1

Triangularizări ale unui triunghi cu triunghiuri

având cercurile înscrise egale

prof. Ion Pătraşcu, CN Fraţii Buzeşti – Craiova, România

prof. Florentin Smarandache, University of New Mexico – Gallup, USA

În acest articol, rezolvăm următoarea problemă:

Orice triunghi poate fi împărţit de o ceviană a sa în două

triunghiuri care au cercurile înscrise congruente.

Rezolvare Vom considera un triunghi dat şi vom demonstra că există un

punct pe latura , astfel încât cercurile înscrise în triunghiurile ,

sunt congruente. Dacă este un triunghi isoscel ,

atunci este mijlocul bazei , aşa că presupunem că este un

triunghi neisoscel.

Notăm centrele cercurilor înscrise congruente; evident, este

paralelă cu (1).

Observăm că (2).

Fig. 1

2

Dacă sunt contactele cu cercurile ale cevianei , avem

; cu am notat intersecţia lui cu , vezi Fig. 1.

Reţinem din această congruentă că

Fie centrul cercului înscris în triunghiul , demonstrăm că:

este simediană în triunghiul (4).

Într-adevăr, notând , rezultă că Din

rezultă că , aşadar , ceea ce

arată că şi sunt ceviene izogonale în triunghiul . Deoarece în

acest triunghi este mediană, rezultă că este bimediană.

Arătăm acum cum construim punctul D, folosind condiţiile (1) – (4),

şi apoi demonstrăm că această construcţie satisface condiţiile enunţului.

Construcţia punctului D

10: Construim cercul circumscris triunghiului dat ; construim

bisectoarea unghiului şi notăm cu intersecţia ei cu cercul

circumscris (vezi Fig. 2).

20: Construim perpendiculara în pe şi mediatoarea laturii ;

notăm cu intersecţia acestor drepte.

30: Construim cercul şi notăm intersecţia acestui cerc

cu bisectoarea ( este de aceeaşi parte a dreptei ca şi ).

40: Construim prin paralela la şi notăm cu .

50: Construim cercul şi notăm intersecţiile lui cu

respectiv .

60: Construim mijlocul al segmentului şi notăm cu

intersecţia dreptelor şi .

3

Fig. 2

Demonstraţia problemei

Punctul este mijlocul arcului , deci .

Cercul conţine arcul din ale cărui puncte segmentul (BC)

„se vede” sub unghiul de măsură .

Cercul este omoteticul cercului prin omotetia

de centru şi de raport ; rezultă deci că va fi paralela cu , iar din

punctele cercului situate de aceeaşi parte a lui ca şi .

Segmentul „se vede” sub un unghi de măsură . Deoarece

tangentele duse în şi la cercul se intersectează în , pe

bisectoarea , conform unei proprietăţi a simedianei obţinem că este

4

simediană în triunghiul Datorită proprietăţilor ometetiei, va rezulta

că şi tangentele în punctele la cercul se intersectează într-

un punct situat pe , cu alte cuvinte conţine simediana a

triunghiului , am notat În triunghiul , este

mediană, iar este simediană, deci pe de altă parte

, rezultă că şi, în consecinţă: ,

ceea ce arată că este bisectoare în triunghiul , mai mult fiind şi

pe bisectoarea unghiului acest punct este centrul cercului înscris în

triunghiul . Considerente analoage conduc la concluzia că este

centrul cercului înscris în triunghiul . Deoarece este paralelă cu

, rezultă că razele cercurilor înscrise în triunghiurile şi sunt

egale.

Discuţie

Cercurile sunt unice; de asemenea,

triunghiul este unic, prin urmare punctul determinat ca mai înainte

este unic.

Remarcă

La începutul demonstraţiei, am presupus că ABC este un triunghi

neisoscel cu proprietatea din enunţ. Astfel de triunghiuri există; putem

construi un astfel de triunghi plecând „invers”. Considerăm două cercuri

congruente exterioare date şi prin construcţii de tangente la acestea,

evidenţiem triunghiul ABC.

Problemă deschisă

Fiind dat un triunghi oarecare , se poate triunghiulariza acesta

prin cevienele , , cu , aparţinând lui (BC), astfel încât cercurile

înscrise în triunghiurile ABD, DAE şi EAC să fie congruente?