Teoria de Numeros Clasica-Mario Pineda

Enteros, aritmetica modular

y

grupos finitos

Mario Pineda Ruelas

Departamento de Matematicas, uam-i

Enteros, aritmetica modular

y

grupos finitos

Mario Pineda Ruelas

Departamento de Matematicas, uam-i

Universidad Autonoma Metropolitana

Dedico este trabajo a Josue, porque encontro en estos temas gusto ypreocupacion.

Introduccion

Este libro que hojeas por primera vez estimado lector, es una recopilacion de loque el hombre ha creado durante miles de anos; la aritmetica. En el encontraras unestudio sistematico y formal de lo que en tu vida cotidiana ya sabıas: sumar, restar,multiplicar y dividir con numeros enteros. Por ejemplo calculabas longitudes, areaso volumenes sin saberlo; hago como 45 minutos a mi casa desde la UAM-I, no cabentodas las sillas en este salon, debo partir un pastel en 12 partes iguales, etc.. Hasestado involucrado tal vez sin reflexionarlo en la geometrıa, el analisis y en lasestructuras algebraicas que describen tu mundo cercano e imaginario. Estas notasno son un recetario de teoremas, lemas o corolarios, es una mirada formal a unode los edificios mas bellos en los que esta parada toda la matematica. Cultivarassi te lo propones, la belleza, intensidad, ingenio, sorpresa y pasion por los temasque aquı te propongo.

De acuerdo a mi experiencia en las aulas, estoy convencido que los jovenesestudiantes de cursos de matematicas, tienen el talento necesario para entenderuna demostracion, con el riesgo de que hasta les guste y les pueda crear vicio porla justificacion y se conviertan en seres cautelosos; ası es el espıritu de poetas,filosofos, escritores, pintores, fısicos, quımicos, computologos y matematicos, entreotros. Es un hecho, los jovenes estudiantes fracasan en clase no porque esperemosen demasıa de ellos, sino porque de ellos esperamos muy poco. Nuestro reto comoinstructores consiste en sembrar en ellos la belleza, intensidad, ingenio, sorpresay la pasion de las matematicas, aunque no se vayan a dedicar a ellas. El profesordebera ir mas alla de la simple exposicion de los temas. Estas notas y otras,podran lograr muy poco si la actitud del expositor o el instructor no demuestrainteres hacia el aprendizaje de sus escuchas.

El tratamiento del primer capıtulo es tradicional y seguramente el lector podraencontrar algo distinto de lo que se trata en los textos convencionales. Para

iii

iv INTRODUCCION

estudiar una introduccion a la teorıa de grupos, uno debe conocer muy bien algrupo por excelencia: Z. El capıtulo 2 esencialmente es una recopilacion del legadode Gauss. La importancia de calcular raız cuadrada en un campo de caracterıstica0 tuvo un papel importante en el desarrollo de las matematicas. Los griegosintuıan la existencia de

√2 pero no comprendıan su significado. Con el desarrollo

de la matematica y con el descubrimiento de los campos finitos, ahora la preguntanatural es ¿que significado tiene

√n en un campo con p elementos Fp, donde p

es un numero primo impar? En los numeros reales R es facil saber si un numeroes o no un cuadrado; basta con que este sea positivo. En un campo finito no estan evidente. El sımbolo de Legendre resuelve en buena medida como identificarcuadrados y hasta ahı nos quedamos porque no existe hasta ahora, un patron omodelo que identifique en donde se encuentran. En R, casi la mitad de los numerosson un cuadrado, con la diferencia que en un campo finito, los cuadrados tienen unadistribucion no tan buena como en R. No es facil saber cual es la distribucion delos cuadrados en Fp. En el capıtulo 4 hacemos un estudio del anillo de los enterosgaussianos Z[i], el cual es un ejemplo de una estructura algebraica que contieneal anillo Z. Ahı notaremos que lo que aprendimos de Z en el capıtulo 1, se puedeextender a los nuevos enteros (gaussianos). Este capıtulo es una invitacion paraaquellos interesados en incursionar en temas avanzados de teorıa algebraica de losnumeros, pero antes deberan estudiar anillos y campos, pasando por la teorıa deGalois.

Cuando estudiamos la historia del algebra moderna uno se enfrenta a dospreguntas ineludibles: ¿que es un grupo? ¿que es la teorıa de grupos? Dependiendode la respuesta (que depende del tiempo en que la ubiquemos), es el camino queelegimos para escribir sobre la teorıa de grupos. Ası, si respondemos que losgrupos son permutaciones (teorema de Cayley), entonces le damos mas significadoaritmetico. Basta recordar los problemas que plantearon Galois y Abel al tratar deresolver ecuaciones polinomiales. Galois asociaba un grupo (no sabıa lo que era ungrupo, solo lo intuıa) a una ecuacion polinomial y deducıa la posible solubilidad delpolinomio en terminos de las propiedades del grupo asociado. Sin embargo, otropunto de vista aceptado en la actualidad, y parece que con exito, es el geometricoa traves de las simetrıas. No tengo dudas en que esta es una de las razones porlas cuales otras disciplinas como la fısica y la quımica han adoptado a la teorıade grupos como un recurso importante en algunas de sus investigaciones. Heelegido el primer punto de vista y con ello, presento la evolucion de una teorıa:

INTRODUCCION v

desde la definicion de grupo, pasando por el teorema de Lagrange y planteando lapregunta guıa: ¿para que divisores del orden de un grupo finito existen subgruposde ese tamano? Ası llegamos a los subgrupos de Sylow. En alguna de las seccionesestudiamos las simetrıas de un cuadrado y creo que ese es el momento oportuno deintroducir los grupos dihedricos como grupos de simetrıas de polıgonos regulares.Si el lector lo decide, puede utilizar esta seccion para dar comienzo al estudio dela teorıa de grupos.

No esta por demas recordarlo pero, la filosofıa de un curso introductorio deteorıa de grupos finitos debe ser el presentar ese gran proyecto de finales del sigloxix:

“It would be of the greatest interest if it were possible to give an overview ofthe entire collection of finite simple groups”

Serıa del mayor interes si fuera posible dar una descripcion de la coleccioncompleta de los grupos finitos simples

Ası comienza el artıculo [15] de Otto Holder escrito en 1892, ano en que nacioel programa propuesto por el profesor Holder que ha llevado poco mas de 110 anospara ser considerado completamente resuelto. Es una labor titanica establecer elTeorema de Clasificacion de los Grupos Simples Finitos que, de acuerdo al profesorDaniel Gorestein, la prueba contiene mas de 10 000 paginas que son resultado delas investigaciones de mas de 100 investigadores durante 110 anos. En estas notas,damos algunas familias infinitas de grupos simples finitos, por ejemplo los gruposcıclicos finitos y los grupos alternantes An, para n ≥ 5.

Tres consejos practicos para los jovenes lectores:

• Comprender los conceptos y definiciones es fundamental, no debe quedarduda alguna.

• Leer una demostracion sin los detalles tecnicos. Una vez comprendida lafilosofıa de una demostracion, intentar los detalles.

• Trabajar en equipo es recomendable pues de esta manera se adquierecompromiso.

Mario Pineda Ruelas,Departamento de Matematicas,Universidad Autonoma Metropolitana-Iztapalapa.Septiembre del 2011, Mexico.

Contenido

Introduccion iii

Capıtulo 1. Los enteros Z 11.1. Algoritmo de la division 11.2. Maximo comun divisor 71.3. Mınimo comun multiplo 131.4. Teorema Fundamental de la Aritmetica 151.5. Sobre la factorizacion unica y los numeros primos 181.6. Otras factorizaciones 21

Capıtulo 2. Enteros modulo m, Zm 332.1. Congruencias 332.2. La congruencia ax ≡ b (mod m) 402.3. Sistemas de congruencias de grado 1 422.4. La ecuacion ϕ(x) = n 512.5. La congruencia f(x) ≡ 0 (mod m) 522.6. Lema de Hensel 562.7. La congruencia f(x) ≡ 0 (mod p) 59

Capıtulo 3. Cuadrados en Fp 673.1. Sımbolo de Legendre 693.2. Ley de reciprocidad cuadratica 733.3. Sımbolo de Jacobi 87

Capıtulo 4. Los enteros gaussianos Z[i] 954.1. Divisibilidad en Z[i] 964.2. Factorizacion unica en Z[i] 104

vii

viii CONTENIDO

4.3. Numeros primos en Z[i] 1074.4. Factorizacion explıcita de un entero gaussiano 110

Capıtulo 5. Grupos 1175.1. Grupos y subgrupos 1175.2. Subgrupos normales y anormales 1395.3. Homomorfismos de grupos 1465.4. Productos directos 1575.5. Teoremas de Sylow 1675.6. Importancia de los grupos simples finitos 1795.7. Grupo simetrico 1835.8. Grupos y geometrıa 1975.9. El concepto de grupo abstracto: Teorema de Cayley 206

Bibliografıa 211

Indice 213

Capıtulo1Los enteros Z

1.1. Algoritmo de la division

En este trabajo N, Z, Q, R y C denotan a los numeros naturales, enteros,racionales, reales y complejos respectivamente. Por principio, no consideramosal numero 0 como numero natural y definimos N0 = N ∪ {0}. Asumimos queZ = {0, n,−n : n ∈ N}.

Una de las herramientas mas utiles en las matematicas es el Principio deInduccion Matematica (PI) y su equivalente el Principio del Buen Orden (PBO). ElPI nos brinda un metodo para hacer demostraciones de afirmaciones que involucrana los numeros naturales. Concretamente, el PI y el PBO afirman lo siguiente:Principio de Induccion Matematica: Sea S ⊆ N tal que S satisface las siguientespropiedades:

1. 1 ∈ S.2. Si 1, 2, . . . n ∈ S, entonces n+ 1 ∈ S.

Entonces S = N.

Observamos que si X = {x1, x2, . . . , xr} es un conjunto finito, entonces enX ∪ N tambien se cumple un Principio de Induccion. Simplemente definimos enX ∪ N un orden: xi ≤ xj si i ≤ j y xi < n para i = 1, 2, . . . , r y n ∈ N. Loanterior significa que hemos impuesto una formacion en los elementos de X ∪N ={x1, . . . , xr, 1, 2, . . . }. Ahora reetiquetamos los elementos de X ∪N de la siguientemanera: sea xr+i = i para i ∈ N. Entonces X ∪ N = {x1, . . . , xr, xr+1, . . . }. Ası:sea S ⊆ X ∪ N tal que:

1. x1 ∈ S.2. si x1, . . . , xn ∈ S, entonces xn+1 ∈ S.

1

2 1. LOS ENTEROS Z

Entonces S = X ∪ N.

En particular, el PI es valido en N0. Para una esplendida exposicion del PI ellector puede consultar el celebre libro de I. S. Sominski [23].

Principio del Buen Orden(PBO): cualquier subconjunto S 6= ∅ de N contieneun elemento m que satisface m ≤ n para todo elemento n ∈ S. Una observacionsimple pero muy util es que el entero m es unico.

Al igual que como lo hicimos con el PI, podemos extender el PBO a otrosconjuntos que contienen a N: si X = {x1, x2, . . . , xr} es un conjunto finito,definimos en X ∪ N un orden: xi ≤ xj si i ≤ j y xi < n para i = 1, 2, . . . , r yn ∈ N. Reetiquetamos los elementos de X ∪N tal como lo hicimos en la discusionanterior y ya podemos plantear un PBO en X ∪ N: cualquier subconjunto S 6= ∅de X ∪ N contiene un elemento xm que satisface xm ≤ xn para todo elementoxn ∈ S.

Teorema 1.1.1. Sea NX = X ∪ N como en la discusion anterior. Entoncesel Principio del Buen Orden es equivalente al Principio de Induccion.

Demostracion. Supongamos que el PBO se cumple. Sea S ⊆ X ∪ N quesatisface las condiciones 1 y 2 del PI y Sc su complemento con respecto a N ∪X.Si Sc 6= ∅, entonces existe xm ∈ Sc tal que xm ≤ xn, para todo xn ∈ Sc y xm 6= x1

pues x1 ∈ S. Observemos en particular que xm−1 6∈ Sc pues xm es el menorelemento de Sc. Por lo tanto xm−1+1 = xm ∈ S. Esto ultimo no es posible puesxm ∈ Sc. Ası, Sc = ∅ y S = X ∪ N.

Ahora supongamos el PI valido y sea S un subconjunto no vacıo de X ∪ N.Vamos a suponer que el conjunto S no contiene un elemento xm tal que xm ≤ xpara todo x ∈ S. Es claro que x1 6∈ S pues de lo contrario S tendrıa un elementomenor. Sea C = {xn ∈ X ∪ N : xn < x, para cualquier x ∈ S}. Es claro quex1 ∈ C pues x1 < x para todo x ∈ S. Mostraremos que si xk ∈ C, entoncesxk+1 ∈ C y luego usaremos el PI para concluir que C = X ∪ N. Si xk ∈ C yxk+1 6∈ C, entonces para algun xl ∈ S se tiene xl ≤ xk+1. Puesto que S no tieneun elemento menor, existe xt ∈ S tal que xt < xl ≤ xk+1. Ası que xt < xk+1 yen consecuencia xt ≤ xk. Esto ultimo no es posible pues xk < xl. Este absurdonace de suponer que xk+1 6∈ C. Por lo tanto xk+1 ∈ C y por el PI tenemos queC = X ∪ N. Particularmente, si x ∈ S, se tiene que x ∈ C. Esto significa quex < x, lo cual no es posible. Por lo tanto, S debe contener un elemento xm talque xm ≤ x para todo x ∈ S. �

1.1. ALGORITMO DE LA DIVISION 3

Lector, ¿recuerda cuando en la escuela primaria ejecutaba divisiones con ente-ros?. Bueno, el siguiente resultado, que es uno de las herencias mas importantes delas culturas ancestrales, nos justifica formalmente por que podıamos hacer nuestrasdivisiones tal como nos los ensenaron nuestros profesores.

Teorema 1.1.2 (algoritmo de la division). Sean a, b ∈ Z con a 6= 0. Existenenteros q y r unicos tales que b = aq + r donde 0 ≤ r < |a|.

Demostracion. Consideremos el conjunto S = {b − am : m ∈ Z}. SeaS0 = S ∩ N0. Es claro que S0 6= ∅. Por el PBO S0 contiene un elemento r quesatisface r ≤ n para todo n ∈ S0. Lo anterior nos asegura que r = b − aq paraalgun q ∈ Z. Ahora mostraremos la unicidad de q y r. Supongamos que

b = aq1 + r1 = aq2 + r2

con

0 ≤ r1 < |a| y 0 ≤ r2 < |a|.Notemos que la igualdad a(q1−q2) = r2−r1 implica |a||q1−q2| = |r2−r1| y como−|a| < r2 − r1 < |a|, tenemos que

−|a| < |a||q1 − q2| < |a|.

cancelando |a| obtenemos −1 < |q1− q2| < 1 y ası q1 = q2. De lo anterior, r1 = r2.Por ultimo, como a 6= 0 entonces a ≥ 1 o a ≤ −1. Si a ≥ 1, tenemos que

b− a(q + 1) = b− aq − a < b− aq = r,

ası

b− a(q + 1) < 0

y por lo tanto r < a = |a|. El caso a ≤ −1 es similar, se sigue al considerar queb− a(q − 1) < 0. �

El algoritmo de la division puede ser usado para obtener un importanteresultado sobre la representacion de numeros naturales.

Teorema 1.1.3. Si a > 1, entonces cualquier entero x > 0 tiene una expresionunica de la forma x = b0 + b1a + · · · + bna

n con n ≥ 0, 0 < bn < a y 0 ≤ bi < apara 0 ≤ i ≤ n− 1.

4 1. LOS ENTEROS Z

Demostracion. La existencia de tal expresion la justificaremos con in-duccion sobre x. Si x = 1 el resultado es evidente. Supongamos que cualquierentero positivo m < x puede ser representado de manera unica en la forma

r0 + r1a+ · · ·+ rk−1ak−1 + rka

k,

donde

0 ≤ ri < a, 0 ≤ i ≤ k y rk > 0.

Por el algoritmo de la division x = qa+r y 0 ≤ r < a. Si q = 0, entonces x = res la representacion que buscamos. Si q = x entonces r = 0, a = 1 es imposiblepues por hipotesis a > 1. Lo anterior nos permite suponer que 0 < q < x.

Por hipotesis de induccion tenemos

q = r0 + r1a+ · · ·+ rk−1ak−1 + rka

k,

con 0 ≤ ri < a y rk > 0. Entonces

x = aq + r = rkak+1 + rk−1a

k + · · ·+ r1a2 + r0a+ r

y con un cambio de ındices apropiado obtenemos que

x = b0 + b1a+ · · ·+ bnan.

Por ultimo mostraremos la unicidad de esta representacion: Concretamente,demostraremos que si

x = b0 + b1a+ · · ·+ bnan = c0 + c1a+ · · ·+ cja

j

entonces n = j y bi = ci para i = 1, 2, . . . , n.. Si nuestra afirmacion es falsatenemos que

0 = h0 + h1a+ · · ·+ hsas, hs 6= 0, s > 0

con |hi| < a para 0 ≤ i ≤ s y hi = ci− bi. Puesto que |hi| < a, entonces hi ≤ a−1y ası

as ≤ |hsas| = |h0 + h1a+ · · ·+ hs−1as−1|

≤ |h0|+ |h1|a+ · · ·+ |hs−1|as−1

≤ (a− 1) + (a− 1)a+ · · ·+ (a− 1)as−1

= (a− 1)(1 + a+ · · ·+ as−1) = as − 1

lo cual es absurdo. �

1.1. ALGORITMO DE LA DIVISION 5

La expresion x = b0 + b1a + · · · + bnan se conoce como la representacion en

base a de x.

Ejemplo 1.1.4. El ejemplo natural es a = 10. Cualquier numero natural tieneuna representacion unica

n = b0 + b110 + b2102 + · · ·+ bn10n.

Ejemplo 1.1.5. Si a = 2, entonces el numero 1475 que esta en base 10 lopodemos escribir como:

1475 = 1 ·20 +1 ·21 +0 ·22 +0 ·23 +0 ·24 +0 ·25 +1 ·26 +1 ·27 +1 ·28 +0 ·29 +1 ·210

Si x ∈ R, definimos la funcion bxc como el mayor entero menor o igual a x.La funcion bxc satisface que bxc ≤ x < bxc + 1. De lo anterior podemos concluirfacilmente bxc − 1 ≤ x− 1 < bxc ≤ x, es decir, x− 1 < bxc ≤ x. La funcion b c seconoce como la funcion mayor entero menor o igual que o funcion piso.

El siguiente resultado nos da una caracterizacion del cociente q en el algoritmode la division.

Teorema 1.1.6. Sean a, b ∈ Z como en el algoritmo de la division.

1. Si a ≥ 1, entonces q =

⌊b

a

⌋.

2. Si a ≤ −1 y r = 0, entonces q =

⌊b

a

⌋.

3. Si a ≤ −1 y r > 0, entonces q =

⌊b

a

⌋+ 1.

Demostracion. Si a ≥ 1, entonces

aq ≤ aq + r = b < aq + a = a(q + 1).

De esta forma obtenemos que

q ≤ b

a< q + 1

y por lo tanto se sigue la primera afirmacion. Si a ≤ −1 y r = 0, entoncesb

a= q

y q =

⌊b

a

⌋. Por ultimo, si a ≤ −1 y r > 0, entonces −1 <

r

a< 0. De lo anterior

6 1. LOS ENTEROS Z

obtenemos

q − 1 < q +r

a=b

a< q

y por lo tanto

⌊b

a

⌋+ 1 = q. �

Ahora ya podemos comenzar propiamente nuestro estudio de la teorıa de ladivisibilidad en Z. Sean a, b ∈ Z. De acuerdo al algoritmo de la division, si a 6= 0,entonces b = aq + r con 0 ≤ r < |a|. Si r = 0 entonces diremos que a divide a b oque b es multiplo de a o que a es un divisor de b. Escribiremos a | b si a divide a by a - b en caso contrario.

El concepto de divisibilidad se puede adoptar casi en cualquier conjunto en elque se pueda sumar y multiplicar. Por ejemplo en anillos y campos. La definiciones practicamente la misma: Si D es un anillo conmutativo y a, b ∈ D con a 6= 0,diremos que a divide a b en D si b = aq para algun q ∈ D. Es importante hacernotar que la nocion de divisibilidad depende no solo de los elementos a, b que seelijan, sino que tambien depende del conjunto en el cual se trabaje. Por ejemplo,7 divide a 6 en Q y 7 no divide a 6 en Z.

Teorema 1.1.7. Sean a, b, c ∈ Z. Las siguientes afirmaciones son ciertas:

1. Si a 6= 0, entonces a | 0, 1 | a, a | a.2. Si a | b y b | c, entonces a | c.

3. Si a | x1, a | x2, . . . , a | xn, entonces a∣∣∣ n∑i=1

αixi para todo αi ∈ Z.

4. Si b 6= 0 y a | b, entonces |a| ≤ |b|.5. Si a | b y b | a, entonces |a| = |b|.6. Si a | b y c | d, entonces ac|bd.

Demostracion. Las afirmaciones 1,2,3,5 y 6 son consecuencia directa de ladefinicion de divisibilidad. Para la afirmacion 4, si b 6= 0 y a | b entonces b = aq,por tanto |b| = |a||q|. Pero b 6= 0 implica que |q| ≥ 1 lo cual quiere decir que|a| ≤ |a||q| = |b|. Esto ultimo significa que cualquier entero distinto de 0 soloadmite un numero finito de divisores. �

Con respecto a la afirmacion 3 del teorema anterior, proponemos una versionelemental: si a | x1 y a | x2, entonces a | x1+x2. Pregunta: ¿es cierta la afirmacioninversa?, es decir, si a | x1 + x2, entonces ¿a | x1 y a | x2? La respuesta es no,

1.2. MAXIMO COMUN DIVISOR 7

por ejemplo, si n > 1, entonces n | 1 + (n − 1), n - 1 y n - n − 1. La afirmacioncorrecta es: si a | x1 +x2 y a | x1, entonces a | x2. Dejamos al lector que justifiqueesta afirmacion.

1.2. Maximo comun divisor

Consideremos los enteros 42 y −56. Observamos que 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42son los divisores positivos de 42. Los numeros 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56 son losdivisores positivos de −56. Notamos que 42 y −56 comparten los divisores 1, 2, 14y el mayor de ellos es 14. Como es de esperarse, un divisor en comun de los enterosa, b es un entero c tal que c | a y c | b. El divisor en comun positivo y mayor lollamaremos el maximo comun divisor de a y b. Este entero lo denotaremos comomcd(a, b). En nuestro caso mcd(42,−56) = 14. Observamos que si a = 0, entoncesa admite como divisores a todos los enteros, excepto 0. Por tanto, si a = b = 0,entonces a y b no tienen un divisor en comun mas grande. Por tanto, para queexista el maximo comun divisor de los enteros a, b, es necesario que al menos a 6= 0o b 6= 0. Por otro lado, por la afirmacion 1 del Teorema 1.1.7, 1 | a y 1 | b, entoncesmcd(a, b) ≥ 1. En el caso particular que mcd(a, b) = 1, diremos que a y b sonprimos relativos. En el siguiente resultado mostraremos dos de las propiedadesmas importantes del mcd en Z.

Teorema 1.2.1. Si a, b ∈ Z con a o b distinto de 0, entonces se cumple:

1. Existen x0, y0 ∈ Z tal que mcd(a, b) = ax0 + by0.2. Si c ∈ Z y c | a, c | b, entonces c | mcd(a, b).

Demostracion. 1. Sea g = mcd(a, b). Consideremos el conjunto

S = {ax+ by : x, y ∈ Z \ {0}}.Si a 6= 0, entonces x = ±1 e y = 0 implican que S ∩ N 6= ∅. Si S0 = S ∩ N,

entonces por el PBO existen x0, y0 ∈ Z tales que d = ax0 + by0 es el menor enteropositivo en S0. Si d - a entonces por el algoritmo de la division a = dq + r y0 < r < d. Ası que

r = a− dq = a− q(ax0 + by0) = a− qax0 − qby0 = a(1− qx0) + b(−qy0).

Por tanto r ∈ S0 lo cual es absurdo. De lo anterior se sigue que d es un divisorcomun de a y b y ası d ≤ g. Finalmente, como g | a y g | b, entonces g | ax0, g | by0

y ası g | d. Por tanto g = d. La segunda afirmacion del teorema es muy sencillapues si c | a y c | b entonces c | ax0 + by0 y por tanto c | g. �

8 1. LOS ENTEROS Z

En la prueba anterior de paso obtuvimos que el mcd(a, b) es la mınimacombinacion lineal positiva de los enteros a y b. Notemos tambien que los enterosx0, y0 no necesariamente son unicos, por ejemplo:

2 = mcd(2, 4) = 2(−1) + 4(1) = 2(5) + 4(−2).

Corolario 1.2.2 (teorema de Euclides). Si a | bc y mcd(a, b) = 1, entoncesa | c. �

Una funcion f(x1, x2, . . . , xn) ∈ Z[x1, x2, . . . , xn] es conocida como ecuaciondiofantina. Estas ecuaciones llevan el nombre de diofantinas en honor a Diofantode Alejandrıa 1. A continuacion estudiamos la ecuacion diofantatina mas sencilla.

Teorema 1.2.3. Sean a, b, c ∈ Z con a 6= 0 o b 6= 0, g = mcd(a, b). Laecuacion ax + by = c tiene solucion en los enteros x, y si y solo si g | c. Siax+ by = c es soluble en Z y x0, y0 es una solucion particular, entonces cualquiersolucion x, y tiene la forma x = x0 − b1t, y = y0 + a1t, donde a = ga1, b = gb1 yt ∈ Z.

Demostracion. Aprovechamos el teorema 1.2.1. Sean x0, y0 ∈ Z tales queax0 + by0 = c. Entonces a = ga1, b = gb1 y

ax0 + by0 = ga1x0 + gb1y0 = g(a1x0 + b1y0) = c.

Por tanto g | c. Recıprocamente, supongamos que g | c y g = ak0 + bl0. Entoncesc = gt para algun t ∈ Z. Ası

c = gt = a(k0t) + b(l0t)

y una solucion es x = k0t, y = l0t. Para la segunda afirmacion, si x, y es cualquiersolucion, entonces

ax0 + by0 = ax+ by = c,

de donde a(x0 − x) = b(y − y0). Por lo tanto a1(x0 − x) = b1(y − y0). Por loanterior b1 | x0−x y a1 | y− y0 pues mcd(a1, b1) = 1. Ası x0−x = b1t para algun

1Diofanto nacio en Alejandrıa entre los anos 200 y 214 d.C. Se sabe con certeza que vivio84 anos gracias al celebre epitafio redactado en forma de problema. Murio entre 284 y 298 d.C.Diofanto es reconocido fundamentalmente por su obra Arithmetica, obra que consta de 13 librosde los cuales solo se conocen 6. En la edicion de 1621 comentada por Bachet de Meziriac, es

donde Pierre de Fermat hace sus comentarios al margen del libro, que serıa publicado en 1670por el hijo de Fermat.


t ∈ Z y x = x0 − b1t. Puesto que

a1(x0 − x) = a1b1t = b1(y − y0),

concluimos que y = y0 + a1t. �

Corolario 1.2.4. Sean a, b ∈ Z con a 6= 0 o b 6= 0. Entonces mcd(a, b) = 1si y solo si la ecuacion ax+ by = 1 es soluble en los enteros x, y. �

Corolario 1.2.5. Sean a1, a2, . . . , as ∈ Z\{0}. Para 1 ≤ j ≤ s, mcd(aj ,m) =

1 si y solo si mcd( s∏i=1

ai,m)

= 1. �

Corolario 1.2.6. Sean a, b ∈ Z con a 6= 0 o b 6= 0. Entonces mcd(a, b) = 1si y solo mcd(ak, bl) = 1 para todo k, l ∈ N . �

Si a y b son divisores del entero c, entonces no necesariamente el producto abes un divisor de c. Por ejemplo, −2 | 8 y 8 | 8, pero (−2)(8) - 8. Aun ası, tenemosel siguiente resultado:

Corolario 1.2.7. Si a | c, b | c y mcd(a, b) = 1, entonces ab | c.

Demostracion. Supongamos que 1 = ax0 + by0, c = at1 = bt2, para ciertosx0, y0, t1, t2 ∈ Z. Entonces

c = cax0 + cby0 = abt2x0 + abt1y0 = ab(t2x0 + t1y0)

y por tanto ab | c. �

Corolario 1.2.8. Si c 6= 0, entonces mcd(ca, cb) = |c|mcd(a, b).

Demostracion. Sea d = mcd(ca, cb), d′ = |c|mcd(a, b) y mcd(a, b) =ax0 + by0. Como ca = dt0 y cb = dt1 tenemos que |c|a = ±dt0 y |c|b = ±dt1, asıd | |c|ax0 y d | |c|by0. Por tanto d | |c|(ax0 + by0), de donde d | d′. El caso d′ | des analogo. �

Corolario 1.2.9. Si g = mcd(a, b), entonces mcd(ag,b

g

)= 1.

Demostracion. Escribimos g = ax0 + by0, entonces 1 =a

gx0 +

b

gy0 y obser-

vamos quea

g,b

gson enteros. �

10 1. LOS ENTEROS Z

Dejamos al lector la demostracion de las siguientes propiedades elementalesdel mcd:

1. mcd(a, b) = mcd(b, a).2. mcd(a, b) = mcd(−a, b) = mcd(a,−b) = mcd(−a,−b) = mcd(|a|, |b|).3. mcd(a, b) = |a| si y solo si a | b.4. Si a 6= 0, entonces mcd(a, 0) = |a|.

Teorema 1.2.10. Sean a, b con a 6= 0 o b 6= 0. Sea d ∈ Z un divisor comunde a y b con la siguiente propiedad: si c | a y c | b, implica que c | d. Entoncesd = ±mcd(a, b).

Demostracion. Si escribimos g = mcd(a, b), entonces g es un divisor comunde a y b. Por tanto g | d. Ahora, si escribimos g = ax0 +by0, entonces d | ax0 +by0.Por la afirmacion 5 del teorema 1.1.7, |g| = |d|. �

Notemos que las condiciones sobre d en el teorema 1.2.10 junto con la condiciond > 0 pueden ser tomadas como la definicion de mcd. Sin embargo esta definiciontambien depende del orden en Z y de que cualquier entero diferente de 0 solotiene un numero finito de divisores. Debido a esto, en otro tipo de estructurasalgebraicas, el teorema 1.2.10 es la definicion de mcd y esta aparece en casi todoslos textos clasicos de algebra moderna.

Un dominio entero es un conjunto D 6= ∅ en el cual se puede sumar ymultiplicar. La suma satisface cuatro propiedades:

1. Si a, b, c ∈ D, entonces a+ (b+ c) = (a+ b) + c.2. Si a, b ∈ D, entonces a+ b = b+ a.3. D contiene un elemento distinguido e con la propiedad e + a = a para

cualquier a ∈ D. El elemento e se llama neutro aditivo.4. Si a ∈ D, entonces existe b ∈ D tal que a+ b = e. Existencia de inversos

aditivos.

El producto o multiplicacion satisface:

1. Si a, b, c ∈ D, entonces a(bc) = (ab)c.2. Si a, b ∈ D, entonces ab = ba.3. Si a, b, c ∈ D \ {e}, entonces ab = ac implica b = c.

Adicionalmente, ambas operaciones tienen algo que ver una con la otra pormedio de la propiedad distributiva: si a, b, c ∈ D, entonces a(b + c) = ab + ac.Notamos que al producto no se le pide que satisfaga la existencia de un neutro y


no necesariamente existen los inversos multiplicativos. Como ejemplos de dominiosenteros tenemos los siguientes:

Ejemplo 1.2.11. Z es un dominio entero.

Ejemplo 1.2.12. Q,R o C son dominios enteros.

Ejemplo 1.2.13. El conjunto A = {m + n√

10 : m,n ∈ Z} es un dominioentero contenido en R y las operaciones que le dan estructura de dominio enteroson la suma y producto usuales de R.

Al final del capıtulo daremos un ejemplo similar al ejemplo 1.2.13 paraincentivar una discusion acerca de la factorizacion y su relacion con la existenciadel mcd.

En los “Elementos” [6], uno de los documentos testimoniales mas importantesen la literatura matematica, Euclides2 hizo una recopilacion del conocimiento dela geometrıa y la aritmetica de su epoca. En el libro ix aparece por primera vezla aplicacion mas importante del celebre algoritmo de la division.

Teorema 1.2.14 (algoritmo de Euclides). Sean a, b ∈ Z con a 6= 0 o b 6= 0.Apliquemos el algoritmo de la division tal como se indica a continuacion:

a = bq1 + r1, 0 < r1 < |b|,b = r1q2 + r2, 0 < r2 < r1,

r1 = r2q3 + r3, 0 < r3 < r2,

......

rk−2 = rk−1qk + rk, 0 < rk < rk−1,

rk−1 = rkqk+1,

Si rk es el ultimo residuo distinto de 0, entonces rk = mcd(a, b).

Demostracion. Si a = 0 y b 6= 0, entonces mcd(0, b) = |b| y por lo tantoel teorema es valido. Por lo anterior podemos suponer que a 6= 0 6= b. Vamos a

2Euclides. Fundador de la escuela de matematicas de la Universidad de Alejandrıa, recibioprobablemente su formacion matematica en la Academia Platonica de Atenas; desgraciadamente

poco se sabe de su vida. Algunos historiadores lo ubican 300 a.C. Su obra mas sobresaliente esLos elementos el cual es resultado de una recopilacion sistematica de trabajos anteriores sobregeometrıa, teorıa de numeros y algebra elemental.

12 1. LOS ENTEROS Z

mostrar algo mas general: si a = bq+r, entonces mcd(a, b) = mcd(b, r). En efecto,si g = mcd(a, b) y g1 = mcd(b, r), entonces g | a y g | b y por tanto g | a − bq,es decir, g | r. Por lo anterior, g | b y g | r y ası g | g1. Analogamente g1 | g.Finalmente notemos que rr | rk−1, ası que mcd(rk, rk−1) = rk y por lo tanto

rk = mcd(rk, rk−1) = · · · = mcd(r1, r2) = mcd(b, r1) = mcd(a, b). �

Ejemplo 1.2.15. Calculemos mcd(37, 125):

125 = 37 · 3 + 14,

37 = 14 · 2 + 9,

14 = 9 · 1 + 5,

9 = 5 · 1 + 4,

5 = 4 · 1 + 1,

4 = 1 · 4 + 0.

Por tanto mcd(37, 125) = 1.

Sin temor a equivocarnos, el algoritmo de Euclides es uno de los resultados masapreciados por su simplicidad y por su vigencia. Este ha servido como ejemploteorico para producir algoritmos en computacion. A continuacion enunciamosalgunos resultados que involucran al mcd.

Teorema 1.2.16. Si a, b ∈ Z y k ∈ N son tales que ak | bk, entonces a | b.

Demostracion. Si g = mcd(a, b), entonces a = ga1, b = gb1. De acuerdo alcorolario 1.2.9, mcd(a1, b1) = 1. Por el corolario 1.2.2, mcd(ak1 , b

k1) = 1. Por tanto

ak1gk | bk1gk y ası ak1 | bk1 . De lo anterior mcd(ak1 , b

k1) = |ak1 | = 1. Como a1 = ±1,

obtenemos que a = ±g y a | b. �

Lema 1.2.17. Si a, b, d ∈ Z son tales que mcd(a, b) = 1 y d | a + b, entoncesmcd(d, a) = mcd(d, b) = 1.

Demostracion. Si mcd(a, d) = g, entonces g | a y g | d. De lo anteriorobtenemos que g | a + b y g | b. Por lo tanto g | mcd(a, b) y g = 1. De manerasimilar se prueba que mcd(b, d) = 1. �

Teorema 1.2.18. Sean a, b ∈ Z tales que mcd(a, b) = 1. Dado el enterom 6= 0, la sucesion {a+bk}k∈Z contiene una infinidad de numeros primos relativoscon m.

1.3. MINIMO COMUN MULTIPLO 13

Demostracion. Sea A = {x ∈ N : mcd(x, a) = 1, x | m}. Puesto que1 ∈ A y m admite solo un numero finito de divisores, A es un conjunto finito. Seac = max{x ∈ A}. Consideremos el entero g = mcd(a+ bc,m). Dado que c ∈ A ymcd(a, b) = 1, tenemos que mcd(a, bc) = 1. Como g | a + bc, por el lema 1.2.17concluimos lo siguiente:

mcd(g, a) = mcd(g, bc) = mcd(a, bc) = mcd(g, c) = 1.

Ademas, c | m, g | m y mcd(g, c) = 1, entonces gc | m y ası gc ∈ A. Puesto que ces el elemento mayor en A, necesariamente g = 1, es decir, mcd(a+ bc,m) = 1.

Con c y m antes, consideremos la sucesion {k = c+ lm}l∈Z. Mostraremos quemcd(a + kb,m) = 1. Sea g = mcd(a + bk,m) = mcd(a + bc + blm,m). Entoncesg | a+ bc con mcd(a, bc) = 1. Aplicando nuevamente el lema 1.2.17,

mcd(g, a) = mcd(g, bc) = 1.

De mcd(g, bc) = 1 y por el corolario 1.2.5 es facil ver que mcd(g, c) = 1. Puestoque g | m, c | m y mcd(g, c) = 1, entonces por el corolario 1.2.7 obtenemos quegc | m y por tanto g = 1. �

El teorema anterior es una version debil del famoso teorema de Dirichlet, elcual asegura que la sucesion {a + bk} contiene una infinidad de primos (aun nohemos definido que es un numero primo). Desafortunadamente para demostrar elteorema de Dirichlet se necesita mucho mas que una introduccion a la teorıa denumeros.

1.3. Mınimo comun multiplo

Sean a1, . . . , ak ∈ Z \ {0}. Cualquier entero x tal que ai | x, (i = 1, . . . , k) lollamaremos multiplo comun de los ai’s. Consideremos el conjunto

S = {x ∈ N : ai | x}.

Observamos que el entero∣∣∣ k∏i=1

ai

∣∣∣ ∈ S, y por lo tanto S 6= ∅. Por el PBO existe

N ∈ S tal que N ≤ x para todo x ∈ S. Al numero N lo llamaremos elmınimo comun multiplo (mcm) de los enteros a1, . . . , ak y lo denotaremos comomcm(a1, . . . , ak). ¿Por que pedir que los ai’s sean diferentes de 0? De manerasimilar al mcd, el mcm tiene la siguiente propiedad universal que lo caracteriza.

14 1. LOS ENTEROS Z

Teorema 1.3.1. Sean a1, . . . , ak ∈ Z \ {0} y N = mcm(a1, . . . , ak). Si c escualquier multiplo comun de los ai’s, entonces N | c.

Demostracion. Supongamos que existe un multiplo comun M de los ai’stal que N - M . Por el algoritmo de la division tenemos que M = Nq + r con0 < r < N . Como M,N son multiplos en comun de los ai’s, entonces existenenteros xi, yi tales que M = xiai, N = yiai con i = 1, . . . , k. Por lo anterior r esun multiplo comun positivo de los ai’s y r < N , ası que N no es el mınimo. �

Lema 1.3.2. Sean a1, a2 enteros diferentes de 0. El numero

|a1a2|mcd(a1, a2)

tiene las siguientes propiedades :

1.|a1a2|

mcd(a1, a2)∈ N.

2. ai

∣∣∣ |a1a2|mcd(a1, a2)

, i = 1, 2.

3. Si x ∈ Z satisface que a1 | x y a2 | x, entonces|a1a2|

mcd(a1, a2)

∣∣∣x.

Demostracion. Primero observemos que mcd(a1, a2) | |a1|. Por lo tantomcd(a1, a2) | |a1a2|. La segunda afirmacion es consecuencia de las siguientesigualdades:

|a1a2|mcd(a1, a2)

= ±a1|a2|

mcd(a1, a2)= ±a2

|a1|mcd(a1, a2)

.

Para la tercera afirmacion consideremos d = mcd(a1, a2) con

a1 = dq1, a2 = dq2, x = a1r = a2t,

y mcd(q1, q2) = 1. Puesto que a1r = dq1r = a2t = dq2t, entonces q1 | q2t, ası q1 | ty t = q1s. De la igualdad

x = a2t = dq2t = s(dq1q2) = sa1a2

d

se sigue el resultado. �

Enseguida tenemos una consecuencia inmediata.

1.4. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA 15

Teorema 1.3.3. Si N = mcm(a1, a2), entonces N =|a1a2|

mcd(a1, a2).

Demostracion. De acuerdo a la afirmacion 2 del lema 1.3.2, el numero|a1a2|

mcd(a1, a2)es un multiplo comun de a1, a2. Aplicando el teorema 1.3.1 obtenemos

que N∣∣∣ |a1a2|

mcd(a1, a2). Por otro lado, si x = N en la afirmacion 3 del teorema

anterior, entonces|a1a2|

mcd(a1, a2)

∣∣∣ N. Por tanto

|a1a2|mcd(a1, a2)

= N,

o equivalentemente mcm(a1, a2) mcd(a1, a2) = |a1a2|.�

Corolario 1.3.4. Si mcd(a, b) = 1, entonces mcm(a, b) = |ab|.

Demostracion. Se sigue de la formula mcm(a, b) mcd(a, b) = |ab|. �

Puesto que mcm(4, 4,−12) mcd(4, 4,−12) 6= |4 · 4 · (−12)|, el teorema 1.3.3 noes valido para mas de dos enteros.

Corolario 1.3.5. Si m es un entero diferente de cero, entonces

mcm(ma,mb) = |m|mcm(a, b).

Demostracion. Se sigue del corolario 1.2.8 y del teorema 1.3.3. �

¿Para calcular el mcm de dos enteros es necesario un algoritmo, como elalgoritmo de Euclides?

1.4. Teorema Fundamental de la Aritmetica

En los enteros diferentes de 0 definimos una relacion: a ∼ b si y solo si a | b yb | a. El lector puede verificar que ∼ es de equivalencia. Si a ∼ b entonces por laafirmacion 5 del teorema 1.1.7 es claro que b = ±a. Ası, cada clase de equivalenciacontiene exactamente dos elementos, a saber, a = {a,−a}. Lo anterior puede seruna buen razon para estudiar divisibilidad o algunas cuestiones aritmeticas soloen enteros positivos.

16 1. LOS ENTEROS Z

Cualquier entero a 6= 0,±1 tiene al menos cuatro divisores: ±1,±a. Si unnumero a con |a| > 1 tiene exactamente estos cuatro divisores, entonces diremosque a es un numero primo. Si a es primo, entonces evidentemente −a es primo,ası que por esta razon sera suficiente estudiar los numeros primos positivos.Reservamos las letras p, q para referirnos a numeros primos. Establecemos elsiguiente convenio: p es primo si y solo si p > 1 y sus unicos divisores positivosson 1 y p. Si un entero positivo n no es primo, entonces diremos que es compuesto,es decir, n es compuesto si n se puede escribir como n = ab con 1 < a, b < n.

Lema 1.4.1. Cualquier entero m > 1 admite al menos un divisor primo.

Demostracion. Si m es primo no hay nada que demostrar. Ası que podemossuponer que m es compuesto. De lo anterior, m admite un divisor positivo1 < a1 < m. Si a1 es primo terminamos. Si no lo es, a1 admite un divisora2 con 1 < a2 < a1. Si a2 es primo terminamos. Si no, continuamos con esteproceso el cual debe ser finito pues estamos encontrando una sucesion de enteros1 < . . . < a2 < a1 < m la cual es finita. �

Observacion: una lectura rapida al lema 1.4.1 nos dice que cualquier enterom 6= 0,±1 lo podemos escribir escribir, en teorıa, como un producto finito deprimos (no necesariamente diferentes).

Lema 1.4.2. Si p es un primo tal que p | ab, entonces p | a o p | b.

Demostracion. Supongamos que p - a. Vamos a mostrar que p | b. Si p - a,entonces mcd(p, a) = 1. Aplicando el corolario 1.2.2 tenemos p | b. �

En estos momentos tal vez sea difıcil apreciar una de las propiedades masimportantes de Z. Esta se refiere a la factorizacion unica de sus elementos.Notemos que si p, q son primos positivos y p | q, entonces p = q.

Teorema 1.4.3 (Teorema Fundamental de la Aritmetica). Todo entero 6=0,±1 se puede escribir en forma unica (salvo el orden) como un producto finito denumeros primos.

Demostracion. De acuerdo al lema 1.4.1 y la observacion al final de suprueba, solo debemos justificar la unicidad. Supongamos que

m = p1p2 · · · pk = q1q2 · · · qs.

1.4. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA 17

Afirmamos que pi = qj y k = s. En efecto, pues si en la factorizacion de msuponemos que k < s, entonces sabiendo que p1 | q1q2 · · · qs obtenemos que p1 = qjpara algun 1 ≤ j ≤ s. Ordenando los primos si es necesario, podemos suponer quep1 = q1. En la expresion p1p2 · · · pk = q1q2 · · · qs cancelamos p1 y q1 para obtenerque

p2 · · · pk = q2 · · · qs.Siguiendo este proceso llegamos a:

p1 = q1, p2 = q2, . . . , pk = qk.

Ası que 1 = qk+1qk+2...qs lo cual no es posible porque los qi son primos.Similarmente k > s nos conduce a un absurdo y por lo tanto k = s. �

Teorema 1.4.4. Sean a, b > 1 y ab = xn con mcd(a, b) = 1 para cierto x ∈ Z.Entonces a = yn y b = zn para ciertos enteros y, z.

Demostracion. Si x = p1p2 · · · pr, entonces ab = xn = pn1pn2 · · · pnr . En la

lista {pn1 , pn2 , . . . , pnr } se encuentran exactamente los factores de a y b. Pues bien,vamos a encontrarlos. Como pn1 | ab y mcd(a, b) = 1 tenemos que pn1 | a opn1 | b pero no a ambos. Supongamos que pn1 | a. Sin perdida de generalidad,podemos suponer que despues de reordenar las potencias pn1 , p

n2 , . . . , p

nr , tenemos

que pn1 , pn2 , . . . .p

nk son los que dividen a a y pnk+1, p

nk+2, . . . , p

nr son los que dividen

a b. Por lo tanto

a = pn1pn2 · · · pnk y b = pnk+1p

nk+2 · · · pnr .

�

Corolario 1.4.5. Si m > 2, entonces existe un primo p tal que m < p < m!

Demostracion. El numero z = m!− 1 > 1 tiene un divisor primo p ≤ z. Sip ≤ m, entonces p | 1, lo cual es imposible. Por tanto m < p ≤ m!− 1 < m!. �

El siguiente resultado ha sido la guıa de investigaciones que involucran a losnumeros primos.

Teorema 1.4.6 (teorema de Euclides). Existe un numero infinito de numerosprimos.

Demostracion. Considera m suficientemente grande en el corolario anterior.�

18 1. LOS ENTEROS Z

¿Como averiguar si un numero entero positivo es compuesto o primo? Larespuesta final no ha sido encontrada. Se conocen algunas tecnicas que sirvencomo prueba de primalidad tal como lo anuncia el siguiente resultado.

Teorema 1.4.7. Si m es compuesto, entonces m admite al menos un divisorprimo p tal que p ≤

√m.

Demostracion. Supongamos que m = p1 · · · ps y p1 ≤ . . . ≤ ps. Entoncesclaramente p2

1 ≤ m y ası p1 ≤√m. �

El enunciado equivalente al del teorema 1.4.7 nos asegura que: si un enterom no admite un divisor primo p ≤

√m, entonces m es un numero primo. En

la practica, cuando tratamos de encontrar algun divisor de un entero positivo m,

intuimos que este debe estar entre 2 ym

2. Concretamente tenemos:

Teorema 1.4.8. Si el entero m es compuesto, entonces cualquier divisor

a 6= 1,m debe satisfacer 1 < a ≤ m

2.

Demostracion. La justificacion es bastante facil. Si m = ab y a 6= 1,m,

entonces b ≥ 2. Por lo tanto 2a ≤ ab = m y ası a ≤ m

2. �

Si buscamos un divisor primo de m, obtenemos primero√m y con una lista

de primos p ≤√m, verificamos si alguno de ellos divide a m. Alternativamente,

si solo buscamos un divisor, con ensayo-error podemos verificar entre los enteros

2, 3, . . . ,[m

2

]. ¿Cual es el inconveniente de estos metodos? La respuesta es simple:

intente usar cualquiera de ellos con un entero de 10 dıgitos solo usando lapiz ypapel. Una computadora serıa la opcion. En tal caso intente con un entero de150 dıgitos. Permıtame decirle lector, que el antiquısimo problema de encontrardivisores de un entero es un problema tan actual, que existen investigacionesbastante serias y complicadas al respecto. Al lector interesado le sugerimosconsultar [3]; ahı podra ver que antecedentes teoricos son necesarios para poderadentrarse en el tema.

1.5. Sobre la factorizacion unica y los numeros primos

Ya vimos que tan complejo puede resultar encontrar divisores de un entero. Unproblema ıntimamente relacionado es el de construir numeros primos consecutivos

1.5. SOBRE LA FACTORIZACION UNICA Y LOS NUMEROS PRIMOS 19

por medio de alguna formula o algoritmo eficiente. Un metodo relativamente facilpara encontar numeros primos consecutivos fue dado por Eratostenes.3 Conside-remos la sucesion 2, 3, 4, . . . . Denotamos por p1 = 2 el cual es el primer numeroprimo. Quitemos de la sucesion 2, 3, . . . todos lo numeros mayores que p1 y queson multiplos de 2. El primero de los numeros restantes que no fue removido esp2 = 3. Nuevamente quitemos de la sucesion todos los numeros mayores que p2

y que son multiplos de p2. El primero de los numeros que no fue removido esp3 = 5. Supongamos que despues del k-esimo paso encontramos el k-esimo primopk. Quitemos de la sucesion todos los numeros mayores que pk y que son divisiblespor pk. En particular p1000 = 7919. El metodo descrito anteriormente es conocidocomo la criba de Eratostenes. El nombre de criba refleja con precision y belleza elobjetivo del algoritmo ideado por este extraordinario hombre: una criba es un aroo rectangulo de madera en donde una de sus tapas esta cubierta de una fina red.Cribar significa, de acuerdo al Diccionario de la Real Academia Espanola, limpiarde impurezas con una criba. Los pueblos de la antiguedad usaban una criba paralimpiar el trigo de impurezas. ¿Ha visto el lector como limpia un albanil la arenaque va a utilizar para preparar una mezcla con cemento?

En la tabla 1 hemos reproducido la criba de Eratostenes hasta el numero400. Resaltan en negro los numeros primos. Observamos que cada 14 numerosconsecutivos existe al menos un primo. Los renglones que contienen los numerosde 201 a 210 y 321 a 330 nos dictan el por que cada 14 numeros consecutivos.Podemos conjeturar que si continuamos con la lista de manera similar, cada 14numeros consecutivos, encontraremos al menos un numero primo. Sea n ∈ N conn ≥ 2. Observemos la siguiente sucesion:

n! + 2, n! + 3, . . . , n! + n

Lo primero que salta a la vista es que si 2 ≤ k ≤ n, entonces k | n! + k.Lo anterior significa que la sucesion anterior esta formada por n − 2 numeroscompuestos. ¿Y si n es suficientemente grande? ¿no que existe una infinidadde numeros primos? ¿en donde se encuentran ubicados? La verdad es que

3Eratostenes (276 a.C-194 a.C). Poeta, historiador, geografo, matematico, astronomo yatleta nacido en Cirene, ciudad de la costa sur del Mediterraneo. Su celebridad se debe a habercalculado la longitud de la circunferencia de la tierra con un error de tan solo 90 km. Tambienfue celebre en matematicas por la invencion de la criba que lleva su nombre y que sirve para

encontrar numeros primos. Fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandrıa, cargo que ocupopor mas de cuarenta anos.

20 1. LOS ENTEROS Z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 3 2 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150151 152 153 154 155 156 157 158 159 160

161 162 163 164 165 166 167 168 169 170

171 172 173 174 175 176 177 178 179 180181 182 183 184 185 186 187 188 189 190

191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

201 202 203 204 205 206 207 208 209 210211 212 213 214 215 216 217 218 219 220

221 222 223 224 225 226 227 228 229 230

231 232 233 234 235 236 237 238 239 240241 242 243 244 245 246 247 248 249 250

251 252 253 254 255 256 257 258 259 260261 262 263 264 265 266 267 268 269 270

271 272 273 274 275 276 277 278 279 280

281 282 283 284 285 286 287 288 289 290291 292 293 294 295 296 297 298 299 300

301 302 303 304 305 306 307 308 309 310

311 312 313 314 315 316 317 318 319 320321 322 323 324 325 326 327 328 329 330

331 332 333 334 335 336 337 338 339 340

341 342 343 344 345 346 347 348 349 350351 352 353 354 355 356 357 358 359 360

361 362 363 364 365 366 367 368 369 370

371 372 373 374 375 376 377 378 379 380381 382 383 384 385 386 387 388 389 390

391 392 393 394 395 396 397 398 399 400

Tabla 1

1.6. OTRAS FACTORIZACIONES 21

la distribucion de los primos es un problema bastante complicado y el lectorinteresado debera incursionar en el lugar adecuado: la teorıa analıtica de losnumeros.

1.6. Otras factorizaciones

Desde varios puntos de vista, la factorizacion, no solo de enteros, es un pro-blema importante en casi toda la matematica: factorizamos enteros, polinomios,matrices, etc. De las estructuras algebraicas mas importantes que destaca en todala matematica es el anillo de los numeros enteros Z. Razones puede haber hastasentimentales, por ejemplo, desde nuestros inicios de la instruccion escolar apareceZ. No dudo en afirmarlo: es el prototipo de estructura algebraica que es una delas fuentes mas importantes que provee problemas de investigacion, gracias a queguarda muchos secretos. Posiblemente D. Hilbert4 fue el primer matematico endar ejemplos de estructuras algebraicas simples que no tienen la propiedad de lafactorizacion unica.

Ejemplo 1.6.1. Sea S4 = {4n + 1 : n ∈ N}. Ası por ejemplo 17, 49, 121 ∈ S.El conjunto S4 es cerrado bajo productos pues (4n + 1)(4m + 1) es de la forma4k + 1. Algunos elementos de S4:

5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, . . .

Una definicion apropiada de numero compuesto en S4: x ∈ S4 es compuesto six = ab para ciertos a, b ∈ S4. Por tanto, un numero x ∈ S4 es primo si paracualquier a, b ∈ S4 se tiene que x 6= ab. Por ejemplo, 9, 77, 49, 121 son algunosprimos en S4 y cualquier primo de la forma 4n+ 1 es primo en S4. Observemos lasiguiente factorizacion en S4:

5929 = 77 · 77 = 49 · 121.

Por tanto S no tiene factorizacion unica.

4David Hilbert nacio el 23 de enero de 1862 en Konisberg, Prusia Oriental hoy Rusia y murioel 14 de febrero de 1943 en Gotinga, Alemania. Sin duda, Hilbert fue uno de los matematicosque mas ha influido en la geometrıa despues de Euclides; fundador de la logica matematica yla teorıa de la demostracion, entre otras. Proporciono los fundamentos de la mecanica cuantica

y la relatividad general. En 1900 propone una lista de 23 problemas que habrıan de marcar elrumbo de las matematicas durante la primera mitad del siglo XX.

22 1. LOS ENTEROS Z

Ejemplo 1.6.2. Ahora con matrices. Sea S =

{(a aa a

): a ∈ Z

}. Con

el producto usual de matrices, si (x) denota cualquier elemento tıpico de S, ellector puede verificar facilmente que (y)(z) = (2yz). Diremos que (x) ∈ S escompuesto si (x) = (y)(z) y (y), (z) ∈ S. En caso contrario diremos que (x)es primo. Observamos que la matriz (1) no tiene la propiedad esperada pues(x)(1) = (2x) 6= (x), de hecho S no tiene un elemento identidad. Observamos quesi x = 2t, entonces (x) = (2t) = (1)(t) es compuesto. Si x = 2t + 1, entoncesclaramente no existen (y), (z) ∈ S tal que (x) = (y)(z). Ası que (x) es primo si ysolo si x es impar. Como caso particular, el siguiente ejemplo

(−4 −4−4 −4

)=

(1 11 1

)(−2 −2−2 −2

)=

(−1 −1−1 −1

)(2 22 2

)nos hace sospechar que en S no existe la factorizacion unica. Sea x = 2nq con qimpar. Es claro que:

1. Si x = 2q, entonces (x) = (1)(q) = (−1)(−q).2. Si x = 2nq y n > 1, entonces (x) = (1)n(q) = (1)n−1(−1)(−q).

La unica matriz que se puede factorizar en forma unica es (−2) = (−1)(1).

Ejemplo 1.6.3. El matematico frances Claude Gaspar Bachet (1581-1638) sepreguntaba cuantas soluciones enteras tiene la ecuacion x2 − y3 = k con k ∈ Z.Existen tecnicas elementales para dar respuesta a la existencia de soluciones paraciertos valores de k. El caso que queremos estudiar es x2−y3 = −19. Consideremosel conjunto

Z[√−19] = {a+ b

√−19 : a, b ∈ Z}.

Es muy facil notar que Z[√−19] es cerrado bajo la suma y producto de numeros

complejos. Por lo tanto Z[√−19] es un anillo. Si b = 0 y a ∈ Z, entonces

Z ⊂ Z[√−19]. Los unicos numeros de Z[

√−19] que tienen inverso multiplicativo

son {1,−1}. El teorema 1.4.4 lo podemos reescribir como: “En Z, si ab = xn ymcd(a, b) = 1, entonces a = yn y b = zn para ciertos x, y ∈ Z”.

De hecho, en cualquier estructura aritmetica en donde se cumpla la factori-zacion unica en “primos” es valida la siguiente afirmacion:

“Si A satisface la factorizacion unica, entonces ab = xn y mcd(a, b) = 1 implicaa = yn y b = zn para ciertos x, y ∈ A”


Si Z[√−19] fuera de factorizacion unica, entonces la factorizacion

x2 + 19 = (x+√−19)(x−

√−19) = y3

implica que x+√−19 y x−

√−19 son cubos en Z[

√−19] siempre y cuando el lector

asuma sin demostracion que mcd(x+√−19, x−

√−19) = 1. Primero supongamos

que x+√−19 = (a+ b

√−19)3. La igualdad anterior nos lleva al sistema

x = a3 − 57ab2

1 = 3a2b− 19b3

el cual involucra solo enteros. Por tanto debemos resolverlo en Z. Hagamos unanalisis de la segunda ecuacion. Observamos que b | 1 y ası, b = ±1. Por tantoa 6∈ Z y el sistema no es soluble en Z, por lo cual x2 − y3 = −19 no es solubleen los enteros x, y. Pero 182 − 73 = −19, ası que algo hicimos mal. Justamentesuponer que x+

√−19 y x−

√−19 es un cubo es lo incorrecto. Tener la propiedad

de la factorizacion unica es una herramienta indispensable para, entre otras cosas,resolver ecuaciones polinomiales.

PROBLEMAS

1. Usa el PBO para demostrar que la formula

n∑i=1

i =n(n+ 1)

2es valida para todos los

numeros naturales.2. Estimado lector ¿recuerdas las siguientes formulas?:

a)1

6n(n+ 1)(2n+ 1).

b)1

3(n+ 1)(2n+ 1)(2n+ 3).

c)3

8(9n − 1).

Muestra que para n ∈ N cada una de ellas es un entero.3. Desigualdad de Bernoulli. Sea x ≥ −1 un numero real. Demuestra que si n ∈ N,

entonces (1 + x)n ≥ 1 + nx. ¿Que sucede si x < −1?

4. Demuestra que

n∑i=1

i3 =(n(n+ 1)

2

)2.

5. Demuestra que si n ∈ N, entonces n3 = a2−b2 para ciertos enteros a, b ∈ Z. Primeroexperimenta con algunos valores de n.

24 1. LOS ENTEROS Z

6. Demuestra que

2n∑i=n+1

1

i=

2n∑i=1

(−1)i+1

i.

7. Demuestra que mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c). Concluye que existen x, y, z ∈ Z talque mcd(a, b, c) = ax+ by + cz.

8. Escribe como Z-combinacion lineal el mcd de los siguientes numeros:a) 17 y 43b) 130 y 45c) −39 y 0d) −15 y −18e) 14, 21 y 35f) n y n+ 1g) n y n+ 2

9. Sea g = mcd(a, b). Demuestra la igualdad entre los siguientes conjuntos:

{ax+ by : x, y ∈ Z} = {gt : t ∈ Z}.

10. Sean a, b ∈ Z con a 6= 0. Muestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes:a) a | b.b) mcd(a, b) = |a|.c) mcm(a, b) = |b|.

11. Si a, b ∈ N y mcd(a, b) = 1, muestra que mcd(2a+ b, a+ 2b) = 1 o 3.12. En el corolario 1.2.2 la hipotesis mcd(a, b) = 1 es indispensable. Por ejemplo 4 | 2 · 2

y 4 - 2. Muestra que si a | bc, entonces a | mcd(a, b) mcd(a, c).13. Muestra que 2 | n si y solo si 2 divide al dıgito de las unidades de n.14. Muestra que 5 | n si y solo si el dıgito de las unidades de n es 0 o 5.15. Sea n ∈ N. Muestra que 2n | k si y solo si 2n divide al entero formado por

los n primeros dıgitos de k. Sugerencia: si k = arar−1 . . . a0, entonces k =a0 + a110 + · · ·+ ar10r.

16. Muestra que si k ∈ N, entonces 9 | 10k − 1.17. Muestra que 3 | k si y solo si 3 divide a la suma de los dıgitos de k.18. Muestra que 9 | k si y solo si 9 divide a la suma de los dıgitos de k.

19. Muestra que si k es par y positivo, entonces 11 | 10k − 1.

20. Muestra que si k es impar y positivo, entonces 11 | 10k + 1.

21. Sea k = a0 + a110 + · · ·+ an10n. Muestra que 11 | k si y solo si 11∣∣∣ n∑i=0

(−1)iai.

22. Sean a, b ∈ N tal que mcd(a, b) = 1 y a | n, b | n. Muestra que ab | n.23. En base al problema anterior deduce:

a) Un criterio de divisibilidad por 10.b) Un criterio de divisibilidad por 15.


c) Un criterio de divisibilidad por 18.d) Un criterio de divisibilidad por 45.e) Un criterio de divisibilidad por 2n3.f) Un criterio de divisibilidad por 2n9.g) Un criterio de divisibilidad por 2n5.

24. Sea n = a0 + a110 + · · · + ar10r la representacion decimal de n. Escribimosn = 102a + b, donde b = a0 + a110 es el numero formado por los dos primerosdıgitos de n.a) Muestra que 7 | n si y solo si 7 | 5a− b.b) Muestra que 13 | n si y solo si 13 | 4a− b.c) Muestra que 17 | n si y solo si 17 | 2a− b.

25. Considera la sucesion {2n − 3 : n ≥ 2} = {1, 5, 13, 29, 61, 125, . . . }. Muestra queesta contiene una infinidad de numeros divisibles por 5 y una infinidad de numerosdivisibles por 13, pero no contiene un numero divisible por 5 · 13.

26. Sea n ∈ N. Muestra usando induccion que 3 | 22n + 5.27. Muestra que el producto de dos enteros de la forma 4k + 1 es de la misma forma.

¿Como es el producto de un entero de la forma 4k + 1 por otro de la forma 4k + 3?Si dos enteros son de la forma 4k + 3 ¿de que forma es su producto?.

28. Encuentra todas las soluciones enteras de las siguientes ecuaciones:a) 3x+ 7y = −2b) −2x− 5y = 7c) 2x+ 5y − 11z = 1d) x− 14y − 7z = 4

29. Usa el algoritmo de la division para mostrar que el cuadrado de cualquier entero esde la forma 3k o bien 3k + 1 pero no de la forma 3k + 2.

30. Muestra que el cuadrado de cualquier entero de la forma 4k+ 1 deja residuo 0 o 1 alser dividido por 4. Concluye que la sucesion:

11, 111, 1111, 11111, . . . ,

no contiene terminos que sean un cuadrado. Sugerencia: cualquier termino de lasucesion es de la forma 4k + 3.

31. Muestra que si n es impar, entonces a+ b | an + bn.32. Muestra que a+ b - a2 + b2. Si n es par ¿sera cierto que a+ b - an + bn?33. Muestra que la ecuacion xn + yn = zn−1 tiene una infinidad de soluciones enteras.

Sugerencia: [(an + bn)n−1]n−1 = (an + bn)n2−2n+1.

34. Muestra que la ecuacion xn + yn = zn+1 tiene una infinidad de soluciones enteras.Sugerencia: [a(an + bn)]n + [b(an + bn)]n .

35. Muestra que si n ∈ Z, entonces 3n2 − 1 no es un cuadrado.36. Sean a, b ∈ Z ambos impares. Muestra que 8 | a2 − b2.

26 1. LOS ENTEROS Z

37. Escribe una definicion de mcd y mcm para un conjunto finito de enteros a1, . . . , ak.38. Demuestra las siguientes afirmaciones:

a) Sea m = |a1a2 · · · an| 6= 0. Muestra que

m = mcm(a1, a2, . . . , an) mcd(ma1,m

a2, . . . ,

m

an

).

b) Sea m > 0 un multiplo comun de a1, a2, . . . , an. Muestra que:

m = mcm(a1, a2, . . . , an) si y solo si mcd(ma1,m

a2, . . . ,

m

an

)= 1.

39. Prueba que si a 6= 0 6= b y mcd(a, b) = mcm(a, b), entonces |a| = |b|.40. Supongamos que mcd(a, b) = 1 y d | ab. Muestra que si u = mcd(a, d) y

v = mcd(b, d), entonces uv = d.41. Muestra que no existen x, y ∈ Z tal que x+ y = 80 y mcd(x, y) = 13.42. Prueba que las ecuaciones x+ y = l y mcd(x, y) = g tienen solucion comun si y solo

si g | l.43. Prueba que el sistema de ecuaciones

mcd(x, y) = g

mcm(x, y) = l

es soluble en los enteros x, y si y solo si g | l.44. Muestra que si a1, . . . , am ∈ Z y m > 1 con al menos un ai 6= 0, entonces existen

t1, . . . , tm ∈ Z tal que mcd(a1, . . . , am) = a1t1 + · · ·+ amtm.45. Sean a1, . . . , an, c ∈ Z. Muestra que cualquier solucion z1, z2, . . . , zn ∈ Z de la

ecuacion a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = c esta dada por

z1 = y1 + ant1, z2 = y2 + ant2, . . . , zn−1 = yn−1 + antn−1,

zn = yn − a1t1 − a2t2 − · · · − an−1tn−1,

donde y1, y2, . . . , yn−1, yn ∈ Z es una solucion particular y t1, . . . , tn−1 ∈ Z.

46. Muestra que si mcd(a1, b1) = mcd(a2, b2) = 1 ya1b1

+a2b2∈ Z, entonces |b1| = |b2|.

47. Muestra que mcd(ab,m) = 1 si y solo si mcd(a,m) = mcd(b,m) = 1.48. Muestra que mcd(a, b) = 1 y 3 - a+ b implica mcd(a+ b, a2 − ab+ b2) = 1.49. Si p es primo y a ∈ Z, ¿que posibles valores toma mcd(a, p)?50. Supongamos que p, q son numeros primos tal que p | q. Demuestra que |p| = |q|.51. Encuentra k enteros consecutivos todos ellos compuestos.52. La definicion que dimos de numero primo es: p 6= 0,±1 es primo si p = ab, entonces

a = ±1 o b = ±1. Pruebe que esta definicion es equivalente a la siguiente: p 6= 0,±1es primo si p | ab, entonces p | a o p | b.

53. Muestra que si n > 1 es compuesto, entonces existen a 6= 0, b 6= 0 tal que n | ab yn - a y n - b.


54. Sea n ∈ N tal que n es compuesto. Muestra que el numero Mn = 2n−1 es compuesto.Muestra que si Mn = 2n − 1 es primo, entonces n es primo. Los numeros primosde esta forma son conocidos como primos de Mersenne. Se sabe que el Fraile MarinMersenne en el siglo xvii hizo una serie de postulados acerca de estos numeros quellevan su nombre. En la actualidad solo se conocen 47 de ellos, siendo el mayorM43112609, el cual tiene cerca de 13 millones de dıgitos. En general, muestra quen > 1 y an − 1 es primo, entonces a = 2 y n es primo.

55. Muestra que si 2n + 1 es primo, entonces n es potencia de 2. Los numeros primos dela forma 22n + 1 se conocen como primos de Fermat.5 Fermat conjeturo que todoslos numeros de esta forma eran primos. Sin embargo, Leonard Euler mostro en 1732

que 225 + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417. En general, muestra que si a ≥ 2 y an + 1es primo, entonces a es par y n es una potencia de 2.

56. Sea n =

r∏i=1

pαii con pi 6= pj (i 6= j) . Muestra que la suma de todos los divisores

positivos de n es

r∏i=1

pαi+1i − 1

pi − 1.

57. Sean a =

r∏i=1

pαii (αi ≥ 0) y b =

r∏i=1

pβii (βi ≥ 0) . Si µi = min{αi, βi}, γi = max{αi, βi},

entonces mcd(a, b) =

r∏i=1

pµii y mcm(a, b) =

r∏i=1

pγii .

58. Usa el problema anterior para verificar las siguientes relaciones:

a) mcd(x,mcm(y, z)) = mcm(mcd(x, y),mcd(x, z))b) mcm(x,mcd(y, z)) = mcd(mcm(x, y),mcm(x, z))c) mcm(x, y, z) mcd(x, y, z) ≤ |xyz|. La igualdad se obtiene si y solo si x, y, z son

primos relativos por pares.

59. Muestra que existe una infinidad de primos de la forma 4n+ 1.

60. Muestra que existe una infinidad de primos de la forma 3n+ 2.

61. Sea n > 1. Muestra que1

3(22n+1

+ 22n + 1) es un numero compuesto.

62. Muestra que existe una infinidad de primos de la forma 4n + 3. Sugerencia:supongamos que {p1, p2, . . . , pr} son todos y pi 6= 3 para i = 1, . . . r. El numero

5Pierre de Fermat (1601-1665) nacio en Beaumont-de Lomange, Francia. Estudio leyes enTouluse y en sus ratos de ocio se dedico a la literatura y a las matematicas. Contribuyo a la

evolucion de la geometrıa analıtica, el calculo diferencial e integral, la teorıa de numeros y lateorıa de las probabilidades. Los principales escritos de Fermat fueron publicados despues de sumuerte bajo el tıtulo Varia Opera Mathematica.

28 1. LOS ENTEROS Z

n = 4(p1p2 · · · pr) + 3 > 1. Luego factoriza n y observa que al menos uno de susfactores primos qi 6∈ {p1, p2, . . . , pr}.

63. Encuentra 30 primos de la forma n2 + 1. Existe una conjetura famosa que afirma:existe una infinidad de primos de la forma n2 + 1.

64. Para x > 0 sea π(x) = el numero de primos p tal que p ≤ x. Ası π(4) = 2, π(9) = 4

, etc.. Paul Erdos demostro de una manera elemental que para x ∈ N, π(x) ≥ lnx

2ln2.

Usa la desigualdad anterior para mostrar que el n-esimo primo pn obtenido en lacriba de Eratostenes satisface que pn < 22n.

65. Considera la sucesion de numeros 22n + 1 con n ∈ N. Prueba que:

a) Si n < m, entonces 22n + 1 es divisor de 22m − 1.

b) Si n 6= m, entonces mcd(22n + 1, 22m + 1) = 1.c) Utiliza b) para mostrar que existe una infinidad de numeros primos.

66. Si a ∈ Z y a 6= 0, entonces las unicas soluciones racionales de la ecuacion xm = a sonnecesariamente enteras.

67. Criba geometrica de Eratostenes. Consideremos en el plano cartesiano los conjuntos

A =

{(0,

1

m) : m = 1, 2, . . .

}, B = {(n+ 1, 0) : n = 1, 2, . . .} , donde cada punto del

conjunto A esta conectado por una recta con cada punto del conjunto B tal como seindica en la figura 1.1:

Figura 1.1

a) Encuentra la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (n+ 1, 0) y (0,1

m).


b) Muestra que la interseccion de la recta y = − 1

m(n+ 1)x+

1

mcon y = −1 es

el conjunto de puntos {((m + 1)(n + 1),−1)}. Concluye en este inciso que lasabscisas de estos puntos son numeros compuestos.

c) Muestra que si x es compuesto, entonces x = (m+1)(n+1), para ciertos naturalesm,n.

d) Muestra que si x es compuesto, entonces existen m,n ∈ N tales que el punto

(x,−1) es la interseccion de las rectas y = − 1

m(n+ 1)x+

1

my y = −1.

68. Consideremos la siguiente coleccion de numeros:

N1 = 2,

N2 = N1 + 1,

N3 = N1N2 + 1,

...

Nk = N1N2 · · ·Nk−1 + 1.

Demuestra que si i 6= j, entonces mcd(Ni, Nj) = 1.

69. Usa el problema anterior para mostrar que existe una infinidad de numeros primos.

70. Sean p1, p2, . . . , pn los primeros numeros primos. Ası, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, etc.Muestra que el (n+ 1)-esimo primo satisface que pn+1 < pnn + 1.

71. Use el problema anterior para concluir que pn < 22n−1

. De esta manera, podemosafirmar que existen al menos n+ 1 primos menores que 22n .

72. Muestra que no existe un numero primo de la forma 8n + 1.

73. Muestra que si n > 11, entonces n = m+ r con m, r ambos compuestos. Sugerencia:si n = 2t+ 1, entonces n = 2(t− 4) + 9.

74. Sean p, q primos tal que p, q ≥ 5. Experimenta con cualquier par de ellos y muestraque 24 | p2 − q2. ¿Puedes hacer una prueba en general?

75. Muestra que el unico primo de la forma n3 − 1 es 7.

76. Muestra que si p es primo, entonces p | np − n para todo n ∈ Z.

77. Sean p, q primos diferentes. Entonces mcd(pn, qm) = 1 para n,m ∈ N.

78. Muestra que si p es primo y p > 3, entonces p = 6n+ 1 o 6n+ 5.

79. Usa el problema anterior para mostrar que si p ≥ 5 un numero primo, entonces p2 +2es un numero compuesto.

80. Muestra que si p y p2 +8 son numeros primos, entonces p3 +4 tambien es un numeroprimo. Por ejemplo, 3 y 32 + 8 son primos y por tanto 33 + 4 es primo.

81. Muestra que si p es primo y mcd(j, p) = 1, entonces mcd(kp + j, p) = 1 para todok ∈ Z.

30 1. LOS ENTEROS Z

82. Concluye la demostracion del teorema 1.4.4.

83. Muestra con un ejemplo que la hipotesis mcd(a, b) = 1 en el teorema 1.4.4 esnecesaria.

84. Muestra que si mcd(a, b) = 1 y p es un primo impar tal que p - a+ b, entonces

mcd(a+ b,ap + bp

a+ b) = 1.

85. a) Sea f(x) = x2+x+11. Verifica que f(n) es un numero primo para n = 0, 1, . . . , 9y f(10) no es primo.

b) Sea f(x) = x2+x+17. Verifica que f(n) es un numero primo para n = 0, 1, . . . , 15y f(16) no es primo.

86. Muestra que si p es primo y n ∈ N, entonces n√p es irracional.

87. Si p1, p2 son primos, entonces√p1 +

√p2 es un numero irracional.

88. Si p1, p2 son primos diferentes, entonces√p1p2 es un numero irracional.

89. Muestra que 3√

2 es un numero irracional. ¿Puedes generalizar?

90. Muestra que no existe un polinomio f(x) ∈ Z[x]\Z tal que f(n) es un numero primopara toda n ∈ N.

91. Muestra que la ecuacion an + bn = cn no tiene soluciones enteras positivas a y bimpares y n par. Sugerencia:

an − 1 = (an2 − 1)(a

n2 + 1)

y los factores son numeros pares consecutivos, uno de ellos divisible por 4.

92. Demuestra que (486)15 + (2048)

15 = (33614)

15 .

93. Fermat observo que el problema de factorizar un entero positivo n era equivalente aresolver la ecuacion n = x2 − y2. Supongamos que n = ab es impar y 1 < a < b < n.Demuestra que la ecuacion n = x2 − y2 es soluble en los enteros x, y.

94. De acuerdo al ejemplo 1.6.2, demuestra que (x) ∈ S es primo si y solo si x es impar.

95. Supongamos que n = pα11 pα2

2 · · · pαrr . Responde y justifica:

a) Si r = 1 y α > 1 ¿cuantos divisores positivos tiene n?.b) Si r = 2 y α1, α2 = 1 ¿cuantos divisores positivos tiene n?.c) Si r = 2 y α1 = 1, α2 > 1 ¿cuantos divisores positivos tiene n?.d) Si r = 2 y α1, α2 > 1 ¿cuantos divisores positivos tiene n?.e) Si r > 2 y αi > 1 para i = 1, . . . , r ¿cuantos divisores positivos tiene n?.

96. En 1752 el matematico prusiano Christian Goldbach comunico a Euler la siguienteconjetura: cualquier entero positivo impar se puede escribir como p+2a2, donde p esun primo o bien 1 y a ≥ 0. Demuestra que el entero 5777 no satisface la afirmacionde Goldbach y por tanto su conjetura es falsa.


97. Identidad de Euler de los cuatro cuadrados. Sean a, b, c, d, e, f, g, h ∈ N y considerelos numeros a2 + b2 + c2 + d2 y e2 + f2 + g2 + h2. Demuestra que

(a2 + b2 + c2 + d2)(e2 + f2 + g2 + h2) = p2 + q2 + r2 + s2.

Si suponemos que cualquier numero primo es suma de cuatro cuadrados, concluyausanto la factorizacion unica de Z, que cualquier entero positivo es suma de cuatrocuadrados. Sugerencia: Use los siguientes valores:

p = ae+ bf + cg + dh,

q = af − be+ ch− dg,r = ag − bh− ce+ df,

s = ah+ bg − de− cf.

Capıtulo2Enteros modulo m, Zm

2.1. Congruencias

La intencion de este capıtulo es construir un conjunto finito, conocido comoanillo de enteros modulo n, en el cual podremos sumar y multiplicar de acuerdoa ciertas reglas establecidas. El estudio de esta clase de conjuntos ha merecido laatencion de destacados matematicos desde hace mas de 250 anos. Sea n un enterodiferente de 0. Definimos en Z la siguiente relacion: a ∼ b si y solo si n | a− b. Silos enteros a, b estan relacionados escribiremos a ≡ b (mod n) y diremos que a escongruente con b modulo n. Es facil verificar que ≡ satisface:

1. Para a ∈ Z, se cumple que a ≡ a (mod n).2. Si a ≡ b (mod n), entonces b ≡ a (mod n).3. Si a ≡ b (mod n) y b ≡ c (mod n), entonces a ≡ c (mod n).

De lo anterior concluimos que ∼ es una relacion de equivalencia y por tanto, Zqueda partido en subconjuntos ajenos dos a dos y no vacıos. Veamos un ejemplo.Si n = 6, entonces a ≡ b (mod 6) si y solo si 6 | a− b. Si denotamos por a la clasede equivalencia del entero a, entonces

0 = {x ∈ Z : x ≡ 0 (mod 6)} = {6t : t ∈ Z}1 = {x ∈ Z : x ≡ 1 (mod 6)} = {6t+ 1 : t ∈ Z}2 = {x ∈ Z : x ≡ 1 (mod 6)} = {6t+ 2 : t ∈ Z}3 = {x ∈ Z : x ≡ 1 (mod 6)} = {6t+ 3 : t ∈ Z}4 = {x ∈ Z : x ≡ 1 (mod 6)} = {6t+ 4 : t ∈ Z}5 = {x ∈ Z : x ≡ 1 (mod 6)} = {6t+ 5 : t ∈ Z}

33

34 2. ENTEROS MODULO m, Zm

No hay mas clases de equivalencia debido al siguiente hecho general: dado n,cualquier entero es congruente con su residuo al ser dividido por n. Por el algoritmode la division el entero a tiene la forma a = nq + r donde 0 ≤ r < |n|, ası quea ≡ r (mod n). Por tanto, podemos elegir como representantes de las clases a losposibles residuos al dividir por n. Ası las cosas, ponemos en un solo conjunto atodas las clases de equivalencia y definimos al anillo de enteros modulo n como:

Zn = {0, 1, . . . , |n| − 1}.

Vale la pena mencionar que fue Gauss 1 el primero en estudiar sistematicamentea los enteros modulo n e introducir la notacion ≡. El siguiente resultado sera labase de las operaciones que vamos a introducir en Zn.

Teorema 2.1.1. Sean a, b, c ∈ Z, n, d ∈ Z \ {0}. Entonces

1. Si a ≡ b (mod n) y c ≡ d (mod n), entonces a+ c ≡ b+ d (mod n).2. Si a+c ≡ b+c (mod n), entonces a ≡ b (mod n) (Cancelacion para la suma).3. Si a ≡ b (mod n), entonces ax ≡ bx (mod n) para toda x ∈ Z.4. Si a ≡ b (mod n) y c ≡ d (mod n), entonces ax+ cy ≡ bx+dy (mod n), para

todo x, y ∈ Z.5. Si a ≡ b (mod n) y c ≡ d (mod n), entonces ac ≡ bd (mod n). En particularam ≡ bm (mod n) para todo m ∈ N.

6. Si d | n y a ≡ b (mod n), entonces a ≡ b (mod d).7. Si f(x) ∈ Z[x] y a ≡ b (mod n), entonces f(a) ≡ f(b) (mod n).

Demostracion. Las afirmaciones 1,2 y 3 son consecuencia directa de ladefinicion. La afirmacion 4 es consecuencia de 3 y 1 en ese orden. Para la

1Karl-Friedrich Gauss nace en Gotinga, Alemania el 30 de abril de 1777. Hijo de padreshumildes, ingresa a la Universidad de Gotinga en 1795 recibiendo el apoyo economico del duqueCarlos Guillermo. El 30 de marzo de 1796 obtiene, a partir de ecuaciones ciclotomicas, la

construccion del polıgono regular de 17 lados con solo regla y compas. Es en este momentocuando decide ser matematico. En 1798 recibe su doctorado en la Universidad de Helmsted bajo

la direccion del profesor Johann Friedrich Pfaff. En 1801 publica su gran tratado Disquisitiones

Aritmeticæ, en el que presenta un resumen de trabajos de sus predecesores, formula conceptos ycuestiones que indicaran, durante mas de un siglo, las lıneas maestras de la investigacion en teorıa

de numeros. Entre sus alumnos mas notables destacan Dedekind y Riemann. Muere durante elsueno el 23 de febrero de 1855. Este espacio es muy breve para describir la grandeza cientıficade Gauss.

2.1. CONGRUENCIAS 35

afirmacion 5 tenemos que a − b = nt y c − d = nt1 para ciertos enteros t, t1.Por lo tanto

(a− b)(c− d) = ac− bd+ d(−a+ b) + b(d− c) = n2tt1.

Puesto que n | d(−a+ b) + b(d− c), entonces n | ac− bd. La afirmacion 6 tambiense obtiene directamente de la definicion de congruencia. La afirmacion 7 se dejacomo ejercicio para el lector. �

Teorema 2.1.2 (Cancelacion para el producto). Si g = mcd(a,m), entonces

ax ≡ ay (mod m) si y solo si x ≡ y (modm

g).

Demostracion. Si ax ≡ ay (mod m), entonces a(x − y) = mt para algunt ∈ Z. Por tanto

a

g(x− y) =

m

gt.

De lo anteriorm

g

∣∣∣ ag

(x− y). Puesto que mcd(mg,a

g

)= 1, entonces

m

g

∣∣∣x−y y por

lo tanto x ≡ y (modm

g). Recıprocamente, si x−y =

m

gt, entonces a(x−y) = m

a

gt

y ası ax ≡ ay (mod m). �

Teorema 2.1.3. Sean m1, . . . ,mr enteros diferentes de 0. Entonces

x ≡ y (mod mi) si y solo si x ≡ y (mod mcm(m1, . . . ,mr)).

Demostracion. Como mi | x − y, entonces x − y es un multiplo comun delos mi’s. Por el teorema 1.3.1, mcm(m1, . . . ,mr) | x − y. La otra implicacion esconsecuencia de la afirmacion 6 del teorema 2.1.1. �

Teorema 2.1.4. Si x ≡ y (mod m), entonces

mcd(x,m) = mcd(y,m).

Demostracion. Por hipotesis x − y = mt para algun t ∈ Z. Puestoque mcd(x,m) | x y mcd(x,m) | m, entonces mcd(x,m) | y. Por lo tantomcd(x,m) | mcd(y,m). De la misma forma se prueba mcd(y,m) | mcd(x,m)y se obtiene la igualdad. �

Si x = 2, y = 4 y m = 7, entonces mcd(2, 7) = mcd(4, 7), pero 2 6≡ 4 (mod 7).Ası que la afirmacion inversa del teorema anterior no es valida.


Antes de continuar, vamos a convenir que los modulos que usaremos en el restode este capıtulo son enteros positivos. Esto no es una imposicion, simplementeobserven que si dividimos un entero a entre n o −n, los posibles residuos sonexactamente los mismos.

Diremos que el conjunto de enteros {x1, . . . , xs} es un sistema completo deresiduos modulo m si: dado cualquier y ∈ Z, existe un unico xi ∈ {x1, . . . , xs} talque y ≡ xi (mod m). Si {x1, . . . , xs} satisface la definicion anterior escribiremosSCR(m) = {x1, . . . , xs}. Notemos que si xi, xj ∈ SCR(m) con i 6= j, entoncesxi 6≡ xj (mod m). Por tanto, en un SCR(m) cualesquiera dos elementos diferentesson incongruentes modulom. Sim > 1, el conjunto {0, 1, . . . ,m−1} es un SCR(m).

Teorema 2.1.5. Si {x1, . . . , xs} y {y1, . . . , yt} son SCR(m), entonces s = t.

Demostracion. Supongamos que s < t . Para cada xi ∈ {x1, . . . , xs} existeun unico yj ∈ {y1, . . . , yt} tal que xi ≡ yj (mod m). Reacomodando los elementosde {y1, . . . , yt} podemos suponer que xi ≡ yi (mod m). Sea yj con s+ 1 ≤ j ≤ t.Puesto que {x1, ..., xs} es un SCR(m), entonces existe un unico xr ∈ {x1, . . . , xs}tal que yj ≡ xr (mod m). De lo anterior se sigue que yj ≡ xr ≡ yr (mod m)y j 6= r, lo cual es absurdo. De la misma forma t < s es imposible. Por tantos = t. �

Corolario 2.1.6. Si m > 1, entonces |SCR(m)| = m.

Demostracion. {0, 1, . . . ,m− 1} es un SCR(m). �

El siguiente resultado es util para identificar cuando un conjunto de enteroses un SCR(m).

Teorema 2.1.7. Si el conjunto {x1, . . . , xm} satisface que xi 6≡ xj (mod m)para i 6= j, entonces {x1, . . . , xm} es un SCR(m).

Demostracion. Como xi 6≡ xj (mod m) para i 6= j, entonces xi y xj dejandiferente residuo al ser divididos por m. Reordenando los xi de tal manera quexi = mqi + i obtenemos que xi ≡ i (mod m). Si y ∈ Z, entonces y = mq + j con0 ≤ j < m. De lo anterior se sigue que y ≡ xj (mod m). �

Si tenemos a la mano un SCR(m), entonces podemos construir otros SCR(m).

Corolario 2.1.8. Si mcd(a,m) = 1 y {x1, . . . , xm} es un SCR(m), entoncesel conjunto {ax1, . . . , axm} es un SCR(m).


Demostracion. Si para algun par de ındices i, j se cumple axi ≡ axj(mod m), entonces usando el teorema de cancelacion para el producto 2.1.2obtenemos que xi ≡ xj (mod m) y esto ultimo solo es posible cuando i = j. �

La diferencia entre Zm y SCR(m) salta a la vista. Por un lado, los elementos deZm son clases de equivalencia o conjuntos, mientras que los elementos de SCR(m)son enteros. Si de cada clase en Zm elegimos un representante, entonces este nuevoconjunto sera un SCR(m).

Diremos que el conjunto de enteros {x1, . . . , xs} es un sistema reducido deresiduos modulo m si: dado cualquier y ∈ Z con mcd(y,m) = 1, entonces existeun unico xi ∈ {x1, . . . , xs} tal que y ≡ xi (mod m). Si el conjunto {x1, . . . , xs}satisface la definicion anterior, escribiremos SRR(m) = {x1, . . . , xs}. Observemosque cualquier xi ∈ SRR(m) satisface que mcd(xi,m) = 1 y si i 6= j, entoncesxi 6≡ xj (mod m).

Ejemplo 2.1.9. SCR(6) = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y SRR(6) = {1, 5}. ¿Nota ladiferencia?.

En analogıa con los sistemas completos de residuos, cualesquiera dos sistemasreducidos de residuos modulo m tienen la misma cardinalidad.

Teorema 2.1.10. Si {x1, . . . , xs} y {y1, . . . , yt} son SRR(m), entonces s = t.

Demostracion. Supongamos que s < t. Como mcd(yj ,m) = 1, entoncesexiste un unico xi ∈ {x1, . . . , xs} tal que yj ≡ xi (mod m). Reacomodando losındices si es necesario, podemos suponer que xj ≡ yj (mod m). Si s + 1 ≤ i ≤ t,entonces yi ≡ xr ≡ yr (mod m) para algun 1 ≤ r ≤ s y por tanto {y1, . . . , yt} noes un SRR(m). Si t < s, repetimos el argumento para llegar a que {x1, . . . , xs} noes un SRR(m). Por tanto s = t. �

Definimos la funcion ϕ de Euler evaluada en el entero positivo m comola cardinalidad de cualquier SRR(m), es decir, ϕ(m) = |SRR(m)|. Segun elteorema anterior, cualesquiera dos SRR(m) tienen la misma cardinalidad, ası quela definicion de la funcion ϕ es consistente. El problema ahora es, dado m, comoencontrar al menos un SRR(m) o mas aun, como identificar un SRR(m) sin recurrira la definicion formal.

Lema 2.1.11. Si m > 1, entonces {1 ≤ x < m : mcd(x,m) = 1} es unSRR(m).


Demostracion. Si y ∈ Z es tal que mcd(y,m) = 1, entonces y = mt+ r con1 ≤ r < m y mcd(r,m) = 1. Es claro que r ∈ {1 ≤ x < m : mcd(x,m) = 1} yy ≡ r (mod m). �

Ahora ya podemos hacer varias cosas, por ejemplo podemos calcular algunosvalores ϕ(m). Ası tenemos que ϕ(4) = 2, ϕ(13) = 12, ϕ(18) = 6, etc..

Corolario 2.1.12. {x1, . . . , xϕ(m)} es SRR(m) si mcd(xi,m) = 1 y xi 6≡ xj(mod m) para i 6= j.

Demostracion. Se deja como ejercicio para el lector. �

Corolario 2.1.13. Si {x1, . . . , xϕ(m)} es un SRR(m) y a ∈ Z es tal quemcd(a,m) = 1, entonces {ax1, . . . , axϕ(m)} es un SRR(m).

Demostracion. Es claro que mcd(axi,m) = 1 y axi 6≡ axj (mod m) parai 6= j. �

Hagamos un alto para agarrar sabor a lo que hemos hecho y a lo que sigue. Enel anillo de enteros modulo m definimos una suma y un producto. Para a, b ∈ Zm:

1. a+ b = a+ b.2. ab = ab.

Veamos un ejemplo. Sea Z12 = {0, 1, 2, 3, . . . , 11}. Ası 5 + 8 = 5 + 8 = 1 y5 ·8 = 5 · 8 = 4. La clase 0 satisface 0+ i = i. Podemos adoptar a 0 como el neutroaditivo en Z12. Aun hay mas:

1 + 11 = 2 + 10 = 3 + 9 = 4 + 8 = 5 + 7 = 6 + 6 = 0,

lo que significa que todos tienen inverso aditivo. Ademas, la clase 1 tiene lapropiedad 1 · i = i. Ası que podemos adoptar a 1 como neutro multiplicativo enZ12. El lector puede verificar facilmente que: 1 ·1 = 5 ·5 = 7 ·7 = 11 ·11 = 1. Estosignifica que las clases 1, 5, 7, 11 tienen inverso multiplicativo y curiosamente cadaclase es su propio inverso. En realidad esto es pura coincidencia porque en generalno es ası. Algo mas acerca de la suma y producto en Zm: ¿todos los elementos deZm tienen inverso aditivo? ¿si cambiamos el representante de las clases al sumar omultiplicar obtenemos el mismo resultado? es decir, ¿las operaciones no dependendel representante? ¿quienes son los que tienen inverso multiplicativo en Zm? Pararesponder la primera pregunta observamos que si i ∈ Zm, entonces la clase m− ies el inverso aditivo de i. Felizmente las afirmaciones 1 y 5 del teorema 2.1.1 nos


aseguran que la suma y producto no dependen del representante. El siguienteresultado es de suma importancia pues nos caracteriza a los elementos de Zm quetienen inverso multiplicativo.

Teorema 2.1.14 (Teorema de Euler2). Si a y m son primos relativos, entoncesaϕ(m) ≡ 1 (mod m).

Demostracion. Sea {x1, . . . , xϕ(m)} un SRR(m). Por el Corolario 2.1.13el conjunto {ax1, . . . , axϕ(m)} tambien es un SRR(m). Puesto que cada xi escongruente a algun axj modulo m, tenemos que

ϕ(m)∏i=1

xi ≡ϕ(m)∏i=1

axi ≡ aϕ(m)

ϕ(m)∏i=1

xi (mod m).

Pero

mcd( ϕ(m)∏i=1

xi ,m)

= 1,

entonces haciendo uso del teorema de cancelacion para el producto 2.1.2,

aϕ(m) ≡ 1 (mod m). �

El teorema de Euler asegura que si mcd(a,m) = 1, entonces aaϕ(m)−1 ≡ 1(mod m). Por supuesto que estamos reconociendo que la clase de aϕ(m)−1 esprecisamente el inverso multiplicativo de la clase a.

Corolario 2.1.15 (Teorema Pequeno de Fermat). Si p es primo y a ∈ Z estal que mcd(a, p) = 1, entonces ap−1 ≡ 1 (mod p).

Demostracion. Si p es primo, ϕ(p) = p− 1. �

2Leonhard Euler nacio el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Ingresa a la Universidadde Basilea para estudiar teologıa y hebreo, pero sus conocimientos y aptitudes en matematicasatraen la atencion de Johan Bernoulli quien le dedica una sesion semanal para responder a sus

preguntas. Euler publico su primera memoria a los dieciocho anos y en sus escritos nunca dejode considerar la potencia deductiva de la inteligencia como la supremacıa indiscutible, y aun

cuando los resultados del calculo contradijeran el sentido comun, no dudaba en adoptarlos. En

todas las ramas de las matematicas puede encontrarse su nombre. Sus contribuciones principalesestan en: el calculo, las ecuaciones diferenciales, la geometrıa analıtica de curvas y superficies,

la teorıa de numeros y el calculo de variaciones. El 7 de septiembre de 1783, despues de haberhablado sobre temas populares de la epoca, como el descubrimiento de Urano, dejo de calculary vivir.


Corolario 2.1.16. Zn es un campo si y solo si n es primo.

Demostracion. Supongamos que Zn es un campo. Cualquier a ∈ Zn, a 6= 0tiene inverso multiplicativo, es decir, la congruencia ax ≡ 1 (mod n) tiene solucionunica. En particular, si a 6= n es un divisor positivo de n tenemos que mcd(a, n) =1 y 1 = ax + ny para ciertos enteros x, y. Por tanto a | 1 y a = 1. Lo anteriorsignifica que n es primo. Recıprocamente, si n > 2 es primo, entonces cualquiera ∈ Zn con a 6= 0 satisface mcd(a, n) = 1. Por el corolario anterior podemosescribir

aan−2 ≡ 1 (mod n),

lo que significa que an−2 es el inverso multiplicativo de a, es decir, cualquierelemento 6= 0 tiene inverso multiplicativo y ası Zn es un campo. Es claro que laafirmacion del corolario tambien es valida si n = 2. �

De ahora en adelante, si n es primo, escribiremos Fn en lugar de Zn.

2.2. La congruencia ax ≡ b (mod m)

Ahora comienza propiamente nuestro estudio de raıces de polinomios. Seam > 0. Si f(x) = a0 +a1x+ ...+anx

n y ai ∈ Z, entonces escribiremos f(x) ∈ Z[x].Si a ∈ Z satisface que f(a) ≡ 0 (mod m) entonces diremos que a es una raız def(x) modulo m. Un hecho importante es que dos raıces a, b son la “misma” raızsi estas satisfacen a ≡ b (mod m). Lo anterior esta garantizado por la afirmacion7 del teorema 2.1.1. Mas adelante haremos algunas consideraciones sobre el gradode un polinomio.

Lema 2.2.1. Sean f(x) = ax+ b ∈ Z[x] y mcd(m, a) = 1. Entonces f(x) ≡ 0(mod m) tiene solucion unica.

Demostracion. Segun el teorema de Euler 2.1.14, aϕ(m) ≡ 1 (mod m).Entonces

−aϕ(m)b ≡ −b (mod m).

Ponemos x = −aϕ(m)−1b y por tanto ax + b ≡ 0 (mod m). Si x1 es otrasolucion, entonces ax1 + b ≡ ax+ b (mod m). Cancelando obtenemos que x1 ≡ x(mod m). �

Para estudiar el caso general en que mcd(a,m) > 1 primero veremos un criterioque nos asegure cuando la congruencia ax ≡ b (mod m) es soluble.

2.2. LA CONGRUENCIA ax ≡ b (mod m) 41

Lema 2.2.2. Consideremos la congruencia ax ≡ b (mod m) y sea g =mcd(a,m). Entonces ax ≡ b (mod m) es soluble si y solo si g | b.

Demostracion. Supongamos que a = gt0, m = gt1 y sea x0 tal que ax0 ≡ b(mod m). Entonces ax0 − b = mt para cierto entero t. Por tanto

b = ax0 −mt = g(t0x0 − t1t),y g | b. Recıprocamente, para ciertos enteros t, y0, y1 tenemos que b = gt yg = ay0 + my1. Ası b = gt = a(y0t) + m(y1t) y x = y0t es solucion de ax ≡ b(mod m). �

El siguiente resultado es la version general del lema 2.2.1.

Teorema 2.2.3. Sea g = mcd(a,m) y supongamos que la congruencia ax ≡ b(mod m) es soluble. Entonces ax ≡ b (mod m) tiene exactamente g solucionesincongruentes.

Demostracion. Sea a = ga0, m = gm0. Si u es solucion de ax ≡ b (mod m),entonces

m | au− b,

ası quem

g

∣∣∣ agu− b

gy u es solucion de

a

gx ≡ b

g(mod

m

g). De esta manera, u es

solucion de ax ≡ b (mod m) si y solo si u es solucion dea

gx ≡ b

g(mod

m

g). Si

seguimos llamando u a la unica solucion de

a

gx ≡ b

g(mod

m

g),

entonces u+ tm

gtambien resuelve las congruencias

a

gx ≡ b

g(mod

m

g) y ax ≡ b (mod m).

Un simple calculo muestra que si t1, t2 ∈ {0, 1, . . . , g−1} con t1 6= t2, entonces

u+ t1m

g6≡ u+ t2

m

g(mod m),

y por lo tanto ax ≡ b (mod m) tiene al menos g soluciones incongruentes. Solo

nos falta probar que cualquier solucion de ax ≡ b (mod m) es de la forma u+ tm

g.


Si denotamos por x1 a cualquier solucion de ax ≡ b (mod m), entonces x1

tambien es solucion dea

gx ≡ b

g(mod

m

g).

Por lo anterior u ≡ x1 (modm

g), y por lo tanto, x1 = u+

m

gt para algun t ∈

Z. �

El lema 2.2.1 nos proporciona un metodo seguro para resolver esta ultimacongruencia. Sin embargo, para valores muy grandes de m este puede ser pocoeficaz.

2.3. Sistemas de congruencias de grado 1

Otra manera de resolver ax ≡ b (mod m) consiste en descomponer m como

producto de factores primos. Si m =

r∏i=1

pαii , de acuerdo al teorema 2.1.3, resolver

ax ≡ b (mod m) es equivalente a resolver el sistema de congruencias ax ≡ b(mod pαii ). Es claro que si para alguna i, ax ≡ b (mod pαii ) no es soluble, entoncesax ≡ b (mod m) no es soluble.

Con lo anterior tenemos dos problemas a la vista, uno de ellos es resolver unsistema de congruencias donde los modulos son potencias de primos, y el segundoproblema consiste en resolver una congruencia donde el modulo es una potencia deun primo. Por el momento estudiaremos un sistema de congruencias relativamentesimple y a la vez mas general.

Teorema 2.3.1. Sean m1, . . . ,mr ∈ N tal que mcd(mi,mj) = 1 para i 6= j.Para i = 1, . . . , r sea xi solucion de bix ≡ ai (mod mi). Entonces el sistema

b1x ≡ a1 (mod m1)

b2x ≡ a2 (mod m2)

......

brx ≡ ar (mod mr)

es soluble.

2.3. SISTEMAS DE CONGRUENCIAS DE GRADO 1 43

Demostracion. Sea m =

r∏i=1

mi. Consideremos la congruencia auxiliar

m

mix ≡ 1 (mod mi)

y sea si tal quem

misi ≡ 1 (mod mi). Entonces x =

r∑i=1

m

misixi resuelve cada una

de las congruencias del sistema. �

En [19] pagina 279, los profesores P. Samuel y O. Zariski afirman que elcalendario solar chino fue elaborado entre los siglos IV y VII d.C y se uso paraencontrar perıodos en comun a varios ciclos de fenomenos astronomicos. Estecalendario da una regla para resolver un sistema lineal de congruencias.

Corolario 2.3.2. [Teorema chino del residuo3] Sean m1, . . . ,mr ∈ N talque mcd(mi,mj) = 1 para i 6= j. Si a1, . . . , ar ∈ Z, entonces el sistema decongruencias

x ≡ a1 (mod m1)

x ≡ a2 (mod m2)

......

x ≡ ar (mod mr)

tiene solucion unica, es decir, cualquier par de soluciones son congruentes modulomcm(m1, . . . ,mr).

Demostracion. Con la notacion del teorema anterior, xi = ai es solucion de

x ≡ ai (mod mi). La solucion del sistema esta dado por x =

r∑i=1

m

misiai. �

3En el libro Arithmetic in nine sections (1257 a.C) escrito por el matematico chino Sun-tzi

se puede leer el siguiente problema: existe un numero indeterminado de objetos que cuando esdividido por 3 deja 2, por 5 deja 3 y por 7 deja 2. ¿Cual es el menor numero? Es posible queeste problema sea el primer testimonio del Teorema Chino del Residuo.


Ejemplo 2.3.3. Consideremos el sistema

3x ≡ 1 (mod 7)

8x ≡ −2 (mod − 6)

x ≡ 2 (mod 5)

Rescatando las hipotesis del teorema 2.3.1 tenemos que

x1 = −2 es solucion de 3x ≡ 1 (mod 7)x2 = −1 ” 8x ≡ −2 (mod − 6)x3 = 2 ” x ≡ 2 (mod 5)s1 = −4 ” (−6)(5)x ≡ 1 (mod 7)s2 = −1 ” (7)(5)x ≡ 1 (mod − 6)s3 = 2 ” (7)(−6)x ≡ 1 (mod 5)

Por tanto x = (−6)(5)(−2)(−4) + (7)(5)(−1)(−1) + (7)(−6)(2)(2) = −373 essolucion del sistema.

Notemos que la hipotesis mcd(mi,mj) = 1 (i 6= j) en el teorema 2.3.1 y portanto tambien en el teorema chino del residuo es indispensable pues de esta formaaseguramos la solucion del sistema. Si al contrario, para algun par de ındices i 6= j,mcd(mi,mj) > 1, entonces todo puede suceder. Por ejemplo, si el sistema

x ≡ 1 (mod 6)

x ≡ 3 (mod 15)

tuviera solucion, entonces x = 6t + 1 = 15t1 + 3 para ciertos enteros t, t1. De loanterior se sigue que x deja residuo 1 y 0 al ser dividido por 3, lo cual es imposiblepor el algoritmo de la division. Por tanto el sistema no es soluble. En la mismadireccion tenemos que x = 18 es solucion del sistema

x ≡ 0 (mod 6)

x ≡ 3 (mod 15).

Mas adelante seguiremos con el estudio de congruencias polinomiales y por el mo-mento completaremos nuestro trabajo mostrando una generalizacion del teoremachino del residuo y algunas propiedades de la funcion ϕ de Euler.


Lema 2.3.4. Sean m1,m2 ∈ N y a1, a2 ∈ Z. Entonces el sistema

x ≡ a1 (mod m1)

x ≡ a2 (mod m2)

tiene solucion si y solo si mcd(m1,m2) | a1 − a2.

Demostracion. Sea b ∈ Z una solucion del sistema. Para i = 1, 2, tenemosque mi | b − ai. Por otro lado mcd(m1,m2) | mi, entonces mcd(m1,m2) |(b−a2)−(b−a1), y por tanto mcd(m1,m2) | a1−a2. Recıprocamente, supongamosque mcd(m1,m2) | a1 − a2. Puesto que mcd(m1,m2) = m1x1 +m2x2 para ciertosenteros x1, x2, entonces podemos escribir:

a1 − a2 = mcd(m1,m2)t = m1x1t+m2x2t,

para algun t ∈ Z. Definimos x12 = a1 −m1x1t = a2 +m2x2t. Es claro que

x12 ≡ a1 (mod m1)

x12 ≡ a2 (mod m2).

Si X es cualquier otra solucion del sistema, entonces

X − x12 ≡ 0 (mod m1)

X − x12 ≡ 0 (mod m2)

si y solo si X ≡ x12 (mod mcm(m1,m2)). �

Notamos que la afirmacion solo si del lema anterior nos describe explıcitamenteun metodo para resolver un sistema particular de dos congruencias.

Ejemplo 2.3.5. Consideremos el sistema de congruencias

x ≡ 27 (mod 15)

x ≡ 2 (mod 20)

x ≡ 22 (mod 10).

La idea principal consiste en resolver primero el sistema formado por las dosprimeras congruencias. Conociendo la solucion general de este, procedemos aresolver un nuevo sistema de dos congruencias. Si m1 = 15, m2 = 20, m3 = 10,a1 = 27, a2 = 2, a3 = 22, observamos que mcd(mi,mj) | ai − aj . En


particular, el sistema formado por las dos primeras congruencias debe tenersolucion. Resolvamos:

x ≡ 27 (mod 15)

x ≡ 2 (mod 20).

Puesto que mcd(15, 20) = 5 = 20(1)+15(−1), entonces 27−2 = (20(1)+15(−1))5y por tanto x12 = 27 + 15(5) = 2 + 20(5) = 102 es una solucion particular.

La solucion general tiene la forma X = 102+mcm(15, 20)t = 102+60t, lo quesignifica X ≡ 102 (mod 60). Ahora resolvemos el sistema

x ≡ 102 (mod 60)

x ≡ 22 (mod 10).

Vemos que 80 = 102 − 22 = mcd(60, 10)8 = 60(8) + 10(−40) y ası obtenemos lasolucion particular 102+60(−8) = 22+10(−40) = −378. Por lo tanto, la soluciongeneral toma la forma

X = −378 + mcm(60, 10)t = −378 + 60t.

Se puede verificar facilmente que cualquier entero de esta forma es solucion delsistema original.

Siguiendo las ideas del ejemplo anterior podemos formalizar el caso de unsistema con tres congruencias, que sera fundamental para el caso general.

Corolario 2.3.6. Sean m1,m2,m3 ∈ N y a1, a2, a3 ∈ Z. Entonces el sistema

x ≡ a1 (mod m1)

x ≡ a2 (mod m2)

x ≡ a3 (mod m3)

tiene solucion si y solo si mcd(mi,mj) | ai − aj para i, j = 1, 2, 3.

Demostracion. Si el sistema tiene solucion, entonces mcd(mi,mj) | ai − ajpara i, j = 1, 2, 3. Recıprocamente, supongamos que mcd(mi,mj) | ai − aj yresolvamos las dos primeras congruencias del sistema:

x ≡ a1 (mod m1)

x ≡ a2 (mod m2).

Denotemos por x12 la solucion del sistema anterior. Ahora intentemos resolver


x ≡ x12 (mod mcm(m1,m2))

x ≡ a3 (mod m3).

Para asegurar que el sistema es soluble debemos mostrar que

mcd(mcm(m1,m2),m3) | x12 − a3

y luego utilizar el lema 2.3.4. En el curso de la prueba del lema 2.3.4 vimos que

x12 = a1 −m1x1t = a2 +m2x2t,

ası

x12 − a3 = (a1 − a3) +m1x1t = (a2 − a3) +m2x2t. (2)

Pero

a1 − a3 = mcd(m1,m3)t1, a2 − a3 = mcd(m2,m3)t2

y

m1 = mcd(m1,m3)t3, m2 = mcd(m2,m3)t4,

para ciertos enteros t1, t2, t3, t4. Sustituyendo las igualdades anteriores en (1)tenemos que

mcd(m1,m3) | x12 − a3 y mcd(m2,m3) | x12 − a3.

Ası, x12 − a3 es un multiplo comun de mcd(m1,m3) y mcd(m2,m3). Por lo tanto

mcm(mcd(m1,m3),mcd(m2,m3)) | x12 − a3.

De acuerdo al problema 58 inciso a) al final del capıtulo 1, tenemos la igualdad

mcd(mcm(m1,m2),m3) = mcm(mcd(m1,m3),mcd(m2,m3)).

Por tanto el sistema

x ≡ x12 (mod mcm(m1,m2))

x ≡ a3 (mod m3)

es soluble por un entero x123. Es claro que x123 es solucion del sistema original ycualquier solucion X satisface X ≡ x123 (mod mcm(m1,m2,m3)). �


Teorema 2.3.7 (Teorema chino del residuo generalizado). Si m1, . . . ,mr ∈ Ny {a1, a2, . . . , ar} ⊂ Z, entonces el sistema

x ≡ a1 (mod m1)

x ≡ a2 (mod m2)

......

x ≡ ar (mod mr)

es soluble si y solo si mcd(mi,mj) | ai − aj.

Demostracion. Si x es solucion del sistema, entoncesmi | x−ai ymj | x−aj .Como mcd(mi,mj) | mi,mj , tenemos que mcd(mi,mj) | x − ai − (x − aj) yterminamos. Para la otra implicacion haremos induccion sobre el numero decongruencias que intervienen en el sistema. Si r = 2, aplicamos el lema 2.3.4.Sea xr−1 una solucion del sistema de congruencias

x ≡ a1 (mod m1)

x ≡ a2 (mod m2)

......

x ≡ ar−1 (mod mr−1).

Cualquier solucion Xr−1 debe satisfacer que

Xr−1 ≡ xr−1 (mod mcm(m1, . . . ,mr−1)).

Ahora, consideremos el sistema

x ≡ xr−1 (mod mcm(m1, . . . ,mr−1))

x ≡ ar (mod mr).

Enseguida aplica las ideas del corolario 2.3.6.�

Teorema 2.3.8. Si mcd(m,n) = 1, entonces ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).

Demostracion. Tenemos tres sistemas reducidos de residuos involucrados:

SRR(mn) = {x1, . . . , xt}, SRR(m) = {r1, . . . , rk},


SRR(n) = {s1, . . . , sj},donde t = ϕ(mn), k = ϕ(m) y j = ϕ(n). Si construimos una funcion biyectivaf : {x1, . . . , xt} → {r1, . . . , rk} × {s1, . . . , sj}, la afirmacion del teorema esevidente. Para i = 1, . . . , t tenemos que mcd(xi,mn) = 1 y por lo tantomcd(xi,m) = mcd(xi, n) = 1. Ası, existe rα ∈ SRR(m) tal que xi ≡ rα(mod m). De la misma manera podemos escoger un unico sβ ∈ SRR(n) tal quexi ≡ sβ (mod n). Definimos f(xi) = (rα, sβ). Puesto que rα, sβ son unicos,entonces f es una funcion. Para mostrar que f es inyectiva supongamos quef(xi) = f(xj) = (rα, sβ). Por la forma en que construimos la pareja (rα, sβ)notamos que

xi ≡ rα (mod m) y xi ≡ sβ (mod n),

xj ≡ rα (mod m) y xj ≡ sβ (mod n).

De lo anterior xi ≡ xj (mod m) y xi ≡ xj (mod n). Por hipotesis tenemosmcd(m,n) = 1, ası que xi ≡ xj (mod mn) y como xi, xj ∈ SRR(mn) concluimosque xi = xj y f es inyectiva. Para la suprayectividad consideremos (r, s) ∈SRR(m)× SRR(n). Estudiaremos el sistema

x ≡ r (mod m)

x ≡ s (mod n).

El teorema chino del residuo nos asegura que el sistema tiene solucion unica x.Por el teorema 2.1.4 tenemos que

mcd(x,m) = mcd(r,m) = mcd(x, n) = mcd(s, n) = 1,

entonces mcd(x,mn) = 1 y por tanto existe un unico xi ∈ SRR(mn) tal que

x ≡ xi (mod mn).

Claramente f(xi) = (r, s) y f es suprayectiva. Por lo tanto t = kj. �

Como aplicacion del teorema anterior, si m = 2735712, entonces ϕ(m) =

ϕ(27)ϕ(35)ϕ(712). En general, si m =

r∏i=1

pαii con pi 6= pj (i 6= j) es la factorizacion

en primos del entero m, tenemos que

ϕ(m) =

k∏i=1

ϕ(pαii ).


Por tanto, para calcular ϕ(m) es necesario conocer la factorizacion del entero m(teoricamente es posible) y todo se reduce a calcular la funcion ϕ en potencias deprimos. El siguiente resultado nos resuelve el problema.

Lema 2.3.9. Si p es primo, entonces ϕ(pn) = pn − pn−1.

Demostracion. Notemos primero que si 0 ≤ j ≤ p − 1, entonces para todok ∈ Z tenemos que mcd(pk+j, p) = 1. Apliquemos directamente la definicion de lafuncion ϕ contando cuantos enteros entre 1 y pn existen y que son primos relativoscon pn. En la siguiente tabla hemos escrito la lista de enteros consecutivos desde1 hasta pn:

1 2 3 · · · pp+ 1 p+ 2 p+ 3 · · · 2p2p+ 1 2p+ 2 2p+ 3 · · · 3p

......

......

...(p− 1)p+ 1 (p− 1)p+ 2 (p− 1)p+ 3 · · · pp

......

......

...(pn−1 − 1)p+ 1 (pn−1 − 1)p+ 2 (pn−1 − 1) + 3 · · · pn−1p.

Observamos que en cada renglon, los primeros p− 1 numeros son de la formapk+j con 0 ≤ j ≤ p−1 y mcd(pk+j, pn) = 1. Como hay pn−1 renglones, entoncesen todo el arreglo existen pn−1(p− 1) enteros primos relativos con pn. �

En el siguiente ejemplo notaremos otra propiedad importante de la funcion ϕ.

Ejemplo 2.3.10. Con una calculadora de bolsillo se puede varificar facilmenteque:

ϕ(2735712) = ϕ(27)ϕ(35)ϕ(712)

= (27 − 26)(35 − 34)(712 − 711)

= 27(1− 1

2)35(1− 1

3)712(1− 1

7)

= 2735712(1− 1

2)(1− 1

3)(1− 1

7)

= 123 005 542 028 544.

2.4. LA ECUACION ϕ(x) = n 51

De cualquier forma, el numero ϕ(2735712) es bastante respetable. Veremosen el siguiente resultado que la conclusion del ejemplo anterior no es una meracoincidencia. La justificacion ya esta puesta sobre la mesa si el lector siguio elejemplo anterior.

Teorema 2.3.11. Si n > 1, entonces ϕ(n) = n∏p|n

(1− 1

p).

Demostracion. Sea n =

k∏i=1

pαii donde pi 6= pj si i 6= j. Entonces

ϕ(n) = ϕ(

k∏1

pαii ) =

k∏1

ϕ(pαii ) =

k∏1

(pαii − pαi−1i ) =

k∏1

pαii (1− 1

pi) =

k∏1

pαii

k∏1

(1− 1

pi) = n

∏p|n

(1− 1

p).

�

2.4. La ecuacion ϕ(x) = n

Como una aplicacion de lo que hemos estudiado acerca de la funcion ϕ,resolveremos la ecuacion ϕ(x) = n (n ∈ N). Claramente si n > 1 es impar,entonces ϕ(x) = n no es soluble. Vale la pena mencionar que en la actualidadno se conoce un metodo que pueda ayudar a resolver directamente la ecuacionϕ(x) = n. El metodo que proponemos es conveniente solo para valores “pequenos”de n, como se vera en el ejemplo. Supongamos que x =

∏pαii . Entonces podemos

escribir

ϕ(x) =∏

pαiipi − 1

pi= n.

Si definimos di = pi − 1, de la igualdad∏

pαiidipi

= n observamos que di | n y

x =n∏di

∏pi.

Puesto que di 6= dj para i 6= j y di | n, entonces∏di es un producto de divisores

de n (no necesariamente todos) tal que di + 1 es un primo pi. De la igualdad


n∏di

=∏

pαi−1i , vemos que cualquier divisor primo de

n∏di

necesariamente

debe ser igual a algun pi. Esta ultima afirmacion es una condicion mas para x.

Ejemplo 2.4.1. Encontraremos las soluciones de la ecuacion ϕ(x) = 4, claro,si es que existen. Los numeros di tal que di + 1 = pi son d1 = 1, d2 = 2, d3 = 4.Por tanto p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5. Al considerar los posibles

∏di tales que

4∏di

es un entero, podemos eliminar aquellos en los cuales4∏di

no es un entero.

Recordemos que solo debemos tomar en cuenta aquellos numeros de la forma4∏di

tales que cualquier divisor primo de este sea algun pi. Con lo anterior construimosla siguiente tabla.

4

d1= 4 y ası x =

4

d1p1 = 8

4

d2= 2 ” x =

4

d2p2 = 6

4

d3= 1 ” x =

4

d3p3 = 5

4

d1d2= 2 ” x =

4

d1d2p1p2 = 12

4

d1d3= 1 ” x =

4

d1d2p1p3 = 10

Por tanto las soluciones son x = 8, 6, 5, 12, 10.

2.5. La congruencia f(x) ≡ 0 (mod m)

En esta seccion seguiremos con nuestro estudio de las raıces de una congruenciade la forma f(x) ≡ 0 (mod m). El objetivo del siguiente resultado consiste enmostrar que la solubilidad de f(x) ≡ 0 (mod m) depende esencialmente de la

solubilidad de f(x) ≡ 0 (mod pαii ) donde m =

k∏i=1

pαii .

Teorema 2.5.1. Si m = pα11 · · · p

αkk y f(x) ∈ Z[x] no es un polinomio

constante, entonces f(x) ≡ 0 (mod m) tiene solucion si y solo si para cada

2.5. LA CONGRUENCIA f(x) ≡ 0 (mod m) 53

i = 1, . . . , k, la congruencia f(x) ≡ 0 (mod pαii ) es soluble. Mas aun, si ti denotael numero de soluciones de f(x) ≡ 0 (mod pαii ), entonces f(x) ≡ 0 (mod m) tieneexactamente t1t2 · · · tk soluciones incongruentes.

Demostracion. Si f(x) ≡ 0 (mod m) tiene solucion, entonces por la afir-macion 6 del teorema 2.1.1, cada una de las congruencias f(x) ≡ 0 (mod pαii )es soluble. Recıprocamnete, si xi denota una solucion de f(x) ≡ 0 (mod pαii ),entonces el teorema chino del residuo asegura que el sistema

x ≡ x1 (mod pα11 )

x ≡ x2 (mod pα22 )

......

x ≡ xk (mod pαkk )

tiene solucion unica x, pues cada una de las congruencias del sistema tiene solucionunica. Por lo anterior tenemos que

f(x) ≡ f(xi) ≡ 0 (mod pαii )

y aplicando el teorema 2.1.3 llegamos a f(x) ≡ 0 (mod m). Para terminar nuestroresultado solo nos resta contar las soluciones de la congruencia original. Conside-remos los siguientes conjuntos:

T1 = {x11, x21, . . . , xt11},T2 = {x12, x22, . . . , xt22},

......

Tk = {x1k, x2k, . . . , xtkk},

donde Ti es el conjunto de soluciones de f(x) ≡ 0 (mod pαii ). Consideremosun elemento tıpico (xi11, xi22, . . . , xikk) ∈ T1 × T2 × · · · × Tk. Con las entradas


construimos el siguiente sistema de congruencias:

x ≡ xi11 (mod pα11 )

x ≡ xi22 (mod pα22 )

......

x ≡ xikk (mod pαkk ).

Por el teorema chino del residuo el sistema tiene solucion unica x. Aplicando elteorema 2.1.3 al sistema anterior obtenemos que

f(x) ≡ f(xi11) ≡ 0 (mod pα11 )

f(x) ≡ f(xi22) ≡ 0 (mod pα22 )

......

f(x) ≡ f(xikk) ≡ 0 (mod pαkk ),

y por lo tanto f(x) ≡ 0 (mod mcm(pα11 , . . . , pαkk ) = m). Ahora elegimos dos ele-

mentos distintos en T1 × · · · × Tk: (x1, . . . , xk) y (x′1, . . . , x′k). Claramente, estos

elementos satisfacen que :

1. f(xi) ≡ f(x′i) ≡ 0 (mod pαii )2. xi 6≡ x′i (mod pαii ) para alguna i.

Supongamos que y es solucion del sistema

x ≡ x1 (mod pα11 )

x ≡ x2 (mod pα22 )

......

x ≡ xk (mod pαkk )

y que y′ resuelve el sistema

x ≡ x′1 (mod pα11 )

x ≡ x′2 (mod pα22 )

......

x ≡ x′k (mod pαkk ).

2.5. LA CONGRUENCIA f(x) ≡ 0 (mod m) 55

Si y ≡ y′ (mod m), entonces necesariamente y ≡ y′ (mod pαii ). Por tanto, en lai-esima congruencia tendrıamos xi ≡ x′i (mod pαii ). Ası que y 6≡ y′ (mod m) yde esta manera hemos probado que f(x) ≡ 0 (mod m) tiene al menos t1t2 · · · tksoluciones incongruentes.

Para ver que son exactamente todas, debemos elegir cualquier solucion z def(x) ≡ 0 (mod m) y ver que z proviene de algun elemento de T1×T2×· · ·×Tk. Enefecto, z = pαii qi + ri con 0 ≤ ri < pαii para 1 ≤ i ≤ k. Ası que z ≡ ri (mod pαii )y por tanto f(z) ≡ f(ri) ≡ 0 (mod pαii ). Por lo anterior, ri es algun xji y z essolucion del sistema

x ≡ r1 (mod pα11 )

x ≡ r2 (mod pα22 )

......

x ≡ rk (mod pαkk ).

y por tanto hay exactamente t1t2 · · · tk soluciones incongruentes de f(x) ≡ 0(mod m). �

Una conclusion importante que podemos leer en el enunciado del teorema 2.5.1es que para resolver una congruencia de la forma f(x) ≡ 0 (mod m) es necesariosaber resolver una congruencia de la forma f(x) ≡ 0 (mod pα), con p primo. Antesde mostrar el resultado principal de esta seccion hagamos algunas consideraciones.Si a, b ∈ Z, n ∈ N, por el teorema del binomio de Newton podemos escribir

(a+ b)n = an + nan−1b+ b2Q(a, b),

donde Q(a, b) depende de a, b. Si f(x) = c0 + c1x + c2x2 + · · · + cnx

n ∈ Z[x],entonces la derivada formal de f(x) es por definicion

f ′(x) = c1 + 2c2x+ · · ·+ ncnxn−1.

Con un calculo elemental el lector puede verificar facilmente que

f(a+ b) = f(a) + bf ′(a) + b2Q(a, b),

donde Q(a, b) es una expresion que depende de a, b.

En seguida mostraremos que una solucion de una congruencia polinomialf(x) ≡ 0 (mod ps) se puede escribir en terminos de alguna solucion de f(x) ≡ 0(mod ps−1). Con repetidas aplicaciones de este argumento, la solucion de la


congruencia modulo ps puede ser reducida a una congruencia modulo p. Estono es todo, pues pensar ahora como construir una solucion modulo ps no es taninmediato. Veremos en el lema de Hensel que bajo cierta condicion se puede hacerla construccion.

Teorema 2.5.2. Las soluciones de f(x) ≡ 0 (mod ps) dependen de lassoluciones de f(x) ≡ 0 (mod ps−1), con s > 1.

Demostracion. Sea z solucion de f(x) ≡ 0 (mod ps). Haremos depender a zde alguna solucion de f(x) ≡ 0 (mod ps−1). Observemos primero que z es solucionde f(x) ≡ 0 (mod ps−1) y por lo tanto el conjunto de soluciones A = {X1, . . . , Xj}de la congruencia f(x) ≡ 0 (mod ps−1) no es vacıo. Por lo anterior, existe X ∈ Atal que z ≡ X (mod ps−1). Ası

z = X + tps−1 (1)

para alguna t ∈ Z. Por tanto, dada una solucion z de la congruencia f(x) ≡ 0(mod ps), existe una solucion X de f(x) ≡ 0 (mod ps−1) tal que z = X + tps−1.De esta manera, cada solucion de f(x) ≡ 0 (mod ps) depende de alguna solucionde f(x) ≡ 0 (mod ps−1). �

Ahora pensemos en lo siguiente: dada una solucion X de f(x) ≡ 0 (mod ps−1)¿que podemos hacer para levantar X a una solucion de f(x) ≡ 0 (mod ps)?

2.6. Lema de Hensel

La respuesta a la interrogante planteada al final de la seccion anterior latenemos en el siguiente resultado.

Teorema 2.6.1 (Lemma de Hensel). Sea X solucion de f(x) ≡ 0 (mod ps−1)tal que p - f ′(X). Entonces existe t ∈ Z tal que X + tps−1 es solucion de f(x) ≡ 0(mod ps).

Demostracion. Por hipotesis f(X) = Mps−1 para algun M ∈ Z, entonces

f(X + tps−1) = Mps−1 + tps−1f ′(X) + t2(ps−1)2Q(X, tps−1),

y como s > 1 tenemos que

(ps−1)2 ≡ 0 (mod ps).

2.6. LEMA DE HENSEL 57

Si pretendemos que f(X + tps−1) ≡ 0 (mod ps), entonces debemos preocu-parnos porque

Mps−1 + tps−1f ′(X) = ps−1(M + tf ′(X)) ≡ 0 (mod ps),

o equivalentemente

M + tf ′(X) ≡ 0 (mod p).

Por hipotesis p - f ′(X), ası mcd(p, f ′(X)) = 1 y por lo tanto la congruenciatf ′(X) ≡ −M (mod p) tiene solucion unica en la variable t. �

Ejemplo 2.6.2. Consideremos el polinomio f(x) = 1 + 3x2 +x3. Es claro queX = 1 satisface f(1) ≡ 0 (mod 5) y 5 - f ′(1). Para construir una solucion modulo52 debemos resolver la congruencia 1 + tf ′(1) ≡ 0 (mod 5). Es claro que t = 1 essolucion y por tanto X + 5t = 6 resuelve 1 + 3x2 + x3 ≡ 0 (mod 52). ¿Podemosconstruir ahora una solucion modulo 53? En este caso 5 - f ′(6) y f(6) = 13 · 52.Ası que M = 13 y la solucion de la congruencia M + tf ′(6) ≡ 0 (mod 5) es t = 13.Por tanto X+t52 = 81 es la solucion de f(x) ≡ 0 (mod 53). Notemos que f ′(81) =20169 y por tanto 5 - f ′(81). Ası, podemos construir una solucion de f(x) ≡ 0(mod 54). En este caso, f(81) = 4409 · 53, M = 4409. Por tanto, una solucion dela congruencia 4409 + 20169t ≡ 0 (mod 5) es t = −1. Ası, una solucion modulo 54

es X = 81− 125 = −44, es decir, 1 + 3(−44)2 + (−44)3 ≡ −79375 ≡ 0 (mod 54).Pareciera que podemos seguir con esta construccion modulo 5n. Tenemos quejustificar que en cada solucion X que obtenemos modulo 5n se cumple la condicion5 - f ′(X). Para finalizar el ejemplo, notemos que el conjunto de soluciones quehemos generado son: x0 = 1, x1 = 6, x2 = 81, x3 = −44 y satisfacen xn ≡ xn−1

(mod 5n), para n = 0, 1, 2, 3. En general, dado un primo p, una sucesion de enteros{x0, x1, . . . , xn, . . . } que satisface xn ≡ xn−1 (mod pn) se le conoce como enterop-adico y el conjunto de enteros p-adicos es un anillo conocido como el anillo deenteros p-adicos.

Existe otro caso en que podemos construir una raız de f(x) ≡ 0 (mod ps) apartir de una raız de f(x) ≡ 0 (mod ps−1). Si la hipotesis p - f ′(X) de lema deHensel la sustituimos por la hipotesis p | f ′(X) y p | M , entonces tf ′(X) ≡ −M(mod p) tiene p soluciones incongruentes pues mcd(p, f ′(X)) = p. Lo anteriorsignifica que cualquier valor de t nos sirve para construir una solucion de f(x) ≡ 0(mod ps). Sin embargo, si p - f ′(X) y p - M , entonces es claro que no existe t talque M + tf ′(X) ≡ 0 (mod p).


En el lema de Hensel la hipotesis p - f ′(X) se ve obscura, es decir, ¿existenejemplos en donde esta hipotesis no se cumple?

Teorema 2.6.3 (Lema debil de Hensel ). Sean p un primo impar y n ∈ N.Entonces x2 ≡ a (mod pn) es soluble si y solo si x2 ≡ a (mod p) es soluble.

Demostracion. Si b satisface b2 ≡ a (mod pn), entonces es claro que b2 ≡ a(mod p). Supongamos ahora que x2 ≡ a (mod p) es soluble. Construiremos unasolucion de x2 ≡ a (mod pn) usando induccion sobre n. Sea b tal que b2 ≡ a(mod p). Entonces b2 = a + tp, para alguna t ∈ Z. Consideremos la congruencia

2by ≡ 1 (mod p). Esta tiene solucion unica c en la variable y pues mcd(2b, p) = 1.Ası que 2bc = pr + 1 para algun r ∈ Z. Si definimos b1 = b− ptc, entonces

b21 = b2 − 2bptc+ p2t2c2 = b2 − (pr + 1)pt+ p2t2c2 = b2 − p2rt− pt+ p2t2c2.

Si reducimos b21 modulo p2 observaremos que b21 ≡ a (mod p2). Por lo tanto,hemos construido explıcitamente una solucion de x2 ≡ a (mod p2) a partir deuna solucion de x2 ≡ a (mod p). Ahora supongamos que hemos construido unasolucion de x2 ≡ a (mod ps) a partir de una solucion de x2 ≡ a (mod p). Lo quesigue es repetir lo que hicimos para construir una solucion de x2 ≡ a (mod p2).Sea bs−1 tal que b2s−1 ≡ a (mod ps). Entonces b2s−1 = a + ts−1p

s, para algunts−1 ∈ Z. Resolvemos la congruencia 2bs−1y ≡ 1 (mod p) y llamemos cs−1 a lasolucion, es decir, 2bs−1cs−1 ≡ 1 (mod p). Escribimos 2bs−1cs−1 = 1 + pr, paraalguna r ∈ Z. Entonces bs = bs−1 − psts−1cs−1 satisface que

b2s = (bs−1 − psts−1cs−1)2

= b2s−1 − 2bs−1psts−1cs−1 + p2st2s−1c

2s−1

= b2s−1 − (1 + pr)psts−1 + p2st2s−1c2s−1

= b2s−1 − psts−1 − ps+1rts−1 + p2st2s−1c2s−1

≡ a− ps+1rts−1 + p2st2s−1c2s−1

≡ a (mod ps+1). �

El lema debil de Hensel funciona muy bien para primos impares. Lo que sos-pechamos ahora es que con p = 2 es donde deben estar los ejemplos. Observamosque x2 ≡ 13 (mod 22) tiene como soluciones a x = 1, 3, pero x2 ≡ 13 (mod 23)no es soluble. La invencion de este ejemplo tiene su fundamento teorico, vea losincisos b) y c) del problema 49 al final del capıtulo.

2.7. LA CONGRUENCIA f(x) ≡ 0 (mod p) 59

2.7. La congruencia f(x) ≡ 0 (mod p)

Si K es un campo, definimos el anillo de polinomios con coeficientes en Kcomo

K[x] = {a0 + a1x+ · · ·+ anxn : ai ∈ K,n ∈ N0}.

Si f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ K[x], decimos que f(x) es de grado n si

an 6= 0. La expresion gr(f(x)) = n indica que f(x) es un polinomio de grado n.Si f(x), g(x) ∈ K[x], decimos que f(x) divide a g(x) si existe q(x) ∈ K[x] tal queg(x) = f(x)q(x). Indicamos este hecho escribiendo f(x) | g(x). Toda la teorıa dedivisibilidad que desarrollamos en Z es valida en el anillo K[x]. Particularmentetenemos:

Teorema 2.7.1 (algoritmo de la division). Si f(x), g(x) ∈ K[x] con g(x) 6= 0,entonces existen q(x), r(x) ∈ K[x] tales que

f(x) = g(x)q(x) + r(x), con r(x) = 0 o gr(r(x)) < gr(g(x)).

Demostracion. Ver [1], pagina 18. �

El anillo de residuos Zn es un campo si y solo si n es un numero primo (verproblema 5), el que denotaremos de ahora en adelante como Fp. Ası que podemosconsiderar polinomios con coeficientes en Fp y dar una definicion apropiada parael grado de una congruencia polinomial. Si f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anx

n ∈ Fp[x]y p - an, entonces decimos que f(x) ≡ 0 (mod p) es una congruencia de grado n.Si p | an, sea j el mayor entero positivo para el cual p - aj . Diremos entoncesque f(x) ≡ 0 (mod p) es una congruencia de grado j. Indicaremos con gr(f(x))el grado de f(x) modulo p. Un polinomio es monico si gr(f(x)) = j y aj ≡ 1(mod p).

Teorema 2.7.2 (Teorema del residuo). Si p es primo y f(x) ∈ Fp[x] no es elpolinomio cero, entonces existe r(x) ∈ Fp[x] monico con las siguientes propiedades:

(1) gr(r(x)) ≤ p− 1(2) f(x) ≡ 0 (mod p) y r(x) ≡ 0 (mod p) tienen exactamente las mismas solu-

ciones.

Demostracion. Por el algoritmo de la division, dividimos f(x) entre elpolinomio xp − x,

f(x) = q(x)(xp − x) +R(x),


donde gr(R(x)) ≤ p−1 o R(x) es el polinomio identicamente cero. Por el TeroremaPequeno de Fermat 2.1.15, xp − x ≡ 0 (mod p) para todo x ∈ Z. Esto demuestraque f(x) ≡ R(x) (mod p) para todo x ∈ Z y por lo tanto f(x) ≡ 0 (mod p) yR(x) ≡ 0 (mod p) tienen exactamente las mismas soluciones.

Supongamos que R(x) = b0+b1x+· · ·+bsxs y p - bs. De acuerdo al lema 2.2.1,existe un unico b ∈ Z tal que bbs ≡ 1 (mod p). Es claro que R(x) ≡ 0 (mod p)y bR(x) ≡ 0 (mod p) tienen las mismas soluciones. El polinomio r(x) = bR(x)satisface la segunda afirmacion del teorema. �

Teorema 2.7.3 (Teorema del factor). Sean p primo y f(x) ∈ Fp[x] \ Fp. Sia ∈ Fp es tal que f(a) ≡ 0 (mod p), entonces x− a | f(x).

Demostracion. Se sigue directamente del teorema del residuo. �

Si f(x) = x2 − 1, entonces el grado de f(x) modulo 8 es 2 y con uncalculo elemental se puede verificar que f(x) ≡ 0 (mod 8) tiene cuatro solucionesincongruentes en Z8, a saber 1, 3, 5, 7. Esto choca con lo que hemos aprendido encursos basicos de algebra. Un polinomio de grado n con coeficientes en R o C tienea lo mas n raıces en R o C. El siguiente resultado muestra que cuando el moduloes un primo p, entonces el numero de raıces de la congruencia polinomial f(x) ≡ 0(mod p) no excede al grado del polinomio. Mas aun, el teorema del residuo nosasegura que el numero de raıces no excede p− 1.

Teorema 2.7.4 (Lagrange). Sea f(x) ∈ Fp[x]. Si n = gr(f(x)), entonces elnumero de soluciones de la congruencia f(x) ≡ 0 (mod p) no es mayor que n.

Demostracion. La prueba es por induccion sobre el grado de f(x) modulop. Si n = 1, entonces la congruencia f(x) ≡ 0 (mod p) tiene la forma ax ≡ b(mod p). Por el lema 2.2.1, esta tiene solucion unica.

Supongamos que el teorema es valido para todas las congruencias polinomialesde grado menor que n. Sea f(x) de grado n modulo p. Si f(x) no tiene solucionesen Fp, entonces el teorema es valido. Denotemos por A = {r1, . . . , rs} al conjuntode soluciones de f(x) ≡ 0 (mod p) y supongamos que A 6= ∅. Dividimos f(x)entre el polinomio x− r1 para obtener

f(x) = (x− r1)q(x) +R(x),

donde R(x) es el polinomio identicamente 0 o gr(R(x)) = 0. Si gr(R(x)) = 0,entonces R(x) es constante. Pero f(r1) ≡ R(r1) ≡ 0 (mod p), ası R(x) es


identicamente 0. Por lo tanto f(x) = (x − r1)q(x) y gr(q(x)) = n − 1. Observaque si i > 1, entonces q(ri) ≡ 0 (mod p). Aplicamos la hipotesis de induccion aq(x). Ası s− 1 ≤ n− 1 y s ≤ n. �

Corolario 2.7.5. Si f(x) ≡ 0 (mod p) tiene mas de gr(f(x)) soluciones,entonces cualquier entero es solucion.

Es siguiente resultado es una de las pruebas de primalidad con muchasaplicaciones teoricas; pero poco practico computacionalmente.

Teorema 2.7.6 (Teorema de Wilson). El entero n es primo si y solo si(n− 1)! ≡ −1 (mod n).

Demostracion. De acuerdo al Teorema Pequeno de Fermat 2.1.15, si n esprimo, entonces

f(x) = xn−1 − 1 ≡ 0 (mod n)

tiene n− 1 soluciones x = 1, 2, . . . , n− 1. Consideremos el polinomio

h(x) = (x− 1)(x− 2) · · · (x− (n− 1)) ≡ 0 (mod n).

Claramente esta congruencia polinomial tambien tiene n − 1 soluciones x =1, 2 . . . , n− 1. Observemos que

g(x) = f(x)− h(x) ≡ 0 (mod n)

es una congruencia de grado a lo mas n− 2 y tiene n− 1 soluciones incongruentes.Por lo tanto 0 tambien es solucion de g(x) ≡ 0 (mod n) y ası

0 ≡ g(0) ≡ −1− (−1)n−1(n− 1)! (mod n).

Si n es impar, entonces (−1)n−1 = 1 y por lo tanto (n − 1)! ≡ −1 (mod n).Si n = 2, es evidente que (2 − 1)! ≡ −1 (mod 2). Recıprocamente, supongamos(n − 1)! ≡ −1 (mod n) y sea d 6= n un divisor de n. Por la afirmacion 6 delteorema 2.1.1 (n − 1)! ≡ −1 (mod d). Pero (n − 1)! ≡ 0 (mod d) porque d | n yd < n. Ası que −1 ≡ 0 (mod d) y d = ±1. Por tanto n es primo. �

PROBLEMAS

1. Muestra que dos enteros son congruentes modulo n si y solo si dejan el mismo residuoal ser divididos por n.

2. Muestra que:


a) Si a ≡ b (mod n) y c ≡ d (mod n), entonces a+ c ≡ b+ d (mod n).b) Si a ≡ b (mod n), entonces para x, y ∈ Z, ax ≡ bx (mod n).c) Si a ≡ b (mod n) y c ≡ d (mod n), entonces ax+ cy ≡ bx+ dy (mod n).d) Si f(x) ∈ Z[x] y a ≡ b (mod n), entonces f(a) ≡ f(b) (mod n).

3. Muestra que si a ∈ N, entonces a2 ≡ 0, 1 (mod 4). ¿Por que 602 915 no es uncuadrado?

4. Muestra que:a) Si n es impar, entonces n2 ≡ 1 (mod 8).b) Si a ∈ Z, entonces 6 | a3 − a.

5. Muestra que Zn es un campo si y solo si n es primo. Conluye que existe una infinidadde campos finitos.

6. Sea n ∈ N impar. Muestra que

n−1∑i=0

i ≡ 0 (mod n). ¿Que pasa si n es par?

7. Encuentra un SCR(19) formado por multiplos de 4.8. Usando la definicion de SRR(m) muestra que {1, 2, 4, 5, 7, 8} es un sistema reducido

de residuos modulo 9.9. Muestra con un ejemplo que si

{x1, . . . , xϕ(m)} = SRR(m), {y1, . . . , yϕ(n)} = SRR(n)

y mcd(m,n) = 1, entonces no necesariamente el conjunto

{xiyj : 1 ≤ i ≤ ϕ(m), 1 ≤ j ϕ(n)}es un sistema reducido de residuos modulo mn.

10. Evalua ϕ(25), ϕ(129), ϕ(527), ϕ(1128), ϕ(5766), ϕ(19997).11. Muestra que ϕ(m) = ϕ(2m) si y solo si m es impar.12. Encuentra todas las soluciones de ϕ(x) = 26 y ϕ(x) = 24.13. Muestra que si p es primo y 2p+ 1 es compuesto, entonces la ecuacion ϕ(x) = 2p no

tiene solucion.14. Muestra que si p y 2p + 1 son primos (por ejemplo 11 y 23), entonces ϕ(x) = 2p es

soluble. Analiza los casos p = 2 y p 6= 2 y cuenta todas las soluciones.15. Muestra que 14 es el menor entero positivo para el cual ϕ(x) = 14 no es soluble.16. Muestra que si mcd(n, 7) = 1, entonces 7 | n6 − 1.17. Muestra que si mcd(n, 7) = 1, entonces 7 | n12 − 1.18. Muestra que 5 | n13 − n para todo n ∈ N.19. Sean a, b ∈ Z y p un primo impar tal que p - a y p - b. Muestra que si ap ≡ bp

(mod p), entonces a ≡ b (mod p).20. Encuentra el inverso aditivo de todos los elementos en: F5, F11, Z14, Z16.21. Sea Un = {a ∈ Zn : ax ≡ 1 (mod n) es soluble}. Muestra que:

a) Si a, b ∈ Un, entonces ab ∈ Un.


b) Si a ∈ Un y b es solucion de ax ≡ 1 (mod n), entonces b ∈ Un.c) |Un| = ϕ(n).d) Muestra que p es primo si y solo si Up = {1, 2, . . . , p− 1}.

22. Si a ∈ Un, entonces decimos que a es una unidad de Zn . Encuentra todas lasunidades en: F5,F17,Z14 y Z16.

23. Muestra que si n ≥ 1, entonces∑d|n ϕ(d) = n. Sugerencia: induccion sobre el

numero de factores primos de n.24. Muestra que si p es primo, entonces xp ≡ x (mod p) para toda x ∈ Z.25. Verifica por medio de ejemplos que dado m > 1, entonces para todo entero x se

cumple:

xm−ϕ(m) ≡ xm (mod m).

26. Muestra que si n tiene k factores primos impares, entonces 2k | ϕ(n).27. Muestra que si d | n y 0 < d < n, entonces d− ϕ(d) < n− ϕ(n).28. Muestra que si p es primo y h+ k = p− 1 con h, k positivos, entonces

h!k! + (−1)h ≡ 0 (mod p).

29. Muestra que si p es primo, entonces (p− 1)! ≡ p− 1 (mod

p−1∑i=1

i).

30. Supongamos que p es primo. Encuentra mcd(p!, (p− 1)!− 1).31. Sean p1, p2, p3 primos diferentes. Encuentra enteros consecutivos n, n + 1, n + 2 tal

que p21 | n, p22 | n+ 1, p23 | n+ 2.32. Considera la siguiente coleccion de congruencias:

a) x ≡ −3 (mod 7)b) x ≡ −2 (mod 11)c) x ≡ 7 (mod 12)d) x ≡ 4 (mod 13)e) x ≡ 8 (mod 14)f) x ≡ −5 (mod 15)g) x ≡ −2 (mod 17)h) x ≡ −1 (mod 18).Resuelve el sistema de congruencias para cada una de las siguientes elecciones:— a) y b).— a), c) y d).— b), d), y g).— a), e) y f).— a), b), d), g), h).

33. Resuelve cada una de las siguientes congruencias:a) 132x ≡ −22 (mod 194)


b) 84x ≡ 156 (mod 605)c) 16x ≡ −3 (mod − 24)d) −5x ≡ 1 (mod 18).

34. Resuelve el sistema de congruencias:

3x ≡ 5 (mod 22)

11x ≡ 3 (mod 28)

35. Encuentra R(x) en el teorema del residuo 2.7.2 en cada uno de los siguientes casos:

a) 3x5 + x4 + 2x3 + 5x+ 6 ≡ 0 (mod 5)b) −2x4 − 3x+ 2 ≡ 0 (mod 7)c) x4 − 5x3 + x2 − 3x+ 2 ≡ 0 (mod 11)d) x4 + 1 ≡ 0 (mod 13).

36. Demuestra el teorema del factor 2.7.3.

37. Supongamos que la congruencia polinomial f(x) ≡ 0 (mod m) tiene m solucionesincongruentes, Demuestra que cualquier entero es solucion.

38. Demuestra el corolario 2.7.5.

39. Muestra que si f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn ≡ 0 (mod p) tiene mas de n soluciones

incongruentes, entonces p | aj para 0 ≤ j ≤ n.

40. Usa el teorema del factor para factorizar los siguientes polinomios:

a) x2 − 13b) x2 − 5x+ 6c) x2 + 2x− 2d) x3 + x+ 2e) x3 − 2f) x3 + 2x2 − 3x− 1.

en cada uno de los anillos F2[x],F5[x],F7[x],F11[x].

41. El polinomio f(x) ∈ Fp[x] \ Fp es irreducible si: siempre que tengamos una factori-zacion f(x) = h(x)g(x), entonces alguno de los factores es un polinomio constante.Considera la siguiente lista de polinomios:

a) x2 − 13b) x2 − 5x+ 6c) x2 + 2x− 2d) x3 + x+ 2e) x3 − 2f) x3 + 2x2 − 3x− 1.

¿Cuales de ellos son irreducibles cuando son considerados en

F2[x], F5[x], F7[x], F11[x]?


42. Un polinomio no constante en Fp[x] es irreducible o no lo es. Si no es irreducible,entonces diremos que es reducible. Use como guıa la definicion de polinomioirreducible (ver problema anterior) para dar la definicion de polinomio reducible enFp[x].

43. Usa el teorema de Wilson para mostrar que si p es un primo de la forma 4n + 1,entonces x2 + 1 ≡ 0 (mod p) tiene solucion.

44. Sea f(x) cualquiera de los siguientes polinomios:a) x3 − x+ 3b) x3 + x2 − 4c) x2 + x+ 7d) x4 + x+ 1.Resuelve la congruencia f(x) ≡ 0 (mod m) para cada uno de los siguientes valoresde m: m = 3, m = 9, m = 27.

45. ¿Cuantas soluciones tiene cada una de las siguientes congruencias?a) x3 − x+ 1 ≡ 0 (mod 35 · 132).b) x3 − x+ 1 ≡ 0 (mod 53 · 7).c) x3 + 5x− 3 ≡ 0 (mod 310 · 55).

46. Continua con el ejemplo 2.6.2 y construye soluciones modulo 55, 56, 57. Verifica quesatisfacen xn ≡ xn−1 (mod 5n) para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

47. Resuelve x3 + 64x2 + x+ 30 ≡ 0 (mod 216).48. Muestra que la ecuacion x2 − 10y2 = ±3 no tiene soluciones enteras x, y.49. Supongamos que a es impar. Muestra que:

a) x2 ≡ a (mod 2) tiene exactamente una solucion.b) x2 ≡ a (mod 22) es soluble si y solo si a ≡ 1 (mod 4). En este caso existen dos

soluciones.c) x2 ≡ a (mod 23) tiene solucion si y solo si a ≡ 1 (mod 23). En este caso existen

exactamente cuatro soluciones.d) Si s ≥ 3 y x2 ≡ a (mod 2s) tiene una solucion cs, entonces x2 ≡ a (mod 2s+1)

tiene una solucion de la forma cs+1 = cs + t2s−1.e) Para s ≥ 3, x2 ≡ a (mod 2s) tiene solucion si y solo si a ≡ 1 (mod 8). En este

caso existen cuatro soluciones.50. Construya varios ejemplos de congruencias cuadraticas en las cuales x2 ≡ a (mod 22)

sea soluble y x2 ≡ a (mod 23) no sea soluble.51. Supongamos que en el problema 49 ponemos como hipotesis a par. ¿Cuales de las

afirmaciones a), b), c), d), e), siguen siendo validas?

Capıtulo3Cuadrados en Fp

En el capıtulo 2 hicimos un estudio de las soluciones del polinomio f(x) ∈Zm[x]. El objetivo de esta seccion es estudiar el caso particular de un polinomiode grado 2 en Fp[x] con p un numero primo impar.

Si f(x) = ax2 + bx+ c ∈ C[x] o R[x], entonces sabemos que f(z0) = 0 si y solosi

z0 =−b±

√b2 − 4ac

2a.

Intentemos usar la formula para un polinomio cuadratico en F5[x]. Seaf(x) = x2 − 2x− 2. Entonces f(z) = 0 si y solo si

z =2±

√(−2)2 − 4(−2)

2=

2±√

12

2≡ 2±

√2

2

≡ (2±√

2)2−1 ≡ (2±√

2)3 (mod 5).

En realidad fue facil efectuar las operaciones, excepto calcular√

2. ¿Que significa√2 en F5? o alternativamente ¿existe x ∈ F5 tal que x2 ≡ 2 (mod 5)? Por ensayo

error, podemos verificar facilmente que no existe x ∈ F5 tal que x2 ≡ 2 (mod 5),es decir, la congruencia f(x) = x2 − 2 ≡ 0 (mod 5) no tiene solucion en F5. Sinembargo, en F7 verificamos que 32 ≡ 42 ≡ 2 (mod 7). De paso observamos quepor el teorema del factor podemos factorizar: x2−2 ≡ (x−3)(x−4) (mod 7). Enestos casos es relativamente facil el ensayo error. Pero ¿y si p es un primo grande?

La formula involucra suma, resta, cociente y raız cuadrada. En Fp es facilsumar, dividir, pero ¿como encontramos x ∈ Fp tal que x2 ≡ b2 − 4ac (mod p)? omenos aun ¿como detectar si f(x) ≡ 0 (mod p) tiene solucion en Fp.

En este capıtulo veremos que resolver una congruencia cuadratica de la forma

ax2 + bx+ c ≡ 0 (mod p)

67

68 3. CUADRADOS EN Fp

es equivalente a resolver y2 − a ≡ 0 (mod p). Esto nos conducira a la definicionde residuo cuadratico en Fp y a la definicion del sımbolo de Legendre1. Despuesestudiaremos las propiedades del sımbolo de Legendre para llegar finalmente a laimportante ley de reciprocidad cuadratica de Gauss. Por ultimo revisaremos elsımbolo de Jacobi el cual es una generalizacion del sımbolo de Legendre.

Sean a ∈ Z y p un primo impar tal que mcd(a, p) = 1. Entonces

ax2 + bx+ c ≡ 0 (mod p) si y solo si

4a(ax2 + bx+ c) ≡ 0 (mod p) si y solo si

4a2x2 + 4abx+ b2 ≡ b2 − 4ac (mod p) si y solo si

(2ax+ b)2 ≡ b2 − 4ac (mod p).

Si y = 2ax + b, a0 = b2 − 4ac, entonces (2ax + b)2 ≡ b2 − 4ac (mod p) es lomismo que y2 ≡ a0 (mod p). Comparemos las soluciones: x0 es solucion de

ax2 + bx+ c ≡ 0 (mod p),

si y solo si y0 = 2ax0 + b es solucion de

y2 ≡ a0 (mod p).

Sean p un primo impar y a ∈ Z tal que mcd(a, p) = 1. Diremos que a esun residuo cuadratico modulo p si y solo si x2 ≡ a (mod p) es soluble. En casocontrario diremos que a es un no residuo cuadratico modulo p.

Ejemplo 3.0.7. 4 es un residuo cuadratico modulo 7 pues x2 ≡ 4 (mod 7) essoluble con x0 = 2.

Ejemplo 3.0.8. −2 no es un residuo cuadratico modulo 5 pues x2 ≡ −2(mod 5) no es soluble para ningun valor de x ∈ F5.

1Adrien-Marie Legendre nacio en 1752 en Toulouse, Francia. Su nombre va unido a un

gran numero de proposiciones, lo que atestigua la diversidad de sus investigaciones. Aunquesobresalio particularmente en teorıa de numeros, contribuyo tambien de manera original en otroscampos: ecuaciones diferenciales, calculo de variaciones, teorıa de funciones, geometrıa euclidianae integrales elıpticas. Sus trabajos matematicos fueron durante mucho tiempo los clasicos por

excelencia: elementos de geometrıa(1794); ensayo sobre la teorıa de numeros(1798); tratado delas funciones elıpticas y de las integrales eulerianas(1825-1832) y teorıa de numeros(1830).

3.1. SIMBOLO DE LEGENDRE 69

3.1. Sımbolo de Legendre

El sımbolo de Legendre simplemente (casi nada) nos ayudara a detectar si unaclase en Fp es o no el cuadrado de alguna clase.

Para p un primo impar y a ∈ Z tal que mcd(a, p) = 1 definimos el sımbolo deLegendre como(a

p

)=

{1 si a es residuo cuadratico modulo p,−1 si a no es residuo cuadratico modulo p.

Podemos reescribir la definicion anterior como:

(ap

)=

{1 si x2 − a ≡ 0 (mod p) es soluble,−1 si x2 − a ≡ 0 (mod p) no es soluble.

El siguiente resultado describe algunas de las propiedades mas importantesdel sımbolo de Legendre:

Teorema 3.1.1. Sean a, b ∈ Z, p primo impar con mcd(ab, p) = 1. Entonces:

1.(a2

p

)= 1,

(1

p

)= 1.

2. Si a ≡ b (mod p), entonces(ap

)=( bp

).

3.(ap

)≡ a

p−12 (mod p) (teorema de Euler).

4.(abp

)=(ap

)( bp

).

5.(−1

p

)= (−1)

p−12 .

Demostracion. La afirmacion 1 es evidente. Vayamos a la afirmacion 2:c ∈ Z es solucion de x2 ≡ a (mod p) si y solo si c2 ≡ a ≡ b (mod p). Portanto, a es un cuadrado si y solo si b es un cuadrado modulo p y en este caso(ap

)=( bp

)= 1, lo cual es equivalente a afirmar que x2 ≡ a (mod p) no es

soluble si y solo si x2 ≡ b (mod p) no es soluble. Para la afirmacion 3 supongamos


primero que(ap

)= 1. Entonces existe x0 ∈ Z tal que x2

0 ≡ a (mod p). Puesto

que mcd(x0, p) = 1, usando el Teorema Pequeno de Fermat tenemos que(x2

0

) p−12 ≡ a

p−12 ≡ xp−1

0 ≡ 1 (mod p),

y por lo tanto(ap

)≡ a

p−12 (mod p).

Para concluir la afirmacion 3 ahora supongamos que(ap

)= −1. Si p - r,

entonces la congruencia lineal rx ≡ a (mod p) tiene solucion unica r′. Es claroque r 6= r′ pues de lo contrario x2 ≡ a (mod p) serıa soluble. Ası que el conjunto{1, 2, . . . , p−1} lo podemos partir en parejas {r, r′} que satisfacen rr′ ≡ a (mod p)y r 6≡ r′ (mod p). De acuerdo al teorema de Wilson 2.7.6 obtenemos que

−1 ≡ (p− 1)! =∏

r,r′∈F∗p

(rr′) ≡ ap−12 (mod p).

Por lo tanto, si(ap

)= −1, entonces

(ap

)≡ a

p−12 ≡ −1 (mod p). Para la afir-

macion 4 usamos la afirmacion 3:(ap

)( bp

)≡ a

p−12 b

p−12 ≡ (ab)

p−12 ≡

(abp

)(mod p),

ası que, (ap

)( bp

)≡(abp

)(mod p).

La afirmacion 5 ahora es facil: por 3 tenemos(−1

p

)≡ (−1)

p−12 (mod p). �

La afirmacion 2 del teorema anterior tiene una interpretacion interesante: siel representante de una clase en Fp es un cuadrado, entonces cualquier numero enesa clase tambien es un cuadrado. Equivalentemente, si el representante de unaclase en Fp no es un cuadrado, entonces cualquier otro numero en esa clase no esun cuadrado.

Corolario 3.1.2. Si p es un primo impar, entonces(−1

p

)= (−1)

p−12 =

{1 si p ≡ 1 (mod 4)−1 si p ≡ 3 (mod 4)

3.1. SIMBOLO DE LEGENDRE 71

Demostracion. Observe que si p es de la forma 4n + 1, entoncesp− 1

2es

par. Si p es de la forma 4n+ 3, entoncesp− 1

2es impar. �

Ejemplo 3.1.3. Si p = 601, entonces(−1

601

)= (−1)

6002 = 1, por lo tanto

x2 ≡ −1 (mod 601) es soluble. ¿Puede el lector factorizar el polinomio x2 + 1 enF601[x]?

Ejemplo 3.1.4. Si p = 47, entonces(−1

47

)= −1, ası que x2 ≡ −1 (mod 47)

no tiene solucion en el campo F47.

De nuestra experiencia en cursos basicos de matematicas sabemos que elpolinomio f(x) = x2 + 1 no tiene soluciones en los campos Q o R. Podemosplantear la siguiente pregunta: ¿para cuales primos p el polinomio f(x) = x2 + 1es irreducible en Fp[x]? El corolario 3.1.2 nos afirma que: si p = 4n+ 1, entoncesf(x) = x2 + 1 ≡ 0 (mod p) es soluble y si p = 4n+ 3, entonces f(x) = x2 + 1 ≡ 0(mod p) no es soluble. Observe que el corolario 3.1.2 solo nos indica la posiblesolubilidad de una congruencia cuadratica, pero no nos indica como encontrar laposible solucion, en caso de que exista.

Teorema 3.1.5. Si p = 2 o p es un primo de la forma 4n + 1, entonces lacongruencia x2 + 1 ≡ 0 (mod p) es soluble.

Demostracion. Vamos a proponer una solucion. Si p = 2, entonces x = 1es solucion. Por el teorema de Wilson 2.7.6 podemos escribir (p− 1)! como:(

1 · 2 · · · j · · · p− 1

2

)(p+ 1

2· · · (p− j) · · · (p− 1)

)≡ −1 (mod p).

Observemos que si 1 ≤ j ≤ p− 1

2, entonces

p+ 1

2≤ p− j ≤ p− 1 y que p−j ≡ −j

(mod p). Ahora reescribimos el producto anterior como:

−1 ≡

p−12∏j=1

j(p− j) ≡

p−12∏j=1

−j2 ≡ (−1)p−12

p−12∏j=1

j2 ≡( p−1

2∏j=1

j)2

(mod p).


Por lo tanto x =

p−12∏j=1

j es una solucion. �

PROBLEMAS

1. Use el teorema de Euler (afirmacion 3 del teorema 3.1.1) para mostrar que si p esun primo impar, p 6= 3, entonces p es un cuadrado en F3 si y solo si p = 3n+ 1 paraalgun n ∈ Z.

2. Sea f(x) ∈ Fp[x] un polinomio de grado 2 o 3. Muestra que si f(x) no tiene raıcesmodulo p, entonces f(x) es irreducible en Fp[x].

3. En los siguientes campos finitos, muestra con una lista todos los residuos cuadraticosy todos los residuos no cuadraticos:

a) F17.b) F13.c) F23.d) F31.

4. Sean p un primo impar y a ∈ Z tal que mcd(a, p) = 1 y x2 ≡ a (mod p) es soluble.Entonces la congruencia x2 ≡ a (mod p) tiene dos soluciones incongruentes.

5. De acuerdo con el problema anterior, si p es un primo de la forma 4n+1, entonces lacongruencia x2 ≡ −1 (mod p) debe tener dos soluciones incongruentes. El teorema3.1.5 proporciona explıcitamente una de ellas. ¿Puedes proporcionar la otra solucion?

6. Muestra que si la congruencia x2 ≡ −1 (mod p) es soluble, entonces p = 2 o bien pes un primo de la forma 4n+ 1. Observa el corolario 3.1.2.

7. Sea K cualquier campo. Concluımos de la definicion de polinomio irreducible que sif(x) ∈ K[x] es irreducible, entonces por el teorema del factor f(x) no tiene raıces enK. Si f(x) es reducible o factorizable con polinomios de K[x] entonces ¿f(x) debetener al menos una raız en K?

8. Muestra que el numero de soluciones de x2 ≡ a (mod p) esta dado por 1 +(ap

).

9. Encuentra todos los valores de c para que la congruencia 3x2 − 2x+ c ≡ 0 (mod 11)sea soluble.

10. Consideremos el campo finito Fp. Muestra que para cada entero n > 1 existef(x) ∈ Fp[x] irreducible de grado n.

11. Supongamos que x2 ≡ a (mod p) es soluble. Muestra que:

a) Si p = 4n+ 3, entonces x = ±an+1 son las soluciones de x2 ≡ a (mod p).b) Si p = 4(2n+ 1) + 1, entonces x = ±an+1 o x = ±22n+1an+1 son las soluciones.

3.2. LEY DE RECIPROCIDAD CUADRATICA 73

3.2. Ley de reciprocidad cuadratica

Investigar si un entero n es un cuadrado en el campo Fp no es una tareafacil. Hasta ahora, solo contamos con la afirmacion 3 del teorema 3.1.1. Vamos adescribir cual es el objetivo de esta seccion. Sea n ∈ Z \ {0, 1,−1} y supongamosque n = δ(n)2αpα1

1 · · · pαrr , donde los pi’s son primos impares, pi 6= pj si i 6= j yδ(n) = ±1 segun si n > 0 o n < 0. Adicionalmente consideremos un primo imparp. Queremos averiguar si n es o no un cuadrado en Fp. De acuerdo a la afirmacion4 del teorema 3.1.1 tenemos que(n

p

)=(δ(n)2αpα1

1 · · · pαrrp

)=(±1

p

)(2α

p

) r∏i=1

(pαiip

).

Ahora analicemos cada factor de acuerdo a su exponente en la factorizacion. Siαi = 2t + 1, entonces por las afirmaciones 4 y 1, en ese orden, del teorema 3.1.1tenemos que (pαii

p

)=(p2t+1

i

p

)=(p2t

i

p

)(pip

)=(pip

).

Si αi = 2t, entonces claramente(p2t

i

p

)= 1. Lo mismo sucede con

(2α

p

). Ası que

el unico exponente que nos interesa es el 1. Por tal motivo, nuestro estudio estaconcentrado en estudiar el valor de los siguientes sımbolos:(−1

p

),(2

p

),(qp

),

donde q es un primo distinto de p. Recordemos que el corolario 3.1.2 nos da

respuesta para(−1

p

). Nuestro siguiente resultado, el lema de Gauss, aparte de ser

otra alternativa al teorema de Euler (afirmacion 3 del teorema 3.1.1), sera de gran

utilidad para resolver el problema de encontrar el valor del sımbolo(2

p

). Antes

de ver la prueba comenzaremos con un ejemplo. Sea p = 17, a = 6. Consideremosel conjunto

S = {1 · a, 2 · a, . . . , p− 1

2· a} = {1 · 6, 2 · 6, 3 · 6, 4 · 6, 5 · 6, 6 · 6, 7 · 6, 8 · 6}.

Reduciendo los elementos de S modulo 17 obtenemos el siguiente conjunto:

S′ = {6, 12, 1, 7, 13, 2, 8, 14}.


Por medio del teorema de Euler podemos verificar que( 6

17

)≡ 6

17−12 ≡ −1 (mod 17).

Por otro lado, S′ contiene 3 elementos que exceden la cantidad17

2= 8.5, a saber:

12, 13, 14. Coincidentemente (−1)3 = −1 =( 6

17

).

Teorema 3.2.1 (Lema de Gauss). Sean p primo impar y a ∈ Z tal quemcd(a, p) = 1. Consideremos el conjunto

S ={

1a, 2a, . . . ,p− 1

2a}.

Para i = 1, . . . ,p− 1

2escribimos ia = pqi + ri con 0 < ri < p. Sea

S′ = {r1, r2, . . . , r p−12}

el conjunto de residuos modulo p de los elementos de S. Si n es el numero de

elementos de S′ que exceden la cantidadp

2, entonces(a

p

)= (−1)n.

Demostracion. Primero observemos que ri 6≡ rj (mod p) para i 6= j, ası queS′ esta formado por elementos incongruentes dos a dos y por lo tanto los elementos

de S′ son distintos, es decir, |S′| = p− 1

2. Sean t1, t2, . . . , tn ∈ S′ tal que ti >

p

2,

y s1, . . . , sm ∈ S′ tal que si <p

2. Entonces S′ = {t1, t2, . . . , tn, s1, . . . , sm} y

n+m =p− 1

2, si 6=

p

2, tj 6=

p

2

pues p es primo impar. Ası, los numeros

p− t1, p− t2, . . . , p− tnson diferentes y satisfacen que

0 < p− ti <p

2.


Por lo tanto p− t1, p− t2, . . . , p− tn, s1, s2, . . . , sm son mayores que cero y menores

quep

2. Afirmamos que ellos son diferentes. Si p − ti = p − tj con i 6= j, entonces

ti = tj , lo cual es absurdo. Si p − ti = sj , entonces existen x0, y0 tales que

1 ≤ x0, y0 ≤p− 1

2y satisfacen

ti ≡ x0a (mod p), sj ≡ y0a (mod p).

Entonces

sj = p− ti ≡ p− x0a ≡ y0a (mod p),

de donde

p | a(−y0 − x0)

y por lo tanto p | (x0 + y0), lo cual es imposible pues 2 ≤ x0 + y0 ≤ p− 1. Hastaeste momento podemos concluir que los siguientes conjuntos coinciden:{

p− t1, p− t2, . . . , p− tn, s1, . . . , sm

}={

1, 2, . . . ,p− 1

2

},

donde n+m =p− 1

2. Para finalizar la prueba multiplicamos todos los elementos

de ambos conjuntos y reducimos modulo p. Sera util recordar que los elementossi, tj recorren el conjunto S = {r1, r2, . . . , r p−1

2}. Ası tenemos que(

p− 1

2

)! =

n∏j=1

(p− tj)m∏j=1

sj

≡ (−1)nn∏j=1

tj

m∏j=1

sj

≡ (−1)n

p−12∏j=1

ja

≡ (−1)nap−12

(p− 1

2

)! (mod p)

y puesto que mcd((p− 1

2

)!, p)

= 1, cancelamos para obtener

1 ≡ (−1)nap−12 (mod p).


De lo anterior concluimos que(ap

)≡ a

p−12 ≡ (−1)n (mod p)

y por lo tanto (ap

)= (−1)n �

Siguiendo las ideas de la prueba del lema de Gauss tenemos el siguienteresultado:

Lema 3.2.2. Sean p un primo impar y a entero positivo tal que p - a.

Consideremos n y S como en el lema de Gauss. Si t =

p−12∑i=1

⌊ iap

⌋, entonces

(a− 1)p2 − 1

8≡ t− n (mod 2)

Demostracion. Sean t1, t2, . . . , tn, s1, s2, . . . , sm como en el lema de Gauss.Sabemos que:{

p− t1, p− t2, . . . , p− tn, s1, . . . , sm

}={

1, 2, . . . ,p− 1

2

}.

Sumando los elementos de cada conjunto tenemos que

n∑i=1

(p− ti) +

m∑i=1

si =

p−12∑i=1

i,

perop−12∑i=1

i =p2 − 1

8

yn∑i=1

(p− ti) +

m∑i=1

si = np−n∑i=1

ti +

m∑i=1

si.

Ası que,

p2 − 1

8= np−

n∑i=1

ti +

m∑i=1

si.


En el mismo orden de ideas, si dividimos ia entre p y usamos el teorema 1.1.6

tenemos para i = 1, . . . ,p− 1

2que

ia =⌊ iap

⌋p+Ri,

donde los Ri son exactamente los elementos t1, . . . , tn, s1, . . . , sm. Por lo tanto

a(p2 − 1

8

)=

p−12∑i=1

ia

=

p−12∑i=1

(⌊ iap

⌋p+Ri

)= p

p−12∑i=1

⌊ iap

⌋+

p−12∑i=1

Ri

= pt+

n∑i=1

ti +

m∑i=1

si.

Puesto que a(p2 − 1

8

)−(p2 − 1

8

)= (a− 1)

p2 − 1

8, entonces

pt+

n∑i=1

ti +

m∑i=1

si −(np−

n∑i=1

ti +

m∑i=1

si

)= p(t− n) + 2

n∑i=1

ti,

De esta manera hemos obtenido que

(a− 1)p2 − 1

8= p(t− n) + 2

n∑i=1

ti

y por lo tanto

(a− 1)p2 − 1

8≡ p(t− n) (mod 2).

Como p ≡ 1 (mod 2), entonces (a− 1)p2 − 1

8≡ t− n (mod 2) �

Ahora resolvamos nuestro problema de conocer(2

p

).

Teorema 3.2.3. Si p es un primo impar, entonces(2

p

)= (−1)

p2−18 .


Demostracion. Si en el lema 3.2.2 ponemos a = 2, entonces

t =

p−12∑i=1

⌊2i

p

⌋=⌊2

p

⌋+⌊4

p

⌋+ · · ·+

⌊p− 1

p

⌋= 0,

ası quep2 − 1

8≡ −n ≡ n (mod 2).

Por lo tantop2 − 1

8y n tienen la misma paridad. Aplicando el lema de Gauss

obtenemos que (2

p

)= (−1)n = (−1)

p2−18 �

Podemos caracterizar los primos p para los cuales el polinomio f(x) = x2 − 2es reducible o irreducible en Fp[x].

Corolario 3.2.4. Si p es un primo impar, entonces(2

p

)=

{1 si p ≡ 1, 7 (mod 8)−1 si p ≡ 3, 5 (mod 8)

Demostracion. Si p es un primo impar, entonces p = 8q + r, donde

r = 1, 3, 5, 7. Si r = 1 o 7, entoncesp2 − 1

8es par. Si r = 3 o 5, entonces

p2 − 1

8es impar. �

Hasta ahora sabemos que decidir con respecto a los sımbolos(−1

p

)y(2

p

).

Solo nos queda resolver lo siguiente: si q es un primo impar y q 6= p ¿que podemos

decir acerca de(pq

)?. Nuestro siguiente resultado esta encaminado a resolver esta

incognita.

Lema 3.2.5 (Lema de Eisenstein). Si p y q son primos distintos impares,entonces

p− 1

2

q − 1

2=

p−12∑i=1

⌊qip

⌋+

q−12∑i=1

⌊piq

⌋


Demostracion. Primero veamos una interpretacion del numerop− 1

2

q − 1

2.

En el plano cartesiano R×R consideremos el rectangulo cuyos vertices se encuen-

tran en los puntos (0, 0),(p

2, 0),(

0,q

2

)y(p

2,q

2

).

Figura 3.1

Consideremos todos los puntos dentro de este rectangulo, sin considerar loslados, y cuyas coordenadas son enteros. Es claro que el numero de tales puntos

esp− 1

2

q − 1

2. Entonces lo que vamos a hacer es contar los puntos con ambas

coordenadas enteras que estan dentro de este rectangulo haciendo uso de la funcionb c. Reproduciremos la prueba que dio Eisenstein y la cual es de naturalezapuramente geometrica. Como p y q son impares, entonces queremos contar lospuntos de la forma (m,n) con m,n ∈ N sujetos a la condicion

1 ≤ m ≤ p− 1

2, 1 ≤ n ≤ q − 1

2.

Primero veremos que sobre la diagonal no hay puntos de los que buscamos. La

ecuacion de la diagonal es (ver figura 3.1) y =q

px donde

0 < x <p

2y 0 < y <

q

2.


Si x = i ∈ N es tal que 0 < i <p

2, entonces y =

qi

py el punto correspondiente

sobre la diagonal es(i,qi

p

). Notemos que

qi

p6∈ N pues q 6= p y 0 < i <

p

2. Por

lo tanto la diagonal no contiene puntos con ambas coordenadas enteras. Todo loanterior nos reduce el trabajo a contar solo en el triangulo inferior y en el triangulosuperior.

Consideremos el triangulo con vertices en (0, 0),(p

2, 0),(p

2,q

2

). Para i =

1, 2, . . . ,p− 1

2, consideremos la lınea vertical en x = i dentro de este triangulo.

Este segmento empieza en (i, 0) y termina en(i,qi

p

). Recordemos que no debemos

considerar estos puntos terminales. Debemos contar el numero de enteros mayores

que cero y menores queqi

p. Puesto que

qi

p6∈ N, entonces

⌊qip

⌋sı es un entero y

el punto(i,⌊qip

⌋)es uno de los que andamos buscando y mas aun, nos cuenta

el numero de enteros mayores que cero y menores queqi

p. Por tanto, el numero

de puntos en la lınea x = i con ambas coordenadas enteros y dentro del triangulo

inferior es⌊qip

⌋. Si movemos la lınea desde i = 1 hasta i =

p− 1

2, entonces es claro

que el numero de puntos con ambas coordenadas enteras y dentro del trianguloinferior es

p−12∑i=1

⌊qip

⌋.

Ya obtuvimos uno de los sumandos de la afirmacion del lema y solo nos falta contaren el triangulo superior. Para esto consideramos ahora las rectas horizontales

y = j, j = 1, 2, . . . ,q − 1

2

dentro del rectangulo cuyos vertices son

(0, 0),(

0,q

2

),

(p2,q

2

).


De la misma manera que contamos en el triangulo inferior, encontramos que elnumero de puntos con ambas coordenadas enteras dentro del triangulo superior es

q−12∑i=1

⌊piq

⌋.

Por lo tanto,

q − 1

2

p− 1

2=

p−12∑i=1

⌊qip

⌋+

q−12∑i=1

⌊piq

⌋. �

El siguiente resultado, uno de los mas importantes en teorıa de numeros, nos

afirma que los sımbolos(qp

)y(pq

)guardan una sorprendente relacion conocida

como reciprocidad cuadratica.

Teorema 3.2.6. [Ley de reciprocidad cuadratica] Si p, q son primos imparesdistintos, entonces (p

q

)(qp

)= (−1)

p−12

q−12 .

Demostracion. Aplicamos el lema 3.2.2 con p y a = q. Puesto que q esimpar, q − 1 ≡ 0 (mod 2), ası que 0 ≡ t − n (mod 2) o equivalentemente t ≡ n(mod 2). Por el lema de Gauss(q

p

)= (−1)n = (−1)t,

donde t =

p−12∑i=1

⌊qip

⌋. Intercambiando los papeles de q y p obtenemos que(p

q

)= (−1)t

′,

donde t′ =

q−12∑i=1

⌊piq

⌋. Por lo tanto,

(qp

)(pq

)= (−1)t(−1)t

′= (−1)

p−12

q−12 . �

Corolario 3.2.7. Si p, q son primos impares diferentes, entonces(pq

)(qp

)=

{1 si p o q ≡ 1 (mod 4)−1 si p y q ≡ 3 (mod 4).


Demostracion. Si p ≡ 1 (mod 4), entoncesp− 1

2es un numero par sin

importar cualidad alguna del primo q. Por tanto(pq

)(qp

)= 1. De la misma

manera se obtiene el otro caso. �

Corolario 3.2.8. Si p, q son primos impares diferentes, entonces

(pq

)=

(qp

)si p o q ≡ 1 (mod 4)

−(qp

)si p y q ≡ 3 (mod 4).

Demostracion. Es una simple reformulacion del corolario anterior. �

Corolario 3.2.9. Sean p, q primos impares diferentes. Entonces

1. Si p o q ≡ 1 (mod 4), entonces q es un cuadrado en Fp si y solo si p es uncuadrado en Fq.

2. Si p ≡ q ≡ 3 (mod 4), entonces q es un cuadrado en Fp si y solo si p no esun cuadrado en Fq.

Demostracion. Es una simple reformulacion de los corolarios 3.2.7 y 3.2.8. �

El lector podra coincidir con nosotros en que el corolario 3.2.9 es el quejustifica propiamente el nombre de ley de reciprocidad cuadratica. Aprovechandoel espacio, vale la pena mencionar que la primera demostracion completa de laley de reciprocidad cuadratica fue dada por Gauss el cual considero esta ley tanimportante que dio ocho demostraciones diferentes.

En terminos de irreducibilidad o reducibilidad de polinomios podemos traducirla ley de reciprocidad. Consideremos los polinomios cuadraticos x2 − p ∈ Fq[x] yx2− q ∈ Fp[x]: si p o q ≡ 1 (mod 4), entonces x2− p ∈ Fq[x] es reducible si y solosi x2 − q ∈ Fp[x] es reducible y si p ≡ q ≡ 3 (mod 4), entonces x2 − p ∈ Fq[x] esreducible si y solo si x2 − q ∈ Fp[x] es irreducible. Es importante que el lector sefamiliarice con los conceptos de reducibilidad e irreducibilidad.

Ejemplo 3.2.10. ¿Es irreducible x2 + 23 en F41[x]?(−23

41

)=(−1

41

)(23

41

)=(23

41

)=(41

23

)=(18

23

)=(32

23

)( 2

23

)=( 2

23

)= 1.


La respuesta a la pregunta es: no es irreducible. Podemos verificar por ensayo-error que x = 10 es una solucion de x2 + 23 ≡ 0 (mod 41). ¿Cual es la otrasolucion?

Ejemplo 3.2.11. ¿Es irreducible x2 + 189 en F491[x]?(−189

491

)=(−1

491

)( 32

491

)( 3

491

)( 7

491

)=(−1

491

)( 3

491

)( 7

491

)=

(−1)(−1)(491

3

)( 7

491

)=(2

3

)( 7

491

)=(2

3

)(−1)

(491

7

)=

(−1)(2

3

)(1

7

)= (−1)(−1)(1) = 1.

Por lo tanto, x2 ≡ −189 (mod 491) es soluble y ası x2+189 es reducible en F491[x].¿Cual es la factorizacion de x2 + 189 en F491[x]?

Ejemplo 3.2.12. ¿Para que clase de primos p es 3 residuo cuadratico (porsupuesto p primo distinto de 3)? Sabemos que(3

p

)(p3

)= (−1)

3−12

p−12 = (−1)

p−12 .

Multiplicando ambos lados por(p

3

)obtenemos(3

p

)= (−1)

p−12

(p3

).

Si pretendemos que(3

p

)= 1, entonces esto se da exactamente en dos situaciones:

(−1)p−12 =

(p3

)= 1 o (−1)

p−12 =

(p3

)= −1.

De acuerdo a la afirmacion 5 del teorema 3.1.1 tenemos que

(−1)p−12 =

{1, p ≡ 1 (mod 4)−1, p ≡ 3 (mod 4).

Si p es impar y p 6= 3, entonces por el teorema de Euler 3.1.1(p3

)=

{1, p ≡ 1 (mod 3)−1, p ≡ 2 (mod 3).


Por tantop ≡ 1 (mod 4)p ≡ 1 (mod 3)

op ≡ 3 ≡ −1 (mod 4)p ≡ 2 ≡ −1 (mod 3).

En el primer caso p ≡ 1 (mod 12) y en el segundo caso p ≡ −1 (mod 12).

Concluimos que(3

p

)= 1 si y solo si p ≡ ±1 (mod 12).

Un teorema famoso de Dirichlet nos asegura que si mcd(a, b) = 1, entoncesla sucesion {a + bt}t∈N contiene una infinidad de primos. En particular, existeuna infinidad de primos de la forma 5t ± 1 y 5t ± 2. La prueba del teorema deDirichlet esta fuera del objetivo de estas notas. El siguiente ejemplo aparece en elesplendido libro de W, Sierpinski, Theorem 4, Chapter IX [20] y es una aplicacionimportante de la ley de reciprocidad cuadratica y del corolario 3.2.4.

Ejemplo 3.2.13. Mostraremos que existe una infinidad de primos de la forma5t− 1. Sean n > 1 y N = 5(n!)2− 1. Observemos que N ≡ 4 (mod 5) y por tantoN no es de la forma 5t+ 1. Si todos los divisores primos de n fueran de la forma5t + 1, entonces N ≡ 1 (mod 5), lo cual no es posible. Por lo tanto, N tiene almenos un divisor primo p de la forma 5t±1 o 5t±2. Si p ≤ n, entonces p | 5(n!)2 yası p | 1. Por lo anterior p > n. Recuerda lector que p no es de la forma 5t+ 1, ası

que p = 5t−1 o p = 5t±2. Como 5(n!)2 ≡ 1 (mod p), tenemos que(5(n!)2

p

)= 1

y en consecuencia(5

p

)= 1. Por la ley de reciprocidad cuadratica concluimos que(p

5

)= 1. A continuacion veremos que p no puede ser de la forma 5t±2, pero esto

ultimo es evidente porque si p = 5t± 2, de acuerdo al corolario 3.2.4(p5

)=(±2

5

)=(±1

5

)(2

5

)=(2

5

)= −1.

Ası que necesariamente p = 5t − 1. De paso notemos que como p es un primoimpar, entonces t debe ser par, ası que t = 2r y por tanto p = 10r − 1, su ultimodıgito es 9: Existe una infinidad de primos tales que su ultimo dıgito es 9. Usandolas mismas ideas, se puede mostrar que existe una infinidad de primos de la forma


p = 5t± 2, simplemente consideras los primeros n numeros primos p1, p2, . . . , pn yN = p2p3 . . . pn − 2.

Nota importante: el sımbolo de Legendre solo nos indica si la congruenciax2 +a ≡ 0 (mod p) tiene alguna solucion en el campo Fp y no nos provee de algunmetodo para encontrarla. Imaginemos por ejemplo si p tiene 150 dıgitos y a tiene100 dıgitos y no es primo. Lo primero que debemos intentar es factorizar el enteroa. ¿Puede el lector factorizar enteros eficientemente? Esta es una invitacion paraque el lector interesado profundice en el tema.

PROBLEMAS

1. Calcula el valor de los siguientes sımbolos de Legendre:

a)( 2

97

)b)(14

97

)c)(−38

29

)d)(135

67

)e)(−79

97

)f)(−23

59

)2. Decide si la congruencia x2 + 23 ≡ 0 (mod 41) tiene alguna solucion en el campo

F41.

3. Usa el lema de Gauss para decidir si el polinomio x2 + 3 es reducible o irreducibleen el anillo F13[x]. Usa el teorema del factor para factorizar el polinomio x2 + 3 enF13[x].

4. Usando las propiedades del sımbolo de Legendre y la ley de reciprocidad cuadraticadecide si el polinomio x2 + 135 es irreducible o reducible en el anillo de polinomiosF67[x].


5. Considera ti, sj tal como aparecen en el lema de Gauss. Considera las congruencias

ti ≡ xa (mod p) y sj ≡ ya (mod p).

Supongamos que para algunos i, j se cumple p− ti = sj . Muestra que existen x0, y0tales que

1 ≤ x0, yo ≤p− 1

2y

ti ≡ x0a (mod p), sj ≡ y0a (mod p).

Concluye que p | x0 + y0 y 2 ≤ x0 + y0 ≤ p− 1.6. Sean p, q primos impares distintos, a ∈ Z con mcd(a, p) = mcd(a, q) = 1 y(a

p

)=(aq

)= −1. Muestra que el polinomio f(x) = x2 − a es irreducible en Zpq[x],

es decir, x2 ≡ a (mod pq) no tiene solucion en Zpq.7. Supongamos que p es un primo impar y mcd(a, p) = 1 es tal que a es solucion de

x2 ≡ b (mod p). Muestra que p−a tambien es solucion de x2 ≡ b (mod p) y a 6≡ p−a(mod p).

8. Sean p un primo impar y a ∈ Z con mcd(a, p) = 1. Muestra que

ap−12 ≡ ±1 (mod p).

9. Sean a, b enteros tales que mcd(ab, p) = 1. Muestra que:a) Si a, b son residuos cuadraticos modulo p, entonces ab es residuo cuadratico

modulo p.b) Si a, b no son residuos cuadraticos modulo p, entonces ab es residuo cuadratico

modulo p.c) ¿Que pasa si a es residuo cuadratico y b no es residuo cuadratico?d) De la lista de enteros a, b, ab o uno es residuo cuadratico o los tres lo son.

10. Muestra que en {1, 2, . . . , p− 1} existenp− 1

2residuos cuadraticos.

11. Sea a ∈ Z tal que mcd(a, p) = 1. Muestra que

p−1∑i=1

(aip

)= 0.

12. Si p es un primo impar, prueba que:(p3

)=

{1 si p ≡ 1 (mod 3)−1 si p ≡ −1 (mod 3).

13. Consideremos la congruencia ax2 + bx + c ≡ 0 (mod p) y definamos el numero∆ = b2 − 4ac. Muestra que:

a) ax2 + bx+ c ≡ 0 (mod p) no tiene solucion si y solo si(∆

p

)= −1.

b) ax2 + bx+ c ≡ 0 (mod p) tiene una unica solucion si y solo si p | ∆.

3.3. SIMBOLO DE JACOBI 87

c) ax2 + bx+ c ≡ 0 (mod p) tiene dos soluciones si y solo si(∆

p

)= 1.

14. Intenta definir(a

2

). Reproduce toda la teorıa de esta seccion.

15. En el lema de Eisenstein contamos puntos con ambas coordenadas enteras en eltriangulo superior e inferior como se muestra en la figura 3.1. En el curso de lademostracion primero contamos los puntos en el triangulo inferior y luego repetimosel argumento para el triangulo superior. Esto nos sugiere que no hay la mismacantidad de estos puntos en ambos triangulos. Encuentra primos p, q distintos tales

que

p−12∑i=1

[qi

p

]=

q−12∑i=1

[pi

q

].

3.3. Sımbolo de Jacobi

El sımbolo de Legendre(ap

)fue definido solo cuando p es un primo impar y

p - a. Jacobi2 extendio el sımbolo de Legendre a otra clase de denominadores. Seana, b enteros con b impar positivo y mcd(a, b) = 1. Supongamos que b = p1p2 · · · pr,donde los pi no necesariamente son distintos. Definimos el sımbolo de Jacobi

(ab

)J

como (ab

)J

=

r∏i=1

( api

),

donde cada( api

)es el sımbolo de Legendre en el primo pi. Si b = p es un primo,

entonces el sımbolo de Jacobi y el sımbolo de Legendre coinciden.Con a y b como antes, diremos que a es un residuo cuadratico modulo b si

x2 ≡ a (mod b) tiene solucion en el anillo Zb. Una nota importante: recordamosque en la definicion del sımbolo de Legendre tenemos que x2 ≡ a (mod p) es

2Carl Gustav Jacob Jacobi nacio en Berlın en 1804. Estudio en la Universidad de Berlın.Su padre, rico banquero, le procuro cuanto era necesario para completar su formacion filologicay matematica. Profesor nato, conocio una carrera brillante como docente y como investigador,

pero renuncio a sus funciones en 1842 por razones de salud y se retiro a Berlın con una pensiondel gobierno prusiano. Jacobi es celebre en matematicas principalmente por sus trabajos sobrelas funciones elıpticas y los determinantes funcionales, llamados tambien Jacobianos. Jacobise intereso tambien por el calculo de variaciones y su principal descubrimiento se refiere a la

existencia de puntos conjugados. Finalmente, en teorıa de numeros el es el que da la primerademostracion sobre las leyes de reciprocidad bicuadratica y cubica.


soluble si y solo(ap

)= 1. Ahora,

(ab

)J

= 1 no necesariamente garantiza que a

es un cuadrado en Zb. Por ejemplo, si a es residuo cuadratico modulo b, entonces

a es residuo cuadratico modulo pi para cada primo pi | b, por lo cual( api

)= 1

y por tanto(ab

)J

= 1. Sin embargo, puede suceder que(ab

)J

= 1 y a no ser un

cuadrado en Zb. Por ejemplo( 2

33

)J

=(2

3

)( 2

11

)= (−1)(−1) = 1

y se puede verificar facilmente que x2 ≡ 2 (mod 33) no tiene solucion en el anilloZ33. El sımbolo de Jacobi tiene las siguientes propiedades elementales.

Lema 3.3.1. Sean b, b′ son enteros positivos impares y a, a′ ∈ Z tales quemcd(a, b) = mcd(a′, b′) = mcd(aa′, bb′) = 1. Entonces,

1. Si a ≡ a′ (mod b), entonces(ab

)J

=(a′b

)J

.

2.(aa′b

)J

=(ab

)J

(a′b

)J.

3.( a

bb′

)J

=(ab

)J

( ab′

)J.

4.(a2

b

)J

=( ab2

)J

= 1.

5.(a2a′

b2b′

)J

=(a′b′

)J.

Demostracion. Para la afirmacion 1, si a ≡ a′ (mod b), entonces a ≡ a′

(mod p) con p primo y p | b. Por la afirmacion 2 del teorema 3.1.1 tenemos que(ap

)=(a′p

)y ası

(ab

)J

=(a′b

)J. La afirmacion 2 se sigue de:

(aa′b

)J

=(aa′p1

)(aa′p2

)· · ·(aa′pr

)=(ab

)J

(a′b

)J.


La afirmacion 3 la dejamos como ejercicio para el lector. La afirmacion 4 se siguede observar que(a2

b

)J

=∏p|b

(a2

p

)= 1 y

( ab2

)J

=(ab

)J

(ab

)J

=(ab

2)J

= 1.

Finalmente, de la siguiente igualdad(a2a′

b2b′

)J

=(a2a′

b2

)J

(a2a′

b′

)J

=(a2

b2

)J

(a′b2

)J

(a2

b′

)J

(a′b′

)J

=(a′b′

)J,

se sigue la afirmacion 5. �

Lema 3.3.2. Sean r, s enteros impares. Entonces

1.rs− 1

2≡ r − 1

2+s− 1

2(mod 2).

2.r2s2 − 1

8≡ r2 − 1

8+s2 − 1

8(mod 2).

Demostracion. Puesto que

(r − 1)(s− 1) ≡ rs− r − s+ 1− 1 + 1 ≡ 0 (mod 4),

entonces,

rs− 1 ≡ (r − 1) + (s− 1) (mod 4).

Dividiendo entre 2 ambos lados de la congruencia obtenemos la afirmacion 1. Parala segunda afirmacion notemos primero que

r2 − 1 ≡ 0 (mod 4) y s2 − 1 ≡ 0 (mod 4).

Por tanto

(r2 − 1)(s2 − 1) ≡ 0 (mod 16)

y

r2s2 − 1 ≡ (r2 − 1) + (s2 − 1) (mod 16).

El resultado se sigue al dividir ambos lados entre 8. �

Corolario 3.3.3. Sean r1, r2, . . . , rn enteros impares. Entonces


1.

n∑i=1

ri − 1

2≡

n∏i=1

ri − 1

2(mod 2).

2.

n∑i=1

r2i − 1

8≡

n∏i=1

r2i − 1

8(mod 2).

Demostracion. Usar el lema 3.3.2 e induccion sobre n. �

El siguiente resultado es propiamente una generalizacion de la ley de reci-procidad cuadratica de Gauss y que bien podrıamos llamar ley de reciprocidadcuadratica de Jacobi.

Teorema 3.3.4. Si b es entero positivo impar, entonces:

1.(−1

b

)J

= (−1)b−12 .

2.(2

b

)J

= (−1)b2−1

8 .

3. Si a ∈ N es impar y mcd(a, b) = 1, entonces(ab

)J

( ba

)J

= (−1)a−12

b−12 .

Demostracion. Sea b = p1p2 · · · pr. De acuerdo a la afirmacion 1 delcorolario 3.3.3 obtenemos que(−1

b

)J

=(−1

p1

)(−1

p2

)· · ·(−1

pr

)= (−1)

p1−12 · · · (−1)

pr−12

= (−1)∑ri=1

pi−1

2 = (−1)b−12 .

Para la afirmacion 2 usaremos el teorema 3.2.3 que asegura(2

p

)= (−1)

p2−18 .

Ası tenemos que(2

b

)J

=( 2

p1

)( 2

p2

)· · ·( 2

pr

)= (−1)

p21−1

8 · · · (−1)p2r−1

8 = (−1)∑ri=1

p2i−1

8 .


La afirmacion 2 del corolario 3.3.3 nos asegura que los siguientes numeros

r∑i=1

p2i − 1

8≡

r∏i=1

p2i − 1

8(mod 2)

tienen la misma paridad. Por lo tanto(2

b

)J

= (−1)∑ri=1

p2i−1

8 = (−1)∏ri=1 p

2i−1

8 = (−1)b2−1

8 .

Para la afirmacion 3 supongamos que a = q1q2 · · · ql. De acuerdo a la ley dereciprocidad cuadratica (teorema 3.2.6) tenemos que para i 6= j,( qi

pj

)(pjqi

)= (−1)

qi−1

2

pj−1

2 ,

entonces (ab

)J

( ba

)J

=

l∏i=1

r∏j=1

( qipj

)(pjqi

)= (−1)

∑li=1

∑rj=1

qi−1

2

pj−1

2 .

Usando la afirmacion 1 del corolario 3.3.3 obtenemos que

l∑i=1

r∑j=1

pj − 1

2

qi − 1

2≡ a− 1

2

r∑j=1

pj − 1

2≡ a− 1

2

b− 1

2(mod 2)

y por lo tanto (ab

)J

( ba

)J

= (−1)a−12

b−12 . �

El sımbolo de Jacobi tiene practicamente las mismas propiedades que elsımbolo de Legendre y una diferencia entre ellos es que mientras el sımbolo deLegendre detecta si un entero es un cuadrado en un campo finito con p elementos,el sımbolo de Jacobi no necesariamente mide lo mismo. Pero entonces ¿para quesirve esta generalizacion del sımbolo de Legendre?


Teorema 3.3.5 (Test de Solovay-Strassen). Si el entero positivo n es primo,entonces para todo a ∈ Z con mcd(a, n) = 1 se cumple que

an−12 ≡

(an

)J

(mod n).

Demostracion. La prueba no esta a nuesro alcance. El lector interesadopuede consultar [22]. �

El teorema 3.3.5 nos da una respuesta a la pregunta ¿para que sirve estageneralizacion del sımbolo de Legendre? Entre otras cosas, puede ser usado comouna prueba de primalidad. Concretamente, Solovay y Strassen [22] muestran quesi n es primo, entonces el conjunto

G = {a ∈ Z : 0 < a < n,mcd(a, n) = 1,(an

)J≡ a

n−12 (mod n)}

coincide con {1, 2, . . . , n− 1}. Mientras que si n es compuesto, entonces |G| < n

2.

Como mencionamos anteriormente, la prueba esta fuera de nuestro alcance.

PROBLEMAS

1. Calcula los siguientes sımbolos de Jacobi:

a)(18

35

)J

b)(126

315

)J

c)(186

234

)J

2. Sea Fn = 22n + 1 el n-esimo numero de Fermat. Muestra que( 3

Fn

)J

= −1.

3. Supongamos que b > 0 es libre de cuadrados y b = p1p2 · · · pr es la factorizacion deb. Supongamos que exactamente dos ındices i, j satisfacen que( a

pi

)=( apj

)= −1 y

( apk

)= 1 para k 6= i, j.

Muestra que(ab

)J

= 1 y x2 ≡ a (mod b) no es soluble.

4. Prueba que si(ab

)J

= −1, entonces a no es residuo cuadratico modulo b.


5. Muestra que f(x) = x2 − 2 es irreducible en Z33[x].6. Demuestra la afirmacion 3 del lema 3.3.1.7. Demuestra el corolario 3.3.3.8. Sea f(x) ∈ Z[x]. Decimos que un primo p divide a f(x) si existe un entero n tal que

p | f(n). Describe todos los divisores primos de x2 + 1 y x2 − 2.9. Sea p un primo impar. Verifica que :(2

p

)=(8− p

p

)=( p

p− 8

)J

=( 8

p− 8

)J

=( 2

p− 8

)J.

10. Usando las ideas del ejemplo 3.2.13 demuestra que existe una infinidad de primos dela forma p = 5t± 2.

Capıtulo4Los enteros gaussianos Z[i]

Dentro de la teorıa de numeros existen ciertas estructuras algebraicas llamadasanillos de enteros y juegan un papel muy importante en esta teorıa. Un ejemplode anillo de enteros es Z con toda la aritmetica que desarrollamos en el capıtulo1. Recordemos algunos hechos sobresalientes sobre Z:

1. El algoritmo de la division depende esencialmente de la funcion valor absoluto| | : Z −→ N.

2. 1 y −1 dividen a cualquier entero y son los unicos enteros que tienen inversomultiplicativo.

3. Si p es un numero primo, entonces formalmente −p tambien es un numeroprimo. ¿Tendra alguna relacion con la afirmacion 2?

4. Z es de factorizacion unica.

En este capıtulo nos proponemos estudiar otro importante anillo de enteros:el anillo de los enteros gaussianos o enteros de Gauss. Definimos a los enterosgaussianos como el conjunto

Z[i] = {a+ bi : a, b ∈ Z}

donde i2 = −1. Claramente Z ⊆ Z[i] ⊆ C. Observamos que los enteros gaussianosson numeros complejos en donde la parte real y la parte imaginaria son enteros.El estudio de los enteros gaussianos es importante para nosotros por dos razones(entre muchas otras): primeramente resulta interesante ver hasta que punto laspropiedades de Z son susceptibles a generalizaciones en Z[i], y segundo porquealgunas propiedades de los enteros racionales son consecuencia directa de laspropiedades de los enteros gaussianos.

95

96 4. LOS ENTEROS GAUSSIANOS Z[i]

4.1. Divisibilidad en Z[i]

Equipamos a Z[i] con dos operaciones: suma y producto de numeros complejos.Con este producto, podemos entonces definir en Z[i] el concepto de divisibilidadpara lo cual necesitamos antes un algoritmo de la division (aunque no es necesario).Para esto, debemos contar con una funcion que juegue el papel del valor absolutoen Z. Para z = a + bi definimos el conjugado de z como z = a − bi. Se deja allector verificar que:

1. zz = a2 + b2.2. z1z2 = z1z2.

La funcion N : Z[i] −→ N0 definida como N(z) = zz tiene las siguientespropiedades:

1. N(z) = 0 si y solo si z = 0.2. N(z1z2) = N(z1)N(z2).

La funcion N se conoce como la norma de Z[i] y las propiedades anterioresno deben ser extranas para aquel lector que conoce a los numeros complejos. Lafuncion norma ¿tendra alguna relacion con la funcion valor absoluto de Z?.

Teorema 4.1.1 (algoritmo de la division). Sean z, w ∈ Z[i] con w 6= 0.Existen k, δ ∈ Z[i] tales que z = wk + δ y 0 ≤ N(δ) < N(w).

Demostracion. Sean z = a+ bi, w = c+ di ∈ Z[i]. Entonces

z

w=zw

ww=

(a+ bi)(c− di)c2 + d2

=ac+ bd

c2 + d2+bc− adc2 + d2

i.

Si A =ac+ bd

c2 + d2y B =

bc− adc2 + d2

, entonces A,B ∈ Q. Sean x, y los enteros mas

proximos a A y B respectivamente. Formalmente x, y satisfacen que:

|A− x| ≤ 1

2y |B − y| ≤ 1

2.

Por lo tanto

N(z

w− (x+ yi)) = N(A+Bi− (x+ yi))

= N((A− x) + (B − y)i)

= (A− x)2 + (B − y)2 < 1.

4.1. DIVISIBILIDAD EN Z[i] 97

Si definimos k = x+ yi y δ = z − w(x+ yi), entonces z = wk + δ y

N(δ) = N(z − w(x+ yi)) = N(w)N(z

w− (x+ yi)) < N(w). �

Observe el lector que la demostracion del algoritmo de la division en Z[i] puedeser aplicada directamente a cualquier caso particular.

Ejemplo 4.1.2. Sea z = 21 + 5i y w = 2− 3i. Entonces

21 + 5i

2− 3i=

27

13+

73

13i

Por tanto x = 2, y = 6. Ası k = 2 + 6i, δ = −1− i. Es claro que

21 + 5i = (2− 3i)(2 + 6i) + (−1− i) con N(−1− i) < N(2− 3i).

En base al algoritmo de la division tenemos la definicion de divisibilidad. Seanz, w ∈ Z[i] con w 6= 0 y tal que z = wk + δ. Diremos que w divide a z si δ = 0. Siw divide a z escribiremos w | z y w - z en caso contrario.

Teorema 4.1.3. Sean z1, z2, z3 ∈ Z[i].

1. Si z1 6= 0, entonces z1 | 0, 1 | z1, z1 | z1.2. Si z1 | z2 y z2 | z3, entonces z1 | z3.

3. Si z1 | x1, z1 | x2, . . . , z1 | xn, entonces z1

∣∣∣ n∑i=1

aixi para todo ai ∈ Z[i].

4. Si z1 | z2, entonces z1 | z2.5. Si z1 | z2, entonces N(z1) | N(z2).


Puesto que cualquier entero racional en un entero gaussiano, entonces paraa, b ∈ Z la definicion de divisibilidad en Z[i] queda establecida como: a | b si existez ∈ Z[i] tal que b = az. El siguiente resultado consiste en mostrar que realmentez ∈ Z y por tanto la definicion de divisibilidad en Z es consecuencia de la definicionde divisibilidad en Z[i].

Teorema 4.1.4. Sean a, b ∈ Z tal que a | b en Z[i], a 6= 0. Entonces a | b enZ.

Demostracion. Sea z ∈ Z[i] tal que b = az y z = x + yi. Entoncesb = ax + ayi. Dos numeros complejos son iguales si y solo si coinciden en su


parte real y en su parte imaginaria. Entonces ay = 0 y a 6= 0 implica que y = 0.Por tanto z ∈ Z. �

El siguiente resultado nos hace ver la dependencia entre la divisibilidad de Z[i]y la divisibilidad de Z.

Teorema 4.1.5. c+ di | a+ bi si y solo si c2 + d2 | ac+ bd y c2 + d2 | bc− ad.

Demostracion. Si c+ di | a+ bi, entonces

a+ bi = (c+ di)(x+ yi)

para algun x+ yi ∈ Z[i]. Multiplicando ambos lados por c− di obtenemos que

(c− di)(a+ bi) = (ac+ bd) + (cb− ad)i = (c2 + d2)x+ (c2 + d2)yi.

Igualando parte real y parte imaginaria se obtiene el resultado. Con unargumento similar se obtiene el recıproco. �

Ejemplo 4.1.6. 1 + i | 2 porque 2 | 2 y 2 | −2.

Ejemplo 4.1.7. 1 + i - 1 + 2i porque 2 - 3.

Ejemplo 4.1.8. 2− 3i | 2− 16i porque 13 | 52 y 13 | −26.

Ciertos enteros gaussianos dividen a cualquier elemento de Z[i]. Por ejemplo,de acuerdo a la afirmacion 1 del teorema 4.1.3, el numero 1 divide a cualquierentero gaussiano. Un entero gaussiano z ∈ Z[i] le llamaremos unidad si z | wpara toda w ∈ Z[i]. Podemos caracterizar las unidades con la ayuda de la funcionnorma.

Teorema 4.1.9. z ∈ Z[i] es unidad si y solo si N(z) = 1.

Demostracion. Si z es unidad, entonces en particular z | 1 y por tanto1 = zw para algun w ∈ Z[i]. De lo anterior,

1 = N(1) = N(zw) = N(z)N(w).

Puesto que N(z) | 1 y N(z) ∈ N, entonces N(z) = 1. Recıprocamente, siN(z) = zz = 1, para todo w ∈ Z[i] se tiene que z(zw) = w. Ası z | w. �

Corolario 4.1.10. Las unidades de Z[i] son 1,−1, i,−i.

Demostracion. Las soluciones de a2 + b2 = 1 en Z son ±1, 0 y 0,±1. �


Una observacion sumamente importante es que precisamente las unidades deZ[i] son los unicos elementos de Z[i] que tienen inverso multiplicativo. El conjuntode unidades de Z[i] lo denotaremos como U(Z[i]). Concretamente ¿quien es U(Z)?

Sean z, w ∈ Z[i]. Diremos que z y w son asociados si z | w y w | z. Notemosque si z y w son asociados, entonces z = wu donde u es alguna unidad. Porel corolario 4.1.10 cada entero gaussiano distinto de 0 tiene exactamente cuatroasociados.

Ejemplo 4.1.11. 3+5i y 5−3i son asociados pues 3+5i | 5−3i y 5−3i | 3+5i.

Ejemplo 4.1.12. Si z = −4+2i, entonces los asociados de z son z,−z, iz,−iz.

Notemos que si z, w son asociados, entonces necesariamente N(z) = N(w).Sin embargo, si dos enteros gaussianos tienen la misma norma, no necesariamenteson asociados. Por ejemplo N(1− 2i) = N(1 + 2i) = 5 y 1− 2i - 1 + 2i.

Recordemos que si a, b son enteros, entonces mcd(a, b) fue definido en elcapıtulo 1 como el mayor divisor en comun entre los enteros a, b y puesto que1 | a y 1 | b, entonces mcd(a, b) ≥ 1. Esta definicion se apoya fundamentalmenteen que los enteros Z son un conjunto totalmente ordenado, es decir, dados losenteros a, b, sucede una y solo una de las siguientes afirmaciones:

1. a = b2. a < b3. a > b

Como sabemos, al conjunto Z[i] es imposible dotarlo de un orden que res-tringido a Z coincida con el orden de Z. El orden en Z no es lo que nos da laposibilidad de hablar del mcd, es la funcion valor absoluto. En el anillo Z[i] esla funcion norma la que nos permitira desarrollat una teorıa del mcd en Z[i], talcomo lo hicimos en Z.

Un divisor en comun de z, w ∈ Z[i] es lo que esperamos; es un elemento γ ∈ Z[i]tal que γ | z y γ | w. Por ejemplo, 3− 2i | 6− 17i y 3− 2i | 18 + i.

Teorema 4.1.13 (Algoritmo de Euclides). Sean z, w ∈ Z[i], con w 6= 0.Entonces existe γ ∈ Z[i] tal que:

1. γ | z y γ | w.2. γ = zz0 + ww0, para ciertos z0, w0 ∈ Z[i].3. Si γ′ | z y γ′|w, entonces γ′ | γ.


Demostracion. Aplicando repetidas veces el algoritmo de la division obte-nemos:

z = wk1 + δ1 N(δ1) < N(w),

w = δ1k2 + δ2 N(δ2) < N(δ1),

δ1 = δ2k3 + δ3 N(δ3) < N(δ2),

......

δn−2 = δn−1kn + δn N(δn) < N(δn−1),

δn−1 = δnkn+1 + 0.

Notemos que

N(w) > N(δ1) > N(δ2) > · · · > N(δn) > 0

es una sucesion decreciente de enteros positivos y por tanto, en algun momentoobtenemos un residuo δn+1 = 0. Es claro que δn | δn−1 y por tanto δn | δn−2.Continuando con este proceso llegamos a que δn es un divisor comun de z, w. Asıque δn satisface la afirmacion 1 del teorema. Despejando δi (1 ≤ i ≤ n) en lai-esima igualdad y sustituyendo en la anterior se llega a que δn tambien satisfacela afirmacion 2. El lector puede verificar facilmente, usando la afirmacion 2, queδn tambien satisface la afirmacion 3 y por lo tanto el gaussiano que buscamos esγ = δn. �

El gaussiano γ del teorema anterior lo llamaremos maximo comun divisor de zy w y lo denotaremos como γ = mcd(z, w). La manera apropiada para definir dosenteros gaussianos primos relativos es la siguiente: z1 y z2 son primos relativos siy solo si mcd(z1, z2) = u donde u es alguna unidad de Z[i].

Corolario 4.1.14. Si γ = mcd(z, w) y u ∈ U(Z[i]), entonces uγ satisface elteorema 4.1.13.

Demostracion. Es un facil ejercicio para el lector. �

¿Que significado tiene el corolario anterior?. La respuesta salta a la vista,los enteros gaussianos z, w tienen varios mcd; son exactamente cuatro. En estesentido, cuando hagamos referencia a mcd(z, w) nos referiremos a cualquiera delos cuatro numeros que satisfacen el teorema 4.1.13.


Ejemplo 4.1.15. Calcular mcd(6 − 17i, 18 + i). Primero dividimos paraencontrar el primer cociente y el primer residuo:

6− 17i

18 + i=

(6− 17i)(18− i)(18 + i)(18− i)

=91− 312i

325= −i+

91 + 13i

325.

Por tanto,

6− 17i = −i(18 + i) + (5 + i). (1)

Nuevamente

18 + i

5 + i=

(18 + i)(5− i)(5 + i)(5− i)

=91− 13i

26= 3 +

1− i2

y entonces obtenemos que

18 + i = 3(5 + i) + (3− 2i). (2)

Por otro lado 5 + i = (1 + i)(3− 2i), juntando (1) y (2) se tiene que

6− 17i = −i(18 + i) + (5 + i)

18 + i = 3(5 + i) + (3− 2i)

5 + i = (1 + i)(3− 2i).

Por lo tanto mcd(6− 17i, 18 + i) = 3− 2i y sus asociados.

Ejemplo 4.1.16. Calcular mcd(7+11i, 3+5i). Razonando de manera analogaal ejemplo anterior tenemos que

7 + 11i = 2(3 + 5i) + (1 + i)

3 + 5i = (4 + i)(1 + i) + 0.

Por lo tanto mcd(7 + 11i, 3 + 5i) = 1 + i y sus asociados.

La teorıa del mcd de un conjunto finito de enteros gaussianos se puedeestablecer facilmente considerando formas lineales, justamente como lo hicimospara los enteros racionales.

Teorema 4.1.17. Sean z1, z2, . . . , zn ∈ Z[i] no todos cero. Existe γ ∈ Z[i] conlas siguientes propiedades:

1. γ | zi para i = 1, . . . , n.2. Si γ′ | zi, (i = 1, . . . , n), entonces γ′ | γ.


Demostracion. Consideremos los conjuntos

A = {a1z1 + a2z2 + . . .+ anzn : ai ∈ Z[i]},B = {N(x) : x ∈ A \ {0}}.

Puesto que B ∩ N 6= ∅, entonces por el PBO existe γ ∈ A de norma positivamınima. Como γ ∈ A, entonces

γ = a1z1 + a2z2 + . . .+ anzn,

para ciertos a1, a2, . . . , an ∈ Z[i]. Vamos a mostrar que para toda x ∈ A, γ | x.Para x ∈ A tenemos que

x = x1z1 + x2z2 + . . .+ xnzn.

Aplicando el algoritmo de la division,

x = γk + r con 0 ≤ N(r) < N(γ).

Pero

r = x− γk = (x1 − a1k)z1 + (x2 − a2k)z2 + . . .+ (xn − ank)zn,

ası que r ∈ A. Si 0 < N(r) < N(γ), entonces γ no es el elemento de A de normapositiva mınima. Por lo tanto N(r) = 0 y γ | x. En particular zi ∈ A, y ası γ | zi.

Es claro que si γ′ | zi, entonces γ′∣∣∣ n∑i=1

aizi y por tanto γ′ | γ. �

El gaussiano γ del teorema anterior lo podemos llamar maximo comun divisorde los gaussianos z1, z2, . . . , zn y lo denotaremos como mcd(z1, z2, . . . , zn).

Las siguientes afirmaciones son las versiones equivalentes de lo que sucede enZ.

Teorema 4.1.18. Sean a, b, c, d ∈ Z[i]. Entonces:

1. Si a 6= 0 o b 6= 0, entonces la ecuacion ax+by = c tiene solucion en los enterosgaussianos x, y si y solo si mcd(a, b) | c.

2. Si a 6= 0 o b 6= 0, entonces mcd(a, b) = 1 si y solo si la ecuacion ax + by = 1es soluble en los enteros gaussianos x, y.

3. Sean a1, a2, . . . , as,m ∈ Z[i] \ {0}. Entonces para 1 ≤ j ≤ s, mcd(aj ,m) = 1

si y solo si mcd( s∏i=1

ai,m)

= 1.


4. Si a 6= 0 o b 6= 0, entonces mcd(a, b) = 1 si y solo si mcd(ak, bl) = 1 para todok, l ∈ N .

5. (Teorema de Euclides) Si a | bc y mcd(a, b) = 1, entonces a | c.6. Si a | c, b | c y mcd(a, b) = 1, entonces ab | c.7. Si c 6= 0, entonces mcd(ca, cb) = cmcd(a, b).

8. Si g = mcd(a, b), entonces mcd(ag,b

g

)= 1.


Supongamos que z, w ∈ Z[i] \ {0}. Un multiplo comun de z, w es un enterogaussiano γ tal que z | γ y w | γ. Es claro que zw es un multiplo comun de z y w.En general, si z1, z2, . . . , zn ∈ Z[i] \ {0}, el conjunto

M = {x ∈ Z[i] \ {0} : zi | x, i = 1, . . . , n}

es no vacıo pues

n∏i=1

zi ∈M . Con lo anterior hemos justificado que al menos existe

un multiplo comun de z1, z2, . . . , zn.

Teorema 4.1.19. Sean z1, z2, . . . , zn ∈ Z[i] \ {0}. Existe m ∈ Z[i] con lassiguientes propiedades:

1. zi | m para i = 1, . . . , n.2. Si m′ ∈M , entonces m | m′.

Demostracion. Sea H = {N(x) : x ∈ M}. Notemos que ∅ 6= H ⊆ N. Porel PBO existe h ∈ H de norma mınima. Ası, h = N(m) para algun m ∈ M .Claramente m satisface la afirmacion 1. Sea m′ ∈ M . Aplicando el algoritmo dela division

m′ = km+ r con 0 ≤ N(r) < N(m).

Si N(r) 6= 0, entonces r = m′ − km ∈ M lo cual es absurdo por la eleccion de m.Por lo tanto r = 0 y m | m′. �

El gaussiano m del teorema anterior lo podemos llamar mınimo comunmultiplo de z1, z2, . . . , zn y lo denotamos como mcm(z1, z2, . . . , zn).


4.2. Factorizacion unica en Z[i]

Cualquier par de enteros gaussianos z, w tienen por lo menos cuatro divisoresen comun, a saber:

1, −1, i, −i.Si z, w solo comparten estos cuatro divisores entonces es claro que z y w son primosrelativos.

Si z 6= 0 no es asociado de 1, entonces z tambien admite como divisores a susasociados. Por lo tanto, cada entero gaussiano z tiene al menos a

1, −1, i, −i, z, −z, iz, −iz

como divisores. Recordemos que un numero primo p de Z es aquel que es diferentede 0,±1 y solo admite como divisores a

1, −1, p, −p.

En analogıa con Z, si π ∈ Z[i] \ {0}, no es unidad y solo admite como divisoresa las unidades y a sus asociados, entonces diremos que π es primo. Para evitarconfusiones en el lenguaje, llamaremos primos racionales a los numeros primos deZ y simplemente primo a los de Z[i]. El siguiente resultado es consecuencia de ladefinicion de primo.

Lema 4.2.1. Si N(π) > 1 y π no es producto de enteros gaussianos de normamayor que 1, entonces π es primo.

Demostracion. La hipotesis π no es producto de enteros gaussianos denorma mayor que 1 significa que en cualquier factorizacion de π, al menos unode sus factores es una unidad. Ası que π = uβ para algun u ∈ U(Z[i]). Por tantoβ | π y β = u−1π, lo que ademas significa que β es un asociado de π. Por tanto πes primo. �

Interpretemos el lema anterior: si N(π) > 1 y π = αβ implica que N(α) = 1o N(β) = 1, entonces π es primo.

El objetivo final de este capıtulo es identificar a los primos en Z[i] y dar unmetodo para factorizar enteros gaussianos. El siguiente resultado nos proporcionaun metodo elemental para identificar algunos de ellos.

4.2. FACTORIZACION UNICA EN Z[i] 105

Teorema 4.2.2. Sea z ∈ Z[i] tal que N(z) es un primo racional. Entonces zes primo.

Demostracion. Supongamos que N(z) = p y z = z1z2. Entonces

p = N(z) = N(z1)N(z2).

Ası que N(z1) = 1 o N(z2) = 1 y por tanto z1 o z2 es unidad. Por lo anterior z esprimo. �

Ejemplo 4.2.3. 1− 2i es primo pues N(1− 2i) = 5.

Ejemplo 4.2.4. 1 + 2i es primo pues N(1 + 2i) = 5.

Ejemplo 4.2.5. 3− 2i es primo pues N(3− 2i) = 13.

Ejemplo 4.2.6. 3 + 2i es primo pues N(3 + 2i) = 13.

Notemos que los ejemplos anteriores tienen la peculiaridad siguiente:

(1− 2i)(1 + 2i) = 5 y (3− 2i)(3 + 2i) = 13

y 5, 13 son primos racionales de la forma 4n + 1. El comentario anterior sugiereque posiblemente existe alguna relacion entre los primos racionales y los primosde Z[i].

Lema 4.2.7. Sea n ∈ Z tal que n visto como entero gaussiano es primo.Entonces n es primo racional.

Demostracion. Si n es primo, entonces sus unicos divisores son

1, −1, i, −i, n, −n, in, −in.

El resultado se sigue al observar que los unicos divisores racionales de n son

1, −1, n, −n.

Por lo tanto n es primo racional. �

Lema 4.2.8. Cada entero gaussiano z con N(z) > 1 tiene una representacioncomo producto finito de primos.


Demostracion. Induccion sobre N(z). Si N(z) = 2, entonces por el teorema4.2.2 se tiene que z es primo y en este caso el lema queda demostrado. Supongamosel lema valido para cualquier gaussiano w con 2 ≤ N(w) < N(z). Si z es primoentonces concluimos. Si z no es primo, entonces z = z1z2 con

1 < N(z1) < N(z) y 1 < N(z2) < N(z).

Haciendo uso de la hipotesis de induccion obtenemos que

z1 = π1π2 · · ·πr, z2 = π′1π′2 · · ·π′t

donde los πi, π′j son primos. Por lo tanto z = π1 · · ·πrπ′1 · · ·π′t. �

Por definicion, cualquier primo π tiene como unicos divisores a

1, −1, i, −i, π, −π, iπ, −iπ.

Lema 4.2.9. Si π es primo y π | ab, entonces π | a o π | b.

Demostracion. Supongamos π - a. Si γ = mcd(π, a), entonces γ es algunode los elementos del conjunto {1,−1, i,−i, π,−π, iπ,−iπ} y ası γ ∈ U(Z[i]). Porla afirmacion 5 del teorema 4.1.18 concluimos que π | b. �

Como caso particular del lema anterior, si π1, π2, π3 son primos y π1 | π2π3,entonces π1 es asociado de π2 o π3. Esto es fundamental para el siguiente resultado.

Teorema 4.2.10 (Teorema Fundamental de la Aritmetica en Z[i]). La re-presentacion de un entero gaussiano z 6= 0 y no unidad como producto finito deprimos es unica salvo el orden de los primos y asociados.

Demostracion. Sea z ∈ Z[i] con N(z) > 1. Supongamos que z tiene dosfactorizaciones:

z = π1π2 · · ·πr = π′1π′2 · · ·π′t, (1)

con r < t. De (1) se observa que π1 | π′1π′2 · · ·π′t y por lo tanto π1 es asociado dealgun π′j . Sin perdida de generalidad podemos suponer que π1 es asociado de π′1.Cancelando π1 y π′1 en (1) obtenemos que

u1π2π3 · · ·πr = π′2π′3 · · ·π′t,

donde u1 es alguna unidad. El argumento puede ser repetido r-veces para llegarfinalmente a que

u1u2 · · ·ur = π′r+1π′r+2 · · ·π′t.

4.3. NUMEROS PRIMOS EN Z[i] 107

Por consiguiente

1 = N(u1)N(u2) · · ·N(ur) = N(π′r+1)N(πr+2) · · ·N(π′t),

lo cual es absurdo pues N(π′i) > 1. Por lo tanto r ≥ t. Si ahora suponemos quet < r y usamos el mismo argumento obtenemos un absurdo y por lo tanto t = r yde paso mostramos que la factorizacion es unica. �

4.3. Numeros primos en Z[i]

De los problemas importantes en la teorıa de numeros destaca la factorizacionde un entero. Si conocieramos una lista completa de los numeros primos racionales,seguramente podrıamos factorizar cualquier entero. Afortunadamente no es ası,es mas, no sabemos ni siquiera como generarlos a todos. Se sabe por lo menos,que no existe un polinomio en una variable que reproduzca solo primos racionales.Al respecto existe cualquier numero de conjeturas. Por citar una de ellas: Existeuna infinidad de primos racionales de la forma x2 + 1. Para empezar a resolverel problema de factorizar un entero gaussiano, primero nos proponemos reconocerlo mas explıcitamente posible a los primos en Z[i]. En relacion con el comentarioanterior, el problema 6, seccion 3.1 del capıtulo 3 asegura que

x2 ≡ −1 (mod p)

es soluble si y solo si p = 2 o p es un primo de la forma 4n+ 1.

Lema 4.3.1. Si p es un primo racional de la forma 4n + 1, entonces p vistocomo entero gaussiano no es un primo.

Demostracion. Si a solucion de la ecuacion x2 ≡ −1 (mod p), entoncesp | a2 + 1 y por lo tanto p | (a + i)(a − i). Si p fuera un primo gaussiano, deacuerdo al lema 4.2.9 entonces p | a + i o p | a − i. Supongamos que p | a + i.Entonces existe c+di ∈ Z[i] tal que a+ i = p(c+di). Igualando parte real y parteimaginaria obtenemos que a = pc. Por lo anterior p | a y ası p | a2. Puesto quep | a2 + 1, entonces p | 1, lo cual es imposible. Un argumento similar nos muestraque p - a− i. �

Teorema 4.3.2 (Teorema de Fermat). Si p es primo racional de la forma4n + 1, entonces p puede ser expresado en forma unica como suma de doscuadrados.


Demostracion. Por el lema anterior tenemos p = αβ con N(α), N(β) > 1.De lo anterior se sigue que

N(p) = N(α)N(β) = p2

y por lo tantoN(α) = N(β) = p.

Si α = m + ni, entonces N(α) = (m + ni)(m − ni) = m2 + n2 = p. Debemosaclarar en que sentido debemos entender la unicidad. Observe que p = m2 +n2 =(±m)2 + (±n)2. Ası que si m,n > 0, entonces la representacion debe ser unica.En efecto, supongamos que p = m2 + n2 = x2 + y2, con m,n, x, y > 0. Como p esprimo, necesariamente se cumple que

mcd(m,n) = mcd(x, y) = 1. (1)

Observemos el siguiente desarrollo:

p(y2 − n2) = (m2 + n2)(y2 − n2)

= m2y2 −m2n2 + n2y2 − n4 + n2x2 − n2x2

= m2y2 − n2x2 + n2(y2 + x2)− n2(m2 + n2)

= m2y2 − n2x2 + n2p− n2p

= m2y2 − n2x2 = (my − nx)(my + nx).

Podemos deducir entonces que my ≡ ±nx (mod p). Por otro lado tenemos que

p2 = (x2 + y2)(m2 + n2) = x2(m2 + n2) + y2(m2 + n2)

= x2m2 ± 2xmyn+ y2n2 +m2y2 ∓ 2xmyn+ n2x2

= (xm± yn)2 + (my ∓ nx)2.

Ahora fijemos nuestra atencion en my − nx. Analicemos dos casos. Primero, simy = nx, entonces x | my y m | nx. Ası, por (1) tenemos que x | m y m | x.Como x,m > 0, concluimos que x = m y y = n. Segundo, si my 6= nx, de lasrelaciones

my ≡ ±nx (mod p) y p2 = (xm± yn)2 + (my ∓ nx)2

deducimos que|my ∓ nx| = p y xm± yn = 0.

Por lo tanto y = m y x = n. �

4.3. NUMEROS PRIMOS EN Z[i] 109

Antes de continuar debemos hacer una aclaracion importante: un primoracional de la forma 4n+ 3 no puede ser suma de dos cuadrados. La justificaciones porque el cuadrado de un entero es congruente con 0 o 1 modulo 4 y por tanto,la suma de dos cuadrados es congruente con 0 o 1 o 2 modulo 4, pero en ninguncaso congruente con 3.

Corolario 4.3.3. Si p es como en el Teorema de Fermat y p = a2 + b2,entonces p = (a+ bi)(a− bi).

Demostracion. Es evidente. �

El siguiente resultado nos indica exactamente quienes son o de donde provienenlos primos en Z[i].

Teorema 4.3.4. Los primos en Z[i] son:

1. 1 + i y sus asociados.2. Los factores a+ bi de primos racionales de la forma 4n+ 1 y sus asociados.3. Los primos racionales de la forma 4n+ 3 y sus asociados.

Demostracion. Puesto que N(1 + i) = 2, entonces por el teorema 4.2.2,1 + i es primo. Para la afirmacion 2 consideremos un primo racional p de la forma4n+ 1. Por el corolario 4.3.3 tenemos que

p = a2 + b2 = (a+ bi)(a− bi),y ası p = N(a + bi) = N(a − bi) con lo cual a + bi y a − bi son primos. Para laafirmacion 3 consideremos un primo racional p de la forma 4n+ 3 y supongamosque

p = (a+ bi)(c+ di)

con N(a+ bi) > 1 y N(c+ di) > 1. Claramente la igualdad

N(p) = p2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

implica que p = a2 + b2 o p = c2 + d2 lo cual es imposible para un primo racionalde esta forma. Por lo tanto p es primo. Solo nos queda mostrar que estos sontodos los primos. Sea π cualquier primo. Entonces

N(π) = ππ = 2λpα11 pα2

2 · · · pαss qβ1

1 qβ2

2 · · · qβrrdonde los pi y qj son primos racionales de la forma 4n+1 y 4n+3 respectivamente.Por lo tanto

ππ = (1 + i)λ(1− i)λπα11 π1

α1πα22 π2

α2 · · ·παss πsαsqβ1

1 · · · qβrr .


En virtud de la unicidad de la factorizacion tenemos que π es asociado dealgun primo de la lista

1 + i, 1− i, π1, π1, . . . , πs, πs, q1, . . . , qr.

Por lo tanto, cualquier primo de Z[i] es alguno de los considerados en esteteorema. �

Ejemplo 4.3.5. 23 es primo en Z[i].

Ejemplo 4.3.6. 17 = 42 + 12 = (4 + i)(4− i) y por lo tanto 4 + i y 4− i sonprimos gaussianos.

Ejemplo 4.3.7. 29 = 52 + 22 = (5 + 2i)(5− 2i). Por tanto 5 + 2i y 5− 2i sonprimos en Z[i].

Ejemplo 4.3.8. 3 es primo en Z[i].

4.4. Factorizacion explıcita de un entero gaussiano

La parte final de este capıtulo consiste en desarrollar un metodo por mediodel cual se pueda dar la factorizacion explıcita de un gaussiano.

Sea N(z) = n. Cualquier factor primo del numero z es un factor primo de sunorma n = zz. Los factores primos gaussianos del entero n pueden encontrarsefacilmente obteniendo sus factores primos racionales.

Sean = 2αpα1

1 pα22 · · · pαrr qβ1

1 · · · qβss , (1)

donde los pi y qj son primos racionales de la forma 4n+1 y 4n+3 respectivamente.Si pi = πiπi con i = 1, . . . , r, entonces

n = (i)α(1− i)2απα11 π1

α1πα22 π2

α2 · · ·παrr πrαrqβ1

1 · · · qβss . (2)

De la igualdad n = zz se obtiene que

z = iδ(1 + i)λπa11 π1a′1πa22 π2

a′2 · · ·πarr πra′rqµ1

1 · · · qµss , (3)

donde δ ∈ {1, 2, 3, 4} y λ, a1, a′1, . . . , ar, a

′r, µ1, . . . , µs ≥ 0. Pero N(πj) = pj y

N(qi) = q2i , ası que tomando normas en (3) obtenemos que

n = N(z) = 2λpa1+a′11 p

a2+a′22 · · · par+a′r

r q2µ1

1 q2µ2

2 · · · q2µss .

Comparando los exponentes de esta ultima expresion con (1)

λ = α, a1 + a′1 = α1, . . . , ar + a′r = αr, 2µ1 = β1, . . . , 2µs = βs.

4.4. FACTORIZACION EXPLICITA DE UN ENTERO GAUSSIANO 111

Resumiendo:

Teorema 4.4.1. Si un entero positivo n es norma de algun gaussiano, enton-ces en la factorizacion de n en primos racionales, los primos de la forma 4n + 3aparecen con exponente par.

Demostracion. 2µi = βi para i = 1, . . . , s. �

Nuestro trabajo aun esta incompleto pues solo hemos encontrado los expo-nentes de los primos racionales de la forma 4n + 3. Para obtener la factorizacioncompleta de z debemos determinar los numeros aj , a

′j .

Sea kj el mayor entero positivo para el cual pkjj | z. Afirmamos que:

si pkjj πj | z entonces,

{aj = αj − kja′j = kj ,

si pkjj πj - z entonces,

{aj = kja′j = αj − kj .

Demostraremos esta afirmacion. Segun nuestra definicion de kj tenemos quez

pkjj

no puede ser dividido simultaneamente por πj y πj porque si esto sucediera y

debido a que mcd(π, π) = 1, entonces πj πj debe dividir az

pkjj

, es decir pkj+1j | z.

Resumiendo, si πj es divisor dez

pkjj

, entonces πj no es divisor dez

pkjj

. Por otro

lado, pkjj = π

kjj πj

kj y haciendo uso de la expresion

z = iδ(1 + i)λπa11 π1a′1πa22 π2

a′2 · · ·πarr πra′rqµ1

1 · · · qµss ,

concluimos que a′j = kj y aj = αj − kj . Un razonamiento similar muestra que si

πj no divide az

pkjj

, entonces aj = kj y a′j = αj − kj . Por ultimo, el exponente δ

puede ser calculado facilmente haciendo una simple division de z y el producto delos factores primos para los cuales sus exponentes ya han sido encontrados.

Ejemplo 4.4.2. Sea z = 22 + 7i. Entonces

N(z) = 484 + 49 = 533 = 13 · 41.


Escribimos p1 = 13 = 22 + 32 y p2 = 41 = 42 + 52. Por lo tanto α1 = 1, α2 = 1 y

z = iδπa11 π1a′1πa22 π2

a′2 ,

donde π1 = 2 + 3i, π1 = 2− 3i, π2 = 4 + 5i, π2 = 4− 5i. Solo nos falta encontrarlos exponentes a1, a

′1, a2, a

′2. Como p1 - z y p2 - z, entonces k1 = k2 = 0. Ahora

veamos si π1 | z o π1 | z:z

π1=

22 + 7i

2 + 3i= 5− 4i,

ası que π1 - z y por lo tanto a1 = 1 y a′1 = 0. Analogamente, de la igualdad

z

π2=

22 + 7i

4 + 5i= 3− 2i

se obtiene que π2 - z y por tanto a2 = 1 − 0 y a′2 = 0. Hasta ahora tenemos lasiguiente expresion

z = iδ(2 + 3i)(4 + 5i).

Con una simple division vemos que δ = 3 y ası z = i3(2 + 3i)(4 + 5i).

Ejemplo 4.4.3. Sea z = 19 + 17i. Razonando como en el ejemplo anteriortenemos que N(z) = 361 + 289 = 2 · 52 · 13. Si escribimos p1 = 5 = 12 + 22 yp2 = 13 = 22 + 32, entonces

z = iδ(1 + i)πa11 π1a′1πa22 π2

a′2

donde π1 = 1 + 2i, π1 = 1−2i, π2 = 2 + 3i y π2 = 2−3i. Puesto que 5 - z y 13 - z,entonces k1 = k2 = 0. Ademas π1 - z y π2 - z, ası que a1 = 0, a′1 = 2, a2 = 0 ya′2 = 1. Por lo tanto

z = iδ(1− 2i)2(2− 3i)(1 + i).

Con una simple division llegamos a que

z

(1− 2i)2(2− 3i)(1 + i)= −1,

y por tanto δ = 2 y z = i2(1− 2i)2(2− 3i)(1 + i).

PROBLEMAS


1. Sigue la demostracion del teorema 4.1.1 para encontrar el cociente y el residuo enlas siguientes parejas de enteros gaussianos:a) 2− 4i y 7− 32i. b) 5 + i y 9 + 2i.c) 13 + 4i y 1− i. d) −21− i y −5− i.

2. Demuestra el teorema 4.1.3.

3. Demuestra que:a) zz = a2 + b2.b) z1z2 = z1z2.c) N(z) = 0 si y solo si z = 0.d) N(z1z2) = N(z1)N(z2).

4. Demuestra el corolario 4.1.14.

5. Muestra que un entero gaussiano diferente de 0 solo tiene un numero finito dedivisores.

6. Muestra que Z solo tiene dos unidades.

7. ¿Cuales de las siguientes parejas son asociados?a) 3 + 4i y 4 + 3i.b) 4 + 7i y −4 + 7i.c) i y −1.

8. Muestra que mcd(z, w) es el divisor en comun de norma mayor.

9. Calcula el mcd de:a) 1 + i y 1− i.b) 13 + 4i y 4 + 5i.c) −21− i y −5− i.

10. Muestra que z, w son primos relativos si y solo si existen a1, a2 ∈ Z[i] tal quea1z + a2w = u donde u es alguna unidad de Z[i].


12. En el algoritmo de la division muestra que k y δ no necesariamente son unicos.

13. Resuelve en Z[i] la ecuacion N(z) = 2.

14. Sean p un primo racional de la forma 4n + 1 y p = ππ su factorizacion en Z[i].Muestra que π y π son primos relativos.

15. Deduce el algoritmo de la division de Z a partir del algoritmo de la division de Z[i].

16. Muestra que la funcion norma no es suprayectiva.

17. Factoriza los siguientes enteros gaussianos:a) 12 + 3i b) 4− 2ic) 10 + 100i d) −14− 34i


18. En general no es cierto que si z = x + yi y z = x − yi, entonces z y z son primosrelativos. Encuentra un ejemplo.

19. Sea π ∈ Z[i] un primo gaussiano. Muestra que π divide exactamente a un primoracional.

20. Sean π = 1 + 2i y µ = 1 + i.a) Muestra que mcd(π, µ) = 1.

b) Usando el lenguaje de las congruencias, demuestra que (1+i)N(π)−1 ≡ 1 (mod 5)

c) (1 + i)N(π)−1 ≡ 1 (mod π)

d) Observa que 1+i es un primo gaussiano y la afirmacion (1+i)N(π)−1 ≡ 1 (mod π)sugiere una generalizacion del Teorema Pequeno de Fermat.

e) Usando el lenguaje de las congruencias, muestra que cualquier entero gaussianoes congruente con 0 o 1 modulo 1+i. Sugerencia: a+bi ≡ a−b (mod 1+i) porquei ≡ −1 (mod 1 + i). Ahora reduce modulo 2 y considera que 2 = (1 + i)(1− i).

21. La tabla 1 muestra los factores Gaussianos irreducibles de los primeros 16 primosracionales de la forma 4n+ 1 junto con sus conjugados. Por ejemplo, en la primeraentrada del primer y segundo renglon aparecen los factores de 5 = (2 + i)(2 − i) yenseguida sus conjugados. Grafica en el plano complejo todos estos primos y observacomo estan distribuidos. ¿Se nota alguna regularidad en su distribucion?


1 −1 i −i2 + i −2− i −1 + 2i 1− 2i2− i −2 + i 1 + 2i −1− 2i

3 + 2i −3− 2i −2 + 3i 2− 3i3− 2i −3 + 2i 2 + 3i −2− 3i4 + i −4− i −1 + 4i 1− 4i

4− i −4 + i 1 + 4i −1− 4i5 + 2i −5− 2i −2 + 5i 2− 5i5− 2i −5 + 2i 2 + 5i −2− 5i

6 + i −6− i −1 + 6i 1− 6i6− i −6 + i 1 + 6i −1− 6i5 + 4i −5− 4i −4 + 5i 4− 5i

5− 4i −5 + 4i 4 + 5i −4− 5i7 + 2i −7− 2i −2 + 7i 2− 7i7− 2i −7 + 2i 2 + 7i −2− 7i

6 + 5i −6− 5i −5 + 6i 5− 6i6− 5i −6 + 5i 5 + 6i −5− 6i8 + 3i −8− 3i −3 + 8i 3− 8i

8− 3i −8 + 3i 3 + 8i −3− 8i8 + 5i −8− 5i −5 + 8i 5− 8i8− 5i −8 + 5i 5 + 8i −5− 8i

9 + 4i −9− 4i −4 + 9i 4− 9i9− 4i −9 + 4i 4 + 9i −4− 9i10 + i −10− i −1 + 10i 1− 10i

10− i −10 + i 1 + 10i −1− 10i10 + 3i −10− 3i −3 + 10i 3− 10i10− 3i −10 + 3i 3 + 10i −3− 10i8 + 7i −8− 7i −7 + 8i 7− 8i

8− 7i −8 + 7i 7 + 8i −7− 8i11 + 4i −11− 4i −4 + 11i 4− 11i11− 4i −11 + 4i 4 + 11i −4− 11i

10 + 7i −10− 7i −7 + 10i 7− 10i10− 7i −10 + 7i 7 + 10i −7− 10i

Tabla 1

Capıtulo5Grupos

5.1. Grupos y subgrupos

En este ultimo capıtulo estudiaremos una de las estructuras algebraicas masimportantes y bellas en la matematica moderna: los grupos. Hace aproximada-mente 150 anos, el concepto de grupo ya lo manejaba Galois, aunque aun no sehabıa dado la definicion formal. En ese entonces, el interes era el estudio de lasrelaciones algebraicas o aritmeticas por medio de sustituciones (hoy permutacio-nes) de las raıces de una ecuacion polinomial y es ası como nace el concepto degrupo. Con el paso del tiempo otras disciplinas como la fısica y la quımica, hanencontrado en la teorıa de grupos una herramienta fundamental para su desarrollo.

He decidido introducir el concepto de grupo por medio de una lista deaxiomas, para despues brindar al lector una variedad de ejemplos que ocurren consorprendente frecuencia en casi toda la matematica. Reconozco que esta manera dehacerlo es frıa y tal vez va en contra de la propia filosofıa del trabajo matematico:en matematicas no inventamos ideas y despues las estudiamos, sino al contrario,a partir de ejemplos o casos especiales comenzamos a crear una teorıa. A manerade justificacion, introduzco el concepto de grupo de manera axiomatica porquetramposamente ya se lo que viene: la teorıa ya esta desarrollada, al menos laque quiero presentarles. Pero si el lector desea deleitarse con el estudio de lassimetrıas de un cuadrado a manera de introduccion al concepto de grupo, puedeir directamente a la seccion 5.9 y de todas formas regresara aquı.

Sea A un conjunto no vacıo. Una operacion binaria sobre A es simplementeuna funcion f : A×A −→ A. Esta operacion binaria es comun llamarla productoo suma, segun sea el conjunto A. Si f es un producto entonces f((x, y)) es elproducto de x, y y en este caso escribiremos f((x, y)) = xy. Si f es la suma,

117

118 5. GRUPOS

entonces escribiremos f((x, y)) = x + y. Por ejemplo, la suma y producto usualde numeros reales son ejemplos de operaciones binarias en R.

Sea G un conjunto no vacıo. Diremos que G es un grupo si G tiene unaoperacion binaria (producto) que satisface los siguientes axiomas:

A1 Asociatividad. Para todos a, b, c ∈ G, a(bc) = (ab)c.A2 Existencia de neutro. Existe e ∈ G tal que ex = xe = x para todo x ∈ G.A3 Existencia de inverso. Para cada x ∈ G existe y ∈ G tal que xy = yx = e.

Si la operacion binaria en G es una suma entonces los axiomas que definen en Guna estructura de grupo quedan descritos como:

A1 Asociatividad. Para todo a, b, c ∈ G, a+ (b+ c) = (a+ b) + c.A2 Existencia de neutro. Existe e ∈ G tal que e+x = x+ e = x para todo x ∈ G.A3 Existencia de inverso. Para cada x ∈ G existe y ∈ G tal que x+y = y+x = e.

Notemos que esencialmente no hay diferencia alguna entre ambas definiciones.El elemento e se llama el neutro de G y el elemento y del axioma A3 se llama elinverso de x y es comun denotarlo como y = x−1 o y = −x segun, si la operaciones producto o suma. Hagamos una reflexion acerca del axioma de asociatividad.Pensemos en la suma en R. Por ejemplo, si escribimos 2 + 3 + 5, ¿como efectuaesta operacion nuestro cerebro? Por mas vueltas que le demos al asunto, nuestraconclusion debe ser que, solo podemos elegir dos de estos enteros y sumarlos. Alresultado le sumaremos el tercer entero. Esta incapacidad cerebral de poder sumartres enteros a la vez, esta reflejada en la asociatividad. Practicamente este axiomanos revela una incapacidad biologica para poder ejecutar operaciones elementalescon mas de dos numeros. Esto es maravilloso.

Teorema 5.1.1. Si G es un grupo, entonces e y x−1 son unicos. Si ax = ay,entonces x = y. Analogamente, si xa = ya, entonces x = y.

Demostracion. Si e, e′ son dos neutros de G, entonces e′ = e′e = e. Seanx ∈ G y y, y′ inversos de x. Entonces

y = ey = (y′x)y = y′(xy) = y′e = y′.

Finalmente supongamos que ax = ay. Entonces

x = ex = (a−1a)x = a−1(ax) = a−1(ay) = (a−1a)y = ey = y. �

5.1. GRUPOS Y SUBGRUPOS 119

En resumidas cuentas, en cualquier grupo, el neutro, el inverso son unicos y talcomo lo asegura el teorema anterior, las leyes de cancelacion izquierda y derechason validas. Podemos intentar resolver algunas ecuaciones sencillas en un grupo:

Teorema 5.1.2. Sean G un grupo y a, b ∈ G. La ecuacion ax = b tienesolucion unica.

Demostracion. Sea x = a−1b. Es claro que este valor de x resuelve nuestraecuacion. Para ver que x es unica suponemos que existe alguna y ∈ G tal queay = b. Por la ley de cancelacion por la izquierda la igualdad ay = ax = b implicaque x = y. �

Teorema 5.1.3. Si G es un grupo y a, b ∈ G, entonces (ab)−1 = b−1a−1.

Demostracion. Es claro que (ab)(ab)−1 = e y tambien

(b−1a−1)(ab) = b−1(a−1a)b = b−1(e)b = b−1b = e,

ası que por la unicidad del elemento inverso necesariamente (ab)−1 = b−1a−1. �

Note el lector que en la definicion de grupo no pedimos la conmutatividad dela operacion. Diremos que un grupo G es abeliano (conmutativo) si ab = ba paratodo a, b ∈ G. El orden de un grupo G es sencillamente la cardinalidad de G y lodenotaremos como o(G). Si o(G) <∞, entonces diremos que G es un grupo finito,en caso contrario diremos que G es un grupo infinito.

Sean G un grupo, a ∈ G y n ∈ N. Definimos a0 = e. Asumiendo que an

ha sido definido, entonces escribimos an+1 = ana. Si n < 0, entonces definimosan = (a−1)−n.

Teorema 5.1.4. En cualquier grupo, si n,m ∈ Z se cumple que

anam = an+m

(an)m = anm

y si G es abeliano (ab)n = anbn.

Demostracion. Es un facil ejercicio de induccion para el lector. �

Ahora vamos a proporcionar una lista de ejemplos.

Ejemplo 5.1.5. Si G = Z, entonces con la suma usual de enteros, Z es ungrupo abeliano infinito en donde el neutro es e = 0 y los inversos estan dados porx−1 = −x. Lo mismo sucede si G = Q, R, C.

120 5. GRUPOS

Ejemplo 5.1.6. Grupo de enteros modulo n > 0. Sea Zn = {0, 1, . . . , n− 1}con operacion la suma de clases. Entonces Zn es un grupo, en donde e = 0. Sii ∈ Zn, el inverso de la clase i es n− i. El grupo Zn es un grupo abeliano finito yo(Zn) = n.

Ejemplo 5.1.7. Sea U(Zn) = {a ∈ Z : 1 ≤ a ≤ n, mcd(a, n) = 1}.Entonces U(Zn) es un grupo abeliano con el producto modulo n. Es claro queo(U(Zn)) = ϕ(n). El grupo U(Zn) es conocido como el grupo de unidades de Zn .

Ejemplo 5.1.8. Si Q∗ = Q \ {0}, entonces con operacion binaria el producto

usual de numeros racionales es un grupo abeliano, donde e = 1 y(ab

)−1

=b

a.

Ejemplo 5.1.9. Grupo simetrico. Sea In = {1, 2, . . . , n}. Consideremos elsiguiente conjunto

Sn = {σ : In → In : σ es una funcion biyectiva}.Si σ ∈ Sn, la notacion que usaremos para describir a σ es

σ =

(1 2 · · · n

σ(1) σ(2) · · · σ(n)

).

El conjunto Sn es un grupo en donde la operacion es la composicion usual defunciones y el neutro es precisamente la funcion identidad, la cual denotaremoscomo ε. Si σ ∈ Sn es tal que σ(i) = j, entonces σ−1 es la funcion inversa de σ talque σ−1(j) = i. Si n > 2, entonces Sn es un grupo no abeliano. A los elementos deSn los llamaremos permutaciones. Mas adelante dedicaremos una seccion de estetrabajo al estudio del grupo Sn, tal vez el mas importante de todos los grupos.

Ejemplo 5.1.10. R2 es un grupo abeliano con la suma usual de parejasordenadas y donde e = (0, 0), (a, b)−1 = (−a,−b). ¿Existira otra operacion enR2 de tal forma que R2 tenga estructura de grupo? .

Ejemplo 5.1.11. Sea R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} el plano euclidiano. Un movi-miento de R2 es una funcion biyectiva f : R2 → R2. El conjunto de movimientosde R2 forma un grupo G no abeliano con operacion binaria la composicion usualde funciones. El grupo G se conoce como el grupo de movimientos de R2.

Ejemplo 5.1.12. Grupo Lineal General. Consideremos el conjunto de matrices

GL(2,R) =

{(a bc d

): a, b, c, d ∈ R, ad− bc 6= 0

}.


Entonces

(a bc d

)∈ GL(2,R) es una matriz invertible que define una funcion

biyectiva (transformacion lineal) T : R2 −→ R2 dada por

T

(xy

)=

(a bc d

)(xy

)= (ax+ by, cx+ dy).

La operacion de grupo en GL(2,R) es el producto usual de matrices (recuerde queel producto de matrices invertibles es invertible) donde e es la matriz identidad(

1 00 1

). Los elementos de GL(2,R) consecuentemente se denominan movimientos

lineales de R2.

Ejemplo 5.1.13. Grupo Lineal Especial. Consideremos el conjunto de matri-ces

SL(2,R) = {(aij) ∈ GL(2,R) : det(aij) = 1}.Con el producto usual de matrices SL(2,R) es un grupo en donde el neutro es lamatriz identidad.

Ejemplo 5.1.14. Grupo de Traslaciones. Sean a, b ∈ R. Definimos la funcionTa,b : R2 → R2como Ta,b(x, y) = (x + a, y + b). Si Ta,b(x, y) = Ta,b(x

′, y′),entonces de la definicion de Ta,b se sigue que x = x′, y = y′. Ası que, Ta,b es unafuncion inyectiva. Claramente Ta,b es suprayectiva. Sea T (R2) = {Ta,b | a, b ∈ R}.Entonces T (R2) es un grupo con la composicion usual de funciones, donde e es lafuncion T0,0. Los elementos de T (R2) se conocen con el nombre de traslaciones deR2. Podemos visualizar geometricamente una traslacion como un movimiento detodo el plano euclideano a traves de un vector cuyo punto inicial es (0, 0) y puntofinal (a, b).

Ejemplo 5.1.15. Grupo booleano. Sea A 6= ∅ un conjunto. Consideremos elconjunto formado por los subconjuntos de A, el cual denotaremos como P (A) ={X ⊆ A}. El conjunto P (A) es conocido con el nombre de conjunto potenciade A. La funcion f : A × A → A definida como f(X,Y ) = (X \ Y ) ∪ (Y \ X)es una operacion binaria en P (A). Observamos que f(∅, X) = X para cualquierX ∈ P (A). Tambien f(X,Y ) = f(Y,X) y f(X,X) = ∅. De cursos elementales dealgebra sabemos que la diferencia simetrica es asociativa. Por tanto, P (A) es ungrupo abeliano, en donde e = ∅ y el inverso de X es X.

122 5. GRUPOS

Ejemplo 5.1.16. Denotemos por Mm×n(R) al conjunto de matrices de tamanom× n con entradas en R. Entonces Mm×n(R) es un grupo abeliano con la sumausual de matrices, en donde

e =

0 · · · 0...

...0 · · · 0

y

a11 · · · a1n

a21 · · · a2n

......

am1 · · · amn

−1

=

−a11 · · · −a1n

−a21 · · · −a2n

......

−am1 · · · −amn

Ejemplo 5.1.17. Sea K es cualquier campo o cualquier anillo. Entonces

Mm×n(K) es un grupo abeliano tal como se explico en el ejemplo anterior.

Ejemplo 5.1.18. Sea C([a, b]) = {f : [a, b] → R : fes continua}. EntoncesC([a, b]) es un grupo con la suma usual de funciones, e = 0 (funcion identicamentecero) y f−1 = −f . Recuerda que la suma de funciones continuas es continua.

Ejemplo 5.1.19. Sean G,G′ grupos y G × G′ el producto cartesiano de G yG′. Definimos la funcion

f : (G×G′)× (G×G′) −→ G×G′

como f((g, g′), (h, h′)) = (gh, g′h′), donde obviamente g, h ∈ G y g′, h′ ∈ G′.Entonces f es una operacion binaria en G×G′ y con simple inspeccion se observaque G × G′ es un grupo con e = (eG, eG′) y (x, y)−1 = (x−1, y−1), donde eG yeG′ denotan el neutro de G y G′ respectivamente. El grupo G × G′ se conocecon el nombre de producto directo externo de los grupos G, G′. Mas adelanteregresaremos al estudio de estos grupos.

Ejemplo 5.1.20. Si V es un espacio vectorial sobre un campo K, entonces Ves un grupo abeliano con la suma usual de vectores.

Ejemplo 5.1.21. Grupo de los cuaterniones. Considera el conjunto H ={a+ bi+ cj+dk : a, b, c, d ∈ R} sujeto a las siguientes reglas: i2 = j2 = k2 = −1 y

ij = k, ji = −k, jk = i, kj = −i, ki = j, ik = −j.


En el caso particular c = d = 0, observamos que C ⊂ H. En H definimos la suma:

(a+ bi+ cj + dk) + (e+ fi+ gj + hk) = (a+ e) + (b+ f)i+ (c+ g)j + (d+ h)k.

Entonces H es un grupo abeliano. El lector puede observar que esencialmente Hes muy parecido al R-espacio vectorial R4. Tambien puede notar que H es unC-espacio vectorial de dimension 2, es decir, H ≈ C× C.

Ejemplo 5.1.22. Sea Q8 = {1,−1, i,−i, j,−j, k,−k} donde i, j, k satisfacenlas reglas de multiplicacion del ejemplo anterior. El conjunto Q8 es un grupo noabeliano, en donde e = 1. El lector puede verificar facilmente que

i−1 = −i, j−1 = −j, k−1 = −k, −1−1 = −1.

La lista anterior de ejemplos no es exhaustiva: los grupos estan involucradosen varias ramas de la matematica, de ahı su importancia. Como podemos observar,en algunos ejemplos aparecen subconjuntos que tienen estructura de grupo. Enseguida, vamos a buscar la manera de poder identificar subconjuntos de un grupoG que reflejen la estructura aritmetica de G.

Si G es un grupo con operacion binaria f y H ⊆ G es no vacıo, entoncesf restringida a H × H puede que no sea una operacion binaria de H. Porejemplo, si G = Z, entonces Z con la suma es un grupo abeliano. ConsideremosH = {2n + 1 : n ∈ Z} ⊂ Z. Es claro que H no es cerrado bajo sumas. Estefenomeno sugiere una consideracion sensible. Diremos que H es un subgrupo de Gsi se satisfacen los siguientes axiomas:

S1 La operacion binaria f de G es una operacion binaria de H, es decir, parax, y ∈ H se tiene que f((x, y)) = xy ∈ H.

S2 Si e es el neutro de G, entonces e ∈ H.S3 Si h ∈ H, entonces h−1 ∈ H.

Escribiremos H ≤ G para indicar que H es subgrupo de G. La notacion H < Gindicara que H es un subgrupo propio de G. Observemos que si H es subgrupo deG, no es necesario justificar la unicidad de e y x−1 puesto que ya lo justificamospara G en el teorema 5.1.1.

Con la definicion de subgrupo a la mano, es natural preguntarse si cualquiergrupo G contiene subgrupos. Cualquier grupo contiene al menos dos subgrupos:{e} y G. Estos dos subgrupos se conocen como los subgrupos triviales de G.

124 5. GRUPOS

Practicamente la definicion de subgrupo es la misma que la definicion de grupo:son exactamente tres axiomas. El siguiente resultado de esta seccion es un criteriopara identificar cuando un subconjunto no vacıo del grupo G es un subgrupo deG.

Teorema 5.1.23. Sean G un grupo y ∅ 6= H ⊆ G. Entonces H ≤ G si y solosi para a, b ∈ H se tiene que ab−1 ∈ H.

Demostracion. Si H es subgrupo de G, entonces para a, b ∈ H se tieneque a, b−1 ∈ H y por lo tanto ab−1 ∈ H. Supongamos ahora que todo par deelementos a, b ∈ H satisface ab−1 ∈ H. En particular, e = aa−1 ∈ H. Por tanto,e, b ∈ H implica b−1 = eb−1 ∈ H. Finalmente, como b−1 ∈ H, tenemos quea(b−1)−1 = ab ∈ H. Ası H ≤ G. �

Corolario 5.1.24. Sean G un grupo y ∅ 6= H ⊆ G. Si H es finito y cerradobajo productos, entonces H ≤ G.

Demostracion. Solo tenemos que verificar que si a ∈ H, entonces a−1 ∈ H.Sea a ∈ H. Consideremos el conjunto

Ca = {am : m ∈ N}.

Por hipotesis, H es cerrado bajo productos. Ası que Ca ⊆ H. Por ser Hfinito tenemos que ai = aj para ciertos enteros distintos i, j ∈ N. Sin perdida degeneralidad, podemos elegir i > j de tal forma que i − j − 1 > 0. Por lo tantoai−j = e y a−1 = ai−j−1 ∈ Ca ⊆ H. �

La condicion H finito en el corolario 5.1.24 es necesaria. Por ejemplo, en elgrupo multiplicativo de los numeros racionales Q∗, el subconjunto H = {2n+ 1 :n ∈ Z} es infinito y cerrado bajo productos, pero no es subgrupo de Q∗.

Ejemplo 5.1.25. El grupo aditivo de los numeros racionales Q es subgrupode los grupos R y C.

Ejemplo 5.1.26. Sean n ∈ N y nZ = {nx : x ∈ Z}. Entonces nZ ≤ Z.

Ejemplo 5.1.27. Sean Z8 = {0, 1, . . . , 7} y H = {0, 4}. Entonces H < Z8.

Ejemplo 5.1.28. Considere el grupo Zn y sea j ∈ Zn. El conjunto H = {rj :r ∈ N} es subgrupo de Zn.


Ejemplo 5.1.29. En el grupo multiplicativo de los numeros complejos C∗ =C \ {0}, el conjunto µn = {x ∈ C : xn = 1} es un subgrupo de C∗. Este es unejemplo de un grupo de orden infinito en el que se aplica muy bien el teorema5.1.23.

Ejemplo 5.1.30. Sea GRCp = {a ∈ F∗p : x2 ≡ a (mod p) es soluble}, con p un

primo impar. Observe que si c ∈ F∗p es tal que c2 ≡ a (mod p), entonces x = c−1

satisface (c−1)2 ≡ (c2)−1 ≡ a−1 (mod p). Lo anterior significa que si a ∈ Fp es uncuadrado, entonces a−1 tambien es un cuadrado. Puesto que el producto de doscuadrados es un cuadrado, entonces GRCp es un subgrupo multiplicativo de F∗p.

Ejemplo 5.1.31. En el grupo GL(2,R) consideremos el conjunto

H =

{(a b0 d

): a, b, d ∈ R, ad 6= 0

}.

Entonces H ≤ GL(2,R).

Ejemplo 5.1.32. El conjunto K =

{(1 b0 1

): b ∈ R

}es subgrupo del grupo

H del ejemplo anterior.

Ejemplo 5.1.33. SL(2,R) < GL(2,R).

Ejemplo 5.1.34. H =

{(1 2 31 2 3

),

(1 2 31 3 2

)}es un subgrupo de S3.

Sea G un grupo y H1, H2 ≤ G. Puesto que e ∈ H1 y e ∈ H2, entoncesH1 ∩H2 6= ∅. Mas aun, si x, y ∈ H1 ∩H2, entonces xy−1 ∈ H1 ∩H2. Por tantoH1 ∩H2 ≤ G. En general tenemos:

Teorema 5.1.35. Sea S = {Hα : Hα ≤ G, α ∈ I}, donde I es algun conjunto

de ındices. Entonces S∗ =⋂α∈I

Hα ≤ G.


El resultado anterior nos dice que la interseccion de cualquier familia desubgrupos es subgrupo. Aprovechamos lo anterior para describir una formade producir subgrupos de un grupo dado G. Sea ∅ 6= A ⊆ G. Definimos

126 5. GRUPOS

S(A) = {H ≤ G : A ⊆ H}. Entonces por el teorema anterior, el conjunto

〈A〉 =⋂

H∈S(A)

H

es un subgrupo de G. Notemos que 〈A〉 es el menor subgrupo de G que contiene alconjunto A. El subgrupo 〈A〉 se llama el subgrupo de G generado por el conjuntoA. En el caso que 〈A〉 = G diremos que A es un conjunto de generadores deG. Si A = {a}, entonces 〈a〉 se llama el subgrupo cıclico de G generado por a.Particularmente, si G = 〈a〉 diremos que G es un grupo cıclico. Tenemos unacaracterizacion de 〈a〉.

Lema 5.1.36. Si G es un grupo y a ∈ G, entonces 〈a〉 = {an : n ∈ Z}.

Demostracion. Vamos a mostrar la igualdad entre los conjuntos 〈a〉 y{an : n ∈ Z}. Primero observemos que a ∈ {an : n ∈ Z} ≤ G. Entonces{an : n ∈ Z} ∈ S({a}) y por tanto 〈a〉 ⊂ {an : n ∈ Z}. Por otro lado, an ∈ 〈a〉 paracualquier n ∈ Z pues a ∈ 〈a〉. Ası {an : n ∈ Z} ⊂ 〈a〉 y 〈a〉 = {an : n ∈ Z}. �

Si G es un grupo aditivo y a ∈ G, entonces la version aditiva equivalentedel lema 5.1.36 es: 〈a〉 = {na : n ∈ Z}. En el caso particular de Z tenemos que〈n〉 = nZ.

Fue relativamente facil dar una descripcion de 〈a〉. Debo decirle al lector quesi |A| ≥ 2, es mucho mas complicado dar una caracterizacion de 〈A〉.

Teorema 5.1.37. Si G = 〈a〉, entonces cualquier subgrupo de G es cıclico.

Demostracion. Sean G = {an : n ∈ Z} y H ≤ G. Si H = {e} o H = G,entonces la afirmacion es obviamente cierta. Por lo anterior, podemos suponerque H 6= {e}, G y H = {ai : para ciertos i ∈ Z}. Notemos que en la descripcionde H hemos escrito para ciertos i ∈ Z pues estamos suponiendo que H 6= G.Sea j ∈ N el menor entero positivo tal que aj ∈ H. Vamos a mostrar queH = 〈aj〉 = {atj : t ∈ Z}. Si ak ∈ H, aplicamos el algoritmo de la divisionpara escribir k = jq+ r con 0 ≤ r < j. Ası ak = ajq+r = ajqar y ak−jq = ar ∈ H.Puesto que j es el menor entero positivo tal que aj ∈ H, entonces r = 0 yak = ajq. �

Ejemplo 5.1.38. En el grupo Z9 tenemos 〈3〉 = {0, 3, 6}.


Ejemplo 5.1.39. En el ejemplo 5.1.29, el subgrupo µn = {x ∈ C : xn = 1} de

C∗ es cıclico y µn = 〈e 2πin 〉.

Corolario 5.1.40. Si H ≤ Z, entonces H = 〈n〉 = nZ para algun n ∈ N0.

Demostracion. Si H = {0}, entones H = 0Z. Si H = Z, entonces H = 1Z.Supongamos que H es un subgrupo propio contenido en Z y sea x ∈ H. Puestoque H es subgrupo, entonces −x ∈ H. Ası que H contiene numeros positivos ynegativos. Por lo anterior, H ∩ N 6= ∅. Por el PBO podemos elegir el elementomenor positivo n en H. Para esta n consideremos el subgrupo nZ = {nt : t ∈ Z}.Es claro que nZ ⊂ H. Para la otra contencion elegimos cualquier elemento x ∈ H.Por el algoritmo de la division x = nq + r con 0 ≤ r < n. Observemos quex, nq ∈ H y por tanto r = x − nq ∈ H. Si 0 < r, como r ∈ H entonces nno es el menor entero positivo en H. Ası que necesariamente r = 0 y por tantox = nq ∈ nZ. En conclusion, cualquier subgrupo de Z es de la forma nZ, paraalguna n ∈ N0 y es cıclico. �

Ejemplo 5.1.41. El grupo Z solo tiene dos generadores. En efecto, si Z = 〈a〉,entonces para n ∈ Z, existe t ∈ Z tales que at = n. Lo anterior significa que a | n.En particular a | 1 y ası, a = ±1. Por tanto Z = 〈1〉 = 〈−1〉.

Notemos que en el ejemplo 5.1.38, el numero o(〈3〉) es un divisor de o(Z9).Este hecho no es una coincidencia. Probaremos que el orden de un grupo finito esdividido por el orden de cualquier subgrupo.

Sean G un grupo finito y H ≤ G. Para a ∈ G definimos la clase izquierda de amodulo H como aH = {ah : h ∈ H}. Esta definicion tambien aplica si o(G) =∞.

Ejemplo 5.1.42. En el grupo Z consideremos el subgrupo 7Z y sea x ∈ Z.Entonces la clase izquierda de x modulo 7Z es

x+ 7Z = {x+ 7n : n ∈ Z}.

Ejemplo 5.1.43. En el grupo Z9 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} consideremos elsubgrupo H = {0, 3, 6} y a = 5. Entonces la clase izquierda de 5 modulo Hes

5 +H = {5 + 0, 5 + 3, 5 + 6} = {5, 8, 2}.

128 5. GRUPOS

Ejemplo 5.1.44. Consideremos el grupo Z16 y el subgrupo H = {4, 8, 12, 0}.Entonces la clase izquierda de 8 modulo H es

8 +H = {8 + 4, 8 + 8, 8 + 12, 8 + 0} = {12, 0, 4, 8}.

En el ejemplo 5.1.43 observamos que la clase 5 + H no es subgrupo de Z9.En el ejemplo 5.1.44 observamos que la clase 8 +H sı es subgrupo del grupo Z16.En ambos casos la cardinalidad de la clase coincide con el orden del subgrupoH. El lector no debe confundirse si en los enunciados usamos notacion aditiva omultiplicativa.

Lema 5.1.45. Sean G un grupo (finito o infinito), H ≤ G y a ∈ G. Entonceslas siguientes afirmaciones son ciertas:

1. aH = H si y solo si a ∈ H.2. o(H) = |aH|.3. a−1bH = H si y solo si aH = bH.

Demostracion. Para justificar la afirmacion 1 primero supongamos queaH = H. Sea ah cualquier elemento de aH. Como ah ∈ H, entonces ah = h1,para cierto elemento h1 ∈ H. Por tanto a = h1h

−1 ∈ H. Recıprocamente, sia ∈ H, entonces aH ⊂ H porque H es cerrado bajo productos. Para cualquierh ∈ H podemos escribir h = a(a−1h). Ası que H ⊂ aH y por tanto aH = H.

Para la afirmacion 2 consideremos un conjunto I de ındices y H = {hi : i ∈ I}.Entonces aH = {ahi : hi ∈ H}. La funcion f : H → aH definida como f(hi) = ahies biyectiva y por tanto los conjuntos H y aH tienen la misma cardinalidad.

Finalmente, para la afirmacion 3 primero supongamos que a−1bH = H.Entonces a−1b ∈ H y ası a−1b = h, para cierto elemento h ∈ H. Por lo anterior,b = ah y bH ⊂ aH. De la misma igualdad a−1b = h tenemos a = bh−1 ∈ bH y portanto aH ⊂ bH. Inversamente, si aH = bH, entonces b = ah, para algun h ∈ H.Ası que a−1b = h ∈ H. Aplicando la afirmacion 1 tenemos a−1bH = H. �

En el ejemplo 5.1.44 observamos que la clase 8 +H coincide con el subgrupoH. Este fenomeno fue justificado en la afirmacion 1 del lema anterior. Podemosser mas atrevidos e intentar comparar dos clases izquierdas arbitrarias.

Lema 5.1.46. Sean G un grupo y aH, bH clases izquierdas. Entonces aH ∩bH = ∅ o aH = bH.


Demostracion. Supongamos que la primera afirmacion no se cumple, esdecir, aH ∩ bH 6= ∅. Vamos a mostrar que entonces la segunda afirmacion esla buena. Si x ∈ aH

⋂bH, entonces existen h1, h2 ∈ H de tal forma que

x = ah1 = bh2. Por tanto a = bh2h−11 ∈ bH y ası, para todo h ∈ H,

ah = bh2h−11 h ∈ bH. De esta forma aH ⊂ bH. El mismo argumento nos lleva a

justificar que bH ⊂ aH. Por tanto aH = bH. �

Resumiendo, tenemos que dos clases izquierdas son ajenas o son iguales. Deacuerdo al lema anterior, el lector debe notar que el conjunto de clases izquierdas{aH}a∈G produce una particion del grupo G. Lo anterior significa:

1. Cada clase aH 6= ∅ pues al menos a ∈ aH.

2.⋃a∈G

aH = G.

Como sabemos, una particion produce una relacion de equivalencia y unarelacion de equivalencia nos lleva a una particion. En particular, la relacion deequivalencia que hemos producido en G por medio de la particion de las clasesizquierdas formadas con un subgrupo dado H es la siguiente: si a, b ∈ G, entoncesa ∼ b si y solo si aH = bH. Vamos a denotar G/H = {aH : a ∈ G} y nos referimosa G/H como el conjunto de clases izquierdas de G modulo H.

Ejemplo 5.1.47. Consideremos el grupo F∗7 = F7 \ {0} = {1, 2, 3, 4, 5, 6},en donde la operacion es la multiplicacion modulo 7. Si H = {1, 2, 4}, entoncesH ≤ F∗7. A continuacion damos una lista de los elementos de F∗7/H:

1H = {1, 2, 4}, 2H = {2, 4, 1}, 3H = {3, 6, 5}4H = {4, 1, 2}, 5H = {5, 3, 6}, 6H = {6, 5, 3}.

Observamos que cualesquiera dos clases o coinciden o son ajenas. Ademas, launion de ellas reproduce al grupo F∗7.

130 5. GRUPOS

Ejemplo 5.1.48. Consideremos el grupo de los enteros Z y el subgrupo 6Z.Algunos elementos de Z/6Z son:

0 + 6Z = {6n : n ∈ Z}, 1 + 6Z = {1 + 6n : n ∈ Z},2 + 6Z = {2 + 6n : n ∈ Z}, 3 + 6Z = {3 + 6n : n ∈ Z},4 + 6Z = {4 + 6n : n ∈ Z}, 5 + 6Z = {5 + 6n : n ∈ Z},6 + 6Z = {6 + 6n : n ∈ Z}, 7 + 6Z = {7 + 6n : n ∈ Z},8 + 6Z = {8 + 6n : n ∈ Z}.

Observamos que algunas clases se estan repitiendo, por ejemplo

0 + 6Z = 6 + 6Z, 1 + 6Z = 7 + 6Z, 2 + 6Z = 8 + 6Z.

Esencialmente esto se debe al algoritmo de la division y por tanto

Z/6Z = {0 + 6Z, 1 + 6Z, 2 + 6Z, 3 + 6Z, 4 + 6Z, 5 + 6Z}.

Denotaremos como [G : H] al numero de clases izquierda de G modulo H,es decir,

∣∣G/H∣∣ = [G : H]. El numero [G : H] lo llamaremos el ındice de H enG. A continuacion formalizamos algunas de las observaciones de los dos ejemplosanteriores.

Teorema 5.1.49 (Teorema de Lagrange1). Sean G un grupo finito y H ≤ G.Entonces o(H) | o(G), mas aun, o(G) = o(H)[G : H] o equivalentementeo(G)

o(H)= [G : H]

1Joseph Louis Lagrange nacio el 25 de enero de 1736 en Turın, capital del reino de Cerdena.Cursa sus primeros estudios en Turın; despues de la lectura ocasional de una memoria sobre

algebra del astronomo Halley, se orienta hacia las matematicas. Lagrange reside en Berlın desde1766 hasta 1787 y es donde redactara cerca de ciento cincuenta memorias consagradas a lasmatematicas y a la mecanica. La gran obra de Lagrange durante este perıodo es su mecanica

analıtica, una obra maestra de matematica pura que presenta a la mecanica por medio de unmetodo puramente algebraico, sin la ayuda de ninguna figura. En el campo de las matematicas

puras, merecen el primer lugar sus trabajos sobre la resolucion algebraica de ecuaciones. En

1766, Lagrange demuestra la existencia de raıces de la ecuacion de Pell, en 1768 ofrece unasolucion completa de la ecuacion de segundo grado (enteros solamente). Se interesa tambien por

la descomposicion de numeros y en 1770 demuestra el enunciado de Fermat: Todo entero positivoes la suma de a lo mas cuatro cuadrados. En 1773 da la primera demostracion del teorema deWilson. Muere en el ano 1813.


Demostracion. Si {aH} es la particion de G modulo H, entonces la unionG =

⋃aH es ajena. Por la afirmacion 1 del lema 5.1.45 si t = o(H) entontes

t = |aH| = o(H) para cualquier a ∈ G. Por tanto o(G) =∑|aH| = tq, donde q

es el numero de clases izquierdas. Ası o(H) | o(G) donde q es el numero de clasesizquierdas, es decir, q = [G : H]. �

Si definimos una clase derecha como Ha = {ah : h ∈ H}, entonces todo loque hemos formalizado con clases izquierdas se puede copiar verbatim con clasesderechas.

De la misma manera que definimos el orden de un grupo podemos definir elorden de un elemento. Sean G un grupo y a ∈ G. De acuerdo al lema 5.1.36,〈a〉 = {an : n ∈ N} es un subgrupo de G. Si o(〈a〉) = r < ∞, entonces diremosque el orden del elemento a es r. Si o(〈a〉) =∞ diremos que a es de orden infinito.En pocas palabras, el orden de a ∈ G es el orden del grupo cıclico generadopor a. Cualquiera que sea el caso, escribiremos o(a) para indicar el orden de a.Dependiendo del grupo G, un elemento puede ser de orden finito o infinito. Si Ges finito y a ∈ G, entonces por el teorema de Lagrange o(a) | o(G) y por tantoo(a) < ∞. Si G es un grupo infinito, puede suceder que a es de orden finito oinfinito, todo depende de la aritmetica de G. Observe que el orden de un elementoa es el menor entero positivo n tal que an = e. Es claro que el orden del neutrode un grupo G es 1 y cualquier elemento de orden 1 necesariamente debe ser elneutro.

Ejemplo 5.1.50. Sean G un grupo y g ∈ G tal que o(g) = n. Si am = e,entonces n | m. En efecto, pues por el algoritmo de la division m = nq + r con0 ≤ r < n. Por tanto am = anq+r = (an)qar = ar = e. Puesto que n es el menorentero positivo con la propiedad an = e, necesariamente r = 0 y n | m.

Ejemplo 5.1.51. Sea n ∈ Z. Puesto que 〈n〉 = nZ es un subgrupo de Z deorden infinito, tenemos que cualquier elemento distinto de 0 es de orden infinito.

Ejemplo 5.1.52. En el grupo de enteros modulo n, el orden de cualquierelemento debe ser un divisor de n.

Ejemplo 5.1.53. Consideremos el grupo multiplicativo C∗. De acuerdo alejemplo 5.1.29, el subgrupo µn de C∗ es cıclico finito. Cualquier x ∈ µn es deorden finito. Ası que el grupo puede ser infinito y contener elementos de orden

132 5. GRUPOS

finito. En este ejemplo, C∗ contiene subgrupos finitos de todos los ordenes. ¿Porque?

Ejemplo 5.1.54. En el grupo multiplicativo R∗ = R\{0}, el subgrupo {1,−1}tiene un elemento de orden 1 y un elemento de orden 2.

Corolario 5.1.55. Sean G un grupo finito y a ∈ G. Entonces ao(G) = e.

Demostracion. Por el teorema de Lagrange o(a) | o(G). Si r = o(G),entonces r = o(a)q para algun q ∈ N. Por tanto ar = (ao(a))q = eq = e. �

Corolario 5.1.56 (Teorema de Fermat). Si p es primo, a ∈ F∗p, entonces

ap−1 = 1.

Demostracion. Es suficiente notar que F∗p es un grupo de orden p − 1 conel producto de enteros modulo p, en donde el neutro es la clase 1. �

Corolario 5.1.57 (Teorema de Euler). Para a ∈ Un se tiene que aϕ(n) ≡ 1(mod n).

Demostracion. El conjunto Un = {a ∈ Zn : ax ≡ 1 (mod n) es soluble} esun grupo con el producto de clases residuales modulo n y o(Un) = ϕ(n). �

Si conocemos el entero o(a) podemos preguntarnos cual es el orden de am param ∈ N. El siguiente resultado nos da la respuesta.

Teorema 5.1.58. Sean G un grupo y a ∈ G con o(a) = r < ∞. Entonces

para m ∈ N tenemos que o(am) =r

mcd(r,m).

Demostracion. Sera fundamental tener en cuenta que r es el menor enteropositivo con la propiedad ar = e y aj 6= e para 1 ≤ j < r. La prueba la haremosen tres casos: primero el caso m | r, luego el caso mcd(r,m) = 1 y finalmente elcaso general mcd(r,m) = d.

Si m | r, entonces r = mq para algun q ∈ N. Por tanto mcd(r,m) = m y

r

mcd(r,m)=

r

m.

En este caso debemos probar que

o(am) =r

m= q.


Notemos primero que (am)q = ar = e, ası o(am) ≤ q. Si o(am) < q, entonces(am)q = amq = ar 6= e lo cual no es posible pues r es el orden de a. Por tanto

o(an) = q =r

m=

r

mcd(r,m).

Ahora supongamos mcd(m, r) = 1. Segun la afirmacion del teorema, debemosmostrar que o(am) = r. Sean x, y ∈ Z tal que mx + yr = 1. Multiplicando estaultima igualdad por o(am) obtenemos

mxo(am) + yro(am) = o(am),

de donde

ao(am) = (am)xo(a

m) · (ar)yo(am) = e

y ası el numero o(a) satisface que o(am) ≥ r. Por otro lado

(am)r = (ar)m = em = e

implica que r ≥ o(am) y por lo tanto r = o(am).Para el caso general, si mcd(m, r) = d, entonces m = dq0, r = dq1 con

mcd(q0, q1) = 1. En este caso debemos probar que o(am) =r

d. Puesto que

d | r, entonces por el primer caso de estudio, tenemos o(ad) = q1. De acuerdo al

segundo caso, puesto que mcd(q0, q1) = 1 tenemos (o(ad))q0 = q1. Pero q1 =r

dy

por tanto

o(adq0) = o(am) = q1 =r

d=

r

mcd(r,m). �

Corolario 5.1.59. Si G es cıclico de orden finito m, entonces G tiene ϕ(m)generadores, donde ϕ es la funcion ϕ de Euler.

Demostracion. Sean a ∈ G un generador y t ∈ N tal que mcd(t,m) = 1.Entonces

o(at) =m

mcd(t,m)= m.

Por tanto G = 〈at〉. Ası, G tiene al menos ϕ(m) generadores. Ahora veamos quetodos los generadores de G se encuentran en el conjunto {at : mcd(t,m) = 1}.Elegimos cualquier generador x ∈ G. Entonces x = as, para algun s ∈ N yo(x) = o(as) = m. Pero

o(as) =m

mcd(s,m)= m

134 5. GRUPOS

si y solo si mcd(s,m) = 1. Por tanto x = as con mcd(s,m) = 1 y G tieneexactamente ϕ(m) generadores. �

Prevenimos al lector que las formulas o(a+ b) = o(a) +o(b) y o(ab) = o(a)o(b)no son validas en general. Ası que debe ser cuidadoso cuando trabaje con el ordende una suma o un producto de elementos. Vea el ejercicio 28.

Teorema 5.1.60. Sean G un grupo, a, b ∈ G de orden finito tales que ab = bay mcd(o(a), o(b)) = 1. Entonces o(ab) = o(a)o(b).

Demostracion. Sea o(a) = m y o(b) = n. Como ab = ba, para k ∈ Z secumple que (ab)k = akbk y por lo tanto (ab)mn = e. Vamos a mostrar que si(ab)k = e, entonces mn | k. En particular tendrıamos que (ab)o(ab) = e, ası quemn | o(ab) y terminamos. Si (ab)k = e, entonces tenemos ak = b−k y por tantoamk = b−mk = e. Puesto que o(b) = n y b−mk = e, llegamos a que n | mk. Usandola hipotesis mcd(m,n) = 1 concluimos que n | k. Usando exactamente las mismasideas podemos justificar que m | k. Por lo anterior, como mcd(m,n) = 1, entoncesmn | k. Nos hemos auxiliado de los corolarios 1.2.2 y 1.2.7. �

Ejemplo 5.1.61. Sea p un primo y µp el grupo de raıces p-esimas de 1. Si

denotamos al generador de µp por x = e2πip , entonces es claro que o(x) = p. Si

n ∈ N es primo relativo con p, entonces o(xn) =p

mcd(n, p)= p. Concluimos este

ejemplo afirmando que cualquier elemento y ∈ µp \ {1} es un generador del grupoµp.

Este es el momento adecuado para hacer una breve reflexion sobre el teoremade Lagrange 5.1.49. Este resultado afirma que si tenemos un grupo finito G yH ≤ G, entonces el numero o(H) es un divisor de o(G). Podemos pensar enlo siguiente: si G un grupo finito de orden n y d | n, entonces ¿G contiene unsubgrupo H de orden d? La afirmacion inversa del teorema de Lagrange no esvalida en toda generalidad, por ejemplo, el siguiente conjunto de permutaciones

A4 ={(

1 2 3 41 2 3 4

),

(1 2 3 41 3 4 2

),

(1 2 3 41 4 2 3

),

(1 2 3 43 2 4 1

),(

1 2 3 44 2 1 3

),

(1 2 3 42 4 3 1

),

(1 2 3 44 1 3 2

),

(1 2 3 42 3 1 4

),

5.1. GRUPOS Y SUBGRUPOS 135(1 2 3 43 1 2 4

),

(1 2 3 44 3 2 1

),

(1 2 3 43 4 1 2

),

(1 2 3 42 1 4 3

)}es un grupo de orden 12 y no contiene algun subgrupo de orden 6. El grupo A4 esconocido como grupo alternante y esta contenido en S4. A4 es el ejemplo de grupomas pequeno en el cual no se cumple la afirmacion inversa del teorema de Lagrange.Sin embargo, no todo esta perdido, en su momento estudiaremos los teoremas quenos garantizan que para ciertos divisores del orden del grupo, existen subgruposdel orden adecuado. Estos teoremas se conocen como los teoremas de Sylow loscuales vienen a resolver en buena medida la afirmacion inversa del teorema deLagrange. Por lo pronto proporcionamos la siguiente version del teorema inversode Lagrange.

Teorema 5.1.62 (Teorema inverso de Lagrange para grupos cıclicos finitos).Sean G un grupo cıclico finito de orden n y d | n, d > 0. Entonces G contiene ununico subgrupo H de orden d.

Demostracion. Supongamos que G =< x >= {e, x, x2, . . . , xn−1} y n = dq.Si H = {xtq : t ∈ Z} = 〈xq〉 , entonces H ≤ G. Para t ∈ Z existen unicos q1, r1

enteros tales que t = dq1 + r1 con 0 ≤ r1 < d. Es facil verificar que:

1. xtq = xr1q.2. Si 0 ≤ r1 6= r2 < d, entonces xr1q 6= xr2q.

Por lo anterior, o(H) = d. Para la unicidad, supongamos que 〈a〉 tiene orden d.Entonces a = xm, para algun m ∈ N. Por tanto ad = xmd = e. De acuerdo al

ejemplo 5.1.50, n | md pues o(x) = n. Sea k ∈ Z tal que m =n

dk = qk. Ası,

a = xm = (xq)k = xkq ∈ H y 〈a〉 ≤ H. Por lo anterior 〈a〉 = H. �

Corolario 5.1.63. Si G es un grupo cıclico, entonces cualquier subgrupo deG es cıclico.

Demostracion. Cualquier subgrupo de G es obtenido como en el teoremaanterior. �

El teorema 5.1.62 tambien es valido para grupos abelianos finitos. Posponemosla prueba para mas adelante.

PROBLEMAS

136 5. GRUPOS

1. Sean G un conjunto y ab el producto de a, b ∈ G. En cada uno de los siguientes casosdecide si el correspondiente G tiene estructura de grupo:

a) Z donde ab = 0.b) Z donde ab = a− b.c) Z donde ab = a+ b+ 1.d) Z donde ab = a.e) Z donde ab = a+ b+ ab.f) El conjunto de todos los enteros impares con operacion suma de enteros.g) El conjunto de todos los enteros impares con operacion producto de enteros.h) Los numeros racionales positivos con la suma.i) Los numeros racionales positivos con el producto.j) Q ∩ (0, 1) con el producto usual de numeros racionales.k) Q donde ab = max{a, b}.l) Los numeros irracionales con la suma usual de R.

m) Los numeros irracionales con el producto usual de R.

n) {a+ b√

2 : a, b ∈ Q, a 6= 0 o b 6= 0} con el producto usual de R.o) R2 \ {(0, 0)} con la operacion (a, b)(c, d) = (ac− bd, ad+ bc).

2. Sea A ∈ Mn×m(R) y denotemos Sol(A) = {X ∈ Rn : AX = 0}. Demuestra queSol(A) es un grupo abeliano infinito. La operacion en Sol(A) es la suma usual devectores en Rn.

3. De acuerdo al teorema 5.1.1, en cualquier grupo se cumplen las dos leyes de can-celacion. En N se cumplen las leyes de cancelacion para la suma (tambien para elproducto) y sin embargo N no es un grupo. Supongamos que G es un conjunto finitono vacıo, con una operacion binaria asociativa y tal que en G se cumplen las dosleyes de cancelacion. Demuestra que G es un grupo. Sugerencia: Es fundamental lahipotesis G finito y no vacıo pues de esta forma podemos elegir g ∈ G y n,m ∈ N talque n > m y gn = gm. Muestra que agn−m = a para cualquier a ∈ G. Por analogıagn−ma = a. Es aquı donde se usan las leyes de cancelacion. Por tanto gn−m es elneutro en G.


5. Muestra que el ejemplo 5.1.11 es en realidad un grupo no abeliano.

6. En cada uno de los siguientes conjuntos define una operacion binaria de tal formaque tenga estructura de grupo:

a) {0, 1}.b) {0, 1, 2}.c) {1,−1}.d) {a, b, c}.e) {a, b}.


f) {0, 1,−1}.7. Sean G un grupo y H1, H2 subgrupos de G. Muestra que H1 ∪H2 ≤ G si y solo si

uno de ellos esta contenido en el otro.8. Considera el grupo Z. ¿Cuales de los siguientes subconjuntos son subgrupos de Z?

a) 6Z ∩ 12Z.b) 6Z ∩ 5Z.c) 4Z ∪ 7Z.d) 3Z ∪ 6Z.

9. Consideremos el grupo Z. Encuentra el subgrupo generado por cada uno de lossiguientes conjuntos:a) {3, 5}.b) {−1, 1}.c) {9, 12}.d) {3, 4, 6}.

10. Sean a, b ∈ Z \ {0}. Si g = mcd(a, b), entonces el subgrupo generado por a, b es gZ.

11. Sea R = R∪{∞}. Considera las funciones f : R→ R de la forma f(x) =ax+ b

cx+ dcon

ad − bc = 1. Muestra que el conjunto de todas estas funciones es un grupo con laoperacion composicion.

12. Muestra que si m | n, entonces nZ ≤ mZ.13. Sean G un grupo y a1, a2, . . . , an ∈ G. Muestra que

(a1a2 · · · an)−1 = a−1n a−1

n−1 · · · a−11 .

14. Muestra que si G = 〈a〉, entonces G = 〈a−1〉.15. Sean A un conjunto arbitrario y SA = {f : A→ A : fes biyectiva}. Muestra que SA

es un grupo con la composicion usual de funciones.16. Muestra que Sn es un grupo de orden n!.17. Muestra que Sn−1 ≤ Sn.18. Muestra que si n < m, entonces Sn ≤ Sm.19. Muestra que {σ ∈ Sn : σ(n) = n} ≤ Sn. El subrupo {σ ∈ Sn : σ(n) = n} se conoce

con el nombre estabilizador de n y puede ser definido para cualquier 1 ≤ i ≤ n.20. Considera el grupo GL(n,R) tal como en el ejemplo 5.1.12. Muestra que SL(n,R) ≤

GL(n,R).21. Encuentra todos los subgrupos de Z8.22. Sea G cualquier grupo. De acuerdo al ejemplo 5.1.53, G puede ser de orden infinito

y contener elementos de orden finito. Sea t(G) = {x ∈ G : o(x) <∞}. Muestre quesi G es abeliano, entonces t(G) ≤ G. El subgrupo t(G) es conocido como el subgrupode torsion de G.

23. En el grupo GL(2,Q), el subconjunto t(GL(2,Q)) no es subgrupo de GL(2,Q).

138 5. GRUPOS

24. Sean p un numero primo y G un grupo de orden p. Usa el teorema de Lagrange parademostrar que G es cıclico.

25. Sea G un grupo no cıclico de orden 4. Muestra que G es abeliano.

26. Encuentra todos los subgrupos cıclicos diferentes en Z12,F13,Z18.

27. Sea

(1 b0 1

)∈ GL(2,R). Encuentra

⟨(1 b0 1

)⟩.

28. En el grupo GL(2,Q) considera A =

(0 −11 0

)y B =

(0 1−1 −1

). Muestra que

o(A) = 4, o(B) = 3 pero o(AB) =∞.

29. Muestra que todo grupo cıclico es abeliano y da un ejemplo de un grupo abelianoque no sea cıclico.

30. Muestra que un grupo que tiene solo un numero finito de subgrupos debe ser finito.

31. Sea µn = {x ∈ C : xn = 1}. Muestra que µn es un grupo finito de orden n. Si d | n,entonces µd ≤ µn.

32. Considera el conjunto µ∞ = {z ∈ C : zn = 1, n ∈ N}. Muestra que µ∞ es unsubgrupo infinito de C∗ y cada elemento de µ∞ es de orden finito.

33. Conjetura de Artin. Sea p un numero primo. Muestra que F∗p es un grupo cıclico deorden p− 1. ¿Puede el lector encontrar un generador tıpico para cualquier primo p?

34. Sean a, b, c, d ∈ G. La ecuacion axbcx = cabx tiene solucion unica en G.

35. Sea Un = {a ∈ Zn : ax ≡ 1 (mod n) es soluble}. Muestra que Un es un grupoabeliano de orden ϕ(n).

36. Sean G un grupo y a ∈ G de orden finito r. Muestra que r es el menor entero positivotal que ar = e.

37. Sean G un grupo infinito y H ≤ G. Muestra que si a ∈ G, entonces o(aH) = o(H).

38. Sean G un grupo, H ≤ G y a ∈ G. Definimos la clase derecha de a modulo H comoHa = {ha : h ∈ H}. Demuestra el teorema de Lagrange usando clases derechasmodulo H.

39. En Z9 encuentra todas las clases izquierdas y todas las clases derechas moduloH = {0, 3, 6}. ¿Puedes dar una biyeccion entre el conjunto de clases izquierdasy el conjunto de clases derechas modulo H?

40. Sean G un grupo y H ≤ G. Muestra que existe una biyeccion entre el conjunto declases izquierdas y el conjunto de clases derechas modulo H.

41. Considera el grupo R2 = R × R. Muestra que la recta L = {(a, 5a) : a ∈ R} essubgrupo de R2. Encuentra la clase (1,−2)+L.Describe geometricamente el conjuntoR2/L. ¿Cualquier recta contenida en R2 es subgrupo de R2?

42. Sean a, b elementos de orden finito en un grupo finito G. Encuentra el orden de ab.

43. Sea G un grupo finito de orden n. Si x ∈ G es tal que xr = e y mcd(r, n) = 1,entonces x = e.

5.2. SUBGRUPOS NORMALES Y ANORMALES 139

44. Una de las expresiones mas bellas en matematicas es x2 = −1. Las raıces cuadradasde −1 son de tal importancia que, por ejemplo, sirven para construir al campo delos numeros complejos C. La ecuacion x2 = −1 no tiene solucion en R y en C tienedos soluciones. En un campo finito Fp tambien tiene dos soluciones si y solo si pes un primo de la forma 4n + 1. Si p es la forma 4n + 3, entonces x2 = −1 no essoluble en Fp. Use el ejemplo 5.1.21 para demostrar que x2 = −1 tiene una infinidadde soluciones en H, de hecho, {(b, c, d) ∈ R3 : b2 + c2 + d2 = 1} es el conjunto desoluciones de la ecuacion. Fantastico, pues justamente el conjunto de soluciones noes otra cosa que la superficie de la esfera unitaria en R3. Sugerencia: supongamosque (a + bi + cj + dk)2 = −1. Usa las reglas de multiplicar del ejemplo 5.1.21 paramostrar que:a) a2 − b2 − c2 − d2 = −1 y 2ab = 2ac = 2ad = 0.b) Concluye que necesariamente a = 0. ¿Que pasarıa si a 6= 0?

5.2. Subgrupos normales y anormales

En esta seccion vamos a estudiar una clase importante de subgrupos de ungrupo G. Si A,B son subconjuntos de G definimos el producto de los conjuntosA,B como AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B} donde ab indica el producto de loselementos a, b con la operacion de grupo de G. De esta forma si {Ai}ni=1 en

una familia finita de subconjuntos de G, entonces

n∏i=1

Ai = {a1a2 · · · an : ai ∈ Ai}.

Notemos que los elementos a1a2 · · · an y a2a1 · · · an pueden ser diferentes pues noestamos suponiendo que el grupo G es abeliano. Como caso particular de nuestradefinicion de producto de conjuntos tenemos que si a, b ∈ G y H ≤ G entoncesaHb = {ahb : h ∈ H}. El lector puede verificar facilmente que si H ≤ G entoncesHH = H y como caso particular tenemos:

Lema 5.2.1. Si H ≤ G y a ∈ G, entonces aHa−1 ≤ G.

Demostracion. Veamos que aHa−1 es cerrado bajo productos. Si elegimosdos elementos tıpicos ah1a

−1, ah2a−1 ∈ aHa−1, entonces

(ah1a−1)(ah2a

−1) = a(h1h2)a−1 ∈ aHa−1.

Ahora, si aha−1 ∈ aHa−1, entonces (aha−1)−1 = ah−1a−1 ∈ aHa−1. Por tantoaHa−1 ≤ G. �

Sean H1, H2 subgrupos de G. Decimos que H1 es conjugado de H2 si existea ∈ G tal que H1 = aH2a

−1. Es claro que dado un subgrupo H, entonces

140 5. GRUPOS

todos los subgrupos conjugados de H son {aHa−1}a∈G. En particular, nosinteresan aquellos subgrupos H que coinciden con todos sus conjugados, es decir,aHa−1 = H para todo a ∈ G. Los subgrupos de G con esta propiedad losllamaremos subgrupos normales de G y los demas subgrupos seran los subgruposanormales o no-normales. Escribiremos H /G para indicar que H es un subgruponormal de G y H 6 G para indicar que para alguna a ∈ G, aHa−1 6= H.

Lema 5.2.2. Sean G un grupo y H ≤ G. Entonces H / G si y solo si paraa ∈ G, aH = Ha.

Demostracion. Si H / G, entonces {aha−1 : h ∈ H} = H para a ∈ G.Vamos a mostrar la doble contencion entre los conjuntos aH y Ha. Sea ah ∈ aH.Entonces aha−1 ∈ aHa−1 = H. Por tanto, aha−1 = h1, para algun h1 ∈ H, asıah = h1a ∈ Ha y en consecuencia aH ⊂ Ha. La contencion Ha ⊂ aH se justificade manera similar y de esta forma aH = Ha. Es un facil ejercicio mostrar que siaH = Ha para toda a ∈ G, entonces H / G. �

Ejemplo 5.2.3. Con el subgrupo H ={(

1 2 31 2 3

),

(1 2 33 2 1

)}≤ S3 y la

permutacion σ =

(1 2 32 3 1

), tenemos

σH ={(

1 2 32 3 1

),

(1 2 31 3 2

)}6={(

1 2 32 3 1

),

(1 2 32 1 3

)}= Hσ

y por tanto H 6 S3.

En el lenguaje de las clases izquierdas y derechas estamos afirmando queH / G si la clase izquierda aH coincide con la clase derecha Ha para todo a ∈ G.El siguiente resultado puede resultar de gran utilidad para identificar subgruposnormales.

Teorema 5.2.4. H / G si y solo si aHa−1 ⊆ H para todo a ∈ G.

Demostracion. Si H / G, entonces para todo a ∈ G, aH = Ha. Seaah ∈ aH = Ha. Entonces existe h1 ∈ H tal que ah = h1a. Por tantoaha−1 = h ∈ H. Recıprocamente, supongamos aHa−1 ⊆ H para todo a ∈ G. Essuficiente mostrar que H ⊂ aHa−1. Sea h ∈ H. Puesto que a−1ha ∈ a−1Ha ⊆ H,entonces

h = a(a−1ha)a−1 ∈ aHa−1


y ası H ⊆ aHa−1. Por tanto H = aHa−1 y H / G. �

Una reinterpretacion del lema 5.2.2 es que el producto de dos clases izquierdases una clase izquierda.

Corolario 5.2.5. Si H / G, entonces para a, b ∈ G se tiene que

(aH)(bH) = abH.

Demostracion. (aH)(bH) = a(Hb)H = a(bH)H = abH. �

El corolario anterior es altamente sugestivo pues propiamente define unaoperacion binaria en el conjunto de clases laterales izquierdas. Sea H / G. Enel conjunto G/H = {aH : a ∈ G} definimos el producto de dos clases izquierdascomo (aH)(bH) = abH. Observamos que:

1. Para a ∈ G se cumple aHeH = aH. Esto sugiere que la clase izquierdaeH = H funciona muy bien como neutro en G/H.

2. Para a ∈ G se cumple que aHa−1H = eH. Esto sugiere que (aH)−1 = a−1H.

Para un subgrupo normal, el producto entre clases izquierdas impone en elconjunto G/H una estructura de grupo con operacion binaria el producto de claseslaterales izquierdas. Solo nos queda preguntarnos si la operacion es una funcion queesta bien definida, es decir, si aH = bH y a1H = b1H entonces ¿aa1H = bb1H?.Primero observemos lo siguiente:

aa1H = a(a1H) = a(b1H) = (aH)b1 = (bH)b1

= b(Hb1) = b(b1H) = bb1H.

Ası, aHa1H = aa1H = bb1H = bHb1H y por lo tanto la operacion entre clasesizquierdas no depende del representante. Resumiendo: si H /G, entonces G/H esun grupo el cual llamaremos grupo cociente de G modulo H.

Corolario 5.2.6 (Corolario al teorema de Lagrange). Si G es un grupo finito

y H / G, entonces o(G/H) =o(G)

o(H.

Demostracion. Recordemos que [G : H] es el numero de elementos en G/H.El resultado se sigue de aplicar directamente el teorema de Lagrange 5.1.49. �

142 5. GRUPOS

Ejemplo 5.2.7. En el ejemplo 5.2.3, vimos que H 6 S3. Enseguida escribimoslos elementos del grupo S3 simplemente para que el lector coincida con lasoperaciones que aquı presentamos.

S3 ={σ1 =

(1 2 31 2 3

), σ2 =

(1 2 31 3 2

), σ3 =

(1 2 33 2 1

),

σ4 =

(1 2 32 1 3

), σ5 =

(1 2 32 3 1

), σ6 =

(1 2 33 1 2

)}.

El lector puede verificar facilmente que el conjunto de clases izquierdas es

S3/H = {σ1H,σ2H,σ4H}.Notamos que no aparecen las clases σ3H,σ5H,σ6H porque

σ1H = σ3H, σ2H = σ5H, σ4H = σ6H.

Ahora multiplicamos las clases σ1H,σ2H para obtener

(σ1H)(σ2H) ={(1 2 3

1 3 2

),

(1 2 32 3 1

),

(1 2 33 1 2

),

(1 2 32 1 3

)}6∈ S3/H.

Por lo tanto, el producto de clases izquierdas no es una clase izquierda, lo quesignifica en este caso, es que el producto de clases izquierdas no esta bien definidopues H 6 S3.

Ejemplo 5.2.8. En S3 considera el subgrupo H = {σ1, σ5, σ6}. Si i = 1, 5, 6,entonces por la afirmacion 1 del lema 5.1.45 y un calculo elemental observamosque σiH = H y σ1H = σ5H = σ6H. Ası las cosas tenemos

σ1H ={(

1 2 31 2 3

),

(1 2 32 3 1

),

(1 2 33 1 2

)}= σ5H = σ6H,

σ2H ={(1 2 3

1 3 2

),

(1 2 33 2 1

),

(1 2 32 1 3

)}= Hσ2,

σ3H ={(1 2 3

1 3 2

),

(1 2 33 2 1

),

(1 2 32 1 3

)}= Hσ3,

σ4H ={(

1 2 31 3 2

),

(1 2 33 2 1

),

(1 2 32 1 3

)}= Hσ4.

Por tanto H / S3 y S3/H = {σ1H,σ2H} es un grupo con la operacion productode clases izquierdas.


Ejemplo 5.2.9. El grupo W = {z ∈ C : |z| = 1} es un subgrupo normal deC∗. El subgrupo W lo podemos identificar geometricamente con la circunferenciade radio 1 en el plano complejo.

El lector puede observar que si un grupo G es abeliano, entonces cualquiersubgrupo H es normal en G: xHx−1 = xx−1H = H. Sin embargo, puede sucederque todos los subgrupos de un grupo dado son normales y el grupo en cuestion noes abeliano. Examinemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 5.2.10. El grupo Q8 = {1,−1, i,−i, j, −j, k, −k} del ejemplo 5.1.22,no es abeliano. Los subgrupos no triviales de Q8 son:

〈−1〉 = {−1, 1}, 〈i〉 = {i,−1,−i, i},〈j〉 = {j,−1,−j, i}, 〈k〉 = {k,−1,−k, 1}.

Observamos que

j〈i〉 = 〈i〉j = (−j)〈i〉 = 〈i〉(−j) = k〈i〉 = 〈i〉k= (−k)〈i〉 = 〈i〉(−k) = {−k,−j, k, j},

y por tanto 〈i〉 / Q8. Analogamente 〈−1〉, 〈j〉, 〈k〉 / Q8. Aquı estamos suponiendoalgo que no hemos demostrado: Los unicos subgrupos de Q8 son:

{1}, 〈i〉, 〈j〉, 〈k〉, Q8.

El grupo Q8 del ejemplo anterior pertenece a una familia de grupos conocidosen la literatura como grupos hamiltonianos. Un grupo G es hamiltoniano si no esabeliano y todos sus subgrupos son normales en G.

Otro aspecto importante que debemos anotar es que la normalidad no es unacualidad transitiva, es decir, si H /K y K /G, entonces no necesariamente H /G.Vea el ejercicio 17 de la siguiente seccion de problemas.

Despues de haber definido el grupo cociente, nuestra siguiente pregunta es¿como son los subgrupos de G/H?. El siguiente resultado responde la pregunta.

Teorema 5.2.11. Sean G un grupo y H / G. Los subgrupos de G/H son dela forma {aH : a ∈ N} donde N ≤ G es tal que H ≤ N.

Demostracion. Si N ≤ G es tal que H ⊆ N , definimos el conjunto

Hc = {aH : a ∈ N}.

144 5. GRUPOS

Observe que Hc ⊆ G/H. Para aH, bH ∈ Hc tenemos que ab−1 ∈ N y

ab−1H = aHb−1H ∈ Hc.

Por lo tanto Hc ≤ G/H. ¿Seran todos los subgrupos de G/H?. Vamos a mostrarque cualquier subgrupo de G/H lo podemos construir a partir de algun subgrupoN de G que contiene a H. Sea K ≤ G/H. Entonces los elementos de K son clasesizquierdas. Sea

N = {a ∈ G : aH ∈ K}.Notemos que si a ∈ H, entonces aH = H ∈ G/H y por tanto a ∈ N . Puesto queK ≤ G/H, tenemos que

aHb−1H = ab−1H ∈ K.Por lo tanto ab−1 ∈ N y N ≤ G. �

El siguiente resultado es la suma de la teorıa que desarrollamos en esta seccion.

Teorema 5.2.12. Sean G un grupo y H ≤ G. Las siguientes afirmacionesson equivalentes:

1. H / G.2. Si a ∈ G, entonces aHa−1 = H.3. Si a ∈ G, entonces aH = Ha.4. Los siguientes conjuntos coinciden: {aH : a ∈ G} = {Ha : a ∈ G}.5. Para a ∈ G, se cumple que aHa−1 ⊆ H.


En la siguiente seccion estudiaremos otras caracterizaciones de los subruposnormales.

PROBLEMAS

1. Consideremos S3 = {σ1, σ2, σ3, σ4, σ5, σ6} como en el ejemplo 5.2.7.

a) Muestra que o(σ2) = 2, o(σ3) = 2, o(σ4) = 2, o(σ5) = 3, o(σ6) = 3.b) Muestra que H = {σ1, σ2} 6 S3.

2. En S3 considera los subgrupos N = {σ1, σ2} y K = {σ1, σ3} tal como en el ejemplo5.2.7. Prueba que HK no es subgrupo de S3.

3. Sea H ≤ G. Muestra que si xy−1 ∈ H, entonces xH = yH.

4. Prueba que si H ≤ G y n ∈ N, entonces Hn = HH · · ·H = H.


5. Considera el grupo aditivo de los enteros Z y el subgrupo 3Z. Muestra que o(Z/3Z) =3.

6. Muestra que si n ∈ N, entonces o(Z/nZ) = n.7. Muestra que Z/nZ = Z/(−n)Z.8. Sean G y K grupos. Considera el producto directo G×K como en el ejemplo 5.1.19.

Escribimos G0 = {(g, eK) : g ∈ G} y G1 = {(eG, g1) : g1 ∈ K} donde eG es laidentidad de G y eK es la identidad de K. Muestra que G0 / G×K y G1 / G×K.Describe G×K/G0 y G×K/G1.

9. Sean G y K grupos. Si N / G y H /K, entonces N ×H / G×K.10. Considera el grupo aditivo de los numeros racionales Q. Muestra que Z / Q y Q/Z

es un grupo infinito en el cual todo elemento es de orden finito.11. Sean p un numero primo y

Z(p∞) ={ab

+ Z ∈ Q/Z : b = pi para algun i ∈ N}.

Muestra que Z(p∞) es un subgrupo de Q/Z y

Z(p∞) =<1

pn+ Z : n ∈ N > .

12. Sea G el grupo de las traslaciones de la forma (x, y) −→ (x + a, y + b) y H lastraslaciones de la forma (x, y) −→ (x + a, y). Muestra que H ≤ G. ¿Es H / G?Describe el conjunto de todas las clases izquierdas modulo H.

13. Sean G =

{(a b0 d

): ad 6= 0

}con operacion de grupo el producto usual de matrices

y H =

⟨(1 b0 1

)⟩. Muestra que:

a) H / G.b) G/H es un grupo abeliano.

14. Sea G un grupo abeliano. Si H ≤ G, entonces H / G.15. Considera el grupo Q8 como en el ejemplo 5.2.10.

a) Encuentra los subgrupos cıclicos 〈j〉, 〈k〉, 〈−1〉 de Q8.b) Demuestra que 〈j〉, 〈k〉, 〈−1〉 / Q8.c) Demuestra que los subgrupos de Q8 son:{1}, 〈−1〉, 〈i〉, 〈j〉, 〈k〉, Q8.d) Encuentra el orden de los subgrupos de Q8.e) Observa que todos los subgrupos propios de Q8 son cıclicos.

16. Sean G un grupo y a, b ∈ G. Definimos el conmutador de a, b como [a, b] = aba−1b−1.El subgrupo conmutador de G es [G,G] = 〈[a, b] : a, b ∈ G〉. Muestra que:a) [G,G] / G.b) G/[G,G] es un grupo abeliano.c) G es abeliano si y solo si [G,G] = {eG}.

146 5. GRUPOS

d) Si H / G y G/H es abeliano, entonces [G,G] ⊆ H.

17. Sean G = S3 × S3 y H = {σ1, σ5, σ6} como en el ejemplo 5.2.7. Muestra que:

a) H ×H es un grupo abeliano.b) H ×H / G.c) Si K = {(σ1, σ1), (σ5, σ5), (σ6, σ6)}, entonces K /H ×H, pero K 6 G.

18. Completa la demostracion del corolario 5.2.6.

19. Si N / G y M / G, entonces N ∩M / G. Mas aun, si N < G y M / G, entoncesN ∩M /N .

20. Sea G = GL(2,R). Muestra que [G,G] = SL(2,R).

21. Muestra que si [G : H] = 2, entonces H / G.

5.3. Homomorfismos de grupos

Uno de los conceptos mas importantes en el algebra moderna abstracta es elde homomorfismo. Como los grupos son conjuntos con una aritmetica, resultanatural pensar en aquellas funciones entre dos grupos que preservan la aritmeticade cada grupo. Sean G,G1 grupos. Una funcion f : G→ G1 es un homomorfismo2

entre los grupos G y G1 si f(ab) = f(a)f(b) para todo par de elementos a, b ∈ G.Aclaramos que ab es el producto en G, mientras que f(a)f(b) es el producto en G1.Si f es un homomorfismo inyectivo diremos entonces que f es un monomorfismo.Si f es un homomorfismo suprayectivo, lo llamaremos epimorfismo y si f es unhomomorfismo biyectivo entonces diremos que f es un isomorfismo. El conceptode isomorfismo es extremadamente valioso pues este refleja la misma estructuraalgebraica de un grupo en contextos completamente diferentes. Dos grupos G,G1

son isomorfos si existe un isomorfismo f : G → G′. Escribiremos G ≈ G1 paraindicar que G es isomorfo a G1.

En la siguiente lista de ejemplos invitamos al lector a explicar los detalles.

Ejemplo 5.3.1. Sea f : G → G definida como f(a) = e para todo a ∈ G.Entonces f es un homomorfismo de G en G.

Ejemplo 5.3.2. La funcion identidad id : G→ G es un isomorfismo.

Ejemplo 5.3.3. Sean V,W espacios vectoriales y T : V → W cualquiertransformacion lineal de V en W . Entonces T es un homomorfismo de grupos.

2del griego homos = mismo, morphe = forma

5.3. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 147

Ejemplo 5.3.4. Sean R el grupo aditivo de los numeros reales y R∗ el grupomultiplicativo de los numeros reales diferentes de cero. Si definimos f : R → R∗como f(a) = ea donde e es la base del logaritmo natural, entonces f es unmonomorfismo.

Ejemplo 5.3.5. Considera el intervalo (0,∞) con su estructura multiplicativay el grupo aditivo R. Si a ∈ (0,∞) es un numero real fijo, entonces f : (0,∞)→ Rdefinida como f(x) = loga(x) es un epimorfismo de grupos.

Ejemplo 5.3.6. Para n ∈ N definimos f : Z→ nZ como f(a) = na. Entoncesf es un isomorfismo de grupos.

Ejemplo 5.3.7. Sea GL(n,R) = {(aij) ∈ Mn×n(R) : det(aij) 6= 0}. Lafuncion f : GL(n,R)→ R∗ definida como f((aij)) = det((aij)) es un epimorfismode grupos.

Ejemplo 5.3.8. Si G es un grupo abeliano, entonces la funcion f : G → Gdefinida como f(a) = a−1 es un isomorfismo de G en G y f = f−1.

Ejemplo 5.3.9. Considera el grupo cociente Z/nZ y el grupo Zn de enterosmodulo n. La funcion f : Z/nZ → Zn definida como f(i + nZ) = i es unisomorfismo de grupos.

Ejemplo 5.3.10. Sea C([a, b]) el grupo de las funciones continuas en elintervalo cerrado [a, b](ver ejemplo 5.1.18). Si c ∈ [a, b] es un numero real fijo,entonces la funcion ϕc : G −→ R definida como ϕc(f) = f(c) es un epimorfismode grupos.

Ejemplo 5.3.11. Sean G un grupo y a ∈ G un elemento fijo. La funcionf : G → G definida como f(x) = axa−1 es un isomorfismo de grupos. Elisomorfismo f se llama automorfismo interior de G.

Ejemplo 5.3.12. Si G es un grupo y H/G, la funcion η : G −→ G/H definidacomo η(a) = aH, es un epimorfismo de grupos. El epimorfismo η se conoce comoel homomorfismo natural entre G y G/H.

A continuacion estudiamos algunas de las propiedades basicas de los homo-morfismos.

Teorema 5.3.13. Si f : G → G1 es un homomorfismo y eG, eG1son los

neutros de G y G1 respectivamente, entonces:

148 5. GRUPOS

1. f(eG) = eG1.

2. f(x−1) = f(x)−1.3. Si H ≤ G, entonces f(H) ≤ G1.4. Si ker(f) = {x ∈ G : f(x) = eG1}, entonces ker(f) / G.

Demostracion. Observamos que f(eG) = f(eGeG) = f(eG)f(eG), ası porcancelacion, f(eG) = eG1

. Para la afirmacion 2 tenemos la igualdad

f(xx−1) = f(x)f(x−1) = eG1.

Por la unicidad del inverso, necesariamente f(x−1) = f(x)−1. Para la afirmacion3 consideremos H ≤ G. Entonces f(H) = {f(a) : a ∈ H}. Para f(a), f(b) ∈ f(H)tenemos que

f(a)f(b)−1 = f(a)f(b−1) = f(ab−1) ∈ f(H),

por lo tanto f(H) ≤ G1. Para la afirmacion 4, primero observamos que sib ∈ ker(f), entonces f(b) = eG1

y

f(b−1) = f(b)−1 = (eG1)−1 = eG1 ,

ası b−1 ∈ ker(f). Adicionalmente, si a ∈ ker(f), entonces f(ab−1) = f(a)f(b−1) =eG1

, de donde ab−1 ∈ ker(f). Por consiguiente ker(f) ≤ G. Lo anterior significaque un homomorfismo de grupos manda subgrupos en subgrupos. Para la afir-macion 4 sean a ∈ ker(f) y g ∈ G. Entonces f(gag−1) = f(g)f(a)f(g−1) = eG1 .Por lo tanto g ker(f)g−1 ⊆ ker(f) y ker(f) / G. �

El grupo ker(f) se conoce con el nombre de nucleo de f y f(H) es la imagende H bajo f . El subgrupo ker(f) proporciona una descripcion muy concreta de laimagen inversa de un elemento del grupo G.

Teorema 5.3.14. Sea f : G → G1 un homomorfismo. Si g ∈ G y g1 ∈ G1

son tales que f(g) = g1, entonces f−1(g1) = g ker(f).

Demostracion. Puesto que f−1(g1) = {a ∈ G : f(a) = g1}, entonces g ∈f−1(g1). Primero mostraremos la contencion f−1(g1) ⊂ g ker(f). Si a ∈ f−1(g1),debemos mostrar que a = gb para algun b ∈ ker(f). Como f(a) = g1, entonces

f(g−1a) = f(g)−1f(a) = g−11 g1 = eG1

,

por tanto g−1a ∈ ker(f), y ası a ∈ g ker(f). De lo anterior f−1(g1) ⊂ g ker(f).Para la contencion g ker(f) ⊂ f−1(g1) sea b ∈ ker(f). Entonces

f(gb) = f(g)f(b) = g1eG1= g1


y de esta forma gb ∈ f−1(b1). Ası obtenemos la igualdad f−1(g1) = g ker(f). �

Corolario 5.3.15. Un homomorfismo f : G → G1 es monomorfismo si ysolo si ker(f) = {eG}.

Demostracion. Supongamos que f es un monomorfismo. Es claro que{eG} ⊂ ker(f). Si g ∈ ker(f), entonces f(g) = f(eG) = eG1

, por la inyectividadg = eG y ası ker(f) = {eG}. Ahora supongamos que ker(f) = {eG}. Vamos amostrar que f es inyectiva. Si f(g1) = f(g2), entonces

f(g1g−12 ) = f(g1)f(g−1

2 ) = f(g1)f(g2)−1 = eG1 .

Por tanto g1g−12 ∈ ker(f) = {eG}. De lo anterior se sigue que g1 = g2 y f es

inyectiva. �

El objetivo final en esta seccion es dar una exposicion de los celebres teoremasde Noether3, mejor conocidos como los teoremas de isomorfismos. Recordemosque si G es un grupo y H / G, entonces como se vio en el ejemplo 5.3.12, existeun epimorfismo natural η : G → G/H dado por η(a) = aH. Este epimorfismo seconoce con el nombre de homomorfismo natural de G en G/H.

Lema 5.3.16. Sean G un grupo y H / G. Entonces H es el nucleo de algunhomomorfismo de grupos.

Demostracion. Recordemos que el neutro en el grupo G/H es precisamentela clase H. Consideremos el homomorfismo natural η : G→ G/H. Entonces

ker(η) = {a ∈ G : η(a) = aH = H} = {a ∈ G : a ∈ H} = H. �

Notemos que si H es el nucleo de algun homomorfismo de grupos f : G→ G1,entonces por la afirmacion 4 del teorema 5.3.13 H / G.

Teorema 5.3.17 (Primer teorema de isomorfismos). Sea f : G → G1 homo-morfismo de grupos. Entonces G/ ker(f) ≈ f(G).

3Emmy Amalie Noether nace el 23 de marzo en Erlangen, Baviera. Es hija del matematicoMax Noether. El medio matematico que le brindaba su padre y los amigos de este, hace que ella

oriente su pasion y estudio hacia las matematicas. En 1907 obtiene su doctorado en Gotinga

bajo la tutela de Poul Gordan. Trabajo como ayudante de Hilbert sin recibir salario. Su talentocientıfico estuvo marcado por sus grandes aportes a la matematica y la fısica. Este espacio es

insuficiente para relatar vida y obra de la mujer mas importante en la ciencia. Los lectoresinteresados estan obligados a deleitarse con el libro Emmy Noether, 1882-1935 de Auguste Dicken Birkhauser, Boston 1981.

150 5. GRUPOS

Demostracion. La idea de la prueba es proporcionar un isomorfismo σ :G/ ker(f) → f(G). ¿Cuales son los ingredientes con los que contamos?. Elsiguiente diagrama nos proporciona una idea clara de lo que pretendemos:

G f(G) ⊆ G1

G/ ker(f)

-f

η σ

@@@@R �

��

Escribimos N = ker(f) y definimos σ : G/N → f(G) como σ(gN) = f(g).Primero veamos que σ es una funcion bien definida, es decir, si gN = g1N, entoncesf(g) = f(g1). En efecto, si gN = g1N, tenemos que g−1

1 gN = N y por tantog−1

1 g ∈ N, ası f(g−11 g) = f(g1)−1f(g) = eG1

. Por lo anterior f(g1) = f(g). Ahoraobservamos que

σ(gN) = f(g) = f(g1) = σ(g1N)

y de esta forma σ no depende de g sino de la clase lateral gN . El argumentoanterior nos esta afirmando que σ es realmente una funcion. En matematicas escomun decir que σ esta bien definida. Vea el parrafo que precede al corolario 5.2.6.

Ahora veamos que σ es un homomorfismo de grupos:

σ(gNg1N) = σ(gg1N) = f(gg1) = f(g)f(g1) = σ(gN)σ(g1N).

Como cualquier funcion que tiene como contradominio a su imagen es suprayectiva,entonces f : G → f(G) es suprayectiva y por tanto σ es suprayectiva. Parala inyectividad supongamos que σ(gN) = σ(g1N). Entonces f(g) = f(g1) y asıf(g−1

1 g) = eG1. Por lo tanto, g−1

1 g ∈ ker(f) = N y g−11 gN = N . Por lo anterior

gN = g1N . Observe que hemos usado la afirmacion 3 del lema 5.1.45. �

Reescribimos el primer teorema de isomorfismos como:

Corolario 5.3.18. Si f : G → G1 es un epimorfismo de grupos, entoncesG/ ker(f) ≈ G1.

Demostracion. Es evidente pues f(G) = G1. �

Corolario 5.3.19. Dos subgrupos cıclicos de orden n son isomorfos.


Demostracion. Supongamos G = 〈a〉 y o(G) = n. La funcion f : Z → Gdefinida como f(m) = am es homomorfismo pues

f(m+ k) = am+k = amak = f(m)f(k).

Obviamente f es suprayectiva y

ker(f) = {k ∈ Z : f(k) = ak = eG} = {nq : q ∈ Z} = nZ.

Por el primer teorema de isomorfismos Z/nZ ≈ G. Cualquier otro grupo cıclicoG1 del mismo orden n satisface que G1 ≈ Z/nZ. �

Resumiendo todo lo anterior tenemos el siguiente resultado.

Teorema 5.3.20 (Teorema de clasificacion de los grupos cıclicos). Si G es ungrupo cıclico, entonces para alguna n ∈ N, n ≤ 2, tenemos que G es isomorfo aZ/Zn o G ≈ Z.

Demostracion. Si G es finito, entonces el corolario anterior justifica laprimera afirmacion. Si G es infinto, G = 〈a〉 = {an : n ∈ Z} y la funcionf : G→ Z definida como f(aj) = j es un isomorfismo. �

Ejemplo 5.3.21. Consideremos el grupo multiplicativo de los numeros realespositivos (0,∞). La funcion f : C∗ −→ (0,∞) definida como f(z) = |z| es unepimorfismo en donde ker(f) = {z ∈ C : |z| = 1}. De acuerdo al primer teoremade isomorfismos, los grupos C∗/ ker(f) y (0,∞) son isomorfos.

Ejemplo 5.3.22. Con respecto al problema anterior, definamos S1 = {z ∈C : |z| = 1}. Geometricamente S1 es la circunferencia de radio 1 en el planocomplejo y S1 es un subgrupo multiplicativo de C∗. Consideremos la funcionf : R → S1 definida como f(x) = e2πix = cos 2πx + i sen 2πx. Puesto quef(x + y) = f(x)f(y), entonces f es homomorfismo de grupos. Es claro que fes suprayectiva y ker(f) = Z. Por tanto R/Z ≈ S1.

Ejemplo 5.3.23. La funcion f : Z −→ 3Z/6Z definida como f(n) = 3n+ 6Zes un epimorfismo de grupos cuyo nucleo es 2Z. Por tanto Z/2Z ≈ 3Z/6Z.

En general, el producto de dos subgrupos no necesariamente es subgrupo. Veala definicion de producto al principio de la seccion 5.2. El siguiente resultado nosda una condicion necesaria y suficiente para que un producto de subgrupos seasubgrupo.

152 5. GRUPOS

Lema 5.3.24. Sea G un grupo y H,K ≤ G. Entonces HK ≤ G si y solo siHK = KH.

Demostracion. Si HK es subgrupo de G, entonces K,H ⊆ HK y por tantoKH ⊆ HK. No podemos usar el mismo argumento para mostrar la contencionHK ⊆ KH pues no podemos suponer que KH ≤ G. Sea g ∈ HK. Entoncesg−1 = ab ∈ HK, para algun a ∈ H, b ∈ K. Por tanto g = b−1a−1 ∈ KH. AsıHK = KH. Supongamos ahora que HK = KH. Primero mostraremos que elconjunto HK es cerrado bajo productos. En efecto, si h1k1, h2k2 ∈ HK, entoncesk1h2 ∈ KH = HK y por tanto k1h2 = h3k3, para ciertos elementos h3 ∈ H yk3 ∈ K. Ası

h1(k1h2)k2 = h1(h3k3)k2 = (h1h3)(k3k2) ∈ HK.Tambien (hk)−1 = k−1h−1 ∈ KH = HK. Por tanto HK ≤ G. �

Como aplicacion del lema anterior tenemos el siguiente resultado:

Corolario 5.3.25. Sean G un grupo y H,K ≤ G. Si H / G, entoncesHK ≤ G.

Demostracion. La hipotesis H / G implica que kH = Hk para k ∈ K. Portanto

KH =⋃k∈K

kH =⋃k∈K

Hk = HK.

Por el corolario anterior HK ≤ G. �

Lema 5.3.26. Si G es un grupo y N,H ≤ G con N / G, entonces N / NH yN ∩H /H.

Demostracion. Primero observemos que N ≤ NH ≤ G. Para mostrar queN / NH elegimos nh ∈ NH. Entonces

nhN = n(hN) = n(Nh) = (nN)h = (Nn)h = Nnh.

Para la segunda afirmacion primero observamos que N ∩H ≤ H. Para la norma-lidad usaremos el Teorema 5.2.4. Sean a ∈ N ∩H y h ∈ H. Entonces hah−1 ∈ Hporque a ∈ H. Tambien hah−1 ∈ N pues N/G. Por tanto hah−1 ∈ N∩H. Puestoque a la elegimos de manera arbitraria, h(N ∩H)h−1 ⊆ N ∩H y N ∩H /H. �

Teorema 5.3.27 (Segundo teorema de isomorfismos). Sean G un grupo yN,H ≤ G con N / G. Entonces H/H ∩N ≈ NH/N .


Demostracion. De acuerdo al lema anterior N / NH y por tanto tienesentido pensar en el grupo NH/N . Definimos f : H −→ NH/N como f(h) = hN .Por un lado tenemos que

f(h1h2) = h1h2N = h1Nh2N = f(h1)f(h2),

ası que f es homomorfismo de grupos. Tambien f es suprayectiva pues six ∈ NH/N , entonces x = gN con g ∈ NH. Ası g = nh para algunos n ∈ N,h ∈ H.De lo anterior f(h) = hN = hnN = gN. Por ultimo tenemos que

ker(f) = {x ∈ H : xN = N} = {x ∈ H : x ∈ N} = H ∩N.Resumiendo, f es un epimorfismo cuyo nucleo es H ∩ N . Aplicando el primerteorema de isomorfismos obtenemos el resultado. �

Como caso particular tenemos la conocida formula del producto en el casoparticular cuando G finito y se cumplen las mismas hipotesis del segundo teoremade isomorfismos.

Corolario 5.3.28 (Formula del producto). Si G es finito y N,H ≤ Gcumplen las hipotesis del teorema 5.3.27, entonces |HN ||H ∩N | = |H||N |.

Demostracion. Como H/H ∩ N ≈ NH/N , entonces por el corolario al

teorema de Lagrange 5.2.6 tenemos que∣∣∣H/H ∩ N ∣∣∣ =

∣∣∣NH/N ∣∣∣ y por tanto

|HN ||H ∩N | = |H||N |. �

La formula del producto es valida en general, es decir, sin la hipotesis N / G.Vea el problema 23 de la siguiente seccion de problemas.

El tercer teorema de isomorfismos viene siendo un analogo a una propiedadde las fracciones de numeros reales.

Teorema 5.3.29 (Tercer teorema de isomorfismos). Si K/G, H/G y K ≤ H,entonces H/K / G/K y (G/K)/(H/K) ≈ G/H.

Demostracion. Claramente H/K ≤ G/K. Veamos que H/K es un sub-grupo normal de G/K. Sean aK ∈ G/K y hK ∈ H/K. Entonces

aK(hK)a−1K = aKK(ha−1K) = aK(ha−1K) =

K(aha−1K) = aha−1K ∈ H/Kpues aha−1 ∈ H. Ası que H/K / G/K. Finalmente, definimos f : G/K → G/Hcomo f(aK) = aH. Veamos que f es una funcion bien definida. Si aK = bK,

154 5. GRUPOS

entonces b−1aK = K y b−1a ∈ K ≤ H. Por tanto b−1aH = H y aH = bH.Verificar que f es epimorfismo es facil, pues si aH ∈ G/H, entonces aK ∈ G/K yf(aK) = aH. Ahora calculemos el nucleo de f :

ker(f) = {aK : f(aK) = aH = H} = {aK : a ∈ H} = H/K.

Aplicando el primer teorema de isomorfismos se sigue el resultado. �

Corolario 5.3.30 (Teorema de Poincare4). Si G es abeliano finito y K ≤H ≤ G, entonces [G : K] = [G : H][H : K].

Demostracion. Se sigue al considerar que (G/K)/(H/K) ≈ G/H. �

El teorema de Poincare puede ser descrito en forma general: si G es un grupofinito y K ≤ H ≤ G, entonces [G : K] = [G : H][H : K].

PROBLEMAS

1. Proporciona un ejemplo de un grupo G y un subgrupo propio H de G tal que G ≈ H.2. Sean G un grupo y H1, H2 subgrupos normales de G tales que G/H1 ≈ G/H2.

¿Existe alguna relacion entre H1 y H2?3. En S3 considera los subgrupos H = {σ1, σ2} y K = {σ1, σ3}. Prueba que HK no es

subgrupo de S3.4. En el grupo C∗ la ecuacion xn = 1 tiene n-soluciones distintas para cada n ∈ N.

Consideremos el grupo cıclico Z18. ¿Para que valores de n la ecuacion xn = 1 tienesolucion?

5. Sea f : G→ G1 un isomorfismo de grupos. Demuestra que:a) Si G es abeliano, entonces G1 es abeliano.b) Si G es cıclico entonces G1 es cıclico.c) Si o(G) = n, entonces o(G1) = n.

4Jules Henri Poincare nacio el 29 de abril de 1854 en la ciudad de Nancy, Francia. Poincarefue un destacado matematico, fısico teorico, ingeniero y filosofo de la ciencia. Es reconocido

como el ultimo universalista por su dominio sobresaliente de varios campos del conocimiento.

Sus aportaciones fundamentales se encuentran en las matematicas puras y aplicadas, en la fısicamatematica y en la mecanica celeste. La siguiente cita de un discurso en su funeral lo describe

perfectamente: fue un matematico, geometra, filosofo y hombre de letras que era una especie depoeta de lo infinito, una especie de bardo de la ciencia. Muere en Paris el 17 de julio a la edadde 58 anos.


d) Si G es finito y H1 ≤ G1 es de orden d, entonces H = f−1(H1) ≤ G y o(H) = d.6. Muestra que S3 y Z6 no son isomorfos.7. Sea f : G→ G1 un homomorfismo de grupos.

a) Si f es monomorfismo, entonces o(f(a)) = o(a).b) Si f es homomorfismo y o(a) <∞, entonces o(f(a)) | o(a).

8. Sea f : G → G1 homomorfismo de grupos. Si H1 / G1 y H = {x ∈ G : f(x) ∈ H1},entonces H / G.

9. Sea f : G → G1 un epimorfismo de grupos con ker(f) = K. Sean N1 / G1 yN = {x ∈ G : f(x) ∈ N1}. Muestra que G/N ≈ G1/N1. A partir de esta afirmaciondeduce el tercer teorema de isomorfismos.

10. Demuestra el teorema de Poincare en su forma general: si G es un grupo finito yK ≤ H ≤ G, entonces [G : K] = [G : H][H : K]. Nota: no es posible usar el tercerteorema de ismorfismos porque no se asume la hipotesis H / G y K /H.

11. Considera el grupo de Klein de orden 4

V4 ={(1 2 3 4

1 2 3 4

),

(1 2 3 42 1 4 3

),

(1 2 3 43 4 1 2

),

(1 2 3 44 3 2 1

)}.

a) Muestra que los elementos de V4 distintos de ε son de orden 2.b) Muestra que Z4 6≈ V4.c) Encuentra H ≤ Z4 y K ≤ V4 tales que Z4/H ≈ V4/K.d) Muestra que V4 ≈ Z2 × Z2.

12. Sean f, h : G → G1 homomorfismos de grupos tales que ker(f) = ker(h). Prueba oda un contraejemplo a la afirmacion f = h si ker(f) = ker(h).

13. Si N1 / G1 y N2 / G2, entonces (G1 ×G2)/(N1 ×N2) ≈ G1/N1 ×G2/N2.14. Muestra que Z/3Z ≈ 9Z/27Z.15. Muestra que F2 ≈ 4Z/8Z.16. Sean m,n, t ∈ N tales que m = nt. Muestra que Z/nZ ≈ tZ/mZ.17. Consideremos el grupo multiplicativo F∗17 y la funcion f : F∗17 → F∗17 definida como

f(a) = a2. Muestra que:a) La congruencia x2 ≡ a (mod 17) tiene exactamente dos soluciones incongruentes

o ninguna.b) {a2 : a ∈ F∗17} ≤ F∗17.c) f es homomorfismo de grupos.d) F∗17/{1, 16} ≈ {1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16} = GRC17 (vea el ejercicio 5.1.30).

18. Sea p un primo impar. Consideremos el grupo multiplicativo F∗p y la funcion

f : F∗p → F∗p definida como f(a) = a2. Muestra que:

a) La congruencia x2 ≡ a (mod p) tiene exactamente dos soluciones incongruentes.b) {a2 : a ∈ F∗p} ≤ F∗p.c) f es homomorfismo de grupos.

156 5. GRUPOS

d) ker(f) = {1, p− 1}.e) F∗p/{1, p− 1} ≈ {a2 : a ∈ F∗p} = GRCp (vea el ejercicio 5.1.30).

f) Concluye que existenp− 1

2cuadrados en el grupo F∗p.

19. Consideremos el grupo aditivo Z12 y el grupo multiplicativo F∗13. Muestra queZ12 ≈ F∗13.

20. Sea p un numero primo. Muestra que Zp−1 ≈ F∗p.21. Consideremos el anillo de enteros gaussianos Z[i] y el conjunto

G = {2n3m : m,n ∈ Z}.

a) Muestra que Z[i] es un grupo con la suma usual de numeros complejos.b) Muestra que G es un grupo con el producto usual de Z.c) Muestra que Z[i] ≈ G.

22. Sea G un grupo cıclico infinito. Muestra que G tiene exactamente dos generadores.

23. Formula del producto. Sean G un grupo finito y N,H ≤ G. Entonces |HN ||H∩N | =|H||N |.

24. Consideremos el grupo Q/Z (vea el problema 11 de la Seccion 5.2). Muestra que:

a) Cualquier clase x+Z ∈ Q/Z tiene un unico representante x en el intervalo (0, 1).b) Existen elementos en Q/Z de cualquier orden finito.c) El subgrupo de torsion de R/Z es Q/Z.d) Sea T = {z ∈ C∗ : |z| = 1}. Muestra que T < C∗. Geometricamente T es el

cırculo unitario en el plano complejo, por esta razon, al grupo T suele llamarseleel grupo circular.

e) Muestra que 2πZ < R y que Z ≈ 2πZ.f) Muestra que R/Z ≈ T.

25. Sea G un grupo. Muestra que:

a) Aut(G) = {f : G → G : f es isomorfismo} es un grupo con la composicion usualde funciones.

b) Sea G un grupo y g ∈ G. Muestra que la funcion f : G → G definida comof(x) = gxg−1 es un automorfismo de G. El automorfismo f se conoce comoautomorfismo interior de G.

c) o(Aut(Z)) = 2. Sugerencia: Si f ∈ Aut(G) y G = 〈a〉, entonces G = 〈a〉 = 〈f(a)〉.El grupo Z tiene exactamente dos generadores.

d) Si f ∈ Aut(Zn), entonces f(x) = ax para algun a ∈ U(Zn). Encuentrao(Aut(Zn)).

e) Muestra que Aut(V4) ≈ S3 (ve el problema 11 de esta seccion).

5.4. PRODUCTOS DIRECTOS 157

5.4. Productos directos

En esta seccion vamos a introducir una forma de construir grupos a partir deuna familia de grupos. Sean G1, . . . , Gn grupos con neutros e1, . . . , en respecti-vamente. Consideremnos el producto cartesiano G = G1 × · · · × Gn. Definimosf : G×G −→ G como

f((g1, . . . , gn), (g′1, . . . , g′n)) = (g1g

′1, . . . , gng

′n).

Es facil verificar que f es una operacion binaria asociativa en G. Con esta operacionG tiene estructura de grupo con elemento neutro (e1, e2, . . . , en), donde ei es elneutro del grupo Gi. El grupo G se conoce con el nombre de producto directoexterno de los grupos G1, . . . , Gn. Una consecuencia inmediata de la definicion deproducto directo es que si σ ∈ Sn, entonces la funcion

h : G1 ×G2 × · · · ×Gn → Gσ(1) ×Gσ(2) × · · · ×Gσ(n)

definida como h((g1, g2, . . . , gn)) = (gσ(1), gσ(2), . . . , gσ(n)) es un isomorfismo degrupos. Reflexionemos un poco. A partir de un conjunto finito de grupos, hemosconstruido un nuevo grupo; el producto directo externo. Ahora, dado un grupoG ¿cuando podemos escribir al grupo G como producto directo de dos o massubgrupos de G?. Cuando esto es posible diremos que G es el producto directointerno. El siguiente resultado proporciona las condiciones para realizar gruposcomo el producto directo interno de ciertos subgrupos.

Teorema 5.4.1. Sean G un grupo y H,K ≤ G. Si H,K satisfacen que:

1. H ∩K = {e},2. HK = G,3. xy = yx para todo x ∈ H, y ∈ K,

entonces la funcion f : H × K −→ G definida como f(x, y) = xy es unisomorfismo.

Demostracion. Sean (x, y), (x1, y1) ∈ H × K. Usando la condicion 3tenemos que

f((x, y)(x1, y1)) = f((xx1, yy1)) = (xx1)(yy1) = (xy)(x1y1)

= f((x, y))f((x1, y1)),

y por tanto f es homomorfismo. Por la condicion 2, f es epimorfismo y f esmonomorfismo por la condicion 1. Por tanto G ≈ H ×K. �

158 5. GRUPOS

Si G,H,K satisfacen el teorema anterior, podemos identificar (h, k) ∈ H ×Kcon el producto hk. Es en este sentido el isomorfismo G ≈ H ×K y el siguienteresultado le da sustento al isomorfismo del teorema anterior.

Corolario 5.4.2. Si G es el producto directo interno de los subgrupos H,K ≤G, entonces cada elemento g ∈ G se puede escribir en forma unica como g = hkcon h ∈ H y k ∈ K.

Demostracion. Supongamos que g = hk = h1k1 con h, h1 ∈ H, k, k1 ∈ K.Entonces h−1

1 h = k−1k ∈ H ∩K = {e}. Por tanto, h = h1 y k = k1. �

Ejemplo 5.4.3. El espacio vectorial R2 sobre el campo R es un grupo abeliano.Si H = {(x, 0) : x ∈ R}, K = {(0, y) : y ∈ R}, entonces

1. H ∩K = {(0, 0)},2. H +K = R2,3. (x, 0) + (0, y) = (0, y) + (0, x) para todo (x, 0) ∈ H, (0, y) ∈ K.

Por tanto R2 ≈ H ×K.

El teorema 5.4.1 admite una facil generalizacion para un numero finito desubgrupos.

Corolario 5.4.4. Sean G un grupo y H1, H2, . . . ,Hn ≤ G que satisfacen lascondiciones:

1. Hi ∩H1 · · ·Hi−1Hi+1 · · ·Hn = {e} para i = 1, 2, . . . , n.2. H1H2 · · ·Hn = G.3. Para hi ∈ Hi, hj ∈ Hj se cumple que hihj = hjhi, con i 6= j.

Entonces f : H1 × H2 × · · · × Hn → G definida como f((h1, h2, . . . , hn)) =h1h2 · · ·hn es un isomorfismo. En este caso G ≈ H1 × · · · ×Hn.

Demostracion. Siga la demostracion del teorema 5.4.1. �

Es importante notar que si G es el producto interno de los subgruposH1, . . . ,Hn, entonces cada elemento g ∈ G tiene una unica expresion de la formag = h1h2 · · ·hn, con hi ∈ Hi (i = 1, . . . , n). Vea el corolario 5.4.2.

Corolario 5.4.5. Sean m,n ∈ N tal que mcd(m,n) = 1. Si G es un grupocıclico de orden mn, entonces G ≈ Zm × Zn.


Demostracion. Si G = 〈a〉, entonces de acuerdo al teorema 5.1.58, lossubgrupos H = 〈an〉 y K = 〈am〉 satisfacen que

o(H) = o(an) =mn

mcd(mn, n)=mn

n= m

y

o(K) = o(am) =mn

mcd(mn,m)=mn

m= n.

Vamos a mostrar que los subgrupos H,K cumplen las hipotesis del teorema 5.4.1.Si g ∈ H ∩K, entonces por el teorema de Lagrange 5.1.49 o(g) | m y o(g) | n. Porhipotesis, existen enteros x, y tales que mx + ny = 1. Por tanto o(g) | mx + nyy ası o(g) = 1 y g = e. De lo anterior, H ∩ K = {e}. Sea g = ar ∈ G. Puestoque mx + ny = 1, tenemos mxr + nyr = r y g = ar = (am)xr(an)yr, donde(am)xr ∈ K y (an)yr ∈ H. Si escribimos h = (an)yr y k = (am)xr, entoncesG = HK. Finalmente, como G es abeliano, xy = yx para todo x ∈ H, y ∈ K. Portanto G ≈ H ×K. Puesto que H es cıclico de orden m y K es cıclico de orden n,entonces H ≈ Zm y K ≈ Zn. De esta forma obtenemos el resultado. �

Corolario 5.4.6. Si G es un grupo cıclico de orden n=pα11 pα2

2 · · · pαss ymcd(pi, pj) = 1 para i 6= j, entonces G ≈ Zpα1

1× Zpα2

2× ...× Zpαss .

Demostracion. Es un facil ejercicio de induccion. �

Ejemplo 5.4.7. Z14 ≈ Z2 × F7.

Ejemplo 5.4.8. Z21 ≈ F3 × F7.

Ejemplo 5.4.9. Z18 ≈ F2 × Z32 .

Lema 5.4.10. Si G es cıclico y H ≤ G, entonces G/H es cıclico.

Demostracion. Sea G = 〈a〉. Afirmamos que 〈aH〉 = G/H. En efecto,si gH ∈ G/H, entonces g = ar y por tanto gH = arH ∈ 〈aH〉. Por loanterior, G/H ⊂ 〈aH〉. La contencion 〈aH〉 ⊂ G/H es evidente. Por tanto〈aH〉 = G/H. �

En general, si G es un grupo finito, H / G y g ∈ G, no necesariamenteo(g) = o(gH). Lo unico que podemos asegurar es que o(gH) | o(g) ¿por que?. Porejemplo, si H = {0, 5, 10, 15} ≤ Z20, podemos verificar facilmente que o(2) = 10y o(2 + H) = 5. En este orden de ideas, si G es un grupo finito, H / G y g ∈ G¿habra alguna relacion entre los numeros o(g) y o(gH)?

160 5. GRUPOS

Sea G un grupo y H < G. Diremos que H es un subrupo maximal de G sino existe K < G tal que H < K < G. Por ejemplo, en el grupo Z20, podemosobservar que 〈2〉 es maximal y o(〈2〉) = 10 y 〈4〉 no lo es, pues 〈4〉 < 〈2〉 < Z20.

Lema 5.4.11. Si G es un grupo abeliano finito y H ≤ G es cıclico maximal,entonces para g ∈ G se cumple que o(gH) = o(g).

Demostracion. Supongamos que H = 〈g0〉 y o(g) = r. Si z = o(gH) =o(g0), entonces para d ∈ Z observamos que gH = ggd0H. Entonces (gH)z =(ggd0)zH = H, por lo que gzgdz0 ∈ H y z | r pues, de acuerdo al ejemplo 5.1.50,

tambien (gH)r = grH = H. Ası, gz = gβ−dz0 . Puesto que gβ0 = gβ−dz0 para

cualquier d ∈ Z, podemos suponer que gz = gβ0 y 0 ≤ β < z. La idea de la pruebaconsiste en mostrar que β = 0 pues de esta forma gz = e y r | z. Usaremos el

teorema 5.1.58. Como o(g) = r y z | r, entonces o(gz) =r

mcd(z, r)=r

z. Puesto

que o(g0) = z, entonces o(gβ0 ) =z

mcd(z, β). Recordemos que o(g0) es maximo

pues H = 〈g0〉 es maximo, ası r ≤ z. De la igualdad o(gz) = o(gβ0 ) tenemos que

r =z2

mcd(β, z)≤ z, por lo cual z ≤ mcd(β, z). Si β > 0, entonces mcd(β, z) ≤ β

y z ≤ mcd(β, z) ≤ β, lo cual no es posible pues 0 ≤ β < z. Por tanto β = 0 yr | z. �

Sea G un grupo y A = {g1, g2, . . . , gs} ⊆ G. Recordemos que el subgrupogenerado por el conjunto A lo hemos definido como:

〈A〉 = 〈g1, g2, . . . , gs〉 =⋂

A⊆H≤G

H.

En particular, {g1, g2, . . . , gs}〉 ⊆ 〈g1〉 × 〈g2〉 × · · · × 〈gs〉, y por tanto

〈g1, g2, . . . , gs〉 ≤ 〈g1〉 × 〈g2〉 × · · · × 〈gs〉.

Por ejemplo, en el grupo Z, es relativamente facil notar que 〈2, 4〉 ( 〈2〉 × 〈4〉. Dehecho, 〈2, 4〉 = 〈2〉 < 〈2〉 × 〈4〉. Finalmente, es claro que si o(gi) = ri, entoncestenemos que

o(〈g1, g2, . . . gs〉) ≤ o(〈g1〉 × 〈g2〉 × · · · × 〈gs〉) = r1r2 · · · rs.


Teorema 5.4.12 (Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos). SiG es un grupo abeliano finito, entonces G es isomorfo a un producto directo desubgrupos cıclicos.

Demostracion. Si G es cıclico no hay nada que demostrar. Ası que podemossuponer que G es abeliano y no cıclico. Haremos la prueba por induccion sobreo(G). Si n = 1, entonces G = {e} y no hay nada que demostrar. Supongamos quen > 1 y el resultado cierto para todos los grupos abelianos de orden menor que n.Consideremos el numero

r = max{o(g) : g ∈ G}.

Notemos que r ≥ 2. Para el valor r existe g0 ∈ G tal que o(g0) = r. Sea H0 = 〈g0〉.

Puesto que o(G/H0) =o(G)

o(H0)=n

r< n, entonces por hipotesis de induccion y el

lema 5.4.10

G/H0 ≈ F1 × F2 × · · · × Fs,

donde los Fi son subgrupos cıclicos de G/H0. Supongamos que para i = 1, . . . , sescribimos Fi = 〈giH0〉 para ciertos elementos gi ∈ G. Vamos a utilizar el teorema5.4.1 para mostrar que

G ≈ 〈g0〉 × 〈g1, . . . , gs〉.

Primero veremos que 〈g0〉 ∩ 〈g1, . . . , gs〉 = {e}. Sea ri = o(gi). Por el lema 5.4.11,o(gi) = o(giH0). Es claro que

o(G/H0) = r1r2 · · · rs < n

y cualquier elemento de G/H0 tiene la forma

(g1H0)α1 · · · (gsH0)αs = gα11 · · · gαss H0,

con 0 ≤ αi < ri. De acuerdo a la nota que aparece en seguida del corolario5.4.4, si gα1

1 · · · gαss ∈ H0 = 〈g0〉 es porque α1 = α2 = ... = αs = 0. Seag ∈ 〈g0〉 ∩ 〈g1, . . . , gs〉. Entonces g = gα1

1 · · · gαss = gα00 ∈ 〈g0〉 = H0, y ası g = e.

Para ver que los subgrupos 〈g0〉 y 〈g1, g2, . . . , gs〉 satisfacen la condicion 2 delteorema 5.4.1 observamos que 〈g0〉〈g1, g2, . . . , gs〉 ⊂ G. Para la otra contencion seag ∈ G. Entonces

gH0 = (g1H0)n1(g2H0)n2 · · · (gsH0)ns = gn11 gn2

2 · · · gnss H0

162 5. GRUPOS

y como g ∈ gH0 tenemos que g = gn00 gn1

1 · · · gnss ; de esta manera G ⊆ 〈g0〉〈g1, . . . ,gs〉. Por lo tanto G = 〈g0〉〈g1, g2, . . . , gs〉. La condicion 3 del teorema 5.4.1 lasatisfacen los subgrupos 〈g0〉 y 〈g1, g2, . . . , gs〉 pues G es abeliano. Ası

G ≈ 〈g0〉 × 〈g1, . . . , gs〉.

La parte final de la demostracion es facil puesto que 〈g1, . . . , gs〉 es un grupoabeliano de orden menor que n, entonces por hipotesis de induccion 〈g1, . . . , gs〉 ≈〈x1〉 × · · · × 〈xt〉 y por tanto

G ≈ 〈g0〉 × 〈x1〉 × · · · × 〈xt〉. �

Corolario 5.4.13. Si G es un grupo abeliano finito, entonces G ≈ Zpα11×

· · · × Zpαss , donde p1, . . . , ps son numeros primos no necesariamente distintos.

Demostracion. Usando el teorema fundamental de los grupos abelianosfinitos y el corolario 5.4.6 descomponemos cada subgrupo cıclico que aparece en elteorema anterior. �

Sean p1, . . . , pr los numeros primos diferentes que aparecen en el corolarioanterior y Z

pai,1i

,Zpai,2i

, . . . ,Zpai,j(i)i

los subgrupos cıclicos correspondientes a las

potencias de los pi’s (no necesariamente diferentes) que aparecen en la descompo-sicion de G. Definimos la parte pi-primaria de G como

G(pi) = Zpai,1i× Z

pai,2i× · · · × Z

pai,j(i)i

.

Es claro que G(pi) es subgrupo de G y

G ≈ G(p1)×G(p2)× · · · ×G(pr).

Las potencias pai,mi con 1 ≤ m ≤ j(i), 1 ≤ i ≤ r se llaman divisores elementales

de G.

Ejemplo 5.4.14. Si G = Z15 × Z18, entonces

Z15 × Z18 ≈ Z3 × Z5 × Z2 × Z32

y por tanto la parte 3-primaria de G es Z3 × Z32 , la parte 2-primaria es Z2 y laparte 5-primaria de G es Z5. Los divisores elementales de G son 2, 3, 32, 5.


Observemos que si solo conocemos los divisores elementales de G, entonces,salvo isomorfismos, podemos recuperar al grupo. La descomposicion de G es unicasalvo isomorfismos. Detengamonos un momento en la expresion

G(p) = Zpa1 × Zpa2 × · · · × Zpaj

y consideremos un elemento tıpico (b1, b2, . . . , bj) ∈ G(p). Definimos n = max{as :1 ≤ s ≤ j}. Entonces para i = 1, 2, . . . j tenemos que bi ∈ Zpai y pαibi = 0.Escribimos n = ai + hi. Ası

pn(a1, a2, . . . , aj) = (ph1pa1b1, ph2pa2b2, . . . , p

hjpaj bj) = (0, . . . , 0).

Lo anterior significa que o(b1, b2, . . . , bj)) | pn. Hemos demostrado que

G(p) ⊆ {a ∈ G : pra = 0 para algun r ≥ 0}.

Lema 5.4.15. Sean G un grupo abeliano finito y p un numero primo tal quep | o(G). Entonces G(p) = {a ∈ G : pra = 0 para algun r ≥ 0}.

Demostracion. Ya demostramos que si (b1, . . . , br) ∈ G(p), entonces o((b1, . . . , br)) |pn. Por tanto, si q es un numero primo y p 6= q, entonces G(p) ∩G(q) = {0}. Seaa ∈ G tal que pra = 0 para algun r ≥ 0. Puesto que

G ≈ G(p1)×G(p2)× · · · ×G(pr),

y el producto es directo, entonces necesariamente a se encuentra en uno y solo unG(Pi) = G(p). �

Vamos a usar esta caracterizacion de G(p) para demostrar que la descompo-sicion de G en el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos, es unicasalvo isomorfismos.

Teorema 5.4.16. Sean G y G′ grupos abelianos finitos. Entonces G ≈ G′ siy solo si G(p) ≈ G′(p), para cada primo p que divide a o(G).

Demostracion. Si f : G → G′ es un homomorfismo de grupos y x ∈ G(p),entonces para algun r ≥ 0 tenemos que prx = 0 y

f(prx) = prf(x) = 0.

Por lo anterior f(G(p)) ⊆ G′(p). En particular, si f es isomorfismo, la funcionf−1 : G′ → G es homomorfismo y f−1(G′(p)) ⊆ G(p). Recıprocamente, sea

164 5. GRUPOS

fpi : G(pi) → G′(pi) un isomorfismo. Entonces la funcion f : G → G′ definidacomo

f(b1, b2, . . . , br) = (fp1(b1), fp2(b2), . . . , fpr (br))

es un isomorfismo. �

Corolario 5.4.17. [Teorema de Cauchy5] Si G es un grupo abeliano finito yp es un primo tal que p | o(G), entonces G contiene un elemento de orden p.

Demostracion. Sea G(p) = Zpa1 × Zpa2 × · · · × Zpar la parte p-primaria deG. El elemento (pa1−1, pa2−1, . . . , par−1, 0, . . . , 0) satisface que

p(pa1−1, pa2−1, . . . , par−1, 0, . . . , 0) = (pa1 , pa2 , . . . , par , 0, . . . , 0)

= (0, . . . , 0).

Por lo tanto o((pa1−1, pa2−1, . . . , par−1, 0, . . . , 0)) | p y puesto que p es primo,

o((pa1−1, pa2−1, . . . , par−1, 0, . . . , 0)) = p. �

El corolario anterior es otra forma del teorema inverso de Lagrange.

Corolario 5.4.18 (Teorema inverso de Lagrange para grupos abelianosfinitos). Si G es un grupo abeliano finito de orden n y d | n, entonces G contieneal menos un subgrupo H de orden d.

Demostracion. Supongamos que n = pα11 pα2

2 · · · pαss , donde pi 6= pj si i 6= j.

Entonces d = pβ1

1 pβ2

2 · · · pβss , con 0 ≤ βi ≤ αi. Para 1 ≤ j ≤ s, consideremos laparte pj-primaria de G:

G(pj) = Zpαj,1j× Z

pαj,2j× · · · × Z

pαj,rjj

,

5Augustin Luis Cauchy nace el 21 de agosto de 1789 en Paris, Francia. Produjo 789 trabajosen matematicas que en 1970 fueron publicados en 27 volumenes. Su nombre esta indisolublementeligado al calculo diferencial e integral, a las ecuaciones diferenciales, a la teorıa de las funciones

de variable compleja. Fue el primero en hacer un estudio riguroso sobre las condiciones deconvergencia de series infinitas y tambien es el primero en dar una definicion rigurosa de laintegral. Su celebre texto COURS D’ANALYSE lo escribe para sus estudiantes y es ahı donde,de manera rigurosa, trata temas fundamentales del calculo. En tan solo un ano (1845 -1846),

Cauchy escribe 25 artıculos sobre sustituciones, concepto previo al de grupo. Muere el 23 demayo de 1857 cerca de Paris.


donde αj =

rj∑i=1

αj,i. Escribimos βj =

rj∑i=1

α′j,i, para 0 ≤ α′j,i ≤ αj,i. Definimos

Hj = Hj,1 ×Hj,2 × · · · ×Hj,rj ≤ G(pj),

donde Hj,i = 〈xj,i〉 y o(xj,i) = pα′j,ij . Es claro que

o(Hj) = p∑rji=1 α

′j,i

j = pβjj .

Ahora observamos que el grupo H ′ = H1 ×H2 × · · · ×Hs satisface que

1. H ′ ≤ G(p1)×G(p2)× · · · ×G(ps).

2. o(H ′) = pβ1

1 pβ2

2 · · · pβss = d.

Sabemos que Gφ≈ G(p1)×G(p2)× · · · ×G(ps) por medio de algun isomorfismo φ.

Si φ−1(H ′) = H, entonces H ≤ G y o(H) = d. �

PROBLEMAS

1. Muestra que si G1×G2 es un grupo cıclico, entonces G1 y G2 son cıclicos. ¿Es ciertoque si G1 y G2 son cıclicos, entonces G1 ×G2 es cıclico?

2. Sean G1, G2, . . . , Gn grupos y σ ∈ Sn. Muestra que

G1 × · · · ×Gn ≈ Gσ(1) × · · · ×Gσ(n).3. Supongamos que G ≈ H ×K es un producto directo interno. Demuestra que H /G

y K / G.4. Demuestra el corolario 5.4.4.5. Demuestra el corolario 5.4.6.6. Escribe todos los elementos y su tabla de multiplicar para cada uno de los siguientes

grupos:a) Z2 × Z3.b) Z3 × Z5.c) Z2 × Z4.

7. En el espacio vectorial Rn sobre el campo R, considera los siguientes subconjuntos:

H = {(0, x2, . . . , xn) : xi ∈ R}, K = {(x1, 0, . . . , 0) : x1 ∈ R}.Muestra que H,K / Rn. Aplica el teorema 5.4.1 para concluir que Rn ≈ H ×K.

8. Muestra que Zm × Zm no es isomorfo a Zm2 .9. Sean G un grupo y D = {(g, g) : g ∈ G}. Muestra que:

166 5. GRUPOS

a) Si G es abeliano, entonces D/G×G. El subgrupo D se conoce como el subgrupodiagonal de G.

b) Si G es abeliano, entonces (G×G)/D ≈ G.10. En el grupo S3 considera el subgrupo diagonal D como en el problema anterior.

Muestra que D 6 S3 × S3.11. Si reemplazamos el enunciado del lema 5.4.10 por: G es un grupo finito y H ≤ G

cıclico maximal, entonces para g ∈ G se cumple que o(gH) = o(g) ¿seguira siendocierta la afirmacion?

12. Sean G y G′ grupos abelianos finitos. Demuestra que la funcion

f(b1, b2, . . . , br) = (fp1(b1), fp2(b2), . . . , fpr (br))

que aparece en el teorema 5.4.16 es un isomorfismo.13. Sea G un grupo abeliano finito. Muestra que los divisores elementales de G estan

determinados en forma unica por G.14. Determina todos los grupos abelianos de orden 64. ¿Cuantos son cıclicos?15. Un grupo abeliano G tiene divisores elementales 2, 23, 5, 5, 52. Determina:

a) El orden del grupo G.b) Si G tiene subgrupos de orden 31,25,10,40,47,120.c) Los divisores elementales de un subgrupo de orden 20.

16. Sea G un grupo abeliano de orden 128. Elabora una lista de los posibles divisoreselementales. ¿Cuantos grupos abelianos de orden 128 existen? ¿Cuales de ellos soncıclicos?

17. Encuentra todos los grupos abelianos de los siguientes ordenes (salvo isomorfismos):a) 32.b) 36.c) 215.d) 34.e) 17.

18. Escribe como producto directo de grupos cıclicos los siguientes grupos:a) Z18.b) Z3 × Z30.c) Z125.d) Z128.e) Z30 × Z20.f) Z7 × Z23.

19. Sea G un grupo abeliano de orden 144.a) ¿Cuantos subgrupos de orden 8 tiene G?b) ¿Cuantos subgrupos de orden 9 tiene G?

20. Considera todos los grupos abelianos de orden n. ¿Cuales de ellos son cıclicos?

5.5. TEOREMAS DE SYLOW 167

21. Sea (a, b) ∈ Zn × Zm con o(a) = r y o(b) = s. Demuestra que o((a, b)) = mcm(r, s).En particular, si 〈a〉 = Zn y 〈b〉 = Zm y mcd(n,m) = 1, entonces 〈(a, b)〉 = Zn ×Zmes cıclico de orden nm. En este caso Zn × Zm ≈ Znm.

22. Sean p, q primos diferentes. Prueba que cualquier grupo abeliano de orden pq escıclico.

23. Encuentra elementos x, y ∈ F2 × Z de orden infinito tal que x+ y es de orden finito.

24. Encuentra el subgrupo de torsion de los grupos F2 × Z y Z6 × Fp × Z, donde p escualquier numero primo.

25. En el corolario 5.4.18, justifica por que el subgrupo H no necesariamente es unico.

26. En G = F3 × Z9 definimos la siguiente operacion

(a, b) ? (a1, b1) = (a+ a1, b+ b1 + 3a1b).

a) Demuestra que G es un grupo no abeliano.b) Encuentra al neutro e identifica al inverso de (a, b).

5.5. Teoremas de Sylow

El teorema de Lagrange establece que si G es un grupo finito, entonceso(H) | o(G) para todo subgrupo H de G. El recıproco de este teorema esfalso; se pueden dar ejemplos de grupos finitos los cuales no poseen subgruposque corresponden a ciertos divisores de o(G). Por ejemplo, el grupo alternante A4

no tiene subgrupos de orden 6, tambien, el grupo A5 es de orden 60 y no tienesubgrupos de orden 30 o 20 o 15. Mas adelante estudiaremos con mas detalle algrupo A4. En general, si p es un primo tal que pα | o(G) y pα+1 - o(G) entonces Gcontiene al menos un subgrupo de orden pα. Este hecho fue descubierto en 1872por el noruego L. Sylow y es uno de los ejemplos mas sobresalientes en donde semuestra la conexion entre la aritmetica de Z y las propiedades estructurales de ungrupo.

Sea G un grupo finito con o(G) = pαt0 y mcd(p, t0) = 1. Un subgrupo de G deorden pα lo llamaremos p-subgrupo de Sylow de G. ¿Que podemos preguntarnoscon esta definicion?. Dado un grupo finito, ¿este contiene al menos un p-subgrupode Sylow? Si el grupo G tiene varios p-subgrupos de Sylow ¿existe alguna relacionentre ellos? ¿cuantos p-subgrupos de Sylow tiene G, en caso de tener al menosuno? El objetivo de esta seccion es dar respuesta a estas preguntas.

Sea G un grupo. Definimos el centro de G como

Z(G) = {g ∈ G : gx = xg para toda x ∈ G}.

168 5. GRUPOS

Si g ∈ Z(G) y x ∈ G, entonces x−1gx = g ∈ Z(G). Por tanto Z(G) /G. Mas aun,si H ≤ Z(G), entonces H / G.

Ejemplo 5.5.1. Un grupo G es abeliano si y solo si Z(G) = G.

Ejemplo 5.5.2. Sean A =

(1 11 0

)y B =

(1 01 1

)∈ GL(2,R). Entonces

C =

(a bc d

)∈ Z(GL(2,R)) si y solo si CX = XC para cualquier X ∈ GL(2,R).

En particular, AC = CA y CB = BC. Entonces(a a+ bc c+ d

)=

(a+ c b+ dc d

)y

(a+ b bc+ d d

)=

(a b

a+ c b+ d

).

De lo anterior se sigue que a = d y b = c = 0. Por tanto

Z(GL(2,R)) ={(a 0

0 a

): a ∈ R

}.

Ejemplo 5.5.3. Consideremos el grupo simetrico S3 = {σ1, σ2, σ3, σ4, σ5,σ6} tal como en el ejemplo 5.2.7. Observemos los siguientes productos:

σ2σ3 = σ5, σ3σ2 = σ6, σ2σ4 = σ6, σ4σ2 = σ5,

σ2σ5 = σ3, σ5σ2 = σ4, σ2σ6 = σ4, σ6σ2 = σ3.

Por lo tanto Z(S3) = {σ1}.

Sea A ⊆ G. Definimos el normalizador de A como

N(A) = {g ∈ G : gAg−1 = A}.

Tenemos las siguientes propiedades del normalizador de un subconjunto del grupoG.

Teorema 5.5.4. Sean G un grupo y A ⊆ G. Entonces

1. N(A) ≤ G.2. Si A ≤ G, entonces A / N(A).3. Si A = {g}, entonces N(g) = {x ∈ G : xgx−1 = g}.

Demostracion. Para la afirmacion 1 sean g, g1 ∈ N(A). Entonces

(gg1)A(gg1)−1 = g(g1Ag−11 )g−1 = gAg−1 = A.


Por tanto N(A) es cerrado bajo productos. Ahora veamos que N(A) contiene alos inversos. Si g ∈ N(A), entonces

g−1Ag = g−1(gAg−1)g = (g−1g)A(g−1g) = A.

Ası que N(A) ≤ G. Para la segunda afirmacion, vemos que si g ∈ A ≤ G, entoncesgAg−1 = A y por tanto A ≤ N(A). Por la definicion deN(A) es claro que A/N(A).La tercera afirmacion es consecuencia directa de la definicion de normalizador. �

Corolario 5.5.5. H / G si y solo si N(H) = G.


Palabras de precaucion: dado un subgrupo H ≤ G, este no necesariamente esnormal en G. La idea de introducir el concepto de normalizador es precisamentepara ver cual es el subgrupo de G mas pequeno en donde H es normal. Acontinuacion vamos a dar una estimacion de o(N(g)). Sea G un grupo y g, g1 ∈ G.Diremos que g es conjugado de g1 si existe x ∈ G tal que g = xg1x

−1. Indicaremoseste hecho escribiendo g ∼ g1.

Lema 5.5.6. La relacion ∼ es de equivalencia.

Demostracion. Denotemos como e al neutro del grupo G. La relacion ∼es reflexiva porque g = ege−1; es simetrica porque si g = xg1x

−1, entoncesx−1gx = g1. Es transitiva porque si g = xg1x

−1 y g1 = yg2y−1, entonces

g = (xy)g2(xy)−1. �

Si [g] denota la clase de equivalencia de g, es claro que [g] = {xgx−1 : x ∈ G}.Llamaremos a [g] la clase de conjugacion de g. En particular, si G es un grupofinito, entonces G tiene un numero finito de clases de conjugacion y por lo tantocada clase de conjugacion es finita. No todas las clases de equivalencia tienenla misma cardinalidad. Podemos verificar facilmente que g ∈ Z(G) si y solo si|[g]| = 1. Si g 6∈ Z(G), entonces |[g]| ≥ 2 pues al menos e, g ∈ [g].

Lema 5.5.7. Sea G un grupo finito de orden n. Si g ∈ G y h = |[g]|, entonces

o(N(g)) =n

h.

Demostracion. Primero notemos que [g] tiene la forma

[g] = {g1gg−11 , g2gg

−12 , . . . , ghgg

−1h },

170 5. GRUPOS

donde g1, g2, . . . , gh ∈ G son diferentes. Si x ∈ giN(g)∩gjN(g) con i 6= j, entoncesexisten m,n ∈ N(g) tales que

x = gim = gjn.

Por lo anterior g−1j gi = nm−1 ∈ N(g). De la siguiente igualdad

N(g) = {y ∈ G : ygy−1 = g} = {y ∈ G : yg = gy},

tenemos que g−1j gig = gg−1

j gi, de donde gigg−1i = gjgg

−1j y por tanto i = j. De

lo anterior se deduce que

giN(g) ∩ gjN(g) = ∅.Si x ∈ G, entonces xgx−1 ∈ [g]. De esta forma obtenemos que para algun i,

xgx−1 = gigg−1i .

Por lo tanto

(g−1i x)g(g−1

i x)−1 = g,

ası g−1i x ∈ N(g) y consecuentemente x ∈ giN(g). Hemos probado que cualquier

x ∈ G pertenece a algun giN(g). Por lo tanto

G = g1N(g) ∪ · · · ∪ ghN(g).

Finalmente notamos que n = h · o(N(g)). �

Ahora estamos en el momento preciso de mostrar la existencia de los p-subgrupos de Sylow.

Teorema 5.5.8 (Primer teorema de Sylow). Sea G un grupo finito cono(G) = pαt y mcd(p, t) = 1. Entonces G contiene al menos un p-subgrupo deSylow.

Demostracion. La prueba la haremos por induccion sobre n = o(G). Sin = 2 entonces G ≈ F2 y la afirmacion del teorema es evidente pues G mismo essu propio 2-subgrupo de Sylow. Supongamos que el resultado es cierto para todogrupo finito de orden menor que n. Concluiremos la induccion considerando trescasos y apoyandonos en el subgrupo Z(G):

1. p | o(Z(G)).2. p - o(Z(G)) y 1 < o(Z(G)) < t.3. p - o(Z(G)) y (o(Z(G)) = 1 o o(Z(G)) = t).


Si p | o(Z(G)), como Z(G) es abeliano, por el corolario 5.4.18, Z(G) contieneun elemento x de orden p. Puesto que 〈x〉/G podemos realizar el siguiente calculo

o(G/〈x〉) =o(G)

o(〈x〉)=pαt

p= pα−1t < n,

y mcd(p, t) = 1. Por lo anterior, G/〈x〉 contiene un subgrupo de orden pα−1 dela forma H/〈x〉 donde H es algun subgrupo de G que contiene a 〈x〉. Calculemoso(H):

o(H/〈x〉) =o(H)

o(〈x〉)= pα−1

y ası o(H) = pα. En este caso, G contiene al menos un subgrupo de tamano pα.Para el caso 2 supongamos que p - o(Z(G)) y 1 < o(Z(G)) < t. Notemos primeroque

o( G

Z(G)

)= pαt1 < n

y mcd(t1, p) = 1. Por hipotesis de induccion, G/Z(G) contiene un subgrupo deorden pα de la forma H/Z(G) y Z(G) ≤ H. Por lo tanto

o(H) = pαo(Z(G)) < pαt = n,

pues 1 < o(Z(G)) < t. Nuevamente, haciendo uso de nuestra hipotesis deinduccion, tenemos que H contiene un subgrupo H0 de orden pα. Para demostrarel caso 3, vamos ahora a suponer que

p - o(Z(G)) y (o(Z(G)) = t o o(Z(G)) = 1).

Consideremos la siguiente descomposicion de G

G = C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cl,

donde los Ci son las clases de conjugacion descritas en el lema 5.5.6. Podemosreacomodar las clases de tal forma que para 1 ≤ i ≤ s, Ci = {gi}, donde gi ∈ Z(G).Notemos entonces que el nuevo arreglo de G es

G = C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cs ∪ Cs+1 ∪ · · · ∪ Cl

donde Z(G) = {g1, . . . , gs}. Observamos que para 1 ≤ i ≤ s, |Ci| = 1 y paras < i ≤ l, |Ci| ≥ 2. En seguida vamos a mostrar que p no divide a |Ci| para toda

172 5. GRUPOS

i > s. Supongamos que para toda i > s, p | |Ci|. Entonces

n =

s∑i=1

|Ci|+ |Cs+1 ∪ · · · ∪ Cl|

= o(Z(G)) + |Cs+1|+ · · ·+ |Cl| = o(Z(G)) + pw.

Como p | n, tenemos que p | o(Z(G)), lo cual no es posible pues estamos en el casop - o(Z(G)). Por lo tanto p - |Ci| para algun s < i ≤ l. Sea x ∈ Ci y consideremosel normalizador N(x). De acuerdo al lema 5.5.7 tenemos que

|N(x)| = pαt

|Ci|= pα

t

|Ci|< pαt.

Por lo tanto el subgrupo N(x) contiene un subgrupo de orden pα que a su vez essubgrupo de G. �

La ecuacion

n =

s∑i=1

|Ci|+ |Cs+1 ∪ · · · ∪ Cl| = o(Z(G)) + |Cs+1|+ · · ·+ |Cl|

descrita en el primer teorema de Sylow es conocida como la ecuacion de clasedel grupo G. Esta puede ser usada para deducir varios resultados importantes enteorıa de grupos. Diremos que un grupo finito es un p-grupo si o(G) = pr, paraalgun r ∈ N. Ası tenemos el siguiente resultado:

Teorema 5.5.9. Sean p un numero primo y G un p-grupo finito. Entonceso(Z(G)) > 1.

Demostracion. Supongamos que o(G) = pr, para algun r ∈ N. Vamos aaprovechar la ecuacion de clase:

pr = o(Z(G)) + |Cs+1|+ · · ·+ |Cl|,

donde Ci = [gi] es como en el lema 5.5.6 y gi 6∈ Z(G) para i = s + 1, . . . , l. De

acuerdo al lema 5.5.7, o(N(gi)) =pr

hidonde hi = |[gi]|. Entonces necesariamente

p | |Ci| para i = s+ 1, . . . , l. Por lo tanto p | o(Z(G)) y ası o(Z(G)) > 1. �

Genial, cualquier p-grupo finito tiene centro no trivial y por tanto, un p-grupotiene al menos tres subgrupos normales, ¿por que?


Lema 5.5.10. Si H ≤ Z(G), entonces H / G.

Demostracion. Los elementos del subgrupo H conmutan con los elementosde G, entonces para x ∈ G se tiene que xHx−1 = xx−1H = H. �

El analogo al primer teorema de Sylow para p-grupos finitos es el siguiente:

Corolario 5.5.11. Si o(G) = pr, entonces G contiene un subgrupo normalH de orden pk para 1 ≤ k ≤ r.

Demostracion. Induccion sobre r. Si r = 1, entonces H = G. Para pfijo, supongamos cierto el resultado para todos los p-grupos de orden menor a pr.Por el teorema anterior, o(Z(G)) = pi para algun i ≥ 1. De acuerdo al lema5.5.10 tenemos que Z(G) / G, ası el grupo G/Z(G) tiene orden pr−i < pr. Sik ≤ i, aplicamos la hipotesis de induccion a Z(G), y en este caso Z(G) contieneun subgrupo H de orden pk. Por el lema 5.5.10, H/G. Si k > i, elegimos s tal que1 ≤ s ≤ r − i y k = s + i. Por hipotesis de induccion, el grupo G/Z(G) contieneun subgrupo H∗ = H/Z(G) /G/Z(G) de orden ps y Z(G) ≤ H ≤ G. Es claro queo(H) = pk y H / G. �

Despues de haber justificado formalmente que un grupo finito contiene almenos un p-subgrupo de Sylow, resulta natural preguntarse si dos p-subgrupos deSylow guardan alguna relacion entre ellos. Antes mostraremos una generalizaciondel teorema de Lagrange.

Sean G un grupo, H,K ≤ G y g, g1 ∈ G. Diremos que g es conjugado de g1

modulo (H,K), si existe h ∈ H y k ∈ K tales que g = hg1k. Escribimos g ∼ g1

para indicar que g es conjugado de g1 modulo (H,K). Observemos que si g ∼ g1

modulo (H,K), entonces no necesariamente g ∼ g1 modulo (K,H). Sin embargo,esta nueva conjugacion tiene las siguientes propiedades:

Lema 5.5.12. Sean G un grupo y H,K ≤ G. La relacion ∼ modulo (H,K)satisface:

1. Para todo g ∈ G se cumple g ∼ g modulo (H,K).2. Si g ∼ g1 modulo (H,K), entonces g1 ∼ g modulo (H,K).3. Si g ∼ g1 y g1 ∼ g2 modulo (H,K), entonces g ∼ g2 modulo (H,K).

Demostracion. La afirmacion 1 es evidente. Si g = hg1k para ciertoselementos h ∈ H, k ∈ K, entonces g1 = h−1gk−1 y por tanto g1 ∼ g modulo

174 5. GRUPOS

(H,K). La afirmacion 3 es sencilla de justificar pues si g = hg1k y g1 = h1g2k1

para ciertos elementos h, h1 ∈ H, k, k1 ∈ K, entonces g = (hh1)g2(k1)k y portanto g ∼ g2 modulo (H,K). �

Puesto que ∼ es de equivalencia, entonces ∼ induce una particion en G y sio(G) < ∞, tenemos que G solo tiene un numero finito de clases de equivalenciamodulo (H,K). El lector debe recordar el producto de subconjuntos de un grupo:HgK = {hgk : h ∈ H, k ∈ K}. Ası, la clase de equivalencia [g] de g ∈ G modulo(H,K) esta descrita precisamente como:

HgK = {hgk : h ∈ H, k ∈ K}.Por tanto, tenemos la siguiente descomposicion de G en clases de equivalencia

G = Hg1K ∪Hg2K ∪ · · · ∪HgwK.A continuacion vamos a descomponer el orden de un grupo finito en terminos

de las cardinalidades de las clases de equivalencia modulo (H,K).

Teorema 5.5.13 (Lema de Frobenius o Cauchy6). Sean G un grupo finito deorden n y H,K ≤ G con o(H) = n1 y o(K) = n2. Si ri = |g−1

i Hgi ∩K|, entonces

n =

l∑i=1

n1n2

ri.

Demostracion. Sean [g1], . . . , [gl] las clases de equivalencia de G tal comoestan descritas en el lema 5.5.12. Es claro que

[gi] = HgiK, HgiK ∩HgjK = ∅ (i 6= j), G =

l⋃i=1

HgiK.

Por lo tanto,

o(G) =

l∑i=1

|HgiK| = n.

Si HgiK = {xi, . . . , xw}, entonces g−1i HgiK = {g−1

i x1, . . . , g−1i xw}, por lo cual

|HgiK| = |g−1i HgiK|. De la misma manera observamos que |g−1

i Hgi| = |H|. Por

6Este lema tambien es conocido en la literatura como lema de Burnside. William Burnside

demostro este famoso resultado en su libro On the theory of groups of finite order (Theorem IIIpp. 122) y lo atribuyo a Frobenius. Sin embargo, aparentemente el lema ya era conocido por A.Cauchy en 1845.


otro lado, g−1i Hgi es un subgrupo de G, ası que de acuerdo al ejercicio 23 de la

seccion 5.3

|(g−1i Hgi)K| =

|g−1i Hgi||K|

|g−1i Hgi ∩K|

=|H||K|ri

=n1n2

ri.

Por lo tanto, n =

l∑i=1

|HgiK| =l∑i=1

|g−1i HgiK| =

l∑i=1

n1n2

ri. �

Teorema 5.5.14 (Segundo teorema de Sylow). Sea G como en el primerteorema de Sylow. Si H,K son p-subgrupos de Sylow de G, entonces existe g ∈ Gtal que H = gKg−1, esto es, cualesquiera dos p-subgrupos de Sylow son conjugados.

Demostracion. Sea {HgiK}li=1 la particion de G modulo (H,K). Puesto

que G =

l⋃i=1

HgiK y o(H) = o(K) = pα, entonces

n =

l∑i=1

p2α

ri= pαt,

donde ri = |g−1i Hgi ∩ K|. Recordemos que g−1

i Hgi ∩ K es subgrupo de K. Por

el teorema de Lagrange ri = o(g−1i Hgi ∩ K) = pβi para algun 0 ≤ βi ≤ α.

Observemos el siguiente desarrollo:

pαt =

l∑i=1

p2α

ri=p2α

r1+p2α

r2+ · · ·+ p2α

rl= pα

(pαr1

+pα

r2+ · · ·+ pα

rl

).

Cancelando en ambos lados pα tenemos que t =pα

r1+pα

r2+ · · ·+ pα

rl. Tengamos

presente que ri = pβi y 0 ≤ βi ≤ α. Como p - t, entonces necesariamente alguna

fraccionpα

ri= 1 y ası pα = ri. Por lo tanto

βi = α y g−1i Hgi ∩K = K.

Esto ultimo quiere decir que g−1i Hgi ⊆ K, pero o(H) = o(g−1

i Hgi) = o(K),

entonces g−1i Hgi = K y K,H son conjugados. �

Corolario 5.5.15. Sea H un p-subgrupo de Sylow de G. Entonces H es elunico p-subgrupo de Sylow de G si y solo si H / G.

176 5. GRUPOS

Demostracion. Supongamos que H / G y sea K cualquier p-subgrupo deSylow. Entonces para alguna g ∈ G se tiene que g−1Hg = K. Por hipotesis,H / G, entonces g−1Hg = H. Por lo tanto H = K. Para la otra implicacionobservemos que para g ∈ G, el subgrupo g−1Hg es de orden pα, es decir, g−1Hges un p- subgrupo de Sylow. Como H / G, tenemos que H = g−1Hg para todog ∈ G. Ası, H es el unico p-subgrupo de Sylow. �

Lema 5.5.16. Sean H un p-subgrupo de Sylow de G y N(H) el normalizadorde H. Entonces el numero de p-subgrupos de Sylow de G es [G : N(H)].

Demostracion. Consideremos la siguiente descomposicion de G:

G = g1N(H) ∪ g2N(H) ∪ · · · ∪ glN(H)

con l = [G : N(H)] y gi 6= gj para i 6= j. Puesto que o(H) = o(giHg−1i ), entonces

los siguientes subgrupos son p-subgrupos de Sylow:

g1Hg−11 , g2Hg

−12 , . . . , glHg

−1l .

Mostraremos que estos son diferentes y despues veremos que cualquier p-subgrupode Sylow de G ya esta contemplado en la lista anterior. Supongamos que parai 6= j se cumple que

giHg−1i = gjHg

−1j .

Entonces

(g−1j gi)H(g−1

j gi)−1 = H,

y ası g−1j gi ∈ N(H). Por lo tanto gi ∈ gjN(H). De lo anterior giN(H) ⊆ gjN(H).

Puesto que |N(H)| = |giN(H)| = |gjN(H)|, tenemos la igualdad giN(H) =gjN(H), lo cual no es posible. De esta forma tenemos que los p-subgrupos

g1Hg−11 , g2Hg

−12 , . . . , glHg

−1l

son diferentes. Para ver que son todos, sea K cualquier p-subgrupo de Sylow deG. Entonces por el segundo teorema de Sylow K = gHg−1 para algun elementog ∈ G. Recordemos que

G = g1N(H) ∪ g2N(H) ∪ · · · ∪ glN(H).

Por lo tanto para un unico 1 ≤ i ≤ l se tiene que g ∈ giN(H). Ası g = gin paraalgun n ∈ N(H). De lo anterior deducimos que

K = (gin)H(gin)−1 = gi(nHn−1)g−1

i = giHg−1i . �


Es importante saber que si H es un p-subgrupo de Sylow de G, entonces elnumero [G : N(H)] cuenta cuantos p-subgrupos de Sylow contiene el grupo G. Enparticular, si H / G, entonces N(H) = G y ası [G : N(H)] = [G : G] = 1. Esta esotra forma de justificar el corolario 5.5.15. El problema de aplicar el lema anteriorpara contar cuantos p-subgrupos de Sylow contiene un grupo finito G, radica enque es difıcil encontrar el normalizador N(H). A pesar de esto, podemos dar maspistas.

Teorema 5.5.17 (Tercer teorema de Sylow). Si t denota el numero de p-subgrupos de Sylow de G, entonces t | o(G) y t ≡ 1 (mod p).

Demostracion. Como consecuencia del lema anterior t = [G : N ] donde Nes el normalizador de algun p-subgrupo de Sylow de G. Solo queda mostrar quet ≡ 1 (mod p). Sea H un p-subgrupo de Sylow. Con los subgrupos H y N(H)consideremos la descomposicion de G como en el lema 5.5.12:

G = Hg1N(H) ∪Hg2N(H) ∪ . . . ∪HgwN(H).

Puesto que e ∈ HgiN(H) para algun i, entonces podemos suponer sin perdida degeneralidad que g1 = e y por tanto Hg1N(H) = N(H). Sea o(N(H)) = r = pαm0

con mcd(m0, p) = 1. De acuerdo al teorema 5.5.13 tenemos que

n = to(N(H)) = tr = tpαm0 =w∑i=1

pαr

ri,

donde ri = |g−1i Hgi ∩ N(H)|. En particular r1 = |H ∩ N(H)| = o(H) = pα.

Observemos que tm0 =

w∑i=1

r

riy por tanto

tm0 = r

w∑i=1

1

ri= pαm0

w∑i=1

1

ri= m0

w∑i=1

pα

ri= m0(1 +

w∑i=2

pα

ri).

Ası t = 1 +

w∑i=2

pα

riy por lo tanto solo nos queda mostrar que para i ≥ 2 se cumple

ri = pβi y βi < α. Es claro que ri = pβi pues g−1i Hgi ∩N(H) ≤ H y o(H) = pα.

Supongamos que para algun i ≥ 2, ri = pα. Entonces g−1i Hgi ∩ N(H) es un p-

subgrupo de Sylow contenido en N(H). Puesto que tambien H es un p-subgrupo

178 5. GRUPOS

de Sylow contenido en N(H) y H / N(H), aplicando el corolario 5.5.15,

g−1i Hgi ∩N(H) = H.

De esta forma g−1i Hgi ⊆ H. Por lo tanto, g−1

i Hgi = H pues ambos tienen lamisma cardinalidad. De la igualdad anterior se sigue que gi ∈ N(H) y ası

HgiN(H) = Hg1N(H) = HeN(H) = HN(H) = N(H).

Esto ultimo no es posible pues la familia {HgiN(H)}wi=1 es una particion de G ynosotros hemos mostrado que para alguna i ≥ 2 se cumple que

HgiN(H) = Hg1N(H) = N(H).

Por lo tanto, para toda i ≥ 2, ri = pβi y βi < α. De la igualdad t = 1 +

w∑i=2

pα

rise

sigue que t ≡ 1 (mod p). �

Diremos que un grupo finito G es simple si sus unicos subgrupos normales son{e} y el mismo.

Ejemplo 5.5.18. Sea G cualquier grupo de orden 28. El numero t de7-subgrupos de Sylow de G es un divisor de 28 y este numero se encuentraen {1, 2, 4, 7, 14, 28}. Ademas t ≡ 1 (mod 7). El unico numero del conjunto{1, 2, 4, 7, 14, 28} que satisface el tercer teorema de Sylow es 1. Por lo tanto,cualquier grupo de orden 28 no es simple pues tiene un 7 subgrupo de Sylow ycomo es unico, es normal en G. Si denotamos con la misma variable t al numero de2-subgrupos de Sylow de G, entonces t = 1, 7. Por tanto, cualquier grupo de orden28 tiene un unico subgrupo de orden 7 y 1 o 7 2-subgrupos de Sylow. Cualquieraque sea el caso, G no es simple.

Ejemplo 5.5.19. Si G es finito, M /G maximal, entonces G/M es simple. Enefecto, recordemos que M es maximal si M ≤ K / G, entonces M = K o K = G.Si K/M /G/M , por la maximalidad de M tenemos que M ≤ K ≤ G y M = K oK = G. Cualquiera que sea el caso, K/M = {e} o K/M = G/M , es decir, G/M essimple. Ası, con subrupos maximales normales podemos construir grupos simples.

Ejemplo 5.5.20. A5 es simple. Ver el teorema 5.7.28.

Ejemplo 5.5.21. Sea p un numero primo. Consideremos el grupo abelianofinito Fp. Vamos a mostrar que Fp es simple. Como Fp es abeliano, todos sus

5.6. IMPORTANCIA DE LOS GRUPOS SIMPLES FINITOS 179

subgrupos son normales. Lo que vamos a mostrar es que cualquier subgrupodistinto de {0} debe ser Fp. Sea H ≤ Fp tal que H 6= {0}. Por el teorema deLagrange 5.1.49, tenemos que o(H) | p. Por tanto o(H) = 1, p, pero H 6= {0}, asıo(H) = p y Fp es simple.

Ejemplo 5.5.22. Sea n ∈ N compuesto, digamos que n = dt con 1 < d, t < n.El grupo Zn es cıclico y d | n. De acuerdo al teorema inverso de Lagrange paragrupos cıclicos finitos 5.1.62, Zn contiene un unico subgrupo H de orden d y portanto Zn no es simple.

5.6. Importancia de los grupos simples finitos

Es obligado y necesario hablar de la importancia de los grupos simples, cuyasimilitud con los numeros primos es incuestionable. Expliquemos: Si G es ungrupo finito, podemos considerar la siguiente cadena de subgrupos de G:

{e} = H0 / H1 / H2 / . . . / Hr−1 / Hr = G,

de tal manera que no podamos insertar un subgrupo H en Hi−1 / H / Hi, parai = 1, . . . , r. Lo anterior significa que cada Hi es un subgrupo normal maximal enHi+1 y de acuerdo al ejemplo 5.5.19, el cociente Hi+1/Hi es un grupo simple. Unacadena de subgrupos H0, . . . ,Hr que satisface lo anterior se conoce como serie decomposicion del grupo G.

Teorema 5.6.1. Cualquier grupo finito contiene al menos una serie de com-posicion.

Demostracion. La prueba es un bello ejercicio de induccion sobre el ordende G. Si G = {e}, entonces {e} = H0 = G es una serie de composicion de G.Supongamos que o(G) > 1. Consideremos S = {o(H) : H / G,H 6= G}. Puestoque G es finito, elegimos H / G de orden maximo en S. Ası, o(H) < o(G) y porhipotesis de induccion H posee al menos una serie de composicion

{e} = H0 / H1 / H2 / . . . / Hr−1 = H.

Por lo tanto, G posee al menos la serie de composicion

{e} = H0 / H1 / H2 / . . . / Hr−1 = Hr = H / G. �

180 5. GRUPOS

Lo sorprendente de cada serie de composicion de un grupo finito G es que cadagrupo factor Hi/Hi−1 es un grupo simple y ademas:

o(G) =

r∏i=1

o(Hi/Hi−1).

Teorema 5.6.2 (Jordan-Holder). Sea G un grupo finito con dos series decomposicion

{e} = H0 / H1 / H2 / . . . / Hr−1 / Hr = G,

{e} = K0 / K1 / K2 / . . . / Ks−1 / Ks = G.

Entonces r = s y existe σ ∈ Sr+1 tal que Kσ(i)/Kσ(i−1) ≈ Hi/Hi−1.

Demostracion. Ver [17] Theorem 5.12. �

Ası, cualquier grupo finito contiene una factorizacion (serie de composicion)unica. Aunque los grupos factores Hi/Hi−1 no determinan a G, ellos ejercencontrol sobre la estructura bruta de G. La pregunta natural que ahora surge es¿quienes son los grupos simples finitos? Una vez que los conozcamos a todos,podremos juntarlos y construir todos los grupos finitos. Es en este sentidoque el teorema de Jordan-Holder es la version para grupos finitos del teoremafundamental de la aritmetica en Z. Aunque ya se sabe quienes son todos los grupossimples finitos, escapa al objetivo de estas notas una demostracion del mismo ypor tal motivo no daremos la definicion de grupo tipo Lie y grupo esporadico.Invito al lector a leer el estupendo artıculo del profesor R. Solomon [21].

Teorema 5.6.3 (Teorema de clasificacion). Cada grupo simple finito es iso-morfo a uno de los siguientes grupos:

1. Un grupo de orden primo.2. Un grupo alternante An con n 6= 4.3. Un grupo de tipo Lie.4. Uno de los 26 grupos esporadicos.

Desafortunadamente no podemos dar una cita al teorema de clasificacion paraque el lector interesado pudiera ver la prueba porque aun, hasta donde sabemos, nose ha podido recolectar por completo, esta se encuentra esparcida en la literatura.Lo que es cierto, es que el teorema de clasificacion es el resultado mas importanteen la teorıa de grupos finitos y con el tiempo ha aumentado su importancia enotras ramas de las matematicas.

5.6. IMPORTANCIA DE LOS GRUPOS SIMPLES FINITOS 181

¿Que esta detras de los grupos simples finitos? Estamos en el ano 1831, 61anos antes que apereciera el famoso artıculo de O. Holder [15]. Es Evariste Galoisel que tiene el honor de haber encontrado la solucion al problema de resolverecuaciones polinomiales por medio de operaciones elementales (sumas, restas,productos, divisiones y extraccion de raıces). Galois tuvo la genial idea de asociara un polinomio un grupo de permutaciones de sus raıces. Este grupo preservarelaciones algebraicas entre las mismas y, en particular, mide la posibilidad deresolver la ecuacion por medio de operaciones elementales. Esto se refleja en laestructura del grupo asociado al polinomio en cuestion. En una serie de artıculospublicados por Galois en el Bulletin des Sciences mathematiques, astronomiques,physiques et chimiques del Baron de Ferussac, en la Memoire: Sur les conditions deresolubilite des equations par radicaux, la Proposition V puede leerse (en lenguajemoderno) como:

Teorema 5.6.4 (Teorema de Galois). Sea f(x) un polinomio con coeficientesen un campo F y suponga que f(x) tiene solo raıces simples en cualquier campoque contenga a F . La ecuacion f(x) = 0 es soluble por radicales sobre F si y solosi el grupo de Galois G(f, F ) asociado al polinomio f(x) contiene una sucesion desubgrupos

{e} = H0 / H1 / H2 / . . . / Hr−1 / Hr = G(f, F )

y el ındice [Hi : Hi−1] es un numero primo para i = 1, . . . , r.

Notamos que la propiedad [Hi : Hi−1] es primo significa que Hi−1 es unsubgrupo normal maximal de Hi, es decir, el grupo cociente Hi/Hi−1 es un gruposimple. Fantastico, en la epoca de Galois, aun no se conocıa el concepto de grupo.El lector interesado en la prueba del teorema de Galois puede ver [18], Theorem98.

PROBLEMAS

1. Muestra que cualquier grupo de orden pn contiene al menos un subgrupo normal deorden pn−1.

2. Usa el teorema 5.5.9 para mostrar que si G es un p-grupo finito que no es un campo,entonces G no es simple.

3. Supongamos que pi | o(G). Muestra que G contiene al menos un subgrupo de ordenpi.

182 5. GRUPOS

4. Prueba que cualquier grupo de orden 50 tiene al menos un subgrupo normal no trivialy por tanto no es simple.

5. Sean G un grupo finito y H ≤ G. Muestra que si o(H) = pk, entonces H estacontenido en algun p-subgrupo de Sylow de G.

6. Sea G un grupo de orden 6. Muestra que si G no es cıclico, entonces G ≈ S3. Enpocas palabras, solo existen dos grupos (salvo isomorfismos) de orden 6.

7. Sean p > 2 un numero primo y n ∈ N. Muestra que si G es un grupo de orden 2pn,entonces G no es simple.

8. Sean p > 5 un numero primo y G un grupo de orden 6p. Muestra que G no es simple.

9. Muestra que cualquier grupo de orden 56 no es simple.

10. Muestra que cualquier grupo de orden 42 no es simple.

11. Encuentra el numero de los 2-subgrupos de Sylow de S4.

12. Sea p un numero primo tal que p | 12. Encuentra el numero de p-subgrupos de Sylowde A4. ¿Es alguno normal en A4?.

13. Sea G un grupo de orden 15. Muestra que G es cıclico.

14. Sea G un grupo de orden pq, donde p, q son primos diferentes, p < q y q no escongruente con 1 modulo p. Muestra que G es cıclico. Si q es congruente con 1modulo p, entonces existe un unico grupo no abeliano de orden pq.

15. Sean p 6= q primos y G un grupo de orden p2q. Muestra que G no es simple.

16. Sea G un grupo de orden 30.

a) Encuentra el numero de los 3-subgrupos de Sylow y 5-subgrupos de Sylow de G.b) Muestra que si el 3-subgrupo de Sylow es normal en G, entonces el 5-subgrupo

de Sylow no es normal en G e inversamente.c) Muestra que G contiene un subgrupo normal de orden 15.

17. Sean p 6= q numeros primos y G un grupo de orden pqn para algn n ∈ N. Muestra

que para cualquier divisor d de pqn, G contiene un subgrupo de orden d opqn

d.

18. Proporciona un ejemplo de un grupo G en donde ser conjugados modulo (H,K) noes lo mismo que ser conjugados modulo (K,H).

19. Proporciona un ejemplo de un grupo G en donde ser conjugados modulo (H,K) eslo mismo que ser conjugados modulo (K,H).

20. Muestra que el teorema de Lagrange es un caso particular del teorema 5.5.13.

21. Muestra que cualquier grupo abeliano finito G contiene un unico p-subgrupo deSylow. Muestra que G es isomorfo al producto directo de sus p-subgrupos de Sylow.¿Puedes decir concretamente de que forma son estos p-subgrupos?

22. Sean H,K p-subgrupos de Sylow de un grupo G. ¿Existe alguna relacion entre N(H)y N(K)?

23. Encuentra un ejemplo de un grupo G y un subgrupo H tal que N(H) = G.

5.7. GRUPO SIMETRICO 183

5.7. Grupo simetrico

Consideremos un conjunto arbitrario X = {a, b, c, . . . }. Una permutacion deX es una funcion biyectiva σ : X → X. Sea

SX = { permutaciones de X}.Puesto que la composicion de funciones biyectivas es biyectiva y la funcion inversade una funcion biyectiva es biyectiva, entonces SX es un grupo con operacionbinaria la composicion de funciones donde ε es la funcion identidad en X. For-malmente tenemos que f : SX × SX → SX definida como f((σ, β)) = σ ◦ β es laoperacion binaria que hace de SX un grupo. La expresion σ ◦ β es la composicionde las permutaciones σ y β, es decir, (σ ◦ β)(x) = σ(β(x)) para toda x ∈ X. Lacomposicion es la evaluacion de derecha a izquierda, tal como siempre se componenlas funciones. En esta seccion escribiremos σβ en lugar de σ ◦ β. En particular,para n ∈ N0 definimos σ1 = σ y una vez que hemos definido σn−1, tenemos queσn = σσn−1. Con la notacion que hemos convenido desde el ejemplo 5.1.9, lacomposicion σβ queda descrita como:

σβ =

(1 2 · · · n

σ(1) σ(2) · · · σ(n)

)(1 2 · · · n

β(1) β(2) · · · β(n)

)=

(1 2 · · · n

σ(β(1)) σ(β(2)) · · · σ(β(n))

).

Como caso particular de la discusion anterior, si X es un conjunto finito decardinalidad n, entonces escribimos Sn en lugar de SX y nos referimos al grupoSn con el nombre de grupo simetrico en n letras. Por el momento vamos a suponerque X = {x1, x2, . . . , xn}.

Teorema 5.7.1. Sn es un grupo de orden n!

Demostracion. Si σ ∈ Sn, entonces σ(x1) puede ser cualquiera de loselementos x1, x2, . . . , xn. Supongamos que σ(x1) = xi. Puesto que σ es inyectivaentonces σ(x2) puede ser cualquiera de los elementos x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn.Supongamos que σ(x2) = xj . Entonces σ(x3) puede ser cualquiera de los n − 2elementos que quedan al omitir xi, xj del conjunto {x1, x2, . . . , xn}. Por tantoσ(x1) puede ser elegido de n maneras, σ(x2) puede ser elegido de n− 1 formas, y

184 5. GRUPOS

en general σ(xj) puede ser elegido de n − (j − 1) maneras. Por tanto, existen n!maneras de elegir a σ. �

Si X = {x1, . . . , xn}, entonces la cardinalidad de X no es afectada por lanaturaleza de sus elementos, ası que podemos suponer que X = {1, 2, . . . , n}. Portanto, un elemento σ ∈ Sn es una permutacion de los n enteros 1, 2, . . . , n y escomodo describir a σ escribiendo 1, 2, . . . , n y debajo de ellos su imagen bajo σ.

Ejemplo 5.7.2. Si σ ∈ S5 es tal que σ(1) = 1, σ(2) = 3, σ(3) = 4, σ(4) = 2 yσ(5) = 5, entonces escribimos

σ =

(1 2 3 4 51 3 4 2 5

).

Ejemplo 5.7.3. Sea σ ∈ S6 definida como σ(1) = 3, σ(2) = 5, σ(3) = 6,σ(4) = 2, σ(5) = 1 y σ(6) = 4. Entonces

σ =

(1 2 3 4 5 63 5 6 2 1 4

).

Si σ ∈ Sn, podemos describir facilmente σ−1. Primero recordemos que(σ−1σ)(j) = j para todo j ∈ X. Si σ(j) = i, entonces j = σ−1(σ(j)) = σ−1(i), esdecir, mientras que σ manda j en i, σ−1 regresa i en j.

Ejemplo 5.7.4. Sea σ =

(1 2 3 4 5 63 5 6 2 1 4

)∈ S6. Entonces

σ−1 =

(1 2 3 4 5 65 4 1 6 2 3

).

Sean i1, i2, . . . , ir elementos diferentes de X. El arreglo (i1, . . . , ir) denota elelemento de Sn que manda i1 en i2, i2 en i3, . . . , ir−1 en ir, ir en i1 y cualquier otroelemento lo manda en sı mismo. La permutacion (i1, i2, . . . , ir) la llamaremos ciclode longitud r y en el caso particular r = 2 diremos que (i1, i2) es una transposicion.Notemos que el orden de las entradas de un ciclo no es unica, por ejemplo

(3, 1, 4) = (4, 3, 1) = (1, 4, 3),

pero (3, 1, 4) 6= (3, 4, 1). En general tenemos que

(i1, i2, . . . , ir) = (i2, i3, . . . , ir, i1) = · · · = (ir, i1, . . . , ir−2, ir−1).


Ejemplo 5.7.5. (1, 3, 5) ∈ S5 es la permutacion

(1 2 3 4 53 2 5 4 1

).

Ejemplo 5.7.6. (7, 2, 4) =

(1 2 3 4 5 6 7 81 4 3 7 5 6 2 8

)∈ S8.

Ejemplo 5.7.7. (6, 8, 9) =

(1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 8 7 9 6

)∈ S9.

Sean σ, β ∈ Sn. Diremos que σ y β son permutaciones ajenas si para cualquierj ∈ X tal que σ(j) 6= j implica que β(j) = j. En pocas palabras, los elementosque mueve σ son dejados fijos por β.

Ejemplo 5.7.8. (7, 2, 4) y (6, 8, 9) son permutaciones ajenas en S9 y

(7, 2, 4)(6, 8, 9) = (6, 8, 9)(7, 2, 4) =

(1 2 3 4 5 6 7 8 91 4 3 7 5 8 2 9 6

).

Ejemplo 5.7.9. Las permutaciones(1 2 3 4 53 2 5 4 1

),

(1 2 3 4 53 4 1 2 5

)no son ajenas y(

1 2 3 4 53 2 5 4 1

)(1 2 3 4 53 4 1 2 5

)6=(

1 2 3 4 53 4 1 2 5

)(1 2 3 4 53 2 5 4 1

).

Lema 5.7.10. Si σ, β ∈ Sn son permutaciones ajenas, entonces σβ = βσ.

Demostracion. Sea i ∈ {1, 2, . . . , n}. Si β(i) = j 6= i, entonces β(j) 6= jpues β es inyectiva (β(i) = j = β(j)). Puesto que σ y β son permutaciones ajenas,σ(i) = i y σ(j) = j. Ası

σβ(i) = σ(β(i)) = σ(j) = j = β(i) = β(σ(i)) = βσ(i).

Si β(i) = i, entonces σ(i) = j 6= i pues σ y β son ajenas. El resultado se sigueigual que en el caso anterior. �

Teorema 5.7.11. Si σ ∈ Sn, entonces σ se puede expresar como un productode ciclos ajenos.

186 5. GRUPOS

Demostracion. Sea i1 ∈ X y l el menor entero positivo tal que σl(i1) = i1.Consideremos el conjunto

{i1, σ(i1), σ2(i1), . . . , σl−1(i1)}

y supongamos que

σ(i1) = i2, σ2(i1) = i3, . . . , σl−1(i1) = il.

Sea k ∈ X tal que k 6= ij para 1 ≤ j ≤ l. Entonces para alguna t ∈ Z se tiene que

σt(k) = k

y por lo tanto los ciclos

(k, σ(k), σ2(k), . . . , σt−1(k)), . . . , (i1, σ(i1), σ2(i1), . . . , σl−1(i1))

son ajenos, pues de lo contrario, si

σr(k) = σw(i1),

entonces

σr−w(k) = i1

y esto contradice la eleccion de k.Sea j ∈ X tal que j 6= σr(i) y j 6= σr(k) para cualquier r ∈ Z. Entonces el

ciclo

(j, σ(j), σ2(j), . . . , σs−1(j)),

con s elegido de tal manera que σs(j) = j, es ajeno con los ciclos

(i, σ(i), σ2(i), . . . , σl−1(i)), . . . , (k, σ(k), σ2(k), . . . , σt−1(k)).

El proceso que acabamos de describir es finito y el producto de estos ciclosajenos es σ. �

Veamos con un ejemplo que la demostracion del teorema 5.7.11 es un algoritmoque se puede aplicar directamente a cualquier permutacion particular.

Ejemplo 5.7.12. Consideremos la siguiente permutacion

σ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 94 6 7 3 2 9 1 8 5

).

Para descomponer σ simplemente observemos que la clave esta en el segundo


renglon de la demostracion del teorema. En nuestro caso σ4(1) = 1 y por lo tantoel primer ciclo en la descomposicion de σ es

(1, σ(1) = 4, σ2(1) = 3, σ3(1) = 7) = (1, 4, 3, 7).

El siguiente ciclo es (2, σ(2) = 6, σ2(2) = 9, σ3(2) = 5) = (2, 6, 9, 5). El lectorpuede verificar facilmente que (1, 4, 3, 7)(2, 6, 9, 5) = σ.

Corolario 5.7.13. Cualquier permutacion es producto de transposiciones.

Demostracion. Consideremos el r-ciclo (i1, i2, . . . , ir). Un simple calculonos muestra que (i1, i2, . . . , ir) = (i1, ir)(i1, ir−1) · · · (i1, i3)(i1, i2). �

Corolario 5.7.14. Las transposiciones (1, 2), (1, 3), . . . , (1, n) generan Sn.

Demostracion. Es suficiente expresar la transposicion (i, j) en terminos de(1, 2), (1, 3),. . . ,(1, n). Esto ultimo es claro pues (i, j) = (1, i)(1, j)(1, i). Laafirmacion anterior proviene del siguiente producto:(

1 . . . i . . . j . . . n1 . . . j . . . i . . . n

)=

(1 . . . i . . . j . . . ni . . . 1 . . . j . . . n

)·(

1 . . . i . . . j . . . nj . . . i . . . 1 . . . n

)·(

1 . . . i . . . j . . . ni . . . 1 . . . j . . . n

)�

Es posible que alguna permutacion pueda ser expresada en diferentes manerascomo un producto de transposiciones. Por ejemplo, es facil verificar que el 4-ciclo

(1, 2, 3, 4) = (1, 4)(1, 3)(1, 2) = (4, 3)(4, 2)(4, 1).

En este sentido, la factorizacion de un r-ciclo no es unica. Sin embargo, elnumero de transposiciones en cualquier factorizacion de σ es siempre par o siempreimpar. Este hecho es de vital importancia pues nos ayudara a definir uno de lossubgrupos mas importantes de Sn, el grupo alternante An y ese sera el motivo denuestra siguiente discusion.

En lo que sigue vamos a suponer n ≥ 3 puesto que los grupos simetricos S1 yS2 tienen una estructura aritmetica elemental.

188 5. GRUPOS

Consideremos n variables independientes x1, . . . , xn. Para 1 ≤ i < j ≤ n

definimos el discriminante ∆n =∏

1≤i<j≤n

(xi − xj). Ilustremos con un par de

ejemplos.

Ejemplo 5.7.15. Si n = 3, entonces ∆3 = (x1 − x2)(x1 − x3)(x2 − x3).

Ejemplo 5.7.16. Si n = 4, entonces

∆4 = (x1 − x2)(x1 − x3)(x1 − x4)(x2 − x3)(x2 − x4)(x3 − x4).

Lema 5.7.17. El numero de factores en ∆n esn2 − n

2.

Demostracion. Observamos primero que si desplegamos los factores de ∆n

tenemos que

∏1≤i<j≤n

(xi − xj) =

n∏i=2

(x1 − xi)n∏i=3

(x2 − xi) · · ·

n∏i=n−2

(xn−3 − xi)n∏

i=n−1

(xn−2 − xi)n∏i=n

(xn−1 − xn).

Ahora contemos el numero de factores en cada producto. El primer producto tienen− 1 factores, el segundo producto tiene n− 2 factores, el tercero tiene n− 3, el(n− 3)-esimo producto tiene n− (n− 3) factores, el penultimo tiene n− (n− 2)factores y el ultimo producto tiene solo un factor. Ası que, el numero total defactores es:

(n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 3 + 2 + 1 =(n− 1)n

2=n2 − n

2. �

Para σ ∈ Sn definimos σ(∆n) =∏i<j

(xσ(i) − xσ(j)) con 1 ≤ i, j ≤ n. Para

ilustrar esta definicion consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.7.18. Sea σ = (1, 3)(2, 4) ∈ S4. Entonces

∆4 = (x1 − x2)(x1 − x3)(x1 − x4)(x2 − x3)(x2 − x4)(x3 − x4)


y por tanto

σ(∆4) = (x3 − x4)(x3 − x1)(x3 − x2)(x4 − x1)(x4 − x2)(x1 − x2)

= (x1 − x2)[−(x1 − x3)][−(x1 − x4)][−(x2 − x3)]

[−(x2 − x4)](x3 − x4) = ∆4.

Si σ = (i, j) es cualquier transposicion, entonces σ(∆n) = −∆n pues σ solointercambia i con j y los demas los deja fijos. Escribiremos ∆ en lugar de ∆n yno habra peligro de confusion.

Lema 5.7.19. Si σ ∈ Sn, entonces σ(∆) = ±∆.

Demostracion. Sean i, j ∈ X. Un factor tıpico de σ(∆) es de la formaxσ(i) − xσ(j). Si σ(i) < σ(j), entonces xσ(i) − xσ(j) es un factor que aparece en el

producto∏i<j

(xi − xj). Si por el contrario, σ(i) > σ(j), entonces xσ(i) − xσ(j) no

es un factor en ∆ y sin embargo −(xσ(i) − xσ(j)) sı es un factor en ∆. Sea m elnumero de veces que σ(j) < σ(i), entonces σ(∆) = (−1)m∆ = ±∆. �

Para σ ∈ Sn definimos el signo de σ como

sgn(σ) =

{1 si σ(∆) = ∆−1 si σ(∆) = −∆.

Lema 5.7.20. Si σ ∈ Sn, entonces σ(−∆) = −σ(∆).

Demostracion. De la igualdad

∆ = (x1 − x2)

∏i<j

(xi − xj)

(x1 − x2)

se sigue que

−∆ = (x2 − x1)

∏i<j

(xi − xj)

(x1 − x2).

190 5. GRUPOS

Por tanto

σ(−∆) = (xσ(2) − xσ(1))

∏i<j

(xσ(i) − xσ(j))

(xσ(1) − xσ(2))

= −(xσ(1) − xσ(2))

∏i<j

(xσ(i) − xσ(j))

(xσ(1) − xσ(2))

= −∏i<j

(xσ(i) − xσ(j)) = −σ(∆). �

Lema 5.7.21. Si σ, τ ∈ Sn, entonces

1. sgn(ε) = 1.2. sgn(στ) = sgn(σ)sgn(τ).3. sgn(σ−1) = sgn(σ)−1 = sgn(σ).

Demostracion. La primera afirmacion es trivial pues ε(∆) = ∆. Para lasegunda afirmacion usamos el lema 5.7.20. Ası tenemos que

στ(∆) = σ(τ(∆)) = σ[sgn(τ)∆] = sgn(τ)σ(∆)

= sgn(τ))sgn(σ)∆ = sgn(σ)sgn(τ)∆.

Para la tercera afirmacion hacemos uso de 1 y 2. De la igualdad

sgn(σ)sgn(σ−1) = sgn(σσ−1) = sgn(ε) = 1,

se sigue que sgn(σ) y sgn(σ−1) son ambos 1 o ambos −1. �

Diremos que σ ∈ Sn es una permutacion par si sgn(σ) = 1 y que σ es unapermutacion impar si sgn(σ) = −1. En virtud de la afirmacion 2 del lema anteriortenemos que el producto de dos permutaciones pares es par, el producto de dospermutaciones impares es par y el producto de una permutacion par con unaimpar es una permutacion impar. La permutacion identidad ε ¿es par o impar?.De acuerdo a la afirmacion 3 del lema 5.7.21, cualquier permutacion y su inversaambas son pares o ambas son impares. Ası que ε = σσ−1 es par.

Ejemplo 5.7.22. Sean σ = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 14) y β =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15). Entonces σ(∆15) = −∆15 y β(∆15) =∆15.


Teorema 5.7.23. Sea σ ∈ Sn. El numero de terminos en cualquier factori-zacion de σ como producto de transposiciones es siempre par o siempre es impar,de hecho, este numero es par o impar segun si σ es una permutacion par o impar.

Demostracion. Consideremos dos factorizaciones

σ = σ1σ2 · · ·σs = τ1τ2 · · · τr,donde cada σi y cada τj son transposiciones. Puesto que una transposiciones una permutacion impar, por la afirmacion 2 del lema 5.7.21 tenemos quesgn(σ) = (−1)s = (−1)r. Por lo tanto s es par si y solo si r es par y, s esimpar si y solo si r es impar. �

Corolario 5.7.24. El r-ciclo (i1, i2, . . . , ir) es una permutacion par(impar)si y solo si r es impar(par).

Demostracion. De la descomposicion

(i1, i2, . . . , ir) = (i1, ir)(i1, ir−1) · · · (i1, i3)(i1, i2),

y debido a que sgn(σ)sgn(τ) = sgn(τ)sgn(σ), concluimos que

sgn((i1, i2, . . . , ir)) =

r∏j=2

sgn((i1, ij)) = (−1)r−1.

Por tanto, (i1, i2, . . . , ir) es par si y solo si r es impar. �

La clasificacion de las permutaciones en pares e impares nos conduce a ladefinicion de uno de los subgrupos mas importantes de Sn. Consideremos elconjunto An = {σ ∈ Sn : σ es par}. De acuerdo al lema 5.7.21, An es un subgrupode Sn. El grupo An se conoce con el nombre de grupo alternante.

Consideremos el grupo {1,−1} y la funcion f : Sn → {1,−1} definida como

f(σ) =

{1 si σ es par−1 si σ es impar.

Entonces f es un epimorfismo de grupos y ker(f) = An. Por lo anterior, Anno solo es un subgrupo de Sn sino que An / Sn, ¿por que?. Podemos decir mas:por el primer teorema de isomorfismos 5.3.17 obtenemos que

o(An) =o(Sn)

o({1,−1})=n!

2,

192 5. GRUPOS

o alternativamente [Sn : An] = 2. La afirmacion anterior significa que An es unsubgrupo maximal de Sn.

Teorema 5.7.25. Cualquier elemento de An es un ciclo de longitud 3 o esproducto de ciclos de longitud 3. En pocas palabras, An esta generado por ciclosde longitud 3.

Demostracion. Sea (a, b, c) cualquier ciclo de longitud 3. De la igualdad

(a, b, c) = (a, c)(a, b)

se sigue que (a, b, c) ∈ An y por tanto An contiene al subgrupo H generado por los3-ciclos. Para la contencion An ⊆ H debemos considerar dos casos: El productode dos transposiciones ajenas (a, b) y (c, d). En este caso podemos escribir:

(a, b)(c, d) = (a, c, d)(a, b, d).

El segundo caso a considerar es el producto de dos transposiciones (a, b) y (a, c)con b 6= c. Escribimos

(a, b)(a, c) = (a, c, b).

Cada σ ∈ An es producto de un numero par de transposiciones, digamos que

σ = (α1α2)(α3α4) · · · (α2k−1α2k),

donde cada αi es una transposicion. Si escribimos α2j−1α2j = (xj , yj , zj), entonces

σ = (α1α2)(α3α4) · · · (α2k−1α2k) =

k∏j=1

(xj , yj , zj),

y por tanto An ⊆ H. �

Lema 5.7.26. Si γ = (a, b, c), γ′ = (x, y, z) ∈ An, entonces existe α ∈ An talque γ′ = αγα−1.

Demostracion. Definimos α =

(a b cx y z

). Entonces α−1 =

(x y za b c

).

El lector puede verificar facilmente que

γ′ =

(x y zy z x

)=

(a b cx y z

)(a b cb c a

)(x y za b c

)= αγα−1.

Queda implıcito en la demostracion que a, b, c son distintos, y lo mismo parax, y, z. �


Fabuloso, cualesquiera dos ciclos de longitud 3 son conjugados en An, ¿y enSn?. Veamos una consecuencia inmediata.

Corolario 5.7.27. Supongamos que n ≥ 5. Si H /An y H contiene al menosun ciclo de longitud 3, entonces H = An.

Demostracion. Supongamos que α = (a, b, c) ∈ H y sea β = (i, j, k)cualquier ciclo de longitud 3. Mostraremos que β ∈ H. En efecto, elegimosσ ∈ Sn tales que σ(a) = i, σ(b) = j, σ(c) = b. Entonces σ−1(i) = a, σ−1(j) =b, σ−1(k) = c. Ası tenemos que

σ(a, b, c)σ−1 = (i, j, k).

Si σ ∈ An, entonces por el lema 5.7.26 tenemos que β ∈ H y por lo tanto H = An.Si σ es impar, elegimos cualquier transposicion (x, y) tales que x, y 6= i, j, k. Ahoraσ(x, y) es par y

σ(x, y)(a, b, c)(x, y)σ−1 = (i, j, k) ∈ H.�

Ahora veamos como utilizar las ideas que hemos desarrollado hasta ahorapara demostrar que An es simple, pero como aperitivo, antes mostraremos queA5 es simple. No te preocupes lector por los casos n = 2, 3, 4, mas adelante loscomentaremos.

Teorema 5.7.28. A5 es un grupo simple.

Demostracion. Primero observemos que (a, b, c)−1 = (a, c, b). Sea H / A5

y H 6= {ε}. Vamos a mostrar que necesariamente H contiene algun 3-ciclo yluego usaremos la normalidad de H, el lema 5.7.26 y el corolario 5.7.27. Seaσ ∈ H \ {ε}. Sin perdida de generalidad podemos suponer que σ es alguna de lassiguientes permutaciones:

(a, b, c), (a, b)(c, d), (a, b)(a, c), (a, b, c, d, e).

Si σ = (a, b, c), entonces por la normalidad de H y el corolario 5.7.27 tenemosque H = A5. Si σ = (a, b)(c, d), definimos la permutacion α = (a, b)(c, e). Ellector puede verificar facilmente que (c, e, d) = ασα−1σ−1 ∈ H y como en el casoanterior, H = A5. El caso σ = (a, b)(a, c) = (a, c, b) es evidente pues σ es un3-ciclo. Si σ = (a, b, c, d, e), definimos α = (a, c, b). El lector puede verificarfacilmente que (a, c, d) = ασα−1σ−1 ∈ H. Por lo tanto A5 es simple. �

194 5. GRUPOS

Antes de enunciar el teorema principal de esta seccion hagamos unas cuantasconsideraciones. Sea σ ∈ Sn. Diremos que i es un punto fijo de σ si σ(i) = i.Observamos que una transposicion tiene n−2 puntos fijos y un ciclo de longitud 3contiene n− 3 puntos fijos. En particular en An, cualquier elemento o es un ciclode longitud 3 o es producto de 3-ciclos y por tanto, estos dejan n − 3 o n − 6 on− 9 o en general n− 3t puntos fijos y el numero maximo de puntos fijos lo tienecualquier 3-ciclo.

Teorema 5.7.29. Si n ≥ 5, entonces An es un grupo simple.

Demostracion. Sea H / An+1 y H 6= {ε}. Vamos a mostrar por medio deinduccion sobre n que H = An+1 suponiendo que An es simple. Identificamos algrupo An con el subgrupo {δ ∈ An+1 : δ(n + 1) = n + 1}. Si mostramos queH ∩ An = An, entonces la conclusion es facil porque An contiene un 3-ciclo; portanto H contiene un 3-ciclo y por el corolario 5.7.27 tenemos que H = An+1.

Estamos suponiendo que H /An+1, ası H ∩An /An. Puesto que An es simplepor hipotesis de induccion, entonces H ∩ An = {ε} o H ∩ An = An. Cuidado,porque si H ∩ An = An cabe la posibilidad que H = An. Para no distraer lademostracion asumamos que An 6 An+1, al final lo justificaremos.

Sea σ ∈ H \ An. Hagamos algunas consideraciones acerca de σ: las posibili-dades para la descomposicion de σ como producto de ciclos ajenos son:

1. σ = (a1, a2, a3).2. σ = (a1, a2, a3)(a4, a5, a6)π, porque n ≥ 6,3. σ = (a1, a2, a3)(b1, b2)(b3, b4), porque n ≥ 6,4. σ = (b1, b2)(b3, b4)(b5, b6), porque n ≥ 6,

donde π es un producto de ciclos ajenos, tal vez trivial. Notemos que en el caso 1tendrıamos H = An+1 y terminamos. En cualquiera de las posibilidades 2,3,4σ mueve al menos 6 puntos. Puesto que σ 6∈ An, entonces existe r tal queσ(n+ 1) = r 6= n+ 1. Sea i, j, k, l distintos tal que

σ(i) = j, σ(k) = l.

Podemos ver a σ como:

σ =

(. . . i j k l r n+ 1. . . j ∗ l ∗ ∗ r

).


Vamos a construir una permutacion δ ∈ An+1 tal que δσ ∈ H ∩An y δσ 6= ε.Sea δ = (l, k, j, i)(n+ 1, r)σ(n+ 1, r)(i, j, k, l). Entonces δ es una permutacion pary por tanto δ ∈ An+1. Hagamos algunas evaluaciones:

δ(r) =

(. . . i j k l r n+ 1. . . ∗ ∗ ∗ ∗ n+ 1 ∗

),

δ(r) =

(. . . i j k l r n+ 1. . . ∗ k ∗ ∗ n+ 1 ∗

),

δσ(n+ 1) =

(. . . i j k l r n+ 1. . . ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ n+ 1

).

Por lo tanto δσ ∈ An porque δσ(n+ 1) = n+ 1. Tambien

δσ(i) =

(. . . i j k l r n+ 1. . . k ∗ ∗ ∗ ∗ n+ 1

).

Notemos que δσ 6= ε porque i 6= k. Tambien δ ∈ H porque δ y σ sonconjugadas por una permutacion par y H /An+1. Por lo tanto δσ ∈ H ∩An y asıH ∩ An 6= {ε}. Lo anterior significa que H ∩ An = An porque An es simple, esdecir, H contiene al menos un 3-ciclo. Ası H = An+1.

¿Por que An = {δ ∈ An+1 : δ(n + 1) = n + 1} 6 An+1?. La respuestaes muy sencilla. Sean δ ∈ An \ {ε} y i, j tales que δ(i) = j, con i 6= j. Siβ = (n + 1, j, i)δ(i, j, n + 1), entonces β y δ son permutaciones conjugadas. Peroβ 6∈ An porque β(n+ 1) = i 6= n+ 1. Ası An 6 An+1 y H 6= An.

�

Con respecto a la parte final de la demostracion del teorema anterior debemosmencionar que hay muchas formas de ver al grupo An sumergido en An+1. Para1 ≤ i ≤ n + 1 definimos stab(i) = {δ ∈ An+1 : δ(i) = i}. Entonces stab(i) es unsubgrupo de An+1 conocido como el estabilizador de i y stab(i) ≈ An. Finalmente,stab(i) 6 An y la justificacion es exactamente la misma que aparece en la partefinal de la prueba del teorema anterior.

196 5. GRUPOS

Para el lector debe ser claro que los grupos A2 y A3 son cıclicos y por tantoson simples de acuerdo al ejemplo 5.5.21 o al teorema de clasificacion 5.6.3. Podraobservar al releer el teorema de clasificacion, que hemos resuelto sus afirmaciones1 y 2. Las afirmaciones 3 y 4 estan muy lejos de ser resueltas con la teorıa quehasta ahora hemos desarrolado.

5.7.1. Para un estudio de S4 y A4. El grupo S4 esta formado por lassiguientes permutaciones:

ε =

(1 2 3 41 2 3 4

), σ1 =

(1 2 3 41 3 4 2

), σ2 =

(1 2 3 41 4 2 3

),

σ3 =

(1 2 3 43 2 4 1

), σ4 =

(1 2 3 44 2 1 3

), σ5 =

(1 2 3 42 4 3 1

),

σ6 =

(1 2 3 44 1 3 2

), σ7 =

(1 2 3 42 3 1 4

), σ8 =

(1 2 3 43 1 2 4

),

σ9 =

(1 2 3 44 3 2 1

), σ10 =

(1 2 3 43 4 1 2

), σ11 =

(1 2 3 42 1 4 3

),

σ12 =

(1 2 3 41 2 4 3

), σ13 =

(1 2 3 41 4 3 2

), σ14 =

(1 2 3 41 3 2 4

),

σ15 =

(1 2 3 44 2 3 1

), σ16 =

(1 2 3 43 2 1 4

), σ17 =

(1 2 3 42 1 3 4

),

σ18 =

(1 2 3 42 3 4 1

), σ19 =

(1 2 3 43 1 4 2

), σ20 =

(1 2 3 42 4 1 3

),

σ21 =

(1 2 3 44 1 2 3

), σ22 =

(1 2 3 43 4 2 1

), σ23 =

(1 2 3 44 3 1 2

).

La descomposicion de cada σi como producto de transposiciones es:

5.8. GRUPOS Y GEOMETRIA 197

σ1 = (2, 3, 4) = (2, 4)(2, 3), σ2 = (2, 4, 3) = (2, 3)(2, 4),

σ3 = (1, 3, 4) = (1, 4)(1, 3) , σ4 = (1, 4, 3) = (1, 3)(1, 4),

σ5 = (1, 2, 4) = (1, 4)(1, 2), σ6 = (1, 4, 2) = (1, 2)(1, 4),

σ7 = (1, 2, 3) = (1, 3)(1, 2), σ8 = (1, 3, 2) = (1, 2)(1, 3),

σ9 = (1, 4)(2, 3), σ10 = (1, 3)(2, 4), σ11 = (1, 2)(3, 4),

σ12 = (3, 4), σ13 = (2, 4), σ14 = (2, 3), σ15 = (1, 4),

σ16 = (1, 3), σ17 = (1, 2), σ18 = (1, 2, 3, 4) = (1, 4)(1, 3)(1, 2),

σ19 = (1, 3, 4, 2) = (1, 2)(1, 4)(1, 3), σ20 = (1, 2, 4, 3) = (1, 3)(1, 4)(1, 3),

σ21 = (1, 4, 3, 2) = (1, 2)(1, 3)(1, 4), σ22 = (1, 3, 2, 4) = (1, 4)(1, 2)(1, 3),

σ23 = (1, 4, 2, 3) = (1, 3)(1, 2)(1, 4).

De la lista anterior podemos verificar que:

1. A4 = {ε, σ1, σ2, σ3, σ4, σ5, σ6, σ7, σ8, σ9, σ10, σ11}.2. V = {ε, σ9, σ10, σ11} es un grupo abeliano de S4 y A4, en donde cada elemento6= ε es de orden 2.

3. V = {ε, σ9, σ10, σ11} / S4.4. V = {ε, σ9, σ10, σ11} / A4.5. {ε} / 〈(1, 3)(2, 4)〉 / V / A4 / S4 es una serie de composicion.6. A4 no contiene un subgrupo de orden 6.

5.8. Grupos y geometrıa

La geometrıa a lo largo de la historia de la matematica ha sido el lugar idoneoen el que han nacido las ideas mas importantes para el desarrollo de la mismamatematica. Por ejemplo, el sistema axiomatico propuesto por Euclides fue piezafundamental que perfilo a la geometrıa desde el mundo griego hasta nuestros dıasfundamentado en la idea intuitiva de lo que es una simetrıa: la admiracion porciertas formas geometricas bien estructuradas y que los condujo al descubrimientode los unicos cinco solidos regulares. Cuando el hombre descubre lo que es unasimetrıa, no se conforma solo con intuirla, sino que intenta formalizarla hasta loque hoy en dıa conocemos.

198 5. GRUPOS

Otro gran momento de la geometrıa fue su maridaje con el algebra, en dondesin duda el unico juez fue Descartes, y gracias a ese maridaje, se desato la gestaciondel calculo. Apurando un poco al tiempo, las geometrıas no euclidianas delsiglo XIX condujeron a una espectacular revolucion en la fundamentacion de lasmatematicas y sin temor a equivocarnos, podemos afirmar que casi la totalidadde las matematicas antiguas y modernas estan impregnadas en su esencia por elsentido geometrico. Ası, diferentes ramas de la matematica han tenido como ejerector el concepto de simetrıa: la topologıa, las ecuaciones diferenciales, el analisisfuncional, la teorıa de variable compleja, y sobre todo el algebra.

Como lo advertimos en la introduccion, no podrıamos dejar pasar el momentode relacionar la geometrıa con la teorıa de grupos. Pues bien, este es el momento.

Comenzaremos estudiando otro subgrupo importante de Sn el cual tiene suorigen en la geometrıa. Consideremos el cuadrado P4 ⊂ R2 con vertices en v1, v2,v3, v4 y centrado en el origen.

-

6

v1 v2

v3v4

Queremos construir una funcion σ : R2 → R2 tal que σ(P4) se vea igual a P4

y que mande vertices adyacentes en vertices adyacentes. Por ejemplo, si rotamos

todo el planoπ

2radianes en el sentido contrario al movimiento de las manecillas

de un reloj, entonces P4 queda transformado como se ve en la siguiente figura:


-

6

v4 v1

v2v3

Se ve identico al original. Ademas σ manda vertices adyacentes en verticesadyacentes. Podemos ver a σ como la siguiente permutacion:

σ =

(v1 v2 v3 v4

v2 v3 v4 v1

)

Es claro que σ4(vi) = σ(σ(σ(σ(vi)))) = vi = ε(vi). Mas aun, el lectorpuede verificar facilmente que σ, σ2, σ3, σ4 son permutaciones diferentes y todassatisfacen nuestro requerimento: σi(P4) = P4 y manda vertices adyacentes envertices adyacentes. ¿Seran todas?. La respuesta es no. En la figura original,consideremos la diagonal que pasa por los vertices v1 y v3:

-

6

v1 v2

v3v4

��

Ahora giramos π radianes en el espacio tridimensional sin mover la diagonaly observamos la nueva figura:

200 5. GRUPOS

-

6

v1 v4

v3v2

Luce identica a la original, si no fuera por las etiquetas de los vertices. Estaaccion la podemos mirar como una permutacion:

β =

(v1 v2 v3 v4

v1 v4 v3 v2

)Observamos que si repetimos la accion dos veces llegaremos al cuadrado

original, es decir, β2(vi) = β(β(vi)) = vi = ε(vi). Veamos la aplicacion de losdos movimientos σβ:

σβ =

(v1 v2 v3 v4

v2 v1 v4 v3

), βσ =

(v1 v2 v3 v4

v4 v3 v2 v1

).

Vea las figuras del principio de la siguiente pagina.

-

6

v2 v1

v4v3

σβ

-

6

v4 v3

v2v1

βσ

Consideremos el siguiente conjunto:

D8 = {ε, σβ, σ2β, σ3β, σ4β, σ, σ2, σ3} = {σiβj : 0 ≤ i < 4, j = 0, 1}.El lector puede verificar facilmente que σβ = (σβ)−1. De la relacion σ4 =

β2 = ε tenemos que σ3 = σ−1 y β = β−1. Ası la siguiente relacion


βσ3 = β−1σ−1 = (σβ)−1 = σβ. (1)

De lo anterior se puede deducir que σ3β = βσ. La relacion (1) es de granimportancia para verificar que D8 es cerrado bajo la composicion de funciones.Por ejemplo, estudiemos la composicion de algunos elementos del conjunto D8:

1. (σβ)(σ2β) = (βσ3)(σ2β) = βσ5β = βσβ = ββσ3 = β2σ3 = σ3.2. (σβ)(σ3β) = σβ−1σ−1β = σ(σβ)−1β = σ(σβ)β = σ2β2 = σ2.3. (σβ)(σ2) = (βσ3)(σ2) = βσ5 = βσ = σ3β.4. (σ2β)(σ2β) = σ2βσσβ = σ2σ3βσβ = σβσβ = σβ(βσ3) = ε.

ε σβ σ2β σ3β β σ σ2 σ3

ε ε σβ σ2β σ3β β σ σ2 σ3

σβ σβ ε σ3 σ2 σ β σ3β σ2βσ2β σ2β σ ε σ3 σ2 σβ β σ3βσ3β σ3β σ2 σ ε σ3 σ2β σβ ββ β σ3 σ2 σ ε σ3β σ2β σβσ σ σ2β σ3β β σβ σ2 σ3 εσ2 σ2 σ3β β σβ σ2β σ3 ε σσ3 σ3 β σβ σ2β σ3β ε σ σ2

El conjunto D8 es cerrado bajo la composicion, todos sus elementos tienen uninverso que pertenece a D8 y ası, D8 es un grupo de orden 8. En la tabla anteriorse observa que D8 no es abeliano. Cualquier funcion que el lector encuentre y quesatisfaga nuestros requerimentos originales, ya esta incluida en los elementos delgrupo D8.

El grupo D8 se conoce como el grupo de simetrıas del cuadrado o tambiencomo el grupo diedrico de orden 8.

Ahora generalicemos el grupo de simetrıas de la exposicion anterior. Unaisometrıa es una funcion biyectiva f : R2 → R2 que preserva distancias entrepuntos, es decir, d(P1, P2) = d(f(P1), f(P2)). Por ejemplo, si escribimos encoordenadas polares los puntos

P1 = (x, y) = (r cos θ, r sen θ), P2 = (x1, y1) = (r1 cos θ1, r1 sen θ1),

202 5. GRUPOS

entonces la distancia entre ellos la podemos escribir como

d(P1, P2) = r2 + r21 − 2rr1 cos(θ − θ1).

Ahora, la funcion f : R2 → R2 definida como

f((x, y)) = (r cos(θ +π

2), r sen(θ +

π

2))

es una isometrıa pues simplemente estamos rotando al plano cartesianoπ

2radianes.

De la igualdad

r2 + r21 − 2rr1 cos(θ − θ1) = r2 + r2

1 − 2rr1 cos((θ +π

2)− (θ1 +

π

2)),

concluimos que d(P1, P2) = d(f(P1), f(P2)). Si denotamos por

Isom(R2) = {f : R2 → R2 : f es isometrıa},entonces Isom(R2) es un grupo con la composicion de funciones. El grupoIsom(R2) se conoce como el grupo de isometrıas de R2. Sea P ⊆ R2. Unasimetrıa del conjunto P , es una isometrıa f de R2 tal que f(P ) = P . Por ejemplo,

la funcion f((x, y)) = (r cos(θ +π

2), r sen(θ +

π

2)) es una simetrıa del cuadrado. Si

denotamos porSym(P ) = {f ∈ Isom(R2) : f(P ) = P},

entonces claramente Sym(P ) es un subgrupo de Isom(R2). El grupo Sym(P ) seconoce como el grupo de simetrıas de P . En particular, el grupo de simetrıas deun polıgono regular de n lados recibe el nombre de grupo diedrico.

Consideremos un polıgono regular Pn ⊂ R2 (n ≥ 3) de n lados centradoen el origen. Tenemos dos simetrıas naturales del polıgono Pn. La primera

que llamaremos σ, es rotar nuestro polıgono2π

nradianes en el sentido contrario

al movimiento de las manecillas de un reloj. Si denotamos por {1, 2, . . . , n} alconjunto de vertices de Pn, entonces

σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 4, . . . , σ(n− 1) = n, σ(n) = 1.

Usando notacion mas comoda

σ =

(1 2 3 · · · n− 1 n2 3 4 · · · n 1

).

Si componemos σ consigo misma notamos que σn regresa el polıgono a suposicion original, es decir σn = ε. Por otro lado, para 1 ≤ j < n tenemos que


σj tambien es una simetrıa y σj(1) = j + 1. Por tanto, σ, σ2, . . . , σn−1, σn sonsimetrıas diferentes.

La segunda simetrıa de Pn y que llamaremos β, la construimos de la mismamanera que lo hicimos para el cuadrado, solo que aquı sera importante la paridadde n. Si n es par (por ejemplo un hexagono), trazamos la diagonal desde el vertice 1pasando por el origen (0, 0). Esta diagonal tocara otro vertice de Pn. Por ejemplo,en un hexagono la diagonal que consideramos va de 1 a 4. Ahora giramos en elespacio π radianes, como si dieramos vuelta a una hoja de un cuaderno abierto, yobservamos el siguiente efecto:

1 2

3

45

6

β−→

1 6

5

43

2

En nuestro caso particular podemos describir a β como:

β =

(1 2 3 4 5 61 6 5 4 3 2

).

En el caso n impar (por ejemplo un pentagono) trazamos la lınea desde elvertice 1 pasando por el origen hacia el lado opuesto. En este caso, sabemos dela geometrıa euclidiana que esta lınea es perpendicular al lado opuesto. Ahoragiramos π radianes en el espacio. Antes de ver un ejemplo le pido al lector queintente ver los siguientes pentagonos como pentagonos regulares. Ahora si, vamosal ejemplo:

204 5. GRUPOS

ab

q

r

��@

@@@@@@@

BBBBBBBB

��

6

1

2

3 4

5

β−→

ab

q

r

��@

@@@@@@@

BBBBBBBB

��

6

1

2

34

5

Es evidente que ahora β es la permutacion:

β =

(1 2 3 4 51 5 4 3 2

).

En nuestro ejemplo del pentagono, el lector puede verificar facilmente que:

σβ =

(1 2 3 4 52 1 5 4 3

),

y geometricamente lo que tenemos es:

ab

q

r

��@

@@@@@@@

BBBBBBBB

��

6

1

2

3 4

5

σβ−→

ab

q

r

��@

@@@@@@@

BBBBBBBB

��

6

2

3

45

1

En general, si n es par, dos vertices se quedan sin mover, y si n es impar solouno. Ası, si n es par, entonces

β =

(1 2 3 · · · n

2 + 1 · · · n− 1 n1 n n− 1 · · · n

2 + 1 · · · 3 2

),


y si n es impar, tenemos que

β =

(1 2 3 · · · n− 1 n1 n n− 1 · · · 3 2

).

Un simple calculo nos muestra que o(β) = 2 y por lo tanto, si n es par, entonces

σβ =

(1 2 3 · · · n− 1 n2 3 4 · · · n 1

)(1 2 3 · · · n

2 + 1 · · · n− 1 n1 n n− 1 · · · n

2 + 1 · · · 3 2

)=

(1 2 3 · · · n

2 + 1 · · · n− 1 n2 1 n · · · n

2 + 2 · · · 4 3

),

y si n es impar obtenemos que

σβ =

(1 2 3 · · · n− 1 n2 3 4 · · · n 1

)(1 2 3 · · · n− 1 n1 n n− 1 · · · 3 2

)=

(1 2 3 · · · n− 1 n2 1 n · · · 4 3

).

Cualquiera que sea el caso, (σβ)2 = ε. De la igualdad β−1 = β se sigue que

σβ = (σβ)−1 = β−1σ−1 = βσ−1 = βσn−1.

Definimos el grupo diedrico de orden 2n como

D2n = {σiβj : 0 ≤ i < n, j = 0, 1}.

Lo sorprendente del grupo D2n es que, para describir todas las simetrıas deun polıgono regular, basta y sobra con las permutaciones σ, β. Observemos losiguiente: puesto que o(〈σ〉) = n, tenemos que [D2n : 〈σ〉] = 2. Por tanto 〈σ〉/D2n.Lo anterior significa que D2n no es simple.

Conclusion final. En R2 tenemos polıgonos regulares de cualquier numerode lados y son faciles de construir: simplemente resuelva la ecuacion xn = 1 enC y grafique las soluciones. En R3 es otra historia. Se sabe que solo existen 5poliedros regulares: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.La construccion de sus grupos de simetrıas esta fuera del alcance de estas notas.El lector interesado puede deleitarse con este tema en [11].

206 5. GRUPOS

5.9. El concepto de grupo abstracto: Teorema de Cayley

Historicamente, no fue sino hasta principios del siglo XX cuando el conceptode grupo abstracto fue totalmente aceptado y reconocido por los matematicos.En un principio la teorıa de grupos solo estudiaba grupos de permutaciones(sustituciones). Despues, el concepto de grupo abstracto fue introducido con elproposito de deducir de la manera mas simple y directa las propiedades de losgrupos de permutaciones. De esta forma, resulto mas o menos natural buscarla posibilidad de apropiar el concepto de grupo de permutaciones al conceptode grupo abstracto. Fue A. Cayley7 en 1854 el primero en dar una definicionsuficientemente general del concepto de grupo.

Teorema 5.9.1 (Teorema de Cayley). Sea G un grupo. Entonces G esisomorfo a un subgrupo de algun grupo de permutaciones.

Demostracion. Sea a ∈ G. Si G = {xi}i∈I , entonces para cada a ∈ Gpodemos escribir G = {axi}i∈I . La funcion

ϕa : G −→ G

definida como ϕa(xi) = axi es biyectiva y por tanto es una permutacion de G. Deesta manera tenemos que ϕa ∈ SG. Sea T = {ϕa}a∈G. Con la composicion defunciones tenemos las siguientes propiedades del conjunto T :

1. Para ϕa, ϕb ∈ T y x ∈ G se cumple que

ϕaϕb(x) = ϕa(bx) = (ab)x = ϕab(x),

por lo tanto ϕaϕb = ϕab ∈ T .2. Para x ∈ G tenemos que ϕaϕa−1(x) = aa−1x = x y por tanto ϕaϕa−1 = ε.

Entonces necesariamente (ϕa)−1 = ϕa−1 ∈ T.

7Arthur Cayley nacio el 16 de agosto de 1821 en Richmond, Surrey, Inglaterra, dentro deuna familia de talento. Ingresa en el Trinity College de Cambridge en 1838 donde se diplomacon grandes honores en el ano 1842 y es nombrado asistente tutor durante un perıodo de tres

anos. Despues de dejar la ensenanza se consagra a sus investigaciones al mismo tiempo quepractica su profesion de abogado. Cayley contribuyo de una manera original a numerosos temasmatematicos: la geometrıa analıtica de n dimensiones, las transformaciones lineales que son elorigen de su teorıa de matrices, la teorıa de superficies y determinantes, etc.. Murio el 20 de

enero de 1895 en Cambridge y lego a la posteridad una obra tan extensa como la de Euler yCauchy.

5.9. EL CONCEPTO DE GRUPO ABSTRACTO: TEOREMA DE CAYLEY 207

3. Si a, b ∈ G con a 6= b y e denota al neutro de G, entonces ϕa(e) = a 6= b =ϕb(e), ası ϕa 6= ϕb.

Por 1 y 2, T ≤ SG. Sea f : G −→ SG definida como f(a) = ϕa. Por laafirmacion 1, f es un homomorfismo de grupos y por la afirmacion 3 f es inyectiva.Por lo tanto G ≈ T . �

Es comun llamar a la funcion ϕa traslacion izquierda por a de G y la funcionf : G −→ SG del teorema de Cayley se le conoce como representacion regular deG. Como caso particular, si o(G) = n, entonces tenemos que SG = Sn y G esisomorfo a algun subgrupo de Sn.

Basicamente lo que hicimos en el teorema de Cayley es representar al grupo Gcomo permutaciones. Existen otras representaciones para los grupos, por ejemplo:representaciones como matrices, representaciones lineales, etc. El lector interesadopuede iniciar la lectura en representaciones de grupos finitos en el esplendido libroclasico [5].

Ejemplo 5.9.2. Consideremos el grupo Z/7Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e indexemossus elementos. Por ejemplo, ai = i para 0 ≤ i ≤ 6. Entonces las correspondientesφai son funciones biyectivas de Z/7Z en sı mismo y estan dadas por la reglaφi(j) = i+ j modulo 7. Es claro que φa0 es la permutacion(

0 1 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6

).

Siguiendo la regla φi(j) = i+ j tenemos la siguiente identificacion:

φa1 =

(0 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 0

), φa2 =

(0 1 2 3 4 5 62 3 4 5 6 0 1

),

φa3 =

(0 1 2 3 4 5 63 4 5 6 0 1 2

), φa4 =

(0 1 2 3 4 5 64 5 6 0 1 2 3

),

φa5 =

(0 1 2 3 4 5 65 6 0 1 2 3 4

), φa6 =

(0 1 2 3 4 5 66 0 1 2 3 4 5

).

El conjunto T = {φa0 , φa1 , φa2 , φa3 , φa4 , φa5 , φa6} es subgrupo de S7. El lectorpuede verificar que T es cıclico y T = 〈φa1〉.

208 5. GRUPOS

Ejemplo 5.9.3. Para n ∈ N tenemos que D2n ≤ Sn.

Ejemplo 5.9.4. Si n ∈ N, entonces U(Zn) es isomorfo a algun subgrupo deSϕ(n). En particular, si p es un numero primo, Z∗p ≤ Sp−1.

Ejemplo 5.9.5. Para n ∈ N, el grupo simetrico Sn contiene un subgrupoisomorfo a Zn.

Observemos que fue importante tener una lista de los elementos del grupo. Engeneral, si el grupo G es de orden n, entonces para poder aplicar la demostraciondel teorema de Cayley es necesario escribir G = {x1, . . . , xn}.

Comentario final: Historicamente los grupos surgieron como grupos de per-mutaciones en el estudio de las raıces de polinomios. Con el curso del tiempo, setuvo la necesidad de abstraer el concepto y gracias a esto, la teorıa de grupos hasido acogida como una herramienta fundamental en distintas disciplinas como lafısica, la quımica y la biologıa, solo por citar algunas.

PROBLEMAS

1. Expresa como producto de ciclos ajenos cada una de las siguientes permutaciones eindica cuales son pares y cuales son impares:

a)

(1 2 3 4 5 6 7 82 7 4 8 3 6 5 1

).

b)

(1 2 3 4 5 6 7 87 4 1 5 8 2 6 3

).

c)

(1 2 3 4 5 6 7 8 94 6 9 2 7 1 3 8 5

).

d)

(1 2 3 4 5 6 7 8 96 3 5 1 4 9 7 2 8

).

2. Encuentra el orden de cada una de las permutaciones del problema 1.3. Escribe todos los elementos de S2 y A2.4. Considera los grupos S3 y A3. ¿El grupo A3 es simple?

a) Elabora una lista de todos los elementos y escrıbelos en forma cıclica.b) Encuentra la familia de subgrupos de S3 y A3.

5. En S4 encuentra el subgrupo generado por (1, 2) y (2, 3).

5.9. EL CONCEPTO DE GRUPO ABSTRACTO: TEOREMA DE CAYLEY 209

6. Sea V4 = {Id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} el grupo de Klein de orden 4.Muestra que V4 / A4.

7. Muestra que S4/V4 ≈ S3.8. Sea α = (a, b, c, d, e) ∈ A5. Muestra que α−1 = (a, e, d, c, b, a).9. Muestra que cualquier factorizacion de ε ∈ Sn tiene un numero par de transposicio-

nes. De esta manera ε ∈ An.10. Sea σ = (i1, i2, . . . , im) un ciclo de longitud m. ¿Para que valores de m es σ una

permutacion impar?11. Muestra que si σ es cualquier transposicion, entonces σ(∆n) = −∆n.12. Muestra que si σ es cualquier transposicion, entonces Sn = 〈An, σ〉.13. Muestra que A4 no tiene un subgrupo de orden 6.14. Determina cuales de las siguientes permutaciones pertenecen a An:

a) (1, 2, 3)(5, 4, 2).b) (1, 3, 2, 4)(3, 4).c) (3, 4, 1)(2, 5).d) (1, 3, 5, 7)(2, 4, 6, 8, 9).e) (1, 3, 4, 6)(2, 4, 6, 8).

15. Prueba que cada elemento del grupo D8 manda pares de vertices adyacentes en paresde vertices adyacentes.

16. Encuentra Z(D8).17. Proporciona una funcion f : R2 → R2, para cada elemento de D8 tal que restringida

a P4 coincida con algun elemento del grupo D8.18. Construye el grupo de simetrıas D6 de un triangulo equilatero siguiendo la cons-

truccion del grupo D8. Observa que D6 ≈ S3.19. En el inicio de la demostracion del teorema 5.7.28 hemos escrito: Sin perdida de

generalidad podemos suponer que σ es alguna de las siguientes permutaciones:

(a, b, c), (a, b)(c, d), (a, b)(a, c), (a, b, c, d, e).

¿Puede el lector decir por que?20. Sabemos que el grupo diedrico D2n es el grupo de simetrıas de un polıgono regular

con n lados. ¿Como es el grupo de simetrıas de un polıgono que no es regular? Eneste orden de ideas, considera un triangulo P que tiene exactamente dos lados iguales.Muestra que Sym(P ) es un grupo con dos elementos y por lo tanto es isomorfo a F2.¿Cual es el grupo de simetrıas de un triangulo que tiene sus tres lados diferentes?

21. Supongamos que P es un rectangulo que no es un cuadrado. Demuestra queSym(P ) ≈ V4.

22. Sigue la parte final de la demostracion del teorema 5.7.28 para mostrar que stab(i) 6An para cualquier n.

23. Muestra que si n > 4, entonces Sn tiene un unico subgrupo normal no trivial.

210 5. GRUPOS

24. Escribe los siguientes grupos como grupos de permutaciones:a) El grupo diedrico D8 = 〈a, b : a2 = b4 = (ab)2 = ε〉.b) El grupo cıclico µ7 = {x ∈ C : x7 = 1}.c) El grupo abeliano (Z/14Z)∗.d) El grupo Z/nZ.

Bibliografıa

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Indice

(ab

)J

, 87

(i1, i2), 184

(i1, i2, . . . , ir), 184

An, 191

Aut(G), 156

Aut(Zn), 156

C([a, b]), 122

D8, 200

D2n, 205

G/H, 129

GL(2,R), 120

GRCp, 125, 156

H ≤ G, 123

H 6 G, 140

H / G, 140

H ×K, 157

Isom(R2), 202

N(A), 168

N(g), 168, 169

P4, 198

Pn, 202

SL(2,R), 121

SX , 183

Sn, 120, 183

Sym(P ), 202

T (R2), 121

Ta,b, 121

U(Z[i]), 99

Un, 63

V4, 155, 209

Z(G), 167

ker(f), 148

〈A〉, 126

〈a〉, 126

mcd(a, b), 7

mcm(a, b), 13

σ(∆n), 188

ϕ de Euler, 37

aH, 127

o(G), 119

o(a), 131

p-grupo, 172

C∗, 125, 127, 131, 138, 143

Fp, 59

F∗p, 70

H, 122

N0, 1

Q∗, 120

R∗, 132, 147

Z[i], 95

Zn, 33, 34

Z∗p, 132

SCR(m), 36

SRR(m), 37

[G : H], 130(−1

p

), 70(2

p

), 77(a

p

), 69

213

214 Indice

a | b, a - b, 6

Algoritmo

de Euclides en Z, 11

de Euclides en Z[i], 99

de la division en K[x], 59

de la division en Z, 3

de la division en Z[i], 96

Anillo

de enteros modulo n, 34

de polinomios, 59

de enteros gaussianos, 95, 156

asociados en Z[i], 99

automorfismo interior, 147, 156

campo finito, 40, 62

Fn, 40

Cancelacion

para la suma modulo n, 34

Cauchy, Augustin Louis, 164

Cayley, Arthur, 206

centro de un grupo, 167

ciclo de longitud r, 184

clase de conjugacion, 169

clase derecha, 131

clase izquierda, 127

Congruencias, 33

x2 ≡ −1 (mod p), 71

ax ≡ b (mod m), 40

f(x) ≡ 0 (mod m), 52

f(x) ≡ 0 (mod ps), 56

f(x) ≡ 0 (mod p), 59

x2 ≡ 2 (mod p), 78

Conjetura de Artin, 138

conjugado

en Z[i], 96

conjugados modulo (H,K), 173

conjunto potencia, 121

Criba

de Eratostenes, 19

geometrica, 28

Cuadrados en Zp, 67

Cuaterniones, 122

discriminante, 188

divisibilidad

en K[x], 59

en Z, 6

en Z[i], 97

divisor, 6

en comun en Z, 7

en comun en Z[i], 99

divisores elementales, 162

Dominio entero, 10

ecuacion

ϕ(x) = n, 51

ax+ by = 1, 9

ax+ by = c, 8, 102

x2 − y3 = −19, 22

diofantina, 8

ecuacion de clase, 172

elementos conjugados, 169

Enteros modulo m, 33

epimorfismo, 146

Eratostenes, de Cirene, 19

estabilizador, 137, 195

Euclides, de Alejandrıa, 11

Euler, Leonhard, 39

Formula del producto, 153

Factorizacion de un entero gaussiano, 110

Fermat, Pierre de, 27

funcion

bxc, 5

ϕ de Euler, 37

Gauss, Karl-Friedrich, 34

generadores de un grupo, 126

grado

de un polinomio en K[x], 59

Grupo, 117

Q∗, 120

An es simple, 194

Q8, 123

R2, 120

Z, 119

Indice 215

Zn, 120

ındice, 130

abeliano, 119

alternante, 191

booleano, 121

cıclico, 126

circular, 156

cociente, 141

de isometrıas de R2, 202

de Klein de orden 4, 155

de Klein de orden 4, 209

de matrices, 122

de movimientos de R2, 120

de simetrıas de un conjunto, 202

de simetrıas del cuadrado, 201

de Traslaciones, 121

de unidades de Zn, 120

diedrico, 202

diedrico de orden 2n, 205

diedrico de orden 8, 201

finito, 119

hamiltoniano, 143

infinito, 119

inverso, 118

isomorfos, 146

Lineal Especial, 121

Lineal General, 120

neutro, 118

orden, 119

simetrico, 120, 183

simple, 178

subgrupo trivial, 123

homomorfismo de grupos, 146

homomorfismo natural, 147, 149

inverso

aditivo en Zm, 38

aditivo en un dominio entero, 10

isometrıa de R2, 201

isomorfismo, 146

Jacobi, Carl Gustav Jacob, 87

Lagrange, Joseph Louis, 130

Legendre, Adrien-Marie, 68

Lema

de Eisenstein, 78

de Gauss, 74

Ley de Reciprocidad Cuadratica

de Gauss, 68

de Jacobi, 90

Ley de reciprocidad cuadratica

de Gauss, 81

Maximo

comun divisor en Z, 7

comun divisor en Z[i], 100

Mınimo comun multiplo

en Z, 13

en Z[i], 103

multiplo comun

en Z, 13

en Z[i], 103

monomorfismo, 146

nucleo, 148

Numero

compuesto, 16

primo, 16

Numeros primos en Z[i], 107

neutro aditivo, 10

Noether, Emmy Amalie, 149

norma en Z[i], 96

normalizador, 168

operacion binaria, 117

orden

elemento de orden finito, 131

elemento de orden infinito, 131

parte pi-primaria, 162

permutacion, 120, 183

impar, 190

par, 190

permutaciones ajenas, 185

Poincare, Henri Jules, 154

216 Indice

polinomio

irreducible en Zp[x], 64

reducible en Zp[x] , 65

primo en Z[i], 104

primos racionales, 104

primos relativos

en Z, 7

en Z[i], 100

Principio

de induccion, 1

del Buen Orden, 1

producto de clases izquierdas, 141

producto de conjuntos, 139

producto directo externo, 157

producto directo externo de grupos, 122

producto directo interno, 157

punto fijo, 194

representacion en base a, 5

representacion regular, 207

residuo

cuadratico en Fp, 68

cuadratico en Zb, 87

Sımbolo

de Legendre, 69

sımbolo

de Jacobi, 87

serie de composicion, 179

signo de σ, 189

simetrıa, 202

Sistema

completo de residuos modulo m, 36

de congruencias de grado 1, 42

reducido de residuos modulo m, 37

Subgrupo, 123

µn, 125

nZ, 124

SL(2,R), 125

cıclico, 126

generado por un conjunto, 126

subgrupo conmutador, 145

Subgrupo de Sylow, 167

subgrupo de torsion, 137

subgrupo diagonal, 166

subgrupo maximal, 160

subgrupos conjugados, 139

subgrupos normales, 140

Teorema

Chino del Residuo, 43

chino del residuo generalizado, 48

clasificacion de los grupos cıclicos, 151

Corolario al Teorema de Lagrange, 141

de Cancelacion para el producto en Zn, 35

de Cauchy, 164

de Clasificacion de los grupos simples finitos,180

de Euclides, 8, 17

de Euler, 69

de Fermat, 107, 132

de Galois, 181

de Lagrange, 60, 130

de Poincare, 154

de Wilson, 61

del Factor, 60

del residuo, 59

fundamental de los grupos abelianos finitos,

161

Inverso de Lagrange para grupos abelianosfinitos, 164

Inverso de Lagrange para grupos cıclicos fi-

nitos, 135

Lema debil de Hensel, 58

Lema de Frobenius o Cauchy, 174

Lema de Hensel, 56

Pequeno de Fermat, 39

segundo teorema de isomorfismos, 152

Segundo teorema de Sylow, 175

de Cayley, 206

de Euler, 39

Fundamental de la Aritmetica en Z, 16

Fundamental de la Aritmetica en Z[i], 106

Primer teorema de isomorfismos, 149

Primer teorema de Sylow, 170

Indice 217

tercer teorema de isomorfismos, 153

Tercer teorema de Sylow, 177Teoremas de Sylow, 167

Test de Solovay-Strassen, 92

transposicion, 184

traslacion izquierda, 207

unidad

de Zn, 63

en Z[i], 98

Teoria de Numeros Clasica-Mario Pineda

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