teoria consumatorului-probleme2

Problema 2.1. Se consider un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv,

pentru a cumpra dou bunuri notate x1 i x2. Preurile celor dou bunuri, p1 i p2, sunt presupuse strict pozitive.

Preferinele consumatorului sunt reprezentate prin funciile de utilitate

( )1 2 1 2, ln lnU x x x x= + , unde x1 i x2 sunt cantitile consumate din cele dou bunuri. Se cere: a) Determinai funciile de cerere necompensat (de tip Marshall sau

Walras) , i = 1 i 2, ale consumatorului din fiecare din cele dou bunuri.

( Vppxi ,, 21 )

b) Fie un alt consumator ale crui preferine sunt reprezentate prin funcia de utilitate ( ) 2121 , xxxxH = . Comparai funciile de cerere necompensat cu ale celui precedent. Explicai acest rezultat.

Rezolvare: a) Preferinele consumatorului sunt reprezentate printr-o funcie de

utilitate de tip Cobb-Douglas. Aceast funcie este strict qusiconcav, din cauza strict concavitii funciei logaritm. n consecin, problema de maximizare pe mulimea de consum a funciei de utilitate a consumatorului admite o soluie unic, ce definete funciile de cerere.

Ca urmare, alegerea optim va fi dat de rezolvarea urmtorului program:

),( 21 xx

( )1 2

1 2,

1 1 2 2

max ln lnx x

x x

p x p x V

+

+ =

La punctele a), b) i d) consumurile agenilor economici sunt considerate n cadranul pozitiv al sistemului ortogonal de axe din R2.

Microeconomie - aplicaii la nivelul agenilor economici

Ca urmare, condiia necesar de optim este echivalent cu faptul c raportul preurilor bunurilor este egal cu raportul utilitilor marginale ale celor dou bunuri. Aceast relaie implic egalitatea:

2

12

1

pp

UU

m

m =

11

1 1xx

UU m =

= ; 22

2 1xx

UU m =

=

Aceast egalitate, mpreun cu restricia bugetar, permite determinarea funciilor de cerere necompensat ale consumatorului:

( )1

2111 2,,

pVVppxx ==

( )2

2122 2,,

pVVppxx ==

b) Funciile de utilitate U i H verific egalitatea:

( ) ( )1 2,1 2H , = eU x xx x . Deoarece funcia exponenial ( )1 2,U x xe este o funcie pozitiv i cresctoare, funciile de utilitate U i H sunt asociate aceleiai ordini de preferine. n acest caz, doi consumatori ale cror funcii de utilitate sunt U i H fac aceeai alegere. n consecin, funciile lor de cerere sunt identice.

Problema 2.2. Se consider un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv,

pentru a cumpra dou bunuri notate x1 i x2. Preurile celor dou bunuri, p1 i p2, sunt presupuse strict pozitive.

a) Care sunt funciile de cerere necompensat ale unui consumator a crui mulime de consum este [1, +] x [2, +] i a crui funcie de utilitate se scrie:

1 2 1 1 1 2 2 2( , ) ln( - )+ ln( - ), U x x x x = unde 1 i 2 sunt parametri pozitivi, iar 1 i 2 sunt dou numere

reale strict pozitive, astfel nct 1+2=1.

Capitolul 2. Teoria consumatorului

Dac parametrii 1 i 2 sunt nuli, calculai elasticitatea cererii n raport cu venitul, pentru fiecare din bunurile x1 i x2.

b) Determinai funciile de cerere necompensat ale unui consumator a crui funcie de utilitate se scrie:

1 2 1 1 1 2 2( , ) ln( )+ ln , U x x x x x = + unde 1x este un numr real pozitiv, 1 2, 0 > , cu 1 2 1 + = . Ce

particularitate are funcia de cerere din bunul ? 1x Rezolvare: a) Funcia de utilitate nu este definit dect pe mulimea

consumurilor posibile, adic atunci cnd cantitile consumate din bunurile x1 i x2 sunt cel puin egale cu 1 i respectiv 2.

Perechea (1,2) se interpreteaz ca minimul de subzisten la nivelul consumatorului. Deoarece consumatorul poate cumpra aceast combinaie, trebuie ca venitul V s fie mai mare sau egal cu valoarea sa: 2211 pp + , valoare care constituie venitul minimal al consumatorului, sub care funciile de cerere nu sunt definite.

n continuare, vom presupune c venitul este strict mai mare dect acest venit minimal. Prin urmare, parametrii 1 i 2 descriu gusturile consumatorului: cu ct parametrul i este mai mare, cu att mai puternic este preferina consumatorului pentru bunul xi.

Din: 2

12

1

pp

UU

m

m = rezult:

11

1

1

1

yxxUU m

=

=

; 22

2

2

2

yxxUU m

=

=

De unde: ( ) ( )2 1 1 1 1 2 2 2p x p x =

Utiliznd restricia bugetar, aceast relaie conduce la egalitile: ( ) ( )1 1 2 2i i i ip x V p p = pentru i = 1, 2.

Aceste egaliti arat c venitul excedentar, disponibil dup

cumprarea combinaiei de consum minimal, 2211 ppV , este afectat in funcie de gusturile consumatorului (reprezentate prin parametrii 1 i 2) pentru cumprarea unui excedent din bunul x1, egal cu 11 x , i pentru cumprarea unui excedent din bunul x2, egal cu 22 x .


Funciile de cerere necompensat din bunul xi (i = 1, 2) se scriu deci:

( ) ( )1

2211112111 ,, p

ppVVppxx ==

( ) ( )2

2211222122 ,, p

ppVVppxx ==

Elasticitatea

Vx iE a cererii de bun i, n raport cu venitul, este defi-

nit prin egalitatea:

( ) 12211=

=

=

=VV

ppVVVp

p

Vx

:Vx

Ei

i

ii

i

i

iii

Vxi

Deoarece parametrii 1 i 2 sunt nuli, elasticitile E1 i E2 au

valoarea 1. b) Dac preferinele conumatorului sunt definite prin funcia de

utilitate , atunci acesta poate consuma o cantitate nul din bunul x

),( 21 xxU1, fr ca nivelul su de utilitate s fie minim pe mulimea consumurilor.

Este posibil deci ca el s cear o cantitate nul de bun x1. Ca urmare, cantitatea cerut din bunul x2 este ntotdeauna strict pozitiv. Cererile consumatorului sunt soluii ale programului:

{ }1 2

1 1 1 2 2,

1 1 2 2

1 2

max ln( )+ ln

0, 0

x xx x x

p x p x Vx x

+ +

Fie i multiplicatorii asociai celor dou restricii. Lagrangeanul L al programului se scrie:

( ) ( ) 1221122111 lnln xVxpxpxxxL ++++=

innd cont de faptul c la maxim de utilitate, restricia bugetar este satisfcut cu egalitate, condiiile de ordinul I pentru programul de maximizare sunt date de expresiile:

0111

1

1

=++

= p

xx

xL

;


022

2

2

== p

x

xL

;

1 1 2 2

L p x p x V

= + =

;

1 0L x

= =

Avnd n vedere concavitatea strict a funciei de utilitate, aceste

condiii de optimalitate sunt necesare i suficiente. n rezolvarea sistemului, discuia se poart asupra cazului cnd x1 este nul. Dac x1 este strict pozitiv, cererile se vor afla n interiorul mulimii de consum posibil, raportul utilitilor marginale a dou bunuri este egal cu raportul preurilor, de unde rezult funciile de cerere:

11 1 2 2 1

1

( , , ) Vx p p V xp = ;

1 12 1 2 2 1

2 2

( , , ) V xx p p V pp p = .

Aceast situaie are loc atunci cnd x1 (p1, p2, V) este strict pozitiv,

adic atunci cnd venitul V este mai mare dect 2 p1 1x /1. Cnd cererea de bun 1 este nul, cererile sunt date de relaiile:

( )2 1 2, , 0x p p V =

( )2 1 22

, , Vx p p Vp

=

Deoarece este pozitiv, rezult c raportul utilitilor marginale

),x(U),x(U

m

m

22

21

00

este mai mic sau egal dect raportul preurilor 2

1

pp

. Aceast

condiie este verificat dac i numai dac venitul este mai mic sau egal

dect 1

112

xp

.


Aceasta nseamn c rata marginal de substituire1 a bunului x1 cu bunul x2 este mai mare dect preul relativ al bunului x2 n raport cu bunul x1.

Altfel spus, pentru aceast structur de pre i de venit, consumatorul va dori, dac acest lucru este posibil, s vnd din bunul x1 pentru a cumpra din bunul x2.

Problema 2.3. Un consumator afecteaz un venit V pentru a cumpra dou bunuri 1

i 2, ale cror preuri unitare sunt i . Preferinele sale sunt reprezentate prin funcia de utilitate:

1p 2p

1 2 1 2( , ) ( -1)U x x x x= cu , unde 1 20, 0x x 1 2, x x desemneaz cantitile consumate. Se cere: a) Determinai ecuaiile funciilor de cerere. Se va presupune c

V> 2V p> . b) Se consider situaia iniial, unde 121 == pp i V=3 i o situaie

final unde n timp ce i V rmn neschimbate. Care sunt cantitile din fiecare bun, cumprate de consumator n situaia iniial i situaia final?

22 =p 1p

c) Descompunei trecerea de la situaia iniial la situaia final, distingnd efectul de substituie i efectul de venit. Comentai rezultatele i reprezentai-le pe un grafic.

Rezolvare: a) Pentru determinarea alegerii optime vom construi lagrangeanul

problemei: ( ) ( )221121 1 xpxpVxxL +=

unde este multiplicatorul Lagrange.

1 Rata marginal de schimb a bunului x1 cu bunul x2, reprezint numrul de unitti din

bunul x2 pe care consumatorul este dispus s le dea n schimbul unei unitti (presupus infinit de mic n raport cu cantittile consumate) de bun x1. Aceast rat este egal cu rata marginal de substitutie a bunului x1 cu bunul x2.


Condiiile necesare de optim conduc la sistemul:

2 11

1 22

1 1 2 2

1 0

0

0

L x pxL x pxL V p x p x

= =

= =

= =

cu soluiile:

2 21 2

1 2

, 2 2

V Vp px x

p p +

= = .

b) Situaia iniial: 1 2 1 , 2 x x= = ;

Situaia final: 1 21 5, = 2 4

x x=

c) Se consider o situaie intermediar, care corespunde unor alegeri

ce ar fi fost fcute de consumator cu noul sistem de preuri ( 1 1p = i ), dac acesta ar fi primit o variaie compensatoare de venit ce i-ar permite s se menin la nivelul iniial de satisfacie.

2 2p =

Acest situaie intermediar este caracterizat prin dubla condiie: U x x U

Rms

( , ) ( , )

( , )

1 2 1 2

2 112

=

=

undeRms(2,1) reprezint rata marginal de substituie a bunului 2 cu bunul 1.

Din pp

1

2

12

= , i relaiile de mai sus, avem:

1 2

2

1

( 1)1 1

2

x xx

x

1 =

=,

de unde: x x1 22 112

= = +, .


Efectul de substituie: "E E 2 1

12 1+ 2

Deci: 1 2 -1 0x = >

21 -1 02

x = <

Efectul de venit: " 'E E

12 2 1 51+

2 4

Deci: 11 - 2 02

x = <

21 1 - 4 2

x 0 = < .

Efectul de substituie reduce consumul bunului 2, al crui pre a

crescut, i crete consumul bunului 1 care a devenit mai avantajos. Deoarece bunurile 1 i 2 sunt normale ( sunt funcii

cresctoare), creterea preului reduce consumul din aceste bunuri, prin efectul de venit.

)(),( 21 VxVx

2p

Pentru bunul 2, efectele de substituie i de venit se cumuleaz i consumul se diminueaz.

Pentru bunul 1 efectul de venit domin efectul de substituie i consumul final, de asemenea, este diminuat.


x2 3 2 1+1/ 2 3/2 5/4 (2) (1) (0) 1/2 1 2 3 x1

F igura 2.1. Efectul de substitutie E-E i efectul de venit E-E.

Problema 2.4. Un consumator are funcia de utilitate:

( ) ( ) (1 2 1 1 2 2,aU x x x c x c= )b , cu a+b=1, a,b>0

(funcie de utilitate de tip Geary-Stone), unde ci reprezint nivelul minim de subzisten pentru i=1,2.

Determinai funciile de cerere compensat (de tip Hicks) i funcia cheltuielilor.

Rezolvare: Definim :

, 1, 2i i ix x c i= = i deci:

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2V p x p x p x p x p c p c= + = + + + Putem scrie problema astfel :

{ }1 2

1 1 2 2 1 1 2 2,

1 2

minx x

a b

p x p x p c p c

x x u

+ + +

= ,cu u-dat.

Se scrie Lagrangeanul asociat problemei:

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2( , , ) ( )a bL x x p x p x p c p c u x x = + + + +


Condiiile de ordinul nti conduc la: 1

1 1 21

0a bL p a x xx

= =

12 1 22

0a bL p b x xx

= =

1 2a bL x x u

= =

i funcia de cerere Hicksian din fiecare bun este:

11

2

aa pax ub p

=

12

2

aa pax ub p

=

sau

11 1

2

bb pax u cb p

= +

12 2

2

aa pax u cb p

= +

nlocuind n expresia lui V vom obine funcia cheltuial :

**1 2 1 1 2 2

b aa ba aV p p u

b b

= + + +

p c p c

Problema 2.5. Se consider un consumator ce are funcia de utilitate:

( )1 2 1 2, a bU x x x x= , cu a,b>0, a+b=1. Se cere: a) Determinai funciile de cerere compensat (de tip Hicks) i

funcia cheltuielilor.


b) Deducei funcia de cheltuieli pentru funcia de utilitate v=u2 i

comparai rezultatul cu cel obinut la punctul a).Comparai valoarea u

V **

n fiecare caz. c) Calculai funcia de cheltuieli n cazul n care

c1) ( ) { }1 2 1 2, min ,U x x x x= -bunuri complementare; c2) -bunuri substituibile. ( )1 2 1 2,U x x ax bx= +

Rezolvare: Fie x1* i x2* funciile cererilor Hicksiene, atunci x*i, i=1,2, sunt

soluiile pentru problema de minimizare: { }

ba

xx

xxu

xpxp

21

2211, 21min

=

+ , a+b=1.

Cu multiplicatorul lui Lagrange, Lagrangeanul problemei este: ( ) ( )ba xxuxpxpxxL 21221121 ,, ++= ,

condiiile de prim ordin fiind:

021

111

== ba xaxpxL (2.1)

012122

== ba xaxpxL (2.2)

021 == ba xxuL (2.3)

Relaiile (2.1) i (2.2) dau: 1 2

2 1

p a xp b x

= 12

12 xa

bpp

x = (2.4)

Substituim (2.4) n (2.3) i oinem:

*1 1 11 1 1

22 2

ab b b bbp p b p bu x x x u

a a p ap p

= = =


i datorit simetriei,

* 22

1

a aa

x ub

pp

=

. (2.5)

Fie funcia cheltuial, cu ( uppV ,, 21** ) ( ) *22*1121** ,, xpxpuppV +=

* 1 2 ,1 22 1

1 11 2 2 1

1 2 2 1

.1 2

b ab ap pa aV p u p u

p b p b

b aa ab b a aup p up pb bb a

a aa b b aup p up pb b

b aa a a bup pb b

= +

= +

= +

= +

b) Avem:

( )22 21 2 1 2a a a bv u x x x x= = = 2 Ca urmare, problema de optim este:

ba

iiixx

xxv

xp

22

21

, 21min

=

cu a+b=1

Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim: ( ) ( )ba xxvxpxpxxL 2221221121 ,, ++= (2.6)

Conditiile necesare de optim sunt: 2 1 2

1 1 21

2 0a bL p a x xx

= =

(2.7)

2 2 12 1 2

2

2 0a bL p b x xx

= =

(2.8)

2 21 2 0

a bL v x x

= =


mprind (2.6) la (2.5) obinem: 1 2 1

2 12 1 2

p ax p bx xp bx p a

= => =

exact ca n relaia (2.4) de mai sus. nlocuim (2.4) n (2.3) i obinem 2 2

2 21 11 1

2 2

b b

a bp b p bv x x xp a p a

= =

21

deoarece a+b=1, i deci:

2

2 11

2

bp bx vp a

=

sau 1

* 121

2

bp bx vp a

=

.

Prin simetrie : 1

* 222

1

ap ax vp b

=

.

nlocuind n funcia cheltuial obinem : 1 1

** 1 22 21 2 1 1

2 1

( , , )b a

p b pV p p v p v p v ap a p b

= +

Simplificnd, rezult : 1

** 21 2 1 2( , , )

b aa ba aV p p v v p p

b b

= +

nlocuind uv 21

= avem:

**1 2 1 2( , , )

b aa ba aV p p v up p

b b

= +

, ca i n primul caz.

Vom avea derivatele:

**

1 21 2

( , , ) b a a bV p p u a a p pu b b

= +

** 1

1 2 21 2

( , , ) 12

b aa bV p p v a a v p p

v b b

= +


Astfel, dei valorile funciei cheltuial i ale cererilor Hicksiene sunt neafectate de transformarea funciei de utilitate, msura costului marginal

al utilitii, u

V **

care este inversa utilitii marginale a venitului,

VU

depinde de funcia de utilitate specific folosit. Trebuie confirmat pentru transformarea folosit aici c :

** **V V du V d

=

vu

c) Pentru bunurile perfect complementare, curbele de indiferen au forma din figura 2.2.(a).

Aa cum arat figura, *2*1 xx = . Echilibrul trebuie s satisfac

restricia bugetar Vxpxp =+ *22

*11

de unde: * *1 2

1 2

V x x up p

= = =+

de aici *

1 2

Vup p

=+

este funcia indirect de utilitate. Inversnd funcia indirect de utilitate obinem funcia cheltuial

( ) ( )uppupV 21** , += . n cazul bunurilor substituibile, 21 bxaxu += . Aa cum arat

figura 2.2(b), maximiznd utilitatea avem dou cazuri principale determinate de pantele liniei bugetului i a curbelor de indiferen liniare (unde aceste pante sunt egale soluia se afl n orice punct de pe restricia bugetar).

Cazul 1:

1

2 1

pa ab p p p> >

2

b .

n acest caz avem o soluie n col, cu 1

1 pVx = , x2=0. Atunci

1 2

aV bVup p

= > .


Cazul 2: 1

2 1

pa ab p p p< 0, condiiile devin :

*

*

( )( )

i i

n n

kp u xkp u x

=

care vor lsa neschimbat soluia. Astfel: xi* = Hi (p1, p2, . . ., pn,u ) = Hi (kp1,kp2, . . ., kpn, u )

i funcia de cerere Hicksian este omogen de grad zero n funcie de pre.

Identificnd Hi cu funcia f n teorema lui Euler i pj cu xi, vom avea:

=

ij

j

i ppH

0

Efectund calculele, cererile Marshalliane ale consumatorului sunt:

11

aVxp

= ; 22

(1 )a Vxp

=

nlocuind n funcia de utilitate avem funcia indirect de utilitate: 1

1 (11 2

1 2

(1 ) (1 )a a

a a aaV a Vu a ap p

= =

)ap p V

Identitatea lui Roy spune c, n general :

ij

u xp

=

Atunci:

b1)1 (1 ) 1 1 (1 ) (1 )

1 2 1 21

(1 ) (1 )a a a a a a aa a p p V a a p pp

+ + = a V .


b2) Din condiiile de ordinul nti vom gsi : 1 1

1 2

1

a aax xp

=

Deci 1

1 21

1

a aa x xxp

= .

Dat fiind funcia indirect de utilitate, putem folosi (a) pentru a scrie :

1 1

u ap

up

=

i dat fiind funcia de utilitate, putem folosi b1) pentru a scrie :

11

auxp

=

Avem: 1 (1

1 2(1 )a a a av a a p p V = )

a

Inversnd aceast expresie obinem funcia cheltuial:

(1 ) 11 2( , ) (1 )

a a aV V p u a a p p V = = .

n acelai timp, rezolvnd problema de minimizare a cheltuielilor, vom obine :

(1 ) 1

11

2 1

a ap ax up a

=

12

2 1

a ap ax up a

=

i astfel vom avea funcia cheltuial :

(1 ) 1** 1 1

1 2 2 2 1 22 2

11

1 2

( , )1 1

1 1

a aa a

a aa a

p pa aV p u p x p x p u p up a p a

a ap p ua a

= + = + = +

=


De aceea dorim s artm c : 1

1(1 )1 1

a aaa a a a

a a

a + = , adic:

1 (1 (1 ) (1 ) (1 )1 1 1

aa a aa a a a a a a

a

1 )a + + = =

ceea ce am avut de artat. Problema 2.10. Fie un consumator a crui funcie de utilitate depinde de cantitile

consumate din acelai bun x n dou perioade de timp 1 i 2. Acest bun nu poate fi stocat n intervalul dintre cele dou perioade. Funcia de utilitate se scrie:

U(x1,x2)= x1x2,

unde xi este cantitatea consumat n perioada i, i=1,2. Consumatorul dispune n perioada 1 de suma de 300 u.m., cu care poate fie s cumpere bunul de conum x la preul p1 =1, fie s o plaseze pentru cumprarea de aciuni la o firm. Dac va plasa n aciuni suma de Q1 u.m. la momentul 1, el ateapt la momentul 2 o sum Q2 egal cu 20 1Q . El nu dispune de nici un alt venit la momentul 2. Presupunem preul bunului x la momentul 2 egal cu preul su curent. Se cere:

a) Dac consumatorul nu dispune de o alt posibilitate de plasament,

scriei restriciile de venit pentru fiecare moment de timp 1 i 2. Determinai cererile x1 i x2. Care sunt maximul utilitii i rata marginal de substituie intertemporal (raportul dx2/dx1, unde dx2 este cantitatea din bunul x care-i va trebui la data 2 pentru a compensa pierderea unei cantiti dx1 la momentul1)? Calculai randamentul marginal al plasamentului su i compari-l cu rata precedent. Explicai rezultatul.

b) Presupunem c exist o a doua posibilitate de plasament pentru consumator: el poate acorda un mprumut pe termen nelimitat la o rat a dobnzii de 5% pe o pia financiar perfect. Care sunt deciziile de consum ale consumatorului i mrimea economiilor? Se poate prevedea acest rezultat fr calcule?


Rezolvare: a) La momentul 1, consumatorul dispune de suma iniial de 300

u.m. pe care o poate fie consuma, fie economisi: x1+Q1 = 300.

La momentul 2, suma economisit Q1 i permite s dispun de suma Q2 egal cu 20 1Q , cu care cumpr bunul de consum:

2 120x Q= .Prin urmare, consumurile x1 i x2 se exprim n funcie de Q1. El

alege nivelul economiei sale n funcie de nivelul su de utilitate, 20 (300 Q1 ) 1Q . Aceast ultim funcie este concav n raport cu variabila Q1 i admite un maxim pentru valoarea variabilei egal cu 100. Consumatorul economisete 100 u.m. Cheltuielile sale de consum sunt de 200 pentru fiecare perioad 1 i 2.

Rata margtinal de substituie intertemporal (Rms) este raportul

utilitilor marginale )x,x(U)x,x(U

212m

211m , calculat n punctul (200, 200). Ea este

egal cu 1.

Randamentul marginal al plasamentului rm este raportul 1

2

dQdQ

unde

dQ2 este creterea venitului la momentul 2, consecutiv cu o cretere infinitezimal, dQ1, a economiilor la momentul 1, deci n punctul

considerat: 1Q2

20r1

m == .

La maximul utilitii consumatorului, Rms este egal cu rm. De aceea, presupunem c decizia consumatorului este s creasc economiile cu dQ1. Consumul la momentul 1 scade cu o cantitate dQ1, iar consumul la momentul 2 crete cu o cantitate rmdQ1, deoarece venitul su la momentul 2 crete cu aceeai cantitate. Dac (x1,x2) este perechea de consum iniial, variaia utilitii consumatorului se scrie:

( )1 21 2 1 2 1 2 1( , ) ( , ) ( , )m m mdU x x U x x r U x x dQ= +

Dac rm este diferit de Rms, consumatorul este interesat s-i

modifice economia. El nu este indiferent acestei operaii la maxim de utilitate, adic atunci cnd rm este egal cu Rms.


b) Pe piaa financiar, consumatorul poate lua sau da cu mprumut o sum nelimitat, la o rat a dobnzii r (egal cu 5%). Fie E1 suma luat cu mprumut la momentul 1 (prin convenie, este vorba de un debit dac E1 este pozitiv, sau credit n caz contrar). Restriciile de venit la cele dou momente se scriu:

x1+Q1 = 300 + E1 x2+ (1+ r)E1 = Q2.

Este posibil ca eliminnd E1 din cele dou egaliti precedente, s facem s apar o singur restricie de venit, care include operaiunile la cele dou momente:

121 120

3001 1

Qxx Qr r

+ + = ++ +

(1.1)

Consumatorul ia decizia (x1,x2 ,Q1) care-i maximizeaz utilitatea, pe

restricia (1.1). Condiiile de ordinul nti ale problemei de maximizare sunt necesare i suficiente i n consecin, ele se scriu:

2

1

1x rx

= + (1.2.)

1

10 1 rQ

= + (1.3.)

121 1

20300

1 1Qxx Q

r r+ + = +

+ +

Deciziile x1, x2 i Q1 au valorile respectiv 195, 206 i 90.

Consumatorul plaseaz deci o sum egal cu 15 u.m. pe piaa financiar. Egalitatea (1.3) arat c la maximul de utilitate, randamentul

marginal al plasamentului este acelai n firm i pe piaa financiar. Dac aceast egalitate nu ar fi verificat, atunci este suficient s se reduc investiia cu o cantitate infinitezimal din activitatea mai puin rentabil i s se afecteze activitii mai rentabile, pentru ca utilitatea consumatorului s creasc; deci ea nu ar fi maximal. Egalitatea (1.2.) arat c Rms este egal cu randamentul comun celor dou plasamente. Acest rezultat se explic, conform punctului anterior.


Problema 2.11. S se aleag variabilele corespunztoare, funcia obiectiv i

mulimea soluiilor posibile pentru o persoan ce urmeaz a face deplasarea ntre dou puncte, tiind c parcurgerea distanei respective poate fi fcut pe jos, cu autobuzul sau cu trenul.

Rezolvare: Se consider variabilele x1, x2, x3, date de:

1

1, dac se merge acas pe jos

0, n orice alt cazx = ;

2

1, dac se merge acas cu autobuzul

0, n orice alt cazx

= ;

i

3

1, dac se merge acas cu trenul

0, n orice alt cazx =

.

Mulimea soluiilor posibile este dat de: S= {(x1, x2, x3)} = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. Dac tI arat timpul necesar persoanei respective s ajung acas n

modul i = 1,2,3 i dac ci reprezint costul n modul i, atunci timpul

consumat este: i costul este: 3

1 i iiT t

== x x

3

1 i iiC c

== .

Putem presupune c avem funcia obiectiv W(T,C), care exprim

preferinele persoanei respective asupra combinaiilor de timp-cost. De exemplu, presupunem c aceasta are o form liniar CwtW += , w>0. Observm c se caut cel mai bun mod de ajunge acas, lucru ce se obine prin minimizarea funciei obiectiv W. Astfel, problema este s minimizm W, cunoscnd mulimea posibilitilor S.

O abordare mai direct a problemei se dorete prin definirea mulimii valorilor admisibile:

SI = {(t1, c1), (t2, c2), (t3, c3)} i anume mulimea perechilor timp-cost corespunztoare fiecrui

mod de a merge acas. Totui, este necesar s avem cteva funcii W care s dea o relativ evaluare dup timp i cost.


Ca urmare, figura 2.6. ilustreaz soluia (presupunem mersul pe jos fr costuri, deci ignorm deprecierea pantofilor, etc.). Evident, fiecare mod poate fi optim pentru unele valori ale lui w. Putem lua cazul n care autobuzul este cel mai bun: timpul corespunztor mersului cu autobuzul este mai mic dect cel corespunztor mersului pe jos, dar nu aa de bun ca n cazul mersului cu trenul. Observm c minimimul lui W se afl pe cea mai de jos dreapt posibil.

ti

(0,t1) (c3,t3) (c2,t2) wt+c= v =wt3+c3 wt+c= v =wt2+c2 ci

Figura 2.6. Alegerea soluiei optime

Problema 2.12. S se aleag variabilele corespunztoare, funcia obiectiv i

mulimea soluiilor posibile n cazul unei persoane ce se poate aproviziona de la un magazin (de pe o pia) A, situat foarte aproape de locuina sa sau poate lua un autobuz pna la un magazin (pia) B mai deprtat, dar la care preurile sunt relativ mai mici. Va alege persoana respectiv varianta de a se aproviziona de la un singur magazin (sau pia) sau va cumpra din ambele?

Rezolvare: Presupunem c preul fiecrui bun vndut pe piaa B este mai mic

dect preul corespondent de pe piaa A. Fiecare consumator i va face toate cumprturile fie din piaa A, fie din B. Variabilele alese ,A Bi ix x , i=1,,n reprezint cantitile din fiecare bun cumprat de pe piaa A sau


respectiv B. Corespondena preurilor este ,A Bi ip p ,i = 1,,n cu , din ipotez. Fie V venitul disponibil i C costul suplimentar datorat cumprrii din piaa B, n detrimentul pieei A. Deci, dac un consumator cumpr de pe piaa A, atunci mulimea consumurilor admisibile este determinat de restricia:

A Bi ip p>

1

nA Ai i

i

p x V=

0Aix , i =1, , n,

i dac va cumpra din piaa B:

1

nB Bi i

i

p x V C=

,

0Bi

x , i =1, , n.

Dac i face cumprturile n piaa A, atunci el va alege vectorul

optimal de consum ( )1 , ..., A A Anx x x= , i dac va cumpra din B va alege vectorul optimal de consum ( )1 , ..., B B Bnx x x= . Se poate spune c alegerea pieei depinde, totui de preferina sau nu a vectorilor Aix i

Bix

cu i=1,2.

Problema 2.13. Se consider o gospodrie ale crei preferine asupra perechilor

(C,R) consum, respectiv timp liber, sunt reprezentate prin funcia de utilitate urmtoare:

0R0,C,RC+=)R,CU( 21

.

Timpul total, T, (timp liber, R i timp de lucru, L ) este presupus egal cu 4. Singurul venit de care dispune gospodria este constituit din salariu cu o rat brut w, w > 1/4 i care este taxat cu o rat de impozitare , 0


Se cere: a) Determinai oferta de munca a gospodriei. Comentai relaia

existent ntre aceast ofert i parametrii w i . b) Se presupune c w=1. Care este suma total a impozitului pltit?

Reprezentai grafic relaia ntre aceast sum a impozitului i rata de prelevare .

Rezolvare: a) Restricia bugetar a gospodriei se scrie: C=(1- )wL sau utiliznd relaia: R+L=4 =>L=4-R => C=(1- )w(4-R) => C+(1- )wR= 4(1- )w. Curba de indiferen n planul (C,R), corespunztoare unui nivel de

utilitate u, este definit prin: =uC+R 21

.

Se exprim C ca funcie de R: f(R)RuC == 21

.

C

u u

u2 T

Figura 2.7. Curba de indiferen

Avem astfel: 21

'

21)(

= RRf i 2

3

41 R(R)=f '' .


Curbele de indiferen sunt deci, descresctoare i convexe. Curba de indiferen de nivel u intersecteaz axa orizontal n 2R u= i axa

vertical n C=u, iar i

(R)=f 'R 0lim ' 2 1f ( ) = u

2u < 0.

Gospodria alege R i C astfel nct s i maximizeze utilitatea, respectnd restricia de buget. Deoarece curbele de indiferen taie axa orizontal, este posibil s se obin un optim " n col ".

Cazul optimului interior este reprezentat n figura 2.8.

B 4(1- )W

E E E EEEEEe 0 4 A T

Figura 2.8. Soluia interioar a gospodriei

Dreapta AB corespunde dreptei de buget i punctul E este punctul de optim. Determinm coordonatele punctului de optim E rezolvnd

programul: [ ]12max C R

+

pe restricia: ( ) ( )1 4 1C wR + = w

Construim Lagrangeanul problemei:

12( , , ) [4(1- ) - - (1- ) ]L C R C R w C wR = + +


Condiiile necesare de optim sunt:

12

0 1 0

10 (1 )2

0 4(1 ) (1 )

LCL R wRL w wR

0

0

= => =

= => =

= => =

C B 4(1-)W E EEE 0 A T

Figura 2.9. Soluia n col la nivelul gospodriei

i deci: 2 21

4(1- )R

w=

( ) ( )1 4C w= R n cazul optimului interior, trebuie s avem: R< 4. Cazul unui optim n col este reprezentat n punctul A din figura

2.9. i corespunde ipotezei ( ) 114

w < .

n acest caz, avem R = 4 i C= 0. Punctul B nu poate fi optim, deoarece curbele de indiferen sunt tangente la axa vertical. Oferta de munc, L=4-R, este definit astfel:

2 214

4(1- )L

w= ,dac ( ) 11

4w >


L = 0 ,dac ( ) 114

w < .

Relaia dintre w i L este reprezentat n figura 2.10, pentru dou

valori ale ratei de impozitare 1 i 2 , cu 1 < 2.

L 4 =1, respectiv =2 0 1/[4(1-1)w] 1/[4(1-2)]w w

Figura 2.10. Curbele ofertei de munc pentru dou

niveluri de impozitare 1


Problema 2.14. Se consider o familie (gospodrie) format din so i soie, capabili

s exercite o activitate salariat i n copii. Fiecare adult poate s lucreze cel mult pe timpul unei durate maximale (de exemplu, o zi) egal cu 1. Notm cu L oferta total de munc a gospodriei cu L 2.

Preferinele gospodriei se refer la consum i la timpul pe care adulii pot s-l consacre activitilor non-profesionale (numit timp liber). Consumul gospodriei se refer la un singur bun de volum C. Vom nota cu R timpul liber adic R=2-L.

Preferinele consumatorului sunt reprezentate prin funcia de utilitate urmatoare:

U(C, R) = lnC + a lnR , cu a>0. Gospodria nu dispune dect de un venit salarial i notm cu w

preul unei uniti de munc, acelai pentru fiecare adult. Preul bunului de consum este egal cu unitatea.

Se cere: a) Scriei restricia bugetar a gospodriei i deducei funcia ofertei

de munc. Facei o reprezentare grafic. Dai o condiie asupra parametrului a, pentru care unul din aduli lucreaz ntreaga perioad, iar cellalt nu. n continuare, vom presupune satisfcut aceast condiie.

b) Presupunem c activitatea profesional a unuia dintre cei doi aduli oblig gospodria s suporte un cost fix CF. Aceste cheltuieli se explic, de exemplu, prin necesitatea de a cumpra un al doilea autoturism i prin cheltuielile de supraveghere a copiilor. Ele snt independente de durata de munc a celui de al doilea adult. Acest cost satisface condiia CF


Gospodria alege C i R, astfel nct funcia de utilitate U(C,R) s fie maxim. Se respect resticia bugetar i inegalitatea T 2.

[max] U(C,R) = lnC + alnR

pe restricia: C + wR = 2w

Dac nu inem cont de ultima restricie (care ulterior se va dovedi a fi satisfcut), se dorete un optim interior, problema conduce la funcia Lagrange:

L(C,R,) = lnC + a lnR + (2w - C - wR) Condiiile necesare de ordinul nti se scriu:

1 - 0

- 0

2 - - 0

LC CL a wR RL w C wR

= =

= =

= =

cu soluiiile: 2

1 aRa

2= +

,

wRCa

= ;

a

wR = ;

2 2 - 1

L Ra

= =+

.

Dac un adult are norm ntreag, iar cellalt nu, atunci 1 < L < 2 ceea ce implic: 0 < a < 1.

Se remarc faptul c timpul de munc nu depinde de w (datorit formei particulare a funciei de utilitate aleas n acest exemplu).

n figura 2.11. au fost trasate trei drepte de buget, corespunztoare unor valori diferite pentru w.


C 0 1 2a(1+a) T

Figura 2.11. Influena variaiei ratei salariului

Un salariu ceva mai mare, permite gospodriei s consume mai mult, fr s-i modifice comportamentul n materie de ofert de munc.

b) Pentru a exprima restricia bugetar, este necesar s distingem dou cazuri:

i) Un singur adult exercit o activitate salarial. Atunci: C + wR = 2w i corespunde cazului pentru care 0 L1, adic 1 R 2.

ii) Dac cei doi aduli sunt salariai, ei suport un cost fix CF i

restricia bugetar a gospodriei se scrie: CFwwRC =+ 2 , caz valabil pentru 1< L2, adic 0 R< 1.

ntr-un sistem de axe (C,R), restriciile precedente pot fi reprezentate grafic ca n figura 2.12.

Segmentele de dreapt, reprezentnd alegerile posibile n cele dou cazuri, sunt respectiv AB i A'B'.

Este clar c familia nu va alege niciodat un punct pe segmentul HB' pentru c el ar putea atinge acelai nivel de consum cu un timp liber mai mare.

De exemplu, punctul X', care corespunde unei situaii n care cei doi aduli sunt salariai, este mai puin bun dect ceea din punctul X, deoarece n punctul X un singur adult exercit o activitate profesional dar, datorit faptului c nu pltete, suport un cost fix; nivelul de consum este identic cu al celui corespunzator punctului X'. Consumatorul alege deci un cuplu (R,C) situat fie pe AB, fie pe A'H.


c) Trasm curba de indiferen ce trece prin punctul A: Sunt posibile dou cazuri: i) S presupunem c segmentul A'H nu intersecteaz curba de

indiferen ce trece prin A. Dac CF ar fi egal cu 0, atunci gospodria ar alege punctul I. Acest

punct este la stnga punctului A datorit condiiei a < 1. n aceast prim situaie, alegerea optimal a gospodriei va fi n

punctul A, pentru c toate punctele de pe A'H corespund unui nivel de utilitate negativ.

Pe A'H avem: C = 2 - CF - R i pe acest segment funcia devine : U = ln(2 - CF - R) + a lnR.

C A H A X X B B 0 1 2 T

Figura 2.12. Mulimea punctelor n cazul n care cel

de-al doilea angajat are cost fix

n punctul H avem: R=1-CF. Segmentul A'H corespunde inegalitii: 0 R1 - CF. Maximul utilitii pe acest segment este atins pentru un R (timp

liber) care verific: 1

2 U aR CF R R

= +

0= i deci: (2 )

1 a C FR

a

=+

.


n consecin, consumul corespunztor este definit prin:

C I A H A B B 0 1 2 T

Figura 2.13. Situaie n care unul singur din cei doi aduli desfoar activitate salarial

2 21

C FC C F Ra

= =

+, cu un nivel de utilitate

corespunztor:

2 (2 ) ln ln 1 1

CF a CFU aa a

= +

+ +.

Condiia U0 este echivalent cu:

1 2 (1 ) 0, 245a

aCF a a

+ + Al doilea caz este prezentat n figura 2.14.


C A M A J N B 0 1 2 T

Figura 2.14. Situaia n care ambii aduli desfoar o activitate salarial

Curba de indiferen ce trece prin A, taie segmentul A'H n dou

puncte M i N. Punctul optim este situat n J, n care (2 )1

a CFRa

=

+ i

deci: (2 ) 3 2 2

1 2 4a CF CL R

aF

= = = ++

.

Acest punct corespunde ipotezei CF 0,245. Se observ o discontinuitate n modificarea ofertei de munc a

gospodriei. Dac CF crete de la 0 la 0,245, oferta de munc este constant,

egal cu 1. d) Fie n* numrul de copii cutat. Avem: 0,12 + 0,05 n < 0,245 pentru n n* 0,12 + 0,05 n > 0,245 pentru n > n* ceea ce implic n* = 2. n acest exemplu, un singur adult exercit o activitate salarial

(norm ntreag), dac familia cuprinde cel puin 3 copii. Cei doi aduli exercit o activitate salarial (unul cu norm ntreag,

altul cu norm parial) dac nu au copii, au un singur copil sau au doi copii.


Problema 2.15. Un consumator poate achiziiona dou bunuri X i Y n cantitile

notate x i y. Preferinele agentului economic sunt reprezentate prin funcia de utilitate :

U(x,y) = 4xy.

Bunul X poate fi taxat. Preul su fr tax este 1 iar preul care conine i taxa este egal cu q (q>1), q-1 reprezint deci taxa unitar asupra bunului X. Bunul Y nu este taxat i preul su este egal cu 1. Consumatorul are un venit egal cu 1 din care scade un impozit direct T, cu T


i deci: 4 4y xq

= = sau y = qx .

Folosind restricia bugetar obinem: 1 2

Txq

= , 1 2Ty =

i 2(1 )4 TU xy

q= = .

b) Prelevarea indirect este egal cu:

( ) ( 1)(1 )12

q Tq xq

= ,

de unde prelevarea fiscal total este: ( 1)(1 )

2q T T

q

+ .

Pentru a fi egal cu M, trebuie s avem:

( 1)(1 )2

q T T Mq

+ = , sau 2 1

1qM qT

q +

=+

.

Nivelul de utilitare atins de consumator este: 2 2

2

4 (1(1 ) ) ( )( 1)q MTU f

q q= = =+

q

cu 2

3

4(1 (1 ))'( )( 1)M qf qq

=

+.

Funcia f(q) are un maxim n q = 1, deci T = M. Consumatorul va atinge un nivel maxim de utilitate atunci cnd

fiscalitatea este direct (numai) i cnd nu se percepe nici o tax pentru consumul bunului X.

Problema 2.16. Un consumator are preferinele reprezentate prin funcia de utilitate:

1 12 2

1 2 1 2 1 2( , ) , 0 , 0U x x x x x x= ,

unde i desemneaz cantitile consumate din cele dou bunuri, la preurile i . El dispune de un venit notat V.

1x 2x1p 2p


Se cere: a) Determinai funciile de cerere ale consumatorului. b) Care este nivelul minim de venit care i permite consumatorului

s ating un nivel de utilitate u cnd preurile sunt i ? Acest nivel minim va fi notat cu

1p 2p

1 2( , , )V u p p . c)Se consider o situaie iniial n care venitul consumatorului este

egal cu i unde preurile bunurilor 1 i 2 sunt respectiv i i o situaie final caracterizat de cu .

0V 10p 2

0p1V 12

11 , pp

Fie i cantitile de bunuri 1 i 2 consumate n situaia iniial i fie i cantitile consumate n situaia final.

10x 20x

11x 21xFie de asemenea, L indicele preului de tip Laspeyres definit prin

1 1 10 0 01 21 2

0 0 00 01 21 2

p p0

px x xLp p px x x

+= =

+ i P indicele de tip Paasche definit prin

1 1 11 1 11 21 2

0 0 01 11 21 2

p p1

px x xPp p px x x

+= =

+.

Vom nota cu I un indice numit "indicele adevrat al costului vieii "

definit prin 1 101 20 001 2

( , , ) ( , , )

V p puIV p pu

= , unde reprezint utilitatea consumatorului

n situaia iniial.

0u

c1) Care este interpretarea indicilor L, P i I? Ce se poate spune despre evoluia satisfaciei consumatorului ntre situaia iniial i situaia

final cnd 1

0

V IV

> i 1

0

V IV

< ?

c2) Calculai L, P i I n cazul : 01 2 1 , 1op p= =

1 11 2 4 , 1p p= = . c3) Se spune c puterea de cumprare a consumatorului a crescut de

la perioada iniial la perioada final cnd 1

0 V J

V> , unde J este un indice al

costului vieii.

Invers, se spune c puterea de cumparare a sczut cnd 1

0 V J

V< .

Artai, cu ajutorul rezultatelor de la punctul c2), c utilizarea indicilor Laspeyres sau Paasche (adic J=L sau J=P) poate conduce la concluzia creterii puterii de cumprare atunci cnd satisfacia se diminueaz sau invers, la o diminuare a puterii de cumprare atunci cnd satisfacia crete.


Rezolvare: a) Maximizarea utilitii sub restricia bugetar:

[max] 1/ 2 1/ 21 2 1 2( , )U x x x x= pe restricia: 1 21 2 Vp px x+ =

Lagrangeanul asociat problemei este:

1 12 2

1 2 1 2 1 1 2 2( , , ) ( )L x x x x V p x p x = + Conditiile necesare de optim sunt:

1 12 2

1 1 11

10 02

L x x px

= => =

;

1 12 2

1 1 22

1 1 2 2

10 02

0

L x x pxL p x p x V

;

= => =

= => + =

care conduc la urmtoarea soluie:

1 2

1 2

, 2 2V V

x xp p

= = .

b) Pentru vectorul de consum de mai sus, nivelul de utilitate atins de consumator va fi:

1 21 21 2 1 2

( , ) , 2 2 2 2 2V V V V VU x x U

p pp p p p

= = =

.

Nivelul de utilitate va fi superior valorii u dac 1 22

V up p

, ceea

ce conduce la: 1 21 2( , , ) 2 .V u u pp p = p c) c1) Indicele Laspeyres definete scumpirea vectorului de consum

iniial ntre situaia iniial i final, iar indicele Paasche definete scumpirea vectorului de consum final 1 11 2( , )x x ntre situaia iniial i situaia final.


Pentru a interpreta indicele adevrat al costului vieii, s remarcm de la nceput c numitorul lui I nu este, de fapt, altceva dect venitul iniial

(pentru c este venitul care a permis atingerea exact a nivelului de utilitate cnd preurile erau i ). Numratorul lui I reprezint nivelul de venit care ar fi necesar pentru a atinge n perioada final acelai nivel de utilitate ca i n perioada iniial.

0V 0V0u 1

0p 20p

0uIndicele adevrat al costului vieii definete creterea minimal de

venit, care i permite consumatorului s menin neschimbat satisfacia (nivelul utilitii ).

Dac 1

0

V IV

> vom avea , n perioada final

consumatorul atingnd un nivel de satisfacie mai mare dect n perioada iniial.

1 111 2( , , )V p pV , vom avea i deci satisfacia se

diminueaz.

1 111 2( , , )V p pV >

0u

Aceast analiz justific terminologia de "indice adevrat al costului vieii" pentru I. Pentru a calcula I, trebuie cunoscute preferinele consumatorului (adic o funcie de utilitate care s le reprezinte) pentru a determina funcia V.

Calculul indicilor L i P cere un minim de informaii pentru c este suficient s se cunoasc vectorul consumului iniial sau final.

c2) Avem: 0 0 1 1

0 11 10 1

1 1

2 2 2V V V Vx xp p

= = = =8

2222

112

112

0

02

002

V = p

V = x V = p

V = x


i

0

0 0 0

1 0

0 00 00

0

2(4,1)

4 12 2 2 2,5

2 22(1,1)

2

V

V V Vp xL

V Vp Vx

V

+ = = = = +

1

1 1

1 11

1 10 11

1

8(4,1)

4 12 8 2 1,68

8 2(1,1) 2

V

V Vp VxP

V Vp Vx

V

+ = = = = +

1 / 21 10 1 2

1 / 20 00 1 2

2 ( , ) 22 ( , )

p pUIp pU

= = .

Se observ c P


Problema 2.17. Se cere: a) Demonstrai c un consumator pentru care preferinele ndeplinesc

proprietile: completitudine, tranzitivitate, reflexivitate, nonsaietate, continuitate i strict convexitate, satisface de asemenea, presupunerile unui comportament raional. Pot fi specificate presupunerile respective n dou seciuni? Care presupuneri ale unui comportament raional, spre exemplu, joac un rol asemntor proprietii de tranzitivitate?

b) Fie MI= 0011

xpxp , LP=

00

01

xpxp , PP=

10

11

xpxp . Trasai diagrama care

arat c MIPP nu spune nimic despre care situaie este preferat. Rezolvare: a) Nonsaietatea va implica primul tip de comportament n care

consumatorul i cheltuiete tot venitul . Al doilea tip de comportament este acela n care numai o alocaie x

este aleas de consumator pentru fiecare pre i venit. Aceasta nseamn c alocrile nu pot fi de-a lungul aceleiai curbe de indiferen, acest lucru fiind asigurat de presupunerea de strict convexitate.

Al treilea tip de comportament este acela n care exist o singur combinaie de pre i venit la care este fcut alegerea. Aceasta conduce la curbe de indiferen care nu sunt continue.

Al patrulea tip de comportament, cel de consisten, este determinat de tranzitivitatea preferinelor.

b) Dac: 1 1 1 0

0 0 0 0

p x p xMI Lp x p x

= < = P

aceasta nseamn c la preurile din perioada curent combinaia de consum x1 este mai ieftin dect x0. Dar consumatorul i cheltuiete tot venitul. Faptul c el a ales x1 n perioada curent relev c nu i-ar fi permis x0, dar nu spune nimic despre preferinele lui. Similar:

1 1 1 1

0 0 0 1

p x p xMI Pp x p x

= < = P ,

care implic faptul c 0 0 0 1

1 1p x p x

> sau p0 x0 < p0 x1 . Faptul c un individ

alege x0 la preul p0 este o indicaie c el nui permite x1 la preurile perioadei de baz. Din nou nu tim nimic despre preferinele lui asupra lui

Microeconomie - aplicaii la nivelul agenilor economici x0 i x1. n figura 2.15. consumatorul este observat cnd alege x1 de pe dreapta bugetului NN, care reprezint venitul V1 i preul p1. Aceasta nu spune nimic despre preferinele asupra lui x0 i x1.

n cazul acesta p1 x1 < p1 x0 i deci: 1 1 1 0

0 0 0 0

p x p xMI Lp x p x

= < = P

x2 x0 N x1 0 N x1

Figura 2.15. Alegerea combinaiei x1 de pe dreapta bugetului NN

n figura 2.16. individul alege x0 de pe linia bugetului MM cruia i corespunde preul p0 i venitul M0. Atunci cnd x1 nu eeste accesibil nu tim care sunt preferinele consumatorului pentru x1 sau x0.

Dac p0x0 < p0x1, atunci :

1 1 1 1

0 0 0 1

p x p xMI Pp x p x

= > = P

i nu tim nimic despre preferine.


x2 M x1 x2 0 M x1 Figura 2.16. Alegerea combinaiei optime x0

de pe dreapta de buget MM

Problema 2.18. Fie indicii cantitativi Laspeyres i Paasche care au forma:

0 1

0 0

p xLQp x

= , respectiv 1 1

1 0

p xPQp x

= .

Se cere: a) Dac LQ1 sau PQ1 se poate spune care din consumurile x0 sau

x1 este mai bun? Presupunem cantitile reprezentnd consumul agregat al tuturor

membrilor economiei. Se poate spune ceva n ceea ce privete schimbarea nivelului de via utiliznd aceti indici?

b) Presupunem c guvernul crete venitul pensionarilor proporional cu creterea preului Laspeyres. Va fi mai bine pentru pensionari? Dar dac guvernul folosete indicele de pre Paasche? Dar dac preurile scad?

Rezolvare: Din:

1 1

1 0

p xPQp x

= ,

dac PQ 1, atunci p1x1 p1x0, rezult c acea combinaie aleas n perioada curent x1 este mai ieftin la preuri curente dect x0. Astfel, nu

Microeconomie - aplicaii la nivelul agenilor economici tim de fapt dac x1 este preferat lui x0 pentru c x0 nu poate fi cumprat la p1 dat, cu venitul V1(= p1 x1).

Din: 0 1

0 0

p xLQp x

= ,

dac LQ1, atunci p0 x1 p0 x0 i din nou nu tim dac x0 este preferat lui x1, pentru c x1 nu poate fi cumprat din venitul V0 (=p0 x0) i preul p0.

Deoarece nu putem spune dac un individ este mai bogat sau mai srac, cu siguran nu putem spune dac un grup de consumatori are un standard de via mai bun sau mai ru .

Pentru ca un pensionar s fie mai bogat trebuie s avem: 1 1 1 0

0 0 0 0

p x p xMI Lp x p x

= = P

sau 1 0

1 1 0 00 0

p xp x p xp x

Guvernul crete venitul personal al pensionarilor proporional cu creterea lui LP. Astfel:

1 11 1 0 0

0 0

s

s

p xp x p x

p x

=

,

unde indicele Laspeyres este presupus a fi calculat prin suma consumurilor agregate. Nu putem spune dac acest proiect guvernamental l va face pe un pensionar mai bogat. Dac mrimea LP-ului individual a crescut cu mai mult dect indicele total

1 11 0

0 0 0 0

s

s

p xp xp x p x

>

atunci MI individual ar putea fi mai mic dect LP i nu putem spune dac individul a fost mai nstrit n perioada curent fa de perioada de baz .

Putem nota c venitul bnesc al tuturor pensionarilor va crete prin

creterea indicelui total LP, deci 1 0

1 1 0 00 0

ss s

s

p xp x p x

p x

=

De aici putem concluziona c cel puin civa pensionari sunt mai bogai.


Dac guvernul crete venitul personal al pensionarilor proporional cu creterea indicelui Paasche atunci venitul bnesc total n perioada curent ar fi dup cum urmeaz:

1 11 1 0 0

0 1

ss s

s

p xp x p x

p x

=

sau 1 1 1 1

0 0 0 1

s s

s s

p x p xp x p x

=

sau MI=PP. Ca i n exemplul precedent, nu putem deduce dac pensionarii sunt

mai bogai sau mai sraci. Dar tim c pentru civa indivizi, cel puin MI=PP, deci civa

pensionari sunt cu siguran mai sraci. Dac preurile scad, duala programului ar fi reducerea veniturilor

pensionarilor proporional c u scderea preurilor. Problema 2.19. Un individ repartizeaz venitul su V ntre cumprarea unui bun X

(n cantitatea x, la preul unitar p) i alte cheltuieli de volum M. Preul bunului X se modific din starea iniial p=1, n starea final

p=3/2. n urma acestei creteri de pre, se observ o reducere a

consumului bunului X care trece din starea x=1/2 n starea x=1/6. Se cere: a) n ipoteza n care nu dispunem dect de informaiile precedente,

dai o aproximare a reducerii surplusului consumatorului care rezult din creterea preului bunului X .

b) n urma unor studii statistice s-a constatat c cererea

consumatorului, n cazul unui venit egal cu 2, urmeaz legea 1 1 2

xp

= .

Calculai reducerea surplusului i comparai-o cu aproximarea de la a). c) Se face ipoteza c preferinele consumatorului sunt reprezentate

printr-o funcie de utilitate ale crei variabile sunt M i x, avnd forma: 1U

11( , ) ln( )2

M x M xU = + +


Artai c aceast ipotez este compatibil cu rezultatul studiilor statistice de la punctul b).

d) Guvernul vrea s compenseze financiar consumatorul pentru reducerea bunstrii sale datorat creterii preului bunului X.

Artai c el trebuie s compenseze aceast cretere a preului cu o sum egal cu reducerea surplusului calculat la punctul b).

e) Artai c funcia de utilitate 12

12

2 ( , ) ( 1)U M x M x= + este compatibil cu rezultatul studiilor statistice de lapunctul b).

Artai c rezultatul obinut la punctul d) nu este valabil i n acest caz. Explicai de ce se ntmpl acest lucru.

Ce eroare se comite dac guvernul se bazeaz pe reducerea surplusului pentru a calcula suma de transfer (de compensare) ?

Rezolvare: a) Curba trece prin punctele (1/2,1) i (1/6,3/2), deci o prim

aproximare pentru cerere ar putea fi dreapta determinat de punctele de mai sus.

Avem astfel:

1 1 1 12 2 2 2 3 3 1 1 1 1 2 1 2 6 2 2 3

x xp p p x

= = =

3+

de unde se obine curba invers a cererii. 3 7deci : (curba cererii)2 4

p x= + .

Reducerea surplusului consumatorului poate fi aproximat prin calcularea ariei trapezului ABCD.

Avem astfel:

0

1 1 1 16 2 2 0.166 sau

2 6ABCDS S

+ = = = =

12

1/ 2 1/ 221/ 6 1/ 6

16

3 7 3 7 3 3 7 7 | |2 4 4 4 16 4*36 8 24

27 3 21 7 5 1 1 0.1666.4 36 24 12 4 6

S x dx xx = + = + = + + =

+ = + = = =


p 3/2 D C 1 A B 0 1/6 x

Figura 2.17. Determinarea aproximativ a reducerii

surplusului consumatorului

b) Curba cererii 1( ) 1 2

p xx

=+

trece prin punctele (1/2,1) i

(1/6, 3/2), este descresctoare i convex , deoarece

2

1( ) 0 1( )2

p xx

= +

.

Vom reprezenta grafic funcia cererii 1( ) 1 2

p xx

=+

ntr-un sistem de

axe de coordonate (p, X).


p 2 E 3/2 C 1 A B 0 1/6 1/2 X

Figura 2.18. Determinarea variaiei surplusului

consumatorului n situaia iniial, surplusul consumatorului S este aria suprafeei: i

1 12 2

0 0

1 22 1 1 ( ) 1 ln(2 1) ln2 02 1 2 2 2EAB

p x dx px dx xSx

= = = + =+

1 .

n situaia final, surplusul consumatorului S este egal cu aria: f16

0

1 23 1 ( ) ln(2 1) ln 012 4 3 4EDC

p x dx xS = = + =4 1 .

Reducerea surplusului (variaia surplusului ) va fi

11 4 1 3 1 ln 2 ln ln 0.15552 3 4 2 4i f

S S S = = + = .

Avem: 0 11

0.072S SS

=

. Aproximarea curbei cererii printr-o

functie liniar conduce la o majorare a reducerii surplusului (a variaiei surplusului) cu 7.2 % n raport cu adevrata valoare.


Problema 2.20. Fie f(x1,x2) o funcie ale crei derivate pariale n raport cu cele dou

variabile se noteaz cu f1 , respectiv f2. a) Trasai grafic mulimea admisibil pentru fiecare din

perechile de restricii:

(a) (d) 1 22x x+ 421 2

1 2

2 43 7

x xx x+ =+ =

(b) (e) 1 2

1 2

1 2

3 62

0, 0

x xx x

x x

+

.


Rezolvare: a) Reprezentrile grafice corespunztoare restriciilor sunt date n

continuare:

x2 x2

4 (a) 6 (b)

0 2 x1 0 2 x1

x2 x2

(c ) 7 (d) 6

4 4

0 2 7/3 3 x1 0 1.5 2 x1

-2


x2 x2 8 (e) (f) x2=2x12 4 0 2 7/3 x1 0 x1

Figura 2.19. Mulimile de admisibilitate corespunztoare perechilor de restricii Se deduc, n consecin, urmtoarele concluzii: (a) Mulimea valorilor admisibile este nevid, nchis, nemrginit i

convex. (b) Mulimea valorilor admisibile este nevid, nenchis, mrginit

i convex. (c) Mulimea valorilor admisibile este nevid, nchis, mrginit i

convex. (d) Mulimea valorilor admisibile conine un singur punct (3,-2) i

este nevid, nchis, mrginit i convex. (e) Mulimea valorilor admisibile este vid. (f) Mulimea valorilor admisibile este nevid, nchis, nemrginit i

neconvex.

b) Avem: ( )( )

1 22 1

1 1 22

,.

,d fd f

x xxx xx

=

Deci: ( )( )

1 1 22

1 1 1 1 1 2

,,

fdxd ddx dx dx f

x xx x

= =

2 212 2 11 12 21 21

1 11

1 d dff f f f fd d

x xf x x

= + +

,

Microeconomie - aplicaii la nivelul agenilor economici utiliznd faptul c x2 este rezultat al unei funcii de variabil x1. Apoi fcnd

substituia 21 2

dx fdx f

= 1 , rezult:

222 2

12 1 12 2 2 11 1 211 2 2

1 ff ff ff ff

dx fdx f

= + =

2

{ }2 21 22 1 2 12 2 1132

12 f ff f f f f

f= + ,

unde vom folosi teorema lui Young, . ntruct, pentru

quasiconcavitate

12 21f f=

0dxdx

1

2 > , nmulind cu -1 n aceast ultim relaie se

obine rezultatul dorit. Observaie: Explicai de ce nu este necesar i suficient pentru strict

quasiconcavitate ca: fi>0, fii 0, f2 >0.

Funcia obiectiv este strict quasi-concav, iar coeficienii aij sunt toi

pozitivi.


Se cere: a) Trasai mulimea soluiilor posibile n urmtoarea situaie:

11 21

12 22

a aa a

> i 1 212 22

b ba a

> .

b) Determinai multiplicatorul lui Lagrange, dnd o interpretare economic cazului 0*1 = .

Rezolvare: a) A se vedea graficul din figura urmtoare. n cazul (a) f /(x*) > 0 i n cazul (b) fi (x*) >0 n punctul de optim.

(a) (b)

f(x) f(x1,x2) f(x0)>0 f1,f2>0 0 x0 x 0 x1

Figura 2.20. Caz special al unei funcii obiectiv

monoton cresctoare b) 1. Aa cum se observ i din figura 2.10., exist cinci soluii

admisibile, i anume: Punctul , unde x1 = 0, x2 >0. n acest caz constrngerea b1 nu

este obligatorie. Un punct de-a lungul lui , ca de exemplu , unde x1, x2 >0,

cnd contrngerea b1 nu este obligatorie. Un punct , unde x1, x2 >0 i amndou restriciile sunt

obligatorii. Un punct de-a lungul lui , ca de exemplu , unde x1, x2 >0,

cnd constrngerea b2 nu este obligatorie. Punctul , cnd x1 >0, x2 = 0 i costrngerea b2 nu este

obligatorie.


x2 a11x1+a12x2=b1 (0,x2) a12x1+a22x2=b2 0 (x1,0) x1

Figura 2.21. Gsirea soluiei programului de optimizare

O soluie se poate afla oriunde de-a lungul marginii , atunci cnd f1,, f2 >0.

2. *1 este preul umbr corespunztori restriciei b1. El arat rata la

care se schimb valoarea optim a funciei obiectiv, cnd b1 se schimb. Dac 0*1 = , aceasta trebuie s conduc la faptul c o foarte mic schimbare n b1 las soluia neschimbat. Astfel, b1 trebuie s nu fie obligatorie la optim.

Problema 2.22. a) Fie problema de optim:

( )1 21 1 2 2

1 2

max ,

0, 0

f x xa x a x bx x

+ => >

cu f strict cresctoare i strict quasiconcav. De asemenea, vom presupune c forma curbelor de indiferen, ataate funciei obiectiv, este abrupt ca n figura 2.11.


x2 c0 c1 c2 a1x1+a2x2=b 0 *1x x1 Figura 2.22. Reprezentarea curbelor de indiferen i

a restriciei de buget

Justificai de ce condiiile:

[ ] 00

0

2*22

*2

*2

2*222

=

=

afxx

afL

nu conduc la afirmaia: 0*2 =x , implic 2*22 af < . Cum interpretai

cazul n care i 0*2 =x 2*22 af = . Transpunei problema la nivelul unui

consumator ce folosete dou tipuri de bunuri i dai explicaiile corespunztoare.

b) Presupunnd c restriciile: , devin x0ix i

ii bx , cu bi diferit

de zero, artai n ce const modificrile survenite n algoritmul de rezolvare cu ajutorul multiplicatorilor lui Lagrange.

c) Vom considera problema de optim: ( )1 2

1 1 2 2 1

1 1 2 2 2

1 2

max ,

0, 0

f x xa x a x bc x c x bx x

+ +

,

unde f este concav, iar f1 i f2 sunt strict pozitive. Graficul din figura 2.12 descrie soluiile gsite.


Adugnd la problema de mai sus restricia suplimentar: e1x1 + e2x2b3 , se cere s se discute soluiile noii probleme.

x2 c1x1+c2x2=b2

a1x1+a2x2=b1

0 x1 Figura 2.23. Aplicarea condiiilor Kuhn-Tucker

ntr-o problem de optim

Rezolvare: Putem avea i , dar i 0*2 =x 02

*222 == afL , ntruct aceasta nu

ncalc condiia necesar: 02*222 = afL , , 0

*2 x [ ] 02*22*2 = afx .

Totui, nu putem spune c 0*2 =x L2=0. n limitele figurii 2.12, putem interpreta cazul n care i 0*2 =x

2*

2 af = ca fiind acela n care conturul c1 i restricia liniar sunt tangente

n punctul ( )0,*1x , i deci avem: *11 1*12 2

( , 0 )

( , 0 )

xfaxfa

=

n termenii non-negativitii condiiilor, este posibil ca o problem far condiii de negativitate s conduc la un optim n punctul . Acesta este evident un caz special dar, cu toate acestea, nu trebuie s concluzionam c L

0*2 =x

i


consumator cumpr cantiti pozitive dintr-o mic submulime a tuturor mrfurilor disponibile - soluia n col este cea caracteristic.

b) Considerm problema [max] f(x) astfel nct xi >bi, i = 1,,n (pentru simplitate se ignor restriciile funcionale). Putem proceda n urmtoarele dou moduri:

(a) Definim: i i ix x b= , i scriem problema astfel: 1 1 max ( ,...., )

0, 1,...,n n

i

f x b x bx i n

+ +

=.

Observm c: i i

f f

x x

, deci bi sunt constante.

Astfel vom avea: 0if , , 0ix 0i ix f = . Dar * * i ix x bi= , i

deci: , 0if i ix b , ( )* 0i i ix b f = . n consecin, pentru a avea o soluie interioar, cu, ,

trebuie s avem , n timp ce la o soluie n col cu i

*i bx >

0=if*i ix b= implic

. 0if (b) Pornind de la Lagrangean:

( ) ( )i

bi

xi if(x)x,L += ,

condiiile Kuhn - Tucker sunt:

0* =+= iii fL

0=

bi*ix

i

L

0* i ( ) 0** = iii bx

Deci: dac 0* >i ,

*iif = i ii bx =*

dac 0 , * > ii bx 0* =i i 0=if

dac 0** == iii bx , atunci 0=if .


c) Rspunsul la acest punct este strns legat de soluia obinut naintea adugrii restriciei suplimentare. Aa dup cum se poate vedea i din figura 2.12. avem mai multe cazuri:

-cazul : Lund 0*2 = , avem: , i . Aceasta

este condiia standard care rezult din aplicarea metodei multiplicatorilor Lagrange, problemei de optim cu o singur restricie, ceea ce nseamn c exist numai restricia b

01*11 = af 02

*12 = af 1

*212

*111 bxaxa =+

1. -cazul : aici restricia b1 nu este obligatorie. Vom lua deci: ,

de unde avem c: 0

*1=

01*21 = cf , 02

*22 = cf i 2

*22

*11 bxcxc =+ .

-cazul : n care vom lua n considerare ambele restricii. Din condiiile rezultate aplicnd procedeul Kuhn-Tucker, se obine:

2121

1211

2

1

caca

ff

**

**

++

=

Deci, evident soluiile i sunt nc admisibile (deoarece este soluia n col, pe cele dou restricii iniiale), dar soluia este exclus. n schimb, avem trei noi soluii admisibile, ca de exemplu , , sau un punct de-a lungul segmentului .

Funcia lui Lagrange este acum:

( ) ( )

=

=

=

=

2

1

2

1

2

1,,

33

22121

ibxe

ibxc

ibxaxxfxL

ii

iiiii

.

Condiiile Kuhn-Tucker sunt deci: 0*3

*2

*1 = iiiii eccfL , , , cu

i =1,2; 0* ix 0

* =ii Lx

01

*

1=

bix

iaL

, 0*1 , 0

1

*1 =

L ;

02

2=

b*i

xL

ic , 0*2 ,

*2

2

L =0,

03

*

3=

b

ixL ie

, 0*3 , *3

3

L =0.


x2

e1x1+e2x2=b3

0 x1 Figura 2.24. Alegerea combinaiei optime

Deci, la punem 0*3*2 == ; la punem

*1= *3 = 0; la punem

0*2*1 == ; la punem

*2= 0; la punem 0*1 = . n consecin, pentru

fiecare din aceste cazuri, condiiile Kuhn-Tucker pot fi utilizate pentru a caracteriza perechea optimal ( )*2*1 , xx , care sunt ambele pozitive n toate aceste puncte - din nou trebuie s adugm cazurile ( )0,*1x i ( )*2,0 x . Esenial este deci faptul c, condiiile Kuhn-Tucker permit sistematizarea muncii prin soluiile admisibile care se gsesc.

Problema 2.23. Se consider problema de optim: [max] u(x1, x2) cu restricia: 1x1 + 2x2= 3, cu 1, 2, 3>0. Condiiile de ordinul I conduc la: u1(x*1, x*2) - *1= 0 u2(x*1, x*2) - *2= 0 - 1x*1 - 2x*2+ 3= 0,


unde * reprezint valoarea la echilibru iar i

i xuu

= , i = 1,2.

Acest sistem de condiii poate fi scris matriceal, astfel:

=

32211

2

1

2

1

21

22221

11211

0 ddxdxdd

ddxdx

uuuu

**

*

*

Rezolvnd pentru x1, considernd c d1 i d3 sunt diferite de zero,

vom avea:

( )3

1*1

22122221*

1

22

1

1**

x

xxx

DDuu

D=

+= .,

unde D este determinantul matricei din partea stng a egalitii matriceale de mai sus.

Care este semnul lui D? n cazul n care u este interpretat ca o funcie de utilitate, 1, 2 ca preuri, iar 3 ca venit analizai ecuaia lui Slutsky.

Rezolvare: Avem:

( )3

1*1

22122221*

1

22

1

1**

x

xD

a

D

uux

xD

=

+=

ca o condiie necesar de optim. Din condiiile de ordin II avem c

D>0. Primul termen 022

*

. Totui, dac nu avem

restricie de semn sau mrimile relative ale lui u12, u22 (sau ale lui 1, 2 ), atunci nu putem indica semnul termenului (1u12 - 2u12). Astfel nici pentru

2

1

x

, dar nici pentru 2

1

xx

nu pot fi indicate semnele pe care le au.

Dac u este funcia de utilitate, 1, 2 - preurile i 3 venitul, atunci cele de mai sus dau ecuaia lui Slutsky pentru bunul x1. Primul termen este efectul de substituie i vedem c acesta este negativ. Cel de-al doilea termen este efectul de venit i fiindc semnul su este necunoscut, este


aadar considerat acela al derivatei 1

1

x

, care nu reprezint altceva dect

panta curbei cererii Marshalliene. Problema 2.24. Presupunem c preul unei uniti de bun (din pachetul de bunuri,

constituit din dou tipuri de produse) cumprat de un consumator crete pe msur ce el cumpr o cantitate mai mare. Care este efectul acestei modificri a preului asupra mulimii posibilitilor sale de consum? Dai o interpretare pantei liniei bugetului. Descriei printr-o diagram relaia dintre preul mediu i preul marginal.

Rezolvare: Presupunem c p1 = p1 (x1), cu , dar p0'1 >p 2 este constant. Deci,

putem s scriem restricia bugetar a consumatorului ca fiind:

( ) )x(Bx)x(pMp

x 11112

21

=

i avem :

0'111

2

1


Aceasta nu poate fi garantat fr restriciile ulterioare pentru funcia p(x1). Dac aceast funcie este convex, deci p//1>0, atunci avem imediat c B//(x1)


c) Consumatorul alege x i M astfel nct s maximizeze funcia de utilitate n condiiile satisfacerii restriciei bugetare 1U px M V+ = .

Lagrangeanul problemei este:

( ) ( )V - px - M + x+M + x,ML

=

21ln,

cu 0 1 0 1LM

= = =

i 1 1 0 0 1 2 2

L p xx x

= = = +

1p

, adic funcia de cerere de la

punctul b). d) Fie funcia de utilitate indirect obinut nlocuind n

pe x i M cu soluia de la punctul c) ( reprezint nivelul de utilitate al consumatorului corespunztor funciei cnd bunul X are preul p i venitul consumatorului este V). Avem:

1( , )V p V 1U

1( , )V p V1U

1

1( , ) 1 ln 1 ln 2 2p pV p V R V p

p= + + = +

n situaia iniial, consumatorul atinge nivelul de satisfacie

13(1, 2) 2V

= .

Considerm acum cazul cnd consumatorul face fa situaiei finale

(adic p=3/2) presupunnd c el primete un transfer T. Nivelul de utilitate corespunztor este:

1

3 7 3, 2 ln 2 4 2

V T T+ = +


El va avea exact compensaia financiar (pentru a-i menine satisfacia iniial) cnd:

1 1 13 3(1, 2) , 2 de unde ln 2 2

T TV V = + = =

14 S

.

Nu trebuie s ne surprind acest rezultat deoarece suntem n cazul n

care utilitatea marginal a venitului este constant (funcia de utilitate depinde liniar de M).

n consecin, cererea din bunul X nu depinde dect de preul p i nu de venitul V.

Se tie c ntr-o astfel de situaie, surplusul consumatorului furnizeaz o msur a ctigului indus de pia (a avantajului rezultat n urma achiziionrii bunului).

Variaia surplusului consumatorului ne d deci o evaluare exact a transferului care permite s se compenseze impactul creterii preului asupra bunstrii individului.

e) n cazul funciei de utilitate obinem : 2U

, 2 2

V p V px Mp +

= =

Deci pentru V=2, rezult 1 1 2

xp

= ceea ce denot compatibilitatea

cu studiul statistic de la punctul b). Fie nivelul de utilitate atins, adic: 2V (p, R)

1122

2 12

( , ) 1 2 2 2

V p V p V pp VV p p

+ = +

+= .

n situaia iniial avem: 23(1, 2) 2

V = .


Dac p = 3/2 n situaia final, i consumatorul primete un transfer

T, nivelul de utilitate atins este: 23 7 , 2 2 6 2 6

TTV + = +

.

Din egalitatea:

T+,2

23 V = (1,2)V 22 rezult c

7 3 6 0.174

2T += =

Se observ c , funcia de utilitate nu mai este liniar n M

i deci exist efect de venit asupra cererii de bun X. Variaia surplusului nu mai este o masur exact n termeni de venit a consecinelor schimbrii preului asupra bunstrii consumatorului.

TS1

Avem 1 0.155 0.174 0.1090.174

TST

= = .

Dac guvernul se bazeaz pe reducerea surplusului pentru a calcula

sume de transfer el subestimeaz acest surplus cu aproape 11%.

CAPITOLUL 2 TEORIA CONSUMATORULUI 2

teoria consumatorului-probleme2

Documents

Transcript of teoria consumatorului-probleme2