TMT 1.1-1.5

TERMOTEHNICĂ ŞI MAŞINI TERMICE

INTRODUCERE

Termodinamica este un capitol al fizicii, deci este o ştiinţă a naturii. Ea se ocupă cu studiul fenomenelor în care este implicată energia termică. Energia termică este energia asociată mişcării haotice a particulelor microscopice din care este alcătuită materia (atomi, molecule), cunoscută sub denumirea de mişcare browniană. Termodinamica foloseşte mărimile fizice definite în mecanica punctului material, a rigidului şi a fluidelor: lungime, masă, timp, viteză, presiune, debit, forţă, lucru mecanic, energie cinetică şi potenţială etc. Sunt utilizate de asemenea legile generale ale fizicii cum ar fi legile de conservare: legea conservării masei → ecuaţia de continuitate, legea conservării energiei → principiul I al termodinamicii. Sunt însă definite şi unele noţiuni noi, specifice disciplinei. Termodinamicii îi datorăm una dintre cele şapte mărimi fizice fundamentale: temperatura. Fără îndoială cea mai spectaculoasă mărime fizică definită în cadrul termodinamicii este entropia, mărime care stabileşte o ierarhie a energiilor în funcţie de nivelul de “calitate” a acestora. Energia mecanică, cinetică sau potenţială, energia electrică sau magnetică sunt “energii superioare”, “ordonate”, ele nu au nevoie de definirea unui nivel de calitate. Energia termică este “inferioară”, este „dezordonată”, nivelul ei de inferioritate sau de dezordine fiind cu atât mai mare cu temperatura este mai scăzută. Noţiunile de “cald” şi de “frig” le percepem în mod uzual prin senzaţiile pe care ni le furnizează organismul în viaţa noastră de mamifere, adică animale cu sânge cald, dotate cu un mecanism de reglare a temperaturii corpului care trebuie menţinută în jurul valorii de 36,5 0 C. Aceste senzaţii au un caracter profund subiectiv. Studiul termodinamicii ne ajută să înţelegem în mod obiectiv cum se desfăşoară fenomenele termice.

Termodinamica aplicată sau termotehnica este o ştiinţă inginerească care se ocupă cu studiul maşinilor şi instalaţiilor în a căror funcţionare fenomenele termice joacă un rol preponderent. Exemple: motoare cu ardere internă, turbine cu gaze sau cu abur, cazane de abur sau de apă fierbinte, compresoare de diverse tipuri, instalaţii de termoficare, instalaţii de climatizare, instalaţii de uscare, maşini frigorifice, etc. Domeniul de aplicaţii a termodinamicii se extinde şi în afara maşinilor şi instalaţiilor care sunt prin excelenţă incluse în categoria “termice”. Orice maşină, aparat sau instalaţie funcţionează cu randament subunitar, adică are “pierderi”. Pierderea de energie este în contradicţie cu legea conservării energiei, deci energia nu se pierde, ci se transformă în „energie inferioară”, adică în căldură. Această căldură trebuie evacuată în mediul exterior pentru a se evita creşterea temperaturii până la valori prea mari. Exemple: motoare sau generatoare electrice, calculatoare electronice...

Ştiinţa termodinamicii are o istorie interesantă. Ea s-a dezvoltat după ce au apărut primele aplicaţii, din nevoia de a le îmbunătăţi acestora performanţele. Nevoia de energie mecanică a condus la apariţia maşinii cu abur (James Watt – 1765). Aceste maşini au fost concepute şi realizate pe baza intuiţiei şi a simţului tehnic deosebit al inventatorilor. Ele consumau mult combustibil şi produceau puţin lucru mecanic. În anul 1824 Sadi Carnot publică lucrarea “Reflexii asupra puterii motrice a focului şi a maşinilor capabile să dezvolte această putere”. Această lucrare este considerată “Certificatul de naştere a termodinamicii”.

Studiul acestei discipline face parte din pregătirea de bază a oricărui inginer, indiferent de specialitate. A studiat-o şi fizicianul Arnold Sommerfield care a ajuns la următoarea concluzie: “Termodinamica este un subiect amuzant. Prima dată când o parcurgi nu înţelegi nimic. A doua oară când o parcurgi, ţi se pare că înţelegi, cu excepţia unuia sau a două mici detalii. A treia oară când o parcurgi, îţi dai seama că de fapt nu o înţelegi, dat eşti atât de familiarizat cu ea încât lucrul acesta nu te mai deranjează.”

1


1. Bazele termodinamicii

1.1. Sisteme termodinamice

Noţiunea de sistem termodinamic presupune o porţiune de materie (indiferent dacă este gaz, lichid, solid, sau amestecuri de diferite corpuri) delimitată de pereţi reali sau imaginari. Tot ce este în afara sistemului termodinamic se numeşte mediu exterior. O dată definit care este sitemul şi care este mediul exterior se pot face diverse consideraţii privind evoluţia sistemului precum şi schimburi energetice sau de substanţă între sistem şi mediul exterior. Dacă sistemul nu schimbă substanţă cu mediul exterior se numeşte închis, în caz contrar este deschis. Dacă nu schimbă căldură cu mediul exterior se numeşte adiabatic. Sistemul care nu are nici un fel de interacţiune cu mediul exterior este izolat. Evident, în Univers nu există corpuri izolate. Sistemul termodinamic izolat este una din numeroasele noţiuni abstracte, idealizate, de care termodinamica are nevoie. Dacă ne imaginăm un termos închis etanş şi cu o izolaţie termică perfectă, putem spune că nu este un sistem izolat deoarece interacţionează cu pământul prin intermediul câmpului gravitaţional. Într-un lichid aflat în termosul nostru repartiţia presiunii va respecta legile hidrostaticii. Într-un amestec de gaze aflat în termosul nostru se va produce o stratificare după densitate. Uneori putem să neglijăm aceste efecte ale câmpului gravitaţional şi să considerăm sistemul ca fiind izolat. Dacă printr-un sistem termodinamic deschis circulă un fluid cu scopul expres de a transmite căldură, acel fluid se numeşte agent termic (Exemplu: apa fierbinte care circulă prin instalaţia de termoficare, schimbătorul de căldură apă / aer numit “calorifer” fiind un bun exemplu de sistem termodinamic deschis). Dacă un sistem termodinamic poate primi sau ceda oricâtă căldură la temperatură constantă vorbim despre un izvor termic sau sursă de căldură. Dacă o maşină termică lucrează între două surse de căldură de temperaturi diferite vorbim despre sursa caldă şi sursa rece. Sursele de căldură sunt de asemenea noţiuni idealizate. Nimic nu poate ceda sau primi oricâtă căldură. Sunt însă situaţii reale care se apropie destul de mult de comportamentul teoretic al sursei de căldură. De exemplu mediul ambiant. Motorul unui automobil cedează căldură prin gazele de eşapament fierbinţi, prin radiatorul care răceşte lichidul din instalaţia de răcire. Mediul ambiant primeşte toată acestă căldură fără să-şi modifice temperatura, deoarece mediul ambiant este mult prea mare pentru a fi influenţat de motorul unui automobil (nu am luat aici în considerare efectul tuturor maşinilor care circulă pe arterele unui centru urban aglomerat !). Vom vedea la timpul potrivit că şi căldura degajată prin arderea continuă a unui combustibil este acceptată ca sursă de căldură.

1.2. Mărimi termodinamice

Termodinamica lucrează cu multe mărimi fizice. De unele dintre ele ne ocupăm în cadrul acestui paragraf, altele le vom defini pe parcurs. Pentru un sistem termodinamic este important să definim noţiunea de stare de echilibru termodinamic. Prin aceasta înţelegem situaţia în care în sistemul termodinamic nu

2


se întâmplă nimic. Noţiunea de stare de echilibru este legată de noţiunea de sistem izolat. Afirmaţia un sistem termodinamic izolat ajunge după un timp în stare de echilibru termodinamic, stare din care nu poate ieşi niciodată de la sine este cunoscută sub denumirea de Postulatul I al termodinamicii. Evident prin “nu poate ieşi de la sine” înţelegem “fără să interacţioneze cu mediul exterior”. Dar un sistem izolat nu interacţionează cu mediul exterior. Deci starea de echilibru termodinamic este starea normală a oricărui sistem izolat. Într-o stare de echilibru termodinamic nu se poate face nici o diferenţiere între diversele părţi ale sistemului. Adică în orice punct al sistemului avem aceeaşi compoziţie chimică, aceeşi densitate, aceeaşi presiune, aceeaşi temperatură şi toate aceste mărimi rămân constante în timp câtă vreme sistemul este în stare de echilibru termodinamic. Mărimile fizice amintite mai sus, adică densitatea, presiunea, temperatura, (şi încă multe altele) caracterizează starea de echilibru a sistemului. Ele se numesc mărimi de stare. În general un sistem termodinamic poate să interacţioneze cu mediul exerior. El poate părăsi o stare de echilibru termodinamic, dar poate ajunge cumva, din nou, în aceeaşi stare de echilibru. Mărimile de stare vor avea tot timpul aceeaşi valoare într-o stare de echilibru dată, indiferent de istoria sistemului termodinamic (adică indiferent ce s-a întâmplat cu sistemul înainte de a ajunge în starea respectivă de echilibru).

Din punct de vedere matematic mărimile de stare adimit diferenţială totală. Fie 3 mărimi de stare oarecare x,y şi z, legate între ele printr-o funcţie oarecare:

(1.2.1)

Relaţiile (1.2.1) arată tocmai faptul că la trecerea sistemului termodinamic din starea de echilibru 1 în starea de echilibru 2, variaţia mărimii de stare z depinde doar de stările iniţială şi finală, nu şi de traseul urmat de sistem între cele două stări de echilibru. Dacă se revine în starea iniţială variaţia mărimii de stare este nulă.

În general un sistem termodinamic poate schimba energie cu mediul exterior în două moduri: la nivel macroscopic prin modificarea volumului sistemului termodinamic (lucru mecanic), sau la nivel microscopic (căldură). Ne putem imagina o sticlă cu apă caldă. Dacă o lăsăm în mediul exterior după o vreme apa se va răci, adică o anumită cantitate de energie termică va trece de la apa din sticlă spre mediul exterior (fără schimb de substanţă). Dacă punem două sisteme termodinamice în contact schimbul de energie termică (căldură) se poate face între cele două sisteme. Un sistem poate fi sticla din exemplul anterior iar celălalt aerul dintr-o încăpere. Spunem că schimbul de căldură între două sisteme termodinamice încetează atunci când ele au aceeaşi temperatură.

Temperatura este o mărime termodinamică de stare legată de intensitatea mişcării haotice a particulelor microscopice (atomi, molecule). Temperatura este o mărime fizică fundamentală în Sistemul Internaţional. Ea nu poate fi definită printr-o relaţie matematică în funcţie de mărimile care caracterizează mişcarea browniană a particulelor microscopice. Spunem că două sisteme termodinamice au aceeaşi temperatură dacă puse în contact nu schimbă căldură între ele. Baza teoretică a

3


metodelor de măsurare a temperaturii o constutuie Postulatul al II-lea al termodinamicii care afirmă: două sisteme termodinamice în echilibru cu al treilea sunt în echilibru între ele. Întradevăr să ne imaginăm un termometru cu capilar de sticlă, bazat pe dilatarea volumică a unui corp termometric (de exemplu mercur sau alcool). În scara Celsius termometrului i s-a trasat reperul “0 0C” prin cufundarea în amestec apă / gheaţă la presiunea barometrică normală pb = 760 mm Hg. Dacă măsurăm temperatura aerului şi constatăm că are valoarea 0 0C, facem în mod implicit referire la postulatul amintit mai sus: aerul este în echilibru cu lichidul termometric, lichidul termometric a fost în echilibru cu amestecul apă / gheaţă, deci aerul este în echilibru cu amestecul apă / gheaţă adică se află la temperatura de 0 0C. Scara Celsius are două puncte de referinţă: echilibrul apă / gheaţă amintit mai sus şi echilibrul apă / abur la aceeaşi presiunea barometrică normală pb = 760 mm Hg. Pentru cea de-a doua stare de echilibru s-a acceptat temperatura de 100 0C. Prin împărţirea în părţi egale a diferenţei dintre cele două puncte de referinţă se obţine mărimea gradului Celsius (numit şi grad centigrad). Scara de temperaturi absolute (scara Kelvin) acceptă pentru grad aceeaşi mărime ca şi scara Celsius (gradul centigrad). Originea scării este la zero absolut. Zero absolut reprezintă o temperatură care caracterizează starea în care mişcarea haotică a particulelor microscopice încetează complet. Termodinamica interzice atigerea temperaturii de zero absolut (nu există materie fără mişcare). Relaţia între cele două scări de temperatură este:0 0C ↔ 273.15 sau 273.16 K, respectiv 0 K ↔ -273.15 sau -273.16 0C (1.2.2)Valoarea 273,15 este aferentă definiţiei prezentată mai sus pentru 0 0C (echilibru apă / gheaţă la pb = 760 mm Hg). Valoarea 273,16 a apărut ulterior când 0 0C a fost definit la temperatura punctului triplu al apei.

Diferenţele de temperatură pe scara Celsius şi pe scara Kelvin sunt egale, adică . Pentru diferenţe de temperatură se foloseşte frecvent simbolul grd (grad centigrad).

Exemplu:E.1.2.1 t1 = 20 0C, t2 = 40 0C, T1 = 293.15 K, T2 = 313.15 KΔt = 40-20 = 20 grdΔT = 313.15 – 293.15 = 20 grdΔt = ΔT = 20 grd

În sistemul de unităţi anglo-saxon se foloseşte scara de temperatură Fahrenheit. Această scară diferă de cele prezentate anterior şi prin origine şi prin mărimea gradului. Pentru conversia între scările Celsius şi Fahreinheit se folosesc următoarele relaţii:

0F = (1.8 x 0C) + 32 respectiv (1.2.3)

Exemple:E.1.2.20 0C → 32 0F 20 0C → 68 0F -10 0C → 14 0F0 0F → -17.78 0C 96 0F → 35.56 0C -20 0F → - 28.9 0C Observaţie: Există mai multe opinii asupra modului în care Fahrenheit şi-a definit scara de temperatură. Una dintre ele afirmă că 0 0F a fost stabilt la cea mai mică temperatură pe care practic a reuşit să o obţină: amestec de gheţă cu sare. Valoarea

4


de 96 0F a stabilit-o la temperatura corpului uman (cu precizia realizabilă în secolul al XVIII – lea).

Dacă reunim două sisteme termodinamice pentru a forma un alt sistem termodinamic mai mare, temperaturile nu se adună indiferent de scara de temperatură utilizată. Adică temperatura este o mărime termodinamică care nu depinde de cantitatea de substanţă care intră în componenţa sistemului termodinamic. Mărimile care au această proprietate se numesc mărimi intensive.

Presiunea este o mărime termodinamică de stare, intensivă, egală prin definiţie cu raportul dintre forţă şi suprafaţă. În cazul fluidelor în repaus vorbim despre presiunea statică care conform legii lui Pascal se transmite în toate direcţiile la fel. Presiunea este o mărime scalară:

(1.2.4) În Sistemul Internaţional unitatea de măsură pentru forţă este

Newton iar pentru suprafaţă este m2. Prin urmare unitatea de măsură pentru presiune este

(Pascal)

În vid nu există un fluid care să apese asupra suprafeţelor deci presiunea este zero absolut. Presiunile exprimate pornind de la originea zero absolut se numesc presiuni absolute. În mod normal ne desfăşurăm activitatea în aerul atmosferic care se află la presiunea atmosferică sau presiunea barometrică. Aparatele care măsoară presiunea atmosferică se numesc barometre. Presiunile mai mari decât cea barometrică se măsoară cu aparate numite manometre. Un manometru indică “0” dacă se află la presiunea barometrică, deci presiunea indicată de el (presiunea manometrică) reprezintă suprapresiunea de la presiunea barometrică în sus. Presiunile mai mici decât cea barometrică se măsoară cu vacuummetrul. Un vacuummetru indică “0” dacă se află la presiunea barometrică, deci presiunea indicată de el (presiunea vacuummetrică) se măsoară de la presiunea barometrică în jos.

Fig. 1.2.1

5


Presiunea barometrică la suprafaţa pământului se modifică în funcţie de latitudine şi de altitudine (creşte cu latitudinea de la ecuator spre poli şi scade cu altitudinea începând de la nivelul mării). În aceeaşi locaţie presiunea barometrică se modică în timp, în funcţie de evoluţia situaţiei sinoptice (mase de aer de presiune scăzută, care aduc vreme instabilă, numite cicloni, sau mase de aer de presiune ridicată care aduc vreme stabilă, numite anticicloni). Valoarea medie la paralela 45 şi la nivelul mării se numeşte atmosferă fizică:1 atm = 1.013ּ105 N/m2 (1.2.5)În vechiul sistem tehnic se folosea atmosfera tehnică:1 at = 1 kgf / cm2 = 0.981ּ105 N/m2 (1.2.6)O altă unitate de măsură apropiată ca valoare de cele două prezentate mai sus este barul: 1 bar = 105 N/m2 (1.2.7)Atenţie: manometrele mai vechi sunt gradate în kgf / cm2, cele mai noi sunt în bar, după cum se vede din relaţiile de mai sus diferenţele dintre cele unităţi de măsură nu sunt foarte mari. Există manometre moderne gradate în MPa:1 MPa = 106 N/m2 = 10 bar (1.2.8)Datorită utilizării aparatelor cu tuburi piezometrice (de exemplu tubul U) presiunea se exprimă şi în coloană de lichid. Cele mai folisite lichide sunt mercurul şi apa.1 mm Hg = 1 torr = 133.3 N / m2 (1.2.9)760 mm Hg = 1.013ּ105 N / m2 = 1 atm (1.2.10)Presiunea barometrică se exprimă în mm Hg prin tradiţie, primul barometru folosit de către Torriceli fiind un barometru cu mercur.1 mm H2O = 9.81 N / m2 (1.2.11)În sistemul anglo saxon cea mai folosită unitate de măsură pentru presiune este psi (pounds / squar inches). 1 pounds = 0.4536 kg (1.2.12)1 inches = 25.4 mm (1.2.13)

(1.2.14)

Observaţie: În orice relaţie de calcul în care intervine presiunea este foarte important să se stabilească în prealabil despre ce fel de presiune este vorba (manometrică, vacuummetrică, barometrică, absolută) şi în ce fel de unităţi de măsură trebuie exprimată. Acest lucru se poate face prin analiza dimensională a relaţiei de calcul. Exemple:E.1.2.3 Presiunea aerului dintr-un recipient măsurată cu un manometru este pm = 4.2 kgf / cm2. Presiunea barometrică este pb = 735 mm Hg. Se cere presiunea absolută a aerului din recipient exprimată în N/m2 [Pa].

+

E.1.2.4 Un tub U cu mercur este legat la un recipient cu aer ca în figura de mai jos. Nivelul mercurului în cele două ramuri ale tubului este cel arătat pe figură. Presiunea barometrică este pb = 980 mbar.

h1 = 32 mmh2=12 mm

6


Se cere presiunea absolută a aerului din recipient exprimată în bar.

Pe ramura din stânga a tubului U se exercită presiunea aerului din recipient. Ramura din dreapta este liberă la presiunea barometrică. Suma celor două citiri reprezintă presiunea manometrică a aerului din recipient.pb = 0.980 bar

= 44 mm Hg → ∆h = 44 x 133.3 = 5866 N / m2 → pm = 0.05866 barpa = 0.980+0.05866 = 1.03866 barCare ar fi situţia dacă mercurul în ramurile tubului ar fi decalat invers ?

În acest caz presiunea aerului din recipient este mai mică decât cea barometrică, iar suma celor două citiri reprezintă presiunea vacuummetrică.pa = 0.980 - 0.05866 = 0,9213 barObservaţie: În cazurile în care nu se impune o precizie foarte mare a calculelor, în lipsa presiunii barometrice măsurate, aceasta poate fi acceptată 1 atm, 1 bar sau 1 kgf

/ cm2.E.1.2.5 Un manometru indică 100 psi. Exprimaţi presiunea manometrică în bar.

pm = 100 x 0.06897 = 6.897 bar

Volumul este o mărime termodinamică de stare, extensivă. Mărimile extensive depind de cantitatea de substanţă care face parte din sistemul termodinamic. În Sistemul Internaţional volumul se exprimă în m3. Se foloseşte uzual litrul: 1 m3 = 1000 dm3 = 1000 l. (1.2.15)Mărimile extensive, prin împărţire la masă devin mărimi specifice, care au caracter intensiv. În cazul volumului:v = V / m [m3 / kg] (1.2.16)

7


În cele ce urmează mărimile extensive se vor nota cu majuscule iar cele specifice cu litere mici. În numeroase cazuri studiul fenomenelor termodinamice se face cu mărimi specifice, deoarece acestea au caracter intensiv. Astfel fenomenul studiat nu depinde de masa sistemului iar rezultatele obţinute au un grad mai mare de generalitate.Densitatea este o mărime termodinamică de stare, intensivă, egală cu raportul dintre masă şi volum, adică densitatea este inversul volumului specific:

(1.2.17)

Exemplu:E.1.2.6 Într-o butelie cu volumul V = 200 l sunt m = 450 g oxigen. Se cere volumul specific v [m3 / kg] şi densitatea ρ [kg / m3].V = 200 / 1000 = 0.2 m3

m = 450 / 1000 = 0.45 kgv = V / m = 0.2 / 0.45 = 0.4444 m3 / kgρ = m / V = 0.45 / 0.2 = 2.25 kg / m3

Energia internă este o mărime termodinamică de stare, extensivă. Energia internă reprezintă suma energiilor asociate particulelor microscopice care intră în componenţa sistemului termodinamic. Unitatea de măsură pentru energia internă, şi în general pentru toate mărimile cu caracter energetic în Sistemul Internaţional este 1 Joule. Unitatea de măsură pentru energie este definită o dată cu lucrul mecanic: L = F x d (1.2.18) unde F este forţa (constantă) iar d este deplasarea punctului de aplicaţie a forţei, rectiliniu pe aceeaşi direcţie cu vectorul forţă.1 J = 1 N x 1 m (1.2.19)Fiind o unitate de măsură foarte mică, se folosesc în mod curent multiplii kJ, MJ, etc.Pentru mărimile energetice se folosesc numeroase alte unităţi de măsură. Caloria [cal]: 1 cal = 4.18 J sau 1kcal = 4180 J (1.2.20)Caloria se foloseşte prin tradiţie pentru mărimile energetice din domeniul termodinamicii. Este legată de căldura specifică a apei (vezi ecuaţii calorice de stare). Întrucât căldura specifică a apei nu este riguros constantă sunt mai multe valori numerice atribuite caloriei (1 kcal15 ‚ 4185,5 J, 1 kcalIT ‚ 4186,8 J). Valoarea 4180 este suficient de bună pentru calcule care nu necesită o precizie deosebită.1 kWh = 3.6 106 J (1.2.21)kWh este o unitate de măsură care se foloseşte prin tradiţie la măsurarea energiei electrice. În multe lucrări moderne mărimile energetice cu caracter termic sunt exprimate de asemenea în kWh.În sistemul anglo saxon se foloseşte uzual BTU (British thermal unit):1 BTU = 1055 J (1.2.22) (şi aici sunt mai multe valori numerice apropiate tot din cauza variaţiei căldurii specifice a apei)Vom face aici câteva referiri la unităţile de măsură pentru putere, deşi puterea nu este o mărime de stare. Puterea este definită în mecanică ca raport între lucru mecanic şi timp:P = L / t, (1.2.23) unitatea de măsură în sistemul internaţional fiind watul: 1 W = 1 J / 1 s (1.2.24)În inginerie se folosesc uzual multiplii: kW, MW, etc.O unitate mai veche folosită prin tradiţie pentru puterea mecanică este calul putere:1 CP = 735.5 W (1.2.25)

8


Calul putere este folosit şi în sistemul anglo saxon unde este simbolizat HP (horsepower).Pentru puterea termică livrată de unele instalaţii (cazane) se folosesc unităţi de energie raportate la timp. Exemplu: Mcal/h.1 Mcal /h = (4.18 x 106 ) J / 3600 s = 1161.1 J/s = 1161.1 W sau 1 Mcal / h ≈ 1.16 kW (1.2.26)Documentaţia tehnică modernă foloseşte adesea pentru puterea instalaţiilor termice kilowatul. Întrucât prin tradiţie kilowatul se foloseşte pentru exprimarea puterii mecanice (a înlocuit calul putere) în cazul instalaţiilor termice se foloseşte uneori notaţia kWt

(kilowat termic).În sistemul anglo saxon pentru putere în cazul instalaţiilor termice se foloseşte uzual BTU / h.1 BTU / h = 1055 J / 3600 s = 0.293 J/s = 0.293 W (1.2.27)Această unitate de măsură se foloseşte uzual la instalaţii de climatizare chiar şi în ţările europene afiliate la Sistemul Internaţional.Am făcut aceste consideraţii cu referire la unităţile de măsură pentru putere în special pentru a evita unele confuzii care se fac frecvent între unităţile de măsură pentru energie şi cele pentru putere. Exemple:

- pentru energia electrică se spune: am consumat 50 kW în loc de 50 kWh- pentru puterea cazanelor se spune: cazan de 100 Mcal în loc de 100 Mcal/h- pentru puterea instalaţiilor de climatizare se spune: instalaţie de 15 000 de

BTU în loc de 15 000 de BTU / h.

Exemple:E.1.2.7 Să se exprime în kWt puterea unui cazan de 100 Mcal /h.

P = 100 x 1.16 = 116 kWt

E.1.2.8 Să se exprime energia termică furnizată de cazanul din exemplul precedent în timp de 24 de ore, în kWh, în Gcal şi în GJ.

116 kW x 24 h = 2784 kWh100 Mcal / h x 24 h = 2400 Mcal, adică 2,4 Gcal2784 x 3,6 106 = 10,022 109 J, adică 10,022 GJ

E.1.2.9 Să se exprime 20 000 BTU/h în kW.20 000 x 0,293 = 5860 W, adică 5,86 kW

Energia internă se simbolizează U [J]. Ca orice mărime extensivă, prin împărţire la masă devine mărime specifică care are caracter intensiv:

(1.2.28)

Din punct de vedere al aplicaţiilor inginereşti nu este importantă originea absolută a energiei interne, ci doar variaţia energiei interne a sistemelor termodinamice.

Lucrul mecanic de dislocare este o mărime de stare extensivă, cu caracter energetic. Lucrul mecanic de dislocare reprezintă prin definiţie produsul dintre presiune şi volum.

(1.2.29) Vom verifica întâi că produsul “presiune x volum” reprezintă din punct de vedere dimensional o mărime cu caracter energetic:

(1.2.30)

9


Denumirea acestei mărimi de stare vine de la faptul că în cazul sistemelor termodinamice deschise variaţia lucrului mecanic de dislocare reprezintă energia consumată pentru vehicularea fluidului prin sistemul termodinamic, adică energia consumată de un tronson de fluid pentru a “disloca” tronsonul precedent. Lucrul mecanic de dislocare ar avea valoarea “0” numai în ipoteza teoretică că sau presiunea sau volumul ar fi nule. În cazul aplicaţiilor inginereşti ne interesează numai variaţia acestei mărimi. Prin împărţire la masă devine mărime specifică:

(1.2.31)

Entalpia este o mărime de stare extensivă, cu caracter energetic, egală prin definţie cu suma dintre energia internă şi lucrul mecanic de dislocare:

(1.2.32)sau în mărimi specifice:

(1.2.33)

Entalpia, în termotehnică, este o mărime mai utilă şi mai folosită decât energia internă.Observaţie: În unele lucrări pentru entalpie se folosesc simbolurile H, respectiv h.Exemplu:E.1.2.10 În tabelele cuprinzând mărimile de stare ale apei şi aburului la saturaţie găsim următoarele valori:p=1 bar, t=99.63 0C,Apă: v’= 0.0010436 m3/kg, u ’ = 417.23 kJ/kg, i’= 417.33 kJ/kgAbur: v”=1.694 m3/kg, u”= 2504.4 kJ/kg,i”= 2673.8 kJ/kgSă se verifice relaţia de definiţie a entalpiei şi să se comenteze.p= 105 N/m2 Apă: ld=pv=105 ∙ 0.0010436 = 104.36 J/kg, adică 0,10436 kJ/kg417,23 + 0,10436 = 417.33436 ≈ 417.33 kJ/kg, adică i=u+pvAbur: ld=pv=105 ∙ 1.694= 169 400 J/kg, adică 169,4 kJ/kg2504,4 + 169,4 = 2673.8 kJ / kg, adică i=u+pvTemperatura de 100 0C a fost definită ca temperatura de echilibru apă/abur la presiunea normală de 1 atm, adică 760 mm Hg, adică 1,013 105 N/m2.Observăm că la o presiune ceva mai mică (105 N/m2) temperatura de echilibru apă/abur este şi ea ceva mai mică, şi anume 99.63 0C (detalii în paragraful Gaze reale – transformări de fază).La apă v’= 0.0010436 m3/kg, deci ρ’=1/v’=1/0.0010436=958.22 kg/m3. În condiţii normale pentru apă acceptăm densitatea de 1000 kg/m3. Modificarea volumului apei prin încălzire este foarte mică.Produsul pv, adică lucrul mecanic de dislocare are valoare foarte mică la apă în comparaţie cu aburul (şi în general la lichide în comparaţie cu gazele).Relaţia i=u+pv este respectată în toate cazurile.

1.3. Procese termodinamice

10


Prin proces termodinamic înţelegem trecerea unui sistem termodinamic dintr-o stare de echilibru în altă stare de echilibru. Acest lucru se face prin interacţiunea sistemului cu mediul exterior, deoarece, după cum am arătat, un sistem izolat nu poate ieşi de la sine dintr-o stare de echilibru. Împărţim procesele termodinamice în categoriile nestatice şi cvasistatice. Procesele nestatice sunt cele care presupun trecerea sistemului din starea de echibru 1 în starea de echilibru 2 fără trecerea prin stări intermediare de echibru termodinamic. Toate procesele reale sunt nestatice. Procesele cvasistatice sunt procese care se desfăşoară foarte încet, astfel încât acceptăm faptul că sistemul termodinamic trece printr-o succesiune de stări de echilibru. Procesele cvasistatice sunt o noţiune abstractă, idealizată, acceptată în termodinamică. Există aici o contradicţie, asemănătoare cu paradoxul antic despre săgeata care deşi stă, se mişcă. Adică mişcarea ei se compune dintr-o succesiune de stări de repaus corespunzătoare fiecărei poziţii de pe traiectorie. În cazul proceselor cvasistatice definim transformarea termodinamică care reprezintă totalitatea stărilor intermediare prin care trece sistemul. Procesele nestatice sunt ireversibile. Evident, toate procesele reale sunt ireversibile. În cazul proceselor cvasistatice acceptăm faptul că sistemul poate parcurge succesiv stările intermediare în sens invers, adică poate reveni din starea 2 în starea 1 trecând prin aceleaşi stări intermediare ca şi în procesul trecerii din starea 1 în starea 2. Acceptăm deci, că procesele cvasistatice sunt reversibile. Procesele care nu presupun revenirea sistemului termodinamic în starea iniţială sunt deschise. În cazul revenirii sistemului în starea iniţială de echilibru vorbim despre procese închise. Dacă ciclul este repetat de mai multe ori şi se revine succesiv în starea iniţială vorbim despre procese ciclice.

Procesele termodinamice cvasistatice pot fi reprezentate pe diagrame termodinamice.

Diagramele termodinamice au o mărime de stare pe abscisă şi o altă mărime de stare pe ordonată. În termodinamică se folosesc numeroase tipuri de diagrame. Vom reprezenta un proces cvasistatic deschis pe diagrama mecanică, adică diagrama p-V (vezi figura 1.3.1).

Gazul din cilidrul din figură este un sistem termodinamic închis. Pistonul este reprezentat pe figură într-o poziţie intermediară. Presupunem că iniţial pistonul se află în poziţia 1. În această situaţie gazul este într-o stare de echilibru termodinamic notată cu 1 pe diagramă şi caracterizată de mărimile de stare p1 şi V1. Întrucât vorbim despre o stare de echilibru termodinamic, pistonul nu se mişcă deci rezultanta forţelor care acţionează asupra acestuia este nulă: F = p ∙ A, unde A este aria secţiunii cilindrului (sau a pistonului): A = (π ∙ D2) / 4, unde D este diametrul cilindrului. Admitem că gazul suferă un proces termodinamic cvasistatic, adică trece din starea iniţială de echilibru 1 în starea finală de echilibru 2 (reprezentată cu 2 pe diagramă şi caracterizată prin mărimile de stare p2 şi V2) printr-o succesiune de stări de echilibru intermediare. Stările intermediare (transformarea termodinamică) sunt reprezentate pe diagramă printr-o succesiune de puncte, curba care uneşte puntele 1 şi 2. O funcţie matematică de forma p=p(V) se numeşte legea transformării termodinamice. Fiecare punct de pe această curbă reprezintă o stare de echilibru termodinamic, adică pistonul este în repaus şi trebuie respectată egalitatea F = p ∙ A. Presiunea fiind diferită în diversele puncte de pe curbă şi forţa F va avea valori diferite. Lucrul mecanic efectuat de sistemul termodinamic prin deplasarea punctului de aplicaţie a forţei exterioare F se numeşte Lucru mecanic exterior.

11


Fig. 1.3.1

Presupunem o deplasare a pistonului infinit mică dx, undeva pe parcursul transformării termodinamice. Lucrul mecanic exterior elementar efectuat de sistem va fi:

(1.3.1)Aici s-a ţinut seama că la o deplasare elementară dx pistonul descrie un volum cilindric elementar dV = A∙dx. (1.3.2) Lucrul mecanic exterior efectuat pe parcursul întregii transformări termodinamice din starea iniţială 1 până în starea finală 2 va fi:

(1.3.3)

Această integrală poate fi calculată numeric dacă se cunoaşte legea transformării.Din punct de vedere grafic, pe diagrama pV lucrul mecanic exterior este egal cu aria suprafeţei cuprinse între curba care reprezintă transformarea termodinamică şi axa volumului (fig. 1.3.2).

Fig. 1.3.2

12


Lucrul mecanic exterior nu este o mărime care caracterizează starea sistemului termodinamic la un moment dat. Lucrul mecanic exterior nu este o mărime de stare. El reprezintă o formă de interacţiune a sistemului termodinamic cu mediul exerior (forţa F din figura de mai sus este o forţă exterioară sistemului termodinamic). Schimbul energetic între sistemul termodinamic şi mediul exterior sub formă de lucru mecanic se produce pe parcursul transformării termodinamice şi este întotdeauna legată de modificarea macroscopică a volumului sistemului termodinamic. Dacă nu se modifică volumul, V=ct, dV=0, p∙dV=0, L12=0. Întradevăr lucrul mecanic nu depinde numai de starea de echilibru iniţială şi finală, cum se întâmplă în cazul mărimilor de stare. El depinde de legea transformării adică de întreaga succesiune de stări intermediare de echilibru. Sistemul termodinamic poate interacţiona cu mediul exterior şi la nivel microscopic, adică poate primi sau ceda energie termică. Interacţiunea sistemului cu mediul exterior la nivel microscopic o numim căldură. La fel ca lucrul mecanic căldura nu este o mărime de stare. Ea depinde de legea transformării adică de întreaga succesiune de stări intermediare de echilibru.

(1.3.4)

În exemplul ilustrat în figura 1.2.2 sistemul termodinamic primeşte căldură de la mediul exterior şi efectuează lucru mecanic asupra mediului exterior. Procesele cvasistatice fiind şi reversibile este posibilă parcurgerea transformării termodinamice invers, adică din starea iniţială 2 spre starea finală 1. În acest caz mediul exterior efectueză lucru mecanic asupra sistemului şi sistemul cedează căldură mediului exterior. În termotehnică se acceptă următoarea convenţie de semne: lucrul mecanic este pozitiv dacă sistemul termodinamic efectuează lucru mecanic asupra mediului exterior şi este negativ dacă mediul exterior efectueză lucru mecanic asupra sistemului; căldura este pozitivă dacă sistemul termodinamic primeşte căldură de la mediul exterior şi este negativă dacă sistemul cedează căldură mediului exterior. Această convenţie de semne este uşor de reţinut dacă ne gândim la istoricul termodinamicii, ştiinţă care s-a născut din studiul maşinii cu abur: maşina cu abur primeşte căldură de la mediul exterior şi efectuează lucru mecanic.

Care este situaţia în cazul sistemelor termodinamice deschise ? Considerăm o turbină cu gaz (Fig. 1.3.3).În cazul regimului de funcţionare permanent sau staţionar, parametrii sunt constanţi în timp. Debitul masic de gaz exprimat în kg/s este constant. Într-un interval de timp oarecare masa de gaz care intră în turbină este aceeaşi cu masa de gaz care părăseşte turbina (m). S-a notat cu p1, V1, respectiv p2, V2 mărimile de stare ale gazului la intrarea, respectiv la ieşirea din turbină. În turbină gazul se destinde efectuînd lucru mecanic exterior L12. O parte din acest lucru mecanic exterior se regăseşte în variaţia produsului pV (lucrul mecanic de dislocare), restul foloseşte la acţionarea paletelor turbinei şi îl regăsim în lucru mecanic util, disponibil la arborele maşinii. Acesta se numeşte lucru mecanic tehnic (Lt).Lucrul mecanic tehnic reprezintă diferenţa dintre lucrul mecanic exterior şi variaţia lucrului mecanic de dislocare. Scriem o relaţie matematică în mărimi elementare:

(1.3.5)prin urmare:

(1.3.6)

13


Fig. 1.3.3La fel ca lucrul mecanic exterior, lucrul mecanic tehnic nu este o mărime de stare. El depinde de legea transformării adică de întreaga succesiune de stări intermediare de echilibru. Din punct de vedere grafic, pe diagrama pV lucrul mecanic tehnic este egal cu aria suprafeţei cuprinse între curba care reprezintă transformarea termodinamică şi axa presiunii (fig. 1.3.4).

Fig. 1.3.4Lucrul mecanic exterior, lucrul mecanic tehnic şi căldura nu sunt mărimi de stare, dar sunt mărimi termodinamice, energetice, extensive. Prin împărţire la masă ele devin mărimi specifice, cu caracter intensiv [J/kg]:

2

1

12; dvpldvpdl (1.3.7)

(1.3.8)

(1.3.9)

14


1.4. Principiul I al termodinamicii

Reprezintă principiul general al conservării energiei aplicat sistemelor şi proceselor termodinamice. Expresii matematice pentru principiul I al termodinamicii în cazul sistemelor închise:

Fig. 1.4.1.

Presupunem sistemul termodinamic închis format din gazul din cilindrul cu piston reprezentat în figura 1.4.1. Gazul este supus unui proces termodinamic pornind din starea iniţială 1 şi ajungând în final în starea 2. Pistonul se deplaseză din poziţia 1 în poziţia 2, el fiind reprezentat pe figură într-o poziţie intermediară. Atunci când pistonul este în poziţia 1 gazul este într-o stare de echilibru căreia îi corespunde energia internă U1. La sfârşitul procesului pistonul se află în poziţia 2 iar energia internă a gazului este U2. Energia internă fiind o mărime de stare, variaţia ei depinde numai de stările de echilibru iniţială şi finală a sistemului termodinamic:∆U = U2 – U1 (1.4.1)În timpul prcesului termodinamic gazul primeşte căldura Q12 de la mediul exterior şi efectueză asupra mediului lucrul mecanic exterior L12. Bilanţul energetic al procesului poate fi exprimat astfel: căldura primită de gaz se regăseşte în creşterea energiei interne a acestuia şi în lucrul mecanic efectuat asupra mediului exterior. Q12 = ∆U + L12 (1.4.2)Relaţia 1.4.2 exprimă matematic afirmaţia făcută anterior în cuvinte. Pentru a urmări logic mai uşor bilanţul energetic al procesului, am considerat cazul în care conform convenţiei de semne prezentate în paragraful 1.3 toate mărimile energetice care intervin în proces sunt pozitive, adică sistemul primeşte căldură de la mediul exterior, efectuează lucru mecanic exterior, iar energia lui internă creşte în timpul procesului termodinamic. Relaţia 1.4.2 este valabilă însă indiferent de sensul transferurilor energetice şi de semnele pe care le vor avea termenii din componenţa ei. În stabilirea acestei expresii matematice s-au acceptat în mod implicit câteva ipoteze simplificatoare cum ar fi: s-a neglijat energia externă a sistemului termodinamic (de exemplu energia cinetică dacă se află în mişcare mecanică ca un întreg, energia potenţială aferentă poziţiei în câmpul gravitaţional în raport cu un anumit nivel de referinţă); s-a presupus că sistemul termodinamic interacţionează cu mediul exterior numai prin schimbul de căldură şi prin lucrul mecanic exterior (nu există interacţiuni prin intermediul unor câmpuri gravitaţionale, electrice, magnetice); s-a acceptat că în interiorul sistemului nu au loc reacţii chimice.

15


Vom scrie relaţia 1.4.2 sub mai multe forme matematice (în mărimi specifice, în mărimi elementare, etc):q12=∆u+l12 (1.4.3)

(1.4.4) (1.4.5)

(1.4.6)

(1.4.7)

Relaţiile 1.4.2........1.4.7 reprezintă câteva exemple de expresii matematice pentru principiul I al termodinamicii în cazul sistemelor termodinamice închise.

Observaţie: Pentru a calcula termenii l12= , respectiv , termeni care

depind de legea transformării termodinamice este necesar ca procesul să fie cvasistatic, reversibil. Acesta este motivul pentru care în termodinamică s-a introdus noţiunea de proces cvasistatic, reversibil. Principiul I al termodinamicii în esenţa lui (principiul conservării energiei) este valabil şi în cazul proceselor reale, nestatice, ireversibile.

Expresii matematice pentru principiul I al termodinamicii în cazul sistemelor deschise:

Fig. 1.4.2 Vom lua din nou în considerare cazul turbinei cu gaz, în starea iniţială având în vedere că gazul se caracterizează prin energia internă U1, respectiv U2 - în starea finală, iar pe parcursul procesului de destindere din turbină considerăm că primeşte de la mediul exterior căldura Q12 (fig. 1.4.2).Putem scrie şi în acest caz relaţia 1.4.2: Q12 = ∆U + L12

16


Aşa cum am arătat, lucrul mecanic exterior se regăseşte parţial în lucru mecanic tehnic la arborele maşinii şi parţial în variaţia lucrului mecanic de dislocare:

(1.4.8)revenind la relaţia 1.4.2 obţinem succesiv:

(1.4.9)

(1.4.10)În relaţia 1.4.10 termenii au fost grupaţi în mod convenabil pentru a se ajunge la expresia entalpiei aşa cum a fost definită în paragraful 1.2 relaţia 1.2.32. (1.4.11) sau (1.4.12)Observăm că relaţia 1.4.12 este analoagă cu relaţia 1.4.2 cu deosebirea că energia internă este înlocuită de către entalpie iar lucrul mecanic exterior de către lucrul mecanic tehnic. Se observă aici unul din motivele pentru care entalpia, ca mărime de stare, este atât de importantă în termotehnică.Toate observaţiile făcute pe marginea relaţiei 1.4.2 rămân valabile şi în cazul sistemelor deschise.Vom scrie în continuare şi relaţia 1.4.12 sub mai multe forme matematice (în mărimi specifice, în mărimi elementare, etc):q12=∆i+l t12 (1.4.13)

(1.4.14) (1.4.15)

(1.4.16)

(1.4.17)

Relaţiile 1.4.12........1.4.17 reprezintă câteva exemple de expresii matematice pentru principiul I al termodinamicii în cazul sistemelor termodinamice deschise.

O maşină care ar produce în mod continuu lucru mecanic fără să consume în mod echivalent o altă formă de energie se numeşte perpetuum mobile de speţa I-a.Conform principiului I al termodinamicii perpetuum mobile de speţa I-a nu există.Întradevăr să considerăm o maşină termică care funcţionează pe principiul sistemului termodinamic închis, fiind valabilă relaţia 1.4.2: Q12 = ∆U + L12

Funcţionând în mod continuu maşina va parcurge în mod repetat un proces termodinamic închis, revenind periodic în starea iniţială. Deci pentru fiecare ciclu parcurs ∆U = U1 – U1 = 0 deci: Q = L (1.4.18)Relaţia 1.4.18 arată că lucrul mecanic efectuat de maşină este egal cu căldura consumată. Observaţie: Şi aici am considerat pentru simplificare că singurele forme de transfer energetic între sistemul termodinamic şi mediul exterior sunt lucrul mecanic şi căldura. În definirea conceptului de perpetuum mobile de speţa I-a am preferat să spunem “fără să consume în mod echivalent o altă formă de energie” pentru a ne raporta la principiul general al conservării energiei.

17


1.5. Gazul perfect

Gazul perfect sau gazul ideal este un model teoretic de gaz care se defineşte prin acceptarea următoarelor ipoteze simplificatoare:

- Moleculele sunt sfere de dimensiuni atât de mici încât volumul lor este neglijabil în raport cu volumul ocupat de gaz.

- Atât ciocnirile între molecule cât şi cu pereţii vasului sunt perfect elastice- Nu există forţe de frecare, forţe de coeziune sau adeziune, şi în general nici

un alt fel de interacţiuni în afara ciocnirilor elastice, singura energie aferentă moleculelor în mişcarea haotică este energia cinetică datorată mişcării de translaţie

- Se păstrează starea de agregare gazoasă în orice condiţii de presiune şi temperatură

- Mărimile energetice de stare (energia internă, entalpia) depind numai de temperatură

- Capacităţile calorice specifice şi coeficientul de dilatare volumică sunt constante

Gazele reale, la temperaturi mari şi presiuni mici (adică în stare de vapori supraîncălziţi, departe de zona transformărilor de fază) se comportă foarte asemănător cu gazul perfect. Primii cercetători în domeniul gazelor au folosit gaze reale (mai ales aer). În condiţiile de atunci precizia măsurătorilor era prea mică pentru a evidenţia abaterile gazelor reale de la modelul gazului perfect. De aceea, următoarele adevăruri descoperite experimental pe gaze reale sunt astăzi cunoscute sub denumirea de legile gazului perfect:

Legea Boyle – Mariotte: La temperatură constantă produsul între presiune şi volum este constant (T=ct → p∙V = ct). (1.5.1)Legea Gay – Lussac: La presiune constantă raportul dintre volum şi temperatură este constant (p=ct → V / T = ct). (1.5.2)Legea lui Charles: La volum constant raportul dintre presiune şi temperatură este constant (V = ct → p / T = ct). (1.5.3)Observaţie: În relaţiile 1.5.1….1.5.3 prin p şi T înţelegem presiune, respectiv temperatură absolută.Legea lui Avogadro: În condiţii identice de temperatură şi presiune volume egale de gaze conţin acelaşi număr de molecule indiferent de natura gazului.Reciproca legii lui Avogadro: În condiţii identice de temperatură şi presiune acelaşi număr de molecule ocupă acelaşi volum indiferent de natura gazului.

Ştiinţa termodinamicii s-a dezvoltat pe două direcţii: termodinamica fenomenologică lucrează direct cu mărimile termodinamice macroscopice (temperatură, presiune, volum, mărimi energetice, etc), ea se bazează pe postulate, principii, experimente; termodinamica statistică studiază mişcarea particulelor microscopice şi ajunge de aici la mărimile macroscopice aplicând regulile statisticii matematice. Astfel termodinamica statistică face legătura între ştiinţa termodinamicii şi fizica microcosmosului. Din punct de vedere al termotehnicianului este importantă termodinamica fenomenologică. De aceea vom reaminti aici doar câteva mărimi fizice din domeniul structurii materiei, absolut necesare pentru a continua să parcurgem termodinamica fenomenologică.Prin kilomol înţelegem cantitatea de substanţă a cărei masă exprimată în kilograme este numeric egală cu masa moleculară a substanţei respective. Masa moleculară

18


(sau masa molară) este raportul dintre masa unei molecule şi unitatea atomică de masă. Unitatea atomică de masă este a 12-a parte din masa atomului de carbon (izotopul C12). Masa moleculară a elementelor chimice se găseşte în tabele. De multe ori valorile din tabele sunt cu zecimale datorită existenţei izotopilor. Un element chimic este definit de poziţia lui în tabelul lui Mendeleev, poziţie care este determinată univoc de numărul de protoni din nucleu. Izotopii sunt nuclee cu acelaşi număr de protoni dar cu număr diferit de neutroni. Masa moleculară a unei substanţe chimice se poate calcula cunoscând masa moleculară a elementelor chimice din care este compusă şi formula ei chimică.Exemple:E.1.5.1 Câte kilograme de substanţă conţine un kilomol de: a) oxigen molecular b) bioxid de carbon c) aer d) apă e) gheaţă

a) O2, masa moleculară a elementului chimic oxigen este MO = 16 (din tabele), masa moleculară a oxigenului molecular va fi MO2= 2 x 16 = 32, deci 1 kMolO2

→ 32 kgb) CO2 , masa moleculară a carbonului este 12, a oxigenului este 16, deci MCO2=12+2x16=44, deci 1 kMolCO2 → 44 kgc) aerul nu este o substanţă chimică ci un amestec de gaze perfecte (în condiţii

apropiate de cele ambiante); masa sa moleculară se poate calcula cu metode specifice amestecurilor de gaze perfecte sau se poate extrage din tabele Maer=29, deci 1 kMolaer →29 kg

d) H2O, 2x1+16=18, MH2O=18, deci 1kMolH2O →18 kge) Gheaţa este apă solidificată. Masa moleculară nu depinde de starea de

agregare.Kilomolul se bucură de următoarea proprietate: Un kilomol din orice substanţă conţine acelaşi număr de molecule. Acest număr este cunoscut sub denumirea de numărul lui Lőschmidt:

(1.5.4)

Având în vedere numărul lui Lőschmidt şi reciproca legii lui Avogadro rezultă că un kmol din orice gaz ocupă acelaşi volum în aceleşi condiţii de temperatură şi presiune. Volumul ocupat de orice gaz în condiţii normale (t0 = 00C şi p0 = 760 mm Hg) se numeşte volum molar sau volumul lui Avogadro:

(1.5.5)

Prin metru cub normal (Nm3 sau m3N) înţelegem cantitatea de gaz care ocupă

volumul de 1 m3 în condiţii normale (t0 = 00C şi p0 = 760 mm Hg). Cantitatea de gaz conţinută într-un metru cub normal depinde de natura gazului. Având în vedere definiţia kilomolului şi a volumului molar (relaţia 1.5.5) cantitatea de gaz conţinută într-un metru cub normal este:

(1.5.6)

În tabelele termodinamice mărimile specifice ale gazelor se rapotează uneori la Nm3.În urma a numeroase experimente s-a constatat că pentru o cantitate oarecare de gaz:

sau (1.5.7)

Expresia 1.5.7 reprezintă o formă a ecuaţiei termice de stare a gazului perfect.Valoarea constantei din relaţia 1.5.7 depinde de cantitatea de gaz şi de unele constante generale ale fizicii.

19


(1.5.8)În relaţia 1.5.8 p este presiunea absolută [N/m2], V este volumul gazului [m3], T este temperatura absolută [K], k este constanta lui Boltzman, k=1.38066∙10-23 J/K.

(1.5.9)

În relaţia 1.5.9 m este masa gazului [kg], M este masa moleculară [kg / kMol], R este constanta generală a gazelor perfecte [J/kMol∙K]. Această constantă nu depinde de

natura gazului: (1.5.10)

Vom verifica faptul că relaţiile 1.5.8 şi 1.5.9 sunt echivalente. Dacă cantitatea de gaz este 1 kMol, numărul de molecule din relaţia 1.5.8 devine NL iar în relaţia 1.5.9

raportul . Deci trebuie arătat că: , adică:

Vom da o semnificaţie fizică constantei generale a gazelor perfecte R [J/kMol∙K]:

1 kMol, p, V1, T 1 kMol, p, V2, T+1

Fig. 1.5.1Cantitatea de 1 kMol dintr-un gaz perfect oarecare se află într-un cilindru vertical cu piston mobil ideal (etanşare perfectă, fără frecări, pistonul nu are greutate proprie) la presiunea p [N/m2], la temperatura T, şi ocupă volumul V1. Gazul fiind în stare de echibru termodinamic (starea 1, reprezentată în partea stângă a figurii 1.5.1), pistonul este în repaus, deci rezultanta forţelor care acţionează asupra lui este nulă:

(1.5.11)În relaţia 1.5.11 pb – presiunea barometrică şi p-presiunea absolută a gazului în starea 1 sunt exprimate în [N/m2], A-aria pistonului [m2], M – masa greutăţii aşezate pe piston [kg], g – acceleraţia gravitaţională [m/s2]. Preiunea absolută a gazului în starea 1 este:

(1.5.12)

Dacă gazul suferă orice proces termodinamic cvasistatic presiunea rămâne constantă la valoarea dată de relaţia 1.5.12. Transformările care respectă această regulă sunt transformări la presiune constantă sau transformări izobarice.Presupunem că încălzim gazul până când temperatura lui creşte cu 1K, adică

20


devine T+1. Vomul creşte la valoarea V2.Scriem relaţia 1.5.9 pentru starea 2 şi pentru starea 1 (deoarece cantitatea de gaz este de 1 kMol raportul m/M=1):

――――――― (1.5.13)

Ţinând seama de relaţia de definire a lucrului mecanic exterior (1.3.3) şi având în

vedere că p = ct, obţinem: = (1.5.14)

Constanta generală a gazelor perfecte este egală cu lucrul mecanic exterior efectuat de 1 kMol de gaz la încălzirea cu 1 K la presiune constantă.

Raportul reprezintă constanta specifică a unui anumit gaz perfect. Această

constantă se poate extrage din tabele termodinamice sau se poate calcula în funcţie de constanta generală şi de masa moleculară. Ea este o caracteristică care depinde

natura gazului şi se exprimă în .

(1.5.15)

Semnificaţia fizică a constantei specifice a gazului perfect dedusă printr-un raţionament analog celui făcut la constanta generală (cu deosebirea că în loc de 1 kMol dintr-un gaz oarecare avem 1 kg dintr-un gaz anume) este: constanta unui gaz perfect este egală cu lucrul mecanic exterior efectuat de 1 kg de gaz la încălzirea cu 1 K la presiune constantă.Relaţia 1.5.15, mai poate fi scrisă şi astfel:

(1.5.16), sau ţinând seama că :

(1.5.17)Relaţiile 1.5.7, 1.5.8, 1.5.9, 1.5.15, 1.5.16 şi 1.5.17 reprezintă diverse expresii matematice pentru ecuaţia termică de stare a gazului perfect.

Exemplu:E.1.5.2 Într-o butelie cu capacitatea de 200 l se află aer. Butelia este echipată cu un termometru şi cu un manometru. Termometrul indică t = 27 0C iar manometrul p = 2.7 kgf / cm2. Ştiind că presiunea barometrică este pb = 750 mm Hg, să se calculeze:

a) masa aerului din butelie m [kg]b) cantitatea de aer din butelie exprimată în Nm3

c) cantitatea de aer din butelie exprimată în kMold) densitatea aerului din butelie ρ [kg/m3], şi să se compare cu densitatea aerului

în condiţii normale ρ0 [kg/m3]e) numărul moleculelor de aer din butelie N

Vom calcula întâi presiunea barometrică şi presiunea absolută în [N/m2], volumul în [m3], temperatura absolută [K]:pb = 750 ∙ 133.3 = 99 975 = 0.99975 ∙ 105 N/m2

pm = 2.7 ∙ 0.981 ∙ 105 = 2.6487 ∙ 105 N/m2

21


p = pb + pm = 0.99975 ∙ 105 + 2.6487 ∙ 105 ≈ 3.65 ∙ 105 N/m2

V = 200 / 1000 = 0.2 m3

T = 27 + 273 = 300 K

a) din relaţia 1.5.15:

constanta de gaz perfect a aerului raer = 287 J / kg∙K a fost extrasă din tabele termodinamice

a) vom calcula densitaea aerului în condiţii normale pe baza relaţiei 1.5.17:

În butelie sunt 0,848 / 1,293 = 0.656 Nm3 aerb) masa moleculară a aerului este M = 29 kg / kMol (din tabele)

0.848 / 29 = 0.0292 kMol aer

d) Pe baza relaţiei 1.5.17:

Observăm că densitatea aerului în butelie este mai mare decât densitatea în condiţii normale datorită presiunii mai mari.e) ştiind că un kMol conţine NL molecule, în butelie vor fi: 0.0292 ∙ 6.022∙ 1026 = 1.76 ∙ 1025 moleculeObservaţie: Aerul este un amestec de gaze perfecte, rezultatul calcului precedent reprezintă numărul de molecule dintr-un gaz ipotetic cu masa moleculară 287 care se comportă similar cu aerul.

Ne punem problema câtă căldură trebuie să primească 1 kg de gaz pentru a-şi mări temperatura cu 1 grad la presiune constantă.

Fig. 1.5.2În figura 1.5.2 este reprezentată o cantitate de 1 kg gaz perfect în starea 1 la presiunea p, volumul v1 şi temperatura T. Gazul primeşte căldura q12 şi ajunge printr-o transformare izobarică în starea 2 caracterizată prin aceeaşi presiune p, volumul v2

şi temperatura T+1. Căldura q12 pe care o primeşte în aceste condiţii se numeşte capacitate calorică specifică la presiune constantă (sau pe scurt căldură specifică la presiune constantă), se simbolizează cp [J/kg∙grd] şi depinde de natura

22


gazului. Deci: capacitatea calorică specifică la presiune constantă reprezintă cantitatea de căldură pe care trebuie să o primească 1 kg de gaz pentru a-şi mări temperatura cu 1 grad la presiune constantă.Dacă printr-o transformare izobarică temperatura gazului creşte cu Δt grade căldura primită va fi:

(1.5.18)Observaţie: deoarece după cum s-a arătat Δt = ΔT s-a preferat să lucrăm cu Δt.Scriem o relaţie matematică pentru principiul I al termodinamicii (relaţia 1.4.7):

adi

că (1.5.19) sau în mărimi elementare (1.5.20)Relaţiile 1.5.18, 1.5.19 şi 1.5.20 arată că, în cazul transformării izobarice variaţia entalpiei este egală cu căldura primită de sistem de la mediul exterior.

Dacă un gaz este supus unui proces termodinamic fără să i se permită să-şi modifice volumul, vorbim de transformarea la volum constant sau transformarea izocorică. Câtă căldură trebuie să primească 1 kg de gaz pentru a-şi mări temperatura cu 1 grad la volum constant ?

Fig. 1.5.3În cazul gazului reprezentat în figura 1.5.3 (m=1kg) transformarea izocorică 1→2, presupune creşterea temperaturii cu 1 grad, creşterea presiunii de la p1 la p2 în timp ce volumul rămâne la valoarea v. În timpul procesului gazul primeşte de la mediul exterior căldura q12. Căldura q12 pe care o primeşte în aceste condiţii se numeşte capacitate calorică specifică la volum constant (sau pe scurt căldură specifică la volum constant), se simbolizează cv [J/kg∙grd] şi depinde de natura gazului. Deci: capacitatea calorică specifică la volum constant reprezintă cantitatea de căldură pe care trebuie să o primească 1 kg de gaz pentru a-şi mări temperatura cu 1 grad la volum constant.Dacă printr-o transformare izocorică temperatura gazului creşte cu Δt grade căldura primită va fi:

(1.5.21)Scriem din nou relaţia 1.4.7 (principiul I al termodinamicii):

(1.5.22) - aici s-a ţinut seama de faptul că v=ct, dv=0

adică (1.5.23) sau în mărimi elementare (1.5.24)

23


Relaţiile 1.5.21, 1.5.22, 1.5.23 şi 1.5.24 arată că, în cazul transformării izocorice variaţia energiei interne este egală cu căldura primită de sistem de la mediul exterior.Dacă în loc de un kilogram de gaz avem în vedere un kilomol de gaz vorbim despre capacităţi calorice molare (sau pe scurt călduri molare) la presiune constantă, respectiv la volum constant:Cv=M∙cv [J/kmol∙grd] şi Cp=M∙cp [J/kmol∙grd] (1.5.25)La gaze capacitatea calorică specifică la presiune constantă este mai mare decât capacitatea calorică specifică la volum constant. Pentru a stabili o relaţie între capacităţile calorice specifice scriem expresia de definire a entalpiei (relaţia 1.2.33): care prin diferenţiere devine: (1.5.26)Scriem ecuaţia termică de stare a gazului perfect sub forma relaţiei 1.5.16:

care prin diferenţiere devine: (1.5.27) Combinând relaţiile 1.5.26 şi 1.5.27 obţinem: (1.5.28). Dacă în relaţia 1.5.28 înlocuim expresiile di şi du conform relaţiilor 1.5.19 şi 1.5.24 obţinem: , care prin simplificare cu dT dă: (1.5.29)Înmulţind relaţia 1.5.29 cu M obţinem: (1.5.30)Relaţiile 1.5.29 şi 1.5.30 sunt cunoscute sub denumirea de relaţiile Robert – Mayer.Relaţiile Robert – Mayer dau o nouă semnificaţie fizică constantelor gazelor perfecte, constanta r fiind diferenţa dintre capacitatea calorică specifică la presiune constantă şi capacitatea calorică specifică la volum constant, iar R diferenţa dintre capacitatea calorică molară la presiune constantă şi capacitatea calorică molară la volum constant.

Raportul adimensional (1.5.31) se numeşte exponent adiabatic, este

supraunitar şi depinde de natura gazului. Capacităţile calorice specifice pot fi exprimate în funcţie de constanta specifică de gaz perfect şi de exponentul adiabatic:

Scriem relaţia 1.5.29 şi o împărţim forţat prin cv: → → →

(1.5.32), sau ţinând seama de 1.5.31: (1.5.33)

La lichide şi solide nu există decât o singură capacitate calorică specifică c [J/kg∙grd], ea reprezintă căldura necesară pentru a ridica temperatura unui kilogram din substanţa respectivă cu un grad.La gazul perfect capacităţile calorice specifice sunt constante deci pentru a integra o

relaţie de forma 1.5.20: putem să scriem: În

această relaţie cp fiind constantă a ieşit în faţa semnului integrală. La gazul real capacitatea calorică specifică se modifică cu temperatura (creşte uşor). Dacă pentru un gaz real folosim realţiile de calcul deduse pentru gazul perfect, dar vrem să ţinem seama de dependenţa capacităţilor calorice specifice de temperatură trebuie să avem în vedere următoarele:

24


Fig. 1.5.4Figura 1.5.4 arată dependenţa de temperatură a capacităţii calorice specifice la presiune constantă a unui gaz. Variaţia entalpiei gazului la încălzirea acestuia de la

temperatura t1 la temperatura t2 este: (1.5.34). În relaţia 1.5.34

factorul cp nu poate fi scos în afara semnului intagrală deorece nu este constant. Integrala definită din această relaţie este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu cuprins între curba 1→ 2 şi axa temperaturilor. Capacitatea calorică specifică medie

între temperaturile t1 şi t2, este valoarea constantă care duce la aceeşi variaţie

de entalpie, adică grafic avem un dreptunghi cu aria egală cu cea a trapezului

curbiliniu: ∙(t2-t1)= adică: = (1.5.35)

Pentru a calcula capacitatea calorică specifică medie între temperaturile t1 şi t2 se

poate folosi relaţia: = (1.5.36). Capacitatea calorică specifică

medie între 0 0C şi o temperatură oarecare t se găseşte în tabele termodinamice.Exemplu:E.1.5.3 Se încălzesc 4 kilograme de aer la presiune mică de la t1=100 0C la t2=200 0C. Calculaţi variaţia entalpiei.

Conform 1.5.35: = ∙(t2-t1)

În tabele termodinamice găsim pentru aer valorile:

. Cu relaţia 1.5.36 calculăm:

i2-i1=1.019∙(200-100)=101.9 kJ/kg∆I=I2-I1=m∙Δi=4∙101.9=407.6 kJ

Două sau mai multe gaze perfecte care se amestecă fără să interacţioneze chimic între ele formează un amestec de gaze perfecte. Notăm cu n, numărul de

25


componente ale amestecului. Dacă considerăm că iniţial componentele amestecului aveau fiecare o presiune egală cu presiunea amestecului dar ocupau volume parţiale, se aplică legea lui Amagat: volumul unui amestec de gaze perfecte care iniţial ocupă volume parţiale la aceeaşi presiune şi temperatură este egal cu

suma volumelor parţiale: (1.5.37).

Relaţia: (1.5.38) exprimă legea conservării masei.

Dacă considerăm că iniţial componentele amestecului ocupau fiecare un volum egal cu volumul amestecului dar se aflau la presiuni parţiale, se aplică legea lui Dalton: presiunea unui amestec de gaze perfecte care iniţial ocupă fiecare întregul volum la presiuni parţiale şi la aceeaşi temperatură este egală cu suma presiunilor parţiale:

(1.5.39)

Raportul dintre masa unei componente şi masa amestecului se numeşte participare

masică: (1.5.40). Ţinând seama de 1.5.38: n

i1

1 (1.5.41)

Raportul dintre volumul parţial al unei componente şi volumul amestecului se

numeşte participare volumică: (1.5.42). Având în vedere legea lui Amagat:

(1.5.42).

Dacă notăm cu ri constanta de gaz perfect a fiecărei componente şi cu Mi masa moleculară a fiecărei componente se poate scrie ecuaţia termică de stare pentru fiecare componentă într-una din formele:

(1.5.43), sau (1.5.44).În general participările masice sunt diferite de participările volumice: Dacă sunt cunoscute participările volumice şi se doresc participările masice pornim

de la relaţia 1.5.40 pe care o împărţim la V: , la numărător înmulţim cu

raportul Vi/Vi: sau: (1.5.45). Pentru a determina densitatea

amestecului în funcţie de densitatea componentelor şi de participarea lor volumică pornim de la relaţia 1.5.38 unde masele le înlocuim cu produse densitate x volum:

, relaţie care împărţită prin V devine: (1.5.46). Având în

vedere 1.5.46, relaţia 1.5.45 devine: (1.5.47)

26


Pentru orice gaz ecuaţia termică de stare se poate scrie şi sub forma 1.5.9 care

schimbând locurile factorilor V şi M devine: sau sau

(1.5.48). Având în vedere faptul că pentru componentele din relaţia 1.5.47

presiunea şi temperatura au aceeaşi valoare, iar R din relaţia 1.5.48 este constanta generală a gazelor perfecte densităţile din relaţia 1.5.47 se pot înlocui cu mase

moleculare şi obţinem:

n

ii

iii

M

M

1

(1.5.49). Relaţia 1.5.49 permite calculul

participărilor masice dacă se cunosc participările volumice. Un amestec de gaze perfecte se comportă la rândul lui ca un gaz perfect. Mărimile termodinamice ale amestecului de gaze pot fi calculate în funcţie de mărimile componentelor şi de partcipările acestora. Densitatea amestecului se calculează cu relaţia 1.5.46.Prezentăm în continuare câteva relaţii de calcul pentru diverse mărimi termodinamice ale amestecurilor de gaze fără a insista asupra demonstraţiilor:

Constanta de gaz perfect a amestecului: (1.5.50)

Masa moleculară a amestecului: (1.5.51)

Energia internă specifică: (1.5.52)

Entalpia specifică: (1.5.53)

Capacitatea calorică specifică la volum constant: n

viiv cc1

(1.5.54)

Capacitatea calorică specifică la presiune constantă: n

piip cc1

(1.5.55)

Exemplu:E.1.5.4 Considerăm aerul uscat ca un amestec de gaze cu următoarea participare volumică (simplificată): azot 78 %, oxigen 21 %, argon 1 %. Calculaţi participările masice, mărimile termodinamice ale amestecului de gaze perfecte. Comparaţie cu valori extrase din tabele termodinamice direct pentru aer. Acceptăm numărul de ordine al componentelor amestecului în ordinea descrescătoare a participărilor volumce: Azot: i=1; Oxigen: i=2; Argon: i=3. Deci:

Extragem din tabele termodinamice următoarele date:

Azot Oxigen ArgonMasa moleculară Mi [kg/kmol] 28 32 40Constanta de gaz perfect ri [J/kg∙grd] 296.8 259.8 207.9Capacitatea calorică specifică la volum constant cv la 0 0C şi la presiune mică

742,7 655,5 311

27


[J/kg∙grd]Capacitatea calorică specifică la presiune constantă cp la 0 0C şi la presiune mică [J/kg∙grd]

1039,2 916,9 518.9

Calculăm participările masice cu relaţia 1.5.49:

În conformitate cu relaţia 1.5.51

aceasta reprezintă chiar masa moleculară a amestecului de gaze. Masa moleculară a aerului extrasă din tabele termodinamice: M=29

Verificare:

Se observă că participările masice sunt diferite de cele volumice, participările masice fiind mai mari decât cele volumice la componentele cu masă moleculară mai mare.

Calculăm constanta de gaz perfect a amestecului cu relaţia 1.5.50:

Constanta de gaz perfect a aerului extrasă din tab. termodinamice: r=287 [J/kg∙grd]Capacitatea calorică specifică la volum constant cv o calculăm cu relaţia 1.5.54:

Capacitatea calorică specifică la volum constant a aerului extrasă din tabele termodinamice: cv = 716 [J/kg∙grd]Capacitatea calorică specifică la presiune constantă cp o calculăm cu relaţia 1.5.55:

Capacitatea calorică specifică la presiune constantă extrasă din tabele termodinamice: cp=1005 [J/kg∙grd]Observaţii: Mici diferenţe de rezultate numerice pot să apară datorită faptului că atât aerul cât şi componentele sale se abat oarecum de la modelul gazului perfect, compoziţia acceptată în enunţ este aproximativă.

După cum s-a arătat la paragraful 1.3, o funcţie matematică între parametrii de stare reprezintă legea transformării termodinamice. O transformare termodinamică care respectă pe tot parcursul aceeaşi lege se numeşte transformare simplă. Vom examina în continuare următoarele transformări simple ale gazului perfect: transformarea izocorică, transformarea izobarică, transformarea izotermică, transformarea adiabatică, transformarea politropică. Vom urmări pentru fiecare din transformări:

a) legea transformării

28


b) reprezentarea în diagrama p-v

c) expresia lucrului mecanic exterior 2

1

12 dvpl , (relaţia 1.3.7)

d) expresia lucrului mecanic tehnic 2

1

12 dpvlt , (relaţia 1.3.8)

e) expresia căldurii schimbate cu mediul exterior , (relaţia 1.3.9).

Conform principiului I al termodinamicii (relaţiile 1.4.5 şi 1.4.15): sau

Transformarea izocoricăa) legea transformării

v = ct → p / T= ct, relaţia 1.5.3 - Legea lui Charlesb) reprezentarea în diagrama p-v

În cazul transformării izocorice (vezi fig. 1.5.3) gazul este obligat să rămână la volum constant. El poate primi căldură de la mediul exterior mărindu-şi presiunea (de la p1 la p2 în cazul transformării 1→2 reprezentată pe fig. 1.5.5), sau poate ceda căldură spre mediul exterior, caz în care presiunea scade (de la p1 la p2’ în cazul transformării 1→2’ reprezentată pe fig. 1.5.5).

p

v

p1

p2

1

2

2'p2'

v=ct

Fig. 1.5.5c) expresia lucrului mecanic exterior

(1.5.56). În relaţia 1.5.56 s-a ţinut seama de faptul că la v=ct, dv=0.

Aşa cum s-a arătat, în diagrama p-v lucrul mecanic exterior este egal cu aria cuprinsă între graficul transformării şi axa volumelor, iar în acest caz transformările 1→2 şi 1→2’ se proiectează pe axa volumelor într-un punct.d) expresia lucrului mecanic tehnic

(1.5.57)

Lucrul mecanic tehnic reprezintă suprafaţa cuprinsă între graficul transformării şi axa presiunilor. În cazul transformării 1→2, lucrul mecanic tehnic este egal cu aria dreptungiului 12p2p1 şi este negativ deoarece p2>p1. În cazul transformării

29


1→2’, lucrul mecanic tehnic este egal cu aria dreptungiului 12’p2’p1 şi este pozitiv deoarece p2’<p1.e) expresia căldurii schimbate cu mediul exterior

=

(1.5.58)

În relaţia 1.5.58 s-a ţinut seama de faptul că la v=ct, dv=0. S-a ţinut seama de asemenea de ecuaţia calorică de stare a gazului perfect sub forma relaţiei 1.5.24:

, precum şi de relaţia 1.5.32:

În cazul transformării 1→2, q12>0, adică gazul primeşte căldură de la mediul exterior şi T2>T1. În cazul transformării 1→2’, q12<0, adică gazul cedează căldură mediului exterior şi T2<T1.

Transformarea izobaricăa) legea transformării

p=ct → v / T = ct, relaţia 1.5.2 - Legea Gay – Lussacb) reprezentarea în diagrama p-v

În cazul transformării izobarice (vezi figura 1.5.2) presiunea gazului rămâne constantă. El poate primi căldură de la mediul exterior mărindu-şi volumul (de la v1 la v2 în cazul transformării 1→2 reprezentată pe fig. 1.5.6), sau poate ceda căldură spre mediul exterior, caz în care îşi micşorează volumul (de la v1 la v2’ în cazul transformării 1→2’ reprezentată pe fig. 1.5.6).

Fig. 1.5.6c) expresia lucrului mecanic exterior

(1.5.59)

În relaţia 1.5.59 factorul p=ct a fost scos în faţa semnului integrală. De asemenea s-a ţinut seama de ecuaţia termică de stare a gazului perfect sub forma relaţiei 1.5.16: . Lucrul mecanic exterior reprezintă suprafaţa cuprinsă între graficul transformării şi axa volumelor. În cazul transformării 1→2, lucrul mecanic exterior este egal cu aria dreptungiului 12v2v1 şi este pozitiv deoarece v2>v1. În cazul transformării 1→2’, lucrul mecanic exterior este egal cu aria dreptungiului 12’v2’v1 şi este negativ deoarece v2’<v1.d) expresia lucrului mecanic tehnic

30


(1.5.60). În relaţia 1.5.60 s-a ţinut seama de faptul că la p=ct, dp=0.

În diagrama p-v lucrul mecanic tehnic este egal cu aria cuprinsă între graficul transformării şi axa presiunii, iar în acest caz transformările 1→2 şi 1→2’ se proiectează pe axa presiunii într-un punct.

e) expresia căldurii schimbate cu mediul exterior

=

(1.5.61)

În cazul transformării 1→2, q12>0, adică gazul primeşte căldură de la mediul exterior şi T2>T1. În cazul transformării 1→2’, q12<0, adică gazul cedează căldură mediului exterior şi T2<T1.

Transformarea izotermicăa) legea transformării

T=ct → p∙v = ct, relaţia 1.5.1 - Legea Boyle – Mariotte

Fig. 1.5.7În cazul comprimării izotermice (fig. 1.5.7) pistonul este împins de forţa exterioară F gazul este comprimat şi toată căldura Q12’ este cedată mediului exterior la temperatura constantă T. Cilindrul este prevăzut cu nervuri ideale care presupunem că asigură un schimb perfect de căldură între gaz şi mediul exterior. În acest caz mediul exterior poate absorbi oricâtă căldură la temperatură constantă, deci se comportă ca o sursă rece. Procesul fiind cvasistatic pistonul se află permanent în echilibru, deci în fiecare moment F=p∙A, unde p este presiunea gazului iar A suprafaţa pistonului. Întrucât presiunea se modifică pe parcursul transformării pentru a respecta legea transformării p∙v=ct, rezultă că şi forţa F se modifică pe parcursul transformării. În cazul destinderii izotermice pistonul este împins de presiunea gazului împotriva forţei exterioare F iar mediul exterior se comportă ca o sursă caldă cedând gazului căldură la temperatura constantă T.b) reprezentarea în diagrama p-v

31


p∙v = ct → , reprezentarea grafică a acestei expresii fiind o hiperbolă

echilateră, curbă care tinde asimptotic spre cele două axe de coordonate şi este simetrică faţă de prima bisectoare.

Fig. 1.5.8În figura 1.5.8 sunt prezentate destinderea izotermică 1→2 şi comprimarea izotermică 1→2’.c) expresia lucrului mecanic exterior

Ecuaţia termică de stare a gazului perfect sub forma relaţiei 1.5.16: ne

permite să scriem legea transformării în forma explicită: (1.5.62).

(1.5.63)

În expresia 1.5.63 s-a scos în faţa semnului integrală produsul r∙T deoarece este

constant, s-a ţinut sema de faptul că primitiva funcţiei este , s-a folosit legea

transformării izotermice sub forma p1∙v1 = p2∙v2. În cazul în care se doreşte exprimarea lucrului mecanic exterior numai în funcţie de presiuni şi volume în relaţia 1.5.63 se poate înlocui produsul r∙T cu produsul p1∙v1 sau p2∙v2. În cazul destinderii izotermice 1→2 lucrul mecanic exterior este pozitiv iar în cazul comprimării

32


izotermice 1→2’ lucrul mecanic exterior este negativ. Acest lucru rezultă din relaţia 1.5.63 şi este în concordanţă cu convenţia de semne prezentată în paragraful 1.3. În cazul destinderii izotermice 1→2 lucrul mecanic exterior, pozitiv, este egal cu aria trapezului curbiliniu 12v2v1, iar în cazul comprimării izotermice 1→2’ lucrul mecanic exterior, negativ, este egal cu aria trapezului curbiliniu 12’v2’v1.

d) expresia lucrului mecanic tehnic

Din ecuaţia termică de stare a gazului perfect sub forma relaţiei 1.5.16:

extragem forma explicită: (1.5.64).

(1.5.65)

Relaţiile 1.5.63 şi 1.5.65 arată că încazul transformării izotermice lucrul mecanic exterior este egal cu lucrul mecanic tehnic. În diagrama p-v lucrul mecanic tehnic este egal cu aria cuprinsă între graficul transformării şi axa presiunii. Întradevâr hiperbola echilateră se bucură de proprietatea că aria cuprinsă între un segment de curbă şi abscisă este egală cu aria cuprinsă între acel segment şi ordonată.


= (1.5.66) Aici am ţinut seama că la gazul

perfect am acceptat că energia internă depinde numai de temperatură, prin urmare T=ct → u=ct → du=0.

Transformarea adiabaticăa) legea transformării

Prin definiţie în cazul transformării adiabatice sistemul termodinamic nu face schimb de căldură cu mediul exterior: dq=0

Fig. 1.5.9Atât pereţii cilindrului cât şi pistonul sunt izolaţi termic perfect (fig.1.5.9). În cazul comprimării adiabatice forţa exterioară F împinge pistonul împotriva forţei create de presiunea gazului. Întrucât presiunea gazului creşte o dată cu micşorarea volumului pentru a respecta legea transformării, şi forţa exterioară trebuie să crească pentru a satisface relaţia p∙A=F, relaţie impusă de ipoteza transformării cvasistatice. Pentru a stabili legea transformării adiabatice pornim de la principiul I al termodinamicii scris sub forma relaţiei 1.4.5: , care pentru transformarea adiabatică devine:

33


(1.5.67) . Având în vedere că du=cv∙dT şi cv= , relaţia 1.5.67 devine:

(1.5.68).

Diferenţiem ecuaţia termică de stare scrisă sub forma şi obţinem: (1.5.69).

Combinând relaţiile 1.5.68 şi 1.5.69 obţinem succesiv:

Împărţim forţat ultima relaţie prin produsul p∙v: (1.5.70)

Relaţia 1.5.70 este o ecuaţie diferenţială care prin integrare devine succesiv:.

Expresia (1.5.71) reprezintă legea transformării adiabatice, pe baza căreia vom examina reprezentarea transformării termodinamice în diagrama p-v. Prin artificii de calcul vom găsi o altă expresie matematică pentru legea transformării adiabatice în care sunt implicate mărimile volum specific şi temperatură:

(1.5.72)b) reprezentarea în diagrama p-v

Revenind la expresia 1.5.71 obsevăm că aceasta reprezintă o hiperbolă neechilateră. Întrucât exponentul adiabatic >1 curba transformării adiabatice este mai înclinată decât cea a transformării izotermice (fig. 1.5.10).

În figura 1.5.10 sunt prezentate destinderea adiabatică 1→2 şi comprimarea adiabatică 1→2’.

c) expresia lucrului mecanic exterior 2

1

12 dvpl

Având în vedere expresia 1.5.67: , lucrul mecanic exterior devine:

(1.5.73)

Expresia 1.5.73 calculează lucrul mecanic exterior în funcţie de temperaturi. Se folosesc uzual expresii matematice pentru calculul lucrului mecanic exterior în funcţie de presiuni şi volume. Astfel, pornind de la relaţia 1.5.73 obţinem succesiv:

(1.5.74) Pentru a înlocui raportul T2/T1 din expresia

1.5.74 în funcţie de volumele specifice pornim de la legea transformării adiabatice

(expresia 1.5.72): sau:

34


Fig. 1.5.10

Expresia 1.5.74 devine: (1.5.75)

Pentru a exprima raportul v1/v2 în funcţie de presiuni pornim de la legea transformării

adiabatice (expresia 1.5.7): sau (1.5.76)

Ridicăm expresia 1.5.76 la puterea şi obţinem: (1.5.77)

Având în vedere 1.5.77, relaţia 1.5.75 devine: (1.5.78)

În cazul destinderii adiabatice 1→2 lucrul mecanic exterior este pozitiv iar în cazul comprimării adiabatice 1→2’ lucrul mecanic exterior este negativ. Acest lucru rezultă din relaţiile 1.5.73, 1.5.74, 1.5.75, 1.5.78 şi este în concordanţă cu convenţia de semne prezentată în paragraful 1.3. În cazul destinderii adiabatice 1→2 lucrul mecanic exterior, pozitiv, este egal cu aria trapezului curbiliniu 12v2v1, iar în cazul

35


comprimării adiabatice 1→2’ lucrul mecanic exterior, negativ, este egal cu aria trapezului curbiliniu 12’v2’v1 (fig. 1.5.10).

d) expresia lucrului mecanic tehnic 2

1

12 dpvlt

Pornim de la Principiul I al termodinamicii (relaţia 1.4.15): care având în vedere că în cazul transformării adiabatice dq=0, devine: . Expresia lucrului mecanic tehnic poate fi scrisă succesiv sub formele:

(1.5.79)

Comparând relaţia 1.5.79 cu relaţia 1.5.73 ajungem la concluzia că: (1.5.80)

În consecinţă pentru lucrul mecanic tehnic pot fi scrise relaţiile:

(1.5.81) şi (1.5.82)


(1.5.83)

Transformarea politropicăa) legea transformării

(1.5.84) sau (1.5.85)Exponentul politropic n poate lua orice valoare: <n<

Transformarea politropică se mai numeşte şi transformarea generală, ea conţine toate celelalte transformări simple ca şi cazuri particulare:

- transformarea izocorică

n=0 - transformarea izobaricăn=1 - transformarea izotermică

- transformarea adiabaticăPentru valori ale lui n diferite de cele de mai sus transformarea politropică se produce la modul general fără niciuna din restricţiile impuse la definirea celorlalte transformări simple (adică nu se păstrează constant nici volumul nici presiunea nici temperatura şi se face schimb de căldură cu mediul exterior).

b) reprezentarea în diagrama p-v

36


Fig. 1.5.11

În cazul 0<n<1 politropele sunt hiperbole cu înclinaţie mai mică decât izoterma.În cazul 1<n< politropele sunt hiperbole cu înclinaţie mai mare decât izoterma dar mai mică decât adiabata.În cazul n> politropele sunt hiperbole cu înclinaţie mai mare decât adiabata.

c) expresia lucrului mecanic exterior Pentru lucrul mecanic exterior şi pentru lucrul mecanic tehnic sunt valabile relaţiile stabilite la transformarea adiabatică cu observaţia că exponentul adiabatic este înlocuit cu exponentul politropic n.

(1.5.86)

(1.5.87)

(1.5.88)

d) expresia lucrului mecanic tehnic(1.5.89)

37


(1.5.90)

(1.5.91)

e) expresia căldurii schimbate cu mediul exterior:

=cn∙(T2-T1)= (T2-T1) (1.5.92)

În relaţia 1.5.92, factorul cn= se numeşte capacitate calorică

specifică politropică (depinde de natura gazului şi de exponentul politropic).

Exemple:E.1.5.5

Într-un cilindru cu piston de diametru d=200 mm se află aer. Iniţial pistonul se află la distanţa l1 = 500 mm de fundul cilidrului, iar aerul din cilidru este la presiunea barometrică pb= 760 mm Hg, şi la temperatura t1 = 20 0C. Aerul este comprimat până când pistonul ajunge la distanţa l2 = 100 mm de fundul cilindrului. Considerând comprimarea: a) izotermică, b) adiabatică, să se calculeze lucrul mecanic exterior, lucrul mecanic tehnic, căldura schimbată cu mediul exterior, variaţia energiei interne, variaţia entalpiei aerului din cilindru.

Aria secţiunii cilindrului:

Volumul inţial:

Volumul final: Temperatura iniţială: T1=273.15 + 20 = 293.15 K

Presiunea iniţială:

Cazul comprimării izotermice: Folosim relaţia 1.5.1 p∙v = ct, sub forma de unde:

T2 = T1 = 293.15 K (t2 = 20 0C)

Folosim în continuare relaţiile 1.5.63, 1.5.65, 1.5.66, având în vedere că este vorba despre m kg de gaz:

38


Obs: Fiind vorba despre o comprimare lucrul mecanic este efectuat de către mediul exterior asupra sistemului termodinamic, deci trebuie să fie negativ conform convenţiei de semne.Lt12=Q12=L12=-2559.67 J Din principiul I al termodinamicii scris sub forma expresiei 1.4.3 (pentru m kg de gaz): Q12=∆U+L12 obţinem: ∆U= Q12- L12 = -2559.67-(-2559.67) = 0 Obs: Am considerat aerul un gaz perfect, deci este normal ca la temperatură constantă energia internă să fie constantă.Din principiul I al termodinamicii scris sub forma expresiei 1.4.12 (pentru m kg de gaz): obţinem: ∆I= Q12- Lt12 = -2559.67-(-2559.67) = 0Obs: Am considerat aerul un gaz perfect, deci este normal ca la temperatură constantă entalpia să fie constantă.Cazul comprimării adiabatice:Folosim relaţia 1.5.71 sub forma: din care rezultă:

Folosim relaţia 1.5.72 sub forma: din care rezultă:

adică t2=559.86-273.15=286.7 0C

Relaţia 1.5.74 (pentru m kg de gaz):

Relaţia 1.5.80 (pentru m kg de gaz): ∆U= Q12- L12 = 0-(-3599.42)=3599.42 J∆I= Q12- Lt12 =0-(-5046.39)=5046.39 J

Centralizăm valorile calculate mai sus într-un tabel:Comprimare izotermică Comprimare adiabatică

p2 [N/m2] 5.065∙105 9.673∙105

t2 [0C] 20 286.7L12 [J] -2559.67 -3599,42Lt12 [J] -2559.67 -5046,39Q12 [J] -2559.67 0ΔU=U2-U1 [J] 0 3599.42ΔI=I2-I1 [J] 0 5046.39

Observaţii:Dacă comprimarea descrisă mai sus face parte din ciclul de funcţionare a unui compresor, lucrul mecanic exterior este lucrul mecanic consumat la arborele compresorului şi este mai mic în cazul comprimării izotermice. De regulă aerul comprimat ajunge într-un recipient sub presiune unde se răceşte încet spre temperatura ambiantă, ceea ce face ca câştigul de presiune în cazul comprimării adiabatice aşa cum apare în tabelul de mai sus, să nu fie real. Temperatura finală foarte mare din cazul comprimării adiabatice crează şi probleme cu lubrifierea compresorului. Din aceste cauze la compresoare se organizează o răcire cât mai bună, astfel încât comprimarea să fie cât mai apropiată de izotermă.

39


E.1.5.6 În locul comprimării din problema precedentă ne imaginăm o destindere (izotermică, respectiv adiabatică). Scrieţi relaţii matematice pentru principiul I al termodinamicii şi comentaţi.

Presupunem în cazul ambelor destinderi că starea finală din cazul comprimării devine stare iniţială, respectiv starea iniţială din cazul comprimării devine stare finală.a)Destinderea izotermică:

Starea iniţială

Starea finală

În cazul destinderii izotermice gazul perfect îşi păstrează temperatura constantă, şi o dată cu temperatura mărimile energetice de stare, energie internă şi entalpie. Deoarece lucrul mecanic de dislocare, adică produsul p∙V se păstrează constant, variaţia entalpiei este egală cu variaţia energiei interne. Scriem relaţiile matematice pentru principiul I al termodinamicii:

p [N/m2] 5.065∙105 1.013∙105

t [0C] 20 20V [m3] 0.00314 0.0157ΔU=U2–U1 [J] 0ΔI=I2 – I1 [J] 0L12 [J] 2559.67Lt12 [J] 2559.67Q12 [J] 2559.67Q12=∆U+L12 respectiv . În cazul transformării izotermice cele două relaţii devin: Q12 = L12, respectiv . În cazul destinderii izotermice gazul primeşte căldură şi o transformă integral în lucru mecanic exterior. Întrucât variaţia lucrului mecanic de dislocare este nulă, lucrul mecanic exterior este egal cu lucrul mecanic tehnic.a)Destinderea adiabatică:

Starea iniţială

Starea finală

În cazul destinderii adiabatice gazul nu schimbă căldură cu mediul exterior. Scăderea temperaturii este însoţită de scăderea energiei interne, variaţia energiei interne regăsindu-se în lucrul mecanic exterior efectuat de gaz. Relaţia Q12=∆U+L12 devine L12= - ∆U. Calculăm variaţia lucrului mecanic de dislocare:ΔLd = p2∙V2 - p1∙V1 = 1.013∙105∙0.0157 –9.673∙105∙0.00314 = - 1446.912 J

p [N/m2] 9.673∙105 1.013∙105

t [0C] 286.7 20V [m3] 0.00314 0.0157ΔU=U2–U1 [J] - 3599.42ΔI=I2 – I1 [J] - 5046.39L12 [J] 3599,42Lt12 [J] 5046,39Q12 [J] 0Relaţia devine . Observaţii: Procesul termodinamic prezentat în acest exemplu se referă la un sistem termodinamic închis (uneori în literatura de specialitate se foloseşte noţiunea de masă de control). Cantitativ principiul I al termodinamicii poate fi scris sub forma relaţiei L12= - ∆U sau . Prima relaţie arată că energia internă scade cu 3599,49 J şi sistemul efectuează lucru mecanic exterior egal cu această diminuare a energiei interne. A doua relaţie arată că entalpia scade cu 5046,39 J şi sistemul efectuează lucru mecanic tehnic egal cu această diminuare a entalpiei. Diferenţa dintre cele două valori numerice este chiar variaţia lucrului mecanic de dislocare. Ambele expresii matematice sunt valabile. Variaţia lucrului mecanic de dislocare care în cazul celei de-a doua relaţii intră atât în componenţa lucrului mecanic tehnic cât şi în componenţa variaţiei entalpiei nu face obiectul interacţiunii dintre sistemul termodinamic închis şi mediul exterior. Din punct de vedere practic ne interesează interacţiunea sistemului termodinamic cu mediul exterior. În cazul sistemelor termodinamice închise lucrul mecanic exterior exprimă această interacţiune, adică este de preferat utilizarea expresiei Q12=∆U+L12. La aceleaşi concluzii se poate

40


ajunge şi în cazul comprimării gazului. S-a preferat analiza cazului destinderii pentru a avea valori pozitive pentru lucrul mecanic.

E.1.5.7 Considerăm o turbină în care aerul se destinde a) izoterm, b) adiabatic parametrii iniţiali şi finali fiind aceeaşi cu cei din exemplul precedent. Definim un sistem termodinamic deschis mărginit de pereţii interiori ai turbinei şi de secţiunile de intrare şi ieşire din turbină (volum de control). Scrieţi relaţii matematice pentru principiul I al termodinamicii şi comentaţi. Comparaţi rezultatele obţinute în exemplul precedent cu situaţia în care prin turbină trece o masă de aer de control egală cu masa aerului din cilindru.Calculăm masa aerului din cilindru cu ajutorul ecuaţiei termice de stare a gazului perfect relaţia 1.5.15 : , de unde:

Prin turbină trece un flux continuu de aer. Regimul de funcţionare fiind staţionar, în timp ce intră cantitatea de aer m pe la racordul de intrare, aceeaşi cantitate de aer va fi evacuată pe la racordul de ieşire. Ne vom referi întâi la cazul destinderii adiabatice. Pe lângă sistemul termodinamic deschis definit în enunţul acestui exemplu, definim un sistem termodinamic închis lărgit (masă de control), care cuprinde gazul din interiorul turbinei şi o cantitate m de gaz care la momentul iniţial este situată chiar la frontiera de intrare în turbină (figura a), iar la momentul final la frontiera de ieşire din turbină (figura c).

Figura b) prezintă un moment intermediar când o parte din cantitatea m de gaz a pătruns în turbină şi o cantitate echivalentă de gaz a părăsit turbina. În figurile a, b, c am folosit următoarele notaţii: LSI – limita sistemului închis, LSD – limita sistemului deschis, MC – momentul la arborele turbinei (se mai spune la cupla turbinei). Observăm că limitele sistemului deschis rămân pe loc iar limitele sistemului închis se deplasează o dată cu curgerea gazului. Regimul de funcţionare fiind staţionar parametrii gazului în fiecare punct din interiorul turbinei sunt constanţi în timp. Deci mărimile de stare energie internă şi entalpie aferente gazului conţinut în interiorul turbinei au aceeaşi valoare în momentul 1 (fig a) şi în momentul 2 (fig c). Variaţia acestor mărimi de stare pentru sistemul închis lărgit este egală cu variaţia lor pentru cantitatea m de gaz care a intrat, respectiv ieşit din turbină: ΔU=U2–U1= - 3599.42 J respectiv ΔI=I2 – I1 = - 5046.39 JSă cercetăm care este lucrul mecanic exterior. Sistemul termodinamic interacţionează la nivel macroscopic cu mediul exterior în trei locuri:

41


1. gazul care intră în turbină este împins spre turbină de către gazul din spatele lui cu o forţă F1; Se efectuează lucru mecanic de către mediul exterior asupra sistemului deci conform convenţiei de semne acesta este negativ: L1= - F1∙x1, unde prin x1

înţelegem lugimea tronsonului de gaz de masă m în racordul de admisie în turbină. Scriem în continuare: L1= - p1∙S1∙x1 = - p1∙V1 (S1 este secţiunea racordului de admisie în turbină).2. gazul care părăseşte turbina este împins spre turbină de către gazul din faţa lui cu o forţă F2; Se efectuează lucru mecanic de către sistem asupra mediului exterior deci conform convenţiei de semne acesta este pozitiv: L2= + F2∙x2, unde prin x2 înţelegem lugimea tronsonului de gaz de masă m în racordul de evacuare din turbină. Scriem în continuare: L2= + p2∙S2∙x2 = + p2∙V2 (S2 este secţiunea racordului de evacuare din turbină)3. gazul din interiorul turbinei acţioneză asupra paletelor rotorului rezultând momentul la cuplă MC, deci gazul efectuează lucru mecanic la arborele turbinei. Scriem expresia pricipiului I al termodinamicii pentru sisteme închise Q12=∆U+L12 care în cazul destinderii adiabatice devine L12= - ∆U. Lucrul mecanic exterior din această relaţie este compus din cele trei lucruri mecanice exterioare aferente celor trei locuri de interacţiune a sistemului cu mediul exterior: L12=L1 + L2 + LA, unde cu LA am notat lucrul mecanic efectuat la arborele turbinei. Scriem în continuare: LA=L12- L1 - L2=L12+ p1∙V1- p2∙V2=L12-( p2∙V2- p1∙V1)Ultima relaţie arată că lucrul mecanic la arborele turbinei este egal cu diferenţa dintre lucrul mecanic exterior şi variaţia lucrului mecanic de dislocare, adică este tocmai lucrul mecanic tehnic aşa cum a fost definit în capitolul 1.3. Numeric LA=5046,39 J.

Aplicăm în continuare principiul I al termodinamicii pentru sistemul deschis sub forma relaţiei care în cazul destinderii adiabatice devine

. În ceea ce priveşte mărimile energie internă, entalpie, lucru mecanic exterior, lucru mecanic de dislocare, lucru mecanic tehnic şi expresiile Q12=∆U+L12 respectiv

remarcăm următoarele: expresiile matematice pentru principiul I al termodinamicii sunt echivalente, este corect să folosim orice variantă atât pentru sisteme închise cât şi pentru sisteme deschise; practic, lucrul mecanic util, care ne interesează la o maşină termică este lucrul mecanic exterior în cazul sistemelor termodinamice închise, respectiv lucru mecanic tehnic în cazul sistemelor termodinamice deschise; din exemplele de mai sus rezultă că este raţional să folosim mărimile energie internă, lucru mecanic exterior şi expresia Q12=∆U+L12 în cazul sistemelor termodinamice închise, respectiv mărimile entalpie, lucru mecanic tehnic şi expresia în cazul sistemelor termodinamice deschise.În cazul destinderii izotermice produsul p∙V este constant, lucrul mecanic de dislocare este constant, variaţia energiei interne este egală cu variaţie entalpiei, lucrul mecanic exterior este egal cu lucrul mecanic tehnic.

42

TMT 1.1-1.5

Documents

Transcript of TMT 1.1-1.5