Limbile
Pagini
Legal
BAZELE ELECTROTEHNICII I
-Note de curs-
2
Introducere Bazele electrotehnicii reprezint o disciplin tehnic fundamental care
studiaz fenomenele electrice i magnetice din punct de vedere al aplicaiilor tehnice inginereti: descrcrile electrice, orientarea cu busola, fenomenul de atracie ntre diferite minereuri, lumina.
Exist mai multe teorii, care studiaz fenomenele: Teoria macroscopic MAXWELL-HERTZ (1870-1890) Teoria macroscopic a lui LORENTZ Teoria relativist a lui EINSTEIN Teoria cuantic
Teoria macroscopic MAXWELL-HERTZ studiaz fenomenele electromagnetice la nivel macroscopic fr a face apel la structura substanei. Este o teorie care rspunde suficient de bine cerinelor obinuite ale ingineriei, motiv pentru care se studiaz in cadrul disciplinei. Ea prezint limitri la viteze comparabile cu viteza luminii, dar acest lucru nu deranjeaz din punct de vedere al ingineriei electrice.
Conceptele fundamentale cu care lucreaz teoria macroscopic MAXWELL-HERTZ sunt substana i cmpul, ce formeaz materia. Substana este reprezentat de corpurile sau obiectele materiale care au mas, iar cmpul este acea form de existen a materiei care poate exista att in interiorul substanei ct i n interiorul unor corpuri. Exemple de cmpuri: cmp gravitaional, cmp electromagnetic.
Instrumentele de baz necesare n cadru teoriei sunt: 1. mrimi fizice 2. uniti de msur 3. legi 4. teoreme
Mrimile fizice sunt proprieti ale materiei (fie corp, fie cmp), care permit o evaluare cantitativ a unor fenomene.
Unitile de msur sunt concepte asociate mrimilor fizice care permit compararea mrimilor de aceeai natur.
Legile sunt afirmaii enunate pe baz de experiment care nu pot fi deduse din alte afirmaii cu grad de generalitate mai ridicat.
Teoremele sunt afirmaii care constituie cazuri particulare ale unor legi. Ele pot fi deduse din legi intuitiv sau pe baz de calcul analitic.
La baza fenomenelor electromagnetice st conceptul de sarcin electric. Cel
mai mic purttor de sarcin electric este Ce 19106.1 = (electronul), respectiv Cp 19106.1 = (protonul) [1C=1Coulomb].
Dei sarcina electric are un caracter discret, teoria macroscopic o consider ca avnd caracter continuu n corpurile purttoare de sarcin electric. Prezena sarcinii electrice este numai n substan 31108.9 =em kg (masa electronului). Sarcinile electrice pot fi n repaus sau n micare, iar n funcie de acest lucru fenomenele electromagnetice pot fi clasificate n:
3
1. Fenomene statice (regim static) 0=v ; 0;0 ==
Wt
.
Toate corpurile sunt n repaus, derivatele sunt nule i nu exist transformri energetice. Exemple: regimul electrostatic i regimul magnetostatic.
Cmpul electric poate exista independent de cmpul magnetic i se pot studia separat.
2. Fenomene staionare (regim staionar) 0;0; =
= Wt
ctv .
Exemplu: curentul continuu care strbate anumite corpuri conductoare sau fire. n acest regim avem cmpul magnetic staionar, care poate fi studiat separat de cmpul electric.
3. Fenomene cvasistaionare (regim cvasistaionar) 0;0;0
Wt
v .
Exist variaii ale unor mrimi, ns ele sunt suficient de lente astfel nct s nu permit propagarea cmpului electromagnetic.
Exemplu: funcionarea circuitelor electrice la frecvene joase.
4. Fenomene variabile (regim variabil) 0;0;0
Wt
.
n acest caz variaiile unor mrimi sunt relativ mari i permit propagarea lor n spaiu. Exemplu: comunicaia n telefonia mobil, radio-TV.
4
ELECTROSTATICA
Sarcina electric punctiform (q) Sarcina punctiform este un corp de dimensiuni neglijabile n raport cu spaiul
la care e raportat, ncrcat cu o anumit sarcin electric. Teorema lui Coulomb
Experimental s-a observat c r
r
r
qqkF
= 2
0 , unde 22
9109C
mNk
= .
mFk /1094
141
900
==
; 0 - permitivitatea dielectric a vidului
rr
qqF = 3
0
041
(1) Teorema lui Coulomb
Se constat urmtoarele: - fora de interaciune F este direct proporional cu produsul sarcinilor ( qqF 0~ );
- fora F este invers proporional cu ptratul distanei dintre ele ( 21
~r
F );
- dac > 00qq F este o for de respingere; dac < 00qq F este o for de atracie
Intensitatea cmpului electric produs de o sarcin punctiform
q
q0
F
r
F
Fig.1 Explicativ pentru teorema lui Coulomb
q
q0
F
r
Fig.2 Explicativ pentru calculul intensitii cmpului electric
5
Eqrr
qqF =
= 3
0
041
rr
qE = 3
0
041
(2) - Intensitatea cmpului electric produs de o sarcin
punctiform
[ ]m
VE SI 1=
Linia de cmp electric este o linie
imaginar n vecintatea corpurilor ncrcate cu sarcini electrice la care intensitatea cmpurilor electrice este tangent. Totalitatea liniilor de cmp electric formeaz spectrul electric.
Teorema superpoziiei cmpurilor electrice Intensitatea cmpului electric corespunztor unui sistem de sarcini
punctiforme este egal cu suma vectorial a intensitii cmpului electric creat de fiecare sarcin considerat n absena celorlalte sarcini.
321 EEEE ++=
==
==n
kk
k
kn
kn r
r
qEE
13
01 41
Dac pentru un sistem de dou sarcini +q i q se aplic ipotetic teorema
superpoziiei, prin punctele din vecintate se pot trasa liniile de cmp care formeaz spectrul. Spectrul construit astfel arat c liniile de cmp sunt curbe deschise care pleac de pe sarcini pozitive i ajung pe sarcini negative sau se prelungesc pn la infinit.
q>0
A AE
Fig.3 Linii de cmp
q1
q2
q3
1E
2E
3E
E
Fig.4 Teorema superpoziiei
q+ q
dlcmp de linie
E
6
Punctul de la infinit este un concept care semnific punctul aflat la distan
mult mai mare dect dimensiunile sistemului fizic.
0= dlE , dl - vectorul de lungime asociat curbei Aceasta este ecuaia liniilor de cmp; exprim faptul c E este tangent la liniile de cmp.
Corpul de prob este un concept idealizat care reprezint o sarcin electric punctiform de valoare suficient de mic, nct s nu perturbe cmpul electric n care este amplasat; se folosete pentru investigarea cmpurilor electrice.
Teorema lui Gauss n electrostatic
Considerm o sarcin punctiform q i construim n jurul ei o sfer ipotetic de raz r.
204
)(r
qrE
=
Notm cu S suprafaa sferei.
0
22
0
44
)(
qr
r
qSrE ==
Produsul SrE )( reprezint fluxul intensitii cmpului electric prin suprafaa :
24)()(),cos( rrEdsrEdsdsEEdsE ===
ds =element de suprafa asociat suprafeei sferice ; este o mrime vectorial care are modulul egal cu aria unei poriuni foarte mici din suprafaa , direcia este perpendicular pe aceast poriune i sensul ctre exterior; se vede din figur c ds respect condiia.
Faptul c fluxul intensitii cmpului electric prin suprafaa sferei nu depinde de raza sferei permite extinderea acestei afirmaii la cazul general al unui sistem format din mai multe sarcini electrice, nconjurat de o suprafa nchis care nu este neaprat sferic.
0
=q
dsE (3) Teorema lui Gauss
=
=n
kkqq
1
q
1 q2q3
q
ds
E
q
ds Er
7
Enunul teoremei lui Gauss: Fluxul intensitii cmpului prin orice suprafa nchis este proporional cu
sarcina electric total delimitat de aceea suprafa. Factorul de proporionalitate
este 0
1
n sistemul de uniti internaional.
Distribuii spaiale de sarcini electrice
1) Distribuia pe corpuri filiforme
dl
dql = [C/m] densitatea lineic de sarcin electric
==B
A
l
B
A
dldqq - sarcina electric total pe firul AB
2) Distribuia pe suprafee
dS
dqS = [C/m
2] densitatea superficial de sarcin electric
==S
S
S
dSdqq - sarcina electric total pe suprafa
3) Distribuia volumic
dl
A
B
dldql
=
S
ds)(dq
8
dl
ME
V
S r
Cq1 q2 q3
n 1qn
dV
dqV = [C/m
3]
==V
V
V
dVdqq
Cmpul electric rezultant creat de distribuii spaiale de sarcini electrice se calculeaz pe baza teoremei superpoziiei.
r
r
dqr
r
dq
rr
dqr
r
qE
VS
C
k
n
k k
k
++
++=
=
30
30
301
30
44
441
dldqC l = :)( dSdqS S = :)( dVdqV V = :)(
+++=
=
dVrr
dSrr
dlrr
rr
qE
V
V
S
S
C
lk
n
k k
k333
13
041
(4) Relaia (4) reprezint expresia teoremei superpoziiei pentru un sistem
oarecare de sarcini electrice. Aceast relaie permite calculul intensitii curentului electric n cazul general.
dv)(dq
9
A
B
dl
E
m
nA
B
Tensiunea electric
dlEUB
A
AB = [V] (5)
Tensiunea electric ntre dou
puncte amplasate n cmp electric este prin definiie integrala intensitii cmpului electric de-a lungul unei curbe arbitrare care unete cele dou puncte.
AB
AnBAmB
AnBAmB
BnAAmB
UdlEdlE
dlEdlE
dlEdlE
==
=
=+
)()(
)()(
)()(
0
0
Justificare: nmulind relaia (5) cu q (sarcin unitate) avem:
AB
B
A
B
A
B
A
AB LdlFdlEqdlEqqU ==== )( LAB - lucrul mecanic al forelor de natur electric necesar pentru deplasarea
sarcinii q din punctul A n punctul B. Tensiunea electric reprezint lucrul mecanic necesar forelor de natur
electric pentru a deplasa unitatea de sarcin electric ntre dou puncte.
0==+= AABAABAA WWLLL (6) ;
WA - energia cmpului electric corespunztoare poziiei iniiale
0=
dlE (7) - Teorema potenialului electrostatic
Relaia (6) permite alegerea arbitrar a punctului B; prin urmare integrala pe orice curb nchis este zero.
A
dl
Es d
l d
S
10
y
z
x
j
k
i
Consecine: - tensiunea electric ntre dou puncte nu depinde de drum; - se aplic teorema lui Stokes expresiei (7)
==
0S
dSErotdlE 0=Erot (8) forma local a Teoremei
potenialului electrostatic
Corelarea sensurilor elementelor de linie i elementelor de suprafa se face dup regula burghiului drept: sensul lui dS este dat de sensul de naintare al unui burghiu care se rotete n sensul indicat de dl .
Cmpul electric este un cmp irotaional. - se demonstreaz n matematica superioar c orice cmp irotaional poate fi
scris ( ) EVgradErot == 0 ; V este potenialul, iar semnul - este conform unei convenii de semn.
VgradE = (9)
Operatorii de derivare spaial
kz
jy
ix
+
+
= - expresia n sistemul de coordonate cartezian.
VgradV ; V este un cmp scalar
kz
Vj
y
Vi
x
VV
+
+
=
=
===
z
V
y
V
x
Vzyx
kji
gradVrotErotE )(
0222222
=
+
+
=zx
Vj
zy
Vi
yx
Vk
zx
Vj
yx
Vk
zy
Vi
Exprimm variaia potenialului ntre dou puncte apropiate n spaiu.
=
+
+
== dzz
Vdy
y
Vdx
x
VzyxdVdV ),,(
( ) dlEdVdlgradVkdzjdyidxkz
Vj
y
Vi
x
V==++
+
+
=
11
( )C
dl( )1
( )2E
q1
q2
q3
qn
M
r1
r2
====2
1
2
1
2
112 )( dVdVdlEU
2112 )( VVVV ==
2112 VVU = (10)
Potenialul unui punct se exprim relativ la un potenial de referin. Punctul de referin poate fi ales arbitrar, ca i valoarea potenialului acestuia. Se prefer valoarea 0 pentru potenialul de referin (2). Consider punctul (2) ca referin.
dlEVUV === 2
11122 0 (11)
Potenialul ntr-un punct se calculeaz ca integral a lui E pe o curb arbitrar care unete acel punct cu punctul de referin.
Potenialul cmpului electric creat de sarcini punctiforme
=M
M drEV 0=V - referin de potenial;
drr
qdrEdrEdrEdrE 2
04),cos(
===
a
q
r
qdr
r
qdr
r
qV
aaa
M00
20
20 4
14
144
=
===
Cazul general: r
qrV
04)(
= .
Teorema superpoziiei potenialelor
=
=+++=n
j
nM jEEEEE1
21 L
gradVE =
11 gradVE =
22 gradVE = K
nn gradVE =
+q M E r a
12
S
ds)(dq
r
M
dv)(dq
V
dl
( )dq
l
q3
n 1qn
gradVVgradgradVjEEn
jj
n
jj
n
j
=
===
=== 111
=
=n
jjVV
1
(12) - Teorema superpoziiei potenialelor
Potenialul cmpului electric creat de o distribuie spaial de sarcini electrice este egal cu suma potenialelor create de fiecare sarcin punctiform dac ar exista singur, n absena celorlalte.
=
=n
j j
j
r
qV
1041
Potenialul cmpului electric creat de distribuii oarecare de sarcini
Formulele potenialelor elementare sunt similare formulei potenialului
corespunztor sarcinilor punctiforme, de forma:
=
dV
dS
dl
dq
V
S
l
r
dldV ll
04
= ; r
dSdV SS
04
= ; r
dVdV VV
04
=
Teorema superpoziiei ==C
l
C
ll dlrdVV
041
;
==S
S
S
SS dSrdVV
041
; ==V
V
V
VV dVrdVV
041
+++=+++=
== S V
n
j j
jVS
C
ln
jjVSlM
r
qdV
rdS
rdl
rVVVVV
101 41
Ecuaiile Poisson / Laplace pentru cmpul electrostatic Teorema lui Gauss:
0
=q
dSE ;
= V
dVEdivdSE )( ; dVqV
V=
13
( ) ( ) VVgradVdiv ==
00
)(1
)(
V
V
V
V
EdivdVdVEdiv ==
n coordonate carteziene:
( )z
E
y
E
x
EkEjEiEk
zj
yi
xEEdiv zyxzyx
+
+
=++
+
+
==
gradVE = 0
)(VgradVdiv = (Ecuaia lui Poisson)
( -operatorul Laplace) 0
VV =
Ecuaia lui Laplace este ecuaia de distribuie spaial a cmpurilor; ecuaia general a cmpurilor n coordonate carteziene:
( ) 22
2
2
2
2
z
V
y
V
x
Vk
z
Vj
y
Vi
x
Vk
zj
yi
xVV
+
+
=
+
+
+
+
==
ecuaia lui Poisson n coordonate carteziene: 0
2
2
2
2
2
2
V
z
V
y
V
x
V=
+
+
n cele mai multe cazuri ntlnite n practica inginereasc sarcinile electrice sunt dispuse pe suprafee si nu n volume.
= 0V 0=V - Ecuaia lui Laplace
022
2
2
2
2
=
+
+
z
V
y
V
x
V - Ecuaia lui Laplace n coordonate carteziene
Suprafee echipoteniale Suprafeele echipoteniale sunt suprafee fictive care se desfoar n cmp
electrostatic, pentru care potenialul electric are aceiai valoare n orice punct al suprafeei.
- sfer concentric cu sarcina q
Se consider dou puncte foarte aproape pe suprafaa echipotenial:
EM
M/
dl
q+- suprafa echipotenial
14
dl
ld/
a
x
r
MEd
/
11
Ed 11
Ed
Ed/
Ed xEd x
/
l
dlE
dlEdlEdVVVM
M
MM
=== 0'
' - ecuaia suprafeei echipoteniale
Consecin: Relaia de mai sus arat c vectorul E - intensitatea cmpului electric - este perpendicular pe suprafeele echipoteniale, prin urmare liniile de cmp sunt la rndul lor perpendiculare pe suprafeele echipoteniale.
Aplicaii: Calculul intensitii cmpului electric i al potenialului electric n cazuri
particulare. 1) Se cere E i V pentru cmpul
creat de o spir circular ncrcat cu sarcin electric distribuit uniform cu densitatea l. Punctul de calcul va fi pe o ax perpendicular pe planul spirei care cade n centrul acesteia. Raza spirei se noteaz cu a.
dldq l=
rr
dlr
r
dqEd l 3
03
0 44
==
0=V
q+ q
suprafee echipoteniale
15
a
Mx
E
Se folosete teorema superpoziiei pentru E .
==C
M EdxEE )(
||EdEdEd x +=
( )23
220
224
cosxa
xdl
xa
xdE
r
xdEdExEd l
+
=
+===
0'|||| =+ EdEd Oricare dou elemente dl i dl de pe spir creeaz componente ale intensitii
cmpului paralele ( ) cu planul spirei care se anuleaz reciproc. n concluzie cmpul rezultant va avea componente numai pe direcia pe planul spirei.
( ) ( ) ( )23
220
2
023
220
23
220 244
)(xa
xadl
xa
xdl
xa
xdExE l
a
C
ll
C
x
+=
+=
+==
2204 xa
dqdV
+=
220
2
022
022
0 244 xa
adl
xaxa
dldVVV l
al
C
l
C
xM+
=+
=+
==
n ipoteza ( ) 0=V . Variant de calcul a potenialelor
( ) ( )
+=
+=
===
x
l
x
l
xx
M
dx
xa
xadx
xa
xa
dxEdxExVV
23
22023
220
22
0cos)(
Notm cu: 22 xat += ; 2
2dt
xdxdxxdt ==
22
0
21
0
23
0 2212222
22
22 xa
atadtt
aV l
xa
l
xa
lM
+=
=
=
+
+
Calculul lui E pe alt cale!
gradVE = ; x
VEx
=
16
a
R
ds sd/
r/
r x
Ed 11 Ed/
11
Ed X
Ed X/
EdEd
/
A B
CD
adl
R
ds
d
( ) ( )
( )23
220
23
22
0
21
22
022
0
2
221
222
xa
axE
xxaa
xadx
da
xa
a
dx
dE
l
lll
+=
+
=
+=
+=
Particularizare:
=
==
02
00
lV
Ex
00
V
Ex
2) Cazul unui disc de raz a ncrcat cu sarcini electrice dispuse uniform pe
suprafaa lui cu densitatea S. Punctul de calcul este amplasat pe o dreapt pe planul discului care cade n centrul acestuia.
BCABdS = dRBC dRAB = = ddRRdS
( ) ( ) dRdxRR
xR
dS
r
dqdE SS
+=
+== 22
022
02
0 444
dSdq S=
==disc
xM dExEE )(
C C/m2 m2
17
A
B
C
D
/A
//B
//C
//D sdE
sd
E
//A
S
S
( )
( )
dRd
xR
Rx
Rx
xdEdEdE Sx
+=
+==
23
220
224
cos
( ) ( )
=
+=
+= dRd
xR
RxdRd
xR
RxE
aS
aS
M
0
2
023
220
0
2
0 23
220 44
( ) ( )
dRxR
RxdR
xR
Rx aSa
S +
=+
=0 2
32200 2
322
022
Se face schimbare de variabil: txR =+ 22 ; dtdRR =2 ; dtRdR21
=
+=
+==
+
++
xaxxtx
dttx
E S
ax
x
Sxa
x
SM
1121
232222 220
123
0
23
0
22
2
22
2
+=
220
12
)(ax
xxE S
Cazuri particulare:
a) 02
)0(0 SEx ==
b) 0)(lim)( ==
xEExx
c) 02
)(lim)( S
axEEaxa ==>>
- n cazul unui plan de dimensiuni
infinite ncrcat cu sarcini electrice distribuite uniform cu densitatea S , cmpul electric n vecintatea lui nu depinde de x.
Calculul intensitii cmpului electric n vecintatea unui plan infinit cu ajutorul teoremei lui Gauss
18
0
=q
dSE ; SSq SABCDS ==
ESdsEdsEdSE
dSEdSEdSEdSEdSEdSE
DCBADCBABCCB
ABBADCCDADDADCBADCBA
2''''''''''''''''''
''''''''''''''''''''''''''''''
=+=+
+++++=
dSEdSEdSE == 0cos - pentru '''''''','''' DCBADCBA
02
cos ==
dSEdSE - pentru toate celelalte fee laterale
== 00
22
S
ESq
ES S
02 SE =
Concluzie: Teorema lui Gauss permite calculul cmpurilor electrice pentru majoritatea cazurilor posibile n practica inginereasc unde cmpurile electrice prezint simetrie spaial( simetrie plan, cilindric, sferic).
Cmpul electrostatic creat de dou plci plane, paralele ntre ele, de
dimensiuni foarte mari n raport cu distana uneia fa de cealalt, ncrcate cu sarcini de polariti opuse i amplasate n vid.
iE
iE
SA
SA
0
2
0
1
2
2
=
=
021 =+= AAA EEE
iE
iE
SB
SB
0
2
0
1
2
2
=
=
iEEE SBBB0
21
=+=
+S -S
2E
1E 1E
2E
A B C
x 0 d
19
q+ q q+ q
d
E0E
vid
(izolant)dielectric material
0EE >
cos;cos 1212 lrr
l
rr
( ) bgradaagradbabgrad +=
Cmpul electric al dipolului elementar
Se determin mrimea lqp = ce se numete moment electric.
21
12
0201021 444 rr
rrq
r
q
r
qVVV
==+=
30
30
20 44
coscos4 r
rp
r
lrq
r
r
r
lqV
=
=
=
=
== 3
03
0
141
4 rrpgrad
r
rpgradgradVE
( ) pkpjpipzpypxpkz
jy
ix
rpgrad zyxzyx =++=++
+
+
= )(
kpjpipp zyx ++=
kzjyixr ++=
zpypxprp zyx ++=
222 zyxr ++=
( ) ( ) ++=++
+
+
=
ixzyxzyxkz
jy
ixr
grad 2231 12/32222/3222
3
( ) ( ) =++++ kzzyxjyzyx 223
223 12/322212/3222
( ) ( ) 52/5222 33
r
rkzjyixzyx =++++=
( )
=
+
= 35
035
0
3413
41
r
p
r
rrp
r
p
r
rrpE
21
dv)(dq
M
r
( ) bgradaadivb +=abdiv
+= V S
SV sdrvdrV
041
Cmpul electric suplimentar produs de un domeniu polarizat Polarizaia electric P reprezint momentul electric corespunztor uniti de
volum; se mai numete vector polarizaie. pd - suma momentelor electrice din
volumul dv
v
pP
= Polarizaie electric
dvPpd =
dvr
gradPdvr
rP
r
rdvP
r
rpddV
==
=
=1
41
41
44'
03
03
03
0
=r
gradr
r 13
( )r
Pdiv
r
Pdiv
rgradPzyxk
zj
yi
x
=
=++
+
+
= 12/1222 K
dvr
Pdiv
r
PdivdV
+=
041
'
+==
VV
dvr
Pdivdv
r
PdivdVV
041
''
Gauss Ostrogradski:
==
dsr
nPsd
r
Pdv
r
Pdiv
V
; dsnsd =
+=
dsr
nPdv
r
PdivV
V041
'
Relaia lui V este formal asemntoare cu relaia potenialului creat de distribuii spaiale dispuse n volum i pe suprafee:
22
PdivV =/
1
( )nPPnPS 1221/
1 =
1 2n12
P1
P2 ( )VE grad // =
dielectricpolarizat corp
V
V
ds
qV
/
qV
===VV
VV sdPvdPvdq div//
/ 1V
-densitatea volumic a sarcinilor de polarizaie
/ 1S-densitatea superficial a sarcinilor de polarizaie
Folosind aceste dou notaii problema calculului cmpului suplimentar se reduce la problema calculului unui cmp electric creat de sarcini adevrate distribuite pe corpurile polarizate cu densitile S' i V' . Densitile superficiale ale sarcinilor de polarizaie apar numai la suprafaa de separaie a dou medii cu proprieti dielectrice diferite.
21 ,PP - polarizaiile electrice n cele dou medii n imediata apropiere a suprafeei de separaie.
+=
V S
SV dsr
dvr
V''
41
'0
Legea fluxului electric Sarcina total de polarizaie dintr-un corp dielectric ce ocup volumul V este:
Expresia teoremei lui Gauss pentru un domeniu care conine att sarcini electrice adevrate, ct i sarcini de polarizaie este:
=+=
0000
|11
)'(1
dsPqdsEqqdsE VVV
( ) VqdsPE =+
0
PED += 0 (1) - legea legturii ntre D , E i P ; D - inducia electric
23
n prezena corpurilor dielectrice nu este suficient o singur mrime pentru a caracteriza cmpul electric, ci sunt necesare dou mrimi, respectiv E i D .
VqsdD =
(2) - legea fluxului electric (forma integral)
Enun: Fluxul electric prin orice suprafa nchis este egal cu sarcina electric adevrat delimitat de suprafaa respectiv. Legea este valabil att n vid, ct i n medii dielectrice.
(
= sdD - fluxul electric)
VV
V
V
DdivdvdvDdiv ==
(3) - forma local a fluxului electric
Legea fluxului electric reprezint o generalizare a teoremei lui Gauss.
Legea polarizaiei temporare
pt PPP +=
unde: tP - polarizaie temporar PP - polarizaie permanent
PP nu depinde de cmpul electric n care este amplasat dielectricul. n general corpurile dielectrice nu prezint polarizaie permanent.
0pP ; Totui exist substane cu polarizaie permanent i anume electreii.
tP depinde de E din masa corpului polarizabil. EP et 0= (4) Legea polarizaiei temporare (e -hi)
Enun: Legea polarizaiei temporare exprim proporionalitatea dintre E (intensitatea cmpului electric) i vectorul polarizaie. Aceast proporionalitate ns poate fi valabil numai pentru domenii limitate ale lui M, iar factorul de proporionalitate e poate avea diferite valori n funcie de direcia cmpului.
n cazuri uzuale se consider corpuri dielectrice liniare n care acest factor de proporionalitate este constant.
cte= - susceptibilitate electric
EEEEDEPPP
reeept
0000
0 )1()1(
=+=+==+=
( 0=pP )
ED = (5) - consecin a relaiilor (1) i (4) i se folosete n aplicaii practice
er += 1 - permitivitatea relativ a materialului
10 >> re Pentru vid: 10 == re
P
E
Material electric liniar
24
mFSI
/1=>
25
12
2 1
D1 D2
s1s2
S
normal
22
1 2
2 1
E t1E t2
normal
E1
E2
+++=
A
D
D
C
C
B
B
A
ldEldEldEldEldE
0 0
Pentru BC : tdlld = ===
A
D
C
B
A
D
C
B
dltEdltEdltEdltEldE
DA: tdlld = ( )=== tEtElDAtEBCtE 1212 ( ) 012 == tt EEl
BC =DA = l = 0l tt EE 21 = (6) - componena tangenial a lui E se conserv la
suprafaa de separaie dintre dou medii
- suprafaa cilindric plan; S - aria bazei;
Legea fluxului electric :
=
VqsdD
n ipoteza 0=V
q =++= lSSS
sdDsdDsdDsdD21
00 122121121211
=+=++= SnDSnDdsnDdsnDSS
Pentru S1: dsnsd 12= nn DD 21 = (7)
Pentru S2: dsnsd 12= Se conserv componenta normal a lui D la suprafaa de separaie a dou
medii.
26
ct
grad
VE
VE=
=
=
0
===n
n
n
n
t
n
n
t
D
DD
D
E
E
E
E
tg
tg
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
=tg
tg (8)
ED = Relaia (8) reprezint teorema refraciei cmpului electric la suprafaa de separaie a dou medii.
Comportarea corpurilor conductoare n cmp electric Corpurile conductoare prezint urmtoarele particulariti:
1. densitatea volumic de sarcin electric este ntotdeauna zero 0=V ; sarcinile electrice sunt dispuse pe suprafaa conductoare 0S ;
2. intensitatea cmpului electric n interiorul corpurilor conductoare este zero. 0int =E ;
3. copurile conductoare sunt echipoteniale: toate punctele lor au acelai potenial .ctV = ;
4. intensitatea cmpului electric pe frontiera corpurilor conductoare este perpendicular pe aceasta: extnext EE = (componenta normal) i
componenta tangenial 0=exttgE . Justificare: n electrostatic nu exist deplasare de sarcini electrice. Toate sarcinile sunt n
repaus. n corpurile conductoare exist e liberi; pentru ca ei sa fie n repaus nu trebuie sa fie supui unor fore de natur electric 00 === EEqF .
Considerm un corp conductor i construim n interiorul su o suprafa nchis aleas arbitrar, pentru care s aplicm teorema lui Gauss.
0VqsdE =
; 00 == VqE - nu avem
sarcini electrice n volumul corpului
ntruct componenta tangenial se conserv i dac n interiorul corpului
aceasta este zero c i la exterior aceasta este zero 0=exttE .
Consecine: 1)Ecranarea electric spre interior
ctV =AB
conductor corp
cavitatedl
0E ext
27
Se consider un corp conductor n care este practicat o cavitate, corpul fiind amplasat ntr-un cmp electric exterior.
00 === cavB
A
BA EldEVV
Dac se aleg pe frontiera caviti dou puncte oarecare i se exprim diferena de potenial ntre ele integrnd pe curbe arbitrare rezultatul ne conduce la concluzia c funcia de sub integral, respectiv E trebuie s fie 0; deci E n interiorul cavitii este nul o persoan aflat n interiorul cavitii este protejat total fa de aciunea cmpului electric; pe de alt parte dac atingem oricare dou puncte de pe frontiera cavitii diferena de potenial va fi 0 iar pericolul de electrocutare este nul.
Acest sistem de protecie se mai numete cuca lui Faraday, iar efectul de ecran se pstreaz chiar dac avem de-a face cu o plas de srm, tabl perforat, etc.
2)Ecranarea electric spre exterior Echipamentele electrice n care exist tensiuni periculoase se nchid de regul
n carcase metalice conectate galvanic la pmnt.
Carcasa metalic mpreun cu pmntul formeaz un singur corp conductor care este echipotenial; atunci o persoan care atinge carcasa nu este supus unei diferene de potenial fa de pmnt, neexistnd pericolul de electrocutare. n masa carcasei metalice sarcinile se distribuie conform figurii.
Sisteme conductoare n cmp electric
q+
++
+
++ + + +
++
++
+++
0=V
0=
0=V
0=V
metalic carcas
potenialul pmntului este nul
0=V
vq 11 vq 22
vq nn
1 2
n
U n0
VU 110 =
VVU 2112 =
corpuri conductoare
suprafaa pmntului
28
}{0 jiij jj ;
+++=
+++=
nnnnnn
nn
qqqV
qqqV
L
M
L
2211
12121111
(1)
Ecuaiile (1) reprezint ecuaiile lui Maxwell pentru poteniale (prima form a ecuaiilor lui Maxwell).
Se rezolv sistemul (1)
+++=
+++=
nnnnnn
nn
VVVq
VVVq
L
M
L
2211
12121111
(2)
Ecuaiile (2) reprezint a doua form a ecuaiilor lui Maxwell.
=ij coeficienii de influen electrostatic (coeficieni de capacitate)
0;0 ijij pentru (i j)
111111311311211212121111 VVVVVVVVVq nnnn +++++++= LL ( ) ( ) ( ) ( )nnn VVVVVVVq +++= 11311321121112111 LL
+++=
+++=
002211
11121210101
nnnnnnn
nn
UCUCUCq
UCUCUCq
L
M
L
(3)
02010 ,,, nCCC - capacitile pariale ale fiecrui corp fa de pmnt;
ijC - capacitatea parial a corpului i fa de j. Proprieti ale capacitilor pariale
1. 0,,, 02010 >nCCC K 2. ),1(,,0 njiCij > 3. C jiCij = - relaia de reciprocitate
4. Valorile Cij depind numai de configuraia geometric a sistemului de
conductoare i de natura mediului n care sunt amplasate i nu depind de sarcini sau de potenial.
29
Condensatorul electric Definiie: Condensatorul electric este un sistem de dou conductoare separate
printr-un material dielectric care ndeplinesc condiia 021 =+ qq . Consecin: Cmpul electric ntre cele dou conductoare este un cmp
complet, adic toate liniile de cmp care pornesc de pe un conductor ajung pe cellalt. Cele dou conductoare se numesc armturi.
021 =+ qq (4)
Din (3)
+=
+=
202021212
121210101
UCUCq
UCUCq
(4) 02010 = CC CCC == 2112 UCq = (5)
UUU == 2112 Uq
C = (6)
qq =1 ; qq =2 C este capacitatea electric a condensatorului i reprezint factorul de
proporionalitate ntre sarcin i tensiune. Capacitatea depinde numai de geometria condensatorului i de natura dielectricului; nu depinde de sarcin i nici de tensiune.
Simbolul grafic al condensatorului:
Calculul capacitii condensatoarelor Capacitatea nu depinde de sarcin sau tensiune, ci numai de forma i
dimensiunile condensatorului, precum i de natura dielectricului. Pentru calculul capacitii unui condensator dat se parcurg urmtoarele etape:
1. se consider condensatorul ncrcat cu o sarcin de valoare arbitrar +q, respectiv q;
2. se calculeaz inducia electric a cmpului creat de aceste sarcini n zona dielectricului se calculeaz E; K== EED r 0
3. se calculeaz diferena de potenial ntre cele dou armturi:
ldEVVU == 2
121
4. se exprim capacitatea cu relaia (6). Sarcina q se va simplifica.
Exemple: 1) Condensatorul plan cu un singur dielectric
Se d: S; d; r . Se cere C. q arbitrar
Se poate aplica legea fluxului electric pentru calculul lui D
= qsdD
q+ q
U
q+ q
U
q+
q
A
B
D r
S1
S 2S
d
30
SSS l= 21
A
B
E
dld
Se mbrac armtura superioar cu o suprafa nchis de form
paralelipipedic. Pentru aceast suprafa se aplic legea fluxului electric. Se ine seama c avem un cmp electric complet, adic toate liniile de cmp care pornesc de pe armtura ncrcat cu sarcini pozitive ajung pe cealalt armtur. Se consider c n afara dielectricului cmpul electric este nul.
; qq =
DSdsDdsDsdDsdDsdDsdDsdDSSSSSS l
====++= 11121
0cos
Pe suprafeele S2 i Sl 0=D .
S
qDqSD == ;
S
qDE
rr 00==
dS
qdl
S
q
dlEldEVVU
r
d
r
dB
A
00 0
021 0cos
==
====
d
S
dS
C r
r
0
0
==
2) Condensatorul plan cu dielectric stratificat
Se d S , 1d , nd , rnr K,1 Se cere capacitate. q arbitrar.
S
qD =
S
qDE
S
qDE
S
qDE
rnrnn
rr
rr
00
20202
10101
==
==
==
L
d1
d2
dn
1 2
n
+q
-q
A
B
31
++++
+++
+
+++==nnq
n
dddd
ddd
dd
d
dB
A
ldEldEldEldEVV11
121
21
1
1
021
L
L
L
=+++== nndEdEdEVVdlEldE L2211210cos
+++=
rn
n
rr
ddd
S
q
L
2
2
1
1
0
21 VV
qC
=
=
=n
k rk
kd
SC
1
0
3) Condensatorul sferic Se dau: dou sfere conductoare cu raze 21 ,RR i r. Se cere capacitatea C. q - arbitrar. Cmpul electric are simetrie sferic datorit formei armturilor; pentru calculul lui se aplic legea fluxului electric.
Pentru asta construim o sfer (suprafa sferic concentric cu armaturile). 21 RrR
32
SSS l = 21
4) Condensatorul cilindric
Se d: rlRR ,,, 21 . Se cere C. q - arbitrar Cmpul electric n dielectric are simetrie cilindric datorit formei. - suprafa cilindric de raz r, 21 RrR
33
A B
U
q
U
q
A B
U
q
Sisteme de condensatoare Un sistem de condensatoare este un ansamblu format din mai multe
condensatoare conectate care poate avea sau nu borne exterioare i care ndeplinete o anumit funcie.
Sisteme de condensatoare cu dou borne exterioare
Dou sisteme de condensatoare cu borne exterioare sunt echivalente() dac prin aplicarea aceleiai diferene de potenial ntre borne se absorb aceleai sarcini electrice.
A) Sisteme de condensatoare conectate n paralel. Capacitate echivalent
Se d nCCC ,,, 21 conectate n paralel. Se cere capacitatea echivalent
UCq 11 = ; UCq 22 = ; UCq nn = Condiia de echivalen: qqqq n =+++ L21
UCq p=
U
UCUCUCUC np1
21 +++= L
=
=+++=n
kknp CCCCC
121 L
1q gCL
2q
nq
2CL
nCL
A BpCq+ q
U
C1
C2
Cn
-q1
-q2
-qn
A B
34
A B
1C
q+ q q+ q q+ q q+ q2C 3C nC
1U 2U 3U nU
U
A Bq+ qsqC
U
1C
SC
1
3C
4CrC
pCC
B) Sisteme de condensatoare conectate n serie. Capacitatea echivalent
Se d: nCC 1 n serie. Se cere SC .
11 C
qU = ;
22 C
qU =
nn C
qU =
+++==qC
q
C
q
C
q
C
qU
ns
1
21
L =
=+++=n
k kns CCCCC 121
11111L
nUUUU +++= L21 (teorema potenialului)
=
=n
kks SS
1
(S-elastana)
C) Conexiuni mixte paralel-serie (exemplu)
32
321
32
32
321
111CC
CCC
CC
CC
CCC ss +=
+=+=
5432
325411 CCCC
CCCCCC sp +++
=++=
p
p
p CC
CCC
CCC +=+=
1
1
11
111
1C
2C 3C
4C
5C
C=?
35
15432
32
5432
321
CCCCC
CC
CCCC
CCC
C+++
+
++
+=
Sisteme de condensatoare fr borne de acces (Reele izolate de conductoare) Conin att condensatoare ct i surse de tensiune interconectate. Se cunosc capacitile condensatoarelor reelei i tensiunile surselor i se
urmrete gsirea distribuiei sarcinilor electrice pe condensatoarele reelei. Pentru a rezolva aceast categorie de probleme se utilizeaz teoremele lui Kirchhoff pentru reele de condensatoare.
T1 Sarcina total delimitat de o suprafa nchis care nu are fire de conexiune, ci se nchide numai prin armturile condensatoarelor i prin aerul sau vidul din vecintate se conserv.
ctqk = T2 Suma tensiunilor la bornele elementelor care formeaz o bucl a reelei
este zero. 0= kU
Se d: 41 ., CC i 0U Se cere: 41 ,, qq i
41 ,, UU
Etape de rezolvare: se consider condensatoarele ncrcate cu sarcinile 41 ,, qq i se stabilesc
polaritile arbitrare. Recomandare! Armturile conectate la borne de o anumit polaritate ale surselor se vor ncrca cu sarcini de aceeai polaritate;
se aplic teorema a doua a lui Kirchhoff pentru toate ochiurile reelei. Ochi = bucl care nu conine laturi diagonale. Pentru fiecare ochi se alege un sens convenional de parcurgere. Tensiunile la bornele condensatorului se consider orientate de la armturile
pozitive spre cele negative. o1 : 0021 =+ UUU o2 : 0243 =+ UUU se construiesc attea suprafee nchise prin dielectricii condensatorului ct
este necesar pentru a completa sistemul de ecuaii cu expresii date de T1. nr. de necunoscute = 4 nr. de ecuaii deja construite = 2 nr. de ecuaii necesare = 4-2 = 2
q+
q+
q
q
q+ q
U 0 o1 o2q+
q
U1
U 2
U 3
U 4
C1
C2
C3
C 4
+
1 1
2
2
3
3
4
4
1
2
36
dou suprafee nchise 1i 2 ( ) 0: 431 =+ qq
( ) 0: 3212 =++ qqq
se rezolv sistemul de ecuaii: )41( K== kC
qU
k
kk
=++
=+
=++
=+
00
0
321
43
4
4
3
3
2
2
02
2
1
1
qqq
qqC
q
C
q
C
q
UC
q
C
q
=
=
=
=
????
4
3
2
1
q
q
q
q
Energie n cmp electric 1) Sistem de n sarcini punctiforme Energia cmpului electric corespunztoare unui sistem de sarcini punctiforme
este numeric egal cu lucrul mecanic necesar a fi efectuat din exterior pentru a ncrca corpurile respective cu sarcin electric.
01 =L
( )
120
122222
22
412
1212
12
R
qqLVqldEq
ldEqldFldFL
R
RR
R
==+=
====
+==
230
2
130
13333 44 R
q
R
qqVqL
Pentru aducerea sarcinii n punctul 3M se efectueaz un lucru mecanic care trebuie s nving forele de natur electric de interaciune att ntre 3q i 1q , ct i ntre 3q i 2q .
3V este potenialul cmpului electric n punctul 3M datorat prezenei lui 1q i
2q .
=
==1
1 04
n
k kn
knnnn R
qqVqL
=
==
==n
j
j
k kj
kj
n
jje R
qqLW
1
1
1 01 4
jkkj RR = Dublm numrul de termeni ai sumei,
==
==
=
===n
jjj
n
j
n
jkk kj
kj
n
j
n
jkk kj
kje VqR
R
qqW
11 1 01 1 0 21
421
421
q1
q2
M3
M1
M2
R12
R13
R23 F
q3
37
V
V S
S
C
l
1
q1
V 1
2
n
q2
qn
V 2
V n
=
=n
jjje VqW
121
JW SIe 1=>< (Joule)
Exemplu:
321 LLLWe ++= 01 =L
++=
230
2
130
13
120
122 444 R
q
R
R
qqL
=
+++++=
320
23
310
13
210
12
230
32
130
31
120
21
44444421
R
R
R
R
R
R
= =
=3
1
3
1 0421
j k jk
kj
R
2)Distribuii oarecare de sarcini electrice
Prin analogie ++=)()()( 2
121
21
C
l
S
S
V
Ve VdlVdsVdvW
3) Sisteme de n corpuri conductoare (sarcini distribuite pe suprafee echipoteniale)
38
q+
q
E
D
S
U
d
=
=
= =
n
kSk
n
kSe
k
kkdsVdsVW
11 21
21
=
=n
kkke VqW
121
Caz particular: 2=n (condensatorul)
qq +=1 ; qq =2
( ) ( )=+= 212211 21
21
VVqVqVqWe qUWe 21
=
= CUq 221CUWe =
=C
qU
C
qWe
2
21
=
Densitatea volumic de energie a cmpului electrostatic
ole
e
VDEDSEdW
dEU
DSqS
qD
qUW
==
=
==
=
21
21
21
,unde Vol volumul dielectricului
0cos= EDED
olVEDW
=21
ole VwW = EDwe = 21
we densitatea volumic de energie a cmpului electric; [ ] =SIew 1J/m3 Expresia energiei cmpului electrostatic poate fi generalizat pentru o
distribuie de sarcini sub forma:
=)(V
ee dvwW ; EDwe = 21
,
unde (V) domeniul ocupat de cmpul electric la care ne referim.
39
Teoremele forelor generalizate n cmp electrostatic Coordonate generalizate Reprezint ansamblul de mrimi scalare (cu dimensiuni de lungime sau
unghiuri) care caracterizeaz forma i dimensiunile unui ansamblu de corpuri ncrcate cu sarcini electrice.
,, 21 xx Noiunea de fore generalizate Forele generalizate sunt fore mecanice sau cupluri care tind s modifice
coordonatele generalizate. ,, 21 XX
kkk dxXL = - lucrul mecanic elementar efectuat de fora generalizat kX
Observaie: Semnul forei generalizate se consider pozitiv dac ea acioneaz n sensul creterii coordonatelor generalizate corespunztoare.
XF
xd
T1- Teorema nti a forelor generalizate Enun: Fora generalizat care acioneaz n sensul creterii coordonatelor
generalizate corespunztoare este egal i de semn contrar cu derivata energiei cmpului electrostatic n raport cu coordonatele generalizate.
ctqk
ek x
WX
=
=
T2 - Teorema a doua a forelor generalizate Enun: Fora generalizat care acioneaz n sensul creterii coordonatelor
generalizate corespunztoare este egal cu derivata energiei cmpului electrostatic n raport cu coordonata generalizat, calculat n condiiile meninerii constante a potenialelor.
ctVk
ek x
WX
=
+=
n cazul teoremei nti, sistemul este izolat fa de exterior aa nct nu apare transport de sarcin, iar n cazul teoremei a doua are loc transport de sarcin ntre sistem i exterior, care duce la schimbarea strii acestuia.
q+
q
Fd
40
Ud
S
R R
S
Exemple de calcul a forelor generalizate 1) Calculul forei ce tinde s modifice distana dintre armturile unui
condensator plan
Caz1: q = ct Se aplic tensiunea U provenit de la o surs de tensiune. Ca urmare,
condensatorul se ncarc cu sarcina CUq = ; dup care se ndeprteaz sursa de tensiune i condensatorul rmne izolat.
S
dqW
d
SC
C
qW
re
r
e
0
2
0
2
212
1
=
=
=
41
22
2
22
2
RRS
S
R
==
KKKK
KKK
SI = 1 rad
U = ct. aplicm T2
221CUWe =
2
200 R
dd
SC rr
==
>=
=
=
===
041
221 22
202
20 UkU
d
RU
R
d
WMX rr
ctU
M (cuplul mecanic) acioneaz n sensul creterii unghiului
42
ELECTROCINETICA
Sarcinile electrice pot avea o micare ordonat:
micarea electronilor accelerai ntr-un tub catodic; deplasarea particulelor pozitive(protoni) ntr-un accelerator de
particule; deplasarea electronilor liberi n corpurile conductoare; deplasarea electronilor i golurilor n semiconductoare; deplasarea ionilor + i n soluiile electrolitice; deplasarea cu vitez, macroscopic a corpurilor ncrcate cu sarcini
electrice; deplasarea unei bile electrizate.
Electrocinetica studiaz fenomenele legate de deplasarea electronilor liberi n corpuri conductoare.
Deplasarea ordonat a purttorilor de sarcini n corpuri conductoare se numete conducie electric. Se folosete explicit:conductoare n stare de conducie electric.
n cadrul acestui capitol se vor trata cu precdere fenomenele aferente regimului staionar, caracterizat prin:
vitez medie constant a purttorilor de sarcini ctv = ; mrimile ce caracterizeaz fenomenele sunt invariabile n raport cu
timpul ( ) 0=t
;
fenomenele sunt nsoite de schimb de energie sub form de cldur cu mediul nconjurtor 0Q .
Mrimea fizic ce caracterizeaz starea de conducie este intensitatea curentului electric. Intensitatea curentului electric este prin definiie numeric egal cu sarcina e transportat prin seciunea transversal n unitatea de timp.
dt
dq
t
qi
t=
= 0
lim (1) Ai SI 1=>< sC
A11
1 =
i este o mrime primitiv, iar amperul este intensitatea curentului care transport cantitatea de sarcin de 1C n timp de o secund prin seciunea transversal a unui conductor.
Fenomenul de conducie electric nu poate fi perceput de simurile umane dect prin intermediul efectelor acestuia: efectul caloric; efect luminos; efect mecanic; efect chimic.
Definiia Amperului: 1 Amper absolut este intensitatea curentului care, trecnd printr-o baie de
electroliz cu nitrat de argint (AgNO3), provoac depunerea la catod a unei cantiti de argint de 1,118 mg/s.
Definiia amperului internaional 1 Amper internaional este intensitatea curentului care parcurgnd dou
conductoare rectilinii, paralele i de lungime infinit, aflate la distan de un metru ntre ele provoac o for de interaciune ntre cele conductoare de 7102 N/m (pe
43
{A1 A1
m1
m1mNF /102 7=
metru de lungime). Dac cei doi cureni au acelai sens fora este de atracie, iar dac sunt de sens opus fora este de respingere.
Explicaia microscopic a fenomenului de conducie lSV = (volum)
Electronii liberi se deplaseaz n reeaua cristalin a conductorului sub aciunea cmpului electric cu micare uniform accelerat. Micarea este ntrerupt de ciocniri cu reeaua cristalin, n urma crora electronii i pierd ntreaga energie cinetic.
Fiecare ciocnire este urmat de o nou micare accelerat. ct - durata ntre dou ciocniri succesive
ccc
tavtvtt
tatv==
=
=max)(
)(
220 max c
med
tavvv
=
+== (2)
q - sarcina electric total existent n volumul V VNqq e =
Cqe19106,1 = - sarcina elementar
N-concentraia de electroni liberi pe unitatea de volum N 2910 purttori liberi pe m3.
tvl = , v viteza medie Din definiia (1),
SjSvNqvSNqt
tvSNq
t
qi ee
e
tt===
=
=
)()(
limlim00
vvNqj e == (3)
S
ij = - densitatea de curent este proporional cu viteza medie a purttorilor
de sarcin; mrime vectorial al crei sens este opus sensului de deplasare al electronilor. Este o convenie. 2/1 mAj >=<
S
l
v
i
44
Observaie: i este mrime scalar, dar afectat de semn. Intensitatea este
pozitiv dac corespunde sensului de deplasarea al sarcinilor pozitive. Dac densitatea de curent j nu este constant n seciunea transversal a unui conductor, atunci intensitatea curentului electric se calculeaz cu expresia:
sdjiS =)(
(4)
Problem: Se d seciunea 21mmS = ; Ai 6,1= Se cere ?=J ; ?=v
26
26 106,1106,1
m
A
m
A
S
iJ ===
Din (3) smNq
Jv
e
/1010106,1
106,1 42919
6
=
=
=
Observaie: Dei viteza medie a purttorilor este de 310 , 410 m/s, curentul electric se propag n conductor cu viteza luminii: sm /103 8 .
Legea conservrii sarcinii electrice Se studiaz cazul general n care exist att curent electric de conducie, ct i
curent de convecie. Curentul de convecie corespunde purttorilor de sarcini care se deplaseaz n vid sau gaze rarefiate (tubul catodic), dar i corpurilor electrizate care se deplaseaz cu vitez macroscopic.
==)()( S
V
S
cc sdvsdJi
(intensitatea curentului electric de convenie)
vJ Vc = (5)
(densitatea curentului electric de convecie) V - densitatea volumic de sarcin
electric v - viteza macroscopic medie
Se consider o suprafa nchis strbtut de conductoare parcurse de
cureni de conducie i prin care pot exista cureni de convecie. n interiorul suprafeei pot exista concentrri de sarcini electrice pe corpuri de
diferite forme. Legea conservrii sarcinii este n acest caz :
( )dt
dqsdvJ V
=+ (6) sau dtdq
i = (6)
(forma integral a legii conservrii sarcinii electrice)
S
j
i
S
i1
i2
q
S1 v
45
sd
sd i1
i2
j
S1
S 2
curent de liniile
Este valabil att n regim staionar ct i n regim variabil. Enun: Curentul electric total care iese dintr-o suprafa nchis ce
delimiteaz un sistem fizic neizolat este egal cu viteza de scdere a sarcini electrice totale din interiorul acelei suprafee.
Curentul electric total este format din curentul de conducie i din cel de convecie.
Cu formula Gauss-Ostrogradski (6) devine:
( ) ( )dvvJdivsdvJV
VV
+=+
==
V
V
V
V dvt
dvdt
d
dt
dq
( )t
vJdiv VV
=+
(7)- forma local a legii conservrii sarcinii
electrice Caz particular - pentru regim staionar:
=
=
=
)9(0
)8(00V
Jdiv
sdJ
t
v
(formele integral (8) i local (9) ale legii pentru regim staionar) Consecine: 1) = 0Jdiv liniile de curent sunt curbe nchise. Liniile de curent sunt curbe imaginare la care J este tangent n orice punct.
Conductoarele aflate n regim electrocinetic nu au capete libere, ci formeaz n mod obligatoriu bucle.
2) Intensitatea curentului electric are aceeai valoare n orice seciune a aceluiai conductor filiform.
==+=
000 2121
iisdJsdJsdJSS
21 ii =
46
l
1
2i
S
U
Legea conduciei electrice Purttorii de sarcin electric se deplaseaz att sub aciunea cmpului
electric, fore de natur electric, ct i sub aciunea unor fore de natur neelectric. neeleltot FFF +=
EqF eel = ; iee
neel
eneel Eqq
FqF =
=
Cmpul imprimat ( Ei ) este o mrime care are aceeai dimensiune ca i intensitatea cmpului electric i descrie aciunea forelor de natur neelectric asupra purttorilor de sarcin.
( )ietot EEqF += ( )iee EEqam += , a - acceleraia
(2) ct
va
=2
( )c
eie t
vmEEq
=+2
(3) JNq
ve
=1
( ) JNtq
mEEJ
NqtmEEq
ce
ei
eceie
=+
=+ 2
212
JEE i =+ (10); - rezistivitatea electric, mSI =>< 1 (Legea conduciei electrice n form local)
JEE i =+= )(1
(10)
- conductivitatea electric , 111 =>< mSI sau Siemens / metru
Cmpul imprimat se manifest n conductoare neomogene i poate fi de natur chimic (baterii alcaline) sau mecanic (generatoarele rotative de inducie electromagnetic).
Corpuri omogene:
JE = (11)
JE = (11)
( ) ==+2
1
2
1
2
1 S
dli
S
SldJldEE i
SJi =
=+2
1
2
1
2
1 S
dlildEldE i
iReu =+ (12) Relaia (12) reprezint forma integral a legii conduciei electrice pentru o
poriune de conductor neomogen.
47
u - tensiunea la bornele poriuni de conductor; e - fora (tensiunea) electromotoare, ce exprim forele de natur
neelectric; R - rezistena electric a poriunii de conductor.
Pentru conductoarele de seciune constant :
=
=
.
.ct
ctS
Sl
R
=
(13)
Dac se concentreaz partea omogen, respectiv cea neomogen obinem
schema echivalent din fig.:
Regim staionar: .ctu = Uu , Ee , Ii
IREU =+ (14) E - tensiunea electromotoare (nu intensitatea cmpului electric E !).
( )[ ]00 1 TT += (15) Relaia (15) arat dependena rezistivitii n raport cu temperatura, valabil n
domeniul temperaturilor uzuale pentru aplicaiile inginereti. - reprezint coeficientul de temperatur; 0> n general
0 - corespunde la KT0
0 20273+=
m
mmmCu
228
0 107,1107,1
=
mAl 8
0 104,2
mAg 8
0 106,1
Constantan (aliaj) m 60 1050 Exist materiale care in vecintatea temperaturii de 0 absolut prezint
fenomenul de supraconductibilitate, manifestat prin anularea rezistivitii .
I Re
u
I R E
U
i
K10
T
15exp r
0
48
l
1
2S
dv
dl V
Legea transformrii energiei n procesul de conducie (Joule-Lenz)
lEqlFL eel ==
tvl = tvEqL e =
(3) JNq
ve
=1
tJEN
L =1
Pentru unitatea de volum(N purttori elementari): tJELNL == '
JE - reprezint puterea pe unitatea de volum a unui material aflat n stare de conducie.
JEt
Lp
tj ==
0
lim (16)
Aceast putere se transform integral n cldur. Relaia (16) reprezint forma local a legii transformrii energiei n procesul
de conducie electric. Enun: Puterea transformat n cldur corespunztoare unitii de volum a
unui conductor aflat n stare de conducie este egal cu produsul scalar ntre E i J.
23 111 mA
m
V
m
Wp SI ==><
Pentru conductoarele omogene: = JE 2Jp j =
Pentru conductoarele neomogene: ii EJEJEE ==+
( ) gjii ppJEJJEJp === 2 gp - densitatea volumic a puterii corespunztoare forelor neelectrice.
dvJEdvp
VV
=
dlSdvdvpPV
==
( ) uiPdlEidlSJEP === 2
1
2
1
Regim staionar: UIP = (17) (Forma integral a legii transformrii energiei)
Din relaia (14) ERIU =
( )= ERIIP EIRIP = 2 (18)
49
hKWJsWW === 1106,3360010100 6
Forma (18) a legii exprim faptul c puterea primit de o poriune de conductor filiform este egal cu suma dintre puterea disipat sub form cldur ireversibil i puterea generat de forele de natur neelectric.
IEPg = - puterea generatorului Convenii de semne i sensuri pentru un dipol elementar
Expresia legii conduciei se coreleaz obligatoriu cu sensurile mrimilor, cele
dou reprezentri fiind echivalente. Sensurile reale n cazul unor probleme complete, pot s fie diferite de sensurile
indicate pe desen, mrimile cu sens diferit rezultnd cu semnul - n urma calculelor.
0
02
=
>=
EIP
RIP
g
j
=>< 1SIR (Ohm)
WP SI 1=>< (Watt)
Energia electric Energia electric consumat de o poriune de conductor aflat n stare de
conducie ntr-un interval oarecare de timp reprezint integrala puterii n acel timp.
=t
t
dtPW0
)(. 0ttPtPWctP === JW SI 1=>< (Joule) 1s1W1J =
kWhW tehnic 1=>< JWssWhkW663 106,3106,33600101 ===
Exemplu: Energia consumat de un bec cu putere nominal = W100 n 10 ore.
IREU =+ IREU =+
U
I RE
I RE
U
Sensuri asociate dup regula de la receptoare
Sensuri asociate dup regula de la generatoare
0>Pq 00 Pg
50
Circuite electrice funcionnd n regim staionar (circuite de curent continuu) Un circuit electric este un ansamblu de elemente conductoare interconectate
astfel nct s asigure conductoarelor intrri n stare de conducie (s existe poriuni neomogene i s existe bucle nchise). Este un obiect fizic.
Exemplu:
Schema electric este reprezentarea grafic a unui circuit electric. Fiecrui element de circuit ideal i se asociaz un simbol grafic. Elemente ideale de circuit
Sursa ideal de tensiune
Sursa ideal de tensiune impune tensiunea ntre punctele n care este conectat, indiferent de structura circuitului din care face parte.
Sursa ideal de curent
Sursa ideal de curent impune curentul prin latura de circuit din care face parte, indiferent de structura circuitului. I = J (a nu se confunda cu J ); AJ 1>=<
r
E
R
baterie
electric schema
neomogen parte
electriccircuit
omogen parte
+
-
U
E
( )0=R
U = -E
U = E
sau
J
R
51
IR
U
( )tu
( )ti L
( )tu
( )ti C ( )dt
duCti =
1E
3E
1I
1R
1n 2n
3n
1U
2U
2I 2R
3R
4I
4R
5I
5J
2b
1b
Rezistorul ideal = 0E IRU =
RG
1= - conductana electric
SG SI 1=>< (Siemens), 1S = 1 -1
UGI =
Bobina ideal L - inductana
( )dt
diLtu =
n regim staionar:
)(00 itscurtcircuUdt
di==
Nu vom folosi bobina n acest capitol.
Condensatorul ideal
n regim staionar: 00 == Idt
du(mers n
gol) Nu vom folosi condensatorul n acest
capitol.
Elementele sunt concepte idealizate cu ajutorul crora pot fi explicate fenomene reale. Un element de circuit ideal funcioneaz pe baza unei singure proprieti considerat dominant, neglijndu-se efectele secundare.
Elemente de topologie a circuitelor electrice
52
1n 2n
3n1b
2b
)1(
)2(
)3()4( )5(
1n 2n
3n
)2(
)4( )5()(a
Latur de circuit este o poriune fr ramificaii; ea poate s conin unul sau mai multe elemente; l - numrul de laturi.
Nod de circuit este un punct n care converg trei sau mai multe laturi.( 321 ,, nnn ); n - numr de noduri.
Bucl este un poligon format din laturi ale circuitului.(exemple:1-3; 1-2-4; 2-3-5)
Ochi de circuit este bucla care nu conine laturi interioare (exemple: 1-3; 2-3-4; 4-5).
1+= nlo - numrul de ochiuri (relaia lui Euler) Circuitul electric se poate reprezenta grafic ntr-o form simplificat prin
grafurile asociate.
Graful este o reprezentare simplificat, n care laturile circuitului sunt reprezentate prin arcuri crora li se asociaz sensuri n concordan cu sensurile convenionale alese pentru cureni.
Subgraful este o parte a unui graf care nu conine toate laturile acesteia, n schimb el poate conine sau nu toate nodurile.
Exemplu:
Subgrafuri complementare sunt dou sau mai multe subgrafuri ale aceluiai graf care mpreun conin toate laturile grafului i nu au nici o latur comun.
(a) i (b) sunt complementare
Arborele este un subgraf ce conine toate nodurile grafului, dar nu conine bucle.
)(b
n1
n3
(a)
53
1n2n
3n)1(
)2(
Arbore
)1(
)2(
)3(
)3( 3 buclab
)1(
)2(
4b
)1(
)2(
5b
)5(
1 1+ 01+ 0
00 1 1 1
1+ 0 1 1+ 1+
1n
2n
3n
1l 2l 3l 4l 5l
=A
1= nla (numrul de laturi
ale arborelui)
Laturile unui arbore se numesc ramuri.
Coarbore este subgraful complementar unui arbore. onllll ac =+== 1
cl - coardele Prin adugarea cte unei coarde la arbore se formeaz cte o bucl
independent al crei sens de parcurgere este impus de sensul coardei.
onllb c =+== 1 (numrul de bucle independente) Descrierea topologiei prin matrice de conexiune 1) Matricea de inciden laturi-noduri n - linii; l-coloane; lnA Elementele matricei sunt:
egale cu zero 0=jia dac latura j nu este incident la nodul i;
1+=jia dac latura j este incident la nodul i i are sensul de ieire din acesta;
1=jia dac latura j este incident la nodul i i are sensul de intrare n acesta.
Liniile nu sunt liniar independente, ceea ce ne permite s pstrm numai liniile independente ale matricei, fr s pierdem din informaie (n-1 linii)
54
1= nrangA
1
1+
01+0
0 01 1
1 01 1+
3b
4b
5b
1l 2l 3l 4l 5l
=B0
0
++=
1101000111
Ar - matricea rezistor
2)Matricea de conexiune laturi-bucle
lbB 0=ijb (latura ij )
1+=ijb (latura ij i are acelai sens cu aceasta)
1=ijb (latura ij , dar are sens contrar)
Matricea curenilor laturilor
[ ]
=
lI
I
I
IM
2
1
, [ ] 1lI , l-numrul de laturi
Matricea (vectorul) tensiunilor laturilor
[ ]
=
lU
U
U
UM
2
1
, [ ] 1lU
Observaie: Sensurile tensiunilor coincid cu sensul curenilor. Sunt sensuri
convenionale care pot fi diferite de sensurile reale. Matricea(vectorul) potenialelor noduri Dac potenialul unuia dintre noduri se alege ca referin i i se atribuie o
valoare arbitrar (preferabil valoarea zero), atunci acest potenial nu face parte din vectorul potenialelor nodurilor.
[ ]
==
1
2
1
0
n
n
V
V
V
VVM
, [ ] 1)1( = nV , n = numrul de noduri al circuitului
55
Matricea tensiunilor electromotoare ale laturilor
[ ]
=
lE
E
E
EM
2
1
, [ ] 1lE . Exemplu: [ ]
=
00
0
3
1
E
E
E
Matrice curenilor surselor ideale de curent
[ ]
=
lJ
J
J
JM
2
1
, [ ] 1lJ . Exemplu: [ ]
=
5
0000
J
J
Matricea rezistenelor laturilor
[ ]
=
lR
R
R
R
K
MOMM
K
K
00
0000
2
1
, [ ] llR .
Matricea conductanelor laturilor
[ ]
=
lG
G
G
G
K
MOMM
K
K
00
0000
2
1
, [ ] llG . k
k RG
1=
Relaii matriceale utile: 1) 0== tr
tr ABBA - matricea de inciden laturi-noduri (redus) Ar i
matricea de inciden laturi-bucle B sunt ortogonale. [ ] lnrA )1( , [ ] [ ] bnbltB = )1(0 rA
+
+
++
100110101100101
1l 2l 3l 4l 5l
4b3b
=B
+
++++
001011101011111 1n
2n
3n
1l 2l 3l 4l 5l
=
56
=
=
=
++=
=
=
=
IIIIII
IIIIIIIIIII
IIIIIIII
III
IIIII
55
44
33
542542
15431
5
4
3
54
543
5
4
3
5
4
3
2
1
000010001110111
=
=
000000
100010001110111
1101000111tB
2) [ ] [ ] [ ]VAU t =
[ ] [ ]213 0 VVV ==
Observaie: Matricea de inciden laturi-noduri (redus) ( rA ) se obine eliminnd linia corespunztoare nodului ales cu referina de potenial din matricea de inciden laturi-noduri A.
3) [ ] [ ]Ct IBI = , IC - vectorul (matricea coloan) curenilor cu arborele
Exemplu:
=
5
4
3
I
I
I
IC - curenii arborelui. [ ] nbCI
Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite liniare de curent continuu Prima teorem a lui Kirchhoff (Teorema curenilor): Enun: Suma algebric a intensitilor curenilor incideni ntr-un nod de
circuit este zero.
+
=
=
VVVVVV
VV
UUUUU
2
2
1
21
2
1
5
4
3
2
1
1010011101 VVVU 1131 ==
VVU 212 =
VVVU 2235 ==
57
04321 =+++ iiii
0)(
= jnk
kI
0=
sdJ - Regim staionar
+=+++= 14321
0cosSsSSS
dsJsdJsdJsdJsdJsdJ
00cos0cos0cos 4321432
=++=+++ IIIIdsJdsJdsJSSS
Teorema a doua a lui Kirchhoff (Teorema tensiunilor) Enun: Suma algebric a tensiunilor la bornele laturilor care compun o bucl
de circuit este zero.
04321 =+ UUUU
0)(
= jbk
kU (1)- forma general a teoremei a II-a a lui Kirchhoff
1i2i
4i3i
)(nj
S1
S 2
S 3S 4
ds
ds
ds
I 1
I 2
I 3
I 4
J 3
J 1 ds
1E
3E
1I1R
1U
2U
2I
2R
4I
4R
3R3I
4U
convers
sens
bj
3U
1U 2U
3U4U
1n
2n
3n
4n
dlSens
convenional
58
U k
E kI k
Demonstraie: Se aplic teorema potenialului electric pentru regim staionar. Teorema este asemntoare din punct de vedere formal cu teorema
potenialului electrostatic. 0=
ldE
=+++=+++=
41342312
3
2
1
4
4
3
2
1
UUUUldEldEldEldEldEn
n
n
n
n
n
n
n
04321 =+= UUUU
Form particular a teoremei a II-a a lui Kirchhoff
kkkk IREU =+
kkkk EIRU = (2)
Se nlocuiete (2) n (1) ( ) ==k
kk
kkk
kkkk
k EIREIRU
= 0k
kk
kk EIR =k
kk
kk EIR
(forma particular a teoremei a II-a a lui Kirchhoff)
Enun: Suma algebric a cderilor de tensiune la bornele rezistoarelor de pe laturile care compun o bucl de circuit este egal cu suma algebric a tensiunilor electromotoare de pe acele laturi.
Ex: 3144332211 EEIRIRIRIR =+
Teorema conservrii puterilor n circuite de curent continuu Enun: Suma puterilor primite de laturile circuitului este zero.
kkk UIP = - puterea primit de latura k
01
==
l
kkkUI - forma general
[ ] [ ] 0= UI t - forma matriceal
ll
l
t
l
UIUIUI
U
U
U
I
I
I
+++=
LMM
22112
1
2
1
59
Demonstraie: [ ] [ ]ct IBI = [ ] [ ] BII tct = [ ] [ ]VAU t = [ ] [ ] [ ] [ ] 0== VABIUI ttct
[ ]0= tAB Forma particular:
( ) 011
2
1
=== ===
l
kkk
l
kkk
l
kkkkkkkkk IEIREIRIEIRU
==
=l
kkk
l
kkk IEIR
11
2 - forma particular (bilanul puterilor)
Enun: Suma puterilor consumate de toate rezistoarele circuitului este egal
cu suma total a puterilor cedate de sursele de energie. Expresia matriceal a teoremei nti a lui Kirchhoff pe ntreg circuitul
[ ] [ ]
[ ] [ ] 1)1(1)1(1)1(
0
0
=
=
nlln
n
I
I
Expresia matriceal a teoremei a II-a a lui Kirchhoff
[ ] [ ] 10 = bUB - forma general
[ ] [ ] 11 0 = bllb UB [ ] [ ] [ ] [ ]EIRUEIRU kkkk == - Se nmulete cu B la stnga
[ ] [ ] [ ] [ ]= EBIRBUB [ ] [ ] [ ]EBIRB = (forma particular a teoremei a II-a a lui Kirchhoff.)
Analiza circuitelor liniare de curent continuu cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff Analiza unui circuit electric presupune calcularea curenilor i tensiunilor
laturilor atunci cnd se cunosc: natura elementelor componente; modul de interconectare al lor (topologia circuitului); parametrii elementelor componente 1) pentru elementele pasive - R. 2) pentru elementele active - E, J
Pentru analiza unui circuit cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff se parcurg urmtoarele etape:
1)Se identific elementele de topologie: numrul de laturi (l), numrul de
noduri (n), numrul de bucle independente (b). Laturile se indexeaz cu cifre arabe n ordine cresctoare, toate elementele
aceleiai laturi purtnd ca indice indexul laturii respective. Nodurile circuitului se indexeaz cbannn ,,sau ,, 321 .
60
Se aleg sensuri convenionale pentru curenii laturilor (sensul curentului sensul tensiunii electromotoare).
Se cere: 51 II K ; 51 UU K i bilanul puterilor l =5; n =3; b = l-n+1 =3 Se identific buclele independente i se aleg sensuri convenionale de
parcurgere (sensuri arbitrare). 2) Se construiesc ( )1n ecuaii cu teorema I a lui Kirchhoff. Se construiesc b ecuaii cu teorema a II-a a lui Kirchhoff. Ansamblul acestor ecuaii formeaz un sistem de ecuaii cu l necunoscute.
[ ][ ] [ ] [ ]EBIRBTIT
=
=
)(
0)(
2
1 [ ] [ ][ ]
[ ]
=
EB
IRB
n 1)1(0
(expresia matriceal a teoremelor lui Kirchhoff pentru ntregul circuit) Pentru exemplu:
=
=
=
=
=
=
=
=
1
4
4
2
2
8
12
12
5
4
3
2
1
4
2
1
RRRRREEE
V
V
V
1b
2b
3b
E1
E2
R1R2 R3
R4
R5
I 1
I 2
I 3
I 4
I 51n
2n
E4
n3
=
++
=
= 0
00111110011
4321
521
5
4
3
2
1
IIIIIII
IIIII
( )( )( )( )( )
=+
+=++
+=+
=++
=
EIRIRbEIRIRIRb
EEIRIRbIIIIn
IIIn
444333
25533222
2122111
43212
5211
:
:
:
0:
0:
0111110011
1l 2l 5l4l3l
=
011001011100011
=B 0
61
[ ]
=
RR
RR
R
R
5
4
3
2
1
0
0
[ ]
=
=
4
2
21
4
2
1
0
0011001011000011
E
E
EE
E
E
E
EB
3)Rezolvarea sistemului de ecuaii (De preferabil s se foloseasc forma matriceal i s se aplice o metod de
eliminare de tip Gauss) sau se poate aplica regula lui Cramer.) [ ] = NIMM 1 [ ] NMI = 1
)det(M= ;
= kkI , k =1,2,l
n urma calculelor
=
=
=
=
=
A
A
A
A
A
IIIII
4
3
1
2
2
5
4
3
2
1
kkkk EIRU =
==
==
==
==
==
VIRU
VEIRU
VIRU
VEIRU
VEIRU
44
488
555
4444
333
2222
1111
[ ]
=
011001011000011
RB
RR
RR
R
5
4
3
2
1
0
0
=
00000
000
43
532
21
RRRRR
RR
[ ][ ]=IRB
00000
000
43
532
21
RRRRR
RR
=
=+
=
=
0
0
0
4433
553322
2211
5
4
3
2
1
IRIRIRIRIR
IRIR
IIIII
62
( ) 724134142222 22222255
2
22
2
11=++++=+++ IRIRIR
7238212212442211
=++=+++ IEIEIE
ERI
U
Cele cu semnul - au sensurile reale opuse fa de sensurile convenionale alese la nceput.
4)Verificarea calculelor cu ajutorul bilanului puterilor
Puterea consumat:
Puterea cedat:
Metode operative de analiz a circuitelor liniare de curent continuu 1) Metoda curenilor de contur (metoda curenilor de bucl sau metoda
curenilor ciclici)
EIRUIREU ==+ Pentru ntregul circuit:
(1) (2) Se nlocuiete (2) n (1) dup ce s-a nmulit expresia (1) la stnga cu matricea
B.
Notaie:
[ ]Rb bb - matricea rezistenelor buclelor [ ]Eb b 1 -vectorul tensiunilor electromotoare ale buclelor Relaiile ( )3 i ( )3 sunt expresiile metodei curenilor de contur, respectiv un
sistem de b ecuaii cu b necunoscute. Necunoscutele sunt curenii laturilor coarborelui asociat circuitului n numr 1+= nlb .
= =
5
1
5
1
2
k kkkkk IEIR
{ {consumat putere
surse de cedat putere
[ ] [ ][ ] [ ]EIRBUB = | [ ] [ ]IBI Ct=
[ ] [ ] [ ] [ ]EBIBRUB Ct =
[ ] [ ]RBRB bt = [ ] [ ]EEB b=[ ]EIR bCb = ( )3
[ ] 0=UB [ ] [ ] [ ]EBIBRB Ct =(Teorema a II-a a lui Kirchhoff) (3)
63
I C1
I C2 I C3
1b
2b3b
( ) EERIRRI CC 2122211 +=++
Aceti cureni pot fi considerai ca i cureni fictivi care parcurg buclele formate prin adugarea laturilor coarborelui la arbore ( bucle independente). Dup rezolvarea sistemului i aflarea curenilor CI se calculeaz curenii tuturor laturilor cu ajutorul expresiei (2).
321 ,, ccc III - cureni de bucl
21 RR + - suma rezistenelor laturilor buclei parcurse de 1CI
2R - rezistena laturii parcurs simultan de 21 , CC II
21 EE + - suma algebric a tensiunilor electromotoare de pe laturile buclei
Semnul celui de-al doilea termen ( R2 ) este + dac 21 , CC II au acelai sens prin latura comun i - dac au sensuri contrare.
Observaie: Metoda nu se preteaz pentru rezolvarea circuitelor care conin laturi de rezistene infinite.
2) Metoda potenialelor noduri(metoda nodal) Se consider laturile unui circuit de tip general care are urmtoarea
configuraie:
=+
=+
=+
1/2| 884
12472
1/2| 024
32
32C1
21
III
IIII
CC
C
CC
=+
=+
=+
22
12472
02
32
321
21
IIIII
II
CC
CCC
CC
A
A
II
IIIII
CC
CCC
C
32
2
422
1246
23
231
32
=+
=
==+
=
A
A
A
A
A
IIII
IIIIII
II
C
C
CC
CC
C
4
3
1
2
2
25
34
323
212
11
==
==
==
=+=
==
( )( )
=+
++++
ERIRRIERIRIRRRI
CC
CCC
432433
233215322 |
IREU =+
EGUGI +=
U
ER
I
A
J
I B
64
JIIJII +== 0JEGUGI ++=
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]JEGUGI ++= ( )4[ ] [ ]VU t= ( )5
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
=
=
++=EGVG
IJEGVGI t
t
0( )6
[ ] [ ]= tn GG
[ ] [ ] IVG S nn = ( )6
03=V
Teorema I a lui Kirchhoff n nodul A:
Se nlocuiete (5) n (4) dup ce s-a nmulit la stnga expresia (4) cu matricea
t (matricea de inciden laturi-noduri redus).
- matricea conductanelor nodale
[ ] [ ][ ]EGI
nS= - vectorul curenilor de scurtcircuit nodali
Expresiile (6), respectiv (6) reprezint sistemul de ecuaii de dimensiuni 1n care are ca necunoscute potenialele a 1n dintre nodurile circuitului scrise compact sub forma vectorului V. Potenialul celui de-al n-lea nod este considerat ca referin i uzual i se atribuie valoarea zero.
( ) ( )6,6 este expresia potenialelor nodurilor. Dup aflarea potenialelor se calculeaz curenii laturilor cu ajutorul relaiilor ( ) ( )5,4 .
Se alege potenialul de referin i i se atribuie valoarea zero.
( ) ( ) EGEGGGVGGGV 22112125211 +=+++
521 GGG ++ - suma conductanelor tuturor laturilor incidente n nodul 1n .
2V - potenialul unui nod adiacent
21 GG + - suma conductanelor laturilor care unesc cele dou noduri 1 i 2. Termenii ce se refer la potenialele nodurilor adiacente au ntotdeauna semnul
minus. Nod adiacent -este legat de nodul pentru care se scrie ecuaia printr-o latur
fr ramificaii (cel puin o latur).
111EGI S = curent de scurtcircuit a laturii 1.
Curentul de scurtcircuit al unei laturi este curentul care apare prin aceasta atunci cnd capetele ei se unesc cu un fir de rezisten nul.
REIEIR SS
1
111
11
==
I S1n1
n2
65
( )n
3R
( )1n
03
=I SE2
n1
n2
EGI S 222 =
( ) ( ) EGEGEGGGVGGGGV 44221121143212 +=++++
GGG 521 ++
GG 21 +GG 21 +
GGGG 4321 +++
[ ]G n
VV
2
1
+
+=
EEGEGEGEG
42211
2211
[ ]V I S n662
21+=VV
2| 26623
21+=+ VV 2032 21 =+ VVVVV 482 22 == VVVVV 442
1211
21
+=+=+
( )( )( )( )( )( ) A
A
A
A
A
VVGIEVVGI
VVGIEVVGIEVVGI
EUGI kkkk
4
3
1
2
2
1355
42344
2333
31222
11211
==
=+=
==
=+=
=+=
+=
rrqq
F 321
4 =
E
+
E
mF
r
10941
9
0
=
=
Curenii de scurtcircuit se iau cu semnul + n membrul drept al ecuaiei nodale dac sensul lor este ctre nod i cu semnul - invers.
Observaie: Metoda 2) nu se preteaz pentru circuite care conin laturi de rezisten nul sau conductan .
Seminar:
r - distana de la sarcina 1q la 2q .
- permitivitate
66
( )2cos1cos04
+= lE x
x
VVE
==
[ ]r
qVmVEldEV
4;/; ===
=P
P
ldEPVPV0
)()( 0
1) Se consider un fir rectiliniu finit, ncrcat uniform cu o sarcin electric distribuit liniar, aflat n aer. S se calculeze intensitatea cmpului electric E ntr-un punct aflat la distana a de firul nostru.
CqvdqV
V1; =
=
EDq
sdE 00; ==
rq
EqEF 34==
r
2
1
1T
a
l r
M
dE
xEd
dE
dl
1
2
y
ldrr
rEd l 24
= sinEdEd x = cosEdEd y =
daldalal
ctgctg
=== 2sin
; 1
( )
+==
=
==
2
1
2
12cos1cos04
sin04
2sin
2
sin2sin
1
04
sinsin
ald
al
a
dalEx
ar
r
a
sinsin 204
ldrE
dEdl
x=
67
( )
==
=2
1
2
12sin1sin04
cos04
2sin
2
cos2sin
1
04
ald
al
a
dalE y
( )210
sinsin4
=aE
ly
0;cos0
21 2=== EaE y
lx
0;00
21 2==== EaE y
lx
h
a 1n
2n
E
3nE
E
E
r1
ar I < 0q
sdE =
===+++=S SS SS ll
rnEsdEsdEsdnEsdnEsdnEsdE iiiiii2 31
13212
===V V
vVV hrvdvdq2
11
0
1
0
2
1
1 22 rE
hrhrE ViVi ==
0
1
2r
E Vi =
0
1
2r
EV
i=
= 0q
sdE e
hrEsdEsdESS ll
eee 22 ==
Cazuri:
2) Se consider un fir infinit lung cilindric cu raza a uniform ncrcat cu o sarcin q cu densitatea V , materialul avnd permeabilitatea .0
S se calculeze intensitatea cmpului electric i potenialul electric ntr-un punct aflat la distana r de axa cilindrului. ??; == VE
I.
II. ar II >
68
r2
0=V
E ===V
VV
VV havdvdq2
ra
Eha
hrE VeVe
0
2
0
2
2 22===
( )aRrdrrdrrEVV
R
a
R
a
R
a
R
a
VVVii
22
0000 4|
222=====
aRa
rdra
rdra
EV VR
a
R
a
R
a
VVee
ln0
2
0
2
0
2
21
22
====
1C 2C kC SCC
=q ks CC11 =
kkp CC d
AdA
Cr
pl
0==
UQUCWdA
C
rk
kpl 2
121 20 ; ===
pC
FCFCFCFCFCFC 1;1;5;5,0;5,0;10 654321 ======
Seminar
Probleme: 1) ase condensatoare sunt legate ca n figur. Sarcina condensatorului
Cq 45 10,5= . Se mai cunosc
S se gseasc tensiunea.
69
A
B
1C
2C
3C
4C
5C
6C
M
N
MNU
Cqq 465
10==
21111
65
6556
65566
5 ; =+
=+==CCCCCCCCC
qU AB
VU AB 20010
10
6
4
21
==
CCCUCq AB
43343434
111; +==
Cq 46234
101021
102 ==
A
B
1C
2C
34C56
C
M
N
1C
2C
ABC
FCCCCCCq
U eABee
MN
3110
1031
; 111121
==++==
VUU MNMN 6201010312
103110
102 2
6
4
=
=
=
FCCCCC 502
1 ,43
4334
=+
=
FC CCCqqq ABAB 1;102 21
21
34564
5634=+=+==+=
2) ntre armturile unui condensator plan ce are 0 se introduc succesiv: a)o lam dielectric cu grosimea cmd 46,0= i 3,2=r ; b)o plac metalic cu grosimea ;46,0 cmd = lamele fiind paralele i de
aceeai dimensiune cu armturile.
70
d
1d2d
d
x
y
d
+++++
++
+
1C 2C
1
h
2
S se calculeze capacitatea condensatoarelor n stare iniial 0C n cazul a) i
b) ba CC , tiind c 22512cm .
22512;8,0;46,0'';3,2';46,0' cmAcmdcmdcmd r =====
R: FC 80 10361 = FCa
8103,24
1 = FCb810
3,151 =
a)
Fd
AC 82
4
90
0 10361
108,0102512
10941
=
=
=
Fd
dd
Ad
dd
Addd
AC
rrrrr
a8
'
0
'21
0
''2
'''1
0 103,24
1'
'''
=+
=++
=++
=
b)
21
111CCCb
+= 21
21
CC
CCCb +
= x
AC 01
=
y
AC 02
=
Fdd
A
yx
A
y
A
x
Ay
A
x
A
Cb800
00
00
103,15
1''
=
=+
=+
=
3) Determinarea capacitii unui condensator cilindric
71
?0 =C ?=r
1d2d
d
kiR kiE
==
=
=
=
==
=
2
1222
1 2
1
2
1
2
1
2
11221r
r rh
dr
rhE
dlE
rhE
dlE
sdE
ldE
sdD
ldE
Q
U
Q
VV
C
1
2ln21
21 2
1r
r
hr
dr
h
r
r ==
1
2ln
2
r
rh
Ccil
=
4) Se consider un condensator plan de capacitate 0C ale crui armturi sunt
dou discuri cu raza cmR 6= separate de un strat de aer cu grosimea cmd 1= . ntre armturile condensatorului este introdus o plac izolant de grosime mm3= ; paralel cu condensatorul. Capacitatea condensatorului devine 025,1 CC = .
Se cere: 1)capacitatea iniial a condensatorului 2)permitivitatea relativ a materialului dielectri