Teste admitere Facultatea de Automatic ˘a¸ si Calculatoare ... · Teste admitere Facultatea de...

Teste admitereFacultatea de Automatica si

CalculatoareDomeniul Calculatoare si Tehnologia

Informatiei

10 aprilie 2014

Cuprins

1 Algebra 5

2 Analiza 39

3 Trigonometrie 61

4 Geometrie 69

5 Modele teste 735.1 Testul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2 Testul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3 Testul 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.4 Testul 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 Teste grila de la admitere 2011-2013 916.1 2011 iulie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2 2011 septembrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.3 2012 iulie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.4 2012 septembrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.5 2013 iulie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7 Solutii 1117.1 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.2 Analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.3 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1667.4 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.5 Testul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.6 Testul 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.7 Testul 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4 CUPRINS

Capitolul 1

Algebra

1. Fief : R→ R, f (x) = ax2 + bx+ c,

unde a, b, c ∈ R si a 6= 0. Atunci functia este:(a) injectiva ; (b) surjectiva ; (c) monotona si marginita;

(d) nici injectiva, nici surjectiva.

2. Trinomulx2 + 2ax+ b, a, b ∈ R

are radacinile strict negative daca:

(a) a ≤ 0 si a2 ≥ b; (b) a ≥ 0 si b ≥ 0;(c) 0 < b ≤ a2 si a > 0; (d) a ≤ 0 si b ≤ a2.

3. Fie m ∈ R. Radacinile ecuatiei

mx2 + 2(m+ 1)x+ (m− 2) = 0

au semne contrare daca

(a) m ∈ (0,∞) ; (b) m ∈£−14,∞¢;

(c) m ∈ (0, 2) ; (d) m ∈¡−14, 2¢.

4. Fie ecuatiax2 + 2(m− a)x+ 3am− 2 = 0,

în care a si m sunt parametri reali.

i) Sa se afle a astfel încât ecuatia sa aiba radacini reale, oricare ar fim ∈ R.

5

6 CAPITOLUL 1. ALGEBRA

ii) Sa se afle m astfel încât ecuatia sa aiba radacini reale, oricare ar fia ∈ R.

(a) |a| <r8

21, |m| <

r8

21; (b) |a| ≤

r8

21, |m| ≤

r8

21;

(c) |a| ≥r8

21, |m| ≥

r8

21; (d) |a| >

r8

21, |m| >

r8

21.

5. Valorile parametrului real m determinat astfel încât inecuatia

mx2 + (m+ 1)x+m− 1 > 0

sa nu aiba solutii sunt:

(a) m ∈ (1− 1√3, 0); (b) m ∈

³1− 2√

3, 0´;

(c) m ∈ (1 + 2√3,+∞); (d) m ∈

³−∞, 1− 2√

3

i.

6. Multimea M a acelor m ∈ R astfel încât inecuatia

mx2 + (m− 1)x− (m− 2) > 0

sa nu aiba nici o solutie reala este

(a) M =h5−2

√5

5, 5+2

√5

5

i; (b) m ∈ (−∞, 0);

(c) M =³−∞, 5−2

√5

5

´; (d) M = ∅.

7. Valorile parametrului m pentru care inecuatia

x2 + y2 − 4x− 4y +m > 0

este adevarata pentru orice x, y ∈ R sunt:(a) m ∈ (−∞, 0) ; (b) m ∈ (0, 4) ;(c) m ∈ (8,+∞) ; (d) m ∈ (4,+∞) .


(m− 1)x2 − (m+ 1)x+m+ 1 > 0

este verificata pentru orice x ∈ R sunt:

(a) m ∈ (1,∞) ; (b) m ∈µ5

3,∞¶;

(c) m ∈∙1,5

3

¸; (d) m ∈

µ−1, 5

3

¶.

7

9. Sa se determine valorile reale ale lui λ pentru care

λx2 − 2 (λ− 1)x+ λ+ 2 > 0, ∀x ∈ [0, 3] .

(a) λ > 0; (b) − 2 < λ ≤ 0; (c) λ ≥ 0; (d) λ > −2.

10. Se considera ecuatia x2+ax+a = 0, în care a ∈ R. Se noteaza cu x1 six2 radacinile sale (reale sau complexe). Sa se determine a astfel încât

x31 + x32 < x21 + x22.

(a) a ∈¡1−√3, 1 +

√3¢; (b) a ∈

¡1−√3,∞

¢;

(c) a ∈¡1−√3, 0¢∪¡0, 1 +

√3¢; (d) a ∈

¡1−√3, 0¢∪¡1 +√3,∞

¢.

11. Pentru m ∈ R\ {1} se considera ecuatia de gradul al doilea ale careiradacini x1 si x2 verifica relatiile:(

4x1x2 − 5(x1 + x2) + 4 = 0

(x1 − 1)(x2 − 1) =1

1−m

.

Atunci −1 < x1 < x2 < 1 pentru:

(a) m ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞); (b) m ∈ (0,+∞);(c) m ∈ (−∞,−3); (d) m ∈ (−3,−1) ∪ [0, 1).

12. Numarul solutiilor sistemului½x2 − 3xy + y2 = −13x2 − xy + 3y2 = 13

este:

(a) 8; (b) 4; (c) 2; (d) 0.

13. Multimea S a solutiilor sistemului½xy + x+ y = 11x2y + xy2 = 30

este:

(a) S = {(2, 3) , (3, 2) , (1, 5) , (5, 1)}; (b) S = {(3, 2) , (1, 5)};

(c) S = {(1, 5) , (5, 1)} ; (d) S = {(2, 3) , (1, 5)} .


14. Valorile lui x ∈ R pentru care are loc inegalitatea¯2x2 − 1x2 − 1

¯< 1.

sunt:

(a) x ∈Ã−r2

3,

r2

3

!r {0} ; (b) x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞) ;

(c) x ∈ (−1, 1) \ {0} ; (d) x ∈Ã−r2

3,

r2

3

!.

15. Multimea valorilor lui x ∈ R care sunt solutii ale inecuatiei¯x2 + 3x+ 2

x2 − 4x+ 3

¯< 1.

este:

(a) (1, 3) ; (b) x ∈ (−∞, 1) ∪ (1, 3) ;

(c) x ∈µ1

7, 3

¶; (d) x ∈

µ−∞,

1

7

¶.

16. Multimea solutiilor inecuatiei

1−√1− 4x2x

< 3

este:

(a) R; (b)£−12, 0¢∪¡0, 1

2

¤; (c)

¡0, 6

13

¢; (d)

£13, 12

¤.

17. Multimea valorilor x din R care verifica ecuatia√x− a+

√x− b+

√x− c+ d = 0, a, b, c ∈ R, d > 0.

este:

(a) ∅; (b)n±p|a− c|,±

p|b|o;

(c)n±p|a|,±

p|c|o; (d)

(−r|a+ b+ c|

2,

r|a+ b+ c|

2

).

18. Valorile x ∈ R pentru care√3x− 1−

√3x+ 1 > −1

sunt:

(a) x ∈¡512,+∞

¢; (b)

¡−13,+∞

¢; (c)

¡13,+∞

¢; (d)

¡−13, 13

¢.

9

19. Sa se rezolve inecuatia: r1 + 4x

x< 1.

(a) x ∈µ−13, 0

¶; (b) x ∈

µ−∞,−1

4

¶∪ (0,∞) ;

(c) x ∈µ−13,−14

¸; (d) x ∈

µ−∞,−1

4

¸∪ (0,∞) .

20. Multimea solutiilor inecuatieip|x− 6| >

p|x2 − 12x+ 36|

este:

(a) R; (b) (5, 6) ∪ (6, 7) ; (c) [6,+∞) ; (d) ∅.

21. Care este relatia dintre numerele:

a =3

q2 +√3, b =

q1 +√2.

(a) numerele nu pot fi comparate; (b) a = b;

(c) a > b; (d) a < b.

22. Numarul a = 3p6√3− 10− 3

p6√3 + 10 apartine multimii

(a) N; (b) Z; (c) R \Q; (d) R \ Z.

23. Se considera functia

f : I ⊂ R→ R, f(x) =

s1 + (4− a2)x− x2

a (1 + x2), a ∈ R∗.

Sa se determne a astfel încât I sa fie un interval de lungime minima.(a) a = 2; (b) a = −2; (c) a = 1; (d) a < 0.

24. Multimea solutiilor sistemului de inecuatii⎧⎨⎩ |x− |x− 1|+ 1| ≤ 2¯x− 12x

¯≤ 1

este:

(a) (−∞,−1) ∪£15,+∞

¢; (b) (−∞,−1);

(c) (−1, 1]; (d) {−1} ∪£13,+∞

¢.


25. Sa se determine m ∈ R astfel încât

f : R→ R,f(x) =½

x2 + 2mx− 1, x ≤ 0mx− 1, x > 0

sa fie functie injectiva pe R.(a) m ∈ (−∞,−1); (b) m ∈ (1,+∞);(c) m ∈ (−∞, 0); (d) m ∈ (0,+∞).

26. Sa se determine m ∈ R astfel încât

f : R→ R, f(x) =

½x+m, x ≤ 12mx− 1, x > 1

sa fie functie surjectiva pe R.(a) m ∈ (−2, 0); (b) m ∈ (0, 2];(c) m ∈ (0,+∞); (d) m ∈ (−∞, 0).

27. Fief : R→ R,f : R→ R,f(x) = max (2x− 1, x+ 1) .

Atunci

(a) f este descrescatoare pe R;(b) f nu este injectiva pe R;

(c) g : R→ R, g (x) =

( x+ 1

2, x ≥ 3

x− 1, x < 3este inversa functiei f .

(d) g : R→ R, g (x) =

(x− 1, x < 3x+ 1

2, x ≥ 3 este inversa functiei f .


f : D ⊆ R→ R, f(x) =x2 + (m+ 1) x+m+ 2

x2 + x+m.

Sa se determine parametrul real m astfel încât f sa fie definita pe R sif(x) ≤ 2 pe R.

(a) m ∈µ1

4,+∞

¶; (b) m ∈ (3,+∞) ;

(c) m = 3; (d) m ∈ (0, 3) .

11

29. Fie ecuatia q1−√x4 − x = x− 1.

Numarul radacinilor ecuatiei este:

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3.

30. Suma H =3p20 + 14

√2 +

3p20− 14

√2 este egala cu:

(a) H = 5; (b) H = 4; (c) H = 5 +√2; (d) H = 5−

√2.

31. Se considera functia f : Z→ Z

f (n) =

½k, daca n = 3k + 1, k ∈ Zn, daca n = 3k sau n = 3k + 2, k ∈ Z

Este f injectiva? Dar surjectiva?

(a) f este injectiva si surjectiva;

(b) f este injectiva si nesurjectiva;

(c) f nu este injectiva, dar este surjectiva;

(d) f nu este injectiva si nici surjectiva.

32. Multimea valorilor x pentru care

ex + 1 > 2e−x

este:

(a) R; (b) (0,+∞) ; (c) (−∞, 0) ; (d) (1,+∞) .

33. Numarul de solutii reale ale ecuatiei

2x + 2x+1 + 2x+2 = 6x + 6x+1

este:

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3.

34. Sa se rezolve ecuatia:

52x − 3 · 5x + 2 = 0.

(a) x = 0 si x = log5 3; (b) x = log5 2 si x = 0;

(c) x = 1 si x = 2; (d) x = 2 si x = 0.


35. Multimea solutiilor ecuatiei

2|x+1| − |2x − 1| = 2x + 1

este:

(a) (−∞,−1) ; (b) [−1, 0] ; (c) (0,+∞) ; (d) [0,+∞) ∪ {−2} .

36. Solutiile ecuatiei ³√3 + 1

´x+³√3− 1

´x= 4

³√2´x

sunt:

(a) x ∈©log√3+1

¡2 +√5¢, log√3+1

¡−2 +

√5¢ª;

(b) x ∈©log√3+1

¡2 +√5¢ª;

(c) x ∈©log√2

¡1 +√3¢, log√2

¡−1 +

√3¢ª;

(d) x ∈©log√3+2

¡7 + 4

√3¢, log√3+2

¡7− 4

√3¢ª

.

37. Daca log12 2 = k, atunci log6 16 are valoarea:

(a)k

1− k; (b)

1− k

k; (c)

4k

1− k; (d)

1− k

4k.

38. Sa se determine valorile lui m ∈ R astfel încât inegalitatea

(m− 2)4x + (2m− 3)2x+1 +m > 2

sa fie adevarata pentru orice x ∈ R.(a) m ∈ [2,+∞); (b) m ∈ (2,∞);(c) m ∈ (−∞, 2); (d) m ∈ (−∞, 0) ∪ (2,∞) .

39. Sa se rezolve inecuatia

log2a x− 3 loga x+ 2x2 − 4 > 0,

unde a > 2 este o constanta.

(a) x ∈ (2, a2) ; (b) x ∈ (a, a2) ;(c) x ∈ (2,∞) ; (d) x ∈ (2, a) ∪ (a2,∞) .

13

40. Numarul solutiilor ecuatiei

x+ 2x + log2 x = 7.

este:

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3.

41. Expresia:

E =lg a

1n + lg a

3n + · · ·+ lg a 2n−1

n

lg a2n + lg a

4n + · · ·+ lg a 2n

n

, a > 0, a 6= 1

este egala cu:

(a) n; (b)n+ 1

n; (c) n

n+1; (d) n (n+ 1).


loga x+ loga2√x+ log√a x

2 =21

2,

unde a ∈ R∗+ \ {1} este un parametru real.

(a) x =a

2; (b) x = a2; (c) x =

√a; (d) x =

1

4.

43. Sa se rezolve inecuatia:

log3 x > log9(5x− 4).

(a) x ∈¡0, 4

5

¢∪ (1,∞) ; (b) x ∈ (0, 1) ∪ (4,∞) ;

(c) x ∈¡45, 1¢∪ (4,∞) ; (d) x ∈ R.

44. Multimea tuturor valorilor x ∈ R pentru care este adevarata inegali-tatea

log x+42

µlog2

2x− 1x+ 3

¶< 0

este:

(a) (−4,∞); (b) (−4,−3) ∪ (4,∞); (c) (−4,−2); (d)¡12,∞¢.

45. Valorile lui a pentru care inegalitatea

log a−1a+1(x2 + 3) ≥ 1

este adevarata, oricare ar fi x ∈ R sunt:(a) a ∈ (−∞,−1); (b) a ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞);(c) a ∈ (−∞,−2]; (d) a ∈ (−∞,−4].



log x28 + log x

48 <

log2 x4

log2 x2 − 4 .

(a) x ∈ (0, 2) ∪ (4,∞) ; (b) x ∈ (4,∞) ;(c) x ∈ (2, 4) ∪ (4,∞) ; (d) x ∈ (0, 1) ∪ (2, 4) ∪ (4,∞) .

47. Multimea solutiilor inecuatiei:

log2

µlog 1

3

µ¯x− 12x+ 3

¯+ 1

¶+ 16

¶< 4

este

(a) R \©−32, 1ª; (b)

³−∞,−3·316−2

2·316−3

´∪³−3·316−42·316−1 , 1

´∪ (1,∞) ;

(c)¡−32, 1¢; (d)

¡−∞,−3

2

¢∪ (1,∞) .


log2a x− 4logb2 x+ 1

> 0,

unde b > a > 1 sunt constante, este:

(a) x ∈µ1

b,1

a

¶; (b) x ∈

³√a,√b´∪ (b,∞) ;

(c) x ∈µ1

b2,1

a2

¶∪ (a2,∞) ; (d) x ∈

µ0,1

b2

¶∪ (a,∞) .


loga x+ logax x > 0

pentru a > 1, este:

(a) x ∈ (2,∞) ; (b) x ∈ (1, 2) ; (c) x ∈ (1, a) ;(d) x ∈

¡1a2, 1a

¢∪ (1,∞) .


log5 x > log125(3x− 2)

este:

(a) x ∈ (−1, 0) ; (b) x ∈¡23, 1¢; (c) x ∈ (−2,∞) ;

(d) x ∈¡23, 1¢∪ (1,∞) .

15


log1−x(x+ 1) ≥ 2

este:

(a) (−∞, 0) ∪ (3,∞) ; (b) (0, 3) ;

(c) ∅; (d) (−1, 0) ∪ (0, 1) .

52. Sa se precizeze multimea solutiilor inecuatiei:

logx

µlog 1

x

µ1 +

1

x

¶¶< 0.

(a) (0,∞) ; (b) (0, 1) ; (c) (1,∞) ; (d) (0,∞) \ {1} .


log2(9− 2x) > 3− x.

(a) x < 8; (b) 0 < x < 3; (c) 0 < x < 2 log2 3; (d) x > 3.

54. Numarul radacinilor reale ale ecuatiei

(1 + i)x4 − (3 + i)x3 + (5 + i) x2 − 4x+ 2 + 2i = 0

este:

(a) 3; (b) 2; (c) 1; (d) 0.

55. Se da ecuatia3x3 + 2x2 + ax+ b = 0,

în care a si b sunt parametri reali. Se cer conditiile pe care trebuie sale îndeplineasca a si b astfel încât ecuatia sa admita o radacina egalacu −2, iar celelalte radacini sa fie reale si pozitive.

(a) a = 8, b =1

3; (b) −8 ≤ a ≤ −20

3, b = 2a+ 16;

(c) −8 ≤ a < 4, b = 1; (d) a = −8, b = 2a+ 16.

56. Sa se determine S = a+ b+ c+ d, stiind ca la împartirea polinomului

x4 − x3 + ax2 + bx+ c

prin x2 + d se obtine restul x, iar la împartirea prin x2 − d se obtinerestul −x.(a) S = 2; (b) S = 1; (c) S = 0; (d) S = −1.


57. Cele patru radacini ale polinomului

x4 − αx3 − αx+ 1 = 0, unde α ∈ (−1, 1) ,

au modulele

(a) doua mai mici ca 1 si doua mai mari ca 1 ; (b) toate egale cu 1 ;

(c) toate mai mici ca 1 ; (d) toate mai mari ca 1.

58. Numarul 1 este pentru polinomul

x2n − nxn+1 + nxn−1 − 1, n ≥ 3,

radacina având ordinul de multiplicitate egal cu:

(a) 1; (b) 2; (c) 3; (d) n+ 2.

59. Fie f ∈ Z [X], f = a0+a1X+a2X2+a3X

3. Sa se determine a0, a1, a2, a3astfel încât

f(1) + f(2) + ...+ f(n) = n4, ∀n ∈ N, n > 0.

(a) a0 = −1, a1 = 4; a2 = −6, a3 = 4;

(b) a0 = 4, a1 = −6; a2 = 4, a3 = −6;

(c) a0 = −1, a1 = 6; a2 = −4, a3 = 6;

(d) a0 = a1 = a2 = a3 = 1.

60. Sa se determine S = a2+ b2 unde numerele reale a si b sunt coeficientiipolinomul

P (x) = x4 − 2x3 + x2 + ax+ b

determinati astfel încât acesta sa se divida cu x2 + 1.

(a) S = 2; (b) S = 5; (c) S = 1; (d) S = 4.

61. Daca x1 = i este o radacina a ecuatiei

x3 + (m− 1)x+m = 0, m ∈ C,

atunci S = x21 + x22 + x23 este:

(a) S = −2; (b) S = −1; (c) S = −2i+ 1; (d) S = −2i.

62. Fie x, y, z ∈ R∗ astfel încât x+y+z = 0 si 1x+1

y+1

z= 0. Sa se precizeze

valoarea lui a pentru care are loc relatia x6 + y6 + z6 = ax2y2z2.

(a) a = 3; (b) a = 1; (c) a = 0; (d) a = 2.

17

63. Fie α ∈ R∗ si p ∈ N numarul tripletelor ordonate (x, y, z) ∈ (R∗)3 caresatisfac relatiile: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x+ y + z = α1

x+1

y+1

z=1

αxy + yz + xz = −2.

, α2 6= 2.

Atunci:

(a) p = 6; (b) p = 3; (c) p = 1; (d) p = 2.

64. Fie polinomul cu coeficienti reali

p(x) = x3 + ax2 + bx+ c.

Sa se precizeze care din urmatoarele conditii sunt necesare si suficienteca radacinile polinomului p sa aiba aceeasi parte reala.

(a) c =ab

3− 2a

3

27;

(b) c =ab

3− 2a

3

27,a2

3− b ≥ 0;

(c) c =ab

3− 2a

3

27,a2

3− b ≤ 0;

(d) c ≥ ab

3− 2a

3

27,a2

3− b ≤ 0.

65. Fie S = m+ n+ p unde m,n, p sunt numere reale astfel ca polinomul

x4 +mx3 + nx2 + px+ 8

sa fie divizibil cu x3 + 5x2 + 2x− 8. Atunci valoarea lui S este:(a) S = −7; (b) S = 0; (c) S = 6; (d) S = −9.

66. Se considera polinomul

p(x) = x4 + x3 + ax+ b.

Valorile parametrilor a si b pentru care restul împartirii lui p(x+ 2) lax+1 sa fie egal cu −18, iar restul împartirii lui p(x− 2) la x− 1 sa fieegal cu −12 sunt:(a) a = −3, b = −15; (b) a = 3, b = 15;

(c) a = −4, b = −16; (d) a = 4, b = 16.


67. Precizati numarul valorilor lui λ ∈ R pentru care ecuatiile urmatoareau cel putin o radacina comuna

x3 − λx+ 2 = 0x2 + λx+ 2 = 0

.

(a) 1; (b) 0; (c) 2; (d) 3.

68. Sa se determine S = m2+n2, unde m si n sunt coeficientii polinomuluix2−mx+n determinati astfel încât polinomul x4+1 sa fie divizibil cux2 −mx+ n.

(a) S = 3; (b) S = 9; (c) S = 2; (d) S = 1.

69. Precizati multimea valorilor lui m pentru care toate radacinile polino-mului

P (x) = x3 − (2m+ 1)x2 − (4m+ 5)x+ 2

sunt reale, stiind ca polinomul admite o radacina care nu depinde dem.

(a)

µ−∞,−5

2

¸∪∙−12,∞¶; (b)

µ−52,1

2

¶; (c)

µ−32,1

2

¶; (d) ∅.

70. Se considera ecuatia2x3 + 3x− 1 = 0

si fie x1, x2, x3 radacinile sale. Ecuatia în necunoscuta y care areradacinile y1 =

x2x3x1

, y2 =x1x3x2

, y3 =x2x1x3

este:

(a) y3 − 2y2 + 3y − 1 = 0; (b) 2y3 − 9y2 − 6y − 1 = 0;(c) y3 + y2 − 6y − 1 = 0; (d) y3 + 5y2 − 1 = 0.

71. Fie ecuatia

x3 − ax2 + bx− c = 0 (a, b, c numere reale nenule).

Sa se precizeze valorile a, b, c astfel încât aceste numere sa fie solutii aleecuatiei date.

(a) a = 1, b = 2, c = 3; (b) a = 2, b = −1, c = 52;

(c) a = 13, b = 2

5, c = 3

4; (d) a = −1, b = −1, c = 1.

72. Fie p(x) ∈ R [X] un polinom de grad ≥ 3 cu proprietatea

xp (x+ 1) + (x+ 2) p (x+ 3) = 2x+ 10,∀x ∈ R.

Restul împartirii polinomului p(x) la x2 − 2x− 3 este(a) 2x− 1; (b) x2 + 1; (c) 3x+ 1; (d) 0

19


f(x) = x3 − x2 + ax− 1, a ∈ R,

x1, x2, x3 ∈ C fiind radacinile polinomului. Sa se determine valoarealui a ∈ R astfel încât x31 + x32 + x33 = 1.

(a) a = 0; (b) a =3

4; (c) a =

4

3; (d) a = 1.


f(x) = xn + px+ q, p, q ∈ R.

Pentru n ∈ N, n ≥ 3 definim Sn = xn1 + xn2 + ... + xnn, x1, x2, ..., xn ∈ Cfiind radacinile polinomului. Valoarea lui Sn este:

(a) Sn = 0; (b) Sn = −p2 + nq; (c) Sn = nq; (d) Sn = −nq.

75. FieP (x) = x2 − x logam+ 3 logam− 8,

unde m ∈ R,m > 0, iar a > 1 este un numar real fixat. Sa se aflevalorile lui m pentru care P (x) > 0, oricare ar fi x ∈ R.(a) m > a(a+ 1); (b) m ∈ (√a, a);(c) m ∈ (a4, a8); (d) m ∈ (a, 2a).

76. Valoarea sumei

Sn = k +k2C1

n

2+

k3C2n

3+ ...+

kn+1Cnn

n+ 1,

pentru k ∈ N fixat este:

(a) Sn =kn − 1n+ 1

; (b) Sn =(k + 1)n+1 − 1

n+ 1;

(c) Sn = (k + 1)n; (d) Sn =kn+1 − 1n+ 1

.

77. Valoarea numarului natural m pentru care al 10-lea termen al dez-voltarii binomului (5 +m)m este cel mai mare, este:

(a) m = 12; (b) m = 5; (c) m = 6; (d) m = 8.

78. Se considera dezvoltarea µxm +

1

x2m

¶n

.


Sa se determine m si n astfel încât termenul de rang 12 sa-l contina pex, termenul de rang 24 sa-l contina pe x5 si dezvoltarea sa aiba termenliber.

(a) m = 19, n = 24; (b) m = −1

9, n = 26;

(c) m = −19, n = 24; (d) m = 1

9, n = 25.

79. În dezvoltarea Ã9

r1

x+ 4√x

!n

suma coeficientilor binomiali este 128. Sa se precizeze termenul care îlcontine pe 3

√x2.

(a) T4; (b) T5; (c) T6; (d) T7.

80. Sa se determine m astfel încât al 5-lea termen al dezvoltarii binomului(2 +m)m sa fie cel mai mare.

(a) m = 3; (b) m = 5; (c) m = 4; (d) m = 7.

81. Numarul h al termenilor independenti de x din dezvoltarea binomuluiµ4

qx√x+

23√x

¶2000este egal cu:

(a) h = 1; (b) h = 0; (c) h = 2; (d) h = 3.

82. Sa se determine numarul termenilor rationali din dezvoltarea binomia-la: ³√

3 +3√2´90

.

(a) 15; (b) 14; (c) 17; (d) 16.

83. Sa se determine termenul care îl contine pe b2 din dezvoltarea

(√a− 3√b)n,

stiind ca n este cel mai mare numar natural care verifica inecuatia:

log 13n+ logn

3n > 0.

(a) T6; (b) T7; (c) T8; (d) T5.

21

84. Fie dezvoltarea binomialaÃ3

ra√b+

sb3√a

!n

,

unde n satisface 22n−4−3·2n+1−256 = 0. Sa se afle termenul dezvoltariiîn care a si b au puteri egale.

(a) T4; (b) T5; (c) T1; (d) T6.

85. Se considera binomul³√2lg(10−3x) +

5√2(x−2) lg 3

´n.

Stiind ca al saselea termen al dezvoltarii binomului este egal cu 21 sicoeficientii binomiali de rang 2, 3 si 4 sunt respectiv primul, al treileasi al cincilea termen al unei progresii aritmetice, atunci:

(a) x = 3; (b) x = 1; (c) x ∈ {1, 2} ; (d) x ∈ {0, 2} .

86. Sa se determine termenul care nu îl contine pe x în dezvoltarea:µx− 1x− x

12

+x− 1

x23 + x

13 + 1

¶25.

(a) T15; (b) T16; (c) T17; (d) T31.

87. Sa se determine n ∈ N∗ astfel încât numarul:

(a+ bi)n + (b+ ai)n ,

sa fie real oricare ar fi a, b ∈ R.(a) n = 2k, k ∈ N∗; (b) n = 3k, k ∈ N∗;(c) n = 4k, k ∈ N∗; (d) n = 3k + 1, k ∈ N∗.

88. Sa se scrie sub forma trigonometica numarul complex dat sub formaalgebrica: −5− i5

√3.

(a) 10¡cos 4π

3+ i sin 4π

3

¢; (b) 10

¡cos π

3+ i sin π

3

¢;

(c) 10¡cos(−π

3) + i sin(−π

3)¢; (d) cos(−π

6) + i sin(−π

6).


89. Fie ecuatia:ax = loga x, a > 0, a 6= 1.

Se cer valorile lui a pentru care ecuatia admite solutie unica.

(a) (0, 1) ∪ (e,∞) ; (b)¡1e, 1¤∪ {e} ;

(c)¡0, 1

e

¢∪ {e} ; (d) (0, 1) ∪

ne1e

o.

90. Sa se rezolve ecuatia în x

logtg x a+ logcosx(a+ 1) = 0,

unde a > 0, a 6= 1 este dat.(a)

π

3+ 2kπ; (b) ±π

3+ 2kπ;

(c) ± arccos 1

1 + a+ 2kπ; (d) arctg

√a+ kπ.

91. Valoarea determinantului¯¯ −2 5 0 −11 0 3 73 −1 0 52 6 −4 1

¯¯

este:

(a) 27; (b) 37; (c) 47; (d) 57.

92. Toate solutiile ecuatiei¯¯ x a a aa x a aa a x aa a a x

¯¯ = 0, a ∈ R∗.

sunt:

(a) x = a sau x = −3a; (b) x = a sau x = 0;

(c) x = a; (d) x = a si x = 0.

93. Sa se calculeze determinantul¯¯ x1 x2 x3x2 x3 x1x3 x1 x2

¯¯

stiind ca x1, x2, x3 sunt radacinile ecuatiei x3 − 2x2 + 2x+ p = 0.

(a) 0; (b) 2; (c) 4; (d) 3p.

23

94. Fie p(x) = x + a, q(x) = x2 + bx + c doua polinoame si x1 6= x2 douanumere arbitrare. Sa se calculeze D(x)/(x2 − x1), unde

D(x) =

¯¯ 1 p(x1) q(x1)1 p(x2) q(x2)1 p(x) q(x)

¯¯ .

(a) (x+ x1)(x+ x2); (b) (x− x1)(x+ x2);

(c) (x+ x1)(x− x2); (d) (x− x1)(x− x2).

95. Se considera polinoamele:

P (x) = x5 + 3x4 + 7x− 1, Q(x) = x3 − x− 3.

Notam cu x1, x2, x3 radacinile polinomului Q(x). Atunci valoarea lui

P (x1) + P (x2) + P (x3)

este:

(a) 20; (b) −18; (c) 18; (d) 0.

96. Sa se precizeze toate valorile a, b, c ∈ R astfel încât ecuatia¯¯ x− a b cc x− a bb c x− a

¯¯ = 0

sa aiba numai radacini reale.

(a) b = c; (b) a = 1, b = c; (c) a = b; (d) a = b = c.

97. Multimea valorilor lui x ∈ R pentru care este adevarata inegalitatea¯¯ 1 1 12 x2 − 6x+ 11 x1 x2 − 4x+ 5 x− 2

¯¯ ≤ 0

este:

(a) [2,∞) ; (b) (−∞, 0) ∪ (2,∞) ; (c) (0, 2) ; (d) R.

98. Daca matricea

A =

⎛⎝ 1 0 10 1 01 0 1

⎞⎠satisface A3 = aA2 + bA atunci S = a2 + b2 este:

(a) S = 10; (b) S = 18; (c) S = 8; (d) S = 13.


99. Se da matricea

A =

⎛⎝ 1 4 00 3 12 0 1

⎞⎠ .

Daca matricea este inversabila sa se calculeze d = det(A−1).

(a) d = 1; (b) d = 11; (c) d = 111;

(d) A nu este inversabila.

100. Fie A ∈M3(R),

A =

⎛⎝ 0 a b−a 0 c−b −c 0

⎞⎠ , a2 + b2 + c2 6= 0.

Se cere rangul matricei A.

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3.

101. Câte solutii are ecuatia:¡1 2 4

¢·X =

¡3 1 2

¢unde X este o matrice patratica de ordin 3 având elementele numerenaturale.

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 4.

102. Sa se calculeze An, n ∈ N, unde

A =1

2

µ √2

√2

−√2√2

¶.

(a)

Ãcos nπ

6sin nπ

6

− sin nπ6

cos nπ6

!; (b)

Ãcos (n+1)π

4sin (n+1)π

4

− sin (n+1)π4

cos (n+1)π4

!;

(c)

Ãcos (n+1)π

6sin (n+1)π

6

− sin (n+1)π6

cos (n+1)π6

!; (d)

Ãcos nπ

4sin nπ

4

− sin nπ4

cos nπ4

!.

103. Fie matricea

A =

⎛⎝ 1 a+ 1 1a 1 −11 −2 −a

⎞⎠si M = {a ∈ R | rangul matricei A este egal cu 2} si S =

Pa∈M

|a| . A-tunci:

(a) S = 3; (b) S = 2; (c) S = 1; (d) S = 5.

25

104. Fie λ ∈ R,

A(λ) =

⎛⎜⎜⎝λ 1 1 11 λ 1 11 1 λ 11 1 1 λ

⎞⎟⎟⎠si M = {λ ∈ R; rangA(λ) < 4}. Atunci α =

Pλ∈M

λ este:

(a) α = 3; (b) α = −2; (c) α = 0; (d) α = 2.

105. Solutia ecuatiei matriceale

X

⎛⎝ 1 2 30 1 2−1 2 3

⎞⎠ =

⎛⎝ −1 5 32 1 −1−3 4 −5

⎞⎠ .

este:

(a) X =

⎛⎝ 12

0 −12

1 −3 1−12

2 −12

⎞⎠; (b) X =

⎛⎝ 1 12

4−10 6 16 −5

2−1

⎞⎠;(c) X =

⎛⎝ 3 −9 452−5 1

2

5 −22 8

⎞⎠; (d) X =

⎛⎝ 2 1 8−6 19 −5−8 29 −8

⎞⎠.106. Valorile parametrului real m astfel încât matricea

A =

⎛⎝ 2 x 3x −1 x1 2 m

⎞⎠sa fie inversabila pentru orice x ∈ R sunt:(a) m = 1; (b) m ∈

¡12, 2¢; (c) m ∈ (1, 2) ;

(d) m ∈¡−∞, 1

2

¢∪ (2,∞).

107. Fie matricele

A =

µ2 00 3

¶si B =

nXk=1

Ak.

Atunci, pentru n ∈ N, n ≥ 1 :

(a) B este inversabila si B−1 =1

(2n + 1) (3n + 1)

µ2 00 3

¶;

(b) B nu este inversabila;


(c) B este inversabila si B−1 =1

3 (2n − 1)

µ3n 00 2n

¶;

(d) B este inversabila si B−1 =

⎛⎜⎜⎝1

2 (2n − 1) 0

01

32(3n − 1)

⎞⎟⎟⎠.108. Fie

M =

µa −bb a

¶o matrice nenula cu elemente reale. Sa se calculeze Mn.

(S-au folosit notatiile ρ =√a2 + b2 si ϕ determinat prin conditiile

cosϕ =a

ρ, sinϕ =

b

ρ).

(a) Mn = ρnµsinnϕ − cosnϕcosnϕ sinnϕ

¶;

(b) Mn = ρnµcosnϕ sinnϕ− sinnϕ cosnϕ

¶;

(c) Mn = ρnµcosnϕ sinnϕsinnϕ cosnϕ

¶;

(d) Mn = ρnµcosnϕ − sinnϕsinnϕ cosnϕ

¶.

109. Precizati matricele A ∈ M2(R) care satisfac relatia A2 + A + I = 0,unde I ∈ M2(R) este matricea unitate iar 0 ∈ M2(R) este matriceanula. Stabiliti daca o astfel de matrice este inversabila.

(a) A =

µ−d− 1 b

−1b(d2 + d+ 1) d

¶, b, d ∈ R sau

A =

µ−d− 1 −1

c(d2 + d+ 1)

c d

¶, c, d ∈ R si exista A−1.

(b) A =

µ−d− 1 −1

b(d2 + d+ 1)

b d

¶, nu exista A−1.

(c) A =

µ−d− 1 b

−1b(d2 + d+ 1) d

¶, nu exista A−1.

27

(d) A =

µ−d− 1 −b

−1b(d2 + d+ 1) −d

¶si exista A−1.

110. Fie

A =

⎛⎝ 1 1 11 ε ε2

1 ε2 ε

⎞⎠ ,

unde ε este o radacina a ecuatiei x2 + x+ 1 = 0. Sa se calculeze A2011.

(a) 31004 · I3; (b) 31007 ·

⎛⎝ 1 0 00 0 10 1 0

⎞⎠ ;

(c) 31006 ·

⎛⎝ 1 1 11 ε2 ε1 ε ε2

⎞⎠ ; (d) I3.

111. Fie λ ∈ R \ {0} si

A =

⎛⎝ λ 1 00 λ 10 0 λ

⎞⎠ .

Atunci, ∀n ∈ N,

(a) An =

⎛⎝ 1 λn 00 1 λn

0 0 1

⎞⎠ ; (b) An =

⎛⎝ λn 1 00 λn 10 0 λn

⎞⎠ ;

(c) An =

⎛⎝ nλn λn−1 00 nλn λn−1

0 0 nλn

⎞⎠ ;

(d) An =

⎛⎝ λn nλn−1 n(n−1)2

λn−2

0 λn nλn−1

0 0 λn

⎞⎠ .

112. Fie matricea A ∈Mn(R), n ≥ 2, A = (aij)i=1,2,...,nj=1,2,...,n

unde

aij =

½0, i = j1, i 6= j

.

Sa se calculeze det(A), A−1 si det(A−1 + In).


(a) det(A) = n− 1, A−1 =

⎛⎜⎝2−nn−1 ... 1

n−1...

. . ....

1n−1 ... 2−n

n−1

⎞⎟⎠ si det(A−1 + In) = 0;

(b) det(A) = (−1)n−1(n− 1), A−1 =

⎛⎜⎝2−nn−1 ... 1

n−1...

. . ....

1n−1 ... 2−n

n−1

⎞⎟⎠ si

det(A−1 + In) = 0;

(c) det(A) = (−1)n(n− 1), A−1 =

⎛⎜⎝n−21−n ... − 1

1−n...

. . ....

− 11−n ... n−2

1−n

⎞⎟⎠ si

det(A−1 + In) = 0;

(d) det(A) = n− 1, A−1 =

⎛⎜⎝2−nn−1 ... n

n−1...

. . ....

nn−1 ... 2−n

n−1

⎞⎟⎠ si det(A−1 + In) = 0;

113. Pentru ce valori ale lui λ ∈ R, matricea

A =

⎛⎝ λ 1 11 λ 11 1 λ

⎞⎠este nesingulara? În acest caz, sa se determine inversa A−1.

(a) λ = 1, A−1 =

⎛⎝ 1/3 1/3 1/31/3 1/3 1/31/3 1/3 1/3

⎞⎠ ;(b) λ 6= 1, λ 6= −2, A−1 =

⎛⎝ α β ββ α ββ β α

⎞⎠ , unde α = λ+1(λ−1)2(λ+2) ,

β = − 1(λ−1)2(λ+2) ;

(c) λ 6= 1, λ 6= −2, A−1 =


⎞⎠ , unde α = (λ+1)(λ−2)(λ−1)2(λ+2) ,

β = λ+1(λ−1)2(λ+2) ;

(d) λ 6= 1, λ 6= −2, A−1 =


⎞⎠ , unde α = λ+1(λ−1)(λ+2) ,

29

β = − 1(λ−1)(λ+2) .

114. Fie sistemul: ⎧⎨⎩ 2x+ y +mz = 1x− y +m2z = m2x+ (m+ 1)z = m2

.

si M = {m ∈ R | sistemul este incompatibil} , S =Xm∈M

m. Atunci:

(a) S = 0; (b) S = 12; (c) S = −1; (d) S = 3

2.

115. Toate solutiile sistemului⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x+ 2y + 4z − 3v = 03x+ 5y + 6z − 4v = 04x+ 5y − 2z + 3v = 03x+ 8y + 24z − 19v = 0

sunt:

(a) x = y = z = v = 0 ;

(b) x = 1, y = −6, z = 1, v = 0 ;(c) x = 8α− 7β, y = −6α+ 5β, z = α, v = β cu α, β ∈ R;(d) sistemul nu are solutii.

116. Determinati valorile parametrului real α pentru care sistemul de ecuatiieste incompatibil: ⎧⎨⎩ 2x+ y − z = α

x− y + 2z = 14x− y + 3z = 2 + α

.

(a) α ∈ (−∞, 1] ; (b) α = 1; (c) α ∈ R; (d) nu exista.

117. Fie sistemul: ⎧⎨⎩ −2x+ 4y + 2z = 2 + b2x− ay + z = −3−x+ 2y + z = b

.

si multimile: A = {a ∈ R, sistemul este nu compatibil determinat} ,B = {b ∈ R, sistemul este compatibil nedeterminat} , atunci numarulelementelor multimii A ∩B este egal cu:

(a) 1; (b) 4; (c) 2; (d) nici un element.


118. Solutia sistemul⎧⎨⎩ αx+ (α+ 1) y + (α+ 2) z = α+ 3βx+ (β + 1) y + (β + 2) z = β + 3x+ γy + γ2z = γ3

, α, β, γ ∈ R, α 6= β, γ 6= 1,

în ipotezele date este:

(a) x = α, y = β, z = γ; (b) x = β, y = α, z = γ;

(c) x = 0, y = −1, z = 2; (d) x = γ, y = − (2γ + 1) , z = γ + 2.

119. Se considera sistemul: ⎧⎨⎩ x1 + x2 + 1 = 0mx1 + 2x2 + 3 = 0m2x1 + 4x2 + 9 = 0

si fie M = {m ∈ R | sistemul este compatibil} . Atunci S =P

m∈Mm

este:

(a) S = 5; (b) S = −1; (c) S = −2; (d) S = 3.

120. Se considera sistemul:⎧⎨⎩ x1 −mx2 + 1 = 02x1 + x2 −m = 03x1 + (m− 1)x2 +m− 1 = 0

Fie M = {m ∈ R | sistemul este compatibil } atunci S =P

m∈Mm este:

(a) S = 0; (b) S = 5; (c) S = 4; (d) S = −2.

121. Sa se calculeze rangul matricei sistemului, rangul matricei extinse si sase precizeze natura sistemului:⎧⎨⎩ x− y + z = 3

2x+ y − 3z = 10x+ 5y − 9z = 11

.

(a) rs = re = 3 sistem compatibil determinat;

(b) rs = 2, re = 3 sistem incompatibil;

(c) rs = re = 2 sistem compatibil 1-nedeterminat;

(d) rs = re = 1 sistem compatibil 2-nedeterminat.

31

122. Sa se calculeze rangul matricei sistemului, rangul matricei extinse si sase precizeze natura sistemului:⎧⎨⎩ x− y + z = 3

2x+ y − 3z = 10x+ 5y − 9z = 8

.

(a) rs = re = 3 sistem compatibil determinat;

(b) rs = 2, re = 3 sistem incompatibil;

(c) rs = re = 2 sistem compatibil nedeterminat;

(d) rs = re = 1 sistem compatibil nedeterminat.

123. Fie ε = −12+i

√32. Precizati toate tripletele de numere complexe (x, y, z)

care satisfac simultan relatiile:⎧⎨⎩ x+ εy + ε2z = 0ε2x+ y + εz = 0εx+ ε2y + z = 0

(a) x = 1, y = 1, z = 1; (b) x = 0, y = 0, z = 0;

(c) {(−εy − ε2z, y, z)|y, z ∈ C} ; (d) x = y = z.

124. Fie sistemul ⎧⎨⎩ ax+ ay + z = 1x+ ay + az = 1x+ y + az = a

si A = {a ∈ R| sistemul este compatibil nedeterminat} . Atunci:(a) A = {1, 2} ; (b) A = {0, 1} ; (c) A = {1} ; (d) A = {−1, 1} .

125. Se considera sistemul: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩6x−my + 3z = 0−mx+ 6y + 3z = 0mx− y + 2z = 0x2 + y2 + 4z = 70

.

Sa se precizeze numarul p de valori ale lui m ∈ R pentru care sistemuladmite solutii reale si numarul q de solutii reale ale sistemului.

(a) p = 0, q = 4; (b) p = 2, q = 4; (c) p = 3, q = 2;

(d) p = 2, q = 3.


126. Fie p numarul solutiilor sistemului în Z12⎧⎨⎩2x+ 3y + 3z = 2

6x+ 4y + 2z = 6

3x+ 2y + 4z = 3

Atunci valoarea lui p este:

(a) p = 1; (b) p = 16; (c) p = 0; (d) p = 12.

127. Pe R se defineste legea de compozitie prin relatia:

x ∗ y = xy + ax+ 2by + 1,∀x, y ∈ R.Sa se determine a, b ∈ R astfel încât legea sa fie comutativa si asocia-tiva.

(a) a = 1, b = 12; (b) a = 0, b = 0 sau a = 1, b = 1

2;

(c) a = 1+√5

2, b = 1+

√5

4sau a = 1−

√5

2, b = 1−

√5

4;

(d) nu exista solutie.

128. Pe multimea R a numerelor reale se considera legea de compozitiedefinita prin

x y = mx+ ny − 1,∀x, y ∈ R,în care m si n sunt constante reale. Sa se afle m si n astfel încât (M, )sa fie grup comutativ.

(a) m = 1, n = 2; (b) m = 1, n = −1; (c) nu exista;

(d) m = 1, n = 1.

129. Fie M = {x; x ∈ R, x 6= −1} si operatia “ ” definita prinx y = 2ax+ by + xy, ∀x, y ∈M.

Sa se determine parametrii a si b reali astfel încât (M, ) sa fie grupcomutativ. Sa se precizeze elementul simetric x0 al elementului arbitrarx.

(a) a = 12, b = 1, x0 = − x

x+1; (b) a = 1, b = 1, x0 = x

x+1;

(c) a = 12, b = 1, x0 = x

x+1; (d) a = 1

2, b = 1, x0 = 1

x+1.

130. Pe multimea G = (0,∞) se defineste legea x ∗ y = 2xy

x+ y, ∀x, y ∈ G.

Precizati care din urmatoarele afirmatii este adevarata:

(a) (G, ∗) este grup comutativ; (b) (G, ∗) este grup necomutativ;(c) (G, ∗) este monoid; (d) legea ∗ nu este asociativa.

33

131. Pe multimea R a numerelor reale se defineste operatia

x ⊥ y = 3px3 + y3, ∀x, y ∈ R

unde pentru radical se ia valoarea reala. Sa se scrie conditia ca o bijectief : R→ R sa stabileasca un izomorfism între grupurile (R,⊥) si (R,+).Sa se indice bijectia respectiva.

(a) f(x ⊥ y) = f( 3√x) + f( 3

√y) si f(x) = x3;

(b) f(x ⊥ y) = f(x) + f(y) si f(x) = x3;

(c) f(x ⊥ y) = f(x)f(y) si f(x) = x3;

(d) f(x ⊥ y) = 3pf(x) + 3

pf(y) si f(x) = 3

√x.

132. Pe Z (multimea numerelor întregi) se definesc operatiile:

x ⊥ y = x+ y + 1si x | y = x+ y − 1.

Sa se afle o bijectie f : Z→ Z, care defineste un izomorfism între gru-purile (Z,⊥) si (Z,|).(a) f(x) = x+ a, a ∈ Z; (b) f(x) = ax+ a− 1, a ∈ ZÂ {0};(c) f(x) = x+ 2a− 1, a ∈ Z; (d) f(x) = ax+ a+ 1, a ∈ ZÂ {0} .

133. Pe multimea R a numerelor reale se considera legea de compozitie ” “,data prin:

x y = ax+ by − 1, x, y ∈ R

în care a si b sunt constante reale. Sa se determine a si b astfel încâtlegea data sa defineasca pe R o structura de grup abelian.

(a) a = 1, b = 2; (b) a = 1, b = −1; (c) a = 2, b = 2;

(d) a = 1, b = 1.

134. FieM = {x ∈ R; x > 0} si grupurile (M, ·) , (R,+) . Aflatim ∈ R astfelîncât:

f :M → R, f(x) = ln³(m− 1)x+

√m2 − 4

´sa fie izomorfism între cele doua grupuri.

(a) m = 1; (b) m = 4; (c) nu exista m; (d) m = 2.


135. În multimea M = {x;x ∈ R, x ≥ 1} se defineste operatia interna

x ∗ y = xy −p(x2 − 1)(y2 − 1),∀x, y ∈M.

Sa se afle elementul neutru si multimea elementelor care au invers fatade aceasta operatie.

Sa se calculeze x ∗ x ∗ · · · ∗ x| {z }2n

, unde x ∈M este un element oarecare.

(a) elementul neutru este 1, fiecare element are invers si

x ∗ x ∗ · · · ∗ x| {z }2n

= 1;

(b) elementul neutru este 1, fiecare element are invers si

x ∗ x ∗ · · · ∗ x| {z }2n

= x;

(c) nu exista element neutru, fiecare element are invers si

x ∗ x ∗ · · · ∗ x| {z }2n

= x;

(d) elementul neutru este 1, pentru x ≥ 2 nu exista invers six ∗ x ∗ · · · ∗ x| {z }

2n

= x.

136. Pe multimea M = {x; x ∈ R, x 6= 1} , consideram legea de compozitie”◦” , data prin

x ◦ y = 2xy − 2x− 2y + c

în care constanta reala c se va determina, astfel încât (M, ◦) sa fie grup.Sa se afle elementul unitate e si inversul x∗ al unui element oarecare x.

(a) c = 3, e = 2, x∗ = x− 1; (b) c = 3, e =3

2, x∗ =

x− 34

x− 1 ;

(c) c = 3, e = 3, x∗ = x+ 2; (d) c = 2, e =3

2, x∗ =

x− 2x− 1 .

137. Pe C se defineste legea de compozitie ∗:

z1 ∗ z2 = z1z2 + i(z1 + z2)− 1− i,∀z1 ∈ C,∀z2 ∈ C.

Fie e elementul neutru si z solutia ecuatiei z ∗ (1 − i) = 3 + i. Sa sestabileasca daca:

(a) e = 1 + i si z = 3 + i; (b) e = 1− i si z = 3 + i;

(c) e = i si z = 3− i; (d) e = 1− i si z = 5 + i.

35

138. Fie (M∗3(R), ·) grupul multiplicativ al matricelor patratice nesingulare

de ordinul 3 si functia

f : R→M∗3(R), f(t) =

⎛⎝ 1 t 2t2 + 2t0 1 4t0 0 1

⎞⎠ .

Care din afirmatiile urmatoare e falsa?

(a) (M∗3(R), ·) este grup necomutativ;

(b) f este un morfism de la (R,+) la (M∗3(R), ·);

(c) f este un izomorfism de la (R,+) la (M∗3(R), ·);

(d) f(0) = I3.

139. Fie (G, ∗) grupul cu G = (−1, 1) si

x ∗ y = x+ y

1 + xy,∀x, y ∈ G.

Sa se afle a ∈ R, astfel încât functia f : R∗+ → G,

f(x) =ax− 1x+ 1

sa fie un izomorfism de la (R∗+, ·) la (G, ∗).

(a) a = 0; (b) a = 1; (c) a =1

2; (d) a = −1

2.

140. Numarul elementelor inversabile în inelul Z12 este:(a) 4; (b) 3; (c) 1; (d) 12.

141. Fie M = {x;x ∈ R, x ≥ 1} si operatia interna

x ∗ y = xy +p(x2 − 1)(y2 − 1),∀x, y ∈M.

Aceasta operatie are element neutru? Daca da, care este acesta? Caresunt elementele din M , care au invers fata de aceasta operatie?

(a) Da, elementul neutru este 1. Singurul element care are invers este1.

(b) Da, elementul neutru este 1. Nici un element nu are invers.

(c) Nu exista element neutru.

(d) Da, elementul neutru este 1. Toate elementele sunt inversabile.


142. Multimea matricelor de forma

M (a) =

µ2− a a− 12(1− a) 2a− 1

¶cu a real nenul formeaza un grup multiplicativ G, izomorf cu grupulmultiplicativ al numerelor reale diferite de zero. Sa se precizeze cores-pondenta care realizeaza acest izomorfism si sa se afle inversa matriceiM (a) .

(a) M (a)→ a2, (M (a))−1 =

µ2− 1

a1a− 1

2(1− 1a) 2

a− 1

¶;

(b) M (a)→ a, (M (a))−1 =

µ2− 1

a1a− 1

2(1− 1a) 2

a− 1

¶;

(c) M (a)→ 1a2, (M (a))−1 =

µ2− 1

a1a− 1

2(1− 1a) 2

a− 1

¶;

(d) M (a)→ 1a, (M (a))−1 =

µ2 + a −a− 12(1 + a) −2a− 1

¶.


M (a) =

⎛⎝ 1 0 a

−a 1 −a2

2

0 0 1

⎞⎠cu a real formeaza un grup multiplicativ G, izomorf cu grupul aditival numerelor reale diferite de zero. Sa se precizeze corespondenta carerealizeaza acest izomorfism si sa se afle inversa matricei (M (a))n .

(a) M (a)→ a, (M (a))n =M (an) ;

(b) M (a)→ a, (M (a))n =M (na) ;

(c) M (a)→ −a, (M (a))n =M ((−a)n) ;

(d) M (a)→ a, (M (a))n =M (−an) .

144. Pe multimea Q∗+ a numerelor rationale strict pozitive se defineste legeade compozitie interna ∗ astfel încât:(1) (x ∗ y) (z ∗ t) = (xz) ∗ (yt) , (∀)x, y, z, t ∈ Q∗+;(2) x ∗ x = 1, (∀)x ∈ Q∗+;

37

(3) x ∗ 1 = 1 ∗ x = x, (∀)x ∈ Q∗+.Valoarea lui 27 ∗ 43 este:(a) 27/43; (b) 43/27; (c) (43/27)− 1; (d) 1.

145. Se considera multimea

G = {Ma,b ∈M3 (R) , Ma,b =

⎛⎝ a b bb a bb b a

⎞⎠ , a, b ∈ R, detMa,b = 1}.

Este înmultirea matricelor o lege de compozitie interna pe G? În cazafirmativ, ce structura are (G, ·)?(a) Înmultirea matricelor nu este o lege de compozitie interna pe G;

(b) Înmultirea matricelor este o lege de compozitie interna pe G, (G, ·)este grup finit;

(c) Înmultirea matricelor este o lege de compozitie interna pe G, (G, ·)este monoid necomutativ;

(d) Înmultirea matricelor este o lege de compozitie interna pe G, (G, ·)este grup comutativ.

146. Pe Z se definesc operatiile x ∗ y = x + y + 1 si x ◦ y = x + y − 1,(∀)x, y ∈ Z. Sunt (Z, ∗) , (Z, ◦) grupuri? În caz afirmativ, sunt eleizomorfe?

(a) Ambele sunt grupuri si aceste doua grupuri sunt izomorfe;

(b) (Z, ∗) este grup, iar (Z, ◦) nu este grup;(c) (Z, ∗) nu este grup, iar (Z, ◦) este grup;(d) Ambele sunt grupuri, dar nu sunt izomorfe.

147. Într-un inel (A,+, .) , 0 si 1 sunt elementele neutre la adunare si respec-tiv înmultire. Daca x6 = x, (∀)x ∈ A, atunci valoarea lui x+x+1+1este:

(a) 1; (b) 0; (c) x; (d) x2.

148. Legile de compozitie definite pe R prin x⊕ y = ax+ by − 1 six¯ y = 2 (xy − x− y) + c, ∀x, y ∈ R, induc pe R o structura de corpcomutativ daca:

(a) a = b = 1, c = 3; (b) a = 2, b = 1, c = 3;

(c) a = 1, b = 2, c = 6; (d) a = 2, b = 1, c = 3;


149. Pe R se definesc operatiile:½x>y = ax+ by − 2

x⊥y = xy − cx− dy + 6,

(∀)x, y ∈ R, unde a, b, c, d ∈ R sunt constante arbitrare. Daca tripletul(R,>,⊥) este corp comutativ, atunci:(a) a = 1, b = −1, c = −3, d = −3; (b) a = b = 0, c = d = −3;(c) a = b = 1, c = d = 2; (d) a = b = 1, c = d = −3.

150. Se da corpul (R,|,⊥) ale carui elemente neutre fata de legile | si⊥ sunt3 respectiv 15. Stiind ca exista un izomorfism f : (R,+, ·)→ (R,|,⊥)de forma f(x) = ax+ b se cere simetricul lui 27 fata de legea ⊥.(a) 23; (b) 9; (c) 0; (d) 27.

Capitolul 2

Analiza

1. Fie

l = limn→∞

µ1

n2+2

n2+ · · ·+ n

n2

¶.

Atunci:

(a) l = 1; (b) l = 12; (c) l = 0; (d) l =∞.

2. Limitalimn→∞

n(√n+ 1−

√n)

este:

(a) 1; (b)1

2; (c)

3

4; (d) ∞.

3. Sa se afle

limn→∞

sn2 + 1

n+ 2ln

n+ 1

n.

(a) 12; (b) 1 ; (c) e ; (d) ∞ .

4. Daca an =nX

k=2

ln¡1− 1

k2

¢, n ≥ 2, atunci:

(a) an+1 < an, limn→∞

an = ln 2; (b) an+1 < an, limn→∞

an = ln12;

(c) an < an+1, limn→∞

an =1ln 2; (d) an+1 < an, lim

n→∞an = 1− ln 2.

5. Daca an =nX

k=1

k2 + k

n3 + k2, atunci:

(a) limn→∞

an = 0; (b) limn→∞

an =13;

39

40 CAPITOLUL 2. ANALIZA

(c) limn→∞

an = 1; (d) limn→∞

an =12.

6. Sa se afle valorile lui a ∈ R astfel încât:

limn→∞

pan(a+ 5)(n+ 1) + (a+ 9)(n+ 3)(n+ 5)√

a2n2 + 1= 3.

(a) a ∈©32,−3

4

ª; (b) a = 9; (c) a ∈ {3, 9} ; (d) a ∈

©32, 3ª.

7. Sa se precizeze valoarea lui a = limn→∞

(b1 + b2 + · · ·+ bn) , unde

bk =2k + 1

k2(k + 1)2.

(a) a =∞; (b) a = 0; (c) a = 1; (d) a =1

2.

8. Sa se calculeze l = limn→∞

sin2(π√n2 + n+ 1).

(a) l = 1; (b) l = 12; (c) l = 0; (d) l =∞.

9. Se considera sirul de numere reale:

xn = (−1)n−1µ2 +

3

n

¶, ∀n ∈ N∗.

Atunci:

(a) limn→∞

xn = 2; (b) (xn)n∈N∗ e sir monoton;

(c) minn∈N∗

xn = −7

2si max

n∈N∗xn = 5;

(d) minn∈N∗

xn = −2 si maxn∈N∗

xn = 2.

10. Fie a0, a1, ..., ak numere reale astfel încât a0 + a1 + ...+ ak = 0 si

l = limn→∞

³a0

3√n+ a1

3√n+ 1 + ...+ ak

3√n+ k

´.

Atunci:

(a) l = 0; (b) l = +∞; (c) l = 1; (d) l nu exista.

11. Se considera sirul de numere reale

xn =2 + (−1)n

2n+ (−1)n ,∀n ∈ N.

Atunci

41

(a) (xn)n∈N este sir crescator; (b) @ limn→∞

xn;

(c) @ limn→∞

xn+1xn

; (d) maxn∈N

xn = 1.

12. Fie

f : (0,+∞)→ R, f (x) = lnµ1− 2

x+ 2

¶.

Fie l limita sirului cu termenul general

bn = n

µan + ln

n2 + 1

2

¶unde an = f(1) + f(2) + ...+ f(n).

Atunci:

(a) l = 0; (b) l =∞; (c) l = 1; (d) l = −3.

13. Fie an = limx→0(1− x sinnx)

1

x2 si bn = a1+ a2 + · · ·+ an. Sa se precizeze

valoarea lui b = limn→∞

bn.

(a) b = 1; (b) b =∞; (c) b =1

1− e; (d) b =

1

e− 1 .

14. Daca (an)n∈N este sir real definit de

a1 =√a, an =

√a+ an−1, a > 0,

atunci:

(a) (an)n∈N este marginit si limn→∞

an =12(a+

√1 + 4a),

(b) (an)n∈N este nemarginit si limn→∞

an =∞,

(c) (an)n∈N este marginit si limn→∞

an =12

√1 + 4a,

(d) (an)n∈N este marginit si limn→∞

an =12(1 +

√1 + 4a).

15. Domeniul maxim de definitie al functiei

f (x) =

rln (−x2 + 4)−x2 + 4

este:

(a) x ∈ [0,∞) ; (b) x ∈£−√3,√3¤;

(c) x ∈ (−1, 1] ; (d) x ∈ (−∞, 1] .


16. Domeniul maxim de definitie al functiei

f (x) = 3x+

rx2 − 1x+ 2

+ ln (lnx)

este:

(a) x ∈ (−∞, 0) ; (b) x ∈ (0, 1) ;(c) x ∈ [−1, 1] ; (d) x ∈ (1,+∞) .

17. Multimea punctelor de continuitate ale functiei f : R→ R unde

f (x) =

½x, daca x ∈ Qx2, daca x ∈ R\Q

este:

(a) {0, 1} ; (b) [0, 1] ; (c) Q; (d) ∅.

18. Sa se calculeze

limx→0

(2x − 1) ln (1 + sinx)¡√1 + x− 1

¢tg 2x

.

(a) 1; (b) ln 2; (c) 0; (d) 14.

19. Fie

l = limx→0

esinx − etg x

esin 2x − etg 2x.

Atunci:

(a) l = 0; (b) l = 18; (c) l = 1

2; (d) limita nu exista.

20. Fie l = limx→∞

µx+√x

x−√x

¶√x. Valoarea lui l este:

(a) l =∞; (b) l = −∞; (c) l = 2; (d) l = e2.

21. Valoarea limitei:

L = limx→∞

ln(x2 − x+ 1)

ln(x10 + x+ 1)

este:

(a) L = 1; (b) L = 15; (c) L = −1; (d) L = 1

3.

22. Valoarea limitei

limx→0

ln (1 + x+ x2) + ln (1− x+ x2)

x2

este:

(a) 3; (b) 2; (c) − 1; (d) 1.

43

23. Fie ecuatiat2 + 2(x− 1)t+ 4 = 0

cu radacinile t1(x) respectiv t2(x), x ∈ R si fie L1 = limx→−∞

xt1(x) si

L2 = limx→−∞

xt2(x). Valorile lui L1 si L2 Sunt:

(a) L1 =∞, L2 =∞; (b)L1 = −∞, L2 =∞;(c) L1 = −∞, L2 = −2; (d) L1 = 0, L2 = −∞.

24. Sa se determine:

L = limx→∞

(sin(ln(x+ 1))− sin(lnx)) .

(a) L =√22; (b) L = −1; (c) L = 1; (d) L = 0.

25. Pentru câte valori ale lui n ∈ N exista limita

limx→0

x cosx− sinxxn

(a) 1; (b) 2; (c) 3; (d) o infinitate.

26. Sa se determine valoarea limitei

limx→e

lnx− 1x− e

.

(a) e; (b) 1/2; (c) 3; (d) 1/e.

27. Daca

f(x) =

µ1 + |x|− x

1− x

¶ 1|x|

, x 6= 0, x 6= 1,

atunci:

(a) limx→0,x<0

f(x) = e, limx→0,x>0

f(x) =1

e;

(b) limx→0,x<0

f(x) =1

e, lim

x→0,x>0f(x) = e

1

e;

(c) limx→0,x<0

f(x) = −e, limx→0,x>0

f(x) = e;

(d) limx→0

f(x) = e.


28. Sa se calculeze

limx→0

µtg x

x

¶ 1sin2 x

(a) 0; (b) ∞; (c) e; (d) 3√e. (2)

29. Sa se precizeze valoarea limitei

L = limn→∞

n√n4 + n2 + 1 + 5n.

(a) L =∞; (b) L = 1; (c) L = 5; (d) L = 0.

30. Fie (xn)n∈N si (yn)n∈N doua siruri de numere rationale ce verifica relatia³3 +√7´n= xn + yn

√7,∀n ∈ N.

Daca l = limn→∞

xnynatunci:

(a) l = 3; (b) l = 0; (c) l =√3; (d) l =

√7.

31. Functia f : (0, 1) ∪ (1,∞)→ R unde f (x) = logx (x+ 1) este:

(a) strict crescatoare; (b) strict descrescatoare;

(c) strict crescatoare pe (0, 1) si strict descrescatoare pe (1,∞);(d) strict descrescatoare pe ambele intervale, dar nemonotona.

32. Fie functiile f si g definite pe R astfel încât

f(x) = (x+ 2)g(x),∀x ∈ R,

g functie derivabila în origine si g(0) = 2, g0(0) = −1. Atunci valoarealui f 0(0) este:

(a)− 2; (b) 2; (c) −1; (d) 0.

33. Valorile lui m pentru care functia

f : R→ R, f(x) = mx− ln(x2 + 1)

este monoton crescatoare pe R sunt:

(a) m ≤ 1; (b) m ∈ (0, 1] ;

(c) m ≥ 1; (d) m ∈ [0, 1] .

45

34. Fie f : R\ {−1, 1} → R unde f (x) =x+ 3

x2 − 1 . Se cere numarul desolutii ale ecuatiei f (5) (x) = 0.

(a) 1; (b) 2; (c) 5; (d) 6.

35. Ecuatiax2 − 2 lnx+m = 0, m ∈ R,

admite doua solutii reale distincte daca:

(a) m > 1; (b) m < −1; (c) m ∈ R; (d) m ∈ ∅.

36. Sa se determine asimptotele (orizontale, oblice si verticale) pentru ur-matoarea functie: f : D → R, D fiind domeniul maxim de definitie alfunctiei

f(x) =x

x2 − 1 .

(a) nu admite asimptote; (b) x = 1, y = 0;

(c) x = −1, x = 1, y = 0; (d) x = 1, y = −1.

37. Pentru ce valori reale ale constantelor a, b functia f : R → R, definitaprin:

f(x) =

½2x2 + b, x ≤ 2,2ax3 + 11a, x > 2,

este derivabila pe R.

(a) a = 0, b = −8; (b) a =1

9, b = −5;

(c) a =2

3, b = −2; (d) a =

1

3, b = 1.

38. Functia f (x) = xex + e−2x, x ∈ R, verifica egalitatea

f 000 (x) + af 00 (x) + bf 0 (x) + cf (x) = 0, x ∈ R,

în care:

(a) a = 1, b = −1, c = 2; (b) a = −1, b = −1, c = 3;(c) a = 0, b = −3, c = 2; (d) a = 1, b = 0, c = 3.

39. Pentru functiaf (x) = lnx2 + ln (x+ 1)2

domeniul maxim de definitie, punctele de extrem si natura lor sunt:

(a) R\ {0} , x = −1 punct de maxim;


(b) R\ {−1} , x = 1 punct de minim;(c) R\ {−1, 0} , x = −1

2punct de maxim;

(d) R\ {−1, 0} , x = 1 punct de maxim.


f(x) =x2 +mx+ 2

x2 + 2x+m,

unde m ∈ R este un parametru. Sa se determine m, astfel încât dome-niul ei de definitie sa fie R si sa admita exact doua puncte de extrem.(a) m ∈ (1, 2) ∪ (2,∞) ; (b) m ∈ (2,∞) ;(c) m ∈ (−3,∞) ; (d) m ∈ (1, 2).

41. Fie functia

f : R→ R, f(x) =x2

e1−x.

Sa se determine n ∈ N∗ stiind ca f (n)(1) = 57.(a) n = 6; (b) n = 8; (c) n = 7; (d) n = 10.

42. Sa se calculeze derivata functiei:

f :³−π2,π

2

´→ R, f(x) = arccos(sinx).

(a) − 1; (b) cosx; (c) sinx; (d) 1.

43. Fie functia

f : R→ R, f(x) =½

e−x − x2 − 1, x ≤ 0−ex − x3 + 1, x > 0

.

Precizati care din urmatoarele afirmatii este adevarata:

(a) x = 0 este punct de extrem relativ si punct de inflexiune;

(b) x = 0 nu este punct de extrem relativ dar este punct de inflexiune;

(c) x = 0 este punct de extrem relativ dar nu este punct de inflexiune;

(d) x = 0 nu este nici punct de extrem relativ si nici punct de inflexiune.

44. Daca g(x) = |x|− 1, x ∈ R si f = g ◦ g atunci:(a) x = −1 si x = 1 sunt puncte de minim relativ pentru f ;

(b) x = −1 este punct de maxim relativ pentru f si x = 1 este punctde minim relativ pentru f ;

47

(c) x = −1 si x = 1 sunt puncte de maxim relativ pentru f ;

(d) x = −1 este punct de minim relativ pentru f si x = 1 este punctde maxim relativ pentru f.

45. Se da functia f : R \ {2}→ R, definita prin f(x) =x+m

x+ 2e−x, în care

m este parametru real. Sa se precizeze valorile lui m pentru care f aredoua puncte de extrem.

(a) m ∈ [2, 6]; (b) m ∈¡−∞, 2

3

¤;

(c) m ∈¡23, 6¢; (d) m ∈ (−∞, 2) ∪ (6,∞).

46. Daca

f(x) =

½e−x + ax2 + b, x ≤ 0aex + bx3 + 1, x > 0,

atunci exista derivata f 0 : R→ R continua pe R daca:

(a) (a, b) = (−1,−1); (b) (a, b) = (−1, 1);(c) (a, b) = (1,−1); (d) (a, b) = (1, 1).

47. Sa se precizeze valorile reale ale lui m astfel ca functia

f : R→ R, f (x) =mex − (1 +m) e−x

1 + ex

sa fie strict monotona pe R.(a) m ∈ [0,∞) ; (b) m ∈ [0, 1] ;(c) m ∈ (−∞,−1] ∪ [0,∞) ; (d) m ∈ R.


f : (0, π)→ R, f(x) = arctgr1− cosx1 + cosx

.

(a) x; (b) 2x; (c) 12; (d) x2.

49. Fie A = {a ∈ R | e4x ≥ 4x3 + a2x+ 1, ∀x ∈ R} . Atunci:(a) A = ∅; (b) A = {2} ;(c) A = {−2, 2} ; (d) A = (−1, 1) .


f : (0, π)→ R, f(x) = arcsin(cos x).

(a) − 1; (b) − sinx; (c) x; (d) 12.


51. Functia

f(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

µ(a+ b)x+ 1

bx+ 1

¶ 1x

, x < 0

1, x = 0µax2 + bx+ 1

bx+ 1

¶ 1x2

, x > 0

este continua în x = 0 daca:

(a) (a, b) = (1,−1); (b) (a, b) = (1, b), b ∈ R;

(c) (a, b) = (0, b), b ∈ R; (d) (a, b) = (−1, b), b ∈ R.

52. Fie A multimea punctelor de continuitate si B multimea punctelor dederivabilitate ale functiei:

f(x) =

⎧⎪⎨⎪⎩x

x− 1 , x ∈ (−∞, 0]

x lnx, x ∈ (0, 1)ex − e, x ∈ [1,∞)

.

Sa se precizeze multimile A si B.

(a) A = R\ {0, 1} , B = R\ {0, 1};

(b) A = R\ {0} , B = R\ {0, 1};

(c) A = R\ {1} , B = R\ {0, 1};

(d) A = R, B = R\ {0, 1}.

53. Precizati valorile parametrului real m, pentru care functia

f(x) =mex + (m− 1)e−x

1 + e−x

satisface conditiile:

i) f 0(ln 2) = 0;

ii) este descrescatoare pe (−∞,∞) .

(a) i) m = 12; ii) m ∈ [0, 1]; (b) i) m = −1

7; ii) m ∈ [0, 1];

(c) i) m = −2; ii) m ∈ [1, 2];

(d) i) m = 3; ii) m ∈ [−1, 1].

49

54. Fie

f : (−1, 1) \ {0}→ R,f (x) =µ2 |x|− x

(x+ 1)2

¶ 1ln|x|

si l = limx→0

f (x) .

Atunci:

(a) l = −1; (b) nu exista limita ;

(c) l = 1; (d) l = e.

55. Fie

f : R→R,f (x) =½

ex − x− 1, x ≤ 0x3 − 3x2, x > 0

.

Atunci:

(a) f e strict crescatoare pe (0,+∞) ;(b) x = 0 e punct critic si nu e punct de extrem local;

(c) x = 2 e punct de maxim local

(d) minx∈R

f (x) = −3.

56. Fie functia

f : R \ {1, 2, 3, 4}→ R, f(x) =1

x− 1 +1

x− 2 +1

x− 3 +1

x− 4 + 5.

Atunci:

(a) Graficul lui f intersecteaza axa Ox exact într-un punct.

(b) Graficul lui f intersecteaza axa Ox exact în doua puncte.

(c) Graficul lui f intersecteaza axa Ox exact în trei puncte.

(d) Graficul lui f intersecteaza axa Ox exact în patru puncte.

57. Fie

f : (0,+∞)→ R, f (x) = limn→∞

1 + xn (x2 + 4)

x (xn + 1).

Atunci:

(a) f e continua pe (0,+∞) ;(b) x = 2 este punct critic pentru f dar nu este de extrem local;

(c) f e strict descrescatoare pe (0, 1);

(d) maxx∈(0,+∞)

f (x) = 1.


58. Sa se studieze monotonia functiei

f : [2,∞)→ R, f (x) = x cosπ

x− x, (∀)x ≥ 2.

(a) f este strict descrescatoare pe [2,∞);(b) f este strict crescatoare pe [2,∞);(c) f este strict crescatoare pe [2, 4] si strict descrescatoare pe [4,∞);(d) f este strict crescatoare pe [2, 8] si strict descrescatoare pe [8,∞).

59. Sa se determine asimptotele functiei f : R\ {−1, 0}→ R,

f (x) =x2

x+ 1e1/x.

(a) Asimptote verticale x = −1, x = 0;(b) Asimptota verticala x = −1;(c) Asimptote verticale x = −1, x = 0 si asimptota orizontala y = −1;(d) Asimptote verticale x = −1, x = 0 si asimptota oblica y = x.

60. Fief : R→ R, f (x) = 3

px2 + (a− 2)x− a+ 2.

Valorile parametrului real a pentru care domeniul de derivabilitate alfunctiei f coincide cu domeniul de definitie sunt date de:

(a) a ∈ R\ {−2, 2} ; (b) a ∈ (−∞,−2) ∪ (2,∞) ;(c) a ∈ (−2, 2) ; (d) a ∈ (−∞,−2].

61. Pentru ce valori ale lui x > 0 are loc inegalitatea

x arctg x > ln¡1 + x2

¢?

(a) x ∈ (0, π/2) ; (b) x ∈ (0,∞) ;(c) x ∈ (1,∞) (d) x ∈ (0, 1) ∪ (e,∞) .

62. Se considera functia f : R→ R,

f (x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x+21

2, x < 1

25x

x2 + 1− 1, x ∈ [1, 2]

(x+ 1)2

x− 1 , x ∈ (2, 3]

8, x > 3.

51

Sa se studieze continuitatea si derivabilitatea lui f pe R.(a) f este continua pe R si derivabila pe R\ {1, 3} ;(b) f este continua pe R\ {3} si derivabila pe R\ {1, 3} ;(c) f este continua pe R\ {3} si derivabila pe R\ {1, 2, 3} ;(d) f este continua pe R si derivabila pe R\ {1} .


f : R\½−2b

¾→ R, f (x) =

x2 + ax

bx+ 2.

Determinati a, b ∈ R, b 6= 0, astfel încât extremele functiei f sa aiba locpentru x = −8 si x = 4.(a) a = 2, b = −1; (b) a = −16, b = 1;(c) a = 8, b = 0; (d) a = −1, b = 2.


f : R→ R, f (x) =½

sinxx, pentru x 6= 0,

1, pentru x = 0.

si a = f 0(0), b = f 00(0). Atunci:

(a) a = 0, b = −1; (b) a = 0, b = −13;

(c) a = 0, b =∞; (d) a = 1, b = −13.

65. Care este cea mai mica valoare a functiei f : R→ R, definita prin:

f(x) = ln³1 +√1 + x2

´?

(a) −3 ln 2; (b) ln 2, 5; (c) 0; (d) ln 2.

66. Fie

I =

Zx+ 1

(x2 + 2x+ 5)2dx, pentru x ∈ R.

Atunci:

(a) I =1

2

x

x2 + 2x+ 5+ C;

(b) I = −12

1

x2 + 2x+ 5+ C;

(c) I =1

2

x

x2 + 2x+ 5+ C;

(d) I = −12

1

x2 − 2x+ 5 .


67. Fie functia

f : (−2,∞)→ R, f (x) =µx+ 1

x+ 2

¶2Atunci toate primitivele functiei f sunt:

(a) x+ ln(x+ 2) + C;

(b) x− ln (x+ 2) + C;

(c) ln (x+ 2)− 1

x+ 2+ C;

(d) x− 2 ln (x+ 2)− 1

x+ 2+ C.

68. Fie

I =

Zdx

(x2 + 1)2,pentru x ∈ R.

Atunci:

(a) I = 12arctg x+

x

2(x2 + 1)+ C;

(b) I = 12arctg x− x

2(x2 + 1)+ C;

(c) I = 12arctg x+ C;

(d) I =x

2(x2 + 1)+ C.

69. Fie

I =

Z1√

x2 + 1 + xdx, pentru x ∈ R.

Atunci:

(a) I =x

2

√x2 + 1 + C;

(b) I =x

2

√x2 + 1 + 1

2ln³x+

x

2

√x2 + 1

´+ C;

(c) I =x

2

√x2 + 1 + 1

2ln¡x+√x2 + 1

¢− x2

2+ C;

(d) I = 12ln¡x+√x2 + 1

¢− x2

2+ C.

70. Fie functia

f : (0,∞)→ R, f (x) =lnx

x2

Atunci toate primitivele functiei f sunt:

(a) 12ln2 x+ C; (b) 1

2ln2 x;

(c) − 1x− 1

xlnx+ C; (d) − 1

x+ 1

xlnx+ C.

53

71. Fie

I =

Zdx

xp4 + ln2 x

, pentru x > 0.

Atunci:

(a) I = ln(lnx+p4 + ln2 x) + C; (b) I = ln(x+

√4 + x2) + C;

(c) I = ln(lnx−p4 + ln2 x) + C; (d) I =

2 lnx+ 8√lnx+ 4

+ C.

72. Integrala Zxdx

(x+ a)3/2, x ∈ (−a,∞) , a 6= 0.

este:

(a) 2³x+

a

x

´+ c; (b) 2

µ√x+ a− a√

x+ a

¶+ c;

(c) 2

µ√x+ a+

a√x+ a

¶+ c; (d)

x− 2a√x+ a

+ c.

73. Valoarea integralei

I =

Zcosx

sinx− 2 cosxdx

si intervalul de lungime maxima, inclus în³−π2,π

2

´pe care este definita

sunt:

(a) I = 15ln (2 cosx− sinx) − 2

5x + C, intervalul de lungime maxima³

−π2, arctg 2

´;

(b) I = 15ln (2 cosx− sinx) − 2


arctg 2,π

2

´;

(c) I = 15ln (2 cosx+ sinx) − 2


arctg 2,π

2

´;

(d) I = 15ln (2 cosx− sinx) − 2


−π2,π

2

´.

74. Fie f : R→ R, f (x) = ex2si F o primitiva a lui f. Se cere lim

x→∞

xF (x)

f (x).

(a) ∞; (b) 0; (c) 12; (d) e.


75. Fie functia f : R → R, f (x) = x − 2 + |x− 1| + |x− 3| . Fie F oprimitiva a lui f astfel încât F (2) = 2. Atunci F (4) este egal cu:

(a) 0; (b) −6; (c) 8; (d) 9.

76. Valoarea integralei definite

0Z−1

1 + x

(1− x)2dx.

este:

(a) 1 + ln 2; (b) lne

2; (c) arctg 2; (d)

e

2.

77. Fie functia

f : (1,∞)→ R, f (x) =r

x3 − 1x

si I (a) =

aZ2

1

f2 (x)dx, a > 2. Atunci lim

a→∞I (a) este:

(a)√36π + 1

6ln 7; (b) 1√

3(π2− arctg 5√

3) + 1

6ln 7;

(c) 1√3(π2+ arctg 5√

3) + 1

6ln 7; (d) 1√

3(π2− arctg 5√

3)− 1

6ln 7.

78. Valoarea integraleiπ2Z0

¡cos3 x+ sin3 x

¢dx

este:

(a) 43; (b) 1; (c) 2

3; (d) 2π

3.

79. Integrala

I =

π2Z0

sinx

1 + cos2 xdx.

are valoarea:

(a) I = 1; (b) I = ln 2; (c) I = π2; (d) I = π

4.

80. Sa se calculezeπ4Z0

cos tdt

1 + sin2 t.

55

(a) 1; (b) arctg

√2

2; (c) arctg

√3; (d) arctg

1√3.

81. Sa se determine valoarea integralei

3Z2

tdt

1 + t2.

(a)ln 2

2; (b)

1

3; (c)

ln 3

3; (d)

3

2.

82. Valoarea integraleieZ1

lnx

xdx.

este:

(a) 2; (b) 1; (c) 12; (d) 0.

83. Valoarea integralei4Z0

dx

1 +√x

este:

(a) 3; (b) 2− 2 ln 2; (c) 3 + 2 ln 2; (d) 4− 2 ln 3.

84. Sa se determine valoarea integralei:

I =

1Z0

(x+ 1)√x2 + 1dx.

(a) I =√2 + ln(2 +

√2); (b) I =

3

2

√2 + ln(1 +

√2);

(c) I =7

6

√2− 1

3+1

2ln(1 +

√2); (d) I =

7

6

√2 +

1

3− ln(1 +

√2).

85. Sa se calculeze:

I =

1Z0

√x3 − x2 − x+ 1dx.

(a) 8√2 + 3; (b) 8

√2− 3;

(c)2

15(8√2− 7); (d)

2

15(8√2 + 7).



I =

1Z0

dx

x3 + x2 + 4x+ 4,

(a) I =1

5

µln8

5− 12arctg

1

2

¶; (b) I =

1

10

µln16

5− arctg 1

2

¶;

(c) I =1

10

µln16

5+ arctg

1

2

¶; (d) I =

1

10

µ− ln 16

5+ arctg

1

2

¶.

87. Se considera functia f : R \ {−1}→ R,

f (x) =1

x3 + x+ 2− 1

4(x+ 1).

Sa se calculeze:

I =

1Z0

f (x) dx.

(a) I =3

4√7arctg 1√

7; (b) I =

3√7arcsin 1√

7;

(c) I =3

2√7arctg 1√

7; (d) I =

1√7+ ln(1 +

√7).

88. Sa se calculeze

I =

aZ0

xdx√x+ a

,

unde a > 0 este o constanta.

(a) I = (2−√2)a√2; (b) I = 2

3(2 +

√2)a√a;

(c) I = 23(2−

√2)a√a; (d) I = (2 +

√2)a2.


I =

aZ−a

x2dx√x2 + a2

,

unde a > 0 este dat, este:

(a) I = a2√2− a2 ln

p3 + 2

√2; (b) I = a2

¡1 +√1 + a2

¢;

(c) I = 2a2√2− a2√

1 + a2; (d) I = 2a2

√2− a2 arctg

2

a.

57

90. Valoarea integraleiπ4Z

π6

cos2 xdx

este:

(a) cosπ

8; (b) sin2

π

8;

(c)π

3+1

4+

√2

4; (d)

π

24+1

4−√3

8.

91. Fie I =

2Z0

f (x) dx, unde f : [0, 2]→ R este definita de

f (x) = exmax©1, x2

ª.

Atunci:

(a) I = e2 − 1; (b) 2e2 − 1; (c) e2 − 2; (d) 2(e2 − 1).

92. Fie I =

2Z0

f (x) dx, unde f : [0, 2]→ R este definita de

f (x) = min

½x,

2

1 + x2

¾.

Atunci:

(a) I =1

2+ 2 arctg 2− π

2; (b) I =

1

2+ 2arctg 2;

(c) I = 2; (d) I = 2arctg 2.

93. Fie f : [−1, 1]→ R, f (x) = max {ex, e−x} .Valoarea integralei

I =

1Z−1

f (x) dx

este:

(a) I = 0; (b) I = 1; (c) I = 2 (e− 1); (d) I = 4.



f : [−1, 1]→ R, f (x) = max∙µ1

3

¶x

, 3x¸.

Atunci valoarea integralei I =

1Z−1

f (x) dx este:

(a)2

ln 3; (b) 4; (c)

4

ln 3; (d) 4 ln 3.

95. Valoarea integralei1Z

−1

t2 (1− et)

1 + etdt

este:

(a) 1; (b) e; (c) ln 2; (d) 0.

96. Sa se determine valoarea integralei

I =

πZ0

x · sinx1 + cos2 x

dx.

(a) I =π2

4; (b) I = 0; (c) I =

π

2; (d) I =

π√2

2.

97. Pentru a ∈ (1, 3) valoarea integralei

I =

3Z1

dx

|x− a|+ 1

este:

(a) I = ln [a (4− a)] ; (b) I = ln (4− a) ;

(c) I = ln [a (a− 4)] ; (d) I = ln 4−a2−a .


I =

1Z0

x arcsinxdx.

(a)2π

3; (b) 1 +

π

2; (c)

π

8; (d)

√3 +

π

2.

59

99. Fie (In)n∈N,n≥2 sirul cu termenul general

In =

nZ1

x− 1x+ 1

dx, ∀n ∈ N,n ≥ 2 si l = limn→∞

Inn.

Atunci:

(a) l = 0; (b) l =1

2; (c) l = 1; (d) l = −1.


f : [0,∞)→ R, f (x) = limn→∞

x2n + x3 + x

x2n−1 + x2 + 1.

Atunci valoarea integralei I =

2Z12

f (x) dx este:

(a)7

8; (b)

15

8; (c)

17

8; (d) 0.

101. Sa se determine numarul p al perechilor ordonate (m,n) ∈ R2 ast-fel încât P (x) = x3 − 3mx + n sa aiba o radacina reala dubla si2Z0

P (x) dx = 2.

(a) p = 1; (b) p = 2; (c) p = 0; (d) p = 4.

102. Folosind sume Riemann, sa se calculeze:

limn→∞

µ1√

n2 + n+

1√n2 + 2n

+ · · ·+ 1√n2 + n2

¶.

(a) 2(√2− 1); (b) 2

√2; (c)

√2− 1; (d) 2 +

√2.

103. Fie

I =

1Z0

4x3 − 6x2 + 8x− 3(x2 − x+ 1)3

dx, pentru x ∈ R.

Atunci:

(a) I = 6; (b) I = 3; (c) I = 0; (d) I = 4.


104. Fie functia f : RÂ {2}→ R,

f (x) =x2 − 1(x− 2)2

.

Aria cuprinsa între graficul functiei f si dreptele x = 3 si x = 4 este:

(a) ln 2 + 52; (b) 4 ln 2 + 5

2; (c) ln 2 + 5; (d) 5

2.

105. Fie functia f : R→ R, definita prin:f (x) =

¡x2 + 4x+ 5

¢ex.

Daca x1 si x2(x1 < x2) sunt cele doua puncte de inflexiune ale functiei,sa se afle aria S, cuprinsa între graficul functiei f, axa Ox si dreptelede ecuatie x = x1, respectiv x = x2.

(a) 6(3− e)e−3; (b) 6(e2 − 3)e−5;(c) 5(e2 − 2)e−2; (d) 5(e2 − 1)e.

106. Aria domeniului plan cuprins între parabolele de ecuatii y2 = ax six2 = by, unde a si b sunt constante reale pozitive, este:

(a) 2ab; (b) a2b; (c) ab2; (d)ab

3.

107. Fief : (0, π)→ R, f (x) = (cosx) · ln(sinx).

Aria multimii cuprinse între graficul lui f, axa Ox si dreptele de ecuatiix = π

4, x = π

2este:

(a) 1−√22−√24ln 2; (b) −1 +

√22+√24ln 2;

(c) 1 +√22−√24ln 2; (d) −1 +

√22+√24ln 2.

108. Sa se calculeze volumul V al corpului de rotatie obtinut prin rotirea înjurul axei Ox a subgraficului asociat functiei

f : [0, a]→ R, f (x) =a

2

³exa + e

−xa

´,

cu a > 0 dat.

(a) V =πa3

8(e− e−1 + 2) ;

(b) V =aπ

2

³e1a + e

−1a

´;

(c) V =πa2

4

µ2e2

a− 2e

−2

a+ 2

¶;

(d) V =πa3

8(e2 − e−2 + 4) .

Capitolul 3

Trigonometrie

1. Sa se elimine θ între relatiile:

sin θ + cos θ = asin5 θ + cos5 θ = b.

(a) a(5− a4) = 4b; (b) a(3− a4) = 2b;

(c) a4 − 3 = a3b; (d) a5 + a3 − 1 = b.

2. Fie m ∈ R, n ∈ R Sa se elimine x ∈ R între relatiile½sinx− cosx = msin3 x− cos3 x = n

.

(a) m3 − 3m+ 2n = 0;

(b) m

µ1 +

m2 − 12

¶= n;

(c) nu se poate elimina x;

(d) −mµ1 +

1−m2

2

¶= n.

3. Sa se calculeze numarul cosπ

5.

(a)1 +√5

4; (b)

√10

4; (c)

√2 +√3

4; (d)

1−√5

4.

4. Valoarea expresiei:

E =1

sin 100−√3

cos 100

este:

(a) E = 4; (b) E = 1; (c) E = 0; (d) E = 2.

61

62 CAPITOLUL 3. TRIGONOMETRIE

5. Sa se precizeze valoarea expresiei:

E = sin 700 cos 500 + sin 2600 cos 2800.

(a) E =1

2; (b) E =

√3

2; (c) E =

√3

4; (d) E = 1.

6. Pentru x 6= kπ

2, k ∈ Z, valoarea expresiei:

E(x) =3 + cos 2x

2 + tg2 x+3− cos 2x2 + ctg2 x

este:

(a) 4 sinx; (b) 4 cosx; (c) 2 sin 2x; (d) 2.

7. Sa se calculeze valoarea expresiei

E (x) =sinx+ sin 3x+ sin 5x

cosx+ cos 3x+ cos 5xîn x =

π

12.

(a)√2/2; (b) −

√2/2; (c) 1; (d) −1.

8. Fie x = sin 1, y = cos 1, z = tg 1. Atunci:

(a) y < x < z;

(b) y < z < x;

(c) z < x < y;

(d) x < z < y; .

9. Se dau numerele x = cos 3, y = tg 3, z = ctg 3 Atunci

(a) z < x < y;

(b) y < x < z;

(c) z < y < x;

(d) x < z < y.

10. Se considera unghiurile ascutite α, β, γ a caror suma este π/2. Stiind canumerele ctgα, ctg β, ctg γ sunt în progresie aritmetica, sa se calculezevaloarea produsului ctgα · ctg γ.(a) sinβ + cosβ; (b) tg β; (c) ctg β; (d) 3.

63

11. Fie

f : R→ R, f(x) = sinx+ cosxsi A = {y ∈ R|∃x ∈ R : f(x) = y}. Atunci:(a) A = [−2, 2] ; (b) A = [−1, 1] ; (c) A =

£−√2,√2¤; (d) A =

[0, 1] .


sin2 x

(1 + tg x) cosx− cos2 x

(1 + ctg x) sinx=√2

este:

(a)π

4+ 2kπ, k ∈ Z (b)

3π

4+ 2kπ, k ∈ Z;

(c) ∅; (d) ± π

4+ kπ, k ∈ Z.


cos2 x+ sin2 2x = 2.

(a) x ∈ ∅; (b) x = (2k + 1)π4, k ∈ Z;

(c) x = π2+ kπ, k ∈ Z; (d) x = ±π

2+ kπ, k ∈ Z.

14. Precizati valorile lui p ∈ R pentru care ecuatia admite cel putin osolutie:

sinx+ p cosx = 2p.

(a) |p| ≤ 1; (b) |p| ≤ 1

2√2; (c) |p| ≤ 1√

3; (d) p ≤ 1

2.

15. Multimea solutiilor ecuatiei√3 sin 4x+ 8 sin2 x cos2 x = 1

este:

(a) x = (2k + 1)π

6;

(b) x =π

2+

kπ

6;

(c) x =π

24+

kπ

4;

(d) x =π

12+

kπ

4.


16. Numarul solutiilor reale ale ecuatiei

arctg1

x− 1 + arctg1

x+ 1− arctg 1

x2 − 1 =π

4

este:

(a) 4; (b) 1; (c) 2; (d) 3.


(sin 2x− cos 2x)¡1 + tg2 x

¢= 2

este:

(a) x ∈©kπ + π

3| k ∈ Z

ª;

(b) x ∈ {2kπ | k ∈ Z} ;(c) x ∈

©kπ + π

4| k ∈ Z

ª∪ {arctg(−3) + kπ | k ∈ Z} ;

(d) x ∈©kπ + π

6| k ∈ Z

ª∪ {arctg(−3) + kπ | k ∈ Z} .


cosx− sinx+ 2 = 2 cos2 x+ sin 2x

este:

(a) x ∈nπ4+ kπ | k ∈ Z

o∪n(−1)k π

6+ kπ | k ∈ Z

o;

(b) x ∈n2kπ +

π

2| k ∈ Z

o;

(c) x ∈nkπ +

π

3| k ∈ Z

o;

(d) x ∈ {kπ | k ∈ Z} .


8 cos6 x− 8 cos4 x+ 4 cos2 x− 1 = 0

este:

(a) x ∈nπ4+ k

π

2| k ∈ Z

o;

(b) x ∈nkπ +

π

4| k ∈ Z

o;

(c) x ∈nkπ +

π

3| k ∈ Z

o;

(d) x ∈ {kπ | k ∈ Z} .

65


ctg2 x =1 + sinx

1 + cosx

este:

(a) x ∈nπ4+ kπ | k ∈ Z

o∪ {kπ | k ∈ Z} ;

(b) x ∈nkπ +

π

4| k ∈ Z

o∪n−π2+ 2kπ | k ∈ Z

o;

(c) x ∈n2kπ ± π

3| k ∈ Z

o;

(d) x =n(2k + 1)

π

2| k ∈ Z

o.

21. Precizati solutiile ecuatiei:

tg x+ tg(x+ a) = 0, a 6= kπ, k ∈ Z.

(a) x = kπ − a2; (b) x = kπ − a; (c) x = kπ

2− a

2; (d) x = −a

2.

22. Solutiile ecuatiei

sin3 x cos 3x+ cos3 x sin 3x =3

8

sunt:

(a)π

24+ k

π

2, k ∈ Z;

(b)11π

24+ k

π

2, k ∈ Z;

(c) ± π

24;

(d) (−1)k π

24+ k

π

4, k ∈ Z.

23. Sa se rezolve:sin2 x+ sin2 2x = 2.

(a) x = kπ, k ∈ Z; (b) x = (2k + 1)π, k ∈ Z;

(c) ecuatia nu are solutii; (d) x =π

2+ kπ, k ∈ Z.


cos(cosx) = sin(sinx)

este:

(a) (0, π); (b) [0, π]; (c) R; (d) ∅.


25. Sa se rezolve ecuatia trigonometrica

cos2 x+ cos2 2x = 2.

(a) x = 2kπ, k ∈ Z; (b) x = (2k + 1)π, k ∈ Z;

(c) x = kπ

2, k ∈ Z; (d) x = kπ, k ∈ Z.

26. Sa se rezolve ecuatia trigonometrica

sinx+ sin 2x+ sin 3x = 0.

(a) x = (−1)kπ3+ kπ, k ∈ Z; (b) x = 2kπ, k ∈ Z;

(c) x = kπ, k ∈ Z; (d) x =kπ

2sau x = 2kπ ± 2π

3, k ∈ Z.

27. Sa se gaseasca solutiile din intervalul [0, 2π] ale ecuatiei

log√2 sinx (1 + cosx) = 2.

(a) x ∈nπ3, πo; (b) x ∈

½π

3,2π

3

¾;

(c) x ∈½π

3,2π

3,5π

3

¾; (d) x ∈

nπ3

o.

28. Sa se precizeze multimea solutiilor ecuatiei

arcsin(1 + x) = arccos(1− x).

(a) R; (b) ∅; (c) {0} ; (d) [0, 2] .

29. Se considera ecuatia:

8 cos 2x+ 8p cos2 x+ p = 0

în care x este necunoscuta, iar p este un parametru real. Sa se precizezevalorile lui p pentru care ecuatia admite solutii.

(a) p ∈ (−2, 8) ; (b) p ∈ (−2, 8] ;(c) p ∈

¡−2,−8

9

¢; (d) p ∈

£−89, 8¤.


cos 3x cos3 x+ sin 3x sin3 x = 0

este:

(a) π4+ 2kπ; (b) −π

4± 2kπ;

(c) ±π4+ kπ; (d) π

4± kπ.

67

31. Multimea solutiilor sistemului de ecuatii(x− y =

π

6tg 3x+ tg 3y = 0

este:

(a) x = (2k + 1)π

6, y = (2k + 1)

π

6;

(b) x =π

2+

kπ

6, y =

π

3+

kπ

6;

(c) x =π

6+

kπ

3, y = −π

6+

kπ

3;

(d) x =π

12+

kπ

6, y = − π

12+

kπ

6.

32. Multimea solutiilor sistemului½cosx cos y = 3

4

sinx sin y = −14

este:

(a) x = ±π

6+mπ, y = ∓π

6+ nπ;

(b) ;x = ±π

2+mπ, y = ±π

3+ nπ

(c) x = ±π

6+ 2mπ, y = ∓π

6+

kπ

3;

(d) x =π

12+mπ

6, y = − π

12+nπ

6, m, n ∈ Z,m si n au aceeasi paritate.

33. Sa se rezolve inecuatia2 tg 2x ≤ 3 tg x

este:

(a)[k∈Z

³−π4+ kπ

2; k

π

2

i\n(2k + 1)

π

2

o; (b)

[k∈Z

µ−π4+

kπ

2; k

π

2

¸;

(c) ∅; (d)n(2k + 1)

π

2

o.


sin(2x+ 1) = cos(2x− 1).

(a) ±π

8+ k

π

2; (b) ±π

8+ kπ;

(c)π

8+ k

π

2; (d) (−1)kπ

8+ k, k ∈ Z.


35. Sa se determine solutiile ecuatiei

sin10 x+ cos10 x =29

16cos4 2x.

(a)π

8+ k

π

2; (b) −π

8+ k

π

2; (c)

3π

8+ kπ; (d)

π

8+ k

π

4, k ∈ Z.

36. Multimea solutiilor ecuatiei:

sin6 x+ cos6 x =1

4

este:

(a) (−1)kπ4+ k

π

2; (b) (−1)k+1π

4+ k

π

2;

(c) ±π

4+ k

π

2; (d)

π

4+ k

π

2, k ∈ Z.

37. FieM =nx | x ∈

h−π2,π

2

isi 4 |sinx| cosx = 1

o.

Sa se afle numarul de elemente al multimii {x+ y | x, y ∈M}.(a) 5; (b) 7; (c) 9; (d) 10.


arctg (sinx) =x

2

este:

(a) 1; (b) 3; (c) o infinitate; (d) 6.

39. Valorile lui x pentru care

arccos (cosx) <π

3si arcsin (sinx) >

π

6

sunt:

(a)¡π6, π3

¢; (b)

¡π6+ kπ, π

3+ kπ

¢;

(c) ∅; (d) p ∈¡π6+ 2kπ, π

3+ 2kπ

¢.

40. Numarul solutiilor x ∈ (0, 20) ale ecuatiei

4 (1− sinx)2 + 3 sin2³π2− x

´= 0

este:

(a) 1; (b) 2; (c) 3; (d) 4.

Capitolul 4

Geometrie

1. Precizatim ∈ R pentru care distanta dintre puncteleA (4,m) siB (0, 4)sa fie 5:

(a) 1; (b) {1, 7} ; (c) 10; (d) {2, 5} .

2. Coordonatele a doua vârfuri ale unui triunghi echilateral sunt A(−1, 0)si B(1, 0). Coordonatele celui de al treilea vârf sunt:

(a)©(−√3, 0), (

√3, 0)

ª; (b)

©(0,−

√3), (0,

√3)ª;

(c) {(0,−1), (0, 1)}; (d) {(0,−2), (0, 2)} .

3. Se considera punctul A de coordonate (4, 2) . Punctele situate pe axaOx aflate la distanta d = 2

√5 fata de A au coordonatele

(a)©(−2√5, 0), (2

√5, 0)

ª; (b)

©(0,−2

√5), (0, 2

√5)ª;

(c) {(0, 0), (0, 4)}; (d) {(0, 0), (8, 0)} .

4. Se considera punctul A de coordonate (4, 2) . Punctele situate pe axaOy aflate la distanta d = 2

√5 fata de A au coordonatele

(a)©(−2√5, 0), (2

√5, 0)

ª; (b)

©(0,−2

√5), (0, 2

√5)ª;

(c) {(0, 0), (0, 4)}; (d) {(0, 0), (8, 0)} .

5. Doua vârfuri consecutive ale unui paralelogram au coordonatele (1, 4) si(1, 2) iar punctul de intersectie al diagonalelor are coordonatele (3, 3) .Coordonatele celorlalte doua vârfuri sunt:

(a) {(2, 6), (0, 2)} ; (b) {(4, 7), (4, 5)} ;(c) {(5, 2), (5, 4)}; (d) {(4, 5), (2, 5)} .

6. Se considera punctele A (−2,−3) , B (1,−7) si C (4,−3) . Punctul D,astfel încât patruleterul ABCD sa fie paralelogram, are coordonatele:

69

70 CAPITOLUL 4. GEOMETRIE

(a) (1, 1); (b) (−1,−10); (c) (2,−6); (d) (2, 2).

7. Consideram punctul M de coordonate (−5, 9) . Coordonatele simetri-celor fata de axa Ox,Oy si fata de origine sunt:

(a) {(−5,−9), (5, 9), (5,−9)} ; (b) {(−5, 9), (5, 9), (5,−9)} ;(c) {(−5,−9), (5, 9), (−5, 9)}; (d) {(−5,−9), (−5, 9), (5,−9)} .

8. Coordonatele punctului de pe dreapta de ecuatie x = 5 aflat la egaladistanta de A (−1,−1) si B (−3, 1) sunt:(a) (5, 1); (b) (−1, 7); (c) (2,−7); (d) (5, 7).

9. Se considera triunghiul cu vârfurile A (−2, 0) , B (2, 0) , C (0, 6) . Coor-donatele centrului cercului circumscris si raza R acestui cerc sunt:

(a) (1, 1), R = 2; (b) (0, 2), R = 2√2;

(c) (0, 83), R = 10

3; (d) (2, 2), R = 10

3.

10. Ecuatia dreptei care trece prin punctele A (2, 7) si B (2, 10) este:

(a) x = 2; (b) y = 2;

(c) y = 7; (d) x = 0.

11. Ecuatia dreptei care trece prin punctul A (2, 7) si formeaza cu axa Oxun unghi de 60◦ este:

(a) y + x√3 = 7; (b) y − x

√3 = 7− 2

√3;

(c) y − x√3 = 2

√3; (d) y − x 1√

3= 7− 2

√3.

12. Ecuatia dreptei care trece prin punctul A (2, 7) si formeaza cu axa Oxun unghi de doua ori mai mare decat acela format de dreapta x−2y = 1este:

(a) y − x√3 = 7; (b) y − x

√3 = 2

√3;

(c) y − x√3 = 7− 2

√3; (d) y − x 1√

3= 7− 2

√3.

13. Dreptele y = 0, x + y = 1,−x + y = 2 formeaza un triunghi. Coordo-natele vârfurilor triunghiului sunt:

(a)©(−2, 0), (1, 0),

¡−12, 32

¢ª; (b) {(0,−2), (4,−4), (0, 0)} ;

(c)©(0,−2), (1, 1),

¡−12, 32

¢ª; (d)

©(0,−2), (0, 1),

¡−2, 3

2

¢ª.

14. Dreptele (d1) : 3x − y + 6 = 0, (d2) : 2x + y − 6 = 0, (d3) : y = 0formeaza un triunghi. Aria triunghiului este:

(a) 15; (b) 10; (c) 20; (d) 25.

71

15. Dreptele 12x+my+n = 0 si nx−5y+3 = 0 reprezinta aceeasi dreaptapentru valorile:

(a) {(m = −10, n = 6), (m = 10, n = −6)} ;(b) {(m = −10, n = −6), (m = 10, n = −6)} ;(c) {(m = −10, n = 6), (m = −10, n = −6)};(d) {(m = 10, n = 6), (m = −10, n = −6)} .

16. Ecuatia dreptei care trece prin punctul A (2, 4) astfel încât acest punctsa divida în parti egale portiunea dreptei cuprinsa între axe este:

(a) 2y − 3x = 2; (b) y − x = 2; (c) y − 2x = 0; (d) y + 2x = 8.

17. Valoarile lui m pentru care dreptele

3x− 2my + 6 = 0, x− 2 = 0, y = mx− 1sunt concurente sunt:

(a) m = −2;m = −32

(b) m = 2;m = 32;

(c) m = −2;m = 32; (d) m = 2;m = −3

2.

18. Coordonatele punctului comun dreptelor

2x− 3y − 5 = 0, 3x+ 4y − 16 = 0, 4x− 23y + 7 = 0sunt:

(a) (4,−1); (b) (4, 1); (c) (1,−1); (d) (2, 2).

19. Ecuatia dreptei care este perpendiculara pe dreapta care trece prinpunctele A (4, 2) si B (3,−5) si contine punctul C (4, 2) este:(a) x+ 7y = 18; (b) 2x− 7y = −6;(c) x− 7y = −10; (d) −x+ 7y = 18.

20. Ecuatia dreptei care trece prin punctul de intersectie al dreptelor

2x− 3y − 12 = 0, x+ y − 11 = 0si prin punctul de coordonate (1, 1) este:

(a) −18x+ y + 7

8= 0; (b) 8x− y − 7 = 0;

(c) 18x− y + 7

8= 0; (d) 1

8x− y − 7

8= 0.


2x− 3y − 12 = 0, x+ y − 11 = 0si este perpendiculara pe dreapta 2x− 3y + 5 = 0.

72 CAPITOLUL 4. GEOMETRIE

(a) 3x+ 2y − 31 = 0; (b) 3x− y − 7 = 0;(c) 3x+ y + 31 = 0; (d) 3x− 2y − 31 = 0.

22. Valoarea lui k ∈ R pentru care dreptele 4x− ky = 6 si 6x+3y+2 = 0sunt perpendiculare este:

(a) k = 8; (b) k = −8; (c) k = 18; (d) k = −1

8.

23. Distanta de la punctul (5, 6) la dreapta −2x+ 3y + 4 = 0 este:(a) 12

13

√12; (b) 12

13

√13; (c) 12

13; (d) 12.

24. Unghiul dintre vectorii −→a = −3−→i + 4−→j si −→b = 8−→i + 6−→j este:(a) 0; (b) π

2; (c) 3π

2; (d) π

3.

25. Fie drepta (d) : x+y+1 = 0 si punctul P (1, 2) . Coordonatele punctuluiQ ∈ (d) astfel încât |PQ| = 4 sunt:(a) {(−2, 1), (2,−1)} ; (b) {(1,−2), (−3, 2)} ;(c) {(−2, 1), (2,−3)}; (d) {(−1, 0), (3,−4)} .

26. O latura a unui triunghi este situata pe axa Ox, iar celelalte douape dreptele de ecuatii 2x − 3y + 6 = 0 respectiv 3x + 2y − 6 = 0.Coordonatele ortocentrului sunt:

(a) ( 613, 2713); (b) (1

2, 2); (c) ( 6

13, 3013); (d) (1

2, 94).

27. Coordonatele centrului circumscris triunghiului de vârfuriA (0, 0) , B (6, 0) ,C (2, 4) sunt:

(a) (2√2,√2); (b) (3, 1); (c) (

√8,√3); (d) (3,

√2).

28. Cercurile de ecuatii x2 + y2 − 4x − 2y = 0 respectiv x2 + y2 − 10x −5y + 30 = 0 sunt:

(a) concentrice; (b) tangente interior;

(c) secante; (d) tangente exterior.

Capitolul 5

Modele teste

5.1 Testul 1

1. Daca an =nX

k=1

k2 + k

n3 + k2, atunci:

(a) limn→∞

an = 0; (b) limn→∞

an =13;

(c) limn→∞

an = 1; (d) limn→∞

an =12; .

2. Se considera sirul de numere reale

xn =2 + (−1)n

2n+ (−1)n , ∀n ∈ N.

Atunci

(a) (xn)n∈N este sir crescator; (b) @ limn→∞

xn; (c) @ limn→∞

xn+1xn

;

(d) maxn∈N

xn = 1.

3. Multimea punctelor de continuitate ale functiei f : R→ R unde

f (x) =

½x, daca x ∈ Qx2, daca x ∈ R \Q

este:

(a) {0, 1} ; (b) [0, 1] ; (c) Q; (d) {−1, 0, 1} .

4. Daca g(x) = |x|− 1, x ∈ R si f = g ◦ g atunci:(a) x = −1 si x = 1 sunt puncte de minim relativ pentru f ;

73

74 CAPITOLUL 5. MODELE TESTE

(b) x = −1 este punct de maxim relativ pentru f si x = 1 este punctde minim relativ pentru f ;

(c) x = −1 si x = 1 sunt puncte de maxim relativ pentru f ;

(d) x = −1 si x = 1 nu sunt puncte de extrem pentru f.

5. Fie functia:

f : (1,∞)→ (0,∞) , f(x) =r

x3 − 1x

si I (a) =

aZ2

1

f2(x)dx, a > 2. Atunci lim

a→∞I (a) este:

(a) 16

√3π + 1

6ln 7; (b) 1√

3(π2− arctg 5√

3) + 1

6ln 7;

(c) 1√3(π2+ arctg 5√

3) + 1

6ln 7; (d) 1√

3(π2− arctg 5√

3)− 1

6ln 7.

6. Folosind sume Riemann, sa se calculeze:

limn→∞

µ1√

n2 + n+

1√n2 + 2n

+ · · ·+ 1√n2 + n2

¶.

(a) 2(√2− 1); (b) 2

√2; (c)

√2− 1; (d)

√22.

7. Aria domeniului plan cuprins între parabolele de ecuatii y2 = ax six2 = by, unde a si b sunt constante reale pozitive, este:

(a) 2ab; (b) ab2; (c) ab; (d)ab

3.

8. Fie ecuatiax2 + 2(m− a)x+ 3am− 2 = 0,

în care a si m sunt parametri reali.

i) Sa se afle a astfel încât ecuatia sa aiba radacini reale, oricare ar fim ∈ R.ii) Sa se afle m astfel încât ecuatia sa aiba radacini reale, oricare ar fia ∈ R.

(a) |a| <r8

21, |m| >

r8

21;

(b) |a| ≤r8

21, |m| ≤

r8

21;

5.1. TESTUL 1 75

(c) |a| ≥r8

21, |m| ≥

r8

21;

(d) |a| >r8

21, |m| <

r8

21.


x2 + y2 − 4x− 4y +m > 0

este adevarata pentru orice x, y ∈ R sunt:

(a) m ∈ (−∞, 0) ; (b) m ∈ [0,∞] ; (c) m ∈ (8,∞) ;(d) m ∈ (0, 4) .

10. Solutiile sistemului ½xy + x+ y = 11x2y + xy2 = 30

sunt:

(a) (x, y) ∈ {(−2, 3), (−3, 2)}; (b) (x, y) ∈ {(1,−5), (−5, 1)};

(c) (x, y) ∈ {(2, 3), (1, 5)} (d) (x, y) ∈ {(2, 3), (3, 2), (1, 5), (5, 1)}.

11. Numarul solutiilor sistemului½x2 − 3xy + y2 = −13x2 − xy + 3y2 = 13

este:

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 4.

12. Multimea valorilor x pentru care√3x− 1−

√3x+ 1 > −1

este:

(a)¡512,+∞

¢; (b)

¡−13,+∞

¢;

(c)¡−13, 13

¢; (d)

¡−∞, 5

12

¢.

13. Fie λ ∈ R \ {0} si

A =

⎛⎝ λ 1 00 λ 10 0 λ

⎞⎠ .


Atunci, ∀n ∈ N,

(a) An =

⎛⎝ 1 λn 00 1 λn

0 0 1

⎞⎠ ; (b) An =

⎛⎝ λn 1 00 λn 10 0 λn

⎞⎠ ;(c) An =

⎛⎝ nλn λn−1 00 nλn λn−1

0 0 nλn

⎞⎠ ;(d) An =

⎛⎝ λn nλn−1 n(n−1)2

λn−2

0 λn nλn−1

0 0 λn

⎞⎠ .


¯¯

stiind ca x1, x2, x3 sunt radacinile ecuatiei x3 − 2x2 + 2x+ p = 0.

(a) 0; (b) 2; (c) 4; (d) 3p+ 4.

15. În multimea M = {x;x ∈ R, x ≥ 1} se defineste operatia interna

x ∗ y = xy −p(x2 − 1)(y2 − 1),∀x, y ∈M.

Sa se afle elementul neutru si multimea elementelor care au invers fatade aceasta operatie. Sa se calculeze x ∗ x ∗ · · · ∗ x| {z }

2n

, unde x ∈M este un

element oarecare.

(a) elementul neutru este 1, fiecare element are invers si

x ∗ x ∗ · · · ∗ x| {z }2n

= 1;

(b) elementul neutru este 1, fiecare element are invers si

x ∗ x ∗ · · · ∗ x| {z }2n

= x;

(c) elementul neutru este 1, nici un element nu are invers si

x ∗ x ∗ · · · ∗ x| {z }2n

= xn;

(d) elementul neutru este 1, numai x = 1 are invers si

x ∗ x ∗ · · · ∗ x| {z }2n

= x.

5.1. TESTUL 1 77

16. Fie ε = −12+ i

√32. Precizati tripletele de numere complexe (x, y, z) care

satisfac simultan relatiile:⎧⎨⎩ x+ εy + ε2z = 0ε2x+ y + εz = 0εx+ ε2y + z = 0

(a) x = 1, y = 1, z = 1; (b) x = 0, y = 0, z = 0;

(c) {(−εy − ε2z, y, z)|y, z ∈ C} ; (d) x ∈ C, y ∈ C, z ∈ C.


M (a) =

µ2− a a− 12(1− a) 2a− 1

¶cu a real nenul formeaza un grup multiplicativ G, izomorf cu grupulmultiplicativ al numerelor reale diferite de zero. Sa se precizeze cores-pondenta care realizeaza acest izomorfism si sa se afle inversa matriceiM (a) .

(a) M (a)→ a2, (M (a))−1 =

µ2− 1

a1a− 1

2(1− 1a) 2

a− 1

¶;

(b) M (a)→ a, (M (a))−1 =

µ2− 1

a1a− 1

2(1− 1a) 2

a− 1

¶;

(c) M (a)→ 1a2, (M (a))−1 =

µ2− 1

a1a− 1

2(1− 1a) 2

a− 1

¶;

(d) M (a)→ a+ 1a, (M (a))−1 =

µ2 + a −a− 12(1 + a) −2a− 1

¶.


2x− 3y − 12 = 0, x+ y − 11 = 0si este perpendiculara pe dreapta

2x− 3y + 5 = 0are ecuatia:

(a) −3x+ y + 7 = 0; (b) 3x+ y + 31 = 0; (c) 3x− 2y − 31 = 0;(d) 3x+ 2y − 31 = 0.


19. Ecuatia dreptei care trece prin punctul A (2, 4) astfel încât acest punctsa divida în parti egale portiunea dreptei cuprinsa între axe este:

(a) y−2x = 8; (b) y−x = 2; (c) y+2x = 8; (d) y−x = 7+2√3.


cosx− sinx+ 2 = 2 cos2 x+ sin 2x

este:

(a) x ∈nπ4+ kπ | k ∈ Z

o∪n(−1)k π

6+ kπ | k ∈ Z

o;

(b) x ∈n2kπ +

π

2| k ∈ Z

o; (c) x ∈

nkπ +

π

3| k ∈ Z

o;

(d) x ∈ {kπ | k ∈ Z} .

5.2. TESTUL 2 79

5.2 Testul 2

1. Fie

l = limn→∞

µ1

n2+2

n2+ · · ·+ n

n2

¶.

Atunci:

(a) l = 1; (b) l = 12; (c) l = 0; (d) l =∞.

2. Suma a trei numere în progresie aritmetica este 12. Daca se adaugaacestora respectiv numerele 1, 2, 11 progresia devine geometrica. Nu-merele în progresie aritmetica sunt:

(a) 5, 4, 7 si 15, 14, 13; (b) 2, 4, 6 si −1, 4, 9;(c) 2, 4, 6 si 15, 14, 13; (d) 1, 4, 7 si 17, 4,−9.

3. Multimea de definitie a functiei

f(x) =√x2 − 4 + ln (2 + x)

este:

(a) x ∈ ∅; (b) x ∈ [−2,∞) (c) x ∈ [1, 2]; (d) x ∈ [2,∞).

4. Valoarea limitei

l = limx→7

2−√x− 3

x2 − 49este:

(a) l = 0; (b) l = − 156; (c) l = 1

56; (d) l = 1

48.

5. Trinomulx2 + 2ax+ b, a, b ∈ R

are radacinile reale strict pozitive daca:

(a) a ≤ 0 si a2 > b; (b) a ≥ 0 si b ≥ 0;(c) 0 < b ≤ a2 si a < 0; (d) a ≤ 0 si b ≥ 0.

6. Valorile parametrului m pentru care ecuatia

(m− 1)x2 − (m+ 1)x+m+ 1 = 0

are radacina dubla:

(a) m ∈ (1,∞) ; (b) m ∈µ1,5

3

¶;

(c) m ∈½1,5

3

¾; (d) m ∈

½−1, 5

3

¾.


7. Multimea careia îi apartin toate solutiile ecuatiei

lnx2 + 2 lnx = 4

este

(a) m ∈ (1,∞) ; (b) m ∈ (1, 2) ;(c) m ∈ (−∞, 1) ; (d) m ∈ {−1, 1} .


2x + 2x+1 + 2x+2 = 6x + 6x+1

este:

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3.

9. Multimea solutiilor inecuatiei |x| < x2 − x este:

(a) x ∈ R; (b) x ∈ (0,∞) ;(c) x ∈ (−∞, 0) ∪ (2,∞) ; (d) x ∈ (2,∞) .

10. Numarul 1 este pentru polinomul

x8 − 4x5 + 4x3 − 1,

radacina având ordinul de multiplicitate egal cu:

(a) 1; (b) 2; (c) 3; (d) 4.

11. Sa se precizeze multimea solutiilor ecuatiei:

z2 = 3 + 4i.

(a) {2− i, 2 + i}; (b) 2+ i,−2− i; (c) 2+i,−2+i; (d) 2−i,−2−i.

12. Coordonatele vârfurilor unui triunghi daca se cunosc coordonatele mi-jloacelor laturilor M(3,−1), N(1, 7), P (−4, 3) sunt(a) (−1,−3), (7, 9), (−7, 1); (b) (−2,−5), (8, 3), (−6, 11);(c) (−1,−4), (5, 2), (−3, 12); (d) (2,−3), (−10, 9), (0, 17).


¯¯

stiind ca x1, x2, x3 sunt radacinile ecuatiei x3 − 2x+ p = 0.

(a) 0; (b) 2; (c) 4; (d) 3p.

5.2. TESTUL 2 81

14. Pe multimea R3 se defineste legea de compozitie

(x1, y1, z1) ∗ (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1y2, z1 + z2) .

Elementul neutru al acestei legi este:

(a) (1, 1, 0) ; (b) (0, 1, 1) ; (c) (0, 1, 0) ; (d) (0, 0, 0) .

15. Pentru ce valori reale ale constantelor a, b functia f : R→ R, definitaprin:

f(x) =

½2x2 + b, x ≤ 2,2ax3 + 11a, x > 2,

este continua pe R si derivabila pe R.

(a) a = 0, b = −8; (b) a =1

9, b = −5;

(c) a =2

3, b = −2; (d) a =

1

3, b = 1.


f(x) = (x+ 2)g(x),∀x ∈ R,


(a)− 2; (b) 2; (c) −1; (d) 0.

17. Cea mai mica si cea mai mare valoare a functiei

f : R→ R, f (x) = 3x− x3

pe intervalul [−1, 3] este:(a) fmin = −2, fmax = 0; (b) fmin = −18, fmax = 2;(c) fmin = −2, fmax = 2; (d) fmin = −18, fmax = −2.

18. Fie f : [−1, 1]→ R, f (x) = max {ex, e−x} .Valoarea integralei

I =

1Z−1

f (x) dx este :

(a) I = 0; (b) I = 1; (c) I = 2 (e− 1); (d) I = 3.

19. FieM =

nx | x ∈

h−π2,π

2

isi 4 |sinx| cosx = 1

o.



20. Sa se determine numarul punctelor de intersectie dintre dreapta

2x+ y = 5 si cercul x2 + y2 = 5.

(a) 2; (b) 1; (c) 0; (d) 3.

5.3. TESTUL 3 83

5.3 Testul 3

1. Valoarea expresiei:

E =1 + a+ a2 + ...+ an−1

a+ a3 + ...+ a2n−1

este:

(a) E = 1; (b) E =1 + a

a (1 + an);

(c) E =1− a

a (1− an); (d) E =

1 + a

a (1 + an−1).

2. Valorile lui b, c ∈ R pentru care functia f : R→ R, f(x) = x2 + bx+ care valoarea minima 2 în punctul x = 1 sunt:

(a) b = −1, c = −14; (b) b = −2, c = 3;

(c) b = 1, c = 0; (d) b = 0, c = 1.

3. Fie functia f : R→ R, f(x) = x2 − 4x+ 3. Imaginea intervalului (0, 3]prin functia f este:

(a) [0, 3] ; (b) (0, 3] ; (c) [−1, 0]; (d) [−1, 3] .

4. Multimea de definitie a functiei

f(x) =√x2 − 1 + ln (2− x)

este:

(a) x ∈ [1, 2); (b) x ∈ (−∞,−1] ∪ [1, 2);(c) x ∈ [−1, 2]; (d) x ∈ (−∞, 1] ∪ [2,∞).

5. Valoarea limitei

l = limx→3

1−√x− 2

x2 − 9este:

(a) l = 0; (b) l = −16; (c) l = − 1

12; (d) l = 1.

6. Fie functia f : R → R, f(x) =3x− 13x2 + 1

. Valoarea lui x pentru care

functia ia cea mai mica valoare este

(a) x = 1; (b) x = 0; (c) x = −13; (d) x = 1√

2.


7. În care din urmatoarele multimi se afla toate solutiile sistemului½x2 = 4yx = 9

(a) x ∈ (−4, 4) , y ∈ (0, 3) ; (b) x ∈ (−3, 3) , y ∈ (−4, 4) ;(c) x ∈ (1,∞) , y ∈ (0, 4) ; (d) x ∈ (−1, 4) , y ∈ (−1, 4) .

8. Numarul solutiilor reale ale ecuatieiµ1

2

¶√x+2= 2−x

este:

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3.

9. Multimea solutiilor inecuatiei |x2 − 3x+ 2| < |2− x| este:(a) x ∈ R; (b) x ∈ (0,∞) ; (c) x ∈ (−∞, 0)∪(2,∞) ; (d) x ∈ (0, 2) .

10. Toate solutiile X ∈M2 (Z) ale ecuatiei matriceale

X2 =

µ1 02 1

¶sunt:

(a)

µ1 01 1

¶,

µ−1 0−1 −1

¶; (b)

µ−1 01 1

¶,

µ1 0−1 1

¶;

(c)

µ1 01 −1

¶,

µ1 01 1

¶; (d)

µ−1 0−1 −1

¶,

µ1 01 −1

¶.

11. Sa se precizeze multimea solutiilor inecuatiei:

log4 x+ logx 4 <5

2.

(a) (0, 1)∪ (2, 16); (b) (1, 2)∪ (4, 16); (c) (2, 16); (d) (0, 1)∪ (4, 16).

12. Coordonatele vârfurilor unui triunghi daca se cunosc coordonatele mij-loacelor laturilor M(3,−1), N(1, 7), P (−4, 3) sunt(a) (−1,−3), (7, 9), (−7, 1); (b) (−2,−5), (8, 3), (−6, 11);(c) (−1,−4), (5, 2), (−3, 12); (d) (2,−3), (−10, 9), (0, 17).

5.3. TESTUL 3 85

13. Valoarea elementului maxim al matricei⎛⎝ 1 1 11 1 11 1 1

⎞⎠3

este:

(a) 3; (b) 6; (c) 32; (d) 0.

14. Valorile parametrilor a, b ∈ R astfel încît ecuatia x3 − ax + b = 0 saaiba radacinile în progresie aritmetica sunt:

(a) a ∈ R, b = 0; (b) b = 0;

(c) a ∈ [0,∞) , b = 0; (d) a = −4, b = 0.

15. Pentru ce valori reale ale constantelor a, b functia f : R→ R, definitaprin:

f(x) =

½2x2 + b, x ≤ 2,2ax3 + 11a, x > 2,

este continua pe R si derivabila pe R.

(a) a = 0, b = −8; (b) a =1

9, b = −5;

(c) a =2

3, b = −2; (d) a =

1

3, b = 1.


f(x) = (x+ 2)g(x),∀x ∈ R,


(a)− 2; (b) 2; (c) −1; (d) 0.

17. Cea mai mica si cea mai mare valoare a functiei

f : R→ R, f (x) = 3x− x3

pe intervalul [−1, 3] este:(a) fmin = −2, fmax = 0; (b) fmin = −18, fmax = 2;(c) fmin = −2, fmax = 2; (d) fmin = −18, fmax = −2.


I =

2Z1

1 + x2

xdx


este:

(a) ln 2 + 1; (b) ln 2; (c) ln 2 + 32; (d) ln 2 + 1

2.

19. FieM =

nx | x ∈

h−π2,π

2

isi 2 sinx cosx = 3

o.


20. Distanta de la origine la dreapta 4x+ 3y − 12 = 0 este:(a) 2.4; (b) 4; (c) 2.5; (d) 3.

5.4. TESTUL 4 87

5.4 Testul 4

1. Câte numere întregi mai mari decât numarul real−2, 013 sunt în multimeaA = {x ∈ R; |x− 2, 013| ≤ 3− x}?(a) 5; (b) 2; (c) 3; (d) nici unul.

2. Fie x1 si x2 radacinile ecuatiei x2 + 2x + 20 = 0. Valoarea expresieiE = (x1)

3 x2 + x1 (x2)3 este

(a) E = 80; (b) E = −720; (c) E = 20; (d) E = 0.

3. Fie parametrul m ∈ R si ecuatiamx2 + (m+ 1)x+m− 1 = 0.Atunci conditia necesara si suficienta ca ecuatia anterioara sa nu admitaradacini reale este:

(a) m ∈¡3− 2

√3, 3 + 2

√3¢;

(b) m ∈³1− 2

√33, 1 + 2

√33

´;

(c) m ∈h1− 2

√33, 1 + 2

√33

i;

(d) m ∈³−∞, 1− 2

√33

´∪³1 + 2

√33,+∞

´.

4. Multimea M a solutiilor ecuatiei logx+4 (x2 − 1) = logx+4 (5− x) este

(a) M = {2} ; (b) M = {−3, 2} ;(c) M = (−3, 2) ; (d) M = ∅.

5. Un polinom de grad minim, având coeficienti rationali, care admite ca

radacini numerele x1 =4

1−√5si x2 =

5

1− 2i este:

(a) P (X) = X2 + 2X + 5; (b) P (X) = X4 − 3X2 − 18X − 20;(c) P (X) = X2 + 2X − 4; (d) P (X) = X4 − 3X2 + 18X − 20.

6. Numarul h al termenilor independenti de x din dezvoltarea binomuluiµ3√x2 +

24√x

¶10este:

(a) h = 1; (b) h = 0; (c) h = 2; (d) h = 11;

7. Suma primilor 10 termeni ai unei progresii aritmetice ce are al doileatermen a2 = 5 si al cincilea termen a5 = 14 este

(a) 145; (b) 126; (c) 155; (d) 150.


8. Se considera matricele

A =

⎛⎝ 1 −1 00 1 −10 0 1

⎞⎠ si B =

⎛⎝ −1 0 12 0 00 2 −1

⎞⎠.Atunci valoarea pentru det (A2 +B2) este:

(a) 4; (b) 5; (c) 17; (d) 1.

9. Fie sistemul⎧⎨⎩ 2x+ y + z = 0−my + z = 0m2x+ z = 0

si M = {m ∈ R; sistemul admite doar solutia nula } . Atunci(a) M = R\ {−2, 0, 1} ; (b) M = {−2, 0, 1} ;(c) M = R\ {0, 1} ; (d) M = {0, 1} .

10. Pe multimea G = (−1,+∞) se defineste legea de compozitiex ∗ y = xy + x+ y,∀x, y ∈ (−1,+∞) .Fie e elementul neutru al legii de compozitie anterioare si z solutiaecuatiei z ∗ 2000 = e. Atunci

(a) z = 12000

; (b) z = −20012000

; (c) z = 20012000

; (d) z = −19992000

.


an, unde

an = −17 +172− 1

73...+ (−1)n

7n, ∀n ∈ N∗.

(a) l = −16; (b) l = 0; (c) l = −1

8; (d) l = −1

7.

12. Sa se determine a ∈ R astfel încât functia f : [0, 2000] → R, f (x) =⎧⎨⎩ a cos (x− 7) , daca x ∈ [0, 7]2−√x− 3

x2 − 49 daca x ∈ (7, 2000]sa fie continua pe [0, 2000] .

(a) a =1

56; (b) a =

−156;

(c) a = 0; (d) nu exista a cu proprietatea ceruta.

13. Fie

f : R→ R, f (x) = x arctg x− ln (1 + x2) .Atunci

(a) functia derivata f 0 este monoton crescatoare pe R;

5.4. TESTUL 4 89

(b) f 0 (1) = −12; (c) f 00 (1) = 1 ;

(d) functia derivata f 0 este monoton descrescatoare pe R

14. Fie f : (0, 2)→ R, f (x) =2

x2 + 2x. Atunci f (4) (1) are valoarea:

(a) 6¡1− 1

34

¢; (b) 242

243; (c) 24

¡1 + 1

35

¢; (d) 4!

¡1− 1

35

¢.

15. Sa se determine abscisele punctelor de extrem local ale functiei:

f : R→ R, f (x) = x3 − 12x.(a) −2 si 2; (b) 0,−

√12 si

√12;

(c) 16 si −16; (d) f nu are puncte de extrem local.

16. Fie A1 aria domeniului marginit de dreptele x = 0, x = 1 si de graficulfunctiei

f1 : [0, 1]→ R, f1 (x) =x2

x3 + 1.

Fie A2 aria domeniului marginit de dreptele x = 1, x = e si de graficulfunctiei

f2 : [1, e]→ R, f2 (x) = x lnx.

Fie A3 aria domeniului marginit de dreptele x = 0, x = π4si de graficul

functiei

f3 :£0, π

4

¤→ R, f3 (x) =

sinx

cosx.

Atunci A = 3A1 + 4A2 − 2A3 are valoarea:(a) A = e2 + 1; (b) A = 2e2 + 1 + ln 2;

(c) A = e2 + 2 + 3 ln 2; (d) A = 4e2 + 2 ln 2.

17. O primitiva pe (0,+∞) a functiei

f : (0,+∞)→ R, f (x) = xe−x +

√x

x+ 1este:

(a) F (x) = −xex − ex + 2 (√x− arctg√x)− 1;

(b) F (x) = −xe−x − e−x + 2 (√x− arctg√x) + 2;

(c) F (x) = −xe−x + e−x + 2 (√x− ln√x) + 1;

(d) F (x) = xe−x − e−x + 2 (√x− arctg√x) .


18. Sa se determine tg x stiind ca

sinx−√3 cosx = 0.

(a) tg x = 1√3; (b) tg x =

√3; (c) tg x = 0; (d) tg x = 1.

19. Fie parametrul m ∈ R astfel încât vectorii −→a = −→i +−→j si−→b =

√22

−→i +m

−→j sa fie perpendiculari. Atunci

E = m+ cos π6· sin π

4

este

(a)√6−2

√2

4; (b) −

√2

4; (c) 0; (d) 1−2

√2

4.

20. Fie (d1) : 2x + ay − 7 = 0 acea dreapta în plan pentru care a ∈ Rse determina din conditia ca punctul A (2, 1) sa apartina dreptei. Fie(d2) acea dreapta în plan care trece prin punctele B (0, 4) si C (0, 6).Atunci:

(a) dreptele (d1) si (d2) sunt perpendiculare;

(b) dreptele (d1) si (d2) se intersecteaza în M¡1, 7

3

¢;

(c) dreptele (d1) si (d2) coincid;

(d) dreptele (d1) si (d2) sunt paralele.

Capitolul 6

Teste grila de la admitere2011-2013

6.1 2011 iulie

Universitatea Tehnica "Gheorghe Asachi" din IasiFacultatea de Automatica si CalculatoareAdmitere — sesiunea iulie 2011Domeniul Calculatoare si tehnologia informatiei

Subiecte la testul grila de Matematica

1. Câte solutii are ecuatia |2x+ 1| = |x+ 1|?

(a) (a) una; (b) doua; (c) nici una; (d) trei; (e) o infinitate.

2. Pentru ce valori ale parametrului a ∈ R, patratul produsului radacinilorecuatiei 3x2 − 2x+ a = 0 este egal cu 4?

(a) (a) 6,−6; (b) −6; (c) 1; (d) {1, 5}; (e) 6,−2.

3. Multimea solutiilor ecuatiei 32x − 8 · 3x + 15 = 0 este:(a) ∅; (b) {3, 5}; (c) {1} ; (d) {1, 5} ; (e) .

91

92 CAPITOLUL 6. TESTE GRILA DE LA ADMITERE 2011-2013

4. Domeniul maxim de definitie al functiei f(x) =

r−x2 + 4x− 4x2 + x− 2 este:

(a) (−1, 1) ∪ {2}; (b) (−2, 1); (c) (−2, 2);(d) (−2, 1) ∪ {2} ; (e) R.

5. Sa se determine numarul termenilor rationali din dezvoltarea binomiala¡√3 + 3√5¢80

.

(a) 2; (b) 14; (c) 16; (d) 24; (e) 0.

6. Sa se determine matricele X si Y care verifica egalitatile:

X =

µ3 2 10 1 2

¶⎛⎝ 132

⎞⎠ siµ1 21 3

¶+ Y =

µ0 12 3

¶.

(a) X =

µ3 2 10 1 2

¶, Y =

µ1 35 13

¶;

(b) X =

µ711

¶, Y =

µ1 33 6

¶;

(c) X =

µ117

¶, Y =

µ−1 −11 0

¶;

(d) X =

µ17

¶, Y =

µ1 1−1 0

¶;

(e) X =

⎛⎝ 1172

⎞⎠ , Y =

µ−1 −11 1

¶.

7. Care este multimea valorilor lui m pentru care sistemul:⎧⎨⎩ x+ y + z = −1x−my + z = 42x+m2z = 2011

este compatibil determinat?

(a) R\©−√2,−1,

√2ª; (b)

©−√2,−1,

√2ª;

(c) R\ {−2,−1, 2}; (d) {−1, 2} ; (e) {1, 2}.

8. Pe multimea R a numerelor reale se defineste legea de compozitie "*"data prin x ∗ y = ax + by − 1, ∀x, y ∈ R, în care a, b sunt parametrireali. Sa se determine a si b astfel ca legea data sa defineasca pe R ostructura de grup comutativ.

(a) a = 1, b = 2; (b) a = 1, b = 1;

(c) a = 1, b = −1; (d) a = 2, b = 2; (e) a = 3, b = 3.

6.1. 2011 IULIE 93

9. Numarul 1 este pentru polinomul x8 − 4x5 + 4x3 − 1 radacina avândordinul de multiplicitate egal cu:

(a) 1; (b) 2; (c) 8; (d) 4; (e) 3.

10. Sa se determine primul termen a1 si ratia r a unei progresii aritmetice(an)n∈N∗ , stiind ca:½

a2 − a6 + a4 = −7a8 − a7 = 2a4

.

(a) a1 = −5, r = 2; (b) a1 = −4, r = 4;(c) a1 = −3, r = 1; (d) a1 = −4, r = 3; (e) a1 = −2, r = 2.

11. Fie sirul xn = n¡√

n+ 2−√n+ 1

¢, Care este valoare limitei lim

n→∞xn?

(a) 0; (b) 12; (c) 1; (d) ∞; (e) 3

4.

12. Fie functia

f : R→ R, f(x) =

(a ln(3− x), daca x ∈ (−∞, 1]ex − e

x− 1 , daca x ∈ (1,∞) .

Pentru ce valoare a parametrului real a functia f este continua pe R?

(a) a = e; (b) a = 0; (c) a =e

ln 2;

(d) a =1

ln 2; (e) Nu exista a cu proprietatea ceruta.

13. Valoarea limx→∞

ln (x2 − x+ 1)

ln (x10 + x+ 1)este:

(a) 15; (b) 1; (c) −1; (d) 1

3; (e) ln 2.

14. Valoarea minima a functiei f : R→ R, f(x) =√2x2 − x+ 2 este:

(a) 154; (b) 15

8; (c)

q154; (d)

q158; (e) 0.

15. Fie functia f : R→ R, f(x) = e−2x+1 sin (3πx) + ln (x2 + x+ 1). Careeste valoarea derivatei acestei functii în punctul x = 0 ?

(a) −2e+ 1; (b) 3πe+ 1; (c) 3π + e+ 1; (d) 3π; (e) −2 + 3π.


π2Z0

¡cos3 x+ sin3 x

¢dx este.

(a) 2; (b)2

3; (c)

2π

3; (d)

4π

3; (e)

4

3.


17. Care dfin urmatoarele functii este o primitiva pe intervalul (1,∞) afunctiei

f : (1,∞)→ R, f(x) =1

x

√x− 1?

(a) 2√x− 1− arctg x; (b) arctg (x− 1)−

√x− 1 ;

(c) 2√x− 1− 2 arctg

√x− 1 ; (d)

√x− 1x

− arctg x;

(e) arctg x− 1x

√x− 1.

18. Care este valoarea expresiei E(x) =sinx+ sin 5x

cosx+ cos 5xpentru x =

π

12?

(a)

√2

2; (b) 0; (c) sin

π

12; (d) 1; (e)

√3

2.

19. Doua vârfuri consecutive ale unui paralelogram au coordonatele (1, 2) si(3, 4), iar punctul de intersectie a diagonalelor are coordonatele (4, 1).Coordonatele celorlaltor vârfuri sunt:

(a) {(5,−2), (7, 0)}; (b) {(3,−1), (1,−3)};(c) {(5, 3), (7, 5)}; (d) {(5, 2), (7, 1)} ; (e) {(2, 3), (−1, 1)}.

20. Care sunt valorile lui m pentru care dreptele

3x− 2my + 6 = 0, x− 2 = 0.y = mx− 1sunt concurente:

(a) m = −2,m = −32; (b) m = 2,m =

3

2; (c) m = −2,m =

3

2;

(d) m = 1,m = 0; (e) m = 2,m = −32.

6.2. 2011 SEPTEMBRIE 95

6.2 2011 septembrie

Universitatea Tehnica "Gheorghe Asachi" din IasiFacultatea de Automatica si CalculatoareAdmitere — sesiunea septembrie 2011Domeniul Calculatoare si tehnologia informatiei


1. Multimea valorilor parametrului real m pentru care inecuatia

(m+ 1)x2 − (m− 1)x+m− 1 > 0

este adevarata pentru orice x ∈ R este:

(a) (1,+∞); (b)

µ−53,−1

¶; (c)

µ−53,−1

¶∪ (1,∞);

(d) (−1,+∞); (e) (−1, 1).


2x + 2x+1 + 2x+2 = 6x + 6x+1

este:

(a) 4; (b) 0; (c) 2; (d) 3; (e) 1.

3. Fie M = {x ∈ R, x 6= −1} si operatia ” ” definita prin

x y = 2ax+ by + xy, ∀x, y ∈M.

Valorile parametrilor reali a si b pentru care (M, ) este grup comutativsunt:

(a) a = 1, b =1

2; (b) a = 1, b = 1 si a = 0, b = 1; (c) a = −1

2, b = 1;

(d) a =1

2, b = 1 si a = 0, b = 0; (e) a = 1, b = 2.

4. Fie A = {x ∈ R; |x− 2| = |3− x|} . Care afirmatie este adevarata?

(a) A = ∅; (b) A =

½5

2

¾; (c) A = (2, 3];

(d) A = R; (e) A = {2, 3}.


5. Daca A este inversabila, atunci valoarea determinantului inversei ma-tricei

A =

⎛⎝4 0 12 1 03 −1 2

⎞⎠este:

(a)1

3; (b) 3; (c) 4; (d)

1

4; (e) nu exista.

6. Multimea tuturor solutiilor sistemului(xy + x+ y = 11

x2y + xy2 = 30

este:

(a) {(−2, 3) , (−3, 2)}; (b) {(1,−5) , (−5, 1)};(c) {(2, 3) , (3, 2) , (1, 5) , (5, 1)};(d) {(3, 2) , (5, 1)}; (e) {(2, 3) , (1, 5)}.

7. Multimea solutiilor inecuatiei√x2 − 55x+ 250 < x− 14 este

(a) (2,+∞); (b) [50,+∞); (c) (50,+∞); (d) [14,+∞); (e) [5, 50].

8. Valorile parametrilor reali a, b pentru care polinomul P (X) = 2X4 −2X3 + aX + b este divizibil cu Q (X) = X2 − 3X + 2 sunt:

(a) nu exista a si b cu aceasta proprietate; (b) a = 16, b = −16;(c) a = 32, b = −32; (d) a = 0, b = 0; (e) a = −16, b = 16.

9. Se considera sistemul:⎧⎪⎨⎪⎩x1 − x2 = −12x1 + x2 = m

3x1 + (m− 1)x2 = 1−m

Multimea valorilor lui m pentru care sistemul are solutii este:

(a) {−2, 2}; (b) {−7, 0}; (c) {−8, 0}; (d) {−8, 1}; (e) ∅.

10. Daca suma termenilor al treilea si al cincilea ai unei progresii aritmeticeeste 16, atunci suma primilor 7 termeni ai progresiei are valoarea:

(a) 56; (b) 28; (c) 36; (d) 48; (e) 64.


11. Sa se determine a ∈ R astfel încât functia

f : [0, 2]→ R, f (x) =

⎧⎨⎩ e4x, daca x ∈ [0, 1]asin (x− 1)x2 − 4x+ 3 , daca x ∈ (1, 2]

sa fie continua pe [0, 2].

(a) a = e4; (b) a = −2e4; (c) a = 0; (d) a = e2;

(e) nu exista a cu proprietatea ceruta.

12. O primitiva pe (0,+∞) a functiei f : (0,+∞)→ R, f (x) = lnx este:

(a) x lnx− x; (b) x lnx− 1; (c) x2 lnx; (d)1

x; (e)

lnx

x.

13. Sa se determine a ∈ R astfel încât

limn→∞

−an3 + 2n− 12011n3 + n2 + 1

=2010

2011.

(a) a = 1; (b) a = 2010; (c) a = −2010;(d) nu exista a cu aceasta proprietate; (e) a = 0.

14. Fie functia f(x) = 2x2− 1− 1

x2 + 1. Care dintre urmatoarele afirmatii

este adevarata?

(a) Punctul x = 1 este punct de maxim local;

(b) Punctul x = 0 este punct de maxim local;

(c) Punctul x = 1 este punct de minim local;

(d) Punctul x = 0 este punct de minim local;

(e) Functia nu are puncte de extrem.

15. Limita limx→−1

(2 + x)2

x+1 este:

(a) e; (b) e2; (c)√e; (d) 0; (e) +∞.


I =

Z π/2

0

sinx

1 + cos2 xdx

este:

(a) I = −π4; (b) I = ln 2; (c) I =

π

2; (d) I = 1; (e) I =

π

4.


17. Fie functia f : R → R, f (x) = xe2x + ln (x2 + 1). Atunci f 00 (0) arevaloarea:

(a) 0; (b) 4; (c) 6; (d) 2; (e) e.

18. Coordonatele punctului de pe dreapta de ecuatie x = 3, aflat la distantaegala de punctele A (2,−1) si B (−1, 3), sunt:

(a)

µ3,23

8

¶; (b) (−2, 1); (c) (3,−1); (d) (3, 1); (e)

µ1

2, 1

¶.

19. Multimea S a solutiilor ecuatiei

ctg x− 2 cosx = 0

care satisfac conditia 0 < x <π

2este:

(a) S = ∅; (b) S =nπ6

o; (c) S =

nπ3

o;

(d) S =nπ6,π

2

o; (e) S =

nπ4

o.

20. Fie dreptele date de ecuatiile 2x+ y + 4 = 0 si −x+ 3y − 2 = 0. Careafirmatie este adevarata?

(a) Punctul de intersectie a dreptelor apartine primului cadran;

(b) Punctul de intersectie a dreptelor apartine axei Oy;

(c) Punctul de intersectie a dreptelor apartine axei Ox;

(d) Dreptele sunt paralele;

(e) Dreptele sunt perpendiculare.

6.3. 2012 IULIE 99

6.3 2012 iulie

Universitatea Tehnica "Gheorghe Asachi" din IasiFacultatea de Automatica si CalculatoareAdmitere — sesiunea iulie 2012Domeniul Calculatoare si tehnologia informatiei


1. Suma tuturor numerelor naturale mai mici decât 100, pare, divizibilecu 3 este:

(a) 816; (b) 720; (c) 1440; (d) 1632.

2. Fie x1 si x2 radacinile ecuatiei x2 + 2x+ 11 = 0. Valoarea expresiei

E = (x1)2 x2 + x1 (x2)

2 este:

(a) E = 22; (b) E = −22; (c) E = 11; (d) E = 0.

3. Între numerele x =3p2 +√3, y =

p1 +√3, z =

√3 au loc urma-

toarele inegalitati:

(a) x < y < z; (b) x > y > z; (c) y > x > z; (d) x < z < y.

4. Multimea careia îi apartin toate solutiile ecuatiei

lnx3 + lnx = 4

este:

(a) (1,∞) ; (b) (1, 2) ; (c) (−∞, 1) ; (d) {−1, 1} .

5. Sa se rezolve inegalitatea√3x− x2 < 3− x.

(a) x ∈ [0, 3/2) ; (b) x ∈ (0, 3/2) ;(c) x ∈ [0, 3] ; (d) x ∈ [0, 3).

6. Daca x1, x2, x3 sunt radacinile ecuatiei x3 − x2 + 3x +m = 0, atuncivaloarea determinantului ¯

¯ x1 x2 x3x2 x3 x1x3 x1 x2

¯¯

este: (a) 8; (b) 24; (c) m; (d) m+ 2.


7. Se considera sistemul:⎧⎨⎩ x1 − x2 + x3 = 1−x1 + x2 − x3 = −m3x1 + x2 + (m− 1)x3 = 0

Toate valorile luim pentru care sistemul este compatibil apartin multimii:

(a) (0, 1) ; (b) (−∞, 0) ; (c) (0, 2) ; (d) (2,∞) .

8. Daca (x0, y0) este solutie a sistemului½x2y3 = 16x3y2 = 2

,

atunci:

(a) x0 =1

2; (b) x0 = 2; (c) x0 = 1; (d) x0 =

1

4.

9. Se considera matricele

A =

⎛⎝ 1 −1 00 1 −10 0 1

⎞⎠ siB =⎛⎝ −1 0 1

2 0 00 2 −1

⎞⎠Atunci valoarea pentru det (A2 +B2) este:

(a) 4; (b) 17; (c) 16; (d) 1.

10. Pe multimea R a numerelor reale se defineste legea de compozitie in-terna

x ∗ y = ax+ by − 1, ∀x, y ∈ R,

în care a si b sunt constante reale. Atunci, valorile lui a si b pentru carelegea de compozitie ∗ defineste pe R o structura de grup comutativsunt:

(a) a = 1, b = 2; (b) a = 3, b = 3;

(c) a = 1, b = −1; (d) a = 1, b = 1.


1 + 12+ ...+

¡12

¢n1 + 1

3+ ...+

¡13

¢n , unde(a) l =∞; (b) l =

4

3; (c) l =

2

3; (d) l =

3

2.

6.3. 2012 IULIE 101


limx→0

ln (1− x+ x2)− ln (1 + x+ x2)

x

este:

(a) ∞; (b) 2; (c) 0; (d) −2.

13. Tangenta la graficul functiei f (x) = x2 lnx în punctul de abscisa x0 = 1intersecteaza axa Oy în punctul de ordonata:

(a) y = −1; (b) y = 0; (c) y = 1; (d) y = 1/2.


f :³π2, π´→ R, f(x) = arccos (sinx) .

(a) 1; (b) cosx; (c) sinx; (d) −1.

15. O primitiva a functiei f (x) =4x

x4 + 1este:

(a) arctg (x+ 1) ; (b)2

x4 + 1;

(c) ln (x4 + 1); (d) 2 arctg x2 + .√3.

16. Aria figurii marginite de curbele y =√x+ 1, y = 2, x = 4 este:

(a)23

3; (b)

8

3; (c)

16

3; (d)

5

3.

17. Fie functia f (x) =x3

x3 − x2 − x+ 1. Care dintre urmatoarele afirmatii

este adevarata?

(a) f are o asimptota orizontala si doua asimptote verticale;

(b) f are o asimptota orizontala si o asimptota verticala;

(c) f are o asimptota orizontala si trei asimptote verticale;

(d) f are doar asimptote verticale.

18. Valorile lui m pentru care dreptele 3x − 2my + 6 = 0, x − 2 = 0,y = mx− 1 sunt concurente sunt:

(a) m = −2;m = −32; (b) m = 2;m =

3

2;

(c) m = −2;m =3

2; (d) m = 2;m = −1

2.


19. Distanta de la origine la dreapta 4x+ 3y − 12 = 0 este:(a) 2, 4; (b) 4; (c) .

√12; (d) 3.

20. Suma solutiilor ecuatiei trigonometrice cos 2x + sin2 x =3

4situate în

intervalul [0, 2π] este:

(a) 4π; (b) 3π; (c) 2π; (d)5π

3.


6.4 2012 septembrie

Universitatea Tehnica "Gheorghe Asachi" din IasiFacultatea de Automatica si Calculatoare AAdmitere — sesiunea iulie 2012Domeniul Calculatoare si tehnologia informatiei


1. Multimea valorilor parametrului real m pentru care ecuatia

mx2 + (2m+ 1)x+m+ 2 = 0

nu are solutii reale este:

(a) (−∞, 0); (b)

µ−∞,

1

4

¶; (c)

µ1

4,∞¶; (d) (0,∞) .

2. Inegalitateaq1 + 1

1+x< 1 este adevarata pentru:

(a) x ∈ (−∞,−2); (b) x ∈ (−∞,−1);(c) x ∈ (−2,−1); (d) x ∈ (−1,∞).

3. Cu câte zerouri se termina numarul 99! ?

(a) 90; (b) 45; (c) 44; (d) 22.

4. Multimea valorilor lui x pentru care ex + 1 > 2e−x este:

(a) (−∞,−1); (b) (−∞, 2); (c) (0,∞); (d) (1,∞).

5. Suma primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice crescatoare este15, iar produsul lor este 80. Se cere al patrulea termen.

(a) 12; (b) 11; (c) 10; (d) 9.

6. Calculati numarul (−i)20.(a) −1; (b) i; (c) −i ; (d) 1.

7. Polinomul 2x3 + 4mx2 − 5mx− 8m este divizibil prin polinomul x+ 1daca m este:

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3.


8. Determinantul inversei matricei⎛⎝ 2 0 1−1 1 30 −2 2

⎞⎠are valoarea:

(a) 18; (b) 1

12; (c) 1

18; (d) nu exista.

9. Sistemul ⎧⎨⎩ 2x+ y + z = 0−my + z = 0mx+ z = 0

cu m parametru real, admite numai solutia nula daca:

(a) m ∈ (−∞, 0) ∪ (0,∞); (b) m ∈ [0, 1];(c) m ∈ {0, 1}; (d) m ∈ RÂ {0, 1}.

10. Pe multimea R a numerelor reale se defineste legea de compozitie in-terna

x ∗ y =px2 + y2, ∀x, y ∈ R.

Atunci

(a) legea este asociativa; (b) 0 este element neutru;

(c) (R, ∗) este grup; (d) legea nu e comutativa.

11. Sirul xn = 1 + (−1)n are limita:(a) 0; (b) 1 ; (c) 2; (d) nu are limita.

12. Numarul dreptelor asimptote la graficul functiei

f : (−∞, 0) ∪ (0,∞)→ R, f(x) = 2 +1

x

este:

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3.

13. Derivata a doua a functiei f(x) = x2 lnx, x > 0, în punctul x = 1 este:

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3.

14. Câte puncte de extrem local are functia f : R→ R, f(x) = 3x4+4x3 ?(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3.


15. O primitiva a functiei f : R→ R, f(x) = 4x

x4 + 1, este data de formula:

(a) ln (x4 + 1); (b) 2 arctg x2; (c)2x

x2 + 1; (d) x ln (x2 + 1)

2.

16. Calculati

1Z0

(x−√x)2 dx.

(a) 1; (b)2

3; (c)

1

30; (d) −1

6.

17. Aria portiunii din planul cartezian delimitata de axele de coordonatesi de graficul functiei

f :

∙0,3π

4

¸→ R, f(x) = sinx+ cosx

este egala cu:

(a) 1 +√2; (b) 1 ; (c) 2 ; (d) π.

18. Valorile parametrului realm, pentru care dreptele 3x+my+2m+3 = 0,2x+ (m− 1)y +m+ 3 = 0 coincid, sunt:

(a) m ∈ ∅ ; (b) m = −1; (c) m = 0; (d) m = 3.

19. Sa se afle coordonatele vârfurilor unui triunghi cunoscând mijloacelelaturilor M(3,−1), N(1, 7), P (−4, 3):(a) (1,−4), (5, 2), (−3, 12); (b) (−2, 3), (8,−5), (−6, 19);(c) (−2,−5), (8, 3), (−6, 11); (d) (2, 3), (−1/2, 1), (−3/2, 5).

20. Daca tgA = 1, tgB = 2, tgC = 3 atunci tg (A+B + C) este:

(a) 0; (b) −6/5; (c) −3/5; (d) 3/2.


6.5 2013 iulie

Universitatea Tehnica "Gheorghe Asachi" din IasiFacultatea de Automatica si Calculatoare AAdmitere — sesiunea iulie 2013Domeniul Calculatoare si Tehnologia Informatiei


1. Sa se calculeze aria domeniului plan limitat de graficul functiei

f : (0,∞)→ R, f(x) = lnx

si segmentul ce uneste punctele graficului de abscise 1 si e.

(a)e− 24; (b) e− 2; (c)

3− e

2; (d)

e− 14

.

2. În planul cartezian se considera punctele A(6, 0), B(6, 8) si C(0, 8). Secere distanta dintre centrul de greutate si centrul cercului circumscris∆ABC.

(a) 2; (b)√3; (c)

5

3; (d) 0.

3. Polinomul X3 +X2 +mX − 1 are radacinile x1, x2, x3. Se cere m ∈ Rastfel ca

1

x21+1

x22+1

x23< 3.

(a) m ∈ (− 1, 1); (b) m ∈ (0, 2); (c) m ∈ (0,∞); (d) nu exista m.

4. Fie functiaf : R→ R, f(x) = ex

2

si F o primitiva a lui f. Se cere:

limx→∞

xF (x)

f(x).

(a) ∞; (b) 0; (c)1

2; (d) 1.

6.5. 2013 IULIE 107

5. Sa se calculeze coeficientul lui X3 în polinomul P (X) = (1 +X)7(1−X)4.

(a) 17; (b) −9; (c) 13; (d) −11.

6. Sa se calculeze: Z π2

0

x(sinx+ cosx) dx.

(a) −π; (b) 0; (c) π; (d)π

2.

7. Multimea valorilor parametrului α, pentru care sistemul½12x− 2y = 2α6x+ αy = −1

are solutie unica, este:

(a) (−∞,−1)∪(−1,+∞) ; (b) {−1} ; (c) (−∞, 1)∪(1,+∞) ; (d) {−1; 1} .

8. Fie m ∈ R astfel încât vectorii −→a = m−→i +−→j si

−→b =

−→i +

√2

2

−→j sunt

perpendiculari. Atunci

m+ cosπ

6· sin π

4

este:

(a)

√6− 2

√2

4; (b)

−√2

4; (c) 0; (d)

1− 2√2

4.

9. Multimea solutiilor inecuatiei¯x2 − 3x+ 2

¯< |2− x|

este:

(a) R; (b) (0,∞); (c) (−∞, 0) ∪ (2,∞); (d) (0, 2) .


limx→0

√x+ 1− (x+ 1)√

x+ 1− 1este:

(a) 0; (b) ∞; (c) 2; (d) −1.


11. Multimea M a solutiilor ecuatiei

72·√x−1 − 9 · 7

√x−1 + 14 = 0

este:

(a) M =©2, 1 + (log7 2)

2ª ; (b) M = {2, 7} ;(c) M = {2, 1 + log7 4} ;(d) M = {2} .

12. Fie functia

f : D ⊂ R→ R, f (x) = 3x2 − x− 1x2 + x− 2 ,

undeD este domeniul maxim de definitie. Sa se determine toate asimp-totele functiei.

(a) x = −2, y = 3; (b) x = −2, x = 1, y = 3;(c) x = 3, y = −2, y = 1; (d) nu are asimptote.

13. Fie functia

f : R→ R, f (x) = ln¡1 + x2

¢− 2x arctg x.

Atunci:

(a) functia derivata f 0 este monoton descrescatoare pe R; (b) f 0 (1) =−2;(c) f 00 (1) = 1; (d) functia f este convexa pe R.

14. Fie functia

f : R→ R, f(x) = 3x− 13x2 + 1

.

Valoarea lui x pentru care functia ia cea mai mica valoare este:

(a) x = 1; (b) x =1

3; (c) x = −1

3; (d) x = −3

2.

15. Ecuatia z2 = z are în multimea C un numar de solutii egal cu:(a) 2; (b) 3; (c) 4; (d) 1.

16. Sirul (xn)n∈N este definit astfel: x0 = 4, x2 = 1 si xn =√xn−1 · xn+1,

n ≥ 1. Se cere:limn→∞

(x1 + x2 + . . .+ xn) .

(a) ∞; (b) 8; (c) 4; (d) 6.

6.5. 2013 IULIE 109

17. Câte matrice patratice A de ordinul trei având elementele numere nat-urale verifica egalitatea:¡

1 2 4¢·A =

¡3 1 2

¢?

(a) 1; (b) 2; (c) 3; (d) 4.

18. Fie multimea

M =nx | x ∈

h−π2,π

2

isi 4 sinx cosx =

√10− 1

o.

Sa se afle numarul de elemente ale multimii {x+ y | x, y ∈M}.(a) 2; (b) 4; (c) 3; (d) 0.

19. Fie functia f : R→ R, f(x) = x2 − 4x+ 3. Imaginea intervalului (0, 3]prin functia f este:

(a) [0, 3); (b) (0, 3); (c) [−1, 0]; (d) [−1, 3).

20. Pe R se defineste legea de compozitie interna x◦y = 2xy−6x−6y+21,∀x, y ∈ R. Numarul solutiilor reale ale ecuatiei x ◦ x = 11 este:(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 4.

Capitolul 7

Solutii

7.1 Algebra

1. Functia f este o functie polinomiala de gradul al doilea si are dreptgrafic o parabola cu axa de simetrie paralela cu Oy.

Raspuns corect: (d).

2. Se impun conditiile ∆ = 4(a2 − b) ≥ 0, S = −2a < 0, P = b > 0.

Raspuns corect (c).

3. Se impune conditiam− 2m

< 0.

Raspuns corect: (c).

4. Se calculeaza ∆ = 4(m2 − 5am+ a2 + 2).

i) ∆ ≥ 0,∀m ∈ R ⇒ |a| ≤q

821;

ii) ∆ ≥ 0,∀a ∈ R ⇒ |m| ≤q

821.

Raspuns corect: (b).

5. Inecuatia nu are solutii daca

mx2 + (m+ 1)x+m− 1 ≤ 0,∀x ∈ R.

Rezulta m < 0 si ∆ ≤ 0⇒ m < 0 si −3m2 + 6m+ 1 ≤ 0⇒ m < 0 sim ∈

¡−∞, 1− 2

3

√3¤∪£1 + 2

3

√3,+∞

¢.

Raspuns corect (d) .

111

112 CAPITOLUL 7. SOLUTII

6. Inecuatia nu are solutii daca

mx2 + (m− 1)x− (m− 2) ≤ 0, ∀x ∈ R.

Varianta I. Este necesar ca m < 0, ceea ce elimina raspunsurile (a) si(c). Dar pentru m = −1 se obtine −x2−2x+3 ≤ 0, care nu se verificadaca x = 0.


Varianta II. Se impun conditiilem < 0 si∆ ≤ 0 care conduc la sistemulincompatibil½

m < 05m2 − 10m+ 1 ≤ 0 .


7. Se studiaza ca o inecuatie în x si se pune conditia ∆ < 0 pentru oricey real, adica

y2 − 4y +m− 4 > 0, ∀y ∈ R.


8. Se impun conditiile m− 1 > 0,∆ < 0.

Raspuns corect (b).

9. Varianta I. Daca x = 1 inegalitatea este verificata, ∀λ ∈ R. Daca x 6= 1inegalitatea este echivalenta cu λ > −2 x+ 1

(x− 1)2, ∀x ∈ [0, 1)∪ (1, 3]. Se

studiaza variatia functiei din membrul drept si se constata ca valorileacesteia constituie intervalul (−∞,−2].Varianta II. Pentru λ = 0 inegalitatea se verifica ∀x ∈ [0, 3]. Dacaλ 6= 0, interpretam membrul stâng ca o functie polinomiala de grad 2,cu ∆ = 4 (−4λ+ 1). Problema se reduce la una din variantele:i) λ > 0 si ecuatia atasata nu are radacini reale;

ii) λ > 0 si ecuatia are ambele radacini negative;

iii) λ > 0 si ecuatia are radacinile mai mari ca 3 sau

iv) λ < 0 si ecuatia are o radacina negativa, iar cealalta mai mare ca3.

Raspuns corect: (d) .

7.1. ALGEBRA 113

10. Din relatiile lui Viète rezulta x21 + x22 = a2 − 2a, x31 + x32 = −a3 + 3a2.Conditia devine −a3 + 3a2 < a2 − 2a ⇔ a(a2 − 2a − 2) > 0, ceea ceimplica a ∈

¡1−√3, 0¢∪¡1 +√3,+∞

¢.


11. Notam x1+ x2 = s, x1x2 = p si atunci relatiile date conduc la sistemul(4p− 5s = −4p− s =

m

1−m.

Obtinem s = 41−m , p =

m+41−m , iar ecuatia de gradul al doilea este

(1−m)x2 − 4x+m+ 4 = 0,m ∈ R\ {1} .

Se noteaza cu f functia polinomiala de grad 2 din membrul stâng.Pentru ca −1 < x1 < x2 < 1 se impune⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∆ > 0−1 < − b

2a< 1

a · f(−1) > 0a · f(1) > 0

⇔

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩m(m+ 3) > 0−1 < 2

1−m < 19(1−m) > 01−m > 0

⇒ m ∈ (−∞,−3).


12. Varianta I. Membrii stângi ai ecuatiilor fiind polinoame omogene, seamplifica prima ecuatie cu 13 si se aduna la a doua, de unde se obtine:

2³xy

´2− 5

³xy

´+ 2 = 0 etc.

Varianta II. Se amplifica prima ecuatie cu 3 si se scade din a doua, deunde se obtine xy = 2. Se amplifica a doua ecuatie cu 3 si se scade dinprima, de unde se obtine x2 + y2 = 5. Notam x + y = s, xy = p siatunci relatiile date conduc la sistemul½

p = 2s2 − 2p = 5 ⇒

½s = −3p = 2

sau½

s = 3p = 2

Din z2 + 3z + 2 = 0⇒ (x1, y1) = (−1,−2) sau (x2, y2) = (−2,−1) .Din z2 − 3z + 2 = 0⇒ (x3, y3) = (1, 2) sau (x4, y4) = (2, 1) .


13. Notam x + y = s si xy = p. Se obtine p + s = 11 si ps = 30, de undes = 5, p = 6 sau s = 6, p = 5 etc.

Raspuns corect: (a).


14. Inegalitatea este echivalenta cu −1 < 2x2 − 1x2 − 1 < 1⇔⎧⎪⎨⎪⎩

3x2 − 2x2 − 1 > 0

x2

x2 − 1 < 0⇔

⎧⎪⎨⎪⎩ x ∈ (−∞,−1) ∪Ã−r2

3,

r2

3

!∪ (1,+∞)

x ∈ (−1, 1) \ {0}.

Raspuns corect (a).

15. Varianta I. Inegalitatea este echivalenta cu −1 < x2 + 3x+ 2

x2 − 4x+ 3 < 1⇔⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2x2 − x+ 5

(x− 1)(x− 3) > 07x− 1

(x− 1)(x− 3) < 0⇔

⎧⎨⎩ x ∈ (−∞, 1) ∪ (3,+∞)

x ∈µ−∞,

1

7

¶∪ (1, 3) .

Raspuns corect (d).

Varianta II. Se observa ca pentru x = 2 inegalitatea devine 12 < 1, fals,deci raspunsurile (a), (b), (c) sunt excluse. Cum un singur raspuns estecorect, rezulta ca acesta este (d) .

16. Impunem conditiile x 6= 0, 1− 4x2 ≥ 0⇒ x ∈£−12, 0¢∪¡0, 1

2

¤.

Pentru x ∈£−12, 0¢fractia este negativa, deci mai mica decât 3.

Pentru x ∈¡0, 1

2

¤inecuatia devine 1−3x <

√1− 4x2. Pentru x ∈

£13, 12

¤inegalitatea este verificata deoarece 1 − 3x ≤ 0. Pentru x ∈

¡0, 1

3

¢inecuatia este echivalenta cu 13x2 − 6x < 0 ⇔ x ∈

¡0, 6

13

¢.Atunci

x ∈¡0, 6

13

¢∩¡0, 1

3

¢=¡0, 1

3

¢.

Raspuns corect (b) .

17. Se observa ca√x− a ≥ 0,

√x− b ≥ 0,

√x− c ≥ 0 si d > 0.

Raspuns corect (a).

18. Existenta radicalilor impune x ≥ 13. Inecuatia se scrie echivalent

√3x− 1 + 1 >

√3x+ 1

si se elimina radicalii ridicând la patrat.

Raspuns corect (a).

19. Se rezolva inegalitatile:1 + 4x

x≥ 0, 1 + 4x

x< 1.

Raspuns corect (c).

7.1. ALGEBRA 115

20. Inecuatia se scrie:p|x− 6| > |x− 6| si, deoarece |x− 6| ≥ 0, inecuatia

devine |x− 6| > |x− 6|2 ⇒ 0 < |x− 6| < 1⇒ x ∈ (5, 7) \ {6} .Raspuns corect (b) .

21. a = 6p7 +√48 < b =

6p7 +√50.

Raspuns corect (d).

22. Varianta I. Se observa ca a = 3

q¡−1 +

√3¢3 − 3

q¡1 +√3¢3= −2.

Raspuns corect: (b) .

Varianta II. Se ridica la puterea a treia numarul a ∈ R si, eliminândradicalii, se obtine:

a3 = −20− 6a⇔ (a+ 2) (a2 − 2a+ 10) = 0.Raspuns corect: (b) .

23. I se determina impunând ca expresia de sub radical trebuie sa fie ≥ 0.i) a > 0 ⇒ −x2 + (4− a2)x+ 1 ≥ 0 ⇒

x ∈

⎡⎣4− a2 −q(4− a2)2 + 4

2,4− a2 +

q(4− a2)2 + 4

2

⎤⎦ , caz în carelungimea intervalului I este egala cu l =

q(4− a2)2 + 4 si este minima

pentru a2 = 4⇒ a = 2.

ii) a < 0⇒−x2+(4− a2)x+1 ≤ 0⇒ I este interval nemarginit (unuldin cele doua posibile intervale), cu lungime infinita.


24. Sistemul dat este echivalent cu:

½−2 ≤ x− |x− 1|+ 1 ≤ 2−1 ≤ x−1

2x≤ 1 ⇔

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x− |x− 1| ≤ 1x− |x− 1| ≥ −3−x− 12x

≤ 03x− 12x

≥ 0

⇔

⇔

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x ≤ 1x− 1 ≤ 0x+ 1 ≥ 0x+ 1

2x≥ 0

3x− 12x

≥ 0

sau

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x > 11 ≤ 11 ≥ −3x+ 1

2x≥ 0

3x− 12x

≥ 0

⇔


⇔ x ∈ {−1} ∪£13, 1¤sau x ∈ (1,+∞) .

Deci x ∈ {−1} ∪£13,+∞

¢.


25. Fie f1 : R → R,f1(x) = x2 + 2mx − 1. Se observa ca f1 este strictdescrescatoare pe intervalul (−∞,−m] si strict crescatoare pe intervalul[−m,+∞). Pentru ca functia f sa fie injectiva pe R e necesar carestrictia functiei f1 pe intervalul (−∞, 0] sa fie injectiva, deci −m ≥ 0,adica m ≤ 0.Daca m = 0 atunci functia f2 : R→R,f2(x) = mx − 1 este constantape R si atunci restrictia functiei f2 pe intervalul [0,+∞) nu poate fiinjectiva.

Daca m < 0 atunci functia f2 este strict descrescatoare pe R,deci si peintervalul [0,+∞). Cum f1(0) = −1 ≥ −1 = f2(0) rezulta ca, pentrum ∈ (−∞, 0) , f este strict descrescatoare pe R, deci injectiva. Prinurmare m ∈ (−∞, 0).


26. Varianta I.

Se utilizeaza graficul functiei f . Acesta se compune din doua semidrep-te de ecuatie y = x +m pentru x ≤ 1 si y = 2mx − 1 pentru x > 1.Se impune m > 0, altfel multimea valorilor lui f nu ar acoperi R. Daca2m−1 > 1+m, f ar avea un salt în punctul x = 1 si f nu ar lua valorilecuprinse întrem+1 si 2m−1. Se impune deci 2m−1 ≤ 1+m⇔ m ≤ 2.Deci daca 0 < m ≤ 2 functia f este surjectiva.Varianta II. Se observa ca f este continua pe (−∞, 1], deci imagi-nea intervalului (−∞, 1] prin functia f este intervalul (−∞, 1 +m].De asemenea, f este continua pe (1,+∞), deci imaginea intervalului(1,+∞) prin functia f este intervalul (−∞, 2m− 1) daca m < 0, in-tervalul (2m− 1,+∞) daca m > 0 si multimea {−1} daca m = 0.Atunci, daca m > 0 si 2m− 1 ≤ 1+m, adica m ∈ (0, 2], functia f estesurjectiva pe R cu valori în R.

7.1. ALGEBRA 117


27. Se expliciteaza

f : R→ R, f(x) =

½x+ 1, x < 22x− 1, x ≥ 2

si se reprezinta grafic:

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Din reprezentarea grafica a lui f se deduce ca f este strict crescatoarepe R, ca este injectiva si surjectiva, deci inversabila.Pentru ∀y ∈ R cautam unicul x ∈ R astfel încât f(x) = y. Cautam

x ≥ 2 astfel încât 2x − 1 = y ⇒ x =y + 1

2, pentru y ≥ 3. Cautam

x < 2 astfel încât x+ 1 = y ⇒ x = y − 1, pentru y < 3. Atunci

f−1 : R→ R, f−1 (y) =

(y − 1, y < 3y + 1

2, y ≥ 3

Raspuns corect: (d)

28. x2 + x+m 6= 0,∀x ∈ R⇒ ∆ = 1− 4m < 0⇔ m > 14.

f(x) ≤ 2⇔ x2 + (m+ 1)x+m+ 2

x2 + x+m≤ 2⇔

x2 − (m− 1)x+m− 2 ≥ 0,∀x ∈ R.∆0 = (m− 1)2 − 4(m− 2) ≤ 0⇔ (m− 3)2 ≤ 0⇒ m = 3.

Raspuns corect: (c) .

29. Se impun conditiile de existenta a radicalilor:

x− 1 ≥ 0, x4 − x ≥ 0, x4 − x ≤ 1.


Prin ridicare la patrat si efectuând calculele obtinem ecuatia

4x3 − 4x2 − x = 0⇒ x1 = 0, x2 =1−√2

2, x3 =

1+√2

2.

Numai x3 verifica inecuatiile de existenta.


30. Varianta I.

Se observa ca¡20 + 14

√2¢ ¡20− 14

√2¢= 8, de unde

20− 14√2 =

8

20 + 14√2.

Notam t =3p20 + 14

√2.

Se observa ca¡2 +√2¢3= 20 + 14

√2, deci t = 2 +

√2.

Atunci H = t+2

t= 2 +

√2 +

2¡2−√2¢¡

2 +√2¢ ¡2−√2¢ = 4.

Varianta II. Se ridica la puterea a treia numarul H ∈ R si se obtineH3 = 40 + 6H ⇔ (H − 4) (H2 + 4H + 10) = 0.


31. Cum f (0) = f (1) = 0, f nu este injectiva. Dar f este surjectivadeoarece (∀)m ∈ Z, (∃)n ∈ Z astfel ca f (n) = m, anume n = 3m+ 1.

Într-adevar, conform primei forme a lui f avem

f (n) = f (3m+ 1) = m.

Raspuns corect: (c)

32. Varianta I. Se observa ca membrul stâng al inecuatiei este functie cres-catoare pe R, cel drept este functie descrescatoare pe R, iar pentrux = 0 este egalitate.

Varianta II. Deoarece ex > 0, (∀) x ∈ R, se transforma echivalent ine-cuatia în

e2x + ex − 2 > 0⇔ (ex − 1)(ex + 2) > 0⇔ ex > 1.


33. Ecuatia se mai scrie 2x + 2 · 2x + 22 · 2x = 6x + 6 · 6x sau 7 · 2x = 7 · 6x,adica 2x · (1− 3x) = 0. Cum 2x 6= 0, (∀)x ∈ R, rezulta ca 3x = 1, decisingura solutie este x = 0.


7.1. ALGEBRA 119

34. Se noteaza 5x = y si se obtine ecuatia de gradul doi cu solutiile 1 si 2.

Raspuns corect (b).

35. Explicitarea celor doua module conduce la rezolvarea ecuatiei pentru:

i) x ∈ (−∞,−1) : 2−x−1 + 2x − 1 = 2x + 1⇔2−x−1 = 2⇒ x = −2 ∈ (−∞,−1) ;ii) x ∈ [−1, 0] : 2x+1 + 2x − 1 = 2x + 1⇔ 2x+1 = 2⇒x = 0 ∈ [−1, 0] ;iii) x ∈ (0,+∞) : 2x+1 − 2x + 1 = 2x + 1⇔ 2x+1 = 2x+1 ⇒x ∈ (0,+∞) .Deci x ∈ [0,+∞) ∪ {−2} .Raspuns corect: (d).

36. Cum¡√3 + 1

¢x · ¡√3− 1¢x = 2x, ecuatia devine³√3 + 1

´x+³√3− 1

´x= 4

r³√3 + 1

´x ³√3− 1

´x.

Se ridica la patrat:¡√3 + 1

¢2x+¡√3− 1

¢2x − 14 ¡√3 + 1¢x ¡√3− 1¢x = 0.Notând y =

¡√3 + 1

¢x¡√3− 1

¢x , se obtine y2 − 14y + 1 = 0, care are solutiilepozitive 7 ± 4

√3. Rezolvând ecuatiile

Ã√3 + 1√3− 1

!x

= 7 ± 4√3 sau,

echivalent,¡2 +√3¢x= 7± 4

√3, se obtin solutiile

x1 = log2+√3

³7 + 4

√3´, x2 = log2+

√3

³7− 4

√3´.


37. k = log12 2 =1

log2 12= 1

log2(2·6)= 1

1+log2 6⇒

log6 16 = log6 24 = 4 log6 2 =

4log2 6

.


38. Se noteaza y = 2x si f(y) = (m− 2)y2 + 2(2m− 3)y +m− 2, y > 0.Se studiaza cazurile:


i) m = 2⇒ 2x+1 > 0, inecuatie verificata pentru (∀)x ∈ R.f (y) = 2y > 0, adevarat pentru y > 0.

ii) m 6= 2.Varianta I.

Se calculeaza ∆ = 4(m− 1)(3m− 5). Se determina m ∈ R pentru caref (y) > 0, y > 0.

ii1) m− 2 > 0 si ∆ < 0⇒ m ∈ (2,∞) ∩µ1,5

3

¶= ∅−imposibil.

ii2) m− 2 > 0, ∆ = 0−imposibil.

ii3) m− 2 > 0, ∆ > 0, P =m− 2m− 2 = 1 > 0, S = −

2 (2m− 3)m− 2 < 0⇒

m ∈ (2,∞) ∩µ(−∞, 1) ∪

µ5

3,∞¶¶∩¡32, 2¢

m ∈ (2,∞)∩µ(−∞, 1) ∪

µ5

3,∞¶¶∩µµ−∞,

3

2

¶∪ (2,∞)

¶= (2,∞)

⇒ m ∈ (2,∞) .Varianta II. Inegalitatea este echivalenta cu

m >2 · 4x + 6 · 2x + 24x + 4 · 2x + 1 ,

de unde se observa ca m > 0. Cum m = 2 verifica cerinta, dintreraspunsurile grila se alege raspunsul (a) .

Varianta III. Inegalitatea este echivalenta cu

m > 2− 2x+1

4x + 4 · 2x + 1 ,

de unde m ≥ 2.Raspuns corect (a) .

39. log2a x− 3 loga x+ 2 = 0⇒ x1 = a, x2 = a2.

x 0 2 a a2

log2a x− 3 loga x+ 2 +++++++++ 0−−−−− 0 + +++x2 − 4 −−−− 0 + ++++++++++++++fractia −−−− | ++ + + 0 − − − − 0 + +++


7.1. ALGEBRA 121

40. Conditie de existenta a logaritmului: x > 0. Se demonstreaza existentaunei singure solutii tinând sema de faptul ca f(x) = x+2x+log2 x, x > 0este o functie continua monoton strict crescatoare si

limx→0,x>0

f(x) = −∞, limx→∞

f(x) =∞.


41. E =1n(1 + 3 + ... (2n− 1)) lg a2n(1 + 2 + ...n) lg a

=n

n+ 1.

Raspuns corect (c) .

42. Se transforma toti logaritmii în aceeasi baza a.

Raspuns corect (b).

43. Conditii de existenta a logaritmilor: x > 0, x > 45. Inegalitatea din

enunt este echivalenta cu x2 > 5x− 4⇒ x ∈ (−∞, 1) ∪ (4,∞) .Raspuns corect: (c) .

44. Conditii de existenta a logaritmilor:

x+ 4

2> 0,

x+ 4

26= 1, 2x− 1

x+ 3> 0, log2

2x− 1x+ 3

> 0⇒

x ∈ ((−4,−2) ∪ (−2,+∞))∩¡(−∞,−3) ∪

¡12,∞¢¢∩((−∞,−3) ∪ (4,∞))

= (−4,−3) ∪ (4,∞) .Se studiaza cazurile:

i) 0 <x+ 4

2< 1⇒ x ∈ (−4,−2) ; Inecuatia devine:

log22x− 1x+ 3

> 1⇒ 2x− 1x+ 3

> 2⇒ x ∈ (−∞,−3) .

Atunci x ∈ (−4,−2) ∩ (−∞,−3) = (−4,−3) .

ii)x+ 4

2> 1⇒ x ∈ (−2,∞) ; Inecuatia devine:

0 < log22x− 1x+ 3

< 1⇒ 1 <2x− 1x+ 3

< 2⇒ x ∈ (4,∞) .

Atunci x ∈ (−2,∞) ∩ (4,∞) = (4,∞) .Rezulta x ∈ (−4,−3) ∪ (4,∞) .Raspuns corect (b) .


45. Varianta I. Conditii de existenta a logaritmului:

x2 + 3 > 0, a−1a+1

> 0, a−1a+1

6= 1⇒ a ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞)Se studiaza cazurile:

i). 0 <a− 1a+ 1

< 1 ⇔ a > 1. Deoarece functia logaritmica cu baza

subunitara este monoton descrescatoare rezulta

x2 + 3 ≤ a− 1a+ 1

⇔ x2 +2a+ 4

a+ 1≤ 0, ∀x ∈ R. Inecuatia nu se verifica

pentru a < 1.

ii)a− 1a+ 1

> 1⇔ a < −1. Deoarece functia logaritmica cu baza suprau-nitara este monoton crescatoare rezulta

x2 + 3 ≥ a− 1a+ 1

⇔ x2 +2a+ 4

a+ 1≥ 0,∀x ∈ R ⇔ a ≤ −2.

Atunci a ∈ (−∞,−2] ∩ (−∞,−1) .Deci a ∈ (−∞,−2] .

Varianta II. Se observa ca y = x2 + 3 ∈ [3,∞) . Se noteaza b = a− 1a+ 1

si se observa ca

logb y ≥ 1, (∀) y ≥ 3⇔ 1 < b ≤ 3.

Atunci 1 <a− 1a+ 1

≤ 3⇔ a ≤ −2.


46. Conditii de existenta a logaritmilor:

x > 0, x 6= 2, x 6= 4⇒ x ∈ (0, 2) ∪ (2, 4) ∪ (4,∞) .Conditia log2 x

2 − 4 6= 0 implica log2 x2 6= 4⇒ x2 6= 24 ⇒ x 6= 4.

Deoarece log x28 =

3

log2 x− 1, log x

48 =

3

log2 x− 2, se noteaza log2 x = t

si inecuatia devine

3

t− 1 +3

t− 2 <4t

2t− 4 ⇒2t2 − 8t+ 9(t− 1)(t− 2) > 0⇒

t ∈ (−∞, 1) ∪ (2,∞) ⇒ x ∈ (0, 2) ∪ (4,∞) .Raspuns corect: (a) .

47. Varianta I. Conditii de existenta a logaritmilor:¯x−12x+3

¯+ 1 > 0, log 1

3

¡¯x−12x+3

¯+ 1¢+ 16 > 0⇒

7.1. ALGEBRA 123

x 6= −32si

¯x− 12x+ 3

¯+ 1 < 316 ⇒ x 6= −3

2si

− (316 − 1) < x− 12x+ 3

< 316 − 1⇒

x ∈³−∞,−3·316−2

2·316−3

´∪³−3·316−42·316−1 ,∞

´.

Inecuatia devine

log 13

µ¯x− 12x+ 3

¯+ 1

¶+ 16 < 16⇒

log 13

µ¯x− 12x+ 3

¯+ 1

¶< 0⇒

¯x− 12x+ 3

¯+ 1 > 1⇒ x 6= 1 si x 6= −3

2.

Atunci x ∈³−∞,−3·316−2

2·316−3

´∪³−3·316−42·316−1 , 1

´∪ (1,∞)

Varianta II. Inegalitatea este echivalenta cu

0 < log 13

¡¯x−12x+3

¯+ 1¢+ 16 < 16⇔−16 < log 1

3

¡¯x−12x+3

¯+ 1¢< 0⇔

0 <¯x−12x+3

¯< 316 − 1. Observam ca lim

x→− 32

¯x−12x+3

¯=∞ > 316 − 1.

Raspuns corect (b).

48. Conditii de existenta a logaritmilor: x > 0.

log2a x− 4 = 0⇒ x1 =1

a2, x2 = a2;

logb2 x+ 1 = 0⇒ x = 1b2;

b > a > 1⇒ b2 > a2 ⇒ 1

b2<1

a2.

x 1b2

1a2

a2 ∞log2a x− 4 + + + 0 − 0 + +logb2 x+ 1 − 0 + + + + + +log2a x−4logb2 x+1

− | + 0 − 0 + +


49. Conditii de existenta a logaritmilor: x > 0, ax > 0 si ax 6= 1. Inecuatiadevine:

loga x+loga x

1 + loga x> 0⇒ x ∈

¡1a2, 1a

¢∪ (1,∞)



50. Conditii de existenta a logaritmilor: x > 0, 3x−2 > 0. Se trec logaritmiiîn baza 5⇒ x3 − 3x+ 2 > 0⇒ (x+ 2) (x− 1)2 > 0.Raspuns corect (d) .

51. Conditiile de existenta ale logaritmilor implica x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) .i) Daca 0 < 1− x < 1⇒ x ∈ (0, 1) , inecuatia devinex+ 1 ≤ (1− x)2 ⇒ x ∈ (−∞, 0) ∪ (3,∞)-imposibil.ii) Daca 1 < 1− x⇒ x ∈ (−1, 0), inecuatia devinex+ 1 ≥ (1− x)2 ⇒ x ∈ (0, 3)-imposibil.Raspuns corect (c).

52. Conditiile de existenta ale logaritmilor:

x > 0, x 6= 1, 1 + 1x> 0, log 1

x

¡1 + 1

x

¢> 0

Se studiaza cazurile:

i) 0 < x < 1⇒ log 1x

¡1 + 1

x

¢> 1⇒ 1 + 1

x> 1

x⇒ x ∈ (0, 1) .

ii) x > 1⇒ 0 < log 1x

¡1 + 1

x

¢< 1⇒ 1 > 1 + 1

x> 1

x⇒

x ∈ (1,∞) ∩ ∅ = ∅.Raspuns corect: (b).

53. Conditiile de existenta ale logaritmului:

9− 2x > 0⇒ x ∈ (−∞, 2 log2 3)

Inecuatia devine 9− 2x > 23−x.Se noteaza 2x = y > 0.

Se obtine y2 − 9y + 8 < 0⇒ y ∈ (1, 8)⇒ x ∈ (0, 3) .Raspuns corect: (b).

54. Ecuatia se rescrie

(x4 − 3x3 + 5x2 − 4x+ 2) + i (x4 − x3 + x2 + 2) = 0 + i · 0.Se noteaza P (x) = x4 − 3x3 + 5x2 − 4x+ 2; Q (x) = x4 − x3 + x2 + 2.

Atunci x ∈ R este o radacina a ecuatiei daca si numai daca este radacinacomuna a polinoamelor P si Q. Dar c.m.m.d.c. al celor doua polinoameeste x2 − 2x+ 2 si nu admite radacini reale.Raspuns corect (d).

7.1. ALGEBRA 125

55. Se impune conditia ca −2 sa fie solutie a ecuatiei ⇒ b = 2a + 16. Seaplica schema lui Horner sau se împarte polinomul la x+2 si se obtineecuatia de gradul al doilea 3x2 − 4x + a + 8 = 0. Se impun conditiile

∆ = −12a− 80 ≥ 0, S = 43> 0, P =

a+ 8

3> 0⇒ a ∈

¡−8, −20

3

¤.

Raspuns corect (b).

56. Se împarte polinomul prin x2 + d si se obtine câtul x2 − x+ (a− d) sirestul (b+ d)x+ c− d (a− d) . Se impune ca restul sa fie x.

Se împarte polinomul prin x2 − d si se obtine câtul x2 − x+ (a+ d) sirestul (b− d) x+ c+ d (a+ d) . Se impune ca restul sa fie −x.Se obtine⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

b+ d = 1c− d (a− d) = 0b− d = −1c+ d (a+ d) = 0

⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a = 0b = 0c = −1d = 1

.


57. Varianta I. Se observa ca ecuatia este reciproca. Se face substitutiax + 1

x= y si se obtine ecuatia de gradul al doilea y2 − αy − 2 = 0.

Se revine la substitutie si se observa ca radacinile ecuatiei initiale suntcomplexe, conjugate doua câte doua si toate egale în modul.

Varianta II. Ecuatia se poate rescrie sub forma x3 =αx− 1x− α

de unde

se arata ca |x| ≤ 1⇔ |x| ≥ 1. Deci |x| = 1.Observatie: tinând seama de unicitatea raspunsului grila, este suficientsa consideram cazul α = 0.


58. Se verifica P (1) = 0, P 0 (1) = 0, P 00 (1) = 0, P 000 (1) 6= 0.Raspuns corect: (c).

Observatie. Nu se recomanda schema lui Horner în acest caz. Totusi,în baza unicitatii raspunsului, se poate testa cazul n = 3 obtinând usorP (x) = (x2 − 1)3.

59. Se observa canP

k=1

f(k) = a0nP

k=1

1 + a1nP

k=1

k + a2nP

k=1

k2 + a3nP

k=1

k3 =

= a0n+ a1n(n+ 1)

2+ a2

n(n+ 1)(2n+ 1)

6+ a3

µn(n+ 1)

2

¶2.


Utilizând relatia din enunt se obtine

(a0 +12a1 +

16a2)n+ (

12a1 +

12a2 +

14a3)n

2 + (13a2 +

12a3)n

3+

+14a3n

4 = n4,∀n ∈ N, n > 0.

Identificând coeficientii puterilor lui n din cei doi membri ai ecuatieianterioare, rezulta un sistem de ecuatii liniare care are solutia

a0 = −1, a1 = 4; a2 = −6, a3 = 4.Raspuns corect: (a).

60. Se calculeaza P (±i) = b±(a+ 2) i si se egaleaza cu 0⇒ a = −2, b = 0.Raspuns corect (d) .

61. Se impune ca i sa fie radacina si se obtine m = 1 + i. Ecuatia devinex3+ix+1+i = 0. Sau se rezolva, folosind (x− i) (x2 + ix+ i− 1) = 0,sau se calculeaza S = 02 − 2 · i.Raspuns corect: (d) .

62. Fie x, y, z ∈ R∗ astfel încât x+y+z = 0 si1

x+1

y+1

z= 0. Atunci x, y, z

pot fi considerate solutiile ecuatiei X3 − p = 0, unde p = xyz ∈ R∗.Atunci

x3 = y3 = z3 = p3 ⇒ x6 + y6 + z6 = 3p2. Se determina a astfel încât3p2 = ap2 ⇒ a = 3.

Raspuns corect (a).

63. Ecuatia de gradul trei care are radacinile x, y, z ce satisfac relatiile dinenunt este

X3−αX2−2X+2α = 0⇒ (X2 − 2) (X − α) = 0⇒X = α, X = ±√2.

Deoarece α2 6= 2⇒ p = 6.

Raspuns corect (a).

64. Daca toate radacinile polinomului din enunt au aceeasi parte reala, u,din relatiile lui Viète rezulta ca 3u = −a⇒ u = −a

3∈ R.

Se presupune ca −a3∈ R este radacina pentru polinomul din enunt ⇒

c =ab

3−2a

3

27. Polinomul devine p (x) =

³x+

a

3

´µx2 +

2a

3x+ b− 2a

2

9

¶.

7.1. ALGEBRA 127

Ecuatia x2 +2a

3x+ b− 2a

2

9= 0 cu radacini fie în C \R si în acest caz

partea reala este −a3, daca

a2

3− b < 0, fie radacinile sunt reale si egale

cu −a3, daca

a2

3= b.

Reciproc, daca se presupune ca c =ab

3− 2a

3

27atunci −a

3este radacina,

iara2

3− b ≤ 0⇒ toate radacinile au partea reala egala cu −a

3.


65. Varianta I. Se impune ca restul împartirii lui x4 +mx3 + nx2 + px+ 8la x3 + 5x2 + 2x− 8 sa fie identic nul ⇒ m = 4, n = −3, p = −10.Varianta II. Observam ca x3 + 5x2 + 2x− 8 = (x− 1) (x+ 4) (x+ 2) .Fie P (x) = x4 + mx3 + nx2 + px + 8. Sistemul format din ecuatiileP (1) = 0, P (−2) = 0, P (−4) = 0 conduce la solutia m = 4, n = −3,p = −10.Raspuns corect (d).

66. Din conditiile problemei rezulta ca p(1) = −18 si p(−1) = −12. Seobtine sistemul

½a+ b = −20−a+ b = −12 .


67. Varianta I. Eventuala radacina comuna a celor doua ecuatii este radacinasi pentru suma celor doua ecuatii, adica pentru x3 + x2 + 4 = 0 ⇔(x+ 2) (x2 − x+ 2) = 0.

Daca x = −2 este radacina comuna⇒ λ = 3. Se observa si ca pentruλ = −1 cea de-a doua ecuatie coincide cu factorul al doilea din produsulanterior, adica cele doua ecuatii au doua radacini comune complexe.

Varianta II. Prin scaderea celor doua ecuatii rezulta x(x2−x−2λ) = 0.Cum x = 0 nu satisface nici una din ecuatii, rezulta ca radacina comunaeste diferita de zero si se obtine:½

x2 − x+ 2λ = 0x2 + λx+ 2 = 0.

Se observa ca pentru λ = −1 cele doua ecuatii coincid si au douaradacina complexe comune.. Prin scaderea acestor doua ecuatii rezulta(λ + 1)(x + 2) = 0. Pentru x = −2, se obtine λ = 3, deci ecuatiile auradacina comuna x = −2.



68. Varianta I. Se utilizeaza identitatea

x4 + 1 = (x2 +√2x+ 1)(x2 −

√2x+ 1).

Varianta II. Se împarte polinomul x4 + 1 la x2 −mx+ n si se impuneconditia ca restul sa fie identic nul.

Raspuns corect (a).

69. Se rescrie polinomul sub forma P (x) = x3−x2− 5x+2−m(2x2+4x).Radacina care nu depinde de m trebuie sa verifice ecuatiile:

x3 − x2 − 5x+ 2 = 0 si 2x2 + 4x = 0⇒ x = −2 ∈ R.Atunci P (x) = (x+ 2) (x2 − (2m+ 3)x+ 1) . Impunem ca P (x) saaiba toate radacinile reale ⇒ (2m+ 3)2 − 4 ≥ 0.Raspuns corect (a).

70. x1 + x2 + x3 = 0, x1x2 + x1x3 + x2x3 =32, x1x2x3 =

12,

S1 = y1 + y2 + y3 =(x1x2)

2 + (x1x3)2 + (x2x3)

2

x1x2x3=

=(x1x2 + x1x3 + x2x3)

2 − 2x1x2x3 (x1 + x2 + x3)

x1x2x3= 9

2,

S2 = y1y2 + y1y3 + y2y3 = x21 + x22 + x23 = −3,S3 = y1y2y3 = x1x2x3 =

12.

Rezulta y3 − S1y2 + S2y − S3 = 0⇒ y3 − 9

2y2 − 3y − 1

2= 0.


71. Se impune conditia ca a, b, c nenule sa verifice relatiile lui Viète. Seobtine⎧⎨⎩ a+ b+ c = a

ab+ ac+ bc = babc = c

⇒

⎧⎨⎩ b+ c = 0c = 1ab = 1


72. x2 − 2x− 3 = (x− 3) (x+ 1) .Din proprietatea verificata pentru x = 0⇒ p (3) = 5.

Din proprietatea verificata pentru x = −2⇒ p (−1) = −3.Conform Teoremei împartirii cu rest a polinoamelor se obtine:

p(x) = c(x)(x2 − 2x− 3) + r (x) , r (x) = ax+ b, a, b ∈ R ⇒

7.1. ALGEBRA 129½p(3) = 3a+ bp(−1) = −a+ b

⇒½

a = 2b = −1 ⇒ r(x) = 2x− 1.


73. Din relatiile lui Viète se obtine S3 = 4− 3a, S3 = 1⇒ a = 1.


74. Se tine seama de faptul ca xnk + pxk + q = 0 si se sumeaza în raport cuk.


75. ∆ = (logam)2 − 4(3 logam − 8) = (logam)2 − 12 logam + 32 < 0. Se

noteaza logam = t⇒ t2 − 12t+ 32 < 0⇒ 4 < t < 8⇒ a4 < m < a8.


76. Varianta I. Suma Sn se mai scrie

Sn =nX

p=0

kp+1Cpn

p+ 1=

nXp=0

kp+1n!

p! (n− p)!(p+ 1)=

=nX

p=0

kp+1

n+ 1· (n+ 1)!

(p+ 1)! [(n+ 1)− (p+ 1)]! =1

n+ 1

nXp=0

kp+1Cp+1n+1 =

=1

n+ 1

¡kC1

n+1 + k2C2n+1 + ...+ kn+1Cn+1

n+1

¢=(1 + k)n+1 − 1

n+ 1.

Varianta II. Se utilizeaza (1+x)n = 1+C1nx+ ...+Cn

nxn. Se integreaza

si se obtine:

(1 + x)n+1

n+ 1= c+ x+ C1

n

x2

2+ ...+ Cn

n

xn+1

n+ 1.

Se impune x = 0 în egalitatea anterioara si se determina c =1

n+ 1,

adica(1 + x)n+1

n+ 1=

1

n+ 1+ x+ C1

n

x2

2+ ...+ Cn

n

xn+1

n+ 1.

Sn se obtine din relatia ultima egalitate pentru x = 1.

Varianta III. Se impune k = 0 si se observa ca doar raspunsul (b) dingrila se verifica.



77. Se scrie T10 = C9m5

m−9m9 si se impun conditiile ca T10 > C10m 5

m−10m10

si T10 > C8m5

m−8m8. Se obtine⎧⎨⎩ m2 − 9m− 50 < 0m2 − 8m− 45 > 0m ∈ N

⇒

⎧⎪⎨⎪⎩m ∈

³9−√2812

, 9+√2812

´m ∈

¡−∞, 4−

√61¢∪¡4 +√61,∞

¢m ∈ N

⇒

m = 12.

Raspuns corect (a) .

78. Tk+1 = Ckn (x

m)n−k · (x−2m)k = Cknx

mn−3mk ⇒T11+1 = C11

n xmn−33m, T23+1 = C23n xmn−69m ⇒⎧⎨⎩ mn− 33m = 1

mn− 69m = 5mn− 3mk = 0

⇒

⎧⎨⎩ m (n− 33) = 1m (n− 69) = 5m (n− 3k) = 0

⇒ m = −19, n = 24.


79. n = 7⇒ Tk+1 = Ck7

³x−

19

´n−kxk4 ⇒ T5 = 35

3√x2


80. Se scrie T5 = C4m2

m−4x4 si se impun conditiile ca T5 > C5m2

m−5m5 siT5 > C3

m2m−3m3 ⇒ m = 5.

Raspuns corect (b).

81. Tk+1 = Ck2000

³x38

´2000−k ³2x−

13

´k⇒ 3(2000− k)

8− k

3= 0⇒

k = 1800017

/∈ N⇒ h = 0.


82. Tk+1 = Ck90

¡√3¢90−k ¡ 3

√2¢k= Ck

90390−k2 2

k3 ⇒ k = 6l, 0 ≤ 6l ≤ 90⇒

l =£906

¤+ 1 = 16.

Raspuns corect (d).

83. Se rezolva inecuatia obtinuta prin trecerea logaritmilor în baza 3. Seobtine n ∈ [(0, 1) ∪ (3, 9)] ∩N2 ⇒ n = 8.

Tk+1 = Ck8

³a12

´8−k ³−b 13

´k⇒ k = 6⇒ T7 = 28ab

2.


7.1. ALGEBRA 131

84. Se rezolva în R ecuatia 22n−4 − 3 · 2n+1 − 256 = 0 si se aleg solutiileacesteia din N. Se obtine n = 7. Se scrie termenul de ordin k aldezvoltarii,

Tk+1 = Ck7

µ3

ra√b

¶7−k µrb3√a

¶k

= Ckn · a

7−k3−k6 · b

k2−7−k

6 . Se egaleaza

puterile lui a, respectiv b si se gaseste k = 3. Prin urmare, termenulcautat este T4.

Raspuns corect: (a) .

85. Cum C1n, C

2n si C

3n sunt respectiv primul, al treilea si al cincilea termen

al unei progresii aritmetice⇒½

n ∈ N, n ≥ 3C1n + C3

n = 2C2n

⇒ n = 7.

Atunci, în ipoteza 10− 3x > 0, se deduce:

T6 = 21⇔ C57 ·µ2lg(10−3x)

2

¶7−5·µ2(x−2) lg 3

5

¶5= 21⇔

⇔ 2lg 3x−2(10−3x) = 1⇔ 3x−2(10− 3x) = 1⇒ x ∈ {0, 2} .


86. Deoarece x−1x−x

12= 1+x−

12 si x−1

x23+x

13+1

= x13−1, atunci expresia din enunt

se poate scrie³x−

12 + x

13

´25. Deoarece Tk+1 = Ck

25

³x−

12

´25−k ³x13

´k,

se impune conditia ca puterea lui x sa fie egala cu 0 si se obtine k = 15.


87. E = (a+ bi)n + in (a− bi)n =

= an + C1na

n−1bi+ C2na

n−2b2i2 + · · · · ·+ Cnnb

nin+

+in (an − C1na

n−1bi+ C2na

n−2b2i2 − · · ·+ (−1)nCnnb

nin) ∈ R⇔in = 1⇔ n = 4k.


88. |z| = 10, arg z = 4π3.

Raspuns corect (a).

89. Se vor folosi graficele functiilor exponentiala, respectiv logaritmica.

Daca 0 < a < 1, cele doua grafice se intersecteaza într-un punct unicsituat pe prima bisectoare.


Daca a > 1, conditia de unicitate revine la faptul ca cele doua graficesunt tangente într-un punct al primei bisectoare, aceasta fiind tangentacomuna.

Obtinem sistemul ax = x si ax ln a = 1 de unde x = e, a = e1e .


90. Se noteaza logtg x a = y, de unde (tg x)y = a si (cos x)−y = a + 1. Seobtine ecuatia

(sinx)y + (cosx)y = 1 ⇒ y = 2 ⇒ tg x =√a ⇒ x = arctg

√a + kπ

deci (d) sau (c) .

Dar bazele logaritmilor trebuie sa fie strict pozitive.


91. Se pot face, de exemplu, trei de zero pe linia întîi si se reduce calcululla un determinant de ordin trei.


92. Solutia x = a este evidenta. Adunând coloanele la prima observam sisolutia x = −3a.Raspuns corect: (a).

93. Fie s = x1 + x2 + x3 = 2 si q = x1x2 + x2x3 + x3x1 = 2. Calculânddeterminantul obtinem s (3q − s2) = 4.


94. Efectând operatii asupra coloanelor determinantului obtinem succesiv:

D(x) =

¯¯ 1 x1 x21 + bx11 x2 x22 + bx21 x x2 + bx

¯¯ =

¯¯ 1 x1 x211 x2 x221 x x2

¯¯ = (x2−x1)(x−x1)(x−x2).


95. Observam ca P (x) = Q(x)(x2 + 3x+ 1) + 6x2 + 17x+ 2 deci

P (xi) = 6x2i + 17xi + 2 si utilizam relatiile lui Viète pentru polinomul

Q(x).


96. Dezvoltarea determinantului conduce la ecuatia:

(x− a+ b+ c)(x2 − x(2a+ b+ c) + a2 + b2 + c2 + ac+ ab− bc) = 0.

Conditia ca radacinile sa fie reale implica ∆ = −3(b− c)2 ≥ 0⇒ b = c.

Raspuns corect (a).

7.1. ALGEBRA 133

97. Valoarea determinantului este: −3x2 + 15x− 19.Raspuns corect: (d).

98. Se calculeaza A2 =

⎛⎝ 2 0 20 1 02 0 2

⎞⎠ si A3 =

⎛⎝ 4 0 40 1 04 0 4

⎞⎠ .

Se obtine sistemul 2a+ b = 4 si a+ b = 1


99. det(A) det(A−1) = 1⇒ det(A−1) =1

det(A), det(A) = 11.


100. Avem det(A) = 0 si se observa ca matricea admite minori de ordinuldoi cu determinantii a2, b2, c2.


101. Fie X =

⎛⎝ a b cd e fg h i

⎞⎠ . Înlocuind în ecuatie, obtinem sistemul:

⎧⎨⎩ a+ 2d+ 4g = 3b+ 2e+ 4h = 1c+ 2f + 4i = 2

. Rezulta imediat g = h = i = e = 0 si b = 1. Apoi,

a = 3, d = 0 sau a = 1, d = 1 respectiv c = 0, f = 1 sau c = 2, f = 0.


102. Se poate scrie A =µcos π

4sin π

4

− sin π4cos π

4

¶.

Rezultatul se verifica prin inductie.


103. Se calculeaza determinantul = (a+ 1) (a2 − 4).Raspuns corect: (d) .

104. rangA(λ) < 4⇔ detA(λ) = 0⇔ (λ+ 3)(λ− 1)3 = 0.Atunci M = {−3, 1} si α = −3 + 1 = −2. Mai mult, se poate observaca pentru λ = −3, rangA(−3) = 3, iar pentru λ = 1, rangA(1) = 1


105. Raspuns corect: (c).


106. det(A) = x2(1−m) + 2x+ 3− 2m 6= 0,∀x ∈ R. Rezulta ∆ = −2m2 +5m− 2 < 0.Raspuns corect: (d).

107. Se demonstreaza prin inductie ca Ak =

µ2k 00 3k

¶,∀k ∈ N, k ≥ 1.

Atunci

B =nP

k=1

µ2k 00 3k

¶=

⎛⎜⎜⎝nP

k=1

2k 0

0nP

k=1

3k

⎞⎟⎟⎠ =

=

µ2 (2n − 1) 0

0 32(3n − 1)

¶. Cum detB = 3 (2n − 1) (3n − 1)⇒

⇒ B este inversabila si B−1 =

Ã1

2(2n−1) 0

0 132(3n−1)

!.


108. M =

µρ cosϕ −ρ sinϕρ sinϕ ρ cosϕ

¶= ρ

µcosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

¶⇒

Mn = ρnµcosnϕ − sinnϕsinnϕ cosnϕ

¶(se arata prin inductie).


109. Sistemul corespunzator relatiei din enunt este:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a+ bc+ a2 + 1 = 0b+ ab+ bd = 0c+ ac+ cd = 0

d+ bc+ d2 + 1 = 0

.

Din prima sau ultima ecuatie se observa ca bc 6= 0. Multimea solutiilorreale ale sistemului este

£a = −d− 1, c = −1

b(d+ d2 + 1) , b, d ∈ R

¤sau£

a = −d− 1, b = −1c(d+ d2 + 1) , c, d ∈ R

¤. Se observa ca în acest caz

det(A) = 1.


110. Cum A4 = 32I3 ⇒

⇒ A2014 = A4·503+2 = 31006 ·A2 = 31006 ·

⎛⎝ 3 0 00 0 30 3 0

⎞⎠ =

7.1. ALGEBRA 135

= 31007 ·

⎛⎝ 1 0 00 0 10 1 0

⎞⎠ .


111. Scriem A = B+C, unde B =

⎛⎝ λ 0 00 λ 00 0 λ

⎞⎠ = λI3, C =

⎛⎝ 0 1 00 0 10 0 0

⎞⎠ .

Cum B · C = C · B ⇒ An = C0nB

nI3 + C1nB

n−1C + C2nB

n−2C2 + O,deoarece

C2 =

⎛⎝ 0 0 10 0 00 0 0

⎞⎠ , Cn =

⎛⎝ 0 0 00 0 00 0 0

⎞⎠ , n ≥ 3.


112. Varianta I.

A =

⎛⎜⎜⎝0 1 ... 11 0 ... 1... ... ... ...1 1 ... 0

⎞⎟⎟⎠ . Fie X =

⎛⎜⎜⎜⎝x1x2...xn

⎞⎟⎟⎟⎠ , Y =

⎛⎜⎜⎜⎝y1y2...yn

⎞⎟⎟⎟⎠ .

AX = Y ⇔

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x2 + x3 + ...+ xn = y1x1 + x3 + ...+ xn = y2...x1 + x2 + ...+ xn−1 = yn

.

Sumând aceste relatii deducem

(n− 1)(x1 + x2 + ...+ xn) = y1 + y2 + ...+ yn ⇒x1 + x2 + ...+ xn =

1n−1 (y1 + y2 + ...+ yn)⇒

x1 =2−nn−1y1 +

1n−1y2 + ...+ 1

n−1yn, ...,

xn =1

n−1y1 +1

n−1y2 + ...+ 2−nn−1yn.

Rezulta A−1 =

⎛⎜⎝2−nn−1 ... 1

n−1...

. . ....

1n−1 ... 2−n

n−1

⎞⎟⎠ ,

det(A) =

¯¯ n− 1 n− 1 ... n− 11 0 ... 1...1 1 ... 0

¯¯ = (n− 1)

¯¯ 1 1 ... 11 0 ... 1...1 1 ... 0

¯¯ =


= (n− 1)

¯¯ 1 0 ... 01 −1 ... 0...1 0 ... −1

¯¯ = (−1)n−1(n− 1).

det(A−1+ In) = 0 deoarece A−1+ In are toate elementele egale cu 1n−1 .

Alta varianta de calcul a det(A−1 + In) este:

A(In +A−1) = A+ In ⇒ detAdet(In +A−1) = det(A+ In) = 0.

Dar detA 6= 0, de unde det(In +A−1) = 0.

Varianta II.

Studiaza cazurile n = 2 sau n = 3 si gaseste raspunsul.

Raspuns corect: (b)

113. Matricea A este nesingulara daca si numai daca detA 6= 0, adicaλ3 − 3λ+ 2 6= 0 sau λ 6= 1,−2.

Matricea inversa este A−1 = (1/detA)A∗ =


⎞⎠ , unde

α = (λ+ 1) / (λ− 1) (λ+ 2) , β = −1/ (λ− 1) (λ+ 2) .Raspuns corect: (d).

114. Determinantul sistemului ∆ = (m + 1)(2m − 3); pentru m = −1 sim = 3

2∆ = 0, ∆c 6= 0 pentru m = −1, deci sistemul este incompatibil.

Raspuns corect (c).

115. Evident, sistemul admite solutia banala si nu verifica solutia (b). Esteposibil sa aiba si alte solutii propuse la (c). Consideram în (c) α = 1 siβ = 1 constatând ca (1,−1, 1, 1) verifica toate ecuatiile.Raspuns corect: (c).

Observatie. O rezolvare directa a sistemului nu este recomandata da-torita calculelor laborioase.

116. Determinantul sistemului este egal cu zero. Se cauta un determinant

principal diferit de zero, ∆ =

¯2 11 −1

¯6= 0, iar determinantul carac-

teristic este egal cu zero independent de α.

Raspuns corect (c).

7.1. ALGEBRA 137

117. Se observa ca determinantul sistemului este zero oricare ar fi a, siconditia de compatibilitate nedeterminata este 2b = 2 + b, deci b = 2.


118. Varianta I. Se elimina imediat solutiile propuse la a si b iar cea de la ceste un caz particular a lui d acestea din urma verificând toate ecuatiilesistemului.

Raspuns corect: (d)

Varianta II. Calculam determinantul sistemului ∆ = (α− β) (γ − 1)2.Conditia de existenta si unicitate ne da α 6= β si γ 6= 1. Apoi, calculam∆x = (α− β) γ (γ − 1)2,∆y = − (α− β) (γ − 1)2 (2γ + 1),∆z = = (α− β) (γ − 1)2 (γ + 2) si x = ∆x

∆etc.

119. Se aplica teorema lui Rouché: Se cauta un determinant principal diferit

de zero, de exemplu ∆p =

¯1 1m 2

¯6= 0⇒ m 6= 2 si se impune conditia

∆car =

¯¯ 1 1 −1m 2 −3m2 4 −9

¯¯ = − ¡m2 − 5m+ 6

¢= 0

si m1 = 3 si m2 = 2, dar m 6= 2.Raspuns corect (d).

120. Se aplica teorema lui Rouché:

∆car =

¯¯ 1 −m −12 1 m2 m− 1 1−m

¯¯ = −6 ¡m2 − 1

¢si m1 = 1 si m2 = −1.Raspuns corect (a).

121. Calculam rangurile matricelor si obtinem rs = re = 2 si conform teore-mei lui Kronecker-Capelli sistemul este compatibil nedeterminat.


122. Calculam rangurile matricelor si obtinem rs = 2, re = 3 si conformteoremei lui Kronecker-Capelli sistemul este incompatibil.



123. Ecuatiile doi si trei se obtin din prima prin inmultire cu ε. Rezultax = −εy − ε2z.

Raspuns corect (c).

124. Fie A =

⎛⎝ a a 11 a a1 1 a

⎞⎠ si A =

⎛⎝ a a 1 11 a a 11 1 a a

⎞⎠ .

Sistemul este compatibil nedeterminat⇔ rangA = rangA si detA = 0.Se observa ca detA = (a−1)2(a+1). Pentru a = 1, rangA = rangA = 1iar pentru a = −1, rangA = rangA = 2. Atunci A = {−1, 1} .Raspuns corect: (d).

125. Impunem conditia ca determinantul sistemului format din primele treiecuatii sa fie egal cu zero. Rezulta m = 3,m = −6, deci p = 2. Pentrum = −6 ⇒ x = 1

2z, y = −z. Înlocuind în ultima ecuatie obtinem

z = −85± 2

5

√366 si obtinem doua solutii, iar pentru m = 3 obtinem

z = −7, z = 5, înca doua solutii, rezulta q = 4.Raspuns corect (b).

126. Adunând prima ecuatie înmultita cu 2 cu a doua si a treia ecuatieobtinem: x = 1.

Înlocuind în prima ecuatie obtinem:

3y + 3z = 0⇒ y = z = 0; y = z = 2; y = z = 4; y = z = 6; y = z = 8;y = z = b10; y = 4, z = 6; z = 4, y = 6; y = 4, z = 8; y = 4, z = 8;y = 2, z = 8; z = 2, y = 8⇒ p = 12.


127. Din conditia de comutativitate se obtine a = 2b, iar din cea de asocia-tivitate 4b2 − 2b− 1 = 0.Raspuns corect: (c).

128. Din proprietatea de comutativitate rezulta m = n. Din conditia deasociativitate rezultam = 1. Deci x y = x+y−1. Se gaseste elementulneutru e = 1. Elementul invers x x∗ = 1⇒ x+x∗−1 = 1⇒ x∗ = 2−x.Raspuns corect: (d).

129. Din proprietatea de comutativitate rezulta 2a = b. Din conditia caoperatia admite element neutru rezulta

x e = x ⇒ bx + be + xe = x ⇒ (b + e − 1)x = −be, ∀x ∈ M ⇒b + e − 1 = 0 si be = 0 ⇒ b = 1, a = 1

2si e = 0 sau b = 0, e = 1 ⇒

7.1. ALGEBRA 139

x y = xy, dar, în acest caz M nu este închisa la aceasta operatie. Dinx x0 = 0⇒ x0 = − x

x+1.


130. Se verifica usor ca legea nu este asociativa. De exemplu, avem

(1 ∗ 2) ∗ 3 = 2413iar 1 ∗ (2 ∗ 3) = 24

17.


131. f(x ⊥ y) = f(x)+ f(y),∀x, y ∈ R. f(x) = x3 este o bijectie f : R→ Rsi avem f(x ⊥ y) =

³3px3 + y3

´3= x3 + y3 = f(x) + f(y).

Raspuns corect (b).

132. Varianta I. Cautam pe f de forma f(x) = ax + b, a, b ∈ Z ce se vordetermina din conditia de izomorfism

f(x ⊥ y) = f(x) | f(y) ⇔a(x+ y + 1) + b = (ax+ b) + (ay + b)− 1⇒b = a+ 1⇒ f(x) = ax+ a+ 1.

Varianta II. Observam ca −1 respectiv 1 sunt elementele neutre alecelor doua grupuri si izomorfismul de grupuri trebuie sa satisfaca con-ditia f(−1) = 1. Din cele patru variante numai functia de la punctul(d) verifica aceasta conditie.


133. Din conditia ca legea de compozitie sa fie comutativa rezulta a = b; dinconditia ca legea sa admita element neutru, e, rezulta a = 1 si e = 1.Se verifica ca orice element este inversabil si asociativitatea.

Raspuns corect (d).

134. Elementul neutru în (M, ·) este 1, iar în (R,+) este 0.Impunem f(1) = 0⇔ ln(m− 1 +

√m2 − 4) = 0⇒ m = 2.

Se verifica lnxy = lnx+ ln y si bijectivitatea.


135. Verificam ca 1 este element neutru. Observam ca legea este comutativa.Determinam elementele inversabile: x ∗ y = 1⇒ y = x, fiecare elementeste egal cu inversul sau.



136. Deoarece legea este comutativa determinarea elementului unitate sereduce la rezolvarea ecuatiei x ◦ e = x,∀x ∈ R \ {1} ⇒ e = 3

2, c = 3.

Determinarea inversului se reduce la rezolvarea ecuatiei x ◦ x∗ = e ⇒

x∗ =x− 3

4

x− 1 , x ∈ R\{1} .Mai trebuie aratat ca x◦y 6= 1 (adica x◦y ∈M

pentru x, y ∈M).


137. Din z ∗ e = e ∗ z = z,∀z ∈ C⇒ ze+ i(z + e)− 1− i = z, ∀z ∈ C⇒⇒ (z + i)(e+ i− 1) = 0,∀z ∈ C⇒ e = 1− i ∈ C.Ecuatia devine z ∗ e = 3 + i⇒ z = 3 + i.


138. Varianta I. Se arata ca f :M∗3(R)→ R satisface f(t1+t2) = f(t1)f(t2),

∀t1, t2 ∈ R.Mai mult, f este injectiva. Dar evident, f nu este surjectiva⇒f este un morfism de la (R,+) la (M∗

3(R), ·).Varianta II. (R,+) este grup comutativ iar (M∗

3(R), ·) necomutativ.Raspuns corect: (c).

139. Elementul neutru în (R∗+, ·) este 1, iar în (G, ∗) este 0. Din conditiaf(1) = 0⇒ a = 1.


140. Rezolvam în Z12 ecuatia a · b = 1. Singurele solutii sunt a = 1, b = 1;a = 5, b = 5; a = 7, b = 7; a = b11, b = b11.Raspuns corect (a).

141. Determinam elementul neutru e : x ∗ e = x, ∀x ∈M ⇒xe +

p(x2 − 1)(e2 − 1) = x, ∀x ∈ M ⇒ e = 1. 1 are invers: 1 ∗ 1 = 1

(inversul lui 1 este 1).

Daca x > 1⇒ x ∗ y = xy +p(x2 − 1)(y2 − 1) ≥ xy ≥ x > 1, ∀y ∈M.

Deci oricare element diferit de 1 nu are invers.

Raspuns corect (a).

142. Se arata ca M(ab) =M(a)M (d),∀a, b 6= 0, etc.M(1) = I2, (M(a))−1 =M( 1

a).

Raspuns corect (b).

7.1. ALGEBRA 141

143. Se arata ca M(a)M (d) =M(a+ b),∀a, b 6= 0⇒M(a)M (d) =M(2a)

Inductie (M(a))n =M(na).

Raspuns corect (d).

144. În (1) luam y = x si t = 1/x si se obtine (x ∗ x)µz ∗ 1

x

¶= (xz) ∗ 1.

Conform (2) si (3) , gasim z ∗ 1x= xz, (∀)x, z ∈ Q∗+. Înlocuind x cu

1/x, ajungem la z ∗ x = z/x, (∀)x, z ∈ Q∗+. Deci 27 ∗ 43 = 27/43.Raspuns corect: (a).

145. Fie

Ma,b =

⎛⎝ a b bb a bb b a

⎞⎠ , Mc,d =

⎛⎝ c d dd c dd d c

⎞⎠ ,

cu determinantii egali cu 1. Atunci se arata ca

Ma,bMc,d = Mac+2bd,ad+bc+bd, de unde rezulta ca înmultirea matriceloreste o lege de compozitie interna pe G.

Asociativitatea înmultirii are loc în general, elementul neutru este

I =M1,0.

Comutativitatea rezulta din calcul. Cum detMa,b = 1 6= 0, existainversa matriceiMa,b. Se poate arata ca inversa matriceiMa,b esteMa0,b0 ,unde ½

a0 = −ba2−2b2+ab

b0 = a+ba2−2b2+ab .

Deci, (G, ·) este grup comutativ.Raspuns corect: (d)

146. Operatiile ∗ si ◦ sunt legi de compozitie interna pe Z, asociative sicomutative. Pentru ambele exista element neutru, anume e∗ = −1,e◦ = 1. Simetricul lui x ∈ Z la operatia ∗ este x0∗ = −x− 2 ∈ Z, iar laoperatia ◦ este x0◦ = −x+ 2.Deci (Z, ∗) si (Z, ◦) sunt grupuri, iar f (x) = x+ 2 este un izomorfismîntre aceste doua grupuri.


147. Pentru x = −1 (opusul la + al elementului 1), conform proprietatiix6 = x, avem 1 = −1 sau 1 + 1 = 0, de unde x + x = 0, pentru oricex ∈ A. Atunci x+ x+ 1 + 1 = 0, (∀) x ∈ A.



148. Comutativitatea adunarii implica a = b si, asociativitatea adunariiimplica a2 = a. Deci avem a = b = 1. Apoi deducem c = 3.


Observatie. Nu este necesar sa verificam celelalte axiome ale corpuluiele fiind implicate prin enunt si unicitatea raspunsului.

149. Pentru a avea comutativitatea celor doua operatii, trebuie a = b, c = d.

Asociativitatea operatiei >,(x>y)>z = x> (y>z) , (∀)x, y, z ∈ R implica a2x + az = ax + a2z,(∀)x, z ∈ R, deci a ∈ {0, 1} .Daca e este elementul neutru la >, atunci ax+ ae− 2 = x, (∀)x ∈ R,de unde a = 1, e = 2. Deci a = b = 1.

Asociativitatea operatiei ⊥, (x⊥y)⊥z = x⊥ (y⊥z) , (∀)x, y, z ∈ R im-plica c2x + (6− c) z = (6− c)x + c2z, (∀)x, z ∈ R,adica c ∈ {−3, 2} .FieE elementul neutru la operatia⊥.Atunci (E − c− 1) x+6−cE = 0,(∀)x ∈ R, de unde E − c− 1 = 0 si cE = 6. De aici se obtine din nouc ∈ {−3, 2} .Cum orice element x ∈ R\ {2} trebuie sa admita un simetric x0, dinconditia x0x − cx0 − cx + 6 = E, rezulta x0 = (E + cx− 6) /(x − c),pentru x 6= c.

Deci c = 2 si E = 3. În concluzie, c = d = 2.

Pentru valorile a = b = 1, c = d = 2 se verifica usor si distributivitateaoperatiei ⊥ fata de >.Raspuns corect: (c).

150. Deoarece f(0) = 3, f(1) = 15 rezulta a = 12, b = 3, f(x) = 12x + 3.Atunci f(x) = 27⇒ 12x+3 = 27⇒ x = 2. Daca x0, y0 sunt simetricelelui x respectiv y atunci daca f(x) = y rezulta f(x0) = y0. Obtinemx0 = 1

2⇒ y0 = 12 · 1

2+ 3 = 9.

Raspuns corect (d).

7.2 Analiza

1. Utilizam formula 1 + 2 + . . .+ n = 12n (n+ 1).


Observatie. Fiecare termen al sumei tinde la 0, dar numarul acestoranu este marginit.

7.2. ANALIZA 143

2. Se amplifica cu conjugatul.

Raspuns corect (d).

3. Expresia de sub radical se rescrie n2+1n2+2n

· ln¡1 + 1

n

¢n.


4. an = ln£¡1− 1

2

¢ ¡1 + 1

2

¢. . .¡1− 1

k

¢ ¡1 + 1

k

¢. . .¡1− 1

n

¢ ¡1 + 1

n

¢¤=

= ln¡1232

¢ ¡2353

¢. . .¡n−1n

n+1n

¢= ln n+1

2n,

an+1 − an = lnn2+2n

n2+2n+1< 0, lim

n→∞an = lim

n→∞ln n+1

2n= ln 1

2.

Raspuns corect (b).

5.k2 + k

n3 + n2<

k2 + k

n3 + k2<

k2 + k

n3 + 1⇒

nXk=1

k2 + k

n3 + n2< an <

nXk=1

k2 + k

n3 + 1.


6. limn→∞

pan(a+ 5)(n+ 1) + (a+ 9)(n+ 3)(n+ 5)√

a2n2 + 1=

= limn→∞

qa(a+ 5)(1 + 1

n) + (a+ 9)(1 + 3

n)(1 + 5

n)q

a2 + 1n2

=

=√a2+6a+9|a| = |a+3|

|a| = 3.


7. bk =1

k2− 1

(k + 1)2⇒ an = 1−

1

(n+ 1)2→ 1.


8. sin2(π√n2 + n+ 1) = sin2

£π¡¡√

n2 + n+ 1− n¢+ n

¢¤=

= sin2£π¡√

n2 + n+ 1− n¢¤= sin2

∙π

µn+ 1√

n2 + n+ 1 + n

¶¸⇒

limn→∞

sin2∙π

µn+ 1√

n2 + n+ 1 + n

¶¸= 1.



9. Se expliciteaza xn =

⎧⎪⎨⎪⎩−2− 3

n, n = 2k, k ∈ N∗

2 +3

n, n = 2k + 1, k ∈ N

.

Cum

x2k+2 = −2−3

2k + 2+ 2 +

3

2k> 0,∀k ∈ N∗ ⇒

⇒ (x2k)k∈N∗ este subsir crescator. Mai mult

x2k+3 − x2k+1 = 2 +3

2k + 3− 2− 3

2k + 1< 0,∀k ∈ N⇒

⇒ (x2k+1)k∈N este subsir descrescator. Atunci

x2 < x4 < ... < x2k < ... < −2 < 2 < ... < x2k+1 < ... < x3 < x1.

În consecinta, minn∈N∗

xn = x2 = −7

2si max

n∈N∗xn = x1 = 5


10. Cum a0 = −a1 − a2 − ...− ak ⇒l = lim

n→∞[a1¡3√n+ 1− 3

√n¢+ +a2

¡3√n+ 2− 3

√n¢+ ...

+ak¡3√n+ k − 3

√n¢] = a1 lim

n→∞

n+ 1− n

3

q(n+ 1)2 + 3

pn (n+ 1) +

3√n2+ ...+

+ak limn→∞

n+ k − n

3

q(n+ k)2 + 3

pn (n+ k) +

3√n2=

= a1 · 0 + a2 · 0 + ...+ ak · 0 = 0.Raspuns corect: (d).

11. Se expliciteaza xn =½

32n+1

, n = 2k, k ∈ N1

2n−1 , n = 2k + 1, k ∈ N.

Se observa ca (x2k)k∈N este subsir descrescator si (x2k+1)k∈N este subsirdescrescator ⇒ max

n∈Nxn = max (x0, x1) = max (3, 1) = 3 ⇒ (d) e fals.

De asemenea, se observa ca 0 < xn ≤ 3,∀n ∈ N⇒⇒ (xn)n e sir marginit. Mai mult ∃ limn→∞

xn = 0 ⇒ (d) e fals. Cum

(xn)n∈N admite subsirul (x2k)k∈N descrescator⇒ (xn)n nu poate fi sircrescator ⇒ (d) e fals.


Observatie: Se poate explicita

xn+1xn

= 2+(−1)n+12+(−1)n · 2n+(−1)n

2n+2+(−1)n+1 =

½13, n = 2k, k ∈ N32n−12n+3

, n = 2k + 1, k ∈ N

7.2. ANALIZA 145

si se observa ca sirulµxn+1xn

¶n∈N

admite doua subsiruri cu limite diferite:

limk→∞

x2k+1x2k

=1

3, limk→∞

x2k+2x2k+1

= 3.

12. Se calculeaza: an =nP

k=1

ln kk+2

=nP

k=1

ln k−nP

k=1

ln (k + 2) = ln 2(n+1)(n+2)

;

bn = n ln n2+1(n+1)(n+2)

. Scriem n2+1(n+1)(n+2)

= 1 + αn cu αn = − 3n+1(n+1)(n+2)

si

bn = lnh(1 + αn)

1αn

inαn. Deoarece αn → 0 ⇒ bn → ln e−3 ⇒ l = −3.

Raspuns corect: (d)

13. an = limx→0(1− x sinnx)

1

x2 = limx→0

e−x sinnx

x2 = e−n. bn = e−11− e−n

1− e−1⇒

b =1

e− 1 .


14. 0 < an−1 ≤ an ⇒ a2n = a+ an−1 ≤ a+ an ⇒ a2n − an − a ≤ 0⇒1−√1+4a2

≤ an ≤ 1+√1+4a2

⇒ (an)n∈N marginit.

Rezulta ca exista l = limn→∞

an ∈ R, l ≥ 0. Trecând la limita în egalitateaa2n = a+ an−1 rezulta l2 = a+ l⇒ l = 1

2

¡1 +√1 + 4a

¢.


15. Se pun conditiile pentru existenta radicalului, fractiei si logaritmului:

ln (−x2 + 4)−x2 + 4 ≥ 0 si −x2 + 4 > 0 si se gaseste x ∈

£−√3,√3¤.

Raspuns corect (b).

16. Se pun conditiile pentru existenta radicalului, fractiei si logaritmului:x2 − 1x+ 2

≥ 0, x+ 2 6= 0 si lnx > 0 si se gaseste x ∈ (1,+∞).

Raspuns corect (d).

17. Considerând siruri de argumente rationale respectiv irationale se con-stata ca punctele de continuitate sunt doar cele unde x2 = x.



18. Scriem expresia astfel :

2x − 1x

ln (1 + sinx)

sinx

³√1 + x+ 1

´ sinxsin 2x

cos 2x

si aplicam limite fundamentale.


19. l = limx→0

etg x(esinx−tg x − 1)etg 2x(esin 2x−tg 2x − 1) =

= limx→0

etg x

etg 2xesinx−tg x − 1sinx− tg x

sin 2x− tg 2xesin 2x−tg 2x − 1

sinx− tg xsin 2x− tg 2x =

= limx→0

sinx− tg xsin 2x− tg 2x = lim

x→0

cosx− 1cos2 x

2 cos 2x− 2cos2 2x

=

=1

2limx→0

cos3 x− 1cos3 2x− 1 =

1

8.


20. l = limx→∞

µx+√x

x−√x

¶√x= e

limx→∞

2x

x−√x = e2.


21. L = limx→∞

lnx2(1− x+ 1x2)

lnx10(1 + 1x9+ 1

x10)= lim

x→∞

2 lnx+ ln(1− x+ 1x2)

10 lnx+ ln(1 + 1x9+ 1

x10).


22. limx→0

ln (1 + x+ x2) + ln (1− x+ x2)

x2=

limx→0

ln (1 + x+ x2) (1− x+ x2)

x2= lim

x→0

ln (1 + x2 + x4)

x2=

limx→0

2x+ 4x3

2x (1 + x2 + x4)= lim

x→0

2 + 4x2

2 (1 + x2 + x4)= 1.

Raspuns corect (d).

23. t1 =p(x+ 1)(x− 3)− x+ 1, t2 = −

p(x+ 1)(x− 3)− x+ 1,

L1 = −∞, L2 = −2Raspuns corect (c) .

7.2. ANALIZA 147

24. L = limx→∞

2 sin ln(x+1)−lnx2

cos ln(x+1)+lnx2

=

= limx→∞

2 sin³ln(1+x

x)12

´cos³ln [(x+ 1)x]

12

´= 0.


25. Pentru n = 0, 1, 2, 3 limita se obtine usor calculând direct sau cu regulalui l’Hôspital. Daca n ≥ 4 obtinem, cu aceeasi regula, ca limitele late-rale sunt diferite daca n este par si sunt egale daca n este impar(limitaeste infinita).


26. limx→e

lnx− 1x− e

= limx→e

1

x− eln

x

e=

1

x− eln

µ1 +

x− e

e

¶=

= limx→e

ln

"µ1 +

x− e

e

¶ ex−e# 1

e

= ln e1e = 1

e.

Raspuns corect (d).

27. f(x) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩µ1 +

x

x− 1

¶− 1x

, x < 0µ1 +

x

1− x

¶ 1x

, x > 0, x 6= 1.

limx→0,x<0

f(x) = limx→0,x<0

"µ1 +

x

x− 1

¶x−1x

# 11−x

= e,

limx→0,x>0

f(x) = limx→0,x>0

"µ1 +

x

1− x

¶ 1−xx

# 11−x

= e.

Raspuns corect (d).

28. Suntem în cazul 1∞. Putem scrie f (x) = e1

sin2 x·ln tg x

x , apoi aplicamregula lui l’Hôspital.


29. L = limn→∞

5 n

qn4

5n+ n2

5n+ 1

5n+ 1 = 5.



30. Utilizând dezvoltarea binomului lui Newton se observa ca:¡3 +√7¢n= xn + yn

√7, ∀n ∈ N ⇒

¡3−√7¢n= xn − yn

√7,∀n ∈ N.

Atunci xn =(3+

√7)

n+(3−

√7)

n

2si yn =

(3+√7)

n−(3−√7)

n

2√7

⇒

⇒ xnyn=

√7[(3+

√7)

n+(3−

√7)

n]

(3+√7)

n−(3−√7)

n =√7 ·

1+3−√7

3+√7

n

1− 3−√7

3+√7

.

Cum¯3−√7

3+√7

¯< 1⇒ lim

n→∞xnyn=√7 · 1+0

1−0 =√7.


31. Scriem f (x) = ln(x+1)lnx

si calculam f 0 (x) observând ca este negativa.Totodata f (x) < 0 daca x < 1 si f (x) > 0 daca x > 1.


32. Se calculeaza f 0(x) = g(x) + (x+ 2)g0(x)⇒ f 0(0) = 0.

Raspuns corect (d).

33. Se calculeaza f 0(x) =mx2 − 2x+m

x2 + 1. Se impune conditia ca derivata

sa fie pozitiva pentru orice x real, m > 0,∆ ≤ 0.Raspuns corect (c).

34. Descompunem f (x) =2

x− 1 −1

x+ 1de unde

f (5) (x) = −5!µ

2

(x− 1)6− 1

(x+ 1)6

¶= 0⇔µ

x− 1x+ 1

¶6= 2, x ∈ R\ {−1, 1} .


35. Functia f(x) = x2− 2 lnx+m este convexa, având limita∞ în 0 si∞.Punctul de minim este x = 1 deci conditia este ca f (1) < 0.


36. Observam ca x = ±1 sunt asimptote verticale. Singurul raspuns carele contine este raspunsul corect.

Raspuns corect (c).

7.2. ANALIZA 149

37. Se impune conditia de continuitate, rezulta b = 27a − 8. Conditia caderivatele laterale în 2 sa fie egale implica a = 1

3.

Raspuns corect (d).

38. Calculând derivatele, înlocuind în egalitate si identificând coeficientiise obtine sistemul a+b+c+1 = 0, 2a+b+3 = 0 si 4a−2b+c−8 = 0.Raspuns corect: (c) .

39. Domeniul exclude punctele x = 0 si x = −1 iar f 0 (x) = 0 ne dax = −1

2.


40. Functia este definita pe R daca x2 + x + m > 0, ∀x ∈ R de unde

m > 1. Calculam apoi f 0 (x) =(2−m) (x2 − 2x− (m+ 2))

(x2 + 2x+m)2. Pentru

ca f 0 (x) = 0 sa admita exact doua radacini este necesar ca m 6= 2 sim > −3.Raspuns corect: (d).

41. Se scrie f(x) = ex−1x2. Atunci

f (n)(x) = C0ne

x−1x2 + C1ne

x−12x+ C2ne

x−12

de unde obtinem ca

f (n)(1) = n2 + n+ 1.


42. f 0(x) = − 1√1−sin2 x

cosx = −1


43. f 0(x) =½−e−x − 2x, x ≤ 0−ex − 3x2, x > 0

, f 0(0) = −1 ⇒ x = 0 nu este punct

critic pentru f ⇒ x = 0 nu este punct de extrem local pentru f.

f 00(x) =

½e−x − 2, x < 0−ex − 6x, x > 0

. Dar f 00(0) = −1 deci x = 0 nu este

punct de inflexiune pentru f.

Raspuns corect (d).

44. Varianta I.


f(x) = g(g(x)) = ||x|− 1|− 1 =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−x− 2, x < −1x, −1 ≤ x < 0−x, 0 ≤ x ≤ 1x− 2 x > 1

.

Pentru x ∈ (−2,−1)⇒ f(x)− f(−1) = −x− 1 > 0 si deoarece pentrux ∈ [−1, 0) ⇒ f(x) − f(−1) = x + 1 > 0 ⇒ x = −1 punct de minimrelativ.

Pentru x ∈ [0, 1] ⇒ f(x) − f(−1) = 1 − x ≥ 0 si deoarece pentrux ∈ [1, 2) ⇒ f(x) − f(−1) = x − 1 ≥ 0 ⇒ x = −1 punct de minimrelativ.

Varianta II. Tinând sema de expresia lui f ca functie liniara pe subin-tervale, se traseaza graficul functiei si se citeste rezultatul de pe grafic.

f(x) = ||x|− 1|− 1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-1

1

2

3

x

y


45. Derivata functiei este f 0 (x) = −x2−(m+2)x−3m+2(x+2)2

e−x si trebuie sa aibadoua radacini diferite în R \ {−2} .Raspuns corect: (d).

46. Functia f este continua în x = 0 daca limx→0

f(x) = f(0) sau b = a.

f 0(x) =

½−e−x + 2ax, x < 0aex + 3bx2, x > 0.

Exista limx→0

f(x) ∈ R daca a = −1. Pentru ca f 0 sa fie continua în

x = 0 trebuie ca f 0(0) = −1. Atunci f 0(x) =½−e−x − 2x, x < 0−ex − 3x2, x > 0.

este

continua pe R daca(a, b) = (−1,−1).

7.2. ANALIZA 151


47. Calculam f 0 (x) =mex + (1 +m) e−x + 2 (1 +m)

(1 + ex)2. Observam ca, daca

m ≥ 0, f 0 (x) > 0, ∀x ∈ R iar, daca m ≤ −1, f 0 (x) < 0, ∀x ∈ R.Pentru 1 < m < 0 fie g (x) = mex + (1 +m) e−x + 2 (1 +m). Avemlimx→∞

g (x) = −∞ si limx→−∞

g (x) =∞ deci f 0 (x) are semn variabil pe Rastfel ca f nu este monotona.


48. f 0(x) = 11+ 1−cos x

1+cos x

1

2q

1−cosx1+cosx

sinx(1 + cosx) + sinx(1− cosx)(1 + cosx)2

=

=1

2q

1−cosx1+cosx

sinx

1 + cosx=sinx

2 sinx= 1

2.


49. Notam f(x) = e4x − 4x3 − a2x− 1. Deoarece f(0) = 0 si din problemaf(x) ≥ 0, rezulta ca f(x) ≥ f(0) = 0,∀x ∈ R, deci x = 0 este punct deminim pentru f ⇒f 0(0) = 0, f 0(x) = 4e4x−12x2−a2, f 0(0) = 4−a2 ⇒ a = −2 sau a = 2.Raspuns corect (c) .

50. f 0(x) = − sinx√1−cos2 x =

− sinxsinx

= −1.


51. f(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

µ1 +

ax

bx+ 1

¶ 1x

, x < 0

1, x = 0µ1 +

ax2

bx+ 1

¶ 1x2

, x > 0

,

limx→0,x<0

f(x) = ea, limx→0,x>0

f(x) = ea.

f este continua în x = 0 daca ea = 1 sau (a, b) = (0, b), b ∈ R.Raspuns corect (c).

52. limx%0

f(x) = limx&0

f(x) = f(0) = 0,


limx%1

f(x) = limx&1

f(x) = f(1) = 0,

f 0(x) =

⎧⎨⎩− 1(x−1)2 , x ∈ (−∞, 0)

1 + lnx, x ∈ (0, 1)ex, x ∈ (1,∞)

,

limx%0

f 0(x) = −1; limx&0

f 0(x) = −∞; limx%1

f 0(x) = 1; limx&1

f 0(x) = e1.


53. i) f 0(x) =e−x

(1 + e−x)2[me2x + 2mex + 1−m] . f 0(x) = 0⇒ m = −1

7.

ii) Notam ex = t > 0 si studiem semnul functiei mt2 + 2mt + 1 +mpentru t > 0. Daca m > 0 si ∆ = 4m(2m − 1) < 0 ⇒ m ∈

¡0, 1

2

¢.

Observam ca si valorile m = 0 si m = 12sunt bune, deci m ∈

£0, 1

2

¤.

Dacam > 0 si ∆ ≥ 0 atunci ambele radacini ale t1, t2 trinomului rebuiesa fie ≤ 0 ⇒ m > 0 si m ≥ 1

2, t1 + t2 < 0 si t1t2 ≥ 0 ⇒ m ∈

£12, 1¤.

Reunum cele doua rezultate si obtinem m ∈ [0, 1] .Raspuns corect: (b).

54. Scriem: ln f(x) =ln(2 |x|− x)− ln(x+ 1)2

ln |x| si gasim

limx→0

ln f(x) = limx→0

ln(2 |x|− x)

ln |x| = 1, deci l = e.


55. Se observa ca f e continua peR.Mai mult, f este derivabila pe (−∞, 0),respectiv pe (0,+∞) . Se calculeazaf 0s (0) = lim

x→0x<0

ex−x−1−0x−0 = lim

x→0x<0

¡−1 + ex−1

x

¢= −1 + 1 = 0.

f 0d (0) = limx→0x>0

x3−3x2−0x

= 0.

Deci ∃f 0 (0) = 0⇒ ∃f 0 : R→R,f 0 (x) =

⎧⎨⎩ ex − 1, x < 0,0, x = 0,

3x2 − 6x, x > 0.

Studiind tabelul de variatie pentru f tragem concluzia ca: f e strictdescrescatoare pe (0, 2] si strict crescatoare pe [2,+∞) ; x = 2 e punctde minim local si global pentru f si min

x∈Rf(x) = f(2) = −4; x = 0 e

punct critic pentru f si nu e punct de extrem local.


7.2. ANALIZA 153

56. f 0(x) = − 1

(x− 1)2 −1

(x− 2)2 −1

(x− 3)2 −1

(x− 4)2 < 0⇒

f este monoton descrescatoare pe subintervale,

dreptele x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 sunt asimptote verticale.

limx→−∞

f(x) = 5, limx%1

f(x) = −∞, f descrescatoare⇒ f intersecteaza axa

Ox într-un punct x0 ∈ (−∞, 1) ; limx&1

f(x) = ∞, limx%2

f(x) = −∞ ⇒ f

intersecteaza axa Ox într-un punct x1 ∈ (1, 2) etc.Raspuns corect: (d).

57. Se expliciteaza f : (0,+∞)→ R, f (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩1x, 0 < x < 13, x = 1

x+4

x, x > 1.

.

Se observa ca f este continua pe (0, 1)∪ (1,+∞) , dar nu este continuaîn x = 1.

Mai mult

∃f 0 : (0, 1) ∪ (1,+∞)→ R,f 0 (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩− 1x2, 0 < x < 1

x2 − 4x2

, x > 1.

Din tabelul de variatie pentru f se deduce ca x = 2 e punct de minimlocal si global pentru f si ca f e strict descrescatoare pe (0, 1) . Preci-zam ca x = 1 nu este punct unghiular, deoarece f nu este continua înx = 1.


58. Avem f 0 (x) = cosπ

x+π

xsin

π

x−1 si f 00 (x) = −π

2

x3cos

π

x< 0 pe (2,∞).

Deci f 0 este monoton strict descrescatoare pe [2,∞). Atunci, pentru2 ≤ x < ∞, f 0 (x) > lim

x→∞f 0 (x) = 0. Deci f este strict crescatoare pe

[2,∞).Raspuns corect: (d).

59. Deoarece limx&−1

f (x) = +∞ si limx%−1

f (x) = −∞, rezulta ca f admite

asimptota verticala de ecuatie x = −1. Apoi limx%0

f (x) = 0, dar aplicând

teorema lui l’Hôpital de doua ori, avem

limx&0

f (x) = limx&0

1x+1

. limx&0

e1/x

1/x2= lim

x&0−1/x2e1/x−2/x3 = 1

2limx&0

e1/x

1/x= 1

2limx&0

−1/x2.e1/x−1/x2 =

+∞,deci x = 0 este ecuatia unei asimptote verticale.


Întrucât limx→∞

f (x) = +∞ si limx→−∞

f (x) = −∞, rezulta ca nu exista

asimptote orizontale.

Daca f admite asimptote oblice, acestea au ecuatiile de forma y =mx+ n, unde

m = limx→±∞

f(x)x= lim

x→±∞x2

x2+xe1/x = 1,

n1 = limx→+∞

[f (x) −mx] = limx→+∞

x2

x+1(e1/x − 1) − lim

x→+∞x

x+1,daca prima

limita exista.

Aplicând de doua ori regula lui l’Hôspital, se obtine

limx→+∞

x2

x+1(e1/x−1) = lim

x→+∞[2x(e1/x−1)−x2. 1

x2e1/x] = lim

x→+∞2(e1/x−1)

1/x−

limx→+∞

e1/x = 2 limx→+∞

−1/x2.e1/x−1/x2 − 1 = 1, de unde n1 = 0.

Analog n2 = 0, deci asimptota oblica are ecuatia y = x (atât la +∞cât si la −∞).Raspuns corect: (b) .

60. Domeniul de definitie al lui f este R. Functia f este derivabila pe Rdaca si numai daca x2 + (a− 2)x − a + 2 6= 0, (∀)x ∈ R, ceea ce serealizeaza daca si numai daca discriminantul ∆ al trinomului este strictnegativ, adica (a− 2)2 − 4 (−a+ 2) < 0 sau a ∈ (−2, 2) .Raspuns corect: (c).

61. Notam f (x) = x arctg x−ln (1 + x2) . Functia f este derivabila de douaori si avem f 0 (x) = arctg x − x

1+x2, f 00 (x) = 2x2

(1+x2)2.Cum f 00 (x) > 0,

rezulta ca f 0 este strict crescatoare pe (0,∞) , deci f 0 (x) > f 0 (0) = 0,(∀)x > 0. De aici se obtine ca f este strict crescatoare pe (0,∞) ;asadar, f (x) > f (0) = 0, (∀)x > 0, deci f > 0 pe (0,∞) .Raspuns corect: (b).

62. Notând cu ls (a) si ld (a) limita la stânga, respectiv la dreapta a functieif în a, avem ls (1) = ld (1) = 23/2, ls (2) = ld (2) = 9, ls (3) = ld (3) = 8,rezulta ca f este continua pe R.Apoi, evident ca f derivabila pe R\ {1, 2, 3} si

f 0 (x) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1, x < 1

25(−x2 + 1)/ (x2 + 1)2 , x ∈ (1, 2)(x2 − 2x− 3) / (x− 1)2 , x ∈ (2, 3)

0, x > 3.

7.2. ANALIZA 155

Notând f 0s (a) si f0d (a) derivata la stânga, respectiv la dreapta în a, avem

f 0s (1) = 1 6= f 0d (1) = 0, f0s (2) = f 0d (2) = −3 si f 0s (3) = f 0d (3) = 0. Deci

f este derivabila pe R\ {1} .Raspuns corect: (d).

63. Pentru x 6= −2/b, avem

f 0 (x) =bx2 + 4x+ 2a

(bx+ 2)2.

Punctele x = −8 si x = 4 sunt puncte de extrem pentru f dacaf 0 (−8) = 0, f 0 (4) = 0 si f 0 schimba semnul la stânga si la dreaptaacestor doua puncte. Deci½

32b− 16 + a = 016b+ 16 + 2a = 0,

de unde a = −16, b = 1. Atunci f : R\ {−2}→ R, f (x) = x2 − 16xx+ 2

,

iar f 0 (x) =x2 + 4x− 32(x+ 2)2

.

Avem f 0 (x) > 0 pentru x ∈ (−∞,−8) ∪ (4,+∞) si f 0 (x) < 0 pentrux ∈ (−8,−2) ∪ (−2, 4) .Deci x = −8 este punct de maximum, iar x = 4 este punct de minimumpentru f.


64. f continua pe R,

f 0(0) = limx→0

sin xx−1

x−0 = limx→0

sinx−xx2

= limx→0

cosx−12x

= limx→0

− sinxx

= 0, f 0(0) = 0

f 00(0) = limx→0

x cos x−sin xx2

−0x−0 = lim

x→0x cosx−sinx

x3= lim

x→0−x sinx3x2

=

= limx→0

− cosx3

= −13.

Raspuns corect (d).

65. Se calculeaza f 0(x) =2x√

1 + x2¡1 +√1 + x2

¢ . Se observa ca x = 0 estepunct de minim.

Raspuns corect (d).


66. Se observa ca x2+2x+5 = (x+1)2+4. Se face substitutia x+1 = 2y

si se obtineZ

2y · 2dy(4y2 + 4)2

=1

4

Zydy

(y2 + 1)2= −1

8

1

y2 + 1+ C.

Se revine la substitutie.


67.Z µ

1− 1

x+ 2

¶2dx =

Z µ1− 2

x+ 2+

1

(x+ 2)2

¶dx =

= x− 2 ln(x+ 2)− 1

x+ 2+ C.


68. I =Z(x2 + 1− x2) dx

(x2 + 1)2=

Zdx

(x2 + 1)−Zx

xdx

(x2 + 1)2=

= arctg x+ 12

Zx

µ1

x2 + 1

¶0dx =

= arctg x+ 12

∙x

x2 + 1−Z

1

x2 + 1dx

¸.


69. Se înmulteste fractia de sub integrala cu conjugata ei si se obtine

I =

Z ¡√x2 + 1− x

¢dx.


70.Zlnx

x2dx =

Z(lnx)

µ−1x

¶0dx = − lnx

x+

Z1

x2dx = − lnx

x− 1

x+ C.


71. Se face substitutia lnx = t si se obtine:Zdt√4 + t2

= ln(t+√4 + t2) + C.


72. Se noteaza√x+ a = y si, schimbând variabila, se obtine

2

Zy2 − a

y2dy = 2

µy +

a

y

¶+ c.


7.2. ANALIZA 157

73. Se impune sinx − 2 cosx 6= 0 ⇒ tg x 6= 2 ⇒ se gasesc doua intervale,³−π2, arctg 2

´si respectiv

³arctg 2,

π

2

´. Cel de lungime maxima este³

−π2, arctg 2

´.

I =

Z1

tgx− 2dx.

Se face substitutia tg x = t si se obtine:Zdt

(t− 2)(t2 + 1) = −25arctg t+ 1

5ln |t− 2|− 1

10ln (t2 + 1) + C.


74. DeoareceF 0(x) = f(x) > 0 ⇒ F este strict crescatoare. Din teoremalui Lagrange⇒ F (x + 1) − F (x) = ec

2pentru c ∈ (x, x+ 1) . Rezulta

ca limx→∞

F (x) =∞ si se poate aplica de doua ori regula lui L’Hôspital.


75. Se expliciteaza f(x) =

⎧⎨⎩ 2− x, x ∈ (−∞, 1)x, x ∈ [1, 3)

3x− 6, x ∈ [3,∞)⇒

F (x) =

⎧⎨⎩2x− x2

2+ C1, x ∈ (−∞, 1)

x2

2+ C2, x ∈ (1, 3)

3x2

2− 6x+ C3, x ∈ (3,∞)

.

F (2) = 2⇒ C2 = 0.

Din conditia ca F sa fie continua rezulta C3 = 9⇒ F (4) = 9.


76. Se descompune fractia de sub integrala în fractii simple si se calculeaza0Z

−1

µ−11− x

+2

(1− x)2

¶dx = 1− ln 2.


77. Se calculeaza integrala

I (a) =

aZ2

x

x3 − 1dx =aZ2

µ 13

x− 1 +−13x+ 1

3

x2 + x+ 1

¶dx =

=

µ13ln (x− 1)− 1

6ln (x2 + x+ 1) + 1√

3arctg

2(x+ 12)√3

¶¯a2

=


= 13ln (a− 1)− 1

6ln (a2 + a+ 1) + 1

6ln 7+

+√33arctg

√33(2a+ 1)−

√33arctg 5

√33.


78.

π2Z0

¡cos3 x+ sin3 x

¢dx =

=

π2Z0

¡¡1− sin2 x

¢(sinx)0 − (1− cos2 x) (cosx)0

¢dx =

=³sinx− sin3 x

3− cosx+ cos3 x

3

´¯π2

0= 4

3.


79. I =

π2Z0

sinx

1 + cos2 xdx = −

0Z1

dt

1 + t2= − arctg t|01 =

π

4.


80.

π4Z0

cos tdt

1 + sin2 t= arctg sin t|

π40 = arctg

√22.


81.

3Z2

tdt

1 + t2= 1

2ln (1 + t2)

¯32= 1

2(ln 10− ln 5) = 1

2ln 2.


82.

eZ1

lnx

xdx =

ln2 x

2

¯e1

= 12.


83.

4Z0

dx

1 +√x= 2√x− 2 ln(1 +√x)|40 = 4− 2 ln 3.


7.2. ANALIZA 159

84. I =

1Z0

x√x2 + 1dx+

1Z0

√x2 + 1dx = I1 + I2.

I1 =

1Z0

x√x2 + 1dx =

1

2

1Z0

(x2 + 1)12 (x2 + 1)

0dx =

=1

3(x2 + 1)

32

¯10

=1

3

¡2√2− 1

¢.

I2 =

1Z0

√x2 + 1dx = x

√x2 + 1

¯10−

1Z0

xx√

x2 + 1dx =

=√2−

1Z0

x2 + 1− 1√x2 + 1

dx =√2− I2 +

1Z0

1√x2 + 1

dx,

I2 =√2− I2 + ln

¡x+√x2 + 1

¢¯10⇒

2I2 =√2 + ln

¡1 +√2¢⇒ I2 =

√22+ 1

2ln¡1 +√2¢.


85. Observam ca x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1) (x− 1)2 ⇒

I =

1Z0

|x− 1|√x+ 1dx =

1Z0

(1− x)√x+ 1dx

= 2

1Z0

√x+ 1dx−

1Z0

(x+ 1)√x+ 1dx =

= 2 (x+1)32

32

¯x=1x=0

− (x+1)52

52

¯x=1x=0

= 1615

√2− 14

15.


86. Se observa ca1

x3 + x2 + 4x+ 4=

1

(x+ 1) (x2 + 4)=1

5

µ1

x+ 1− x− 1

x2 + 4

¶.

Atunci

I =1

5ln (x+ 1)|10 −

1

10ln (x2 + 4)|10 +

1

10arctg

x

2

¯10=

=1

10

µln16

5+ arctg

1

2

¶.



87. f(x) =1

(x+ 1)(x2 − x+ 2)− 1

4(x+ 1)= − x− 2

4(x2 − x+ 2).

I = −14

1Z0

x− 2x2 − x+ 2

dx = −18

1Z0

(2x− 1)− 3x2 − x+ 2

dx =

= −18

³ln (x2 − x+ 2)− 3 2√

7arctg 2x−1√

7

´¯10= 3

4√7arctg 1√

7.


88. I =

aZ0

xdx√x+ a

=

aZ0

√x+ adx− a

aZ0

dx√x+ a

=

=(x+ a)

32

32

¯¯a

0

− a(x+ a)

12

12

¯¯a

0

= 23a√a(2−

√2).

Raspuns corect (c).

89. Se integreaza prin parti si se obtine:

I = x√x2 + a2

¯x=ax=−a −

aZ−a

√x2 + a2dx =

= 2a2√2−

aZ−a

x2 + a2√x2 + a2

dx = 2a2√2− I − a2

aZ−a

1√x2 + a2

dx =

= 2a2√2− I − a2 ln

¡x+√x2 + a2

¢¯x=ax=−a .

Deci I = a2√2− a2 ln

p3 + 2

√2.


90.

π4Z

π6

cos2 xdx =1

2

π4Z

π6

(1 + cos 2x) dx =1

2

µx+

sin 2x

2

¶¯π4

π6

=

=π

24+1

4−√3

8.


7.2. ANALIZA 161

91. Se expliciteaza f (x) =½

ex, 0 ≤ x ≤ 1x2ex, 1 < x ≤ 2 .

I =

1Z0

exdx+

2Z1

x2exdx = e− 1 + e (2e− 1) = 2e2 − 1.


92. Fie g : [0, 2]→ R, g(x) = x− 2

1 + x2.

Atunci g0(x) = 1 +4x

(1 + x2)2> 0, ∀x ∈ [0, 2] .

Rezulta g este strict crescatoare, g(x) = 0⇒ x = 1.

I =

1Z0

xdx+

2Z1

2

1 + x2dx =

1

2+ 2arctg 2− π

2.


93. Se expliciteaza f (x) =½

ex, 0 ≤ x ≤ 1e−x, −1 ≤ x < 0

⇒

I =

0Z−1

e−xdx+

1Z0

exdx = − (1− e) + (e− 1) = 2 (e− 1) .


94. Se expliciteaza f (x) =

⎧⎨⎩ 3x, 0 ≤ x ≤ 1µ1

3

¶x

, −1 ≤ x < 0.

I =

0Z−1

¡13

¢xdx+

1Z0

3xdx =

¡13

¢xln¡13

¢ ¯¯0

−1

+3x

ln 3

¯10

=4

ln 3.


95. Limitele de integrare, ce sunt numere opuse, sugereaza sa se studiezeparitatea integrandului. Acesta este impar.


Observatie. Calculul integralelor definite, care sunt numere, nu se faceneaparat prin formula Leibniz-Newton care presupune determinareaprealabila a unei primitive.


96. Se face schimbarea de variabila x = π − t si se obtine

I =0Rπ

(π − t) sin t

1 + (− cos t)2(−1) dt = π

πR0

sin t

1 + cos2 t− I ⇒

I =−π2arctg (cos t)|t=πt=0 = −

π

2arctg (−1) + π

2arctg 1 =

π2

4.


97. I =

aZ1

1

a− x+ 1dx+

3Za

1

x− a+ 1dx = ln [a (4− a)] .


98. I =

1Z0

(arcsinx)

µx2

2

¶0dx = (arcsinx)

µx2

2

¶¯10

−1Z0

1√1− x2

· x2

2dx

=π

4+1

2

1Z0

x¡√1− x2

¢0dx =

π

4− 12

1Z0

√1− x2dx =

π

8.

S-a utilizat

1Z0

√1− x2dx =

π2Z0

cos2 xdx =π

4.


99. Varianta I. Calculam

In =nR1

µ1− 2

x+ 1

¶dx = (x− 2 ln (x+ 1))|x=nx=1 = n−1−2 ln n+ 1

2⇒

⇒ Inn=

n− 1n− n+ 1

n·ln (n+1)

2n+12

.

Atunci limn→∞

Inn

(1)= 1− 1 · 0 = 1.

Am utilizat (1) limn→∞n∈N

lnn

n= 0, deoarece lim

x→∞x∈R

lnx

x= 0.

Varianta II. Calculam, cu regula lui l’Hôspital,

limx→∞

xR1

t− 1t+ 1

dt

x= lim

x→∞

x− 1x+ 1

= 1.

7.2. ANALIZA 163

Am utilizat faptul ca, pentru f continua,µ

xRa

f(t)dt

¶0= f(x).


100. f(x) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x3 + x

x2 + 1, daca x ∈ [0, 1)

1, daca x = 1x, daca x > 1

I =

1Z12

x3 + x

x2 + 1+

2Z1

xdx =15

8.


101.2R0

(x3 − 3mx+ n)dx = 2⇒ 4− 6m+ 2n = 2⇒ 3m− n = 1.

P 0(x) = 3x2 − 3m⇒ m ≥ 0 si x = ±√m.

Pentru x =√m si P (

√m) = 0 ⇒ n = 2m

√m. Din cele doua relatii

rezulta m = 1, n = 2.

Pentru x = −√m si P (−√m) = 0 ⇒ n = −2m√m. Din cele doua

relatii rezulta m =1

4, n = −1

4

Se obtine (m,n) = (1, 2) si (m,n) =

µ1

4,−14

¶⇒ p = 2.


102. σ∆n(f,kn) = 1

n

⎛⎝ 1q1 + 1

n

+1q1 + 2

n

+ · · ·+ 1p1 + n

n

⎞⎠ reprezinta sumaRiemann asociata functiei f : [0, 1] → R, f(x) =

1√1 + x

si diviziunii

echidistante a intervalului [0, 1] ,

∆n =¡x0 = 0 < x1 =

1n< · · · < xn =

nn= 1

¢.

Deci

limn→∞

µ1√

n2 + n+

1√n2 + 2n

+ · · ·+ 1√n2 + n2

¶=

=

1Z0

dx√1 + x

= 2(√2− 1).



103. Tinând seama de descompunerea

4x3 − 6x2 + 8x− 3 = (4x− 2) (x2 − x+ 1) + (2x− 1)

se obtine:

I =

1Z0

(4x− 2) (x2 − x+ 1) + (2x− 1)(x2 − x+ 1)3

dx =

=

1Z0

µ(4x− 2) (x2 − x+ 1)

(x2 − x+ 1)3+

(2x− 1)(x2 − x+ 1)3

¶dx =

= − 2

x2 − x+ 1

¯10

− 1

2 (x2 − x+ 1)2

¯10

= 0.


104.

4Z3

x2 − 1(x− 2)2

dx =

4Z3

µ1 +

4

x− 2 +3

(x− 2)2¶dx = 5

2+ 4 ln 2.


105. f 00(x) = (x+ 5) (x+ 3) ex, f 00(x) = 0 ⇒ x1 = −5, x2 = −3 care sunt

punctele de inflexiune. S =

−3Z−5

(x2 + 4x+ 5)exdx = 6(e2 − 3)e−5.


106. Parabolele se intersecteaza în punctele (0, 0) si (2, 2). Atunci aria este

egala cu

2Z0

³√2x− x2

2

´dx =

4

3.

7.2. ANALIZA 165

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y


Observatie. Datorita simetriei domeniului fata de prima bisectoare pu-

tem calcula aria = 2

2Z0

³x− x2

2

´dx =

4

3.

107. Parabolele se intersecteaza în punctele (0, 0) si³

3√ab2,

3√a2b´. Atunci

aria este egala cu

3√ab2Z0

³√ax− x2

b

´dx = 1

3ab.


108. Deoarece f(x) < 0 pentru x ∈£π4, π2

¤rezulta

aria = −

π2Z

π4

(cosx) · ln(sinx)dx = −

π2Z

π4

(ln(sinx)) (sinx)0 dx =

= − (ln(sinx)) (sinx)|π2π4+

π2Z

π4

cosxdx =

=

Ãln

√2

2

!·√2

2+ 1−

√2

2= 1−

√2

2−√2

4ln 2.

Raspuns corect: (a)

109. Volumul corpului de rotatie obtinut prin rotirea în jurul axei Ox asubgraficului asociat functiei f se calculeaza dupa formula


V = π

aZ0

f2 (x) dx,deci

V = π

aZ0

a2

4

³e2xa + e

−2xa + 2

´dx =

=πa2

4

³e2xa2a

+ e−2xa−2a

+ 2x´¯x=a

x=0=

=πa2

4

³a2e2 − a

2e−2 + 2a

´=

πa3

8(e2 − e−2 + 4) .


7.3 Trigonometrie

1. Ridicând la patrat prima relatie se obtine

sin θ cos θ = 12(a2 − 1).

Apoi descompunem

sin5 θ + cos5 θ =

= (sin θ+cos θ)(sin4 θ− sin3 θ cos θ+sin2 θ cos2 θ− sin θ cos3 θ+cos4 θ).Folosind relatia sin2 θ + cos2 θ = 1 se obtine a(5− a4) = 4b.

Raspuns corect (a).

2. Notam p = sinx cosx. Atunci relatiile din enunt devin:½n− 3pm = m3

m(1 + p) = n⇒ m = n = 0 sau m3 − 3m+ 2n = 0.


3. Calculam, mai întâi, sin π5. Pentru aceasta dezvoltam

sin 5x = sinx¡16 sin4 x− 20 sin2 x+ 5

¢si notând sin π

5= u avem

u (16u4 − 20u2 + 5) = 0. Dar 0 < π5< π

4deci 0 < u <

√22. Se obtine

u =q

5−√5

8, apoi cos π

5=√1− u2.


Observatie. Calculul direct, plecând de la dezvoltarea lui cos 5x, con-duce la o ecuatie mai complicata.

7.3. TRIGONOMETRIE 167

4. Facând calculele obtinem E =4 sin(300 − 100)2 sin 100 cos 100

= 4.

Raspuns corect (a).

5. Tinem seama de egalitatile: sin 700 = cos 200, sin 2600 = − cos 100,cos 2800 = sin 100 ⇒ E = cos 200 cos 500 − cos 100 sin 100 =1

2(cos 700 + cos 300 − sin 200) = 1

2cos 300 =

√3

4.


6. Se utilizeaza formulele 1 + tg2 x = 1cos2 x

, 1 + ctg2 x = 1sin2 x

,

cos2 x = 1+cos 2x2

, sin2 x = 1−cos 2x2

.


7. Folsind formulele trigonometrice cunoscute, gasim

E (x) =2 sin 3x cos 2x+ sin 3x

2 cos 3x cos 2x+ cos 3x= tg 3x,

pentru cos 3x 6= 0, cos 2x 6= −1/2.Pentru x = π/12 avem E (π/12) = tg π/4 = 1.


8. Deoarece π4< 1 < π

3avem cos 1 < cos π

4= sin π

4< sin 1 < sin 1

cos 1= tg 1.


9. Se tine cont ca 5π6< 3 < π de unde se obtin inegalitatile:

−∞ < ctg 3 < −√3 < −1 < cos 3 < −

√32< −

√33< tg 3 < 0.


10. Numerele ctgα, ctg β, ctg γ sunt în progresie aritmetica, deci

2 ctg β = ctgα + ctg γ. Dar ctg β = 1/ tg β = 1/ ctg (α+ γ) . De aicirezulta ca

ctg β =ctgα+ ctg γ

ctgα · ctg γ − 1 ,

deci ctg β =2ctg β

ctgα · ctg γ − 1 . Asadar, ctgα · ctg γ = 3.


11. f(x) =√2 sin(x+ π

4)⇒ |f(x)| ≤

√2.



12. Conditiile de existenta sunt tg x 6= −1, cosx 6= 0, sinx 6= 0. Ecuatiase transforma în sinx − cosx =

√2 ⇔ cos

¡π4+ x

¢= −1 cu solutii

incompatibile cu conditiile de mai sus.


13. cos2 x+ sin2 2x = 2⇒ 1+cos 2x2

+ 1− cos2 2x = 2⇒2 cos2 2x− cos 2x+ 1 = 0, ecuatie care nu are solutii reale.Raspuns corect: (a) .

14. Notând p = tgϕ⇒ |sinϕ| ≤ 12⇔ |p| ≤ 1√

3.


15. Se folosesc formulele sin 2x = 2 sinx cosx si sin2 2x = (1 − cos 4x)/2.Obtinem ecuatia

√3 sin 4x− cos 4x = 0.

Raspuns corect (c).

16. Evident x 6= ±1 si scriem ecuatia sub forma

arctg 1x−1 + arctg

1x+1

= = π4+ arctg 1

x2−1 .

Daca x2 6= 2 putem aplica functia tg ambilor membri obtinând 2x = x2,de unde solutiile posibile sunt 0, 2,

√2,−√2 ce urmeaza a fi verificate.

Raspuns corect (a).

17. Se exprima sin 2x si cos 2x ca functii de tg x si se obtine ca x = kπ+ π4,

x = arctg(−3) + kπ, k ∈ Z.Raspuns corect (c).

18. Se transforma sin 2x = 2 sinx cosx si se înlocuieste în ecuatia data. Seobtine cosx − sinx + 2 sin2 x + 2cos2 x = 2 cos2 x + 2 sinx cosx etc.,care are solutiile x =

©π4+ kπ

ª∪n(−1)k π

6+ kπ

o, k ∈ Z.

Raspuns corect (a).

19. Ecuatia se scrie:

8 cos6 x−8 cos4 x+4 cos2 x−1 = (2 cos2 x− 1) (4 cos4 x− 2 cos2 x+ 1)⇒2 cos2 x− 1 = 0.Raspuns corect (a) .

20. cos2 xsin2 x

= 1+sinx1+cosx

⇔ sinx+ 1 = 0 sau sinx− cosx = 0.Raspuns corect (b) .


21. Ecuatia este echivalenta cu tg(x + a) = tg(−x) ⇒ x + a = kπ − x ⇔x = kπ

2− a

2.

Raspuns corect (c).

22. Ne folosim de relatiile cos 3x = cosx (4 cos2 x− 3) sisin 3x = sinx

¡3− 4 sin2 x

¢. Dublând de doua ori unghiul obtinem

ecuatia echivalenta sin 4x = 12.


23. sin2 x + sin2 2x = 2 ⇒ cos2 x + cos2 2x = 0 ⇒ cosx = 0, cos 2x = 0,imposibil.


24. Varianta I. Ecuatia data este echivalenta cu

sin¡π2− cosx

¢= sin(sinx)⇔ 2 sin

π2−cosx−sinx

2cos

π2−cosx+sinx

2= 0.

Dar|cosx+sinx|

2≤

√22⇒ −

√22≤ − cosx−sinx

2≤

√22⇒

π4−√22≤ π

4− − cosx+sinx

2≤ π

4+√22⇒

0 < π4− cosx+sinx

2< π

2, deci primul factor nu se poate anula. Un

rationament analog se face si pentru al doilea factor.

Varianta II. Este suficient sa aratam ca ecuatia nu are solutii pentrux ∈ [0, 2π]. Pentru aceasta observam ca daca x ∈ [π, 2π] membrulstâng este strict pozitiv iar membrul drept negativ, deci egalitatea nupoate avea loc. Consideram x ∈ [0, π] si în acest caz consideram douasituatii:

i) pentru x ∈£0, π

2

¤au loc inegalitatile

sinx + cosx ≤√2 < π

2⇒ 0 ≤ cosx < π

2− sinx ⇒ cos(cosx) >

sin(sinx).

ii) x ∈£π2, π¤, fie y = x− π

2⇒ y ∈

£0, π

2

¤. Ecuatia devine cos(sin y) =

sin(cos y), ∀y ∈£0, π

2

¤⇒ conform situatiei i) sin y < π

2− cos y ⇒

cos(sin y) > sin(cos y), ∀y ∈£0, π

2

¤.


25. Trebuie sa avem:

cos2 x = 1, cos2 2x = 1⇒ sin2 x = 0, sin2 2x = 0⇒ x = kπ, k ∈ Z.Raspuns corect: (d).


26. (sinx+ sin 3x) + sin 2x = 2 sin 2x cosx+ sin 2x = sin 2x(2 cosx+1)⇒

sin 2x = 0 ⇔ x =kπ

2cu k ∈ Z sau cosx = −1

2⇔ x = 2kπ ± 2π

3cu

k ∈ Z.Raspuns corect: (d) .

27. Impunem conditii de existenta⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x ∈ [0, 2π]√2 sinx > 0√2 sinx 6= 1

1 + cosx > 0

⇔

⎧⎨⎩ x ∈ (0, π)x 6= π

4si x 6= 3π

4

x ∈ [0, 2π] \ {π}⇔ x ∈ (0, π) \

©π4, 3π4

ª.

Ecuatia este echivalenta cu:

log√2 sinx (1 + cosx) = log√2 sinx(

√2 sinx)2 ⇒ 1 + cosx = 2 sin2 x⇔

⇔ 2 cos2 x+ cosx− 1 = 0⇒ cosx ∈©−1, 1

2

ª.

Utilizând conditiile de existenta obtinem doar x =π

3.


28. Impunem conditiile de existenta pentru functiile trigonometice inverse:−1 ≤ 1 + x ≤ 1⇒ x ∈ [−2, 0] , −1 ≤ 1− x ≤ 1⇒ x ∈ [0, 2] ⇒ x = 0.Înlocuim în ecuatie: arcsin 1 = arccos 1, fals.


29. Ecuatia se poate scrie de forma cos2 x = 8−p8(p+2)

, p 6= −2. Ecuatia aresolutii daca si numai daca 0 ≤ 8−p

8(p+2)≤ 1 si 8−p

8(p+2)≥ 0 ⇒ p ∈ (−2, 8] ;

8−p8(p+2)

≤ 1⇒ p ∈ (−∞,−2) ∪£−89,∞¢.


30. Din formulele lui cos 3x si sin 3x rezulta cos3 x = (cos 3x+ 3cosx) /4,sin3 x = (3 sinx− sin 3x) /4.Atunci ecuatia devine cos2 3x−sin2 3x+3 (cos 3x cosx+ sin 3x sinx) =0,

adica cos 6x+3cos 2x = 0.Folosind din nou formulele de mai sus pentrucos 6x se ajunge la cos 2x = 0, de unde 2x ∈ {(±π/2) + 2kπ, k ∈ Z} ,deci x ∈ {(±π/4) + kπ, k ∈ Z} .Raspuns corect: (c).


31. Transformând ecuatia a doua în produs rezulta 3(x+y) = kπ si folosind

prima ecuatie rezulta x =π

12+

kπ

6, y = − π

12+

kπ

6.


32. Adunam si scadem ecuatiile sistemului si obtinem:½cos(x− y) = 1

2

cos(x+ y) = 1⇒½

x− y = ±π3+ 2kπ, k ∈ Z

x+ y = 2hπ, h ∈ Z .


33. Impunem conditii de existenta: x 6= (2k + 1)π2, x 6= (2k + 1)π

4, k ∈ Z.

Rezulta 4 tg x1−tg2 x − 3 tg x ≤ 0 ⇔

tg x1−tg2 x(1 + 3 tg

2 x) ≤ 0 ⇔ 2 tg x1−tg2 x ≤ 0

⇔ tg 2x ≤ 0⇔−π2+ kπ < 2x ≤ kπ.


34. Ecuatia se scrie echivalent

cos¡π2− 2x− 1

¢= cos (2x− 1)⇒ π

2− 2x− 1 = ± (2x− 1) + 2kπ.


35. Aplicând repetat formulele

sin2 a =1

2(1−cos 2a) si cos2 a = 1

2(1+cos 2a) se obtine ecuatia echiva-

lenta 6 cos2 4x+ 7 cos 4x = 0 cu solutia compatibila cos 4x = 0.

Raspuns corect (d).

36. Folosim relatia sin2 x+cos2 x = 1, o ridicam la puterea a treia si rezultasin6 x+ cos6 x+ 3 sin2 x cos2 x(sin2 x+ cos2 x) = 1⇒ sin2 2x = 1.

Raspuns corect (d).

37. Pentru x ∈£−π2, 0¤ecuatia devine sin 2x = −1

2cu solutiile − π

12si −5π

12

iar pentru x ∈£0, π

2

¤ecuatia devine sin 2x = 1

2cu solutiile π

12si 5π

12.

Raspuns corect (b).

38. Ecuatia este echivalenta cu x ∈ (−π, π) si sinx = tg x2adica x ∈©

−π2, 0, π

2

ª.

Raspuns corect (b).

39. Echivalent avem cosx > 12si sinx > 1

2.

Raspuns corect (c).

40. Avem sinx = 1 si sin¡π2− x

¢= 0 daca si numai daca x = π

2+ 2kπ.

Cum π2+ 6kπ > 20 rezulta raspunsul corect (c).


7.4 Geometrie

1. Se rezolva ecuatiap42 + (m− 4)2 = 5.

Raspuns corect (b).

2. Observam ca C(0,m), AB = 2, AC = BC = 2⇒√1 +m2 = 2⇒ m = ±

√3

Raspuns corect (b).

3. Observam ca B(m, 0), AB = 2√5⇒q

(m− 4)2 + 4 = 2√5⇒ m = 0,m = 8

Raspuns corect (d).

4. Observam ca B(0,m), AB = 2√5⇒p

16 + (m− 2)2 = 2√5⇒ m = 0,m = 4

Raspuns corect (c).

5. Daca A (1, 4) si B (1, 2) , notam C(x, y) si D(u, v).

Stim ca 1+x2= 3, 4+y

2= 3, deci C (5, 2) .

Analog se determina coordonatele punctului D.

Raspuns corect (c).

6. Punctul de intersectie al diagonalelor AC si BD, notat E, are coordo-natele

¡−2+42

, −3−32

¢= (1,−3) . Coordonatele lui D(u, v) se obtin din

relatiile 1+u2= 1, −7+v

2= −3.

Raspuns corect (a).

7. Raspuns corect (a).

8. Un punct de pe dreapta x = 5 are coordonatele N (5, y) .

Din AN = BN ⇒q62 + (y + 1)2 =

q82 + (y − 1)2 ⇒ y = 7.

Raspuns corect (d).

9. Observam ca mediatoarea segmentului AB este chiar axa Oy. Centrulva avea coordonatele M (0, x) .

Rezulta ca AM = BM = CM ⇒√4 + x2 =

√4 + x2 = 6−x⇒ x = 8

3

Raspuns corect (c).

7.4. GEOMETRIE 173


11. y − 7 = tg π3(x− 2)⇒ y − 7 =

√3(x− 2)

Raspuns corect (b).

12. Panta dreptei x −√3y = 1 este tgα = 1√

3⇒ α = π

6⇒ 2α = π

3⇒

tg 2α =√3⇒ y − 7 =

√3(x− 2).

Raspuns corect (c).

13. Se rezolva sistemul format din cele trei ecuatii.

Raspuns corect (a).

14. Vârfurile triunghiului au coordonatele A(0, 6), B(3, 0), C(−2, 0). Ariatriunhiului este 15.

Raspuns corect (a).

15. Conditia ca cele doua ecuatii sa reprezinte aceeasi dreapta este 12n=

m−5 =

n3.

Raspuns corect (a).

16. Coordonatele punctelor de intersectie ale dreptei cu axele de coordonatesunt dublul coordonatelor punctului dat, B (0, 8) si C (4, 0) .

Raspuns corect (d).

17. Sistemul

⎧⎨⎩ 3x− 2my + 6 = 0x− 2 = 0y = mx− 1

trebuie sa fie compatibil.

Raspuns corect (d).

18. Rezolvam sistemul

⎧⎨⎩ 2x− 3y − 5 = 03x+ 4y − 16 = 04x− 23y + 7 = 0

. Solutia este: [x = 4, y = 1] .

Raspuns corect (b).

19. Panta dreptei care trece prin punctele A si B estem = 2+54−3 = 7.Dreapta

perpendiculara pe dreapta determinata de punctele A si B are pantam0 = −1

7. Ecuatia dreptei cautate este y−2 = −1

7(x− 4) , x+7y = 18.

Raspuns corect (a).

20. Punctul de intersectie al celor doua drepte este (9, 2) . Ecuatia drepteiva fi x−1

9−1 =y−12−1 ,

18x− 1

8= y − 1⇒ 1

8x− y + 7

8= 0.

Raspuns corect (c).


21. Punctul de intersectie al celor doua drepte este (9, 2) . Panta drepteicautate este −3

2.

Raspuns corect (a).

22. Pantele celor doua drepte sunt m1 =4k, k 6= 0, m2 = −2, dar m1m2 =

−1⇒ 4k· (−2) = −1⇒ k = 8.

Raspuns corect (a).

23. Varianta I. Panta dreptei date este m = 23. Ecuatia dreptei care trece

prin punctul (5, 6) si este perpendiculara pe dreapta −2x + 3y + 4 =0 este y − 6 = 2

3(x− 5) . Intersectia cu dreapta data este

¡8913, 4213

¢.

Distanta cautata esteq¡5− 89

13

¢2+¡6− 42

13

¢2= 12

13

√13.

Varianta II. Se aplica formula distantei de la un punct la o dreapta:|−2·5+3·6+4|√

4+9= 12

13

√13.

Raspuns corect (b).

24. cos\³−→a ,−→b ´ = −→a ·−→b

|−→a |¯−→b¯ = −24 + 24√

9 + 16√64 + 36

= 0⇒ \³−→a ,−→b ´ = π2.

Raspuns corect (b).

25. Q ∈ (d) ⇒ Q (m,−1−m) . |PQ| =q(m− 1)2 + (−3−m)2 = 4 ⇒

m ∈ {1,−3} .Raspuns corect (b).

26. Observam ca cele doua drepte sunt perpendiculare, deci triunghiul estedreptunghic iar ortocentrul se afla la intersectia acestor drepte.

Raspuns corect (c).

27. Distentele de la centru la vârfuri sunt egale. Avem sistemulpx2 + y2 =q

(x− 6)2 + y2 =q(x− 2)2 + (y − 4)2, de unde x = 3, y = 1.

Raspuns corect (b).

28. Prima ecuatie se scrie (x− 2)2+(y − 1)2 = 5 deci cercul are centrul înA (2, 1) si raza R =

√5. Al doilea cerc are centrul în B

¡5, 5

2

¢si raza

r =√52. Calculam |AB| = 3

2

√5 = R+ r.

Raspuns corect (d).

7.5. TESTUL 2 175

7.5 Testul 2

1. Raspuns corect: (b).

Solutie.

Utilizam formula 1 + 2 + . . .+ n = 12n (n+ 1).

2. Solutie. Varianta I.

numerele în progresie aritmetica a− r, a, a+ r ⇒ a = 4,

numerele 4− r, 4, 4 + r⇒ 4− r + 1, 4 + 2, 4 + r + 11⇒62 = (5− r) (15 + r), r = 3,−13⇒ 1, 4, 7 si 17, 4,−9.Varianta II. La (a) suma nu este 12, (b) daca adunam 1,2,11 nu obtinemnumere in progresie aritmetica, (c) al doilea set nu are suma 12, prinexcludere este (d).

3. Solutie.

x2 − 4 ≥ 0, 2 + x > 0


4. Raspuns corect (b).

5. Solutie.

Impunem conditiile ∆ = 4(a2 − b) ≥ 0, S = −2a > 0, P = b > 0.

Raspuns corect (c).

Sau (b) si (d) se exclud deoarece nu iau în considerare natura realaa radacinilor, (a) ofera informatii asupra sumei, nu si a produsului.Ramâne (c).

6. Raspuns corect (d).

Solutie.

∆ = (m+ 1)2 − 4(m+ 1)(m− 1) = −3m2 + 2m+ 5

−3m2 + 2m+ 5 = 0⇒ 53,−1.


Solutie.

4 lnx = 4⇒ x = e

8. Raspuns corect: (b) .

9. Raspuns corect: (d) .


10. Solutie.

P (1) = P 0(1) = P 00(1) = 0, P 000(1) 6= 0.Raspuns corect: (c) .

11. Solutie.

z = a+ ib, z2 = a2 − b2 + i2ab½a2 − b2 = 32ab = 4

, Solution is: [a = −2, b = −1] , [a = 2, b = 1] , [a = −i, b = 2i] ,[a = i, b = −2i]Raspuns corect (b).

12. Raspuns corect (b) .

13. Solutie.

Fie s = x1 + x2 + x3 = 0. Calculând determinantul adunând toateliniile (coloanele) la o linie (coloana) si obtinem valoarea 0.


14. Raspuns corect: (c) .

15. Solutie.

Continuitatea în 2 implica 8+b = 16a+11a, derivabilitatea în 2 implica8 = 24a½8 + b = 16a+ 11a

8 = 24a→£a = 1

3, b = 1

¤Raspuns corect: (d) .

16. Solutie.

Se calculeaza f 0(x) = g(x) + (x+ 2)g0(x)⇒ f 0(0) = 0.

Raspuns corect (d).


18. Solutie.

f (x) =

½ex pentru 0 ≤ x ≤ 1e−x pentru − 1 ≤ x < 0

⇒

I =

0Z−1

e−xdx+

1Z0

exdx = − (1− e) + (e− 1) = 2 (e− 1) .


7.6. TESTUL 3 177

19. Solutie.

Pentru x ∈£−π2, 0¤ecuatia devine sin 2x = −1

2cu solutiile − π

12si −5π

12

iar pentru x ∈£0, π

2

¤ecuatia devine sin 2x = 1

2cu solutiile π

12si 5π

12.


20. Raspuns corect (c) .

7.6 Testul 3


Solutie.

1 + a+ a2 + ...+ an−1 =1− an

1− a

a+ a3 + ...+ a2n−1 = a1− a2n

1− a2

E =1− an

1− a· 1− a2

a (1− a2n)=

1 + a

a (1 + an)


Solutie.

x = − b2= 1⇒ b = −2

fmin = f (1) = 2 = 1 + b+ c⇒ c = 3

3. Raspuns corect: (d).

Solutie.

1 2 3

-1

0

1

2

3

x

y



Solutie.

x2 − 1 ≥ 0, 2− x > 0, x ∈ (−∞,−1] ∪ [1, 2)

5. Raspuns corect: (c).

6. Raspuns corect (c).

Solutie.

f(x) =3x− 13x2 + 1

f 0(x) = 33x2+1

− 6x 3x−1(3x2+1)2

= 3(3x2+1)2

(−3x2 + 2x+ 1)

−3x2 + 2x+ 1 = 0⇒ 1,−13

-4 -2 2 4

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

x

y


8. Raspuns corect: (b) .


10. Raspuns corect: (a) .

Solutie.µa bc d

¶µa bc d

¶=

µa2 + bc ab+ bdac+ cd d2 + bc

¶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a2 + bc = 1ab+ bd = 0ac+ cd = 2d2 + bc = 1

⇒ [a = −1, b = 0, c = −1, d = −1] , [a = 1, b = 0, c = 1, d = 1]

7.6. TESTUL 3 179


Solutie. log4 x = t

2t2 − 5t+ 2t

< 0⇒ t ∈ (−∞, 0) ∪¡12, 2¢

12. Raspuns corect (b)

13. Raspuns corect: (c) .

Solutie.⎛⎝ 1 1 11 1 11 1 1

⎞⎠⎛⎝ 1 1 11 1 11 1 1

⎞⎠⎛⎝ 1 1 11 1 11 1 1

⎞⎠ =

⎛⎝ 9 9 99 9 99 9 9

⎞⎠14. Raspuns corect (c)

Solutie. x1 = m− r, x2 = m,x3 = m+ r⎧⎨⎩ x1 + x2 + x3 = 0x1x2 + x1x3 + x2x3 = −a

x1x2x3 = b⇒

⎧⎨⎩ 3m = 0⇒ m = 0−r2 = −a0 = b


Solutie.

Continuitatea în 2 implica 8+b = 16a+11a, derivabilitatea în 2 implica8 = 24a½8 + b = 16a+ 11a

8 = 24a→£a = 1

3, b = 1

¤16. Raspuns corect (d).

Solutie.

Se calculeaza f 0(x) = g(x) + (x+ 2)g0(x)⇒ f 0(0) = 0.


Solutie.

-2 -1 1 2 3

-10

xy


18. Raspuns corect (c).

19. Raspuns corect (d) .

Solutie.

Ecuatia devine sin 2x = 3 care nu are solutii.

20. Raspuns corect (a) .

Solutie.

Intersectia cu axele de coordonate (4, 0) si (0, 3) . Se formeaza un tri-unghi dreptunghic cu catetele 4 si 3 si ipotenuza 5. Distanta este

înaltimea triunghiului corespunzatoare ipotenuzei3 · 45= 2.4.

7.7 Testul 4

1. Daca x ≤ 2, 013⇒−x+ 2, 013 ≤ 3− x⇒ 2, 013 ≤ 3 Se verifica, ∀x ≤ 2, 013.

Daca x > 2, 013⇒x− 2, 013 ≤ 3− x⇒ 2x ≤ 5, 013⇒ x ≤ 2, 5065.

Deci A = (−∞,2, 013] ∪ (2, 013,2, 5065] = (−∞,2, 5065] .

ÎnA sunt urmatoarele numere întregi mai mari decât−2, 013 : −2,−1, 0, 1, 2.Raspuns corect (a) .

2. E = x1x2£(x1 + x2)

2 − 2x1x2¤=

= 20 ·¡(−2)2 − 2 · 20

¢= −720.


3. ∆ = −3m2 + 6m+ 1.

∆ < 0⇔ −3m2 + 6m+ 1 < 0⇔ 3m2 − 6m− 1 > 0⇔⇔ m ∈

³−∞, 1− 2

√33

´∪³1 + 2

√33,+∞

´.


4. C.E.

⎧⎨⎩ x2 − 1 > 05− x > 0x+ 4 > 0, x+ 4 6= 1

⇒

⎧⎨⎩ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞)x ∈ (−∞, 5)x ∈ (−4,+∞) , x 6= −3

⇒

⇒ DC.E = (−4,−3) ∪ (−3,−1) ∪ (1, 5)logx+4 (x

2 − 1) = logx+4 (5− x)⇒ x2 − 1 = 5− x⇒

7.7. TESTUL 4 181

⇒ x2 + x− 6 = 0⇒ x1 = 2 ∈ DC.E si x2 = −3 /∈ DC.E.


5. x1 =4

1−√5=4¡1 +√5¢

12 −¡√5¢2 = −1−√5

x2 =5

1− 2i =5 (1 + 2i)

12 − (2i)2= 1 + 2i

Atunci P are ca radacini si

x3 = −1 +√5

x4 = 1− 2iP (X) = (X2 + 2X − 4) (X2 − 2X + 5) = X4 − 3X2 + 18X − 20.Raspuns corect (d) .

6. Tk+1 = Ck10

³3√x2´10−kµ 2

4√x

¶k

= Ck10x

2(10−k)3 2kx

−k4

= Ck102

kx2(10−k)

3+−k

4

independenti de x⇒ 2(10−k)3

+ −k4= 0⇒

8 (10− k)− 3k = 0⇒ 80− 11k = 0⇒ k = 8011imposibil.


7.½

a2 = 5a5 = 14

⇒½

a1 + r = 5a1 + 4r = 14

⇒½

a1 = 2r = 3

S =(2a1 + 9r) · 10

2= 155.


8.

⎛⎝ 1 −1 00 1 −10 0 1

⎞⎠⎛⎝ 1 −1 00 1 −10 0 1

⎞⎠ =

⎛⎝ 1 −2 10 1 −20 0 1

⎞⎠⎛⎝ −1 0 1

2 0 00 2 −1

⎞⎠⎛⎝ −1 0 12 0 00 2 −1

⎞⎠ =

⎛⎝ 1 2 −2−2 0 24 −2 1

⎞⎠⎛⎝ 1 −2 10 1 −20 0 1

⎞⎠+⎛⎝ 1 2 −2−2 0 24 −2 1

⎞⎠ =

⎛⎝ 2 0 −1−2 1 04 −2 2

⎞⎠det (A2 +B2) = 4.


Precizam ca detA = 1 si detB = 4, dar det (A2 +B2) 6= (detA)2 +(detB)2 .


9.

¯¯ 2 1 10 −m 1m2 0 1

¯¯ 6= 0⇔

m3 +m2 − 2m 6= 0⇔ m (m2 +m− 2) 6= 0⇒M = R\ {−2, 0, 1} .Raspuns corect (a) .

10. Legea e asociativa, comutativa

x ∗ e = x⇒ xe+ x+ e = x⇒ (x+ 1) e = 0⇒ e = 0.

z ∗ 2000 = e⇒ 2000z + z + 2000 = 0⇒ z = −20012000

.


11. limn→∞

−17· (

−17 )

n−1−17−1 = −1

7· 0−1−17−1 = −

18.


12. f (7) = a.

limx→7x<7

a cos (x− 7) = a cos 0 = a.

limx→7x>7

2−√x− 3

x2 − 49 = limx→7x>7

4− x+ 3

(x− 7) (x+ 7)¡2 +√x− 3

¢ = −114·4 =

−156.


13. f 0 : R→ R, f 0 (x) = arctg x+ x · 1

1 + x2− 2x

1 + x2= arctg x− x

1 + x2;

f 00 : R→ R, f 00 (x) =1

1 + x2− 1 + x2 − x · 2x

(1 + x2)2=

2x2

(1 + x2)2;

f 00 (x) ≥ 0,∀x ∈ R⇒ f 0 e crescatoare pe R.

f 0 (1) = arctg 1− 1

1 + 12= π

4− 1

2.

f 00 (1) = 12.


7.7. TESTUL 4 183

14. f (x) =2

x2 + 2x=1

x− 1

x+ 2= x−1 − (x+ 2)−1 .

f 0 (x) = (−1) x−2 − (−1) (x+ 2)−2 .f 00 (x) = (−1) (−2)x−3 − (−1) (−2) (x+ 2)−3 .f 000 (x) = (−1) (−2) (−3)x−4 − (−1) (−2) (−3) (x+ 2)−4 .f (4) (x) = (−1) (−2) (−3) (−4)x−5 − (−1) (−2) (−3) (−4) (x+ 2)−5 .

f (4) (x) = 4!1

x5− 4! 1

(x+ 2)5

f (4) (1) = 4!¡1− 1

35

¢= 24 · 242

243= 1936

81.


15. Graficul functiei f : R→ R, f (x) = x3 − 12x este

-4 -2 2 4

-60

-40

-20

20

40

60

x

y

f 0 (x) = 3x2 − 12 = 3 (x2 − 4)f 00 (x) = 6x

x −∞ −2 0 2 +∞f 0 (x) + + + + 0 − − − − − − − 0 + + + + +f 00 (x) − − − − − − − − 0 + + + + + + + + +f (x) −∞ % 16 & 0 & −16 % +∞Puncte de extrem local (−2, 16) si (2,−16) .Raspuns corect (a) .

16. A1 =R 10

x2

x3 + 1dx = 1

3ln (x3 + 1)

¯x=1x=0

= 13ln 2.

A2 =R e1x lnxdx = 1

2x2 lnx− 1

4x2¯x=ex=1

= 14e2 + 1

4.

A3 =R π

40

sinxcosx

dx = − ln (cosx)|x=π4

x=0 = − ln√22+ ln 1 = 1

2ln 2.

A = 3A1 + 4A2 − 2A3 = ln 2 + e2 + 1− ln 2 = e2 + 1



17.Rxe−xdx = −xe−x − e−x + c, ∀x ∈ (0,+∞) ,∀c ∈ R.R √xx+ 1

dx =?⎧⎨⎩√x = t, t ∈ (0,+∞)| inversam

x = t2, t ∈ (0,+∞)|diferentiemdx = 2tdtR t

t2 + 1(2t) dt = 2

R t2 + 1− 1t2 + 1

dt =

= 2 (t− arctg t) + ec, ∀t ∈ (0,+∞) ,∀ec ∈ R.R √xx+ 1

dx = 2 (√x− arctg√x) + c, ∀x ∈ (0,+∞) , ∀c ∈ R.


18. Raspuns corect (b) .

19. −→a = −→i +−→j si −→b =√22

−→i +m

−→j sunt perpendiculari⇒

1 ·√22+ 1 ·m = 0⇒ m = −

√22.

E = −2 + cos π6· sin π

4= −

√22+√32·√22=

√6−2

√2

4.


20. A (2, 1) ∈ (d1)⇒ 2 · 2 + a · 1− 7 = 0⇒ a = 3⇒⇒ (d1) : 2x+ 3y − 7 = 0.B (0, 4) ∈ (d2) si C (6, 0) ∈ (d2)⇒

⇒ (d2) :x− 06− 0 =

y − 40− 4 ⇒

⇒ (d2) : 4x+ 6y − 24 = 0⇒⇒ (d2) : 2x+ 3y − 12 = 0.Dreptele (d1) si (d2) sunt paralele


Teste admitere Facultatea de Automatic ˘a¸ si Calculatoare ... · Teste admitere Facultatea de...

Documents

Transcript of Teste admitere Facultatea de Automatic ˘a¸ si Calculatoare ... · Teste admitere Facultatea de...