Tema/Unitatea: Numere reale, radicali, puteri, logaritmi...

6
Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere” Domeniul major de intervenţie 1.1 „Acces la educaţie şi formare profesională iniţială de calitate” Titlul proiectului: „TEEN PERFORM - Program inovator de îmbunătăţire a rezultatelor şcolare în învăţământul liceal” Contract număr: POSDRU/153/1.1/S/136612 Beneficiar: Inspectoratul Şcolar Judeţean Suceava INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA Federația Națională a Asociațiilor de Părinți - Învățământ Preuniversitar 1 Disciplina MATEMATICĂ FIŞĂ DE LUCRU Tema/Unitatea: Numere reale, radicali, puteri, logaritmi. Funcții și ecuații Prof. Monoranu Doina 1. Logaritmul unui număr (real pozitiv). Proprietăţile logaritmilor Definiţie: Se numeşte logaritmul în baza a (unde a>0 şi 1 a ) a numărului strict pozitiv b, exponentul puterii la care trebuie ridicat numărul a pentru a obţine numărul b. Se notează: b a log . Se citeşte: logaritmul în baza a al numărului b; Numărul a se numeşte baza logaritmului; Numărul b se numeşte numărul de sub logaritm; Conform definiţiei: 0. 1, 0 log a a a b b a b • Proprietăţile logaritmilor: 1) b a b a log (formula condensată a logaritmilor) 2) 1 log a a , unde a>0, a 1 3) 0 1 log a , unde a>0, a 1 4) b n b a n a log log , (a>0, a1, b>0) 5) b m b a a m log 1 log 6) y x y x a a a log log ) ( log , unde x>0 şi y>0 (logaritmul produsului) 7) y x y x a a a log log log , unde x>0 şi y>0 (logaritmul câtului) 8) b a log = a b log 1 (formula de trecere de la baza a la baza b) 9) b a log = a b c c log log (formula de trecere de la baza a la baza c) 10) n a a n log ; 0 = 1 log a ; 1= a a log 11) 10 log lg b b se numeşte logaritm zecimal al numărului b 12) b b e ln log se numeşte logaritm natural al numărului b 13) a b c c b a log log (Se aplică la rezolvarea unor ecuaţii şi la demonstrarea unor identităţi). Remarcă: 1) Numărul iraţional e=2,71828182se numeşte numărul lui Euler. 2. Funcţia exponenţială Definiţie: Funcţia de forma , unde şi se numeşte funcţie exponenţială. a) Graficul funcţiei exponenţiale , unde şi : b) Proprietăţi ale funcţiei exponenţiale: x a x f R f ) ( , ; 0 : 0 a 1 a x a x f ) ( 0 a 1 a

Transcript of Tema/Unitatea: Numere reale, radicali, puteri, logaritmi...

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere”

Domeniul major de intervenţie 1.1 „Acces la educaţie şi formare profesională iniţială de calitate”

Titlul proiectului: „TEEN PERFORM - Program inovator de îmbunătăţire a rezultatelor şcolare în învăţământul liceal”

Contract număr: POSDRU/153/1.1/S/136612

Beneficiar: Inspectoratul Şcolar Judeţean Suceava

INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

Învățământ Preuniversitar

1

Disciplina MATEMATICĂ FIŞĂ DE LUCRU

Tema/Unitatea: Numere reale, radicali, puteri, logaritmi. Funcții și ecuații

Prof. Monoranu Doina

1. Logaritmul unui număr (real pozitiv). Proprietăţile logaritmilor

Definiţie: Se numeşte logaritmul în baza a (unde a>0 şi 1a ) a numărului strict pozitiv b, exponentul puterii la care trebuie ridicat numărul a pentru a obţine numărul b.

• Se notează: balog . • Se citeşte: logaritmul în baza a al numărului b;

• Numărul a se numeşte baza logaritmului; • Numărul b se numeşte numărul de sub logaritm;

• Conform definiţiei: 0 . 1, 0

loga

a a bb

a b

• Proprietăţile logaritmilor:

1) baba

log (formula condensată a logaritmilor)

2) 1log aa , unde a>0, a 1

3) 01log a , unde a>0, a 1

4) bnb a

n

a loglog , (a>0, a1, b>0)

5) bm

b aam log1

log

6) yxyx aaa loglog)(log , unde x>0 şi y>0

(logaritmul produsului)

7) yxy

xaaa logloglog

, unde x>0 şi y>0

(logaritmul câtului)

8) balog =ablog

1 (formula de trecere de la

baza a la baza b)

9) balog =a

b

c

c

log

log (formula de trecere de la

baza a la baza c)

10) n

a an log ; 0 = 1log a ; 1= aalog

11) 10log lgb b se numeşte logaritm zecimal al

numărului b

12) bbe lnlog se numeşte logaritm natural al

numărului b

13) ab cc ba

loglog

(Se aplică la rezolvarea unor ecuaţii şi la demonstrarea unor identităţi).

Remarcă: 1) Numărul iraţional e=2,71828182…se numeşte numărul lui Euler.

2. Funcţia exponenţială

Definiţie: Funcţia de forma , unde şi se numeşte funcţie

exponenţială.

a) Graficul funcţiei exponenţiale , unde

şi :

b) Proprietăţi ale funcţiei exponenţiale:

xaxfRf )(,;0: 0a 1a

xaxf )(

0a 1a

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere”

Domeniul major de intervenţie 1.1 „Acces la educaţie şi formare profesională iniţială de calitate”

Titlul proiectului: „TEEN PERFORM - Program inovator de îmbunătăţire a rezultatelor şcolare în învăţământul liceal”

Contract număr: POSDRU/153/1.1/S/136612

Beneficiar: Inspectoratul Şcolar Judeţean Suceava

INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

Învățământ Preuniversitar

2

- Semnele funcţiei exponenţiale: 0)( xf

pentru . - Monotonia funcţiei:

a) Pentru funcţia exponenţială este strict crescătoare pe R;

b) Pentru funcţia exponenţială este strict descrescătoare pe

3. Funcţia logaritmică

Definiţie: Funcţia de forma , unde şi se numeşte funcţie

logaritmică.

a) Graficul funcţiei logaritmice ,

unde şi :

b) Proprietăţi ale funcţiei logaritmice:

- Semnele funcţiei logaritmice:

a) Dacă , atunci pentru şi

pentru ;

b) Dacă , atunci pentru şi

pentru .

- Monotonia funcţiei logaritmice:

a) Pentru funcţia logaritmică este strict

crescătoare pe ;

b) Pentru funcţia logaritmică este strict

descrescătoare pe .

4. Rezolvarea unor ecuaţii şi inecuaţii iraţionale

1.

2. =

5. Aplicaţii ale funcţiei exponenţiale la rezolvarea unor ecuaţii şi inecuaţii

Aplicaţii ale funcţiei exponenţiale la rezolvarea unor ecuaţii

1. )()(

)()(

1

0)()( xxf

xxf

a

a

aa xxf

2. bxf

bxf

a

a

ba a

a

xf log)(

log)(

1

0)(

Rx

1a

10 a

xxfRf alog)(,),0(: 0a 1a

xxf alog)(

0a 1a

1a 0)( xf );1( x

0)( xf )1;0(x

10 a 0)( xf )1;0(x

0)( xf );1( x

1a

);0(

10 a

);0(

)()(

0)(

0)(

))(())((

0)(

0)(

)()(

22 xxf

x

xf

xxf

x

xf

xxf

3 )(xf 3 )(x 333

3 )()( xxf )()( xxf

0<a<1

0 x

y

1

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere”

Domeniul major de intervenţie 1.1 „Acces la educaţie şi formare profesională iniţială de calitate”

Titlul proiectului: „TEEN PERFORM - Program inovator de îmbunătăţire a rezultatelor şcolare în învăţământul liceal”

Contract număr: POSDRU/153/1.1/S/136612

Beneficiar: Inspectoratul Şcolar Judeţean Suceava

INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

Învățământ Preuniversitar

3

3. Rezolvarea ecuaţiei :

I. Se precaută şi se rezolvă cazurile particulare:

1) .Se află rădăcinile şi se verifică în ecuaţia dată;

2) . Se află rădăcinile şi se verifică în ecuaţia dată;

3) . Se află rădăcinile şi se verifică inecuaţia dată.

II. Se precaută şi se rezolvă cazul general:

4) .

4. Rezolvarea ecuaţiei exponenţiale reductibile la ecuaţii de gradul doi: 0)()(2 panam xfxf

1) Se află CE;

2) Se notează ta xf )( , unde 0t şi se obţine ecuaţia de gradul doi 02 ptntm pentru care se

determină 21 , tt şi se alege 0t ;

3) Se rezolvă ecuaţiile ta xf )( , unde 0t ;

4) Se scrie răspunsul (mulţimea soluţiilor).

5. Rezolvarea ecuaţiei exponenţiale omogene de gradul doi: 0)(2)()()(2 xfxfxfxf bpbanam

1) Se împart ambele părţi ale ecuaţiei la )(2 xfb şi se obţine ecuaţia: 0

)()(2

p

b

an

b

am

xfxf

;

2) Se notează tb

axf

)(

, unde 0t şi se obţine ecuaţia de gradul doi 02 ptntm pentru care se

determină 21 , tt şi se alege 0t ;

3) Se rezolvă ecuaţiile tb

axf

)(

, unde 0t ; 4) Se scrie răspunsul (mulţimea soluţiilor).

6. Rezolvarea ecuaţiei exponenţiale ce conţine baze diferite: )()( xgxf ba , unde

1,0,1,0, bbaaba .

1) Se află CE; 2) Se logaritmează ambele părţi în baza convenabilă (baza a, b sau altă bază). De exemplu:

)()( loglog xg

a

xf

a ba bxgxf alog)()( .

3) Se rezolvă ecuaţia (algebrică) obţinută şi se determină soluţiile DVAx .

Remarcă: Dacă în ecuaţia )()( xgxf ba bazele a şi b sunt numere constante diferite, atunci se aplică

echivalenţa:

0)(

0)()()(

xg

xfba xgxf , din care se află soluţia comună.

4) Se scrie răspunsul (mulţimea soluţiilor).

7. , 8. ,

)()( ))(())(( xhx xfxf

0)( xf

1)( xf

1)( xf

)()(1)(

0)(xhx

xf

xf

)()( xxf aa 1,0 aa )()( xxf aa 1,0 aa

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere”

Domeniul major de intervenţie 1.1 „Acces la educaţie şi formare profesională iniţială de calitate”

Titlul proiectului: „TEEN PERFORM - Program inovator de îmbunătăţire a rezultatelor şcolare în învăţământul liceal”

Contract număr: POSDRU/153/1.1/S/136612

Beneficiar: Inspectoratul Şcolar Judeţean Suceava

INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

Învățământ Preuniversitar

4

a) b) a) b)

9. , 10. ,

a) b) a) b)

6. Aplicarea logaritmilor la rezolvarea unor ecuaţii şi inecuaţii

6.a) Rezolvarea unor ecuaţii exponenţiale şi logaritmice:

6.1

bx

b

a

a

ba

a

x

log

0

1

0

6.2

bxf

b

a

a

ba

a

xf

log)(

0

1

0

)( 6.3

6.4 , unde .Se aplică proprietatea şi ecuaţia devine:

.

6.5 Ecuaţii logaritmice reductibile la ecuaţii de gradul doi: 0)(log)(log 2 pxfnxfm aa

1) Se află DVA din condiţia 0)( xf ;

2) Se notează txfa )(log , unde Rt şi se obţine ecuaţia de gradul doi 02 ptntm , se

determină 21 , tt ;

3) Se rezolvă ecuaţiile 1)(log txfa şi 2)(log txfa ;

4) Se scrie răspunsul (mulţimea soluţiilor).

6.6 Ecuaţii logaritmice de forma 0)(log xf a .

1) Se face substituţia txa log , unde Rt şi se obţine ecuaţia de forma 0)( tf ;

2) Se rezolvă ecuaţia 0)( tf şi se află soluţiile pentru necunoscuta t;

3) Se rezolvă ecuaţiile 1log txa , 2log txa ;... şi se determină soluţiile pentru necunoscuta x.

4) Se scrie răspunsul (mulţimea soluţiilor). 6.7 Rezolvarea unor inecuaţii logaritmice:

1)

a)

2)

a)

3)

a)

4)

a)

)()(

1

xxf

a

)()(

10

xxf

a

)()(

1

xxf

a

)()(

10

xxf

a

)()( xxf aa 1,0 aa )()( xxf aa 1,0 aa

)()(

1

xxf

a

)()(

10

xxf

a

)()(

1

xxf

a

)()(

10

xxf

a

)(log)(log xxf aa )()(

0)(

0)(

1

0

xxf

x

xf

a

a

pxnamax cc

loglog 0 nm xa cc axloglog

panmxc

log)(

)(log)(log xxf aa

)()(

0)(

0)(

1

xxf

x

xf

a

)(log)(log xxf aa

)()(

0)(

0)(

1

xxf

x

xf

a

)(log)(log xxf aa

)()(

0)(

0)(

1

xxf

x

xf

a

)(log)(log xxf aa

)()(

0)(

0)(

1

xxf

x

xf

a

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere”

Domeniul major de intervenţie 1.1 „Acces la educaţie şi formare profesională iniţială de calitate”

Titlul proiectului: „TEEN PERFORM - Program inovator de îmbunătăţire a rezultatelor şcolare în învăţământul liceal”

Contract număr: POSDRU/153/1.1/S/136612

Beneficiar: Inspectoratul Şcolar Judeţean Suceava

INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

Învățământ Preuniversitar

5

b) ;

b)

b) ;

b)

Exemple de itemi de tip examen de bacalaureat

1. Mulţimi de numere Exerciţii tipice pentru bacalaureat

1. Să se determine a 2008-a zecimală a numărului 0,(285714).

2. Se consideră numărul .3log2a Să se arate că

.1218log2 a

3. Să se calculeze .9log2

13log 22

4. Să se calculeze 3

1

.27

8

2

3

5. Să se verifice egalitatea :

.110

9lg...

3

2lg

2

1lg

6. Să se calculeze .10log6log5log 333

7. Să se compare numerele 22 şi .32log2

8. Să arate că numărul 8log3 2)2( este natural.

9. Să arate că numărul 3212273 este

natural.

10. Să se calculeze .25log2

15

3

11. Să se determine valorile naturale ale lui n pentru

care expresia nnE 310)( este

bine definită.

12. Să se arate că 1324log3 a , unde 2log3a .

2. Ecuaţii iraţionale

1. Să se rezolve ecuaţia 222 xxx .

2. Să se rezolve ecuaţia .25 2 x

3. Să se rezolve ecuaţia 0242 xx .

4. Să se rezolve ecuaţia xxx 3 3 1

5. Să se rezolve ecuaţia .32322 xx

6. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale

ecuaţia .21 2 xxx

7. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale

ecuaţia 3 31 1 2x x

3. Ecuaţii exponenţiale

1. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei x

x

3

13 2 .

2. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei

3622 3 xx .

)()(

0)(

0)(

10

xxf

x

xf

a

)()(

0)(

0)(

10

xxf

x

xf

a

)()(

0)(

0)(

10

xxf

x

xf

a

)()(

0)(

0)(

10

xxf

x

xf

a

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013

Axa prioritară 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere”

Domeniul major de intervenţie 1.1 „Acces la educaţie şi formare profesională iniţială de calitate”

Titlul proiectului: „TEEN PERFORM - Program inovator de îmbunătăţire a rezultatelor şcolare în învăţământul liceal”

Contract număr: POSDRU/153/1.1/S/136612

Beneficiar: Inspectoratul Şcolar Judeţean Suceava

INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

Învățământ Preuniversitar

6

3. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei

.02234 xx

4. Să se rezolve ecuaţia .2822 3 xx

5. Să se rezolve în R ecuaţia .52142 xx

6. Să se rezolve în R ecuaţia 52 2

24 xx .

7. Să se rezolve ecuaţia 03349 xx .

8. Să se rezolve ecuaţia 42 1 x .

9. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale

ecuaţia .2

3

3

2

x

x

10. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale

ecuaţia .1553 xx

11. Să se rezolve ecuaţia .)21()223( 2 x

12. Să se rezolve ecuaţia .42 2log

x

4. Ecuaţii logaritmice

1. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei

.2)43(log5 x

2. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei

).32(log)6(log 3

2

3 xx

3. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei

.2)44(log 2

3 xx

4. Să se rezolve ecuaţia

).23(log)4(log 2

2

2

2 xxx

5. Să se rezolve ecuaţia .11log 2 x

6. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale

ecuația .0)12(log 1

4 x

7. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale

ecuaţia .1log 32 x

8. Să se rezolve ecuaţia .03lg4lg 2 xx

Prof. Monoranu Doina