teoria consumatorului-probleme2
date post
16-Nov-2015Category
Documents
view
247download
0
Embed Size (px)
description
Transcript of teoria consumatorului-probleme2
Problema 2.1. Se consider un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv,
pentru a cumpra dou bunuri notate x1 i x2. Preurile celor dou bunuri, p1 i p2, sunt presupuse strict pozitive.
Preferinele consumatorului sunt reprezentate prin funciile de utilitate
( )1 2 1 2, ln lnU x x x x= + , unde x1 i x2 sunt cantitile consumate din cele dou bunuri. Se cere: a) Determinai funciile de cerere necompensat (de tip Marshall sau
Walras) , i = 1 i 2, ale consumatorului din fiecare din cele dou bunuri.
( Vppxi ,, 21 )
b) Fie un alt consumator ale crui preferine sunt reprezentate prin funcia de utilitate ( ) 2121 , xxxxH = . Comparai funciile de cerere necompensat cu ale celui precedent. Explicai acest rezultat.
Rezolvare: a) Preferinele consumatorului sunt reprezentate printr-o funcie de
utilitate de tip Cobb-Douglas. Aceast funcie este strict qusiconcav, din cauza strict concavitii funciei logaritm. n consecin, problema de maximizare pe mulimea de consum a funciei de utilitate a consumatorului admite o soluie unic, ce definete funciile de cerere.
Ca urmare, alegerea optim va fi dat de rezolvarea urmtorului program:
),( 21 xx
( )1 2
1 2,
1 1 2 2
max ln lnx x
x x
p x p x V
+
+ =
La punctele a), b) i d) consumurile agenilor economici sunt considerate n cadranul pozitiv al sistemului ortogonal de axe din R2.
Microeconomie - aplicaii la nivelul agenilor economici
Ca urmare, condiia necesar de optim este echivalent cu faptul c raportul preurilor bunurilor este egal cu raportul utilitilor marginale ale celor dou bunuri. Aceast relaie implic egalitatea:
2
12
1
pp
UU
m
m =
11
1 1xx
UU m =
= ; 22
2 1xx
UU m =
=
Aceast egalitate, mpreun cu restricia bugetar, permite determinarea funciilor de cerere necompensat ale consumatorului:
( )1
2111 2,,
pVVppxx ==
( )2
2122 2,,
pVVppxx ==
b) Funciile de utilitate U i H verific egalitatea:
( ) ( )1 2,1 2H , = eU x xx x . Deoarece funcia exponenial ( )1 2,U x xe este o funcie pozitiv i cresctoare, funciile de utilitate U i H sunt asociate aceleiai ordini de preferine. n acest caz, doi consumatori ale cror funcii de utilitate sunt U i H fac aceeai alegere. n consecin, funciile lor de cerere sunt identice.
Problema 2.2. Se consider un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv,
pentru a cumpra dou bunuri notate x1 i x2. Preurile celor dou bunuri, p1 i p2, sunt presupuse strict pozitive.
a) Care sunt funciile de cerere necompensat ale unui consumator a crui mulime de consum este [1, +] x [2, +] i a crui funcie de utilitate se scrie:
1 2 1 1 1 2 2 2( , ) ln( - )+ ln( - ), U x x x x = unde 1 i 2 sunt parametri pozitivi, iar 1 i 2 sunt dou numere
reale strict pozitive, astfel nct 1+2=1.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Dac parametrii 1 i 2 sunt nuli, calculai elasticitatea cererii n raport cu venitul, pentru fiecare din bunurile x1 i x2.
b) Determinai funciile de cerere necompensat ale unui consumator a crui funcie de utilitate se scrie:
1 2 1 1 1 2 2( , ) ln( )+ ln , U x x x x x = + unde 1x este un numr real pozitiv, 1 2, 0 > , cu 1 2 1 + = . Ce
particularitate are funcia de cerere din bunul ? 1x Rezolvare: a) Funcia de utilitate nu este definit dect pe mulimea
consumurilor posibile, adic atunci cnd cantitile consumate din bunurile x1 i x2 sunt cel puin egale cu 1 i respectiv 2.
Perechea (1,2) se interpreteaz ca minimul de subzisten la nivelul consumatorului. Deoarece consumatorul poate cumpra aceast combinaie, trebuie ca venitul V s fie mai mare sau egal cu valoarea sa: 2211 pp + , valoare care constituie venitul minimal al consumatorului, sub care funciile de cerere nu sunt definite.
n continuare, vom presupune c venitul este strict mai mare dect acest venit minimal. Prin urmare, parametrii 1 i 2 descriu gusturile consumatorului: cu ct parametrul i este mai mare, cu att mai puternic este preferina consumatorului pentru bunul xi.
Din: 2
12
1
pp
UU
m
m = rezult:
11
1
1
1
yxxUU m
=
=
; 22
2
2
2
yxxUU m
=
=
De unde: ( ) ( )2 1 1 1 1 2 2 2p x p x =
Utiliznd restricia bugetar, aceast relaie conduce la egalitile: ( ) ( )1 1 2 2i i i ip x V p p = pentru i = 1, 2.
Aceste egaliti arat c venitul excedentar, disponibil dup
cumprarea combinaiei de consum minimal, 2211 ppV , este afectat in funcie de gusturile consumatorului (reprezentate prin parametrii 1 i 2) pentru cumprarea unui excedent din bunul x1, egal cu 11 x , i pentru cumprarea unui excedent din bunul x2, egal cu 22 x .
Microeconomie - aplicaii la nivelul agenilor economici
Funciile de cerere necompensat din bunul xi (i = 1, 2) se scriu deci:
( ) ( )1
2211112111 ,, p
ppVVppxx ==
( ) ( )2
2211222122 ,, p
ppVVppxx ==
Elasticitatea
Vx iE a cererii de bun i, n raport cu venitul, este defi-
nit prin egalitatea:
( ) 12211=
=
=
=VV
ppVVVp
p
Vx
:Vx
Ei
i
ii
i
i
iii
Vxi
Deoarece parametrii 1 i 2 sunt nuli, elasticitile E1 i E2 au
valoarea 1. b) Dac preferinele conumatorului sunt definite prin funcia de
utilitate , atunci acesta poate consuma o cantitate nul din bunul x
),( 21 xxU1, fr ca nivelul su de utilitate s fie minim pe mulimea consumurilor.
Este posibil deci ca el s cear o cantitate nul de bun x1. Ca urmare, cantitatea cerut din bunul x2 este ntotdeauna strict pozitiv. Cererile consumatorului sunt soluii ale programului:
{ }1 2
1 1 1 2 2,
1 1 2 2
1 2
max ln( )+ ln
0, 0
x xx x x
p x p x Vx x
+ +
Fie i multiplicatorii asociai celor dou restricii. Lagrangeanul L al programului se scrie:
( ) ( ) 1221122111 lnln xVxpxpxxxL ++++=
innd cont de faptul c la maxim de utilitate, restricia bugetar este satisfcut cu egalitate, condiiile de ordinul I pentru programul de maximizare sunt date de expresiile:
0111
1
1
=++
= p
xx
xL
;
Capitolul 2. Teoria consumatorului
022
2
2
== p
x
xL
;
1 1 2 2
L p x p x V
= + =
;
1 0L x
= =
Avnd n vedere concavitatea strict a funciei de utilitate, aceste
condiii de optimalitate sunt necesare i suficiente. n rezolvarea sistemului, discuia se poart asupra cazului cnd x1 este nul. Dac x1 este strict pozitiv, cererile se vor afla n interiorul mulimii de consum posibil, raportul utilitilor marginale a dou bunuri este egal cu raportul preurilor, de unde rezult funciile de cerere:
11 1 2 2 1
1
( , , ) Vx p p V xp = ;
1 12 1 2 2 1
2 2
( , , ) V xx p p V pp p = .
Aceast situaie are loc atunci cnd x1 (p1, p2, V) este strict pozitiv,
adic atunci cnd venitul V este mai mare dect 2 p1 1x /1. Cnd cererea de bun 1 este nul, cererile sunt date de relaiile:
( )2 1 2, , 0x p p V =
( )2 1 22
, , Vx p p Vp
=
Deoarece este pozitiv, rezult c raportul utilitilor marginale
),x(U),x(U
m
m
22
21
00
este mai mic sau egal dect raportul preurilor 2
1
pp
. Aceast
condiie este verificat dac i numai dac venitul este mai mic sau egal
dect 1
112
xp
.
Microeconomie - aplicaii la nivelul agenilor economici
Aceasta nseamn c rata marginal de substituire1 a bunului x1 cu bunul x2 este mai mare dect preul relativ al bunului x2 n raport cu bunul x1.
Altfel spus, pentru aceast structur de pre i de venit, consumatorul va dori, dac acest lucru este posibil, s vnd din bunul x1 pentru a cumpra din bunul x2.
Problema 2.3. Un consumator afecteaz un venit V pentru a cumpra dou bunuri 1
i 2, ale cror preuri unitare sunt i . Preferinele sale sunt reprezentate prin funcia de utilitate:
1p 2p
1 2 1 2( , ) ( -1)U x x x x= cu , unde 1 20, 0x x 1 2, x x desemneaz cantitile consumate. Se cere: a) Determinai ecuaiile funciilor de cerere. Se va presupune c
V> 2V p> . b) Se consider situaia iniial, unde 121 == pp i V=3 i o situaie
final unde n timp ce i V rmn neschimbate. Care sunt cantitile din fiecare bun, cumprate de consumator n situaia iniial i situaia final?
22 =p 1p
c) Descompunei trecerea de la situaia iniial la situaia final, distingnd efectul de substituie i efectul de venit. Comentai rezultatele i reprezentai-le pe un grafic.
Rezolvare: a) Pentru determinarea alegerii optime vom construi lagrangeanul
problemei: ( ) ( )221121 1 xpxpVxxL +=
unde este multiplicatorul Lagrange.
1 Rata marginal de schimb a bunului x1 cu bunul x2, reprezint numrul de unitti din
bunul x2 pe care consumatorul este dispus s le dea n schimbul unei unitti (presupus infinit de mic n raport cu cantittile consumate) de bun x1. Aceast rat este egal cu rata marginal de substitutie a bunului x1 cu bunul x2.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Condiiile necesare de optim conduc la sistemul:
2 11
1 22
1 1 2 2
1 0
0
0
L x pxL x pxL V p x p x
= =
= =
= =
cu soluiile:
2 21 2
1 2
, 2 2
V Vp px x
p p +