ChişinăuEditura “Tehnica”ISBN 978-9975-45-172-7

Teoria Mecanismelor şi Maşinilor

K. V. Frolov Teoria Mecanismelor şi Maşinilor K. V. Frolov

K. V. FROLOV

TEORIA MECANISMELOR ŞI MAŞINILOR

Universitatea Tehnică a Moldovei Editura "Tehnica"

2013

CZU 621.7

F 92

Cursul de TMM este împărţit în 2 părţi, în care sunt descrise probleme cu

care se confruntă disciplina Teoriei Mecanismelor şi Maşinilor. În prima parte

(Cap. 1-10) sunt descrise metodele generale de determinare a caracteristicilor

cinematice şi dinamice ale mecanismelor, maşinilor şi sistemelor de maşini

(agregatelor), calculul mecanismelor cu considerarea elasticităţii elementelor

componente, frecării şi uzurii cuplelor cinematice, vibraţii şi apărarea împotriva

lor; în partea a II-a (Cap.11-17) – metodele de proiectare a celor mai întâlnite

mecanisme. Metodele de calcul folosite în manualul dat sau bazat în primul rând

pe metodele grafo-analitice şi cele analitice de determinare a parametrilor

elementelor mecanismului.

Redactor ştiinţific: dr.ing.prof. Merticaru Vasile

Traducători: Dulgheru Valeriu

Oprea Anatol

Cernica Ion

Malcoci Iulian

Sochireanu Anatol

Coperta: Guţu Marin

© Editura ”Vysshaia shcola”, 1987

© Traducere din l. rusă de V. Dulgheru, A. Oprea,

I. Cernica, Iu. Malcoci, A. Sochireanu, 2013

Descrierea CIP a Camerei Naționale a Cărții Frolov, K. V.

Teoria Mecanismelor și Mașinilor / K. V. Frolov. – Ch.: UTM, 2013, - 528 p.

ISBN 978-9975-45-172-7 300 ex.

CZU 621.7 F 92

3

PP RR EE FF AA ŢŢ ĂĂ

Prezenta lucrare este destinata în calitate de manual studenţilor

şcolilor tehnice superioare. Cursul de teorie a mecanismelor şi maşinilor

expus în manual s-a constituit pe baza experienţei de predare a

disciplinei la şcoala tehnică superioară "N.A. Bauman" din Moscova în

decursul multor decenii. În manualul acesta sunt luate în consideraţie

schimbările calitative în pregătirea inginerilor în perioada revoluţiei

tehnico-ştiinţifice, care au solicitat o prelucrare serioasa a cursului

tradiţional atât în ce priveşte conţinutul, cât şi metodica de predare.

Cursul "Teoria mecanismelor şi maşinilor" se bazează pe pregătirea

mecanică şi matematică a studenţilor, asigurată cu disciplinele

precedente: "Matematica superioară", "Mecanica teoretică",

"Limbajele algoritmice şi programarea".

Fiind baza ştiinţifică a disciplinelor speciale de proiectare a

maşinilor cu destinaţie ramurală, acesta formulează următoarele sarcini:

- însuşirea de către studenţi a metodelor generale de cercetare şi

proiectare a mecanismelor, maşinilor şi aparatelor;

- familiarizarea studenţilor cu principiile generale de realizare a

mişcării cu ajutorul mecanismelor, interacţiunea mecanismelor în

maşină, care condiţionează proprietăţile cinematice şi dinamice ale

sistemului mecanic;

- abordarea sistematică de către studenţi a proiectării maşinilor şi

mecanismelor, stabilirea parametrilor optimi ai mecanismelor pentru

condiţiile de lucru date;

- formarea deprinderilor de elaborare a algoritmilor şi programelor

de calcul ale parametrilor la calculator, efectuarea calculelor concrete;

- formarea deprinderilor de utilizare a aparatelor de măsură pentru

determinarea parametrilor cinematici şi dinamici ai maşinilor şi

mecanismelor.

Manualul a fost scris de colectivul catedrei "Teoria mecanismelor şi

maşinilor" de la şcoala tehnică superioară "N.A. Bauman" din Moscova

sub conducerea şi redacţia generala a academicianului K.V. Frolov. Cap.

1, 10 sunt scrise de K.V. Frolov; cap. 3, 12,' 16, 17, 18, § 2.6, 2.7, 7.1,

14.1 — de S.A. Popov; cap. 4, 9, § 7.2 — de A.K. Mushatov, cap. 8,11,

§ 2.1 — 2.5 — de D.M. Lukiciov, § 14.2 — de N.E. Remezova; § 15.1

— 15.4 — de V.A. Nikonorov; § 15.5 — de N.A. Skvortzova; cap.5 —

4

de A.K. Mushatov şi V.M. Akopean; cap. 6 — de A.C. Mushatov, A.A,

Savelova şi G.N. Petrov; cap. 13 — de N.A. Skvortzova şi A.K.

Mushatov, introducerea şi încheierea — de K.V. Frolov şi D.M.

Lukiciov.

Autorii exprimă adâncă recunoştinţă întregului colectiv de

colaboratori ai catedrei "Teoria mecanismelor şi maşinilor" de la şcoala

tehnică superioară "N.A. Bauman" din Moscova pentru ajutorul acordat,

precum şi recenzenţilor pentru lucrul lor asupra manuscrisului şi

obiecţiile critice şi doleanţele privind îmbunătăţirea manualului, rugăm

să fie trimise la adresa: 101430, Moscova, GSP — 4, str. Neglinnaya,

29/14, editura "Vysshaya shkola".)

Autorii

5

IINNTTRROODDUUCCEERREE

Teoria mecanismelor şi maşinilor este ştiinţa care studiază metodele

generale ale analizei şi sintezei structurale şi dinamice a diferitelor me-

canisme, mecanica maşinilor. Este important să accentuam că metodele

expuse în teoria mecanismelor şi maşinilor sunt utile pentru proiectarea

oricărui mecanism şi nu depind de destinaţia tehnică a acestuia, precum

şi de natura fizică a procesului de lucru al maşinii.

Cursul de teorie a mecanismelor şi maşinilor este, în fond, un curs

introductiv în specialitatea viitorului inginer şi de aceea are o orientare

inginerească. În acesta se foloseşte pe larg aparatul matematic modern şi

se studiază metodele practice de rezolvare a problemelor de analiză şi

sinteză a mecanismelor — analitice cu utilizarea calculatoarelor, grafice

şi grafo-analitice.

M a ş i n a este o instalaţie, care execută mişcări mecanice de

transformare a energiei materialelor şi informaţiei în scopul înlocuirii

sau uşurării muncii fizice şi intelectuale a omului. În maşinile

tehnologice (maşini-unelte şi complexe de prelucrare a metalelor,

instalaţii de turnătorie ş.a.) se modifică forma, dimensiunile,

proprietăţile, starea materialelor de bază şi a semifabricatelor brute. Cu

ajutorul maşinilor şi instalaţiilor de transport se efectuează deplasarea în

spaţiu a greutăţilor, instrumentelor, oamenilor şi a altor obiecte cu viteza

necesară. În maşinile energetice are loc transformarea energiei. În

maşinile informaţionale are loc transformarea informaţiei introduse

pentru controlul, reglarea şi conducerea mişcării.

Maşina efectuează procesul său de lucru prin executarea unor

mişcări mecanice fireşti. Purtătorul acestor mişcări este mecanismul.

Deci, m e c a n i s m u 1 este un sistem de corpuri solide, legate mobil

prin contact şi care se mişcă într-un mod necesar şi definit faţă de unul

fix, numit element de bază (batiu). Foarte multe mecanisme servesc

pentru transformarea mişcării mecanice a corpurilor solide.

Scurtă schiţă istorica. Cele mai simple mecanisme (cu pârghii, cu

roţi dinţate ş.a.) au fost cunoscute de demult. Treptat decurgea procesul

cercetării, perfecţionării şi introducerii lor în practică în scopul uşurării

muncii omului, ridicării productivităţii muncii etc.

Se cunoaşte faptul că Leonardo da Vinci (1452 – 1519),

personalitate remarcabilă din epoca Renaşterii, a elaborat proiectele

construcţiilor mecanismelor unor războaie de ţesut, maşini de tipar şi de

prelucrare a lemnului. El a încercat să determine pe cale experimentală

6

coeficientul de frecare. Doctorul şi matematicianul italian G. Cardan

(1501 – 1576) a studiat mişcarea mecanismelor ceasornicelor şi morilor.

Savanţii francezi G. Amonton (1663 – 1705) şi Ch. Coulomb (1736 –

1806) primii au propus formulele pentru determinarea forţei de frecare

în stare de repaus şi la alunecare.

Remarcabilul matematician mecanic L. Euler (1707 – 1783),

elveţian de origine, treizeci de ani a trăit şi a activat în Rusia, profesor,

iar apoi membru activ al Academiei de Ştiinţe din Petersburg, autorul a

850 de lucrări ştiinţifice, a soluţionat o serie de probleme privind

cinematica corpului solid, a cercetat oscilaţiile şi stabilitatea corpurilor

elastice, a studiat problemele mecanicii practice, a cercetat în special

diferite profiluri de dinţi ai roţilor dinţate şi a ajuns la concluzia că

profilul de perspectivă este cel evolventic.

Cunoscutul mecanic şi inventator rus I.I. Polzunov (1728 – 1766) a

elaborat pentru prima dată proiectul mecanismului motorului cu aburi cu

doi cilindri (pe care, cu părere de rău, n-a putut să-1 realizeze), a

construit un regulator automat de alimentare cu apă şi aburi şi alte

mecanisme. Renumitul mecanic I.I. Kulibin (1735 – 1818) a creat

renumitele ceasornice în forma de ou, care reprezentau un mecanism cu

acţiune automată foarte complicat pentru acele vremuri.

În legătură cu dezvoltarea construcţiei de maşini ca ramură a

industriei a apărut necesitatea elaborării unor metode ştiinţifice generale

de cercetare şi proiectare a mecanismelor, care intră în componenţa

maşinilor. Aceste metode au contribuit la crearea unor maşini mai

perfecţionate pentru epoca lor, care execută la nivel înalt anumite

funcţii. Se ştie că construcţia de maşini ca ramură a industriei s-a

constituit încă in secolul XVIII, iar în secolul XIX ea a început să se

dezvolte rapid, mai ales în Anglia şi S.U.A.

Ca ştiinţă, teoria mecanismelor şi maşinilor, numită "Mecanica

aplicată", a început să se constituie la începutul secolului XIX,

bazându-se, în special, pe metodele analizei structurale, cinematice şi

dinamice a mecanismelor. Şi numai de la mijlocul secolului XIX în

teoria mecanismelor şi maşinilor au început să se dezvolte metodele

generale de sinteză a mecanismelor.

Renumitul savant, matematician şi mecanic rus, academicianul P.L.

Chebyshev (1821 – 1894) a publicat 15 lucrări în domeniul structurii şi

sintezei mecanismelor cu pârghii. Pe baza metodelor elaborate el a

inventat şi a construit peste 40 de mecanisme noi, care execută

traiectoria dată, stoparea unor elemente la mişcarea altora ş.a. Formula

structurală a mecanismelor plane se numeşte formula lui Chebyshev.

7

Savantul german F. Grasshoff (1826 – 1893) a elaborat formularea

matematică a condiţiei de rotaţie a elementului mecanismului plan cu

pârghii, care este necesară la sinteza acestuia. Matematicienii englezi D.

Silvester (1814 – 1897) şi S. Roberts (1827 – 1913) au elaborat teoria

mecanismelor cu pârghii destinate transformării curbelor (pantografe).

I.A. Vyshnegradskij (1831 – 1895), unul din fondatorii teoriei

reglării automate, a construit o serie de maşini şi mecanisme (prese

automate, elevatoare, regulatorul pompei) şi, fiind profesor la institutul

tehnologic din Petersburg, a creat o şcoală ştiinţifică de construire a

maşinilor.

Metodele de sinteză a mecanismelor cu roţi dinţate, folosite pe larg

în diferite maşini, se deosebesc prin caracterul lor complicat. Mulţi

savanţi au lucrat în acest domeniu. Geometrul francez T. Olivier (1793 –

1858) a fundamentat metoda sintezei suprafeţelor conjugate în

angrenajele plane şi spaţiale cu ajutorul suprafeţei exterioare. Savantul

englez R. Willis (1800 – 1875) a demonstrat teorema principală a

angrenajului plan şi a propus metoda analitică de cercetare a

mecanismelor planetare cu roţi dinţate.

Savantul german în studiul maşinilor F. Reuleaux (1829 – 1905) a

elaborat metoda grafică de sinteză a profilurilor conjugate, cunoscută în

prezent ca "metoda normalelor". Reuleaux este de asemenea autorul

lucrărilor în domeniul structurii şi cinematicii mecanismelor. Savantul

rus H.I. Gohman (1851 – 1916) unul dintre primii a publicat lucrări

privind teoria analitică a angrenajului.

O contribuţie importantă în domeniul dinamicii maşinilor a adus

prin lucrările sale "părintele aviaţiei ruseşti" N.E. Jukovskij (1847 –

1921). El a fost nu numai fondatorul aerodinamicii contemporane, ci şi

autorul unei serii de lucrări în domeniul mecanicii aplicate şi teoriei

reglării funcţionarii maşinilor.

La dezvoltarea mecanicii maşinilor au contribuit lucrările lui N.P.

Petrov (1836 – 1920), care a pus bazele teoriei hidrodinamice de

lubrifiere, V.P. Goryachkin (1868 – 1935), care a elaborat bazele

teoretice de calcul şi construcţie a maşinilor agricole, complexitatea

calculului constând în faptul că mecanismele de execuţie ale acestora

trebuie să reproducă mişcările mâinii omului.

Savantul rus L.V. Assur (1878 – 1920) a descoperit legitatea

generală în structura mecanismelor plane complexe, care se foloseşte şi

astăzi la analiza şi sinteza lor. Tot el a elaborat metoda "punctelor

speciale" pentru analiza cinematică a mecanismelor cu pârghii

8

complicate. A.P. Malyshev (1879 – 1962) a propus teoria analizei

structurale şi sintezei mecanismelor plane complexe şi spaţiale.

O contribuţie substanţială în constituirea mecanicii maşinilor ca

teorie integrală a construcţiei de maşini a adus I.I. Artobolevskijj (1905

– 1977), organizatorul şcolii ruse în teoria mecanismelor şi maşinilor. El

a publicat numeroase lucrări în domeniul structurii, cinematicii şi

sintezei mecanismelor, dinamicii maşinilor şi teoriei maşinilor–

automate, precum şi manuale, ce se bucură de apreciere unanimă.

Discipolii şi adepţii lui I.I. Artobolevskijj – A.P. Bessonov, V.A.

Zinoviev (1899 – 1975), N.l. Levitskij, N.V. Umnov, S.A. Kerkudinov

şi mulţi alţii - cu lucrările lor în domeniul dinamicii maşinilor (inclusiv

cele acustice şi neolonome), sintezei optime a mecanismelor, teoriei

maşinilor-automate şi în alte domenii ale teoriei mecanismelor şi

maşinilor au contribuit la dezvoltarea ulterioară a acesteia.

În anii 30 o mare contribuţie în teoria mecanismelor şi maşinilor

şi-au adus prin cercetările lor N.G. Bruevich, unul din fondatorii teoriei

preciziei mecanismelor, G.G. Baranov (1899 – 1968), autorul lucrărilor

în domeniul cinematicii mecanismelor spaţiale, S.N. Kojevnikov, care a

elaborat metodele generale de analiză dinamică a mecanismelor ca

elemente elastice şi a mecanismelor maşinilor cu solicitare înalta.

Trebuie menţionate lucrările savanţilor uneia din cele mai vechi

catedre – catedra teoriei mecanismelor şi maşinilor a şcolii tehnice

superioare "N.A. Bauman" din Moscova, unde cursul de mecanica

aplicată a fost elaborat şi predat pentru prima dată în anul 1872 de F.E.

Orlov (1843 – 1892). Mai departe cursul a fost prelucrat şi aprofundat

din punct de vedere metodic şi teoretic. D.S. Zernov (1860 – 1922) a

aprofundat teoria transmisiilor. N.L Mertzalov (1866 – 1948) a

completat cercetarea cinematică a mecanismelor plane cu teoria

mecanismelor spaţiale şi a elaborat o metodă simplă şi sigură de calcul a

volantului. L.P. Smirnov (1877 – 1954) a unit într-un sistem riguros

metodele grafice de cercetare a cinematicii mecanismelor şi dinamicii

maşinilor. V.A. Gavrilenko (1899 – 1977) a elaborat teoria angrenajelor

cu profil evolventic. L.N. Reshetov a dezvoltat teoria mecanismelor cu

came şi a pus bazele teoriei mecanismelor cu reglare automată.

Actualmente colectivul catedrei lucrează asupra perfecţionării

cursului "Teoria mecanismelor şi maşinilor". Dezvoltarea vertiginoasă

a tehnicii moderne a pus probleme noi şi în faţa învăţământului superior.

De aceea în cursul "Teoria mecanismelor şi maşinilor" au fost introduse

capitole dedicate uzurii, influenţei elasticităţii elementelor asupra

mişcării mecanismului, vibro-activităţii şi protecţiei mecanismelor

9

contra vibraţiilor, proiectării manipulatoarelor, conducerii unui sistem

de mecanisme. Conţinutul acestor capitole ale ciclului de prelegeri este

expus în manualul de faţă.

CC aa pp ii tt oo uu ll 11

PROBLEMELE TEORIEI MECANISMELOR ŞI MAŞINILOR

Indiferent de faptul cum este numit secolul nostru tehnic secolul

cosmosului sau automaticii, secolul atomului sau secolul electronicii –

baza progresului tehnic a fost şi rămâne maşina. Industria

constructoare de maşini este ramura principală a economiei

naţionale, care produce maşini, mecanisme şi instalaţii pentru o serie

de alte ramuri, pentru care ea este baza tehnico-materială.

Productivitatea muncii sociale şi bunăstarea poporului depind în mare

măsură de nivelul de dezvoltare a industriei constructoare de maşini, de

gradul de perfecţiune a maşinilor. În faţa industriei constructoare de

maşini sunt puse următoarele sarcini: însuşirea construcţiilor noi de

maşini şi mecanisme, mijloacelor de automatizare, care permit utilizarea

tehnologiilor ce pot realiza economie de energie şi materiale de înaltă

productivitate, asigurarea siguranţei şi duratei de funcţionare necesară a

maşinilor şi mecanismelor pentru diferite ramuri ale economiei

naţionale, sporirea rentabilităţii şi productivităţii lor.

În faţa industriei constructoare de maşini sunt puse sarcini destul de

complicate. Maşina trebuie să fie rezistentă, fiabilă, de înaltă

productivitate, dar în acelaşi timp uşoară, cu cheltuieli minime de

materiale şi energie, să nu polueze mediul ambiant, să corespunda

cerinţelor esteticii tehnice şi ergonomiei. Pentru soluţionarea acestor

probleme, pentru crearea unor maşini cu performanţe ridicate,

specialiştii din domeniul construcţiei de maşini trebuie să cunoască

profund bazele unor serii de discipline, inclusiv teoria

mecanismelor şi maşinilor.

Schema cinematică a mecanismului este "scheletul" construcţiei

reale a maşinii. Alegerea şi proiectarea schemei mecanismului constituie

prima etapă de proiectare a maşinilor, care este o etapă de bază. Alegerea

dimensiunilor şi materialului pieselor viitoarei maşini constituie etapa

următoare de proiectare a construcţiei. Proiectarea se încheie cu alegerea

10

metodelor şi mijloacelor de fabricate a unei sau altei construcţii. E de la

sine interes că ultimele doua etape de proiectare se bazează pe prima

etapă, care este determinantă. De aceea este greu de supraapreciat rolul

teoriei mecanismelor şi maşinilor ca bază teoretică de proiectare a

maşinilor.

Teoria maşinilor şi mecanismelor în forma actuală este o ştiinţă

complexă, în care problemele structurii, cinematicii şi dinamicii

maşinilor, analizei şi sintezei lor sunt strâns legate de problemele

proiectării şi reglării optime.

Una din direcţiile principale de dezvoltare a tehnicii moderne este

automatizarea tuturor tipurilor de producţie. O contribuţie mare la

soluţionarea acestei probleme vor aduce sistemele roboto-tehnice.

Născut în paginile operelor ştiinţifico – fantastice, cuvântul "robot" a

devenit un termen ştiinţific acceptat, care reprezintă un sistem tehnic

foarte bine organizat, capabil să execute diferite operaţii mecanice şi să

rezolve de sine stătător anumite probleme logice.

Fig. 1.1

11

În prezent, în industrie multe tipuri de sisteme roboto-tehnice

execută operaţii de încărcare, de depozitare, de asamblare a sistemelor

simple (fig. 1.1). Dacă robotul este dotat cu manipulatoarele 1 si 2, cu un

sistem de recepţionare şi prelucrare a informaţiei despre starea mediului

ambiant şi proprietăţile obiectelor, cu care acesta operează (fig. 1.2),

informaţia culeasa se foloseşte apoi în procesul realizării programului

dat.

Existenta unui volum mare de informaţie despre procesul tehnologic,

despre starea mediului, despre amplasarea relativa în spaţiu a obiectelor

de manipulare deschide posibilităţi mari în automatizarea diferitelor

operaţii, inclusiv unele operaţii fine cum sunt sudarea elementelor cu

configuraţie complicata, asamblarea nodurilor cu amplasare compactă a

pieselor. În acest caz sistemul roboto-tehnic alege piesele necesare din

garnitura completă în poziţie de lucru, reglează fluxurile de transport. În

cele din urma, anume astfel de sisteme roboto-tehnice devin elemente

care leagă operaţii tehnologice separate într-un lanţ unic al producţiei

complet automatizate.

Fig. 1.2

Vorbind despre automatizarea producţiei, se au în vedere nu

maşinile-automate cu specializare îngustă, care se creează pentru

fabricarea unui anumit sortiment de produse. Este vorba despre

12

utilizarea largă a instalaţiilor universale cu comandă numerica, a căror

reajustare se reduce, "în fond", la schimbarea programului de lucru.

Funcţionarea impecabilă normală a acestei producţii este posibilă

numai cu condiţia organizării unui sistem de comandă cu multe nivele,

construit pe baza tehnicii electronice de calcul. Studierea lucrului în

comun al maşinii şi MEC de comandă, elaborarea algoritmilor şi

programelor necesare constituie de asemenea una din sarcinile teoriei

mecanismelor şi maşinilor.

Cu ajutorul manipulatoarelor automate cu comandă programată

poate fi reprodus un număr mare de operaţii de transportare a obiectelor

prelucrate, de fixare şi de deblocare a lor în maşinile prelucrătoare, de

ambalare, operaţii de măsură şi control ş.a. Asemenea maşini şi sisteme

automate sunt deja utilizate nu numai la efectuarea cercetărilor

ştiinţifice şi lucrărilor în cosmos, în adâncurile mării şi la fundul

oceanelor, sub pământ, dar şi pentru eliberarea omului de munca fizică

grea. Înlocuirea omului cu roboţi la toate operaţiile grele şi obositoare

are o mare importanţă socială, lăsându-i omului îndeplinirea funcţiilor

creatoare şi intelectuale de conducere şi de introducere în sistem a

informaţiei necesare.

Organele de lucru ale maşinilor şi sistemelor automate, de regulă,

reprezintă prin structura lor nişte lanţuri cinematice spaţiale cu multe

grade de mobilitate (vezi fig. 1.2). În legătură cu aceasta, în faţa teoriei

contemporane a maşinilor şi mecanismelor apar sarcini noi în domeniul

analizei şi sintezei structurale, cinematice şi dinamice a diferitelor

scheme ale mecanismelor roboţilor, manipulatoarelor, maşinilor

păşitoare şi altor maşini şi sisteme. Trebuie să fie soluţionate

problemele stabilităţii mişcării organelor de lucru, studiate procesele

vibratorii ce apar în procesul mişcării lor, examinate problemele legate

de legile optime de mişcare a organelor de lucru, elaboraţi algoritmii

mişcării acestor organe.

La soluţionarea problemelor mecanicii este necesar să se ţină cont

de parametrii principali ai dispozitivelor de acţionare, influenţa lor

asupra dinamicii mecanismelor conduse de acestea. Problema

elaborării mecanismelor de acţionare şi a sistemelor de conducere a

roboţilor, manipulatoarelor, maşinilor păşitoare şi a altor maşini este

una din sarcinile principale în crearea maşinilor de acest tip. La

soluţionarea acestor probleme apar multe întrebări privind crearea unor

sisteme cu o fiabilitate înaltă, cu dimensiuni optime şi inerţie joasă, ce

posedă game largi de viteze.

13

Roboţii industriali şi manipulatoarele, conduse de un om (operator)

sau de o instalaţie programată, pot fi considerate roboţi din prima

generaţie. În prezent trebuie să se dezvolte larg lucrările privind crearea

roboţilor din generaţia ulterioară, care posedă unele organe de simţ ale

omului, de exemplu pipăitul, auzul, văzul, mirosul, reacţionează chiar şi

la informaţia nepercepută de către om, de exemplu la ultrasunete,

vibraţii, câmpuri electromagnetice şi termice ş.a. În grupul de roboţi din

generaţia superioară vor fi incluse instalaţiile care posedă inteligenţă

artificială. Se prevede soluţionarea unor probleme complicate privind

elaborarea modului de comunicare a omului cu robotul, studierea

caracteristicilor omului-operator în sistemul om-robot, precum şi

cercetarea repartizării funcţiilor între om şi roboţi, ce poseda un grad

diferit de autonomie. Aici se deschid perspective privind crearea

roboţilor-sanitar şi roboţilor-chirurgi ş.a.

Apariţia calculatoarelor a jucat un rol cu adevărat revoluţionar în

sistemele de comandă ale automatizării producţiei. Cu ajutorul

calculatoarelor a devenit posibilă analiza mecanismelor cu multe

elemente şi grade de mobilitate, soluţionarea problemelor sintezei

optime atât a unor mecanisme aparte, cât şi a maşinilor complicate cu

acţiune autonomă, soluţionarea problemelor privind proiectarea

instalaţiilor multicriteriale şi multiparametrale, comanda programată a

majorităţii maşinilor moderne, comanda maşinilor noi cu sisteme de tip

biomecanic în formă de manipulatoare, roboţi. maşini, păşitoare ş.a.

Maşinile automate nou create trebuie să corespundă cerinţelor

eficienţei înalte de efectuare a procesului tehnologic dat şi să posede

comandă automată, care îl eliberează la maximum pe om de controlul

asupra funcţionării maşinii.

În scopul ridicării productivităţii muncii, creşterii volumului

producţiei, ameliorării indicatorilor economici ai producţiei vor fi

create nu numai maşini-automate, dar şi sisteme de maşini cu

funcţionare automata în formă de linii automate în flux, care vor trece

în uzine-automate fără oameni. În aceste linii procesele tehnologice

principale şi astfel de procese auxiliare cum sunt transportul, controlul

producţiei, ambalarea, evidenţa articolelor confecţionate ş.a. sunt unite

într-un sistem tehnologic unic. Acestea pot fi linii în flux de tip liniar,

linii de tip rotor, linii inelare cu utilizarea roboţilor industriali.

O trăsătură distinctivă a maşinilor-automate şi sistemelor cu

acţionare automată în viitorul apropiat va fi nivelul înalt de comandă a

acestora conform celor mai diferiţi parametri, criterii şi indicatori.

Sistemele de comandă pot avea elemente logice de tip electronic,

14

pneumatic, hidraulic şi mecanic, în funcţie de cerinţele formulate faţă

de obiectul comandat şi de condiţiile în care acesta funcţionează.

Sistemele de comandă pot conţine un bloc de memorie şi blocuri care

asigură reglarea automată suplimentară şi adoptarea obiectelor

comandate ce permit efectuarea calitativa a procesului tehnologic în

condiţii exterioare variabile.

Deoarece la soluţionarea problemelor sintezei mecanismelor

întâlnim mai des sisteme multicriteriale, problemele sintezei sunt

legate, de obicei, de căutarea variantelor optime. Găsirea variantelor

optime sau a domeniilor, în care aceste variante există, cere dezvoltarea

teoriei sintezei optime a mecanismelor. Soluţionarea acestor probleme

este posibilă, de regulă, numai cu ajutorul calculatoarelor moderne, iar

aceasta necesită elaborarea unui pachet de algoritmi si programe

corespunzătoare.

În domeniul analizei şi sintezei mecanismelor transmisiilor există

probleme mari. Este vorba în primul rând de necesitatea dezvoltării

ulterioare a sintezei angrenajelor cu roţi dinţate, în special a celor

spaţiale. E necesară de asemenea dezvoltarea continuă a teoriei şi

metodelor proiectării reductoarelor complexe cu roţi dinţate cu scheme

planetare şi diferenţiale. Se dezvoltă rapid şi metoda sintezei

transmisiilor armonice. Aproape toate ramurile industriei au nevoie de

mecanisme rezistente cu schimbarea continuă a funcţiilor de transfer.

Trebuie să se dezvolte teoria mecanismelor, care efectuează mişcări cu

opriri de tipul mecanismului cu cruce de Malta, cu clichet, cu pârghii

ş.a.

Problema privind sinteza sistemului mecanism de acţionare -

mecanism acţionat, una din sarcinile principale ale teoriei

mecanismelor şi maşinilor, trebuie să fie soluţionată pe baza folosirii

algoritmilor de calcul moderni şi a tehnicii de calcul. Aceasta se referă

în primul rând la cele mai răspândite sisteme, în care se utilizează

mecanismul de acţionare hidraulic sau pneumatic cu mişcare liniară sau

de rotaţie. În ceea ce priveşte alegerea structurii optime a sistemului, la

primele etape trebuie să mizăm pe cunoştinţele şi experienţa

proiectantului, care cresc rapid în condiţiile folosirii pe larg a dialogului

„om-calculator”, comparării diferitelor structuri cu parametri optimi

(dar nu cu parametri aleşi arbitrar), acumulării informaţiei asupra

posibilităţilor maxime ale variantelor analizate.

În ultimii ani au crescut simţitor vitezele de lucru ale maşinilor,

ceea ce a dus nu numai la creşterea solicitărilor dinamice ale

elementelor mecanismelor şi organelor de lucru ale maşinilor, ci şi la

15

creşterea considerabilă a nivelului vibraţiilor şi a zgomotului generat de

vibraţii. Vibraţiile însoţesc lucrul oricărei maşini, de aceea în ultimii ani

problema protecţiei maşinilor de vibraţii şi reducerii nivelului de

zgomot al maşinilor de asemenea se studiază în cursul de teorie a

maşinilor şi a mecanismelor. În acest caz trebuie să accentuăm că

studierea dinamicii sistemului "om – maşină – mediu" de asemenea

devine obiectul de studiu al teoriei maşinilor şi mecanismelor. Această

problemă este deosebit de actuală pentru elaborarea mijloacelor

eficiente de protecţie a omului-operator de vibraţii, care conduce

mijloace moderne de transport şi aparate de zbor rapide, precum şi

maşini cu principiu vibratoriu de funcţionare. În aceste maşini efectele

de rezonanţă şi de vibraţie permit construirea unor maşini de înaltă

productivitate pentru prelucrarea rocilor dure, mărunţirea prin vibraţii,

amestecarea prin vibraţii, separarea prin vibraţii, transportarea prin

vibraţii a mediului friabil, formarea prin vibraţii, laminarea prin vibraţii

a articolelor de beton armat ş.a.

Ameliorarea caracteristicilor energetice, de forţă şi de viteză ale

maşinilor cu funcţionare automată, cerinţele înalte faţă de precizia şi

fiabilitatea acestora condiţionează dezvoltarea în viitorul apropiat a

metodelor de cercetare dinamică şi calcul a maşinilor atât în regim

static, cât şi în regim tranzitoriu. Studierea regimurilor instabile au o

importanţă deosebită pentru maşinile de transport, maşinile de ridicat

încărcături, maşinile cu vibraţii etc.

O mare importanţă pentru tehnică are dezvoltarea dinamicii

maşinilor cu masă variabilă a elementelor, de exemplu, la cercetarea

maşinilor tehnologice cu masa variabilă a obiectului prelucrat:

transportoare, maşini de încărcare–descărcare, maşini de tipărit, maşini

de bobinat. Însă nu numai masele pot fi variabile, ci şi structura

mecanismelor în unele cazuri poate să se schimbe.

Un rol deosebit în dezvoltarea dinamicii maşinilor îl joacă

problemele vibraţiilor. Pe de o parte, este vorba de problemele luptei

cu vibraţiile prin crearea construcţiilor de maşini şi mecanisme

rezistente la vibraţii, pe de altă parte, de folosirea efectului de rezonanţă

al vibraţiilor pentru executarea diferitelor procese tehnologice şi

crearea unor noi mecanisme vibratoare, care posedă caracteristicile

cinematice necesare.

După cum s-a menţionat, vibraţiile însoţesc lucrul tuturor maşinilor

şi deseori devin cauza care reţine progresul de mai departe în diferite

ramuri ale tehnicii. Astfel, de exemplu, creşterea vitezei maşinilor

rotative este limitata de rezistenta la vibraţii a rotorului şi a lagărelor cu

16

rulmenţi, creşterea puterii turbinelor cu abur şi gaz – de vibraţiile

paletelor ultimelor trepte, crearea elicopterelor de mare putere – de

vibraţiile paletelor de lucru, ridicarea preciziei maşinilor-unelte de

aşchiere a metalelor – de vibraţiile sculei aşchietoare şi ale batiului,

crearea sistemelor cu comandă autonomă de înaltă precizie şi fiabilitate

– de vibraţiile unor elemente separate ale acesteia.

Vibraţiile provoacă tensiuni mari în construcţii, ceea ce duce la

deteriorări şi distrugeri, în special cu caracter de oboseală, şi, ca

rezultat, la accidente serioase.

Vibraţiile sunt sursele zgomotului dăunător: zgomotul acţionează

nociv nu numai asupra omului, ci generează şi aşa numita oboseala

acustică a materialului. Vibraţiile denaturează mişcarea principală a

elementelor maşinilor, mecanismelor şi sistemelor de comandă după

legi cinematice prescrise, generează instabilitatea legii de mişcare date

şi deseori duc la oprirea întregului sistem.

Vibraţiile maşinilor influenţează direct asupra fiziologiei omului,

reduc activitatea lui funcţională şi capacitatea de lucru, lezează unele

sisteme ale organismului viu.

Totodată vibraţiile de intensitate limitată şi timp reglementat de

acţiune pot exercita o influenţă pozitiva asupra organismului viu. Sunt

cunoscute metodele stimulării cu vibraţii, masajului cu vibraţii, acţiunii

fiziologice eficiente a vibraţiilor în scopuri medicale cu utilizarea

mecanismelor şi instalaţiilor vibratoare speciale. În această direcţie se

deschid perspective largi pentru cercetări noi.

Tipul nou de maşini, în care vibraţiile joacă un rol pozitiv, poartă

denumirea de maşini cu principiu vibrator de funcţionare. În ultimii ani

acestea sunt aplicate în cele mai diverse ramuri ale tehnicii datorita

eficienţei economice condiţionate de folosirea efectului de rezonanţă.

Maşinile, aparatele, instalaţiile şi standurile cu principiu vibrator de

funcţionare execută cele mai diferite procese tehnologice.

Ştiinţa despre vibraţii studiază metodele de recepţionare, măsurare

şi micşorare posibilă a intensităţii lor. Pe lingă aceasta, ea elaborează

metode de determinare a urmărilor vibraţiilor, când nu este posibilă

suprimarea lor deplină, de exemplu calculul amplitudinii vibraţiilor

pentru stabilirea fiabilităţii maşinilor din condiţiile acumulării

confirmării informaţiilor despre obosirea materialului, metodele de

izolare a zgomotului, precum şi metodele de determinare a dozelor

permise de acţiune a solicitărilor dinamice. Pentru obţinerea informaţiei

despre starea maşinilor ale unui sau altui agregat vibraţiile joacă rolul

17

celor mai veridice mijloace diagnostice, permit evitarea situaţiilor de

accident.

O importanţă mare capătă studierea şi prognozarea resursei

maşinilor, adică a termenului lor de funcţionare până ajung la starea

când utilizarea ulterioara a acestora este inadmisibila. După criteriul

rezistenţei resursa se determină pur şi simplu prin distrugere (în

construcţia de maşini – în special prin distrugerea prin oboseală), după

criteriul zgomotului sau creşterii vibraţiilor – după norma

amplitudinilor admisibile etc. Vibraţiile sunt aproape unicul mijloc,

care permite evaluarea preliminară şi veridică a resursei de lucru a

maşinii prin cercetarea schimbării ei in timp, fără a permite situaţiile de

accident.

O altă problemă a dinamicii maşinilor cu un impact social

important este dinamica acustică a maşinilor, adică studierea cauzelor

şi surselor efectelor sonore în maşini şi elaborarea problemelor

dinamicii maşinilor, legate de localizarea totală sau parţială a

zgomotului de anumite niveluri. Dezvoltarea metodelor matematice

moderne şi a tehnicii electronice de calcul au permis soluţionarea unei

serii de probleme indicate mai sus, însă trebuie să muncim mult în

direcţia perfecţionării ulterioare a metodelor, apropierii continue a

matematicii moderne de teoria mecanismelor şi maşinilor.

Considerarea elasticităţii elementelor în maşini a permis să fie

descoperite fenomenele vibratoare în lanţurile cinematice complicate şi

să fie stabilite solicitările reale pentru elemente şi cuple cinematice, să

se dea recomandări privind reglarea în urma rezonanţelor şi să

amortizeze vibraţiile care apar, să soluţioneze sarcinile preciziei legii

date de mişcare a mecanismului. În legătura cu crearea maşinilor rapide,

metodele echilibrării automate vor căpăta o importantă dezvoltare în

viitor.

În ultimul deceniu a crescut interesul faţă de teoria mecanismelor

spaţiale, inclusiv faţă de dinamica acestora, deoarece aceste mecanisme

sunt utilizate pe scară tot mai largă, în special în problemele legate de

introducerea în producţie a roboţilor şi manipulatoarelor, de cuplarea

obiectelor cosmice. În această ramură sunt elaborate metodele de

descriere a muscarii mecanismelor spaţiale cu câteva grade de

mobilitate, analiza lor prin forţă, sunt soluţionate unele probleme de

echilibrare şi oscilare a acestor sisteme.

Ca întotdeauna, problema cea mai importanta a teoriei maşinilor şi

mecanismelor va fi dezvoltarea metodelor experimentale de studiere a

parametrilor diferitelor maşini şi mecanisme. În acest caz o

18

însemnătate deosebită vor căpăta cercetările experimentale ale

sistemelor de maşini cu funcţionare automată în condiţiile de

funcţionare a acestora cu înregistrare şi prelucrarea automată la

calculator a informaţiei experimentale primite. Se prevede un progres

rapid în dezvoltarea aparatajului pentru cercetări dinamice, care este

determinat de sarcinile automatizării şi dictat de specificul desfăşurării

rapide în timp a proceselor dinamice ale maşinilor moderne, luate ca

obiecte de cercetare. O particularitate deosebită a cercetărilor dinamice

contemporane este caracterul lor complex. Ele se efectuează pe larg atât

cu obiectele în natură (în condiţii de laborator, de producte şi de

exploatare), cât şi prin metodele modelarii matematice cu utilizarea

calculatoarelor. Au căpătat o dezvoltare largă metodele de planificare a

experimentului, care asigură exactitatea necesară a informaţiei primite.

Dezvoltarea dinamicii experimentale a pregătit condiţiile pentru

elaborarea şi perfecţionarea metodelor de control şi diagnosticare a

instalaţiilor automate, care funcţionează în industrie. Elaborarea

metodelor de diagnosticare tehnică pentru maşinile-automate, roboţii

industriali şi manipulatoare, motoare, aparate de zbor se bazează pe

evidenţierea criteriilor obiective ale calităţii, care determina capacitatea

de lucru şi, concomitent, simptomele stărilor defectuoase ale

mecanismelor.

19

PP AA RR TT EE AA II

METODELE GENERALE DE DETERMINARE A PARAMETRILOR CINEMATICI ŞI DINAMICI AI MECANISMELOR, MAŞINILOR ŞI SISTEMELOR

DE MAŞINI

CC aa pp ii tt oo ll uu ll 22

STRUCTURA MECANISMELOR

Mecanismul este un sistem de corpuri solide. De aceea mecanismele

au atât o structură simplă, cât şi o structură destul de complexa şi diferită.

Prin structura mecanismului se determină următoarele caracteristici

principale: tipurile de mişcări efectuate, metodele de transformare a

acestora, numărul gradelor de libertate. Construirea mecanismelor, adică

unirea părţilor lui separate într-un sistem unic, este însoţită de anumite

restricţii. Distribuirea lor justă în structura mecanismului determină în

mare măsură exploatarea sigură a acestuia. De aceea în procesul

proiectării trebuie să determinăm din mulţimea de mecanisme diferite

varianta optimă, şi să alegem just principalele elemente structurale. Iar

pentru aceasta trebuie să cunoaştem mai întâi toate tipurile principale de

mecanisme moderne, caracteristicile structurale, legităţile structurii

acestora.

§ 2.1 Noţiuni de bază /-j, Corpurile solide, din care se construieşte mecanismul, se numesc

e 1 e m e n t e c i n e m a t i c e. Corpurile solide pot fi atât absolut

solide, cât şi corpuri deformabile şi elastice. În teoria mecanismelor

lichidele şi gazele nu se consideră elemente cinematice. Elementul

cinematic este o piesă sau un ansamblu din câteva piese, unite intr-un

sistem unitar din punct de vedere cinematic. Elementele se deosebesc

după criterii constructive (arborele cotit, biela, pistonul, roata dinţată

etc.) şi după caracterul mişcării acestora. De exemplu, elementul care

20

efectuează o rotaţie completă în jurul axei fixe se numeşte manivelă, în

cazul rotaţiei incomplete – se numeşte balansier (pârghie oscilantă).

Fig. 2.1 Elementul, care efectuează o mişcare rectilinie de translaţie se numeşte

culisă etc. Elementul fix este numit batiu. Noţiunea de imobilitate a

batiului pentru mecanismele maşinilor de transport, în special, ale

aparatelor de zbor, este convenţională, deoarece în acest caz batiul

propriu–zis se mişcă. Astfel, de exemplu, în fig. 2.1, a este prezentata o

maşină energetică - motor cu ardere interna (M. A. I.), în care mişcarea

de translaţie a pistonului 3 (după caracterul mişcării/culisă) sub acţiunea

21

forţei de presiune a gazelor în cilindrul 4 (elementul fix–batiul) se

transformă cu ajutorul bielei 2 în mişcare de rotaţie a arborelui cotit

(manivelei) 1, la care este aplicată o oarecare solicitare (momentul

forţelor de rezistenţă). În fig. 2.1, b este prezentată schema structurala a

mecanismului M. A. I.

C u p 1 ă c i n e m a t i c ă (prescurtat – c u p 1 ă) se numeşte legătura

mobilă a două elemente ce se află în contact permanent (fig. 2.2).

Ansamblul de suprafeţe, linii şi puncte ale elementului care se află în

contact cu alt element al cuplei se numeşte e l e m e n t u l cuplei.

Pentru ca elementele cuplei să se găsească în contact permanent, cupla

trebuie să fie geometric închisa (pe seama formei constructive a

elementelor) sau prin metoda de forţă (forţa de greutate, arcul, forţa de

presiune a lichidului sau gazului ş.a.m.d.).

Cuplele cinematice în mare măsură determină capacitatea de muncă

şi fiabilitatea maşinii, deoarece prin acestea se transmit forţele de la un

element la altul. În cuplele cinematice, datorită mişcării relative, apare

frecarea, elementele cuplei se afla în stare tensionată şi în proces de

uzare. Astfel, de exemplu, în procesul funcţionarii mecanismului

M.A.I. prezentat in fig. 2.1. a, se uzează cămaşa cilindrului şi segmenţii

pistonului, fusul de palier A şi fusul de bielă B al arborelui cotit 1

ş.a.m.d. De aceea alegerea justă a tipului cuplei cinematice, a formei ei

geometrice, dimensiunilor, materialelor de construcţie şi lubrifianţilor

are o însemnătate mare la proiectarea maşinilor. Un sistem de elemente,

care formează între ele cuple cinematice, se numeşte 1 a n ţ c i n e m a

t i c. Lanţurile cinematice se împart în închise şi deschise. În lanţul

cinematic închis fiecare element face parte din cel puţin două cuple

cinematice. În lanţul cinematic deschis sunt elemente care fac parte

numai dintr-o cuplă cinematica. Folosind termenul "lanţ cinematic", se

poate formula următoarea definiţie a mecanismului: m e c a n i s m u l

este un lanţ cinematic, din care face parte elementul fix (batiu) şi al cărui

număr de grade de libertate este egal cu numărul coordonatelor

generalizate, care caracterizează poziţia lanţului faţă de batiu. De

exemplu, în schema mecanismului manivela-piston M.A.I cu un grad de

libertate ( W = 1) (fig. 2.1,b) este prezentată o coordonată generalizata a

mecanismului în formă de coordonată unghiulară φi a elementului 1;

derivata φ1= ω1, — viteza unghiulara a elementului 1.

Imobilitatea elementului este prezentată în scheme prin haşurare. Se

disting elemente de intrare (motoare) şi de ieşire (conduse) ale

mecanismului. Elementul care efectuează mişcarea, pentru care e

destinat mecanismul, este numit element de i e ş i r e. Elementul, căruia i

22

se comunică mişcarea, transformată de către mecanism în mişcarea

necesară a elementului de ieşire, se numeşte element de i n t r a r e.

Numărul elementelor de intrare de obicei este egal cu numărul gradelor

de libertate ale mecanismului, adică cu numărul coordonatelor

generalizate, însă este posibilă şi necoincidenţa acestora.

În cazul reprezentării mecanismului pe desen se folosesc schema

s t r u c t u r a l ă ( p r i n c ip i a l ă ) cu utilizarea semnelor convenţionale

ale elementelor şi cuplelor (fără indicarea dimensiunilor elementelor) şi

schema c i n e m a t i c ă cu dimensiunile necesare pentru calculul

cinematic. În scheme elementele se notează prin cifre, iar cuplele şi

diversele puncte ale elementelor – prin litere, de exemplu în fig. 2.1, b:

A – cuplă de rotaţie 1-4; S2 – centrul de greutate al bielei 2.

§ 2.2 Clasificarea cuplelor cinematice

Cuplele cinematice se clasifică (după Reuleaux) după caracterul

contactului elementelor în cuple inferioare şi superioare. Cupla este

i n f e r i o a r ă, dacă elementele au contact pe o suprafaţă. Dacă

elementele au contact după o linie sau după un punct, cupla este numita

s u p e r i o a r ă. În acest caz contactul liniar sau punctual este înţeles ca

iniţial — la contactul elementelor fară aplicarea forţei. La aplicarea

forţei elementele ce constituie cupla superioară vor face contact pe o

oarecare suprafaţă reală, numita pată de contact.

Cuplele cinematice se clasifică după numărul H al g r a d e 1 o r de

l i b e r t a t e în mişcarea relativă a elementelor (mobilitatea cuplei) şi

după numărul S de r e s t r i c ţ i i (condiţii de legătură), aplicate de cuplă

asupra mişcării unui element faţă de altul (după I. I. Artobolevskij) [1].

În acest caz se presupune că toate legăturile sunt geometrice. Ele aplică

restricţii numai asupra coordonatelor punctelor elementului care intră în

cupla cinematică în mişcarea lui relativă.

Deoarece pentru corpul liber numărul gradelor de libertate în spaţiu

este egal cu şase, mărimile H şi S sunt legate prin relaţia 𝐻 = 6 − 𝑆,

unde S = 1, 2, 3, 4 sau 5. Când, 𝑆 = 0, cupla nu există, însă avem doua

corpuri care se mişcă independent unul faţă de altul. Când 𝑆 = 6, cupla

cinematica devine o asamblare rigidă de piese, adică operăm cu un

singur element. După mărimea S se determină clasa cuplei cinematice:

exista cuple monomobile (de clasa V, 𝐻 = 1, 𝑆 = 5); bimobile (de

clasa IV, 𝐻 = 2, 𝑆 = 4 ), trimobile (de clasa III, 𝐻 = 3, 𝑆 = 3 ),

cuadrimobile (de clasa II, 𝐻 = 4, 𝑆 = 2) şi pentamobile (de clasa I,

23

𝐻 = 5, 𝑆 = 1 ). Mai jos sunt prezentate câteva exemple de cuple

cinematice şi reprezentările lor convenţionale în schemele structurale.

C u p 1 a de r o t a ţ i e (fig. 2.2, a) – monomobilă (notaţie

convenţională 1r) permite numai mişcarea relativă de rotaţie a

elementelor în jurul axelor (este indicată cu sageată); elementele 1 , 2

fac contact pe o suprafaţă cilindrică; deci operăm cu o cuplă inferioară

geometric închisă. Rolul de cuplă inferioară îl joacă şi o construcţie mai

complexă, de exemplu, rulmentul.

Fig. 2.2 C u p l ă de t r a n s 1 a ţ i e (fig. 2.2, b) – monomobilă (notaţie

convenţională 1t), inferioară, geometric închisă, permite numai

mişcarea rectilinie de translaţie relativă a elementelor.

C u p 1 a c i 1 i n d r i c ă (fig. 2.2, c) – bimobilă (2 c), inferioară,

geometric închisă, permite două mişcări relative independente ale

elementelor – de rotaţie şi de translaţie.

C u p 1 a s f e r i c ă (fig. 2.2, d ) – trimobilă (3 c ), permite trei

mişcări relative independente de rotaţie a elementelor în jurul axelor x,

y, z. Cupla este inferioară, geometric închisă. În fig. 2.3, a este prezentat

exemplul construcţiei cuplei sferice, utilizată în prese. În unele

mecanisme (roboţi industriali, manipulatoare) articulaţia sferică între

24

elementele 1 şi 2 este înlocuită cu un ansamblu cinematic de două

elemente suplimentare şi trei cuple de rotaţie (fig. 2.3, b).

Exemple de cuple cvadri – şi pentamobile şi semnele lor

convenţionale (4l şi 5p) sunt prezentate în fig. 2.2, e, f. Mişcările

relative independente posibile ale elementelor (de rotaţie şi translaţie)

sunt indicate prin săgeţi. Acestea sunt cuple superioare, deoarece

elementele fac contact l i n i a r (sferă în cilindru) şi p u n c t u a l (sferă

pe plan). Cupla 4l este geometric închisă, iar cupla 5p necesita

închidere prin forţă.

Fig. 2.3

Unul din avantajele cuplelor cinematice inferioare în comparaţie cu

cele superioare este posibilitatea transmiterii unor forţe mari, deoarece

suprafaţa de contact a elementelor adiacente ale cuplei inferioare poate fi

destul de însemnată. Folosirea cuplelor superioare permite reducerea

frecării în maşini (de exemplu rulmenţii) şi realizarea celor mai diverse

legi de mişcare a elementului condus al mecanismului prin modelarea

elementelor care formează cupla superioară.

25

§ 2.3 Tipuri de mecanisme şi schemele lor structurale

Mecanismele se clasifică după diferite criterii şi în primul rând se

împart în mecanisme cu cuple inferioare şi superioare. Ambele grupe pot fi

plane şi spaţiale. Mecanismul, în care toate punctele mobile se mişcă în

plane paralele, se numeşte mecanism p l a n. Mecanismul este s p a ţ i a

l, dacă punctele mobile ale elementelor lui descriu traiectorii spaţiale sau

traiectorii care se găsesc în plane ce se intersectează.

Cele mai răspândite mecanisme cu cuple inferioare sunt

mecanismele cu bare (pârghii), cu pene, cu şuruburi; cu cuple

superioare – mecanisme cu camă, cu roti dinţate, de fricţiune, cu cruce

de Malta şi cu clichet. În denumirile unor mecanisme sunt reflectate

criteriile lor constructive şi caracterul mişcării elementelor

conducătoare şi conduse. De exemplu, termenul "mecanismul

bielă-manivelă-piston" înseamnă că mecanismul transformă mişcarea

de rotaţie continuă a elementului de intrare (manivela) în mişcare de

translaţie alternativă a elementului de ieşire (pistonului). În denumirea

mecanismelor uneori se ţine seama de numărul gradelor de libertate ale

mecanismului. De exemplu, sunt cunoscute noţiunile de "reductor cu

roti dinţate" – mecanism cu roţi dinţate cu un grad de mobilitate, şi

"diferenţial cu roţi dinţate" – mecanism cu două (sau mai multe) grade

de mobilitate. Mecanismele se clasifică de asemenea şi după destinaţia

lor: "mecanismul bielă–manivelă–piston al compresorului cu piston",

"mecanismul cu camă al motorului ş.a.m.d. Mai jos sunt prezentate

câteva exemple de mecanisme, utilizate la diferite maşini.

Exemple de mecanisme plane cu cuple inferioare.

M e c a n i s m u l b i e l ă–m a n i v e l ă–p i s t o n (fig. 2.1: a –

construcţia; b – schema) este unul dintre cele mai răspândite

mecanisme. El este mecanismul de bază în maşinile cu piston (motoare

cu ardere internă, compresoare, pompe), în maşinile de forjat şi în prese

ş.a.m.d. În fig. 2.1, c este prezentată schema mecanismului

bielă–manivelă–piston excentric.

Mecanismul cu 4 elemente articulate (fig. 2.4, a) serveşte pentru

transformarea unui tip de mişcare de rotaţie în altul şi poate fi funcţie de

dimensiunile elementelor mecanism manivelă-piston, mecanism cu

doua manivele şi cu doua pistoane. Se utilizează în prese şi maşini de

În locul termenului ”numărul gradelor de libertate ale mecanismului” se aplică de asemenea

termenii ”gradul de mobilitate al mecanismului ” [1] şi ”mobilitatea mecanismului” [7].

26

Fig. 2.4

forjat, în conveiere oscilante, laminoare, ambreiaje, aparate etc. În fig.

2.4, a elementul 1 este manivelă, 2 – bielă, 3 – piston, 4 – batiu.

Mecanismul cu 4 elemente articulate este utilizat şi pentru cazul când

unul din punctele lui trebuie să se mişte pe o traiectorie stabilită. De

exemplu, în fig. 2.4, b este reprezentată schema structurală a

mecanismului cu doua pistoane al macaralei.

M e c a n i s m u l c u c u 1 i s ă serveşte pentru transformarea unui

fel de mişcare de rotaţie (elementul 1) în altul (elementul 3, fig. 2.4, c)

27

Fig. 2.5

28

Fig. 2.6

sau a unei mişcări de rotaţie continue (elementul 1) în mişcare de

translaţie alternativă (elementul 5 în fig. 2.4, e). Astfel de mecanisme cu

culisă cu patru sau şase elemente se folosesc în raboteze şi morteze, în

pompe cu piston şi compresoare, mecanisme cu acţionare hidraulică,

aparate ş.a.m.d. De obicei, culisa este numită elementul cu canal, în care

se mişcă pistonul 2. Culisa 3 poate fi oscilantă, rotativa sau care descrie

o mişcare de translaţie alternativa.

29

În mecanisme cu acţionare hidraulică se utilizează o varietate de

mecanisme cu culisă, în care pistonul este înlocuit cu un cilindru cu

pistonul. În fig. 2.4,e este prezentată schema structurala a mecanismului

cu culisă cu şase elemente şepingului, în care mişcarea continuă de

rotaţie a elementului de intrare (a manivelei 1) se transformă prin

intermediul elementelor 2, 3, 4 în mişcare de translaţie alternativă a

elementului de ieşire (pistonul 5 cu portcuţit); elementul 6 – partea fixa a

maşinii-unelte (batiul).

Exemple de mecanisme spaţiale cu cuple inferioare. În fig. 2.5

sunt prezentate: a, b – modelul şi schema m e c a n i s m u l u i c u 4

e 1 e m e n t e ABCD (elementul 1 – manivela, 2 – biela, 3 –

piston, 4 – batiu); c, d – modelul şi schema m e c a n i s m u l u i

m a n i v e 1 ă-p i s t o n (elementul 1 – manivela, 2 – biela, 3 – piston,

4 – batiu); e , f – modelul şi schema m e c a n i s m u l u i c u

a r t i c u l a ţ i e universală (articulaţie cardanică), acest mecanism

serveşte pentru transmiterea mişcării de rotaţie între arbori, axele cărora

se intersectează şi se utilizează larg în construcţia în automobilelor,

maşini-unelte, aparate (elementele de intrare şi ieşire 1, 3 sunt executate

în formă de furci, elementul 2 – în forma de cruce, elementul 3 – batiul;

O – punctul de intersecţie a axelor); g – schema structurala a

m e c a n i s m u l u i cu b a r e a unui tip de robot industrial,

acesta este un mecanism cu lanţ cinematic deschis ABCDEF

(elementele 1–5 sunt mobile, 6 – batiul, F – apucătorul). În prezent

roboţii industriali se aplică tot mai larg la executarea celor mai diferite

operaţii tehnologice şi auxiliare: de asamblare, de sudare, de vopsire, de

încărcare etc.

Exemple de mecanisme (plane şi spaţiale) cu cuple superioare. Cele mai răspândite sunt mecanismele cu roţi dinţate, cu camă, cu

fricţiune, cu cruce de Malta şi cu clichet. În transmisiile cu roti dinţate se

întâlnesc angrenaje exterior (fig. 2.6, a), interior (fig. 2.6, b ) şi cu

cremalieră (fig. 2.6, c); elementul 1

- pinionul, 2 – roata dinţată (sau

cazul particular al roţii —

cremalieră). În funcţie de poziţia

relativă a axelor roţilor angrenajele

pot fi cu axe paralele (angrenaje

cilindrice) (fig. 2.6, a ,b ) , cu axe

concurente (angrenaje conice) (fig.

2.6, g ) şi cu axe încrucişate sau

angrenajele hiperboloide, ale căror Fig. 2.7

30

variante sunt angrenajul elicoidal

(fig. 2.6, e ) , cu melc (fig. 2.6, f )

şi angrenaj hipoid (fig. 2.6, d ) [2].

În angrenajul elicoidal elementele

1, 2 – roţi cilindrice; în angrenajul

melcat – elementul 1 este melcul,

2 – roata melcată; în angrenajul

hipoid elementele 1 şi 2 sunt roţi

dinţate conice. Se folosesc pe larg

a n g r e n a j e l e cu r o ţ i d i n ţ

a t e cu m u l t e e le m e n t e:

reductoare (fig. 2.7, a) şi

mecanisme planetare cu roti

dinţate (fig. 2.7, b ). În

componenta reductorului planetar

se includ nu numai rotile 1 şi 4 cu

axe fixe, dar şi rotile 2, 3 cu axe ce

se mişcă pe circumferinţă.

În ultimul timp în structura

aparatelor şi sistemelor de

comandă îşi găsesc o largă

utilizare a n g r e n a j e 1 e a

r m o n i c e cu elemente elastice,

care permit rapoarte de transmitere

mari, o precizie cinematică înaltă

şi transmiterea mişcării mecanice

prin perete ermetic. În acest caz

(fig. 2.8) roata dinţată elastica 1

este fixată ermetic pe perete.

Transmiterea mişcării se

efectuează de la generatorul de

unde 3 prin roata dinţată elastica 1

la roata rigida 2. Acest tip de

transmisie este raţional pentru

dirijarea agregatelor în cosmos, în

industria electronică, atomică şi

chimică (vezi Kuklin V. B.,

Shuvalova L. S. Volnovye

zubchatye peredachi. M., 1971).

În m e c a n i s m e l e

Fig. 2.8

Fig. 2.9

31

cu c a m ă p l a n e şi s p a ţ i a 1 e, utilizate larg la diferite maşini,

maşini–unelte şi aparate, cupla superioară este formată din elemente,

numite camă şi tachet (elementele 1 şi 2 în fig. 2.9. Închiderea cuplei

superioare poate fi obţinută prin forţă (de exemplu cu ajutorul arcului 5 –

în fig. 2.9, b) sau geometric (rola 3 a tachetului 2 în canalul camei 1 in

fig.2.9, a). Forma elementului de intrare a camei determină legea

mişcării elementului de ieşire – a tachetului. Rola se utilizează pentru a

micşora frecarea în mecanism prin substituirea frecării de alunecare în

cupla superioară cu frecarea de rostogolire. În fig. 2.9, a mişcarea de

rotaţie a elementului de intrare (cama 1) se transformă în mişcare de

translaţie alternativă a elementului de ieşire (tachetul 2). În mecanismul

prezentat în fig. 2.9, b, tachetul 2 este un mecanism cu pârghie oscilantă,

care efectuează o mişcare de rotaţie în sens invers în jurul axei O. În fig.

2.9, c este prezentat modelul mecanismului spaţial cu cama cilindrică,

care se roteşte, şi cu tachet cu rolă de translaţie. Închiderea cuplei

superioare este geometrică. În fig. 2.1, a este prezentat un exemplu de

utilizare a mecanismului cu camă cu tachet oscilant cu rola 5 pentru

acţionarea supapei de evacuare 6, prin care se efectuează eliberarea

cilindrului motorului diesel de produsele de ardere.

În m e c a n i s m u l cu f r i c ţ i u n e transmiterea mişcării de

rotaţie se efectuează prin frecare între elementele care formează cupla

superioară. Mecanismul cu fricţiune simplu (fig. 2.10, a) este constituit

din doi cilindri circulari 1 şi 2, care se rotesc, şi batiul 3. Închiderea prin

forţă a cuplei superioare este efectuată cu ajutorul arcurilor 4.

Mecanismele cu fricţiune sunt utilizate şi în variatoare (fig. 2.10, b ) . În

Fig. 2.10

32

cazul vitezei unghiulare constante a discului 1, prin deplasarea roţii rolă

2 de-a lungul axei se poate modifica în mod continuu viteza ei

unghiulară şi chiar sensul mişcării. M e c a n i s m u l cu c r u c e de M a l t a ( f i g . 2.11) transformă

rotaţia continua a elementului de intrare – a manivelei în rotaţie

discontinua (cu opriri) a elementului de ieşire – a crucii 2. Mecanismul,

include de asemenea, batiul 3 cu cupla superioară, constituita din f u s u l

B a l manivelei şi canalul crucii.

M e c a n i s m u l c u c l i c h e t conducător şi batiul 4 (fig. 2.12)

serveşte pentru transformarea mişcării de rotaţie în sens invers a

pistonului 1 cu clichetul 2 în mişcare de rotaţie discontinuă (într-un sens)

a rotii dirijate 3. Clichetul 5 cu arcul 6 nu-i permit roţii să se rotească în

sens opus. Cupla superioară este constituită din clichet şi roată.

Mecanismul poate avea un element de intrare cu mişcare de translaţie

alternativă. Mecanismele cu cruce de Malta şi cele cu clichet se folosesc

larg în maşini-unelte şi aparate. Mecanismele examinate mai sus sunt

cele mai tipice. Descrierea mai multor mecanisme este prezentată în

îndrumare tehnice speciale (vezi Artobolevskij I.I. Mehanizmy, în 4

volume. M., 1947–1951; Kozhevnikov S.N. ş.a. Mehanizmy. Îndrumar.

M., 1976).

Fig. 2.11 Fig. 2.12

33

§ 2.4 Formulele structurale ale mecanismelor

Exista legităţi generale în structura celor mai diferite mecanisme,

care leagă numărul gradelor de mobilitate W ale mecanismului cu

numărul de elemente şi numărul şi tipul cuplelor cinematice ale acestuia.

Aceste legităţi poartă denumirea de f o r m u 1 e s t r u c t u r a l e

ale mecanismelor.

În prezent cea mai răspândita formulă pentru mecanismele spaţiale

este f o r m u l a l u i M a l y s h e v , care se deduce în felul

următor: fie în mecanismul care are m elemente (inclusiv batiul),

c1,c2,c3,c4,c5 – numărul cuplelor mono–, bi–, tri–, tetra– şi pentamobile.

Numărul elementelor mobile le notam prin 𝑛 = 𝑚 − 1 . Dacă toate

elementele mobile ar fi corpuri libere, numărul total de grade de libertate

ar fi egal cu 6𝑛. Însă fiecare cuplă monomobilă de clasa V introduce

asupra mişcării relative a elementelor, care formează o cupla, 5 restricţii,

fiecare cuplă de clasa IV – 4 restricţii ş. a. m. d. Deci numărul total de

grade de libertate, egal cu şase, se va micşora cu mărimea

,23456 54321

5

1

cccccci i

i

i

unde 𝑖 = 𝐻– mobilitatea cuplei cinematice, 𝑐𝑖 – numărul cuplelor, a

căror mobilitate este egala cu i. În numărul total de restricţii aplicate

poate fi inclus un număr oarecare q de aşa–numite 1eg ă t u r i p a s i ve,

fără a micşora mobilitatea mecanismului, transformindu-1 însă într-un

sistem static nedeterminat [7]. De aceea numărul de grade de mobilitate

ale mecanismului spaţial, egal cu numărul de grade de libertate ale

lanţului cinematic mobil faţă de batiu, se determină după următoarea

formula a lui Malîşev:

,23456 54321 qcccccnW

sau în forma prescurtată,

;665

1

i

ii qcinW (2.1)

dacă 𝑞 = 0, mecanismul este un sistem static determinat, dacă 𝑞 > 0 –

un sistem static nedeterminat.

Există o variantă a formulei (2.1) cu aplicarea clasei unei cuple cinematice: 𝑆 = 6 − 𝐻 [3,7].

34

În cazul general rezolvarea ecuaţiei (2.1) este o problemă dificilă,

deoarece nu sunt cunoscute W şi q. Metodele de soluţionare existente

sunt complicate şi nu se analizează în acest manual. Însă în particular,

daca W, egal cu numărul de coordonate generalizate ale mecanismului,

este determinat din considerente geometrice, din această formulă se

poate afla numărul legăturilor pasive (vezi Reshetov L.N.

Konstruirovanie racional’nyh mehanizmov, M., 1972)

5

1

66i

iicinWq (2.2)

şi soluţiona problema privind determinarea statică a mecanismului. În

caz că mecanismul este static determinat, se poate găsi (sau verifica) W.

Este important să remarcăm că în formulele structurale nu sunt

incluse dimensiunile elementelor, de aceea, când efectuăm analiza

structurală a mecanismelor, se poate considera că ele pot să difere (în

anumite limite). Daca mecanismul nu posedă legături pasive (q = 0 ),

mecanismul se asamblează fără deformarea elementelor care parca se

autoreglează. De aceea aceste mecanisme se numesc mecanisme cu

reglare automata [7]. Dacă legăturile pasive există ( q 0 ), asamblarea

mecanismului şi mişcarea elementelor acestuia devin posibile numai la

deformarea ultimelor.

Pentru mecanismele plane fără legături pasive f o r m u l a

structurala poartă numele lui P. L. C h e b y s h e v, care a propus-o

pentru prima data în anul 1869 pentru mecanismele cu pârghii cu cuple

de rotaţie monomobile. Actualmente formula lui Chebyshev se aplică

oricăror mecanisme plane şi se deduce, ţinând cont de legăturile pasive,

în felul următor, fie în mecanismul plan care are m elemente (inclusiv

batiul), 𝑛 = 𝑚 − 1 – numărul elementelor mobile, ci – numărul

cuplelor inferioare si cs – numărul cuplelor superioare. Dacă toate

elementele mobile ar fi corpuri libere ce efectuează mişcare plană,

numărul total de grade de libertate ar fi egal cu 3n. Însă fiecare cuplă

inferioară impune mişcării relative a elementelor, care formează o cupla,

doua restricţii, lăsând un grad de libertate, iar fiecare cuplă superioară

impune restricţii, lăsând 2 grade de libertate.

În numărul restricţiilor impuse poate fi inclus un oarecare număr qp

de legături pasive, înlăturarea cărora nu măreşte mobilitatea

mecanismului. Deci numărul gradelor de mobilitate ale mecanismului

plan, adică numărai gradelor de libertate ale lanţului cinematic mobil al

acestuia faţă de batiu, se determina după următoarea formula a lui

Chebyshev:

35

psip qccnW 23 . (2.3)

Dacă Wp este cunoscută, se poate determina numărul legăturilor pasive:

.23 sipp ccnWq (2.4)

Indicele "p" ne aminteşte despre mecanismul plan ideal, sau mai

exact de schema plană a acestuia, deoarece erorilor de fabricare

mecanismul plan este un mecanism spaţial.

Cu ajutorul formulei (2.1) se efectuează analiza structurală a

mecanismelor existente şi sinteza schemelor structurale ale unor

mecanisme noi.

§ 2.5 Analiza şi sinteza structurală a mecanismelor.

Influenţa legăturilor pasive asupra capacităţii

de funcţionare şi fiabilităţii maşinilor

După cum s-a arătat mai sus, în cazul dimensiunilor arbitrare (în

unele limite) ale elementelor mecanismul cu legături pasive ( q 0 ) nu

poate fi asamblat fără deformarea elementelor. De aceea astfel de

mecanisme necesită o precizie înaltă de execuţie, în caz contrar în

procesul asamblării elementele mecanismului se deformează ceea ce

duce la solicitarea cuplelor cinematice şi elementelor cu forţe

suplimentare considerabile (care depăşesc forţele exterioare pentru

transmiterea cărora mecanismul este

destinat). În cazul preciziei

insuficiente de execuţie a

mecanismului cu legături pasive

frecarea în cuplele cinematice poate

să crească simţitor şi să ducă la

blocarea elementelor, de aceea din

acest punct de vedere legăturile pasive în mecanisme sunt nedorite.

Însă într-o serie de cazuri se proiectează şi se construiesc conştient

mecanisme static nedeterminate cu legături pasive pentru asigurarea

rigidităţii şi rezistenţei necesare a sistemului, mai ales la transmiterea

unor sarcini mari. Se disting legături pasive în cuplele cinematice şi în

lanţurile cinematice ale mecanismului. Astfel, de exemplu în fig. 2.13

arborele cotit al motorului cu ardere internă cu 4 cilindri formează

împreună cu rulmentul A o cuplă de rotaţie monomobilă, ceea ce este

Fig. 2.13

36

suficient din punctul de vedere al cinematicii mecanismului dat cu un

grad de mobilitate (W=1). Însă, luând în consideraţie lungimea mare a

arborelui şi sarcinile considerabile, care încarcă arborele cotit, sunt

necesari încă doi rulmenţi A şi A , în caz contrar sistemul nu va

funcţiona din cauza rezistenţei şi rigidităţii insuficiente. Dacă aceste

cuple de rotaţie devin cilindrice bimobile, atunci în afara de cinci

restricţii de bază vor fi aplicate 4 ∙ 2 = 8 legături pasive ( q = 8 ). În

acest caz va fi necesara o precizie înaltă de execuţie pentru asigurarea

coaxialităţii celor trei reazeme, în caz contrar arborele se va deforma

simţitor şi în materialul arborelui şi celor 4 rulmenţi pot apărea tensiuni

înalte inadmisibile. J

În ceea ce priveşte legăturile pasive în lanţurile cinematice ale

mecanismului în procesul proiectării maşinilor acestea trebuie să fie

înlăturate. Dacă excluderea totală a acestora nu este convenabilă din

cauza complicării construcţiei sau din alte considerente, trebuie să

rămână un număr minim. În cazul general soluţia optimă trebuie căutată,

luând în consideraţie existenţa instalaţiilor tehnologice necesare, preţul

execuţiei, durabilitatea şi fiabilitatea necesară a maşinii. Deci, aceasta

este o problemă de optimizare foarte complicată pentru fiecare caz

concret.

Metodica determinării şi înlăturării legăturilor pasive în lanţurile

cinematice ale mecanismelor va fi examinată pe bază de exemple.

Fie mecanismul plan cu 4 elemente şi cu 4 cuple de rotaţie

monomobile (W = 1, n = 3, c = 4, fig. 2.14, a), în urma erorilor de

execuţie (de exemplu, din cauza că axele A şi D nu sunt paralele) devine

Fig. 2.14

spaţial. Asamblarea lanţurilor cinematice 4, 3, 2 şi separat 4, 1 nu este

dificila şi punctele B, B' pot fi amplasate pe axa x. Însă asamblarea cuplei

cinematice B formată din elementele 1 şi 2 va fi posibilă numai prin

suprapunerea sistemelor de coordonate Bxyz si B'x'y'z', fiind necesară o

37

mişcare liniară (deformare) a punctului B' a elementului 2 de-a lungul

axei x şi deformările unghiulare ale elementului 2 în jurul axelor y şi z

(sunt indicate prin săgeata). Aceasta înseamnă că în mecanism există trei

legături pasive, ceea ce este confirmat şi din formula (2.2): 𝑞 = 1 − 6 ∙3 + 5 ∙ 4 = 3.

Pentru ca mecanismul spaţial dat să fie static determinat, este

necesară o altă schema structurală, de exemplu, cea reprezentată în fig.

2.14, b, unde W=1, c1=2, c2=1, c3=1. Asamblarea unui asemenea

mecanism se efectuează fără deformări, deoarece suprapunerea

punctelor B şi B va fi posibilă datorită deplasării punctului C în cupla

cilindrică.

Este posibilă varianta mecanismului (fig. 2.14, c) cu două cuple

sferice (c1=2, c3=2). În acest caz, pe lângă m o b i l i t a t e a d e

b a z ă a mecanismului Wb = 1 apare aşa–numita m o b i l i t a t e

l o c a l a Wl = 1 – posibilitatea rotirii bielei 2 în jurul axei BC.

Această mobilitate nu influenţează asupra legii fundamentale a mişcării

mecanismului şi poate fi chiar utilă din punctul de vedere al

uniformizării uzării articulaţiilor; în procesul funcţionarii mecanismului

biela 2 poate să se rotească spontan în jurul axei sale datorită solicitărilor

dinamice variabile şi vibraţiilor. Deci, 𝑊 = 𝑊𝑏 + 𝑊𝑙 = 2 şi formula lui

Malyshev confirmă că un astfel de mecanism va fi static determinat:

𝑞 = 2 − 6 ∙ 3 + 5 ∙ 2 + 3 ∙ 2 = 0. Uneori este necesar a lua în consideraţie şi aşa–numita

m o b i l i t a t e de g r u p a elementelor. De exemplu, în

mecanismul cu acţionare hidraulică (fig. 2.4, d) în cazul când cuplele B

şi C sunt sferice, elementele 2 şi 3 vor avea o mobilitate generala

suplimentară (de grup) sub formă de rotaţie posibilă comună în jurul

axei BC.

Mecanismele cu lanţ cinematic deschis se asamblează fără

deformări, de aceea ele sunt static determinate fără legături pasive (q =

0). Pentru astfel de mecanisme după formula (2.1) se determină uşor

numărul gradelor de mobilitate W. De exemplu, pentru mecanismul

robotului industrial (vezi fig. 2.5, g) n = 5, c1 = 5; 𝑊6 ∙ 5 − 5 ∙ 5 = 5;

aceste mobilităţi (mişcări independente una faţă de alta) sunt indicate în

schemă prin săgeţi.

Legăturile pasive determinate după schema plană caracterizează

nedeterminarea statică a mecanismului plan (când q >0 ) . Pentru

ilustrarea acestui fapt vom examina mecanismul cu cinci elemente al

paralelogramului dublu (fig. 2.15,a). În acest caz 𝑊𝑝 = 1 (o coordonată

38

generalizată 𝜑), n=4, ci=6, cs=0, deci formula lui Chebysev 𝑞𝑝 = 1 −

3 ∙ 4 + 2 ∙ 6 = 1, adică mecanismul este static nedeterminat, având o

legătura pasivă. Într-adevăr, mecanismul de bază cu patru elemente

ABCD poate fi asamblat fără deformarea elementelor cu lungimi

diferite (în anumite limite) ale elementelor. Însă adăugarea elementului

4 cu o lungime arbitrara este imposibilă, pentru asamblare trebuie

respectată condiţia egalităţii lungimilor elementelor paralele, ceea ce e

posibil practic numai în cazul preciziei înalte de execuţie.

Vom remarca faptul că la analiza structurală nu s-au luat în

consideraţie jocurile în cuplele cinematice. Datorita lor, mobilitatea

cuplei cinematice creşte şi influenţa legăturilor pasive scade puţin.

Clasificarea structurală a mecanismelor plane cu pârghii, elaborate

de L.V. Assur, uşurează cercetarea mecanismelor existente şi crearea

mecanismelor noi fără legături pasive în schema lor plană (qp=0).

Principiul de bază al acesteia constă în faptul că mecanismul poate fi

constituit prin legarea succesiva la un element sau mai multe elemente

Fig. 2.15

39

iniţiale şi la batiu a lanţurilor cinematice (grupe structurale) cu

mobilitatea zero faţă de elementele de care se leagă.

În aşa fel, g r u p a s t r u c t u r a l ă este un lanţ cinematic, a

cărui legare la mecanism nu schimbă numărul gradelor de mobilitate ale

acestuia. Pentru laconism mai departe introducem termenul

convenţional – mecanismul de bază (după I.I. Artobolevskij – mecanism

de clasa 1), care reprezintă un mecanism simplu cu două elemente, care

constă dintr-un element mobil (manivelă) şi batiu. Numărul

mecanismelor de bază este egal cu numărul de grade de mobilitate ale

mecanismului. Pentru grupele structurale Assur, conform definiţiei şi

formulei lui Chebyshev (când ci.g. = 0, n = np.g. şi qp = 0) are loc

egalitatea:

023 ...... gigpgp cnW (2.5)

unde Wp.g. este numărul gradelor de libertate ale grupei structurale faţă de

elementele la care aceasta se leagă,numărul elementelor şi cuplelor

inferioare ale grupei structurale Assur.

Deoarece np.g. şi ci.g. pot fi numai numere întregi, din egalitatea (2.5)

obţinem următoarele valori:

,....9,6,3,...;6,4,2 .... gigp cn

Ordinal grupei structurale se determină prin numărul de elemente

care se unesc de mecanismul existent. Grupa 1 se uneşte cu mecanismul

iniţial, fiecare grupă următoare — cu mecanismul obţinut; în acest caz

grupa nu poate fi unită la un element.

Clasa grupei structurale (după I. I. Artobolevskij) este determinată

de numărul de cuple cinematice, care formează cel mai complicat contur

închis al grupei; de exemplu în fig. 2.15, c un atare contur-triunghi

închis CEH este format din trei cuple de rotaţie, iar in fig. 2.15, b — un

caz particular de contur închis — segment de dreaptă, constituit din

două cuple.

Cea mai simplă grupă structurală (np.g. = 2 , c i = 3 ) este constituită

din două elemente şi trei cuple (grupă cu două antrenări sau grupă de

clasa II de ordinul 2); sunt posibile 5 tipuri (modificări) de astfel de

grupe, în funcţie de combinarea cuplelor de rotaţie şi de translaţie, dintre

care două cuple sunt prezentate în fig. 2.15, b. Prin linii întrerupte sunt

reprezentate elemente la care sunt legate lanţurile cinematice. Acestea

pot fi elementul mobil al mecanismului iniţial (de bază) şi batiul sau

elementele altor grupe structurale, deja legate.

40

Următoarea grupă mai complexă este grupa de clasa III de ordinul 3

(np.g.= 4, ci =6) sau grupa cu 3 antrenări cu elementul 4, care face parte

din trei cuple cinematice. Acest element este numit element de bază. Cea

mai simpla grupă de acest fel (numai cu cuple de rotaţie) este

reprezentata în fig. 2.15, c. În acest caz particular elementul de baza 4

poate fi rectiliniu, iar unele cuple cinematice pot fi de translaţie.

Cele mai complexe grupe de ordinul al 4-lea

( np.g. = 6, ci = 9) se

utilizează rar şi aici nu se examinează.

Clasa unui mecanism este determinată de clasa cea mai înaltă a

grupei structurale de cea mai mare clasă cuprinsă în acesta. La analiza

structurală a mecanismului dat clasa acestuia depinde şi de alegerea

mecanismelor iniţiale (de bază).

În funcţie de clasa mecanismului şi tipul grupelor structurale Assur

se folosesc diferite metode de analiză cinematică şi de forţe.

Analiza structurală a mecanismului dat trebuie efectuată prin

descompunerea lui în grupe structurale şi mecanisme iniţiale în ordine

inversă formării mecanismului. În fig. 2.15, d este prezentat un exemplu

de analiză structurală a mecanismului cu 6 elemente de clasa a II-a,

ordinul 2 (mecanismul pompei cu piston, n = 5, ci = 7). Aici sunt

obţinute două grupe cu câte doi antrenori (elementele 5, 4 şi 3, 2) şi ca

rezultat a rămas un singur mecanism iniţial (elementele 1,6), deci Wp =

1, ceea ce confirmă şi formula lui Chebyshev (când qp = 0): 𝑊𝑝 = 3 ∙

5 − 2 ∙ 7 = 1. Sinteza structurala a mecanismelor plane trebuie să fie efectuată,

folosind metoda lui Assur, care asigură schema plană static determinată

mecanismului (qp = 0), şi formula lui Malyshev, deoarece datorită

impreciziei de execuţie , mecanismul plan se transformă în mecanism

spaţial. Astfel, de exemplu (fig. 2.16, a) la proiectarea mecanismului

manivelă-piston a fost luată schema structurală, care constă din grupa cu

doi antrenori 2, 3 şi mecanismul iniţial 1, 4, deci Wp = 1 şi qp = 0 . Însă

luând în consideraţie imprecizia de execuţie şi considerând mecanismul

spaţial, după formula lui Malyshev, când W = 1 şi n = 3, pentru prima

variantă a schemei (ci = 4, fig. 2.16, a) obţinem trei legături pasive

(𝑞 = 1 − 6 ∙ 3 + 5 ∙ 4 = 3). Acestea pot fi înlăturate, mărind

mobilitatea unor cuple, adică micşorând clasa lor. În schema a doua (c1 =

2, c2 = 1, c3 = l, fig. 2.16, b) legăturile pasive lipsesc — mecanismul

este static determinat 𝑞 = 1 − 6 ∙ 3 + 5 ∙ 2 + 4 ∙ 1 + 3 ∙ 1 = 0 . În

schema a treia (c1 = 2, c3 = 2, fig. 2.16, c) gradul de mobilitate

𝑊 = 𝑊𝑏 + 𝑊𝑙 = 2 , deoarece în afară de mobilitatea de bază,

41

determinată de coordonata generalizată φ, exista şi mobilitatea locală —

posibilitatea rotirii independente a bielei 2 în jurui axei BC. Legăturile

pasive de asemenea lipsesc 𝑞 = 2 − 6 ∙ 3 + 5 ∙ 2 + 3 ∙ 2 = 0 . In fig. 2.16, d este prezentată schema structurală a mecanismului

plan cu 4 elemente cu culisă, cu cuple de clasa a V-a destinat

reproducerii funcţiei 𝑆 = 𝑙 ∙ 𝑡𝑔𝜑 (mecanismul tangenţial). Mecanismul

constă dintr-o grupă cu doi antrenori 2,3 şi mecanismul iniţial 1 , 4 , deci

W p = 1 şi q p = 0 . Dacă însă se iau în consideraţie erorile de execuţie şi

dacă mecanismul este considerat spaţial, atunci conform formulei lui

Malyshev mecanismul este static nedeterminat, cu trei legături pasive

( n = 3, W = 1, c1 = 4, q = 3). În schema a doua (fig. 2.16, e) prin

utilizarea a trei cuple cilindrice (bimobile) în locul a trei cuple

monomobile legăturile pasive sunt excluse (n = 3, W = 1, c1 = 1, c2 = 3,

𝑞 = 1 − 6 ∙ 3 + 5 ∙ 1 + 4 ∙ 3 = 0). Schema constructivă a acestui

mecanism static determinat, folosit în mecanismele de acţionare a

Fig.2.16

42

reversorilor, în comutatoarele de tensiune şi alte instalaţii, este

prezentată în fig. 2.16, f [7].

Cea mai simplă şi mai eficientă metodă de înlăturare a legăturilor

pasive în mecanismele aparatelor este utilizarea cuplei superioare cu

contact punctiform în locul elementului cu două cuple inferioare. Gradul

de mobilitate al mecanismului plan în acest caz nu se schimbă, deoarece

conform formulei lui Chebyshev (când qp = 0), 𝑊𝑝 = 3𝑛 − 2𝑐𝑖 − 𝑐𝑠 =

3 𝑛 − 1 − 2 𝑐𝑖 − 2 − 𝑐𝑠 + 1 . În fig. 2.16, g este prezentat acelaşi mecanism tangenţial, însă piatra

de culisă, care intră în două cuple inferioare, lipseşte, şi este înlocuită

prin cupla superioara B. Aceasta măreşte precizia mecanismului şi

micşorează frecarea. Cel mai raţional este folosirea cuplei superioare cu

contact punctiform (sferă – plan), în acest caz n = 2, W = l, c1 = 2, c5 = 1

şi numărul legăturilor pasive conform formulei lui Malyshev 𝑞 = 1 −6 ∙ 2 + 5 ∙ 2 + 1 = 0, deci mecanismul este static determinat.

Fig. 2.17

În fig. 2,17, a, b, c este prezentat un exemplu de înlăturare a

legăturilor pasive în mecanismul cu camă–tachet de translaţie cu rolă.

Mecanismul (fig. 2.17, a este cu 4 elemente (n = 3). În afară de

mobilitatea de bază (rotirea camei) există o mobilitate locală (rotirea

independentă a rolei cilindrice 3 în jurul axei sale), deci 𝑊𝑝 = 𝑊 =

𝑊𝑏 + 𝑊𝑙 = 2. Schema plana nu posedă legături pasive (mecanismul

este asamblat fără constrângeri, 𝑞𝑝 = 𝑊𝑝 − 3𝑛 + 2𝑐𝑖 + 𝑐𝑠 = 2 − 3 ∙

3 +2 ∙ 3 + 1 = 0 . Dacă mecanismul este considerat spaţial datorită

erorilor de execuţie, atunci, în cazul când contactul între rola 3 şi cama 1

este liniar, conform formulei lui Malyshev q = 1, când c1 = 3, dar cu o

43

anumita condiţie. Cupla cinematica cilindru-cilindru (fig. 2.11, b) ar fi o

cuplă trimobilă, dacă n-ar fi posibilă rotirea relativa a elementelor 1,3 în

jurul axei z. Dacă o astfel de rotaţie are loc datorită erorilor de execuţie,

însă este mică şi practic se păstrează contactul liniar (la solicitarea

mecanismului pata de contact are forma unui dreptunghi), atunci cupla

cinematică dată va fi cvadrimoblă (tetramobilă), deci c4 = 1 şi 𝑞 = 2 −6 ∙ 3 + 5 ∙ 3 + 2 ∙ 1=1.

Micşorând clasa cuplei superioare prin utilizarea rolei cu suprafaţa

bombată (cupla pentamobilă cu contact punctual, fig. 2.17, c), obţinem

𝑞 = 2 − 6 ∙ 3 + 5 ∙ 3 + 1 = 0 (când c1 = 3 şi c5 = 1). Deci mecanismul

este static determinat. Însă în acest caz trebuie să reţinem că contactul

liniar al elementelor permite transmiterea unor solicitări mai mari decât

contactul punctual, cu toate că necesită în cazul q 0 o precizie de

execuţie înaltă.

În fig. 2.17, d, e este prezentat un alt exemplu de înlăturare a

legăturilor pasive în transmisia cu roţi dinţate cu 4 elemente (W = 1, n =

3, c1 = 3, c4 = 2, contactul dinţilor roţilor 1, 2 şi 2, 3 este liniar). În acest

caz, conform formulei lui Chebyshev, 𝑞 = 1 − 3 ∙ 3 + 2 ∙ 3 + 2 = 0

schema plană nu are legături pasive; după formula lui Chebyshev

𝑞 = 1 − 6 ∙ 3 + 5 ∙ 3 + 2 ∙ 2 = 2, , mecanismul este static

nedeterminat; deci, va necesita o precizie înaltă de execuţie, în special,

pentru asigurarea paralelismului axelor geometrice ale celor trei roţi.

Înlocuind dinţii roţii intermediare 2 cu dinţi bombaţi (fig. 2.17, e),

obţinem 𝑞 = 1 − 6 ∙ 3 + 5 ∙ 3 + 1 ∙ 2 = 0 un mecanism static

determinat.

§2.6 Legături pasive locale în cupla cinematică

Elementele cuplei cinematice determină condiţiile interacţiunii

elementelor între ele: mobilitatea relativă a acestora şi restricţiile care nu

permit punctelor elementelor să ocupe poziţii arbitrare în spaţiu şi să

aibă viteze arbitrare.

Restricţiile asupra poziţiilor şi vitezelor punctelor elementelor

mecanismului (legăturile) trebuie să fie îndeplinite în cazul oricăror forţe

care acţionează asupra mecanismului. Ecuaţiile, pe care trebuie să le

satisfacă în virtutea restricţiilor aplicate coordonatele punctelor

elementelor mecanismului şi vitezele lor, sunt numite e c u a ţ i i d e

l e g ă t u r ă. Legăturile geometrice sunt descrise de ecuaţii care conţin

numai coordonatele punctelor sistemului mecanic. Aceste ecuaţii

44

reflectă acele legături, care corespund tipului cuplei cinematice şi

realizării constructive a acesteia.

Fig. 2.18

45

Construcţia elementelor cuplelor cinematice în mecanismele reale

este foarte diferită. Astfel, de exemplu, cupla cinematică de translaţie

monomobilă, care leagă elementele 1 şi 2 şi care este prezentata în

schemele cinematice convenţional (fig. 2.18, a) se realizează în

construcţia maşinilor–unelte pentru aşchierea metalelor sub formă de

ghidaje plane cu un profil al secţiunii transversale (fig. 2.18, c), iar în

construcţia dispozitivului de ridicat (fig. 2.18, d) sub formă de ghidaj cu

profil modelat (fig. 2.l8, e), pe care se rostogoleşte un sistem de

rulmenţi, ale căror axe sunt legate rigid cu elementul mobil 1 al

dispozitivului de ridicat.

Din exemplele prezentate rezultă că suprafeţele, liniile şi punctele

de contact ale elementelor 1 şi 2, care sunt elemente ale cuplei

cinematice, pot forma cuple cinematice simple (fig. 2.18, a) şi complexe

(fig. 2.18, b,f). În cupla cinematică simplă se află în contact doar două

elemente, care determină numărul corespunzător de componente ale

reacţiilor din cuple. În cupla complexă legăturile geometrice necesare se

dublează cu legături suplimentare (de exemplu, 1* şi 2

* din fig. 2.l8, b).

Dacă pe lângă elementele necesare ale cuplei cinematice,

condiţionate de legăturile geometrice necesare, în procesul proiectării se

folosesc elemente suplimentare, atunci într-o atare cuplă cinematică

complexă pot să apară 1 e g a t u r i p a s i v e l o c a l e. Existenta

legăturilor pasive locale face imposibilă mişcarea relativă a elementelor

(blocarea elementelor) sau se efectuează pe baza deformării ele-

mentelor, jocurilor mărite între suprafeţele reale ale elementelor sau ale

uzării lor.

Pentru ca construcţia cuplei cinematice să funcţioneze şi să fie

rezistentă în exploatare, se formează , anumite cerinţe faţă de

d i m e n s i u n i, f o r m ă şi p o z i ţ i a r e l a t i v ă a

e l e m e n t e l o r. De obicei, se indică limitele abaterilor de la

formele geometrice necesare sau date şi poziţia suprafeţelor, axelor sau

punctelor.

De exemplu, pentru elementele plane ale cuplei cinematice (fig.

2.18, b) se normează abaterile de la planeitate şi rectilinitate: abaterile de

la rectilinitate în plan, abaterile de la rectilinitatea liniei în spaţiu şi

abaterile de direcţie. Tipuri particulare de abateri de la planeitate şi

rectilinitate sunt convexitatea şi concavitatea.

Suprafeţele reale pot avea abateri de la cilindricitate, bătăi radiale

(ovalitate şi poligonalitate), abaterile de la profilul secţiunii

longitudinale (conicitate, formă de butoi, formă de şa). Tipurile de

abateri de la poziţia suprafeţelor şi axelor elementelor cuplelor

46

cinematice sunt abaterile de la paralelism, perpendicularitate,

coaxialitate şi simetrie. Pentru normarea unghiurilor se introduc

abaterile inclinării, iar pentru dezaxare de la poziţia nominală – abatere

poziţională.

Într–o serie de construcţii se evaluează abaterile sumare ale formei

şi poziţiei, de exemplu, în formă de bătaie radială şi bătaie frontala.

În funcţie de destinaţia mecanismului şi a maşinii se limitează

mărimile abaterilor posibile ale formei şi poziţiei suprafeţelor cu

toleranţe, prevăzute de standardele corespunzătoare. Cu cât toleranţa de

prelucrare este mai mică, cu atât este mai complicată tehnologia,

cheltuielile la fabricarea pieselor sunt mai mari. În aceste cazuri se

utilizează instalaţii şi echipament tehnologic mai precise şi mai

costisitoare, mijloace de control, se efectuează mai detaliat pregătirea

tehnologică a producţiei, se folosesc cadre calificate. De aceea

constructorul trebuie să aleagă fundamentat construcţia cuplelor

cinematice complexe, care sunt necesare pentru asigurarea indicatorilor

de calitate ai funcţionării mecanismului, maşinii sau instalaţiei.

Construcţia cuplelor cinematice

complexe, trebuie să asigure pe

lângă creşterea rigidităţii şi

preciziei, asamblarea liberă a

nodurilor şi unităţilor de

asamblare şi să–i permită

mecanismului să păstreze

numărul dat de grade de

mobilitate la deformările posibile

ale batiului, arborilor, osiilor şi

altor piese sub acţiunea

solicitărilor externe.

La elaborarea construcţiilor

elementele suplimentare ale

cuplelor cinematice se introduc

pentru a micşora presiunea şi

uzarea suprafeţelor de contact

prin redistribuirea reacţiunilor şi

majorarea dimensiunilor

elementelor cuplelor cinematice (de exemplu, fig. 2.18, d). O atenţie

deosebită se acorda reducerii deformaţiilor sub acţiunea forţelor date

prin instalarea unor rulmenţi suplimentari.

Fig. 2.19

47

Cele spuse mai sus pot fi ilustrate pe baza exemplului arborelui 1,

care formează cu batiul 2 o cuplă de rotaţie (fig. 2.19). Dacă în locul

cuplei cinematice simple (fig. 2.19, a) arborele este instalat pe doua

reazeme, introducând în construcţie elemente suplimentare (fig. 2.19, b),

atunci încovoierea arborelui în punctul C sub acţiunea forţei F poate fi

micşorată. De exemplu, pentru arborele din schema ilustrata în fig. 2.19,

c, încovoierea în punctul C (când a = b) se reduce de 8 ori în comparaţie

cu montarea arborelui în consola (fig. 2.19, a). Numărul legăturilor

pasive locale în cupla cinematică, contribuind la reducerea flexibilităţii

construcţiei, poate fi dăunător în cazul variaţiei regimului termic de

lucru, deformării batiului, abaterilor dimensiunilor, formei şi poziţiei

suprafeţelor elementelor cuplei cinematice. În sistemele static

nedeterminate legăturile pasive locale pot să provoace eforturi şi

deplasări suplimentare. De aceea numărul legăturilor pasive locale

trebuie redus. Astfel, dacă lagărul drept al arborelui este executat sferic,

numărul legăturilor va fi micşorat (fig. 2.19, c).

Dacă ambele lagăre sunt executate cu elemente sferice (fig. 2.19, b),

totodată lagărul stâng este imobil în direcţia axială, iar lagărul drept are

mobilitate axială, atunci încovoierea maximă în urma solicitării F în

punctul C (când a=b) se va micşora numai de doua ori în comparaţie cu

montarea în consolă a arborelui numai la extrema stângă (fig. 2.19, a),

însă arborele va fi static determinat.

Cerinţele formulate faţă de mecanism – îndeplinirea funcţiilor date

şi asigurarea parametrilor în limitele stabilite în cursul întregii perioade

de exploatare – reclamă în prim plan proiectarea mecanismului cu

structură optimă.

Schema cuplei cinematice, care reflectă numai numărul necesar de

legături geometrice, corespunzător tipului cuplei (fig. 2.19, a), se

numeşte s c h e m a de b a z ă. Schema cuplei cinematice, care

reflectă atât legăturile necesare, cât şi cele pasive, este numita s c h e m ă

r e a l ă (fig. 2.19, c,d). Legăturile pasive locale introduc o

nedeterminare statică, adică nu pot fi găsite reacţiunile în cuple prin

metodele staticii şi deci trebuie utilizate metodele teoriei elasticităţii.

Numărul legăturilor pasive în construcţia reală a cuplei se numeşte

g r a d de n e d e t e r m i n a r e s t a t i c ă a cuplei cinematice.

Pentru cuplele cinematice de rotaţie monomobile, prezentate în fig.

2.19, b, acesta este egal cu cinci, iar în fig. 2.19, c – cu doi, în fig. 2.19,

a,d – cu zero.

În cazul abaterilor de la rectilinitatea axei arborelui apar legături

pasive, construcţia cuplei devine static nedeterminată şi rotaţia arborelui

48

e posibilă doar la existenta mobilităţii suplimentare între piesele

lagărului.

Astfel de mobilităţi suplimentare în reazemele în fig. 2.20 sunt

indicate prin săgeţi. Ele sunt asigurate de suprafaţa sferică exterioară a

inelului exterior al rulmentului şi de suprafaţa corpului. Existenţa

acestor suprafeţe permite rotorului să se rotească la abaterea axei

arborelui de la coaxialitate (fig. 2.20, a) şi liniaritate (fig. 2.20, b, c).

Suprafeţele sferice ale rulmenţilor la aşezarea arborelui pe două

reazeme permit reducerea influenţei abaterilor în zona suprafeţelor de

bază ale reazemelor (fig. 2.21). Deplasarea suprafeţelor (fig. 2.21, a),

inclinarea lor (fig. 2.21, b), neperpendicularitatea suprafeţelor frontale

ale rotorului (fig. 2.21, c), forma sferică a suprafeţei de bază a inelului

exterior al rulmentului asigură liniaritatea axei arborelui şi determinarea

statică a cuplei.

Fig. 2.20

Fig. 2.21

49

Dacă aşezarea arborelui pe rulmenţi cu suprafeţe sferice este in-

acceptabilă, se respectă nivelul necesar de precizie prin fixarea

toleranţelor de formă şi poziţia suprafeţelor pieselor. De exemplu în fig.

2.22 este prezentat desenul arborelui cu două reazeme, în care pentru

Fig. 2.22

Fig. 2.23

fusurile A şi B sunt indicate nu numai abaterile — limită ale rotorului, ci

şi toleranţele cilindricităţii (poz. 1,5), perpendicularităţii (poz. 3,4) şi

coaxialităţii (poz. 2,6). Legături pasive apar la aşezarea arborilor şi

osiilor pe câteva reazeme (fig. 2 23, a). Asamblarea şi exploatarea

50

acestor construcţii este posibilă dacă este asigurată amplasarea axelor

rulmenţilor A, A, A (fig. 2.23, b) pe o dreaptă. Compensarea abaterilor

posibile de la rectilinitate are loc pe baza jocurilor între suprafeţele

elementelor cuplei cinematice, deformării elementelor sau a elementelor

cuplelor cinematice (de exemplu, a pieselor de cauciuc sau cauciuc

metalizat); uzării elementelor cuplelor cinematice in timpul asamblării,

rodajului sau exploatării. În construcţiile reale ale cuplelor au loc

fenomene condiţionate de combinaţia acestor factori. Arborii cotiţi ai motoarelor cu ardere internă au cinci rulmenţi fapt

ce condiţionează apariţia a 16...20 legături pasive (fig. 2.13). Însă aceste

legături pasive au destinaţia lor funcţională: ele permit reducerea

deformaţiilor de încovoiere ale arborelui datorită forţelor aplicate F,

mărirea duratei de funcţionare şi a fiabilităţii motorului pe baza

ameliorării funcţionarii rulmenţilor şi a altor piese din grupa biela -

piston. În procesul analizei structurale a construcţiilor de acest fel e

necesar să se depisteze aceste legături pasive, să se ţină seama de acestea

la alcătuirea schemei de calcul a mecanismului şi la elaborarea

tehnologiei de fabricare a pieselor. Asigurarea tehnologică a preciziei

necesare pentru executarea suprafeţelor elementelor cuplei cinematice,

cu toate că necesită mari cheltuieli de mijloace, aceste cheltuieli se

recuperează pe baza reducerii cheltuielilor de exploatare şi creşterii

resursei de lucru a maşinilor.

Utilizarea construcţiilor cu legături pasive între elementele cuplei

cinematice este posibilă în cazul rigidităţii suficiente a elementelor şi

mai ales a suportului (corpului, batiului, ramei ş.a.). Deformarea

elementelor la acţiunea solicitărilor nu trebuie să ducă la blocarea

elementelor cuplelor cinematice sau la uzura lor sporită. Mecanismele,

care satisfac cerinţele adaptabilităţii la deformarea elementelor,

siguranţei, durabilităţii şi tehnologicităţii construcţiei, au o

s t r u c t u r ă o p t i m ă.

Astfel, de exemplu, schema (fig. 2.24, a) reductorului cu trei trepte

(fig. 2.24, b) în anumite condiţii (de exemplu, mecanisme de acţionare

de mare putere) este cea mai acceptabilă, cu toate că include un număr

mare de legături pasive locale (în figură: 1,2,3,4 – arbori cu roţi dinţate

fixate pe acestea; 5 – corpul).

Schema optimă de amplasare a elementelor cuplei cinematice este o

noţiune relativă. Construcţia optimă pentru unele condiţii poate fi

inacceptabilă pentru altele. Deseori acest fapt este legat de tehnologia

raţională ca o totalitate de proprietăţi ale construcţiei, care se manifestă

51

Fig. 2.24 în cheltuielile optime de muncă, mijloace, materiale şi timp optime în

condiţiile adoptate de execuţie, exploatare şi reparaţii ale maşinilor.

Construcţia care este tehnologică în producţia individual adeseori devine

puţin tehnologică în producţia de masă şi absolut netehnologică în

producţia automatizată în flux (şi invers).

52

§ 2.7 Legături pasive pe contur şi sinteza mecanismelor

cu structură optimă

La sinteza mecanismului cu structură optima se ia în consideraţie

faptul că batiul, care de obicei este considerat un element fix rigid, se

deformează sub acţiunea solicitărilor aplicate. Aceste deformaţii pot să

influenţeze asupra poziţiei relative a elementelor cuplelor cinematice nu

numai în limitele unei cuple cinematice cum a fost examinat în § 2.6, ci

şi în limitele lanţurilor cinematice închise ale mecanismului. În cazul

alegerii greşite a schemei de structură (de exemplu, presupunând că

elementele se mişcă după schema mecanismului plan) în procesul

exploatării este posibilă blocarea unor elemente ale cuplelor cinematice,

apariţia unor solicitări suplimentare considerabile în urma înclinării,

încovoierii, întinderii elementelor, uzurii excesive a elementelor

cuplelor cinematice, fiabilităţii scăzute şi defecţiunilor frecvente ale

mecanismelor. Fenomene similare pot avea loc, de exemplu, în

mecanismele înalt solicitate ale utilajului tehnologic (prese, laminoare,

maşini de turnătorie ş.a.), în maşinile agricole şi de transport.

Regula principală de proiectare a schemei structurale a

mecanismelor fără l e g ă t u r i p a s i v e pe c o n t u r poate fi

exprimată sub formă de condiţie de asamblare a lanţurilor cinematice închise

(contururi) ale mecanismului. Lanţul cinematic, care formează un contur

închis (sau contururi) al mecanismului, trebuie să se asambleze fără

strângeri, chiar când există abateri de la dimensiunile elementelor şi

abateri de la

poziţia suprafeţelor şi axelor elementelor cuplelor

cinematice.

Pentru mecanismele reale se elaborează o schemă structurală, care

ar exclude posibilitatea apariţiei solicitărilor suplimentare în cuplele

cinematice pe baza modificării configuraţiei conturului elementelor,

indiferent de precizia executării pieselor şi deformabilitatea batiului şi

altor elemente. Mecanismele cu structură optimă s-au comportat bine în

exploatare. Sunt cunoscute o mulţime de exemple, când înlăturarea

legăturilor pasive pe contur a asigurat fiabilitatea înaltă, micşorarea

uzurii pieselor, creşterea randamentului maşinilor, reducerea

cheltuielilor de exploatare [7].

Dacă elementele mecanismului formează un contur închis, pentru

asamblarea ultimei cuple cinematice (care teoretic poate fi orice cuplă,

iar practic — cupla în care asamblarea este o operaţie mai tehnologică)

şi obţinerea unui număr prestabilit de grade de libertate W e necesară

53

asigurarea convergentei elementelor cuplelor cinematice de-a lungul

celor trei axe de coordonate şi rotirea unghiulară în jurul celor trei axe.

Deci pentru conturul închis, care nu conţine legături pasive, condiţia

asamblării cuplelor cinematice poate fi înscrisă în formă de egalitate a

sumei mobilităţilor în cuplele cinematice ale conturului cu suma

numărului de grade de mobilitate ale mecanismului W şi şase deplasări

liniare şi unghiulare, necesare pentru asamblarea cuplei cinematice de

închidere a conturului spaţial:

.65432 54321 Wccccc (2.6)

Dacă asamblarea se efectuează pentru câteva contururi

independente, numărul cărora este egal cu K, atunci condiţia asamblării

lanţurilor cinematice ale mecanismului cu mai multe contururi fără

legături pasive pe contur se notează în felul următor:

,65432 54321 KWccccc

sau

5

1

.6i

i KWic (2.7)

La analiza structurală a mecanismului cu structură optimă se

determină numărul de mobilitate al mecanismului

5

1

.6i

i KicW (2.8)

Dacă W nu este egal cu numărul necesar de grade de mobilitate

atunci schema structurală a mecanismului conţine legături pasive pe

contur q sau mobilităţi suplimentare peste numărul dat de grade de

mobilitate W ale mecanismului:

5

1

.6i

is icKWWq (2 .9)

Contururile elementelor în mecanism trebuie să fie independente,

adică să difere unul de altul prin numărul de elemente şi cuple

cinematice. Numărul minim de elemente pe contur este egal cu trei,

totodată un element în mecanismul cu trei elemente este elementul

iniţial, al doilea — batiul. Elementele conturului în mecanismul cu mai

multe contururi pot să nu fie legate nemijlocit cu batiul mecanismului.

Numărul contururilor independente K este determinat după formula

lui Gohman (vezi Gohman H.I. Osnovy poznavaniya i sozidaniya par i

mehanizmov. Kinetika mashin. Odessa, 1890, t. I):

54

5

1

,i

i ncncK (2.10)

unde

5

1iicc este numărul sumat de cuple cinematice în mecanism; n

— numărul elementelor mobile.

Introducând relaţia (2.10) în relaţia (2.9), obţinem

5

1

.66i

icinWq

De exemplu, schema structurală a mecanismului cu şase elemente,

prezentată în fig. 2.19, d , are următorii parametri: numărul elementelor

mobile n = 5, numărul cuplelor monomobile c1 = 7. Deci, numărul

contururilor independente din relaţia (2.10) este egal cu

.257 ncK

Numărul legăturilor pasive pe contur conform relaţiei (2.9), când W = 1

şi Ws = 0 : .607126165

1

i

si WicKWq

Pentru eliminarea acestor legături e necesar a mări suma mobilităţilor în

fiecare contur independent cu cel puţin trei unităţi în conturul ABCD,

(elementele 1,2,3,6): 𝑞𝑘1 = 1 + 6 ∙ 1 − 1 ∙ 4 = 3 ; în conturul DEF

(elementele 3,4,5,6): 𝑞𝑘2 = 1 + 6 ∙ 1 − 1 ∙ 4 = 3. Dacă bielele 2 şi 4 în

contururi sunt legate cu elementele vecine printr–o cuplă cilindrică

bimobilă şi una sferică trimobilă în locul a doua cuple monomobile,

atunci legăturile pasive pe contur vor

fi înlăturate în fiecare contur K1 şi K2

(fig. 2.25) 𝑞𝑘1 = 𝑞𝑘2 = 1 + 6 ∙ 1 − 1 ∙ 2 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ 1 = 0 şi în

mecanism 𝑞 = 1 + 6 ∙ 2 − 1 ∙ 3 + 2 ∙ 2 + 3 ∙ 2 = 0.

În cazul particular lanţul

cinematic închis al mecanismului cu

un grad de mobilitate (W = 1) şi un

contur fără legături pasive (q = 0)

trebuie să conţină astfel de cuple

cinematice, încât suma mobilităţilor

acestora să fie egală cu şapte pentru

mecanismul spaţial şi cu patru –

Fig. 2.25

55

pentru mecanismul plan. Următoarele grupe de elemente cuplate, care

formează după cuplare un contur închis, trebuie să conţină cuple

cinematice, suma mobilităţilor fiind egală cu şase pentru mecanismul

spaţial şi cu trei – pentru mecanismul plan. Luând în consideraţie că în

mecanismele reale sunt posibile deformaţii ale batiului sau ale altor

elemente, orice mecanism cu structură optimă se examinează ca un

mecanism spaţial.

Schema mecanismului, care reflectă existenta numai a mobilităţilor

necesare ale elementelor pentru asigurarea numărului dat de grade de

mobilitate W = Wb în cazul lipsei legăturilor pasive pe contur, este

numită schema de bază sau schema cu structură optimă a mecanismului.

Pentru schema structurală de bază q = 0 şi formula structurală (2.1)

are o expresie particulară:

.665

1i

ib cinW

(2.11)

Schema structurală de bază a mecanismului posedă anumite

proprietăţi:

- elementele cuplelor cinematice satisfac condiţia asamblării

contururilor închise ale mecanismului fără deformarea elementelor şi

strângerilor în cuplele cinematice;

- schimbarea poziţiei elementelor cuplelor cinematice, amplasate pe

batiu, în cazul deformării posibile a batiului şi elementelor nu exercită o

influenţă considerabilă asupra forţelor în cuplele cinematice;

- e posibilă stabilirea poziţiei, vitezei şi acceleraţiilor celorlalte

puncte şi determinarea reacţiunilor în cuplele cinematice în cazul când

sunt date solicitările active, poziţiile, vitezele şi acceleraţiile elementelor

conducătoare, deoarece numărul condiţiilor de legătură, numărul şi

caracterul mobilităţilor cuplelor cinematice corespund determinării

statice a mecanismului şi determinării statice a fiecărei cuple cinematice

în parte. De aceea în cazul schemei de bază a mecanismului toate forţele

în cuplele cinematice pot fi determinate univoc după mărime, direcţie şi

punct de aplicaţie din condiţia mişcării elementelor mecanismului sub

acţiunea forţelor date (echilibrul static şi cinetostatic).

La analiza construcţiilor reale şi a schemelor lor cinematice se

depistează mobilităţile suplimentare Ws sau legăturile pasive structurale

q faţă de schema de bază a mecanismului cu numărul dat de grade de

mobilitate Wb. Din mobilităţile suplimentare se evidenţiază

m o b i l i t ă ţ i l e l o c a l e ale elementului Wc şi mobilităţile

locale ale unei grupe de elemente Wg. Mobilitate locală au axele,

56

bucşele şi degetele, inelele unor tipuri de rulmenţi, blocurile, roţile de

transmisie, rolele în mecanismele cu camă etc. Particularitatea

mobilităţii locale a elementului constă în faptul (vezi fig. 2.11, a) că

realizarea ei nu generează deplasarea celorlalte elemente ale mecanis-

mului. Mobilitatea locală a elementului are o anumită destinaţie

funcţională, deoarece ea permite, de exemplu, să reducă uzura

elementelor cuplei cinematice, să amelioreze condiţiile de ungere, să

ridice randamentul, fiabilitatea, durabilitatea ansamblurilor maşinilor.

Numărul total de mobilităţi locale Wl ale elementelor în lanţul cinematic

trebuie să fie determinat în faza iniţială a analizei şi sintezei structurale a

mecanismului. A1 doilea tip de mobilitate locală este

m o b i l i t a t e a de g r u p a unei părţi din elementele lanţurilor

cinematice, care nu generează deplasările celorlalte elemente în

mecanism. Pentru unele mecanisme mobilitatea de grup a elementelor

este inadmisibilă, deoarece duce la nedeterminare a mişcării elementului

condus. De exemplu, dacă în mecanismul cu patru elemente ABCD

(vezi fig. 2.25) articulaţiile de încheiere B şi D ale grupei cu două

elemente conducătoare 2 şi 3 sunt sferice, apare mobilitatea de grup,

care se reflectă în posibilitatea rotirii elementelor 2 şi 3 faţă de linia BD,

care leagă centrele cuplelor sferice B şi D . De obicei, pentru

mecanismele cu contur închis o astfel de mobilitate este inadmisibilă, iar

pentru mecanismele cu lanţuri cinematice deschise poate fi utilă. În

mecanismele roboţilor mobilitatea de grup a elementelor poate ridica

maniabilitatea elementului exterior (de exemplu, a cleştelui). În unele

cazuri mobilitatea de grup a unui contur poate fi folosită de elementele

conturului următor, când este dat numărul de grade de mobilitate ale

mecanismului. Pentru mecanismele reale numărul total de grade de

mobilitate W este raţional să fie prezentat în formă de sumă de

mobilităţi de destinaţie diferită: de bază Wb, de grup Wg şi locala Wl.

𝑊 = 𝑊𝑏 + 𝑊𝑔 + 𝑊𝑙 . (2.12)

La sinteza schemei structurale a mecanismului trebuie să se ţină

cont de faptul că numărul necesar de grade de mobilitate W se realizează

prin mişcarea elementului iniţial (sau iniţiale). Deci, la sinteza

mecanismelor fără legături pasive pe contur e necesar de cuplat la

elementele iniţiale şi batiu asemenea combinări de elemente şi cuple

cinematice, pentru care numărul gradelor de libertate Wg ar fi egal cu

zero. Această metoda de sinteză structurală se numeşte metoda de

cuplare a grupelor structurale static determinate. Ideea acestei metode a

57

fost elaborata de L.V. Assur referitor la mecanismele plane. În cazul

general al mecanismelor spaţiale această cerinţă se exprima sub forma

relaţiei:

K

jgji WWW

1

0 (2.13)

sau

.023456 54321 cccccnW gg (2.14)

Aici: Wi este numărul gradelor de libertate ale elementelor iniţiale;

Wg — numărul gradelor de libertate ale grupei de elemente cuplată.

Relaţiile (2.13) şi (2.14) sunt numite condiţii de sinteză a

s c h e m e i s t r u c t u r a l e de b a z ă a m e c a n i s m u l u i .

Expresia

K

jgjW

1

simbolizează că însumarea trebuie să fie efectuată pe

toate contururile independente K de elemente, cuplate la elementele

iniţiale sau la grupele structurale de elemente cuplate anterior.

Relaţia (2.14) este c o n d i ţ i a a s a m b l ă r i i f ă r ă

s t r â n g e r i a g r u p e i s t r u c t u r a l e de

e l e m e n t e c u p l a t e (asamblarea liberă) în lipsa restricţiilor

pentru poziţia relativă a elementelor cuplelor cinematice.

Numărul minim de elemente cuplate este egal cu unu .1min

gn În

acest caz relaţia (2.14) are o valoare particulara:

.023456 54321 ccccc (2.15)

Deoarece suma cuplelor cinematice este egală cu doi

5

154321 2

ii cccccc (o cuplă cinematică – cu batiul; a doua –

cu elementul iniţial), atunci relaţia (2.15) satisface numai următoarele

combinaţii:

a) c3 = 2, deoarece 6 − 3 ∙ 2 ≡ 0; b) c2 = 1, deoarece 6 − 2 ∙ 1 − 4 ∙ 1 ≡ 0; c) c1 = 1, c5 = 1, deoarece 6 − 1 ∙ 1 − 5 ∙ 1 ≡ 0 sau 6 = 3 ∙ 2 = 2 ∙

1 + 4 ∙ 1 = 1 ∙ 1 + 5 ∙ 1. În combinaţia (a) elementul 2 are două cuple cinematice B şi C

trimobile (de exemplu, două cuple sferice 3c), care asigură mobilitatea

locală a elementului – rotirea elementului 2 faţă de dreapta BC, care

trece prin centrele sferelor (fig. 2.26, a). Această combinaţie nu permite

elementului 1 să fie conducător, deoarece Wb = 0, Wl = 1.

58

În combinaţia (c) elementul cuplat are o cuplă cinematică

monomobilă (în – fig. 2.26, d,e sau 1v – fig.2.26, b,c) şi alta –

pentamobilă ( 5 t ). Această variantă se foloseşte larg în mecanismele cu

camă, tachetul cărora are un sabot ascuţit sau sferic (fig. 2.26, b ), în

angrenaje, suprafeţele laterale ale dinţilor având un contact punctiform

("dinţi bombaţi") (fig.2.26, c ), în mecanismul hidromotorului cu piston

plonjor (fig.2.26, e ).

La sinteza schemei structurale de bază a mecanismului cu două

elemente cuplate n = 2 trebuie să se realizeze următoarele valori

particulare ale relaţiei (2.14 ):

Fig. 2.26

;354321

5

1

cccccci

i

.0234512 54321 ccccc (2.16)

Relaţiile (2.16) se realizează pentru următoarele combinaţii de

cuple cinematice:

a) c1 =1, c2 =1, c3 = 1, deoarece 12 − 3 ∙ 1 − 4 ∙ 1 − 5 ∙ 1 ≡ 0;

b) c2 = 3, deoarece 12 − 4 ∙ 3 ≡ 0;

c) c1 = 2, c4 = 1, deoarece 12 − 2 ∙ 1 − 5 ∙ 2 ≡ 0 sau 12 = 3 ∙ 1 +4 ∙ 1 + 5 ∙ 1 = 4 ∙ 3 = 2 ∙ 1 + 5 ∙ 2.

Acestor combinaţii le corespunde un număr mare de asocieri de

poziţii ale cuplelor cinematice cu diferite mobilităţi între elementul

conducător, două elemente cuplate şi batiu.

Unele scheme structurale ale mecanismelor cu două elemente

cuplate sunt prezentate în fig.2.27 pe baza exemplului mecanismului

manivelă–piston.

59

În schema plana (fig.2.27, a ) cu patru cuple monomobile 1v şi 1t

mecanismul are trei legături pasive pe contur (q = 3) la o mobilitate de

bază (Wb = 1).

Schemele structurale din fig.2.27, b şi c corespund combinaţiei "a"

a relaţiei (2.16) cu cuple cinematice monomobile (1n ), bimobile (2c) şi

trimobile (3s).

Dacă o cuplă bimobilă (2c) este înlocuită cu o cuplă trimobilă (3s)

(fig.2.27, d ), biela capătă o mobilitate locală (W l = 1) – rotirea în jurul

axei sale.

Generalizarea metodei descrise a sintezei structurale a schemelor de

bază ale mecanismelor este prezentată în tab.2.1, în care sunt arătate

combinaţii de cuple cinematice cu diferite mobilităţi pentru grupele în

care numărul elementelor variază de la 1 până la 5.

Dacă la sinteza mecanismului cu structură optimă e necesar să se

folosească numai cuple cinematice monomobile, numărul minim de

elemente în grupa cuplată este egal cu cinci (ng = 5 ), iar numărul

cuplelor cinematice este egal cu şase .61 cc

Fig. 2.27

În acest caz relaţia (2.14) are următoarea expresie particulară:

𝑊𝑔 = 6 ∙ 5 − 5 ∙ 6 ≡ 0. Un astfel de mecanism este numit mecanism

articulat cu şapte elemente şi constă din batiu, elementul conducător şi

cinci elemente ale grupei care va fi cuplată.

60

T a b e l u l 2 . 1

Numărul

elemente-

lor ng

Numărul

cuplelor

cinematice în

grupă icc

Numărul

mobilităţilor

posibile ale

elementelor 6ng

Numărul cuplelor cinematice cu diferite

mobilităţi în grupa cuplată cu elemente

c1

c2

c3

c4

c5

1

2

6

1

- -

-

1 -

-

- 2

-

1 -

1

- -

2 3 12 2

1

-

1

-

1

1

-

-

-

3 4 18 3

2

-

2

1

-

-

-

-

-

4

5

6

24

4

3

3

3 2

1

-

1

2 3

-

3

1

- -

-

-

1

- 1

-

-

-

1 -

5 6 30 6 - - - -

În fig. 2.28, a-c sunt prezentate schemele structurale ale unor

mecanisme, în care grupa cuplată conţine 4 elemente şi şase cuple

cinematice (trei de rotaţie şi trei sferice). Mecanismele nu conţin legături

pasive pe contur 𝑛 = 5; 𝑐1 = 4; 𝑐3 = 3; 𝑊 = 1; n

i 1

q 6n W (6 i ) 6 5 1 ( 5 4 3 3 ) 0

Condiţia (2.14) a sintezei schemei structurale de bază a mecanismului

este o condiţie necesară, însă ea poate fi insuficientă pentru efectuarea

asamblării conturului elementelor fără strângeri.

Combinarea cuplelor cinematice în schema structurală poate fi de

aşa natură, că apar mobilităţi locale sau de grup. De rând cu acestea

schema mecanismului conţine una sau câteva legături pasive, care nu

permit executarea asamblării ultimei cuple cinematice, de exemplu, din

cauza lipsei deplasării în direcţia axei, perpendiculară pe planul de

rotaţie al elementului conducător.

61

Existenta legăturilor

pasive şi caracterul acestora

este raţional să fie depistat după

metodica, a cărei esenţă constă

în analiza mobilităţilor în

fiecare cuplă cinematică a

conturului închis şi aprecierea

posibilităţilor asamblării cuplei

finale a conturului de elemente

pe baza numărului necesar de

deplasări liniare şi unghiulare.

În acest caz trebuie să se ia în

consideraţie faptul că

apropierea liniară a elementelor

cuplei uneori poate fi realizată

pe baza rotirii unghiulare a

elementelor.

În afară de deplasările

relative ale elementelor,

permise de legăturile

geometrice, în mecanisme sunt

de asemenea şi deplasări

permise de flexibilitatea

(elasticitatea) elementelor. În

primul caz este vorba despre

gradele structurale de libertate,

care caracterizează mişcarea de

bază a elementelor. În al doilea

caz se vorbeşte despre gradele

parametrice de libertate care

depind de parametrii

constructivi (masă, rigiditate) ai

mecanismului şi de regimul de

mişcare (în special, de

frecventa excitaţiei). Mişcarea

relativă a elementului,

condiţionată de gradele

parametrice de libertate se sumează cu mişcarea de bază a elementului,

uneori în formă de fond, care se caracterizează prin deplasări mici în

comparaţie cu deplasările absolute şi acceleraţiile şi vitezele

Fig. 2.28

Fig. 2.29

62

considerabile. Introducerea gradelor parametrice de libertate este

necesară la analiza şi proiectarea mecanismelor şi maşinilor cu acţiune

vibrantă şi de şoc, la proiectarea instalaţiilor de protecţie contra

vibraţiilor în cazul posibilităţii generării oscilaţiilor periculoase, la

proiectarea instalaţiilor pentru intensificarea şi sporirea eficientei

operaţiilor tehnologice şi de transport.

În fig. 2.29, a,b sunt prezentate două scheme ale mecanismului

manivelă-piston, utilizate în maşinile cu acţionare vibro-percutantă

(ciocan vibrant, vibropresă ş.a.) şi care permit reglarea (de acumulat şi

disipat) energiei la anumite etape ale mişcării pe baza energiei arcului.

În fig. 2.29, a elementul elastic este elementul 3, care constă din

percutorul 3* şi pistonul 3 şi posedă un grad parametric de libertate S3*3.

În fig. 2.29, b drept element elastic este considerată biela 2, care are

un grad parametric de libertate sub forma unei mişcări posibile S2*2 a

pieselor 2* şi 2 a bielei. Numărul gradelor structurale de libertate în

ambele mecanisme este egal cu 1 şi se realizează în forma unei rotiri a

elementului conducător 1 cu viteza unghiulară .14

63

CC aa pp ii tt oo uu ll 33

CARACTERISTICILE CINEMATICE ALE MECANISMELOR

Destinaţia de bază a mecanismului este efectuarea mişcărilor necesare, care

sunt descrise prin intermediul caracteristicilor cinematice ale acestora: traiectoriile punctelor, coordonatele punctelor şi elementelor mecanismului şi, în primul rând,

coordonatele lui generalizate, deplasările punctelor şi elementelor, vitezele şi

acceleraţiile acestora. Din caracteristicile cinematice fac parte, de asemenea şi acele

care nu depind de legea mişcării elementelor conducătoare, dar sunt determinate numai de structura mecanismului, dimensiunile elementelor acestora şi, in caz

general, depind de coordonatele generalizate. Acestea sunt funcţiile de transmitere,

analogii acceleraţiilor punctelor şi elementelor mecanismului. Cunoaşterea

caracteristicilor cinematice este importantă, de asemenea, şi pentru calculele dinamice.

Conform caracteristicilor cinematice constructorul conchide, cât de reuşit

este realizată una din sarcinile de bază ale proiectării mecanismului — alegerea

schemei structurale şi determinarea dimensiunilor elementelor. Deci, pentru crearea mecanismului, care corespunde cel mai bine cerinţelor formulate, trebuie cunoscute

metodele de determinare a caracteristicilor cinematice ale mecanismului.

§ 3.1. Cinematica elementelor conducătoare şi conduse

şi funcţiile de transmitere ale mecanismului

Numărul parametrilor cinematici independenţi ai mecanismului cu

schema structurală şi dimensiunile prestabilite ale elementelor acestuia

este egal cu numărul gradelor de mobilitate sau cu numărul

coordonatelor generalizate ale mecanismului.

Fig. 3.1

64

Fig. 3.3

Elementul, căruia i se atribuie una sau câteva coordonate

generalizate, este numit e l e m e n t c o n d u c ă t o r. De exemplu,

elementul 1, care se roteşte în jurul unui punct fix, adică formează

împreună cu batiul 2 o cuplă cinematica sferică (fig.3.1, a ), posedă trei

grade de libertate şi poziţia lui este determinată de trei parametri trei

unghiuri ale lui Euler: .,, 111 Elementul 1, care se roteşte în jurul

unei axe, adică formează cu batiul 2 o cuplă cinematică de rotaţie

(fig.3.1, b), posedă un grad de libertate şi poziţia lui este determinată de

un singur parametru, de exemplu de coordonata unghiulara .1

Elementul 1, care se mişcă rectiliniu faţă de batiu (fig.3.1, c), posedă de

asemenea un grad de libertate şi poziţia lui este stabilită de un singur

parametru coordonata xB.

Orice mecanism este destinat transformării mişcării elementului

conducător 1 (fig.3.2, a,b ) sau a elementelor conducătoare (fig.3.2, c)

în mişcările necesare ale elementelor, pentru efectuarea cărora este

destinat mecanismul. Elementul conducător al mecanismului cu un grad

de libertate de obicei se notează cu numărul 1, iar elementul condus cu

numărul n, elementele intermediare cu numerele de ordine 2,3,...,. i, ...

n - 1.

Fig. 3.2 În multe cazuri la proiectarea maşinilor şi mecanismelor legea

transformării coordonatelor

generalizate în funcţie de timp se

determină numai 1a etapele următoare

de proiectare, de obicei, după cercetarea

dinamică a mişcării agregatului, ţinând

seama de caracteristicilor forţelor

aplicate asupra elementelor meca-

nismului, maselor şi momentelor de

inerţie ale elementelor. În asemenea

cazuri mişcarea elementelor conduse şi

65

intermediare este determinată în două etape: la prima etapă se stabileşte

dependenţa parametrilor cinematici ai elementelor şi punctelor de

coordonată generalizată, adică se determină funcţiile relative (funcţiile

de poziţie şi funcţiile de transmitere ale mecanismului), iar la etapa a

doua — legea variaţiei coordonatei generalizate în funcţie de timp şi

dependenţele parametrilor cinematici ai elementelor conduse şi

intermediare de timp.

De exemplu, vom examina un mecanism plan cu două grade de

mobilitate (fig.3.3), al cărui element condus n (în fig.3.3 n = 6)

efectuează mişcarea de rotaţie cu viteza unghiulară n . Poziţia acestui

element faţă de sensul pozitiv al axei Ox a sistemului de coordonate ales

se determină cu unghiul ,n care este o funcţie de coordonate

generalizate 1 şi

2 , care depind de timpul mişcării 21,, nnt .

Pentru determinarea vitezei unghiulare a elementului n este necesar de

găsit derivata în funcţie de timp a funcţiei complexe :n

2

2

1

12

2

1

1

nnnnn

ndt

d

dt

d

dt

d,

sau

2

1

21

2

12

2

1

1

nn

nnn

n uudt

d

, (3.1)

unde n ,, 21 sunt vitezele unghiulare ale elementelor corespunzătoare

1, 2 şi n; 1

2

2

1 , nn uu rapoartele de transmitere particulare.

Pentru mecanismul cu un grad de mobilitate are loc un caz

particular în forma

11

1

1

n

n

n udt

d

d

d , (3.2)

unde 111 nnn ddu este raportul vitezelor unghiulare ale

elementelor, numit r a p o r t d e t r a n s m i t e r e .

Raportul de transmitere 1nu este o mărime adimensională. Sensul

fizic al rapoartelor de transmitere particulare 2

1nu şi 1

2nu în relaţia (3.1)

este următorul: 2

1nu reprezintă raportul vitezelor unghiulare 2

n şi 1

n

ale elementelor n şi 1 cu condiţia ca elementul 2, căruia i se atribuie a

doua coordonată generalizată ,2 este fix ( 02 ). Analog 1

2nu este

raportul vitezelor unghiulare 1

n şi 1

2 ale elementelor n şi 2 cu condiţia

ca elementul 1, căruia i se atribuie prima coordonata 1 este fix ( 01 ).

66

Fiecare din rapoartele de transmitere particulare 2

1nu şi 1

2nu este o

funcţie de coordonate generalizate 1 şi ,2 care sunt atribuite ambelor

elemente conducătoare 1 şi 2:

.,;, 21

1

2

1

221

2

1

2

1 nnnn uuuu

Rapoartele de transmitere particulare 2

1nu şi 1

2nu sunt numite analogi

ai vitezelor unghiulare ale elementului n. Sensul acestui termen rezultă

din următoarea prezentare: daca 02 şi ,/11 srad atunci 1

2nu poate fi

luat drept viteză unghiulară a elementului n, când elementul 2 este fix.

În mod analog, dacă srad /1,0 21 atunci 1

2nu poate fi luat

drept viteză unghiulară a elementului n, când elementul 1 este fix, adică

în mecanismul cu un grad de mobilitate.

Raţionamente similare se fac referitor la viteza punctului C, a cărui

poziţie este determinată de raza vectoare ., 21 CC rr

Viteza punctului C se obţine din relaţia

,2

2

1

1

2

2

1

1

CCCCC

C

rr

dt

dr

dt

dr

dt

rdv (3.3)

sau

,22112

2

1

1

CqCq

CC

C

rrv

unde 11 / CCq r şi

22 / CCq r sunt razele reducerii vitezei

punctului C la elementele conducătoare 1 şi 2, cărora le sunt

atribuite coordonatele generalizate.

Uneori mărimile Cq1 şi

Cq2 sunt numite a n a l o g i d e

v i t e z e ai punctului C şi sunt notate prin Cqv 1 şi ,2Cqv luând în

consideraţie următoarele relaţii:

.

;

2

1

2

22

1

2

1

11

CC

CqCq

CC

CqCq

vrv

vrv

(3.4)

Sensul fizic al acestor f u n c ţ i i de t r a n s m i t e r e

a l e v i t e z e i este următorul: Cqv 1 reprezintă viteza punctului

C cu condiţia ca 02 (elementul iniţial 2 este fix, mecanismul

posedă un grad de mobilitate), iar srad /11 . Analog, Cqv 2

viteza punctului C cu condiţia ca 01 , iar ./12 srad

67

Numind aceste funcţii de transmitere raze de reducere Cq1 şi

Cq2 ale vitezei la elementele conducătoare 1 şi 2, se are în vedere

următorul sens geometric: Cq1 este egal cu raza de curbură a

traiectoriei unui punct arbitrar C* de pe elementul conducător 1

care are aceeaşi viteză 2

Cv ca şi punctul C, cu condiţia ca 02

(elementul conducător 2 este fix); Cq2 este egal cu raza de

curbură a traiectoriei punctului analog C** pe elementul

conducător 2 cu condiţia ca .01 Pentru mecanismele cu un grad

de mobilitate sunt utilizate următoarele notaţii şi rapoarte:

.11

CC

qC

v

d

rdv (3.5)

Unitatea SI a funcţiei de transmitere a vitezei punctului în

cazul coordonatei unghiulare generalizate ,1 corespunde unităţii

razei de curbură: radmvqC /.

Funcţiile cinematice de transmitere nu depind de timp, ci sunt

determinate de schema cinematică a mecanismului şi de poziţia

elementelor lui, adică caracterizează parametrii cinematici ai

mecanismului, independent de legea variaţiei coordonatelor

generalizate.

În fig. 3.4 sunt prezentate graficele rapoartelor de transmitere

în funcţia coordonatei generalizate 1 pentru unele mecanisme: 1

transmisie cu roţi dinţate cilindrice; 2 cutie de viteze cu ro ţi

dinţate cilindrice; 3 mecanism cu bare cu culisă; 4 mecanism

cu cruce de Malta.

La proiectarea unor

mecanisme e necesar de folosit

graficele funcţiilor de transmitere

în funcţia, de exemplu, a poziţiei

elementului condus. În fig. 3.5

este prezentat graficul funcţiei de

transmitere a vitezei punctului D

de pe elementul condus C 1/DqD vv

în funcţie de deplasarea SD a aceluiaşi

Aici şi în continuare prin paranteze pătrate se notează unitatea SI a mărimii fizice.

Fig. 3.4

68

punct la mişcarea de translaţie, de exemplu, a pistonului; în fig. 3.6, în

funcţia unghiului de rotaţie a elementului în mişcarea de rotaţie, de

exemplu a tachetului în mecanismul cu camă.

Fig. 3.5 Fig. 3.6

Cu ajutorul derivatei de ordinul doi a funcţiei de poziţie a

elementului sunt determinate acceleraţiile unghiulare ale elementelor

corespunzătoare ale mecanismului. Pentru elementul cu indicele i (i=1,

. . . , n ) al mecanismului cu W=1 avem:

2 2 2

2i i i i i i i1 1

i 1 1 1 12 2 21 1 11 1

d d d d d d dd dd.

dt dt d dt d dt ddt d d

În cazul coordonatei generalizate 1 derivatele se exprimă în felul

următor: 11 şi .1 Unităţile SI: ./;/ 2

11 sradsrad În acest

caz acceleraţia unghiulară a elementului i poate fi determinată din

relaţia:

.1

2

11

1

2

12

1

2

qiqi

ii

id

d

d

d (3.6)

Cu ajutorul derivatei de ordinul doi a funcţiei poziţiei SC a punctului

C se determină acceleraţia tangenţială a punctului C al mecanismului:

,1

2

1

2

12

1

2

1

1

qCqC

CC

C vad

Sd

d

dSa (3.7)

sau

./ 2

112

1

qCqC

c vaa

(3.7*)

Derivata de ordinul doi a deplasării punctului C în funcţie de

coordonata generalizată qCC adSd 2

1

2 / este numita f u n c ţ i e de

69

t r a n s m i t e r e a a c c e l e r a ţ i e i punctului C sau

a n a 1 o g u l a c c e 1 e r a ţ i e i punctului C.

Dacă la proiectarea sau cercetarea mecanismului este dată sau

determinată funcţia de poziţie sau una din funcţiile de transmitere ale

mecanismului atunci celelalte relaţii pot fi stabilite folosind metodele de

diferenţiere şi integrare, inclusiv cele numerice sau grafice.

§ 3.2 Planele poziţiilor, vitezelor şi acceleraţiilor

mecanismelor plane cu bare

Metodele grafice de cercetare cinematică a mecanismelor care

permit determinarea poziţiei elementelor, vitezelor şi acceleraţiilor

punctelor şi elementelor au căpătat o răspândire largă. Aceasta este

condiţionată de rapiditatea, comoditatea şi ilustritivitatea soluţionării

problemelor aplicative de proiectare. Metodele grafice de calcul sunt

ilustrative şi se caracterizează prin comoditatea controlului. Într-o serie

de cazuri calculul grafic este bazat pe construcţiile geometrice, care

înlocuiesc cu o oarecare aproximaţie operaţiile analitice şi numerice

analoge. Există multe exemple, când procedeele grafice sunt unicele

metode acceptabile, deoarece au o soluţionare mai simplă. Precizia

metodelor grafice de 0,3...0,5% este suficienta pentru soluţionarea

multor probleme practice.

Metodele grafice devin dificile, dacă apare necesitatea executării

unui volum mare de operaţii uniforme, şi nu pot fi utilizate nemijlocit,

dacă calculele necesită o precizie înaltă.

Planele mecanismului. Prezentarea schemei cinematice a

mecanismului la scara aleasă, care corespunde unei anumite poziţii a

elementului conducător (sau a elementelor conducătoare pentru

mecanismele cu câteva grade de libertate), se numeşte p l a n u l m e c

a n i s m u 1 u i. Scara planului mecanismului determină dimensiunile

segmentelor care prezintă lungimea elementelor şi coordonatele

punctelor elementelor. Scara planului mecanismului se notează prin l

cu unitatea de măsura mmm / , adică prin scara lungimii se înţelege

raportul segmentului pe plan în mm faţă de valoarea numerică a lungimii

elementului reprezentat în unităţile sistemului SI, adică în m. De

exemplu, ,/,/ BClABl lBClAB unde

mmmmllmmBCAB lBCAB /;; .

70

Pentru determinarea valorii numerice a segmentelor dimensiunile

segmentelor corespunzătoare în m se înmulţesc cu scara aleasă a

planului mecanismului l ; de exemplu

BCl lBC .

Să analizăm metoda grafică pe exemplul mecanismului cu pârghii

cu şase elemente (fig.3.7) folosit, de exemplu, în dispozitivul de avans

intermitent automat al pieselor din magazie pe transportorul cu bandă.

Elementul 1 se roteşte neuniform cu opriri după rotirea lui la unghiul 2

. Cu toate acestea, în procesul construirii planului mecanismului unghiul

de rotaţie al elementului 1, care este o coordonată generalizată, poate fi

împărţit într-o serie de paşi unghiulari consecutivi, egali între ei (de

exemplu, pentru 12 paşi unghiulari, fiecare fiind egal cu 30°). Orice

punct al elementului conducător descrie o circumferinţă şi ocupă

consecutiv poziţiile distribuite uniform pe circumferinţă cu raza lAB. În

fig. 3.7 este prezentată circumferinţa descrisă de punctul B , ale cărui

poziţii consecutive sunt notate cu cifre arabe 1 ,2 ,3. . . ,12. Pentru

determinarea poziţiilor elementelor 2 şi 3 este suficient să găsim

poziţiile cuplei cinematice C, care uneşte articulat aceste elemente între

ele.

Punctul C descrie o traiectorie în formă de arc 22 cu raza

CDl în

mişcarea lui relativa în jurul punctului D şi traiectoria în formă de arc

11 cu raza CBl în mişcarea lui faţă de punctul B. Punctul de

Fig. 3.7

71

intersecţie al acestor două traiectorii 11 şi

22 ale mişcării

relative a punctului C (în fig.3.7 sunt indicate pentru poziţia 11 ) este

determinat cu ajutorul compasului. O astfel de construcţie uneori este

numită metoda intersecţiilor. Pentru celelalte poziţii ale elementului

conducător 1 se efectuează operaţii analoge şi se determină poziţiile

consecutive ale punctului C pe circumferinţa cu raza CDl , care sunt

distribuite neuniform. Poziţiile punctului C sunt notate de asemenea, cu

cifre arabe corespunzător marcării poziţiilor elementului iniţial. Pentru

găsirea poziţiilor elementelor 2 şi 3 e suficient să unim punctele

corespunzătoare (în figură este arătat cu linii roşii în poziţia 11).

Pentru determinarea poziţiilor elementelor 4 şi 5 este suficient să

găsim poziţia punctului F . Dreapta este traiectoria punctului F faţă

de batiul 6, iar dreapta , care coincide cu dreapta FD , este

traiectoria aceluiaşi punct faţă de elementul 3. Unghiul 3FDC al

elementului 3 este invariabil şi poziţiile dreptei (sau FD) pot fi

aflate, folosind construcţiile geometrice obişnuite, păstrând unghiul

neschimbat.

Intersecţia traiectoriilor mişcării relative a punctului F sunt a

dreptelor şi determină poziţiile lui corespunzătoare. Aceste

poziţii ale punctului F sunt de asemenea notate cu cifre arabe

corespunzătoare marcării poziţiilor elementului conducător 1.

Pe planul mecanismului în caz de necesitate pot fi construite

traiectoriile descrise de orice punct al unui sau altui element, al cărui

poziţie este deja stabilită. În fig. 3.7, de exemplu, sunt indicate poziţiile

consecutive ale punctului S pe biela 2 . Trasând peste poziţiile marcate o

curbă continuă, obţinem traiectoria punctului S. Traiectoriile similare ale

punctelor, amplasate pe elementele care efectuează mişcări plane

paralele, sunt numite curbe de bielă. Aceste curbe pot fi, de asemenea,

descrise cu ajutorul relaţiilor analitice. De exemplu, pentru mecanismul

articulat cu patru elemente ABCD , traiectoria punctului S (fig. 3.7) se

descrie printr–o curbă algebrică de ordinul şase. Poziţiile limită ale

punctelor pe traiectoriile lor sunt notate prin literele C, C, F, F. Ele

corespund poziţiilor "moarte" marginale care, de asemenea, pot fi aflate

cu ajutorul construcţiilor: poziţia C intersecţia traiectoriei 22 cu

arcul razei 21' lll AC cu centrul în punctul A; poziţia C" – intersecţia

aceleiaşi traiectorii 22 cu arcul razei ,12'' lllAC cu centrul in punctul

A; poziţiile F' si F" corespund punctelor C' şi C", B' şi B".

72

Distanţa F'F" determină la scara desenului cursa HF a elementului

condus 5 faţă de batiul 6. Unghiul '''3 DFF este numit cursa

unghiulară sau unghiul de rotaţie al culisei 3.

La constituirea planelor mecanismului, care includ grupe cu trei

antrenări, de asemenea se foloseşte metoda intersecţiei a două traiectorii

de mişcare relativă (metoda intersecţiilor totodată o traiectorie poate fi o

curbă de bielă faţă de sistemul legat cu elementul conducător. Uneori

această metodă este numită metoda pseudopoziţiilor. Particularităţile

acestei metode sunt arătate în exemplul construirii planului

mecanismului cu culisă cu opt elemente, prezentat în fig. 3.8.

Fig. 3.8 În acest mecanism cu un grad de mobilitate elementul 1, la care în

punctele B şi C sunt cuplate elementele 2 şi 3, este elementul

conducător. Aceste elemente sunt antrenori din grupa cu trei antrenori cu

elementul de baza 4. Elementul 5 este antrenorul al treilea în această

grupă. Elementele 6 si 7 formează o grupă cu doi antrenori.

Pentru stabilirea poziţiei elementelor din grupa cu trei antrenori se

utilizează metoda care constă în următoarele. Elementul iniţial 1 este

rotit la un oarecare unghi şi sunt stabilite poziţiile punctelor B i şi Ci pe

traiectoriile în formă de arc, descrise de aceste puncte faţă de punctul A.

Punctul F, care uneşte biela 5 şi elementul de baza 4, descrie faţă de

punctul M o traiectorie cu raza FMl . Însă practic e imposibil de stabilit

poziţiile punctului F pe această traiectorie, folosind metoda

intersecţiilor. De aceea e necesar să facem construcţii suplimentare,

legate de determinarea traiectoriei punctului F faţă de elementul

conducător 1 intr-o poziţie fixată (stare "îngheţată"). În această mişcare

73

relativă punctul D descrie o traiectorie în formă de arc cu raza

,DiBil iar punctul E traiectoria cu raza EiCil .

Fiind date o serie de poziţii ale punctului D i pe traiectoria , pe

traiectoria prin metoda intersecţiilor cu raza DEl , se stabilesc

poziţiile corespunzătoare ale punctului Ei şi se construieşte traiectoria

, descrisă de punctul F în această mişcare relativă a elementului 4

faţă de elementul 1 într-o poziţie fixă. Intersecţia traiectoriei a

punctului F în mişcarea relativă (pseudotraiectorie) cu traiectoria

posibilă a punctului F pe arcul cu raza FMl determină poziţia căutată a

punctului F şi a elementului 4 când poziţia elementului conducător

este cunoscută. Poziţiile elementelor 2 ,3 şi 4 pe desen sunt arătate cu

linii surii. Poziţia elementelor 6 şi 7 ale grupei cu două biele cuplate este

determinată prin metoda descrisă mai sus. Pentru construirea celorlalte

plane ale mecanismului e necesar să se efectueze acţiuni analogice

pentru numărul necesar de poziţii ale elementului conducător 1.

La determinarea caracteristicilor cinematice ale mecanismelor cu

cuple cinematice superioare (de exemplu, mecanisme cu came) trebuie

să luăm în consideraţie faptul că profilurile sau unul din profiluri au

configuraţii complicate (fig. 3.9). Coordonatele punctelor profilului

sunt date de obicei, grafic sau în formă de tabel. Desenarea unei serii de

poziţii de acest profil este dificilă. Metoda cea mai raţională este metoda

inversării mişcării. Esenţa acestei metode constă în faptul că

mecanismului i se comunică o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară

egală ca mărime şi inversa ca sens al acelui element, care trebuie sa fie

imobilizat. Deci, elementul conducător mobil 1, care are un profil

compus, convenţional este considerat imobil, iar batiul 4 este rotit în

sens opus cu viteza unghiulară 1

4

1 (fig.3.9). O astfel de mişcare a

mecanismului este numită m i ş c a r e i n v e r s a t ă a

elementelor faţă de elementul conducător 1.

Poziţia relativă a tuturor elementelor, inclusiv a elementelor

conducător şi condus, la inversarea mişcării nu se schimbă. Un

exemplu de utilizare a metodei de inversare a mişcării pentru

construirea planelor poziţiilor este prezentat pentru mecanismul

cu camă în formă de disc şi tachet oscilant cu rolă (fig. 3.9, a).

Batiului AC (elementul 4) i se comunică o mişcare relativă cu

viteza unghiulară (1 ) şi pe circumferinţa cu AC se marchează o

serie de poziţii ale punctului C: 0,1,2,3,... al axei de rotaţie a tache-

74

Fig. 3.9

tului, caracterizate de unghiurile de rotaţie ...,,, 231201 între

poziţiile vecine sau între unghiurile 030201 ,, calculate de la

poziţia iniţială a batiului AC.

Rola 2 cu raza Rr în mişcarea ei relativă se rostogoleşte pe

profilul constructiv al camei, iar axa ei B (centrul circumferinţei)

descrie o curbă, numita profil central. Poziţiile axelor rolei pentru

poziţiile marcate ale mecanismului sunt determinate, folosind

metoda intersecţiei profilului central cu arcuri cu raza egală cu

lungimea tachetului ,BCl şi sunt notate cu cifrele cu indicele 1 ', 2 ',

3 ', 4 ',... .

Punctele de intersecţie a acestor arce cu circumferinţa razei

R0 + R2 se notează prin cifrele 1,2,3,... . Lungimea arcelor 11', 22',

33', ... este egală cu deplasarea SB a axei B a rolei faţă de poziţia

iniţială a mecanismului şi este proporţională cu unghiurile

75

rotaţiei relative a tachetului, egale respectiv cu030201 ,, ,

Măsurarea unghiurilor de rotaţie ale tachetului 2 sau ale lungimii

corespunzătoare a arcelor, descrise pe axa B a rolei, permite

construirea graficelor care caracterizează variaţia funcţiei de

poziţie 1BS sau

1 în dependenţă de coordonata unghiulara 1

a elementului conducător (fig.3.9, b ) .

Planele vitezelor şi acceleraţiilor. Desenul în care sunt

prezentate sub formă de segmente vectorii egali ca modul şi

direcţie cu vitezele diferitelor puncte ale elementelor

mecanismului în momentul dat se numeşte p l a n de v i t e z e al

mecanismului. Planul de viteze al mecanismului reprezintă o

totalitate de câteva plane de viteze pentru elemente separate, la

care polul planelor P este un punct comun — polul planului de

viteze al mecanismului.

Desenul, în care sunt prezentaţi în formă de segmente vectorii

egali ca modul şi direcţie cu acceleraţiile diferitelor puncte ale

elementelor mecanismului în momentul dat, este numit p l a n de

a c c e l e r a ţ i i al mecanismului.

Planele vitezelor şi acceleraţiilor elementului conducător.

Dacă elementul conducător al mecanismului efectuează o

mişcare de rotaţie, coordonata lui unghiulara 1 este o coordonată

generalizată (fig. 3.10, a). Viteza punctului B al acestui element Bv

este perpendiculară pe dreapta AB, trasată prin axa A de rotaţie a

elementului şi poate fi prezentată prin vectorul Bv vBB ' pe planul

mecanismului (fig.3.10, b) sau prin vectorul Bv vpb pe planul de

viteze (fig.3.10, c). Raţionamente analoge se fac referitor la viteza ,Cv a

punctului C: Cv vpc sau a punctului D: Dv vpd (fig.3.10, b şi c).

Dacă punctele c, b, d şi a pe planul de viteze şi punctele C, B, D şi

A pe elementul conducător 1 sunt unite între ele cu drepte, atunci

triunghiurile corespunzătoare sunt asemenea: bcp ~ ;BCA bcd ~

;BCD cdp ~ .CDA Ele sunt amplasate unul faţă de altul la un unghi

drept în sensul .1 Rapoartele de asemănare sunt determinate de scările

v şi l şi viteza unghiulara .1

11 ;

l

v

l

v

ABl

Bv

AC

pc

l

v

BA

pb ş.a.m.d.

76

Fig. 3.10

La cercetarea cinematică a mecanismului cu roţi dinţate mai

convenabile sunt aşa-numitele triunghiuri de viteze, care reprezintă

tabloul variaţiei vectorilor vitezelor, plasaţi în punctele B*, D*, C* pe

dreapta BA a elementului examinat 1 (fig. 3.10, b).

În acest caz exista relaţiile:

.;;' **

**

CvDvBv vCCvDDvBB

Dreapta, care uneşte extremităţile vectorilor vitezelor liniare B', D',

C', este numită graficul de distribu ţie a vitezelor punctelor dreptei

BA. Unghiul, format de dreapta acestei distribuţii şi linia de pe element,

se determina din relaţia:

.'

11

l

v

BAl

Bv

l

v

BA

BBtg (3.8)

Viteza oricărui punct, de exemplu C, care nu se află pe linia BA

(fig.3.10, b) se determină uşor prin construcţia grafică; pentru aceasta

punctul C este transferat cu ajutorul compasului în punctul C* pe linia

BA şi se trasează o perpendiculară până la intersecţia cu dreapta de

distribuire a vitezelor în punctul C'. Segmentul C*C' este proporţional cu

valoarea numerică a vitezei punctului .' *

**

Cv vCCC Vectorul Cv al

vitezei punctului C pe schema elementului 1 este perpendicular pe linia

CA. Segmentele sunt egale: ,'' *CCCC deoarece *CC vv .

77

În fig. 3.10, d este construit planul de acceleraţii pentru elementul

conducător. Sunt prezentaţi vectorii acceleraţiilor punctelor B,C şi D

DCB aaa ,, şi componentele acestora: acceleraţii normale n

D

n

C

n

B aaa ,, şi

tangenţiale .,,

DCB aaa Vectorii corespunzători pe planul de acceleraţii

sunt construiţi după următoarele relaţii:

acceleraţia normală n

Ba a punctului B:

;''';2

1

n

BaAB

n

B appla

acceleraţia tangenţială

Ba a punctului B:

;''';1

BaBAB abbla

acceleraţia Ba a punctului B:

.''''''''; BaB

n

BB abbbpbpaaa

Relaţiile similare sunt scrise pentru acceleraţiile punctelor D

şi C: (fig. 3.10, b,c).

.'''''''';

;''';

;''';

1

1

CaC

n

CC

CaCAC

n

CaCA

n

C

acccpcpaaa

accla

acpla

Vectorii acceleraţiilor normale sunt orientaţi pe raza de

rotaţie a punctelor B şi C spre centrul de curbura A al

traiectoriilor şi caracterizează variaţia vitezei după direcţie:

.''';''' CAcpBAbp

Vectorii acceleraţiilor tangenţiale caracterizează schimbarea

vitezei după modul şi sunt orientaţi pe tangentă la traiectoria

mişcării: .''';''' CAccBAbb

Pentru determinarea acceleraţiei punctului D se ia în

consideraţie că poligonul pe planul de acceleraţii este

asemănător poligonului corespunzător pe elementul mobil. De

exemplu: .~''';~''' BCApcbCDBbdc

Segmentele p'd', p'b' sunt proporţionale cu segmentele

corespunzătoare AD şi BA pe element:

./''/''/'' CAcpBAbpDAdp

Se respectă de asemenea asemănarea şi altor figuri, de

exemplu: .~''' BDCcdb

78

Triunghiurile de viteze ale mecanismelor cu roti dinţate.

Pentru cercetarea mecanismelor cu roti dinţate, în special a

reductoarelor planetare şi a diferenţialelor, L.P. Smirnov a

propus să se folosească metoda grafica.

În fig. 3.11, a este prezentată schema trenului planetar, cu

ajutorul căruia doi arbori 6 şi H care se rotesc în sensuri opuse.

Noţiunea de distribuţie a vitezelor punctelor se defineşte cu

ajutorul triunghiurilor de viteze (fig. 3.11, b).

Fig. 3.11

Vectorul vitezei punctului A este reprezentat printr-un segment

,' AvvAA iar distribuţia vitezelor punctelor dreptei radiale a rotii

1 printr-o dreaptă oblică OA', care trece prin punctele A' şi O

sub unghiul 1 faţă de linia de referinţă a unghiurilor. Dreapta

A'CB' de distribuţie a vitezelor punctelor roţilor 2,3,5, unite

într-un bloc (satelit), este trasată prin punctele A şi C(C').

Deoarece prin punctul C trece axa rotaţiei instantanee a

satelitului fiindcă roata 4 este fixă, satelitul efectuează o mişcare

compusă rotirea cu port-satelitul H în jurul axei OO şi in jurul

axei B. Segmentul BB' dintre linia de referinţă şi dreapta

distribuţiei vitezelor este proporţional cu viteza axei B a

satelitului. Pentru port–satelitul H dreapta B'O de distribuţie a

vitezelor trece prin punctul B ' şi axa de rotaţie O sub unghiul .H

Viteza liniară a punctului D polul angrenării roţilor 5 şi 6 este

reprezentată prin segmentul DD' .

79

Pentru crearea unui tablou clar despre vitezele unghiulare şi

frecvenţele rotaţiilor roţilor dinţate se alege un punct comun O

(fig. 3.11, b ), prin care se trasează un fascicul de raze paralele

dreptelor corespunzătoare de distribuţie a vitezelor, adică de raze

cu unghiurile de inclinare .,,, 621 H Dacă acest fascicul de

raze este intersectat de o oarecare dreaptă perpendiculară pe linia

de reper a vitezelor liniare, atunci pot fi marcate punctele 1 , 2 , H ,

6 şi segmentele O1 ,O2 ,OH ,O6 , calculate de la punctul de

referinţă O. E uşor de demonstrat că aceste segmente sunt

proporţionale cu frecventele de rotaţie şi vitezele unghiulare ale

roţilor dinţate corespunzătoare. Se scriu următoarele relaţii:

l 1 v A A 1 1

v l lA1 1

1 l v v

OA r ; AA' v ; v r ;

,AA'/ O1v O1tg

r OA / OO

adică .1 1 O

În mod analog: ,2;6; 26 OOOH H

unde OOlv / este scara vitezei unghiulare; 1/ sradmm

unitatea SI a scării vitezei unghiulare.

Deoarece între turaţia n1 [1/s] şi viteza unghiulară 1 [rad/s]

există relaţia ,2 11 n atunci ,/12/12/11 nOOn scara

turaţiilor; unde 2n scara turaţiilor; 1/ smmn unitatea

SI a scării turaţiilor.

Raportul de transmitere este determinat din relaţiile: .1///;1/6// 11771161661 OOHtgtguOOtgtgu H

Pe linia turaţiilor roţilor dinţate de obicei pentru claritate se

depune scara gradata (fig. 3.11, c).

La proiectarea mecanismelor cu roti dinţate complexe, de exemplu,

a cutiilor de viteze (fig.3.12, a), se efectuează construcţii consecutive,

iar rezultatele sunt prezentate în forma unui fascicul de câteva linii al

turaţiilor pentru diferiţi arbori, de exemplu, A, B, C. În fig. 3.12, a este

prezentată schema cutiei de viteze cu şase trepte, care include blocul

mobil cu rotile z1, z2, z3, situat pe arborele A, blocul mobil cu rotile

dinţate z7, z8, situat pe arborele B, rotile dinţate z4, z5, z6, fixate pe

arborele B, şi roţile z9, zl0, fixate pe arborele C.

La proiectarea unor asemenea mecanisme turaţiile arborelui C

trebuie să varieze în limitele necesare conform legii stabilite, ce se

80

reflectă sub formă de grafic diagrama de turaţii. În fig. 3.12, b este

prezentat unul din aceste grafice, care arata variaţia, turaţiilor arborelui

C în limitele de la 1

1 min100 Cn până la 1

6 min400 Cn cu succesiunea

turaţiilor conform legii progresiei geometrice cu raţia data

.25,11010 Scara turaţiilor este logaritmică cu lungimea constantă

a segmentelor între valorile vecine ale scării.

Planele de viteze şi acceleraţii la mişcarea complicată a

punctelor elementului. La mişcarea compusă a punctului sau corpului

mişcarea se cercetează concomitent în sistemele de referinţă de bază şi

mobil.

Mişcarea punctului sau corpului faţă de sistemul de referinţă de

bază este numita m i ş c a r e a b s o l u t ă.

Mişcarea punctului sau corpului faţă de sistemul de referinţă mobil

este numita m i ş c a r e r e l a t i v ă.

Mişcarea sistemului de referinţă mobil este numită m i ş c a re de

t r a n s p o r t.

Fig. 3.12

Teorema compunerii vitezelor la mişcarea compusă a punctului

este următoarea: viteza absolută av a punctului este egală cu suma

geometrică a vitezelor de transport ev şi relativă rv ale acestui punct:

.rea vvv (3.9)

La determinarea vitezei de transport ev a punctului se

presupune că mişcarea relativa a punctului este oprită.

81

La mişcarea plană a elementului mişcarea de transport este o

mişcare de translaţie cu viteza unui punct arbitrar ales al

elementului luat drept pol, iar mişcarea relativă este o mişcare de

rotaţie în jurul acestui punct. Unghiul şi sensul rotaţiei nu depind

de alegerea polului.

Acceleraţia absolută aa a oricărui punct al elementului la

mişcarea plan–paralelă (plană) a corpului rigid este egală cu suma

geometrică a două acceleraţii: acceleraţia ea în mişcarea de transport

de translaţie şi acceleraţia ra în mişcarea relativă de rotaţie:

,

r

n

rerea aaaaaa (3.10)

unde n

ra şi

ra este corespunzător acceleraţia normală în mişcarea

relativă, orientată pe raza de rotaţie a punctului spre centrul de curbură al

traiectoriei, şi acceleraţia tangenţială, orientată perpendicular pe raza de

rotaţie.

Elementele mişcării absolute se notează cu indicele a ale mişcării

relative cu indicele r, ale mişcării de transport cu indicele e.

Relaţiile (3.9) şi (3.10) se folosesc pentru construirea planelor de

viteze şi acceleraţii ale punctelor elementului în mişcarea lui plană (de

exemplu a elementului BC în fig. 3.13). Ecuaţia vectorială (3.9) pentru

vitezele punctelor C şi B se scriu sub forma:

.CBBC vvv

Aceasta înseamnă ca viteza absolută Cv a punctului C este egală cu

suma geometrică a vitezei de transport ,Bv determinată de mişcarea

punctului B, şi a vitezei relative BCv a punctului C la rotirea elementului

în jurul punctului B. Această ecuaţie vectorială poate fi rezolvată, dacă

conţine nu mai mult de două necunoscute. Dacă sunt cunoscute

traiectoriile şi descrise de punctele C şi B în mişcarea absolută

(fig.3.13, a), atunci direcţia tuturor vitezelor în această ecuaţie coincide

cu tangenta dusă la traiectoria mişcării. E necesar de cunoscut modulul

vitezei numai a unui punct (de exemplu Bv ). La analiza ecuaţiilor

trebuie subliniate notaţiile vectorilor cu o liniuţă sau două în partea de

jos. Doua liniuţe înseamnă că vectorul dat este cunoscut atât ca direcţie,

cât şi ca mărime. O liniuţă înseamnă că este cunoscută numai direcţia

sau numai mărimea.

82

Soluţia ecuaţiei vectoriale este prezentata în fig. 3.13, b în formă de

segmente proporţionale cu vitezele corespunzătoare:

,bcpbpc unde .~;~;~ BCBC vbcvpbvpc

Viteza oricărui punct S pe elementul BC se determină prin metoda

divizării proporţionale a segmentului cb, care reprezintă viteza relativă

:CBv

./CBBScbbs

Pentru determinarea acceleraţiilor ecuaţia (3.10) poate fi scrisa sub

forma:

.CB

nCBB

nBC

nC aaaaaa (3.11)

Acceleraţiile normale se determină după formulele:

,//;/;/ 22222

CBCBCBCBCBBB

n

BCC

n

C lvvavava

unde CB , şi

CBCB l sunt razele de curbura ale traiectoriilor mişcării

absolute şi relative.

Acceleraţia tangenţială ,/ dtdva BB

de asemenea, este cunoscuta.

Soluţionarea ecuaţiei vectoriale (3.11) este prezentata în fig. 3.13, c sub

forma planului de acceleraţii:

Fig. 3.13

83

.'**'''''''''''''' cccbbbbpcccp

Segmentele '''cp , ''' bb , *'cb exprimă corespunzător acceleraţiile

normale n

Ca , n

Ba , n

CBa la scara a :

n

Ca acp ''' ; n

Ba abp ''' ; n

CBa acb *' .

Segmentele ''' cc , ''' bb , '*cc sunt proporţionale cu acceleraţiile

tangenţiale ,

Ca ,

Ba .

CBa Totodată segmentul

Ba abb ''' se calculează în

prealabil, iar segmentele '*cc , ''' cc permit determinarea acceleraţiilor

căutate:

aCB cca

/'* şi aC cca

/''' .

Acceleraţia oricărui alt punci de pe elementul BC, de exemplu S

(fig. 5.13, a), se determină folosind proprietatea asemănării figurilor şi

segmentelor pe element şi pe planul de acceleraţii (fig. 3.13, c):

BCBScbsb /'''' şi aS spa /'' .

Segmentul b's' se determina din relaţia:

CBBScbsb /'''' .

Metoda construirii planului de viteze şi planului de acceleraţii

pentru grupele cu doi antrenori şi trei cuple de rotaţie (fig. 3.14, a)

constă în alcătuirea ecuaţiilor vectoriale corespunzătoare pentru fiecare

element şi determinarea soluţiei comune.

De exemplu, pentru grupa cu doi antrenori, compusă din elementele

BS şi CD, reprezentată în fig. 3.14, a, se alcătuiesc următoarele ecuaţii.

Pentru determinarea vitezelor:

CDDC

CBBC

vvv

vvv

(3.12)

părţile din dreapta ale relaţiilor (3.12) se egalează:

CDDCBB vvvv ,

adică viteza punctului C poate fi calculată, dacă sunt cunoscute valorile

şi direcţiile vitezelor punctelor terminate ale ambelor bare B şi D cu

ajutorul cărora grupa se cuplează la elementul conducător şi batiu la

grupele cuplate anterior. Soluţionarea ecuaţiilor (3.12) este prezentata în

fig. 3 14, b sub forma planului de viteze.

84

Fig. 3.14

Pentru determinarea acceleraţiilor:

,

;

CDnCDD

nDCDDC

CBnCBB

nBCBBC

aaaaaaa

aaaaaaa

(3.13)

partea dreapta a relaţiilor (3.13) se egalează:

CD

n

CDDn

DCB

n

CBB

n

B aaaaaaaa ,

adică acceleraţia punctului C poate fi determinată, dacă sunt cunoscute

valorile şi direcţiile acceleraţiilor normale şi tangenţiale ale punctelor B

şi D ale ambelor bare ale grupei cu doi antrenori.

Soluţionarea grafică a ecuaţiei vectoriale (3.13) este prezentată în

fig. 3.14, c în forma de plan de acceleraţii.

În cazul când mişcarea de transport la mişcarea compusă a

punctului nu este mişcare de translaţie (fig. 3.15), atunci acceleraţia

absolută a punctului este egală cu suma vectoriala a trei acceleraţii: de

transport, relativa şi a lui Coriolis.

rerekrea vaaaaaa 2 , (3.14)

unde vectorul rv al vitezei relative a punctului se determina din relaţia

(3.9):

rea vvv .

Relaţiile (3.9) şi (3.14) sunt folosite pentru construirea planelor de

viteze şi acceleraţii, de exemplu, a punctului D al elementului 2, care se

deplasează faţă de elementul 3 (fig. 3.15, a). Mişcarea de transport este

85

mişcarea punctului C al elementului 3, căruia îi aparţine ghidajul

al cuplei cinematice de translaţie între elementele 2 şi 3. Punctul C al

elementului 3 coincide după poziţia în momentul dat cu punctul

examinat D al elementului 2. Mişcarea lor relativă este mişcarea

rectilinie în direcţia '' paralelă cu ghidajul .

Fig. 3.15

Direcţiile mişcării punctelor D şi C depind de legătura lor cu alte

elemente ale mecanismului, care determina traiectoriile ale

punctului C şi ale punctului D la mişcarea lor faţă de batiu.

Ecuaţia vectoriala (3.9) a vitezelor are forma:

.DCCD vvv

Vitezele Dv şi Cv sunt orientate pe tangente duse la traiectoriile

corespunzătoare ale punctelor: Cv la , Dv la , DCv este

orientată pe linia '' . Soluţionarea grafică a ecuaţiei vectoriale este

reprezentată în fig. 3.15, b în felul următor:

cdpcpd ,

unde fiecare din segmente este proporţional cu viteza corespunzătoare.

De aceea Cv vpc , iar vitezele căutate vD pdv / şi vDC cdv / .

86

Folosind planele de viteze, e posibilă determinarea vitezei şi a altor

puncte, de exemplu F, care aparţine elementului 2 şi coincide cu punctul

E al elementului 3 (fig. 3.15, a) 3232 EFEF vvv sau FEEF vvv .

La rezolvarea acestei ecuaţii vectoriale poate fi utilizată egalitatea

vitezelor punctelor F şi D în mişcarea relativă a elementului 2 faţă de

elementul 3: DCFE vv sau efcd .

Pentru construirea planului de acceleraţii folosim ecuaţia

krea aaaa , scrisa sub forma:

k

DCDCCD aaaa ,

sau

k

DCDC

n

DCC

n

CD

n

D aaaaaaa

. (3.15)

În notaţia acceleraţiei Coriolis se foloseşte indicele superior, dacă

în indicele inferior este prezentată notaţia punctelor în sistemele de

referinţă de bază şi mobil. De exemplu, k

CDa32 sau k

DCa pentru notarea

acceleraţiei Coriolis a punctului D2 (sau D) faţă de sistemul mobil, al

cărui punct C3 (sau C) coincide în momentul de timp dat cu punctul D2

(sau D).

Astfel în ecuaţia (3.15) acceleraţiile normale sunt egale respectiv:

.0//;/;/ 2222 DCDCDC

n

DCCC

n

CDD

n

D vvavava

Acceleraţia tangenţială a punctului C CCa

3 . Acceleraţia

Coriolis DCre

k

DC vva 322 . Pentru determinarea direcţiei

acceleraţiei Coriolis luăm în consideraţie că vectorul 3 este

perpendicular pe planul desenului, iar vectorul vitezei relative DCv este

plasat în planul desenului. De aceea e suficient de rotit vectorul vitezei

relative DCv la un unghi de 90° în planul desenului în sensul vitezei

unghiulare a mişcării de transport (în cazul dat ;3 fig. 3.15, d ) .

Vectorul rotit, conform regulii lui Jukovski, coincide cu direcţia

acceleraţiei Coriolis pentru mecanismele plane.

Rezolvarea ecuaţiei vectoriale pentru acceleraţii este prezentată în

fig. 3.15, c în formă de segmente:

'**''''''''''''' dddccccpdddp .

Fiecare segment este proporţional cu acceleraţia corespunzătoare:

;'''n

Da adp ;'''n

Ca acp ;'''

Ca acc k

DCa adc *' .

Acceleraţiile căutate sunt egale cu:

87

aDaDC ddadda

/''';/'* .

La determinarea vitezelor şi acceleraţiilor punctelor în cazul grupei

cu doi antrenori, în care cuplele cinematice terminale sunt cuple de

rotaţie şi de translaţie, se folosesc relaţiile pentru mişcarea compusă a

punctului şi mişcării plane a elementului.

În fig. 3.16, a este prezentată o grupă cu doi antrenori, al căror

element 3 formează o cuplă cinematică de translaţie cu elementul 4, iar

elementul 2 formează cuplele de rotaţie B şi C. Pentru determinarea

vitezei punctului C pot fi scrise următoarele ecuaţii:

CFFCCBBC vvvvvv ; .

Aceste relaţii permit soluţionarea problemei, dacă în

prealabil este determinată viteza punctului F pe elementul 4,

deoarece este dată viteza punctului M al aceluiaşi element 4:

FMMF vvv .

Egalând pârtile din dreapta ale relaţiilor, obţinem:

CFFCBB vvvv .

Fig. 3.16

Această ecuaţie se rezolvă, dacă sunt cunoscute vitezele Bv şi

Fv

ale punctului B şi punctului F de pe elementul 2 şi 4 respectiv.

Rezolvarea ecuaţiei vectoriale este prezentată în fig. 3.16, b sub

forma de plan de viteze. Relaţii analoge se scriu pentru acceleraţii:

88

,

;

;

k

CFCFF

k

CFCFFC

CB

n

CBB

n

BCBBC

FM

n

FMMF

aaaaaaa

aaaaaaa

aaaa

După egalarea parţilor din dreapta ale relaţiilor obţinem:

CF

k

CFF

n

FCB

n

CB

n

B aaaaaaa .

Relaţiile prezentate se rezolvă dacă în prealabil sunt determinate

valorile şi direcţiile tuturor vectorilor subliniaţi cu doua linii. În fig.

3.16, d este prezentată determinarea direcţiei acceleraţiei Coriolis după

regula lui Jukovski. Rezolvarea acestei ecuaţii vectoriale este redată în

formă de plan de acceleraţii în fig. 3.16, c.

Aplicarea procedeelor de cercetare cinematică a grupelor cu doi

antrenori, expuse mai sus, este examinată mai jos în exemplul

mecanismului cu culisă cu şase elemente (fig. 3.17, a) utilizat în diferite

maşini tehnologice.

Fig. 3.17

Să admitem că elementul conducător 1 al mecanismului efectuează

o mişcare de rotaţie faţă de axa A cu viteza unghiulara dată 1 şi

acceleraţia unghiulară 1 . Pentru poziţia elementului conducător 1,

determinată de coordonata unghiulară 1 , poate fi găsită viteza

BAB lv 1

89

a punctului B şi acceleraţiile: normală ;/22

1 ABBAB

n

B lvla tangenţială

.1 ABB la

Pe planul de viteze (fig. 3.17, b) şi acceleraţii (fig. 3.17, c) aceşti

vectori sunt prezentaţi în formă de segmente, ale căror direcţie şi

lungime corespund valorilor fizice:

.''';''';

Ba

n

BaBv abbappvpc

Elementele 2 şi 3 formează o grupă cu doi antrenori, cuplată cu o

articulaţie terminală în punctul B la elementul conducător 1 şi cu a doua

articulaţie terminală în punctul D la batiul 6. Cupla cinematică

intermediară în punctul C este cupla de rotaţie, ea cuplează elementele 2

şi 3. Conform teoremei asupra mişcării plane a acestor elemente, scriem

următoarele ecuaţii vectoriale:

pentru determinarea vitezelor:

,; CDCDDCCBBC vvvvvvv

,0Dv deoarece axa D este fixa;

pentru determinarea acceleraţiilor:

,;

CD

n

CDDCCB

n

CBB

n

BC aaaaaaaaa

unde .0Da

Vectorii vitezelor relative CBv şi CDv sunt orientaţi pe tangente la

traiectoriile mişcării relative, adică .; CDvBCv CDCB

Valorile numerice ale acceleraţiilor normale n

CBa şi n

CDa se

determină, luând în consideraţie vitezele şi razele de curbură a

traiectoriilor punctelor:

./;/ 22

CDC

n

CDCBCB

n

CB lvalva

Vectorii acceleraţiilor normale sunt orientaţi pe normala spre

centrul de curbură al traiectoriei corespunzătoare a mişcării relative a

punctelor. Vectorii acceleraţiilor tangenţiale

CBa şi

CDa sunt orientaţi

pe tangentele la traiectoriile mişcării relative. Deci,

.;;; CDaCDaCBaCBa CD

n

CDCB

n

CB

Soluţionarea grafică a ecuaţiilor vectoriale, descrise mai sus, este

redată în formă de plan de viteze (fig. 3.17, b) şi plan de acceleraţii (fig.

3.17, c). Valorile căutate ale parametrilor Cv şi Ca sunt determinate din

relaţiile:

./'';/ aCvC cpapcv

90

La elementul 3 al mecanismului analizat este legată grupa a doua cu

doi antrenori, care este constituita din elementele 4 şi 5, care formează

între ele cupla de rotaţie F. Elementul 4 formează cu elementul 3 o cuplă

cinematică de translaţie. Existenţa acestor legături determină mişcarea

relativă a elementelor: culisa 5 se mişcă de-a lungul batiului director 6,

iar elementul 4 poate să alunece faţă de ghidajul ED pe elementul 3, care

efectuează o mişcare de rotaţie fata de axa D.

Pentru alcătuirea ecuaţiilor vectoriale pentru grupa formată din

elementul 4 şi 5 se analizează mişcarea compusă a culisei 4, adică

mişcarea punctului F de pe elementul 4 faţă de punctul E de pe elementul

3, poziţiile cărora în momentul dat coincid. Pentru aceste doua puncte F4

şi F3 care aparţin unor elemente diferite, se scriu următoarele ecuaţii

vectoriale:

pentru determinarea vitezelor:

3434 EFEF vvv sau ;FEEF vvv

pentru determinarea acceleraţiilor:

.

FE

n

FE

k

FEE

n

EFF aaaaaaa

În acest caz ,0n

FEa deoarece mişcarea relativă este mişcare de

translaţie. La construirea planului de viteze viteza punctului E se

determină din relaţia ECCE vvv sau din asemănarea figurilor:

.~ DCEpce

La construirea planului de acceleraţii acceleraţia punctului E se

determină din asemănarea figurilor din schema mecanismului şi planul

de acceleraţii: .~''' DCEecp

Rezolvarea ecuaţiei vectoriale pentru determinarea vitezelor este

prezentată în fig. 3.17, b.

Vectorul ef este paralel cu linia DE, iar vectorul pf paralel cu

batiul director 6. Viteza căutată Fv a punctului F se determina din

relaţia:

./ vF pfv

Viteza FEv a punctului F al elementului 4 faţă de punctul E al

elementului 3 se determină din relaţia ./ vFE efv

Vitezele unghiulare ale elementelor - 3 şi 2 se determina din relaţia:

,/

/3

CD

pc

CD

pc

l

v

v

l

l

v

CD

C

91

1sgn 3 (în sensul acelor de ceasornic);

,/

/2

BC

bc

BC

bc

l

v

v

l

l

v

BC

CB

1sgn 2 (în sens opus mişcării acelor de ceasornic).

Ecuaţiile vectoriale pentru determinarea acceleraţiilor sunt

următoarele:

,

;

FE

n

FE

k

FEEF

CB

n

CBB

n

BC

n

C

aaaaa

aaaaaa

unde .0n

FEa Rezolvarea acestora este reprezentata în figura 3.17, c.

Vectorul '''cp este paralel cu linia CD, lungimea lui este determinată

din relaţia .'''n

Ca acp Direcţia vectorului este perpendiculară pe linia

DC, iar lungimea lui se determină după rezolvarea ecuaţiei vectoriale.

Vectorii n

Ba abp ''' şi

Ba abb ''' se trasează paralel şi perpendicular pe

elementul BA, luând în consideraţie sensurile acceleraţiei unghiulare .1

Pentru rezolvarea primei ecuaţii la vectorul Ba abp '' se adaugă

vectorul n

CBa acb *' şi vectorul '*cc , a cărui lungime se calculează din

construcţie. Punctul c' este punctul de intersecţie a doi vectori, care sunt

proporţionali cu vectorii

CBa şi

Ca cunoscuţi după direcţie, dar

necunoscuţi după mărime. Acceleraţia căutată: aC cpa /'' .

Acceleraţia punctului E se determină din asemănarea triunghiurilor

pe schema mecanismului şi planul de acceleraţii: '''~ epcCDE .

Ecuaţia vectorială pentru determinarea acceleraţiei punctului F de

pe culisele 4 şi 5 în partea dreaptă conţine doi vectori, cunoscuţi ca

mărime şi direcţie: FEa aep '' şi k

FEa afe *' , şi un vector

,'*

FEaaff a cărui direcţie este paralelă cu linia ED.

Acceleraţia k

FEa este calculată după relaţia:

.22 3 FEre

k

FE vva Punctul f' de pe planul de acceleraţii se obţine la intersecţia

vectorilor '' fp şi '* ff , cunoscuţi ca direcţie. Acceleraţia căutată a

punctului F:

./'' aF fpa

92

Acceleraţiile centrelor de masa S2, S3, S5 ale elementelor 2, 3, 5 se

determină prin metoda asemănării figurilor şi divizării proporţionate a

segmentelor vectorilor acceleraţiilor punctelor în mişcarea relativă şi în

schema mecanismului. De exemplu:

BC

BScbsb 2

2 '''' şi 2''2

spa aS sau ECSesc 33 ~''' .

În fig. 3.17 este arătată numai o latură c'e' a triunghiului

./'' 33 aS spa Elementul 5 efectuează o mişcare de translaţie: deci

./''5 aFS fpaa

Acceleraţiile unghiulare ale elementelor sunt determinate din

relaţiile:

.1sgn;'''

/

;1sgn;'*

/

33

22

CD

ccla

BC

ccla

a

lDCC

a

lCBCB

În cazul cercetării cinematice a mecanismelor cu grupe cu trei

antrenori, care includ elementul de bază şi trei bare, ecuaţiile , alcătuite

pentru punctele alese arbitrar, nu pot fi rezolvate direct. De aceea pe

elementul de baza 3 se aleg puncte, numite puncte s i n g u 1 a r e (fig.

3.18, a ) . Ele se afla la intersecţia liniilor axiale ale celor doua baze

Fig. 3.18

sau a perpendicularelor, duse la axele culiselor. De exemplu, punctul

singular W se afla la intersecţia liniei EH a bielei 5 şi a perpendicularei

93

WB duse la ghidajul ED al culisei 2 (a doua bielă) (fig.3.18, a). Deci,

pentru fiecare grupă cu trei biele pe elementul de bază există trei puncte

singulare W, W' şi W". La analiza cinematică e suficient să se găsească

parametrii unui singur punct singular, de exemplu W. Esenţa selectării

acestor puncte, de exemplu W, constă în obţinerea aceleiaşi direcţii a

vitezelor mişcării relative a doua puncte, pentru care se scrie ecuaţia

vectorială. De exemplu, direcţia vitezei BCv pentru elementul 2 coincide

cu CWv , pentru elementul de bază sau direcţia vitezei HEv pentru biela 5

coincide cu EHv pentru elementul de bază.

Să analizăm ecuaţia sumării vitezelor:

.CBBC vvv

Această ecuaţie nu se rezolva nemijlocit. De aceea conform

teoremei asupra mişcării plan-paralele a elementului de bază 3 se

alcătuiesc ecuaţiile vitezelor pentru punctul singular W:

W C WC B CB WC W E WEv v v v v v ; v v v .

În aceste ecuaţii direcţiile vectorilor CBv şi WCv (perpendiculare pe

linia ED) şi ale vectorilor Ev şi WEv (perpendiculare pe HEW) coincid.

Egalând părţile din dreapta, obţinem ecuaţia:

.WEEWCCBB vvvvv

Această ecuaţie vectorială, deşi conţine patru necunoscute, permite

să se determine vectorul Wv al vitezei punctului singular W, deoarece în

partea dreapta şi cea stângă ale ecuaţiei vectorii CBv şi WCv , au aceeaşi

direcţie. Rezolvarea ecuaţiei vectoriale este prezentată în planul de

viteze (fig. 3.18, b) în forma pbw cu laturile ;Bv vpb

;WEEv vvpw .WCCBv vvbw

Segmentul pw este proporţional cu viteza wv a punctului W, care

aparţine elementului de bază 3, Wv vpw . Pentru determinarea vitezei

punctului D alcătuim ecuaţia vectoriala: .WDWD vvv

Aici viteza punctului D este orientată de-a lungul ghidajului

al elementului 4, iar viteza relativă WDv este perpendiculară pe linia WD.

Rezolvarea acestei ecuaţii vectoriale este prezentată în planul de viteze

94

(fig. 3.18, b) sub forma .;: pdDWdwpdw Viteza căutată

./ vD pdv

Vitezele celorlalte puncte ale elementului de bază (de exemplu C şi

E) se calculează uşor, de exemplu după metoda asemănării figurilor:

WDEwde ~ şi WCDwcd ~ sau după metoda divizării proporţionate

a segmentelor .

EC

DE

ec

de

Raţionamente şi construcţii similare se efectuează pentru

determinarea acceleraţiilor punctelor în mecanismul cu o grupă cu trei

antrenori.

Mai jos sunt prezentate relaţiile necesare:

.

;; 1

2

1k

CBCB

n

CBBC

BABBA

n

B

aaaaa

lala

Ultima ecuaţie conţine trei parametri necunoscuţi, deoarece .0n

CBa

Pentru punctul singular W se scrie sistemul de ecuaţii:

.

;

WCCB

n

WC

k

CBBWC

n

WCCW

WEE

n

WE

n

EWE

n

WEEW

aaaaaaaaa

aaaaaaaa

Luând în consideraţie că

WEEaa şi

WCCB aa şi egalând părţile din

dreapta ale ecuaţiilor, avem: .

WEE

n

WE

n

EWCCB

n

WC

k

CBB aaaaaaaaa

În această ecuaţie două perechi de vectori au aceeaşi direcţie, ce

permite să se determine acceleraţia Wa a punctului singular W:

aW wpa /'' (fig. 3.18, c).

Mai departe găsim acceleraţiile celorlalte puncte, alcătuind şi

rezolvând ecuaţiile vectoriale:

.

;

ED

n

EDDE

n

E

DW

n

DWWD

aaaaa

aaaa

Valorile necunoscute ale acceleraţiilor tangenţiale ale punctelor D

şi E se determină după valorile segmentelor corespunzătoare pe planul

de acceleraţii (fig. 3.18, c), luând în consideraţie scările:

./'';/''';/'' aEaEaD epaeeadpa

95

Determinarea funcţiilor cinematice de transmitere prin metoda

grafica. La construirea planelor de viteze şi acceleraţii, analizate în acest

capitol, s-a pornit de la ipoteza că este cunoscută legea de variaţie a

coordonatelor generalizate ale mecanismului în funcţie de timp. Prin

mecanismul cu un grad de mobilitate (W = 1) se presupune că sunt

cunoscute valorile vitezei unghiulare 1 şi acceleraţiei unghiulare .1 În

cazul când aceste valori la un stadiu anumit de proiectare a maşinii

rămân încă necunoscute, se folosesc planele vitezelor posibile şi ale

acceleraţiilor posibile (cu condiţia ca 01 ). Construcţiile grafice

sunt analoge celor examinate, însă valorile numerice ale scărilor v şi

a pentru planele vitezelor şi acceleraţiilor sunt necunoscute.

Aceasta, însă, nu împiedică calculul funcţiilor cinematice de

transmitere, care sunt rapoarte ale parametrilor cinematici pentru

elementele conducător şi condus. Aceşti parametri nu depind de scara

construcţiilor grafice. Ne putem convinge de acest lucru pe baza

exemplelor analizate mai sus.

De exemplu, pentru mecanismul transportorului prezentat în fig.

3.17, a, funcţiile de transmitere ale vitezei mişcării unor puncte şi

elemente se determină din următoarele relaţii.

Funcţiile de transmitere ale vitezelor punctelor F, S2, S3:

2 2

2

3

3

vF FqF BA 1

1 B BA v

S S 2qS 1

1 B BA

S 3qS 1

1

pf /v v pfv l l ;

v / l pb / pb

v v psv l ;

v / l pb

v psv l .

pb

Rapoartele de transmitere ale vitezelor unghiulare ale elementelor

1, 2 şi 3:

,1

/

/

;1

/

/

31

3

31

21

2

pb

pc

lv

lvu

pb

bc

pb

bc

l

l

lv

lv

BAB

CDC

CB

BA

BAB

CBCB

unde .//;//; 11331221 llllllllll DCBABCBA

Calcule similare se efectuează şi pentru funcţiile de transmitere ale

96

acceleraţiei mişcării punctelor şi elementelor, considerând că acceleraţia

tangenţială a elementului conducător este egala cu zero. Din relaţiile

prezentate rezultă că funcţiile cinematice de transmitere sunt exprimate

prin raportul segmentelor. La schimbarea scării de construire lungimea

segmentelor poate să se schimbe, însă aceasta nu va influenţa asupra

raportului acestora, adică asupra valorii numerice a funcţiilor de

transmitere.

§ 3.3. Metoda analitică de determinare a funcţiilor

cinematice de transmitere ale mecanismelor plane cu

bare cu utilizarea calculatorului

Esenţa metodei constă în faptul că coordonatele unghiulare şi

liniare, vitezele şi acceleraţiile elementelor şi funcţiile de transmitere se

determină sub formă de expresii analitice, care conţin un număr finit de

operaţii algebrice sau trigonometrice. Expresiile analitice pot să

determine funcţia în mod explicit, implicit sau parametric.

Date iniţiale sunt schema cinematică a mecanismului care

determină structura acestuia, dimensiunile elementelor şi dependenţele

coordonatelor generalizate ale mecanismului de timp. Dacă ultima nu-i

cunoscută, atunci ecuaţiile se scriu în funcţie de coordonate generalizate,

adică determină funcţiile cinematice de transmitere.

Expresiile analitice sunt stabilite pentru coordonatele, vitezele şi

acceleraţiile punctelor caracteristice ale mecanismului pentru care este

necesară descrierea cantitativa a mişcării în procesul proiectării.

Mai jos sunt prezentate câteva exemple de determinare a expresiilor

analitice pentru caracteristicile cinematice ale unor mecanisme, care

sunt utilizate larg în construcţia de maşini.

Mecanismul cu culisă. În fig. 3.19, a este prezentată schema

mecanismului de tangenţă cu culisa cu şase elemente, care include

manivela 1, culisa 3, pistoanele 2, 4, 5. În fig. 3.19, b este prezentată

schema mecanismului cu culisă cu patru elemente, iar în fig. 3.19, c un

exemplu de utilizare a mecanismului cu culisă în maşină. Lungimile

elementelor sunt scrise în raport cu lungimea manivelei prin coeficienţii

,,, 63 e ai lungimii relative a elementelor: ./,/,/ 1661133 lllell e

La determinarea poziţiei necesare a elementului se ia în consideraţie

orientarea lui faţă de axele de coordonate cu ajutorul vectorului, legat de

elementul analizat. Acest vector este legat cu

97

punctele caracteristice de pe element: cu axa elementului care trece prin

axele articulaţiilor acestuia (de exemplu, în fig. 3.19:

ADlDElABl 631 ,, ), sau cu ghidajele în cuplele cinematice de

translaţie (de exemplu, în fig. 3.19 5;le ).

Unghiurile de înclinare a vectorilor se măsoară în direcţia pozitivă

de la axa abscisei. Originea coordonatelor A din sistemul de coordonate

Axy este situată pe axa de rotaţie a elementului conducător (fig. 3.19) sau

în alt punct, iar axa absciselor Ax este legată cu batiul (de exemplu, cu

direcţia Ad prin axele A şi D ale cuplelor cinematice de rotaţie în fig.

3.19).

Unghiul 3 de înclinare a vectorului l3, legat cu culisa, se determină

din relaţia

DEDE xxyytg /3 ,

unde xD, yD şi xE, yE sunt coordonatele originii D şi extremităţii E a

vectorului 6l .

Fig. 3.19

Unghiul 3 , în funcţie de rapoartele concrete între lungimile

elementelor poate să varieze de la 0 până la 360 (de exemplu, pentru

98

mecanismul cu culisă rotativă). Funcţiile trigonometrice inverse sunt

multiforme, iar valorile principale valori limitate. Astfel, pentru

funcţia circulară 3arctg valoarea principală variază numai în limitele

±90. De aceea pentru determinarea justă a valorii unghiului 3 este

folosită funcţia signum, care determină semnul argumentului şi este

notata prin xy sgn :

.01

;00

;01

xcând

xcând

xcând

y

De exemplu, unghiul director 3 este determinat din relaţia:

.0,32

;0sgn,

;0sgn,2/

;1sgn,

;1sgn,

3

3

dacă

yydacă

xxdacă

xxdacăxx

yyarctg

xxdacăxx

yyarctg

DE

DE

DE

DE

DE

DE

DE

DE

(3.16)

Deoarece, ;sin;cos;// 111166 lylxxlxlyy BBBEBE

,0;166 DD yllx relaţia (3.16) este scrisă în formă definitivă:

.0,2

;0sinsgn,

;0sgn,2/

;1cossgn,cos

sin

;1cossgn,cos

sin

33

1

61

61

1

61

61

1

3

dacă

dacă

xxdacă

dacăarctg

dacăarctg

DE

(3.17)

Coordonatele xF, yF ale punctului F pe pistonul 5:

33133 sinsin; llyyex EFF .

Coordonatele xS3, yS3 ale punctului S3 pe culisa 3:

3331333313 sin;cos SSSS lylx ,

unde 133 / ll DSS .

Funcţiile cinematice de transmitere se determină prin derivarea

funcţiei de poziţie a elementelor în raport cu coordonata generalizată 1 .

Raportul de transmitere 31u al vitezelor unghiulare:

99

,cos

sinsincoscos

cos

sin1

1

cos

sin

2

61

11161

2

61

1

61

1

11

3

1

3

31

arctg

d

d

d

du

sau definitiv:

.cos21

cos12

616

16

31

u (3.18)

Funcţia de transmitere qFv a vitezei punctului F al pistonului 5:

.cossin

33131

1

331

1

ul

d

ldvv F

qF (3.19)

Funcţiile de transmitere xqSv 3

şi yqSv 3

ale proiecţiilor vitezei

punctului S3 de pe culisa 3:

.cos/

;sin/

331331133

331331133

ulvv

ulvv

SySyqS

SxSxqS (3.20)

Derivând relaţiile deduse (3.18) (3.20) a doua oară, obţinem

funcţiile de transmitere ale acceleraţiei unghiulare a culisei şi

acceleraţiilor punctelor F şi S3.

Caracterul variaţiei funcţiei de poziţie Fy,3 şi a funcţiilor de

transmitere qFvu ,31 ale mecanismului, calculate cu ajutorul

calculatorului, este comod de urmărit pe display sau pe graficele

obţinute cu ajutorul trasatorului de grafice (fig. 3.20 şi 3.21). Este arătată

variaţia funcţiei cu unghiul de rotaţie a manivelei la diferite rapoarte

între vitezele medii ale elementului condus la cursele de lucru şi în gol,

evaluate de coeficientul de variaţie a vitezei medii vK .

În fig. 3.20, a,b curbele corespund variaţiei Fy şi vqF , iar în fig.

3.21, a,b variaţiei 3 şi

31u pentru cinci valori fixate vK în diapazonul

de la 1,25 până la 2,25 cu pasul 0,25.

Mecanismul manivelă-piston. Schema cinematica a

mecanismului este prezentata în fig. 3.22. Ghidajul 4 al pistonului 3 este

înclinat faţă de sistemul de coordonate 00 yOx sub unghiul 40 . Este

raţional să alegem un sistem nou de coordonate Axy, a cărui origine a

axelor de coordonate A coincide cu axa de rotaţie a manivelei 1, iar axa

Ax a abscisei este orientată paralel tu ghidajul 4 al pistonului 3, care are

excentricitatea e. Pentru determinarea univocă a unghiurilor 1 şi

2 cu

100

Fig. 3.20

elementele 1 şi 2 sunt legaţi vectorii 1l şi .2l Lungimea bielei 2 şi

poziţia punctului S pe bielă sunt exprimaţi prin lungime 1l a manivelei:

;122 ll .; 1122 lelll eSSBS

Unghiul director 2 al vectorului :2l

BCBC xxyytg /2 , (3.21)

unde xC, yC şi xB, yB sunt coordonatele originii B şi extremităţii C ale

vectorului 2l , care sunt exprimate sub forma relaţiilor:

;

.

sincossincos

;sin;cos

1

2

1

2

211

2

11

2

211

1111

ley

lelllx

lylx

eC

eC

BB

(3.22)

101

Fig. 3.21

După substituirea ecuaţiilor (3.22) în (3.21) avem:

2

1

2

2

1

2

sin

sin

e

etg

(3.23)

sau

.

sincos

;sin

sin

2

1

2

2

2

2

2

1

2

e

e

(3.24)

102

Din relaţiile (3.23) sau (3.24) găsim unghiul :2

.1sinsgn,/sinarcsin

;1sinsgn,/sinarcsin2

121

121

2

ee

ee

dacă

dacă

Funcţia de poziţie a punctului C al pistonului 3 corespunde

expresiei:

.sincos2

1

2

211

eC lx (3.25)

Funcţia de poziţie a punctului S de pe biela 2:

.sinsin

;coscos

2211

2211

SS

SS

ly

lx

(3.26)

Funcţiile cinematice de transmitere se obţin prin derivarea relaţiilor

(3.23) (3.26) în raport cu coordonata generalizată 1 .

Raportul de transmitere 21u a vitezelor unghiulare ale bielei şi

manivelei:

,/sin1

cos/sinarcsin

212

1

1

21

1

2

1

2

21

e

e

d

d

d

du

sau definitiv

.cos

cos

sin

cos

22

1

2

1

2

2

1

1

2

21

e

u (3.27)

Funcţiile de transmitere a vitezelor unor puncte: a punctului C de pe

piston

Fig. 3.22

103

,

sin

cossinsin

2

1

2

2

11

11

11

e

eCC

qC ld

dxvv

sau

,

sin

cossinsin

2

1

2

2

11

11

1

e

eC

qC lv

v (3.28)

sau

;cos

sin

cos

cossinsin

2

12

1

2

12

11

1

ll

vv C

qC (3.29)

a punctului S pe bilă:

.

;coscos

;sinsin

22

221211

1

221211

1

qSyqSxqS

S

Sy

qSy

S

Sx

qSx

vvv

ulv

v

ulv

v

(3.30)

Acceleraţia unghiulară a bielei 2:

dt

du

dt

du

dt

ud

dt

d 21

1

1

21

2112

2

(3.31)

sau .1

212

11212

d

duu (3.32)

Funcţia de transmitere a acceleraţiei unghiulare a bielei 2 se

determină din relaţia:

,22

1

1

21

1

21

2

1

1

212

1

2

qud

duu

(3.33)

unde

.cos

cossinsin

cos

1

cos

sincossincos

cos

cos

2

2

2

1

2

2

1

22

2

2

2

212112

22

1

11

21

2

u

d

d

d

duq

În final obţinem

.cos

cossinsincos

cos

1

2

2

2

1

2

2

12

1

1

1

22

2

1

2

(3.34)

104

Fig. 3.23 Raportul acceleraţiei

Ca la pătratul vitezei unghiulare 1 a punctului

C pe piston este egal

.cos

cos1cossin

cos 2

2

1

2

2

21122

1

1

2

1

2

1

laC (3.35)

Rezultatele calculelor unor funcţii cinematice, efectuate cu ajutorul

calculatorului, sunt reprezentate sub formă de grafice: în fig. 3.23, b

graficele variaţiei funcţiei 1/CqC vv în dependenţă de unghiul 1 când

lungimea bielei este constantă 42 , însă la diferite deplasări relative

e ale ghidajului pistonului (fig. 3.23, a); în fig. 3.24 sunt prezentate

graficele variaţiei raportului de transmitere 1221 /u al vitezelor

unghiulare ale elementelor cu unghiul 1 la o anume deplasare a

pistonului 5,0e , însă la diferite lungimi relative 2 ale bielei.

105

În cazul particular pentru mecanismul manivelă-piston când 0e ,

au loc următoarele relaţii:

;/sinarcsin 212 (3.36)

Fig. 3.24

;sin

cos

1

22

2

1

1

2

21

u (3.37)

;sin

cos1

sin

sin

sin

cos

1

22

2

1

2

1

22

2

1

2

1

1

1

22

2

1

2

1

2

(3.38)

pentru punctul C de pe pistonul 3:

;sincos 1

22

211

lxC (3.39)

;s in

cos1sin

1

22

2

1

11

1

l

vv C

qC (3.40)

1

22

2

1

22

21

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

22

2

1

112

1

sin

sin/cossincos21cos

sin

cos1sin

l

aC

(3.41)

Pentru soluţionarea unei serii de probleme practice mai convenabile

sunt formulele aproximative, care pot fi obţinute prin descompunerea

funcţiei trigonometrice inverse arcsin x într-o serie de puteri:

106

...542

31

32arcsin

53

xxxx

Folosind o astfel de descompunere în seria de puteri pentru

funcţiile (3.36), când 0e , avem:

.sin

40

3sin

6

1sin5

2

1

5

3

2

1

3

2

1

2

(3.42)

Această serie converge repede şi de obicei se limitează la

primii doi termeni, dacă 1/1 2 . În aceste condiţii sunt juste

următoarele relaţii aproximative:

pentru biela 2:

;s in1

s in 1

2

2

(3.43)

;sin2

11cos 1

2

2

2

2

(3.44)

;cossin2

1cos11

2

3

22

1

1

2

21

u

(3.45)

;sin2

31sin

1sin

11

2

13

2

1

2

2

1

2

(3.46)

pentru punctul C de pe pistonul 3:

;sin8

1sin

2

1cos 13

2

1

2

2

121

lxC

(3.47)

;2sin2

1sin

cossin2

1cossin

1sin

1

2

11

11

3

3

2

11

2

11

1

l

lv

v C

qC

(3.48)

.cos22

1sin

1cos1

1cos 1

2

1

2

3

2

1

2

2

112

1

l

aC (3.49)

Mecanisme cu grupe structurale cu doi antrenori. Mai sus s-au

prezentat exemple de stabilire a funcţiilor de transmitere ale

mecanismelor relativ simple. Pentru mecanismele mai complexe

relaţiile matematice sunt foarte voluminoase şi pot apărea greutăţi la

transformarea lor. Dacă mecanismul conţine câteva grupe structurale cu

câte doi antrenori, atunci e raţional de a le evidenţia în ordinea legării la

mecanism şi de a raporta în prealabil fiecare grupă la un sistem de

107

coordonate, faţă de care elementele grupei formează un sistem cu

mobilitate nulă.

Pentru fiecare grupă structurală poate fi format un circuit vectorial,

componentele căruia sunt legate în modul stabilit cu elementele grupei,

iar suma lor geometrică este egală cu vectorul, care poate fi luat în

calitate de vector de baza bl al grupei structurale.

În fig. 3. 25 sunt prezentate câteva exemple de circuite vectoriale

pentru grupe cu doi antrenori de forme diferite. Dacă elementul în grupă

are două articulaţii, atunci vectorul, legat cu acest element, este amplasat

de-a lungul elementului (de exemplu, vectorul 2l din fig. 3.25, a, c).

Fig. 3.25 Dacă elementele formează o cuplă cinematică de translaţie, atunci

cu elementul respectiv sunt legate componentele normale şi axiale (de-a

lungul ghidajului) ale vectorului (de exemplu, nl 2 , tl 2 , nl 3 , tl 3 în fig.

3.25, b, c, d, e).

Circuitul vectorial pentru grupa cu doi antrenori trebuie să

corespundă următoarelor relaţii (fig. 3.25):

32 lllb , (3.50)

sau

tntnbtbn llllll 3322 . (3.51)

Unele componente ale ecuaţiei (3.51) pot fi egale cu zero pentru o

modificare concreta a grupei structurale (fig. 3.25, b, c, d, e).

108

Dacă sunt cunoscute coordonatele axelor sau punctelor legate cu

elementele cuplelor cinematice exterioare, atunci poziţia vectorului de

baza lb al grupei structurale poate fi stabilită cu ajutorul relaţiilor care

determina poziţia vectorului, ce leagă două puncte date. De exemplu,

pentru grupa cu doi antrenori cu cuple cinematice de rotaţie B şi D (fig.

3.25, a), când sunt cunoscute coordonatele xB , yB , ş i xD , yD ale

punctelor B şi D:

lungimea vectorului bl :

;22

BDBDBDb yyxxll (3.52)

unghiul director b al vectorului bl faţă de axa abscisei Ax :

.1sgn/

1sgn/

BDBDBD

BDBDBD

bxxdacăxxyyarctg

xxdacăxxyyarctg

(3 .53)

Coordonatele

originii B si ale

extremităţii D a

vectorului de bază bl

pentru fiecare grupă

structurală sunt

cunoscute, dacă este

cunoscută mişcarea

elementului conducător şi

coordonatele punctului D

sau sunt determinaţi

parametrii mişcării

grupelor structurale

legate anterior. Vectorul

al , originea căruia

coincide cu originea A al

sistemului de coordonate

xAy (fig. 3.26), este legat

cu elementul conducător.

Coordonatele punctului B

de pe elementul

conducător sunt

determinate din relaţia:

.sin;cos aaBaaB lylx (3.54)

Fig. 3.26

109

Pe lângă sistemul de coordonate cu axa orizontală a abscisei Ax e

raţional de folosit sistemul de coordonate, orientat de-a lungul batiului

mecanismului sau pe axa elementului cu trecerea ulterioară de la un

sistem la altul, folosind metoda transformării coordonatelor.

În fig. 3.26 sunt prezentate câteva exemple de alegere a sistemului

de coordonate dd yAx , a cărui axă a abscisei este orientată într-un mod

stabilit faţă de vectorul dl legat cu batiul: a axa dAx coincide cu

vectorul ,dl care uneşte punctele A şi D pe batiu; b axa dAx este

trasata paralel cu ghidajul elementului de ieşire, care are o excentricitate

dnl faţă de articulaţia A a elementului conducător; c elementul

conducător descrie o mişcare de translaţie, iar axa dAx este orientată pe

vectorul tdl , luând în consideraţie distanţa anl a punctului D de pe batiu.

În aceste cazuri are loc rotirea unui sistem de coordonate în raport cu

unghiul d , iar poziţia elementului conducător al faţă de axa dAx este

determinată de unghiul daad .

Coordonatele punctului B de pe elementul conducător sunt

determinate din relaţiile:

ada

d

Bada

d

B lylx sin;cos . (3.55)

Fig. 3.27 La determinarea coordonatelor punctelor B şi D ale vectorului de

bază trebuie de atras atenţia la variantele posibile de asamblare a

mecanismului, prezentate în fig. 3.27, care determină valorile concrete

ale unghiurilor între vectori.

Deoarece dimensiunile elementelor fiecărei grupe structurale sunt

cunoscute, ştiind vectorul bl se determină parametrii celorlalţi vectori ai

circuitului, prin rapoartele dintre elementele triunghiului şi

transformarea coordonatelor.

Pentru grupa cu doi antrenori şi trei cuple cinematice de rotaţie

(vezi f ig . 3.25, a ) soluţionarea se reduce la determinarea unghiurilor

110

triunghiului, când sunt cunoscute trei laturi ale lui l2, l3 şi lb. De exemplu,

unghiul b2 se determină după formulele următoare:

;2

cos2

2

3

22

2

2

b

b

bll

lll (3.56)

;

2 3

22

lpp

lplptg bb

(3.57)

,2

sin2

22

b

bb

ll

lplp

(3.58)

unde blllp 235,0 este semiperimetrul conturului vectorial.

Formulele pentru determinarea unghiurilor 23 şi

b3 sunt analoge

şi se obţin prin schimbarea indicilor în relaţiile (3.56) (3.58) ale

parţilor corespunzătoare prin metoda substituirii ciclice.

Pentru grupule structurale, prezentate în fig. 3.25, b , c , pentru

determinarea unghiurilor nb2 (fig. 3.25, b) sau

bn2 (fig. 3.25, c) se

analizează triunghiurile dreptunghiulare corespunzătoare, deoarece

lungimile vectorilor ,2nl ,3nl tl 3 , bl , bnl , btt ll 3 cunoscute, dacă sunt

toate dimensiunile elementelor 2 şi 3.

După stabilirea parametrilor vectorului, legat cu unul sau altul din

elementele mecanismului sau cu o grupă structurală, se determină

caracteristicile cinematice ale mecanismului.

Referitor la vectorul bl (fig. 3.25, a) succesiunea calculelor este

următoarea:

pentru coordonatele punctului D

;sin;cos bbBDbbBD lyylxx (3.59)

pentru proiecţiile vitezei punctului D

,sincos/

;cossin/

bbbbbBDD

bbbbbBDD

llydtdyy

llxdtdxx

(3.60)

unde prin punct este notată derivata funcţiei în raport cu timpul. Pentru

proiecţiile acceleraţiei punctului D:

.cos2sinsincos

;sin2coscossin2

2

bbbbbbbbbbbBD

bbbbbbbbbbbBD

llllyy

llllxx

(3.61)

Utilizarea metodicii expuse este demonstrată pe baza exemplului

mecanismului articulat cu 4 elemente (fig. 3.28). Sistemul de coordonate

Axy coincide cu sistemul de coordonate dd yAx legat de batiu. Sistemul

de coordonate 22 yBx legat de elementul 2, pe care este amplasat

punctul K cu următoarele coordonate 2

Kx , 2

Ky .

111

Ecuaţiile vectoriale au forma:

,;32 dbab llllll

sau

.; 432141 lllllll b (3.62)

Fig. 3.28 Ultima ecuaţie este proiectată pe axele de coordonate ale sistemului

de coordonate AXY:

.0,0sinsinsinsin

;coscoscoscos

444332211

444332211

deoarecellll

lllll (3.63)

Coordonatele punctelor B şi D ale vectorului bl al grupei structurale

sunt următoarele:

.0;;sin;cos 41111 DDBB ylxlylx (3.64)

Lungimile proiecţiilor vectorului de bază bxl şi byl pe axele de

coordonate:

.sin;cos 11114 lyylllxxl BDbyBDbx (3.65)

Lungimea vectorului de bază :bl

,sincos2

11

2

114 llllb

sau

,cos21 14

2

41 llb (3.66)

unde 144 / ll .

Unghiul b al vectorului de bază bl

.cos

sin

cos

sin

14

1

114

11

ll

l

xx

yytg

BD

BD

b (3.67)

112

Poziţia vectorilor 2l şi 3l , legaţi cu elementele 2 şi 3 ale grupei cu

doi antrenori, este determinată în raport cu vectorul de bază bl cu

unghiurile b2 şi

b3 , care se află din teorema cosinusurilor în BCD :

.2

cos2

2

3

22

2

2

b

b

bll

lll (3.68)

Introducând notaţiile ,cos21/,/,/ 14

2

41133122 llllll bbavem:

;cos212

cos21

2cos

14

2

42

2

314

2

4

2

2

2

2

3

22

2

2

b

b

b (3.69)

.22

cos3

2

2

2

3

2

3

2

2

2

3

2

3

b

b

b

b

bll

lll

(3.70)

Conform teoremei sinusurilor:

.sinsinsin 2

3

2

3

32 b

b

b

b

l

l

(3.71)

Unghiurile directoare 2 şi

3 ale vectorilor 2l şi :3l

.; 3322 bbbb (3.72)

După înlocuirea în (3.72) a relaţiilor (3.68) (3.70) avem:

;cos212

cos21arccos

cos

sin

14

2

42

14

2

3

2

4

2

2

14

1

2

arctg

(3.73)

.cos212

cos21arccos

cos

sin

14

2

43

14

2

2

2

4

2

3

14

1

3

arctg

(3.74)

Coordonatele punctului C (articulaţia interioară a grupei cu doi

antrenori)

.sinsin;coscos 22112211 lylx CC (3.75)

Coordonatele punctului S de pe axa bielei, amplasat la distanţa

lBS=S2l2=S22l1,

.s insin;coscos 2221122211 SSSS lylx (3.76)

Coordonatele punctului K, legat rigid cu biela şi care are

coordonatele 2

Kx şi 2

Ky în sistemul de coordonate 22 yBx legat cu

biela 2,

.cossincos

;sincoscos

2

2

2

2

11

2

2

2

2

11

KKK

KKK

yxly

yxlx

(3.77)

113

Pentru determinarea rapoartelor de transmitere 1221 /u şi

1331 /u relaţiile (3.72) (3.74) se diferenţiază în raport cu coordonata

generalizată 1 :

.;1

3

11

3

1

3

31

1

2

11

2

1

2

21

d

d

d

d

d

du

d

d

d

d

d

du bbbb (3.78)

După derivarea ecuaţiei (3.63) se obţine:

.0coscoscos

;0sinsinsin

333222111

333222111

lll

lll (3.79)

sau

.0coscoscos

;0sinsinsin

333122211

333122211

uu

uu (3.80)

Acest sistem este liniar în raport cu necunoscutele u21 şi u31.

Determinantul sistemului de ecuaţii liniare se notează prin D şi se

calculează:

.s insincos

cossincoscos

sinsin

32323232

3232

3322

3322

2221

1211

aa

aaD

Determinanţii D1 şi D2 se obţin din D, substituind coloanele

corespunzătoare din coeficienţii din coloanele necunoscute constituite

din termeni liberi:

;sin

sincoscossincoscos

sinsin

313

313313

331

331

1

D

.sincoscos

sinsin212

221

221

2

D

Rădăcinile sistemului se determină conform formulelor lui Cramer:

;sin

sin

323

212

21

D

Du (3.81)

.sin

sin

322

311

31

D

Du (3.82)

La determinarea rapoartelor de transmitere u21 şi u31 cu formulele

(3.78) se obţin următoarele relaţii în funcţia de coordonata generalizată

1 :

114

;

4

sincos1

1

222

2

2

3

22

2

1

22

2

2

34

142

1

2

21

bb

b

b

u

(3.83)

.

4

sincos1

1

222

3

2

2

22

3

1

22

3

2

24

142

1

3

31

bb

b

b

u

(3.84)

Pentru determinarea acceleraţiilor unghiulare ale elementelor şi a

funcţiilor de transmitere corespunzătoare se efectuează derivarea

sistemului (3.79):

.0cos

sincossincossin

;0sin

cossincossincos

333

33

2

322222

2

211111

2

1

333

33

2

322222

2

211111

2

1

l

lllll

l

lllll

(3.85)

Sistemul (3.85) este liniar în raport cu valorile căutate 2 şi

3 .

Sistemul (3.85) se transformă uneori în raport cu 2

12 / şi 2

13 / :

.sin

sincossincoscos

;cos

cossincossinsin

33

2

31

22

2

2112

1

1

1332

1

3

222

1

2

33

2

31

22

2

2112

1

1

1332

1

3

222

1

2

u

u

u

u

(3.86)

Rădăcinile sistemului (3.86) se determină, folosind formulele lui

Cramer.

La proiectarea mecanismelor cu structură complexă volumul de

lucru poate fi considerabil. În asemenea cazuri este raţional să folosim

ecuaţiile vectoriale, descrise în §3.2 pentru alcătuirea algoritmului

soluţionării problemei, iar toate calculele să fie efectuate nu grafic, ci cu

utilizarea calculatorului.

Pe baza planului mecanismului şi ecuaţiilor vectoriale pentru

vitezele şi acceleraţiile punctelor elementelor mecanismului se

construiesc planele vitezelor şi acceleraţiilor la o scară arbitrară. Aceste

construcţii sunt o schemă de calcul pentru deducerea relaţiilor necesare

în formă analitică. Pentru lămurirea acestei metodici se analizează

exemplul mecanismului cu două grade de mobilitate (fig. 3.29, a), care

constă din două elemente conducătoare 1 şi 4 şi o grupă cu doi antrenori

2 şi 3.

115

Fig. 3.29 Cu fiecare din elemente este legat câte un vector, ce permite

stabilirea poziţiei elementului pe planul de coordonate Oxy. Conform

planului mecanismului se determină unghiurile 2 şi

3 ale elementelor

2 şi 3 şi b ale vectorului de bază al grupei structurale după metoda

expusă în paragraful precedent. Unghiurile 1 şi

2 se consideră date,

deoarece elementul 1 şi 4 sunt conducătoare.

BDBDb xxyyarctg / ,

unde ;sin;cos 1111 lyylxx ABAB

.sin;cos 4444 lyylxx EDED

;2

arccos2

arccos2

2

3

22

2

2

2

3

22

2

2

b

b

b

b

bll

lll

,2

arccos2

arccos3

2

2

2

3

2

3

2

2

2

3

2

3

b

b

b

b

bll

lll

unde ;/;/;/ 144133122 llllll

.1

/22

1

1 BDBDbb yyxxl

ll

Unghiurile directoare 2 şi

3 ale elementelor 2 şi 3

bbbb 3322 ; .

Unghiurile directoare ale vectorilor vitezelor absolute şi relative ale

punctelor B, D (fig. 3.29, b):

116

2/;2/;2/;2/ 3241 CDCBDB.

Legătura între vitezele diferitelor puncte ale elementelor

mecanismului se determină cu ecuaţiile vectoriale corespunzătoare, de

exemplu, pentru punctul C al mecanismului se scrie:

CDDCCBBC vvvvvv ;

CDDCBB vvvv

şi se construieşte planul vitezelor (fig. 3.29, b). Pe planul vitezelor se

indică unghiurile vectorilor corespunzători.

Mai departe planul vitezelor este proiectat pe axele de coordonate

Ox şi Oy şi se scriu ecuaţiile proiecţiilor vitezelor. De exemplu:

;coscoscos CCCBCBBB vvv

;coscoscos CCCDCDDD vvv

;sinsinsin CCCDCBDB vvv

.sinsinsin CCCDCDDD vvv

Luând în consideraţie că ,, 4411 lvlv DB sistemul de ecuaţii este

scris sub forma următoare:

;coscoscoscos 4411 CDCDDCBCBB vlvl

.sinsinsinsin 4411 CDCDDCBCBB vlvl

Acest sistem este liniar. El este scris sub formă canonică:

2222111211 ; bvavabvava CDCBCBCB

şi se determină rădăcinile CBv şi

CDv , folosind formulele lui Cramer.

Determinând vitezele relative CBv şi

CDv , se află vitezele unghiulare

2 şi 3 ale elementelor 2 şi 3 şi viteza liniară a punctului C:

.;/;/ 22

3322 CyCxCCDCB vvvlvlv

unde Cxv şi Cyv sunt proiecţiile vitezelor punctului C, determinate din

relaţiile: .sinsin;coscos CBCBBBCyCBCBBBCx vvvvvv

117

§ 3.4. Utilizarea derivării şi integrării grafice şi numerice

Dacă una din funcţiile cinematice este dată sau determinată în

formă de grafic sau tabel de valori, atunci e imposibil de găsit derivata

sau integrala acestei funcţii nemijlocit în formă analitică. În acest caz

sunt eficiente metodele numerice şi grafice de derivare şi integrare.

Derivarea grafică şi numerică. Derivarea grafică se începe de la

construirea graficului funcţiei conform valorilor date. La cercetarea

experimentală un asemenea grafic se construieşte cu ajutorul auto-

înregistratoarelor. Mai departe se trasează tangente la curbă în poziţii

stabilite şi se calculează valorile derivatelor prin tangenta unghiului

format de tangentă şi axa absciselor.

De exemplu, determinarea acceleraţiei unghiulare , când este dat

graficul t , se efectuează prin derivarea grafică.

În fig. 3.30, a curba t este trasată pe axa ordonatelor la scara

1/ sradmm , pe axa absciselor la scara smmt / .

Funcţia căutata t poate fi găsita din relaţia:

./

/

tgdx

dy

xd

yd

dt

d t

t

t

tt

(3.87)

Tangenta unghiului de înclinare a tangentei duse la curba t .

Într-un punct arbitrar cu numărul i se stabileşte sub formă de raport al

segmentelor ,/ Ky i unde K este segmentul de derivare ales OD, mm

(fig. 3.30, b):

Kytg ii / .

După înlocuirea acestei relaţii în relaţia (3.87) se obţine:

/i

it

i

t

i yK

ytg , (3.88)

unde iy este ordonata graficului căutat al acceleraţiei unghiulare;

tK / (3.89)

scara graficului căutat t : unităţile de măsură SI: ;mmy i

2/ sradmm .

Graficul funcţiei t se construieşte conform valorilor

ordonatelor stabilite pentru o serie de poziţii. Punctele pe curbă se unesc

cu o linie continua, iar apoi se trasează cu florarul.

118

Derivarea grafică prin metoda tangentelor are o precizie relativ

scăzută. O precizie mai ridicata se obţine la derivarea grafica prin

metoda coardelor (fig. 3.30, c şi d).

Pe curba dată se marchează o serie de puncte 1'', 2'', 3'', care se

unesc prin coarde, adică curba dată este înlocuită cu o linie frântă. Se

foloseşte următoarea ipoteză: unghiul de înclinare a tangentelor în

punctele amplasate în mijlocul fiecărei porţiuni de curbă este egal cu

unghiul i de înclinare a coardei corespunzătoare. Această ipoteză

introduce o oarecare eroare, însă ea se referă numai la punctul dat.

Aceste erori nu se sumează, ceea ce asigură precizia acceptabilă a

metodei.

Celelalte construcţii sunt analoge celor descrise mai sus la derivarea

grafică prin metoda tangentelor. Se alege segmentul DO=k (mm). Din

punctul D se trasează raze, înclinate sub unghiuri ...,, 21 până la

intersecţia cu axa ordonatelor în punctele 1', 2', 3'..., care sunt transferate

pe ordonatele duse în mijlocul fiecărui interval. Punctele obţinute 1*, 2*

,

3* sunt punctele funcţiei căutate dtdt / .

Scările pe axele de coordonate în această metodă de construcţie

sunt legate prin aceeaşi relaţie (3.89), care a fost dedusă pentru cazul

derivării grafice prin metoda tangentelor.

Derivarea funcţiei f(x) date (sau calculate) în forma unei mulţimi de

numere se efectuează prin metoda derivării numerice cu utilizarea

calculatoarelor.

Fig. 3.30.

119

Cu cât este mai mic pasul x în mulţimea de numere, cu atât mai

precis va fi calculată valoarea derivatei funcţiei în acest interval:

xxfxxfxf /' .

Poate fi utilizată de asemenea expresia:

1

121

12

1'

i

ii

i

ii

ix

xfxf

x

xfxfxf .

La derivarea numerică se folosesc formulele de interpolare, care

îmbină valorile date ale unei mărimi cu funcţia cunoscută, care depinde

de câţiva parametri şi este aleasă astfel ca în cazul valorilor date ale

argumentului (în nodurile interpolării) valorile funcţiei să coincidă cu

valorile date ale mărimii, adică graficul funcţiei să treacă prin punctele

date. Derivarea numerică este sensibilă la erorile provocate de

imprecizia datelor iniţiale. Pentru funcţia xy redată în formă de tabel

de diferenţe de valori echidistante ale argumentului cu pasul x , se

utilizează următoarele relaţii pentru calcularea argumentului şi

derivatelor:

...;2;1;00 ixixxi,

;...3

1

2

11 32

iiiii yyy

xxyy

...

6

5

12

111 5432

2 iiiiii yyyyx

xyy .

La elaborarea programelor aplicate pentru derivarea numerică la

calculator se folosesc formulele de interpolare ale lui Stirling, Bessel,

Newton ş. a.

Integrarea grafică şi numerică. Acest procedeu se foloseşte în

acele cazuri, când funcţia nu poate fi integrată în forma analitică sau

aceasta necesită un volum mare de muncă. Integrarea grafică se

efectuează după formulele cuadraturii lui Newton Kotes (regula

trapezelor, regula lui Simpson, regula lui Iedl, formula Gregori),

formulele lui Gauss şi Chebyshev.

Pentru valorile date ale funcţiei yi = y(xi) pentru n+1 valori

echidistante ale argumentului nixixx ii ...,,2,1,00 formulele

cuadraturii lui Newlon Kotes au forma:

regula trapezelor pentru n paşi

;2

1...

2

10

1210

xnx

x

nn yyyyyxdxxyI

120

regula trapezelor pentru n = 1

;2

10 yyx

I

regula lui Simpson pentru i=2

;43

210 yyyx

I

(3.90)

regula lui Iedl pentru n = 6

6543210 56510

3yyyyyyyxI .

La calcularea la calculator se utilizează programe care se află în

biblioteca maşinii concrete (de exemplu, QTFG sau QSF).

La determinarea grafică a integralei funcţiei de sub integrală este

redată prin grafic. În calitate de exemplu vom analiza determinarea

unghiului de rotaţie it

t

dtt0

al elementului condus pe curba dată t

Graficul vitezei unghiulare t este prezentat în coordonate

rectangulare luând în consideraţie valorile numerice ale scărilor: a

vitezei unghiulare şi timpului t. Intervalul de timp de la t 0 până la ti

se împarte intr-un număr de intervale ti care permite să se considere că

în fiecare interval mic de timp ti mişcarea poate fi uniformă.

Aceste intervale de timp, marcate în fig. 3.31, a prin punctele 0, 1, 2,

3, 4, nu este necesar să fie egale.

În fiecare interval de timp, de exemplu de la ti-1 până la ti, se poate

admite că

2/1 iiimed yyy ,

adică se acceptă că suprafaţa trapezului curbiliniu este egală cu suprafaţa

dreptunghiului cu înălţimea yωimed şi baza xti.

Extremităţile înălţimilor yω1med, yω2med, ... yωimed sunt proiectate pe

axa ordonatelor, iar punctele găsite 1', 2', 3', ... , i' sunt unite cu punctul

D, care limitează din stânga segmentul de integrare ales OD cu

lungimea K, mm (fig. 3.31, a).

Razele D1', D2', D3', , . . . , duse prin punctul D , formează

unghiurile i ...,, 21 cu sensul pozitiv al axei x, totodată

Kytg imedi / .

121

Pe graficul căutat (fig. 3.31, b) se duc liniile 01", 1"2", 2"3",...,

paralele în limitele intervalelor corespunzătoare cu razele D1', D2', D3',

,... Primul segment 01" este trasat prin originea coordonatelor 0,

următoarele segmente se trasează respectiv prin punctul 2" apoi prin

punctul 2" ş. a. m. d. Aceste linii sunt înclinate faţă de direcţia pozitiva a

axei x sub unghiurile i ...,, 21 respectiv, adică

tiii xytg / .

Segmentele pe grafice sunt legate cu parametrii fizici corespunzători

cu ajutorul scărilor prin relaţiile:

ittiiiimedimed txyy ;; .

Egalând părţile din dreapta ale relaţiilor scrise mai sus pentru

tangenta unghiului i , se obţine:

Fig. 3.31

122

K

y

x

yimed

ti

i

sau

K

xyy tiimed

i

.

Conform desenului (fig. 3.31, b ), urmează

.lim0

0

11 11

i

t

t

t

iimedt

t

i

i

itimedi

i

i

i

tiimed

iiii

i

dtK

tK

K

t

K

xyyyyy

Scara graficului căutat

rad

mmKt / . (3.91)

Deci, linia frântă 01"2"3", ... , i" reprezintă graficul aproximativ al

funcţiei dtt , iar ordonatele în punctele nodale 1-1", 2-2", 3-3",...

corespund valorii acestei funcţii. Prin punctele obţinute se duce o linie

continuă, care dă rezultate mai mult sau mai puţin precise pentru toate

punctele intermediare.

Majorarea numărului punctelor nodale şi a scării desenului permite

ridicarea preciziei metodei grafice de integrare. Segmentai K se alege

arbitrar, însă lungimea lui influenţează asupra valorilor ordonatelor

funcţiei căutate, adică acesta este trasat luând în consideraţie scara dorită

a graficului funcţiei iniţiale: cu cât este mai mare valoarea lui, cu atât

este mai mică aceasta scară.

La cercetarea şi proiectarea mecanismelor legea variaţiei vitezei

elementului conducător poate fi redată prin funcţiile 1 sau Sv ale

coordonatelor generalizate 1 şi S . În acest caz e necesar calculul

integralelor:

ii d

dttt

t

00

sau S

S

t

t v

dSdttS

i

00

. (3.92)

Dacă funcţiile şi Sv sunt date în formă de grafice (fig. 3.32,

a), atunci funcţiile t şi tS se determina prin integrarea grafică,

efectuând construcţii analoge celor descrise mai sus cu unele modificări.

Astfel, axa ordonatelor graficului căutat (fig. 3.32, b ) este împărţită în

intervale egale cu intervalele de pe axa absciselor (axa 1 ) pe graficul

(fig. 3.2, a ). În acest caz scările pe axele se păstrează aceleaşi,

adică *

. Punctele 1", 2", 3", 4" ale curbei căutate (fig. 3.32, b) se

obţin la intersecţia dreptelor paralele cu axele absciselor cu dreptele

trasate paralel cu razele corespunzătoare D1, D2, D3, … , adică înclinate

123

Fig. 3.32 faţă de axa x sub unghiurile ,,, 321 i … . Segmentul D0=K este

segmentul integrării în mm.

Argumentarea acestei metode de integrare reiese din relaţiile care

rezultă din construcţiile grafice:

KK

ytg imedimed

i

(vezi fig. 3.32, a);

i

ititi

it

i

ti

i

i xxtx

ytg

1

*

;

(vezi fig. 3.32, b).

Se efectuează transformările şi substituirile necesare:

i

i imed

ii

i

i

i

i

i imed

i

i

i

titi

K

y

Ky

tg

yxx

1

*

1 1 1

124

,lim1

*

0

*

it

i

i imed

i tdKK

i

(3.93)

unde /*Kt este scara timpului; /dt timpul mişcării;

unităţile de măsură SI:

s

mmt ; mmK ;

1sm

mm ;

rad

mm .

Punctele 1",2", ... , i", obţinute în procesul construirii, sunt unite cu o

curbă şi se obţine graficul necesar ,t adică legea de mişcare

căutată a elementului conducător.

Aceasta se bazează pe supoziţia că curba ,/1 în intervalul

poate fi înlocuită cu o funcţie liniară, iar suprafaţa trapezului cu

suprafaţa dreptunghiului cu înălţimea egală cu semisuma ordonatelor la

extremele intervalului dat.

Când valorile sunt mici, este raţional de luat în acest domeniu un

număr mai mare de puncte nodale, cum s-a procedat în fig. 3.32, a pentru

intervalele 03 şi 813 care sunt divizate în intervalele mai mici, de

exemplu intervalele 01; 12; 23.

Determinarea acceleraţiei unghiulare a elementului conducător,

când funcţia este dată, sau a acceleraţiei liniare a a elementului

conducător, când funcţia Sv este dată, se calculează folosind

următoarele relaţii:

;

.dS

dvv

dt

dS

dS

dv

dt

dva

d

d

dt

d

d

d

dt

d

(3.94)

Dacă funcţiile date sau Sv sunt prezentate în formă de

grafice, atunci calculul se reduce la determinarea valorii numerice a

lungimii subnormalei duse la curbă în punctul corespunzător.

În fig. 3.33, a sunt prezentate construcţiile necesare pentru cazul

când este dată funcţia .

Pentru punctul i ales arbitrar pe graficul legătura între

segmentele ix şi iy şi parametrii cinematici corespunzători se exprimă

cu ajutorul scărilor: .; iiii yx

125

Fig. 3.33 Acceleraţia unghiulară se exprimă:

/

/

i

ii

i

i

i

i

i

i

ixd

ydy

d

d

dt

d

d

d

,222

ii

iiii

i

i

i

babatgy

dx

dyy (3.95)

undei este unghiul de înclinare a tangentei duse la curba în punctul

i (fig. 3.33, a); iiii tgyba segmentul subnormalei în punctul i al

126

graficului; /2 scara acceleraţiei unghiulare ; unitatea de

măsură SI:

2srad

mm .

Construcţii analoge se efectuează pentru o serie de poziţii 1, 2, 3, 4,

… , se determină subnormalele şi acceleraţiile unghiulare

corespunzătoare lor. Rezultatele calculelor sunt prezentate în formă de

grafic (fig. 3.33, b).

§ 3.5. Caracteristicile cinematice ale mecanismelor

plane cu cuple superioare

Funcţiile cinematice de transfer ale mecanismelor cu cuple

superioare se determină prin câteva metode în funcţie de problema ce

trebuie soluţionată.

Metoda centroidelor. Pentru construirea unui mecanism simplu cu

cuplă superioară e suficient să se lege la un element conducător şi batiu

(fig. 3.34, a) sau la două elemente conducătoare (fig. 3.34, b). În primul

caz obţinem un mecanism cu trei elemente cu un grad de mobilitate

(n=2; ci=2; cs=1):

11222323 sip ccnW .

În cazul al doilea mecanismul planetar are două grade de mobilitate:

(n=3; ci=3; cs=1):

21323323 sip ccnW .

C e n t r o i d ă s t a ţ i o n a r ă este numit locul geometric

al centrelor instantanee de rotaţie a figurii plane care se mişcă intr-un

plan imobil.

C e n t r o i d ă m o b i 1 ă este numit locul geometric al centrelor

instantanee ale vitezelor în planul legat cu figura mobilă. La mişcarea

figurii plane în planul ei centroida mobilă se rostogoleşte fără alunecare

pe cea fixă, adică lungimile coardelor corespunzătoare ale centroidelor

fixă şi mobilă sunt egale. Teorema inversă asupra centroidelor arată că

orice mişcare a figurii plane în planul acesteia poate fi efectuată prin

rostogolire fără alunecare a centroidei mobile pe cea fixă cu viteza

unghiulară corespunzătoare în fiecare moment dat.

C e n t r u l i n s t a n t a n e u a l v i t e z e l o r P este

punctul figurii plane, a cărei viteză în momentul dat este egală cu zero.

Acesta se determină ca punct de intersecţie a perpendicularelor duse din

orice două puncte ale figurii la vectorii vitezelor acestor puncte.

127

În fiecare moment de timp c e n t r u l i n s t a n t a n e u

d e r o t a ţ i e coincide cu centrul instantaneu al vitezelor.

Metoda centroidelor se foloseşte foarte des la transmiterea mişcării

de rotaţie între elemente cu axe paralele. Raportul vitezelor unghiulare

ale elementelor 1 şi 2 este funcţia de coordonată generalizată 1

112

2

1

2

1

12/

/

u

dtd

dtdu .

În fig. 3.34, a sunt prezentate elementele 1 şi 2, care se rotesc în

jurul axelor A şi C şi formează între ele cupla cinematică superioară B în

punctul de contact (K1 ş i K 2 respectiv punctele elementelor 1 şi 2).

Găsim centroidele care reprezintă locul geometric al centrului

instantaneu de rotaţie şi al centrului instantaneu de viteze.

Fig. 3.34

Faţă de elementul 1 elementul 2 efectuează o mişcare compusă

(fig.3.34, b). Însă, folosind metoda inversării mişcărilor, se poate stabili

sensul vitezelor relative ale punctelor C şi K 2 în raport cu punctele

elementului fix 1. Viteza CAv a punctului C faţă de axa A este

perpendiculară pe distanţa dintre centre AC , iar punctul K 2 în momentul

dat are viteza 12 KKv de alunecare, orientată de-a lungul tangentei comune

t t dusă la profilele conjugate. Centrul instantaneu al vitezelor P al

elementului 2 în mişcarea relativă (când elementul 1 es t e fix) se

determină ca punct de intersecţie a două perpendiculare duse la vitezele

acestor puncte. Cu alte cuvinte, centrul instantaneu al vitezelor P ale

elementului 2 şi centrul instantaneu de rotaţie în mişcarea relativă, care

coincide cu acesta, se află in punctul de intersecţie a distanţei dintre

centre AC şi normala comună n n, dusă în punctul de contact K(K1 şi

K2) al profilelor.

Viteza mişcării relative a elementelor în acest punct centrul

instantaneu al vitezelor P este egală cu 0, adică ,02112 PP vvv unde

1Pv şi 2Pv sunt vectorii vitezelor punctelor P1 şi P2 la rotirea lor în jurul

128

axelor A şi respectiv C. Corespunzător poate fi scrisă şi următoarea

egalitate: PCPA 21 , din care rezultă că

PAPCu // 2112 . (3.96)

Centrul instantaneu al vitezelor punctul B este numit p u n c t

p r i m i t i v. Termenul "angrenaj" în cazul dat este sinonimul termenului

"cuplă superioară". Angrenaj cu roţi dinţate este numit procesul

transmiterii mişcării prin intermediul suprafeţelor elementelor cuplei

superioare, care în procesul interacţiunii succesive a dinţilor asigură

legea necesară a mişcării lor relative.

Într-o serie de cazuri axele de rotaţie sunt notate prin literele O cu

indicii 1 şi 2: O1 şi O2 (fig. 3.35). În acest caz relaţia (3.96) se scrie în

felul următor:

122112 // POPOu . (3.96a)

Deci, punctul primitiv P al elementelor 1 şi 2 în mişcarea relativă

este situat pe linia dintre centre AC (fig. 3.34, a) sau O1O2 (fig. 3.35, a) şi

împarte distanţa dintre centre în segmentele AP(PO1) şi PC(PO2),

raportul cărora este invers proporţional raportului vitezelor unghiulare

instantanee ale elementelor (inclusiv al roţilor dinţate). Dacă punctul

primitiv P este situat între axele O1 şi O2, atunci elementele se rotesc în

sensuri opuse, adică u12 are semnul minus, iar angrenajul este numit

exterior (fig. 3.35, a). Dacă punctul primitiv P este situat în afara

segmentului O1O2, atunci elementele se rotesc în acelaşi sens şi raportul

de transmitere u12 are semnul plus, iar angrenajul este numit i n t e r i o r

(fig. 3.35, b).

Viteza de alunecare ,alv a profilelor în mişcarea relativă se

determină din relaţia:

2121 KPKPal llv .

Notăm distanţa dintre axa AC(O1O2) prin a , iar distanţa dintre

punctul primitiv P şi axele A(O1) şi C(O2) prin 1r şi

2r . Atunci:

1

1

1

2

1

2

2

1

12

r

ra

r

r

PO

POu

. (3.97)

sau razele centroidelor 1r şi

2r se determină cu relaţia:

.1

;1 12

12

2

12

1

u

uar

u

ar

(3.98)

129

Fig. 3.35

Dacă raportul de transmitere ul2 este constant atunci razele

centroidelor 1r şi ,2r de asemenea, sunt constante. Deci, în cazul

transmiterii mişcării de rotaţie între elemente cu axe paralele cu distanţa

dintre axe constantă )( consta şi raportul de transmitere constant

)( 12 constu centroidele sunt nişte circumferinţe. În teoria angrenajelor

aceste circumferinţe sunt numite cercuri de rostogolire.

În fig. 3.35 este prezentată amplasarea cercurilor de rostogolire

pentru angrenajele exterior (fig. 3.35, a), interior (fig. 3.35, b) şi cu

cremalieră (fig. 3.35, c) cu rapoarte de transmitere constante.

Dacă raportul de transmitere u12 este variabil atunci razele (fig.3.35,

d) sunt variabile şi sunt determinate din următoarele relaţii:

pentru roata 1

;

11 11212

1

u

a

u

ar

pentru roata 2

.;11

1

0 112

1

2

112

112

12

12

2

u

d

u

ua

u

uar

130

Unghiul 1 de înclinare a tangentei comune duse la centroide în

punctul de tangenţa în raport cu raza vectoare 1r se determină ca un

unghi de înclinare a tangentei duse la curba descrisă in coordonate

polare:

./

1

/ 112

112

11

1

1

ddu

u

ddr

rtg

(3.99)

Dacă unele elemente ale mecanismului participă la mişcarea

compusă, care constă din suma a două mişcări de rotaţie, atunci pentru

determinarea rapoartelor de transmitere poate fi folosită metoda

inversării mişcării.

În fig. 3.36, a sunt prezentate

centroidele roţilor 1 şi 2 ale

mecanismului planetar diferenţial

cu roţi dinţate cu port-satelitul H.

Roata 2 participă la două rotaţii: la

mişcarea de antrenare cu

port-satelitul H cu viteza H şi la

mişcarea relativă în jurul axei

proprii cu viteza ,2H numită

viteza unghiulară relativă.

Comunicăm tuturor elementelor

mecanismului o mişcare de rotaţie

cu viteza egală ca mărime şi inversă ca sens cu viteza unghiulară a

port-satelitului H, astfel comunicăm mecanismului viteza unghiulară

)( H (fig. 3.36, b). În acest caz putem considera port-satelitul ca fiind un

element fix, iar roata 1 o considerăm că se roteşte în jurul axei fixe A

cu viteza unghiulară H 1

, iar roata 2 o considerăm că se roteşte în

jurul axei fixe B cu viteza unghiulară .2 H

Luând în consideraţie relaţiile (3.37) între vitezele unghiulare şi

razele centroidelor se stabilesc relaţiile (3.100), care determină legătura

dintre vitezele unghiulare şi razele centroidelor roţilor dinţate planetare

1 şi 2:

.1

2

2

1

r

r

H

H

(3.100)

Semnul minus se referă la angrenajul exterior, plus la cel interior.

Această relaţie este numită formula lui Willis.

Fig. 3.36

131

Metoda mecanismelor cu bare înlocuitoare. În mecanismele

plane cupla cinematică superioară se formează prin contactul a două

curbe, care descriu elementele ce formează această cuplă (fig. 3.34, a).

În caz particular unul din elementele cuplei poate fi un punct.

Pentru fiecare din curbele care contactează în punctul K pot fi

stabilite r a z e l e de c u r b u r ă şi c e n t r e l e de c u r b u r ă.

Ambele centre de curbură şi punctul de contact sunt amplasate pe o

dreaptă comună, care este normala n n la curbele tangente. Profilul pe

plan poate fi înlocuit î n orice punct al său cu o circumferinţă care trece

prin punctul vizat şi alte două puncte apropiate ale curbei.

Fig. 3.37.

Curbura circumferinţei este echivalentă curbei până la derivatele de

ordinul doi inclusiv. La schimbarea punctului de contact a două curbe cu

curbură variabilă centrele de curbură şi razele de curbura se schimbă.

Dacă curbura curbelor rămâne neschimbată, atunci poziţia centrelor de

curbură faţă de elementele corespunzătoare şi razele de curbură rămân

constante. Acest fapt permite înlocuirea mecanismelor cu cuple

cinematice superioare cu mecanisme echivalente cu cuple cinematice

inferioare. Astfel de mecanisme sunt numite mecanisme cu bare

î n 1 o c u i t o a r e. Ele sunt echivalente în sens cinematic cu

mecanismul cu cuple superioare până la derivatele de ordinul doi

inclusiv.

132

Pentru formarea mecanismului înlocuitor orice cuplă cinematică este

înlocuită cu un element (de exemplu, cu elementul BC din fig. 3.37, a),

lungimea căruia este egală cu suma razelor de curbură ale elementelor

cuplei cinematice 21 RRlBC şi două cuple cinematice inferioare.

Cuplele cinematice de rotaţie B şi C sunt amplasate în centrele de

curbură ale profilelor conjugate (fig.3.37, a). Dacă raza de curbură a

unui element este infinită linia dreaptă pe elementul 3 (fig. 3.37, b) şi pe

elementul 1 (fig. 3.37, c) ], atunci elementul înlocuitor este pistonul 2, al

cărui ghidaj este paralel cu linia dreaptă a profilului şi trece cu

deplasarea (a=R în fig. 3.37, b, a=Rp în fig. 3.37, c) prin centrul de

curbură B al altui profil.

Dacă raza de curbură a unui element este egală cu zero (ascuţire),

atunci lungimea elementului înlocuitor este egală cu raza de curbură a

profilului secund.

Dacă raza de curbură a unui element este egală cu zero (ascuţire),

iar a celuilalt element este infinită (linie dreaptă), atunci elementul

înlocuitor este pistonul, al cărui ghidaj coincide cu profilul şi trece prin

punctul de contact. Pentru mecanismele înlocuitoare se determină

caracteristicile cinematice prin metodele expuse mai sus.

§ 3.6. Caracteristicile cinematice ale mecanismelor

spaţiale

Cea mai largă răspândire pentru determinarea caracteristicilor

cinematice ale mecanismelor spaţiale cu bare în formă analitică au

căpătat două metode: metoda transformării coordonatelor şi metoda

geometrică, care constă în proiectarea consecutivă a schemei cinematice

pe diferite plane cu determinarea ulterioară a mărimilor necunoscute cu

ajutorul formulelor trigonometrice. Prima metodă este raţional să fie

folosită pentru lanţurile cinematice deschise cu multe grade de

mobilitate (de exemplu, mecanismele roboţilor şi manipulatoarelor), a

doua metodă pentru mecanisme mai simple cu un grad de mobilitate.

Un asemenea mecanism este articulaţia universală, folosită pentru

transmiterea mişcării de rotaţie de la arborele conducător 1 la arborele

condus 3, ale căror axe sunt reciproc înclinate (fig. 3.38, a, b, c). În fig.

3.39 sunt prezentate exemple de construcţie a transmisiei cardanice (b) a

autocamionului ZIL 130 (a).

133

Metoda geometrică. Pentru alcătuirea relaţiilor analitice dintre

unghiurile 1 şi

3 elementele mecanismului se proiectează pe trei

plane (vezi fig. 3.38): pe planul axial P cu prezentarea unghiului dintre

axe fără deformare şi pe două plane P1 şi P2, care sunt perpen-

diculare pe axa elementului conducător 1 şi respectiv, a elementului

condus 3 cu prezentarea unghiurilor de rotaţie 1 şi

3 fără deformări

(fig. 3.38). Unghiurile se măsoară de la sistemul de referinţă ales xyz,

legat cu batiul 4, 1 de la axa Oz,

3 de la axa Oy. ^ ^ a/

Proiecţiile pe diferite plane ale punctului B, care reprezintă o cuplă

cinematică între elementul conducător 1 şi crucea 2, sunt notate prin Bp,

B1, B3. Pe proiecţia din dreapta (planul P1) segmentul B1Bp prezintă fără

deformare distanţa punctului B de la planul axial P.

Unghiul 1 al elementului conducător 1 se determină din relaţia:

1

*

11 / BBBBtg p . (3.101)

Coordonata unghiulară 3 a elementului condus 3 se determină din

relaţia (vezi proiecţia pe planul P3 în fig. 3.38):

3

*

33 / BBCBtgtg pp . (3.102)

Unghiurile 3

şi *

3 în proiecţia pe planul P3 sunt prezentate fără

deformare şi ele sunt egale, deoarece unghiul dintre axele crucii, egal cu

2/ , este arătat pe proiecţii de asemenea fără deformare. Segmentul

B3Bp este egal cu segmentul B1Bp deoarece el caracterizează distanţa

punctului B3 de la planul axial P şi este prezentat în proiecţie pe planul

P3 fără deformare. Segmentul B3Bp este egal cu segmentul B1Bp,

deoarece el caracterizează distanţa punctului B3 de la planul axial fără

deformare.

Luând în consideraţie că BpB3=BpB1, relaţiile (3.101) şi (3.102) se

scriu sub forma:

.//*

11

*

1

3

13BB

CB

BB

BB

BB

CBtgtg

p

pp

p

(3.103)

Raportul dintre segmentele BpC şi B1B* se află din

31OBB , prezentat

pe planul axial P, în care unghiul B1OB3 este egal cu şi este redat fără

distorsiune:

13 /cos OBOB . (3.104)

134

Fig. 3.38

Luând in consideraţie că OB3 = BpC şi OB1 = B*, relaţia (3.104) este

scrisă sub forma:

cos/// 13

*

113 OBOBBBCBtgtg p ,

sau în formă finală

cos13 tgtg . (3.105)

Viteza unghiulară 3 a elementului condus se determină prin

derivare:

1

1

2

1

221

3

3cos

cos

cos1

1cos

tgtgarctg

dt

d

,

sinsin1cos

cos

1

22

1

21

sau

1

2213sinsin1

cos

.

Raportul de transmitere u31 se determină cu relaţia:

1

22

1

3

31sinsin1

cos

u . (3.106)

Din expresia (3.106) rezultă că raportul de transmitere al

mecanismului cardanic este o mărime variabilă, care variază în limitele:

135

valoarea maximă cos/1max31 u , când ...;;2;;01 valoarea minimă

cos31 u , când ....;2

3,2/1

Valoarea medie 131 medu deoarece la o rotaţie a elementului

conducător 1 elementul condus 3 efectuează o rotaţie. Neregularitatea

rotaţiei elementului condus 3 se apreciază prin coeficientul:

cos/sincos

cos

1 2

3

max1max3

med

,

sau

tg sin . (3.107)

La majorarea unghiului dintre axe, coeficientul de neregularitate

al rotaţiei creşte:

5394,04016,02887,01971,01245,00693,00306,000765,0...

403530252015105...,

grad

Acceleraţia unghiulară a elementului condus 3 se determină prin

derivarea repetată a funcţiei de poziţie:

,

sinsin1

2sinsincos2

1

22

1

2

2

1

3

3

dt

d

sau

.sinsin1

2sinsincos2

1

22

1

2

2

13

(3.108)

Caracteristica de transmitere pentru acceleraţia elementului condus:

.sinsin1

2sinsincos2

1

22

1

2

2

1

3

(3.109)

În practică, pentru excluderea neregularităţii arborelui condus, se

folosesc mecanismele cardanice duble, de obicei, cu caneluri libere pe

unul din arbori (intermediar, conducător sau condus) pentru înlăturarea

legăturilor pasive pe contur (fig. 3.39, c; 3.40, a).

Unghiurile 1 şi

2 intre axele arborilor intermediar, conducător şi

condus se aleg egale: 21 , iar furcile de pe arborele intermediar sunt

amplasate într-un plan. În aceste condiţii coeficientul de neregularitate a

mişcării este egal cu zero din relaţiile care pot fi scrise, folosind relaţiile

(3.101), (3.102), pentru determinarea raportului de transmitere u51 :

136

Fig

. 3

.39

137

Fig. 3.40

;cos;cos 235131 tgtgtgtg

1cos/cos// 12151551 tgtgu .

Un caz interesant este utilizarea neregularităţii mişcării în cuplajul

cardanic dublu cu cruce spaţială pentru diferite malaxoare, care asigură

amestecarea eficientă a mediilor lichid şi pulverulent cu diferite

componente (fig.3.40, b).Mişcarea compusă a elementului spaţial 3, cu

care este legat vasul pentru componentele amestecate, favorizează

malaxarea completă a amestecului. La anumite dimensiuni ale

elementelor coeficientul de neuniformitate al mişcării atinge valori până

la 1,5 şi mai mult. Când ,2 arborele condus efectuează o mişcare de

rotaţie alternativă.

Metoda transformării coordonatelor. Utilizarea calculatoarelor

pentru analiza cinematică a mecanismelor este legată de elaborarea

algoritmilor corespunzători, adică cu descrierea clară a recomandărilor,

care determină conţinutul şi succesiunea operaţiilor efectuate la calcule.

Asemenea descriere se efectuează foarte simplu cu utilizarea ecuaţiilor

de transformare a coordonatelor cu scriere matriceală a operaţiilor de

calcul. În cazul acestei metode se alege un număr oarecare de sisteme de

coordonate, suficient pentru descrierea matematică a formei geometrice

a elementelor şi a mişcării relative a elementelor în fiecare cuplă

cinematică. Numărul sistemelor de coordonate se determină prin

numărul elementelor care formează cuple cinematice. Sistemul de

coordonate fix 000 zyx este legat de batiu. În fiecare cuplă cinematică

se aleg două sisteme de coordonate (varianta1) sau un sistem de

coordonate (varianta 2). În prima variantă sistemele de coordonate se

referă la elementele care formează cupla cinematică. În varianta

secundă fiecărei cuple cinematice îi corespunde un sistem de

coordonate, una dintre axele căruia este legat de un parametru

caracteristic al elementului, de exemplu, linia de axă.

138

Fig. 3.41 Spre exemplificare, în fig. 3.41, a sunt arătate axele de coordonate

,1

1xO ,2

2xO ,3

3xO 4

4xO (sau 0

0xO ) ale unui lanţ cinematic deschis cu

patru elemente 1, 2, 3, 4, care modelează structura mâinii omului (fig.

3.41, b). Axa iz este orientată de-a lungul axei cuplei, iar axa iy

completează sistemul de coordonate din dreapta iiii zyxO .

Originea coordonatelor fiecărui sistem de coordonate local i

coincide cu cupla cinematică, prin care elementul dat este legat cu

elementul precedent. Pentru mecanismele plane axele kzzz ...,,, 21 sunt

paralele între ele, deoarece acestea sunt perpendiculare pe planul de

bază, în care se analizează mişcarea elementelor mecanismului plan.

Trecerea de la sistemul local de coordonate i la alt sistem (i + l) se

determină prin ecuaţiile de transformare a coordonatelor rectangulare în

caz general de translaţie şi de rotaţie a axelor de coordonate; în caz

particular numai de rotaţie a axelor de coordonate, dacă originile sis-

temelor locale de coordonate coincid.

La transferarea paralelă a axelor de coordonate rectangulare (fig.

3.42) proiecţiile vectorului il care leagă punctele B şi C pe un oarecare

element, rămân constante: 0

1

21021 ; yiyiyixixix llllll .

139

Vectorii-raze ai unui punct arbitrar B de pe element sunt legaţi prin

anumite relaţii:

,; 21

21

20

2

10

10

lll BBBBB

Fig. 3.42

Fig. 3.43

unde 210

212010 ,,,,, BBBlll sunt vectori, care leagă originile

corespunzătoare de coordonate 210 ,, OOO între ele şi cu punctul B.

Legătura între coordonatele punctului B într-un spaţiu

tridimensional se stabileşte prin următoarele relaţii (la translarea

paralelă):

zBByBBxBB lzzlyylxx 10

10

10

10

10

10 ;; .

La rotirea axelor de coordonate (fig. 3.43) e necesar să se ia în

consideraţie cosinusurile directoare ale unghiurilor de rotire a axelor (de

exemplu 21 ).

Formulele generale de transformare a coordonatelor la translarea

paralelă şi rotirea axelor, de exemplu, pentru sistemele 1111 zyxO şi ,2222 zyxO au următoarea formă (fig. 3.43):

,

;

;

21

2

33

2

32

2

31

1

21

2

23

2

22

2

21

1

21

2

13

2

12

2

11

1

zBBBB

yBBBB

xBBBB

lzayaxaz

lzayaxay

lzayaxax

(3.110)

unde zyx lll 212121 ,, sunt coordonatele originii 2O a sistemului 222 zyx în

sistemul de coordonate ...,,,,;,, 21131211

111 aaaazyx coeficienţii

coordonatelor, care reprezintă cosinusurile directoare. Pе locul întâi în

indice este notată axa sistemului de coordonate locale (i + 1), pe locul

doi — a sistemului local de coordonate i:

140

.,cos;,cos;,cos

;,cos;,cos;,cos

;,cos;,cos;,cos

12

33

12

32

12

31

12

23

12

22

12

21

12

13

12

12

12

11

zzayzaxza

zyayyaxya

zxayxaxxa

(3.111)

Pentru reducerea înscrierii sunt folosite matrice alcătuite din

parametrii transformării coordonatelor, care prezintă un sistem de

numere (elemente) în formă de tabel dreptunghiular din m linii şi n

coloane.

Matricea M21 a cosinusurilor directoare, numită matrice de rotire a

axelor:

.

333231

232221

131211

1

aaa

aaa

aaa

2

M (3.112)

Matricele-coloană ale proiecţiilor punctelor pe axele de coordonate:

a originii coordonatelor 2O ale sistemului 2222 zyxO în raport cu

sistemul 1111 zyxO :

;

21

21

21

1

z

y

x

l

l

l

2

L (3.113)

a razelor-vectori 1

B şi 2

B ale punctului B în raport cu originile

coordonatelor 1O şi :2O

.;2

2

2

2

1

1

1

1

B

B

B

B

B

B

B

B

z

y

x

z

y

x

(3.114)

Matricea pătrată T21 de transformare a coordonatelor (cu adăugarea

identităţii 11 ) în cazul general:

1000

21333231

21232221

21131211

1

z

y

x

laaa

laaa

laaa

2

T . (3.115)

În sistemul obţinut formulele de transformare a coordonatelor sunt

scrise în felul următor:

la translarea paralelă a axelor de coordonate

,21

21

lBB (3.116)

care-i echivalentă cu relaţia

141

;

21

21

21

2

2

2

1

1

1

z

y

x

B

B

B

B

B

B

l

l

l

z

y

x

z

y

x

(3.117)

la rotirea axelor de coordonate

2

1

1

BB 2

M , (3.118)

care-i echivalentă cu relaţia

,

2

2

2

333231

232221

131211

1

1

1

B

B

B

B

B

B

z

y

x

aaa

aaa

aaa

z

y

x

(3.119)

în cazul general de transformare a coordonatelor

,2

1

1

BB 2

T (3.120)

sau

,21

2121LM BB (3.121)

care este echivalentă cu relaţia

110001

2

2

2

21333231

21232221

21131211

1

1

1

B

B

B

z

y

x

B

B

B

z

y

x

laaa

laaa

laaa

z

y

x

. (3.122)

Utilizarea metodei de transformare a coordonatelor pentru

stabilirea poziţiei elementelor este ilustrată mai jos pe exemplul schemei

robotului industrial (fig. 3.44). Patru elemente mobile 1 , 2 , 3 , 4

formează patru cuple monomobile, dintre care trei de rotaţie şi una de

translaţie. Numărul gradelor de libertate ale robotului este egal cu patru:

.4454656 1 cnW De aceea trebuie să fie date patru coordonate

generalizate: unghiurile relative de rotaţie ale elementelor ;110 tq

;221 tq tq443 şi mişcarea relativă de-a lungul axei elementului 3

tqS 332 (fig. 3.44).

Este formulată problema determinării razei - vectoare 0

E a

punctului E al cleştelui 4 în raport cu sistemul de coordonate fix ,0000 zyxO legat la batiul 5 (sau 0). Axele sistemelor de coordonate

sunt orientate în raport cu elementele cuplelor cinematice în felul

următor:

142

- axa 0z a sistemului fix de coordonate al batiului este orientată

de-a lungul axei cuplei de rotaţie A;

- cu elementul 1 este legat sistemul ,1111 zyxO care are deplasarea

ll0 a originii de coordonate 2O de-a lungul axei 1z . Axa 1z coincide cu

axa ,0z iar axa 1y este orientată pe axa cuplei cinematice de rotaţie B;

- cu elementul 2 este legat sistemul ,2222 zyxO care are originea

coordonatelor în punctul .2O Axa 2y coincide cu axa ,1y adică cu axa

cuplei de rotaţie a cuplei cinematice B;

- originea coordonatelor sistemului 3333 zyxO se află la distanţa

l32 în raport cu punctul 2O de-a lungul axei .2z Axa 3z coincide cu axa ;2z

- coordonata 4

Ez a punctului E al apucătorului 4 este dată în

sistemul ,4444 zyxO al cărui axă 4y este orientată pe axa cuplei

cinematice de rotaţie D.

Pentru determinarea razei-vectoare 0

E e necesar să se rezolve

următoarea ecuaţie:

,40

EE 40

T

unde

;0

0

4

4

4

4

EDE

E

E

E

lz

y

x

;0

0

0

0

E

E

E

E

z

y

x

.0121324340TTTTT

Aici avem T10 matricea de transfer din sistemul 1111 zyxO în

sistemul :0000 zyxO

;

1000

100

00cossin

00sincos

10

1010

1010

l

10

T

T21 matricea de transfer din sistemul 2222 zyxO în sistemul :1111 zyxO

143

;

1000

0cos0sin

0010

0sin0cos

2121

2121

21T

T32 matricea de transfer din sistemul 3333 zyxO în sistemul :2222 zyxO

;

0000

0000

000

0000

32S

32T

T43 matricea de transfer din sistemul 4444 zyxO în sistemul :3333 zyxO

Fig. 3.44

144

.

1000

0cos043sin

0010

0sin0cos

43

4343

43T

Formulele desfăşurate, care determină poziţia apucătorului E, nu

sunt prezentate din cauza caracterului lor voluminos.

La rezolvarea problemelor concrete este raţional de folosit

calculatoarele, în a căror bibliotecă matematică sunt o serie de

subprograme standard pentru efectuarea operaţiilor cu matrice.

Pentru determinarea vitezelor şi acceleraţiilor punctelor şi

elementelor mecanismelor complexe prin utilizarea metodei de

transformare a coordonatelor se are în vedere că raza-vectoare

,0

E de

exemplu a punctului E, este o funcţie vectorială de coordonate

generalizate:

,,...,,, 321

0

nEE qqqq

de aceea viteza Ev a punctului E se determină din relaţia:

,1

i

n

i i

EE

E qqdt

dv

(3.123)

sau

.

;

;

;

222

0

0

0

0

0

0

EzEyExE

E

EEz

E

EEy

E

EEx

vvvv

dt

dzzv

dt

dyyv

dt

dxxv

(3.124)

Viteza absolută unghiulară a elementului j în raport cu batiul (0)

jo se determină prin sumarea vitezelor unghiulare la mişcarea relativă a

elementelor

j

iiijo

11/ , (3.125)

unde indicele 1/ ii arată numărul de ordine al elementelor care

participă la mişcarea relativă, de exemplu .4332211040

145

Fig. 3.45 Transformarea coordonatelor la determinarea poziţiilor

elementelor mecanismelor cu cuple superioare. La determinarea

analitică a legii mişcării elementului condus 2 ,2020 t care formează o

cuplă cinematică superioară cu elementul 1 (fig. 3.45), e necesar să se

cunoască ecuaţiile profilelor P1 şi P2 şi legea de mişcare a elementului

conducător .1010 t Ecuaţiile profilelor P1 şi P2 sunt prezentate în

sistemele mobile de coordonate 1111 zyxO şi :2222 zyxO 1

1

1 xfy

şi ,2

2

2 xfy legate cu elementele corespunzătoare. Pentru punctul de

contact B e necesar să fie respectate următoarele condiţii:

.;; 220110

0

2

0

1

0

2

0

1 nnBBBB yyaxx (3.126)

Ultima relaţie determină cerinţa coincidenţei normalelor duse la

profilele P1 şi P2 în punctul de contact B, deoarece unghiurile 1n şi

2n

determină poziţia normalei n – n faţă de axele mobile.

Sistemul de ecuaţii (3.126) este transformat şi unit cu ecuaţiile

profilelor P1 şi P2:

;cossincossin

;sincossincos

20

2

20

2

10

1

10

1

20

2

20

2

10

1

10

1

BBBB

BBBB

yxyx

ayxyx

;2

2

201

1

10

BBdy

dxarctg

dy

dxarctg

(3.127)

.; 2

2

21

1

1 xfyxfy

146

Din sistemul de ecuaţii (3.127) se determină mărimile căutate dacă

este cunoscută funcţia ,1010 t coordonatele 11 , BB yx şi 22 , BB yx ale

punctului de contact B în sistemele mobile de coordonate şi unghiul 20

de rotaţie a elementului condus 2. Raportul de transmitere 1221 /u se

determină prin derivarea relaţiei 20 în raport cu coordonata generalizată

.10

Metoda planelor vitezelor unghiulare. La cercetarea şi

proiectarea mecanismelor spaţiale cu roţi dinţate şi a unor mecanisme cu

bare, este foarte eficientă metoda planelor vitezelor unghiulare, care se

bazează pe rezolvarea ecuaţiilor vectoriale de tipul

.2112 (3.128)

Ecuaţia (3.128) se rezolvă, dacă sunt stabilite direcţiile vectorilor şi

este dată legea variaţiei unuia din aceşti vectori. Vectorul 21 determină

poziţia axei instantanee de rotaţie OP în mişcarea relativă a elementelor,

adică la rotaţia elementului 2 din poziţia dată faţă de elementul 1 în

poziţia apropiată la infinit de cea dată.

Să examinăm utilizarea metodei pe baza exemplului mecanismului

conic planetar cu roţi dinţate, ilustrat în fig. 3.46, a, şi care include roţile

conice 54321 ,,,, zzzzz şi furca H . Roţile

2z şi5z sunt unite într-un bloc

comun, iar roata 3z este fixată pe batiul 6.

Axele rotaţiei relative instantanee sunt notate prin OPOP H 232 , şi .54OP

Ele se intersectează într-un punct comun .O

Poate fi scris următorul sistem de ecuaţii:

.0;

;

;;

;;

4554

25

552332

222112

HH

HH

(3.129)

Sistemul de ecuaţii poate fi scris în felul următor:

.211232

Această ecuaţie se rezolvă în raport cu 2 şi 21 cu ajutorul planului

vitezelor unghiulare, prezentat în fig. 3.46, b. În triunghiul p12 vectorul

1 este reprezentat prin segmentul .1 1p Vectorul 21 este trasat

paralel cu axa ,12OP iar vectorul 2 paralel cu axa .23OP Mărimea

vectorilor căutaţi este determinată prin raportul lungimii segmentelor p2

şi p12 la scara vitezei unghiulare: ./12;/2 212 p

147

Ecuaţia 4524554 se rezolvă, de asemenea, grafic:

vectorul 44 p este trasat paralel cu axa de rotaţie a roţii 4, vectorul

4524 paralel cu axa .54OP

Valorile vectorilor necunoscuţi ai vitezelor unghiulare sunt

determinate după lungimile segmentelor p4 şi 24 în 24p :

./24;/4 454 p

Ecuaţia 22 HH se rezolvă, de asemenea, grafic prin

construirea triunghiului p2H.

Valorile vectorilor necunoscuţi se determină din relaţiile ./2,/ 2 HpH HH

Metoda planelor vitezelor unghiulare e raţional a o folosi, de

exemplu, la cercetarea mecanismului cardanic.

În acest caz se scrie sistemul de ecuaţii vectoriale, care leagă între

ele vectorii vitezelor unghiulare: 1 ale elementului conducător, 2

ale elementului intermediar (articulaţiei) şi 3 ale elementului condus

şi ale vectorilor rotaţiei relative 21 şi 23 a articulaţiei (crucii) 2 faţă de

elementele 1şi 3 (fig. 3.47, a):

,; 32232112

sau

.322113

Fig. 3.46

148

Fig. 3.47 În ultima ecuaţie vectorială numărul parametrilor necunoscuţi este

egal cu trei, adică ecuaţia se rezolvă prin construirea grafică în spaţiul

tridimensional (fig. 3.47, b). Lungimea segmentului pa se determină în

felul următor: ;1pa lungimea segmentelor rămase se determină pe

baza soluţiei ;;; 33221 pcbcab .2pb

Funcţia poziţiei se determină din analiza în comun a trei triunghiuri

dreptunghiulare bdcabd , şi :cde

din ;/141 debdtgtgebd

din ;/34

*

3 bdcdtgtgcbd

din ./cos dcdecde

După substituire obţinem:

.cos/ 1

1*

3

tgcd

tgdebdcdtg

Pentru determinarea vectorului vitezei unghiulare 3 se efectuează

construirea elementelor conducător şi condus în plan axial şi se scriu

relaţiile între segmente: ;sincos adpapcpfpc

din ;sin 1abadabd

din ;sin 1aeabaeb

din .sin* pcaepca

După substituire obţinem:

149

,sinsincos 1

22 pcpapc

sau

.sinsin1

cos

1

22

papc

Deoarece segmentele pc şi pa sunt proporţionale cu vitezele

unghiulare 3 şi ,1 se poate scrie:

.sinsin1

cos

1

2213

(3.130)

Viteza unghiulară 21 se determină din relaţia

1sinsin pcab

sau

.sinsin1

sinsincos

1

22

1

121

Relaţia (3.130) este identică cu relaţia (3.106) obţinută la rezolvarea

problemei prin metoda geometrică.

150

C a p i t o l u l 4

CERCETAREA MIŞCĂRII AGREGATULUI

DE MAŞINĂ CU ELEMENTE RIGIDE

Asupra mecanismului agregatului de maşină în procesul mişcării acestuia sunt

aplicate diferite forţe. Acestea sunt forţele motoare, forţele de rezistenţă, forţele de

greutate şi multe altele. Caracterul acţiunii acestora poate fi diferit: unele depind de

poziţia elementelor mecanismului, altele de viteza lor, cele din grupa a treia sunt

constante. Prin acţiunea lor forţele aplicate comunică mecanismului legea corespunzătoare de mişcare.

Caracteristicile cinematice viteza, acceleraţia, timpul de pornire, gradul de

neregularitate a mişcării etc. se determină prin rezolvarea ecuaţiei mişcării. Alegerea metodei de rezolvare a ecuaţiei mișcării depinde de caracterul acţiunii forţelor date şi de

proprietăţile de transmitere ale mecanismului. În acest caz dimensiunile, masele şi

momentele de inerţie ale elementelor trebuie să fie cunoscute. Însă este cunoscută şi

problema inversă când sunt date caracteristicile cinematice ale regimului mişcării maşinii şi e necesar să se determine masele, momentele de inerţie, prin urmare, şi

dimensiunile elementelor cu care mecanismul, solicitat cu forţele date, s-ar mişca în

regimul necesar. În capitolul prezent se examinează metodele de soluţionare atât a

problemei directe cercetarea dinamică a mecanismului agregatului de maşină cât şi a

celei inverse proiectarea dinamică a mecanismului. În acest caz e necesar de accentuat că la soluţionarea ambelor probleme se presupune că toate elementele mecanismului

sunt absolut rigide.

§ 4.1. Forţele care acţionează în maşini

şi caracteristicile acestora

Forţele şi cuplele de forţe*, aplicate asupra mecanismului maşinii,

pot fi clasificate în următoarele grupe.

1. F o r ţ e şi m o m e n t e m o t o a r e, care efectuează un

lucru pozitiv pe durata acţiunii sau în curs de un ciclu, dacă acestea

variază periodic. Aceste forţe şi momente sunt aplicate la elementele

mecanismului, numite elemente conducătoare.

2. F o r ţ e şi m o m e n t e r e z i s t e n t e, care

efectuează un lucru negativ pe durata acţiunii lor sau în curs de un ciclu.

Aceste forțe şi momente se împart, în primul rând, în forţe şi momente

* În continuare în locul expresiei „este aplicată un cuplu de forţe cu momentul M‖ se va folosi o

îmbinare mai laconică „este aplicat momentul M ‖.

151

rezistente utile, care efectuează lucrul cerut de la maşină şi sunt aplicate

la elementele numite elemente conduse, şi în al doilea rând, în forţe şi

momente de rezistenţă a mediului (gazului, lichidului), în care se mişcă

elementele mecanismului. Forţele de rezistenţă a mediului de obicei sunt

mici în comparaţie cu alte forţe, de aceea în continuare acestea nu vor fi

luate în consideraţie, iar forţele şi momentele de rezistenţă utilă vor fi

numite pur şi simplu forţe şi momente rezistente.

3. F o r ţ e de g r e u t a t e ale elementelor mobile şi

f o r ţ e de e l a s t i c i t a t e ale arcurilor. În unele faze ale mişcării

mecanismului aceste forţe pot efectua atât un lucru pozitiv, cât şi un

lucru negativ. Însă în cursul unui ciclu cinematic complet lucrul mecanic

al acestor forţe este egal cu zero, deoarece punctele de aplicare a

acestora se deplasează ciclic.

4. F o r ţ e şi m o m e n t e a p l i c a t e l a c o r p u l

m a ş i n i i (adică la batiu) din e x t e r i o r. În afară de forţele de

greutate ale corpului la acestea se adaugă, de asemenea, şi forţele de

reacţiune a bazei (fundaţiei) maşinii asupra corpului acesteia şi multe

alte forţe. Toate aceste forţe şi momente nu efectuează nici un lucru,

deoarece ele sunt aplicate asupra corpului fix (batiu).

5. F o r ţ e de i n t e r a c ţ i u n e î n t r e e l e m e n t e l e

m e c a n i s m u l u i, adică forţele care acţionează în cuplele

cinematice ale acestuia. Aceste forţe, conform legii a treia a lui Newton,

sunt întotdeauna opuse ca sens. Componentele lor normale nu

efectuează nici un lucru, iar componentele tangenţiale, adică forţele de

frecare, efectuează un lucru, totodată lucrul forţei de frecare la

deplasarea relativă a elementelor din cupla cinematică este negativ.

Forţele şi momentele primelor trei grupe fac parte din categoria

forţelor active. De obicei acestea sunt cunoscute sau pot fi apreciate.

Toate aceste forţe şi momente sunt aplicate asupra mecanismului din

afară şi de aceea ele sunt numite forţe şi momente exterioare. Aici sunt

incluse, de asemenea, şi toate forţele şi momentele grupei a 4-a. Însă nu

toate sunt forţe active.

Forţele grupei a 5-a sunt forţe interioare, dacă mecanismul se

examinează ca un tot, fără a evidenţia părţile lui componente. Aceste

forte reprezintă reacţiile la acţiunea forţelor active. Forţă de reacţiune

este, de asemenea, şi forţa (sau momentul), cu care baza (temelia)

maşinii acţionează asupra corpului acesteia (adică asupra batiului

mecanismului). Forţele de reacţiune, de obicei, sunt necunoscute. Ele

depind de forţele şi momentele active şi de acceleraţiile elementelor

mecanismelor.

152

O influenţa considerabilă asupra legii mişcării mecanismului au

forţele şi momentele motoare, precum şi forţele şi momentele de

rezistenţă. Natura lor fizică, valoarea şi caracterul acţiunii sunt

determinate de procesul de lucru al maşinii sau aparatului, în care este

utilizat mecanismul examinat. În majoritatea cazurilor aceste forţe şi

momente nu rămân constante, ci îşi schimbă valoarea la schimbarea

poziţiei elementelor mecanismului sau vitezei acestora. Aceste

dependenţe funcţionale, prezentate grafic, numeric sau analitic, poartă

denumirea de caracteristici mecanice şi la rezolvarea problemelor se

consideră cunoscute.

La reprezentarea caracteristicilor mecanice ne vom conduce de

următoarea regulă a semnelor: forţa şi momentul se consideră pozitive,

dacă în intervalul de drum examinat (liniar sau unghiular) acestea

efectuează un lucru pozitiv.

Caracteristicile forţelor care depind de viteză. În fig.4.1 este

prezentată caracteristica mecanică a electromotorului asincron

dependenţa momentului motor de viteza unghiulară a rotorului maşinii.

Porţiunea de lucru a caracteristicii este intervalul ab, în care momentul

motor se micşorează brusc chiar la o majorare neînsemnată a vitezei de

rotaţie.

De viteză depind, de asemenea, forţele şi momentele care

acţionează în următoarele maşini cu rotor, cum sunt:

electrogeneratoarele, ventilatoarele, suflantele, pompele centrifuge

(fig.4.2) şi multe altele.

La creşterea vitezei momentul motoarelor se micşorează, iar

momentul rezistent creste. O astfel de proprietate este foarte utilă

Fig. 4.1 Fig. 4.2

153

deoarece contribuie automat la menţinerea stabilă a regimului de

mişcare a maşinii şi, cu cât aceasta este mai pronunţată, cu atât

stabilitatea este mai mare. O astfel de proprietate a maşinilor este numită

a u t o r e g l a r e.

Caracteristicile forţelor care depind de deplasare. În fig. 4.3 este

prezentată schema cinematică a mecanismului motorului cu ardere

internă (MAI) în doi timpi şi caracteristica mecanică a acestuia. Forţa

Fm, aplicată la pistonul 3, acţionează întotdeauna la stânga. De aceea la

mişcarea pistonului la stânga (procesul de dilatare a gazelor) acesta

efectuează un lucru pozitiv şi este indicată cu semnul plus (ramura czd).

La deplasarea pistonului la dreapta (procesul de comprimare a gazelor)

forţa Fm capătă semnul minus (ramura dac). Dacă alimentarea cu

combustibil a MAI nu se schimbă, atunci la următoarea rotaţie a

elementului conducător (elementul 1) caracteristica mecanică Cmm SFF

repetă forma sa. Aceasta înseamnă că forţa mF se va modifica periodic.

Lucrul forţei mF este prezentat grafic prin suprafaţa limitată de

curba Cm SF . În fig. 4.3 această suprafaţă are două părţi: pozitivă şi

negativă, totodată prima parte este mai mare decât cea de-a doua parte.

De aceea lucrul forţei mF pe o perioadă completă va fi pozitivă. Deci,

Fig. 4.3

154

forţa mF este motoare, cu toate că aceasta are un semn variabil. Precizăm

concomitent că forţa cu semn variabil efectuează într-un ciclu un lucru

negativ, atunci această forţă este o forţă de rezistenţă.

Forţele care depind numai de deplasare acţionează în multe alte

maşini şi aparate (în compresoarele cu piston, maşinile de forjat, de

mortezat şi de rabotat, diferite aparate atât cu acţionare pneumatică, cât

şi motoare cu arcuri etc.). Totodată acţiunea forţelor poate fi atât

periodică cât şi neperiodică.

Totodată trebuie să

menţionăm că momentul

mașinilor rotative nu depinde

de deplasare, adică de unghiul

de rotaţie a rotorului.

Caracteristicile acestor maşini,

când ,const sunt prezentate

în fig. 4.4, a, b. În acest caz la

maşinile motoare 0mM , iar la maşinile tehnologice (adică la maşinile

de lucru) 0mlM .

Dacă variază alimentarea cu combustibil a MAI, atunci

caracteristica mecanică a acestuia va căpăta forma unei familii de curbe

(fig. 4.5, a). Cu cât este mai mare alimentarea cu combustibil

(parametrul h al familiei curbelor), cu atât caracteristica este plasată mai

sus. Printr-o familie de curbe este reprezentată şi caracteristica mecanică

a electromotorului cu derivaţie (fig. 4.5, b). Cu cât este mai mare

rezistenţa în circuitul înfăşurării de excitaţie a motorului (parametrul h ),

cu atât curba este situată mai la dreapta. Caracteristica cuplajului

hidrodinamic, de asemenea, are forma unei familii de curbe (fig. 4.5, c).

Cu cât este mai ridicat nivelul de umplere a cuplajului cu lichid

(parametrul h), cu atât caracteristica se situează mai sus şi mai la dreapta.

Fig. 4.4

Fig. 4.5

155

Astfel, acționând asupra parametrului h, poate fi dirijat regimul de

lucru al dispozitivului de acţionare termic, electric sau hidraulic,

mărind forţa lui motoare sau viteza. În acelaşi timp p a r a m e t r u l

de d i r i j a re h este legat de valoarea fluxului de energie, care trece

prin maşină, adică determină productivitatea şi solicitarea acesteia.

§ 4.2. Modelul dinamic al agregatului de maşină

Mecanismul agregatului de maşină, de obicei, este un sistem cu

multe elemente, solicitat cu forţe şi momente aplicate la diferite

elemente ale acestuia. Pentru a ne imagina mai clar aceasta, examinăm

în calitate de exemplu instalaţia de forţă, în care motorul cu ardere

internă (MAI) pune în mişcare, printr-o transmisiune cu roţi dinţate,

arborele consumatorului energiei mecanice, adică al maşinii de lucru

(fig. 4.6, a ) . Luăm în calitate de consumator un electrogenerator sau

ventilator, sau o pompă centrifugă, sau o altă maşină de lucru.

Asupra pistonului este aplicată forţa motoare Fm, asupra rotorului 4

al maşinii de lucru momentul rezistenţei Mml, asupra tuturor

elementelor forţele de greutate, în toate cuplele cinematice acţionează

forţele de frecare. Dacă MAI are câțiva cilindri, numărul elementelor

mobile va fi mai mare de patru. În acest caz asupra fiecărui piston va

acţiona forţa motoare, prin urmare, tabloul solicitării mecanismului va

deveni şi mai complicat.

Determinarea legii de mişcare a acestui sistem complicat cu multe

elemente este o problemă foarte dificilă. Însă în exemplul analizat

mecanismul posedă un grad de mobilitate ( W = 1). Aceasta înseamnă

că mai întâi de toate e necesar să se determine legea mişcării numai a

unui singur element, care în felul acesta va fi element conducător. O

astfel de formulare a problemei ne sugerează ideea substituirii

mecanismului complicat cu multe elemente cu un singur element

convenţional.

Alegem în calitate de element conducător al mecanismului cercetat

arborele cotit al MAI, adică elementul 1 (fig. 4.6, a) *. Pentru elementul

convenţional (fig. 4.6, b ) formulăm următoarea condiţie: momentul lui

de inerţie redJ şi momentul redM , cu care acesta este solicitat, vor fi de

* Dacă mecanismul dat are un element care se află într-o mişcare de rotaţie continuă, atunci anume

acesta este raţional să fie ales în calitate de element conducător.

156

aşa natură că legea de mişcare a elementului convenţional va coincide în

întregime cu legea de mişcare a elementului conducător 1. Aceasta

înseamnă că elementul convenţional va deveni un model dinamic

specific al mecanismului. Iar de aici rezultă că, dacă se determină legea

de mişcare a acestui model simplu (fig. 4.6, b), atunci automat devine

cunoscută legea de mişcare a elementului conducător al mecanismului

dat, adică va fi justă pentru fiecare interval de timp relaţia:

,1 m (4.1)

în care 1 este viteza unghiulară a elementului conducător (în exemplul

examinat elementul 1), iar m viteza unghiulară a modelului.

Din cele expuse rezultă că la stabilirea modelului mecanismului

toate forţele şi momentele aplicate sunt reduse la unul din elemente, sunt

înlocuite cu un m o m e n t s u m a t r e d u s ,redM adică cu acea

valoare calculată, numită în mecanica teoretică forţă generalizată. Deci, redM

este echivalentul întregii solicitări date, aplicate asupra

mecanismului. În mod analog, masele tuturor elementelor (mai precis,

inerţiile acestora) sunt, de asemenea, reduse la un element şi înlocuite cu

un m o m e n t de i n e r ţ i e s u m a r r e d u s ,redJ care este, astfel,

echivalentul inerţiei întregului mecanism.

Mecanismul dat cu multe elemente (fig. 4.6, a), solicitat de un

sistem complex de forte şi momente, este înlocuit cu un model simplu

(fig.4.6, b). Deci, stabilirea modelului dinamic constă în reducerea

forţelor (determinarea )redM şi a maselor (determinarea ).redJ

Accentuăm în acest caz că modelul dinamic trebuie să fie elaborat astfel,

încât să fie îndeplinită relaţia (4.1). În caz contrar trecerea de la

mecanismul real dat la modelul său dinamic devine lipsită de sens.

Realizarea relaţiei (4.1), cum rezultă din ecuaţia lui Lagrange de ordinul

Fig. 4.6

157

doi, va fi asigurată, dacă la reducerea forţelor va fi respectată

condiţia egalităţii cantităţilor de lucru elementare, iar la

reducerea maselor — condiţia egalităţii energiilor cinetice.

§ 4.3. Reducerea forţelor

Vom examina reducerea forţelor pe baza exemplului mecanismului

cu un grad de mobilitate (W = 1) (fig. 4.7, a). Alegem în calitate de

element conducător elementul 1. Mecanismul este solicitat de forţele F

şi 3F şi de momentul M4 . Înlocuim mecanismul cu modelul său şi

reducem la acesta ambele forţe şi momentul. Drept rezultat, forţele F şi

3F şi momentul M4 vor fi prezentate prin momentele reduse

corespunzătoare (fig. 4.7, b). Suma lor algebrică echivalează cu

valoarea momentului redus sumar

,43

red

M

red

F

red

F

red MMMM (4.2)

aplicat modelului (fig. 4.7, c).

Reducem forţa ,F adică găsim .red

FM Pentru aceasta conform § 4.2

trebuie scrisă condiţia iniţială bilanţul lucrului elementar al forţei

aplicate F şi al momentului redus ,red

FM care o înlocuieşte

Fig. 4.7

158

,,cos KKM

red

F SdFFdSdM (4.3)

unde md şi

KdS sunt deplasările posibile ale modelului şi punctului K de

aplicare a forţei. Luând în consideraţie relaţia (4.1), din care rezultă

,1 dd m rezolvăm ecuaţia (4.3) în raport cu momentul redus căutat:

,,cos,cos/

/,cos

111

KK

KK

KKred

F SdFv

FSdFdtd

dtdSFSdF

d

dSFM

de unde, considerând că ,,, KK vFSdF obţinem

.,cos1

KKred

F vFv

FM

(4.4)

Relaţia (4.4) are un sens generalizat: prin litera K poate fi înţeles

orice punct al mecanismului, în care este aplicată forţa F, cunoscută ca

mărime şi direcţie.

Reducem momentul M4. Scriem condiţia iniţială bilanţul lucrului

elementar:

,444 dMdM m

red

M (4.5)

unde md şi

4d sunt deplasările unghiulare posibile ale modelului şi

elementului 4. Rezolvăm ecuaţia (4.5) faţă de ,4

red

MM ţinând cont că

:1 dd m

,/ 1

4

4

1

4

4

1

4

44

M

dtd

dtdM

d

dMM red

M

adică în formă finală

.1

4

44

MM red

M (4.6)

Relaţia (4.6) poate fi generalizată:

,1

j

j

red

Mj MM (4.7)

unde Mj sunt momentul aplicat în realitate elementului j.

Utilizarea practică în calcule a ecuaţiilor (4.4) şi (4.7) poate fi

efectuată grafic (prin metoda planelor), sau analitic (cu ajutorul

analogilor).

Metoda grafică. Pentru aceasta transformăm relaţia (4.4), luând în

consideraţie că :/1 ABB lv

.,cos K

B

K

AB

red

F vFv

vlFM (4.8)

În relaţia (4.8) e necesar de introdus valoarea absolută .,cos KvF

159

Pentru a determina raportul BK vv / al vitezelor posibile şi unghiul

,, KvF construim planul vitezelor posibile, care pentru mecanismele cu

W=1 se efectuează după aceeaşi metodă ca şi planul vitezelor reale (vezi

§ 3.2). În acest caz trebuie să reţinem că vitezele posibile, spre deosebire

de cele reale, nu depind de forţele aplicate, adică nu-s legate în nici un fel

cu legea de mişcare a mecanismului şi în acelaşi timp au o valoare

numerică concretă.

Sensul momentului redus red

FM se determină în felul următor:

deoarece

F acţionează în sens opus vitezei Kv (fig. 4.7, d), momentul red

FM trebuie să fie orientat în sens opus vitezei unghiulare m (fig. 4.7,

b).

Folosind ecuaţia (4.8) pentru reducerea forţei ,3F luând în

consideraţie că ,1,cos 3 CvF deoarece :0,3 CvF

.33

B

C

AB

red

Fv

vlFM (4.9)

Pentru determinarea momentului redus red

MM 4ne întoarcem la relaţia

(4.6), în care 4114 / u (fig. 4.7, a):

.4144 uMM red

M (4.10)

În relaţia (4.10) trebuie introdusă valoarea absolută a raportului de

transmitere ./ 4141 zzu Momentul redus red

MM 4este orientat în sens opus

vitezei unghiulare m (fig. 4.7, b), deoarece momentul dat

4M acţionează

în sens opus lui .4

Metoda analitică. Pentru aceasta alegem un sistem rectangular de

coordonate Axy (fig. 4.7, a).

Scriem relaţia de calcul pentru determinarea lui .red

FM Puterea forţei

F [vezi relaţia (4.4)] o exprimăm prin proiecțiile:

.,cos kyyKxxKK vFvFvFFv

Substituind această expresie în relaţia (4.4), obţinem:

.11

Ky

y

Kx

x

red

F

vF

vFM

Cum se ştie din § 3.3, rapoartele xqKx Kvv 1/ şi yqKy Kvv 1/ sunt

proiecţiile analogului vitezei punctului K. De aceea ultima relaţie va

căpăta forma finală de calcul:

.yqyxqx

red

F kvFkvFM (4.11)

160

E necesar de subliniat că în relaţia (4.11) toate proiecţiile se

introduc cu semnele lor.

Dacă conform calculului momentul redus ,0red

FM atunci el este

orientat în sens opus acelor de ceasornic. Dacă ,0red

FM atunci el este

orientat în sensul acelor de ceasornic.

Folosind relaţia (4.11) pentru reducerea forţei 3F :

.33 xqx

red

F CvFM (4.12)

În mecanismul dat punctul C se mişcă de-a lungul acei x (fig. 4.7,

a), de aceea .0yqCv Semnul momentului red

FM 3va indica sensul acestuia.

Pentru reducerea momentului M4 folosim relaţia (4.6). Raportul de

transmitere ,0// 411441 zzu deoarece la angrenarea exterioară a

roţilor dinţate 4 şi 1 ele se rotesc în sensuri opuse (fig. 4.7, a). De aceea:

./ 4144 zzMM red

M (4.13)

Semnul momentului red

MM 4va arăta sensul acţiunii lui.

Într-un caz mai general, când elementul j, la care este aplicat

momentul Mj, nu este legat printr-o oarecare transmisie cu elementul

conducător, raportul 1/ j [vezi relaţia (4.7)] reprezintă analogul

qj al

vitezei unghiulare j (vezi § 3.1). Deci relaţia de calcul sub forma

generală se scrie în felul următor:

.qjj

red

Mj MM

Avantajul metodei analitice constă în faptul că folosirea ei deschide

posibilităţi largi în utilizarea calculatoarelor pentru efectuarea

calculelor. Însă nu trebuie să uităm că metoda analitică necesită

cunoaşterea formulelor pentru proiecţiile analogilor vitezelor şi forţelor,

elaborarea cărora nu este aşa de simplă.

Determinând momentele ,red

FM ,3

red

FM red

FM 4(grafic sau analitic),

acestea trebuie să corespundă relaţiei (4.2) şi se obţine momentul căutat

.redM Accentuăm că redM

poate fi determinat grafic, folosind teorema lui

Jukovski [1,3,5].

Construim graficele momentelor reduse pentru mecanismul

agregatului de maşină (fig. 4.6, a). Caracteristicile mecanice ale

maşinilor sunt cunoscute. În calitate de element conducător alegem

elementul 1.

161

Efectuăm reducerea prin metoda grafică. Construim planele

vitezelor posibile pentru diferite poziţii ale mecanismului în limitele

unui ciclu de lucru. Momentul motor redus red

mM îl determinăm după

relaţia (4.9), substituind mFF 3

: .B

C

ABm

red

mv

vlFM

Valorile mF pentru fiecare poziţie a mecanismului le luăm de pe

caracteristica mecanică (fig. 4.3). Când reducerea se efectuează prin

metoda planelor (metoda grafică), atunci momentele reduse capătă acele

sume, pe care le au forţele şi momentele reduse în realitate pe

caracteristicile mecanice. Graficul 1

red

mM este reprezentat în fig. 4.8, a.

Fig. 4.8

162

Momentul rezistent redus red

rM îl determinăm din relaţia (4.10), în

care :4 mlMM

.41uMM ml

red

r

Momentul mlM îl luăm din caracteristica mecanică (fig. 4.4, b),

considerând că arborele maşinii de lucru (al generatorului) se roteşte

practic uniform. Graficul 1

red

rM este reprezentat în fig. 4.8, b.

Să trecem la metoda analitică. Fixăm sistemul de coordonate Axy

(fig. 4.6, a). Momentul motor redus red

mM este determinat din relaţia

(4.12), în care :3 mxx FF

.xqmx

red

m CvFM (4.14)

Deoarece forţa mF în orice poziţie a mecanismului acţionează spre

stânga (fig. 4.6), adică în sens negativ, atunci conform regulilor algebrei

vectoriale proiecţiile mxF capătă semnul minus (fig. 4.8, c). Proiecţia

qCxv

a analogului vitezei se determină din relaţia:

1

22

2

1

1

sin

cos1sin

ABqCx lv

(vezi § 3.3) şi este prezentată în fig. 4.8, d.

Efectuând calculul conform relaţiei (4.14), obţinem momentul

redus ,1red

mM care se ilustrează prin acelaşi grafic ca şi ,1red

mM obţinut

prin metoda planelor (fig. 4.8, a).

Momentul rezistent redus este calculat din relaţia (4.13), obţinând

mlMM 4(fig. 4.4, b):

./ 41 zzMM ml

red

r

Deoarece mlM este orientat în sens invers al acelor de ceasornic (fig.

4.6, a), conform regulilor algebrei vectoriale 0mlM şi respectiv .0rM

Valoarea absolută a momentului mlM trebuie să fie luată de pe

caracteristica mecanică (fig. 4.4, b). Momentul rezistent 1

red

rM este

prezentat pe acelaşi grafic ca şi ,1red

rM obţinut prin metoda planelor

(fig. 4.8, b).

Aici e foarte important să atragem atenţia asupra faptului că regula

semnelor pentru reprezentarea forţelor şi momentelor pe caracteristicile

mecanice diferă absolut de regula luată din algebra vectorială pentru

determinarea semnelor proiecţiilor forţelor şi semnelor momentelor. De

aceea semnele momentelor reduse, obţinute grafic şi analitic, vor

163

coincide numai în cazul când elementul conducător se roteşte în sensul

invers acelor de ceasornic (adică în sens pozitiv).

Momentul sumat redus se determină în felul următor:

red

r

red

m

red MMM (4.15)

(vezi fig. 4.8, e). Astfel datorită reducerii forţelor, întreaga sarcină

aplicată asupra mecanismului (fig. 4.6, a) este substituită cu un singur

moment sumar redus (fig. 4.6, b).

§ 4.4. Reducerea maselor

Reducerea maselor o examinăm pe exemplul mecanismului cu un

grad de mobilitate (W=1) (fig. 4.9, a), luând în calitate de element

conducător elementul 1.

Substituim mecanismul dat cu modelul său dinamic (fig. 4.9, b).

Aceasta înseamnă să concentrăm în acesta inerţia tuturor elementelor

mecanismului. Notăm momentul de inerţie al modelului .redJ Deci, redJ

este echivalentul inerţiei mecanismului în întregime şi se numeşte

momentul de inerţie redus al lui. După cum s-a menţionat în § 4.2,

valoarea redJ se determină din condiţia bilanţului energiei cinetice Tm a

modelului şi a mecanismului în întregime T:

.TTm (4.16)

Fig. 4.9

164

Energia cinetică a modelului (fig. 4.9, b) se determină în felul

următor:

.2

2

m

red

m

JT

Amintim că energia cinetică a elementului i în formă generală poate

fi scrisă în felul următor:

,22

22

iiSSii

i

JvmT

(4.17)

unde Siv este viteza centrului de mase Si al elementului i;

iSJ momentul

de inerţie al elementului i în raport cu axa care trece prin centrul maselor

Si . În cazul mişcării de translaţie .0i În cazul mişcării de rotaţie în

jurul axei A, relaţia (4.17) se aduce la forma

.2

2

iiA

i

JT

Energia cinetică T a mecanismului dat (fig. 4.9, a) este constituită

din energiile cinetice ale celor patru elemente mobile ale lui

.4321 TTTTT Elementul 1 descrie o mişcare de rotaţie, elementul 2

mişcare plan-paralelă, elementul 3 mişcare de translaţie, elementul 4

mişcare de rotaţie. De aceea:

.22222

2

44

2

3

2

22

2

22

2

11 DCSSA JvmJvmJT

Introducem expresiile Tm şi T în ecuaţia (4.16) şi, ţinând cont de

relaţia (4.1), după unele transformări simple obţinem:

.

2

1

4

4

2

1

3

2

1

2

2

2

1

2

21

D

C

S

S

A

red Jv

mJv

mJJ (4.18)

Utilizarea practică a relaţiei (4.18) poate fi realizată grafic (cu

ajutorul planelor vitezelor posibile) sau analitic (cu ajutorul analogilor

vitezelor).

Metoda grafică. Transformăm relaţia (4.18), ţinând cont că ;/1 ABB lv ;/2 CBCB lv :/ 4114 u

.2

414

2

2

3

22

2

2

22

21 uJv

vlm

v

v

l

lJ

v

vlmJJ D

B

C

AB

B

CB

CB

AB

S

B

S

ABA

red

(4.19)

În mecanismul cu un grad de mobilitate rapoartele vitezelor reale

sunt egale cu rapoartele vitezelor posibile. De aceea aceste rapoarte sunt

luate din planul vitezelor posibile (fig. 4.9, c).

Metoda analitică. Conform § 3.1, rapoartele luate în paranteze în

relaţia (4.18) reprezintă algoritmii vitezelor:

165

,,,, 4

1

4

1

2

1

2

2

1

2

qqC

C

qqS

S vv

vv

de aceea relaţia (4.18) este scrisă în felul următor:

.2

44

2

3

2

22

2

221 qDqCqSqSA

red JvmJvmJJ (4.20)

Remarcăm că ,2

2

2

2

2

2 yqSxqSqS vvv ,22

qCxqC vv deoarece .0qCyv În afară

de aceasta, .// 4141144 constzzuq Calculele la metoda analitică

pot fi efectuate la calculator.

În forma generalizată relaţia (4.20) este valabilă pentru orice

mecanism:

,1

22

n

iqiiSqSii

red JvmJ (4.21)

unde n este numărul elementelor mobile ale mecanismului. În paranteze

se află analogii vitezelor qSiv şi ,qi care caracterizează proprietăţile de

transmitere ale mecanismului. Din relaţia (4.21) rezultă că momentul de

inerţie redus redJal mecanismului nu depinde de legea de mişcare a

acestuia şi este o caracteristică a mecanismului propriu-zis.

Momentul de inerţie redus redJ al mecanismului poate fi considerat

drept suma momentelor de inerţie reduse ale unor elemente ale lui. De

aceea relaţiile (4.19) şi (4.20) le prezentăm în felul următor:

,4321

redredredredred JJJJJ

unde

,11 constJJ A

red (4.22)

var,2

22

2

22

22

2

2

22

22

qSqS

B

CB

CB

AB

S

B

S

AB

red Jvmv

v

l

lJ

v

vlmJ (4.23)

var,2

3

2

2

33

qC

B

C

AB

red vmv

vlmJ (4.24)

.2

4144 constuJJ D

red (4.25)

Momentele de inerţie reduse redJ 2şi redJ3

sunt mărimi variabile,

deoarece în expresiile (4.23) şi (4.24) intră rapoartele vitezelor posibile

sau analogii vitezelor, care depind de poziţia mecanismului. De aceea

momentul de inerţie al întregului mecanism [relaţiile (4.19) şi (4.20)] de

asemenea va fi o mărime variabilă, care depinde de coordonata

generalizată .1 Multor mecanisme le este propriu caracterul periodic al

acestei dependenţe. Sunt însă mecanisme (de exemplu mecanisme cu

roţi dinţate, paralelogramul articulat etc.), al căror moment de inerţie

redus este constant.

166

Din cele expuse rezulta că modelul cu care este substituit

mecanismul (fig.4.9, b) este un corp convenţional, deoarece momentul

lui de inerţie (în caz general) este variabil, în timp ce corpurile fizice

reale au momente de inerţie constante.

În încheiere accentuăm că, deoarece nici planele vitezelor posibile,

nici analogii vitezelor nu depind de legea mişcării mecanismului,

reducerea maselor, ca şi reducerea forţelor, poate fi efectuată,

necunoscând legea lui de mişcare. Deci, la soluţionarea problemei

dinamice, e posibil (şi necesar) mai întâi să se stabilească modelul

dinamic al mecanismului efectuând reducerea forţelor şi maselor, iar

apoi să se determine legea de mişcare a acestuia.

§ 4.5. Ecuaţia mişcării mecanismului

Efectuând reducerea forţelor şi

maselor, orice mecanism cu un grad de

mobilitate (mecanismul cu bare, cu roţi

dinţate, cu camă etc.) poate fi înlocuit cu un

model dinamic (fig.4.10). Acest model în

caz general are momentul de inerţie redus redJ

variabil şi asupra lui este aplicat

momentul redus sumat M

*. Legea

mişcării modelului coincide cu legea

mişcării elementului conducător al

mecanismului [vezi relaţia (4.1)].

În calitate de bază pentru alcătuirea ecuaţiei mişcării mecanismului

cu un grad de mobilitate serveşte teorema variaţiei energiei:

. ATT in (4.26)

Lucrul este efectuat de toate forţele şi momentele active şi forţele de

frecare în toate cuplele cinematice ale mecanismului (vezi § 4.1).

Ecuaţia mişcării sub formă energetică. Scriem formula pentru

determinarea energiei cinetice a modelului, luând în consideraţie relaţia

(4.1):

2/2 JTM (4.27)

* Pentru simplificarea scrierii aici şi mai departe omitem simbolul ―red‖ la momentele reduse şi

momentele de inerţie reduse, precum şi cifra 1 a elementului conducător în notarea coordonatei lui

, a vitezei unghiulare şi acceleraţiei unghiulare .

Fig. 4.10

167

Deoarece toată sarcina aplicată asupra modelului se exprimă prin

momentul redus sumar ,M lucrul sumat este egal cu

.

dMAin

(4.28)

În acest caz variabila de integrare m este substituită cu coordonata

a elementului conducător, deoarece . m

Ținând cont de (4.16) şi introducând expresiile (4.27) şi (4.28) în

ecuaţia de bază (4.26), obţinem ecuaţia mişcării în formă energetică:

.22

22

dMJJ

in

inin

(4.29)

În caz general limita superioară de integrare în ecuaţia (4.29) se

consideră variabilă.

Dacă toată sarcina, aplicată asupra mecanismului, depinde numai

de poziţia lui, atunci şi momentul redus sumat M este o funcţie numai

a coordonatei . În acest caz ecuaţia (4.29) se rezolvă nemijlocit în

raport cu mărimea căutată :

.

22

in

in

J

J

J

dMin

(4.30)

Remarcăm că integrala de sub radical are semnul său care trebuie

luat în consideraţie.

Ecuaţia mişcării sub formă diferenţială. Derivăm ecuaţia (4.29)

după coordonata :

.2

2

M

J

d

d

Determinăm derivata din partea stingă a ecuaţiei, ținând cont că în

cazul general mărime variabilă este nu numai viteza unghiulară ci şi

J (vezi 4.4). De aceea

,2

1

22

2

22

d

dJ

dt

dJ

d

dJ

d

dJ

J

d

d

de unde

.2

1 2

Md

dJ

dt

dJ

(4.31)

Aceasta este ecuaţia mişcării sub formă diferenţială, deoarece

mărimea variabilă căutată viteza unghiulara a elementului

conducător al mecanismului se află sub semnul derivatei. Utilizând

168

ecuaţia (4.31), trebuie ştiut că momentul sumar redus M , precum şi

derivata ddJ / sunt valori algebrice şi se introduc cu semnele lor.

În cazul când se caracterizează mecanismul, care are constJ (de

exemplu, mecanismul cu roţi dinţate cilindrice) ecuaţia mişcării lui se

simplifică şi capătă următoarea formă:

. Mdt

dJ

(4.32)

Ecuaţia mişcării sub formă diferenţială (4.31) poate fi obţinută, de

asemenea, şi din ecuaţiile lui Lagrange de ordinul II [2], [4].

Pentru determinarea acceleraţiei unghiulare a elementului

conducător utilizăm ecuaţia (4.31) şi o rezolvăm în raport cu :dt

d

.2

2

d

dJ

JJ

M

(4.33)

Mărimile M şi ddJ /

se introduc în ecuaţia (4.33) cu semnele lor.

Dacă accelerația unghiulară are un semn opus semnului vitezei

unghiulare , înseamnă că elementul conducător al mecanismului se

mişcă încetinit.

Derivata ddJ / se calculează prin metoda numerică de derivare la

calculator sau prin derivarea grafică (vezi § 3.4). O altă metodă cu mult

mai precisă (însă care necesită un volum mai mare de lucru) de

determinare a derivatei ddJ / poate fi găsită în literatură. (Vezi:

Minut S.B. Ob opredelenii proizvodnoy privedennogo momenta inerthii

massy zveniev mehanizma. — Nauc in.tr.MVTU im. N.A.Baumana,

1970; Zinoviev V.A., Bessonov A.P. Osnovy dinamiki mashinnyh

agregatov. M., 1964).

Fig. 4.11

169

Accelerația unghiulară fi poate fi determinată de asemenea prin

metoda descrisă în § 3.4 (metoda subnormalei). Tot acolo sunt expuse

metodele de construire a funcţiilor t şi .t

Procesul mişcării agregatului de maşină în caz general constă din

trei faze: f a z a de p o r n i r e, f a z a de r e g i m şi f a z a de

o p r i r e (fig.4.11). Fazele de pornire şi de oprire se referă la regimul

tranzitoriu (nestaţionar), care se caracterizează prin variaţii neperiodice,

adică irepetabile, ale vitezei arborelui principal al agregatului

(elementului conducător). În regimul staţionar viteza arborelui principal

variază periodic. În caz particular viteza poate fi constantă. Deseori

mişcarea uniformă alternează cu accelerări (la majorarea regimului de

viteză) şi frânări (la scăderea regimului de viteză). Astfel lucrează, de

exemplu, motorul de automobil. Multe mecanisme nu lucrează în regim

staţionar. Aceasta este caracteristic mai ales pentru o serie de aparate

(relee, contactori şi altele). Mecanismul acestora în timpul pornirii trece

dintr-o poziţie în alta, neefectuând un ciclu cinematic închis

reproductibil.

În următoarele trei paragrafe ale capitolului 4 se va examina

regimul tranzitoriu (nestaţionar), iar în celelalte paragrafe regimul de

mişcare staționar.

§ 4.6. Regimul tranzitoriu. Legea variaţiei

vitezei mecanismului solicitat de forţe

care depind numai de poziţie

Pentru determinarea legii de mişcare a mecanismului în

r e g i m u l t r a n z i t o r i u trebuie să fie cunoscute următoarele

date iniţiale: schema cinematică a mecanismului; parametrii maselor

tuturor elementelor mobile; caracteristicile mecanice ale forţelor şi

momentelor; condiţiile iniţiale ale mişcării. Ultima este importantă

pentru examinarea, în special, a regimului tranzitoriu.

Să examinăm mecanismul solicitat cu forţe şi momente care depind

numai de deplasarea punctelor lor de aplicaţie. Fie momentul de inerţie

redus al mecanismului examinat de valoarea variabilă varJ . E

necesar de determinat dependenţa vitezei elementului conducător de

unghiul de rotaţie a acestuia, adică . Această problemă este foarte

răspândită. În calitate de exemple pot fi prezentate mecanismele

compresoarelor diesel, sondele de foraj, macaralele cu acţionare de la

170

motoare cu ardere internă, diferitelor instalaţii cu acţionare pneumatică,

aparatelor cu motoare cu arcuri ş.a.

Pentru soluţionarea problemei prezentate trebuie utilizată ecuaţia

mişcării sub formă energetică [vezi ecuaţia (4.30)]:

,2 2

in

in

J

J

J

A

(4.34)

unde A se determină după ecuaţia (4.28).

Ordinea determinării vitezei unghiulare necunoscute prin

metoda grafică este următoarea (fig. 4.12):

1. Se efectuează reducerea maselor şi se construieşte diagrama

momentului de inerţie al mecanismului J , care este prezentată în fig.

4.12 rotită cu 90°*. Poziţia iniţială este marcată cu cifra zero. Pentru

considerarea unghiurilor se admite .00 in.

* Rotirea diagramei J cu 90° e necesară pentru determinarea vitezei unghiulare prin metoda

grafică (diagrama lui Wittenbauer), care va fi expusă la sfârşitul paragrafului.

Fig. 4.12

171

2. Conform caracteristicilor mecanice, se construiesc diagramele

momentului motor redus şi ale momentului rezistent redus, apoi

diagrama momentului sumar redus M . Dacă în mecanism sunt arcuri

cu acţionare periodică, atunci momentele reduse ale forţelor lor de

elasticitate trebuie să fie incluse în momentul sumar redus. În cazul când

forţele de greutate şi de frecare sunt considerabile, momentele reduse ale

acestora trebuie de asemenea să fie incluse ca componente în mărimea

M . După efectuarea p. l şi 2 mecanismul dat se reduce la modelul

dinamic.

3. Prin integrarea grafică (vezi § 3.4) se construieşte diagrama

lucrului sumar . A Ordonatele acestei diagrame se consideră de la

axa .

4. Conform ecuaţiei (4.34), ținând cont de condiţiile iniţiale, se

calculează pentru fiecare poziţie a mecanismului viteza unghiulară şi

faţă de axa se construieşte funcţia . A se introduce în ecuaţia

(4.34) cu semnul său. Mărimea in 0

există în datele iniţiale şi este

ilustrată prin ordonata .0Oh Mărimea inJ

reprezintă valoarea

momentului de inerţie redus al mecanismului în poziţia iniţială.

În aceeaşi ordine trebuie efectuat calculul şi prin metoda numerică

cu utilizarea calculatoarelor.

Soluționând problema prin metoda grafică, volumul calculelor

poate fi redus întrucâtva, dacă din ecuaţia (4.27), ținând cont de (4.16),

se determină :

./2 JT (4.35)

Deplasăm jos axa pe diagrama A cu mărimea 00

Ty AT

(fig.4.12), unde .2/2

000 JT Atunci ordonatele, numărate de la axa

nouă, decalată ,' vor reprezenta valoarea curentă a energiei cinetice T

în diferite poziţii ale mecanismului [vezi ecuaţia (4.26)].

Schimbarea vitezei poate fi ilustrată prin metoda grafică elaborată

de I.I. Artobolevski. Pentru aceasta e necesar să construim curba

energie-masă JT (curba lui Wittenbauer). Pentru construirea acesteia

e necesar să se elimine din relaţiile T şi J parametrul (în

fig.4.12 se arată pentru poziţia 1).

Unim orice punct al diagramei JT (de exemplu punctul c1) cu

originea coordonatelor. Scriem relaţia (4.35) pentru poziţia 1 a

172

mecanismului, exprimând T şi J prin segmentele ce le reprezintă

./,/ 1111 JJAT yJyT Atunci

.2

0

221

1

11

1

1

1

tg

d

dc

y

y

A

J

A

J

J

T

A

J (4.36)

Comparăm unghiurile intre ele. Conform relaţiei (4.36), viteza

unghiulară 1 în poziţia 1 este mai mare decât

0 viteza unghiulară în

poziţia iniţială, deoarece .01 În mod analog obţinem că ,12

deoarece 12 ş.a.m.d. Deci, trecând pe curba energie-masă de la

poziţie la poziţie, se poate urmări cum variază viteza unghiulară a

elementului conducător al mecanismului la schimbarea poziţiei acestuia.

Metoda construirii graficului rămâne aceeaşi şi pentru mecanismele

la care .constJ În acest caz graficele funcţiilor J şi

JT vor fi

reprezentate prin linii drepte.

Metoda expusă mai sus este valabilă pentru studierea ambelor faze

ale regimului tranzitoriu al mişcării, adică a fazei de pornire şi a celei de

oprire. Aceasta se referă şi la metodele expuse în următoarele două

paragrafe.

§ 4.7. Regimul tranzitoriu.

Legea variaţiei vitezei

mecanismului solicitat de forţe

care depind numai de viteză

Cazul examinat se deosebeşte de cel

precedent, în primul rând, prin faptul că

forţele şi momentele nu depind de deplasare,

ci sunt funcţii numai de viteză, şi în al doilea

rând, prin faptul că momentul de inerție

redus al mecanismului este o mărime

constantă .constJ Exemple tipice pentru

astfel de condiţii sunt agregatele

turbogeneratoare şi hidrogeneratoare, multe

maşini de ridicat şi maşini-unelte, laminoare,

pompe centrifuge şi ventilatoare cu acţionare

electrică şi o serie de alte instalaţii.

Fig. 4.13

173

Pentru soluţionarea problemei e necesară scrierea ecuaţiei de

mişcare sub formă diferenţială [vezi relaţia (4.32)]:

. Mdt

dJ

Separăm variabilele şi t şi integrăm, obținând :0int

.

inM

dJt (4.37)

Folosind ecuaţia (4.37), se determină legea variaţiei vitezei t .

Accentuăm că M se introduce în relaţia (4.37), ținând cont de semn. Să

examinăm în calitate de exemplu pornirea agregatului turbogenerator

din starea de repaus. Aceasta înseamnă că, dacă 0t , viteza unghiulară

0in . Caracteristicile mecanice ale maşinilor sunt prezentate în fig.

4.13, a,b. Luăm în calitate de element conducător arborele unei maşini şi

reducem la aceasta toate masele şi ambele momente, adică calculăm

constJ şi

gf MMM (fig. 4.13, c). Graficul inM este foarte

aproape de o dreaptă, de aceea el poate fi exprimat cu relaţia .BAM

Termenul A este egal cu ,inMiar coeficientul B caracterizează

curba căderii funcţiei .M Relaţia (4.37) va căpăta forma:

.0

BA

dJt

Soluţia ei, când sunt cunoscute condiţiile iniţiale:

Tt

stat e /1 (4.38)

este prezentată în fig. 4.14, totodată ./ BAstat

Fig. 4.14 Fig. 4.15

174

În relaţia (4.38) BJTstat / această mărime este numită constantă de

timp a agregatului de maşină. Grafic ea este prezentata în fig. 4.14 prin

segmentul ab . Sensul fizic al ei constă în următoarele. Dacă în procesul

pornirii momentul sumar M nu s-ar micşora, ci ar rămâne constant,

egal cu inM

, atunci mişcarea ar fi fost uniform accelerată, iar viteza

unghiulară ar atinge valoarea stat peste un interval de timp T.

Teoretic procesul de pornire durează foarte mult. Însă la intervalul

de timp Tt 3 raportul stat / este egal cu 0,95. Când Tt 4 acesta

creşte până la 0,98, iar când ,5Tt obţinem ,995,0/ stat adică când

,54 Tt procesul de pornire practic se termină. Cunoaşterea mărimii T

permite, în felul acesta, să se determine durata pornirii agregatului. De

aici rezultă evident cu cât e mai mare inerţia agregatului (cu cât e mai

mare J ), cu atât e mai mare T , egal cu BJ /

, cu atât e mai de lungă

durată pornirea.

Din cele expuse rezultă că, dacă este cunoscut timpul de pornire,

poate fi determinată acea valoare J , la care procesul de pornire

într-adevăr va necesita timpul dat. Astfel, dacă s-ar cere ca pornirea să

dureze *,tt astfel că el practic se termină peste timpul ,5Tt atunci

.*5 tT De aici *,/5 tBJ sau .*5/1 BtJ

Astfel, folosind metoda

expusă, se poate nu numai determina legea variaţiei vitezei

mecanismului [vezi relaţia (4.38)], ci şi a soluţiona problema inversă

conform condiţiilor date ale mişcării (de exemplu, după timpul de

pornire *t ) să se determine, care trebuie să fie parametrii mecanismului

(momentele de inerţie ale elementelor, iar apoi şi dimensiunile lor),

adică să se efectueze sinteza dinamică a mecanismului.

În exemplul analizat viteza unghiulară a elementului conducător

creşte fără oscilaţii. Aceasta este rezultatul faptului că momentele,

aplicate la arborii maşinilor, nu variază periodic (deoarece ele nu depind

de coordonatele unghiulare ale arborilor), iar momentul de inerţie redus

al agregatului este constant.

În multe cazuri exprimarea liniară a relaţiei M este imposibilă.

Astfel, de exemplu, în cazul pornirii strungului cu un motor asincron

dependenţa M are forma prezentată în fig.4.15. În acest caz relaţia

(4.37) poate fi soluţionată grafic sau prin utilizarea integrării numerice la

calculator (vezi § 3.4).

175

4.8. Regimul tranzitoriu. Legea variaţiei

vitezei mecanismului, solicitat de forţe

şi momente care depind atât de poziţie,

cât şi de viteză

Vom analiza un caz mai general de cercetare dinamică, când forţele

şi momentele aplicate asupra mecanismului sunt funcţii atât ale

deplasării (adică a variaţiei poziţiei), cât şi ale vitezei, iar momentul de

inerţie redus al mecanismului este o mărime variabilă .varJ Drept

exemple pot servi maşinile tehnologice cu acţionare electrică

(maşini-unelte de aşchiere a metalelor, prese de forjat ş.a.), diferite

aparate cu acţionare electromagnetică (relee, contactoare, mijloace de

protejare automată etc.). Tot aici se include şi studierea unor astfel de

procese dinamice cum sunt pornirea motoarelor cu ardere internă prin

starterul electric, pornirea instalaţiilor motor-compresor, a

maşinilor-unelte ş.a.

Fig. 4.16

176

Problema formulată se soluţionează prin utilizarea ecuaţiei mişcării

(4.29):

.22

22

AJJ inin

Una din metodele rezolvării acestei ecuaţii a fost propusă de M.A.

Skuridin (vezi Skuridin M.A. Opredelenie dvijenia mehanizma po

uravneniy kineticescoi energhii pri zadanii sil funcţiiami scorosti i

vremeni - Nauc.tr./AN SSSR, 1951, t.XII, vîp.45). Particularitatea

acesteia constă în faptul că lucrul forţelor care depinde numai de poziţie

este separat de lucrul forţelor care depind de viteză. De aceea şi

reducerea acestor două tipuri de forţe se efectuează separat. Prezentăm

metoda soluţionării problemei formulate pe baza unui exemplu concret

de pornire a mecanismului cu culisă al şepingului (fig.4.16, a).

Datele iniţiale sunt enumerate la începutul § 4.6. Deoarece maşina

porneşte în regimul cursei în gol, adică lipseşte procesul de aşchiere,

toată energia electromotorului se consumă pentru mărirea energiei

cinetice a agregatului şi pentru învingerea flecarilor. Frecarea este

deosebit de puternică între pistonul 5 şi ghidajul staţionar. Forţa de

frecare fF în această cuplă de translaţie în prima aproximaţie poate fi

considerată constantă (fig.4.16, b). Frecarea în alte cuple cinematice nu

va fi luată în considerare, deoarece aceasta este nesemnificativă. Analog

neglijăm influenta forţelor

gravitaţionale. Caracteristica

mecanică a motorului asincron rotM

este prezentată în fig. 4.16, c. Să

admitem că condiţiile iniţiale ale

mişcării sunt următoarele: când ,intt

avem .0, inin

Alegem în calitate de element

conducător roata mai mare 1 a

transmisiei. Marcăm o serie de poziţii

ale mecanismului 0, 1, 2, măsurarea

unghiurilor vom efectua-o de la

poziţia iniţială (zero) in 0

(fig.

4.16, a).

Reducem masele elementelor

mecanismului şi construim diagrama

J (fig.4.17). Apoi efectuăm

Fig. 4.17

Fig. 4.18

177

reducerea forţei de frecare fF şi momentul ei redus M îl prezentăm

grafic (fig.4.18). Este important să menţionăm că M depinde numai de

coordonata a elementului conducător. În sfârșit reducem momentul

electromotorului (fig. 4.19, a). Momentul redus M depinde numai de

viteza unghiulară *. Scriem ecuaţia mişcării în felul următor:

,22

22

AA

JJ inin (4.39)

unde A este lucrul momentului redus ;M A lucrul momentului

redus .M

Vom examina două poziţii vecine: iniţială, pentru care sunt date 0

şi ,0 prima poziţie. Ele sunt separate printr-un interval mic . Pentru

poziţia iniţială (nulă), având condiţiile iniţiale, e uşor să se determine

mărimile ,2/, 2

0000 JTJ0M (vezi fig. 4.17, 4.19, a). Pentru prima

poziţie poate fi determinat ,01 iar pentru unghiul 1 şi

mărimea 1J (fig. 4.17).

Scriem ecuaţia mişcării (4.39) pentru intervalul 0-1, adică pentru

0 :1

.22

0101

2

00

2

11

AA

JJ (4.40)

Lucrul 01A îl determinăm integrând funcţia M (fig.4.18) pe

segmentul 0-1 . Lucrul 01A îl evaluăm în felul următor. Deoarece viteza

este variabilă, variază si momentul redus ,M aşa cum se vede în fig.

4.19, a. În fiecare poziţie nouă viteza a elementului conducător şi

momentul redus M capătă valori noi, care sunt încă necunoscute. Se

poate considera că în limitele unui interval mic 0-1 momentul M

variază liniar cu şi la finele intervalului capătă o oarecare valoare 1M

(fig. 4.19, b). Din această cauză

.2

10

01

MMA (4.41)

Eroarea aproximării efectuate va fi cu atât mai mică, cu cât va fi mai

mic intervalul ales .

* În cazul general graficul M reprezintă nu o singură curbă, ci o familie de curbe cu parametrul

, adică ,M .

178

Introducem în relaţia (4.40) mărimea 01A din formula (4.41).

Astfel obţinem ,22

10

010

2

11

MM

ATJ

de unde

.22

1

01

0

02

1

1

MA

MTJ

(4.42)

Notăm suma din paranteze prin litera B:

.22 01

0

0

01

A

MT

B (4.43)

Relaţia capătă forma finală:

.101

2

1

1

MBJ

(4.44)

Vă amintim că în relaţiile (4.43) şi (4.44) e necesar să se considere

semnul mărimilor 10 , MM şi .01A În exemplul examinat .001A În

afară de aceasta ,00 T deoarece .00

După cum s-a arătat mai sus, considerând intervalul , se poate

determina 1J şi .01B Pentru intervalul considerat această mărime nu

depinde de viteza unghiulara . Deci, în relaţia (4.44) necunoscute vor fi

numai mărimile 1 şi .1M În acest caz

1M este strict legat de 1 prin

funcţia M (fig. 4.19, a). De aceea ecuaţia (4.44) poate fi rezolvată

grafic, suprapunând pe graficul funcţiei

0101

21 FBJ

caracteristica

fM (fig. 4,19, c).

Dacă caracteristica fM este prezentată sub formă de

formulă, ecuaţia (4.44) poate fi rezolvată pe cale analitică.

Fig. 4.19

179

Determinând 1 la finele primului interval 0-1, trecem la al 2-lea

interval 1-2. Relaţia de calcul pentru el va fi:

,212

2

2

2

MBJ

(4.45)

unde

.22 12

1

1

12

A

MT

B (4.46)

Ecuaţia nouă se rezolvă în raport cu 2 prin aceeaşi metodă ca şi

cea precedentă.

Astfel, parcurgând consecutiv toate intervalele unghiurilor ,

obţinem o serie de valori ale vitezei unghiulare , după care se poate

construi graficul legii căutate de variaţie a vitezei .

În paragrafele precedente au fost examinate procesele dinamice,

care au loc in agregatele de maşină, ale căror mecanisme au un singur

grad de mobilitate. Dinamica mecanismelor cu două şi mai multe grade

de mobilitate, care se întâlnesc deocamdată destul de rar, se află în curs

de elaborare.

Studii în acest domeniu se găsesc în lucrările [4, 5].

§ 4.9. Regimul staţionar.

Mişcare neuniformă a mecanismului

Trecem la r e g i m u l

s t a ţ i o n a r al mişcării

mecanismului. Ca şi mai înainte, vom

examina agregatele de maşină, ale

căror mecanisme au un singur grad de

mobilitate. Pentru aceste mecanisme

faza de regim se numeşte mişcarea, în

care viteza elementului conducător

(viteza generalizată) este o funcţie

periodică de timp. Graficul t în

faza de regim este prezentat în fig.

4.20. După cum se vede, viteza unghiulară oscilează periodic faţă de

o valoare medie constantă.

În § 4.1 şi 4.4 s-a menţionat că forţele aplicate asupra mecanismelor

unei serii întregi de maşini, precum şi momentul de inerţie redus J

Fig. 4.20

180

variază periodic. Dacă suma lucrului tuturor forţelor In perioada

acţiunii acestora este egală cu zero, atunci viteza unghiulară a

elementului conducător al mecanismului de asemenea va varia periodic.

Condiţiile indicate mai sus sunt necesare şi suficiente pentru asigurarea

regimului staţionar.

Perioada de variaţie a vitezei elementului conducător (vitezei

generalizate a mecanismului) este numita ciclu al fazei de regim sau

prescurtat ciclu. Timpul c al ciclului este egal sau proporţional cu

perioada de acţiune a forţelor. De aceea în regimul staţionar suma

lucrului tuturor forţelor în cursul unui ciclu este egală cu zero:

.0cA (4.47)

Deoarece lucrul forţelor de greutate în cursul unui ciclu este egal cu

zero, condiţia (4.47) este adevărată, dacă lucrul forţelor motoare pe

parcursul unui ciclu este egal cu lucrul tuturor forţelor rezistente (ca

valoare):

.c

r

c

d AA (4.48)

Ecuaţia (4.48) sau (4.47) este ecuaţia energetică de bază a fazei de

regim. Din aceasta rezultă [vezi ecuaţia (4.26)] că în cursul unui ciclu nu

are loc creşterea energiei cinetice a mecanismului: ,infin TT prin urmare,

viteza unghiulară a elementului conducător la începutul şi sfârșitul

ciclului este aceeaşi. e:

Astfel, în faza de regim viteza a elementului conducător, deşi

rămâne constantă ca valoare medie, dar în interiorul ciclului variază,

căpătând valorile maximă max şi minimă

min (fig. 4.20). Rotaţia

neuniformă este evaluată prin c o e f i c i e n t u l de

n e r e g u l a r i t a t e:

,/minmax med (4.49)

unde med este viteza medie pe ciclu. Din relaţia (4.49) rezultă că

caracterizează amplitudini variaţiei vitezei în raport cu valoarea medie a

acestuia. Cu cât este mai mic, cu atât este mai mică amplitudinea

oscilaţiilor, şi cu atât se roteşte mai uniform elementul conducător.

Valoarea sradmed / se calculează după formula ,2 nmed în care n este

frecvenţa de rotaţie a elementului conducător, s-1.

Fiecare tip de maşină are valoarea sa admisibilă a coeficientului de

neregularitate , stabilită în mod practic. De exemplu, pentru

maşinile-unelte de aşchiere a metalelor ,50/1...25/1 pentru maşinile de

181

filat ,100/1...50/1 pentru acţionarea diesel a electro-generatoarelor

.200/1...100/1

Coeficientul de neregularitate are valori foarte mici, ceea ce permite

ca valoarea medie a vitezei unghiulare să fie egală cu media aritmetică a

valorilor maximă şi minimă ale acesteia:

.2/minmax med (4.50)

Din relaţiile (4.49) şi (4.50) se determină valorile maximă şi

minimă ale vitezei:

.2/1,2/1 minmax medmed (4.51)

Relaţiile (4.51) arată că max şi

min diferă de med cu 2/ adică

nu mai mult de 2%.

În regim staţionar lucrează foarte multe maşini (maşini-unelte,

prese, laminoare, gatere, maşini textile, generatoare de energie electrică,

compresoare, pompe etc.). O condiţie ideală pentru funcţionarea acestor

maşini este rotirea uniformă a arborelui principal (ales, de regulă, ca

element conducător). Variaţiile vitezei arborelui principal provoacă

solicitări dinamice suplimentare, datorită cărora scade siguranţa în

funcţionare şi fiabilitatea maşinilor. Mai mult decât atât, variaţiile

vitezei înrăutățesc procesul de lucru al maşinii. Prin urmare, deoarece

variaţiile vitezei nu pot fi înlăturate complet, acestea trebuie micşorate

pe cât posibil. Cu alte cuvinte, valoarea coeficientului de neregularitate

trebuie redusă la minimum. Să vedem cum poate fi soluţionată

această problemă.

Toate elementele mecanismului posedă inerţie. Cum se ştie din

fizică, această proprietate constă în faptul că, cu cât corpul material este

mai inert, cu atât mai încet se produc variaţiile vitezei acestuia,

provocate de acţiunea forţelor aplicate. De aceea, pentru a obţine o

rotaţie a arborelui principal al maşinii cât mai apropiată de cea uniformă,

inerţia acestui arbore cu toate piesele legate rigid trebuie să fie cât mai

mare. Pentru aceasta pe arborele principal al maşinii trebuie montată o

masă suplimentară, executată sub formă de roată numită volant. Alegând

momentul lui de inerţie, se poate asigura rotirea arborelui principal al

maşinii cu coeficientul de neregularitate [ ] dat.

Astfel, destinaţia principală a volantului constă în menţinerea

oscilaţiilor vitezei unghiulare în limitele stabilite de valoarea

coeficientului de neregularitate [ ]. Determinarea momentului de

inerţie al volantului pentru condiţiile date ale mişcării (adică conform

182

valorii date [ ]) se efectuează în procesul proiectării maşinii şi

constituie una din problemele sintezei dinamice a acesteia.

§ 4.10. Faza de regim. Analiza şi sinteza

dinamică după metoda lui Mertzalov

Să admitem că este dată schema cinematică a mecanismului.

Alegem ca element conducător arborele principal al mecanismului, care

descrie o mişcare de rotaţie continuă. Reducem masele tuturor

elementelor şi le divizăm în două grupe. În prima grupă includem

elementul conducător cu volantul fixat pe el, precum şi elementele care

sunt legate cu acesta prin rapoarte de transmitere constante. În grupa a

II-a vor fi cuprinse toate celelalte elemente ale mecanismului. Astfel,

pentru exemplul examinat în § 4.4. (fig.4.9) prima grupă conţine

elementul conducător 1 şi elementul 4 (deoarece constu 41), grupa a

doua elementele 2 şi 3. Remarcăm că momentele de inerţie reduse ale

elementelor din grupa I-a sunt mărimi constante, iar cele din grupa a II-a

mărimi variabile [ecuaţiile (4.22) (4.25)].

Scriem momentul de inerţie redus J al întregului mecanism în

felul următor:

,III JJJ (4.52)

unde ,constJ I iar .varIIJ Se scrie relaţia de calcul pentru determinarea

momentului de inerţie redus IJ al elementelor primei grupe, necesar

pentru asigurarea valorii date [ ].

Energia cinetică a primei grupe de elemente se exprimă astfel:

Fig. 4.21

183

.2

1 2

1 IJT Viteza unghiulară variază în cadrul ciclului între valorile

max şi min (fig. 4.20), deci variază energia cinetică T1, căpătând valorile

maximă 2

maxmax12

1IJT şi, respectiv, minimă .

2

1 2

minIm Iin JT Subliniem că

momentul de inerţie IJ are o valoare constantă, care nu depinde de

poziţia mecanismului.

Determinând saltul maxim al energiei cinetice a primei grupe de

elemente:

.22222

minmaxminmax2

min

2

max

2

min

2

max

Im

medI

III

ax JJJJ

T

Folosind relaţiile (4.49) şi (4.50), avem

,2

Im medIax JT

sau, rezolvând în raport cu valoarea necesară :IJ

.][2

Im

med

ax

I

TJ

(4.53)

Relaţia (4.53) permite determinarea momentului de inerţie redus al

elementelor primei grupe, necesar pentru asigurarea rotirii elementului

conducător cu neregularitatea dată, exprimată prin coeficientul [ ],

adică este ecuaţia sintezei dinamice în regimul staţionar. Remarcăm că,

cu cât e mai mică valoarea dată [ ], adică cu cât mai uniform trebuie să

se rotească elementul conducător şi cu cât e mai mică acceleraţia

unghiulară a acestuia, cu atât mai mare trebuie să fie momentul de inerţie

necesar IJ şi cu atât mai masiv este volantul. În fig. 4.21 sunt prezentate

trei diagrame de viteze, înregistrate la una şi aceeaşi maşină, însă cu

diferiţi volanţi .)( 321 mmm JJJ

Fig. 4.22

184

Gradul de neregularitate [ ] şi frecvenţa de rotaţie n, cu ajutorul

căreia se calculează ,2 nmed sunt date iniţiale la proiectarea

mecanismului. Pentru determinarea maxT există câteva metode.

Examinăm cea mai simplă şi ilustrativă metodă, propusă de N.I.

Mertzalov. Remarcăm că diagrama IT construită după metoda lui

Mertzalov, se foloseşte de asemenea şi în i analiza dinamică.

La început examinăm sinteza dinamică, adică determinăm valoarea

necesară IJ după coeficientul de neregularitate [ ].

Energia cinetică T a tuturor elementelor mobile ale mecanismului

include componentele IT şi :IIT .III TTT De aici

.III TTT (4.54)

Energia cinetică T o exprimăm cu relaţia (4,26):

,inTAT (4.55)

şi

.IIinI TTAT (4.56)

Folosind relaţia (4.56) pentru un ciclu complet, se construieşte

diagrama IT şi după această diagramă se determină valoarea ,maxT

care intră în relaţia de calcul a sintezei dinamice (4.53).

Fig. 4.23

185

Ilustrăm cele expuse prin grafice. Să admitem că sunt cunoscute

diagrama A (curba de sus în fig. 4.22, a construită în raport cu axa

) şi diagrama IIT (fig. 4.22, b) a energiei cinetice a grupei a doua de

elemente, adică a acelora ale căror momente de inerţie sunt variabile.

Conform relaţiei (4.56), adăugăm la suma lucrurilor A valoarea

energiei cinetice inT a întregului mecanism la începutul ciclului. Pentru

aceasta deplasăm axa ' cu mărimea inT în jos (fig. 4.22, a), după care

curba de sus din fig. 4.22, a va prezenta faţă de axa ' energia cinetică T

a întregului mecanism, aşa cum rezultă din relaţia (4.55). În conformitate

cu relaţia (4.54) scădem din energia cinetică T energia cinetică TII şi

obţinem curba de jos în fig. 4.22, a. Curba de jos, raportată la axa ,' este

curba energiei cinetice .IT Marcăm pe această curbă punctul maxim Q

şi punctul minim N şi determinăm saltul maxim axTIm al energiei

cinetice necesar pentru calculul lui IJ cu relaţia (4.53).

Atragem atenţia asupra faptului că pentru calculul lui IJ după

formula (4.53) trebuie cunoscută nu energia cinetică IT ci variația ei

maximă .ImaxT Însă axTIm nu depinde de valoarea inițială inT şi, deci,

pentru determinarea axTIm nu trebuie să ştim valoarea numerică ,inT adică

nu trebuie să evidenţiem poziţia axei absciselor decalate '.

Alcătuim ordinea determinării grafice a momentului de inerţie al

volantului prin metoda lui Mertzalov:

reducerea forţelor şi momentelor; construirea diagramei

momentului sumar redus M (vezi § 4.3); f(s

- construirea diagramei A prin metoda integrării grafice [vezi

relaţia(4.28)];

reducerea maselor; construirea diagramei IIJ (vezi § 4.4.); ,,

- determinarea energiei cinetice IIT după formula 2

2

1medIIII JT şi

trecerea la diagrama ;IIT

- construirea diagramei energiei cinetice IT folosind relaţia (4.56)

(fără evidenţierea poziţiei axei absciselor decalate) şi determinarea ;ImaxT

- calculul lui IJ după relaţia (4.53) şi determinarea momentului de

inerţie al volantului.

186

În aceeaşi succesiune trebuie să fie efectuate calculele prin metoda

numerică cu utilizarea calculatorului.

În fig. 4.23 sunt prezentate graficele construite pentru calculul

volantului MAI după metoda lui Mertzalov. Stabilim că solicitarea MAI

este electro-generatorul. Caracteristicile mecanice, necesare pentru

calcul, se dau în funcţii de deplasare (fig. 4.3 şi 4.4, b). În calitate de

element conducător se consideră elementul 1.

Reducerea forţei motoare Fm şi a momentului rezistent Mm este

efectuată în § 4.3 (fig. 4.8 , a,b), Deoarece volantul poate îndeplini rolul

său numai în condiţiile regimului staţionar, la calculul lui trebuie să fie

respectată ecuaţia energetică de bază (4.48): .r

r

c

m AA Această ecuaţie

asigură corelaţia obligatorie intre lucrul forţelor motoare şi rezistente, si

anume: .1

2

0

2

0

1

dMdM rm De aici, ținând cont că ,constM r obţinem

.2

1 2

0

1

dMM mr

Calculând ,rM trebuie să se determine rm MMM (fig. 4.8, e şi

4.23, a)*. Dovadă că regimul este staţionar în fig. 4.23, a este faptul că

suprafeţele de o parte şi de alta ale axei absciselor sunt egale, iar în fig.

4.23, b faptul că ordonata curbei A la finele ciclului este egală cu

zero.

Deoarece mecanismul în exemplul analizat (fig. 4.6, a) este acelaşi

ca şi în cel examinat în § 4.4, folosind relaţiile (4.22) (4.25),

conchidem că din prima grupă fac parte elementele 1şi 4, iar din grupa a

doua elementele 2 şi 3 (vezi începutul paragrafului). Graficul

momentului de inerţie redus redred

II JJJ 32 este prezentat în fig. 4.23, c.

Energia cinetică IIT se determină din relaţia .2

2

1

IIII JT

Până

când problema sintezei dinamice nu este finalizată, valoarea curentă

precisă 1 încă nu este cunoscută. Însă datorită valorii mici a

coeficientului de neregularitate se poate accepta egalitatea aproximativă

med 1 (vezi § 4.9). De aceea se poate obţine .2

2

II

med

II JT

Deoarece

,2/2 constmed graficul 1IIJ reprezintă în acelaşi timp şi graficul

1IIT

* La cercetarea regimului staționar originea ciclului poate fi aleasă în orice poziţie a elementului

iniţial. Alegem în calitate de poziţie iniţială (nulă) acea poziţie, în care pistonul 3 ocupă poziţia

extremă dreapta (fig. 4.6, a şi 4.3).

187

însă construit la o altă scară (fig. 4.23, c). Relaţia între scări este

următoarea ./2 2

medJTII

Astfel, metoda lui Mertzalov nu este, la drept

vorbind, exactă, însă, datorită erorii mici, poate fi folosită în calculele

practice.

Deoarece IIT este calculată aproximativ, graficul

1IT (fig. 4.23, b

şi 4.23, d), iar împreună cu aceasta şi saltul maxim axTIm al energiei

cinetice (fig. 4.23, d) conţin o oarecare eroare. Când ,1,0][ valoarea

axTIm poate fi determinată din formula propusă de D.M. Lukichyov:

IIqIInaxax TTTT ][Im

*

Im (vezi Lkuiciov Raschyot mahovika mashiny.

Voprosî teorii mehanizmov i mashin, 1953, nr.23). În această formulă

IInT şi IIqT sunt valorile energiei cinetice IIT în acele poziţii n şi q ale

mecanismului, în care energia cinetică IT trece prin extremele sale.

Determinând axTIm din relaţia (4.53) a sintezei dinamice în cazul

regimului staţionar, calculăm ,IJ iar apoi .maxJ În multe cazuri

momentul de inerţie al volantului maxJ este cu mult mai mare decât

celelalte momente de inerţie ale primei grupe de elemente. De aceea

orice variaţie a energiei cinetice IT are loc, în primul rând, din cauza

variaţiei energiei cinetice a volantului.

Să analizăm rolul volantului. În procesul dilatării gazelor (fig. 4.3)

MAI transformă mai multă energie decât consumă generatorul.

Surplusul acesteia se utilizează pentru creşterea lui IT (intervalul QN în

fig. 4.23, d), adică, în primul rând, pentru creşterea energiei cinetice a

volantului. În procesul comprimării gazelor MAI consumă energie

pentru efectuarea lucrului de compresie. Generatorul în acest timp

continuă să primească energie de la arborele MAI. Ambele consumuri

de energie sunt compensate prin micşorarea lui IT (segmentul QN în fig.

4.23, e), adică prin micşorarea energiei cinetice a volantului.

Astfel, volantul acumulează energie cinetică, când lucrul motorului

este în exces sau cedează o parte din aceasta. Cu cât e mai mare maxJ

(deci şi IJ ) cu atât e mai mare capacitatea de acumulare de energie a

volantului, cu atât mai mici vot fi variaţiile 1 la variaţiile fluxului de

energie, cu atât mai uniform se va roti arborele de maşină, ceea ce se

vede din ecuaţia (4.53) rezolvată în raport cu :

.2

Im

Imed

ax

J

T

188

Mai sus a fost expusă rezolvarea problemei privind sinteza

dinamică, care constă în determinarea momentului de inerţie al

volantului ,maxJ care asigură condiţia necesara de mişcare, dată prin

gradul de neregularitate [ ]. Acum rezolvăm problema inversă

problema analizei dinamice. Sunt cunoscute toate caracteristicile

mecanismului, inclusiv .maxJ Trebuie să se determine legea de mişcare,

iar apoi şi valoarea reală . Soluţionarea acestei probleme, de

asemenea, se bazează pe utilizarea diagramei ,IT care se construiește

după metoda lui Mertzalov (fig. 4.23). Trasăm prin punctul inițial O" al

curbei 1IT o axă (este arătată în fig. 4.23, d prin linie punct). Faţă de

această axă nouă curba reprezintă variaţia energiei cinetice IT care se

exprimă astfel:

.222

22

in

in

I

inII

IinII JJJ

TTT

Deoarece neuniformitatea rotaţiei elementului iniţial este foarte

mică, se poate obţine aproximativ .2/ medin Apoi, notând

, in obţinem:

. medII JJ

Însă .constJ medI Prin urmare, în faza de regim a mişcării

staţionare cu o valoare mică a coeficientului de neregularitate variaţia

energiei cinetice IT este aproximativ proporţională cu variaţia vitezei

unghiulare a elementului conducător. De aceea curba în fig.4.23, d

reprezintă în acelaşi timp atât IT cât şi , însă la diferite scări.

Relaţia între scări este următoarea: .medIT JI

Graficul este

prezentat în fig. 4.24.

Coeficientul de

neregularitate se

determină după formula

.maxminmax

medmed

Acceleraţia

unghiulară a

elementului conducător în

faza de regim se

calculează după formula

(4.33), în care

Fig. 4.24

189

.III JJJ Valorile

M şi IIJ sunt luate din diagramele

corespunzătoare (fig. 4.23, a,c); .med Derivata d

dJ

d

dJ II se

determină prin derivarea grafică a funcţiei IIJ (deoarece constJ I ),

astfel cum este arătat în § 4.5. Mărimile M şi

d

dJ II trebuie luate cu

semnul lor.

Acceleraţia unghiu-

lară a elementului con- ducător poate fi exprimată în felul următor:

.

d

d

dt

d

d

d

dt

d

Atunci se determină din diagrama (fig. 4.24), folosind

derivata numerică sau grafică.

§ 4.11. Faza de regim. Analiza şi sinteza

dinamică cu considerarea influenţei vitezei

asupra forţelor

Pentru analiza şi sinteza dinamică,

efectuată în § 4.10 după metoda lui

Mertzalov, este caracteristică neglijarea

influenţei vitezei asupra forţelor şi

momentelor active. Astfel, în exemplul

proiectării volantului pentru MAI (vezi § 4.10) momentul de rezistenţă

al electro-generatorului a fost dat sub forma caracteristicii mlM (fig.

4.4, b) şi nu a caracteristicii mlM (fig. 4.2). O atare neglijare a

influenţei vitezei este proprie şi altor metode privind sinteza dinamică

(de exemplu, metodele Iui Artobolevski, Wittenbauer [1, 2]).

Neglijarea influenţei vitezei asupra forţelor şi momentelor este

admisă din cauză că viteza elementului conducător, datorită

neregularității mici a rotirii, se abate de la valoarea sa medie în

majoritatea cazurilor nu mai mult de ±2% (vezi § 4.9). De aceea

variaţiile forţelor şi momentelor aplicate elementului conducător şi care

depinde de viteză, de asemenea, vor fi neînsemnate şi acestea pot fi

neglijate.

Există însă maşini la care influenţa vitezei asupra forţelor şi

momentelor este importantă. Astfel sunt, de exemplu, motoarele

Fig. 4.25

190

asincrone şi în şunt, care au căpătat o largă răspândire în mecanismele

industriale cu acţionare electrică. Caracteristicile mecanice ale acestor

maşini pe porţiunea lor de lucru reprezintă practic o linie dreaptă,

situată aproape vertical (de exemplu, fig. 4.1, 4.5, b). Aceasta înseamnă

că şi cele mai neînsemnate variaţii ale vitezei unghiulare provoacă

schimbări esenţiale ale momentului motor. De aceea poate să se

întâmple că dependenţa puternică a momentului de viteză trebuie să

influenţeze rezultatele sintezei şi analizei dinamice.

Examinăm agregatul care include un motor electric asincron M şi o

maşină tehnologică de lucru ML, legate prin transmisia T (fig. 4.25).

Consideram ca element conducător arborele maşinii de lucru şi efectuăm

reducerea forţelor şi maselor. Caracteristicile electromotorului şi ale

maşinii de lucru, obţinute după reducere, sunt prezentate în fig. 4.26, a,

b.

Zona de lucru a caracteristicii motorului este aproximată cu

dreapta:

.BAMM (4.57)

Din (4.57) rezultă că mărirea vitezei provoacă micşorarea

momentului motor. În § 4.1 această proprietate a motorului a fost numită

a u t o r e g 1 a r e. Conform (4.57), cu cât coeficientul B va fi mai mare,

cu atât autoreglarea va fi mai pronunţată. Accentuăm, de asemenea, că

momentul electromotorului arinvMM (vezi § 4.1).

Momentul rezistent RM al multor maşini tehnologice depinde

substanţial de unghiul (fig. 4.26, b), însă depinde slab de . De aceea

considerăm .arinvMR Prezentăm momentul RM drept o sumă a două

componente constantă RcM şi variabilă

RvM :

.RvRcR MMM (4.58)

Componenta RcM este valoarea medie a momentului

RM al maşinii

de lucru pe un ciclu: .2

1 2

0

constdMMM RmedRc

Componenta

variabilă este numai funcţia coordonatei generalizate : ;RvRv MM în

acest caz

2

0

.0dM Rv

Momentul de inerţie sumar redus al agregatului de maşină, de

asemenea, se prezintă drept sumă a două componente (fig. 4.26, c)

,vc JJJ (4.59)

191

unde .2

1 2

0

constdJJc

Momentul cJ include momentul de inerţie al

volantului maxJ şi componenta variabilă vv JJ

*. Pentru ecuaţia

mişcării va fi necesară derivata ./ ddJ Din (4.59) rezultă că

.// ddJddJ vGraficul

vv JddJ / în funcţie de coordonata

generalizată , este prezentat în fig. 4.26, d. Deoarece vv JJ este o

funcţie periodică, reiese că .02

0

dJ v

Scriem ecuaţia mişcării agregatului de maşină sub formă

diferenţială [vezi ecuaţia (4.31)]: .2

1 2

RM MMd

dJ

dt

dJ

Ţinând cont de relaţiile (4.57) – (4.59), după unele transformări

simple obţinem:

.2

1 2

vvRvmedc JJMAABJ (4.60)

* Trebuie să remarcăm faptul că

J este descompus în două componente (vezi relaţia 4.59), care este

efectuată în alt mod decât în ecuaţia (4.52), ceea ce este dictat de considerente matematice.

Fig. 4.26

192

Expresia cmed LMA este o mărime constantă. Polinomul

vvvRv LJJM 2/2 depinde evident şi periodic de , adică .vv LL

Valorile vL în cursul ciclului provoacă variaţii interciclice ale vitezei

unghiulare a elementului conducător. De aceea numim vL

moment perturbator. Prin intermediul lui se exprimă matematic influenţa

asupra legii mişcării elementului conducător atât a variaţiilor

momentului rezistent RvM al maşinii de lucru, cât şi a mişcării

neuniforme a elementelor (piston, bielă, balansier, culisă ş. a), legate cu

elementul conducător prin raport de transmitere variabil. Momentul

perturbator caracterizează vibro-activitatea maşinii de lucru.

Deoarece mecanismul funcţionează cu un grad de neregularitate

redus, ,med iar acceleraţia unghiulară are valoare mică. De aceea,

dacă admitem o mică eroare, polinomul vL poate fi scris astfel:

.2/2

medvRvv JML

Fig. 4.27

193

Descompunem momentul perturbator vL în serie Fourier:

....2 321 vvvv LLLL (4.61)

Din serie reţinem numai prima armonică 1vL deoarece, de regulă, ea

este cea mai influentă. Astfel .cos Av LL Deoarece la rotire cu o

neregularitate :tmed

.cos tLtLL vmedAv (4.62)

Rezolvăm problema analizei dinamice, adică determinând legea

mişcării mecanismului după caracteristicile cunoscute ale acestuia.

Pentru aceasta introducem expresia tLv în ecuaţia (4.60):

.cos tLMABJ medAmedc (4.63)

Pentru faza de regim soluţia ecuaţiei (4.63) are forma:

,sincos

t

J

Lmed

medc

A

med (4.64)

unde

,/ medcJBtg (4.65)

./ BMA medmed (4.66)

Vă reamintim că .0medM Graficul variaţiei vitezei unghiulare în

raport cu valoarea medie a acesteia este prezentat în fig. 4.27, a.

Folosind relaţiile (4.49) şi (4.64), determinăm coeficientul de

neregularitate a rotirii arborelui maşinii de lucru:

./cos2/ 2

minmax medcAed JL

Cosinusul unghiului îl găsim, folosind ecuaţia (4.65), după care

obţinem:

./2 22

BJL medcmedA (4.67)

Cunoscând relaţia (4.64) , scriem expresia pentru momentul

motor:

sin

cos

medc

A

medMJ

BLBABAM

sinMAmed MBA . (4.68)

194

Astfel, momentul motor în cursul

unui ciclu variază după legea armonică,

oscilând în jurul valorii medii

.medMmed BAM Folosind relaţia (4.66),

conchidem că această valoare medie este

egală cu valoarea medie medM a

momentului rezistent, ceea ce se aştepta,

având în vedere faza de regim a mişcării.

Amplitudinea MAM a oscilațiilor

momentului motor este uşor de obţinut

din fig. 4.26, a:

.2/medMA BM (4.69)

Rezultatele obţinute prin rezolvarea ecuaţiilor (4.64) şi (4.68) pot fi

precizate, dacă se efectuează acţiuni similare, luând a doua armonică 2vL

a seriei Fourier (4.61), apoi a treia armonică 3vL ş.a.m.d. şi folosind

principul suprapunerii, se sumează algebric toate soluţiile obținute.

După sumare funcțiile şi MM nu vor mai fi armonice. Ele vor

reflecta particularităţile caracteristice ale maşinii de lucru şi ale

mecanismului acesteia. Folosirea principiului de suprapunere cu

utilizarea calculatoarelor nu va fi un lucru complicat.

Examinăm dinamica mişcării de rotaţie a arborelui principal pentru

cazul .1vv LL Relaţia (4.63) o scriem în felul următor:

.vmedMc LMMJ

Binomul vmed LM conţine momentul rezistent

RM al maşinii de

lucru, numim acest binom moment de încărcare .ss MM

Astfel, .sMc MMJ (4.70)

Fig. 4.28 este o ilustraţie a relaţiei (4.70).

Ilustrăm grafic funcţiile MM şi sM (fig. 4.27, b). Ambele

curbe sunt deplasate una faţă de alta cu unghiul de fază .90

Având în vedere relaţia (4.65), obţinem:

./ BJctgtg medc (4.71)

Se observă uşor, că suprafaţa colorată între punctele N şi Q (fig.

4.27, b) ilustrează lucrul excesiv al momentului motor, care se realizează

în saltul maxim al energiei cinetice .2

1

2

1 2

min

2

max ccst JJT

Fig. 4.28

195

Din relaţiile (4.69), (4.67) şi (4.71)r rezultă că cu cât autoreglarea

este mai evidentă, adică cu cât e mai mare coeficientul B în relația

(4.57), cu atât este mai mare amplitudinea ,MAM cu atât e mai mic

unghiul , adică cu atât curba MAM este mai aproapea c curba .sM

Aceeaşi concluzie se dovedeşte corectă şi pentru armonicile din

descompunerea în seria Fourier [relaţia (4.61)]. Iar aceasta înseamnă că

cu cât autoreglarea este mai evidenta, cu atât mai aproape una de alta (în

orice poziţie a mecanismului) se vor situa valorile momentelor MM şi

,sM adică cu atât mai mic va fi acel salt maxim al energiei cinetice care

trebuie să fie recepţionat de volant.

Formulând această concluzie importantă, trecem la rezolvarea

problemei sintezei dinamice, adică la determinarea momentului de

inerţie ,cJ care asigură coeficientul de neregularitate dat [ ]. Pentru

aceasta din ecuaţia (4.67) determinăm parametrul căutat :cJ

.2

12

2

2

A

med

med

A

cL

BLJ

(4.72)

Dacă calculul volantului se efectuează prin metodele clasice propuse de Mertzalov, Wittenbauer, Artobolevski, adică neglijând influenţa vitezei

asupra lui ,MM atunci 0B [vezi ecuaţia (4.57)]. Din ecuaţia (4.72)

obţinem ./2 2

0 medAcc LJJ Transformăm expresia de sub radical în

relaţia (4.72). Pentru aceasta introducem c o e f i c i e n t u l de

a u t o r e g l a r e 0/medk (vezi fig. 4.26, a). Dacă caracteristica

MM este o dreaptă orizontală, adică MM nu depinde de viteză, atunci

.0k Dacă este MM este o dreaptă verticală, atunci k = 1. Astfel,

,10 k şi cu cât autoreglarea este mai pronunțată, cu atât k este mai mare.

Din fig. 4.26, a rezultă că .1

Mmedmed Mk

kB

Introducând

medB sub

radicalul relaţiei (4.72), obţinem

,1

1 0

2

2

2

0

ccc J

k

kJJ

(4.73)

unde medA ML /2 este coeficientul de neregularitate al momentului

perturbator ,vL iar coeficientul de corecţie. /̂ j

196

În fig. 4.29, conform ecuaţiei (4.73), este prezentat graficul

momentului de inerţie kJcnecesar, când sunt cunoscute .,,, medAL

Dacă momentul MM depinde de viteză ,)0( k atunci .0cc JJ Dacă

momentul MM depinde de viteză, adică ,0k însă 0<k<k' (fig. 4.29), atunci

graficul )(kJceste aproape orizontal, adică .0cc JJ Autoreglarea moderată

practic nu influenţează asupra valorii

necesare .cJ Aceasta înseamnă că pentru

un mare număr de agregate de maşini cu

un grad de neregularitate moderat ),'( kk

adică caracteristica M diferă de

verticală (fig. 4.2; 4.5, c), volantul poate fi proiectat folosind metodele clasice.

Dacă autoreglarea este mai

pronunțată ),'( kk atunci pe curba kJc

apare o cădere bruscă (fig. 4.29). Cine 2,20/1 (exemplu tipic pentru

multe maşini de lucru), căderea începe aproape de punctul cu abscisa

,9,0'k pentru care .974,0 0cc JJ Dacă ,'kk chiar cea mai mică activitate a

autoreglării (adică o mică majorare a coeficientului k) provoacă scăderea

bruscă a valorii necesare ,cJ adică micşorarea dimensiunilor volantului

proiectat. Un astfel de rezultat are o mare însemnătate practică: dacă acţionarea mâinilor de lucru se efectuează prin intermediul motoarelor

electrice asincrone sau în şunt, a căror caracteristică este aproape de verticală

(fig. 4.1; 4.5, b) şi la care ,9,0k momentul de inerţie necesar este evident

mai mic decât .0cJ Deci, în cazurile menţionate metodele clasice de sinteză

dinamică dau rezultate majorate. Prin aceasta se explică acel fapt neînțeles la prima vedere că arborii diferitelor maşini-unelte, ferestraie mecanice,

piese şi ai altor maşini de lucru cu acţionare prin motoare electrice asincrone şi care au volanţi comparativ mici se rotesc totuşi cu o neregularitate neînsemnată. Calculul cu considerarea influenţei autoreglării pronunţate

(când k>k' ) permite ca în mod conştient să se proiecteze volanţi cu moment de inerţie nu prea mare şi, prin urmare, volanţi compacţi, care consumă

puţin metal.

Mai sus s-a examinat influenţa autoreglării asupra valorii cJ în cazul

solicitării armonice vL [vezi relaţia (4.72)]. Se poate arăta că şi la alte

tipuri de solicitări mai complexe caracterul influenţei autoreglării rămâne acelaşi, aşa cum este prezentat în fig.4.29.

Fig. 4.29

197

C a p i t o l u l 5

CALCULUL FORŢELOR

ÎN MECANISME

La funcţionarea mecanismului în cuplele lui cinematice acţionează forţe, care sunt forţe de interacţiune între elementele lui. Amintim (vezi § 4.1) că aceste forţe sunt

interioare în raport cu mecanismul în general. Solicitarea cuplelor cinematice de către

forţele de interacţiune este o caracteristică dinamică importanta a mecanismului.

Cunoaşterea forţelor în cuplele cinematice este necesară pentru calculul elementelor mecanismului la rezistenţă, rigiditate, stabilitate la vibraţii, uzură, pentru calculul

rulmenţilor la durabilitate şi pentru alte calcule asemănătoare, care sunt efectuate la

proiectarea mecanismului. Determinarea forţelor interioare, precum şi intr-un şir întreg

de probleme a forţelor şi cuplelor de forţe aplicate mecanismului din exterior, constituie conţinutul calculului forţelor lui.

§ 5.1 Metodica generală

a calculului forţelor

În acest manual sunt expuse metodele de calcul a forţelor numai

pentru mecanismele plane. În acest caz vom presupune că mecanismul

are un plan de simetrie paralel cu planul mişcării şi în care acţionează

toate forţele aplicate. Un mare număr de mecanisme ale maşinilor

energetice, tehnologice, de transport şi ale diferitelor aparate

corespunde condiţiei menţionate.

Calculul forţelor trebuie să fie efectuat ținând seama de mişcarea

accelerată a elementelor, deoarece acceleraţiile în maşinile rapide

moderne sunt adesea de valori mari. Neglijarea mişcării accelerate a

elementelor poate să provoace subaprecierea forţelor de solicitare, ceea

ce poate duce la erori în calculele inginereşti ulterioare.

Considerarea mişcării accelerate a elementelor cinematice se va

efectua prin metoda cineto-statică, aplicând convenţional fiecărui

element mobil al mecanismului vectorul principal iF şi momentul

principal FiM ale forţelor de inerţie. Pentru fiecare element pot fi scrise

trei ecuaţii ale cineto-staticii:

iixx FF ;0 (5.1)

;0i

iyy FF (5.2)

.0 FiiOii

O MFMMFM (5.3)

198

Două ecuaţii algebrice (5.1) şi (5.2) pot fi înlocuite cu o ecuaţie

vectorială echivalentă a forţelor:

.0i

iFF

Vectorul principal iF şi momentul principal FiM ale forţelor de

inerţie se determină prin expresiile:

.; iiSFiSiii JMamF (5.4)

Ecuaţia iiSFi JM presupune că vectorul principal al forţelor de

inerţie iF este aplicat în centrul maselor .iS

Trebuie precizat că în realitate asupra elementului i nu acţionează

nici o forţă iF şi nici un cuplu de forţe .FiM Vectorul principal iF şi

momentul principal FiM ale forţelor de inerţie nu au nici un conţinut fizic

şi în relaţiile de calcul (5.1) (5.3) joacă rolul unor mărimi pur

matematice, prin intermediul cărora se ţine cont de influenţa mişcării

accelerate a elementelor cinematice.

Forţele necunoscute în cuplele cinematice se află din expresiile

(5.1) (5.3), în care ele intră în sumele .,, i

Oi i

yx FMFF Întrucât

valorile Fiiyix MFF ,, depind de acceleraţii, forţele necunoscute depind de

asemenea , de acceleraţii. Prin urmare, pentru a efectua calculul forţelor,

trebuie să cunoaştem legea de mişcare a mecanismului.

Să analizăm acţiunea forţelor în cuplele cinematice.

Forţa de acţiune reciprocă a elementelor care formează o cuplă

inferioară, reprezintă rezultanta forţelor elementare, repartizate pe

suprafaţa de contact a elementelor. După cum se ştie din mecanica

teoretică, forţa de interacţiune a două corpuri care realizează contact

fără frecare are direcţia după normala comună la suprafaţa de contact.

Fig. 5.1

199

În cupla de translaţie forţa ,12F aplicată asupra elementului 1 de la

elementul 2, are suportul pe normala nn la suprafaţa de contact a

elementelor (fig. 5.1, a). Modulul forţei 12F şi distanţa b sunt

necunoscute şi trebuie să se determine din calcul. Aceasta se referă în

întregime şi la forţa ,12F aplicată asupra elementului 2 de la elementul 1,

deoarece forţele de interacţiune 12F şi 21F sunt legate prin legea a treia a

lui Newton: .1221 FF

În procesul calculului forţelor, distanţa b poate fi obţinută mai mare

decât lungimea a (fig. 5.1, b). În acest caz asupra elementului 1

acţionează deja nu una, ci două reacţiuni 12UF şi ,12WF de sensuri opuse şi

necunoscute ca modul. Anume aceste două forţe prezintă tabloul real de

acţiune a forţelor asupra barei 1 din partea elementului 2 , iar forţa 12F

(reprezentată prin linie întreruptă) este doar rezultanta acestora. Aşadar,

cupla de translaţie introduce în ecuaţie două valori necunoscute.

În cupla de rotaţie, la neglijarea frecării, forţa 12F este îndreptată

după normală la suprafaţa cilindrică de contact a ambelor elemente,

adică trece prin centrul articulaţiei A (fig. 5.1, c). Poziţia centrului

articulaţiei este totdeauna cunoscută, iar modulul forţei 12F şi unghiul

sunt necunoscute. Această cuplă inferioară introduce, de asemenea, în

calcul două necunoscute.

Prin urmare, fiecare forţă care acţionează în orice cuple cinematice

inferioare introduce în relaţiile (5.1) (5.3) două valori necunoscute.

Cupla de rotaţie este alcătuită constructiv din doi rulmenţi cu bile

'O şi ''O (fig. 5.2). Forţa 12F obţinută din calcul, acţionează (în exemplul

Fig. 5.2

200

dat) în planul BB al transmisiei cu roţi dinţate şi este rezultanta

reacţiunilor 12F şi .12F Aceste reacţiuni reprezintă solicitarea reală a

rulmenţilor cu bile. Anume ele sunt necesare pentru calculul durabilităţii

rulmenţilor şi a arborelui.

În cupla cinematică superioară contactul elementelor poate fi

punctiform sau liniar. Interacţiunea elementelor în cazul contactului

punctiform este exprimată în formă de forţă concentrată, în cazul

contactului liniar în formă de sarcină repartizată pe linia de contact. În

ultimul caz, prin forţa de interacţiune se înţelege rezultanta forţelor

elementare repartizate.

Deoarece frecarea nu se ia în considerare, forţa este îndreptată după

normala comună nn (fig. 5.3). Prin urmare pentru forţa 12F sunt

cunoscute atât punctul de aplicaţie (punctul K ), cât şi direcţia, iar

modulul este necunoscut. Astfel, în ecuaţiile de calcul (5.1) (5.3),

termenii formaţi de forţele de interacţiune în cuplele superioare conţin

câte o necunoscută. Să examinăm determinarea statică a oricărui

mecanism plan fără legături pasive ( 0mq ), care conţine n elemente

mobile, ci şi cs cuple cinematice inferioare şi superioare.

Deoarece pentru fiecare element al mecanismului putem înscrie trei

ecuaţii de calcul (5.1) (5.3), numărul total de ecuaţii pentru toate n

elemente mobile va constitui .3nNe

Mai sus s-a arătat că fiecare cuplă

inferioară introduce în ecuaţiile de calcul

două valori necunoscute, iar fiecare cuplă

superioară o valoare necunoscută. De

aceea toate cuplele cinematice introduc

siF ccN 2 necunoscute.

Aceste necunoscute se referă la forţele

în cuplele cinematice, adică la forţele

interioare. Concret FN necunoscute

reprezintă modulele acestor forţe,

coordonatele liniare ale punctelor de

aplicaţie a acestora, coordonatele un-

ghiulare ale direcţiilor acestor forţe.

Fig. 5.3

201

Să scriem pentru un mecanism plan formula lui Chebyshev (§ 2.4): .)2(3 psi Wccn

Comparând cu aceasta expresiile pentru Ne şi NF, obţinem

.pFe WNN Astfel, numărul de ecuaţii Ne este suficient pentru

determinarea tuturor NF necunoscute. De aici rezultă o concluzie

principial importantă: mecanismul fără legături pasive (q = 0) este static

determinat.

Celelalte Wp ecuaţii sunt folosite pentru determinarea acelor forțe

exterioare (forţe, cuple de forţe), aplicate asupra mecanismelor din

exterior, care nu sunt date şi în calculul cineto-static sunt necunoscute*.

Prin urmare, numărul acestor necunoscute exterioare nu trebuie să

depăşească numărul gradelor de libertate ale mecanismului. Dacă totuşi

solicitarea exterioară este cunoscută, ecuaţiile Wp rămase se folosesc ca

ecuaţii de verificare.

Să stabilim succesiunea efectuării calculului cineto-static. Fie un

mecanism (fig. 5.4, a) fără legături pasive, care are .1pW Admitem că

momentul M1 (cupla de forţe), aplicat asupra arborelui camei din

exterior, nu este cunoscut. Celelalte necunoscute vor fi forţele interioare

în cuplele cinematice. Pentru determinarea acestora mecanismul trebuie

descompus.

Să descompunem mecanismul în grupe structurale Assur şi în

mecanism de bază, astfel ca momentul exterior necunoscut M1 să fie

aplicat la elementul mobil al mecanismului de bază (fig. 5.4,b). Să

menţionăm că prin descompunerea mecanismului necunoscute vor fi

* În unele manuale forţele exterioare necunoscute sunt numite forţe de echilibrare şi momente de

echilibrare.

Fig. 5.4

202

numai reacţiunile în cuplele cinematice. De aceea numărul de

necunoscute în grupă va constitui ,2 sgigF ccN iar numărul ecuaţiilor de

calcul .3 mge nN

În acelaşi timp, pentru orice grupă cinematică este valabilă relaţia

sgigmg ccn 23 (§ 2.5). Comparând-o cu ecuaţiile obţinute pentru Ne şi NF,

rezultă că Ne=NF. Aceasta înseamnă că orice grupă structurală Assur, cât

de complicată ar fi, posedă o proprietate deosebită este static

determinată.

Dacă mecanismul conţine legături pasive, atunci acele grupe

structurale, care le conţin, sunt static nedeterminate. Împreună cu

aceasta, devine static nedeterminat şi întregul mecanism.

După ce calculul cineto-static al tuturor grupelor structurale este

efectuat, elementul mobil 1 al mecanismului de bază (fig. 5.4, b) este

static determinat. În acest caz este necesar de menţionat că, dacă

elementul conducător descrie o mişcare de rotaţie, nu este obligatoriu să

considerăm această mişcare uniformă. Mai mult decât atât, dacă

artificial vom reda mişcarea de rotaţie fără acceleraţie unghiulară, atunci

rezolvarea ecuaţiei momentelor, scrisă pentru elementul conducător, în

multe cazuri poate fi departe de cea reală, chiar şi la rotaţia cu un

coeficient mic de neuniformitate, iar în unele cazuri, pur şi simplu,

absurdă.

Pe baza celor expuse mai sus putem formula metodica generală a

calculului cineto-static: calculul cineto-static al mecanismului fără

legături pasive trebuie efectuat pe grupe structurale, începând de la

grupa cea mai îndepărtată de elementul conducător şi terminând cu

aceasta.

Astfel, calculul cineto-static se efectuează în ordinea inversă

calculului cinematic. Descompunerea structurală trebuie efectuată

Fig. 5.5

203

astfel, ca forţa exterioară necunoscută să fie aplicată elementului mobil

anume al mecanismului de bază.

Dacă toate forţele exterioare care solicită mecanismul dat sunt

cunoscute, atunci alegerea mecanismului de bază pentru descompunerea

structurală devine arbitrară. Metodica generală formulată este valabilă

de asemenea şi pentru mecanismele cu grade de mobilitate .1W

În încheiere să examinăm ce reprezintă concret pentru 1W forţa

exterioară necunoscută, aplicată elementului mobil al mecanismului de

bază.

Dacă elementul mobil este unit cu o sursă (sau cu un consumator

de energie mecanică în funcţie de direcţia fluxului de energie) prin

intermediul unui cuplaj (fig. 5.5, a), atunci factorul exterior de forţă este

momentul necunoscut M. Dacă, însă, transmiterea (sau recepţia) energiei

este efectuată prin intermediul transmisiilor cu roţi de fricţiune (fig. 5,5,

b,c), atunci factorul exterior de forţă va fi forţa F necunoscută ca

modul. Direcţia forţei F este determinată de geometria angrenajului cu

dinţi (unghiul de angrenare ) sau trece prin punctul de contact al

roţilor cu fricțiune tangent la suprafeţele lor de lucru. În cazul

transmisiei prin curea (fig. 5.5, d) factorul exterior de forţă este prezentat

prin două forţe necunoscute ca modul 1F şi 2F legale între ele prin

formula lui Euler [1]. De aceea şi în acest caz factorul exterior de forţă

introduce o singură necunoscută. Direcţiile forţelor 1F şi 2F sunt

determinate de poziţia ramurilor conducătoare şi conduse ale transmisiei

prin curea. Dacă însă elementul mobil al mecanismului de bază execută

o mişcare de translaţie alternativă (fig. 5.5, e), atunci factorul de forţă

exterior este forţa F necunoscută ca modul, care acţionează de obicei în

direcţia suprafeţei ghidajului. Astfel, şi în acest caz factorul de forţă

exterior introduce o singură necunoscută.

§ 5.2. Metoda grafică de calcul

a forţelor în mecanismele cu bare

Să examinăm calculul forţelor mecanismului cu culisă al

şepingului. Datele iniţiale sunt: 1) schema cinematică a mecanismului

(fig. 5.6.); 2) masele şi momentele de inerţie ale elementelor, poziţiile

centrelor de masă ale acestora; 3) viteza unghiulară 1 şi acceleraţia

204

unghiulară 1 a elementului 1; 4) forţa rezistentă rF (forţa de aşchiere),

aplicată sculei (elementului 5), şi forţele de greutate ale tuturor

elementelor.

Trebuie să determinăm reacţiunile în toate cuplele cinematice,

deoarece în exemplul dat şepingul este unit cu sursa de energie mecanică

cu ajutorul angrenajului cu roţi dinţate zz (fig. 5.6), factorul de forţă

exterior, aplicat roţii dinţate z (ele- mentului 1), reprezintă forţa ,mF al

cărei modul trebuie să fie determinat.

Din calculul ci- nematic (cap. 3) aflăm acceleraţiile complete ale

centrelor de masă ale tuturor elementelor si acceleraţiile lor unghi- ulare

ca mărime şi direcţie. Cu ajutorul acceleraţiilor aflate vom determina

valorile nu- merice şi direcţiile vectorilor principali şi momentele

principale ale forţelor de inerţie ale tuturor elementelor [vezi ecuaţiile

(5.4)].

Acum trecem la descompunerea mecanismului. Deoarece forţa

exterioară necunoscută mF este aplicată elementului 1, acest element va

intra în componenţa mecanismului de bază (fig. 5.7, e). Celelalte

elemente vor alcătui două grupe structurale 2 3 şi 4 5 (fig. 5.7, a,d).

Calculul forţelor începe de la cea mai îndepărtată grupă 4 5 de

mecanismul de bază.

Asupra elementelor grupei 4 5 (fig. 5.7, a) acţionează următoarele

forţe şi momente exterioare: 55444 ,,,,, irFii FGFMFG toate acestea sunt

Fig. 5.6

205

Fig. 5.7

206

cunoscute. Necunoscute sunt modulul şi direcţia atât a forţei 43F cât şi a

reacţiunilor ,5445 FF în articulaţia N (pe desen nu sunt arătate), precum

şi modulul forţei 56F şi braţul ei b.

Aplicăm metoda de descompunere a forţelor: descompunem forţa

43F în două componente

43F şi ,43

n

F astfel ca momentul componentein

F 43

faţă punctul N să fie egal cu zero (fig.5.7, b). Din ecuaţia momentelor,

4

:0NM

,044443

FiiNNN MFMGMFM

aflăm momentul ,43

FM Niar apoi şi componenta ./4343 QNN lFMF

Din ecuaţia vectorială :06,5

F

,04343445556 n

iir FFGFFGFF

prin construirea planului forţelor (fig. 5.7, f) aflăm forţele 56F şi n

F 43

necunoscute ca modul.

Forţa 43F în articulaţia Q o aflăm din ecuaţia:

.434343

n

FFF

Forţa 54F din articulaţia N o aflăm din ecuaţia vectorială 5

:0F

0545556 FFGFF ic

(vezi planul forţelor, fig. 5.7, f).

Calculul grupei 4 5 îl vom finisa prin determinarea braţului b (fig.

5.7, a ) , folosind ecuaţia momentelor 5

:0NM

,05556 iNrNNN FMFMGMFM

apoi ecuaţia ./ 5656 FFMb N

Dacă braţul b va face ca punctul D să se găsească în afara suprafeţei

de sprijin UW (fig. 5.7, c), acţiunea suportului 6 asupra culisei 5 se va

reduce la două reacţiuni 56F şi 56F (§ 5.1). Forţa 56F aflată din calcul,

este rezultanta cestora. Reacţiunile se află din ecuaţiile:

.; 56565656

UW

DU

UW

DW

l

lFF

l

lFF

207

Dacă se obţine ,056 F iar ,056 FM Natunci reacţiunile

56F şi 56F

reprezintă un cuplu de forţe. Modulele lor se află din relaţia

./565656 UWN lFMFF

Trecem la calculul grupei 2 3. Asupra elementelor ei acţionează

(fig. 5.7, d): forţa cunoscută ,4334 FF forţele şi momentele exterioare

cunoscute .,,,,, 333222 FiiFii MFGMFG Centrul maselor S2 al culisei 2 se

află în punctul B. Necunoscute sunt modulul şi direcţia forţelor 21F şi

36F în articulaţiile B şi C, modulul şi direcţia reacţiunilor 3223 FF în

cupla de translaţie 2 3.

Direcţia forţelor 23F şi 32F trece prin punctul K, perpendicular pe

axa culisei 3. Poziţia punctului K o vom găsi prin metoda a două

momente, care constă în aflarea raportului momentelor aceleiaşi forţe faţă

de două puncte arbitrare. Pentru sistemul de forţe, aplicat elementului 3,

alcătuim ecuaţia momentelor faţă de punctul C 3

:0CM

03333432 FiiCCCC MFMGMFMFM

şi determinăm mărimea şi semnul lui .32FMC Apoi din ecuaţia

momentelor scrise faţă de punctul B pentru sistemul de forţe, aplicat

elementului 2, 2

:0BM

,0223 FiB MFM

vom găsi valoarea şi semnul lui ,23FMB apoi şi .2332 FMFM BB

Distanta BKl este determinata din ecuaţia:

,1/ kkll BCBK

în care 3232 / FMFMk CB este o mărime algebrică. Distanţa BKl o de-

punem pe dreapta BC. Dacă ,0BKl atunci această distanţă se depune de

la punctul B spre punctul C, dacă ,0BKl atunci ea se depune în sens

invers.

Modulul forţei 32F îl aflăm din ecuaţia ./3232 CKC lFMF Sensul

forţei 32F de-a lungul liniei de acţiune trebuie să fie corelat cu semnul

momentului .32FMC

Dacă linia de acţiune a forţei 32F iese din limitele suprafeţei de

sprijin a cursorului 2, atunci acțiunea cursorului 2 asupra culisei 3 se va

208

reduce la două reacţiuni 32F şi

32F (vezi § 5.1), al căror calcul este similar

cu calculul reacţiunilor 56F şi .56F

Construind planul de forţe (fig. 5.7, g), găsim din ecuaţia vectorială

:03

F ,036332334 FFFGF i

și determinăm forţa .36F Reacţiunea 21F în articulaţia B o vom găsi de

asemenea prin metoda grafică din ecuaţia vectorială (fig. 5.7, h) :02

F

,0212223 FGFF i unde .3223 FF

Acum trebuie să efectuăm calculul mecanismului de bază. Asupra

elementului său mobil 1 acţionează următoarele forţe şi momente (fig.

5.7, e): forţa calculată ,2112 FF forţa de greutate ,1G vectorul rezultant

al forţelor de inerție ,1iF momentul rezultant al forţelor de inerţie ,1FiM

reacţiunea 16F a suportului, necunoscută ca modul şi direcţie, care

acţionează în articulaţia A şi forte motoare ,mF care este rezultatul

acţiunii roţii dinţate z asupra roţii dinţate z necunoscută ca modul.

Direcţia forţei mF trece prin punctul primitiv P sub unghiul de

angrenare .a Poziţia punctului P şi valoarea unghiului a se determină

din calculul geometric al angrenajului (vezi cap. 13).

Forţa motoare mF (în cazul dat aşa-numita "forţă de echilibrare")

se calculează din ecuaţia momentelor ,01

AM alcătuită faţă de punctul

A:

,011121 FiiAAAmA MFMFMGMFM (5.5)

unde ., 111111 SFiSi JMamF De unde determinăm

.cos/ rFMF mAm

Menţionăm că forţa mF poate fi calculată, de asemenea, pe o cale

mai scurtă; fără a descompune mecanismul, dar folosind teorema lui

Jukovski [1, 4, 5]. j

Dacă din problema despre determinarea legii de mişcare a

mecanismului rezolvată până la calculul forţelor (după metodica expusă

în cap. 4), vom folosi valoarea Mm momentul motor redus la elementul

1, şi valoarea 1J momentul de inerţie redus al grupei 1 de elemente,

atunci ecuaţia (5.5) va avea forma:

,01121 FiAAm MFMGMM (5.6)

209

unde .111 JMFi În ecuaţia (5.6) toţi termenii sunt cunoscuţi, de aceea

din ecuaţie de calcul ea se transformă în ecuaţie de control.

Reacţiunea 16F se va afla din ecuaţia vectorială a forţelor, aplicate

elementului 1, 1

:0F

,0161112 FGFFF im

care se rezolvă uşor grafic (fig. 5.7, i). f

În cazul când este necesar să se cunoască nu acţiunea sumară 16F a

suportului 6 asupra elementului 1, ci încărcătura reală a lagărelor,

trebuie să avem schema constructivă a elementului 1, care conţine

dimensiunile lui în direcţia axei de rotaţie (vezi § 5.1). Atunci reacțiunile

necunoscute se află prin metodele staticii spaţiale.

§ 5.3. Metoda analitică a calculului forţelor

în mecanismul cu bare

Vom examina metoda analitică pe mecanismul manivelă-piston

axial.

Date iniţiale: 1) schema cinematică (fig. 5.8); 2) masele şi

momentele de inerţie ale elementelor, poziţia centrelor maselor acestora;

3) legea de mişcare a mecanismului; 4)

factorii de forţe exteriori 3F şi .1M

Funcţiile 1113 , MF şi legea de mişcare

111 sunt date sub formă de tabele.

Forţele de greutate se neglijează, fiindcă în

maşinile moderne ele sunt mici în

comparaţie cu alte forţe.

Calculul forţelor în cuplele

cinematice. Să definim sistemul de

coordonate Axy (fig. 5.8). Caracteristicile

cinematice necesare pentru calculul

cinematic se iau din capitolul 3: ;sin/1sin 122

(5.7)

;coscos 221 ABACC llx (5.8)

;sinsin

cos

12221

2

121

qAB

ABCx

l

Bla

(5.9)

Fig. 5.8

210

.12

2

122 qq (5.10)

În aceste ecuaţii 2212 cos/cos q

este analogul vitezei

unghiulare (funcţia de transmitere) a elementului 2; 2q analogul

acceleraţiei unghiulare a elementului 2:

,cos

sincoscossin

2

2

2

21221

2

q

q

iar .cossin,/ 2

2

2222 qqABBC Bll Metoda de calcul al acceleraţiei

unghiulare 1 a elementului conducător 1 este descrisă în § 4.5 şi 3.4.

După metoda, expusă în capitolul 3, obţinem:

;sinsincos 12221

2

1212 qSABSABxS lBla (5.11)

,cos1sin1 11

2

112 SABSAByS lla (5.12)

unde ./2 BCBSS ll

În cazul mişcării de regim staţionare cu un coeficient de

neuniformitate mic (vezi § 4.9) putem presupune ,med .01 După

unele transformări şi simplificări ale ecuaţiei (5.9) proiecţia acceleraţiei

Cxa capătă forma:

.2cos1

cos 1

2

1

2

ABmedCx la (5.13)

Găsim proiecţiile vectorilor principali ai forţelor de inerţie şi

momentele principale ale forţelor de inerţie, ținând cont că 0,0 3 Cya

(fig. 5.8):

;;; 33222222 CxxiySyixSxi amFamFamF (5.14)

.0;; 3222111 FiSFiAFi MJMJM (5.15)

Vectorul principal al forţelor de inerţie ale elementului 1

,0111 Si amF deoarece ,01 Sa întrucât centrul maselor 1S datorită

contragreutăţii se găseşte pe axa de rotaţie A (fig. 5.8).

După cum rezultă din ecuaţiile (5.9) (5.15) valorile vectorilor

principali şi momentelor principale ale forţelor de inerţie depind în mare

măsură de pătratul vitezei unghiulare 2 a elementului 1, fapt ce are o

însemnătate deosebită pentru mecanismele rapide.

În expresia (5.13) este dată relaţia aproximativă pentru proiecţia

,Cxa care poate fi utilizată în calculele practice pentru regimul concret de

lucru. După cum se vede, această proiecție, precum și proiecția xiF 3sunt

funcții nu numai de ,1 dar și funcții ale unghiului dublu .2 1 De aceea

211

primul termen în expresia forţei de inerţie xii FF 33 (dacă deschidem

parantezele) variază periodic cu frecvenţa de rotaţie a elementului 1 şi se

numeşte forţă de inerţie de ordinul întâi. Al doilea termen variază

periodic cu frecvenţa dublă şi se numeşte forţă de inerţie de ordinul doi.

Descompunem mecanismul şi

trecem la calculul cineto-static al

grupei 2 3. Asupra elementelor ei

acţionează forţele: 233 ,, ii FFF şi

momentul 2FiM (fig. 5.9, a).

Necunoscutele sunt modulul şi

direcţia ,21F modulul forţei 34F și

braţul ei b, modulul şi direcţia

reacţiunilor din articulaţia C,

legate prin relaţia .3223 FF

Suma proiecţiilor forţelor

aplicate elementelor 2 şi 3 pe axa x

este egală cu zero: .03,2

X Deci,

.033221 xixxix FFFF (5.16)

Din ecuația (5.16) calculăm

proiecţia .21xF Semnele în această

ecuaţie, ca și în cele ce urmează, au

un sens algebric. Aceasta

înseamnă că valorile numerice ale

proiecţiilor cunoscute ale forţelor se substituie în ecuațiile proiecţiilor şi

momentelor, respectând strict semnele acestora. Proiecția xF3are semnul

minus, deoarece forța este îndreptată în jos (fig. 5.9, a). Modulul și

direcția forței 3F trebuie luate din datele inițiale. Valorile și semnele

proiecțiilor xiF 2și

xiF 3se determină din ecuațiile (5.11), (5.9) și (5.14).

Suma proiecțiilor pe axa x a forțelor, aplicate elementului 3,

,03

X sau

,03332 xixx FFF (5.17)

din care aflăm proiecţia .32xF

Pentru calcularea proiecţiei yF23 folosim ecuaţia momentelor pentru

elementul 2 (faţă de punctul B) .02

BM

Fig. 5.9

212

De aici

0sin

cossincos

2222

222223223

iBSxi

BSyiBCxBCy

MlF

lFlFlF

(5.18)

În această ecuație .3223 xx FF

Modulul forţei care solicită articulaţia C, îl găsim din ecuaţia:

,2

23

2

2323 yx FFF

iar coordonata unghiulară 23F a vectorului 23F prin

23sin F şi ,cos 23F

și anume: ./cos,/sin 232323232323 FFFF xFyF

Suma proiecţiilor pe axa y a forţelor, aplicate elementului 2, ,0

2

Y

sau

,022321 yyy FFF (5.19)

din care aflăm proiecţia ,21yF apoi modulul forţei :21F

.2

21

2

2121 yx FFF

Găsim coordonata unghiulară 21F a vectorului :21F

./cos,/sin 212121212121 FFFF xFyF

Din ecuația proiecțiilor pe axa y a forțelor, aplicate elementului 3,

3

,0Y adică

;03232 yy FF (5.20)

găsim proiecţia .34yF Valoarea ei absolută va arăta modulul, iar semnul

sensul forţei ,34F aplicate cursorului 3 din partea batiului 4 .

Braţul b=0, deoarece conform ecuaţiei momentelor pentru

elementul 3 (faţă de punctul C) ,03

CM sau (fig. 5.9, a):

.034 bF (5.21)

Astfel, pentru grupa 2 – 3 au fost folosite şase ecuaţii (5.16)

(5.21) și au fost culate toate necunoscutele.

În fig. 5.9, b este prezentat planul forţelor aplicate elementelor

grupei. Planul arată cât de importantă este considerarea accelerației

elementelor. Dacă nu vom ţine cont de aceasta, adică dacă vom

considera forțele de inerție 2iF și 3iF egale cu zero (fig.5.9, c), aceasta

va micşora valorile forțelor în cuplele cinematice (forţele 343221 ,, FFF ),

fapt ce se va manifesta în special în mecanismele mașinilor rapide.

213

Trecem la calculul cineto-static al mecanismului de bază, alcătuit

din elementul mobil 1 şi batiul 4 (fig.5.10). Asupra elementului 1

acționează forța calculată ,2112 FF momentul ,1M îndreptat conform

datelor iniţiale (fig.5.8) în sensul acelor de ceasornic, momentul

principal al forţelor de inerţie 1iM şi reacţiunea batiului 4 ,14F

necunoscută

ca modul şi direcţie. Vă amintim că vectorul principal al forţelor de

inerţie .01 iF

Deoarece ,01 iF ecuaţiile proiecţiilor forțelor aplicate elementului

1, adică ;01

X ,01

Y au următorul aspect:

;01214 xx FF (5.22)

,01214 yy FF (5.23)

din care ., 12141214 yyxx FFFF

Scriem ecuaţia momentelor pentru elementul 1 faţă de punctul A:

.0)( 1112 iA MMFM (5.24)

Momentul )( 12FM A este substituit în ecuaţie cu semnul obţinut din

calcul după formula .sincos)( 11211212 ABxAByA lFlFFM

Ecuaţia (5.24) este o ecuaţie de control, deoarece toţi termenii din

partea stângă acesteia sunt cunoscuţi. Însă ea poate fi şi ecuaţie de calcul.

De exemplu, când calculul cineto-static se efectuează pentru

mecanismul care funcţionează în regimul staţionar cu un coeficient de

neuniformitate de valoare redusă. În acest caz momentul ,1iM de regulă,

nu este cunoscut şi acesta trebuie

calculat din ecuaţia (5.24).

Momentul 1iM poate avea o

valoare considerabilă, ceea ce

este important pentru calculul

arborelui principal al maşinii

(elementului 1) la durabilitate.

În cazul când

neregularitatea rotaţiei

elementului 1 este redusă,

accelerația unghiulară a acestuia

1 la începutul calculului deseori

nu se determină deoarece are

Fig. 5.10

214

valoare foarte mică. Dar nicidecum nu putem accepta .0111 Ai JM

Inegalitatea momentului 1iM cu zero rezultă din ecuația (5.24), deoarece

momentele 1M și )( 12FM A

nu sunt egale și se deosebesc mult unul de

altul. Valoarea vizibilă 1iM pentru valoarea foarte mică a lui

1 se explică

prin următoarele: cu cât este mai mică accelerația unghiulară 1 cu care

trebuie să se rotească elementul 1, cu atât mai mare trebuie să fie

momentul de inerție AJ1

al acestui element (vezi § 4.10). De aceea

produsul unei valori mici ,1 cu o valoare destul de mare ,1AJ adică

,111 iA MJ nu este o valoare mică.

Determinarea forțelor care solicită corpul mașinii și baza

acesteia. Să examinăm batiul mecanismului manivelă-piston.

Constructiv corpul mașinii este acela care se instalează pe o bază

Fig. 5.11

215

specială. Dacă mașina este un motor cu ardere internă pentru automobil,

atunci batiul va fi șasiul automobilului. Dacă este compresor staționar

sau presă batiul va fi considerat fundamentul pe care sunt montate

compresorul sau presa respectivă ș.a.m.d.

Asupra batiului 4 acționează următoarele forțe și momente (fig.

5.11, a): forțele calculate ale elementului 1 1441 FF și ale elementului 3

,3443 FF forța ,34 FF p care depinde de procesul de lucru al mașinii

și, în sfârșit, reacțiunea bazei, prezentată sub formă de doi factori de

forță, și anume necunoscut după modul și direcție vectorul principal

4F și momentul principal necunoscut .4M Vom determina momentul

principal, presupunând că linia de acțiune a vectorului principal 4F trece

prin punctul A. Vă amintim că în numărul forţelor care acţionează asupra

batiului nu este inclusă forţa de greutate a acestuia.

Dacă calculul cineto-static se efectuează pentru mecanismul

manivelă-piston al unei maşini cu piston (pompă, compresor, motor cu

ardere internă), atunci forţa pF 4 este forţa de presiune a mediului de

lucru (lichid, gaz), care se află în cilindrul C, asupra capacului K (fig.

5.11, b). Dacă mecanismul manivelă-piston este mecanismul principal al

unei maşini-unelte sau al unei prese, atunci forţa este acţiunea piesei, ce

se prelucrează, asupra mesei maşinii sau presei.

Scriem ecuaţia vectorială a batiului:

,0443414 FFFF p

prezentată grafic în fig. 5.ll, c. Folosind relaţiile

,,, 3443214134 FFFFFF p obţinem .342134 FFFF Din planul

forţelor (fig. 5.9, b) reiese că .)( 3233421 ii FFFFF De aceea

)( 324 ii FFF sau descompusă în proiecțiile sale:

.,)( 24324 yiyxixix FFFFF De aici aflăm 2

4

2

44 yx FFF şi coordonata

unghiulară 4F a vectorului :4F ./cos,/sin 444444 FFFF xFyF

Forţa 43F creează faţă de punctul A momentul )( 43FM A (fig. 5.11,

a). Acest moment este echilibrat de momentul de reacțiune ,4M care

acţionează din partea bazei asupra batiului, deoarece celelalte forţe, care

acţionează asupra batiului, nu creează moment faţă de punctul A.

Momentul )( 43FM A tinde să răstoarne corpul maşinii. Valoarea

momentului MA, care împiedică această basculare, o determinăm din

216

ecuaţia de echilibru ,0)( 443 MFM Adin care

ACylFM 434 [vezi ecuaţia

(5.8)].

Efectului de răsturnare îi sunt supuse şi corpul compresorului, şi al

motorului cu ardere internă, şi al motorului electric, adică al oricărei

maşini, indiferent de faptul ce proces de lucru decurge în aceasta.

Efectului de răsturnare este supus orice mecanism transmisie. De aceea

maşina şi mecanismul de transmisie trebuie fixate bine de baza acestora.

Execuţia constructivă a acestei fixări şi metodica ei de calcul sunt

expuse în cursul "Organe de maşini" şi în cursurile speciale ale

construcţiei de maşini.

Să exprimăm momentul 4M altfel. Pentru aceasta scriem ecuaţia

momentelor față de punctul A pentru toate elementele (fig.5.9, a, 5.10,

5.11, a). Observăm că momentele forţelor de interacţiune 23F și 32F în

articulaţia C sunt egale şi de sens opus (fig. 5.9, a) şi de aceea ele nu intră

în ecuaţia momentelor. Aceasta se referă şi la momentele forțelor de

interacţiune în toate celelalte cuple cinematice, adică ale forțelor care

sunt interioare pentru mecanismul în întregime. Aşa dar, în ecuaţie vor fi

incluse numai momentele și cuplele de forțe aplicate mecanismului din

exterior (fig. 5.11, b)*. Din această cauză pentru mecanismul în

întregime ecuația va avea următorul aspect:

.0)( 41221 MMMFMM iiiA (5.25)

Din (5.25) reiese, că valoarea momentului necunoscut 4M este

determinată de momentul exterior activ ,1M aplicat arborelui maşinii

(adică elementului 1 al mecanismului), precum şi de influenţa mişcării

accelerate a elementelor. Această influenţă este apreciată numeric prin

intermediul momentului vectorului principal şi momentelor principale

ale forţelor de inerţie, deoarece calculul forţelor se efectuează prin

metoda cineto-statică (vezi § 5.1).

Să calculăm ce presiune exercită asupra fundaţiei sale maşina, al

cărei mecanism este un mecanism manivelă-piston. Sistemul de forţe al

fundaţiei din partea maşinii poate fi redus la vectorul principal ,40 FF

a cărui linie de acţiune trece prin punctul A (axa de rotaţie a elementului

* Forțele 3F și pF 4 reprezintă acțiunile corpului de lucru (de exemplu, gazului, lichidului

mașinii cu ardere internă sau a piesei ce se prelucrează în cazul unei mașini tehnologice). Însă corpul de lucru nu este un element al mecanismului și nu este inclus în componența lui. Din această

cauză pentru mecanism forțele 3F și pF 4 sunt forțe exterioare (și nu interiaore, cum s-ar bănui).

217

1, adică a arborelui maşinii) şi la momentul principal 40 MM (fig. 5.11,

d).

Proiecțiile vectorului principal 0F pe axele x și y.

Momentul principal Mo îl vom exprima astfel:

;3210 xixixixix FFFFF (5.26)

.210 yiyiyiy FFFF (5.27)

Momentul principal 0M îl vom exprima astfel:

.)]()([ 1121210 MMMFMFMMMM iiAiAii (5.28)

În ecuaţiile (5.26) (5.28) prin iF şi iM a fost notat vectorul

principal (proiecțiile sale) și momentul sumar principal al forțelor de

inerție ale tuturor elementelor mobile ale mecanismului. Factorii

)(,, 111 iAyixi FMFF intră în componenţa acestor ecuaţii în cazul când

centrul maselor elementului 1 nu se află pe axa lui de rotaţie: termenii

0)(,0 33 iAyi FMF (fig. 5.9, a), 03 FiM [vezi ecuaţia (5.15)].

Fig. 5.12

218

Cum se vede din ecuaţiile

(5.26) şi (5.27), vectorul principal

0F se calculează prin intermediul

forţelor de inerţie, iar aceasta arată

că el este rezultatul mişcării

accelerate a tuturor elementelor

mobile ale mecanismului, adică are

o natură dinamică. Menţionăm, că

asupra bazei maşinii se transmite, de

asemenea, acţiunea forţei de

greutate a acesteia şi în multe cazuri

acțiunile altor forţe active (de

exemplu, ale forţelor de strângere a

șuruburilor de fixare, care n-au fost

examinate în calculul forţelor. Prin

urmare, în cazul general vectorul

principal 0F conţine două

componente: în primul rând

componenta dinamică, cauzată de

mişcarea accelerată a elementelor

mecanismului şi, în al doilea rând,

componenta rezultantă a acţiunilor

forțelor active.

Momentul principal 0M în

cazul general este compus de

asemenea din două componente: în

primul rând, din componenta

dinamică, care este rezultatul

mişcării accelerate a elementelor

[vezi, de exemplu, parantezele

pătrate în ecuaţia (5.29)], şi în al

doilea rând, din componenta cauzată

de acțiunea forţelor și momentelor

active.

Calculul forțelor prin metoda

grafică sau analitică trebuie să se

efectueze de mai multe ori, pentru

diferite poziții ale mecanismului.

Aceasta înseamnă că, indiferent de

Fig. 5.13

219

metodă, calculul forțelor

reclamă un volum mare de

muncă. Volumul mare de

muncă poate fi redus cu

ajutorul calculatorului (vezi

Lukiciov D.M., Timofeev

G.A., Opredelenie usilii v

kinematicheskih parah

richajnih mehanizmov ES

EVM. M., 1083).

Analiza rezultatelor

privind calculul forțelor

efectuate cu ajutorul

calculatorului. Pe baza

metodicii expuse în § 5.3, este

alcătuită schema algoritmului

pentru calculul forțelor

mecanismului manivelă-piston

(fig. 5.12). Această schemă a

algoritmului este valabilă

pentru orice mașină

monocilindrică cu piston în doi

timpi, precum și pentru presa

cu manivelă și ale mașinilor

tehnologice în doi timpi, în

care mecanismul principal este

mecanismul manivelă-piston.

Programele de calculator moderne permit calculul forţelor

mecanismului diesel, care funcţionează în regim staţionar cu un

coeficient de neregularitate redus. Pasul de variaţie a coordonatei

generalizate ,1 în limitele unei rotaţii a arborelui cotit poate fi .51

Rezultatele calculului pot fi prezentate grafic. În fig. 5.16 este

prezentat graficul de variaţie a forţei ,34F aplicată pistonului 3 din partea

cilindrului (batiului) 4 (vezi fig. 5.11, b). Ordonatele pozitive corespund

acțiunii forței spre stânga. Pentru 1800 1 pistonul este apăsat pe

peretele cilindrului cu generatoarea sa dreaptă. Pentru 360180 1

pistonul este apăsat cu generatoarea sa stingă. Însă în intervalul

320290 are loc un fenomen foarte nedorit mișcarea suplimentară a

Fig. 5.14

220

pistonului în limita jocului, la

început de la stingă la

dreapta, apoi de la dreapta la

stânga. Această mişcare nu

apare dacă masele 3m şi

2m ale

pistonului si bielei au valori

mici.

În fig. 5.13 şi 5.14 sunt

prezentate hodografele

forţelor aplicate bielei 2 din

partea pistonului 3 (forţa 23F ) şi arborelui cotit 1 (forţa 21F ). Prin cifre

sunt notate valorile corespunzătoare ale coordonatei generalizate 1 în

grade. Hodografele forţelor şi graficul )( 134 F sunt necesare pentru

calculul pieselor mecanismului la durabilitate, rigiditate şi stabilitate

longitudinală, precum și pentru calculul cuplelor cinematice 34, 23,

21 la uzură, durabilitate și neextrudarea lubrifiantului (vezi cap. 8).

Graficul variației componentei verticale xF 0 a vectorului principal

,0F care acționează prin corpul MAI asupra bazei acestuia (fig. 5.11, d),

este prezentat în fig. 5.15. Cu semnul plus este notată acțiunea

componentei pe verticală în sus. În același timp componenta orizontală

yF 0 a vectorului principal variază sinusoidal. Amplitudinea ei este egală

cu 6 kN.

În fig. 5.17 este prezentat momentul principal 0M , care acționează

asupra bazei din partea corpului MAI. Semnul plus arată că momentul

principal 0M este orientat împotriva acelor de ceasornic. Pe intervalul

320290 momentul principal 0M ca și forța

34F își schimbă semnul de

două ori.

Fig. 5.15

Fig. 5.16 Fig. 5.17

221

C a p i t o l u l 6

ECHILIBRAREA MECANISMELOR

În capitolul 5 s-a arătat că în timpul mişcării accelerate a elementelor mecanismului

acţiunea maşinii asupra suportului acesteia conţine componente dinamice.

În cazul regimului staţionar componentele dinamice variază ciclic. Aceasta

înseamnă că maşina transmite bazei sale perturbaţii periodice, care produc vibraţia acesteia. Pentru înlăturarea acestei acţiuni dăunătoare, sau cel puţin pentru micşorarea

acesteia, se impun unele măsuri speciale pentru anularea acestor componente sau

pentru limitarea lor la valori admisibile. Rezolvarea acestei probleme, care se referă la

proiectarea dinamică a mecanismului agregatului de maşină, se numeşte echilibrarea acestuia și constituie conţinutul capitolului prezent. În acest caz va fi examinată aparte

acţiunea dinamică a elementelor rotative ale mecanismului (rotoarelor) asupra

suportului acestora și metodele de înlăturare a acesteia.

§ 6.1 Forțele de dezechilibru ale mecanismelor.

Echilibrarea statică

Examinăm un mecanism plan, al cărui element conducător 1 are

turaţie constantă (fig. 6.1, a ). În acest caz celelalte elemente vor avea

acceleraţii unghiulare, iar centrele maselor S1, S2, S3 vor avea

acceleraţii liniare. Vom calcula după formulele (5.4) vectorii principali

şi momentele principale ale forțelor de inerţie ale tuturor elementelor.

Construcţia elementelor mecanismului este de aşa natură, încât ele

sunt simetrice faţă de planul desenului, ceea ce este caracteristic

mecanismelor unui grup întreg de maşini. Vectorii principali şi

momentele principale de inerție ale tuturor elementelor vor acţiona în

acest plan.

Reducem sistemul forţelor inerţie în centrul A (fig. 6.1, b) astfel

încât întregul sistem se reduce la vectorul principal rezultant

n

ii FF1

(6.1)

și la momentul principal rezultant

,)(2 2

i

n n

Aii FMMM (6.2)

unde n este numărul de elemente mobile ale mecanismului (în fig. 6.1, a

n=3). De oarece .0)(,0, 11 iAi FMMconst În § 5.3 s-a arătat că

componentele dinamice iSF şi ,iSM care solicită baza, sunt egale numeric

cu vectorul principal rezultant iF şi momentul principal rezultant iM

222

ale sistemului forţelor de inerţie ale tuturor elementelor mobile:

iiSiiS MMFF , (fig. 6.1, c ). În acest caz este necesar să menţionăm că

forţele care solicită baza sunt aplicate în acele locuri, în care corpul

maşinii (batiul 4 al mecanismului) se fixează de bază (în fig. 6.1 în

locurile K şi N). De aceea iSF şi iSM sunt valori pur teoretice, care

caracterizează doar rezultatul final al acţiunii dinamice a mecanismului

asupra bazei acestuia. Dacă vectorul principal rezultant al forţelor de

inerţie ale mecanismului ,0iF adică ,0iSF mecanismul este

s t a t i c d e z e c h i l i b r a t. Dacă însă ,0iM iar ,0iF adică

0iSM iar ,0iSF atunci este vorba despre d e z e c h i l i b r a r e a

m o m e n t u l u i mecanismului*.

Măsurile speciale care se iau în timpul proiectării mecanismului şi

au scopul să îndeplinească condiţia

,0iF (6.3)

reprezintă echilibrarea s t a t i c ă a mecanismului. Accentuăm că prin

aceste măsuri nu pune ca scop ajungerea concomitentă şi la condiţia

.0iM Prin urmare, mecanismul static echilibrat nu exercită nici o

acţiune dinamică asupra bazei sub formă de forţă ( 0 iiS FF ).

Totodată, în cazul general, un astfel de mecanism continuă să acţioneze

dinamic sub formă de moment ( 0 iiS MM ).

* Termenul ―dezechilibru static‖ s-a înrădăcinat, cu toate că este nu chiar potrivit. El se datorează ca

rezultat al faptului că dezechilibrul static poate fi determinat și fără punerea mecanismului în

mișcare, adică în stare fixă (statică). Însă după natura sa fizică așa numitul dezechilibrul „static‖ (ca

și cel dinamic) reprezintă un fenomen dinamic.

Fig. 6.1

223

Din mecanica teoretică este

cunoscut că ,Si amF unde m este

masa sistemului tuturor elementelor

mobile ale mecanismului, iar Sa

accelerația centrului maselor S al

acestui sistem. Deci, condiţia (6.3) se

îndeplineşte numai pentru ,0Sa ceea

ce, la rândul său, este posibil numai în

cazul când centrul de masă S al

sistemului de elemente mobile ale

mecanismului rămâne fix. Astfel, echilibrarea statică presupune că

centrul de masă al sistemului elementelor mobile ale mecanismului

rămâne fix. Acest efect îl putem obţine prin metoda maselor înlocuitoare.

Să examinăm această metodă. f

Se dă corpul AB cu masa m, care are o mişcare plan-paralelă sau de

rotaţie (fig. 6.2, a). Concentrăm masa corpului, care este distribuită în tot

volumul lui, în punctele A și B (fig. 6.2, b). Valorile maselor concentrate

Am și Bm le aflăm din ecuațiile:

.; BSBASABA lmlmmmm (6.4)

Prima din ecuaţiile (6.4) arată că masa sistemului înlocuitor ],[ BA mm

este egală cu masa corpului iniţial. A doua ecuaţie arată că centrul de

masă al sistemului ],[ BA mmS se află în acelaşi loc ca şi centrul de masă S

al corpului dat. Iar de aici rezultă că vectorul principal al forţelor de

Fig. 6.2

Fig. 6.3

224

inerţie al sistemului înlocuitor ],[ BA mm este egal cu vectorul principal al

forţelor de inerţie al corpului dat. Însă momentul principal al forţelor de

inerţie ale sistemului maselor ],[ BA mm nu este egal cu momentul principal

al forţelor de inerţie ale corpului dat.

Întrucât la echilibrarea statică se iau în consideraţie numai vectorii

principali ai forţelor de inerţie ale elementelor [ vezi ecuaţia (6. 3) ] şi nu

se ţine cont de momentele principale ale forţelor de inerţie, pentru

echilibrarea statică înlocuirea fiecărui element cu două mase concentrate

este corectă.

Sa efectuăm echilibrarea statică a mecanismului articulat cu patru

elemente (fig. 6.3, a), pentru care sunt cunoscute lungimile elementelor

mobile ,,, 321 lll masele lor 321 ,, mmm şi poziţiile centrelor de masă .,, 321 SSS

Înlocuim fiecare element cu două mase concentrate, folosind

expresiile (6.4): ,/ 1111 llmm BSA ,/ 111 llm ASB ,/ 2222 llmm CSB ,/ 2222 llmm BSC

,333 DSC lmm 3333 / llmm CSD .

Sumăm masele plasate în punctele B şi C: ., 3221 CCCBBB mmmmmm

Prin urmare, mecanismul dat va fi înlocuit cu patru mase

concentrate în punctele A, B, C, D (vezi fig. 6.3, b, în care cu linii de

culoare surie sunt reprezentate elementele mecanismului fără inerție).

Centrul maselor S al sistemului ],,,[ 31 DCBA mmmm se află în același loc ca și

centrul maselor sistemului elementelor mobile 1, 2, 3 ale mecanismului

dat. În timpul funcționării mecanismului centrul maselor S se mișcă cu

accelerația ,Sa iar aceasta înseamnă că mecanismul dat (fig. 6.3, a) este

static dezechilibrat.

Amplasăm pe elementele 1 și 3 c o n t r a g r e u t ă ț i l e (masele de

corecție) 1km și

3km (fig. 6.3, c) astfel ca centrele sistemelor ],[ 1kB mm și

],[ 3kC mm să se situeze în punctele fixe A și D. În acest caz trebuie să se

îndeplinească condițiile:

., 333111 lmrmlmrm CkkBkk (6.5)

Sumăm masele distribuite pe elementele 1 și 3: ,11 kBAA mmmm

33 kCDD mmmm (fig. 6.3, c, d). Astfel, după montarea contragreutăților

mecanismului dat poate fi înlocuit cu un sistem de două mase fixe Am și

Dm . De aceea centrul maselor yS al acestui sistem, iar prin urmare și

centrul maselor mecanismului dat dar completat cu contragreutățile 1km

și 3km va deveni, de asemenea, fix (fig. 6.3, d, e). Iar aceasta înseamnă

225

că echilibrarea statică a mecanismului s-a realizat. Masele 1km și

3km ale

contragreutăților pot fi calculate din ecuațiile (6.5), având cunoscute

dimensiunile 1kr și .2kr

Deci, metoda maselor înlocuitoare constă în următoarele: fiecare

element al mecanismului trebuie înlocuit cu două mase concentrate,

apoi, montând contragreutățile (masele de corecție) și sumându-le cu

masele înlocuitoare, obținem ca masele sumate să se repartizeze în cele

din urmă în punctele fixe ale mecanismelor.

Cu două contragreutăți

se poate echilibra static și

mecanismul manivelă-piston

(fig. 6.4) (vezi [1,2,3]). Însă

instalarea contragreutății 2km

pe biela 2 o lungește

considerabil și totodată

mărește și dimensiunile

întregului mecanism. De

aceea această soluție este nereușită din punct de vedere constructiv în

practica inginerească se foloseşte rar. De regulă, mecanismul

manivelă-piston se echilibrează static cu o singură contragreutate,

instalată pe elementul 1. Dar în acest caz echilibrarea statică nu va fi

completă, ci parţială.

Să admitem că trebuie să echilibrăm static un mecanism

manivelă-piston orizontal (fig. 6. 5, a), astfel ca să fie înlăturată acţiunea

dinamică asupra suportului, dar numai pe direcţie verticală. Înlocuim

elementele mecanismului dat cu trei mase concentrate CBA mmm ,,1

(vezi

fig. 6.5, b, în care cu linii gri sunt arătate elementele mecanismului fără

Fig. 6.4

Fig. 6.5

226

inerţie). Efectuând înlocuirea concentrăm toată masa 3m în punctul C,

întrucât elementul 3 are o mişcare de translaţie. Folosind ecuaţiile (6.4),

obţinem ,/ 1111 llmm BSA ,/ 2211121 CSASBBB lmllmmmm 32 mmm CC

./ 3222 mllm BS

Montăm pe elementul 1 contragreutatea 1km (fig. 6. 5, c) în aşa fel ca

centrul maselor sistemului ],[ 1 Dk mm să se afle în punctul fix A . Pentru

aceasta se pune condiţia

.111 lmrm Bkk (6.6)

Sumăm masele distribuite pe elementul 1: 11 kBAA mmmm (fig.

6.5, d). Astfel, după instalarea contragreutăţii 1km mecanismul dat poate

fi înlocuit cu un sistem din două mase: una fixă Am şi una care se mişcă

orizontal .Cm De aceea centrul maselor S al acestui sistem, prin urmare

şi centrul maselor mecanismului dat, dar completat cu contragreutatea

1km se va mişca, dar numai orizontal (fig. 6. 5, d, e). De aici reiese ca

acţiunea verticală dinamică asupra bazei mecanismului va fi înlăturată.

Rămâne acţiunea orizontală, care poate fi apreciată după formula .)( 320 CxCxiFix ammFF

Masa contragreutății 1km se află din ecuația (6.6), fiind cunoscută

dimensiunea .1kr Echilibrarea statică parțială a mecanismului

manivelă-piston o putem continua. Folosind relația (5.13), exprimăm

dezechilibrul rămas xiFîn felul următor:

.2cos)/1(cos 11

2

1211

2

1 xIIixIiCCxi FFmlmlF

Aici xIimed Fllconst ,//1, 2121 este forța de inerție de ordinul I,

xIIiF forța de inerție de ordinul II (fig. 6.6).

Fig. 6.6

227

Înlăturăm acea parte a acțiunii asupra suportului ,xIiF introducând

încă două contragreutăți ],[ kk mm , care se rotesc în direcții opuse cu

frecvența de rotaţie a elementului 1 (fig. 6.6)*. Aceste contragreutăţi vor

solicita dinamic reazemele D şi E, corespunzător forţelor centrifuge de

inerţie ale contragreutăţilor: .2

1 kkci rmF Rezultanta ambelor forţe

centrifuge de inerţie este îndreptată în direcţia axei x , şi proiecţia ei pe

această axă va constitui 1

2

1 cos2 kkxci rmF (fig. 6.6). Dacă vom lua

astfel de contragreutăţi încât să obţinem ,2 1lmrm Ckk atunci obţinem

.0 xIxci FF Aceasta înseamnă că datorită contragreutăţilor

suplimentare, o parte din solicitarea dinamică, egală numeric cu forţa de

inerţie de ordinul I xIF va fi echilibrată. Însă o altă parte a acestei

acţiuni, apreciată prin forţa de inerţie de ordinul II xIIF se va menţine.

Deoarece echilibrul static, remanent după introducerea a două

contragreutăţi suplimentare ],,[ kk mm va fi sensibil mai mic.

Echilibrul static complet poate fi obţinut fără instalarea

contragreutăţilor, dacă vom proiecta aşa-numitul mecanism

autoechilibrat. Este vorba de mecanismul manivelă-piston dublu (fig.

6.7), folosit pentru motoarele cu ardere internă pentru motociclete şi alte

MAI.

Mecanismul este realizat oblic simetric, grupele manivelă-piston 2-3

şi 4-5 sunt absolut identice, centrul de masă S1 al arborelui cotit 1 se află

pe axa de rotaţie .)0( 1 iF De aceea 054321 iiiiii FFFFFF (fig.

6.7), ceea ce demonstrează echilibrul static complet al mecanismului.

* Dacă mașina conține arbori suplimentari, care se rotesc cu aceeași frecvență ca și arborele

elementului 1, atunci contragreutățile [mk, mk] pot fi instalate pe acestea, deci mecanismul nu va

suporta nici o schimbare constructivă esențială.

Fig. 6.7

228

Însă trebuie precizat că ,0)()( 4242 iAiAFiFiFi FMFMMMM adică

mecanismul nu este echilibrat dinamic.

Drept exemplu poate servi mecanismul presei de forjă (fig. 6.8).

Pentru reducerea pierderilor prin frecare pistonul din stânga este înlocuit

cu pârghia 5. Aceasta este construită astfel, încât centrul maselor S5 se

află în punctul E, şi .35 mm Centrul maselor S3 efectuează o mişcare

alternativă curbilinie (nu rectilinie ca C) dar cu aceeaşi amplitudine. De

aceea ,35 ii FF .24 ii FF Însă vectorii principali ai forțelor de inerţie

5iF şi ,3iF precum 4iF şi ,2iF sunt foarte apropiaţi unul de altul ca

modul şi aproape opuşi ca sens. De aceea ,0iF adică mecanismul este

practic complet echilibrat static. Dar nu este echilibrat dinamic.

Vom menţiona o proprietate esenţială a mecanismului cu un

echilibru static complet: un astfel de mecanism îşi păstrează echilibrul

static complet pentru orice valoare 1 a vitezei unghiulare a elementului

conducător, fie aceasta este constantă sau variabilă.

§ 6.2. Echilibrarea dinamică

Echilibrarea dinamică se realizează pentru mecanismele echilibrate

static complet .)0( F Scopul echilibrării d i n a m i c e este

satisfacerea condiţiei:

.0FiM (6.7)

Fig. 6.8

229

Prin urmare, echilibrarea dinamică anulează acţiunea dinamică a

mecanismului asupra suportului, prin intermediul momentului

.0 FioFi MM Să examinăm echilibrarea dinamică, considerând patru-

laterul articulat (fig. 6.1, a, 6.3, a).

Calculul se efectuează pentru condiţia .1 const Din ecuaţia (6.2)

calculăm FiM momentul principal rezultant al forţelor de inerţie, care

înlocuieşte întregul sistem al forţelor de inerţie ale mecanismului static

echilibrat ,)0( F dar neechilibrat dinamic .)0( FiM În acest caz

trebuie să avem în vedere că după echilibrul static complet în schema

mecanismului rămas au apărut contragreutăţi (fig. 6.3, e), ale căror mase

le vom examina ca mase concentrate. Momentul forţei de inerție 3ikF al

contragreutății ,3km trebuie de asemenea introdus în ecuaţia algebrică

(6.2). Ținând cont de aceasta, vom obţine:

0)()()( 33232 ikAiAiAFiFiFi FMFMFMMMM (6.8)

(vezi fig. 6.9, dar nu se iau în considerație contragreutățile ).],[ kk mm Este

important de accentuat că, întrucât momentul FiM se determină pentru

cazul când ,0iF valoarea lui depinde de alegerea centrului de

reducere, cu alte cuvinte în calitate de centru de reducere alegem orice

punct, dar nu neapărat punctul A.

În procesul funcționării mecanismului toți termenii din partea

dreaptă a ecuației (6.8), prin urmare și momentul ,FiM variază periodic.

Pentru o rotație a elementului conducător variația este prezentată în fig.

6.10.

Introducem în schema mecanismului două contragreutăți similare

Fig. 6.9

230

cu masele km fiecare, legate de roțile dințate a și b (fig. 6.9). Roata b

egală cu a are același sens de rotație ca și roata a și este legată de

elementul 1 care are .1 const Coordonatele radiale

kr ale

contragreutăților sunt egale, coordonatele unghiulare ale

contragreutăţilor în orice poziţie a mecanismului diferă una de alta cu

180°.

Ca rezultat, forţele centrifuge de inerţie ale contragreutăţilor

alcătuiesc un cuplu de forţe ],[ ckicki FF cu braţul kh (fig. 6.9). Braţul

cuplului .)sin( 1 AEk lh Modulul forței centrifuge .2

1kkcki rmF De aceea

momentul cuplului de forţe, care în continuare îl vom numi moment de

corecţie, va fi:

.)sin()sin( 11

2

1 kAAEkkk MlrmM (6.9)

Poziţia punctului E (fig. 6.9) se alege în aşa fel, ca momentul de

corecţie kM să fie îndreptat în sens opus momentului .

FiM

După introducerea contragreutăţilor în punctele kS şi

kS sistemul

forţelor de inerţie ale mecanismului se va reduce la momentul principal

rezultant .kFiFi MMM Conform ecuaţiei (6.9), momentul kM

variază după legea sinusoidală. Din fig. 6.10 se vede însă că variaţia

momentului FiM nu se supune legii sinusului, cu toate că se apropie de

aceasta. Prin urmare, momentul de corecţie kM nu poate echilibra

complet momentul .FiM De aceea trebuie să găsim altfel de valori ale

unghiului şi ale amplitudinii ,kAM pentru care dependența )( 1FiM se

apropie mai mult de acea sinusoidală. Atunci echilibrarea dinamică va fi

practic realizată: .00 kFiFiFi MMMM Notăm valoarea optimă a

amplitudinii găsite cu simbolul *

kAM (fig. 6.10), după ce vom

afla masa fiecărei

contragreutăți: ./ 2

1

*

AEkkAk lrMm

Astfel, mecanismul este

total echilibrat dacă se respectă

condițiile 00 iFi FF și

,00 FiFi MM nu exercită nici o

acțiune dinamică asupra

suportului său, cu toate că

mișcările elementelor sunt

accelerate.

Fig. 6.10

231

Diferite metode moderne de echilibrare a mecanismelor sunt

expuse exhaustiv de V.A. Shcepelnikov (vezi Shcepelnicov V.A.

Uravnoveshivanie mehanizmov. M., 1982).

§6.3 Dezechilibrul rotorului și tipurile lui

În teoria echilibrării se

numește rotor orice corp care

se rotește. De aceea rotor este

arborele cotit al

compresorului, arborele

strungului etc. Din mecanica

teoretică se cunoaște că

presiunea corpului rotativ

asupra reazemelor acestuia în

cazul general se compune din

două componente: statică,

cauzată de acțiunea forțelor

cunoscute (forțe de greutate

ale corpului ș.a.), și dinamică,

condiționată de mișcarea accelerată a elementelor, din care este compus

corpul care se rotește (adică rotorul). Dacă componenta dinamică nu este

egală cu zero rotorul este dezechilibrat.

În cazul mișcării uniforme a rotorului în jurul axei z (fig. 6.11)

proiecțiile componentei dinamice se determină în felul următor:

,xiBA FXX ,yiBA FYY .xFiBA MbXaX Deci, dezechilibrarea se

apreciază numeric prin intermediul proiecțiilor vectorului principal iF

și al momentului principal FiM al forțelor de inerție centrifuge ale

rotorului. Aceste proiecții se calculează după formulele:

,;;; 222

xzFiyyzFixSyiSxi JMJMmyFmxF (6.10)

unde m este masa rotorului; yzJ și xzJ momentele centrifuge de inerție

ale rotorului față de sistemul de coordonate Oxyz (fig. 6.11). Planul Oxyz

trece prin centrul maselor S al rotorului, iar tot sistemul de coordonate

Oxyz se rotește împreună cu rotorul. Menționăm că în problema

dinamică examinată momentul principal al forțelor de inerție ale

rotorului FiM este o mărime vectorială. După cum reiese din ecuațiile

(6.10), dezechilibrul rotorului crește proporțional cu pătratul vitezei

Fig. 6.11

232

unghiulare a acestuia. Din această cauză dacă rotoarele rapide (rotoarele

turbinelor, discurile de rectificat, ș.a.) sunt dezechilibrate, atunci acestea

solicită reazemele proprii cu forțe dinamice, care produc vibrații asupra

suportului. Înlăturarea (diminuarea) acestei acțiuni dăunătoare poartă

denumirea de b a l a n s a r e (sau echilibrare) a rotorului. Rezolvarea

acestei probleme se efectuează în timpul proiectării dinamice a

mașinilor.

Modulul vectorului principal al forțelor centrifuge de inerție al

rotorului conform ecuației (6.10) va fi .222

SSi yxmF În formă

vectorială scriem ,2ci emF unde OSc le este raza vectoare a centrului

maselor S al rotorului, care determină poziția excentrică a acestuia (fig.

6.11) și se numește e x c e n t r i c i t a t e a masei rotorului. Notăm:

.cc emD (6.11)

Vectorul cD se numește v e c t o r u l p r i n c i p a l al d e z e c h i

l i b r u l u i r o t o r u l u i. Este evident că .2ci DF

Modulul momentului principal al forțelor de inerție centrifuge ale

rotorului conform ecuațiilor (6.10) va fi ,2222

Dxzyzi MJJM unde

.22

xzyzD JJM (6.12)

Mărimea MD se numește m o m e n t u l p r i n c i p a l al d e z e c h

i l i b r u l u i r o t o r u l u i și are caracter vectorial, adică .2Di MM În

continuare dezechilibrul rotorului îl vom caracteriza numeric nu prin iF

și iM , ci prin mărimile proporționale cu acestea vectorul principal cD

și momentul principal DM ale dezechilibrului rotorului.

Tipurile dezechilibrului rotorului. D e z e c h i l i b r u l s t a t i c

este propriu pentru un astfel de rotor, al cărui centru de masă S nu se află

pe axa de rotație, dar a cărui axă principală de inerție (axa I – I) este

paralelă cu axa de rotație. În acest caz ,0ce .0 JyzJ xzPrin urmare,

conform ecuațiilor (6.11) și (6.12), dezechilibrul static este exprimat

numai prin vectorul principal cD al dezechilibrului, în timp ce momentul

principal al dezechilibrului .0DM Vectorul cD este orientat radial și se

rotește împreună cu rotorul. Drept exemplu poate servi arborele cotit

(fig. 6.12, a). Reazemele A și B sunt solicitate de forțele AF și ,BF ai

căror vectori se rotesc împreună cu arborele.

233

Dezechilibrul static poate fi înlăturat dacă pe rotor fixăm o masă

suplimenta ,km care se numeşte m a s ă de c o r e c ţ i e. Ea trebuie

situată în aşa fel ca kD .Dem kk Aceasta înseamnă că centrul masei

de corecţie trebuie să se găsească pe linia de acţiune OS a vectorului ,cD

iar vectorul ke trebuie să fie orientat în direcţie opusă vectorului .ce

Însă nu întotdeauna echilibrarea statică poate fi realizată cu ajutorul

masei de corecţie. De exemplu, construcţia arborelui cu un cot (fig. 6.12,

a) ne obligă să folosim două mase, situate în planele de corecţie M şi N,

deoarece spaţiul între aceste două plane trebuie să fie liber pentru

mişcarea bielei. În acest caz vectorul kD va exprima acţiunea sumară a

ambelor mase de corecţie. Prin urmare, numărul și pozițiile planelor de

corecție sunt alese în conformitate cu construcţia şi destinaţia rotorului.

D e z e c h i l i b r u l d u p ă m o m e n t are loc în acel

caz, când centrul maselor S al rotorului se găsește pe axa de rotaţie, iar

axa principală centrală de inerţie I – I a rotorului este înclinată faţă de

axa sa de rotaţie a rotorului sub unghiul (fig. 6.12, b). În acest caz

.0,0,0 yzxzc JJe Prin urmare ,0cD deci dezechilibrul după

moment se exprimă doar prin momentul principal DM al dezechilibrului,

adică prin cuplul ,],[ 21 MM DD care se roteşte împreună cu rotorul. Drept

exemplu poate servi arborele cotit pentru care .1hDM MD Reazemele A şi

B sunt solicitate de cuplul de forţe ,],[ BA FF ai căror vectori se rotesc

împreună cu arborele.

Fig. 6.12

234

Fig. 6.13

Deoarece un moment poate fi echilibrat numai cu un alt moment,

dezechilibrul după moment poate fi înlăturat numai în cazul când

folosim nu mai puțin de două mase de corecție. Valorile și amplasarea în

planele de corecție trebuie să fie astfel alese, ca dezechilibrul maselor

de corecție să genereze un moment. Momentul DkM al acestui cuplu

trebuie să fie egal cu .DM Înseamnă că momentul DkM trebuie să fie

orientat în sens opus momentului cuplului ,],[ 21 MM DD adică

corespunzător poziției rotorului prezentat în fig. 6.12, b – în sens invers

acelor de ceasornic.

D e z e c h i l i b r u l d i n a m i c este o rezultantă a celor

două dezechilibre, adică .0,0,0 yzxzc JJe Prin urmare, dezechilibrul

dinamic se exprimă prin cD şi .DM Din mecanica teoretică este cunoscut

că un astfel de sistem de solicitare este echivalent cu doi vectori

încrucișați. De aceea dezechilibrul dinamic poate fi exprimat de

asemenea prin doi vectori încrucișați ai dezechilibrelor 1D și ,2D care

sunt plasați în două plane perpendiculare pe axa de rotație și se rotesc

împreună cu rotorul (‖crucea dezechilibrelor‖). În calitate, de exemplu,

de rotor dezechilibrat dinamic poate servi un arbore cu două coturi, pe

care este fixat un disc excentric (fig. 6.13). Reazemele A și B sunt

solicitate de forțe încrucișate AF și ,BF ai căror vectori se rotesc

împreună cu arborele.

Dezechilibrul dinamic poate fi înlăturat de două mase de corecție,

dispuse în plane de corecție perpendiculare pe axa de rotație (vezi § 6.4).

Din cele expuse reiese că înlăturarea oricărui dezechilibru – static,

după moment și dinamic – are ca rezultat suprapunerea axei principale

235

de inerție a rotorului cu axa de rotație a acestuia sau analitic

.0,0 Dc MD În acest caz rotorul este echilibrat complet. Să menționăm

o trăsătură importantă a acestui rotor: dacă rotorul este echilibrat

complet pentru o valoare oarecare a vitezei unghiulare , atunci acesta

va fi echilibrat complet pentru orice altă viteză unghiulară, atât

constantă cât și variabilă.

§6.4 Echilibrarea dinamică a rotorului

în timpul proiectării

Dacă exploatarea mașinii sau aparatului necesită utilizarea unui

rotor echilibrat complet, iar construcția este de așa natură că rotorul este

dezechilibrat (de exemplu, fig. 6.12, 6.13), atunci echilibrarea unui astfel

de rotor trebuie începută deja în procesul proiectării.

Să admitem că rotorul reprezintă o totalitate de piese 1, 2, 3, (fig.

6.14, a), care se rotesc ca un corp unic. Masele im și coordonatele

ii ea , și

i ale centrelor de masă iS ale tuturor acestor piese sunt cunoscute.

Având aceste date, trebuie calculat dezechilibrul maselor neechilibrate

după formula .iii emD

Efectuând echilibrarea rotorului, putem contrapune fiecărei mase

dezechilibrate o masă de corecție. Însă această soluție nu este rațională

deoarece în sistemul rotorului aproape întotdeauna se produce

echilibrarea parțială. Din această cauză trebuie să folosim o altă metodă.

Să definim două plane de reducere A și B, perpendiculare pe axa de

rotație z. În fig. 6.14, a planul A este ales acela, în care se mișcă centrul

maselor ,iS iar planul B se află la distanța l față de planul A. Reducem pe

planele A și B dezechilibrele 321 ,, DDD ale tuturor maselor

dezechilibrate ș.a., adică înlocuim fiecare vector al dezechilibrului, cu

vectori paraleli cu acesta și amplasați în planele de reducere A și B.

Pentru aceasta folosim formulele: ,/,/ laDDlbDD iiiBiiiA vezi fig. 6.14,

a:

./;/;0/

;/;/;/

333222111

3332221111

laDDlaDDlaDD

lbDDlbDDDlbDD

BBB

AAA

(6.13)

Ca rezultat al reducerii, sistemul spațial al dezechilibrelor

321 ,, DDD este înlocuit cu două sisteme plane. Sumăm dezechilibrele

amplasate în fiecare din cele două plane (fig. 6.14, b):

236

.; 32321

BBiBBAAA

iAA DDDDDDDDD (6.14)

Deci, dezechilibrul rotorului dat îl putem prezenta prin doi vectori

încrucișați ai dezechilibrelor AD și BD (în fig. 6.14, a nu sunt arătați),

amplasați în planele de reducere A și B. Din această cauză acest rotor, ca

și oricare altul, poate fi echilibrat, de asemenea, cu două mase de

corecție. Dacă permite construcția, instalăm aceste mase în plane

paralele cu A și B. Atunci ele vor fi concomitent și plane de corecție.

Condițiile echilibrării depline vor fi ., BkBAkA DDDD Vectorii

kAD și kBD sunt prezentați în fig. 6.14, a. Coordonatele lor unghiulare kA

și kB trebuiesc luate în planele dezechilibrelor (fig. 6.14, b). Masele de

corecție vor fi egale cu: ,/ AeDm kkAkA unde kAe și

kBe sunt excentricitățile

lor (fig. 6.14, a), le stabilim conform posibilităților constructive ale

rotorului.

Înlăturarea dezechilibrului rotorului constă în faptul că masele de

corecție kAm și

kBm trebuie să fie amplasate în planele de corecție A și B,

în locurile determinate de coordonatele ,kA kAe și ., kBkB e Menționăm că

în locul maselor de corecție (contragreutăților) putem folosi

aşa-numitele anti-contragreutăţi. Aceasta înseamnă că pe direcţia de

acţiune a vectorului diametral opus acestuia din rotor se înlătură

cantitatea corespunzătoare de metal. Acelaşi lucru poate fi efectuat şi în

Fig. 6.14

237

celălalt plan de corecţie. Desigur, posibilitatea folosirii acestui procedeu

este determinată nemijlocit de construcţia rotorului.

În încheierea §6.4 vom examina rotorul, ale cărui dimensiuni axiale

sunt mai mici în comparaţie cu dimensiunile lui radiale. Aceasta

înseamnă referitor la fig. 6.14, a că piesele 1,2,3 sunt fixate una lângă

alta, aşa că dimensiunile a2 şi a3 au valori mici. Conform ecuaţiilor

(6.13), dezechilibrele D2B și D3B vor fi de asemenea mici şi acestea pot fi

neglijate. Prin urmare, conform ecuaţiilor (6.14) ,0BD aşa încât întreg

dezechilibrul rotorului se va exprima practic numai prin dezechilibrul

AD şi de aceea va fi static. De aici reiese că pentru un asemenea rotor este

suficientă echilibrarea statică. Aceasta poate fi realizată cu o singură

masă de corecţie, definind planul de corecţie astfel, ca el să treacă prin

centrul de masă al rotorului. Se poate constata că la dimensiunile mici a2

şi a3 coordonatele z ale centrelor de masă S2 şi S3 (fig. 6.14, a),

momentele centrifuge de inerţie xzJ şi

yzJ ale rotorului vor fi, de

asemenea, mici. Conform ecuaţiei (6.12) va fi mic şi momentul

dezechilibrelor DM al unui astfel de rotor, deci acesta poate fi neglijat.

Aceasta, confirmă încă o dată, că dezechilibrul rotorului cu dimensiuni

mici practic este un dezechilibru static.

§6.5 Echilibrarea statică și dinamică

a rotoarelor fabricate

Rotorul, echilibrat dinamic în procesul proiectării, după

confecţionare posedă totuşi un oarecare dezechilibru, cauzat de

neomogenitatea materialului şi abaterile dimensiunilor reale ale

rotorului de la valorile nominale. Acest dezechilibru se înlătură în

procesul de fabricaţie cu ajutorul maşinilor de echilibrare speciale.

Echilibrarea poate fi automată sau neautomată. Examinăm echilibrarea

statică şi dinamică, efectuată în regim neautomat.

Echilibrarea statică. În §6.4 s-a arătat că pentru rotoarele cu

dimensiuni axiale mici (roţi de transmisie, volanţi, discuri etc.) se admite

să ne limităm la echilibrarea statică. În cazul acesta se află numai

vectorul principal al dezechilibrului .cD Dacă se cere o precizie minimă

de echilibrare, aceasta se realizează în regim static.

238

Metoda de determinare a dezechilibrului static în procesul de rotire a

rotorului, adică în regim dinamic*, este mai precisă și mai de

perspectivă. Drept exemplu de utilaj ce lucrează după acest principiu,

servește mașina de echilibrare, prezentată în fig. 6.15. Rotorul

dezechilibrat 1, fixat pe axul 4, se

rotește cu o viteză unghiulară b în

reazemele montate în placa 2.

Această placă se montează pe

suport prin intermediul elementelor

elastice 3. Cu placa 2 prin

intermediul unui arc moale 5 este

unită masa 6 a traductorului

seismic. Frecvența oscilațiilor

proprii ale traductorului trebuie să

fie mai mici decât frecvența de

rotație a rotorului. Masa 6 se poate

mișca liber în direcția axei x, care

trece prin centrul de masă S0 al

plăcii.

În timpul rotirii axului, împreună cu rotorul axa z, sub influenţa

dezechilibrului rotorului, descrie o suprafaţă conică, iar placa 2

efectuează o mişcare spaţială. Componenta acestei mişcări, orientate în

direcţia axei x, este preluată de masa 6. Oscilaţiile forţate ale masei faţă

de placa 1 sunt transformate de captor în FEM, care este introdusă în

calculatorul electronic (în fig. 6.15 nu este arătat), care este o parte

integrală a maşinii de echilibrare. Acest dispozitiv furnizează date

despre dezechilibrul căutat sub formă de modul şi coordonată unghiulară

a vectorului principal cD al dezechilibrelor rotorului. (În fig. 6.15

dezechilibrul static al rotorului este prezentat convenţional sub formă de

dezechilibru al unei mase punctiforme oarecare, al cărei dezechilibru

este egal cu vectorul principal cD al dezechilibrelor rotorului). După

determinarea lui cD operatorul înlătură dezechilibrul prin metoda de

eliminare a materialului (înlăturarea "locului greu").

* De aici reiese, că termenul ‖dezechilibru static‖ nu numai că este destul de nereușit (vezi nota

§6.1), dar pur și simplu este învechită, deoarece mașinile de echilibrat moderne cu precizie și

productivitate înaltă determină așa numitul ‖dezechilibru static‖ în regim dinamic.

Fig. 6.15

239

Echilibrarea dinamică. Rotoarele de dimensiuni axiale mari

necesită echilibrare dinamică, deoarece momentul principal al

dezechilibrelor DM ale acestor rotoare este considerabil (vezi §6.4). De

aceea dezechilibrul se exprimă nu numai prin vectorul princip ,cD ci şi

prin momentul principal ,DM sau prin doi vectori încrucişaţi 1D şi 2D ai

dezechilibrelor (vezi § 6.3 şi 6.4), adică va fi dinamic. Astfel de

dezechilibru poate fi prezentat convenţional sub formă de dezechilibru a

două mase punctiforme, ale căror dezechilibre sunt egale respectiv cu

1D şi 2D .

Axa de rotaţie a rotorului în maşinile destinate echilibrării dinamice

poate fi fixă sau se poate mişca faţă de batiu. În funcţie de numărul de

mișcări posibile ale axei de rotaţie (numărul de grade de libertate ale

acesteia), maşinile echilibrate se împart în trei grupe. Din prima grupă

fac parte maşinile cu axa fixă. Din grupa a doua – maşinile, a căror axă

se mişcă față de o axă fixă Din grupa a treia – mașinile, a căror axă

efectuează o mișcare spațială. Exemple de mașini din prima grupă vor fi

examinate mai jos.

Mașina, prezentată în fig. 6.16, a face parte din grupa a doua și nu

are elemente de control electronic. Rotorul de echilibrat 1 este instalat în

reazemul carcasei 2, care este unită cu suportul 3 articulații. Celălalt

reazem al carcasei este elastic 5. Ca rezultat, carcasa poate să oscileze în

jurul axei fixe care trece prin centrul articulației perpendiculare pe

planul desenului. Împreună cu carcasa va oscila față de batiu și rotorul

cu axa de rotație.

Vom prezenta dezechilibrul dinamic al rotorului sub formă de două

dezechilibre AD și BD reduse la planele de corecție A și B. Metoda de

echilibrare prevede mai întâi determinarea dezechilibrului ,AD apoi a

dezechilibrului .BD Pentru a exclude influenţa dezechilibrului BD la constatarea

dezechilibrului ,AD rotorul trebuie instalat pe reazemele carcasei într-un

anume fel: planul de corecţie B trebuie să treacă prin axa articulaţiei O

(fig. 6.16, a ) . Atunci dezechilibrul BD nu va da moment faţă de această

axă şi, prin urmare, nu va influenţa asupra oscilaţiilor forţate ale

sistemului rotor-carcasă.

Antrenăm rotorul în mişcare de rotaţie. Momentul tlDM bADA cos

va forţa oscilaţiile sistemului rotor-carcasă. Amplitudinea acestor

oscilaţii se măsoară cu indicatorul 4. Măsurările se fac pentru viteza

240

unghiulară de echilibrare b egală cu frecvenţa unghiulară a oscilaţiilor

proprii ale sistemului. Se poate considera că amplitudinea oscilaţiilor

forţate este proporţională cu dezechilibrul, adică:

,ADA DS (6.15)

unde SA este amplitudinea măsurată, iar DK — modulul dezechilibrului

.AD

Factorul de proporţionalitate D încă nu este cunoscut, şi din

ecuaţia (6.15) nu putem afla dezechilibrul căutat .AD De aceea, în afară

de pornirea de bază, mai facem încă două porniri, care se numesc de

probă, de unde metoda de echilibrare a fost numită "metodă a două

porniri de probă" (vezi [1,2,5,8] Savelova A.A., Teoria i practiti

balansirovki vrashcaiushcihsea mashinnyh chastei, Izd. MVTU

V.Ă.Baumana, 1946).

Înainte de prima pornire de probă într-un punct arbitrar al planului

de corecţie A (de exemplu, în punctul N cu excentricitatea pe fig.6.16, b)

la rotor fixăm o masă de probă mp, al cărei modul al dezechilibrului este

egal cu: .ppp emD (6.16)

Efectuăm prima pornire de probă. Acum oscilaţiile cu amplitudinea

S1 vor fi forţate de momentul dezechilibrului sumat

,1 pA DDD (6.17)

iar amplitudinea măsurată .11 DS D

Înainte de a doua pornire de probă fixăm în punctul N o masă de

probă dublă ,2 pm al cărei dezechilibru, de asemenea, se va dubla.

Efectuând a doua pornire de probă, măsurăm amplitudinea S2, forțate de

momentul dezechilibrului:

;22 pA DDD (6.18)

în acest caz .22 DS D

În felul acesta, efectuând două porniri de probă vom obține valorile

amplitudinilor SA, S1, S2 .

În fig. 6.16, c sunt reprezentate ecuațiile vectoriale (6.17) și (6.18).

Folosindu-ne de proprietățile diagonalelor într-un paralelogram, vom

obține din fig. 6.16, c modulul dezechilibrului :pD

.2/)2( 2

1

2

2

2 DDDD Ap

241

Înmulțim ambele părți ale acestei ecuații cu D și pe baza

proporționalității amplitudinilor și dezechilibrelor, precum și a ecuației

(6.16), vom afla valoarea factorului de proporționalitate :D

).2/()2( 2

1

2

2

2

ppAD emSSS (6.19)

Din expresia (6.15) determinăm modulul AD al dezechilibrului

căutat: ./ DAA SD

Pentru echilibrarea rotorului în planul A, în acest plan trebuie

montată o masă de corecție ,kAm al cărei dezechilibru se află din ecuația

.AkA DD Valoarea acestei mase kAm o vom afla, definind valoarea

excentricității kAe (fig. 16.6, b): ./ kAkAkA eDm

Coordonata unghiulară kA o aflăm prin cosinusul (fig. 16.6, c):

,2/)(cos 2

1

22

pApAkA DDDDD sau ,2/)(cos 2

1

22

pApAkA SSSSS unghiuri,

echivalente ca valoare absolută, dar opuse ca semn. De aceea, direcția de

calcul a unghiului kA de la linia CN nu este cunoscută dinainte și aceasta

trebuie determinată prin metoda probelor.

Fig. 6.16

242

Determinând din încercări amplitudinile SA, S1, S2, putem găsi

dezechilibrul căutat AD și coordonata unghiulară

kA și prin metoda

grafică.

Pentru a determina vectorul dezechilibrului ,BD rotorul 1 trebuie

scos din reazemele carcasei 2 , rotit în jurul axei verticale, şi din nou

aşezat în reazeme, dar în aşa fel, ca planul de corecţie A de data aceasta

să fie suprapus cu axa articulaţiei O. Influenţa momentului

dezechilibrului AD asupra oscilaţiilor forţate ale sistemului rotor-carcasă

va fi exclusă, şi acestea se vor produce numai sub acţiunea momentului

.cos tlDM bBDB După o asemenea transferare a rotorului prin metoda a

două porniri de probă trebuie să determinăm dezechilibrul ,BD iar după

aceea să echilibrăm rotorul în planul de corecţie B.

Un exemplu de maşină

din grupa a treia, la care axa de

rotaţie a rotorului efectuează

în timpul balansării o mişcare

spaţială, este prezentat în fig.

6.17. Rotorul dezechilibrat 1

se roteşte cu o viteză constantă

b în reazemele montate pe

placa 2. Aceasta se sprijină pe

suport prin intermediul a patru

arcuri 3. Cu placa 2 sunt unite

două traductoare seismice 4 şi 5.

La rotaţia rotorului sub acţiunea dezechilibrului acestuia axa A şi

placa 2 au o mişcare spaţială, pe care o captează traductorii 4 şi 5.

Traductorii transformă oscilaţiile mecanice forţate ale plăcii în FEM,

introdusă în calculator, care este o parte componentă a maşinii de

echilibrat. Schema electrică a acestui dispozitiv este montată astfel, că

registratorul dezechilibrului 1D este reglat pentru excluderea din

indicaţiile sale a influenţei dezechilibrului 2D şi furnizează date numai

despre dezechilibrul 1D . Exact la fel, datorită reglării speciale,

înregistratorul dezechilibrului 2D furnizează date numai despre acest

dezechilibru. Deci, ambele dezechilibre căutate se determină

concomitent cu ajutorul dispozitivului electronic, ceea ce asigură o

productivitate înaltă a maşinii. După aflarea mărimilor 1D şi 2D

Fig. 6.17

243

operatorul echilibrează rotorul în planele de corecţie, de obicei, prin

metoda înlăturării materialului (vezi §6.4).

Echilibrarea automată. Maşina pentru echilibrarea dinamică se

numeşte automată, dacă ambele etape ale echilibrării – atât măsurarea

dezechilibrului, cât şi înlăturarea acestuia sunt efectuate fără participarea

operatorului. Sunt posibile două metode de echilibrare automată: metoda

discontinuă, când ambele etape sunt realizate consecutiv, etapa a doua –

pe rotorul fix, și metoda continuă, când ambele etape sunt suprapuse în

timp şi rotorul se află în mişcare pe toată durata echilibrării.

Dezechilibrul poate fi înlăturat prin două metode – prin adăugarea

sau înlăturarea maselor de

corecție 1km și

2km în planele de

corecție. Mașinile de echilibrat

automate care lucrează cu

adăugarea maselor de corecție,

sunt necesare pentru echilibrarea

rotorilor cu pereți subțiri.

Metoda cea mai răspândită

pentru înlăturarea materialului

este găurirea materialului sau

efectuarea canalelor pe suprafața

rotoarelor. Mașinile care

utilizează această metodă sunt

descrise mai jos.

Mașina automată pentru

echilibrarea discretă, de regulă,

este compusă din două agregate

– de măsurare M şi de înlăturare

T a dezechilibrului (fig. 6.18),

care sunt unite între ele prin

intermediul dispozitivului

electronic DE. Datele despre

dezechilibrul rotorului R2 sunt

translate în dispozitivul DE de la

captorii și al reazemelor

sensibile fixe A şi B. În blocul de

calcul BC aceste date sunt

transformate în semnale

echivalente dezechilibrelor 1D şi

Fig. 6.18

Fig. 6.19

244

2D în planele de corecţie 1 – 1 şi 2 – 2. Semnalele sunt introduse în

blocurile de comandă BD1 şi BD2, care conduc sculele pentru

înlăturarea dezechilibrelor în planele de corecţie. Însă semnalele

translate se păstrează în memorie, fiindcă în acest timp are loc

înlăturarea dezechilibrelor rotorului precedent R1, prin eliminarea mate-

rialului. Între rotorul care se echilibrează R1 şi dispozitivul DE nu există

nici o legătură inversă. După terminarea echilibrării rotorul R1 este

scos de pe agregat şi în locul lui automat este instalat rotorul R2 pentru a

cărui echilibrare din memoriile BC1 şi BC2 sunt chemate semnalele care

comandă sculele ce înlătură dezechilibrele rotorului R2. În timpul acesta

în agregatul de măsurare M în locu1 rotorului R2 este transferat automat

rotorul R3 şi procesul se repetă.

Cerința de bază a metodei echilibrării continue este prezența

legăturii inverse neîntrerupte între rotorul echilibrat și dispozitivul

electronic. Drept exemplu pentru o astfel de echilibrare este cea

electrochimică, care funcționează după principiul dizolvării anodice și

de aceea poate fi utilizată numai pentru rotorii executați din metal și în

plus care nu sunt sensibili la acțiunea electrolitului asupra părților

componente ale rotorului. Schema unei astfel de mașini automate este

arătată în fig. 6.19 [8, vol.6]. Blocul BD, care servește la înlăturarea

materialului rotorului reprezintă un colector cu trei duze izolate electric

una de alta, prin care continuu este turnat electrolit pe rotor. Jetul din

duza centrală C este electrodul de alimentare cu curent electric; jeturile

din duzele I și II, situate în planele de corecţie 1 – 1 şi 2 – 2, îndeplinesc

rolul de electrozi consumatori de curent. Conectările pentru scurt timp

ale curentului i au loc în acele momente de timp, când "locurile grele" ale

rotorului trec pe sub duzele I şi II. Comenzile de conectare se formează

în blocul de calcul BC sub acţiunea semnalelor translate de captorii

speciali şi care depind de valorile solicitărilor reazemelor sensibile

fixe A şi B. Impulsurile scurte ale curentului luate de pe rotor, contribuie

la dizolvarea metalului în locurile necesare (în planele de corecţie 1 – 1

şi 2 – 2) (fig. 6.19). În felul acesta, rotorul în procesul echilibrării

transmite continuu prin canalele a şi b ale legăturii inverse în DE date

despre dezechilibrul său, care este treptat înlăturat.

Pentru înlăturarea maselor de corecţie din corpul rotorului

confecţionat din orice material, este folosită echilibrarea cu ajutorul

laserului [8, vol.6]. Această metodă a devenit posibilă în legătură cu

elaborarea unor generatoare cuantice optice de mare putere. Pentru

ridicarea productivităţii se folosește un laser cu acţiune continuă şi este

245

elaborat un sistem optic, care permut urmărirea sincronă de către raza

laserului a "urmei grele" a rotorului în planele de corecţie. Practic

aceasta se realizează, de exemplu, în maşini de echilibrat automată cu

laser MBL-3, a cărei schemă este redată în fig. 6.20. Rotorul echilibrat R

se sprijină pe reazemele fixe sensibile A și B și este antrenat de motorul

M. De la acesta este transmis semnalul mecanic în blocul BD, care

rotește sincron cu rotorul axul gol împreună cu prisma optică P.

Semnalele de la captorii și sunt prelucrate în blocul de calcul BC în

impuls de fazare, care de asigură poziția prismei P în raport cu rotorul R.

Fascicolul de lumină de la generatorul optic JCD trece prin axul gol și se

reflectă de prisma care se rotește P, de la oglinda fixă 3, se focusează în

‖locul greu‖ al rotorului, care se găsește în planul de corecție 1 – 1. Din

acest loc în timpul procesului de echilibrare fascicolul înlătură

materialul dezechilibrat al rotorului, micșorând treptat dezechilibrul

rotorului .1D Concomitent se micşorează automat energia razei

laserului.

Dispozitivele de echilibrat automate sunt folosite nu numai în

maşinile de echilibrare, dar şi în instalaţiile mecanice cu rotor, când în

procesul exploatării acestora din diferite cauze rotorul îşi pierde

echilibrul. De exemplu, pe arborele unui asemenea agregat este fixat

rigid un compensator automat în formă de casetă, care are în interior

mase de corecţie libere (bile, inele şi altele) [8, vol.6]. Aceste mase în

timpul rotirii rotorului (cu viteză supracritică) se reglează automat faţă

de casetă, asigurând stabil starea de echilibru a rotorului.

Fig. 6.20

246

C a p i t o l u l 7

FRECAREA ÎN MECANISME ȘI MAȘINI

În timpul funcţionării maşinilor şi mecanismelor are loc un fenomen, care este însoțit de disiparea energiei mecanice. Acest fenomen se numeşte frecare. S-a calculat că

aproape 33% din resursele de energie mondiale se consumă fără rost pentru lucrul, legat

de frecare. E firesc, că aceste cheltuieli trebuie să fie minime, adică trebuie să fie

micşorate forțele de frecare. Pentru maşinile şi mecanismele rapide această problemă devine şi mai actuală. Bazele fizice ale frecării, calculul cineto-static al mecanismelor cu

considerarea frecării şi aprecierea eficienţei mecanismului prin intermediul

randamentului acestuia sunt expuse pe scurt în acest capitol.

§ 7.1 Felurile și caracteristicile

frecării exterioare

La cercetarea bazelor fizice ale fenomenului frecării, deosebim

frecarea exterioară şi interioară. F r e c a r e a e x t e r i o a r ă

este rezistenţa la deplasarea relativă, care apare între două corpuri în

zonele de contact ale suprafeţelor, tangente la acestea şi care este însoţită

de disiparea energiei. F r e c a r e a i n t e r i o a r ă constituie

procesele care au loc în corpurile solide, lichide şi gazoase la deformarea

acestora şi sunt însoţite de disiparea ireversibilă a energiei mecanice.

Forţa de rezistenţă la deplasarea relativă a unui corp pe suprafaţa

altuia sub acţiunea unei forţe exterioare, îndreptată tangenţial la graniţa

comună a acestor două corpuri, se numeşte f o r ţ ă de f r e c a r e.

Substanţa introdusă pe suprafaţa de frecare pentru micşorarea forţei

de frecare şi a gradului de uzură este numită 1 u b r i f i a n t.

În funcţie de starea suprafeţelor de frecare, deosebim două feluri de

frecare: frecare uscată (fără lubrifiant) şi frecare cu lubrifiant.

F r e c a r e a u s c a t ă ( f ă r ă l u b r i f i a n t ) este

frecarea corpurilor solide 1 și 2, dacă pe suprafeţele de contact lipseşte

orice fel de lubrifiant (fig.7.1, a ) .

F r e c a r e c u l u b r i f i a n t este frecarea corpurilor 1 şi

2 în cazul prezenței pe suprafeţele de contact al lubrifiantului de orice

tip (fig.7.1, b ) .

Deosebim următoarele feluri de lubrifiere: p 1 a s t i c ă când

suprafeţele de contact ale corpurilor 1 şi 2 sunt separate de un lubrifiant

solid (fig. 7.2, a); l i c h i d ă când separarea completă a suprafeţelor de

247

contact ale corpurilor 1 și 2 este efectuată de un lubrifiant lichid (fig. 7.2,

b); g a z o a s ă când suprafeţele de contact sunt separate de un

lubrifiant gazos (fig. 7.2, c); s e m i l i c h i d ă când lubrifierea

lichidă are toc parțial; l i m i t ă când frecarea şi uzura suprafeţelor,

care se găsesc în mișcare relativă, sunt determinate de capacităţile

suprafețelor şi proprietățile lubrifiantului (fig. 7.2. d). Stratul

intermediar 1 poartă numele de al treilea corp care se găsește între

materialele 5 de bază ale cuplei de frecare. Acesta este compus din

stratul absorbit 2 , pelicula de oxizi sau alți compuși chimici 3 şi stratul

cu defecte 4 al materialului de bază. Pentru grosimea peliculei de ulei

0,1µm proprietăţile ei diferă deja de proprietățile volumetrice.

Fig. 7.1

Fig. 7.2

248

Mai deosebim

lubrifiere: h i d r o -

s t a t i c ă g a z o a s ă

când separarea

completă a suprafeţelor

de frecare 1 şi 2, care se

află în mişcare relativă

sau de repaos, are loc ca

urmare a afluxului

fluidului (gazului) în

spațiul h dintre

suprafeţele de frecare sub acţiunea presiunii exterioare p (fig.7.3,a);

h i d r o d i n a m i c ă ( g a z o d i n a m i c ă ) când separarea

completă a suprafeţelor de frecare 1 şi 2 se obţine ca rezultat al presiunii

spontane apărute în fluid în urma mişcării relative a suprafeţelor (fig.7.3,

b); e l a s t o h i d r o d i a m i c ă, pentru care caracteristicile

frecării şi grosimea peliculei de ulei sunt determinate de proprietăţile

elastice ale materialelor corpurilor; şi mișcarea spontană a tensiunilor de

fluaj, remanenței elastice şi deformaţiei remanente ireversibile a

materialelor care iau parte la frecare.

Frecarea în mişcare (fig. 7.4. a) este precedată de f r e c a r e a în

r e p a o s (zona I în fig. 7.4, b), adică frecarea între corpurile 1 și 2 la

micro-mișcarea relativă a celor două

corpuri şi perioada de trecere (zona

II) de la repaos la alunecare (zona

I I I ) . Deplasarea prealabilă este

egală cu distanța, pentru care forța

de frecare în repaos Ff.r. crește de la

zero până la o valoare oarecare

maximă (fig. 7.4, b).

Aceste micro-deplasări înainte

de alunecarea completă sunt destul

de mici: de gradul 0,1 … 1,0 µm și

într-o serie de cazuri pot fi

ireversibile. Forța de frecare la

repaos, a cărei depășire duce la

apariția mișcării se numește f o r ț ă

de f r e c a r e de r e p a o s m a

Fig. 7.3

Fig. 7.4

249

x i m ă. Raportul dintre forța maximă de frecare de repaos Ff.r. a două

corpuri și forța normală raportate la suprafețele de frecare ,12NF care

apasă corpurile unul asupra altuia, se numește c o e f i c i e n t de a d e -

r e n ț ă.

După criteriul cinematic se disting următoarele tipuri de frecare de

mişcare: f r e c a r e de a l u n e c a r e , f r e c a r e de r o s t o g o-

1 i r e, f r e c a r e de r o s t o g o l i r e cu a l u n e c a r e ,

f r e c a r e în timpul v i b r o d e p l a s ă r i l o r. Procesele de

frecare sunt examinate pe baza modelelor, care permit aprecierea

interacţiunii moleculare a materialelor corpurilor în contact cu

considerarea influenţei mediului ambiant (oxizi, peliculă, unsoare).

Primele teorii privind aderenţa mecanică, interacţiunea moleculară,

sudura au cunoscut o dezvoltare considerabilă în teoria

molecular-mecanică a frecării, care a căpătat o răspândire mai largă.

Conform acestei teorii, procesul de frecare are loc nu numai la graniţa de

separare a corpurilor solide, dar şi într-un volum oarecare al straturilor

superficiale, ale căror caracteristici fizico-mecanice se deosebesc de

proprietăţile materialelor în volumul corpurilor. Aceasta este legală de

deformarea straturilor superficiale, de schimbarea temperaturii, de

formarea straturilor absorbite de vapori de umezeală sau gaze, de for-

marea peliculelor de oxizi, atomi sau molecule ale mediului ambiant ş.a.

O idee generală despre valorile coeficienţilor de frecare la

alunecare ff ne prezintă datele experimentale obţinute pentru diferite

tipuri de frecare, expuse mai jos: frecarea suprafeţelor curate în lipsa

lubrifianţilor şi oxizilor 0,8...6.0; frecarea suprafeţelor oxidate

0,4...0,8; frecarea semilichidă în căzui prezenţei unui strat

monomolecular de lubrifianţi pe suprafaţă — 0,2…0,6; frecarea

semilichidă în cazul prezenţei unui strat polimolecular de molecule

polare 0,1...0,4; frecare hidrodinamică în cazul prezenţei unui strat de

molecule nepolare 0,008…0,02; frecarea hidrodinamică în cazul

Fig. 7.5

250

prezenței unei faze volumetrice polare 0,0001…0,001.

Pentru calculul mecanismelor, care lucrează în diferite regimuri și

tipuri de frecare, o importanță mare are dependența forței de frecare de

viteza av a mișcării relative a suprafețelor care se freacă.

Generalizarea datelor experimentale permite folosirea pentru

diferite condiții a următoarelor relații principale:

- forța de frecare fF nu depinde de viteza de alunecare xva

(fig.

7.5, a): ;Nff FfF

- forța de frecare vâscoasă fF depinde liniar de viteza de alunecare

x (fig. 7.5, b): ;xkFf

- forţa de frecare uscată fF depinde liniar de viteza de alunecare x,

dar posedă o ramură descendenta (1) şi ascendentă (2) a caracteristicii

faţă de viteza limită lv (fig.7.5, c).

Căderea bruscă a forţei de frecare odată cu creşterea vitezei de

mişcare este caracteristică de obicei în zona vitezelor mici. Aceasta este

caracteristic, de exemplu, pentru utilajul tehnologic (deplasarea

suportului pe ghidaje, poziţionarea auto-operatorilor şi roboţilor). În

cazul caracteristicii de viteză brusc descendente a forţei de frecare se

înregistrează o mişcare neuniformă, o mişcare caracteristică în salturi.

Acest proces este însoţit de neuniformitatea avansurilor, reducerea

preciziei de prelucrare, imprecizia poziţionării. În legătură cu aceasta se

reduce productivitatea utilajului, creşte uzura ghidajelor şi sculelor,

scade calitatea suprafeţelor pieselor prelucrate la mașini unelte, apar

sarcini dinamice suplimentare în mecanismele de acţionare.

Pentru reducerea consecinţelor dăunătoare ale mişcării în salturi în

cazul vitezelor mici de deplasare sunt folosite diferite metode. Mai

frecvente sunt următoarele:

- folosirea descărcării (mecanice, pneumatice, hidraulice ş.a.)

pentru micşorarea presiunii normale;

- micşorarea coeficientului de frecare în cupla de frecare prin

folosirea fluoro-plastului (curba 3 în fig.7.6) în locul fontei (curba 1) şi a

bronzului (curba 2 ) , a lubrifiantului antipulsant (curba 4 ), folosirea

lubrifiantului hidrostatic;

-utilizarea în locul reazemelor glisante a ghidajelor de rostogolire.

251

Consumul de energie pentru

deplasarea internă a materialului

și disiparea energiei termice la

frecarea interioară se apreciază

prin capacitatea de amortizare

sau prin coeficientul de absorbție.

C o e f i c i e n t de a b s o r

b ț i e (sau histerezisul relativ)

se numește raportul energiei W,

disipate în timpul unei perioade a

oscilației armonice, la energia de

elasticitate maximă U : ./UW

Pentru metale coeficientul de absorbție la frecarea internă este foarte

mic (aproximativ 0,01 0,02 pentru oțel de diferite mărci) și la

proiectarea elementelor metalice frecarea interioară nu este luată în

considerare. Dar pentru materialele cu un număr molecular înalt (plastic,

cauciuc) coeficientul de absorbție are valori în limitele 0,1 1,0, adică

de 100 de ori mai mari decât pentru metale. Din această cauză la calculul

pieselor din cauciuc sau mase plastice este necesar a lua în consideraţie

pierderile prin frecare internă în material.

Frecarea internă în corpurile solide este folosită în special pentru

reducerea nivelului zgomotului în cazul sarcinilor dinamice sau vib-

ratoare prin înlocuirea materialelor metalice cu mase plastice, sau ma-

teriale compozite; micşorarea tensiunilor în construcţii care apar din

cauza vibraţiilor în jurul zonei de rezonanţă.

§ 7.2 Acțiunea forțelor în cuplele cinematice

cu considerarea frecării

În capitolul 5 a fost examinat calculul forţelor în mecanisme fără a

ţine cont de frecarea în cuplele cinematice. Prezenţa frecării schimbă

mărimea şi direcţia forţelor de acţiune. Conform principiilor mecanicii

teoretice, în cazul prezenţei frecării de alunecare forţa de interacțiune a

două corpuri în contact se abate de la normala comună la suprafeţele lor

cu unghiul de frecare. Tangenta unghiului de frecare este egală cu

coeficientul de frecare de alunecare:

.ff ftg (7.1)

Fig. 7.6

252

În paragraful prezent este făcută analiza forțelor în cuplele

cinematice cu considerarea frecării.

În cupla de translație forța ,12F aplicată elementului 1 din partea

elementului 2, se abate de la normala n – n și formează un unghi obtuz

f90 cu vectorul vitezei 12v a mișcării elementului 1 față de elementul

2 (fig. 7.7, a). După cum se observă din desen, componenta tangențială

12fF – forța de frecare, este orientată împotriva vitezei relative .12v Prin

aceasta se manifestă acțiunea de frânare în timpul frecării. Cele două

componente ale reacțiunii 12F sunt legate prin relația:

.1212 Nff FfF (7.2)

Modulul forței 12F și coordonata b a punctului de aplicare (punctul D)

nu sunt cunoscute și se calculează în timpul calculului cineto-static. Cele

expuse mai sus se referă și la forța 21F (în fig. 7.7, a nu este arătată),

aplicată elementului 2 din partea elementului 1, deoarece după legea a

III-a a lui Newton .1221 FF

Dacă în urma calculului obţinem ab (fig.7.7, b), aceasta înseamnă

că asupra elementului 1 acţionează nu una, ci două reacțiuni 12UF şi

,12WF necunoscute în modul (vezi §5.1). În urma fenomenului de frecare

aceste forțe deviază de la normală și formează cu vectorul vitezei 12v

unghiul .90 f Direcţiile acestor reacţiuni se intersectează în punctul

H. Direcţia rezultantei lor 12F trebuie să treacă prin punctul H şi D.

Rezultanta 12F formează cu vectorul 12v unghiul .90

Fig. 7.7

253

Dacă punctele D şi W coincid, atunci f și .012 UF Dar cu cât

mai departe de marginea orificiului de ghidare se găseşte punctul D (de

la punctul W ) , cu atât mai mare este unghiul . De aici rezultă că

acţiunea sumată de frânare a frecării apreciată prin componenta

tangentei ,sin1212 FFf în cupla de translaţie poate fi esenţială şi cu atât

mai mare, cu cât mai departe este situat punctul D de punctul W. E clar,

de asemenea, că cu cât este mai mică dimensiunea a cu atât este mai

aproape punctul H de axa orificiului, cu atât este mai mare unghiul .

Adică cu atât este mai mare unghiul adică cu atât este mai mare

frecarea în cupla de translaţie. Unghiul poate să fie cu mult mai mare

decât unghiul .f Toate acestea trebuie luate în consideraţie la

proiectarea cuplei de translaţie.

În cupla de rotaţie (fig. 7.8. a) reacţiunea 2112 FF (forţa 21F în

fig. 7.8, a nu este arătată), de asemenea, deviază de la normala n – n şi de

aceea trece nu prin centrul articulaţiei, ci după tangentă spre

circumferința, al cărei centru coincide cu centrul articulaţiei. Cercul care

se mărginește cu această circumferință se numeşte c e r c de

f r e c a r e. Raza lui este ,sin2/ ff D unde D este diametrul

arborelui (axa articulației). Deoarece unghiul de frecare f de obicei nu

depășește 6 – 7°, avem .sin fff ftg

De aceea putem considera

.)2/( ff fD (7.3)

Modulul forței 12F și poziția punctelor C și B, prin urmare și

direcția suportului forței ,12F determinată de unghiul , sunt

Fig. 7.8

254

necunoscute și se află din calculul forțelor.

Acţiunea forţei 12F (fig. 7.8, a ) poate fi înlocuită prin acţiunea

comună a forţei ,12F egală cu 12F şi aplicată în centrul articulaţiei şi

cuplului de forţe ],[ 1212 FF (fig. 7.8, b). Acest cuplu ],[ 1212 FF are sens

opus vitezei unghiulare 12 cu care elementul 1 se roteşte faţă de

elementul 2. Prin aceasta se exprimă acţiunea de frânare a frecării în

articulaţie. Cuplul de forţe ],[ 1212 FF aplicat elementului 1 din partea

elementului 2, îl vom numi moment de frecare în articulaţie, a cărui

valoare va constitui:

.1212 ff FM (7.4)

Este evident că .1221 ff MM Cupla de rotaţie poate fi executată

constructiv în formă de doi rulmenţi cu bile. Dacă rulmenţii sunt plasaţi

de ambele părţi ale planului, în care acţionează forţa F (fig. 7.9, a),

atunci reacţiunile în ambele lagăre sunt îndreptate în aceeaşi direcţie şi

pot fi înlocuite cu rezultanta egală cu suma lor aritmetică. După această

rezultantă se calculează momentul rezultant de frecare a ambilor

rulmenţi .1212 ff FM

Alt tablou vom avea, dacă lagărele se găsesc de aceeaşi parte a

planului, în care acţionează forţa F (fig. 7.9, b) (de exemplu, dacă roata

dințată este situată în consolă). În acest caz reacţiunile lagărelor sunt

îndreptate în direcţii opuse, iar rezultanta acestor reacțiuni se determină

prin diferența acestora (şi nu prin sumelor), în timp ce momentul comun

de frecare a ambilor rulmenţi este egal ca şi mai înainte cu suma

aritmetică a momentelor de frecare în fiecare rulment. Prin urmare,

momentul rezultant de frecare nu poate fi apreciat prin intermediul

Fig. 7.9

255

momentului forţei rezultante, deoarece în acest caz frecarea n-ar fi fost

luată în consideraţie complet. În cazul instalării lagărelor de aceeaşi

parte, calculul forţelor, ținând cont de frecare, trebuie efectuat

examinând separat reacţiunea fiecărui lagăr, şi nu putem înlocui ambele

reacţiuni prin rezultanta acestora.

Cupla cinematică superioară (fig.7.10) în mecanismul plan

permite două mişcări relative: elementele 1 şi 2 pot să alunece )( 12v şi să

se rostogolească unul pe altul )( 12 . De aceea şi frecarea în cupla

cinematică superioară se manifestă în două feluri: sub formă de frecare

de alunecare şi frecare de rostogolire. Efectul de frânare al frecării de

rostogolire (Mrost) în majoritatea cazurilor nu este mare şi, de aceea în

continuare nu-1 vom lua în consideraţie. Desigur că în cazul calculului

lagărelor de rostogolire, cercetării mişcării corpurilor grele pe role şi

transportoare cu role şi în alte probleme similare nu trebuie să neglijăm

frecarea de rostogolire. Însă aceste probleme se referă la domeniul

calculelor speciale, şi de aceea depăşesc limitele cursului prezent.

Frecarea de alunecare apare în cuplele superioare cinematice la fel

ca şi în cele inferioare. Forţa 12F aplicată elementului 1 din partea

elementului 2, se abate de la normală sub unghiul de frecare f și

formează cu vectorul vitezei relative 12v unghiul .90 f Unghiul f se

determină cu ecuaţia (7.1). Componenta tangenţială

12F – forţa de

frecare, este îndreptată în sensul opus vitezei relative 12v . În aceasta se

manifestă efectul de frânare al frecării. Modulul forţelor de interacţiune

2112 FF nu este cunoscut şi se află din calculul forţelor.

Dacă mișcarea relativă în cuplă cinematică superioară se reduce la

rostogolirea pură (adică 012 v ), atunci forța de frecare 12fF nu este egală

cu zero. În acest caz ea se numește f o r ț ă de f r e c a r e de r e p a o

s. Forța de frecare de repaus este subordonată relației ,Nfrfr FfF care

este valabilă pentru orice cuplă cinematică. Admițând o mică eroare, se

poate adopta ffr ff *. De aceea, pentru unghiul de frecare ,fr pe care în

caz de repaus se află reacțiunea, are loc următoarea relație ,ffr unde

ff arctgf – unghiul de frecare de alunecare. Dacă în timpul repaosului

* Vă amintim că coeficientul de aderență frf , strict vorbind, este puțin mai mare decât coeficientul

de frecare de alunecare .ff

256

frecarea nu se manifestă, atunci 0fr şi

reacţiunea este orientată după normală la

suprafaţa de contact.

După cum am menţionat mai sus

(§7.1), coeficientul de frecare depinde de

mai mulţi factori şi se determină pe cale

experimentală. De aceea în îndrumare sunt

expuse numai valorile medii ale

coeficienţilor de frecare lf în legătură cu

care rezultatele calculelor conţin o

oarecare eroare.

Trebuie să avem în vedere, de asemenea, că valoarea coeficientului

de frecare ,ff folosită în formulele de calcul, depinde de soluţionarea

constructivă a cuplei cinematice şi se poate deosebi esenţial de valoarea

obţinută prin experimente fizice asupra modelelor plane. Aşadar, dacă

cupla de translaţie are formă de pană în secţiunea perpendiculară pe

vectorul vitezei relative (de exemplu, cupla cinematică formată de

păpuşa mobilă 1 şi ghidajele suportului 2 ale strungului (fig. 7.11)),

atunci în formula FfF ff 12 folosim valoarea teoretică a coeficientului

de frecare, calculat d up ă f o r m ul a ).2/sin(/ lf ff

În cupla de rotaţie valoarea teoretica ff substituită în ecuaţia (7.3)

depinde de gradul de rodaj al elementelor care formează cupla. Pentru

elementele nerodate obţinem ,57,1 lf ff iar pentru cele rodate –

.27,1 lf ff

În cupla elicoidală corelaţia între ff şi

lf este determinată de forma

profilului filetului (vezi Reshetov D.N., Detali mashin. M., 1974).

Fig. 7.10

Fig. 7.11

257

Trebuie să avem în vedere că toate cele expuse despre acțiunea

forţelor în cuplele cinematice sunt viabile în cazul lipsei lubrifierii sau la

lubrifierea limitrofă. În cazul lubrifiantului lichid o influenţă esenţială o

are regimul de viteză în cupla cinematică.

§7.3 Calculul forţelor în mecanisme

cu considerarea frecării

Etapele de bază ale calculului

forțelor cu considerarea frecării

sunt aceleași ca și ale calculului în

care nu se ține cont de frecare (vezi

§5.1). Aceasta se explică prin

faptul că, conform analizei acțiunea

forțelor în cuplele cinematice,

efectuate în §7.2, considerarea

frecării nu modifică numărul

necunoscutelor în cuplele

cinematice. Prin urmare, grupele de

structură Assur și în cazul

considerării frecării, își păstrează

determinarea statică.

Din această cauză calculul

forţelor se face pe grupe de

structură (Assur), folosind ecuaţiile

cineto-statice (5.1) – (5.3), în care

trebuie să fie incluse forţele de

frecare şi momentele de frecare.

Însă ultima circumstanţă în

majoritatea cazurilor complică

mult calculele. Pentru a le simplifica, I.I. Artobolevski a propus metoda

aproximațiilor succesive. Vom arăta cum se efectuează acest calcul pe

exemplul mecanismului manivelă-piston (vezi fig. 5.8).

Pentru calculul forţelor în care se ţine cont de frecare în

componenţa datelor iniţiale trebuie să introducem suplimentar

coeficienţii de frecare în cuplele cinematice: .,, 34, ffCfBfA ffff În afară de

aceasta, din calculul cinematic al mecanismului trebuie aflate direcţiile

vitezelor relative în toate cuplele cinematice, adică 232114 ,, și .34

Fig. 7.12

258

Amintim că calculul forţelor mecanismului manivelă-piston cu ne-

glijarea frecării sau în prima aproximaţie a fost efectuat deja (vezi §5.3)

pentru determinarea forţelor de interacţiune în toate cuplele cinematice,

adică forţele 232114 ,, FFF și .34F

Acum efectuăm calculul în a doua aproximaţie. Pentru aceasta după

diametrele date ale articulaţiilor A, B și C calculăm razele cercurilor de

frecare în acestea ,)2/( fAAfA fD ,)2/( fBBfB fD ,)2/( fCCfC fD [ecuația

(7.3)], iar apoi şi momentele de frecare în aceste articulații: ,1414 fAf FM

,2121 fBf FM fCf FM 2323 [ecuaţia (7.4)]. Calculăm, de asemenea, forţa de

frecare în cupla de translaţie 3–4: ,343434 Nff FfF unde .3434 FFN

Calculul în a doua aproximaţie se efectuează în aceeași ordine ca

prima aproximaţie. Deci, ca şi mai înainte, începem de la grupa

structurală 2–3 (fig. 7.12, a). Elementele ei sunt solicitate de forțele şi

momentele: ,2iF ,2iM 3iF și forţa motoare .3F Asupra elementelor 2 și 3

acționează, de asemenea, și momentele de frecare 2321, ff MM și

,2332 ff MM forța de frecare 34fF calculate anterior în articulația C (în

fig. 7.12, a nu sunt arătate). Forța și momentele de frecare sunt

îndreptate în sensul vitezelor relative corespunzătoare. Necunoscute

sunt modulul și direcția forței ,21F modulul componentei normale 34NF

şi braţul ,b modulul și direcția forțelor 3223 FF în articulaţia C (fig.

7.12, b).

Suma proiecţiilor forţelor aplicate la elementele 2 şi 3 pe axa x este

egală cu zero .03,2

X

În formă desfășurată:

.03433221 xxixxix FFFFF (7.5)

Aici .3434 fFF Din ecuaţia (7.5) calculăm .21xF Amintim că ecuaţia

(7.5), ca şi următoarele ecuaţii ale proiecţiilor şi momentelor, este scrisă

în formă algebrică. De aceea valorile numerice ale proiecţiilor şi

momentelor trebuie substituite în toate ecuaţiile, respectând strict

semnele acestora.

Alcătuim ecuaţia proiecţiilor pe axa x a forţelor aplicate la

elementul 3, 3

0X sau

,0343332 xxixx FFFF (7.6)

din care calculăm .32xF

259

Proiecţia componentei yF23 o calculăm din ecuaţia momentelor

pentru elementul 2 (fată de punctul B) 2

:0BM

0)()()( 2321222323 ffiiBxByB MMMFMFMFM (7.7)

Proiecţia căutată ).cos/()( 22323 BCyBy lFMF În ecuaţia (7.7)

,sin)( 22323 BCxxB lFFM .sincos)( 2222222

BSxiBSyiiB lFlFFM

Suma proiecţiilor forţelor aplicate la elementul 2 pe axa y este egală

cu zero: 2

.0Y De aceea:

,022321 yiyy FFF (7.8)

de unde aflăm .21yF

Proiecţia yF34 a componentei normale

34NF o aflăm din ecuaţia

proiecțiilor pe axa y a forţelor aplicate la elementul 3, 3

.0Y De aceea:

.03234 yy FF (7.9)

Alcătuim ecuația momentelor pentru elementul 3, 3

:0CM

,0)()( 323434 ffCNC MFMFM (7.10)

de unde, se determină ),( 34NC FM după care determinăm și brațul .b

După proiecțiile forțelor determinăm modulele lor ,21F ,23F 34F și

coordonatele lor unghiulare ,21F 23F (vezi §5.3).

Trecem la calculul forțelor mecanismului de bază (fig. 7.12, b). La

elementul mobil 1 se aplică următoarele forțe și momente: forța

determinată ,2112 FF momentul principal de inerție ,1iM momentele de

inerție 14fM și 2112 ff MM în articulațiile A și B. Sunt necunoscute

momentul rezistent util ,1M precum şi direcţia reacţiunii în cupla

cinematică 1–4 (în fig. 7.12, c nu este arătată).

Momentul rezistent util 1M îl determinăm din ecuaţia momentelor

1

:0AM

.0)( 14121112 ffiA MMMMFM (7.11)

Valoarea 1M va fi mai mică decât ,1M aflată din prima aproximaţie

efectuată, fără a ţine cont de frecare. Acest rezultat este evident,

deoarece în cazul prezenţei frecării forţa motoare dată 3F învinge o

rezistenţă utilă mai mică decât aceea, pe care ar învinge-o, dacă n-ar fi

fost frecare.

260

Proiecţiile reacţiunii 14F le aflăm din ecuaţiile :0,011

YX

;01214 xx FF (7.12)

,01214 yy FF (7.13)

iar apoi – modulul forţei 14F şi coordonata unghiulară a acesteia .14F

În urma calculului forţelor, efectuat în a doua aproximaţie, am

obţinut valorile forţelor ,14F ,21F ,23F ,34NF care acţionează în cuplele

cinematice şi ale braţului .b Pentru aceasta au fost folosite ecuaţiile (7.5)

– (7.13), care sunt în fond ca şi ecuaţiile (5.16) – (5.24).

Conform valorilor forţelor obţinute în a doua aproximaţie, putem

afla momentele de frecare în articulaţii şi forţa de frecare în cupla de

translaţie 3–4, iar apoi se poate efectua calculul în aproximaţia a treia,

folosind ecuaţiile similare cu (7.5) – (7.13). În rezultat, vom obţine

valorile 34232114 ,,, NFFFF și b mai exacte şi mai apropiate de

rezultatul final. Procesul aproximaţiilor succesive îl putem continua şi

mai departe, în funcţie de gradul necesar de precizie al calculului. Însă

experienţa arată, că este suficientă aproximaţia a doua.

Metoda aproximaţiilor succesive poate fi folosită când mecanismul

nu este supus autofrânării. În acest caz este asigurată o convergenţă bună

a calculului cu precizia cerută. La autofrânare metoda aproximaţiilor

succesive este inaplicabilă principial. Fenomenul de autofrânare va fi

examinat în §7.4.

§7.4. Pierderile de energie prin frecare.

Randamentul mecanic

Energia, furnizată mecanismului sub formă de lucru mA al forțelor

motoare și momentelor de-a lungul unui ciclu energetic, este consumat

în timpul efectuării lucrului util uA , adică a forțelor și momentelor de

rezistență utile, precum și pentru efectuarea lucrului fA legat de

învingerea forțelor de frecare în cuplele cinematice și forțelor de

rezistență a mediului: .fum AAA Valorile uA și fA sunt substituite în

această ecuație și în cele ulterioare după valoarea lor absolută.

R a n d a m e n t u l m e c a n i c este raportul

.m

u

A

A (7.14)

261

După cum vedem, randamentul arată ce parte din energia mecanică

primită de mecanism este consumată util la efectuarea lucrului, pentru

care maşina este destinată (de exemplu, pentru prelucrarea tehnologică a

pieselor, producerea energiei electrice, ridicarea greutăţilor ş.a.).

Raportul mf AA / se numeşte c o e f i c i e n t u l

p i e r d e r i l o r m e c a n i c e, care caracterizează ce parte din

energia mecanică mA transmisă maşinii, ca rezultat al diferitelor feluri de

frecare, se transformă în ultimă instanţă în căldură şi se pierde fără rost,

disipându-se în spaţiul ambiant. Deoarece pierderile prin frecare sunt

inevitabile, întotdeauna .0 Între coeficientul pierderilor mecanice şi

randament există o legătură evidentă .1 În condiţiile actuale, când

consumul cu economie a energie este una din problemele primordiale ale

economiei naţionale, randamentul şi coeficientul pierderilor sunt

caracteristicile principale ale mecanismelor maşinilor.

În ecuaţia (7.14) în locul lucrului mA şi

uA efectuate pe parcursul

unui ciclu, putem substitui valorile medii în curs de un ciclu ale puterilor

corespunzătoare

./ mu PP (7.15)

Pentru mecanismele diferitelor transmisii (prin roţi dinţate, prin

curea ş.a.), care au un arbore conducător (indicele cd) şi altul condus

(indicele cs) ecuaţia (7.15) capătă forma

.uM

M

M

M

cd

cs

cdcd

cscs

Dacă de la un mecanism în regim staţionar vom elimina sarcina utilă

),0( uA acest regim se numeşte cursă (funcţionare) în gol. Este evident că

,1,0 fgdeoarece toată energia furnizată mecanismului în timpul

funcţionării în gol se consumă numai pentru înlăturarea pierderilor

proprii ale acestuia. De aici reiese că .01;10

Accentuăm că randamentul și coeficientul de pierderi se calculează

numai atunci, când mecanismul se află în mișcare staționară. Dacă

aceasta variază periodic, randamentul și coeficientul pierderilor

reprezintă valorile medii ale caracteristicilor energetice ale

mecanismului pe durata unui ciclu.

De obicei, randamentul unor mecanisme se determină pe cale

experimentală și este indicat în îndrumare. Formulele pentru calculul

262

randamentului unui sistem de mecanisme legate în serie sau paralel

(vezi: [1,2,3,4]).

Examinăm cum se determină randamentul unui mecanism oarecare

pe cale analitică, de exemplu, mecanismul cu pană dublă (fig. 7.13, a).

Pana 1 este solicitată de forța ,1F care o deplasează în jos. În acest caz

pana 2 se va deplasa spre dreapta, învingând rezistența arcului – aceasta

va fi cursa de lucru a mecanismului dat. Deplasările penelor sunt legate

vectorial prin relația 2112 sss (fig. 7.13, b), de unde rezultă:

.12 tgss (7.16)

În timpul cursei de lucru asupra penei 1 în afară de forța motoare 1F

acționează reacțiunile 12F și ,13F care din cauza frecării formează cu

deplasările relative 12s și

113 ss unghiul .90 f Deoarece

randamentul se determină cu condiția obligatorie că elementele se mișcă

uniform, forțele de inerție sunt egale cu zero. La determinarea

randamentului nu sunt considerate, de asemenea, forțele de greutate ale

elementelor.

Fig. 7.13

263

După egalarea forțelor care acționează asupra penei 1,

012131 FFF construim poligonul închis de forțe (fig. 7.13, c) pentru

care, folosind teorema sinusurilor, scriem: ),2sin(/)90sin(/ 112 ff FF

de unde

.)2sin(

cos112

f

fFF

(7.17)

Asupra penei 2 acţionează forţa ,1221 FF forța rezistentă utilă şi

reacţiunea 2F (fig. 7.13, a) legate prin ecuaţia .022321 FFF Din

poligonul forţelor (fig. 7.13, c) după teorema sinusurilor aflăm:

.cos

)2cos(212

f

fFF

(7.18)

Randamentul pentru cursa de lucru va constitui: ),/( 1122 sFsFcl

sau, folosind ecuaţiile (7.16) – (7.18), obţinem:

).2(/ fcl tgtg (7.19)

Adăugăm că pentru o cuplă elicoidală cu alunecare şi pentru

angrenajul melcat, randamentul este exprimat cu o expresie similară

),2(/ ftgtg unde este unghiul de înclinare a spirelor şurubului

sau melcului.

Să presupunem că cursa directă s-a terminat, penele 1 şi 2 s-au

oprit, apoi sub acţiunea forţei 2F au început mişcarea de mers în gol. În

acest caz îşi va schimba direcţia şi fluxul de energie: forţa 2F va deveni

motoare, iar forţa 1F – forţa rezistenţei utile (fig. 7.13, d). Triunghiul

deplasărilor la mişcarea de retur este arătat în fig. 7.13, e: direcţiile

tuturor deplasărilor s-au inversat. De aceea forţele de frecare in cuplele

cinematice, de asemenea, își vor schimba direcţiile. Ținând cont de

aceasta, construim poligonul forţelor la mişcarea de mers în gol (fig.

7.13, f). Nu este greu de observat că în ecuaţii semnele unghiurilor de

frecare se inversează.

Notam randamentul pentru mişcarea de mers în gol:

)./( 2211 sFsFmg Randamentul poate fi determinat în felul următor: luăm

valoarea inversă cl [vezi expresia (7.19)] şi schimbăm semnul de lângă

unghiul de frecare în semn opus, adică: ./)2( tgtg fmg

264

Dacă vom realiza mecanismul cu unghiul ,2 f atunci cursa de

lucru va fi posibilă: forța 1F va deplasa pana 1 în jos, iar pana 2 se va

deplasa spre dreapta. Mersul în gol va fi imposibilă. Dacă ,2 f atunci

pana 1 la mișcarea în gol se va bloca între pana 2 și peretele vertical al

suportului, astfel forța motoare ,2F cât de mare nu ar fi, nu va putea

realiza mișcarea de retur, chiar dacă vom elimina de pe pana 1 sarcina

utilă 1F – va apărea așa numitul fenomen de autofrânare. Mișcarea în

gol va fi posibilă dacă transformăm forța ,1F de asemenea, în forță

motoare orientând-o în sus. În acest caz ea va împinge pana 1 în sus,

ajutând forța 2F să realizeze mersul în gol.

Autofrânarea mecanismului la mersul în gol este folosită pe larg în

mecanismele cu pene, în dispozitive de strângere, la cricurile cu șurub

ș.a.

Dacă vom defini valoarea

unghiului în intervalul

,2902 ff atunci fa vi

posibilă atât mișcarea la cursa de

lucru cât și la mersul în gol. O parte

din energia livrată la pana 1 la cursa

de lucru, îi va fi returnată la

mișcarea în gol, o altă parte

considerabilă de energie va fi

consumată de frecare. Această

proprietate a mecanismelor cu pană este folosită pe larg în diferite

dispozitive de absorbţie, de exemplu, în mecanismele de cuplare

automată a locomotivelor şi vagoanelor.

Pentru f 290 cursa de lucru a mecanismului este imposibilă.

În acest caz pana 2 se va bloca între pana 1 şi planul orizontal de reper al

suportului. Forţa motoare ,1F cât de mare n-ar fi, nu poate produce

mişcare la cursa de lucru a mecanismului, chiar dacă de pe pana 2 vom

elimina sarcina utilă .2F Se produce autofrânarea în timpul cursei de

lucru. Mecanismul în acest caz este absolut inapt pentru lucru şi nu poate

fi utilizat.

Pentru mecanismul care se află în stare de autofrânare, randamentul

îşi pierde sensul fizic, fiindcă în acest caz mecanismul este nemişcat şi

forţele nu efectuează nici un lucru. Dacă însă vom calcula formal

Fig. 7.14

265

randamentul la autofrânare, vom obţine ;0a prin valoarea absolută a

lui a este caracterizată "fiabilitatea" autofrânării.

Apariţia autofrânării este condiţionată de prezenţa obligatoare a

frecării. Cu cât frecarea este mai slabă (cu cât sunt mai mici ff şi

f ), cu

atât mai îngustă va fi zona autofrânării. În lipsa frecării autofrânarea

mecanismului este imposibilă. Pentru un astfel de mecanism ideal

1 mgcl în diapazonul unghiurilor (afară de 0 şi 90°).

În încheiere analizăm ecuaţia (7.19). Din aceasta rezultă că

coeficientul de frecare ,ff care determină valoarea unghiului de frecare

,f exercită o influenţă mare asupra randamentului. Această dependență

este arătată în fig. 7.14 (pentru 30 ) pentru diferite tipuri de frecare și

unsoare: I – frecare fără lubrifiant %;40...5 II – ungere mixtă

%;70...50 III – ungere hidrodinamică și hidrostatică %;97...90 IV –

frecare cu rostogolire* %.99...98

Exemplul examinat arată că valorile înalte ale randamentului pot fi

obţinute numai la (înlocuirea frecării de alunecare prin frecarea de ros-

togolire sau în condiţiile ungerii lichide perfecte. De aceea în

construcţiile moderne ale maşinilor-unelte cu comandă numerică, în

maşini-unelte de precizie şi în alt utilaj tehnologic, unde se cere o înaltă

precizie poziționare şi pierderi mici la frecare, o răspândire largă au

căpătat cuplele elicoidale de rostogolire cu bile sau transmisiile

hidrostatice șurub-piuliță. În primul caz prin canalele elicoidale ale

șurubului și piuliței se rostogolesc bile, iar în cazul al doilea între

suprafețele de contact ale șurubului și piuliței se realizează un strat de

ulei, presiunea căruia se menține la un nivel corespunzător.

* La frecarea de rostogolire trebuie de luat în considerație coeficientul de frecare redus redff și

unghiul de frecare redus .redf

redf farctg

266

C a p i t o l u l 8

CALCULUL UZURII ELEMENTELOR

CUPLELOR CINEMATICE

În procesul exploatării mecanismului maşinii sau aparatului are loc inevitabil

uzura cuplelor cinematice ale acestuia. Uzura reduce durabilitatea pieselor şi precizia mecanismului, măreşte sarcinile asupra lagărelor, vibraţiile şi zgomotul. Uzura

considerabilă este deseori cauza pierderii capacităţii de funcţionare a mecanismului şi

poate duce chiar la deteriorarea pieselor şi ieşirea din funcţiune a maşinii. De aceea la

proiectarea mecanismului este necesar să ştim forma şi mărimea suprafeţei de frecare, să calculăm epura uzării, pentru a alege corect materialele de construcţie şi lubrifianții. Este

important, de asemenea, să detectăm acele piese şi ansambluri, care trebuie să le

schimbăm sau să le reparăm în primul rând. Astfel, calculul uzurii aşteptate, a cărei

metodă de efectuare este expusă în acest capitol, are scopul să asigure resursele şi fiabilitatea mecanismului maşinii sau aparatului.

§ 8.1 Criteriile de apreciere a uzurii

Tipurile uzurii. U z u r a este un proces de distrugere şi de

înlăturare a materialului de pe suprafaţa corpului solid, care se manifestă

prin schimbarea treptată a dimensiunilor şi formei corpului. În acest caz

se pot schimba şi proprietăţile straturilor superficiale ale materialului.

T i p u r i l e p r i n c i p a l e ale u z u r i i sunt ale

următoarele: mecanică – rezultatul acţiunilor mecanice; mecanică prin

coroziune – acţiunea mecanică este însoţită de interacţiunea chimică sau

electrică cu mediul; abrazivă – rezultatul aşchierii suprafeţei de către

corpusculele dure aflate în stare liberă sau fixată; erozivă – rezultatul

acţiunii unui flux de lichid sau gaz; de oboseală – ruperea particulelor

materialului stratului superficial în prezenţa unei sarcini ce variază

periodic (acest fel de uzură este caracteristic pentru cuplele cinematice

superioare); uzură prin gripare – rezultatul aderenței, smulgerii

materialului din adâncime, transferării acestuia de pe o suprafaţă de

frecare pe alta (griparea sau solidificarea se caracterizează prin

încălzirea locală puternică ca rezultat al vitezelor de alunecare şi

presiunilor specifice mari; acest fel de uzură este caracteristic pentru

suprafeţele necălite ale cuplei cinematice din materiale omogene).

Uzura se deosebeşte şi după caracterul deformării straturilor

superficiale (uzura în contact elastic, plastic sau în timpul

micro-aşchierii). Modelul fizic al uzurii este următorul: în timpul

267

alunecării micro-asperității în fața ei apare un valț frontal al materialului

deformat, care se află sub acțiunea eforturilor de comprimare (fig. 8.1,

a). După micro-asperitate, ca rezultat al forțelor de frecare, materialul se

întinde. Prin urmare, materialul este supus unei deformații alternative, a

cărei repetare duce la acumularea în acesta a deteriorărilor

microstructurii și desprinderii particulelor materialului. Experiențele

arată că materialul se distruge cu trecerea timpului, numai după un

număr oarecare de cicluri de lucru (nc).

Etapele uzurii. De obicei deosebim două etape ale uzurii: 1)

rodajul suprafețelor de rodare; 2) uzura normală (de exploatare), după

rodaj în locul rugozității inițiale a suprafețelor obținute la prelucrare, se

formează o rugozitate nouă, care în continuare nu se modifică esențial

[10]. Cu alte cuvinte, în procesul uzurii microrelieful inițial (tehnologic)

al suprafeţei se transformă în microrelief de exploatare cu schimbarea

parametrilor rugozităţii, de exemplu, a devierii medii aritmetice a

profilului (fig.8.1, b ) .

Pentru micşorarea timpului rodajului este necesar să determinăm,

conform datelor experimentale, parametrii rugozităţii stabilite şi să

alegem un așa fel de prelucrare tehnologică a suprafeţei de frecare, care

este mai apropiată de rugozitatea stabilită. Folosirea unei suprafeţe

iniţiale mai netede, în comparaţie cu cea de exploatare (cu valori mai

mici ale lui Ra la etapa rodajului, linia întreruptă în fig. 8.1, b ) , de obicei

nu este convenabilă din cauza creşterii costului execuţiei. În acest caz se

poate mări şi timpul de rodaj.

Aprecierea cantitativă a uzurii. Rezultatul uzurii în unităţi de

lungime, volum sau masă se numeşte u z u r ă. Deosebim uzură limită

şi uzură admisibilă. U z u r a l i m i t ă este uzură care corespunde

Fig. 8.1

268

stării limită a piesei ce se uzează (sau a unei părţi). U z u r a

a d m i s i b i l ă este valoarea uzurii, în urma căreia piesa îşi

păstrează capacitatea de funcţionare.

Uzura limită a elementelor cuplelor este determinată prin diferite

criterii, dintre care cele mai importante sunt: a) pierderea, ca rezultat al

uzurii, a capacității de funcționare a mecanismului (deteriorarea

pieselor), pierderea durității, griparea, pierderea preciziei necesare; b)

micșorarea inadmisibilă a caracteristicilor de exploatare ale mașinii

(scăderea calității pieselor, mărirea vibrațiilor și zgomotului din cauza

jocurilor prea mari care apar în cuplele cinematice ș.a.).

În timpul uzurii în prezența lubrifiantului, când grosimea stratului

de lubrifiant, care separă suprafețele de frecare, depășește suma

asperităților, uzura este destul de nesemnificativă.

Reprezentarea grafică de repartizare a valorilor uzurii pe

suprafețele care contactează sau pe o secțiune considerată poartă

denumirea de e p u r a u z u r i i.

Uzura este apreciată prin grosimea stratului materialului deteriorat

(uzura liniară, fig. 8.1, a) sau prin masa acestuia.

V i t e z a u z u r i i este determinată de valoarea uzurii pe

unitate de timp

,/ nal

mvkpdtd

unde k este coeficientul de uzură (numeric este egal cu când 1 alvp

), p – presiunea specifică în punctul cercetat al suprafeţei de frecare; alv –

viteza de alunecare (viteza relativă) în punctul cercetat al suprafeţei de

frecare; m – exponentul puterii, care depinde de felul de interacţiune a

suprafeţelor în contact (contact elastic, contact plastic sau

micro-aşchiere); valoarea lui variază de la 1 până la 3; n – exponentul

puterii depinde de felul de uzură. Pentru elementele rodate ale cuplelor

cinematice obţinem ,1m 1n şi atunci

./ alkpvdtd (8.1)

Sensul fizic al formulei (8.1) poate fi explicat pe baza exemplului

următor (fig. 2.1, a). Fie cursorul cu dimensiunile ba apăsat pe ghidaj

de forţa ,NF coeficientul de frecare de alunecare ,f presiunea specifică

în orice punct al suprafeţei de frecare ./ constabFp N

Lucrul forţei de frecare fF se consumă la distrugerea şi

desprinderea materialului şi degajarea căldurii, de aceea se poate

269

considera că viteza uzurii este proporţională cu lucrul forţei de frecare în

unitate de timp, adică cu puterea de frecare :fP

,falfalN cPvcFfvFabf

k

dt

d

unde )/(abfkc – este coeficientul de proporţionalitate.

În cazul general presiunea specifică p în diferite puncte ale

suprafeţei de frecare este diferită, însă o astfel de explicaţie a formulei

(8.1) o putem face pentru orice suprafaţă elementară cu centrul în

punctul dat al suprafeţei de frecare.

I n t e n s i t a t e a u z u r i i – uzura care revine la o unitate

din drumul de frecare: ,/ dsds unde s – deplasarea relativă sau

drumul de frecare. Prin urmare:

.alsvdt

ds

ds

d

Valorile lui și s de regulă, sunt determinate pe cale

experimentală după valorile medii ale lui p și ,alv apoi după relația (8.1)

se determină coeficientul de uzură k. Astfel, de exemplu încercarea

epruvetelor la regimuri medii de exploatare ( ,1016 5 Papm

smv mal /2)( ) a demonstrat că, în perioada de timp de lucru htl 100

uzura medie a fost ,2 m calculată cu ajutorul formulei (8.1)

)./(1025,6)21016/(102)/( 1952 smPahmpvk al

În îndrumarul tehnic [11] sunt reprezentate datele experimentale

asupra coeficienților și s (în îndrumar în loc de s este folosită

notația J).

Intensitatea uzurii s se poate schimba în intervale foarte mari

aproximativ de la 1210s (uzura m001,0 la 1 km din drumul de frecare,

adică este o mărime foarte mică) până la 310s (uzura 1 mm la 1 m din

drumul de frecare, adică o mărime foarte mare).

Proprietatea materialului de a opune rezistenţă uzurii în anumite

condiţii de frecare, apreciată printr-o valoare inversă vitezei sau

intensităţii uzurii, se numeşte r e z i s t e n ţ ă la u z u r ă.

Rezistenţa la uzură depinde de duritatea materialelor, proprietăţile lor

elastice, regimul de lucru (sarcina, viteza, temperatura), condiţiile

exterioare (ninsoarea, mediul ambiant), particularităţile constructive ale

ansamblului de frecare.

270

După valoarea lui s deosebim 10 clase de rezistenţă la uzură a

materialelor, pe care le putem împărţi în 3 grupe principale, în funcţie de

tipul interacţiunii de contact a suprafeţelor de frecare: clasele 0 – V (712 10...10 s ) – rezistenţa înaltă la uzură (ca rezultat al deformărilor

elastice); clasele VI – VII ( 56 10...10 s ) – rezistenţa medie la uzură (în

condiţiile deformării plastico-elastice); clasele VIII – IX ( 34 10...10 s )

– rezistență forate mică la uzură în condiţiile micro-așchierii).

Astfel, de exemplu, după datele experimentale [11] pentru fusele de

bielă ale arborilor cotiţi ai motoarelor de automobil 1112 104...105 s

(rezistenţă înaltă la uzură în condiţiile contactului elastic), iar pentru

dintele cupei de excavator (oţel 45) 34 10...10 s (rezistenţa scăzută la

uzură la micro-aşchiere).

În ultimul timp o atenţie mare se acordă materialelor organelor de

maşini, mecanisme şi aparate destinate să lucreze în nodurile de frecare

fără un mediu lubrifiant special: materiale pe baza polimerilor (rulmenţi,

roţi dinţate, came ş.a.), materiale metalo-ceramice (piesele nodurilor de

frecare, care funcţionează la temperaturi înalte) etc.

Pentru majorarea rezistenței la uzură a suprafeţelor de frecare a

pieselor noi pe lângă acoperirea galvanică se foloseşte pe larg

prelucrarea lor termică: călirea superficială folosind încălzirea cu flacăra

de gaz (pentru durificarea superficială a roţilor dinţate de oţel, melcilor,

fuselor arborilor cotiţi ş.a.). călirea cu curenţi de înaltă frecvenţă (arborii

camelor, roţile, fusele arborilor, bucşele cilindrilor, suporturile

strungurilor). În acest scop se foloseşte prelucrarea suprafețelor prin

deformarea plastică, în procesul căreia crește duritatea straturilor

superficiale şi se obţine gradul necesar de rugozitate a suprafeţelor

(rodajul şi rularea suprafeţelor cilindrice şi plane, broșarea, calibrarea

etc.).

Se iau în considerație și posibilitățile de înlocuire a pieselor în

timpul reparației mașinii: reparația se simplifică și se ieftinește, dacă

piesa uzată este simplă și se înlocuiește ușor (de exemplu bucșa sau

cuzinetul).

În unele cazuri este mai convenabil nu înlocuirea piesei uzate, dar

majorarea duratei de funcționare a piesei prin creșterea suprafețelor de

contact (unde are loc frecarea) folosind încărcarea prin sudură sau gaz,

sau sudură cu arc electric, metalizarea cu gaze sau electrică, injectarea

plasmei (pentru aplicarea compușilor refractari) și alte metode.

271

Uzura în caz general (pentru p și alv variabile) se calculează cu

formula

lt

aldtpvk0

. (8.2)

Pentru simplificarea calculului în mecanismele cu un grad de

mobilitate este raţional de transformat expresia (8.2), introducând

coordonata generalizată şi viteza generalizată . Atunci uzura

pentru un ciclu de lucru pentru care ,c

c

dvpk alc

0

,)/( (8.3)

unde /)(/ alal vv – analogul vitezei de alunecare (funcţia de trans-

mitere dpds / ) în punctul examinat al elementului cuplei cinematice.

Dacă numărul ciclurilor de lucru este ,cn atunci uzura

.ccn ( 8 . 4 )

După formula (8.4) putem calcula numărul ciclurilor de lucru cu

valoarea cunoscută a uzurii limită, care este necesară la calcularea

resursei de funcţionare a maşinii.

§8.2. Calcului uzurii elementelor

cuplelor cinematice inferioare şi superioare

Pentru alegerea corectă a materialelor de construcţie şi a

lubrifianţilor, locurilor de ungere şi calculul uzurii, examinăm forma şi

dimensiunile suprafeţei de frecare şi repartizarea uzurii pe aceasta pentru

diferite cuple cinematice în funcţie de forma elementelor şi condiţiile de

lucru ale cuplei.

Cupla de rotaţie (fig.8.2). Condiţiile de lucru ale cuplei: forţa

,21 constFn

,1 const .02 Atunci const1 (fusul arborelui 1 se va uza

uniform), iar uzura 2 depinde de coordonata unghiulară a punctului

examinat; )(22 – lagărul se va uza neuniform. Peste un număr

oarecare de cicluri de lucru centrul arborelui se va deplasa din poziţia O

în ,O deci uzura bucşei 2 în direcţia forţei n

F 21 va fi în toate punctele

suprafeţei de lucru în intervalul unghiului 90max una şi aceeaşi şi

egală cu ,max2 OO iar pe normala la suprafaţă de frecare – diferită,

variind după legea cosinusului .cosmax22

272

Uzura sumară a cuplei [10]: .21

Deoarece constval pentru toate punctele, atunci şi legea de

distribuţie a presiunii va fi cosinusoidală [4]: .cosmax pp Pentru a

determina maxp examinăm o porţiune elementară pe bucşa rulmentului cu

lăţimea rd și lungimea .b Forţa elementară în direcţia normalei la

suprafaţa de frecare:

.cosmax12 dbrppbrddFn

Forţa n

F 21 este echilibrată de proiecţiile verticale al forţelor n

Fd 12*,

de aceea

.cos22/

0

2

max21

dbrpFF n

Integrala 2/

0

2cos

d se calculează în felul următor:

;1cos2sincos2cos 222

;2/)12(coscos2

.4

]2sin2

1[

2

1)12(cos

2

1cos 2/

0

2/

0

2/

0

2

dd

Deci, ,4/2 max brpF de unde )./(2max brFp

* Proiecțiile verticale ale forței de frecare fFd în zonele ...0 și ...0 se anulează reciproc și

nu se iau în considerație în ecuație.

Fig. 8.2 Fig. 8.3

273

Legea de distribuție a presiunii, care trebuie cunoscută pentru calculul uzurii pe un ciclu de lucru după formula (8.3), are forma

,cos)]/(2[ brFp (8.5)

unde este coordonata unghiulară a punctului examinat.

În cazul general, când forţa F este variabilă, formula (8.5) trebuie să fie folosită pentru fiecare poziţie momentană. De aceea în cazul general (fig.

8.3) pentru cupla de rotaţie a mecanismului cu coordonata generalizată

pentru calcularea uzurii unuia din elementele cuplei 1–2 (de exemplu a elementului 1 într-un punct oarecare a1) trebuie să cunoaştem în sistemul fix

de coordonate Oxy coordonata unghiulară a elementului 1 )(11 și

coordonata unghiulară )(2121 a vectorului forței ,21

n

FF care solicită

elementul 2, iar în sistemul mobil O1x1y1, legat de elementul 1, – coordonata

unghiulară a punctului examinat 1 a punctului examinat a1

*.

Presiunea p în punctul a1 după formula (8.5): ,cosmax pp

unde ),/(2max brFp );( 1121 totodată, dacă ,2/ atunci 0p

.

Viteza de alunecare în punctul a 1 este egală cu produsul vitezei

unghiulare relative şi raza pivotului: ,21rval

unde 2121 , 21 este viteza relativă unghiulară; r – raza rotorului;

(semnul plus sau minus pentru sensuri opuse de rotație ale elementelor).

După aflarea )(pp ș i /)(/ alal vv valoarea uzurii 1 în punctul

dat a1, se află după formulele (8.3) şi (8.4); după câteva puncte examinate

construim epurele uzurii elementelor cuplei (fig. 8.2).

* În cazul general indiferent de numerotarea elementelor pentru calcul trebuie să luăm vectorul forței

aplicate de la elementul exterior al cuplei de rotație.

Fig. 8.4

274

Cupla de translaţie (fig.8.4). Condiţiile de lucru ale cuplei: cursorul 1 cu lungimea l1 are o mişcare de translaţie pe ghidajul fix 2, cursa cursorului

H, forţa constF N (este aplicată la mijlocul cursorului); presiunea p este

repartizată uniform.

În acest caz uzura 1 a suprafeţei plane a cursorului este uniformă.

Uzura 2 în punctele extreme ale ghidajului (a,e) este egală cu zero, iar pe

sectorul cd este maximă. Pentru constp

,0

2 kpsdtvkplt

al

unde s – drumul de frecare: în punctele a,e – s=0 ; în punctul b –

11 2/2 lls ; în punctele c,d –12ls (uzura este maximă).

În cazul general calculul uzurii 2,1 se efectuează conform formulelor

(8.3) și (8.4). Dacă forţa NF nu este aplicată în mijlocul cursorului,

presiunea pe lungimea cursorului este repartizată după legea liniară. Dacă cursorul este cilindric (piston), atunci repartizarea presiunii p trebuie luată

în consideraţie în două direcţii: în direcţia axei şi în secţiunea

perpendiculară pe axa pistonului. Cupla superioară. Condiţiile de

lucru ale cuplei: elementele cuplei (fig.

8.5) sunt executate sub formă de doi

cilindri convecși cu razele 1 şi

2 cu

axele paralele 1N şi

2N ; sarcina

specifică normală )/( mNFNse

repartizează uniform. Aici, în primul rând, trebuie aflată

aria suprafeţei de contact şi repar-tizarea presiunii pe această suprafaţă. Pentru cupla superioara contactul

iniţial este liniar sau punctiform, iar după încărcare contactul are forma unei elipse, care devine în cazul limită cerc sau dreptunghi. În teoria deformaţiilor corpurilor elastice în contact sunt deduse formulele pentru

calcularea dimensiunilor petei de contact şi repartizarea presiunii [11], în cazul examinat pata de contact după încărcare are forma unui dreptunghi, jumătate din lăţimea căruia

,128,1 NFc

unde )/( 2121 – raza redusă de curbură; 21 – constanta

elastică a materialelor elementelor 1 şi 2.

Valorile 1 şi

2 se determină după formula

Fig. 8.5

275

,/)1( 2,1

2

2,12,1 E

unde 2,1E – modulul de elasticitate longitudinală a materialelor elementelor

1, 2; 2,1 – coeficientul lui Poisson al materialelor elementelor 1, 2.

Presiunea maximă în zona de contact

,)/(1;)(564,0 2

maxmax cyppFp N

unde y – coordonata punctului examinat.

În orice secţiune de-a lungul liniei de contact cu lungimea b (perpen-dicular pe desen) repartizarea presiunii este analogă. Pentru calculele ap-

roximative valoarea medie a presiunii în acest caz: .77,0 maxpPmed

Deoarece în cazul general în

cupla superioară suprafeţele în contact în mişcarea relativă se

rostogolesc cu alunecare, pata de contact în zona punctului examinat se va deplasa pe profilul cercetat un

timp oarecare t c , determinat ca timpul de contact al sectorului AB în cursul unui ciclu de lucru (fig. 8.5).

În timpul intrării în contact a punctului A, care depăşeşte punctul O al elementului 2 la distanța c, în

punctul cercetat O presiunea este

minimă ,0min pp apoi aceasta

va creşte până la ,maxpp iar la

momentul intrării în contact a punctului B, care rămâne în urma punctului

cercetat la distanţa c, presiunea din nou va scădea până la zero. De aceea, uzura în punctul O în cursul unui ciclu de lucru poate fi calculată cu

aproximaţie după presiunea medie ,mp viteza de alunecare alv şi timpul de

contact t c al sectorului AB cu relația ,calmedc tvkp

iar uzura în cursul a n c cicluri de lucru după formula (8.4).

Astfel, de exemplu, pentru un punct oarecare D1 al roţii dinţate (fig.

8.6) ,/);/1( 211 DDcpDal vstzzlv

unde BAsD și

11 bD rv – drumul şi viteza punctului de contact D pe linia

de contact în timpul contactului sectorului profilului AB. Valorile Ds şi pDl

pot fi aflate din geometria angrenajului. Lăţimea petei de contact 2c de obicei, este foarte mică, în fig. 8.6 este arătată în formă mărită.

Fig. 8.6

276

C a p i t o l u l 9

STUDIUL MIŞCĂRII AGREGATULUI DE MAŞINĂ CU CONSIDERAREA ELASTICITĂŢII ELEMENTELOR

În capitolul 4 s-a examinat mișcarea agregatului de mașină. În acest caz s-a

presupus că elementele mecanismului agregatului sunt absolut rigide. Însă în realitate elementele sunt elastice și ca rezultat acestea se deformează sub acțiunea forțelor

aplicate. De aceea peste mișcarea de bază a elementelor mecanismului este suprapusă o

mișcare suplimentară, generată de deformabilitatea lor și care prezintă un proces

oscilant. Acest proces duce nu numai la încălcarea legii mișcării mecanismului, dar poate provoca și supraîncărcări dinamice ale elementelor și cuplelor cinematice ale acestuia. În

acest capitol este studiată influența elasticității asupra mișcării agregatului de mașină.

Materialul este expus după metodica lui M.Z. Kolovski (vezi Kolovski M.Z., Dinamica

mashin., L., 1980).

§ 9.1 Modelul dinamic al agregatului

de mașină

Examinăm un agregat de mașină, care este compus din motorul M,

mecanismul de transmitere MT și mașina de lucru ML (adică

consumatorul energiei mecanice) (fig. 9.1, a).

Să admitem că mecanismul de transmitere este cu roți dințate (fig.

9.1, b). Arborii acestuia sunt supuși răsucirii, iar dinții – încovoierii. Să

determinăm rigiditatea mecanismului de transmitere.

În procesul lucrului mecanismului în angrenaj acționează o forță

care deformează dinții. Examinăm componenta F a acestei forțe, care

este tangentă la cercul de bază, precum și componenta a deplasării

elastice a dinților tot în această direcție (fig. 9.1, c). Forța și

deformația elastică sunt legate prin relația cF , unde c –

r i g i d i t a t e a l i n i a r ă a agregatului. Rigiditatea liniară este

proporțională cu lungimea b a dinților: ,abc unde a este un coeficient,

care pentru roțile din oțel este egal cu 15000 MPa.

În calculele ulterioare este mai convenabil să folosim rigiditatea u n

g h i u l a r ă. Pentru aceasta fixăm butucul în secțiunea 2 a roții z2, iar pe

arborele roții mari z3 în secțiunea 3 aplicăm momentul m3. Sub acțiunea

acestuia dinții se vor deforma, si secțiunea 3 se va roti cu unghiul .3

Evident că ,33 r iar ./ 33 rMF Substituim aceste expresii în ecuația

277

, cF după care vom obține 3

2

33 crM sau ,3323 cM unde .2

332 crc

Valoarea 32c este rigiditatea unghiulară a angrenajului, redusă la

secțiunea 3 cu condiția că secțiunea 2 să fie fixă.

Dacă vom proceda invers, adică vom fixa secțiunea 3, iar în

secțiunea 2 vom aplica momentul M2, atunci secțiunea 2 se va roti cu

unghiul .2 Efectuând aceleași calcule ca și în cazul precedent, vom

obține ,2232 cM unde .2

223 crc Aici trebuie să acordăm o atenție

deosebită faptului că .3223 cc Putem scrie că ,)/( 2

3232

2

32

2

323 ucrrcrc

adică ,2

323223 ucc unde 323232 // zzrru

– este raportul de transmitere

al angrenajului cu roți dințate.

Rigiditatea arborelui cu lungimea l și diametrul d (de exemplu,

arborele 3–4, fig. 9.1, b) se determină după formula cunoscută din cursul

Fig. 9.1

278

”Rezistența materialelor”: ,/34 lGJc p unde ,108 4 MPaG .32/4dJ p

Pentru rigiditatea unghiulară a arborelui este valabilă expresia .4334 cc Să

accentuăm, de asemenea, că rigiditatea unghiulară a arborelui, de regulă

este cu mult mai mică decât rigiditatea unghiulară a angrenajului cu roți

dințate.

Determinarea rigidității mecanismului de transmisie MT (fig.

9.1, b). În acest caz nu vom lua în considerație inerția roților dințate și a

arborilor, fiindcă ea este mică în comparație cu inerția altor elemente ale

agregatului de mașină. Secțiunea 1 este fixă, iar în secțiunea 6 aplicăm

momentul M6.

Sub acţiunea acestui moment, sectorul, 6–5 se va răsuci, şi

secţiunea 6 se va roti faţă de secţiunea 5. La fel, momentul 6M va

conduce la deformarea dinţilor în angrenajul 5–4, şi ca rezultat secţiunea

3 se va roti faţă de secţiunea 4. Această rotaţie va conduce la o deplasare

unghiulară suplimentară a secțiunii 6 . Procedând la fel şi în continuare,

vom ajunge la concluzia că deplasarea unghiulară completă 6 a

secţiunii 6 reprezintă suma termenilor, fiecare din ei fiind rezultatul

deformației sectorului corespunzător al transmisiei.

La determinarea acestor termeni trebuie să ţinem cont de

următoarele:

1) calculând rotirea secţiunii 6, ca rezultat al deformației unui

oarecare sector (de exemplu, a sectorului 4–3), toate celelalte sectoare,

incluse consecutiv în acest caz trebuie considerate absolut rigide;

2) deoarece sectorul 4–3 nu este unit direct cu sectorul 6, ci prin

intermediul angrenajului cu roţi dinţate atunci, determinând unghiul de

rotaţie a secţiunii 6, provocate de unghiul de răsucire ,43 se înmulţește

unghiul 43 cu raportul de transmitere ;/ 5454 zzu

3) din motivul expus la p.2, momentul, care răsuceşte sectorul 4–3,

nu este egal cu 6M , şi de aceea el trebuie determinat ca .546uM

Luând în consideraţie toate acestea, scriem:

52

21

526

54

32

546

54

43

546

54

6

65

6

6 uc

uMu

c

uMu

c

uM

c

M

c

M

).11

(21

2

52

32

2

54

43

2

54

5465

6c

u

c

u

c

u

ccM

Rigiditatea 61c a transmisiei, redusă la secţiunea 6 când secţiunea 1

este fixă, este raportul ,/ 6661 Mc de unde

279

./

1

/

1

/

11112

5221

2

5432

2

5443546561 ucucucccc

Dacă este necesar să determinăm rigiditatea 16c a transmisiei MT,

redusă la secţiunea 1 când secţiunea 6 este fixă, atunci ,2

526116 ucc unde

)/( 534252 zzzzu este raportul de transmitere al mecanismului.

Astfel, transmisia MT poate fi înlocuită prin modelul ei cu un

oarecare arbore elastic convenţional cu rigiditatea ,bacc care parcă

leagă motorul M cu maşina de lucru ML (fig.9.1, d). Unghiul de răsucire

al acestui arbore se determină prin diferenţa coordonatelor unghiulare

ale secţiunilor lui din capetele b şi a.

Fie caracteristicile cinematice mlmlml ,, ale secţiunii b identice cu

caracteristicile cinematice ale secţiunii B a transmisiei (fig.9.1, b), adică:

.,, rmmlrmmlrmml (9.1)

Arborele flexibil modelează numai proprietăţile elastice ale

transmisiei MT; proprietățile de transmitere ale acestuia el nu le poate

reproduce. Ele sunt luate în consideraţie cu ajutorul ecuaţiilor

,;; BAmBAmamBAmam uuu (9.2)

unde mmm ,, sunt caracteristicile cinematice ale secţiunii a a arborelui

convenţional; mamama ,, caracteristicile cinematice ale secţiunii A a

transmisiei; BAu – raportul de transmitere, care pentru mecanismul

(fig.9.1, b) este )./( 534252 zzzzu

Deoarece conform expresiilor (9.1) anume caracteristicile de ieşire

ale transmisiei la înlocuirea acestuia cu un arbore elastic n-au suferit

schimbări, atunci operaţiile efectuate după ecuaţiile (9.2) le vom numi

"recalculate la secţiunea de ieşire a transmisiei". Însă în acest caz nu

trebuie să uităm că între secţiunea a cu coordonata m şi secţiunea b cu

coordonata ml se află un arbore elastic convenţional (fig.9.1, d) şi de

aceea recalcularea în secţiunea de ieşire a transmisiei în nici un caz nu

înseamnă egalitatea coordonatelorm şi .ml O astfel de egalitate are loc

numai în cazul unei transmisii absolut rigide.

Răsucirea secţiunii b a arborelui elastic faţă de secţiunea a va fi

.mml De aceea momentul elastic aplicat maşinii de lucru ML din

partea transmisiei se va exprima în felul următor:

),( mmlmle cM (9.3)

280

unde c este rigiditatea arborelui elastic, redusă la secţiunea de ieşire b.

Semnul minus arată că reacţiunea elementului flexibil este îndreptată

totdeauna în sens opus deformaţiei lui.

În conformitate cu aceasta momentul elastic ,meM aplicat motorului

M din partea transmisiei, este egal cu ,mleM de aceea:

).( mlmme cM (9.4)

Procesul vibrator este însoţit întotdeauna de acţiunea

f o r ţ e l o r d e r e z i s t e n ţ ă (aşa numitelor forţe disipative).

Natura acestor forţe este diferită. Cauza acestora este: frecarea în cuplele

cinematice, precum şi în asamblările fixe ale pieselor (frecarea

constructivă în filet, în îmbinări ş.a.); frecarea internă, care apare între

particulele materialului (în metale este foarte mică); în sfârșit, amortizori

speciali care sunt instalați în cazuri necesare pe liniile axiale pentru

atenuarea vibraţiilor apărute.

Legătura între forţa rezistentă şi caracteristicile mişcării este foarte

complexă. Experienţa arată că în cazul amplitudinilor mici, care sunt

caracteristice pentru problema examinată, putem să considerăm că forţa

rezistentă este proporţională cu viteza mişcării relative.

Forţele rezistente apar în diferite locuri ale mecanismului. Însă

toate pot fi reduse la o secţiune şi înlocuite cu un moment rezistent de

vâscozitate. Deoarece pentru transmisia MT, înlocuită cu un arbore

convenţional viteza secţiunii b faţă de secţiunea a este mml (fig.9.1,

c), momentul rezistent de vâscozitate, aplicat maşinii de lucru ML din

partea transmisiei, se va exprima în felul următor:

).( mmlmlr kM (9.5)

unde k este coeficientul de rezistenţă, redus la secţiunea b. Semnul

minus arată că momentul rezistent este îndreptat întotdeauna în sens

opus vitezei relative. Analog momentul mrM al rezistenţei vâscoase,

aplicat motorului din partea transmisiei, se va scrie astfel:

).( mlmmr kM (9.6)

Dacă este necesar să aflăm coeficientul de rezistenţă 16k redus la

secţiunea 1 (fig.9.1, b ) , atunci ,2

526116 ukk unde 61k este coeficientul de

rezistență redus la secţiunea 6. Să precizăm, de asemenea, că valoarea

coeficientului de rezistenţă se determină pe cale experimentală.

Să scriem ecuaţiile mişcării agregatului de maşină. Fiindcă sunt

luate în consideraţie deformațiile elastice ale elementelor transmisiei,

între caracteristicile de intrare şi de ieşire nu există legătură cinematică

rigidă, deoarece asupra mişcării de bază a mecanismului este suprapus

281

un proces vibrator. Prin urmare, mecanismul are nu un grad de

mobilitate (ca în cazul transmisiei absolut rigide), ci două grade de

libertate, şi de aceea pentru cercetarea acestuia trebuie să fixăm două

coordonate generalizate şi să alcătuim două ecuaţii ale mişcării. După

cum am menţionat mai sus, inerţia elementelor transmisiei nu o vom

lua-o în consideraţie (din cauza valorii mici a acesteia).

Mai întâi scriem ecuaţia maşinii de lucru sub forma diferenţială

(vezi §4.5). Alegem în calitate de element conducător arborele de intrare

al maşinii de lucru cu coordonata .mlrm La acesta vom reduce toate

masele şi forţele aplicate la mecanismul maşinii de lucru (vezi § 4.4 şi

4.3), după ce vom scrie:

.2

1 2

mlml

ml

ml

mlml Md

dJJ

Expresia momentului redus sumar mlM

va include momentul redus

rezistent al maşinii de lucru ),( mlmlmlM şi momentul ,mltM aplicat la

arborele maşinii de lucru din partea transmisiei. El este compus din

momentul elastic mleM şi momentul rezistenţei vâscoase

mlrM [vezi

ecuaţiile (9.3) şi (9.5)], adică:

).()( mmlmmlmlrmlemlt kcMMM (9.7)

Acum ecuaţia maşinii de lucru va avea următorul aspect:

).()(),(2

1 2

mmlmmlmlmlmlml

ml

ml

mlml kcMd

dJJ

(9.8)

Scriem ecuaţia motorului cu un mecanism de orice structură.

Alegem ca element conducător arborele de ieşire al motorului cu

coordonata .ma Reducând la el toate masele şi forţele aplicate asupra

mecanismului motorului, scriem:

.2

1 2

mama

ma

ma

mama Md

dJJ

În momentul sumar redus maM

va intra momentul motor redus

),( mamamaM și momentul tM aplicat la arborele motorului din partea

transmisiei.

Înlocuirea transmisiei cu un arbore convenţional (fig. 9.1, d) a

solicitat recalcularea în secţiunea ei de ieşire a caracteristicilor

cinematice ale motorului conform ecuaţiilor (9.2). Aceasta ne impune să

efectuăm recalcularea momentului redus de inerţie MiJ al motorului şi a

derivatei acestuia ,/ mama ddJ precum și a momentelor maM şi

matM în

secţiunea de ieşire a transmisiei după ecuaţiile:

282

.;;1

;32

BA

mat

mt

BA

ma

m

ma

ma

BAm

m

BA

ma

mu

MM

u

MM

d

dJ

ud

dJ

u

JJ

(9.9)

Pentru transmisia prezentată în fig.9.1, b, )./( 534252 zzzzuuBA

Momentul mtM este compus din două componente:

meM şi mrM [vezi

ecuaţiile (9.4) şi (9.6)]. Luând acest lucru în consideraţie şi folosind

ecuaţiile (9.2) şi (9.9), după unele simplificări vom avea:

).()(),(2

1 2

mlmmlmmmmm

m

m

mm kcMd

dJJ

(9.10)

Prin sistemul de ecuaţii (9.8) şi (9.10) se descrie un proces dinamic,

care decurge în agregatul de maşini ținând cont de elasticitatea

elementelor transmisiei. Funcţiile necunoscute în acest sistem sunt

coordonatele generalizate )(tmm și ).(tmlml

Anterior, la înlocuirea transmisiei cu un arbore elastic s-a pus

condiţia că caracteristicile cinematice mlml , și

ml ale secţiunii b a

acestui arbore să fie aceleaşi ca şi caracteristicile cinematice ale secţiunii

de ieşire B a transmisiei, care a fost notat sub forma ecuaţiilor (9.1). Însă

în aceeaşi măsură putea fi presupusă şi altă condiţie: caracteristicele

cinematice mm , și

m ale secţiunii a al arborelui elastic sunt exact

aceleaşi ca și caracteristicile cinematice ale secţiunii de intrare A al

transmisiei, adică .;; mammammam Atunci ecuaţiile (9.1), (9.2)

și (9.9) îşi pierd sensul. Dacă propunem a doua condiţie, toate

caracteristicile cinematice, de inerţie şi de forţă ale maşinii de lucru ar

trebui să le recalculăm pentru secţiunea de ieşire A al transmisiei. La

Fig. 9.2

283

această secţiune am fi fost nevoiţi să reducem coeficienţii de rigiditate c

şi de rezistentă k, şi anume ., 22

BAbaabBAbaab ukkucc

Remarcăm că în expunerea ulterioară va fi folosită prima condiţie și

ecuaţiile legate de ea (9.1), (9.2) și (9.9).

§9.2. Mişcarea de regim a agregatului de maşină

Examinăm mişcarea de regim a unui agregat de maşină, care este

caracterizat de un coeficient mic de neuniformitate. Analizăm un

exemplu tipic, când motorul agregatului este o maşină rotativă,

mecanismul de transmitere este cu roţi dinţate cu raportul de transmitere

)/( 534252 zzzzuuBA (fig. 9.1), iar maşina de lucru conţine un mecanism

cu bare (de exemplu, un mecanism manivelă-piston).

Recalculăm cu ecuaţiile (9.2) şi (9.9) toate caracteristicele

cinematice, de inerţie şi de forță ale motorului în secţiunea de ieşire B a

transmisiei. La această secţiune reducem coeficienţii de rigiditate c=c61

și de rezistentă k=k61.

Să admitem că motorul are o caracteristică absolut rigidă (fig.9.2,

a). Momentul acestuia nu depinde de unghiul de rotaţie ),invar( mmM

iar momentul de inerţie al rotorului acestuia este constant .constJm Ca

şi mai înainte (vezi § 4.11), momentul rezistent al maşinii de lucru îl

vom considera constant cu viteza de rotaţie ).invar( mlmlM Însă

momentul mlM depinde esenţial de unghiul de rotaţie

ml (fig.9.2, b). Să

exprimăm momentul mlM ca sumă a două componente ,mlvmlcml MMM

în care .)(2

1 2

0

constdMM mlmlmlmlc

Totodată

2

0

.0)( mlmlml dM

Momentul de inerţiemlJ al mecanismului maşinii de lucru redus la

arborele acestuia și derivata lui mlml ddJ / sunt prezentate în fig.9.2, d,c.

Admitem că ,mlvmlcml JJJ în acest caz:

2

0

;)(2

1constJJ mlmlmlc

2

0

.0)(var; mlmlmlvmlv dJJ

Nu este greu de observat, că

2

0

.0)(; mlmlmlvmlv

ml

mlv

ml

ml dJJd

dJ

d

dJ

284

Ținând seama de aceasta, scriem ecuațiile mișcării agregatului de

mașină (9.8) și (9.10) în felul următor:

2

2

1mlmlvmlmlvmlmlc JJJ );()( mmlmmlmlvmlc kcMM (9.11)

).()( mlmmlmmmm kcMJ (9.12)

Scriem ecuația (9.11) în felul următor:

)],2

1([ 2

mlmlvmlmlvmlvmlcmltmlm JjMMMJ

unde mltM este momentul care este aplicat mașinii de lucru din partea

transmisiei și calculat conform ecuației (9.7). Amintim că constMmlc

(fig.9.2, b). Termenii din parantezele pătrate depind evident de

coordonata unghiulară ml (vezi fig. 9.2, b,c,d) și variază periodic. Îi

notăm în felul următor:

).2

1()( 2

mlmlvmlmlvmlmlml JJML (9.13)

Acum ecuația (9.11) va avea forma:

).( mlmlvmlcmltmlmlc LMMJ (9.14)

Analog scriem ecuația (9.12)

,mtmmm MMJ (9.15)

unde mrmemt MMM este momentul aplicat la motor din partea

transmisiei [vezi ecuațiile (9.4) și (9.6)].

Modelul dinamic al agregatului de mașină cercetat, construit după

ecuațiile (9.14) și (9.15), este prezentat în fig. 9.3. Rezolvăm ecuațiile

(9.14) și (9.15) în raport cu funcțiile necunoscute )(tml și ).(tm

Deoarece caracteristica motorului este absolut rigidă (adică

verticală fig. 9.2, a), rezolvarea pentru )(tm și derivatele ei o obținem

imediat:

.0;, mmcmmm tconstc (9.16)

Astfel, turaţia arborelui motorului este uniformă, cu viteza

unghiulară ./ 52 constumcml Momentul motor ,mM recalculat în

secţiunea de ieşire a transmisiei, şi prin urmare şi momentul efectiv al

motorului 52uMM mml vor avea mărimi variabile. Momentul )(tMm

se

determină din ecuaţia (9.12) după ce se va afla ).(tm

285

Observăm că ecuaţia

(9.11), care este o formă

desăvârșită a ecuaţiei (9.14),

conţine numai o funcţie

necunoscută ),(tml pe care o

determinăm din această

ecuaţie. După cum se vede, ea

este o ecuaţie diferenţială

neliniară cu coeficienţi

variabili. Pentru rezolvarea

acesteia folosim metoda apro-

ximaţiilor succesive uzuală în mecanica neliniară. Referitor la

problemele dinamice ale teoriei mecanismelor şi maşinilor această

metodă a fost pentru prima dată elaborată şi aplicată eficient de către

M.Z. Kolovski.

Să lăsăm în partea dreaptă a ecuaţiei (9.14) numai termenul

),( mlmvL care depinde evident de coordonata unghiulară ,m iar ceilalţi

termeni îi trecem în partea stingă şi o scriem luând în consideraţie

expresia (9.7):

).()( mlmlvmlcmmmlmlmlmlc LMckckJ (9.17)

În ecuaţia (9.17) ckMJ mlcmlc ,,, sunt mărimi care nu variază în

procesul mişcării. În acelaşi timp termenul ),( mlmlvL care se află în partea

dreaptă a ecuaţiei (9.17), variază periodic. Din punct de vedere

matematic aceasta reprezintă o acţiune care forţează un proces vibrator.

Această acţiune [vezi ecuaţia (9.13)] este exercitată de maşina de lucru şi

este generată, în primul rând, de procesul tehnologic al acestuia

(componenta ).2/( 2

mlmlvmlmlv JJ Mai departe polinomul )( mlmlvL îl vom

numi moment perturbator.

Legea căutată a mişcării )(tml o determinăm în procesul

aproximaţiilor succesive.

P r i m a a p r o x i m a ţ i e. Este cunoscut că neregularitatea

turaţiei arborelui maşinii de lucru este mică şi, deci, momentul ),( mlmlvL

care provoacă această neregularitate, poate fi neglijat. Ținând cont de

aceasta, substituim în expresia (9.17) soluţia (9.16): .0)()( mlcmctmlmcmlmlmlc MckJ

Soluţia acestei ecuaţii diferenţiale pentru regimul staţionar are

forma următoare: ; mctm ;constmcml ,0 unde:

Fig. 9.3

286

./ cMmlc (9.18)

În felul acesta, în prima aproximaţie arborii agregatului se rotesc

uniform. Viteza unghiulară a arborelui maşinii de lucru

.52 constumimcmlcml Coordonatele secţiunii de ieşire B a

transmisiei şi a secţiunii de intrare A sunt legate prin relaţia

,52 umiml unde const este deformarea statică a transmisiei,

redusă la secţiunea de ieşire.

A 2 – a p r o x i m ț i e. Acum să luăm în consideraţie acţiunea

momentului perturbator ),( mlmlvL substituind în expresia lui [ecuaţia

(9.13)] rezultatele din prima aproximaţie. Obţinem ,2/2

mlcmlvmlvmlv JML

unde mlvM și

mlvJ depinde periodic de unghiul , tmlcml luat din prima

aproximaţie, adică de timpul t. De aceea )(tLL mlvmlv este o funcţie peri-

odică în timp.

Soluţia )(tmlml a ecuaţiei (9.17) pentru aproximaţia a doua o vom

căuta sub forma:

, tmlcml (9.19)

unde )(t este deformaţia dinamică. Din ecuaţia (9.19) determinăm

., mlmlcml Substituim expresiile obţinute în ecuaţia (9.17) şi

după unele simplificări simple obţinem:

).(tLckJ mlvmlc (9.20)

Descompunem momentul perturbator )(tLmlvîn serie Fourier:

...)22cos()cos()( 2211 tLtLtL mlcmlAmlcmlAmlv

).cos(1

ii

mlcmlAi itiL

Amplitudinile mlAiL şi fazele iniţiale

i se determină cu formulele de

descompunere în serie Fourier. Pentru rezolvarea ecuaţiei (9.20) putem

folosi principiul suprapunerii:

1

21 ....i

i (9.21)

Primul termen 1 îl determinăm din ecuaţia diferenţială (9.20), în

partea dreaptă a căreia se află prima armonică din descompunerea în

serie Fourier: ).cos( 11111 tLckJ mlcmlAmlc

Pentru regimul permanent este necesar să aflăm numai soluţia

particulară a acestei ecuaţii, cunoscută din cursul de mecanică teoretică:

287

)cos()()((

11222

1

1

tkJic

Lmlc

mlcmlcmlc

mlA

),cos( 111 tmlcA (9.22)

Analog vom obţine o soluţie particulară i pentru termenul cu

numărul i:

)cos()(])([ 222

iimlc

mlcmlcmlc

mlAi

i itikiJic

L

),cos(1 iimlcA iti

unde ].)(/[ 2

mlcmlcmlci Jickitg

Astfel, )(t este acea deformare dinamică, care apare ca rezultat

al deformabilităţii mecanismului de transmisie şi care se aplică mişcării

de bază a agregatului de maşină [vezi ecuaţia (9.19)]. Această deformare

dinamică se exprimă prin suma oscilaţiilor armonice elastice [vezi

ecuaţia (9.21)], care au loc cu frecvenţele ,1 mlcv ,22 mlcv ...,33 mlcv

unde mlc este viteza medie unghiulară a maşinii de lucru. După cum s-a

menţionat mai sus,

.52 constumimcmlc (9.23)

Trebuie să avem în vedere că seria (9.21), de regulă, converge

rapid. În realitate valorile amplitudinilor ...,, 321 mAmAmA LLL de regulă,

descresc monoton la creşterea lui i – din seria (9.2l), şi totodată numărul

i intră în numitorul valorilor amplitudinilor ,1A ,2A ...3A . De aceea,

rezolvând problema cu aproximaţie, în multe cazuri putem examina

numai funcţia ),(1 t rezultată din acţiunea primei armonici.

§ 9.3. Studiul influenţei elasticităţii

elementelor cinematice

Determinăm f r e c v e n ţ a o s c i l a ţ i i l o r

p r o p r i i ale agregatului. Pentru aceasta trebuie să egalăm cu zero

momentul perturbator )0( mlvL şi rezistenţa vâscoasă (k = 0). Astfel,

ecuaţia diferenţială (9.20) va descrie oscilaţii proprii (libere) şi va avea

forma .0 cJmlc

De aici vom obţine frecvenţa oscilaţiilor proprii:

./ mlcJcp (9.24)

Accentuăm că p este frecvenţa unghiulară, a cărei unitate de măsură

este ,1s şi nu frecvenţa procesului periodic în Hz.

288

Examinăm influenţa elasticităţii transmisiei asupra legii de mişcare

a arborelui maşinii de lucru. Conform expresiei (9.22), luând în

considerare numai prima armonică a momentului perturbator,

amplitudinea deformației :1A

.)()( 222

1

1

mlcmlcmlc

mlA

A

kJc

L

(9.25)

Funcţia )(11 cAA pentru viteza unghiulară medie constantă mlc a

maşinii de lucru este prezentată în fig.9.4, a.

La solicitarea statică majorarea rigidităţii duce la micşorarea

deformaţiei. Însă în condiţiile procesului oscilant dinamic dependenţa

deformaţiei de rigiditate este mai complexă. Dacă rigiditatea este mică

),( rezcc unde mlcmlcrez Jc 2 este rigiditatea căreia îi corespunde valoarea

maximă a deformaţiei dinamice, atunci pentru sarcina periodică

majorarea rigidităţii duce la mărirea (şi nu la micşorarea) deformaţiei

(fig.9.4, a ). Dacă rigiditatea este mare ),( rezcc atunci la majorarea

acesteia deformaţia se va micşora. De această influenţă a rigidităţii

constructorul trebuie să ţină cont numaidecât la proiectarea

mecanismului de transmitere pentru a evita r e z o n a n ţ a.

În fig.9.4, b cu o linie continuă este prezentată dependența

)(11 mlcAA pentru rigiditatea dată a transmisiei c. Rezonanţa în sistem

apare atunci, când frecvenţa 1v a primei armonici coincide cu frecvenţa

proprie: .1 pv Deoarece frecvenţa primei armonici este egală cu viteza

unghiulară medie a maşinii de lucru .1 mlcv Deci rezonanţa apare

atunci, când ,1 pmlcmlc sau conform ecuaţiei (9.24),

Fig. 9.4

289

./1 mlcmlcmlc Jc De aceea în timpul rezonanţei )/(11 kpLmAA [vezi

ecuaţia (9.25)].

Introducem c o e f i c i e n t u l d i n a m i c cunoscut din

cursul de mecanică teoretică

,/1

1

1cLmlA

A

unde cLmlA /1este deformaţia statică, care poate fi provocată de momentul

perturbator. Astfel, coeficientul ,1 care este mai mare decât 1,

caracterizează supraîncărcarea agregatului, provocată de deformaţiile

dinamice. În timpul rezonanţei, când ,/ mlcmlc Jcp

.//)/( kJckpc mlcrez

După cum se vede, valoarea de rezonanţă a coeficientului dinamic

depinde de rezistenţa k. Dacă rezistenţa nu există (k=0) atunci .1 rez

Însă rezistenţa există totdeauna, chiar dacă nu este prea mare. Prin

urmare, are o valoare finală, care poate atinge valori de ordinul 15...20.

De aceea lucrul în regim de rezonanţă )( 1mlcmlc este inadmisibil. Dacă

nu putem evita acest regim trebuie să folosim un amortizor special, care

în mod artificial măreşte rezistenţa şi micşorează .1rez

Calculele arată că, dacă viteza unghiulară medie mlc a maşinii de

lucru diferă de 1,5...2 ori de frecvenţă proprie p atunci rezistenţa practic

nu influenţează asupra valorii amplitudinii oscilaţiilor forţate 1A şi poate

fi aflată, substituind in formula (9.25) k=0 (vezi Feodosyev V.J.

Soprotivlenie materialov. M., 1974).

Dacă viteza unghiulară ,mlc la care lucrează maşina, este mai mică

decât frecvenţa proprie p , atunci trebuie să controlăm absenţa

rezonanţei, provocată de armonica a 2-a şi mai mari. Pentru armonica a

2-a, a cărei frecvenţă ,22 mlcv rezonanţa apare când ,2 pv de unde

.2/pmlc Graficul )(2 mlcA al amplitudinii oscilaţiilor provocate de

armonica a doua este prezentat în fig.9.4, b cu linie întreruptă.

Examinăm momentul ,mlttml MM care solicită transmisia din

partea maşinii de lucru, adică momentul în secţiunea de ieşire (fig.9.1,

a). Conform ecuaţiei (9.7) ).()( mmlmmltml ckM

Transformăm această ecuaţie ținând cont de ecuaţiile (9.16), (9.18),

(9.19) şi (9.23). După unele transformări simple vom obţine:

).( ckMM mlctml (9.26)

290

În ecuaţia (9.26) primul termen este momentul permanent ,mlcM care

solicită transmisia. Binomul din paranteză este componenta dinamică

variabilă a sarcinii . ckM tv Examinăm componenta ,tvM

introducând numai perturbarea de la prima armonică

.111 ckM tv

Pentru aceasta găsim mai întâi dependenţa ).(1 t

Din ecuaţia (9.22) reiese că ),sin( 111 tmlcmlcA unde

.111 De aceea ).cos()sin( 11111 tctkM mlcAmlcmlcAtv

După unele transformări trigonometrice elementare vom obţine:

)cos()( 11

22

11 tkcM mlcmlcAtv

).cos( 111 tM mlctA

Introducem după propunerea lui M.Z. Kolovski g r a d u l

s o l i c i t ă r i i d i n a m i c e a t r a n s m i s i e i ,1 pe care

îl vom defini prin raportul amplitudinii primei armonici 1tAM a

componentei dinamice tvM faţă de amplitudinea primei armonici

1mlAL a

momentului perturbator mlvL ținând cont de ecuaţia (9.25):

.)()(

)(

222

22

1

1

1

mlcmlcmlc

mlc

mlA

tA

kJc

kc

L

M

(9.27)

Graficul )(11 c prezentat în fig. 9.5 pentru .const Dacă ,11

are loc suprasolicitarea dinamică a transmisiei. În timpul rezonanţei,

când ,2

mlcmlcrez Jcc coeficientul 1 poate avea valori care depăşesc cu

mult unitatea.

Cum reiese din expresia (9.27), pentru 2/rezcc coeficientul 1

capătă valoarea egală cu 1. Putem arăta că, dacă pentru valoarea

2/rezcc vom calcula coeficientul pentru armonici de ordin mai înalt

decât primul, atunci .1i

Cu alte cuvinte, dacă rigiditatea ,2/2/ 2

mlcmlcrez Jcc atunci

amplitudinile tAiM ale tuturor armonicilor momentului dinamic

tvM vor fi

mai mici decât amplitudinile mtAiL ale armonicilor corespunzătoare ale

momentului perturbator .mlvL De aceasta, pentru a îmbunătăţi

caracteristicile dinamice ale sectorului AB al agregatului ne putem fo-

losi, de maşină (fig.9.1, a).

291

Dacă în sectorul AB în serie cu mecanismul de transmisie MT vom

introduce un cuplaj elastic, alegând rigiditatea lui astfel încât rigiditatea

rezultantă a sectorului să fie mai mică decât 2/rezc (adică mai mică decât

2/2

mlcmlcJ ), atunci componenta tvM a momentului care solicită transmisia

va fi mai mică decât momentul perturbator .mlvL Totodată nu trebuie să

scăpăm din vedere că rigiditatea mică, care apără transmisia de

suprasolicitări, poate duce la deformaţii mari. De aceea trebuie să fim

atenţi când alegem limita micşorării rigidităţii sectorului AB.

Afară de aceasta, pentru 2/rezcc trecerea la regimul rapid de lucru

mlc va fi inevitabil legată cu trecerea prin zona rezonanţei, deoarece

pentru 2/rezcc viteza unghiulară medie mlc a maşinii de lucru este mai

mare decât frecvenţa p a oscilaţiilor proprii ale agregatului (regimul

post-rezonanţă). Traversarea zonei de rezonanţă este însoţită de

importante suprasolicitări dinamice de scurtă durată. Foarte periculos în

această privinţă este procesul mişcării în virtutea inerţiei, când după

oprirea motorului agregatul de maşină îşi pierde viteza sub acţiunea unor

rezistenţe mici (frecarea în cuplele cinematice ş.a.). Traversarea inversă

a zonei de rezonanţă poate fi de lungă durată, ca rezultat amplitudinile

oscilaţiilor forţate vor tinde să

crească până la un nivel nedorit.

În acelaşi timp pentru

construcţia, care are o rigiditate

înaltă ),( rezcc viteza unghiulară

mediemlc a maşinii de lutru este

mai mică decât frecvența

oscilaţiilor proprii p ale

agregatului de maşină (regimul

sub rezonanţă), așa că

traversarea zonei de rezonanță

(directă şi inversă) pur şi simplu

lipseşte.

Fig. 9.5

292

C a p i t o l u l 10

VIBROACTIVITATEA ȘI PROTECȚIA MAȘINILOR

CONTRA VIBRAȚIILOR

Crearea maşinilor de înaltă productivitate şi a mijloacelor de transport rapide de

mare putere, sarcină şi alte caracteristici de lucru duce inevitabil la creşterea intensităţii şi lărgirea spectrului vibrațiilor și a câmpurilor vibro-acustice. Vibrația dăunătoare

încalcă legile de mişcare ale maşinilor, mecanismelor şi ale sistemelor de conducere,

proiectate de constructor, generează instabilitatea proceselor de lucru şi poate duce la

refuz de funcţionare şi dezacordarea completă a întregului sistem. Din cauza vibraţiilor cresc solicitările dinamice (în cuplele cinematice ale mecanismelor, îmbinări ş.a.), ca

rezultat scade portanța pieselor, se dezvoltă fisurile, apar fisuri de oboseală. Acţiunea

vibraţiilor poate schimba structura internă şi superficială a materialului, condiţiile de

frecare şi uzură pe suprafețele în contact ale pieselor şi poate duce la încălzirea mecanismelor.

Vibraţiile provoacă zgomotul, care este o caracteristică ecologică importantă a

mediului de activitate a omului. Vibraţiile acţionează direct şi asupra omului, reducând

posibilităţile lui funcţionale şi capacitatea de lucru. De aceea, o importanţă deosebită

capătă metodele şt mijloacele de apreciere a vibro-activităţii şi micşorării nivelului

vibraţiilor. Sistemul acestor metode şi mijloace se numeşte apărare contra vibraţiilor.

§ 10.1 Surse de oscilații și obiectivele

apărării contra vibrațiilor

Când se pune problema de protecție

contra vibraţiilor în sistemul mecanic

studiat, de regulă, sunt evidenţiate două

subsisteme: S şi O (fig.l0.l), unite prin

legăturile L. Subsistemul S, în care au loc

direct procesele fizice din cauza cărora apar

oscilaţiile, se numeşte s u r s ă de

o s c i l a ţ i i. Subsistemul O

reprezintă acea parte a sistemului

mecanic, în care se cere micşorarea

oscilaţiilor. El se numeşte

o b i e c t de a p ă r a r e

c o n t r a v i b r a ţ i i l o r. Forţele

ce apar în legăturile L, care unesc

obiectul cu sursa de vibraţii şi

provoacă vibraţiile obiectului, se

Fig. 10.1

Fig. 10.2

293

numesc a c ţ i u n i f o r ţ a t e ( d i n a m i c e ).

Examinăm unele exemple caracteristice: motorul (turbina,

generatorul, motorul cu ardere internă, orice mecanism cu rotor) instalat

pe fundaţie are un rotor dezechilibrat. Aici sursa de vibraţii este rotorul,

iar obiectul de apărare contra vibraţiilor – corpul motorului. Acţiunile

dinamice reprezintă reacţiunile dinamice ale reazemelor rotorului.

Problema privind apărarea contra vibraţiilor este: micşorarea vibraţiilor

corpului motorului, cauzate de dezechilibrul rotorului. La rezolvarea

problemei privind apărarea operatorului contra vibraţiilor, de exemplu,

când el lucrează pe automobil sau tractor, putem tinde spre micşorarea

vibraţiilor cabinei şoferului sau numai a scaunului. În fiecare caz

obiectul, sursa şi acţiunile dinamice vor fi determinate diferit.

Uneori sunt cunoscute nu acţiunile dinamice, ci deplasările

punctelor de fixare a legăturilor cu sursa. Astfel de acţiuni se numesc c i

n e m a t i c e. Acţiunile forţate şi cinematice deseori sunt redate

printr-un singur termen – a c ţ i u n i m e c a n i c e.

Acţiunile mecanice se împart în trei clase: suprasolicitări liniare;

acţiuni de vibraţie; acţiuni de şoc.

S u p r a s o l i c i t ă r i l i n i a r e se numesc acţiunile

cinematice, care apar în timpul mişcării accelerate a sursei de vibraţii.

Suprasolicitările liniare considerabile apar la maşinile de transport, mai

ales în aparatele de zbor la majorarea vitezei, frânare şi la diferite

manevrări (viraje, întoarceri ş.a.). Caracteristicile de bază ale

suprasolicitărilor liniare sunt acceleraţia constantă 0a (fig. 10.2) şi viteza

maximă de variaţie a acceleraţiei ./ dtda

A c ț i u n i de v i b r a ţ i i (cinematice, forțate) sunt procese

vibratorii. Acţiunile forţate se caracterizează prin funcţiile de timp ale

forțelor componente )(tF sau a momentelor acestor forțe ),(tM care

acționează asupra obiectului. Acțiunile cinematice se caracterizează prin

accelerațiile )(ta ale punctelor surselor de vibrații, legate de obiectul

apărării contra vibrațiilor, cu vitezele lor )(tv și deplasările ).(ts

Acţiunile de vibraţie (cinematice şi de forţă) se împart în staționare,

nestaționare și aleatorii. Cel mai simplu tip de acțiune de vibrație

staționară este cea armonică. Armonicile sunt numite procese periodice,

care pot fi descrise de funcția de timp:

),sin()( 00 tXtx (10.1)

unde 0X este amplitudinea;

0 – frecvența; – faza inițială; t – timpul.

La analiza proceselor armonice deseori este neglijată faza inițială și

ecuația (10.1) devine:

294

.sin)( 00 tXtx (10.2)

Ecuația (10.2) poate fi ilustrată

în funcție de timp (fig. 10.3, a) sau

sub formă de caracteristică

amplitudine-frecvență – spectru de

frecvență (fig. 10.3, b). Timpul, în

decursul căruia este realizată o

oscilație completă a punctului

material, se numește perioada T.

Frecvența și perioada sunt legate

prin relația ./2 0T Spectrul de frecvență este reprezentat printr-o

componentă a amplitudinii la frecvența dată. Astfel de spectru se mai

numește discontinuu sau liniar. Exemple de sisteme vibratorii, care se

găsesc sub acțiunea forțelor armonice, pot fi vibrațiile rotorului

dezechilibrat al mașinilor cu piston, mecanismelor cu bare

dezechilibrate.

În mașinile care conțin mecanisme ciclice în timpul mișcării

permanente apar acțiuni mecanice periodice:

1

00 ).sincos()(k

kk tkbtkatx (10.3)

Deseori în aceste sisteme putem neglija influența tuturor

armonicilor în afară de una, și să considerăm acțiunea armonică. Aceasta

este posibil în acele cazuri, când una din armonici (de regulă, prima)

prevalează asupra celorlalte sau când una din armonici este de rezonanță

pentru obiectivul dat.

Excitarea vibrațiilor cu care ne întâlnim la multe obiecte tehnice

moderne, de regulă, este poli-armonică, din cauza existenței unui număr

mare de surse independente

de vibraţii şi neregularitatea unor procese fizice (de exemplu procesele

de ardere în motoarele reactive, scurgerea în jurul corpului a unui jet

turbulent, procese de şoc şi explozii).

Astfel de procese de vibraţii pot fi reprezentate sub forma sumei

infinite (sau finite) a numărului k de componente armonice de felul:

1

11

0 ).sincos(2

)(k

kk tkbtkaa

tx (10.4)

unde:

,...,2,1,0;cos)(2

10

ktdtktxT

aT

k

Fig. 10.3

295

....,3,2,1;sin)(

2

01 ktdtktx

Tb

T

k

Procesul poli-armonic poate fi redat şi în felul următor:

).sin()( 11

0 kk

k tdtkXXtx

(10.5)

unde ....,3,2,1);/(;;2

220

0 kbaarctgbaXa

X kkkkkk

Din analiza formulei (10.5) reiese că procesul poli-armonic este

compus din componenta constantă 0X şi un număr infinit (sau finit) de

componente sinusoidale, numite armonici, cu amplitudinile kX şi fazele

iniţiale .k Frecvenţele tuturor armonicilor sunt multiple frecvenţei de

bază .1 De regulă, obiectele izolate contra vibraţiilor sunt supuse anume

excitaţiilor poli-armonice şi de aceea descrierea proceselor reale cu

ajutorul unei funcţii armonice simple nu este suficientă. În realitate, când

un proces sau altul este armonic, se are în vedere numai imaginea

aproximativă a procesului, care în realitate este poli-armonic. Astfel, de

exemplu, spectrele vibraţiilor maşinilor pe lângă frecvenţa de lucru de

bază conţin şi componente armonice intensive ale frecvenţelor multiple.

Acţiuni de vibraţii n e s t a ţ i o n a r e sunt excitate mai des de

procesele de trecere, care au loc în surse. De exemplu, acţiunea forţată

asupra corpului motorului din partea rotorului dezechilibrat, care apare

la ambalare, poate fi aproximativ descrisă prin relaţia

,)(cos)( ttax (10.6)

unde )(t este legea variaţiei vitezei unghiulare a rotorului.

Diapazonul în care sunt situate frecvenţele acţiunilor

poli-armonice, care apar în obiectele tehnice moderne, este foarte larg.

Acţiunile poli-armonice, care cuprind diapazonul ce depăşeşte câteva

octave ,10/ minmax se numesc de bandă largă. Dacă lăţimea

diapazonului este mică în comparaţie cu frecvenţa medie a procesului,

acţiunea se numeşte de bandă îngustă. Acţiunile de bandă îngustă apar

sub formă de pulsaţii. La rezolvarea problemelor de apărare contra

vibraţiilor evidenţa lăţimii benzii de acţiuni mecanice are o importanţă

primordială. În particular, de lăţimea benzii de acţiune depinde alegerea

modelului dinamic (schemei de calcul) al obiectului de apărat; ea trebuie

aleasă astfel, ca frecvenţele proprii ale obiectului considerat să fie situate

în banda spectrului de acţiune.

Acţiunile de vibraţie de frecvenţă înaltă pot fi transmise obiectului

nu numai prin elementele de legătură mecanică a acestuia cu sursa, dar şi

296

prin mediul înconjurător (aer, apă). Astfel de acţiuni, care sunt numite

acustice, au o intensitate mare mai ales la aparatele de zbor relativ

moderne. Intensitatea acţiunilor acustice este caracterizată de presiunea

câmpului acustic. Legătura între intensitatea absolută şi relativă este

exprimată prin expresia

,10 20/

0

Dpp

unde: p este presiunea, Pa; D – presiunea relativă, dB; pa – presiunea de

prag, care corespunde D=0. De regulă 5102 ap Pa.

Valorile aproximative ale amplitudinilor unor armonici ale

acţiunilor poli-armonice cinematice, situate în diferite benzi de

frecvenţa, sunt următoarele:

Benzile de frecvență, Hz … 0,1…10 10…150 150…5000 500…2000

Amplitudinile g, unități … 0,001…1 0,5…5 4…15 7…20

Excitaţiile de la vibraţiile a l e a t o r i i deseori nu pot fi prezise

complet, la fel ca și în cazul excitaţiilor armonice sau poli-armonice. De

exemplu, astfel de procese ca zgomotul aerodinamic al jetului de gaz,

pulsarea lichidului la mişcarea lui în tuburi, vibraţiile condiţionate de

rugozităţile cuplelor cinematice sunt după natura lor stohastice.

Asemenea procese e greu să le aproximăm prin funcţii regulate.

Semnalul stohastic nu poale fi prezentat grafic ca fiind cunoscut,

deoarece este rezultatul unui proces care conţine un element întâmplător.

Acţiunile de ş o c sunt numite acţiunile mecanice de scurtă durată,

în care valorile maxime ale forţelor sunt foarte mari. Funcţia, care

exprimă dependenţa forţei, momentului forţei sau a acceleraţiei în

timpul şocului de timp, se numeşte forma şocului. Caracteristicile

principale ale formei sunt durata şocului şi amplitudinea lui – valoarea

maximă a acţiunii mecanice în timpul şocului.

Excitaţiile de tip cinematic de şoc apar în timpul schimbării bruşte a

vitezei de mişcare a sursei (de exemplu, la aterizarea avionului, lansarea

rachetelor, trecerea roţilor automobilului prin gropi adânci, recuplarea

dinţilor roţilor dinţate ş.a). Deseori aceste fenomene sunt însoţite de

apariţia vibraţiilor construcţiilor sursei şi excitarea acţiunilor de vibraţie.

În unele cazuri acţiunea de şoc poate fi considerată ca o ciocnire

clasica, care se reduce la schimbarea "momentană" a vitezei de deplasare

a sursei sau la aplicarea forţelor "momentane" şi a momentelor. În aceste

cazuri: ),()( tqtx

297

unde q este variația (mărirea) vitezei, impulsul forţei sau al

momentului forţei în timpul şocului. Aceasta se admite doar în acele

cazuri, când durata loviturii este cu mult mai mică decât cea mai mică

perioadă a oscilaţiilor proprii ale obiectului. În celelalte cazuri este

necesara a lua în consideraţie forma şocului, care, de regulă, se stabileşte

prin măsurări în condiţii reale.

§ 10.2. Influenţa acţiunilor mecanice

asupra obiectelor tehnice şi a omului

Examinăm cum influenţează acţiunile mecanice asupra diferitelor

obiecte tehnice (maşini, aparate) şi a omului.

1. Acţiunea suprasolicitărilor liniare este echivalentă cu solicitarea

statică a obiectului. În unele cazuri, de regulă, în prezenţa legăturilor cu

blocare forţată în obiect, acţiunea suprasolicitării liniare poate cauza

dereglarea funcţionării normale a sistemului (deconectarea arcului

contactelor electrice, declanşarea eronată a sistemelor de comandă ş.a.).

2. Mult mai periculoase pentru obiectele tehnice sunt acţiunile de

vibraţii. Tensiunile de semn contrar, apărute din cauza vibraţiilor,

contribuie la acumularea defecţiunilor în material, care duc la apariţia

fusurilor de oboseală şi la distrugeri. Afară de tensiunile la oboseală, în

sistemele mecanice sunt observate şi alte fenomene, cauzate de vibraţii,

de exemplu, slăbirea treptată a îmbinărilor fixe. Acțiunile vibrațiilor duc

la apariția deplasărilor mici ale suprafeţelor racordate în îmbinările

organelor de maşini. În acest caz are loc schimbarea structurii straturilor

superficiale ale pieselor racordate, uzura lor şi, ca rezultat, micşorarea

forţei de frecare în îmbinări, ceea ce duce 1a schimbarea proprietăţilor

de disipaţie a obiectului, deplasează frecvenţele lui proprii ş.a.

Dacă mecanismul conţine îmbinări mobile cu joc (de exemplu

cuplele cinematice în mecanisme), acţiunile vibrațiilor pot duce la

ciocnirea suprafeţelor racordate, ce contribuie la distrugerea lor şi

generarea zgomotului. În majoritatea cazurilor distrugerea obiectelor în

timpul acţiunilor vibraţiilor este legată de apariţia efectelor de rezonanţă.

De aceea, în timpul acţiunilor poli-armonice cel mai mare pericol îl

prezintă acele armonici, care pot cauza rezonanţa obiectului.

3. Acţiunile de şoc, de asemenea, pot fi cauza distrugerii obiectelor.

Deseori defecţiunile datorate şocului au un caracter de distrugeri fragile.

Însă loviturile multiple pot duce şi la distrugeri de oboseală, mai ales în

298

acele cazuri, când acţiunile de şoc periodice sunt în stare să ducă la

vibraţiile de rezonantă ale obiectului.

4. Acţiunile vibrațiilor şi de şoc, fără a cauza distrugerea obiectelor,

pot duce la dereglarea funcţionării lor normale. De exemplu, vibraţiile

maşinilor-unelte de aşchiere şi ale altui utilaj tehnologic, cauzate de

acţiunea diferitelor surse, contribuie la micşorarea preciziei şi calităţii

prelucrării, precum şi la dereglarea altor procese tehnologice.

Acţiunile mecanice influenţează esenţial asupra preciziei aparatelor

instalate în sistemele de conducere a mişcării şi care servesc pentru

măsurarea parametrilor mişcării. Sub acţiunea vibraţiilor şi ciocnirilor se

măreşte brusc eroarea aparatelor giroscopice, deci şi eroarea măsurilor

efectuate cu aceste aparate; aparatele care conţin un sistem de măsurare

pe baza pendulului matematic au proprietatea de deplasare din poziţia

iniţială.

Dereglarea funcţionării obiectului, care nu este legată de distrugeri

sau de alte procese ireversibile, se numeşte r e f u z de

f u n c ţ i o n a r e. Capacitatea obiectului de a nu se distruge sub

influenţa acţiunilor mecanice se numeşte r e z i s t e n ţ ă la

v i b r a ţ i i, iar capacitatea de funcţionare normală –

s t a b i l i t a t e la v i b r a ţ i i . Scopul apărării obiectelor

tehnice contra vibraţiilor este ridicarea rezistenţei şi a stabilităţii lor la

vibraţii.

5. Vibraţia, care apare în timpul lucrului diferitelor maşini şi al

utilajului, exercită o influenţă dăunătoare asupra oamenilor care se află

în apropierea sursei de vibraţie sau în contact cu ea. Vibraţia induce la

dereglarea stării fiziologice şi funcţionale ale operatorului. Schimbările

fiziologice stabile se numesc boală de vibraţii. Dereglările funcţionale se

pot manifesta prin: înrăutăţirea vederii, dereglarea coordonării

mişcărilor, apariţia halucinaţiilor care se referă la orientarea corpului,

precum şi prin oboseală rapidă.

În primul rând, vibraţiile influenţează dăunător asupra muncitorilor,

care folosesc instrumentele manuale mecanizate, asupra personalului

care deserveşte maşinile vibratoare (ciocan pneumatic, transportoare

vibrante, compresor vibrant, vibro-trasoare, vibratoare de metal fluid,

utilaj de curăţire prin vibraţii ş.a.), precum şi multe maşini de

construcţie, rutiere şi agricole (buldozere, tractoare, combine etc.). Într-o

măsură mai mică acţiunea vibraţiilor, de regulă, o simte personalul care

este legat cu lucrul maşinilor şi mecanismelor ce conţin elemente

dezechilibrate, precum şi cu lucrul tuturor mijloacelor de transport. În

cazurile descrise apare necesitatea de a limita acţiunea dăunătoare a

299

vibraţiilor asupra omului. Acţiunile dinamice admisibile pentru om sunt

reglementate prin norme sanitare şi reguli. Crearea metodelor şi

mijloacelor eficiente de apărare contra vibraţiilor individuale şi

complexe pentru omul-operator este una din principalele probleme

tehnico-economice şi sociale ale tehnicii moderne.

§ 10.3. Analiza acţiunii vibraţiilor

Caracterul de dereglare a condiţiilor de funcţionare a obiectelor

(mecanismelor şi aparatelor) sub acţiunea vibraţiilor se determină după

felul acţiunilor mecanice şi proprietăţile obiectului.

Modelul obiectului trebuie să reflecte trăsăturile de bază ale

sistemului real, care influenţează asupra aprecierii reacţiei lui dinamice

şi totodată să fie comod pentru analiza şi interpretarea rezultatelor. Cel

mai acceptabil în aceste condiţii este modelul liniar, care redă calităţile

unui grup larg de construcţii la vibraţii mici. O formă comodă de

descriere a calităţilor obiectului liniar în condiţiile acţiunilor vibraţiilor

sunt operatorii deformabilităţii dinamice ),(plBAcare leagă forţa )(tGB

aplicată în direcţia dată la punctul B al obiectului, cu proiecţia deplasării

)(txAa punctului A pe o direcție oarecare: ).()()( tGpltx BBAA Operatorii

inverși )()( 1 plpk BABA

se numesc operatori ai rigidităţii dinamice.

Caracteristicile ),(),( pkpl AA care leagă forţa aplicată în punctul A cu

proiecţia deplasării acestui punct pe direcţia acţiunii forţei, se numesc

operatori ai deformabilităţii dinamice şi rigidităţii dinamice în punctul A.

Caracteristicile de frecvenţă ale obiectului )(),( ikil BABA sunt numite

d e f o r m a b i l i t a t e d i n a m i c ă și, respectiv,

r i g i d i t a t e d i n a m i c ă.

Expresia pentru operatorul deformabilităţii dinamice poate fi

prezentată sub forma

.2

)(1

22

n

vvvv

AvBv

BApp

ggpl

Aici v sunt frecvenţele proprii ale sistemului conservativ;

AvBv gg ,

– coeficienţii normaţi ai formei v de oscilaţii în punctele A şi B; v –

coeficientul adimensional al atenuării liniare a formei v de oscilaţii.

Pentru ,ip neglijând mărimile mici de ordinul doi, obţinem

caracteristica de frecvenţă a obiectului:

).2(4)(

)( 2

1

2

22222

vv

n

vv

vvv

AvBv

BA igg

il

300

Astfel, deformabilitatea dinamică a obiectului cu n grade de

libertate este reprezentata sub forma sumei deformabilităţilor a n

sisteme cu un grad de libertate, având oscilaţiile proprii ale sistemului

conservativ (sistem, pentru care în timpul vibraţiilor energia mecanică

completă este permanentă). La aceste frecvenţe )( v deformabi-

litatea dinamică creşte după modul ca rezultat al apariţiei la numitor a

termenului v de ordin mic .2 vv Cu creşterea numărului v al formei de

oscilaţii valoarea maximă a modulului deformabilităţii dinamice scade.

În fig.10.4 este arătat aspectul aproximativ al dependenţei modulului

deformabilităţii dinamice de frecvenţă.

La examinarea

modelelor matematice ale

sistemelor liniare concrete

expresiile pentru

deformabilitatea dinamică

pot fi calculate direct pe

calea căutării soluţiei de la

acţiunea unei forţe

armonice cu amplitudine

unitară.

În multe cazuri

putem neglija toate

formele de vibraţii, cu

excepţia celei

predominante. Astfel de

obiecte, de regulă, sunt

modelate prin sisteme cu

un grad de libertate

(fig.10.5, a,b), care au

masa m, coeficientul de

elasticitate c şi coeficientul rezistenţei vâscoase b. La excitarea

sistemului cu forţa )(tG modulul deformabilităţii dinamice are aspectul

următor:

;]4)[()( 2/122

0

2222

0

1 milA

).2/( 0 mb

Reacţiunea obiectului la acţiunea mecanică poate fi calculată atât în

funcţie de timp, cât şi în funcţie de frecvenţă. Reacţiunea sistemului la

acţiuni de vibraţie este mai comod de calculat în funcţie de frecventă.

Pentru acţiunile armonice şi poli-armonice calculul modificărilor de

Fig. 10.4

Fig. 10.5

301

amplitudine şi de fază se face pentru fiecare componentă armonică a

procesului. Deoarece obiectul este liniar, efectul acţiunii unui număr

oarecare de componente armonice este egal cu suma acţiunilor fiecăreia

în parte.

I z o l a t o r u l î m p o t r i v a v i b r a ț i i l o r sau

a m o r t i z o r u l este un element al sistemului de apărare contra

vibraţiilor, a cărui parte componentă este un element elastic. Ca rezultat

al frecării interne, în elementul elastic are loc amortizarea vibraţiilor.

Afară de aceasta, într-un şir de construcţii ale amortizorului sunt folosite

d i s p o z i t i v e de a m o r t i z a r e speciale pentru disiparea

energiei oscilaţiilor. Caracteristicile dinamice ale amortizorului depind

esenţial de caracteristicile lui statice, totodată şi unele şi altele sunt

neliniare. Neliniaritatea caracteristicilor amortizorului se determină

printr-o serie de factori: proprietăţile neliniare ale elementului elastic (de

exemplu, cauciucul), frecarea internă în elementul elastic, prezenţa

particularităţilor constructive ale amortizorului de tipul limitatorilor de

cursă, amortizorilor de frecare uscată, arcurilor neliniare ş.a. În fig. 10.6

sunt prezentaţi diferiţi amortizori şi caracteristicile lor de forţă (pe axa

absciselor – deplasările, pe axa ordonatelor – reacţiunile): a –

cauciuc-metal; b – cu reţea; c – cu limitatori elastici de cursă; d – cu

atenuator; e – cu spirală conică.

În amortizor pot fi determinate trei direcţii reciproc perpendiculare

x, y, z în aşa mod, ca deplasarea punctului de fixare a amortizorului pe

una din aceste direcţii să provoace reacţiunea de forţă a amortizorului în

direcţie opusă. Aceste direcţii sunt numite principale. Dacă prin X, Y şi Z

Fig. 10.6

302

vom nota proiecţiile reacţiunilor amortizorului pe direcţiile principale şi

vom ţine cont de calităţile elastice ale amortizorilor reali la oscilaţii mici,

atunci putem presupune următoarele: reacţiunile pe direcţiile principale

depind numai de deplasările corespunzătoare şi de derivatele lor în

raport cu timpul. Funcţiile

),(),,(),,( zzZZyyYYxxXX (10.7)

se numesc caracteristici dinamice ale amortizorului.

La analiza oscilațiilor mici ale obiectului amortizat în apropierea

poziției de echilibru putem socoti deplasările x, y și z mici și să

liniarizăm caracteristicile dinamice (10.7), descompunându-le în seria

lui Mac-Lauren, apoi, neglijând membrii care au un grad mai înalt decât

primul, vom obține:

,),(,),(,),( zkzczzZykycyyYxkxcxxX zzyyxx (10.8)

unde:

)0,0();0,0();0,0(z

Zc

y

Yc

x

Xc zyx

sunt rigiditățile amortizorilor pe

direcțiile principale, iar )0,0();0,0();0,0(z

Zk

y

Yk

x

Xk zyx

–

coeficienţii de amortizare.

Examinăm oscilaţiile

mici ale obiectului amortizat

(fig.10.7, a), care are masa m.

Pentru deducerea ecuaţiei

mişcării sistemelor

amortizate putem utiliza

principiul lui Dalembert. La

un moment dat în timp t

pentru valoarea coordonatei

z asupra masei acţionează

reacţiunea ),,( zzZ din partea

amortizorului. Egalând cu zero suma forţelor aplicate asupra masei m şi

forţelor de inerţie zm în conformitate cu (10.8), vom obţine ecuaţia

diferenţială a mişcării masei m:

.0 zczkzm zz (10.9)

Ecuația caracteristică corespunzătoare:

.02 zz cskms (10.10)

Rădăcinile ei:

Fig. 10.7

303

).4(2

1 2

2,1 zzz mckkm

S

Soluția generală a ecuației (10.9) are forma

,21

21

tstseAeAz

unde A1 și A2 sunt constante arbitrare, care depind de condițiile inițiale;

S1,2 – rădăcinile ecuației caracteristice (10.10), care pentru comoditate

pot fi redate în felul următor:

,1 0

2

02,1 S

unde 0

2

0 ;)2/(;/ mckmc zzz – frecvența proprie a sistemului

amortizat; – coeficientul adimensional de atenuare.

În fig. 10.7, b este prezentată schema sistemului de amortizare la

izolarea fundației contra oscilațiilor .sin0 tZz f

§10.4 Metodele de bază ale

apărării contra vibrațiilor

Micşorarea intensităţii vibraţiilor obiectului poate fi realizată prin

metodele enumerate în continuare.

Micşorarea capacităţii vibratoare a sursei. Excitarea vibrațiilor

de către sursele excitatoare poate fi condiţionată de diferite cauze. Este

comod de împărţit factorii excitatori în două grupe. Din prima grupă fac

parte fenomenele legate de frecarea în cuplele cinematice. Micşorarea

vibro-activităţii constă în schimbarea proprietăților materialului

suprafeţelor în contact şi poate fi realizată prin metode specifice pentru

fiecare caz particular, de exemplu, prin folosirea unor unsori speciale.

Al doilea grup de factori de excitaţie cuprinde corpurile care se

mişcă (rotirea rotorului, deplasarea elementelor mecanismului).

Reducerea capacităţii vibratoare a sursei în acest caz constă în

micşorarea reacţiunilor dinamice cu ajutorul echilibrării maselor în

mişcare.

Schimbarea construcţiei obiectului. Pot fi arătate două metode de

micşorare a vibraţiilor comune pentru toate sistemele mecanice. Prima

metodă constă în înlăturarea fenomenelor de rezonanţă. Dacă obiectul

posedă calităţi liniare, atunci problema se reduce la schimbarea

corespunzătoare a frecvenţelor lui proprii. Pentru obiectele neliniare

trebuie să se îndeplinească condiţiile de absenţă a fenomenelor de

304

rezonanţă. A doua metodă constă în majorarea disipaţiei energiei

mecanice în obiect. Această metodă de apărare contra vibraţiilor, care se

numeşte atenuare, va fi examinată mai jos.

Amortizarea dinamică a oscilaţiilor. A m o r t i z o r u l

d i n a m i c generează acţiuni dinamice suplimentare, aplicate

obiectului în punctele de fixare a amortizorului. Amortizarea dinamică

este realizată pentru anumiți parametri aleşi ai amortizorului, pentru care

aceste acţiuni suplimentare echilibrează parţial (compensează) acţiunile

dinamice, excitate de sursă.

Izolarea contra vibraţiilor. Acţiunea izolării contra vibraţiilor se

reduce la slăbirea legăturilor între sursă şi obiect. În acest caz se

micşorează acţiunile dinamice, transmise obiectului. Slăbirea

legăturilor, de regulă, este însoţită de apariţia unor fenomene nedorite:

mărirea deplasărilor statice ale obiectului, mărirea amplitudinilor

vibraţiilor relative la acţiunile de frecvenţă joasă şi la şocuri, majorarea

dimensiunilor sistemului. De aceea folosirea izolării contra vibraţiilor ca

metodă de apărare, în cele mai multe cazuri, este legată de o rezolvare de

compromis, care satisface întregul ansamblu de cerinţe.

Dispozitivele de apărare contra vibraţiilor şi eficienţa lor. Amortizorii dinamici şi izolatorii contra vibraţiilor formează în

ansamblu dispozitivele de apărare contra vibraţiilor. P a s i v e sunt

numite dispozitivele compuse din elemente de inerţie, elastice şi

disipative. Dispozitivele a c t i v e mai pot conţine elemente de natură

nemecanică şi, de regulă, conţin o sursă de energie independentă.

Eficienţa sistemelor de apărare contra vibraţiilor se apreciază prin

raportul unei valori a unui oarecare parametru caracteristic al vibrațiilor

obiectului cu amortizor, față de valoarea aceluiaşi parametru în absenţa

amortizorului. Acest raport se numeşte c o e f i c i e n t u l

e f i c i e n ţ e i apărării contra vibraţiilor.

§ 10.5. Amortizarea oscilaţiilor.

Caracteristicile disipative ale sistemelor mecanice

Forţe disipative. În timpul vibraţiilor sistemelor elastice are loc

difuzia energiei în mediul înconjurător, precum şi în materialul

elementelor elastice şi în nodurile de legătură ale pieselor din

construcţie. Aceste pierderi sunt cauzate de forţele de rezistenţă

neelastică – forţele disipative, la învingerea cărora este consumată

ireversibil energia sistemului vibrant sau a excitatorilor de vibrații.

305

Pentru descrierea forţelor disipative sunt folosite caracteristicile care

reprezintă dependenţa lor de viteza de deformaţiile a elementului elastic.

Felul caracteristicii este determinat de natura forţelor de rezistenţă. Cele

mai răspândite caracteristici ale forţelor disipative sunt reprezentate în

fig.10.8.

Rezistenţa vâscoasă (fig.10.8, a) este caracterizată prin coeficientul

de rezistenţă 1b

* şi este descrisă de relaţia:

.)( 1xbxFD (10.11)

O astfel de caracteristică au forţele disipative, care apar la oscilaţii

mici în mediu vâscos (gaz sau lichid), precum şi într-un şir întreg de

amortizori hidraulici.

La viteze mari de vibraţie urmărim o dependenţă pătratică (fig.10.8,

b) a forţei disipative de viteză:

.sgn)( 2

2 xxbxFD (10.12)

Deseori în construcţia amortizorilor sunt utilizate elemente cu

frecare uscată, a căror caracteristică (fig.10.8, c) este următoarea:

,sgn)( 0 xbxFD (10.13)

unde constb 0este forţa frecării uscate.

Toate caracteristicile prezentate mai sus pot fi descrise printr-o

caracteristică neliniară unică

,sgn)( xxbxFm

D

(10.14)

unde b, sunt constante. Pentru , egal cu 1, 2 şi 0, obţinem

caracteristicile (10.11) – (10.13).

Cazul de histerezis. În multe cazuri descompunerea forţei totale în

două componente – elastică şi disipativă este convenţională, iar în multe

cazuri fizic imposibilă. Aceasta se referă în primul rând la forţele de

* Coeficientul de rezistență este notat atât cu litera b, cât și cu litera k (vezi cap.9, §10.3 și cap 11).

Fig. 10.8 Fig. 10.9

306

frecare internă în materialul elementului elastic şi la forţele de

amortizare constructivă, legate de disiparea energiei la deformarea

asamblării fixe (cu nituri, cu şurub, presate).

Dacă vom efectua deformarea ciclică a elementului

elastico-disipativ (fig.10.9), de exemplu, după legea

,cos tax (10.15)

atunci vom observa diferenţa dintre liniile de încărcare şi descărcare în

diagrama forţă – deplasare (fig.10.10). Acest fenomen poartă numele de

h i s t e r e z i s. Suprafaţa mărginită cu bucla de histerezis reprezintă

energia , disipată în curs de un ciclu de deformare şi determină lucrul

forţelor disipative

,)(),(0

T

D dtxxFdxxxF (10.16)

unde /2T – perioada de deformare.

Fie, de exemplu, caracteristica dinamică a elementului

disipativ-elastic de forma ),()(),( xFxFxxF Dy

unde cxxFy )( este componenta

liniară elastică. Bucla de histerezis

a unui astfel de element cu forţa

disipativă liniară (10.11) la

deformarea după legea (10.15) are

forma unei elipse (fig.10.10, a).

Unghiul de abatere a axei mari

caracterizează rigiditatea

elementului .tgc Energia difuzată în curs de un ciclu (10.15):

.sin)()( 1

2

0

22

10

2

1 batdtabdttxbTT

În fig.10.10, b este arătată bucla de histerezis a elementului cu

frecare uscată (10.13). Pentru el energia difuzată

.4 0ab (10.17)

Pentru elementul cu caracteristica disipativă de forma (10.14)

energia difuzată pe o perioadă

,1

bak (10.18)

unde .sin0

1

T

dk

Unele valori pentru k sunt prezentate mai jos:

µ . . . . 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3

kµ . . . . 4,000 3,500 3,142 2,874 2,666 2,498 2,356

Fig. 10.10

307

Difuzia energiei la vibraţiile sistemului elastico-disipativ

este

apreciată prin c o e f i c i e n t u l de a b s o r b ţ i e ( v e z i §

7.1). Pentru caracteristica liniară elastică energia potenţială P a

elementului elastic:

;2/2caP

coeficientul de absorbție

)./(2 2ca

Conform (10.17) – (10.18), în funcţie de tipul caracteristicii forţei

disipative, coeficientul de absorbţie este o funcţie: de frecvenţa la

amortizarea vâscoasă (10.11): ;/2 1 cb

de amplitudine la frecarea uscată (10.13), );/(8 0 cab

de amplitudine şi frecvenţă în cazul general (10.14),

./2 1 cbak

La determinarea oscilaţiilor periodice ale sistemului de tipul

(10.15), proprietăţile disipative ale cărora sunt redate printr-o metodă

descrisă mai sus, caracteristica dinamică iniţială ),( xxF este înlocuită cu

un model elastico-disipat:

.),( xbcxxxF (10.19)

Coeficientul amortizării echivalente b este ales în aşa fel, ca schema

iniţială şi cea înlocuitoare să posede proprietăţi de absorbţie echivalente.

Energia (10.16), difuzată de un amortizor liniar echivalent: .2 ba

Vibraţiile forţate ale sistemului cu un grad de libertate. Ecuaţia

mişcării masei m se scrie in felul următor:

).cos()( 0 tQxFxcxm (10.20)

Căutând soluţia (10.15) şi efectuând liniarizarea (10.19) a funcţiei

neliniare ),(xF în loc de (10.20) obţinem

).cos(0 tQcxxbxm (10.21)

Rezolvând ecuaţia (10.21), vom obţine amplitudinea

,

)()1( 22

0

0

c

bc

Qa

unde mc /0 este pulsaţia proprie a sistemul.

Mărimea b este o funcţie de amplitudine şi frecvenţă, adică

).,( abb De aceea această relaţie în cazul general este o ecuaţie, a

308

cărei soluţie determină amplitudinea căutată. Pentru amplitudinea de

rezonanţă, obţinută la o amortizare mică cu frecvenţa ,0 avem:

)./( 00 bQap (10.22)

Pentru un sistem liniar relaţia (10.22) poate fi scrisă în felul

următor: ),/(0 cQap

unde 0/2 n este decrementul logaritmic al vibraţiilor; )2/( mbn –

coeficientul de amortizare.

Considerarea frecării interioare în materiale. Printr-un şir de

experienţe s-a constatat că proprietăţile de absorbţie ale diferitelor

materiale nu depind de frecvenţa de deformare. De aceea proprietăţile

disipative ale materialului pot fi caracterizate cu ajutorul coeficientului

de absorbţie sau prin decrementul logaritmic al oscilaţiilor , legat cu

el prin egalitatea .2 Aceste valori determinate, de regulă,

experimental sunt redate în funcţie de amplitudinile deformaţiilor

relative ale tensiunilor normale sau tangenţiale.

Amortizarea constructivă în asamblările fixe. Alături de factorii

de amortizare exteriori asupra vibrațiilor sistemelor mecanice o

influenţă considerabilă pot exercita pierderile energetice în interiorul

ansamblului (amortizare constructivă). Aceste pierderi au loc din cauza

frecării în cuplele cinematice, precum şi în îmbinările prin strângere,

prin caneluri, cu şurub, nituri ş.a. Cu toate că aceste îmbinări sunt numite

fixe, în realitate însă la solicitarea lor apar inevitabil deplasări mici pe

suprafeţele de contact; forţele de frecare efectuează un lucru pe

deplasările relative corespunzătoare.

Doar în unele scheme de îmbinări simple energia absorbită în curs

de un ciclu poale fi determinată teoretic. O apreciere mai exactă a

energiei difuzate poate fi obţinută pe cale experimentală – sau după

parametrii rezonanţei maxime (vârful de rezonanţă) în regimul

oscilaţiilor mono-armonice forţate, sau după înfăşurarea oscilaţiilor

libere amortizate.

309

§ 10.6. Principii de vibro-izolare.

Sisteme de apărare contra vibraţiilor

cu un grad de libertate

Elementele modelului de

calcul şi caracteristica lor. În

modelul de calcul al sistemului de

vibro-izolare putem evidenţia trei

componente de bază: sursa de

excitare (S), obiectul de apărat (O) și

sistemul de izolare contra vibrațiilor

(DI). În cazul cel mai simplu sursa și

obiectul se consideră corpuri solide,

care execută o mișcare de translație

față de axa x. În fig. 10.11 este arătată

schema principială de vibro-izolare: a – cazul general, b – excitare

forțată ),(tFF c – excitare cinematică ).(t Forțele exterioare

aplicate sistemului F (de excitare) precum și forțele interioare R și ,R cu

care dispozitivul de izolare contra vibrațiilor, situat între sursă și obiect,

acționează asupra lor, se consideră îndreptate în direcția x. Astfel axa x

servește drept axă pentru sistemul de vibro-izolare examinat.

În cele mai frecvente cazuri masa unuia din corpurile sistemului – a

sursei sau a obiectului – depăşeşte esenţial masa celuilalt corp –

respectiv a obiectului sau a sursei. Atunci mişcarea corpului de masă

"mare" se poate considera că nu depinde de mişcarea corpului de masă

"mică". Dacă, în particular, masa obiectului este mai mare, atunci el este

socotit fix. Mişcarea sistemului în acest caz este realizată de forţele

exterioare aplicate la sursă, care reprezintă o excitare forţată )(tFF

(fig.10.11, b ). Dacă masa mai "mare" este a sursei, atunci legea mişcării

)(t se poate considera cunoscută; această mişcare joacă rolul de

excitare cinematică a obiectului (fig.10.11, c). În ambele cazuri corpul

de masă "mare" este numit portant sau bază, iar corpul de masă mică –

condus.

Schema reprezentată în fig. 10.11, b , de regulă, este folosită atunci,

când este vorba de protecția caselor, construcţiilor, acoperişurilor sau a

fundaţiilor de acţiuni dinamice, excitate de maşini şi mecanismele cu

părţi mobile dezechilibrate, instalate pe ele, sau de alt utilaj vibro-activ.

Schema reprezentata în fig.10.11, c este folosită în problemele privind

protecția contra vibraţiilor aparatelor, mecanismelor precise sau a

Fig. 10.11

310

maşinilor-unelte, adică a utilajului sensibil la vibraţii şi care este instalat

pe baze vibratoare sau pe obiecte mobile.

Dispozitivul de izolare contra vibraţiilor reprezintă partea cea mai

importantă a sistemului de apărare. Rolul lui este de a crea un regim de

mişcare, pentru care se realizează scopul apărării obiectului. În multe

cazuri aceasta este posibil folosind dispozitivul de izolare de vibraţii fără

inerţie, care pentru schemele arătate în fig. 10.11 este un izolator cu o

singură axă. Pentru un astfel de izolator de vibrații reacţiunile R şi R '

coincid ca valoare ),( RR totodată în cazul cel mai simplu examinat mai

jos reacţiunea R poate fi considerată proporţională cu deformaţia şi cu

viteza de deformaţie a izolatorului contra vibraţiilor:

. bcR (10.23)

Dependenţa (10.23) descrie o caracteristică liniară a unui izolator

de vibraţii simplu fără inerţie. Coeficienţii c şi b se numesc de rigiditate

şi, respectiv, de amortizare. Pentru 0b (10.23) este o caracteristică a

unui element liniar ideal elastic (arc); pentru 0c – caracteristica unui

amortizor liniar vâscos. Astfel, modelul izolatorului contra vibraţiilor cu

caracteristica (10.23) reprezintă oscilaţia proprie a sistemului:

./0 mc

Valoarea lui c determină, de asemenea, deformarea statică st

(contractarea) a izolatorului contra vibraţiei, definita prin formula

,/sin0 stg

unde st este deformarea sub acţiunea sarcinii axiale statice ;sinmg m –

masa corpului purtat; – unghiul de abatere a axei izolatorului contra

Fig. 10.12 Fig.10.13

311

vibraţiilor faţă de orizont. Dependenţa )(00 st este arătată în fig.

10.12.

Modelul de calcul al unui sistem simplu de apărare contra

vibraţiilor cu un singur grad de libertate este arătat în fig. 10.13. Aici m ,

x sunt masa şi, respectiv, coordonata cornului purtat; F – forţa aplicată

corpului purtat; – coordonata bazei; c,b – frigiditatea şi coeficientul de

amortizare ale izolatorului contra vibraţiilor. Proprietăţile de amortizare

ale unui astfel de sistem se caracterizează prin:

c o e f i c i e n t u l de a m o r t i z a r e

)2/( mbn

şi amortizarea relativă

).2/(/ 0 cmbn

Pentru 1 în sistem este realizată amortizarea critică.

Eficienţa apărării contra vibraţiilor. Coeficienţii de eficienţă la

excitaţia armonică.

Prin eficienţa apărării contra vibraţiilor se înţelege gradul de

realizare de către dispozitivul de protecție a scopurilor de apărare contra

vibraţiilor. La excitarea armonică forţată. ,0)(;sin)( 0 ttFtF

unde 0F şi sunt corespunzător amplitudinea şi frecvenţa forţei de

excitare. Scopul apărării contra vibraţiilor poate constă în micşorarea

amplitudinii R0 a forţei, care este transmisă obiectului fix,

22222

0

222

00

0

4)(

4

n

nFR

sau în micşorarea amplitudinii oscilaţiilor forţate permanente ale sursei

.4)( 22222

0

0

0

nm

FX

La excitarea armonică cinematică: tttF sin)(;0)( 0

scopul apărării poate consta în micşorarea amplitudinii acceleraţiei

absolute (supraîncărcarea) obiectului

,4)(

4

22222

0

224

0

2

0

n

nW

precum şi în micşorarea amplitudinii oscilaţiilor ei faţă de suport.

Cantitativ gradul de realizare a scopului apărării contra vibrațiilor

poate fi caracterizat prin valorile coeficienţilor adimensionali de

312

eficienţă. Pentru modelul de calcul, prezentat în fig. 10.13, la excitarea

forţată sunt introduşi coeficienţii: ./;/ 0000 FcXkFRk xR

În cazul excitării cinematice sunt examinaţi coeficienţii:

./);/( 000

2 XckWk xR

Valorile Rk şi

xk sunt numite respectiv coeficientul izolării contra

vibraţiilor şi coeficientul dinamic.

Dependenţa coeficienţilor xR kk , ș i

xk de parametrii adimensionali

şi 0/z este de felul

;4)1(

412222

22

zz

zkR

.4)1(

;4)1(

1

2222

2

2222 zz

zk

zzk xx

Coeficienţii echivalenţi ai rigidităţii şi amortizării. Dispozitivul

de apărare contra vibraţilor deseori este compus din câțiva izolatori, care

alcătuiesc un izolator compus. În anumite condiţii reacţia R a unui astfel

de izolator poate fi aproximată prin funcţia (10.23). unde este

deformarea generală a ansamblului. Atunci izolatorul examinat compus

este echivalent (în sensul acţiunii asupra sursei şi obiectului) cu unul

simplu, iar coeficienţii ec şi

eb se numesc coeficienţi echivalenţi de

rigiditate şi amortizare.

Eficienţa sistemelor de protecție contra vibraţiilor la excitarea

poli-armonică. Poli-armonic se numeşte procesul prezentat în forma

unei sume trigonometrice finite. De exemplu, excitarea poli-armonică de

tip cinematic este redată prin suma:

),sin()(1

0 j

n

jjj tt

unde jjj ,,0sunt respectiv amplitudinea, frecvenţa şi faza iniţială a

armonicii j . Totalitatea de numere ),...,2,1(0 njj alcătuieşte spectrul

de amplitudine al acţiunii. Condiţia eficienţei apărării contra vibraţiilor

poate fi asemănată în acest caz cu totalitatea condiţiilor eficienţei la

fiecare din armonicile acţiunii. De exemplu, dacă scopul apărării contra

vibraţiilor constă în micşorarea suprasolicitării )(max tx a obiectului,

condiţia eficienţei este echivalentă cu satisfacerea a n inecuații

),,...,2,1(,1),( njzk jRj ceea ce este egal cu condiţia limitării ordonatelor

313

caracteristicii amplitudine - frecvență a sistemului în punctele date ).,...,2,1( njzz j

§10.7. Amortizarea dinamică a vibraţiilor

Metoda amortizării dinamice a vibraţiilor constă în adăugarea la

obiectul protejat contra vibraţiilor a unor dispozitive suplimentare în

scopul schimbării stării lui de vibraţie. Funcţionarea amortizorilor

dinamici este bazată pe generarea acţiunilor forţate transmise obiectului.

Prin aceasta amortizarea dinamică se deosebeşte de altă metodă de

micşorare a vibraţiilor, care constă în aplicarea asupra obiectului a unor

legături cinematice suplimentare, de exemplu, fixarea unor puncte ale

lui.

Schimbarea stării de vibraţie a obiectului la adăugarea

amortizorului dinamic poate fi realizată atât prin redistribuirea energiei

oscilante din partea obiectului spre amortizor, cât şi prin majorarea

difuziei energiei vibraţiilor. Prima este realizată prin schimbarea acordării

sistemului, obiect-amortizor faţă de frecvenţele de excitaţie care acţionează

prin corectarea calităților elastico-inerţiale ale sistemului. În acest caz

dispozitivele adăugate obiectului se numesc a m o r t i z o r i

d i n a m i c i cu i n e r ţ i e. Amortizorii cu inerţie sunt folosiţi

pentru amortizarea vibraţiilor mono-armonice sau aleatorii de bandă

îngustă. ^

La acţiunea sarcinilor de vibraţie, care au frecvenţa într-o bandă

largă, mai convenabilă este metoda a doua, bazată pe majorarea

proprietăţilor disipative ale sistemului pe calea adăugării la obiect a unor

elemente speciale amortizoare. Amortizorii dinamici de tip disipativ se

numesc a b s o r b i t o r i de v i b r a ţ i i. Dacă ei corectează

concomitent calităţile elastico-inerţiale şi disipative ale sistemului,

atunci aceștia se numesc a m o r t i z o r i d i n a m i c i de

f r e c a r e.

Amortizorii dinamici pot fi realizaţi constructiv pe baza

elementelor pasive (mase, arcuri, atenuatori) şi active, care conţin surse

de inerţie proprii. În ultimul caz este vorba de folosirea sistemelor de

reglare automată, în care sunt folosite elemente de comandă electrice,

hidraulice și pneumatice.

Amortizarea dinamică este eficientă pentru toate tipurile de vibraţii:

transversale, de încovoiere, de răsucire ş.a. Totodată tipul vibraţiilor

314

produse de dispozitivul adăugat, de regulă, este asemănător cu tipul de

vibraţii amortizate.

Amortizorul dinamic cu inerţie mono-masic cu arc elastic. (fig.

10.14). Amortizorul dinamic simplu 2 (fig. 10.14, b ) are forma unui

corp solid, legat elastic de obiectul amortizat 1 în punctul, ale cărui

vibraţii trebuie atenuate. O influenţa esenţială asupra caracteristicilor

rezultante ale mişcării obiectului cu amortizor au pierderile disipative în

amortizor. În fig. 10.14, a este prezentat cel mai simplu caz, când

obiectul amortizat este modelat printr-o masă concentrata m, fixată pe

suport cu un arc elastic de rigiditate c. Ecuaţiile diferenţiale ale

vibraţiilor transversale ale sistemului cu amortizor au forma următoare:

,0)()(

;)()( 0

xxcxxbxm

eGxxccxxxbxm

aaaaaa

ti

aaaa

(10.24)

unde axx, sunt coordonatele absolute ale deplasărilor maselor.

La amortizarea dinamică a vibraţiilor de răsucire după schema

arătată în fig. 10.14, c, ecuaţiile scrise pentru unghiurile absolute de

răsucire ale discurilor obiectului amortizat şi a amortizorului a, au

forma analogică:

.0)()(

;)()( 0

aaaaaa

ti

aaaa

cbJ

eMccbJ

(10.25)

Aici aJJ , sunt momentele de inerţie ale obiectului amortizat şi ale

amortizorului; acc, – rigiditatea de răsucire a arborilor;

ab – coeficientul

pierderilor de vâscozitate la oscilarea parţială a amortizorului; 0M –

amplitudinea momentului de răsucire vibrant, aplicat la discul sistemului

amortizat.

Fig.10.14

Fig.10.15

315

În fig. 10.15 sunt prezentate

caracteristicile amplitudine-frecvenţă ale

sistemului examinat cu amortizor (vezi fig.

10.14, a – pentru obiectul amortizat, b –

pentru amortizor). Pentru comparaţie în

fig.10.15, a cu linie întreruptă este arătată

caracteristica amplitudine-frecvenţă a

obiectului (vezi fig.10.14, a ). Pentru reglarea

aleasă legarea amortizorului formează un

astfel de sistem rezultant cu două grade de

libertate, la care frecvenţei de excitare îi

revine antirezonanţa. Totodată, frecvenţa

antirezonanţei coincide, de asemenea, cu

frecvenţa de rezonanţă a sistemului iniţial.

Amortizori dinamici de inerţie cu rolă. Domeniul de utilizare a amortizorului dinamic

de inerţie poate fi lărgit, garantând reacţia de

compensare a amortizorului. Aceasta se

realizează, în particular, folosind în calitate de

amortizor elemente neizocrone, care au

posibilitatea de a acorda frecvenţa mişcărilor

lor cu frecvenţa de excitare. O neizocronitate

esenţială posedă, elementele care au

capacitatea de a rula pe suprafeţe închise:

cilindrul într-o cavitate cilindrică, sfera într-o

cavitate cilindrică sau sferică, inelul îmbrăcat

pe o tijă ş.a. Fixarea unor astfel de elemente la

obiectul care vibrează duce la aceea că mişcarea de rulare realizată de ele

este sincronizată cu excitarea exterioară. Totodată reacţia periodică,

creată de elementul ce rulează, se opune sarcinii de vibraţie.

În calitate de exemplu examinăm un obiect amortizat cu un singur

grad de libertate, excitat de forţa armonică ),cos()( 0 tGtG fiind

înzestrat cu un amortizor cu bilă sau rolă cu masa am şi raza ,a situat în

cavitatea cilindrică cu raza (fig.10.16). Sistemul examinat este descris

prin următoarele ecuaţii diferenţiale:

.sin)()(

);sincos()(...

...)cos()(

2

2

0

xmm

m

tGcxxmm

aaaa

aa

a

(10.26)

Fig.10.16

Fig.10.17

316

Aici x este coordonata transversală a obiectului; – coordonata

unghiulară relativă a poziţiei amortizorului, calculată de la axa verticală.

Determinăm condiţiile de stabilizare a obiectului, considerând că

.0 xxx Din (10.26) avem ,0 taadică amortizorul se roteşte

uniform. Forţa centrifugă, transmisă de corpul ce se roteşte uniform

obiectului amortizat, echilibrează complet excitarea şi asigură

stabilizarea obiectului. Urmărind după frecvenţa de excitare, amortizorii

cu rolă de tipul cercetat sunt sensibili la schimbarea amplitudinii de

excitare la frecvenţa de acordare.

Deseori cu mărirea frecvenţei se măreşte excentricitatea

dezechilibrului. Mărirea razei cavităţii necesare pentru compensare

)( poate fi efectuată, realizând construcţia amortizorului sub forma

prezentată în fig. 10.17. Forma suprafeţei de rulare este realizată astfel

ca la mărirea frecvenței şi a reacţiei centrifuge bila să se deplaseze în

direcţia axei y a suprafeţei de rotaţie a generatorului. Caracteristica

arcului elastic este aleasă din condiţia care asigură poziţia bielei pe raza

necesară.

Alegând forma secțiunii axiale a cavităţii putem regla într-un

interval oarecare spectrul reacției periodice a amortizorului. De

exemplu, secţiunea în formă de elipsă permite de a ridica rolul

armonicilor superioare cu frecvenţe multiple în spectrul reacţiei

amortizorului. Aceasta este folositor în acele cazuri, când avem în

excitări armonici analoge. Teoretic, mărind excentricitatea elipsei până

la unitate, adică prefăcând elipsa într-o suprafaţă care permite masei

amortizorului să realizeze numai mişcări unidimensionale (fig. 10.18,

Fig.10.18 Fig.10.19

317

b), ajungem la ideea amortizorului de şoc, reacţia căruia are spectrul

armonicilor multiple, apropiat de uniform.

Folosirea amortizorului cu o singură rolă necesită folosirea

directoarelor în construcţia obiectului amortizat, care compensează

reacţiile laterale ale amortizorului. Întrebuinţarea lor poate fi evitată

folosind doi amortizori asemănători cu semimasă (fig.10.19), situați

simetric față de linia de acţiune a forţei excitatoare. După trecerea

frecvenţei de rezonanţă a sistemului amortizorii îşi sincronizează

rotaţiile lor în direcţii diferite, compensând astfel sarcinile laterale.

Astfel diapazonul eficienţei unor astfel de amortizori este domeniul

frecvenţelor după rezonantă.

Amortizor dinamic de inerţie pendular. Susţinerea echivalenţei

frecvenţei parţiale a amortizorului dinamic cu frecvenţa de excitare

într-o bandă largă poate fi asigurată la folosirea amortizorilor pendulari,

situaţi în câmpul forţelor centrifuge, format ca rezultat al rotirii, care este

cauza oscilaţiilor. În fig. 10.20 sunt prezentate schemele unor astfel de

amortizori, destinaţi atenuării oscilaţiilor transversale și de răsucire. Fie

discul (fig. 10.20, a ) cu raza având momentul de inerţie J care este

legat elastic cu arborele motorului, care se rotește după legea:

,)( 00

tiett

unde este viteza unghiulară medie a arborelui; 0 – indicele

neuniformității rotaţiilor; – frecvenţa oscilaţiilor de răsucire a

arborelui, unde , n iar ,...2,1n multiplicitatea vibraţiilor.

Fig.10.20 Fig.10.21

318

În rezultat, momentul vibraţiilor, redus la disc tiectM 0)( (c –

rigiditatea de răsucire a sectorului arborelui între motor şi disc), excită

oscilaţiile de răsucire ale discului.

Pentru neutralizarea acestor oscilaţii de disc este prins un pendul

(prin articulaţie) cu masa ,am situată la capătul unei bare fără greutate cu

lungimea l (fig. 10.21). Examinăm oscilaţiile pendulului fără disc în

sistemul de coordonate, care se roteşte cu viteza unghiulară , rigid

legată cu discul (fig. 10.21, a). Aplicând în centrul maselor pendulului

forţa centrifugă ,2dmF a (unde d este distanţa de la centrul maselor

pendulului până la centrul de rotaţie a discului), o descompunem în două

componente: FN şi FT în direcţia axei pendulului şi perpendicular pe

aceasta. Obţinem:

.sin;cos 22 dmFdmF aTaN

Notând devierea unghiulară a pendulului faţă de disc prin

, aunde ,

a sunt devierile unghiulare absolute ale discului şi

pendulului. Din triunghiul din fig. 10.21, b, ținând cont de valoarea mică

a unghiurilor ascuţite, rezultă )./( l

Ca rezultat, pentru oscilaţiile mici ale pendulului obţinem

,.);( 22 aTaN mFlmF

Ecuațiile diferenţiale, care descriu oscilaţiile sistemului examinat

cu două grade de libertate, au forma următoare:

Fig.10.22

319

.0)()(

;))(()(22

0

2

lmlmblm

elmcbJ

aaaaaaa

ti

aaaa

(10.27)

La alcătuirea ecuaţiei a doua nu au fost luate în consideraţie forţele

Coriolis mici, iar mişcarea de translaţie a discului a fost luată in

consideraţie cu ajutorul ultimului termen. Conform acestei ecuaţii,

frecvenţa parţială proprie a oscilaţiilor pendulului:

,/)/(/ lnla

adică ea este proporţională cu viteza unghiulară de rotaţie a arborelui sau

cu frecvenţa vibraţiilor. Astfel la schimbarea frecvenţei vibraţiilor

frecvenţa amortizorului se reglează automat.

La amortizarea oscilaţiilor de răsucire pentru compensarea acţiunii

de încovoiere a forţei FN este raţional de a instala două pendule în puncte

diametral opuse ale discului. Efectul dinamic de amortizare a oscilațiilor

produse de ele are o acţiune sumată.

Asigurarea constructivă a reglării (10.27) are un şir de

particularităţi. Cea mai simplă schemă de tipul celei prezentate în fig.

10.22, a se realizează, de regulă, pentru n = 1. Cu mărirea lui n lungimea

pendulului se micşorează esenţial. Pentru asigurarea suspendării pe un

braț mic l sunt folosite construcțiile prezentate în fig. 10.22, b – e. În fig.

10.22, b este arătată schema fixării bifilare libere a pendulului

contragreutate 1 pe proeminenţa bilei 2 a arborelui cotit, în care sunt

practicate găuri cu raza .1 Aceeaşi rază au şi găurile contragreutăţii.

Asamblarea este realizată cu ajutorul ştiftului 3 cu raza ,2 mai mică

decât raza găurilor. Fixarea descrisă asigură mişcarea de translaţie a

contragreutăţii pe o circumferinţă cu raza ).(2 21 l

Fig.10.23

320

Raza de fixare a pendulului-contragreutate în acest caz: ,lh

unde h este distanţa de la centrul de rotaţie a discului până la centrul

maselor contragreutăţii.

Formula finală de reglare a pendulului cu suspendare bifilară are

forma

.1)](2/[)(2 2121

2 hn

În fig. 10.22, c amortizarea

oscilaţiilor este asigurată de un

pendul-rolă 1, care este situat

liber în gaura cilindrică a

contragreutăţii bilei 2. Realizarea

unei astfel de scheme este limitată

ca dimensiuni, de aceea în locul

rolelor sunt folosite deseori

pendule inelare 1 (fig. 10.22,

d,e). Elementele "pendul"

deseori sunt realizate constructiv

sub formă de corpuri sferice sau

cilindrice situate liber în cavitățile

obiectului. Astfel de construcţii

Fig.10.24

Fig.10.25

Fig.10.26

321

sunt folosite la atenuarea oscilaţiilor de încovoiere a arborilor cotiţi.

Unul sau două corpuri 1 (fig. 10.23, a) sunt instalate în canalele

contragreutăţii bilei 2. Ele au posibilitatea de a pendula în planul de

încovoiere, rulând pe o suprafaţă cilindrică mărginită sau toroidală.

Deseori, de asemenea, este folosită instalarea pendulului cu suspendare

bifilară 1 (fig. 10.23, b). Suprafeţele de reglare a oscilaţiilor pendulelor

pentru stingerea oscilaţiilor de încovoiere şi de răsucire ale arborilor

cotiţi sunt reciproc perpendiculare.

Amortizori dinamici inerţiali cu elemente active. Utilizarea în

sistemele de amortizare dinamică a vibraţiilor elementelor cu surse

proprii de energie amplifică proprietăţile lor funcţionale. Apare

posibilitatea să se asigure

reglarea parametrilor

amortizorului destul de

simplu într-o bandă largă, în

legătură cu variaţia

excitaţiilor care acţionează,

să se efectueze reglarea

continuă în regim de

urmărire, să se găsească şi să

se realizeze cele mai bune

legi pentru reacţiunile de

compensare. În fig. 10.24

sunt prezentate schemele

folosirii electromagnetului

în calitate de reglator

al

rigidităţii echivalente a

amortizorului dinamic de

vibraţii longitudinale.

Schemele se deosebesc prin

fixarea miezului 1 si a

corpului cu bobină 2 la

obiectul amortizat sau la

suportul fix.

Scheme analoge pot fi

realizate pentru amortizarea

dinamică dirijată a

vibraţiilor de răsucire. În

calitate de element de

excitare poate fi folosită

Fig.10.27

Fig.10.28

Fig.10.29

322

construcţia modificată a

motorului de curent

continuu (fig. 10.25),

înlăturând deplasarea

relativă a polilor rotorului

1 şi a statorului 2 şi

lichidând posibilitatea

comutării polilor în

timpul vibraţiilor.

Rigiditatea

amortizorului poate fi

schimbată, de asemenea,

deplasând amortizorul

dinamic 1 de-a lungul

barei elastice cu ajutorul

motorului electric

reglabil (fig. 10.26, a ) .

Ținând cont de faptul că

în regimul de

antirezonanță fazele de

oscilare ale obiectului 2 si amortizorului 1 sunt IM deplasate cu ,2/

generarea semnalului de comandă este realizată de discriminatorul de

fază 4 (fig. 10.26, b ) , în care sunt comparate indicațiile absolute ale

obiectului şi amortizorului. La deplasarea de fază, diferită de ,2/

acţionează releul, care porneşte motorul 3 în conformitate cu direcţia

necesară a reglării de compensare.

Eficienţa amortizării dinamice active este limitată de inerţia

sistemului de comandă. Pentru micşorarea masei pieselor legate la

obiect corpul 1 al dispozitivului de execuţie (fig. l0.27) al amortizorului

activ este instalat uneori pe un suport fix şi transmite acţiunea forţată la

unele puncte ale obiectului elastic 2 după rezultatele măsurării

vibraţiilor altor puncte (de exemplu, 3), ale căror vibraţii trebuie

atenuate.

În cazurile când este realizată amortizarea vibraţiilor obiectului în

mişcare, de exemplu a dispozitivelor de transport, sistemul fix, faţă de

care sunt generate forţe de compensare, transmise la obiect, poate fi

realizat cu ajutorul dispozitivelor giroscopice.

Amortizor dinamic mono-masic cu arc cu frecare. Lărgirea

diapazonului de frecvente în care se realizează amortizarea dinamică a

Fig.10.30

Fig.10.31

323

vibraţiilor, poate fi realizată, de asemenea, prin folosirea raţională a

proprietăţilor disipative ale amortizorului mono-masic cu arc. În fig.

10.28 sunt prezentate caracteristicile amplitudine-frecvenţă ale

obiectului (vezi fig. 10.14, b) pentru diferiţi coeficienţi ai forţei de

frecare vâscoasă. Aici a este amplitudinea. Pentru asigurarea valorii

maxime a amplitudinii vibraţiilor remanente este necesar să se aleagă

atenuarea a astfel, ca în punctele A sau В să fie atins extremul

caracteristicii amplitudine-frecvenţă a amortizorului dinamic de frecare.

Aici mma / (m este masa amortizorului; ma – masa obiectului);

cG /0 – excitarea exterioară).

Pentru a calcula dimensiunile amortizorului şi tensiunile în arc,

trebuie aflată amplitudinea 0a oscilaţiilor masei amortizorului faţă de

sistemul amortizat. În cazul general această valoare poate fi calculată din

sistemul de ecuaţii diferenţiale (10.24). În practică însă este folosită o

relaţie aproximativă simplă, obţinută cu ajutorul bilanţului energetic.

Lucrul forţei armonice G(t) la mişcarea armonică a sistemului

amortizat x(t) cu amplitudinea a rezultă din relaţia

,sin 00 aGaGEb

Unde – valoarea fazei, apropiată de .2/ Energia, difuzată în amor-

tizorul vâscos ca rezultat al mişcării relative a maselor m şi ma:

.2

0abE ad

Egalând valorile bE şi ,dE vom obţine

,2

100

a

aa

unde

;/ 0 ;/ 0 a ).2/( aaaa mcb

324

Construcţii de amortizori

dinamici cu frecare pot fi

create atât prin legarea în

paralel a elementelor elastice

și amortizor (fig. 10.30, a), cât

şi în serie (fig.10.30, b).

Eficientă este şi executarea

elementului amortizor elastic

sub formă de piesă unică din

cauciuc. În fig. 10.31 sunt

prezentate exemple de astfel

de construcţii, destinate

amortizării vibraţiilor de

răsucire. Cu ajutorul unor

asemenea piese sunt realizate

reazeme de cauciuc-metal cu

amortizor de vibraţii (fig.

10.32).

Amortizori giroscopici

de vibraţii. Pentru

amortizarea vibraţiilor mij-

loacelor de transport şi în

unele cazuri speciale sunt

folosiţi amortizori dinamici pe

baza giroscoapelor. Acţiunea

echivalentă a unor astfel de

sisteme este analogă cu lucrul

amortizorului cu arc, cu toate

că construcţia şi principiul de

lucru sunt diferite. În fig.10.33 este prezentată schema stabilizatorului

legănării de bord a vaporului. Rotorul giroscopului 1 este montat în

corpul 2, care poate pendula faţă de vapor în jurul axei 3, perpendiculară

pe axa longitudinală a vaporului. În acest caz centrul de greutate al

corpului se găseşte mai jos de axa pendulării la distanţa l. Oscilaţiile

corpului sunt amortizate cu ajutorul tamburului de frânare 4. Masa

rotorului constituie de obicei 1% din masa vaporului.

Fig.10.32

Fig.10.33

Fig.10.34

325

Alături de schema

examinată pentru amortizarea

legănării de bord este folosită

schema giroscopului cu reacţie.

Corpul 2 al giroscopului de

execuţie cu rotorul 1 (fig.

10.34, a) este instalat

concentric faţă de axa de

precesie 3. Orientarea corpului

este realizată de servomotorul 4

prin transmisia cu roți dințate 5,

cu ajutorul semnalelor

giroscopului director mic (fig.

10.34, b). Ultimul este instalat

analog giroscopului de execuție

și constituie o copie mult

micșorată a acestuia. La

legănarea de bord, în urma

întoarcerii corpului

giroscopului director sunt

conectate contactele

corespunzătoare ale releului

care antrenează servomotorul.

Ca rezultat, corpul giroscopului

de execuție se întoarce astfel ca

momentul reactiv, care apare și

acționează asupra reazemelor

corpului, să se opună legănării.

În majoritatea vapoarelor

moderne pentru combaterea

legănării sunt folosite

dispozitive, pe baza aripilor

fixe sau dirijate, care schimbă

unghiul de atac la înclinare

astfel că forța de ridicare la

carenarea lor cu apa se opune

legănării. Spre deosebire de amortizorii giroscopici aceste dispozitive

asigură stabilizarea numai la mișcarea vaporului.

Fig.10.35

Fig.10.36

326

§10.8. Absorbitori de vibraţii

cu frecare vâscoasă şi uscată

Absorbitori de vibrații cu

frecare vâscoasă. În fig. 10.35 sunt

prezentate schemele unor absorbitori

simpli de vibrații cu frecare vâscoasă,

legați la obiectul amortizat cu un grad

de libertate. Absorbitorii sunt larg

folosiți pentru atenuarea atât a

vibrațiilor longitudinale, cât și a celor

de torsiune. Totodată ei pot fi folosiți

pentru atenuarea vibrațiilor care

variază după orice legi. La

amortizarea vibrațiilor

mono-armonice acești amortizori

sunt mai puțin eficienți decât

amortizorii dinamici cu frecare, însă

și în acest caz deseori ei au prioritate

din cauza construcției simple și a

lipsei elementului elastic, sensibil la

deteriorări de oboseală.

Sistemul examinat, de

asemenea, poate fi descris prin

ecuațiile (10.24) în cazul vibrațiilor

longitudinale sau (10.25) în cazul

celor de torsiune cu condiția că .0ac

În cazul 0)2/( 000 amb și

0 vor fi sisteme cu un grad de libertate, ale căror caracteristici

amplitudine-frecvență sunt prezentate în fig. 10.36. Cea mai bună

reglare a amortizorului are maximul amplitudinii în punctul B. Mărimea

,0 care asigură extremul caracteristicii în punctul B (linie neîntreruptă),

se calculează cu relația

.)1)(2(2/[10

Cea mai simplă construcţie a amortizorului vâscos este prezentată

în fig.10.35, a. Bucşa 1, legată rigid cu corpul 2, este instalată pe

arborele 3 , ale cărui oscilații de torsiune trebuie amortizate. În interiorul

Fig.10.37

Fig.10.38

327

corpului se găseşte volantul 4 , care poate să se deplaseze faţă de bucşă

datorită cămăşii 5 cu un coeficient de frecare redus. Spaţiul redus dintre

corp şi volant este umplut cu lichid de vâscozitate mare.

În schema din fig.10.35, b efectul de amortizare este obţinut la

oscilarea bucşei cu palete instalate rigid pe arborele 3 având

posibilitatea de a se roti faţă de volantul 2. Camerele interioare sunt

umplute cu lichid vâscos.

În fig. 10.35, c arborele conducător 3 roteşte semi-cuplajul, care are

o cavitate toroidală cu despărţiturile 6 şi corpul 2 unit cu ea, care se

roteşte liber faţă de al doilea semi-cuplaj analogic legat rigid cu arborele

condus 5 . Cavitatea cuprinsă între semi-cuplaje este umplută cu lichid

de vâscozitate redusă. În urma diferenţei de viteze a arborilor sub

acţiunea forţelor centrifuge lichidul va circula în sensul indicat cu săgeţi.

Momentul de răsucire se transmite prin intermediul forţelor Coriolis,

care apar în acest caz. La amortizorul din fig. 10.35, d forţa amortizoare

apare la scurgerea uleiului prin găuri mici la oscilarea diafragmei 1 faţă

de corpul 2 instalat liber şi umplut cu ulei.

Amortizori cu frecare uscată. Amortizorii cu frecare uscată au

căpătat o răspândire largă datorită construcţiei şi deservirii simple,

precum şi datorită dimensiunilor reduse. Ei sunt folosiţi la amortizarea

atât a vibraţiilor de torsiune, cât şi a celor longitudinale. Examinăm

principiul de lucru al unui astfel de amortizor pe exemplul folosit pentru

amortizarea vibraţiilor de răsucire ale unui obiect cu un singur grad de

libertate (fig. 10.37). În acest caz discul cu momentul de inerţie gJ este

unit cu obiectul cu ajutorul unei cuple cu frecare uscată, care excită în

timpul vibraţiilor relative un moment constant , care se opune dep-

lasării relative a obiectului şi amortizorului.

Prin analogie cu (10.25) ecuaţiile diferenţiale ale sistemului pot fi

scrise astfel:

.0)sgn(

;)sgn( 0

aaa

ti

a

J

eMcJ

În fig. 10.38 este prezentată construcţia amortizorului cu frecare

uscată. Bucşa 1, unită cu arborele 2, roteşte prin intermediul discurilor

cu fricţiune 3 volantul 4 , instalat liber pe arbore. Reglarea valorilor

forţelor de frecare uscată este asigurată de gradul de comprimare a

arcului 5. La vibraţiile arborelui are loc alunecarea relativă a volantului

şi bucşei, care duce la difuzia energiei ca rezultat al frecării suprafeţelor

de fricţiune.

328

Momentul optim al forţelor de frecare uscată, care duce la difuzia

maximă a energiei pe un ciclu: ,)/2( 0

2 aJ unde 0 este am-

plitudinea oscilaţiilor unghiulare ale arborelui fără amortizor.

Neajunsul amortizorilor cu frecare uscată este instabilitatea

momentului de frecare ca rezultat al uzării şi poluării suprafeţelor de

frecare, precum şi din cauza gripării şi deformaţiei unghiulare a

discurilor.

§10.9 Amortizor de vibrații prin șoc

Baza amortizorului de vibrații prin

șoc o constituie un corp cu masa ma (fig.

10.39), care se ciocnește cu elementul A al

sistemului amortizat, ale cărui oscilații

trebuie atenuate. Cea mai mare răspândire

o au amortizorii de şoc liberi (fig.10.40,

a,b,c) sub formă de sferă, cilindru,

instalaţi liber cu jocul .2 Amortizorii

liberi sunt reglaţi la regimul de două

ciocniri la rând ale corpului de fiecare

limitator, în timpul unei perioade de

mişcare. Se folosesc, de asemenea,

amortizori prin şoc cu arc (fig. 10.40, a) și pendul (fig. 10 40, e) cu

suspendarea corespunzătoare a amortizorului. În astfel de dispozitive se

realizează, de regulă, regimul de ciocniri unilaterale cu o ciocnire pe o

perioadă. Mai rar sunt folosite dispozitive analoge de acţiune bilaterală

(fig.10.40, e).

În fig. 10.41 sunt prezentate caracteristicile elastice statice )(yf ale

deplasării y a amortizorului faţă de punctul deformării A al obiectului

pentru variantele de bază de instalare a amortizorilor (a – amortizor

liber; b – amortizor cu arc unilateral; c – amortizor cu arc bilateral).

Liniarizarea armonică nemijlocită a caracteristicilor statice descrise

este imposibilă, fiindcă valorile lor la ciocnire sunt nesemnificative. O

metodă simpla este liniarizarea armonică a funcțiilor inverse ),(RQy

care caracterizează dependenţa deplasării relative de reacţia "elastică" a

amortizorului. De exemplu, pentru amortizorul de tip liber (fig. 10.42)

.sgnRy Efectuând liniarizarea armonica a funcţiilor prin procedee

obişnuite, obţinem ,)( 0 RRqy unde )( 0Rq este coeficientul liniarizării

Fig.10.39

329

armonice, care depinde de amplitudinea 0R a reacțiuni periodice a

amortizorului, totodată, .1 acq

Mărimea coeficientului de refacere este asigurată prin folosirea

materialelor cuplelor de contact cu proprietăți de viscozitate și

plasticitate scăzute, de exemplu oțeluri călite pentru rulmenți ș.a. Afară

de acesta trebuie micșorată rezistența la vibrațiile masei amortizorului

față de corp. Rezultatele bune se obțin la folosirea corpurilor sferice.

Alegând parametrii amortizorului din condiția ,)4/( Aa mm unde

Am este masa dezechilibrată care se rotește; – excentricitatea instalării

masei ;Am am – masa amortizorului, putem asigura atenuarea oscilațiilor

într-o bandă largă de frecvențe a regimului cu ciocniri repetate de

limitatori. În fig. 10.43 este prezentată caracteristica

amplitudine-frecvență a unui sistem cu un grad de libertate, cu frecvența

,/ mc înzestrat cu un amortizor prin șoc de tip liber și excitat de o

forță periodică cu amplitudine constantă. Amortizarea vibrațiilor este

realizată numai la trecerea prin frecvența proprie a sistemului amortizat.

În domeniul de până la rezonanță este posibilă excitarea sistemului la

frecvență:

.)/( ammc

Fig.10.40

330

Astfel, datorită neizocroniei amortizo- rului liber de șoc poate să se

regleze la frecvența de excitare într-o bandă largă de frecvențe,

opunându-se oscilațiilor

punctului de fixare.

Pierderile de energie, care

apar la ciocniri, limitează

această bandă în partea

superioară. Pentru ridicarea

limitei date elementul de

șoc este fixat pe un arc ce

contribuie și la majorarea

frecvenței limitei de jos,

care este egală cu ./ aa mc

§10.10. Schemele de

bază ale sistemelor

active

de protecție contra

vibrațiilor

În prezent s-a elaborat

un număr mare de scheme

ale sistemelor active de

protecție contra vibrațiilor.

În fig. 10.44 este prezentată

schema amortizorului

electrodinamic cu

comandă, în care,

schimbarea parametrilor

sistemului oscilant se

realizează ca rezultat al

comenzii elementelor

electronice, ce permite

folosirea acestei scheme pentru amortizarea sistemului oscilant în

regimuri tranzitorii. Aici agregatul oscilant cu masa M se sprijină pe

legăturile elastice cu rigiditatea c și pe convertizorii magnetoelectrici

(difuzorii 5 și 6). Traductorul de deplasări 1, care este legat cu masa

oscilantă, transmite semnalul x(t) amplificatorului 2 și mai departe

Fig.10.41

Fig.10.42

Fig.10.43

331

dispozitivului de diferențiere 3 și amplificatorului 4, care alimentează

convertizorii

magnetoelectrici. Cum se vede

din schemă, aceste elemente

formează o buclă

electromagnetică a legăturii

inverse. Schimbând parametrii

buclei, putem schimba

parametrii schemei, adică

putem schimba capacitățile de

rezonanță în limite largi.

În fig. 10.45 este arătată

schema pneumo-mecanică de

apărare contra vibrațiilor cu

excitator pneumatic (cilindru

de forță) cu acțiune dublă (1 –

excitat pneumo-mecanic; 2 –

legătură mecanică inversă de

deplasare; 3 – servo-supapă; 4

– canal de intrare; 5 – canal de

ieșire; 6 – drosel; 7 –

capacitate; 8 – obiect izolat).

Legătura mecanică

inversă de deplasare prin

intermediul dispozitivului cu

sertar conduce la consumul

gazului, care este alimentat de

la sursa exterioară de energie.

În urma acțiunii legăturii

inverse, care deplasează

sertarul, efortul de ieșire a

excitatorului este o funcție a

integralei deplasării derivate.

Conducerea după integrala

deplasării poate fi realizată

numai la frecvențe foarte

joase. Din această cauză

legătura inversă după deplasare este folosită numai pentru poziționarea

obiectului apărat. Calitatea apărării contra vibrațiilor și șocurilor este

Fig.10.44

Fig.10.45

Fig.10.46

332

determinată de rigiditatea și amortizarea sistemului pneumatic pasiv.

Sistemul este relativ puțin sensibil la schimbarea valorii masei izolate.

Dependența coeficientului de deplasare ak de frecvență pentru

sistemul pneumo-mecanic de apărare cu capacități suplimentare este

prezentată în fig. 10.46 în coordonate logaritmice. Curba 1 - zero, 2 –

infinită, 3 – joasă, 4 – înaltă, 5 – amortizare optimă.

Curbele 3 și 4 sunt obținute în absența strangulării și la închiderea

completă a jetului de gaz între excitant și capacitățile suplimentare.

Amortizarea optimă este determinată prin minimizarea coeficientului de

rezonanță dinamic. Devierile destul de mari ale efectului de amortizare

de la valoarea optimă acționează slab asupra coeficientului .dk

În fig. 10.47 este arătată schema sistemului de apărare

electrohidraulică cu cilindru de forță cu acțiune dublă (1 – traductor de

accelerație; 2 – traductor de deplasare relativă; 3 – servoamplificator; 4 -

sursă electrică; 5 – servo-distribuitor; 6 – canal de intrare; 7 – canal de

ieșire; 8 – excitator hidraulic). În această schemă semnalele de la

traductorii de accelerație şi deplasare relativă sunt primite de

amplificatorul cu sursă electrică. Amplificatorul generează un semnal,

care conduce mişcarea distribuitorului, care reglează fluxul (de la sursa

hidraulică exterioară) şi scurgerea lichidului prelucrat din cilindrul de

forţă. Fluxul lichidului de lucru prin distribuitor este reglat după

acceleraţie,viteză relativă, deplasare relativă şi integrala deplasării

relative. Coeficienţii de amplificare pentru fiecare canal de legătură

inversă se reglează independent.

Fig.10.47 Fig.10.48

333

Pentru înlăturarea abaterilor de fază şi amplitudine introduse de

jocurile în articulaţiile pârghiei clapetei şi de deformarea ei la frecvenţe

mari, în schema hidraulică de apărare contra vibraţiilor (fig. 10.48) este

folosită "pârghia hidraulică". Ultima prezintă două sifloane unite, de

diametru diferit, umplute cu lichid incompresibil. În scopul stabilizării

poziţiei obiectului izolat faţă de pistonul sistemului de forţă şi pentru

compensarea dilatării termice a lichidului în sifloane, este folosit

sistemul reglării automate a poziţiei, care generează semnalul legăturii

inverse după deplasarea relativă. Modelul dinamic al unui astfel de

sistem de apărare este prezentat în fig.10.49 (1 – masa izolată; 2 –

elementul elastic; 3 – legătura inversă după poziţionare; 4 – cilindru de

forţă; 5 – masă; 6 – arc; 7 – ajutaj; 8 – clapetă; 9 – drosel constant; 10 –

drosel variabil; 11 – pompă).

În schemele indicate banda de jos a eficienţei este limitată de va-

loarea frecvenţei proprii a traductorului deplasărilor de vibraţie.

Înlăturarea acestei limite este realizată în sistemul de apărare hidraulic,

al cărui model dinamic este prezentat în fig. 10.50. Sistemul de forţă în

formă de hidro-cilindru este executat într-un corp cu sistem de comandă.

Sistemul de comandă conține mecanismul reglării lichidului de lucru,

care este compus dintr-un traductor în formă de membrană sensibilă,

care înregistrează oscilațiile presiunii în cilindrul de forță, o clapetă, care

este fixată rigid pe membrană și formează împreună cu ajutajul un

element, care generează semnalul comandă.

Fig.10.49 Fig.10.50

334

În fig. 10.51 este prezentată schema sistemului hidraulic de apărare

a scaunului 1 al operatorului, care conține elementul elastic 2, cilindrul

hidraulic 3, stabilizatorul de forță 4

sub formă de traductor de presiune a

lichidului de lucru și elementul în

formă de ajutaj-clapetă, legăturile

inverse 5,6 după poziționare și

accelerație. Legătura inversă după

poziționare asigură stabilizarea

scaunului față de fundație. Legătura

inversă după accelerație este introdusă

pentru prevenirea acțiunii exterioare

cu avans, necesară pentru

compensarea excitării și ridicarea

eficienței sistemului în zonele de

rezonanță ale corpului operatorului.

Sistemul asigură micșorarea

oscilațiilor verticale ale scaunului

operatorului până la minimum.

Fig.10.51

335

P a r t e a II

Metodele de proiectare

a schemelor mecanismelor

C a p i t o l u l 11

SINTEZA SCHEMELOR CINEMATICE ALE MECANISMELOR

CU CUPLE CINEMATICE INFERIOARE.

MECANISMELE ROBOȚILOR MANIPULATORI

În capitolul 3 s-a arătat în ce mod, folosind schema structurală a mecanismului şi

dimensiunile elementelor lui, pot fi determinate funcţia de poziţie şi funcţia de transmisie a diferitelor puncte şi elemente ale mecanismului, adică să se determine caracteristicile

cinematice ale acestuia. La proiectarea mecanismului este necesar să rezolvăm şl

problema inversă: după schema structurală aleasă şi caracteristica cinematică cunoscută

să determinăm dimensiunile mecanismului proiectat, care să permită mişcările necesare. Această problemă este cunoscută ca sinteza schemei cinematice a mecanismului şi

metodele de rezolvare a acesteia și sunt expuse în capitolele din partea a II-a cărţii.

Sinteza cinematică a mecanismelor cu cuple cinematice inferioare (mecanisme cu

bare) conţine un şir concret de probleme, dintre care trebuie menţionate: sinteza după funcţia de poziţie dată analitic sau după unii parametri cinematici cunoscuţi (viteza

medie, raportul vitezelor medii la cursa directă şi inversă); sinteza după traiectoria dată a

punctului elementului.

Metodele sintezei cinematice a mecanismelor cu bare, care au un singur grad de mobilitate, precum şi studiul mecanismelor cu lanţuri cinematice deschise şi cu un

număr de grade de libertate mai mare decât unu (mecanismele roboţilor şi

manipulatorilor) sunt expuse în capitolul de faţă.

§ 11.1 Condiția existenței manivelei

în mecanismele plane cu patru elemente

O caracteristică cinematică importantă la sinteza mecanismelor este

rotirea elementelor lui (existenţa uneia sau a două manivele), care

depinde de lungimea elementelor lui [1]. Mai întâi să examinăm

mecanismul plan articulat cu patru elemente ABCD (fig.11.1, a) cu

lungimile elementelor a, b, c şi d. Pentru ca elementul AB să fie

manivelă, în timpul rotirii el trebuie să treacă prin poziţiile limită din

stingă (AB1) şi dreapta (AB3). *

336

Presupunând că a este lungimea celui mai scurt element, d – a celui

mai lung şi folosindu-ne de relaţia cunoscută între lungimile laturilor

triunghiului (lungimea unei laturi a triunghiului este mai mică decât

suma lungimilor celorlalte două laturi), scriem următoarele inegalităţi:

din DCB 11 ,cbad (11.1)

din DCB 33 .cbad (11.2)

Independent de relaţia dintre lungimile b şi c, inegalitatea (11.1)

asigură totdeauna îndeplinirea inegalităţii (11.2).

Pozițiile AB2 și AB4 caracterizează poziţiile limită ale pârghiei CD.

Elementul BC, conform fig.11.1, a, nu face o rotaţie completă faţă de

suportul AD şi de aceea este bielă.

Inegalitatea (11.1) ne permite să facem o formulare generală a

condiţiei rotirii elementului mecanismului articulat cu patru elemente, şi

anume – cel mai scurt element al mecanismului articulat cu patru

elemente poate fi manivelă, dacă suma lungimilor celui mai scurt şi celui

mai lung element este mai mică decât suma lungimilor celorlalte

elemente. Această poziţie poartă numele de r e g u l a lui G r a s s h o f f.

Folosind această lege, mecanismele articulate cu patru elemente se

impart în trei grupe. Mecanismul va fi balansier cu manivelă (fig. 11.1,

a ) , dacă dimensiunile elementelor lui satisfac regula, şi că batiul este

Fig. 11.1

337

elementul care se găseşte alături de cel mai scurt element. Mecanismul

va conţine două manivele, dacă suma lungimilor celui mai scurt şi celui

mai lung element este mai mică decât suma lungimilor celorlalte

elemente şi ca batiu este cel mai scurt element al lui. Aceasta reiese din

aceea că, dacă manivela în cazul îndeplinirii regulii lui Grasshoff face o

rotaţie completă faţă de suport şi bielă, atunci şi aceste elemente vor

efectua o rotaţie completă faţă de suport şi bielă, atunci şi aceste

elemente vor efectua o rotaţie completă faţă de manivelă. Mecanismul

va fi dublu balansier, dacă dimensiunile elementelor nu satisfac regula,

şi în cazul când suma lungimilor, celui mai scurt şi celui mai lung

element este măi mică decât suma lungimilor celorlalte elemente, însă

cel mai scurt element al lui este biela(fig. 11.1, b) şi, prin urmare, el nu

poate fi manivelă, fiindcă nu este element situat alături de batiu.

În cazul limită, când inegalitatea (11.1) se transformă în egalitate,

toate elementele mecanismului în una din poziţiile limită sunt situate pe

o dreaptă. Ca rezultat, mişcarea elementului de ieşire va fi nedeterminată

(acesta se va mişca într-un sens sau altul).

În mecanismul manivelă-piston excentric (fig. 11.1, c) elementul 1

va fi manivelă, dacă în timpul rotirii va trece prin poziţiile 90 şi

270°, ceea ce este posibil în cazul îndeplinirii condiţiei:

,21 ell

unde e este excentricitatea (sau dezaxarea). Prin linie punctată este

arătată schema, când .0e Dacă ,21 ell elementul 1 va fi balansier.

În mecanismul cu culisă oscilantă (fig. 11.1, d) elementul 1

totdeauna poate fi manivelă. Elementul CD (culisa) va fi manivelă, dacă

în timpul rotirii va trece prin poziţia ,270 ceea ce este posibil în

cazul satisfacerii condiţiei ,41 ell

unde e este excentricitatea culisei; în acest caz avem un mecanism cu

culisă rotativă. Dacă ,41 ell atunci culisa CD va fi balansier. Cele mai

răspândite sunt mecanismele cu culisă, în care excentricitatea .0e

338

§ 11.2. Sinteza mecanismelor cu patru elemente

după două poziţii ale elementelor

Mecanismul manivelă-piston. Pentru mecanismul

manivelă-piston axial (excentricitatea ,0e fig.11.2, a) cursa pistonului

3 (deplasarea lui maximă) este egală cu dublul lungimii manivelei:

.2 1lh Poziţiile limită ale pistonului corespund coordonatelor

unghiulare ale manivelei 0 și .180

Cum s-a arătat, la proiectarea mecanismelor este necesar să luăm în

consideraţie un parametru important, care caracterizează condiţia trans-

miterii forţelor şi capacitatea de funcţionare a mecanismului – unghiul

de presiune (unghiul între vectorul forţei, aplicată elementului

condus, și vectorul vitezei punctului de aplicare a forţei motoare;

frecarea şi mişcarea accelerată a maselor în acest caz nu sunt luate în

consideraţie). Unghiul de presiune nu trebuie să depăşească valoarea

admisibilă: .max adm Unghiul la transmiterea forţei elementului condus

este notat pe schema mecanismului în funcţie de faptul care element este

condus. Dacă el va fi pistonul 3 , atunci forţa 32F îi este transmisă lui sub

unghiul de presiune ,32 iar dacă manivela 1, atunci forţa 12F va alcătui

unghiul 12 cu vectorul vitezei .Bv

În cazul manivelei conduse unghiul de presiune 12 capătă valori

maxime egale cu 90° de două ori în timpul unui ciclu (când manivela şi

biela sunt situate pe o linie). Aceste poziţii manivela l e t r e c e numai

datorita inerţiei maselor pieselor în rotaţie, fixate rigid de manivelă 1.

Unghiul de presiune maxim max32 este calculat prin studiul

maximului funcţiei ).(3232 Pentru mecanismul axial (e=0) valoarea

maximă a unghiului de presiune 21max32 /arcsin ll va fi pentru 0 sau

.270 Reiese că cu cât este mai mică valoarea 122 / ll cu atât sunt mai

mici dimensiunile mecanismului (în raport cu lungimea manivelei), însă

sunt mai mari unghiurile de presiune. Cu creşterea mărimii ,max32

independent de faptul care element este condus, se măreşte forţa între

piston şi ghidaj (între piston şi peretele cilindrului maşinii). De aceea, de

exemplu, pentru mecanismele motoarelor cu ardere internă raportul 2

este ales în limitele ,5...32 ceea ce corespunde valorii 11...19max32

(vezi Baranov G.G. Kurs teorii mehanizmov i mashin. M., 1967).

339

În mecanismul manivelă-piston excentric (fig.11.1, c) cursa

pistonului (deplasarea lui maximă) din 11CAC şi :22CAC

,)()( 22

12

22

2121 ellelllh CC (11.3)

de unde fiind cunoscute h, c şi 122 / ll putem găsi

1l (de exemplu prin

metoda interpolării aproximative – primind un şir de valori ale lui 1l ap-

ropiate de 2/h și controlând egalitatea părţilor dreaptă şi stingă).

Unghiul maxim de presiune max32 pentru 0e va fi în poziţia când

.270 Dacă ,0e pentru .90

Dacă sunt cunoscute două poziţii ale manivelei (fig.11.2, b)

determinate de coordonatele 1 şi 2 deplasarea pistonului SC (ţinând

cont de semn: în fig.11.2, b 0CS ) şi de rapoartele 122 / ll şi ,/ 1lee

atunci lungimile elementelor 1l şi 2l sunt determinate în felul următor.

Proiectând lanţul vectorilor 21 ll pe axa y, obţinem pentru orice

poziţie ,sinsin 21 ell de unde coordonata unghiulară a elementului 2

în poziţiile 1 şi 2:

)]/)sinarcsin[( 22,12,1 e.

Fig. 11.2

340

Proiectând același lanț pe axa x, vom obține:

),coscos()coscos( 1211222112

llllxxS CCC

de unde, substituind ,/ 122 ll obținem

)].cos(coscos/[cos 122121 CSl

În continuare cu valoarea 2 găsim .2l

Mecanismul manivelă-balansier (fig.11.3). Cunoscând lungimea

suportului l4, lungimea barei conduse l3 și coordonatele 21 , în pozițiile

limită lungimile necunoscute ale elementelor l1 și l2 sunt calculate în felul

următor. Unind punctele C1 și C2 cu punctul A, obținem

,; 1221 21

llllll ACAC

de unde

.2/)(;2/)(2121 21 ACACACAC llllll

Unghiul de presiune va avea valori maxime max32 pentru 0 sau

.180

Mecanismul cu cilindru oscilant. Acest mecanism, care este

folosit în sistemele de acționare hidraulică, este prezentat în fig.11.4, a în

pozițiile limită AB1C și AB2C. La trecerea dintr-o poziție limită în alta

pistonul 2 se deplasează la distanța h (cursa pistonului), iar pârghia

condusă 1 cu lungimea l1 se rotește cu unghiul necesar . Ca să folosim

complet cilindrul la deplasarea pistonului, se definește raportul lungimii

Fig. 11.3

341

cilindrului CBll

13 la cursa pistonului h sub formă de coeficient 1/3 hlk

determinat constructiv. De exemplu 4,1;3,1k etc.

Este necesar de luat în considerație unghiul de presiune ca unghi

între axa cilindrului, în direcția căreia este transmisă forța 12F și vectorul

vitezei Bv al punctului de aplicare a forței. Acest unghi este variabil, de

aceea la proiectare este definit unghiul admisibil de presiune ,adm astfel

ca în timpul lucrului mecanismului acesta să nu fie depășit.

Sinteza unei scheme optime după unghiurile de presiune ale unui

asemenea mecanism fiind date l1, k, se desfășoară în felul următor

(fig. 11.4, a). Cunoscând două poziții AB1 și AB2 ale elementului condus

1, obținem cursa pistonului .21BBlh Depunând pe prelungirea dreptei

B2B1 segmentul ,13 khll CB vom obține punctul C. În pozițiile limită ale

mecanismului, cum se vede din NAB1 și ,2ANB unghiul de presiune ca

valoare absolută va fi maxim: .2/max

În toate celelalte poziții unghiul de presiune va avea o valoare mai

mică, fiindcă la trecerea punctului B din poziția B1 în poziția B2 aceasta

își schimba semnul și, prin urmare, trece prin poziția zero. Din NAB1

).2/sin(2 1 lh

Din CAB1 după teorema cosinusurilor, lungimea suportului:

Fig. 11.4

342

.2/sin2 31

2

3

2

14 llllll AC

În cazul valorii mici a unghiurilor max, poate fi în schema dată

mult mai mic decât ,adm și această variantă de schemă cinematică poate

fi îmbunătățită din punctul de vedere al dimensiunilor, micșorând

lungimea suportului l4.

Schema optimă a mecanismului după dimensiuni cu condiția

adm max o obținem în felul următor (fig.11.4, b). Sunt date l1, k, , .adm

Desenând prima variantă a schemei, transferăm punctul C în poziția

nouă C0, pentru care unghiul de presiune în poziția a doua a

mecanismului se va mări și va fi egal cu cel admisibil: .adm La

deplasarea punctului C unghiul de presiune în poziția 1, de asemenea,

variază. La început el se micșorează, apoi, trecând prin poziția zero, își

schimbă semnul și din nou crește.

Cursa pistonului va fi .212 BBDB llh Ea poate fi găsită rezolvând

ecuația pătrată, obținută din 210 BBC după teorema cosinusurilor:

),2/cos(2)()()( 2021

2

20

2

21

2

01 admBCBBBCBBCB

unde .)1(),2/sin(2, 2012101 hkhkhBClBBkhCB

Rezolvarea conduce la formula:

,4/2/ 2 cbbh

unde:

);12/()2/cos()2/sin()1(4 1 kklb adm

).12/()]2/sin(2[ 2

1 klc

După aceasta se calculează khl 3 și lungimea suportului din

:20BAC

.sin)(2)( 31

2

3

2

14 admhllhlll

Această variantă a schemei cinematice este rațională pentru cazul

când este necesar de a învinge o sarcină mare aplicată elementului

condus la începutul mișcării, fiindcă unghiul de presiune .adm

Ca rezultat, se mărește momentul forței motoare 12F față de axa A și se

micșorează pierderile prin frecare în cuplele cinematice.

Cuplele cinematice trebuie alese astfel ca mecanismul să fie static

determinat sau, dacă aceasta este greu de realizat, atunci trebuie micșorat

343

la minimum numărul legăturilor pasive. În acest caz mecanismul va fi

static determinat (după legături pasive), dacă cupla A este de rotație,

cuplele B și C – sferice, cupla piston-cilindru – cilindrică. Atunci, ținând

cont că numărul gradelor de mobilitate ale mecanismului 321 W

după formula lui Malyshev vom obține că .0q

§11.3. Sinteza mecanismelor articulate

cu patru elemente după trei poziții

ale elementelor

Mecanismul articulat cu patru elemente. Sunt cunoscute

(fig.11.5, a) lungimea suportului l4, coordonatele unghiulare ale

elementului 1 în trei poziții 321 ,, și coordonatele unghiulare

corespunzătoare ale elementului de ieșire 3 .,, 321 Trebuie găsite

lungimile elementelor l1, l2, l3.

Examinăm conturul vectorial ABCDA, pentru care în orice poziție a

mecanismului .3421 llll Proiectând acest contur pe axele de

coordonate x și y, obținem:

;coscoscos 3421 llll (11.5)

.sinsinsin 321 lll (11.6)

Fig. 11.5

344

Excludem unghiul , rezolvând ecuațiile (11.5) și (11.6) față de

componentele care conțin , ridicând ecuațiile la pătrat și adunându-le:

).cos(2cos2cos2 314143

2

4

2

3

2

1

2

2 llllllllll După împărțirea la 2l3l4 și înlocuirea valorilor curente ale

unghiurilor și cu cele date i și

i (indicele i=1,2,3) vom obține un

sistem de trei ecuații liniare:

,cos2

cos)cos(cos43

2

4

2

3

2

1

2

2

3

1

4

1

iiiill

llll

l

l

l

l

sau

),3,2,1(,coscos)cos( 321 ippp iiii (11.7)

în care necunoscutele sunt parametrii adimensionali

.2

;;43

2

4

2

3

2

1

2

2

3

3

1

2

4

1

1ll

llllp

l

lp

l

lp

(11.8)

Din sistemul (11.7) determinăm ,,, 321 ppp apoi, conform (11.8),

determinăm lungimile elementelor căutate după formulele:

.2;/; 2

4

2

3

2

13432213411 lllplllplllpl

Problema sintezei mecanismului articulat cu patru elemente după

trei poziţii ale elementului de ieşire şi unghiurile corespunzătoare de

rotaţie ale elementului de intrare este rezolvată prin metoda inversării

mişcării. În acest caz sunt cunoscute lungimile elementelor l4, l3,

coordonatele elementului de ieşire 3 în trei poziţii 321 ,, şi unghiurile

de rotaţie ale arborelui de intrare )( 12 şi ).( 13 Trebuie aflate

lungimea elementelor l1, l2 și coordonata unghiulară iniţială (în poziţia

1) .1

Poziţia articulaţiei B după condiţiile date este găsită comunicând

mecanismului faţă de centrul A viteza unghiulară ).( 1 În rezultat,

elementul AB în sistemul de coordonate Axy devine fix, iar în locul lui în

direcţie opusă se va roti batiul AD1 (fig.11.5, b). Pentru poziţiile 2 şi 3 ale

mecanismului coordonatele unghiulare ale batiului faţă de axa absciselor

vor fi )( 12 și ).( 13 Poziţia articulaţiei C este determinată faţă de

batiu şi va fi găsită, construind unghiurile date 321 ,, punctele (C1, C2,

C3). Lungimea bielei ВС pentru trei poziţii date va fi una şi aceeaşi

),3,2,1,( iBCBC i de aceea punctele Ci trebuie să se găsească pe o

circumferinţă, descrisă din centrul B. Deci, poziţia punctului necunoscut

В va fi găsită, dacă vom uni punctele cu două drepte C1C2 şi C2C3 apoi

vom duce prin centrele lor E12 şi E13 perpendiculare şi vom găsi punctul

345

de intersecţie a ultimelor. Rezolvând analitic, pentru obţinerea

formulelor coordonatelor xi, yi ale punctelor Сi lanţul cinematic ADiCi

este exprimat ca sumă a doi vectori 4l şi .3l Coordonatele punctelor Ci se

determină prin proiecţiile conturului vectorial expus mai sus pe axele de

coordonate: )];(cos[)cos( 1314 iiii llx

)].(sin[)sin( 1314 iiii lly

Coordonatele punctului B le vom găsi din sistemele de ecuaţii ale

cercului, descris din centrul B cu raza 2l :

.3,2,1;)()( 2

2

22 ilyyxx BiBi (11.9)

Sistemul din trei ecuaţii (11.9) cu trei necunoscute xB, yB şi l2 după

unele transformări simple pentru excluderea lui 2

Bx şi 2

By se va reduce la

una liniară.

După coordonatele xB şi yB sunt determinaţi parametrii căutaţi ai

schemei cinematice a mecanismului:

- lungimea elementului conducător 1

;22

1 BBAB yxll (11.10)

- lungimea bilei BC

2

1

2

12 )()( BBBC yyxxll (11.11)

(ca distanţa dintre punctele ),( BB yxB şi );,( 111 yxC

- coordonata unghiulară iniţială a elementului conducător

)./(1 BB xyarctg (11.12)

Mecanismul manivelă-piston. Proiectarea schemei unui asemenea

mecanism după trei poziţii ale elementelor conducător şi condus este

realizată în sistemul de coordonate Axy (fig.11.6) analog cu sinteza

mecanismului patrulater articulat. Problema se reduce la determinarea

lungimilor elementelor necunoscute l1 şi l2, precum şi a coordonatei

unghiulare 1 a elementului 1, fiind cunoscute excentricitatea e, trei

coordonate liniare ale punctului C de pe piston 321 ,, CCC xxx şi unghiurile

de rotaţie ale elementului 1 fată de poziţia lui iniţială (prima) 12 şi

.13

Pentru a determina poziţia articulaţiei B din asemenea condiţii, este

folosită metoda inversării mişcării, comunicând mecanismului întreg

faţă de centrul A viteza unghiulară ).( 1 Ca rezultat, elementul AB

devine fix, iar în locul lui, în sens opus, se vor roti batiul şi axa

346

ghidajului. În prezenţa excentricităţii e această axă în toate poziţiile va fi

tangentă la un cerc cu raza egală cu e.

Grafic centrul articulaţiei B este găsit ca punctul de intersecţie al

perpendicularelor BE12 şi BE22 duse prin centrele segmentelor C1C2 şi

C2C3.

La rezolvarea analitică sunt determinate coordonatele xi şi yi ale

punctelor de pe piston Ci (indicele i=1,2,3) din ecuaţiile proiecţiilor pe

axele de coordonate ale sumei vectorilor :exiC

)];(90cos[)](cos[ 11 iiCi exxi

)],(90sin[)](sin[ 11 iiCi exyi

sau după transformări );sin()cos( 11 iiCi exx

i

).cos()sin( 11 iiCi exyi

Rezolvarea de mai departe este analogă cu cea a mecanismului

patrulater articulat și este realizată după formulele (11.9)-(11.12).

Fig. 11.6

347

§ 11.4. Sinteza mecanismelor după viteza medie

a elementului şi coeficientul de variaţie

a vitezei medii a elementului condus

Mecanismul manivelă-balansier. Sunt cunoscute lungimea

elementului conducător l3 şi coordonatele 1 şi 2 ale poziţiilor lui de

limită (fig.11.7). Diferenţa 12

este cursa unghiulară (amplitudinea)

elementului condus. Manivela AB se

roteşte uniform, iar centrul ei de

rotaţie se găseşte într-un punct

necunoscut A pe axa x. Mişcarea

barei oscilante din poziţia 1 în poziţia

2 luăm drept cursă directă, iar

mişcarea în sens invers – cursă de

retur.

Este necesar de proiectat schema cinematică a mecanismului,

pentru care raportul vitezelor unghiulare medii ale elementului condus

pentru cursa de retur şi directă este egal cu o mărime oarecare dată

dirretK / (coeficientul variaţiei vitezei medii a elementului condus).

În fig.11.7 sunt ilustrate două poziţii limită ale mecanismului, în

fiecare din ele manivela și biela se găsesc în prelungire. Unghiul dintre

aceste două drepte AC1 și AC2 este notat prin . Din schemă reiese că în

timpul cursei directe tdir manivela se va roti cu ),180( iar în timpul

mișcării de retur tret – cu ).180( Prin urmare, la rotirea uniformă a

manivelei:

,180

180

/

/

dir

ret

t

tK

de unde:

.1

1180

K

K

Dacă vom împărţi cursa unghiulară B cu dreapta DE în două părţi

egale și prin punctul C2 vom duce dreaptaC2F, care formează unghiul

cu direcţia DE, atunci ea o va intersecta pe ultima intr-un punct oarecare

F. Cercul cu raza rlFC 2

va fi locul geometric al centrelor căutate A de

rotire a manivelei, deoarece în orice punct al acestui cerc unghiul înscris

21ACC este egal cu jumătatea celui central ,221 FCC care se sprijină

Fig. 11.7

348

pe acelaşi arc 21CC şi, prin urmare, este egal cu . Punctul A de

intersecţie a cercului descris cu axa absciselor în conformitate cu datele

iniţiale ale problemei va fi centrul de rotaţie a manivelei. După aceasta

problema se reduce la sinteza mecanismului după două poziţii limită ale

elementului 3 (vezi §11.2). Lungimile manivelei l1 şi bielei l2 sunt

determinate după formulele (11.4).

Dacă în mecanismul proiectat unghiul de presiune maxim este mai

mare decât cel admisibil, trebuie să alegem altă poziţie a centrului de

rotaţie a manivelei pe cercul cu raza r (mai sus de punctul A).

Mecanismul manivela-piston. La proiectarea maşinilor deseori

este dată viteza medie a pistonului )./( smvm Pentru mecanismul

manivelă-piston central (fig.11.2, a) dublul cursei pistonului corespunde

unei rotații a manivelei, .42 1lh

Dacă frecvenţa de rotaţie (numărul de rotaţii pe secundă) a

arborelui manivelei este egală cu ),/1( sn atunci

,42 1nlhnvm

Fig. 11.8

349

de unde lungimea manivelei (m) ).4/(1 nvl m

Apoi după mărimea cunoscută 122 / ll putem găsi și lungimea

bielei l2.

Mecanismul cu culisă oscilantă. Mecanismul cu culisă cu şase

elemente (fig.11.8, a) transformă mişcarea de rotație a manivelei 1 în

mișcare de translaţie alternativă a tijei 5, totodată viteza medie retv a

culisei la cursa de retur este mai mare de vK ori decât viteza medie dirv la

cursa directă. Datele iniţiale, de regulă, sunt cursa h a elementului

condus 5 și coeficientul de variaţie a vitezei lui medii: ./ dirretv vvK

De exemplu, la şepinguri şi morteze piesa este prelucrată într-o

direcţie cu o viteză dată de aşchiere, iar cursa în gol (de retur) a sculei de

aşchiere este efectuată cu o viteză medie mai mare; în acest caz .1vK

Coeficientul vK şi unghiul al cursei unghiulare sunt legate

( const1 ) prin relaţia:

,180

180

/

/

dir

ret

vth

thK

de unde:

.1

1180

v

v

K

K

Lungimea culisei este găsită examinând poziţiile ei limită după formula: )].2/sin(2/[3 hll CD

În poziţia medie (verticală) a culisei CD lungimile elementelor

AClll 63, (batiul) şi ABll 1 sunt legate prin relaţia:

,163 alll (11.13)

unde dimensiunea a este aleasă constructiv în scopul folosirii

depline a lungimii culisei. Pe de altă parte, din triunghiul dreptunghic ABC

).2/sin(61 ll (11.14)

Substituind valoarea l1 în formula (11.13), obţinem lungimea

batiului (distanţa între axe): )].2/sin(1/[)( 36 all

După aflarea lui l6 poate fi calculat după formula (11.14) l1; pentru

mecanismele de tipul dat de regulă .2/ 16 ll

Când manivela este conducătoare, unghiul de presiune la

transmiterea forţei de la piatra de culisă 2 la culisa 3 ,032 ceea ce este

un avantaj al mecanismelor cu culisă. Pentru asigurarea unghiurilor de

350

presiune mici la transmiterea forţei de la elementul 4 la pistonul condus

5 este raţional de ales poziţia axei xx astfel ca ea să împartă săgeata

segmentului f în două părţi egale. Atunci din triunghiul dreptunghiular

NDE lungimea elementului 4: ),sin2/(4 admDE fll

unde );2/cos(33 llf în acest caz va fi satisfăcută relaţia .max adm

Distanţa dintre axa de rotaţie a culisei şi axa ghidajului pietrei de

culisă 5 se calculează după formula: .2/3 flb

Este răspândită şi altă variantă a grupei, alcătuită din elementele 4

şi 5, cu două cuple de translaţie şi una de rotaţie (fig.11.8, b). După

valorile unghiulare de presiune această variantă este mai bună decât cea

descrisă mai sus: .054

Mecanismul cu culisă rotativă. Schema variantei mai frecvent

utilizate a unui astfel de mecanism este prezentată în fig.11.8, c. Datele

iniţiale: lungimea ABll 1 al manivelei, cursa h a pistonului 5 şi

coeficientul variaţiei vitezei lui medii .1/ dirretv vvK

Cursa directă a pistonului 5 este realizată la rotirea manivelei 1 cu

unghiul ,180 dir cursa de retur – la rotirea manivelei cu unghiul

.180 ret De aceea pentru :1 const

,180

180

/

/

dir

ret

vth

thK

de unde:

.1

1180

v

v

K

K

Distanţa l6 = lAC între axele de rotaţie ale manivelei 1 şi culisa 3 din

ABC se determină cu formula: ).2/sin(16 ll

De regulă, pentru mecanismele de asemenea tip .2/ 61 ll

Poziţiile limită ale punctului E (E1 şi E2) se determină prin poziţiile

punctului B (B1 şi B2) când direcţiile culisei 3 şi bielei 4 coincid, de

aceea lungimea manivelei CD: .2/hlCD

Lungimea manivelei 4 trebuie să fie de aşa mărime, ca valoarea

maximă a unghiului de presiune 54 să nu depăşească valoarea

admisibilă ,adm de aceea

351

).sin2/(4 admhl

Creşterea lungimii bielei 4 mai mult decât valoarea obţinută nu este

de dorit, deoarece aceasta va mări dimensiunile de gabarit ale întregului

mecanism. Pentru obţinerea unor forţe cât mai mici în cupla 2–3 (piston

– culisă) este de dorit ca lungimea manivelei 1 să fie mai mare, însă

trebuie să considerăm că în acest caz se măresc dimensiunile de gabarit

ale mecanismului.

Metodica de rezolvare a unor probleme mai complexe de sinteză a

mecanismelor cu bare după o funcţie de poziţie cunoscută şi după

traiectoria dată nu este examinată în prezentul manual; vezi despre

aceasta în [5].

§ 11.5. Manipulatoare, construcţia

și domeniile de utilizare

M a n i p u l a t o r se numeşte sistemul tehnic, care este

destinat reproducerii funcţiilor de lucru ale mâinilor omului.

Mecanismul de bază al manipulatorului este mecanismul cu bare spațial

cu lanţ cinematic deschis şi câteva grade de libertate. Cu ajutorul

manipulatoarelor sunt rezolvate un şir de probleme în diferite domenii

ale ştiinţei şi tehnicii, legate de lucrul în zonele primejdioase sau

dăunătoare pentru om, precum şi la efectuarea lucrărilor cu un volum

mare de muncă sau monotone. Manipulatoarele sunt folosite în

producţiile de presare şi forjare, turnătorii (de exemplu, pentru instalarea

pieselor grele la presă, deservirea maşinilor de suflat nisip), în maşinile

pentru extragerea cărbunelui, la asamblarea ceasornicelor, pentru

realizarea unor astfel de operaţii tehnologice în industria constructoare

de maşini, cum sunt sudarea, asamblarea, vopsitul pieselor etc.

Fig. 11.9

352

Se deosebesc manipulatoare mecanice cu comandă manuală şi

automată. În manipulatoarele cu comandă manuală este realizată

copierea mișcărilor şi presiunii mâinii operatorului (manipulatoare de

copiere), totodată într-un şir de cazuri cu mărirea deplasărilor şi forţelor

la mecanismul de execuţie.

Manipulatoarele mecanice de copiere sunt compuse din două

mecanisme simetrice – de comandă şi de execuţie, legătura între care

este realizată prin diferite transmisii mecanice.

Spaţiul de lucru deservit de manipulator în comparaţie cu spaţiul de

lucru al mâinii omului-operator poate fi mărit pe calea folosirii

articulaţiei sferice prin care trece o ţeavă cu legături de forţă instalate în

ea. Această ţeavă îndeplineşte rolul unei pârghii asimetrice, care copiază

mişcările minerului de comandă, dar cu dimensiuni mărite. Dacă este

necesar să se transmită mişcările operatorului printr-un perete ermetic

închis (fără treceri şi etanşări), sunt folosite cuplaje magnetice cilindrice

sau frontale. În multe cazuri lucrul manipulatorului de copiere trebuie

comandat la distanţe

considerabile de operator. La

astfel de manipulatoare

comandate de la distanţă sunt

folosite sisteme de urmărire

(de servocomandă), care re-

alizează transmiterea

mişcărilor şi a forţelor.

În manipulatoarele cu

comandă automată

elementele mecanismului de

execuţie sunt antrenate de

mecanismul de acţionare

după un program anumit.

Mecanismele de

acţionare ale

manipulatoarelor pot fi

mecanice, electrice,

hidraulice, pneumatice şi

combinate. Acţionarea

hidraulică permite ma-

nipularea unor mase

considerabile (50 kg şi mai

Fig. 11.10

Fig. 11.11

353

mult la viteza de până la sm /1 ) [3].

Manipulatoarele cu comandă automată, folosite în maşinile

automate pentru efectuarea diferitelor operaţii de transport (încărcarea,

transportarea, descărcarea articolelor şi altele) şi care lucrează după un

program rigid, poartă denumirea de a u t o - o p e r a t o r i.

Manipulatoarele cu comandă automata şi program flexibil, folosite

în producţie pentru efectuarea repetată a unor operaţii concrete

tehnologice sau de transport, sunt numite r o b o ţ i

i n d u s t r i a l i (RI). RI se deosebesc de maşinile automate obişnuite

prin aceea că, datorită prezenţei unui lanţ cinematic deschis al

mecanismului de bază cu câteva grade de libertate, acestea posedă o

gamă largă de diferite mişcări spaţiale ale organelor de lucru şi, ca

urmare, posibilitatea de reglare rapidă la îndeplinirea altui program de

lucru.

Schemele constructive ale manipulatoarelor RI sunt foarte variate.

Astfel în fig. 11.9, a este prezentată schema generală a unui RI. Schema

lui cinematică este arătată în fig.11.9, b, ținând cont de mişcarea fălcilor

apucătorului, RI-ul dat are mai multe grade de libertate. În fig.11.10 este

prezentată schema cinematică a RI "Universal 15" cu cinci grade de

Fig. 11.12

354

libertate de bază (fără a ţine cont de mişcarea fălcilor apucătorului). În

fig.11.11 este arătată schema cinematică a RI "M 901" cu trei grade de

libertate de bază, iar în fig.11.12 – modelul mecanismului

manipulatorului RI cu şase grade de libertate, inclusiv mişcarea fălcilor

apucătorului. Elementele de bază ale unui astfel de manipulator:

suportul fix 0, masa rotativă 1, "mâna" compusă din elementele 2, 3, 4,

"braţul" 5 şi apucătorul cu fălcile ("degetele") 6.

Fiecare model al RI are, de regulă, câteva apucătoare de construcţii

diferite, în funcţie de forma şi dimensiunile obiectului de manipulat.

Sunt folosite apucătoare în formă de cleşte, fălci mișcătoare, apucătoare

pneumatice, electromagneți ș.a. În acele cazuri când se cer informații

asupra contactului cu obiectul de manipulat pe apucător sunt instalați

traductori corespunzători.

În mecanismele cu bare ale manipulatoarelor RI o utilizare mai

frecventă au lanțurile cinematice cu cuple mono-mobile de translaţie şi

de rotaţie. Articulaţiile sferice complică transmiterea mişcărilor de la

mecanismul de acţionare şi de aceea ele sunt înlocuite prin ansambluri

cinematice cu trei cuple de rotaţie.

Deosebim trei clase sau generaţii de RI cu comandă automată. Din

prima generaţie fac parte acei roboţi, care lucrează după un program

rigid. Astfel de roboţi sunt mai frecvent utilizaţi în industria

constructoare de maşini.

Din a doua generaţie fac parte roboţii, în sistemul de dirijare al

cărora programul rigid se combină cu elemente de adaptare la condiţiile

necunoscute sau care variază cu mediul exterior (de exemplu, căutarea

obiectului în zona dată). Informaţia asupra mediului exterior este primită

de la traductorii corespunzători.

Roboţii-manipulatori de generaţia a treia conţin elemente de in-

teligenţă artificială; sistemul lor de comandă formează singur programul

şi apoi îl realizează în funcţie de scopul propus, rezolvând probleme

logice, acestea sunt sisteme cibernetice.

Analiza cinematică a mecanismelor spaţiale cu bare ale

manipulatoarelor la studiul şi proiectarea lor este mai raţional să se facă

prin metoda matriceală de transformare a coordonatelor, care a fost

expusă în cap. 3.

355

§11.6. Indicii tehnici ai manipulatoarelor

Capacitatea de lucru a

manipulatoarelor şi RI este

caracterizată de un şir de

indici tehnici, din care, în

primul rând fac parte forma

şi dimensiunile zonei de

lucru, capacitatea de

manevrare, unghiul şi

coeficientul de deservire,

numărul gradelor de

libertate ale mecanismului

de bază.

Lanţul cinematic

deschis al manipulatorului

permite apucătorului să

ocupe poziţii diferite

într-un anumit spaţiu.

S p a ţ i u de l u c r u al

manipulatorului este numit

spaţial, limitat de o

suprafaţă care este

înfăşurătoarea tuturor

poziţiilor posibile ale

apucătorului. Astfel, de

exemplu, pentru

manipulatorul arătat în

fig.11.13, a, spaţiul de

lucru este o sferă cu raza

,1r egală cu suma

lungimilor elementelor 1 ,

2 , 3 . Spaţiul de lucru

caracterizează gabaritele

maxime ale manipu-

latorului.

Fig. 11.13

356

Pentru depăşirea obstacolelor şi efectuarea operaţiilor complexe cu

obiectul de manipulare însemnătate mare are posibilitatea diferită de

apropiere a lanţului cinematic al mecanismului de punctul dat al

spaţiului de lucru, este m a n e v r a b i l i t a t a

m a n i p u l a t o r u l u i, care este determinată prin numărul

gradelor de mobilitate ale mecanismului, când apucătorul apropiat de

acest punct este fix. Manevrabilitatea manipulatorului depinde nu numai

de tipul şi numărul de cuple cinematice, dar şi de amplasarea lor. Spre

exemplu, manipulatorul prezentat în fig.11.13, a are manevrabilitatea

egală cu unu. În acest caz pentru apucătorul fix după formula lui

Malyshev )0( q numărul gradelor de libertate

1231526)6(65

1

i

icinW – aceasta este mobilitatea unui grup,

ce înseamnă posibilitatea rotirii comune a elementelor 1 , 2 în jurul axei

Fig. 11.14

357

AC , care trece prin centrele

cuplelor sferice, Manevrabilitatea

egală cu unu, în acest caz,

înseamnă că de punctul dat E în

direcţia dată CE apucătorul se

poate apropia pentru diferite

poziţii ale elementelor 1, 2, locul

geometric al cărora vor fi

suprafeţele conice cu vârfurile în

punctele A şi C şi generatoarele

AB şi CB .

Dacă vom schimba locul

cuplelor A şi B (fig.11.3, b ),

atunci numărul gradelor de

libertate, după formula lui

Malîşev, va rămâne neschimbat:

W= 1, însă aceasta este o mobilitate locală, care arată posibilitatea

rotirii elementului 2 în jurul axei BC , iar manevrabilitatea va fi egală cu

zero, fiindcă în acest caz apucătorul se poate apropia de punctul dat E în

direcţia dată CE numai pentru o singură poziţie a elementelor 1 şi 2.

Cu cât este mai înaltă manevrabilitatea, cu atât sunt mai mari

posibilităţile executării operaţiilor complicate cu obiectul de manipulare

pe calea cea mai scurtă şi mai raţională. O parte din spaţiul de lucru, în

care pot fi efectuate operaţiile cu obiectul de manipulat, se numeşte

z o n ă de d e s e r v i r e sau z o n ă de l u c r u. Pentru

manipulatorul ilustrat în fig.11.13, a zona de lucru maximă posibilă este

spaţiul dintre sferele cu raza DAr 1 şi raza ,2 DAr iar în caz concret

zona de deservire este numai o parte din acest spaţiu (linia întreruptă în

fig.11.3, a ). Pentru manipulatorul din fig.11.13, b zona de lucru

maximă posibilă este un inel cu razele DAr 1 şi DBr 2(fig.11.13, c),

iar într-un caz concret zona de lucru este o parte a acestui inel (linia

întreruptă în fig.11.13, b). Manipulatorul cu trei cuple de translaţie

(fig.11.14, a ) are ca zonă de lucru un paralelipiped dreptunghic, ale

cărui laturi a, b, c, sunt determinate de deplasările maxime ale

elementelor corespunzătoare pe ghidajele lor: elementul 2 pe axa y ,

elementul 3 pe axa x şi elementul 1 pe axa z . Pentru manipulatorul cu o

cuplă de rotaţie şi două cuple de translaţie (fig. 11.14, b) zona de lucru

maximă posibilă – spaţiul în forma unui cilindru gol, pentru care

diferenţa de raze 12 rr este determinată prin deplasarea maximă a

Fig. 11.15

358

elementului 3 față de elementul 2, iar înălțimea h – prin deplasarea

maximă a elementului 2 faţă de elementul 1. Într-un caz concret zona de

deservire este o parte a acestui spaţiu în limitele unghiului (liniile

întrerupte în fig. 11.14, b ).

Pentru determinarea dimensiunilor elementelor manipulatorului

pentru zona de lucru dată având schema structurală cunoscută este

necesar să se studieze funcţia de poziţie a acestuia, folosind metoda

matriceală de transformare a coordonatelor. De exemplu, pentru

manipulatorul cu trei grade de libertate, ilustrat în fig.11.15, funcţia de

poziţie a punctului D al apucătorului va fi dependenţa razei vectoare D

de coordonatele generalizate şi lungimile constante ale elementelor lBC şi

lCD. Acest mecanism cu un lanţ cinematic deschis este static determinat,

fără legături pasive ),0( q deoarece este asamblat fără strângeri.

Mecanismul conţine trei cuple mono-mobile: două de rotație (A, C ) şi

una de translație (B).

Coordonatele generalizate sunt trei: 10 – unghiul de rotație al

elementului 1 față de batiul 4; 21z – deplasarea liniară a elementului 2

față de elementul 1; 32 – unghiul de rotație al elementului 3 față de

elementul 2. Numărul gradelor de libertate W=3 este confirmat după

formula lui Malyshev

.33536])6([65

1

qcinWi

i

Sistemul de coordonate 111

1 zyxO este legat de elementul 1, care se

rotește în jurul axei .1z Sistemul 222

2 zyxO este legat de elementul 2,

care se mișcă liniar față de elementul 1. Sistemul 333

3 zyxO este legat de

elementul 3, care se rotește în jurul axei .3x Axele 210 ,, zzz coincid,

axele 321 ,, xxx sunt paralele.

Funcția de poziție

),,( 322110

00

zDD în formă matriceală are

următoarea formă: ,3

322110

0

DD TTT

unde:

;

1000

100

0010

0001

;

1000

0100

00cossin

00sincos

;

1

21

21

1010

1010

100

0

0

0

z

TTz

y

x

D

359

.

1

0

0

;

1000

0cossin0

sincos0

0001

3

3232

3232

32

CD

D

BC llT

Linia a patra (0001) în matricele 322110 ,, TTT și unitatea din matricele

coloană duc la transformarea identica 11 şi sunt adăugate pentru ca

matricele să devină pătrate şi să fie posibilă înmulţirea lor. Matricele se

înmulţesc după regula cunoscută: linia cu coloană. Înmulţirea matricelor

după (11.15) duce la egalitatea:

,

1

sin

coscoscos

cossinsin

1

3221

321010

321010

0

0

0

CD

CDBC

CDBC

D

D

D

lz

ll

ll

z

y

x

și, deci coordonatele căutate ale punctului D în sistemul fix :000 zyOx

.sin

;coscoscos

;cossinsin

3221

0

321010

0

321010

0

CDD

CDBCD

CDBCD

lzz

lly

llx

(11.16)

Este util de controlat pentru unele valori simple ale coordonatelor

generalizate corespondenţa formulelor obţinute (11.16) cu schema

cinematica a mecanismului (fig.11.15). De exemplu, pentru :03210

;00 Dx ;0

CDBCD lly ;21

0 zzD pentru :2703210 ;0

BCD lx ;00 Dy

.21

0

CDD lzz

Cu ajutorul relaţiilor (11.16), cunoscând gama de variaţie a

coordonatelor punctului D, putem alege valorile necesare ale lungimilor

elementelor lBC, lDC şi domeniile de variaţie ale coordonatelor

generalizate 2110, z şi .32

O însemnătate deosebită are v i t e z a m i ş c ă r i i

a p u c ă t o - r u l u i şi a altor elemente ale manipulatorului.

Totodată viteza maximă a mişcării este determinată nu numai de

caracterul procesului de lucru al manipulatorului şi de puterea

mecanismului de acţionare, ci şi de condiţiile securităţii personalului de

deservire.

Dacă sunt cunoscute dependenţele coordonatelor generalizate de

timp, atunci vitezele pot fi găsite prin derivarea după timp a funcţiei de

poziţie . Astfel, de exemplu, pentru manipulatorul examinat cu trei grade

de libertate, pentru dependenţele cunoscute )(),( 2110 tzt și )(32 t

360

proiecţiile vectorului vitezei punctului D al apucătorului pe axele de

coordonate le vom obţine prin derivarea (11.16) în raport cu timpul:

.cos

;sincos)cos(sin

;sinsin)cos(cos

323221

0

32103232101

0

32103232101

0

CDDDz

CDCDBCDDy

CDCDBCDDx

lvzv

lllyv

lllxv

(11.17)

Valoarea și direcția vectorului punctului D le vom găsi după

formulele:

,/cos,/cos

,/cos,222

DDzDDy

DDxDzDyDxD

vvvv

vvvvvv

(11.18)

unde ,, sunt unghiurile directoare ale vectorului viteză. e,

Calculul după formulele (11.17), (11.18) pentru valori numerice

concrete ne permite să apreciem caracterul variaţiei şi viteza maximă a

punctului D al apucătorului.

În cazul general pentru fiecare punct al zonei de lucru a

manipulatoarelor există un unghi oarecare – u n g h i de

d e s e r v i r e, în interiorul căruia cleştele se poate apropia de acest

punct. După cum ştim, valoarea unghiului spaţial se determină din

raportul suprafeţei sferei tăiate de unghiul spaţial faţă de lătratul razei

sferei, de aceea valoarea maximă a unghiului 4/4 22

max rr

steradiani.

Raportul unghiului față de valoarea lui maximă )4/( se

numeşte c o e f i c i e n t de d e s e r v i r e în punctul dat. Valoarea

lui poate varia de la zero pentru punctele de la limita zonei de 1ucru,

unde aducătorul se poate apropia dintr-o singură direcţie, până la unitate

pentru punctele spaţiului deservirii depline, unde apucătorul se poate

mişca în orice direcţie.

Determinarea valorii coeficientului de deservire este legată de

analiza mişcării elementelor mecanismului manipulatorului pentru

diferite poziţii fixate ale centrului apucătorului.

Metodica calculării lui o vom examina pe exemplul

manipulatorului cu două cuple sferice şi una de rotaţie (fig.11.13, a).

Pentru determinarea unghiului într-un punct oarecare E al spaţiului

de lucru examinăm mecanismul manipulatorului ca pe un mecanism cu

patru elemente spaţiale cu cuplele sferice A,C,D şi cupla de rotaţie B.

Punctul D al centrului apucătorului coincide cu punctul dat E (fig.11,16,

a). La început să determinăm poziţiile posibile ale elementului CD în

planul desenului, şi apoi toate poziţiile lui posibile în spaţiu, rotind

mecanismul cu patru elemente faţă de batiul convenţional AD cu

361

lungimea r, care coincide cu axa x a sistemului spaţial de coordonate

Oxyz [5].

În domeniul în care coeficientul de deservire ,1 unghiul de

deservire .4 Reiese că punctul С are posibilitatea să ocupe orice

poziţie pe sfera cu raza 3lDC cu centrul în punctul D; pentru aceasta în

mecanismul plan cu patru elemente elementul CD trebuie să fie

manivelă, adică trebuie să facă o rotaţie completă. După cum ştim (vezi

§11.1), condiţia existenţei manivelei constă în aceea că suma lungimilor

celui mai scurt şi celui mai lung element trebuie să fie mai mică decât

suma lungimilor celorlalte elemente. Dacă, de exemplu, elementul 1 este

cel mai lung, iar elementul 3 este cel mai scurt, atunci ,231 lrll de

unde .3212max lllrr

Dacă cel mai lung element ,rAD iar cel mai scurt element este 3,

atunci ,213 lllr de unde .3212max lllrr

În limitele de la 1r până la 2r (zona II în fig.11.16, b) .1 Dacă însă

elementul 3 este balansier, atunci .1 În poziţiile limită, când

elementele 1,2,3 se găsesc pe aceeași dreaptă Ax, .0 Aceasta are loc

Fig. 11.16

362

pentru 3210 lllrr şi pentru .3213 lllrr Prin urmare, în zonele I şi

III în fig. 11.16, b .1

În orice punct intermediar al zonelor I şi III, de exemplu în punctul

,D coeficientul de deservire poate fi determinat în felul următor.

Găsind unghiul de rotaţie maxim posibil m al balansierului ,DC când

elementele BA şi CB se găsesc pe aceeași dreaptă, determinăm

suprafaţa sectorului sferic cu raza 3lR şi unghiul m (fig.11.16, b).

Formula suprafeţei S a sectorului sferic o vom obţine sumând suprafeţele

elementare RdRdS sin2 în limitele de la 0 până la :m

).cos1(2sin2 2

0

2

mRdRSm

În cazul nostru 3lR și ),cos1(2 2

3 mlS prin urmare,

.2

cos1

4

/

4

2

3 mlS

În fig. 11.16, a pentru 24,0cos mDAr şi .38,0 Graficul

dependenţei )(r pentru manipulatorul cu dimensiunile elementelor

ilustrate fig. 11,16, a este prezentat în fig. 11.16, b. Asemenea grafice

sunt necesare nu numai la studiul manipulatorului dat, dar şi la

proiectarea schemelor cinematice ale manipulatorilor pentru condiţiile

date.

Din indicii tehnici, care caracterizează manipulatoarele şi roboţii

industriali, mai fac parte: capacitatea de încărcare; rapiditatea care se

caracterizează prin pierderile de timp la mişcarea elementelor

manipulatorului la îndeplinirea operaţiilor după un program anumit;

precizia poziţionării, determinată după dispersia apucătorului RI în

timpul executării operaţiei tehnologice repetate de mai multe ori;

pierderile energetice (consumul energiei electrice, aerului comprimat,

lichidului de lucru ş.a.).

§ 11.7. Sistemele de comandă ale manipulatoarelor

În manipulatorii roboţilor industriali (RI) cu c o m a n d ă

a u t o m a t ă deosebim două regimuri de funcţionare ale sistemelor

comenzii automate: regimul de adaptare şi regimul de lucru. În regimul

de adaptare operatorul, cu ajutorul unui sistem special care include

captorii deplasării elementelor şi dispozitivele pentru înregistrarea

semnalelor captorilor pe bandă magnetică sau perforată, conduce

mecanismul de execuţie al manipulatorului prin poziţiile necesare de

363

lucru ale elementelor. Informaţia care este primită de la captorii

poziţiilor elementelor se cifrează şi este transmisă în dispozitivul de

memorie sub forma unui anumit program. În regimul de lucru

manipulatorul lucrează automat după acest program, care este descifrat

şi transformat în mişcările necesare ale elementelor.

În fig.11.17, a este prezentată schema cinematică a unui robot

industrial cu mecanisme de acţiune, iar în fig. 11.17, b – schema

structurală a mecanismului lui de baza cu bare şi schema simplificată de

comandă automată. Manipulatorul RI (fig.11.17, a ) are 5 grade de

libertate )5( W şi corespunzător 5 mecanisme de acţionare individuale:

4321 ,,, MMMM – motoare electrice, şi 5M – acţionare pneumatică.

Electromotorul ,1M prin transmisia melcată, roteşte faţă de axa verticală

elementul 1. Electromotorul ,2M prin intermediul transmisiei

şurub-piuliţă, comunică o mişcare de translaţie alternativă pe verticală

elementului 2. Electromotorul ,3M cu ajutorul unei transmisii

asemănătoare, comunică o mişcare de translație pe orizontală

(dute-vino) elementului 3 . Electromotorul ,4M prin intermediul

transmisiei melcate, comunică o mişcare de rotaţie apucătorului 4 faţă

de axa orizontală; acţionarea pneumatică 5M deschide şi închide fălcile

apucătorului 5 , transformând mişcarea de translaţie a pistonului prin

intermediul mecanismului cu bare. În fig. 11.17, b se arată că semnalele

prelucrate primite de la corpul sistemului de comandă sunt transmise sub

formă de tensiuni electrice iu acţionărilor corespunzătoare, care transmit

anumite forțe sau momente elementelor cinematice şi le deplasează la

distanţele necesare. Turaţia fiecărui electromotor este reglată prin

tensiunea primită de rotor, iar comanda acestor tensiuni este realizată

prin traductorii de poziţie ai elementelor.

La comanda manuală operatorul, acționând asupra elementelor

mecanismului de comandă, pune în funcţiune elementele mecanismului

de execuţie. Mişcarea poate fi transmisă cu ajutorul mecanismelor cu

bare, cu roţi dinţate, armonice, şurub-piuliţă, arborilor flexibili, altor

elemente mecanice şi diferitelor ambreiaje. Pentru majorarea (când este

necesar) deplasărilor şi eforturilor mâinii operatorului în manipulatoare

sunt folosite servo-transmisii (acţionări suplimentare) – electrice,

hidraulice, pneumatice, care antrenează unele elemente ale

mecanismului de execuţie după semnalele emise la mişcarea

elementelor mecanismului de comandă.

364

Sistemelor de comandă manuală cu manipulatori reproducători le

este impusă o cerinţă specifică de a-i "însufleţi", când opritorul trebuie să

simtă nu numai deplasarea obiectului de manipulat, dar şi sarcina sub

formă de forţă sau moment, care acţionează asupra jucătorului

manipulatorului.

Pentru comanda cu manipulatorii reproducători sunt folosite două

tipuri de sisteme de urmărire: cu reflectarea pasivă a efortului, când

operatorul simte eforturile care acţionează asupra organului de execuţie

numai în timpul mişcării acestuia, şi cu reflectarea activă a efortului –

aşa-numitele sisteme de urmărire reversibile, când operatorul simte forţa

( sau momentul) care acţionează asupra organului de execuţie atât în

timpul mişcării, cât şi în poziţie fixă.

Astfel, spre deosebire de sistemele de dirijare automată obişnuite,

aceste sisteme posedă nu numai proprietatea de a comanda după poziţie,

dar şi proprietatea de a transmite (reflecta) forţa.

Pentru reproducerea pe arbori a efortului dezvoltat de organul de

execuţie servesc aşa numiţii imitatori ai sarcinii.

În calitate de dispozitive de încărcare cu moment sunt folosite

ambreiaje cu fricţiune sau magnetice şi solicitatori electro-hidraulici. La

folosirea ambreiajelor electromagnetice cu fricţiune o parte din ambreiaj

este fixă, iar cealaltă este legată cu arborele operatorului. Când lipseşte

Fig. 11.17

Fig. 11.18

365

solicitarea şi semnalul corespunzător de comandă, semi-cuplajele

alunecă unul faţă de altul şi operatorul nu simte efortul asupra arborelui.

La transmiterea semnalului de la traductorul de momente la bobinele de

comandă ale unui semi-cuplaj în bobina acestuia apare un flux magnetic,

cate cuprinde semi-cuplajul mobil şi îl strânge de cel fix. Cu cât este mai

puternic semnalul cu atât este mat mare momentul pe care îl simte

operatorul.

Principiul de lucru al cuplajului electromagnetic cu pulbere este

analog. Pulberea din materialul feromagnetic ( de exemplu, fier ) este

distribuită între semi-cuplaje într-un câmp magnetic, care apare în

bobina electromagnetului la conectarea curentului. Când se măreşte

sarcina, măsurată de traductorul momentelor, se măreşte inducţia

magnetică şi curentul de excitaţie în spaţiul de lucru, creşte forţa

tangenţială, care este necesară pentru mişcarea părţii conduse faţă de

miezul magnetic fix şi ca rezultat creşte momentul de rezistenţă la

arborele operatorului.

Schema încărcătorului electro-hidraulic pasiv este prezentată în

fig.11.18, b. Când operatorul acţionează asupra arborelui cu un

momentul opM şi cu un anumit efort asupra tijei 1, pistonul 2 se mişcă în

cilindrul umplut cu lichid de lucru (ulei) şi îl deplasează pe ultimul prin

canalele 3 şi 8 dintr-o cavitate a cilindrului în alta. Dacă de la captorul

momentelor la arborele operatorului nu apare nici un semnal, atunci

curentul în bobina de comandă 5 a încărcătorului este egal cu zero, şi

Fig. 11.19

366

sertarul 7 (cu canal) se află în poziţie neutră, fiind fixat de arcul elastic 4.

Totodată sertarul 7 nu închide canalele 3, 8, rezistenţa mişcării

lichidului este minimă şi operatorul va sesiza doar un efort mic. Dacă

apare o sarcină la organul de execuţie sub forma momentului ,iM ea este

măsurată de traductorul DM (fig.11.18, a), în bobina de comandă cu

sertarul 5 apare curent, şi sertarul 7 se deplasează în direcţie axială până

în poziţia în care efortul asupra sertarului este echilibrat de forţa arcului

4. Ca rezultat, sertarul închide parţial canalele 3, 8, rezistenţa mişcării

lichidului de lucru creşte şi operatorul sesizează majorarea momentului

Mî asupra arborelui sub forma momentului de rezistenţă Mr, dezvoltat de

încărcător. Deplasarea maximă a sertarului este limitată de reazemul 6.

Un neajuns al sistemului cu reflectarea pasivă a efortului constă în aceea

că operatorul sesizează sarcina numai la mişcarea organului de dirijare;

afară de aceasta, nu se fixează semnul momentului de solicitare. Ca

rezultat, operatorul nu sesizează diferenţa (după efort):greutatea urcă sau

coboară?

Schema-bloc a sistemului de urmărire cu reflectarea pasivă a

efortului este ilustrată în fig.11.18, a. Fie arborele de lucru solicitat de

un moment oarecare M î, iar operatorul trebuie să rotească acest arbore la

un unghi oarecare .î În acest caz el va roti arborele de comandă cu

unghiul ,op care este fixat de captorul poziţiilor CP. Semnalul

proporţional cu unghiul op este recepţionat de amplificatorul AM şi mai

departe de elementul de execuţie – motorul M, care roteşte arborele de

lucru cu unghiul dat op î

și dezvoltă momentul .îMMm Acest

moment este măsurat de captorul CM şi se fixează de dispozitivul de

încărcare S. Ca rezultat, operatorul primeşte informaţia asupra mărimii

sarcinii obiectului de manipulat.

În manipulatoarele de copiere pentru reproducerea unghiului de

rotaţie al arborelui de lucru după unghiul dat al arborelui operatorului,

este folosit de asemenea sistemul de urmărire selsin (fig.11.18, c) – o

maşină electrică auto-sincronă pentru transmiterea lentă la depărtare, a

unghiului de rotire al arborelui. Captorul-selsin şi receptorul-selsin se

alimentează de la aceeaşi rețea prin stator şi rotor, bobinele cărora sunt

legate inductiv. La rotirea rotorului captorului-selsin cu unghiul op

apare un dezechilibru în reţea şi apar curenţii de echilibru, care rotesc

rotorul receptorului-selsin cu unghiul .î op Când solicitarea mecanică

este neînsemnată, diferenţa î op nu este mare ( 21 ). Dacă solicitarea

367

este mare, este folosit amplificatorul, iar receptorul-selsin doar comandă

mişcarea în regim de transformator.

Dinamica unor astfel de sisteme este destul de complexă, deoarece

în ecuaţiile mişcării trebuie să ţinem cont de momentele reduse de inerţie

opJ şi îJ ale maselor legate cu arborele de lucru, elasticitatea

elementelor, frecarea în mecanisme, caracteristicile dinamice ale

maşinilor electrice.

În manipulatoarele de copiere comandate de la distanţă sunt folosite

sisteme de urmărire reversibile simetrice, compuse din două sisteme de

urmărire cu legătură inversă, care asigură reflectarea activă a eforturilor;

o variantă a unui astfel de sistem, cel mai simplu, este prezentată în

fig.11.19, a. La acţiunea sarcinii asupra elementului de execuţie sub

forma momentului îM în timpul când elementul de dirijare se mişcă sau

este fix, sistemul din partea sarcinii dezvoltă momentul ,2DM iar sistemul

din partea operatorului dezvoltă un moment sincronizat egal de sens

opus, .1DM Ca rezultat, operatorul percepe sarcina exterioară de la

obiectul de manipulat nu numai în timpul mişcării, dar şi în poziţia de

repaus a apucătorului. Dinamica unor astfel de sisteme este destul de

complexă, ecuaţiile mişcării sunt complicate şi se studiază cu ajutorul

unui analog pur mecanic (modelul dinamic, fig.11.19, b). Aici este luată

în consideraţie sarcina exterioară-sub forma momentului ,îM momentele

reduse de inerţie î21 ,, JJJ ale maselor mecanismului, legate cu arborele

operatorului, arborele de lucru şi cu sarcina, unghiul de dezacordare

între axele selsinilor sub forma unei rigidităţi oarecare de calcul c a

transmisiei elastice, dependenţa momentelor dinamice sincronizate 1DM

și ,2DM dezvoltate de selsini la rotire, de viteza de rotaţie sub forma

momentelor statice 1M și ,2M şi coeficienţii 21,kk ai frecării vâscoase.

Totodată trebuie să avem în vedere că comanda este realizată pentru

fiecare grad de libertate al manipulatorului (vezi Kuleşov V.S., Lacota

N.A. Dinamica sistem upravleniya manipulyatoramy. M., 1971)

§ 11.8. Unele probleme ale dinamicii manipulatoarelor

Pentru determinarea legii de mişcare a mecanismului spaţial al

manipulatorului RI cu câteva grade de libertate în calculele de proiectare

putem folosi sistemul de ecuaţii Lagrange de ordinul doi:

368

,,...,2,1, WiQq

T

q

T

dt

di

ii

(11.19)

unde iq sunt coordonatele generalizate;

iQ – forţele generalizate; W –

numărul gradelor de libertate ale mecanismului; T – energia cinetică

totală.

Rezultatul rezolvării sistemului (11.19) este determinarea

deplasărilor, vitezelor şi acceleraţiilor elementelor mecanismului, care

se găsesc în mişcare sub acţiunea forţelor aplicate (motoare şi de

rezistenţă) în funcţie de timpul t. Aceasta este necesar pentru alegerea

corectă a puterii sistemelor de acţionare, determinarea vitezelor maxime,

inerţiei, rapidităţii de funcţionare a manipulatorului.

Energia cinetică a

mecanismului manipulatorului

,iTT unde iT este energia

cinetică a elementului i, care

efectuează (în caz general) o

mişcare spaţială în sistemul fix

de coordonate 000 zyx ( fig.

11.20). Cu acest element este

legat sistemul de coordonate iii zyx cu originea în centrul

maselor Si al elementelor. Dacă axele de coordonare iii zyx ,, sunt

alese în așa mod, ca ele să fie axele principale de inerţie şi, deci

momentele centrifuge de inerţie zixiyizixiyi JJJ ,, sunt egale cu zero, atunci

inerţia cinetică a elementului va fi egală cu suma energiei cinetice în

mişcarea de translaţie pe traiectoria centrului de masă cu viteza Siv şi

energiei cinetice în mişcarea sferică în jurul centrului maselor:

),(2

1 2222

ziziyiyixixiSiii JJJvmT (11.20)

unde mi este masa elementului i; ziyixi JJJ ,, – momentele de inerţie ale

elementului faţă de axele de coordonate ;,, iii zyx ziyixi ,, –

proiecţiile vectorului vitezei unghiulare instantanee a elementului la

mişcarea sferică faţă de centrul maselor pe axele de coordonate .,, iii zyx

Astfel, formula (11.20) este utilizată cu condiţia că axele de

coordonate alese sunt a x e c e n t r a l de i n e r ţ i e.

Fig. 11.20

369

Forţele generalizate iQ sunt determinate din condiția egalității

lucrurilor elementare ale tuturor forţelor externe pe deplasările posibile,

lucrului forţei generalizate la schimbarea numai a uneia din coordonatele

generalizate :iq

),(1

i

j

jz

i

j

jy

n

ii

j

jxiq

zF

q

yF

q

xFQ

unde jzjyjx FFF ,, sunt proiecţiile vectorilor forţelor externe pe axele de

coordonare ;,, 000 zyx jjj zyx ,, – coordonatele punctului de aplicaţie a

forţei .jF

Rezolvarea problemelor concrete privind determinarea legii de

mişcare a mecanismului manipulatorului se reduce la compunerea unui

sistem de ecuaţii diferenţiale (11.19) şi la rezolvarea lor prin metode

numerice.

Astfel de rezolvări cu aplicarea sistemelor de ecuaţii Lagrange de

ordinul doi sunt aproximative nu numai din cauza folosirii metodelor

numerice de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale, dar şi datorită faptului că

frecarea în cuplele cinematice poate fi apreciată aproximativ, iar

elasticitatea elementelor şi jocurile în cuplele cinematice nu se iau în

consideraţie. De aceea la elaborarea probelor experimentale ale RI sunt

Fig. 11.21

370

folosite metodele experimentale de cercetări dinamice ale RI, care

permit, prin intermediul captorilor și aparatelor corespunzătoare,

înscrierea oscilogramelor deplasărilor, vitezelor şi accelerațiilor

elementelor şi aprecierea pe cale experimentală atât a erorilor calculului

teoretic cât şi a influenţei factorilor neconsideraţi mai înainte.

Astfel, de exemplu, în fig.11.21, a este prezentată forma

aproximativă a oscilogramei la mişcarea mâinii unui RI cu o greutate

oarecare în apucător, scrisă şi prelucrată după metodica lui E.G.

Nahapetian (vezi Nahapetian E.G. Otzenka bystrohodnosti

mehanizmov pozitzionyrovaniya manipuliatorov i PR. – Vestnik

maşinostroeniya. 1976, Nr.2, Experimentalinoe issledovanie i

diagnostica robotov / Pod. red. E.G. Nahapetyana, M., 1981).

În fig. 11.21, a )(tS – deplasarea apucătorului, înscrisă cu ajutorul

unui captor reohord; )(tv – viteza de deplasare a apucătorului,

înregistrată cu ajutorul captorului magneto-inductiv; )(ta – accelerația

apucătorului, înregistrată cu ajutorul accelerometrului de tip inerțial;

)(ts – deplasările mici ( oscilaţiile într-un singur plan) ale apucătorului

la sfârșitul mișcării după oprire, înscrise cu ajutorul unui captor

tensometric; pt – timpul pornirii;

pert – timpul mișcării permanente; frt –

timpul frânarii;ft – timpul fixării apucătorului cu greutate după oprirea

mâinii robotului; tt – timpul total de mişcare a mâinii până la oprire; cT –

timpul complet al mişcării, inclusiv timpul mișcării apucătorului.

Ca rezult al măsurărilor putem aprecia de exemplu diferiți

parametri ai mișcării: viteza și accelerația maximă, intervalele de timp,

deplasările reale, timpul fixării apucătorului și precizia poziționării.

Astfel, de exemplu, după perioada 1T a oscilaţiilor amortizate ale

apucătorului şi amplitudinile A2, A3 ale curbei )(ts poate fi determinat

decrementul logaritmic al amortizării )/ln( 32 AA şi coeficientul de

amortizare ,/2 1Tn dacă în calitate de model dinamic vom considera un

oscilator disipativ liniar (fig.11.21, b). În acest caz este folosită ecuaţia

diferenţială a oscilaţiilor libere: ,0 cxxkxm

sau

,02 2 xpxnx (11.21)

unde )2/( mkn este coeficientul de amortizare; ;/2 mcp k –

coeficientul frecării vâscoase, care ia în considerare frecarea cu mediul

371

exterior şi forţa de rezistenţă, care apare ca rezultat al oscilaţiilor elastice

şi deformaţiilor elementelor; c – rigiditatea redusă; m – masa redusă.

Una din soluţiile ecuaţiei (11.21):

)sin( ptAex nt

– legea armonică a oscilațiilor cu amplitudinea ,ntAe descrescătoare în

timp după o lege logaritmică [vibrograma )(txx ].

Cu cât este mai mare n, cu atât mai repede se amortizează oscilațiile

(fig.11.21, c).

372

C a p i t o l u l 12

METODELE DE SINTEZĂ A MECANISMELOR CU CUPLE SUPERIOARE

Realizarea unor mişcări necesare, pentru

care sunt destinate mecanismele prevăzute în

exclusivitate cu cuple inferioare (adică

mecanismele cu bare), nu întotdeauna este

raţională, datorită complexităţii schemei cinematice. În astfel de cazuri se folosesc

mecanisme cu cuple cinematice superioare, care

reproduc mişcarea necesară la un număr mic de

elemente. Numărul minim de elemente al acestor mecanisme este egal cu trei, şi anume: elementul

de intrare, elementul de ieşire şi elementul-bază.

Un alt important avantaj al mecanismelor cu

cuple superioare constă în faptul că aceste mecanisme transformă mişcările teoretic precis,

ceea ce nu pot realiza mecanismele cu cuple

inferioare.

Suprafeţele ce se află în contact în cupla cinematică superioară, asigurând astfel legea

impusă de mişcare, se numesc suprafeţe

conjugate. Mecanismele pot avea fie o pereche de

suprafeţe conjugate, fie mai multe perechi. Primul caz, de exemplu, este aplicat în

mecanismele cu came destinate reproducerii

mişcării de revenire a elementului de ieşire în

funcţie de legea impusă prin funcţia de transmitere. Al doilea caz se utilizează în

angrenajul cu roti dinţate, în care mişcarea

continuă a elementului de ieşire se reproduce datorită acţiunii reciproce şi succesive a

câtorva perechi de suprafeţe conjugate. De regulă, funcţia de transmitere a mecanismelor cu roti dinţate este o mărime constantă, denumită raport de transmitere. Existența doar a

unei singure cuple cinematice superioare introduce particularități esențiale în metodele

de sinteză a mecanismului.

§ 12.1 Teorema fundamentală a angrenării

Teorema fundamentală a angrenării stabileşte relaţia existentă între

geometria suprafeţelor conjugate şi legea mişcării relative a elementelor

din cupla cinematică superioară. În cazul angrenării plane, teorema

fundamentală a angrenării stabileşte legătura dintre geometria

profilurilor conjugate şi mişcarea lor relativă.

Fig. 12.1

373

În problemele de sinteză a suprafeţelor şi a profilurilor conjugate

legea mişcării relative se consideră cunoscută. În relaţiile

2112

sau

2112 (12.1)

vectorii vitezelor unghiulare 1 şi 2 sunt cunoscuţi, şi deci pot fi

determinați vectorii vitezei unghiulare relative .2112

Vectorii 1 și 2 pot fi paraleli, concurenți sau încrucișați

(fig.12.1).

Locul geometric al pozițiilor axelor instantanee de rotație în

sistemul principal de referință se numește a x o i d ă f i x ă, în sistemul

corpului mobil – a x o i d ă m o b i l ă. În cazul axelor de rotație paralele

fixe (fig.12.1, a) axoidele sunt cilindri cu razele 1r și

2r ce contactează

după o generatoare comună și se rostogolesc fără alunecare. Dacă

vectorii 1 și 2 au sensuri opuse, cilindrii axoizi contactează pe

suprafețele exterioare (a n g r e n a j e x t e r i o r), iar dacă vectorii 1 și

2 au același sens, cilindrii axoizi contactează pe suprafețele interioare

(a n g r e n a j i n t e r i o r), cilindrul mic aflându-se în interiorul

cilindrului mare.

În cazul axelor concurente fixe (fig.12.1, b), axoidele reprezintă

două conuri cu unghiurile la vârf 12 și .2 2 Unghiurile conurilor

axoide 1 și

2 stabilesc poziția a x e i i n s t a n t a n e e de r o t a ț i

e în sistemul principal de referință. Valorile acestor două unghiuri

rezultă din aplicarea teoremei sinusurilor în triunghiul ce constituie

soluția vectorială a ecuației (12.1) (fig.12.1, b):

.sin/sin/ 1221

Raportul de transmitere 2112 /u se exprimă cu relația

.cossin

sin

)sin(

sin

sin

1

12

2

1

12

11

tgu (12.2)

Dacă axele sunt încrucișate (fig. 12.1, c), mișcarea relativă a

elementelor este o mișcare e l i c o i d a l ă, adică mișcarea corpului

constă din mișcarea lui de rotație în jurul unei oarecare axe și din

mișcarea de translație cu vectorul de viteză paralel la această axă. În

acest caz, se stabilește a x a e 1 i c o i d a l ă i n s t a n t a n e e. Dacă

374

vitezele unghiulare 1 şi 2 sunt constante, axoidele elementelor în

mişcarea relativă reprezintă hiperboloizi de rotaţie cu o singură pânză şi

cu generatoare dreaptă, ce se rostogolesc cu alunecare în jurul axei

elicoidale instantanee de contact.

În fig. 12.1, c, linia cea mai scurtă dintre cele două axe este notată

prin ,21OO iar lungimea ei – prin .a Pe această linie este situat punctul P.

Prin acest punct trece axa elicoidală instantanee.

Într-o secţiune perpendiculară pe axa elicoidală instantanee

componentele vitezei punctului P sunt egale, adică

,coscos 222111 rr

de unde rezultă că raportul de transmitere se poate calcula cu relația

).cos/(cos/ 11222112 rru (12.3)

În cazul general, în care legea mişcării relative a elementelor

formează o cupla cinematică superioară, se impune teorema

fundamentală a angrenării care este formulată în felul următor: în orice

punct de contact suprafeţele conjugate au o normală comună,

perpendiculară pe vectorul vitezei punctului de contact în mişcarea

relativă impusă a suprafeţelor.

Demonstrarea acestei teoreme constă în următoarele. Dacă condiţia

formulată anterior nu este îndeplinită, există o componentă a vitezei

relative a suprafeţelor aflate în contact în cupla cinematică superioară,

care este orientata dea lungul normalei comune. În acest caz, suprafeţele

în contact din cupla superioară ar trebui să se decupleze sau să pătrundă

una în alta, ceea ce se află în contradicţie cu condiţia de formare a

contactului din cupla superioară. Întrucât o asemenea ipoteză este

imposibilă, reiese că teorema fundamentală a angrenării este

demonstrată. Expresia matematică a teoremei fundamentale a angrenării

scrisă în formă analitică se bazează pe condiţia de perpendicularitate a

vectorilor rv şi ,n notată sub formă de produs scalar al vectorilor:

,0nvr

unde rv este vectorul vitezei în mişcarea relativă din planul tangent la

elementele din cupla cinematică superioară, n – vectorul normalei

comune la punctul de contact.

375

Teorema fundamentală a angrenării plane. Pentru prima dată

teorema fundamentală a angrenării a fost enunţată de către savantul

englez Willis (vezi Willis R. Principles of mechanism. London, 1841) la

elaborarea unei clasificări a mecanismelor pe baza analizei raportului

vitezelor elementelor. În interpretare modernă această teoremă

(denumită t e o r e m a lui W i 1 1 i s) se formulează astfel: în tot

timpul angrenării normala comună la suprafeţele conjugate trebuie să

treacă prin polul angrenării P, a cărui poziție pe linia dintre axe 21OO

este determinată de mișcarea relativă impusă a elementelor.

Din relația dedusă anterior (3.97)

1

1

1

2

1

2

2

1

12

r

ra

r

r

PO

POu

(12.4)

rezultă că poziția polului P este univoc determinată de raza ,1r dacă se

consideră cunoscute distanța dintre axe a și raportul de transmitere .12u

Pentru demonstrarea teoremei formulate, se consideră două

profiluri P1 și P2 în contact în punctul C (fig.12.2) și se examinează

vectorii vitezelor punctelor A și B corespunzători elementelor 1 și 2,

ținându-se cont de relația existentă dintre acești vectori:

.BAAB vvv

Direcția de orientare a vectorilor rezultă din condițiile de mișcare a

punctelor: ;1AOvA ;2BOvB ttvBA // sau ,nnvBA unde t – t și n – n

sunt respectiv tangenta și normala comună la cele două profiluri P1 și P2

în contact.

Fig. 12.2

376

În continuare, prin axa 1O se trasează linia ,1DO care este paralelă cu

normala comună ),//( nnnn și pe ea se notează punctul D de

intersecție cu raza .2CDO Triunghiul obținut DCO1 este asemenea cu

,abC constituit din vectorii BA vv , și .BAv

Din asemănarea celor două triunghiuri reiese:

DC

bC

CO

aC

1

sau ,1

DC

CO

v

v

B

A

sau .2

1

DC

r

r

r

l

A

B

A

Deoarece 212 // POPOCODC (ceea ce rezultă din condiția de

intersecție a laturilor unghiurilor 12ODO cu două drepte paralele), în urma

înlocuirii se obține relația

.)/(

1

22

2

1

PO

PO

DC

CO

DC

r lB

(12.5)

Expresia (12.5) este identică cu relaţia (12.4), ceea ce demonstrează

că normala comună n-n trece prin polul angrenării P. Uneori se aplică o

altă metodă de demonstrare. În acest scop, se examinează proiecţiile

vitezelor absolute Av şi Bv ale punctelor A şi B în momentul aflării lor în

contact în poziţia C, care din condiţia de contact a profilurilor P1 şi P2

trebuie să fie egale, fără desfacerea contactului şi fără pătrunderea unui

profil în celălalt. Din analiza teoremei fundamentale a angrenării reiese

că în cazul cunoaşterii legii de variaţie a funcţiei de transmitere, adică

dacă se cunosc centroidele ce stabilesc poziţia polului P pe distanţa

dintre axe ,21OO proiectantul are posibilitatea alegerii libere a geometriei

Fig. 12.3

377

profilurilor conjugate. Oricărei perechi de centroide îi corespunde o

mulţime de profiluri conjugate, care asigură variaţia impusă a raportului

vitezelor unghiulare ale elementelor.

La alegerea raţională a perechii de profiluri de o anumită geometrie

proiectantul ţine cont de tehnologia de execuţie (de metoda de execuţie,

de maşinile-unelte, de sculele aşchietoare, de metodele de control etc.),

de capacitatea funcţionării angrenajului (de capacitatea portantă, de

randamentul înalt, de uzura redusă a profilurilor, de fiabilitate şi

durabilitate etc.), de sensibilitatea angrenajului la erorile apărute în

timpul execuţiei, montării şi explorării.

Din teorema fundamentală a angrenării rezultă că profilurile

conjugate trebuie amplasate în raport cu centroidele astfel, încât în orice

punct de contact normala comună să treacă prin polul angrenării P. Dacă

această condiţie nu este satisfăcută, astfel de profiluri nu se pot afla în

contact. În fig. 12.3, a sunt arătate centroida C şi profilul P, la care s-au

trasat normalele .nn Pe sectorul AB al profilului P normalele

intersectează centroida C, iar pe sectorul BC normalele nu au puncte

comune cu centroida C. Prin urmare, pentru sectorul AB al profilului P

se poate determina profilul conjugat, iar pentru sectorul BC nu se poate

face acest lucru. În acest caz, înălţimea capului dintelui trebuie să fie

limitată (în fig.12,3, a prin linie punctată este arătată convenţional linia

vârfurilor dinţilor ce trece prin punctul B).

Raţionamente similare pot fi extinse şi asupra cazului particular al

profilului P, când acesta reprezintă o linie dreaptă ( fig. 12.3, b); pe

sectorul AB normalele întretaie centroida C, iar pe sectorul BC

normalele nu au puncte comune cu centroida C1. Însă, dacă se alege o

altă centroidă *

1C (sau se amplasează altfel profilul rectiliniu în raport cu

centroida), se poate obţine ca normalele la profil pe tot sectorul AC să

intersecteze centroida ,*

1C adică pentru întregul profil AC să se găsească

un nou profil conjugat. Această condiţie, care rezultă din teorema

fundamentală a angrenării, este necesară, însă uneori poate fi

insuficientă, deoarece sunt posibile şi alte restricții.

Anterior în capitolul 3 s-a arătat că una dintre cele mai importante

caracteristici cinematice ale oricărui mecanism, care nu depinde de timp

şi de legea de variaţie a coordonatei generalizate, este funcţia de

transmitere qBv a vitezei de mişcare, care reprezintă prima derivată a

deplasării BS a unui oarecare punct B în raport cu coordonata

generalizată ,1 adică

378

.// 11 BBqB vddSv

În cazul transmiterii mișcării de rotație prin cupla superioară,

funcției de transmitere qBv i se poate imprima un anumit sens geometric.

În cele din urmă, drept coordonată generalizată se consideră unghiul de

rotație 1 al elementului 1, iar în calitate de funcție – deplasarea

BS a

punctului B de pe elementul condus 2 (fig.12.2).

În sistemul de unităţi SI funcţia de transfer 1/BqB vv se exprimă în

.1 radm Pe schema mecanismului această funcţie poate fi reprezentată

la scara )]/([ 1 radmmmq sub forma unui segment.

Sensul geometric al funcţiei de transfer a vitezei de mişcare se

determină astfel: segmentul DC situat pe dreapta care uneşte punctul de

contact C cu axa de rotaţie 2O a elementului condus şi cuprins între

normala comună nn în punctul de contact C şi dreapta nn dusă prin

axa de rotaţie 1O a elementului conducător, paralel la normala comună,

este direct proporţional cu funcţia de transmitere ./ 1BqB vv

Pentru demonstrarea acestei teoreme, se vor examina triunghiurile

1DCO şi Cab (fig.12.2):

Aa

AO

Bb

CD 1 sau .11

11

l

aAB r

AO

v

AO

v

CD

În urma unor transformări, se obține relația

)/( 1 Bl vCD sau ,qBlvCD

ceea ce trebuia să se demonstreze. Dacă geometria profilurilor în contact

se alege arbitrar, funcţia cinematică de transfer se modifică. Ea poate fi

reprezentată sub formă de dependenţe funcţionale în coordonatele:

BqB Sv , sau ., 2qBv

Trebuie de reţinut faptul că plasarea segmentului CD, proporţional

cu funcţia cinematică de transfer ,qBv în raport cu punctul de contact,

depinde de schema de angrenare. În cazul angrenării exterioare, când

polul angrenării P este situat între axele de rotaţie 1O și ,2O segmentul

CD din prelungirea liniei DO2este de asemenea plasat în exterior în

raport cu segmentul .2CO

În cazul angrenării interioare, când polul angrenării P este amplasat

în exteriorul segmentului ,21OO segmentul CD este situat pe linia DO2în

interior, adică de la punctul C în direcția axei .2O Uneori se aplică

următoarea regulă: vectorul vitezei Bv a elementului de ieșire 2 rotit cu

379

un unghi de 90° în sensul vectorului vitezei unghiulare 1 a elementului

de intrare arată modul de plasare a segmentului CD, proporțional cu

funcția cinematică de transfer în raport cu punctul de contact C.

§12.2. Viteza de alunecare a profilurilor conjugate

Relația existentă între vitezele unghiulare 21, ale elementelor,

viteza de alunecare a profilurilor și distanța punctului comun de contact

C de la polul angrenării P se formulează astfel: într-o cuplă superioară v

i t e z a de a l u n e c a r e a profilurilor conjugate este egală cu distanța

CPl dintre punctul de contact C și polul angrenării P înmulțită cu viteza

unghiulară 2112 în mișcarea relativă a profilurilor (vezi fig.12.2).

Pentru deducerea acestei relații, se vor examina triunghiurile

asemenea Cab și ,1CDO prin urmare,

11 CO

Ca

DO

ab sau .

11 CO

v

DO

v Aal (12.6)

Din asemănarea triunghiurilor 21ODO și

2CPO rezultă

.111

2

2

1

2

21

2

211

PO

PO

PO

POPO

PO

OO

CP

DO (12.7)

În raport cu viteza de alunecare ce se caută, relația (12.6) cu

considerarea expresiei (12.7) devine

,11

21

1

1

1

1

CPDO

r

r

CO

DOvv

llA

A

Aal

sau

).()( 2121

CP

l

al lCP

v

(12.8)

Relația (12.8) corespunde teoremei vitezei de alunecare a

profilurilor conjugate, formulată anterior. În polul angrenării P nu există

alunecare între cele două profiluri. Cu cât punctul comun de contact C

este situat mai departe de polul angrenării P, cu atât viteza de alunecare

este mai mare. Având în vedere că uzura suprafețelor în contact este

funcție de viteza de alunecare, proiectantul trebuie să aleagă o astfel de

așezare a profilurilor conjugate față de centroide, încât viteza de

alunecare să se mențină în limitele admisibile.

Cele mai frecvente angrenaje sunt cele cu profilurile conjugate, care

reprezintă danturi cu cap şi cu picior, adică cu profiluri pe ambele părţi

ale centroidelor.

380

În unele cazuri se pot aplica profiluri conjugate prevăzute numai cu

danturi cu cap sau numai cu danturi cu picior, adică se pot proiecta

angrenaje cu angrenare ante-polare, post-polare şi extrapolare.

Cu toate că viteza de alunecare BACCal vvv 12 a celor două profiluri

1P şi 2P este aceeaşi, totuşi uzura acestora este diferită. În legătură cu

aceasta va fi util să se examineze mişcarea fiecărui profil 1P şi

2P în

raport cu punctul de contact C (fig. 12.4):

.sau

;sau

22

11

CCCCBCCB

CCCCACCA

vvvvvv

vvvvvv

(12.9)

Direcția vectorului vitezei Cv al punctului de contact coincide cu

tangenta la linia de angrenare – locul geometric al punctelor de contact C

pe planul imobil la interacțiunea profilelor 1P și

2P (vezi fig.12.2).

Direcţia vectorilor vitezelor ACCC vv 1 şi BCCC vv 2 coincide cu

tangenta comună tt la cele două profiluri 1P și

2P în punctul de contact

C.

Soluţiilor ecuaţiilor vectoriale (12.9) le corespund construcţiile din

fig. 12.4 sub forma unor plane ale vitezelor.

Pentru cupla superioară din fig.12.4 viteza de alunecare vAC acv /

a profilului 1P faţă de punctul de contact C este cu mult mai mică decât

viteza de alunecare vBC cbv / a profilului 2P în raport cu acelaşi punct

de contact C. Aceasta înseamnă că în acelaşi interval de timp profilul 2P

Fig. 12.4

381

va contacta pe un sector de lungime mai mare decât profilul .1P În

virtutea celor menţionate, în aceleaşi condiţii, profilul 1P se va uza pe

sectorul considerat mai intens decât sectorul dat al profilului ,2P chiar

dacă cele două profiluri sunt executate din materiale cu aceeaşi

rezistenţa la uzură.

În timpul acţiunii reciproce viteza de alunecare 12CCv dintre cele

două profiluri şi vitezele de alunecare CCv 1 și CCv 2 ale profilurilor în raport

cu punctul comun de contact variază continuu. Cu cât punctul de contact

C se apropie de polul angrenării P, cu atât vitezele de alunecare

menţionate sunt mai mici. Ele se anulează în polul P, după care îşi

schimbă sensul de variaţie. Dacă unica uzură este cea abrazivă, atunci o

astfel de alunecare între profiluri afectează intensitatea uzurii pe diverse

sectoare ale profilurilor de contact din cupla cinematică superioară.

Este insuficient să se aprecieze alunecarea profilurilor în mişcarea

relativă numai cu valoarea vitezei de alunecare. Mai este necesară

considerarea vitezei de mişcare a punctului de contact pe fiecare profil,

adică considerarea vitezelor BCv şi ACv (fig.12.4).

Raportul dintre viteza de alunecare între profiluri BAal vv şi vitezele

relative ACv și BCv ale punctelor A şi B de pe profiluri în timpul mişcării

lor faţă de punctul comun de contact C poartă numele de

a l u n e c ă r i s p e c i f i c e respectiv A şi :B

ACalA vv / și

BCalB vv / . (12.10)

Dacă viteza punctului de pe profil coincide cu viteza de deplasare a

punctului de contact pe linia de angrenare, în acest caz alunecarea

specifică este teoretic infinită. O astfel de situaţie se realizează în

mecanismele cu came, când contactul în cupla cinematică superioară

reprezintă un punct (vârf).

382

§12.3. Unghiul de presiune la transmiterea

mișcării printr-o cuplă superioară

Poziţia normalei comune nn la profilurile în contact în punctul C

poate fi determinata prin mai multe metode. Se numeşte unghi al

profilului conducător unghiul cuprins între normala nn şi raza

vectoare Ar trasată din axa

1O în punctul de contact C (vezi fig.12.2).

Unghiul dintre normala nn şi raza vectoare Br ce pleacă din axa

2O în

punctul de contact C poartă numele de u n g h i de

t r a n s m i t e r e . Se numeşte u n g h i de p r e s i u n e

unghiul cuprins între normala nn şi vectorul vitezei Bv al elementului

condus. La proiectarea mecanismelor cu cuple superioare unghiurile în

cauză joacă un rol important. În acele cazuri când se cere să se ia în

consideraţie condiţiile de transmitere a forţelor şi a momentelor forţelor,

valorile acestor unghiuri se limitează. De exemplu, unghiu1 de presiune

nu trebuie să depăşească o anumită valoare admisibilă ,adm deci .adm

Fig. 12.5

383

Relaţia existentă între unghiul de presiune și parametrii cinematici

ai mecanismului se stabileşte în felul următor. Din schema de pe

fig.12.2 se pot scrie relaţiile: ,/)]([/)(/ 12211 EOBOEOADEOAEADEODEtg

unde 1EO este perpendiculara coborâtă din centrul

1O pe raza .2DO

Dacă valorile segmentelor

22212

22211

21

coscos

;sinsin

;);/(

aOOEO

aOOEO

rBOvAD

l

l

BlBl

se vor înlocui în expresia anterioară, se va obține relația

.sin

)cos()/(

2

21

a

ravtg BB

(12.11)

În relația (12.11) valorile ,/ 1Bv Br și

2 sunt variabile.

Atunci când elementul 2 din mecanismul cu cuplă superioară

execută o mișcare de translație rectilinie, expresia (12.11) devine

,)/( 1

BH

B

SS

evtg

(12.12)

unde e reprezintă excentricitatea – deplasarea axei elementului condus

în raport cu axa de rotație a elementului conducător, iar BBH ySS –

coordonata punctului de pe elementul condus în direcția mișcării sale de

translație în raport cu axele de coordonate, care au ca origine axa de

rotație a elementului conducător.

Teorema unghiului de presiune poate fi formulată în felul

următor: în timpul transmiterii mișcării de rotație într-un mecanism plan

simplu cu cuplă superioară unghiul de presiune depinde de funcția de

transmitere ,/ 1BqB vv de distanța dintre axe a și de coordonatele

2Br și

2 ale punctului de contact al elementului condus și se calculează cu

relația (12.11).

În unele cazuri particulare, transmiterea mișcării între profilurile

conjugate se poate realiza cu unghiuri de presiune constante.

384

§12.4. Metode grafice de sinteză

a profilurilor conjugate

Metoda pozițiilor succesive ale profilului. Determinarea

profilului conjugat 2P în funcție de profilul cunoscut

1P (fig.12.5, a) prin

metoda pozițiilor succesive constă în inversarea mișcării centroidei 1C în

raport cu centroida fixă ,2C în trasarea unor poziții ale profilului 1P

și în

construirea curbei înfășurătoare, care constituie profilul .2P

Deoarece centroidele 1C și

2C se rostogolesc fără alunecare,

lungimea sectoarelor corespunzătoare ale centroidelor trebuie să fie

egală: ;11 PP ;22 PP ;33 PP …; ;88 PP 99 PP sau ;2121

....;3232

Prin inversarea mișcării, razele ;11 O ;21O ;...;31

O ;81O 91

O vor ocupa

succesiv pozițiile ,11 ,22 ,...,33 ,88 .99 Fixând polul 1P față de linia

,21OO se pot trasa un șir de poziții succesive ale acestuia. Astfel, în urma

Fig. 12.6

385

inversării mișcării linia 21OO coincide respectiv cu ,112

O ,222O ,...,332

O

,882O 992

O etc. Înfășurarea unor poziții succesive ale profilului 1P

reprezintă profilul .2P

În fig.12.5, b este prezentat un exemplu de construcție grafică

pentru cercetarea angrenajului mașinii-unelte, construit dintr-un contur

de referință al sculei așchietoare și o roată dințată în evolventă.

Metoda trasării profilului conjugat conform pozițiilor

normalelor (metoda lui Reuleaux). Această metodă se bazează pe

teorema fundamentală a angrenării și se aplică în acele cazuri, când se

pot stabili cu ușurință pozițiile normalelor la profilul impus 1P (fig.

12.6).

Se consideră arbitrar punctele 6,...3,2,1 de pe profilul .1P Prin

fiecare punct considerat se duc normalele la profil. Normalele

intersectează centroida în punctele ,1 ,2 ,...,3 .6 Centroidele 1C și

2C se

rostogolesc fără alunecare. Din acest motiv, din condiția 𝑃1 ′′ = 𝑃1 ′ ;

𝑃2 ′′ = 𝑃2 ′ ; 𝑃3 ′′ = 𝑃3 ′ ;… ; 𝑃6 ′′ = 𝑃6 ′ pe centroida 2C se vor afla în

punctele corespunzătoare ,6,...3,2,1 care în timpul trecerii prin polul

P vor face contact cu punctele 6,...3,2,1 ale centroidei .1C Poziția

punctelor de contact ale profilurilor într-un plan fix se poate stabili cu

ușurință în urma rotirii triunghiurilor ;11 1O ;22 1O ;...33 1O 166 O în jurul

axei 1O până la acele poziții, pentru care normalele respective ,11 ,22

66,...,33 ar trece întotdeauna prin polul P: ;1PIO ;1PIIO ;...;1PIIIO .1PVIO

Locul geometric al punctelor de contact VIIIIIII ,...,,, reprezintă l i n i a

de a n g r e n a r e (l.a.).

În aceste poziții normalele respective la profilurile 1P și

2P sunt

comune. Dacă aceste normale se vor roti în raport cu axa 2O sub anumite

unghiuri, ele vor ocupa pozițiile .66,...,22,11 *** În acest timp triunghiul

222 ,...,, IIIPOIIPOIPO se reduce până ce ocupă ;11 2

* O ;22 2

* O ;...;33 2

* O

.66 2

* O

Prin unirea punctelor **** 6,...,3,2,1 cu o curbă continuă, obținem

profilul căutat ,2P conjugat cu profilul impus .1P

Prin urmare, trasarea profilului conjugat după metoda lui Reuleaux

se bazează pe aplicarea noțiunii de angrenare, care reprezintă locul

geometric al punctelor de contact într-un sistem de coordonate fix, legat

de elementul bază.

386

§ 12.5. Ecuația fundamentală a angrenării profilurilor

sub formă diferențială

Condițiile interacțiunii profilurilor conjugate, determinate cu

teorema fundamentală a angrenării, pot fi prezentate sub formă

analitică. O asemenea formă de prezentare este destul de utilă, ba chiar

preferabilă, mai ales la proiectarea și cercetarea angrenajelor, care

constituie baza teoretică a transmisiilor nestandardizate de destinație

diversă, la profilarea sculelor așchietoare ce funcționează prin metoda

rulării, etc.

Se consideră profilul 1P descris în sistemul de coordonate 11

1 yxO

(vezi. fig. 3.45) de ecuația explicită ).( 1

1

1 xfy

Ecuația normalei nn la profilurile în contact în punctul B are

forma

.0)()()( 11111 BBB yyxfxx (12.13)

unde BB dxdyxf )/()( 111 reprezintă panta tangentei în punctul B;

11 , yx – coordonatele curente ale punctului de pe normală; 11 , BB yx –

coordonatele punctului de contact B al profilurilor în sistemul .11

1 yxO

În conformitate cu teorema fundamentală a angrenării, normala

nn trebuie să treacă prin polul P cu coordonatele

101

1 cosrxP și .sin 1011 ryP (12.14)

Ecuația (12.13) se poate înscrie astfel:

.11

11

11

11

1

1

BP

BP

B

B

B

tyy

xx

yy

xx

dx

dytg

(12.15)

Cu considerarea relațiilor (12.14) ecuația (12.15) capătă forma:

.0)sin()/()cos( 101)1()1()1(

1011 rydxdyrx BBB (12.16)

Această relație reprezintă ecuația normalei la profilul dat .1P În

timpul angrenării suprafețelor conjugate normala trece prin polul P.

Uneori ecuația (12.16) se numește ecuația angrenării în formă

diferențială.

Raza centroidei 1r se poate exprima prin distanța dintre axe a și

raportul de transmitere ,/ 1221 u astfel încât:

.121

21

1

u

uar (12.17)

În urma înlocuirii relației (12.17) în (12.16) se obține

.0)]sin([)/()cos( 10

1

21

111

10

1

21

1 ayuydxdyaxux BBBB (12.18)

387

Ecuația diferențială a angrenării profilurilor (12.18) permite să se

determine unghiul ,10 dacă se cunosc parametrii transmisiei: distanța

dintre axe ,a raportul de transmitere 21u și ecuația unuia din profiluri, de

exemplu :1P ).( 11 xfy

Coordonatele punctului de contact C în sistemul de coordonate fix ,00

1 yxO legat de elementul-bază, se stabilesc în urma unor transformări

de coordonate cu ecuația matriceală de forma:

,1

10

0

BC rMr (12.19)

unde

.

100

0cossin

0sincos

;

1

;

1

1010

1010

10

1

1

10

0

0

Mrr B

B

BC

C

C y

x

y

x

Coordonatele punctului C determină ecuația liniei de angrenare –

locul geometric al punctelor de contact:

.cossin

;sincos

10

1

10

10

10

1

10

10

BBC

BBC

yxy

yxx

(12.20)

Coordonatele punctului B de pe profilul ,2P conjugat cu profilul ,1P

de asemenea se determină în urma unor transformări de coordonate, ca

rezultat al trecerii de la sistemul de coordonate fix 00

1 yxO la cel mobil

,22

2 yxO folosind în acest scop ecuația matriceală

,2

02

2

CB rMr

unde

;

1

;

1

0

0

02

2

2

C

C

CB

B

B y

x

y

x

rr

.

100

sincossin

cossincos

202020

202020

02

a

a

M

În forma lor finală ecuațiile arată în felul următor:

.sincossin

;cossincos

2020

0

20

02

2020

0

20

02

ayxy

ayxx

CCB

CCB

(12.22)

Unghiul 20 din ultima expresie se determină cu relația

1 0

0102120 .

du (12.23)

388

Dacă raportul de transmitere 21u este constant, relația în cauză se

reduce la forma particulară .102120 u

Fig. 12.7

389

§ 12.6. Suprafețe generatoare

La calculul parametrilor geometrici ai suprafețelor de contact din

cupla cinematică superioară se ține seama de posibilitățile tehnologice

de execuție a pieselor la mașinile-unelte de generare a suprafețelor

(mașini-unelte pentru așchierea metalelor, laminoare, prese etc).

Geometria sculei respective de generare a suprafețelor este indisolubil

legată de existența unor s u p r a f e ț e g e n e r a t o a r e. La sculele

destinate generării suprafețelor prin metoda așchierii, suprafața

generatoare este o suprafață imaginară, care conține tăișurile sculei, sau

este formată în timpul mișcării principale de așchiere a tăișurilor sculei.

Dacă tăișurile sculei aşchietoare sunt drepte, iar mişcarea principală a

sculei este o mişcare rectilinie, suprafaţa generatoare reprezintă un plan.

Dacă tăişurile sculei aşchietoare sunt curbilinii, iar mişcarea principală a

sculei este o mişcare rectilinie, suprafaţa generatoare constituie o

suprafaţă cilindrică (de exemplu, suprafaţa evolventică a cuţitului roată).

Prin analogie cu angrenajul constituit din roata de prelucrat şi

suprafaţa generatoare a sculei aşchietoare, angrenajul construit dintr-o

suprafaţă de proiectat a dinţilor şi o suprafaţă generatoare a sculei

aşchietoare poartă denumirea de a n g r e n a j al m a ș i ni i u n e

l t e. Această noţiune a fost propusă de către savantul V.A. Gavrilenko,

care a dezvoltat şi a generalizat principiile de bază ale teoriei

angrenajelor cu roţi dinţate cu dantură în evolventă [13].

Esenţa angrenajului maşinii-unelte constă în aceea că suprafaţa

generatoare (suprafaţa tăişurilor sculei) şi suprafaţa proiectată a

dintelui (roţii „de prelucrat”) se caracterizează prin aceleaşi mişcări

relative ca şi roţile dinţate aflate în angrenare în urma acţiunii

reciproce a suprafeţelor axoide.

În timpul danturării roţilor dinţate cilindrice axa roţii generatoare

(adică a unei roţi dinţate imaginare cu suprafeţele laterale generatoare) şi

axa roţii de proiectat („de prelucrat”) sunt paralele, iar axoidele

reprezintă cilindri. Dacă roata generatoare dispune de un număr finit de

dinţi, atunci ca scule aşchietoare se utilizează cuţitul roată (fig.12.7, f ) şi

capul de honuit abraziv (fig.12.7, g). Cu ajutorul acestor scule se pot

prelucra suprafeţele laterale ale danturilor roţilor dinţate independent de

numărul de dinţi (12.7, h ). Dacă raza axoidei roţii generatoare este

infinită, scula trebuie să aibă un număr infinit de dinţi, adică să devină,

de fapt, o cremalieră. În acest caz ca scule se utilizează freza melc

(fig.12.7, b) sau melcul abraziv (fig.l2.7, d). La aceste scule

390

c o n t u r u l g e n e r a t o r al c r e m a l i e r e i (fig.12.7, e)

este amplasat pe suprafaţa elicoidală. Dintre sculele particulare de

danturat se menţionează cuţitul pieptene (fig.12.7, a) şi discul de

rectificat în formă de farfurie (piatră conică plană) (fig.12.7, c).

Mişcarea principală de aşchiere a cuţitului roată, cuţitului pieptene şi a

capului de honuit abraziv este o mişcare de translaţie, în timp ce

mişcarea principală de aşchiere a frezei melc şi discurilor abrazive – o

mişcare de rotaţie.

În timpul mişcării de rulare pasul pe cercul de bază al sculei

măsurat pe normala la profil coincide cu pasul pe cercul de bază al roţii

de proiectat („de prelucrat”). Profilul danturii roţii rezultă ca

înfășurătoare a poziţiilor succesive ale tăişului sculei în timpul mişcării

de rulare ce are loc între sculă şi piesă. Procesul de danturare a roţilor

dinţate se desfăşoară atât timp cât este asigurată mişcarea relativă de

rulare între piesă şi sculă.

Se numește p r o f i l de r e f e r i n ț ă profilul cremalierei

considerat drept bază pentru determinarea profilurilor teoretice şi a

dimensiunilor dinţilor unui set de roţi dinţate. Profilul de referinţă este

standardizat, întrucât determină geometria sculei de danturat şi a roţilor

dinţate.

La proiectarea angrenajelor cu roţi dinţate conice se aplică

angrenajele maşinii-unelte, în care axoidele suprafeţelor generatoare

reprezintă suprafeţe conice. Axele conurilor axoide ale roţii generatoare

şi roţii de proiectat („de prelucrat”) sunt concurente. Cel mai frecvent

caz particular utilizat în calcule este acela în care axoida roţii

generatoare reprezintă un

plan cu axa de rotaţie ce

trece prin vârful axoidei.

Roata prevăzută cu o

axoidă plană. se numeşte r

o a t ă p l a n ă de r e f e

r i n ţ ă. Desfăşurata

secţiunii frontale a unei

asemenea roți de referinţă

plană are conturul dinţilor

cremalierei convenţionale,

denumită p r o f i l de

r e f e r i n ţ ă (nominal)

f r o n t a l.

Fig. 12.8

391

Calculul oricărui angrenaj cu roţi dinţate presupune utilizarea a

două angrenaje ale maşinii-unelte, având roţi generatoare și mecanisme

de rulare respective. Dacă suprafeţele generatoare pot fi reduse la o astfel

de poziţie, încât la suprapunerea lor coincid în toate punctele, atunci

astfel de suprafeţe se numesc c u p l ă g e n e r a t o a r e c o n g r u e n t ă.

În fig.12.8 sunt prezentate profilurile de referinţă congruente 1 şi 2 cu

profilul cremalierei.

Utilizarea principiului cuplei generatoare congruente simplifică

analiza contactelor flancurilor în angrenare, timpului de contact,

existenţei sau inexistenţei interferenţei profilurilor.

Ideea privind elaborarea teoriei angrenajelor pe baza cuplei

generatoare a fost enunţată de către Theodore Olivier, care în anul 1877

a publicat lucrarea "Metoda analitică de soluţionare a problemelor

privind angrenajele". Această idee a fost reluată şi aplicată la elaborarea

teoriei angrenajelor evolventice de către şcoala ştiinţifică a profesorului

V.A. Gavrilenko din cadrul şcolii tehnice superioare ”N.E. Bauman” din

Moscova. .

Interferenţa în angrenajul activ lipseşte, dacă se foloseşte cupla

generatoare congruentă. Cupla generatoare asigură contactul flancurilor

dinţilor după o linie, deoarece liniile instantanee de contact coincid.

În cazul utilizării cuplelor cu suprafeţe generatoare necongruente,

contactul în angrenaj se poate realiza fie într-un punct, fie după o linie,

însă nu este exclusă existența interfeţei flancurilor dinţilor. În astfel de

cazuri se cere o analiză suplimentară a angrenajului care se proiectează

în funcţie de anumiţi indici.

392

C a p i t o l u l 13

ANGRENAJE CU ROȚI DINȚATE CILINDRICE

Transmiterea continuă a mişcării de rotaţie între doi arbori, cu un

raport de transmitere impus, se realizează mai frecvent cu ajutorul

mecanismelor cu roţi dinţate. Datorită fiabilităţii înalte şi preciziei în

reducerea mişcării de rotaţie impus, utilizarea mecanismelor cu roţi

dinţate este foarte vastă în construcţia de maşini şi aparate. Daca axele

de rotaţie ale arborilor sunt paralele, se recurge la utilizarea angrenajului

cu roţi dinţate cilindrice, la care axoidele roţilor reprezintă cilindri (§

12.1). Un astfel de angrenaj face parte din categoria mecanismelor plane.

În prezentul capitol se expun bazele sintezei angrenajului cu roți dinţate

cilindrice în funcţie de raportul de transmitere impus, care în ansamblu

alcătuiesc calculul geometric al angrenajului cu roţi dinţate.

§ 13.1. Elementele roţii dinţate

Angrenajele cu roţi dinţate cilindrice (vezi § 2.3) pot fi cu a n g r e n

a r e e x t e r io a r ă ( fig.2.6, a ) ş i c u a n g r e n a r e i n t e r io a r ă

( fig.2.6, b ) . Se menţionează, de asemenea, a n g r e n a r e a cu c r e m a 1

i e r ă (fig.2.6, c), care ocupă un loc intermediar între angrenarea

exterioară şi cea interioară. Angrenajul simplu este construit din două

elemente mobile, care reprezintă roţi dinţate.

În cele ce urmează, vor fi examinate elementele roţii dinţate (fig.

13.1). Suprafaţa (1), care separă dinţii roţii dinţate de corpul ei, poartă

numele de suprafaţă a g o l u r i l o r dinţilor, iar

suprafaţa (2 ) ce mărgineşte dinţii din

partea opusă a corpului roţii dinţate –

suprafaţă de cap a dinţilor. Spaţiul

(3), cuprins între doi dinţi vecini se

numeşte g o l u l dinţilor.

Suprafaţa (4 ), care delimitează

dintele, se numeşte f l a n c u l

d i n t e l u i.

Flancul dintelui este alcătuit din

două suprafeţe: p r i n c i p a l a

(5 ) şi de r a c o r d a r e (6 ).

Suprafaţa principală reprezintă acea

Fig. 13.1

393

porţiune din flancul dintelui, care, fiind în acţiune reciprocă cu suprafaţa

principala a celuilalt dinte, permite realizarea unui raport de transmitere

dat. Suprafaţa de racordare uneşte suprafaţa principală cu cea a fundului

golurilor.

De cele mai multe ori suprafaţa principală este o suprafaţă

evolventică, deoarece dintre toate angrenajele cilindrice, angrenajele cu

roţi dinţate cilindrice cu dantură evolventică au cea mai largă aplicare

practică. Se explică acest lucru prin faptul că aceste angrenaje au avantaje

destul de importante faţă de alte angrenaje. Astfel, angrenajele

evolventice admit, în anumite limite, variaţia distanţei dintre aţe,

menținând în acelaşi timp un raport de transmitere constant, ceea ce nu

permit alte angrenaje, şi posedă calităţi superioare în exploatare.

Prelucrarea roților dințate cu profil evolventic și a sculelor de danturat

este cea mai simplă, ceea ce are o mare importanță practică.

În continuare, vom examina generarea suprafețelor evolventice, care

vor fi suprafețele principale ale dinților drepți și înclinați. În fig.13.2, a

este arătată suprafața principală a unui dinte drept, care poate fi

reprezentată ca un ansamblu de evolvente ),( EE absolut egale, amplasate

în planuri perpendiculare pe axa roții dințate. Aceste evolvente sunt

traiectoriile punctelor considerate pe dreapta generatoare .CC

Generatoarea în cauză aparține planului N, care rulează fără alunecare pe

cilindrul de bază 1. Punctele inițiale ale tuturor evolventelor se situează

pe generatoarea bbCC a cilindrului de bază. Intersectarea suprafeței

principale a dintelui drept cu un oarecare cilindru axial 2 are loc după

generatoarea acestui cilindru (de exemplu, dreapta CC ). Această dreaptă

este paralelă cu axa roții dințate și se numește linie a dintelui drept.

Suprafața principală a dintelui drept reprezintă o suprafață liniară

cilindrică evolventică.

Suprafața principală a dintelui înclinat (fig.13.2, b), de asemenea,

poate fi prezentată ca un ansamblu de evolvente egale ),,( EE care se află

în planuri perpendiculare pe axa roții; însă, în acest caz, dreapta CC este

plasată în planul N sub un anumit unghi față de axa roții dințate. Datorită

acestui fapt, în timpul rulării planului N fără alunecare pe cilindrul de

bază 1 punctele inițiale ale evolventelor se plasează pe linia elicoidală

bbCC de pe cilindrul de bază. Din intersectarea suprafeței principale a

dintelui înclinat cu orice cilindru axial 2 rezultă linia elicoidală ,*CC

denumită linia dintelui înclinat. Suprafața principală a dintelui înclinat

este o suprafață liniară elicoidală evolventică.

394

Prin urmare, asemănarea cardinală dintre suprafeţele principale ale

dinţilor drepţi şi înclinaţi constă în aceea că în orice secţiune frontală,

adică într-o secţiune perpendiculară pe axa roţii dinţate, aceste suprafeţe

au evolvente.

În fig. 13.2, c este arătată secţiunea frontală de sus, în care sunt

prezentate cercul de bază (raza br ) și dreapta nn tangentă la acest cerc.

Când dreapta nn rulează fără alunecare pe cercul de bază, punctul yC

al acestei drepte descrie ramura dreaptă a evolventei ,ybCC iar când

dreapta nn rulează în sens invers, punctul yC descrie ramura stângă a

evolventei .ybCC

Unghiul ascuţit dintre tangenta la profilul dintelui în punctul yC şi

raza vectoare ,yOC notat cu ,y se numeşte unghi de profil. Se poate arăta

că unghiul yyONC este egal cu unghiul .y Unghiul cuprins între raza

vectoare iniţială bOC şi raza vectoare curentă yOC poartă numele de unghi

evolventic şi se notează cu .yinv Poziţia oricărui punct yC al evolventei

Fig. 13.2

395

se determină univoc cu doi parametri: cu raza vectoare yr şi cu unghiul

evolventic .yinv

În baza faptului că dreapta nn rulează fără alunecare pe cercul de

bază, se poate alcătui egalitatea 𝐶𝑏𝑁𝑦 = 𝐶𝑦𝑁𝑦 . Înlocuind acum în

această egalitate valorile arcului și segmentului, se obține ,)( ybyyb tgrinvr

de unde

.yyy tginv (13.1)

Relația de legătură între yr și unghiul

y rezultă din triunghiul

:yyONC

.cos yby rr (13.2)

Relațiile (13.1) și (13.2) exprimă ecuația evolventei sub formă

parametrică. Dacă din aceste ecuații se elimină parametrul ,y între

yinv și yr se obține p legătură directă exprimată prin .br Rezultă deci că

evolventa se determină complet cu cercul de bază. De aceea, la calculul

analitic al coordonatelor profilului evolventic sau la trasarea lui grafică

este necesar și suficient să se cunoască numai raza cercului de bază.

Pentru teoria geometrică a angrenajelor o deosebită importanță au

următoarele proprietăți de bază ale evolventei (fig.13.2, c):

a) evolventa reprezintă o curbă simetrică cu două ramuri ce se

unesc în punctul amplasat pe cercul de bază. Prin urmare, evolventa nu

are puncte în interiorul cercului de bază;

b) punctul yN este centrul instantaneu al vitezelor dreptei nn şi

totodată centrul de curbură al evolventei în punctul .yC De aceea

normala la evolventă în orice punct al ei reprezintă o dreaptă tangentă la

cercul de bază;

c) segmentul yyCN este raza de curbură a evolventei

y în punctul

;yC

d) în punctul iniţial al evolventei )( bC unghiul de profil y şi raza de

curbură y sunt egale cu zero. Unghiul de profil creşte pe măsură ce

punctele de pe evolventă se îndepărtează de cercul de bază. Totodată

creşte şi raza de curbură a evolventei;

e) odată cu mărirea razei cercului de bază profilul evolventic pierde

treptat din curbura sa. În cazul în care ,br evolventa devine o linie

dreaptă.

396

În fig.13.3, a este reprezentată o roată dinţată cu dantură exterioară.

Cea mai mare rază ar o are cercul de cap. În fig.13.3, b este arătată o

roată dinţată cu angrenaj interior. Din acest motiv, la roata cu dantură

interioară raza ar a cercului de cap este mai mică decât raza

fr a

cercului de picior. În fig.13.3 sunt prezentate totodată profilul

evolventic al dintelui, cercul de bază cu ajutorul căruia s-a trasat

profilul, cercul de divizare de rază ,r precum şi cercul de raza arbitrară

.yr

În fig.13.3 prin litera s-a notat unghiul CON, care este egal cu

unghiul de profil al dintelui în punctul C pe cercul de divizare al roţii

dințate cu dinţi drepţi. În CSI acest unghi este standardizat şi considerat

egal cu 20°. Deci, cercul de divizare al roţii dinţate cu dantură dreaptă

este acel cerc, care întretaie profilul dintelui într-un punct, pentru care

unghiul de profil este egal cu unghiul standard α = 20°.

Dacă lungimea cercurilor de divizare, de bază şi de rază arbitrară se

împart la numărul de dinţi z, se obţin distanţele dintre profilurile a doi

dinţi vecini, numite paşi, adică pasul pe cercul de divizare p, pasul pe

cercul de bază bp şi respectiv pasul pe cercul de rază arbitrară .yp

Arcurile bpp, şi yp corespund aceluiaşi pas unghiular

./// yybb rprprp De aici rezultă că pasul este proporţional cu raza

cercului respectiv. Pasul unghiular se poate exprima şi astfel: ./360 z

Un element important al roţii dinţate este pasul pe cercul de

divizare. Dacă lungimea cercului de divizare se exprimă prin pasul p și

numărul de dinți z al roții: .2 pzr De aici reiese că diametrul cercului

de divizare este .)/( mzzpd Raportul /p se notează prin m şi se

numeşte modulul roţii dințate (unitatea de măsură a modulului este

milimetrul). Modulul este standardizat; standardul conţine un şir de

valori ale modulului. Prin modul se exprimă raza cercului de divizare şi

toate celelalte dimensiuni liniare ale roţii dinţate şi ale angrenajului:

;2/mzr (13.3)

.mp (13.4)

Raza cercului de bază se determină din triunghiul CON (fig.13.3, a)

.cos)2/(cos mzrrb (13.5)

397

Egalând relațiile (13.2) și (13.5), se obține raza cercului arbitrar al

roții dințate

.cos

cos

2cos

cos

yy

y

mzrr

(13.6)

Întrucât pasul este proporțional cu raza, rezultă că pasul pe cercul

de bază este ,coscos mppb

pe când pasul pe cercul de rază arbitrară –

.cos

cos

cos

cos

yy

y mpp

Parametrii de bază ai roților dinților sunt: modulul m și numărul de

dinți z. Dimensiunile de divizare caracterizează dimensiunile roților

dințate și ale angrenajului. Deoarece modulul se determină în urma

calculului de rezistență, iar numărul de dinţi se stabileşte de către

Fig. 13.3

398

proiectat, rezultă că pentru reducerea dimensiunilor angrenajului este

necesar să se micşoreze numărul de dinţi ai roţilor dinţate [vezi ecuaţia

(13.3)].

Pentru roţile dinţate cu dinţi interiori, razele cercurilor de bază şi de

divizare şi paşii pe aceste cercuri se determina cu aceleaşi relaţii ca şi în

cazul roţilor dinţate cu dinţi exteriori.

Pasul dinţilor roţii dinţate pe orice cerc poate fi privit ca suma dintre

grosimea dintelui ys şi lărgimea golului ,ye adică

yyy esp și .mesp

Roţile dinţate de acelaşi modul şi număr de dinţi se deosebesc prin

grosimea dintelui pe cercul de divizare.

Se disting: 1) roţi dinţate cu pasul divizat egal, la care grosimea

dintelui pe cercul de divizare este egală eu lărgimea golului, deci cu o

jumătate din pas – ;2/mes

2) roţi dinţate la care ,es adică ;2/ms

3) roţi dinţate la care ,es adică .2/ms

În fig.13.3, c sunt reprezentate unghiurile la centru 2 şi y2

corespunzătoare grosimilor circulare ale dintelui c şi ys precum şi

unghiurile evolventice inv şi .yinv Din figură rezultă

,yyb invinv

de unde .yy invinv

Exprimând grosimile unghiulare prin cele liniare )2/( yyy rs și

)2/( rs și înlocuind valorile lor în ecuația lui ,y se obține relația de

calcul a grosimii dintelui exterior:

).22/( yyy invinvrsrs (13.7)

În mod analog se stabilește relația de calcul a grosimii dintelui

interior :ys

).22/( yyy invinvrsrs

399

Dacă se recurge la

majorarea infinită a

numărului de dinți ai roții

dințate, deci și a razelor

tuturor cercurilor, atunci

în cazul limită, în care

,z toate cercurile devin

linii paralele, iar profilul

evolventic al dintelui

devine implicit un profil

rectiliniu (vezi

proprietățile evolventei în §13.1), ceea ce are o importanță practică

însemnată. În cazul în care ,z se obține o cremalieră (fig.13.4). În

orice loc rectiliniu al dintelui cremalierei unghiul de profil este același și

egal cu .

Dreapta UU, în lungul căreia grosimea dintelui cremalierei este

egală cu lărgimea golului, adică cu o jumătate din pas, se numește

Fig. 13.4

Fig. 13.5

400

dreaptă de divizare. Pasul dinților cremalierei, măsurat pe orice dreaptă

paralelă la cea de divizare, are aceeași valoare .mp Pasul cremalierei,

măsurat pe normala nn la profilul ei, este egal cu ,cosm adică cu

pasul bp pe cercul de bază al roții dințate cu modulul egal cu cel al

cremalierei.

§13.2. Elementele și proprietățile

angrenajului evolventic

În fig.13.5, a,c sunt prezentate două evolvente, 1E și ,2E în contact

în punctul C, în angrenare exterioară şi interioară.

Analiza proprietăţilor evolventei (vezi § 13.1) arată că dreapta 1CN

(fig.13.5, a), tangentă în punctul C la cercul de bază de rază ,1br este

totodată normală la evolventa .1E În baza aceluiaşi raţionament, dreapta

2CN tangentă la cercul de bază de rază 2br este normală la evolventa .2E

Segmentele 1CN şi 2CN alcătuiesc segmentul comun ,21NN tangent la cele

două cercuri de bază. Prin urmare, dreapta 21NN va fi normala comună la

cele două evolvente, din care motiv se află în contact în punctul de pe

dreapta .21NN

Considerând cele două evolvente în contact în punctul ,C prin

același procedeu se poate arăta că evolventele 1E şi 2E au aceeaşi

normală comună ,21NN deci punctul lor de contact se va afla pe această

dreaptă. Prin urmare, dreapta 21NN se poate prezenta ca locul geometric

al punctelor de contact ale evolventelor 1E şi .2E Rezultatul obţinut este

valabil şi pentru cazul angrenării interioare a evolventelor 1E şi 2E (fig.

13.5, c).

Aşadar, în timpul angrenării celor două profiluri evolventice

normala lor comună, ca tangentă la cercurile de bază, nu-şi schimbă

poziţia, şi de aceea nu-şi modifică poziţia sa nici polul P. Astfel se

demonstrează prima şi totodată principala proprietate a angrenajului

evolventic: în procesul angrenării, angrenajul evolventic asigură un

raport de transmitere constant, deoarece din teorema lui Willis privind

existenţa unui raport de transmitere instantaneu (vezi §12.1) reiese că

raportul .// 122112 constPOPOu

401

Examinăm elementele de bază ale angrenajului evolventic. Din

acestea fac parte:

l i n i a de a n g r e n a r e – dreapta 21NN – traiectoria punctului de

contact C al profilurilor în mișcarea lui absolută (adică în mișcarea lui

față de elementul fix al angrenajului cu roți dințate);

p o l u l a n g r e n ă r i i – punctul P de intersecție a liniei de

angrenare cu linia centrelor ,21OO care determină poziția centrului

instantaneu al vitezelor celor două roți dințate în mișcarea lor relativă;

c e r c u r i l e p r i m i t i v e (de rostogolire) ce fac contact în polul

angrenării; razele acestor cercuri se notează cu 1r și .2r În timpul

angrenării celor două profiluri cercurile primitive rulează fără alunecare,

deci vitezele liniare ale punctelor luate pe ambele cercuri sunt egale;

u n g h i u l de a n g r e n a r e – unghiul ascuțit cuprins între linia

de angrenare și linia perpendiculară pe linia centrelor.

În fig.13.5 sunt arătate totodată unghiurile la centru PON 11 și ,22 PON

egale cu unghiul de angrenare. Din aceleași figuri rezultă că unghiul de

profil în punctul evolventei considerat pe cercul primitiv este egal

numeric cu unghiul de angrenare .

Ambele unghiuri se notează cu aceeaşi literă. Însă este necesar să

reţinem deosebirea existentă între aceste două unghiuri, şi anume:

unghiul de profil este un parametru geometric al profilului propriu-zis,

iar unghiul de angrenare – un parametru cinematic al angrenării celor

două profiluri.

Distanţa dintre axe ,21 rra pentru angrenarea exterioară şi

12 rra pentru angrenarea interioară, constituie un parametru ge-

ometric al angrenării.

Angrenajul evolventic cu angrenare atât exterioară, cât şi interioară

permite ca distanța dintre axe să varieze, în timp ce raportul de transmitere

impus să rămână constant. Pentru demonstrarea celei de-a doua proprietăţi

a angrenajelor evolventice este suficient să se examineze cele două

scheme de angrenare exterioară din fig.13.5, a, b. Ambele angrenări se

caracterizează prin aceleaşi evolvente, adică au aceleaşi cercuri de bază

de raze 1br şi ,2br însă se deosebesc prin distanţele dintre axe, , aa şi

unghiurile de angrenare, .

Pentru prima schemă (fig.13.5, a):

;cos

cos

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

12

b

b

b

b

r

r

r

r

r

r

PO

POu

(13.8)

402

pentru a doua schemă (fig.13.5, b):

.cos

cos

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

12

b

b

b

b

r

r

r

r

r

r

PO

POu

(13.9)

Din compararea expresiilor (13.8) şi (13.9) rezultă că pentru ambele

scheme raportul de transmitere este acelaşi, deci nu depinde de valoarea

lui .a Variaţia distanţei dintre axe afectează numai valorile unghiului de

angrenare şi ale razelor cercurilor de rostogolire.

Cea de-a treia importantă proprietate a angrenajelor evolventice

constă în aceea că în cazul angrenării exterioare profilurile evolventice

reprezintă profiluri conjugate numai în limitele segmentului 21NN al liniei de

angrenare. Evolventele 1E şi 2E trasate prin punctul x, aflat în exteriorul

segmentului 21NN sub punctul 2N (fig. 13.5, a), nu au normală comună.

Această înseamnă că evolventele nu fac contact în punctul x, ci doar se

intersectează. Acelaşi lucru se va întâmpla şi în exteriorul segmentului

,21NN mai sus de punctul .1N

Spre deosebire de angrenarea exterioară, în angrenarea interioară

profilurile evolventice fac contact numai în exteriorul segmentului 21NN

(fig.13.5, c). Pe sectorul 21NN are loc intersectarea evolventelor, întrucât

aici dreapta ,21NN fiind normală la evolventa ,2E nu este normală la

evolventa .1E

În angrenajul real intersecţia evolventelor conduce la sporirea

uzurii dinţilor şi la solicitări de oboseală în material, iar în unele cazuri şi

la ruperea dinţilor sau chiar la blocarea angrenajului. Din această cauză

în angrenajele exterioare sau interioare trebuie să fie exclusă orice

posibilitate de intersectare a evolventelor.

§13.3. Poziţiile de bază ale angrenajului tehnologic.

Angrenajul tehnologic cu cremalieră

Metodele de prelucrare a roţilor dinţate. Actualmente

danturarea roţilor dinţate se execută prin metoda copierii şi metoda

rulării.

După prima metodă se prelucrează roţile dinţate în special cu pasul

divizat egal. În acest caz majoritatea roţilor dinţate se execută cu o

eroare prescrisă. Metoda a doua – metoda rulării – nu posedă asemenea

neajunsuri: prin această metodă se pot prelucra cele mai diverse roţi

403

dinţate şi totodată teoretic precis. De aceea metoda rulării se utilizează

pe scară largă şi prezintă un deosebit interes pentru proiectant.

Prin metoda rulării semifabricatul din care se execută roata dinţată

şi scula aşchietoare de forma unei danturi (freză-melc, cuțit-pieptene,

cuţit-roată) comunică pe maşina-unealtă mişcări care reproduc procesul

de angrenare. Angrenajul format din scula aşchietoare şi semifabricat

este numit angrenaj tehnologic.

În afară de mişcările care reproduc procesul de angrenare, scula

primeşte suplimentar încă o mişcare tehnologică de aşchiere. În acest

caz, tăişurile sculei aşchietoare descriu suprafaţa dintelui, numită

suprafaţă generatoare (vezi § 12.6). Remarcăm că suprafaţă generatoare

şi flancul dintelui de prelucrat sunt suprafeţe reciproc înfăşurate, de unde

și provine denumirea acestei metode.

Fig. 13.6

404

Dacă suprafaţa generatoare se intersectează cu un plan

perpendicular pe axa roţii dinţate de prelucrat, în secţiune obţinem un

profil generator de referinţă. Angrenajul tehnologic reprezintă un

angrenaj constituit din profilul generator de referinţă şi profilul dintelui

roţii dinţate de prelucrat.

Examinăm angrenajul tehnologic cu cremalieră, adică un angrenaj

în care profilul generator de referinţă are configuraţia unei cremaliere.

Tăişurile evolventice ale acestui profil generator de referinţă sunt

rectilinii (vezi §13.1). Scula aşchietoare (freza-melc

sau cuţitul-pieptene), formând în urma mişcării sale principale un profil

generator de referinţa evolventic cu cremalieră, posedă o proprietate

foarte preţioasă, cum este realizarea ei cu precizie înaltă şi cu cheltuieli

minime.

Profilul generator de referinţă al sculei cremaliere evolventice. Forma şi dimensiunile profilului generator de referinţă sunt

standardizate. Porţiunile evolventice ale profilului dinţilor profilului

generator de referinţă (fig.13.6, a) sunt rectilinii şi înclinate faţă de axa

dintelui sub unghiul . Trecerile de la porţiunea rectilinie a dintelui la

fundul golului respectiv şi la vârf se execută sub formă de racordare de

rază .0 La profilul generator de referință punctele de racordare s-au

notat cu literele A, B, E, F. Porţiunea rectilinie DE este evolventică, în

timp ce racordările AD și EF sunt porţiuni neevolventice ale profilului.

Dreapta ce împarte dintele în două părţi poartă numele de dreaptă de

divizare. Pe profilul generator de referinţa se mai marchează încă patru

linii paralele cu dreapta de divizare, care sunt corespunzătoare

fundurilor golurilor şi vârfurilor dinţilor, precum şi punctelor de

racordare D și E. Distanţele dintre aceste drepte exprimă dimensiunile în

înălţime ale dintelui profilului generator de referinţă şi se măsoară cu

mărimile mhh aa

* şi respectiv ,*mcc unde *

ah este coeficientul de

înălţime al dintelui, iar *c – coeficientul de joc radial. Conform

standardului, ,0,1* ah iar .25,0* c Dreptele ce trec prin punctele D și E se

numesc drepte ale punctelor limită.

Dimensiunile măsurate pe dreapta de divizare sunt: pasul, grosimea

dintelui și lărgimea golului. Pasul p al profilului generator de referință

măsurat pe orice dreaptă paralelă cu cea de divizare constituie o mărime

constantă, egală cu ,m unde m este modulul standard. Grosimea dintelui

profilului generator de referință pe dreapta de divizare este egală cu

405

grosimea golului, deci .2/00 mes Unghiul de profil al dintelui este

standardizat, .20 Raza de racordare (a arcului EF) este

.4,0)sin1/(*

0 mmc (13.10)

Astfel, profilul generator de referinţă al sculei cremaliere se

caracterizează prin patru parametri standardizaţi: .,,, ** chm a

Angrenajul tehnologic cu cremalieră şi coeficientul de

deplasare. Ca şi în orice alt angrenaj, în angrenajul tehnologic cu

cremalieră se disting linii de rostogolire. Din acestea fac parte: dreapta

de rostogolire tehnologică a cremalierei şi cercul de rostogolire al roții

de pe mașina-unealtă, remarcând faptul că aceste cercuri rulează între ele

fără alunecare (vezi § 13.2). Totodată se poate arăta că în angrenajul

tehnologic cu cremalieră raza 0r a cercului de rostogolire tehnologic

este egală cu raza cercului de divizare .r

Unghiul de angrenare 0 din angrenajul tehnologic cu cremalieră

este egal cu unghiul de profil al profilului generator de referinţă (ca

unghiuri cu laturile reciproc perpendiculare). De asemenea, se

menţionează că unghiul de divizare coincide cu unchiul de profil al

profilului generator de referinţă.

Pe maşina-unealtă scula se poate fixa diferit faţă de roata dinţată de

prelucrat. De aceea, în angrenajul tehnologic, în funcţie de amplasarea

dreptei de divizare a profilului generator de referinţă în raport cu cercul

de divizare al roţii dinţate, se pot sistematiza următoarele deplasări ale

sculei:

1) poziţie nulă, când dreapta de divizare face contact cu cercul de

divizare;

2) poziţie pozitivă, când dreapta de divizare este deplasată faţă de

cerul de divizare;

3) poziţie negativă, când dreapta de divizare intersectează cercul de

divizare.

Distanţa dintre dreapta de divizare a profilului generator de

referinţă şi cercul de divizare al roţii dinţate de prelucrat este numită

d e p l a s a r e a sculei. Ea se exprimă prin produsul dintre modulul m

şi coeficientul de deplasare x de un anumit semn. În cazul poziţiei nule,

,0mx iar .0x Pentru poziţia pozitivă ,0mx deci .0x Când poziţia

este negativă, deplasarea reprezintă un segment, pe care îl separă dreapta

de divizare de cercul de divizare; în acest caz ,0mx iar .0x

În fig.13.6, a este reprezentat un angrenaj tehnologic cu cremalieră,

utilizat la danturarea roţii dinţate cu deplasare pozitivă. Totodată aici

406

sunt arătate elementele profilului generator de referinţă, ale roţii dinţate

de prelucrat şi ale angrenajului tehnologic.

Linia de angrenare din angrenajul tehnologic cu cremalieră

porneşte din punctul N şi prin polul P0 tinde spre infinit. Lungimea

porţiunii active a liniei de angrenare din angrenajul tehnologic cu

cremalieră este mărginită de punctele B şi B ce se află la intersecţia

liniei de angrenare din angrenajul tehnologic cu dreapta QQ a punctelor

limită şi cu cercul exterior (fig. 13.6, a).

Profilul dintelui roţii dinţate se compune dintr-o porţiune

evolventică şi alta neevolventică. Trecerea profilului evolventic în cel

neevolventic are loc pe cercul punctelor limită ale roţii dințate de rază .ll BOr

Distanţa dintre cercul exterior al dinţilor roţii dinţate şi dreapta

golurilor profilului generator de referinţă reprezintă jocul tehnologic .0c

Jocul tehnologic constă din două mărimi: mc* şi ,my unde y este

coeficientul deplasării egalizatoare.

Dimensiunile roţii dinţate de prelucrat cu latură exterioară. Diametrul cercului exterior al roţii dinţate cu dinţi drepţi (fig. 13.6, a)

este ).222(2 * yxhzmrd aaa

Din aceeaşi figură rezultă înălţimea dintelui ).2( ** ychmh a

Dacă 0x (deplasarea sculei este egală cu zero) şi ,0x atunci

),2( *

aa hzmd ),2( ** chmh a iar pentru valori standard 0,1* ah şi 25,0* c

rezultă )2( zmda și .25,2 mh

Dreapta primitivă tehnologică rulează fără alunecare pe cercul

primitiv tehnologic (totodată el este şi cercul de divizare). De aceea,

grosimea dintelui s măsurat pe cercul de divizare al roţii dinţate de

prelucrat este egală cu lărgimea golului MM ocupat pe dreapta primitivă

tehnologică a profilului generator de referinţă (fig. 13.6, b).

Segmentul MM se compune din lărgimea golului profilului

generator de referinţă măsurată pe dreapta de divizare 2/0 me şi din

două catete, fiecare având lungimea ,tgxm de aceea

.22/ tgxmms (13.11)

Dacă în raport cu roata dinţată scula este fixată fără deplasare

),0( mx atunci înseamnă că grosimea dintelui s pe cercul de divizare al

roţii dinţate este egală cu lărgimea golului e, întrucât .mes Aşadar,

în acest caz, rezultă roata dinţată cu pasul divizat egal, .es Dacă

,0mx atunci 2/ms şi .es Dacă ,0mx rezultă ,2/ms iar .es

407

La danturarea roţilor dinţate

cu dinţi înclinaţi se utilizează

aceeaşi sculă ca şi în cazul roţilor

dinţate cu dinţi drepţi, numai că

acum scula aşchietoare se înclină

sub un unghi faţă de planul

frontal tt al roţii dinţate (semi-

fabricatului) (fig. 13.6, c). În

această figură este prezentată

desfăşurata 2 a cilindrului de

divizare al roţii dinţate cu dinţii

înclinaţi şi ca rezultat liniile

elicoidale ale dintelui înclinat au

devenit linii drepte. În planul frontal tt al roţii dinţate cu dinţi înclinaţi,

datorită înclinării sculei, pasul creşte şi devine egal cu ,cos/ p deci în

planul frontal modulul va fi nestandardizat şi egal cu .cos/ m De aceea

la dimensionarea roţii dinţate cu dinţi înclinaţi cu relaţiile în care

figurează modulul standard, în locul lui m este necesar să se introducă

mărimea .cos/ m De exemplu, diametrul cercului de divizare al roţii

dinţate cu dinţi înclinaţi este .cos/ zmd

Trebuie să ținem cont că dimensiunile ,*mha,*mc ,xm ,my fiind

perpendiculare pe dreapta de divizare (fig.13.6, a), s-au acceptat să se

numească dimensiuni de înălţime. În fig. 13.6, с aceste dimensiuni sunt

perpendiculare pe planul desenului. În timpul rotirii sculei cu unghiul

dimensiunile de înălţime nu se schimbă. De aici rezultă că în acele

ecuaţii, în care intervin produsele ,*mha ,*mc xm și ,my calculul

angrenajului cu roţi dinţate cu dinţi înclinaţi se poate face fără nici o

recalculare a factorilor. De exemplu, formula de calcul a diametrului

cercului exterior al roţii dinţate cu dinţi înclinaţi poate fi scrisă astfel:

),(2 * myxmmhdd aa în care .cos/ zmd

În timpul prelucrării roţii dinţate cu dinţi înclinaţi unghiul de profil

al profilului generator de referinţă creşte faţă de valoarea standard

,20 deoarece dimensiunile de înălţime nu se modifică, iar în

secţiunea frontală pasul se măreşte. La danturarea roţilor dinţate cu dinţi

înclinaţi unghiul t al profilului generator de referinţă se determină cu

relaţia .cos/ tgtg t

În fig.13.7 se compară profilurile dinţilor a trei roţi dinţate, având

acelaşi număr de dinţi, danturate cu aceeaşi sculă, însă cu diverse

Fig. 13.7

408

deplasări: .321 xxx Roţile dinţate au aceleaşi raze de divizare şi

cercuri de bază; deci profilurile dinţilor celor trei roţi dinţate sunt trasate

cu aceeaşi evolventă. Însă grosimile dinţilor 1s (arcul ab),

2s (arcul ac),

3s (arcul af ) şi razele cercurilor de cap 321 ,, aaa rrr ale roţilor vor fi diferite.

Odată cu majorarea lui x, grosimea dintelui la rădăcină creşte, iar la vârf

descreşte, adică coeficientul deplasării afectează esenţial forma dintelui.

Prin urmare, din cei trei dinţi examinaţi cel mai rezistent va fi dintele

celei de-a treia roţi dinţate. În afară de aceasta, pentru porţiunea

evolventică a profilului dintelui celei de-a treia roţi dinţate se utilizează

un sector evolventic care este cel mai îndepărtat de originea sa şi care,

prin urmare, poseda cele mai mari raze de curbură (vezi § 13.1) ceea ce

contribuie la reducerea uzurii şi tensiunilor de contact în flancul dintelui.

Deci alegerea la proiectare a unui anumit coeficient de deplasare poate

afecta esenţial forma dinţilor roţilor dinţate şi calitatea angrenajului, asi-

gurându-i proprietăţi superioare. Însă trebuie să reţinem că dependenţa

menţionată a formei dinţilor şi a proprietăţilor angrenajului de

coeficientul deplasării x este substanţială în cazul numerelor mici de

dinţi şi slăbeşte odată cu mărirea lui z.

§13.4. Subtăierea şi ascuţirea dintelui

În conformitate cu proprietăţile

angrenajului evolventic (vezi § 13.2), numai

porţiunea rectilinie, adică evolventică, a

profilului generator de referinţă şi porţiunea

rectilinie a profilului roţii dinţate se

amplasează tangent la linia de angrenare din

angrenajul tehnologic ce porneşte din punctul

N. În stânga acestui punct sectorul rectiliniu

al profilului-generator de referinţă nu face

contact cu profilul evolventic al dintelui roţii

dinţate, ci î1 intersectează. Deoarece din

punct de vedere fizic profilul generator de referinţă reprezintă, acea

urmă pe care tăişurile sculei aşchietoare o lasă pe materialul roţii de

prelucrat, rezultă că intersectarea menţionată conduce la subtăierea

rădăcinii dintelui roţii dinţate (fig.l3.8). Subtăierea reduce porţiunea

evolventică a profilului dintelui roţii dinţate şi slăbeşte dintele în

secţiunea periculoasă.

Fig. 13.8

409

Atunci când punctul lB al porțiunii active a liniei de angrenare din

angrenajul tehnologic se situează în dreapta punctului N (vezi fig.13.6,

a), retezarea nu are loc când este satisfăcută condiția

.00 lBPNP (13.12)

Folosind condiția (13.12), determinăm numărul minim de dinți ai

roții dințate, când aceștia nu vor fi subtăiați. Din triunghiul ONP0 (vezi

fig.13.6, a) rezultă că ,sin00 OPNP iar din triunghiul ,0 lBFP

.sin/00 FPBP l

Înlocuind valorile lui NP0 și lBP 0 în condiția (13.12) și rezolvând

ecuația obținută în raport cu z, obținem:

.sin/)(2 2* xhz a (13.13)

Dacă ,0x din expresia scrisă rezultă numărul minim de dinți ai

roții dințate fără deplasare, care nu vor fi subtăiați de scula cremalieră

.sin/2 2*

min ahz (13.14)

La proiectarea roților dințate nedeplasate este necesar ca numărul

de dinți să fie luat mai mare sau egal cu .minz În cazul utilizării unor scule

standard 0,1( * ah și )20 .17min z

Pentru roțile dințate cu dinți înclinați ecuația (13.14) capătă forma:

.sin/cos2 2*

min tahz

Așadar, dinții roților dințate cu dantură înclinată sunt mai puțin

supuși subtăierii, întrucât , t iar .1cos

Fig. 13.9

410

În §13.1 s-a menţionat că pentru reducerea gabaritelor angrenajelor

roţile dinţate trebuie proiectate cu un număr minim de dinţi. În cazul în

care ,17z prevenirea subtăierii dinţilor este asigurată, dacă roţile

dinţate sunt prelucrate prin deplasarea sculei aşchietoare. În cele din

urmă, se va stabili valoarea minimă a deplasării sculei, datorită căreia nu

va mai avea loc subtăierea dinţilor. Valoarea minimă a deplasării sculei

se determină, de asemenea, cu expresia (13.12). Pe baza acestei

inegalităţi şi a expresiei (13.13), se poate scrie

.sin)2/( *2 xhz a

Înlocuind aici valoarea lui 2sin din relația (13.14) și rezolvând în

raport cu x, se obține inegalitatea

,/)( minmin

* zzzhx a (13.15)

și trecând la valoarea minimă xmin, obținem formula

./)( minmin

*

min zzzhx a (13.16)

Din relația (13.16) rezultă că roata dințată cu minzz se poate

dantura cu deplasarea pozitivă, nulă și chiar negativă, deoarece pentru o

asemenea roată dinţată .0min x Pentru roata dinţată cu minzz se poate lua

o deplasare pozitivă sau nulă, iar pentru roata dinţată cu minzz – numai

o deplasare pozitivă.

Dacă coeficientul deplasării se va mări, grosimea dintelui as la vârf

se va micşora. Pentru un anumit coeficient al deplasării, numit maxim

),( maxx apare fenomenul de ascuţire a dintelui ).0( as Pericolul ascuţirii

(este destul de mare mai ales la roţile dinţate cu un număr mic de dinţi

(mai mic de 15)).

Pentru prevenirea ruperii vârfului dintelui ascuţit, coeficientul

deplasării se alege astfel, încât grosimea as să nu fie mai mică decât

).2,0(2,0 msm a La proiectare grosimea dintelui as se determină cu

ecuaţia (13.7), introducând ay rr și ;ay conform ecuaţiei (13.2)

./cos ab rr

§13.5 Angrenajul evolventic

Elementele angrenajului evolventic. În fig.13.9 este arătat un

angrenaj exterior, având unghiul de angrenare , polul angrenării P,

distanţa dintre axa ,a razele cercurilor de rostogolire 1r şi .2r Toate

411

aceste elemente au fost examinate anterior (în §13.2), când s-au studiat

proprietăţile angrenajului evolventic.

Linia de angrenare este intersectată în punctele B' şi B" de către

cercurile de cap ale dinţilor roţilor-dinţate; în punctul B profilurile

conjugate intră în angrenare, iar în punctul B" ies din angrenare.

Interacţiunea suprafeţelor principale ale dinţilor conjugaţi are loc numai

pe sectorul B'B" al liniei de angrenare. Această porţiune a liniei de

angrenare se numeşte segment de angrenare. Angrenajul trebuie proiectat

astfel, încât segmentul B'B" să fie amplasat în limitele liniei de

angrenare .21NN Dacă punctele B' şi B" se dispun în exteriorul liniei de

angrenare ,21NN atunci se poate produce blocarea angrenajului.

Pentru un anumit sens de rotaţie, sarcina este transmisă şi preluată

de acelaşi flanc al dintelui, numit flanc activ. În angrenare participă

profilurile active ale dinţilor, care sunt amplasate pe flancurile active ale

dinţilor, corespunzătoare, liniei active de angrenare. În fig.13.9

profilurile active sunt haşurate.

Între cercul de cap al unei roţi dinţate şi cercul de picior al celeilalte

roţi dinţate există o distanţă, numită joc radial. În fig.13.9 jocul radial

este notat cu litera c. Mărimea jocului radial se exprimă prin produsul

dintre coeficientul *c şi modulul m, adică ,*mcc unde .25,0* c

Ecuaţiile angrenajului evolventic. La stabilirea relaţiilor pentru

calcularea unghiului de angrenare şi a distanţei dintre axe a este

necesar să se reţină că valorile nominale ale acestor mărimi se determină

cu condiţia ca dinţii de pe o roată dinţată să pătrundă etanș în golurile de

pe cealaltă roată dinţată, fără joc lateral. Având în vedere acest fapt,

precum şi cel în conformitate cu care cercurile de rostogolire rulează

unul peste altul fără alunecare, se va scrie 21 es și ,12 es unde 1s și

2s sunt grosimile dinților, iar 1e și 2e – lărgimile golurilor măsurate pe

cercurile de rostogolire ale roților dințate din angrenaj.

Deoarece cercurile de rostogolire se rostogolesc fără alunecare,

rezultă că pașii 1p și 2p măsurați pe aceste cercuri, sunt egali:

.21 ppp Pasul 11 esp sau, întrucât ,12 es se obține

.21 sep (13.17)

Pe de altă parte, pasul pe cercul de rostogolire este ).cos/(cos mp

412

Luând în considerare relațiile (13.3), (13.6), (13.11) și exprimând

grosimile dinților 1s și

2s cu relația (13.7), în urma înlocuirii lor în

expresia (13.17) rezultă relația de calcul a unghiului de angrenare

,2

z

tgxinvinv

(13.18)

în care ., 2121 zzzxxx După calculul involutei unghiului de

angrenare cu ecuația (13.18), unghiul trebuie determinat cu ajutorul

tabelului funcțiilor involute.

Distanța dintre axe este .21 rra

Ținând seama de funcția (13.6), se poate scrie

,cos

cos

2

mzr

de aceea distanța dintre axe va fi

.cos

cos

2

mz

a (13.19)

Distanța dintre axe poate fi exprimată și astfel (fig.13.9):

,21 ymrra (13.20)

unde ym reprezintă distanța dintre cercurile de divizare. Ea se numește

deplasare suportată, iar y – coeficient al deplasării suportate.

Egalând relațiile (13.19) și (13.20) și considerând expresia (13.3),

se obține formula de calcul a coeficientului deplasării suportate

.1cos

cos

2

zy (13.21)

La calculul angrenajelor cu roți dințate cu dinții înclinați se aplică

aceleași relații ca și în cazul angrenajelor cu roți dințate cu dinți drepți,

numai că în locul parametrilor m și se iau respectiv cos/m și ,t în

timp ce produsele tgx și ym rămân neschimbate.

Determinăm deplasarea egalizatoare dintr-un angrenaj. La

proiectarea geometrică a angrenajului este necesar să se țină cont de

următoarele două condiții: 1) dinții roților dințate trebuie să intre teoretic

în angrenare fără nici un fel de joc lateral; 2) între cercul de cap și cel de

picior al roților dințate trebuie să existe un joc radial standard

.25,0* mmcc

Prima condiție este satisfăcută prin aceea că distanța dintre axe se

exprimă prin deplasarea suportată cu relația (13.20). Condiția a doua

cere ca

413

.21 fa rcra (13.22)

În urma rezolvării în comun a ecuațiilor (13.20) și (13.22), se obține

2121 fa rcrrymr

sau .2121 hrcrrymr aa

Introducând în ultima egalitate formulele pentru ,1ar 2ar și h din

§13.3, în urma unor transformări se obține expresia ,21 mxmymxym

din care rezultă y – coeficientul deplasării egalizatoare, menționat

anterior în §13.3:

.yxy (13.23)

Deplasarea egalizatoare my (vezi fig.13.6, a) se introduce în

scopul obținerii unui angrenaj fără joc lateral și cu o valoare standard a

jocului radial.

Dacă angrenajul este construit din roți dințate nedeplasate ( ,01 x

,02 x ),021 xxx atunci, în conformitate cu relațiile (13.18), (13.21),

(13.23) și (13.20), asemenea angrenaj se va caracteriza prin următorii

parametri: unghiul de angrenare ;20 coeficientul deplasării

suportate ;0y coeficientul deplasării egalizatoare ;0y distanţa dintre

axe ,2/)( 2121 zzmrra adică ea este egală cu suma razelor cercurilor

de divizare. Pentru condiţiile menţionate razele cercurilor de rostogolire

sunt 111 2/ rmzr şi ,2/ 222 rmzr adică cercurile de rostogolire ale

roţilor dinţate coincid cu cercurile lor de divizare.

Particularităţile angrenajului evolventic interior. În fig.2.6, b

este reprezentat un angrenaj interior. Roata dinţată mică (pinionul),

notată cu cifra 1, are dantură exterioară; roata dinţată mare, numită

simplu roată dinţată (condusă) şi notată cu cifra 2 , are dantură interioară.

Ca sculă aşchietoare pentru prelucrarea roţilor dinţate cu dinţi interiori

prin metoda rulării se utilizează nu cuţitul-pieptene, ci cuţitul-roată

(roată-sculă), al cărui număr de dinţi şi dimensiuni principale sunt

standardizate. În timpul danturării roţilor dinţate cu ajutorul

cuţitului-roată poate avea loc nu numai subtăierea şi ascuţirea dinţilor, ci

şi tăierea lor la vârf. La proiectarea angrenajului interior este necesar să

se ţină seama de prevenirea acestui fenomen.

După cum s-a subliniat în §13.2, în cazul angrenării interioare,

profilurile evolventice 1E şi 2E se întretaie pe sectorul 21NN (vezi

fig.13.5, c). În afară de aceasta, dacă numărul de dinți ai pinionului ( 1z )

414

este aproximativ egal cu numărul de dinți ai roții dințate conduse (2z ), în

angrenarea interioară poate avea loc încă o intersecție a evolventelor.

În angrenajul interior, proiectat corect, trebuie sa fie excluse ambele

intersectări ale profilurilor evolventice. Aceasta înseamnă că porţiunea

activă a liniei de angrenare interioară trebuie să se găsească integral în

exteriorul segmentului .21NN În afară de aceasta, numerele de dinţi 1z şi

2z trebuie să fie într-o anumită măsură limitate.

În angrenajul construit din roţi dinţate nedeplasate şi prelucrate cu

cuţitul-roată standard este necesar ca ,85,20 21 zz iar diferenţa

.812 zz Dacă angrenajul se compune din roţi dinţate deplasate, atunci

2z şi 12 zz se pot micşora semnificativ, astfel încât dimensiunile

întregului angrenaj se reduc.

Calculul geometric al angrenajului interior este destul de complex

şi în manualul prezent nu se expune. Metoda unui asemenea calcul se

expune în [2, 13] şi alte lucrări (vezi Skvorţova N.A., Lukiciov D.M.

Novye metody rascetov i construirovania mashin, povyshenie ih

nadejnosti i dolgovecinosti, vîp.5, GOSINTI, M., 1962).

§ 13.6 Indicii de calitate ai angrenajului.

Alegerea coeficienţilor deplasării

Indicii de calitate. În cele ce urmează, se vor examina indicii de

calitate cu care se va aprecia caracterul lin şi silenţios al angrenării,

uzura posibila și rezistenţa dinţilor şi se va face compararea

angrenajelor. O asemenea evaluare este importantă la alegerea raţională

a coeficienţilor deplasării în timpul proiectării angrenajelor.

G r ad u l de a co p e r i r e ia în considerare continuitatea şi

caracterul lin al angrenării. Asemenea calităţi ale angrenajului sunt

asigurate pe seama acoperirii funcţionării unei perechi de dinţi cu

funcţionarea altei perechi. Pentru aceasta însă este necesar ca perechea

de dinţi următoare să intre în angrenare înaintea ieşirii din angrenare a

perechii de dinţi precedente. Mărimea acoperirii se apreciază cu gradul

de acoperire, care se exprimă prin raportul dintre unghiul de acoperire

frontal şi pasul unghiular. Prin unghiul de acoperire frontal a se

înţelege unghiul de rotire al roţii dinţate în momentul intrării dinţilor în

angrenare, în punctul B', până în momentul ieşirii lor din angrenare, în

punctul B" (fig.13.10, a). Deci, gradul de acoperire al angrenajului cu

roţi dinţate cu dinţi drepţi se defineşte cu relaţia

415

.// 2211 aaa (13.24)

Aici 11 /2 z este pasul unghiular, iar ,/ 11 baa rg unde

afa ggg

constituie lungimea segmentului de angrenare. Lungimea segmentului

de angrenare se compune din lungimile porțiunilor fg și ,ag respectiv

până la pol și după pol (fig.13.10, b):

);( 22 tgtgrg abf (13.25)

).( 11 tgtgrg aba (13.26)

În urma înlocuirii expresiilor (13.25) şi (13.26) în relaţia (13.24), cu

considerarea relaţiei (13.5), rezultă formula de calcul a gradului de

acoperire al angrenajului cu roţi dinţate cu dinţi drepţi

.2

)( 212211

tgzztgztgz aa

a

(13.27)

Dacă în urma calculului cu formula (13.27) se va obţine ,1a

procesul de angrenare nu va fi continuu. În acest caz, ieşirea din

angrenare a unei perechi de dinţi nu este precedată de intrarea în

Fig. 13.10

416

angrenare a perechii de dinţi următoare. De aceea, valoarea minimă

admisibilă a lui a este 1,05. Această valoare asigură continuitatea

procesului de angrenare cu o rezervă de 5%.

Important este de subliniat că gradul de acoperirea scade la

creşterea coeficienţilor de deplasare 1x şi .2x De aceea la proiectarea

angrenajului coeficienţii de deplasare trebuie aleşi astfel, încât valoarea

lui a să nu se obţină mai mică de 1,05.

Durata angrenării unei perechi de dinți într-un angrenaj cu dinți

înclinați )0( este mai mare decât în angrenajul cu dinți drepți ).0(

Gradul de acoperire al angrenajului cu dinți înclinați este mai mare

decât a și se calculează cu relaţia

. a (13.28)

Termenul sumei a se determină cu relaţia (13.27). Al doilea termen

al acestei sume ./ xpb Aici m este lăţimea roţii dinţate, –

coeficientul de lăţime al roţii dinţate stabilit din condiţiile rezistenţei şi

uzurii dintelui, sin/mpx – pasul axial al dintelui înclinat. Înlocuind

pe b şi xp în expresia lui , rezultă

./sin (13.29)

Din ecuaţiile (13.28) şi (13.29) reiese că gradul de acoperire al

angrenajului cu roti dinţate cu dinţi înclinaţi )0( este mai mare decât

gradul de acoperire a al angrenajului cu roţi dinţate cu dinţi drepţi

),0( ceea ce constituie un avantaj al angrenajului cu roţi dințate cu

dinţi înclinaţi.

Coeficientul de alunecare ia in considerare influenţa factorilor

geometrici şi cinematici asupra alunecării profilurilor în angrenare (vezi

§12.2). Existenţa alunecării în acelaşi timp cu apăsarea unui profil aspra

celuilalt conduce la uzarea profilurilor. Coeficienţii de alunecare se

exprimă cu formulele ,/;/ 2211 CCalCCal vvvv

în care alv este viteza de alunecare, iar CCCC vv 21 , – vitezele de deplasare

ale punctelor de contact pe profilurile dinților roților dințate respective.

Dacă roții dințate cu cel mai mac număr de dinți 1z i se imprimă o

rotație completă, cea de-a doua roată dințată nu va executa o rotație

completă. Deci, dinții acestei roți dințate intră în angrenare de 12u ori mai

rar decât dinții primei roți dințate și, prin urmare, ei se uzează mai

417

puțin. Pentru compararea intensității uzurii dinților cu coeficienții de

alunecare, este necesar ca 2 să se împartă la :// 122112 zzu

)./(;/ 122211 uvvvv CCalCCal

Formulele de calcul pentru 1 și

2 au următoarea formă:

,)1

1(

;)1

1(

212

2

112

1

PC

C

PC

C

ll

l

u

ll

l

u

(13.30)

în care Cl este mărime algebrică, care exprimă distanța de la polul

angrenării P până la poziția punctului de contact C (vezi fig.13.9); 1Pl și

2Pl – valorile absolute ale lungimilor segmentelor 1PN și .2PN

În timpul angrenării punctul de contact C al dinților se mișcă de-a

lungul liniei de angrenare, din poziția B (intrarea dinților în angrenare)

în poziția B (ieșirea dinților din

angrenare). De aici rezultă că

lungimea Cl variază de la

valoarea )( PB până la zero și

de la zero până la valoarea

).( PB După cum reiese din

relația (13.30), în timpul

angrenării variază și coeficienții

de alunecare 1 și .2 Cea mai

mare valoare 1 o obține pentru

poziția ,B în timp ce 2 – pentru

poziția B (fig.13.11).

Coeficienții de alunecare

1 și 2 depind de coeficienții de

deplasare 1x și .2x Manevrând cu 1x și ,2x proiectantul poate obține

pentru coeficienții 1 și 2 valori corespunzătoare condițiilor de

exploatare.

Coeficientul presiunii specifice ia în considerare influența

geometriei dinților (razelor de curbură ale profilurilor) asupra mărimii

tensiunilor de contact ale dinților. În cazul unor suprasolicitări,

tensiunile de contact pot fi atât de importante, încât să conducă la

știrbirea suprafețelor de contact ale flancurilor dinților.

Tensiunile de contact se pot calcula cu formula lui Hertz

Fig. 13.11

418

,1

418,0

Eb

Q

în care Q este forța de interacțiune a dinților; b – lățimea roților dințate;

)/(2 2121 EEEEE – modulul redus de elasticitate al materialelor din care

sunt executate roțile dințate; – raza redusă de curbură a profilurilor

evolventice în punctul de contact, cu ajutorul căreia se determină

influența geometriei dintelui asupra tensiunilor de contact.

Pentru momentul curent de angrenare a dinților (vezi fig.13.9) se

poate scrie:

,111

21

21

21

sau în conformitate cu proprietățile profilurilor evolventice (vezi §13.1):

.1

21

21

CNCN

NN

Coeficientul presiunii specifice se definește prin raportul

.21

21

CNCN

NNmm

(13.31)

Coeficientul este o mărime adimensională, care nu depinde de

modulul m, deoarece este proporțional cu modulul.

Întrucât punctul de contact C al dinților se deplasează pe linia de

angrenare, distanța CN1 crește, iar distanța CN2 descrește (vezi fig.13.9).

Din relația (13.31) se observă că în procesul angrenării coeficientul

presiunii specifice variază. Dependența funcțională a acestei variații

este prezentată în fig.13.12.

Introducând coeficientul în formula lui Hertz, se obține

.)/(418,0 bmQE

Coeficientul presiunii

specifice descrește la creșterea

coeficienților de deplasare 1x și .2x

Proiectantul poate să reducă

tensiunile de contact prin stabilirea

unor asemenea coeficienți de

deplasare 1x și ,2x încât

coeficientul să capete o valoare

minimă posibilă.

Fig. 13.12

419

Alegerea coeficienților de deplasare pentru angrenajele

exterioare. La stabilirea coeficienților de deplasare1x și ,2x pentru orice

angrenaj se cere respectarea următoarelor trei condiții; 1) evitarea

subtăierii; 2) evitarea ascuțirii: 3) continuitatea angrenării. În cazul

pinionului, prima condiție este satisfăcută atunci când coeficientul de

deplasare 1x depășește valoarea minimă proprie

1minx (vezi § 13.4).

Ultimele două condiții limitează coeficientul deplasării 1x al pinionului

prin limitele superioare 1maxx și 1maxx (vezi § 13.4 și 13.6). Aceste două

limite nu sunt egale. Pentru calculul angrenajului este important acel

,1maxx care are valoare minimă. Prin urmare, coeficientul de deplasare 1x

al pinionului trebuie stabilit astfel, încât să se respecte corelația

.1max11min xxx Același lucru trebuie remarcat și în cazul coeficientului de

deplasare 2x al roții dințate conduse .2max22min xxx

Coeficienții de deplasare 1x și 2x trebuie stabiliți în limitele indicate

în așa mod, încât indicii de calitate care caracterizează proprietățile

angrenajului (mersul lin, rezistența la uzură, rezistența mecanică) să aibă

valori optime. În același timp, trebuie să se ia în considerare condițiile

concrete de funcționare a angrenajului: viteza, caracterul sarcinii,

existența sau lipsa băii de ulei, materialele din care sunt executate roțile

dințate și tratamentul lor termic [13].

Pentru un angrenaj cu numărul de dinți 1z și ,2z în coordonatele 1x și

,2x se poate trasa domeniul valorilor admisibile ale coeficienților de

deplasare (fig. 13.13). Acest domeniu este mărginit de limitele ,1minx

,2minx ,0,1 01 as și ,02 as care formează așa numitul contur de

blocare.

Pentru fiecare angrenaj se poate trasa propriul contur de blocare.

Pentru exemplificare, în fig.13.13 cu linii de nuanță roșie s-a reprezentat

conturul de blocare al angrenajului cu roți dințate cu dinți drepți, având

121 z și .152 z După cum se vede, liniile 01 as și 02 as traversează

conturul de blocare. Se explică acest fapt prin aceea că pentru angrenajul

cu 12/15 dinți limitarea lui 0,1 intervine mai înainte decât limitarea

ascuțirii. În afară de conturul de blocare, în coordonatele 1x și 2x se

trasează totodată izolinia ,2,1 iar uneori și alte linii ce caracterizează

geome- tria și proprietățile angrenajului.

420

În fig.13.13 cu linii de nuanță gri s-au trasat, de asemenea,

extinderea posibilă a domeniului admisibil, care de altfel nu este

recomandată de standard.

Albumul cu

contururile de blocare

ale angrenajului cu roți

dințate cu dinți drepți,

prelucrate cu scule

cremaliere standarde,

se conține în îndrumar

(vezi Bolotovskaia

T.P., Bolotovskii I.A.,

Bocearov G.S. și alții.

Spravocinic po

gheometricescomu ra-

sciotu evolventnyh

zubciatyh i cerviacinyh

peredaci. M., 1963) și

în anexa standardului

cu transmisii dințate

(vezi GOST 16530-83,

16531-83, 16532-70). În această anexă se mai conțin, de asemenea,

recomandări privind alegerea coeficienților de deplasare 1x și 2x și

ordinea calculului geometric al angrenajului cilindric în evolventă cu

angrenare exterioară.

Fig. 13.13

421

C a p i t o l u l 14

ANGRENAJE SPAȚIALE

Realizarea unor mișcări necesare ale mecanismelor este legată de necesitatea transmiterii mișcării de rotație între arbori, axele cărora sunt concurente sau încrucișate.

În aceste cazuri, se recurge la utilizarea fie a angrenajului conic, fie a angrenajului

hiperboloidal. În cazul angrenajului conic, axoidele reprezintă conuri, iar în cel al

angrenajului hiperboloidal – hiperboloizi cu o singură pânză (vezi §12.1). Ambele angrenaje fac parte din categoria mecanismelor spațiale. În prezentul capitol se expun

bazele proiectării acestor angrenaje pe baza calculului geometric, în funcție de raportul de

transmitere impus.

§ 14.1. Angrenajele cu roți dințate conice

Dacă unghiul dintre axe este egal cu ,90 angrenajul conic se

numește o r t o g o n a l. În cazul general al angrenajului neortogonal,

unghiul cuprins între vectorii vitezelor unghiulare 1 și 2 ale

elementelor 1 și 2, completat până la 180 poartă denumirea de u n g h i d

i n t r e a x e (fig.14.1, a).

Relația de legătură între vectorii vitezelor unghiulare 1 și 2 ale

elementelor 1 și 2 are forma

.2112 (14.1)

Poziția vectorului 21 în raport cu vitezele 1 și 2 se determină cu

unghiurile 1 și ,2 suma cărora este egală cu unghiul dintre axe :

.21 (14.2)

Fig. 14.1

422

Dacă prin punctul O de concurență al axelor OO1și OO2

se va trasa

vectorul ,21 acesta din urmă va coincide cu axa instantanee OP din

mișcarea relativă a elementului conducător și cel condus. Totodată,

vectorul 21 va stabili existența unor suprafețe conice ale axoidelor,

numite conuri de rostogolire. S-a convenit ca parametrii conului de

rostogolire să se noteze suplimentar cu indicele inferior « ». Unghiurile

1 și 2 ale conurilor de rostogolire se determină prin rezolvarea

ecuației vectoriale (14.1) și folosirea teoremei sinusurilor (fig.14.1, a):

./sin/sin 1221

Raportul dintre modulele vitezelor unghiulare 1 și 2 reprezintă

raportul de transmitere, deci

.sin/sin/ 122112 u (14.3)

Dacă este cunoscut unghiul dintre axe și raportul de transmitere

,12u unghiurile conurilor de divizare se determină prin rezolvarea

comună a relațiilor (14.2) și (14.3):

.cossin

sin

sincoscossin

sin

)sin(

sin

sin

11

11

1

1

1

2

12

tgu

Prin urmare, unghiurile celor două conuri de rostogolire 1 și 2 se

pot calcula cu formulele

;cos/

sin

cos

sin

1212

1

zzarctg

uarctg (14.4)

.12 (14.5)

În cazul angrenajului ortogonal când ,90 relațiile (14.4) și (14.5)

devin:

.;1

1

2

122

2

1

12

1

z

zarctguarctg

z

zarctg

uarctg (14.6)

Un caz particular al angrenajului neortogonal îl reprezintă a n g r e n

a j u l c o n i c p l a n, în care suprafața de rostogolire a unei roți dințate

reprezintă un plan, iar unghiul la vârf 90c (fig. 14.1, b).

Parametrii corespunzători roții conice plane se notează suplimentar

cu indicele «c» (de exemplu, numărul de dinți ai roții conice plane este

,cz iar viteza unghiulară c ).

Atât generarea roților dințate și a dimensiunilor dinților, cât și

amplasarea elementelor acestora, au loc în raport cu o suprafață conică de

423

bază, numită c o n de d i v i z a r

e. La proiectarea angrenajelor

conice se consideră că unghiurile

conurilor de divizare1 și

2

coincid cu unghiurile conurilor de

rostogolire 1 și ,2 modalitate ce

contribuie la simplificarea

relațiilor de calcul. Dinții

formează pe roată o coroană

dințată amplasată între conul

exterior cu unghiul a și conul

interior cu unghiul f (fig.14.2).

La prelucrarea semifabricatului și

a roții dințate se utilizează următoarele dimensiuni: distanța de bază A,

dimensiunea B până la vârful conului și dimensiunea C până la planul de

bază. Suprafața ce delimitează dintele de gol poartă numele de flanc, iar

locul geometric de intersecție al flancului dintelui cu o suprafață axială –

Fig. 14.2

Fig. 14.3

424

l i n i a d i n t e l u i. Linia dintelui poate să

coincidă cu generatoarea conului axial de

divizare (în cazul dinților drepți) sau să

aibă un unghi de înclinare pe suprafața

de divizare. După forma liniei dintelui pe

conul desfășurat de divizare se disting

următoarele roți conice (fig.14.3): a – cu

dinți drepți; b – cu dinți tangențiali; c – cu

dinți circulari; d, e, f – dinți curbilinii.

Angrenajele cu roți conice cu dinți drepți

sunt prevăzute pentru a funcționa la sarcini

ușoare și viteze moderate (de regulă,

pentru turații mai mici de 1000 min-1

), în timp ce pentru o funcționare la

regimuri de încărcări cu sarcini maxime, viteze înalte cu angrenare lină și

silențioasă se utilizează angrenajele conice cu dantură curbilinie.

Generarea flancului dinților se poate urmări în fig.14.4. Planul P

rulează fără alunecare peste conul de bază. Orice dreaptă CL de pe planul

de rulare P poate descrie în spațiu o suprafață evolventică conică. În

același timp, orice punct (C, L sau un alt punct oarecare) descrie o

Fig. 14.4

Fig. 14.5

425

traiectorie, ce se află pe o sferă de o rază anumită, denumită

e v o l v e n t ă s f e r i c ă. În fiecare secțiune sferică, pe planul dintelui se

poate evidenția o linie de intersecție, numită p r o f i l u l d i n t e l u i. În

secțiuni diferite ale roții conice profilele dinților sunt și ele diferite. Se

disting următoarele secțiuni frontale: exterioară, medie, interioară și

curentă. Se obișnuiește să se noteze cu indicele inferior «e» toți

parametrii secțiunii exterioare, cu indicele «m» – parametrii secțiunii

medii cu indicele «i» – parametrii secțiunii interioare și cu indicele «x» –

parametrii secțiunii curente.

Raza secțiunii frontale eR se numește d i s t a n ț ă c o n i c ă e x t e

r i o a r ă. Distanța dintre secțiunea frontală exterioară și cea interioară ale

roții conice poartă denumirea de l ă ț i m e a c o r o a n e i d i n ț a t e și se

notează cu «b» (fig.14.2).

În cazul conurilor primitive impuse, secțiunea reciprocă a

suprafețelor conice evolventice conjugate reprezintă o angrenare conică

în evolventă (fig.14.5).

Dreapta PO ce trece prin polul angrenării și care totodată se află în

planul ,21ONN tangent la conurile de bază, poate fi considerată ca

generatoare a flancurilor dinților. Oricare două evolvente sferice

conjugate 1E și 2E au linia de angrenare amplasată pe o sferă (de exemplu,

),21PNN din care motiv ea reprezintă un arc de pe cercul mare al sferei.

Este destul de dificil de a descrie în formă evolventică acțiunea

reciprocă a evolventelor sferice. Având în vedere că dimensiunile de

Fig. 14.6

426

înălțime ale dinților în comparație cu raza sferei sunt prea mari, iar

profilele dinților sunt amplasate pe un brâu sferic îngust, se obișnuiește

să se utilizeze metoda inginerească de calcul. Această metodă se bazează

pe folosirea unor conuri suplimentare (fig.14.6).

Se numește c o n de d i v i z a r e s u p l i m e n t a r o suprafață

conică coaxială cu generatoare (de exemplu, 1vPO sau

2vPO din fig.14.6)

perpendiculară pe generatoarea conului de divizare al roții dințate conice.

Noțiunea de c o n s u p l i m e n t a r permite examinarea acțiunii

reciproce a profilelor dinților nu pe o sferă, ci pe o suprafață a conurilor

suplimentare în contact cu sfera. Dacă se recurge la desfășurarea în plan a

conurilor suplimentare, profilele dinților devin curbe plane destul de

aproape de evolventele obișnuite ce corespund unor anumite dimensiuni

ale cercurilor de bază, razele cărora 11NOvte și 22NOvte se stabilesc pentru

angrenajul cilindric echivalent. Se obișnuiește ca parametrii

angrenajului cilindric echivalent să se noteze suplimentar cu indicele

inferior «vt». Fiecare roată dințată dintr-un asemenea angrenaj se

numește roată cilindrică echivalentă. Spre deosebire de numerele de dinți

1z și 2z ale roților conice, numărul de dinți ai roților dințate cilindrice

echivalente se notează respectiv cu 1vtz și .2vtz

Relația de legătură între numărul de dinți 1z și 1vtz sau 2z și 2vtz se

poate stabili dacă examinăm dimensiunile cercurilor concentrice ale roții

conice reale și roții cilindrice echivalente:

.5,0cos

5,0

cos

5,0

;5,0cos

6,0

cos

5,0

2

2

23

2

2

2

1

1

1

1

1

1

vte

e

vte

vte

ee

vte

zmzmd

r

zmzmd

r

M o d u l u l c i r c u l a r e x t e r i o r ,em corespunzător distanței

dintre profilele omogene ale dinților vecini pe arcul cercului concentric

al roții conice aflat pe partea frontală exterioară, este egal cu modulul

angrenajului cilindric echivalent. Din acest motiv, numărul de dinți 1vtz și

2vtz se pot exprima cu relațiile

.cos/;cos/ 222111 zzzz vtvt (14.7)

În general, numărul de dinți 1vtz și 2vtz este fracționar. De aceea, acest

număr nu se rotunjește, ci se determină cu o precizie de 0,01.

Raportul de transmitere al angrenajului cilindric echivalent se

calculează cu relația

427

.cos

cos

cos/

cos/

2

1

12

11

22

1

2

12

u

z

z

z

zu

vt

vt

v (14.8)

Calculul unghiului de angrenare vte al angrenajului cilindric

echivalent, al razelor cercurilor exterioare1avter și ,2avter precum și al razelor

cercurilor interioare 1fvter și

2fvter (fig.14.6), se poate face, de asemenea, cu

aceleași relații, care au fost deduse anterior pentru angrenajele cilindrice

evolventice.

La calculul angrenajelor conice cu dantură curbă (vezi fig.14.3),

angrenajul cilindric echivalent nu este un angrenaj cu dinți drepți, ci unul

cu dinți elicoidali. De aceea, profilele dinților se examinează în secțiuni

normale corespunzătoare. Dacă dimensiunile roții dințate cilindrice cu

dinți drepți și forma dinților în secțiunea principală sunt practic identice

cu cele ale dinților roții dințate conice în secțiunea normală la linia medie

a dintelui, roata dințată cilindrică cu dinți drepți se numește roată

cilindrică biechivalentă. Numărul de dinți ai roții cilindrice biechivalente

se notează cu vnz (respectiv 1vnz și ).2vnz

Coeficientul formei unor astfel de roți conice se determină cu o

precizie destul de ridicată prin analogie cu roțile cilindrice biechivalente,

al căror număr de dinți este

n

vn

zz

3

1

1

1coscos

și ,coscos 3

2

2

2

n

vn

zz

(14.9)

unde n este unghiul de înclinare a liniei medii a dintelui corespunzător

secțiunii ei normale exterioare, medii, interioare sau altei secțiuni

normale a dintelui roții dințate conice.

De remarcat că geometria flancurilor și a profilelor dinților este

indisolubil legată de tehnologia executării roților dințate conice, din care

motiv metoda copierii profilului fasonat al sculei nu poate fi utilizată

pentru generarea profilului pe roata conică. Întrucât dimensiunile golului

roții conice variază pe măsura apropierii de vârful conului, asemenea

scule ca freza disc, freza deget și discul abraziv de rectificat, se pot folosi

numai la operația de degroșare cu o precizie nu mai mare decât clasa 8.

Pentru determinarea unor roți conice mai precise se recurge la

metoda rulării, prin care semifabricatul de prelucrat și roata dințată

generatoare imaginară formează un angrenaj al mașinii-unelte. Flancurile

roții dințate generatoare rezultă din mișcarea tăișurilor sculei așchietoare

care are loc în timpul mișcării principale de așchiere. Această din urmă

mișcare asigură tăierea adaosului de prelucrare. Cele mai răspândite

scule sunt cele cu tăișurile rectilinii. Atunci când mișcarea principală este

428

o mișcare rectilinie, tăișul rectiliniu formează o suprafață generatoare

plană. O asemenea suprafață nu poate forma o suprafață evolventică

conică cu profilele

evolventice sferice.

Suprafețele conice

conjugate astfel obținute,

fiind distincte de cele

evolventice conice, se

numesc s u p

r a f e ț e c u a s i e v o l

v e n t i c e (conform unei

terminologii mai

învechite – octoidale).

Roțile generatoare

pot fi p l a n e cu

90oc (fig.14.7, a,b)

sau plane ascuțite cu

190 afoc (fig.14.7,

c), pentru același unghi

1o la vârful conului

axoidal din angrenajul

mașină-unealtă. În

primele două cazuri

roțile dințate conice

cuasievolventice vor fi conjugate, pentru că roțile plane generatoare

formează o cuplă coincidentă, la care flancurile de generare ale dinților

pot să coincidă în urma suprapunerii lor în toate punctele (de exemplu,

piesă turnată și forma e turnare sau șablonul și contra-șablonul). În

același timp, mașina-unealtă care realizează schema angrenajului

mașinii-unelte din fig.14.7, a trebuie să conțină ghidaje turnante ce ar

admite fixarea glisierelor cu cuțite sub un unghi de ),90( 1of unde 01 f

este unghiul piciorului dintelui roții dințate de prelucrat din angrenajul

mașină-unealtă. Această modalitate complică substanțial construcția

mașinii-unelte, din care motiv utilizarea ei este limitată.

În cazul mișcării cuțitului fără considerarea unghiului 01 f (fig.14.7,

b), pe măsura deplasării spre vârful conului înălțimea piciorului dintelui

rămâne aceeași, ceea ce contribuie la slăbirea dintelui, iar uneori chiar la

tăierea piciorului.

Fig. 14.7

429

Majoritatea modelelor de mașini-unelte utilizează roata plană

generatoare cu vârfurile dinților amplasați în plan și cu unghiul conului

axoidal din angrenajul mașinii-unelte ce se calculează ținându-se seama

de unghiul 01 f

al piciorului dintelui roții dințate de prelucrat. Două roți

plane nu formează o cuplă generatoare coincidentă. De aceea, roțile

dințate cuasievolventice de prelucrat vor fi neconjugate. De regulă,

erorile în cauză sunt neînsemnate și de cele mai multe ori se neglijează.

Schema de calcul reprezentată în fig.14.8, având la bază angrenajul

mașinii-unealtă constituit dintr-o roată conică și o roată plană

generatoare, permite trecerea la angrenajul mașinii-unealtă echivalentă

cu contur inițial teoretic. Conturul inițial, coincident cu conturul

cremalierei, luat drept bază pentru calculul formelor teoretice și al

dimensiunilor dinților roților dințate conice, este reglementat după mai

mulți parametri și anume: ;20 ;2,1* ah ;2,0* c .3,0* f În legătură cu

particularitățile metodelor de danturare a dinților acești parametri pot fi

modificați în limitele utilizării sculelor standarde. De exemplu, pe baza

amplasării relative a cuțitelor vecine se poate admite ca grosimea dintelui

să nu fie egală cu lărgimea golului pe dreapta de divizare; nu se cere o

strictă corespundere dintre modulul nominal al cuțitului și cel al roții

nestandardizate și chiar fracționar. Unghiul poate fi modificat în urma

înclinării cuțitelor. Calculul parametrilor angrenajului conic se face în

următoarea succesiune (fig.14.8):

Fig. 14.8

430

- se determină numărul de dinți ai roții conice cu relația

;cos2sin

121

2

2

2

1

zzzzzc (14.10)

când ,90

;2

2

2

1 zzzc (14.11)

- distanța conică exterioară se determină cu relația

;5,0 cee zmR (14.12)

- lățimea coroanei dințate este ,3,0 eRb sau ;10 emb iar coeficientul

de lățime a coroanei dințate ;3,0...2,0/ ebe Rbk

- unghiurile conurilor de divizare se calculează cu formulele

)];cos//([sin 121 zzarctg (14.13)

;12 (14.14)

când ,90

);/( 211 zzarctg (14.15)

- coeficientul deplasării conturului inițial 6,0...01 x – în funcție de

numărul de dinți 1z și raportul de transmitere al angrenajului; ;12 xx

;cos/58,0068,1 11min11 zxx (14.16)

- coeficientul de variație a grosimii teoretice a dintelui conturului

inițial este

.);5,2/(008,003,0 12121 xxzzx (14.17)

Calculul parametrilor roților dințate se face cu următoarele relații

ce au fost deduse pe baza schemei de calcul din fig.14.8:

- înălțimea exterioară a capului dintelui:

;2;)( 1

*

21

*

1 aeeaaeeaae hmhhmxhh (14.18)

- înălțimea exterioară a piciorului dintelui:

;; *

12

*

21 eaefeeaefe mchhmchh (14.19)

- înălțimea exterioară a dintelui:

;feaee hhh (14.20)

- grosimea circulară exterioară a dintelui:

;;)25,0( 12111 eeeee smsmxtgxs (14.21)

- unghiul piciorului de dinte:

);/( 11 efef Rharctg (14.22)

);/( 22 efef Rharctg (14.23)

- unghiul capului dintelui:

;; 1221 fafa (14.24)

431

- unghiul conului exterior:

;; 222111 aaaa (14.25)

- unghiul conului interior:

;; 222111 ffff (14.26)

- diametrul de divizare exterior:

;; 2211 zmdzmd eeee (14.27)

- diametrul exterior al vârfurilor dinților:

.cos2;cos2 22221111 aeeaeaeeae hddhdd (14.28)

Pentru a verifica calitatea angrenajului în funcție de caracteristicile

geometrice, se recurge la calculul gradului de acoperire frontal , al

grosimii circulare exterioare a dintelui aes pe suprafața vârfurilor și la

verificarea inexistenței tăierii dinților în urma aplicării angrenajului

cilindric echivalent.

Se recomandă următoarele valori ale caracteristicilor: gradul de

acoperire frontal ;3,1 grosimea circulară relativă a dintelui pe

suprafața vârfurilor 3,0/* eaeae mss – în cazul unei structuri omogene a

metalului și 4,0* aes – în cazul unei durcisări superficiale a dinților.

La alegerea valorilor inițiale se ține seama de raportul de transmitere

impus 12u și de devierea lui admisibilă în legătură cu faptul că numărul de

dinți este totdeauna un număr întreg. Se recomandă ca numărul de dinți

ai roților dințate să fie de la 12 până la 100.

Pentru o pereche de roți dințate conice cu dinți drepți se recomandă

următoarele rapoarte de transmitere: 512 u – în cazul angrenajului

demultiplicator și 35,012 u – în cazul angrenajului multiplicator.

Unghiul dintre axe se alege în limitele de la 10° până la 170°. În

cazul particular al

angrenajului ortogonal acest

unghi este egal cu 90°.

Parametrii conturului

inițial sunt standardizați. În

fig.12.8 acești parametri sunt

reprezentați în conformitate

cu GOST 13754-81.

Coeficientul de lățime al

roții dințate ebe Rbk / se

recomandă a fi în limitele 0,2

… 0,8. În realitate majorarea

Fig. 14.9

432

lungimii dintelui conduce la apariția contactului marginal al dinților,

datorită erorilor de montare și de deformare al lor sub acțiunea sarcinii,

adică nu contribuie la majorarea capacității portante a angrenajului.

La proiectarea angrenajelor rapide ce funcționează în condițiile unor

sarcini variabile, numărul de dinți 1z și

2z trebuie să fie numere simple,

adică să nu posede numitori comuni. Dacă angrenajul funcționează în

condițiile unor sarcini constante și viteze liniare moderate, numărul de

dinți 1z și 2z trebuie să fie multiple sau să aibă câți mai mulți numitori

comuni, ceea ce ar contribui la rodarea mai rapidă a flancurilor active ale

dinților.

La calculul angrenajelor conice coaxiale este necesar să se

coordoneze numărul de dinți, unghiurile conurilor și unghiurile dintre

axe. De exemplu, pentru mecanismul planetar cu roți conice, a cărui

schemă este ilustrată în fig.14.9, trebuie să fie satisfăcute următoarele

relații: ;1802312

;cos/

sin

1221

12

2

zztg

.cos/

sin

2323

23

2

zztg

În urma rezolvării acestor ecuații, se obține relația unghiului dintre

axe 12 :

).2/()(cos 21312 zzz

Din această relație se stabilește cu ușurință limita inferioară a

numărului de dinți :2z ).(5,0 132 zzz

§14.2. Angrenajele hiperboloidale

În angrenajele cu axele de rotație încrucișate mișcarea relativă a

roților dințate în momentul de timp considerat poate fi prezentată ca o

mișcare de rotație în jurul axei elicoidale instantanee însoțită de o

mișcare de alunecare în lungul acestei axe. Dacă raportul de transmitere

este constant, axa elicoidală instantanee ocupă în spațiul fix o poziție

stabilă; axoidele din mișcarea relativă reprezintă hiperboloizi de rotație

cu o singură pânză (vezi fig.12.1, c). Din acest motiv, angrenajul cu axele

de rotație ale roților dințate încrucișate se numește h i p e r b o l o i d a l.

Se numește suprafață se rostogolire a roții dințate corespunzătoare

roții dințate considerate din angrenaj una din suprafețele axiale de rotație

433

în contact, pentru care liniile dinților roților dințate ce trec prin orice

punct de contact au tangentă comună, iar vectorul vitezei în mișcarea

relativă a roților dințate este orientat în lungul ei sau este egal cu zero.

Dimensiunile suprafețelor de rostogolire pot să se deosebească

esențial de dimensiunile hiperboloizilor axoidali. Drept suprafețe de

rostogolire pot fi acceptate cele mai simple suprafețe, de exemplu,

suprafețele cilindrice rotunde ce contactează doar într-un singur punct

aflat pe linia cea mai scurtă dintre axele celor două distanțe.

Se numește angrenaj hiperboloidal, angrenajul la care suprafețele de

rostogolire ale roților dințate prezintă suprafețe cilindrice rotunde (vezi.

fig.2.6, e). Dacă suprafețele de rostogolire ale roților dințate prezintă

suprafețe conice cu vârfurile necoincidente, se obține un a n g r e n a j

h i p o i d (fig.2.6, f).

Angrenajul elicoidal. Angrenajul elicoidal este format din două

roți cilindrice evolventice cu dinți înclinați (fig.14.10, a, b, c) cu axe

încrucișate sub un unghi arbitrar . Unghiul dintre axe ,21 unde

Fig. 14.10

434

1 și 2 sunt unghiurile de înclinare a liniilor dinților (liniilor elicoidale)

pe cilindrii primitivi de rostogolire; semnul plus corespunde sensului

omogen al liniilor elicoidale, iar semnul minus celui neomogen. În

general, în angrenajul elicoidal aceste două unghiuri nu sunt egale.

În cazul particular al angrenajului ortogonal, unghiul dintre axe este

,9021 iar sensul liniilor elicoidale ale dinților ambelor roți

dințate este același (ambele drept sau stâng).

În cele din urmă, se va examina un angrenaj cu unghiul dintre axe

.90 Pe fig.14.10, în trei proiecții, se reprezintă un angrenaj elicoidal

cu cilindrii de rostogolire de raze 1r și 2r și cu cilindrii concentrici de

bază de raze 1br și .2br Liniile elicoidale s-au arătat pe cilindrii de

rostogolire în poziția când cele două cilindre contactează în punctul P,

numit polul angrenării. Normala comună la cei doi cilindri de rostogolire

este .nn Tangenta comună formează cu axele celor două roți

dințate unghiurile 1 respectiv ,2 care în sumă alcătuiesc unghiul .

Prin polul angrenării P, tangent șa cei doi cilindri de bază, trec două

plane de generare 1bE și 2bE ce conțin flancurile generatoare drepte ale

dinților, care formează cu axele roților dințate unghiurile 1b și .2b

În angrenajele cu axele paralele planele de generare ale celor două

roți dințate se contopesc într-un singur plan, numit plan de angrenare, în

timp ce flancurile dinților, datorită egalității unghiurilor ,21 bbb

contactează după o generatoare comună (contact liniar). Dacă axele sunt

încrucișate, planele de generare se intersectează după o linie, care

reprezintă locul geometric al punctelor de contact ale flancurilor dinților,

numită linie de angrenare. Această linie trece prin punctul de contact P al

cilindrilor de rostogolire tangent la cei doi cilindri de bază ai roților

dințate. De remarcat că proiecțiile liniei de angrenare coincid cu cele ale

planelor 1bE și ,2bE iar în secțiunile frontale ale roților dințate alcătuiesc

unghiurile de angrenare 1t și 2t ce diferă după valoare. Calculul

acestor unghiuri se face cu formula angrenajelor cilindrice evolventice.

Punctele limită 1N și 2N ale liniei de angrenare sunt notate pe cilindrii de

bază din cele trei proiecții. Lungimea activă a liniei de angrenare se

determină cu punctele 1B și 2B rezultate din intersecția liniei de angrenare

cu suprafețele celor doi cilindri de vârf ai dinților roților dințate de raze

1ar și .2ar Linia de angrenare 21NN reprezintă normala comună la flancurile

dinților ambelor roți dințate.

435

Din examinarea planului vitezelor (vezi fig.14.10, c), punctul de

contact coincident cu polul P, și din aplicarea egalității componentelor

normale nv ale vitezelor circulare devine evident că: ,coscos 2211 vv

dar întrucât 111 rv și ,222 rv se obține

.cos

cos

11

22

2

1

12

r

ru (14.29)

Prin urmare, particularitatea principală a angrenajului elicoidal

constă în faptul că raportul de transmitere al acestui angrenaj este funcție

nu numai de raportul razelor 1r și ,2r concluzie, de altfel, trasată și în

cazul angrenajelor cilindrice cu unghiurile de înclinare a liniilor dinților

egale, ci și de valorile unghiurilor 1 și .2

Din relația (14.29) rezultă că același raport de transmitere poate fi

obținut în urma unor numeroase combinații ale razelor cilindrilor de

rostogolire și ale unghiurilor de înclinare a liniilor dinților pe acești

cilindri. Din aceste combinații este necesar să se aleagă numai cele, care

cel mai bine satisfac caracteristicile calitative impuse la proiectare.

Angrenajul elicoidal mai prezintă un avantaj și anume: datorită

variației sensului liniilor elicoidale ale dinților pentru direcția impusă de

rotire a roții dințate conducătoare se poate varia sensul de rotire a roții

dințate conduse.

Într-o secțiune normală pasul și modulul celor două roți dințate din

angrenajul elicoidal sunt egale. De aceea, pentru angrenajul, în care

cilindrul de rostogolire coincide cu cel de divizare, se poate scrie:

.21 mpppp În orice secțiune frontală modulele sunt egale:

1cos/ m și .cos/ 2m

Razele cilindrilor de divizare și ale celor de rostogolire se calculează

cu relațiile:

.cos2

;cos2 2

2

22

1

1

11

mzrr

mzrr

Distanța dintre axele acestui angrenaj este

.coscos2 2

2

1

1

21

zzmrraa

Toate dimensiunile de execuție a roților dințate (de exemplu,

diametrul vârfurilor, înălțimea și grosimea dinților) se determină cu

relațiile roților dințate cu dinți înclinați (vezi cap. 13).

Pentru punctul de contact coincident cu polul P, viteza de alunecare

a flancurilor dinților în direcția tangentei comune la suprafețele

436

elicoidale ale dinților rezultă din triunghiul vitezelor de pe fig.14.10, c,

deci

.2sinsincos2sinsin 1

11

11

1

1

1

11

1

1

mzmzrvval

În polul angrenării viteza de alunecare a dinților roților dințate din

angrenajul elicoidal nu este egală cu zero.

Pentru obținerea unor angrenaje cu gabarite minime este necesar ca

în conformitate cu condiția de rezistență, unghiul de înclinare 1 al liniei

elicoidale a dintelui de pe roata dințată conducătoare să se ia în limitele

30 … 35°, pentru angrenajele multiplicatoare ),1( 12 u 50 … 60°, pentru

angrenajele demultiplicatoare )1( 12 u și 45 … 45°, pentru angrenajele cu

.112 u

După cum s-a menționat anterior, teoretic contactul celor două

flancuri ale dinților roților dințate din angrenajul examinat are loc într-un

punct. Practic, însă, datorită uzurii și deformării materialului, contactarea

lor se desfășoară în limitele unei suprafețe mici. În consecință, pe flancul

activ al dinților apar tensiuni de contact înalte, care în combinare cu

alunecarea exagerată a profilurilor și în lipsa condițiilor de creare a

ungerii hidrodinamice pot să conducă la blocarea flancurilor active ale

dinților. Din acest motiv, de regulă, angrenajele elicoidale se utilizează în

cazul unor puteri moderate, când ungerea este continuă și abundentă.

Angrenajul melcat. Acest angrenaj constituie cazul particular al

angrenajului hiperboloidal. În cele mai multe cazuri unghiul de înclinare

al axelor este egal cu 90°. Angrenajul melcat este format dintr-un melc și

o roată melcată (fig.14.11, a). Se numește melc o roată dințată cu dantură

înclinată, a cărei linie a dinților execută una sau mai multe rotații în jurul

axei sale (fig.14.11, b). Numărul de dinți ai melcului 1z poartă numele de

n u m ă r de î n c e p u t u r i, de cele mai multe ori 1z este egal cu 1, 2 sau

4. Danturarea roții melcate se face cu freza care reprezintă o copie exactă

a melcului. Din acest motiv, în angrenajele melcate contactul între elicele

melcului și dinții roții melcate are loc după o linie (contact liniar). Pentru

îmbunătățirea contactului existent se recurge la aceea că i se atribuie

obezii o astfel de formă, datorită căreia roata melcată cuprinde melcul

(vezi fig.14.11, c). Numărul de dinți ai roții melcate se ia egal cu 32 …

80, uneori 200 … 300, iar în unele cazuri până la 1000.

437

De regulă, în angrenajul melcat, melcul este conducător și de aceea,

de cele mai multe ori angrenajul melcat funcționează în regim de

reductor (demultiplicator).

Raportul de transmitere al angrenajului melcat se exprimă cu relația

.// 122112 zzu Raportul de transmitere variază între 8 și 80, iar în unele

cazuri speciale până la 1000.

Cele mai răspândite angrenaje melcate sunt cele cu melcul cilindric

și cu melcul globoidal. Datorită existenței unor condiții favorabile de

angrenare (condițiile hidrodinamice bune de ungere permit crearea în

zona de contact a unei pelicule stabile de lubrifiant), angrenajele melcate

globoidale pot transmite puteri mai mari decât angrenajele cu melcul

cilindric.

În cele ce urmează, se va examina angrenajul melcat a cărui roată

melcată se află în angrenare cu melcul arhimedic (fig.14,12, a,b). Flancul

elicei melcului arhimedic reprezintă o suprafață elicoidală liniară. Locul

Fig. 14.11

Fig. 14.12

438

geometric de intersecție a

suprafeței elicoidale într-o

secțiune cu un plan

perpendicular pe axă este o

spirală arhimedică. În

secțiunea axială acești

melci au profilul elicei

rectiliniu cu unghiul de

profil , de obicei, .20

Într-un plan perpendicular

pe axa roții melcate și care trece prin axa melcului (planul median al

angrenajului melcat) se reduce la o angrenare a unei cremaliere cu

profilul rectiliniu al dinților cu o roată dințată cu profilul în evolventă al

dinților, adică în angrenarea reală din angrenajul melcat se reproduce

angrenarea din angrenajul mașină-unealtă. De remarcat că dreapta de

divizare a profilului cremalierei coincide cu generatoarea cilindrului de

divizare al melcului. Întru-cât modulul cremalierei este standardizat,

rezultă că modulul axial al melcului obține valori standardizate.

Dimensiunile angrenajului melcat. Diametrul cilindrului de

divizare al melcului este multiplu cu modulul axial al melcului, deci

diametrul cilindrului de divizare se poate determina cu relația ,1 qmd

unde q este coeficientul diametral al melcului. Valorile lui m, q și z

trebuie să corespundă standardului GOST 2144-76.

Dacă coeficientul deplasării conturului generator de referință al

sculei așchietoare este ,0x cilindrul de rostogolire al melcului nu se mai

suprapune cu cel de divizare. În acest caz, diametrul cilindrului de

rostogolire al melcului este

).2(1 xqmd (14.30)

Panta liniei elicoidale a elicei pe cilindrul de divizare se determină

cu unghiul de înclinare de divizare al danturii melcului . Se numește

unghi de înclinare de divizare al danturii melcului unghiul cuprins între

tangenta în punctul considerat șa linia elicoidală de pe cilindrul de

divizare și planul secțiunii frontale a melcului.

Din fig.14.13 rezultă relația de calcul a unghiului :

)./( 11 dPtg z

Aici 1zP este planul elicei, adică distanța dintre profilele axiale omogene

ale aceleiași elice, măsurată pe generatoarea cilindrului de divizare:

Fig. 14.13

439

,11 pzPz unde mp este pasul melcului – distanța dintre două elice

vecine pe generatoarea cilindrului – egal cu pasul frontal al roții melcate

pe cercul de divizare (în planul median al angrenajului melcat), deci

.1

1

1

1

1

1 q

z

d

mz

d

pz

d

Ptg za

În mod similar, prin considerarea relației (14.30), unghiul de

înclinare de rostogolire se poate calcula cu relația

).2/(1 xqztg

Diametrul exterior al elicei melcului este

);2( *

11 aa hqmd

diametrul cilindrului interior –

)];(2[)(2 ****

11 chqmmchdd aaf

înălțimea elicei –

);2( ** chmh a

iar grosimea elicei pe cilindrul de divizare – .2/1 ms

De regulă, se consideră 1* ah și .2,0* c Este necesar să se

menționeze că în angrenajul melcat nedeplasat (vezi fig.14.12, a) dreapta

de rostogolire a cremalierei, în secțiunea axială a melcului, coincide cu

dreapta de divizare, iar cercul de rostogolire al roții melcate – cu cercul

de divizare. Unghiul de angrenare este egal cu unghiul profilului

elicei melcului în secțiunea axială, deci . În angrenajul melcat

deplasat, caracterizat prin deplasarea xm (vezi fig.14.10, b), dreapta de

rostogolire a cremalierei nu coincide cu dreapta sa de divizare, ci este

tangentă la cercul de divizare al roții melcate, fiind, ca și în cazul

angrenajului nedeplasat, cercul de rostogolire. Unghiul de angrenare al

angrenajului deplasat este, de asemenea, egal cu .

Deoarece danturarea roții melcate se face cu freza ce reprezintă o

copie fidelă a melcului, rezultă că, după cum s-a menționat anterior, în

planul median angrenarea efectivă din angrenajul melcat este totodată și

o angrenare din angrenajul mașinii-unelte în timpul danturării roții

melcate. Din acest motiv, distanța dintre dreapta mediană a cremalierei

de referință și dreapta sa va constitui deplasarea conturului generator de

referință a sculei pentru secțiunea mediană a roții melcate, care după

valoare coincide cu deplasarea din angrenajul melcat.

Pe baza relațiilor deduse anterior pentru angrenajul cilindric

evolventic, dimensiunile principale ale roții melcate în secțiunea

440

mediană și cele ale angrenajului melcat se calculează cu următoarele

expresii:

- diametrul cercului de divizare (acest cerc este totodată și cercul de

rostogolire) ;22 mzd

- diametrul cercului exterior al dinților

);22( *

22 aa hxzmd

- diametrul cercului interior

);222( **

22 chxzmd af

- înălțimea dintelui

);2( ** chmh a

- grosimea dintelui pe cercul de divizare

);22

(2

xtgms

- distanța dintre axe ].2/)[( 2 xzqma

Coeficientul deplasării x al conturului generator de referință al

sculei așchietoare se stabilește în limitele .1

Ca dezavantaje se pot menționa: viteză mare de alunecare, din acest

motiv randamentul mecanic este scăzut; necesitatea folosirii la

executarea roților a unor materiale scumpe cu proprietăți antifricțiune.

Angrenajul melcat prezintă următoarele avantaje: construcție

compactă pentru rapoarte mari de transmitere, funcționare silențioasă cu

asigurarea condiției de autofrânare.

441

C a p i t o l u l 15

ANGRENAJE MULTIPLE

În proiectarea mecanismelor cu roți dințate din diverse mașini și aparate (manipulatoare, mașini-unelte, automobile, aparate de zbor, indicatoare, tahometre,

dispozitive de dactilografiere, mașini de calcul etc.) se pleacă de la necesitatea asigurării

unei mișcări de rotație cu un raport de transmitere mare sau transmiterii mișcării la

distanțe impunătoare dintre axe. În multe cazuri se recurge la utilizarea angrenajelor multiple, destinate pentru micșorarea vitezei de rotație a arborelui de ieșire, în

comparație cu cel de intrare, numite reductoare, fie pentru majorarea vitezei de rotație,

numite multiplicatoare.

Angrenajele multiple pot fi atât plane, cât și spațiale. Se disting angrenaje cu axe fixe și angrenaje cu axe mobile în raport cu elementul fix. Din acestea din urmă fac parte

mecanismele planetare și cele armonice. Angrenajele armonice se caracterizează

printr-un avantaj important și anume: construcție compactă (gabarite mici). Proiectarea

angrenajelor multiple include două etape: alegerea schemei structurale și calculul numărului de dinți necesar realizării raportului de transmitere impus.

§ 15.1. Angrenaje multiple cu axe fixe

Angrenajele multiple

cu axe au gradul de libertate

unitar, din care motiv

raportul de transmitere

.constu Aceste angrenaje

se proiectează fie ca

angrenaje n e - a x i a l e

(fig.15.1, 15.2, 15.3), fie ca

angrenaje a x i a l e

(fig.15.4, a, b, c).

Angrenajele neaxiale, fiind

utilizate mai frecvent în

practică, din punct de

vedere structural se clasifică în angrenaje normale (cu schema

reprezentată desfășurat) și angrenaje multiple (în cascadă).

Raportul de transmitere total al angrenajului multiplu este egal cu

produsul dintre rapoartele de transmitere ale angrenajelor simple (trepte)

componente montate în serie, deci

.... )1(3423121 jjj uuuuu (15.1)

Fig. 15.1

442

Angrenajele normale sunt alcătuite din mai multe perechi de roți

dințate montate în serie (fig.15.2, a,b). Având schema angrenajului și

cunoscând numărul de dinți, sau razele cercurilor ir ale roților dințate,

raportul de transmitere total al reductorului se poate calcula pe cale

analitică sau grafică.

Fig. 15.2

Fig. 15.3

443

La roțile dințate nedeplasate, care, de regulă, se folosesc în

mecanismele planetare, cercurile primitive coincid cu cele de divizare,

adică .ii rr

Calculul analitic al raportului de transmitere se bazează pe relațiile

(3.97) și (15.1). Astfel, pentru angrenajul normal din fig.15.2 raportul de

transmitere total va fi ,34231214 uuuuu unde 12122112 /// zzrru este

raportul de transmitere al primei perechi de roți dințate (trepte) angrenate

exterior (semnul minus); 23233223 /// zzrru – raportul de

transmitere al perechii a doua de roți dințate (trepte), iar

34344334 /// zzrru – raportul de transmitere al perechii a treia de

roți dințate (trepte).

Raportul de transmitere total al reductorului va fi

.1

4

1

4

3

4

2

3

1

2

14r

r

z

z

z

z

z

z

z

zuu

Generalizând pentru cazul când angrenajul normal este alcătuit din j

toți dințate, relația raportului de transmitere total devine

.)1()1(11

1

1r

r

z

zu

jnjn

j

j

(15.2)

Raportul de transmitere total al angrenajului normal este constant și

egal cu raportul invers al numărului de dinți sau razelor primei și ultimei

roți dințate. Semnul raportului de transmitere se determină cu factorul

),1( unde n reprezintă numărul de angrenări exterioare. Însă, raportul de

transmitere ju1 al acestor angrenaje este relativ mic; valoarea lui este

limitată de valorile admisibile ale lui 1z și ,jz iar numărul de dinți ai

Fig. 15.4

444

roților dințate intermediare (2 și 3 din fig.15.2) nu influențează asupra

valorii raportului de transmitere total al angrenajului. În general, roțile

dințate intermediare se utilizează atunci când este necesară schimbarea

sensului de rotație a arborelui condus, fără a afecta sensul de rotație a

arborelui conducător (din cutia de viteze a mașinii-unelte, automobilelor

etc.) sau transmiterea mișcării de rotație la distanțe mari dintre axe (când

nu se mai pot majora dimensiunile roților conducătoare și conduse).

Determinarea grafică a raportului de transmitere al angrenajelor

normale se poate face cu metoda planelor vitezelor (triunghiurilor

vitezelor) (vezi §3.2). Triunghiurile vitezelor se pot construi pentru cazul

când se cunosc vitezele liniare ale cel puțin două puncte de pe element (ca

modul și direcție). Aplicând această metodă și construind triunghiurile

vitezelor (linia frântă 41 OCBAO din fig.15.2, a), se obține o imagine

amplă despre caracterul de variație al vitezelor de la un arbore la celălalt,

astfel putem realiza calculul grafic al vitezei unghiulare a oricărei roți

dințate [vezi formula 3.8]. Astfel, viteza unghiulară

4444 )/()/)(/(/ tgCOCCrv vllvC sau numărul de turații

)./(30/30 444 vltgn

Raportul de transmitere al angrenajului normal devine

4

1

4

1

4

1

14/

/

tg

tg

tg

tgu

vl

vl

sau, în general,

./ jiij tgtgu (15.3)

Semnul raportului de transmitere se determină cu semnul tangentei

unghiului.

Angrenajele în cascadă sunt alcătuite din mai multe perechi de roți

montate în serie (bloc balador, roțile cuplate 2 și 3, 4 și 5 din fig.15.3, a).

Raportul de transmitere al angrenajului, în acest caz, devine

,531

642

5

6

3

4

1

2

6

5

4

3

2

1

56341216rrr

rrr

z

z

z

z

z

zuuuu

dar, întrucât 32 și ,54 în urma unor simplificări rezultă

.531

642

6

1

16zzz

zzzu

Generalizând pentru cazul a j roți dințate montate în n angrenări

exterioare, relația raportului de transmitere total al angrenajului devine

....

...)1(

)1(531

642

1

j

jn

jzzzz

zzzzu (15.4)

445

Raportul de transmitere total al

angrenajului în cascadă este egal cu

raportul dintre produsul numărului de

dinți ai roților conduse și cele ale roților

conducătoare.

Datorită alegerii numărului de dinți

ai roților dințate, în reductoarele în

cascadă se pot realiza rapoarte de

transmitere mai mari decât în cazul

reductorului normal, pentru aceleași

gabarite.

Semnul raportului de transmitere se

determină cu factorul )1( sau cu metoda

săgeților (vezi fig.15.3). În acest caz, se stabilește sensul de rotație al roții

dințate, se indică pe schema mecanismului printr-o săgeată dreaptă

orientată în aceeași direcție în care se deplasează punctele de pe coroanele

roților dințate orientate spre observator (vezi săgețile indicate pe roțile

dințate 1 și 2). În urma aplicării acestei reguli, se stabilește că roata

conducătoare 1 și cea condusă 6 se rotesc în același sens. Din triunghiurile

vitezelor (fig.15.3, b), construite pe baza metodei expuse anterior, se

obține

.16

1

16CCAO

COAA

tg

tgu IV

Angrenajele în cascadă se utilizează mai des în cutiile de viteze, în

Fig. 15.5

Fig. 15.6

446

care raportul de transmitere variază în salturi. Când ,1 const

elementului condus i se poate comunica diverse viteze ca valoare și sens

și astfel să se reproducă orice șir de rapoarte de transmitere după o legitate

impusă (vezi fig.3.12, b).

Angrenajele multiple spațiale se utilizează în acele cazuri, când este

necesară transmiterea mișcării de rotație între axe încrucișate (fig.15.5)

sau concurente (fig.15.6, a). În ultimul caz, se recurge la folosirea

mecanismului cu roți conice, cu unghiurile dintre axe 12 și 34 de orice

valoare (în cele mai multe cazuri aceste unghiuri sunt egale cu 90°). Dacă

se cunosc parametrii roților dințate, se determină 4 sau raportul de

transmitere [vezi formula (14.3)] cu expresia 21341214 / uuu

),sin/(sin)sin(sin 3142 prin metoda analitică de studiu. Sensul de

rotație al roților dințate se stabilește cu ajutorul săgeților. În cazul metodei

grafice de studiu, se construiește planul vectorial al vitezelor unghiulare

ale roților dințate (vezi cap.3) ce se rotesc în jurul axelor concurente, din

care (fig.15.6, b) rezultă raportul de transmitere pcpau // 4114 și

viteza unghiulară a roții conduse ./)(4 pc

§ 15.2 Mecanismele planetare

Astfel de angrenaje multiple conțin în mod obligatoriu roți dințate cu

axe geometrice mobile (vezi fig.3.11), numite p l a n e t a r e sau r o ț i s

a t e l i t. Elementul mobil, pe care sunt fixare axele sateliților se numește

p o r t s a t e l i t. Roata dințată ce se rotește în jurul propriei sale axe se

numește r o a t ă c e n t r a l ă, iar roata dințată fixă se numește r o a t a c

e n t r a l ă de s p r i j i n. De regulă, mecanismele planetare se construiesc

ca mecanisme axiale.

Mecanismele planetare se clasifică în două categorii. Din prima

categorie fac parte r e d u c t o a r e l e și m u l t i p l i c a t o a r e l e p l

a n e t a r e, iar din a doua categorie fac parte a n g r e n a j e l e d i f e r n

ț i a l e. Aceste mecanisme posedă un singur grad de libertate și conțin în

mod obligatoriu un element de sprijin, în timp ce mecanismele cu

angrenaje diferențiale au două )2( W sau mai multe grade de libertate, și

de regulă nu conțin elementul de sprijin. Un exemplu tipic de reductor

planetar este mecanismul axial cu roți dințate cilindrice, schema căruia

este dată în fig.15.7, a. Acest mecanism este constituit dintr-o roată

centrală 1 și un portsatelit H ce se rotesc în jurul unor axe fixe, din blocul

447

(balador) de sateliți 2 și 3, dintr-o roată de sprijin 4 și un element fix. Când

roata 1 se rotește, roțile satelit 2-3 se rotesc în raport cu centrul

instantaneu de rotație B (roata dințată 4 este fixă), impunând ca

portsatelitul H să se rotească. Roțile planetare (sateliții) execută o mișcare

compusă: se rotesc cu viteza unghiulară 2 în jurul propriei axe (în raport

cu port-satelitul), iar împreună cu port-satelitul rulează cu viteza

unghiulară H în jurul axei OO (mișcare de transport). Gradul de libertate

al acestui mecanism este unitar, din acest motiv, reductorul se

caracterizează printr-un raport de transmitere constant. De regulă,

mecanismele reale sunt prevăzute cu mai multe roți satelit (k) amplasate

simetric (roțile 2 și 3 de pe fig.15.7,

a,b). Aceste roți dințate sunt destinate

pentru a reduce gabaritele

mecanismului, micșorării forței de

angrenare, descărcarea rulmenților

roților centrale, îmbunătățirea

echilibrării port-satelitului, cu toate

că în acest caz mecanismul dispune

de condiții de legătură suplimentare

),0( q adică este static nedeterminat.

În calculul cinematic se ia în

considerare numai un singur satelit,

deoarece ceilalți sateliți, din punct de

vedere cinematic, sunt pasivi.

Dacă în mecanismul considerat

(fig.15.7) roata de sprijin 4 (corpul

Fig. 15.7

Fig. 15.8

448

reductorului) devine mobilă și execută o mișcare de rotație, toate roțile

centrale vor fi mobile, iar mecanismul se transformă în mecanism

diferențial (fig.15.8), deoarece gradul de liberate (mobilitate) .2W

Numărul gradelor de mobilitate W ale mecanismului diferențial arată

câtor elemente trebuie să li se aplice mișcări independente, pentru ca

celelalte elemente ale mecanismului să aibă mișcări precise. În acest

mecanism, în funcție de sensul mișcării de rotație a arborilor exteriori,

poate avea loc descompunerea mișcării de rotație (a arborelui conducător

în doi arbori conduși), fie adunarea mișcărilor. Se consideră arbore

conducător, arborele, pentru care sensul vitezei de rotație coincide cu cel

al momentului forței. Prin urmare, reductorul planetar (sau

multiplicatorul) cu o roată dințată fixă poate deveni diferențial în cazul

când roata dințată fixă se decuplează de sprijin și acesteia i se comunică o

mișcare de rotație. Invers, dacă se fixează una (pentru )2W sau mai

multe roți centrale, atunci orice diferențial poate deveni un reductor

planetar. Această proprietate a mecanismelor planetare poartă denumirea

de reversibilitate și permite aplicarea acelorași metode de studiu și de

proiectare atât pentru reductoare, cât și pentru multiplicatoare. Astfel,

fiecărui diferențial în urma fixării roților centrale îi va corespunde două

reductoare planetare. Mecanismele planetare se utilizează fie pentru

reproducerea traiectoriilor impuse (în mecanismele de ghidare), fie mai

frecvent, pentru variația vitezelor de rotație (reproducerea raportului de

transmitere impus).

Metoda analitică de studiu se bazează pe metoda inversării mișcării

(vezi cap.3). În conformitate cu această metodă, toate elementele primesc

o mișcare de rotație cu viteza unghiulară egală după valoare și opusă după

sens cu viteza unghiulară a port-satelitului .H Drept urmare,

port-satelitul devine fix, iar mecanismul planetar devine un mecanism cu

roți dințate și cu axe fixe (mecanism inversat), care este alcătuit din câteva

perechi de roți dințate montate succesiv (1, 2 și 3, 4 de pe schema din

fig.15.7, a). Acum vitezele unghiulare ale acestor roți dințate vor fi altele:

în locul lui )4(

H va fi )4()4(

1

)(

1 H

H (indicele din paranteze indică numărul

roții dințate fixe); în locul lui )4(

3

)(

2 H va fi )(

2

H

;)4()4(

3

)4(

3

)4()4(

2 HH iar în locul lui 04 va fi .0 )4()(

4 H

H În

conformitate cu relația (3.100), pentru fiecare cuplă din mecanismul

planetar se poate scrie ;/)/()( 12

)4()4(

2

)4()4(

1 rrHH )0/()( )4()4()4(

3 HH

./ 34 rr

449

Prin urmare, se obține un set de ecuații care stabilesc relația existentă

între vitezele unghiulare relative ale diferitor cuple planetare, când

port-satelitul este fix. În urma rezolvării acestui sistem de ecuații, rezultă

mărimea interesată sau u. Numărul de ecuații ale setului trebuie să

corespundă numărului de mărimi ce se caută. Prin înmulțirea ultimelor

două relații, parte cu parte, se obține )./()(0/()( 3142

)4()4()4(

1 rrrrHH Însă

.)/)(/()]/()([ )(

14

)(

34

)(

1234123142

HHH uuurrrrrrrr Atunci )10/(]1)/[( )4()4(

1 H

.)(

14

Hu De aici rezultă relația de calcul a raportului de transmitere pentru

mecanismul real (pentru )04

.1 )(

14

)4(

1

H

H uu (15.5)

Această relație este valabilă pentru orice schemă a reductorului

planetar cu roată centrală fixă. De aici rezultă că raportul de transmitere

de la orice roată planetară i la port-satelitul H este egal cu unitatea minus

raportul de transmitere ,)(H

iju adică

,1 )()( H

ij

j

iH uu (15.6)

sau

.1)()( H

ij

j

iH uu

Prin urmare, la mecanismele planetare cu roți dințate cilindrice,

suma rapoartelor de transmitere pentru diferite elemente fixe întotdeauna

este unitară. Raportul de transmitere )(H

iju al mecanismului inversat se

calculează de la roata dințată mobilă i la acea roată dințată care în

mecanismul planetar este fixă j. De aceea, pentru schema din fig.15.7, a

),/( 3142

)(

14

)( rrrruu HH

ij iar pentru întreg mecanismul

.11131

42

31

42)(

14

)4(

1zz

zz

rr

rruu H

H (15.7)

Spre deosebire de mecanismul cu axe fixe, raportul de transmitere al

reductorului planetar se caracterizează nu numai funcție de numărul de

dinți și semnul raportului acestora, ci și de numărul treptelor dintre roțile

centrale (cazul port-satelitului fix). Din acest motiv, orice schemă

concretă a reductorului planetar se caracterizează printr-o expresie

individuală de calcul a valorii raportului de transmitere )( j

iHu scrisă prin

numărul de dinți (sau raze). Pentru calculul vitezei unghiulare a roții

dințate intermediare se recomandă relația (15.6).

Metoda grafică de studiu constă în determinarea vitezei unghiulare

i și a raportului de transmitere iHu cu ajutorul triunghiurilor vitezelor

liniare, pentru orice roată dințată (vezi cap.3). În acest scop, pe o linie

450

verticală (vezi fig.15.7, b) se transpun punctele caracteristice ale schemei

(OABC) și se depune segmentul vAvAA corespunzător vectorului

vitezei punctului A al roții dințate 1. În urma unirii punctelor A și O

printr-o rază înclinată (sub unghiul ),1 se obține triunghiul vitezelor

acestei roți dințate, în care AO este dreapta de repartiție a vitezelor liniare

ale primei roți dințate.

Triunghiul vitezelor roților dințate 2-3 se construiește în ipoteza că

se cunosc vitezele liniare a două puncte: A (unde )12 AA vv și B (centrul

instantaneu al vitezelor roților dințate 2-3), unde .0Bv Unind punctele A

și ,B se obține dreapta de repartiție a vitezelor roților dințate 2-3 (sub

unghiul ).2 Pe această dreaptă se află punctele C – capătul vectorului

CC care corespunde vitezei liniare a centrului roților satelit 2-3 și

punctului C al port-satelitului. Trasând raza CO (sub unghiul ),H se

obține triunghiul vitezelor port-satelitului ).( COC Raportul tangentelor

unghiurilor de înclinare a liniilor vitezelor elementelor de intrare și ieșire

constituie valoarea raportului de transmitere al schemei considerate a

reductorului, deci HH tgtgu // 121

)4(

1)./()/( CCOCOAAA Ținând

cont de faptul că ),/( BCABCCAA se obține )4(

1Hu

)./()(1)/()()( 3142313114 rrrrrrrrrr

În urma trasării planului vitezelor unghiulare (fig.15.7, d), se poate

determina /22 ka și /HH ka sau nHH kan / și )./(1

)4(

1 HH kakau

Dacă momentele forțelor 1M și 2M aplicate pe arborele de intrare al

reductorului și respectiv pe cel de ieșire sunt cunoscute și neglijăm

frecarea, iar elementele se mișcă uniform, atunci raportul de transmitere

poate fi determinat cu relația

.// 1

)4()4(

1

)(

1 MMu HH

H

H (15.8)

În mod similar se efectuează studiul cinematic al mecanismului

diferențial, care urmărește scopul determinării vitezelor de rotație ale

elementelor. În comparație cu reductorul orice diferențial )2( W nu poate

fi descompus în alte mecanisme (fig.15.8), deoarece are trei arbori

exteriori A, B și C. De aceea, poziția fiecărui element în asemenea

mecanism se determină prin două coordonate generalizate independente

(cu unghiurile de rotație a doi arbori), adică ).,( BAC f Prin urmare, în

conformitate cu relația (3.1), viteza unghiulară a elementului de ieșire va

fi

.)()(

B

A

CBA

B

CAC uu (15.9)

451

Prin aplicarea acestei relații, se poate face calculul vitezei unghiulare

H a mecanismului reprezentat în fig.15.8 (cunoscându-se ,iz 1 și :)4

.)1(

44

)4(

11 HHH uu (15.10)

Raportul de transmitere particular (pentru cazul când )04 este dat

de relația

.

1

11

4231

31

31

42)4(

1

)4(

1zzzz

zz

zz

zzuu

H

H

În mod analog, se poate scrie și în cazul când prima roată dințată este

fixă :)0( 1

.

1

11

3142

42

42

13)1(

4

)1(

4zzzz

zz

zz

zzuu

H

H

Prin introducerea acestor valori în (15.10), se obține viteza

unghiulară a portsatelitului:

.3142

424311

zzzz

zzzzH

Orice diferențial )2( W permite realizarea, de la un arbore la

celălalt, a șase rapoarte de transmitere, și anume:

.;;;;; )()()()()()( A

CB

A

BC

B

CA

B

AC

C

BA

C

AB uuuuuu Însă aceste valori sunt egale între ele, deoarece )()( /1 C

AB

C

BA uu etc., ;1)()( B

AC

C

AB uu ;1)()( C

BA

A

BC uu .1)()( A

CB

B

CA uu În afară de acest fapt,

din cele șase valori întotdeauna există o valoare maximă )2( și pozitivă.

Această valoare poate fi aplicată cu succes pentru caracterizarea

mecanismului în întregime.

Studiul cinematic al mecanismelor planetare spațiale compuse din

roți dințate conice se realizează fie prin metoda analitică, fie prin cea

grafică, însă, studiul în cauză se bazează pe aplicarea mărimii vectoriale a

vitezei unghiulare. Asemenea mecanisme se utilizează larg ca diferențiale

cu două grade de libertate (fig.15.9, a). Acest mecanism este alcătuit din

roțile dințate 1,3 și port-satelitul H ce se rotește în jurul axei AOF, din

roata planetară 2 care în spațiu participă în două mișcări de rotație

(împreună cu port-satelitul în jurul axei OF și în jurul axei sale în raport

cu port-satelitul). Deci, axa OC este axa de rotație a roții dințate 2 față de

port-satelitul H, linia OB – axa instantanee de rotație a roții 2, în raport cu

roata dințată 1, iar linia O – axa instantanee de rotație a roții dințate 2, față

de roata dințată 3.

Metoda grafică de studiu este bazată pe trasarea planului vitezelor

unghiulare (vezi cap.3). Impunându-se în prealabil valorile și sensurile

452

vitezelor unghiulare 1 și

3 (întrucât ),0W se construiește planul

vitezelor unghiulare (fig.15.9, b), din care rezultă viteza unghiulară H a

port-satelitului.

Dacă soluționarea se face cu metoda analitică, prin fixarea

portsatelitului, se obține un mecanism inversat, în care roata dințată întâi

are viteza unghiulară relativă egală cu ,1 H al celei de a doua roți –

,2 H al celei de a treia roți – .3 H Însă, aceste diferențe vectoriale

nu sunt paralele, din care motiv, în cele din urmă, vor fi luate după valoare

absolută. În conformitate cu acest fapt, pentru roțile dințate 1-2 și 2-3 se

vor scrie relațiile

.//;// 13321221 zzzz HHHH

În urma înmulțirii parte cu parte, se obține .// 1331 zzHH

Dar cum vectorii H ,1 și 3 sunt orientați în lungul aceleiași drepte,

rezultă că diferențele vectorilor din ultima relație reprezintă mărimi

algebrice. Semnul se stabilește folosindu-ne de regula săgeților, care

indică și sensul de rotație al roților dințate, în cazul când port-satelitul este

fix. Astfel, ./)/()( 13331 zzH Semnul minus din partea dreaptă a

acestei relații arată că sensul săgeților de pe roțile dințate 1 și 3 (fig.15.9,

a) nu coincid. Din ultima relație rezultă )./1/()/( 131331 zzzzH

Aceeași soluție poate fi

obținută și în urma examinării

triunghiurilor abc și bcd

(fig.15.9, b).

Utilizarea mecanismului

diferențial, examinat după

schema dată cu 31 zz și

,90 se întâlnește foarte des

la automobile, mașini-unelte și

calculatoare. Totodată,

).(5,0 31 H De aceea, dacă

,03 roata dințată 1 se rotește

de două ori mai rapid decât

port-satelitul. Când ,0H

reiese că ,31 deci roțile se

rotesc în direcții opuse. Dacă

Fig. 15.9

453

mecanismul în cauză reprezintă un reductor, adică o roată dințată este fixă

),0( 3 prin aplicarea acelorași ecuații, rezultă planul vitezelor

unghiulare (fig.15.9, c). Din acest plan raportul segmentelor

,// 1 Hpcpa reprezintă raportul de transmitere ,)3(

1Hu iar raportul

)/()(/ 31 HHpcca – raportul de transmitere ,)(

13H

u a cărui valoare

este pozitivă. Prin aplicarea relației (15.6), se obține

./1)/(11 1313

)(

13

)3(

1 zzzzuu H

H

§ 15.3. Alegerea schemelor mecanismelor planetare

și particularitățile lor cinematice

În practica inginerească sunt cunoscute patru scheme de mecanisme

planetare simple, în care roțile satelit (duble – fig.15.7, 15.10 sau unitare –

fig.15.11) angrenează concomitent cu două roți centrale. Toate aceste

mecanisme conțin trei arbori coaxiali, dintre care unul este fix. Frânarea

alternativă a unuia din acești arbori permite obținerea la ieșirea din fiecare

mecanism a trei viteze diferite. Raportul de transmitere al acestor

reductoare se calculează la fel cu relația (15.6). Din aceasta rezultă că în

funcție de semnul lui )(H

iju mecanismele în cauză au diferite posibilități

cinematice. Dacă ,0)( H

iju atunci raportul de transmitere al mecanismului

planetar real )( j

Hired uu poate fi cu mult mai mare decât cel al mecanismului

inversat ,)(H

iju construit din aceleași roți dințate. În cazul în care ,0)( H

iju

raportul de transmitere al mecanismului planetar )( j

iHu este doar cu o unitate

Fig. 15.10

454

mai mare decât raportul de transmitere )(H

iju al mecanismului inversat.

Pierderile la frecarea mecanică și calitățile dinamice ale angrenajelor vor

fi diferite. În mare măsură toate aceste calități sunt determinate de

principiul de formare a schemelor structurale ale mecanismelor planetare

simple. De aceea, în funcție de proprietățile acestora, se disting două

categorii principale de scheme ale mecanismelor planetare simple:

mecanisme cu raportul de transmitere al mecanismului inversat pozitiv

)0( )( H

iju – fig.15.10, a,b și mecanisme cu raportul de transmitere al

mecanismului inversat negativ )0( )( H

iju – schemele din fig.15.7 și 15.11.

Mecanismele din categoria întâi au roțile satelit duble și pot fi

alcătuite din roți dințate aflate numai în angrenare exterioară (schema a)

sau în angrenare interioară (schema b). Raportul de transmitere al

mecanismului real va fi )./(1 3142

)4(

1 zzzzu H De regulă, aceste mecanisme

funcționează ca angrenaje demultiplicatoare, adică elementul conducător

este port-satelitul. În cazul dat, se obține )./(/1 423131

)(

1

)4(

1 zzzzzzuu H

HH

De exemplu, dacă pentru schema din fig.15.10, a se va considera

99,100 231 zzz și ,1014 z atunci )100000/9999(1/[1)1/(1 )(

14

)4(

1

H

H uu

.10000 Însă, randamentul este mai mic de 1%.

Raportul de transmitere al acestor mecanisme este cu atât mai mare,

cu cât valoarea lui )(

14

Hu tinde spre unitate. Însă odată cu majorarea lui )4(

1Hu

randamentul mecanismului scade esențial. Aceste mecanisme se

utilizează în cazul unei singure roți satelit, când este necesară obținerea

unui raport de transmitere mare, cu toate că randamentul poate să fie

scăzut (în angrenajele cinematice). O particularitate importantă a

mecanismelor executate cu această schemă constă în faptul că pe baza

variației dimensiunilor roții centrale fixe

(fig.15.10) se pot obține mișcări de

rotație fie de același sens, fie de sens

contrar. În cazul unor rapoarte de

transmitere mari, valoarea invariantă a

raportului de transmitere în limitele unei

turații, este des afectată de imprecizia de

execuție. Din acest motiv, mecanismele

planetare din această categorie se

utilizează numai în acele cazuri când

sarcinile utile sunt nu prea mari. De

obicei, în cazul unor randamente

acceptabile al acestor mecanisme,

Fig. 15.11

455

raportul de transmitere este ,100...30u în timp ce în angrenajele de putere

mică u poate atinge valori de circa 1500 … 1700. Este important de

menționat faptul că mecanismele cu două angrenări interioare sunt

prioritare, deoarece acestea se caracterizează prin gabarite reduse și

randamente înalte (fig.15.10, b).

Mecanismele din a doua categorie se construiesc din roți dințate ce

vin în angrenare diferită cu roata satelit dublă (fig.15.7) sau unitară

(fig.15.11). În conformitate cu aceasta, mecanismul inversat se obține fie

în două linii (fig.15.7), la care ,0)/)(/( 3412

)(

14 zzzzu H fie într-o singură

linie (fig.15.11). De aceea, pentru mecanismul real corespunzător

schemei întâi ),/(1 3142

)4(

1 zzzzu H iar pentru cel corespunzător schemei a

doua (unde )32 zz )./(1 14

)4(

1 zzu H În ambele cazuri sensul mișcării de

rotație a arborilor de intrare și ieșire este întotdeauna același. Aceste

mecanisme au o vastă utilizare în angrenajele de forță ale reductoarelor cu

mai multe roți satelit, caracterizate prin 15...3)4(

1 Hu și randament înalt (0,96

… 0,98). În comparație cu alte angrenaje cu roți dințate și cu același

raport de transmitere existența câtorva roți satelit (cazul )1k contribuie

substanțial la reducerea gabaritelor, îmbunătățirea dinamicii

(echilibrarea, descărcarea sprijinelor roților centrale și a port-satelitului

etc.) și la micșorarea greutății. Când roata dințată 1 este conducătoare,

aceste mecanisme funcționează ca reductoare. Mecanismul într-o singură

linie (fig.15.11), utilizat, de regulă, pentru ,8...3)4(

1 Hu prezintă aceleași

Fig. 15.12

456

avantaje ca și mecanismele menționate anterior, însă, se distinge printr-o

dimensiune axială mică cu valoarea minimă pentru .4)4(

1 Hu Mecanismele

executate după această schemă sunt folosite larg în transmisiile de putere,

cutiile planetare de viteze cu mai multe trepte, precum și ca transmisii

independente și mai frecvent ca reductoare incluse în transmisiile

electrice, instalațiile cu dirijare de la distanță, a aparatele de zbor etc.

Evoluția ulterioară a structurii mecanismelor planetare în direcție

axială a contribuit la apariția schemei cu trei roți centrale (fig.15.12).

Port-satelitul din acest mecanism se rotește liber în reazeme, fără a

transmite mișcarea de rotație. În studiul cinematic mecanismul considerat

se descompune în două mecanisme simple: mecanismul întâi include

roțile centrale 1 și 5, roata satelit 2 și port-satelitul H (fig.15.12, a);

mecanismul al doilea constă din roata centrală 4, roata satelit 3 și

port-satelitul H. Pentru roata centrală 5 fixă, ,1W iar raportul de

transmitere total al reductorului este

)5(

4

)5(

1

4

1

4

1)5(

14 HH

H

H

uuu

;

1

1)1(

)(45

)(15 H

H

uu

.)(

)(

1

11

53241

5142

24

531

5)5(

14zzzzz

zzzz

zz

zzz

zu

Datorită alegerii numărului de dinți corespunzători, se pot obține

rapoarte de transmitere mari ),100( u pentru randamente moderate și

Fig. 15.13

457

compactitate ridicată. Din triunghiul vitezelor liniare (fig.15.12, b) și

planul vitezelor unghiulare (fig.15.12, c) rezultă că roata conducătoare și

cea condusă se rotesc în sens contrar. Cea mai rațională construcție se

obține în cazul în care ,100...20u cu toate că randamentul este mai scăzut

decât la angrenajele planetare cu două roți centrale.

Evoluția structurală a mecanismelor planetare în direcție radială

contribuie la apariția mecanismelor biplanetare (fig.15.13), care sunt

alcătuite dintr-un mecanism planetar principal (m.p.p.) (elementele 1, 2,

H și 4) și un mecanism planetar satelit (m.p.s.) (elementele a, b, c și 3-h).

Roata satelit 2 a mecanismului planetar principal este consolidată cu roata

centrală „a” a mecanismului planetar satelit, roata satelit 3 – cu

port-satelitul h al mecanismului planetar satelit și în final, port-satelitul H

– cu roata dințată c. În urma fixării port-satelitului H ),0( H rezultă

mecanismul planetar a-b-c-h și două perechi de roți dințate 1-2 și 3-4 cu

axele fixe, pentru care )(

34

)()(

12

)(

14

HH

ah

HH uuuu (fig.15.13, a). Aplicând acum cea

dea doua inversare a mișcării (considerând )0h numai pentru

mecanismul planetar satelit, se obține (pentru cazul )0c )(c

ah

)./(11 )(

ac

h

ac zzu Prin urmare, raportul de transmitere al mecanismului

biplanetar va fi

,)1(11 )(

34

)()(

12

)(

14

)4(

1

Hh

ac

HH

H uuuuu (15.11)

sau

.11131

42

3

4

1

2)4(

1

a

ca

a

c

Hz

zz

zz

zz

z

z

z

z

z

zu

De regulă, raportul de transmitere al mecanismului biplanetar este

,85...17)4(

1 Hu pentru randamente destul de mici. Vitezele unghiulare ale

elementelor intermediare sunt: viteza unghiulară relativă a port-satelitului

mic h: H

H

HHhH u )(

3433 ;/ )4(

11

)(

34 H

H uu viteza unghiulară a

port-satelitului mare: ;/ )4(

11 HH u viteza unghiulară relativă a elementului

conducător al mecanismului planetar )1)(/( )4(

1

)(

1212 H

H

Ha uu etc.

Construcțiile grafice necesare calculului raportului de transmitere

(fig.15.13, b) sunt comode să fie începute cu trasarea liniei H,

propunându-se valoarea lui ,H se construiește la scară viteza ,101 OOv H

apoi se duc corespunzător linia h (viteza axei roții satelit ),41OO linia b

(după 04v și ),Mv lina 2-a și 1, astfel că

.)/(;0/// 11

)4(

1 avlaHHH tgAAAAtgtgu

458

Din planul vitezelor unghiulare (fig.15.13, c) rezultă că elementul de

intrare 1 și cel de ieșire H se rotesc în același sens. În general, aceste

mecanisme se utilizează pentru obținerea unor mișcări compuse ale

organului de execuție din mașinile tehnologice.

Dacă doi arbori coaxiali ai diferențialului cu roți dințate se unesc cu

arborele conducător sau cu cel condus printr-o oarecare transmisie (cu roți

dințate, simplă sau planetară), se obține un angrenaj planetar închis

(fig.15.14, a,b). Acest mecanism se obține atunci când diferențialul într-o

linie cu trei arbori coaxiali de rotație între elementele 3 și H se

intercalează un angrenaj alcătuit din două perechi de roți dințate 4-5 și

6-7. Acum elementul 7 primește o mișcare de rotație atât de șa elementul

3, prin intermediul roților dințate 4-5, cât și de la elementul H, prin

participarea perechii de roți dințate 6-7. Mecanismul dat are un singur

grad de libertate, deci .1W

Construirea planului vitezelor liniare este rațională să se înceapă de

la elementul final 7, după care să se traseze liniile 3-4, 6-H, 2 și 1.

Raportul de transmitere total al mecanismului se va calcula cu relația: ./ 7117 tgtgu

Pentru calculul raportului de transmitere este necesară aplicarea

relației lui Willis. Fixând port-satelitul, se obține

,/)/()( 1331 rrHH pentru roțile dințate 1-3; ,// 4554 rr pentru

Fig. 15.14

459

roțile dințate 4-5; ,// 6776 rr pentru roțile dințate 6-7. În urma

înlocuirii lui )/( 45543 rr și ),/( 6776 rrH obținem

.)/()/(

)/(

1

3

677455

6771

r

r

rrrr

rr

Dacă împărțim la 7 relația de mai sus, obținem

./6

7

61

73

41

53

6

7

6

7

4

5

1

3

7117r

r

rr

rr

rr

rr

r

r

r

r

r

r

r

ru

De regulă, mecanismele diferențiale închise au randamentul mai

înalt, lucru ce se explică prin posibilitatea divizării puterii ce se transmite

în două curente paralele, chiar în cazul unor gabarite ale transmisii,

permit realizarea unor momente de torsiune mai mari la ieșire. În același

timp, este necesar să se urmărească ca curenții de putere să nu fie contrari,

deoarece ar putea conduce la circulația ei și numai la pierderi. De regulă,

astfel de mecanisme se folosesc în transmisiile de putere.

Pentru realizarea unor rapoarte de transmitere mari, se recurge la

utilizarea mecanismelor planetare cu mai multe trepte, care se formează

în urma unirii succesive a unor mecanisme planetare simple (fig.15.15, a).

Un asemenea reductor, cu mai multe trepte, alcătuit din trei mecanisme

într-o singură linie fig.15.11, a va avea raportul de transmitere

)./1(1)/1( 79

4

6

13

)9(

37

)6(

24

)3(

1131 zzz

zzzuuuuu HHHHtot

Dacă considerăm că ,7)9(

37

)6(

24

)3(

11 HHH uuu atunci, pentru randamentul

înalt (88…94%) și gabarite reduse, raportul de transmitere total

,34373 totu adică este mai mare decât cel al reductorului cu axe fixe (în

Fig. 15.15

460

cazul unor puteri asemănătoare și rapoarte de transmitere totale egale).

Unirea elementelor prin intermediul unor frâne permite obținerea unor

viteze unghiulare 3H diferite pentru elementul condus, iar pentru

arborele conducător se obțin viteze constante.

Mecanismul, construit din două trepte planetare cu port-satelit

comun (vezi fig.15.15, b), se numește mecanism planetar dublat. Aceste

mecanisme se utilizează în cutiile de viteze din mașinile de transport și de

ridicat). În urma frânării alternative a elementelor, se pot obține câteva

viteze pentru elementul condus cu viteza constantă al elementului

conducător. Astfel, pentru schema mecanismului reprezentată în

fig.15.15, b, la frânarea elementului 3 (tamburul frânei A), se obține un

reductor în două trepte: prima treaptă planetară este alcătuită din

elementele 1-2-3-H, iar treapta a doua din elementele H-3-4-5. Raportul

de transmitere total al reductorului se calculează cu relația

.

1

11

1

1)1(

65

341

3

)(

53

)(

13

)3(

5

)3(

1

zz

zzz

z

uuuuu

H

H

HHtot

Dacă se recurge la frânarea elementului H (port-satelitul), se obține

un mecanism în cascadă cu axe fixe, alcătuit din roțile dințate 1-2-4-5.

Acum raportul de transmitere este ),/()( 4152 zzzzutot deoarece roata

dințată 3 se rotește în gol.

Majorând numărul treptelor planetare se poate obține o cutie de

viteză cu un număr mare de viteze pentru arborele condus(cu trei, patru

viteze etc.). Studiul acestor cutii de viteze este similar, randamentul fiind

de circa 0,8…0,9.

La proiectarea mecanismului planetar cu mai multe trepte o

importanță deosebită se atribuie unei asemenea repartiții a raportului de

transmitere total totu (pe trepte), încât pe orice treaptă el să nu depășească

valoarea admisibilă, iar raportul de transmitere al angrenajului lent ar fi de

dorit să fie mai mic decât cel al angrenajului rapid (primul de la arborele

conducător). Alegerea rapoartelor de transmitere ale unor trepte separate

influențează asupra gabaritelor mecanismului, randamentului, preciziei

transmiterii mișcării, condițiilor de execuție etc. Este necesar să se mai

considere și condițiile concrete în care funcționează mecanismul.

Raportul de transmitere total totu al cutiilor de viteze din mașinile de

transport se divizează astfel, încât dimensiunile maxime ale treptelor, în

diametru, să fie egale.

461

Pentru dispozitivele aparatelor în care se cere o precizie de rotire a

arborelui de ieșire, este absolut necesar ca pentru ultima treaptă să se

stabilească un raport de transmitere mai mare.

Astfel, raportul de transmitere impus

poate fi asigurat cu o mulțime diversă de

scheme ale angrenajelor planetare,

distincte după dimensiuni, randament și

calități dinamice. La alegerea schemelor

va trebui să se țină seama atât de calitatea

angrenajelor planetare simple, din care se

combină reductorul cu roți dințate, cât și

de dimensiunea mecanismului, de

condițiile și regimul de funcționare, de

locul montării, precum și de tipul

angrenajului și modul angrenării, de

distribuția lui totu pe trepte și alegerea

numărului de trepte, de aprecierea pierderilor la frecare, vibrația și

elasticitatea elementelor etc. Iată de ce, în general, alegerea schemei cu

observarea tuturor factorilor

poate fi realizată numai prin

metodele optimizării cu

aplicarea calculatoarelor

electronice.

În practica inginerească

este de asemenea cunoscută

utilizarea angrenajelor

planetare pe post de

mecanisme de ghidare. De

exemplu, în prese, pentru

transformarea mișcării de

rotație în mișcare de translație,

se folosește mecanismul

planetar cu o singură roată

centrală fixă (fig.15.16). Dacă

port-satelitul se rotește, atunci

punctul B de pe roata satelit 2

se deplasează pe o dreaptă ce

coincide cu diametrul roții

dințate fixe 1, cu un număr de

Fig. 15.16

Fig. 15.17

Fig. 15.18

462

dinți .2 21 zz În urma unirii articulate a punctului B de pe roata satelit cu

elementul 3, se obține o mișcare rectilinie. Aici )(

212

)1(

2 /1/ H

HH uu

,1)21/(1)/1/(1 21 zz adică .2 H Dacă în acest mecanism se

asigură ,4...2)( 21 zz atunci se pot obține rapoarte de transmitere )1(

2Hu

esențiale, așa după cum se realizează întocmai în transmisiile armonice cu

roți dințate, în care generatoarele de unde joacă rolul port-satelitului, iar

mișcarea roții elastice corespunde mișcării roții satelit.

În mașinile de lucru, pentru obținerea unei mișcări compuse a

elementului de execuție, se utilizează mecanismul construit dintr-o roată

centrală fixă, în jurul căreia se rotește port-satelitul cu roțile satelit 2 și 3.

Dacă se consideră 13 zz (fig.15.17), atunci roata dințată 3 se mișcă

translativ (nu se rotește), așa cum rezultă din triunghiurile vitezelor

elementului 3, pentru care EDC vvv (întrucât ).//ODEDC De regulă, pe

roata dințată 3 se fixează elementul de execuție.

Dacă roata centrală 1 (cazul )01 vine în angrenare interioară cu

roata satelit 2, execută împreună cu pistonul rotativ al unui motor

(fig.15.18) ce i se comunică o mișcare de rotație în urma variației

presiunii produselor gazoase din cilindrul 3, atunci pe arborele

port-satelitului se poate extrage o mișcare cu viteza unghiulară

)./( 1222 zzzH În acest timp punctul B de pe roata satelit descrie o

epitrohoidă, în conformitate cu care este executată camera de lucru a

cilindrului 3.

§ 15.4. Determinarea numărului de dinți pentru

roțile dințate din mecanismele planetare

După alegerea schemei angrenajului planetar, stabilirea numărului

de roți satelit (k) și a modulului (m), se face calculul numărului de dinți ai

roților dințate. Calculul se efectuează astfel încât să se asigure un raport

de transmitere impus, cât mai precis, precum și condițiile de coaxialitate,

de vecinătate, de asamblare și să se evite întretăierea dinților.

Raportul de transmitere impus poate fi asigurat numai prin alegerea

corectă a numărului de dinți, deoarece în urma substituției valorilor

acestora în expresia (15.6), valoarea reală obținută a raportului de

transmitere trebuie să fie cât mai aproape de valoarea impusă. Devierea

admisibilă a valorii reale de la cea impusă nu trebuie să depășească

1…4%.

463

Condiția de coaxialitate a arborilor de intrare și de ieșire arată că cele

două roți și port-satelitul trebuie să aibă aceeași axă geometrică de rotație,

datorită cărui fapt poate fi garantată angrenarea roților satelit și celor

centrale cu .constrH Pentru aceasta este necesară respectarea condițiilor

(vezi fig.15.10, a,b; fig.15.7, a și fig.15.11):

.;

;;

;;

;;

232123214

342134213

342134212

432143211

zzzzrrrrr

zzzzrrrrr

zzzzrrrrr

zzzzrrrrr

H

H

H

H

(15.12)

Aceste condiții limitează alegerea dimensiunilor a uneia din cele

patru roți dințate, când razele celorlalte trei roți se stabilesc arbitrar.

Condiția de vecinătate (condiția asamblării concomitente a câtorva

roți satelit pe aceiași circumferință comună într-un plan) impune ca dinții

roții satelit vecine din mecanismele planetare cu mai multe roți satelit să

nu se atingă. În acest scop numărul de dinți (razele) ai roților dințate se

stabilesc astfel, încât distanța dintre axele roților satelit vecine as să fie

mai mare decât diametrul cercului exterior max

asd al celei mai mari roți

satelit 3 (vezi fig.15.7, c), adică max

ass da sau ,max sda ass unde s este

jocul dintre cercurile exterioare ale roților satelit vecine. Valoarea acestui

joc se determină cu toleranța preciziei de asamblare. Din triunghiul 21OCC

de pe fig.15.7, c rezultă relația ),/sin()(2 21 krras în care k este numărul

roților satelit. De aici se obține )].(2/[)/sin( 21

max rrdk as Pentru roțile

dințate nedeplasate această condiție are forma

.2

sin21

*max

zz

hz

k

as

(15.13)

Dacă în mecanism ,32 zz atunci la numărătorul expresiei se ia

,2

max zzs iar dacă ,32 zz atunci se introduce .3

max zzs Semnul plus de la

numitor corespunde angrenării exterioare. În cazul angrenării interioare

se va introduce semnul minus.

Condiția de montare (de asamblare), pentru unghiuri egale între

roțile satelit, se ia în vedere necesitatea angrenării concomitente a tuturor

roților satelit și centrale, când zonele de angrenare sunt geometric

simetrice. După montarea primei roți satelit, roata centrală mobilă ocupă

o poziție bine determinată. Dacă vor fi satisfăcute anumite condiții, atunci

după instalarea celorlalte roți satelit dinții acestora nu vor mai pătrunde

exact în găurile dintre dinții unei roți centrale conjugate. În acest caz,

asamblarea mecanismului este imposibilă. Pentru a evita acest fenomen,

464

este necesar ca numărul de dinți ai roților dințate să fie alese astfel, încât

dinții tuturor roților satelit (roțile 2 și 3) (vezi fig.15.7, c) să pătrundă

exact în golurile dintre dinții roților centrale (1 și 4).

Asamblarea corectă se realizează mai simplu în cazul în care roțile

satelit se amplasează uniform pe circumferința de rază ,Hr adică când

unghiurile de la centru cuprinse între razele vectoare ce trec prin centrele

roților satelit sunt identice și egale cu ./360 k Această modalitate

simplifică executarea și exploatarea mecanismului (exclude utilizarea

contragreutăților). Pentru formularea condiției care se caută, în cele din

urmă se va examina procesul de asamblare a reductorului (vezi fig.15.7,

c). Se va considera că roțile satelit sunt amplasate în aceeași poziție, pe

axele proprii de pe port-satelit, când centrul roții satelit se află pe verticala

ce trece prin axa roților centrale și axa de simetrie a golurilor dinților

acestor roți dințate. Se mai consideră că cele două roți dințate din blocul

de roți satelit au dinții orientați în același sens pentru toate k blocuri de

sateliți. Instalând pe axă prima roată satelit, când aceasta ocupă poziția

”verticală”, se va recurge la rotirea port-satelitului cu un unghi

,22

Ck

H

unde C este numărul de rotații complete ale port-satelitului.

În acest timp prima roată dințată de asemenea se rotește cu un unghi

oarecare .11 HHu Apoi se instalează a doua roată satelit, care acum se

află în acel loc, pe care-l ocupa roata satelit până la rotirea port-satelitului

(poziția ”verticală”). Însă, în cazul unor roți satelit identice, a doua roată

satelit va veni la locul său tot în aceeași poziție ”verticală” numai atunci ,

când roata centrală conjugată se va roti cu un număr întreg de pași

unghiulari (număr întreg de dinți), adică când ,/2 11 zJJ unde J este

un număr întreg oarecare. Făcând substituția, se obține HHuzJ 11/2 sau

,)2/2(/2 11 HuCkzJ de unde rezultă

.)1(11 JkCk

uz H (15.14)

În cazul cel mai simplu, când C=0, ./)( 011 Jkuz H Condiția de montaj

obține forma

.)1(0 JkCJ (15.15)

Îndeplinirea acestei condiții conduce la: dacă una din roțile satelit

s-ar instala în poziția verticală aleasă, atunci toate celelalte roți satelit și

cele centrale conjugate s-ar angrena tot în aceiași poziție, pentru care

port-satelitul s-ar roti cu un unghi

465

).1(2

kCk

H

(15.16)

Dacă pentru un număr de dinți considerat J nu va fi un număr întreg,

trebuie ales un astfel de număr C încât expresia )1( kCJ să devină număr

întreg. Raportul kuz H /)( 11reprezintă un număr întreg (J0), montarea roții

satelit, este suficient ca port-satelitul să fie rotit numai cu unghiul ./2 kH

Condiția angrenării corecte reprezintă condiția neînțepenirii

angrenajului (în cazul când numărul de dinți ai roților dințate au fost

stabilite, executate fără subtăierea și tăierea dinților). Prevenirea

fenomenului de înțepenire a angrenajelor cu angrenări interioare compuse

din roți dințate evolventice cu dinți drepți și cu dantura zero este asigurată

(vezi cap. 14), dacă fiecare roată dințată din angrenaj se construiește cu un

număr de dinți iz mai mare decât numărul minim admisibil de dinți .minz

Pentru roțile dințate cu dinți interiori, dacă 20 și 0,1* ah – ;85intmin z

dacă 8,0* ah – ;58intmin z iar pentru roțile dințate cu dantură exterioară

care angrenează cu roata cu dantură interioară 20min extz sau ,18min extz iar

pentru întregul angrenaj diferența de dinți extzz int trebuie să fie nu mai

mică de 8 pentru 0,1* ah și nu mai mică de 7 pentru .8,0* ah

Prevenirea fenomenului de retezare a dinților roților dințate

evolventice cu dantura zero are loc pentru angrenajele cu angrenarea

exterioară 17min z dinți, în cazul 20 și ,0,1* ah și 14min z dinți, în

cazul 20 și 8,0* ah (vezi cap. 14).

În angrenajele cu roți dințate evolventice cu dantură înclinată și cu

dantura zero sau diferită de zero (cu dantura dreaptă sau înclinată)

numărul de dinți ai celor mai mici roți dințate (pinionul) poate fi micșorat

esențial.

În cazul dinților cu profilul neevolventic se impune alegerea

condiției angrenării corecte în conformitate cu teoria angrenării ce se

aplică (v. cap. 14). La compunerea ecuațiilor (condițiilor) inițiale este

necesar ca pentru fiecare schemă concretă să fie luate în considerație tipul

roții dințate și valorile modulului.

Astfel problema determinării numărului de dinți se reduce, în primul

rând, la alcătuirea unor ecuații inițiale, care reflectă condițiile menționate

pentru fiecare schemă concretă, și la soluționarea lor concomitentă. Există

mai multe metode de rezolvare a acestor ecuații, deci de alegere a

numărului de dinți, care de altfel, satisfac pe deplin toate aceste condiții.

466

În cele ce urmează, pe baza unor scheme cunoscute se vor examina două

metode de calcul.

La început se va examina metoda de alegere a numărului de dinți pe

baza mecanismului într-o singură linie (fig.15.11), compus din roți dințate

evolventice cu dantura zero. Ecuațiile inițiale ce descriu condițiile

menționate anterior se scriu astfel: ecuația raportului de transmitere –

;/1 14

)4(

1 zzu H condiția de coaxialitate – ;2421 zzzz condiția de montaj –

;/ 0

)4(

11 Jkuz H condiția de vecinătate (pentru roțile dințate cu dantura zero) –

);/()2()/sin( 21

*

2 zzhzk a condiția angrenării corecte (pentru cazul

20 și )0,1* ah în formă de inegalități – ;171 z ;854 z ;8)( 24 zz

.202 z

Din prima condiție rezultă ),1( )4(

114 Huzz iar din a doua –

.2/)2(2/])1([2/)( )4(

111

)4(

11142 HH uzzuzzzz

Pentru determinarea numărului de dinți ai roților dințate se impune

compunerea următorului sistem de rapoarte:

,:)1(:2

)2(::::

)4(

11)4(

11

)4(

11

10421k

uzuz

uzzJzzz H

H

H

sau

,:)1(:2

2:1::: 1

)4(

1)4(

1

)4(

1

0421 zk

uu

uJzzz H

H

H

(15.17)

care reprezintă ecuația de bază necesară alegerii numărului de dinți, când

sunt satisfăcute primele trei condiții. Dacă se pleacă de la faptul că ,171 z

se obține ,202 z ,854 z 8)( 34 zz și J0 – un număr întreg (pentru

numărul dat de roți stelit). În cazul când J0 nu este număr întreg, din

condiția de asamblare corectă luăm relația ),1( kCJ și alegerea lui C

astfel încât, pentru valoarea stabilită a lui ,1z J să fie un număr întreg.

Dacă această tentativă conduce la soluționare, atunci pentru 1z se alege o

nouă valoare. Valorile obținute pentru 21, zz și 4z trebuie verificate la

condiția de vecinătate.

Pentru schema acceptată a mecanismului se consideră cunoscut

5/18)4(

1 Hu și .3k În urma înlocuirii acestor valori în ecuația de bază

(15.17), se obține

,)31(5

6:

5

13:

5

4:1::: 10421 zCJzzz

care are o infinitate de soluții. Dacă se acceptă ),17(201 z atunci

),20(165/4 12 zz .525/13 14 zz Întrucât valorile lui 2z și 4z sunt mai

467

mici decât valorile admisibile, reiese că această variantă este

inacceptabilă. Din aceste motive, pentru 1z se alege o nouă valoare și

anume .351 z În acest caz, se obține ,285/4352 z )85(9115/13354 z

și ).31(42)31(35)5/6(0 CCJ Se observă că pentru 0C partea dreaptă a

acestei relații reprezintă un număr întreg. De aceea unghiul de rotire a

port-satelitului necesar instalării roții satelit următoare constituie valoarea

.120H Valorile astfel obținute se verifică la condiția de vecinătate

),2835/()228()/sin( k condiție, care de altfel este satisfăcută. Astfel,

varianta a doua, în conformitate cu care ,351 z 282 z și ,914 z permite

obținerea unor gabarite minime și asigurarea condițiilor 202 z și .854 z

Cea mai răspândită metodă de alegere a numărului de dinți este

metoda factorilor, în conformitate cu care numărul de dinți se determină

numai din două condiții – condiția raportului de transmitere și condiția de

coaxialitate, în timp ce verificarea se face la condiția de asamblare și

condiția de vecinătate.

Esența acestei metode de determinarea a numărului de dinți se va

examina pe baza mecanismului reprezentat în fig.15.10, a alcătuit din roți

dințate cu dantura zero. Se pleacă de la raportul de transmitere

),/(1 3142

)4(

1 zzzzu H din care se află valoarea fracției

./1)/( )4(

13142 NMuzzzz H Cele două numere simple M și N se reprezintă

sub forma de factori )./()( 3142 CCCC Totodată fiecare factor iC trebuie să fie

proporțional lui .iz Considerând 12 /CC proporțional cu ,/ 12 zz se obține

)./( 1212 CCzz În mod analog se obține )./( 3434 CCzz Înlocuind acum aceste

valori în condiția de coaxialitate ,3421 zzzz rezultă (cazul modulelor

egale) 33431211 )/()/( zCCzCCzz sau ].)[(])[( 13433211 CCCzCCCz Pentru

ca această relație să reprezinte o identitate, este necesar să se accepte

pentru simplitate )( 3411 CCCz și ).( 2133 CCCz În mod similar reiese

)( 3422 CCCz și ).( 2144 CCCz Pentru respectarea condiției angrenării

corecte se introduce un factor (orice număr pozitiv). Rezultă astfel

pentru schema considerată:

.)(;)(

;)(;)(

21442133

34223411

CCCzCCCz

CCCzCCCz

(15.18)

Valorile obținute ale lui 321 ,, zzz și 4z se verifică la condiția de

asamblare și cea de vecinătate.

Alegerea numărului de dinți al angrenajelor planetare după raportul

de transmitere impus necesită efectuarea unui număr mare de operații

468

matematice. De aceea, astfel de probleme se rezolvă practic cu ajutorul

calculatoarelor electronice. În acest scop se recurge la descompunere în

factori a raportului de transmitere u impus, luându-se în considerare

restricțiile necesare cu calculul ulterior a lui z și realizarea gabaritelor

minime. Uneori se introduc valorile necesare ale lui ,/ NMu ,miniz maxiz și

k. Prin metoda selectării se determină combinațiile posibile ale numărului

de dinți, din care se alege combinația necesară 4321 ,,, zzzz care asigură

obținerea unor gabarite minime și a unui raport de transmitere impus pe

trepte.

Exemplu. Pentru mecanismul reprezentat în fig.15.10, a se cere să se

calculeze 321 ,, zzz și ,4z dacă 3,24/1)4(

1 ku Hși .1m

Se determină mai întâi ,24/25)24/1(1))(( 3142 zzzz care se

distribuie în factori

,83

55

64

55

38

55

46

55

31

42

CC

CCetc.

Întrucât astfel de combinații pot fi multe, rezultă că și numărul

soluțiilor posibile care satisfac condițiile prescrise este mare. Calculând

cu relațiile (15.18) numărul de dinți a patru variante de combinare a

factorilor, se obține

408545956513555)56(5

648854963913344)56(4

6513555115408545)45(5

3913344114648854)45(6

4321

4

3

2

1

z

z

z

z

Din condiția angrenării corecte rezultă că pentru toate cele patru

variante se poate alege .1 Cele mai mici gabarite sunt garantate în

variantele 1 și 3. Verificarea variantei 1 la condiția de asamblare dă

).31(4

3)31(

24

1

3

54)1(

)4(

11 CCkCk

uzJ H

Ca această condiție să fie respectată, este necesar ca valoarea lui

)31( C să fie multiplă lui 4, ceea ce are loc pentru .1C Rezultă că în

timpul asamblării port-satelitul trebuie rotit cu un unghi de

,23/2)131)(3/2( H adică cu un unghi de 120° plus o rotație

completă și atunci este asigurată asamblarea mecanismului cu trei roți

satelit distribuite uniform pe circumferință. Se verifică apoi condiția de

vecinătate ),4554/()245()/sin( k condiție care, de altfel, se respectă.

Pentru varianta a treia ,)31)(24/1)(3/44( JC adică termenul din partea

469

stângă nu constituie un număr întreg, din care motiv, varianta se

abandonează. Rezultă deci numărul de dinți ,541 z ,452 z 443 z și

.554 z

Pentru schema mecanismului cu două angrenări interioare (vezi

fig.15.11, b), când valorile lui mu H ,)4(

1și k sunt cunoscute, relațiile de calcul

ale lui iz se obțin în mod analog. Condiția de coaxialitate se exprimă

acum prin relația particulară .3421 zzzz În acest caz, expresiile de

calcul au forma:

.)(;)(

;)(;)(

21442133

34223411

CCCzCCCz

CCCzCCCz (15.19)

Relațiile de calcul ale numărului de dinți ale mecanismului cu

angrenări mixte (fig.15.7), cu luarea în considerație a condiției de

coaxialitate ,3421 zzzz au forma

.)(;)(

;)(;)(

21442133

34223411

CCCzCCCz

CCCzCCCz (15.20)

Factorul comun se alege în așa mod încât, toate numerele de dinți

prezintă numai valori întregi și să fie satisfăcută condiția angrenării

corecte. Valorile obținute ale lui iz se verifică în mod obligatoriu atât la

condiția de asamblare (15.14) și cea de vecinătate (15.13).

§ 15.5. Angrenaje armonice cu roți dințate

Angrenajul armonic cu roți dințate (fig.15.19) se deosebește de alte

mecanisme cu roți dințate prin faptul că unul din elementele sale – roata

elastică este supusă deformării ondulatorii, datorită cărora are loc

transformarea mișcării de rotație. Angrenajul armonic cu roți dințate este

constituit din trei elemente principale: dintr-o roată dințată rigidă 2 și

dintr-un generator de unde b. Roata dințată elastică reprezintă un înveliș

cu pereți subțiri. Un capăt al învelișului este unit la un arbore și are formă

cilindrică, pe partea frontală a celuilalt capăt este executată o dantură cu

numărul de dinți .1z Acest capăt al învelișului se deformează cu mărimea

02 sub acțiunea unui generator de unde introdus în interiorul învelișului.

În secțiune frontală roata dințată elastică sub acțiunea generatorului

de unde obține o formă curbiliniară, comparativ cu forma circulară

inițială (fig.15.19, b). În raport cu conturul nedeformat, conturul

deformat al roții dințate elastice formează două unde de deformație

(fig.15.19, d). Axa AA este axa mare, în timp ce axa BB – axa mică a

470

curbei de deformație. Pe axa AA sunt amplasate vârfurile undelor de

deformație, iar pe axa BB – adânciturile ei. Numărul undelor de

deformație poate fi egal cu 1, 2, 3 etc. Mai frecvent se utilizează

angrenajele armonice în două trepte, în care numărul de dinți ai roții

dințate elastice și celei rigide este legat prin relația .212 zz

În angrenajele armonice destinate transmiterii mișcării printr-un

perete ermetic roțile dințate reprezintă învelișuri cu un capăt închis.

G e n e r a t o r u l de u n d e servește la formarea și mișcarea undei

de deformare pe roata dințată elastică. Generatoarele de unde pot fi:

mecanice, electromagnetice, pneumatice și hidraulice. Actualmente se

Fig. 15.19

471

utilizează mai multe tipuri de generatoare mecanice: cu două și patru

role, cu disc, cu inele, cu came. Generatorul de unde poate fi amplasat atât

în interiorul roții dințate elastice, cât și în exteriorul ei.

Cinematica angrenajului armonic. Când generatorul se rotește,

fiecare undă de deformare se transmite conturului roții dințate elastice,

datorită cărui fapt fiecare dinte al roții dințate elastice vine, în timpul unei

rotații a generatorului de unde, de două ori în angrenare cu roata dințată

rigidă.

Dacă roata dințată rigidă este fixă, atunci după ce generatorul de

unde execută o rotație completă )2( b arborele roții dințate elastice se

va roti în sens contrar generatorului cu un unghi ,/)(2 1121 zzz unde

1/2 z este pasul unghiular al roții dințate elastice.

Trecând de la unghiurile de rotație la vitezele unghiulare, raportul de

transmitere de la generatorul de unde la roata dințată elastică, când roata

dințată rigidă este fixă, va fi

.

)(2

2

12

1

21

1

1

)2(

1zz

z

zzz

u b

b

(15.21)

Dacă se fixează roata dințată elastică, atunci, după ce generatorul de

unde se rotește cu unghiul ,2 b roata dințată rigidă se va roti în același

sens cu generatorul de unde, numai că unghiul ,/)(2 2122 zzz unde

2/2 z este pasul unghiular al roții dințate rigide.

În acest caz, raportul de transmitere de la generatorul de unde la roata

dințată rigidă este

.

)(2

2

12

2

12

2

2

)1(

2zz

z

zzz

u b

b

(15.22)

Expresiile (15.21) și (15.22) arată că raportul de transmitere al

angrenajului armonic cu roți dințate este funcție numai de numărul de

dinți ai roților dințate.

Angrenajul armonic poate fi construit în două trepte (fig.15.20). În

acest caz, roata dințată elastică 1 se execută în formă de inel cu două

coroane dințate 1z și ,3z care vin în angrenare cu roțile dințate 2 și 4 (cu

numărul de dinți 2z și respectiv ).4z Roata dințată rigidă 2 este fixă,

mișcarea se transmite prin două angrenări armonice de la arborele

generatorului de unde 3 la roata dințată rigidă 4. Raportul de transmitere

al angrenajului armonic cu mai multe trepte (fig.15.20) se determină ca și

în cazul mecanismului planetar analog, cu relația

472

.3241

41

4zzzz

zzub

(15.23)

Dacă într-un angrenaj cu cuplaj armonic cu dinți 13 zz și ,14 zz

atunci arborele de ieșire este unit cu roata dințată 4 a cuplajului, iar

raportul de transmitere este

.12

1

4zz

zub

(15.24)

Când 13 zz și ,12 zz arborele de ieșire este unit cu roata dințată 4 a

angrenajului, iar raportul de transmitere este

.14

4

4zz

zub

(15.25)

Particularitățile angrenării armonice. Când generatorul de unde

execută o rotație completă, prin fiecare punct considerat pe obada roții

dințate elastice trec două unde de deformare. În cazul sarcinii alternative

eforturile unitare care iau naștere în materialul roții dințate elastice nu

trebuie să depășească valorile rezistenței admisibile, să nu depășească

porțiunea de linie dreaptă reprezentată de legea lui Hooke. Din această

cauză valoarea deformației 0 și grosimea obezii roții dințate elastice sub

dinte ch sunt relativ mici: 10 )015,0...003,0( d și .)03,0...005,0( 1dhc

Valoarea mică a deformației 0 arată că există o diferență

neînsemnată dintre razele cercurilor de divizare ale roților dințate, în timp

ce raportul dintre mărimile 0 și 1d corespunde unui număr mare de dinți.

Pentru astfel de relații între mărimile 10 , z și ,2z jocurile existente între

dinți în zona vârfului undei de deformare sunt mici și în mare măsură pot

să dispară cu totul în timpul

solicitării sau al asamblării

angrenajului. Datorită acestui

fapt, un număr foarte mare de

perechi de dinți conjugați (până la

40%) ai angrenajului armonic se

află simultan în angrenare.

Din cele relatate anterior se

pot menționa următoarele

particularități ale angrenajului

armonic cu roți dințate:

- realizarea unui raport mare

de transmitere u pe o singură

treaptă. În cazul angrenajelor cu

Fig. 15.20

473

roți dințate elastice din oțel (fig.15.19), ,300...50u pe când în cazul

angrenajelor cu două trepte (fig.15.20), 410...2000u și chiar mai mari,

când în angrenare în același timp se află un număr mare de dinți conjugați

ai roților dințate, angrenajul suportă sarcini considerabile, chiar în cazul

unor gabarite relativ mici;

- prin angrenarea multiplă se asigură existența unor zone identice de

angrenare, ceea ce duce la micșorarea considerabilă a erorilor de execuție

și asamblare a roților dințate, astfel asigurându-se pentru angrenajele

armonice o precizie înaltă din punct de vedere cinematic;

- din același motiv menționat anterior, nivelul de zgomot în

angrenajul armonic este mai mic decât în angrenajele multiple obișnuite

sau planetare;

- valoarea relativ mică a deformației roții dințate elastice permite

executarea ei în formă de înveliș înfundat și deci construirea unor

angrenaje armonice ermetice capabile să transmită mișcarea de rotație

dintr-un mediu în altul, fără etanșare mobilă (vezi fig.2.8);

- pentru rapoarte de transmitere ,200...50u randamentul

angrenajului armonic cu roți dințate este destul de înalt, .85,0...70,0

Calculul parametrilor geometrici. Calculul dat se efectuează pe

baza următoarelor ipoteze:

1) se consideră că la deformare dintele roții dințate elastice nu-și

schimbă forma profilului;

2) angrenarea dinților roții dințate elastice cu cei ai roții dințate

rigide se poate examina în același plan frontal, normal pe axele roților

dințate, și care trece aproximativ prin mijlocul coroanei dințate a roții

elastice;

3) se consideră că linia mediană a corpului roții elastice sub coroana

dințată (fig.15.21) nu-și modifică lungimea sa și că posedă aceleași

proprietăți ale liniei neutre; se acceptă ca raza liniei mediane a cercului

pentru roata dințată elastică nedeformată să se noteze cu ,mr iar raza de

curbură variabilă a liniei mediane a roții dințate elastice deformate cu ;mcr

4) după deformare axa de simetrie a dintelui roții dințate elastice

rămâne normală la linia mediană a roții elastice.

Există mai multe metode de calcul geometric al angrenajelor

armonice cu roți dințate. Aici se va examina calculul geometric al

angrenajelor armonice cu roți dințate și cu generatoare de unde cu

deformare interioară și exterioară capabile să asigure o curbură constantă

a liniei mediane a roții dințate elastice deformate în limitele zonelor de

474

angrenare, mărginite prin unghiurile la centru 2 (fig.15.21, a,b). Pe

sectoarele de curbură constantă angrenarea din angrenajul armonic se

examinează ca o angrenare interioară în evolventă a unei roți dințate

rigide cu numărul de dinți rz cu o roată dințată convențională ce are

parametrii identici cu cei ai roții dințate elastice (în limitele unui sector cu

unghiul );2 numărul teoretic de dinți ai roții dințate convenționale este

.cz

În calculul geometric al angrenajelor cu deformare interioară și

exterioară se admite ca parametru inițial mărimea deformației relative

maxime a roții dințate elastice ./0 mr Ecuația de calcul al numărului

teoretic de dinți ai roții dințate convenționale se deduce pe baza ecuației

liniei mediane a roții elastice deformate (vezi Shuvalov S.A., Volkov

A.P., Deformathia ghibcogo zubciatogo colesa volnovoy peredacy

dvumea discami, Izvestia vuzov, Nr. 10, 1974):

.10

mc

m

m r

rk

r

(15.26)

Aici semnul plus corespunde deformării interioare a roții dințate

elastice cu ajutorul discurilor, semnul minus – deformării exterioare prin

inele, iar

.

sin2cos4

sin4

cossin2);1/(1

kkk (15.27)

În calculul geometric, pe baza ipotezei (3), se poate scrie pasul

măsurat pe linia mediană a roții dințate elastice până și după deformarea

roții elastice

,// ecmmc zzrr (15.28)

unde ez este numărul de dinți ai roții elastice, iar cz – numărul teoretic de

dinți ai roții convenționale.

Înlocuind relația (15.28) și efectuând transformările necesare în

relația (15.26), se obține

.1/ 0

c

ecr

kzz

(15.29)

În continuare, se determină raza cercului median al roții elastice

deformate (fig.15.21, a,b):

,22

**

m

hchx

zmr c

ae

e

mc (15.30)

475

unde ex este coeficientul deplasării de profil al roții dințate elastice; *

ah –

coeficientul de înălțime a dintelui și *c – coeficientul jocului radial –

parametri ai conturului de referință; m – modulul dinților roții dințate.

Parametrii incluși în relația (15.30) se determină cu relațiile:

Fig. 15.21

476

;105

60 4

e

e

c mzz

h (15.31)

;2

**

m

hchx c

ae (15.32)

,0

e

er

m z

zz

r (15.33)

unde 1 și 1,1...95,0 (mai frecvent ),1 în cazul deformării

interioare, iar 9,0...8,0 și ,1,1...85,0 în cazul deformării exterioare.

În continuare, din relația (15.28) se determină raza cercului median

al roții dințate elastice nedeformate:

.mc

c

e

m rz

zr (15.34)

Într-un angrenaj armonic distanța dintre axe, fiind egală cu

excentricitatea instalării discurilor sau inelelor deformabile (vezi

fig.15.21, a,b), se calculează cu relația ,0 mcm rra

sau

.1 0

mc

m

m rr

ra

(15.35)

Considerându-se distanța dintre axe, se poate determina unghiul de

angrenare din angrenajul armonic:

.2

cos)(arccos

a

mzz cr (15.36)

Angrenajul cu deformare interioară se poate proiecta cu un unghi de

angrenare ; în același timp, în relația (15.32) ,1 iar în relația

(15.33) ,1 m0 și ;212 zz ;1zze .2zzr Rezultă deci

;222

1 **

1

m

hchxx c

ae (15.37)

.21

2

1

kz

zzc

(15.38)

Coeficientul k2 poate fi calculat cu relația (15.27) sau determinat în

funcție de unghiul :

. . . . 40° 50° 60° 70°

k2 . . . . 4,38485 4,02916 3,78522 3,62553

Restul parametrilor și dimensiunilor angrenajului armonic se

calculează la fel ca în cazul angrenajului cu angrenare interioară.

477

Domeniile de utilizare a angrenajelor armonice. Proprietățile

menționate ale angrenajului armonic determină cele mai raționale

domenii de utilizare a angrenajelor armonice: de la transmisiile de forță și

cele cinematice de destinație generală, cu raport de transmitere mare,

până la mecanismele cinematice de precizie ridicată și mecanismele de

execuție rapide neinerțiale din sistemele de reglare automată și comandă,

până la transmisiile destinate transmiterii mișcării în spațiul etanșat în

special destinate industriilor chimice, atomice și cosmice.

478

C a p i t o l u l 16

MECANISME CU MIȘCARE INTERMITENTĂ

A ELEMETULUI DE IEȘIRE

În construcția de mașini cu acțiune automată și semiautomată se recurge la

utilizarea largă a unor mecanisme, care în limitele unui ciclu real de funcționare admit

staționarea impusă elementului de ieșire, în timp ce elementul de intrare execută o mișcare continuă. Astfel de mecanisme se numesc mecanisme cu staționări sau

mecanisme cu mișcare intermitentă a elementului de ieșire. Staționarea poate fi

completă sau parțială (cvasistaționară), pe când durata staționării – impusă sau

nedeterminată. Aprecierea cantitativă a fracțiunilor de mișcare și de staționare dintr-un ciclu de funcționare a unui mecanism se realizează cu ajutorul unor coeficienți relativi,

respectiv al timpului în mișcare și al timpului de staționare a elementului de ieșire.

Pentru comunicarea unei mișcări intermitente elementului de ieșire se folosesc diverse

mecanisme: cu clichet, cu cruce de Malta, cu roți dințate incomplete etc.

§ 16.1 Mecanismele cu roți dințate și cu clichet

În fig.16.1, a este arătată schema unui m e c a n i s m cu r o ț i

d i n ț a t e cu m i ș c a r e i n t e r m i t e n t ă, în care elementul

conducător 1 reprezintă un sector dințat cu numărul de dinți 1z ce poate

intra în angrenare cu o roată dințată 2 cu numărul de dinți .12 zz După

ce sectorul dințat 1 se rotește cu unghiul ,1m elementul 2 se oprește

într-o poziție fixă prin intermediul arcurilor de blocare, corespunzătoare

proeminenței 4 de pe elementul conducător 1 și scobiturii 3 de pe

elementul condus 2. Starea de staționare corespunde rotirii roții dințate

conducătoare cu unghiul .1r

Fig. 16.1

479

Coeficientul rk al timpului de staționare (fig.16.1, b) se definește cu

relația: ).2/(/ 1 rcrr TTk

Unghiul m1 este constituit dintr-un număr întreg de pași unghiulari

,/2 1z care corespunde unui număr întreg de pași unghiulari 2/2 z luați

pe roata dințată 2. Însă, gradul de acoperire al angrenajului construit din

roata dințată 1 și sectorul 2 este, de obicei supraunitar, ceea ce poate

conduce la rotirea suplimentară a roții dințate 2, cu unghiul ,2 și deci la

nerespectarea condiției de asamblare a dinților la începutul următoarei

faze de mișcare. Pentru înlăturarea acestui fenomen, în etapa de

proiectare a mecanismului se prevede asigurarea unui grad de acoperire

a ultimei perechi de dinți egală cu 1. În acest scop, înălțimea ultimului

dinte de pe segmentul 1 se micșorează cu valoarea teoretică calculată.

În a m b r e i a j u l de c u r s ă l i b e r ă (fig.16.2, a) rolele sau

bilele 4 sunt amplasate între suprafețele elementelor 3 și 5. Griparea

rolelor sau bilelor 4 sau alunecarea lor poate avea loc în funcție de sensul

mișcării de rotație relative a elementelor 3 și 5. Pentru realizarea unui

contact permanent între rolele sau bilele 4 și suprafața elementului 3, se

recurge la utilizarea unor arcuri, ale căror tensiuni se pot regla cu

ajutorul unor șuruburi reprezentate pe schemă. Acest ambreiaj transmite

mișcarea de rotație de la manivela 1 la elementul 5 în mod indirect,

folosind în acest scop biela 2, balansierul 3 și rolele sau bilele 4. Datorită

Fig. 16.2

480

acestui fapt, mișcarea de rotație a manivelei 1 este transformată

unilateral în mișcare intermitentă a elementului 5, iar viteza unghiulară

5 a elementului 5 este variabilă.

M e c a n i s m u l cu c l i c h e t (fig.16.2, b,c) permite elementului

de ieșire să se miște cu staționări numai într-un singur sens. Ele sunt

construite dintr-o roată de clichet 4 (de regulă, condusă), prevăzută cu o

dantură în care se sprijină suprafețele clichetului activ 5 și celui de

blocare 6 (fig.16.2, b). Clichetul activ 5 se fixează printr-o articulație pe

balansierul 3 al mecanismului articulat patrulater ABCD compus

totodată din biela 2. Când unghiul de oscilare a balansierului 3 este

constant, numărul de dinți antrenați în mișcare de clichet se poate regla

cu ajutorul plăcii 7. În acest scop este necesar ca placa să fie deplasată pe

arcul exterior. Clichetul de blocare 6 interzice rotirea roții de clichet 4

sub acțiunea forțelor utile de rezistență.

În unele mecanisme elementul de intrare 2 poate efectua o mișcare

de translație (fig.16.2, c), în timp ce roata de clichet 1 – o mișcare de

rotație cu staționări. Pentru realizarea unui contact sigur între clichet și

dinții roții de clichet, se utilizează închiderea forțată, bazată pe forța de

elasticitate a arcului (fig.16.2, b).

Profilul dinților roților clichet poate avea diverse forme

constructive: normală cu ascuțire (fig.16.2, b) și rigidizată cu teșitură

(fig.16.2, d); fără degajare interioară )0( și cu degajare interioară

),0( unde este unghiul de degajare interioară a profilului.

Parametrul dimensional al roților de clichet este modulul standard

m (GOST 95630-60) pe cercul exterior de rază .mzra Înălțimea dintelui

fa rrh este funcție de forma dintelui. În cazul profilului normal fără

degajare interioară, înălțimea dintelui se calculează cu relația:

)./cos(sin

)/sin(z

zmzh

Pentru profilul normal cu degajare interioară, înălțimea dintelui se

determină cu relația:

.cos)2/cos(sin

)/sin(

zmzh

În conformitate cu normele construcției de mașini-unelte, unghiul

de profil al golului este egal cu 55 sau ,60 în funcție de modul. Unghiul

capului dintelui clichetului se execută cu 5 mai mic decât unghiul .

Celelalte dimensiuni l, ,Ey Ex și Px se stabilesc în funcție de valorile

alese ale lui m și .z

481

Datorită zgomotului de intensitate mare produs în timpul

funcționării și a fiabilității joase în mișcarea de rotație la ieșire, explicată

prin lipsa sistemului de frânare, utilizarea mecanismului cu clichet în

mecanismele rapide este practic abandonată.

În comparație cu mecanismul cu clichet, mecanismul cu cruce de

Malta este mai răspândit, datorită unor caracteristici cinematice mai

favorabile și asigurării timpului de repaus necesar efectuării unor

operații ce se repetă cu o anumită periodicitate.

§ 16.2 Mecanismele cu cruce de Malta

În mașini-unelte automate, mașini complexe de prelucrat și linii

automate se utilizează mecanisme care sunt destinate atât pentru

transmiterea, cât și pentru transformarea mișcării de rotație continuă a

elementului de intrare în mișcare intermitentă a elementului de ieșire,

numite și m e c a n i s m e p a s cu p a s. Aceste mecanisme se folosesc

la transportarea semifabricatelor și la schimbarea sculelor și a

dispozitivelor în limitele unui pas liniar sau unghiular, adică dintr-o

poziție fixă în alta. Cele mai simple mecanisme pas cu pas sunt cele cu

cruce de Malta, care ai primit această denumire din cauza asemănării lor

cu emblema ordinului bisericesc al cavalerilor de Malta. În fig.16.3 sunt

reprezentate unele varietăți ale mecanismelor cu cruce de Malta: a – cu

mișcare de translație a elementului de ieșire; b,c și d – cu mișcare de

rotație a elementului de ieșire; b – cu angrenare exterioară; c – cu

angrenare interioară; b și c – cu arbori paraleli și d – cu arbori

concurenți. În mecanismul cu cruce de Malta, elementul de ieșire este

executat în formă de disc sau de masă cu caneluri. De cele mai multe ori

numărul de caneluri z este egal cu patru (fig.16.3, c și 16.4, a) sau șase

(fig.16.3, b). În canelură poate să intre bolțul B al manivelei

conducătoare 1, ce se rotește în jurul axei .1O Bolțul B intră în canelură pe

o tangentă la circumferința de rază ,1BO care coincide cu axa canelurii,

ceea ce este necesar pentru prevenirea fenomenului apariției loviturilor

dure.

482

De aceea, poziția discului cu caneluri se fixează bine. În acest scop,

se utilizează diverse dispozitive de blocare. De exemplu, în fig.16.4, a

masa 2 se fixează într-o poziție anumită cu ajutorul fixatorului 3.

Fig. 16.3

Fig. 16.4

483

Datorită camei cilindrice 5 și pârghiei 4, mișcarea fixatorului se află în

concordanță cu mișcarea elementului 1. Când discul 2 se rotește cu

unghiul ,2 între fixatorul 3 și discul 2 nu există nici un fel de legătură.

După ieșirea bolțului B din canelură, discul nu se mai rotește, ci se

fixează sigur în poziția dată cu ajutorul fixatorului 3. Tot în același scop

se pot utiliza și dispozitivele de blocare de tipul arcelor de blocare C și D

de raze egale (fig.16.3, b,c). În momentul când centrele de curbură ale

suprafețelor C și D coincid și se află pe axa 1O arcele de blocare asigură

fixarea sigură a elementului de ieșire 2 în poziția fixă. Această stare se

menține în toată perioada de rotire a elementului de intrare cu unghiul

r1 (fig.16.4, b).

Mecanismele la care canelurile radiale sunt amplasate uniform pe

disc se numesc mecanisme cu cruce de Malta corecte (sau omogene).

Coeficientul timpului de mișcare al mecanismului cu cruce de

Malta se determină cu relația

,2

2

2

/2

22

21

z

zz

T

Tk m

c

mm

iar coeficientul timpului de staționare cu expresia:

.2

2

2

/2

22

221

z

zz

T

Tk m

c

r

r

În cazul discului cu două caneluri ),2( z se obține 0mk și ,1rk

adică un astfel de mecanism nu poate funcționa. De aceea, numărul

minim de caneluri care pot fi executate în discul mecanismului cu cruce

de Malta este egal cu trei.

Dacă numărul de caneluri crește, coeficienții mk și

rk variază între

limitele următoare:

....z 2 3 4 5 6 8 10

...mk 0 0,167 0,25 0,30 0,33 0,375 0,40

...rk 1 0,833 0,75 0,70 0,67 0,625 0,60

Rezultă deci că mașinile tehnologice în care procesele de lucru sau

operațiile se realizează în timpul staționării discului, se construiesc din

discuri cu un număr mic de caneluri. Această modalitate contribuie la

reducerea timpului necesar pentru realizarea cursei auxiliare ce

corespunde, de altfel, rotirii elementului de ieșire. Acest criteriu, însă nu

este unicul, căci, în alte cazuri, el poate fi nedeterminant în alegerea

484

finală a numărului de caneluri. Se explică acest lucru prin comportarea

dinamică a transmisiei, deoarece rotirea elementelor conduse are loc

neuniform. Pentru stabilirea funcțiilor cinematice de transfer ale

mecanismului cu cruce de Malta, se recurge la examinarea schemei de

calcul al acestui mecanism ce este reprezentată în fig.16.4, c în forma

unui mecanism cu culisă echivalent (vezi cap. 3), în care culisa 2

coincide cu axa canelurii discului 2, iar culisa 6 înlocuiește bolțul care

alunecă în lungul canelurii în timpul mișcării de rotație a elementului de

intrare 1 de lungime .1l Distanța dintre axe 21OO se notează cu litera a.

Unghiul de rotație 2 a culisei se determină cu relația

,cos

sin

cos1

sin

cos

sin

1

1

11

11

11

11

2

ala

ltg

(16.1)

în care 1/ laa este distanța relativă dintre axe; al /11 – lungimea

relativă a razei elementului de intrare ,1l de unde rezultă

)],cos/([sin 112 aarctg

(16.2)

sau

,2

unde

.cos21

sinarcsin

2

111

11

Viteza unghiulară 2 a elementului de ieșire al mecanismului cu

cruce de Malta se obține prin derivarea expresiei (16.2) în funcție de

coordonata generalizată ,1 deci

.cos21

)(cos2

111

111

1

1

2

1

2

2

d

d

dt

d

(16.3)

Pentru unghiul ,01 rezultă valoarea maximă a vitezei unghiulare

:2

.)/sin(1

)/sin(

11

1

1

1max2z

z

485

Valorile maxime ale raportului de transmitere ,/ 1max2max21 u în

funcție de numărul de caneluri ,z vor fi:

.....z 3 4 5 6 8 10 12

..max21u – 6,46 –2,41 – 1,43 – 1,0 – 0,62 – 0,45 – 0,35

Accelerația unghiulară 2 a elementului de ieșire al mecanismului

cu cruce de Malta se obține prin derivarea expresiei (16.3):

.)cos21(

sin)1(22

111

1

2

112

12

Funcția cinematică de transfer )/( 2

12 a accelerației unghiulare a

elementului de ieșire atinge valoarea maximă pentru mărimile unghiului

1 obținute cu relația

.24

1

4

1arccos)(

2

1

2

1

1

2

1

max1

Valorile maxime ale funcției cinematice de transfer în ,)/( max212

în funcție de numărul de caneluri, sunt următoarele:

.......z 3 4 5 6 8 10 12

.)/( max

2

12 31,44 5,41 2,30 1,35 0,70 0,46 0,35

...)( max1 4,71 11,46 17,58 22,92 31,65 38,49 44,00

Din rezultatele expuse rezultă că, elementul de ieșire al

mecanismului cu cruce de Malta are caracteristici dinamice inferioare,

pentru un număr mic de caneluri. De exemplu, dacă s-ar compara două

mecanisme cu discuri, în care sunt executate trei și opt caneluri, atunci

pentru aceeași viteză unghiulară a manivelei, valoarea maximă a

accelerației unghiulare a discului cu trei caneluri ar fi de 45 ori mai mare

decât în cazul discului cu opt caneluri. Totodată s-ar produce o creștere a

sarcinilor dinamice în cuplele cinematice.

486

Dacă compararea s-ar

efectua pentru cazul când

durata perioadelor de

staționare sunt egale, în baza

variației vitezei unghiulare a

elementului de intrare,

atunci, pentru același număr

de caneluri, raportul

accelerațiilor unghiulare ale

elementelor de ieșire ar fi

egal cu 80.

Alegerea combinației

optime dintre coeficientul

necesar al timpului de

staționare, coeficientul

timpului de mișcare și

valorile admisibile ale

sarcinilor dinamice din

cuplele cinematice se face pe

baza analizei unor condiții concrete de funcționare a mecanismului. În

practică sunt mai frecvent utilizate discurile cu patru, șase și opt

caneluri. Este important de reținut faptul că la începutul perioadei de

mișcare și în timpul staționării accelerația unghiulară a discului variază

prin salturi, de la zero până la o valoare finală oarecare. Mărimea acestui

salt determină intensitatea fenomenului de lovitură „moale”.

Dacă asupra coeficientului timpului de mișcare nu se aplică nici o

restricție riguroasă, atunci se pot utiliza mecanisme cu cruce de Malta cu

angrenare interioară (fig.16.3, c), care se caracterizează prin

caracteristici dinamice mai favorabile. În cazul angrenării interioare,

accelerația maximă a elementului de ieșire este cu mult mai mică decât

în cazul angrenării exterioare, dar timpul necesar rotirii elementului de

ieșire este mai mare decât timpul necesar staționării, deoarece .5,0mk

Un concept despre particularitățile mecanismului cu cruce de Malta

cu angrenare exterioară și interioară se poate forma în rezultatul analizei

celor trei funcții din fig.16.5: a – funcția de poziție )( 12 ; b și c –

corespunzător funcției cinematice de transfer a vitezei elementului de

ieșire 21u și a accelerației lui ./ 2

12 Liniile negre corespund angrenării

exterioare, iar cele roșii angrenării interioare.

Fig. 16.5

487

§ 16.3 Mecanisme cu pârghii și cvasistaționare

În acele cazuri când se

impune transmiterea unor

sarcini cu fiabilitate înaltă și cu

lege de variație lină a

accelerației elementului

condus, ca mecanisme cu

mișcare intermitentă se

utilizează mecanismele cu

pârghii alcătuite din cuple

cinematice inferioare sau cele

mixte (atât cu cuple inferioare,

cât și cu cuple superioare),

folosind unele particularități

ale curbelor descrise de punctele elementelor ce execută o mișcare plană.

În fig.16.6, a este reprezentată schema unui mecanism planetar cu

pârghii și cu c v a s i s t a ț i o n a r e de lungă durată (staționare

aparentă) a elementului de ieșire – pistonul 5, în poziția extremă din

dreapta. Se explică acest fapt prin montarea bolțului C al bielei 4 nu pe

axa B a manivelei 1, cum are loc în mecanismul manivelă-piston

obișnuit, ci pe roata planetară 2, la o anumită distanță BC în lungul razei.

Roata planetară rulează pe roata dințată 3 cu dantură interioară. Numărul

de dinți 2z și

3z ai roților dințate ale mecanismului planetar se aleg astfel

încât punctul C să poată descrie traiectoria dorită. În mecanismul ce se

examinează (fig.16.6, a) raportul numărului de dinți ai roților dințate 3 și

2 constituie cifra trei. În acest caz, punctul C descrie o hipocicloidă

închisă. Fiecare ramură a acestei hipocicloide (de exemplu, ramura

,CC reprezentată în fig.16.6, a printr-o linie roșie) are pe un anumit

sector o curbură aproape constantă. Dacă lungimea CD a bielei s-ar

alege egală cu raza de curbură a acestui sector al traiectoriei punctului C,

atunci punctul D ar fi aproape fix, adică pistonul 5 s-ar afla într-o

cvasistaționare de lungă durată.

O proprietate similară a curbei de bielă se utilizează și în cazul

mecanismului cu mișcare intermitentă, a cărui schemă este reprezentată

în fig.16.6, b. Cele două mecanisme manivelă-piston cuplate și alcătuite

din elementele 1,2,3,4 și 5 prezintă particularitatea conform căreia unul

din pistoane și anume pistonul 5 are o cvasistaționare de lungă durată în

poziția extremă din dreapta. Se realizează acest lucru prin unirea bolțului

Fig. 16.6

488

D al bielei 4 nu la manivela 1, ci la biela 2. În timpul mișcării punctul D

descrie o curbă de bielă complicată, care de exemplu pe un anumit sector

DD (fig.16.6, b) poate fi aproximată printr-un arc de curbură constantă.

Prin stabilirea lungimii bielei DE, egală cu raza de curbură a acestui arc

în limitele unghiului ,2 4 se obține un mecanism cu mișcare

cvasi-intermitentă a pistonului 5.

Uneori se recurge la aplicarea unor sectoare rectilinii curbelor.

Dacă s-ar deplasa pe o astfel de cvasi-dreaptă culisa mecanismului cu

culisă oscilantă, atunci în timpul mișcării culisei în canelură pe acest

sector al traiectoriei s-ar afla în cvasistaționare. Deseori ca dezavantaj

constructiv al acestor mecanisme cu cvasistaționari se poate menționa

lungimea impunătoare a elementelor și deci existența unor gabarite

destul de mari.

489

C a p i t o l u l 17

MECANISME CU CAME

Procesul de funcționare al multor mașini impune necesitatea amplasării în

construcția lor a unor mecanisme, ale căror elemente de ieșire trebuie să execute mișcări

în strictă corespundere cu legea impusă și în concordanță cu mișcările altor

mecanisme.Cele mai simple, fiabile și compacte mecanisme, destinate pentru realizarea

unei astfel de probleme, sunt mecanismele cu camă. Ele reproduc teoretic mișcarea

elementului de ieșire, numit tachet. Elementul de intrare la aceste mecanisme poartă denumirea de camă. Legea de mișcare a tachetului, impusă prin funcția de transfer, este

determinată de profilul camei. Ea este principala caracteristică a mecanismului cu camă,

de care depind proprietățile sale funcționale, precum și calitățile dinamice și de vibrație.

În proiectarea mecanismului cu camă se disting mai multe etape: stabilirea legii de mișcare a tachetului, alegerea schemei tachetului, determinarea dimensiunilor principale

și de gabarit, calculul coordonatelor profilului camei. Din acest motiv, în prezentul

compartiment sunt prezentate metodele de soluționare a acestor etape.

Fig. 17.1

490

§ 17.1 Tipuri de mecanisme cu came și

particularitățile lor

O imagine generală despre schemele cinematice ale mecanismelor

cu came se poate crea în rezultatul examinării mecanismelor de

distribuție ale motoarelor cu ardere internă reprezentate în fig.17.1.

Aceste mecanisme asigură deschiderea și închiderea supapelor,

alimentarea cu amestec combustibil (sau cu aer), evacuarea din cilindri a

gazelor rezultate din ardere și izolarea sigură a camerei de ardere de

mediul exterior în decursul timpilor de compresie și de destindere.

În fig.17.1, a,b,c sunt arătate schemele cinematice ale

mecanismelor de distribuție, în timp ce în fig.17.1, d,e,f,g,h,i – formele

constructive ale elementelor.

În funcție de particularitățile constructive, de rolul funcțional al

mașinii și de mulți alți factori, în practică se utilizează diverse tipuri de

came (fig.17.2). Cele mai reprezentative tipuri constructive de came

sunt: a,b – camele plane de translație; c,d – camele cilindrice; e,f,g –

came disc; h – came conice; i – came hiperboloidale; j – came conoidale.

Fig. 17.1 continuare

491

Tachetul mecanismului cu camă (fig.17.2) poate executa mișcare:

a,c,d,e,g,h – de translație; b,f,i – oscilante; j – de translație dublă.

În cupla cinematică superioară contactul dintre cele două suprafețe

poate fi asigurat prin închidere geometrică, prin caneluri (fig.17.2, b,g,i),

role cuprinzătoare (fig.17.2, d) etc., sau închiderea prin forță, care poate

fi forță de greutate, forță de elasticitate a arcului (vezi fig.17.1, b,c,f,g,h),

forță de presiune a lichidului sau a aerului etc.

Suprafața activă a tacheților, fiind supusă unor solicitări din partea

camei, se uzează cu timpul. Pentru reducerea uzurii și repartiția

uniformă a acesteia pe suprafața de contact a tachetului, majorarea

siguranței în funcționare și a durabilității mecanismului, în practică se

utilizează patine de construcții diverse. Cele mai uzuale sunt patinele

(vezi fig.17.1): a,d – în formă de role; c,g – cu suprafețele de ghidare

plane; b,f – cu suprafețe de ghidare cilindrice; h,i – cu suprafețe de

ghidare sferice, precum și cele cu vârful ascuțit, prevăzută cu o sferă de

rază mică (deoarece vârful tachetului nu poate fi executat absolut ascuțit,

adică punctiform). Executarea patinei în formă de rolă permite de a

exclude parțial frecarea, prin înlocuirea frecării cu alunecare cu frecarea

prin rostogolire, de a micșora uzarea suprafețelor de contact din cupla

cinematică și de a majora siguranța de funcționare a mecanismului.

Fig. 17.2

492

Varianta cea mai rațională se alege prin considerarea unui număr

mare de factori. Soluții reușite se obțin pe baza experienței de exploatare

și a datelor disponibile despre fiabilitatea și durabilitatea mecanismelor

cu came utilizate în diverse mașini. Există însă factori și caracteristici de

bază, de care trebuie să se țină cont la proiectarea mecanismelor cu

camă.

Deocamdată nu există un criteriu universal unic, care ar putea lua în

considerare tot ansamblul complex de probleme ce ține de alegerea legii

de mișcare a tachetului. De aceea, pentru a aprecia eficiența profilului

camei se stabilește un ansamblu de condiții și de restricții date, ce sunt

aranjate în ordinea descreșterii importanței lor. În primele etape ale

proiectării se determină soluțiile condițiilor obligatorii, apoi din

considerente economice, tehnologice, de exploatare și alte considerente

se fac verificările necesare.

Din punct de vedere al formei constructive a camei, tachetului și

patinei, modului de închidere a cuplei cinematice și realizării

constructive a închiderii cuplei cinematice, mecanismele cu came sunt

extrem de variate în construcție.

§ 17.2 Legea deplasării tachetului și alegerea ei

Pentru mecanismul cu camă și tachet de translație mai caracteristică

este dependența funcțională dintre deplasarea tachetului și unghiul de

rotire al camei, reprezentată prin curba din fig.17.3, b. Pe acest grafic, în

limitele unui ciclu (unghiul ),1c se pot distinge patru faze și tot atâtea

Fig. 17.3

493

unghiuri de rotire ale camei; unghiul de îndepărtare ),( î unghiul de

staționare îndepărtată ),( sî unghiul de apropiere )( a și unghiul de

staționare apropiată ).( sa În cazul închiderii geometrice a contactului

din cupla cinematică superioară, cama este elementul conducător în

ambele faze de mișcare ale tachetului: atât în timpul îndepărtării, cât și în

timpul apropierii. În cazul menținerii contactului prin forță (fig.17.1,b),

mișcarea tachetului în faza de apropiere are loc sub acțiunea forței

dezvoltate de un arc (sau a forței de greutate, a forței de presiune a

aerului etc.), în timp ce în faza de îndepărtare mișcarea se produce sub

acțiunea profilului camei, care dezvoltă în contact o forță orientată în

lungul normalei comune n – n (fig.17.3, a). Unghiul cuprins între

normala n – n și sensul de mișcare a elementului ce intrare 2 se numește

u n g h i de p r e s i u n e . Unghiul de presiune curent i este o mărime

variabilă. În funcție de amplasarea normalei în raport cu vectorul vitezei

tachetului, unghiul de presiune poate avea semnul plus sau minus.

Suma unghiurilor de fază aasîî 1 constituie unghiul de

profil activ al camei ,1aa care este egal cu unghiul de la centru în

interiorul căruia este amplasat profilul util al camei (fig.17.3, b).

În sistemul de coordonate fix )0()0( yAx poziția tachetului este

determinată de coordonatele )0(

Bx și )0(

By ale punctului B de pe profilul

camei. Devierea axei tachetului 2 de la axa de rotație A al camei 1 este

determinată de coordonata .)0( ex B Coordonata )0(

By poate fi prezentată în

forma unei sume ),( BiH SS în care 22

0 erSH reprezintă o mărime

constantă, iar BiS – o funcție de unghiul de rotire al camei .1 Raza

0r este

denumită rază de bază a profilului central. Profilul central al camei

reprezintă o traiectorie ce este descrisă de axa rolei în timpul mișcării

sale de rostogolire pe profilul constructiv de rază .0R Trebuie de

menționat faptul că, în general unghiul polar i al punctului

iB de pe

profilul camei nu este egal cu unghiul de rotire al camei :1i

,1 iii

unde )./(]/)[( eSarctgeSSarctg HBiHi În cazul particular când ,0e se

obține 0i și .1 ii

Raza vectoare AB al punctului irB, și valoarea ei maximă

maxr se

determină cu relațiile:

.)(;)( 22

max

22 eHSreSSr HBiHi

494

Dacă se consideră un sistem de coordonate mobil )1()1( yAx legat de

cama 1, coordonatele punctului B se determină cu relațiile:

.sin;cos )1()1( iBiiB ryrx

În calculul de proiectare se pleacă de la legi relativ simple de

mișcare a tachetului, care sunt reprezentate în fig.17.4, pentru faza de

îndepărtare a tachetului: a – liniară; b – parabolică; d – cosinusoidală; e –

sinusoidală; c,f,g – descrise de polinoame. În tabelul 17.1 funcțiile

deplasării sunt prezentate în dependență de parametrul adimensional k,

ale cărui valori în faza de îndepărtare se conțin în limitele .10 îk

În cazul legii liniare, viteza de mișcare a tachetului dtdsv / în faza

de îndepărtare este constantă, pe când accelerația dtdva / este egală cu

zero. Însă la începutul și sfârșitul acestei faze, accelerația tinde spre

infinit, din care motiv, apare fenomenul loviturii „dure”. Astfel de lege

este acceptabilă numai în cazul unor tacheți sau mase reduse, ce se mișcă

cu viteze mici.

Fig. 17.4

495

Tabelul 17.1

Funcția deplasării tachetului

Limitele

de

variație

ale lui

îiîk /1

Graficul

vitezei și

accelerației

tachetului

Valoarea maximă a

coeficienților

max)]([ îkf

max)]([ îkf

îHkS

])1(21[

22

2

î

î

kH

HkS

)23( 32îî kkHS

)]cos(1[2

1îkHS

)]2/()2sin([ îî kkHS

)61510( 543îîî kkkHS

])1(16)1(24

)1(15)1(5[3

81[

)1624155(3

8

65

43

6543

îî

îî

îîîî

kk

kkH

kkkkH

S

0 … 1,0

0 … 0,5

0,5…1,0

0 … 1,0

0 … 1,0

0 …1,0

0 … 1,0

0 … 0,5

0,5…1,0

Fig. 17.4, a

Fig. 17.4, b

Fig.17.4, c

Fig.17.4, d

Fig.17.4, e

Fig.17.4, f

Fig.17.4, g

1,0

2,0

1,5

1,57

2,0

1,88

2,0

±4

±6

±4,93

±6,28

±5,77

±5,0

În punctele de discontinuitate ale curbei accelerațiilor (fig.17.4),

specifice, legilor parabolice (b,c) și cosinusoidale (d) de mișcare,

accelerația cât și forțele de inerție ale tachetului variază cu o mărime

finită (lovitură „moale”). În cazul curbelor line de variație a accelerației

(e, f,g), loviturile teoretic lipsesc, dacă bineînțeles erorile de execuție a

profilurilor sunt destul de mici.

Utilizarea camelor ce asigură o curbă lină și continuă a accelerațiilor

tachetului (fig.17.3, e,f,g) este foarte vastă. Uneori profilul care nu

contribuie la lovitură se impune prin trei curbe line: o jumătate de

sinusoidă pe sectorul accelerațiilor pozitive, un sfert de sinusoidă și

parabolă pătratică pe sectorul accelerațiilor negative. În același tabel

17.1 sunt prezentate în formă relativă valorile numerice ale vitezelor și

accelerațiilor maxime ale tachetului.

496

§ 17.3 Unghi de presiune și coeficient

de majorare a forțelor exercitate în

cuplele cinematice

Poziția normalei în cupla cinematică superioară în raport cu

vectorul vitezei și punctul de contact al elementului condus se stabilește

cu unghiul (vezi fig.12.2). Mărimea acestui unghi este funcție de

dimensiunile mecanismului și de funcția de transfer 1/BqB vv a vitezei

de mișcare și de deplasarea BS a tachetului [vezi relația (12.11) și

(12.12)].

Dacă tachetul este solicitat de o sarcină statică exterioară, de

exemplu, se află sub acțiunea simultană a forței utile de rezistență ,2urF

forței de elasticitate aF dezvoltată de un arc pentru realizarea unei

închideri prin forță și a propriei forțe de greutate2G (fig.17.5, a), atunci

reacțiunile din cuplele cinematice sunt dependente de unghiul de

presiune și deci de legea de mișcare a tachetului și de dimensiunile de

gabarit ale mecanismului.

Această concluzie se poate stabili în urma analizei planului forțelor

aplicate asupra tachetului (fig.17.5, a,b) și relațiilor (12.11) și (12.12).

Fig. 17.5

497

Cu cât unghiul de presiune este mai mare, cu atât reacțiunile 23F și

21F

din cuplele cinematic sunt mai mari, și deci cu atât forțele de frecare sunt

și ele mai mari, pentru coeficienți de frecare cunoscuți: 21ff care ia în

considerare frecarea între patina tachetului 2 și cama 1, și 23ff – între

tachetul 2 și ghidajul 3. La calculul forțelor de reacțiune exercitate în

cuplele cinematice, prin care se ia în vedere frecarea din cupla

cinematică de translație, compusă din tachet și ghidaj, se utilizează

coeficientul de frecare redus ,23

red

ff care se calculează în funcție de

valoarea unghiului ,23

red

f ce determină poziția reacțiunii 23F în raport cu

perpendiculara la direcția de deplasare a tachetului.

Pentru forțele care solicită elementul 2 se pot scrie următoarele

relații vectoriale:

;2222 aurs FGFF

;021223 FFF s

.23

**

23

*

23 FFF

Întrucât linia de acțiune a forței 21F trebuie să treacă tocmai prin

punctele de aplicare a forțelor B și D, ale căror coordonate se stabilesc

ușor, reiese că

./5,0

)(5,0

23

13

23

fg

BHgred

ftgl

SSlltg

Considerând red

f

red

f

red

f farctgf 232323 și ,232323 fff farctgf relația

anterioară devine

.5,0

)(5,0 13

2323

g

BgH

f

red

fl

SlSlff

Savantul L.N. Reshetov a propus ca influența unghiului de presiune

asupra condiției de transmitere a forțelor din mecanismele cu came să fie

aplicată prin raportul forțelor ,/ 221 sF FFv denumit c o e f i c i e n t de m

a j o r a r e a f o e ț e i.

În cazul mecanismului plan cu camă și cu tachet de translație,

relația analitică de calcul a lui Fv se poate stabili din planul forțelor

(fig.17.5, b), prin aplicarea teoremei sinusurilor:

)180sin()90sin( 23

21

2123

2

red

ff

red

f

s FF

sau

498

.)cos(

cos

2123

23

2

21

f

red

f

red

f

s

FF

Fv

În fig.17.5, d sunt trasate trei curbe de variație a coeficientului de

majorare a forțelor Fv cu unghiul de presiune , pentru diverse valori ale

coeficientului de frecare :)( 2321

red

ff ff curba 1 – 0,1; 2 – 0,2; 3 – 0,5.

Considerându-se valoarea admisibilă a coeficientului ,Fv se poate

calcula cu relația (17.4) valoarea admisibilă a unghiului de presiune:

.cos

arccos 2123

23

f

red

f

Fadm

red

f

admv

Cu cât coeficienții de frecare 21ff și red

ff 23 sunt mai mici, iar valoarea

admisibilă a coeficientului Fv este mai mare, cu atât mai mare poate fi

adoptat în proiectare unghiul de presiune .

În calculele aproximative se acceptă următoarele valori admisibile

ale unghiului de presiune :adm ,15...30 adm pentru tachetul de translație,

și ,20...45 adm pentru tachetul oscilant.

Dacă gabaritele mecanismului sunt destul de impunătoare, atunci

pentru reducerea pierderilor la frecare este util să se ia valori mai mici

ale unghiului de presiune: .20...15 adm Acest fapt exercită o influență

pozitivă asupra randamentului , prin care se are în vedere raportul

dintre lucrul mecanic al forțelor de frecare și cel al forțelor motoare

într-un interval de timp. În fig.17.5, c, pentru mecanismul cu tachet de

translație, sunt trasate trei curbe ce redau variația randamentului

instantaneu cu unghiul de presiune, pentru diverse combinații ale

coeficienților de frecare 21ff și :23

red

ff

Curba …………………… 1 2 3

21ff …………………… 0,2 0,2 0,01

red

ff 23 …………………… 0,4 0 0,2

Analiza curbelor de variație a randamentului instantaneu arată că

fiecare din aceste curbe au maxime ce corespund unui anumit unghi de

presiune.

499

§ 17.4. Determinarea dimensiunilor mecanismului

cu camă în funcție de valoarea admisibilă

a unghiului de presiune

Dimensiunile de gabarit (raza camei ,0r excentricitatea axelor

tachetului și camei e, distanța dintre axe a etc.), pot garanta funcționarea

efectivă a mecanismului proiectat, sunt dependente de condițiile și

restricțiile impuse. Se numește soluție optimă pentru restricțiile impuse

o astfel de soluție, pentru care parametrii proiectați de ieșire, în cazul

dat, dimensiunile de gabarit ale mecanismului, vor fi minime. Deci

modelul matematic de optimizare cu considerarea relațiilor (12.11) și

(12.12) poate fi scris astfel:

Fig. 17.6

500

pentru tachetul de translație

,)(

)/(

1

1

adm

BH

B

SS

evarctg

(17.1)

pentru tachetul oscilant

.sin

)cos()/(

2

221

adm

B

a

lavarctg

(17.2)

Relațiile (17.1) și (17.2) reprezintă condițiile de restricție ce se

impun unghiului de presiune. Unghiul de presiune constituie o mărime

variabilă, dependentă de legea impusă de variație a parametrilor

cinematici ai mișcării tachetului.

În timpul proiectării mecanismelor cu camă proiectantul caută să

aleagă pentru tachet legea de mișcare, care să satisfacă cerințele impuse

cât se poate de bine. În multe cazuri, se pleacă de la diagrama de variație

a accelerației tachetului Ba (sau a valorilor relative ale accelerației

)/ BinBia aav cu unghiul de rotire a camei (fig.17.6, a). Ceilalți parametri

cinematici se obțin fie în formă analitică, fie prin integrare numerică sau

grafică. De exemplu, în cazul integrării grafice, diagrama vitezei

tachetului Bv și diagrama funcției cinematice de transfer a vitezei

1/BqB vv (fig.17.6, b) se stabilesc cu relațiile:

,1

1

1

1

d

dv

dt

d

d

dv

dt

dva BBB

B

de unde rezultă

./; 12

1

1

1

d

avvdtav

inin

B

BqBt

BB

Între factorii de scară ai diagonalelor (fig.17.6, a,b) există

următoarele relații de legătură: ;/ 1Ktav ,1Kqaqv

unde );/(][ 1 smmmv )./(][ 1 radmmmqv

În mod asemănător se obține și diagrama deplasărilor tachetului

(fig.17.6, c) cu relațiile:

,1

1

1

1

d

dS

dt

d

d

dS

dt

dSv BBB

B

de unde rezultă

.; 11

1

in in intqB

bB

BBB dvdv

SdtvS

Condițiile de restricție (17.1) și (17.2) impuse unghiului de presiune

se pot interpreta geometric. În acest scop, se pleacă de la funcțiile de

501

poziție )( 1BS și de transfer al vitezei ),( 1qBv date (fig.17.7, a) sau

calculate (vezi fig.17.6, a,b,c), și se trasează diagrama în coordonatele

,, BqB Sv adică trasarea grafică se face în mod analog cu cea din planul de

fază: viteza x – deplasarea x.

Acum între factorii de scară ai diagramelor există relațiile

2/ Ktvs și ,/ 2Kqvs unde ./][ mmms

În cazul tachetului oscilant, se recurge la un sistem de coordonate

polar cu originea în punctul C (fig.17.7, c), iar, în cazul tachetului de

translație la unul rectangular – 22 yx cu originea în punctul 0B de pe

cercul de bază al camei (fig.17.7, b). Sistemele de coordonate sunt de

dreapta, adică rotirea de la sensul pozitiv al deplasării BS spre

Fig. 17.7

502

segmentele ce ilustrează valorile pozitive ale funcției cinematice de

transfer a vitezei qBv rotirea are loc contra acelor de ceasornic. Deci, dacă

valorile lui BS se măsoară de la poziția inferioară a rolei, atunci valorile

pozitive ale lui qBv se transmit în sus, cele negative – în jos (fig.17.7, b).

În acest timp cama 1 se rotește în sens pozitiv, adică contra acelor de

ceasornic (fig.17.7, b). Valorile factorilor de scară ai axelor de

coordonate mmms /][ și )/(][ 1 radmmmqv se iau egale, permițând

astfel reprezentarea nedenaturată a unghiurilor de presiune . Pentru

simplitate se acceptă ca valorile maxime ale funcției de transfer ,maxqBv

corespunzătoare fazei de îndepărtare să se noteze cu ,3qv iar celei de

apropiere – cu .4qv

În fig.17.7, b,c mărimile 3qv și

4qv se exprimă prin segmentele

3

*33 qqvv și .44 4

*

qqvv Dacă se consideră că valorile maxime ale lui

qBv le corespund unghiuri de presiune egale cu valoarea admisibilă ,admv

se stabilește poziția extremă a axei de rotație 1O a camei în punctul A

rezultat sin intersecția razelor (fig.17.7, b). Fiecare din aceste raze

stabilesc existența unor semiplanuri admisibile, care sunt de aceeași

parte a lor. Partea planului ce aparține tuturor acestor semiplanuri

alcătuiesc în ansamblu domeniul soluțiilor admisibile (DSA), în care fără

îndoială se satisfac restricțiile evaluate cu relațiile (17.6) și (17.7). În

conformitate cu condiția ,adm se poate alege axa de rotație 1O a

camei.

Interpretarea geometrică dată relațiilor (17.1) și (17.2) se poate

aplica la determinarea grafică a dimensiunilor de gabarit ale

mecanismului cu camă și anume: a distanței dintre axe 1COla și razei

,0min00 ABlrr cazul tachetului oscilant (fig.17.7, c), sau în cazul axelor

deplasate cu excentricitatea e și razei ,0min00 ABlrr în cazul tachetului de

translație (fig.17.7, b).

În cazul metodelor analitice de proiectare când se aplică

calculatoarele electronice la calculul coordonatelor profilului, este

necesar să se dispună de funcții anumite, prezentate în formă analitică.

Notarea parametrilor necesari este arătată în fig.17.7, c, pentru tachetul

oscilant, și în fig.17.7, b, pentru tachetul de translație.

Deplasările BS ale axei rolei în raport cu poziția inițială ,0B

corespunzătoare funcțiilor de transfer ale vitezelor 3qv și 4qv se notează

503

pentru simplitate cu 3S și .4S În cazul integrării grafice a funcției date

aceste deplasări se stabilesc din diagrama deplasărilor, pe când în cazul

integrării cu aplicarea calculatoarelor electronice, cu ajutorul

subprogramelor standarde de stabilire a maximului.

Unghiurile de rotire a tachetului, corespunzătoare deplasărilor 3S și

4S sunt 233 / lS și ,/ 244 lS unde

2l este lungimea tachetului.

Unghiul 2 din triunghiul **43C (fig.17.7, c) se poate determina cu

teorema sinusurilor, deoarece în acest triunghi lungimile a două laturi

sunt cunoscute: 142

* sgn4 qvlC și 132

* sgn3 qvlC (simbolurile

factorilor de scară sunt omise); aici ,04 qv deci

)sin(

43

sin

3

34

**

2

*

C sau .

)sin()sgn(sin

34

34132

2l

vl q

(17.3)

Distanța dintre punctele *3 și ,4* notată cu ,34l se determină cu

teorema cosinusurilor:

.)cos()sgn)(sgn

(2)sgn()sgn(43

3414213

2

2

142

2

132

**

34

qq

qq

vlv

lvlvll (17.4)

În cazul tachetului de translație (fig.17.7, b), relațiile (17.3) și

(17.4) se pot particulariza, astfel încât:

.cos/)(43

)];/()[(

243

**

34

43342

qq

qq

vvl

vvSSarctg

În continuare, examinăm unghiul 5 și triunghiul ,43 **A în care

lungimea laturii **43 este cunoscută, astfel se poate scrie:

);( 3425 (17.5)

;)(90 2343 adm (17.6)

;90 24 adm (17.7)

).(2)(180 34431 adm (17.8)

În cazul tachetului de translație, unghiurile 3 și

4 sunt în limită

egale cu zero, motiv pentru care relațiile (17.6) – (17.8) devin: ;90 23 adm

;90 24 adm

.21 adm

Din triunghiul **43A se stabilește latura 31

*3 lA din teorema

sinusurilor:

504

;sin

43

sin

3

1

**

4

*

A sau .

sin

sin3

1

4

34

*

31

lAl

Distanța dintre axe CAla se calculează utilizând teorema

sinusurilor în triunghiul AC *3 (fig.17.7, c):

.sin)sgn(2)sgn( 31132

2

31

2

132 admqq lvllvla (17.9)

Dacă 20 este unghiul ce determină poziția apropiată a axei

tachetului 0CB în raport cu distanța dintre axe AC, din triunghiul AC *3

prin aplicarea teoremei sinusurilor, se deduce

,)90sin()sin(

3

320

*

adm

aA

sau ,cos)sin( 31

320 adma

l

de unde rezultă

.cosarcsin 3

31

20

adm

a

l (17.10)

Din triunghiul ACB0se stabilește raza

0r a cercului de bază:

.cos2 202

2

2

2

0 allar (17.11)

În cazul tachetului de translație, se stabilește excentricitatea e a axei

ghidajului de tachet în raport cu axa de rotație A a camei, coordonata HS

și raza cercului de bază 0r (fig.17.7, b):

;sin 331 qadm vle (17.12)

;cos 331 SlS admH (17.13)

.22

0 eSr H (17.14)

Când axa de rotație 1O a camei se alege în punctul A de intersecție al

razelor limite, curba de variație a unghiurilor cu unghiul de rotire 1 al

camei are un maxim și un minim ce corespund valorilor admisibile ale

unghiului de presiune adm (curba 1 din fig.17.8). În acest caz, soluția se

consideră optimă în funcție de criteriul dimensiunilor minime ale camei.

Dacă axa 1O s-ar situa în exteriorul domeniului soluțiilor admisibile, în

unele poziții ale tachetului unghiul ar depăși valoarea admisibilă a

unghiului de presiune adm (curba 2 din fig.17.8).

505

În cazul unor restricții

stricte aplicate

dimensiunilor de gabarit ale

mecanismului, se ia în

vedere faptul că pericolul

înțepenirii tachetului este

caracteristic numai pentru

faza de îndepărtare. În faza

de apropiere tachetul se

deplasează sub acțiunea

forței de elasticitate

dezvoltată de un arc sau a

forței de greutate, motiv

pentru care nu poate avea loc înțepenirea. Aceasta permite de a extinde

Fig. 17.8

Fig. 17.9

506

domeniul soluțiilor admisibile pentru poziția axei de rotație a camei cu

considerarea valorii admisibile a unghiului de presiune adm și a sensului

de rotire a camei.

În fig.17.9, a,b sunt reprezentate unele domenii de existență a

soluțiilor admisibile caracteristice mecanismului cu tachet oscilant, iar

în fig.17.9, c – pentru cel cu tachet de translație:

- domeniul soluțiilor admisibile DSA corespunde cazului când cama

se rotește în ambele sensuri, iar valorile admisibile ale unghiului de

presiune în faza de îndepărtare și cea de apropiere sunt egale cu adm

(fig.17.9, a,b,c);

Fig. 17.10

507

- domeniul soluțiilor admisibile DSA1 este caracteristic situației în

care cama se rotește în ambele sensuri, iar valorile admisibile ale

unghiului de presiune în faza de îndepărtare și în cea de apropiere sunt

diverse;

- domeniul soluțiilor admisibile DSA2 corespunde cazului când în

timpul rotirii camei în sens antiorar tachetul se îndepărtează, valoarea

limită a unghiului de presiune în faza de apropiere nu este reglementată

(fig.17.9, a,b);

- domeniul soluțiilor admisibile DSA3 corespunde cazului când în

timpul rotirii camei în sens orar, tachetul se îndepărtează, iar valoarea

limită a unghiului de presiune în faza de apropiere nu este reglementat

(fig.17.9, b).

În fig.17.9, c este arătată poziția axa 1O a camei, pentru diverse

cazuri limite: pentru :0e171211 ;; OOO și pentru :0e ;15O .; 1918 OO

În conformitate cu restricțiile aplicate mișcării elementelor, se pot

obține diverse dimensiuni de gabarit ale mecanismului cu camă. În

fig.17.10 sunt reprezentate trei profiluri centrale ale camelor, ale căror

axe de rotație au fost alese după cum urmează: profilul a (linia de nuanță

neagră) – în DSA când 1sgn 1 și ;0e profilul b (linia de nuanță

cenușie) – în DSA când 1sgn 1 și ;0e profilul c (linia de nuanță

roșie) – în DSA când .1sgn 1

Relațiile analitice corespunzătoare se obțin ca cazuri particulare ale

relațiilor deduse anterior (17.3 - 17.9).

Pentru regimul de mișcare a mecanismului, corespunzător

Fig. 17.11

508

domeniului soluțiilor admisibile DSA (vezi. fig.17.9, a), 4qv și

4S se

consideră egale cu zero.

Dacă domeniul soluțiilor legale se limitează cu razele A*5 și A*6

(fig.17.11, a,b), din relațiile de calcul (17.3 … 17.9) în locul mărimilor

343 ,, Svv qq și

4S se introduc respectiv 565 ,, Svv qq și .6S

În cazul tachetului oscilant, relațiile de calcul sunt: ;0;/ 4233 lS

;sin]/)[(sin 334322 lvl q

;cos)(2)( 3232

2

2

2

3234 lvllvll qq

;90 233 adm

;90 24 adm

.2)(180 3431 adm

În cazul tachetului de translație, relațiile de calcul vor fi: );/( 332 qvsarctg

;cos/ 2334 qvl

adm

adm

qvl

2sincos

)90sin(

2

2

331

sau .

2sincos

)cos(

2

2

331

adm

adm

qvl

Relațiile (19.9) – (17.14) rămân în vigoare fără modificări. Calculul

cu metoda expusă se recomandă a fi efectuat cu ajutorul calculatoarelor

electronice.

§ 17.5. Determinarea dimensiunilor de gabarit ale

camei în funcție de condiția de convexitate a profilului

Dacă patina tachetului se execută cu suprafața de ghidare plană, atunci

unghiul de presiune rămâne invariabil în timpul interacțiunii camei și

tachetului. În cazul particular, planul patinei este perpendicular pe axa

tachetului, unghiul de presiune devine egal cu zero (fig.17.12, a,b),

ceea de face posibilă executarea ghidajului tachetului în formă de cuplă

cilindrică și extinderea uzurii patinei pe o suprafață mai mare, datorită

deplasării punctului de contact B în lungul ei. De fapt contactul din cupla

cinematică superioară este limitat de condiția de convexitate a profilului

camei. Condiția de convexitate poate fi scrisă în forma unei restricții

asupra razei de curbură a profilului.

.0min (17.15)

În conformitate cu notațiile din fig.17.12, a, această condiție se

poate exprima prin următoarea egalitate:

509

.)( 1 CDBiHi lSS (17.16)

În relația (17.16): )(, 10 BiH SrS este valoarea curentă a funcției

deplasării, iar CDl – un segment de un anumit sens geometric, care poate

fi stabilit în urma comparării triunghiului CDO1din schema

mecanismului cu triunghiul 21ccpa din planul accelerației (fig.17.12, c),

mecanismul cu pârghii echivalente alcătuit din elementele ,2,3,1* în

conformitate cu

,121212

k

CCCC

n

CC aaaa

în care .022 12312 CCre

k

CC vva Din asemănarea celor două

triunghiuri reiese

,21

C

n

C a

CD

a

OC sau ,22

1

2

1

2

qC

C

n

C

OC

CCD aa

a

lal

deci distanța dintre punctele C și D este egală numeric cu funcția de

transfer a accelerației punctului 2C (sau B) de pe tachetul 2:

./ 2

122 CDCqBqC laaa

Prin urmare, relația (17.16) poate fi scrisă astfel:

)()( 110

qBiBii aSr

Fig. 17.12

510

sau dacă se rezolvă în raport cu raza 0r a cercului de bază al camei,

atunci

).()( 110

qBiii aSr

În cazul particular, 0i și

maxqBqBi aa când ,HSBi valoarea razei

devine minimă.

Fig. 17.13

511

§ 17.6. Determinarea coordonatelor profilului

camelor disc

În documentația tehnică sau pe desenul de execuție este necesar să

se indice coordonatele profilului. Ele se calculează fie pentru profilul

central al camei, fie pentru profilul ei constructiv. Calculul

coordonatelor profilului camei se face în funcție de tehnologia executării

camelor.

Dacă diametrul rolei diferă de dimensiunile sculei așchietoare,

frezei sau discului abraziv, atunci se calculează coordonatele p r o f i l u

l u i t e h n o l o g i c. Profilul tehnologic determină poziția axei sculei,

care este necesară pentru reglarea mașinii-unelte, de exemplu, celei cu

comandă numerică. Pentru controlul preciziei profilului se calculează

coordonatele profilului de m ă s u r a t, corespunzător dimensiunilor

indentorului mașinii de măsurat.

Coordonatele profilului central al camei disc cu tachet de

translație. În fig.17.13, a este reprezentată schema de calcul.

Coordonatele punctului curent iB sunt:

ir și i în sistemul polar de

coordonate; 11 yAx în sistemul cartezian mobil de coordonate, legat de

cama 1: ., )1(1

BB yx

Coordonatele punctului curent iC de pe profilul constructiv sunt:

CiR și iCiîn sistemul polar de coordonate; 11 yAx în sistemul

cartezian de coordonate, 1

1

1

1, CC yx pe desen nu sunt indicate.

Dimensiunile de gabarit Hr SRr ,,0

și e se consideră date sau calculate

anterior. Deplasarea tachetului (BiS – valoarea curentă și H – cursa

tachetului) sunt date în funcție de coordonata generalizată 1 fie în

formă analitică, fie în formă de valori (tabel).

În urma analizei schemei de calcul (fig.17.13, a), se pot scrie

următoarele relații de calcul:

coordonatele punctului iB de pe profilul central:

;)( 22

BiHi SSer (17.17)

,)( 22 HSer HH (17.18)

(este necesar să se ia în considerație faptul că în urma trecerii de la

sistemul de coordonate 2

0

2 yBx la sistemul 11 Ayx excentricitatea își

schimbă semnul, );21 ee

);/(0 HSearctg

512

)./(]/)[( eSarctgeSSarctg HBiHi (17.19)

Dacă unghiurile se măsoară de la axa 1Ax în sensul acelor de

ceasornic (vezi fig.17.12, a), iar excentricitatea axei tachetului se

consideră pozitivă, atunci:

;1 iii (17.20)

;cos)1(

iiBi rx (17.21)

.sin1

iiBi ry (17.22)

Coordonatele punctului iC de pe profilul constructiv vor fi:

);/()[( BiHqBii SSevarctg (17.23)

;)cos(2 0

22

iiirirCi rRrRR (17.24)

)];2/()arccos[( 222

CiirCiii RrRRr (17.25)

;iiCi (17.26)

;cos1

CiCiCi Rx (17.27)

.sin1

CiCiCi Ry (17.28)

Calculul coordonatelor cu relațiile (17.17) – (17.28) se efectuează

cu ajutorul calculatoarelor electronice și a subprogramelor standarde

extrase din asigurarea matematică a sistemului de calcule automatizate

la proiectarea de curs.

Profiluri particulare ale camei disc. În practica de proiectare se

recurge la utilizarea mecanismelor cu came și cu tacheți axiali. În acest

caz, relațiile (17.11) – (17.14) devin:

;0 Bii Srr (17.29)

;0i (17.30)

.1ii (17.31)

Pentru unele legi de mișcare ale tachetului (de exemplu, în cazul

mișcării cu viteză, accelerație și unghi de presiune constante) ecuația

profilului se poate exprima în formă analitică.

Astfel, în cazul mișcării tachetului cu viteză constantă ),( constvB

funcția cinematică de transfer a vitezei 1/BqB vv este o mărime

invariantă, în timp ce deplasarea tachetului se determină cu relația

.1

1

1

1 0

i

B

qBB

vdvS

Introducând această relație în expresiile (17.29) și (17.31), se obține

relația

,)/( 10 iBi vrr (17.32)

513

care reprezintă ecuația spiralei arhimedice.

În cazul mișcării tachetului cu accelerație constantă ),( constaB

funcția cinematică de transfer a accelerației )/( 2

1

BqB aa este o mărime

invariantă, iar deplasarea tachetului se determină în urma integrării

duble, astfel că

.2

2

1

2

1

2

12

11 0

iBB

B

ad

aS

Introducând această relație în expresiile (17.29) și (17.31), se obține

relația

,2/)/( 22

10 iBi arr (17.33)

Fig. 17.14

514

care constituie ecuația unei curbe de ordinul doi.

În cazul în care transmiterea mișcării de la camă spre rolă se

efectuează cu un unghi de presiune constant, relația (17.23) obține

forma particulară:

,/

)( 11

11

101

dr

dr

r

ddS

r

v

Sr

v

SS

vtg

i

i

i

B

i

B

Bi

B

BiH

qB

sau

./ 1dtgrdr ii (17.34)

Considerându-se acum ,adm în urma integrării ecuației (17.34)

rezultă ecuația profilului:

.0admitg

i err

(17.35)

Relația (17.35) reprezintă ecuația spiralei logaritmice.

Metoda grafică de profilare. În acest caz, se aplică principiul

inversării mișcării, descrisă în capitolul 3.

Pentru trasarea profilului camei, se parcurge următoarea succesiune

de operații grafice (fig.17.13, b). Se trasează cercurile de raze 0, re și

rRrR 00cu centrul comun în punctul A. Considerând punctul O de pe

cercul de bază cu raza 0r drept punct de referință al profilului, se

reprezintă arcele ,...,32,21,10 egale cu 01r în conformitate cu

unghiul dat a1 al profilului activ și numărului de pași N ales

)./( 11 Na Prin punctele ,...,3,2,1 se trasează pozițiile

,...,44,33,22,11 corespunzătoare axei tachetului în mișcarea inversată a

elementului ).( 1 Astfel se obțin o serie de linii care trecând prin

punctele ,...,3,2,1,0 sunt tangente la cercul excentricității de rază e.

Suma unghiurilor ...231201 este egală cu unghiul impus .1a

Pe direcția mișcării relative a tachetului de la cercurile de bază (punctele

),...,3,2,1,0 se transpun la scara lungimilor elementelor valorile

deplasărilor tachetului :BiS segmentele ....,33,22,11

Punctele rezultate ...,3,2,1,0 se unesc cu o curbă continuă, care

reprezintă profilul central al camei. Profilul constructiv al camei rezultă

ca o înfășurătoare a pozițiilor relative ale rolei, a cărei axă se mișcă

succesiv pe profilul central (fig.17,13, b).

515

Coordonatele pro-

filului central al camei disc

cu tachet oscilant. În

fig.17.14, a este reprezentată

schema de calcul.

Coordonatele punctului

central iB de pe profilul

central al camei s-au notat în

sistemul de coordonate polar

cu ir și ,i iar în sistemul de

coordonate cartezian 11

1 yxO cu 1

Bx și 1

By (axa 1

1xO trece prin punctul inițial

al profilului).

Din triunghiul ,1 iiBCO prin aplicarea teoremei sinusurilor, rezultă

relația de calcul a razei ir a punctului curent

iB de pe profilul central al

camei:

,cos2 2

2

2

2

ii allar (17.36)

unde

;202 ii (17.37)

;/ 2lSBii (17.38)

];sin)/arcsin[( 02020 lr (17.39)

)].2/)arccos[( 0

2

2

2

0

2

0 arlra (17.40)

Unghiul polar i al punctului curent

iB de pe profilul central al

camei este

,1 iii (17.41)

unde ].sin)/arcsin[( 2020 ii rl

(17.42)

În cele ce urmează, coordonatele carteziene ale punctului curent iB

se exprimă prin cele polare, obținându-se

iiB rx cos1 și .sin1

iiB ry

În cazul metodei grafice de profilare, se face apel la principiul

inversării mișcării, în conformitate cu care elementului-bază (liniei 1CO

din.17.14,b) i se imprimă o mișcare de rotație în raport cu cama fixă 1. În

acest scop, pentru o serie de poziții fixe ale liniei 1CO a

Fig. 17.15

516

elementului-bază ,...,4,3,2,1,0 stabilite în funcție de numărul de pași

,/11 Na se ia în compas lungimea 2l (lungimea tachetului) și se

determină punctele ,...,3,2,1,0 de la care se depun arcurile ,...,33,22,11

care reprezintă la scara desenului, deplasările corespunzătoare

,...,,, 321 BBB SSS ale axei B a rolei tachetului. Punctele ,...,3,2,1,0 se

unesc cu o curbă continuă, care corespunde profilului central al camei.

Alegând raza rolei ,rR se construiește grafic profilul constructiv al camei

ca o înfășurătoare a pozițiilor relative ale rolei, a cărei axă ocupă poziții

succesive pe profilul central.

Alegerea razei rR a rolei. Raza

rR a rolei din mecanismele de forță

se stabilește din condiția la rezistența de contact, deci cu considerarea

lățimii rolei, a proprietăților mecanice ale materialelor din care sunt

fabricate suprafețele active ale rolei și camei, și a durabilității date. În

transmisiile mecanice ca restricții geometrice se impun erorile

admisibile de poziție și lipsa auto-intersectării profilului constructiv,

când din greșeală raza rolei se stabilește mai mare decât raza minimă de

curbură al profilului central (fig.17.15). O asemenea auto-intersectare a

profilului este arătată în fig.17.15, pentru profilul 4 când .min4 rR În

cazul în care ,min3 rR pe profilul constructiv are loc ascuțirea teoretică a

profilului ).0( 1 Dacă este satisfăcută condiția ,min2 rR atunci curbura

profilului constructiv, în toate punctele, nu atinge valoarea limită. În

practică se recomandă .7,0 mincrR Valoarea stabilită pentru raza rolei

trebuie să se conțină în șirul standard al diametrelor și lungimilor pentru

construcția de mașini (GOST 6636-69). În afară de aceasta, raza rolei se

limitează cu condiția .4,0 0rRr

Coordonatele camei cu tachet plan. În fig.17.12, a este

reprezentată schema de calcul. Coordonatele plane ale punctului curent

iB de pe profilul camei sunt notate cu ir și .i Devierea BE a punctului de

contact B în raport cu axa tachetului se determină ușor din asemănarea

triunghiului DCO1 din schema mecanismului cu triunghiul din planul

vitezelor (vezi fig.17.12, c), în conformitate cu ecuația vectorială:

.1212 CCCCB vvvv

Punctul D coincide cu polul angrenării P al cuplei cinematice

superioare, deci ,// 111 CB vCOvDO de unde ,/ 11 qBB vvDOBE adică BE

este egală numeric cu funcția cinematică de transfer qBv a vitezei

tachetului.

517

Unghiul de deplasare i al punctului de contact

iB se determină cu

relația

.01 Bi

qBi

BiH

qBi

iSr

v

SS

v

EO

BEtg

Coordonatele polare sunt:

iii 1 și .)( 22

0 qBiBii vSrr

În cazul metodei grafice de profilare, se aplică principiul inversării

mișcării elementului-bază în raport cu cama fixă (vezi fig.17.12, b).

Începând cu poziția inițială OO1a elementului bază, se depun

succesiv unghiurile de rotație 1211, și

13 ale elementului-bază în

direcție inversă față de direcția de rotire a camei. De la cercul de bază de

rază 0R se depun pe direcția de deplasare a tachetului (punctele

Fig. 17.16

518

),,...,4,3,2,1 la scara corespunzătoare, deplasările ,...,,, 321 BBB SSS impuse

prin date experimentale sau diagrama deplasărilor și se trasează poziția

patinei tachetului. Înfășurătoarea familiei de drepte (poziții ale patinei)

reprezintă profilul constructiv al camei (adică ).ii rR

§17.7. Mecanismele cu came cilindrice

În mașinile automate și semiautomate tehnologice se utilizează pe

larg camele 1, în formă de cilindri (tambururi) prevăzuți cu caneluri, care

execută o mișcare de rotație cu viteza unghiulară 1 (fig.17.6, a).

Tachetul 2 poate executa fie o mișcare de translație (vezi fig.17.2, c,d),

fie o mișcare de rotație.

În cazul profilării grafice, se recurge la desfășurarea în plan a

cilindrului camei pe un plan (fig.17.16, b). Prin aplicarea principiului

inversării mișcării, desfășurata devine fixă, iar axa de oscilație C a

tachetului 2 capătă o mișcare cu viteza ,1BC vv unde 111 rvB este

viteza absolută a unui punct considerat pe profilul central al tamburului.

Deplasările date ale axei B a rolei se transpun pe arcele ,...,, BkBi SS de

rază .2 BCll Înălțimea maximă de ridicare a tachetului, adică cursa H, de

asemenea, se transpune pe arcul de rază .2l

Unghiul cuprins între vectorul vitezei tachetului 2Bv și normala n

– n la profilul camei de pe desfășurată constituie unghiul de presiune. În

triunghiul vectorial al vitezelor unghiulare 1 și

2 se exprimă astfel:

i 1și .902 Din aplicarea teoremei sinusurilor se deduce

relația

1221 sin/sin/ BB vv sau ).sin(/cos/ 211 iBvr

Deoarece ,sincoscossin)sin( iii prin înlocuire obținem

.cossincos

/ 212

1

ii

qB

ii

B

tg

v

tg

vr

(17.43)

Dacă unghiul de presiune satisface condiția ,adm se poate

calcula (sau trasa grafic) variația mărimii ).(1 ir Valoarea ei maximă se

consideră raza minimă a camei cilindrice, asigurând astfel funcționarea

mecanismului fără înțepenire. Un caz particular reprezintă mecanismul

cu tachet de translație. În acest caz, curba de profil a camei pe

desfășurată este similară cu diagrama deplasărilor tachetului,

519

bineînțeles, dacă scările respective sunt egale. În orice poziție unghiul

i este egal cu zero, din care motiv relația (17.43) de mai sus devine

./ 211

1

tg

v

tg

vr

qBB

Din ultima relație rezultă ./max2min1 admqB tgvr

§17.8. Influența elasticității elementelor

mecanismului cu camă asupra legii

de mișcare a tachetului

și formei profilului camei

La proiectarea mecanismelor rapide cu camă este necesar să se ia în

considerație caracteristicile elementelor reale, care de fapt se deosebesc

de cele ale corpurilor reale, care de fapt se deosebesc de cele ale

corpurilor absolut solide. De exemplu, în timpul mișcării elementelor

mecanismelor de distribuție a gazelor din motoarele cu ardere internă

(vezi fig.17.1, g,h și 17.17, a), datorită rigidității scăzute, maselor

impunătoare ale elementelor și accelerațiilor exagerate se produc

oscilații elastice, care afectează substanțial legea de mișcare a

elementelor de ieșire.

Se consideră că cel puțin patru elemente ale acestui mecanism sunt

flexibile. Din acestea fac parte: arborele de distribuție 1, tija 2,

balansierul 3 și supapa 4 cu arcul de supapă (fig.17.17, a). Atunci când

supapa 4 este închisă, elementele mecanismului sunt solicitate. De

aceea se poate considera că fiecare ridicare ulterioară a elementelor

conduse nu se află în legătură cu ridicarea anterioară și deci nu depinde

de ea.

Alegerea modelului dinamic al mecanismului, care ar reflecta

influența elasticității elementelor mecanismului real, trebuie efectuată

pornindu-se de la considerarea proprietăților de inerție ale

mecanismului. Modelul dinamic al mecanismului este imaginat sub

formă de mase reduse finite ce sunt unite prin legături geometrice

neinerțiale, cinematice sau elastico – disipative. În fig.17.17 sunt arătate

două modele dinamice: unul construit din trei mase (fig.17.17, b) și altul

dintr-o singură masă (fig.17.17, c).

În urma reducerii și a momentelor de inerție ale elementelor trebuie

păstrat echilibrul energiei cinetice. Atunci când se ia în considerare

elasticitatea elementelor, această problemă se rezolvă doar aproximativ.

În cazul modelului dinamic constituit din trei mase, masa redm1 include

520

masa supapei ,4m o treime din masa arcurilor de supape și o fracțiune din

masa cauzată de momentul de inerție al balansierului. La calculul masei redm2

se ia în considerare o treime din masa tijei 2 și cealaltă fracțiune din

masa cauzată de momentul de inerție al balansierului. În același timp, la

calculul masei redm3se iau în considerare celelalte două treimi din masa

tijei 2, masa sabotului, precum și o fracțiune din masa arborelui de

distribuție, corespunzătoare sectorului cuprins între două sprijine vecine.

În cazul modelului dinamic constituit dintr-o singură masă

(fig.17.17, c), masa redm ia în considerare caracteristicile de inerție ale

tuturor elementelor mecanismului, reduse la un punct, cu considerarea

funcțiilor de transfer respective.

Raționamente similare pot fi extinse asupra coeficienților de

rigiditate 4321 ,,, cccc în modelul tridimensional,

0c și c – în modelul

constituit dintr-o singură masă, precum și asupra factorilor de amortizare

respectivi 321 ,, kkk și .0k Coeficienții de rigiditate

1c și c corespund

coeficientului de rigiditate al arcului de supapă, 2c – coeficientul de

rigiditate al balansierului, 3c – coeficientul de rigiditate redus al tijei 2,

4c – coeficientul de rigiditate redus al arborelui de distribuție și 0c –

coeficientul rigidității reduse a mecanismului. Pentru simplificarea

schemei de calcul, se consideră coeficienții de amortizare k să fie în

prima aproximație egali cu zero.

Fig. 17.17

521

În cazul sistemului constituit din trei mase, oscilațiile forțate ale

maselor sunt descrise de ecuații diferențiale (în scopul unei scrieri mai

laconice, indicele superior „red” a fost omis):

).()(

;0)(

;0)(

3432333

332321222

2212111

tFyccycym

ycyccycym

ycyccym

Funcția )(tF ce se conține în membrul drept al ultimei ecuații

exprimă variația forței de excitație, care ia în considerare forța de

strângere preliminară a arcurilor de supapă și forța de elasticitate

rezultată din mișcarea elementului condus ce i se imprimă de profilul

camei.

În cazul sistemului constituit dintr-o singură masă oscilațiile forțate

ale masei m se exprimă prin ecuația diferențială ).()( 00 tFyccykym

Dacă ordonatele 321 ,, yyy și y corespund deplasărilor elementului

de reducere în funcție de elasticitatea lor, iar ordonata )(tx corespunde

deplasării nominale datorate profilului camei, diferența mărimilor

respective exprimă deformația )(tz a elementelor lanțului cinematic din

mecanism. De exemplu, pentru modelul dinamic constituit dintr-o

singură masă se poate scrie: ).()()( tytxtz

Integrarea acestor ecuații diferențiale, în care funcția )(tF intervine

în formă arbitrară, se face cu ajutorul calculatoarelor, utilizând una din

metodele calculului numeric. În acest manual nu se prezintă detaliat

acest calcul, ci se insistă doar asupra celor mai importante concluzii, care

caracterizează indicii dinamici ai mecanismului cu camă, cu

considerarea elasticității elementelor.

Când are loc întreruperea lanțului cinematic (în cazul în care )0z

tija 2 se desprinde de cama 1. Drept consecință, apar forțe dinamice

suplimentare în elemente, care fac ca supapa 4 să devină nedirijată. În

cazul unor desprinderi dese, se observă salturi repetate ale supapei,

datorită faptului că restabilirea contactului are loc prin șoc. Toate aceste

fenomene sunt nedorite, din care motiv ele trebuie înlăturate încă în faza

de proiectare a profilului camei.

Atunci când supapa se așează în locaș, oscilațiile elastice provoacă

o variație a vitezei reale, în comparație cu cea determinată de profilul

522

camei. Acest fenomen contribuie la așezarea cu avans a supapei în locaș

sau la un salt repetat al supapei.

În sinteza mecanismelor cu camă o atenție deosebită trebuie să se

acorde alegerii valorilor pozitive ale accelerației tachetului,

corespunzătoare flancurilor marginale ale profilului camei, deoarece

anume aceste flancuri produc în mecanism cele mai mari deformații

teoretice. Cea mai mare amplitudine a oscilațiilor elastice corespunde

flancului marginal cu accelerații pozitive. Această amplitudine este cu

atât mai mare, cu cât numărul de turații ale arborelui de distribuție este

mai mare. Se aplică acest lucru prin faptul că accelerația maximă este

funcție pătratică a numărului de turații.

523

BIBLIOGRAFIE

1. I.I. Artobolevskii. Teoriya mehanizmov i mashin. M., 1975.

2. V.A. Gavrilenko și alții. Teoriya mehanizmov. M., 1973.

3. V.A. Iudin., L.V. Petrokas. Teoriya mehanizmov i mashin. M.,

1977.

4. S.N. Kojevnikov. Teoriya mehanizmov i mashin. M., 1973.

5. N.I. Livitskii. Teoriya mehanizmov i mashin. M., 1979.

6. K.V. Frolov. Metody sovershenstvovaniia mashin i

sovremennye zadaci

mashinovedeniia. M., 1984.

7. L.N. Reșetov. Samoustanavlivaiushciesea mehanizmy:

Spravocinik. M., 1979.

8. Vibratzii v tehnike: Spravocinik. În 6 tomuri. M., 1979-1981.

9. Osnovy balansirovocinoi tehniki. În 2 tomuri/ Sub redacția

V.A. Șcepetilinikov. M., 1984.

10. A.S. Pronikov. Nadiojnosti mashin. M., 1978.

11. Trenie, iznashivanie i smazka: Spravocinik. În 2 tomuri/ Sub

redacția V.I. Kragaliiskii și V.V. Alisin. M., 1975.

12. S.A. Potov. Kursovoe proectirovanie po teorii mehanizmov i

mehaniki mashin. M., 1986.

13. V.A. Gavrilenko. Osnovy teorii evoliventnoi zubceatoi

peredaci. M., 1969.

524

CUPRINS

Introducere ...………………………………….................……...….3

Capitolul 1. Problemele teoriei mecanismelor și mașinilor ….…..7

Partea I. Metodele generale de determinare a parametrilor

cinematici și dinamici ai mecanismelor, mașinilor și sistemelor

de mașini …………………………………………...………………...17

Capitolul 2. Structura mecanismelor …………………….……...17

§2.1 Noțiuni de bază …………………..………………………....17

§2.2 Clasificarea cuplelor cinematice ………….…….………….20

§2.3 Tipuri de mecanisme și schemele lor structurale …..…….…23

§2.4 Formulele structurale ale mecanismelor ……………..……..31

§2.5 Analiza și sinteza structurală a mecanismelor ………..…….33 §2.6 Legături pasive locale în cupla cinematică …………...…….41

§2.7 Legături pasive pe contur și sinteza mecanismelor cu structură optimă ……………………………………………………....50

Capitolul 3. Caracteristicile cinematice ale mecanismului ….....61

§3.1 Cinematica elementelor conducătoare și conduse ….……...61 §3.2 Planele pozițiilor, vitezelor și accelerațiilor

mecanismelor plane cu bare ………………………………………….67 §3.3 Metoda analitică de determinare a funcțiilor cinematice

de transmitere .......................................................................................94 §3.4 Utilizarea derivării și integrării grafice și numerice ………115

§3.5 Caracteristicile cinematice ale mecanismelor plane cu cuple superioare ………………………………………………….124

§3.6 Caracteristicile cinematice ale mecanismelor spațiale ……130

Capitolul 4. Cercetarea mișcării agregatului de mașină

cu elemente rigide .………………………………………………...150

§4.1 Forțe care acționează mașini și caracteristica acestora .…..150 §4.2 Modelul dinamic al agregatului de mașină ……………..…155

§4.3 Reducerea forțelor ………………………………………..157 §4.4 Reducerea maselor ………………………………………..163

§4.5 Ecuația mișcării mecanismului ………………………..….165 §4.6 Regimul tranzitoriu. Legea variației vitezei mecanismului

solicitat de forțe care depind numai de poziție ..……………………..169

525

§4.7 Regimul tranzitoriu. Legea variației vitezei mecanismului solicitat de forțe care depind numai de viteză………………….....….172

§4.8 Regimul tranzitoriu. Legea variației vitezei mecanismului, solicitat de forțe și momente care depind atât de poziție, cât și

de poziție ……………………………………………………………175 §4.9 Regimul staționar. Mișcare neuniformă a mecanismului ..179

§4.10 Faza de regim. Analiza și sinteza dinamică după metoda lui Mertzalov ………………………………………………..182

§4.11 Faza de regim. Analiza și sinteza dinamică cu considerarea influenței vitezei asupra forțelor ……………………....189

Capitolul 5. Calculul forțelor în mecanisme ……………….….197

§5.1 Metoda generală a calculului forțelor …………………….197 §5.2 Metoda grafică de calcul al forțelor în mecanismele

cu bare ………………………………………………………………203 §5.3 Metoda analitică a calculului forțelor la mecanismul

cu bare ………………………………………………………..……..209

Capitolul 6. Echilibrarea mecanismelor …………….…………221 §6.1 Forțele de dezechilibru ale mecanismelor. Echilibrarea

statică ……………………………………………………………….221 §6.2 Echilibrarea dinamică …………………….……………....228

§6.3 Dezechilibrul rotorului și tipurile lui ………………….….231 §6.4 Echilibrarea dinamică a rotorului în timpul proiectării .….235

§6.5 Echilibrarea statică și dinamică a rotoarelor fabricate …….237

Capitolul 7. Frecarea în mecanisme și mașini ……….………...246 §7.1 Felurile și caracteristicile frecării exterioare …..………….246

§7.2 Acțiunea forțelor în cuplele cinematice cu considerarea frecării ………………………………………………………………251

§7.3 Calculul forțelor în mecanisme cu considerarea frecării ...257 §7.4 Pierderile de energie prin frecare. Randamentul mecanic .260

Capitolul 8. Calculul uzurii elementelor cuplelor cinematice ..266

§8.1 Criterii de apreciere a uzurii …………………..…………..266 §8.2 Calculul uzurii elementelor cuplelor cinematice inferioare

și superioare ………………………………………………………....271

526

Capitolul 9. Studiul mișcării agregatului de mașină cu

considerarea elasticității elementelor ……………………………276

§9.1 Modelul dinamic al agregatului de mașină ……….………276 §9.2 Mișcarea de regim al agregatului de mașină …………..….283

§9.3 Studiul elasticității elementelor cinematice …………..…..287

Capitolul 10. Vibroactivitatea și protecția mașinilor

împotriva vibrațiilor ……………………………………………...292

§10.1 Surse de oscilații și obiectivele apărării contra vibrațiilor .292 §10.2 Influența acțiunilor mecanice asupra obiectelor tehnice

și a omului ………………………………………………..………....297 §10.3 Analiza acțiunii vibrațiilor …………………………..…..299

§10.4 Metodele de bază ale apărării contra vibrațiilor …..……..303 §10.5 Amortizarea oscilațiilor ….………………………..…….304

§10.6 Principii de vibro-izolare. Sisteme de apărare contra vibrațiilor cu un singur grad de libertate ……...……………………..309

§10.7 Amortizarea dinamică a vibrațiilor ……………..…….…313 §10.8 Absorbitori de vibrații cu frecare vâscoasă uscată …...….316

§10.9 Amortizor cu vibrații prin șoc …………………..……….328

Partea II. Metodele de proiectare a schemelor mecanismului ...335

Capitolul 11. Sinteza schemelor cinematice ale mecanismelor

cu cuple cinematice inferioare. Mecanismele roboților

manipulatori ……………………………………………………….335 §11.1 Condiția existenței manivelei în mecanismul patrulater

articulat ……………………………………………………………...335 §11.2 Sinteza mecanismelor cu patru elemente după două

poziții ……………………………………………………………….338 §11.3 Sinteza mecanismelor articulate după trei poziții …….…343

§11.4 Sinteza mecanismelor după viteza medie a elementului și coeficientul de variație a vitezei medii a elementului condus …….347

§11.5 Manipulatoare, construcția și domeniile de utilizare …....351 §11.6 Indicii tehnici ai manipulatoarelor ……………………....355

§11.7 Sistemele de comandă ale manipulatoarelor ………..…...362 §11.8 Unele probleme ale dinamicii manipulatoarelor ……..….367

Capitolul 12. Metodele de sinteză a mecanismelor cu cuple

superioare ….…………………………………………………...…372 §12.1 Teorema fundamentală a angrenării ……………………372

527

§12.2 Viteza de alunecare a profilurilor conjugate ……………. 379 §12.3 Unghiul de presiune la transmiterea mișcării printr-o

cuplă superioară ……………………………………………………..382 §12.4 Metode grafice de sinteză a profilurilor conjugate ……...384

§12.5 Ecuația fundamentală a angrenării profilurilor sub formă diferențială ………………………………………………...…386

§12.6 Suprafețe generatoare …………………………..……….389

Capitolul 13. Angrenaje cu roți dințate cilindrice …………….392 §13.1 Elementele roții dințate ………………..………………...392

§13.2 Elementele și proprietățile angrenajului evolventic ….…400 §13.3 Pozițiile de bază ale angrenajului tehnologic.

Angrenajul tehnologic cu cremalieră …………………………...…..402 §13.4 Subtăierea și ascuțirea dintelui …………………..………408

§13.5 Angrenaj evolventic ………………………………..……410 §13.6 Indicii de calitate ai angrenajului. Alegerea

coeficienților deplasării ………………………………………….….414

Capitolul 14. Angrenaje spațiale ……………………….……...421 §14.1 Angrenaje cu roți dințate conice …………………………421

§14.2 Angrenaje hiperboloidale …………………………..…...432

Capitolul 15. Angrenaje multiple ………………………….…..441 §15.1 Angrenaje multiple cu axe fixe ……………………..…...441

§15.2 Mecanisme planetare …………………………..………..446 §15.3 Alegerea schemelor mecanismelor planetare și

particularitățile lor cinematice ……...……………….…..…………..453 §15.4 Determinarea numărului de dinți pentru roțile dințate

din mecanismele planetare ………………………………………….462 §15.5 Angrenaje armonice cu roți dințate ……………….…….469

Capitolul 16. Mecanisme cu mișcare intermitentă a

elementului de ieșire ……………………………………………….478 §16.1 Mecanisme cu roți dințate și cu clichet ……………….....478

§16.2 Mecanisme cu cruce de Malta ………………………..….481 §16.3 Mecanisme cu pârghii și cvasistaționare ………………...487

Capitolul 17. Mecanisme cu camă …………………………..…489

§17.1 Tipurile mecanismelor cu camă și particularitățile lor .…490 §17.2 Legea mișcării tachetului și alegerea ei …………….…..492

528

§17.3 Unghi de presiune și coeficient de majorare a forțelor exercitate în cuplele cinematice ……………………...……..496

§17.4 Determinarea dimensiunilor mecanismului cu camă în funcție de valoarea admisibilă a unghiului de presiune ……….….499

§17.5 Dimensiunile de gabarit ale camei în funcție de condiția de convexitate a profilului ………….………….……………………508

§17.6 Determinarea coordonatelor profilului camelor disc …....511 §17.7 Mecanismele cu came cilindrice ………………..……….518

§17.8 Influența elasticității elementelor mecanismului cu camă asupra legii de mișcare a tachetului și formei profilului camei ……...519

BIBLIOGRAFIE ……………………...……………………..……523

Cuprins …………....……………………………………………...524