Problema 2.1. Se consider un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv,

pentru a cumpra dou bunuri notate x1 i x2. Preurile celor dou bunuri, p1 i p2, sunt presupuse strict pozitive.

Preferinele consumatorului sunt reprezentate prin funciile de utilitate

( )1 2 1 2, ln lnU x x x x= + , unde x1 i x2 sunt cantitile consumate din cele dou bunuri. Se cere: a) Determinai funciile de cerere necompensat (de tip Marshall sau

Walras) , i = 1 i 2, ale consumatorului din fiecare din cele dou bunuri.

( Vppxi ,, 21 )

b) Fie un alt consumator ale crui preferine sunt reprezentate prin funcia de utilitate ( ) 2121 , xxxxH = . Comparai funciile de cerere necompensat cu ale celui precedent. Explicai acest rezultat.

Rezolvare: a) Preferinele consumatorului sunt reprezentate printr-o funcie de

utilitate de tip Cobb-Douglas. Aceast funcie este strict qusiconcav, din cauza strict concavitii funciei logaritm. n consecin, problema de maximizare pe mulimea de consum a funciei de utilitate a consumatorului admite o soluie unic, ce definete funciile de cerere.

Ca urmare, alegerea optim va fi dat de rezolvarea urmtorului program:

),( 21 xx

( )1 2

1 2,

1 1 2 2

max ln lnx x

x x

p x p x V

+

+ =

La punctele a), b) i d) consumurile agenilor economici sunt considerate n cadranul pozitiv al sistemului ortogonal de axe din R2.

Microeconomie - aplicaii la nivelul agenilor economici

Ca urmare, condiia necesar de optim este echivalent cu faptul c raportul preurilor bunurilor este egal cu raportul utilitilor marginale ale celor dou bunuri. Aceast relaie implic egalitatea:

2

12

1

pp

UU

m

m =

11

1 1xx

UU m =

= ; 22

2 1xx

UU m =

=

Aceast egalitate, mpreun cu restricia bugetar, permite determinarea funciilor de cerere necompensat ale consumatorului:

( )1

2111 2,,

pVVppxx ==

( )2

2122 2,,

pVVppxx ==

b) Funciile de utilitate U i H verific egalitatea:

( ) ( )1 2,1 2H , = eU x xx x . Deoarece funcia exponenial ( )1 2,U x xe este o funcie pozitiv i cresctoare, funciile de utilitate U i H sunt asociate aceleiai ordini de preferine. n acest caz, doi consumatori ale cror funcii de utilitate sunt U i H fac aceeai alegere. n consecin, funciile lor de cerere sunt identice.

Problema 2.2. Se consider un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv,

pentru a cumpra dou bunuri notate x1 i x2. Preurile celor dou bunuri, p1 i p2, sunt presupuse strict pozitive.

a) Care sunt funciile de cerere necompensat ale unui consumator a crui mulime de consum este [1, +] x [2, +] i a crui funcie de utilitate se scrie:

1 2 1 1 1 2 2 2( , ) ln( - )+ ln( - ), U x x x x = unde 1 i 2 sunt parametri pozitivi, iar 1 i 2 sunt dou numere

reale strict pozitive, astfel nct 1+2=1.

Capitolul 2. Teoria consumatorului

Dac parametrii 1 i 2 sunt nuli, calculai elasticitatea cererii n raport cu venitul, pentru fiecare din bunurile x1 i x2.

b) Determinai funciile de cerere necompensat ale unui consumator a crui funcie de utilitate se scrie:

1 2 1 1 1 2 2( , ) ln( )+ ln , U x x x x x = + unde 1x este un numr real pozitiv, 1 2, 0 > , cu 1 2 1 + = . Ce

particularitate are funcia de cerere din bunul ? 1x Rezolvare: a) Funcia de utilitate nu este definit dect pe mulimea

consumurilor posibile, adic atunci cnd cantitile consumate din bunurile x1 i x2 sunt cel puin egale cu 1 i respectiv 2.

Perechea (1,2) se interpreteaz ca minimul de subzisten la nivelul consumatorului. Deoarece consumatorul poate cumpra aceast combinaie, trebuie ca venitul V s fie mai mare sau egal cu valoarea sa: 2211 pp + , valoare care constituie venitul minimal al consumatorului, sub care funciile de cerere nu sunt definite.

n continuare, vom presupune c venitul este strict mai mare dect acest venit minimal. Prin urmare, parametrii 1 i 2 descriu gusturile consumatorului: cu ct parametrul i este mai mare, cu att mai puternic este preferina consumatorului pentru bunul xi.

Din: 2

12

1

pp

UU

m

m = rezult:

11

1

1

1

yxxUU m

=

=

; 22

2

2

2

yxxUU m

=

=

De unde: ( ) ( )2 1 1 1 1 2 2 2p x p x =

Utiliznd restricia bugetar, aceast relaie conduce la egalitile: ( ) ( )1 1 2 2i i i ip x V p p = pentru i = 1, 2.

Aceste egaliti arat c venitul excedentar, disponibil dup

cumprarea combinaiei de consum minimal, 2211 ppV , este afectat in funcie de gusturile consumatorului (reprezentate prin parametrii 1 i 2) pentru cumprarea unui excedent din bunul x1, egal cu 11 x , i pentru cumprarea unui excedent din bunul x2, egal cu 22 x .

Microeconomie - aplicaii la nivelul agenilor economici

Funciile de cerere necompensat din bunul xi (i = 1, 2) se scriu deci:

( ) ( )1

2211112111 ,, p

ppVVppxx ==

( ) ( )2

2211222122 ,, p

ppVVppxx ==

Elasticitatea

Vx iE a cererii de bun i, n raport cu venitul, este defi-

nit prin egalitatea:

( ) 12211=

=

=

=VV

ppVVVp

p

Vx

:Vx

Ei

i

ii

i

i

iii

Vxi

Deoarece parametrii 1 i 2 sunt nuli, elasticitile E1 i E2 au

valoarea 1. b) Dac preferinele conumatorului sunt definite prin funcia de

utilitate , atunci acesta poate consuma o cantitate nul din bunul x

),( 21 xxU1, fr ca nivelul su de utilitate s fie minim pe mulimea consumurilor.

Este posibil deci ca el s cear o cantitate nul de bun x1. Ca urmare, cantitatea cerut din bunul x2 este ntotdeauna strict pozitiv. Cererile consumatorului sunt soluii ale programului:

{ }1 2

1 1 1 2 2,

1 1 2 2

1 2

max ln( )+ ln

0, 0

x xx x x

p x p x Vx x

+ +

Fie i multiplicatorii asociai celor dou restricii. Lagrangeanul L al programului se scrie:

( ) ( ) 1221122111 lnln xVxpxpxxxL ++++=

innd cont de faptul c la maxim de utilitate, restricia bugetar este satisfcut cu egalitate, condiiile de ordinul I pentru programul de maximizare sunt date de expresiile:

0111

1

1

=++

= p

xx

xL

;

Capitolul 2. Teoria consumatorului

022

2

2

== p

x

xL

;

1 1 2 2

L p x p x V

= + =

;

1 0L x

= =

Avnd n vedere concavitatea strict a funciei de utilitate, aceste

condiii de optimalitate sunt necesare i suficiente. n rezolvarea sistemului, discuia se poart asupra cazului cnd x1 este nul. Dac x1 este strict pozitiv, cererile se vor afla n interiorul mulimii de consum posibil, raportul utilitilor marginale a dou bunuri este egal cu raportul preurilor, de unde rezult funciile de cerere:

11 1 2 2 1

1

( , , ) Vx p p V xp = ;

1 12 1 2 2 1

2 2

( , , ) V xx p p V pp p = .

Aceast situaie are loc atunci cnd x1 (p1, p2, V) este strict pozitiv,

adic atunci cnd venitul V este mai mare dect 2 p1 1x /1. Cnd cererea de bun 1 este nul, cererile sunt date de relaiile:

( )2 1 2, , 0x p p V =

( )2 1 22

, , Vx p p Vp

=

Deoarece este pozitiv, rezult c raportul utilitilor marginale

),x(U),x(U

m

m

22

21

00

este mai mic sau egal dect raportul preurilor 2

1

pp

. Aceast

condiie este verificat dac i numai dac venitul este mai mic sau egal

dect 1

112

xp

.

Microeconomie - aplicaii la nivelul agenilor economici

Aceasta nseamn c rata marginal de substituire1 a bunului x1 cu bunul x2 este mai mare dect preul relativ al bunului x2 n raport cu bunul x1.

Altfel spus, pentru aceast structur de pre i de venit, consumatorul va dori, dac acest lucru este posibil, s vnd din bunul x1 pentru a cumpra din bunul x2.

Problema 2.3. Un consumator afecteaz un venit V pentru a cumpra dou bunuri 1

i 2, ale cror preuri unitare sunt i . Preferinele sale sunt reprezentate prin funcia de utilitate:

1p 2p

1 2 1 2( , ) ( -1)U x x x x= cu , unde 1 20, 0x x 1 2, x x desemneaz cantitile consumate. Se cere: a) Determinai ecuaiile funciilor de cerere. Se va presupune c

V> 2V p> . b) Se consider situaia iniial, unde 121 == pp i V=3 i o situaie

final unde n timp ce i V rmn neschimbate. Care sunt cantitile din fiecare bun, cumprate de consumator n situaia iniial i situaia final?

22 =p 1p

c) Descompunei trecerea de la situaia iniial la situaia final, distingnd efectul de substituie i efectul de venit. Comentai rezultatele i reprezentai-le pe un grafic.

Rezolvare: a) Pentru determinarea alegerii optime vom construi lagrangeanul

problemei: ( ) ( )221121 1 xpxpVxxL +=

unde este multiplicatorul Lagrange.

1 Rata marginal de schimb a bunului x1 cu bunul x2, reprezint numrul de unitti din

bunul x2 pe care consumatorul este dispus s le dea n schimbul unei unitti (presupus infinit de mic n raport cu cantittile consumate) de bun x1. Aceast rat este egal cu rata marginal de substitutie a bunului x1 cu bunul x2.

Capitolul 2. Teoria consumatorului

Condiiile necesare de optim conduc la sistemul:

2 11

1 22

1 1 2 2

1 0

0

0

L x pxL x pxL V p x p x

= =

= =

= =

cu soluiile:

2 21 2

1 2

, 2 2

V Vp px x

p p +