Download - Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

Transcript
  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    1/113

    BAZELE ELECTROTEHNICII I

    -Note de curs-

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    2/113

    2

    Introducere

    Bazele electrotehnicii reprezint o disciplin tehnic fundamental care

    studiaz fenomenele electrice i magnetice din punct de vedere al aplicaiilor tehniceinginereti: descrcrile electrice, orientarea cu busola, fenomenul de atracie ntrediferite minereuri, lumina.

    Exist mai multe teorii, care studiaz fenomenele: Teoria macroscopic MAXWELL-HERTZ (1870-1890) Teoria macroscopic a lui LORENTZ Teoria relativist a lui EINSTEIN Teoria cuantic

    Teoria macroscopic MAXWELL-HERTZ studiaz fenomenele

    electromagnetice la nivel macroscopic fr a face apel la structura substanei. Este oteorie care rspunde suficient de bine cerinelor obinuite ale ingineriei, motiv pentrucare se studiaz in cadrul disciplinei. Ea prezint limitri la viteze comparabile cuviteza luminii, dar acest lucru nu deranjeaz din punct de vedere al inginerieielectrice.

    Conceptele fundamentale cu care lucreaz teoria macroscopic MAXWELL-HERTZ sunt substana i cmpul, ce formeaz materia. Substana este reprezentatde corpurile sau obiectele materiale care au mas, iar cmpul este acea form deexisten a materiei care poate exista att in interiorul substanei ct i n interiorulunor corpuri. Exemple de cmpuri: cmp gravitaional, cmp electromagnetic.

    Instrumentele de baz necesare n cadru teoriei sunt:

    1. mrimi fizice2. uniti de msur3. legi4. teoreme

    Mrimile fizice sunt proprieti ale materiei (fie corp, fie cmp), care permit oevaluare cantitativ a unor fenomene.

    Unitile de msur sunt concepte asociate mrimilor fizice care permitcompararea mrimilor de aceeai natur.

    Legile sunt afirmaii enunate pe baz de experiment care nu pot fi deduse dinalte afirmaii cu grad de generalitate mai ridicat.

    Teoremele sunt afirmaii care constituie cazuri particulare ale unor legi. Elepot fi deduse din legi intuitiv sau pe baz de calcul analitic.

    La baza fenomenelor electromagnetice st conceptul de sarcin electric. Celmai mic purttor de sarcin electric este Ce 19106.1 = (electronul), respectiv

    Cp 19106.1 = (protonul) [1C=1Coulomb].Dei sarcina electric are un caracter discret, teoria macroscopic o consider

    ca avnd caracter continuu n corpurile purttoare de sarcin electric. Prezenasarcinii electrice este numai n substan 31108.9 =em kg (masa electronului).

    Sarcinile electrice pot fi n repaus sau n micare, iar n funcie de acest lucrufenomenele electromagnetice pot fi clasificate n:

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    3/113

    3

    1. Fenomene statice(regim static) 0=v ; 0;0 ==

    Wt

    .

    Toate corpurile sunt n repaus, derivatele sunt nule i nu exist transformrienergetice. Exemple: regimul electrostatic i regimul magnetostatic.

    Cmpul electric poate exista independent de cmpul magnetic i se pot studiaseparat.

    2. Fenomene staionare (regim staionar) 0;0; =

    = Wt

    ctv .

    Exemplu: curentul continuu care strbate anumite corpuri conductoare saufire. n acest regim avem cmpul magnetic staionar, care poate fi studiat separat decmpul electric.

    3. Fenomene cvasistaionare (regim cvasistaionar) 0;0;0

    Wt

    v .

    Exist variaii ale unor mrimi, ns ele sunt suficient de lente astfel nct snu permit propagarea cmpului electromagnetic.

    Exemplu: funcionarea circuitelor electrice la frecvene joase.4. Fenomene variabile (regim variabil) 0;0;0

    Wt

    .

    n acest caz variaiile unor mrimi sunt relativ mari i permit propagarea lor nspaiu. Exemplu: comunicaia n telefonia mobil, radio-TV.

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    4/113

    4

    ELECTROSTATICA

    Sarcina electric punctiform (q)

    Sarcina punctiform este un corp de dimensiuni neglijabile n raport cu spaiulla care e raportat, ncrcat cu o anumit sarcin electric.

    Teorema lui Coulomb

    Experimental s-a observat cr

    r

    r

    qqkF

    = 2

    0 , unde 22

    9109C

    mNk

    = .

    mFk /1094

    14

    190

    0 ==

    ; 0 - permitivitatea dielectric a vidului

    rr

    qqF = 30

    041

    (1) Teorema lui Coulomb

    Se constat urmtoarele:- fora de interaciune Feste direct proporional cu produsul sarcinilor( qqF 0~ );

    - fora F este invers proporional cu ptratul distanei dintre ele ( 21

    ~r

    F );

    - dac > 00qq F este o for de respingere; dac < 00qq F este o for

    de atracie

    Intensitatea cmpului electric produs de o sarcin punctiform

    q

    q0

    F

    r

    F

    Fig.1 Explicativ pentru teorema lui Coulomb

    q

    q0

    F

    r

    Fig.2 Explicativ pentru calculul intensitii cmpului electric

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    5/113

    5

    Eqrr

    qqF =

    =

    30

    041

    r

    r

    qE = 3

    0

    04

    1

    (2) - Intensitatea cmpului electric produs de o sarcin

    punctiform

    [ ]m

    VE SI 1=

    Linia de cmp electric este o linieimaginar n vecintatea corpurilor ncrcatecu sarcini electrice la care intensitateacmpurilor electrice este tangent.Totalitatea liniilor de cmp electric formeaz

    spectrul electric.

    Teorema superpoziiei cmpurilor electrice

    Intensitatea cmpului electric corespunztor unui sistem de sarcinipunctiforme este egal cu suma vectorial a intensitii cmpului electric creat defiecare sarcin considerat n absena celorlalte sarcini.

    321 EEEE ++=

    ==

    ==n

    kk

    k

    kn

    kn r

    r

    qEE

    13

    01 41

    Dac pentru un sistem de dou sarcini +q i q se aplic ipotetic teoremasuperpoziiei, prin punctele din vecintate se pot trasa liniile de cmp care formeazspectrul. Spectrul construit astfel arat c liniile de cmp sunt curbe deschise care

    pleac de pe sarcini pozitive i ajung pe sarcini negative sau se prelungesc pn lainfinit.

    q>0

    AAE

    Fig.3 Linii de cmp

    q1

    q2

    q3

    1E

    2E

    3E

    E

    Fig.4 Teorema superpoziiei

    q+ q

    dlcmpdelinie

    E

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    6/113

    6

    Punctul de la infinit este un concept care semnific punctul aflat la distanmult mai mare dect dimensiunile sistemului fizic.

    0= dlE , dl - vectorul de lungime asociat curbeiAceasta este ecuaia liniilor de cmp; exprim faptul c E este tangent la

    liniile de cmp.

    Corpul de prob este un concept idealizat care reprezint o sarcin electricpunctiform de valoare suficient de mic, nct s nu perturbe cmpul electric n careeste amplasat; se folosete pentru investigarea cmpurilor electrice.

    Teorema lui Gauss n electrostatic

    Considerm o sarcin punctiform q iconstruim n jurul ei o sfer ipotetic de raz r.

    204

    )(r

    qrE

    =

    Notm cu Ssuprafaa sferei.

    0

    22

    0

    4

    4

    )(

    qr

    r

    qSrE ==

    Produsul SrE )( reprezint fluxul intensitii cmpului electric prinsuprafaa :

    24)()(),cos( rrEdsrEdsdsEEdsE ===

    ds =element de suprafa asociat suprafeei sferice ; este o mrime vectorialcare are modulul egal cu aria unei poriuni foarte mici din suprafaa , direcia este

    perpendicular pe aceast poriune i sensul ctre exterior; se vede din figur c ds respect condiia.

    Faptul c fluxul intensitii cmpului electric prin suprafaa sferei nu depinde

    de raza sferei permite extinderea acestei afirmaii la cazul general al unui sistemformat din mai multe sarcini electrice, nconjurat de o suprafa nchis care nu esteneaprat sferic.

    0

    =

    q

    dsE (3) Teorema lui Gauss

    =

    =n

    k

    kqq

    1

    q

    1 q2q3

    q

    ds

    E

    q

    ds Er

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    7/113

    7

    Enunul teoremei lui Gauss:Fluxul intensitii cmpului prin orice suprafa nchis este proporional cu

    sarcina electric total delimitat de aceea suprafa. Factorul de proporionalitate

    este 0

    1 n sistemul de uniti internaional.

    Distribuii spaiale de sarcini electrice

    1)Distribuia pe corpuri filiforme

    dl

    dql= [C/m] densitatea lineic de sarcin electric

    ==B

    Al

    B

    A dldqq - sarcina electric total pe firul AB

    2)Distribuia pe suprafee

    dS

    dqS= [C/m

    2] densitatea superficial de sarcin electric

    ==S

    S

    S

    dSdqq - sarcina electric total pe suprafa

    3)Distribuia volumic

    dl

    A

    B

    dldql

    =

    S

    ds)(dq

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    8/113

    8

    dl

    ME

    V

    S r

    Cq1 q2 q3

    qq

    n 1qn

    dVdqV = [C/m3]

    ==V

    V

    V

    dVdqq

    Cmpul electric rezultant creat de distribuii spaiale de sarcini electrice secalculeaz pe baza teoremei superpoziiei.

    rr

    dqr

    r

    dq

    rr

    dqrrqE

    VS

    C

    k

    n

    k k

    k

    ++

    ++=

    =

    30

    30

    301

    30

    44

    441

    dldqC l= :)( dSdqS S= :)( dVdqV V = :)(

    +++=

    =

    dVrr

    dSrr

    dlrr

    rr

    qE

    V

    V

    S

    S

    C

    lk

    n

    k k

    k333

    13

    041

    (4)

    Relaia (4) reprezint expresia teoremei superpoziiei pentru un sistemoarecare de sarcini electrice. Aceast relaie permite calculul intensitii curentuluielectric n cazul general.

    dv)(dq

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    9/113

    9

    A

    B

    dl

    m

    nA

    B

    Tensiunea electric

    dlEU

    B

    AAB = [V] (5)

    Tensiunea electric ntre doupuncte amplasate n cmp electric esteprin definiie integrala intensitiicmpului electric de-a lungul unei curbearbitrare care unete cele dou puncte.

    AB

    AnBAmB

    AnBAmB

    BnAAmB

    UdlEdlE

    dlEdlE

    dlEdlE

    ==

    =

    =+

    )()(

    )()(

    )()(

    0

    0

    Justificare:nmulind relaia (5) cu q(sarcin unitate) avem:

    AB

    B

    A

    B

    A

    B

    A

    AB LdlFdlEqdlEqqU ==== )(

    LAB - lucrul mecanic al forelor de natur electric necesar pentru deplasareasarcinii qdin punctul A n punctul B.Tensiunea electric reprezint lucrul mecanic necesar forelor de natur

    electric pentru a deplasa unitatea de sarcin electric ntre dou puncte.

    0==+= AABAABAA WWLLL (6) ;

    WA- energia cmpului electric corespunztoare poziiei iniiale

    0=

    dlE (7) - Teorema potenialului electrostatic

    Relaia (6) permite alegerea arbitrar a punctului B; prin urmare integrala pe

    orice curb nchis este zero.

    dl

    sd

    ld

    S

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    10/113

    10

    z

    x

    j

    k

    i

    Consecine:- tensiunea electric ntre dou puncte nu depinde de drum;- se aplic teorema lui Stokes expresiei (7)

    ==

    0

    S

    dSErotdlE 0=Erot (8) forma local a Teoremei

    potenialului electrostatic

    Corelarea sensurilor elementelor de linie i elementelor de suprafa se facedup regula burghiului drept: sensul lui dS este dat de sensul de naintare al unui

    burghiu care se rotete n sensul indicat de dl.Cmpul electric este un cmp irotaional.- se demonstreaz n matematica superioar c orice cmp irotaional poate fi

    scris ( ) EVgradErot == 0 ; V este potenialul, iar semnul - este conform uneiconvenii de semn.

    VgradE = (9)

    Operatorii de derivare spaial

    kz

    jy

    ix

    +

    +

    = - expresia n sistemul de coordonate cartezian.

    VgradV ; Veste un cmp scalar

    kz

    Vj

    y

    Vi

    x

    VV

    +

    +

    =

    =

    ===

    z

    V

    y

    V

    x

    Vzyx

    kji

    gradVrotErotE )(

    0222222

    =

    +

    +

    =zx

    Vj

    zy

    Vi

    yx

    Vk

    zx

    Vj

    yx

    Vk

    zy

    Vi

    Exprimm variaia potenialului ntre dou puncte apropiate n spaiu.

    =

    +

    +

    == dzz

    Vdy

    y

    Vdx

    x

    VzyxdVdV ),,(

    ( ) dlEdVdlgradVkdzjdyidxkzV

    jy

    V

    ix

    V

    ==++

    +

    +

    =

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    11/113

    11

    ( )C

    dl( )1

    ( )2

    E

    q1

    q2

    q3

    qn

    r1

    r2

    ====2

    1

    2

    1

    2

    112 )( dVdVdlEU

    2112 )( VVVV ==

    2112 VVU = (10)

    Potenialul unui punct se exprim relativ la un potenial de referin. Punctulde referin poate fi ales arbitrar, ca i valoarea potenialului acestuia. Se prefervaloarea 0 pentru potenialul de referin (2). Consider punctul (2) ca referin.

    dlEVUV === 2

    11122 0 (11)

    Potenialul ntr-un punct se calculeaz ca integral a lui Epe o curb arbitrarcare unete acel punct cu punctul de referin.

    Potenialul cmpului electric creat de sarcini punctiforme

    =M

    M drEV 0=V - referin de potenial;

    drr

    qdrEdrEdrEdrE 2

    04),cos(

    ===

    a

    q

    r

    q

    drr

    qdr

    r

    qV

    aaa

    M00

    20

    20 4

    14

    144

    =

    ===

    Cazul general:r

    qrV

    04)(

    = .

    Teorema superpoziiei potenialelor

    =

    =+++=n

    j

    nM jEEEEE1

    21 L

    gradVE =

    11 gradVE =

    22 gradVE = K

    nn gradVE =

    +q M Era

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    12/113

    12

    S

    ds)(dq

    r

    dv)(dq

    V

    dl

    ( )dq

    l

    q3

    qq

    n 1qn

    gradVVgradgradVjEEn

    jj

    n

    jj

    n

    j

    =

    ===

    === 111

    =

    =n

    jjVV

    1

    (12) - Teorema superpoziiei potenialelor

    Potenialul cmpului electric creat de o distribuie spaial de sarcini electriceeste egal cu suma potenialelor create de fiecare sarcin punctiform dac ar existasingur, n absena celorlalte.

    =

    =n

    j j

    j

    r

    qV

    1041

    Potenialul cmpului electric creat de distribuii oarecare de sarcini

    Formulele potenialelor elementare sunt similare formulei potenialuluicorespunztor sarcinilor punctiforme, de forma:

    =

    dV

    dS

    dl

    dq

    V

    S

    l

    r

    dldV ll

    04

    = ;r

    dSdV SS

    04

    = ;r

    dVdV VV

    04

    =

    Teorema superpoziiei ==C

    l

    C

    ll dlrdVV

    041

    ;

    ==S

    S

    S

    SS dSrdVV

    041

    ; ==V

    V

    V

    VV dVrdVV

    041

    +++=+++=

    == S V

    n

    j j

    jVS

    C

    ln

    jjVSlM r

    qdV

    rdS

    rdl

    rVVVVV

    101 41

    Ecuaiile Poisson / Laplace pentru cmpul electrostatic

    Teorema lui Gauss:

    0

    = qdSE ;

    = V

    dVEdivdSE )( ; dVqV

    V=

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    13/113

    13

    ( ) ( ) VVgradVdiv ==

    00

    )(1

    )(

    V

    V

    V

    V

    EdivdVdVEdiv ==

    n coordonate carteziene:

    ( )z

    E

    y

    E

    x

    EkEjEiEk

    zj

    yi

    xEEdiv zyxzyx

    +

    +

    =++

    +

    +

    ==

    gradVE = 0

    )(

    VgradVdiv = (Ecuaia lui Poisson)

    ( -operatorul Laplace) 0

    VV =

    Ecuaia lui Laplace este ecuaia de distribuie spaial a cmpurilor; ecuaiageneral a cmpurilor n coordonate carteziene:

    ( )2

    2

    2

    2

    2

    2

    z

    V

    y

    V

    x

    Vk

    z

    Vj

    y

    Vi

    x

    Vk

    zj

    yi

    xVV

    +

    +

    =

    +

    +

    +

    +

    ==

    ecuaia lui Poisson n coordonate carteziene:0

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    V

    z

    V

    y

    V

    x

    V=

    +

    +

    n cele mai multe cazuri ntlnite n practica inginereasc sarcinile electricesunt dispuse pe suprafee si nu n volume.

    = 0V 0=V - Ecuaia lui Laplace

    022

    2

    2

    2

    2

    =

    +

    +

    z

    V

    y

    V

    x

    V- Ecuaia lui Laplace n coordonate carteziene

    Suprafee echipoteniale

    Suprafeele echipoteniale sunt suprafee fictive care se desfoar n cmpelectrostatic, pentru care potenialul electric are aceiai valoare n orice punct alsuprafeei.

    - sfer concentric cu sarcina q

    Se consider dou puncte foarte aproape pe suprafaa echipotenial:

    E

    M/

    dl

    q+- suprafa echipotenial

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    14/113

    14

    dl

    ld/

    a

    x

    r

    MEd

    /

    11

    d11

    Ed

    Ed/

    Ed xd x

    /

    l

    dlE

    dlEdlEdVVVM

    M

    MM

    === 0'

    ' - ecuaia suprafeei echipoteniale

    Consecin: Relaia de mai sus arat c vectorul E- intensitatea cmpuluielectric - este perpendicular pe suprafeele echipoteniale, prin urmare liniile de cmpsunt la rndul lor perpendiculare pe suprafeele echipoteniale.

    Aplicaii:Calculul intensitii cmpului electric i al potenialului electric n cazuri

    particulare.

    1)Se cere Ei V pentru cmpulcreat de o spir circular ncrcat cusarcin electric distribuit uniform cudensitatea l. Punctul de calcul va fi

    pe o ax perpendicular pe planulspirei care cade n centrul acesteia.Raza spirei se noteaz cu a.

    dldq l=

    rr

    dlrr

    dqEd l 30

    30 44

    ==

    0=V

    q+ q

    suprafeeechipoteniale

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    15/113

    15

    a

    x

    E

    Se folosete teorema superpoziiei pentru E.

    ==C

    M EdxEE )(

    ||EdEdEd x+=

    ( )23

    220

    224

    cosxa

    xdl

    xa

    xdErxdEdExEd l

    +

    =+

    ===

    0'|||| =+ EdEd Oricare dou elemente dli dlde pe spir creeaz componente ale intensitii

    cmpului paralele ( ) cu planul spirei care se anuleaz reciproc. n concluzie cmpulrezultant va avea componente numai pe direcia pe planul spirei.

    ( ) ( ) ( )23

    220

    2

    023

    220

    23

    220 244

    )(xa

    xadl

    xa

    xdl

    xa

    xdExE l

    a

    C

    ll

    C

    x

    +=

    +=

    +==

    2204 xa

    dqdV

    +=

    220

    2

    022

    022

    0 244 xa

    adl

    xaxa

    dldVVV l

    al

    C

    l

    C

    xM+

    =+

    =+

    ==

    n ipoteza ( ) 0=V .

    Variant de calcul a potenialelor

    ( ) ( )

    +=

    +=

    ===

    x

    l

    x

    l

    xx

    M

    dx

    xa

    xadx

    xa

    xa

    dxEdxExVV

    23

    22023

    220

    22

    0cos)(

    Notm cu:22

    xat += ; 22dt

    xdxdxxdt ==

    220

    21

    0

    23

    0 2212222

    22

    22 xa

    atadtt

    aV l

    xa

    l

    xa

    lM

    +=

    =

    =

    +

    +

    Calculul lui E pe alt cale!

    gradVE = ;V

    Ex

    =

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    16/113

    16

    a

    R

    ds sd/

    r/

    r x

    Ed 11 Ed/

    11

    Ed X

    Ed X/

    EdEd

    /

    A B

    CD

    adl

    R

    ds

    d

    ( ) ( )

    ( )23

    220

    23

    22

    0

    21

    22

    022

    0

    2

    221

    222

    xa

    axE

    xxaa

    xadx

    da

    xa

    a

    dx

    dE

    l

    lll

    +

    =

    +

    =

    +=

    +=

    Particularizare:

    =

    ==

    02

    00

    lV

    Ex

    00

    V

    Ex

    2)Cazul unui disc de raz a ncrcat cu sarcini electrice dispuse uniform pesuprafaa lui cu densitatea S. Punctul de calcul este amplasat pe o dreapt pe planuldiscului care cade n centrul acestuia.

    BCABdS = dRBC

    dRAB= = ddRRdS

    ( ) ( )dRd

    xR

    R

    xR

    dS

    r

    dqdE SS

    +=

    +==

    220

    220

    20 444

    dSdq S=

    ==disc

    xM dExEE )(

    C C/m2 m

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    17/113

    17

    A

    B

    C

    D

    /A

    //B

    //C

    //D sdE

    sd

    E

    //A

    S

    S

    )

    ( )

    dRd

    xR

    Rx

    Rx

    xdEdEdE Sx

    +=

    +==

    23

    220

    224

    cos

    ( ) ( )=

    +=

    +=

    dRd

    xR

    RxdRd

    xR

    RxE

    aS

    aS

    M

    0

    2

    023220

    0

    2

    0 23220 44

    ( ) ( )dR

    xR

    RxdR

    xR

    Rx aSa

    S +

    =+

    =0 2

    32200 2

    322

    022

    Se face schimbare de variabil: txR =+ 22 ; dtdRR =2 ; dtRdR21

    =

    +=

    +

    ==

    +

    ++

    xaxxtx

    dttx

    E S

    ax

    x

    Sxa

    x

    SM

    112

    12

    32222 220

    123

    0

    23

    0

    22

    2

    22

    2

    +=

    220

    12

    )(ax

    xxE S

    Cazuri particulare:

    a)02

    )0(0

    SEx ==

    b) 0)(lim)( ==

    xEExx

    c)02

    )(lim)(

    Sa

    xEEaxa ==>>

    - n cazul unui plan de dimensiuni

    infinite ncrcat cu sarcini electrice distribuite uniform cu densitatea S , cmpulelectric n vecintatea lui nu depinde dex.

    Calculul intensitii cmpului electric n vecintatea unui plan infinit cuajutorul teoremei lui Gauss

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    18/113

    18

    0

    =q

    dSE ; SSq SABCDS ==

    ESdsEdsEdSE

    dSEdSEdSEdSEdSEdSE

    DCBADCBABCCB

    ABBADCCDADDADCBADCBA

    2''''''''''''''''''

    ''''''''''''''''''''''''''''''

    =+=+

    +++++=

    dSEdSEdSE == 0cos - pentru '''''''','''' DCBADCBA

    02

    cos == dSEdSE - pentru toate celelalte fee laterale

    ==

    00

    22

    SES

    qES S

    02SE=

    Concluzie: Teorema lui Gauss permite calculul cmpurilor electrice pentrumajoritatea cazurilor posibile n practica inginereasc unde cmpurile electrice

    prezint simetrie spaial( simetrie plan, cilindric, sferic).

    Cmpul electrostatic creat de dou plci plane, paralele ntre ele, dedimensiuni foarte mari n raport cu distana uneia fa de cealalt, ncrcate cusarcini de polariti opuse i amplasate n vid.

    iE

    iE

    SA

    SA

    0

    2

    0

    1

    2

    2

    =

    =

    021 =+= AAA EEE

    iE

    iE

    SB

    SB

    02

    0

    1

    2

    2

    =

    =

    iEEE SBBB0

    21

    =+=

    +S -S

    2E

    1E 1E

    2E

    A B C

    x0 d

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    19/113

    19

    q+ q q+ q

    d

    E0E

    vid

    (izolant)dielectricmaterial

    0EE>

    cos;cos 1212 lrr

    l

    rr

    ( ) bgradaagradbabgrad +=

    Cmpul electric al dipolului elementar

    Se determin mrimea lqp = ce senumete moment electric.

    21

    12

    0201021 444 rr rrqrqrqVVV ==+=

    30

    30

    20 44

    coscos4 r

    rp

    r

    lrq

    r

    r

    r

    lqV

    =

    =

    =

    =

    == 30

    30

    14

    14 rrpgradr

    rpgradgradVE

    ( ) pkpjpipzpypxpkz

    jy

    ix

    rpgrad zyxzyx =++=++

    +

    +

    = )(

    kpjpipp zyx ++=

    kzjyixr ++=

    zpypxprp zyx ++=

    222 zyxr ++=

    ( ) ( ) ++=++

    +

    +

    =

    ixzyxzyxkz

    jy

    ixr

    grad 2231 12/32222/3222

    3

    ( ) ( ) =++++ kzzyxjyzyx 223

    223 12/322212/3222

    ( ) ( )5

    2/5222 33r

    rkzjyixzyx =++++=

    ( )

    =

    +

    = 35

    035

    034 134 1 rpr rrprprrrpE

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    21/113

    21

    dv)(dq

    M

    r

    ( ) bgradaadivb +=abdiv

    += V S

    SV sdrvdrV 04 1

    Cmpul electric suplimentar produs de un domeniu polarizat

    Polarizaia electric Preprezint momentul electric corespunztor uniti devolum; se mai numete vector polarizaie.

    pd - suma momentelor electrice dinvolumul dv

    v

    pP

    = Polarizaie electric

    dvPpd =

    dvr

    gradPdvr

    rP

    r

    rdvP

    r

    rpddV

    ==

    =

    =1

    41

    41

    44'

    03

    03

    03

    0

    =r

    gradr

    r 13

    ( ) rPdiv

    r

    PdivrgradPzyxkzjyix

    =

    =++

    +

    +

    = 12/1222

    K

    dvr

    Pdiv

    r

    PdivdV

    +=

    041

    '

    +==

    VV

    dvr

    Pdivdv

    r

    PdivdVV

    041

    ''

    Gauss Ostrogradski:

    ==

    dsr

    nPsd

    r

    Pdv

    r

    Pdiv

    V

    ; dsnsd =

    +=

    dsr

    nPdv

    r

    PdivV

    V041

    '

    Relaia lui V este formal asemntoare cu relaia potenialului creat dedistribuii spaiale dispuse n volum i pe suprafee:

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    22/113

    22

    PdivV =/

    1

    ( )nPPnPS 1221/

    1 =

    1 2n12

    1

    2 )Vgrad// =

    dielectricpolarizatcorp

    V

    V

    ds

    qV

    /

    qV

    ===VV

    VV sdPvdPvdq div//

    /1

    V-densitatea volumic a sarcinilor de polarizaie

    /

    1S

    -densitatea superficial a sarcinilor de polarizaie

    Folosind aceste dou notaii problema calculului cmpului suplimentar sereduce la problema calculului unui cmp electric creat de sarcini adevrate distribuite

    pe corpurile polarizate cu densitile S' i V' . Densitile superficiale ale sarcinilorde polarizaie apar numai la suprafaa de separaie a dou medii cu proprietidielectrice diferite.

    21 ,PP - polarizaiile electrice n cele dou

    medii n imediata apropiere a suprafeeide separaie.

    +=

    V S

    SV dsr

    dvr

    V''

    41

    '0

    Legea fluxului electric

    Sarcina total de polarizaie dintr-un corp dielectric ce ocup volumul V este:

    Expresia teoremei lui Gauss pentru un domeniu care conine att sarcinielectrice adevrate, ct i sarcini de polarizaie este:

    =+=

    0000

    |11

    )'(1

    dsPqdsEqqdsE VVV

    ) VqdsPE =+

    0

    PED += 0 (1) - legea legturii ntre D , Ei P; D - inducia electric

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    23/113

    23

    n prezena corpurilor dielectrice nu este suficient o singur mrime pentru acaracteriza cmpul electric, ci sunt necesare dou mrimi, respectiv Ei D .

    VqsdD =

    (2) - legea fluxului electric (forma integral)

    Enun: Fluxul electric prin orice suprafa nchis esteegal cu sarcina electric adevrat delimitat de

    suprafaa respectiv. Legea este valabil att n vid, cti n medii dielectrice.

    (

    = sdD - fluxul electric)

    V

    V

    V

    V

    DdivdvdvDdiv ==

    (3) - forma local a fluxului electric

    Legea fluxului electric reprezint o generalizare a teoremei lui Gauss.

    Legea polarizaiei temporare

    pt PPP +=

    unde: tP - polarizaie temporarPP - polarizaie permanent

    PP nu depinde de cmpul electric n care este amplasat dielectricul. n generalcorpurile dielectrice nu prezint polarizaie permanent.

    0pP ; Totui exist substane cu polarizaie permanent i anume electreii.

    tP depinde de E din masa corpului polarizabil.EP et 0= (4) Legea polarizaiei temporare (e -hi)

    Enun: Legea polarizaiei temporare exprimproporionalitatea dintre E (intensitatea cmpului electric) ivectorul polarizaie. Aceast proporionalitate ns poate fivalabil numai pentru domenii limitate ale lui M, iar factorulde proporionalitate e poate avea diferite valori n funcie dedirecia cmpului.

    n cazuri uzuale se consider corpuri dielectrice liniare n care acest factor deproporionalitate este constant.

    cte

    = - susceptibilitate electric

    EEEEDEPPP reeept

    0000

    0 )1()1(

    =+=+==+=

    ( 0=pP )

    ED = (5) - consecin a relaiilor (1) i (4) i se folosete n aplicaiipractice

    er += 1 - permitivitatea relativ amaterialului

    10 >> re

    Pentru vid: 10 == re

    P

    E

    Material electric liniar

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    24/113

    24

    mFSI

    /1=>

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    25/113

    25

    1

    2

    2

    1 D1 D2

    s1s2

    S

    normal

    22

    1 2

    21

    t1

    t2

    normal

    1

    2

    +++=

    A

    D

    D

    C

    C

    B

    B

    A

    ldEldEldEldEldE

    0 0

    Pentru BC : tdlld = ===

    A

    D

    C

    B

    A

    D

    C

    B dltEdltEdltEdltEldE DA: tdlld = ( )=== tEtElDAtEBCtE 1212

    ( ) 012 == tt EEl

    BC=DA= l= 0l tt EE 21 = (6) - componena tangenial a lui E se conserv la

    suprafaa de separaie dintre dou medii

    - suprafaa cilindricplan;

    S - aria bazei;

    Legea fluxului electric :

    =

    VqsdD

    n ipoteza 0=V

    q =++= lSSS

    sdDsdDsdDsdD21

    00 122121121211

    =+=++= SnDSnDdsnDdsnDSS

    Pentru S1: dsnsd 12= nn DD 21 = (7)

    Pentru S2: dsnsd 12=

    Se conserv componenta normal a lui D la suprafaa de separaie a doumedii.

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    26/113

    26

    ctgrad

    VE

    VE=

    =

    =

    0

    ===n

    n

    n

    n

    t

    n

    n

    t

    D

    DD

    D

    E

    E

    E

    E

    tg

    tg

    1

    1

    2

    2

    1

    1

    2

    2

    2

    2

    1

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    =

    tg

    tg (8)

    ED = Relaia (8) reprezint teorema refraciei cmpului electric la suprafaa de

    separaie a dou medii.

    Comportarea corpurilor conductoare n cmp electric

    Corpurile conductoare prezint urmtoarele particulariti:1. densitatea volumic de sarcin electric este ntotdeauna zero 0=V ;

    sarcinile electrice sunt dispuse pe suprafaa conductoare 0S ;

    2. intensitatea cmpului electric n interiorul corpurilor conductoare estezero. 0int =E ;

    3. copurile conductoare sunt echipoteniale: toate punctele lor au acelaipotenial .ctV= ;

    4. intensitatea cmpului electric pe frontiera corpurilor conductoare esteperpendicular pe aceasta: extnext EE = (componenta normal) i

    componenta tangenial 0=exttgE .Justificare:n electrostatic nu exist deplasare de sarcini electrice. Toate sarcinile sunt n

    repaus. n corpurile conductoare exist e liberi; pentru ca ei sa fie n repaus nutrebuie sa fie supui unor fore de natur electric 00 === EEqF .

    Considerm un corp conductor i construim ninteriorul su o suprafa nchis aleas arbitrar,

    pentru care s aplicm teorema lui Gauss.

    0

    VqsdE =

    ; 00 == VqE - nu avem

    sarcini electrice n volumulcorpului

    ntruct componenta tangenial se conserv i dac n interiorul corpuluiaceasta este zero c i la exterior aceasta este zero 0=exttE .

    Consecine:1)Ecranarea electric spre interior

    ctV =

    B

    conductorcorp

    cavitated

    l

    0ext

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    27/113

    27

    Se consider un corp conductor n care este practicat o cavitate, corpul fiindamplasat ntr-un cmp electric exterior.

    00 === cavB

    A

    BA EldEVV

    Dac se aleg pe frontiera caviti dou puncte oarecare i se exprim diferenade potenial ntre ele integrnd pe curbe arbitrare rezultatul ne conduce la concluzia cfuncia de sub integral, respectivEtrebuie s fie 0; deci En interiorul cavitii estenul o persoan aflat n interiorul cavitii este protejat total fa de aciuneacmpului electric; pe de alt parte dac atingem oricare dou puncte de pe frontieracavitii diferena de potenial va fi 0 iar pericolul de electrocutare este nul.

    Acest sistem de protecie se mai numete cuca lui Faraday, iar efectul deecran se pstreaz chiar dac avem de-a face cu o plas de srm, tabl perforat, etc.

    2)Ecranarea electric spre exterior

    Echipamentele electrice n care exist tensiuni periculoase se nchid de reguln carcase metalice conectate galvanic la pmnt.

    Carcasa metalic mpreun cu pmntul formeaz un singur corp conductorcare este echipotenial; atunci o persoan care atinge carcasa nu este supus uneidiferene de potenial fa de pmnt, neexistnd pericolul de electrocutare. n masacarcasei metalice sarcinile se distribuie conform figurii.

    Sisteme conductoare n cmp electric

    q+

    +

    +

    +

    ++ + + +

    + +

    ++

    +++

    0=V

    0=

    0=V

    0=V

    metalic carcas

    potenialul pmntului este nul

    0=

    V

    vq 11 vq 22

    vq nn

    1 2

    n

    Un0

    VU 110=

    VVU 2112 =

    corpuriconductoare

    suprafaa pmntului

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    28/113

    28

    }{0 jiij jj ;

    +++=

    +++=

    nnnnnn

    nn

    qqqV

    qqqV

    L

    M

    L

    2211

    12121111

    (1)

    Ecuaiile (1) reprezint ecuaiile lui Maxwell pentru poteniale (prima form aecuaiilor lui Maxwell).

    Se rezolv sistemul (1)

    +++=

    +++=

    nnnnnn

    nn

    VVVq

    VVVq

    L

    M

    L

    2211

    12121111

    (2)

    Ecuaiile (2) reprezint a doua form a ecuaiilor lui Maxwell.

    =ij coeficienii de influen electrostatic (coeficieni de capacitate)0;0 ijij pentru (i j)

    111111311311211212121111 VVVVVVVVVq nnnn +++++++= LL ( ) ( ) ( ) ( )nnn VVVVVVVq +++= 11311321121112111 LL

    +++=

    +++=

    002211

    11121210101

    nnnnnnn

    nn

    UCUCUCq

    UCUCUCq

    L

    M

    L

    (3)

    02010 ,,, nCCC - capacitile pariale ale fiecrui corp fa de pmnt;

    ijC - capacitatea parial a corpului ifa dej.

    Proprieti ale capacitilor pariale1. 0,,, 02010 >nCCC K 2. ),1(,,0 njiCij > 3. CjiCij= - relaia de reciprocitate4. Valorile Cij depind numai de configuraia geometric a sistemului de

    conductoare i de natura mediului n care sunt amplasate i nu depind

    de sarcini sau de potenial.

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    29/113

    29

    Condensatorul electric

    Definiie:Condensatorul electric este un sistem de dou conductoare separateprintr-un material dielectric care ndeplinesc condiia 021 =+ qq .

    Consecin: Cmpul electric ntre cele dou conductoare este un cmpcomplet, adic toate liniile de cmp care pornesc de pe un conductor ajung pe cellalt.Cele dou conductoare se numesc armturi.

    021 =+ qq (4)

    Din (3)

    +=

    +=

    202021212

    121210101

    UCUCq

    UCUCq

    (4) 02010 = CC CCC == 2112 UCq = (5)

    UUU == 2112 Uq

    C= (6)

    qq =1 ; qq =2 C este capacitatea electric a condensatorului i reprezint factorul de

    proporionalitate ntre sarcin i tensiune. Capacitatea depinde numai de geometriacondensatorului i de natura dielectricului; nu depinde de sarcin i nici de tensiune.

    Simbolul grafic al condensatorului:

    Calculul capacitii condensatoarelor

    Capacitatea nu depinde de sarcin sau tensiune, ci numai de forma i

    dimensiunile condensatorului, precum i de natura dielectricului. Pentru calcululcapacitii unui condensator dat se parcurg urmtoarele etape:1. se consider condensatorul ncrcat cu o sarcin de valoare arbitrar +q,

    respectiv q;2. se calculeaz inducia electric a cmpului creat de aceste sarcini n zona

    dielectricului se calculeaz E; K== EED r0 3. se calculeaz diferena de potenial ntre cele dou armturi:

    ldEVVU == 2

    121

    4. se exprim capacitatea cu relaia (6). Sarcina qse va simplifica.Exemple:1)Condensatorul plan cu un singur dielectric

    Se d: S; d; r .Se cere C.q arbitrar

    Se poate aplica legea fluxuluielectric pentru calculul lui D

    = qsdD

    q+ q

    U

    q+ q

    U

    q+

    q

    A

    B

    Dr

    S1

    S2S

    d

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    30/113

    30

    SSS l= 21

    A

    B

    E

    dld

    Se mbrac armtura superioar cu o suprafa nchis de form

    paralelipipedic. Pentru aceast suprafa se aplic legea fluxului electric. Se ineseama c avem un cmp electric complet, adic toate liniile de cmp care pornesc de

    pe armtura ncrcat cu sarcini pozitive ajung pe cealalt armtur. Se consider c

    n afara dielectricului cmpul electric este nul.; qq =

    DSdsDdsDsdDsdDsdDsdDsdDSSSSSS l

    ====++= 11121

    0cos

    Pe suprafeele S2i Sl 0=D .

    S

    qDqSD == ;

    S

    qDE

    rr 00==

    dS

    qdl

    S

    q

    dlEldEVVU

    r

    d

    r

    dB

    A

    00 0

    021 0cos

    ==

    ====

    d

    S

    dS

    qq

    C r

    r

    0

    0

    ==

    2)Condensatorul plan cu dielectric stratificat

    Se d S, 1d , nd , rnr K,1 Se cere capacitate.q arbitrar.

    S

    qD=

    S

    qDE

    S

    qDE

    S

    qDE

    rnrn

    n

    rr

    rr

    00

    20202

    10101

    ==

    ==

    ==

    L

    d1

    d2

    dn

    1

    2

    n

    +q

    -q

    A

    B

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    31/113

    31

    ++++

    +++

    +

    +++==nnq

    n

    dddd

    ddd

    dd

    d

    dB

    A

    ldEldEldEldEVV11

    121

    21

    1

    1

    021

    L

    L

    L

    =+++== nn dEdEdEVVdlEldE L2211210cos

    +++=

    rn

    n

    rrdddSq L2

    2

    1

    1

    0

    21 VV

    qC

    =

    =

    =n

    k rk

    kd

    SC

    1

    0

    3) Condensatorul sferic

    Se dau: dou sfere conductoare curaze 21 ,RR i r. Se cere capacitateaC.

    q - arbitrar. Cmpul electric aresimetrie sferic datorit formeiarmturilor; pentru calculul lui seaplic legea fluxului electric.

    Pentru asta construim o sfer (suprafa sferic concentric cu armaturile).21 RrR

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    32/113

    32

    SSS l = 21

    4)Condensatorul cilindric

    Se d: rlRR ,,, 21 . Se cere C.q - arbitrarCmpul electric n dielectric are simetrie cilindric datorit formei. - suprafa cilindric de raz r, 21 RrR

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    33/113

    33

    A B

    U

    q

    U

    q

    A B

    U

    q

    Sisteme de condensatoare

    Un sistem de condensatoare este un ansamblu format din mai multecondensatoare conectate care poate avea sau nu borne exterioare i care ndeplinete oanumit funcie.

    Sisteme de condensatoare cu dou borne exterioare

    Dou sisteme de condensatoare cu borne exterioare sunt echivalente( )dac prin aplicarea aceleiai diferene de potenial ntre borne se absorb aceleaisarcini electrice.

    A) Sisteme de condensatoare conectate n paralel. Capacitate echivalent

    Se d nCCC ,,, 21 conectate n paralel.Se cere capacitatea echivalent

    UCq 11= ; UCq 22 = ; UCq nn = Condiia de echivalen: qqqq n =+++ L21

    UCq p=

    UUCUCUCUC np

    121 +++= L

    ==+++=

    n

    k knpCCCCC

    121 L

    1q gCL

    2q

    nq

    2CL

    nCL

    A BpCq+ q

    U

    C1

    C2

    Cn

    -q1

    -q2

    -qn

    A B

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    34/113

    34

    A B

    1C

    q+ q q+

    q

    q+ q q+

    q

    2C 3C nC

    1U 2U 3U nU

    U

    A Bq+ q

    sqC

    U

    1C

    SC

    1

    3C

    4C r

    C

    pCC

    B) Sisteme de condensatoare conectate n serie. Capacitatea echivalent

    Se d: nCC 1 n serie. Se cere SC .

    11 C

    qU = ;

    22 C

    qU =

    nn C

    qU =

    +++== qC

    q

    C

    q

    C

    q

    C

    q

    U ns

    1

    21 L ==+++=n

    k kns CCCCC 121

    11111L

    nUUUU +++= L21 (teorema potenialului)

    =

    =n

    kks SS

    1

    (S-elastana)

    C) Conexiuni mixte paralel-serie (exemplu)

    32

    321

    32

    32

    321

    111CC

    CCC

    CC

    CC

    CCC ss +=

    +=+=

    5432

    325411 CCCC

    CCCCCC sp +++

    =++=

    p

    p

    p CC

    CCC

    CCC +

    =+=1

    1

    11

    111

    1C

    2C 3C

    4C

    5C

    C=?

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    35/113

    35

    15432

    32

    5432

    321

    CCCCC

    CC

    CCCC

    CCC

    C+++

    +

    ++

    +=

    Sisteme de condensatoare fr borne de acces (Reele izolate de conductoare)

    Conin att condensatoare ct i surse de tensiune interconectate.Se cunosc capacitile condensatoarelor reelei i tensiunile surselor i se

    urmrete gsirea distribuiei sarcinilor electrice pe condensatoarele reelei. Pentru arezolva aceast categorie de probleme se utilizeaz teoremele lui Kirchhoff pentrureele de condensatoare.

    T1 Sarcina total delimitat de o suprafa nchis care nu are fire deconexiune, ci se nchide numai prin armturile condensatoarelor i prin aerul sau viduldin vecintate se conserv.

    ctqk= T2 Suma tensiunilor la bornele elementelor care formeaz o bucl a reelei

    este zero.0= kU

    Se d: 41 ., CC i 0U Se cere: 41 ,, qq i

    41 ,, UU

    Etape de rezolvare: se consider condensatoarele ncrcate cu sarcinile 41 ,, qq i se stabilesc

    polaritile arbitrare. Recomandare! Armturile conectate la borne de o anumitpolaritate ale surselor se vor ncrca cu sarcini de aceeai polaritate;

    se aplic teorema a doua a lui Kirchhoff pentru toate ochiurile reelei.Ochi = bucl care nu conine laturi diagonale.Pentru fiecare ochi se alege un sens convenional de parcurgere.Tensiunile la bornele condensatorului se consider orientate de la armturile

    pozitive spre cele negative.o1: 0021 =+ UUU o2: 0243 =+ UUU

    se construiesc attea suprafee nchise prin dielectricii condensatorului cteste necesar pentru a completa sistemul de ecuaii cu expresii date de T1.

    nr. de necunoscute = 4

    nr. de ecuaii deja construite = 2nr. de ecuaii necesare = 4-2 = 2

    q+

    q+q

    q

    q+ q

    U0 o1 o2q+

    qU

    1

    U2

    U3

    U4

    C1

    C2

    C3

    C4

    1 1

    2

    2

    3

    3

    4

    4

    1

    2

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    36/113

    36

    dou suprafee nchise 1i 2 ( ) 0: 431 =+ qq ( ) 0: 3212 =++ qqq

    se rezolv sistemul de ecuaii: )41( K== kC

    qU

    k

    k

    k

    =++

    =+

    =++

    =+

    00

    0

    321

    43

    4

    4

    3

    3

    2

    2

    02

    2

    1

    1

    qqq

    qqC

    q

    C

    q

    C

    q

    UC

    q

    C

    q

    =

    =

    =

    =

    ????

    4

    3

    2

    1

    q

    q

    q

    q

    Energie n cmp electric

    1) Sistem de n sarcini punctiforme

    Energia cmpului electric corespunztoare unui sistem de sarcini punctiformeeste numeric egal cu lucrul mecanic necesar a fi efectuat din exterior pentru a ncrcacorpurile respective cu sarcin electric.

    01=L

    ( )

    120

    122222

    22

    412

    1212

    12

    R

    qqLVqldEq

    ldEqldFldFL

    R

    RR

    R

    ==+=

    ====

    +==

    230

    2

    130

    13333 44 R

    q

    R

    qqVqL

    Pentru aducerea sarcinii n punctul 3M se efectueaz un lucru mecanic caretrebuie s nving forele de natur electric de interaciune att ntre 3q i 1q , ct intre 3q i 2q .

    3V este potenialul cmpului electric n punctul 3M datorat prezenei lui 1q i

    2q .

    =

    ==1

    1 04

    n

    k kn

    knnnn R

    qqVqL

    =

    ==

    ==n

    j

    j

    k kj

    kj

    n

    jje R

    qqLW

    1

    1

    1 01 4

    jkkj RR = Dublm numrul de termeni ai sumei,

    ==

    ==

    =

    ===n

    j

    jj

    n

    j

    n

    jkk kj

    kj

    n

    j

    n

    jkk kj

    kje Vq

    R

    qq

    R

    qqW

    11 1 01 1 0 2

    1

    42

    1

    42

    1

    q1

    q2

    M3

    M1

    M2

    R12

    R13

    R23F

    q3

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    37/113

    37

    V

    V

    S

    C

    l

    1

    q1

    V1

    2

    n

    q2

    qn

    V2

    Vn

    =

    =n

    jjje VqW

    121

    JW SIe 1=>< (Joule)

    Exemplu:

    321 LLLWe ++= 01=L

    ++=

    230

    2

    130

    13

    120

    122 444 R

    q

    R

    qq

    R

    qqL

    =

    +++++=

    320

    23

    310

    13

    210

    12

    230

    32

    130

    31

    120

    21

    44444421

    R

    qq

    R

    qq

    R

    qq

    R

    qq

    R

    qq

    R

    qq

    = =

    =3

    1

    3

    1 0421

    j k jk

    kj

    R

    qq

    2)Distribuii oarecare de sarcini electrice

    Prin analogie ++= )()()( 212121 C lS SV Ve VdlVdsVdvW

    3) Sisteme de n corpuri conductoare (sarcini distribuite pe suprafeeechipoteniale)

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    38/113

    38

    q+

    q

    E

    D

    S

    U

    d

    =

    =

    = =

    n

    kSk

    n

    kSe

    k

    kkdsVdsVW

    11 21

    21

    =

    =n

    kkke VqW

    121

    Caz particular: 2=n (condensatorul)

    qq +=1 ; qq =2

    ( ) ( ) =+= 212211 21

    21

    VVqVqVqWe qUWe 21

    =

    = CUq 221

    CUWe =

    =C

    qU

    C

    qWe

    2

    21

    =

    Densitatea volumic de energie a cmpului electrostatic

    ole

    e

    VDEDSEdW

    dEU

    DSqS

    qD

    qUW

    ==

    =

    ==

    =

    21

    21

    21

    ,unde Volvolumul dielectricului

    0cos= EDED

    olVEDW

    =

    21 ole VwW = EDwe = 2

    1

    we densitatea volumic de energie a cmpului electric; [ ] =SIew 1J/m3

    Expresia energiei cmpului electrostatic poate fi generalizat pentru odistribuie de sarcini sub forma:

    =)(V

    ee dvwW ; EDwe = 21

    ,

    unde (V) domeniul ocupat de cmpul electric la care ne referim.

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    39/113

    39

    Teoremele forelor generalizate n cmp electrostatic

    Coordonate generalizateReprezint ansamblul de mrimi scalare (cu dimensiuni de lungime sau

    unghiuri) care caracterizeaz forma i dimensiunile unui ansamblu de corpurincrcate cu sarcini electrice.,, 21 xx

    Noiunea de fore generalizateForele generalizate sunt fore mecanice sau cupluri care tind s modifice

    coordonatele generalizate.,, 21 XX

    kkk dxXL = - lucrul mecanic elementar efectuat de fora generalizat kX

    Observaie: Semnul forei generalizate se consider pozitiv dac ea acioneaz

    n sensul creterii coordonatelor generalizate corespunztoare.

    XF

    xd

    T1- Teorema nti a forelor generalizateEnun: Fora generalizat care acioneaz n sensul creterii coordonatelor

    generalizate corespunztoare este egal i de semn contrar cu derivata energieicmpului electrostatic n raport cu coordonatele generalizate.

    ctqk

    ek x

    WX

    =

    =

    T2 - Teorema a doua a forelor generalizateEnun:Fora generalizat care acioneaz n sensul creterii coordonatelor

    generalizate corespunztoare este egal cu derivata energiei cmpului electrostatic nraport cu coordonata generalizat, calculat n condiiile meninerii constante a

    potenialelor.

    ctVk

    ek x

    WX

    =

    +=

    n cazul teoremei nti, sistemul este izolat fa de exterior aa nct nu aparetransport de sarcin, iar n cazul teoremei a doua are loc transport de sarcin ntresistem i exterior, care duce la schimbarea strii acestuia.

    q+

    q

    Fd

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    40/113

    40

    Ud

    S

    R RS

    Exemple de calcul a forelor generalizate

    1) Calculul forei ce tinde s modifice distana dintre armturile unuicondensator plan

    Caz1: q = ctSe aplic tensiunea U provenit de la o surs de tensiune. Ca urmare,

    condensatorul se ncarc cu sarcina CUq= ; dup care se ndeprteaz sursa detensiune i condensatorul rmne izolat.

    S

    dqW

    d

    SC

    C

    qW

    re

    r

    e

    0

    2

    0

    2

    212

    1

    =

    =

    =

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    41/113

    41

    22

    2

    22

    2

    RRS

    S

    R

    ==

    KKKK

    KKK

    SI= 1 rad

    U= ct. aplicm T22

    21

    CUWe=

    2

    200 R

    dd

    SC rr

    ==

    >=

    =

    =

    ===

    041

    221 22

    202

    20 UkU

    d

    RU

    R

    d

    WMX rr

    ctU

    M(cuplul mecanic) acioneaz n sensul creterii unghiului

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    42/113

    42

    ELECTROCINETICA

    Sarcinile electrice pot avea o micare ordonat:

    micarea electronilor accelerai ntr-un tub catodic; deplasarea particulelor pozitive(protoni) ntr-un accelerator departicule;

    deplasarea electronilor liberi n corpurile conductoare; deplasarea electronilor i golurilor n semiconductoare; deplasarea ionilor + i n soluiile electrolitice; deplasarea cu vitez, macroscopic a corpurilor ncrcate cu sarcini

    electrice; deplasarea unei bile electrizate.

    Electrocinetica studiaz fenomenele legate de deplasarea electronilor liberi n

    corpuri conductoare.Deplasarea ordonat a purttorilor de sarcini n corpuri conductoare senumete conducie electric. Se folosete explicit:conductoare n stare de conducieelectric.

    n cadrul acestui capitol se vor trata cu precdere fenomenele aferenteregimului staionar, caracterizat prin:

    vitez medie constant a purttorilor de sarcini ctv= ; mrimile ce caracterizeaz fenomenele sunt invariabile n raport cu

    timpul ( ) 0=t

    ;

    fenomenele sunt nsoite de schimb de energie sub form de cldur cumediul nconjurtor 0Q .

    Mrimea fizic ce caracterizeaz starea de conducie este intensitateacurentului electric. Intensitatea curentului electric este prin definiie numeric egal cusarcina e transportat prin seciunea transversal n unitatea de timp.

    dt

    dq

    t

    qi

    t=

    = 0

    lim (1) Ai SI 1=>< sC

    A11

    1 =

    i este o mrime primitiv, iar amperul este intensitatea curentului caretransport cantitatea de sarcin de 1C n timp de o secund prin seciunea transversala unui conductor.

    Fenomenul de conducie electric nu poate fi perceput de simurile umanedect prin intermediul efectelor acestuia: efectul caloric; efect luminos; efect mecanic;efect chimic.

    Definiia Amperului:1 Amper absolut este intensitatea curentului care, trecnd printr-o baie de

    electroliz cu nitrat de argint (AgNO3), provoac depunerea la catod a unei cantitide argint de 1,118 mg/s.

    Definiia amperului internaional1 Amper internaional este intensitatea curentului care parcurgnd dou

    conductoare rectilinii, paralele i de lungime infinit, aflate la distan de un metruntre ele provoac o for de interaciune ntre cele conductoare de 7102 N/m (pe

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    43/113

    43

    {1 1

    m1

    m1mNF /102 7=

    metru de lungime). Dac cei doi cureni au acelai sens fora este de atracie, iar dacsunt de sens opus fora este de respingere.

    Explicaia microscopic a fenomenului de conducie

    lSV = (volum)

    Electronii liberi se deplaseaz n reeauacristalin a conductorului sub aciuneacmpului electric cu micare uniformaccelerat.Micarea este ntrerupt de ciocniri cureeaua cristalin, n urma crora electroniii pierd ntreaga energie cinetic.

    Fiecare ciocnire este urmat de o nou micare accelerat.ct - durata ntre dou ciocniri succesive

    ccc

    tavtvtt

    tatv==

    =

    =max)(

    )(

    220 max c

    med

    tavvv

    =

    +== (2)

    q - sarcina electric total existent n volumul V VNqq e =

    Cqe19106,1 = - sarcina elementar

    N-concentraia de electroni liberi pe unitatea de volumN 2910 purttori liberi pe m3.

    tvl = , v viteza medieDin definiia (1),

    SjSvNqvSNqt

    tvSNq

    t

    qi ee

    e

    tt===

    =

    =

    )()(

    limlim00

    vvNqj e == (3)

    S

    ij= - densitatea de curent este proporional cu viteza medie a purttorilor

    de sarcin; mrime vectorial al crei sens este opus sensului de deplasare alelectronilor. Este o convenie. 2/1 mAj>=<

    S

    l

    v

    i

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    44/113

    44

    Observaie: i este mrime scalar, dar afectat de semn. Intensitatea estepozitiv dac corespunde sensului de deplasarea al sarcinilor pozitive. Dac densitateade curent j nu este constant n seciunea transversal a unui conductor, atunciintensitatea curentului electric se calculeaz cu expresia:

    sdjiS = )( (4)

    Problem:Se d seciunea 21mmS= ; Ai 6,1= Se cere ?=J ; ?=v

    26

    26 106,1106,1

    m

    A

    m

    A

    S

    iJ ===

    Din (3) sm

    Nq

    Jv

    e

    /10

    10106,1

    106,1 42919

    6

    =

    =

    =

    Observaie: Dei viteza medie a purttorilor este de 310 , 410 m/s, curentulelectric se propag n conductor cu viteza luminii: sm /103 8 .

    Legea conservrii sarcinii electrice

    Se studiaz cazul general n care exist att curent electric de conducie, ct icurent de convecie. Curentul de convecie corespunde purttorilor de sarcini care sedeplaseaz n vid sau gaze rarefiate (tubul catodic), dar i corpurilor electrizate care sedeplaseaz cu vitez macroscopic.

    ==)()( S

    V

    S

    cc sdvsdJi

    (intensitatea curentului electric deconvenie)

    vJ Vc = (5)(densitatea curentului electric de convecie)

    V - densitatea volumic de sarcin

    electric v - viteza macroscopic medie

    Se consider o suprafa nchis strbtut de conductoare parcurse decureni de conducie i prin care pot exista cureni de convecie.

    n interiorul suprafeei pot exista concentrri de sarcini electrice pe corpuri dediferite forme.

    Legea conservrii sarcinii este n acest caz :

    ( )dt

    dqsdvJ V

    =+ (6) sau dtdq

    i = (6)

    (forma integral a legii conservrii sarcinii electrice)

    S

    j

    i

    S

    i1

    i2

    q

    S1 v

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    45/113

    45

    sd

    sd i1

    i2

    j

    S1

    S2

    curentdeliniile

    Este valabil att n regim staionar ct i n regim variabil.Enun: Curentul electric total care iese dintr-o suprafa nchis ce

    delimiteaz un sistem fizic neizolat este egal cu viteza de scdere a sarcini electricetotale din interiorul acelei suprafee.

    Curentul electric total este format din curentul de conducie i din cel de

    convecie.

    Cu formula Gauss-Ostrogradski (6) devine:) )dvvJdivsdvJ

    V

    VV

    +=+

    ==

    V

    V

    V

    V dvtdv

    dt

    d

    dt

    dq

    ( )t

    vJdiv VV

    =+

    (7)- forma local a legii conservrii sarcinii

    electriceCaz particular -pentru regim staionar:

    =

    =

    =

    )9(0

    )8(00V

    Jdiv

    sdJ

    t

    v

    (formele integral (8) i local (9) ale legii pentru regim staionar)

    Consecine:1) = 0Jdiv liniile de curent sunt curbe nchise.

    Liniile de curent sunt curbe imaginare la care Jeste tangent n orice punct.Conductoarele aflate n regim electrocinetic nu au capete libere, ci formeaz n modobligatoriu bucle.

    2) Intensitatea curentului electric are aceeai valoare n orice seciune aaceluiai conductor filiform.

    ==+=

    000 2121

    iisdJsdJsdJSS

    21 ii =

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    46/113

    46

    l

    1

    2

    i

    S

    U

    Legea conduciei electrice

    Purttorii de sarcin electric se deplaseaz att sub aciunea cmpuluielectric, fore de natur electric, ct i sub aciunea unor fore de natur neelectric.

    neeleltot FFF +=

    EqF eel= ; iee

    neel

    eneel Eqq

    FqF =

    =

    Cmpul imprimat ( Ei ) este o mrime care are aceeai dimensiune ca iintensitatea cmpului electric i descrie aciunea forelor de natur neelectric asupra

    purttorilor de sarcin.( )ietot EEqF +=

    )iee EEqam += , a - acceleraia

    (2)ct

    va

    =

    2

    ( )c

    eie t

    vmEEq

    =+2

    (3) JNq

    ve

    =1

    ( ) JNtq

    mEEJ

    NqtmEEq

    ce

    ei

    eceie

    =+

    =+ 2

    212

    JEE i =+ (10); - rezistivitatea electric, mSI =>< 1 (Legea conduciei electrice n form local)

    JEE i =+= )(1

    (10)

    - conductivitatea electric , 111 =>< mSI sau Siemens / metru

    Cmpul imprimat se manifest n conductoare neomogene i poate fi de naturchimic (baterii alcaline) sau mecanic (generatoarele rotative de inducieelectromagnetic).

    Corpuri omogene:JE = (11)

    JE= (11)

    ( ) ==+2

    1

    2

    1

    2

    1 S

    dli

    S

    SldJldEE i

    SJi =

    =+2

    1

    2

    1

    2

    1 S

    dlildEldE i

    iReu =+ (12)

    Relaia (12) reprezint forma integral a legii conduciei electrice pentru oporiune de conductor neomogen.

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    47/113

    47

    u - tensiunea la bornele poriuni de conductor; e - fora (tensiunea) electromotoare, ce exprim forele de natur

    neelectric; R - rezistena electric a poriunii de conductor.

    Pentru conductoarele de seciune constant :

    ==

    .

    .ct

    ctS

    Sl

    R =

    (13)

    Dac se concentreaz partea omogen, respectiv cea neomogen obinemschema echivalent din fig.:

    Regim staionar: .ctu= Uu , Ee , Ii

    IREU =+ (14)E- tensiunea electromotoare (nu intensitatea cmpului electric E!).

    ( )[ ]00 1 TT+= (15)Relaia (15) arat dependena rezistivitii n raport cu temperatura, valabil n

    domeniul temperaturilor uzuale pentru aplicaiile inginereti.

    - reprezint coeficientul de temperatur; 0>

    n general0 - corespunde la KT

    00 20273 +=

    m

    mmmCu

    228

    0 107,1107,1

    =

    mAl 8

    0 104,2

    mAg 8

    0 106,1

    Constantan (aliaj) m 60 1050 Exist materiale care in vecintatea temperaturii de 0 absolut prezint

    fenomenul de supraconductibilitate, manifestat prin anularea rezistivitii .

    I Re

    u

    I R E

    U

    i

    K10

    T

    15exp r

    0

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    48/113

    48

    l

    1

    2S

    dv

    dlV

    Legea transformrii energiei n procesul de conducie (Joule-Lenz)

    lEqlFL eel ==

    tvl = tvEqL e =

    (3) JNq

    ve

    = 1 tJEL = 1

    Pentru unitatea de volum(N purttori elementari):tJELNL == '

    JE - reprezint puterea pe unitatea de volum a unui material aflat n stare deconducie.

    JEt

    Lp

    tj =

    =

    0lim (16)

    Aceast putere se transform integral n cldur.Relaia (16) reprezint forma local a legii transformrii energiei n procesul

    de conducie electric.Enun: Puterea transformat n cldur corespunztoare unitii de volum a

    unui conductor aflat n stare de conducie este egal cu produsul scalar ntre E i J.

    23 111 mA

    m

    V

    m

    Wp SI ==><

    Pentru conductoarele omogene:= JE 2Jpj =

    Pentru conductoarele neomogene:

    ii EJEJEE ==+ ) gjii ppJEJJEJp === 2 gp - densitatea volumic a puterii corespunztoare forelor neelectrice.

    dvJEdvpVV

    =

    dlSdvdvpPV

    ==

    ( ) uiPdlEidlSJEP ===

    2

    1

    2

    1

    Regim staionar: UIP = (17)(Forma integral a legii transformrii energiei)

    Din relaia (14) ERIU =

    ( ) = ERIIP EIRIP = 2 (18)

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    49/113

    49

    hKWJsWW === 1106,3360010100 6

    Forma (18) a legii exprim faptul c puterea primit de o poriune deconductor filiform este egal cu suma dintre puterea disipat sub form cldurireversibil i puterea generat de forele de natur neelectric.

    IEPg = - puterea generatorului

    Convenii de semne i sensuri pentru un dipol elementar

    Expresia legii conduciei se coreleaz obligatoriu cu sensurile mrimilor, celedou reprezentri fiind echivalente.

    Sensurile reale n cazul unor probleme complete, pot s fie diferite de sensurileindicate pe desen, mrimile cu sens diferit rezultnd cu semnul - n urma calculelor.

    0

    02

    =

    >=

    EIP

    RIP

    g

    j

    =>< 1SIR (Ohm)WP SI 1=>< (Watt)

    Energia electric

    Energia electric consumat de o poriune de conductor aflat n stare deconducie ntr-un interval oarecare de timp reprezint integrala puterii n acel timp.

    =t

    t

    dtPW0

    )(. 0ttPtPWctP === JW SI 1=>< (Joule) 1s1W1J =

    kWhW tehnic 1=>< JWssWhkW663 106,3106,33600101 ===

    Exemplu:Energia consumat de un bec cu putere nominal = W100 n 10 ore.

    IREU =+ IREU =+

    U

    I RE

    I RE

    U

    Sensuri asociate dup regula de lareceptoare

    Sensuri asociate dup regula de lageneratoare

    0>q 00 Pg

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    50/113

    50

    Circuite electrice funcionnd n regim staionar (circuite de curentcontinuu)

    Un circuit electric este un ansamblu de elemente conductoare interconectate

    astfel nct s asigure conductoarelor intrri n stare de conducie (s existe poriunineomogene i s existe bucle nchise). Este un obiect fizic.

    Exemplu:

    Schema electric este reprezentarea grafic a unui circuit electric.Fiecrui element de circuit ideal i se asociaz un simbol grafic.

    Elemente ideale de circuit

    Sursa ideal de tensiune

    Sursa ideal de tensiune impunetensiunea ntre punctele n care esteconectat, indiferent de structuracircuitului din care face parte.

    Sursa ideal de curentSursa ideal de curent impune curentul prinlatura de circuit din care face parte, indiferent destructura circuitului.

    I=J(a nu se confunda cu J); AJ 1>=<

    r

    E

    R

    baterie

    electricschema

    neomogenparte

    electriccircuit

    omogenarte

    +

    -

    U

    E

    ( )0=R

    U= -E

    U=E

    sau

    J

    R

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    51/113

    51

    IR

    U

    ( )tu

    ( )ti L

    ( )tu

    ( )tiC

    ( )dt

    duCti =

    1E

    3E

    1

    I

    1R

    1n 2n

    3n

    1U

    2U2I 2

    R

    3R

    4I

    4R

    5I

    5J

    2b

    1b

    Rezistorul ideal= 0E IRU =

    RG

    1= - conductana electric

    SG SI 1=>< (Siemens), 1S = 1-1

    UGI =

    Bobina idealL- inductana

    ( )dt

    diLtu =

    n regim staionar:

    )(00 itscurtcircuUdt

    di==

    Nu vom folosi bobina n acest capitol.

    Condensatorul ideal

    n regim staionar: 00 == Idt

    du(mers n

    gol) Nu vom folosi condensatorul n acestcapitol.

    Elementele sunt concepte idealizate cu ajutorul crora pot fi explicatefenomene reale. Un element de circuit ideal funcioneaz pe baza unei singure

    proprieti considerat dominant, neglijndu-se efectele secundare.

    Elemente de topologie a circuitelor electrice

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    52/113

    52

    1n 2n

    3n1b

    2b

    )1(

    )2(

    )3( )4( )5(

    1n 2n

    3n

    )2(

    )4( )5()(a

    Latur de circuit este o poriune fr ramificaii; ea poate s conin unul sau

    mai multe elemente; l- numrul de laturi.Nod de circuit este un punct n care converg trei sau mai multe

    laturi.( 321 ,, nnn ); n - numr de noduri.

    Bucl este un poligon format din laturi ale circuitului.(exemple:1-3; 1-2-4; 2-3-5)

    Ochi de circuiteste bucla care nu conine laturi interioare (exemple: 1-3; 2-3-4; 4-5).

    1+= nlo - numrul de ochiuri (relaia lui Euler)Circuitul electric se poate reprezenta grafic ntr-o form simplificat prin

    grafurile asociate.

    Graful este o reprezentare simplificat, n care laturile circuitului suntreprezentate prin arcuri crora li se asociaz sensuri n concordan cu sensurileconvenionale alese pentru cureni.

    Subgraful este o parte a unui graf care nu conine toate laturile acesteia, nschimb el poate conine sau nu toate nodurile.

    Exemplu:

    Subgrafuri complementare sunt dou sau mai multe subgrafuri ale aceluiai

    graf care mpreun conin toate laturile grafului i nu au nici o latur comun.

    (a) i (b) sunt complementare

    Arborele este un subgraf ce conine toate nodurile grafului, dar nu coninebucle.

    )(b

    n1

    n3

    (a)

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    53/113

    53

    1n2n

    3n)1(

    )2(

    Arbore

    )1(

    )2(

    )3(

    )3(3 buclab

    )1(

    )2(

    4b

    )1(

    )2(

    5b

    )5(

    1 1+ 01+ 0

    00 1 1 1

    1+ 0 1 1+ 1+

    1n

    2n

    3n

    1l 2l 3l 4l 5l

    =

    1= nla (numrul de laturi

    ale arborelui)

    Laturile unui arbore senumesc ramuri.

    Coarbore este subgraful complementar unui arbore.onllll ac =+== 1

    cl - coardelePrin adugarea cte unei coarde la arbore se formeaz cte o bucl

    independent al crei sens de parcurgere este impus de sensul coardei.

    onllb c =+== 1 (numrul de bucle independente)

    Descrierea topologiei prin matrice de conexiune

    1) Matricea de inciden laturi-nodurin - linii; l-coloane; lnA Elementele matricei sunt:

    egale cu zero 0=ji

    a dac laturajnu este incident la nodul i;

    1+=jia dac laturajeste incident la nodul ii are sensul de ieire din acesta;

    1=jia dac laturaj este incident la nodul ii are sensul de intrare n acesta.

    Liniile nu sunt liniarindependente, ceea ce ne

    permite s pstrm numailiniile independente alematricei, fr s pierdem

    din informaie (n-1 linii)

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    54/113

    54

    1= nrangA

    1

    1+

    01+0

    0 01 1

    1 01 1+

    3b

    4b

    5b

    1l 2l 3l 4l 5l

    =0

    0

    ++=

    1101000111

    Ar - matricea rezistor

    2)Matricea de conexiune laturi-bucle

    lbB 0=ijb (latura ij )

    1+=ijb (latura ij i areacelai sens cuaceasta)

    1=ijb (latura ij , darare sens contrar)

    Matricea curenilor laturilor

    [ ]

    =

    lI

    I

    I

    IM

    2

    1

    , [ ] 1lI , l-numrul de laturi

    Matricea (vectorul) tensiunilor laturilor

    [ ]

    =

    lU

    U

    U

    UM

    2

    1

    , [ ] 1lU

    Observaie: Sensurile tensiunilor coincid cu sensul curenilor. Sunt sensuri

    convenionale care pot fi diferite de sensurile reale.Matricea(vectorul) potenialelor noduri

    Dac potenialul unuia dintre noduri se alege ca referin i i se atribuie ovaloare arbitrar (preferabil valoarea zero), atunci acest potenial nu face parte dinvectorul potenialelor nodurilor.

    [ ]

    ==

    1

    2

    1

    0

    n

    n

    V

    V

    V

    VVM

    , [ ] 1)1( = nV , n= numrul de noduri al circuitului

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    55/113

    55

    Matricea tensiunilor electromotoare ale laturilor

    [ ]

    =

    lE

    E

    E

    E M2

    1

    , [ ] 1lE . Exemplu: [ ]

    =

    00

    0

    3

    1

    E

    E

    E

    Matrice curenilor surselor ideale de curent

    [ ]

    =

    lJ

    J

    J

    JM

    2

    1

    , [ ] 1lJ . Exemplu: [ ]

    =

    5

    0

    000

    J

    J

    Matricea rezistenelor laturilor

    [ ]

    =

    lR

    R

    R

    R

    K

    MOMM

    K

    K

    00

    0000

    2

    1

    , [ ] llR .

    Matricea conductanelor laturilor

    [ ]

    =

    lG

    G

    G

    G

    K

    MOMM

    K

    K

    00

    0000

    2

    1

    , [ ] llG .k

    k RG

    1=

    Relaii matriceale utile:

    1) 0== trt

    r ABBA - matricea de inciden laturi-noduri (redus) Ar imatricea de inciden laturi-bucleBsunt ortogonale.

    [ ] lnrA )1( , [ ] bnbltB = )1(0 rA

    +

    +

    ++

    100110101100101

    1l 2l 3l 4l 5l

    4b3b

    =B

    +

    ++++

    001011101011111 1n

    2n

    3n

    1l 2l 3l 4l 5l

    =

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    56/113

    56

    =

    =

    =

    ++=

    =

    =

    =

    IIIIII

    IIIIIIIIIII

    III

    IIIII

    III

    IIIII

    55

    44

    33

    542542

    15431

    5

    4

    3

    54

    543

    5

    4

    3

    5

    4

    3

    2

    1

    000010001110111

    =

    =

    000000

    100

    010001110111

    1101000111tB

    2) [ ] [ ][ ]VAU t =

    [ ] [ ]213 0 VVV ==

    Observaie: Matricea de inciden laturi-noduri (redus) ( rA ) se obineeliminnd linia corespunztoare nodului ales cu referina de potenial din matricea deinciden laturi-noduri A.

    3) [ ] [ ]Ct IBI = ,IC - vectorul (matricea coloan) curenilor cu arborele

    Exemplu:

    =5

    4

    3

    II

    I

    IC - curenii arborelui. [ ] nbCI

    Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite liniare de curent continuu

    Prima teorem a lui Kirchhoff (Teorema curenilor):

    Enun: Suma algebric a intensitilor curenilor incideni ntr-un nod decircuit este zero.

    +

    =

    =

    VVV

    VVV

    VV

    UUUUU

    2

    2

    1

    21

    2

    1

    5

    4

    3

    2

    1

    1010

    0111

    01 VVVU 1131 ==

    VVU 212 =

    VVVU 2235 ==

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    57/113

    57

    04321 =+++ iiii

    0)(

    = jnk

    kI

    0=

    sdJ - Regim staionar

    +=+++= 14321

    0cosSsSSS

    dsJsdJsdJsdJsdJsdJ

    00cos0cos0cos 4321432

    =++=+++ IIIIdsJdsJdsJSSS

    Teorema a doua a lui Kirchhoff (Teorema tensiunilor)

    Enun:Suma algebric a tensiunilor la bornele laturilor care compun o buclde circuit este zero.

    04321 =+ UUUU

    0)( = jbkkU (1)- forma general a teoremei a II-a a lui Kirchhoff

    1i2i

    4i3i

    )(nj

    S1

    S2

    S3S4

    ds

    ds

    ds

    1

    I2

    I3

    4

    3

    J1 ds

    1E

    3E

    1I1R

    1U

    2U

    2I

    2R

    4I

    4R

    3R3I

    4U

    convers

    sens

    bj

    3U

    1U 2U

    3U4U

    1n

    2n

    3n

    4n

    dlSe

    nsconvenional

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    58/113

    58

    Uk

    EkIk

    Demonstraie:Se aplic teorema potenialului electric pentru regim staionar.Teorema este asemntoare din punct de vedere formal cu teorema

    potenialului electrostatic.0=

    ldE

    =+++=+++=

    41342312

    3

    2

    1

    4

    4

    3

    2

    1

    UUUUldEldEldEldEldEn

    n

    n

    n

    n

    n

    n

    n

    04321 =+= UUUU

    Form particular a teoremei a II-a a lui Kirchhoff

    kkkk IREU =+

    kkkk EIRU = (2)

    Se nlocuiete (2) n (1) ( ) ==k

    kk

    kkk

    kkkk

    k EIREIRU

    = 0k

    kk

    kk EIR =k

    kk

    kk EIR

    (forma particular a teoremei a II-a a lui Kirchhoff)Enun:Suma algebric a cderilor de tensiune la bornele rezistoarelor de pe

    laturile care compun o bucl de circuit este egal cu suma algebric a tensiunilorelectromotoare de pe acele laturi.

    Ex: 3144332211 EEIRIRIRIR =+

    Teorema conservrii puterilor n circuite de curent continuu

    Enun:Suma puterilor primite de laturile circuitului este zero.

    kkk UIP = - puterea primit de latura k

    01

    ==

    l

    kkkUI - forma general

    [ ][ ] 0= UIt - forma matriceal

    ll

    l

    t

    l

    UIUIUI

    U

    U

    U

    I

    I

    I

    +++=

    LMM

    22112

    1

    2

    1

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    59/113

    59

    Demonstraie:[ ] [ ]c

    t IBI = [ ] [ ] BII tct =

    [ ] [ ]VAU t = [ ] [ ] [ ] [ ] 0== VABIUI ttct

    [ ]0= tAB

    Forma particular:

    ( ) 011

    2

    1

    === ===

    l

    kkk

    l

    kkk

    l

    kkkkkkkkk IEIREIRIEIRU

    ==

    =l

    kkk

    l

    kkk IEIR

    11

    2 - forma particular (bilanul puterilor)

    Enun: Suma puterilor consumate de toate rezistoarele circuitului este egalcu suma total a puterilor cedate de sursele de energie.

    Expresia matriceal a teoremei nti a lui Kirchhoff pe ntreg circuitul[ ] [ ]

    [ ] [ ] 1)1(1)1(

    1)1(

    0

    0

    =

    =

    nlln

    n

    I

    I

    Expresia matriceal a teoremei a II-a a lui Kirchhoff

    [ ] [ ] 10 = bUB - forma general

    [ ] [ ] 11 0 = bllb UB

    [ ] [ ] [ ] [ ]EIRUEIRU kkkk == - Se nmulete cu B la stnga[ ] [ ] [ ] [ ] = EBIRBUB [ ] [ ] [ ]EBIRB =

    (forma particular a teoremei a II-a a lui Kirchhoff.)

    Analiza circuitelor liniare de curent continuu cu ajutorul teoremelor luiKirchhoff

    Analiza unui circuit electric presupune calcularea curenilor i tensiunilorlaturilor atunci cnd se cunosc:

    natura elementelor componente; modul de interconectare al lor (topologia circuitului); parametrii elementelor componente 1) pentru elementele pasive - R.

    2) pentru elementele active - E, JPentru analiza unui circuit cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff se parcurg

    urmtoarele etape:

    1)Se identific elementele de topologie: numrul de laturi (l), numrul denoduri (n), numrul de bucle independente (b).

    Laturile se indexeaz cu cifre arabe n ordine cresctoare, toate elementele

    aceleiai laturi purtnd ca indice indexul laturii respective.Nodurile circuitului se indexeaz cbannn ,,sau,, 321 .

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    60/113

    60

    Se aleg sensuri convenionale pentru curenii laturilor (sensul curentului sensul tensiunii electromotoare).

    Se cere: 51 IIK ; 51 UUK i bilanul puterilorl=5; n=3; b= l-n+1 =3Se identific buclele independente i se aleg sensuri convenionale de

    parcurgere (sensuri arbitrare).

    2) Se construiesc ( )1n ecuaii cu teorema I a lui Kirchhoff.Se construiesc becuaii cu teorema a II-a a lui Kirchhoff.

    Ansamblul acestor ecuaii formeaz un sistem de ecuaii cu lnecunoscute.[ ]

    [ ] [ ] [ ]EBIRBTIT

    =

    =

    )(

    0)(

    2

    1 [ ]

    [ ] [ ]

    [ ]

    =

    EB

    IRB

    n 1)1(0

    (expresia matriceal a teoremelor lui Kirchhoff pentru ntregul circuit)

    Pentru exemplu:

    =

    =

    =

    =

    =

    ==

    =

    1

    4

    4

    2

    2

    812

    12

    5

    4

    3

    2

    1

    4

    2

    1

    RRRREEE

    V

    V

    V

    1b

    2b

    3b

    1

    2

    1

    23

    4

    5

    I1

    2

    I3

    I4

    I51n

    2n

    4

    n3

    =

    ++

    =

    = 0

    00111110011

    4321

    521

    5

    4

    3

    2

    1

    IIIIIII

    I

    IIII

    ( )( )

    ( )( )( )

    =+

    +=++

    +=+

    =++

    =

    EIIbEIRIRIRb

    EEIRIRbIIIIn

    IIIn

    444333

    25533222

    2122111

    43212

    5211

    :

    :

    :

    0:

    0:

    0111110011

    1l 2l 5l4l3l

    =

    0110010111

    00011=

    0

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    61/113

    61

    [ ]

    =

    RR

    RR

    R

    R

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    0

    [ ]

    =

    =

    4

    2

    21

    4

    2

    1

    0

    00110010110

    00011

    E

    E

    EE

    E

    E

    E

    EB

    3)Rezolvarea sistemului de ecuaii(De preferabil s se foloseasc forma matriceal i s se aplice o metod de

    eliminare de tip Gauss) sau se poate aplica regula lui Cramer.)[ ] = NIMM 1 [ ] NMI = 1

    )det(M= ;

    = kkI , k =1,2,l

    n urma calculelor

    =

    =

    =

    =

    =

    A

    A

    A

    A

    A

    III

    II

    4

    3

    1

    2

    2

    5

    4

    3

    2

    1

    kkkk EIRU =

    ==

    ==

    ==

    ==

    ==

    VIRU

    VEIRU

    VIRU

    VEIRU

    VEIRU

    4

    44

    88

    555

    4444

    333

    2222

    1111

    [ ]

    =

    0110010110

    00011

    RB

    RR

    RR

    R

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    0

    =

    00000

    000

    43

    532

    21

    RRRRR

    =

    IB

    00000

    000

    43

    532

    21

    R RRR

    RR

    =

    =+

    =

    =

    0

    0

    0

    4433

    553322

    2211

    5

    43

    2

    1

    IRIR IRIRIR

    IRIR

    III

    II

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    62/113

    62

    ( ) 724134142222 22222255

    2

    22

    2

    11 =++++=+++ III

    7238212212442211

    =++=+++ III

    ERI

    U

    Cele cu semnul - au sensurile reale opuse fa de sensurile convenionalealese la nceput.

    4)Verificarea calculelor cu ajutorul bilanului puterilor

    Puterea consumat:

    Puterea cedat:

    Metode operative de analiz a circuitelor liniare de curent continuu

    1) Metoda curenilor de contur (metoda curenilor de bucl sau metodacurenilor ciclici)

    EIRUIREU ==+ Pentru ntregul circuit:

    (1) (2)

    Se nlocuiete (2) n (1) dup ce s-a nmulit expresia (1) la stnga cu matriceaB.

    Notaie:

    Rb b

    b- matricea rezistenelor buclelor

    Eb b 1 -vectorul tensiunilor electromotoare ale buclelor

    Relaiile ( )3 i ( )3 sunt expresiile metodei curenilor de contur, respectiv unsistem de becuaii cu bnecunoscute. Necunoscutele sunt curenii laturilor coarboreluiasociat circuitului n numr 1+= nlb .

    = =5

    1

    5

    12

    k kkkkk IEIR

    {{

    consumatputeresursedecedatputere

    EIRBUB = | [ ]IBI Ct=

    [ ] EBIBRUB Ct

    =

    [ ]RBRB bt= EEB b=

    I bCb = ( )3

    0=UB [ ] EBIBRB Ct

    =(Teorema a II-a a lui Kirchhoff) (3)

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    63/113

    63

    IC1

    IC2 IC3

    1b

    2b3b

    ( )I CC 2122211 +=++

    Aceti cureni pot fi considerai ca i cureni fictivi care parcurg bucleleformate prin adugarea laturilor coarborelui la arbore ( bucle independente). Duprezolvarea sistemului i aflarea curenilor CI se calculeaz curenii tuturor laturilor cuajutorul expresiei (2).

    321

    ,, ccc III - cureni de bucl

    21 RR + - suma rezistenelor laturilor buclei parcurse de 1CI

    2R - rezistena laturii parcurs simultan de 21 , CC II

    21 EE + - suma algebric a tensiunilor electromotoare de pe laturile buclei

    Semnul celui de-al doilea termen ( R2 ) este + dac 21, CC II au acelai sensprin latura comun i - dac au sensuri contrare.

    Observaie: Metoda nu se preteaz pentru rezolvarea circuitelor care coninlaturi de rezistene infinite.

    2) Metoda potenialelor noduri(metoda nodal)Se consider laturile unui circuit de tip general care are urmtoarea

    configuraie:

    =+=+

    =+

    1/2|88412472

    1/2|024

    32

    32C1

    21

    I II II

    II

    CC

    C

    CC

    =+=+

    =+

    2212472

    02

    32

    321

    21

    III

    II

    CC

    CCC

    CC

    A

    A

    II

    IIIII

    CC

    CCC

    C

    32

    2

    422

    1246

    23

    231

    32

    =+

    =

    ==+

    =

    A

    A

    A

    A

    A

    IIII

    IIIIII

    II

    C

    C

    CC

    CC

    C

    4

    3

    1

    2

    2

    25

    34

    323

    212

    11

    ==

    ==

    ==

    =+=

    ==

    ( )( )

    =+

    ++++

    ERIRRIERIRIRRRI

    CC

    CCC

    432433

    233215322 |

    IREU =+

    EGUGI +=

    U

    ER

    I

    A

    J

    IB

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    64/113

    64

    JIIJII +== 0JEGUGI ++=

    [ ] JEGUGI ++= ( )4

    [ ] [ ]VU t= ( )5

    [ ] [ ][ ]

    [ ] [ ] [ ][ ]

    =

    =

    ++=EGVG

    IJEGVGI t

    t

    0( )6

    [ ]

    =t

    n GG

    IVG Snn = ( )6

    03

    =V

    Teorema I a lui Kirchhoff n nodul A:

    Se nlocuiete (5) n (4) dup ce s-a nmulit la stnga expresia (4) cu matriceat (matricea de inciden laturi-noduri redus).

    - matricea conductanelor nodale

    [ ] [ ]EGInS

    = - vectorul curenilor de scurtcircuit nodali

    Expresiile (6), respectiv (6) reprezint sistemul de ecuaii de dimensiuni 1n care are ca necunoscute potenialele a 1n dintre nodurile circuitului scrise compactsub forma vectorului V. Potenialul celui de-al n-lea nod este considerat ca referin iuzual i se atribuie valoarea zero.

    ( ) ( )6,6 este expresia potenialelor nodurilor. Dup aflarea potenialelor secalculeaz curenii laturilor cu ajutorul relaiilor ( ) ( )5,4 .

    Se alege potenialul de referin i i se atribuie valoarea zero.

    ( GGGGVGGGV 22112125211 +=+++ 521 GGG ++ - suma conductanelor tuturor laturilor incidente n nodul 1n .

    2V - potenialul unui nod adiacent

    21 GG + - suma conductanelor laturilor care unesc cele dou noduri 1 i 2.Termenii ce se refer la potenialele nodurilor adiacente au ntotdeauna semnul

    minus.

    Nod adiacent -este legat de nodul pentru care se scrie ecuaia printr-o laturfr ramificaii (cel puin o latur).

    111EGIS = curent de scurtcircuit a laturii 1.

    Curentul de scurtcircuit al unei laturi estecurentul care apare prin aceasta atunci cnd

    capetele ei se unesc cu un fir de rezistennul.

    RIEIR SS 11

    1111

    ==

    IS1n1

    n2

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    65/113

    65

    ( )n

    3R

    ( )1n

    03 =S

    E2

    n1

    n2

    EGIS 222 =

    ( ) ( ) GGEGGGVGGGGV 44221121143212 +=++++

    GGG 521 ++

    GG 21+GG 21+

    GGGG 4321 +++

    G n

    VV

    2

    1

    +

    +

    = EGGEGEG

    42211

    2211

    V

    ISn

    66221 +=VV

    2| 26623

    21 +=+ VV 2032 21 =+ VV

    VVV 482 22 == VVVVV 44212

    112

    1 +=+=

    +

    ( )

    ( )( )( )( )( ) A

    A

    A

    A

    A

    VVGIEVVGI

    VVGIEVVGIEVVGI

    EUGI kkkk

    4

    3

    1

    2

    2

    1355

    42344

    2333

    31222

    11211

    ==

    =+=

    ==

    =+=

    =+=

    +=

    rrqq

    F 321

    4 =

    E

    +

    E

    m

    Fr

    1094

    19

    0

    =

    =

    Curenii de scurtcircuit se iau cu semnul + n membrul drept al ecuaieinodale dac sensul lor este ctre nod i cu semnul - invers.

    Observaie: Metoda 2) nu se preteaz pentru circuite care conin laturi derezisten nul sau conductan .

    Seminar:

    r- distana de la sarcina 1q la 2q .

    - permitivitate

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    66/113

    66

    ( )2cos

    1cos

    04

    += l

    Ex

    x

    V

    VE

    ==

    [ ]r

    qVmVEldEV

    4;/; ===

    =P

    P

    ldEPVPV0

    )()( 0

    1) Se consider un fir rectiliniu finit, ncrcat uniform cu o sarcin electric

    distribuit liniar, aflat n aer. S se calculeze intensitatea cmpului electric Entr-unpunct aflat la distana ade firul nostru.

    CqvdqV

    V1; =

    =

    EDq

    sdE 00; ==

    rq

    EqEF

    3

    4==

    r

    2

    1

    1T

    a

    l r

    M

    dE

    xEd

    dE

    dl

    1

    2

    y

    ldrr

    rEd l 24

    = sinEdEd x = cosEdEd y=

    daldalal

    ctgctg

    === 2sin

    ; 1

    ( )

    +==

    =

    ==

    2

    1

    2

    12cos1cos04

    sin04

    2sin

    2

    sin2sin

    1

    04

    sinsin

    ald

    al

    a

    dalEx

    ar

    r

    a

    sinsin 2

    04ld

    rEdEd

    l

    x=

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    67/113

    67

    ( )

    ==

    =2

    1

    2

    12sin1sin04

    cos04

    2sin

    2

    cos2sin

    1

    04

    ald

    al

    a

    dalEy

    ( )210

    sinsin4

    =

    aEl

    y

    0;cos0

    21 2 === EaE y

    lx

    0;00

    21 2 ==== EaE y

    lx

    h

    a 1n

    2n

    E

    3nE

    E

    E

    r1

    arI< 0q

    sdE =

    ===+++=S SS SS ll

    rnEsdEsdEsdnEsdnEsdnEsdE iiiiii2 31

    13212

    ===V V

    vVV hrvdvdq2

    11

    01

    0

    2

    1

    1 22

    r

    E

    hr

    hrEV

    i

    V

    i ==

    0

    1

    2r

    EV

    i=

    0

    1

    2r

    EV

    i=

    =0

    qsdEe

    hrEsdEsdE SS lleee 22 ==

    Cazuri:

    2) Se consider un fir infinit lung cilindric cu raza a uniform ncrcat cu osarcin q cu densitatea V , materialul avnd permeabilitatea .0

    S se calculeze intensitatea cmpului electric i potenialul electric ntr-unpunct aflat la distana rde axa cilindrului. ??; == VE

    I.

    II. arII>

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    68/113

    68

    r2

    0=V

    E ===V

    VV

    VV havdvdq2

    ra

    Eha

    hrE VeVe

    0

    2

    0

    2

    2 22 ===

    ( )aRrdrrdrr

    EV VR

    a

    R

    a

    R

    a

    R

    a

    VVVii

    22

    0000 4|

    222 =====

    aRa

    rdra

    rdra

    EV VR

    a

    R

    a

    R

    a

    VVee

    ln0

    2

    0

    2

    0

    2

    21

    22

    ====

    1C 2C kC SCC

    =q ks CC

    11 =k

    kp CC dA

    dA

    C rpl 0==

    UQUCWdA

    C

    rk

    kpl 2

    121 20 ; ===

    pC

    FCFCFCFCFCFC 1;1;5;5,0;5,0;10654321

    ======

    Seminar

    Probleme:1) ase condensatoare sunt legate ca n figur. Sarcina condensatorului

    Cq 45 10,5 = . Se mai cunosc

    S se gseasc tensiunea.

  • 5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

    69/113

    69

    A

    B

    1C

    2C

    3C

    4C

    5C

    6C

    N

    MNU

    Cqq 465

    10==

    2

    111165

    6556

    65566

    5 ; =+

    =+==

    CC

    CCCCCCC

    qUAB

    VUAB 20010

    10

    6

    4

    21

    ==

    CCCUCq