Teme Pentru Clasa a IX-A

TEME PENTRU CLASA A IX-A

MEDA BOJOR

FLORIN BOJOR

Cuprins

Partea 1. ALGEBRA 1

Capitolul 1. ECUATIA DE GRADUL AL DOILEA 2

Capitolul 2. NUMERE REALE 5

Capitolul 3. ELEMENTE DE LOGICA MATEMATICA 7

Capitolul 4. PROGRESII ARITMETICE SI GEOMETRICE 11

Capitolul 5. FUNCTII 15

Capitolul 6. FUNCTIA DE GRADUL AL DOILEA 19

Partea 2. GEOMETRIE 23

Capitolul 7. VECTORI 24

Capitolul 8. APLICATII ALE VECTORILOR IN GEOMETRIE 29

Capitolul 9. TRIGONOMETRIE 32

Capitolul 10. APLICATII ALE TRIGONOMETRIEI IN GEOMETRIE 36

Capitolul 11. INDICATII SI SOLUTII 39

Bibliografie 46

iii

Partea 1

ALGEBRA

CAPITOLUL 1

ECUATIA DE GRADUL AL DOILEA

TEMA 1

1. Sa se efectueze:a. (x 1)2 (x22)2 + (1 x)2 b. (a+ b)2 + (b+ c)2 + (c+ a)2 (a+ b+ c)2c. (a+ b c)2 + (a b+ c)2 + (a+ b+ c)2 d. (x 2)3 + (2 + x)3 2x (x+ 2)2

2. Sa se descompuna:a. x3 + 8; b. y3 64; c. n3 + 216; d. 2x3 + 128; e. 8t3 8; f. 250z4 2z.

3. Fie x, y R .a. Sa se demonstreze ca x2 + y2 + 4 2x 2y xy = 12

[(x 2)2 + (y 2)2 + (x y)2

];

b. Sa se rezolve ecuatia x2 + y2 + 4 = 2x+ 2y + xy4. Fie a, b, c R.

a. Sa se demonstreze ca a3 + b3 + c3 3abc = (a+ b+ c) (a2 + b2 + c2 ab bc ca) ;b. Sa se arate ca daca a3 + b3 + c3 = 3abc atunci a+ b+ c = 0 sau a = b = c.

5. Fie a, b, c R astfel ncat a+ b+ c = 0. Sa se demonstreze ca:

a3 + b3

a2 ab+ b2 +b3 + c3

b2 bc+ c2 +c3 + a3

c2 ca+ a2 = 0.

TEMA 2

1. Sa se rezolve ecuatiile:a. x2 5x+ 6 = 0; b. x2 + 3x+ 1 = x; c. 2x2 3x+ 4 = x2 + 1;d. (x+ 1)

2 3x = (2x+ 1)2 8; e. (2x+ 1)3 = 8x3 + 1; f. (x+ 1)3 (x 1)3 = (x+ 2)2 1.2. Sa se rezolve ecuatiile, unde m este un parametru real:

a. x2 (m+ 2)x+ 2m = 0; b. mx2 (2m 1)x+m 1 = 0; m 6= 0;c. x2 + (2m+ 1)x+m2 +m = 0; d. x2 + (3m 1)x 3m = 0.

3. Fie a, b, c R, a 6= 0 astfel ncat 4a+2b+c = 0. Sa se rezolve ecuatia: ax2 +bx+c = 0.4. Aflati un numar real care sa fie cu 4,8 mai mare decat inversul sau.5. Un poligon convex are 275 diagonale. Cate laturi are poligonul ?6. Sa se determine x R stiind ca lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic sunt x,x+ 1 respectiv x+ 2.

7. Sa se rezolve ecuatiile:a. x+2x1 =

2x+4x ; b.

1x1 =

3x2x+2 ; c.

3x7x+2 =

x52x+1 ;

d. 6x21 +3

x+1 =2

x1 + 1; e.x1x+1 +

x+3x3 = 2; f.

3x1x+1 +

x+12x1 = 3.

TEMA 3

1. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii, reducandu-le la ecuatii de gradul al doilea:a.x3 27 = 0; b. x4 5x2 + 4 = 0; c. x4 2x2 63 = 0;d. x2 4x+ 10x24x+5 = 2; e.

(x2 + 3x+ 2

) (x2 + 3x+ 3

)= 12; f.

(x2 2x)2 2 (x2 2x) 3 = 0;

g. x4 + 2x3 7x2 8x+ 12 = 0; h. x (x+ 1) (x+ 2) (x+ 3) = 24; i. (x 2) (x+ 1) (x+ 4) (x+ 7) = 19.2. Sa se determine patru numere ntregi consecutive al caror produs este 360.

2

Meda si Florin Bojor Teme pentru clasa a IX-a

3. Folosind schema lui Horner sa se rezolve ecuatiile:a. x3 3x2 x+ 3 = 0; b. x3 x2 4 = 0; c. x3 + 2x2 + 2x+ 1 = 0;d. 2x3 10x2 3x+ 15 = 0; e. 2x3 x2 + 20 = 0; f. x3 + 3x2 3x+ 35 = 0.

4. Sa se rezolve ecuatiile:a. (x 1)3 + (x+ 2)3 = x 1 + 2 (x+ 2)2; b. (2x+ 1)2 + (2x 1)3 = 26x;c. xx+1 +

2x1 =

x4x+2 ; d.

x2

x2+x2 2x21 = 2xx2+3x+2 .TEMA 4

1. Sa se rezolve inecuatiile:a. 2x+ 3 6 x 5; b. 4x+ 3 > 3 (3x+ 2); c. (x+ 2)2 < 3 + (x+ 3)2.

2. Sa se determine semnul functiilor f : R R, definite prin:a. f (x) = 2x 2; b. f (x) = 4x+ 3; c. f (x) = 2 3x.

3. Sa se rezolve inecuatiile:a. x2x+1 > 0; b.

2x+112x > 0; c.

2x+1x+2 6 3; d.

x+1x1 6

x2x2 .

4. Sa se determine solutiile ntregi ale inecuatiilor:a. (x+ 1) (2x 8) < 0; b. x312x > 0; c. 2x+1 > 3.

TEMA 5

1. Sa se determine semnul functiilor f : R R, definite prin:a. f (x) = x2 + x 2; b. f (x) = x2 4x 3; c. f (x) = 4 3x x2.

2. Sa se rezolve inecuatiile:a. 2x2 + 3x 1 > 0; b. 2x2 2x 6 12 ; c. x2 4x+ 7 > 0;d. x2 2x+ 7 > x+ 5; e. 2x+ 1 < (2x 1)2; f. (3x+ 1)2 < (2 x)2.

3. Sa se rezolve inecuatiile:a.(x2 5x+ 4) (2x2 3x+ 3) 6 0; b. x3 + 2x2 x 2 < 0; c. x4 + 4x2 5 < 0;

d. x+1x+3 6x1x+2 ; e.

x2+x+1x2x+1 > 3; f.

x2+xx1 >

x2xx+1 .

4. Sa se rezolve n N inecuatiile:a. 2x2 5x+ 3 < 0; b. x+1x2+1 > 1; c.

(x2 5x+ 6) (x2 6x+ 5) 6 0.

TEMA 6

1. Sa se determine m R astfel ncat urmatoarele ecuatii sa admita doua solutii reale sidistincte:a. x2 + (m+ 2)x+ 4 = 0; b. (m+ 1)x2 (2m 1)x+m = 0; c. mx2 + 2xm = 0.

2. Sa se determine m R astfel ncat urmatoarele ecuatii sa aiba o singura solutie reala:a. x2 + (m 3)x+ 1 = 0; b. (m2 + 1)x2 + 22x+m = 0; c. x2 (2m 1)xm = 0.

3. Sa se determine m R astfel ncat urmatoarele ecuatii sa nu admita solutii reale:a. x2 + (m+ 5)x+ 8m+ 1 = 0; b. mx2 + 2x+m = 0; c. (m 2)x2 (2m 1)x+ 1 = 0.

4. Sa se arate ca urmatoarele ecuatii admit solutii reale, unde a, b, c R, a 6= 0:a. ax2 2bx a = 0; b. ax2 (a+ b)x+ b = 0; c. ax2 2a2 + b2 x+ 2b = 0.

TEMA 7

1. Scrieti relatiile lui Viete pentru urmatoarele ecuatii si deduceti solutiile lor:a. x2 3x+ 2 = 0; b. x2 + 3x 4 = 0; c. x2 4x+ 4 = 0.

2. Fie x1 si x2 solutiile ecuatiei x2 + x 1 = 0. Sa se calculeze:

a. x21 + x22; b. x

31 + x

32; c. x

41 + x

42; d. x

51 + x

52;

e. 1x1 +1x2

; f. x1+1x2+2 +x2+1x1+2

; g. 1x21+x1+2

+ 1x22+x2+2

; h.(x21 + x1 + 1

)2+(x22 + x2 + 1

)2.

3. Sa se determine parametrul real a astfel ncat ntre radacinile x1, x2 ale ecuatiilorurmatoare sa existe relatia scrisa n dreptul lor:a. x2 (a+ 1)x+ a = 0; x21 + x22 = 5; b. ax2 (2a+ 1)x+ 1 = 0, x1 + x2 = x1 x2 ;c. x2 + ax+ a+ 1 = 0, x1+x2x1x2 = 2a; d. x

2 + (a+ 1)x+ a = 0, x31 + x32 = 9.

3


4. Se considera ecuatia x2 (2a+ 1)x + 4a 2 = 0 , unde a R cu solutiile x1 si x2. Sase determine parametrul real a astfel ncat urmatoarele relatii sa fie adevarate:a. 2 (x1 + x2) > x1x2; b. x1 + x2 < x21 + x22; c. x31 + x32 > 9;d. 1x1 +

1x2

; e. x1x1+2 +x2x2+2

< 56 ; f.2x21x1 +

2x11x2 > 1.

TEMA 8

1. Sa se simplifice urmatoarele fractii:

a. x23x+2x2+5x6 ; b.

2x23x+14x24x+1 ; c.

x2(m+2)x+2mx2(m1)xm .

2. Fie x1 si x2 solutiile ecuatiei x2 3x 1 = 0. Sa se determine ecuatia de gradul al doilea

cu necunoscuta y care sa aiba ca solutii:a. y1 = x

21, y2 = x

22; b. y1 =

1x1, y2 =

1x2

; c. y1 = x1 +2x1, y2 = x2 +

2x2

.

3. Fie x1 si x2 solutiile ecuatiei mx2+(2m+ 1)x+1 = 0, m R. Sa se determine ecuatia

de gradul al doilea cu necunoscuta y care sa aiba ca solutii:a. y1 = 2x1, y2 = 2x2; b. y1 = x1 + 1, y2 = x2 + 1; c. y1 = x1, y2 = x2;

4. Sa se determine parametrii reali a si b stiind ca urmatoarele ecuatii au aceleasi solutii:a. (a+ 1)x2 2bx+ 3 = 0 si (2a+ 3)x2 (b+ 1)x+ 3 = 0, a 6= 1, a 6= 32 ;b. x2 (2b+ 2)x a+ 1 = 0 si 3x2 + (b+ 2)x 1 + 3a = 0;c. (a+ 1)x2 + 2bx+ a+ 3 = 0 si (b+ 3)x2 + (a+ 3)x+ b+ 7 = 0, a 6= 1, b 6= 3.

5. Determinati m R stiind ca urmatoarele ecuatii au o solutie comuna:a. x2 + 3x+m+ 2 = 0 si x2 x+m 2 = 0;b. x2 + (m 2)x+ 4 = 0 si x2 + (m 1)x+ 3 = 0;c. 2x2 (m+ 2)x+ 2m+ 1 = 0 si 2x2 (m+ 1)x+m = 0.

TEMA 9

1. Determina m R astfel ncat ecuatia mx2 (2m+ 1)x + m + 2 = 0 sa admita douasolutii pozitive.

2. Determina m R astfel ncat ecuatia x2 + (2m+ 1)x+m+ 1 = 0 sa admita doua solutiinegative.

3. Determina m R astfel ncat ecuatia (m+ 1)x2 (3m+ 1)x m = 0 sa admita douasolutii de semne contrare.

4. Sa se discute natura si semnele solutiilor urmatoarelor ecuatii, unde m R :a. x2 mx+m 1 = 0; b. mx2 (2m+ 1)x+m = 0.

TEMA 10

1. Determinati a R astfel ncat solutiile ecuatiilor sa ndeplineasca conditiile indicate:a. ax2 (2a 1)x+ a = 0, x1 < 1, x2 < 1; b. ax2 x+ a = 0, x1 > 2, x2 < 2;c. (a+ 1)x2 2 (a+ 2)x+ a+ 3 = 0, x1 > 3, x2 > 3; d. x2 (3a 2)x+ a+ 1 = 0, x1 6 1, x2 6 1.

2. Sa se determine a R astfel ncat ecuatia ax2 (a 2)x+ 2a 4 = 0 sa admita:a. doua radacini supraunitare;b. doua radacini negative cu modulul supraunitar;c. o radacina supraunitara si una subunitara pozitiva.

3. Demonstrati ca pentru orice a R ecuatia x2 (a2 + 3)x + 2a2 + 2 = 0 are solutiilesupraunitare.

TEMA 11

1. Demonstrati ca ecuatia ax2 (a+ b)x+ b = 0, a, b Q are toate solutiile rationale.2. Determinati m Z astfel ncat ecuatia x2 (m+ 4)x+m = 0 sa admita solutii ntregi.3. Demonstrati ca ecuatia (2m+ 1)x2(4m+ 1)x+3 = 0, m Z, nu admite solutii ntregi.4. Sa se demonstreze ca daca ecuatia ax2 + bx+ c = 0, a, b, c Q admite o solutie rationala

atunci toate solutiile ecuatiei sunt rationale.

4

CAPITOLUL 2

NUMERE REALE

TEMA 1

1. Sa se scrie urmatoarele multimi folosind intervale:a. A = {x R | |x| < 2}; b. B = {x R | |x| > 3}; c. C = {x R | |x+ 1| > 3}.

2. Sa se calculeze:

a.3 1+ 32 1; b. (12)2 +(22)2; c. 4 23 +7 43.

3. Fie x, y, z R astfel ncat |x| 6 1, |y| 6 2, |z| 6 3. Sa se demonstreze ca:a. |x+ y + z| 6 6; b. |x+ 2y 3z| 6 14; c. |xy + yz + zx| 6 11.

4. Se considera numerele reale x, y, z astfel ncat |x 2y + 3z| 6 1 , |2x+ y z| 6 2 si|y 2x 2z| 6 3. Sa se demonstreze ca |x| 6 6.

TEMA 2

1. Sa se rezolve n R urmatoarele ecuatii:a.x2 3x+ 1 = 1; b. |x+ 2|+ |2x 1| = 3; c. ||x|+ |x+ 2|| = 3;

d.x2 4 |x+ 2| = 2; e. |2x+ 3| = x2 + 4x; f. |x |x 1|| = 1.

2. Sa se rezolve n R urmatoarele ecuatii:a. 2x2x29 = 2; b. x2+4x+3x23x+2 = 12; c. |x24x|+4x24 = 75 .

TEMA 3

1. Sa se rezolve n R urmatoarele ecuatii:a. |2x+ 1| 6 5; b. |x+ 1| |2x+ 3| > 3; c. |x 1|+ |x 1| 6 2;d. |x 1|+ |x+ 3| 6 |x|+ 3; e. |4 2x| |x 1| > |x 5| 3; f. 2 |3x+ 3| |2x+ 2| > |x+ 2|.

2. Sa se rezolve n R urmatoarele ecuatii:a.x+1x1 > 3; b. |x|+1|x+1| < 1; c. |x+2|2|x1|1 > 12 .

TEMA 4

1. Sa se rezolve n R urmatoarele ecuatii:a.x2 2x+ 3 > 3; b. x2 4x+ 3 |x 1| > 2;

c.x2 3x+ 2 |x 1| 6 x2 5x+ 6; d. 4x2 + 3x 1+ x2 + 6x+ 5 6 6.

2. Sa se rezolve n R urmatoarele ecuatii:a.x23x+2x2+4x+3 6 1; b. |x2+4x|+3x2+|x+2| > 1; c. |x+2||x21| x4x1 > 2.

TEMA 5

1. Sa se calculeze:a.[

2011]; b.

[110]; c. [ 12 3]; d. { 214 }; e. {31}; f. {3, 21 + 54}.

2. Se considera expresia E (x) = 1[x] +2{x} .

a. Sa se determine multimea valorilor lui x R pentru care expresia E (x) are sens;b. Sa se calculeze E (1, 5) , E (1, 3) , E (2).

3. Sa se demonstreze ca: [x] +[x+ 14

]+[x+ 12

]+[x+ 34

]= [4x] pentru orice x R.

4. Sa se calculeze[

9n2 + 3n]

si sa se demonstreze ca{

9n2 + 3n}< 12 .

5


TEMA 6

Sa se rezolve n R urmatoarele ecuatii:a.[x+23

]= 5; b.

[x+12

]= 1; c. [2x] = x+ 12 ; d.

[x+13

]= x 2;

e.[x+12

]= x+23 ; f.

[3x+45

]= 4x+35 ; g.

[x+12

]= 2x; h.7 [x]

2 8 [x] + 1 = 0.TEMA 7

Sa se rezolve n R urmatoarele ecuatii:a. {x} = 12 ; b. {x+ 2} = 13 ; c.

{x+12

}= 13 ; d.

{3x12

}=[x+13

];

e.{x+23

}= x+12 ; f. {2x+ 1} = x+12 ; g. 3 {x}2 4 {x}+ 1 = 0; h.{x}+

{x+ 12

}= x.

TEMA 8

1. Sa se rezolve sistemele:

a.

{x+ [y] = 10, 9

[x] + 2y = 12, 3; b.

{2x+ [y] = 26, 4

[x] + y = 13, 7.

2. a. Sa se demonstreze ca: [x] +[x+ 12

]= [2x] , x R;

b. Sa se rezolve ecutia:[x+32

]+[x+42

]= 2x+13 .

3. a. Sa se demonstreze ca daca a, b, c R si a2 + b2 + c2 = ab+ bc+ ca atunci a = b = c.b. Sa se rezolve ecutia:

[2x+13

]2+[3x+14

]2+ 1 =

[2x+13

] [3x+14

]+[2x+13

]+[3x+14

].

TEMA 9

1. Sa se demonstreze urmatoarele inegalitati unde a, b, c R:a. (a+ b+ c)

2 6 3(a2 + b2 + c2); b. a2 ab+ b2 2a+ b+ 2, 5 > 0;c. a2 + b2 + c2 + 1, 5 >

2 (a+ b+ c); d. 4

(a6 + b6

)>(a2 + b2

)3.

2. Sa se demonstreze urmatoarele inegalitati unde a, b, c > 0:

a. a+b2 6a2+b2

a+b ; b.a2

bc +b2

ac +c2

ab > 3; c. a3 + b3 > ab (a+ b); d.1a+b 6

14

(1a +

1b

).

3. Sa se demonstreze urmatoarele inegalitati unde a, b, c > 0:

a.a+b

2 6

a+b2 ; b.

a+b2 6

a2+b2

2 ; c.

(a+ c) (b+ d) >ab+

cd.

TEMA 10

1. Sa se demonstreze urmatoarele inegalitati unde a, b, c > 0:a. (a+ b) (b+ c) (c+ a) > 8abc; b.

(1 + a2

) (1 + b2

) (1 + c2

)> 8abc;

c. a+ b+ c >ab+

bc+

ca; d. (a+ 1) (b+ 1) (a+ c) (b+ c) > 16abc.

2. Sa se demonstreze urmatoarele inegalitati unde a, b, c > 0:a.a+b+c 6 a+b+c+32 ; b.

a (b+ c) +

b (c+ a) +

c (a+ b) 6 32 (a+ b+ c);

c. 2aba+b +2bcb+c +

2cac+a 6

ab+

bc+

ca; d.

4a+ 1 +

4b+ 1 +

4c+ 1 6 2 (a+ b+ c) + 3.

3. Sa se demonstreze urmatoarele inegalitati unde a1, a2, ..., an > 0:a. (a1 + 4) (a2 + 4) ... (an + 4) > 4na1a2...an;b.(x21 + 1

2) (x22 + 2

2)...(x2n + n

2)> 2n (1 2 ... n) x1x2...xn.

6

CAPITOLUL 3

ELEMENTE DE LOGICA MATEMATICA

TEMA 1

Sa se determine valoarea de adevar a urmatoarelor propozitii:

a.

(3 2)2 28 163 + 332 (6)2 N;

b. min(1, 41,2; 75) = 2;

c.(

2 +

3 +

23)2

+(

3 +

5

35)2

/ Z;d. A 500-a zecimala a numarului 2013 este cifra 3;e. Puterile cu exponent natural ale lui 3 sunt divizibile cu 3;

f.313

+5315

+7535

+9763 Q\Z;

g. Numerele n,n2 + n,

n2 + 2n, n N au aceeasi parte ntreaga.

TEMA 2

1. Se considera propozitiile:p: Numerele 2, 14, 24 sunt direct proportionale cu numerele 0, (3) ; 2, (3) ; 4 ;q : Nu exista numere pare care sa fie prime.Sa se determine valoarea de adevar a urmatoarelor propozitii:p q, p q, p q, q p, q p.

2. Sa se verifice urmatoarele echivalente:a. p (q r) (p q) (p r); b. (p q) p q;c. p q q p; d. (p q r) p q r.

TEMA 3

1. Sa se determine multimea de adevar a predicatelor:

a. p (x) :(3x2 1

)2 (x2 + 1)2 = (x 1) (2x+ 2) , x Z;b. p (x) :

4x2 12x+ 9 6 |3 2x|+ 15 = 0, x Q;

c. p (x) :[x13

]= x+14 , x R;

d. p (x) : x2 7x 18 6 0, x N.2. Fie predicatul binar p (a, b) :

(a+ b+ 5)

2+

(a+ b 9)2 Z, a, b R.

a. Determinati valoarea de adevar a propozitiilor p(12 , 12

); p (1,2) ; p ( 35 ; 1, 6);

b. Sa se precizeze valoarea de adevar a propozitiilor (a) (b) p (a, b) , (a) (b) p (a, b) , (a) (b) p (a, b);c. Demonstrati ca propozitia () a (2, 5) , () b (3, 4) p (a, b) N este adevarata.

TEMA 4

1. Sa se determine urmatoarele multimi:

a. A ={x Z 2x2 + 3x+ 1 = 0}; b. B = {x N 2x+4x5 N };

c. C ={x Z

x2+x+2x+3 N }; d. D = {x Z x2+2x+1x2+1 Z}.7


2. Sa se determine urmatoarele multimi:a. A =

{m R x R astfel ncatx2 + (m 2)x+ 9 = 0};

b. B ={m Z x Z astfel ncatx2 + (m+ 1)x+ 4 = 0};

c. C ={m Z x R astfel ncatmx2 + (2m 1)x+ 3m+ 1 = 0}.

3. Determinati cardinalul urmatoarelor multimi. Discutie dupa valorile parametrului real m:a. A =

{x R x2 + (m 1)x+ 36 = 0}; b. B = {x R mx2 + (m 2)x+ 2m 4 = 0};

c. C ={x R x2 + (2m 2)x+m+ 1 = 0}; d. D = {x R mx2 + (2m+ 1)x+m+ 1 = 0}.

4. Sa se demonstreze urmatoarele relatii:a. Daca A =

{x N 3x2 7x+ 2 = 0} si B = {x N | |2x 2| < 3 } atunci A B;

b. Daca A = {3p+ 1 | p N}, B = {2q + 1 | q N} si C = {6r + 1 | r N} atunci A B = C;5. Determinati m R astfel ncat urmatoarele multimi sa contina doua elemente:

a. A ={x R x2 (2m+ 1)x+ 2m = 0}; b. B = {x R mx2 (m 1)x+m = 0};

c. C ={x R x2 mx+m = 0} [0, ); d. D = {x R x2 mx+ 3m = 0} [1, ).

6. Determinati parametrul real m astfel ncat urmatoarele multimi sa contina un element:a. A =

{x R x2 (2m 1)x+ 2m 1 = 0}; b. B = {x R mx2 (3m 2)x+m = 0};

c. C ={x R x2 x+ 2m = 0} [0, ); d. D = {x R x2 2mx+m = 0} [1, ).

7. Determinati parametrul real m astfel ncat urmatoarele multimi sa fie vide:a. A =

{x R x2 + (2m+ 1)x+m+ 1 = 0}; b. B = {x R mx2 (m 1)x+m = 0};

c. C ={x R x2 mx 3m = 0} [0, ); d. D = {x R x2 2mxm = 0} [1, ).

TEMA 5

1. Sa se demonstreze ca urmatoarele numere sunt irationale:a.

3; b.

10; c.

2 + 1; d.

2 +

5.2. Sa se demonstreze ca daca a Q si b R\Q atunci a+ b R\Q.3. Sa se demonstreze ca: a, b R\Q, a 6= b astfel ncat a+ b Q .4. Sa se demonstreze ca daca a, b, c, d Q si a+ b3 = c+ d3 atunci a = c si b = d .5. Sa se determine a, b Q astfel ncat x1 = 1

3 sa fie solutie a ecuatiei x2 +ax+ b = 0.

6. Aratati ca pentru orice m R, ecuatia 3x2 +(6m 1)x+m26m3 = 0 nu are solutia2

TEMA 6

Folosind metoda inductiei matematice sa se demonstreze urmatoarele egalitati:a. 1 + 3 + 5 + ...+ (2n 1) = n2, n > 1;b. 1 2 + 2 3 + ...+ n (n+ 1) = n(n+1)(n+2)3 , n > 1;c. 112 +

123 + ...+

1n(n+1) =

nn+1 , n > 1;

d. 22

13 32

24 ... n2

(n1)(n+1) =2nn+1 , n > 2;

e. 1 + 12 +122 + ...+

12n = 2 12n

f. 213 +535 + ...+

n2+1(2n1)(2n+1) =

n(n+3)2(2n+1) ,n > 1;

g. 14 + 24 + ...+ n4 =n(n+1)(2n+1)(3n2+3n1)

30 .

TEMA 7

Folosind metoda inductiei matematice sa se demonstreze urmatoarele egalitati:

a. 213 +535 + ...+

n2+1(2n1)(2n+1) =

n(n+3)2(2n+1) ,n > 1;

b. 112+21

+ 123+32

+ ...+ 1nn+1+(n+1)

n

= 1 1n+1

, n > 1;c. 13 +

232 + ...+

n3n =

34 2n+343n , , n > 1;

d. 1123 +1

234 + ...+1

n(n+1)(n+2) +1

2(n+1)(n+2) =14 , n > 1;

e. 114 +147 + ...+

1(3n2)(3n+1) +

13(3n+1) =

13 , n > 1;

f. 11+x +2

1+x2 +22

1+x4 + ...+2n

1+x2n =1

1x +2n+1

1x2n+1 , n > 1, x 6= 1;8


g. 1 12 + 13 14 + ...+ 12n1 12n = 1n+1 + 1n+2 + ...+ 12n , n > 1.TEMA 8

Folosind metoda inductiei matematice sa se demonstreze urmatoarele inegalitati:a. 2n > n+ 1, n N; b. 3n+1 > 3n+ 1, n N; c. 2n > n2, n > 5;d. 4n > n2 + 2n+ 2, n > 2; e. 2n + 3n 6 5n, n > 1; f. 2n 6 n!, n > 4.

TEMA 9

Folosind metoda inductiei matematice sa se demonstreze urmatoarele inegalitati:

a. 1 +

2 + ...+n > 1+

n

2 , n > 1; b. 12 34 56 ... 2n12n > 12n , n > 1;c. 12 34 ... 2n12n < 12n+1 , n > 1; d.

n 6 1 + 1

2+ 1

3+ ...+ 1

n6 2n, n > 1;

e.

2 +

2 + ...+

2

n radicali

< 2, n > 1; f.n+

n 1 +

n 2 + ...+

2 +

1 6 n+ 1.n > 1.

TEMA 10

Sa se calculeze urmatoarele sume:a. 1 + 3 + 5 + ...+ (2n 1); b. 1 2 3 + 2 3 4 + ...+ n (n+ 1) (n+ 2);c. 1 3 + 2 4 + ...+ n (n+ 2); d. 12 + 32 + 52...+ (2n 1)2;e. 2 3 + 3 8 + ...+ n (n2 1); f. 1 22 + 2 32 + ...+ (n 1)n2;g. 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + ...+ (1 + 2 + 3 + ...+ n); h. 1 n+ 2 (n 1) + 3 (n 2) + ...+ n 1.

TEMA 11

1. Sa se calculeze urmatoarele sume:a. 113 +

135 + ...+

1(2n1)(2n+1) ; b.

113 +

124 +

135 + ...+

1n(n+2) ;

c. 115 +159 + ...+

1(4n3)(4n+1) ; d.

1147 +

14710 + ...+

1(3n2)(3n+1)(3n+4) ;

e. 1135 +1

246 + ...+1

n(n+2)(n+4) ; f.1

1234 +1

2345 + ...+1

n(n+1)(n+2)(n+3) .

2. Se considera suma Sn =7

1323 +19

2333 + ...+3n2+3n+1n3(n+1)3

.

a. Sa se demonstreze ca 3k2+3k+1

k3(k+1)3= 1k3 1(k+1)3 , k N;

b. Sa se calculeze suma Sn;c. Sa se demonstreze prin metoda inductiei matematice rezultatul gasit.

3. Se considera suma Sn =3

410 +9

1028 + ...+3n

(3n+1)(3n+1+1) , n > 1.a. Sa se demonstreze ca 3

k

(3k+1)(3k+1+1)= 12

(1

3k+1 1

3k+1+1

), k N;

b. Sa se calculeze suma Sn;c. Sa se demonstreze prin metoda inductiei matematice rezultatul gasit.

TEMA 12

1. Sa se calculeze urmatoarele produse:a.(1 12

) (1 13

) ... (1 1n); b. (1 + 11) (1 + 12) ... (1 + 1n);c. 2

2

13 32

24 ... n2

(n1)(n+1) ; d.1423 2534 ... n(n+3)(n+1)(n+2) ;

e.(1 432

) (1 442

)...(1 4n2

); f.

(1 + 1a

) (1 + 1a+1

) ...

(1 + 1a+n

).

2. Se considera produsul Pn =(1 + 11

) (1 + 21+2

)(1 + 31+2+3

)...(

1 + n1+2+...+n

), n N.

a. Sa se demonstreze ca 1 + 11+2+...+k =k+3k+1 , k > 1;

b. Sa se calculeze produsul Pn;c. Sa se demonstreze prin metoda inductiei matematice rezultatul gasit.

3. Se considera produsul Pn =(1 29

) (1 228

)...(

1 2n3+1)

, n N.9


a. Sa se demonstreze ca 1 2k3+1 =(k1)(k2+k+1)(k+1)(k2k+1) , k > 1;

b. Sa se calculeze produsul Pn;c. Sa se demonstreze prin metoda inductiei matematice rezultatul gasit.

TEMA 13

Folosind metoda inductiei matematice sa se demonstreze ca pentru orice n N au locrelatiile:

a. 11n+2 + 122n+1...133; b. 4n + 15n 1...9; c. 3 52n+1 + 23n+1...17;

d. n3 n...6; e. n3 + 5n...6; f. n3 + (n+ 1)3 + (n+ 2)3 ...9.

10

CAPITOLUL 4

PROGRESII ARITMETICE SI GEOMETRICE

TEMA 1

1. Sa se determine primii 5 termeni ai urmatoarelor siruri:

a. (an)n>0 , an =n2n+1n+2 ; b. (bn)n>0 , bn =

n2 + 1;

c. (cn)n>0 , c0 = 2, cn+1 = 2cn 3; d. (dn)n>1 , d1 = 2, dn+1 = dn+2dn+4 .2. Sa se identifice termenul general al urmatoarelor siruri de forma (an)n>1:

a. 1, 3, 5, 7, 9, ...; b. 1, 12 , 13 , 14 , 15 , ...; c. 12 , 23 , 34 , 45 , ....3. Sa se identifice termenul general al urmatoarelor siruri de forma (an)n>1, dupa care sa

se demonstreze prin inductie formula gasita:a. (an)n>1 , a1 = 1, an+1 =

a2n + 2, n > 1; b. (bn)n>1 , b1 = 0, bn+1 = 2bn + 1, n > 1;

c. (cn)n>1 , c1 = 1, cn+1 =cncn+2

, n > 1; d. (dn)n>1 , d1 = 1, d2 = 2; dn+2 = 4dn+1 4dn, n > 1.TEMA 2

Sa se determine monotonia urmatoarelor siruri:

a. (an)n>0 , an =n+1n+2 ; b. (bn)n>0 , bn =

n2+nn+2 ; c.(cn)n>0 , cn =

2n+1

4n+2 ;

d.(dn)n>0 , dn =n+ 2n; e. (en)n>1 , en =

nk=1

1k(k+1)(k+2) ; f. (fn)n>1 , fn =

nk=1

k2+2kk2+4k+3 ;

g. (gn)n>0 , g0 = 1 gn+1 = gn + 2; h. (hn)n>1 , h1 = 1 3hn+1 = 5hn 2; i. (in)n>1 , i1 = 1, in+1 = in + n+ 1.TEMA 3

1. Sa se determine primul termen si ratia progresiei aritmetice (an)n>1 n fiecare din cazurile:a. a5 = 6, a9 = 10; b. a2 + a4 = 22, a3 + a5 = 28; c. a2 + a5 = 7, a1a4 = 4;d. a21 + a

22 = 10, r = 2; e. a

32 + a

33 = 1, a1 = 2; f. a2 a3 = a1 a7, a1 a5 = 2a6 a3 + 2.

2. Fie (an)n>1 o progresie aritmetica. Daca a20 = 100 si a15 = 75, calculati a3, a10, a14..3. Fie (an)n>1 o progresie aritmetica. Daca an = n si am = m, unde m,n N si m 6= n, sa

se demonmstreze ca ap = p, p N.4. Sa se determine progresia aritmetica formata din trei termeni care ndeplineste conditiile:

suma primilor trei termeni ai progresiei este 3, iar produsul lor este 3.5. Demonstrati ca numerele

7,

14,

21 nu pot fi termeni ai unei progresii aritmetice.

TEMA 4

1. Fie (an)n>1 o progresie aritmetica. Daca S10 = 55 si S12 = 78, calculati a10 si S11.2. Fie (an)n>1 o progresie aritmetica. Daca Sn = n

2 si Sm = m2, unde m,n N si m 6= n,

sa se demonstreze ca Sp = p2, p N.

3. Fie (an)n>1 o progresie aritmetica astfel ncat 5a23 + a

25 + 10 (a3 + a5 + 3) = 0 sa se

calculeze a5, a11, S10.4. Sa se rezolve ecuatiile.

a. (x 1) + (x+ 1) + (x+ 3) + ...+ (x+ 41) = 506;b. 1 + 5 + 9 + ...+ x = 231;c. x+1x +

x+2x + ...+

2x1x = 21.

11


5. Sa se determine termenul general an al unei progresii aritmetice, stiind ca suma primilortermeni este:a. Sn =

18

(n n2); b. Sn = 5n2 3n; c. Sn = 8n2 6n.

6. O tribuna a unui stadion are 30 de locuri pe primul rand, 32 de locuri pe al doilea rand,34 de locuri pe al treilea rand si asa mai departe. Daca tribuna are 20 de randuri, sa secalculeze cate locuri are tribuna.

7. Un tamplar construieste o scara cu 10 trepte pe care le micsoreaza uniform, de la 60 cmla baza pana la 45 cm ultima treapta. Determinati lungimea scarii.

TEMA 5

1. Sa se determine x Q astfel ncat urmatarele numere sa fie termeni consecutivi ai uneiprogresii aritmetice:a. x2 + 1, 2x+ 2, x2 + 3x+ 2; b. 1 + x2, (1 x)2 , (1 + x)2; c. x4x2 , 2x+1 , 2x+12 .

2. Daca numerele reale a, b, c sunt n progresie aritmetica, sa se demonstreze ca:a. a2 + c2 = b2 + d2 + 12 (b d) (a+ b+ c+ d); b. a3 + d3 = b3 + c3 + 3 (b c) (ab cd).

3. Sa se arate ca daca numerele reale a, b, c sunt n progresie aritmetica atunci si urmatoarelenumere sunt n progresie aritmetica:

i. a2 + ab+ b2, a2 + ac+ c2 si b2 + bc+ c2 ;ii. a2 bc, b2 ca si c2 ab ;iii. a2 (b+ c) , b2 (c+ a) si c2 (a+ b).

4. Sa se determine x, y Q astfel ncat numerele: 2x+3y2, y+(x+ 3)2 si x+y+2x2,sa fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

TEMA 6

1. Fie (an)n>1 o progresie aritmetica nenula cu ratia r 6= 0:a. Sa se demonstreze ca: 1akak+1 =

1r

(1ak 1ak+1

), k > 1;

b. Sa se calculeze suma: 1a1a2 +1

a2a3+ ...+ 1anan+1 ; n > 1.

2. Fie (an)n>1 o progresie aritmetica nenula cu ratia r 6= 0:a. Sa se demonstreze ca: 1akak+1ak+2 =

12r

(1

akak+1 1ak+1ak+2

), k > 1;

b. Sa se calculeze suma: 1a1a2a3 +1

a2a3a4+ ...+ 1anan+1an+2 ; n > 1.

3. Fie (an)n>1 o progresie aritmetica nenula cu ratia r 6= 0:a. Sa se demonstreze ca: ak+1ak+2 =

13r (ak+1ak+2ak+3 akak+1ak+2) , k > 1;

b. Sa se calculeze suma: a2a3 + a3a4 + ...+ an+1an+2 ; n > 1.4. Fie (an)n>1 o progresie aritmetica nenula cu ratia r 6= 0:

a. Sa se demonstreze ca: 1 r2a2k+1

= akak+2a2k+1

, k > 1;b. Sa se calculeze produsul:

(1 r2

a22

)(1 r2

a23

)...(

1 r2a2n)

; n > 1.5. Fie (an)n>1 o progresie aritmetica astfel ncat a1 = 3, a2 = 5. Sa se calculeze ultima cifra

a numarului N =20k=1

ak+1ak+2.

6. Fie (an)n>1 o progresie aritmetica astfel ncat a1 = 1, a2 = 3. Sa se calculeze partea

ntreaga a numarului N =nk=1

1akak+1

.

TEMA 7

1. Sa se determine primul termen si ratia unei progresii geometrice (bn)n>1 n fiecare dincazurile:a. b2 = 6, b4 = 24; b. b1 + b2 + b3 = 14, b4 b1 = 14;c.b5 b1 = 80, b4 b2 = 24; d.b1b2 = 12, b1b3 = 36.

12


2. Sa se determine x, y R stiind ca urmatoarele siruri sunt progresii geometrice:a. x, 12, 24, y; b. 2, x, y, 16; c. x, 6, y, 54.

3. Sa se determine cate progresii geometrice (bn)n>1 n care b1 = 2, verifica relatia bn 3bn1 4bn2 = 0, n > 3.

4. Sa se determine trei numere n progresie geometrica, stiind ca suma lor este 21, iarprodusul lor este 216.

TEMA 8

1. Fie (bn)n>1 o progresie geometrica. Daca b2 = 100 si b4 = 2500 sa se calculeze:b3, b10, S4.

2. Fie (bn)n>1 o progresie geometrica. Daca S3 = 21 si S5 = 93 sa se calculeze: b4, b9, S7.3. Sa se calculeze urmatoarele sume:

a. 2 + 22 + ...+ 2100; b. 1 + 3 + 32 + ...+ 39; c. 1 12 + 14 18 + ...+ 1210 ;d. 1 + a2 + a4 + ...+ a2n; e. 9 + 99 + 999 + ...+ 99...9

n cifre

; f. 5 + 55 + 555 + ...+ 55...5 n cifre

.

4. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii:a. 1 + 2 + 22 + ...+ 2n = 1023; b. 23 + 22 + ...+ 23n = 1278 ;c. 1 + x+ x2 + ...+ x99 = 0; d. 1 + (1 + x) + (1 + x)

2+ ...+ (1 + x)

29= 0.

TEMA 9

1. Determinati x R astfel ncat numerele: x+1, 3x, 5x+2 sa fie n progresie geometrica.2. Sa se determine o progresie geometrica formata din sase termeni stiind ca suma primilor

trei termeni este 168 si suma ultimilor trei termeni este 21.3. Fie a, b, c R. Sa se arate ca ab, b2, c2 sunt n progresie aritmetica daca si numai dacab, c, 2b a sunt n progresie geometrica.

4. Daca a, b, c, d R sunt n progresie geometrica atunci si a + b, b + c, c + d au aceeasiproprietate.

5. Daca n progresia 1, 2, 22, 23, ..., 2n1, numarul termenilor se divide cu k, demonstrati casuma progresiei se divide cu 2k 1.

TEMA 10

1. Sa se determine o progresie geometrica formata din patru termeni b1, b2, b3, b4 , stiindca b1 + 1, b2 + 6, b3 + 6 si b4 4 sunt n progresie aritmetica.

2. Sa se determine trei numere n progresie aritmetica avnd suma 21, stiind ca, daca adunamla aceste numere 2, 3 respectiv 9, se obtin trei numere n progresie geometrica.

3. Sa se determine trei numere n progresie geometrica cu suma 28, stiind ca daca din ultimulnumar scadem 4, numerele sunt n progresie aritmetica.

4. Sa se determine numerele a, b, c, d n progresie geometrica stiind ca numerele a + 3, b +2, c 1, d 8 sunt n progresie aritmetica.

5. Sa se determine numerele a, b, c, d n n progresie aritmetica stiind ca numerele a+ 1, b1, c 3, d 5 sunt n progresie geometrica.

TEMA 11

1. 1. Fie (bn)n>1 o progresie geometrica cu termeni strict pozitivi si ratia q > 0. Sa secalculeze urmatoarele sume:a. b1b2+b3 +

b2b3+b4

+ ...+ bnbn+1+bn+2 ; b.1

b1+b2+ 1b2+b3 + ...+

1bn+bn+1

;

c.b1

b2b1

+b2

b3b2

+ ...+bn

bn+1bn

. d.(b1 +

1b1

)2+(b2 +

1b2

)2+ ...+

(bn +

1bn

)2.

2. Se considera suma Sn = 1 + 2x+ 3x2 + ...+ nxn1, x R \ {1}.

a. Sa se calculeze Sn xSn.b. Folosind a. sa se deduca formula lui Sn;

13


c. Sa se calculeze 1 + 2 3 + 3 32 + ...+ n 3n1.3. Sa se calculeze partea ntreaga a numerelor 1 + 13 + ...+

132009 si 1 13 + 19 ...+ (1)

n

3n .

4. Se considera sirul (an)n>1. Daca a1 + a2 + ...+ an = n2 + n, n > 1, sa se demonstreze

ca sirul an este o progresie aritmetica.5. Se considera sirul (bn)n>1. Daca b1 + b2 + ...+ bn =

3n12 , n > 1, sa se demonstreze ca

sirul bn este o progresie geometrica.6. Sa se dea un exemplu de progresie geometrica care are ratia un numar irational si care

contine o infinitate de numere rationale.7. Fie a, b, c numere naturale nenule n progresie geometrica. Daca a+ b+ c este un numar

par sa se demonstreze ca a, b, c sunt numere pare.

14

CAPITOLUL 5

FUNCTII

TEMA1

1. Se considera functia f : R R definita prin f (x) =

1 2x; x < 1x2 x; x [1, 2]5; x > 2

. Sa se calculeze

f (2) , f (1) , f (0, 5) , f (2) , f (3) , f (7).2. Se considera functia f : N N definita prin f (x) = restul mpartirii lui (x+ 1)x lax. Sa

se calculeze f (n), unde n {0, 1, 2, 4}.3. Sa se demonstreze ca functiile f : {1, 0, 1} {0, 1} , f (x) = x10 sig : {1, 0, 1} {0, 1} , g (x) = |x|, sunt egale.

4. Sa se determine numerele reale a, b, c, d,m, n astfel ncat functiilef : [a, 1] [1, b] , f (x) = 2x 1 si g : [0, c] [d, 3] , g (x) = mx+ n sa fie egale.

5. Sa se determine domeniul maxim de definitie al urmatoarelor functii definite de:a. f (x) = 12x+1 ; b. f (x) =

2x+3x25x+6 ; c. f (x) =

1x2x +

1x2+x ;

d. f (x) =

x21x ; e. f (x) =

2x+6x+1 ; f. f (x) =

3x x2 2.

TEMA 2

Sa se reprezinte grafic functiile definite prin:a. f (x) = x+ 2; b. f (x) = 1 3x; c. f (x) = x3 1;d. f (x) =

{x; x < 0

1 2x; x > 0 ; e. f (x) ={

2x 1; x < 11 + 2x; x > 1 ; f. f (x) = x+ |1 x|;

g. f (x) = |x+ 3|+ |x+ 2|; h. f (x) =[2x+1x2+1

]; i. f (x) = |x+ 1|;

j. f (x) = |x+ 1|+ |x 1|; k. f (x) = max {x+ 2, 2x+ 3}; l. f (x) = min {1 x, x+ 3}.TEMA 3

1. Sa se determine a, b R astfel ncat graficul functiei f : R R, f (x) ={ax+ 3; x > 1

3b+ x; x 6 1 ,

sa treaca prin A (3, 0) si B (2, 5). Pentru valorile determinate trasati graficul functiei .2. Sa se determine punctele de pe graficul functiei f : R R , f (x) = x2 2x+ 2 care au

coordonatele egale.3. Fie functia f : R R, f (x) = 3x + 6. Daca A si B sunt punctele de intersectie ale

graficului functiei f cu axele de coordonate, sa se calculeze aria AOB.4. Fie functia f : R R, f (x) = ax 4. Daca A si B sunt punctele de intersectie ale

graficului functiei f cu axele de coordonate, sa se determine parametrul real a astfelncat aria AOB sa fie egala cu 4.

15


TEMA 4

1. Sa se demonstreze ca urmatoarele functii sunt pare:a. f : R R, f (x) = x4; b. f : R R, f (x) = x2010 x2008 + x2006;c. f : R R, f (x) = x2x4x2+1 ; d. f : R R, f (x) =

x6 x4 + 5;

e. f : [1, 1] R, f (x) = x2 |x| 6; f. f : Z R, f (x) = 2x + 2x.2. Sa se demonstreze ca urmatoarele functii sunt impare:

a. f : R R, f (x) = x9; b. f : R R, f (x) = x2009 x2007 + x2005;c. f : R R, f (x) = xx2+3 ; d. f : R R, f (x) = x+ 1x .

3. Sa se studieze paritatea sau imparitatea urmatoarelor functii:a. f : R R, f (x) = x4 x2 + 3; b. f : R R, f (x) = x5 x;c. f : R R, f (x) = x3+xx4+x2+3 ; d. f : R R, f (x) = x

2+|x|x2+4 ;

e. f : [1, 1) R, f (x) = xx1 ; f. f : R R, f (x) = x2+xx2+3 ;

g. f : R R, f (x) = 3x 3x; h. f : [0,) R, f (x) = x4 + x2.4. Fie f : R R o functie impara cu proprietatea ca f (x) = 1 3x, x (0,). Sa se

calculeze: f (3) , f (3) , f (5) , f (10) , f (0)

TEMA 5

1. Sa se demonstreze ca urmatoarele functii sunt periodice:a. f : R R, f (x) = {x+ 12}; b. f : R R, f (x) = [x] + [x+ 13] [2x];c. f : R R, f (x) = (1)[x]; d. f : R R, f (x) = ultima cifra a lui 7x.

2. Fie f : R R o functie periodica cu perioada principala egala cu 2 astfel ncat f (x) =3x2,x [0, 2) . Sa se calculeze f (1) , f (3) , f (10) , f (2009) , f (10000000) , f (1) , f (3) , f (10).

3. Fie f : R R o functie periodica cu perioada principala egala cu 3 astfel ncat ecuatiaf (x) = 0 are exact doua solutii pe intervalul [0, 3). Sa se determine numarul de solutiiale ecuatiei pe intervalele: [0, 6), [3, 3), [3, 243).

4. Sa se demonstreze ca graficul functiei f : R R este simetric fata de dreapta x = a dacasi numai daca f (a x) = f (a+ x) , x R.

5. Sa se arate ca graficul functiei f : R R, f (x) = x2 4x + 3 este simetric fata dedreapta x = 2.

6. Sa se demonstreze ca graficul functiei f : R R este simetric fata de punctul A (a, b)daca si numai daca f (a x) + f (a+ x) = 2b, x R.

7. Sa se arate ca graficul functiei f : R\ {2} R, f (x) = x1x2 este simetric fata de punctulA (2, 1).

TEMA 6

1. Sa se studieze monotonia urmatoarelor functii:a. f : R R, f (x) = 2x+ 1; b. f : R R, f (x) = 1 4x;c. f : R R, f (x) = x2 1; d. f : R R, f (x) = 2x2 4x+ 6;e. f : R R, f (x) = x2 + 2x+ 3; f. f : R R, f (x) = x2 + 5;g. f : (0,) R, f (x) = x+ 1x ; h. f : [0,) R, f (x) = xx2+1i. f : [2,) R/ f (x) = 2x 4; j. f : R R, f (x) = [x] + [x+ 12].

2. Fie functia f : R R, f (x) =

2x b; x > 12x+ a

2; x 6 1

; a, b R.

a. Determina ti a si b astfel ncat A (1, 0) si B (2,4) sa apartina graficului functiei f ;b. Pentru a = 2 si b = 8 studiati monotonia si paritatea functiei f .

TEMA 7

16


1. Sa se studieze monotonia urmatoarelor functii si precizati punctele de extrem:a. f : R R, f (x) = x2 + 2x+ 4; b. f : R R, f (x) = x2 2x 1;c. f : (0,) R, f (x) = x2+4x ; d. f : (0,) R, f (x) = x

24x .

2. Fie M = {1, 2, 3}.a. Sa se determine numarul functiilor strict crescatoare f : M M ;b. Sa se determine numarul functiilor strict descrescatoare f : M M ;c. Sa se determine numarul functiilor crescatoare f : M M .

3. Sa se demonstreze ca orice functie para nu este strict monotona, dar exista functii impareatat strict crescatoare cat si strict descrescatoare.

4. Sa se determine imaginea urmatoarelor functii:a. f : [0, 2] R, f (x) = 3x 1; b. f : [1, 4] R, f (x) = |x|;c. f : [2, 5) R, f (x) = [x]; d. f : (1, 7] R, f (x) = 4x 1;e. f :

[1, 32) R, f (x) = {x} f. f : [3, 2] R, f (x) = x+ 1.

TEMA 8

1. Sa se determine f + g si f g, pentru functiile f, g : R R definite prin:a. f (x) = x2 + x+ 1, g (x) = 2x 2; b. f (x) = 2x+ 1, g (x) =

{x+ 1; x > 02x; x < 0

;

c. f (x) =

{1 x; x > 13x+ 2; x < 1

, g (x) =

{x+ 1; x > 02x; x < 0

; d. f (x) =

{1 x2; x > 1x+ 2; x < 1 , g (x) =

{x2 + 1; x > 1x+ 1; x < 1

.

2. Se considera functiile f, g : R R ,f (x) = 2x+ 1, g (x) = 1 x. Sa se calculeze:a. (f g) (1) , (g f) (2) , (f f) (3) , (f f) (4);b. f f, f f f, f f f f ;c. f g, f g f, f g f g.

3. Se considera functiile f : [1,) [1,), f (x) = x2 + 1 si g : [1,) [1,),f (x) = x2 + 1. Sa se verifice care din urmatoarele operatii au sens si n caz afirmativ sase efectueze: f f , f g, g g, g f , g f g f .

4. Fie f, g : R R doua functii strict descrescatoare pe R. Demonstrati ca functia f + geste strict descrescatoare si f g este strict crescatoare pe R.

TEMA 9

1. Pentru functiile de la TEMA 8 Ex. 1 sa se calculeze f si g f .2. Fie f : R R o functie de gradul ntai. Sa se demonstreze ca f f e strict crescatoare.3. Fie f, g : R R, unde f (x) = 2x+ 1. Sa se determine functia g stiind ca:

a. (f g) = 4x+ 3; b. (f g) = 2x2 + 4x+ 3; c. (f g) = x2+2x+1x2+1 .4. Fie f, g : R R. Sa se determine functia g stiind ca:

a. (g f) (x) = 6x+ 2 si f (x) = 3x+ 5;b. (g f) (x) = x2 3x+ 2 si f (x) = x 3;c. (g f) (x) = x2x2+1 f (x) = 2x+ 1.

TEMA 10

1. Se considera functia f : R R, f (x) = 3x + 4. Sa se demonstreze folosind metodainductiei matematice ca (f f ... f)

de n ori f

(x) = 3nx+ 2 3n 2, n N.

2. Se considera functia f : R\ {1} R\ {1}, f (x) = x+1x1 . Sa se demonstreze folosindmetoda inductiei matematice ca (f f ... f)

de 2n+1 ori f

(x) = f (x) , n N.

3. Fie f, : R R, unde f (x) = 3x 2.a. Sa se calculeze: f f, f f f, f f f f ;

17


b. Sa se determine o formula pentru f f ... f de n ori f

, dupa care sa se demonstreze aceasta

formula folosind metoda inductiei matematice.4. Fie f : R R, unde f (x) = x2 4x+ 6.

a. Sa se demonstreze ca f (x) = (x 2)2 + 2;b. Sa se calculeze: f f, f f f, f f f f ;c. Sa se determine o formula pentru f f ... f

de n ori f

, dupa care sa se demonstreze aceasta

formula folosind metoda inductiei matematice.

TEMA 11

1. Determinati functia de gradul ntai f : R R care verifica relatia: (x+ 1) f (x) +(x 1) f (x+ 1) = 4x2 + 4x 2, x R, dupa care, trasati graficul functiei si studiatimonotonia functiei.

2. Sa se determine functiile f : R R care verifica relatia:a. f (x+ 1) = f (x) + 2, x N;b. f (x+ 1) = f(x)1+f(x) ,x N, f (0) = 1;c. f (x+ 1) = f(x)

f2(x)+1, x N, f (0) = 1.

3. Sa se determine functiile f : R R care verifica relatia:a. f (x+ 1) 3f (x 1) = 4x+ 2, x R;b. f (2x+ 1) 4f (1 2x) = 10x 2, x R;c. (x 1) f (x+ 1) + (x+ 2) f (1 x) = 2x, x R.

4. Sa se determine functiile f : R R care verifica conditiile:2f (x) + f (1 y) + g (x) g (y) = 3 (x+ 1)2 6y,x, y R si g (0) = 1.

5. Sa se demonstreze ca nu exista functii f : R R cu proprietatea:f (x) + f (1 x) = 2x+ 2,x R.

18

CAPITOLUL 6

FUNCTIA DE GRADUL AL DOILEA

TEMA 1

1. Determinati functia de gradul al doilea f : R R, stiind ca graficul functiei continepunctele:a. A (1, 3) , B (1, 1) , C (0, 1); b. A (0, 1) , B (2, 5 +2) , C (3, 7 +3);c. A

(12 , 4), B(14 ,

94

), C (0, 1); d. A (2, 4) , B (3, 5) , C (4, 6).

2. Se considera functia de gradul al doilea f : R R, f (x) = 2x2 4x+ 8:a. Sa se scrie forma canonica a functiei f ;b. Sa se arate ca exista o infinitate de numere irationale a astfel ncat f (a) sa fie numar

ntreg.3. Sa se determine intervalele de monotonie ale functiilor f : R R definite prin:

a. f (x) = x2 8x+ 1; b. f (x) = x2 + x2 1; c. f (x) = (x)2 + 2x 5;d. f (x) = x2 + (x+ 1)

2e. f (x) = (x+ 1)

3 (x 2)3; f. f (x) = (x2 1)2 (x2 + 2)2.4. Sa se determine punctul de extrem al functiilor f : R R definite prin:

a. f (x) = 2x2 3x+ 1; b. f (x) = x2 + 2x3 1; c. f (x) = (2x)2 + 4x 6. .5. Sa se demonstreze ca varful parabolei y = x2 + 5x+ 1 este situat n cadranul III.6. Sa se determine parametrul real nenul m astfel ncat varful parabolei asociate functieif : R R , f (x) = mx2 (2m+ 1)x+m 1 sa apartina cadranului II.

TEMA 2

1. Sa se traseze graficul functiilor f : R R definite prin:a. f (x) = x2 + 4x+ 3; b. f (x) = x2 2x+ 1; c. f (x) = x2 x 1;d. f (x) = x2 + 5x 4 e. f (x) = x2 + 6x 9; f. f (x) = x2 + 2x+ 2.

2. Sa se determine functia de gradul al doilea care intersecteaza axa Ox n punctele deabscise 1 si 2, iar axa Oy n punctul de ordonata 2.

3. Sa se determine si sa se reprezinte grafic functia f : R R, f (x) = ax2 + bx+ c, stiindca numerele a, b, c sunt n progresie aritmetica cu ratia 7, iar axa de simetrie a graficuluieste dreapta x = 4.

4. Sa se traseze graficul functiilor f : R R definite prin:a. f (x) = x2 + |x|; b. f (x) = x2 + |x 2|; c. f (x) = max{x+ 2, x2 + 1}. .

TEMA 3

1. Sa se determine m R astfel ncat functia f : R R, f (x) = x2 (m+ 2)x + m + 1sa admita un minim egal cu 1 .

2. Sa se determine m,n R astfel ncat functia f : R R, f (x) = x2(2m+ 1)x+3n+1sa admita un maxim egal cu 254 n punctul 32 .

3. Sa se determine functia de gradul al doilea f : R R, f (x) = ax2 + bx + c stiind cagraficul functiei intersecteaza axa Oy n punctul A (0, 3) si are un extrem n V (1, 4).

4. Sa se determine valorile parametrilor reali m si n pentru care graficele functiilorf, g : R R, f (x) = x2 4x+m, g (x) = 2x2 + nx 8 au acelasi varf.

TEMA 4

19


1. Sa se determine parametrul m R astfel ncat graficul functiei f : R R sa intersectezeaxa Ox n doua puncte distincte:a. f (x) = 2x2 (m 1)x+ 2; b. f (x) = mx2 6x+m; c. f (x) = (1m)x2 2x+ 1 +m.

2. Sa se determine parametrul m R astfel ncat graficul functiei f : R R sa fie tangenteaxei Ox:a. f (x) = x2 2x+ 1 +m; b. f (x) = mx2 4mx+ 4m; c. f (x) = 2x2 (m 1)x+m 1.

3. Sa se determine parametrul m R astfel ncat graficul functiei f : R R sa nu inter-secteze axa Ox:a. f (x) = x2 (m 2)x+ 1; b. f (x) = mx2 x+m+ 1; c. f (x) = mx2 +mx+m+ 1.

4. Sa se determine parametrul real m astfel ncat graficele functiilor f, g : R R definiteprin f (x) = (m+ 1)x2+mx+1 si g (x) = x2+(m+ 2)x+1m, sa fie tangente. Pentrucea mai mare valoare a parametrului m determinata anterior sa se reprezinte n acelasisistem de coordonate graficele functiilor f si g.

5. Sa se determine parametrul real m astfel ncat graficele functiilor f, g : R R definiteprin f (x) = (m+ 2)x2 + 2x + m si g (x) = x2 + (m+ 2)x + 1 + m, sa fie secante.Pentru cea mai mare valoare ntreaga negativa a parametrului m determinata anteriorsa se reprezinte n acelasi sistem de coordonate graficele functiilor f si g.

6. Sa se determine parametrul real m astfel ncat graficele functiilor f, g : R R definiteprin f (x) = 2x2(m+ 1)x+3 si g (x) = x2(2m+ 2)x+m, sa nu se intersecteze. Pen-tru cea mai mare valoare naturala a parametrului m determinata anterior sa se reprezinten acelasi sistem de coordonate graficele functiilor f si g.

TEMA 5

1. Sa se determine parametrul m R astfel ncat urmatoarele functii f : R R sa fiepozitive pentru orice x R:a. f (x) = 2x2 (m+ 3)x+ 2; b. f (x) = mx2 2x+m; c. f (x) = (1m)x2 x+ 1 +m.

2. Sa se determine parametrul m R astfel ncat urmatoarele functii f : R R sa fienegative pentru orice x R:a. f (x) = x2 (m 3)x 1; b. f (x) = (2m)x2 x+ 2 +m; c. f (x) = (m 1)x2 2mx 1 +m.

3. Sa se determine parametrul m R astfel ncat fractia F = (m2)x2+(2m4)xm+1x22x+m :a. Sa aiba sens pentru orice x R;b. Sa fie pozitiva pentru orice x R;c. Sa fie negativa pentru orice x R.

TEMA 6

1. Sa se determine parametrul m R astfel ncat urmatoarele functii f : R R sa fiepozitive pentru orice x > 0:a. f (x) = x2 (m 3)x+ 4; b. f (x) = x2 + 2x+m; c. f (x) = mx2 x+ 1 +m.

2. Sa se determine parametrul m R astfel ncat urmatoarele functii f : R R sa fienegative pentru orice x > 0:a. f (x) = x2 (2m+ 1)x 9; b. f (x) = (1m)x2 2mx 1; c. f (x) = (m 1)x2 2mx+ 1m.

3. Sa se determine parametrul m R astfel ncat inecuatia mx2 + (m+ 1)x+ 2m+ 2 < 0sa nu aiba nicio solutie.

TEMA 7

1. Sa se determine imaginea urmatoarelor functii, f : R R definite prin:a. f (x) = x2 + 3x+ 5; b. f (x) = x2

2 2x3 + 1; c. f (x) = 2x2 + 5x 6;

d. f (x) = x+1x2+x+1 ; e. f (x) =x2+2x+1x2+2x+5 ; f. f (x) =

xx2+1 .

2. Fie functia f : R R, f (x) = x2+mx+1x2x+1 , unde m R. Sa se determine valorile lui mastfel ncat Im f [3, 2].

20


3. Fie functia f : R R, f (x) = 3x2+mx+nx2+1 , unde m,n R. Sa se determine valorileparametrilor m,n astfel ncat Im f = [3, 5].

TEMA 8

1. Sa se determine m R astfel ncat varfurile parabolelor asociate functiilor f : R R,definite prin:a. f (x) = x2 (2m+ 2)x+m+ 1; b. f (x) = mx2 + (m+ 1)x+ 1m; m 6= 0;c. f (x) = (1m)x2 + 3x+m+ 1; m 6= 1; d. f (x) = x2 + x+mm2;

sa fie situate sub axa Ox.2. Sa se determine m R astfel ncat varfurile parabolelor asociate functiilor f : R R,

definite prin:a. f (x) = x2 (3m+ 1)x+ 2m+ 2; b. f (x) = mx2 + (m+ 1)x+m; m 6= 0;c. f (x) = (m 1)x2 + 2mx+m+ 2; m 6= 1; d. f (x) = x2 + 2mx+m+m2;

sa fie situate deasupra axei Ox.3. Sa se determine m R astfel ncat varfurile parabolelor asociate functiilor f : R R,

definite prin:a. f (x) = 2x2 (2m+ 1)x+m2 + 2; b. f (x) = x2 + (m 1)x+m 1; m 6= 0;c. f (x) = (m 1)x2 + 2mx+m 2; m 6= 1; d. f (x) = mx2 + 2x+m;

sa fie situate n cadranul II.4. Sa se determine m R astfel ncat varfurile parabolelor asociate functiilor f : R R,

definite prin:a. f (x) = x2 (m+ 1)xm 1; b. f (x) = x2 + (2m 2)x+ 1m;c. f (x) = (1 +m)x2 + 3mx+m+ 1; m 6= 1; d. f (x) = x2 + x+mm2; sa

fie situate n cadranul III.

TEMA 9

Sa se rezolve sistemele:

a.

{2x y = 1x2 + xy y2 = 1; b.

{y = x+ 1

y = x2 + 3x+ 2; c.

{3x+ y = 4

x+ xy y2 = 1;

d.

{x+ y = 3

x3 + y3 = 9; e.

{x3 + y5 = 0

x6 + 5y10 = 6; f.

{2x2 + 3x+ y2 = 6

2x+ 3y = 1 .

TEMA 10


a.

x+ y + z = 1

2x 3y + 2z = 3x2 + y2 + z2 = 3

; b.

2x+ z = 4

3x+ 2y = 5

xy + yz + zx = 5

; c.

2x+ 3y + 4z = 5

x+ 2y + z = 2

x2 + yz = 2

.

TEMA 11


a.

{x2 7xy = 8x2 2xy y2 = 2; b.

{xy + y2 = 15

2xy + x2 = 16; c.

{x2 + 2y2 = 9

2x2 + y2 = 6;

d.

{x2 3xy + 4y2 = 23x2 5xy + 6y2 = 4; e.

{x2 + 2xy 3y2 = 0x2 + xy + 5y2 = 7

; f.

{x3 + 2x2y + 3xy2 = 6

x2y xy2 + 3y3 = 3 .

TEMA 12

21



a.

{x+ y + 2xy = 4

x2y + xy2 = 2; b.

{x+ y + xy = 1

x2 + y2 5xy = 1; c.{x2 + y2 + 2x2y2 = 13

x3y3 + (x+ y)2

= 7 ;

d.

1

x2+

1

y2=

5

42

x2 1xy

+2

y2= 2

; e.

{x3 + y3 = 9

x2 xy + y2 = 3; f.{x2 xy + y2 = 1x4 + x2y2 + y4 = 1

.

TEMA 13


a.

yz = 25

xz = 36

xy = 49

; b.

x (y + z) = 14

y (x+ z) = 18

z (x+ y) = 20

; c.

xyz (x+ y) = 60

xyz (y + z) = 120

xyz (x+ z) = 90

;

d.

x (x+ y + z) = 12

y (x+ y + z) = 48

z (x+ y + z) = 84

; e.

{x2 + y2 + z2 = 3

xy + yz + zx = 3; f.

x2 + 3x+ 1 = y

y2 + 3y + 1 = z

z2 + 3z + 1 = x

.

22

Partea 2

GEOMETRIE

CAPITOLUL 7

VECTORI

TEMA 1

1. Fie ABCD un patrulater si M,N,P,Q mijloacele laturilor AB,BC,CD,DA. Sa sedemonstreze ca MNPQ este paralelogram.

2. Fie ABCDEF un hexagon regulat avnd AB = 2 si notam cu O centrul cercului circum-scris hexagonului. Sa se calculeze lungimile segmentelor: (BC) , (OA) , (AD) , (AC) , (AE).

3. Se considera ABC si D (BC). Paralela prin C la AD intersecteaza dreapta AB n M .Sa se arate ca (AD este bisectoarea ^BAC daca si numai daca m (^ACM) = m (^BAD).

4. Fie ABC n care AB = 6, BC = 5, AC = 9. Sa se determine lungimea segmentelordeterminate de bisectoarea ^BAC pe latura BC.

5. Pe latura (BC) a triunghiului ABC se considera punctele M,N,P astfel ncat ^BAM =^MAN = ^NAP = ^PAC. Demonstrati ca MBMN PNPC NCNB = 1.

6. Paralelele duse prin varfurile A,B,C la laturile BC,AC,AB ale ABC se intersecteazan M,N,P . Sa se arate ca ortocentrul ABC coincide cu centrul cercului circumscrisMNP .

TEMA 2

1. Se considera patratul ABCD avand centrul O. n exteriorul sau se construiesc patrateleABMN si ADPQ avnd centrele O respectiv O. Sa se determine toti vectorii din figuraegali cu vectorii:

a.AB; b.

CB; c.

OA.

2. Se considera rombul ABCD. Sa se scrie patru perechi de vectori opusi.3. Fie ABCD un patrulater si M,N,P,Q mijloacele laturilor AB,BC,CD,DA. Sa se

demonstreze caMN =

QP si

MQ 6= PN .

4. In exteriorul triunghiului echilateralABC se construiesc triunghiurile echilateraleABM,BCN,CAP .Sa se scrie trei triplete de vectori egali.

TEMA 3

1. Fie paralelogramul ABCD si O centrul sau. Sa se calculeze:

a.AC +

CO; b.

AB +

BC; c.

AD +

OA;

d.BC +

BA; e.

AB +

CO +

OD; f.

AB +

BC +

DA.

2. Fie ABCDEF un hexagon regulat si O centrul sau. Sa se calculeze:

a.DA+

AB +

BE; b.

BC +

CO +

OA; c.

BC +

OD +

CO;

d.OA+

BO; e.

OC +

AO +

CA; f.

BC +

OB +

CO.

3. Fie punctele A, B, C, D astfel ncatAB =

CD. Sa se demonstreze ca

AC +

DB =

0 .

4. Fie ABC n care AB = 8 si AC = 8. Determinati modulul vectoruluiAB +

AC n

cazurile: a. m (^BAC) = 90; b. m (^BAC) = 60; c. m (^BAC) = 120.5. In triunghiul ABC vectorii

AB +

AC si

AB AC au acelasi modul. Sa se demonstreze

ca triunghiul ABC este dreptunghic.

TEMA 4

24


1. Se considera puncteleA,B,C,D,E coliniare, distincte si n aceasta ordine astfel ncat (AB) (BC) (CD) (DE). Sa se verifice care din urmatoarele egalitati este adevarata:a.AB +

CD =

AC; b.

AC + 2

BD = 3

CA ; c.

AC +

EB =

DC;

d. 3BC +

DA =

0 ; e. 2

BD + 3

DC =

0 ; f. 3

BE + 4

DB =

AB.

2. Se considera punctele A,B,C,D,E astfel ncatAB = 2

BD =

CA = 2

EC. Sa se verifice

care din urmatoarele egalitati este adevarata:

a.ED = 3

AB; b.

AC +

BD =

CE; c. 5

CE + 3

BD =

BA;

d. 2AB + 3

DB =

CE; e.

BA+ 2

BD =

0 ; f. 2

AE + 3

AB =

0 .

3. Fie ABCDEF un hexagon regulat si O centrul sau si notamAB = v iar AD = u . Sa

se verifice care din urmatoarele egalitati este adevarata:

a.AD = 2u 2v ; b. AE = u + 2v ; c. BC +CO +DF +OD = u +v .

4. Se considera patrulaterul ABCD si M,N,P,Q puncte pe laturile AB,BC,CD,DA astfel

ncat AMMB =BNNC =

CPPD =

DQQA =

34 . Demonstrati ca

AM +

BN +

CP +

DQ =

0 .

5. Daca M si N sunt mijloacele laturilor (AD), respectiv (BC) ale patrulaterului ABCD,

demonstrati ca:AB +

DC = 2

MN .

6. Fie hexagonul regulat ABCDEF de latura 4. Sa se calculeze modulul vectoruluiAC +

BD.7. Trapezul isoscel ABCD are bazele [AB] si [CD] iar lungimea naltimii este egala cu 4.

Sa se calculezeAC +BD .

TEMA 5

1. 1. Se considera punctele A si B fixate. Sa se construiasca punctele M,N,P stiind ca:

a.MA = 2

BA; b.

BN = 3

AN ; c.

AP = 23

BP .

2. Se considera ABC. Sa se construiasca punctul M n fiecare din cazurile:

a.BM AB = AC; b. 2AB = MC +BC; c. 2MC MB = AB .

3. Se considera paralelogramul ABCD. Sa se construiasca punctele M,N,P astfel ncat;

a.CM = 2

CB + 3

CD; b.

NA+ 2

NB = 3

BC: c. 2

PAPB = 3DA.

4. Se considera triunghiul ABC si punctele M,N,P astfel ncatAM =

MB,

BN =

NC

siCP =

PA. Fie H ortocentrul triunghiului MNP . Demonstrati ca AH = BH = CH.

5. Fie triunghiul ABC si punctul M astfel ncat 4MC = 3CB. Sa se demonstreze ca

AM = 34AB 14

CA.

6. Fie ABCD un paralelogram si P un punct astfel ncatBP = 2

PD. Sa se demonstreze

caBP = 23

(BA+

BC

).

TEMA 6

1. In triunghiul ABC se considera punctele M (AB), N (BC) si P (AC) astfelncatAM = 2MB,BN = 3NC si AP = 4PC. Sa se exprime n functie de vectorii

AB si

AC urmatorii vectori:AM,

AN,

AP,

BN,

CM,

CN,

MN,

NP si

PM .

2. In paralelogramul ABCD se considera punctele M (AB) si N (DM) astfel ncatAM = MB si MD = 3MN . Sa se exprime n functie de vectorii

AB si

AD urmatorii

vectori:AM,

AN,

BN,

CM,

CN si

DN .

3. Se considera hexagonul regulat ABCDEF si punctele M (BC) , N (CD), P (DE)astfel ncat BC = 2BM,CD = 3CN si DE = 5DP . Sa se exprime n functie de vectoriiAB si

AF urmatorii vectori:

AD,

AC,AE,AM,

AN,

AP,BP,

FN si

EP .

4. Fie MAB si O (AB) astfel ncat AB = 3AO si punctele N, P astfel ncat NM =2AB si

MP =

BA. Exprimati vectorii

MO,

NA si

PB n functie de vectorii

AB si

AM .

25


5. Fie triunghiul ABC si punctele M si N astfel ncatAM = 3

MB si 4

AN = 3

AC. Sa se

demonstreze ca vectoriiMN si

BC sunt coliniari.

TEMA 7

1. Pe laturile (AB) , (BC) , (CA) ale triunghiului ABC se considera punctele M,N respectivP astfel ncat AMMB =

BNNC =

CPPA =

23 . Daca G este centrul de greutate al ABC si O un

punct oarecare n plan, sa se demonstreze caOM +

ON +

OP = 3

OG.

2. Pe laturile (AB) , (BC) , (CD) , (DA) ale paralelogramului ABCD se considera punctele

M,N,P respectiv Q astfel ncat AMMB =BNNC =

CPPD =

DQQA =

25 . Daca O este intersectia

diagonalelor paralelogramului si X un punct oarecare n plan, sa se demonstreze caXM+

XN +XP +

XQ = 4

XO.

3. Pe laturile (AB) , (BC) , (CD) , (DE) , (EF ) , (FA) ale hexagonului ABCDEF se con-

sidera punctele M,N,P,Q,R respectiv S astfel ncat AMMB =BNNC =

CPPD =

DQQE =

ERRF =

FSSA = 3. Daca O este centrul hexagonului si X un punct oarecare n plan, sa se demon-

streze caXM +

XN +

XP +

XQ+

XR+

XS = 6

XO.

4. Fie ABC si punctul O n planul triunghiului astfel ncatOA+ 2

OB + 3

OC =

0 .

a. Sa se arate caAO = 2

AB+3

AC

6 ;b. Demonstrati ca pentru orice punct M din plan are loc relatia

MA+ 2MB + 3

MC = 6

MO.

TEMA 8

1. Fie ABC si G centrul sau de greutate.

a. Sa se demonstreze ca:AG = 23

(AB +

AC)

.

b. Daca GA, GB , GC sunt centrele de greutate ale triunghiurilor GBC,GCA respectiv

GAB, sa se demonstreze caAGA +

BGB +

CGC =

0 .

2. Fie ABC n care AB = 2, BC = 3, AC = 4 si I centrul cercului nscris n triunghi. Sa

se demonstreze ca pentru orice punct M are loc relatiaMI = 3

MA+4

MB+2

MC

9 .3. Fie paralelogramul ABCD si punctele M (AB), N (BC) si P (DC) astfel ncatAM = m AB, BN = n BC si DP = p DC iar G este centrul de greutate al NMP .a. Daca m = 14 , n =

13 , p =

12 sa se arate ca 9

GA+ 11

GB + 10

GC + 6

GD =

0 .

b. Daca m+ p = n sa se arate caAG = m+p+13

AC.

4. Fie ABCD un patrulater convex si M, N, P, Q mijloacele laturilor (AB) , (BC) , (CD)respectiv (DA), iar {O} = MP NQ. Sa se demonstreze ca pentru orice punct X dinplan are loc relatia

XA+

XB +

XC +

XD = 4

XO.

TEMA 9

1. Paralelele duse prin varfurile A,B,C la dreptele BC,AC,AB ale ABC se intersecteazan M,N,P . Daca H,H sunt ortocentrele triunghiurilor ABC, respectiv MNP sa sedemonstreze ca

HA+

HB +

HC =

HH .

2. Fie ABCD un patrulater inscriptibil si H1, H2, H3 ortocentrele triunghiurilor ABC,BCD

respectiv CDA. Sa se demonstreze caH1H2 =

DA si

H1H3 =

DB.

3. Fie ABC, O centrul cercului circumscris, H ortocentrul iar M (AB), N (BC) siP (AC) astfel ncat AMMB = BNNC = CPPA = 14 . Demonstrati ca

OM +

ON +

OP =

OH.

4. Fie ABC, O centrul cercului circumscris, H ortocentrul iar M (AB), N (BC) siP (AC) astfel ncat AMMB = BNNC = CPPA = k. Demonstrati ca

HM +

HN +

HP = 2

HO.

TEMA 10

26


1. Fie ABCD un paralelogram, O mijlocul lui (BD), E si F doua puncte astfel ncatAE = 14

AB si

CF = p

CD. Determinati p R astfel ncat OE si OF sa fie coliniari.

2. Se considera patratul ABCD si puncteleM,N,P situate pe laturile (AB) , (BC) respectiv

(DA) astfel ncatAM = 13

AB,

BN = 23

BC si

AP = 23

AD. Se considera punctele E si F

astfel ncatBE = 13

AB si

PF = 13

AB. Sa se demonstreze ca vectorii

EF si

GF sunt

coliniari, unde G este centrul de greutate al triunghiului BMN .3. Se considera ABC, G centrul de greutate al triunghiului si punctele D (AB) , E

(AC) astfel ncat ADDB = 3,AEEC = k. Sa se determine k R astfel ncat vectorii

DE si

DG sa fie coliniari.4. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Sa se determine a, b R astfel ncat sa

aiba loc egalitatea aGA+ b

GB =

GC.

5. Suma a trei vectori nenuli avand aceeasi lungime si acelasi punct de aplicatie este0 .

Precizati natura poligonului format de extremitatile acestor vectori.

TEMA 11

1. Se considera vectorii v = 3i + 2j , u = 3i + 2j , w = 5i 3j . Sa se determinecoordonatele vectorilor:a. 2v 3u + 4w ; b. 3u 2v + 4w ; c. 7w 2u 3v ; d. u v +w .

2. Daca v = i 2j si u = 4i +j sa se calculeze modulul urmatorilor vectori:a. 3v + 6u ; b. 4v u ; c. 3v + 2u ; d. u + 3v .

3. Sa se determine a R astfel ncat vectorii u si v sa fie coliniari unde:a. u = 2i + aj , v = 3i + 6j ; b. u = 3i + 4j , v = ai 6j ;c. u (a+ 2, 5) , v (2, 6); d. u (2, a 3) , v (6, a+ 1).

4. Fie vectorii a = i + j , b = i j si u = 6i + 2j . Determinati p, q R astfelncat u = pa + qb .

5. Fie vectorii necoliniari v si u . Demonstrati ca vectorii 2v +u si 2v u sunt necol-iniari.

6. Sa se determine parametrul real m astfel ncat vectorii a = (m+ 1)i + 3mj si b =(m 1)i +mj sa aiba aceeasi lungime.

TEMA 12

1. Fie M (2,1) , A (1, 2) si B (4, 1). Calculati lungimea vectorului MA+MB.2. Fie A (2, 1) , B (1, 3) , C (1, 4). Sa se determine coordonatele vectorilor:

a.AB +

AC; b. 2

BA+ 3

BC; c. 2

CABC; d. 2AB + 3BC 3CA.

3. Fie A (1, 1) , B (3, 2) , C (1,4). Sa se determine coordonatele punctului D stiind ca:a.CD = 2

AB; b.

AB +

AC = 2

CD; c.

AD + 2

BD + 3

CD =

0 .

4. Fie rA = 2i +j , rB = i +3j si rC = 3i +2j vectorii de pozitie ai varfurilor triunghi-ului ABC . Sa se determine vectorul de pozitie al centrului de greutate al triunghiuluiABC.

5. Punctele A,B si G au vectorii de pozitie rA = 4i +7j ,rB = 2i j si rG = 4i +4j .Sa se determine vectorul de pozitie al punctului C astfel ncat punctul G sa fie centrulde greutate al triunghiului ABC.

6. Fie A (3, 1) , B (2, 5) , C (1, 3) si D (4,5) patru puncte n plan, iar punctele M si Nsunt mijloacele segmentelor (AC) respectiv (BD). Determinati coordonatele si lungimea

vectoruluiMN . Exprimati

MN n functie de

AB si

CD.

7. Se considera punctele A (2, 1) , B (0, 1) , C (1,2).a. Sa se demonstreze ca punctele A,B,C sunt necoliniare.b. Sa se determine lungimea medianei din A si a bisectoarei din C .

27


c. Determinati coordonatele centrului de greutate, centrului cercului circumscris, a cer-cului nscris si ale ortocentrului.

28

CAPITOLUL 8

APLICATII ALE VECTORILOR IN GEOMETRIE

TEMA 1

1. Sa se demonstreze ca ntr-un patrulater mijloacele segmentelor care unesc mijloacelelaturilor opuse coincid.

2. Fie paralelogramul ABCD, O centrul sau si M,N mijloacele segmentelor (BC) respectiv(CD). Sa se arate ca O este centrul de greutate al AMN .

3. Paralelele prin varfurile triunghiului ABC se intersecteaza n M,N respectiv P . Sa sedemonstreze ca ABC si MNP au acelasi centru de greutate.

4. FieABCDEF un hexagon regulat iarM, N, P, Q, R, S mijloacele laturilorAB, BC, CD,DE, EF respectiv FA. Demonstrati ca triunghiurile MPR si NQS au acelasi centru degreutate.

TEMA 2

1. Fie triunghiul ABC si A, B, C simetricele punctelor A,B respectiv C fata de mijloacelelaturilor opuse. Demonstrati ca triunghiurile ABC si ABC au acelasi centru de greu-tate.

2. Sa se arate ca triunghiurile ABC si MNP au acelasi centru de greutate daca si numai

dacaAM +

BN +

CP =

0 .

3. Se considera dreptunghiul ABCD si punctele M,N mijloacele segmentelor [AB] respectiv[BC] . Notam {E} = DM CB si {F} = DN AB. Sa se arate ca punctul B estecentrul de greutate al DEF .

4. Fie O un punct n planul ABC si punctele M,N,P simetricele sale n raport cu mi-jloacele laturilor triunghiului. Sa se determine pozitia punctului O astfel ncat triunghi-urile ABC si MNP sa aiba acelasi centru de greutate.

TEMA 3

1. Fie triunghiul ABC, G centrul sau de greutate si punctul M astfel ncatMB = 2MC.

Sa se demonstreze ca dreptele GM si AC sunt paralele.

2. Se considera triunghiul ABC si punctele D,E astfel ncatAD = 2

DB si

AE = 23

AC.

Sa se arate ca dreptele DE si BC sunt paralele.3. Pe laturile AB si AC ale triunghiului ABC se considera punctele M respectiv N astfel

ncatAM = 4

MB si MN BC. Determinati m R astfel ncat CN = mAC.

4. Fie ABCD un patrulater inscriptibil si H1, H2, H3, H4 ortocentrele triunghiurilor ABC,BCD, CDA si DAB. Demonstrati ca patrulaterul H1H2H3H4 are laturile paralele sicongruente cu laturile patrulaterului ABCD.

5. Pe laturile (BC) , (CA) , (AB) ale triunghiului ABC se considera punctele E, F, G astfelncat AGGB =

BEEC =

CFFA = k. Pe laturile (FG) , (GE) , (EF ) ale triunghiului EFG se

considera punctele M, N, P astfel ncat GMMF =FPPE =

ENNG = k. Demonstrati ca ABC

si MNP au laturile respectiv paralele.

TEMA 4

29


1. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Prin punctul G se duce paralela la ABcare intersecteaza dreapta BC n punctul P . Sa se determine parametrul real m astfel

ncatGP = m

AB.

2. Fie ABCDE un pentagon convex si M, P, N, Q, K, L mijloacele segmentelor (AB),(BC) , (CD) , (DE) , (MN) respectiv (PQ). Demonstrati ca KL AE .

3. Fie ABC si R (AB), M (BC), S (AC), T (RS) astfel ncat SCRB = MCMB =TSTR =

12 . Daca (AD este bisectoarea ]BAC si M 6= D sa se demonstreze ca MT AD.

4. In patrulaterul inscriptibil ABCD se considera E si F mijloacele diagonalelor (AC)respectiv (BD), E 6= F si H1 respectiv H2 ortocentrele triunghiurilor ABC si ABD. Sase demonstreze ca daca H1H2 EF atunci ABCD este trapez isoscel.

TEMA 5

1. Fie ABCD un trapez (AB DC) si M,N,P,Q,R mijloacele segmentelor (AD) , (DC),(BC) , (AB) , (MP ). Sa se demonstreze ca punctele N,Q,R sunt coliniare.

2. In paralelogramul ABCD consideram punctele M (AB) , N (DM) astfel ncatAM = MB si MD = 3MN . Sa se demonstreze ca punctele A,N,C sunt coliniare.

3. Fie triunghiurile ABC si ABC . Pe segmentele (AA) , (BB) , (CC ) se considerapunctele M,N respectiv P astfel ncat: AMMA =

BNNB =

CPPC . Demonstrati ca centrele

de greutate ale triunghiurilor ABC, MNP si ABC sunt coliniare.4. Fie ABC un triunghi oarecare, H ortocentrul si O centrul cercului circumscris triunghi-

ului. Notam cu G1, G2, G3 centrele de greutate ale triunghiurilor AHB, BHC respectivCHA, iar cu G centrul de greutate al triunghiului G1G2G3. Demonstrati ca puncteleO, G, H sunt coliniare.

TEMA 6

1. Fie ABC un triunghi oarecare, G centrul de greutate, D simetricul lui G fata de mijlocullui BC, iar E simetricul lui A fata de C. Demonstrati ca punctele B, D, E sunt coliniare.

2. Fie ABCD un paralelogram si punctele M (AB si N (AD astfel ncat: AM = AN =AB +AD. Sa se demonstreze ca punctele M, C, N sunt coliniare.

3. Fie ABCDEF un hexagon regulat si O centrul hexagonului. Consideram punctele M si

N astfel ncatAM = 35

AC si

AN = p

AD. Sa se determine valorile lui p R astfel ncat

punctele B,M,N sa fie coliniare.4. In paralelogramul ABCD se dau: AB = 4, BD = 3, BC = 2. Fie G centrul de

greutate al ABD, I centrul cercului nscris n ABD si M un punct n plan astfel

ncatBM = 13

BC. Sa se arate ca punctele G, I si M sunt coliniare.

TEMA 7

1. Fie ABCD un patrulater oarecare si O un punct oarecare n planul patrulaterului diferitde varfurile patrulaterului. Demonstrati ca centrele de greutate ale triunghiurilor OAB,OBC, OCD si ODA sunt varfurile unui paralelogram.

2. Pe cercul circumscris patrulaterului ABCD se considera punctul M diferit de varfurilepatrulaterului. Demonstrati ca ortocentrele triunghiurilor MAB, MBC, MCD, MDAsunt varfurile unui paralelogram.

3. Aratati ca simetricele unui punct oarecare n raport cu mijloacele laturilor unui patrulatersunt varfurile unui paralelogram.

4. Fie paralelogramul ABCD si punctele E si F situate pe (AC) astfel ncat (AE) (CF ).Sa se arate ca B, E, D, F sunt vrfurile unui paralelogram.

TEMA 8

30


1. Fie ABCD un patrulater convex ortodiagonal n care O este intersectia diagonalelorsale. Notam cu M, N, P, Q simetricele punctului O fata de mijloacele segmentelor(AB) , (BC) , (CD) respectiv (DA). Demonstrati ca MNPQ este dreptunghi.

2. Pe laturile (AB) , (BC) , (CD) si (DA) ale paralelogramului ABCD se considera punctele

M,N,P respectiv Q astfel ncat: BNNC =DQQA si

AMMB =

CPPD . Demonstrati ca dreptele

AN, BP, CQ si DM determina un paralelogram.3. Fie patrulaterulABCD siG1, G2, G2, G4 centrele de greutate ale triunghiurilorABC,BCD,CDA

respectiv DAB. Daca G1G2G2G4 este paralelogram, sa se demonstreze ca ABCD esteparalelogram.

4. Fie ABCD un patrulater convex si O un punct astfel ncat:OA+

OB +

OC +

OD =

0

si OA = OB = OC = OD. Sa se demonstreze ca ABCD este un dreptunghi.

TEMA 9

1. Se considera triunghiul ABC si punctele A, B, C astfel ncatAC = 2

BA,

BC =

25

AC,

C A = 3

BC . Demonstrati ca dreptele AA, BB si CC sunt concurente.

2. Fie ABC si O un punct oarecare n planul triunghiului. Notam cu M, N, P simetricelelui O fata de mijloacele laturilor (BC) , (CA) respectiv (AB). Demonstrati ca drepteleAM,BN si CP sunt concurente.

3. Fie ABCD un patrulater convex. Demonstrati ca dreptele determinate de mijloacele la-turilor opuse si dreapta determinata de mijloacele diagonalelor sunt trei drepte concurenten centrul de greutate al patrulaterului.

4. Se considera patrulaterul convex ABCD si G1, G2, G3, G4 centrele de greutate ale tri-unghiurilor BCD, ACD, ABD respectiv ABC. Sa se demonstreze ca dreptele AG1,BG2, CG3 si DG4 sunt concurente n centrul de greutate al patrulaterului.

TEMA 10

1. Fie ABCDEF un hexagon inscriptibil si H1, H2, H3, H4, H5, H6 ortocentrele triunghi-urilor ABC, BCD, CDE, DEF, EFA respectiv FAB. Sa se arate ca dreptele H1H4,H2H5, H3H6 sunt concurente.

2. Fie ABC, O un punct n planul sau iar G1, G2, G3 sunt centrele de greutate ale tri-unghiurilor OBC,OAC respectiv OAB. Sa se demonstreze ca dreptele AG1, BG2, CG3sunt concurente.

3. Fie ABC un triunghi oarecare, M si N doua puncte fixate n planul sau. Notamcu G, GA, GB , GC centrele de greutate ale triunghiurilor ABC, MBC, MCA respectivMAB. Fie A, B, C simetricele punctului N fata de GA, GB , GC . Sa se demonstrezeca dreptele AA, BB si CC sunt concurente.

TEMA 11

1. In ABC se considera D (BC) astfel ncat BD = 2DC, E mijlocul lui (AB) si F alui (CE). Demonstrati ca punctele A, F, D sunt coliniare si determinati raportul AFAD .

2. In paralelogramul ABCD fie N mijlocul lui (BC) si P mijlocul lui (CD). Dreptele ANsi BP se intersecteaza n M . Determinati valoarea raportului MAMN .

3. Fie ABCD un patrat, M mijlocul lui (AB), N mijlocul lui (AD), {P} = CN DM si{Q} = AP CD. Calculati raportul QDQC .

4. Punctul E este mijlocul laturii (AB) a paralelogramului ABCD. Sa se determine raportuln care CE mparte diagonala BD a paralelogramului.

5. Se considera paralelogramul ABCD si M un punct pe dreapta AB astfel ncat A (MB)si MAMB =

23 . Dreapta MD intersecteaza BC n N . Sa se determine

BCBN .

6. Fie ABCD un patrat, E un punct n plan astfel ncatDC = 3

ED. Daca F (BC)

astfel ncat BF = DE, sa se afle raportul n care dreapta EF mparte segmentul (AD).

31

CAPITOLUL 9

TRIGONOMETRIE

TEMA 1

1. Sa se rezolve triunghiul ABC, dreptunghic n A, n care se cunosc:a. a = 30 si sinB = 23 ; b. c = 51 si sinC = 0, 75.

2. In ABC, m (^A) = 90, BC = 4, AC = 2. Sa se calculeze sinB, cosB, tgB, ctgB.3. Sa se rezolve triunghiul ABC, dreptunghic n A, n care se cunosc:

a. C = 30 si b c = 12; b. C = 45 si 2a2 b = 6; c. B = 45 si 2a b = 7;d. a = 20 si b c = 5; e. b+ c = 35 si b c = 5; f. b = 3 si a+ c = 9.

TEMA 2

1. Sa se demonstreze ca n orice triunghi dreptunghic cu m (^A) = 90 au loc relatiile:a. sinB + cosB = sinC + cosC; b. b cosB + c cosC = 2a sinB sinC;

c. tgB+tgC2 =c cosB+b cosCc sinB+b sinC ; d.

sinC+cosBsinB+cosC = tgC;

e. (1 + cosB) (1 + cosC) = 2p2

a2 ; f. sin2B + sin2 C = 1cos2 B tg2B.

2. Sa se arate ca pentru orice x (0, 90) au loc relatiile:a. (sinx+ cosx)

2+ (sinx cosx)2 = 2; b. sin4 x cos4 x+ 2 cos2 x = 1;

c. sin2 x = tg2 x

1+tg2 x ; d. 1 + tg2 x = 1cos2 x .

3. Se considera ABC, AB = AC si m (^B) = 72. Bisectoarea unghiului B intersecteazaAC n D. Sa se arate ca AB = 2BC cos 36 si CD = 2BC cos 72.

TEMA 3

1. Sa se transforme n radiani urmatoarele masuri de unghiuri:15, 36, 72, 75, 105, 135, 150, 165, 225.

2. Sa se transforme n grade urmatoarele masuri de unghiuri:3pi, 5pi, 3pi4 ,

2pi5 ,

4pi3 ,

pi12 ,

pi15 ,

7pi30 .

3. Sa se reprezinte pe cercul trigonometric urmatoarele masuri de unghiuri:a. pi4 ,

3pi4 ,

5pi6 ,

7pi6 ,

5pi4 ,

4pi3 ,

5pi3 ,

7pi4 ; b. 3pi,

5pi2 , 4pi,

7pi3 ,

49pi2 ,

41pi4 ,

127pi3 ,

2009pi3 .

TEMA 4

1. Sa se calculeze:a. sin 0 + sin pi2 + sinpi + sin

3pi2 + sin 2pi; b. cos 0 + cos

pi2 + cospi + cos

3pi2 + cos 2pi;

c. sin pi10 sin pi9 sin pi8 ... sin pi2 sinpi; d. cos 10pi cos 9pi cos 8pi ... cospi cos pi2 .2. Sa se aduca la forma cea mai simpla expresiile unde a, b, c, d R:

a. a2 sin pi2 abcospi ab sin 3pi2 b2 cospi; b. a2 sin 2pi + 2ab cos 3pi2 + b2 sinpi;c. a2 sin

pi2 + 2ab sin 3pi2 + b

cos 0cospi; d. asin 0 bcos 0 csin pi2+cospi dsinpi+cos 3pi2 .TEMA 5

1. Sa se calculeze valorile functiilor trigonometrice sin si cos pentru valorile:a. 8pi, 27pi,36pi,49pi, 25pi4 , 7pi3 , 3pi2 , 25pi6 , 2009pi4 ;b. 720, 1890, 1440,270,630,750, 405, 420.

2. Sa se arate ca urmatoarele expresii nu depind de x R:32


a. sin (4pi + x) + 2 sin (6pi x) + sin (x 8pi);b. cos 3pi+x2 cos 3pix2 + cos x7pi2 cos 7pix2 ;

3. Sa se determine semnul urmatoarelor numere:sin 3, sin (4) , cos 5, cos (6) , sin 2 cos 10, sin 4 + cos 3.

TEMA 6

1. Sa se calculeze valorile expresiei E (x) = sinx cosx pentru valorile:x { 5pi6 , 3pi4 , 2pi3 , 7pi6 , 5pi4 , 4pi3 , 5pi3 , 7pi4 , 11pi6 } .

2. Sa se calculeze valorile expresiei E (x) = sinx cosx pentru valorile:x { 55pi6 , 1333pi4 , 22pi3 , 137pi6 , 135pi4 , 14pi3 , 85pi3 , 87pi4 , 811pi6 } .

TEMA 7

1. Sa se calculeze valorile functiei tg pentru valorile:

a. 8pi, 27pi,36pi,49pi, 25pi4 , 7pi3 , 3pi2 , 25pi6 , 2009pi4 ;b. 720, 1890, 1440,270,630,750, 405, 420.

2. Sa se calculeze valorile expresiei E (x) = tg x ctg x pentru valorile:x { 5pi6 , 3pi4 , 2pi3 , 7pi6 , 5pi4 , 4pi3 , 5pi3 , 7pi4 , 11pi6 }

TEMA 8

1. Daca a (0, pi2 ) si sin a = 35 sa se calculeze: cos a, tg a si ctg a.2. Daca a (pi2 , pi) si cos a = 13 sa se calculeze: sin a, tg a si ctg a.3. Daca a (pi, 3pi2 ) si tg a = 34 sa se calculeze: sin a, cos a si ctg a.4. Daca a ( 3pi2 , 2pi) si ctg a = 35 sa se calculeze: sin a, cos a si tg a.5. Sa se demonstreze ca

sin4 x+ 4 cos2 x+

cos4 x+ 4 sin2 x N, x R.

6. Fie x R astfel ncat tg2 x = 6. Sa se calculeze cos2 x.TEMA 9

1. Sa se calculeze: cos pi12 , sin5pi12 , cos

7pi12 , sin

11pi12 .

2. Sa se calculeze:a. sin 49 cos 11 + cos 49 sin 11; b. sin 13 cos 17 + sin 17 cos 13;c. cos pi9 cos

2pi9 sin pi9 sin 2pi9 ; d. cos 3pi7 cos 4pi7 sin 3pi7 sin 4pi7 .

3. Fie a si b doua numere reale astfel ncat sin a + sin b =

2 si cos a + cos b = 12 . Sa secalculeze cos (a b).

4. Sa se demonstreze ca:sin (90 x) = cosx, cos (90 x) = sinx si apoi calculati:a. cos 100 cos 40 + sin 100 cos 50; b. cos 100 sin 70 cos 10 sin 20;c. sin 25 cos 20 + sin 65 cos 70; d. cos 31 sin 29 + cos 29 cos 59.

TEMA 10

1. Daca a (0, pi2 ) , b (pi2 , pi) si sin a = 35 , cos b = 32 sa se calculezesin (a+ b) , sin (a b) , cos (a+ b) , cos (a b).

2. Daca a (pi2 , pi) , b (pi, 3pi2 ) si sin a = 513 , cos b = 12 sa se calculezesin (a+ b) , sin (a b) , cos (a+ b) , cos (a b).

3. Daca x, y (0, pi2 ) si sinx = 55 , sin y = 1010 sa se calculeze cos (x+ y) si deducetivaloarea lui x+ y.

4. Daca x, y (0, pi2 ) si cosx = 17 , cos y = 1314 sa se calculeze x y.TEMA 11

1. Sa se demonstreze ca a, b, c R au loc relatiile:a. cos2 a+ cos2 b (cos a cos b)2 = cos (a+ b) + cos (a b);

33


b. sin (a+ b) sin (a b) = sin2 a sin2 b;c. sin a sin (b c) + sin b sin (c a) + sin c sin (a b) = 0;d. sin2 a+ sin2

(2pi3 + a

)+ sin2

(4pi3 + a

)= 32 .

2. Daca x, y, z (pi, 3pi2 ) , sinx = 12 , cos y = 17 , tgz = 1 sa se calculeze sin (x y + z).3. Sa se arate ca sin 40 sin 140 = cos2 130.4. Sa se demonstreze prin inductie ca cosnpi = (1)n , n N dupa care sa se calculeze

sinnpi unde n N .TEMA 12

1. Sa se calculeze:tg pi12 , tg5pi12 , ctg

7pi12 , ctg

11pi12 .

2. Daca a (0, pi2 ) , b (pi2 , pi) si cos a = 45 , cos b = 1213 sa se calculeze: tg (a+ b), tg (a b),ctg (a+ b) , ctg (a b).

3. Daca x, y, z (pi2 , pi) , sinx = 513 , sin y = 35 , cos z = 45 sa se calculeze tg (x y + z).4. Sa se demonstreze ca tg1 tg2 ... tg89 = 1.

TEMA 13

1. Sa se demonstreze egalitatile:

a. cos(x+y)cos(xy)cos(xy)+cos(x+y) = tgxtgy; b.sin(x+y)sin(xy)sin(x+y)+sin(xy) =

tgytgx ;

c. sin(x+y)sin(xy) =tgx+tgytgxtgy ; d.

tg(x+y)tgy1+tg(x+y)tgy =

tg(xy)+tgy1+tg(xy)tgy .

2. Sa se calculeze sin(xy)sin(x+y) stiind ca tgx = 3tgy.3. Daca x, y (0, pi2 ) , tgx = 7, tgy = 43 . Sa se calculeze x+ y.4. Daca x+ y + z = pi2 , sa se demonstreze ca tgxtgy + tgytgz + tgztgx = 1.5. Fie ABC un triunghi cu tgA = 2 si tgB = 3. Calculati masura unghiului C.

TEMA 14

1. Daca x ( 3pi2 , 2pi) , y (pi2 , pi) , sinx = 14 , cos y = 13 , sa se calculeze: sin 2x, cos 2x,sin 3y, sin (2x+ y) , cos (x 3y).

2. Daca x, y, z R, tgx = 2, tgy = 3, tgz = 1, sa se calculeze: tg (x 2y + 3z).3. Stiind ca ctgx = 3 sa se calculeze ctg2x.4. Stiind ca (0, pi2 ) si tg+ ctg = 2 sa se calculeze sin 2 si cos 4.5. Sa se demonstreze ca ctg2 = ctg1tg12 .6. Daca x, y (0, pi2 ) , tgx = 17 , tgy = 13 . Sa se calculeze x+ 2y.7. Fie a R astfel ncat sin a+ cos a = 54 . Sa se calculeze tg2a.

TEMA 15

1. Stiind ca x (pi2 , pi) si sinx = 35 sa se calculeze sin x2 .2. Sa se demonstreze identitatile:

a. sin2 (x+ y) sin2 (x y) = sin 2x sin 2y; b. sin 3x sin3 x+ cos 3x cos3 x = cos3 2x;c. (1 tgx)2 + (1 ctgx)2 = 4(1sin 2x)

sin2 2x; d. tg2xctgxtg2x+ctgx = sin 2x;

e. cos(2x+y)sin(2xy)cos(2xy)sin(2x+y) =cos y+sin ycos ysin y .

3. Folosind metoda inductiei matematice sa se demonstreze ca:

cos a cos 2a cos 4a ... cos 2na = sin 2n+1a2n+1 sin a .4. Fie a (0, pi). Sa se demonstreze ca:

a. 2 cos a2 =

2 + 2 cos a;

b.

2 + 2 cos a

2 +

2 + 2 cos a

2 +

2 +

2 + 2 cos a = sin asin a8.

TEMA 16

1. Fie a (0, pi2 ).34


a. Sa se demonstreze ca cos a =

1+cos 2a2 ;

b. Sa se calculeze cos pi8 , cospi16 , cos

pi32 ;

c. Sa se deduca o formula pentru cos pi2n+1 , n N dupa care sa se demonstreze prininductie formula gasita.

2. Sa se calculeze sinx, cosx, tgx, tg2x, stiind ca tg x2 =13 .

3. Stiind ca tga = 2, sa se calculeze sin 4a, cos 4a si tg4a.4. Sa se calculeze sin (x+ y) , cos (x y) , tg (x 2y), stiind ca tg x2 = 23 , tg y2 = 32 .

TEMA 17

1. Sa se transforme n produs:a. cos 48 cos 12; b. cos 68 + cos 112; c. cos 125 + cos 65;d. tg pi12 + tg

7pi12 ; e. sin

5pi12 + sin

pi12 ; f. sin 75

+ sin 15.2. Fie a, b R astfel ncat a+ b = pi2 . Sa se arate ca sin 2a+ sin 2b = 2 cos (a b).3. Sa se transforme n produs:

a. sin 3x+ sin 6x+ sin 9x; b. 1 + cos 2x+ cos 3x+ cos 5x; c. sin2 (x+ y) sin2 (x y);d. sin

(x+ pi4

)+ sin

(x pi4

); e. sinx+ sin y + sin (x+ y); f. 1 + cosx+ cos y + cos (x+ y).

4. Simplificati fractiile:a. sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4x+sin 5xcos x+cos 2x+cos 3x+cos 4x+cos 5x ; b.

sin x+sin 3x+sin 5x+sin 7x+sin 9xcos x+cos 3x+cos 5x+cos 7x+cos 9x .

TEMA 18

1. Sa se transforme n suma urmatoarele produse:a. sin 2pi5 sin

pi10 ; b. sin

pi5 cos

4pi5 ; c. sin 10

sin 20; d. cos 10 cos 50.2. Sa se calculeze:

a. cos pi9 cos2pi9 cos

4pi9 ; b. sin 20

sin 40 sin 60 sin 80;c. sin pi24 sin

5pi24 sin

7pi24 sin

11pi24 ; d. tg20

tg40tg60tg80.3. Sa se demonstreze ca:

a. cos (b+ c a) + cos (a+ c b) + cos (a+ b c) + cos (a+ b+ c) = 4 cos a cos b cos c;b. cos a+ cos b+ cos c+ cos (a+ b+ c) = 4 cos a+b2 cos

b+c2 cos

c+a2 ;

c. tg3x tg2x tgx = tg3x tg2x tgx.TEMA 19

1. Se considera suma S = sinx+ sin 2x+ ...+ sin 2012x unde x R\ {2kpi |k Z}.a. Folosind formula 2 sin a sin b = cos (a b) cos (a+ b) , a, b R sa se demonstreze

ca 2S sin x2 = cosx2 cos 4025x2 ;

b. Sa se demonstreze ca S =sin 1006x sin 2013x2

sin x2.

2. Sa se calculeze urmatoarele sume:a. sin 1 + sin 3 + sin 5 + ...+ sin 2009;b. sin a+ sin (a+ x) + sin (a+ 2x) + ...+ sin (a+ nx);c. cosx+ cos 3x+ cos 5x+ ...+ cos (2n 1)x;d. cos2 x+ cos2 2x+ cos2 3x+ ...+ cos2 nx;

3. Fie x un numar real astfel ncat sa existe urmatoarele expresii.a. Sa se verifice ca: ctgx ctg2x = 1sin 2x ;b. Sa se arate ca: 1sin 2x +

1sin 22x + ...+

1sin 2nx = ctg x ctg 2nx, n N.

35

CAPITOLUL 10

APLICATII ALE TRIGONOMETRIEI INGEOMETRIE

TEMA 1

1. In triunghiul dreptunghic ABC, se cunosc: BC = 6, A = pi2 , C =pi6 . Daca D este piciorul

naltimi din A, sa se calculeze:

a.AC AB; b. AC BC; c. BA BC ;

d.AC BD; e. AD AB; f. AD DB.

2. Fie hexagonul regulat ABCDEF de latura 2. Sa se calculeze:

a.BA BC; b. BA DC ; c. BA DE ;

d.BA EF ; e. BA FA; f. AC AE.

3. In paralelogramul ABCD se cunosc AB = 1, BC = 2 si m (^BAD) = 60. Sa se calculezeprodusul scalar

AC AD.

4. Fie u ,v ,w trei vectori de modul 1, astfel ncat u + v + w = 0 . Sa se calculeze:u v +v w +w u .

TEMA 2

1. Sa se calculeze produsul scalar al vectorilor u si v unde:a. u = 4i + 3j , v = 2i + 6j ; b. u = 4i 4j , v = 7i + 5j ;c. u (1, 3) , v (3, 6) ; d. u (2, 3) , v (6,1).

2. Sa se calculeze u 2 v 2 stiind ca u +v = 3i + 2j si u v = 2i + 3j .3. Sa se determine parametrul real a R astfel ncat vectorii u si v sa fie perpendiculari,

unde:a. u = 3i + aj , v = 2i + 6j ; b. u = 4i 4j , v = ai + 5j ;c. u (a+ 1, 3) , v (3, 6) ; d. u (1, a 3) , v (3, a+ 1).

4. Sa se dea cate un exemplu de vector perpendicular pe vectorii:

a. v (2, 4); b. v = 25i 310

j ; c. v = 5i j .

5. Fieu siv doi vectori astfel ncat u v = 5, |u | = 2 si |v | = 3. Calculati cos (^ (u ,v )).6. Fie u si v doi vectori astfel ncat |u | = 1, |v | = 2 si m (^ (u ,v )) = pi3 . Calculati

(2u +v ) (2v u ).7. Sa se determine cosinusul unghiului dintre vectorii:

a. u = i +j , v = i j ; b. u = i , v = 3 i +j ;c. u = i +2j , v = 2i 2j ; d. u = 3i + 4j , v = 5i 12j .

8. Sa se demonstreze ca vectorii u = 5i 4j si v = 2i + 3j formeaza un unghi obtuz.9. Sa se calculeze

AB AC n cazurile:

a. A (1,2) , B (2, 1) , C (3, 2); b. A (2,1) , B (3, 1) , C (5, 2);c. A (1,4) , B (5, 1) , C (3,2); d. A (1, 7) , B (3,5) , C (3,7).

10. Sa se calculezeAB

(AC +

BC

)stiind ca A (3, 4) , B (4,3) si C (1, 2).

TEMA 3

36


1. Laturile unui triunghi sunt proportionale cu numerele 3, 5, 7 sa se calculeze cosinusul celuimai mic unghi al triunghiului.

2. Sa se determine parametrul a N pentru care numerele a, a+1 si a+2 sunt laturile unuitriunghi obtuzunghic.

3. In ABC avem a = 3

3, b = 3 si A = pi3 . Sa se afle c, C.4. Sa se determine unghiurile unui triunghi stiind ca laturile sale sunt proportionale cu

numerele 1 +

3,

6, 2.

5. 5. Daca A,B,C sunt trei puncte n plan, sa se arate caAB AC = AB2+AC2BC22 .

6. In ABC avem AB = 5, CB = 6, CA = 7. Sa se calculezeAB AC+BC BA+CA CB.

7. Fie ABC un triunghi n care AB = 2, AC = 3 si BC = 2

2. Sa se calculezeAB AC.

TEMA 4

1. Fie ABCD un patrulater. DacaAC BD = 0, demonstrati ca AB2+CD2 = AD2+BC2.

2. Triunghiul ABC are AB = 4, BC = 5 si CA = 6. Sa se arate ca B = 2C.3. Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC stiind ca AB = 6, B = pi4 si C =

pi6 .

4. Sa se demonstreze ca ntr-un triunghi oarecare au loc relatiile:

a. a cosB + b cosA = c; b. b cosC c cosB = b2c2a ;c. 2aR sin (B C) = b2 c2; d. (b2 + c2 a2) tgA = (a2 + c2 b2) tgB.

5. Sa se demonstreze ca daca n ABC are loc relatia urmatoare atunci triunghiul estedreptunghic:a. ac sinBtgB = b2; b. sin2B + sin2 C = sin2A;c. a sinA+ b sinB = c sinC; d. a (cosB + cosC) = b+ c.

6. Sa se demonstreze ca daca n ABC are loc relatia urmatoare atunci triunghiul esteisoscel:a. b cosC = c cosB; b. a = 2b cosC; c. 2c cos A2 = (b+ c) sinC.

TEMA 5

1. Triunghiul ABC are B = pi3 si lungimea razei cercului circumscris 1. Sa se calculezelungimea laturii AC.

2. Sa se rezolve triunghiul ABC stiind ca:a. a = 14, b = 13, cosC = 513 ; b. A = 45

, b = 4, c =

2;

c. A = 15, a = 4, b = 4 +

48; d. b =

2, c =

3, C = 60;e. a =

62, A = 60, B = 45; f. a = 4, B = 30, C = 135.

3. Sa se determine perimetrul unui triunghi stiind ca lungimile laturilor sale sunt trei numerenaturale cosecutive si ca unghiul cel mai mare este dublul unghiului celui mai mic.

4. Sa se determine perimetrul unui paralelogram stiind ca are o diagonala de lungime 6si ca aceasta formeaza cu laturile paralelogramului adiacente ei unghiuri de masura 60

respectiv 60.5. Sa se calculeze lungimea medianei duse din A n triunghiul ABC, stiind ca AB = 2, AC =

3 si BC = 4.6. Sa se arate ca ABC este dreptunghic n A daca si numai daca 2

(m2A +m

2B +m

2C

)=

3a2.7. Sa se arate ca ABC este dreptunghic n A daca si numai daca a = 2mA.8. Sa se arate ca ABC este dreptunghic n A daca si numai daca m2B +m

2C = 5m

2A.

9. Sa se arate ca medianele ABC verifica relatia: m4A +m4B +m

4c =

916

(a4 + b4 + c4

).

TEMA 6

1. In ABC m (^A) = 90, AB = AC+6 si BC = 30. Sa se calculeze lungimea bisectoareiunghiului C.

37


2. Fie ABC, D piciorul bisectoarei ^BAC si I centrul cercului nscris n triunghi.a. Sa se demonstreze ca

AD = b

AB+c

AC

b+c siAI = b

AB+c

AC

a+b+c ;

b. Daca a = 4, b = 5, c = 6 sa se calculeze lungimile segmentelor (AD) si (AI).

3. Fie triunghiul echilateral ABC cu AB = 6 si M (AC) astfel ncat AM = 12MC. Sase calculeze lungimea medianei din M si a bisectoarei din C ale triunghiului BMC.

4. FieM,N,P,Q,R, S mijloacele laturilor (AB) , (BC) , (CD) , (DE) , (EF ) , respectiv (FA)ale hexagonului ABCDEF . Demonstrati ca:

a.RN +

MQ+

PS =

0 ; b. RN2 = MQ2 + PS2 MQPS.

5. Daca laturile patrulaterului convex ABCD satisfac relatia AB2 +BC2 +CD2 +DA2 =AC2 +BD2, sa se demonstreze ca patrulaterul este paralelogram.

6. Daca M este un punct oarecare pe cercul circumscris unui triunghi echilateral ABC, sase demonstreze ca expresia MA2 +MB2 +MC2 nu depinde de alegerea punctului M .

TEMA 7

1. Sa se calculeze aria ABC daca se cunosc:a. a = 12, b = 4, C = 105; b. a = 12, B = 105, C = 15;c. c = 2

3 2, b = 4, C = 15; d. a = 85, b = 13, c = 65.

2. Sa se calculeze aria si perimetrul ABC daca se cunosc: b a = 2, B A = 30, c =2 +

12.3. Cate triunghiuri sub aspect metric exista daca a = 6, b = 16, S = 24.4. Calculati aria unui paralelogram ABCD n care AB = 6, AD = 8 si m (ÂDC) = 135.5. Sa se determine raza cercului nscris si a cercului circumscris triunghiului ABC n fiecare

din cazurile:a. AB = 6, BC = 8, m (^B) = 30; b. AC = 6, m (Â) = 60, m (^C) = 45;c. AB = 5, BC = 6, CA = 7; d. AB = 2, BC = 3, m (Â) = 30.

6. Sa se demonstreze ca n orice ABC au loc relatiile:a. cos A2 cos B2 cos C2 = p4R ; b. tgA2 tgB2 tgC2 = rp ;c. ctgA2 + ctg

B2 + ctg

C2 =

Sr2 ; d. sin

2 A2 + sin

2 B2 + sin

2 C2 = 1 r2R .

TEMA 8

1. In triunghiul ascutitunghic ABC are loc relatia sinB + cosB = sinC + cosC. Sa sedemonstreze ca triunghiul ABC este isoscel.

2. Sa se arate ca laturile ABC, a, b, c sunt n progresie aritmetica daca si numai dacanumerele ctgA2 , ctg

B2 , ctg

C2 sunt n progresie aritmetica.

3. Sa se determine aria triunghiului ABC stiind ca b+c = 5, A = 120 si lungimea bisectoareidin A este 1, 2.

4. Sa se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC stiind ca AB =6, C = 30.

5. Sa se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC stiind ca A = pi4 , B =pi6 si AB = 6.

6. Sa se calculeze lungimea razei cercului circumscris unui triunghi care are laturile delungimi 5, 7 si 8.

7. Fie ABCD un paralelogram ale carui diagonale fac un unghi de masura 45. Sa se arateca aria paralelogramului este S =

AB2BC22 .

38

CAPITOLUL 11

INDICATII SI SOLUTII

ALGEBRA

Teme Pentru Clasa a IX-A

Documents

Transcript of Teme Pentru Clasa a IX-A