Download - 14 FUNCŢII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE 355 ...

Transcript
  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    355

    Cap. 14 FUNCII SUPERMATEMATICE HIPERBOLICE

    Motto Lumea este construit ca o structura matematic i nu ca una material

    Werner Karl Heisenberg

    14.1 INTRODUCERE

    Ca i n domeniul funciilor circulare, i n cel al funciilor hiperbolice, s-a simit nevoia

    diversificrii acestora. n domeniul funciilor circulare, aa cum s-a descris in Vol.I Cap.2, s-a cutat, din pcate, s se nlocuiasc cercul, pe care s-au definit aceste funcii, cu alte curbe nchise, sau cu obiecte matematice noi. Astfel, s-a cautat nlocuirea cercului cu ptratul sau rombul (V.Alaci, 1939), funcii generalizate apoi de M. O. Enulescu (1940), pe poligoane cu n laturi n funcii poligonale [14]. Dar, nc n 1877, Dr. Biehringer [15] definete funciile trigonometrice nclinate, iar A.I. Marcuevici (1965), n [16], public funcii trigonometrice definite pe lemniscat i funcii trigonometrice generalizate, evideniind i legaturile ce exist ntre aceste funcii i funciile eliptice.

    Este aproape inexplicabil faptul c nimeni n-a ncercat s schimbe (mute), din centru i din originea sistemului de referin (reperului), mcar poziia unui singur punct, dintre cele trei - originea O(0,0), centrul cercului unitate C(0,0) i polul P(0,0)- toate confundate n origine. i n domeniul funciilor hiperbolice s-a procedat la nlocuirea hiperbolei echilatere, pe care sunt definite funciile hiperbolice centrice (FHC) cu.. cercul trigonometric, de M. Moscovici (1956) n [Moscovici, M, O INTERPRETARE GEOMETRC NATURAL A SOLUIILOR COMPLEXE REZULTATE DIN UNELE PROBLEME DE GEOMETRIE ANALITIC, Ed. Tehnic, Bucureti, 1956 ], reuind o folositoare reunificare a celor doua domenii, care va fi utilizat i de noi. In plus, autorul a reuit o interpretare intuitiv i coerent a interseciei unei drepte cu un cerc, intersecie folosita apoi n tot restul lucrrii. Prin similitudine, devine posibil i unificarea celor doua domenii ale SM: circular i hiperbolic !

    Analog funciilor ptratice V. Alaci, prof. E. Via (1940) a definit funciile pseudohiperbolice [Via, Eugen, FUNCII PSEUDO-HIPERBOLICE, STUDIU ELEMENTAR, Rev. Matematic din Timioara, anul XX, Nr. 1, 2, 4, 5, Timioara, 1940]: definind o pseudohiperbol, format din semidrepte paralele cu asimptotele hiperbolei echilatere, cu vrful n vrful hiperbolei (v. Vol.I, Cap. 2, 2.5, pag. 62 65). Ca i n multe alte cazuri, dup definirea funciilor directe, au fost definite i cele inverse pseudohiperbolice. In cele ce urmeaz, definirea funciilor supermatematice hiprerbolice excentrice (FSM-HE) se va face n mai multe moduri, ncepnd cu cel geometric, mai intuitiv, pentru c beneficiaz i de primul sim al sistemului sensorial, prin care se percep peste 80% din informaiile noastre: vzul. n acest scop, este necesar, n prealabil, s se defineasc funciile Gudermann excentrice, care fac legtura dintre argumentul t dublul ariei unui triunghi curbiliniu- i unghiul la centru cercului unitate ; trecerea de la centric () la excentric () fiind deja cunoscut.

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    356

    Apoi, se va utiliza metoda cunoscut din MC i se va proceda aidoma acestei metode de trecere de la funciile matematice centrice circulare la cele hiperbolice, prin nlocuirea variabilei reale t a FCC cu cele complexe i.t.

    14.2 CLASIFICAREA FUNCIILOR HIPERBOLICE CENTRICE I EXCENTRICE

    Funciile supermatematice hiperbolice (FSM-H), ca i funciile supermatematice circulare (FSM-C), centrice i/sau excentrice, pot fi clasificate, n funcie de poziia reciproc a celor trei puncte: origine O(0,0), a unui sistem rectangular drept xOy i/sau polar, centrul cercului unitate C(c,) i polul sau excentrul S(s,) n

    FH centrice FHC dac S C O FSM-H excentrice FSM-HE dac S C O FSM-H elevate FSM-HEl dac C O S FSM-H exotice FSM-HEx dac C O S

    FHC sunt cunoscute de la introducerea lor in matematica, de ctre Vincent Riccati n 1757, cu notaiile date, ceva mai trziu, n 1878, de Guillaume Jules Joul.

    14.3 HIPERBOLE CENTRICE I HIPERBOLE EXCENTRICE Hiperbola a fost descoperita de Menechmus (sec 4 .e.n), denumirea i-a fost dat de Apollonius din

    Perga, iar construcia ei mecanic a fost realizat, iniial, de Gurdubaldo del Monte (1579). Hiperbola este locul geometric al punctelor a cror diferen a distanelor la dou puncte fixe, F1 i

    F2, denumit focare, este constant. Hiperbola centric are ecuaia raportat la axele ei de simetrie x, y centrul de simetrie O(0,0)

    (14.1) sau i reprezentrile parametrice

    (14.2) , cu graficele din figura 14.1,a

    Pe baza acestora din urm, prin nlocuirea FCC cu FSM-CE

    (14.3)

    se pot defini hiperbolele supermatematice excentrice, prin ecuaiile parametrice

    (14.4) , cu graficele din figura 14.1,b

    n acest fel, fiecrei hiperbole centrice, de anumii parametri a i b fixai (Fig. 14.1 i Fig. 14.2), i corespund o infinitate de hiperbole supermatematice excentrice (Fig.14.3) corespunztor infinitii de puncte din planul hiperbolei n care poate fi plasat excentrul S(s, ).

    Pentru a =1i b = 1 se obine n MC, aa cum se cunoate, hiperbola echilater centric (Fig. 14.2), creia i corespund hiperbolele supermatematice echilatere excentrice din figura 14.3.

    Ecuaiile (14.4) dau graficele hiperbolelor mpreun cu asimptotele lor (Fig. 14.1,c dreapta). Dac, n ecuaiile (14.4), tangenta clasic Euler (tant tgt) se nlocuete cu tangenta Voinoiu

    (tavt = sint/Abs[cost] ), atunci se obin numai graficele hiperbolelor i nu i a asimptotelor lor (fig. 14.1 i 14.2, stnga ).

    Pentru definirea funciilor hiperbolice centrice i excentrice se utilizeaza hiperbolele echilatere, de aceea, lor li se va acorda o atenie mai deosebit.

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    357

    1.1 1.2 1.3 1.4

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1.1 1.2 1.3 1.4

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    Hiperbola echilater a = b = 1

    Hiperbole de a = b [ 0, 1]

    Hiperbole de a [ 0, 1] , b = 1

    Hiperbole de a = 1, b [ 0, 1],

    Fig.14.1,a Hiperbole centrice conform rel. (14.2)

    1.05 1.10 1.15 1.20

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1.05 1.10 1.15 1.20

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1.1 1.2 1.3 1.4

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    Hiperbol echilater excentric x = 1/cex, y = tex

    Hiperbole echilatere x = 1/cex , y = tan

    Hiperbole echilatere x = 1/cos , y = tex

    Fig.14.1,b Hiperbole echilatere excentrice s [0,1], conform rel. (14.4) cu s [0, 1]

    0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1.05 1.10 1.15 1.20

    0.2

    0.1

    0.1

    0.2

    0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

    0.2

    0.1

    0.1

    0.2

    Hiperbole excentrice x = a/cex, y = b.tan

    Hiperbole excentrice x = 1/cex, y = b tex

    Hiperbole excentrice x = a/cex, y = b tex

    Fig.14.1,c Hiperbole excentrice , a = b [ 0, 1], s [0,1], [ /4, + /4]

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    358

    2 1 1 2

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4 2 2 4

    6

    4

    2

    2

    4

    6

    Hiperbole centrice cu cercurile de raz r = a fr asimptote, a [0, 1] cu pasul 0,1 ; b = 1

    Hiperbole centrice cu asimptotele lor, fr cercurile de raza r = a [0, 1]cu b = 1

    4 2 2 4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    5 5

    2

    1

    1

    2

    Hiperbole centrice cu cercurile de raza r = a=1 fr asimptote, b [0, 1] cu pasul 0,1

    Hiperbole centrice cu asimptotele lor fr cercurile de raza r = a = 1, b [0, 1] cu pasul 0,1

    Fig.14.2 Hiperbole centrice

    Hiperbola centric i hiperbolele excentrice din figura 14.3 stnga au graficele de deasupra hiperbolei centrice (cele cu deschiderea mai larg, care tind spre dreapta x = 1 pentru s = 1) pentru un excentru S(s[0,1], = 0) i cele de dedesubtul /interiorul hiperbolei centrice culoarea verde a asimptotelor ei- pentru excentre S(s [-1,0], = 0) sau, ceea ce este acelai lucru, S(s [0,1], = ). Dac excentrul S variaz pe direcia de = 1 radian, atunci hiperbolele supermatematice echilatere excentrice au graficele din figura 14.4 stnga, iar pentru = + 1 n dreapta.

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    359

    3 2 1 1 2 3

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    3 2 1 1 2 3

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    Fig.14.2 Hiperbole echilatere centrice a = b [0, 1] cu pasul 0,1 fr i cu asimptot

    0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

    2

    1

    1

    2

    5 10 15 20

    20

    10

    10

    20

    , t [-/2, /2]

    Fig.14.3 Hiperbole echilatere excentrice a = b = 1, S(s [0, 1] , = 0) cu pasul 0,1 fr asimptote

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    360

    5 10 15 20

    20

    10

    10

    20

    5 10 15 20

    20

    10

    10

    20

    S(s [ -1.1], = 1) S(s [ -1.1], = +1)

    Fig.14.4 Hiperbole echilatere excentrice a = b = 1, S(s [0, 1] , 0) cu pasul 0,1 fr asiptote

    14.4 FUNCII EXPONENIALE CENTRICE I EXCENTRICE

    Funcia exponenial centric este funcia f : , definit prin f( , unde a > 0, a 1 cu urmtoarele proprieti

    a > 1

    0 < a < 1

    este strict cresctoare, iar pentru 0 < a < 1 este strict descresctoare Funcia exponenial f : , f( ) = . Funcia exponenial f( este inversabil i inversa ei este funcia logaritmic

    A = lgaN, denumit logaritm n baza a din N. Pentru a = 10 se obine logaritmul zecimal, sau logaritmul n baza 10 din N, notat A = lg N sau A = log N, iar pentru baza a = e = 2.718283..se obine logaritmul natural notat A = LN = ln N O istorie interesanta i palpitnt a numrului e, ca i a altor numere remarcabile se gasete pe website-ul http://gshenricoanda.licee.edu.ro/nraur/ro/istoric3.html

    Orice numr pozitiv are un logaritm, n toate matematicile

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    361

    Numarul negativ nu are logaritm n matematica clasic, dar are logaritm n matematica signadforasic a lui Octavian Voinoiu (v. Octavian Voinoiu, BAZELE MATEMATICII SIGNADFORASICE, Ed. Nemira, 1996).

    1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

    1

    2

    3

    4

    1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

    2

    4

    6

    8

    10

    1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

    1

    2

    3

    4

    5

    FUNCII EXPONENIALE CENTRICE

    FUNCII EXPONENIALE EXCENTRICE

    s

    y =

    Fig.14.5 Funcii exponeniale centrice i excentrice de variabil excentric

    Dac exponentul , care este variabila sau argumentul funciei exponeniale centrice, trece ntr-o funcie amplitudine excentric, adic () = aex[, S(s, )], atunci se obin funcii induse exponeniale de variabil excentric (Fig. 14.5), notate cu exex(, S) sau numai exex date de expresia (14.5) exex = Iar dac se nlocuiete cu funcia amplitudine excentric de variaboil centric Aex[, S(s, )] se obin funcii exponeniale excentrice de variabil centric (Fig. 14.6), notate cu Exex(, S) sau numai Exex, date de expresia

    (14.6) Exex = . Din figurile 14.5 i 14.6 rezult c punctul N = N( = 0, 1) este un nod prin care trece ntreaga familie de funcii excentrice, inclusiv cele centrice, de/pentru s = 0, dac i numai dac excentricitatea unghiular = 0. Pentru , de exemplu pentru = 1, funciile exponeniale excentrice de i de i mut nodul N(0, 1) n punctul N( = = 1, exex( = 1) ) i, respectiv

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    362

    n N[ = = 1, Exex( = 1)], aa cum se poate observa n figura 14.7. Fenomenul fiind similar cu cel descris n cazul FSM-CE cu privire la punctele atractor i repulsiv.

    1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

    1

    2

    3

    4

    1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

    2

    4

    6

    8

    10

    1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    S (s [-1, 0], = 0) S (s [0, 1], = 0) S (s [-1, +1], = 0)

    Fig.14.6 Funcii exponeniale excentrice de variabil centric Exex()

    1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

    2

    4

    6

    8

    1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    exex, S(s [ 1, +1], = 1) Exex, S(s [ 1, +1], = 1)

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    363

    Fig.14.7 Funcii exponeniale excentrice de variabil excentrica i centric pentru = 1

    14.5 DEFINIRE AGEOMETRIC A FUNCIILOR HPERBOLICE

    CENTRICE I EXCENTRICE Att FHC ct i FSM-HE admit semnificaii geometrice asociate hiperbolei echilatere (a =

    1, b = 1). De aceea, se va trece direct la prezentarea n paralel att a FHC ct i a FSM-HE. n acest scop, prezentm definirea geometric a lor pe baza figurii 14.8, care are la baz

    utilizarea cercului unitate/trigonometric, ceea ce va simplifica mult ntelegerea, datorit similitudinii existente ntre definirea FSM circulare i a FSM hiperbolice.

    (t) = gdex = 2arctane()- /2 = = aexh[, S(s, )]

    X1,2 = cosh1,2 = cht1,2 = cexh1,2 Y1,2 = sinh1,2 = sht1,2 = sexh1,2

    Fig.14.8 Schem pentru definirea FHC i a FSM-HE

    Ecuaia hiperbolei echilatere este (14.7) X2 Y2 1 = 0 X2 Y2 = 1 a crei ramur, situat n semiplanul X > 0, admite reprezentarea parametric (14.8) , sau

    (14.9) , pentru a = b = 1, sau

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    364

    (14.10)

    Dac M1 ( Fig. 14.8) este un punct al acestei ramuri, argumentul t reprezint dublul ariei triunghiului curbiliniu OAM1 , o latur fiind arcul de hiperbol AM1, iar valorile FHC sunt date de relaile

    (14.11)

    Pentru definirea FSM-HE mai este necesar o dependen ntre argumentul t i variabila centric 1,2 sau unghiul cu vrful n centrul cercului unitate O(0,0). Fig. 14.8-. Dependen prezentat n paragraful urmtor. Apoi, pe baza dependenelor, cunoscute deja, dintre variabila centric i cea excentric - unghiul cu vrful n excentrul S(s,) date de relaiile, deja cunoscute, (14.12)

    (14.12)

    s poat fi definite i FSM-HE.

    14.6 FUNCIILE AMPLITUDINE HIPERBOLIC CENTRIC I AMPLITUDINE HIPERBOLIC EXCENTRIC.

    FUNCII GUDERMANN EXCENTRICE Unghiul = 1 = (Ox, O TC1) este numit amplitudine hiperbolic sau gudermanianul gd t = i

    este definit de integrala (14.13) gd t = , astfel c (14.14) = cu graficele din figura 14.9,a .

    2 2 4 6

    4

    2

    2

    4

    (t) = gdt = t() =

    Fig.14.9,a Funcia Gudermann centric direct i invers

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    365

    nlocuind n (14,13) argumentul cu funcia () = aex se obin funciile Gudermann directe excentrice de variabil excentric , notate gdex(, S) date de relaia (14.15) gdex(, S) = 2 arctan[e ] =

    cu graficele din figura 14.9, b1 Iar dac se inlocuete argumentul cu funcia () = Aex(, S) se obin funciile Gudermann directe excentrice de variabil centric , notate Gdex(, S) date de relaia (14.16) Gdex(, S) = 2 arctan[ ] =

    cu graficele din figura 14.9,b2.

    2 2 4 6

    1.5

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1.5

    2 2 4 6

    1.5

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1.5

    S(s [ 1, + 1], = 0) [ , 2] S(s [ 1, + 1], = 1) [ , 2]

    Fig.14.9,b1 FSM-HE Gudermann excentrice directe de variabil excentric

    2 2 4 6

    1.5

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1.5

    2 2 4 6

    1.51.00.5

    0.51.01.5

    S(s [ 1, + 1], = 0) [ , 2] S(s [ 1, + 1], = 1) [ , 2]

    Fig.14.9,b2 FSM-HE Gudermann excentrice directe de variabil centric

    Din relaia (14.14), inlocuind variabila centric cu funcia () se va obine variabila hiperbolic t excentric, notat thex() = t[()] = t(), cu ajutorul careia se obin FSM-HE neperiodice prezentate n figura 14.8. Variabila hiperbolic excentric va avea expresia (14.17) thex() = t[()] = ln[tan(

    care reprezint funciile Gudermann inverse excentrice de variabil excentric , cu graficele din figura 14.9,d1.

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    366

    Amplitudinea hiperbolic este n strns legtur cu unghiul de paralelism a lui Lobacevski conform expresiei (14.18) gd ( ) =

    Introducnd unghiul , au loc relaiile din matematica centric (MC)

    x

    gdex[, S(s, )] = 2 arctan[e ] =

    thex(, S(s,)) = ln[tan( ) = ln[tan( ) = ln[tan( )

    Fig.14.9,c Schi cu funcii Gudermann centrice i excentrice, directe i inverse

    2 1 1 2

    4

    2

    2

    4

    2 1 1 2

    4

    2

    2

    4

    [ , ], s [ 1, 0] [ , ], s [ 0, + 1]

    2 2 4 6

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    2 2 4 6

    4

    2

    2

    4

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    367

    [ , 2], s [ 1, + 1], = 0 [ 2, 7,5], s [ 1, + 1], = 1 Fig.14.9,d1 FSM-HE Gudermann inverse excentrice de variabil excentric

    3 2 1 1 2 3

    4

    2

    2

    4

    3 2 1 1 2 3

    4

    2

    2

    4

    [ , ], s [ 1, + 1], = 0 [ , ], s [ 1, + 1], = 1 Fig.14.9,d2 FSM-HE Gudermann inverse excentrice de variabil centric

    (14.19) , care rezult i comparnd (14.2) cu (14.3).

    14.7 FSM-HE COSINUS, SINUS I TANGENT

    PERIODICE (cexh, sexh, texh) I NEPERIODICE (cext, sexht, texht) Relaiile anterioare (14.16) dau FSM-HE periodice, aa cum se poate observa din graficele lor din figura 14.7, spre deosebire de relaiile (14.18) care dau FSM-HE neperiodice, ca i cele centrice, clasice. Acestea sunt prezentate n figura 14.8. pe baza realiilor amintite (14.18) sau pe baza relaiilor (14.16).

    1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

    2

    2

    4

    6

    3 2 1 1 2 3

    6

    4

    2

    2

    4

    6

    s [ 1, 0] s [0, + 1]

    Fig.14.10,a Funcii supermatematice hiperbolice excentrice periodice (FSM-HEP) de variabil excentric circular

    Cosinus hiperbolic excentric periodic cexh, pentru [0, + 2]

    Fiind relaii diferite, ca i graficele lor, evident, se pune, firesc, intrebarea care dintre ele sun de fapt FSM-HE ? Raspunsul este ca ambele tipuri de FSM sunt funcii hiperbolice excentrice (HE) ; unele de

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    368

    variabil excentric hiperbolic t, iar celelalte de variabil excentric circular (). Aa se explic i de ce unele nu sunt periodice (cele de t the()) i altele sunt (cele de () = aex).

    Grupul de relaii (14.12) permite trecerea de la centric () la excentric (), prin relaiile (14.11), ca i, prin aceasta, la trecerea de la FHC la FSM-HE.

    1 2 3 4 5 6

    4

    2

    2

    4

    1 2 3 4 5 6

    4

    2

    2

    4

    s [ 1, 0] s [0, + 1] Fig.14.10,b Funcii supermatematice hiperbolice excentrice periodice (FSM-HEP)

    de variabil excentric circular Sinus hiperbolic excentric periodic sexh, pentru [ 0, + 2]

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    s [ 1, 0] s [0, + 1] Fig.14.10,c Funcii supermatematice hiperbolice excentrice periodice (FSM-HEP)

    de variabil excentric circular Tangent hiperbolic excentric periodic texh, pentru [ 0, 2]

    Astfel, cum x = cex = cos i y = sex = sin, tot aa

    (14.20) ,

    cu graficele din figura 14.7,din care, n figura 14.7,c se recunoaste FSM-CE sex din utima relaie (14.20). Sau, n general, pentru FSM - HE directe de variabil excentric x = cexh = ch i y = sexh = sh

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    369

    (14.21) ,

    cu graficele din figura 14.8, doar pentru prima determinare, principal1, pentru = 0, excentricitatea liniar variind pe axa x .

    6 4 2 2 4 6

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    140

    6 4 2 2 4 6

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    6 4 2 2 4 6

    20

    40

    60

    80

    100

    s [ 1, 0] s [[ 1, + 1] s [0, + 1]

    Fig.14.11,a Funcii supermatematice hiperbolice excentrice neperiodice (FSM-HEN) de variabil excentric hiperbolic t()

    Cosinus hiperbolic excentric neperiodic cexht, pentru [ 2, + 2]

    6 4 2 2 4 6

    60

    40

    20

    20

    40

    60

    6 4 2 2 4 6

    100

    50

    50

    100

    6 4 2 2 4 6

    150

    100

    50

    50

    100

    150

    s [ 1, 0] s [[ 1, + 1] s [0, + 1] Fig.14.11,b Funcii supermatematice hiperbolice excentrice neperiodice (FSM-HEN)

    de variabil excentric hiperbolic t() Sinus hiperbolic excentric neperiodic sexht, pentru [ 2, + 2]

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    370

    3 2 1 1 2 3

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    3 2 1 1 2 3

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    3 2 1 1 2 3

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    s [ 1, 0] s [[ 1, + 1] s [0, + 1] Fig.14.11,c Funcii supermatematice hiperbolice excentrice neperiodice (FSM-HEN)

    de variabil excentric hiperbolic t() Tangent hiperbolic excentric neperiodic texht, pentru [ , + ])

    14.8 DEFINIRE CU EXPONENIALE A FUNCIILOR HIPERBOLICE CENTRICE I EXCENTRICE

    Se cunoate c funciile hiperbolice centrice de variabil hiperbolic t pot fi determinate cu ajutorul funciilor exponeniale centruice et i et astfel

    (14.22) , iar tangenta, cotangenta i celelalte funcii hiperbolice

    centrice rezult prin combinarea celor dou FHC de baza date de relaiile (14.22)

    (14.23)

    3 2 1 1 2 3

    2

    4

    6

    8

    10

    3 2 1 1 2 3

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    cexht( ) = 0,5( ) sexht() = 0,5( )

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    371

    3 2 1 1 2 3

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    texht() = sexh / cexh, [ , + ]

    Fig.14.12 Funcii supermatematice hiperbolice excentrice neperiodice (FSM-HEN) de variabil excentric the = t(), pentru [, + ], S( s [ 1, + 1], = 0)

    Utilizand funciile exponeniale excentrice, din 14.4, n expresiile de definire a funciilor hiperbolice centrice (14.22) se vor obine funcii hiperbolice excentrice neperiodice (14.24)

    (14.24) ,cu graficele din figura 14.9.

    Graficele FSM-HEN din figura 14.9 ( [ 2, + 2]) sunt identice cu cele din figura 14.8, ( [ , + ])) diferind doar intervalul lui pe care ele au fost reprezentate.

    Funciilor hiperbolice excentrice neperiodice (FSM-HEN) au mai fost definite, n lucrarea autorului [10], asemntor celor circulare centrice, adic, prin nlocuirea argumentului real centric t cu funcia excentric t() = thex, sau y1,2(x) = aex1,2[x, S(s, )] sau 1,2() = aex1,2[, S(s, )]. Prin utilizarea transformatei excentrice (TE1,2), cum a mai fost denumit FSM-CE aex1,2 , pentru c realizeaz trecerea din MC n ME, s-a trecut din centric n excentric, n domeniul circular. Apoi, prin nlocuirea variabilei reale (notate t, y sau ) cu una pur imaginar (it(), i.y(x) sau i.()) , n expresiile de definire a FSM-CE (cex, sex, tex .a.), s-a trecut din domeniul circular n cel hiperbolic. Reamintim schema de trecere din centric n excentric prin transformrile menionate pentru funciile trigonometrice excentrice cex i sex :

    (14.25)

    ]1,1[)1,()1,(

    ]1,1[)1,()1,(sin

    cos

    2,1

    2,1

    OCOCR

    OCOCRTEPA

    TEPA

    se obin din urmatoarele compuneri: (14.26) cex 1,2 = cos oTE1,2 oPA (14.27) sex 1,2 = sin oTE 1,2 oPA n care PA este proiecia de acoperire a cercului unitate C(O,1) sau a cercului trigonometric CT (14.28) PA : R C(O,1) CT Rezult, astfel, cosinusul hiperbolic excentric neperiodic cexh[t(), S] : ( 14.29 ) cexh1,2 t =def ch[t1,2()] = cosh[t1,2()] = cos [i.t1,2()] i sinusul hiperbolic excentric neperiodic ( 14.30 ) i.sexh1,2 t =def i.sh[t1,2()] = i.sinh[t1,2()] = sin [i.t1,2()]

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    372

    Dependenele dintre t i , sau dintre i sau dintre y i x fiind TE1,2, a fost anterior considerat n relaiile (14.12).

    Proprietaiile FCC se menin i la FHE, coordonatele punctelor de intersecie ale dreptei d cu cercul i cu hiperbola echilater sunt simultan cosinusul i, respective, sinusul unghiului la centru i cosinusul excentric i sinusul excentric al unghiului la excentru . Rezult explicit expresiile, n funcie de t(), )( sau de y = y(x), n care x = , y = i z = : (14.31 ) cexh1,2 (x, E) = chx.ch(arcsin(s.sin(x-z))) m shx.sh(arcsin(s.sin(x-z))) (14.32 ) sexh1,2 (x, E) = shx.ch(arcsin(s.sin(x-z))) m chx.sh(arcsin(s.sin(x-z)))

    14.9 FUNCII RADIAL EXCENTRIC HIPERBOLIC rexh(t, S(s, )) Funcia radial excentric hyperbolic rexh (x,S) se introduce, ca i n cazul FSM-CE, ca distan normat, de la excentrul S(s, ) la punctele M1,2 de pe hiperbola echilater din semiplanul x > 0. Rezult expresia de definire n cazul funciei hiperbolice radial excentric enotat, pentru a pstra regulile de notare anterioare cex cexh, sex sexh cu rexh [t(), S(s, )] sau numai rexh (14.33) rexh [t(), S(s, )] = ,

    cu graficele din figura 14.10 dreapta ( ) Iar pentru s = 0 rezult FHC radial centric, notat cu radht (14.34) radht = , cu graficul din figura 14.10 stnga ( ).

    6 4 2 2 4 6

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    3 2 1 1 2 3

    2

    4

    6

    8

    3 2 1 1 2 3

    2

    4

    6

    8

    radht, s = 0, t [ , + ] rexh[t, S(s, )], s [1, 0] rexht, s [0, + 1] Fig.14.13,a Funcii supermatematice hiperbolice (FSM-H) de variabil excentric

    radial centric hiperbolic neperiodic i radial excentrice periodice pentru [, + ], S( s [ 1, + 1], = 0)

    3 2 1 1 2 3

    5

    10

    15

    3 2 1 1 2 3

    2

    4

    6

    8

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    373

    s [ 1, 0] [ , +] s [0, + 1]

    6 4 2 2 4 6

    20

    40

    60

    80

    6 4 2 2 4 6

    20

    40

    60

    80

    100

    [ 2, + 2], = 0 [ 2, + 2], = 1

    Fig.14.13,b Funcii supermatematice hiperbolice excentrice neperiodice (FSM-HEN) radial excentric hiperbolic de variabil excentric the = t[, S(s, )]

    Graficele acestei funcii, pentru un excentru S situat pe axa x, = 0, sunt prezentate n figura 14.10.

    3 2 1 1 2 3

    10

    15

    3 2 1 1 2 3

    5

    10

    15

    S(s [ 1, 0], = 0) S(s [0, + 1], = 0)

    3 2 1 1 2 3

    5

    10

    15

    3 2 1 1 2 3

    5

    10

    15

    20

    25

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    374

    S(s [ 1, 0], = 1) S(s [0, + 1], = 1)

    2 2 4 6

    50

    100

    150

    200

    250

    6 4 2 2

    20

    40

    60

    80

    100

    S(s [ 1, 0], = 1), [ , 2] S(s [0, + 1], = 1), [ 2, ]

    Fig.14.13,c Funcii supermatematice hiperbolice (FSM-H) de variabil centric radial excentrice neperiodice

    pentru [, + ], S( s [ 1, + 1], = 0)

    14.10 FUNCII HIPERBOLICE ELEVATE celht i selh Proiectand aceste segmente normate, pe axele sistemului rectangular drept cu originea O(s,) n S(s,) se obin, ca i n cazul FCEl, funciile SMH elevate (Fig.14.12 ) notate cu celh (, E) i, respective, selh(,E) de expresii (14.35) , cu graficele din figura 14.12

    3 2 1 1 2 3

    15

    10

    5

    3 2 1 1 2 3

    20

    15

    10

    5

    5

    S(s [ 1, 1], = 0), [ , ] S(s [ 1, 1], = 1), [ , ]

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    375

    Fig.14.14,a FSM hiperbolice (FSM-H) de variabil excentric hiperbolic t() cosinus elevate neperiodice celh[t(), S]

    3 2 1 1 2 3

    15

    10

    5

    5

    10

    15

    3 2 1 1 2 3

    5

    5

    10

    S(s [ 1, 1], = 0), [ , ] S(s [ 1, 1], = 1), [ , ] Fig.14.14,b FSM hiperbolice (FSM-H) de variabil excentric hiperbolic t()

    cosinus elevate neperiodice selh[t(), S]

    3 2 1 1 2 3

    15

    10

    53 2 1 1 2 3

    6

    4

    2

    2

    4

    celht, pentru s = 0,1 i s = 0,9 [-, ] celht, pentru s = 0,1 i s = 0,9, [-, ]

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    376

    6 4 2 2

    30

    20

    10

    10

    20 2 2 4 6

    150

    100

    50

    celht, pentru s = 0,1 i s = 0,9, [-2, ] celht, pentru s = 0,1 i s = 0,9, [-, 2]

    Fig.14.14,c Evidenierea fenomenului de elevare a FSM-HEl (Extrase din Fig. 14.12,b) cosinus i sinus hiperbolice elevate de variabil excentric hiperbolic t()

    14. 11 FUNCIA DERIVAT EXCENTRIC HIPERBOLIC dexh([t, S(s, )]

    Funcia derivata excentrica hiperbolica dexH (x,E) se introduce aidoma celor circulare, ca derivat a amplitudinii excentrice hiperbolice aexh = gdex[t(), s(s, )]. Se obine ( 14.36 ) dexh (, E ) = =

    dexh (, E ) = = 2(1- )

    cu graficele din figura 14.13. Pentru un excentru care evolueaza pe axa x < 0, adic, S(s [ 1, 0], = 0), graficele seamn

    cu curbele de distribuie Gauss simetrice (Clopotul lui Gauss), iar pentru S(s [0, 1], = 0), cu curbele de distribuie a trei grupe diferite de entit ca, de exemplu, mulimea pieselor prelucrate pe trei maini-unelte diferite i ulterior amestecate. Cele de 0, n figura 14.15 cu = 1, sunt asemntoare curbelor de distribuie asimetrice, a cror abateri limit, faa de maximul cmpului de distribuie sunt de valori diferite.

    3 2 1 1 2 3

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    3 2 1 1 2 3

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    1.2

    1.4

    S(s [ 1, 0], = 0), [ , ] S(s [0, 1], = 0), [ , ]

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    377

    6 4 2 2 4 6

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    1.2

    6 4 2 2 4 6

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    S(s [ 1, 0], = 0), [ 2, 2] S(s [0, 1], = 0), [ 2, 2]

    3 2 1 1 2 3

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    3 2 1 1 2 3

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    S(s [ 1, 0], = 1), [ , ] S(s [0, 1], = 1), [ , ]

    3 2 1 1 2 3

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    2 2 4 6

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    S(s [ 1, 0], = 1), [ , 2] S(s [0, 1], = 1), [ , 2]

    Fig.14.15 Funcii SM hiperbolice derivat excentric de variabila excentric

    14. 12 C O N C L U Z I I

    Toate FSM excentrice, circulare i hiperbolice, se pot obine prin nlocuirea argumentului sau a variabile independente notate cu y, t sau (y, t, argumente centrice) cu funcia sau variabila y(x), t() sau () ( x, argumente excentrice), adic prin trecerea de la funcie la o funcia indus. Dependena dintre cele dou variabile, centrice i excentrice, se realizeaz prin funciile amplitudine excentric circular y = aex(x) , sau () = aex i, respectiv, prin amplitudinea excentric hiperbolic t() = gdex = aexh sau t() = Aexh(y) = Gdex(, S). Aceasta constitue trecerea de la centric la excentric. Trecerile la funciile elevate i exotice se

  • 14 FUNCII SUPERMTEMATICE HIPERBOLICE EXCENTRICE

    378

    efectueaz prin schimbarea originii O a sistemului de axe de referin (O S), respectiv, i a poziiei centrului C al cercului trigonometric (O C S). Fiecare dintre aceste transformri, realizeaz un salt de la o singur funcie din centric, la o familie cu o infinitate de funcii in domeniul excentric, un salt de la 1 la infinit ! Trecerea invers, de la excentric la centric, este dat de excentricitatea nul (s = e = 0) , cnd S O C.

    Procesul de trecere de la centric la excentric poate continua nedefinit, deoarece, nlocuindu-se n aex variabila x cu y se obine o funcie aex de y sau o funcie aex de aex, o funcie excentric de o alt funcie excentric, care se definesc ca funcii dublu (sau triplu i MULTIPLU) excentrice- circulare i hiperbolice. S-a propus notarea lor cu o cifr, de la 2 la n, intercalat naintea terminaiei ex asfel: aex, a2ex, a3ex rex, r2ex, r3ex, dex, d2ex, d3ex, cex, c2ex, c3ex.., sex s2ex, s3ex, .a.m.d pentru FSM-CE i aexh, a2exh, a3exh.. i s2exh, s3exh,... pentru FSM-HE;

    Toate aceste funcii s-au utilizat, cu succes, la soluionarea unor sisteme mecanice neliniare [20]. Cautndu-se noi aplicaii, s-a simit nevoia extinderii lor, iar extinderea lor ofer posibilitatea soluionarii altor aplicaii, astfel c este greu de prezis unde, dac i cnd se va opri acest proces. Un singur lucru poate fi afirmat cu certitudine, i anume, c ele se extind cu repeziciune n tiinta i n tehnica, n mod deosebil la soluionarea unor probleme actuale de mare complexitate.

  • Cap. 15 FUNCII SUPERMATEMATICE CIRCULARE EXCENTRICE (FSM-CE) DE VARIABIL CENTRIC SAU x

    Motto: Matematica EXCENTRIC este limbajul naturii. n sistemul solar se vorbete n limbajul matematicii excentrice de variabil centric. n galaxie se vorbete n limbajul matematicii excentrice de variabil excentric .

    Autorul matematicii excentrice

    15.1 I N T R O D U C E R E Din cele expuse, pn la prezentul capitol, s-a putut constata c toate FSM-CE se bazeaz pe existena punctelor, de coordonate carteziene, W1,2(x12, y1,2), aparinnd cercului unitate, sau unui cerc oarecare de raza R, puncte rezultate n urma intersectiei cu o dreapta turnant d. Punctele au coordonatele polare W1,2(1, 1,2), fa de centrul O(0,0), sau W1,2(r1,2, 1,2) fa de polul/excentrul S(e,) dac intersecia s-a fcut cu cercul unitate CU(O,1). Intersecia cu un cerc oarecare C(O,R), al dreptei d, care trece prin punctul E i este turnant n jurul excentrului E(e,), sunt punctele W 1,2(R1,2, 1,2 ) fa de polul O(0,0) i W 1,2(R1,2. r1,2 , 1,2 ) fa de excentrul E (Fig.15.1), n care r1,2 = rex1,2, FSM-CE radial excentric (15.2) de variabil excentric , sau de variabil centric r1,2 = Rex1,2.

    Ultima specificaie este important, deoarece, o dreapt poate fi turnant n jurul unui punct i dac nu trece prin acel punct, dar se rotete n jurul lui, ramnnd, de exemplu, n permanen tangent la un cerc, sau la o alt curb inchis, care nconjoar acel punct.

    S-a constatat c, prin definiie, coordonatele carteziene ale punctelor W1,2 sunt FSM-CE

    (15.1)

    de variabil excentric i, respectiv, de variabile centrice 1,2, iar coordonatele polare r1,2 sunt funciile noi, introduse n matematic sub denumirea de FSM-CE radial excentric

    (15.2)

    de variabil motoare excentric i, respectiv, de variabile motoare centrice 1,2.

    15.2 VARIABILE UNGHIULARE Variabila motoare este variabila excentric , dac ea antreneaz / cauzeaz direct rotaia

    dreptei d din excentrul S n jurul excentrul S i, prin intersecia ei cu cercul unitate determin punctele W1,2 i, astfel, genereaz FSM-CE de variabil excentric.

  • 15.FSMCEDEVARIABILACENTRICA

    379

    Variabial motoare este cea centric 1, dac, din centrul O(0,0), raza vectoare R = 1 se rotete cu unghiul 1 n jurul lui O(0,0) i determin punctul W1(1, 1) de pe cercul unitate i, prin unirea acestuia cu S, rotete indirect dreapta d cu unghiul n jurul excentrului S i determin al doilea punct de intersecie W2 de pe cercul unitate i, totodat, a doua variabil centric, nemotoare,

    Fig. 15.1 Schi explicativ pentru definirea FSM-CE

    de variabila centric 1 i de excentricitate numeric subunitar (s < 1)

    2, ca i FSM-CE corespunztoare, de variabil centric (Fig.15.2). Rezult ca evident observaia c, indiferent care variabil unghiular este motoare, atta

    timp ct excentrul S este interior cercului unitate, dreapta d din S i/sau raza polar R = 1 din O(0,0) intersecteaza cercul unitate i, n consecin, punctele W1,2 exist i, pe cale de consecin, exist i familiile de FSM-CE de aceste variabile. Adic, pentru s [-1,+1], FSM-CE exist i sunt funcii continue pentru ambele variabile.

    Dac, excentrul S este exterior discului circular unitar (de raz R = 1), situaia se schimb radical, n sensul c punctu W1(1, 1 ) exist independent de poziia excentrului S,

    , dar punctele W1,2, de intersecie a dreptei d din S, exist numai pentru un anumit domeniu [ i, f]; valorile iniial i i final f fiind ale dreptelor d de tangen la cercul unitate, dintr-un punct (S) exterior cercului unitate / trigonometric.

    In concluzie, avantajul FSM-CE de variabila centric consist n faptul c ele exist, sau sunt continue, pentru o excentricitate variind pe toat axa real, adic pentru o excentricitate real

  • e i numeric s e, s [-, + ], fa de cele de variabil excentric care exist, sau sunt continue, doar n intervalul s [- 1, + 1], respectiv e [-R, +R].

    Fig. 15.2 Schi explicativ pentru definirea msurii unghiurilor orientate din planul cercului

    15.3 MSURA UNGHIURILOR ORIENTATE

    DIN PLANUL CERCULUI UNITATE Se tie c un unghi orientat, notat n multiple moduri, ca de exemplu, variabilele unghiulare centrice, sau argumentele

    (14.3) = =

    are doua laturi: una iniial, n cazul de fa versorul = rad0o, care este versorul axei x pozitive, adic, are sensul axei x+ > 0 i una final OW1,2, sau vectorii de poziie ai punctelor W1,2 de pe cercul unitate, fa de centrul O(0,0), notai , care sunt i ei versorii sau, mai precis, deoarece sunt turnani, sunt fazorii direciilor notai cu rad , precum i un centru de rotaie O(0,0).

    Msura unghiului este pozitiv dac pentru a-l suprapune pe peste este necesar o rotaie n sens trigonometric pozitiv (sisnistrorum sau levogin) i negativ n caz contrar (dextrorum sau dextrogin care este sensul de rotaie al arttoarelor ceasornicelor).

    n acest caz, unghiul este unghiul dintre versorul axei x, notat rad00 i fazorul semidreptei d+ care este notat cu rad.

    n figura 15.2 sunt considerate 6 situaii distincte: | s | < 1, | s | = 1i | s | > 1.

    15.4 FSM-CE BETA EXCENTRICE i FUNCII OCTAV GHEORGHIU O a treia variabil unghiular este unghiul 1,2, cu dependenele

    cunoscute din volumul I

  • 15.FSMCEDEVARIABILACENTRICA

    381

    (15.4) 1,2 + 1,2 = 1,2 = - 1,2, i, unele dependene mai complete / precise dect n volumul anterior

    (15.5)

    1 2 3 4 5 6

    1.51.00.5

    0.51.01.5

    1 2 3 4 5 6

    1.51.00.5

    0.51.01.5

    bex1, s [-1,0], = 0 bex1, s [0,1], = 0

    bex1, S[s [-1,1], = 0] bex1, S[s [-2,+2], = 0] Fig. 15.3 FSM-CE bex bex1

    Altfel spus, dac S(s,) este n semiplanul pozitiv/drept suma este pozitiv, iar dac S(s,) este plasat n semiplanul negativ/stng, suma este negativ. Unghiurile 1,2 sunt unghiurile dintre versorii rad 1,2 i rad, adic dintre vectorii

    i = rex1.rad.

  • Unghiul 1 este unghiul sub care se vd, succesiv, centrul O i excentrul S din punctul W1 de pe cercul unitate, rotindu-ne n W1 dinspre O nspre S, oricare ar fi poziia excentrului S, interior sau exterior cercului unitate. Se poate observa c 1 > 0 pentru S n semiplanul pozitiv, adic sx= s.cos > 0 i 1 < 0 pentru S n semiplanul negativ sx < 0.

    n W2 rotaia dinspre O spre S schimb de sens / semn. Ca urmare, pentru s < 1 i sx = s.cos > 0, 1 este pozitiv n W1 i negativ n W2, iar pentru sx < 0 semnele / sensurile se inverseaz. Expresiile lui 1,2 n funcie de cele dou variabile sunt denumite, aa cum s-a mai expus n Vol. I, FSM-CE beta excentrice i sunt , n funcie de variabila excentric

    1 2 3 4 5 6

    1.51.00.5

    0.51.01.5

    1 2 3 4 5 6

    1.51.00.5

    0.51.01.5

    Bex1, S[s [-1, 0], = 0] Bex1, S[s [0, 1], = 0]

    Bex1, S[s [-1, 0], = 0] Bex1, S[s [-2, 2], = 0] Fig. 15.4 FSM-CE Bex Bex1

  • 15.FSMCEDEVARIABILACENTRICA

    383

    Fig. 15.5 Funcia Gheorghiu triunghiular reprezentat prin cele dou moduri : ca FSM-CE de S(1,0) sus-i

    prin dezvoltri n serie, relaia (15.8) cu 3 i cu 5 termeni jos.

    (15.6)

    n funcie de variabila centric ele au expresiile

  • (15.7)

    Fig. 15.6 Graficele funciei Gheorghiu n dini de fierstru :

    ca FSM-CE sus- de S(s = -1, = 0) sau S(s = 1 si =) i prin dezvoltri n serie, relaia (15.10) cu 3 i cu 7 termeni jos.

    O alt expresie a unghiurilor 1,2 se poate obine i cu ajutorul funciei trigonometrice inverse arccos, dar numai pentru intervalul 1,2 [-, +]. Aceast expresie este

  • 15.FSMCEDEVARIABILACENTRICA

    385

    (15.8)

    Din motive inexplicabile, graficele FSM-CE bex1,2 i Bex1,2 au fost omise din volumul precedent, de aceea, profitnd de aceast ocazie, le includem aici, n figurile 15.3 i 15.4, datorit importanei lor, ieit din comun, aa cum se va putea observa.

    n figura 15.3 sunt reprezentate graficele FSM-CE de variabil excentric bex1. Se observ c ele oscileaz n jurul dreptei y = 0, adic a axei . Din relaiile 15.6, rezult

    c bex2 va oscila n jurul dreptei y = , de aceea graficele lor n-au mai fost reprezentate. n schimb, au fost reprezentate n 3D acelei FSM-CE pentru excentricitate numeric subunitar s [-1,1] i supraunitar s [-2, 2].

    Se observ din figur, c pentru s2 > 1, funciile nu mai sunt continue, ci exist doar pe intervalele I [ i(s) , f(s)] 2, iar cele de variabil centric exist i sunt continue pe toat axa rala a lui s (Fig. 15.4). Dac se face abstracie de semn, adic se consider funcia Abs[bex], sau dac se face abstracie de prima sau de a doua determinare a funciei, considerdu-se interseciile cu dreapta i nu cu semidreptele dreptei turnante d, n jurul excentrului E sau S, atunci ele devin / sunt de perioad .

    Un interes deosebit l reprezint FSM-CE bex i Bex de excentricitate unitar s = 1, deoarece ele reprezint funcii speciale triunghiulare, care se exprim clasic, adic n matematica centric (MC) prin seria [v. . Siemens, FORMEL und TABELLEN BUCH fr Starkstrom-Ingenieure, SSA, 1960] (15.8) ,

    n care H este amplitudinea maxim, fa = 0,5000H cu factorul de vrf sau de creast s = =

    1,7321, fa este media absolut a funciei f(t) i fe este media patratic

    (15.9) fe = = 0,5774 H,

    cu factorul de form f = = 1,1547 . Cu ajutorul FSM-CE bex ea se exprim cu mult mai simplu

    i infinit mai exact, printr-un singur termen [v relaia(15.7)]. Nu numai din pur curiozitate, s-au prezentat, comparativ, aceaste funcii, prin cele dou metode, n figura 15. 5.

    Funcia Bex exprim exact funcia Octav Gheorghiu n dini de fierstru, funcie care poate fi reprezentat clasic (in MC) prin relaia: (15.10) f(t) =

    cu aceleai valori, ca i n cazul anterior, pentru fa, fe, s i f. Se va prezenta, n paralel aceeai funcie prin cele dou metode n figura 15.6. Cu ajutorul FSM-CE bex pot fi reprezentate soluiile vibraiilor neamortizate la rezonan,

    exprimate de ecuaia diferenial (15.11) pentru

  • cu graficul din [V.. Siemens, FORMEL und TABELLEN BUCH fr Starkstrom-Ingenieure, SSA, 1960, pag. 68], identic cu cel reprezentat de urmtoarele produse ale FSM-CE de excentricitate numeric unitar (15.12) y() = bex[, S(s = 1, = 0)]. bex[20., S(s = 1, = 0)] sau (15.13) y() = bex[, S(s = 1, = 0)]. Sin(20.) cu graficele din figura 15.7. O alt aplicaie a FSM-CE bex consist n reprezentarea funciilor speciale Octav Gheorghiu trapezoidale (Fig. 15.8). Prin dezvoltare n serie trigonometric, ele pot fi aproximate prin expresia [.. Siemens, FORMEL und TABELLEN BUCH fr Starkstrom-Ingenieure, SSA, 1960, pag. 33] (15.14) f(t) = ,

    pentru fa = H , fe= H , n care S = , fa = 0,8333H;

    fe = 0,8819 H; s = 1,1339; f = 1,0583.

    6 4 2 2 4 6

    2

    1

    1

    2

    6 4 2 2 4 6

    1.51.00.5

    0.51.01.5

    Fig. 15.7 Soluiile (15.12) sus- i (15.13) jos- ale ecuaiei difereniale (15.11)

    Prin utilizarea FSM-CE expresia lor este (15.15) f(t) = bex,[, S(1, 0)] bex[ , S(1,0)] = arcsin[sin] arcsin[sin( - )

    Alte funcii triunghiulare periodice, exprimate cu FSM-CE sunt prezentate n figura 15.9. mpreun cu ecuaiile lor explicite, adic, prin care FSM-CE sunt traduse prin FCC. Se recunosc FSM-CE beta excentrice bex[ , S(1, 0)], bex[ , precum i cosinusul cvadrilob

  • 15.FSMCEDEVARIABILACENTRICA

    387

    coq[ , S(1,0)] = (v. vol. I, pag. 50 .. 56).

    Alte posibiliti de realizare a unor grafice, formate din segmente de dreapt, care ar putea fi denumite drepte segmentate sau drepte frnte, sunt prezentate n figura 15. 10 i sunt obinute prin combinarea funciilor bex i a derivatelor ei, care sunt (15.16)

    pentru variabila excentric , iar pentru variabila centric, derivata este

    6 4 2 2 4 6

    1.5

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1.5

    6 4 2 2 4 6

    1.51.00.5

    0.51.01.5

    6 4 2 2 4 6

    1.51.00.5

    0.51.01.5

    Fig. 15.8 Graficele functiilor periodice O. Gheorghiu trapezoidale exprimate cu : FSM-CE f() = bex bex( - )

    FCC date de relatia (15.14) cu 3 i cu 5 termeni

    (15.17)

  • =

    = = Dex1,2 =

    Se observ din relaiile (15.7) i (15.17) c, att funcia bex1,2 ct i derivata ei, reprezint suma sumei unei infiniti de termeni i, de aceea ea poate reprezenta mult mai exact anumite funcii speciale, aa cum s-a putut oserva anteror, dect dezvoltarile cu un numr limitat de termeni. Pentru alte aplicaii se poate apela la lucrarea Mircea elariu SMARANDACHE STEPPED FUNCTIONS Funcii n trepte Smarandache, SCENTIA MAGNA, An International Journal, Vol.3, N.1, 2007, ISSN 1556-6706, pag. 81 ... 92, din care se vor prezenta cteva idei n continuare.

    Vom denumi funciile ale cror grafice sunt linii drepte frnte sau sunt formate din segmente de linii drepte funcii Octav Gheorgiu sau pe scurt, funcii Gheorghiu (FG).

    Plot[{ (1.5+ArcSin[Sin[t/4]] - ArcSin[Sin[t/4+Pi/2]] ( Cos[t/4]/Sqrt[1-Sin[t/4]^2])/Pi)/Pi-0.3},{t,-12 Pi,12 Pi}]

    Plot[{ (1.5+ArcSin[Sin[t/4]] - ArcSin[Sin[t/4+Pi/2]] ( Cos[t/4]/Sqrt[1-Sin[t/4]^2])/Pi)/Pi-0.3},{t,-Pi,12 Pi}]

    Fig.15.9 Funcii periodice O. Gheorghiu triunghiulare simple i duble

    Aceasta, pentru a cinsti memoria excelentului profesor de matematic al Universitii Politehnica din Timioara, Octavian Emilian Gheorghiu, asistent al renumitului profesor bucuretean Grigore C. Moisil, apoi seful Catedrei de Matematic I de la Facultatea de Mecanic din Timioara, urma, la efia Catedrei de Matematic, al profesorului Valeriu Alaci. Am chibzuit mult, foarte mult, pn s decid dac adevrul trebuie spus n orice condiii i n oricare imprejurare. Chiar i intr-o carte de matematic. Cred c trebuie spus, mai ales pentru c matematica, prin excelen, cumuleaz numai adevrurile existente ntre diversele entiti, adevruri despre numere i despre relaiile adevrate dintre ele. De aceea, adevrul trebuie spus, orict de crud ar fi el, i despre cei ce produc matematic, adic, produc adevruri. S-a pensionat cu puin nainte de 1989, scrbit de relaiile dintre oamenii noi, relaii de clan, de partid, prin care cei capabili i merituoi erau marginalizai, produs al socialismului multiateral dezvoltat. Pstrate cu sfinenie i dup, de ealonul doi. Iar dup aceast dat, cnd leul s-a depreciat exponenial, cu exponent puternic negativ, puterea de cumprare a pensiei tinznd asimptotic spre axa x (y = 0) vaznd cu ochii, avnd i o soie nepensionar, a fost obligat s

  • 15.FSMCEDEVARIABILACENTRICA

    389

    triasc n condiii de mizerie greu de descris. A murit flmnd !. Profesor universitar, pensionar, n Romnia post decembrist, n acea Romnie dup care tnjea att de mult nainte de 89, a murit, de fapt, de foame ! Incredibil, dar adevrat ! Ce ironie a sorii !

    F(t) = bex[t,S(1,0)] + coq(t,S(1,0)) F(t) = bex[t,S(1,0)] .dex[t,S(1,0)]

    F(t) = bex[t,S(1,0)].dex[t,S(1,0)] F(t) = bex[t,S(1,0)] +1 - coq(2t,S(1,0)

    F(t) = 0,5 coq(2t,S(1,0)) - coq(t,S(1,0)) F(t) = 0,5 coq(t + ,S(1,0)) - coq(t,S(1,0))

  • 6 4 2 2 4 6

    2

    1

    1

    2

    6 4 2 2 4 6

    1.51.00.5

    0.51.01.5

    F(t) = coq(2t,S(1,0))- bex[t,S(1/ Sqrt[2-2 Cos[t]]],0)]

    F(t) = coq(t + ,S(1,0))+

    + bex[t/2,S(1/ Sqrt[2-2 Cos[t]]],0)] Fig.14.10 Funcii periodice O. Gheorghiu drept segmentat exprimate cu FSM-CE

    Aflnd de situaia lui jalnic, m pregteam sa-i duc ceaiuri i zahr, fr sa-l jignesc, de care au ntotdeauna nevoie batrnii, cnd am aflat c el a decedat deja. A fost un puternic susintor al supermatematicii i Preedinte de onoare al Excentric Clubului Romn, club infiinat de cei ce liberi i nesilii de nimeni, accept i promoveaz noua matematic excentric (ME). S-a stins un mare matematician. Era atta de scrbit de ce se ntmpl n jurul lui, scrb pe care nu se ferea s i-o exprime voalat, dar nu suficient de voalat, astfel c atitudinea lui sfidtoare fa de regim i exponenii lui, i aducea mari prejudicii n epoc de trist amintire, nct nici nu dorea s fac parad de cunotine sale vaste i temeinice de matematic i pentru c. nu avea pentru cine. Cred c este extrem de puin ceea ce ncercm s facem acum, postmortem.S-i cinstim memori cu nite funcii denumite Octav Em. Gheorghiu, cum se semna el, i s evocm adevrul pentru ca el s fie cunoscut nu numai de cei apropiai lui, ci i de alii, ca astfel de situaii penibile, ntr-o ara pretins civilizat, s nu se mai repete. M ingrozete gndul c n aceast ar, pretins civilizat, partidele, fra ideologii, sunt nite adunturi de avari, care nu precupeesc niciun mijloc pentru ctigarea puterii, ca apoi, sub umbrela neagr a proteciei guvernamentale, cu organisme nfiinate n acest scop, s jefuiasca n linite ceea ce a mai ramas de jefuit. i, n timp ce haitele se npustesc i se lupt asupra przii, pentru a muca o halc ct mai mare, neateni la ce se ntmpl n jurul lor, sau neputincioi s afle, hienele, ali excroci, internaionali, mai stilai, mai experimentai, mai avizi, dar cu mult mai discreti, trag sforile i i freac minile de bucrie, i-i devoreaz prada cu fulgi cu tot: Romnia. Divide et impera ! Divide i stpnete ! M ingrozete gndul c mine, poimne, guvernul, profitnd de psihoza de criz, va declara : Nu mai avrem bani de pensii ! Concluzia ? Numai ntr-o ar normal, adevrul rostit, face ca o situaie neplcut s nu se mai repete. Ceea ce nu e cazul.. Aa c revenim la oile noastre. Dar, cu sentimentul datoriei mplinite ! Am rostit avevrul !

  • 15. 5 FUNCTII SUPERMATEMATICE IN TREPTE

    391

    Page391

    15.5. FUNCII SUPERMATEMATICE N TREPTE

    Motto: Un matematician care nu are ceva de poet, nu va fi niciodat un perfect matematician.

    Totul n via vine prea trziu. Karl Wilhelm Teodor Weierstrass

    15.5.1 INTRODUCERE

    Matematicianul romn Octavian Stnil susine c fizica a devenit o tiin odat cu descoperirea lumii analizei matematice. La rndul ei, dezvoltarea fizicii a impus dezvoltarea analizei matematice.

    Fizica teoretica i, cu precadere, n mecanica cuantic, optic, propagarea undelor, diverse fenomene de electromagnetism i rezolvarea unor probleme de limit au impus introducerea unor noiuni noi, care ies din cadrul analizei matematice clasice i a cror justificare nu se mai putea face n acest cadru [Kecs, W., Teodorescu, P.P. APLICAII ALE TEORIEI DISTRIBUIILOR N MECANIC Editura Academiei Romane, Bucuresti, 1970]. Ceea ce nu nseamn c, nu va veni un moment, n matematic, n care acest lucru se va putea face. El, momentul, consist n descoperirea unor complemente de matematic, nglobate n matematica excentrica (ME), care fac obiectul lucrrii de fa, funcii care multiplic la infinit toate formele i obiectele matematice, asigurand o vast extensie a matematicii clasice / ordinare, care se va numi, n continuare, matematic centric (MC). mpreun, adic, reuniunea celor dou matematici, formnd, ceea ce a fost denumit, aa cum s-a mai afirmat n volumul I al acestei lucrri, supermatematic (SM).

    15.5.2 REDAREA DERIVATELOR UNOR FUNCII

    Verbul a reda are trei inelesuri n limba romn. Primul neles a da din nou, n sensul de a restitui este cel la care ne referim i nu a descrie, a exprima sau a reproduce.

    Ce restituim ? Restituim unei funcii (de s = 1), dintr-o familie de funcii, de s [- , + ]) , de exemplu, FSM-CE (15.18) 1,2 () = bex1,2 , s [- , + ], derivata ei, care este, aa cum s-a mai afirmat, FSM-CE (15.19) d 1,2 () / d = d[ - 1,2 ()]/d = 1- dex1,2 . Derivat care exist i pentru s = 1, dar pe care Weierstrass i-a negat-o, pentru c el inti a dat valoarea s = 1 familiei de funcii (15.18) i apoi a derivat, pe cnd succesiunea acestor operaii este invers: nti se deriveaz familia de funcii i, apoi, derivata se particularizeaz pentru valoarea s = 1. Eroare scuzabil, pentru c, la acea dat, nu se tia c cercul i ptratul au aceleai ecuaii parametrice; pentru s = 0 obinandu-se un cerc perfect, iar pentru s = 1 un ptrat perfect {Fig.15.11).

    Aceast relaie SM simpl, n care, prin modificarea excentricitii nemerice s de la 0 la 1 se obine o transformare / micare continu a cercului n ptrat, este o micare intern a SM.

    Henri Bergson, un mare ganditor, admitea c (GNDIRE I MICARE. Eseuri i conferine, Polirom, Iasi, 1995, pag. 209) Matematica modern este tocmai un efort de a nlocui ceea ce este gata fcut cu ceea ce se face, pentru a urmri generarea mrimilor, pentru a surprinde micarea nu din exterior i prin prisma urmrilor ei evidente, ci din interior i prin tendina ei de a schimba, pentru a adopta continuitatea mobil a desenului lucrurilor .

    Dar, cu toate acestea, i se parea absurd ideea c cercul i ptratul pot s fac parte din aceeai familie. Citm din H. Bergson EVOLUIA CREATOARE. Eseuri de ieri i de

  • 392

    azi, Institutul European, 1998, pag. 258 Cnd am definit cercul mi-am reprezentat fr probleme un cerc negru sau alb, de carton, fier sau cupru, un cerc transparent sau opac dar nu un cerc ptrat, pentru c legea generrii cercului exclude posibilitatea ca s delimitezi aceast figur prin linii drepte. S delimitezi, da, dar s curbezi o dreapt i s-o transformi ntr-un cerc o tie toat lumea tehnologic ! Acum o afl i tagma matematicienilor, deoarece, pornind de la ptrat, care este cercul de s = 1 i micornd progresiv continuu valoarea excentricitii numerice de la s = + 1 spre s 0, colurile ptratului ncep s se rotunjeasc cu raze de racordare R din ce n ce mai mari, iar cnd raza de racordare R ajunge la valoarea + 1, pentru s = 0, cele patru raze de racordare ale colurilor ptratuli vor forma cercul perfect de raz R + 1, care este cercul unitate sau cercul trigonometric. Este exact ce se ntmpl la transformarea, prin strunjire din mai multe treceri, a unei bare ptrate n una circular, cu diferena c la strunjire raza R nu este constant, ci din ce n ce mai mic pe cnd n matematic ea rmne constant.

    1.0 0.5 0.5 1.0

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1.0 0.5 0.5 1.0

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    Fig.15.11 Transformarea continu a cercului n ptrat i invers, a ptratului n cerc.

    Modul n care poriunile / segmentele de dreapt alterneaz cu arce de cerc sunt mult mai evidente n transformarea excentric, prezentat n Vol I, 5.1, Fig. 5.6, pag. 166, ca invers a transformrii de centrare. Astfel de transformri sunt prezentate n figura 15.11 i sunt realizate cu ajutorul FSM cvadrilobe, cosinus cvadrilob coq i sinus cvadrilob siq prin ecuaiile parametrice

    (15.20) .

  • 15. 5 FUNCTII SUPERMATEMATICE IN TREPTE

    393

    Page393

    Aceleai curbe nchise se pot obine i cu FSM-CE derivat excentric i cu ecuaiile parametrice

    (15.21)

    De fapt, a cum s-a artat intr-o lucrare [Mircea elariu, INTRODUCEREA STRMBEI N MATEMATIC,Lucr. Simp. Nat. al Univ. Gh. Anghel, Drobeta Tr. Severin, 2003, pag. 171 178] dreapta nu este altceva dect o strmb de excentricitate numeric s = 0, iar o linie frnt este o strmb de s = 1. Ca urmare, se pooate afirma c transformarea patratului n cerc este o strmbare / ncovoiere a patru segmente de dreapt, reciproc perpendiculare, n patru arce de cerc. i invers, patratul se obine prin ndreptarea, continu i progresiv, a patru arce de cerc, fiecare arc de cerc de fiind rotit cu fa de cel precedent, n patru segmente de dreapt.

    Faptul c nu oricare funcie continu este derivabil, avnd drept consecin neexistena vitezei unui punct material, n fiecare moment al micrii sale, ceea ce, evident, nu corespunde realitii, constituie un neajuns sever al MC, care afecteaz unitatea i generalizarea rezultatelor, ceea ce nu este cazul n ME.

    In 1872 a aprut o funcie al crei grafic este considerat azi fractal, cnd Karl Weierstrass a dat un exemplu de funcie cu proprietatea c este continu, dar nedifereniabil, constatare care i-a oripilat pe matematicieni. Hermite declara Je me dtourne avec horreur de ces functions continues sans drives.

    Pentru exemplificare, se va alege prima funcie nicieri derivabil, prezentat de Weierstrass [Schoenberg, J. Isaac, PRIVELITI MATEMATICE, Editura Tehnic, Bucureti, 1989, pag.105 115, Cap.11 Despre curbe Peano i nedifereniabilitatea lor , Fig. 11.2] :

    (15.22)

    =

    =0

    ).cos()(n

    nn tbatW , 0 < a < 1 i b = 1,3,5 , (2n-1),

    un ntreg impar, astfel ca a.b > 1 + 3/2 = 5,712. n aceeai lucrare, este demonstrat ca fiind nedifereniabil i funcia trapezoidal, (Fig. 15.8 ) dat de expresia (15.15) care reprezint o diferen a funciilor beta excentrice de i de + , ambele de excentricitate numerica s = 1.

    Familia acestor funcii, pentru s [ -1, 0] i s [ 0, 1] au graficele din figura 15.12. Va deveni evident faptul c funcia (15.15) este derivabil, dac nti se deriveaz

    familia de funcii, deci pentru s [-1, 1] i n derivat, sau dup derivare, se d valoarea particular de s = 1 !! Graficele derivatelor acestor funcii sunt prezentate n figura 15.13, iar n figura 15.14 sunt prezentate aceleai grafice pentru s = 1. O modificare a exemplului lui Weierstrass se obine prin nlocuirea n (15.22) a lui cos .t prin splineul Euler liniar E (t), care interpoleaz pe cos .t n toate valorile ntregi ale lui t i se obine graficul din figura 15.15,a. Alturat, s-a prezentat familia de funcii supermatematice excentrice, de variabil excentric t, denumit bex t i care este o component / termen al funciei amplitudine excentrica (aex ), funcie definit prin relaia (12.23) () = aex = - () = bex = - arc sin [s.sin( - )], n care este variabila excentric sau unghiul pe care o semidreapt pozitiv, turnant n jurul excentrul E (e, ) sau n jurul punct solar S(s,), l face cu axa Ox .( V.I.Arnold : Kepler a afirmat c planetele se rotesc n jurul soarelui, pe orbite circulare, ns soarele nu se afl n centrul cercurilor ). De aici a rezultat denumirea excentrului S de punct solar. Iar este

  • 394

    variabil centric sau arcul de cerc, al cercului unitate (R = 1) de la originea arcului A(1,0) la un punct curent pe cerc W(1,) W (r = rex , ).

    2 2 4 6

    1.5

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1.5

    2 2 4 6

    1.5

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1.5

    Fig.15.12 Graficele funciilor bex bex( + /2) pentru s [-1,0] sus- i s [0,1] jos- cu pasul 0,1 i = 0

    Excentricitatea unitar este s = e/R, sau distana dintre S i O, iar excentrul S i E sunt expulzate din centrul O pe direcia . Pentru .t i un defazaj = - /2 se obine funcia sau, mai precis, familia de funcii beta excentrice (15.24) bex t = arcsin[s sin(.t + /2)], a cror grafice, de excentricitatea numerica s [0, 1], cu pasul 0.1, sunt prezentate n figura 15.15,b.

    Se observ, far dificultate, c pentru s = 0 aex t = 0 i pentru s = 1, limitele extreme (n grafice) a lui s, se obine graficul unei funcii n dini triunghiulari simetrici (Fig.15.15,a).

    Deoarece, derivata funciei aex t este funcia derivat excentric dex :

    (15.25) d(aext)/dt = d/d =dex = )(sin1

    )cos(.1

    22

    s

    s,

    rezult c, cel de al doilea termen din relaia (15.25), este tocmai derivata funcie bex , adic:

    (15.26) d(bex )/d = )(sin1

    )cos(.22

    ss

    =

    = s.coq (.t + /2) = - s.(siq.t), care este produsul excentricitii numerice s cu funcia cosinus cuadrilob coq [Vol. I, Cap.2, 2.3, pag. 50 .. 56] defazat cu = - /2, astfel c rezult s.siq , a crei familii de grafice sunt prezentate n figura 15.16,b, pentru s [0, 1], cu pasul 0.1 i, n figura 15.16,a, o singur

  • 15. 5 FUNCTII SUPERMATEMATICE IN TREPTE

    395

    Page395

    funcie, pentru s = 1. Rezult c, cel de al doilea termen din relaia (15.25), este tocmai derivata funcie bex , adic:

    2 2 4 6

    2

    1

    1

    2

    2 2 4 6

    2

    1

    1

    2

    Fig.15.13 Graficele derivatelor funciilor

    bex bex( + /2) pentru s [-1,0] sus- i s [0,1] jos- cu pasul 0,1 i = 0

    (15.26) d(bex )/d = )(sin1

    )cos(.22

    ss

    =

    = s.coq (.t + /2) = - s.(siq.t), care este produsul excentricitii numerice s cu funcia cosinus cuadrilob coq [Vol. I, Cap.2, 2.3, pag. 50 .. 56] ] defazat cu = - /2, astfel c rezult s.siq , a crei familii de grafice sunt prezentate n figura 15.16,b, pentru s [0, 1], cu pasul 0.1 i, n figura 15.16,a, o singur funcie, pentru s = 1.

    Funcia sinus cuadrilob (siq ), pentru excentricitatea numeric s =1, reprezint, n teoria semnalelor, raspunsul unui releu la un semnal sinusoidal, funcie denumit i sinus ptrat [Svescu, M., Constantin,I., Petrescu, T., METODE DE APROXIMARE N ANALIZA CIRCUITELOR ELECTRONICE, Editura Tehnic, Bucureti, 1982, pag. 31], fiind chiar funcia trigonometric excentric sinus excentric, de excentricitate numerica s = 1, definit pe un ptrat, ne rotit cu /4 ca n cazul funciilor ptratice Alaci, funcie introdus de autor n matematic sub denumirea de sinus cvadrilob / quadrilob siq sau sinq-, alturi de funcia cosinus cvadrilob / cosinus quadrilob coq sau cosq - .

  • 396

    2 2 4 6

    2

    1

    1

    2

    2 2 4 6

    2

    1

    1

    2

    s = -1 s = + 1

    Fig. 15.14 Graficele funciei bex bex( + /2) i a derivatei ei

    1 2 3 4 5 6

    1.51.00.5

    0.51.01.5

    -2 -1 1 2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0.5

    1

    1.5

    Fig. 15.15,a Funcia Weierstrass modificat

    Fig.15.15,b. Funcii SM excentrice bex1 t i bex2 t

    Corobornd funciile i derivatele lor, se observ c ele se corespund. Astfel, funcia Weierstrass modificat, din figura 15.15,a, privit ca o funcie bex t de excentricitate numeric s = 1, devine complet derivabil !.

    - 6 - 4 - 2 2 4 6

    -1

    -0 . 5

    0 . 5

    1

    2 4 6 8 10 12

    -1

    -0 .5

    0.5

    1

    Fig. 15.16,a . Derivata funciei Weierstrass modificat

    Fig.15.16,b Derivatele funciei bex1 t

  • 15. 5 FUNCTII SUPERMATEMATICE IN TREPTE

    397

    Page397

    15.5.3 ASUPRA DISTRIBUIILOR n 1926 P.A.M. Dirac a introdus, n mecanica cuantic, funcia delta ( ) care este nul

    peste tot, cu excepia unui punct (n origine luand valoarea ), definit prin:

    (15.27)

    =+

    =0,

    0,0:)(

    tt

    xd

    i a crei integral este

    (15.28)

    = 1)( dxx

    Aceeai valoare a integralei o are i fiuncia impuls unitar (x, ) definit de:

    (15.29)

    >

    1

    Aceasta este o prim varianta posibil de definire a acestor funcii supermatematice circulare de variabil centric (FSM-CE), care corespunde cu definirea FSM-CE de variabil excentric, deoarece i aici cele dou determinri ale funciilor sunt defazate ntre ele cu , att pentru s < 1 ct i pentru cazul s > 1 (Fig. 15.26), deorece W 1 i W2 sunt situate pe aceeai dreapt

  • 15FUNCTIISUPERMATEMATICEEXCENTRICEDEVARIABILACENTRICA

    407

    d , dar, unul pe d+ i cellalt pe d. Diferena este c, dac argumentul excentric = t variaz uniform, pentru = constant, argumentul centric () variaz neuniform, dei = t este o variaie uniform a argumentului centric . Dependena este dat de relaia (15.45) () = Aex = + () = + arcsin =

    =

    Este evident faptul c coordonatele punctului P1(x1,y1) sunt FCC x1 = cos i y1 = sin. Se observ c pentru cazul s < 1, (Fig. 15.26,a) variabila motoare = 1 determin pe cercul C punctul P1. Acesta, mpreun cu excentru S(s, ), determin dreapta d, dreapt imprit de S n cele dou semidrepte: pozitiv d+ i negativ d. Intersecia dreptei d cu cercul unitate C(O,1) determin punctele W1,2 i, prin acestea, FSM-CE de variabil centric. Mai rezult din figur c

    (15.46)

    Ca urmare, att n cazul FSM-CE de variabil excentric ct i la cele centrice, determinarea secundar de indice 2 este defazat cu , fa de determinarea principal de indice 1, sau fra indice, aa cum s-a convenit nc n Vol I a acestei lucrri. n aceast prim varianta, se poate renuna la cel de-al doilea cerc unitate C(S,1)=C(o,1), FSM-CE Cex i Sex pot fi la fel de bine reprezentate pe cercul C(O,1), dicnd din O, paralele cu W1W2, adic de directie () cu axa Ox sau Ox, aa cum s-a marcat suprapus n figura 15.26. FSM-CE Rex i Dex se reprezint cel mai simplu direct pe cercul C cum se arat n dreapta

    figurii 15.26,a.

    s < 1 s > 1

    Fig.15.27 Varianta a II-a de definire a FSM-CE de variabil centric

    Pentru a nu altera concluziile, rezultate pe baza schielor, excentrul S trebuie plasat ntotdeauna n primul cadran centric. n ambele variante, variabila motoare este = 1 . n varianta I-a ea va genera punctul P1, prin intersecia cercului unitate C cu direcia 1 a vectorului din O, de modul unitate, vector situat pe dreapta D = D+ D n sensul pozitiv al semidreptei pozitive D+. Dreapta D este turnant

  • 408

    n jurul centrului O(0,0) i trece prin acesta, astfel c semidreapta D+ va determina punctul P1 de intersecie cu cercul unitate C(O,1) i, prin acesta acesta, prima determinare a funciilor excentrice de variabil centric, de indice 1. Punctul W1 cu excentrul S(s,) va determina dreapta d = d + d turnant n jurul lui S. Intersecia lui C(O,1) cu d va determina punctul W2 i, prin acesta, a doua determinare, secundar, de indice 2, a FSM-CE de variabil centric. Prima variant are avantajul c punctele W1,2 sunt aceleai att pentru FSM-CE de variabil centric ct i pentru cele de variabiln excentric , deoarece ele se situeaz pe aceeai dreapt d; unul pe semidreapta pozitiv d + i cellalt pe semidreapta negativ d . Pe cale de consecin, valorile FSM-CE de variabil excentric sunt aceleai cu a celor de variabil centric. De aceea, avnd expresiile, ca funcii de , a primei determinri ale FSM-CE, de indice 1, cele secundare,de indice 2, se vor obine prin nlocuirea lui cu + n expresiile/ecuaiile primei determinri. Ceea ce se poate aplica numai la FSM-CE de variabil excentric ! n aceast variant, (15.47) rex1,2 = Rex1,2, aa cum s-a mai artat (15.48) dex1,2 = sau

    (15.49) Dex1,2 = , aa cum se va arta n continuare i

    (15.50) , pentru acelai excentru S(s, ) i pentru dependenele

    (15.51)

    n aceast prim variant avem un singur i dou valori (1 i 2), dintre care prima este cea motoare. Punctele W1,2, care aparin dreptei d, au, totui, coordonate polare unghiulare diferite

    (15.52) i

    Simbolic, se poate scrie dependena dintre cele dou determinri, de variabil excentric , n aceasta variant I (15.53) (FSM-CE)2 = (FSM-CE)1( + ), care se poate verifica i grafic. Se observ n figura c, n acest caz, numai pentru s > 1, indicii punctelor W1,2 sunt inveri cu cei ai punctelor W1,2, din cazul variabilei excentrice i se inverseaz i sensul de rotaie al punctelor W1,2 pe cercurile unitate. La rotaia continu a dreptei D + n sens trigonometric pozitiv, dreapta d oscileaz, rotindu-se n sens pozitiv pentru P1 de la Mi la Wf, apoi de la Wf la Wi i schimb sensul de rotaie. n Wi i n Wf punctele P1 i W1 se suprapun. Plecnd din acest punct n intervalul WiWf, W1 se va roti pe C i pe C n sens trigonometric pozitiv, ca i W1 n cazul FSM-CE de variabil excentric, n care W1 este punctul care se rotete pe cerc permanent n sens trigonometric pozitiv, n timp ce W2 este cel care se rotete permanent n sens negativ, la o rotaie pozitiv cu unghiul a dreptei d. n varianta I-a, crete continuu, astfel c P1se rotete mereu n acelai sens pozitiv, n timp ce unghiul al dreptei d i schimb semnul n punctele Wi,f ( iniial i i fina f) de tangena ale dreptei d din S cu cercul unitate. Sensul de rotaie al lui W2 este invers sensului de raotaie al lui W1.

  • 15FUNCTIISUPERMATEMATICEEXCENTRICEDEVARIABILACENTRICA

    409

    Cazul s > 1 corespunde unui mecanism manivel - culis oscilant, care este un subansamblu al mecanismului centric cu parghii cu 6 elemente (v. Demian T., Tudor D., Grecu E., MECANISME DE MECANIC FIN, EDP, Buc., 1982, Cap.2.2.3. CINEMATICA ANALITIC A UNOR MECANISME UZUALE SIMPLE, pag. 1920) n care manivela motoare se rotete n jurul centrului O(0,0), cu micare uniform i continu cu unghiul = .t, iar o bar, materializeaz semidreapta d+, articulat n punctul S(s,), care oscileaza cu unghiul , ntre punctele Wi i Wf , puncte n care i schimb sensul de oscilaie. Punctul W1 este materializat de culisa care culiseaza pe bara d+ , articulat n S, mpreun cu care oscileaza n jurul excentrului S. n teoria mecanismelor, ntre oricare mrime de ieire i oricare marime de intrare se pot stabili dependene denumite funcii de transfer sau de transmitere [15 ], [16]. Astfel, ntre i , ca raport (15.54) iR = se poate stabili funcia de transmitere a mrimilor unghiulare sau a

    rotaiilor IR, ntre r i R se poate stabili funcia sau raportul de transmitere al translaiilor iT deplasarilor/lungimilor, care se cunoate deja c este FSM-CE radial excentric (15.55) iT =

    De asemenea, se cunoate c raportul diferenialelor variabilelor este FSM-CE derivat excentric, care , aa cum s-a mai demonstrat n Vol.I 6.5 pag.205, reprezint expresia general a funciei de transmitere a vitezelor unghiulare ale tuturor mecanismelor plane

    (15.56) i = ,

    cu dependena evident (15.57) Dex

    Reprezentarea tuturor funciilor de transfer ale mecanismelor plane printr-o singur funcie SM simpl (derivat excentric) este o alt realizare de sem a matematicii excentrice (ME). Supermatematica pe lng contribuiile teoretice la patrimoniul stiinei are i o pleiad de aplicaii practice, drept contribuii la patrimoniul tehnic, n acord cu sloganul Prof. dr. Rothenstein, profesorul de fizic de la Politehnica timioreana, care susine c Teoria sine praxa e cum rota sine axa. 15.6.1 DETERMINAREA PE BAZA TEORIEI MECANISMELOR A EXPRESIILOR UNOR FSM-CE DE VARIABIL EXCENTRIC I CENTRIC Din punct de vedere istoric, Teoria Mecanismelor ca i Mecanica i alte multe tiine care acum sunt independente, s-au desprins din Matematic. Acum se va putea constata ca ele pot fi nglobate din nou n tiina mam din care s-au desprins. Se consider mecanismele manivel motoare - culis oscilant, n dreapta, care corespunde cazului FSM-CE de variabil centric , pentru e > R sau s > 1 i culis motoare-manivel, n partea stng, ce corespunde cazului FSM-CE de variabil excentrica , pentru e < R sau s < 1, prezentate n figura 15.28. n ambele cazuri, punctul F ce aparine cercului de raz s/2 i trece prin punctele O(0,0) i S(s, ) mparte segmentul W1W2 n pari egale, de lungime r, care n funcie de sunt

  • 410

    (15.58) ,

    astfel c FSM-CE radial excentric de variabil excentric sunt (15.59)

    Reamintim c pentru s 1 rex1 > 0 i rex2 < 0, iar pentru s > 1 ambele determinri 1 i 2 sunt ambele pozitive, cand semidreapta pozitiv d+ intersecteaza cercul unitate i negative cand semidreapta negativ d intersecteaza cercul unitate, ceea ce rezult i din relaia (15.58). Pentru FSM-CE de variabil centric 1,2, r1,2 se determin imediat, cu teorema lui Pitagora generalizat, sau teorema cosinusului unghiului 1,2 din centrul O(0,0), din triunghiurile oarecare OSW 1,2. Rezult (15.60)

    s < 1 s > 1

    Fig.15.28 Schiele mecanismelor culis motoare-manivel, stnga i manivel motoareculis oscilant , dreapta

    Se observ c, la determinarea realaiilor FSM-CE radial excentric, nu s-a uzat de un sistem de coordonate; unghiurile i 1,2 putnd fi marcate de la oricare reper comun. De aceea s-a mai spus c aceste funcii sunt independente de sistemul de referin, r1,2 = . Din teorema sinusurilor n triunghiurile oarecare OSW1,2 , pentru s < 1, rezult (15.61) sau

  • 15FUNCTIISUPERMATEMATICEEXCENTRICEDEVARIABILACENTRICA

    411

    (15.61) ,

    n care este raza cercului circumscris triunghiului oarecare, considerat la scrierea teoremei lui

    Pitagora generalizate, n cazul de fa triunghiul OSW1,2. Din egalitatile anterioare, pentru s < 1, rezult FSM-CE beta excentice de variabil excentric

    (15.62)

    Pentru s > 1 se poate scrie

    (15.63)

    din care rezult FSM-CE beta excentrice de variabil centric

    (15.64)

    Se observ, fr dificultate din figura 15.27, c ntre unghiuri exista dependena cunoscut care reprezint, totodat FSM-CE amplitudie excentric de variabil excentric aex1,2 (15.65) 1,2() = 1,2() = arcsin[s.sin( )] = aex1,2 care poate exprima, totodat, i funcia sau raportul de transmitere a rotaiilor ca funcie de variabila excentric (15.66) = iR()

    Prin derivarea expresiei (15.65) se obine funcia sau raportul de transmitere al vitezelor unghiulare, tiind c , considerat viteza unghiular de intrare i

    drept vitez unghiular de la ieirea mecanismului i,totodat , FSM-CE derivat excentric de variabil excentric (15.67) dex1,2 =

    Rezult (15.657) dex1,2 = 1

  • 412

    Din (15.65) rezult FSM-CE amplitudine excentric de variabil centric Aex

    (15.68) = = Aex

    i utiliznd expresia lui ( ) din (15.64) rezult raportul sau funcia de transmitere a rotaiilor

    ca funcie de variabilele centrice

    (15.69) = iR( )

    Este necesar observaia c, n timp ce funciile amplitudine excentric de variabil excentric sunt distincte valoric, sau la un anumit moment t = t1 aex1 = 1 () 2 () = aex2 , deoarece 1() 2(), cele de variabil centric au valori egale Aex1 = Aex2 = (), deoarece (1) = (2) = () = 1,2 + 1,2 , dar la valori de timp diferite; n acelai moment t = t1 ele fiind defazate ntre ele cu 2. Pe baza acestei observaii se poate concluziona c toate FSM-CE de variabil centric au cele dou determinri, principal 1 i secundara 2 , egale valoric, adic au graficele identice. De aceea se vor prezenta mpreun graficele celor dou determinri . Prin derivarea expresiei (15.68) se obine FSM-CE derivat excentric de variabile centrice (15.70)

    i, astfel, printr-o simpl aplicaie s-au determinat cele mai importante FSM-CE att de variabil excentric ct i de variabile centrice. Exemplul ar putea continua cu determinarea funciilor cosinus cex1,2 i Cex1,2, sinus sex1,2 i Sex1,2 excentrice i a celor compuse tex, ctex .a. Dar, aceste funcii se pot determina imediat, pe baza funciilor lor induse, tiind c

    (15.71)

    (15.72)

    Simbolic se poate scrie c

  • 15FUNCTIISUPERMATEMATICEEXCENTRICEDEVARIABILACENTRICA

    413

    (15.73)

    Varianta a II-a, prezentate n figurii 15.27, este n favoarea FSM-CE de variabil centric, deoarece punctele W1,2 se afla situate pe aceeai dreapta D, de direcie = 1, trecnd prin originea i centrul O(0,0) i turnanta n jurul acestui punct. In acest caz, cunoscndu-se expresiile primei determinri, principale de indice 1, a FSM-CE ca funcii de = 1, a doua determinare, de indice 2, se va obine din expresiile primei determinri, n care se face schimbarea de argument 2

    1 + = + . Deoarece W1 D+ ,iar W2 D. Dezavantajul variantei a II-a consist n faptul c a doua determinare a FSM-CE, de indice 2, de variabil centric nu mai au aceleai valori cu cele de variabil excentric. Prima determinare, ns, cea principal de indice 1, va pastra egalitatea valorilor funciilor de cele dou variabile, deoarece W1 se afl situat pe ambele semidrepte D+ i d1 + , care se intersecteaz chiar n W1. n aceast variant, apar dou drepte d1 i d2, ce trec prin excentrul S(s, ) i prin W1 i, respectiv, W2 i, ca urmare dou valori distincte ale variabilei excentrice 1 i, respectiv, 2 pentru un o singur variabila motoare , care este direcia singurei drepte D. Dac ne referim, ns, la punctele W1,2, atunci avem, ca i n cazul anterior

    (15.74)

    i n acest caz, simbolic se poate scrie, innd cont de poziia celor dou puncte W1,2 pe dreapta D, fa de originea O(0,0) a dreptei, origine care o imparte n cele dou semidrepte. (15.75) FSM-CE(2) = FSM-CE(1 + ). Oricare ar fi poziia excentrului S, interioar discului cercului unitate (s < 1), n ambele variante, pentru un sau care crete, adic W1 se rotete pe cercul unitate n sens trigonometric (sinistrorum sau levogin) i W2 se rotete n acelai sens, pozitiv. Dac S este exterior cercului unitate (s > 1), atunci, punctele W 1,2 se rotesc n acelai sens, poizitiv, pe cercul unitate. Notnd cu Wi,f punctele de tangena ale dreptei d din S cu cercul unitate, n care cele dou puncte W nu se mai suprapun, adica n permanen W1 W2, dar unghiurile 1,2 au creterei i scderi sincrone. Astfel, din Wi i pn n Wf, 1,2 crete, apoi, din Wf la Wi, 1,2 scade. 15.7 FUNCII COSINUS I SINUS EXCENTRICE DE VARIABIL CENTRIC Se definesc ca funcii induse n care argumentul / variabila funciilor circulare centrice cos i sin se nlocuiete cu funcia amplitudine excentric de variabil centric (15.76) care, pentru s , n varianta I-a are expresiile (15.77)

  • 414

    n care s-a inut cont de egalitatea (15.78) Graficele acestor FSM-CE de variabil centric se vor prezenta defalcat pentr s > 0 i pentru s < 0, att pentru excentriciti numerice subunitare ct i pentru cele supraunitare. n relaia anterioar, s-a folosit egalitatea (15.79)

    Deoarece, oricare ar fi excentricul S(s, ), aa cum au fost definite aceste funcii de punctele W1,2 situate pe aceeai dreapta d = d + d , de unghi cu axa Ox, dreapt ce trece prin excentrul S(s, ) i este turnant n jurul excentrului, exist n permanen egalitatea

    Fig.15.29 FSM-CE cosinus excentric Cex1,2 de variabil centric pentru s > 1

    (15.80)

    astfel c cele dou determinri ale FSM-CE Cex1,2 i Sex1,2 de variabil centric sunt defazate, de aceea, n figura 15.26, pentru Cex i n figura 15.27, pentru Sex, graficele lor, ale celor dou determinari, principal 1 i secundar 2, au fost reprezentate n paralel. Rezult

    Cex1 Cex2

  • 15FUNCTIISUPERMATEMATICEEXCENTRICEDEVARIABILACENTRICA

    415

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    s [-0,9, 0] s [-0,9, 0]

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    s [0, 0,9] s [0, 0,9]

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    s [ 0,9, + 0,9] s [ 0,9, + 0,9]

    Fig.15.30 FSM-CE cosinus excentric Cex1,2 de variabil centric pentru s < 1

    (15.81)

    cos ( + 2) cos ( + 2 + )

  • 416

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    s [-0,9, 0] s [-0,9, 0]

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    s [0, 0,9] s [0, 0,9]

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    s [ 0,9, + 0,9] s [ 0,9, + 0,9]

    Fig.15.31 FSM-CE cosinus excentric modificat MCex1,2 de variabil centric pentru s < 1

    n figura 15.31 i 15.34 sunt prezentate FSM-CE modificate n sensul c a fost nlocuit cu 2 n ecuaiile de definiie ale FSM-CE Cex1,2 i Sex1,2. Au fost notate cu MCex1,2 i MSex1,2 i au expresiile

  • 15FUNCTIISUPERMATEMATICEEXCENTRICEDEVARIABILACENTRICA

    417

    (15.82)

    Cex1 Cex2

    2 1 1 2

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1.0

    2 1 1 2

    0.9

    0.8

    0.7

    0.6

    0.5

    s [ 2 : 1,1], 1 [-2,+2] s [ 2 : 1,1]

    1.0 0.5 0.5 1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1.0 0.5 0.5 1.0

    1.0

    0.5

    0.5

    s [1,1 : + 2], 1 [1,1; 5,2] s [1.1 : + 2]

    3 2 1 1 2 3

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    3 2 1 1 2 3

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    s [ 2, + 2], 1 [ ; +] s [ 2, + 2], [ ; +] Fig.15.32 FSM-CE cosinus excentric Cex1,2 de variabil centric pentru s > 1

  • 418

    Sex1 Sex2

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    s [-1, 0] s [-1, 0]

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    s [0, 1] s [0, 1]

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    s [-1, +1],

    Fig.15.33 FSM-CE sinus excentric Sex de variabil centric

    Alte modificri, prezentate mpreun cu ecuaiile lor explicite, sunt prezentate n figura 15.34 , iar unele aplicaii practice posibile sunt descrise n figura 15.35.

  • 15FUNCTIISUPERMATEMATICEEXCENTRICEDEVARIABILACENTRICA

    419

    1 2 3 4 5

    2.52.0

    1.51.00.5

    0.5

    1 2 3 4 5

    2.5

    2.0

    1.5

    1.0

    0.5

    0.5

    Plot[{1.5Cos[x+ArcSin[Sin[x]/Sqrt[22Cos[x]]]]+Sin[8x]},{x,0,1.8Pi}]

    Plot[{1.5Cos[x+ArcSin[Sin[x]/Sqrt[22Cos[x]]]]+Sin[10xArcSin[0.6Sin[10x]]]},{x,0,1.8Pi}]

    10 20 30

    0.6

    0.4

    0.2

    0.2

    0.4

    0.6

    10 20 30

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    Plot[{0.5Sin[x+ArcSin[Sin[x]/Sqrt[22Cos[x]]]]+0.1Sin[15xArcSin[0.8Sin[15x]]]},{x,Pi,12Pi}]

    Plot[{Sin[x+ArcSin[Sin[3x]/Sqrt[22Cos[3x]]]]+0.2Sin[15xArcSin[0.8Sin[15x]]]},{x,Pi,12Pi}]

    5 10 15 20 25

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    5 10 15 20 25

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    Plot[{Sin[x+ArcSin[Sin[2x]/Sqrt[22Cos[2x]]]]+0.2Sin[15xArcSin[0.8Sin[15x]]]},{x,Pi/2,8Pi}]

    Plot[{Cos[0.5x]Sin[x+ArcSin[Sin[2x]/Sqrt[22Cos[2 x]]]]+0.2Sin[15xArcSin[0.8Sin[15x]]]},{x,Pi/2,8Pi}]

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    Plot[Evaluate[Table[{Sin[x+2ArcSin[0.1uSin[2x]/Sqrt[1+(0.1u)^20.2uCos[2x]]]]},{u,9,0}],{x,0,2Pi}]]

    Plot[Evaluate[Table[{Cos[x+2ArcSin[0.1uSin[2x]/Sqrt[1+(0.1u)^20.2uCos[2x]]]]},{u,10,0}],{x,0,2Pi}]]

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    Plot[Evaluate[Table[{Sin[x+2ArcSin[0.1uSin[3x]/Sqrt[1+(0.1u)^20.2uCos[3x]]]]},{u,9,0}],{x,0,2Pi}]]

    Plot[Evaluate[Table[{Sin[x+2ArcSin[0.1uSin[4x]/Sqrt[1+(0.1u)^20.2uCos[4x]]]]},{u,9,0}],{x,0,2Pi}]]

    Fig.15.33,b FSM-CE de variabil centric modificate

  • 420

    sin(+ 2) sin( + 2 + )

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    s [ 0,9, + 0] s [ 0,9, + 0]

    2 1 1 2

    0.5

    0.5

    2 1 1 2

    0.5

    0.5

    s [ 2 ; - 1,1] s [ 2 ; - 1,1]

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    s [ 1 , + 1] s [ 1 , + 1]

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    1 2 3 4 5 6

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    s [ 2 , + 2] s [ 2 , + 2]

    Fig.15.34 FSM-CE sinus excentric modificat MSex1,2 de variabil centric

  • 15FUNCTIISUPERMATEMATICEEXCENTRICEDEVARIABILACENTRICA

    421

    Posibile aplicaii ele acestor funcii sunt extrem de multiple, aa c au fost prezentate, n figura 15.35, unele aplicaii mai deosebite, din domeniul medicinei, cu exemplele concrete preluate de pe website-ul http://education.inflpr.ro/res/CarteGarabet/Investigarea%20Sistemului%20cardiovascular.pdf. Prima aplicaie, a FSM-CE Cex, reprezint o oscilaie de frecvan mai nalt, dat de FSM-CE de variabil excentric sex10. cu excentricitatea umeric s = 0,6 , nsoit de bti de frecven mai joas, dat de FSM-CE de variabil centric Cex, cu excentricitatea de s = 1. A doua aplicaie, a FSM-CE Sex, reprezint o oscilaie de frecvan mai nalt, dat de FSM-CE de variabil excentric sex15. cu excentricitatea umeric s = 0,8 , suprapus peste o oscilaie de frecven mai joas, dat de FSM-CE de variabil centric Sex, cu excentricitatea de s = 1.

    1 2 3 4 5

    2.52.0

    1.51.00.5

    0.5

    Monitorizarea ritmului cardiac Cex(, S(s = 1, = 0)) + sex[10, S(s = 0.6; =0 )]

    10 20 30

    0.6

    0.4

    0.2

    0.2

    0.4

    0.6

    10 20 30

    1.0

    0.5

    0.5

    1.0

    Semnalul obinut la monitorizarea ritmului cardiac

    0.5Sex[, S(s = 1, = 0) ] + 0.1 sex[15, s = 0,8]

    Sex[3, S(s = 1, = 0) ] + 0.2 sex[15, s = 0,8]

    Fig.15.35 Aplicaii posibile n medicin ale FSM-CE Cex si Sex de variabil centric

  • 422

    Funciile tangent excentric de variabil centric Tex1,2 se vor obine prin raportul FSM-CE Sex1,2 /Ces1,2, iar tangenta excentric Voinoiu, de variabila centric prin raportul (15.82) Texv1,2=

    Reamintim c, n matematica signadforasic a lui O. Voinoiu, semnul unei fracii este dat exclusiv de semnul numratorului ! Cotangenta, secanta i cosecanta, se definesc la fel ca i la definirea acestor funcii n matematica centric (MC). Graficele lor sunt prezentate, n paralel, pentru a fi mai uor comparate, n figura 15.29: Tex1,2 sus i Texv1,2 n josul figurii. Liniile verticale din graficele FSM-CE Tex1,2 sunt de prisos, utilizatorul programului, adic autorul, ne tiind cum se d comanda pen up n Mathematica 6 a lui Stephen Wolfram. Mea culpa !

    1 2 3 4 5 6

    6

    4

    2

    2

    4

    6

    1 2 3 4 5 6

    6

    4

    2

    2

    4

    6

    1 2 3 4 5 6

    6

    4

    2

    2

    4

    6

    S (s[1, 0], = 0) S (s[0, + 1], = 0) S (s[1, + 1], = 0)

    Tex1

    1 2 3 4 5 6

    6

    4

    2

    2

    4

    6

    1 2 3 4 5 6

    6

    4

    2

    2

    4

    6

    1 2 3 4 5 6

    6

    4

    2

    2

    4

    6

    S (s[1, 0], = 0) S (s[0, + 1], = 0) S (s[1, + 1], = 0)

    Texv1

    Fig.15.28 FSM-CE Tex1 i Texv1 de variabil centric

  • Cap.16 METRODA DE INTEGRARE PRIN DIVIZAREA DIFERENIALEI

    422

    Capitolul 16. METODA DE INTEGRARE PRIN DIVIZAREA DIFERENIALEI Motto: Acela-i matematician pentru care egalitatea dx =

    este evident ca "2 2 = 4". W. Thompson (lord Kelvin)

    16.1 I N T R O D U C E R E Integralele au fost introduse n matematic la sfaritul secolului al XVII-lea, cnd Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz au definit teor