scosϕ ; Q = Ssinϕ
5.6. Elemente ideale de circuit în complex (R, L, C) - Impedanţa
:⎩⎨⎧
−⟨−⟩
⎩⎨⎧
−⟨−⟩
.gende.abs0Q.gende.ced0Q
.recde.ced0Q
.recde.abs0Q
Cj
Cj1Z;LjZ;RZ
ω−=
ω=ω==
- Admitanţa
CjY;
Lj1Y;
R1Y ω=
ω==
- Puterea complexă
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ω−==
ω−=ω
=
⎪⎩
⎪⎨⎧
ω==ω
=ω=
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
==
== ∗
2
22
2
22
2
22
22
IC
1Q;0P
CUjICj
1S
LIQ;0P
ULjLIjS
0Q;RIPGURIS
UYIZS
5.7. Ecuatia laturii de circuit în curent alternativ sinusoidal
figura 16
∫++=+Φ
− idtC1
dtdiLRi)t(u
dt)t(d)t(e b
ext
figura 17
IZU
C1LjRZ;IZUjE
a
U
bext
a
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ω−ω+==±Φω−
44 344 21
Laturi necuplate magnetic: IZUE b =± Laturi necuplate pasive: IZUb =±
)receptoaresi.gen.lat(IZIZUE
ILjICj1LjRUE
0L0L
;dtdiLdti
C1
dtdiLiRue
iL;dtiC1
dtdiLiRu
dtd
e
s
L
1s1s
msmmbmm
s
L
1s1s
msmm
mmbmm
ms
mssL
ms1s
msmm
mmmmbm
smsmmm
mmmmb
mm
m
extm
ext
∑
∑
∑∫
∫
≠=
≠=
≠=
±=±
ω±⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
+ω+=±
⎩⎨⎧
⟨→−⟩→+
±++=+
±=Φ++=+Φ
−
5.8. Metode si teoreme pentru rezolvarea retelelor de curent alternativ sinusoidal
- Topologie: retea conexa: – L, N, (N-S), o = L – (N-S)
retea neconexa (contine retele conexe care interactioneaza prin cuplaj electromagnetic)
5.8.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff
a) 0I
bKK =∑
∈
; b=1,2,…,N-S
Observatie: (in valori efective) dar0IbK
K ≠∑∈
0)t(ibK
K =∑∈
(in valori
instantanee) b) 0U
pmbm =∑
∈
; p=1,2,…,o ; o=L – N + S
Forma duala: ∑∑ ∑∈∈
≠=
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ω±
ω+ω+
pmm
pms
L
ms1s
msmm
mmmmm EILjICj1ILjIR
sau: 0Z;EIZIZ mspm
mpm
s
L
ms1s
msmmm ⟨⟩=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛± ∑∑ ∑
∈∈≠=
Observatie: Impedantele de cuplaj cu laturi din exteriorul ochiului p, msZ ,respectiv
tensiunile sms IZ apar o singura data. Impedantele de cuplaj dintre laturile aceluiasi ochi p, mKZ , KmZ ,respectiv
tensiunile KmK IZ , mKm IZ apar de doua ori. Conventia dubla de semne pentru termenii - semnul dat de sensurile curentilor Is, Im fata de
bornele polarizate; - semnul dat de relatia corespondenta dintre sensul
curentului Im si sensul de referinta parcurs pe ochiul care contine latura m. Note
smsILjω
Daca un curent are indicat sensul pe latura opus sursei, exista urmatoarele
situatii:
figura 18
a) sursa este pur reactiva: 12j8I;50jE mm +=−= 30j4I;50E mm −−== b) sursa este pur activa:
c) sens opus intre sursa si curent (in curent alternativ sinusoidal) inseamna un defazaj ϕ:
2mmπ⟩γ−α=ϕ .
5.8.2. Teorema conservarii puterilor
figura 19
∑∑=
∗
=
∗ ==L
1mmbm
N
1c
extccb IUIVS retea necuplata inductiv cu exteriorul (cuplata
galvanic)
0IUSL
1mmbmb == ∑
=
pentru o retea izolata galvanic (si inductiv)
Demonstratia porneste de la ecuatia laturii (receptoare): ( ∑=
∗⋅L
1mm ;I )
∑∑=
≠=
ω+=ω
+ω±ω+=+L
1ssmsmmm
m
L
ms1s
smsmmmmmmbm ILjIRICj1ILjILjIREU
Forma dezvoltata a teoremei:
±ω
−ω+=+ ∑∑∑∑∑====
∗
=
∗L
1m
2m
m
L
1m
2mmm
L
1m
2mm
L
1mmm
N
1c
extcc I
C1ILj[jIRIEIV
)]cos(IIL2 sm
L
1m
L
1ssmms γ−γω±∑∑
= =
XRgb jQPSS +=+ Observatie: Pentru o singura pereche de bobine cuplate magnetic, apare o singura data
termenul 2Xms.
5.8.3. Teorema transferului maxim de putere pe la borne
⎪⎩
⎪⎨⎧
ϕ−=ϕ−=
== ∗
gsgs
gsgs ;XX
RRZZ
5,0PP
maxg
maxsmax ==η
5.8.4. Metoda suprapunerii efectelor
L1j;IIL
1KjKj ÷== ∑
=
5.8.5. Metoda de transfigurare stea-triunghi si triunghi-stea
231312
32313
2
13322131
231312
12232
1
13322123
231312
13121
3
13322112
ZZZZZZ;
ZZZZZZZZ
ZZZZZZ;
ZZZZZZZZ
ZZZZZZ;
ZZZZZZZZ
++=
++=
++=
++=
++=
++=
5.8.6. Teoremele generatoarelor echivalente de tensiune si curent
a) Teorema generatorului echivalent de tensiune:
00
0
0ABgABg
ABAB
ABAB ZZ;UE;
ZZU
I ==+
=
b) Teorema generatorului echivalent de curent:
0sc
0
scABgABg
ABAB
ABAB YY;II;
YYI
U ==+
=
5.8.7. Teorema compensatiei
figura 20
figura 21
5.8.8. Metoda curentilor de ochiuri
∑∑
∑
∑
∈∈
=
∈
==
==
+−===
pmm
'p
pmmm
'pp
'p
o
1q
'q
'pq
qs
'qs
EE;ZZ:unde
o,...,2,1p;EIZ
SNLo;o,...,2,1q;II
'
qp'pq
qspm
ms'pq ZZ;ZZ == ∑
∈∈
NotaIn impedantele '
ppZ intra impedantele ochiului p necuplate, precum si cele cuplate. Semnul pentru impedantele cuplate (luate perechi) este dat de relatia dintre sensul de parcurs pe ochi (sensul curentului de ochi) si bornele polarizate ale bobinelor cuplate.
In impedantele 'pqZ i
ti ficntra impedantele comune celor doua ochiuri, cu semnul
dat de cei doi curen tivi 'pI si '
qIi p
prin latura comuna si impedantele de cuplaj dintre laturile celor doua ochiur si q (luate o singura data) cu semnul dat de relatia dintre sensurile curentilor fictivi '
pI , 'qI si bornele polarizate.
Verificarea valorilor curentilor se face, de regula, cu teorema bilantului de puteri.
5.8.9. Metoda potentialelor de noduri
figura 22
'd
'cbm
'sc
1N
1d
'd
'cd
VVU
1N,...,2,1c;IVYc
−=
−==∑−
=
Latura este necuplata magnetic (de regula, in cazul acestei teoreme)
mmsm
cmsc
'sc
dmcm
m'cd
cmm
'cc EYI;II;YY;YY
mc=−=== ∑∑∑
∈∈∈∈
Observatie'smI - curentul de scurtcircuit al laturii „m“ are semnul „+“ cind iese din nod
si „-“ cind intra in nod. Datorita semnului „-“ din expresia lui '
sccI , ei isi vor schimba semnul in suma
algebrica.
NotaDeterminarea expresiei instantanee a curentului comlex Exemplu:
4;
4tsin226Ie2Im)t(i
e26e26I;)j1(6I
22tj
2
4j1jarctg
22
π+=γ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ω⋅=⋅=
⋅=⋅=+=
ω
π
Verificarea curentilor se face, de regula, cu teorema bilantului puterilor in complex:
XRg0b jQPSS +=+
=
Teoremele impedantelor echivalente
a) serie: ∑=
=n
1KKe ZZ
b) paralel: ∑=
=n
1K Ke Z1
Z1 sau ∑
=
=n
1KKe YY
Teoremele divizorului de tensiune si curent (fara cuplaje magnetice) a) divizorul de tensiune:
21
22
21
11 ZZ
ZUU;ZZ
ZUU+
=+
=
21
12
21
21 ZZ
ZII;ZZ
ZII+
=+
= b) divizorul de curent:
Capitolul 6
Reţele de curent alternativ trifazat
6.1. Sisteme electrice trifazate
Sistemul trifazat simetric direct de t.e.m
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−α+ω=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−α+ω=
+ω=
34tsin2Ee
32tsin2Ee
)ttsin(2Ee
3
2
1
Reprezentarea simbolica a sistemelor trifazate
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+−===↔
−−===↔
=↔
π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+α
π−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−α
α
23j
21ea;EeEa)t(e
23j
21ea;EeEa)t(e
EeE)t(e
32j3
2j
3
32j23
2j2
2
j1
Teorema
0EEE
0)t(e)t(e)t(e
321
321
=++=++
Conexiunile sistemelor trifazate
figura 23
figura 24
Modul de producere a sistemelor de t.e.m. trifazate simetrice Principiul generatorului sincron trifazat
[ ]
)tsin(2E)nt2sin(2E)t(e
)nt2sin(nNAB2)nt2cos(ABNdtd
dtd)t(e
1
001
1
α+ω=α+π=
α+ππ=α+π⋅⋅−=Φ
−=
unde: ω = 2πn = 2πf – pulsatia t.e.m. induse α - faza initiala a t.e.m. induse E – valoarea efectiva Producerea câmpului magnetic invirtitor Principiul motorului de curent alternativ trifazat Curentii de alimentare:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
↔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+γ+ω=
↔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−γ+ω=
↔γ+ω=
Ia3
2tsinI2)t(i
Ia3
2tsinI2)t(i
I)tsin(I2)t(i
3
22
1
Inductiile produse sint:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
)t(Kin)t(B)t(Kin)t(B
)t(Kin)t(B
333
222
111
K = f (geometria spirelor, elementele constructive, caracteristicile magnetice ale mediului)
K = f(a, l, N, μr) Câmpul rezultant: 2
y2x321 BBB;0)t(B)t(B)t(B)t(B +=≠++=
I2I;ctKIBunde
B23B
)tsin(B23sinBB
)tcos(B23cosBB
maxmaxmax
m
my
mx
===
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
γ+ω=α=
γ+ω=α=
6.2. Rezolvarea retelelor trifazate simetrice echilibrate
Receptoare trifazate echilibrate in stea cu fir neutru
lff
lf321
13
4j
l3
4jfN3
3
123
2j
l3
2jfN2
2
1j
ljfN1
1
ffrfgfN3N2N1
NNO302010
II;Z
UIIIII
IaeIeZ
UZ
UI
IaeIeZ
UZ
UI
IeIeZ
UZ
UI
UUU;UUUU0I;0U;0UUU
======
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
====
====
====
=====
===++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ϕ−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ϕ−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ϕ−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ϕ−
ϕ−ϕ−
Tensiunile de linie
fl312312
1231
122
23
6j
f12
U3UUUUUaU
UaUeU3U
====
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
==
=π
Receptor trifazat in stea fara fir neutru (echilibrat)
6j
12N1
6j
N16
j
1012N
131
l2
23
l12
e3
UUeU3eU3U0IaUU
UaUUU
π−
ππ
====⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=
3UU
3U
3U
UUUUUaUUaU
e3
UU
lf
l12fN3N2N1
N1N3
N12
N2
6j
12N1
======
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==
=π
−
- Curentii:
Z3UII
Z3U
ZUIIIII
IaIIaI
eZ3
UZ
UI
llf
lflf321
13
12
2
)6
(j12N1
1
========
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==
==ϕ+
π−
Receptor trifazat simetric si echilibrat in triunghi
lf
l31
l2
23
l12
UUaUU
UaUUU
=⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=
- Calculul curentilor
ZUI;I
ZUIII
IaIIaI
eZU
ZUI
lff
l312312
1231
122
23
j11212
=====
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==
== ϕ−
- Relatia dintre curentii de linie si faza
flfl
l321
13
12
2
6j
l6j
1231121
I3I;I3ZU3IIII
IaIIaI
eZU3eI3III
======
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==
==−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ϕ+π
−π−
Puteri in retele trifazate echilibrate
ϕϕ∗ϕ−
ϕϕ∗
======
⎪⎩
⎪⎨⎧
ϕ=
ϕ=
+====
jl
jf1
jf101
lf10
llb
llb
bbj
llj
lf110b
eIeZ
UI;eZ
UZ
UI;3
UUU:unde
sinIU3Q
cosIU3P
jQPeIU3eIU3IU3S
6.3. Retele trifazate dezechilibrate
figura 25
figura 26
- Teorema lui Millman 0
Y...YYYV...YVYVV
n21
nn2211N ≠
++++++
=
- Retea trifazata dezechilibrata in stea cu fir neutru
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−=−==
=−=−==
==−=−==
303300N3033
N33
202200N2022
N22
0101100N1011
N11
VVVU;)UU(YZ
UI
VVVU;)UU(YZ
UI
)0V(;VVVU;)UU(YZ
UI
N0N0N VVVU =−= unde :
0YYYY
YUYUYUU
YYYYYVYVYVYVV
N321
3302201100N
N321
NN332211N
≠+++++
=
++++++
=
Observatie: potentialul nul al neutrului (0) al retelei de alimentare simetrice poate fi calculat tot cu teorema lui Millman: 0V0 = .
La fel – potentialul neutrului receptorului unei retele echilibrate:
0YY3
)UUU(YYY3
YVYVYVVN
302010
N
321N =
+++
=+
++=
- Deplasarea nulului: 0UsiYatunci0Z 0NNN →∞→→
figura 27
Retea trifazata dezechilibrata in stea fara fir neutru
figura 28
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=
l31
l2
23
l12
aUUUaU
UU
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−==
=−==
==−=−==
330N333
N33
220N222
N22
010110N111
N11
VU;)VV(YZ
UI
VU;)VV(YZ
UI
)0V(;VVVU;)VV(YZ
UI
N0N0N VVVU =−= unde :
321
3302201100N
321
332211N
YYYYUYUYUU
YYYYVYVYVV
++++
=
++++
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π
−π−
π−
π−
π−
===
======
34
6j
l3
32
6j
l2
6j
l1
6j
31303
6j
23202
6j
12101
e3
UV;e3
UV;e3
UVsau
e3
UUV;e3
UUV;e3
UUV
.I,I,I 321 Se calculeaza acum curentiiAbsenta firului neutru face ca in acest caz dezechilibrul sa se mentina. Retea trifazata dezechilibrata in triunghi
figura 29
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=β==
l31
l2
23
lll12
aUUUaU
)0(UUU
233131223231121
31
3131
23
2323
12
1212
III;III;IIIZUI;
ZUI;
ZUI
−=−=−=
===
6.4. Puteri in retele trifazate dezechilibrate
a) Retele trifazate in stea cu fir neutru
SImQ;SRePunde
jQPIUIUIUS
bbbb
bb330220110b
==+=++= ∗∗∗
b) Retele trifazate fara fir neutru in stea si in triunghi ∗∗∗ ++= 330220110b IUIUIUS
0U;0V 202 == Neutru artificial:
⎩⎨⎧
−=−==−=
30302023
10201012
UUUUUUUU
(2 wattmetre) ∗∗∗∗ +=−= 332112323112b IUIUIUIUS
Concluzii referitoare la retelele trifazate Rolul conductorului neutru: a) de lucru (consumatori monofazati) b) de protectie c) de stabilizare a tensiunilor la receptoare
dezechilibrate Conductorul neutru este legat la pamint, asigurind o tensiune maxima intre
faze si nul egala practic cu Ufg = 220 V. Legarea la nul in scop de protectie este suplimentara legarii la pamint in
scop de protectie.
Capitolul 7
Cuadripoli şi filtre electrice
7.1. Cuadripoli electrici
figura 30
Poarta de intrare (regim receptor): ∗= 111 IUS ∗= 222 IUS Poarta de iesire (regim generator):
- Ecuatiile in parametrii fundamentali
⎩⎨⎧
+=+=
221
221
IDUCIIBUAU
)1( Conditia de reciprocitate:
1CBDA =− - Ecuatiile in parametrii impedanta
CDZ;
C)CBDA(Z
C1Z;
CAZ
2212
2111
−=−−
=
==
⎩⎨⎧
+=+=
2221212
2121111
IZIZUIZIZU
)2(
11Z - impedanta de intrare la mers in gol
12Z - impedanta de transfer la mers in gol
= - 21Z12Z conditia de reciprocitate - Ecuatiile in parametrii admitanta
2112
2221212
2121111 YYUYUYIUYUYI
)3( −=⎩⎨⎧
+=+=
- Cuadripol simetric 22112211 YYZZDA −=−== - Determinarea parametrilor cuadripolilor Se face analitic sau experimental. Determinarea analitica presupune cunoasterea structurii interne. a) Cuadripol in T
figura 31
⎩⎨⎧
+−=−==+=
)ZZ(Z;ZZZZ;ZZZ
22212
21111
YZ1D;YC;ZZYZZB;YZ1A 221211 +==++=+= b) Cuadripol in π
figura 32
⎩⎨⎧
+−=−==+=
)YY(Y;YYYY;YYY
22212
21111
ZY1D;YYZYYC;ZB;ZY1A 121212 +=++==+= Determinarea experimentala a parametrilor
1CBDA
Y1
AB
IUZ;
Y1
DB
IUZ
ZCD
IUZ;Z
CA
IUZ
220U'2
'2
sc2110U1
1sc1
22
0I'2
'2
20110I1
110
'12
'12
=−
−==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛===⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛===⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
==
==
Se determina din aceste ecuatii parametrii fundamentali:
)ZZ(Z1C;ZZCB;ZCD;ZCA
sc22010sc1202010
−±====
- Alimentarea inversa a cuadripolului
figura 33
'22
'22
'11
'11
II;UU
II;UU
−==
−== Se inlocuiesc indicii 1 cu 2 in ec (1);
se inlocuieste D cu A .
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
+='1
'1
'2
'1
'1
'2
IAUCI
IBUDU
- Impedantele cuadripolilor a) Impedante de intrare: primara si secundara
)Z(fAZCBZD
IUZ;)Z(f
DZCBZAZ 1
1
1'2
'2
e22
2e 21
=++
===++
= - pe alimentare inversa
b) Impedante caracteristice: directa si inversa
figura 34
222111 cec1cec2 ZZ;ZZZZ;ZZ ====
si 1CBDA =−Din relatiile21 ee Z,Z (cuadripoli reciproci):
( ) ( )
C24DA)AD(
Z;C2
4DA)DA(Z
2
c
2
c 21
−+±−=
−+±−=
Pentru cuadripoli simetrici: CBZZ
21 cc ±== Utilitate: conservarea conditiilor de adaptare a sarcinii la un generator, cind
intre acestea se introduce un cuadripol cu anumite functiuni (filtru, stabilizator etc.).
figura 35
a) Impedante imagini: primara si secundara
figura 36
ACBDZ;
DCBAZ
21 ii ±=±=
CBZZ
21 ii ±== Cuadripoli simetrici:
Utilitate: realizarea conditiei de adaptare a sarcinii la o sursa.
figura 37
siii ZZZZ21s==
Alte relatii: sc220isc110i ZZZ;ZZZ21
±=±= In cazul unui cuadripol (reciproc) si simetric:
sc110ic
sc2sc1201022112211
ZZCBZZ
ZZ;ZZ;YY;ZZ;DA
±=±==
==−=−==
- Conexiunea in cascada a CD
figura 38
figura 39
[A] = [A’] [A’’]
7.2. Filtre electrice Intervale (benzi): de trecere a<<(a=0) de atenuare a>>(a = ∞) de oprire a>>(a = ∞)
Frecvente de taiere: fi ; fs Tipuri: FTJ fi = 0 ; fs ≠ 0 FTS fi ≠ 0 ; fs = ∞ FTB fi ≠ 0 ; fs ≠ 0 FOB fi ≠ 0 ; fs ≠ 0 - Filtrul nedisipativ simetric adaptat (model teoretic)
figura 40
0CB)Z(ZZ;DA;0P 1c2 ⟩=====
Caracterizare:
figura 41
⎩⎨⎧
±=+=+=s
i
t
li f
f1
ZZ
211YZ1A
212
1
2
1
2
1
UargUargUUarg)(b
]dB[UUlg20)(a;]Np[
UUln)(a
−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=ω
=ω=ω
a(ω), b(ω) – caracteristici de frecventa ale filtrului
CBZc += - intervale de trecere; 2Z este o reactanta si datorita adaptarii P
este maxima ( c2 ZZ = )
CBZc ±= - intervale de atenuare; 2Z este o reactanta, P = 0; neadaptare
( c2 ZZ ≠ ) Filtrul trece – jos (FTJ) Exemplu (cuadripol in T)
figura 42
Cj1Z;Cj
Z1Y;Z
2LjZ t
t21 ω
=ω===ω
=
ss
i
2
t
l
00LC21A
01A
AA;1LC211
ZZ
211A
ω≤ω≤≠=ω→−=
=ω→+=
=±=ω−=+=
figura 43
Capitolul 8
Regimul permanent nesinusoidal al circuitelor electrice liniare
8.1. Regimul permanent nesinusoidal (R P Ns)
8.1.1. Elemente de circuit neliniare - transformatoare si bobine cu miez de fier. Elemente de circuit reactive: bobine, condensatoare cu pierderi. - Efecte negative: scade cosϕ, respectiv puterea activa; cresc pierderile de
putere; apar rezonante pe diferite armonici. - Metoda descompunerii spectrale (analiza armonica a functiilor periodice
nesinusoidale): f(t) = f(t + mT) - Seria trigonometrica Fourier:
∑∞
=
ω+ω+=1n
nn0 )tnsinBtncosA(
2A)t(f
unde:
,...2,1,0n;tdtncos)t(fT2A
T
0n =ω= ∫
0A;dt)t(fT2A
,...3,2,1n;tdtnsin)t(fT2B
0
T
00
T
0n
⟨⟩=
=ω=
∫
∫
nnnnnn
nnnnnnn
1nn0
cosF2B;sinF2A
tncossinF2costnsinF2)tnsin(F2)t(f
;)t(fF)t(f
γ=γ=
ωγ+γω=γ+ω=
+= ∑∞
=
∑∞
=
γ+ω+=1n
nn0 )tnsin(F2F)t(f serie dinamica Fourier
- Coeficientul de distorsiune
1k0;0I...IIII:unde
III
I
I
...II
...IIk
d2n
22
21
20
20
2d
1n
2n
2n
2n
22
21
23
22
d
≤≤⟩++++=
−==
++
++=
∑
∑∞
=
∞
=
8.2. Puteri in regim permanent nesinusoidal (RPNs)
vad1]D[;)QP(SD;DQPS
QPS;SS
...IIII;...UUUUunde,UIS
sinIUQ
cosIUIUP
SI222222
22usoidalsinregim
22
21
20
22
21
20
1nnnn
1nnnn00
=+−=++=
+≠≠
+++=+++==
ϕ=
ϕ+=
∑
∑∞
=
∞
=
D se determina numai prin calcul.
8.3. Elemente ideale de circuit in RPNs a) Rezistorul ideal
rui =
rIUZ;
rUI;
0I;)tnsin(I2)t(i
0U;)tnsin(U2)t(u
n
nn
nrnnn
0nn1
0nn1
===γ−β=ϕ
=γ+ω=
=β+ω=
∑
∑∞
∞
dudi
ddu
d
d
ddi
kk
UUk
UU
rUr
U
IIk
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
=
===
Rezistorul ideal nu modifica forma curentului fata de cea a tensiunii.
b) Bobina ideala
0;0;0cos 2
1
2
1
==≠=== ∑∑∞
=
∞
=
DQrIIrIUPK
nnnK
n ϕ
∫== udtL1i;
dtdiLu
di
1
2n
2
2n
ddu
1
2n
2
2n
1
2n
2
2n
ddi
n
nn
nnnnn
kU
U
UUk
nU
nU
LnU
LnU
IIk
LnIUZ;
LnUI;
2
⟩==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ω
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ω
==
ω==ω
=π
=γ−β=ϕ
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∞
∞
∞
∞
∞
∞
O bobina reduce deformarea curentului fata de cea a tensiunii.
c) Condensatorul ideal
0D;ILnIUsinIUQ;0P 2n
1nn
1nnnn
1nn ≠ω==ϕ== ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
dtduCi;idt
C1u == ∫
( )
( )
( )
( )
di
1
2n
2
2n
ddu
1
2n
2
2n
1
2n
2
2n
ddi
nnn
nnnnn
kU
U
UUk
nU
nU
CUn
CUn
IIk
CUnI;Cn
1IUZ;
2
⟨==
=
ω
ω==
ω=ω
==π
−=γ−β=ϕ
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∞
∞
∞
∞
∞
∞
Condensatorul cu pierderi accentueaza deformarea curentului fata de cea a tensiunii.
d) Circuit serie R, L, C in RPNs
2n
1nn
1nnnn
1nn U)Cn()IU(sinIUQ;0P ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
ω−=−=ϕ==
)tnsin(U2u nnn β+ω= - armonica de ordinul n a tensiunii
∑∞
=
γ
=ω−ω
=ϕ
ϕ−β+ω
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ω−ω+
=
1nnn
nn
Z
22
nn
ii;r
Cn1Ln
arctg
tnsin(
Cn1Lnr
U2in
n
43421
444 3444 21
Capitolul 9
Circuite neliniare in regim permanent sinusoidal (RPS)
9.1. Elemente neliniare de circuit in RPS
9.2. Bobina cu miez de fier
figura 44
figura 45
- Ecuatiile bobinei
⎪⎩
⎪⎨⎧
−Φ=Φ
++=Φ
++=Φ
+=
fierdemiezcubobineiamagneticaticacaracteris)i(
udtdiLri
dtd
dtdiLni
dtdri)t(u
uu
udu
d
dtd
NK
NHli u
2
Φ+= - Curentul:
- Pierderile in bobina (puterea absorbita este o putere de pierderi)
∫ ∫ Φ+==T
0
P
T
0u
P
2
Fe
Cu
idT1rIuidt
T1P
43421
- Pierderile in fier
ρΔ−=
−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
Φ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Φ
+Φ=
∫
∫∫
Γ
ΓΓ ΦΦ
sidedepinde,materialde.constK;]W[BfKP
scaradefactorK;]W[V)AK(fVHdBfP
ddt
dNKfd
NHlfP
m2max
2mf
sH,Bshm
P
uu
2
P
uFe
H,B
f
i,
hm
i, 444 3444 2143421
- Scheme echivalente
figura 46
sss uFee LjRZ ω+=
Definirea ie (curentului echivalent): a) identitatea pierderilor in fier; b) valori maxime egale pentru ie si pentru i real; c) valori efective egale pentru ie si pentru i.
9.3. Condensatorul cu pierderi (condensatorul real)
figura 47
figura 48
figura 49
- Pierderile in condensator: a) pierderi prin conductie (G0) b) pierderi prin histerezis dielectric - Ecuatia condensatorului
dtdquG
dtdqii c00 +=+=
- Pierderile:
∫∫∫ +==T
0c
T
0
2c0
T
0d dt
dtdqu
T1dtuG
T1dt)t(p
T1P
scaradefactorK;AfKUGdqufUGP squs2c0
P
c
P
2c0d
hd
quj
−+=+= ∫Γ
321321
- Condensatorul plan [W] - Unghiul de pierderi in dielectric (δh) uc(t) = Uc maxsinωt ; q(t) = Qmaxsin(ωt - δh)
DE2c0d fVAUGP +=
figura 50
- Capacitatea echivalenta aparenta
dA
ED
dAC;
UQC
max
maxmaxmaxa
maxc
maxmaxa =ε== (cond. plan)
- Pierderile prin histerezis in functie de δh
hmaxmax
T
0ch sin
2QUdt
dtdqu
T1P δ
ω== ∫
- Scheme echivalente
figura51 figura 52
figura 53
⎩⎨⎧
ω+=+=
QjIIIII
0
cG s
sse
ee Cj1RZ
ω+=
ppp eee CjGY ω+=
- Factorul de pierderi tg δ; pierderile totale de putere Pd(δ)
)defazaj(0;2 ee ⟨ϕϕ−π
=δ δ - unghiul de pierderi totale;
)(fP;]W[sinIUIUP
),,(ftg;)(fC
GIItg
dcGcd
e
e
c
G
p
p
δ=δ==
εωσ=δω=ω
==δ
Cunoscind tgδ, Pd, Uc chemele echivalente (Gep, Cep) - conditii industriale uzuale - conditii cu pelicula sintetica
s4104518tg −⋅÷=δ
41084tg −⋅÷=δ
Capitolul 10
Circuite electrice in regim tranzitoriu (RT)
10.1. Regimul tranzitoriu al circuitelor liniare
Metoda generala de analiza pentru circuite liniare – metoda suprapunerii efectelor;
Marimi electrice de RT: nesinusoidale, neperiodice: impulsuri, salve de impulsuri;
Metoda suprapunerii efectelor: descompunerea functiilor neperiodice si nesinusoidale in componente elementare (functii elementare) pentru care rezolvarea se face cu metodele cunoscute; se suprapun (se insumeaza algebric) rezultatele obtinute.
Componente elementare: - armonici elementare sinusoidale; - functii treapta elementare; - oscilatii amortizate reprezentate in complex Conditii initiale: - nule (metoda integralei Fourier) - nenule (metode operationale)
10.2. Metode de rezolvare a circuitelor liniare in RT Metode cunoscute: 1. metoda directa, de rezolvare a ec. integro – difer.; in dom. t 2. metoda integralei Fourier (descompunerea spectrala); in dom. f 3. metoda raspunsului tranzitoriu (integrala Duhame dom. t 4. metoda operationala (transformata Laplace). in dom. f Metoda descompunerii spectrale (integrala Fourier)
l); in
ωωπ
= ω∞
∞−∫ de)j(F
21)t(f tj - transformata Fourier inversa reprezinta dezvoltarea
in serie Fourier complexa a lui F(t). Semnificatie matematica: transformare din domeniul functiilor de variabila
reala in cel al functiilor de variabila complexa (corespunzator biunivoca). )j(F ω - transformata (imaginea) Fourier a lui f(t)
dte)t(f)j(F tjω−
∞
∞−∫=ω - transformata Fourier directa
( )[ ]⎩⎨⎧
ℑ=
ℑ=− ω
ω
jFtftfjF
1)()]([)(
Semnificatie fizica: o suprapunere de componente armonice elementare (semnale sinusoidale elementare de diferite frecvente) reprezentate in complex, avind amplitudini din ce in ce mai mici.
ωω
π=δ ω de)j(F
21F tj
)j(F ω - densitatea spectrala a lui f(t) )(f)j(F ω=ω - spectrul lui f(t) Aplicarea metodei descompunerii spectrale
figura 54 figura 55
t = 0 – se aplica u(t) de RT, cunoscuta Conditii initiale nule (de repaus):
t = 0
Se aplica transformarea:
⎩⎨⎧
==
0)0(i0)0(u
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
ωπ
=
=ω
ω∞
∞−
ω−∞
∞−
∫
∫
de)t(U21)t(u
dte)t(u)j(U
tj
tj
Curentul va fi:
ω
ωω
π=
ωω
=ωωωπ
=
ω∞
∞−
ω∞
∞−
∫
∫
de)j(Z)j(U
21)t(i
)j(Z)j(U)j(I;de)j(I
21)t(i
tj
tj
Metoda operationala (transformata Laplace) - Functii neperiodice si nesinusoidale in conditii initiale nenule - Operator liniar: operatie care asociaza biunivoc o functie f(t) de variabila reala cu imaginea sa F(p) de variabila complexa.
f(t) F(p) ; p = σ + jω - Avantajele operatorului: a) admite un operator invers;
b) transforma o derivata intr-o operatie algebrica.
- Transformata Laplace
⇔
)]t(f[L)p(F;dte)t(f)p(F pt == −∞
∞−∫
pentru t ≥ 0 functii imagine functii original - Integrala este convergenta daca: - pentru t > 0, f(t) este marginita, monotona
si continua; - pentru t < 0, )t(f nu creste mai repede ca o
exponentiala: t0
0eA)t(f σ< , ceea ce revine la spune ca variabila complexa „p“ are partea reala suficient de mare: Rep > σ0;
- conditii initiale nenule; - intervalul de timp: 0 ≤ t < ∞. - F(p) este definit in intreg planul complex, cu exceptia
singularitatilor din semiplanul Rep ≤ σ0 f(t) = L-1[F(p)]
- Semnificatie fizica: in conditiile aratate, o functie nesinusoidala si neperiodica se poate reprezenta ca o suma de functii oscilatorii amortizate reprezentate in complex (amortizarea → σ) - Determinarea functiei original
a) cu ajutorul tabelelor; b) metode de inversiune. - Metode de inversiune b1) Prima metoda Heaviside
f(t) = ℒ-1[F(p)]= ℒ-1 tpn
K K
K KepPpP
pPpP ∑
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
1'
2
1
2
1
)()(
)()(
;)()()(
2
1
pPpPpF =
unde pK sint rădăcinile ec. . b2) A doua metodă Heaviside
0)('2 =KpP
f(t) = ℒ-1[F(p)]= tpn
K KK
K KepPp
pPPP ∑
−
= ⋅+
1
1'
3
1
3
1
)()(
)0()0(
;)(
)()(3
1
ppPpPpF =
unde pK sint rădăcinile ec. . Teoremele lui Kirchhoff în mărimi instantanee pentru circuite in regim
tranzitoriu T1K
2K
0)(3 =KpP
: 0)( =∑∈bm
m ti
T : ∑ ∫ ∑∑
∈≠=∈ Φ==
+++=Φ+−pm
L
mss
sms
mmm
mmm
pmm
ucmm dt
diLdtdiLdti
CiRue
mcm1)0()0(
)1()(
figura 56
uC0 şi Φ(0) sint surse electrice ideale echivalente. În formă operaţională:
0)( =∑∈bm
m tI
∑ ∑∑∈
≠=∈
+++=Φ+−pm
L
mss
smsmmmm
mmpm
mcm
m pIpLpIpLpIpC
pIRp
UpE1
))()()(1)(())0()0()((
[ ] )0()()0( Φ=Φ tδ ℒ [ ] )0()0()(1
Lit =Φ==321
δΦm(0) din ℒ (vezi pag. 379 din
„Bazele electrotehnicii. Probleme“, vol. II, R. Răduleţ) unde:
mmmmm pC
pLRpZ 1)( ++= - impedanţa proprie
operaţională a laturii m - impedanţa mutuală operaţională
dintre laturile m şi s smpLpZ msms ≠= ;)(
Capitolul 11
Câmpul electromagnetic în conductoare masive
11.1. Ipotezele analizei a) Ipoteza regimului cvasistaţionar b) Ipoteza renunţării la circuitele filiforme
11.2. Ecuaţiile lui Maxwell ( σμε ,,;0=vr - constante; ρv = 0; conductor masiv omogen şi continuu)
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=∂∂
−=
==
)4(0
)3(0
)2(
)1(
Bdiv
DdivtHErot
EJHrot
r
r
rr
rrr
μ
σ
Problemele specifice: - curenţii turbionari (Foucault) - efectul pelicular - efectul de proximitate
11.3. Pătrunderea câmpului într-un conductor masiv
22;sin)(
)(),0(),(
max00max00max00
0
He
HHtHtH
tHtHtxH
j
zz
===
==
ω
Din (1) şi (2) rezultă ecuaţia:
).(;; 2
2
2
2
2
propdectjHHjxH
tH
xH
zzzzz μσμγγμσμσμ ===
∂∂
∂∂
=∂∂
),,(,;2;
)sin(),(
).(2
;)1(;2
max0
max0
21
μσωλαπλ
αω
αω
ωσμααγ
α
γ
γγ
fvv
xteHtxH
dectjeH
H
eAeAH
xz
xz
xxz
===
−=
=+==
+=
−
−
−
v – viteza de fază a undei în conductor Densitatea de curent şi t.e.m. indusă y
z Jjx
HjHrotJHrotrrrrr
−=∂∂
−== ; - are componentă după 0y
)4
sin(2),(
)4
sin(2),(
max0
max0
4max0
παωσα
σ
παωα
α
α
α
παα
+−−==
+−−=
⋅=
−
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
−
xteHtxJ
E
xteHtxJ
eeHJ
xyy
xy
xjx
y
11.4. Adâncimea de pătrundere
[ ]mx
xxe
He
He
HeH x
x
αωσμδδ
α
ααα
α
12;1
1;1;; max0max0max0max0
====
====−
Pierderile de putere în conductorul masiv
( ) ),(;),(;),(; txJjJtxjEEtxHkHAdHEP yyz
rrrrrrrr===×= ∫∫
ΣΣ
),()( txSiHEkjHES xzy
rrrrrr=×=×=
[ ]2
2max0
00
22max0
22max0
22max0
2)(),(:0
22
),(~
422cos
4cos2
2),(
2)cos()cos(sinsin:
)4
sin()sin(2),(
mWH
ptStxSx
eH
ptxS
xteH
txS
dar
xtxteHtxS
xx
xx
xx
σα
σα
παωπσα
βαβαβα
παωαωσα
α
α
α
====
==
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−=
+−−=
+−−=
−
−
−
(densitate de putere activă transmisă prin suprafaţa blocului)
Adâncimea de pătrundere δ
figura 57
figura 58
[ ]α
σσμπωσμ
σ 1;12
2; max02
===
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=
mf
HaIRIP
pAP
Condensatoare feromagnetice (masive):
mmHzf
mmHzf
mmHzf
Fe
Fe
Fe
020,0018,01050
2,018,01050
28,150
4
2
−=−⋅=
−=−⋅=
−=−=
δ
δ
δ
Curenţii turbionari:
EJtBErot
rrr
rσ=
∂∂
−= ;
Efecte negative: pierderi, încălzire Efecte pozitive: călirea şi topirea prin inducţie, ambreiaje electromagnetice
[ ]
SitoleTBlakgWp
pentrumWBfkp
Fe
Fe
s
s
%4max;11
3
2max
22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
⟨⟨ΔΔ
= δρ
11.5. Efectul pelicular (skin effect)
Urmări: - creşterea pierderilor de putere prin efect Joule-Lenz - creşterea rezistenţei echivalente a conductorului în c.a. a) La frecvenţe joase: a⟩⟩δ - efect pelicular
slab b) La frecvenţe medii: a≅δ - efect pelicular
mediu ; exemplu:f = 10kHz c) Efect pelicular net – frecvenţe înalte: a⟨⟨δ
11.6. Pierderile de putere prin efect pelicular
[ ]WIplP 2
σα
=
11.7. Calculul rezistenţei conductorului în c.a.
)(2 ω
σδσα f
pl
pl
IPRa ====
Factorul de curent alternativ:
δρ pA
Al
RRRk t
t
aaa ===
0
Exemplu: a) f = 50 Hz ; δ = 1,8 mm ; 04,1 RR
pAk a
t ≅→≅=δ
142,7
10;10502
2 ≅=⋅= kHzf b)
Partea a patra Măsurări electrice
Capitolul 12
Procesul de măsurare Comunicarea şi acţiunea sunt două laturi fundamentale ale oricărei activităţi
omeneşti. Comunicarea vehiculează în principal informaţie, iar acţiunea vehiculează în principal energie.
Atât schimburile de informaţie căt şi schimburile de energie se fac cel mai frecvent pe suportul mărimilor electromagnetice, a căror măsurare precisă condiţionează desfăşurarea normală a proceselor implicate.
Se poate afirma, fără exagerare, că amploarea măsurilor electrice este azi comparabilă cu aceea a măsurării tuturor celorlalte ,mărimi fizice la un loc. Măsurările electrice reprezintă domeniul de măsurări în care precizia, pragul de sensibilitate şi viteza de măsurare ajung cel mai aproape de limitele teoretice, consecinţe ale legilor fizicii.
Măsurarea este una din componentele esenţiale ale comunicării. Scopul măsurării este obţinerea experimentală a unei informaţii cntitative asupa anumitor proprietăţi ale unui obiect sau sistem şi experimarea ei sub formă adecvată pentru utilizare.
Ansamblul operaţiilor experimentale care se execută în vederea obţinerii rezultatului măsurării constituie procesul de măsurare. Orice proces de măsurare conţine următoarele elemente principale: - mărimea de măsurat sau măsurandul; - aparatul de măsurat; - metoda de măsurare; - etalonul.
În funcţie de natura, precizia şi scopul măsurării, aceste elemente au o importanţă relativ diferită. Oricare din cele patru elemente ale procesului de măsurare poate servi ca punct de plecare într-o clasificare a măsurilor.
Proprietăţile unui obiect sau ale unui sistem fizic pot fi sau nu măsurabile. O proprietate măsurabilă este denumită mărimea fizică. O primă condiţie de măsurabilitate este ca mărimea fizică să constituie o mulţime ordonabilă, adică mulţime în care să se poată defini relaţiile de egal (=), sau mic (<) şi mai mare (>) între elementele ei. În plus este necesar să se poată stabili convenţional o corespondenţă biunivocă între mulţimea valorilor mărimii fizice şi mulţimea numerelor reale. Aceasta este convenţia de scară care defineşte în acelaţi timp şi unitatea de măsură.
19
Rezultatul final al oricărei măsurări este un număr care, împreună cu unitatea de măsură, caracterizează mărimea de măsurat.
Procesul de măsurare este o operaţie experimentală, reproductibilă, prin care se asociază mărimii fizice o valoare matematică în raport cu o mărime fizică de referinţă numită unitate de măsură.
Măsurarea unei mărimi X reprezintă compararea acesteia cu o altă mărimede aceeaşi natură, considerată unitate de măsură. Prin alegerea unei unităţi şi prprocedeul experimental de măsurare, fiecărei mărimi fizice i se asociază o valoanumerică ( ). Mărimea fizică X se exprimă prin produsul dintre unitatea de măsură ad ă şi valoarea numerică obţinută : (12.1)
Rezultatul măsurării este un număr adimensional şi variază invers proporţional cu unitatea de măsură adoptată.
Pentru efectuarea unei măsurări este necesar ca unitatea de măsură să poată fi realizată în mod corect. Realizarea materială a unităţii de măsură constituie “măsura”; evident, numai pentru anumite unităţi este posibilă concretizarea sub formă de măsuri.
Ţara noastră a adoptat Sistemul Internaţional de Unităţi (SI) în august 1961, singurul sistem de unităţi de măsură legal şi obligatoriu.
Numeroase mărimi fizice nu sunt accesibile direct simţurilor omului, de aceea este necesar să se recurgă la convertire, cu ajutorul unui dispozitiv, a mărimii de măsurat într-o mărime perceptibilă.
Mesajul senzorial cel mai adecvat pentru operatorul-om îl reprezintă deplasarea acului indicator în faţa unei scări gradate sau afişarea numerică pe un panou a rezultatului măsurării.
Operaţia de măsurare se poate realiza prin intermediul unui dispozitiv care realizează conversia mărimii de măsurat într-o mărime perceptibilă pentru operatorul-om sau aptă de a fi preluată de o maşină – operatoare, numit aparat de măsurat. Prin asocierea unor aparate de măsurat şi măsuri se obţin instalaţiile de măsurare. Măsurile, aparatele de măsurat şi instalaţiile de măsurare formează mijloacele de măsurare.
În funcţie de rolul lor în procesul de măsurare, de precizia pe care o reprezintă, mijloacele de măsurare se clasifică în:
1. mijloace de măsurat de lucru, care participă în măsurările curente, necesare în practică;
2. mijloace de măsurat model (comparative sau martor), destinate etalonării sau verificării măsurilor şi aparatelor de lucru;
mU in re
mXoptat mU mX
mm UXX ⋅=
mX
20
3. mijloace de măsurat etalon, care reproduc sau stabilesc unitatea de măsură cu precizie maximă, o păstrează şi o transmit mijloacelor de măsurare cu precizie inferioară.
12.1 Noţiunile de aparat de măsurat şi de traductor
Operaţia de măsurare ca o comparaţie direct perceptibilă a mărimii de măsurat
cu unitatea de măsură nu este posibilă decât într-un număr restrâns de cazuri, în care unităţile pot fi realizate sub o formă ce permite utilizarea lor ca atare. Restricţiile apar pe de o parte prin faptul că există numeroase mărimi fizice ce nu sunt accesibile simţurilor umane, iar pe de altă parte chiar şi în cazurile celor care posedă această proprietate numai un domeniu limitat de valori poate fi sesizat.
De cele mai multe ori între mărimea de măsurat şi organul de percepţie este necesar să se intercaleze anumite dispozitive care, acţionate de mărimea respectivă pe baza energiei asociate acesteia sau a unei energii auxiliare de activare, determină apariţia unor efecte susceptibile de a fi percepute. De exemplu, curentul electric ca un flux de electroni nu poate fi perceput, dar trecând acest curent print-o bobină mobilă aşezată într-un câmp magnetic, aceasta va suferi o deplasare ce poate fi observată cu ajutorul ochiului. Dacă se consideră câmpul magnetic constant şi nu exista alte influente perturbatoare, deplasarea bobinei mobile se afla intr-o corespondenţă determinată cu valoarea curentului continuu. Cunoscând prin calcul sau experimental modul cum se realizeaza aceasta corespondenta, deplasarea bobinei permite deducerea valorii curentului, ea putand constitui o masura a acestuia. Pe baza acestor considerente se poate defini noţiunea de aparat de măsurat:
Dispozitivul care stabileşte o dependenţă între mărimea de măsurat şi o alta ce poate fi percepută în mod nemijlocit de organele de simţ umane, astfel încât permite determinarea valorii mărimii respective pe baza unei scări de măsurare se numeşte aparat de măsurat.
Aceasta este o definiţie generală care are în vedere înţelesul clasic al noţiunii de aparat de măsurat, ce presupune utilizarea acestuia de către un operator uman. În instalaţiile automate (omul eliminat), aparatul de măsurat este denumit traductor şi el stabileşte o corespondenţă între mărimea de măsurat şi o mărime, etalonată conform unei scări de măsurare, aptă de a fi prelucrată de elemente de automatizare sau de echipamente de calcul.
Pornind de la definiţiile precedente se poate reprezenta schema generală a unei măsurări. În fig. 12.1 este dată o astfel de schemă pentru cazul unui aparat de măsurat care se adresează unui operator uman, iar în fig. 12.2 schema corespunzătoare utilizării unui traductor, care realizează funcţia de măsurare într-un sistem de reglare automată.
21
Fig. 12.1 Schema generală a unei măsurări efectuate de către un operator uman
Fig. 12.2 Schema generală a unei măsurări efectuată în cadrul unui sistem de reglare automată
Între cele două scheme nu există diferenţe principiale, întrucât ambele
îndeplinesc funcţiuni similare de determinare a valorii mărimii de măsurat în vederea unei anumite utilizări a acesteia. Scopul măsurării, în sistemele de reglare automată, este acela de a iniţia o acţiune asupra instalaţiei automatizate pentru a păstra mărimea reglată la valoarea prescrisă. Măsurarea serveşte pentru a putea constata abateri de la această valoare. Trebuie observat că nici în cazul operatorului uman, măsurarea nu prezintă un scop în sine ci, de regulă, se efectuează tot în vederea exercitării unei acţiuni asupra obiectului măsurării.
Pentru a aduce mărimea de măsurat la o formă accesibilă fie operatorului uman fie dispozitivului de automatizare, în cadrul unui aparat de măsurat au loc o serie de transformări ale acesteia bazate pe energia pe care o are asociată sau pe energii furnizate de surse auxiliare. Privind din acest punct de vedere, orice aparat de măsurat sau traductor are o structură ce cuprinde următoarele elemente tipice:
• Elementul sensibil sau detectorul este elementul esenţial, specific pentru măsurarea unei anumite mărimi fizice. În condiţiile de efectuare a măsurării, el trebuie să aibă proprietatea de a fi sensibil numai la mărimea de măsurat şi de a o detecta numai pe aceasta, eliminând sau reducând la un minim acceptabil influenţa
22
pe care o exercită toate celelalte mărimi fizice existente în mediul în care se află plasat. Elementul sensibil trebuie să furnizeze la ieşire un semnal, care, potrivit unei dependenţe consecinţă a legilor fizice pe care se bazează funcţionarea sa, să conţină informaţia necesară determinării valorii mărimii de măsurat. Acest semnal trebuie totodată să fie de asemenea natură, încât să poată să acţioneze celelalte elemente ale aparatului de măsurat. Pentru aceasta, semnalul trebuie să posede o anumită energie pe care o poate prelua de la mărimea de măsurat sau de la o sursă auxiliară.
• Adaptorul este al doilea element important din structura unui aparat de măsurat. El primeşte semnalul dat de elementul sensibil şi îl converteşte într-o mărime perceptibilă sau într-un alt tip de semnal în cazul traductoarelor, de aşa manieră încât să existe posibilitatea sesizării valorii mărimii măsurate de către operatorul uman, respectiv de către dispozitivul de reglare sau calcul.
La multe din aparatele de măsurat obişnuite, mărimea perceptibilă se prezintă sub forma unei mărimi mecanice (deplasarea unui ac indicator în faţa unei scări gradate, sau la cele înregistratoare, trasarea unui grafic).
În cadrul adaptorului, semnalul dat de elementul sensibil suferă la rândul său o serie de transformări pentru a-l aduce la forma unei deplasări, care să poată fi comod percepută cu ajutorul simţului vizual, sau la forma semnalului unificat pe care să-l poată recepţiona un regulator tipizat.
Aceste transformări sunt rezultatul a diferite operaţii de prelucrare, având drept scop obţinerea cât mai corectă a valorii mărimii măsurate. Adaptorul este elementul în cadrul căruia se efectuează operaţia esenţială a procesului de măsurare: comparaţia cu unitatea. Modalităţile de efectuare a comparaţiei pot fi variate, ele ţinând de principiile metodelor de măsurare şi determinând diversificări structurale importante ale operaţiilor de măsurat şi traductoarelor.
Astfel, comparaţia se poate face aplicând din exterior, simultan, atât mărimea de măsurat cât şi cea de referinţă. În cele mai multe cazuri însă comparaţia este succesivă, în sensul că printr-o operaţie de calibrare valorile referinţei sunt convertite şi „memorate” de anumite elemente constructive ale aparatului, iar la efectuarea operaţiei de măsurare, mărimea de măsurat este singura care apare din exterior.
Datorită rolului lor, adaptoarele cuprind o serie de elemente comune care nu depind de mărimea de măsurat, spre deosebire de elementele sensibile, care sunt specifice şi care diferă de la un aparat la altul, în funcţie de mărimea măsurată.
• Elementele auxiliare. Cea mai mare parte dintre aparatele de măsurat sau traductoarele uzuale, indiferent de complexitate, de destinaţie sau de forma constructivă pot fi reduse la o structură funcţională simplă constituită din elementul sensibil şi adaptor. Uneori însă, particularităţi legate de aspecte tehnologice sau economice impun prezenţa în plus a unor elemente auxiliare. Astfel
23
sunt cazuri, de exemplu la măsurarea temperaturilor ridicate, etc., când elementul sensibil nu poate fi plasat în aceeaşi unitate constructivă cu adaptorul. În asemenea situaţii apare necesitatea unor elemente de legătură pentru transmiterea semnalului furnizat de E.S. către adaptor (A), cu o pondere şi o însemnătate mai mari decât la un aparat obişnuit şi care necesită evidenţierea lor ca elemente componente. În general, elementele de transmisie realizează conexiuni electrice, mecanice sau de altă natură. Dacă mărimea dată de elementul sensibil este nepotrivită pentru transmisie, aparatul de măsurat va cuprinde în structura sa şi componente de conversie a semnalului potrivit cerinţelor impuse de canalele de transmisie. Tot în această categorie de elemente auxiliare se încadrează şi sursele de energie folosite în aparatele de măsurat şi traductoare. Transformările care au loc atât în E.S. cât şi în adaptor, implică transferuri de energie. Chiar dacă principial acestea s-ar putea face pe seama energiei asociate mărimii de măsurat, din punct de vedere practic apar dificultăţi de obţinere corectă şi sub o formă convenabilă a valorii, astfel încât în mod frecvent se recurge la introducerea surselor de alimentare cu energie auxiliară. De cele mai multe ori transformările care au loc se fac prin modularea de către mărimea de măsurat a unui semnal „energetic” furnizat de aceste surse.
Fig. 12.3 Structura tipică a unui aparat de măsurat sau a unui traductor:
X – mărimea de măsurat; Y – mărimea perceptibilă, respectiv semnalul de ieşire din traductor; X0 - mărimea de referinţă (etalon)
Structura şi schema prezentată corespund aparatelor destinate măsurărilor
directe, cele mai frecvent utilizate. Ea are caracterul de model destinat evidenţierii elementelor funcţionale tipice, prin intermediul cărora se realizează procesul de măsurare.
În funcţie de performanţele care sunt impuse, de destinaţia şi condiţiile de utilizare (în industrie sau laborator), măsurări la distanţă sau în zone cu grad înalt de periculozitate, de necesitatea prezentării rezultatelor sub o formă accesibilă prelucrării pe calculatoare şi dispozitive de automatizare, unele aparate de măsurat
24
actuale pot căpăta o mare complexitate care le face să apară cu totul diferite faţă de imaginea clasică a aparatelor cu ac indicator. În asemenea cazuri devine mai potrivită denumirea de instalaţie (sistem, echipament, lanţ) de măsurare.
Fig. 12.4 Schema unei instalaţii de măsurare:
X = mărimea de măsurat Y = mărimea reprezentând rezultatul măsurării 1 - elementul sensibil (E.S.) 2 - dispozitiv de comparaţie 3 – amplificator 4 - formator de semnal (filtru) 5 - sursa de alimentare 6 - dispozitiv de generare a mărimii de comparaţie 7 - dispozitiv pentru calibrare 8 - dispozitiv indicator 9 - dispozitiv înregistrator 10 – codificator 11 - echipament pentru transmitere la distanţă
12.2 Etaloane Indiferent de modul în care se realizează procesul de măsurare şi oricare ar fi
metoda sau aparatul utilizat, efectuarea operaţiei de măsurare reclamă comparaţia, directă sau mijlocită, cu unitatea de măsură.
Apare astfel necesitatea de a se dispune de realizări concrete sub formă de dispozitive, aparate, instalaţii, capabile să genereze mărimi reprezentând unităţile de măsură, multipli sau submultipli şi care sunt cunoscute sub numele generic de etaloane.
25
Etaloanele sunt menite să asigure unitatea şi conformitatea măsurărilor, în orice loc şi în orice moment, ceea ce impune condiţii severe asupra realizării lor, atât în privinţa valorilor absolute, cât şi referitor la stabilitatea în timp şi spaţiu a acestora. Ele reprezintă o importanţă deosebită pentru măsurări, principalul indicator de performanţă (precizia) depinzând într-un înalt grad tocmai de existenţa unor etaloane de calitate.
Necesităţile practice au determinat elaborarea de sisteme de etaloane corespunzătoare îndeplinirii următoarelor funcţiuni:
- furnizarea principalelor unităţi de măsură în conformitate cu definiţiile lor (unităţile fundamentale m, kg, s, A, mol, K, cd)
- conservarea acestor unităţi de măsură (a multiplilor sau submultiplilor) în cadrul laboratoarelor metrologice;
- utilizarea lor pentru corelarea între ele a diverselor unităţi, derivarea altora, efectuarea operaţiilor denumite etalonări asupra aparaturii de măsurare în faza de construcţie şi în exploatare.
Potrivit celor 3 destinaţii sus-menţionate se disting trei categorii de etaloane: 1 – etaloane de definiţie; [Etalon primar ~ naţional] 2 – etaloane de conservare; [etaloane secundare de ordinul I; etaloane
secundare de ordinul II] 3 – etaloane de transfer; [etaloane de lucru]
12.3 Metode de măsurare Metoda de măsurare este ansamblul de principii şi mijloace pe care se bazează
efectuarea unei măsurări cu scopul ca rezultatul obţinut să reprezinte cât mai corect valoarea măsurii măsurate şi să satisfacă cerinţele de utilizare.
Metodele de măsurare cuprind deci o problematică largă, legată de aspectele constructiv-funcţionale ale aparatelor de măsurat şi traductoarelor, de alegerea si folosirea etaloanelor, de asigurarea condiţiilor de experimentare, adecvate obţinerii performanţelor optime.
Varietatea mărimilor de măsurat, mijloacele şi scopurile diverse în care sunt făcute măsurările, au condus la elaborarea unei mari diversităţi de metode de măsurare, ce pot fi clasificate din diferite puncte de vedere şi la rândul lor constituie criterii de grupare ale diferitelor categorii de măsurări.
Operaţia de comparaţie cu unitatea fiind esenţială în procesul de măsurare, modalitatea de realizare a acestei operaţii reprezintă principalul criteriu de clasificare a metodelor de măsurare. Din acest punct de vedere o primă împărţire este aceea în metode directe şi metode indirecte.
26
12.3.1 Metode directe de măsurare Metodele directe se caracterizează prin aceea că valoarea mărimii măsurate se
exprimă nemijlocit ca rezultat al comparaţiei cu un etalon aparţinând aceleiaşi clase, fără a recurge la relaţii în funcţie de mărimi de altă natură fizică.
Metodele directe se pot divide la rândul lor în următoarele categorii: - prin comparaţie simultană; - prin comparaţie succesivă. Metodele prin comparaţie simultană se disting prin aceea că în procesul de
măsurare intervine în acelaşi timp cu mărimea de măsurat şi mărimea de comparaţie (etalonul) aparţinând aceleiaşi clase.
Măsurandul poate fi comparat fie cu un etalon de valoare egală sau apropiată, fie cu un etalon de valoare diferită. Rezultă astfel subdiviziunile denumite comparaţie 1:1, respectiv comparaţie 1:n.
Comparaţia 1:1 se poate efectua direct sau prin intermediul unui aparat de tip comparator. Comparaţia 1:1 directă se realizează prin metoda diferenţială şi prin metoda de zero:
- metoda diferenţiala constă în măsurarea directă, cu un aparat de măsurat adecvat a diferenţei ∆ dintre măsurandul X şi o mărime de referinţă X0 de valoare apropiată. Rezultatul este de forma X=X0+∆. Dacă diferenţa ∆ este mică, eroarea dependentă de aparat devine practic neglijabilă şi incertitudinea rezultatului este egală cu cea a referinţei;
- metoda de zero reprezintă cazul particular al metodei diferenţiale, în care se dispune de un etalon de valoare egală cu mărimea de măsurat. În acest caz, aparatul utilizat are rolul unui indicator de nul.
Metoda diferenţială şi metoda de zero se înscriu printre cele mai precise metode de măsurare, deoarece la aceste metode influenţa aparatelor de măsurat este minimă, precizia rezultatului depinzând numai de cea a etaloanelor. Ele au însă dezavantajul că necesită etaloane de valoare apropiată sau egală cu mărimea de măsurat, respectiv etaloane variabile prin care să se poată obţine asemenea condiţii. Aceste metode se aplică în cazurile în care combinarea diferenţiată a celor două mărimi X şi X0 este posibilă nemijlocit prin însăşi natura lor, ele implicând un aparat de măsurat numai pentru indicarea (sau uneori sesizarea) diferenţei, ca şi cum aceasta ar reprezenta o singură mărime de sine stătătoare. Date fiind valorile ∆ mici care trebuie măsurate la metoda diferenţială, precum şi necesitatea detectării anulării acestor diferenţe în cazul metodei de nul, aparatele utilizate sunt de mare sensibilitate.
Trebuie observat că o combinare diferenţială în sensul menţionat o permit numai mărimile care au polaritate (pot fi atât pozitive cât şi negative), cum sunt de exemplu: forţa, presiunea, tensiunea electrică etc. În schimb, nu se pot măsura prin
27
metoda diferenţială mărimi care sunt numai pozitive, de exemplu masa, rezistenţa electrică etc. Pentru a măsura diferenţial astfel de mărimi sunt necesare dispozitive suplimentare care să facă posibilă (să mijlocească) comparaţia diferenţială, respectiv un aparat numit comparator.
Comparaţia 1:n este măsurarea în raport cu un etalon de valoare diferită. Se poate face prin metoda de adiţionare sau prin metoda de raport. Metoda de adiţionare se bazează pe utilizarea de etaloane care au proprietatea de concatenare aditivă astfel ca suma valorilor lor să fie egală cu aceea a mărimii de măsurat. În acest mod măsurarea se reduce la o comparaţie 1:1. Metoda de raport implică existenţa unui „dispozitiv de raport” care permite compararea mărimii de măsurat cu o fracţiune din cea etalon (sau invers). Exemplele cunoscute sunt: balanţa cu braţe neegale, divizorul de tensiune rezistiv, inductiv sau capacitiv.
Relaţia de bază pentru această metodă este X=K’X0, unde K’ este factorul de raport al dispozitivului de comparaţie, care este, în acest caz diferit de unitate şi poate varia în limite largi. Valorile factorului K’ trebuie cunoscute cu precizie egală sau apropiată de cea a etalonului, pentru a asigura precizia ridicată a metodei.
Avantajul esenţial al acestei metode, care constă în posibilitatea efectuării de măsurări într-un domeniu extins, utilizând un singur etalon de valoare fixă are o mare aplicabilitate. Îndeplinirea condiţiei de echilibru, exprimată de relaţiile caracteristice, este sesizată asemănător ca la comparaţia 1:1 cu un aparat detector de nul.
Metodele de comparaţie succesivă sunt cele specifice aparatelor de măsurat uzuale (indicatoare) în care au loc una sau mai multe transformări ale mărimii de măsurat, conform unor relaţii de dependenţă explicite şi complet determinate. Pe baza acestor relaţii şi a unităţii adoptate, care împreună definesc scara de măsurare, se pot atribui numere diverselor valori ale mărimii perceptibile, care astfel reprezintă direct rezultatul măsurării.
Spre deosebire de metodele prin comparaţie simultană, la cele prin comparaţie succesivă etalonul de aceeaşi natură cu măsurandul nu apare ca o mărime exterioară aplicată aparatului concomitent cu mărimea de măsurat. Mărimea de referinţă a fost aplicată anterior operaţiei de măsurare (la construcţia şi gradarea scării aparatului) şi informaţia cu privire la efectele ei este reţinută (memorată) de către anumite elemente componente ale aparatului. Această operaţie este denumită calibrare sau etalonare.
Odată stocată informaţia de calibrare, ea este utilizată pentru efectuarea comparaţiei cu mărimea de măsurat ori de câte ori aceasta este aplicată aparatului. Astfel, în metoda comparaţiei succesive comparaţia directă între măsurand şi mărimea de referinţă este înlocuită cu o comparaţie simultană între două mărimi de altă natură, una în relaţie cu mărimea de măsurat şi alta cu etalonul (prin memorarea acestuia ca urmare a operaţiei de calibrare).
28
Metoda comparaţiei succesive prezintă avantaje importante în ceea ce priveşte simplificarea operaţiei de măsurare. Întrucât comparaţia se efectuează automat, operatorul nu trebuie să intervină în procesul măsurării, activitatea sa rezumându-se la citirea corectă a aparatului şi asigurarea condiţiilor necesare de funcţionare. Intervenţia operatorului este însă necesară şi efectivă în operaţia de calibrare. Pe de altă parte, calitatea măsurărilor prin metoda comparaţiei succesive este condiţionată de aparatul de măsurat într-un grad mult mai ridicat decât la comparaţia simultană şi, în general, precizia corespunzătoare acestei metode este inferioară celor anterioare. Totodată, aparatul de măsurat calibrat pentru un anumit domeniu are o utilizare limitată numai la valori ale măsurandului în domeniul respectiv. Datorită avantajelor de operativitate, metoda comparaţiei succesive este aplicată pe scară largă şi cele mai multe aparate de măsurat indicatoare funcţionează conform acestei metode.
Pentru ilustrarea grafică a principiilor metodelor directe prin comparaţie simultană şi succesivă în figurile 12.5 a şi b sunt prezentate schemele celor două tipuri de măsurări.
Fig. 12.5 Reprezentarea schematică a metodelor directe de măsurare
a) – prin comparaţie simultană; b) – prin comparaţie succesivă Metodele prin comparaţie simultană implică un proces de măsurare mai
laborios, dar care conduce la rezultate mai precise decât metodele prin comparaţie succesive, mai simplu de aplicat dar afectate de erori mai mari. În raport cu aceste caracteristici, metodele prin comparaţie simultană sunt specifice măsurărilor de laborator, iar cele din a doua categorie măsurărilor din industrie.
12.3.2 Metode indirecte de măsurare
29
Metodele indirecte de măsurare se aplică acelor mărimi pentru care nu este posibilă, sau nu este realizabilă prin procedee practice avantajoase, comparaţia directă cu o mărime de referinţă aparţinând aceleiaşi clase. Ca urmare, pornind de la o relaţie de dependenţă, consecinţă a unor legi fizice între o astfel de mărime şi alte mărimi direct măsurabile, măsurarea indirectă constă dintr-o serie de măsurări directe, urmate de operaţiile de calcul corespunzătoare acestei relaţii.
Dacă măsurările directe se efectuează independent şi după aceea rezultatele se introduc în calcule pe care operatorul le face manual, este evident că, în fond, măsurarea indirectă îşi pierde calitatea, reducându-se la mai multe măsurări directe. Există însă posibilitatea combinării operaţiilor de măsurare directă şi a celor de calcul, astfel încât să se realizeze concomitent (fără intervenţia omului), de o manieră similară ca la metodele directe prin comparaţie succesivă. În acest mod, problema metodelor indirecte de măsurare are sens şi ele pot fi considerate ca o categorie distinctă pentru care sunt elaborate scări de măsurare corespunzătoare. Caracteristicile metodelor indirecte de măsurare sunt condiţionate în primul rând de forma relaţiei de dependenţă pe care se bazează şi care determină separarea lor în două grupe:
- metode indirecte bazate pe relaţii explicite; - metode indirecte bazate pe relaţii implicite. Metodele indirecte bazate pe relaţii explicite sunt cele mai simple şi mai uşor
de aplicat datorită posibilităţilor realizării de aparate dotate cu elemente sensibile la mărimile ce se măsoară direct şi cu elemente de calcul ce execută automat operaţiile corespunzătoare relaţiei care explicitează mărimea de măsurat în funcţie de cele direct măsurabile. Un exemplu în acest sens îl constituie măsurarea puterii electrice cu wattmetrul, conform relaţiei P=UI. Wattmetrul este un aparat care cuprinde două elemente sensibile, unul pentru tensiunea U, altul pentru curentul I, un dispozitiv electrodinamic care determină un cuplu activ proporţional cu produsul UI şi apoi adaptorul, care permite citirea directă a valorii puterii.
Structura menţionată are un caracter funcţional, din punct de vedere constructiv elementele respective nefiind neapărat distincte. Există însă wattmetre electronice în cadrul cărora blocul de calcul are şi o individualitate constructivă.
Comparaţia se face în cadrul adaptorului, după ce s-a efectuat operaţia de calcul, deci între o mărime reprezentând rezultatul acesteia din urmă şi o referinţă memorată ca urmare a calibrării efectuate în raport cu ambele mărimi U şi I.
Precizia unei măsurări indirecte explicite depinde de precizia măsurărilor directe pe care le include, precum şi de aceea a elementului de calcul. Datorită posibilităţilor de cumulare a erorilor, precizia măsurărilor indirecte este uneori mai redusă decât a celor directe.
30
Fig. 12.6 Schema funcţională a unui aparat sau traductor pentru măsurări indirecte, bazate pe relaţii explicite de forma: Y=f(x1,x2,...,xn)x1,...,xn – mărimi
direct măsurabile; Y – mărimea care reprezintă rezultatul măsurării
Metodele indirecte bazate pe relaţii implicite diferă de cele precedente prin
aceea că valoarea mărimii măsurandului nu poate fi exprimată direct în raport de câte o singură valoare a mărimilor direct măsurabile, ci de mai multe valori ale mărimilor. Un exemplu îl poate constitui evaluarea coeficienţilor de variaţie cu temperatura unei rezistenţe electrice, conform relaţiei:
( ) ( ) ( )[ ]3
02
001RR θ−θγ+θ−θβ+θ−θα+= θθ (12.2)
Problema care se pune este aceea a determinării coeficienţilor α,β, care intervin sub o formă implicită în relaţia rezistenţei Rθ. Etapele necesare pentru obţinerea rezultatului ar putea părea similare ca la metodele indirecte bazate pe relaţii explicite: măsurarea directă a temperaturii şi rezistenţei, introducerea în relaţie şi deducerea coeficienţilor. Diferenţele constau însă, în faptul că sunt necesare mai multe valori ale mărimilor direct măsurabile deci o succesiune de măsurări directe ale căror rezultate sunt utilizate în operaţiile de calcul care urmează. Efectuarea unui set de măsurări, memorarea unui număr de valori şi, mai ales, prelucrarea lor prin metode laborioase de calcul nu mai este posibil să se realizeze concomitent, cu aparate relativ simple, ca la metodele indirecte anterioare. Pentru determinarea coeficienţilor în exemplul considerat s-ar părea că sunt necesare trei măsurări ale rezistentei Rθ la trei temperaturi diferite, cu care să se realizeze un sistem de trei ecuaţii prin rezolvarea căruia rezultă α, β şi o astfel de tratare a problemei ar conduce la soluţii valabile numai pentru cele trei temperaturi, sau într-o gamă restrânsă, ori interesează ca relaţia să fie adevărată pentru o gamă largă de variaţii ale lui θ. Obţinerea unor soluţii corecte implică efectuarea unui număr mare de măsurări în întreg domeniul pentru care se urmăreşte valabilitatea relaţiei, astfel încât să se înglobeze o cantitate cât mai mare de informaţie privind caracterul dependenţei R(θ). Aceasta conduce la formarea unui sistem cu un număr
31
de ecuaţii mai mare (cu mult) decât numărul de necunoscute, care este incompatibil. Se recurge atunci la o rezolvare aproximativă, una din metodele folosite în acest scop fiind aceea a celor mai mici pătrate. Soluţiile aproximative astfel obţinute verifică cu o anumită eroare relaţia de dependenţă, dar în orice punct al domeniului pe care au fost calculaţi coeficienţii. Dacă structura relaţiei este adecvată şi dacă se utilizează un număr suficient de mare de valori se poate obţine ca eroarea maximă ce apare să nu depăşească o limită acceptabilă. Astfel, precizia metodelor indirecte bazate pe relaţii implicite depinde de precizia măsurărilor directe, dar şi de partea de calcul unde intervin adesea aproximaţii. De asemenea asigurarea constanţei condiţiilor în care se fac măsurările constituie o problemă ce trebuie tratată cu atenţie.
După cum se vede, în cadrul acestor metode intervin operaţii complicate de calcul care fac apel la domenii de vârf ale matematicilor aplicate, cum sunt teoria estimaţiei, teoria metodelor, teoria calculelor aproximative, etc., partea de calcul ocupând un loc mult mai important decât procesul experimental de măsurare aşa cum a fost prezentat la măsurările directe.
În ultimii ani, prin dezvoltarea atât a unor aspecte teoretice privind modelele matematice cât şi prin procesele tehnologice în domeniul calculatoarelor, metodele indirecte implicite au început să capete o utilizare tot mai largă şi au apărut şi echipamente şi instalaţii complexe de măsurare şi calcul; care facilitează aplicarea lor.
12.3.3 Categorii de măsurări
Metodele de măsurare constituie ele însele criterii care definesc categorii de
măsurări. Există însă multe alte elemente ce diversifică măsurările şi care pot fi legate de mărimile măsurate, de particularităţile procesului de măsurare, de obţinerea rezultatului măsurării, de performanţele care se obţin, de domeniile de aplicaţie, etc. Dintre acestea mai importante pentru o clasificare principală a măsurărilor apar următoarele trei:
• regimul de variaţie al mărimilor de măsurat • modul în care este obţinut şi prezentat rezultatul măsurării • specificul unor domenii largi de aplicare, determinat de condiţiile
pe care le oferă şi performanţele care le solicită
12.3.4 Măsurări statice Măsurările statice se referă la determinarea valorilor unor mărimi în regimul în
care acestea au o valoare constant în intervalul de timp în care se efectuează măsurarea.
32
Matematic, aceasta se exprimă prin condiţia ca toate derivatele mărimii de măsurat în raport cu timpul să fie nule în intervalul considerat.
Pentru ca o astfel de măsurare să fie posibilă, regimul static trebuie să se menţină un timp suficient de lung, astfel ca toate etapele impuse de operaţia de măsurare să se poată realiza şi mărimea perceptibilă să se afle de asemenea în regim static pentru a reda valoarea constantă a mărimii de măsurat. În cazul unei mărimi bazate pe utilizarea unui aparat indicator, aceste intervale trebuie să fie superioare duratei regimului tranzitoriu, adică timpului necesar trecerii din starea de echilibru existentă în absenţa măsurandului în noua stare de echilibru determinată de acţiunea acestuia. În plus, mărimea perceptibilă trebuie menţinută constantă încă un timp necesar asimilării valorii de către operator.
Rezultă deci că măsurările statice se întâlnesc în toate situaţiile în care valoarea trebuie obţinută de operator în momentul în care se efectuează măsurarea, în mod nemijlocit în funcţie de indicaţia aparatului utilizat, fără a recurge la elemente de memorie.
Măsurările statice sunt cele mai frecvente întrucât, deşi nu se poate vorbi de mărimi invariabile în timp în mod absolut (pe timp îndelungat), un număr mare de mărimi fizice sunt caracterizate de regimuri staţionare în limite de timp care permit aprecierea valorii corespunzătoare acestui regim de către un operator uman. Aceste regimuri prezintă şi interes practic, întrucât se are în vedere adesea stabilirea şi menţinerea unor valori constante adecvate unui anumit criteriu tehnic, economic, biologic, etc.
Datorită condiţiilor în care se efectuează, metodele utilizate pentru măsurări statice se caracterizează îndeosebi prin obţinerea unei precizii ridicate şi mai puţin prin viteza cu care se desfăşoară procesul de măsurare.
12.3.5 Măsurări statistice
Măsurările statistice se aplică mărimilor aleatoare. Mărimile aleatoare se
caracterizează prin aceea că valorile obţinute pe baza mai multor realizări experimentale sunt întâmplătoare şi nu permit stabilirea unor relaţii prin intermediul cărora să rezulte o reproductibilitate în raport de condiţiile de experimentare, aşa cum se întâmplă în cazul mărimilor deterministe. Funcţiile ale căror valori corespund unei mărimi aleatoare pentru orice variaţie a variabilei independente se numesc funcţii aleatoare. În cazul în care variabila independentă este timpul, funcţia respectivă x(t) reprezintă ceea ce se numeşte un proces aleator (sau proces stochastic). Prin repetarea experimentărilor rezultă un ansamblu de realizări sau eşantioane xn(t) care descriu procesul aleator considerat. Pentru un anumit moment t=tk, procesul aleator x(t) este caracterizat de un ansamblu de valori xn(tk), n=1,2,.... Aceasta arată că un proces aleator apare ca o funcţie de două
33
variabile: t care ia valori în domeniul timpului şi n care ia valori în mulţimea eşantioanelor (între care nu se pot stabili relaţii de interdependenţă).
Datorită acestei particularităţi nu se pot scrie relaţii matematice care să exprime evoluţia în timp a proceselor aleatoare de o manieră similară celei pentru mărimile deterministe. Exprimarea unor caracteristici generale ale proceselor aleatoare se poate face deci numai în sens probabilistic, cu referire la toate valorile cuprinse în ansamblul de eşantioane aferent procesului considerat. Pentru un proces aleator real, evaluarea acestor caracteristici este posibilă numai cu ajutorul măsurărilor statistice, al căror specific este tocmai de a integra un număr cât mai mare de valori ale realizărilor procesului.
Măsurările statistice, în mod asemănător cu cele dinamice, implică realizarea unui număr mare de măsurări ale aceleiaşi mărimi, eşalonate în timp sau pe experimente, ale căror rezultate sunt memorate şi prelucrate. Operaţiile de calcul, atât prin natura relaţiilor matematice cât şi prin volumul mare de date sunt foarte laborioase.
Măsurările statistice au căpătat o utilizare din ce în ce mai mare în ultimii ani. Aceasta se datorează dezvoltării mijloacelor de calcul automat, capabile să rezolve problemele complexe de prelucrare pe care le impun aceste măsurări. S-a conturat astfel o tehnică de investigaţie şi de analiză bazată pe măsurările statistice, denumită tehnica corelaţiei. Au apărut aparate specializate, corelatoare automate şi analizoare statistice, care pot fi utilizate pentru obţinerea directă a mediilor, funcţiilor de corelaţie, dispersiilor, sau chiar a funcţiilor de repartiţie de probabilitate. Ele îşi găsesc aplicaţii în numeroase ramuri ale ştiinţei şi tehnicii (vibraţii, acustică, radio şi telecomunicaţii, identificarea proceselor, în calculul sistemelor automate). În măsurări, ele sunt frecvent utilizate, de exemplu în influenţa zgomotelor (procese aleatoare tipice) asupra funcţionării aparatelor de măsurat şi în calculul erorilor de măsurare.
12.3.6 Măsurări dinamice
Măsurările dinamice sunt acelea care trebuie efectuate asupra unor mărimi
care prezintă variaţii rapide în timp, astfel încât nu este posibilă deducerea valorii pe baza unei mărimi, în sine perceptibilă, dar care ar varia tot atât de rapid ca mărimea de măsurat. Ca urmare, măsurările dinamice se realizează cu ajutorul unor elemente de memorare capabile să reţină valorile mărimii rapid variabile într-un interval de timp dat şi să le redea prin imagini statice. Metodele aplicate în măsurările dinamice depind de modul şi de viteza de variaţie a mărimilor respective. După forma de variaţie, mărimile se pot divide în deterministe şi aleatoare.
34
O mărime deterministă este aceea a cărei evoluţie în timp este previzibilă. Ea se poate exprima printr-o funcţie de timp, continuă sau discontinuă, care permite cunoaşterea respectivei evoluţii în orice moment. Această funcţie de timp uneori poate fi cunoscută principial din anumite legi fizice, dar determinarea completă se face prin măsurări asupra mărimii considerate. Reprezentarea evoluţiei mărimilor deterministe prin astfel de funcţii include aproximaţii pe baza unor criterii de eroare satisfăcătoare pentru scopurile urmărite.
Spre deosebire de mărimile deterministe, mărimile aleatoare prezintă variaţii neprevizibile şi valorile pe care le iau în realizările la diverse momente de timp sunt întâmplătoare. Aceste mărimi nu pot fi caracterizate decât în sens probabilistic cu ajutorul metodelor statistice.
12.3.7 Măsurări analogice
Măsurările analogice se caracterizează prin aceea că utilizează aparate sau
traductoare la care relaţia de dependenţă între mărimea de măsurat X aplicată la intrare şi mărimea obţinută la ieşire Y se exprimă sub forma Y=f(X), unde f(x) este o funcţie continuă. Această funcţie poate fi liniară sau neliniară în cazul aparatelor de măsurat şi, de regulă, liniară pentru traductoare. Reprezentările grafice ale unor astfel de relaţii pot fi de tipul celor din figura 12.7 a şi b.
Fig. 12.7 Reprezentări grafice ale relaţiei Y=f(x) a) – pentru aparate analogice cu caracteristica neliniară; Y=KX2;
b) – pentru traductoare analogice cu caracteristica liniară; Y=KX+Y0 Din cele menţionate rezultă că pentru variaţii continue ale măsurandului
mărimea de ieşire variază de asemenea în mod continuu existând deci o analogie între variaţiile celor două mărimi, analogie care este evidentă mai ales în cazul unei legi de dependenţă liniară. Datorită acestei caracteristici aparatele respective se
35
numesc aparate analogice şi trebuie observat faptul că toate componentele lor, care determină diversele transformări intermediare, sunt denumite elemente analogice.
Măsurările analogice au fost primele utilizate şi ele continuă să deţină o pondere importantă şi în prezent. Ele se întâlnesc în cazul aparatelor curente de măsurat, la care mărimea de ieşire este deplasarea unui ac indicator în faţa unei scări gradate, deplasare care urmăreşte în mod fidel şi continuu variaţiile mărimii de măsurat. Transformarea deplasării acului într-un număr care să reprezinte valoarea mărimii măsurate se obţine numai ca urmare a operaţiei de „citire” efectuată de operator prin compararea poziţiei acestuia faţă de gradaţiile de pe scară. Datorită deplasării continue a acului, indicaţia poate reda orice valoare în domeniul de funcţionare a aparatului. Teoretic, se pot efectua măsurări oricât de fine, trecerea de la o valoare la alta făcându-se în mod continuu, ceea ce ar însemna posibilitatea exprimării rezultatului cu un număr de cifre oricât de mare.
În realitate însă rezultatele se exprimă utilizând un număr finit de cifre semnificative, ceea ce înseamnă, de fapt, discretizarea valorilor mărimii de măsurat (chiar dacă atât intrarea cât şi ieşirea din aparat sunt mărimi fizice ce variază în mod continuu).
Operaţia de discretizare în cazul măsurărilor analogice o face operatorul în procesul de citire al indicaţiilor aparatului şi ea trebuie astfel efectuată încât să se elimine sau să se reducă la un minim acceptabil efectele subiectivităţii, ale capacităţii limitate a simţurilor umane şi ale incertitudinilor generate de diversele surse de erori.
Rezultă deci că la măsurările analogice obţinerea rezultatului sub formă numerică este posibilă numai ca o consecinţă a intervenţiei directe a operatorului.
Aceleaşi observaţii sunt valabile şi pentru traductoarele analogice, la care semnalul de ieşire este un curent sau o tensiune electrică continuă. Echipamentele de automatizare sau de calcul care le recepţionează sunt de asemenea de tip analogic, ele fiind capabile de a prelucra semnale cu variaţii continue. Totuşi, şi în acest caz, la interpretarea semnalelor în sensul reprezentării valorilor mărimii măsurate se recurge la operarea tot cu valori discrete, ţinându-se seama de pragurile de sensibilitate şi de erori.
12.3.8 Măsurări numerice
Măsurările numerică au fost introduse în tehnica măsurării în anii 1960 şi tind
să se dezvolte foarte mult. Ele se caracterizează prin aceea că permit prezentarea rezultatului măsurării direct sub formă numerică cu ajutorul unor dispozitive de afişare cu cifre. În acest fel, scopul măsurării (obţinerea valorii sub forma unui număr) este satisfăcut complet de către aparatele de măsurat numerice, fără a mai fi necesară intervenţia activă a operatorului. Prin această cale unele dezavantaje
36
legate de subiectivitatea citirii indicaţiilor aparatelor analogice sunt eliminate, sporind precizia şi reproductibilitatea.
Măsurările numerice se realizează pe baza operaţiilor de cuantificare şi codificare.
Cuantificarea este operaţia prin care domeniul de variaţie al mărimii de măsurat este împărţit într-un anumit număr de subdomenii egale şi concatenare, denumite şi cuante sau intervale de cuantificare. Unei astfel de cuante îi corespunde o anumită valoare ce se exprimă în raport cu unitatea de măsură adoptată. Valoarea mărimii de măsurat se obţine, admiţând un anumit grad de aproximare, prin numărul întreg de cuante pe care îl cuprinde aceasta, şi neglijând fracţiunile care pot apărea. Evident, cu cât intervalul de cuantificare este mai redus, cu atât aproximarea este mai bună, alegerea efectuându-se în funcţie de rezoluţia dorită şi de considerente tehnico-economice. Cuantificarea înseamnă deci discretizarea mărimii de măsurat, aceasta putând lua numai un număr finit de valori distincte bine precizate. Trecerea de la o valoare la alta imediat vecină se face prin salt.
Ţinând seama că mărimile pot fi variabile în timp, operaţia de cuantificare se efectuează asupra unor eşantioane ale acestora luate la anumite intervale de timp. Apare deci şi o discretizare în timp a mărimii de măsurat, cu o perioadă ce depinde de viteza sa de variaţie.
Operaţia de comparaţie constă din numărarea cuantelor care egalează valoarea mărimii la momentul măsurării şi exprimarea numerică a rezultatului într-un anumit sistem de numeraţie. Aceasta constituie operaţia de codificare, prin care se realizează atribuirea de numere valorilor cuantificate. În acest scop, se utilizează aşa-numitele dispozitive de numărare care generează semnale ce reprezintă în mod convenţional diversele cifre ale sistemului de numeraţie utilizat şi prin intermediul cărora se comandă afişarea numărului corespunzător.
Măsurările numerice prezintă avantaje care sunt determinate, pe de o parte de particularităţile afişării numerice a rezultatului iar, pe de alta parte, de proprietăţile elementelor caracterizate prin generarea de semnale discrete.
Afişarea numerică este lipsită de ambiguităţi, eliminând subiectivitatea operatorului care are numai un rol pasiv (de citire a unui număr ce apare într-o formă explicită, adesea însoţită şi de unitatea de măsură).
Totodată, prin reducerea intervalelor de cuantificare este posibilă creşterea rezoluţiei (care nu mai este legată de dimensiunile scării aparatului şi de posibilităţile de percepţie) şi, prin aceasta, ridicarea preciziei aparatului. Semnalele discrete pot fi transmise, modificate, prelucrate şi înregistrate cu o precizie şi o siguranţă în funcţionare mult mai mare decât semnalele continue, au o imunitate ridicată faţă de perturbaţii şi sunt compatibile direct cu accesul în echipamentele numerice de calcul. De asemenea automatizarea procesului de măsurare se poate
37
realiza mai uşor, prin mijloace mai simple în cazul aparatelor numerice, în comparaţie cu cele analogice.
Aceasta nu înseamnă că aparatele numerice sunt superioare din toate punctele de vedere şi în orice situaţie celor analogice. Aparatele analogice sunt preferabile în operaţii de supraveghere, când este necesară o evaluare aproximativă, dar rapidă, a valorii măsurate şi a tendinţei de variaţie a acesteia. Poziţia acului indicator în raport cu scara asigură mult mai direct această posibilitate, faţă de un singur număr pe care îl oferă aparatele numerice şi care nu poate fi corelat nici cu limitele domeniului, nici cu valorile anterioare decât cu un efort mult mai mare din partea operatorului. În plus, aparatele numerice, cu toate progresele microelectronicii, sunt încă mai scumpe decât cele analogice.
Opţiunea către măsurări analogice sau numerice trebuie să se facă printr-o analiză atentă a factorilor tehnico-economici ce le condiţionează.
12.3.9 Măsurări de laborator
Măsurările de laborator se disting prin aceea că se efectuează în condiţii şi cu
mijloace special pregătite, pentru a asigura realizarea lor cu o precizie ridicată. Condiţiile care se creează măsurărilor de laborator se referă la menţinerea unui mediu adecvat de temperatură, umiditate, noxe, vibraţii, câmpuri electrice, magnetice, radiaţii sau alţi factori care pot perturba rezultatele măsurărilor. În acest scop se prevăd instalaţii de protejare, de exemplu camere climatizate, ecranări electrostatice, magnetice, etc. În aceste condiţii se pot utiliza aparate de mare sensibilitate, cu amplificări foarte mari, fără riscul de a amplifica şi perturbaţiile.
Pentru măsurările de laborator se aplică în mod frecvent metodele de comparaţie simultană, care sunt dintre cele mai precise. Ca mărimi de comparaţie se folosesc etaloane realizate cu foarte mare exactitate şi păstrate în condiţii deosebite. Utilizarea metodelor de comparaţie simultană cu toate neajunsurile de manipulare este indicată, întrucât ele sunt aplicate de personal specializat şi, de cele mai multe ori, corectitudinea rezultatelor prevalează în raport cu promptitudinea obţinerii lor.
O altă caracteristică importantă a metodelor de laborator o constituie faptul că se procedează la prelucrări ale rezultatelor, ulterioare măsurării cum sunt de exemplu corecţiile bazate pe calculul erorilor. În acest scop, se efectuează serii de măsurări, cu aceleaşi mijloace sau cu mijloace diferite şi se face o estimare a erorilor cu care se evaluează apoi valoarea cea mai corectă a mărimii de măsurat. Măsurările de laborator se fac adesea cu scopuri de cercetare ştiinţifică experimentală. Alte aspecte sunt cele cu caracter metrologic de realizare şi transmitere a unor unităţi de măsură, de etalonare şi verificare a aparatelor de măsurat.
38
12.3.10 Măsurări industriale
Măsurările industriale au ca obiect determinarea valorilor unor mărimi care
intervin într-un proces tehnologic, cu scopul de a controla menţinerea lor în anumite limite şi de a acţiona asupra lor când aceste limite au fost depăşite. Măsurările din instalaţiile automate intră în această categorie a măsurărilor industriale. Spre deosebire de măsurările de laborator, cele industriale se realizează în condiţiile pe care le oferă mediul de desfăşurare a procesului tehnologic. Datorită acestor condiţii şi având în vedere aspectele economice, se admite pentru măsurările industriale utilizarea unor aparate mai puţin sensibile, dar fiabile, robuste şi protejate astfel ca să poată funcţiona corect în mediul industrial cu variaţii mari de t0, presiune, umiditate, agenţi corosivi, vibraţii, etc. Metodele aplicate în măsurările industriale au în vedere obţinerea promptă sub o formă uşor inteligibilă a valorilor măsurate. De aceea sunt preferate metodele prin comparaţie succesivă bazate pe aparatele analogice sau numerice, care afişează direct rezultatele. În general în măsurările industriale nu se efectuează corecţii ulterioare ale rezultatelor pe baza calcului erorilor. Asemenea corecţii se fac cel mult de aparatele înseşi dacă sunt dotate cu astfel de dispozitive.
39
Capitolul 13
Măsurări statice ale curenţilor şi tensiunilor electrice
13.1. Aparate electrice indicatoare pentru măsurări statice
13.1.1. Elemente componente comune ale aparatelor electrice de măsurat analogice
Aparatele electrice de măsurat sunt realizate într-o gamă mare de variante
constructive. Indiferent de tipul constructiv, aparatele electrice de măsurat au anumite componente cu funcţii comune, aşa cum sunt cele de mai jos.
a) Dispozitivul de producere a cuplului activ asigură o anumită dependenţă între cuplul activ (Ma) produs pe cale electromagnetică şi mărimea fizică de măsurat (x) (cuplul activ este produs de forţele Laplace la aparatele magnetoelectrice, de forţe Ampere la aparatele electrodinamice etc.). În general dispozitivul de producere a cuplului activ se compune dintr-o parte fixă (magneţi permanenţi, bobine electrice, electromagneţi, piese din material feromagnetic etc.) şi o parte mobilă denumită şi echipaj mobil (bobine electrice, piese de fier moale, discuri metalice etc.).
Echipajul mobil, fixat pe un ax, efectuează mişcări de rotaţie sau deplasări unghiulare.
b) Sistemul de producere a cuplului rezistent (antagonist) fig. 2.1 realizează echilibrarea cuplului activ al aparatului şi astfel acul indicator se va opri la valoarea corespunzătoare a mărimii de măsurat. De obicei cuplul rezistent sau antagonist se realizează pe cale mecanică cu ajutorul arcurilor spirale. Arcurile spirale sau resoartele au un capăt fixat de axul echipajului mobil iar celălalt de partea fixă a aparatului de măsurat; se confecţioneaza din aliaje (bronz-fosfor, bronz-beriliu) rezistente la variaţiile de temperatură în regimul de suprasarcină. Axul este prevăzut la capete cu pivoţi confecţionaţi din oţeluri speciale de mare duritate, ce se pot roti cu mare uşurinţă în lagăre-crapodine realizate din materiale extrem de dure (diamante, safir, rubin), fixate în portlagăre.
La rotirea echipajului mobil cu unghiul α cuplul rezistent (de torsiune) este direct proporţional cu unghiul de rotaţie şi are expresia:
α⋅−= DMr (13.1)
D este cuplul rezistent specific, o constantă ce caracterizează arcul. Aşezarea acului indicator în poziţia zero a scalei aparatului se face cu
ajutorul dispozitivului de corecţie a poziţiei de “zero”, format dintr-un sistem de pârghii acţionate printr-un şurub de reglaj, fixat pe partea frontală a aparatului. Cuplul antagonist mecanic readuce echipajul mobil la poziţia zero în absenţa cuplului activ.
119
Fig. 13.1
1 - axul echipajului mobil; 2 - vârful (pivot) al axului; 3 - lagăre; 4 - resort antagonist; 5 - greutăţi de echilibrare; 6 - acul indicator; 7 - corectorul; 8 -
şurubul de reglaj al corectorului.
Valorile mărimii măsurate se prezintă cu dispozitivul format din scara
gradată şi acul indicator. Scara aparatului poate fi marcată direct în valori ale mărimii de măsurat sau în diviziuni. În cazul al doilea valoarea mărimii de măsurat se determină după relaţia:
diviziunideimmaxnumarulmasuraredeDomeniuKundeKXn =α⋅= este constanta aparatului (13.2)
Scara poate fi gradată uniform (ca la aparatele magnetoelectrice) sau
neuniform (aparatele feromagnetice), scară pătratică etc. Aparatele de precizie ridicată (clasele 0,1-0,5) au sub scara gradată o oglindă care permite citirea indicaţiei după o direcţie perpendiculară pe aparat, la suprapunerea acului peste imaginea sa în oglindă.
Acul indicator este fixat de axul echipajului mobil. El este confecţionat din aliaje de aluminiu şi extremitatea sa poate avea diferite profile în funcţie de destinaţia şi gradul de precizie al aparatului.
Cuplul rezistent poate fi realizat şi cu alte tipuri de dispozitive cum sunt dispozitivele magnetice şi cele electromagnetice.
120
Dispozitive magnetice. În cazul aparatelor de măsurat cu ac indicator, se fixează pe axul echipajului mobil un mic magnet, de formă rombică, ce se amplasează în câmpul magnetic al unui alt magnet permanent, mai mare, fix. Magnetul permanent mic împreună cu chipajul mobil tinde să se orienteze permanent în lungul liniilor de câmp ale magnetului permanent şi se opune astfel rotirii acului realizând cuplul rezistent.
Aparatele cu regim de mişcare continuă (contoarele) au cuplul rezistent creat cu ajutorul unui magnet permanent, în câmpul căruia se roteşte un disc de aluminiu, fixat pe axul echipajului mobil. Câmpul magnetului permanent interacţionează cu curenţii turbionari induşi în disc, realizându-se un cuplu rezistent în mişcare (echilibru dinamic). Vezi fig. 13.2.
Fig. 13.2
1 - magnet permanent; 2 - disc de aluminiu; 3 - axa echipajului mobil. Dispozitive electromagnetice. Dispozitivul de realizare a cuplului rezistent
este de acelaşi tip (electromagnetic) ca şi dispozitivul de realizare a cuplului activ al aparatului de măsurat. Aceste dispozitive se utilizează în construcţia aparatelor electrice cu două bobine, numite logometre.
c) Suspensia echipajului mobil. Aparatele de înaltă clasă de precizie şi mare sensibilitate (cum ar fi galvanometrul magnetoelectric), au echipajul mobil suspendat prin fire tensionate sau suspensie liberă (fig. 13.3).
Fig. 13.3
1 - fire tensionate de suspensie;
121
2 - echipajul mobil. Cu ajutorul firelor (1) se realizează atât suspensia echipajului mobil (2) cât
şi cuplul rezistent (prin torsionarea firelor). Sistemul de suspensie a echipajului mobil elimină cuplul de frecări.
Aparatele prevăzute cu sistem de suspensie pierd din robusteţe. d) Dispozitive de amortizare. În vederea atingerii, într-un timp cât mai scurt
a regimului permanent, deci a echilibrării cuplurilor activ şi rezistent, aparatele sunt prevăzute cu dispozitive de amortizare. Amortizarea oscilaţiilor acului indicator în juru1 poziţiei de echilibru se realizează cu ajutorul dispozitivelor pneumatice sau magnetice.
Dispozitivele pneumatice sunt constituite dintr-o cameră pneumatică în care se deplasează un piston sau o paletă. Pistonul şi paleta sunt fixate de axul echipajului mobil, iar deplasarea lor în camerele pneumatice va duce la presarea sau laminarea aerului, ceea ce va asigura frânarea mişcării axului, deci amortizarea oscilaţiilor acului indicator (fig. 13.4 a,b).
Dispozitivele magnetice de amortizare sunt formate dintr-un magnet permanent în câmpul căruia se deplasează o lamelă sau un disc din aluminiu, fixate pe axul echipajului mobil. În piesa metalică în mişcare se vor induce curenţi turbionari a căror interacţiune cu câmpul magnetic va da naştere cuplului ce se opune mişcării, amortizând astfel oscilaţiile.
Fig. 13.4
1 – camera pneumatică; 2 – piston; 3 – paleta.
122
Fig. 13.5
Dispozitivele de amortizare pneumatice sunt utilizate în construcţia
aparatelor electrodinamice, feromagnetice, în curent continuu. Dispozitivele magnetice se folosesc în general la contoarele electrice, aparatele magnetoelectrice şi în construcţia unor aparate electrostatice; acestea pot însă introduce erori suplimentare datorită prezenţei câmpurilor magnetice perturbatorii.
e) Elementele de circuit electric se montează în interiorul aparatului şi sunt formate din: bobine, condensatoare, surse ce energie, redresoare, şunturi, rezistoare adiţionale, rezistoare de compensare.
Şunturile se montează în paralel cu dispozitivul de măsurat, se confenţionează din sârmă sau bare de manganină şi au rolul de a extinde domeniul de măsură al ampermetrelor.
Rezistoarele adiţionale se înseriază cu bobinele de tensiune ale aparatelor şi au rolul de a permite extinderea domeniului de măsurare a tensiunilor. Ele se confecţionează din manganină, constantan sau din materiale chimice. Rezistoarele adiţionale chimice prezintă precizie şi stabilitate ridicată, dar sunt mai sensibile la temperatură.
Rezistoarele de compensare, legate în serie cu bobina mobilă a dispozitivelor magnetoelectrice, au rolul de a compensa influenţa variaţiilor de temperatură asupra preciziei măsurării; se confecţionează din manganină.
f) Elemente auxiliare: - cutia (carcasa) aparatului având în general rol de protecţie; - contragreutăţi cu rolul de a echilibra echipajul mobil în mişcare; - elemente (piese) de acces ale aparatului (borne de legătura, fişe,
comutatoare) şi altele.
13.1.2. Aparate magnetoelectrice Aceste aparate electrice de măsurat au dispozitivul motor alcătuit dintr-un
magnet permanent fix şi o bobină mobilă dispusă între polii magnetului
123
permanent. Datorită acestei construcţii ele sunt denumite şi aparate cu magnet permanent şi bobină mobilă.
13.1.2.1. Construcţia dispozitivului motor
În fig. 13.6 este prezentată construcţia aparatului magnetoelectric cu bobină
mobilă şi magnet exterior. Magnetul permanent este prevăzut cu două piese polare prelucrate astfel ca
să delimiteze un spaţiu cilindric în care se află miezu1 magnetic 3 al bobinei. Piesele polare şi miezul magnetic sunt executate din fier moale şi au dimensiunile astfel încât să rezulte între ele un întrefier îngust (≤2 mm) în care se obţine concentrarea şi dirijarea radială a liniilor câmpului magnetic.
Bobina mobilă 4, care se roteşte, este realizată din conductor subţire (de diametru 0,02...0,2 mm) din cupru izolat cu email, înfaşurat pe o carcasă de secţiune dreptunghiulara 5, confecţionată din tablă subţire de aluminiu. Carcasa din aluminiu are atât rolul de a rigidiza construcţia bobinei cât şi acela de a crea un cuplu de amortizare pe cale electromagnetică. Datorită orientării radiale a câmpului magnetic în întrefier liniile de câmp ale acestuia sunt perpendiculare pe spirele bobinei indiferent de poziţia acesteia.
Fig. 13.6
Construcţia aparatului magnetoelectric cu bobină mobilă şi magnet exterior:
a) vedere; b) secţiune parţială. 1 - magnet permanent; 2 - piese polare; 3 - miez magnetic; 4 - bobină
mobilă; 5 - carcasă din aluminiu; 6 - ac indicator; 7 - contragreutăţi de echilibru;
124
8 - scară gradată; 9 - resoarte spirale; 10 - semiaxe de susţinere; 11 - pivoţi; 12 - lagăre; 13 - corector de zero; 14 - fire de conexiuni la bobină; 15 - borne exterioare; 16 - şunt magnetic.
Bobina mobilă este susţinută pe două semiaxe din oţel 10, terminate la
capete cu pivoţi 11, care reazemă pe lagărele 12. Pe semiaxa superioară se află montat acul indicator 6, prevăzut cu contragreutaţile de echilibrare 7, care la rotirea bobinei se deplasează în faţa scării gradate 8. Resoartele spirale 9, având un capăt fixat pe aceeaşi semiaxă, servesc pentru realizarea cuplului rezistent şi pentru conexiunea electrică elastică la bobina mobilă. Corectorul de zero este un dispozitiv care permite aducerea acului indicator pe poziţia zero prin acţionarea din exterior asupra unuia din cele două resoarte spirale.
13.1.2.2. Principiul de funcţionare
Principiul de funcţionare al aparatelor magnetoelectrice se bazează pe
apariţia forţelor de interacţiune între câmpul creat de magnetul permanent în întrefier şi bobina mobilă parcursă de curentul electric de măsurat. Aceste forţe dau naştere cuplului activ care deplasează bobina în sensul creşterii energiei magnetice localizate în dispozitivul motor.
Ecuaţia de funcţionare se poate stabili pe baza teoremei forţelor generalizate Lagrange pornind de la energia magnetică interioară a dispozitivului Wm.
În ipoteza menţinerii constante a curentului I prin bobină, variaţia dWm a energiei magnetice pentru o deplasare dα bobinei, este de forma:
Φ= IddWm (13.3)
unde dΦ este variaţia fluxului magnetic care străbate bobina corespunzător deplasării ei cu dα (deplasarea bobinei se produce în acel sens în care energia de interacţiune se măreşte, bobina tinzând să ajungă în poziţia în care fluxul magnetic propriu coincide ca direcţie şi sens cu fluxul extern).
Considerând că bobina are N spire de secţiune dreptunghiulară cu dimensiunile h, b şi ţinând seama de caracterul radial al câmpului magnetic, aşa cum se arată în figura 13.7 a şi b, fluxul magnetic Φ care o străbate este dat de relaţia:
a
Sa
NBSdSnBN ==Φ ∫ (13.4)
unde B este inducţia magnetică în întrefier, de valoare constantă (câmp unif şi orientată în orice punct după normala orm) n la suprafaţa elementară dS;
125
Sa este suprafaţa de întrefier corespunzătoare fluxului care străbate bobina şi este singurul factor variabil în raport cu α, N şi B fiind constante.
În condiţiile unei deplasări unghiulare dα suprafaţa Sa variază ca în fig. 13.7 b:
α=α= Sdd
2bh2dSa (13.5)
în care este aria bobinei mobile.
Astfel, variaţia fluxului dΦ se poate exprima prin: (13.6)
unde Φo este valoarea maximă a fluxului prin bobina mobilă (denumit şi constanta dinamică a aparatului).
bhS ⋅=
αΦ=α=Φ dNBSdd o
Fig. 13.7. Câmpul magnetic în întrefier (a) şi suprafeţele
pentru calculul fluxului magnetic (b). Cu precizările de mai sus, introducând relaţia (13.6) în (13.3) se poate
deduce expresia cuplului activ.
Id
dWM om
a Φ=α
= (13.7)
Sub acţiunea cuplului Ma bobina mobilă se roteşte faţă de poziţia de repaus.
Rotirea se transmite prin axele de susţinere la resoartele spirale care determină cuplul rezistent proporţional cu unghiul de rotaţie. Poziţia de echilibru se obţine pentru:
(13.8) 0DIo =α−Φ
126
unde D este cuplul rezistent specific sau constanta elastică a celor două resoarte spirale. Din relaţia (13.8) se deduce ecuaţia de funcţionare a aparatelor magnetoelectrice în regim static:
ID
oΦ=α (13.9)
Proporţionalitatea directă între deviaţia α şi curentul I arată că aparatele
magnetoelectrice au o scară liniară, gradată uniform. Sensibilitatea de current SI este constantă şi are valoarea:
]A/div[D
NBSDI
S oI =
Φ=
α= (13.10)
Se defineşte constanta de curent CI a echipajului mobil: ]div/A[ID
S1C
oII α
=Φ
== (13.11)
Deci regimul staţionar este descris de ecuaţia: ]mmsaudiv[ISI ⋅=α (13.12)
sau ]A[CI I α⋅= (13.13) Având intensitatea curentului I prin bobina echipajului mobil, la bornele
aparatului vom avea tensiunea: (13.14)
unde
]V[CrCrIU uI α⋅=⋅α=⋅=
]div/V[rCUC Iu ⋅=α
= este constanta de tensiune a echipajului mobil iar r
este rezistenţa măsurată între bornele aparatului. Prin urmare, în raport cu unghiul de rotaţie al echipajului mobil poate fi
determinată tensiunea la bornele aparatului, deci poate fi utilizat şi pentru măsurarea tensiunii.
Relaţia (13.9) evidenţiază faptul că sensul deviaţiei depinde de sensul curentului I prin bobina mobilă. Aceasta înseamnă că aparatele magnetoelectrice au polaritatea fixată, bornele fiind marcate cu + şi - (sau uneori numai borna cu +). Respectarea polaritătii prin conectarea corectă în circuit este necesară la aparatele uzuale cu scara 0…Imax pentru ca deviaţia acului indicator să se facă în
127
sensul corespunzător scării gradate. Există şi aparate având scara cu zero la mijloc (adică –Imax, 0, +Imax) la care deviaţia se poate face în ambele sensuri.
Sensibilitatea şi liniaritatea aparatelor magnetoelectrice, depinzând în mare măsură de obţinerea unei inducţii B cât mai mare, omogen distribuită şi corect orientată în întrefier, s-a căutat perfecţionarea geometriei şi ameliorarea calităţilor materialelor magnetice din care sunt confecţionate piesele polare şi magnetul permanent.
În fig. 13.8 sunt prezentate câteva din soluţiile constructive moderne ale circuitelor magnetice, care urmăresc obţinerea unor construcţii compacte, cu scăpări magnetice reduse şi inducţii mari în întrefier (0,2 ÷ 0,4T) asigurând şi o bună protejare faţă de influenţa câmpurilor magnetice externe.
Particularităţi interesante prezintă varianta e, la care magnetul se află în interiorul bobinei, permiţând miniaturizarea circuitulul magnetic şi variantele d şi f care asigură scări extinse de 180° şi respectiv 240-260° faţă de 90° la celelalte. Materialele utilizate pentru magnetul permanent sunt aliaje de fier cu aluminiu şi nichel (AlNi) uneori şi cu cobalt (AlNiCo) care permit obţinerea de inducţii ridicate şi au o bună stabilitate în timp şi la variaţii ale factorilor de mediu. Piesele polare, miezul bobinei mobile şi şuntul magnetic se confecţionează din materiale magnetice moi cu permeabilitate magnetică mare (aliaje feromagnetice cu conţinut mare de nichel). Şuntul magnetic este o placă feromagnetică de mici dimensiuni, plasată pe piesele polare. Prin modificarea poziţiei şuntului magnetic se poate varia valoarea inducţiei B în intrefier, astfel ca să rezulte sensibilitatea necesară. Pentru ca frecările pivoţilor în lagăre să nu introducă erori este necesar un cuplu activ important faţă de care cuplul de frecare să poată fi neglijat. Din acest motiv sensibilitatea lor este limitată la 104…105 div/A.
128
Fig. 13.8. Forme constructive de circuite magnetice
13.1.2.3. Logometre magnetoelectrice Generalităţi Prin logometru se înţelege un aparat de măsură electric ce
măsoară raportul a două mărimi electrice (curenţi, tensiune) care acţionează asupra echipajului lor mobil compus din două elemente active, cuplate rigid între ele, pe aceeaşi axă de rotaţie Caracteristicile logometrelor sunt următoarele:
- absenţa cuplului rezistent mecanic, cuplul rezistent formându-se la fel cu cuplul motor şi fiind de sens contrar (cuplul antagonist);
- în poziţie de repaus indicatorul dispozitivului nu este în dreptul diviziunii zero a scalei ci are o poziţie oarecare, deoarece lipseşte cuplul rezistent;
- legătura dintre echipajul mobil şi partea fixă a dispozitivului se face cu ajutorul unor benzi flexibile (din aliaje de aur, din bronz, etc.) care nu produc cuplu rezistent;
- echipajul mobil al logometrelor trebuie să fie situat într-un câmp (electric sau magnetic) neuniform pentru ca să se poată stabili echilibrul între cele couă cupluri antagoniste, la o anumită deviaţie α, proporţională cu raportul celor două
mărimi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
1
XX care produc cuplurile.
Observaţii. În cazul unui câmp uniform, deci întrefier uniform pentru orice valoare a celor două mărimi, echipajul mobil execută o deviaţie maximă în sensul cuplului mai mare.
Dispozitivul logometric magnetoelectric Echipajul mobil se compune din două bobine fixate rigid pe un ax comun.
El se poate roti în întrefierul (nesimetric) al unui magnet permanent, în care există un câmp magnetic B neuniform, (figura 13.9). Bobinele mobile se leagă la bornele dispozitivului cu ajutorul unor benzi flexibile. La trecerea curenţilor i1 şi i2 prin cele doua bobine, câmpul B acţionează asupra lor cu forţele f1 şi f2 care produc cuplurile Ma1 (considerat activ) şi Ma2 (rezistent), funcţii de unghiul α:
(13.15) Funcţiile f1(α) şi f2(α) includ constantele constructive ale dispozitivului.
Echipajul mobil se roteşte sub influenţa diferenţei M=Ma1-Ma2 (în sensul cuplului mai mare) până când ajunge în poziţie de echilibru corespunzătoare unghiului α pentru care cele două cupluri devin egale (Ma1=Ma2) şi când se poate stabili relaţia dintre deviaţia α şi raportul celor doi curenţi:
)(fiM);(fiM 222a111a α=α=
129
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=αα=
αα
=α=α2
13
1
2
2
12211 i
if)(f)(f)(f
ii)(fi)(fi (13.16)
Dispozitivul logometric magnetoelectric funcţionează în curent continuu. Variantele utilizate pentru măsurări în curent alternativ sunt prevăzute cu dispozitive de redresare a curentului.
Amortizarea oscilaţiilor echipajului mobil se realizează prin curenţii turbionari induşi în cadrele-suport ale celor două bobine.
Fig. 13.9 Logometrul magnetoelectric
a) schema de principiu; b) obţinerea întrefierului nesimetric (câmpului neomogen) prin nesimetria pieselor polare; c) întrefier nesimetric cu miez eliptic; M1 - magnet permanent; M2 - miez din fier moale; δ - întrefier nesimetric; 3 - ac indicator; 4 - scală gradată; 11’ - bobină care produce Ma1; 22’ – bobină care produce Ma2; β - unghiul de fixare a celor două bobine (60°-90°).
13.1.2.4 Erorile aparatelor magnetoelectrice
Aparatele magnetoelectrice se înscriu printre cele mai precise aparate
electrice de măsurat. Datorită simplităţii constructive, a relaţiei de funcţionare liniare şi perfect determinată, erorile legate de construcţie şi de principiul de funcţionare sunt reduse la valori neglijabile, permiţând realizarea relativ uşoară de aparate cu clase de precizie 0,1; 0,2 şi în mod uzual 0,5; 1.
Aparatele magnetoelectrice au un consum propriu deosebit de mic, de ordinul mW sau chiar fracţiuni de mW la cele cu suspensie pe fire. În acest mod erorile sistematice provocate de consumul propriu al aparatului devin neglijabile. Principalele surse de erori sunt de natură externă. Ele sunt determinate de variaţiile de temperatură ale mediului şi de existenţa unor câmpuri magnetice exterioare puternice.
Variaţia temperaturii afectează relaţia de funcţionare prin influenţa pe care o exercită asupra fluxului magnetic în întrefier, asupra modulului de elasticitate al resoartelor şi mai ales asupra rezistenţei electrice Rb a bobinei. Primele două efecte sunt de proporţii mai reduse şi se compensează reciproc. Rămâne însă, cu o pondere însemnată, creşterea rezistenţei bobinei cu temperatura care face ca valoarea curentului din circuit să scadă, ceea ce înseamnă introducerea unei erori negative.
130
Determinarea exactă a erorii produsă de variaţia rezistentei bobinei cu temperatura depinde de modul de utilizare a aparatelor magnetoelectrice (ca ampermetre sau ca voltmetre). Aceasta implică scheme electrice adiţionale prin care se fixează raportul între rezistenţa bobinei şi aceea a restului circuitului. În funcţie de configuraţia schemei impusă de utilizare şi de valorile calculate ale erorii se prevăd rezistenţe de compensare al căror efect constă în a face ca variaţia relativă a rezistenţei totale a aparatului să fie cât mai redusă.
Pentru aparatele de precizie ridicată se prevăd uneori şi dispozitive de compensare a erorilor de temperatură datorită slăbirii câmpului magnetic în întrefier. Aceste dispozitive constau din şunturi magnetice din materiale speciale ("thermoperm" sau "thermalloy") a căror permeabilitate magnetică variază invers cu temperatura. În ceea ce priveşte erorile determinate de câmpurile magnetice exterioare, ele se datorează influenţei exercitate asupra câmpului în întrefier şi respectiv asupra cuplului activ. Utilizarea unor circuite magnetice compacte (închise) şi a unor magneţi permanenţi puternici asigură o bună ecranare şi aparatele nu sunt perturbate de existenţa unor câmpuri externe cu valori obişnuite de până la 400…500 A/m. Circuitele magnetice deschise şi cu câmpuri magnetice proprii reduse sunt mult mai supuse acţiunii câmpurilor magnetice externe şi aparatele de precizie de acest tip sunt prevăzute cu ecran magnetic.
O recomandare practică este aceea ca atunci când se folosesc mai multe aparate magnetoelectrice ele să fie aşezate la distanţe de 0,2…0,3 m pentru a evita eventualele influenţări reciproce.
Dezavantajele aparatelor magnetoelectrice sunt: - costul relativ ridicat, mai ales pentru cele de precizie şi sensibilitate mare; - robusteţea şi capacitatea de supraincărcare reduse.
13.1.3. Aparate feromagnetice Aparatele feromagnetice (sau electromagnetice) au dispozitivul motor
constituit dintr-o bobină fixă şi una sau mai multe piese feromagnetice dispuse astfel ca să se afle sub acţiunea câmpului magnetic produs de bobină, atunci când aceasta este parcursă de curent. Ca urmare a acţiunii exercitate asupra pieselor feromagnetice este generat cuplul activ care tinde să le deplaseze în sensul creşterii energiei magnetice. După sensul forţei ce acţioneaza asupra sistemului mobil dispozitivele feromagnetice pot fi:
a) cu atracţie, la care piesele feromagnetice sunt atrase în interiorul bobinei; b) cu repulsie, la care piesele feromagnetice se resping între ele. Din cauza performanţelor reduse tipul cu atracţie a dispărut treptat. În
schimb dispozitivul cu repulsie a avut continue perfecţionari realizându-se în prezent în mai multe variante constructive.
13.1.3.1. Construcţia aparatelor feromagnetice de repulsie
131
În compunerea lor intră o bobină 6, de formă cilindrică, în interiorul căreia
se află două piese feromagnetice 1 şi 2, dintre care piesa 2 este fixată de carcasa bobinei, iar cealaltă 1 este mobilă, fiind prinsă de axul dispozitivului.
1. Piesa feromagnetică mobilă 1. Piesa feromagnetică mobilă 2. Piesa feromagnetică fixă 2. Piesa feromagnetică fixă 3. Resortul spiral 3. Bobina fixă 4. Paleta din aluminiu 5. Camera din aluminiu 6. Bobina
Fig. 13.10 Aparat electromagnetic cu repulsie
Cuplul activ apare datorită respingerii pieselor feromagnetice care se polarizează magnetic identic atunci când prin bobină trece curentul de măsurat. Forţele magnetice de repulsie acţionează într-un plan perpendicular şi excentric faţă de ax determinând cuplul activ Ma de rotaţie al organului mobil. Cuplul rezistent este creat de un singur resort spiral sau benzi tensionate, în funcţie de precizia aparatului.
Cuplul de amortizare la unele dispozitive este realizat pe cale mecanică (pneumatic) prin mişcarea unei palete în interiorul unei camere de aer închisă.
La alte construcţii se foloseşte amortizarea electromagnetică produsă de curenţii turbionari induşi într-o piesă de aluminiu care se deplasează între polii unor magneţi permanenţi. În aceste cazuri bobina este închisă într-un ecran magnetic care protejează elementele active împotriva influenţelor externe.
În ultimul timp au apărut şi aparate care folosesc concomitent atât efectul de atracţie, cât şi cel de repulsie. Avantajele acestor construcţii constau în creşterea cuplului activ şi condiţii mai favorabile de uniformizare şi extindere a scării până la 240°…270°
Pentru mărirea sensibilităţii se construiesc aparate de repulsie cu suspensie pe fire tensionate şi cu dispozitiv optic de citire.
13.1.3.2. Relaţii de funcţionare
132
Relaţiile de funcţionare sunt aceleaşi pentru ambele tipuri întrucât cuplul
activ se bazează pe forţe generate pe aceeaşi cale şi care, fie că sunt de atracţie, fie că sunt de repulsie, acţionează în sensul creşterii energiei magnetice Wm.
Energia magnetică Wm are expresia: 2
m LI21W = (13.17)
unde L este inductivitatea proprie a bobinei, iar I curentul care o parcurge. În ipoteza menţinerii constante a curentului I, cuplul activ se deduce din variaţia energiei magnetice în raport cu deviatia α a echipajului mobil.
Astfel:
α
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α=
= ddLI
21
ddWM 2
ctI
ma (13.18)
Dacă se consideră cuplul rezistent antagonist dat de resortul spiral al
aparatului: α⋅−= DMr (13.19) Atunci la echilibru se obţine: 0D
ddLI
21MM 2
ra =α−α
=+ (13.20)
din care rezultă ecuaţia de funcţionare:
2I
ddL
D21
α=α (13.21)
Relaţia (13.21) indică faptul că deviaţia α a organului mobil faţă de poziţia
de zero este dependentă atât de I2 cât şi de variaţia inductivitaţii L, care la rândul său depinde de α. Prin urmare, sensibilitatea acestor aparate nu este constantă pe întreg domeniul, şi nu se poate evalua decât sub formă diferenţială:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛α
+α
=α
=ddL
dIdI
D21
ddLI
D1
dIdS 2
I (13.22)
Ţinând cont că variaţia inductanţei L în funcţie de I se face prin intermediul
lui α, rezultă:
133
dId
dLdI
D21
ddLI
D1S 2
22
Iα
α+
α=
din care se deduce:
2
22
I
dLdID2
ddLI2
S
α−
α= (13.23)
Relaţiile (13.21) şi (13.22) arată ca aparatele feromagnetice au în principiu
o scară neuniformă. Dacă se admite că factorul αd
dL
enind
poate fi făcut constant, scara
va fi pătratică. Scara poate fi ameliorată interv asupra factorului αd
dL
iactor
, astfel
încât să se modifice caracterul pătratic şi să se realizeze o uniform zare a gradaţiilor pe o mare parte din întinderea acesteia. Variaţia necesară a f ului
αddL se poate găsi din expresia sensibilităţi (13.22). Realizarea variaţiei respective
se obţine prin adoptare de forme şi poziţii adecvate ale pieselor feromagnetice. Posibilităţile cele mai bune le oferă aparatele de repulsie, la care scările sunt aproape uniforme, în afara unei porţiuni iniţiale de 15…20% din deschidere.
Deoarece bobina aparatelor feromagnetice este fixă ea poate fi realizată din fire groase ce pot suporta curenţi mari, până la 102A.
Datorită dependenţei cuplului activ de I2, aparatele feromagnetice nu au polaritate fixată, sensul deviaţiei α este totdeauna acelaşi independent de sensul curentului prin bobină.
Aparatele feromagnetice, ca o consecinţă a aceleiaşi proprietaţi, pot fi folosite în curent continuu şi în curent alternativ. Într-adevăr, dacă prin bobină trece curentul alternativ sinusoidal:
tsin2I)t(i ef ω=
atunci înlocuind în (13.18) rezultă un cuplu activ cu variaţie sinusoidală a cărui valoare instantanee va fi:
tsinI
ddLi
ddL
21m 22
ef2
ai ωα
=α
= (13.24)
Deoarece frecvenţa proprie de oscilaţie a organului mobil este fn≤1Hz,
rezultă că pentru frecvenţe f>10…15Hz organul mobil se va deplasa numai în funcţie de valoarea medie a cuplului activ:
134
∫∫ ωα
==T
0
22ef
T
0aimeda tdtsinI
ddL
T1dtm
T1M (13.25)
Efectuând integrala se deduce: 2
efmeda IddL
21M
α= (13.26)
Se obţine deci un cuplu invariant în timp care determină poziţia de
echilibru staţionar: 2
efIddL
D21
α=α (13.27)
Relaţia (13.27) este similară cu aceea de funcţionare în curent continuu
(13.21) şi arată că în curent alternativ se obţine aceeaşi deviaţie α ca pentru curentul continuu I, dacă Ief=I. Aceasta denotă că acelaşi aparat poate fi utilizat atât în curent continuu cât şi în curent alternative, fără a implica scări sau etalonari diferite.
În ceea ce priveşte regimul tranzitoriu al aparatelor feromagnetice, el este analog cu cel descris la cele magnetoelectrice.
13.1.3.3. Aparate feromagnetice cu rezonanţă
(Frecvenţmetre cu lamele vibrante) Frecvenţmetrul cu lamele vibrante este un aparat de tip feromagnetic.
Acesta are două variante constructive: cu acţionare directă şi cu acţionare indirectă (fig. 13.11). În ambele variante electromagnetul (1) se alimentează cu tensiunea alternativă (U~) a cărei frecvenţă f se măsoară. Traversa (2) este fixată de carcasa aparatului prin lamelele elastice (3). De traversa (2), ce poate oscila, este fixată plăcuţa feromagnetică (4), ea constituind armătura aparatului, precum şi lamelele vibrante (5) confecţionate din oţel. Alimentând cu curentul i bobina electromagnetului, acesta va atrage şi respinge plăcuţa (4), deci ea va oscila. Oscilaţiile prin intermediul traversei (2) se vor transmite lamelelor (5). Întrucât forţa portantă a electromagnetului este proporţională cu pătratul curentului i, rezultă că oscilaţiile plăcii (4) vor fi de frecvenţă dublă faţă de frecvenţa curentului (f=2fx). Lamela a cărei frecvenţă proprie este 2fx va intra în rezonanţă, având amplitudinea de vibraţie maximă, diferenţiindu-se astfel de celelalte lamele.
Pe partea frontală a aparatului se pot observa amplitudinile maxime ale lamelelor vibrante; se vor vedea capetele acestor lamele, vopsite în alb. În dreptul capetelor lamelelor este scrisă valoarea frecvenţei (fx) corespunzătoare.
135
Aceste aparate se construiesc pentru frecvenţe industriale, 50Hz±10%, adică cu domeniul între 45 şi 55 Hz, lamelele fiind acordate pentru fiecare 0,5Hz. Frecvenţmetrele de acest tip au consum propriu ridicat, dar şi precizia ridicată (clasa 0,5 şi 1).
Fig. 13.11
Observaţie: - forţa portantă a unui electromagnet:
ANAN
iLxo
2
2
o2
22
μΦ
−=μ
−= (13.28)
Semnul forţei portante arată că X este de fapt o forţă de atracţie (îndreptată
în sens opus sensului creşterii 1ui x). Aparatele feromagnetice cu dispozitive rezonante funcţioneaza într-un regim de rezonanţă mecanică (având frecvenţa proprie egală cu frecvenţa forţei active).
13.1.3.4. Erorile aparatelor feromagnetice
Erorile aparatelor feromagnetice trebuie examinate în funcţie de modul de
utilizare a acestora, în curent continuu sau în curent alternativ. În curent continuu, principala sursă de erori o constituie ciclul de histerezis
care caracterizează piesele feromagnetice. În fig. 13.12 este reprezentată forma unui ciclu de histerezis ridicat în curent continuu.
Trebuie precizat că mărimea ciclului depinde de valorile maxime Hmax, Bmax, atât timp cât ele nu ajung la cele corespunzătoare saturaţiei.
În aceste condiţii, se observă că pentru un curent I1, inducţia poate lua orice valoare între B1 şi B1
’, totul depinzând de starea anterioară de magnetizare, respectiv o valoare mai mică sau mai mare a curentului I faţă de I1. Valorile
136
diferite ale inducţiei B, determinând permeabilităţi magnetice diferite, influenţează
αddL din expresia cuplului activ care poate prezenta variaţii sensibile
pentru acelaşi curent I1. Pentru piese din tablă de oţel electrotehnic obişnuit pot rezulta erori mergând până la 3%. Pentru reducerea acestor erori, la aparatele de precizie se folosesc materiale feromagnetice moi cu ciclul de histerezis foarte îngust, cum sunt aliajele cu nichel de tip permalloy, mumetal etc., la care suprafaţa ciclului este de zeci de ori mai mică. Erorile din cauza histerezisului au putut fi astfel reduse până la 0,05% ceea ce a creat posibilitatea realizării de aparate feromagnetice de clasă 0,2 în curent continuu.
La funcţionarea în curent alternativ ciclul de histerezis este parcurs într-o secundă de un număr de ori egal cu frecvenţa f a curentului alternativ. În consecinţă, după câteva perioade se ajunge la un ciclu stabil care nu depinde de starea de magnetizare anterioară. Ţinând seama că în curent alternativ datorită fluxului variabil în timp se induc curenţi turbionari în piesele feromagnetice, aceştia conduc la o oarecare scădere a câmpului magnetic produs de bobină şi prin urmare a cuplului activ. Reducerea acestei diferenţe, importantă pentru aparatele destinate a fi folosite atât în curent continuu cât şi în curent alternativ, se obţine prin micşorarea dimensiunilor pieselor feromagnetice în planurile transversale pe direcţia fluxului şi practicarea de tăieturi longitudinale paralele cu axa bobinei. Intensitatea curenţilor turbionari fiind dependentă de viteza de variaţie a fluxului, rezultă o dependenţa a indicaţiilor de frecvenţă. În condiţiile aplicării măsurilor constructive expuse mai jos, pentru un aparat etalonat la 50Hz erorile nu depăşesc 0,5% în banda 15-300Hz.
Fig. 13.12 Ciclul de histerezis al pieselor feromagnetice
Cauzele erorilor indiferent de folosirea în curent continuu sau alternativ,
sunt la fel ca la aparatele magnetoelectrice: variaţiile de temperatură ale mediului şi câmpurile magnetice externe.
137
Influenţa temperaturii se manifestă asupra constantei elastice a resortului spiral, care scade odată cu creşterea temperaturii, micşorându-se cuplul rezistent. Rezultă astfel o eroare de temperatură pozitivă care pentru un singur resort nu depăşeşte 0,1…0,2% la o variaţie de 10°C.
Deoarece, în general, bobina cuprinde spire de cupru de secţiune relativ mare, valoarea rezistenţei totale este mică şi variaţiile cu temperatura sunt neglijabile. Câmpul magnetic propriu al aparatelor feromagnetice este redus, datorită faptului că circuitul magnetic se închide prin aer. Din acest motiv rezultă o sensibilitate mare la influenţa câmpurilor magnetice externe, pentru aparatele de precizie fiind necesare mijloace speciale de protecţie cum sunt: ecranarea magnetică a dispozitivului sau realizarea de construcţii astatice.
Aparatele feromagnetice se caracterizează printr-un consum propriu mai mare decât al celorlalte tipuri de aparate electrice de măsurat, ajungând până la valori de 0,5…5VA.
Capacitatea de supraîncărcare a aparatelor feromagnetice este ridicată, dat fiind bobina fixă care poate fi dimensionată şi rigidizată astfel ca să reziste la valori mari de curenţi de şoc sau în regim prelungit.
Prin construcţia rezistentă la şocuri şi vibraţii şi prin capacitatea de supraîncărcare sporită, aparatele feromagnetice sunt printre cele mai robuste şi sigure în funcţionare. Ţinând seama de calităţile menţionate şi de costul sensibil mai redus decât al celor magnetoelectrice, aparatele feromagnetice se utilizează în primul rând ca aparate industriale de măsurat de clase 1; 1,5; 2,5. Ca aparate de laborator se întâlnesc uzual aparate feromagnetice de clasa 0,5 şi prin soluţii constructive speciale se realizează si de clase 0,2.
13.1.4. Aparate electrodinamice În construcţia aparatelor electrodinamice intră o bobină mobilă şi o bobină
fixă. Atunci când acestea sunt parcurse de curenţi apar forţe electrodinamice care crează cuplul activ.
După cum în circuitul magnetic al bobinelor se folosesc sau nu piese feromagnetice dispozitivele se numesc electrodinamice respectiv ferodinamice. În funcţie de natura cuplului rezistent dispozitivele se divid în:
a) dispozitive electrodinamice simple (cu cuplu rezistent mecanic); b) logometre (cuplu rezistent electric); După spectrul câmpului magnetic dispozitivele electrodinamice se divid în: a) dispozitive electrodinamice cu câmp uniform; b) dispozitive electrodinamice cu câmp radial. Cuplul activ al dispozitivelor electrodinamice şi ferodinamice este creat de
forţele electrodinamice care apar între una sau mai multe bobine fixe şi una sau mai multe bobine mobile parcurse de curenti (forţa electrodinamică
μ⋅⋅
π==
dlii
21FF 21
21 ).
138
1a, 1b. Cele două secţiuni ale bobinei fixe
2. Bobina mobilă 3. Axul organului mobil 4. Resoarte spirale 5. Ac indicator 6. Contragreutăţi 7. Paletă 8. Carcasa amortizorului 9. Scara 10. Corectorul de zero
Fig. 13.13 Contrucţia aparatelor electrodinamice
Fig. 13.14 Construcţia şi dispoziţia bobinelor la aparatele electrodinamice
a) – cu câmp radial b) – cu câmp uniform
139
1. Bobine fixe 2. Bobine mobile 3. Resoarte spirale 4. Contragreutăţile 5. Acul indicator 6. Amortizor pneumatic 7. Axul echipajului mobil
Fig. 13.15
13.1.4.1. Construcţia aparatelor electrodinamice
În fig. 13.13 este reprezentată schematic construcţia unui aparat
electrodinamic. Pe figură se pot distinge cele două secţiuni ale bobinei fixe 1a şi 1b, dispuse coaxial la o anumită distanţă care delimitează un spaţiu în care se roteşte bobina mobilă 2, fixată pe axul 3 perpendicular pe direcţia câmpului magnetic produs de bobinele fixe. Pe ax se mai află fixate două resoarte spirale 4 pentru producerea cuplului rezistent şi pentru aducerea curentului la bobina mobilă, acul indicator 5 prevăzut cu două contragreutăţi de echilibrare 6 şi paleta 7 a dispozitivului de amortizare pneumatic.
140
Geometria şi amplasarea bobinelor fixă şi mobilă este diferită la aparatele cu câmp uniform. Construcţia pentru câmp radial reprezentată în fig. 13.l4a corespunde unor secţiuni ale bobinei fixe plate şi depărtate, de diametru mai mare decât la cele cu câmp uniform. Traiectoriile liniilor de câmp intersectează astfel perpendicular porţiunile active ale conductoarelor bobinei mobile, indiferent de poziţia în care se află aceasta.
Diametrele medii ale secţiunilor bobinei fixe D, al bobinei mobile d şi distanţa între ele l au valori optime din punctul de vedere al obţinerii câmpului radial atunci când sunt satisfăcute rapoartele: 37,0
Dlsi62,0
Dd
==
La aparatele cu câmp uniform (fig. 13.14b) cele două secţiuni ale bobinei
fixe sunt de formă cilindrică alungită, astfel încât se poate considera că formează un solenoid. Bobina mobilă se roteste în câmpul magnetic uniform din interiorul solenoidului.
Aparatele electrodinamice de mare sensibilitate şi precizie au bobina mobilă suspendată pe fire tensionate şi sunt prevăzute cu dispozitiv optic de citire a deviaţiilor.
13.1.4.2. Relaţii de funcţionare
Dacă prin secţiunile bobinei fixe legate în serie trece un curent continuu I1
şi prin bobina mobilă un curent I2 forţele electrodinamice care apar tind să rotească bobina mobilă către pozitia în care fluxul său ar coincide ca direcţie cu cel produs de bobinele fixe, poziţie în care energia magnetică a dispozitivului motor este maximă.
Pentru a obţine expresia cuplului activ se pleacă de la energia magnetică Wm care este dată de relaţia:
2112
222
211m IILIL
21IL
21W ++= (13.29)
în care L1 şi L2 sunt inductivităţile proprii ale bobinelor fixă şi mobilă, iar L12 este inductivitatea mutuală dintre acestea.
Cuplul activ se deduce din derivata energiei Wm în raport cu deplasarea α a organului mobil. Admiţând că cei doi curenţi se menţin constanţi şi observând ca inductivităţile proprii L1 şi L2 ale bobinelor nu depind de α, singurul factor care variază este inductivitatea mutuală L12, dependentă de poziţia relativă a bobinei mobile faţă de cea fixă.
Rezultă astfel:
141
2112m
a IId
dLd
dWM
α=
α= (13.30)
Din ecuaţia de echilibrare a cuplului activ cu cel rezistent dat de resoartele
spirale se obţine relaţia de funcţionare a aparatelor electrodinamice.
α
=αd
dLIID1 12
21 (13.31)
Din relaţia (13.31) rezultă că deviaţia α depinde de produsul curenţilor I1 şi
I2 printr-o relaţie implicită, întrucât factorul αd
dL12 depinde el însuşi de α.
Inductivitatea mutuală L12 şi variaţia ei cu α sunt determinate de dimensiunile şi forma bobinelor, precum şi de poziţia lor reciprocă.
În cazul bobinelor cu câmp radial (13.14) pentru un interval de variaţie a unghiului β=45°…135° fluxul Φ12 dat de bobina fixă prin bobina mobilă variază aproximativ liniar cu deplasarea unghiulară.
Ţinând seama că 1
1212 I
LΦ
= şi că pentru β=0 când planurile bobinelor devin
paralele, Φ12 este maxim în valoare absolută Φ12max=N2S2B1 rezultă că variaţia inductivitaţii mutuale este de forma:
1
122
1
max1212
1
12
IBSN
Idd
I1
ddL
=Φ
≅αΦ
=α
(13.32)
sau
.ct)L(d
dLo12
12 =≅α
(13.33)
unde
l
SNNI
BSNC)L( 221o
1
12212o12
μ≅== (13.34)
Semnul inductivitaţii mutuale fiind convenţional, se alege sensul curenţilor
prin bobine astfel ca să se poată considera (L12)o>0 întrucât αo=45°, relaţia (13.32) este valabilă pentru α=0…90°.
În varianta cu câmp uniform (fig. 13.14b) variaţia fluxului Φ12 şi respectiv inductivitatea mutuală L12 depind de poziţia unghiulară β a bobinei mobile după legea:
)cos(I
cosII
L o1
max12
1
max12
1
1212 α+α
Φ=β
Φ≅
Φ=
Atunci se deduce:
142
( ) )sin(C)sin(Ld
dLo12oo12
12 α+α=α+α≅α
(13.35)
în care s-a considerat (L12)o<0
Pentru acelaşi domeniu de deviaţie, α=0°...90°, rezultă că:
( )1212 C1...
22
ddL
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∈
α
Înlocuind (13.33) şi (13.35) în (13.31) se obţin relaţiile de funcţionare şi
scările pentru cele două variante de aparate electrodinamice. Aparatele electrodinamice au o polaritate fixată, adică pentru ca deviaţia α
să se facă în sensul corect, trebuie să se respecte un anumit sens al curenţilor I1 şi I2 prin cele două bobine. În acest scop, la aparatele electrodinamice se prevăd borne polarizate.
Sensibilitatea aparatelor electrodinamice depinde de modul de utilizare. Dacă cele două bobine se înseriaza, ceea ce înseamnă I1=I2=I, rezultă o relaţie în care deviaţia α depinde de I2, la fel ca la aparatele feromagnetice:
212 Id
dLD1
α=α (13.36)
Sensibilitatea poate fi dedusă în acest caz printr-o relatie de tipul (13.22).
Dacă I1≠I2 se pot determina sensibilităţi separate si .ctI2
1dId
=
α
.ctI12
dId
=
α care se deduc
imediat din (13.31). În sfârşit, în raport cu produsul I1I2, la aparatele cu câmp radial la care
1212 C
ddL
=α
nu depinde de α, sensibilitatea este constantă şi are expresia:
D
CS 12p = (13.37)
Se observă că rezultă o relaţie de proporţionalitate între α şi produsul I1I2,
ceea ce poate conduce la o scară liniară în raport cu puterea. Această proprietate este importantă la utilizarea aparatelor electrodinamice ca wattmetre.
În ceea ce priveşte valorile curenţilor prin bobine, limitările sunt impuse de bobina mobilă din aceleaşi considerente ca la aparatele magnetoelectrice (10-
3…10-2A). Funcţionarea în curent alternativ
143
Aparatele electrodinamice pot fi utilizate şi în current alternativ. Considerând curenţii sinusoidali, tsin2Ii ef11 ω= prin bobina fixă şi
)tsin(2Ii ef22 ϕ+ω= prin cea mobilă, cu frecvenţa T1
2f =
πω
= mai mare decât
frecvenţa proprie de oscilaţie a organului mobil fn=1…2Hz, deviaţia va rezulta din acţiunea cuplului activ mediu:
∫ ∫ ϕα
=α
=⋅=T
o
T
oef2ef1
1221
12aimeda cosII
ddL
dtiid
dLT1dtm
T1M (13.38)
Din valoarea dedusă pentru cuplul mediu se găseşte deviaţia în curent
sinusoidal:
ϕα
=α cosIId
dLD1
ef2ef112 (13.39)
sau mai general:
)IIcos(IId
dLD1
21ef2ef112
α=α (13.40)
Dacă cele două bobine sunt parcurse de curenţi nesinusoidali care prin
dezvoltare în serie Fourier au expresiile:
∑∞
=
ϕ+ω+=1k
k1k1101 )tksin(I2I)t(i
(13.41)
∑∞
=
ϕ+ω+=1k
k2k2202 )tksin(I2I)t(i
Calculând cuplul mediu cu relaţia (13.38) în care i1 şi i2 se înlocuiesc cu
(13.41) şi ţinând seama de proprietatea de ortogonalitate a funcţiilor trigonometrice, se obţine:
)cosIIII(d
dLD1
1kkk2k12010
12 ∑∞
=
ϕ+α
=α (13.42)
unde:
Relaţia (13.39) arată că deviaţia în curent alternativ sinusoidal este similară cu cea în curent continuu dacă valorile eficace sunt egale cu cele ale curenţilor continui şi defajazul φ=0.
Aparatele electrodinamice au şi în curent alternativ o polaritate fixată datorită factorului cosφ.
k2k1k ϕ−ϕ=ϕ
144
Referitor la regimul tranzitoriu al aparatelor electrodinamice, relaţiile şi observaţiile menţionate la aparatele magnetoelectrice sunt valabile şi în acest caz. Elementul particular îl constituie dispozitivul de amortizare pneumatic necesar întrucât amortizarea pe cale electromagnetică este insuficientă.
13.1.4.3. Aparate ferodinamice
Sunt aparate similare cu cele electrodinamice atât ca structură cât şi ca
relaţii de funcţionare. Deosebirea este de natură constructivă şi constă în aceea că bobina fixă şi cea mobilă sunt prevăzute cu miezuri feromagnetice.
Circuitul magnetic are forma asemănătoare celor prezentate la aparatele magnetoelectrice. Prezenţa miezului feromagnetic face ca inducţia B1 să fie mult mai mare decât la aparatele electrodinamice având bobina fixă cu acelaşi număr de spire. Ca urmare, cuplul activ este mult mai mare (10-25 ori). Astfel, ele pot funcţiona cu un consum de putere mai redus şi în acelaşi timp sunt mai robuste. Circuitul magnetic asigură totodată o ecranare a bobinei mobile si prin aceasta o protejare împotriva influenţei câmpurilor magnetice externe. Miezul feromagnetic atrage dezavantaje privind precizia. În curent continuu apar pierderi prin histerezis. În curent alternativ apar erori provocate de inducerea de curenţi turbionari. Din cauza acestor erori suplimentare aparatele ferodinamice sunt de precizie inferioară celor electrodinamice. Ele sunt utilizate mai ales în aplicaţii industriale ca aparate de panou de clasa: 1; 1,5; 2,5. Aceste precizii în curent alternativ sunt asigurate pentru frecvenţa de 50Hz.
1. Bobina fixă 2. Bobina mobilă 3. Miez feromagnetic
Fig. 13.16 Dispozitiv ferodinamic Câmpul magnetic fiind radial şi uniform rezultă, prin analogie cu expresia
obţinută la dispozitivul magnetoelectric, următoarele relaţii pentru Ma în curent continuu:
145
(13.43)
unde: N - numărul de spire al bobinei mobile; I2 - curentul din bobina mobilă; A - aria activă a bobinei mobile; B – K1I1 este inducţia magnetică considerată proportională cu I1 care o
produce; K = NAK, este o constantă constructivă. În curent alternativ, datorită inerţiei sale, sistemul mobil se deplasează sub
acţiunea cuplului activ mediu care are expresia:
212a IKINBAIM ==
)IIcos(IKI)IBcos(NABIMM 212122medaa ≈== (13.44)
aproape aceeaşi ca în cazul dispozitivelor electrodinamice cu câmp radial.
13.1.4.4. Erorile aparatelor electrodinamice Principalele surse de erori sunt determinate de influenţa factorilor externi:
câmpurile magnetice, temperatura mediului şi frecvenţa. Aparatele electrodinamice sunt sensibile la perturbaţiile date de câmpurile
magnetice externe prin faptul că neavând circuit magnetic, câmpul generat de cele două secţiuni ale bobinei fixe este slab. Reducerea acestor influenţe se face prin prevederea de ecrane magnetice din materiale de mare permeabilitate (permalloy). Un alt procedeu îl constituie astatizarea, care constă în cuplarea pe acelaşi ax a două dispozitive motoare identice, cu bobinele fixe şi mobile înseriate de aşa manieră încât cuplurile active utile determinate de curenţii prin bobine să fie de acelaşi sens, iar cuplurile parazite determinate de câmpul extern şi curenţii prin bobinele mobile să fie opuse şi să se anuleze.
Temperatura mediului influenţează asupra rezistenţei bobinelor şi asupra resoartelor spirale. În cazul unor erori rezultante importante se prevăd scheme de corecţie.
În curent alternativ domeniul de frecvenţa este limitat de modificarea impedanţei bobinelor cu frecvenţa, de creşterea şi modificarea repartiţiei curenţilor induşi în diverse părţi metalice şi de creştere a tensiunii induse în bobina mobilă. Limita superioară a frecvenţei pentru care erorile respective sunt neglijabile este de 500…1000Hz. Trebuie observat că erorile datorate frecvenţei, depind în mare măsură de modul de utilizare a aparatelor electrodinamice (ampermetre, voltmetre, wattmetre, varmetre).
146
Din necesitatea de a produce un câmp magnetic cât mai puternic care să asigure cuplul activ, aparatele electrodinamice au un consum de putere relativ ridicat (2-6W).
Relaţiile de funcţionare similare în curent continuu şi în curent alternativ ale aparatelor electrodinamice dau posibilitatea etalonării lor în curent continuu prin metode de compensare: foarte precise, etalonarea fiind valabilă şi în curent alternativ.
Datorită erorilor constructive reduse şi posibilităţilor de atenuare a erorilor de influenţă, aparatele electrodinamice sunt de precizie ridicată, obţinându-se clase de 0,2 şi chiar 0,1. Performanţele înalte pe care le asigură aparatele electrodinamice implică şi un cost relativ ridicat. Aceasta face ca ele să fie utilizate mai ales ca aparate de laborator, în special pentru măsurări de precizie în curent alternativ.
13.1.5. Aparate cu inducţie
Funcţionarea acestor aparate cu dispozitive de inducţie se bazează pe
interacţiunea reciprocă dintre fluxurile magnetice alternative, create de una sau mai multe bobine şi curenţii turbionari induşi de aceste fluxuri în piese conductoare mobile (discul conductor). Constructiv, aceste dispozitive pot fi realizate cu un singur flux (flux unic), sau cu mai multe fluxuri (fluxuri multiple), clasificare ce se referă la numărul de “intersecţii” cu echipajul mobil. În funcţie de forma piesei conductoare mobile deosebim: aparate cu disc şi aparate cu tambur. Aparatele cu inducţie se utilizează numai în curent alternativ.
13.1.5.1. Dispozitive de inducţie cu două fluxuri
Dispozitivul se compune din doi electromagneţi a1 şi a2, ale căror bobine
sunt străbătute de curenţi sinusoidali defazaţi cu unghiul φ care produc fluxurile Φ1 şi Φ2, respectiv câmpurile magnetice corespunzătoare. Cele două bobine având N1 si N2 spire şi fiind strabătute de curenţii ia şi ia2 produc fluxurile magnetice Φ1 şi Φ2, mărimi sinusoidale ca şi curenţii, adică:
)tsin(tsin m22m11 ϕ−ωΦ=ΦωΦ=Φ (13.45)
147
Fig. 13.17
Fluxurile Φ1 şi Φ2 variabile în timp, induc în discul (A) pe care-l străbat,
prin inducţie electromagnetică, de-a lungul unor contururi închise Γ11 şi Γ12, tensiunile electromotoare:
dt
ddlEUdt
ddlEU 2
T2e
1
T1e
1211
Φ−==
Φ−=⋅= ∫∫ (13.46)
Dacă r1 şi r2 sunt rezistenţele electrice ale discului de aluminiu, în lungul
contururilor prin care se închid curenţii i1 şi i2 dacă se neglijează inductivităţile contururilor Γ11 şi Γ12 tensiunile electromotoare determină în discul (A) curenţii:
tcosr1
dtd
r1
rU
i m11
1
11
1e1 ωΦω−=
Φ−== (13.47)
)tcos(r1
dtd
r1
rU
i m22
2
21
2e2 ϕ−ωΦω−=
Φ−== (13.48)
În regiunile A1 şi A2 din dreptul polilor celor doi electromagneţi, fluxurile
magnetice sunt diferite de zero, deci şi curenţii i1 şi i2 pe aceste porţiuni au
148
valori diferite de zero; ca urmare, asupra acestor regiuni ale discului vor acţiona forţele F1 şi F2 date de relaţiile:
2111 iKF Φ= (13.49) 1222 iKF Φ= (13.50) Cuplul activ mediu pe durata unei perioade, determinat de aceste forţe, faţă
de centul 0 al discului este:
ϕΦΦ=−= ∫ sinKdt)FF(T1M m2m1M
T
o21med (13.51)
unde:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ω=
2
2
1
1M r
Kr
K2dK
reprezintă o constantă şi d este distanţa de la o dreaptă ce uneşte punctele de aplicaţie a forţelor , şi 2F 1F şi centrul O al discului. În ipoteza unui disc omogen, a parametrilor R şi L ai înfăşurărilor de excitaţie constanţi, a miezurilor electromagneţilor nesaturaţi, a mărimilor sinusoidale ale curenţilor ial şi ia2, fluxurile magnetice Φ1 şi Φ2 sunt proporţionale şi în fază cu cei doi curenţi care le-au produs.
tsinI2KiKtsin 1a11a1m11 ω=≅ωΦ=Φ (13.52)
)tsin(I2KiK)tsin( 2a22a2m22 ϕ−ω==ϕ−ωΦ=Φ (13.53) Cuplul activ mediu în aceste condiţii poate fi pus sub forma: (13.54)
unde Ki reprezintă o constantă Ki=2KMK1K2. Cuplul activ mediu tinde să rotească discul metalic în jurul axei până când
cuplul părţii mobile de frânare produs de magnetul permanent, Mr, se echilibrează cu cuplul activ Ma:
(13.55) dar cuplul de frânare Mr are expresia:
ϕ= sinIIKM 2a1ai
ra MM =
ω⋅= rr KM (13.56)
149
în care: Kr este o constantă legată de calităţile magnetice şi de geometria magnetului Mp şi a discului A.
dtdα
=ω (13.57)
este viteza unghiulară de rotaţie a discului.
La egalitatea celor două cupluri (discul execută o mişcare uniformă) avem:
dtdKsinIIK r2a1aiα
=ϕ (13.58)
Integrând în raport cu timpul, de la 0 la t, această egalitate, se obţine:
∫ ϕ=αt
o2a1a
r
i dtsinIIKK)t( (13.59)
Acest unghi însă este: π>>α 2)t( (13.60)
şi atunci este comodă exprimarea nu a unghiului α(t) ci a numărului de rotaţie N(t):
(13.61)
în care:
∫ ϕ=t
o2a1an dtsinIIK)t(N
π⋅=21
KKK
r
in (13.62)
Aparatele cu inducţie pot fi utilizate ca voltmetre, ampermetre, wattmetre,
dar cel mai frecvent sunt întâlnite în practica drept contoare de energie electrică. Sunt destinate măsurărilor industriale şi de laborator.
13.2. Măsurarea curenţilor şi tensiunilor electrice Măsurările cele mai frecvente ale curenţilor şi tensiunilor se bazează pe
utilizarea aparatelor electrice indicatoare, denumite generic ampermetre şi voltmetre.
În principiu, aproape toate tipurile de aparate prezentate anterior, prevăzute la intrare cu circuite electrice sau electronice adecvate, pot fi folosite ca
150
ampermetre său ca voltmetre, valoarea mărimii măsurate fiind redată direct prin citirea deviaţiei acului indicator pe scala gradată.
Aceste metode, ce aparţin metodelor prin comparaţie succesivă sunt denumite uzual metode directe sau metode de deviaţie. Ele se aplică atât în măsurările industriale cât şi în cele de laborator. În privinţa măsurării tensiunilor continue, îndeosebi în măsurari de laborator de precizie ridicată, se utilizează şi metoda comparaţiei simultane, folosind aparatele denumite compensatoare de curent continuu.
13.2.1. Măsurarea industrială a curenţilor electrici
Metoda cea mai des utilizată pentru măsurarea industrială a curenţilor
electrici este metoda directă. Această metodă presupune utilizarea ampermetrului pentru măsurarea curentului. Cuplul activ ce acţionează asupra sistemului mobil al ampermetrului oricare ar fi tipul sau constructiv, este o funcţie de curentul de măsurat. Ampermetrul se leagă în serie cu receptorul al cărui consum de curent se măsoară. De aceea, ampermetrul trebuie să aibă o rezistenta interioară mică (Ri<<1Ω) pentru ca, prin înserierea sa în circuit, să nu modifice semnificativ curentului de măsurat.
Consumul propriu al ampermetrului trebuie să fie cât mai mic. Legarea unui ampermetru în paralel cu receptorul înseamnă practic un scurtcircuit prin intermediul lui, ceea ce conduce la deteriorarea ampermetrului.
13.2.1.1. Măsurarea industrială a curentului continuu
Pentru măsurarea industrială a curentului continuu sunt folosite cu
precădere ampermetrele magnetoelectrice de curent continuu. Prin construcţie aparatele magnetoelectrice au un interval restrâns de măsurare, limitat de valorile reduse ale curenţilor admisibili prin bobina mobilă şi prin resoartele spirale. Valoarea maximă a curentului care poate fi măsurată direct cu aparate magnetoelectrice este cel mult de ordinul 10-1A la cele cu susţinere pe lagăre şi de ordinul 10-4A la cele cu suspensie pe bandă. Există şi o limită inferioară impusă de sensibilitatea maximă
DNSBSI = care poate fi obţinută. Astfel, limita
inferioară la aparatele cu sustinere pe lagăre este de ordinul 50μA. În cazul suspensiei pe bandă 1imita inferioară este mult mai scăzută (până la 10-6…10-
11A), fiind utilizate îndeosebi ca detectoare de nul. Deci aparatele magnetoelectrice cu suspensie pe bandă pot fi utilizate ca
microampermetre, iar cele cu suspensie pe lagăre ca miliampermetre. Pentru extinderea intervalului de măsurări la valori superioare se utilizează dispozitive auxiliare, care au drept scop realizarea unor sensibilităţi pe ansamblu mai reduse.
151
Cel mai simplu dispozitiv pentru extinderea domeniului aparatelor magnetoelectrice la măsurarea curentului continuu este şuntul. Şuntul este o rezistenţă care se conectează în paralel cu bobina mobilă a aparatului, alcătuind un divizor de curent, aşa cum se arată în figura 2.23.
Fig. 13.18 Schema unui ampermetru cu şunt simplu
Rezistenţa Rs se determina în funcţie de rezistenţa Ri a bobinei. În fig. 13.18: I - curentul de măsurat; Ia - curentul maxim ce poate fi măsurat de aparat; Is - curentul ce trece prin şunt. (13.63)
SSai IRIR =
iS
aS R
II
R = (13.64)
ia
aS R
III
R−
= (13.65)
i
a
S R1
II
1R−
= (13.66)
Notând 1n
II
a
>= , unde n este factorul de multiplicare al şuntului, rezultă
relaţia de dimensionare a şuntului: iS R
1n1R−
= (13.67)
152
Se vede că şuntul are o rezistenţă cu atât mai mică, decât a bobinei mobile, cu cât n este mai mare.
Indicaţia aparatului magnetoelectric cu şunt (în cazul de faţă cu rol de ampermetru) va fi:
nI
Do ⋅
Φ=α (13.68)
Sensibilitatea în curent, în cazul utilizării şuntului nD
S oi ⋅
Φ= este de n ori
mai redusă decât a ampermetrului fără şunt. Se pot măsura astfel curenţi I>>Ia, aparatele respective putând avea scara
gradată direct în valori ale curentului I şi devenind ampermetre sau chiar kiloampermetre.
Ampermetrele magnetoelectrice se realizează, de obicei, cu mai multe domenii de măsurare prin prevederea de şunturi multiple comutabile, ca în figura 13.19.
Fig. 13.19 Schema unui ampermetru cu şunturi multiple
După cum rezultă din fig. 13.19 se pot obţine atâtea domenii de măsurare
câte secţiuni are şuntul multiplu. Pentru poziţia K a comutatorului, domeniul este dat de relaţia:
153
∑
∑
=
=
+== k
1jsj
k
1jisj
a
kk
R
RR
IIn (13.69)
Pentru un aparat dat, cu valori cunoscute Ia şi Ri, fixând valorile Ik pentru
cele m domenii se calculează factorii nk şi cu relaţia (13.69) se formează un sistem de m ecuaţii cu necunoscute Rs1, Rs2,…Rsm, prin rezolvarea căruia se deduc rezistenţele diferitelor secţiuni ale şuntului multiplu.
Materialele uzuale din care se confecţionează şunturile sunt manganina şi constantanul, caracterizate prin rezistivităţi ridicate şi coeficienţi de variaţie cu temperatura reduşi. Pentru domenii la care limita superioară nu depăşeşte ordinul zecilor de amperi, şunturile sunt realizate sub formă de rezistenţe bobinate, montate în interiorul carcasei aparatului (şunturi interioare).
La valori ale curentului I≥102A şunturile se confecţionează sub formă de benzi sau de bare şi, din cauza dimensiunilor, sunt exterioare aparatelor. În fig. 13.20 este prezentat un şunt exterior la care se pot observa patru borne de conexiune. Bornele A, B sunt bornele principale, prin care şuntul se conectează în cicuitul curentului de măsurat I de valori ridicate şi au suprafeţe de contact adecvate. Bornele c, d, sunt cele de măsură, la care prin cabluri de conexiune calibrate se conectează aparatul, astfel că ele sunt parcurse numai de curentul redus Ia. Prin această construcţie sub forma de rezistor cuadripolar se elimină influenţa perturbatoare a căderilor de tensiune pe bornele de conexiune.
Fig. 13.20 Şunt exterior
Precizia realizării caracteristicilor şunturilor trebuie fie compatibilă cu
aceea a aparatelor cu care sunt asociate. Clasele de precizie ale ampermetrelor cu şunturi sunt date ţinând seama de erorile pe ansamblu (inclusiv şuntul). O problemă importantă din acest punct de vedere o prezintă erorile de temperatură. Dacă la utilizarea directă ca mili (micro)-ampermetru a unui aparat magnetoelectric fără şunt eroarea datorată variaţiei cu temperatura a rezistenţei bobinei mobile poate fi neglijată, atunci când este prevăzut cu şunt eroarea poate deveni apreciabilă din cauza modificării factorului de divizare a curentului.
154
Dacă se ţine seama că pentru bobina mobilă realizată din conductor de
cupru coeficientul de variaţie cu temperatura este ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡≅α
C1004,0 oCu
ai redus
iar pentru un
şunt din manganină este de peste 100 de ori m ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡≅α
C100003,0 oMn se
deduce uşor că la variaţii de numai 10°C faţă de temperatura de etalonare pot să apară erori importante. Pentru a preveni aceste erori se prevăd scheme de compensare imaginate în raport de variaţia şuntului cu temperatura, astfel să se asigure constanţa sau modificarea în limite acceptabile a factorului de divizare.
13.2.1.2. Măsurarea industrială a curentului alternativ
Cele mai răspândite aparate destinate măsurării industriale a curenţilor
alternativi sunt ampermetrele feromagnetice. După cum s-a arătat, aparatele feromagnetice pot fi utilizate în curent alternativ de frecvenţă superioară celei proprii (Fp=1-2Hz). Indicaţiile ampermetrelor feromagnetice, la măsurarea curentului alternativ, sunt dependente de valoarea efectivă a curentului:
α=α
ddLI
D21 2
ef (13.70)
Această proprietate se păstrează şi în cazul curenţilor nesinusoidali,
etalonarea corespunzătoare regimului sinusoidal rămânând valabilă. Utilizarea lor curentă se face la frecvenţa industrială de 50Hz, dar domeniul
de frecvenţă în care îşi menţin performanţele de la etalonare are ca limită superioară 300Hz.
În stabilirea limitelor de curent se are în vedere numărul de amperspire NI necesar pentru obţinerea cuplului activ. Odată cu creşterea curentului nominal se micşorează numărul de spire al bobinei (NI trebuie să rămână constant) ajungându-se pentru curenţi de 200÷300A ca bobina să fie dintr-o singură spiră din bară de cupru. Limita inferioară este de 100…200mA la cele cu suspensie pe lagăre şi de ordinul zecilor de miliamperi la cele cu suspensie pe bandă, în acest caz bobina având un număr mare de spire de secţiune redusă.
Realizarea de ampermetre feromagnetice cu domenii multiple nu se face cu ajutorul şunturilor ca la cele magnetoelectrice, întrucât ar necesita compensări de temperatură, ci se preferă confecţionarea bobinei din mai multe secţiuni care pot fi conectate în serie, în paralel sau în conexiuni serie-paralel, obţinându-se valori diferite pentru numărul de spire N.
În figura 13.21 se observă că produsul dintre curentul maxim măsurat pentru fiecare domeniu şi numărul de spire pe care le străbate curentul este constant şi egal cu 200 A spire. Secţiunea conductorului utilizat la realizarea bobinei are valori diferite fiind mai mare pentru domeniile curenţilor mari şi mai
155
mică pentru domeniile curenţilor mici. Numărul de spire din fiecare secţiune a bobinei este în funcţie de domeniul de măsură.
Fig. 13.21 Ampermetru feromagnetic cu mai multe domenii
Extinderea domeniului de măsurare, în cazul curenţilor de valori mari, se
efectuează cu ajutorul transformatoarelor de curent. Acestea sunt transformatoare speciale constituite dintr-un miez
feromagnetic pe care se află o înfăşurare primară, cuprinzând un număr redus de spire de secţiune mare şi o înfăşurare secundară având un număr mare de spire de secţiune mult inferioară celei din primar.
Înfăşurarea primară a transformatorului de curent se leagă în serie cu circuitul strabătut de curentul mare de măsurat iar la bornele înfăşurării secundare se leagă ampermetrul.
Regimul nominal de funcţionare pentru care este construit un transformator de curent este asemănător cu al unui transformator de putere în scurtcircuit. În aceste condiţii nu este admis regimul de funcţionare în gol, adică I2=0, ceea ce înseamnă secundarul întrerupt. Aceasta ar avea drept consecinţă I1=Io şi deci mărirea considerabilă a solenaţiei de magnetizare şi deci a fluxului magnetic. Odată cu aceasta, tensiunea indusă în secundar creşte la valori periculoase pentru izolaţie şi pentru operator, iar miezul, datorită măririi pierderilor în fier, se încălzeşte atingând temperaturi ce provoacă alterarea caracteristicilor şi chiar distrugerea transformatorului. Transformatoarele de curent îndeplinesc şi funcţia de a asigura o separare galvanică între circuitul primar şi cel secundar.
Transformatoarele de curent de uz industrial sunt standardizate în sensul că în secundar curenţii au valori nominale I2n de 1A sau 5A, iar curenţii primari I1n pot fi 5A, 10A, 15A, 20A, 30A, 40A, 50A, 75A, precum şi multipli zecimali ai acestora. Sunt standardizate şi ampermetrele prevăzute a fi utilizate împreună cu asemenea transformatoare. Ele sunt aparate de 1A sau 5A, însă cu scări gradate diferit în funcţie de raportul transformatorul cu care se conectează.
Clasele de precizie ale transformatoarelor de curent sunt 0,5; 1 şi 3 pentru cele industriale şi 0,1; 0,2 pentru cele de laborator.
Aceste clase de precizie sunt date, în general, pentru frecvenţa industrială de 50 Hz. Erorile se menţin însă suficient de reduse până la frecvenţa de ordinul KHz. La frecvenţe mai înalte erorile cresc datorită capacităţilor parazite ale
156
înfaşurărilor şi ele sunt cu atât mai importante cu cât numărul de spire este mai mare.
Reprezentarea în scheme a transformatoarelor de curent şi a modului de conectare a ampermetrului este redată în fig. 13.22.
Fig. 13.22 Reprezentarea schematică a transformatorului de curent.
13.2.2 Măsurarea industrială a tensiunii electrice
Metoda cea mai des utilizată pentru măsurarea industrală a tensiunii
electrice este metoda directă, metodă ce presupune utilizarea voltmetrului. Cuplul activ al voltmetrelor, oricare ar fi tipul lor, este funcţie de tensiunea de măsurat, deoarece curentul care intervine în expresia acestui cuplu se exprimă prin raportul dintre tensiune şi rezistenţa interioară a voltmetrului. Voltmetrul se leagă în paralel cu circuitul sau porţiunea de circuit a cărui tensiune o măsoară. Pentru a nu influenţa buna funcţionare a circuitului în care se efectuează măsurarea, rezistenţa interioară a voltmetrului trebuie să fie foarte mare.
Fig. 2.29
157
Voltmetrul nu diferă principial de ampermetru şi în fapt este un miliampermetru legat în serie cu o rezistenţă. Rezistenţa întregului aparat (Rv) are în acest caz valori foarte mari (100…1000Ω) pentru fiecare volt al scării.
13.2.2.1. Măsurarea industrială a tensiunii continue Pentru măsurarea industrială a tensiunii continue se foloseşte voltmetrul de
tip magnetoelectric. Ecuaţia de funcţionare a aparatului magnetoelectric. I
DoΦ=α (13.71)
Ecuaţia de funcţionare a voltmetrului magnetoelectric:
i
o
RU
DΦ=α (2.72)
Se menţin pentru voltmetrele magnetoelectrice de curent continuu
proprietăţile referitoare la polaritatea fixată şi liniaritatea scării, de la ampermetrele magnetoelectrice de curent continuu.
Fig. 13.23 Legarea voltmetrului în circuit.
Sensibilitatea de tensiune:
i
ou RD
S 1Φ= (2.73)
se vede că are valori mai reduse decât sensibilitatea de curent a ampermetrului magnetoelectric (Ri=10-104Ω). Ţinând seama de sensibilităţile mai reduse rezultă că aparatele magnetoelectrice pot fi folosite direct numai ca milivoltmetre. Pentru a nu afecta funcţionarea receptorului RS, curentul ce
158
străbate voltmetrul (Iv) trebuie să fie neglijabil în raport cu IS, adică Rv>>RS, iar puterea consumată de voltmetru trebuie să fie cât mai mică.
Cu cât voltmetrul are rezistenţa interioară mai mare, cu atât se pot executa cu el măsurări de precizie mai bună şi cu atât consumul propriu al aparatului este mai mic.
Pentru extinderea domeniului de măsurare al unui voltmetru se utilizează rezistenţe adiţionale care se leagă în serie cu aparatul. Rezistenţa adiţională Ra se dimensionează în funcţie de domeniul maxim al tensiunii de măsurat U, de rezistenţa bobinei Rv şi de tensiunea la bornele acesteia Ui, astfel încât să se limiteze valoarea curentului Iv la aceea corespunzătoare capătului de scară.
Fig. 13.24 Voltmetru cu rezistenţă adiţională
Din figura 13.24 rezultă:
( ) ii
avi
i
avai U
RRIR
RRIRRU ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+= 11 (2.74)
Notând cu
iUUn = factorul de multiplicare se obţine:
( ) ia RnR 1−= (2.75) Se observă că rezistenţele adiţionale sunt de valori cu atât mai mari cu cât
domeniul de măsurare este mai extins. Indicaţia voltmetrului cu rezistenţă adiţională va fi: ( )ai
o
RRU
D +Φ=α (2.76)
Scara poate fi gradată direct pentru domeniul tensiunii U. Introducerea
rezistenţei Ra are efectul de reducere a sensibilităţii de tensiune.
159
Voltmetrele magnetoelectrice de laborator se construiesc cu domenii multiple prin înserierea mai multor rezistenţe adiţionale.
Fig. 13.25 Schema unui voltmetru cu rezistenţe adiţionale multiple
Din figura 13.25 se deduce că pentru poziţia K a comutatorului domeniul
obţinut este dat de relaţia:
∑=
+==k
j i
aj
i
KK R
RUUn
1
1 (2.77)
Fiind cunoscute valorile Ri şi Ui pentru un aparat dat şi stabilind limitele
maxime Uk pentru cele m domenii rezultă factorii de multiplicare nk. Se formează un sistem de m ecuaţii cu m necunoscute Raj, unde j=l, 2…m prin rezolvarea căruia se dimensionează rezistenţele adiţionale.
Rezistenţele adiţionale se confecţionează din manganină sub formă de rezistenţe bobinate, montate în interiorul carcasei aparatului.
Prin intermediul rezistenţelor adiţionale domeniul de măsurare al voltmetrelor magnetoelectrice poate fi extins până 1a 1000 V. Această limită este impusă în principal din considerente de izolaţie şi de pericolul pe care îl reprezintă tensiunile mai ridicate pentru operatori.
Rezistenţele adiţionale determină şi un alt parametru de calitate şi anume
consumul de putere: aai R
URR
U 22
≅+
.
Exprimarea sa se face prin valoarea rezistenţei raportată la un volt, rezultând valori de ordinul 200-300Ω/V în cazul voltmetrelor industriale de panou, până la 10.000-50.000Ω/V, pentru cele de laborator (consumuri la 100V de la 50mW la 0,2mW).
Consumul de putere redus, exprimat prin rezistenţa de valoare ridicată, este important pentru reducerea erorii sistematice de metodă.
În ceea ce priveşte precizia, voltmetrele magnetoelectrice sunt caracterizate de aceleaşi clase menţionate la ampermetru (0,2; 0,5…).
Datorită multiplelor calităţi, voltmetrele magnetoelectrice sunt cele mai utilizate aparate pentru măsurarea directă a tensiunilor continue atât în industrie cât şi în laborator.
160
13.2.2.2. Măsurarea industrială a tensiunii alternative Măsurarea industrială a tensiunilor alternative prin metoda directă se
efectuează cel mai frecvent cu voltmetre feromagnetice. Aplicând o tensiune sinusoidală ( ) tUtu ef ωsin2= la bornele unui aparat
feromagnetic, având bobina conectată în serie cu o rezistenţă Ra, indicaţia acestuia este dată de relaţia:
2
2
21
ZU
ddL
Def
αα = (13.78)
( ) 222
2
21
iai
ef
LRRU
ddL
D ωαα
++= (13.79)
unde Ri şi Li sunt rezistenţa şi inductivitatea bobinei.
Relaţia (13.79) evidenţiază posibilitatea utilizării aparatului feromagnetic ca voltmetru de valori efective. Se observă dependenţa de pulsaţie ( )fπω 2= a acestor indicaţii, rezultând că ele vor fi corecte numai la frecvenţa de etalonare. Indicaţiile în curent alternativ sunt inferioare celor în curent continuu din cauza reactanţelor inductive ale bobinelor. Diferenţele pot deveni neglijabile dacă:
( )aii RRL +<<ω (13.80) Satisfacerea acestei condiţii este importantă şi în ceea ce priveşte asigurarea
unor erori reduse într-un anumit domeniu de frecvenţe. Domeniul de frecvenţe este de obicei 45-65Hz.
Voltmetrele feromagnetice datorită robusteţei lor, cele mai răspândite şi larg utilizate voltmetre, sunt întâlnite în mod deosebit ca aparate industriale de tablou, cu clasa de precizie 1,5 sau 2,5.
Voltmetrele feromagnetice permit măsurarea valorii efective şi a tensiunilor nesinusoidale cu condiţia ca rezistenţa adiţională să fie suficient de mare sau să fie prevăzute cu circuite de compensare a erorilor de frecvenţă, astfel ca armonicele superioare să nu introducă variaţii importante ale impedanţei circuitului în care sunt conectate. Extinderea domeniului de măsurare la voltmetrele feromagnetice, pentru măsurarea tensiunilor înalte, se efectuează cu ajutorul transformatoarelor de tensiuni pentru măsurări.
Transformatoare de tensiune pentru măsurări
161
În curent alternativ limitele intervalului de măsurare pot fi extinse la valori de zeci şi sute de KV folosind transformatoarele de tensiune care, în condiţiile izolării galvanice, reduc tensiunile de măsurat la valori situate în intervale uzuale pentru voltmetrele de curent alternativ.
Din punct de vedere constructiv transformatorul de tensiune este asemănător cu cel de curent, cu deosebirea că numărul de spire N1 al înfăşurării primare este mult mai mare decât cel al înfăşurării secundare N2. La bornele înfăşurării secundare se conectează un voltmetru de curent alternativ, care prezintă o impedanţă Zs de valoare mare.
Pentru a deduce relaţia de funcţionare a transformatorului de tensiune, păstrând expresiile pentru curenţi şi flux stabilite la transformatorul de curent trebuie obţinute în plus relaţiile între tensiuni.
Fig. 13.26 Transformator de tensiune
a) transformator de tensiune pentru măsurare b) reprezentarea schematică
La fel ca la transformatoarele de curent se defineşte un raport nominal
.2
1
n
nUn U
UK = Pentru alte tensiuni decât cele nominale, raportul real KU este diferit,
rezultând o eroare de tensiune:
U
UUnUnru K
KKU
UUK −=−=1
12ε (13.81)
Erorile transformatorului de tensiune, pentru o construcţie dată, depind de
tensiunea primară, de frecvenţă şi de sarcina secundară. Variaţiile de tensiune în
162
aplicaţiile industriale fiind relativ reduse (10…15%) iar frecvenţa fiind practic constantă, sub acest aspect erorile transformatoarelor de tensiune sunt mai reduse decât ale celor de curent. În ceea ce priveşte sarcina secundară se
specifică sub forma unei valori nominale Zsn sau a unei puteri aparente sn
nn Z
US22
2 = .
Rezultă astfel că pentru a se menţine erorile în limitele tolerate, trebuie ca impedanţa echivalentă a aparatelor conectate în secundar să fie Zs≥Zsn sau, ceea
ce este acelaşi lucru, consumul lor la tensiunea nominală: ns
n SZ
US 2
22
2 <= .
Transformatoarele de tensiune industriale sunt standardizate, tensiunile primare nominale exprimate în KV având valorile: 0,38; 0,5; 6; 10; 20; 35;
; 3/220 ; 3/4003/110 . Tensiunile nominale secundare sunt 100V şi 3/110 V. Factorul 3 provine din faptul ca reţelele de înaltă tensiune sunt
trifazate. Clasele de precizie ale transformatoarelor de tensiune uzuale sunt 0,1; 0,2;
0,5; 1; 3. Aceste clase de precizie sunt specificate de regulă pentru frecvenţa de 50Hz.
Din punct de vedere constructiv transformatoarele de tensiune pot fi monofazate sau trifazate cu una sau mai multe înfăşurări secundare.
Reprezentarea în scheme a transformatoarelor de tensiune şi a modului de conectare a voltmetrului este redată în fig. 2.33b.
Întrucât scurtcircuitarea secundarului determină apariţia de curenţi importanţi în primar ce pot determina distrugerea transformatorului se prevăd siguranţe de protecţie.
2.3 Măsurarea parametrilor R, X, Z Măsurarea industrială a parametrilor R, X, Z Parametrii electrici R, X şi Z reprezintă mărimi care caracterizează
proprietăţile unor elemente de circuit (rezistoare, bobine, condensatoare) de a disipa sau absorbi energie electromagnetică sub diferite forme (căldura, energie electrică sau magnetică) şi în cantităţi care depind de construcţia elementului, de curentul electric care îl parcurge (frecvenţa, amplitudinea, forma) precum şi alţi factori de mediu (temperatura, presiunea, etc.). Din aceste cauze, parametrii menţionaţi au valori determinate de condiţiile de lucru ale elementelor, măsurarea trebuind să fie făcută în acele condiţii sau în condiţii apropiate. Se măsoară astfel, în curent continuu rezistenţa electrică a rezistoarelor şi a bobinelor (la temperatura ambiantă sau la temperaturi superioare) sau rezistenţele de izolaţie şi rezistentele dielectricilor condensatoarelor.
163
În curent alternativ (de obicei sinusoidal) se măsoară impedanţa şi componentele sale (modulul şi argumentul sau partea reală şi partea imaginară) pentru bobine şi condensatoare.
Metodele folosite pentru măsurarea parametrilor R, X, Z pot fi grupate în: - metode indirecte bazate pe utilizarea unor relaţii de calcul conţinând
mărimi măsurate direct (cu ampermetre, voltmetre, wattmetre sau cu a unor instalaţii funcţionând pe baza metodei de zero, de rezonanţă sau de compensaţie);
- metode directe, care utilizează aparate construite pentru a indica direct mărimea R, X, (L sau C) şi Z;
- metode de punte folosind schemele de punte.
13.3.1. Metoda ohmmetrului Măsurarea directă a rezistenţelor se face cu ajutorul ohmmetrului. În
principiu, ohmmetrele se compun dintr-o sursă de tensiune continuă şi un dispozitiv magnetoelectric cu bobina simplă sau cu două bobine încrucişate (tipul logometric). Montajul se poate realiza cu dispozitivul de măsurat conectat în serie sau în paralel cu rezistenţa necunoscută.
Ohmetrul serie
Fig. 13.27
Ohmmetrul serie are o sursă de tensiune electromotoare constantă E,
înseriată cu dispozitivul magnetoelectric şi rezistenţa de protecţie Rp. La bornele AB ale aparatului se conectează rezistenţa necunoscută Rx. Când Rx=0 (întrerupătorul K este închis) curentul prin instrumentul de măsurare este maxim admisibil.
opi RRREI++
=max (13.82)
Deviaţia acului indicator este maximă (notată cu zero pe scala gradată în
Ω). Când (K este deschis) acul indicator al aparatului rămâne nedeviat (I=0). Se obser ă că gradarea scalei este inversată. Pentru acul indicator ocupă toate poziţiile în lungul scalei.
∞=xRv ∞<< xR0
164
Pentru Rx≠0 curentul I prin miliampermetru devine: α⋅=
+++= i
xipo
CRRRR
EI (13.83)
iar deviaţia α are valoarea:
xxipoii Rkk
RRRRCE
CI
+=
+++==
2
1
)(α (13.84)
unde K1 şi K2 sunt termeni constanţi. Ci=constanta de curent a dispozitivului magnetoelectric;
ioi S
IDC 1==
Φ=
α (13.85)
Din expresia (13.84) rezultă că scara aparatului este neuniformă
(hiperbolică) cu o densitate mai mare a gradaţiilor spre valoarea şi gradată invers.
Inconvenientul schemei îl constituie dependenţa deviaţiei de t.e.m. E a sursei. Pentru compensarea scăderii acestei tensiuni, la ohmmetrele cu baterii uscate, este prevăzută rezistenţa R de reglaj a indicaţiei rezultate pentru Rx=0 (K în poziţia închis). Reglajul de zero este obligatoriu înainte de efectuarea măsurătorii. (Ohmmetrele electronice cu surse de curent continuu nu prezintă acest dezavantaj). Extinderea domeniului de utilizare a aparatului poate fi realizată prin şuntarea miliampermetrului cu rezistenţele R’ şi R”.
Ohmmetrul serie are clasa de precizie mică (2,5-5) şi se utilizează pentru măsurarea rezistenţelor de ordinul 102Ω până la 104Ω. Precizia scade şi mai mult în cazul măsurării rezistenţelor mari.
Ohmmetrul derivaţie Ohmmetrul derivaţie are o sursă de tensiune electromotoare constantă E, un
dispozitiv magnetoelectric de măsurat la bornele căruia se conectează în paralel rezistenţa necunoscută Rx.
∞=xR
165
Fig. 13.28
Când Rx=0 (întrerupătoarele K şi K2 fiind închise) curentu1 prin aparat este
nul. Acul indicator rămâne nemişcat. Când (K fiind închis, iar K2 fiind deschis) curentul prin aparat este
maxim admisibil.
∞=xR
poi RRREI++
=max (13.86)
Acul indicator, în cazul acesta, trebuie să ajungă în dreptul diviziunii
maxime. Măsurarea rezistenţei se face cu întrerupătorul de control K2 deschis, întrerupătorul K fiind închis.
∞<< xR0
αi
xo
xop
ox
x C
RRRRR
ERR
RI =
++
⋅+
= (13.87)
iar deviaţia are expresia:
( ) x
x
xooxpi
x
i RKKR
RRRRRCER
CI
21 +=
++==α (13.88)
unde Ci, K1, K2 sunt constante.
La montajul derivaţie scara este neuniformă, gradată în sens normal (zero în partea stângă). Domeniul de utilizare poate fi extins prin şuntare; clasa de precizie depinde de constanţa tensiunii U şi se utilizează pentru măsurarea rezistenţelor cuprinse între 100 şi 1000Ω.
Întrerupătorul K are rolul de a deconecta sursa atunci când nu se efectuează măsurări, cu scopul de a evita descărcarea ei.
Megohmmetrul
166
Megohmetrul este destinat măsurării rezistenţelor de valori foarte mari. Se construieşte asemănător cu ohmmetrele serie însă are ca sursă interioară un mic generator (inductor) acţionat manual care furnizează o tensiune ridicată de 500, 1000 sau 2500V, corespunzător cu cerinţele circuitului în care se măsoară rezistenţa (de exemplu rezistenţa izolaţiei la o instalaţiei electrică). În alte construcţii sursa este un convertor electronic care transformă tensiunea continuă dată de o baterie uscată (9V) mai întâi în tensiune alternativă care, după ridicarea la valoarea necesară cu ajutorul unui transformator, este redresată şi filtrată.
Ca aparat indicator se utilizează un logometru magnetoelectric caracterizat prin sistemul mobil realizat din două bobine decalate cu un anumit unghi (de regulă 90°) şi fixate pe acelasi ax, precum şi prin lipsa cuplului antagonist mecanic (resoarte spirale) ceea ce face ca în absenţa curenţilor prin bobine, acul indicator să rămână într-o poziţie oarecare a scării.
R’1 şi R’2 - sunt rezistenţe de protecţie. Câmpul magnetic transversal este uniform. Sistemul mobil al aparatului
este supus acţiunii celor două cupluri produse de curenţii I1 şi I2 din bobine. (13.89)
unde:
αsin111 ⋅⋅= bFM a
1111 lIBNF ⋅⋅⋅= (13.90)
2222 lIBNF ⋅⋅⋅−= sunt forţe electromagnetice (forţe Laplace).
La echilibrul sistemului mobil suma cuplurilor este nulă: αα cossin 22221111 ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ blIBNblIBN (13.91)
De unde rezultă:
1
2
1
2
111
222
IIK
II
blNblNtg =⋅=α (13.92)
Înlocuind curenţii I1 şi I2 cu expresiile:
xRRUI
RUI
+==
22
11 ; (13.93)
în care:
(13.94) 20
'2210
'11 RRRsiRRR +=+=
167
unde: R10 şi R20 sunt rezistenţele proprii ale bobinelor, iar R’1 şi R’2 sunt rezistenţele de protecţie ale bobinelor.
Rezultă:
xx RKKarctg
RRRarctgK
+==
2
1
2
1α (13.95)
Fig. 13.29
13.3.2. Măsurarea şi verificarea rezistenţei de izolaţie a instalaţiilor electrice
1. Măsurarea rezistenţei de izolaţie a instalaţiilor electrice, poate fi realizată
cu ajutorul megaohmmetrelor cu inductor (MΩ), măsurarea executându-se după montajele din figura 13.30, cu instalaţiile scoase de sub tensiune, în curent continuu sau alternativ (monofazat - fig. 13.30a sau trifazat fig. 13.30b).
În fig. 13.30 cu R12, R23, şi R31 s-au notat rezistenţele de izolaţie dintre conductoarele de linie 1, 2, 3 iar cu R10, R20, R30 rezistenţele de izolaţie dintre conductoare şi pământ al cărui potenţial este considerat nul (Vo=0). Prin conectarea megaohmmetrului între conductoare sau între un conductor şi pământ se pot măsura rezistenţele de izolaţie arătate mai sus.
168
Fig. 13.30a
Fig. 13.30b
Fig. 13.30 a şi b
2. Verificarea continuă a rezistenţelor de izolaţie ale instalaţiilor electrice
sub tensiune se poate face prin metoda voltmetrelor electrice.
169
170
În cazul instalaţiilor de curent continuu şi a celor de curent alternativ monofazat, conectarea voltmetrelor se face conform schemei din fig. 13.30 a, iar în instalaţiile trifazate după schema din fig. 13.30b.
Se consideră bune rezistenţele de izolaţie ale conductoarelor dacă sunt satisfăcute relaţiile:
- în instalaţiile de curent continuu sau curent alternativ monofazat U1=U2=U/2;
- în instalaţiile de curent alternativ trifazat U1=U2=U3=U12. Această metodă comodă şi eficientă de verificare a rezistenţei de izolaţie impune ca rezistenţele interioare ale tuturor voltmetrelor să fie egale. Dacă rezistenţa de izolaţie dintre conductor şi pământ este scăzută, voltmetrul corespunzător acestei faze va indica o tensiune mai mică decât celelalte voltmetre de fază.
La instalaţiile de înaltă tensiune conectarea voltmetrelor se face cu ajutorul transformatoarelor de tensiune (identice). Schemele de mai sus pot fi înzestrate cu dispozitive de semnalizare şi avertizare (sonore, vizuale) la apariţia defectelor de izolaţie.
13.4. Măsurarea puterii electrice
13.4.1. Măsurarea puterii electrice în circuite de curent continuu Măsurarea puterii se poate face fie direct cu ajutorul wattmetrului, fie
indirect, utilizând un ampermetru şi un voltmetru. Măsurarea puterii în curent continuu direct cu wattmetru nu are o largă
răspândire în practică. Din cauza influenţei câmpului magnetic terestru asupra indicaţiilor wattmetrelor funcţionând în curent continuu, trebuie efectuate două măsurări, inversând sensul curenţilor în bobinele wattmetrului şi luând media celor două citiri.
În practică, pentru măsurarea puterii în curent continuu se preferă metoda indirectă a ampermetrului şi voltmetrului.
a) Metoda ampermetrului şi voltmetrului - În circuitele de curent continuu interesează măsurarea puterii consumate de receptoare sau debitate de către surse, astfel: (13.96)
unde indicii R=receptor şi G=generator.
GGGRRR IUP;IUP ⋅=⋅=
Fig. 13.31a
Fig. 13.31 Metoda industrială (A şi V) pentru măsurarea indirectă a puterii
în curent continuu. a) montaj aval; b) montaj amonte. Expresiile exacte ale puterii consumate, respectiv debitate, sunt date de
următoarele relaţii: a) Puterea consumată de receptor, PR,
- montaj aval: ( )V
2
VRRR RUUIIIUIUP −=−=⋅= (13.97)
- montaj amonte: ( ) 2RARRRARRR IRUIIIRUIUP −=−=⋅= (13.98)
b) Puterea debitată de generator, PG - montaj aval: ( ) 2
AAGGG IRUIIRUIIUP +=+=⋅= (13.99)
- montaj amonte: ( )V
2
VGGG RUUIIIUIUP +=+=⋅= (13.100)
Fig. 13.31b
Se constată că aceste puteri sunt date de produsul indicaţiilor
ampermetrului şi voltmetrului din care se scad sau se adună puterile consumate
de aparatele de măsurat ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅=
V
2
V2
AA RUPşiIRP .
În general aceste consumuri sunt mici, de ordinul a 0,5-5W putând fi neglijate, puterea calculându-se atunci cu formula aproximativă.
13.4.2. Măsurarea puterii electrice în circuite de curent alternativ monofazat
171
A. Măsurarea puterii active. Într-un circuit monofazat funcţionând în curent
alternativ puterea electrică activă P consumată de un receptor sau debitată de un generator care are la borne tensiunea U şi este parcurs de curentul i, absorbit respectiv debitat, se defineşte ca valoarea medie a puterii instantanee p=Ui pe un număr întreg de perioade ale tensiunii alternative u:
∫ ⋅===nT
o
dtuinT1iu~P~P (13.101)
În cazul când tensiunea şi curentul sunt mărimi sinusoidale având valorile
instantanee: ; ( )ϕω −= tIi sin2 tUu ωsin2= , curentul fiind defazat cu unghiul φ în urma tensiunii, rezultă pentru puterea activă expresia: ϕ= cosUIP (13.102)
unde UI=S este puterea aparentă;
SP
UIPcos ==ϕ - este factorul de putere. (13.103)
Pentru măsurarea puterii active se utilizează metoda directă a wattmetrului
sau metoda indirectă a celor trei aparate.
13.4.2.1. Măsurarea puterii reactive în circuitele de curent alternativ monofazat
Puterea reactivă, în cazul circuitelor monofazate alimentate în curent
alternativ sinusoidal este dată de relaţia: ϕ= sinUIQ (13.104) Puterea reactivă consumată de receptoare este pozitivă, adică sinφ>0, dacă
circuitul este inductiv. Dacă circuitul este capacitiv (sinφ<0) puterea este negativă şi debitată de către receptor reţelei de alimentare.
Măsurarea puterii reactive se poate face prin numeroase metode directe şi indirecte, dintre care prezentăm metoda wattmetrului.
13.4.2.2. Metoda directă de măsurare a puterii reactive. Metoda
varmetrului.
172
Această metodă utilizează varmetrul electrodinamic. Varmetrul electrodinamic are conectat în locul rezistenţei adiţionale o inductanţă adiţională (L) sau o capacitate adiţională (Ca) care va produce decalajul ψ între curenţii din cele două bobine.
Receptorul, de impedantă Z introducând un defazaj φ în circuit, inductanţa sau capacitatea adiţională la rândul său defazează curentul I2 cu
2π în urma
(înaintea) tensiunii. Defajazul între cei doi curenti: ( ) ϕ−=Ψ=Ψ+ϕ=Ψ oo
21 90si90:fivaI,I (13.105) Deviaţia α a aparatului va avea expresia: ( ) QKsinUIK90cosUI
ZKcosIKI QQ
o
v21 =ϕ=ϕ−=Ψ=α (13.106)
adică deviaţia α este proporţională cu puterea reactivă din circuit (KQ este constanta varmetrului electrodinamic).
Fig. 13.32
173
Fig. 13.33 Varmetre electrodinamice
13.4.3. Măsurarea puterilor active şi reactive în circuite trifazate
13.4.3.1 Teorema generalizată (Blondel) a măsurării puterilor active şi
reactive prin metoda celor n şi n-1 wattmetre şi varmetre Se consideră cazul general al unui receptor constituit din impedanţe liniare,
bilaterale, formând o reţea cu ochiuri care comportă n noduri, alimentată printr-un circuit polifazat cu n conductoare.
Puterea aparentă complexă totală S este egală cu suma puterilor aparente date de potenţialele nodurilor cu curenţii de linie n21 I...,,I,In21 V...,,V,V :
*
nn*KK
*22
*11 IV......IV......IVIVS +++++= (13.107)
Dacă se consideră un punct N de un potenţial oarecare (figura 13.34b)
notând cu nNN2N1 U...,,U,U tensiunile auxiliare de fază, expresia puterii aparente complexe se poate scrie:
*
nnN*KKN
*2N2
*1N1 IU......IU......IUIUS +++++= (13.108)
Deoarece puterea activă P este partea reală a puterii aparente complexe,
rezultă:
( ) ( )=+++++== *nnN
*KKN
*2N2
*1N1 IU......IU......IUIUReSReP
( ) ( ) ( ) ...IUcosIU......I,UcosIUI,UcosIU KKNKKN2N22N21N11N1 ++++= (13.109)
( ) nK21nnNnnN P......P......PPI,UcosIU... +++++=+
174
Deoarece puterea reactivă Q este partea imaginară a puterii aparente complexe rezultă:
Fig. 13.33
Fig. 13.34 Circuit polifazat cu “n” conductoare (a) şi tensiunile
auxiliare de fază U1N, U2N, …, UnN (b) ( ) ( ) ( )+=+++++== 1N11N1
*nnN
*KKN
*2N2
*1N1 I,UsinIUIU......IU......IUIUImSImQ
(13.110) ( ) ( ) ( ) nK21nnNnnNKKNKKN2N22N2 Q...Q...QQI,UsinIU......IUsinIU......IUsinIU +++++=+++++
Relaţiile (13.109) şi (13.110) se numesc expresiile cu n termeni ale puterii
active respectiv reactive, într-un circuit polifazat cu n conductoare. Observaţii: 1. Puterea activă P, respectiv puterea reactivă Q, totală, într-un circuit
polifazat este egală cu suma a n puteri active, respectiv reactive monofazate date
175
de diferenţele de potenţial (tensiunile auxiliare de fază) U1N, U2N,… UnN, între cele n conductoare şi un punct arbitrar ales, N, de potenţial oarecare, cu curenţii de linie I1, I2,… In.
2. Puterea activă P, respectiv reactivă Q într-un circuit polifazat cu n conductoare se poate măsura prin metoda celor n wattmetre respectiv varmetre, montate ca în figura 13.35 şi anume: bobinele de curent ale aparatelor se montează în serie pe fiecare fază, respectând polaritatea; circuitele de tensiune se conectează cu borna polarizată la acelaşi conductor la care se află şi borna polarizată de curent, cealaltă extremitate fiind legată la punctul comun N.
3. Dacă P1, P2,… Pn, respectiv Q1, Q2,… Qn sunt indicaţiile celor n wattmetre, respectiv varmetre, suma P=P1+P2+…+Pn reprezintă puterea activă totală, iar suma Q=Q1+Q2+…+Qn puterea reactivă totală. De remarcat că unele indicaţii pot fi în sens contrar gradaţiilor scării aparatelor (pentru wattmetre când defazajul ( ) 2/esteIU KKN π+> , iar pentru varmetre când curentul IK este defazat înaintea tensiunii UKN). Pentru citirea indicaţiilor se inversează legăturile la circuitul de tensiune, iar puterea se consideră cu semnul minus.
4. Dacă se alege ca punct de referinţă una dintre faze rezultă KN ≡ , tensiunile auxiliare devenind tensiunile de linie ale circuitului:
( )nNnNKKKNK2N2K1N1 UU;0UU;......;UU;UU =====
Relaţiile (13.109) şi (13.110) devin:
( ) ( ) ( )nnKnnK2K22K21k11K1 IUcosIU......IUcosIUIUcosIUP +++= (13.111)
( ) ( ) ( )nnKnnK2K22K21K11K1 IUsinIU......IUsinIUIUsinIUQ +++= (13.112) Relaţiile (13.111) şi (13.112) se numesc expresiile cu n-1 termen ai puterii
active, respectiv reactive, într-un circuit polifazat cu n conductoare.
176
Fig. 13.35 – Metoda celor n wattmetre (varmetre) pentru măsurarea puterii
active (reactive) într-un circuit polifazat cu n conductoare Deci, puterea activă, respectiv reactivă, se va putea măsura şi prin metoda
celor n-1 wattmetre, respectiv varmetre, conectate ca în figura 13.36, renunţându-se la aparatul de pe faza de referinţă deoarece 0UKK = (bobinele de curent în serie pe fazele 1, 2,… K-1, K+l, -n iar circuitele de tensiune se alimentează cu diferenţele de potenţial între diversele conductoare şi faza K de referinţă). Evident, există n variante ale metodei celor n-1 aparate, deoarece ca fază de referinţă se poate alege oricare conductor.
Fig. 13.36 Metoda celor n-1 wattmetre (varmetre)
177
5. Metodele celor n şi n-1 aparate sunt valabile indiferent de gradul de nesimetrie al tensiunilor de alimentare a circuitului polifazat şi de gradul de dezechilibru al curenţilor de linie.
6. Numărul n-1 reprezintă numărul minim de aparate care poate fi folosit pentru măsurarea P şi Q într-un circuit polifazat cu n conductoare. Numărul n reprezintă numărul maxim de aparate care are sens să fie utilizat.
7 În funcţie de punctul N ales arbitrar, puterile monofazate P1, P2,…, Pn; Q1, Q2…, Qn pot să varieze; suma lor însă rămâne mereu constantă deoarece reprezintă puterea totală activă sau reactivă absorbită de receptor.
8. În cazul simetriei totale a circuitului, indicaţiile celor n wattmetre sau varmetre, (presupuse identice) devin egale, astfel incât poate fi păstrat un singur aparat; pentru determinarea puterii totale se multiplică indicaţia acestuia cu n.
13.4.3.2. Măsurarea puterilor active într-un circuit trifazat fără conductor
neutru Conform teoremei generalizate, Blondel, puterea activă într-un circuit
trifazat fără conductor neutru, deci cu trei conductoare, se poate măsura prin metoda celor n=3 sau n-1=2 wattmetre.
Metoda celor trei wattmetre Admitem: a) tensiunile de alimentare formează un sistem nesimetric (U12≠U23≠U31)
deci, în planul topografic al potenţialelor, triunghiul tensiunilor de linie rezultă oarecare;
b) curenţii de linie formează un sistem dezechilibrat (I1≠I2≠I3); c) nu se precizează natura sau conexiunile receptorului. Expresia cu n=3 termeni a teoremei generalizate Blondel pentru măsurarea
puterii active este:
( ) ( ) ( ) 3213N33N32N22N21N11N1 PPPIUcosIUIUcosIUIUcosIUP ++=++= (13.113) Din această relaţie rezultă schema de montaj a celor trei vattmetre.
178
Figura 13.37 Metoda celor trei wattmetre pentru măsurarea puterii active în
circuite trifazate. Punctul N poate ocupa în planul topografic al potenţialelor următoarele
poziţii: a) în exteriorul triunghiului tensiunilor de linie, dacă N primeşte artificial
din exterior un anumit potenţial (figura 13.38a); b) în interiorul triunghiului, într-o poziţie oarecare în funcţie de rezistenţele
circuitelor de tensiune ale wattmetrelor, dacă Rwu1≠Rwu2≠Rwu3 (fig. 13.38b) dacă N este lăsat liber;
c) în centrul de greutate al triunghiului, N≡G, dacă circuitele de tensiune ale wattmetrelor au rezistenţele egale (Rwu1=Rwu2=Rwu3) (fig. 13.38).
Fig. 13.38 Diagrame fazoriale ale circuitului din fig. 13.37
179
Observaţie: Valoarea maximă a tensiunilor U1N, U2N, U3N care se aplică circuitelor de
tensiune ale celor trei wattmetre poate fi tensiunea de linie a circuitului trifazat (se vor alege deci corespunzător domeniile de măsurare ale wattmetrelor).
Metoda unui singur wattmetru Admitem : a) tensiunile de alimentare formează un sistem simetric U12=U23=U31=U
deci în planul topografic al potenţialelor, triunghiul tensiunilor de linie este echilibrat (fig. 13.39);
b) curenţii de linie formează un sistem echilibrat (I1=I2=I3=I); c) deoarece punctul comun al circuitelor de tensiune, aplicând metoda celor
trei wattmetre, rezultă în centrul de greutate al triunghiului, tensiunile auxiliare de fază U1N, U2N, U3N se confundă cu tensiunile stelate ale distribuţiei trifazate simetrice E1, E2, E3. Tensiunile stelate formează un sistem simetric E1=E2=E3=E;
d) defazajele dintre tensiunile stelate de fază şi curenţii de linie sunt egale: ( ) ( ) ( ) ϕ=== 332211 IEIEIE (13.114)
Fig. 13.39 Diagrama fazorială pentru: Fig. 13.40 Metoda unui singu
wattmetru pentru măsurarea puterii active
a) U12=U23=U31=U; b) I1=I2=I3=I.
180
În condiţiile admise, puterile indicate de cele trei wattmetre (aplicând
metoda celor trei wattmetre) sunt egale şi relaţia:
( ) ( ) ( )3N33N32N22N21N11N1 IUcosIUIUcosIUIUcosIUP ++= (13.115) devine:
( )1111 IEcosIE3cosEI3cosEIcosEIcosEIP =ϕ=ϕ+ϕ+ϕ= (13.116) Deci, puterea activă trifazată poate fi măsurată cu un singur wattmetru cu
condiţia de a se conserva ansamblul celor trei rezistenţe egale, în scopul creării unui punct neutru artificial N, situat în centrul de greutate al triunghiului.
Rezultă montajul cu un singur wattmetru (fig. 13.40) în care Rwu este rezistenţa circuitului său de tensiune, iar Ra, şi R=Ra+Rwu sunt trei rezistenţe adiţionale pentru crearea punctului neutru N. Dacă P1 este indicaţia acestui wattmetru, puterea activă trifazată va fi: ϕ== cosUI3P3P 1 (13.117)
Observaţii: 1. Metoda unui singur wattmetru nu se aplică la măsurarea puterii
microreceptoarelor (prezenţa aparatului pe una din faze produce o nesimetrie a sistemului de tensiuni aplicat receptorului).
2. Dacă punctul neutru al receptorului este accesibil (sarcina simetrică montată în stea) wattmetrul poate fi conectat cu borna nepolarizată la acest punct neutru, rezistenţele auxiliare nemaifiind necesare (fig. 13.41).
3. Măsurarea puterii cu wattmetrul montat indirect, prin intermediul transformatoarelor de măsură, se realizează conform schemei din fig. 13.42.
4. Wattmetrele monofazate montate permanent (de tablou) în circuitele trifazate echilibrate după schemele din figurile 13.41 şi 13.42 au de obicei scara gradată astfel încât să indice direct puterea activă trifazată.
181
Fig. 13.41 Montajul wattmetrului Fig. 13.42 Montajul indirect
al unui pentru receptor cu nulul accesibil wattmetru pentru măsurarea puterii într-un circuit trifazat
13.4.3.3. Măsurarea puterii active într-un circuit trifazat cu conductor
neutru Conform teoremei lui Blondel pentru măsurarea puterii active se pot adopta
metodele celor patru şi trei wattmetre (la care se alege ca fază de referinţă conductorul neutru). Expresia cu n=4 termeni a teoremei lui Blondel rezultă:
( ) ( ) ( ) ( )OONOON3N33N32N22N21N11N1 IUcosIUIUcosIUIUcosIUIUcosIUP +++= (13.118)
Din relaţia de mai sus rezultă modul de conectare a celor patru wattmetre
(fig. 13.43) şi diagrama fazorială din fig. 13.44.
182
Fig. 13.43 Metoda celor patru Fig. 13.44 Diagrama fazorială
wattmetre schemei din fig. 13.43. Expresia cu n-1=3 termeni a teoremei lui Blondel rezultă: ( ) ( ) ( 330330220220110110 IUcosIUIUcosIUIUcosIUP ++= ) (13.119) Rezulta deci modul de conectare a celor trei wattmetre (figura 13.45) şi
diagramele fazoriale corespunzând cazului prezenţei, respectiv absenţei impedanţei pe conductorul neutru (fig. 13.46 şi 13.47).
Receptorul, în cazul acestor circuite, este de regulă montat în stea şi nu conţine impedanţa pe conductorul neutru, astfel încât cele trei wattmetre din fig. 13.45 măsoară fiecare puterea consumată pe faza respectivă. Puterea totală a circuitului este dată de suma indicaţiilor celor trei wattmetre:
(13.120) Indicaţiile wattmetrelor sunt întotdeauna pozitive oricare ar fi dezechilibrul
curenţilor, nesimetria tensiunilor şi caracterul sarcinii. În scopul măsurării directe a puterii active trifazate dată de expresia
(13.120) se folosesc wattmetre trifazate cu câte trei sisteme active având bobinele de tensiune fixate pe un ax comun care, fiind acţionat de toate cele trei cupluri active, produce o deviaţie proporţională cu puterea totală consumată în circuit (figura 13.48).
321 PPPP ++=
183
Fig. 13.45 Metoda celor
trei wattmetre
Fig. 13.46 Diagrama fazorială; în cazul unei
impedanţe pe conductorul neutru
Fig. 13.47 Diagrama fazorială în cazul
absenţei impedantei pe conductorul neutru
184
86
Fig. 13.48
13.5. Măsurarea energiei electrice.
Energia electrică este integrala puterii electrice efectuată într-un anumit interval de timp. Energia activă este exprimată de relaţia:
(13.121)
în care P este puterea activă a receptorului, iar energia reactivă prin expresia analoagă:
(13.122)
în care Q este puterea reactivă. Din relaţiile (13.121) şi (13.122) reiese că aparatele destinate măsurării
energiei electrice numite contoare de energie, trebuie să conţină unul sau mai multe sisteme active care să producă un cuplu activ proporţional cu puterea activă sau reactivă şi un dispozitiv integrator care să efectueze integrarea în timp a acestor puteri.
O primă clasificare a contoarelor de energie se face în funcţie de mărimea măsurată. Din acest punct de vedere deosebim contoare de energie activă, de energie reactivă şi de cantitate de electricitate.
După principiul de funcţionare, se deosebesc contoare electrodinamice, de inducţie, magnetoelectrice şi electrolitice. În circuitele de curent continuu sunt utilizate numai contoarele de tip electrodinamic. În circuitele de curent alternativ se utilizează exclusiv contoare de inducţie. Pentru anumite condiţii particulare de funcţionare a receptorului sunt folosite celelalte tipuri constructive de contoare de energie electrică.
∫=2
1
t
t
,PdtW
∫=2
1
t
tr ,QdtW
13.5.1. Măsurarea energiei electrice active în circuitele de curent alternativ
13.5.1.1. Contorul monofazat de inducţie Constructiv, contorul monofazat de inducţie se compune dintr-un dispozitiv
wattmetric de inducţie, a cărui cuplu este proporţional cu puterea activă şi dintr-un mecanism integrator cu roţi dinţate care însumează în timp puterea activă permiţând determinarea energiei active. Contorul posedă doi electromagneti de curent alternativ (fig. 13.49); electromagnetul de curent E1 şi electromagnetul de tensiune E2. Cei doi electromagneţi sunt dispuşi în plane paralele.
Înfăşurarea electromagnetului de curent E1 este conectată în serie cu receptorul a cărui energie se va măsura şi este parcursă de curentul I. Infăşurarea electromagnetului E2 se conectează în serie cu o rezistenţă adiţională şi circuitului i se aplică tensiunea de la bornele receptorului.
În întrefierul electromagneţilor E1 şi E2 se roteşte discul de aluminiu dispus pe un ax care la extremitatea inferioară se roteşte într-un lagăr cu pietre preţioase, iar la extremitatea superioară se află un lagăr de ghidare. Axul pe o mică porţiune antrenează mecanismul integrator format dintr-un sistem de roţi dinţate cu raport de transmisie reglabil.
Fig. 13.49
Cuplul rezistent este creat de magnetul permanent MP între polii căruia se
roteşte discul de aluminiu. Electromagneţii E1 şi E2 dau naştere la două fluxuri φ1 şi φ2 care induc în discul de aluminiu curenţii turbionari i1 şi i2. Datorită interacţiunii între φ1 şi i2 şi respectiv între φ2 şi i1 ia naştere cuplul activ.
87
Modelul constructiv simplificat cu două fluxuri descris mai sus va fi folosit pentru descrierea teoriei contorului monofazat de inducţie. Se consideră fluxurile utile în întrefierul electromagneţilor de curent şi de tensiune defazate în timp cu unghiul ψ.
( )Ψ−ωΦ=ϕωΦ=ϕ tsin2;tsin2 2211 (13.123)
Dacă se neglijează pierderile în fier se poate considera fluxul 1Φ , creat de
electromagnetul E1, în fază cu I .l (curentul care parcurge înfăşurarea
electromagnetului de curent), iar fluxu 2Φ în fază cu uI (curentul care parcurge înfăşurarea electromagnetului de tensiune). Curentul uI este defazat cu un unghi β în urmă faţă de tensiunea aplicată U datorită reactanţei inductive a circuitului electromagnetului de tensiune. Unghiul β poartă denumirea de defazaj intern al contorului.
Fig. 13.50
În figura 13.50 este prezentată diagrama fazorială idealizată, adică în
condiţiile în care pierderile în fier sunt neglijabile. Se detaşează din masa discului de aluminiu două secţiuni circulare S1 şi S2
cu raza egală cu distanţa dintre cei doi electromagneţi şi de lăţime egală cu lăţimea polului electromagneţilor. Vom considera, pentru simplificare, că circuitele prin care se închid, prin discul de aluminiu, curenţii turbionari induşi de cele două fluxuri utile φ1 şi φ2 (care sunt decalate în spatiu şi defazate în timp) corespund cu cele două secţiuni circulare S1 şi S2.
Fluxul φ1 produce în inelul S1 o t.e.m. de inducţie:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−ωΦω=ωΦω=ϕ
−=2
tsin2tcos2dt
du 111
1e (13.124)
88
Fluxul φ2 produce în inelul S2 o t.e.m. de inducţie:
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+Ψ−ωΦω=Ψ−ωΦω=ϕ
−=2
tsin2tcos2dt
du 222
2e (13.125)
Tensiunile electromotoare de inducţie ue1 şi ue2 vor produce în inelele S1 şi
S2 curenţii i1 şi i2:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−ω=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−ωΦω
==2
tsin2I2
tsin2rr
ui 11
1
1
1e1 (13.126)
în care cu r1 s-a notat rezistenţa inelului S1:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+Ψ−ω=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+Ψ−ωΦω
==2
tsin2I2
tsin2rr
ui 22
2
2
2e2 (13.127)
S-a considerat reactanţa inelului S1 respectiv S2 neglijabilă faţă de
rezistenţa inelului şi deci curenţii i1, i2 vor fi în fază cu tensiunile electromotoare respective.
După cum s-a arătat, din interacţiunea fluxurilor cu aceşti curenţi ia naştere cuplul activ care roteşte discul contorului.
Astfel, sectorul circular S1 parcurs de curentul i1 când se sflă în dreptul polului electromagnetului de tensiune E2 este supus forţei instantanee f2 iar inelul S2 parcurs de curentul i2 când se află în dreptul polului electromagnetulul de curent E1 este supus forţei instantanee f1.
Dacă pentru fluxurile φ1 şi φ2 se adoptă sensurile pozitive din figura (13.51), curenţii turbionari induşi vor avea sensurile date de regula burghiului drept.
Dacă notăm suprafeţele polilor electromagneţilor cu Σ1 respectiv Σ2, atunci valoarea instantanee a inducţiei în întrefierul electromagnetului de curent E1, va fi:
tsin2b
1
1
1
11 ω
ΣΦ
=Σϕ
= (13.128)
iar valoarea instantanee a inducţiei în întrefierul electromagnetului de
tensiune E2 va fi: ( Ψ−ω
Σ)Φ
=Σϕ
= tsin2b2
2
2
22 (13.128’)
89
Valoarea instantanee a forţei f1 este:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−Ψ−ω−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ΨΦ=ϕ==2
t2cos2
cosIKiKblif 21'112
'11121 (13.129)
unde
1
1'1
lKΣ
= iar l1 este lungimea inelului S2, care intră sub polul
electromagnetului E1.
Fig. 13.51
Se constată că forţa instantanee are o componentă de frecvenţă dublă faţă
de frecvenţa tensiunii de alimentare. Discul de aluminiu având inerţie mare nu poate urmări variaţiile
componentei alternative a forţei şi asupra sa va acţiona un cuplu creat de valoarea medie a acestei forţe:
( )
( )21211211
T
o21
'121
T
o21
'121
'111
sinKsinK2
cosIKI,cosIKdtiKT1dtf
T1F~
ΦΦΦΦ−=ΨΦΦ−=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ΨΦ=ΦΦ=ϕ== ∫ ∫ (13.130)
unde
12
11 r
lKΣω
= iar semnul (-) arată că în realitate forţa are sens contrar celui
indicat în figură pentru f1. S-a avut în vedere că
1F~
2
22 r
I Φω= .
Similar se determină forţa f2: (13.131)
iar: 21
'22212 iKblif ϕ==
90
( )
( )2121221212'2
T
o
T
o1212
'221222
sinKsinK2
cosIK
IcosIKdtiKT1dtf
T1F~
ΦΦΦΦ=ΦΦΦ=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Ψ−π
Φ=
=ΦΦ=ϕ== ∫ ∫ (13.132)
unde s-a întâlnit expresia curentului turbionar
1
11 r
I Φω= .
Forţele şi au aceeaşi direcţie şi sens iar valoarea medie a forţei totale care acţionează asupra ansamblului inelelor considerate este:
1F~ 2F~
( ) ( ) ΨΦΦ=ΦΦΦΦ+=+= sinKsinKKFFF~ 21321212121 (13.133) şi tinde să rotească discul în sensul de la fluxul defazat înainte Φ1 la fluxul
defazat în urmă Φ2. Cuplul activ pe care-1 produce forţa F~ este: ( )21214214a sinKsinKRF~M ΦΦΦΦ=ΨΦΦ=⋅= (13.134)
Cuplul activ este proporţional cu produsul fluxurilor (valori efective) şi
sinusul unghiurilor dintre ele. Pentru a construi din acest dispozitiv un contor pentru putere activă trebuie
ca Ma să fie proporţional cu puterea activă. Deoarece fluxul în întrefierul electromagnetului de curent Φ1 este
proporţional cu curentul I care circulă prin receptor iar fluxul Φ2 este proporţional cu tensiunea U la bornele receptorului, se obţine pentru cuplul activ expresia:
( )ϕ−β=Ψ= sinUIKsinUIKM 55a (13.135)
Pentru a se obţine proporţionalitatea dintre cuplul activ şi puterea activă
este necesară realizarea unui defazaj intern β=90°. Rezultă că: ( ) PKcosUIK90sinUIKM 555a =ϕ=ϕ−= o (13.136)
Obţinerea lui β=90° se numeşte reglajul la 90° a contorului. Observaţii referitoare la demonstraţie. 1. S-au presupus detaşate din masa discului numai două inele şi s-au
calculat forţele la care sunt supuse aceste inele când se află în câmpul electromagneţilor de curent şi tensiune.
91
Dacă inelele se depărtează datorită rotaţiei şi părăsesc poziţia din figură ele nu se vor mai situa sub influenţa polilor şi deci forţele ce acţionează asupra lor sunt nule.
În realitate discul poate fi considerat ca fiind alcătuit dintr-o infinitate de inele, astfel încât în fiecare moment pânze de curenţi turbionari de formă circulară interacţionează cu fluxul produs de electromagneţi şi dau naştere cuplului activ.
2. La construcţiile existente în practică, dispozitivul de inducţie prezintă trei fluxuri (fluxul electromagnetului de curent Φ1, intersectează de două ori discul) şi nu numai două fluxuri cum s-a considerat în demonstraţia teoretică a expresiei cuplului activ. Se poate arăta că formula (13.136) rămâne valabilă şi pentru dispozitivul cu trei fluxuri. În figura (13.52) sunt reprezentate schemele constructive ale dispozitivului: cu trei fluxuri.
1. electromagnet de curent 4. contrapol 2. electromagnet de tensiune 5. coloane laterale (a), şunt magnetic (b) 3. disc 6. magnet permanent
Fig. 13.52 Dispozitivul cu trei fluxuri 3. Dacă se au în vedere pierderile în fier din miezurile electromagneţilor şi
din disc atunci în diagrama fazorială fluxurile 1Φ şi 2Φ deşi proporţionale cu curenţii I şi uI care le-au produs sunt defazate faţă de aceştia cu unghiurile α1 şi respectiv α2 (fig. 13.53). Relaţia care exprimă cuplul activ devine:
( )15a sinUIKM α−ϕ−β= (13.137)
Prin reglajul la 90° trebuie ca defazajul β să atingă valoarea β=90°+α1 şi
astfel cuplul activ devine proporţional cu puterea activă. Cuplul rezistent Mr este produs de magnetul permanent printre polii căruia
trece discul de aluminiu. Se poate demonstra că Mr produs de magnetul permanent este proporţional cu viteza unghiulară a discului:
92
NKdtdKM 7
2M6r ⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ α
Φ= (13.138)
unde:
ΦM - este fluxul produs de magnetul permanent MP; (dα/dt) - este viteza unghiulară a discului; N - reprezintă numărul de rotaţii pe secundă pe care le efectuează discul. La echilibrul acestor cupluri, deci când suma algebrică a momentelor este
nulă şi discul se mişcă uniform, cu viteză unghiulară constantă, rezultă: (13.139)
NKPK 75 =
NKKP
5
7= (13.140)
Integrând puterea activă în timpul t se obţine energia consumată:
nK1n
KKNdt
KKPdtW
5
7t
o5
7t
o
==== ∫∫ (13.141)
unde n reprezintă numărul de rotaţii efectuate de disc în timpul considerat iar K este constanta contorului care este înscrisă pe contor sub forma lkWh=K rotaţii ale discului.
Deci, energia pe care o măsoară contorul monofazat de inducţie este proporţională cu numărul de rotaţii pe care-1 efectuează discul contorului în timpul considerat.
Fig. 13.53 Diagrama fazorială a contorului cu luarea în consideraţie a
pierderilor în fier. Pragul de sensibilitate S a contorului este dat de relaţia:
93
[%]100P
PSn
min= (13.142)
unde Pmin este puterea activă minimă la care contorul începe să se rotească iar Pn este puterea nominală. Pentru U=Un, f=fn şi cosφ=1, sensibilitatea este:
[ %100100
IIS
n
min= ] (13.143)
Faţă de funcţionarea studiată simplificat în realitate există influenţe
suplimentare care pot produce erori importante dacă nu sunt compensate în mod corespunzător.
Influenţa frecărilor La sarcini reduse cuplul activ scade şi încep să conteze frecările în lagăre şi
mecanismul înregistrator. O primă măsură pentru reducerea cuplului de frecări constă în utilizarea unor lagăre speciale. De asemenea, constructorul prevede dispozitive de compensare a cuplului de frecări care funcţionează pe baza producerii unei nesimetrii în circuitul magnetic al electromagnetului de tensiune. Se obţine un flux suplimentar de compensare decalat în spaţiu şi defazat în timp faţă de fluxul Φ2 şi din interacţiunea dintre aceste două fluxuri se produce un cuplu suplimentar care acţionează în acelaşi sens cu cuplul activ. Nesimetria fluxului electromagnetului de tensiune care intersectează discul se poate obţine fie cu ajutorul unor spire în scurtcircuit, fie prin introducerea parţială sub pol a unei plăcuţe din material neferomagnetic, fie prin aşezarea lângă pol a unei piese din material feromagnetic.
Fig. 13.54 Procedee de creare a cuplului de compensare
a) cu spire în scurtcircuit; b) cu placă neferomagnetică parţial în întrefier; c) cu piesă din material feromagnetic.
Datorită faptului că cuplul de frecări scade în timp şi pe de altă parte
datorită faptului că la valori ale tensiunii mai mari ca Un cuplul suplimentar
94
creşte este posibil ca discul contorului să se rotească şi deci contorul să înregistreze o energie chiar dacă electromagnetul de curent nu este alimentat (curentul de sarcină este nul). Pentru oprirea mersului în gol sunt prevăzute două lamele din material feromagnetic (9 şi 10, fig. 13.55): lamela montată pe miezul electromagnetulul de tensiune este magnetizată de fluxul de scăpări al acestuia şi atrage lamela fixată de axul contorului când ajunge în dreptul ei, reţinând-o şi oprind mersul în gol.
1. electromagnet de curent 2. electromagnet de tensiune 3. disc 4. spire în scurtcircuit 5. şurub de reglaj al rezistenţei spirelor în scurtcircuit 6. magnet permanent 7. şurub de reglare a poziţiei magnetului permanent 8. şurub reglabil 9, 10 lamele
Fig. 13.55 Detaliile constructive ale contorului monofazat de inducţie
Influenţele exterioare Influenţele exterioare sunt datorate temperaturii şi câmpurilor magnetice.
Variaţiile temperaturii produc variaţii ale rezistenţei discului, ale fluxului magnetului permanent şi ale rezistenţei bobinei de tensiune.
Primul efect este practic fără importanţă deoarece produce variaţia în aceeaşi măsură a cuplurilor activ şi de frânare. Scăderea fluxului magnetului permanent cu creşterea temperaturii produce erori pozitive care, la unele contoare, se compensează prin utilizarea unor şunturi termomagnetice dispuse pe magnetul permanent. Variaţia rezistenţei bobinei de tensiune a contorului face să se modifice unghiul β deci să apară erori care pot avea valori diferite în
95
funcţie de unghiul de defazaj al curentul de sarcină. Influenţa câmpurilor magnetice exterioare este redusă, contorul fiind închis de obicei în carcasă de tablă de oţel. Influenţa altor factori ca frecvenţa, tensiunea şi încălzirea proprie se reduce prin dimensionarea convenabilă a miezurilor şi înfăşurărilor celor doi electromagneţi ai contorului, trebuind ca în anumite limite de variaţie să nu depăşească unele valori prescrise de standarde (STAS 4198-68).
Influenţa regimului deformant Regimul deformant este specific subsistemelor electroenergetice datorită
numeroaselor elemente deformante pe care le conţine şi influenţează asupra indicaţiei contoarelor de inducţie. Cauzele erorilor contorului de inducţie în regimul deformant sunt: dependenţa de frecvenţă a inducţiilor utile şi prezenţa armonicelor în fluxurile utile din întrefierul electromagneţilor cu urmările ce decurg privind forţele ponderomotoare.
Erorile în regim deformant, în anumite condiţii, depăşesc cu mult limitele impuse de clasa de precizie a aparatului (atingând valori de 10-20%). În condiţiile existenţei unor unde pronunţat distorsionate se folosesc contoare digitale.
Toate influenţele menţionate asupra indicaţiilor contorului au ca rezultat final erori de înregistrare a energiei care trebuiesc reduse la minimum posibil.
Eroarea unui contor de energie se defineşte prin relaţia: 100
WWW% m −
=ε (13.144)
în care Wm este energia înregistrată de contor iar W este energia real consumată de receptor.
Datele caracteristice ale unui contor sunt: tensiunea nominală Un, curentul nominal Iu, frecvenţa nominală fn, curentul de suprasarcină, constanta contorului, clasa de precizie, consumurile proprii ale circuitelor sale şi sensibilitatea (curentul de demaraj). Clasele de precizie sunt 2 şi 2,5 dar pentru scopuri metrologice se construiasc şi contoare de clasă 1,0. Consumul propriu al circuitelor contorului este 0,5-3W (2-12VA) fiind mai mic pentru bobinele de curent decât pentru cele de tensiune. Curentul de pornire (curentul la care discul începe să se rotească) este de 0,3-0,5% din curentul nominal.
13.5.1.2. Contoare trifazate
Măsurarea energiei active în circuitele trifazate se poate efectua fie cu
contoare monofazate, fie cu contoare trifazate. În primul caz, utilizat mai rar, se folosesc două sau trei contoare monofazate montate după schema celor două,
96
respectiv trei wattmetre la măsurarea puterii active, energia totală obţinându-se prin însumarea energiilor înregistrate de fiecare contor separat.
Contoarele trifazate reunesc într-un acelaşi aparat două sau trei sisteme active (fiecare având câte un electromagnet de curent şi unul de tensiune) ale căror cupluri active acţionează asupra aceluiaşi ax, astfel încât cuplul activ total este proporţional cu puterea activă trifazată, iar contorul măsoară energia trifazată.
În circuitele trifazate fără conductor neutru sunt utilizate contoare cu două sisteme active care acţionează fie separat asupra câte unui disc fixat pe acelaşi ax, fie asupra unui disc comun (mai rar). Montarea celor două sisteme active în circuit este executată după metoda celor două wattmetre (fig. 13.56.a). În circuitele trifazate cu conductor neutru se utilizează contoare cu trei sisteme active montate după schema celor trei wattmetre (fig. 13.56.b) şi care acţionează asupra a două sau trei discuri fixate pe acelaşi ax.
a) b)
Fig. 13.56 Conectarea contorului trifazat de energie activă a) Contor cu două sisteme pentru măsurarea energiei active într-un
circuit trifazat fără conductor neutru. W=W1+W2 b) Contor cu trei sisteme de măsurare a energiei active intr-un circuit
trifazat cu conductor neutru W=W1+W2+W3 În cazul când curentul sau tensiunea de utilizare depăşesc valorile nominale
pentru care se construiesc contoarele, acestea se montează în circuitele secundare ale transformatoarelor de măsură (fig. 13.57 a şi b).
97
Fig. 13.57 Conectarea indirectă a contorului trifazat de energie activă
La executarea montajelor contoarelor, atât direct cât mai ales prin
intermediul transformatoarelor de măsură, se urmăreşte realizarea corectă a schemei, excluzându-se posibilitatea de conexiuni greşite, care introduc erori greu de detectat după punerea în funcţiune a instalaţiei. La montarea indirectă a contoarelor trifazate de energie activă se pot comite următoarele erori de montaj:
- se inversează legăturile la bobina de curent a primului sistem de măsură; - se întrerupe faza a doua de tensiune prin arderea siguranţei fuzibile de pe
faza a doua a transformatorului de tensiune. Se poate efectua un calcul ulterior al energiei consumate în reţeaua cu
contorul montat greşit, pe baza unui factor de corecţie. Acest calcul este dificil de făcut şi de aceea este necesară executarea corectă a montării contorului în schema indirectă.
98
RASPUNSURI Nr. Crt
INTREBARI a b c
1. Completati relatia de mai jos care exprima forma integrala a legii fluxului electric: _ _ Ψ ∫∫=∑ D dA= ? (C)
Σ
0
ρv
qΣ
2. Indicati termenul din membrul drept al expresiei fluxului magnetic ce strabate o suprafata inchisa: _ _ Φ ∫∫=∑ B dA= ? (Wb)
Σ
I
0
_ J
3. Precizati semnul operatorului matematic in termenul 1 al relatiei de mai jos,care exprima forma integrala a legii conductiei in cazul unei laturi de circuit receptoare,active,in regim stationar(sursa cedeaza energie laturii): e ? ub = R⋅ i (v)
+
±
-
4. Este corecta relatia: - e - ub = R⋅ i (v)
da nu da, pentru laturi gen. pasive
5. Expresiile: _ _ B = μ ⋅ H (T) _ _ D = ε E (c/m2) exprima:
legatura dintre mediile electrice si magnetice,liniare
si neliniare
relatiile de calcul pentru
_
H si _
D in corpurile
magnetizate, respectiv electrizate
neliniare
Liniaritatea mediilor magnetice ,respectiv
electrice,ca forme tehnice ale legilor
magnetizatiei,respectiv polarizatiei temporare
6. Modificati relatia Ē =+ grad v ,forma locala a teoremei potentialului electric stationar,astfel incat sa rezulte pentru tensiune formula: U12=V1-V2 folosind:
semnul minus
operatorul „div”
operatorul „rot”
7. Incercuiti marimile de stare I(V); D(C/m2); I(A); D(C); B(Gs); I(A); D(C/m2); B(T);
primitive si derivate de mai jos pentru care UM sunt corecte: Obs. Se acorda punctaj numai daca toate raspunsurile sunt corecte.
B(T); E(V/m); U(Wb);
)(AΦ ; )(Ωρ ; )( mR Ω ; H(A/m) ; q(Cm)
E(V); U(V); )(WbΦ ; )( mΩρ ;
)(SR ; H(Am) ; q(C)
E(V/m); U(V); )(WbΦ ; )( mΩρ ; )(ΩR ;
H(A/m) ; q(C)
8. Precizati rolul curentului de deplasare din legea circuitului magnetic (forma integrala): ummr=θsΓ +
explica fenomenul de propagare a
campului electromagnetic
explica trecerea curentului variabil in
timp printr-un condensator electric
ambele situatii, a si b
tSr
∂∂ψ
9. Polarizati sursa de t.e.m. din latura de circuit receptoare si activa din figura (regim stationar),astfel incat sa cedeze energie circuitului: e+uAB=R⋅i A (+) R uAB e (-) B
cu semnul „+” la baza sagetii
cu semnul „-” la baza sagetii
semnul este indiferent
•
- +
•
10. In expresia locala a legii conductiei electrice,corectati
inlocuind pe σ cu μ
inlocuind pe σ cu ε
inlocuind pe σ cu ρ
marimea de stare gresita: _ Ē +Ēi=σ J
11. In relatia urmatoare,care exprima legea transformarii energiei in conductoare (forma locala),sursa de t.e.m. cedeaza sau preia energie de la latura de circuit? pj=ρ J2+ Ēi (W/m3)
_ cedeaza (Ēi J>0 )
_ preia (Ēi J<0)
sursa nu are implicatii asupra bilantului
energetic al laturii
J 12. Care este semnul corect in relatia
de mai jos care exprima forma integrala a legii conservarii sarcinii electrice:
dtdqi Σ
Σ ±= (A)
i K Q ≠0 (+) i∑
C R
Semnul “+” pentru ca iΣ iese din suprafata Σ
Semnul “-“ pentru ca scade cantitatea de
sarcina din suprafata Σ pe măsură ce
condensatorul se descarcă
Semnul este corect cu sarcina armaturii
0
(-)
13. Forma corecta a legii inductiei electromagnetice in expresia integrala, pentru medii imobile este:
)(vdt
de SΓΓ
Ψ−= )(v
dtde SΓ
Γ
Φ−=
∫∫∫ΓΓ
⋅×+∂∂
−=_
0
____
)( dBvAdtBe
s
(v)
14. Care dintre relatiile de mai jos exprima corect legea legaturii dintre inductia magnetica, intensitatea corpului magnetic si magnetizatie ?
−
+= MHB_
0
_
μ (T) −
+= MHB 0
__
μμ (T) )(_
0
_ −
+= MHB μ (T)
15. Care dintre seturile de marimi de mai jos reprezinta parametrii constitutivi ai unui mediu electromagnetic ?
00 ,, μερ σμε ,, εσρ ,,
16. Forta lui Lorentz serveste la definirea marimii de stare (inductie magnetica) in vid (aer). Care dintre relatiile de mai jos reprezinta expresia acestei forte ?
)(___
vBvqF ×= (N) −
×Δ=Δ )(__
VBliF (N) liiuF ⋅⋅
⋅−=−−
12
2101212
2 γπμ (N)
17. Care dintre relatiile de mai jos reprezinta forma tehnica a legii polarizatiei temporare pentru medii dielectrice liniare ?
2)
m2)
m2) __
0
_
PED += ε (C/m__
ED ε= (C/__
0
_
pPED += ε (C/
18. Care dintre relatiile de mai jos reprezinta forma tehnica a legii magnetizatiei temporare pentru medii magnetice liniare ?
_
0
_
HB μ= (T) )(_
0
_ −
+= MHB μ (T) −
+= pMHB__
μ (T)
19. Indicati expresia corecta a legii circuitului magnetic, sub forma integrala pentru regimul stationar si medii imobile:
tu S
Smn ∂∂
+Θ= ΓΓΓ
ψ
(A)
∫∫∫ΓΓ
=S
dAJdsH____
(A) += ∫∫∫ΓΓ S
AdJdsH____
_____
)( AdvDrotAdvs s
v∫∫ ∫∫Γ Γ
×+⋅⋅ ρ
(A) 20. Indicati linia care contine ecuatiile
lui Maxwell pentru medii electromagnetice liniare şi imobile:
dtEJHrot_
__ ∂+= ;
Σ= qDdiv_
;
0_
=Bdiv ;
vJdiv ρ=_
tBErot∂∂
−=
__
;
tDHrot∂∂
=
__
;
0_
=Ddiv ;
pMBdiv__
=
dtDJHrot_
__ ∂+= ;
tBErot∂∂
−=
__
; vqDdiv =_
;
0_
=Bdiv ;
21. Care este forma corecta a teoremei potentialului electrostatic, sub forma integrala si locală:
∫Γ
Γ= edsE__
;
__
vdivE =
0__
=∫B
A
dsE ; vgradE =_
∫Γ
= 0__
dsE ; vgradE −=_
22. Indicati cele doua consecinte ale teoremei potentialului electro static alegand una din liniile de mai jos
In regim electrostatic
tensiunea electrica depinde de drum,
fiind egala cu diferenta de
potential dintre doua puncte din
camp, sub forma : U12 = V2-V1
Tensiunea electrica dintre doua puncte in
camp electrostatic are semnificatie energetica a unui
lucru mecanic si nu depinde de drum
∫ ⋅=≡2
11212 sdELu
∫⋅=2
1
sdE ,
unde E este forţa
In regim electrostatic tensiunea electrica dintre doua puncte nu depinde de drum si este egala cu diferenta potentialelor dintre cele doua puncte din camp, sub forma :
U12 = V1-V2
câmpului electric. Teorema lui Gauss :
∫∫Σ
Σ=⋅0
__
εqdAEv
23. Expresia potenţialului electrostatic Se demonstrează pornind de la :
Teorema lui Coulomb :
12
_
221
0
12
_
41 u
RqqF ⋅⋅
⋅=πε
Teorema potentialului
electrostatic şi Teorema lui Coulomb:
vgradE −=_
_
3
2
0
12
_
41 R
RqF ⋅⋅=
πε
24. Indicatii forma corecta a teoremelor normale şi tangenţiale la o suprafaţă de separaţie dintre două medii diferite în câmp electric:
tt DD 21 = ; nn EE 21 = 2
1
2
1
εε
αα
=tgtg ; tt EE 21 = nn DD 21 = ; tt EE 21 =
25.
Expresia intensităţii câmpului electrostatic
e obtine din :
Expresia teoremei lui Coulomb :
12
_
221
0
12
_
41 u
RqqF ⋅⋅
⋅=πε
si expresia fortei in câmp
electrostatic : __
EqF = ;
Expresia fortei electrodinamice a lui
Ampere: _
12
21012
_
2l
RiiF Δ⋅⋅
⋅−=πμ
si expresia fortei magnetoelectrice a
lui Laplace:
)(___
vBliF ×Δ=Δ
Ev uRqE
_
20
_
41
⋅⋅=πε
s
Expresia fortei magnetice
a lui Lorentz: şi expresia fo
electrostatic:
___
)( vBvqF ×=
rtei în câmp __
EqF = .
26.
Care din diagramele de mai jos ale intensităţii câmpului electric şi potenţialului este corectă pentru o sferă metalică de mici dimensiuni încărcată cu sarcina electrică adevărată q, considerată ca fiind concentrată în centrul sferei :
27. Precizaţi ce metodă(Poisson, Laplace), ce lege generală şi ce teoremă se foloseşte în calculul câmpului electric dintre armăturile unui condensator plan(neglijând efectul de margine) prezentat mai
jos :
Legea inducţiei electromagnetice, metoda ecuaţiei
Poisson, teorema lui Gauss
Metoda ecuaţiei lui Laplace, teorema
fluxului electric(forma
integrală), teorema potenţialului
electrostatic(forma locală)
Metoda ecuaţiei Laplace, legea legăturii dintre
PED ,, , teorem
02
2
=∂
∂=Δ
xV
V
Prin două integrări : V(x)=k1x+k2Se alege originea potenţialului pe prima armătură: (V =0),x=0; k2=0 V(x)=k1x;
0
;ΣΣ
=∫∫ qAdD
dxdVgradVEqdAE −=−==∫∫
Σ
;.ε
.∫∫∫∫ΣΣ
=−=−= qAdxdVdA
dxdVEdA εεε
Din V(x)=k1x; 1kdxdV
=
a potenţialului
electrostatic(forma locală).
Deci ;; 11 AqkqAk
εε −
==−
Aqk
dxdVE
ε=−=−= 1
( )( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=−==
dAqdV
Vx
AqxkxV
εε
00;1
Deci : ( )AqEx
AqxV
εε=−= ;
28.
În regim electrostatic un mic corp polarizat de moment electric p esmo
te echivalent cu un dipol de ment electric dp =q*l, atât
d.p.d.v. al acţiunilor pondero-motoare exercitate asupra sa de un câmp exterior cât şi d.p.d.v. al câmpului electric produs de acesta în vid. Precizaţi forma corectă a acţiunilor ponderomotoare în câmp electric exterior omogen:
0
;*
2211 ≠+−=
=
vvv
vd
EqEqF
ElqC ( )( ) 0
;*
21
2
≠−−=
=
vvv
vd
EEqF
ElqxC ( )vvv
vd
EqEqF
ExlqC
+−=
= ;
29. La calculul capacităţii condensatorului plan s-a strecurat o eroare, astfel încât, în cazul
Aplicarea incorectă a legii
fluxului electric pe
Scrierea incorectă a legii polarizaţiei
temporare sub forma
Scrierea incorectă a formulei (teoremei) capacităţii electrice.
dAC ε
= s-a obţinut dACε
= . relaţiei
Precizaţi la ce se referă eroarea şi efectuaţi corecţia necesară:
dAC
EdA
UqC
dEUAqEE
Aq
EDAqD
AqD
qADdAD
corectâ
AB
AB
εε
εε
ε
;
;;
1;;
==
⋅===
==ΔΔ
=
Δ=Δ⋅=⋅=Ψ ∫∫ΔΣ
Σ
Eroarea se referă la :
suprafaţa închisă elementară ΔΣ
ei tehnică.
30. Pentru calculul capacităţii unui condensator cilindric se aplică legea fluxului electric unui ansamblu de doi cilindri concentrici, având lungimea l, şi razele a şi b(b>a), cu precizarea (restricţia) neglijării fluxului de capăt. Să se aleagă expresia corectă a capacităţii electrice:
balC
ln
2
ε
π=
ablC
ln
2πε=
bal
Cln
2πε=
31.
Care din seturile de relaţii de mai jos reprezintă corect teoremele lui
-q1-q2+q3+q4=0 (T1K)
q1+q2-q3-q4=0 q1+q2-q3-q4=0 uC1-uC2+uC3+uC4=0
Kirchhoff pentru condensatoare electrice aplicate nodului b şi ochiului p de circuit electrostatic.
uC1+uC2+uC3+uC4=E1+E2(T2K)
14
4
3
3
2
2
1
1 ECq
Cq
Cq
Cq
−=++−
1cu
2cu
3cu
4cu
4C
3C
2C
1C
2E
1E
4q
3q
2q
1q
32. Pentru circuitul simplu de c.c. din figura de mai jos se scriu trei
E0+RI=rI; E0+Ub=rI ;
E0+rI=RI; E0-Ub=rI ;
E0=(r+R)I; E0-Ub=rI ;
E0-Ub=RI
E0+Ub=RI
Ub=RI
variante de ecuaţii referitoare la: ecuaţia ochiului de circuit, ecuaţia laturii geometrice şi ecuaţia laturii receptoare, în această ordine. Indicaţi varianta corectă:
bP
0E bU
33. Care din seturile de caracteristici
prezentate în continuare aparţine unui generator ideal de tensiune de c.c.:
Ub=f(I) (independentă de
valoarea curentului debitat);Pb=∞ ;
r(rez internă)=ct.
Ub=E0=ct. (independentă de
valoarea curentului debitat); Pb=∞ ;
r(rez internă)=0
Ub=ct. (independentă de
valoarea curentului debitat);Pb=∞ ;
r(rez internă)=0.
bP
0E bU
34.
Indicaţi linia care conţine expresiile corecte ale tensiunii la borne, curentului şi puterii în cazul unui generator de tensiune real în c.c.:
bP
0E bU
Ub=E0+rI; I= ;0
rE
(Isc= rRE+
0 );
Pb=∞;
Ub=E0-rI; I= ;0
rRE+
(Isc= rE0 );
Pb>0
Ub=Eo=ct.; I=
RE0 ;
(Isc= RE );
Pb>0
35. Care dintre seturile de I=Isc=ct.(independ I=Isc=ct.(independent I=var.(dependent de Ub) ;
ent de valoarea tensiunii de la
borne) ; Pb=∞ ;
g=∞(condiţie internă a sursei)
de valoarea tensiunii de la borne) ;
Pb=∞ ; g=0; ( ∞=r )
Pb=∞ ; g=0.
caracteristici prezentate în continuare aparţin unui generator ideal de curent în c.c.:
36. Indicaţi linia corectă conţinând expresiile curentului, tensiunii şi puterii la borne în cazul unui generator de curent real în c.c. :
I=Isc- ;r
Ub
Ub=r(Isc-I’)=RI (g≠0);
Pb>0 (infinită)
I=Isc+ ;r
Ub
Ub=r(Isc-I’)=rI (g≠0); Pb=∞
I=Isc- ;r
Ub
Ub=R(Isc-I’)=RI (g≠0);
Pb>0 (infinită)
rUb−
scIr ⋅
scI 37. Care dintre următoarele
caracteristici de mai jos aparţin unui acumulator cu Pb(acid)?
Este greu, emană vapori vătămători, are mare rezistenţă
la scurtcircuit; η=52-55%;
Este uşor, emană vapori vătămători,
are rezistenţa slabă la scurtcircuit ; η=70-80%; tensiunea pe
Este greu, emană vapori vătămători, are rezistenţa
slabă la scurtcircuit; η=70-80%; tensiunea pe element în sarcină: 2(V)
tensiunea pe element în sarcină:
2(V)
element în sarcină: 1,2(V)
38. Care dintre caracteristicile enunţate mai jos aparţin unui acumulator alcalin(Fe-Cd)?
Este greu, capsulat, rezistent mecanic, emană,
emană vapori vătămători, are
rezistenţa mare la scurtcircuit; η=70-
80%; uelem în sarcină: 2(V)
Este uşor, capsulat, slab rezistent
mecanic, nu emană vapori vătămători,
are rezistenţă slabă la scurtcircuit; η=52-
55%; uelem în sarcină: 0,8 (V)
Este uşor, capsulat, rezistent mecanic, nu
emană vapori vătămători, este rezistent la
scurtcircuit; η=52-55%; uelem în sarcină: 1,2 (V)
oUpK
bK=∑
∈
;
∑∑∈∈
=pK
KKpK
K IRE ;
0=∑∈bK
KI ;
∑∑∈∈
=bK
bKbK
KSC KUGI m
)1(1 −÷= Nb ; 1+−= NLO
Op ÷= 1
0=∑∈bK
KE ;
∑∑∈∈
=bK
KKbK
b IRUK
;
∑∈
=bK
KI 0 ;
∑∑∈
±=bK
KKG
∈b
bKSC K
UI ;
)1(1 −÷= Nb ; 1+−= NLO ;
Op ÷= 1
∑∑∈∈
=pK
KpK
b EUK
;
∑∑∈∈
=pK
KKpK
K IGE ;
0=∑∈bK
KI ;
∑∑∈∈
±=bK
bKbK
SC KKUGI ;
)1(1 −÷= Nb ; Op ÷= 1 ; 1+−= NLO
39.
Indicaţi linia care conţine expresiile corecte ale teoremelor lui Kirchhoff sub ambele forme (inclusiv forma duală) pentru o reţea liniară, activă de curent continuu:
40.
Indicaţi expresiile corecte ale teoremei conservării puterilor pentru reţele liniare, active de curent continuu:
∑∑=
≡L
KKb
L
Kb IUP
KK11)
; 011
=≡ ∑∑==
L
KKb
L
Kb IUP
KK;
∑∑==
=L
KKK
L
KKK IRIE
1
2
1
01
=∑=
L
KKb IU
K;
∑∑==
=L
KKK
L
KKb IEIU
K11
∑
∑∑
=
==
=
±
L
KKK
L
KKb
L
KKk
IR
IUIEK
1
2
11
41.
Un generator de t.e.m. având rezistenţa interntransferă putere xisarcinii n condiţiile:
)(0 ctE = , ă 0≠gR ,
SP ma mă SR î
gS RR = ;
)4
(5,020
maxS
S REP ==η
gs RR 2= ;
)2
%(8020
maxS
S REP ==η
gS RR = ;
)4
%(50 0max
SS R
EP ==η
42.
Indicaţi expresiile corecte ale momentului buclei de curent pentru explorarea unui câmp magnetic staţionar omogen, precum şi ale acţiunilor ponderomotoare(forţe şi cupluri) exercitate de câmp asupra buclei:
Aimb ×= ; )( vbrez BmgradF ⋅= ;
vbm Bmc ×= ;
Aimb ×= ; 0=rezF ; vbm Bmc ⋅=
Aimb ⋅= ; 0=rezF ; vbm Bmc ×=
43.
Alegeţi răspunsul corect din cele trei, referitoare la forţa electrodinamică a lui Ampere:
şi laşi s;
1i 2i au acesen
lR
iiuF Δ⋅⋅
⋅−=12
2101212 2πμ
; pe baza acestei relaţii s-a definit: [ ] mAspH SI /1=
1i şi nsuri e;
2i au seopus
12210
2112 2R
liiuF ⋅
Δ⋅
⋅=πμ ;
pe baza acestei relaţiis-a definit reluctanţa
magnetică: [ ]
WbAspR SIm 1=
1i şi laşi sens; 2i au ace
lR
iiuF Δ⋅⋅
⋅−=12
2101212 2πμ ; pe
baza acestei relaţii s-definit:
a [ ] AI SI 1=
44.
Un solenoid parcurs de curentul staţionar I cu l > a (l-lungimea; a-
)(2 m
AspulINH Hv⋅
= )(4 m
AspulINH Hv⋅
= )(m
Aspul
INH Hv⋅
=
raza spirei), dar de acelaşi ordin de mărime, produce în axă un câmp magnetic
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⋅=
mAsp
lINHv )cos(cos
2 21 θθ . Ce
rezultat se obţine în cazul unui solenoid lung ( l >> a ):
45.
Se cunosc ciclurile de histerezis magnetic. Care dintre proprietăţile de mai jos le caracterizează?
B
satB
rumB
cH H
micHmicaB
mare
c
rem
r
−
−−μ
B
satB
rumB
cH H
mareHmareB
mica
c
rem
r
−−
−μ
Fig.1 corespunde materialelor
magnetice dure (Ol, Ol-Cr, Ol-
Wolfram) Fig.2 corespunde
materialelor magnetice moi (Fe
moale sau cu adaos de 4% Si
pentru reducerea pierderilor prin
curenţi Foucault)
Invers ca la punctul a.
Fig.1 corespunde materialelor magnetice moi, iar fig. 2-feritelor
46.
Reluctanţa unui circuit magnetic regulat are expresia: N
lRm μ= ;
−l lungimea laturii de circuit
magnetic; N-numărul de spire al
bobinei care
m
fm U
Rφ
= ; −fφ flu
prin agnet
xul
fascicular latura de circuit m ic;
ensiunea magnetică la bornele
laturii respective
mU t
UAlRm = ; A-aria secţiunii
transversale a laturii de circuit magnetic; μ - permeabilitatea
magnetică a meterialului.
produce solenaţia IN ⋅=θ
47.
Indicaţi linia care conţine expresiile corecte ale legii lui Ohm şi teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice liniare:
m
fm R
Uφ
= ;
0=∑∈bK
f Kφ ;
1,2,...,(N-1b= ); ∑∑∈
=pK
mK KRφ
∈f
pKK
φ ;
p=1,2,...,O
fmm RU φ= ; 0=∑∈bK
f Kφ ;
∑∑∈∈
=pK
fmpK
K KKR φθ
fmm RU φ= ; 0=∑∈bK
f Kφ ;
∑∑∈∈
=pK f
m
pKK
K
KRφ
θ
48. Se scriu expresiile inductivităţilor proprii şi de cuplaj (mutuale) dintre două bobine parcurse de curenţi staţionari (sau cvasistaţionari), aflate una în apropierea celeilalte, neglijând dispersia. Indicaţi linia în care aceşti parametri de circuit sunt corecţi: Bobinele cu N1, respectiv N2 spire şi sunt parcurse de curenţii I1, respectiv I2
1
111
11
IN
L fφ= ;
2
222
22
IN
L fφ= ;
1
221
21
IN
L fφ= ;
2
112
12
IN
L fφ= ;
2112 LL =
111
11
IL fφ= ;
222
22
IL fφ= ;
121
21
IL fφ= ;
212
12
IL fφ= ;
2112 LL =
1
211
11
IN
L fφ= ; 2
122
22
IN
L fφ= ;
1
121
21
IN
L fφ= ; 2
212
12
IN
L fφ= ;
2112 LL =
49.
Indicaţi linia care exprimă corect expresia factorului de cuplaj magnetic între două bobine inductivităţi şi )( 111 LL = )( 222 LL =
MLL
K 21 ⋅= ; 1≥K 21 LL
MK⋅
= ;
10 ≤≤ K
21 LLMK ⋅= ; 01 <<− K
50.
Alegeţi expresia corectă a expresiei energiei magnetice pentru bobinele din figura alăturată, ţinând cont de convenţia pentru inductivitatea de cuplaj mutual:
12Φ
22Φ
2U
21Φ 11Φ
012 >L1U
1I 2I
2112
2222
2111
22IIL
ILILWm
⋅⋅−
−⋅
+⋅
=
2112
2222
2111
22IILILILWm ⋅⋅+
⋅+
⋅=
2112
2222
2111 2
22IILILILWm +
⋅+
⋅=
51.
Alegeţi, din variantele de mai jos, expresia corectă a energiei magnetice a unui ansamblu de circuite electrice cuplate magnetic (circuitele pot fi şi mobile, iar curenţii pot fi constanţi sau variabili în timp, în cel de al doilea caz variaţia curenţilor se face astfel încât Φ/I să rămână constant)
( )∑∑= =
⋅=
n
k
n
j
jkjm J
iLW
1 1 2( )J
iiLW
k
n
j
kjkjm ∑∑
= =
⋅⋅=
1 1 4
( )∑∑= =
⋅⋅=
n
k
n
j
kjkjm J
iiLW
1 1 2
52.
Indicaţi răspunsul corespunzător cu privire la expresia inductivităţii unei bobine strânse.
( )HaNL
2
2
0⋅
=πμ ; ( )HaNL
πμ
20= ; ( )HaNL2
2
0πμ= ;
( )HRNL m⋅= 2 mR - relucta
53.
Expresia inductivităţii unei bobine cu miez de fier parcursă de nţă
( )HNR
L m2=
mRNL
2
=
curentul staţionar I este: După alegerea răspunsului corect motivaţi alegerea prin efectuarea demonstraţiei.
magnetică N – numărul de
spire
54.
Expresia forţei portante a unui electromagnet este:
ANLIXFp
02
22
μ=−= (N)
Alegeţi expresia corectă a forţei magnetice generalizate X din variantele de mai jos care a condus la aceste relaţii:
)( 2mA
fμ
0μ
IN⋅=θ
I
Φ
fl
PFX −= xI aer 2=
φ)(x
WX m
∂∂
+= Im
xWX )(∂∂
−= Im
xWX )(∂∂
= ; φ)(x
WX m
∂∂
−= ,
respectiv ambele relaţii
Răspunsuri
1 – c 2 – b 3 – a 4 – b 5 – c 6 – a 7 – c 8 – c 9 – b 10 – c 11 – b 12 – b 13 – b 14 – c 15 – c 16 – a 17 – b 18 – a
19 – b 20 – c 21 – c 22 – c 23 – b 24 – c 25 – a 26 – a 27 – b 28 – c 29 – b 30 – b 31 – b 32 – c 33 – b 34 – b 35 – b 36 – c
37 – c 38 – c 39 – a 40 – b 41 – a 42 – c 43 – a 44 – c 45 – b 46 – c 47 – b 48 – a 49 – b 50 – b 51 – c 52 – c 53 – c 54 – c
Partea a doua Bateria de teste BE - 1
BATERIE DE TESTE PENTRU INSTRUIRE ASISTATĂ DE CALCULATOR ŞI VERIFICAREA CUNOŞTINŢELOR LA BAZELE ELECTROTEHNICII
ŞI ELECTROTEHNICĂ GENERALĂ
Bateria de teste de electrotehnica contine 16 seturi ,fiecare a cate 10 teste si este destinata testarii,autocorectarii si insusirii cunostintelor la disciplina ‚,Bazele Electrotehnicii’’, specializarile: Electromecanica si Navigatie. Bateria este stocată în fisier având inserat la sfârşitul fiecărui set, un link ce va afişa rezultatele corecte şi eventualele indicaţii şi rezolvări. Programul (documentul) este executabil sub produsul Word-Windows. Pentru lansarea bateriei de teste şi dialogului cu utilizatorul, procedura este următoarea: -Se deschide fişierul ,,Teste de Electrotehnică (de pe disketa) cu comanda ,,dublu click stănga’’. -După indicarea unui răspuns pe un test oarecare, rezultatul se poate verifica prin apăsarea ,,Ctrl+Click stânga mouse’’ pe cuvântul link ,,Rezolvări’’ , care activează fisierul de răspunsuri şi indicaţii.
TESTE DE ELECTROTEHNICĂ Bateria 1
T1-1. Principala clasificare a mărimilor fizice este următoarea: A. Primitive şi secundare; B. Fundamentale, secundare şi accesorii; C. Primitive şi derivate; D. De stare, de proces şi derivate. T1-2. Care dintre mărimile fizice se introduc în urma unui proces inductiv,
pornind de la experiment? A. Cele primitive; B. Cele fundamentale; C. Cele de stare; D. Cele de proces. T1-3. Putem afirma că mărimile primitive sunt independente între ele şi
definesc complet un sistem fizic? A. Întrebarea este contradictorie B. Da C. Nu D. Sunt interdependente, ca să poată defini complet un sistem fizic,
împreună cu cele derivate. T1-4. Se menţionează următoarele mărimi fizice şi unităţile lor de măsură: 1. B 1. C 2. E 2. V/m 3. B 3. C*m 4. p 4. C/m 5. ΨΣ 5. T
Pe care dintre cele 5 lini corespondenţa nu este corectă? A. Pe 1 şi 5; B. Pe 1, 2 şi 4; C. Pe 1, 3, 4, şi 5; D. Pe 2, 4 şi 5; E. Pe nici una nu este corectă. T1-5. Mărimea ΦΣ este derivată din: A. H
r;
B. i; C. mr ; D. B
r;
E. Este mărime primitivă, nu derivată.
T1-6. Expresia: )( VV BvEqF
rrrr×+= poate fi adaptată pentru introducerea
unor mărimi fizice primitive? A. Da, pentru q, VE
r şi VB
r;
B. Da, pentru vr şi Fr
; C. Nu, deoarece exprimă legea legăturii dintre q, VE
r şi VB
r;
D. Da, pentru q şi VEr
; E. Depinde de experimentator. T1-7. Care termen din relaţia de mai sus poate sta la baza funcţionării unui
dinam? A. Primul termen ( F
r);
B. Al doilea termen (q VEr
); C. Al treilea termen ( VBvq
rr× );
D. Nici unul. T1-8. Relaţia:
∫∫ ∫∫Σ Σ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−=⋅ AdD
dtdAdJ
rrrr - este corectă?
A. Da. B. Nu; C. Da, dacă înlocuim D
r cu E
r;
D. Da, dacă schimbăm semnul membrului 2 privind sensul curentului, în raport cu suprafaţa Σ;
E. Da, cu semnul “-” sau “+”, în funcţie de convenţia T1-9. Care este caracteristica comună a generatoarelor ideale de tensiune şi
curent? A. Nu au nimic în comun; B. Ambele sunt ideale; C. Ambele au aceeaşi caracteristică de funcţionare; D. Ambele pot produce o putere infinit de mare. T1-10. Ce valoare are curentul de scurtcircuit Isck al unei laturi pasive de
circuit? A. Zero; B. Infinit; C. Depinde de Ubk, deoarece Isck = Ubk * Gk ; D. Depinde de valorile curenţilor care converg spre nodurile care
delimitează latura respectivă. Rezolvari
TESTE DE ELECTROTEHNICĂ
Bateria 2
T2-1. În regim electrocinetic staţionar (curent continuu) teorema I-a a lui Kirchhoff provine din legea conservării sarcinii electrice iar teorema a II-a a lui Kirchhoff din legea inducţiei electromagnetice.
Este corectă în totalitate această afirmaţie? A. Este exact invers B. Da, este corectă C. Nu, deoarece în regimul electrocinetic nu putem avea surplus sau deficit
de sarcini electrice pe conductoarele circuitelor. D. Nu, deoarece în curent continuu nu poate apare fenomenul de inducţie
electromagnetică E. Ca la D. şi C. T2-2. După rezolvarea unui circuit cu teoremele lui Kirchhoff, toţi curenţii
de pe laturile care converg într-un anumit nod, au rezultat cu minus. Este posibil acest rezultat?
A. Da B. Nu, deoarece ar însemna că toţi curenţii intră în acel nod(nu mai poate fi
vorba de o suma algebrica) C. Nu, deoarece ar însemna că toţi curenţii ies din acel nod T2-3. Cunoaştem ecuaţia de bilanţ a puterilor pe un circuit electric în regim
staţionar:
2
11k
L
kkk
L
kk IRIE ∑∑
==
=
În care membru sunt evidenţiate sau incluse pierderile interne ale generatoarelor reale din circuit?
A. În membrul 1.
B. În membrul 2 ( 2
1k
L
kk Ir∑
=
inclus în 2
1k
L
kk IR∑
=
)
C. Nu sunt evidenţiate, întrucât se neglijează. T2-4. Cum se poate mări randamentul unui circuit simplu, fprp a strica
adaptarea sarcinii la sursă (pentru transfer maxim de putere)? A. Nu este posibil acest lucru B. Micşorând rezistenţa internă a sursei C. Mărind rezistenţa de sarcină T2-5. Avem trei rezistori de 4, 10 şi 12 ohmi. Pot fi conectaţi astfel încât
rezistenţa echivalentă a grupajului să fie cuprinsă între 4 şi 12 ohmi?
A. Da. B. Nu C. Numai dacă lăsăm la o parte pe cel de 4 ohmi D. Numai dacă lăsăm la o parte pe cel de 12 ohmi. T2-6. Avem doi rezistori (R1, R2) pe care îi putem grupa serie sau paralel.
În care grupare se obţine o putere mai mare, alimentarea făcându-se cu aceeaşi tensiune U?
A. În gruparea serie B. În gruparea paralel C. În ambele, puterea absorbită va fi aceeaşi. T2-7. Putem conecta direct un ampermetru între bornele secundare ale unui
divizor de tensiune? A. Nu este indicat. Riscăm să distrugem aparatul sau divizorul B. Da, dar cu grijă pentru scala aapratului C. Numai dacă aparatul este prevăzut cu divizor de curent (şunt) pentru
protecţie. D. Da, pentru că este o operaţie de verificare curentă. T2-8. Putem conecta un voltmetru între bornele unui divizor de curent? A. Da B. Nu, căci putem distruge aparatul sau divizorul C. Numai dacă voltmetrul este prevăzut cu o rezistenţă adiţională D. Operaţiunea nu are rost. T2-9. Se enumeră următoarele trei condiţii: 1. Rezistenţa echivalentă a reţelei, văzută dinspre borne, să nu se
modifice, 2. Curenţii de legătură cu exteriorul, pe la borne, sănu se modifice, 3. Potenţialele bornelor de legătură cu exteriorul să nu se modifice. Care dintre aceste trei condiţii este necesară şi suficientă a se respecta la
transfigurarea Δ-Y sau Y-Δ a rezistorilor, considerând că în restul reţelei din care fac parte nu intervine nici o altă modificare?
A. 1 sau 2 sau 3 B. Două din trei C. Toate trei D. Răspunsul corect este: 1 sau 2 şi 3.
T2-10. Dacă aplicăm teorema superpoziţiei unui circuit cu n surse şi îl
descompunem în n circuite complementare, se poate aplica teorema conservării puterilor în fiecare dintre acestea?
A. Da B. Nu, deoarece sunt circuite fictive, de calcul C. Nu se poate aplica decât circuitului iniţial, înainte de descompunere. Rezolvari
TESTE DE ELECTROTEHNICĂ Bateria 3
T3-1. Se aplică teorema superpoziţiei unui circuit cu elemente neliniare? A. Numai dacă acestea au caracteristici identice B. Numai dacă în circuit există doar elemente neliniare C. Ca la A. şi B. D. Nu E. Da. T3-2. În aplicarea teoremei Thevenin-Helmholtz este corectă formula:
0
0
0AB
ABABAB GG
GGUI
+
⋅= ?
A. Da B. Nu
C. Corect ar fi: 0
0
0AB
ABABAB GG
GGIU
+
⋅=
D. Formula este valabilă, însă pentru teorema lui Norton. T3-3. În aplicarea teoremei lui Norton este corectă formula:
0
0
AB
ABABAB RR
RRUI
SC ⋅
+=
A. Corect ar fi:
0
0
AB
ABABAB RR
RRIU
SC ⋅
+=
B. Nu C. Formula este valabilă, însă pentru teorema lui Thevenin-Helmholtz D. Da. T3-4. O latură activă de circuit conţine o sursă de t.e.m. E1 = 40V şi este
conectată la o reţea liniară pasivă prin două borne. Prin alte două borne, la aceeaşi reţea este conectată o latură pasivă prin care tece un curent de 6A.
Se pasivizează latura activă şi se introduce pe cealaltă latură (pasivă) o sursă de t.e.m. E2 = 30V. Ce curent prin prime latură, în această situaţie?
A. 4,5A B. 6A C. 3A D. Nu va tece nici un curent, deoarece latura a fost pasivizată E. Nu va tece nici un curent, deoarece E2 < E1 . T3-5. (Teorema compensatiei) Pe o latură pasivă cu R = 18 ohmi a unui
circuit, trece un curent de 2,5 A. Se înlocuieşte R cu o sursă ideală de t.e.m. E. Ce valoare trebuie să aibă E şi cum trebuie conectată, astfel încât potenţialele nodurilor reţelei să nu se modifice?
A. În condiţia impusă, substituirea nu este posibilă B. 30V, în sensul curentului C. 45V, în sens contrar curentului D. Nu ne putem pronunţa până ce nu cunoaştem rezistenţa internă r, a
sursei E. Soluţia contrazice teorema compensaţiei, deci este greşită. T3-6. (Teorema compensatiei) Într-un nod de reţea converg trei laturi
pasive, având R1 = 2 ohmi, R2 = 3 ohmi, R3 = 4 ohmi şi respectiv curenţii I1 = 5A, I2 = 5A, I3 = -10A.
Este posibilă înlocuirea rezistenţelor cu câte o sursă de t.e.m. având respectiv E1 = -10V, E2 = -15V, E3 +40V? (Sursa E3 are minusul spre nod). Condiţia impusă: potenţialele nodurilor reţelei să nu se modifice.
A. Nu. Valorile t.e.m. introduse trebuie să fie identice, conform teoremei lui Vachy
B. Da, dar sensurile t.e.m. ce se introduc se vor inversa C. Da D. Nu, deoarece nu se pot aplica simultan teoremele Vachy şi
compensaţiei. T3-7. Aplicând metoda curenţilor ciclici unui circuit, au rezultat din
calcule numai curenţi ciclici cu valori negative. Este posibil? A. Nu. S-a greşit la calcule B. Nu. S-a greşit la alegerea sensurilor de parcurgere a ochiurilor. C. Da D. Nu. S-a greşit la conectarea surselor pe laturi (inversare) E. Nu. În acest caz trebuie aplicate alte metode de rezolvare. T3-8. Aplicând metoda potenţialelor la noduri în rezolvarea unui circuit, au
rezultat din calcule numai potenţiale negative. Este posibil? A. Da. Depinde de potenţialul nodului luat ca referinţă
B. Nu. S-a greşit la calcule C. Nu. Trebuie aplicată, în acest caz, altă metodă de rezolvare D. Nu. S-a ales greşit potenţialul de referinţă. T3-9. Sub aspectul numărului de ecuaţii, prin care metodă este mai
avantajoasă rezolvarea unui circuit electric? A. Prin ecuaţiile lui Kirchhoff (sistem cu L ecuaţii) B. Metoda potenţialelor la noduri sau metoda curenţilor ciclici C. Metoda compensaţiei D. Metoda Thevenin sau Norton. T3-10. Pe unele dintre laturile unui circuit de automatizare în curent
continuu, există termistori. Pentru a rezolva mai uşor circuitul, cineva propune să se prevadă suplimentar dispozitive care să păstreze constante temperaturile termistorilor, indiferent de curenţii care străbat aceste elemente neliniare. În acest mod rezistenţele lor vor rămâne constante. Consideraţi că raţionamentul este corect?
A. Nu. Rolul termistorilor în circuit este tocmai de prezenta o rezistenţă variabilă
B. Da, însă ne-ar costa prea mult acele dispozitive suplimentare C. Da, însă mai simplu ar fi să se înlocuiască termistorii cu rezistenţe
liniare, reglabile, având aceleaşi rezistenţe ca şi termistorii respectivi D. Da, însă decât să se complice instalaţia, mai bine rezolvăm circuitul aşa
cum a fost dat iniţial E. Este corect, dar din cauza dezavantajelor enumerate mei sus (B. şi D.),
nu se justifică. Rezolvari
TESTE DE ELECTROTEHNICĂ Bateria 4
T4-1. Cu ce se aseamănă mai bine, ca funcţionalitate, o diodă Zener? A. Cu un termistor B. Cu un varistor C. Cu un tub baretor D. Cu un tiristor în regim de conducţie T4-2. Pe o latură de circuit se află montate în serie două lămpi: una cu
filament metalic (W) şi una cu filament de carbon(C). este posibil ca variaţia curentului pe acea latură să fie proporţională cu tensiunea aplicată la bornele laturii?
A. Teoretic este posibil B. Nu este posibil, deoarece elementele respective de circuit sunt neliniare
C. Depinde de scopul circuitului D. Da, dar numai dacă în serie cu cele două lămpi se prevede şi un
generator ideal de curent. T4-3. În curent alternativ sinusoidal, ce exprimă condiţia:
fcl =<< λ ?
A. Caracterul filiform al conductorilor B. Caracterul cuasistaţionar al regimului C. Caracterul aproape perfect al izolaţiei. T4-4. Din ce lege provine teorema continuităţii liniilor de curent de
conducţie? A. Din legea inducţiei electromagnetice B. Din legea conducţiei electrice C. Din legea conservării sarcinii electrice D. Din legea fluxului electric T4-5. Care din teoremele de mai jos provin din legea inducţiei
electromagnetice? A. Teorema potenţialului electrostatic B. Teorema potenţialului electric staţionar C. Teorema tensiunilor la borne D. Două din trei E. Toate trei. T4-6. În urma unor calcule a rezultat că puterea absorbită de un rezistor,
într-o latură a unui circuit în regim cuasistaţionar, este negativă. Ce părere aveţi despre rezultat? A. Este greşit B. Este corect C. Poate fi corect, întrucât p = uR . i şi semnul lui p depinde de regula de
asociere a sensurilor uR şi i adoptată D. Poate fi corect numai într-un circuit reactiv. T4-7. Un dipil cu schema RLC serie are: R = 22 Ω , L = 22 mH şi C = 22
μ F. Se aplică la borne o tensiune sinusoidală U = 220V şi se obţine un curent de intensitate I = 10A. Care este defazajul dintre curent şi tensiune?
A. Nu-l putem afla dacă nu cunoaştem ω B. Zero C. Între zero şi +
2π (circuit inductiv)
D. Între zero şi -2π (circuit capacitiv)
E. Datele problemei sunt incorecte si incomplete(Z=140Ω;i≅1,5A) T4-8. În circuitul alăturat avem L1 > L2 şi C1 < C2 . Impedanţa echivalentă
a circuitului este Z. Ar fi posibil ca Z = R pentru o anumită valoare a frecvenţei?
A. Da B. Nu C. Este posibil dacă
2πϕ =
D. Este posibil dacă 2πϕ =
T4-9. În circuitul alăturat avem L1 > L2 şi C1 > C2. Impedanţa echivalentă a
circuitului este Z. Ar fi posibil ca Z = R ?
A. Da B. Nu C. Ar fi posibil numai pentru o anumită valoare a frecvenţei tensiunii de
alimentare D. Da, dar numai dacă
2πϕ =
E. Da, dar numai dacă 2πϕ =
T4-10. Care este expresia susceptanţei unui circuit serie L – C ?
A. ωω
CL
B −=1
B. ω
ωC
LB 1−=
C. 12 −
=ω
ωLC
CB
D. 21 ωω
LCLB
−=
Rezolvari
TESTE DE ELECTROTEHNICĂ Bateria 5
T5-1. Un galvanometru cu rezistenţa de 10 ohmi are o scară de 0,01A. Ce valoare trebuie să aibă o rezistenţă şi cum trebuie conectată la aparatul de măsură astfel încât acesta să poată fi folosit ca voltmetru pentru tensiuni până la 10 V ?
A. 0 – 10 Ω, în paralel B. 0 – 10 Ω, în serie C. 90 Ω, în serie D. 990 Ω, în paralel E. 990 Ω, în serie. T5-2. Se dă circuitul alăturat:
Dacă se deplasează cursorul potenţiometrului Rv de la A spre B, cum se
modifică U şi I ? A. I scade, U creşte B. I rămâne constant, U creşte C. I creşte, U rămâne constant D. I creşte, U scade E. I scade, U rămâne constantă. T5-3. Ce indică voltmetrul din schema alăturată ?
A. 2V B. 0V C. 3V D. 6V E. 4V. T5-4. Cum poate fi mărită capacitatea unui condensator plan cu aer? A. Prin mărirea diferenţei de potenţial dintre plăci B. Invers faţă de punctul A. C. Prin introducerea unei foiţe de polietilenă între plăci D. Îndepărtând plăcile una de cealaltă E. Micşorând suprafaţa plăcilor. T5-5. Care dinte următoarele afirmaţii nu sunt adevărate ? A. V (potenţialul) este o mărime scalară B. Φ (fluxul magnetic) este o mărime scalară C. B (inducţia magnetică) este o mărime scalară D. E (intensitatea câmpului electric) este o mărime vectorială T5-6. Dintr-o bucată de sârmă de lungime l s-a confecţionat o spiră
circulară şi s-a trecut prin ea un curent I. Cum se modifică inducţia magnetică B din centrul spirei, dacă din aceeaşi bucată de sârmă se confecţionează o bobină cu două spire, parcurse de acelaşi curent I ?
A. Creşte de 2 ori B. Creşte de 4 ori C. Scade de 2 ori D. Scade de 4 ori E. Nu se modifică valoarea. T5-7. La capetele unui conductor metalic de lungime dată şi diametru
cunoscut, se aplică o tensiune electrică. Cum putem dubla viteza de transport a electronilor din conductor?
A. Micşorând secţiunea la jumătate B. Scădem tensiunea la jumătate
C. Dublăm diametrul D. Dublăm lungimea E. Dublăm tensiunea. T5-8. Se dă circuitul alăturat, alimentat în curent alternativ sinusoidal. Cum
depinde defazajul ϕ dintre curenţii i1 şi i2 de valoarea rezistenţei R1 ?
A. Nu depinde de loc B. Depinde, însă prea puţin, de frecvenţă
C. Defazajul ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ωϕ
CRR
arctg2
1
D. Defazajul ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ωϕ
CRRarctg
21
1
E. Defazajul ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ωϕ C
RR
2
1arccos
T5-9. Care este expresia susceptanţei unui circuit derivaţie RLC ? A. ωC
ωLB −=
1
B. ω
ωC
LB 1−=
C. 12 −
=ω
ωLC
CB (Y=6-jB)
D. 21 ωω
LCLB
−=
T5-10. care este expresia susceptanţei unui circuit serie RLC, la rezonanţă? A. Zero B. Infinit C. 2Z
R
D. Z
LC 2ω
E. 2
1ωJLC
Rezolvari
TESTE DE ELECTROTEHNICĂ Bateria 6
T6-1. Care este valoarea susceptanţei unui circuit derivaţie RLC la rezonanţă?
A. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
ωω
cLj 1
B. 2ZG
C. Zero D. Infinit
E. Z
LC 2ω
F. 2
1ωJLC
T6-2. Puterea instantanee transferată pe la bornele unui dipol liniar şi pasiv,
fără cuplaje magnetice cu exteriorul, are expresia: iup bb ⋅= Poate avea bp valoare negativă ? A. Formula nu este corectă, deci întrebarea nu are sens B. Da, dar depinde deregula de asociere a sensurilor bu şi i , aplicată în
acest caz C. Da D. Da, dar numai dacă dipolul este uniport E. Numai în cazul dipolului reactiv este posibil T6-3. Formula de mai jos se referă la schema echivalentă serie a unui dipol
liniar pasiv căruia I se aplică tensiunea U şi absoarbe curentul I, defazat cu unghiul ϕ . La care dintre puncte formulele sunt greşite?
A. I
UR ϕcos= ;
IUX ϕsin
=
B. GX = -BR ; RG + BX = 1 C. ϕcos
UIG = ; ϕsin
UIX =
D. RU
IG 1cos
==ϕ
; XU
IB 1sin
==ϕ
T6-4. Din rezolvarea unei reţele complexe cu elemente liniare şi mai
multe surse pe laturi, în regim armonic, rezultă că intensitatea curentului printr-o bobină este egală în modul şi în fază cu intensitatea curentului printr-un condensator din altă latură. Poate fi corect acest rezultat ?
A. Nu. S-a greşit la calcule sau la adoptarea convenţiilor de asociere a sensurilor tensiunilor şi curenţilor
B. În modul, curenţii dar în fază nu, întrucât unul este inductiv iar celălalt, capacitiv
C. Da D. În modul pot fi egali dar defazajul este π/2 E. Ca la Bsau D. T6-5. Se poate aplica teorema lui Joubert în cazul unui circuit simplu, cu
elemente neliniare, alimentat cu o tensiune nesinusoidală ? A. Nu, deoarece teorema lui Joubert se poate folosi numai în circuite
liniare.Se poate aplica dar numai unei laturi de circuit, nu unui circuit întreg. B. Da T6-6. Poate fi valabilă relaţia de corespondenţă biunivocă: ( ) ϕωϕ +⇔=+= tjj eZejXRZ 2Im ? A. Niciodată. Z este un număr complex constant B. Nu, întrucât Z nu pote varia sinusoidal, precum tensiunile şi curenţii C. Poate fi, dacă R şi X sunt elemente parametrice D. Ca la A şi B T6-7. Un dipol liniar pasiv absoarbe curentul I = 5 + j5 (A) sub tensiunea
aplicată E = 220V. care dintre expresiile de mai jos corespunde puterii complexe absorbite de dipol ?
A. S = 1100 + j1100 (VA) B. S = 1,1 – j1,1 (kVA) C. S = 2 (1,1 – j1,1) (kVA) D. S = - 1100 + j1100 (VA) T6-8. Prin subreţea conexă a unei reţele neconexe seînţelege: A. O parte a reţelei neconexe, de care se poate separa prin minimum două
borne B. O parte a reţelei neconexe, separată galvanic dar eventual cuplată
magnetic C. Nu se înţelege nimic, întrucât formularea este eronată (inversarea
denumirilor) D. O subreţea complet izolată electromagnetic
T6-9. Forma duală a teoremei I a lui Kirchhoff pentru reţele liniare în
regim armonic este:
( ) ( )∑∑∈∈
=Bk
sckBk
bkk IUY m (B = 1,2, ….. , N-1)
Semnul membrului 2 depinde de convenţia de asociere a sensurilor Ik şi Ubk ?
A. Nu. Depinde de asocierea sensurilor ISck (minus pentru caer intră în nod şi plus pentru care ies)
B. Nu. Depinde de convenţia de asociere a sensurilor Ubk şi ISck C. Nu. Corect este ca membrul II să nu aibă semn D. Da. Semnul (+) corespunde convenţiei de la generatoare E. Da. Semnul (+) corespunde convenţiei de la receptoare T6-10. Printr-o inductanţă mutuală se poate transfera puterea de la o latură
de circuit la altă latură ? A. Se poate transfera putere activa si reactiva. B. Se poate dar media ei pe o perioadă este nulă C. Se poate numai puterea reactivă deoarece în câmpul magnetic se
înmagazinează şi se cedează energie numai prin puterea reactivă D. Se transferă putere reactivă alternativ, în ambele sensuri, media pe o
perioadă fiind nulă (componenta continuă a puterii nu se poate transmite prin inducţie
E. Răspunsul corect este ca la C şi D. Rezlovari
TESTE DE ELECTROTEHNICĂ Bateria 7
T7-1. O sursă de t.e.m. sinusoidală are reactanţa internă de 0.5 Ω
(inductivă). Cât trebuie să fie reactanţa receptorului, pentru a asigura un optimum de transfer de putere de la sursă la receptor ?
A. 0,5 Ω (capacitivă) B. 0,5 Ω (inductivă) C. 0,5 Ω (rezistivă) D. Ca la A sau B T7-2. Un divizor de tensiune este alimentat cu tensiune sinusoidală U1 =
220 V iar în secundarul său se măsoară cu un voltmetru tensiunea U2 = 250 V , în gol. Ce puteţi afirma ?
A. Că nu este posibil în nici un caz B. Că voltmetrul este defect
C. Că s-au inversat bornele divizorului D. Depinde de natura sarcinii secundare(sarcina capacitiva) T7-3. Un ampermetru măsoară intensitatea curentului dintr-o ramură a unui
divizor de curent alternativ sinusoidal şi indică 100A, pe când alt ampermetru din circuitul de alimentare al divizorului arată numai 1A. Ce părere aveţi ?
A. Că s-au inversat din greşeală ampermetrele B. Că s-au greşit citirile C. Că acest fapt ar fi fost posibil doar în curent continuu D. Că este posibil. Depinde de elmentele divizorului E. Ca la a sau B T7-4. Cineva propune să se aplice teorema superpoziţiei unei reţele conexe,
calculând şi însumând apoi curenţii, pentru următoarele configuraţii parţiale ale acesteia:
- reţeaua din care s-au extras toţi receptorii, rămânând numai sursele (ideale) de curent şi tensiune
- reţeaua complet pasivizată Ce păre aveţi ? A. Nu este nici corect nici posibil B. Ideea este foarte bună şi se aplică dar numai la reţelele curent alternativ C. Ca la B, dar numai pentru fiecare subreţea componentă a unei reţele
conexe. D. Ca la C, dar numai că subreţelele nu prezintă inductivităţi mutuale între
ele. T7-5. Cineva propune să se aplice teorema superpoziţiei unei reţele conexe
de curent alternativ sinusoidal, calculând şi însumând apoi curenţii, pentru următoarele configuraţii parţiale ale acesteia:
- reţeaua din care s-au extras rezistenţele - reţeaua din care s-au extras inductanţele şi capacităţile Ce păre aveţi ? A. Metoda este corectă dar se aplică numai în regim staţionar B. Metoda este aplicabilă numai în reţelele fără inductivităţi mutuale C. Propunerea este eronată D. Metoda este aplicabilă numai dacă pe fiecare latură a reţelei există R, L
şi C E. Metoda nu se foloseşte, deoarece este prea laborioasă. T7-6. Doi dipoli liniari pasivi, ambii de tipul de tipul R, L, C serie, se
conectează în paralel. Se pot calcula separat valorile: Re, XLe, XCe ale elementelor dipolului echivalent serie ? (dar prin legarea în paralel a rezistenţelor între ele, respectiv a inductanţelor şi capacităţilor înter ele).
A. Da B. Nu. Ideea este aplicabilă numai la conectarea în serie a celor doi dipoli C. Da, însă ambii dipoli terbuie să fie inductivi, sau capacitivi D. Metoda ar fi aplicabilă dacă dipolul ar avea configuraţia Re - Le - Ce prin
legarea in paralel a elementelor de circuit similare, doua cate doua. T7-7. Condiţia de rezonanţă a unui circuit R-L-C serie sau derivaţie este: A.
LC1
0 == ωω
B LCπ
ωω2
10 ==
C. LC
f 10 =
D. Ca la B sau C T7-8. Ce relaţie există înter factorii de calitate Qs şi Qp ai unor circuite serie
respectiv derivaţie, alcătuite din aceleaşi elemente R, L, C ?
A. CL
RQQ sp
1==
B. CLR
sp ==
1
C. CLR
ps ==
1
D. LC
RQQ
ps
11==
E. CLRQQ sp ==
T7-9. Ce sunt circuitele complet aperiodice ? A. Acele circuite care nu permit tercerea componentelor periodice ale
curentului B. Acele circuite la care impedanţa este pur rezistivă, indiferent de
frecvenţă C. Aceste circuite păstreză constantă valoarea curentului, indiferent de
perioada tensiunii aplicate D. Circuite fară perioadă tranzitorie la conectarea şi deconectarea în regim
armonic T7-10. Pentru realizarea unui filtru trece bandă, cel mai potrivit tip de
circuit este: A. R-L-C serie la rezonanţă
B. Zl conţine L şi R, Zt conţine C C. R-L-C derivaţie D. Zl format din C şi R, Zt conţine L E. Circuitul complet aperiodic(R-L-C). F. Zl conţine L şi C0, Zt conţine C Rezovari
TESTE DE ELECTROTEHNICĂ Bateria 8
T8-1. Pentru realizarea unui filtru „opreşte bandă”, cel mai potrivit tip de
circuit este: A. R-L-C serie B. R-L-C derivaţie C. R serie cu L şi apoi în derivaţie cu C D. Complet aperiodic E. Tip „Boucherot F. Ca la B sau C T8-2. Tensiunea aplicată unei linii scurte de curent alternativ sinusoidal,
monofazat, este U1 iar la capătul dinspre consumatorgăsim tensiunea U2 > U1. Este posibil ?
A. Nu. S-a greşit la numărătoare B. Numai dacă avem o punere la pământ pe fază. În acest caz tensiunea
creşte cu 3 C. Da, când consumatorul este capacitiv D. Nu. S-au inversat, din greşeală, capetele liniei E. Ca la A sau B. T8-3. La care transformaor reportul de transformare
2
1
nnkn = se poate calcula
şi cu relaţia 2
1
IIkn = ? (I1 - curentul primar; I2 – curentul secundar).
A. La transformatorul perfect, care este un caz particular al transformatorului ideal
B. La orice transformator cu miezul în manta C. La transformatorul fară pierderişi fără dispersie D. Invers faţă de punctul A şi care este o consecinţă a neglijării reluctanţei
circuitului magnetic. E. Raspunsul corect este : La transformatorul ideal.
T8-4. O impedanţă desarcină ZS, are rezistenţa RS = 500 ohmi iar sursa are rezistenţa internă Ri = 5 ohmi. Ce raport de transformare kn trebuie să aibă transformatorul ideal de adaptare, care se va intercala între sursă şi sarcină ?
A. kn = 100 B. kn = 0,1 C. kn = 0,01 D. kn = 10. E. Kn=…. (Vezi problema 1.46-Radulet , vol II) T8-5. În ce caz este valabilă relaţia fl UU 3= dintre tensiunea de linie şi
cea de fază ale unui consumator trifazat echilibrat, aflat în regim simetric de funcţionare ?
A. În orice caz B. În conexiunii triunghi a consumatorului şi stea a sursei C. În cazul conexiunii stea D. Formula este universal valbilă (spre exemplu, 380 V = = ⋅3 220 V) E. Ca la B, însă numai dacă tensiunile formează un sistem simetric de
succesiune directă. T8-6. Puterea aparentă a unui circuit trifazat se calculează întotdeauna cu
formula 113 IUS = ? A. Numai în cazul conexiunii stea B. Numai în cazul conexiunii triunghi C. Formula este universal valabilă D. Ca la C numai în regim simetric de funcţionare, pentru tensiuni şi
curenţi E. Ca la C, însă numai dacă circuitul este echilibrat (simetric).
T8-7. Cunoaştem un operator de rotaţie 23
21 jb −−=
−. Cum apare defazată
tensiunea U faţă de tensiunea bU ? A. Cu 120o în urmă(invers) B. Cu 120o înainte(direct) C. Cu 60o înainte(direct) D. Cu 600 în urmă (invers) E. Cu 2400 înainte.(direct) F. Cu… T8-8. În care dintre cazurile enumerate mai jos nu se aplică teorema
deplasării potenţialului punctului neutru ? A. Când circuitul nu are conductor neutru
B. Când consumatorul este simetric dar are neutrul inaccesibil C. Când conexiunea receptorului este în triunghi D. Când sistemul de tensiuni aplicat este nesimetric şi neutrul inaccesibil. E. In cazuile B si C T8-9. Pe o grupare de 4 borne de acces ale unui multipol se respectă
condiţia ∑ =−
0I , indiferent de potenţialele celor 4 borne. Această grupare poate fi considerată o poartă ?
A. Nu. În realitate sunt două porţi B. Reiese că multipolul este tetrapol şi are două porţi, deci este şi diport C. Da D. Ca la A şi B E. Nu, pentru că o poartă se compune din două borne. T8-10. Ecuaţiile în admitanţe ale cuadripolilor liniari şi pasivi (CLP)
stabilesc: A. Expresiile mărimilor de inrare (U1, I1) în funcţie de cele de ieşire (U2, I2) B. Expresiile tensiunilor (U1, U2) în funcţie de curenţi (I1, I2) C. Legătura dintre admitanţele CLP şi parametri fundamentali ai acestuia D. Invers faţă de punctul B. Rezolvari
TESTE DE ELECTROTEHNICĂ Bateria 9
T9-1. La un cuadripol liniar pasiv şi reciproc, dacă A, B, C, D sunt
constantele fundamentale, este valabilă relaţia A = D ? A. Numai dacă cuadripolul este şi simetric B. Da C. Este valabilă numai relaţia: AC – BD = 1. T9-2. La schema echivalentă în T a unui transformator cu miez magnetic
liniar ( =μ ct.), poate apărea o capacitate, între elementele componente ? A. Da, depinde de raportul valorilor inductanţelor proprii (L1, L2) cu cea a
inductanţei mutuale, M B. Este exclus. Nu poate rezulta ca element de schemă echivalentă o
capacitate, pornind de la o schemă reală cu rezistenţe şi inductanţe C. Da, dar numai în cazul transformatorului ideal D. Numai dacă în schema echivalentă înglobăm şi sarcina iar acesta este
capacitivă.
T9-3. Se poate adapta întotdeauna un cuadripol pe impedanţa caracteristică (iterativă) directă, ZC1 ?
A. Numai dacă acesta este realizabilă (depinde de constantele cuadripolului)
B. Da C. Da, dar trebuie respectată condiţia: (A + D)2 – 4B C ≥ 0 T9-4. Ce indică (exprimă)
C−γ , exponentul de transfer pe impedanţa iterativă
directă al unui cuadripol ? A.
C−γ = ac + jbc
B. 2
1
2
1
II
UU
e C
−
−
−
− ⋅=−γ
D. Atenuarea şi defazajul pe care cuadripolul le introduce E. O relaţie impusă constantelor cuadripolului. T9-5. Între relaţiile de mai jos, referitoare la unităşile de măsură pentru
atenuare, s-a strecurat o eroare. La ce poziţie ? A. 1Nγ = 8,686 dB B. 1B = γN
elog21
C. 1Nγ = (2lne)B D. 1Nγ = 20
1loge
− dB
E. Nu s-a strecurat nici o eroare. T9-6. Ce relaţie există între
C−γ - exponentul de transfer pe impedanţa
iterativă directă ZC1 al unui cuadripol liniar şi pasiv şi raportul de transmisie A al aceluiaşi cuadripol, privit ca sistem de transmisiune diport liniar şi pasiv ?
A. C−
γ = lnA
B. lnC−
γ = A
C. ln=−c
eγ
A
D. ln=−A
eC−
γ
E. C−
γ = ln(A−
1 ) = - lnA
T9-7. Coeficientul de distorsiune iδ al unui curent periodic nesinusoidal se calculează cu formula:
A. ∑
∑∞
=
∞
==
1
2
2
2
νν
νν
δI
I
i
B. ∑
∑∞
=
∞
==
2
2
1
2
νν
νν
δI
I
i
C. 0
2
2
IIId
i−
=δ
D. d
iII
I
−=
2δ
E. Ca la A sau B (ambele corecte) F. Ca la C sau D (ambele corecte). T9-8. Una dintre expresiile de mai jos aparţine coeficientului de vârf al unei
tensiuni periodice nesinusoidale. Care este aceasta ? A.
maxUUk =
B. ∑
∞
=
=
0
2
max
ννU
Uk
C. medU
Uk =
D.
∫
=2
0
2T
idtT
uk
T9-9. Care dintre relaţiile referitoare la puteri în regim deformant, redate
mai jos, este eronată ? A. S2 = P2 + Q2 + D2 B. D = UId + UdI C. ( )222 QPSD +−=
D. ∑∞
+=1
000 sinsin kkk IUIUQ ϕϕ
E. 222 DQPUI ++=
F. ∑∞
+=1
00 cos kkk IUIUP ϕ
T9-10. Este corectă afirmaţia: „inductivităţile atenuează deformaţiile undei
de curent provenind din deformaţiile undei de tensiune” ? A. Da B. Nu, este exact invers C. Nu, afirmaţia este corectă pentru capacităţi D. Depinde de schema de conectare a inductivităţilor Rezolvari
TESTE DE ELECTROTEHNICĂ Bateria 10
T10-1. Un circuit serie RLC prezintă pe armonica 1 reactanţă capacitivă X1
iar pe armonica m, reactanţă Xm = 0 . Ce reactanţă prezintă circuitul pe armonica m2 ?
A. Egală cu Xm B. Egală cu X1 , capacitivă C. Egală cu X1 dar inductivă D. Egală cu X1 dar rezistivă T10-2. Sub ce formă sunt valabile teoremele lui Kirchhoff în regim periodic
permanent al circuitelor electrice neliniare ? A. Sub orice formă, dar nu în complex B. Sub formă simplă (directă), în complex C. Nu sunt apicabile în acest regim D. Sub formă dezvoltată (duală), în complex E. Sub orice formă, dar în complex, cu condiţia ca reţeaua să fie complet
izolată. T10-3. Se conservă puterile activă şi reactivă în regim perodic al reţelelor
electrice neliniare izolate ? A. Numai în valori instantanee. B. Da C. Nu D. Numai pe fiecare armonică în parte E. Da, dar nu trebuie să existe cuplaje magnetice cu exteriorul pentru a se
pute aplica operatorul de conservare Fortesque Ostrogradski T10-4. Redresorul ideal monoalternanţă este un element deformant al
reţelei de curent alternativ sinusoidal ?
A. Redresorul ideal nu este B. Da, pentru curent, în primul rând C. Da, numai pentru tensiune D. Numai dacă este realizat cu tiristori E. Numai pentru reţeaua de curent continuu (redresat) este deformant. T10-5. Este adevărat că rezistenţa dinamică a unui element de circuit indică
posibilitatea acelui element de a funcţiona în regim de sursă de energie electrică?
A. Nu B. Dacă este negativă, da C. Depinde de natura elementului D. Depinde de scopul în care este utilizat E. Ca la B şi C. T10-6. Fenomenul de histerezis poate sta la baza transformării energiei
electrice dintr-o formă în alta ? A. Da, pentru transformarea energiei electrice în energie termică B. Invers faţă de punctul A. C. Nu D. Depinde de sensul procesului care are loc în dispozitivul respectiv T10-7. Cui se datorează fenomenul de histerezis în miezurile magnetice ? A. Inerţiei (vâscozităţii) magnetice a miezului B. Microcurenţilor Foucault (turbionari) C. Saturaţiei miezului D. Creşterii frecvenţei tensiunii de alimentare a bobinajului peste o anumită
limită E. Ca la C şi D. T10-8. Pierderile specifice prin histerezis sunt proporţionale cu: A. Aria curbei de magnetizare, ∫ HdB şi frecvenţa f B. Pătratul frecvenţei C. Pătratul inducţiei maxime, Bmax D. Ca la B şi C E. Ca la D plus volumul miezului T10-9. Pierderile specifice prin curenţi turbionari sunt proporţionale cu: A. Volumul miezului B. Frecvenţa f C. Grosimea tolei D. Inducţia maximă în miez, Bmax
E. Conductivitatea şi grosimea tolei, plus pătratul valorilor indicate la punctele B şi D.
T10-10. Pierderile în dielectricul unui condensator depinde de tangenta
unghiului de pierderi, δtg ? A. Sunt direct proporţionale B. Sunt invers proporţionale C. Nu depind, întrucât δtg caracterizează histerezisul dielectricului
condensatorului D. Depinde de tipul dielectricului condensatorului E. Depinde de tipul condensatorului. Rezolvari
TESTE DE ELECTROTEHNICĂ Bateria 11
T11-1. Ce s-a constatat, în experienţa lui Coulomb, despre forţa cu care se
atrag sau se resping două corpuri electrizate, de dimensiuni foarte mici ? A. Forţa este direct proporţională cu produsul sarcinilor electrice ale
corpurilor şi invers proporţinală cu pătratul distanţei dintre ele B. Forţele care se exercită asupra corpurilor sunt invers proporţionale cu
masele lor C. Forţa este direct proporţională cu valorile sarcinilor electrice ale
corpurilor şi invers proporţinală cu distanţa dintre ele D. Ca la B şi C E. Ca la A şi B. T11-2. Care dintre următoarele afirmaţii despre liniile câmpului electric
sunt greşite ? A. Sensul liniilor de câmp se consideră de la potenţialul mai mare, către cel
mai mic B. Sensul liniilor de câmp se consideră dinspre sarcinile pozitive şi înspre
sarcinile negative C. Liniile de câmp sunt perpendiculare în orice punct pe vectorii intensitate
a câmpului electric D. Liniile de câmp sunt tangente în orice punct pe vectorii inducţie
electrică E. Dacă liniile câmpului electric sunt drepte paralele şi echidistante,
câmpul este omogen. T11-3. Dacă o bară de sticlă se freacă cu o pânză de mătase, bara se
încarcă pozitiv. Cum se explică acest lucru ?
A. O parte din electronii de pe bară tec pe bucata de pânză B. Nu este posibilă explicaţia de la A, întrucât sticla este dielectrică şi nu
are lectrini liberi C. Bara acumulează pozitroni D. O parte dintre electronii din bară se scurg în pământ, prin corpul
experimentatorului E. Întrebarea este greşită, deoarece bara se încarcă negativ. T11-4. Care dintre constatările următoare nu sunt legate de stare de
echilibru electrostatic a unui corp conductor electrizat ? A. Conductorul este echipotenţial B. Conductorul se află în stare de repaus C. Sarcina electrică a conductorului este repartizată pe suprafaţa sa D. În interiorul conductorului nu există sarcini electrice E. În interiorul conductorului nu există câmp electric. T11-5. Cu care dintre unităţile de măsură menţionate se măsoară
intensitatea câmpului electric ? A. Volt (V) B. Volt / metru (V/m) C. Coulomb (C) D. Coulomb / metru (C/m) E. Farad / metru (F/m). T11-6. Unui condensator i se schimbă dielectricul dintre armături cu altul
având rigiditatea dielectrică de două ori mai mare. Cum se modifică valoarea capacităţii condensatorului ?
A. Creşte de două ori B. Scade de două ori C. Rămâne aceeaşi D. Creşte de patru ori E. Depinde de permitivitatea celor doi dielectrici. T11-7. Dielectricul unui condensator are permitivitatea mai mare decât
aerul dar aceleaşi calităţi electroizolante. Încărcăm condensatorul apoi, îl izolăm de sursa de tensiune şi scoatem dielectricul dintre plăci. Este posibil ca în cursul acestei operaţiuni să se străpungă spaţiul de aer dintre armăturile condensatorului ?
A. Nu este posibil, deoarece are aceleaşi calităţi electroizolante ca şi dielectricul pe care îl înlocuieşte
B. Este posibil, deoarece tensiunea dintre armături creşte C. Este posibil numai dacă realimentăm condensatorul cu o tensiune mai
mare
D. Depinde de viteza cu care extragem dielectricul. T11-8. În serie cu un codensator de 0,1 μ F se leagă un alt condensator.
Care este capacitatea acestuia, dacă împreună cu primul realizează o capacitate echivalentă de 200 nF ?
A. Nu estre posibil. Întrebarea este greşită B. 105 pF C. 100 nF D. Tot 0,1 μ F T11-9. Două condensatoare se leagă în paralel. Unul are capacitatea C1 =
500 pF iar capacitatea rezultantă (echivalentă) este mai mare. Ce se poate spune despre capacitatea C2 a celuilalt condensator ?
A. C2 > 5nF B. C2 > C1 C. C2 < C1 D. Nimic E. Ipoteza este greşită T11-10. Mai multe condensatoare legate în serie se alimentează: 1. Fie cu o tensine continuă U1 = 100 V 2. Fie cu o tensine sinusoidală U2 = 100 V
Cum se repartizează tensiunea pe condensatoarele montajului ? A. Direct proporţional cu capacităţile lor în cazul 1. şi direct proporţional
cu Cω în cazul 2. B. Invers proporţional cu sarcinile electrice de pe armături C. Invers proporţional cu capacităţile lor D. Direct proporţional cu sarcinile electrice de pe armături E. Invers faţă de punctual A. Rezolvari
TESTE DE ELECTROTEHNICĂ Bateria 12
T12-1. Un material are permitivitatea relativă 3,5 (hârtie electrotehnică). Ce
semnificaţie are această valoare ? A. Permitivitatea absolută a materialului respectiv este de 3,5 ori mai mică
faţă de cea a vidului B. Invers ca la punctul A. C. Rigiditatea dielectrică a materialului este de 3,5 ori mai mare faţă de cea
a vidului D. Invers faţă de punctul C.
T12-2. În paralel cu un condensator având capacitatea C1 = 10-4 mF trebuie legat un codensator de capacitate C2 , astfel încât capacitatea echivalentă a montajului să rezulte C = 10-4 pF. Ce valoare trebuie să aibă C2 ?
A. 10-1 pF B. Zero C. 102 nF D. 102 pF, dar în serie, nu în paralel. T12-3. Avem două condensatoare cu capacităţile C1 şi C2 . Cum trebuie
legate pentru a obţine o capacitate echivalentă C, cuprinsă între C1 şi C2 ? A. Nu se poate în nici un mod B. În paralel (derivaţie) C. Mixt D. În serie T12-4. Unde se localizează (regăseşte) eenrgia electrică a unui condensator
supus unei tensiuni ? A. În dielectricul dintre armături B. Pe armături , întrucât acolo se află sarcinile electrice şi potenţiale C. Întrebarea este greşită deoarece energia electrică apare numai dacă
există şi curent electric; numai tensiune nu este suficientă. T12-5. În câmp electrostatic, tensiunea electrică între două puncte nu
depinde de drumul de parcurs. În ce condiţii este valabilă afirmaţia ? A. Depinde de numărul n de parcursuri şi de sensul acestora, deci
informaţia dată nu este completă B. În orice condiţii de existenţa a câmpului pur electrostatic C. Dielectricul să fie omogen, izotrop şi fără polarizaţie permanentă D. Drumul ales pentru calculul tensiunii electrice să nu treacă prin corpuri
conductoare electrizate E. Ca la D şi C. T13-6. Liniile de câmp electrostatic pot fi curbe închise ? A. Nu B. Da, însă cu discontinuităţi pe suprafeţele conductorilor C. Numai în domenii restrânse din interiorul corpurilor cu polarizaţie
permanentă D. Da, pentru că parcurgând un traseu închis (Г), putem alege o parte din
traseu pe o linie de câmp iar restul, pe altă linie de câmp în sens invers. T12-7. Potenţialul electrostatic poate avea o interpretare energetică? A. Nu, deoarece este o noţiune fictivă (de calcul) B. Da
C. Deoarece câmpul vectorial −
E provine din câmpul scalar V pe cale pur matematică (
−
E = - grad V), nu este posibilă o interpretare energetică pentru V. T12-8. La trecerea dintr-un mediu dielectric în altul se conservă: A. Componenta normală a câmpului electric
−
E şi cea tangenţială a inducţiei electrice
−
D . B.
−
D în modul, adică D C.
−
E în modul, adică E D. Invers faţă de punctul A. E. Nu se conservă nimic; toate mărimile se transformă. T12-9. Care dintre relaţiile de mai jos exprimă teorema lui Green, aplicabilă
mărimilor electrice la suprafaţa unui conductor omogen electrizat, aflat în mediu dielectric ?
A. sD ρ=2
B. nV
s ∂∂
−= ρρ
C. 2
1
2
1
ξξ
αα
=tgtg
D. E1t = E2t şi D1n = D2n T12-10. Un corp dielectric, omogen şi izotrop, fără sarcini electrice
adevărate, eset polarizat de către câmpul electric în care se află plasat. Se constată că polarizarea nu este egal de intensă în interiorul corpului. De ce ?
A. Constatarea este greşită B. Din cauza formei corpului C. Datorită configuraţiei câmpului aplicat D. Din cauza anizotropiilor locale, permitivitatea dielectricului nu mai este
aceeaşi în toate direcţiile E. Permitivitatea dielectricului este influenţată de
−
E aplicat. Rezultate
TESTE DE ELECTROTEHNICĂ Bateria 13
T13-1. Dacă pe laturile unui ochi al unei reţele de condensatoare, în regim
electrostatic, nu există surse de t.e.m., condensatoarele din laturile acelui ochi pot avea sarcini electrice ?
A. Da, dar suma lor eset nulă
B. Nu pot avea deoarece lipsesc sursele C. Da D. Numai dacă iniţial, la alcătuirea reţelei, condensatoarele aveau sarcini
electrice (erau încărcate). T13-2. Un sistem de n corpuri conductoare electrizate, în regim
electrostatic, posedă energia We . Cu ce formulă se calculează We ?
A. ∫∫∫−−
=V
e dVEDW2
în care vectorii −
D şi −
E aparţin spaţiului dielectric al
sistemulu, de volum V
B. k
n
ke VqW ∑=12
1 în care qk şi Vk aparţin corpurilor electrizate ale sistemului
C. Cu una dintre formulele de la A sau B
D. ∑ ∑∑ ===n n
ckkk
kk
n
ke UCcqUqW
1 1
22
1 21
21
21
T13-3. Cum se repartizează sarcinile electrice pe conductoarele încărcate,
aflate în dielectric liniar şi alcătuind un sistem electrostatic ? A. Astfel încât energia potenţială a sistemului să fie minimă (Thomson). B. În funcţie de potenţialele corpurilor respective C. În funcţie de coordonatele geometrice ale sistemului D. Astfel încât energia potenţială a sistemului să fie maximă (Maxwell). E. Astfel încât gradientul potenţialului electric la suprafaţa fiecărui
conductor să fie maxim (Green). T13-4. Două corpuri conductoare încărcate cu srcinile electrice +q1 şi –q2
se află plasate într-un mediu dielectric neliniar şi anizotrop, limitat ca extindere. Cu ce poate fi echivalat acest sistem?
A. Nu sunt corecte datele din ipoteză B. Cu un condensator încărcat C. Cu trei condensatoare încărcate D. Cu două condensatoare în paralel E. Nu orice sistem poate fi echivalat. T13-5. Care este rezultatul forţelor generalizate care acţionază din interiorul
unui sistem izolat de corpuri electrizate, aflate într+un dielectric liniar, în regim electrostatic ?
A. Scăderea dimensiunilor sistemului B. Scăderea coordonatelor generalizate ale sistemului C. Scăderea energiei potenţiale a sistemului D. Creşterea energiei ssitemului E. Creşterea dimensiunilor (extinderea) sistemului.
T13-6. Câmpul magnetic se explorează cu ajutorul unei bucle de curent
care se caracterizează prin vectorul bm−
, momentul buclei. Care este forma corectă a exprisiei bm
−
? A. −
−
=A
imb
B. −−
⋅= Aimb C. iAnmb
−−
= D. Ca la B sau C. T13-7. Care este expresia cuplului mecanic
−
C care se exercită în vid într-un câmp magnetic de inducţie VB
−
asupra unei bucle de curent cu momentul bm−
?
A. −−−−
⋅⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅= rBmC Vb
B. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛×=
−−−
bV mBC
C. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛×=
−−−
Vb BmC
D. Ca la B sau C T13-8. Expresia VBliF
−−−
×Δ=Δ care exprimă acţiunea câmpului magnetic asupra unui element de conductor
−
Δ l , ce face parte dintr-un circuit parcurs de curentul i, reprezintă:
A. Forţa Ampere B. Forţa Laplace C. Forţa Lorentz D. Forţa electrodinamică. T13-9. Care dintre relaţiile de mai jos reprezintă densitatea de volum a
forţei Laplace ?
A. −−
−
→Δ
−
×=ΔΔ
= JBVFf
V 0lim
B. −−−
⋅= BJf
C. VBJf−−−
×=
D. VBJVf−−−
×Δ=Δ T13-10. Care dintre relaţiile de mai jos reprezintă forţa electrodinamică
(Ampere) ?
A. 12
1221012
2 RuliiF
πμ
−−
=
B. 12
1221012
24 R
uliiF−
−
⋅−=π
μ
C. 12
212210
122
4 RuliiF−
−
⋅−=π
μ
D. Formularea înterbării este eronată E. Nici una ditre formule, deoarece lipeşte mărimea
−
B , inducţia magnetică. Rezolvari
TESTE DE ELECTROTEHNICĂ Bateria 14
T14-1. Care dintre relaţiile de mai jos exprimă formula Biot-Savart-
Laplace ?
A. ∫Γ
−−
− ×= 34 R
RdlH Vπμ
B. ∫Γ
−−
− ×⋅= 32 R
RdliBVπ
μ
C. ∫Γ
−−
− ×= 34 R
RdliH Vπ
D. ∫Γ
−−− ×
= 34 RldRiH V
π
T14-2. Care dintre relaţiile de mai jos exprimă legea legăturii dintre
inducţia magnetică, intensitatea câmpului magnetic şi magnetizaţie ? A. tMHB
−−−
+= 0μ
B. pMBH−−−
−= 00 μμ
C. −
−−
+−= MBH 00
0 μμ
D. )(0
−−−
+= MHB μ
E. pMHB−−−
+= μμ0
F. )(0
−−−
+= pMHB μ T14-3. Care dintre relaţiile de mai jos exprimă forma integrală a legii
circuitului magnetic ?
A. dt
du S
SmmΓ
Γ
Ψ+=Γ θ
B. ∫ ∫∫ ∫∫Γ
−−−−−−
Γ Γ
+=S S
AdDdtdAdJldH
C. tDJHrot
∂∂
+=−
−−
D. −
Γ
−−−
∫ ∫∫Γ
Γ ∂∂
+= AdtBldH
SSθ
T14-4. Care relaţie exprimă forma integrală dezvoltată a legii inductivităţii
electromagnetice ? A. ∫ ∫∫
Γ
−−−−
Γ
−=S
AdBdtdldE
B. ∫ ∫∫ ∫Γ
Γ
−−−−−
−−
Γ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×+
∂∂
−=S
ldBvAdtBldE
C. )(−−
−−
×−∂∂
−= vBrottBErot
D. ___
)]([ AdvBrottBAdErot
SS
−−−
×+∂∂
−= ∫∫∫∫ΓΓ
E. Ca la B. sau D. T14-5. Ce reprezintă vectorul
−
A din ecuaţia lui Poisson pentru câmpul magnetic:
−−
−=Δ JA μ ?
A. Aria secţiuni prin care trece curentul de densitate −
J B. Aria străbătută de vectorul inducţie magnetică
−
B C. Potenţialul vector din relaţia
−−
= ArotB
D. Elementul de suprafaţă corespunzător secţiunii elementului de volum al unui conductor electric, din relaţia AdlV Δ=Δ
−
. T14-6. Care este valoare intensităţii câmpului magnetic creat într-un
solenoid lung de 50 cm. care are 5000 de spire, de către un curent de intensitate i = 1A ?
A. 1000 A/m B. 1000 A.sp./m C. 10 000 A.sp./m D. 10 A.sp./m T14-7. Care dintre relaţiile de mai jos exprimă legea lui Ohm pentru
circuite magnetice ? A. wRu fmm φ=
B. ∫ =2
112
12
f
mUAdl
φμ
C. ∫ ∫=−−2
1
2
1 μφ
AdlldH f
D. m
f
ulA φ
μ =
E. fm wuA φ=⋅ F. Ca la C. sau D. T14-8. Care dintre relaţiile de mai jos sunt adevărate ? (L = inductanţa).
A. mR
NL2
=
B. ∑
=
Al
NL
μ
2
C. MLLLt 221 ±+= D. iL f ⋅= φ
E. 21LL
Mk = (coeficient de cuplaj)
F. 21
22121
LLMLLk −
=−=σ (coeficient de dispersie)
T14-9. Care dintre relaţiile de mai jos nu exprimă corect energia magnetică
a unui sistem de circuite ?
A. ∑ Φ=
nkk
miW
1 2
B. ∑∑= =
=n
k
kjkjn
jm
iiLW
1 1 2
C. ∫∫∫Σ
−−
=Vm dVHBW
D. ∫∫∫Σ
=Vm dVBW
μ2
2
E. ∫∫∫Σ
=Vm dVHW
2
2μ
T14-10. Care dintre expresiile de mai jos reprezintă forma locală a legii
fluxului magnetic ?
A. tDJHrot
∂∂
+=−
−−
B. tBErot
∂∂
−=−
−
C. VDdiv ϕ=−
D. 0=−
Bdiv . Rezolvari
TESTE DE ELECTROTEHNICĂ Bateria 15
T15-1. Care dintre expresiile prezentate în continuare caracterizează local
câmpul electromagnetic în mediile imobile, sub forma ecuaţiilor lui Maxwell ?
A.
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
∂∂
−=
=
∂∂
+=
−
−−
−
−−−
0Ddiv
tDEdiv
Bdiv
tBJHrot
Vϕ
B.
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
∂∂
−=
=
∂∂
+=
−
−−
−
−−−
0Bdiv
tBErot
Ddiv
tDJHrot
Vϕ
C.
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
∂∂
−=
=
=
−
−−
−
−−
0Bdiv
tBErot
Ddiv
JHrot
V
D
ϕ
T15-2. Care sunt legile generale ale fenomenelor electromagnetice pe care
le reprezintă, sub formă locală, ecuaţiile lu Maxwell ? A. • Legea conducţiei electrice • Legea legăturii dintre
−
D , −
E şi −
P • Legea circuitului magnetic • Legea transformării energiei electromagnetice D. • Legea conservării sarcinii electrice • Legea fluxului electric • Legea inducţiei electromagnetice • Legea fluxului magnetic C. • Legea inducţiei electromagnetice • Legea circuitului magnetic • Legea fluxului electric • Legea fluxului magnetic T15-3. Indicaţi cele două legi fundamentale care pun în evidenţă
dependenţa dintre câmpul electric şi câmpul magnetic, aparţinând câmpului electromagnetic.
A. Legea fluxului electric; Legea inducţiei electromagnetice B. Legea circuitului magnetic; Legea fluxului electric C. Legea inducţiei electromagnetice; Legea circuitului magnetic. T15-4. Propagarea la distanţă de o sursă de emisie a câmpului
electromagnetic se face prin: A. Unde sferice, directe, cu impedanţa de undă Zu = 0 B. Unde transversale, inverse, cu vectorii
−
E şi −
H în cuadratură
C. Unde plane, transversale, directe şi inverse, cu vectorii −
E şi −
H în fază. T15-5. Transmisia energiei electromagnetice de la un generator le un
receptor printr-un cablu de legătură este evidenţiată formal prin vectorul lui Poynting. Unde are valoarea maximă acest vector şi care este sensul acestuia în cazul unui asemenea cablu ?
A. În centrul conductorului, axial, în sensul transmisiei energiei, ca urmare a faptului că în conductor, vectorul lui Poynting este dirijat spre axa acestui, aducându-i energia necesară procesului de conducţie
B. În interiorul conductorului, longitudinal, datorită efectului pelicular C. La suprafaţa conductorului, longitudinal,prin izolantul acestuia, unde
−−−
×= tt HES . T15-6. Adâncimea de pătrundere a câmpului electromagnetic într-un
conductor masiv depinde de: A. Frecvenţa câmpului, caracteristicile electrice (σ ) şi cele magnetice ( μ )
ale materialului conductor B. Densitatea fluxului de energie (vectorul lui Poynting) la suprafaţa
conductorului C. Valorile componentelor tangenţiale ale vectorilor
−
E şi normale ale vectorilor
−
H la suprafaţa de discontinuitate a materialului conductor. T15-7. În regim variabil, densitatea de curent se repartizează neuniform pe
secţiunea conductorului, ca urmare a efectului pelicular. Care este factorul ce determină direct modificarea acestei repartiţii ?
A. Frecvenţa curentului prin conductor B. Curentul suplimentar indus de câmpul magnetic variabil din interiorul
conductorului C. Dimensiunea (raza) conductorului. T15-8. Cum variază rezistenţa statică (RS) şi cea dinamică (Rd) la o lampă
cu incadescenţă (filament metalic) în raport cu tensiunea aplicată U ? A. Când creşte U, cresc Rd şi RS B. Când creşte U, creşte Rd şi scade RS C. Când creşte U, scade Rd şi creşte RS D. Când scade U, scade Rd şi creşte RS E. Când scade U, creşte Rd şi scade RS . T15-9. Cum este sensul tensiunii electromotoare comparativ cu sensul
curentului, la un acumulator care se încarcă ? A. Acelaşi ca atunci când debitază
B. Contrar C. Depinde de tipul acumulatorului D. Depinde de starea de epuizare a acumulatorului. T15-10. Printr-un conductor, intensitatea curentului electric creşte de 1,5
ori. De câte ori cresc pierderile de enrgie electrică prin rezistenţa acelui conductor ?
A. De 3 ori B. De 2,25 ori C. De 6 ori D. Depinde de cum variază tensiunea aplicată circuitului, deoarece P = UI. Rezolvari
TESTE DE ELECTROTEHNICĂ Bateria 16
T16-1. Care este imaginea Laplace a tensiunii
dtdiLtuL =)( la bornele unei
bobine de inductanţă L, parcursă de curentul i(t) ? A. )( 0LL IIpLU −= unde )0(0 iIL = B. LL EpLIU −= unde )0(LiEL = C. 0LL EpLIU += unde 00 LL LLE ω=
D. )( 0
pILIpU L
L −= unde )0(0 iIL = .
T16-2. Care este imaginea Laplace a tensiunii ∫+=t
CL dtiC
utu0
1)0()( la
bornele unui condensator parcurs de curentul i(t) ? A.
pCIEU cc −= , unde
puE c
c)0(
=
B. cc EpC
IU −=ω
, unde p
uE cc
)0(−=
C. )( cc pCEIpCIU −= , unde )0(iCEc ω=
D. cc EpCIU −= , unde
puE c
c)0(−
=
T16-3. Care este expresia impedanţei operaţionale a unui circuit serie RLC
în calculul bazat pe transformata Fourier ?
A. pC
pLRzF 1)( ++=−
B. −
++=Cj
LjRZω
ω 1
C. dteidtCdt
diLRjF tjt
ω
πω −
+∞
∞−∫ ∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
0
121)(
D. )1()()()(Cj
FLjFRFzFω
ω ++=−
T16-4. La obţinerea t.e.m. de contur, ∫
Γ
−−
Γ = ldEe , în regim electrocinetic
nestaţionar, care dintre elementele câmpului electric −
E are întotdeauna o contribuţie nulă ?
A. Componenta potenţială, cE−
B. Componenta solenoidală, SE−
C. Câmpul imprimat, iE
−
D. Toate componentele contribuie, regimul fiind nestaţionar. T16-5. Ce exprimă relaţia: 0)( =
∂∂
+++−−
tvJdiv v
vρρ ?
A. Nu exprimă nimic, pentru că este greşită B. Legea conducţiei electrice în regim electrocinetic (forma locală) C. Legea conservării sarcinii electrice în regim electrocinetic (forma locală) D. Ca la B şi C, combinate, pentru regim electrocinetic nestaţionar E. Forma locală combinată a legilor fluxului electric şi magnetic, în regim
electrocinetic staţionar. T16-6. Care este forma locală a teoremei continuităţii liniilor de curent în
regim electrocinetic staţionar ? A. vDdiv ρ=
−
B. )(−−−
+= iEEJ σ
C. 0=−
Jdiv
D. tDJHrot
∂∂
+=−
−−
T16-7. Ce elemente se conservă în regim electrocinetic staţionar, la trecerea dintr-un mediu conductor cu conductivitate 1σ în altul cu 2σ , ambele liniare şi izotrope ?
A. Componenta tangenţială a câmpului electric, astfel încât ttt EEE == 21 B. Componenta normală a densităţii curentului de conducţie, astfel încât
nnn JJJ == 11
C. Componenta normală a câpului −
E D. Componenta tangenţială a densităţii curentului
−
J E. Ca la C şi D F. Ca la A şi B. T16-8. În ce unitate de măsură se exprimă susceptibilitatea magnetică a
unui material ? A. În aceeaşi ca şi permeabilitatea magnetică B. În aceeaşi ca şi susceptanţa C. Este un număr adimensional, nu are unitate de măsură D. În H/m2 E. În A.S./m2 T16-9. Cum se defineşte solenaţia ataşată unei suprafeţe care se sprijină pe
o curbă Γ ? A. ∫
Γ
−−
=Γ
ldHSθ
B. ∫∫Γ
Γ
−−
=S
S AdJθ
C. ΓΓΓΓ
++=SSS RCdS iiiθ
D. dt
d SS
Γ
Γ
Ψ=θ
T16-10. Există vreo deosebire între tensiunea magnetică um şi tensiunea
magnetomotoare umm ? A. Nu B. um se măsoară între două puncte iar umm pe o curbă închisă C. Invers faţă de punctul B, deoarece umm este o sursă de câmp magnetic D. Da, întrucât avem relaţia: ∫
Γ
−−−
= mmm uldu
E. Da, deoarece ∫Γ
−−−
Γ= mmmm uldu ]
Rezolvari
Răspunsuri la bateria de teste BE - 1
T1-1 Răspunsul este C T1-2 Răspunsul este A T1-3 Răspunsul este D T1-4 Răspunsul este C T1-5 Răspunsul este D T1-6 Răspunsul este A T1-7 Răspunsul este C T1-8 Răspunsul este A T1-9 Răspunsul este D T1-10 Răspunsul este A T2-1 Răspunsul este B T2-2 Răspunsul este B T2-3 Răspunsul este B T2-4 Răspunsul este A T2-5 Răspunsul este A T2-6 Răspunsul este B T2-7 Răspunsul este A T2-8 Răspunsul este A T2-9 Răspunsul este D T2-10 Răspunsul este A T3-1 Răspunsul este D T3-2 Răspunsul este A T3-3 Răspunsul este B T3-4 Răspunsul este A T3-5 Răspunsul este C T3-6 Răspunsul este B T3-7 Răspunsul este C T3-8 Răspunsul este A T3-9 Răspunsul este B T3-10 Răspunsul este A T4-1 Răspunsul este B T4-2 Răspunsul este A T4-3 Răspunsul este B T4-4 Răspunsul este C T4-5 Răspunsul este E
T4-6 Răspunsul este A T4-7 Răspunsul este E T4-8 Răspunsul este A T4-9 Răspunsul este B T4-10 Răspunsul este C T5-1 Răspunsul este E T5-2 Răspunsul este A T5-3 Răspunsul este B T5-4 Răspunsul este C T5-5 Răspunsul este C T5-6 Răspunsul este B T5-7 Răspunsul este E T5-8 Răspunsul este A T5-9 Răspunsul este A T5-10 Răspunsul este A T6-1 Răspunsul este C T6-2 Răspunsul este B T6-3Răspunsul este B,C,D T6-4 Răspunsul este C T6-5 Răspunsul este A T6-6 Răspunsul este D T6-7 Răspunsul este B T6-8 Răspunsul este E T6-9 Răspunsul este D T6-10 Răspunsul este A T7-1 Răspunsul este A T7-2 Răspunsul este E T7-3 Răspunsul este D T7-4 Răspunsul este A T7-5 Răspunsul este C T7-6 Răspunsul este D T7-7 Răspunsul este A T7-8 Răspunsul este B T7-9 Răspunsul este B T7-10 Răspunsul este F
T8-1 Răspunsul este F T8-2 Răspunsul este E T8-3 Răspunsul este E T8-4 Răspunsul este C,D T8-5 Răspunsul este C T8-6 Răspunsul este D T8-7 Răspunsul este B T8-8 Răspunsul este B,C T8-9 Răspunsul este C T8-10 Răspunsul este D T9-1 Răspunsul este A T9-2 Răspunsul este B T9-3 Răspunsul este D T9-4 Răspunsul este C T9-5 Răspunsul este C T9-6 Răspunsul este A T9-7 Răspunsul este E T9-8 Răspunsul este B T9-9 Răspunsul este D T9-10 Răspunsul este A T10-1 Răspunsul este C T10-2 Răspunsul este A T10-3 Răspunsul este B T10-4 Răspunsul este B T10-5 Răspunsul este B,C,E T10-6 Răspunsul este A T10-7 Răspunsul este A T10-8 Răspunsul este A T10-9 Răspunsul este E T10-10 Răspunsul este A T11-1 Răspunsul este A T11-2 Răspunsul este C T11-3 Răspunsul este A T11-4 Răspunsul este B T11-5 Răspunsul este B T11-6 Răspunsul este E T11-7 Răspunsul este B T11-8 Răspunsul este A T11-9 Răspunsul este F T11-10 Răspunsul este E
T12-1 Răspunsul este B T12-2 Răspunsul este B T12-3 Răspunsul este A T12-4 Răspunsul este A T12-5 Răspunsul este B T12-6 Răspunsul este A T12-7 Răspunsul este B T12-8 Răspunsul este D T12-9 Răspunsul este B T12-10 Răspunsul este D T13-1 Răspunsul este D T13-2 Răspunsul este C T13-3 Răspunsul este A T13-4 Răspunsul este C T13-5 Răspunsul este C T13-6 Răspunsul este D T13-7 Răspunsul este C T13-8 Răspunsul este B T13-9 Răspunsul este C T13-10 Răspunsul este B T14-1 Răspunsul este C T14-2 Răspunsul este D T14-3 Răspunsul este E T14-4 Răspunsul este E T14-5 Răspunsul este C T14-6 Răspunsul este C T14-7 Răspunsul este F T14-8 Răspunsul este D T14-9 Răspunsul este C T14-10 Răspunsul este D T15-1 Răspunsul este B T15-2 Răspunsul este C T15-3 Răspunsul este C T15-4 Răspunsul este C T15-5 Răspunsul este C T15-6 Răspunsul este A T15-7 Răspunsul este A T15-8 Răspunsul este A T15-9 Răspunsul este B T15-10 Răspunsul este B
T16-1 Răspunsul este B T16-2 Răspunsul este D T16-3 Răspunsul este B T16-4 Răspunsul este A T16-5 Răspunsul este C T16-6 Răspunsul este C T16-7 Răspunsul este A,B,F T16-8 Răspunsul este C T16-9 Răspunsul este B T16-10 Răspunsul este B
Comentarii şi explicaţii la unele teste din BE –1 T3-1 Răspunsul este D T3-2 Răspunsul este A T3-3 Răspunsul este B T3-4 Răspunsul este A T3-5 Răspunsul este C T3-6 Răspunsul este B T3-7 Răspunsul este C T3-8 Răspunsul este A T3-9 Răspunsul este B T3-10 Răspunsul este A
T3-6
Se impune conditia ca: VA , VB, VC, VD sa nu se schimbe.Ca urmare,
tensiunile UAC, UAD, UAB vor ramâne neschimbate in cazul schemelor a) si b)
Schema a Schema b UAC=R1I1=2·5=10(V) -E1+UAC=0; UAC=E1=-10 (V) UAD=R2I2=3·5=15(V) -E2+UAD=0; UAD=E2=-15 (V) UAB=-R3I3=-(4·-10)=40(V) -E3-UAB=0; UAB=-E3=-40 (V) Trebuie schimbate(inversate) sensurile t.e.m. E1, E2, E3 . Răspunsul este B. T3-8 R1=1(Ω);R2=4(Ω);R3=5(Ω);R4=4(Ω); R5=3(Ω) E1=6(V);E2=60(V) Sistemul de ecuatii este: G11’v’+G12’V’=Isc1’ V1’=V1 G21’V1’+G22’V2’=Isc2’ V2’=V2 G11’=G1+G2+G3=29/20(S); G22’=G1+G4+G5=11/6(S) G12’=G21’=-1(S); Isc1’=-6(A);Isc2’=-14(A) Sau: 29/20V1’-V2’=-6 V1’=~-5(V) U12=-3,75(V) U31=5(V) -V1’+11/12V2’=-14 V2’=~-1,25(V) U13=-5(V) U23=-1,25(V) Verificare(Teorema bilantului de puteri). Se calculeaza curentii: Latura(1)(rec):E1+U12=R1I1; I1=2,25(A) Latura(2)(rec):U13=R2I2; I2=-1,25(A) Latura(3)(rec):U31=R3I3; I3=1(A) Latura(4)(rec):U23=R4I4; I4=-0,31(A) Latura(5)(rec):E2+U23=R5I5; I5=19,58(A) E1I1+E2 I5 =R 1I1+R 2I2+R 3I3+R 4I4+R 5I5 1200(W)=1200(W)
T4-1 Răspunsul este B T4-2 Răspunsul este A T4-3 Răspunsul este B
T4-4 Răspunsul este C T4-5 Răspunsul este E T4-6 Răspunsul este A T4-7 Răspunsul este E T4-8 Răspunsul este A T4-9 Răspunsul este B T4-10 Răspunsul este C
T4-8 ωL1+(-1/ωC1)=0; →ω²=1/L1C1 ωL2·(-1/ωC2) =∞; →-L2/C2_____ =∞; L2 / C2_____ =∞ ; ( ωL2-1/ωC2) ωL2-1/ωC2 1/ωC2-ωL2 1/ωC2-ωL2=0; → ω²=1/L2C2 1___ = 1___ ; In conditile problemei,este posibila aceasta egalitate. L1C1 L2C2 De exemplu: L1=3(H); C1=2(F); L1>L2; L2=2(H); C1<C2 ; C2=3(F) 1/3·2=1/2·3 Răspunsul este A. T4-9 Pe baza conditiei de la problema T4-8, respectiv
2211
11CLCL
= , pt. ca Z=R,acest lucru nu este posibil in conditile problemei
Răspunsul este B. T4-10 Υ=1/Z=G-jB; Z=R+jX=j(XL+XC)=j(ωL-1/ωC) Υ=1/Z=1/j(ωL-1/ωC)=-j/(ωL-1/ωC) ; B=1/(ωL-1/ωC)= ωC/ω²LC-1
Răspunsul este C.
T5-1 Răspunsul este E T5-2 Răspunsul este A T5-3 Răspunsul este B T5-4 Răspunsul este C T5-5 Răspunsul este C T5-6 Răspunsul este B T5-7 Răspunsul este E T5-8 Răspunsul este A T5-9 Răspunsul este A T5-10 Răspunsul este A T5-6 B=µ0·i/2a p=2πa ; perimetrul primei spine. B’=2µ0·i/2a’ p=2·2πa’ ; perimetrul in cazul celor doua spire. B’=2·µ0·i/(2·a/2) 2πa=2·2π·a’ ; a’=a/2 B’=4B Răspunsul este B. T5-7 In teoria microscopica legea conductiei electrice este dedusa din teoria
conservarii sarcinii pentru metale: i=-dq0/dt (1)
unde q0 este sarcina electrica dintr-o portiune de conductor AB.
q0=n· S·l·e0 (2)
unde n=nr. de electroni in unitatea de volum; S=sectiunea conductorului; l=lungimea conductorului ; e0=-1,602·10 (C)-sarcina electronului
Curentul de conductie(in valoare absoluta)devine: i=d(n· S·l·e0) /dt = n· S·l·e0 ·dl/dt (3)
unde vma=dl/dt este viteza medie axiala a electronului de la B spre A. Vma=(0+vm)/2=a0·t0/2 (4)
unde a0 este componenta axiala a acceleratiei electronului,iar t0-timpul mediu intre doua ciocniri consecutive cu ionii din nodurile retelei cristaline a metalului.
Desi vma este de ordinul fractiunilor de mm/s, transmiterea impulsului de curent de la un capat la altul al conductorului se face cu viteze de:
-(90-95)% din viteza luminii(3 ·10 m/s) pentru linii aerieni -(40-45)% din viteza luminii pentru cabluri,deoarece cimpul electric de-a
lungul conductorului se stabileste cu viteza luminii (teoretic).Componenta axiala a fortei imprimata electronului, in valoare absoluta, este:
F0=m0·a0=e0(E+Ei)=e0 ·(U/l+e/l) (5) unde E=U/l si Ei=e/l sunt componente axiale ale cimpurilor electrice din conductor (datorate tensiunii la bornele conductorului, U, si sursei de t.e.m din circuit ,e); m0 este masa electronului:
m0=9,108 ·10 (kg) Din (4) se vede ca vma=f(a0), iar din (5) a0=e0(E+Ei)/ m0=f(U,e) Cu alte cuvinte ,vma=f(U,e), deci viteza de transport a electronilor creste
proportional cu tensiunea (respectiv,cu t.e.m a sursei): Vma=a0·t0/2=e0·t0(E+Ei) Vma=e0·t0· (U/l+e/l) 2m0 Răspunsul este E. T5-8 I1 este in faza cu U I2 este defazat inaintea lui U Se vede ca φ nu depinde de R1 Răspunsul este A. T5-10 Z=ZR+ZL+ZC=R+jωL+j(-1ωC)=R+j(ωL-1/ωC) Conditia de rezonanta: ωL-1/ωC=0 Se calculeaza susceptanta: Υ=G+jB; Υ=1/Z=1/ ZR+ZL+ZC=1/ R+j(ωL-1/ωC) Υ=R-j(ωL-1/ωC)__ = R_______ + j (1/ωC-ωL)____ R²+(ωL-1/ ωC)² R²+(ωL-1/ ωC)² R²+(ωL-1/ ωC)² Cu conditia de rezonanta de mai sus ,B=0 Răspunsul este A.
T6-1 Răspunsul este C T6-2 Răspunsul este B T6-3Răspunsul este B,C,D
T6-4 Răspunsul este C T6-5 Răspunsul este A T6-6 Răspunsul este D T6-7 Răspunsul este B T6-8 Răspunsul este E T6-9 Răspunsul este D T6-10 Răspunsul este A
T6-4
Ecuatiile circuitului (cu teoremele lui Kirchoff): I1+I4- I2=0 I5- I4- I3=0 E=I2·1/jωC E=jωL·I3 0=RI4+I2·1/jωC- jωL·I3 I2=jωC·E ; I3=E/jωL Fie E=Ea+jEr I2=jωC(Ea+jEr)=-ErωC+ jωC·Ea (prin condensator) I3= Ea+jEr/ jωL=-jωL(Ea+jEr)/ω²·L²= ωLEr/ ω²·L²-jωLEa/ω²·L²=Er/ωL-
j·Ea/ωL I3= Er/ωL-j·Ea/ωL (prin bobina) I2=I2 ·e ; γ2=-arctg (ωC·Ea/ωC·Er)=-arctg Ea/Er I3=I3 ·e ; γ=-arctg ωL·Ea/ ω²·L² = -arctg Ea/Er ωL·Er/ ω²·L² γ3=γ4 Fazele celor doi curenti sunt identice in acest
caz. _______________ I2=√(-ErωC)²+(ωC·Ea)² (-ωC)²=1/(ωL)² _______________ Răspunsul este C. I3=√(Er/ωL)²+(-Ea/ωL)² (-1/ωL)²=( ωC)²
T6-7 S=E ·I*=220(5-5j)=1100-j1100=1,1-j1,1(KVA) Răspunsul este B. T6-9 Ecuatia laturii (rec./gen.) Ek+Ubk=Zk·Ik ; Ik= Ek/ Zk+ Ubk/ Zk=Υk·Ek + Υk·Ubk Ik=Isck± Υk·Ubk (semnul “+” pt. rec.;semnul “-” pt. gen.); Inlocuind in teorema intii a lui Kirchoff: Σ Ik=0; Σ Isck=± Υk·Ubk ,unde semnul “-” pt. latura rec. si
semnul”+” pt. latura gen.Semnele sau inversat. Răspunsul este D. T6-10 Doua circuite cu impedanta Z1=R1+jX1 ,unde X1=(ωL1-1/ωC1) si
Z2=R2+jX2 ,unde X2=(ωL2-1/ωC2) sunt cuplate inductor prin inductanta mutuala M=L12=L21,la care corespunde impedanta mutuala Zm=jωM.Cele doua circuite sunt alimentate in paralel de tensiunea retelei U .Sase determine curentii I1, I2, I si impedanta echivalenta Z a celor doua circuite in paralel.se dau :R1=3(Ω); ωL1=8(Ω); 1/ωC1=4(Ω);R2=3(Ω); ωL2=6(Ω); 1/ωC2=10(Ω); ωM=5(Ω);U=100(V).Sa se verifice solutiile cu bilantul puterilor.
Rezolvare U=100(v) Se alege ca origine de faze (β=0) UR1=R1·I1 UX1=j(ωL1-1/ωC1) ·I1 defazata cu +π/2 fata de I2 Se traseaza diagrama OA1B1CO(diagrama fazoriala).Se aplica a doua
teorema a lui Kirchoff pe ochiul O1: U= R1·I1+jX1·I1+jXm·I2=Z1·I1+Zm·I2
Se aplica teorema a doua a lui Kirchoff pe ochiul doi: U= Z2·I2+Zm·I1 Se calculeaza curentii I1 si I2 ,apoi curentul I: I1=U ·(Z2-Zm)/ Z1Z2-Zm² ; I2=U·(Z1-Zm)/ Z1Z2-Zm² I= I1+ I2=U ·(Z1+Z2-2Zm)/ Z1Z2-Zm² Impedanta echivalenta a circuitului este (impedanta de intrare): Ze=U/I= Z1Z2-Zm²/(Z1+Z2-2Zm)=(2,206+j·3,676)(Ω) Cu datele problemei,rezulta: Z1=(3+4·j)(Ω); Z2=(3-4·j)(Ω); Zm=jωM=j·5(Ω) U=100(V) I1=(6-j·18)(A); I2=(6-j·2)(A);I=(12-j·20)(A) Valorile efective ale curentilor sunt : I1=18,97(A); I2=6,32(A); I=23,32(A) Fazele initiale ale curentilor au valorile : γ1=-71º; γ2=-18º; γ=-58º Defazajele intre curenti si tensiune sunt: φ1=β-γ1=71º ; φ2= β- γ2=18 º ; Cum φ1>0 si φ2>0, rezulta ca circuitele sunt preponderent inductive,
tensiunea U fiind defazata inaintea celor doi curenti,I1 si I2 . Schema echivalenta a circuitului este urmatoarea :
Re=2,206 (Ω) Xe=3,676 (Ω) Calculul puterilor •Latura 1 •Puterea aparenta (complexa) ceruta de latura 1: S1=S1’+S12+U·I1
*+S12 unde : S1’=U·I1
* -puterea aparenta absorbita din retea S12 -puterea aparenta transmisa prin cuplaj
magnetic(inductie) de latura 2
S1’=U·I1*=100(6+j·18)=600+j·1800(VA) ;S1’=P1’+j·Q1’
P1’=600(W) ;Q1’=1800(Var) •Dar puterea activa efectiv necesara laturii 1 este: P1=R1I1²=1080(W) Se observa ca P1>P1’.Ca urmare,restul de putere activa necesara laturii 1 (1080-600=480(W)) va fi preluata din latura 2, prin cuplaj(P12) S12=P12+j·Q12=E12·I1
* (VA) unde: E12=-jωMI=-Zm·I2 -t.e.m inclusa de latura 2 in latura 1(din e12=-
dΦ0/dt= -M·dI12/dt in complex) E12=-j·5(6-j·2) (V) S12=-j·5(6-j·2)(6+j·18)=480-j·360(VA) S12=P12+j·Q12 ; P12=480(W) ;Q12=-360(Var) •Puterea activa necesara laturii 1 este formata din: P1=P1’+P12=600(W)+480(W)=1080(W) •Puterea reactiva ceruta de latura 1 (din retea si prin cuplaj)se obtine din: S1=U·I1
*+S12=(600+j·1800)+(480-j·360)=1080+j·1440(VA) S1=S1’+S12=(P1’+j·Q1’)+(P12+j·Q12) Q1=Q1’+Q12+1800+(-360)=1440(Var) Circuitul 1 preia din retea Q1’=1800(Var) si de la circuitul 2, prin cuplaj,Q12=-
360(Var), Capacitiva. Necesarul efectiv de putere reactiva al laturii 1 este: Q1=(ωL1-1/ωC1) ·I1²=X1·I1²=2880-1440=1440(Var) Se vede ca acest este acoperit de retea si de cuplaj. •Latura 2 nu se vor da precizari decit acolo unde este necesar,notiunile fiind identice. •S2=S2’+S21=U·I2
*+S12=P2+j·Q2 S2’=U·I2’=100(6+j·2)=600+j·200(VA) S2’=P2’+j·Q2’ ;P2’=600(W) ;Q2’=200(Var) S21=P21+j·Q21=E21·I2
*
E21=-jω·M·I1=-j·5(6-j·18)(VA) P21=-480(W) ; Q21=-360(Var) •Puterea activa consumata efectiv de latura P2=R2·I2²=120(W) Dar: P2=P2’+P21 ;P2=600+(-480)=120(W)
Se vede ca,prin semnul minus, ca o cantitate de 480(W) este transferata laturii 1, desi din retea se absorb 600(W).
•Puterea reactiva ceruta de latura 2 se obtine din: S2=S2’+S21=U·I2
*+S21=(600+j·200)+(-480-j·360)=1200-j·160(VA) Q2=Q2’+Q21=[200+(-360)]=-160(Var) Puterea reactiva efectiv necesara laturii 2: Q2=( ωL2-1/ωC2)·I2
2=X2·I22=240-400=-160(Var)
Se vede ca latura 2 absoarbe de la retea Q2’=200(Var) si de la latura 1,Q21=-360(Var) Pentru a acoperi cerinta de energie reactiva egala cu -160(Var).A se vedea si
diagrama urmatoare:
P1=1080(W) P2=120(W) Q1=1440(Var) Q2=-160(Var) P1=R1·I1
2=1080(W) P2=R2I22=120(W)
Q1=ωL1·I12-(1/ωC1)·I1
2=1440(Var) Q2=ωL2·I22-(1/ωC2)·I2
2=-160(Var) Observatie :Q1 este absorbita din retea fiind pozitiva(Q1>0),deci latura 1 are caracter
inductor; Q2 este cedata retelei,fiind negativa (Q2<0), deci latura 2 are caracter capacitiv. Raspunsul la problema este A. Se poate transfera putere activa si reactiva. Răspunsul este A. T7-1 Răspunsul este A
T7-2 Răspunsul este E T7-3 Răspunsul este D T7-4 Răspunsul este A T7-5 Răspunsul este C T7-6 Răspunsul este D T7-7 Răspunsul este A T7-8 Răspunsul este B T7-9 Răspunsul este B T7-10 Răspunsul este F T7-1 Pentru transfer optim de putere,conditia este: Zg=Zr
* Rg=Rr g-generator Xg=-Xr r-receptor Răspunsul este A. T7-2
|UC|poate fi mai mare decit |U0| alegind XC suficient de mare |UC|>|U0| Totusi, tensiunea la bornele autotransformatorului ramine: U=220(V)=U0 Deci U10+UC=U0 Raspuns: E
T7-3
Se vede ca |I2|>|I| Raspuns: D T7-4 Raspuns :A. Nu se respecta teorema superpozitiei.Nu este posibil. T7-5 Raspuns : C T7-6
Ze=Z1Z2/Z1+Z2=[R1+j(ωL1-1/ωC1)]·[R2+j(ωL2-1/ωC2)] R1+R2+j(ωL1+ωL2-1/ωC1-1/ωC2) Se observa ca aceasta valoare a impedantei nu se obtine prin calculul
separat al Re ,XLe,XCe.In cazul legarii in paralel a elementelor de circuit similare doua cite doua,acest lucru este posibil:
Re= R1R2 ; XLe= (ωL1)·(ωL2) ; XCe= (-1/ωC1)·(-1/ωC2) R1+R2 (ωL1)+(ωL2) (-1/ωC1)+(-1/ωC2) Ze=Z1+Z2+Z3=Re+j(XLe+XCe)
Răspunsul este D. T7-7 Conditia de rezonanta a unui circuit RLC este: Xe=XL+XC=0 ;|XL|=|XC| ; ωL= ωC ; ω=1/√LC
unde: XL= ωL ;XC=-1/ωC
Conditia de rezonanta a unui circuit RLC paralel: Be= ωC-1/ωL=0 ,din Υ =Ge+j·Be,
conform calculului urmator : 1/Zp=ZR·ZC·ZL/(ZR·ZL+ ZR·ZC+ZL·ZC)=R(jωL)·(1/ωC)/(R·jωL)+R/jωC+jωL/jωC
1/Zp=R·L/C·1/[L/C+j(RωL-R/ωC)] ; Υp=1/Zp Υp=1/R+j(ωC-1/ωL)=Ge+jBe ;Be=ωC-1/ωL; La rezonanta :Be=0 Rezulta, ca la rezonanta : ω=1√LC
Observatie: La rezonanta paralel,considerind numai XL si XC (R=0) am vazut
ca Be=0 ;aceasta conduce la reactanta Xe=∞ ; Υp=1/Zp=1/Re+j·Xe=Re-j·Xe/Re
2+Xe2=Re/Re
2+Xe2-jXe/Re
2+Xe2
Υp=Ge+jBe ;Be=-Xe/Re2+Xe
2= -1/Xe = 0(la regim de rezonanta) Re
2/Xe2+1
Ca urmare 1/Xe=0; Xe=∞ ωC-1/ωL=0 ;1/(ωC-1/ωL)=∞ Daca exista si rezistenta, circuitul paralel se va inchide numai prin rezistenta: Imin=U/R Răspunsul este A. T7-8 •La rezonanta serie (de tensiuni),factorul de calitate al circuitului este: Q=(UL/U)ω=ω0 =(ωL·I/U) ω=ω0 = ω0L/R=1/Cω0R=√L/C·1/R
unde: I=U/R (la rezonanta) ; ω0=1/√LC
•La rezonanta paralel (de curenti),factorul de calitate al circuitului: Q=(IC/I)ω=ω0 =(ωC·U/I) ω=ω0 = ω0CU/I=R·√C/L ω0 =1/√LC (la fel ca la rezonanta serie) Raspuns: B Qp=1/Qs=R·√C/L T7-10 Schema de principiu a unui filtru trece – banda(FTB) este data in figura 1 a
si b. 1 Ze/ 2 Ze/ 2 2 1 Ze 2 Zt Zt Zt 1’ 2’ 1’ 2’ a b Fig. 1 Scheme generale de FTB in T(a) si π(b) Un filtru trece – banda in T este prezentat in figura 2.
1 L CO L CO 2 Ο C 1’ 2’ Fig.2 Filtru trece - banda tip T Variatia parametrului fundamental A cu frecventa , cat si caracteristica
atenuare- frecventa pentru un FTB sunt date in fig 3.Parametrul A al cuadripolului (fig 2) se obtine din :
Ze= j(ωL -
OCω1 ) ; Zt= Cjω
1
A=1+21
tZ
Z e =1 -21 (ω2LC- ⎟⎟
⎠
⎞
OCC
Intervalul de trecere este dat de : -1≤ A≤ 1
Se obtin frecventele de taiere:ωI=OLC
1 > 0; ωs=LCLCO
41+ <∞
Fig 3. Caracteristica de atenuare A 0 ωi ωs ω a a(ω)
ωi ωs ω
Analiza raspunsurilor: A.Circuitul serie R - L - C poate fi folosit la rezonanta ca FTB,deoarece
impedanta trece printr-o valoare minima ,respectiv curentul trece printr-un maxim(fig.4)
I Z(ω) Imax I(ω) ωC ωO ωL Fig.4 Caracteristicile I(ω) si Z(ω) ale unui circuit R – L – C serie
Datorita rezistentei R ≠ 0 ,atenuarea nu este optima (vezi fig.3). B.In aceste caz nu se poate realiza o conditie de rezonanta (serie) si deci nu
poate fi vorba de o atenuare redusa. C.Un circuit R – L – C deviatie (la rezonanta) are impedanta maxima
(admitanta minima),deci atenuarea este maxima. D.Raspuns similar celui de la raspunsul B. E.Datorita rezistentei de valoare mare,circuitul complet aperiodic(de
exemplu,circuit serie R - L – C la rezonanta) deplaseaza in sus curba Z(ω) si atenuarea creste.
F.Este vorba de FTB din fig.2 care indeplineste conditia ceruta de problema.Un raspuns similar poate fi dat si pentru un FTB tip π .
Răspunsul este F.
T8-1 Răspunsul este F T8-2 Răspunsul este E T8-3 Răspunsul este E T8-4 Răspunsul este C,D T8-5 Răspunsul este C T8-6 Răspunsul este D T8-7 Răspunsul este B T8-8 Răspunsul este B,C T8-9 Răspunsul este C T8-10 Răspunsul este D
T8-2 Daca linia este scurta impedanta liniei se poate neglija: Ze=0(Re=0;Xe=0)
si diagrama fazoriala a liniei este: I L2 sarcina L2 – inductanta sarcinii R2 – rezistenta sarcinii C2 – capacitatea sarcinii
U1 U2 R2 U2 – tensiunea la bornele sarcinii C2 Ecuatia circuitului:T2k(o): U2 – U1= 0 ; U2 =U1
UL2 UC2 0 I UR2=RSI
UR2 (origine de faze) UC2= Cjω1 I
U2 UL2=jωLI (=U1) Raspuns :E
Comentariu: Daca linia este lunga,intervin in calcul si parametrii liniei:
Ue Sarcina
I Re Le
L2
U1 o U2 R2 C2 UL2 T2k(o): ReI+jωLeI+ U2 – U1=0 U1=(Re+ jωLe)I+ U2
Daca 2CX >XL2 (consumator/sarcina
Ue UR2 capacitiva),atunci 2U > 1U ULe
URe U2 Raspunsul este in acest caz:C. I(origine de faze) U1
T8-3
• La transformatorul perfect: K=21LL
M =1; n=1
2NN =
1
2
U
U(n sau kn )
• La transformatorul ideal (R1=10; P1=0;R2=0; P2=0; S1=jQ1;S2=jQ2)
n=1
2
UU
=2
1
II
Definind pe n sub forma :n=2
1
nn , deci invers fata de cele prezentate mai
sus,rezulta ca n=1
2
II
caracterizeaza transformatorul ideal.Raspuns: E.
T8-4 TA(ideal) I1 I2 E U1 U2 Zs(Rs=500Ώ)
~ RI=5 Ώ n(saukn) La transformatorul ideal(vezi problema anterioara) se poate scrie: Z1n=
2
1
UU ;
Zs=22
IU .
Tinand cont de ecuatiile transformatorul ideal: U2=nU1 se obtine relatia: Z1n=n2Zs sau
I2= n1 I1
RI=n2Rs ; n=s
iRR =
101
Raspuns: C,D. T8-5 La conexiunea stea tensiunile pe faza, in cazul unui consumator trifazat
echilibrat, este mai mica decat tensiunea de linie: U1= 3 Uf ; Uf=31U ; U1=Ulinie
Răspunsul este C. T8-7
La sistemele trifazate, operatorul de rotatie a are expresia : a=-
21 +j
23 ;astfel ca un sistemul trifazat direct de tensiuni se scrie sub forma:
U3 U1=U1 ω U2=a2 U1 U3=a U1
U1
U2 Tensiunile U2 si U3 fiind defazate in urma lui U1, respectiv cu120° si 240°.
Se vede ca b= - 21 - j
23 =a*=a2.
Inmultirea cu b a unui fazor tensiune il roteste pe acesta cu 120° inainte(in sistemul trifazat simetric direct).
Raspuns : B. Problema 4E-1 Suma curentilor care intra intr-o suprafata inchisa fiind nula, conform
teoremei continuitatii curentului electric de conductie,raspunsul corect este D. 1 2 V2
∑=
4
1kkI =0 V1 I1 I2
I1+ I2+ I3+ I4=0 U2 U1 V4=0 3 I3 I4 4 U3 V3 T8-10 Ecuatiile in parametrii admitanta ale unui cuadrupol liniar si pozitiv sunt:
I1=Y11U1+ Y12U2 I2 =Y21U1+ Y22U2 Raspunsul este D. T9-1 Răspunsul este A T9-2 Răspunsul este B T9-3 Răspunsul este D T9-4 Răspunsul este C T9-5 Răspunsul este C T9-6 Răspunsul este A T9-7 Răspunsul este E T9-8 Răspunsul este B T9-9 Răspunsul este D T9-10 Răspunsul este A T9-1 Raspunsul este A. De observat ca la raspunsul C , conditia de reciprocitate este gresita.
Corect: A D – B C=1. T9-2 Schema echivalenta in T a transformatorului monofazat este urmatoarea:
Sistemul de ecuatii care descriu functionarea transformatorului sub forma in care marimile secundare sunt raportate la primar este:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=+
+′+=−
++=
ωμ
μμσ
μμσ
10'21
'2
'2
'2
'2
1111
IIIII
IjXIXjIRU
IjXIjXIRU
21
12
Si se poate interpreta ca sistemul de ecuatii al unui cuadripol in T.
Raspunsul este B. T9-3 Raspunsul este E ,completat astfel: E.Raspunsul corect este ″Da, dar trebuie respectata conditia (A+D)2 – 4 ≥ 0" Justificare:
1 2 A,B,C,D Ze1= ZC1 Z2= ZC1
1’ 2’ Asadar, prin definitia impedantei de sarcina: Z2= ZC1 in conditia Ze1= ZC1 Dar:
Ze1=1
1
IU =
22
22
DICU
BIAD
+
+
=DC
BI
UA
IU
+
+
2
2
2
2
=DZC
BAZ
+
+
2
2
Inlocuind pe Ze1 si Z2 cu ZC1 se obtine ecuatia: CZ 2
1C +(D - A)ZC1 – B = 0, de unde:
ZC1=( ) ( )
C
DADA
2
42
−± +−
Deci, pentru ca solutia sa fie reala, trebuie ca marimea de sub radical sa fie pozitiva.
Răspunsul este D. T9-5 Relatiile intre unitati sunt: 1Np = 2• log e (B) = 0,8686(B) 1Np = 20• log e(dB) = 8,686(dB) Raspounsul este C. T9-6
γC= ln ( 1 ) = - ln(A) A Raspunsul este A.
T10-1 Răspunsul este C T10-2 Răspunsul este A T10-3 Răspunsul este B T10-4 Răspunsul este B T10-5 Răspunsul este B,C,E T10-6 Răspunsul este A T10-7 Răspunsul este A T10-8 Răspunsul este A T10-9 Răspunsul este E T10-10 Răspunsul este A
T10-1 Pe armonica intai ( fundamentala ) se poate scrie:
( XC+ XC ) < 0 ; ωL - 1 < 0 ; | ωL| < |- 1 | ωC |ωC|
unde XL = ωL ; XC = - 1
ωC Pe armonica m se obtine rezonanta: m ωL - 1 = 0 m ωC Se observa ca marind pe XL = ωL de m ori si micsorand pe XC =- 1/ ωC
tot de m ori, se obtine valoarea nula. Procedand similar in continuare tot pentru o plaja de valori egala cu m ( de la m la m*m ), XL va creste in continuare, XC va scadea in continuare, obtinandu-se pentru m*m valori simetrice fata de XL1 si XC1:
Răspunsul este C. T10-7 Din studiul bobinei cu miez de fier ( „Circuite neliniare in regim
permanent” ), pierderile prin histerezis sunt date de expresia: Ph =Vf ∫ H dB ( W ) ΓBH
unde: V= Al – volumul circuitului magnetic (miezului de material fenomagnetic);
f – frecventa curentului in bobina ; ∫ H dB – densitatea de volum a energiei cheltuite (whm) ΓBH pentru un ciclu de histerezis, egala ( la scara) cu aria ciclului de histerezis. Aceasta arie se determina experimental sau se calculeaza
(analitic) cu formula empirica a lui Steinmetz:
n whm= ηBmax , in care coeficientul η si
exponentul n (1,6<n≤2 – pentru tolele obisnuite) depind de material. Asadar, se poate scrie: Ph = V f whm = V Phm
Unde: Phm = f whm = f ∫ H dB[w/m3 ] ΓBH
reprezinta puterea specifica de pierderi prin histerezis magnetic. Raspuns : A; pierderile prin histerezis sunt proportionale cu frecventa. Observatie : Cu cat creste frecventa, respectiv la frecvente inalte,
pierderile prin histerezis cresc mai repede decat proportional cu frecventa, la aceeasi inductie maxima.
Răspunsul este A. T10-8 Pierderile prin curenti turbionari ( cazul bobinei cu miez de fier) sunt
date de expresia: Pf = pf V = π 2 Δ2f2 B2max =km f2 B2max (w) 6ρ
unde : Δ - grosimea tolei miezului de fier ( circuitului magnetic; Δ=0,35÷ 0,5mm la aparate si masini de frecventa industriala); ρ - rezistivitatea materialului; σ = 1/ρ - conductivitatea; f – frecventa curentului in bobina; Bmax – inductia maxima in miez.
Marimea pf constituie puterea de pierderi specifice prin curenti turbionari (W/m3). Observatie: Relatia lui Pf de mai sus are la baza expresia: T
Pf = f ∫K/ Ν (dΦ) dΦu =f KA ∫ (dB) dt dt 0 dt unde k>0 este o constanta proportionala cu lungimea circuitului
magnetic si invers proportionala cu rezistivitatea miezului. Raspuns : E. T10-10
Pierderile in dielectricul unui condensator se exprima in practica prin relatia:
Pd = |Q| tg δ unde: Q - puterea reactiva a condensatorului ( pe tablita acestuia, in kvar); tgδ - factorul de pierdere, utilizat pentru caracterizarea materialelor dielectrice ( dat in tabele sau curbe, ca functie de frecventa).
Cu cat acest factor este mai mic, cu atat pierderile sunt mai mici. Raspuns: A.
T11-1 Răspunsul este A T11-2 Răspunsul este C T11-3 Răspunsul este A T11-4 Răspunsul este B T11-5 Răspunsul este B T11-6 Răspunsul este E T11-7 Răspunsul este B T11-8 Răspunsul este A T11-9 Răspunsul este F T11-10 Răspunsul este E
T11-1 Conform teoremei lui Ch.Aug.Coulomb(1785), forta de interactiune
dintre doua corpuri incarcate cu sarcini electrice adevarate este:
1221
12 21 u
qqE = forta este de atractie daca sarcinile
4πε0 R12 au semne contrare. Raspunsul este : A. T11-4 Relatia de echilibru electrostatic pentru un corp conductor electrizat are
forma: E + Ei = 0 Raspunsul este B. Indiferent de starea de repaus sau de miscare a corpului
conductor electrizat, ecuatia de echilibru electrostatic ramane valabila. Răspunsul este B. T11-6 Rigiditatea electrica Ed a unui corp izolat este valoarea intensitatii
campului electric la care se pierde calitatea de iZolator a acestui corp(de exemplu Ed = 100-150 kV/cm pentru pertinare). Daca |E|<Ed se mentine
echilibrul electrostatic in izolant. In caz contrar, izolantul se strapunge, fiind traversat de un curent electric de conductie.
Rigiditate dielectric nu este o constanta de material, ci depinde de o serie de factori ca: umiditate, presiune, temperatura, capacitatea de cedare a caldurii de catre material, durata de aplicare a tensiunii.
Raspunsul este E. T11-7 Daca dielectricul condensatorului are εd>εa (εa – permitivitatea aerului),
fie, spre exemplu, εd=εa. Capacitatea condensatorului cu dielectric: Cd = q = εdA U d Intrerupand alimentarea, sarcina q ramane nemodificata si prin scoaterea
dielectricului, noul condensator (cu aer ) va avea capacitatea: Ca = q = εa A ; εa = εd U′ d 5 Rezulta : U′ = d = 5d Q εa A εd A Comparand cu expresia de mai sus, pusa sub forma: U = d Q εd A Se observa o crestere a tensiunii intre armaturi ( de 5 ori, in cazul
exemplului dat) Raspunsul este B. T11-8 Capacitatea condensatorului echivalent este:
Ce = C1 C2 < (C1,C2) ; Ce > 0 (prin definitie) C1 +C2 Ce = 200(n F)= 2 10-7 (F) C1 = 0,1(μF) = 10-7 (F) C2 = Ce C1 = 2 10 1 10 < 0
C1 – Ce 1 10-7 -2 10-7
Raspunsul este A. T11-9
Ce = C1+ C2 C1 = 500 (pF)=500 10-12 (F) Ce > C1 presupune ca C2 poate avea orice valoare , cu conditia C2 >0(teorema cap. electrice) Raspunsuri corecte: A,B,C, respectiv F. T11-10 In curent continuu: In curent alternativ sinusoidal:
UC1 = q ; UC2 = q XC1= - 1 ; XC2= - 1
C1 C2 ω C1 ωC2 ZC1 =j( - 1 ) ; Z C2= j( - 1 )
ωC1 ωC2 UC1 = ZC1I1 = - j I ; U C2 = - j I ω C1 ωC2 Raspunsul corect este : E.
Tensiunea se repartizeaza invers proportional cu capacitatile – cazul a si invers proportional cu ω - cazul B; deci invers ca la punctul A.
T12-1 Răspunsul este B T12-2 Răspunsul este B T12-3 Răspunsul este A T12-4 Răspunsul este A T12-5 Răspunsul este B T12-6 Răspunsul este A T12-7 Răspunsul este B T12-8 Răspunsul este D T12-9 Răspunsul este B T12-10 Răspunsul este D
T12-1 Permitivitatea absoluta este data de relatia: ε = εr * ε0 ; ε0= 1 ( F/m ) - permitivitatea vidului 4π9*109
Daca εr= 3,5 , atunci ε creste de 3,5 ori. Raspunsul este : B. T12-2
C1 = 10-4 m F= 10-7 (F) ; Ce = C1+C2 = 105 (pF) = 10-7 (F) Rezulta : C2 = 0 (F). Raspunsul este : B. T12-3 La legarea in serie a condensatoarelor , Ce <( C1,C2). La legarea in paralel a condensatoarelor, Ce >( C1,C2). Raspunsul este : A. T12-5 In camp electrostatic tensiunea electrica nu depinde de drum in orice
Conditii de existenta ale campului electrostatic ( deoarece teorema provine din legea inductiei electromagnetice, care este o lege generala ).
Raspunsul este : B. T12-6 In camp electrostatic nu exista variatii in timp ale marimilor de stare ( ∂/∂t =0) ; ca urmare, legea inductiei electromagnetice ( forma locala = a
doua ecuatie a lui Maxwell ) devine: 0/ =∂∂= tBErot Inexistenta rotorului arata ca E este irotational, deci liniile de camp
electrostatic nu pot fi curbe inchise. Altfel: Presupunand ca ar exista linii de camp inchise , ar rezulta, aplicand
teorema potentialului electrostatic acestor linii, relatia: ∫ E ds = ∫ |E| |ds| = 0, cu E↑↑ds , ceea ce este absurd, deoarece Γ Γ E ds = |E| |ds| > 0 ca o suma de termeni pozitivi care nu poaqte fi nula. In
concluzie, liniile de camp electrostatic sunt deschise. Ele incep acolo unde sunt sarcini pozitive si sfarsesc acolo unde sunt sarcini negative.
Raspunsul este: A. T12-7 Potentialul electrostatic poate avea o interpretare electrostatica astfel: Experimental se arata ca un camp electrostatic odata stabilit se
mentine fara a fi nevoie de un aport energetic din exterior. Din principiul conservarii energiei rezulta ca in campurile electrostatice nu se poate obtine, nici consuma lucru mecanic prin efectuarea unui ciclu de transformare reversibil ( nu exista schimb de energie intre domeniul de camp respectiv si exteriorul sau ).
Fie un ciclu de transformare reversibil constand in deplasarea pe o curba inchisa Γ , oarecare, a unui corp mic de proba incarcat cu sarcina q, miscarea acestui corp fiind destul de inceata pentru ca fiecare din starile lui succesive sa fie considerata stare electrostatica.
Lucrul mecanic efectuat de forta electrica F, care se exercita asupra micului corp de proba , are expresia : finin WWsdEqsdFL −=== ∫∫
ΓΓ
,
unde: Win – energia campului in stare initiala; Wfin – energia campului in stare finala.
Cum la miscarea pe o curba inchisa Γ cu revenire in punctul initial, Win =
Wfin , rezulta ca circulatia intensitatii campului electrostatic pe orice curba inchisa este nula:
, 0=∫Γ
sdE rr - forma integrală a teoremei potenţialului electrostatic
Deci lucrul mecanic total efectuat asupra corpului de probă prin deplasarea în câmp electrostatic pe un traseu închis este nul.
Răspunsul este B. T12-9 Impunând valoarea q > 0 pentru sarcină suprafeţei unui conductor omogen
electrizat, cu legea fluxului electric aplicată unei suprafeţe închise Σ care o îmbracă strâns, rezultă:
AdxdVdA
dxdVAdDq εε −=−== ∫∫∫∫
ΣΣ
rr
din:dxdVgradVE −=−= (teorema potenţialului electrostatic - forma locală)
Înlocuind pe dx cu dn (pe direcţia normalei) şi cum:
SAq ρ= se obţine relaţia:
nV
dndV
S ∂∂
−=−= εερ
Răspunsul este B. T12-10 În materialele anizotrope, cum sunt cristalele, proprietăţile de material
locale depind de direcţia la care se referă. Ca urmare, în cazul aplicării unui câmp electric exterior, cu o direcţie oarecare, polarizaţia temporară Pt are, în
general, o altă direcţie. Între componentele carteziene ale mărimilor DşiPErrr
, , faţă de axe oarecare există relaţii liniare cu caracter tensorial.
Răspunsul este D.
T13-1 Răspunsul este D T13-2 Răspunsul este C T13-3 Răspunsul este A T13-4 Răspunsul este C T13-5 Răspunsul este C T13-6 Răspunsul este D T13-7 Răspunsul este C T13-8 Răspunsul este B T13-9 Răspunsul este C T13-10 Răspunsul este B
T13-1 Răspunsul este D. T13-2 Atenţie, numai în cazul energiei acumulate într-un condensator sau a unui
ansamblu de n condensatoare electrice încărcate, care ar putea constitui sistemul dat, energia ar putea fi scrisă şi sub forma D:
CK
KK
n
KCKKe U
qCJUqW == ∑=
);(21
1
În acest caz, cele n corpuri conductoare electrizate din sistem ar fi organizate în perechi, încărcate cu sarcini egale şi de semne contrare, constituind n/2 condensatoare electrice. În cazul unui condensator, energia electrică acumulată de acesta (în dielectric) dacp este supus la tensiunea U = V1 - V2, cu sarcinile q1 = q şi q2 = -q are forma:
( ) 22
212211 21
21
2221
21 CU
CqUqVVqVqVqWe ===−=+=
Pentru toate condensatoarele astfel formate, energia sistemului ar fi:
∑=
=2/
1
n
KCKKe UqW
cu condiţia ca n să fie un număr par. Cum problema nu precizează o astfel de condiţie, rămâne valabil răspunsul
C (care implică şi valabilitatea răspunsurilor A şi B). T13-3 Răspunsul este A. Conform principiului conservării energiei, energia potenţială a sistemului
trebuie să fie minimă.
Principiul energiei potenţiale minime a unui sistem derivă din principiul minimei acţiuni (al lui Lagrange).
T13-4 Dacă mediul este limitat ca extindere, rezultă că cele două corpuri
conductoare încărcate sunt apropiate şi, prin inducţie (influenţă) electrostatică, acestea îşi vor echilibra reciproc sarcinile; ca urmare, corpurile vor forma un condensator electric având sarcinile ± q3.
Ţinând seama şi de capacitatea electrică pe care aceste corpuri o realizează cu pământul, se obţine o structură de trei condensatoare electrice, ca în figură.
Răspunsul este C. T13-5 Conform relaţiei forţei generalizate a sistemului:
ctq
e
xWX
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−= ,
răspunsul este C. T13-9 Densitatea de volum a forţei Laplace este:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×=×=
⋅Δ×Δ
=ΔΔ
=Δ 3mNBJB
Ai
AlBli
vFf vv
vrrr
rrr
rrrr
unde Jr
este densitatea curentului de conducţie din elementul de conductor Δl aparţinând circuitului parcurs de curentul i.
Răspunsul este C. T13-10 Răspunsul este B.
T14-1 Răspunsul este C T14-2 Răspunsul este D T14-3 Răspunsul este E T14-4 Răspunsul este E T14-5 Răspunsul este C T14-6 Răspunsul este C T14-7 Răspunsul este F
T14-8 Răspunsul este D T14-9 Răspunsul este C T14-10 Răspunsul este D
T14-6 ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=
⋅=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= m
AspHmAsp
lNiH 410
5,015000;
Răspunsul este F. T14-7 Legea lui Ohm pentru circuite magnetice (corect: pentru o latură sau o
secţiune de circuit magnetic neramificată) este: Um = Rm · Φf (Asp)
unde: Rm - reluctanţa magnetică a laturii/secţiunii de circuit magnetic;
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= ∫ Wb
AspAlRm
2
1 μ
sau: ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= Wb
AspAlRm μ
pentru circuite cu geometrie regulată
(măsurabilă); Φf -fluxul fascicular(fluxul produs de o singură spiră a bobinei
circuitului magnetic) Răspunsul corect este F. T14-8 Răspunsul este D. Într-adevăr, relaţia de calcul a unei inductivităţi este:
iL tΦ
=
unde: Φt este fluxul total produs de bobina parcursă de curentul i; Φt = N·Φf unde N este numărul de spire al bobinei. Observaţie importantă: Legea lui Ohm şi teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice se scriu
cu fluxul fascicular. Inductanţa şi t.e.m. indusă se calculează cu fluxul total: Φt = N·Φf.
T15-1 Răspunsul este B T15-2 Răspunsul este C T15-3 Răspunsul este C T15-4 Răspunsul este C T15-5 Răspunsul este C T15-6 Răspunsul este A
T15-7 Răspunsul este A T15-8 Răspunsul este A T15-9 Răspunsul este B T15-10 Răspunsul este B
T15-5 În interiorul conductorului tEE
rr= . La suprafaţa conductorului apare şi nE
r,
perpendicular pe conductor, care se va însuma vectorial cu tEr
, dând câmpul electric exterior: ntext EEE
rrr+= .
Valoarea maximă pentru extEr
este pe suprafaţa conductorului, după care extEr
scade cu pătratul distanţei (de exemplu, în cazul câmpului cvasistaţionar).
Ca urmare, maxextEr
pe suprafaţă este egal cu tEr
( 0=nEr
). Câmpul magnetic are valoarea maximă la suprafaţa exterioară a
conductorului: text HHrr
=max după care câmpul scade cu pătratul distanţei faţă de conductor (de exemplu,
în cazul câmpului cvasistaţionar). Ca urmare: tt HES
rrr×=max .
Răspunsul este C. T15-6 Adâncimea de pătrundere a câmpului electromagnetic într-un conductor
masiv are expresia:
)(22
mωσμπ
λδ ==
Răspunsul este A. T15-8 În figura de mai jos se pot vedea cele două rezistenţe, precum şi modul în
care acestea variază cu tensiunea aplicată U în cazul unei lămpi cu incandescenţă cu filament metalic (caz tipic de rezistor neliniar):
αktgI
URst ==
Dacă u creşte, se vede că Rst creşte (α' > α). αktg
dIdU
IUR
Id ==ΔΔ
=→Δ 0
lim
Dacă u creşte, se vede că Rd creşte (β' > β). Răspuns: A. T15-9 Schema unei surse (acumulator) care se încarcă este:
Răspuns: B. T15-10 Pierderile de energie electrică printr-un rezistor de rezistenţă R, parcurs de
curentul I: P = RI2; W = P·t = RI2·t Dacă t rămâne nemodificat, răspunsul este B.
T16-1 Răspunsul este B T16-2 Răspunsul este D T16-3 Răspunsul este B T16-4 Răspunsul este A T16-5 Răspunsul este C T16-6 Răspunsul este C T16-7 Răspunsul este A,B,F T16-8 Răspunsul este C T16-9 Răspunsul este B T16-10 Răspunsul este B
T16-5 În regim electrocinetic, dacă corpurile conductoare sunt mobile ( 0≠vr ),
legea conservării sarcinii sub formă integrală dezvoltată este dată de relaţia: ( ) ∫∫∫∫∫
Σ ∂∂
−=+Σ
vv
v dvt
AdvJ ρρrrr
unde:
∫∫Σ
AdJrr
- curentul de conducţie (iΣ)
∫∫Σ
Advv
rrρ - curentul de convecţie (Σvi )
Ambii curenţi ies din suprafaţa închisă Σ. ∫∫∫
Σ ∂∂
−v
v dvt
ρ - viteza de scădere a sarcinii electrice din interiorul
suprafeţei închise Σ. Sub formă locală, aplicând teorema lui Gauss - Ostrogradki primului
membru, se obţine relaţia: ( )
tvJdiv v
v ∂∂
−=+ρρ rr
.
Răspunsul este C.
Baterie de teste pentru măsurări electrice
1. Numiţi elementele componente ale dispozitivului magnetoelectric parcurs
de curentul de măsurat. = 2 p. 2. Cuplul activ este creat de forţe electromagnetice la dispozitivele: a) magnetoelectric; b) feromagnetic; c) electrodinamic; d) magnetoelectric cu termocuplu. = 0,5 p. 3. Deduceţi ecuaţia de funcţionare a dispozitivului feromagnetic. Determinaţi
caracterul scării aparatului. = 3 p. 4. În exploatarea echipamentelor electrice cele mai folosite aparate de măsurat
au dispozitive: a) magnetoelectrice; b) feromagnetice; c) electrodinamice; d) ferodinamice. = 0,5 p. 5. Comparaţi metodele de măsurare de laborator cu cele industriale. = 1 p. 6. Aparatele cu dispozitive electrodinamice au marcate distinct (polarizate)
bornele de intrare, pentru cele două bobine, pentru că: a) dispozitivele electrodinamice pot măsura în c.c.; b) mişcarea de rotaţie a echipajului mobil să se efectueze în sensul
corect (sensul crescător al diviziunilor); c) echipajul mobil are un singur resort elastic. = 0,5 p. 7. Numiţi principalele criterii de clasificare ale aparatelor electrice de măsurat.
= 1,5 p. 8. Numiţi unităţile fundamentale în S.I. = 0,5 p. 9. Pot fi folosite aparate cu dispozitive feromagnetice la măsurări:
1) în circuite de c.c.; 2) în circuite de c.a.: a) 1) şi 2) adevărat; b) 1) şi 2) fals;
1
c) 1) adevărat, 2) fals; d) 1) fals, 2) adevărat. = 0,5 p. 10. Ce cupluri acţionează asupra echipajului mobil al aparatelor electrice de
măsurat: a) cuplul activ; b) cuplul de inerţie; c) cuplul activ şi cuplul rezistent; d) cuplurile activ, rezistent, inerţie, amortizare. = 1 p. 11. Se măsoară un curent continuu de 1,5A cu ampermetrul magnetoelectric
având valoare maximă de 5A şi clasa de precizie 1 (unu). Să se determine: - eroarea relativă comisă la măsurarea curentului de 1,5A; - intervalul de încadrare al valorii măsurate. = 2 p. 12. Numiţi elementele componente fără de care dispozitivul feromagnetic nu
poate funcţiona. = 2 p. 13. Cuplul activ este creat de forţe electrodinamice la dispozitivele: a) magnetoelectric; b) feromagnetic; c) electrodinamic; d) ferodinamic; e) de inducţie. = 0,5 p 14. Deduceţi ecuaţia de funcţionare a dispozitivului magnetoelectric.
Determinaţi caracterul scării aparatului. = 3 p. 15. Ca aparate de laborator sunt folosite cele care au dispozitive: a) electrodinamice; b) ferodinamice. = 0,5 p. 16 Furnizează indicaţii asupra preciziei cu care s-au efectuat măsurătorile: a) erorile reale; b) erorile convenţionale; c) erorile absolute; d) erorile relative. = 0,5 p. 17. Dispozitivele feromagnetice au un singur resort antagonist pentru că: a) scara are diviziunea zero în extrema stângă;
2
b) cuplul activ are un singur sens; c) cuplul activ este slab şi poate fi echilibrat uşor cu un singur
resort; d) resortul antagonist nu face parte din circuitul electric.
= 1 p. 18. Pe cadranele aparatelor electrice de măsurat sunt trecute simboluri şi
inscripţii referitoare la ................................................................................................ .......................................................................................................................................................... =1,5 p.
19. Ce cupluri acţionează asupra echipajului mobil al unui dispozitiv
magnetoelectric în situaţia în care acul indicator este staţionat în dreptul diviziunii zero:
a) activ; b) de inerţie; c) activ, rezistent, inerţie; d) activ, rezistent, amortizare. = 0,5 p. 20. Scrieţi multiplii şi submultiplii zecimali ai unităţilor S.I. Scrieţi prefixele
S.I. şi simbolurile. = 0,5 p. 21. Principiul de funcţionare al dispozitivului electrodinamic constă în: a) interacţiunea câmpului magnetic al bobinei cu piesa
feromagnetică; b) interacţiunea conductoarelor parcurse de curenţii electrici; c) interacţiunea magnetului permanent şi cadranului parcurs de
curent; d) interacţiunea corpurilor electrizate. = 1 p. 22. Se măsoară un curent continuu de 3A cu un ampermetru electromagnetic
având valoarea maximă 10A şi clasa de precizie 2,5. Să se determine: - eroarea relativă comisă la măsurarea curentului de 3A; - intervalul de încadrare al valorii măsurate. = 2 p. 23. Numiţi elementele componente fără de care dispozitivul electrodinamic nu
poate funcţiona. = 2 p. 24. La dispozitivul feromagnetic cuplul este creat de:
3
a) forţa electromagnetică; b) interacţiunea câmpului magnetic al bobinei cu piesa
feromagnetică; c) forţa electrodinamică. = 0,5 p. 25. Deduceţi ecuaţia de funcţionare a dispozitivului de inducţie. Determinaţi
caracterul scării aparatului. = 2 p. 26. Dispozitivele feromagnetice, în comparaţie cu dispozitivele
magnetoelectrice, se caracterizează prin: 1) consumul propriu de energie electrică: a) mai mare; b)mai mic; c) egal. 2) capacitatea de supraîncărcare:
a) mai mare; b) mai mică; c) egală. = 1 p.
27. După caracterul lor erorile pot fi: a) reale; b) obiective; c) convenţionale; d) subiective; e) sistematice; f) întâmplătoare. = 0,5 p. 28. Numiţi elementele constructive comune dispozitivelor magnetoelectrice,
feromagnetice şi electrodinamice. = 0,5 p. 29. Pe cadranele aparatelor electrice de măsurat sunt trecute simboluri şi
inscripţii referitoare la: a) clasa de precizie; b) metoda de măsurare; c) constanta aparatului; d) felul curentului. = 0,5 p. 30. Ce cupluri acţionează asupra echipajului mobil al aparatelor electrice de
măsurat în situaţia în care acul indicator este staţionat în dreptul unei diviziuni, alta decât zero:
4
a) de inerţie; b) activ; c) activ, rezistent, inerţie; d) activ, rezistent, amortizare. = 0,5 p. 31. De cine este caracterizată precizia măsurării: a) calitatea aparatului; b) eroarea relativă; c) condiţiile de măsurare; d) eroarea absolută. = 0,5 p. 32. Aparatele cu dispozitive electrodinamice pot măsura în: 1) circuite de curent continuu; 2) circuite de curent alternativ; a) 1) adevărat, 2) fals; b) 1) fals, 2) adevărat; c) 1) şi 2) adevărat; d) depinde de clasa de precizie. = 0,5 p. 33. Se măsoară un curent continuu de 7A cu un ampermetru electromagnetic
având valoarea maximă 10A şi clasa de precizie 1,5. Să se determine: - eroarea relativă comisă la măsurarea curentului de 7A; - intervalul de încadrare al valorii măsurate. = 2 p. 34. Se efectuează două măsurări cu un ampermetru al cărui domeniu de
măsurare este 0-30A. La prima măsurare I1=3A, iar la a doua măsurare I2=25A. Care măsurare este mai precisă?
a) problema nu este clară întrucât nu este indicată clasa de precizie a ampermetrului;
b) precizia măsurărilor este aceeaşi, aparatul fiind acelaşi; c) prima măsurare este mai exactă decât a doua; d) măsurarea a doua este mai exactă decât prima. = 6 p. 35. Un ampermetru cu domeniul 0-10A are rezistenţa internă 0,5Ω. Ce curent
maxim poate măsura dacă i se ataşează un şunt de 0,1 ohmi? a) 60A; b) 50A; c) 40A; d) 30A. = 4 p.
5
36. Pentru măsurarea căror rezistente este indicată schema alăturată?
a) rezistenţe mari; b) rezistenţe de valori medii; c) rezistenţe a căror valoare este semnificativ mai mică decât (RA); d) rezistenţe a căror valoare este semnificativ mai mare decât (RA).
= 2 p. 37. Cum se va modifica valoarea curentului din diagonala unei punţi
echilibrate dacă tensiunea de alimentare a punţii se măreşte? a) creşte puţin; b) creşte semnificativ; c) descreşte puţin; d) rămâne egală cu zero. = 3 p. 38. Ce înţelegeţi prin măsurări electrice? a) Compararea mărimii de măsurat cu o mărime de aceeaşi natură
cu ea, luată drept unitate de măsură; b) O apreciere a mărimilor fizice; c) Măsurarea mărimilor ce caracterizează fenomenele electrice şi
magnetice; d) O posibilitate de studiu a fenomenelor naturale. = 3 p. 39. Ce fel de putere măsoară un wattmetru electrodinamic? a) putere activă; b) putere activa instantanee; c) putere totală; d) putere reactivă. = 5 p. 40. La un voltmetru magnetoelectric, fiind cunoscute valorile RI şi UI şi
stabilite limitele maxime UK pentru m domenii, factorii de multiplicare şi rezistenţele adiţionale se determină astfel: = 4 p.
6
41. La un wattmetru monofazat bobina mobilă se leagă, în circuitul de măsurat, în paralel.
a) adevărat; b) fals. = 3 p. 42. La un contor trifazat, cum se leagă în circuitul de măsurat cu patru
conductoare: a) bobina de curent; b) bobina de tensiune? 1) a şi b în serie; 2) a în serie şi b în paralel; 3) a în paralel şi b în serie; 4) a şi b în paralel. = 2 p. 43. Energia consumată într-o reţea monofazată este proporţională cu: a) viteza
de rotire a discului contorului; b) numărul de rotaţii a discului contorului. 1) a adevărat şi b fals; 2) a fals şi b adevărat; 3) a şi b adevărat; 4) a şi b fals. = 5 p. 44. Numărul de amperspire NI trebuie avut în vedere în mod obligatoriu, la
stabilirea domeniilor de măsurare la un .................................... a) ampermetru magnetoelectric; b) ampermetru electrodinamic; c) ampermetru ferodinamic; d) ampermetru indiferent de tipul constructiv. = 4 p. 45. La măsurarea intensităţii şi tensiunii electrice, prin metode industriale, cel
mai frecvent sunt folosite ampermetrele şi voltmetrele cu dispozitive. 1) magnetoelectrice; 2) magnetoelectrice cu redresor; 3) feromagnetice; 4) electrodinamice. = 4 p. 46. Transformatorul de curent pentru măsurări este utilizat pentru extinderea
domeniului de măsură la voltmetrele de tip electromagnetic, la măsurări în curent alternativ.
1) adevărat; 2) fals. = 5 p.
7
47. Voltmetrul indică 120V iar ampermetrul 12A. Sa se calculeze puterea consumata în RS (A si V nu au erori).
48. Care este cea mai evidentă diferenţă între ohmmetrul serie şi ohmmetrul
derivaţie? 1) ohmmetrul serie are dispozitivul magnetoelectric înseriat cu
sursa şi rezistenţa necunoscută; 2) ohmmetrul derivaţie are dispozitivul magnetoelectric dispus în
derivaţie cu sursa şi rezistenţa necunoscută; 3) gradarea scalei la ohmmetrul derivaţie este în sens normal,
stânga-dreapta, în timp ce la ohmmetrul serie gradarea este inversă. = 4 p.
49. Aparatul de măsurat la un ohmmetru este de fapt un miliampermetru. a) adevărat; b) fals. = 3 p. 50. Puntea Wheatstone este destinată măsurării rezistenţelor la valori: a) mici (10-6 ohmi la 10-2 ohmi); b) mijlocii (1 ohm la 104 ohmi); c) mari (104 ohmi la 106 ohmi). = 3 p. 51. Ce valori trebuie să aibă rezistenţele interne ale:
1) voltmetrului; 2) ampermetrului. a) 1 mare şi 2 mică; b) 1 mică şi 2 mare; c) valorile sunt funcţie de tipul dispozitivului; d) valorile sunt funcţie de domeniul maxim de măsurare.
= 4 p. 52. Indicaţi principala calitate a unei punţi echilibrate de măsurare a
rezistenţelor. a) consum mic de energie ca urmare a lipsei curentului în diagonala
punţii;
8
b) posibilitatea gradării scalei nemijlocit în unităţile de măsură ale mărimii măsurate;
c) precizia mare a măsurării; d) posibilitatea utilizării oricărui sistem de unităţi de măsură.
= 2 p. 53. La un wattmetru monofazat bobina fixă se leagă, în circuitul de măsurat, în
serie: a) adevărat; b) fals. = 4 p. 54. La un ampermetru cu şunt sensibilitatea în curent este de n ori mai redusă
decât a ampermetrului fără şunt. a) adevărat; b) fals. Argumentaţi cu o relaţie matematică. = 4 p. 55. Regimul nominal de funcţionare al transformatorului de curent pentru
măsurări este asemănător cu un anumit regim de funcţionare al unui transformator de putere. Indicaţi despre ce regim este vorba şi în ce constă asemănarea. = 4 p.
56. Voltmetrul electrodinamic măsoară o singură mărime, tensiunea electrică,
deşi dispozitivul său conţine două bobine. Desenaţi schema electrică a voltmetrului electrodinamic ce permite această
măsurare. = 4 p. 57. Înainte de a se executa măsurarea se efectuează câteva operaţiuni
pregătitoare. Care operaţiune pregătitoare este specifică numai ohmmetrelor? a) determinarea constantei aparatului; b) determinarea felului curentului şi poziţionarea corectă a
comutatorului respectiv; c) aducerea la zero a acului indicator. = 6 p. 58. Pentru măsurarea rezistenţelor mari prin metoda ampermetrului şi
voltmetrului se foloseşte montajul ....................................... a) amonte; b) aval. = 3 p. 59. În funcţie de tehnica de obţinere a rezultatului măsurarea rezistenţelor prin
metoda de punte este o metodă .........................................
9
a) de deviaţie; b) de comparaţie; c) diferenţială. = 1 p. 60. Puntea Thomson este destinată măsurării rezistenţelor de valori
............................ a) mici (10-6Ω la 10-2Ω); b) mijlocii (1 ohm la 104 ohmi); c) mari (104 ohmi la 106 ohmi). = 3 p.
Răspunsuri Baterie de teste pentru măsurări electrice 1) Borna de intrare, resort elastic, bobina mobilă, resort elastic, bobina de
ieşire. 2) a. 2
m1W L2
= I
3) ma
I ct.
WM=
∂=
∂α (1)
2
m1W L2
= I (2)
2 2
a a1 1M LI deci M I
x 2 2∂ ∂⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
Lα
(3)
(4) La echilibrurM D= − α a rM M 0+ = (5)
Adică: 21 LI D
2∂
= ⋅α∂α
unde: 21 1 LI2 D
∂α =
∂α (6) ecuaţia de funcţionare
Relaţia (6) arată că scara gradată a dispozitivului feromagnetic are un caracter
pătratic imprimat de existenţa factorului . 4) b. 5) Metodele de laborator:
2I
se folosesc în scopuri de cercetare ştiinţifica, de etalonare şi verificare a mijloacelor de măsurat, de transmitere a unităţii de măsură. Se estimează erorile şi se fac corecţii asupra valorilor mărimilor măsurate.
10
Măsurările se efectuează în camere speciale, climatizate, ecranate electromagnetic, în scopul menţinerii riguroase a unor condiţii de temperatură, umiditate, câmpuri electromagnetice, etc. utilizând aparatură de mare sensibilitate şi aplicând metode de comparaţie.
Metodele industriale: sunt caracterizate prin obţinerea promptă a rezultatului măsurării. Nu se impune o precizie ridicată şi nu se estimează erorile. Măsurările se efectuează chiar în mediul de desfăşurare a unui proces tehnologic, utilizând aparatură mai puţin sensibilă, dar robustă care să poată funcţiona în condiţii de variaţie a temperaturii, umidităţii, a prezenţei unor factori perturbatori. Se folosesc metode de deviaţie sau diferenţiale.
6) b. 7) - felul mărimii electrice de măsurat; - felul modificării în timp a mărimii electrice; - modul de prezentare a rezultatului măsurării; - după clasa de precizie; - după locul de utilizare; - după construcţia şi principiul de funcţionare; - după modul de producere al cuplului antagonist; - după modul de protecţie. 8) metrul (m), kilogramul (kg), secunda (s), amperul (A), kelvin (K), mol,
candelă (cd). 9) a) 1 şi 2 adevărat. 10) d. 11) ( ) ( )a% 3.3%; 1.5 0.05 A I 1.5 0.05 Aε = − < < + 12) Axa echipajului mobil, piesă feromagnetică fixă, piesă feromagnetică
mobilă, bobină cilindrică, resort spiral. 13) c.
14) ma
I ct.
WM=
∂=
∂α (1)
11
mW I d∂ = ⋅ Φ (2)
(3)
0d NBlb NBAΦ = ∂α = ∂α = Φ ∂α
0mr 0
IW IM IΦ ∂α∂ ∂Φ= = = =
∂α ∂α ∂αΦ (4)
(5)
La echilibru: de unde rezultă:
rM D= − ⋅α
a rM M 0+ = 0I DΦ = α sau
0 IDΦ
α = (6) ecuaţia de funcţionare
Din relaţia (6) se constată diferenţa liniară între mărimea de măsurat (I) şi derivaţia α. Scara este liniară şi uniform gradată.
15) a. 16) d. 17) b. 18) - unitatea de măsura a mărimii măsurate; - tipul constructiv al dispozitivului de măsurat; - felul curentului; - clasa de precizie; - poziţia normală de funcţionare; - tensiunea de încercare a izolaţiei circuitelor interioare ale
aparatului; - unele date privitoare la mărimile de influenţă (frecvenţă,
temperatură, etc.) - date referitoare la circuitele proprii (R, L, etc.) 19) b. 20) 1018 – exa (E) 10-1 – deci (d) 1015 – peta (P) 10-2 – centi (c) 1012 – tera (T) 10-3 – mili (m) 109 – giga (G) 10-6 – micro (μ)
12
106 – mega (M) 10-9 – nano (n) 103 – kilo (K) 10-12 – pico (p) 102 – hecto (h) 10-15 – femto (f) 10 – deca (da) 10-18 – atto (a) 21) b. 22) ( ) ( )
00
2y8.3y ; 3 0.25 A I 3 0.25 Aε = − < < +
23) Axa echipajului mobil, bobinele fixe, bobina mobilă, resoartele spirale. 24) b.
25)
( )
1 1m
2 2m
sin t(1)
sin tΦ = Φ ω ⎫⎪
⎬Φ = Φ ω −ϕ ⎪⎭
11
12
11
22
de E dldt
(2)de E dldt
Γ
Γ
Φ ⎫= ⋅ = − ⎪⎪⎬Φ ⎪= ⋅ = −⎪⎭
∫
∫
( )
1 11 1m
1 1 1
2 22 2m
2 2 2
e d1 1i cosr r dt r
(3)e d1 1i cosr r dt r
Φ ⎫= = − = − ωΦ ⋅ ω ⎪⎪⎬Φ ⎪= = − = − ωΦ ⋅ ω −ϕ⎪⎭
t
t
1 1 1 1
2 2 2 2
F K i(4)
F K i= Φ ⎫
⎬= Φ ⎭
( )T
med 1 2 M 1m 2m0
1M F F d dt k sinT
= − ⋅ ⋅ = ⋅Φ ⋅Φ ⋅ ϕ∫ (5)
unde 1 2M
1 2
k kdk2 r r⎛ ⎞ω
= +⎜ ⎟⎝ ⎠
13
( ) ( )1 1m 1 a1 1 a2
2 2m 2 a2 2 a2
sin t k i k 2I sin t(6)
sin t k i k 2I sin t
⎫Φ = Φ ω ≅ = ω ⎪⎬
Φ = Φ ω −ϕ ≅ = ω −ϕ ⎪⎭
)
unde 2
)
Pentru ) De unde:
a i a1 a 2M k I I sin (7= ⋅ ϕ
i m 1k 2k k k=
r rM k n (8= ⋅
a r i a1 a 2 rM M , k I I sin k n (9= ⋅ ϕ = ⋅
1a1 a 2
r
kn I I sin (10)k
= ⋅ ϕ
26) 1.a); 2.a). 27) e, b, d). 28) Axul echipajului mobil, lagăre, resort antagonist, greutăţi de echilibrare,
acul indicator, corectorul, dispozitiv de amortizare, şunturi, rezistenţe adiţionale, rezistoare de compensare a variaţiilor de temperatură.
29) a, c, d. 30) c. 31) b. 32) c, se poate 1) şi 2). 33) ( ) ( )r 2.1%; 7 0.15 A I 7 0.15 Aε = − < < + 34) d. 35) I=40A 36) a şi d. 37) d.
14
38) a. 39) a.
40) k
ajkk
j 1i i
RUn 1U R=
= = +∑
41) a. 42) 2 – a în serie şi b în paralel 43) 2 – a fals şi b adevărat 44) c. 45) 3. 46) 2 – fals. 47) 1440 W. 48) 3. 49) a. 50) b. 51) a – 1 mare şi 2 mică. 52) c. 53) a. 54) a. 0
iSD nΦ
=⋅
55) Regimul de scurtcircuit pentru că rezistenţa internă a ampermetrului este
foarte mică (Ri<1Ω)
15
16
56) 57) c. 58) a. 59) b. 60. a. mici (10-6Ω la 10-2Ω)
Top Related