Teorema lui Noether (1918)
14
Teorema lui Noether (1918) Emmy Noether Emmy Noether Simetrie Conservare Orice simetrie continua independenta de timp a Lagrangianului t q q L L s s s s , , genereaza o integrala a miscarii. Data fiind o solutie a ecuatiei de miscare, putem utiliza simetria pentru a Data fiind o solutie a ecuatiei de miscare, putem utiliza simetria pentru a genera o familie continua de solutii genera o familie continua de solutii
description
Teorema lui Noether (1918). Simetrie. Conservare. Orice simetrie continua independenta de timp a Lagrangianului. genereaza o integrala a miscarii. Emmy Noether. Data fiind o solutie a ecuatiei de miscare, putem utiliza simetria pentru a genera o familie continua de solutii. - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of Teorema lui Noether (1918)
Teorema lui Noether (1918)
Emmy NoetherEmmy Noether
Simetrie Conservare
Orice simetrie continua independenta de timp a Lagrangianului
tqqLL ssss ,,genereaza o integrala a miscarii.
Data fiind o solutie a ecuatiei de miscare, putem utiliza Data fiind o solutie a ecuatiei de miscare, putem utiliza simetria pentru a genera o familie continua de solutiisimetria pentru a genera o familie continua de solutii
L are o simetrie continua daca este invariant la transformarea:
)(qhqq ss unde s este un parametru constant real, iar hs=0 este transformarea identica
-Dandu-se o cale (nu neaparat fizica) q(t), L are aceeasi valoare pentru toate caile familiei qs(t).
- Daca
0LdtS pe calea q(t) , atunci 0S pentru toti membriifamiliei qs(t)
- Daca
)()(0 tqtqs este o cale fizica, atunci toate caile qs(t) generate de
simetria hs sunt fizice
s
s
s q
Ldtd
qL
d/dt este derivata totalin lugul caii s=const.cum Ls=const. pe toata familia de cai, atunci
0sL
dtdq
sq
Lsq
q
Ldtd
sq
q
Lsq
qL
sL
s
ss
s
ss
s
ss
s
ss
s
q
q
Ldtd
sq
dtd
q
Lsq
q
Ldtd
s
s
s
ss
s
s
0),,(
dttqqdI ss
Integrala de miscaregenerata de simetria h.),,( const
sq
q
LtqqIs
ss
Conservare
Simetrie
Simetria de rotatie
Coordonate polare )(21 2
22
rVrrmL
srrqhs ,,:sq
q
LtqqIs
ss
),,(
1,0sqs
2),,( mrLtqqIs
ss
Coordonate carteziene )(21 22
22
yxVyxmL
sysxsysxyxqhs cossin,sincos,:
sss xysysxsysxsq ,sincos,cossin
sszssss
s
s
s
sss rrmexyyxmx
Lyy
LxtqqI ),,(
Conservarea momentului cinetic
Ne vedem in doua saptamani !
Sistem invariant in raport cu translatiile temporale
),(
qqLL
......)()()(0
00 ttdt
dqtttqtq
)(t
qttqtqq )()()( 0
t
t
t
t
dtqq
LqqLSdtqqLS
00
),(
qqqqtq )(
t
t
dtqqq
LqqLS
0
)(
daca )(t
t
t
t
t
dtqq
LqqLdtqq
q
LqqLS
00
)(
qdq
LqqL
dtdL
qdq
LdqqLdLqqLL ),(
t
t
ttLdt
dtdLS
0
0
S=f(punct. de capat ale limitei temporale)
daca )(t
t
t
dtqqq
LqqLS
0
)(
t
t
t
t
dtqq
LdtdLdtq
q
Lqq
LqqL
00
dtqq
Ldtdq
q
Ldtqq
L t
t
t
t
t
t
00
0
0)()( 0 tt
dtqq
LLdtdtdtq
q
Ldtd
dtdLS
t
t
t
t
00
)(
0
LLdtd .constq
q
LL
Posibilitatea obtinerii unor marimi care se conserva, direct din S, fara a utiliza ecuatiile de miscare !
Din invarianta actiunii la o transformare simetrica (≡ parametru independent de timp) rezulta intotdeauna marimi care se conserva
L = T – V
Daca Lagrangianul este invariant la o translatie temporalaConservarea energiei.
Sa presupunem ca x1, x2,…, xn sunt variabilele dinamice ce caracte-rizeaza starea fizica a unui sistem, fiecare din ele fiid o functie de timp, iar L(x1,x2,…,xn). Obtinerea ecuatiilor de miscare implica luarea in considerare a urmatorului set de variabile perturbate :
unde δi(t) sunt variatii arbitrare si apoi stabilirea conditiilor ce trebuiesc indeplinite pentru ca integrala din Ldt sa fie stationara, adica san nu fie afectata de o crestere a valorii parametrului variational ε.
Alegand ca aceasta sa fie nula cand ε = 0 astfel Xi = xi,
Neobservabile Simétrie in raport cu transformarea :
Legea de conservare
Pozitia spatiala absoluta
Translatia spatiala Impuls P
Timp absolut Translatia in timp Energie EOrientarea spatiala absoluta
Rotatia Moment cinetic L
Viteze, Orientari, Pozitii absolute(RR)
Transformari ale grupului Poincaré ( Lorentz + translatii in Spatiu si Timp)
Intervalul spatio-temporal s², Impuls P, moment cinetic L, Energie E
Orientari, Pozitii, Viteze si si Acceleratii absolute (RG)
- Covarianta generala- Difeomorfisme infinitezimale
-Invarianti topologici- Actiunea ( d'Hilbert) campurilor gravitationale si materiale
Diferenta intre particule identice
Permutarea Particulelor identice
Statistica Fermi-Dirac sau Bose-Einstein
a) Consideram o translatie elementara
ii
ii
iii
zz
yy
xxx
'
'
'
Fie un sistem inchis de N particule. Sa se deduca legile de conservare ale impulsului, momentului cinetic si energiei
)(2
2
i ji
jiijii rrUvmL
dtxxLx
xLS
t
t i ii
ii
i0
0dtxm
dtdtxmdttxm
t
t iii
t
tiii
t
t iii
000
)()( 0
0
i
iixmdtd .constxm
iii
translatie Conservarea impulsului
b) Consideram o rotatie elementara
ii
iiiii
iiiii
zz
xyxyy
yxyxx
'
'
'
dtxymyxmdtyymxxmSt
t i iiiiiii
t
t i iiiiiii
00
)()(
t
t iii
t
t
t
t i iiiii dttyx
dtdyxdttyx
000
)()()(
t
t iii
t
t
t
t i iiiii dttyx
dtdyxdttyx
000
)()()(
.0)(0
constxyyxmdtxyyxmdtdtS
iiiiii
t
t iiiiii
rotatie Conservarea momentuluicinetic (proiectia pe Oz)
