Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii

-1-

VII.2. PROBLEME REZOLVATE R7.1. În circuitul din figura 7.R.1 se cunosc: 21R ,

,31

11

CL

22L , 11

3C, ]V[

4sin20)(1

tte ,

]A[2

sin210)(3

ttj . Se cer:

a) rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; b) rezolvarea circuitului cu metoda superpoziţiei; c) bilanţurile puterilor.

Fig. 7.R.1 Problema R7.1

Rezolvare:

Rezolvarea circuitelor de curent alternativ se face folosind reprezentarea în complex. În complex, elementele pasive de circuit sunt caracterizate de impedanţe, iar sursele de energie de fazori. Schema în complex a acestui circuit este reprezentată în figura 7.R.1a.

Fig. 7.R.1a Schema echivalentă în complex

Capitolul VI1 –Teoreme generale Probleme propuse

-2-

Pentru elementele pasive din circuit, impedanţele se calculează astfel:

,31,3,21

1C11L11R jCj

ZjLjZRZ

jLjZ 222L ,

jCj

Z

3

3C1

.

Sursa de tensiune este reprezentată în complex de fazorul

)1(102

20 41 jeE

j

.

Sursa de curent este reprezentată în complex de fazorul jeJj

102210 2

3

.

Grupând toate impedanţele după o latură într-o impedanţă echivalentă se obţine figura 7.R.1b, în care: 21C1L1R1 ZZZZ , jZZ 21L2 şi

jZZ 1C3 .

a) Metoda teoremelor Kirchhoff

Elementelede topologie sunt: 2 noduri, 3 laturi şi 2 bucle, necesare aplicării teoremelor lui Kirchhoff.

Fig. 7.R.1b Aplicarea metodei ecuaţiilor Kirchhoff

Se scrie teorema I Kirchhoff pentru nodul A şi teorema II Kirchhoff pentru buclele 1b şi 2b alese ca în figura 7.R.1b. Sistemul de ecuaţii obţinut este:

0:).(.:).(.

0:).(.

3j22332

122111

321

UIZJZbKIITEIZIZbKIIT

JIIAKIT. Se obţin:

05

5

3j

2

1

UjI

jI.

Se trec aceste valori în domeniul timp şi se obţin:

Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii

-3-

]A[2

sin25)(1

tti , ]A[

2sin25)(2

tti , ]V[0)(

3jtu .

b) Metoda superpoziţiei

Circuitul iniţial (în complex) conţine două surse ideale de energie şi astfel vom avea două cazuri de rezolvat.

Cazul 1

În acest circuit sursa ideală tensiune se pasivizează (rămâne rezistenţa sa internă), iar sursa ideală de curent este caracterizată de fazorul 3J (fig.7.R.1c). Determinăm curenţii folosind relaţiile de la divizorul de curent:

)(11

1

)(

11

1

3

21

23

21

2'2

3

21

13

21

1'1

J

ZZ

ZJYY

YI

J

ZZ

ZJ

YYY

I

. Obţinem:

)1(5

)1(5'2

'1

jI

jI.

Fig. 7.R.1c Cazul 1 de la metoda superpoziţiei

Pentru determinarea tensiunii '3j

U aplicăm teorema a doua a lui Kirchhoff pe

bucla „b” astfel: 0:).(. '3j

'2233 UIZJZbKIIT . Rezultă: jU 10'

3j .

Capitolul VI1 –Teoreme generale Probleme propuse

-4-

Cazul 2

În acest circuit sursa ideală curent se pasivizează (rămâne rezistenţa sa internă), iar sursa ideală de tensiune este caracterizată de fazorul 1E (fig.7.R.1d).

Fig. 7.R.1d Cazul 2 de la metoda superpoziţiei

Aplicăm teorema a doua a lui Kirchhoff pe bucla „b” astfel:

1''22

''11:).(. EIZIZbKIIT . Ţinem cont că ''

2''

1 II . Rezultă 5''2

''1 II . Se

observă că ''22

''3j

IZU . Obţinem: jU 10''3j

. Rezultatele finale se obţin suprapunând rezultatele din cele două cazuri studiate anterior. Ţinem cont de sensurile mărimilor determinate în fiecare caz în parte faţă de sensurile din circuitul iniţial:

''3j

'3j3j

''2

'22

''1

'11

UUU

III

III

. Astfel rezultatele finale sunt:

05

5

3j

2

1

UjI

jI.

Se poate observa că rezultatele obţinute cu metoda superpoziţiei sunt identice cu cele obţinute cu metoda ecuaţiilor Kirchhoff.

c) Bilanţurile puterilor

Puterea activă consumată în circuit este: W50252211c IRP .

Puterea reactivă consumată în circuit se determină astfel: var50100250ImImIm

32 CL233

222

211c XXIZIZIZQ .

Puterea aparentă complexă generată se calculează astfel:

gg33j11g 5050)10(0)5()1(10 jQPjjjjJUIES .

Extragem puterea activă generată ca fiind: W50Re gg SP . La fel şi pentru puterea reactivă generată: var50Im gg SQ .

Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii

-5-

Se observă că gcgc , QQPP . Aşadar se verifică bilanţurile puterilor active şi puterilor reactive consumate, respectiv generate. Implicit se verifică bilanţul puterilor aparente complexe consumate, respectiv generate: gc SS .

R7.2. Se consideră circuitul din figura 7.R.2 unde se cunosc: 11R ,

211

211 CC

L

, 132 LL , ]A[4

3sin2)(3

ttj

Hz50f . Se cer: a) rezolvarea circuitului cu metoda curenţilor ciclici; b) rezolvarea circuitului cu metoda potenţialelor la noduri; c) bilanţurile puterilor.

Fig. 7.R.2 Problema R7.2

Rezolvare:

Rezolvarea circuitelor de curent alternativ se face folosind reprezentarea în complex. În complex, elementele pasive de circuit sunt caracterizate de impedanţe, iar sursele de energie de fazori (fig.7.R.2a).

Fig. 7.R.2a Schema echivalentă în complex

Pentru elementele pasive din circuit, impedanţele se calculează astfel:

Capitolul VI1 –Teoreme generale Probleme propuse

-6-

,21,2,11

1C11L11R jCj

ZjLjZRZ

jCj

Z 21

22C

,

jLjZjLjZ 33L22L , .

Sursa de curent este reprezentată în complex de fazorul jeJj

12

2 43

3

.

Grupând toate impedanţele după o latură într-o impedanţă echivalentă se obţine figura 7.R.2b, în care: 11C1L1R1 ZZZZ , jZZZ 2C2L2 şi

jZZ 3L3 .

a) Pentru rezolvarea circuitului cu metoda curenţilor ciclici, ecuaţiile generale sunt:

'22b221b21

'12b121b11

EIZIZEIZIZ

Fig. 7.R.2b Aplicarea metodei curenţilor ciclici

În care: jZZZ 12111 , jZZZ 22112 , 0'1 E şi

jJI 132b .

Înlocuind în relaţiile anterioare şi rezolvând sistemul de ecuaţii obţinut, rezultă jI 1b .

Valorile intensităţilor curenţilor reali prin laturi se obţin din valorile curenţilor ciclici, astfel:

21b1 1

j

ejII şi jeIII 111b2b2 . Scriind teorema Kirchhoff II se poate obţine şi tensiunea la bornele sursei ideale de curent: jeJZIZU 1133223J . Se face trecerea în domeniul timp:

Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii

-7-

]A[2

sin2)(1

tti , ]A[sin2)(2 tti ,

]V[sin2)(3j ttu .

b) Alegem nodul „0” ca fiind nod de referinţă, unde 00 V (fig.7.R.2c).

Pentru rezolvarea circuitului cu metoda potenţialelor la noduri, ecuaţia generală

este: sc1111 IVY , unde: jZZZ

Y

1111

32111 , jJI 13sc1 .

Fig. 7.R.2c Aplicarea metodei potenţialelor la noduri

Înlocuind în relaţia anterioară şi rezolvând ecuaţia obţinută, rezultă jV 1 . Luând fiecare latură în parte şi scriind căderile de tensiune pe fiecare element de

circuit obţinem : jZ

VVI

1

011 , 1

2

012

ZVV

I .

Scriind teorema Kirchhoff II pe bucla „b” se obţine relaţia pentru tensiune de la bornele sursei ideale de curent: 133223j

JZIZU .

Se face trecerea în domeniul timp:

]A[2

sin2)(1

tti , ]A[sin2)(2 tti ,

]V[sin2)(3j ttu .

c) Bilanţurile puterilor Puterea activă consumată în circuit este: W12

11c IRP . Puterea reactivă consumată în circuit se determină astfel:

var1211ImImIm32211 LCLCL

233

222

211c XXXXXIZIZIZQ

Puterea aparentă complexă generată se calculează astfel:

gg3jg 1)1(13

jQPjjJUS .

Capitolul VI1 –Teoreme generale Probleme propuse

-8-

Extragem puterea activă generată ca fiind: W1Re gg SP . La fel şi pentru puterea reactivă generată: var1Im gg SQ .

Se observă că gcgc , QQPP . Aşadar se verifică bilanţurile puterilor active şi puterilor reactive consumate, respectiv generate. Implicit se verifică bilanţul puterilor aparente complexe consumate, respectiv generate: gc SS .

R7.3. Pentru circuitul din figura 7.R.3 se cunosc: tte sin240)(1 [V],

100

21 LL mH, tte sin220)(2 [V], 1043 RR Ω,

10005 C µF,

2sin22)(6

ttj [A], Hz50f . Se cer:

a) rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; b) rezolvarea circuitului cu metoda curenţilor ciclici; c) rezolvarea circuitului cu metoda potenţialelor la noduri; d) bilanţurile puterilor .

Fig. 7.R.3 Problema R7.3

Rezolvare:

Schema în complex a circuitului este cea din figura 7.R.3a, în care se consideră:

1002 f , ,101L1jLjZ jLjZ 102L2

, 103R3 RZ ,

104R 4 RZ , j

CjZ 101

5C5

, 402

240 01 jeE ,

202

220 02 jeE , jeJ

j2

222 2

6

.

Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii

-9-

Fig. 7.R.3a Schema echivalentă în complex

a) rezolvarea circuitului cu metoda ecuaţiilor Kirchhoff

Observăm că avem 4 noduri, 6 laturi, iar numărul de bucle necesare metodei Kirchhoff este obţinut cu relaţia: 31 NLB (fig.7.R.3b). Astfel, se consideră sensurile alese ca în figura 7.R.3b.

Fig. 7.R.3b Aplicarea metodei ecuaţiilor Kirchhoff

Sistemul aferent metodei este următorul:

0:).(.

:).(.

:).(.0:)3.(.0:)2.(.0:)1.(.

6j55C44R3

155C33R11L2

244R33R22L1

642

435

132

UIZIZbKIIT

EIZIZIZbKIIT

EIZIZIZbKIITJIIKITIIIKITIIIKIT

Capitolul VI1 –Teoreme generale Probleme propuse

-10-

Rezolvând sistemul de 6 ecuaţii se obţin:

41 21

j

ejI şi în domeniul timp

4sin2)(1

tti [A];

42 21

j

ejI şi în domeniul timp

4sin2)(2

tti [A];

03 22 jeI şi în domeniul timp tti sin22)(3 [A];

43

4 21

jejI şi în domeniul timp

43sin2)(4

tti [A];

45 21

j

ejI şi în domeniul timp

4sin2)(5

tti [A];

06jU şi în domeniul timp 0)(6j tu [V].

b) rezolvarea circuitului cu metoda curenţilor ciclici

Avem 3 bucle, astfel 3 curenţi ciclici (fig.7.R.3c). Deoarece pe latura de indice

„6” avem o sursă ideală de curent alegem 61b JI .

Fig. 7.R.3c

Astfel sistemul aferent metodei este:

'33b332b321b31

'23b232b221b21

61b 2

EIZIZIZ

EIZIZIZ

jJI

,

unde: jZZ 105C21 , 105C3R1L22 ZZZZ , 103R3223 ZZZ ,

104R31 ZZ , jZZZZ 10204R3R2L33 , 401'2 EE ,

202'3 EE .

Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii

-11-

Rezolvând sistemul obţinut, rezultă că valorile curenţilor ciclici sunt: jJI 26b1

, jI 12b , jI 13b .

Valorile intensităţilor curenţilor reali prin fiecare latură se determină în funcţie de curenţii ciclici:

jII 12b1 , iar în domeniul timp

4sin2)(1

tti [A];

jII 13b2 şi în domeniul timp

4sin2)(2

tti [A];

23b2b3 III şi în domeniul timp tti sin22)(3 [A];

jIII 13b1b4 şi în domeniul timp

43sin2)(4

tti [A];

jIII 11b2b5 şi în domeniul timp

4sin2)(5

tti [A].

Aplicăm TK II pentru bucla unde circulă curentul ciclic 3bI :

0:.654 j5C4R UIZIZKIIT şi obţinem: 0

6jU , deci 0)(6j tu [V].

c) rezolvarea circuitului cu metoda potenţialelor la noduri

Fig. 7.R.3d

Alegem nodul „0” ca fiind nod de referinţă, unde 00 V . Ecuaţiile generale pentru metoda potenţialelor la noduri, considerând notaţiile din figura 7.R.3d, sunt:

sc3333232131

sc2323222121

sc1313212111

IVYVYVYIVYVYVY

IVYVYVY,

Capitolul VI1 –Teoreme generale Probleme propuse

-12-

în care: 10

21111

321 RLL11

jZZZ

Y ,

1011

3R2112

ZYY ,

101

1L3113

jZ

YY , 10

21111

3R4R5C22

jZZZ

Y ,

1011

4R3223

ZYY ,

101111

4R2L33

jZZ

Y

, j

ZE

ZEI 6

2L

2

1L

1sc1 ,

0sc2 I , jZEJI 4

2L

26sc3

Înlocuind în relaţia anterioară şi rezolvând ecuaţia obţinută, rezultă jV 10301 , jV 10102 şi 03 V .

Luând fiecare latură în parte şi scriind căderile de tensiune pe fiecare element de circuit obţinem:

jZ

VVEI

1

1L

1011 , j

ZVVE

I

12L

1322 , 2

3R

213

ZVVI ,

jZ

VVI

1

4R

234 , j

ZVV

I

15C

025 , 0036j

VVU .

Valorile intensităţilor curenţilor prin fiecare latură şi a tensiunii de la bornele sursei ideale de curent, în domeniul timp, sunt:

4sin2)(1

tti [A] ,

4sin2)(2

tti [A], tti sin22)(3 [A],

43sin2)(4

tti [A],

4sin2)(5

tti [A], 0)(6j tu [V].

d) Bilanţurile puterilor

Puterea activă consumată în circuit este: W60244

233c IRIRP .

Puterea reactivă consumată în circuit se determină astfel: var20222ImImIm

521521 CLL25C

22L

21Lc XXXIZIZIZQ .

Puterea aparentă complexă generată se calculează astfel:

gg6j2211g 2060)1(20)1(406

jQPjjjJUIEIES . Extragem puterea activă generată ca fiind: W60Re gg SP . La fel şi pentru puterea reactivă generată: var20Im gg SQ . Se observă că gcgc , QQPP . Aşadar se verifică bilanţurile puterilor active şi puterilor reactive consumate, respectiv generate. Implicit se verifică bilanţul puterilor aparente complexe consumate, respectiv generate: gc SS .