TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE - mec.upt.romec.upt.ro/dolga/TSA_6_2.pdf · Sisteme de ordinul 2 Prof....

TEORIA SISTEMELOR

AUTOMATE

Prof. dr. ing. Valer DOLGA,

Cuprins_7_2

Analiza si raspunsul sistemelor liniare in

domeniul timp

II

1. Sisteme de ordinul 2

Prof. dr. ing. Valer DOLGA 2

2. Raspunsul sistemului la semnale standard• impuls unitar

• treapta unitara

• rampa

3. Notiuni privind calitatea sistemului de ordinul 2

4. Exemple de calcul

Sisteme de ordinul 2


Exemplu de sistem mecatronic cu o comportare tipică de sistem de ordinul doi

ubya

dt

dya

dt

yda ⋅=⋅+⋅+⋅ 0012

2

2EcuaŃia diferenŃială care descrie

sistemul de ordinul doi:

012

2

0

asasa

b

sU

sYsG

+⋅+⋅==)(

)()(

22

2

2

020

12

2

0

0

0

0

12

0

2

0

0

012

2

0

221

1

2

21

1)(

)()(

n

ss

SS

s

a

aaa

as

a

a

a

b

sa

as

a

a

a

b

asasa

b

sU

sYsG

ωξωω

ξ +⋅+⋅

==

=+⋅

⋅⋅⋅

+⋅=

+⋅+⋅=

+⋅+⋅==


0

0a

bS = - sensibilitatea sistemului, sau

factorul de amplificare

222

221

21nn

nn

ssss

ωξωωξ

ω+⋅+

=+⋅+⋅

=

2

02

a

an =ω - pulsaŃia naturală a

sistemului

20

1

2 aa

a

⋅=ξ - factorul de

amortizare

Sisteme de ordinul 2 - raspunsul la

semnal impuls unitar

12121 222

2+⋅ξ+⋅

=+⋅

ωξ

+⋅ω

=sTsT

S

ss

SsG

nn

)(

nT ω= /1

Raspunsul sistemului la un semnal standard

{ }

⋅+⋅+⋅

== −−)()()( sU

asasa

bsYty

2011 LL


+⋅+⋅ asasa 012

2

�Semnal – impuls unitar

U(s)=1

⋅ω+⋅ξω+

ω= − 1

2 22

2

nn

n

ss

Sty 1L)(

a) cazul a două rădăcini reale distincte

( ) 0144 222 >−⋅=−=∆ ξωnacb 1>ξ

−−⋅ω= −

))(()(

21

2 1

ssssSty n

1L

)(),( 11 2

22

1 −ξ−ξ−ω−ξ+ξ−ω= = nn ss


)()(tsts

n ess

ess

Sty 21

2121

2 11

−−

−ω=

Raspunsul calitativ al sistemului

21

2

21

12 21 0ess

se

ss

s

dt

tdy tstsn =

−−

−ω= )(

)(

• t=0, răspunsul este nul.

• există un maxim (şi numai unul), iar apoi răspunsul tinde asimptotic la 0;

• valoarea de maxim se determină din condiŃia anulării primei derivate:


21

21

21

2121

21

ss

sst

eses

ssssdt

vf

tsts vfvf

−−=

=

−−

/ln

Un astfel de sistem poate fi înlocuit cu o serie de două sisteme

de ordinul 1.

b) cazul a două rădăcini complexe (factor de amortizare) 1<ξ

)sin()( φ+ξ−ω= ξω−

tAety ntn 21

Raspunsul sistemului:

• constantele “A” şi “φ” se determină din condiŃiile iniŃiale:

• la momentul t=0 semnalul de ieşire trebuie să fie nul, y(t)=0,defazajul φ rezultă nul;


defazajul φ rezultă nul;

• “A” se obŃine considerând şi derivata semnalului de ieşire înorigine.

21 ξ−

ω= nS

A

))(sin()( te

Sty n

tn n 22

11

ξ−ω⋅ξ−

ω= ξω−


Răspunsul sistemului de ordinul doi la impuls unitar pentru cazul când factorul de amortizare este subunitar 1<ξ

• În ambele cazuri, pulsatia oscilaŃiei mărimii de ieşire este totdeauna mai mică decât cea naturală ωn:

21 ξ−ωn


a) ξ=0.05 b) ξ=0.95

Răspunsul oscilatoriu al unui sistem de ordinul doi la impuls unitar, pentru diferiŃi factori de amortizare

Sisteme de ordinul 2 – raspunsul

la semnal treapta

Se preferă utilizarea funcŃiei de transfer în forma:

- semnal treapta

)()()( sXsGsY =

ssX

1)( =

( )22

2

2)(

nn

n

sss

ksY

ωξωω

++=


( )22 2 nnsss ωξω ++

( )( )21

2

)(pspss

ksY n

++=

ω

02 22 =++ nns ωξω

2

442 222

2,1nnn

pωωξξω −±−

=

122221 −+−=−+−= ξωξωωωξξω nnnnnp

122222 −−−=−−−= ξωξωωωξξω nnnnnp

1>ξ

( )

⋅

−+⋅

−−= −− tptpn e

pp

pe

pp

p

pp

kty 21

12

1

12

2

21

2

1ω

∞→t ( )21

2

pp

kty nω

=


1=ξ

npp ω−== 21

( )22

)(n

n

ss

ksY

ωω+

=

( )

+−

+−= 2

11)(

n

n

n sssksY

ωω

ω

( )atet

asL −− ⋅=

+ 21 1

( )tnt nn etekty

ωω ω −− ⋅−−= 1)(

1<ξ

( )

+−

−−=

−

φξωξ

ξω

te

kty n

tn2

21sin

11)( ξφ =cos


• pentru cazul ξ = 1, se obŃine amortizarea critică.• pentru ξ > 1, aspectul curbei este cel din figura

y/H

0.6

0.8

1

1.2

y/H


0

0.2

0.4

0 2 4 6 8 10 12 14 16ωn*t

Răspunsul indicial al unui sistem de ordin 2 cu factor de amortizare ξ = 1.1

Sisteme de ordinul 2 – raspunsul

la semnal rampa

Pentru o mărime de intrare de tip:

cttu =)(

2scsU /)( =

Se utilizeaza forma standard pentru functia de transfer:


12

122 +ξ+

=TssT

sG )(

Se utilizeaza forma standard pentru functia de transfer:

12

1222 +ξ+

⋅=TssTs

csY )(

ξ=1

ξ=0.1 ξ=0

u(t)=ct

u


Răspunsul unui sistem de ordinul 2 la un semnal rampăt

Sy%2 Sy

1σ


Ct

SCt

St

(yS – valoarea de regim stabilizat; σ – supracreşterea; tC – timpul de

creştere; tSC – timpul de supracreştere; tS – timpul de stabilizare).

20 12 ξω

π

−=Ct Timpul de crestere – durata intervalului de

crestere de la 10 % la 90 % din valoarea

de regim stabilizat

20 1 ξω

π

−=SCt Timpul de atingere a valorii maxime

πξ−


211

ξ

πξ

σ −−

⋅= eyS Supracresterea

2

2

2

1

2

1

1

3

1

2_ ξ

πξ

ξ

πξ

ξ

πξ

σσ −

−

−−

−−

=

⋅

⋅== e

ey

eyamortizarerap

S

S

0

4

ξω≈St Durata de linistire (eroarea admisa pentru atingerea

valorii stabilizate - 2 %)

112

2−=

πn Numarul de oscilatii pina la linistire

n

St ξω3

= Durata de linistire (eroarea admisa pentru atingerea valorii stabilizate - 5 %)


12−=

ξπn Numarul de oscilatii pina la linistire

Probleme propuse:

Descrieti forma semnalului de iesire a unui element senzorial cu

factorul de amortizare egal cu:

a) 0;

b) 0.5;

c) 1;

d) 1.5.


Un element senzorial are frecventa de rezonanta 100 Hz si

coeficientul de amortizare egal cu 0.6. Se cere sa se determine:

• supracresterea [%];

• timpul de crestere la o variatie brusca a semanlului de intrare;

• raportul de amortizare;

• durata de linistire;

• numarul de oscilatii pina la linistire;

Exemple

168

1)(

2 ++=

sssG

)()()( sXsGsY =

ssX

1)( =

( ) ( )( )44

1

168

1)( 2 ++

=++

=ssssss

sY

421 −== pp


Exemplu_2

Să se determine răspunsul la semnal treaptă a unui sistem de ordinul2 pentru factor de amortizare nul (ξ=0).

• Pentru ξ=0, coeficientul σ rezultă de asemenea nul (σ= ξωn=0).

22

2

n

n

ssG

ω+

ω=)(

)()()(

22

2

n

n

ss

H

s

HsGsY

ω+

ω=⋅=

s

sFdx

t)(

)( =

ττ∫

0

L

ωn


∫ τω+

ω−ω=ω+

ω

−ω=ω+

ω−t

n

nn

n

n

n

n

n ds

Hs

sH

ss

H

022

22

22

2111

))((()()( LLL

)cos()cos(sin)( tHHdHty n

tn

nn

t

nn ω−=τω−ω

ω=ττωω= ∫ 11

00

y(t)

u(t)

y


timp

Răspunsul indicial al unui sistem de ordinul 2 fără factor de amortizare (ξ=0)

1

1)( 2 +=s

sG


01.0

1.0)(

2 +=s

sG


100

10)(

2 +=s

sG


TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE - mec.upt.romec.upt.ro/dolga/TSA_6_2.pdf · Sisteme de ordinul 2 Prof....

Documents

Transcript of TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE - mec.upt.romec.upt.ro/dolga/TSA_6_2.pdf · Sisteme de ordinul 2 Prof....