8/9/2019 Triunghiul maaaate

1/17

Triunghiul

8/9/2019 Triunghiul maaaate

2/17

y Triunghiuleste un poligon cu 3 laturi.

y In dependenta de lungimea laturilor , exista:

1. Triunghi scalen

2. Triunghi isoscel

3.Triunghi echilateral

8/9/2019 Triunghiul maaaate

3/17

y In dependenta de unghi , exista:

1. Triunghi dreptunghic

2. Triunghi ascutit-unghic

3. Triunghi obtuz-unghic

8/9/2019 Triunghiul maaaate

4/17

y Cazuri de congruenta a triunghiurilor:

Se numesc triunghiuri congruente doua triunghiuri

care au laturile respective congruente si unghiurile

respective congruente.

Cazul I. (LUL). Doua triunghiuri care au doua laturi si

unghiul cuprins intre ele respective congruente sunt

congruente.

Cazul II.(ULU).Doua triunghiuri care au o latura si

unghiurile alaturate ei respective congruente sunt

congruente.

Cazul III.(LLL).Doua triunghiuri care au laturile

respective congruente sunt congruente.

y Doua triunghiuri sunt asemenea daca au laturile

respective proportionale si unghiurile opuse lor

respective congruente.

y Teorema fundamentala a asemanarii. O paralela

dusa la una din laturile uni triunghi formeaza cu

celelalte doua laturi(sau cu prelungirile lor) untriunghi asemenea cu cel dat.

8/9/2019 Triunghiul maaaate

5/17

LINII IMPORTANTE IN TRIUNGHI

I. MEDIANA

Se numeste mediana a unui triunghi , segmentul

determinat de un varf al triunghiului si mijlocul laturii

opuse.

Proprietatile medianelor triunghiului

1. Medianele au un punct comun G , numit centrul de

greutate a triunghiului.Raportul in care G imparte fiecare

mediana(incepand de la varf) este egal cu 2.

2. O mediana a unui triunghi este locul geometric almijloacelor segmentelor paralele cu latura triunghiului care

determina mediana.

3. O mediana a unui triunghi descompune triunghiul in doua

triunghiuri cu ariile egale.

4. Fie [AD],[BE],[CF] medianele triunghiului, iar G este

centrul de greutate al triunghiului ABC.Atunci triunghiurile

ABC, AGC si GBC au ariile egale cu o treime din aria

triunghiului ABC.

8/9/2019 Triunghiul maaaate

6/17

II. INALTIMEA

Se numeste inaltime a unui triunghi segmentul

determinat de un varf al triunghiului si proiectiaacestui varf pe dreapta ce contine latura opusa

lui.

Proprietatile inaltimilor triunghiului:

1. Inaltimile sau prelungirile lor au un punct

comun (notat H) numit ortocentrul triunghiului.

2. Inaltimile unui triunghi sunt bisectoarele

triunghiului ortic(triunghiul determinat de

proiectiile varfurilor triunghiului pe dreptele

ce contin laturile opuse lor).

3. Intre lungimile inaltimilor triunghiului ABC si

raza cercului inscris in el exista relatia:

+

III. BISECTOAREA

Se numeste bisectoarea unui triunghi

segmentul determinat de un varf al triunghiului

si intersectia bisectoarei unghiului respectic cu

latura opusa varfului.

8/9/2019 Triunghiul maaaate

7/17

Proprietatile bisectoarei:

1. Bisectoarea triunghiului se intersecteaza in

centrul cercului inscris in triunghi(notat I).

2. Bisectoarea unui unghi este locul geometrical punctelor egal departate de laturile

unghiului.

3. Teorema bisectoarei interioare.Daca [A,A1]

este bisectoarea triunghiului, atunci

.

IV. LINIA MIJLOCIE

Liniamijlocie este segmentul determinat de

mijlocul a 2 laturi ale unui triunghi.

In triunghiul ABC, MN- linia mijlocie.

MN || AC ; MN=1/2 AC

V. MEDIATOAREA

Mediatoarea unui segment e dreapta ce trece prin

mijlocul segmentului si este perpendicular pe el.

Punctul de intersectie a mediatoarelor intr-un triunghi

este centrul cercului circumscris triunghiului.

Punctele mediatoarelor segmentelor sunt egal

departate de extremitatile lui=> mediatoarele laturilor

8/9/2019 Triunghiul maaaate

8/17

unui triunghi se intersecteaza intr-un punct egal

departat de varfurile lui.

TRIUNGHIUL ISOSCEL

Un triunghi cu doua laturi congruente se numeste isoscel.Doua

din laturile triunghiului isoscel se numesc laturi congruente, iar

a treia se numeste baza. Se numeste varf al triunghiului isoscel

varful triunghiului opus bazei.

1. Inaltimea, bisectoarea si mediana din varful triunghiului

isoscel coincide.

2. Unghiurile alaturate bazei triunghiului isoscel suntcongruente.

TRIUNGHIUL ECHILATERALUn triunghi cu laturile congruente se numeste echilateral.

8/9/2019 Triunghiul maaaate

9/17

1. Mediana, bisectoarea si inaltimea din orice varf al

triunghiului echilateral coincide.

2. Centrele cercului inscris si cercului circumscris in acelasi

triunghi echilateral coincide.

FORMULE:

S=

, r=

, R=

TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC

Fie triunghiul ABC cu unghiul drept A, h-inaltimea din A, n-

lungimea proiectiei catetei AB pe ipotenutza, m- lungimea

proiectiei catetei AC pe ipotenuza.

1.S=

,

8/9/2019 Triunghiul maaaate

10/17

3. R=

4. Teorema catenei: b

2

=am, c

2

=an.5. Teorema inaltimii: h

2=mn.6. Teorema lui Pitagora: a

2=b

2+c

2

7. b=a sinB =a cos C = c tg B = c ctg C.

unde:ABCtriunghi dreptunghic cu unghiul drept A;

h- inaltimea din A;

n-lungimea proiectiei catetei AB pe ipotenuza;

m- lungimea proiectiei catetei AC pe ipotenuza.

8/9/2019 Triunghiul maaaate

11/17

8/9/2019 Triunghiul maaaate

12/17

8/9/2019 Triunghiul maaaate

13/17

8/9/2019 Triunghiul maaaate

14/17

8/9/2019 Triunghiul maaaate

15/17

8/9/2019 Triunghiul maaaate

16/17

Ministerul Educatiei si Invatamant al Republicii Moldova

Colegiul Tehnologic din Chisinau

portofoliuLa matematica

A efectuat: eleva gr.DV-114

Crasnajon D.

A verificat: prof.de informatica

Uzun O.

Chisinau 2010

8/9/2019 Triunghiul maaaate

17/17