U3 Controlul Statistic Al Calitatii

13
Unitatea de învăţare U3. Controlul statistic al calităţii Cuprins U3.1. Introducere U3.2. Obiectivele unităţii de învăţare U3.3. Noţiuni de bază U3.4. Calculul fracţiunii defective probabile U3.5. Rezumat U3.1. Introducere Acest capitol are drept scop familiarizarea cursanţilor cu noţiuni cum ar fi: câmp de toleranţă, câmp de împrăştiere, stabilitate, instabilitate, precizie şi reglaj. Stăpânirea acestor noţiuni reprezintă temelia care stă la baza asigurării calităţii într-o întreprindere. U3.2. Obiectivele unităţii de învăţare Unitatea de învăţare are ca obiectiv principal familiarizarea cursanţilor cu noţiunile de bază utilizate în compartimentele de asigurare a calităţii în întreprinderi. La sfârşitul acestei unităţi de învăţare cursanţii vor fi capabili să: definească noţiuni precum câmp de toleranţă şi câmp de împrăştiere ; explice funcţionarea legii repartiţiei normale în producţie; definească noţiuni precum reglaj, precizie, stabilitate şi instabilitate; calculeze procentul probabil de rebuturi ce poate fi realizat într-un proces productiv. Durata medie de parcurgere a acestei unităţi de învăţare este de 2 ore. U3.3. Noţiuni de bază U3.3.1. Câmp de toleranţă. Câmp de împrăştiere Este cunoscut faptul că în practică nu există două produse identice, ale căror caracteristici de calitate să fie similare, chiar dacă sunt menţinute constante condiţiile de obţinere ale acestora. Din acestă cauză, în cazul unei producţii de serie, după măsurarea mai multor produse va rezulta un şir de date diferite între ele (x 1 , x 2 , …, x n ). Este motivul pentru

Transcript of U3 Controlul Statistic Al Calitatii

Page 1: U3 Controlul Statistic Al Calitatii

Unitatea de învăţare U3. Controlul statistic al calităţii

Cuprins

U3.1. Introducere

U3.2. Obiectivele unităţii de învăţare

U3.3. Noţiuni de bază

U3.4. Calculul fracţiunii defective probabile

U3.5. Rezumat

U3.1. Introducere

Acest capitol are drept scop familiarizarea cursanţilor cu noţiuni cum ar fi: câmp

de toleranţă, câmp de împrăştiere, stabilitate, instabilitate, precizie şi reglaj.

Stăpânirea acestor noţiuni reprezintă temelia care stă la baza asigurării calităţii

într-o întreprindere.

U3.2. Obiectivele unităţii de învăţare

Unitatea de învăţare are ca obiectiv principal familiarizarea cursanţilor cu noţiunile

de bază utilizate în compartimentele de asigurare a calităţii în întreprinderi.

La sfârşitul acestei unităţi de învăţare cursanţii vor fi capabili să:

definească noţiuni precum câmp de toleranţă şi câmp de împrăştiere;

explice funcţionarea legii repartiţiei normale în producţie;

definească noţiuni precum reglaj, precizie, stabilitate şi instabilitate;

calculeze procentul probabil de rebuturi ce poate fi realizat într-un proces

productiv.

Durata medie de parcurgere a acestei unităţi de învăţare este de 2 ore.

U3.3. Noţiuni de bază

U3.3.1. Câmp de toleranţă. Câmp de împrăştiere

Este cunoscut faptul că în practică nu există două produse identice, ale căror

caracteristici de calitate să fie similare, chiar dacă sunt menţinute constante condiţiile de

obţinere ale acestora. Din acestă cauză, în cazul unei producţii de serie, după măsurarea mai

multor produse va rezulta un şir de date diferite între ele (x1, x2, …, xn). Este motivul pentru

Page 2: U3 Controlul Statistic Al Calitatii

care proiectanţii impun pentru fiecare caracteristică un câmp de toleranţă prin care se

stabilesc valorile minimă şi, respectiv, maximă pe care le admite mărimea respectivă. Se

poate afirma aşadar că prin limitele sale, câmpul de toleranţă impune variaţia admisă pentru

caracteristica de calitate analizată.

Fig. 3.1

Conform figurii de mai sus, orice caracteristică de calitate măsurată care se află în

interiorul intervalului [(N + Ei) … (N + Es)] este considerată corespunzătoare, în timp ce

restul valorilor face parte din categoria rebuturilor.

Mărimea câmpului de toleranţă este dată de relaţia:

is EET (3.1)

Exemplu

Pentru un arbore cu diametrul Ø 015,0

010,080 , semnificaţia notaţiilor este următoarea:

valoarea ţintă (de obţinut) a diametrului arborelui este de 80 mm, abaterea

inferioară este de Ei = - 0,010 mm, iar cea superioară Es = +0,015 mm.

Valorile măsurate considerate a fi corespunzătoare se găsesc în intervalul

[79,990…80,015] mm, iar mărimea câmpului de toleranţă este de 0,015 – (-

0,010) = 0,025 mm.

După cum se ştie, condiţiile de desfăşurare ale procesului productiv nu sunt aceleaşi pe

întreaga durată a realizării unui anumit lot de piese. Modificările acestor condiţii, cum ar fi

dereglarea utilajului, oboseala operatorului uman, uzarea sculelor ş.a. determină variaţii

sistematice ale caracteristicilor de calitate, generând apariţia abaterilor sistematice.

În paralel cu cauzele sistematice de producţie acţionează şi o altă categorie de surse ale

variaţiei caracteristicilor de calitate, cum ar fi: jocurile dintre diferitele componente ale

utilajului de prelucrare, erorile de măsurare, neomogenitatea materiei prime, variaţia durităţii

stratului superficial etc. Existenţa acestei categorii de cauze este cunoscută, însă mărimea

efectelor generate de acestea nu poate fi apreciată decât după realizarea produsului. Aceste

surse de variaţie a caracteristicilor poartă numele de cauze de producţie accidentale şi

constituie motivul apariţiei abaterilor întâmplătoare.

Page 3: U3 Controlul Statistic Al Calitatii

Variaţia caracteristicilor de calitate ale unui produs determinată de existenţa cauzelor de

producţie accidentale, în absenţa celor sistematice, constituie câmpul de împrăştiere.

Practic, câmpul de împrăştiere reprezintă intervalul cuprins între cea mai mică valoare

măsurată (xmin) şi cea mai mare (xmax).

Fig. 3.2

Optim din punct de vedere tehnologic este ca orice proces productiv să aibă o asemenea

desfăşurare încât, în permanenţă, câmpul de împrăştiere să fie mai mic sau cel mult egal cu

cel de toleranţă. Acest lucru nu presupune însă ca proiectanţii să supradimensioneze

câmpurile de toleranţă pe care le impun, ci ca procesul tehnologic şi utilajul ales să fie

capabile să realizeze un câmp de împrăştiere minim. O condiţie suplimentară este aceea ca

cele două câmpuri să fie centrate, adică mijloacele lor să fie suprapuse.

Fig. 3.3

AP U3.3.1: Să se determine mărimea câmpului de toleranţă pentru cota 002,0

018,023

Să ne reamintim...

Câmpul de toleranţă este intervalul dimensional impus de proiectanţi prin care se

stabilesc valorile minimă şi, respectiv, maximă pe care le admite mărimea

respectivă.

Câmpul de împrăştiere este intervalul dimensional rezultat din fabricarea produselor,

determinat doar de cauzele de producţie accidentale.

U3.3.2. Legea de repartiţie normală (Gauss)

Repartiţia normală este cea mai răspândită şi mai importantă formă de distribuţie a

datelor, ea fiind aproape în exclusivitate utilizată în ingineria calităţii/proiectarea robustă a

sistemelor de producţie. Legea de repartiţie normală modelează toate fenomenele ale căror

Page 4: U3 Controlul Statistic Al Calitatii

variaţii pot fi considerate ca rezultante ale influenţei a numeroşi parametri independenţi unul

faţă de celălalt, ale căror efecte se cumulează, fiecare efect în parte având însă un rol

neglijabil.

Densitatea de repartiţie în cazul legii normale este dată de relaţia: 2)(

2

1

2

1),,(

x

exf

; x R (3.2)

unde µ şi reprezintă parametrii repartiţiei: µ R; 0.

În figura 3.4 este reprezentată curba densităţii de repartiţie în cazul legii normale de

distribuţie, în continuare fiind prezentate câteva dintre proprietăţile ei:

Fig. 3.4

curba are un punct de maxim corespunzător unei abscise x = µ:

2

1)(f (3.3)

este simetrică în raport cu o dreaptă verticală care trece prin punctul x = µ;

prezintă o formă de clopot şi are două puncte de inflexiune situate la distanţa ± faţă de

axa de simetrie care trece prin x = µ (fig.3.5);

Fig. 3.5

ordonata maximă este cu atât mai mare cu cât parametrul are o valoare mai mică, iar

atunci când creşte, curbele se "turtesc" din ce în ce mai mult. Pentru o valoare mică a

lui , curba este ascuţită la vârf şi se numeşte leptokurtică (a), iar în cazul unui mare,

curba poartă numele de platikurtică (c). Pentru un caz intermediar, curba se numeşte

mezokurtică (b);

Page 5: U3 Controlul Statistic Al Calitatii

Fig. 3.6

curba densităţii de repartiţie este asimptotică la abscisă de la (µ + 3 ) către + şi de la (µ

- 3 ) către - ;

parametrii de tendinţă (media aritmetică şi cea geometrică, mediana, valoarea centrală şi

modul) se suprapun (au aceeaşi valoare).

Se poate demonstra faptul că în interiorul unui interval de lăţime 2 (µ ± ) se află

68,26% din totalul valorilor măsurate ale populaţiei analizate. Într-un interval de lărgime 4

(µ ± 2 ) se găsesc 95,46% din totalul valorilor, iar într-un interval de 6 (µ ± 3 ) se află

99,73% din valori.

Fig. 3.7

Probabilitatea ca o variabilă aleatoare x să ia valori mai mici decât o valoare dată a este

dată de relaţia: a xa

dxedxxfaxP2)(

2

1

2

1)()( (3.4)

Funcţia F(x) = P( x a ) care satisface condiţiile:

F(x) ≥ 0 (3.5)

F(x1) < F(x2) când x1 < x2 (3.6)

Page 6: U3 Controlul Statistic Al Calitatii

poartă numele de funcţie de repartiţie, reprezentarea ei grafică fiind cea din figura 3.8:

Fig. 3.8

Pornindu-se de la relaţia (3.2), reprezentată grafic în figura 3.4, printr-o mişcare de

translaţie a originii coordonatelor până în punctul x = μ şi prin exprimarea absciselor în raport

cu noua origine, se obţine repartiţia normală normată.

Variabila aleatoare normată z, aferentă acestei repartiţii, se calculează, în această

situaţie, cu relaţia:

xz

(3.7)

Pentru parametrii repartiţiei μ = 0 şi = 1, densitatea de repartiţie devine:

2

2

2

1)1,0,(

z

ezf (3.8)

Funcţia de repartiţie se va transforma şi ea în:

dzezFz z

2

2

2

1)( (3.9)

În figura 3.9 se prezintă graficele densităţii şi funcţiei de repartiţie ale repartiţiei

normale normate:

Fig. 3.9

Page 7: U3 Controlul Statistic Al Calitatii

Din relaţia (3.8) şi din figura 3.9 rezultă că repartiţia normală normată este simetrică în

raport cu ordonata corespunzătoare originii sistemului de axe. Ordonata maximă este dată de

relaţia:

f e( ) ,01

2

1

20 3989

0

2 (3.10)

Punctele de inflexiune ale curbei densităţii de repartiţie normale normate se obţin prin

anularea derivatei a doua a funcţiei f(z):

f z z f z' ' ( ) ( ) ( )2 1 0 (3.11)

de unde rezultă: z = ± 1. Aşadar, curba densităţii de repartiţie din figura 3.9 are punctele de

inflexiune situate la stânga şi la dreapta originii, la o distanţă egală cu ± 1.

Este cunoascut faptul că probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă x să ia toate

valorile cuprinse în intervalul (- ; + ) este:

12

1)(

2)(2

1

dxeFxP

x

(3.12)

adică:

F x( ) 1 pentru orice x R (3.13)

De asemenea, se mai poate scrie:

dxeaFaxP

a x 2)(2

1

2

1)( (3.14)

Dacă se face schimbarea de variabilă dată prin relaţia (3.7), se poate scrie în continuare:

)(}{aa

zPaxP (3.15)

unde funcţia Ø se calculează cu relaţia:

dzez

z z

2

2

2

1)( (3.16)

Graficul acestei funcţii este redat în figura 3.10, iar o proprietate importantă a funcţiei este:

Ø(-a) = 1 – Ø(a).

Câteva proprietăţi importante ale funcţiei (3.15), necesare rezolvării diverselor situaţii

concrete sunt următoarele:

P{ x ≥ a } = 1 – P{ x ≤ a } (3.17)

P{ x ≤ -a } = P{ x ≥ a } (3.18)

P{ x ≥ -a } = P{ x ≤ a } (3.19)

Page 8: U3 Controlul Statistic Al Calitatii

Fig. 3.10

Exemplul 1

O cerinţă importantă a unui beneficiar este aceea conform căreia arborii

confecţionaţi din materialul 41CrNi12 trebuie să aibă în final o duritate de

minimum 270 HB. În urma prelucrării întregului lot de arbori, după efectuarea

măsurătorilor şi prelucrarea datelor, a rezultat o medie aritmetică μ = 280 şi o

abatere medie pătratică σ = 4. Se cere să se calculeze probabilitatea cu care

producţia realizată satisface condiţia impusă de beneficiar (duritate ≥ 270 HB).

Probabilitatea cu care arborii prelucraţi au o duritate mai mare decât 270 HB se

determină ca fiind :

P{x ≥ 270} = 1 – P{x ≤ 270} ;

P{x ≤ 270} = P{z ≤ (270 – 280)/4} = P{-2,5} = Ø(-2,5) = 1 - [ Ø(2,5)] =

= 1 – 0,99379 = 0,00621

În concluzie, probabilitatea cu care arborii prelucraţi îndeplinesc condiţia pusă va

fi :

P{x ≥ 270} = 1 – P{x ≤ 270} = 1 – 0,00621 = 0,99379, adică de 99,379%

Exemplul 2

În urma măsurării şi prelucrării rezultatelor obţinute în cazul strunjirii diametrelor

unui lot de arbori a rezultat o medie aritmetică cu valoarea de 25,5 mm şi o

abatere medie pătratică de 0,055. Valoarea ţintă a diametrului arborilor, impusă

Page 9: U3 Controlul Statistic Al Calitatii

de proiectant, este de Ø 15,0

15,045,25 . Se cere să se calculeze procentul arborilor

care se încadrează în câmpul de toleranţă.

Fracţiunea procentuală a arborilor care se încadrează în câmpul de toleranţă este

dată de zona haşurată din figura de mai sus şi se calculeaza cu relaţia :

P{25,3 ≤ x ≤ 25,6} = P{x ≤ 25,6} – P{x ≤ 25,3}

de unde :

P{x ≤ 25,6} = Ø[(25,6 – 25,5)/0,055] = Ø(1,82) = 0,96562

P{x ≤ 25,3} = Ø[(25,3 – 25,5)/0,055] = Ø(-3,64) = 1 – Ø(3,64) = 0,00014

P{25,3 ≤ x ≤ 25,6} = 0,96562 – 0,00014 = 0,96548, adică 96,548% din arborii

prelucraţi se încadrează în câmpul de toleranţă.

Din desenul de mai sus se poate observa faptul că media aritmetică este mai

apropiată de limita superioară a câmpului de toleranţă, ceea ce denotă un dereglaj

al procesului productiv. În ipoteza în care prin mijloace adecvate se reface

reglajul strungului, astfel încât noua medie aritmetică ar coincide cu valoarea

ţintă (25,45 mm), fracţiunea procentuală a arborilor care ar depăşi câmpul de

toleranţă ar fi :

P{25,3 ≤ x ≤ 25,6} = P{x ≤ 25,6} – P{x ≤ 25,3} de unde :

P{x ≤ 25,6} = Ø[(25,6 – 25,45)/0,055] = Ø(2,73) = 0,99683

P{x ≤ 25,3} = Ø[(25,3 – 25,45)/0,055] = Ø(-2,73) = 1 – Ø(2,73) = 0,00317

P{25,3 ≤ x ≤ 25,6} = 0,99683 – 0,00317 = 0,99366, adică 99,366% din arborii

prelucraţi se încadrează în câmpul de toleranţă.

U3.3.3. Stabilitate – Instabilitate. Reglaj - Precizie

Prin definiţie, un proces de producţie este instabil atunci când asupra sa acţionează una

sau mai multe cauze de producţie sistematice, care influenţează variaţia caracteristicilor de

calitate. Dacă procesul productiv este afectat doar de cauze întâmplătoare, atunci starea lui

este stabilă.

Page 10: U3 Controlul Statistic Al Calitatii

Două elemente de o maximă importanţă în descrierea stabilităţii unui proces tehnologic

sunt reglarea şi precizia maşinii de lucru.

Reglarea maşinii este definită prin poziţia mijlocului câmpului de împrăştiere a

valorilor caracteristicii de calitate în raport cu centrul câmpului de toleranţă. Reglarea

se consideră corespunzătoare atunci când centrul câmpului de împrăştiere (μ) coincide

cu mijlocul câmpului de toleranţă (TC).

Fig. 3.11

Ca elemente de referinţă în caracterizarea reglării maşinii, statistica matematică

utilizează parametrii de tendinţă, cum ar fi: media aritmetică, mediana, modul şi

valoarea centrală a şirului de date.

Precizia maşinii se caracterizează prin mărimea câmpului de împrăştiere, fiind

considerată corespunzătoare atunci când aceasta este inclusă sau, la limită, egală cu

mărimea câmpului de toleranţă. Mărimile care caracterizează precizia unei maşini sunt

indicii de împrăştiere: abaterea medie pătratică, amplitudinea, coeficientul de variaţie

ş.a..

Stabil ca reglaj este considerat un proces tehnologic ai cărui parametri de tendinţă au,

practic, o valoare constantă în timp.

Un proces tehnologic este stabil ca precizie în situaţia în care indicii săi de împrăştiere

se menţin neschimbaţi în decursul unui anumit interval de timp.

O reprezentare grafică a diferitelor situaţii de stabilitate sau instabilitate ale unui proces

productiv este dată în figura 3.12:

e d c b a

Fig. 3.12

Page 11: U3 Controlul Statistic Al Calitatii

a. Mărimile celor două câmpuri, de împrăştiere şi de toleranţă, coincid, centrele lor de

asemenea, concluzia care se desprinde fiind aceea că procesul productiv este stabil atât

ca precizie, cât şi ca reglaj.

b. Deşi mărimile câmpurilor de toleranţă şi de împrăştiere sunt egale, datorită deplasării

centrului ultimului dintre acestea în raport cu mijlocul câmpului de toleranţă, procesul

productiv este declarat stabil ca precizie, dar instabil ca reglare.

c. Câmpul de împrăştiere este mai mare decât cel de toleranţă, aşadar procesul este instabil ca

precizie. Datorită faptului că centrele celor două câmpuri coincid, procesul productiv este

stabil ca reglaj.

d. Procesul tehnologic este stabil atât ca precizie, cât şi ca reglaj, însă, asemenea situaţii

trebuie evitate din cauza unei pierderi de capacitate. Acest lucru se traduce prin faptul că

maşini care pot realiza precizii ridicate sunt utilizate la operaţii de prelucrare cu cerinţe

reduse din acest punct de vedere.

e. Procesul productiv este instabil din toate punctele de vedere.

AP U3.3.3: Să se reprezinte grafic cazurile a două procese productive, după cum

urmează:

1. proces productiv stabil ca reglaj, dar instabil ca precizie;

2. proces productiv instabil ca reglaj şi instabil ca precizie.

Să ne reamintim...

Reglarea maşinii este definită prin poziţia mijlocului câmpului de împrăştiere a

valorilor caracteristicii de calitate în raport cu centrul câmpului de toleranţă, fiind

considerată corespunzătoare atunci când centrul câmpului de împrăştiere (μ)

coincide cu mijlocul câmpului de toleranţă (TC).

Precizia maşinii se caracterizează prin mărimea câmpului de împrăştiere, fiind

considerată corespunzătoare atunci când aceasta este inclusă sau, la limită, egală cu

mărimea câmpului de toleranţă.

Stabil ca reglaj este considerat un proces tehnologic ai cărui parametri de tendinţă

au, practic, o valoare constantă în timp.

Stabil ca precizie este procesul tehnologic ai cărui indici de împrăştiere se menţin

neschimbaţi în decursul unui anumit interval de timp.

U3.4. Calculul fracţiunii defective probabile

O descentrare a utilajului de lucru sau un câmp de împrăştiere prea larg determină

apariţia unui număr de produse situate în afara limitelor câmpului de toleranţă. Parametrul

Page 12: U3 Controlul Statistic Al Calitatii

numit fracţiune defectivă probabilă are rolul de a stabili probabilitatea cu care valorile

caracteristicii de calitate depăşesc limitele câmpului de toleranţă.

În figura 3.13 este prezentată curba densităţii de repartiţie aferentă unui proces

productiv:

Fig. 3.13

În cazul unei repartiţii normale, fracţiunea defectivă probabilă este dată de suma ariilor

S1 şi S2, acestea fiind situate sub curba de distribuţie şi în afara limitelor câmpului de

toleranţă.

Relaţia de calcul a fracţiunii defective probabile este:

)]()([1 21 zzp (3.20)

în care z1 şi z2 sunt variabilele normale normate, calculabile cu relaţiile:

s

xTSz

s

TIxz 21 ; (3.21)

Valorile funcţiilor Laplace (z) se determină cu formula:

z z

dzez0

2

2

2

1)( (3.22)

În situaţia în care limitele câmpului de toleranţă, TI şi TS, sunt simetrice în raport cu

mijlocul distribuţiei, se poate scrie:

)(21 zp (3.23)

deoarece z = z1 = z2 .

În funcţie de valoarea calculată a fracţiunii defective probabile se pot face următoarele

recomandări:

dacă 0,001 p < 0,02 - utilajul are o precizie normală;

dacă p > 0,02 - precizia utilajului este necorespunzătoare;

Page 13: U3 Controlul Statistic Al Calitatii

dacă p < 0,001 - utilajul este cu mult mai precis decât ar fi necesar.

U3.5. Rezumat

Câmpul de toleranţă este ataşat unei caracteristici de calitate din raţiuni de

interschimbabilitate, ştiut fiind faptul că nu pot exista două piese identice;

Câmpul de toleranţă este intervalul dimensional impus de proiectanţi prin care se

stabilesc valorile minimă şi, respectiv, maximă pe care le admite mărimea

respectivă.

Câmpul de împrăştiere este rezultatul existenţei inevitabile a abaterilor

întâmplătoare într-un proces productiv;

Câmpul de împrăştiere este intervalul dimensional rezultat în urma fabricării

produselor, determinat doar de cauzele de producţie accidentale.

Optim din punct de vedere tehnologic este să fie îndeplinite condiţiile:

CÎ ≤ CT

CÎ CT

mijloacele celor două câmpuri să coincidă;

Repartiţia normală este cea mai răspândită formă de distribuţie a datelor;

Reglarea maşinii este definită prin poziţia mijlocului câmpului de împrăştiere a

valorilor caracteristicii de calitate în raport cu centrul câmpului de toleranţă, fiind

considerată corespunzătoare atunci când centrul câmpului de împrăştiere (μ)

coincide cu mijlocul câmpului de toleranţă (TC).

Precizia maşinii se caracterizează prin mărimea câmpului de împrăştiere, fiind

considerată corespunzătoare atunci când aceasta este inclusă sau, la limită, egală cu

mărimea câmpului de toleranţă.

Stabil ca reglaj este considerat un proces tehnologic ai cărui parametri de tendinţă

au, practic, o valoare constantă în timp.

Stabil ca precizie este procesul tehnologic ai cărui indici de împrăştiere se menţin

neschimbaţi în decursul unui anumit interval de timp.