UNIVERSITATEA POLITEHNICA BUCUREŞTI

FACULTATEA DE CHIMIE APLICATĂ ŞI ŞTIINŢA MATERIALELOR

CATEDRA ŞTIINŢA ŞI INGINERIA MATERIALELOR OXIDICE ŞI NANOMATERIALELOR

TRANSFERUL TERMIC

Bucuresti 2011

1

Cuprins:

Introducere…………………………………………………………………3

a.Transferul de caldura prin convective…………………………………....9

a.1 Ecuatia diferentiala a distributiei temperaturilor

intr-un fluid in miscare (ecuatia Fourier-Kirchhoff)………….11

b.Transferul de caldura prin radiatie……………………………………...15

b.1 Legile radiatiei……………………………………………………...16

b.1.1 Legea lui Planck……………………………………………...16

b.1.2 Legile lui Wien si Stefan-Boltzmann…………………………17

b.1.3 Legea lui Lambert…………………………………………….18

c.Transfer termic prin conductive………………………………………...18

c.1Ecuatiile diferentiale ale conductivitatii termice……………………17

c.2 Distributia temperaturilor intr-un mediu imobil.................................19

Bibliografie...................................................................................................23

2

Introducere

Există trei modalităţi de transmitere a căldurii:

a. Transfer termic prin conductieb. Transfer termic prin radiatiec. Transfer termic prin convective

3

Conductie

-reprezinta fenomenul de transfer de caldura intre substantele aflate in contact.Cu cat conductorul este mai bun cu atat transferul termic se face mai rapid.

Ex:

4

Fig.1

Fig.2

Fig.3

5

Exemple de conductor

Conductori buni: Conductori slabi (izolatori)

Cupru - lemn Argint - hartie Fier - aer otel

Radiatie

Cand undele electromagnetice strabat spatiul,fenomenul se numeste radiatie.

Cand undele electromagnetice vin in contact cu un obiect ,acestea transfera caldura obiectului respectiv.

Ex: soarele incalzeste Pamantul prin radiatii de unde electromagnetice.

Fig.4

6

Exemple de transfer de caldura prin radiatie:

un foc de tabara un cuptor cu microunde lumina unui bec

Convectie

-reprezinta transferul de căldură sau de curent electric care are loc într-un mediu lichid sau

gazos, prin deplasarea substanței respective

-atunci cand un gaz sau un lichid este incalzit , el se extinde si se ridica datorita scaderii densitatii

-atunci cand un gaz sau un lichid se raceste,acesta devine mai dens si “cade”

-cand un gaz sau un lichid se incalzeste si se ridica,sau se raceste si “cade” se creaza un current de convectiv

-este metoda principala prin care caldura este transmisa in gaze in lichide

Fig.5

7

Fig.6

Fig.7

8

Exemple de transfer termic prin convectie:

apa calda de la suprafata unui lac sau dintr-o piscina balonul cu aer cald

a.Transferul de caldura prin convectie

Transferul de caldura prin convectie este caracteristic pentru fluide, deoarece are loc simultan cu deplasarea si amestecarea fluidului la nivel macroscopic. Conductivitatea insoteste intotdeauna convectia, aportul acesteia la caldura totala transferata depinde de conditiile hidrodinamice.

Convectia fortata se desfasoara in paralel cu convectia libera si conductivitatea termica, influienta acestora din urma depinzand de regimul de curgere caracerizat prin criteriul Reynolds.

S-a constatat experimental ca in conditiile curgerii turbulente inensitatea convectiei este maxima de aceea se recomanda ca vitezele fluidelor sa fie astfel alease incat curgerea sa fie turbulenta.

Daca se pune problema schimbului de caldura intre fluid si o frontiera solida, caldura trebuie sa strabata stratul limita care se formeaza la interfata dintre fluid si solid.

Pentru simplificarea analizei transferului de caldura intre un fluid si o frontiera solida , prin analogie cu stratul limita hidrodinamic, s-a definit un strat limita termic, ca fiind zona adiacenta suprafetei solide in care temperatura fluidului variaza de la o valoare pe care o are la suprafata solida, Tp, la o valoare T din masa curentului de fluid.

Modelul transferului de caldura intre fluid si o suprafata solida considera ca intreaga rezistenta la transferul de caldura este concentrata in stratul limita, deoarece in afara acestuia deplasarea fluidului nefiind afectata de prezenta solidului si de fortele de frecare vascoasa, temperatura fluidului este uniforma.

Fig. a.1

9

Fluxul de caldura Q schimbat intre fluid si perete este proportional cu suprafata de contact, A, si cu diferenta de temperatura ΔT in stratul limita termic:

(1)

Relatia de mai sus se numeste ecuatia de racire a lui Newton. In aceasta relatie semnificatia marimilor este urmatoarea:

α = coeficient indivdual (partial) de transfer de caldura

∆T = forta motoare individuala (potentialul individual) al transferului de caldura.

Potentialul individual este dat de diferenta de temperatura: ΔT=Tp-T, daca directia transferului de caldura este de la perete la fluid, respectiv: ΔT=T-Tp, daca directia transferului este de la fluid la perete (fig.a.1).

Ecuatia de racire a lui Newton nu exprima o lege fizica, ci una de definire a coeficientului individual de transfer de caldura, deoarece α nu este o constanta fizica caracteristica mediului fluid, ci o marime fizica care depinde, dupa o lege complexa, de mai multe variabile, incluzand proprietatile fluidului (λ, η, ρ, cp), viteza fluidului, v, temperatura fluidului ,T, si de geometria sistemului. In general:

(2)

Din relatia fluxului de caldura rezulta ca α=Q/AΔT si ca, prin urmare, coeficientul individual de transfer de caldura reprezinta caldura schimbata prin convectie intre fluid si unitatea de suprafata a peretelui solid, sub un potential egal cu unitatea (1 K). Unitatea de masura a lui α in S.I. se deduce din ecuatia de racire a lui Newton si este:

(3)

10

Pentru stabilirea unor relatii de calcul ale lui α, in principiu se poate utiliza ecuatia de racire a lui Newton si ipoteza ca in stratul limita caldura se transfera prin conductivitate, adica:

(4)

(5)

Utilizarea acestei relatii implica cunoasterea gradientului de temperatura si a potentialului individual ΔT in stratul limita termic. Pentru a determina aceste marimi trebuie cunoscuta legea de distributie temperaturilor in stratul limita care se stabileste prin integrarea ecuatiei diferentiale a distributiei temperaturilor intr-un fluid in miscare.

a.1 Ecuatia diferentiala a distributiei temperaturilor intr-un fluid in miscare (ecuatia Fourier-Kirchhoff)

Aceasta ecuatie exprima legea conservarii energiei termice aplicata asupra unui volum elementar delimitat din masa unui fluid in curgere. Legea conservarii caldurii se aplica sub forma unui bilant termic efectuat pentru un volum elementar de forma paralelipipedica avand dimensiunile laturilor: Δx, Δy si Δz, raportat la un sistem de coordonate ortogonal (cartezian).

Deoarece fluidul din elementul de volum este in miscare, la intocmirea bilantului termic se va tine seama ca fluxul de caldura intra si iese din elementul de volum prin doua mecanisme ce se desfasoara simultan: conductivitatea termica si convectia. Bilantul termic se exprima prin relatia generala :

11

Fig. 2

Caldura totala acumulata in elementul de volum poate fi considerata ca fiind suma acumularilor dupa cele 3 directii ale sistemului de coordonate:

(6)

La scrierea fluxului de caldura convectiv s-a tinut cont ca acesta poate fi exprimat prin ecuatia calorimetrica, adica ca produs intre debitul masic de fluid, caldura specifica si temperatura fluidului:

(7)

De asemenea s-a considerat ca produsul (ρvxT) este variabil pe directia x.

Fluxul intrat si iesit prin conductivitate se calculeaza cu legea Fourier.

Cu aceste observatii rezulta:

- caldura acumulata dupa directia x:

(8)

- caldura acumulata dupa directia y:

(9)

12

- caldura acumulata dupa directia z

(10)

Acumularea de caldura in elememtul de volum determina variatia in timp a temperaturii fluidului din elementul de volum, astfel incat acumularea totala poate fi exprimata si prin relatia:

(11)

Se imparte relatia prin ΔV=ΔxΔyΔz dupa care se trece la limita facand: considerand cp si λ constante, obtinandu-se:

(12)

Aplicand proprietatile derivatelor se poate scrie:

(13)

Se procedeaza la fel cu ceilalti termeni din membrul drept dupa care se regrupeaza termenii si se obtine:

(14)

Relatia de mai sus reprezinta forma generala a ecuatiei diferentiale a distributiei temperaturilor intr-un fluid in miscare (ecuatia Fourier-Kirchhoff). Aceasta poate fi scrisa intr-o forma mai restransa prin utilizarea operatorilor matematici:

- derivata materiala (substantiala) a temperaturii:

13

(15)

- laplaceanul temperaturii:

(16)

- divergenta produsului (ρv

( (17)

(18)

Ecuatia de mai sus se simplifica in urmatoarele conditii:

- regim stationar, cand: (19)

- fluid necompresibil, cand: (20)

si ecuatia devine:

(21)

- mediu imobil, cand

(22)

care este tocmai ecuatia diferentiala a conductivitatii termice.

- mediu imobil si regim stationar:

(23)

14

Prin integrarea ecuatiei diferentiale Fourier-Kirchhoff se obtine functia de distributie a temperaturilor in interiorul fluidului in miscare. Aceasta functie permite determinarea gradientului de temperatura si a potentialului individual in stratul limita, in functie de care se poate stabili o relatie de calcul al coeficientului individual de transfer de caldura.

Din pacate solutiile analitice nu sunt posibile decat pentru cazurile mai simple.

In aceste conditii determinarea coeficientilor individuali de transfer de caldura se face experimental, corelarea datelor experimentale facandu-se prin ecuatii criteriale deduse prin metodele similitudinii si analizei dimensionale.

b.Transfer termic prin radiatie

Radiaţia este un mod de transfer de căldură care constă în transferul de energie de la un corp care emite radiaţii către un corp care absoarbe radiaţii, prin intermediul unor unde electromagnetice caracteristice. Transformarea energiei termice în energie electromagnetică de radiaţie, la corpul emiţător, şi transformarea inversă, a energiei electromagnetice de radiaţie în energie termică, la corpul receptor, au un caracter cuantic, corpuscular. Cînd două corpuri, care emit şi absorb reciproc radiaţii, au temperature diferite, se constată un transfer efectiv de căldură, de la corpul cu temperatură mai mare către corpul cu temperatură mai mică. Spre deosebire de conducţie şi convecţie, radiaţia se manifestă la orice distanţă între corpurile care schimbă căldură, iar radiaţiile termice, ca şi celelalte unde electromagnetice, se propagă şi prin vid.

Intr-un corp cu temperatură neuniformă care prezintă, în ansamblu, o variaţie de temperatură (încălzire sau răcire), temperatura unui punct oarecare trebuie definită prin poziţia punctului şi prin timp:

t= f(x,y,z,τ) (24)

Ansamblul valorilor temperaturii prin care se caracterizează un corp se numeşte cîmp de temperatură iar funcţia anterioară este expresia cea mai generală a cîmpului de temperatură. Dacă valorile temperaturii nu variază în timp, transferul de căldură se realizează în regim

15

staţionar (cîmp de temperatură staţionar), iar dacă ele variază în timp, transferul de căldură se realizează în regim nestaţionar (cîmp de temperatură nestaţionar).

Cum temperatura într-un corp poate varia după una, două sau toate cele trei coordonate ale spaţiului, cîmpul de temperatură poate fi unidirecţional, bidirecţional sau tridirecţional (transfer de căldură uni, bi sau tridirecţional).

In instalaţiile tehnologice, marea majoritate a proceselor de transfer de căldură decurg în regim staţionar. De exemplu, temperaturile interioară şi exterioară ale unui perete, al focarului unui cuptor, sînt practice constante în timp, în tot timpul funcţionării cuptorului. Datorită acestui fapt, marea majoritate a cercetărilor teoretice şi experimentale privind transferul de căldură se referă la regimul staţionar.

Spre deosebire de convecţie şi radiaţie, la care regimul nestaţionar a fost foarte puţin studiat, conducţia în regim nestaţionar este în prezent satisfăcător rezolvată pentru necesităţile practice.

b.1 Legile radiatiei

b.1.1 Legea lui Planck

Prima lege ce guverneza radiatia unui corp negru este legea de radiatie Planck, care guverneaza intensitatea radiatiei emisa de unitatea de arie intr-o directie fixa (unghi solid) de catre corpul negru ca functie de lungimea de unda pentru temperatura fixa. Legea de radiatie Planck poate fi exprimata cu ajutorul ecuatiei.

Comportamentul este ilustrat in figura anterioara. Legea de radiatie Planck furnizeaza o distributie care atinge maximul pentru o anumita lungime de unda; virful deplasindu-se catre lungimi de unda mai mici pentru temperaturi mai mari, iar aria delimitata de curba creste rapid cu cresterea temperaturii.

16

b.1.2 Legile lui Wien si Stefan-Boltzmann

Comportamentul radiatiei corpului negru este descris de legea lui Planck, dar pornind de la aceasta lege se pot deduce alte doua legi de radiatie care sunt folositoare. Legea deplasarii Wien si legea Stefan-Boltzmann sunt ilustrate in ecuatiile urmatoare.

Legea Wien ne da lungimea de unda pentru maximul distributiei radiatiei, in timp ce legea Stefan-Boltzmann ne da energia totala emisa pe toate lungimile de unda de catre corpul negru (reprezantata de aria delimitata de axe si distributia radiatiei). Astfel, legea Wien explica deplasarea maximului distributiei catre lungimi de unda mai mici pe masuta ce creste temperatura, in timp ce legea Stefan-Boltzmann explica cresterea in inaltime a curbei pe masura ce creste temperatura. De notat ar fi faptul ca aceasta crestere este foarte abrupta, intrucat variaza cu puterea a patra a temperaturii.

b.1.3 Legile lui Lambert

-puterea radiativa pe directia φ este egala cu puterea pe directia cosφ.

Eφ=En x cosφ

Er=E1/r2

-puterea radiativa la distanta r la suprafata emisiva este egala cu puterea emisiva inregistrata la distanta de 1m ,raportata la patratul distantei de masurare.

17

c.Transfer termic prin conductie

c.1Ecuatiile diferentiale ale conductivitatii termice

Ecuaţia de bază care determină transferul de căldură conductiv este legea lui Fourier, bazată pe principiul al doilea al termodinamicii: “drumul urmat de fluxul termic este cel de minimă rezistenţă, respectiv cel mai scurt drum între două izoterme învecinate, drum determinat de gradientul de temperatură “. Pentru un flux termic unidirecţional, legea Fourier se scrie:

(25)

Ecuaţia indică faptul că fluxul termic transmis prin conductivitate în regim staţionar este direct proporţional cu aria secţiunii normale pe direcţia de propagare a fluxului şi cu gradientul de temperatură. Semnul minus aplicat gradientului termic arată că transferul decurge în sensul scăderii temperaturii, conform principiului II al TD. În termeni de flux unitar, ecuaţia (25) se scrie:

(26)

Pentru un mediu omogen şi izotrop în care temperatura variază spaţial, ecuaţia Fourier se scrie:

(27)

sau = coeficient de conductivitate termică sau, pe scurt, conductivitate termică.Dimensional, [] = [W x m-1 x K-1]

(28)

Procesele de transfer termic conductiv se pot desfăşura într-o mare diversitate de condiţii: materialul este omogen sau neomogen;materialul este izotrop sau anizotrop; materialul conţine

18

sau nu conţine surse interne de căldură; regimul termic este staţionar sau nestaţionar; transferul termic are loc uni-, bi- sau tridirecţional.

În majoritatea aplicaţiilor tehnice, transferul conductiv decurge:prin materiale omogene şi izotrope, fără surse interne de căldură, în regim staţionar, unidirecţional.

Pentru rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale ale transferului conductiv este necesară stabilirea condiţiilor de univocitate pentru proces, şi anume:

condiţii geometrice: forma şi dimensiunile corpului; condiţii fizice: stabilesc valorile mărimilor a şi , precum şi legea distribuţiei şi variaţiei

spaţio-temporale a surselor termice interne; condiţii iniţiale: distribuţia T în interiorul corpului la t = 0; condiţii de contur: distribuţia temperaturii sau fluxul termic pe suprafaţa corpului sau

temperatura mediului ambiant şi legea schimbului de căldură între corp şi mediu.

c.2 DISTRIBUŢIA TEMPERATURILOR ÎNTR-UN MEDIU IMOBIL

Legea Fourier permite determinarea căldurii transferate prin conducţie dacă se cunoaşte distribuţia temperaturilor în corp (expresia câmpului de temperatură).

Ecuaţia diferenţială a câmpului de temperatură se obţine din bilanţul termic al unui element de volum paralelipipedic (forma nu este restrictivă) ΔV = dxdydz prin care are loc transferul termic:

(29)

Bilanţul se întocmeşte pentru următoarele conditii

-corp imobil . -regim termic nestaţionar,

-absenţa surselor interne de căldură

19

Energia termică acumulată în volumul elementar în unitatea de timp:

Fluxul termic intrat în dV pe direcţia x : (30)

Fluxul termic iesit din dV pe direcţia x : (31)

(32)

Fluxul termic intrat în dV pe direcţia y : (33)

Fluxul termic iesit din dV pe direcţia y : (34)

Fluxul termic intrat în dV pe direcţia z : (35)

Fluxul termic iesit din dV pe direcţia z : (36)

Cu aceste înlocuiri, ecuaţia (29) devine după simplificări şi împărţire prin dV:

(37)

Înlocuind expresia fluxului unitar din relaţiile (27), ecuaţia (30) se scrie:

(38)

Sau:

Coeficientul de difuzivitate termică a este o funcţie numai de proprietăţile fizice ale materialului prin care se propagă căldura (, ρ, cp) şi reprezintă inerţia termică a sistemului

(49)

20

Dimensional:

Coeficientul de difuzivitate termică are aceeaşi unitate de măsură ca şi:

viscozitatea cinematică, ,

coeficientul de difuziune D.

(50)

Pentru un element de volum dV avand in interior o sursa termica, ec. (29) se scrie:

(51)

Existenţa unei surse interne de căldură se poate datora uneia sau mai multor cauze:

- transformarea energiei electrice în energie termică,- reacţii de fisiune nucleară, - degradarea energiei mecanice (disipare viscoasă), - reacţii chimice,- transformări de fază.

Luând în considerare sursa internă de căldură şi ţinând cont de faptul că , ρ, cp sunt funcţii de temperatură, iar corpul nu este omogen, ecuaţia (31) capătă forma:

(52)

cunoscută drept ecuaţia Fourier generalizată

21

Bibliografie

1.Laurie Jarvis,Deb Simson “Transfer de căldură: conductie, convectie, radiatie”

2.Lucian Gavrila “Fenomene de transfer II”

Deb Simonson

22