teoria consumatorului-probleme2

Click here to load reader

  • date post

    16-Nov-2015
  • Category

    Documents

  • view

    247
  • download

    0

Embed Size (px)

description

microeconomia cosumatorului

Transcript of teoria consumatorului-probleme2

  • Problema 2.1. Se consider un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv,

    pentru a cumpra dou bunuri notate x1 i x2. Preurile celor dou bunuri, p1 i p2, sunt presupuse strict pozitive.

    Preferinele consumatorului sunt reprezentate prin funciile de utilitate

    ( )1 2 1 2, ln lnU x x x x= + , unde x1 i x2 sunt cantitile consumate din cele dou bunuri. Se cere: a) Determinai funciile de cerere necompensat (de tip Marshall sau

    Walras) , i = 1 i 2, ale consumatorului din fiecare din cele dou bunuri.

    ( Vppxi ,, 21 )

    b) Fie un alt consumator ale crui preferine sunt reprezentate prin funcia de utilitate ( ) 2121 , xxxxH = . Comparai funciile de cerere necompensat cu ale celui precedent. Explicai acest rezultat.

    Rezolvare: a) Preferinele consumatorului sunt reprezentate printr-o funcie de

    utilitate de tip Cobb-Douglas. Aceast funcie este strict qusiconcav, din cauza strict concavitii funciei logaritm. n consecin, problema de maximizare pe mulimea de consum a funciei de utilitate a consumatorului admite o soluie unic, ce definete funciile de cerere.

    Ca urmare, alegerea optim va fi dat de rezolvarea urmtorului program:

    ),( 21 xx

    ( )1 2

    1 2,

    1 1 2 2

    max ln lnx x

    x x

    p x p x V

    +

    + =

    La punctele a), b) i d) consumurile agenilor economici sunt considerate n cadranul pozitiv al sistemului ortogonal de axe din R2.

  • Microeconomie - aplicaii la nivelul agenilor economici

    Ca urmare, condiia necesar de optim este echivalent cu faptul c raportul preurilor bunurilor este egal cu raportul utilitilor marginale ale celor dou bunuri. Aceast relaie implic egalitatea:

    2

    12

    1

    pp

    UU

    m

    m =

    11

    1 1xx

    UU m =

    = ; 22

    2 1xx

    UU m =

    =

    Aceast egalitate, mpreun cu restricia bugetar, permite determinarea funciilor de cerere necompensat ale consumatorului:

    ( )1

    2111 2,,

    pVVppxx ==

    ( )2

    2122 2,,

    pVVppxx ==

    b) Funciile de utilitate U i H verific egalitatea:

    ( ) ( )1 2,1 2H , = eU x xx x . Deoarece funcia exponenial ( )1 2,U x xe este o funcie pozitiv i cresctoare, funciile de utilitate U i H sunt asociate aceleiai ordini de preferine. n acest caz, doi consumatori ale cror funcii de utilitate sunt U i H fac aceeai alegere. n consecin, funciile lor de cerere sunt identice.

    Problema 2.2. Se consider un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv,

    pentru a cumpra dou bunuri notate x1 i x2. Preurile celor dou bunuri, p1 i p2, sunt presupuse strict pozitive.

    a) Care sunt funciile de cerere necompensat ale unui consumator a crui mulime de consum este [1, +] x [2, +] i a crui funcie de utilitate se scrie:

    1 2 1 1 1 2 2 2( , ) ln( - )+ ln( - ), U x x x x = unde 1 i 2 sunt parametri pozitivi, iar 1 i 2 sunt dou numere

    reale strict pozitive, astfel nct 1+2=1.

  • Capitolul 2. Teoria consumatorului

    Dac parametrii 1 i 2 sunt nuli, calculai elasticitatea cererii n raport cu venitul, pentru fiecare din bunurile x1 i x2.

    b) Determinai funciile de cerere necompensat ale unui consumator a crui funcie de utilitate se scrie:

    1 2 1 1 1 2 2( , ) ln( )+ ln , U x x x x x = + unde 1x este un numr real pozitiv, 1 2, 0 > , cu 1 2 1 + = . Ce

    particularitate are funcia de cerere din bunul ? 1x Rezolvare: a) Funcia de utilitate nu este definit dect pe mulimea

    consumurilor posibile, adic atunci cnd cantitile consumate din bunurile x1 i x2 sunt cel puin egale cu 1 i respectiv 2.

    Perechea (1,2) se interpreteaz ca minimul de subzisten la nivelul consumatorului. Deoarece consumatorul poate cumpra aceast combinaie, trebuie ca venitul V s fie mai mare sau egal cu valoarea sa: 2211 pp + , valoare care constituie venitul minimal al consumatorului, sub care funciile de cerere nu sunt definite.

    n continuare, vom presupune c venitul este strict mai mare dect acest venit minimal. Prin urmare, parametrii 1 i 2 descriu gusturile consumatorului: cu ct parametrul i este mai mare, cu att mai puternic este preferina consumatorului pentru bunul xi.

    Din: 2

    12

    1

    pp

    UU

    m

    m = rezult:

    11

    1

    1

    1

    yxxUU m

    =

    =

    ; 22

    2

    2

    2

    yxxUU m

    =

    =

    De unde: ( ) ( )2 1 1 1 1 2 2 2p x p x =

    Utiliznd restricia bugetar, aceast relaie conduce la egalitile: ( ) ( )1 1 2 2i i i ip x V p p = pentru i = 1, 2.

    Aceste egaliti arat c venitul excedentar, disponibil dup

    cumprarea combinaiei de consum minimal, 2211 ppV , este afectat in funcie de gusturile consumatorului (reprezentate prin parametrii 1 i 2) pentru cumprarea unui excedent din bunul x1, egal cu 11 x , i pentru cumprarea unui excedent din bunul x2, egal cu 22 x .

  • Microeconomie - aplicaii la nivelul agenilor economici

    Funciile de cerere necompensat din bunul xi (i = 1, 2) se scriu deci:

    ( ) ( )1

    2211112111 ,, p

    ppVVppxx ==

    ( ) ( )2

    2211222122 ,, p

    ppVVppxx ==

    Elasticitatea

    Vx iE a cererii de bun i, n raport cu venitul, este defi-

    nit prin egalitatea:

    ( ) 12211=

    =

    =

    =VV

    ppVVVp

    p

    Vx

    :Vx

    Ei

    i

    ii

    i

    i

    iii

    Vxi

    Deoarece parametrii 1 i 2 sunt nuli, elasticitile E1 i E2 au

    valoarea 1. b) Dac preferinele conumatorului sunt definite prin funcia de

    utilitate , atunci acesta poate consuma o cantitate nul din bunul x

    ),( 21 xxU1, fr ca nivelul su de utilitate s fie minim pe mulimea consumurilor.

    Este posibil deci ca el s cear o cantitate nul de bun x1. Ca urmare, cantitatea cerut din bunul x2 este ntotdeauna strict pozitiv. Cererile consumatorului sunt soluii ale programului:

    { }1 2

    1 1 1 2 2,

    1 1 2 2

    1 2

    max ln( )+ ln

    0, 0

    x xx x x

    p x p x Vx x

    + +

    Fie i multiplicatorii asociai celor dou restricii. Lagrangeanul L al programului se scrie:

    ( ) ( ) 1221122111 lnln xVxpxpxxxL ++++=

    innd cont de faptul c la maxim de utilitate, restricia bugetar este satisfcut cu egalitate, condiiile de ordinul I pentru programul de maximizare sunt date de expresiile:

    0111

    1

    1

    =++

    = p

    xx

    xL

    ;

  • Capitolul 2. Teoria consumatorului

    022

    2

    2

    == p

    x

    xL

    ;

    1 1 2 2

    L p x p x V

    = + =

    ;

    1 0L x

    = =

    Avnd n vedere concavitatea strict a funciei de utilitate, aceste

    condiii de optimalitate sunt necesare i suficiente. n rezolvarea sistemului, discuia se poart asupra cazului cnd x1 este nul. Dac x1 este strict pozitiv, cererile se vor afla n interiorul mulimii de consum posibil, raportul utilitilor marginale a dou bunuri este egal cu raportul preurilor, de unde rezult funciile de cerere:

    11 1 2 2 1

    1

    ( , , ) Vx p p V xp = ;

    1 12 1 2 2 1

    2 2

    ( , , ) V xx p p V pp p = .

    Aceast situaie are loc atunci cnd x1 (p1, p2, V) este strict pozitiv,

    adic atunci cnd venitul V este mai mare dect 2 p1 1x /1. Cnd cererea de bun 1 este nul, cererile sunt date de relaiile:

    ( )2 1 2, , 0x p p V =

    ( )2 1 22

    , , Vx p p Vp

    =

    Deoarece este pozitiv, rezult c raportul utilitilor marginale

    ),x(U),x(U

    m

    m

    22

    21

    00

    este mai mic sau egal dect raportul preurilor 2

    1

    pp

    . Aceast

    condiie este verificat dac i numai dac venitul este mai mic sau egal

    dect 1

    112

    xp

    .

  • Microeconomie - aplicaii la nivelul agenilor economici

    Aceasta nseamn c rata marginal de substituire1 a bunului x1 cu bunul x2 este mai mare dect preul relativ al bunului x2 n raport cu bunul x1.

    Altfel spus, pentru aceast structur de pre i de venit, consumatorul va dori, dac acest lucru este posibil, s vnd din bunul x1 pentru a cumpra din bunul x2.

    Problema 2.3. Un consumator afecteaz un venit V pentru a cumpra dou bunuri 1

    i 2, ale cror preuri unitare sunt i . Preferinele sale sunt reprezentate prin funcia de utilitate:

    1p 2p

    1 2 1 2( , ) ( -1)U x x x x= cu , unde 1 20, 0x x 1 2, x x desemneaz cantitile consumate. Se cere: a) Determinai ecuaiile funciilor de cerere. Se va presupune c

    V> 2V p> . b) Se consider situaia iniial, unde 121 == pp i V=3 i o situaie

    final unde n timp ce i V rmn neschimbate. Care sunt cantitile din fiecare bun, cumprate de consumator n situaia iniial i situaia final?

    22 =p 1p

    c) Descompunei trecerea de la situaia iniial la situaia final, distingnd efectul de substituie i efectul de venit. Comentai rezultatele i reprezentai-le pe un grafic.

    Rezolvare: a) Pentru determinarea alegerii optime vom construi lagrangeanul

    problemei: ( ) ( )221121 1 xpxpVxxL +=

    unde este multiplicatorul Lagrange.

    1 Rata marginal de schimb a bunului x1 cu bunul x2, reprezint numrul de unitti din

    bunul x2 pe care consumatorul este dispus s le dea n schimbul unei unitti (presupus infinit de mic n raport cu cantittile consumate) de bun x1. Aceast rat este egal cu rata marginal de substitutie a bunului x1 cu bunul x2.

  • Capitolul 2. Teoria consumatorului

    Condiiile necesare de optim conduc la sistemul:

    2 11

    1 22

    1 1 2 2

    1 0

    0

    0

    L x pxL x pxL V p x p x

    = =

    = =

    = =

    cu soluiile:

    2 21 2

    1 2

    , 2 2

    V Vp px x

    p p +